Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>
. Затем в новом окне сверху справа - СТРЕЛКА ВНИЗ 
. Для чтения - просто листай колесиком страницы вверх и вниз.
Л. А. Латотин Б. Д. Чеботаревский
Учебное пособие
для 8 класса общеобразовательных учреждений с русским языком обучения
Допущено
Министерством образования Республики Беларусь
3-е издание, переработанное
Минск «Народная асвета» 2010
Правообладатель Народная асвета
УДК 51(075.3=161.1) ББК 22.1я721 Л27
Рецензенты:
кафедра геометрии, топологии и методики преподавания математики Белорусского государственного университета (кандидат физико-математических наук, доцент С. Г. Кононов); преподаватель математики высшей категории учреждения образования «Минское суворовское военное училище» И. Г. Арефьева
Латотин, Л. А.
Л27 Математика : учеб. пособие для 8-го кл. общеобразо-
ват. учреждений с рус. яз. обучения / Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский ; пер. с белорус. яз. Д. А. Кар-пикова. — 3-е изд., перераб. — Минск : Нар. асвета, 2010. — 399 с. : ил.
ISBN 978-985-03-1325-6.
УДК 51(075.3=161.1) ББК 22.1я721
ISBN 978-985-03-1325-6
© Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д., 2005
© Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д., 2010, с изменениями © Карпиков Д. А., перевод на русский язык, 2010
© Оформление. УП «Народная асвета», 2010
Правообладатель Народная асвета
Дорогие друзья
За семь лет обучения в школе вы многому научились.
Вы усвоили натуральные, целые, рациональные числа,
т. е. научились записывать и сравнивать их, выполнять над ними действия сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень; научились использовать свойства этих действий для упрощения вычислений при нахождении значений числовых выражений.
Свойства действий составляют основу тождественных преобразований выражений с переменными, из которых вам стали известны целые и дробно-рациональные выражения. При преобразованиях целых выражений используют раскрытие скобок, вынесение общего множителя за скобки и приведение подобных, формулы сокращенного умножения и разложение многочленов на множители. При преобразованиях дробнорациональных выражений используют также правила выполнения действий над рациональными дробями. Преобразования выражений вы использовали при решении уравнений.
Вам стали известны основные геометрические фигуры и некоторые их свойства. Вы научились измерять отрезки и углы, строить отрезок заданной длины и угол с данной градусной мерой; узнали свойства смежных и вертикальных углов, свойства углов треугольника, углов равнобедренного треугольника; научились пользоваться признаками равенства треугольников, знаете некоторые свойства прямоугольного треугольника, признаки и свойства параллельных прямых; познакомились с использованием циркуля и линейки при решении геометрических задач на построение. Как и раньше, вам нужно будет осваивать основные способы доказывания, научиться воспроизводить не только готовые доказательства теорем, помещенные в учебном пособии, но и самим строить несложные доказательства.
Свои знания о числах, выражениях и фигурах вы использовали при решении разнообразных текстовых задач. Решение задачи требовало от вас создания математической модели ситуации, которая описана в условии. В одних случаях вы, используя схему, рисунок, решали задачу арифметически, в других, более сложных случаях, моделировали условие задачи уравнением и решали ее алгебраически.
3
Правообладатель Народная асвета
Числа, выражения с переменными, фигуры являются объектами изучения трех разделов школьной математики — арифметики, алгебры, геометрии. Эти разделы представлены и в математике 8-го класса.
В 8-м классе вы познакомитесь с иррациональными числами, узнаете, что дополнение множества рациональных чисел иррациональными числами дает новое числовое множество — множество действительных чисел, элементы которого координатную прямую заполняют целиком.
Алгебра в 8-м классе представлена изучением нового вида выражений — иррациональных, которые возникают в связи с введением нового действия — извлечения квадратного корня, являющегося одним из обратных действий возведения в квадрат. Извлечение квадратного корня позволяет решать новый класс уравнений — квадратные уравнения. С 8-го класса вы начнете изучать числовые неравенства, научитесь решать линейные неравенства и их системы; сможете научиться решать уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля.
Как и в предшествующих классах, каждый параграф учебного пособия начинается с обсуждения вопроса, обозначенного его названием. Наиболее важное в параграфе выделено специальными шрифтами. Новые понятия выделяются жирным шрифтом. Правила, утверждения выделены жирным курсивом, а понятия и факты, на которые нужно обратить внимание, но необязательные для запоминания, — курсивом.
После объяснительного текста идут контрольные вопросы, помеченные знаком ?. Они предназначены для проверки того, как вы разобрались в содержании объяснительного текста. Если на тот или иной вопрос вы не смогли ответить, нужно вернуться к объяснительному тексту и с его помощью попробовать ответить на этот вопрос снова.
Упражнения, идущие после контрольных вопросов, разделены на три группы. Упражнения в первой группе посвящены тем вопросам, которые обсуждались в объяснительном тексте. Во второй группе после разделительной черты самые разнообразные задания на повторение. Задачи третьей группы, расположенные после разделительных звездочек, потребуют нестандартных рассуждений.
Желаем успехов!
Авторы
Правообладатель Народная асвета
I ^
раздел
Неравенства
1. Числовые неравенства и их свойства
Результат сравнения двух чисел записывают равенством или неравенством.
Пример 1. Сравним числа 5,038 и 5,041. У них равны целые части, равны количества десятых долей, а сотых долей у первого числа — 3, а у другого — 4. Поскольку 3 < 4, то 5,038 < 5,041.
5 2
Пример 2. Сравним числа — и —. Для этого приведем вто-
6 3
рую дробь к знаменателю 6: 2 = 4. Поскольку 5 > 4, то 5 > |.
4 8
Пример 3. Сравним числа — и —. Для этого приведем
7 15
48
первую дробь к числителю 8: у ^ . Поскольку 14 < 15, то
4 > А
7 15.
7
Пример 4. Сравним числа — и 0,175. Преобразуем 0,175
в обыкновенную дробь: 0,175 =
175
1000
40
Полу-
чили, что — = 0,175.
’ 40 ’
Пример 5. Сравним числа -47 и -74. Модуль 47 первого числа меньше модуля 74 второго числа. Поэтому первое число больше второго: -47 >-74.
Для любых двух чисел a и b истинно одно и только одно из утверждений: a < b; a = b; a > b.
Мы знаем, что:
• если a > b, то разность a - b — положительное число, и наоборот, если разность a - b — положительное число, то a > b (рис. 1);
а>Ъ
а-Ь>0
Рис. 1
Правообладатель Народная асвета
7
5
а<Ъ
a-b<0
а
Ъ “ = ^ а - Ь = О
Рис. 2
Рис. 3
• если a < b, то разность a - b — отрицательное число, и наоборот, если разность a - b — отрицательное число, то a < b (рис. 2);
• если a = b, то разность a - b равна нулю, и наоборот, если разность a - b равна нулю, то a = b (рис. 3).
Это позволяет сравнение двух чисел свести к сравнению их разности с нулем.
Определение 1. a < Ь означает a - b < 0;
a = b означает a - b = 0; a > b означает a - b > 0.
При сравнении выражений сравнивают их значения при одинаковых значениях переменных.
Пример 6. Сравним выражения (х + 2)(x + 4) и (х + 3)2. Для этого используем определение 1. Запишем разность данных выражений и преобразуем ее:
(х + 2)(х + 4) - (х + 3)2 = х2 + 4х + 2х + 8 - х2 - 6х - 9 = -1.
Мы видим, что при любом значении переменной х разность выражений (х + 2)(х + 4) и (х + 3)2 имеет значение, равное -1, которое является отрицательным числом. Значит, (х + 2)(х + 4) -- (х + 3)2 < 0, или, с учетом первого утверждения определения 1,
(х + 2)(х + 4) < (х + 3)2.
Отношения меньше и больше связаны друг с другом.
Теорема 1. Если a < b, то b > a (рис. 4), и если a > b, то b < a (рис. 5).
а Ь
а<Ь Ь> а
Рис. 4
а>Ь
Ь<а
Рис. 5
Доказательство. Пусть a < b. Тогда, в соответствии с первым утверждением определения 1, можно записать, что a - b < 0. Это означает, что разность a - b — отрицательное число. Зна-
6
Правообладатель Народная асвета
чит, число -(a - b), противоположное этой разности, является положительным числом: -(a - b) > 0. Учитывая, что -(a - b) = = -a + b = b - a, получаем b - a > 0. А это, в соответствии с третьим утверждением определения 1, позволяет записать: b > a.
Так же доказывается вторая часть теоремы 1.
Теорема 1 позволяет все доказанные свойства отношения больше распространить и на отношение меньше, а все доказанные свойства отношения меньше распространить и на отношение больше.
Теорема 2. Если a > b и b > c, то a > c (рис. 6); если a < b и b < c, то a < c (рис. 7).
b a a>b b>c a>c
Рис. 6
b c
a b и b > c. Тогда, в соответствии с первым утверждением определения 1, получаем a - b > 0 и b - c > 0. Это означает, что числа a - b и b - c оба положительные. Тогда и их сумма является положительным числом, т. е. (a - b) + (b - c) > 0. Раскрыв скобки и приведя подобные, получаем a - c > 0. В соответствии с первым утверждением определения 1 это означает, что a > c.
Для доказательства второго утверждения используем теорему 1.
Пусть a < b и b < c. Тогда b > a и c > b. Поскольку c > b и b > a, то, в соответствии с уже доказанным, c > a. Значит, a < c.
Теорема 2 выражает свойство отношений меньше и больше, которое называют транзитивностью.
Утверждение «Число x не больше числа a» записывают формулой x < a, утверждение «Число у не меньше числа Ь» — формулой у > b, а утверждение «Число z больше m и меньше п» — формулой m < z < n.
Формулы вида a < b и c > d называют неравенствами, формулы вида x < a и у > b — нестрогими неравенствами, а формулы вида m < z < п — двойными неравенствами.
Знак = для обозначения отношения равенства ввел в 1557 г. английский врач и математик, автор первых учебников по арифметике и алгебре на английском языке Роберт Рекорд (1510—1558), знаки < и > для обозначения отношений меньше и больше — в 1631 г. английский
7
Правообладатель Народная асвета
математик Томас Гарриот (1560—1621), а знаки < и > для обозначения нестрогих неравенств — французский физик и математик Пьер Буге (1698—1758).
1. Какими формулами записываются утверждения * ное число» и «а — отрицательное число»?
положитель-
2. Каким может быть результат сравнения двух чисел?
3. Дайте определения отношений а < Ь, а = b, а > Ь.
4. Сформулируйте теорему о связи отношений меньше и больше.
5. Сформулируйте теорему, которая выражает транзитивность отношений меньше и больше.
6. Какие формулы называют неравенствами; нестрогими неравенствами; двойными неравенствами?
7. Как читаются формулы вида а = Ь; а < Ь; а > Ь; x < а; у > Ь;
m < z < n?
1. Прочитайте неравенства:
а) -12 > -20;
б) 12 < 20;
д) Ь > -11;
е) c
<
17.
29;
в) -23 > 0,184;
125 ’ ’
и) 2 < t < 14;
к) -2 < и < 4;
л) -22 < и < -12;
м) -18 < v < 24.
ж) k > -10;
г) а < 19; з) l < 129;
2. Сравните числа m и n, учитывая, что разность m и n равна:
а) 4; б) -15; в) 0; г) -1024; д) 24 147.
3. Известно, что а < Ь. Может ли разность а - Ь быть равной:
а) 14; б) -25_; в) 0; г) 10-100000; д) -10256?
4. Сравните значения выражений (3x + 8)(2x - 5) и x(6x + 1) при:
а) x = 0; б) x = -3; в) x = 10.
Докажите, что при любом значении переменной x значение первого выражения меньше значения второго.
5. Докажите, что при любом значении переменной истинна формула:
а) 4(m - 1) - m < 3(m + 2);
б) 36а2 > (6а + 5)(6а - 5);
в) n(n + 5) > 5(n - 1);
8
г) (4Ь - 5)2 + 16(Ь - 1) = (4Ь - 3)2;
д) 3s(3s + 5) < (3s + 1)(3s + 4);
е) (2c - 3)(3c + 2) < (c - 1)(6c + 1).
Правообладатель Народная асвета
6. При любом ли значении переменной истинно неравенство:
а) - 3)(5t + 3) < 25t(t + 0,4);
б) 49s2 + 4 > (7s + 2)(7s - 2);
в) 8r(r - 5) < (4r - 5)2;
г) 64 - 3q(3q + 1) < (8 - 3q)(8 + 3q);
д) (7 - 4^)2 > 49 - 16p(3 + p);
е) n2(n + 1) + 1 > (1 + n)(1 - n + n2)?
7. Докажите, что:
а) сумма любого положительного числа и обратного ему числа не меньше 2;
б) если первое положительное число больше второго, то и квадрат первого числа больше квадрата второго числа;
в) если первое положительное число больше второго, то и куб первого числа больше куба второго;
г) если модуль одного числа больше модуля второго, то и квадрат первого числа больше квадрата второго числа;
д) если первое число больше второго, то и куб первого числа больше куба второго числа.
8. Выделите условие и заключение в каждом из утверждений упражнения 7. Для каждого из утверждений упражнения 7 сформулируйте утверждение, в котором условие и заключение поменялись местами, и определите, истинно ли полученное утверждение.
9. Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство:
д) f2 + 50 > 14/ ;
а) b2 - 8b + 20 > 0;
б) с2 + 6с + 10 > 0;
в) 4d2 - 4d + 1,5 > 0;
г) 0 < 4с2 - 20с + 25;
е) g < g2 + -4;
ж) -1 < 4h2 + 2h;
з) -3 < 9m2 + 4m.
10. Сравните значения выражений m3 + n3 и mn(m + n), учитывая, что m и n — различные положительные числа.
11. Покажите на координатной прямой взаимное расположение чисел а, b, с, d, е, учитывая, что истинны следующие неравенства:
а > b, с < b, с > d, а < е.
9
Правообладатель Народная асвета
12. Докажите, что:
а) если a - 1 < b и b < 0, то a - 1 — отрицательное число;
б) если с3 + 9 > d и d > -3, то с3 + 9 > -3;
в) если m + 3 < n и n < 4, то m + 3 < 5;
г) если X2 - 8 > x и x > 3, то х2 - 8 > 3.
13. Используя рисунок 8, сравните, если возможно, числа:
а) a и b; г) a - 4 и b + 3; ж) a + 1 и b - 2;
б) a и b + 1; д) a + 2 и b + 3; з) a + 2 и b;
в) a - 2 и b; е) a - 2 и b - 8; и) a и b - 11.
Рис. 8 а Ь
14. Известно, что a < 0. Верно ли, что:
а) X + a > х; в) х + a3 > х; д) х + a3 < х;
б) х + a2 > х; г) х + a2 < х; е) х + a < х?
15. При каких значениях переменной истинно неравенство:
а) a + 1 > a; в) b > -b; д) с2 > 0; ж) d3 > 0;
б) х - 3 < х; г) -у > у; е) г® < 0; з) t2 < 0?
16. Докажите, что при любых значениях переменных истинно неравенство:
а) (е + 3)2 > -1; г) с(с + 1) > с - 1;
б) (m + n)4 > -2; д) k(k + l) > kl - 2;
в) х2 - 4х + 1 > х(х - 4); е) (h + 5)(h + 8) > (h + 3)(h + 10).
17. Докажите, что если х, у, г — положительные числа и х > у, то:
а) х+£ < х; у + z у
б) > у.
х + z х
18. Внутри отрезка MN длиной 6 см выбрана точка X. Найдите длины отрезков MX и NX, учитывая что:
а) XM - XN = 2 см; в) 2XM + 3XN = 13 см;
б) XM = 2XN; г) 5XM = 7XN.
19. На прямой a выбраны точки M, N, X, при этом отрезок MN имеет длину 6 см. Найдите длины отрезков MX и NX, учитывая что:
а) XM - XN = 2 см; в) 2XM + 3XN = 13 см;
б) XM = 2XN; г) 5XM = 7XN.
10
Правообладатель Народная асвета
20. Даны два отрезка с длинами 2,2 см и 3,8 см (рис. 9). Как с их помощью построить отрезок длиной:
D
Рис. 9
а) 6 см;
б) 1,2 см;
в) 0,6 см;
г) 1 см;
д) 2 см;
е) 0,4 см?
21. Придумайте способ измерения линейкой с делениями длины диагонали кирпича (рис. 10), если есть:
а) три кирпича;
б) только один кирпич.
22. Придумайте способ измерения линейкой с делениями отрезка, который соединяет две отмеченные точки на противоположных гранях кирпича (рис. 11), если есть:
а) достаточное количество кирпичей;
б) только один кирпич.
23. Грани AOB, AOC, BOC треугольной пирамиды AOBC (рис. 12) — равнобедренные прямоугольные треугольники с общей вершиной O.
Найдите углы грани:
а) BOC; б) ABC.
24. Соловей обыкновенный, варакушка, зорянка — птицы семейства дроздовых, которые гнездятся на территории нашей страны. Длина тела зорянки является средним
арифметическим длин тел соловья и варакушки, а вместе с длиной тела соловья составляет 33 см. Найдите длины тел этих птиц, учитывая, что длина тела соловья на 2 см больше длины тела варакушки.
25. Масса зорянки в полтора раза меньше массы соловья и на 3 г больше массы варакушки. Найдите массы этих птиц, учитывая, что среднее арифметическое масс соловья и зорян-ки на 8 г больше массы варакушки.
11
Правообладатель Народная асвета
26. Могло ли так случиться, что, пройдя 100 км на север, затем 100 км на запад и 100 км на юг, путешественник оказался на месте своего старта?
27. Определите, при каком наименьшем количестве слагаемых истинно равенство СТУК + СТУК + ... + СТУК = = ААА ААА. Расшифруйте этот арифметический ребус, в котором одинаковыми буквами заменены одинаковые цифры, а разными буквами — разные цифры.
28. В квадрате ABCD выбрали точку F так, что Z FAB = Z FBA = 15°. Докажите, что треугольник CDF равносторонний.
2. Действия над числовыми неравенствами
Отношения больше и меньше между числами связаны с арифметическими действиями. Так, из истинного неравенства 5 < 9 получаются истинные неравенства 5 + 1 < 9 + 1 (рис. 13) и 5 - 2 < 9 - 2 (рис. 14).
-Н1
+1
Рис. 13
5+1
9 9-Ы
-2
-2
Рис. 14
5-2
9-2
9
Теорема 3. Если к обеим частям истинного неравенства прибавить или из обеих частей истинного неравенства вычесть одно и то же число, то получится также истинное неравенство:
если a < b, c и d — произвольные числа, то a + c < b + c и a - d < b - d;
если a > b, c и d — произвольные числа, то a + c > b + c и a - d > b - d.
Доказательство. Пусть a < b. Тогда, в соответствии с первым утверждением определения 1, истинно утверждение a - b < 0, т. е. a - b — отрицательное число. Поскольку a - b = (a + с) - (b + с), то число (а + с) - (b + с) также отрицательное. Это означает, что неравенство a + с < b + с истинное.
Мы доказали, таким образом, что если a < b, то a + с < b + с.
12
Правообладатель Народная асвета
•к •к •к
Если в качестве числа c взять число -d, то получится, что и неравенство a - d < b - d также истинное.
Следствие 1. Если в истинном числовом неравенстве из одной его части в другую перенести слагаемое с противоположным знаком, то получится также истинное неравенство.
Действительно, если a + c < b, то, вычитая из обеих частей неравенства число с, получим a < b - c.
Теорема 4. Если обе части истинного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится также истинное неравенство:
если a < Ъ, c и d — положительные числа, то ac < bc и a b;
d d
если a > b, c и d — положительные числа, то ac > bc и a Ъ.
Доказательство. Пусть a < b и c — произвольное положительное число. Тогда, в соответствии с первым утверждением определения 1, истинно утверждение a - b < 0, т. е. a - b — отрицательное число. Поскольку ac - bc = (a - b)c, то число ac - bc как произведение отрицательного и положительного чисел также отрицательно. Это означает, что неравенство ac < bc истинно.
Если в качестве числа c взять число 1, обратное положительному числу d, то получится, что если неравенство
a - b < 0 истинно, то и неравенство a • — < b •1, т. е. неравен-b d d
ство a < —, также истинно.
d d’
Если обе части истинного неравенства, например 5 < 9, умножить на отрицательное число, например на -2, то получатся числа, связанные неравенством противоположного смысла: -10 > -18.
Теорема 5. Если обе части истинного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и знак неравенства заменить знаком противоположного смысла (знак < знаком >, а знак > знаком <), то получится также истинное неравенство:
если a < Ъ, c и d — отрицательные числа, то ac > bc и a Ъ;
dd
если a > b, c и d — отрицательные числа, то ac < bc и a b.
dd
Доказательство. Пусть a < b и c — произвольное отрицательное число. Тогда, в соответствии с первым утверждением определения 1, истинно утверждение a - b < 0, т. е. a - b —
13
Правообладатель Народная асвета
отрицательное число. Поскольку ac - bc = (a - b)c, то число ac - bc положительно как произведение двух отрицательных чисел. Это означает, что неравенство ac > bc истинно.
Если в качестве числа c взять число -I, обратное отрицательному числу d, то получится, что если неравенство
a - b < 0 истинно, то истинно и неравенство a > —.
d d
Следствие 2. Если a и b — числа одного знака и а< b,
то — > ^, а если а > b, то — < ^.
а b ’ а b
Действительно, если a < b и числа a и b имеют одинаковые знаки, то ab — положительное число. Разделив обе части неравенства a < b на это положительное число, получим a < —,
ab ab
или 1 < —. Учитывая теорему 1, окончательно имеем: 1 > ^.
b ^ ^ ^ ’ a b
Теорема 6. Если сложить покомпонентно истинные неравенства одного смысла, то получим истинное неравенство того же смысла:
если а < b и c < d, то а + c < b + d;
если а > b и c > d, то а + c > b + d.
Доказательство. Пусть a < b и c < d. Учитывая теорему 3, прибавим к левой и правой частям неравенства a < b число c, а к левой и правой частям неравенства c < d число b: a + c < b + c и b + c < b + d.
Применим теперь к полученным неравенствам свойство транзитивности (теорему 2) и получим: a + c < b + d.
Второе утверждение этой теоремы докажите самостоятельно. Теорема 7. Если покомпонентно перемножить истинные неравенства одного смысла, левые и правые части которых — положительные числа, то получится истинное неравенство:
если а, b, c и d — положительные числа и а < b, c < d, то ac < bd, а если а > b, c > d, то ac > bd.
Доказательство. Пусть a, b, c и d — положительные числа и a < b, c < d. Умножив обе части неравенства a < b на положительное число c, а обе части неравенства c < d на положительное число b, в соответствии с теоремой 4, получим:
ac < bc, bc < bd.
Применив к полученным неравенствам транзитивность отношения меньше (теорему 2), получим: ac < bd.
14
Правообладатель Народная асвета
Второе утверждение этой теоремы докажите самостоятельно. Покомпонентное умножение истинных неравенств одного смысла, среди компонентов которых есть числа разных знаков, может дать в результате и ложное неравенство. Например, неравенства -5 < -1 и -2 < 3 — истинные, а результат их перемножения — неравенство 10 < -3 ложно.
Следствие 3. Пусть a и b — положительные числа, n — натуральное число, тогда если a < b, то an < bn, а если a > b, то an > bn.
Доказательство. Пусть a и b — положительные числа и a < b. Запишем n таких неравенств и затем, в соответствии с теоремой 7, перемножим их. Получим:
а-а* ...'а < b-b- ...• b , или an < bn.
n множителей n множителей
Вторую часть теоремы докажите самостоятельно.
fy 1. Сформулируйте утверждение о прибавлении числа к левой и правой * частям неравенства.
2. Сформулируйте утверждение о вычитании числа из левой и правой частей неравенства.
3. Сформулируйте утверждение о перенесении слагаемого из одной части неравенства в другую.
4. Сформулируйте утверждение об умножении на число обеих частей неравенства.
5. Сформулируйте утверждение о делении на число обеих частей неравенства.
6. Сформулируйте утверждение о связи отношения между данными числами с отношением между обратными им числами.
7. Сформулируйте утверждение о покомпонентном сложении неравенств.
8. Сформулируйте утверждение о покомпонентном умножении неравенств.
9. Сформулируйте утверждение о возведении в степень компонентов неравенства.
29. Определите, если возможно, какими — положительными или отрицательными — являются числа p и q, если истинны неравенства:
д) 2р < 2q и q < -0,0004;
а) р - 4 > q - 4 и q > 2;
б) р + 3 > q + 3 и р < - -1;
в) р + 3 > q + 3 и р < ^;
г) 4р < 4q и р > 12-;
е) -3р < -3q и q < - 1I3;
ж) -р > -q и q < 12;
з) -2р > -2q и р > 12.
15
Правообладатель Народная асвета
30. Запишите истинное неравенство, которое получится, если к левой и правой частям неравенства 10 > -4 прибавить число:
а) 6; б) -12; в) 7,3; г) -10; д) 4; е) -1,04.
31. Запишите истинное неравенство, которое получится, если левую и правую части неравенства -9 < 2 умножить на число:
а) 2; б) -6;
в)
’ 18’
г) -1,01;
д) -19;
е) ^4.
32. Запишите истинное неравенство, которое получится, если левую и правую части неравенства 6 > -12 разделить на число:
а) 3; б) -12; в) -г) 2,4; д) -Ц; е) 0,5.
33. Учитывая, что неравенство c < d истинно, сравните
значения выражений:
а) 4,2c и 4,2d; д) и ; и) - — и -—;
б) -15c и -15d; е) и ^; ^ -12 -12’ к) 6c + 5 и 6d + 5;
в) c + 9 и 9 + d, ж) -c и -d; л) 9 - 8c и 9 - 8d;
г) d - 1 и c - 1; з) 11 - c и 11 - d; м) 2 - 0,7d и 2 - 0,7c.
34. Учитывая, что неравенство т > n истинно, объясните,
почему истинно неравенство
т ^ n
а) т > n;
'^3 3
б) -4т < -4n;
в) 3т + 2 > 3n + 2;
г) 1 т - 3 > 1 n - 3;
-^3 3 ’
д) 5 - т < 5 - n;
е) 3 — т < 3 — n
) 7 Т У у.
35. Учитывая, что неравенство k < l истинно, сравните значения выражений:
а) 1 и -т;
б) ^2 и 2 •
в) - ^ и - -т;
Ч 2 2
^ k l
36. Запишите неравенство, которое получится, если к левой и правой частям неравенства 3а + 5b > 2а - b прибавить число:
а) b; в) -5b; д) 3а; ж) -b;
б) а; г) 5b; е) -3а; з) -2а.
16
Правообладатель Народная асвета
37. Докажите, что:
а) если 2х - 4у > x - 3y, то x > y;
б) если 3а - 5b > 4a - 6b, то a < b;
в) если m(3n + 4) > n(3m + 4), то m > n;
г) если s(3r + 2) < r(3s + 2), то r > s.
38. Докажите, что:
а) если а < 0 и а Ф -1, то а + — < -2;
а
б) если аЬ > 0 и а Ф b, то а b > 2;
b а
в) если а > 0 и а Ф —, то 4а + — > 4.
^ 2' а
39. Истинно ли утверждение:
а) если а < b, то < 1;
б) если а > 1, то а > b;
в) если а < 1, то — > 1;
b а
г) если а2 < 1, то а < 1?
40. Сложите покомпонентно неравенства:
а) 4 < 6 и 1 < 4;
б) -3 < -2,3 и -4 < -1;
в) -3 < 3 и -4 < 0;
г) -12 < -11 и 7 < 10;
д) -3 > -4 и -1 > -3;
е) 3,4 > 1,2 и 1,2 > 0,5;
ж) 7 > -11 и 111 > 11; ^ 3 3 6
з) 1 > 1 и -1 > -2.
'^2 3 3 5
41. Определите, всегда ли получается истинное неравенство при покомпонентном перемножении истинных неравенств:
д) -6 > -9 и -12 > -20;
е) 1,5 > 1,1 и 3,2 > 0,5;
а) 2 < 5 и 2 < 3;
б) -9 < -3 и -7 < -1;
в) -7 < 7 и -6 < 0;
г) -14 < -1 и 10 < 71;
ж) 3 > -2i3 и 1,1 >
з) 2 > 2 и - 3 > -I.
-^3 7 4 8
42. Учитывая, что m и n — положительные числа, определите, истинно ли утверждение:
а) если m > n, то m2 > n2; в) если m2 > n2, то m > n;
б) если m > n, то m3 > n3; г) если m3 > n3, то m > n.
17
Правообладатель Народная асвета
43. Учитывая, что тип — произвольные числа, определите, истинно ли утверждение:
в) если т2 > п2, то т > п;
г) если т3 > п3, то т > п.
а) если т > п, то т2 > п2;
б) если т > п, то т3 > п3;
44. Верно ли, что:
а) если a > 5 и b > 6, то a + b > 11;
б) если a > 5 и b > 6, то ab > 30;
в) если a > 5 и b > -6, то ab > -30;
г) если a < 5 и b < -5, то a + b < 0?
45. Павел купил 4 карандаша и 7 тетрадей. Цена карандаша меньше 60 р., а тетради меньше 100 р. Докажите, что стоимость покупки меньше 1000 р.
46. Стороны треугольника меньше: одна — 43 мм, вторая — 5 см 7 мм, третья— 78 мм. Докажите, что периметр треугольника меньше 17 см 8 мм.
47. Докажите, что если х и у — положительные числа, x < 3 и у < 5, то:
а) 2х + 3у < 21; д) ху - 10 < 5; и) х3 + у3 < 152;
б) 3х + 2у < 19; е) х2 + у2 < 34; к) (х + у)3 < 512.
в) ху < 15; ж) х2 + у2 + 6 < 40;
г) 4ху < 60; з) (х + у)2 < 64;
48. Докажите, что если a > 2 и b < 3, то:
а) a + 3 > b + 2; в) b + 8 < a + 9;
б) a > b - 1; г) 2b < 3a; е) b < 1,5a.
49. Докажите, что если k, l и т — положительные числа и k < 2, l < 3, а т < 4, то:
д) a > -|b;
а) k + l + т < 9;
б) klrn < 24;
в) 2krn + 3lrn < 52;
г) kl + krn + lrn < 26;
д) 2k + 3krn + klrn < 52;
е) k4 + l3 + т2 < 59.
50. Докажите, что сумма расстояний х, у, z от произвольной внутренней точки M треугольника ABC до его вершин A, B, C (рис. 15) больше полупериметра этого треугольника.
18
Правообладатель Народная асвета
51. Длины катетов a и b прямо-
угольного треугольника (рис. 16) связаны с длиной c гипотенузы равенством а2 + b2 = c2 (теоре-
ма Пифагора). Используя это, докажите, что катет прямоугольного треугольника короче гипотенузы.
52. Докажите, что сумма высот треугольника (рис. 17) меньше его периметра.
53. Боковая сторона равнобедренного треугольника больше основания в два раза. Докажите, что периметр треугольника меньше 25 см, учитывая, что основание меньше 5 см.
54. Длина прямоугольного участка в два раза больше ширины, а ширина больше 20 м. Докажите, что площадь участка больше 8 а.
•А
Рис. 17
55. Докажите, что если x > 1, то:
а) X2 > х; б) X3 > x2; в) х5 > x3.
56. Докажите, что если а — положительное число, меньшее 1, то:
а) а2 < а; б) а3 < а2; в) а5 < а3.
57. Докажите, что если 0 < p < 1, 0 < q < 2, 0 < r < 3, то:
а) prq < 6; д) pq + pr + qr < 11;
б) prq < 10; е) p2 + q2 + r2 < 14;
в) p + q + r < 6; ж) p + pq + pqr < 9;
г) p + q + r < 10; з) p + 2pq + 3pqr < 25.
58. Докажите, что при любых значениях переменных х и у истинно неравенство:
а) |х + у < |х| + у |;
б) |х + у > х| - у |;
в) х1 - У1 < |х - у < х| + у |.
19
Правообладатель Народная асвета
59. Докажите, что если а, b и c — длины сторон треугольника, то а2 + b2 + c2 < 2ab + 2ac + 2bc.
\ ^ 4
г) a = a .
60. Докажите, что:
а) a3 = a ; б) a h = a2; в) a51
61. Докажите, что:
а) a2 + b2 > 2ab; в) a2 + b2 ^ / 2 ^ 1 a + b j2.
б) fa + \ 2 b^ > ab; г) a ^1 a2 + 1 ^ 2 .
62. Докажите, что:
а) 21 если p Ф 0, то p +—2 > 2;
б) если p Ф 0, то 9p2 + ^ 3;
4 p2
в) если a > 0 и b > 0, то ab > / ^^
+
a b
г) если a > 0 и b > 0, то
a + b
>
1 + !■
a b
63. Докажите, что при любых значениях переменных истинно неравенство:
а) a2 + b2 + c2 > ab + ac + bc;
, 1 , 1 ^ 1 , 1 , 1.
б) ~Z + ~Z + ~Z ^ + + ;
X2 y2 z2 xy yz zx
в) x2y2 + y2z2 + z2x2 > xyz(x + y + z);
г)
a + b + c 3
>
ab + bc + ca
3
64. Докажите, что при положительных значениях переменных истинно неравенство:
а) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc;
б) x(y2 + 1) + y(x2 + 1) + X2 + y2 > 6xy;
, a + b
в) ,
■ c + a , > 6;
b
— + — + 1 ]> 9.
'X y z
20
Правообладатель Народная асвета
65. Докажите, что:
а) если a + b > 1, то a2 + b2 > -1;
б) если c + d > 1, то c4 + d4 > ^;
8
в) если 2a + 3b > 1, то — a2 + — b2 > —;
^ ’ 9 4 72 ’
г) если e + f > 1, то e8 + f 8 > .
132
66. Докажите, что при положительных значениях переменных истинно неравенство:
в) ^ ^ ^ q
а) a3 + b3 > a2b + ab2; в) ------ ^---- , ---;
p + q + 1 p + 1 q + 1
б) (r + s)(r 1 + s 4) > 4; г) c 1 + d 1 < cd 2 + c 2d.
67. Докажите, что:
а) если 1 < g < h, то g(1 - g + h) > h;
б) если x + 2y = 1, то x2 + y2 > 1;
в) если 2i + 4j = 1, то i2 + j2 > -^;
г) если a > 0, b > 0, c > a + b, d > a + b, то cd > ad + bc.
68. Докажите, что при любых значениях переменных истинно неравенство:
а) a2 + 2ab + 2b2 + 8b + 17 > 0;
б) m2 + n2 - 2mn - 2m + 2n + 1 > 0;
в) k2 + 5l2 - 2kl - 4k + 8l + 5 > 0.
69. Докажите, что при любых значениях переменных истинно неравенство:
а) (a2 + b2)(c2 + d2) > (ac + bd)2;
б) (m2 + n2)(m2n2 + 1) > 4m2n2;
в) ^2 + q2)(p2 + r 2)(q2 + r 2) > 8p2q2r 2;
г) u4 + v4 + w4 > uvw(u + v + w);
д) (k2 + 1)(l2 + 1)(k2 + m2)(l2 + m2) > 16k2l2m2.
70. Докажите, что:
а) если 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1, то xy + xz + yz > xyz;
б) если p2 + q2 + r 2 = 1, то (1 - p2)(1 - q2)(1 - r 2) > 8p2q2r 2.
71. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 9 м. Докажите, что его периметр больше 18 м, но меньше 36 м.
21
Правообладатель Народная асвета
72. Одна сторона треугольника равна 6 см, другая в два раза больше первой, а третья составляет не менее 125 % второй. Докажите, что периметр треугольника не меньше 33 см, но меньше 36 см.
73. Угол M треугольника MNO равен 40°. Угол N составляет не больше 120 % угла M. Запишите двойным неравенством возможные значения:
а) угла N;
б) угла O.
М
20 м
Рис. 18
Рис. 19
74. Основание треугольника равно 20 м (рис. 18). Запишите неравенством, какой может быть площадь треугольника, если высота треугольника:
а) не меньше 12 м;
б) больше 12 м;
в) меньше 3 м;
г) меньше 14 м, но не меньше 10 м;
д) больше 10 м, но не больше 14 м;
е) больше 5 м и меньше 13 м.
75. Докажите, что если Q — точка в треугольнике ABC (рис. 19), то
AQ + QC < AB + BC.
76. Докажите, что разность x - у может быть:
а) больше суммы x + у; г) больше у;
б) меньше суммы x + у; д) больше x;
в) равна сумме x + у; е) равна у.
77. Назовите наибольшее целое значение k, удовлетворяющее неравенству:
а) k < -3;
б) k < -3;
22
в) k < 6;
г) k < 6;
д) k < -0,6;
е) k < -0,6;
ж) k <
^ 101’
з) k < -^.
101
Правообладатель Народная асвета
78. Назовите наименьшее целое значение l, удовлетворяющее неравенству:
а) l > -1; в) l > 3; д) l > -0,13; ж) l >
б) l > -1; г) l > 3; е) l > -0,13; з) l >
1
1001
1
1001
79. Запишите формулой утверждение:
а) сегодня в Бресте 11 °C, а в Минске температура (t °C) не выше;
б) быстрое таяние снега вызвало подъем (h м) воды в реке не меньше чем на 4,5 м;
в) температура (t °C) воды при нормальном давлении не меньше 0 °С и не больше 100 °C;
г) скорость (и км/ч) движения на данном участке дороги не должна превышать 70 км/ч.
80. Найдите значение выражения ном:
X2 - 5,2x + 1 x + 3
при X, рав-
а) -5; б) -3;
81. Сократите дробь
в) -^1; г) ^5; д) 3; е) 5.
а)
б)
а2 - 6 a + 8 ; 8 а - 2 а2 ’ 3b + 15 25 + 10b + b2
в)
г)
18m2 - 24m + 8 _ (2 - 3m)2 ’
6 p2 - 2 pq 9 p2 - 6 pq + q2 '
а)
82. Решите уравнение:
c - 4 2c + 1 9c + 7
3d - 2 2d - 3 5d - 4
б) —=— +
5 2 ^ ’ ' 5 6 30
83. На прямой отмечены четыре точки P, Q, R, S. Найдите возможные значения длины отрезка PS, учитывая, что:
а) PQ = 10 см; QR = 13 см; RS = 17 см;
б) QR = 7 дм; RS = 13 дм; PQ = 10 дм;
в) PQ = 1,3 м; RQ = 2,5 м; SR = 3,6 м.
84. На отрезке CD длиной 18 см выбраны точки K и L так, что CK ■ KL '■ LD = 2 : 3 : 4. Найдите длины отрезков CK, KL, LD.
23
Правообладатель Народная асвета
85. Найдите точку P-^, в которую перейдет точка P(x) координатной прямой при симметрии относительно некоторой ее точки, учитывая, что точка M(a) при этой симметрии переходит в точку M1(b) и:
а) x = 0; a = 1; b = 3; в) x = -7; a = -9; b = 7;
б) x = 11; a = -1; b = 1; г) x = -1,6; a = -10; b = -4.
86. Внутри отрезка MN длиной 105 мм выбрана точка X. Найдите длины отрезков MX и NX, учитывая, что:
а) MX : NX = 4 : 3; б) NX : MX = 2 : 3; в) 3MX = 2NX;
г) площадь квадрата, построенного на отрезке MX, на 525 мм2
больше площади квадрата, построенного на отрезке NX.
87. На рисунке 20 показана развертка поверхности цилиндра. Боковая поверхность цилиндра равна 54 см2, а высота прямоугольника развертки боковой поверхности в полтора раза меньше другого его измерения. С точностью до квадратного сантиметра найдите полную поверхность цилиндра.
88. Когда развернули на плоскость пятиугольную пирамиду, то получилась пятиконечная звезда (рис. 21). Основанием пирамиды является пятиугольник ABCDE с равными сторонами и углами, а боковые ребра — равнобедренные треугольники. Найдите углы боковой грани пирамиды, учитывая, что сумма углов пятиугольника равна 540°.
89. Жерлянка краснобрюхая, квакша обыкновенная, чесночница — земноводные, живущие на территории нашей страны. Длина тела жерлянки относится к длине тела квакши как 2 : 15, а
Рис. 20
Правообладатель Народная асвета
к длине тела чесночницы как 3 : 4. Найдите длины тел этих животных, учитывая, что квакша длиннее чесночницы на 35 см.
90. Количество икринок, которые откладывает квакша обыкновенная, таково, что оно на 0,1 тыс. больше утроенного количества икринок, которые откладывает жерлянка краснобрюхая, и в 2,6 раза меньше количества икринок, которые откладывает чесночница. Найдите эти количества икринок, учитывая, что количество икринок, которые откладывает чесночница, на 2 тыс. больше удвоенного количества икринок, которые откладывает жерлянка.
91. Через 2 ч после отправления из Кличева Антону оставалось проехать до Березино 16 км. Если бы он ехал со скоростью на 2 км / ч меньшей, то через 3 ч он не доехал бы до Березино 4 км. Найдите скорость, с которой ехал Антон, и путь от Кличева до Березино.
92. Средняя урожайность гречихи на двух полях, первое из которых на 12 га больше, составила 21 ц/га. Найдите, сколько гречихи собрали со второго поля, учитывая, что урожайность на нем была 25 ц/га, а урожай на первом поле оказался на 300 ц меньше, чем на втором.
93. Дунай, Днестр, Днепр, Кызыл-Ирмак — наиболее длинные реки, впадающие в Черное море. Семьдесят первая доля длины Днепра совпадает с девяносто второй долей увеличенной на 2 км длины Дуная, с сорок третьей долей уменьшенной на 19 км длины Днестра и с тридцать седьмой долей уменьшенной на 4 км длины Кызыл-Ирмака. Найдите длины этих рек, учитывая, что самая длинная из них отличается от самой короткой на 1699 км.
94. Днестр, Днепр, Южный Буг — реки, впадающие в Черное море. На схеме, приведенной на рисунке 22, показаны соотношения между их длинами. Составьте задачу и решите ее.
26 71
1 1 , Днепр 1 !
Южный Буг 1 — 1 1 1 —1 Й1 52 1 1 1 1 1 1 1
, Днестр \ 849 км 1 1 1
Рис. 22 25
Правообладатель Народная асвета
* * *
95. На плоскости отмечено 4 точки. Докажите, что из них можно выбрать три такие точки, которые не являются вершинами остроугольного треугольника.
96. Сумма двух чисел равна 330, а меньшее из них получается из большего вычеркиванием нуля. Найдите эти числа.
97. (Из коллекции профессора Брайена.) По пятницам профессор Брайен в своем клубе предлагает сыграть с ним на 10 фунтов. Для этого нужно открыть одну карточку. Если, например, мистер Смит открыл карточку, на которой написано «Получите», то он получает от профессора Брайена 10 фунтов. А если будет открыта надпись «Заплатите», то мистер Смит должен уплатить профессору Брайену 10 фунтов.
— А может ли так случиться, что на всех карточках написано «Заплатите»?
— Игра есть игра, такое не исключается. Но в игре может случиться и так, что везде написано «Получите».
— Так что это за игра, если от игрока ничего не зависит?
— Не будьте фаталистами. Вы в своем выборе не целиком зависите от удачи, поскольку на повернутых к вам сторонах карточек будет что-то написано.
— Это уже интересней. Но в какой мере можно верить надписям?
— Сегодня надпись на одной карточке истинная, а на другой ложная, — и профессор положил на стол две карточки, показанные на рисунке 23.
Какую карточку нужно перевернуть, чтобы выиграть 10 фунтов?
На этой карточке написано «Получите», а на соседней — «Заплатите»
На одной из этих карпючек написано «Получите», кроме того, на одной из этих карточек написано «Заплатите»
26
Рис. 23
Правообладатель Народная асвета
с
Рис. 24
-3
Рис. 25
3. Числовые промежутки
Неравенство с переменной выделяет из множества всех чисел определенную его часть.
Рассмотрим двойное неравенство -3 < c < 4. Отметим на координатной прямой точки A и B с координатами -3 и 4 (рис. 24). Точка X, координата которой удовлетворяет неравенству -3 < c < 4, лежит между точками A(-3) и B(4), и наоборот, если точка X лежит ^ X В
между точками A(-3) и B(4), то ее координата c удовлетворяет неравенству -3 < c < 4.
Множество чисел, удовлетворяющих условию -3 < c < 4, называют числовым промежутком или просто промежутком и обозначают (-3; 4). Запись (-3; 4) читают: «Промежуток от минус трех до четырех». Промежуток (-3; 4) изображен на рисунке 25. Изображение чисел -3 и 4 незакрашенными кружками подчеркивает то обстоятельство, что эти числа не принадлежат промежутку (-3; 4).
Число c, удовлетворяющее двойному неравенству -3 < c < 4, изображается точкой X, лежащей между точками A(-3) и B(4), или точкой, совпадающей с точкой A. Множество таких чисел обозначают [-3; 4). Запись [-3; 4) читают:
«Промежуток от минус трех до четырех с числом минус три включительно». Этот промежуток показан на рисунке 26. Изображение числа -3 закрашенным кружком подчеркивает то, что число -3 принадлежит промежутку [-3; 4).
Промежуток (-3; 4] показан на рисунке 27. Каждое число этого промежутка удовлетворяет неравенству -3 < c < 4. Запись (-3; 4] читают: «Промежуток от минус трех до четырех с числом четыре включительно».
Число c, удовлетворяющее двойному неравенству -3 < c < 4,
изображается точкой X, лежащей между точками A(-3) и B(4), или точкой, совпадающей с точкой A или с точкой B.
-3
Рис. 26
Рис. 27
27
Правообладатель Народная асвета
Рис. 29
Рис. 30
Рис. 31
Множество таких чисел изобра--3 4 ^ жают так, как на рисунке 28, и
рис. 28 обозначают [-3; 4]. Запись [-3; 4]
читают: «Промежуток от минус трех до четырех с числами минус три и четыре включительно». Изображение чисел -3 и 4 закрашенными кружками подчеркивает то, что эти числа принадлежат промежутку [-3; 4].
Строгому неравенству c > 4
_____В_________X_______^ удовлетворяют все числа, ко-
4 с с торые на координатной прямой
изображаются точками X, расположенными правее точки Б(4) (рис. 29). Множество таких чисел называют промежутком от 4 до плюс бесконечности и обозначают (4; +^). Промежуток (4; +^) показан на рисунке 30.
Нестрогому неравенству c > 4 удовлетворяют все числа, которые на координатной прямой изображаются точками X, расположенными правее точки Б(4) или самой точкой B. Множество таких чисел обозначают [4; +^) и изображают так, как на рисунке 31. Запись [4; +^) читают: «Промежуток от четырех до плюс бесконечности с числом четыре включительно».
Множества чисел, которые удовлетворяют неравенствам c < -3 и c < -3, изображены соответственно на рисунках 32 и 33. Эти множества являются промежутками, которые обозначают (-ТО; -3) и (-То; -3] соответственно. Запись (-^; -3) читают: «Промежуток от минус бесконечности до минус трех», а запись (-^; -3] — «Промежуток от минус бесконечности до минус трех с числом минус три включительно ».
Для двойных и нестрогих неравенств остаются в силе все теоремы, доказанные для строгих неравенств, при этом знаки < и > считаются знаками противоположного смысла.
Действия над неравенствами позволяют оценить сумму, разность, произведение, частное. Пусть 15 < a < 16 и 4 < b < 5.
28
-3 Рис. 32
Рис. 33
Правообладатель Народная асвета
Оценим сумму a + b. Двойное неравенство 15 < a < 16 означает, что 15 < a и a < 16, а неравенство 4 < b < 5 — что 4 < b и b < 5. Применим теорему 6 к неравенствам 3 < a и 15 < b, а затем к неравенствам a < 4 и b < 16:
15 < a и a < 16 4 < b и b < 5
19 < a + b и a + b < 21.
Результат можно записать двойным неравенством:
19 < a + b < 21.
Записи обычно ведут сразу через двойные неравенства:
15 < a < 16 4 < b < 5
19 < a + b < 21.
Оценим разность a - b. Используем то, что a - b = a + (-b). Оценим сначала выражение -b. Для этого к неравенству 4 < b < 5 применим теорему 5. Получим -4 > -b > -5, или -5 < -b < -4. Теперь к неравенствам 15 < a < 16 и -5 < -b < -4 применим теорему 6 о покомпонентном сложении неравенств:
15 < a < 16
-5 < -b < -4
10 < a - b < 12.
Оценим произведение ab. Поскольку число a больше положительного числа 15, а число b больше положительного числа 4, то числа a и b оба положительны. Поэтому к данным неравенствам можно применить теорему 6 о покомпонентном умножении:
15 < a < 16 4 < b < 5
60 < ab < 80.
Оценим частное a. Используем то, что a = a • 1. Сначала оценим выражение ■1. Применив к неравенству 4 < b < 5
следствие из теоремы 5, получим: 1 > 1 > ^, или 1 < 1 < ^.
4 b 5 5 b 4
29
Правообладатель Народная асвета
Теперь к неравенствам 15 < a < 16 и 1 1 1 применим те-
орему 7 о покомпонентном умножении:
15 < a < 16 1 < 1 < 1
3 < a < 4.
b
1. Представьте на координатной прямой каждый из промежутков: • a < x < b, a < x < b, a < x < b, a < x < b, x < a, x < a, x > a, x > a. Сделайте соответствующую запись и прочитайте ее.
2. Что означает закрашенный кружок при представлении на координатной прямой определенного промежутка?
3. Что означает незакрашенный кружок при представлении на координатной прямой определенного промежутка?
98. Определите, принадлежит ли промежутку:
а) (-1; 5) число 10, число 1, число 5;
б) (-1; 5] число -10, число 1, число 5;
в) [-1; 5) число -6, число -1, число 5;
г) [-1; 5] число -1, число 0, число 5.
99. Прочитайте и на координатной прямой представьте промежуток:
а) (-2; 5);
б) (0; 6];
в) [-3; 6];
г) [2; 7);
д) (-5; -1);
е) (-8; -3];
ж) (3; +^);
з) (-^; 3];
и) [-4; +га);
к) [4; +^);
л) (-^; -5);
м) (-га; 0].
100. Запишите промежуток, представленный на рисунке:
а) 34; б) 35; в) 36; г) 37; д) 38; е) 39.
8
Рис. 34
6
Рис. 35
-2
Рис. 36
Рис. 37
d
30
Рис. 38
Рис. 39
11
d
Правообладатель Народная асвета
101. На координатной прямой представьте множество чисел, удовлетворяющих неравенству:
а) m < 5; в) z > 12; д) s < -4;
б) n > 7; г) t < -5; е) r > 0.
102. На координатной прямой изобразите промежуток:
а) [-5; 0]; д) (-6; -3]; и) [-2; +^);
б) [0; 7); е) [-8; 1); к) (11; +^);
в) (-1; 5); ж) [6; +^); л) (-^; -13];
г) (4; 8]; з) (-^; 1); м) (-^; 0).
103. Установите, принадлежит ли промежутку (-5,2; 7) число:
а) -2; в) 7; д) -5,3; ж) 10;
б) -6; г) -5,1; е) 0; з) 5,2.
104. Запишите целые числа, принадлежащие промежутку:
а) (-5; 3); б) [-7,1; 1]; в) (-0,1; 8,2]; г) [-2; 3,03).
105. Назовите наибольшее и наименьшее целые числа из промежутка:
а) (-15; -7); в) (-1,01; 6,4];
б) [-4,2; 10]; г) [2; 13,03).
106. Принадлежит ли промежутку (-^; -2) число -2,01; -1,99? Запишите два числа, большие -2,02 и принадлежащие этому промежутку. Есть ли в этом промежутке наибольшее число; наименьшее число?
107. Известно, что 2 < a < 3 и 9 < b < 10. Оцените:
а) a + b;
б) a - b;
в) ab;
г)
108. Линейкой с миллиметровыми делениями измерили радиус r окружности и определили, что 50 < r < 51. Приняв п = 3,14, оцените:
а) длину C окружности; б) площадь S круга.
109. Измерили линейкой с миллиметровыми делениями длину a и ширину b прямоугольника: 6,2 см < a < 6,3 см и 3,9 см < b < 4,0 см. Оцените:
а) периметр P прямоугольника;
б) площадь S прямоугольника.
31
Правообладатель Народная асвета
a
b
110. Измерили длину a, ширину b и высоту h комнаты прямоугольной формы и нашли (в метрах), что: 8,1 < a < 8,2,
5,5 < b < 5,6 и 3,1 < h < 3,2. Оцените:
а) площадь S комнаты;
б) вместимость V комнаты.
111. Сделайте неабходимые измерения и оцените периметр и площадь фигуры, изображенной на рисунке:
а) 40;
б) 41;
в) 42;
г) 43;
д) 44;
е) 45;
ж) 46.
Рис. 41
Рис. 45
Рис. 46
112. Транспортиром с делениями в 1° измерили углы A и B треугольника ABC: 61° < A < 62°; 110° < B < 111°. Оцените величину третьего угла.
32
Правообладатель Народная асвета
113. Докажите, что если x < у, то:
а) x + 6 < у + 6; г) -3x > -3у; ж) < -у-;
б) x - 1 < у - 1; д) -X > -у;
в) 5x < 5у; е) ^x < 7У;
з) 5x + 3 < 5у +3;
и)
-1,1
- 2 >
-1,1
- 2.
114. Зная, что и > v, определите, истинно ли неравенство:
а) 2,3и > 2,3v;
б) 2,3и > 2,3v;
в) -2,3и > -2,3v;
г) и - 2,3 > v - 2,3;
д) -2,3и < -2,3v;
е) и - 2,3 < v - 2,3;
ж) и - 2,3 > v - 2,3;
з) и + 2,3 > v + 2,3.
115. Докажите, что при всех значениях переменной истинно неравенство:
а) (а + 3)(a - 1) < (a + 1)2; в) (b + 3)(b + 7) < (b + 5)2;
б) (a + 2)2 > (a + 3)(a + 1); г) (a - 2)2 > (a - 5)(a + 1).
116. Докажите, что:
а) 9a2 + 1 > 6a при любом значении a;
б) b + 1 > 0, если b > 0;
в) — + — > 2, если mn > 0;
n m
г) 1 > 1, если k > l и kl < 0;
д) — < если r > s и rs > 0;
r s
е) p2 + ?2 ^ 1, если p + q = 1.
117. На прямой выбраны точки P, Q, R. Какой может быть длина отрезка PR, если:
а) PQ = 7,1 см, QR = 9,6 см; б) PQ = 4,3 дм, QR = 3,6 дм?
118. На прямой выбран 21 отрезок так, что они целиком закрывают данный отрезок длиной 13 см. Докажите, что хотя бы один отрезок длиннее 0,6 см.
33
Правообладатель Народная асвета
x
D
119. Когда развернули поверхность конуса на плоскость, то образовался сектор с радиусом 15 см и углом 120° и круг основания конуса (рис. 47). Найдите радиус этого основания.
120. Когда развернули на плоскость поверхность пирамиды, основанием которой является квадрат, а боковыми гранями — равнобедренные треугольники, то образовался многоугольник ABCDEFGH (рис. 48), угол ABC которого равен 120°.
а) Найдите углы этого многоугольника.
б) Докажите, что точки E, G и H лежат на одной прямой.
121. Найдите значение многочлена 49а2 - 28а + 2 при значении переменной а, равном:
2.
в) -1;
д) -
7’
а) -3;
б) -2; г) -^; е) 0;
122. Упростите выражение:
ж)
2.
7’
и)
14;
з)
к) 1;
л) 2;
м) 3.
а) 7 а 2 а ; г) m + n 1 m -n ;
а - b b - а ; m2 - n2 m2 +n2;
б) 2x + z 3x + 5z _ д) k2 + l2 k2 -12;
z - 1 1 - z ; k2 - l2 l2 + k2;
в) c + 5 7 - 2 c ; е) 5 - 3d 3 + 2d - 3
3c - 2 2 - 3c ; d 2d 3 + 2d
34
Правообладатель Народная асвета
123. Запишите числа:
а) 32; 16; 8; 4; 2; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125 степенями с основанием 2;
б) 1; 3; 9; 27; 81; 243; 729 степеня-’ 72^ 24^ 8^ 2^ ^ 3
ми с основанием 3.
124. Определите произведение двух чисел, учитывая, что если первое число увеличить на 5, то это произведение увеличится на 560, а если второе число уменьшить на 3, то произведение уменьшится на 411.
125. Заказ планировалось выполнить за 40 дней. Но заказ увеличили на 116 изделий, и потому работа над ним продолжалась на 2 дня больше, хотя дневная выработка увеличилась на 2 изделия. Каким был первоначальный заказ?
126. Петя с дядей Антосем катаются на велосипедах в парке по круговой дорожке длиной 1,2 км. Если они едут навстречу, то встречаются каждые 3 мин, а если в одном направлении, то Петя догоняет дядю Антося каждые 12 мин. С какой скоростью едет дядя Антось и с какой Петя?
* * *
127. (Из коллекции профессора Брайена.) На этот раз профессор положил на стол карточки, показанные на рисунке 49.
Хотя бы на одной из карточек написано «Получите»
На соседней карточке написано «Заплатите»
Рис. 49
— А что, сегодня также на одной карточке надпись истинная, а на другой ложная?
— Нет, теперь обе надписи или истинны, или ложны. Какую карточку нужно перевернуть, чтобы выиграть
10 фунтов?
35
Правообладатель Народная асвета
128. Есть ли такой год, в котором ни одно тринадцатое число не является понедельником? А какое наибольшее количество понедельников может быть на протяжении года тринадцатыми числами?
129. Известно, что открытый конверт (рис. 50) можно нарисовать одним росчерком, т. е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя им по одной линии дважды. Как это делается? Попробуйте так же нарисовать пять олимпийских колец
(рис. 51). Объясните, почему нельзя одним росчерком нарисовать закрытый конверт (рис. 52).
Рис. 52
4. Линейные неравенства с одной переменной
Рассмотрим неравенство с переменной 3а - 8 < 13.
При а = 6 это неравенство обращается в высказывание 3 • 6 - 8 < 13, которое истинно. При а = 8 оно обращается в высказывание 3 • 8 - 8 < 13, которое ложно.
Определение 2. Число, обращающее неравенство с переменной в истинное числовое неравенство, называют решением неравенства.
Определение 3. Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что их нет.
Определение 4. Равносильными неравенствами называют неравенства, которые имеют одни и те же решения.
Неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными.
Теоремы 3, 4 и 5 позволяют доказать утверждение, которым пользуются при решении неравенств.
Чтобы получить неравенство, равносильное данному, можно:
• перенести с противоположным знаком слагаемое из одной части неравенства в другую;
36
Правообладатель Народная асвета
• умножить или разделить левую и правую части неравенства на одно и то же положительное число;
• умножить или разделить левую и правую части неравенства на одно и то же отрицательное число, заменив знак неравенства на знак противоположного смысла.
Пример 1. Решим неравенство 3а - 8 < 13.
Перенесем слагаемое -8 из левой части неравенства в правую с противоположным знаком и приведем подобные:
3а < 13 + 8;
3а < 21.
Разделим левую и правую части неравенства на положительное число 3:
а < 7.
Получили простейшее неравенство, которое показывает, что множество решений состоит из всех чисел, меньших ________
7. Это числовой промежуток 7 ®
(-га; 7), показанный на рисун- Рис. 53
ке 53.
Ответ можно записывать как простейшим неравенством, так и числовым промежутком.
Пример 2. Решим неравенство 7 - 4с < 5(c - 4) - 3.
Раскроем скобки в правой части неравенства:
7 - 4с < 5с - 20 - 3.
Перенесем с противоположными знаками слагаемое 5с из правой части в левую, а слагаемое 7 — из левой части в правую и приведем подобные:
-4с - 5с < -20 - 3 - 7;
-9с< -30.
Разделим левую и правую части неравенства на -9 и
вместе с этим заменим знак неравенства < знаком
с й --, или с й ^ — .
-9 ’ 3
Получили, что множеством решений неравенства являет-
ся промежуток 31; +о _ 3
занный на рисунке 54.
Ответ. 31; + с 3 ’
пока-
Рис. 54
37
Правообладатель Народная асвета
Пример 3. Решим неравенство
2 x + 3
5 x + 8 ^ 3 - 2x
5 3 15
Умножим левую и правую части неравенства на НОК знаменателей дробей неравенства, т. е. на число 15:
2 x + 3
15 -
5 x + 8
15 <
3 - 2x
15; 6x + 9 - 25x - 40 < 3 - 2x.
-2
Рис. 55
X
5 3 15
Соберем слагаемые с переменной в левой части неравенства, а слагаемые-числа — в правой и приведем подобные:
6x - 25x + 2x < 3 - 9 + 40;
-17x<34.
Разделим левую и правую части неравенства на -17:
x > -2.
Множеством решений неравенства является промежуток [-2; +^), представленный на рисунке 55.
Ответ. x > -2.
Пример 4. Решим неравенство 6(d - 3) + 5d > 12(d - 1) - d.
Раскроем скобки и выполним перенесение слагаемых:
6d - 18 + 5d > 12d - 12 - d;
6d + 5d - 12d + d > -12 + 18.
После приведения подобных получаем: 0 • d > 6.
Это неравенство не имеет решений, поскольку оно при любом значении переменной d преобразуется в числовое неравенство 0 > 6, которое ложно. Поэтому не имеет решений и данное неравенство, поскольку оно равносильно неравенству 0 • d > 6.
Ответ. Неравенство не имеет решений.
Пример 5. Решим неравенство 7(3 + k) > 3(k + 5) + 4k - 13.
Имеем:
21 + 7k > 3k + 15 + 4k - 13;
7k - 3k - 4k > 15 - 13 - 21;
0•k>-19.
При любом значении переменной k неравенство 0 • k > -19 преобразуется в числовое неравенство 0 > -19, которое истинно. Поэтому его решением является любое число. Это означает, что и исходное неравенство своим решением имеет любое число.
Ответ. Решение неравенства — любое число.
Во всех рассмотренных примерах решение неравенства сводилось к одному из простейших неравенств: ax < b; ax > b; ax > b; ax < b.
38
Правообладатель Народная асвета
X
Рис. 56
Определение 5. Каждое из неравенств
ax < b ax > b; ax > b; ax < b,
где x — переменная, а a и b — некоторые числа, называется линейным неравенством с одной переменной.
Рассмотрим решение неравенства ax < b в общем виде.
Пусть a > 0. Разделив левую и правую части неравенства ax < b на a, получаем: x < — (рис. 56).
Пусть a < 0. Разделив левую и правую части неравенства ax < b на a и заменив знак < знаком >, получаем: x > —
(рис. 57). a
Остается рассмотреть случай, когда a = 0. Тогда неравенство ax < b имеет вид 0 • x < b. При любом значении переменной x получается числовое неравенство 0 < b. Оно истинно, если число b положительно, и ложно — в обратном случае, т.е. если число b неположительно. Таким образом, если a = 0 и b > 0, то решением неравенства ax < b является любое число, а если a = 0 и b < 0, то неравенство ax < b не имеет решений.
Ход рассуждений при решении неравенства ax < b наглядно представлен схемой на рисунке 58.
ь
а
Рис. 57
Рис. 58 39
Правообладатель Народная асвета
Ответ. Если a > 0, то x < —;
a
если a < 0, то x > —;
a
если a = 0 и b > 0, то решением неравенства ax < — является любое число;
если a = 0 и b < 0, то неравенство ax < b не имеет решений.
1. Какое число называют решением неравенства?
• 2. Что означает требование решить неравенство?
3. Какие неравенства называют равносильными?
4. Назовите преобразования, приводящие к неравенствам, равносильным исходному неравенству.
5. Как можно записать ответ на задание решить неравенство?
6. Какие неравенства называют линейными неравенствами с одной переменной?
130. Определите, является ли решением неравенства 7x < 4(x - 3) + 3 число:
а) -10; в) -3,5; д) -3; ж) 0;
б) 10;
г) 3,5;
е) 3;
з) 1
131. Из чисел -4; -22; 0; 6; 7,5 ; 10; 1l3 выберите те,
которые являются решениями неравенства 5a - 3 > 3a + 12.
132. Запишите одно число, являющееся решением неравенства b + 5 > 3b, и одно число, не являющееся его решением.
133. Представьте на координатной прямой множество решений неравенства:
а) a + 3 > 0;
б) b - 3 > 0;
в) c + 4 < 0;
г) d - 4 < 0;
д) -4p > 20;
е) 4q > -20;
ж) 5s < 30;
з) -5h < -30.
134. Решите неравенство:
а) 3a < 12; в) 4g > -12; д) 5k < -10;
б) -3b < 15; г) 4h > 20; е) 5Z < 15;
135. Решите неравенство 4t - 3 < 11 и определите, является ли его решением число:
ж) -2p > -10;
з) -2q > 16.
а) -4; б) 4; в) -г) -8; д) 6; е) -6.
136. Решите неравенство 6и + 5 > 14 и укажите три целых и три дробных его решения.
40
Правообладатель Народная асвета
137. Решите неравенство:
а) 6z - 1,7 < 1,3; д) 42 - 3v > 36 - v;
б) 1 - 4y > -0,6; е) 29 + 7u < 18 - 4u;
в) 3х - 19 > -4; ж) 76 - 12t > 1 - 2t;
г) 3 - 5w < 18; з) 12 + 5s > 15 + 11s.
138. Определите, при каких значениях переменной многочлен:
а) 9h - 45 принимает положительные значения;
б) 11 - 4g принимает отрицательные значения;
в) 14 - 21/ принимает неотрицательные значения;
г) 21b + 14 принимает неположительные значения;
д) 18е - 45 принимает значения, большие 36;
е) 8d - 23 принимает значения, не большие -9;
ж) 11с - 3 принимает значения, меньшие 41;
з) 36а + 19 принимает значения, не меньшие -41.
139. Решите неравенство:
а) 7х < 2(3x - 1) - 3; д) 4 + 3(3 - 5t) > 3t - 4(7t - 3);
б) 112 - 3(5z + 2) > 2z; е) 2(3s + 4) - 7 < 4(4s + 3) - 5s;
в) 13y + 3 < 7y - 6(y + 3); ж) 3 - 8(4p - 1) < 6p + 4(3p - 11);
г) 9 - 3u > 6u + 5(3 - 4u); з) 10(r - 9) - 8r > 3r - 11(5r + 6).
140. Решите неравенство:
5 - / .
а) 3L > 4;
б) ^Ь < 3;
в) > 0;
г) 2d^l > 2;
д) 3 > 7
е) 4g7+5' > 0;
ж) < 0;
з) ^6(k + 5) > 24;
и) 8 < -3(u - 4);
к) — w < 14;
^ 12 ’
л) 10 >
9 s + 2 ^ 20 •
м) -9(2p - 7) < 0.
141. Определите, при каких значениях переменной значение дроби:
а)
б)
в)
г)
6 - 5^ _ _ 6а - 5
больше значения дроби
4
4b - 6
3
7 с - 3
5
11с + 5
6
не больше значения дроби
6b - 4; 9 ;
меньше значения двучлена 3с + 5; не меньше значения двучлена 3с - 12.
41
Правообладатель Народная асвета
4
142. Определите, при каких значениях переменной значение дроби:
а) на 4 меньше значения дроби —;
б) ^ ^ 3 на 7 больше значения дроби x +1
5
4
3 у - 5 _ „ 3 - у 6 у - 7
в) —— меньше значения разности дробей —-— и ———;
, 2d + 5 . _ „ 7d - 3 2 - 5d
г) —— не больше значения суммы дробей —— и —-—.
143. Представьте на координатной прямой множество решений неравенства:
а) 11X 2 < 3x;
б)
2
7 - 3 у
4у;
в) z - z > 3;
^ 3 4 ’
г) - 1 > 1;
-^5 4 ’
д) iLl + 3s < 7;
е) 5r + > 10.
^ 7
144. Решите неравенство:
,, 2х - 1 2x - 3 ,
а)-------------ч х;
'2 5 ’
2 у + ^ у - 1
> у 2 4 ’
п 3t + ^\^71 - 3
в) 31 +----->------;
5
15
. 5r - 1 r + 1 ,
г) ---+--- < r;
-^4 2 ’
2 s - 1 2s - 1^.
д) ---+----^ 4s;
36
u — 1 2u + 3 ^
е) ---------u < 2.
’ 2 8
145. Определите, при каких значениях переменной зна-
6 a - 8
чение выражения 7a -
а) отрицательно;
б) равно нулю;
в) положительно;
г) больше 10.
146. Решите неравенство:
а)
б)
3 a + 9 7
> 0;
< 0;
в)
г)
0,7
0,3c - 3 -3,8
> 0;
< 0;
д) -9,1 < 0;
0,6m -1,8
е) -12,6 > 0.
3,2u + 4,8
2b - 6 ’ ' 4,2k +1,4
147. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:
а) 2 + 7а > 4(a - 1); в) 4s + 1 > 3(s - 2) - 2s;
б) 3(b - 2) < 4b - 9; г) 2(d - 1) - 3d < 6d + 1.
148. При каких натуральных значениях переменной значение выражения:
а) 2(1 - k) - 5(k - 5) + 2 положительно;
б) 8,2 + 31 - (30,2 - 51) отрицательно?
42
Правообладатель Народная асвета
3
149. Найдите область определения выражения:
a ; в) P + 8 ’ д) 6 a + 8 ’ ж) у2 + хг ^
Ь + 5; q + 7 ’ S2 - 4 ’ Ы - 3 ’
1 - у. г) г - 7 ’ е) m + l ^ з) Ь2 + 9с
х - 3’ 3( у -1). 1 - k2’ а2 + 2
а)
б)
150. Сторона прямоугольника равна 7 см. Какой должна быть другая сторона, чтобы его периметр был меньше периметра квадрата со стороной 5 см?
151. Путешественники на моторной лодке поплыли против течения реки и должны возвратиться назад не позже чем через 3 ч. На какое расстояние могут они отъехать, если собственная скорость лодки равна 18 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч?
152. Ученики получили задание посадить 40 деревьев. Сколько деревьев им нужно посадить, если они намереваются перевыполнить задание не менее чем на 6 %?
153. Одна сторона треугольника равна 7 см, другая — 12 см. Какой может быть третья сторона треугольника? Запишите натуральные значения длины этой стороны.
154. Сумма четного числа и утроенного следующего за ним четного числа не больше 85. Найдите наибольшее число, удовлетворяющее этому условию.
155. На гонках велосипедисты должны проехать по маршруту Лида — Пружаны (рис. 59). Они стартуют с интервалом 6 мин. С какой скоростью должен ехать третий велосипедист, чтобы приехать к финишу раньше первого, который едет со скоростью 40 км/ч?
156. Постройте график зависимости у = 2х - 1 и определите, при каких значениях переменной х точки графика расположены:
а) выше оси абсцисс;
б) ниже оси абсцисс;
в) выше точек прямой у = -3;
г) ниже точек прямой у = 3.
157. Площадь треугольника 28 м2. Какой должна быть сторона a треугольника, если высота, проведенная к ней, не меньше 14 м?
158. Площадь треугольника равна 32 см2.
Какой должна быть высота h треугольника, если сторона, к которой она проведена, не больше 8 см?
Правообладатель Народная асвета
159. Измерения основания прямоугольного параллелепипеда равны 15 дм и 6 дм. Какой должна быть высота h параллелепипеда (рис. 60), чтобы его объем был не больше объема куба с ребром 9 дм?
160. Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда равна 176 см2, а его высота 8 см. Какими могут быть измерения основания параллелепипеда, если одно из них составляет не больше 120 % другого?
161. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 432 м3, а его высота 9 м.
Какими могут быть измерения основания параллелепипеда, если одно из них составляет не меньше 75 % другого?
162. Представьте степенью с простым основанием число:
а) 1. 4’ г) ' 100’ ж) к) 1 . 29;
б) 1 . 16 ’ д) l1’ з) 27; л) 1 . 64 ;
в) 1 . 8’ е) —; > 17’ м) 1 79 .
163. Найдите значение выражения:
а) 3-4; г) 2-5; ж) (1) -6 ; к) (^l)-3;
б) 5-3; д) 7-3; з) (1)-' 2 ; л) (i! )-2;
в) 13-2; е) 6-4; и) (1)- 4 ; м) (1^
164. Вычислите:
а) 2а2Ь 3 при a = 4, b = 3 ; в) 2m2n4 81 p0 при m = 3, n = 2, p = 5
б) 3x^2y4 при x = 10, y = -2; г) 64r 0 s^3 5t8 ■ при r = 6, s = 4, t = 1.
165. Разложите на множители:
а) ab + b 2 + ac + bc; г) pq - q2 + 2q - 2 p ;
б) x2 + 4x - xy - 4y; д) 12uv + 2v 2 - 6u - v;
в) 2 m + mn + mp + np; е) cd - 7 d + 4c - 28.
44
Правообладатель Народная асвета
166. Точки M, N, O, P принадлежат одной прямой. Найдите расстояние между серединами отрезков MNи OP, учитывая, что:
а) MN = 1,5, NO = 1,4, OP = 2,2, MP = 5,1;
б) MO = 1,3, ON = 2,6, NP = 3,5, MP = 7,4;
в) MO = 7, NP = 11.
167. Сумма двух чисел равна 13,2. Если первое число увеличить вдвое, а второе — вдвое уменьшить, то сумма станет равной 15. Какие это числа?
168. Заказ по сборке электродвигателей выполняли три
7
бригады. Первая выполнила — заказа, вторая — на 40 %
25
больше первой, а третья собрала остальных 410 двигателей. Сколько двигателей нужно было собрать?
169. Вместимость трех емкостей — 18 л. Если первую емкость наполнить водой, а затем перелить ее в две остальные, то или заполнится вторая и 1 третьей, или третья и 1 вто-
рой. Какова вместимость каждой емкости?
3
* * *
170. Друг за другом записали по возрастанию 100 последовательных чисел, начиная с числа 2000. В полученной записи вычеркнули все цифры 2. Какая цифра записана теперь на сто тридцать седьмом месте?
171. Восстановите треугольник по его основанию и точке пересечения высот.
172. (Из коллекции профессора Брайена.)
— Поищите сегодня счастья, учитывая, что снова обе надписи на карточках одновременно истинны или ложны.
С этими словами профессор положил на стол карточки, показанные на рисунке 61.
Какую карточку нужно перевернуть, чтобы выиграть 10 фунтов?
Либо на этой карточке написано «Заплатите», либо на соседней — «Получите»
На соседней карточке написано «Получите»
J V
Рис. 61
45
Правообладатель Народная асвета
5. Система линейных неравенств с одной переменной
Задача. В пяти одинаковых коробках содержится меньше 120 конфет, а в семи таких же коробках — больше 160 конфет. Сколько конфет в одной коробке?
Обозначим n количество конфет в одной коробке. Тогда в пяти коробках находится 5n, а в семи — In конфет. По условию задачи:
5n < 120 и In > 160.
Полученные условия можно записать так:
n < 24 и n > 226.
7
Поскольку, в соответствии с условием задачи, n — количество конфет, то нас интересует такое натуральное значение переменной n, которое удовлетворяет и условию n < 24,
и условию n > 226 (рис. 62), т. е. число 23.
22 f 23
Рис. 62
Ответ. В коробке 23 конфеты.
При решении задачи мы получили условия 5n < 120 и 7n > 160, причем по смыслу задачи должны выполняться как условие 5n < 120, так и условие 7n > 160. В таких случаях говорят о системе условий. Систему, образованную неравенствами 5n < 120 и 7n > 160, записывают
5n < 120,
7n > 160.
Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором истинно каждое из неравенств системы.
Решить систему неравенств означает найти все ее решения или установить, что их нет.
[2х > - 3, [3х < 9,
поскольку истинно как неравенство 2 • 2 > -3, так и неравенство 3 • 2 < 9. Число -2 не является решением этой системы, поскольку ложно неравенство 2 • (-2) > -3.
46
Например, число 2 является решением системы
Правообладатель Народная асвета
8
Рис. 63
Пример 1. Решим систему неравенств
\2Ъ - 3 > 13,
[3 - Ъ < 1.
Последовательно получаем:
2Ъ > 13 + 3, Г2Ъ > 16, ГЪ > 8,
-Ъ < 1 - 3; [-Ъ < -2; [Ъ > 2.
Множество решений каждого из неравенств Ъ > 8 и Ъ > 2 изобразим на координатной прямой. Получим рисунок 63.
Решениями системы неравенств являются значения переменной Ъ, удовлетворяющие как неравенству Ъ > 8, так и неравенству Ъ > 2, т. е. принадлежат обоим промежуткам [8; +га) и (2; +га). Рисунок 63 позволяет понять, что множеством общих чисел этих промежутков является промежуток [8; +га).
Ответ. [8; +га).
Пример 2. Решим систему неравенств Г5с + 4 > 2(c - 3),
Имеем: - 11 > 3(c - 7).
[5с + 4 > 2с - 6, J3c > -10,
[с - 11 > 3с - 21; 1-2с > -10;
с > -31,
3 ’
с < 5.
Используя координатную прямую, найдем значения переменной с, удовлетворяющие обоим неравенствам системы. По рисунку 64 видно, что такими значениями являются чис-
ла промежутка [-3-1; 5 -31; 5
3’
-8 —
Ответ.
Пример 3. Решим систему неравенств [3(2d - 5) > 2(4d + 3), [2(7d + 1) < 5(4d - 5).
[6d - 15 > 8d + 6, \-2d > 21,
l14d + 2 < 20d - 25; [-6d < - 27;
Рис. 64
Имеем:
d < -10,5, d > 4,5.
47
Правообладатель Народная асвета
-10,5 4,5
Рис. 65
Используя рисунок 65, нахо-d дим, что значений переменной d, удовлетворяющих обоим неравенствам d < -10,5 и d > 4,5, нет. Ответ. Система не имеет решений.
Пример 4. Решим неравенство 19 < 5 - 7k < 26.
Двойное неравенство 19 < 5 - 7k < 26 означает, что:
19 < 5 - 7k и 5 - 7k < 26,
т. е. двойное неравенство является системой двух неравенств:
Г5 - 7k > 19,
Решим ее:
5 - 7k < 26.
-7k > 14,
-7 k < 21;
k < -2,
k > -3.
-3 -2
Рис. 66
Как показывает рисунок 66, k двойному неравенству 19 < 5 -- 7k < 26 удовлетворяют числа промежутка (-3; -2].
Записи при решении двойного неравенства удобно вести иначе:
19 < 5 - 7k < 26;
19 - 5 < -7k < 26 - 5;
14 < - 7k < 21;
14 > k > 41;
-7 -7’
-2 > k > -3;
-3 < k < -2.
Ответ. -3 < k < -2.
(y 1. Какое число называют решением системы неравенств с одной пере-• менной?
2. Что означает требование решить систему неравенств с одной переменной?
173. Определите, является ли число 3 решением системы неравенств:
[5с + 8 < 24,
[11 - 2с > -1;
[8 < 2d - 14,
9d + 12 < -7.
а)
б)
2а < 7a - 1,
4a > 5а - 34;
7b + 6 > 9b,
5 - 2b < 2b - 1;
в)
г)
48
Правообладатель Народная асвета
174. Определите, является ли решением системы нера-
J52 - 22 < 0,
венств \2z + 3 > 7 число:
а) 3; в) 2,7; д) 2; ж) 0;
б) 1; г) -2,7; е) 32; ^ 3 ’ з) 21
175. Решите систему неравенств:
а)
б)
в)
а)
б)
в)
m < 2, m < 7;
n > 11, n > 17;
k > 0, k < 9;
г)
д)
е)
ж)
з)
l < -2,
I > 2;
P < -5,
P < 0;
q < -7, q > -17;
176. Решите систему неравенств:
r < 2, r > -7;
s > -6, s > -6,7.
3e - 15 > 0, 5e < 30;
7 f < -7,
6 - f > 0;
5g - 26 < 0, 10g > 0;
г)
д)
е)
7ft + 21 < 0, 6h > 42;
3i - 18 > 0,
5i > 15;
3 - 2 j > 0,
4 j + 8 < 0;
ж)
з)
10 - 2u > 0, 4u - 8 > 0;
6 - 2v > 0, 3v + 6 > 0.
а) д)
[0,3а + 3,6 > 0;
[3,5с + 10,5 < 0,
б) ^ 19с >2; е)
[0,1е < 1,5,
в) ^ 17 ^ > °; ж)
[3g - 9,75 < 0,
г) ^-19 g ^2; з)
177. Решите систему неравенств:
fi - 4 < 3i - 2,
1,4 - i > 2i - 1;
k > 6 + 5k, k + 20 > 15 + 5k;
9m - 3 > m - 1,
12m - 2 < 17m - 3;
21 - 6p < p,
3p + 8 > 1,3 + 4p.
Правообладатель Народная асвета
49
178. Решите систему неравенств:
а)
б)
в)
6(а - 2) - 2а > 0,
1 - 3(а - 2) < 0;
3у - (2y - 5) < 7, у > 2(3у - 1) + 17;
9b - 3 > 7(b + 3),
3b + 3 < 45 + 2(b - 15);
г)
д)
е)
12 < X2 - x(x - 9),
4(3 - 2x) - 3(2 - 3x) > x;
5(c + 1) - c > 2c + 2,
4(c + 1) - 2 < 2(2c + 1) - c;
2(z - 1) - 3 < 5(2z - 1) - 7z, 3(z + 1) - 2 < 6(1 - z) + 7z.
179. Решите систему неравенств: Г5(а + 1) < 1 + 3(а + 3),
а) 1 2 а - 1 ^ а + 1
3b - 2 ^ 2b - 1
2d + 7 , d + 3 ^ ----------.
б) 1 4 3 ’
14 + 3(b - 1) < b + 2(2b + 1);
в) '
c - ^ 3 c -1
6
4
c + 2 ^ c + 3
г) 1
Д) '
е) 1
5
2d - 3
- А < d - 2.
21
3
3 - 2в ^ e - 2 e
------< — + -,
15 3 5 ’
1 - 3 e у 5 e - 1 7 e
12
4
35
180. Решите систему неравенств:
7 + 5f 3f ^ 11f - 7
2
4
12
1 - 3 f + 1 - 4 f ^ f - 1 2 3^6'
а) 1
б) 1
6u - 5 11 ^ 4u + 5 0 6
3 5 ^ 5 , ,
8u + 1 - 9u ^ 6u - 1 + 0 1. 2 5 5 , ;
8v + 1 ^ 4v + 9 v - 1
,
5v - ^ , 2v + 13 v + 2 ------^---------------;
в)
f2(4i - 1) - 3t < 5(t + 2) + 7,
г) 1
t - 2 ^ t - 3 ^ 3 ' 2 •
3(s -1)
- 1,3s > -s - 1,5,
5
s + 5 ^ s — 3
181. Найдите целые решения системы неравенств:
а)
б)
50
5 - 2x < 15, 5x < 19;
5 - 7d < 19, -1 < 23 - 6d;
в)
г)
q > 0,
5,1 - q > 1,9; 9 - 6r > 0,
3r - 1 > 0.
Правообладатель Народная асвета
3
2
3
а)
б)
а) ' б)
182. Решите систему неравенств: 2,5y < 0,5(8 - у) + у + 1,6,
1,5(2y + 2) - у < 2у + 2,9;
3(а + 8) > 4(7 - а),
(а + 2)(а - 5) > (а + 3)(а + 4).
183. Решите систему неравенств:
m - 1 m - 3
U + u ¥ + 7
^ < 6,
1 - u > 0;
5
2t - ^7.1 > 4,
5 ’
7 - 7 < 5;
2 6 ’
в) '
г)
3 4
11m - 2
< 3,
13
3k + 1
-2
> 0;
< 1,
k - 2 < k.
3
184. Решите двойное неравенство:
а) -4 < 3g - 1 < 5; в) 5 < 7 - 2и < 9;
б) -9 < 4 - h < 1; г) -3 < 5v + 2 < 17.
185. Решите двойное неравенство и запишите, если возможно, три его решения, одно из которых является целым числом, другое — десятичной дробью, третье — обыкновенной дробью:
а) -7,2 < < 22,2;
5
б) -2 < < 4
в) -5 < 1 - 3j < 52;
7 - l
г) -1 < < 1.
а)
3 -4
186. Решите систему неравенств:
2 > 18, 2 < 25, 2 > 8; с < 4,
а > 5, b > 8,
< а > 4, в) b < 14, д) '
а > - 3; b > 11;
x < -3, у < 1,
x < -4, г) у > 0, е) '
x < 4; м < -1;
с > 2.
187. Решите систему неравенств:
3k + 2 > k - 2, а) \ k + 15 > 2(3 - k), 5k + 12 < k + 24;
3l - 5 < 81 + 5, б) ] 3l - 2 > 6l - 5, 13l - 11 < 7l + 1.
51
Правообладатель Народная асвета
188. При каких значениях переменной значения выражений 0,5а + 2 и 5 - 5а вместе:
а) отрицательны;
б) положительны;
в) меньше 4;
г) больше 3?
189. Одна сторона треугольника равна 6 см, другая — 9 см. Какой может быть третья сторона, если периметр треугольника:
а) меньше 25 см; в) не меньше 21 см;
б) больше 19 см; г) не больше 19 см?
3 1
190. Если из — длины Локнеи вычесть — ее длины, то получится величина больше 47 км, а если 1 длины, то — ве-
5
личина меньше 47 км. Определите с точностью до километра длину Локнеи.
191. Сколько литров 20-процентного раствора соляной кислоты нужно долить к 8 л ее 60-процентного раствора, чтобы концентрация полученного раствора была не больше 40 % и не меньше 30 %?
192. Сколько отрезков и сколько лучей образовалось, если на прямой отметили:
в) 4 точки A, B, C и D;
г) 5 точек A, B, C, D и E?
а) 2 точки A и B;
б) 3 точки A, B и C;
193. На улице расположено три дома M, N, P (рис. 67). Нужно выбрать место для колодца так, чтобы общий путь, который нужно проделать для того, чтобы один раз в день набрать воды, был наименьшим. Где нужно расположить колодец, если:
а) в каждом из домов живет по одной семье;
б) в доме M живет одна семья, в доме N — две семьи, в доме P — три семьи?
194. Когда развернули поверхность конуса (рис. 68) на плоскость, образовалась фигура, состоящая из сектора
52
Рис. 67
Правообладатель Народная асвета
Рис. 68
с углом в 150° и круга основания конуса радиусом 7,5 дм (рис. 69). Найдите боковую и полную поверхности этого конуса.
195. Селенга образуется при слиянии Мурэна и Идэра. На схеме, изображенной на рисунке 70, показаны соотношения между длинами этих рек. Составьте задачу и решите ее. Найдите длины водных путей от истоков Мурэна и Идэра до устья Селенги.
5 6
.Идэр !ткм М 1 1 1 1 1
, Мурэн 1 1 120 км
,Селенга т 1 |38 1
Рис. 70
196. Найдите модуль числа:
а) 7; в) 0; д) 12,9;
б) -7; г) -4,12; е) -
ж) 8^11т;
з) -0,0009.
197. Найдите значение выражения:
а) (12,8 -|-1,21): 0,2; в) (|-2,8 -|-1,21): 0,2;
б) П-2,8 - |1,2 ): 0,2; г) (12,8 - |1,21): 0,2.
53
Правообладатель Народная асвета
198. Можно ли утверждать, что:
а) если a^b > 0, то b > 0; б) если a^b > 0, то b > 0?
199. Произведением степеней запишите дробь:
а) о.;
б)
а)
в)
г)
д)
е)
2х у; 3z6 ; 3k2 . 2l4n8 ;
ж)
з)
3 p3r2q'
200. Решите уравнение:
3u2 - 5 6
- 2 =
4u2 - u
б) (7 + a)(a - 3) = (a - 4)2 - 1;
в) 4x + (x - 4)(x + 4) = (x - 5)(x + 5) - 5x;
г) (3n - 5)(3n + 5) = 9(n - 4)(n + 4).
201. Пусть m < 0. Определите, каким — положительным, отрицательным, равным нулю — является значение выражения:
г) -m + \-m|;
2
а) m - |m|;
б) \~m - m;
в) m + |mI;
ж) (m) • |-m|;
\3
д) m
е) T-\;
m
m
з)
и)
(-m)3
(- m )4
202. Если к двузначному числу прибавить сумму его цифр, а потом сделать то же самое с полученным числом, то получится число, записанное теми же цифрами, что и первое. Какое это число?
203. Квадрат размерами 4 на 4 клетки (рис. 71) нужно разрезать на две равные фигуры. Сколькими способами можно
это сделать, если разрез разрешается вести по сторонам клеток? (Два разреза считаются разными, если в результате получаются неравные фигуры.)
204. (Из коллекции профессора Брайена.) Проиграв 30 фунтов, профессор Брайен решил усложнить правила.
— Сегодня в игре используются синяя и белая карточки (рис. 72). Рис. 71 Только учтите, что если на синей кар-
54
Правообладатель Народная асвета
5
7
5
7
13
c
u
r
3
d
8
-m
3
m
•к •к •к
На обеих карточках написано «Получите»
На обеих карточках написано «Получите»
Рис. 72
точке написано «Получите», то утверждение на ее видимой стороне истинно, а если «Заплатите», то ложно. На белой карточке всё наоборот: если написано « Получите», то утверждение на ее видимой стороне ложно, а если «Заплатите», то истинно.
Какую карточку нужно перевернуть, чтобы выиграть 10 фунтов?
6. Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля
Мы знаем, что модуль числа у — это расстояние на координатной прямой от начала координат до точки с координатой у. Например, |6 = 6, поскольку расстояние от начала координат до числа 6 равно 6 (рис. 73), |- 6 = 6, поскольку расстояние от начала координат до числа -6 также равно 6 (рис. 74). Поэтому уравнение = 6 имеет два корня — чис-
ла -6 и 6.
о
6
llll|llll|llll|llll|llll|lllljllll|lllljllll|lllljllll|lllljllll
Рис. 73
9 9 I- 8 г т
lllljllllllllljllllllllljllllllllljlllllllllllllllllllllllllllll
-6
Пример 1. Решим уравнение |3а - 4 = 11.
о
Имеем:
3а - 4 = 11 или 3а - 4 = -11; 3а = 11 + 4 или 3а = -11 + 4; 3а = 15 или 3а = -7;
а = 5 или а = -21 (рис. 75). 3
-2| о
Ответ. а^_ = 5; а2 = -2-
5 «
Рис. 75
Рис. 74
55
Правообладатель Народная асвета
-а
О
Рис. 76
X
Неравенству |х| < а, где a > 0, удовлетворяют те и только те значения переменной х, которые на координатной прямой отстоят от начала координат меньше чем на а (рис. 76), т. е. числа промежутка (-а; а). Но эти же числа удовлетворяют и двойному неравенству -а < х < а. Поэтому
если a > 0, то неравенство |х| < a равносильно неравенству —а < x < a.
Понятно, что
если а > 0, то неравенство Х| < а равносильно неравенству —а < x < а.
Пример 2. Решим неравенство \4Ъ + 3 < 11.
Имеем:
-11 < 4Ъ + 3 < 11; ^^
-11 - 3 < 4Ъ < 11 - 3; -3,5 2 Ь
-14 < 4Ъ < 8; Рис. 77
-3,5 < Ъ < 2 (рис. 77).
Ответ. -3,5 < Ъ < 2.
Пример 3. Решим неравенство |23 - 7^ < 16.
Имеем:
-16 < 23 - 7с < 16;
-16 - 23 < -7с < 16 - 23;
-39 < -7с < -7;
-39 > с > ^7
к4
-7
-7’
54 > с > 1;
7 ’
1 < с < 54 (рис. 78).
Рис. 78
Ответ.
1; 54
. 7.
Это неравенство можно решить и иначе, учитывая, что модули противоположных чисел равны. Будем иметь:
|23 - 7с = |7с - 23|;
-16 < 7с - 23 < 16;
-16 + 23 < 7с < 16 + 23;
7 < 7с < 39;
1 < с < 5^.
Неравенству |х| > а, где а > 0, удовлетворяют те и только те значения переменной х, которые на координатной
56
Правообладатель Народная асвета
-а
О
Рис. 79
а
прямой отстоят от начала координат больше чем на a ~
(рис. 79), т. е. такие значения переменной х, удовлетворяющие неравенству х < -а или неравенству х > а. Таким образом:
при a > 0 утверждение > а» равносильно утверждению «X < -а или x > а».
Неравенству х < -а удовлетворяют все числа промежутка (-га; -а), а неравенству х > а — все числа промежутка (а; +га). Поэтому решения неравенства | х | > а при а > 0 можно получить, объединив числа промежутков (-га; -а) и (а; +га). Это записывают так:
(-га; -а) и (а; +га).
Ответ при решении неравенства |х| > а можно записать как в виде:
х < -а или х > а,
так и в виде:
(-га; -а) и (а; +га).
Понятно, что:
при а > 0 утверждение «х| > а» равносильно утверждению «X < -а или X > а».
Пример 4. Решим неравенство \2d + 3 ^ 13.
Имеем:
2d + 3 < -13 или 2d + 3 > 13; __^^^
2d < -16 или 2d > 10;
d < -8 или d > 5 (рис. 80).
Ответ. d < -8 или d > 5.
-8
Рис. 80
-1,2
Пример 5. Решим неравенство |7 - 5т| > 13. Имеем:
5т - 7 < -13 или 5т - 7 > 13;
5т < -6 или 5т > 20; т < -1,2 или т > 4 (рис. 81).
Ответ. (-га; -1,2) U (4; +га).
Пример 6. Решим систему неравенств
^^13п - 4 > 16,
"^12п + 9 < 27.
Последовательно получаем:
[3п - 4 < -16 или 3п - 4 > 16, 1-27 < 2п + 9 < 27;
т
Рис. 81
57
Правообладатель Народная асвета
\3n < -12 или 3n > 20,
[-36 < 2n < 18;
n < -4 или n> 62,
I 3 ’
[-18 < n < 9.
На рисунке 82 решения первого неравенства системы показаны серой заливкой над координатной прямой, решения второго — синей заливкой под координатной прямой. Решениями системы являются числа, удовлетворяющие обоим неравенствам, т. е. те числа, которые на координатной прямой отмечены двумя заливками.
Такими являются числа промежутков (-18; -4] и
-18
-4
Рис. 82
б|9
62; 9
3 ’
6-2;9).
Ответ. (-18; -4] U Пример 7. Решим систему неравенств
j\ 3k + 4 < 1,
"[12k + 5 > 3.
Последовательно получаем:
-1 < 3k + 4 < 1, Г-5 < 3k < -3,
2k + 5 < -3 или 2k + 5 > 3; [2k < -8 или 2k > -2;
Г-12 < k < -1,
Г 3 ,
[k < -4 или k > -1.
Показав на рисунке 83 решения первого и второго неравенств, замечаем, что нет таких значений k, которые бы удовлетворяли обоим неравенствам одновременно.
Ответ. Система не имеет решений.
-1| -1
-4
-1 k
Рис. 83
(у 1. Что называют модулем числа? Как обозначают модуль числа?
• 2. Чему равен модуль положительного числа; отрицательного числа;
числа 0?
3. Какому неравенству равносильно неравенство |ж| < а; |ж| < a (a > 0)?
4. Какому утверждению равносильно неравенство |ж| > а; |ж| > а (а > 0)?
58
Правообладатель Народная асвета
205. Изобразите на координатной прямой множество решений уравнения:
в) Id = 4; -'ll 7’
г) 1^ = 1,2.
а) 1^ = 2; б) 1^ = 4;
206. Решите уравнение:
а) |-^ = 1,2; г) |4 - 5^ = 6; ж) |3д - 4 = 20;
б) |1 - и\ = 23; д) |3 - 4 = -9; з) |13p + 1^ = 6;
в) |7 - t\ = 7; е) |3 - 4^ = 0; и) |0,3д - 1^ = 2.
207. Изобразите на координатной прямой множество ре-
шений неравенства:
а)|а| > 2; б) Щ > 4; в) |с| < ^; г) |4 < 1,2.
208. Пусть a > 0. Определите, при каких значениях переменной истинно неравенство:
а) |х| < а; б) \у\ < а; в) |t| < а; г) |ш| > а.
209. Пусть а < 0. Определите, при каких значениях переменной истинно неравенство:
а) т\^ а; б) |4 ^ а; в) |р| > а; г) |д| > а.
210. Запишите двойным неравенством неравенство с модулем:
а) 14 < 3; б) 4 < 12; в) |m| < i4; г) |4 < 3,1.
211. Запишите неравенством с модулем двойное неравенство:
а) -4 < р < 4;
б) -7 < q < 7; г) 7,4 > s > -7,4.
212. Неравенством с модулем и, если возможно, двойным неравенством запишите множество чисел, изображенное на координатной прямой на рисунке:
а) 84; б) 85; в) 86; г) 87.
в) - — < r < 4; -^9 9’
-3
Рис. 84
-9,13 9,13
Рис. 85
13 13
19 19
Рис. 86
_о 19 ^ 20
2,95
Рис. 87
59
Правообладатель Народная асвета
213. На координатной прямой изобразите множество чисел, удовлетворяющих условию:
а) a < -3; д) k < 3 или k > 7; и) p < 7 и p > 3;
б) b < 0; е) l < -1 или l > 0; к) q < 0 и q > -1;
в) c < 3; ж) m < -10 или m > -1; л) и < -1 и и > -10;
г) d > 3; з) n < -2 или n > 1; м) v < 1 и v > -2.
214. На координатной прямой изобразите множество чисел, удовлетворяющих условию:
а) X < -1 или 0 < X < 1; д) 4 < v < 9 или v > 13;
б) у < 2 или 4 < у < 9; е) -6 < w < -3 или 0 < w < 7;
в) z < 0 или 4 < z < 5; ж) 2 < t < 3 или 4 < t < 5;
г) -3 < и < 2 или и > 3; з) -2 < s < -1 или 0 < s < 1.
215. Решите неравенство:
а) 1 + k < 2,3; д) |р+2 > 1^2; и) |2t - 1 < 11; ''1 1 6’
б) |l - 17 > 23; е) |q - 3 < 2131; к) |3и + 2 < 43; -’1 1 7
в) |m - 2,5 < 3,5; ; ж) |г + 7 < 313; л) |4v - 3 < ^^; -'1 1 13’
г) n + 3,9 > 1,1; з) |s - 7 > 115г; м) |5w - 4 ^ 5—
216. Решите неравенство:
а) 0 < t < 2; в) 2 < |2р| < 8; д) 2 < |2n - 3 < 5;
б) 2 < s| < 5; г) 3 < 3U < 12; е) 0 < |3 - 5m < 2.
217. Докажите, что |х - а| является расстоянием на координатной прямой между точками с координатами X и a.
218. Решите неравенство:
а) |2г - 3 > 5; в) |3t - 1 < 4; д) |0,3 - 1,3v| < 2,3;
б) |1 - 3S < 1; г) |3 - 2U > 3; е) |1,2 - 0,8^ > 2,8.
219. Найдите целые решения неравенства:
д)
1 p + 2
2^
< 4;
е) |3 + 4q| < 5-1.
а) |5k - 2 < 13; в) |4m + Щ < 9;
б) |5 - 3l| < 9; г) |3 - 4n| < 3;
220. Определите, при каких значениях переменной ис тинно равенство:
а) а + 2 = а + 2;
б) b + 2 = -b - 2; 60
в) |c - 3 = c - 3;
г) Id - 3 = 3 - d.
Правообладатель Народная асвета
221. Запишите характеристическое свойство чисел множества, изображенного на рисунке:
а) 88; б) 89; в) 90; г) 91; д) 92; е) 93; ж) 94; з) 95.
-2 Рис. 88 4 и 2 Рис. 89 4
-10 Рис. 90 _7 X 6 4 7 Рис. 91 У
-1 4 Z Рис. 92
-3 6 2 5 t Рис. 93
1 2 4 6 8 Р Рис. 94
-4
-2 -1
1 2
Рис. 95
222. Решите уравнение:
а) \k - 1 = \k - 2|; г) \x - 5 = x - 9 ;
б) \l + 2 = \l - 3|; д) \2y + 3 = ~-\y - 51;
в) \m + 3 = m + 8|; е) |3г - 2 = |4г -10
223. Решите уравнение:
а) m - 1 + 4 = 5; в) \р + 9 - 4 t| = 4;
б) |a + 5 - 3 = 9; г) 13 + с - 6 = 0-
224. Решите неравенство:
а) |г - 1 + 7 > 3; в) |и - 6 + 1 > 5;
б) \\y + 4 - 4 < 4; г) |3 - \с - б|| < 0.
61
Правообладатель Народная асвета
225. Решите неравенство:
а) а 1 < 0; б) (b - 2)1 > 0;
226. Решите неравенство:
а) Л < 2; а 3’ 3 ^ 5 . ’ |2у 6’ д)
б) Л < 2; И 9’ г) Л > 2; ^ 3С 9’ е)
в) 17(4с + 12)- > 0.
|5 + d\ 5
\w - S|
> ■
7 ’
<
12
227. Решите систему неравенств:
m ^ 7, ]n + 3 > 4,
а) 3m - 2 > 1, б) 2n - 5 > -3, B) <
4 - m < 7; 7n > 14;
\3к - 5 < 8,
7 - k > 3.
228. Вычислите устно: а) 21 + 7; ж) 21 - (-7);
б) -21 + 7;
в) 21 + (-7);
г) -21 + (-7);
д) 21 - 7;
е) -21 - 7;
з) -21 - (-7);
и) 21 • 7;
к) (-21) • 7;
л) 21 • (-7);
м) (-21) • (-7);
229. Назовите слагаемые алгебраической суммы:
а) -7 + а; в) p + 9 - q; д) -5m + 3n - 11k;
г) 3b - 2c + d;
н) 21 : 7;
о) (-21) : 7;
п) 21 : (-7);
р) (-21) : (-7);
с) | -21 | : (-7);
т) | -21 | : | -7 |.
б) X - у;
Рис. 97 62
е) -4 - 3г - 2s - 6t.
230. Длина дуги AB сектора AOB равна 16п м, а его радиус R равен 20 м (рис. 96). Найдите величину n угла сектора.
231. Радиус основания конуса равен 6 м, а его образующая l равна 15 м (рис. 97). Найдите величину n угла сектора развертки боковой поверхности конуса.
232. Радиус r основания конуса равен 4 м, а его образующая l принадлежит проме-
Правообладатель Народная асвета
2
6
7
жутку [8 м; 18 м] (рис. 98). Запишите двойными неравенствами и неравенствами с модулем возможные значения величины n угла сектора развертки боковой поверхности и площади S боковой поверхности конуса.
233. Трое друзей Вадим, Артем и Оль-герд из Лепеля, Новолукомля и Орши соответственно договорились встретиться в 12 ч в Маргойцах (рис. 99). Определите, каким промежуткам принадлежат скорости, с которыми они ехали на велосипедах, учитывая, что Вадим и Оль-герд выехали между 8 ч и 9 ч, а Артем — между 9 ч и 9 ч 30 мин.
Рис. 99
234. На территории нашей страны живут три вида жаб — камышовая, серая, зеленая. Длина тела жабы зеленой такова, что она является средним арифметическим длин тел жаб камышовой и серой, на 1 см больше длины тела жабы камышовой, а длина тела жабы камышовой относится к длине тела жабы серой как 3 : 4. Найдите длины тел этих земноводных.
235. На рисунке 100 показаны соотношения между периодами развития личинок жабы серой, жабы зеленой, жабы камышовой. Составьте задачу и решите ее.
160
1 Серая Камышовая —1 ,Серая Зеленая 1 сут 1 1 1 1 1
Зеленая Зеленая 1^20 сут^ 1
Рис. 100
63
Правообладатель Народная асвета
* * *
236. На плоскости отмечено 4 точки. Докажите, что их можно распределить на две такие группы, которые нельзя отделить одну от другой никакой прямой.
237. Если разделить произведение чисел 2 и 3 на число 4, произведение чисел 3 и 4 на число 5, произведение чисел 4 и 5 на число 6, то в остатке получится число 2. Какую гипотезу можно выдвинуть? Попробуйте обосновать сформулированное утверждение.
Хотя бы на одной из карточек написано «Получите»
На соседней карточке написано «Получите»
J V.
Рис. 101
238. (Из коллекции профессора Брайена.)
— Как и в прошлый раз, если на синей карточке написано «Получите», то утверждение на ее видимой стороне истинно, а если «Заплатите», то ложно. На белой карточке всё наоборот: если написано «Получите», то утверждение на ее видимой стороне ложно, а если «Заплатите», то истинно, — и профессор положил на стол две карточки, изображенные на рисунке 101.
Какую карточку нужно перевернуть, чтобы выиграть 10 фунтов?
Правообладатель Народная асвета
m
раздел
Четырехугольники
'Внешняя^ G область
Рис. 102
7. Трапеция и параллелограмм
Простая замкнутая ломаная, т. е. замкнутая ломаная без самопересечений, разделяет плоскость на две области — внешнюю и внутреннюю (рис. 102). Внутренняя область вместе с ломаной называется многоугольником. На рисунке 102 синим цветом показан многоугольник ABCDEFG.
Если количество сторон равно четырем, то многоугольник называют четырехугольником. На рисунках 103 и 104 показаны четырехугольники MNOP и PQRS.
Каждый угол чет^трехугольника на рисунке 104 меньше 180 °, поэтому четырехугольник PQRS выпуклый. Четырехугольник MNOP на
рисунке 103 невыпуклый, поскольку его угол PON больше 180 °.
Четырехугольник диагональю можно разбить на два треугольника (рис. 105). Поэтому сумма внутренних углов
R ^
65
Правообладатель Народная асвета
о
м
четырехугольника равна 360°. Выпуклый п-угольник диагоналями, проведенными из одной вершины, разбивается на п - 2 треугольника (рис. 106). Поэтому
сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна
180°(n - 2).
Это утверждение остается верным и для невыпуклых п-угольников (рис. 107), хотя доказать его и не просто.
Четырехугольник может иметь параллельные стороны. Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Четырехугольник, у которого есть две пары параллельных сторон, называется параллелограммом.
Трапеция и параллелограмм имеют ряд общих свойств, потому что и в трапеции и в параллелограмме имеются параллельные стороны.
У четырехугольника KLMN на рисунке 108 параллельными являются только стороны LM и KN, у четырехугольника OPQR на рисунке 109 — только сторо-
R
Рис. 109 ны PQ и OR, а две другие — не-
S V параллельные. Поэтому эти четырехугольники — трапеции.
г т л и У четырехугольника STUV на рисунке 110 параллельными являются стороны ST и UV, а также стороны SV и TU. Поэтому этот четырехугольник — паралле-
Рис. 110 лограмм.
66
Правообладатель Народная асвета
G
E
Рис. 111
Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами.
На рисунке 108 стороны LM и KN — основания трапеции KLMN, а отрезки LK и MN — ее боковые стороны.
Теорема 1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.
Доказательство. Пусть ACEG — трапеция с основаниями AC и GE (рис. 111). Тогда прямые AC и GE параллельны, а углы A и G — внутренние односторонние углы при прямых AC и GE, пересеченных прямой AG. По свойству параллельных прямых сумма этих углов равна 180°.
Теорема 2. Если в четырехугольнике сумма углов, прилежащих к какой-либо стороне, равна 180°, то такой четырехугольник — трапеция или параллелограмм.
Доказательство. Пусть в четырехугольнике OPQR сумма углов O и P, прилежащих к стороне OP, равна 180° (рис. 112). Эти углы являются внутренними односторонними при прямых OR и PQ, пересеченных прямой OP. Используя соответствующий признак параллельных прямых, утверждаем, что стороны OR и PQ параллельны. Если при этом стороны OP и QR непараллельны, то четырехугольник OPQR является трапецией, а если параллельны — то параллелограммом.
Теорема 3. В параллелограмме:
а) противоположные углы равны;
б) противоположные стороны равны.;
в) диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Пусть четырехугольник ABCD — параллелограмм (рис. 113).
а) По определению параллелограмма стороны AB и DC, а также BC и AD параллельны. Параллельность прямых AB и DC, пересеченных прямой BD, влечет за собой равенство углов ABD и CDB, так как это накрест лежащие
67
R
Рис. 112
Правообладатель Народная асвета
углы. Аналогично, параллельность прямых BC и AD, пересеченных прямой BD, влечет за собой равенство углов ADB и CBD. Поэтому углы ABC и CDA равны как суммы равных углов.
Треугольники BAD и DCB равны, так как у них сторона BD общая, а углы ABD и CDB, а также углы ADB и CBD попарно равны. Значит, углы A и C равны друг другу.
б) У треугольников BAD и DCB сторона BD общая, а углы ABD и CDB, а также углы ADB и CBD равны друг другу. Потому эти треугольники равны. Значит, отрезки AB и DC, а также BC и AD равны друг другу как соответствующие стороны равных треугольников.
в) Пусть диагонали AC и BD В С параллелограмма ABCD пере-
секаются в точке Q (рис. 114). Тогда по доказанному отрезки BC и AD равны. Углы ADB и CBD равны как накрест лежащие углы при параллельных BC и AD, пересеченных прямой BD, а углы CAD и ACB равны как накрест лежащие при тех же параллельных, но пересеченных прямой AC. Значит, треугольники BQC и AQD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Из равенства этих треугольников делаем вывод о равенстве их соответствующих сторон BQ и QD, а также CQ и QA.
Теорема 4. Четырехугольник является параллелограммом, если его:
а) противоположные углы попарно равны;
б) противоположные стороны попарно равны.;
в) диагонали точкой пересечения делятся пополам;
г) две противоположные стороны параллельны и равны.
Доказательство. а) Пусть в четырехугольнике KLMN углы K и M равны друг другу и равны а, пусть также равны друг
другу и равны в углы L и N
М
(рис. 115). Учитывая, что
сумма углов четырехугольника равна 360°, получаем, что 2а + 2р = 360°, или а + в = 180°. Учитывая, что углы K и L, равные соответственно а и в, являются внут-
68
Правообладатель Народная асвета
D
E
ренними односторонними углами при прямых KN и LM, пересеченных прямой KL, заключаем, что стороны KN и LM параллельны . Так же по углам K и N заключаем, что стороны KL и NM параллельны. Теперь, по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник KLMN — параллелограмм.
б) Пусть в четырехугольнике CDEF стороны CD и FE, а также CF и DE попарно равны (рис. 116).
Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например CE. Треугольники CDE и EFC равны по трем сторонам. Поэтому углы DEC и FCE равны. Поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых DE и CF, пересеченных прямой CE, то стороны DE и CF параллельны. Так же из равенства углов DCE и FEC получаем, что стороны CD и FE параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник CDEF — параллелограмм.
в) Пусть точка B пересечения диагоналей IL и KM четырехугольника IKLM делит эти диагонали пополам: IB = BL и KB = BM (рис. 117). Тогда треугольники KBL и MBI равны по двум сторонам и углу между ними. Это позволяет утверждать, что углы IMB и LKB равны, а значит, стороны IM и KL
параллельны. Из равенства углов KLB и MIB делаем вывод о параллельности сторон IK и LM. Теперь по определению параллелограмма можем утверждать, что четырехугольник IKLM — параллелограмм.
г) Пусть в четырехугольнике OPQR противоположные стороны OP и RQ параллельны и равны (рис. 118). Проведем диагональ OQ.
Полученные углы POQ и RQO равны, так как они являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых OP и RQ,
69
Правообладатель Народная асвета
R
и
Рис. 119
пересеченных прямой OQ. Поэтому треугольники OPQ и RQO равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, их соответствующие углы PQO и ROQ равны. А поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых PQ и OR, пересеченных прямой OQ, то стороны PQ и OR параллельны. Учитывая параллельность сторон OP и RQ, по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник OPQR — параллелограмм.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией.
На рисунке 119 показана равнобедренная трапеция RSTU.
В такой трапеции серединный перпендикуляр к ее основанию является осью симметрии (рис. 120).
Трапеция, у которой есть прямой угол, называется прямоугольной трапецией.
На рисунке 121 показана прямоугольная трапеция OPQR.
1. Какую фигуру называют многоугольником?
• 2. Какой многоугольник называют четырехугольником?
3. Чему равна сумма внутренних углов многоугольника; четырехугольника?
4. Какой четырехугольник называют трапецией; параллелограммом?
5. Какие стороны трапеции называют основаниями; боковыми сторонами?
6. Сформулируйте свойство углов трапеции.
7. Сформулируйте свойства параллелограмма.
8. Сформулируйте признаки параллелограмма.
9. Какая трапеция называется равнобедренной; прямоугольной?
239. Углы L и N трапеции LMNO соответственно равны 42° и 118°. Найдите два других угла и начертите трапецию с такими углами.
70
Правообладатель Народная асвета
240. Два угла трапеции равны 40° и 110°. Найдите другие ее углы. Начертите трапеции с такими углами, учитывая, что меньшее их основание равно 4 см.
241. Найдите углы трапеции PQRS с основанием PS, учитывая, что:
а) угол P равен 50°, а угол S на 10° меньше его;
б) угол P равен 56°, а угол S в четыре раза меньше его;
в) угол P на 20° меньше угла Q и на 20° больше угла S;
г) угол P на 20° меньше угла Q и на 30° меньше угла S.
242. Докажите, что биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.
243. Найдите углы и установите вид четырехугольника EFGH, учитывая, что:
а) его углы E, F, G, H относятся как 3 : 7 : 4 : 6;
б) пятая доля угла H равна седьмой доле угла E, угол E на 30° больше угла F и вместе с углом G составляет 210°;
в) его углы E, F, G, H относятся как 16 : 12 : 7 : 10.
244. Докажите, что если в трапеции углы при основании равны, то серединный перпендикуляр к этому основанию является осью симметрии трапеции.
245. Найдите углы параллелограмма, учитывая, что:
а) один из них на 40° меньше другого;
б) один из них составляет 20 % другого;
в) один из них составляет 140 % другого;
г) один из них в 3,5 раза больше другого.
246. Точка A пересечения биссектрисы угла L параллелограмма LMNO со стороной MN разделяет эту сторону на отрезки MA и AN, равные 16 дм и 10 дм соответственно. Найдите периметр параллелограмма.
247. Биссектриса SC параллелограмма RSTV разделяет сторону RV на равные отрезки RC и VC. Найдите периметр параллелограмма, учитывая, что сторона TV равна 40 см.
248. Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к большей стороне, разделяют противолежащую сторону на три части. Найдите эти части, учитывая, что стороны параллелограмма равны 5 дм и 12 дм.
71
Правообладатель Народная асвета
249. Перпендикуляр BK, опущенный из вершины B параллелограмма ABCD, разделяет сторону на отрезки AK и DK,
соответственно равные 6 см и 11 см. Найдите стороны и углы параллелограмма, учитывая, что угол А равен 60°.
250. Из вершин K и M параллелограмма KLMN на прямую, содержащую диагональ LN, опущены перпендикуляры KK1 и MM1 (рис. 122 и 123). Докажите, что четырехугольник KK1MM1 — параллелограмм.
Рис. 122
251. Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если:
а) углы, прилежащие к стороне AB, как и углы, прилежащие к стороне BC, вместе составляют 180°;
б) его противоположные углы А и C равны, а углы А и B вместе составляют 180°.
252. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма BCDE, отсекает на его сторонах CD и BE отрезки CK и BL, соответственно равные 1,3 дм и 1,7 дм. Найдите стороны параллелограмма, учитывая, что его периметр равен 10 дм.
253. Постройте параллелограмм, у которого:
а) две стороны равны 3 см и 5 см, а угол между ними составляет 40°;
б) две стороны и диагональ соответственно равны 30 мм, 50 мм и 60 мм;
в) сторона, прилежащий к ней угол и диагональ соответственно равны 4 см, 35° и 5 см.
254. Постройте параллелограмм, у которого стороны равны 5 см и 8 см, а высота, проведенная к одной из этих сторон, делит ее пополам.
255. PS — большее основание трапеции PQRS. Определите, могут ли ее углы P, Q, R, S относиться как:
а) 2 : 7 : 4 : 5; в) 3 : 3 : 1 : 5;
б) 3 : 5 : 6 : 3; г) 5 : 7 : 3 : 9.
72
Правообладатель Народная асвета
256. Одна из диагоналей трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с большим основанием угол в 40°, а другая боковая сторона равна меньшему основанию (рис. 124). Найдите углы трапеции.
5 см
Рис. 124
257. Биссектриса угла P параллелограмма PQRS пересекает сторону QR в точке B. Найдите длины отрезков QB и RB, учитывая, что стороны PQ и PS соответственно равны 10 м и 14 м.
258. Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны.
259. Докажите, что трапеция является равнобедренной, если в ней равны диагонали.
260. Докажите, что из одинаковых плиток в форме трапеции можно сделать паркет, целиком покрывающий плоскость.
261. Решите неравенство:
3а + ^ ,7 a - 8 1 + 7 a
а) —3— <---3— +
5 6 1^ '2
262. Решите систему неравенств
5c - 1 2c - 2 ^ 13c + 9
б) —3— + —=— >
а)
5
+
3 12
- а < а + а 5b -1 2b -1
15 ^ 3 + 5, б) 6 2
3a а + 5 , b + 4
< 3а + 2 6 ’ 1 < 0. 3
-> 0,
263. Упростите выражение:
^ / 1\2 2/2, ч2 2 , ,ч2,
X - (X - 1) ^ X - (X - 1) ^ X (X - 1) - 1_
а) 2 772 2 + 772 7 + 4 , ,2 ’
(X2 + 1)2 - X2 x2(x + 1)2 - 1 X4 - (x + 1)2
X + y X - y 2(mx2 + ny2) 4(m3x4 - n3y4)
mx + ny mx - ny m2x2 + n2y2 m4x4 - n4 y4 '
264. Отметьте в тетради центр симметрии O и отрезок PQ. Постройте фигуру, симметричную отрезку PQ относительно центра O, если центр O:
а) не принадлежит отрезку PQ;
б) принадлежит отрезку PQ.
73
Правообладатель Народная асвета
—
■j R2
Rs
Рис. 125
265. Зависимость сопротивления R электрической цепи, состоящей из трех параллельно соединенных резисторов R1, R2, R3 (рис. 125), задается
формулой — = — + — + —. Выразите
R Ri R2 R3
из этой формулы переменную R3 через переменные R, R1, R2. Найдите значение переменной R3, если:
а) R = 20, R1 = 40, R2 = 60;
б) R = 75, R1 = 125, R2 = 225.
266. Найдите наименьшее натуральное число, третья степень которого кратна числу 588.
267. Сумма пяти различных целых чисел равна 19. Какое наибольшее значение при этом может принимать сумма двух наименьших из них?
268. (Из коллекции профессора Брайена.) На этот раз профессор Брайен положил на стол карточки, показанные на рисунке 126, и был очень доволен.
Результат не зависит от того, какую карточку перевернуть
На соседней карточке написано «Получите»
Рис. 126
— А что сегодня означает цвет карточек?
— Ничего нового по сравнению с прошлой неделей. Если на синей карточке написано «Получите», то утверждение на ее видимой стороне истинно, а если «Заплатите», то ложно. На белой карточке всё наоборот: если написано «Получите», то утверждение на ее видимой стороне ложно, а если «Заплатите», то истинно.
Какую карточку нужно перевернуть, чтобы выиграть 10 фунтов?
74
Правообладатель Народная асвета
•к •к •к
8. Средние линии треугольника и трапеции
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.
На рисунке 127 каждый ^
из отрезков KL, LM, MK является средней линией треугольника ABC.
Теорема 5. Средняя линия треугольника параллельна соответствующей стороне треугольника и равна ее половине. £
Доказательство. Пусть PQ — средняя линия треугольника DEF (рис. 128), т. е.
DP = PE и FQ = QE. На луче PQ за точку Q отложим отрезок QR, равный отрезку PQ, и точку R соединим с точкой F.
Треугольники PQE и RQF равны по двум сторонам и углу
между ними. Значит, отрезок RF равен отрезку DP, а угол EPQ равен углу FRQ. Учитывая, что эти углы являются внутренними накрест лежащими углами при прямых PE и FR, пересеченных прямой PR, получаем, что эти прямые параллельны. По признаку параллелограмма, доказанному в теореме 4 (г), утверждаем, что четырехугольник DPRF — параллелограмм.
Из определения параллелограмма получаем, что средняя линия PQ параллельна стороне DF треугольника DEF.
По свойству параллелограмма, доказанному в теореме 3 (б), получаем, что DF = PR. Но PR = 2PQ. Значит, DF = 2PQ, или
окончательно, PQ = 1DF.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.
На рисунке 129 отрезок AB — средняя линия трапеции UVYZ, так как UA = AV и ZB = BY.
75
Правообладатель Народная асвета
Рис. 130
М Теорема 6. Средняя ли-
ния трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть AB — средняя линия трапеции KLMN (рис. 130). Проведем прямую LB, пусть она пересекает прямую KN в точке С. Треугольники LBM и CBN равны, так как у них углы LBM и CBN равны как вертикальные, углы LMB и CNB равны как накрест лежащие при параллельных LM и KC, пересеченных прямой MN, стороны NB и MB равны по условию. Поэтому отрезки LB и BC равны. Значит, AB есть средняя линия треугольника KLC, а отрезок AB параллелен отрезку KC, и значит, основанию KN трапеции. А поскольку основания KN и LM параллельны, то средняя линия AB параллельна и основанию LM. Мы доказали, что средняя линия трапеции параллельна обоим основаниям трапеции. Докажем теперь, что она равна полусумме этих оснований.
В соответствии с теоремой о средней линии треугольника получаем:
AB = 1KC.
2
Но KC = KN + NC, а NC = LM, поэтому AB = |( KN + NC) = !(KN + LM) =
Следствие. Если прямая проходит через середину стороны треугольника или трапеции и параллельна основанию, то она содержит среднюю линию.
Действительно, если MN — средняя линия, то прямые l и MN проходят через середину M стороны AB треугольника ABC (рис. 131) или трапеции ABCD (рис. 132). Они обе параллельны основанию. А поскольку через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной, то прямые l и MN совпадают.
76
KN + LM
Рис. 132
D
Правообладатель Народная асвета
Рис. 133
Задача. Докажем, что координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.
Найдем координаты (xq; yC) середины C отрезка с концами в точках A(xi; yi) и B(x2; y^).
Пусть, для определенности, х1 < х2 и у1 > y2. Проведем через точки A, B и C параллельно координатным осям прямые (рис. 133).
Тогда по доказанному следствию отрезки CM и CN — средние линии треугольника KAB. Значит,
CN = 1BK = х, - х2 \ = ^(х, - х,),
2 ^ 1 ^ 2^ 2 1'^
CM = 2AK = -2| У1 - у,\ = -|( У1 - y,).
Тогда
хс = х, + KM = х, + CN = х, + 2(x2 - х,) = 1 (х, + х2),
Ус = У2 + KN = У2 + CM = У2 + 12(Уl - У2) = :2( у, + У2).
Подобные рассуждения проводятся и тогда, когда х, = х2 или х, > Х2 и у, = У2 или у, < У2.
Теорема 7. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, и каждая из них делится точкой пересечения в отношении 2 : 1, если считать от вершины.
Доказательство. Пусть медианы MB и PA треугольника MNP пересекаются в точке O (рис. !34).
Найдем середины С и D отрезков OP и OM и рассмотрим четырехугольник ABCD. Его стороны AB и DC параллельны и равны как средние линии треугольников MNP и MOP с общей стороной MP. Поэтому четырехугольник ABCD — параллелограмм.
Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то OD = OB. Учитывая, что D — середина отрезка OM, получаем MD = OD = OB. Значит, MO '■ OB = 2 '■ !. Рис. ,34 Так же PO '■ OA = 2 ■ !.
77
N
Правообладатель Народная асвета
N
Остается доказать, что третья медиана NE проходит через точку O. Пусть медианы NE и MB пересекаются в точке Oi (рис. 135). Тогда по доказанному MOi ■ O1B = 2 ■ 1. Учитывая, что и MO ■ OB = 2 ■ 1, заключаем, что точки O1 и O делят отрезок MB в одном и том же отношении. А это значит, что точка O1 совпадает с точкой O. Значит, медиана NE проходит через точку O пересечения медиан MB и PA.
1. Какой отрезок называют средней линией треугольника; трапеции?
• 2. Сформулируйте свойство средней линии треугольника; трапеции.
3. Сформулируйте теорему о точке пересечения медиан треугольника.
269. Точки A1, B1, C1 — середины сторон BC, AC, AB треугольника ABC, которые равны соответственно 6 см, 10 см, 14 см. Найдите длину отрезка:
а) A1B1; б) A1C1; в) B1C1.
270. Стороны LM, MN, NL треугольника LMN соответственно равны 8 см, 10 см, 14 см. Найдите периметр треугольника L1M1N1, где L1, M1, N1 — середины сторон MN, NL, LM соответственно.
271. На половине длины стропил, концы которых раздвинуты на 6 м, сделан ригель (рис. 136). Определите длину ригеля.
272. Раствор полевого циркуля (рис. 137) равен 2 м. Найдите длину распорки, прикрепленной к середине ножек циркуля.
78
в м
Рис. 136
Правообладатель Народная асвета
273. Докажите, что если через середину C стороны KL треугольника KLM провести прямую т, параллельную стороне KM, то ее отрезок CD, заключенный между сторонами KL и LM, является средней линией треугольника KLM.
274. Используя рисунок 138, опишите, как с помощью свойства средней линии треугольника можно определить расстояние между двумя объектами, один из которых недоступен.
275. Точки A и B — середины сторон PQ и QR треугольника PQR. Найдите периметр треугольника PQR, если периметр треугольника AQB равен 38 см.
276. Стороны треугольника CDE относятся как 3 : 5 : 7, а его периметр равен 75 дм. Найдите периметр и стороны треугольника MON, вершины которого являются серединами сторон треугольника CDE.
277. Стороны треугольника IJK относятся как 4 : 5 : 7. Когда соединили середины сторон этого треугольника, то получился треугольник с периметром, равным 480 мм.
Найдите периметр и стороны треугольника IJK.
278. Точки A и B выбраны по разные стороны от прямой l и на расстояниях 10 см и 6 см от нее. Определите, на каком расстоянии от прямой l находится середина O отрезка AB.
279. Через вершины L, M, N параллельно противоположным сторонам треугольника LMN провели прямые, которые пересекаются в точках D, E, F. Докажите, что точки L, M, N являются серединами сторон треугольника DEF. Найдите стороны треугольника DEF, учитывая, что стороны треугольника LMN равны 6 см, 11 см и 15 см.
280. Высота CC1 равностороннего треугольника BCD равна 8 дм (рис. 139). Найдите проекцию отрезка CC1 (множество оснований
79
Правообладатель Народная асвета
в перпендикуляров, опущен-
ных из точек CCi) на другую высоту DD^.
281. Отрезок PQ — средняя линия треугольника ABC (рис. 140). На луче AC выбрана произвольно точка K, которую соединили с вершиной B. Определите, в каком отношении отрезок BK делится прямой PQ.
282. Найдите среднюю линию трапеции, учитывая, что ее основания равны:
а) 27 мм и 43 мм; б) 2,73 м и 4,39 м; в) 3,8 дм и 26 см.
283. Концы отрезка AB, расположенного с одной стороны от прямой l, отстоят от нее на 47 мм и 79 мм. Определите, на каком расстоянии от прямой l находится середина O отрезка AB.
284. Основания трапеции относятся как 7 : 4 и отличаются на 39 мм. Найдите среднюю линию этой трапеции.
285. Средняя линия трапеции делится диагональю трапеции на два отрезка, один из которых на 30 мм длиннее другого. Найдите основания трапеции, если ее средняя линия равна 110 мм.
286. Диагонали трапеции разделяют ее среднюю линию на три доли. Определите, во сколько раз одно основание трапеции больше другого.
287. Диагонали трапеции являются биссектрисами ее острых углов. Найдите среднюю линию трапеции, учитывая, что периметр трапеции равен 112 см, а основания относятся как 3 : 5.
288. Основания прямоугольной трапеции относятся как 4 : 5, ее средняя линия равна 45 см, а один из углов составляет 135°. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.
289. Отрезки, на которые диагональ трапеции разделяет ее среднюю линию, относятся как 3 : 10, и один из этих отрезков на 49 см длиннее. Найдите основания трапеции.
290. Докажите, что:
а) каждый отрезок с концами на основаниях трапеции разделяется ее средней линией на равные части;
б) если диагонали трапеции являются биссектрисами ее острых углов, то такая трапеция равнобедренная.
80
Правообладатель Народная асвета
Рис. 141
m-i
m2
Рис. 142
291. Можно ли утверждать, что:
а) если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то ее средняя линия равна высоте трапеции;
б) если средняя линия трапеции равна ее высоте, то такая трапеция равнобедренная?
292. Диагональ прямоугольной трапеции разделяет ее на два треугольника — равносторонний со стороной 8 см и прямоугольный. Найдите среднюю линию трапеции.
293. Диагональ трапеции перпендикулярна к обоим основаниям. Большее основание равно 14 см, прилежащий к ней тупой угол составляет 120°, а боковая сторона, лежащая на стороне этого угла, равна 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.
294. Высота равностороннего треугольника равна 63 мм. Найдите расстояние от точки пересечения биссектрис треугольника до его стороны.
295. Постройте треугольник KLN, точка пересечения медиан которого совпадает с вершиной M данного треугольника KLM (рис. 141).
296. Постройте треугольник RST, учитывая, что его сторона RS и медианы RR1 и SS1 соответственно равны отрезкам а, m1, m2 на рисунке 142.
297. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, а высота, проведенная к нему, — 10 см. Найдите медиану, проведенную к боковой стороне.
298. Проекции AB1 и ACx сторон AB и AC треугольника ABC на прямую, проходящую через вершину A этого треугольника, оказались равными 7 см и 4 см
81
Правообладатель Народная асвета
(рис. 143 и 144). Найдите расстояния от проекции М1 точки M пересечения медиан треугольника до проекций вершин треугольника.
299. Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника, равен полусумме двух других сторон. Докажите, что этот четырехугольник является трапецией или параллелограммом.
300. Начертите в тетради ось симметрии l и отрезок AB. Постройте фигуру, симметричную отрезку AB относительно оси l, учитывая, что отрезок AB:
а) не пересекает ось l; б) пересекает ось l.
301. Решите неравенство:
а) |7^ < 21; в) \Ь - 5 > 9;
б) |4a > 24; г) |2 - 3х| < 4;
302. Докажите, что:
а) произведение двух средних из четырех последовательных натуральных чисел больше произведения двух крайних;
б) квадрат среднего из трех последовательных натуральных чисел больше произведения двух крайних.
303. Докажите, что:
а) если а > 0 и Ь > 0, то (а + Ь) ^ — + -1 j > 4;
д) |4 + у\< 7;
е) \2г + 5 > 11.
б) если k > 0, l > 0, m > 0, то (k + l + m) {1 + 1 + —
\k l m
> 9.
304. Треугольник ограничен боковой стороной трапеции и биссектрисами ее углов, прилежащих к этой стороне. Докажите, что медиана треугольника, проведенная к этой боковой стороне трапеции, параллельна ее основаниям.
305. На территории нашей страны гнездятся четыре вида луней — болотный, полевой, луговой, степной. Длина тела луня болотного на 3 см больше длины тела луня полевого и на 47 см меньше суммарной длины тел луней полевого и степного. Длина тела луня степного на 2 см меньше длины
82
Правообладатель Народная асвета
Степной Луговой 70ri О О ! Степной
Полевой 230г :
Болотный 130 г : |^1300г
Рис. 145
тела луня лугового. Найдите длины тел этих птиц, учитывая, что их суммарная длина составляет 205 см.
306. На рисунке 145 представлены соотношения между массами разных видов луней, гнездящихся на территории нашей страны. Составьте задачу и решите ее. По полученному ответу составьте новую задачу.
* * *
307. Среди сорока монет есть две фальшивые, одна из которых немного легче, другая — немного тяжелее настоящих. Можно ли за четыре взвешивания на чашечных весах определить, какое из утверждений истинно: две фальшивые монеты весят столько же, как и две настоящие; две фальшивые монеты весят больше, чем две настоящие; две фальшивые монеты весят меньше, чем две настоящие?
308. Каждая точка прямой имеет один из двух цветов. Докажите, что на этой прямой можно найти три такие точки А, В и С одного цвета, что В является серединой отрезка АС.
309. (Из коллекции профессора Брайена.)
— Испытайте сегодня счастье. — На этот раз профессор положил на стол синюю и белую карточки, показанные на рисунке 146.
/ \
Вам есть
из чего выбрать
ч )
/ \
Лучше выбрать
синюю карточку
\ )
Рис. 146
83
Правообладатель Народная асвета
— Цвета означают то же, что и раньше?
— Да, если на синей карточке написано «Получите», то надпись на ее видимой стороне верная, а если «Заплатите», то ложная. Для белой карточки всё наоборот: если написано «Получите», то надпись на ее видимой стороне ложная, а если «Заплатите», то верная.
Какую карточку нужно перевернуть, чтобы выиграть 10 фунтов?
9. Прямоугольник, ромб, квадрат
Рассмотрим параллелограмм ABCD, у которого есть прямой угол A (рис. 147). По свойству углов, прилежащих к
Q одной стороне, получаем, что углы A и B вместе составляют 180°. Значит,
Z B = 180° - Z A = 180° - 90° = 90°.
В соответствии со свойством противоположных углов параллелограмма можем записать:
Рис. 147
Z C = ZA = 90°; Z D = Z B = 90°.
Таким образом, если один угол параллелограмма прямой, то и три других его угла также прямые.
Параллелограмм, у которого есть прямой угол, называется прямоугольником.
Поскольку прямоугольник является параллелограммом, то у прямоугольника есть все свойства параллелограмма. Но прямоугольник имеет и особые свойства.
Прежде чем установить эти свойства, напомним, что фигура называется осесимметричной, если для каждой точки этой фигуры осесимметричная ей точка также принадлежит этой фигуре. Осесимметричные точки лежат на одинаковых расстояниях по разные стороны от оси симметрии на одном перпендикуляре к ней. На рисунке 148 точки An A', а также
Рис. 148
84
Правообладатель Народная асвета
Рис. 149
Рис. 150
B и B' — осесимметричны. Если точка C лежит на оси симметрии l, то симметричная ей точка С1 совпадает с точкой C. На рисунках 149, 150, 151 приведены примеры осесимметричных фигур.
Теорема 8. Диагонали прямоугольника равны.
Доказательство. Пусть отрезки PR и QS — диагонали
S
R
Рис. 152
прямоугольника PQRS (рис. 152). Треугольники PQR и QPS равны, так как они оба прямоугольные, имеют общий катет PQ, а катеты QR и PS равны как противоположные стороны параллелограмма PQRS. Значит, диагонали PR и QS равны как гипотенузы равных прямоугольных треугольников PQR и QPS.
Теорема 9. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
Доказательство. Пусть в параллелограмме EFGH диагонали EG и FH равны (рис. 153). Тогда треугольники EFG и FEH равны по трем сторонам. Значит, равны соответствующие углы EFG и FEH этих треугольников. Поскольку эти углы являются прилежащими к одной стороне EF параллелограмма, то вместе они составляют 180°. Значит, каждый из них равен 90°. Теперь, применив определение прямоугольника, можем утверждать, что параллелограмм EFGH является прямоугольником.
G
Правообладатель Народная асвета
Рис. 154
Рассмотрим параллелограмм PQRS, у которого смежные стороны PQ и PS равны (рис. 154). Поскольку стороны QR и PS, а также SR и PQ равны друг другу как противоположные стороны параллелограмма, то получается, что у параллелограмма PQRS все стороны равны.
Параллелограмм, у которого есть пара равных смежных сторон, называется ромбом.
По определению ромб является параллелограммом. Потому у ромба есть все свойства параллелограмма. Установим особые свойства ромба.
Теорема 10. У ромба диагонали:
а) перпендикулярны;
б) лежат на биссектрисах соответствующих углов.
Доказательство. а) Пусть KM и LN — диагонали ромба
KLMN, которые пересекаются в точке Q (рис. 155). Поскольку ромб является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, LQ — медиана треугольника KLM. Но треугольник KLM равнобедренный, так как KL = ML. Поэтому медиана LQ является и высотой треугольника KLM. Отсюда следует, что отрезки KM и LQ, а значит, и отрезки KM и LN перпендикулярны.
б) Пусть KM и LN — диагонали ромба KLMN, пересекающиеся в точке Q (см. рис. 155). Поскольку LQ — медиана равнобедренного треугольника KLM, то LQ, а значит, и LN, лежит на биссектрисе угла KLM.
Теорема 11. Параллелограмм является ромбом, если:
а) его диагонали перпендикулярны;
б) его диагональ лежит на биссектрисах соответствующих углов.
Доказательство. а) Пусть AK и BL — диагонали параллелограмма ABKL, пересекающиеся в точке O под прямым углом (рис. 156). Тогда в треугольнике BKL отрезок KO является медианой и высотой. По соответствующему при-
• М
N
Рис. 155
86
Правообладатель Народная асвета
в
к
D
м
Рис. 156
Рис. 157
Рис. 158
знаку этот треугольник равнобедренный, т. е. KB = KL. Но KB и KL — смежные стороны параллелограмма ABKL. Значит, этот параллелограмм является ромбом.
б) Пусть CM и DN — диагонали параллелограмма CDMN, которые пересекаются в точке Q, и, значит, диагональ DN лежит на биссектрисах углов D и N (рис. 157). Тогда в треугольнике CDM отрезок DQ — медиана и биссектриса. По соответствующему признаку этот треугольник равнобедренный, т. е. DC = DM. Но DC и DM — смежные стороны параллелограмма CDMN. Значит, параллелограмм CDMN является ромбом.
Квадратом называется прямоугольник, у которого есть пара равных смежных сторон (рис. 158).
Понятно, что у квадрата все стороны равны. Значит, квадрат является и ромбом.
Квадрат можно определить и как ромб, у которого есть прямой угол.
Поскольку квадрат является и прямоугольником, и ромбом, то у квадрата есть все свойства прямоугольника (рис. 159) и все свойства ромба (рис. 160).
Параллелограмм — центрально-симметричная фигура, точка пересечения диагоналей является его центром симметрии (рис. 161). Прямоугольник и ромб примечательны тем,
Рис. 160
87
Правообладатель Народная асвета
Рис. 162
Рис. 164
что они имеют еще по две оси симметрии. Это серединные перпендикуляры к сторонам прямоугольника (рис. 162) и диагонали ромба (рис. 163). Квадрат владеет еще большей симметрией: это четырехугольник, имеющий четыре оси симметрии и центр симметрии (рис. 164).
Теперь вы знаете разные виды четырехугольников и основные их свойства и признаки. Соотношения между видами четырехугольников представлены на рисунке 165.
Четырехугольник
Рис. 165
1. Какой параллелограмм называется прямоугольником; ромбом?
• 2. Какие точки называются осесимметричными; центрально-симме-
тричными?
3. Сформулируйте те свойства прямоугольника, которые перешли к нему от параллелограмма.
4. Сформулируйте особые свойства прямоугольника.
88
Правообладатель Народная асвета
5. Сформулируйте признаки прямоугольника.
6. Сформулируйте те свойства ромба, которые перешли к нему от параллелограмма.
7. Сформулируйте особые свойства ромба.
8. Сформулируйте признаки ромба.
9. Дайте определение квадрата как вида прямоугольника; как вида ромба.
10. Сформулируйте свойства квадрата.
11. Сформулируйте признаки квадрата.
12. Назовите виды четырехугольников, имеющих центр симметрии.
13. Назовите оси симметрии прямоугольника; ромба; квадрата.
310. Постройте прямоугольник, у которого:
а) смежные стороны равны 4 см и 7 см;
б) диагональ равна 55 мм, а ее угол со стороной составляет 35°;
в) сторона равна 48 мм, а диагональ — 60 мм;
г) диагональ равна 60 мм, а угол между диагоналями — 55°;
д) сторона равна 45 мм, а угол между диагоналями — 40°.
311. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то он является параллелограммом.
312. Из двух пар равных планок сбили четырехугольник (рис. 166). Как проверить, имеет ли он прямоугольную форму?
313. Диагональ прямоугольника образует с его стороной угол в 38°.
Найдите угол между диагоналями.
314. Перпендикуляры, опущенные из точки пересечения диагоналей прямоугольника на его стороны, равны 3 см и 7 см. Найдите периметр прямоугольника.
Рис. 166
315. Перпендикуляр из вершины прямого угла прямоугольника к его диагонали делит этот угол в отношении 7 : 8. Найдите:
а) углы, которые диагональ образует со сторонами прямоугольника;
б) угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.
316. Диагонали прямоугольника пересекаются под углом в 52°. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.
89
Правообладатель Народная асвета
317. Найдите диагонали прямоугольника, учитывая, что его стороны равны:
а) 6 см и 8 см; в) 8 дм и 15 дм;
б) 20 м и 21 м; г) 12 см и 35 см.
318. Диагональ ромба длиной 8 см образует с его стороной угол в 60°. Найдите сторону ромба.
319. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — прямоугольник.
320. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит ее в отношении 9 : 16. Найдите периметр прямоугольника, учитывая, что точка пересечения его диагоналей отстоит на 40 см от:
а) меньшей стороны; б) большей стороны.
321. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов прямоугольника являются вершинами прямоугольника.
322. Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Найдите:
а) углы ромба;
б) углы, которые сторона ромба образует с диагоналями.
323. Из равных треугольников составлен ромб. Какие это треугольники, если их использовано:
а) 2; б) 4?
324. Высоты, проведенные из одной вершины ромба, образуют угол, равный 40°. Найдите:
а) углы ромба;
б) углы, которые сторона ромба образует с диагоналями.
325. Для того чтобы проверить, что данный четырехугольник является ромбом, достаточно ли убедиться в том, что одна часть четырехугольника совпадает с другой при его сгибании по каждой диагонали?
326. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а один из углов — 120°. Постройте треугольник, симметричный данному треугольнику относительно середины его основания. Определите периметр и меньшую диагональ полученного четырехугольника.
90
Правообладатель Народная асвета
327. Постройте квадрат, в котором:
а) сторона равна 5 см;
б) диагональ равна 6 см.
328. Определите, является ли четырехугольник квадратом, если:
а) его диагонали равны и перпендикулярны;
б) он ромб с равными диагоналями;
в) его диагонали перпендикулярны и имеют общую середину;
г) его диагонали перпендикулярны, равны и имеют общую середину.
329. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются точки пересечения проведенных прямых. Найдите периметр этого четырехугольника, учитывая, что диагональ данного квадрата равна 12 см.
330. Из точки пересечения биссектрисы прямого угла прямоугольного треугольника с гипотенузой опущены перпендикуляры на катеты. Докажите, что полученный четырехугольник является квадратом.
331. Найдите:
а) диагональ квадрата, сторона которого равна диагонали квадрата со стороной 1 м;
б) сторону квадрата, диагональ которого равна стороне квадрата с диагональю, равной 1 м.
332. Найдите диагонали четырехугольника, вершинами которого являются точки пересечения биссектрис углов прямоугольника со сторонами 2 м и 6 м.
а)
б)
333. Упростите рациональное выражение:
x - у \ у - x 8
-- - x + у I ^ + —;
5 x "/ 8 5x
5 + 4 m
2
1 -10 m
2m + 1 4m2 + 10 m '1 + 2m 1 - 10 m
2m + 5
5 + 2m
91
Правообладатель Народная асвета
а) <
334. Решите систему неравенств:
б) '
7 d + ^,1 - 2d
бЬа ----<------ 1,
3 + 4^ 2 - 3d
------2d > 5 +-----;
3^ -17 + 6 <
5 2 3
8 - ^ 2b - 5 >---------+ 1.
335. Два участка — прямоугольный размерами 310 м х 250 м, и квадратный — имеют ограды одинаковой длины. Площадь какого участка больше и на сколько?
336. Докажите, что:
а) если a > 3, то значение выражения рицательное;
б) если b > 1, то значение выражения положительное.
a — 3 a + 3
a + 3 a — 3
2 .
b
1 + A
от-
b -1
b-3
337. На координатной плоскости постройте четырехугольник по координатам его вершин: A(-2; 0), B(0; 5), C(2; 3), D(3; -3). Найдите координаты:
а) точки O пересечения диагоналей четырехугольника;
б) середин P, Q, R, S его сторон AD, AB, BC, CD соответственно;
в) точек M и N пересечения диагонали AC со сторонами четырехугольника PQRS;
г) точек K и L пересечения диагонали BD со сторонами четырехугольника PQRS.
338. Измерьте стороны и углы четырехугольника PQRS, полученного при выполнении упражнения 337. Сравните между собой стороны и углы. Что вы можете сказать о четырехугольнике PQRS?
339. Периметр параллелограмма QRST равен 16 м и отличается от периметра треугольника QRT на 1 м. Найдите стороны параллелограмма и его диагональ RT, учитывая, что одна сторона параллелограмма больше другой на 2 м.
* * *
340. Какое наименьшее количество множителей в произведении всех натуральных чисел от 1 до 28 нужно зачеркнуть, чтобы произведение оставшихся чисел было точным квадратом?
92
Правообладатель Народная асвета
341. Найдите наименьшее число, которое начинается с цифры 1 и увеличивается втрое, если ее перенести в конец числа.
342. (Из коллекции профессора Брайена.) На этот раз профессор положил на стол синюю и белую карточки вообще без надписей (рис. 167).
N /
у V
Рис. 167
— Неужели сегодня, уважаемый профессор, вы решили оставить нас на волю случая и отказываете в подсказках?
— Нет, для того, кто сегодня рискнет сыграть, у меня есть подсказки, — и профессор выложил еще одну карточку, показанную на рисунке 168.
>-
На этой карточке написано «Заплатите»
На обеих карточках написано «Заплатите»
Рис. 168
-<
— А какая надпись соответствует синей карточке?
— Знать это вам совсем не обязательно, нужно только помнить, что если на синей карточке написано «Получите», то надпись на ее видимой стороне верная, а если «Заплатите», то ложная. Для белой карточки всё наоборот: если написано «Получите», то надпись на ее видимой стороне ложная, а если «Заплатите», то верная.
Какую карточку нужно перевернуть, чтобы выиграть 10 фунтов?
Правообладатель Народная асвета
I III
раздел
Квадратные
корни
10. Рациональные числа
Множество натуральных чисел N является первым числовым множеством, которое вы изучали в школе (рис. 169). Сложение и умножение натуральных чисел также дают результатом натуральное число. Однако это не так для вычитания и деления натуральных чисел. Например, в множестве натуральных чисел выражения 3 - 7 и 3 : 7 не имеют значений.
г '
Множество натуральных чисел
N
1, 2, 3, 4, 5,... .
Если аиЪ — натуральные числа, то а + Ъиа'Ь — также натуральные числа.
Разность 3-7 не является натуральным числом.
Рие. 169 [Частное 3: 7 не является натуральным числом.^
Если множество натуральных чисел пополнить числами, противоположными натуральным числам, и числом 0, то получится множество целых чисел Z (рис. 170). Сложение, умножение и вычитание целых чисел также дают результа-
Множество целых чисел Z
.., -3, -2, -1, о, 1, 2, 3,...
Рис. 170
94
Если аиЬ — целые числа, то a + b,a-bua'b — также целые числа.
Частное 3 : 7 не является целым числом.
Правообладатель Народная асвета
том целое число. Однако это не так для деления целых чисел: выражение 3 : 7 не имеет значения в множестве целых чисел.
Если множество целых чисел пополнить дробными числами, то получится множество рациональных чисел Q (рис. 171). Сложение, умножение, вычитание и деление при не равном нулю делителе дают результатом рациональное число.
Множество рациональных чисел
Q
Целые числа
,-2,-1,0,1,2,...
Дробные числа
7_.
12’
Т_.
12’
9
-Зк и др.
Если аиЬ — рациональные числа, то а + Ь, а-Ъ, а'Ъ,а'.Ъ{ЪфО) — также рациональные числа.
Рис. 171
Связи между множествами известных вам чисел показаны на рисунке 172.
Любое рациональное число можно представить дробью вида a, где а — целое число, b — натуральное число, при-
чем это представление неоднозначное:
10
20
70 . 140’
2 = 2 = 4 = 10
70 . 35 ’
-0 9 = -9 = ^18 = л45 = -324. , 10 20 50 360 ’
- 31 = -10
-20
6
-200
-3000
3 3 6 60 900
Каждая из равных между собой дробей является представителем некоторого рационального числа. Среди представителей того или иного рационального числа есть пред-
95
Правообладатель Народная асвета
ставитель с наименьшим знаменателем. Этот представитель является несократимой дробью.
Любое рациональное число можно представить десятичной дробью. Причем, если разложение знаменателя несократимого представителя этого числа является произведением только двоек и пятерок, то получается конечная десятичная дробь. Например:
37 _ 37 _ 37 • 5 • 5 _ 37 • 5 • 5 _
40 _ 2 • 2 • 2 • 5 _ 2 • 2 • 2 • 5 • 5 • 5 _ (2 • 5) • (2 • 5) • (2 • 5) _
37•25 925
11 _ 11
250 2•5 • 5 • 5
10 • 10 • 10 11•2 • 2
1000
_ 0,925.
11 • 4
44
_ 0,044.
(2•5)•(2•5)•(2•5) 10•10 • 10 1000
Если разложение знаменателя несократимого представителя рационального числа содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то получается бесконечная периодическая десятичная дробь.
Найдем десятичное представление числа -|6, поделив числитель 16 на знаменатель 37.
16 137. 160 37 . 160 37 . 160 37
0 . 148 0,4’ 148 0,43. 148 0,432
12 120 111 120 111
9 _ 90
74 16
Проведя 4 шага деления, замечаем, что очередной остаток 16 повторил число, с которого началось деление. Это означает, что будут повторяться и следующие остатки, причем в том же порядке, а значит, будут повторяться и цифры частного. Таким образом,
16 _ 0,432432432^ .
37
Повторяющаяся группа цифр 432 называется периодом десятичной дроби, а сама дробь — бесконечной периодической десятичной дробью.
Бесконечные периодические десятичные дроби принято записывать короче, заключая период в скобки:
16
37
_ 0,(432).
96
Правообладатель Народная асвета
Запись 0,(432) читают: 0 целых и 432 в периоде.
При представлении некоторых рациональных чисел десятичными дробями повторяющаяся группа цифр может начинаться не сразу после целой части. Например:
I7 = 0,6351351351^ = 0,6(351);
21| = 2,8636363^ = 2,8(63);
13-41 = 13,54666^ = 13,54(6);
7 5
3^L = 3,64181181181^ = 3,64(181).
Группа цифр между целой частью и периодом называется допериодом. В записи 13,54(6) допериод равен 54, период равен 6. Эта запись читается: 13 целых 54 сотых и 6 в периоде.
Таким образом, любое рациональное число можно представить конечной десятичной дробью или бесконечной периодической десятичной дробью.
Верно и обратное утверждение: каждая десятичная дробь, как конечная, так и бесконечная периодическая, представляет некоторое рациональное число.
Вы умеете от представления рационального числа конечной десятичной дробью перейти к его представлению обыкновенной дробью:
0,16 = 6,375 = = 6-3.
’ 100 2^ ^ ’ 1000 8
При переходе от бесконечной периодической десятичной дроби к обыкновенной дроби можно пользоваться следующими правилами:
Бесконечная десятичная периодическая дробь без допериода равна обыкновенной дроби, числитель которой равен периоду, а знаменатель — числу, записанному столькими девятками, сколько цифр в периоде (рис. 173).
Период
0,(432) = 732 = = 16.
Бесконечная десятичная периодическая дробь с допериодом равна обыкновенной дроби, чис-
Правообладатель Народная асвета
литель которой равен разности между числом, записанным цифрами от десятичной запятой до конца первого периода, и числом, записанным цифрами допериода, а знаменатель — числу, записанному столькими девятками, сколько цифр в периоде, и столькими нулями, сколько цифр в допериоде:
0,6(351)=
6351 - 6 9990
6345
9990
705
1110
141
222
47. 74 .
3,64(189) = 3 + 64189 Л64 = 3 + -64125 = 3 + 2565
99900
99900
3996
= 3 + -285 = 3 + _95 = ^95 (рис. 174). 444 148 148 ^
1. Выполнение каких действий над натуральными числами всегда дает • результатом натуральное число? Какие действия не всегда выполнимы
в множестве натуральных чисел?
2. Как из множества натуральных чисел получить множество целых чисел?
3. Выполнение каких действий над целыми числами всегда дает в результате целое число? Какие действия не всегда выполнимы в множестве целых чисел?
4. Как из множества целых чисел получить множество рациональных чисел?
5. Выполнение каких действий над рациональными числами всегда дает результатом рациональное число?
6. Дробью какого вида можно представить любое рациональное число?
7. Какое рациональное число можно представить конечной десятичной дробью?
8. Какое рациональное число представляется бесконечной периодической десятичной дробью?
9. Что называют периодом бесконечной периодической десятичной дроби. допериодом бесконечной периодической десятичной дроби?
10. Как читают бесконечные периодические десятичные дроби без допериода. с допериодом?
11. Как конечную десятичную дробь преобразовать в обыкновенную?
98
Правообладатель Народная асвета
343. Есть числа -97; -1,27; -1; 0; 0,08; 19; 123.
7 13
Выпишите из них те, которые являются:
а) натуральными;
б) целыми;
в) целыми отрицательными;
г) целыми неотрицательными;
д) целыми положительными;
е) целыми неположительными;
ж) дробными положительными;
з) дробными отрицательными;
и) рациональными;
к) рациональными положительными;
л) рациональными отрицательными;
м) рациональными неотрицательными.
344. Определите, истинно ли утверждение:
а) каждое натуральное число является целым;
б) каждое натуральное число является рациональным;
в) каждое натуральное число является положительным;
г) каждое натуральное число является отрицательным;
д) каждое натуральное число является неотрицательным;
е) каждое натуральное число является нецелым;
ж) каждое натуральное число является нерациональным.
345. Определите, истинно ли утверждение:
а) каждое целое число является натуральным;
б) каждое целое число является рациональным;
в) каждое целое число является положительным;
г) каждое целое число является отрицательным;
д) каждое целое число является ненатуральным;
е) каждое целое число является недробным;
ж) каждое целое число является нерациональным.
346. Отношением целого числа к натуральному несколькими способами представьте рациональное число:
а) 12;
^ 3 ’
г) 34. ^ 5
б) 18; в) -0,3;
347. Несократимой дробью представьте рациональное число:
а) 2i3;
б) -11;
в) -1,9;
г) 157. ^ 15
99
Правообладатель Народная асвета
348. число: Десятичной дробью представьте рациональное
а) 1; ^ 3’ б) в) - ч 17 г) -^; д) -1170.
349. число: Десятичной дробью представьте рациональное
а) 8; ^ 3’ б) ^1; в) ^ 21’ ч 19 г) -55; д) 7111.
350. Сравните рациональные числа:
а) 0,234 и 0,238;
б) -2,786 и -2,768;
в) 7 и 0,875; / 8 ’ ’
г) 0,68(3) и
41 60 '
б)
351. Сравните рациональные числа:
и 0,2047; и 0,435248.
100 101 и 0,99; г) 300 808
11 и 0,1089; д) 517
101 2525
151 и 0,18688; е) 1099
808 2525
352. Найдите представление бесконечной периодической десятичной дробью рационального числа с числителем 13 и знаменателем:
а) 9;
б) 11;
в) 16;
г) 21;
д) 27.
353. Обыкновенной дробью представьте рациональное число:
а) 0,(24);
б) 0,(45);
в) 3,23(5);
г) 4,9(3);
д) -6,736(1);
е) 0,(923076).
354. Докажите, что:
а) если a — четное число, то и а2 — также четное число;
б) если а2 — четное число, то и а — также четное число;
в) если a — нечетное число, то и a2 — также нечетное число;
г) если а2 — нечетное число, то и а — также нечетное число.
100
Правообладатель Народная асвета
355. Рациональной дробью представьте выражение:
а)
б)
2т m + n
3n + 4mn
m - n 8 - b
2 2 ’ m - n
b-8
b - 4 b3 - 64 16b + 4b2 + b3
в) (1 +
1 - k
1 - k2 k2 + k
l + 1 1 - l
2
г)
2 2 r - s
r3 - s3
356. Упростите выражение:
д) e 7 : e4;
^^c) OC ^ * OC 2t;
з) y-^^ ■ y-5^.
а) a 2a8; в) p ip2i;
б) b2b 8; г) q-2lq21; е) f 8 : f 5;
357. Точки M, N, O, P расположены на прямой так, что MN = 21, NO = 32, OP = 10. Найдите длины отрезков MP и MO, учитывая, что:
а) луч OM содержит точки N и P;
б) луч OM содержит точку N и не содержит точки P.
358. На продолжении стороны MN равнобедренного треугольника с основанием MP за точку N отложили отрезок NO, равный MN. Докажите, что треугольник MOP прямоугольный.
359. Найдите точку A1(x1), симметричную точке A(x) относительно точки S(a), если:
а) a = 0; x = 5; в) a = -4; x = 3;
б) a = -2; x = 3; г) a = -5; x = -1.
360. Кусок сплава меди с цинком массой 36 кг содержит 45 % меди. Сколько меди нужно добавить к этому куску, чтобы после переплавки получить сплав с 60-процентным содержанием меди?
361. Есть два сплава золота с серебром. В первом сплаве массы этих металлов относятся как 1 : 2, а во втором — как 2 : 3. Сколько граммов первого и второго сплавов нужно взять, чтобы получить 19 г сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 7 : 12?
362. Есть три куска сплавов меди с никелем, в которых эти металлы содержатся по массе в отношениях 2 : 1, 3 : 1 и 5 : 1. Из них сплавлен кусок массой 12 кг, в котором отно-
101
Правообладатель Народная асвета
4
шение массы меди к массе никеля равно 4 : 1. Найдите массу каждого из исходных кусков, если масса первого из них вдвое больше массы второго.
363. Сплав состоит из олова, меди и цинка. Если 20 г этого сплава сплавить с 2 г олова, то в полученном сплаве масса меди будет равной массе олова. А если же 30 г исходного сплава сплавить с 9 г цинка, то в новом сплаве масса олова будет равной массе цинка. Определите процентный состав исходного сплава.
Рис. 175
йб 6 4 2 3
®6 4 2 3
6 4 2 3 5 6
364. Прямоугольник размерами 4 на 5 клеток (рис. 175) нужно разрезать на две равные фигуры. Сколькими способами можно это сделать, если разрезание можно вести по сторонам клеток? (Два разреза считаются различными, если их результатами являются неравные фигуры.)
365. Числа 7, 11, 13, 37 ин-
тересны тем, что если на какое-либо из этих чисел делится шестизначное число, то на него делится и любое другое, полученное из исходного круговой перестановкой цифр. Например, на 13 делится как число 566 423, так и числа 664 235, 642 356, 423 566, 235 664,
356 642 (рис. 176). Объясните, почему так происходит.
366. (Из коллекции профессора Брайена.) Профессор на этот раз подготовил три карточки — синюю, белую и серую — с надписями «Получите», «Заплатите» и «Не беспокойте», показанные на рисунке 177.
— Какие сегодня правила игры?
— Если игрок открыл карточку «Получите», то он получает 10 фунтов, если карточку «Заплатите», то должен сам уплатить 10 фунтов, если карточку «Не беспокойте», то за
102
Й2 3 5 бЙ. ЙЗ 5 6 бЩ
5 6 6 4
Рис. 176
Правообладатель Народная асвета
•к •к •к
л г
На этой карточке написано «Получите»
На синей карточке написано «Не беспокойте»
J V
На этой карточке написано «Заплатите»
Рис. 177
беспокойство игрок должен уплатить 1 фунт. Учтите, что не все подсказки на карточках ложны.
Какую карточку нужно перевернуть, чтобы выиграть 10 фунтов?
11. Иррациональные числа
Пример 1. Найдем площадь S прямоугольника со сторонами a = 4 и b = 9 (рис. 178). Использовав формулу площади прямоугольника, получаем
S = 4 • 9 = 36.
Пример 2. Найдем сторону c квадрата (рис. 179), площадь которого равна площади прямоугольника с измерениями 4 и 9.
Площадь квадрата равна 36. Тогда сторона c квадрата должна удовлетворять условию
о А 1 О (!
о ■ ■ 4 * У — t u
Ъ = 9
Рис. 178
с2 = 36.
Нетрудно догадаться, что с = 6. Рассмотрим уравнение
у2 = 36,
где у — переменная. Это уравнение можно записать в виде
(У - 6)(у + 6) = 0.
ь
'
• с
Рис. 179
103
Правообладатель Народная асвета
Отсюда
y = 6 или y = -6.
Числа 6 и -6 оба удовлетворяют уравнению у2 = 36. Их называют квадратными корнями из числа 36.
Квадратным корнем из числа a называют число, квадрат которого равен а.
Неотрицательный корень уравнения у2 = 36, т. е. число 6, называют арифметическим квадратным корнем из числа 36.
Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Арифметический квадратный корень из числа a обозначают ^/a и читают «Квадратный корень из а».
Знак л/~ называют знаком арифметического квадратного корня. Выражение а, записанное под знаком корня, называют подкоренным выражением (рис. 180).
Пример 3. а) V25 = 5, поскольку 5 > 0 и 52 = 25;
б) >yi,44 = 1,2, поскольку 1,2 > 0 и 1,22 = 1,44;
в) Vo = 0, поскольку 0 > 0 и 02 = 0;
г) ./25 = 5, поскольку 5 > 0 и (—] = 25.
Значение
Квадратный квадратного корень из 36 корня из 36
л/М
6
Подкоренное
выражение
Рис. 180
36 6
Вообще, равенство
означает, что
36
\[а = x
x > 0 и x2 = а.
Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня (рис. 181). Извлечение квадратного корня является действием, обратным действию возведения в квадрат (рис. 182).
Рис. 181
Рис. 182
104
Правообладатель Народная асвета
D
Действие, обратное возведению в третью степень, называют извлечением корня кубического, возведению в четвертую степень — извлечением корня четвертой степени и т. д. Вообще, корнем степени n из числа a называют такое число х, n-ая степень которого равна числу а.
Возведение в квадрат можно выполнить над любым числом, а извлечение квадратного корня невыполнимо для отрицательного подкоренного выражения. Например, выражение
•у/—4 не имеет значения, поскольку нет такого числа, квадрат которого был бы равен -4.
Пример 4. Найдем длину диагонали квадрата со стороной 1 (рис. 183). По теореме Пифагора
AC2 = AB2 + BC2,
или
AC2 = 12 + 12 = 2.
В том, что AC2 = 2 можно убедиться и через построение. Построим на диагонали единичного квадрата ABCD новый
квадрат ACEF (рис. 184). Видно, что площадь этого квадрата в два раза больше площади квадрата ABCD, т. е. равна 2. С другой стороны, эта площадь равна AC2. Поэтому AC2 = 2.
Докажем, что среди рациональных чисел нет такого числа, которое бы выражало длину диагонали единичного квадрата. Допустим, что это не так, т. е. что есть рациональное число, квадрат которого равен 2. Это число мож-
, ,2
но представить несократимой дробью а. Поскольку (а-j = 2, то а2- = 2, или
D
b2
а2 = 2b2
(1)
Число 2b2 четное, поэтому четное и равное ему число а2. Но тогда и число а четное. Значит, а = 2c, где c — некоторое натуральное число. С учетом этого равенство (1) перепишется
105
Правообладатель Народная асвета
так: (2с)2 = 2Ь2, или 4с2 = 2b2, или 2с2 = b2. Поскольку число 2с2 четное, то четное и число b2, а значит, и число b четное.
Мы получили, что числитель a и знаменатель b дроби a
оба четные. Значит, дробь a можно сократить на 2, хотя по условию эта дробь несократима. Причиной полученного противоречия является наше допущение о существовании рационального числа, квадрат которого равен 2. Значит, это допущение нужно отклонить и согласиться с тем, что нет рационального числа, квадрат которого равен двум.
Таким образом, число л/2 не является рациональным. Поэтому его десятичное представление является бесконечной непериодической дробью:
V2 = 1,414213562373095048801688724209^ .
Числа, которые представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями, называются иррациональными (рис. 185).
Иррациональные числа
есть
бесконечные непериодические десятичные дроби
Рис. 185
Приводим примеры иррациональных чисел: л/13 = 3,605661275463989^;
-5,72772277722277772222^ (количества семерок и двоек после десятичной запятой каждый раз увеличивается на единицу);
-0,123456789101112131415^
(после десятичной запятой друг за другом записываются последовательные натуральные числа);
п = 3,141592653589793238^ .
Существование иррациональных чисел было установлено математической школой Пифа-Рис. 186 гора (около 570 — около 500 до н. э.) (рис. 186).
106
Правообладатель Народная асвета
Выражение -Ja имеет значение, если а > 0.
В соответствии с определением арифметического квадратного корня при любом значении а, a > 0, истинно равенство:
^fa )2 = а.
Знак \Г для обозначения квадратного корня из числа ввел в 1525 г. чешский математик Криштян Рудольф (1499—1545).
1. Какое число называют квадратным корнем из данного числа?
• 2. Какое число называют арифметическим квадратным корнем из дан-
ного числа?
3. Как читают выражение \fa ? Какое выражение называют подкоренным?
4. Какое действие называют действием извлечения квадратного корня?
Как оно связано с действием возведения в квадрат?
2
5. Как обосновать тождество (\/а) = а?
6. Какие числа называют иррациональными? Приведите примеры иррациональных чисел.
7. При каких значениях а выражение \/а имеет значение?
367. Запишите три примера:
а) рациональных чисел; б) иррациональных чисел.
368. Даны числа: 4,01; ^; -3,(3); ^^; 0; л/2; -1,23(45); 3,1929394959^ (девятки разделяют последовательные натуральные числа); п; -1213; -0,10200300040000500000^ (количество нулей, разделяющих последовательные натуральные числа, каждый раз увеличивается на единицу); \/4. Выпишите из них:
а) рациональные числа; 369. Вычислите:
а) в)
б) иррациональные числа.
б) V25;
г)\|2й5;
д)
е)
25
9 . 100 '
ж) -^0,09;
з) 70,25.
370. Найдите значение выражения:
а) 3 + ^Я6; в) 11 - >/36;
б) 10 • V49;
г) >/225 : ,Z25;
V 4
д) + >/1,21;
е) 73^ • ZiL.
107
Правообладатель Народная асвета
9 < 7t" < 10
371. Укажите записью, как на рисун-
ке 187, между какими ближайшими целыми числами заключено число: Рис. 187
а) V2; в) V63; д) -УТ5;
б) ^^10; г) -43; е) ^401.
372. Округлите с точностью до тысячных число:
а) 0,234567^; г) 2,9876543^;
б) 0,234353^; д) 0,7997999799^;
в) -5,010220333^; е) -9,0071172273^ .
373. Докажите иррациональность числа:
а) ^/3; б) Тб; в) 1,5 + V2; г) ^/Э - hJ^.
374. Используя определение квадратного корня, сравните числа:
а) ^/5 и 2,2; б) л/lG и 3,1; в) -\fl0 и —УТГ.
375. Используя определение квадратного корня, сравните числа:
а) 2,7 и ТТ; б) Vl0 и л/ТГ; в) ^/iG и -3,2.
376. Докажите, что число:
а) 7 является арифметическим квадратным корнем из числа 49;
б) 1,5 является арифметическим квадратным корнем из числа 2,25;
в) -7 не является арифметическим квадратным корнем из числа 49;
г) -1,5 не является арифметическим квадратным корнем из числа 2,25;
д) 0,7 не является арифметическим квадратным корнем из числа 4,9;
е) 0,7 является арифметическим квадратным корнем из числа 0,49.
377. Докажите, что:
а) лЯб9 = 13; в) ^0,16 = 0,4;
_ 3
б) 7Т0000 = 100;
378. Найдите значение арифметического квадратного кор-
г) = 3.
V 49 7
ня из числа: а) 100; г) 900; ж) 0,49; к) ^4; ^ 49’
б) 81; д) 3600; з) 0,81; л) 2:4;
в) 64; 108 е) 4900; и) 0,01; м) 2Г4 ^ 25
Правообладатель Народная асвета
379. Найдите значение квадратного корня из числа:
а) 9; г) 400; ж) 0,09; к) 81. 16 ;
б) 121; д) 6400; з) 1,21; л) 6|;
в) 289; е) 8100; и) 0,04; м) 71. 9
380. Решите уравнение:
а) a2 = 4; в) b2 = 16; д) с2 = 1,96; ж) d2 = 21
б) X2 = 25; г) У2 = 100; е) 22 = 1. ■ 4; з) ^2 = 6^4.
381. Найдите значение выражения -Jm + n, если:
а) m = 17, n = 8; г) m = -9, n = 25;
б) m = 20, n = 16;
в) m = 51, n = -2;
382. Найдите значение выражения a + \fa, если a равно:
д) m = -136’ n =
е) m = 2, n = i7. ^ 9’ 36
а) 0,01;
б) 1;
в) 0,64;
д)
25 ’
г) 1,21; е) 6-4.
383. Определите, имеет ли значение выражение:
а) ^/8T; д) 7-14; и) ^-92 - 42 ;
б) W8T; е) ^/14; к) -у]92• (-4)2 .
в) ^/-8T; ж) ^/(Э)2;
г) лЯ4; з) 7(-9)2 + (-4)2;
384. Существует ли значение переменной, при котором истинно равенство:
а) ^/a = 9; в) Тс = -5; д) Т7 - 2 = 1;
б) ^^b = 2; г) ^Jd = 11; е) Тя + 3 = 4?
385. При каком значении переменной истинно равенство:
а) \fm = 10; в) 6\fk = 10; д) Тр - 3 = 0;
б) 10\fn = 2; г) \[l = -1; е) ТГ + 5 = 0?
109
Правообладатель Народная асвета
386. Найдите значение переменной, при котором истинно равенство:
а) \/2х + 3 = 6; б) ^J0,1z + 2 = 7;
в)
1 k - 1 = 0.
3 2
387. На координатной прямой покажите точку, координата которой равна:
а) 3;
б) -4,5;
в) 2;
^ 3’
г) -5^5.
388. Запишите координаты точек, указанных на координатной прямой на рисунке 188.
Е,
BD
о
J*LM^
ое
Рис. 188
389. Точки A, B, C на прямой расположены так, что точка B принадлежит отрезку AC. Покажите на этой прямой все такие точки X, которые расположены ближе к точке B, чем к точке A, и ближе, чем к точке C.
390. Точки A, B, C на прямой расположены так, что точка B не принадлежит отрезку AC. Покажите на этой прямой все такие точки X, которые расположены ближе к точке B, чем к точке A, и ближе, чем к точке C.
391. Докажите, что если середины двух отрезков MN и PQ, расположенных на одной прямой, совпадают, то отрезки MP и NQ равны.
392. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны.
393. Есть два сплава из цинка, меди и олова, первый из которых содержит 40 % олова, а второй — 26 % меди. Процентные содержания цинка в первом и втором сплавах одинаковы. Сплавив 600 г первого сплава и 1 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30 % цинка. Сколько олова (по массе) содержится в полученном сплаве?
394. Есть два сплава меди с цинком, из которых первый содержит меди 81 %, а второй — 87 %. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы получить новый сплав, в котором 85 % меди?
110
Правообладатель Народная асвета
395. (Из коллекции профессора Брайена.) Сегодня профессор подготовил карточки, показанные на рисунке 189.
л г
На этой карточке написано «Получите»
На белой карточке написано «Заплатите»
у V.
На синей карточке написано «Получите»
Рис. 189
— Какие сегодня условия игры?
— Условия прежние: если игрок открыл карточку «Получите», то он получает 10 фунтов, если карточку «Заплатите», то должен сам уплатить 10 фунтов, если карточку «Не беспокойте», то за беспокойство игрок должен уплатить 1 фунт.
— А что известно о надписях?
— На карточке «Не беспокойте» подсказка верная, а на карточке «Заплатите» ложная.
— Профессор, а что вы скажете о карточке «Получите»?
— Ничего определенного: подсказка на ней может быть верной, а может быть и ложной.
Какую карточку нужно перевернуть, чтобы выиграть 10 фунтов?
396. На плоскости отмечена точка М и начерчены две окружности. Как построить отрезок, концы которого находятся на данных окружностях, а середина — в точке М?
397. Докажите, что если числа а, b, c удовлетворяют усло-1
вию — + 1 + 1 = ----,
а b c а + b + c
ложных.
то среди них есть пара противопо-
111
Правообладатель Народная асвета
•к •к •к
12. Действительные числа
Рациональные и иррациональные числа вместе составляют множество действительных чисел (рис. 190).
---Действительные числа-------
---Рациональные числа---
Иррациональные числа
Рис. 190
Действительные числа сравнивают по тем же правилам, что и рациональные числа.
Пример 1. Сравним числа 0,45678^ и -1,23459^ . Поскольку первое из данных чисел положительное, а второе отрицательное, то
0,45678^ > -1,23459^ .
Пример 2. Сравним числа 3,14159^ и 3,14295^ . У этих бесконечных десятичных дробей одинаковые целые части, десятые и сотые, но разряд тысячных первого числа содержит 1 единицу, а второго — 2 единицы. Поэтому
3,14159^ < 3,14295^ .
Арифметические действия над действительными числами определяются так, чтобы свойства этих действий были такими же, как и для рациональных чисел. В практических задачах при выполнении действий над действительными числами их обычно заменяют десятичными приближениями с соответствующей точностью.
Пример 3. Найдем площадь круга с радиусом г, равным 12 м (рис. 191). Площадь круга S вычисляется по формуле S = пг 2. Возьмем п = 3,14, получим:
S - 3,14 • 122 = 452,16 (м2).
112
Правообладатель Народная асвета
Пример 4. Найдем гипотенузу BC прямоугольного треугольника с катетами AB = 3 м и AC = 5 м (рис. 192). По теореме Пифагора получим: BC = л/з2 + 52 .
Значение подкоренного выражения З2 + 52 равно 34. Поэтому BC = n/34. Чтобы продолжить вычисления, нужно научиться выполнять действие извлечения квадратного корня.
Пример 5. Найдем приближенное значение л/34 с точностью до тысячных, используя определение квадратного корня.
Поскольку 52 = 25, а 62 = 36, то число л/34 заключено между целыми числами 5 и 6 (рис. 193): 5 < V34 < 6. Поэтому
л/34 = 5,^ .
Рис. 193
6
Найдем цифру десятых. Для этого сначала испытаем середину 5,5 промежутка (5; 6). Имеем: 5,52 = 30,25. Поскольку 30,25 < 34, то для дальнейшего рассмотрения выбираем промежуток (5,5; 6). Поскольку 5,82 = 33,64, а 5,92 = 34,81, то 5,8 < V34 < 5,9 (рис. 194). Значит,
V34 = 5,8.
л/М
5,5
Рис. 194
5,8 5,9 6
Найдем цифру сотых. Имеем: 5,852 = 34,2225,
5,842 = 34,1056, а 5,832 = 33,9889. Значит, 5,83 < V3I < 5,84 (рис. 195). Поэтому
л/34 = 5,83. .
5,8
5,83 5,84
5,9
Рис. 195
113
Правообладатель Народная асвета
Найдем цифру тысячных. Имеем: 5,8352 = 34,047225 > 34, поэтому далее рассматриваем промежуток (5,830; 5,835). Поскольку 5,8322 = 34,012224, 5,8312 = 34,0000561, а 5,8302 = = 33,9889, то л/34 = 5,830^ .
Найдем цифру десятитысячных. Имеем:
5,83052 = 33,99473025 < 34,
поэтому далее рассматриваем промежуток (5,8305; 5,8310). Поскольку 5,83092 = 33,99939481, а 5,83102 = 34,000561, то
V34 = 5,8309^ .
Значит,
л/34 * 5,831.
Отметим, что мы нашли дополнительно цифру десятитысячных, чтобы правильно провести округление.
Описанный процесс нахождения квадратного корня называют методом последовательных приближений. Рассмотрим еще один алгоритм.
Пример 6. Найдем приближенное значение V74089 с точностью до целых.
Поделим справа налево запись числа 74 089 на грани из двух цифр:
V7'40'89'.
Подберем для левой грани — числа 7 — наибольшее число, квадрат которого не превосходит эту грань. Таким числом является число 2, поскольку 22 = 4, 4 < 7, а 32 = 9, 9 > 7. Это первая цифра результата.
Возведем подобранную цифру в квадрат и подпишем результат под гранью 7.
V7'40'89 = 2... .
- 4
Выполним вычитание и снесем следующую грань 40 — получим рабочее число 340, которое позволит найти вторую цифру результата. Результат 2 удвоим и запишем слева от рабочего числа 340. К удвоенному результату 4 подпишем такую цифру *, чтобы при умножении числа 4* на число * получилось наибольшее число, не превосходящее рабочее число 340. Такой цифрой оказывается цифра 7. Умножим 47 на 7 и полу-
114
Правообладатель Народная асвета
ченное произведение 329 подпишем под рабочим числом 340. Подобранную цифру 7 запишем в результат, где теперь есть 27.
X
V74089 =27 n/7'4089 = 272
-4 -4
47 340 47
7 329 X 7 -340
542 2
X
1189
1084
,47
X
^7'4089 = 272
-4___________
340
329
47
X
^7'40'89 = 272
-4____________
340
329
542 X2 1189 542 -1084 X 2 1189 1084
105 5441 X1 10500 5441
5059
К результату 11 вычитания 329 из 340 снесем следующую грань 89 — получим новое рабочее число 1189, которое позволит найти третью цифру результата. Имеющийся результат 27 удвоим и запишем слева от рабочего числа 1189. К удвоенному результату 54 подпишем такую цифру *, чтобы при умножении числа 54* на число * получилось наибольшее число, не превосходящее рабочее число 1189. Такой цифрой оказывается цифра 2. Результат 1084 умножения 542 на 2 подпишем под рабочим числом 1189. Подобранную цифру 2 запишем в результат, где теперь уже записано 272. Это целая часть результата.
Все следующие сносимые грани состоят из двух нулей. Следующая цифра результата — цифра десятых — это цифра 1. Если взять цифру 2, то умножение даст результат 10 884, что уже больше рабочего числа 10 500.
Теперь понятно, что с точностью до целых
л/74089 * 272.
В практических расчетах для нахождения приближенных значений квадратных корней используют калькулятор или специальные таблицы.
115
Правообладатель Народная асвета
7
В предыдущем параграфе мы узнали, что длину диагонали единичного квадрата, которая равна V2, нельзя выразить рациональным числом. Если отложить эту диагональ на координатной прямой (рис. 196), то получим точку A, координатой которой является иррациональное число V2. На рисунке 197 также показано построение точек B и C координатной прямой с иррациональными координатами —J5 и ~Jl3.
Для каждого действительного числа a на координатной прямой найдется единственная точка X с координатой а, и наоборот, каждой точке X координатной прямой соответствует единственное действительное число а.
1. Из каких чисел состоит множество действительных чисел?
• 2. Как сравнивают действительные числа?
398. Определите, каким — рациональным или иррацио-
нальным — является число:
а) 7; ч 4 г) -!9; ж) ч/36; к) 71,96;
б) -12; д) 0; з) л/44; л) ^/4,34;
в) 5,12; е) п; и) ^4; м) -4,9(11).
399. Подберите два последовательных целых чис
ключающих число:
а) V2Q; в) VTTT; д) V0,9;
б) >У50; г) тз:б; е) 716,6.
116
Правообладатель Народная асвета
400. Подберите два последовательных целых числа, заключающих число:
а) n/15; в) ^/200; д) 70,19;
б) WqT; г) ^/24,8; е) ^56,9.
401. Методом последовательных приближений найдите
значение с точностью до:
а) целых; б) десятых; в) сотых; г) тысячных.
402. Методом последовательных приближений найдите значение 75 с точностью до:
а) целых; б) десятых; в) сотых; г) тысячных.
403. Найдите без калькулятора с точностью до целых значение квадратного корня из числа:
а) 850; б) 2209; в) 16 657; г) 326 987.
404. Найдите без калькулятора с точностью до сотых значение квадратного корня из числа:
а) 85; б) 229; в) 665; г) 2698.
405. С помощью калькулятора найдите значение:
а) Т37; в) 712 060; д) 70,134989;
б) 7143; г) 7254,087; е) ^56,09989.
406. С помощью калькулятора найдите значение выражения Ту , если значение переменной у равно:
а) 290; в) 3,37; д) 0,0045321.
б) 1234; г) 0,6098;
407. С помощью калькулятора найдите значение выражения 75+9, если значение переменной z равно:
а) 273; в) 23,879; д) 0,0112233.
б) 8906; г) 0,09898;
408. Найдите с точностью до сотых сторону квадрата, площадь которого равна:
а) 39 см2; в) 44,8 дм2; д) 7,146 га;
б) 890 мм2; г) 7,09 м2; е) 0,1122 км2.
117
Правообладатель Народная асвета
409. Найдите с точностью до сотых значение выражения:
а) 19 + VQ7; г) л/192 + 972; ж) VV97^7l9;
б) ^Il9 + л/97; д) V972 - 192; з) 7797^^9;
в) л/19 + 97; е) ^97 ; и) ^^5+3J7 .
410. Найдите с точностью до сотых значение выражения:
а) 11 + Т37;
б) 10 - 790;
в) ^/23 + ^/38;
г) ТЭВ - л/2;
д) ^|lm^/l89 ;
е) 797 • 13;
ж) \j\l97 • 13;
з) 7797 ^Л^;
и) 715 : WT7.
411. Найдите с точностью до тысячных корень уравнения:
а) а2 = 81;
б) 5b2 = 39;
в) °,7е2 = ,2-;
г) 1,9^2 =
263’
д) (е - 6)2 = 13;
е) (f + 4)2 = 57;
ж) (7g - 2)2 = 178;
з) (11f - 8)2 = 597;
и) (5 + 7t)2 = 399.
412. Вычислите на калькуляторе с точностью до сотой:
а) TsTeWHY;
б) 7908 WT5°;
в) 7^45091 ;
г) 7n/8093 W7813 ;
д) 411 + 77 .
19
n/199 ’
е) 7 +
s/s 7 •
ж) 7з42 ' + 2 372;
з) 7237 2 - 652 ;
и) ^/8 + 72 W7
к) + ^/5;
л) 778 W2 - 2;
м) 77/8^л9
в) ();
413. Возведите в степень:
а) (ab)2;
б) (mnp)4;
118
г)
д) (fe3)6;
е) (7Z6)2;
ж) (Sf)’;
з)
е4 g5h7
Правообладатель Народная асвета
414. Квадратом некоторого выражения представьте выражение:
а) a^b2, в) д) 9е®/ 20; ж) 144;
б)
г)
е)
16 ж1
з) 15 376.
d2 n4 25 y16
415. Морская вода содержит по массе 3,2 % соли. Сколько пресной воды нужно добавить к 20 кг морской воды, чтобы концентрация соли уменьшилась до 1 %?
416. Найдите три числа, из которых первое составляет 80 % второго, второе относится к третьему как 0,5 : ^, а сумма первого и третьего чисел на 35 больше второго.
417. В 10-процентный раствор кислоты влили определенное количество 40-процентного раствора той же кислоты и получили 600 г 15-процентного раствора. Сколько грамм каждого раствора смешали?
418. Примесей в руде — 40 %, а в выплавленном из нее металле — 4 %. Сколько металла получится из 480 т руды?
419. Начертите отрезок AB. Покажите на нем все точки K, которые удовлетворяют условию:
а) AK > 1;
^ BK ’
б) AK > 2;
' BK ’
в) AK < 1;
' BK 3 ’
AK
г) 1 < < 3;
AK
д) 2 ^ BK ^ 3;
е) 1 < АК < 3.
^ 3 BK
420. На прямой отметьте две точки А и B. Покажите на ней все точки K, которые удовлетворяют условию:
а) AK > 1;
^ BK ’
б) AK > 2;
^ BK ’
в) AK < 1;
^ BK 3 ’
AK
г) 1 < -BK < 3;
AK
д) 2 ^ BK ^ 3;
е) 1 < < 3
'О т:>ъг
BK
421. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла C, пересекает его стороны в точках P и Q. Докажите, что треугольник CPQ равнобедренный.
422. Основание равнобедренного треугольника на 3 больше боковой стороны и на 4 меньше удвоенной боковой стороны. Найдите стороны треугольника.
423. В четырехугольнике KLMN стороны NK и NM равны, а диагонали KM и LN перпендикулярны (рис. 198). Докажите, что:
'L
Рис. 198
119
Правообладатель Народная асвета
а) две другие стороны равны друг другу;
б) углы M и K четырехугольника равны.
424. Рациональной дробью представьте выражение:
а)
б)
в) г)
p + q 5 p
p - q
p + q
b +1 1
-1
1 + 2 x + 3 y 1
1 - a2 b - b2
- (1 +
7 .
5 p ’
2
. 1 - b .
1 - a ;
1 + 6 y
9 y2 - 4 x2
9 y2 + 6 y - 4 x2 + 1
3 y - 2x
2n
.2 2 4n - m
4n2
2n
2 2
m + 4n + 4mn
2n + m
\m - 2n
425. Упростите выражение:
а) 2-6 : 2-4; д) 5-1 • 5-4; и) a 3a5a 7;
б) 33 : 3-5; е) 52 • 5-3; к) b3b-4b^;
в) 4-3 : 4-2; ж) 5-4 • 52; л) c^2c^3c;
г) 4-3 : 42; з) 5-1 • 5; м) dd^^d2;
н) e-ke2ke-1;
о) f -2mf -2nf 3n,
п) g^3“g2“g^“;
р) h5vh2vh-9v.
* * *
426. (Из коллекции профессора Брайена.)
— Проиграв 100 фунтов, я имею моральное право усложнить игру. Из трех карточек только на одной написано «Получите», а на двух остальных «Заплатите», — сказал профессор и выложил на стол карточки, показанные на рисунке 199.
— И это всё?
— Если это вас подбодрит, то учтите, что по крайней мере одна из подсказок верная.
На этой карточке написано «Заплатите»
На этой карточке написано «Получите»
у V
На синей карточке написано «Заплатите»
Рис. 199
120
Правообладатель Народная асвета
Какую карточку нужно перевернуть, чтобы выиграть 10 фунтов?
427. Найдите все такие четырехзначные числа п, что суммы цифр числа п и числа п + 1 кратны 17.
428. В круге отметили точку М. Как разрезать этот круг на две такие части, что из них можно сложить новый круг, для которого точка М является центром?
13. Свойства арифметического квадратного корня
Рассмотрим свойства квадратного корня, позволяющие проводить преобразования квадратных корней.
Теорема 1. -JaF = |а| при любом значении а. Доказательство. Пусть a > 0. Учитывая определение квадратного корня, получим
la = a.
n/C-O)2,
учитывая определение квадратного корня, получим
Пусть a < 0. Тогда -a > 0. Поскольку = \1(-a
то,
la = W(-
VC-O)2
= -a.
Таким образом,
/a2 =
a, если a > 0,
[-a, если a < 0.
Теперь, учитывая определение модуля числа, можем записать
•Ja2 = |a| (рис. 200).
Теорема 2. Пусть a и b — неотрицательные числа. Тогда если а > b, то \fa > Vb, и наоборот, если \[а > Fb, то а > b.
Доказательство. Пусть a > 0 и b > 0. Рис- 200
Пусть a У b. Допустим, что \fa ^ Vb.
Возведя обе части неравенства в квадрат, получим a < b. Но это противоречит условию a > b.
Поскольку по условию a > 0 и b > 0, то выражения Va и Vb имеют значения. Пусть \fa > Vb. Тогда, учитывая, что \fa > 0 и Fb > 0, получим (\[а )2 > (\[b)2. Поскольку по опре-
121
Правообладатель Народная асвета
делению арифметического квадратного корня ^[а )2 = а и [4ъ )2 = b, то а > b (рис. 201).
Рис. 201
Пусты а > о, Ь > 0.
если а>Ь,то ^Ja > ^Jb ;
Тогда:
если ^/а > 4Ъ , то а>Ъ
Теорема 3. Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей.
Если a > 0 и b > 0, то \fab = \fa • \fb.
Доказательство. Пусть а > 0 и b > 0. В соответствии с определением арифметического квадратного корня нужно доказать, что:
\[а • \fb > 0 и ^[а • \fb )2 = аЬ.
Поскольку по определению арифметического квадратного корня \[а > 0 и Vb ^ 0, то и \[а • \fb ^ 0.
Учитывая свойство сте-
4аЬ = л1а -л/Ь; а •л/ь = л/аЬ.
аиЬ
■ неотрицательные числа.
Рис. 202
пени произведения, получим {^[а • \Jb )2 = [\[а )2 • [s[b )2. Поскольку по определению арифметического квадратного корня {\[а )2 = а и Ыъ )2 = b, то {^[а • -Jb)2 = ub (рис. 202).
Теорему 3 можно распространить и на случай трех и большего числа неотрицательных множителей под знаком корня.
Теорема 4. Квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен квадратному корню из числителя, поделенному на квадратный корень из знаменателя.
Если a > 0 и b > 0, то ./^ = .
V b ,Jb
Доказательство. Пусть а > 0 и b > 0. Тогда оба выражения
и имеют значения. В соответствии с определением
b -Jb
арифметического квадратного корня нужно доказать, что: ^ > 0 и = а.
^/b \^/^/ ъ
122
Правообладатель Народная асвета
Поскольку a > 0 и b > 0, то
^/a > 0 и Vb > 0. Поэтому > 0.
vb
Используя свойство степени дроби, получим:
\С1 \ CL ^ л!O' Id
vb ^ Vb’ Vb ^ \b’
a — неотрицательное число,
Ъ — положительное число.
va \2 = iJat = a
Рис. 203
(рис. 203).
[4ь )2 ^
Пример 1. Упростим выражение 4Х12. Поскольку x12 = (x6)2, то
fx12 =
2 .V.6
= x
Учитывая, что x6 > 0 при любом x, получим x6 = x6
Значит,
/x12 = x6.
Пример 2. Упростим выражение va18 , учитывая, что a < 0. Поскольку a18 = (a9)2, то можем записать:
va^^ = = |a9|.
Но a < 0, тогда a9 < 0. Поэтому a9 = -a9. Значит, при a < 0
la18 = -a9.
Пример 3. Вычислим ^6 350 400.
Сначала разложим подкоренное число 6 350 400 на простые множители:
6 3 5 0 4 00 = 26 • 34 • 52 • 72.
Значит,
^6 350 400 = ^/26 • 34 • 52 • 72 = V26 ^/э4 ^У52 -УТ4 =
= 7(23)2 ^(32)2 • 5 • 7 = 23 • 32 • 35 = 8 • 9 • 35 = 2520.
Пример 4. Найдем значение выражения ^/7 ^У28. Перепишем формулу, доказанную в теореме 3, в виде:
yfa • -Jb = 'Jab.
Значит,
л/Т • л/28 = ^7 • 28 = ^7 • 7 • 4 = 7 • 2 = 14.
123
Правообладатель Народная асвета
Пример 5. Найдем значение выражения
V2000
V5
Формулу, доказанную в теореме 4, можно записать так:
■
4а
4f
Поэтому
42000
45
2000
5
= у14 • 100 = 2 • 10 = 20.
1. Сформулируйте теорему об извлечении арифметического квадратно-• го корня из квадрата выражения.
2. Сформулируйте теорему, связывающую неравенства а > Ь и 4а > 45.
3. Сформулируйте теорему об извлечении арифметического квадратного корня из произведения.
4. Сформулируйте теорему об извлечении арифметического квадратного корня из дроби.
429. Истинно ли равенство:
а) 4т2 = 7; в) V(-7)2 = 7;
б) = -7; г) = I-7|?
430. Найдите значение выражения Vi2, если t равно:
а) 3; б) 12; в) 0;
431. Вычислите:
а) V(1,9)2; ж) V(-0,029)2
г) -3;
д) -12.
б) V(9,29)2 ;
в) V(-159)2;
г) V(-13,2)2;
д) V(0,2)2;
е) V922;
432. Вычислите:
а) V212; в) V52;
б) V32; г) V72;
433. Упростите:
а) Vo8; б) Vb12;
з) V10252;
и) V(-10,2)2;
к) V^;
л) V-42;
м) V(-10 298)2
н) ^(-29)2;
о) WeT2;
п) 0,^(-3,1)2;
р) 1W-672;
с) -^(-67)2;
т) -^(-3) • (-9)3 .
д) V(-11)4
е) V(-13)6
ж) V(-3)12;
з) V(-2)14 .
в) Vc10 , если c > 0; г) V^14 .
124
Правообладатель Народная асвета
434. Найдите значение выражения л/р2 - 4p + 4, если p равно:
а) 5; б) 2; в) 0; г) -2; д) -5.
435. Сравните числа:
а) 3 и VlG; г) ^J8,4 и 2,9;
б) 13 и чЯбВ; д) V32,49 и 5,7;
в) ^yi,99 и 1,4; е) л/19 и \/20;
ж) л/2,8 и ^2,6;
з) V1234 и ^123,4;
и) ^/з2 и V23.
436. Докажите, что:
а) 4 < < 5; г) 15,5 < < 15,6;
б) 3,1 < л/10 < 3,2; д) 6,85 < -Я7 < 6,86;
в) 33 < V1111 < 34; е) 20,22 < л/409 < 20,23.
437. Найдите два последовательных целых числа, между которыми заключено число:
а) >/28; в) ^/с^; д) -у/1000;
б) V159; г) ^44; е) ^0,17.
438. Найдите значение выражения:
а) sj100 • 25; д) sj169 • 1,21; и) ,/3,24 • 3,61;
б) ^81 • 36; е) ,/1,69 • 225;
в) ,/64 • 196; ж) ,/0,01 • 256;
г) 79 • 144; з) ,/0,09 • 2,89;
439. Вычислите:
к) ,/(-16) • (-36);
л) ,/(-25) • 9;
м) ,/(-0,16) • (-49).
а)
б)
в)
(16 . 49 ;
144 . 121 '
г) /225.
) ''256 ;
ж) у6-4;
к) ^/5ll6;
д) '/1i9;
з) '/116;
л) V3116;
е) /-361) 'Ugg ;
и) J5§;
м) л/11^9.
125
Правообладатель Народная асвета
440. Вычислите:
а) 736^49;
б) 7б4 • 121;
в) 7100 • 1,96;
г) 70,09 • 2,56;
д) 71,69 • 3,61;
е) 70,01 • 22 500;
и) V8i9;
к) 724,2.8;
ж) J12:4;
л) J1i2y •243;
з)
24i2 •8;
м)
4^^ • 5.
125
441. Найдите значение выражения:
а) 716 • 49 • 0,25; е)
б) 70,64 • 225 • 1,44;
в) 71,96 • 0,09 • 0,0001;
225 , 121 . i9 • 196 ’ 324 ’ 25 ;
г) /А .
) '^4 ’ 225 ’ 49 ;
ж) J214 • 3^^ ■ ^^;
^ V 25 196 16 ’
з) /1^ . 5 79.12 24 ;
^ V 121 81 25 ’
и) 72i6.140.1185;
V 49 81 256 ’
д)
9 196 256
к) J2-5 • 5^ • 9^
9 23 13
64 225 49 ’
442. Найдите значение выражения:
а) 7250 000 • 0,0081 • 4; г)
б) 70,0009 • 1600 • 0,04; д)
в) 70,0196 • 12 100 • 0,000001; е)
443. Вычислите:
а) 7490 • 90; г) 798 • 18;
б) 710 • 810; д) 750 • 8;
в) 772 • 50; е) 73,6 • 14,4;
444. Найдите значение выражения:
а) 7252 - 242; г) 71 52 + 82;
б) 7242 + 72; д) 7352 + 122;
в) 7412 - 402; е) 7612 - 602;
126
• а17 • 4; 25 ;
19 164
/121 . 49 • 2 1 ;
' 144 484 24;
64 • 113 • 5 1
441 1 36 16
ж) 7^ 4,9;
з) 736,1 • 1,6;
и) 7^ •22,5.
ж) 282 + 452
з) V852 ■ - 842;
и) л/1812 ' -192
Правообладатель Народная асвета
445. Используя приближенное равенство л/Т4 « 8,7, найдите приближенное значение выражения:
а) V7400; б) ^740 000; в) ^0,74; г) ^0,0074.
446. Найдите значение выражения:
а) 778400; г) ^68 890 000; ж) 70,00005929;
б) 7324 900; д) 715,21; з) 70,0000007056;
в) 7144 000 000; е) 70,002116; и) 70,0012321.
447. Разложив на множители подкоренное выражение, вычислите:
а) 711664; г) 768121;
б) 75184; д) 7176 400;
в) 715 625; е) 73 705 625;
448. Вычислите:
а) 759 049; г) 735153 041;
б) 73515625; д) 73455 881;
в) 79 529 569; е) 72 393 209;
449. Вычислите произведение:
ж) 749 098 049;
з) 717 935 225;
и) 7106 007 616.
ж) 7258 984 649;
з) 786 806 489;
и) 7717 590 016.
а) 78 • 72; г) 7^ • V7; ж) 71,3 • 75^;
б) 73 • 712; д) ТП • 744; з) 72^ V 3
в) 75 • 720; е) 77 • 7в3; и) 717 • [9 \ 68 .
450. Вычислите частное:
в) i^r; д) >/117 . ^/325’ ж) 7^. ж) V45;
б)^^^; г) Л; е) \/27 . ч ^/^;з з)
^/75;
451. Найдите значение выражения:
г)^1
а) 710 • 790;
б) 712 • ТЭ;
в) 745 • 75;
125 , 27 '
д) 7^ • 75^;
е) ^/1 •
ж)
з) 70,75 • ^^;
и)
194 .
5 V 121
127
Правообладатель Народная асвета
452. Вычислите:
а) [42 Wb )2;
б) [43 -427)2;
в) [47 + 4б3 )2;
453. Вычислите:
а)
г) [420 -4l2E)2;
д) [47 + 48) [47 -48);
е) [з45 + W2) [з45 - W2)
б)
16
в)
г)
25 . 144 ;
225 ;
д)
е)
ж)
з)
1 49 • 64 ;
UcG • 196 ;
'54 . 1114 . 36 ;
9 25 49 ;
1 7 • 11 • 64 ;
V 32 6 147 ;
14
El
81 121 64
454. Площадь одного квадрата равна 48 см2, второго — 12 см2. Во сколько раз сторона первого квадрата больше стороны второго?
455. Одна сторона треугольника равна 9 см, а проведенная к ней высота — 10 см. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади треугольника.
456. Измерения прямоугольника равны 7 и 24. Найдите его диагональ.
457. Сторона квадрата равна 5 см. С точностью до миллиметра найдите его диагональ.
458. Отрезок А1С на рисунке 204 является диагональю прямоугольного параллелепипеда. Учитывая, что угол A1AC прямой, найдите эту диагональ, если:
а) AB = 3; AD = 5; AA1 = ТТб;
б) AB = 7; AD = 10; AA1 = 476;
в) AB = 11; AD = 15; AA1 = ^/95;
г) AB = 5; AD = 6; AA1 = 245.
459. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со стороной а, высота параллелепипеда равна h. Выразите переменную а через переменные Vи h. Найдите а, если:
128
Правообладатель Народная асвета
а) F = 810, h = 10;
б) F = 175, h = 7;
в) F = 1089, h = 9;
г) F = 2925, h = 13.
460. На одном элеваторе было зерна в 2 раза больше, чем на втором. После того как из первого элеватора вывезли 750 т зерна, а на второй привезли 350 т, зерна на обоих элеваторах стала поровну. Сколько зерна было на каждом элеваторе сначала?
461. Найдите сумму трех чисел, учитывая, что третье
15
число относится к первому как 4,5 : — и составляет 40 %
второго, а сумма первого и второго чисел равна 240.
462. Сумма двух чисел равна 4980. Найдите эти числа, если 6,5 % одного из них равно 8,5 % другого.
463. Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сушеных. Определите влажность свежих грибов, если влажность сушеных составляет 12 %.
464. Докажите, что:
а) если x > 2, то
x - 2 ^
' 3 2’
г\ a + 3 a + 2 ,
б) если a > 12, то-------+-----< а.
x - 1 2
* * *
465. За лето Лена, Оля, Галя и Клава вырастили по одинаковому количеству цыплят. При этом у Лены, Оли и Гали, в отличие от Клавы, были и курочки и петушки. Лена вырастила столько же петушков, сколько Оля курочек, а петушки, выращенные Галей, составляют третью часть всех петушков, выращенных детьми. Кого больше вырастили дети: курочек или петушков?
466. Две вершины квадрата имеют координаты (0; 0) и (6; 4). Найдите координаты двух остальных его вершин.
467. Фирма выпускает погремушки в виде кольца с надетыми на него тремя синими и семью белыми шариками (рис. 205). Сколько различных погремушек может быть выпущено? А если использовать 4 синих и 6 белых шариков?
4
V
Рис. 205
129
Правообладатель Народная асвета
14. Выражения с квадратными корнями
Равенства
Vo2 = \ а |,
yfab = 4а • 4Ъ,
4а
тт
являются тождествами, поскольку они истинны при любых значениях переменных из областей определения соответствующих выражений. Равенство 4а2 = |а| истинно при любом
значении переменной а. Равенство 4ab = 4а • 4Ъ истинно для любой пары (а, b) неотрицательных действительных
чисел. Равенство истинно для любой пары (а, Ъ)
V b Vb
действительных чисел, первая компонента а которой неотрицательна, а вторая Ъ — положительна.
Эти формулы-равенства позволяют проводить тождественные преобразования выражений с квадратными корнями.
Рассмотрим выражение 4а2Ь. Имеем:
4а2Ь = 4а4 • 4Ъ = |а| • 4Ъ.
Преобразование 4а2Ь = | а I • 4b называют вынесением множителя из-под знака корня, а преобразование | а | • 4ь = 4а2Ь — внесением множителя под знак корня.
Пример 1. Сравним значения выражений 427 и 243. Учитывая, что 27 = 9 • 3, получим:
427 = ,J2^3 = 49 • 43 = Ы3.
Поскольку 3 > 2, то W3 > ^/3 и 427 > 243.
Пример 2. Сравним выражения 243 и 342.
Внеся множители 2 и 3 под знак корня, получим:
^/3 = ^22 • 3 = 412 и 3/2 = ^32 • 2 = VlB.
Поскольку 12 < 18, то, учитывая теорему 2, получим: 4I2 < 418. Поэтому и 2J3 < 342.
Пример 3. Внесем множитель под знак корня в выражении - 74ъ .
130
Правообладатель Народная асвета
Отрицательный множитель -7 нельзя представить арифметическим квадратным корнем, поэтому учтем, что -7 = -1 • 7. Значит,
-7у1ъ = -1 • 7 • Vb = -1 • V49 • 4ъ = -449Ъ .
Пример 4. Упростим выражение ajl2 - а VT47 + W75. Разложим числа 12, 147 и 75 на множители и затем вынесем соответствующие множители из-под знака корня:
12 = 22 • 3, 147 = 3 • 72, 75 = 3 • 52; аЯ2 - W147 + W75 = asj22 • 3 - ^3 • 72 + ^3 • 52 =
= 2W3 - 7а43 + 5W3 = W3(2 - 7 + 5) = as[3 • 0 = 0. Пример 5. Упростим выражение-произведение (3/5 - 3/3) • (W5 + з/3).
Сначала раскроем скобки, а потом приведем подобные:
(3/5 - з/3) (W5 + з/3) =
= 12^/5 )2 + 18/5 ^/3 - 23/3 ^/5 - 30^/3 )2 =
= 60 + 18/15 - 28/15 - 90 = -30 - 3/15.
Пример 6. Выражение преобразуем так, чтобы в зна-
n/3
менателе не было квадратного корня.
Умножив числитель и знаменатель дроби x лучим:
^ W ^ _ W 3
S
на
V3,
по-
S iJ3)
3
Мы заменили выражение тождественно равным вы-
n/3
ражением , которое в знаменателе не содержит корня. Подобное преобразование выражения называют избавлением от иррациональности в знаменателе.
Пример 7. Сократим дробь
t2 - 5
t + \15
Учитывая, что 5 = ^/5)2, числитель t2 - 5 можно разложить на множители:
t2 - 5 = t2 - к/5 )2 = (t - \[5) (t + \[5)
Поэтому
t2 - 5
t + \[5
(t -45 )(t )
t + 45
= t ^/5.
131
Правообладатель Народная асвета
2
Пример 8. Найдем с помощью калькулятора с точностью
„ 6 - W7
до тысячной значение выражения —:=---.
„ , гг V28 - 2
„ 6 - А\17
Сначала выражение ------ упростим:
V28 - 2
6 - W7 6 - W7 2(3 - 2У7) 3 - W7 (а - +1)
n/28 - 2 - 2 2^/7 -1) n/7 -1 {47 -1)^/7 +1)
_ W7 + 3 - 2^77)2 - 2/7 _ 2/7 + 3 - 2 • 7 - 2/7 _ ^/7 -11 ■ ^7 )2 -1 _ 7^'1 _ 6 .
Теперь вычисляем:
-11 _ -1,39237^ * -1,392.
6 ’ ’
Пример 9. Докажем тождество
2
■ja
a-1 - ^ + 1) :
Ja _ ^/a -1
Имеем
\/a -
-ja
■Ja +1
+1 _ 1 - +1 _ ] - 2-^ + 1 :
\la a л/a \ л/a / \la
1 1^2 _ /1 ^/a \2 _ ^ya -1 \2 _ la -1)2;
л/a 1 \ yja / \ л/a / a
\/a -
^^a -1
a2 -1
^[a
^fa
^ja _ (a2 - 1)\/a _ a - 1
yja +—
\ja
^a + 1
\/a
a + 1
-ja
■ 1)a\/a
a
Поэтому
a 1-----% + 1) :
-ja
^- 0^ _ ыд -1)
л/a a
\la
a-1
Ыо -1/
i^a -1)
\/a -1
)2 -12 _ ua-1)ua7^ " ^+1'
^a -1}
'|2 i2
1. При каких значениях переменной a истинна формула Va2 _ |a |? • Прочитайте ее словами.
2. Для каких пар (a, b) истинна формула л/a^ _ л/0 • л/b? Прочитайте ее словами.
3. Для каких пар (a, b) истинна формула
словами.
•ja
la
? Прочитайте ее
132
Правообладатель Народная асвета
-1
2
a
a
4. Какое преобразование выражения называют вынесением множителя
из-под знака корня
?
5. Какое преобразование выражения называют внесением множителя под знак корня?
6. Какое преобразование выражения называют избавлением от иррациональности в знаменателе?
468. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) n/B; г) л/б8; ж) л/125; к) л/2бТ;
б) ^/40; д) n/27; з) л/тТТ; л) л/252;
в) л/45; е) VQ9; и) ТтОО; м) л/бОТ.
469. Вынесите множитель из-под знака корня и упростите выражение:
а) г) ^^n/t^; ж) 0,WT2; к) 0,oWT250;
б) ^^^/45; д) l^^/т47; з) 0,2/50; л) ^V24 200;
в) ^^л/зО; е) ^^VT62; и) 0,WT000; м) 2^6,05.
470. Внесите множитель под знак корня:
а) ^/5; г) ^/7; ж) Т^/З; к) ТЬ/Т07;
б) 3s[a ; д) Л/тО; з) 6\[Ъг; л) W2T;
в) зУБ; е) 2s[3x; и) 2/ТТ; м) tWb.
471. Внесите положительный множитель под знак корня:
а) -^/2; г) -^0,Т2; ж) 3\J7c ; к) -lyj0,2h;
б) - W7; д) -T,WB; з) - 3\[2d; л) -;
в) -0,^/5; е) --^V6; и) ^/0,Т7; м) - 2-TVy.
472. Представьте выражение арифметическим квадратным корнем или выражением, ему противоположным:
а) ^i3; в) ^sfTS; д) -Ю^[О~оТ;
б) -Ъ4у ; г) 644Ь; е) 0,^27;
473. Сравните значения выражений:
а) W4 и V96; в) W2 и ^/3;
б) W5 и 32; г) W5 и ^/тО;
ж) -Тл/2а;
2
з) -0,^/^.
д) ^2 и ТОО;
е) ^/3 и n/тТО.
Т33
Правообладатель Народная асвета
474. Сравните значения выражений:
а) 1л/423 и г) 2л/15 и -л/ВО;
3 2 3 3
б) -VTT2 и -л/175; д) 4^/32 и i^/76;
в) VTS и -n/36; 3
е) и W2.
3
475. Запишите по возрастанию числа:
а) W3; ^/^; ^/Т; W2; в) W6; ^/ЭТ; ^/Э9; W-G;
б) n/7G; ^/2; W6; ^/Т4; г) ^/В; ^/^; W5; VTG7.
476. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) л/ба2 , где a > О; д) л/й3;
е) VZ5;
ж) V25x
б) Vb&2 , где b < О;
в) VSc4 ;
г) VlOd8 ;
и)
к)
11
52
27i3
)X
49
л) V-121e
35
з) ^/з6^;
477. Вынесите множитель из-под знака корня
м) ^/-176^'9
а) Vt25
б)
в) V24x
д) Vl08а2
е) Т-оВс-8
ж) ТТ^:
где а < О;
, где с < О;
где x < О;
г) 745уТО , где у > О; з) ^/48г
478. Упростите выражение:
а) 3/а + Wa - Vb;
б) Ыс - 2yfd - Wc;
в) -jAr + VQt - V25r;
г) Vl6s - \j36s + ^/9s;
д) Vst - ^/l2t - 3\j27t;
е) VSu - ^5Ои + Wl8u;
ж) 3y[5v + 242О^ - W45u ;
з) VT5 - V4S - V243;
и) ^/S + ^98 - 3/5Q;
к) - л/2ОО - лЯ^;
л) V28 + Vea - VT75;
м) -^/24 - W72 - л/396.
479. Выполните действия:
а) ^/T5 W35) • V5; г) (W7 - ^/3) • ^/7 + WSi;
б) >/3- WT5); д) ^/T5 - 3/2 W5) • З/б + V36Q;
в) (з/б - 3/3) • W3; е) ^/5О + 3/Т2) • л/б - >у24О.
l34
Правообладатель Народная асвета
3
ll
2О
480. Упростите выражение:
а) {\[а + b){\fa - b); г) ^/б W2)2;
б) ^/14 W50 )^/14 ^50); д) (с ^[d )3;
в) {ш + \fm )2; е) (3 + 45)(9 - 3\[5 + 5).
481. Упростите выражение:
а) [345 - 1)(1 + 345); в) (2 + 346)2;
б) ^ЛГ + W7)(^/Т - 3/ТТ); г) (^/э - 9)2.
482. Упростите выражение:
а) ^/5 W7)2 - 7Т40; в) (2/2 WTc)2 - 12/Т25;
б) Vec + [45-43)2; г) [45 + 47 W5-47)2.
483. Раскройте скобки и приведите подобные:
а) [jq -4а)[4а+4q); в) (Wt + Wa )(2/7 - т43)2;
б) ^/3 -4т )2; г) (10 -43)2 + W48.
484. Раскройте скобки и приведите подобные:
а) [4а -47){4а + 47)2; в) [43 + 4тЗ)3;
б) (5/3 - 2/5)2 (5/3 + 2/5); г) ( \/Ш ^/и )3 ^/Ш ^/n )2.
485. По формуле разности квадратов разложите на множители выражение:
а) а2 - 5; б) 4b2 - 7; в) 11у2 - 1; г) t - 3, где t > 0.
486. Разложите на множители выражение:
а) 2 + V2; б) 712 - ^/6;
487. Сократите дробь:
k -16
а)
б)
в)
h2 - 5 ;
h-45'’
i ^ \[8
8 - i2 ;
3-4J. j - 9 ;
г)
д)
е)
в) v + 4v;
46 - 6
г) 4ё - 'J3g.
\fk + 4 ’
l - ш
4i + 4Ш
34n - ^Jp _ 9n - 4p ’
ж)
з) и)
46 -1’
q-47. 47 -1;
11 + 4r 114r + r
к)
л)
м)
2s2 - 3 ; ^/2-46’’
2t + 242 ’
3a - 2
■s/sa ^42
135
Правообладатель Народная асвета
488. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
а) а . 7Г; г) x ; ж) 7 ; W5; к) 11 ; 248;
б) 5 . 4b ’ д) /г1^ ’ Ч + Z з) 6 ; W3; л) p ; WP ’
3 . е) 4 ; 542; 4
в) WZ ’ ) > - n ’ и) W5; We'
489. Избавьтесь от иррациональности в числителе:
а) 45. 2 ; в) ^4а b ; д) W7 5 ; ж) \l2q r ; и) yjmn ^[n
б) 43. 3 ; г) yj3x ; 4 ; е) 4Ь d ; з) 43t; 2 ; t2 к) 4~s 4s
490. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
а)
б)
3
42 +1’ 2 .
в)
г)
4а -4ь
д)
е)
6 - 242'’ 44 .
7+з43’
1 -42’ 4у WZ’
491. Докажите, что:
а) Л = 0,^/20; б) .f3 = ^V3X;
V 5 x x
492. Упростите:
ж)
з)
34
9 W13’ 16
47 ^13'
в) '
^ 2ы]х2 -1
а) , где X = 2 ^
б)
2ы] 1 + X2
у1 + X2 - X
493. Упростите
2 Цг ча);
2 ца )'
, где x = -J-
ЧтГх ^ m - X 2mn
а) ,-- г^=, где X ^^;
^т + X - yj m - X
1 + n2
б)
+ 4x ~4x
, где X = 4(а - 1).
136
Правообладатель Народная асвета
5
X
494. Объем V цилиндра (рис. 206) можно вычислить по формуле V = %R^h, где R — радиус основания, h — высота цилиндра. Выразите переменную R через переменные V и h и найдите значение R, если:
а) V = 2198 и h = 7;
б) V = 23 550 и h = 12.
R'
h
Рис. 206
495. Точка M — внутренняя точка отрезка AB. На прямой AB найдите все такие точки X, для которых AX + MX = BX.
496. Докажите, что:
а) в прямоугольном треугольнике медиана прямого угла равна половине гипотенузы;
б) если одна из медиан треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.
497. На рисунке 207 показана развертка цилиндра, боковая поверхность которого равна 220 см2. Найдите радиус
основания цилиндра, учитывая, что измерения прямоугольника, который представляет боковую поверхность, относятся как 11 : 5. Значение числа п возьмите рав-22
ным ---.
7
498. В 9 ч утра из города со скоростью 48 км/ч выехал мотоциклист. Через 50 мин вслед за ним выехал автомобилист со скоростью 63 км/ч. Определите, в какой момент расстояние между мотоциклистом и автомобилистом станет равным 42 км.
499. Через 40 мин после выезда из города А автомобилист увеличил скорость на 20 % и через определенное время прибыл в город В. Определите время движения автомобилиста, учитывая, что на вторую половину пути он затратил на 6 мин меньше, чем на первую.
137
Правообладатель Народная асвета
500. Мотоциклист проехал путь из деревни в город и назад за 1 ч 6 мин. Определите расстояние от деревни до города, если в город мотоциклист ехал со скоростью 60 км/ч, а из города — 50 км/ч.
501. На путь в 60 км велосипедисту понадобилось 4 ч 50 мин, из которых полчаса он отдыхал. На каком расстоянии от конечного пункта отдыхал велосипедист, если до отдыха его скорость была 15 км/ч, а после отдыха — 12 км/ч?
* * *
502. (Из коллекции профессора Брайена.)
— Сегодня также только одна карточка выигрывает, две остальные проигрышные, — сказал профессор Брайен, выложив на стол три карточки, показанные на рисунке 208.
На этой карточке написано «Заплатите»
На этой карточке написано «Получите»
На синей карточке написано «Заплатите»
Рис. 208
— А каким подсказкам можно верить?
— На выигрышной карточке подсказка истинная, а из двух остальных хотя бы одна ложная.
Какую карточку нужно перевернуть, чтобы выиграть 10 фунтов?
503. В квадрате ABCD выбрали точку F так, что Z FA^ = Z FBA = 15°. Докажите, что треугольник CDF равносторонний.
504. На окружности отмечено 10 точек, которые разделяют ее на 10 равных дуг. Сколько существует неравных треугольников с вершинами в отмеченных точках? А четырехугольников?
Правообладатель Народная асвета
I I I I I I I
раздел
Площадь
фигур
15. Площадь треугольника
Понятием площади мы часто пользуемся в жизни. Мы понимаем, что означают утверждения «Площадь комнаты равна 21 м2», «Площадь садового участка равна 10 а», «Площадь озера Свитязь равна 224 га», «Площадь Беларуси равна
207,6 тыс. км2».
Площадь — определенное свойство геометрической фигуры. Если выбрать единицу измерения, то площадь фигуры можно измерить, т. е. выразить числом. Понятны следующие свойства площади.
Площадь фигуры — неотрицательное число (рис. 209).
Площади равных фигур равны (рис. 210).
Рис. 210 Ф1 Ф2
Если = <1^, то Si = S2
Если фигура разделена на части, то площадь фигуры равна сумме площадей этих частей (рис. 211).
Напомним, что похожие свойства есть и у длины отрезка, градусной меры угла.
Вместе с этими свойствами нам потребуется еще и такое свойство.
139
Правообладатель Народная асвета
S = ab
Рис. 212
Площадь S прямоугольника со сторонами a и b равна ab (рис. 212).
Покажем, как можно использовать свойства площади для доказательства утверждений. Докажем, например, известную вам теорему Пифагора.
Теорема 1. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Доказательство. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 213). Его катеты CA, CB и гипотенузу А^ обозначим b, a и c соответственно. Построим два квадрата со стороной, равной a + b. Первый из них можно разделить так, чтобы образовались квадрат со стороной c и четыре треугольника, равные данному треугольнику ABC (рис. 214), второй — так, чтобы образовались два квадрата — один со стороной а, второй со стороной b — и снова четыре треугольника, равных данному треугольнику ABC (рис. 215). Понятно, что если от этих квадратов убрать по четыре равных друг другу треугольника, то останутся фигуры с равны-
а ь
ь ь"
а \
Рис. 215
Правообладатель Народная асвета
D
Q
ми площадями. Поскольку одна из этих площадей равна с2, а другая — а2 + Ь2, то с2 = а2 + b2.
Используя рисунки 216 и 217, вспомните, как доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Если S — площадь треугольника, a — его
основание, h — проведенная к нему высота, то S = — ah.
2
С помощью теоремы 2 доказывается теорема 3, которая выражает важное свойство прямоугольного треугольника.
Теорема 3. Если прямоугольные треугольники имеют по одинаковому острому углу, то отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе в одном треугольнике равно соответствующему отношению в другом.
Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 углы C и С1 прямые и ZA = АА1 (рис. 218). Докажем, что BC : AB = B1C1 : A1B1.
На лучах AB и AC отложим отрезки, равные A1C1 и A1B1: AN = A1C1 и AM = A1B1 (рис. 219). Тогда по первому признаку равенства треугольников АA1B1C1 = АAMN и поэтому B1C1 = MN. Найдем площадь треугольника ABM дву-
мя способами: S
'ABM = ^ ' BC и SABM
= 1 AB • MN. Тогда
2
Рис. 218
Рис. 219
141
Правообладатель Народная асвета
м
м
AM • BC = AB • MN, откуда BC '■ AB = MN '■ AM. Заменив в последнем равенстве отрезки MN и AM равными им отрезками B-^Ci и A^B-^, получим нужное равенство BC '■ AB = B^C^ '■ A^B^.
Используем теорему 3 для доказательства теоремы 4, которая выражает свойство площади треугольников.
Теорема 4. Если треугольники ABC и AMN имеют общую вершину A и остальные вершины расположены на двух прямых, проходящих через эту общую вершину, то площади этих треугольников относятся как произведения их сторон, выходящих из общей вершины:
AB ■ AC
^AMN
AM • AN
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда треугольники имеют общий угол (рис. 220). Проведем высоты BBj_, NNi (рис. 221). Тогда:
- AC ■
BB
1
^AMN
1 AM
2
AC
AM
AC . NN- _ . I NN- an
NN1
BB- ^ an AB BB1
AM BB1 AM AN BB1
(1)
AC
AM
AN
AB
AC ■ AB AM ■ AN '
При переходе (1) использована теорема 3.
Случай, когда углы треугольников при общей вершине вертикальны (рис. 222), легко свести к рассмотренному. Треугольник AM1N1, симметричный относительно точки A
Правообладатель Народная асвета
в
треугольнику AMN (рис. 223), равен ему и, значит, 8^^^ = = 8AMlNl, AM = AMj_, AN = AN^. Поэтому
Sabc = Sabc = AB ■ AC = AB ■ AC 8amn Sam^^ n, AMi ■ ANi AM ■ AN '
Рассмотрим, наконец, случай, когда углы треугольников при общей вершине смежные (рис. 224). Пусть K — точка, симметричная точке N относительно точки A. Треугольники AMN и AMK имеют равные площади, поскольку у них равные основания AN и AK и общая высота MM, (рис. 225), проведенная к ним. Поэтому
Sabc = Sabc = AB ■ AC = AB ■ AC 8amn Samk am ■ AK AM ■ AN '
Докажем теперь формулу, позволяющую находить площадь треугольника по известным его сторонам.
Теорема 5. Если а, b и c — длины сторон треугольника,
a + b + c „
p — полупериметр, p = -----, S — площадь треугольни-
ка, то:
S = ,Jp(p—a)(p—b)(p—c).
Доказательство. Пусть a, b и c — длины сторон BC, AC и AB треугольника ABC (рис. 226). Проведем высоту СС, к наибольшей стороне и обозначим x длину отрезка AC,. Тогда BC, = c - x. По теореме Пифагора получим:
CC2 = AC2 - AC2 = b2 - x2; CC2 = BC2 - BC2 = a2 - (c - x)2.
Правообладатель Народная асвета
Поэтому b2 - X2 = а2 - (c - x)2. Решим это уравнение и найдем х:
b2 - X2 = а2 - с2 + 2 сх - X2;
2 сх = b2 + с2 - а2;
X =
Тогда
2с
h = CCi = = Jb2 -
1,2 2 2,2
2 / ^ - а '
2с
Значит,
S = 1AB • CCi = 1 с • h = 1 с • л b2 -2 1 2 2 ''
1,2 2 2,2 2 (Г + с - а '
2с
b2 • 4с2 - (b2 + с2 - а2)2
4с2
с_
2 2с
1 • Vb2 • 4с2 - (b2 + с2 - а2)2
= 1 • \!(2Ьс + b2 + с2 - a2)(2bc - (b2 + с2 - а2)) = = 1 • ^((b + с)2 - a2)(2bc - b2 - с2 + а2) =
= — • ^J((b + с)2 - а2)(а2 - (b2 - 2Ьс + с2)) =
= :4 • V((b + с)2 - а2)(а2 - (b - с)2) =
= — • yj(b + с + a)(b + с - а)(а + b - с)(а - b + с) =
(b + с + а)(b + с - а)(а + b - с)(а - b + с)
16
\b + с + а b + с + а - 2а а + b + с - 2с а + b + с - 2b
2 2 2 2
b + с + а lb + с + а \ /а + b + ^ /а + b + с
- а|-(----------b|-(----------d =
2 V 2 J \ 2 J \ 2
= yjp • (P - а) • (p - b) • (p - с).
Формула S = yjp • (p - а) • (p - b) • (p - с) называется формулой Герона.
Герон Александрийский (I ст.) — древнегреческий ученый, работавший в Александрии. Математические работы Герона являются энциклопедией античной практической математики.
1. Сформулируйте свойства площади.
* 2. Чему равна площадь прямоугольника с измерениями а и b?
3. Докажите теорему Пифагора с использованием свойств площади.
144
Правообладатель Народная асвета
4. Чему равна площадь прямоугольного треугольника с катетами a и Ы
5. Запишите формулу для площади треугольника, в которой использованы сторона и проведенная к ней высота, и докажите ее.
6. Сформулируйте утверждение о площади треугольников, которые имеют общую вершину, а остальные вершины расположены на двух прямых, проходящих через эту общую вершину.
7. Сформулируйте свойство перпендикуляров, проведенных из одной стороны острого угла на другую его сторону.
8. Запишите формулу Герона и объясните, что означает в ней каждая переменная.
505. Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника. Составьте из них:
а) прямоугольник;
б) параллелограмм-непрямоугольник;
в) равнобедренный треугольник.
Сделайте в тетради рисунки полученных четырехугольников. Что вы можете сказать о площадях этих фигур?
506. Вырежьте из бумаги два равных разносторонних треугольника. Составьте из них три разных параллелограмма. Сделайте в тетради рисунки полученных четырехугольников. Что вы можете сказать о площадях этих фигур?
507. Начертите в тетради квадрат и считайте, что его площадь равна единице. Начертите:
а) квадрат, площадь которого равна 4 квадратным единицам;
б) прямоугольник-неквадрат, площадь которого равна 4 квадратным единицам;
в) треугольник, площадь которого равна 2 квадратным единицам;
г) треугольник, площадь которого равна 6 квадратным единицам.
508. Определите, как изменится площадь прямоугольника, если:
а) одну его сторону увеличить в k раз;
б) одну его сторону увеличить в k раз, а вторую — в l раз;
в) одну его сторону в k раз увеличить, а вторую — в k раз уменьшить;
г) одну его сторону в k раз увеличить, а вторую — в l раз уменьшить.
145
Правообладатель Народная асвета
Рис. 227
509. Два равновеликих четырехугольника наложены друг на друга так, как показано на рисунке 227. Докажите, что суммарная площадь синих треугольников равна суммарной площади серых треугольников.
510. Найдите сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику с измерениями 8 м и 50 м.
511. Докажите, что площадь круга с радиусом 2 м больше 8 м2.
512. Определите периметр прямоугольника, площадь которого равна 216 дм2, а измерения относятся как 2 : 3.
513. Прямоугольник, площадь которого равна 150 м2, а стороны относятся как 6 : 25, прямой, параллельной одной из сторон, разделен на две части, площади которых относятся как 2 : 3. Определите периметр каждой из полученных частей.
514. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна с.
515. Докажите, что если произвольную точку M медианы AA-^ треугольника ABC соединить с вершинами B и C, то получатся равновеликие треугольники ABM и ACM.
516. Две стороны треугольника равны 18 дм и 34 дм, а высота, проведенная к одной из них, составляет 17 дм. Найдите высоту, проведенную к другой стороне.
517. Две стороны треугольника равны 9,6 м и 7,2 м, а высота, проведенная к большей из них, — 3,6 м. Найдите высоту, проведенную к меньшей из данных сторон.
518. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 13 см и 85 см. Найдите периметр и площадь треугольника, а также высоту, проведенную к гипотенузе.
519. Докажите, что:
а) медиана делит треугольник на две равновеликие части;
б) три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей.
520. Найдите площадь треугольника MNK, учитывая, что его вершины лежат на сторонах треугольника ABC с пло-
щадью 60 = 4 : 1.
146
дм2 и AM : MB = 2 : 1, BN ■ NC = 3 : 1, CK ■ KA =
Правообладатель Народная асвета
521. Найдите периметр и площадь прямоугольного треугольника, учитывая, что его высота делит гипотенузу на отрезки, равные 3 м и 12 м.
522. Найдите площадь равнобедренного треугольника, учитывая, что его основание и боковая сторона соответственно равны:
а) 48 мм и 51 мм; б) 20 см и 12 см; в) a и b.
523. Найдите площадь треугольника, учитывая, что его стороны равны:
а) 13, 14, 15; в) 13, 40, 45; д) 5; ^/58; >/б5;
б) 11, 13, 20; г) 5, 51, 52; е) ч/5; чДС; n/Tb.
524. Найдите стороны треугольника, учитывая, что они относятся как:
а) 9 : 10 : 17, а площадь равна 108 м2;
б) 11 : 13 : 20, а площадь равна 3,3 а.
525. Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 28 см и 45 см, а расстояние между их центрами — 53 см. Найдите длину их общей хорды.
526. Найдите сторону треугольника, учитывая, что две другие его стороны и площадь соответственно равны:
а) 11 м и 13 м и 66 м2;
б) 55 см и 65 см и 198 см2;
в) 7 дм и 14 дм и 1^/10
дм
527. Выполните действие:
а) c2n + T • c3; г) a7 ■ a3; ж) bm : bn;
б) yi+3 • yi - 5; д) x34 : x34; з) (3y)5 : 9y4;
в) x * x ; е) dn + 6 : dn; и) 16sT4 : (2s3)2
528. Сократите дробь:
4 7,4 V a - b а) о о ; г) ij (g2 + h2)- -gh(i2 + j2). о о ;
б)
в)
(a + b)(a3 - b3)
(m + n)3 ;
3 2 ^
m - mn
4u - 4u3 ;
12u3-12u2 ’
д)
е)
ij (g2 - h2) + gh(i2 - j2)' p2qr - q3r + 2q2r2 - qr3 4q2r2 - (p2 - q2 - r2 )2 c3e - 2c2e2 + ce3 - cd2e (c2 + e2 - d2)2 - 4c2e2 .
147
Правообладатель Народная асвета
а)
б)
529. Упростите выражение:
530. Решите уравнение:
ж - 7
x - 9
x- 5 x- s’ a - 3 a - 1
a - 5
a - 4
в)
г)
4b + 1 5b + 3 6 y + 1
S b - 1 ; 2(5b + 1) ’ 6( y + 1)
3y - 1 3y - 1
а) j a -1 a+1 \ . ( 1 a 1 в) jb + 1 b-1\ • (1 + b2 1
\ a + 1 a-1 ' 12 4 4 a/’ \ b - 1 b + 1) 1 4b
б) f1 2 X 1 1 - 1). г) ( y2 +1 y \ . (1 3 - y ]
I1 X - 1) 1 X - 3 X l2y-1 2J \1 y + 2 )
531. Площадь сельскохозяйственных угодий Сморгон-ского района в 1,45 раза больше площади лесов и составляет
295,2 % от площади иных земель. Найдите распределение земель Сморгонского района, зная, что леса и иные земли занимают 760,5 км2.
532. В деревне Крево (теперь в Сморгонском районе) было заключено соглашение между ВКЛ и Польшей, получившее название Кревской унии. Установите дату этого события по таким сведениям. Количество столетий в году заключения на единицу меньше числа события и на пять единиц меньше порядкового номера месяца, который выражается кубом аднозначного числа. Количество лет от начала столетия на единицу больше увеличенного в шесть раз числа.
533. Найдите все целые числа x и y, удовлетворяющие равенству X2 + 3xy = 13.
534. Если выписать по кругу цифры 1, 4, 2, S, 5, 7 (рис. 22S), то при умножении числа 142 S57 на 1, 2, 3, 4, 5, 6 все произведения можно получить, прочитав по кругу с нужного места выписанные цифры. Например,
142 S57 • 2 = 2S5 714, 142 S57 • 6 = S57 142 (рис. 229).
Почему так получается?
Правообладатель Народная асвета
•к •к •к
16. Площадь трапеции, параллелограмма, ромба
На рисунке 230 показана трапеция MNOP. Диагональ MO разделяет ее на два треугольника MNO и MPO. Построим высоту OOi треугольника MPO. Тогда сторона MP — его основание. Поэтому
SMPO -
, = -1 MP • OOi
Проведем высоту MM^ треугольника MNO, тогда NO — его основание. Поэтому
Smno = ^2NO • MMi.
Рис. 230
Значит,
Smno
' = Smpo + Smno = 2 MP " OO1 + 2 NO " MM1.
Четырехугольник MM1OO1 — прямоугольник, поэтому MM1 = OO1. Учитывая это, можем записать:
SmNc^p = 1 MP • OO1 + 1 NO • MM1 = 1 MP • OO1 + 1 NO • OO1.
2 1 2 1 2 1 2 После вынесения общего множителя 1OO1 получим:
Sm
2
, = 1OO1 • (MP + NO),
или
S
MP + NO
MNOP ■
OO1
MP и NO — основания трапеции. Перпендикуляр OO1, опущенный из вершины трапеции на ее основание, называется высотой трапеции.
Мы доказали, что справедлива следующая теорема.
Теорема 6. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Обозначим основания трапеции буквами a и b, а высоту — буквой h. Тогда доказанное утверждение запишется формулой:
^ . h. “
^ 2
На рисунке 231 изображен параллелограмм ABCD. У него стороны AD и BC параллельны, отрезок CC1 — высота, проведенная к стороне AD.
149
Правообладатель Народная асвета
Поскольку диагональ АС разделяет параллелограмм на два равных треугольника, то
SABCD = SABC + SADC = 2SADC-
Учитывая, что SADC = 1 AD • CC^, получаем
2
Sabcd = ad • CCi.
Отрезок CCi называют высотой параллелограмма, а сторону, к которой проведена высота, — основанием параллелограмма.
Поэтому справедлива следующая теорема.
Теорема 7. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Обозначив основание буквой а, а высоту буквой h, это утверждение можно записать формулой:
= a * h.
Теорема 8. Площадь четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей.
Доказательство. Пусть диагонали KM и LN четырехугольника KLMN пересекаются в точке O под прямым углом (рис. 232). Тогда отрезки LO и NO — высоты в треугольниках KLM и KNM соответственно. Значит,
М
S
KLMN -
= SKLM + S
KNM
= 1 KM • 2
LO + 1 KM ■
2
1
2
= 1 KM • (LO + NO) = 1 KM
NO = LN.
Рис. 232
Следствие. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
1. По какой формуле можно найти площадь треугольника? Что означает каждая переменная в этой формуле?
2. Какие отрезки называют основаниями трапеции; высотой трапеции?
3. Запишите формулу для площади трапеции и докажите ее.
4. Какой отрезок называют высотой параллелограмма; основанием параллелограмма?
5. Запишите формулу для площади параллелограмма и докажите ее.
6. Запишите формулу для площади ромба, в которой использованы его диагонали, и докажите ее.
150
Правообладатель Народная асвета
535. Найдите площадь трапеции по сведениям, приведенным на рисунке 233.
536. Основания трапеции равны 15 см и 20 см, а ее площадь равна 420 см2. Найдите высоту трапеции.
537. Площадь трапеции равна 35 дм2, а ее высота — 5 дм. Найдите основания трапеции, учитывая, что они относятся как 3 : 4.
538. Сделайте нужные измерения и определите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке:
а) 234; в) 236;
б) 235; г) 237.
N
G
Рис. 234
S
о
Рис. 236
539. Площадь параллелограмма ABCD на рисунке 238 вычислите двумя способами, взяв в качестве основания разные стороны параллелограмма. Сравните полученные
151
Правообладатель Народная асвета
результаты между собой и с точным значением, равным 2377 мм2.
540. Параллелограмм MNKL задан координатами своих вершин. Вычислите его площадь двумя способами, взяв в качестве основания разные стороны параллелограмма, и сравните полученные результаты:
а) M(- 6; -1), N(-1; 7), K(5; 4), L(0; - 4);
б) M(-1; -2), N(-8; 3), K(1; 6), L(8; 1);
в) M(-8; -2), N(- 4; - 6), K(8; - 4), L(4; 0).
541. Площадь параллелограмма со сторонами 48 см и 56 см равна 1008 см2. Найдите обе высоты параллелограмма.
Е
542. В параллелограмме CDEF сторона CD больше стороны DE (рис. 239). Докажите, что высота FF1, проведенная к стороне CD, меньше высоты FF2, проведенной к стороне DE.
543. Площадь параллелограмма равна 360 см2, а его периметр 102 см. Найдите расстояние
между большими сторонами, если расстояние между меньшими равно 24 см.
544. Сторона ромба равна 8 м, а один из его углов — 120°. Найдите площадь ромба.
545. Периметр параллелограмма равен 72 см, а его площадь — 120 см2. Найдите расстояние между большими сторонами параллелограмма, учитывая, что расстояние между меньшими сторонами равно 20 см.
152
Правообладатель Народная асвета
546. Найдите площадь параллелограмма, учитывая, что его периметр равен 70 м, а высоты — 15 м и 27 м.
547. Пусть a и b — стороны параллелограмма, ha — высота, проведенная к стороне а, и hb — высота, проведенная к стороне b, а S — площадь параллелограмма. Заполните пустые клетки следующей таблицы.
а b ha hb S
12 см 30 см 8 см
38 мм 64 мм 57 мм
24 м 27 м 108 м2
26 дм 39 дм 156 дм2
1,1 км 132 м 264 а
1,75 км 1,25 км 280 га
38 км 20 км 760 км2
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
548. Стороны параллелограмма и прямоугольника соответственно равны. Найдите углы параллелограмма, учитывая, что его площадь в два раза меньше площади прямоугольника.
549. Ромб имеет такой же периметр, как и данный квадрат. Площадь какой из этих фигур больше?
550. Найдите площадь ромба, у которого высота равна 24 м, а меньшая диагональ — 25 м.
551. Одна сторона параллелограмма равна 29 м, а перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей на другую сторону, делит ее на части, равные 31 м и 11 м. Найдите площадь параллелограмма.
552. Внутреннюю точку X параллелограмма ABCD соединили с его вершинами. Докажите, што суммарная площадь треугольников AXD и BXC такая же как и суммарная площадь треугольников AXB и CXD.
553. Диагональ параллелограмма, равная 20 дм, перпендикулярна стороне, равной 21 дм. Найдите периметр и площадь параллелограмма.
554. Сторона параллелограмма равна 45 мм, а его диагональ длиной 76 мм образует с этой стороной угол в 30°. Найдите площадь параллелограмма.
153
Правообладатель Народная асвета
н
Рис. 240
О
555. Найдите площадь ромба, диагонали которого равны:
а) 4,8 дм и 36 см; в) 6 см и 56 мм.
б) 18 м и 66 м;
556. Найдите диагонали ромба, учи-
5
тывая, что одна из них составляет — другой, а площадь ромба равна 540 см2.
557. Диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны и равны 38 мм и 70 мм. Найдите площадь четырехугольника.
558. На рисунке 240 точка A симметрична вершине H параллелограмма EFGH относительно вершины G. Докажите, что площади параллелограмма EFGH и треугольника EAH равны.
559. Стороны PO и SO треугольника POS пересекают сторону QR параллелограмма PQRS в точках A и Б,
причем точка A — середина отрезка PO (рис. 241). Докажите, что треугольник POS и параллелограмм PQRS равновелики.
560. Смежные стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см, а угол между ними — 30°. Найдите площадь параллелограмма.
561. Сделайте нужные измерения и найдите площадь трапеции на рисунке:
Рис. 241
а) 242;
б) 243; в) 244;
г) 245.
Правообладатель Народная асвета
Рис. 245
562. Найдите высоту H осесимметричной фигуры на рисунке 246, учитывая, что площадь фигуры равна 4520 мм2, и все размеры указаны в миллиметрах.
563. Стороны параллелограмма равны 12 дм и 21 дм. Найдите площадь параллелограмма, учитывая, что угол между его сторонами равен:
а) 30°; б) 45°; в) 60°.
564. Найдите сторону ромба, площадь которого равна Q, а диагонали относятся как k ■ l.
565. Докажите, что:
а) если провести диагонали трапеции, то из полученных четырех треугольников два треугольника, прилежащие к боковым сторонам, равновелики;
б) если из четырех треугольников, на которые разделяют четырехугольник его диагонали, два треугольника, прилежащие к противоположным сторонам, равновелики, то такой четырехугольник является трапецией или параллелограммом.
566. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 90 м и 120 м, а медиана, проведенная к третьей стороне, — 75 м.
155
Правообладатель Народная асвета
567. Найдите углы:
а) прямоугольной трапеции (рис. 247);
б) равнобедренной трапеции (рис. 248).
ч76°
Рис. 248
568. За первый час туристы прошли 5 км, а затем шли еще t ч со скоростью 4 км/ч. Запишите формулой зависимость пути S от времени t. Постройте график движения туристов.
569. Постройте график зависимости между величинами x и у, которая выражается формулой:
в) у = 1 х;
а) у = 2x;
б) у = -2х;
570. Решите неравенство:
г) у = - ^2х;
а)
а)
б)
3 a + ^ ,7 a - 8 1 + 7 a
----- < ----- + -----:
5 6 15
д) у = -2х + 2;
е) у = ^2 х - 2.
5 c - 1 2c - 2
б)
>
13 c + 9 6 '
571. Решите систему неравенств:
4а + 5 < 2а + 3, 2а + 3 > 9 + 4а; 5b + 2 > 6b - 17, 4b - 7 < 6b - 13;
в)
г)
7c + 2 > 2(3c + 4),
10c - 5 < 5(c + 1); 5d - 3 > 2d + 7, 5(d + 1) < 9d - 5.
572. Лахвица и Живорезка — крупнейшие притоки Ла-хвы. Если площадь водосбора Лахвы уменьшить на 2 км2, а площади водосбора Лахвицы и Живорезки увеличить каждую на 6 км2, то получатся квадраты, стороны которых относятся как 9 : 3 : 4. Найдите площади водосбора этих рек, учитывая, что без площади водосбора названных притоков площадь водосбора Лахвы составляет 518 км2.
156
Правообладатель Народная асвета
2
^ Лахвица^1^м Живорезка Лахва
Живорезка Лахвица Живорезка Лахвица 12 км^
Рис. 249
573. По рисунку 249, на котором представлены соотношения между длинами Лахвы, Живорезки и Лахвицы, составьте задачу и решите ее.
* * *
574. Найдите все четные пятизначные числа, записанные различными цифрами без использования цифры нуль, учитывая, что три первые цифры числа образуют точный квадрат, а две последние — точный куб.
575. Расставьте по кругу числа 14, 23, 57, 64, 249, 374, 608, 1536 так, чтобы каждые два соседние числа имели общую цифру.
576. Найдите наименьшее такое число, что если перед ним приписать цифру 3, а после него цифру 8, то получится число, в 83 раза большее исходного.
17. Синус, косинус и тангенс острого угла
Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 250). Катет BC является противолежащим углу A, а катет AC — прилежащим к углу A.
Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Синус, косинус и тангенс угла A обозначают sin A, cos A и tg A соответственно: sin A = , cos A = , tg A = .
A^’ ^ AC
Рис. 250
157
Правообладатель Народная асвета
Поскольку tg A = ^ = BC : AC = ^ = sin A : cos A = ,
^ ^ AC AB AB cos A ’
то верно тождество tgA =
sin A
cos A
Докажем еще тождество sin2A + cos2A = 1. Имеем: sin2A +
^ ^2 ~____________
= 1, так как по теореме
+ cos2 A = f BC r + (AC ^ = \A^/ \AB/
Л r<2 _ Л d2
AB2
Пифагора BC + AC = AB
Теорема 9. Синус, косинус и тангенс острого угла зависят только от его величины.
Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 углы C и C1 прямые, а углы A и A1 равные. В соответствии с
. Поэтому sin A = sin A1.
.. d BC BiCi
теоремой 3 --- = ---
^ AB A1B1
Чтобы доказать, что cos A = cos A1, обратим внимание на то, что в прямоугольных треугольниках ABC и A1B1C1 углы B и B1 также равны, поскольку А B = 90° - А A = = 90° - АA1 = А B1. Теперь применим теорему 3 к прямоугольным треугольникам ABC и A1B1C1 с равными острыми
AC
углами B и B1 и получим, что -- =
AB
= cos A1. Значит, cos A = cos A1.
B^. Но AC = cos A и
A1B AB
Наконец используем установленную связь между тангенсом угла и его синусом и косинусом. Будем иметь:
tg A =
sin A cos A
sin A1
cos A1
1
= tg A1.
Из теоремы 9 следует, что синус, косинус и тангенс острого угла зависят только от его величины. Синус, косинус и тангенс угла A с градусной мерой а обозначают sin а, cos а и tg а соответственно.
Найдем значения sin а, cos а и tg а для углов 30° и 60°. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором А A = 30° и А B = 60° (рис. 251). Мы знаем, что катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотену-
В зы. Поэтому sin 30° =
BC
AB
А по-
скольку cos 60° = BC, то cos 60° = В.
Чтобы найти cos 30°, используем тождество sin2 A + cos2 A = 1. Будем иметь:
Рис. 251
cos 30° =
V1 - sin230°= = .Jf:
158
Правообладатель Народная асвета
Поскольку cos 30° = = sin 60°,
2 ^AB
то sin 60° = ^^.
2
Наконец, tg 30° =
sin 30
= 1 : 2/3 = 1 = ^ и tg 60° = ч/з 3 ®
1 • ::К ^ 2
43 . 1
cos 30
sin60° = ^ . 1 = /3
cos60° 2 ' 2 ^ .
Найдем теперь значения sin 45°, cos 45° и tg 45°. Для этого рассмотрим Рис. 252
треугольник ABC, в котором Z C = 90°
и ZA = 45° (рис. 252). Тогда Z B = 90° - 45° = 45°. Поэтому этот треугольник равнобедренный, и значит, BC = AC.
По теореме Пифагора находим, что AB^‘ = BC^ + AC2 =
= 2 BC2 и поэтому AB = 42BC. Значит,
sin 45° =
BC
BC
AB 42 BC
А поскольку BC = AC, то
1
42
42
2 '
cos 45° = = sin 45° = ^ и tg 45° = = 1.
AB AB 2 AC
Чтобы найти значения sin a, cos a и tg a для иных углов a, используют специальные так называемые тригонометрические (от греческих слов «тригонон» — треугольник и «метрайн» — измерять) таблицы. Первые тригонометрические таблицы, о которых до нас дошли сведения, были составлены в середине II столетия до нашей эры греческим астрономом и математиком Гиппархом.
1. Какой смысл имеет синус острого угла прямоугольного треугольни-• ка?
2. Чему равен синус 30°; 45°; 60°?
3. Как можно найти синус данного угла?
4. Какой смысл имеет косинус острого угла прямоугольного треугольника?
5. Чему равен косинус 30°; 45°; 60°?
6. Как можно найти косинус данного угла?
7. Какой зависимостью связаны синус и косинус одного угла?
8. Какой смысл имеет тангенс острого угла прямоугольного треугольника?
9. Какой зависимостью связан тангенс с синусом и косинусом того же
угла?
10. Чему равен тангенс 30°; 45°; 60°?
11. Как найти тангенс данного угла?
159
Правообладатель Народная асвета
577. Используя определение синуса острого угла прямоугольного треугольника, найдите длину отрезка AB по данным, приведенным на рисунке:
а) 253; б) 254; в) 255; г) 256.
А В
Рис. 253
578. Используя определение синуса острого угла прямоугольного треугольника, найдите длину отрезка AB по данным, приведенным на рисунке:
а) 257;
б) 258;
в) 259;
г) 260.
160
Правообладатель Народная асвета
используя определение синуса.
а) 262;
б) 263;
в) 264;
г) 265.
Рис. 264
581. Найдите синусы острых углов прямоугольного треугольника, катет и гипотенуза которого равны:
а) 3 и 5; б) 24 и 25; в) 3 и 6; г) 5 и 5/2.
582. Постройте прямоугольный треугольник, синус одного из острых углов которого равен:
а) 1; ’ 2’
б) ^3;
в) 5;
’ 7’
г) 14.
’ 27
583. Постройте, если возможно, прямоугольный треугольник, в котором:
ч 3 4
а) синус одного из углов равен —, а синус другого — —;
5 5
б) синус одного из углов равен 1, а синус другого — —.
33
161
Правообладатель Народная асвета
584. Используя определение синуса острого угла прямоугольного треугольника, докажите, что для любого прямоугольного треугольника ABC (рис. 266) верно равенство:
а) AC^ = AB • ACi; б) BC^ = BA • BC^; в) CC2 = ACi • BCi.
585. Луч BX принадлежит углу ABC (рис. 267). Докажите, что отношение расстояний XY и XZ от любой точки этого луча до сторон угла ABC не зависит от выбора точки X.
586. Найдите синусы острых углов треугольника по данным, приведенным на рисунке:
а) 268; б) 269; в) 270; г) 271.
587. Найдите синусы острых углов равнобедренной трапеции, основания и боковая сторона которой соответственно равны:
а) 20, 38 и 15; б) 31, 47 и 17; в) 41, 61 и 20.
Рис. 268 162
Рис. 270
Правообладатель Народная асвета
588. Найдите синусы острых углов треугольника по данным, приведенным на рисунке:
а) 272; б) 273; в) 274; г) 275.
Рис. 274
Рис. 273
589. Найдите синусы углов треугольника, стороны которого равны:
а) 17, 25 и 28; б) 17, 25 и 26; в) 25, 74 и 77.
590. Найдите значение выражения:
а) sin 45° + sin 60°; е) Vs • sin 60°;
б) sin 45° - sin 60°; ж) (sin 60°)4;
в) sin 45° : sin 60°; з) (sin 45°)6;
г) sin 45° • sin 60°; и) sin 45° : sin 30°;
д) • sin 45°; к) sin 60° : tg 45°.
591. Найдите значение выражения:
а) sin 10°; г) sin 69°; ж) sin 1°;
б) sin 27°; д) sin 76°; з) sin 89°;
в) sin 43°; е) sin 85°; и) sin 3°.
592. Найдите острый угол, синус которого равен:
а) 0,1736; в) 0,6561; д) 0,0175;
б) 0,9703; г) 0,9945; е) 0,4384.
163
Правообладатель Народная асвета
593. Найдите косинусы острых углов и сами углы треугольника по данным, приведенным на рисунке:
а) 276; б) 277; в) 278.
Рис. 276
594. Найдите косинусы углов и сами углы треугольника по данным, приведенным на рисунке:
а) 279; б) 280; в) 281.
595. Найдите косинус угла, учитывая, что его синус равен:
е) а.
а) 1; ^ 2’
б)
в)
г)
д) 13;
596. Найдите синус угла, учитывая, что его косинус равен:
^ г) 0,2; д) -^; е) а.
а) 1з; б) 1г;
в) ^; ^ 10’
597. Определите, могут ли синус и косинус одного угла быть равными соответственно:
n/^. йч ^ „ч ^ „ ч/5.
а) 1 и
22
164
б) 1 и ^; ^2 2 ’
ч 1 ч/5
^ 3 3 ’
ч 4 2
г) 15 и ^.
Правообладатель Народная асвета
598. Определите, при каких значениях переменной a синус и косинус одного угла соответственно равны:
а) a и а; б) a и 2a; в) a и —;
г)
a2 -1
и
2a
a2 + 1 a2 + 1
а) меньше ^; ^ 2’
б) больше -1;
1- 4
5; 5
599. Найдите границы изменения cos а, учитывая, что sin а:
в) принадлежит промежутку
г) изменяется от b до 2b.
600. Определите, для каких углов в:
а) cos в = sin в; в) cos в > sin в; д) cos в ^ sin в;
б) cos в < sin в; г) cos в ^ sin в; е) cos в ^ sin в.
601. Найдите значение выражения:
а) cos 9°; в) cos 47°; д) cos 66°;
б) cos 37°; г) cos 71°; е) cos 87°.
602. Найдите угол, косинус которого равен:
а) 0,1908; в) 0,2588; д) 0,0175;
б) 0,9925; г) 0,9994; е) 0,4540.
603. Запишите формулу, которая является определением тангенса, и выразите из нее синус. Используя полученную формулу, докажите, что тангенс острого угла больше синуса этого угла.
604. Используя определение тангенса, докажите, что квадрат высоты BB1, проведенной к гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC, равен произведению проекций AB1 и CB1 катетов AB и CB на гипотенузу AC.
605. Докажите, что произведение тангенсов острых углов прямоугольного треугольника равно единице.
606. Найдите тангенсы углов и сами углы треугольника по данным, приведенным на рисунке: а) 282; б) 283; в) 284.
Рис. 283
Рис. 284 165
Правообладатель Народная асвета
607. Найдите недостающие числа в таблице, учитывая, что а, b и c — соответственно катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника с прямым углом C.
а 2,4 27 0,35 212
b 4,5 9,13 0,976 123
c 65 15,7 7,12 34,8
Z A 20° 44° 11°
A B 72° 83° 33°
608. Ребро SB треугольной пирамиды SABC перпендикулярно ребрам RA и BC, а ребро AC перпендикулярно ребрам CB и CS (рис. 285). Ребра SB, BC и CA соответственно равны 2, 2 и 4. Найдите:
а) полную поверхность пирамиды;
б) углы каждой грани пирамиды.
Рис. 285
Рис. 286
609. В основании четырехугольной пирамиды SLKMN лежит прямоугольник LKMN (рис. 286). Ребро SL перпендикулярно ребрам LK и LN, ребро MK — ребру KS, ребро NM — ребру NS, SL = а, Z LSM = 60°, а Z MSN = 30°. Найдите:
а) полную поверхность пирамиды;
б) углы каждой грани пирамиды.
166
Правообладатель Народная асвета
610. Запишите многочленом выражение:
а) х(1 - 3x)2 - (x2 - 2)(2 - x) + 3x3(4x - 1);
б) (с2 - 2c)2 - c(5 - c)(c + 4) - 4c(2c3 - 5);
в) (y - a)3(y - a) - (y - a)2(ay + a2);
г) (fo2 - b + 1)(b2 + b + 1)(b4 - b2 + 1);
д) (i + j + k)(i + j - k)(i - j + k)(i - j - k);
е) (2 + w2 + 3u3 + v2)(2 + u2 - 3u3 - v2).
611. Докажите тождество:
а) 4(1 - a)2 - 5(1 - a)(1 + a) - (3 + a)2 = 2(4a2 - 7a - 5);
б) (x - 2y)(4y + 2x) + 2y(x + 2y) - 2y(x - 2y) = 2x2.
612. Разложите на множители выражение:
а) a6 - 2a3b + b2; д) 8i3 - 60i2j + 150ij2 - 125j3;
б) 4c10 + 20c5y6 + 25y12; е) 8p2 + 72p2q + 216pq2 + 216q3;
в) 125m3n6 + 216k6Z3; ж) u12 + u10 - u7 + 2u6 - u5 - 2U11;
г) 216d6/3 - 125c3b®; з) g2h2 + b2c2 - b2g2 - c2h2.
613. Решите уравнение:
а) (a + 2)(a2 - 2a + 4) - a(a + 3)(a - 3) = 53;
б) (x - 3)(x2 + 3x + 9) - x(x - 5)(x + 5) = 48;
в) (3b + 1)(9b2 - 3b + 1) - 9b(3b2 - 5) = 136;
г) (2u - 3)(4u2 + 6u + 9) - 4u(2u2 - 11) = 226.
614. Выделите точный квадрат:
а) x2 + 2x; в) x2 + 3x + 3;
б) 4x2 + 6x - 1; г) -3x2 + 6x + 9.
615. Река Дива вытекает из озера Урада, протекает через озера Атолово, Турасы, Березовское, Паульское и впадает в озеро Яново. Эти озера — часть Ушачской группы озер. Площадь Атолова относится к площади Турасов как 410 : 37, а суммарная их площадь равна 8,94 км2. Найдите площади озер Урада, Атолово, Турасы в отдельности, учитывая, что
38
отношение площадей Урады и Атолова равно
616. Объем воды Паульского озера относится к объему воды Березовского озера как 535 : 253, а объем воды последнего к объему воды озера Яново как 23 : 76. Найдите, сколько воды в каждом из этих озер, учитывая, что воды в Янове на 15,05 млн м3 больше, чем в Паульском.
167
Правообладатель Народная асвета
617. Есть отходы стали с содержанием никеля 5 % и 40 %. В какой пропорции нужно их взять, чтобы получить сплав с содержанием никеля 30 %?
* * *
618. Канавки разделяют плитку шоколада на 4 • 5 равных прямоугольников (рис. 287). Какое наименьшее количество разломов нужно сделать, чтобы получить этих 4 • 5 равных частей? (За один раз ломается только один кусочек.) А какое наибольшее количество? Как вы объясните полученный результат?
619. Докажите, что число 2005 • 2006 X X 2007 • 2009 • 2010 • 2011 + 36 является точным квадратом.
Рис. 287 620. Куб с ребром 3 см нужно разрезать
на кубики с ребром 1 см. Какое наименьшее количество плоских разрезов понадобится для этого, если после каждого разрезания полученные части можно складывать по своему желанию?
Правообладатель Народная асвета
I
Квадратные
уравнения
раздел
18. Квадратное уравнение
Пример 1. Один катет прямоугольного треугольника на 7 см больше другого и на 1 см меньше гипотенузы. Найдите стороны треугольника.
Пусть длина большего катета равна l см, тогда длина меньшего катета — (I - 7) см, а гипотенузы — (I + 1) см
(рис. 288). По теореме Пифагора можем записать:
l2 + (l - 7)2 = (l + 1)2.
Раскрыв скобки и приве- Рис- 288
дя подобные, получаем:
l2 + l2 - 14l + 49 = l2 + 2l + 1; l2 - 16l + 48 = 0.
Разложим многочлен в левой части уравнения на множители способом группировки:
l2 - 16l + 48 = l2 - 4l - 12l + 48 =
= l(l - 4) - 12(l - 4) = (l - 4)(l - 12).
Значит, полученное уравнение равносильно уравнению (l - 4)(l - 12) = 0,
корнями которого являются числа 4 и 12.
Если длина большего катета равна 4 см, то тогда длина меньшего составляет 4 см - 7 см = -3 см. Но длина отрезка не может быть отрицательной. Поэтому корень 4 нужно отбросить.
Если длина большего катета составляет 12 см, тогда меньший катет имеет длину 12 см - 7 см = 5 см, а гипотенуза — длину 12 см + 1 см = 13 см.
169
Правообладатель Народная асвета
Ответ. Стороны треугольника равны 5 см, 12 см, 13 см. При решении задачи мы получили уравнение
l2 - 161 + 48 = 0,
в котором старшая степень переменной l — квадрат.
Определение. Квадратным уравнением называется уравнение
ax^ + bx + c = 0,
где a, b, c — некоторые числа, x — переменная, причем a Ф 0.
Числа a, b, c называют коэффициентами квадратного уравнения, число a — первым, или старшим, коэффициентом, число b — вторым коэффициентом, число c — свободным членом.
Поскольку левая часть ax^‘ + bx + c квадратного уравнения — многочлен второй степени, то его называют еще уравнением второй степени.
Если хотя бы один из коэффициентов b или c квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 равен нулю, то его называют неполным квадратным уравнением.
В уравнении 5x2 - 3x = 0 нулю равен свободный член, в уравнении -3x2 + 12 = 0 — второй коэффициент, в уравнении 27x2 = 0 — нулю равны второй коэффициент и свободный член. Значит, это неполные квадратные уравнения.
Рассмотрим, как решаются неполные квадратные уравнения.
Теорема 1. Неполное квадратное уравнение ax^ + bx = 0,
где b Ф 0, имеет два корня: x1 = 0; xo = —b.
a
Доказательство. Пусть дано неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0, где b Ф 0. В левой части уравнения вынесем за скобки x:
x(ax + b) = 0.
Произведение x(ax + b) равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей:
x = 0 или ax + b = 0.
Поскольку a Ф 0, то
x = 0 или x = — b
Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0, где b Ф 0, имеет два корня: x1 = 0; x2 = — .
170
Правообладатель Народная асвета
a
Пример 2. Решим уравнение 5х2 - 7х = 0.
Имеем: 5x2 - 7x = 0;
x(5x - 7) = 0; x = 0 или 5x - 7 = 0;
7
x = 0 или x = —;
5
x = 0 или x = 1,4.
Ответ. x1 = 0; x2 = 1,4.
Теорема 2. Неполное квадратное уравнение ax2 + c = 0,
где c Ф 0, имеет: два корня х^ = J-^ и х2 = -J-a, когда
c < 0; не имеет корней, когда c > 0.
a a
Доказательство. Пусть дано неполное квадратное уравнение ax2 + c = 0, где c Ф 0.
Разделим обе части уравнения на а: x2 + c = 0.
Если c > 0, то уравнение не имеет корней, поскольку значение
выражения в левой части не меньше положительного числа c.
2 а
а
Если c < 0, то -c > 0. Поэтому -c =
^ а ■’а
это, запишем уравнение в виде:
x2 - (- ) = °,
-I . Учитывая
или x2 - L - — I = 0
или
x + J-
x -. -
= 0;
x = -,i— или x = .-.
а \ а
^01 — ^ , ^0 2 —
Пример 3. Решим уравнение - 4x2 + 49 — 0. Имеем:
- 4 x2 + 49 — 0;
- 4 x2 — - 49;
,v^ 49. x — 4 ,
x — /ii- x — - /ii-
xl \l j ; x2 \! j ;
44
— !• — - !•
xi — 2’ x2 — 2;
xi — 3,5; x2 — 3,5.
Ответ. 3,5; -3,5.
171
Правообладатель Народная асвета
Пример 4. Решим уравнение 6х2 - 4 = 0. Имеем:
6x2 - 4 = 0;
6x2 = 4;
x2 = -;
3 ’
Xi = -
; x2 =
Ответ. X1 = л/ з; x2 = Vi2.
Пример 5. Решим уравнение 3x2 + 4 = 0.
Имеем:
3x2 + 4 = 0;
3x2 = - 4;
„2 = 4
3 .
Поскольку число -4 меньше нуля, то уравнение x2 = -4 не имеет корней.
Ответ. Корней нет.
Теорема 3. Неполное квадратное уравнение ax^ = 0 имеет один корень x = 0.
Доказательство. Уравнение ax2 = 0 равносильно уравнению x2 = 0, которое имеет один корень x = 0.
1. Какое уравнение называют квадратным?
• 2. Какие числа называют коэффициентами квадратного уравнения? Ка-
кой коэффициент квадратного уравнения называют первым (старшим) коэффициентом; вторым коэффициентом; свободным членом?
3. Какие квадратные уравнения называют неполными квадратными уравнениями?
4. Как решается неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0, где b Ф 0?
5. Как решается неполное квадратное уравнение ax2 + c = 0, где c Ф 0?
6. Как решается неполное квадратное уравнение ax2 = 0?
621. Является ли квадратным уравнение:
в) т2 - 234 = 0;
’ 12 ’
а) 3a2 - 11a + 7 = 0;
б) -3x2 - 13x + 23 = 0; г) 10i - 56 = 0?
622. Назовите коэффициенты квадратного уравнения:
в) — W2 - 2 = 0; ’ 16 ’
а) 5x2 + 8x - 7 = 0;
б) -3c2 + 3c + 2,2 = 0; г) 6r2 - 5r = 0.
623. Запишите квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, в ко-
тором:
172
Правообладатель Народная асвета
а) a = 3, b = 4, c = 5;
б) a = -2, b = 0, c = -9;
в) a = -9, b = 0, c = 0;
г) a = 1, b = -6, c = 0.
624. К виду ax2 + bx + c = 0 приведите уравнение:
а) x(x + 4) = 7; в) 4c(c - 3) = c(c + 1) - c2;
б) (y - 5)(y - 6) = 2; г) 8(Z2 - 2) = 2(Z + 2)(Z - 2).
625. Докажите, что данное уравнение является квадратным:
а) (3г + 2)(3г - 2) = 2(2z + 1);
б) (t + 3)(t + 4) = (4t - 1)(t - 2);
в) (k - 7)(2 + 5k) = 2(k - 3)(k + 4);
г) 8(b - 1)3 = (2b + 1)3.
626. Определите, какие из чисел -3, -1, 0, 1, 3 являются корнями уравнения:
а) x2 - 9 = 0; в) b2 - 2b - 3 = 0; д) и2 + v - 12 = 0;
б) a2 - a = 0; г) (g - 3)(1 + g) = 0; е) - 2p - 8 = 0.
627. Равносильным квадратным уравнением замените уравнение:
а) 5п2 - 3n(2n - 1) = 6;
б) - 4 r(r + 3) = 3(r + 7) - 11;
в) 3s(2 - 3s) = 3 - (s + 10)(2s - 5);
г) (5 - 2k)(4 + 2k) = (k + 9)(k - 7).
628. Сколько корней имеет уравнение c2 = 25? Запишите их. Какой из них является арифметическим корнем из числа 25? Как второй корень выражается через арифметический корень?
629. Решите уравнение:
а) a2 = 1; г) v2 = 9 . 49 ; ж) z2 = = 100; к) p2 = 121. 900;
б) y2 = 1. 4’ д) x2 = 0; з) r2 = 9 . 100 ; л) z2 = 1 , 289 ;
в) c2 = 9; е) t2 = 25 . 36; и) v2 = 400; м) p2 = 36 289 .
630. Решите уравнение:
а) т2 = 6,25; г) Р2 = 1,44; ж) a2 i = 6.^’ 49’
б) y2 - 169 = 0; д) k2 = 2 27; 9’ з) g2 = 51; 16’
в) b2 - = 0; 81 ’ е) ^ 100 = 0; и) v2 + 18 = 0.
173
Правообладатель Народная асвета
д) 5с2 + 20 = 0;
е) Эх2 - 9 = 0.
631. Разложением на множители левой части решите квадратное уравнение:
а) а2 - a = 0; в) 2с2 + 5с = 0; д) е2 - 6е + 9 = 0;
б) b2 + ЭЬ = 0; г) 5^2 - 3d = 0; е) f2 + 4f + 4 = 0.
632. С точностью до трех знаков с помощью микрокалькулятора найдите корень уравнения:
а) х2 = 9,15; в) г2 - 7091 = 0;
б) а2 = 29; г) и2 - 0,0471= 0.
633. Решите уравнение:
а) 9а2 - 4 = 0; в) - 0,11Ь2 + 11 = 0;
б) Эг2 - 2 = 0; г) 11у2 - 22y = 0;
634. Решите уравнение:
а) Эи2 - 4и = 0; в) -5y - 9y2 = 0;
б) 10г2 + 9г = 0; г) Si2 - t = 0.
635. Решите уравнение:
а) 7и2 - 4и + 11 = 5и2 + и + 11;
б) - 6v2 + 9v + 11 = 9v - Э4;
в) (m + 1)(m2 - m + 1) - m2(m + 4) = 0.
636. Решите уравнение:
а) g2 + 4 = (g + 4)(2g + 1); в) Sj2 - (j + 1)2 = -2(j - Э);
б) 4i - (i + 2)2 = 5i2 - 7; г) (7l + 1)(l - Э) = - 4(6 + 5l).
637. Докажите, что уравнения х2 = 9 и | х | = Э равносильны.
638. Подберите число а так, чтобы левая часть уравнения была квадратом суммы или разности, и решите полученное уравнение:
а) 22 + аг + 4 = 0; б) х2 - ах + 16 = 0; в) 4и2 - 4и + а = 0.
639. Докажите, что если число m является корнем уравнения ах2 + Ьх + с = 0, где с ^ 0, то число — является корнем
^ ^ m
уравнения сх2 + Ьх + а = 0.
640. Найдите два натуральных числа, учитывая, что:
а) произведение этих чисел составляет 75 % квадрата большего из них;
б) произведение этих чисел в 1,1 раза больше квадрата меньшего из них;
в) произведение этих чисел в полтора раза меньше квадрата меньшего из них.
174
Правообладатель Народная асвета
641. Если от квадрата отрезать прямоугольный треугольник площадью 44 см2, то останется пятиугольная часть площадью 100 см2. Найдите:
а) сторону квадрата;
б) стороны треугольника и пятиугольника, если катеты треугольника отличаются на 3 см.
642. Площадь круга на 26 см2 меньше площади квадрата. Найдите сторону квадрата, учитывая, что площадь круга равна 49 см2.
643. Катеты прямоугольного треугольника равны 2 см и 4 см. Найдите его гипотенузу и площадь.
644. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите его катеты.
645. Сумма квадратов трех последовательных натуральных чисел равна 77. Найдите эти числа.
646. На рисунке 289 показана развертка конуса, площадь основания которого составляет 314 см2, а угол AOB развертки равен 75°. Найдите образующую AO конуса.
647. На рисунке 290 прямая BE при пересечении с прямыми AB и CE образует внутренние односторонние углы, равные соответственно 74° и 106°. Прямая BC пересекает прямую CE под углом в 50°. Луч CA является биссектрисой угла BCD. Найдите углы треугольника ABC.
О
Правообладатель Народная асвета
и
648. Высота UU^ треугольника TUV образует со стороной
TU угол в 30° (рис. 291). Стороны TU и UV равны соответственно 6 дм и дм. Найдите:
а) стороны и углы треугольника TUV;
б) площадь треугольника TUV.
649. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом B и углом D в 45° диагональ AC равна 2\[2 см и перпендикулярна стороне CD. Найдите:
а) стороны и углы трапеции ABCD;
б) площадь трапеции ABCD.
650. В прямоугольной трапеции RSTU с прямым углом S диагональ RT составляет со стороной RS угол в 30° и лежит на биссектрисе угла STU, а боковая сторона TU равна 10 м (рис. 292). Найдите:
а) стороны и углы трапеции RSTU;
б) площадь трапеции RSTU.
* * *
651. Напомним, что [а] обозначает целую часть числа а, т. е. наибольшее из целых чисел, не превосходящих а. Так, [2] = 2, [4,35] = 4, [- 0,5] = -1. Найдите все числа х, для которых:
а) [5х - 3] = 2; б) [5х - 3] = -2.
652. Докажите, что произведение ста последовательных натуральных чисел не может быть сотой степенью натурального числа.
653. Докажите, что среди любых пяти человек есть два с одинаковым количеством знакомых среди этих пяти человек.
176
Правообладатель Народная асвета
19. Формулы корней квадратного уравнения
Квадратное уравнение можно решить методом выделения полного квадрата.
Пример 1. Решим уравнение
2х2 + 3х — 2 = 0.
Перенесем слагаемое —2 из левой части уравнения в правУю: 2
2x2 + 3x = 2.
Разделим все члены уравнения на старший коэффициент 2:
X2 + 3 x = 1.
2
В выражении х2 + 3 x первое слагаемое является квадратом числа x. Второе слагаемое представим удвоенным произведением числа х и еще одного числа:
X2 + 2 • X • 3 = 1.
К левой и правой частям уравнения прибавим квадрат
числа 3: 4
X2 + 2 • X •-+ ,
44
= 1 +
Далее будем получать:
X + ■
= 1 +
16’
X +--=
4
X + 3 \2 = 25’
41 16 ’
'25 или X + 3 = - Z25-
3 5 3 5
X +-= — или X +-=---’
4 4 4 4
X = 1 или X = —2.
2
Ответ. X1 = —2, X2 = I.
Решим квадратное уравнение в общем виде:
aX2 + bX + c = 0’
X2 + — X + c = 0’ a a
X2 + —X = —c ’
aa
(1)
177
Правообладатель Народная асвета
X2 + 2x •----+
2a
X +
2a
X +
- )2 = 2a
1 c ;
a a ;
-^2 = {—^2
) = \2a/
ь2 c .
4 a2 ; a
ь2 - 4 ac
4a2
(2)
Дальнейшее решение зависит от того, каким по знаку будет выражение -—. Поскольку по условию a Ф 0, то
4a2
знаменатель 4a2 является положительным числом. Поэтому знак дроби определяется его числителем -2 - 4ac.
Выражение -2 - 4ac называют дискриминантом1 квадратного уравнения и обозначают D, т. е.
D = У2 - 4ac.
Учитывая введенное определение, уравнение (2), равносильное уравнению (1), можно записать так:
(х + ^ ]2 =
' 2^ 4 a2
Пусть D > 0. Тогда получаем:
(3)
X +
X = —
s/d , - VD
—-— или X +----= —;
2a 2a 2a 2a
ь 4в ^ , ^/D'
------— или X = —+ -—;
2a 2a 2a 2a
-ь-4в -ь + 4в
X = ------ или X = ----.
2a 2a
Таким образом, если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:
-ь-4в -ь + 4в
X, = ----- и X2 = -----.
1 2a 2 2a
Полученные формулы корней квадратного уравнения объединяют в одной записи:
- ь ±Ув
X =
2a
, где D = ь2 - 4ac,
которую называют формулой корней квадратного уравнения.
Корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой — второй коэффициент, взятый с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из квад-
1От латинского discriminantis, что означает отличающий.
178
Правообладатель Народная асвета
ь
2
рата этого коэффициента без учетверенного произведения старшего коэффициента на свободный член, а знаменатель — удвоенный старший коэффициент.
Пусть D = 0. Тогда уравнение (3) запишется так:
Значит,
X + ) = 0.
2а,
X + = 0;
2а
X = -
ь_
2а '
Таким образом, если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень:
X = -
_ь_
2а '
Понятно, что такой же результат получится и по формуле корней квадратного уравнения. Действительно, если D = 0, то
- b ±\[0 b
X = -----, или X =-----.
2а 2а
Пусть D < 0. Тогда значение дроби —отрицательное, ра-
4 а2
венство I X +-1 = —^ невозможно ни при каком значении
V 2^ 4 а2 ^
переменной X, и поэтому уравнение (1) не имеет корней.
Таким образом, если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.
Пример 2. Решим уравнение 3x2 + 11x + 6 = 0.
Найдем дискриминант D:
D = 112 - 4 • 3 • 6 = 121 - 72 = 49; D > 0.
По формуле корней квадратного уравнения находим:
-11 ^49 -11 ± 7
X =
6
= -11 - 7 = ^ =
Х1 = ------ = 3; х2 =
6
-11 + 7
Ответ. х1 = -3; х2 = - -3-.
Пример 3. Решим уравнение 4а2 - 4а + 1 = 0. Имеем:
D = (- 4)2 - 4 • 4 • 1 = 16 - 16 = 0; D = 0.
4 ± ^/0 4 ± 0 4 1
~8 = 8 = "в = 2.
Ответ. 2.
2
а =
179
Правообладатель Народная асвета
6
Пример 4. Решим уравнение 5т2 - 7m + 11 = 0. Имеем:
D = (-7)2 - 4 • 5 • 11 = 49 - 220; D < 0. Ответ. Корней нет.
Пример 5. Решим уравнение 3s2 + 6s - 5 = 0. Имеем:
D = 62 - 4 • 3 • (-5) = 36 + 60 = 96; D > 0.
s = -6 W9e = -6 ^16 • 6 = -6 ± We ; s = -1-- = --1-- = --1-;
s1 = = -1 - |,/6;
= -1 + ^/6.
6 3 3
= -6 + We = -3 + W6
2 = 6 = 3 ^ 3
2 ^ 1,2
S2 =
Ответ. -1 - 2л/б; -1 + 2>/в.
33
Рассмотрим два частных вида квадратного уравнения.
Пусть в квадратном уравнении старший коэффициент равен единице:
X2 + px + q = 0.
Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями.
Учитывая, что здесь a = 1, b = p, c = q, из формулы корней квадратного уравнения получаем:
x =
p ±sl p2 - 4 q = p + ^/p2 - 4q
2 2 2
= - p + 2 ^/l^ - q = - p + 2
= _p + \p2 - 4 q =
2 V 4
Таким образом, корни приведенного квадратного уравнения X2 + px + q = 0 можно находить по формуле
X = - 2 ± V(2) - q.
Корни приведенного квадратного уравнения равны половине второго коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из квадрата этой половины без свободного члена.
Пример 6. Решим уравнение t2 + 7t + 10 = 0.
Имеем:
180
Правообладатель Народная асвета
7 + . /49 - 10 = _ 7 ^ /49 - 40 = 7 +
2 V 4 2 V 4 2
*1 = 7 3 5;
2 2 ;
^2 = - 7 + 3 = -2.
2 2
7 ± 3: 2 2 ■
Ответ. -5; -2.
Пример 7. Решим уравнение
а2 - 6а + 18 = 0.
Имеем:
а = -3 + V9 - 18 = -3 + 4-9.
Поскольку выражение -J-9 не имеет значения, то уравнение не имеет корней.
Ответ. Корней нет.
Пусть в квадратном уравнении второй коэффициент является четным числом: b = 2m, т. е. уравнение имеет вид
ах2 + 2mx + c = 0.
Из формулы корней квадратного уравнения получаем:
-2m ±J4m2 - 4ac -2m ± ^m2 - ac -m ±Jm2 - ac
x = ------------- = ----------- = ----------.
2a 2a a
Таким образом, корни квадратного уравнения ax2 +
+ 2mx + c = 0 можно находить по формуле
- m ±Jm2 - ac
x = ---------.
a
Пример 8. Решим уравнение 3u2 - 14u + 8 = 0.
Имеем:
x =
7 ^49 - 3 • 8 = 7 W25 = 7 ± 5^
= 7 - 5 = 2; =
x1 = о = о ; x2 =
3 3 ’
7 + 5
33
3
= 4.
Ответ. x1 = —; x2 = 4. 3
Некоторые виды квадратных уравнений умел решать среднеазиатский математик Мухаммед аль-Хорезми (787 — около 850). Соединение отдельных методов решения разных видов квадратных уравнений сделал немецкий математик Михель Штифель (1487—1567). Близкое к современному решение квадратного уравнения дали итальянский математик и инженер Раффаэле Бомбелли (около 1530—1572) и нидерландский ученый и инженер Симон Стевин (1548—1620).
181
Правообладатель Народная асвета
3
1. Какое выражение называют дискриминантом квадратного уравне-• ния?
2. Запишите формулу корней квадратного уравнения. Прочитайте ее словами.
3. Сколько корней имеет квадратное уравнение в зависимости от его дискриминанта?
4. Какое квадратное уравнение называют приведенным?
5. Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения. Прочитайте ее словами.
6. Запишите формулу корней квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом.
654. Методом выделения полного квадрата решите уравнение:
а) X2 + x - 12 = 0;
б) 2а2 - 11a + 5 = 0;
в) у2 + у - 6 = 0;
г) b2 + 7b - 8 = 0;
д) 2г2 - 3z + 1 = 0;
е) 2с2 + 5с + 3 = 0;
ж) 6u2 + 13u + 6 = 0;
з) 2d2 - 9d + 9 = 0;
и) 6н2 - v - 1 = 0;
к) е2 + 5е - 24 = 0;
л) 4т2 + 4т + 1 = 0;
м) 4р2 - 9р - 9 = 0.
655. Вычислив дискриминант, укажите количество корней квадратного уравнения:
а) x2 - 3x + 2 = 0;
б) 2т2 + т + 2 = 0;
в) 4у2 - 12у + 9 = 0;
г) 3i2 + 2t + 9 = 0;
д) 25а2 + 20а + 4 = 0;
е) 3т2 - 20т + 25 = 0.
656. Решите уравнение:
а) 2x2 + 7x - 15 = 0;
б) 9а2 + 10а + 1 = 0;
в) у2 - 2у - 35 = 0;
г) b2 - 3b - 18 = 0;
д) 22 - 7z + 13 = 0;
е) 36t2 + 60t + 25 = 0;
ж) 6е2 - 17е + 7 = 0;
з) d2 + 3d - 88 = 0;
и) 7f2 + 5f + 10 = 0;
к) r2 - 11r + 36 = 0;
л) s2 - 3s - 40 = 0;
м) 8m2 - 22m + 15 = 0.
657. При каких значениях переменной:
а) трехчлен х2 - 12x + 35 принимает значение, равное 15;
б) значения многочленов 3у2 + 5у - 20 и у2 - 2у + 10 равны;
в) значение трехчлена b2 - 4b - 11 равно значению двучлена b - 5;
г) значение двучлена t2 + 4 равно значению трехчлена 13t2 + + 7t - 8?
182
Правообладатель Народная асвета
658. Решите уравнение:
а) X2 - 11x + 24 = 0;
б) а2 - 4а - 5 = 0;
в) т2 + 9т + 14 = 0;
г) у2 - 14y + 48 = 0;
д) 4 + 4t = t2 + t;
е) 33 - 11n + n2 = 3n;
659. Решите уравнение:
а) 2т2 - 5т + 2 = 0;
б) 6n2 + 5n + 1 = 0;
в) 2p2 - 3p - 2 = 0;
г) 6g2 - 6g - 1 = 0;
д) 2a2 - 7a + 3 = 0;
е) 10fo2 - 9b - 1 = 0;
660. Решите уравнение:
а) 36w2 + 12u + 1 = 0;
б) 5v2 - 9v + 4 = 0;
в) 3w2 - 32w + 80 = 0;
г) 6x2 - 7x + 10 = 0;
д) у2 + 34у + 289 = 0;
е) -k2 - 15k + 34 = 0;
ж) c2 + c + 10 = -10c;
з) 6 - 2k = k2 - 3k;
и) 22s = 6 - 8s2;
к) g2 + 45 = 14g;
л) 5u + 2 = 3u2;
м) v2 + 30 + 11v = 0.
ж) 2c2 - 3c + 9 = 0;
з) 30d2 - 7d - 1 = 0;
и) 4x2 - 12x + 9 = 0;
к) 10u2 - 6u + 0,9 = 0;
л) 9у2 + 6у + 4 = 0;
м) 10v2 + 6v + 1,1 = 0.
ж) 2l2 - 7l + 3 = 0;
з) 2т2 - 5т - 3 = 0;
и) 6a2 - 7a + 8 = 0;
к) 15b2 + 7b - 15 = 0;
л) 20c2 - 103c + 132 = 0;
м) 14d2 - 19d + 10 = 0.
661. Решите приведенное квадратное уравнение:
а) X2 - 3X + 2 = 0;
б) у2 - 12у + 11 = 0;
в) z2 + 3z + 2 = 0;
г) a2 + a - 2 = 0;
д) b2 + 10b - 11 = 0;
е) c2 - c - 2 = 0;
ж) d2 - 10d + 25 = 0;
з) с2 - 6с + 13 = 0;
и) f2 + 18/ + 81 = 0;
к) g2 - 8g + 17 = 0;
л) Ь2 - 11h + 24 = 0;
м) k2 + 11k + 24 = 0.
662. Решите приведенное квадратное уравнение:
а) a2 - 8a + 15 = 0;
б) b2 + b - 56 = 0;
в) c2 + c - 20 = 0;
г) d2 + 16d + 55 = 0;
д) i2 - 21i + 98 = 0;
е) j2 + 22j + 120 = 0;
ж) k2 + 11k - 180 = 0;
з) l2 - 16l - 17 = 0;
и) т2 - 14т + 62 = 0;
к) n2 - 32n + 256 = 0;
л) p2 - 50p + 600 = 0;
м) q2 + 29q + 190 = 0.
183
Правообладатель Народная асвета
663. Решите уравнение со вторым четным коэффициентом:
а) 3т2 - 14m + 16 = 0;
б) n2 - 12n + 32 = 0;
в) 5k2 - 16k + 3 = 0;
г) X2 - 4x - 21 = 0;
д) y2 - 2y - 80 = 0;
е) a2 - 22a - 48 = 0;
664. Решите уравнение:
ж) 15fo2 - 22b - 37 = 0;
з) 2c2 - 4c + 17 = 0;
и) 15d2 + 22d - 37 = 0;
к) 3l2 + 2l + 10 = 0;
л) 7m2 + 20m + 12 = 0;
м) 15n2 - 8n - 12 = 0.
а) 9x = 5x2 - 2;
б) 14 - y2 = 5y;
в) 9 - z2 = - 6 z;
г) a - 6 = a2 - 26;
д) 6b2 + 10b = -25 - 15b;
е) 3c2 - 8 = 4c - 12;
665. Решите уравнение:
а) (2a - 1)(a - 2) = 5;
б) (3i - 2)(2t - 3) = 4;
в) (b - 3)2 = 2(b + 9);
г) (r + 5)2 = 4(r + 10);
д) (m + 4)2 = 40 + 3m;
е) (n - 2)2 + 48 = (2 - 3n)2;
666. Решите уравнение:
„4 a2 2a a + 5
ж) d2 + 1 = 52d - 575;
з) 15/2 - 29 = 22/ + 8;
и) 10p = 25p2+ 1;
к) 100r2 + 300r = 14r - 21r2 - 169;
л) 300s2 + 100s + 50 = 41 - 20s - 100s2;
м) 225t2 - 200t + 70 = 40t + 6.
ж) (7 + k)2 + (7 - k)2 = 135;
з) (2l - 4)(l + 3) = (l - 4)(l + 6);
и) (2p + 1)(p - 5) = (p - 2)2 - (5p - 1);
к) 2q(2q + 3) - (q + 3)2 = 0;
л) (r + 3)2 + (r - 3)2 = 10;
м) (s + 3)2 - (s + 2)2 - (s + 1)2 = 0.
б)
в)
5 3 1 6 ’
b(b - -7) 1 = 11b -
3 10
m2 + 2 = m + 4.
5 + 3 3 + 5’
b - 4, 3 •
г) ni + 1I = ni +
2 7 2 12 14
д)
е)
ж)
з)
(c + 3)2
(3c - 1)2 = (c - 2)(2c + 1);
7
3
(p -1)2 5
(i -12)2 6
(3 + 5 j )2 4
3 p2 + 0,2 p + 2,8 (p + 1)2
+ — + 9
10
i(i - 9)
5
(i -14)2
9 j - 2
+ —---- +
18 2 (j + 2)(2 j + 7)
= 0;
2i + 45,
9 '
4
= 0.
184
Правообладатель Народная асвета
Рис. 293
667. Угол между высотами равнобедренного треугольника, проведенными к боковым сторонам, равен 40°. Найдите углы треугольника.
668. В четырехугольнике PQRS равны суммы Z P + Z R и Z Q + Z S его противолежащих углов. Найдите углы четырехугольника, учитывая, что угол P больше угла R на 40°, а угол Q больше угла S в три раза.
669. В равнобедренном треугольнике PQR основание PR повернули вокруг вершины P так, что его другой конец оказался в точке A на стороне QR (рис. 293). Затем так же повернули отрезок AP вокруг точки A, и конец P совпал с вершиной Q. Найдите углы треугольника PQR.
670. В равнобедренном треугольнике ABC основание CA повернули вокруг вершины C так, что его другой конец оказался в точке M на стороне BA (рис. 294). Затем так же повернули отрезок MC вокруг точки M и получили точку L на стороне CB, повернув отрезок LM вокруг точки L, получили точку K на стороне АВ. Когда же повернули отрезок KL вокруг точки K, то точка L совпала с вершиной B. Найдите углы треугольника ABC.
671. Боковая сторона KL трапеции KLMN перпендикулярна диагонали LN и образует с основанием KN угол в 30° (рис. 295). Найдите стороны трапеции, учитывая, что основание KN равно 6 дм и LM = MN.
М
Рис. 294
185
Правообладатель Народная асвета
672. При смешивании 40-процентного раствора кислоты с 10-процентным раствором получили 150 г 20-процентного раствора. Сколько граммов каждого раствора взяли?
673. Из 500 кг железной руды удалили 200 кг примесей, в результате чего процентное содержание железа повысилось на 20 %. Сколько железа осталось в руде, если примеси содержали 10 % железа?
674. Есть два сплава цинка, меди и олова. Первый сплав содержит 40 % олова, второй — 26 % меди, а процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаковое. Сплавив 15 кг первого сплава и 25 кг второго, получили новый сплав с 30-процентным содержанием цинка. Сколько килограммов олова содержит полученный сплав?
675. Напомним, что [а] обозначает целую часть числа а, т. е. наибольшее из целых чисел, не превосходящих а. Так, [-1,2] = -2, [1,2] = 1, [2] = 2. Найдите все числа х, для которых:
а) [5 - 2х] = 3; б) [5 - 2х] = -3.
676. Есть краски шести цветов, в которые можно окрашивать грани куба (не обязательно каждую грань в свой цвет). Сколько различных раскрасок куба можно получить?
677. Запишите в квадратную таблицу последовательно числа от 1 до 25 (рис. 296). Поставьте перед десятью числами знаки «-» так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце таблицы стояло по два отрицательных числа. Сделали? Теперь найдите сумму всех чисел таблицы. Сколько у вас получилось? 65? Правильно! Как я угадал сумму?
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
Рис. 296
20. Уравнения, приводимые к квадратным
Левые и правые части уравнений, записанных в левом столбце таблицы на рисунке 297, являются рациональными выражениями. Такие уравнения называют рациональными уравнениями. Уравнения в правом столбце этой таблицы не являются рациональными, поскольку каждое из них, кроме действий сложения, вычитания, умножения, деления и воз-186
Правообладатель Народная асвета
•к •к •к
Уравнения
Целые
2(х - 2) = 5л: - 3 За^ - 5а - 2 = 0 лУа + 1 = 5
Дробно- 14 = л/л: + 11
рациональные о л/А:" + 4 =к-1
з-,-1=г' + 4 6-6 6-Н2 X + 4х - л1х-3
26-ЬЗ 6
Рациональные Иррациона vb ''ле
Рис. 297
ведения в целую степень, содержит действие извлечения корня из выражения с переменной: в первом уравнении — это \[а, во втором — л/х + 11, в третьем — Vk2 + 4, в четвертом — Vx и \Jx - 3. Такие уравнения называют иррациональными уравнениями.
Левая и правая части первых двух уравнений — целые выражения. Такие уравнения называют целыми уравнениями. Третье и четвертое уравнения не являются целыми, поскольку каждое из них содержит действие деления на выражение с переменной: в третьем уравнении — на 3 - у, в четвертом — на 26 + 3 и на b. Такие уравнения называют дробно-рациональными уравнениями.
Каждое линейное уравнение ах = b и каждое квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 являются целыми. Научимся решать еще один вид целых уравнений.
Пример 1. Решим уравнение х4 - 14х2 + 45 = 0.
Выражение х2 обозначим t:
х2 = t.
Тогда х4 = (х2)2 = t2. Это позволяет данное уравнение записать в виде:
t2 - 14t + 45 = 0.
Полученное уравнение является квадратным, и его корнями являются числа 5 и 9, т. е.
t = 5 или t = 9.
187
Правообладатель Народная асвета
После возвращения к переменной x получаем:
X2 = 5 или X2 = 9.
Значит,
X-
= —\[5, х2 = V5, х3 = -3, х4 = 3.
Ответ. —\/5; \[5; —3; 3.
Определение. Уравнение вида
ax* + Ъх^ + c = 0,
где а, Ъ и c — некоторые числа, х — переменная, причем a Ф 0, называется биквадратным уравнением.
Биквадратное уравнение ах* + Ьх^ + c = 0 заменой х2 = t сводится к квадратному.
Пример 2. Решим уравнение 9s* + 26s2 — 3 = 0.
Пусть s2 = а. Тогда
9а2 + 26а — 3 = 0.
Отсюда
Значит,
а = —3 или а = —.
9
s2 = —3 или s2 = —.
9
Уравнение s2 = —3 не имеет корней. Корнями уравнения
s = — являются числа — и —.
9 3 3
Ответ. s, = —; s2 = —.
С помощью замены можно решать и некоторые другие уравнения.
Пример 3. Решим уравнение 3t2 — 1\11 + 2 = 0.
Пусть |t| = у. Тогда t2 = |t= y2. Это позволяет данное уравнение заменить уравнением
3у2 — 7у + 2 = 0,
корнями которого являются числа:
у1 = '3; у2 = 2.
Вернемся к исходной переменной t. При у = — получаем
3
|t| = —.
3
Это дает два корня:
ti = ——, t2 = —. 1 ^ 2 3
188
Правообладатель Народная асвета
Если y = 2, то
|i| = 2.
Это дает еще два корня:
tg = -2, = 2.
Ответ. -2; - -g; -g; 2.
К квадратным уравнениям сводятся и некоторые дробнорациональные уравнения.
Пример 4. Решим уравнение
У - 2 + 4 = у
у- 3 у у2 - 3/
Умножим левую и правую части уравнения на общий знаменатель у(у - 3) входящих в это уравнение дробей. Получаем:
у—3 ^
у - 2 + 4 = У .
У - 3 у у(у - 3);
у(у - 2) + 4(у - 3) = у. (2)
Каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2). Но поскольку мы умножали обе части уравнения (1) не на число, а на выражение с переменной, которое может иметь нулевое значение, то не обязательно каждый корень уравнения (2) будет корнем уравнения (1).
Решим уравнение (2):
у2 - 2у + 4у - 12 = у; у2 + у - 12 = 0; у1 = - 4, у2 = 3.
Проверим, обращается ли в нуль знаменатель какой-либо дроби данного уравнения. При у = -4 ни один из знаменателей дробей не равен нулю, а при у = 3 знаменатели первой и третьей дробей равны нулю, поэтому число 3 не является корнем данного уравнения. Его называют посторонним корнем.
Ответ. у = - 4.
При решении дробно-рациональных уравнений рекомендуется следующая последовательность действий:
• найти общий знаменатель входящих в уравнение дробей;
• умножить левую и правую части уравнения на этот общий знаменатель;
189
Правообладатель Народная асвета
• решить полученное целое уравнение;
• исключить из полученных корней те числа, которые обращают в нуль знаменатель хотя бы одной из дробей данного уравнения.
5
+
1
16
Пример 5. Решим уравнение . .
m - 2 m + 2 m - 5
Общим знаменателем дробей является выражение (m - 2)(m + 2)(m - 5).
(m + 2)(m - 5) (m - 2)(m - 5) (m - 2)(m + 2)
Имеем:
5
+
1
16
m - 2 m + 2 m - 5
5(m + 2)(m - 5) + (m - 2)(m - 5) = 16(m - 2)(m + 2); 5m2 - 25m + 10m - 50 + m2 - 5m - 2m + 10 = 16m2 - 64; -10m2 - 22m + 24 = 0;
5m2 + 11m - 12 = 0;
D = 121 + 240 = 361;
-11 ^361
m =
m =
10 -11 ± 19
10
m1 = -3, m2 = -^.
При m = -3 и при m = 4 знаменатели дробей исходного
5
уравнения не равны нулю.
Ответ. m^ = -3; m2 = -4.
Пример 6. Решим уравнение — + 4—— = 0.
c2 - 4
c2 - 2c
c2 + 2c
Разложив знаменатели дробей на множители, получаем:
c 1 , c - 4
(c - 2)(c + 2)
Далее будем иметь:
c(c - 2) c(c + 2)
= 0.
c + 2 1
c - 2
c - 4
(c - 2)(c + 2) c(c - 2) c(c + 2)
c2 - c - 2 + c2 - 6c + 8 = 0; 2c2 - 7c + 6 = 0;
D = 49 - 48 = 1;
7 Wx
= 0;
c =
4
7 ± 1
c =
4
c1 = 12’ c2 = 2.
190
Правообладатель Народная асвета
Корень c2 = 2 является посторонним.
Ответ. 1—.
2
1. Какое уравнение называется биквадратным? Как оно решается? • 2. Как решается дробно-рациональное уравнение?
678. Решите уравнение:
а) а4 - 7a2 + 12 = 0;
б) b4 - 7b2 - 8 = 0;
в) 4х4 - 8х2 + 4 = 0;
г) 4y4 - 5y2 - 125 = 0;
д) c4 - 20c2 + 64 = 0;
е) 4d4 - 12d2 + 5 = 0;
679. Решите уравнение:
а) (х - 1)4 - 5(x - 1)2 + 4 = 0;
б) (а - 2)4 - 13(а - 2)2 + 36 = 0;
в) (т + 3)4 - 4(m + 3)2 - 5 = 0;
680. Решите уравнение:
а)
б)
в)
ж) 64г4 + 55г2 - 9 = 0;
з) е4 - 29е2 + 100 = 0;
и) 2g4 - 13g2 + 18 = 0;
к) 3h4 + 97h2 - 396 = 0;
л) 3т4 + 28т2 + 65 = 0;
м) n4 - 100 = 0.
г) (y + 5)4 + 8(y + 5)2 - 9 = 0;
д) (2t + 3)4 + 3(2t + 3)2 - 4 = 0;
е) (2г - 1)4 - 5(2г - 1)2 + 4 = 0.
д)
е)
a2 a = (
a + 3 a + 3
10 - 8 = 1;
b - 3 b ’
c2 5 c - 6
c2 - 4 c2 - 4;
1 + . 1=3
d d + 3 20
2m2 7m + 6
m - 2 2 - m
1 + 1 =
= 0;
5.
8’
n + 3 n - 3
681. Решите уравнение:
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
5
t - 5 2
5-t
+ 14 = 3’
1 - 5 + Т = 3;
2 p - 1 5 p - 7
p - 3 40
p-1
_______40
q - 20 q k - 5 2 k + 3
= 0;
= 1;
k + 3
4
i + 2
2 k -1
= 1,5 -
4
l-2
а) 3i - 2 = 8’ ж) 4a + 1 = 15 ; a + 2 ;
б) j 1; з) b-4 b - 6 = 2 1 ,
j2 + 2 3’ b-5 b + 5 2 ;
в) k + 2 k ; и) 3 c - 2 1 = 3c + 4
9k 8k - 5’ c c - 2 c2 - 2c ’
г) l - 4 l + 2; к) 5d + 7 2d + 21 = 82;
l+3 l-2; d - 2 d + 2
д) 2 m - 5 7 m + 10 ; л) 4 1 = 5
m -1 9 ; p + 3 p - 3 3 - p
е) 4(6 - 2t) = t2 ; м) 1 6 - q = 1
t2 - 6t t (6 - t)’ q - 2 3 q2 -12 2 - q
- 1.
191
Правообладатель Народная асвета
682. Решите уравнение:
а)
б)
в)
9 a - 3 a - 15 15a2 + a - 25
3.
5’
1
5
x + 3 3 — x
2
x - 4 2(x + 3) ’
15 -10y2 2 y -1
P)^+L + ^ b + 1
56 + 7 y
+ 1 = 1 - 5y.
33
2 y + -4
1 - b2 1 - b ’
, 3b - 1^ „ 17 + 4b
Д) ^—— = 7 -
е)
ж)
з)
b-4 1 - c 1 + c
c + 1 1 + d d -1 6
2 - e
1-c
8
b+3 8 .
c2 -1’
d -1.
d + 1 ’
e
2
e2 - 4
e-2
= 0.
683. Решите уравнение:
а)
б)
(v + 3)2 5
5u - u2
+ 1 -
(3v -1)2
v(2v - 3),
2 •
(5u -11)
3
4
5
2 = 6 - (7 - u)2
2
в) 3x +
(x - 3)2 = (x + 3)2 (x + 1)(x - 1)
4 = 8 + 3 ^
,.5 y -1 3 y -1 2 1
г) —-- + —-- = — + y - 1’
^9 5 y ^ ’
6
Д) 8a -1
е) 5b + 6 =
= 3a + 4’
7
Ж)^ - 2 = 6m2 + 5m - 3
2b + 9’
-7 - 3c
3c + 1 ’
з)
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
192
8m2 - 7m - 4 4
684. Решите уравнение:
1
1
1
6a + 6 4
x2 - 4 b + 11
b2 -1
3 a + 6 1
a+3
1
x-2
b-1
b+1
4(3 y +1)
2x + 2 = 2(b + 7) = b + 1 3 y - 2
(y -1)( y + 3) y - 1
c + 1 5c - 1 8 - c
- 4’
2 y + 3 . y + 3 ’
c-5
4c
20 + u 2u - 2 30
2
t2 - t + 1
2c - 4 3c2 - 6c c - 2’
9u2 + u + 2 6u2 - 6
13
5 - 3u u+1 7 + 18 d
10 - 4u . 3 u + 3
t+1
2t -1 t3 + 1 '
Правообладатель Народная асвета
d2 -1
d2 - 1 d2 + d + 1
d3 - 1
1
+
685. Решите уравнение: 6 3 2
13 - a
а) ^------ +
б)
в)
г)
д)
- 1 =
а2 - 9 1
3 + а 1
2 - b 1
c + 2 c + 4
3_____4_
d - 1 1
а + 3 3 - а
6-b
b - 2 3b2 - 12
111
d-2
1
c + 3 1
d - 4 1
u + 2
u + 20
1
е) +
ж)
1
u + 4 1
+
v - 6 1
У - 8
з)
1
+
v-4
1
У - 2 1
v + 2 1
У -11 1
+
c + 1’
2 .
d - 3.
1 . u + 8 .
1 . v - 7.
_ 1 . У -10; 1
z - 9 z - 7 z + 18 z - 10
686. Решите уравнение:
а) ^/3p' + Wbp - 2/3 = 0; в)
б) q2 + 2^/3 + 1)q + ^/3 = 0; г)
^/5
2r ^J5
2s
2r . ^/5 - 3 ’
Wa
n/s - 5
687. При каких значениях переменной:
s
- Wa'
а) сумма дробей
б) сумма дробей
и
1 + У У + 2
равна 5;
и
в) разность дробей
г) разность дробей
x - 2 x + 2
4k 2 - 5k
2 k + 3 3m
3 + 2m
и
и
равна -2; равна 3; равна 1.
3k + 2 7-m
д) разность дробей а + 4 и
3m - 2 6
а-3
а + 3
равна их произведению;
е) сумма дробей
b
и
6
b + 2 b - 4 688. Решите уравнение:
а) а2 - 8 а I + 15 = 0;
б) b2 - |b| - 12 = 0;
в) c2 + 10 c| + 20 = 0;
г) d2 + 8 d| - 20 = 0;
д) 2x2 - 5 x| + 2 = 0;
е) 5у2 + 5 УI + 1 = 0;
равна их произведению?
ж) 2z2 - 7 z| + 3 = 0;
з) 10t2 - 91| - 1 = 0;
и) 9m2 - 12 m I - 5 = 0;
к) 5n2 - 8 n I + 3 = 0;
л) 3k2 - 23 k| - 8 = 0;
м) ai2 + 20 Ц - 7 = 0.
193
Правообладатель Народная асвета
x
689. Диагональ LN образует со сторонами LM и NM параллелограмма KLMN углы в 45° и 75° соответственно. Найдите углы параллелограмма.
690. В шестиугольнике ABCDEF все стороны равны между собой и все углы равны между собой (рис. 298). Докажите, что:
а) диагональ AD параллельна стороне BC;
б) стороны BC и FE, CD и AF, DE и BA параллельны.
D
R
F Е
Рис. 298
691. Диагонали PR и QS трапеции PQRS перпендикулярны, а диагональ PR образует со сторонами PQ и RQ углы в 45° и 30° соответственно (рис. 299). Найдите площадь трапеции, учитывая, что основание PS равно 4 см.
692. На рисунке 300 изображена развертка прямой треугольной призмы, в основании которой лежит равносторонний треугольник со стороной 10 см. Найдите боковую и полную поверхности призмы, учитывая, что диагональ AB1 боковой грани образует с ребром AA1 угол в 30°.
693. Киев, Харьков, Днепропетровск, Донецк — города Украины с населением более миллиона человек. Количества жителей Ки-
Правообладатель Народная асвета
ева, Харькова, Днепропетровска относятся как 873 : 487 : 359 соответственно, а население Киева больше на 81 тыс. человек общего населения Харькова и Днепропетровска и на 137 тыс. человек общего населения Харькова и Донецка. Найдите количества жителей этих городов Украины.
* * *
694. В однокруговом турнире по шашкам участвуют 7 учеников. Алесь сыграл 6 партий, Богдан — 5, Василий и Геннадий — по 3, Денис и Дима — по 2, Костя — 1. С кем сыграл свои партии Василий?
695. Начертите четырехугольник, который можно двумя прямыми разделить на 3, на 4, на 5, на 6 частей. Покажите, как это делается.
696. Если к числу 40 прибавить 24, то получится число 64 — точный квадрат, а если вычесть 24, то число 16 — также точный квадрат. Сколько есть еще натуральных чисел, дающих точные квадраты как при прибавлении к ним числа 24, так и при вычитании этого числа?
21. Квадратный трехчлен
Коэффициенты p и q приведенного квадратного уравнения X2 + px + q = 0 и его корни х1 и х2 связаны зависимостью, которую называют теоремой Виета.
Теорема 1. Если х1 и х2 — корни приведенного квадратного уравнения х2 + px + q = 0, то их сумма равна второму коэффициенту р, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену q:
х1 + х2 = -р; х1 • х2 = q.
Доказательство. Пусть приведенное квадратное уравнение X2 + px + q = 0 имеет корни х1 и x2. Тогда:
Xi = —— -
^P) — q ■
Х2 = “ +
Значит,
Xi + х2 = 1 —— —
2
—P+ 2
^ г—q ■
q = —p;
Х1 • Х2 = 1—
^ I — q
—p+
2
^)'—q I =
т) — q = - - It
q) = q.
195
Правообладатель Народная асвета
Пример 1. Один из корней уравнения t2 + pt - 6 = 0 равен 2. Найдем коэффициент p и второй корень t2 этого уравнения.
По теореме Виета Поскольку t^ = 2, то Значит,
По теореме Виета Значит,
ti • t2 = - 6.
2t2 = - 6. t2 = —3. ti + t2 = -p.
p = - (t1 + t2) = - (2 - 3) = 1.
Ответ. t2 = -3; p = 1.
Рис. 301
Франсуа Виет (1540—1603) — французский математик (рис. 301), благодаря работам которого алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, в основе которой лежат преобразования выражений с переменными. Виет установил единообразный прием решения уравнений второй, третьей, четвертой степеней.
Теорему Виета можно распространить на произвольное квадратное уравнение
ах2 + bx + c = 0.
Пусть х1 и х2 — его корни. Данное уравнение равносильно приведенному уравнению
х2 + bx + c = 0. а а
По теореме Виета
, b c
1 I О — Ф 1 о — Ф
1 2 ^ 12 а
Пример 2. Составим квадратное уравнение, корнями ко-
2 с
торого являются числа -3 и 5.
По теореме Виета:
p = - (21 + Z2) = - (-2 + 5) = -
13;
3 ;
10
ij сг
q = 21 • 22 = -— • 5 = ——
1 2 3 3
Это позволяет записать приведенное квадратное уравнение:
22 - 13 2 - 10 = 0,
33
196
Правообладатель Народная асвета
равносильное уравнению
3г^ - 132 - 10 = 0.
Истинно утверждение, обратное теореме Виета.
Задача 1. Докажем, что если числа р, q, x-^ и x2 удовлетворяют условию:
Xi + X2 = -р; Xi • X2 = q,
то x1 и x2 — корни уравнения x2 + px + q = 0.
Пусть для чисел p, q, x1 и x2 выполняются условия:
x1 + x2 = -p; x1 • x2 = q.
Отсюда:
p = -(x1 + x2), q = x1 • x2.
Поэтому уравнение x2 + px + q = 0 можно записать как
x2 - (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
Последнее уравнение равносильно преобразуется так:
x2
(x2 - x1x) - (x2x - x1x2) = 0; x(x - x1) - x2(x - x1) = 0;
(x - x1)(x - x2) = 0.
Отсюда понятно, что числа x1 и x2 — корни уравнения (x - x1)(x - x2) = 0, а значит, и равносильного ему уравнения
x2 - (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
Используя теорему, обратную теореме Виета, можно в некоторых случаях подбором найти корни квадратного уравнения.
Пример 3. Решим уравнение w2 + 3u - 10 = 0.
Здесь q = -10. Заметим, что
-10 = (-10) • 1 = (-1) • 10 = (-5) • 2 = (-2) • 5.
Из пар чисел (-10; 1), (-1; 10), (-5; 2), (-2; 5) выбираем ту, сумма компонентов которой равна -p, т. е. числу -3. Такой парой является пара (-5; 2). По теореме 2 получим:
и1 = -5; и2 = 2.
Ответ. и1 = -5; и2 = 2.
Многочлен ax2 + bx + c, в котором a Ф 0, называется квадратным трехчленом.
Корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 называются корнями квадратного трехчлена ax2 + bx + c.
197
Правообладатель Народная асвета
Теорема 2. Если x-^ и x2 — корни квадратного трехчлена ax^ + bx + c, то истинно равенство
ax^ + bx + c = a(x - xl)(x - x2).
Доказательство. Пусть и x2 — корни квадратного трехчлена ax^ + bx + c. Тогда
или
, b c
1 I Q — A 1 Q — ■
1 2 a 1 2 a'
— = - (x1 + x2), — = x1 • x2.
Далее будем иметь:
ax2 + bx + c = a\^x^ + —x + — j = a^x^" - (x1 + x2)x + x1x2) =
= a(x^ - x1x - x2x + x1x2) = a((x2 - x1x) - (x2x - x1x2)) = = a(x(x - x1) - x2(x - x1)) = a(x - x1)(x - x2).
Значит,
ax^ + bx + c = a(x - x1)(x - x2).
Пример 4. Разложим на множители трехчлен
15s2 + 13s + 2.
Найдем корни данного трехчлена:
D = 132 - 4 • 15 • 2 = 49.
-13 ^49 -13 ± 7
s1 =
s = -13 - 7
30
2.
30
3 ’ S2
30
-13 + 7
30
По теореме 2 получим:
15s2 + 13s + 2 = 15(s + 2 )(s + 1).
Полученный результат можно записать без дробных чисел. Учтем, что 15 = 3 • 5, и умножим 3 на + 2а 5 на
s +1 ^:
15s2 + 13s + 2 = (3s + 2)(5s + 1).
Ответ. 15s2 + 13s + 2 = (3s + 2)(5s + 1). Пример 5. Упростим выражение
15a2 + 13a + 2
3a2- 7a - 6
Разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби:
15a2 + 13a + 2 = (3a + 2)(5a + 1);
3a2 - 7a - 6 = (3a + 2)( a - 3).
198
Правообладатель Народная асвета
Тогда
Ответ.
15а2 + 13а + 2 3a2- 7а - 6 5а +1 а - 3 .
(3а + 2)(5а + 1) 5а + 1
(3а + 2)(а - 3)
а-3
1. Сформулируйте теорему Виета. Запишите формулы, выражающие • связь между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами.
2. Запишите формулы, выражающие связь между корнями общего квадратного уравнения и его коэффициентами.
3. Какой многочлен называют квадратным трехчленом? Какие числа называют корнями квадратного трехчлена?
4. Сформулируйте теорему о разложении квадратного трехчлена на линейные множители.
697. Найдите сумму и произведение корней квадратного уравнения:
ж) 3d2 - d - 19 = 0;
з) 5t2 - 23t + 7 = 0;
и) 6е2 + 19е - 16 = 0;
к) 5и2 - 45u - 28 = 0;
л) 12/2 + 13 = 0;
м) 4v2 - 5v = 0.
698. Используя теорему Виета и задачу 1, проверьте, являются ли корнями данного уравнения указанные числа:
а) Ъ2 + b - 6 = 0; числа -3 и 2;
б) у2 - 7у + 12 = 0; числа - 4 и 3;
а) а2 - 41а + 31 = 0;
б) X2 + 19х - 47 = 0;
в) Ъ2 - 17Ъ - 14 = 0;
г) у2 + 7у + 10 = 0;
д) с2 + 312с = 0;
е) 22 - 73 = 0;
в) 2x2 + 3x + 1 = 0; числа -1 и --2;
г) 3с2 - 11с + 6 = 0; числа 2 и 3.
699. Решите уравнение и проверьте правильность решения по теореме Виета:
д) 3t2 - 2t + 1 = 0;
е) 12у2 + 13у + 3 = 0;
ж) 6/2 + 5f - 6 = 0;
з) 20г2 + 2 - 12 = 0.
700. Используя теорему Виета, найдите подбором корни уравнения:
а) X2 - 7х + 12 = 0; д) п2 - 12n + 11 = 0;
б) а2 + 7 а + 10 = 0; е) г2 + 8r + 12 = 0;
в) q2 + 3q - 18 = 0; ж) t2 - 11t + 18 = 0;
г) s2 - 4s - 5 = 0; з) у2 - 6у - 16 = 0.
199
а) а2 - а - 6 = 0;
б) т2 - 9т + 8 = 0;
в) Ъ2 + 9Ъ + 20 = 0;
г) X2 - 13x + 42 = 0;
Правообладатель Народная асвета
701. Найдите подбором корни уравнения:
а) Ь2 + 7b - 8 = 0; в) + 18t + 80 = 0;
б) fe2 - 9k + 18 = 0; г) /2 - 16/ + 55 = 0.
702. Один из корней уравнения у2 + 22y - 23 = 0 равен 1. Найдите второй корень.
703. Один из корней уравнения t2 - 17t - 38 = 0 равен -2. Найдите второй корень.
704. Один из корней уравнения х2 + ax + 12 = 0 равен 6. Найдите второй корень и коэффициент а.
705. Один из корней уравнения x2
- 12,5х + q = 0 равен
10,5. Найдите второй корень и коэффициент q.
706. Разность корней квадратного уравнения w2 - 8u + q = 0 равна 2. Найдите коэффициент q.
707. Устно определите знаки корней уравнения:
а) х2 - 5х + 4 = 0; в) s2 - 2s - 35 = 0; д) m2 - 5m + 3 = 0;
б) k2 + 7k + 10 = 0; г) t2 - 8t - 8 = 0; е) r2 + 3r - 6 = 0.
708. Без решения определите знаки корней уравнения:
а) х2 - 14х + 33 = 0; г) 4m2 + 3m - 2 = 0;
б) a2 + 13a + 22 = 0; д) r2 + 4r + 4 = 0;
в) 3Z2 + 14l + 4 = 0; е) г2 - 6z + 9 = 0.
709. Докажите, что уравнение имеет корни:
а) 5х2 + 125х - 329 = 0; в) 7а2 + 963а + 9 = 0;
б) 6у2 - 101у - 826 = 0; г) 121b2 - 367b - 1023 = 0.
710. Не решая уравнения, определите, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки:
а) х2 - 16х + 15 = 0; г) 6у2 - у - 111 = 0;
б) m2 - 3m - 1 = 0;
в) и2 - 16n + 63 = 0;
д) b2 - ^/6b + 1 = 0;
е) V2r2 - 14r - 9/2 = 0.
711. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
а) 3 и 4;
б) -7 и 7;
в) - 4 и -5;
г) 1 и
^ 2 3 ’
200
д) 2 и -7;
ч 1 2
е) 13 и -
ж) 1 и -9;
з) 7 и -11;
и) 0 и 7;
к) -3 и -75;
л) - 1 и 43 + 1;
м) 3 - 242 и 3 + 242.
Правообладатель Народная асвета
712. При каком значении а:
а) уравнение х2 + ах + 12 = 0 имеет корень -3;
б) число 4 является корнем уравнения у2 + ay - 15 = 0;
в) корень уравнения s2 + 5s + а = 0 равен -2;
г) уравнение t2 - 2t + а = 0 имеет корень -5?
713. Без решения уравнения х2 + 8х + 12 = 0 составьте новое уравнение, корни которого:
а) в два раза больше корней данного уравнения;
б) в два раза меньше корней данного уравнения;
в) на 3 больше корней данного уравнения;
г) на 2 меньше корней данного уравнения;
д) равны сумме и произведению корней данного уравнения;
е) равны квадратам корней данного уравнения.
714. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) 3а2 - 8а + 5; д) 9х2 + 24х + 16;
б) 4т2 - 7m + 3; е) 25п2 + 40n - 4;
в) 12t2 - 17t + 6; ж) -2l2 + 5l - 2;
г) 652 - 7b + 2; з) -3у2 + 2у + 1.
715. Упростите дробь:
а)
б)
в)
г)
г2 + r - 2
г -1 9
b2 + 4b - 12,
b - 2
е + 3
c2 - 6 c - 27
d - 8
d2 - d - 56 ■
д)
е)
ж)
з)
х2 + 3х + 2 ; х2 + х - 2 ’ у2 - 3 у -10. у2 - 8 у + 15’
4 а2 + 28а + 49 ; 14а2 + 53а + 14 ' -5s2 + 4s - 0,6 ; 10s2 + 5s - 1,4 ’
и)
к)
л)
м)
2г2 - 3г - 2
31 + 8t - 3 9t2 - 1 ■
г2 - 6 г - 7 _ г2 - 8 г + 7 ’ V2 - 8v - 9 v2 + 9v + 8
716. Разложите на множители:
а) х3 - 3х2 + 2х;
б) у3 + 8у2 + 7у;
в) г3 + 4г2 - 21г;
г) t3 - 7t2 + 12t;
д) г3 - 9г2 - 22г;
е) 8v3 + 10v2 + 3v.
717. Упростите выражение:
а) 11 в) 7 5 ;
а2 - 7 а + 12 ' а - 3’ 5г2 + 3г - 2 5 г - 2;
б) 2 1 ; г) 5t + 1 . 5t2 +1
b2 + 6b + 8 b + 2; t2 + 9t - 10 t2 - 2t + 1
201
Правообладатель Народная асвета
718. Без вычисления корней и уравнения 6t2 - t - 3 = 0 найдите:
а) + ~Г’
t1 t2
б) ti + t2;
в)
t2 tl
г) t3 + t23.
719. В основании пирамиды OMNPR на рисунке 302 лежит квадрат MNPR со стороной 6 см, а все боковые ребра OM, ON, OP, OR равны диагонали MP основания. Найдите:
а) диагональ MP основания MNPR;
б) медиану OA боковой грани ROP;
в) площадь грани ROP;
г) боковую поверхность пирамиды OMNPR;
д) полную поверхность пирамиды OMNPR;
е) сумму длин всех ребер пирамиды OMNPR.
720. Отрезок AC — общая гипотенуза прямоугольных треугольников ABC и ADC (рис. 303). В первом из этих треугольников угол ACB равен 30°, а катет AB против него составляет 4 см, во втором — катеты DA и DC равны. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
721. Отрезок LL1 — биссектриса треугольника KLM (рис. 304). На луче KL от точки L отложен отрезок LN,
202
Правообладатель Народная асвета
равный стороне LM. Докажите, что LL^ и MN параллельны.
722. Из произвольной точки A основания PR равнобедренного треугольника PQR опущены перпендикуляры AAi и AA2 на боковые стороны PQ и RQ (рис. 305). Докажите, что сумма этих перпендикуляров равна высоте PP^ треугольника, опущенной на боковую сторону.
723. Прямоугольник RCDE имеет с прямоугольным треугольником RST общий прямой угол R. Три остальные вершины прямоугольника принадлежат сторонам треугольника. Катеты RS и RT равны 12 см и 18 см. Найдите стороны прямоугольника, учитывая, что одна из них в два раза больше другой.
724. Куба, Гаити, Ямайка, Пуэрто-Рико — крупнейшие острова архипелага Антильские острова. Площадь Гаити относится к площади Кубы как 11 : 15, а к площади Ямайки как 154 : 23. Площадь Кубы на 7,9 тыс. км2 больше общей площади остальных островов, а площадь Ямайки больше площади Пуэрто-Рико на 2,9 тыс. км2. Найдите площади каждого из островов.
725. На рисунке 306 показаны соотношения между самыми высокими точками островов Куба, Гаити, Ямайка, Пуэрто-Рико. Найдите эти высоты, учитывая, что среднее арифметическое высот самых высоких точек Кубы и Ямайки равно 1479 м.
Ямайка
493 :
. Куба 1 564 1115м
Гаити 1
, Пуэрто-Рико , Пуэрто-Рико ,411м1
Рис. 306
203
Правообладатель Народная асвета
* * *
726. На окрашивание куба израсходовано 6 г краски. Куб распилили на 27 одинаковых кубиков. Сколько краски понадобится для окрашивания неокрашенных граней кубиков?
727. Найдите все такие некруглые двузначные числа, которые делятся на сумму своих цифр.
728. Квадратный лист бумаги разделен на одинаковые клетки-квадратики. Из него вырезали квадрат с целым количеством клеток. Сколько было квадратиков вначале, если осталось их 60?
22. Решение задач с помощью уравнений
Уравнения могут использоваться при решении текстовых задач.
Задача 1. В четырехугольнике диагонали перпендикулярны и одна из них на 5 дм меньше другой (рис. 307). Найдите диагонали, учитывая, что площадь четырехугольника равна 18 дм2.
Пусть CE = a дм, тогда DF = (а - 5) дм. Значит, площадь четырехугольника CDEF выразится формулой
^CDEF
S,
Поскольку
= ^2 а(а - 5).
Е
Рыс. 307
по условию ScDEF = 18 дм2, то можно записать уравнение:
1 а(а - 5) = 18.
Корни этого уравнения: а1 = - 4; а2 = 9.
Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, то остается значение а = 9. Значит, CE = 9 дм, тогда
DF = (9 - 5) дм = 4 дм.
Эти значения диагоналей CE и DF соответствуют условию задачи.
Ответ. 9 дм; 4 дм.
Задача 2. Из Червеня в Березино (рис. 308) выехал автобус, а через 10 мин — маршрутное такси, скорость которого на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорости
204
Правообладатель Народная асвета
автобуса и такси, учитывая, что они приехали в Березино одновременно.
По рисунку 308 находим, что путь от Червеня до Березино составляет 40 км. Пусть v км/ч — скорость автобуса. Тогда скорость такси равна (v + 20) км/ч. Автобус был в пути 40 ч, так-40 v
40 т->
си — ч. В соответствии с условием задачи разность меж-
ду временем движения автобуса и временем движения такси составляет 10 мин, т. е. 1 ч. В результате получаем уравнение
6
40
v
40
(1)
v + 20 6
Решим это уравнение:
40 • 6(v + 20) - 40 • 6v = v(v + 20);
240v + 4800 - 240v = v2 + 20v; v2 + 20v - 4800 = 0; v1 = -80; v2 = 60.
При этих значениях v знаменатели дробей, входящих в уравнение (2), не равны нулю. Значит, числа -80 и 60 являются корнями уравнения (2). Из них только второе число удовлетворяет условию задачи, поскольку скорость автобуса должна быть положительной. Поэтому скорость автобуса равна 60 км/ч, скорость такси — 80 км/ч.
Ответ. 60 км/ч; 80 км/ч.
Задача 3. Площадь прямоугольного треугольника равна 30 м2, а периметр — 30 м. Найдите стороны треугольника.
Пусть MNO — прямоугольный треугольник с прямым углом O. Тогда площадь этого треугольника равна 1OM • ON.
1 2
Учитывая условие, получим — OM • ON = 30.
Пусть ON = m м. Тогда из предыдущего уравнения найдем OM = ■60. По теореме Пифагора находим, что MN =
= VON2 + OM2, или MN = m^ +
3600
„.2
205
Правообладатель Народная асвета
Поскольку по условию периметр треугольника равен 30 м, то можно составить уравнение
m + 60 + m
m2 + -3600 = 30.
Решим это уравнение:
m2 + 3600 = 30 - m - -Ё0;
,2
3600
m2 +
m +
m
3600
= (30 - m)2 - 2(30 - m)-60 +
2
3600.
„.2 .
2
= 900 - 60m + m2 -
3600
+ 120 +
3600
m
1020 - 60m - = 0;
m
60m2 - 1020m + 3600 = 0;
m2 - 17m + 60 = 0;
m1 = 5; m2 = 12.
Корень 5 означает, что ON = 5 м. Тогда OM = -60 м = 12 м,
m
MN = ■'■JoN' + OM^ м = sj25 + 144 м = 13 м (рис. 309). Взяв второй корень 12, получим ON = 12 м. Тогда OM = -60 м = 5 м
(рис. 310). Треугольники на рисунках 309 и 310 отличаются только обозначениями катетов. Ответ. 5 м; 12 м; 13 м.
Рис. 309
N
1. Из каких этапов состоит решение текстовой задачи?
• 2. Почему после решения уравнения, полученного по условию задачи,
требуется проверка того, соответствуют ли полученные корни условию задачи?
729. Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых равно:
а) 132; б) 306.
730. Найдите два последовательных нечетных натуральных числа, произведение которых равно:
а) 195; б) 899.
206
Правообладатель Народная асвета
m
m
m
m
731. Числитель обыкновенной дроби меньше ее знаменателя на единицу. Если к числителю дроби прибавить 7, а к
знаменателю прибавить 3, то дробь увеличится на 1. Найдите дробь.
732. Числитель обыкновенной дроби меньше ее знаменателя на единицу. Если к числителю дроби прибавить 4, а к
знаменателю прибавить 6, то дробь уменьшится на ^. Найдите дробь.
733. Числитель обыкновенной дроби меньше ее знаменателя на 5. Если числитель дроби увеличить в два раза, а знаменатель в полтора раза, то дробь увеличится на 1. Найдите дробь.
734. Периметр прямоугольника равен 12 м, а его площадь — 8 м2. Найдите стороны прямоугольника.
735. Периметр параллелограмма равен 20 м, а его площадь 12 м2 (рис. 311). Найдите стороны параллелограмма, учитывая, что острый угол параллелограмма равен 30°.
Рис. 311
736. Площадь треугольника равна 84 дм2, его периметр — 42 дм, одна из сторон больше остальных на 2 дм и на 1 дм. Найдите стороны треугольника и проведенные к ним высоты.
737. Периметр прямоугольного треугольника равен 40 см, а один из катетов — 15 см. Найдите площадь треугольника.
738. Площадь прямоугольного треугольника равна 60 см2, а один из его катетов на 7 см меньше другого. Найдите высоты треугольника.
739. Площадь прямоугольного треугольника равна 6 м2, а высота, проведенная к гипотенузе, — 2,4 м. Найдите катеты, учитывая, что периметр треугольника равен 12 м.
740. Путь в 300 км пассажирский поезд проходит на 2,5 ч быстрее товарного. Найдите скорости каждого из поездов, учитывая, что они отличаются на 20 км/ч.
207
Правообладатель Народная асвета
Рис. 312
741. Из Усакино в Сергеевичи выехал велосипедист, а через 1 ч 36 мин — мотоциклист (рис. 312). Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста, учитывая, что они приехали в Сергеевичи одновременно, а скорость мотоциклиста больше на 32 км/ч.
742. Чтобы ликвидировать опоздание на 48 мин, поезд на перегоне в 208 км увеличил скорость, с которой он должен был идти по расписанию, на 13 км/ч. Найдите скорость поезда по расписанию.
743. Путешественник проплыл на лодке по Браславским озерам 18 км и по течению Друйки — 14 км, затратив на путь по озерам на 1 ч больше. Найдите скорость движения путешественника по озеру, учитывая, что скорость течения реки равна 1 км/ч.
744. На 36 км против течения реки и на 30 км по течению путешественник на катере затратил 31 ч. Найдите скорость течения реки, учитывая, что собственная скорость катера равна 19 км/ч.
745. Отец с сыном выполнили работу за 7,2 ч. За какое время каждый из них выполнил бы эту работу, если сыну для этого нужно на 6 ч больше?
746. Два брата вместе могут закончить работу за 7,5 ч. Найдите время, за которое каждый из них выполнил бы работу, учитывая, что младшему из братьев для этого нужно на 8 ч больше.
747. Из Бегомля в Витебск (рис. 313) одновременно выехали две машины. Одна из них ехала со скоростью на 27 км/ч большей и поэтому приехала на место на 1 ч раньше. Найдите скорости машин.
208
Правообладатель Народная асвета
748. Если бы длина прямоугольной спортивной площадки площадью 720 м2 была на 6 м большей, а ширина на 4 м меньшей, то ее площадь осталась бы прежней. Найдите размеры площадки.
749. Периметр прямоугольника равен 46 см, а его диагональ — 17 см. Найдите измерения прямоугольника.
750. Периметр прямоугольника равен 28 см, а площади квадратов, построенных на смежных его сторонах, вместе составляют 116 см2. Найдите стороны прямоугольника.
751. Периметр прямоугольного треугольника равен 48 дм, а его площадь — 96 дм2. Найдите стороны треугольника.
752. К раствору, в котором 40 г соли, долили 200 г воды, из-за чего концентрация раствора уменьшилась на 10 процентных пунктов. Сколько воды было в растворе первоначально и какой была его концентрация?
753. Упростите:
а) (^/18 + Wb ) + iSy[S2 W50);
б) (^/20 ^45 + W18) + ^/72 ^80);
в) (0,W24 - ^/40) - ^Яб0 W54 ^1000);
г) (^^ - ^2 - 23) - З!2 -Л8);
д) (0,W98 - WIb ) - (1^/50 + 1^/72 );
е) (1V60 W54 + 0,^/^) + ^/15 We W600).
754. Выполните действия:
а) (- ^i-t) ■ 'fXy;
б) ( - 4a) ^ ;
в) (^sfm + - —Vm3
г) (
W m
209
Правообладатель Народная асвета
а)
б)
755. Найдите значение выражения: , если s = 7 + 4/3, t = 7 - 4/S;
st
s + t
p2+g2 pq
если
p = Via + S, q = Via - S.
756. Докажите, что значение выражения
^ 17 + Wl3 W17 - Wl3 )2 является рациональным числом.
757. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
а)
б)
1
’
a + ^[a _
wa ’
в)
г)
Ыз - 3 3 -
д)
е)
1 + 2\[m + 4m 1 - 2\fm s2t - 2^Jt + 4
Wt + 2
2 • 4 • 6 •
* * *
758. Полукруг с радиусом 1 приложили к плоскости окрашенной поверхностью и повернули на 45° вокруг точки А (рис. 314). Найдите площадь закрашенной части плоскости.
759. Определите, делятся ли на 2005 разность и сумма произведений
2002 • 2004 и 1 • 3 • 5
2001•2003.
760. Сколькими способами число 2006 можно представить разностью квадратов двух натуральных чисел?
23. Квадратная функция
Научимся строить график зависимости, которая выражается формулой у = ах2 + Ъх + с, где х — переменная, а, b и c — некоторые числа и а Ф 0. Такую зависимость называют квадратной функцией.
Рассмотрим сначала функцию у = х2. Чтобы построить ее график, составим таблицу соответствующих значений переменных х и у.
210
Правообладатель Народная асвета
X -3 -2,5 -2 -1,5 -1 - 0,5
у 9 6,25 4 2,25 1 0,25
X 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
у 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9
2 < »
Рис. 315
Рис. 316
Нанесем точки, координаты которых помещены в таблице, на координатную плоскость. Получим рисунок 315.
Уточним прохождение графика функции в окрестности начала координат, проведя дополнительные вычисления.
X - 0,4 - 0,3 - 0,2 - 0,1
у 0,16 0,09 0,04 0,01
X 0 0,1 0,2 0,3 0,4
у 0 0,01 0,04 0,09 0,16
Видим, что в окрестности начала координат график функции у = X2 очень близко подходит к оси абсцисс.
График функции у = х2 представлен на рисунке 316. Этот график неограниченно продолжается вверх.
211
Правообладатель Народная асвета
График функции у = х2 называется параболой. Парабола состоит из двух бесконечных ветвей, расположенных в первой и второй координатных четвертях. Эти ветви плавно сходятся в точке (0; 0) — вершине параболы.
По построенному графику
легко усмотреть свойства функ-
2
ции у = х .
Если x = 0, то у = 0; если x Ф 0, то у > 0; график функции проходит через начало координат; остальные точки графика лежат выше оси абсцисс.
Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции; ось ординат является осью симметрии графика (рис. 317).
Покажем, как из графика функции у = х2 постепенно получаются графики функций у = ax2, у = a(x + m)2 и у = = a(x + m)2 + n.
Чтобы выяснить, как ведет себя функция у = ах^ при разных значениях а, сравним функцию у = х2, например, с функцией у = 2х2. Для этого составим сначала таблицу значений этих функций для некоторых значений аргумента.
х -3 -2 -1 0 1 2 3
х2 9 4 1 0 1 4 9
2х2 18 8 2 0 2 8 18
Замечаем, что при одинаковых значениях аргументов значения функции у = 2х2 в 2 раза больше соответствующих значений функции у = х2.
Построив точки, координаты которых приведены в таблице, и соединив эти точки плавными линиями, получим нужные графики (рис. 318).
212
Правообладатель Народная асвета
т
т
1
С>
h
11 f С \t
V V
*7
f/
.
“t 7~ ,
Рис. 318
Рис. 319
На рисунке 319 изображены графики функций у = х2 и у = 1 x2. Видно, что при одинаковых значениях аргументов точка на графике функции у = 1 х2 находится в 2 раза
ближе к оси абсцисс по сравнению с соответствующей точкой на графике функции у = х2.
На рисунке 320 изображены графики функций у = х2 и у = -х2. Поскольку при одинаковых значениях абсцисс точки на графиках этих функций имеют противоположные ординаты, то график функции у = -х2 симметричен графику функции у = х2 относительно оси абсцисс.
График функции у = ах2, как и график функции у = х2, является параболой.
Теперь рассмотрим функции вида у = а(х + m)2 и выясним, как влияет на график функции параметр т. Для этого с графиком функции у = 2х2
Рис. 320
213
Правообладатель Народная асвета
сравним график функции у = 2(x + 1)2. Сначала составим соответствующую таблицу.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
2x2 18 8 2 0 2 8 18
x + 1 -2 -1 0 1 2 3 4
2(x + 1)2 8 2 0 2 8 18 32
Можно заметить, что
у = 2x2 и у = 2(x + 1)2
наковые значения, первой из них на мента второй
функции получают оди-если аргумент 1 больше аргу-Это означает, что па-
можно получить сдвигом вдоль единицу влево
раболу у = 2(x + 1) из параболы у = 2x2 оси абсцисс на 1 (рис. 321).
Рассмотрим теперь функции вида у = a(x + m)2 + n. Выясним, как влияет на график функции параметр n. Для этого с графиком функции у = 2(x + 1)2 сравним график функции у = 2(x + 1)2 - 3. Соответствующая таблица будет такой.
Рис. 321
x -4 -3 -2 -1 0 1 2
2(x + 1)2 18 8 2 0 2 8 18
2(x + 1)2 - 3 15 5 -1 -3 -1 5 15
Мы видим, что при одинаковых значениях аргументов значение функции у = 2(x + 1)2 - 3 на 3 меньше значения функции у = 2(x + 1)2. Графики функций у = 2(x + 1)2 и у = 2(x + 1)2 - 3 представлены на рисунке 322. Видим, что параболу у = 2(x + 1)2 - 3 можно получить из параболы у = 2(x + 1)2 сдвигом вдоль оси ординат на 3 единицы вниз.
214
Правообладатель Народная асвета
Рис. 322
Рис. 323
Таким образом, графиком функции у = a(x + m)2 + n является парабола, которая получается из параболы у = ax^; вершина параболы у = a(x + m)2 + n находится в точке (-m; n); если a > 0, то ветви параболы у = a(x + m)2 + n направлены вверх, если a < 0, то — вниз; парабола у = a(x + m)2 + n имеет осью симметрии прямую x = -m.
Отметим, наконец, что к виду у = a(x + m)2 + n можно привести любую квадратную функцию у = ax^ + bx + c.
Пример 1. Построим график функции у = 3x2 - 12x + 16. Для этого в квадратном трехчлене 3x2 - 12x + 16 выделим полный квадрат:
у = 3x2 - 12x + 16 =
= 3fx2 - 4x + i6
= 3fx2 - 2 • x • 2 + 4 - 4 + 16
= 3((x2 - 2 • x • 2 + 4) - (4 - 16)) = 3((x - 2)2 + 4) = 3(x - 2)2 + 4.
Теперь видно, что искомая парабола получается из параболы у = 3x2 сдвигом вдоль оси ординат на 4 единицы вверх и вдоль оси абсцисс на 2 единицы вправо (рис. 323).
215
Правообладатель Народная асвета
Пример 2. Построим график функции S = -2c2 - 16c - 29. Имеем:
S = -2c2 - 16c - 29 = - 2( c2 + 8 c + =
= -2(c2 + 2 • c • 4 + 16 - 16 + =
= -2((c2 + 2 • c • 4 + 16) -(16 - =
= -2((c + 4)2 - ^3) =
= -2(c + 4)2 + 3.
Таким образом, искомая парабола получается из параболы S = -2c2 сдвигом вдоль оси ординат на 3 единицы вверх и вдоль оси абсцисс на 4 единицы влево (рис. 324).
Рис. 324
1. Как называется график функции у = x2?
• 2. Сформулируйте свойства функции у = x2. Как эти свойства отража-
ются на графике функции у = x2?
3. Как из графика функции у = х2 можно получить график функции у = ax2?
4. Как отражается на графике функции у = ax^ изменение знака параметра а?
5. Чем отличается график функции у = a(x + m)2 от графика функции у = ax2?
6. Чем отличается график функции у = a(x + m)2 + n от графика функции у = a(x + m)2?
7. Сформулируйте основные свойства функции у = a(x + m)2 + n.
761. Для функций у = x2, у = 3x2, у = 2 x2:
а) составьте таблицу значений, выбрав значениями переменной x числа -3; -2,4; -2; -1,5; -1; -73; 0; 3; 1; 1,5; 2; 2,4; 3;
б) начертите их графики в одной системе координат;
в) запишите отношения, выражающие сравнение значений функций при значениях аргумента x, равных -2,4; 0; 3;
г) запишите утверждения, выражающие характер изменения их значений при изменении аргумента x от -^ до 0; от 0 до +^;
д) укажите их наибольшее или наименьшее значение в области определения; назовите координаты вершин парабол, являющихся их графиками.
216
Правообладатель Народная асвета
762. Для функций S = -a2, S = -1,5a2, S = - -1 a2:
а) составьте таблицы значений, выбрав значениями переменной a числа -3; -2,4; -2; -1,5; -1; -0; 5; 1; 1,5; 2; 2,4; 3;
6 6
б) начертите их графики в одной системе координат;
в) запишите неравенства, выражающие сравнение их значений при значениях аргумента a, равных -2; 0; 2,4;
г) запишите утверждения, выражающие характер изменения их значений при изменении аргумента a от -^ до 0; от 0 до +сю;
д) укажите их наибольшее или наименьшее значение в области определения; назовите координаты вершин парабол, являющихся их графиками.
763. Приведите три примера зависимостей между величинами вида у = ax2. Какое значение в каждом примере имеет переменная a?
764. Укажите направление ветвей параболы:
а) у = 5x2; б) 2 = -7u2;
в) ^ = -174 у2;
г) S = a2.
^ 129
765. Найдите коэффициент a, учитывая, что парабола
2
у = ax проходит через точку:
а) (1; 1); б) (-2; 1); в) (3; -1); г) (- 4; -2).
766. Постройте график функции b = -2a2, с его помощью решите неравенство:
а) -2a2 < -8; в) -2a2 > -18; д) -2a2 < -50;
б) -2a2 < 1; г) -2a2 < -32; е) -2a2 > -50.
767. Определите, при каких значениях аргумента p значение функции K = 3p2:
а) меньше 12; г) не меньше 48;
б) не больше 27; д) больше 75;
в) больше 3; е) не больше 108.
768. Определите, возрастает или убывает на промежутке [0; +га) функция:
а) у = 3x2; б) 2 = -1 i2; в) Q = 1 s2; г) 2 = -3a2.
22
769. Определите, возрастает или убывает функция S = -2c2 на промежутке:
а) [- 4; -1]; б) [4; 10]; в) [-14; 0]; г) [0; 47].
217
Правообладатель Народная асвета
г
1
, . , J
Рис. 325
Рис. 326
f [L
1,
2
f),
i 1
R1
9,
1
1 Г)
Рис. 327
771. Начертите график функции: а) у = 2,5х2 - 2; б) у = 2,5х2 + 2;
218
Рис. 328
770. Запишите уравнение параболы, изображенной на рисунке:
а) 325; в) 327;
б) 326; г) 328.
в) 2 = - а2 - 4;
Правообладатель Народная асвета
г) 2 = - 73 а2 + 4;
д) T = ^ k2 + 7;
е) S = 9b2 - 3,6.
772. Ответьте, как нужно сдвинуть параболу D = u2, чтобы получить параболу, которая является графиком функции:
а) D = u2 - 9;
б) D = и2 +
31’
г) D = -и2 + 27’ ^ 29’
в) D = -u2;
д) D = -u2 - 12.
773. Запишите уравнение параболы, изображенной на рисунке:
а) 329; в) 331;
б) 330; г) 332.
Рис. 329
Рис. 331
Правообладатель Народная асвета
774. Напишите уравнение параболы, начертите ее и найдите точки пересечения с осью абсцисс, учитывая, что она получена из параболы:
а) и = -3,5t2 сдвигом вдоль оси ординат на 4 единицы вверх;
б) v = 5 г2 сдвигом вдоль оси ординат на 4 единицы вниз;
в) d = 7,3a2 сдвигом вдоль оси ординат на — единицы вниз;
г) f = - г7 д2 сдвигом вдоль оси ординат на — единицы
13 3
вверх.
775. Начертите график функции:
а) у = 2,5(x - 2)2; г) г = -(а + 4)2;
б) у = 2,5(x + 2)2; д) T = 1(k + 7)2;
в) 2 = - 73(а - 4)2;
е) S = 9(b - 3,6)2.
776. Для функций у = (х - 4)2, 2 = -(t + 6)2, A = 2(u - 1)2, C = -3(v + 7)2, не вычерчивая их графиков, определите:
а) положение вершины соответствующей параболы;
б) имеет ли функция наибольшее или наименьшее значение;
в) при каких значениях аргумента функция возрастает; убывает; обращается в нуль;
г) в какой точке функция пересекает ось ординат.
777. Напишите уравнение параболы, начертите ее и найдите координаты точки пересечения с осью ординат, учитывая, что она получена из параболы:
а) и = -3,5t2 сдвигом вдоль оси абсцисс на 4 единицы влево;
б) v = 5 г2 сдвигом вдоль оси абсцисс на 4 единицы вправо.
6
778. Ответьте, как нужно сдвинуть параболу D = и2, чтобы получить график функции:
_ 2
2.
а) D = (и - 9)2;
б) D = (и + 9)2
в) D = (и + ^г);
г) D = (и -
31
779. Используя представление квадратом двучлена правой части формулы, постройте график функции:
а) у = t2 - 4t + 4; в) P = -и2 - 8и - 16;
б) H = г2 - r + г; г) G = 2l2 - 32l + 128.
220
Правообладатель Народная асвета
Рис. 333
Рис. 335
Рис. 336
780. Запишите уравнение параболы, изображенной на рисунке:
а) 333; в) 335;
б) 334; г) 336.
781. Определите, при каком значении переменной p одна из точек пересечения параболы у = (х - p)2
221
Правообладатель Народная асвета
и прямой у = 3х - 2 имеет абсциссу, равную 2, и найдите координаты точек пересечения параболы и прямой.
782. Определите, при каком значении переменной r одна из точек пересечения параболы S = -3(х - r)2 и прямой S = -х - 2 имеет абсциссу, равную 7, и найдите координаты точек пересечения параболы и прямой.
783. Запишите уравнение и начертите график функции, полученной из параболы у = 0,2x2:
а) сдвигом вдоль оси ординат на 4 единицы вверх;
б) сдвигом вдоль оси ординат на 4,5 единицы вниз;
в) сдвигом вдоль оси абсцисс на 3,5 единицы влево;
г) сдвигом вдоль оси абсцисс на 6 единиц вправо;
д) симметричным отражением относительно оси абсцисс и сдвигом вдоль оси ординат на 3 единицы вверх;
е) симметричным отражением относительно оси абсцисс и сдвигом вдоль оси ординат на 7 единиц вниз;
ж) симметричным отражением относительно оси абсцисс и сдвигом вдоль оси абсцисс на 5 единиц влево;
з) симметричным отражением относительно оси абсцисс и сдвигом вдоль оси абсцисс на 5,2 единицы вправо.
784. Начертите график функции:
а) г = 2-(x + I)2 + 2;
б) г = - -|(х + I)2 + 2;
в) г = 2 (х - I)2 + 2;
г) г = - (х - 1)2 + 2;
д) г = (х + I)2 - 2;
е) г = - (х + I)2 - 2;
ж) г = ^ (х - I)2 - 2;
з) г = - (х - 1)2 - 2.
785. Укажите координаты вершины параболы:
а) U = (х - 3)2 - 4;
б) A = (t + 4)2 + 2;
в) B = - (r + 5)2 - 2;
г) K = - 4(b + 1,5)2 - 3,5.
786. Выделите полный квадрат в трехчлене и начертите график функции:
а) у = а2 - 6а + 1; в) S = 2c2 - 6c + 11;
б) t = х2 + 4х + 1; г) R = т2 - m - 7.
222
Правообладатель Народная асвета
787. Запишите уравнение параболы, изображенной на рисунке:
а) 337;
б) 338;
в) 339;
г) 340.
Рис. 337
Рис. 338
Рис. 339
Рис. 340
788. Найдите координаты вершины параболы:
а) у = X2 + 2;
б) z = -t2 - 6;
в) t = 3a2 - 2a;
г) X = - 4 b2 + b;
д) D = 3r2 - 3,2;
е) F = - 412 - 9t.
223
Правообладатель Народная асвета
789. На оси абсцисс найдите точку, через которую проходит ось симметрии параболы:
а) у = t2 + 3; в) l = b2 + b + 1;
б) g = -3(c - 2)2 + 2; г) S = -3r2 - 4r - 5.
790. Определите, проходит ли ось симметрии параболы z = x2 - 8x через точку:
а) (4; 10); в) (4; 0); д) (4; -136);
б) (5; -10); г) (- 4; 16); е) (4; 2006).
791. Найдите координаты точек, в которых оси координат пересекает парабола:
а) у = t2 - 3t + 2; в) D = -3v2 - 6v - 8;
б) р = -2a2 + 3a - 1; г) S = - 4k2 - 6k + 8.
792. Напишите уравнение квадратной функции, учитывая, что:
а) вершина ее графика находится в точке (1; -2), а старший коэффициент равен 3;
б) вершина ее графика находится в точке (-1; 5) и графику принадлежит точка (1; 1);
в) ее график проходит через точки (1; -3), (2; 2) и свободный член равен 2;
г) ее график проходит через точки (0; - 4), (1; -2) и (-1; -12).
793. Найдите уравнение квадратной функции, которая ось абсцисс пересекает в точках A (-1; 0) и B (3; 0), а ось ординат — в точке C (0; 2).
794. Постройте график функции:
а) у = b2 + 2b - 3; в) D = k2 - 7k + 13;
б) u = -c2 + 2c + 3; г) T = -s2 + 6s - 10;
795. Постройте график функции:
а) у = x2 - 7x + 10; д) A = k2 - 5k + 6;
б) z = 112 + 91 + 5; е) B = - 612 + l + 1;
в) U = -3a2 + 5a + 2; ж) S = 1 r2 - 3r - 8;
г) F = 3b2 - 4b; з) T = 3m2 + 7m.
796. Постройте график функции:
д) A = r2 - 6r;
е) B = -t2 + 3,5.
а) y = 1 x2 + 2x + 1;
б) A = ^ y2 + 2y + 5;
224
Правообладатель Народная асвета
в) X = - -3 a2 + 2a + 1;
г) B = -1 c2 - 1 c + 12; ^ 3 3 3
д) S = 2t2 + 5;
е) R = -3m2 + 4;
ж) B = 2г2 - 3г;
з) C = -2l2 + 5l.
797. Выделите полный квадрат в трехчлене:
а) a2 - 2a + 5; д) c2 - 2a - 5;
б) 2p2 - 8p + 7; е) 2г2 - 8r - 7;
в) Ъ2 + 2b + 5; ж) d2 + 2a - 5;
г) 2g2 + 8q + 7; з) 2s2 + 8s - 7.
798. Разложите на множители трехчлен:
а) 7a2 + a - 8; в) Ъ2 - Ъ - 110;
б) X2 - 8х + 15; г) 5y2 + 8y + 3.
799. Сократите дробь:
а)
б)
7 - 7 a ; 7a2 + a - 8 ’ X2 - 8 X + 15 ^ X2 - 25 '
в)
г)
Ъ2 - 22 - 9Ъ ; Ъ2 - Ъ - 110 ’ 11y2 - 3 у - 14 5 у2 + 8 у + 3
800. Один из отрезков, на которые биссектриса разделила сторону треугольника, оказался равным одной из двух других сторон, равных 60 мм и 90 мм. Найдите третью сторону треугольника.
801. Углы против оснований в двух равнобедренных треугольниках равны друг другу. Основание и боковая сторона одного из них равны 18 см и 15 см соответственно. Найдите основание другого треугольника, учитывая, что его высота, проведенная к основанию, равна 16 см.
802. Угол B треугольника ABC равен углу Q треугольника PQR, сторона AB в 2 раза больше стороны PQ, а сторона QR составляет 1 стороны BC. Найдите стороны AC и PR, учитывая, что одна из них на 4 см длиннее.
803. Найдите полную поверхность пирамиды (рис. 341), все грани которой — равносторонние треугольники со стороной 4 см.
Правообладатель Народная асвета
s
804. Треугольную пирамиду, все грани которой — равносторонние треугольники со стороной 6 см, развернули на плоскость (рис. 342). Докажите, что полученная развертка есть равносторонний треугольник со стороной 12 см.
805. Тело SABC на рисунке 343 — треугольная пирамида, все грани которой — равносторонние треугольники со стороной 8 см. Точка D — середина ребра SC. Найдите площадь треугольника ADB.
806. Частное от деления одного целого числа на другое равно 4, а остаток — 30. Найдите делимое и делитель, если сумма делимого, делителя, частного и остатка равна 574.
807. Три автомобиля выехали из одного пункта и движутся по одному маршруту со скоростями 50 км/ч, 60 км/ч и 75 км/ч. Первый выехал в 8 ч, второй — в 9 ч 30 мин. Когда выехал из этого же пункта третий автомобиль, если он одновременно со вторым догнал первый?
808. Три числа в сумме дают 100. Найдите эти числа, учитывая, что первое при делении на третье дает в частном 3 и в остатке 7, а второе при делении на третье дает в частном 2 и в остатке 3.
809. Три числа в сумме дают 100. Найдите эти числа, учитывая, что первое при делении на второе дает в частном 3 и в остатке 7, а второе при делении на третье дает в частном 2 и в остатке 3.
810. На доске записано 10 последовательных натуральных чисел, сумма цифр которых равна 56. Сколько раз в этой записи использована цифра 1?
226
Правообладатель Народная асвета
•к •к •к
Рис. 344
Рис. 345
Рис. 346
811. Произведение трех положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел больше суммы обратных им чисел. Докажите, что из трех данных чисел точно одно больше 1.
812. На стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре построили окружность, которая проходит через середину диагонали AC и пересекает сторону AB в точке K. Найдите отношение AK ■ KB, учитывая, что AC = 3 • BD.
813. Прямоугольник размерами 4 на 6 клеток (рис. 344) нужно разрезать на четыре равные фигуры. Сколькими способами можно это сделать, если разрезы разрешается вести по сторонам клеток? (Два разреза считаются разными, если в результате получаются неравные фигуры.)
814. Квадратная картонка прямыми, параллельными ее сторонам, разделена на 2п равных квадратов, из которых один выбросили (рис. 345). Докажите, что полученную фигуру можно замостить без перекрытий и пропусков уголками из трех квадратиков, один из которых показан на рисунке 346.
815. Сколькими способами число 2007 можно представить разностью квадратов двух натуральных чисел?
Правообладатель Народная асвета
VI
раздел
Подобные
треугольники
24. Пропорциональные отрезки
В жизни мы часто встречаемся с проявлениями подобия. На фотографиях, представленных на рисунках 347 и 348, изображен один и тот же мальчик, эти изображения подобны друг другу и отличаются только размерами. Подобными являются изображения местности на картах разных масштабов (рис. 349 и 350).
В таблице приведены расстояния между населенными пунктами Ивоны, Усполье и Парадино на картах, представленных на рисунках 349 и 350.
Расстояние в миллиметрах на карте масштабом
1 : 500 000 1 : 750 000
Ивоны—Усполье 39 26
Ивоны—Парадино 63 42
Усполье—Парадино 60 40
Рис. 347 228
Рис. 348
Правообладатель Народная асвета
Рис. 350
229
Правообладатель Народная асвета
Можно заметить, что отношения расстояний между пунктами, приведенными в таблице, равны друг другу:
39
26
63
42
60 40 '
Фигуры одинаковой формы в геометрии называют подобными. Отношение расстояний между соответствующими точками подобных фигур одно и то же для любой пары точек.
Основу теории подобия составляет следующая теорема.
Теорема 1. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то эти прямые на другой стороне высекают также равные отрезки.
Доказательство. Пусть на одной стороне угла A отложены равные отрезки PQ и RS. Через концы этих отрезков проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла A в точках Р^, Qj_, Ri, S! (рис. 351). Докажем, что отрезки PiQi и RiSi равны.
Через точки P и R проведем прямые, параллельные другой стороне угла, которые пересекают прямые QQ1 и SS1 в точках M и N соответственно.
Треугольники PQM и RSN равны, так как их стороны PQ и RS равны по условию, углы PQM и RSN равны как соответственные при параллельных QQ1 и SS1, пересеченных прямой AS, углы QPM и SRN равны как соответственные при параллельных PM и RN, пересеченных прямой AS. Поэтому соответствующие стороны PM и RN этих треугольников равны друг другу.
Четырехугольники PP1Q1M и RR1S1N — параллелограммы. Поэтому отрезки P1Q1 и R1S1 равны соответственно отрезкам PM и RN.
Поскольку отрезки PM и RN равны друг другу, то равны друг другу и отрезки P1Q1 и R1S1.
Теорема 1 называется теоремой Фалеса.
230
Правообладатель Народная асвета
Рис. 352
Фалес Милетский (около 625—547 до н. э.)
(рис. 352) — древнегреческий математик, астроном и философ, который, как считают, был первым греческим геометром.
Теорема 2. Если от вершины угла отложить последовательно на одной его стороне равные друг другу отрезки и на другой стороне также равные друг другу отрезки, то прямые, проходящие через соответствующие концы отложенных отрезков, параллельны.
Доказательство. Пусть на одной стороне угла C от его вершины отложены равные отрезки CM и MN, на другой стороне — равные отрезки CP и PQ (рис. 353).
Докажем, что прямые MP и NQ параллельны. Проведем через точку N прямую, параллельную прямой MP. Пусть эта прямая пересекает сторону CP в точке Q^. Тогда, в соответствии с теоремой 1, PQi = = CP. Но, в соответствии с условием, CP = PQ. Поэтому PQ^ = PQ, а это означает, что точка Q! совпадает с точкой Q. Значит, прямая NQi совпадает с прямой NQ, и поэтому прямая NQ параллельна прямой MP.
Теорему Фалеса можно обобщить на так называемые пропорциональные отрезки.
Пары отрезков (AB, EF) и (MN, PQ) называют пропорциональными отрезками, если отношение отрезков одной пары равно отношению отрезков другой пары
(рис. 354), т. е. .
Теорема 3. Если стороны угла пересечены тремя параллельными прямыми, то отношение отрезков, образованных на одной стороне угла, равно отношению соответствующих отрезков, образованных на другой стороне угла.
М
N
Рис. 354 Е
F Р
Q
231
Правообладатель Народная асвета
Доказательство. Пусть три параллельные прямые пересекают стороны угла A: одна в точках M и O, другая в точках P и Q, третья в точках R и S, причем точки M, P, R принадлежат одной стороне угла, а точки O, Q, S — другой (рис. 355).
Докажем, что .
Допустим, что это не так. Пусть
для определенности
MP > OQ. Тог-
PR QS
да на луче PR за точкой R выберем
MP
точку R0 так, что
PRo
= . Отре-
QS ^
зок MP разделим на такие равные
отрезки MMj_, M1M2, ^, Mn _ ^P, что каждый из них меньше отрезка RR0. Пусть этих отрезков-долей имеется n, а длина отрезка-доли равна l. На луче PR от точки R будем последовательно откладывать отрезки PPi, P1P2, ^, Pk - iPk длиной l до того момента, пока конец Pk такого отрезка не окажется на отрезке RR0. Такой момент обязательно наступит, так как длина l отрезка, который откладывается, меньше RR0. Через точки деления M1, M2, ^, Mn- 1, P1, P2, ^, Pk проведем прямые, параллельные прямой PQ. На прямой OS образуются точки деления O1, O2, ^, On- 1, Q1, Q2, ^, Qk. При этом отрезок QQk длиннее отрезка QS. По теореме Фалеса на прямой OS образуются равные отрезки определенной длины l1. Отрезок OQ окажется разделенным на n отрезков длиной l1, а отрезок QS — на k таких же отрезков. Поэтому
= OQ
Но
MP =
PPk
MP ^ MP = OQ ^ O^
PRo PPk QQk QS .
QQk
1-0
MP OQ T-r
так, что ---^ ^. Полученное противоречие заставляет от-
PR0 QS ^
0 MP OQ
клонить допущение о том, что равенство ---= —^ неверно,
PR QS
и тем самым признать это равенство верным.
Теорема 3 позволяет утверждать, что если даны угол A и прямая p (рис. 356), то любая пара прямых, параллельных прямой р, высекает на сторонах угла пару отрезков, отно-
232
Правообладатель Народная асвета
шение длин которых постоянно и определяется только направлением прямой р.
Теорема 4. Если от вершины угла отложить последовательно на одной его стороне два отрезка, а на другой стороне два пропорциональных им отрезка, то прямые, проходящие через соответствующие концы отложенных отрезков, параллельны.
Доказательство. Пусть на одной стороне угла D от его вершины отложены последовательно два каких-либо отрезка DR и RS, на другой стороне — пропорциональные им отрезки DT
и TV (рис. 357), т. е. .
DT TV
Докажем, что прямые RT и SV параллельны. Через точку S проведем прямую, параллельную прямой RT. Пусть проведенная прямая пересекает сторону DT в точке V^. Тогда, в
соответствии с теоремой 3, = . Поэтому --------= и
DT TV1 TV1 TV
TV^ = TV, а это означает, что точка V^ совпадает с точкой V. Значит, прямая SV^ совпадает с прямой SV, и поэтому прямая SV параллельна прямой RT.
Рассмотрим три основные задачи на построение, при решении которых используется пропорциональность отрезков.
Задача 1. Разделим данный отрезок на n отрезков-долей.
Пусть AB — данный отрезок, который нужно разделить, например, на 5 долей (рис. 358).
п = 5
Рис. 358
233
Правообладатель Народная асвета
С одного из концов отрезка, например A, проведем какой-либо луч AQ, не принадлежащий прямой AB (рис. 359). От точки A на луче AQ последовательно отложим 5 равных отрезков -AAi, AiA2, A2A3, A3A4, A4A5.
Конец последнего из них — точку A5 — соединим с другим концом B данного отрезка AB. Через точки A^, A2, A3, A4 проведем прямые, параллельные прямой A5B, которые, в соответствии с теоремой Фалеса, разделят отрезок AB на 5 долей.
Задача 2. Разделим данный отрезок в данном отноше-m
нии --.
n
Пусть UV — данный отрезок, который нужно разделить в
3
данном отношении, например — (рис. 360), т. е. найти такую
5
и
т
~тГ
Рис. 360
точку A, что = 3.
^ AV 5
Учитывая решение задачи 1, можно на луче UX от точки U отложить 3 равных отрезка и получить точку F, от которой далее отложить 5 таких же отрезков и получить точку G (рис. 361). Точку G соединить с другим концом V данного отрезка и через точку F провести прямую, параллельную прямой GV, точка A пересечения которой с отрезком UV делит его в
3
нужном отношении —.
Задача 3. Построим отрезок, четвертый пропорциональный трем данным отрезкам.
Пусть AB, CD и EF — данные отрезки А_________В
(рис. 362). Построим такой отрезок XY,
AB = EF CD XY ■
Построим произвольный угол S и от •---------•
его вершины на одной стороне отложим Рис. 362
234
Рис. 361
D
что
Е
Правообладатель Народная асвета
Рис. 363
отрезок SPi, равный отрезку AB, и отрезок PiP2, равный отрезку CD, на другой стороне — отрезок SQj_, равный отрезку EF (рис. 363). Прямая, параллельная PiQi, проведенная через точку P2, пересекает другую сторону в точке Q2, а отрезок Q1Q2 является искомым отрезком, что следует из теоремы 3.
Теорема 5. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Доказательство. Пусть MM1 — биссектриса треугольника KMN (рис. 364). Докажем, что NMl = .
Повернем отрезок MK вокруг точки M так, чтобы он оказался на прямой MN и занял положение MA. Получим равнобедренный треугольник KMA с основанием KA. Его углы KAM и AKM равны друг другу. Угол AMK, как вместе с этими углами, так и вместе с углом KMN, составляет 180°. Поэтому угол KMN равен сумме углов KAM и AKM, а тогда половина этого угла, т. е. угол KMM1 или угол NMM1 равен одному из этих углов KAM или AKM. Значит, все четыре угла KMM1, NMM1, KAM, AKM равны друг другу.
Поскольку углы KAM и NMM1 являются соответственными углами при прямых AK и MM1, пересеченных прямой AN, то прямые AK и MM1 параллельны.
Применив теорему 2 к углу KNA, пересеченному параллельными прямыми AK и MM1, получаем:
NM-
1
NM
M1K MA
Но MA = MK, поэтому окончательно
NM1 = NM
M1K
MK
235
Правообладатель Народная асвета
Теорема 6. Если пара отрезков (a; b) пропорциональна паре отрезков (c; d), то каждой из этих пар отрезков пропорциональна и пара отрезков (а + с, b + d).
Доказательство. Пусть отрезки а, b, c и d таковы, что
— = c = k. Тогда а = kb и c = kd. Сложив покомпонентно эти
b d
равенства, получим а + c = kb + kd, или а + c = k(b + d), или
a + c
b + d
= k. Значит,
c
d
a + c b + d '
1. Сформулируйте теорему Фалеса.
• 2. Какие отрезки называют пропорциональными?
3. Сформулируйте теорему о пропорциональных отрезках.
4. Как данный отрезок разделить на несколько равных долей?
5. Как данный отрезок разделить в данном отношении?
6. Как построить отрезок, четвертый пропорциональный трем данным
н
Рис. 365
отрезкам?
7. Сформулируйте свойство биссектрисы треугольника.
816. Измерьте стороны треугольника FGH на рисунке 365 и найдите отношение:
а) стороны FG к стороне GH;
б) стороны FG к стороне FH;
в) стороны FH к стороне GH;
г) стороны GH к стороне FG.
817. Может ли отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе быть:
а) меньше единицы;
б) равно единице;
в) больше единицы?
818. Найдите отношение:
а) стороны треугольника к его средней линии, параллельной этой стороне;
б) средней линии трапеции к отрезку, равному сумме оснований трапеции;
в) отрезка, равного сумме средних линий треугольника, к отрезку, равному сумме его сторон;
г) гипотенузы прямоугольного треугольника к радиусу окружности, которая проходит через его вершины.
236
Правообладатель Народная асвета
819. Найдите отношение гипотенузы к проведенной к ней высоте в:
а) равнобедренном прямоугольном треугольнике;
б) прямоугольном треугольнике, один из углов которого равен 30°.
820. Используя карту на рисунке 349, найдите действительное расстояние между:
а) Ивонами и Успольем;
б) Ивонами и Парадино;
в) Успольем и Парадино;
г) Заболотьем и Людогощей;
д) Ослянкой и Андранами;
е) Пячковичами и Деснокитой.
821. Точка X делит отрезок AB в отношении 1 : 3, если считать от точки A. Найдите отношение:
а) отрезка AX к отрезку AB;
б) отрезка AB к отрезку AX;
в) отрезка BX к отрезку AB;
г) отрезка BX к отрезку AX.
822. Точка N делит отрезок XY в отношении a ■ b, если считать от точки X. Найдите отношение:
а) отрезка XN к отрезку XY;
б) отрезка XY к отрезку XN;
в) отрезка YN к отрезку XY;
г) отрезка YN к отрезку XN.
823. Определите, пропорциональны ли пары отрезков (AB; CD) и (MN; PQ), если:
а) AB = 0,9 см; CD = 0,4 см; MN = 3,6 см; PQ = 1,6 см;
б) AB = 9 см; CD = 35 мм; MN = 18 мм; PQ = 0,7 см;
в) AB = 24 дм; CD = 360 см; MN = 30 см; PQ = 450 мм.
824. Известно, что MN = 4 см, PQ = 3 см, XY = 6 см. Каким должен быть отрезок AB, чтобы все четыре отрезка были пропорциональны и отрезок AB был:
а) наибольшим;
б) наименьшим;
в) ни наибольшим, ни наименьшим?
825. На отрезке MN длиной 6 см выбрана точка X так, что MX ■ XN = 3 : 2, на прямой MN выбрана точка Y так, что MY ■ YN = 3 : 4. Найдите возможные расстояния между точками X и Y.
237
Правообладатель Народная асвета
Рис. 367
826. Отрезок PQ длиной l точкой A разделен на отрезки-
части PA и AQ, отношение которых равно —. Выразите длины отрезков PA и AQ через l, x и у. У
827. Используя теорему Фалеса, докажите, что средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.
828. Параллельные прямые пересекают одну сторону угла S в точках A и C, другую — в точках B и D (рис. 366). Найдите:
а) SD, если SA = 6 см, SC = 9 см, SB = 10 см;
б) SA, если SA + SC = 14 см, SB = 15 см, SD = 20 см;
в) SC, если SB : SD = 10 : 13, AC = 12 см.
829. Две прямые пересечены рядом параллельных прямых AP, BQ, CR, DS (рис. 367). Найдите отрезки АВ и ВС, учитывая, что PS = 85 мм, PR = 65 мм, PQ = 25 мм, CD = 45 мм.
830. Через точку A стороны CD треугольника CDE параллельно стороне CE проведена прямая, которая пересекает сторону DE в точке B. Найдите расстояние между точками B и E, учитывая, что CA ■ AD = 6 : 7, а DE = 91 см.
831. На одной стороне угла A выбраны точки C и D, на другой — точки K и L. Можно ли утверждать, что прямые CK и DL параллельные, если:
а) AC = CD и AK = KL; в) AD = AL и CD = KL;
б) AC = AK и CD = KL; г) AC = KL и AK = CD?
238
Правообладатель Народная асвета
832. На одной стороне угла S выбраны точки A и D, на другой — точки C и E. Определите взаимное расположение прямых AC и DE, учитывая, что:
а) AS : AD = 5 : 3, CE = 18 дм, CS = 30 дм;
б) SD : AD = 12 : 8,5, CS = CE;
17
в) SA = 7 SD, CS = 5,6 м, CE = 4 м.
833. Длина отрезка DE равна 10 см. Постройте окружности с центрами в точках D и E, учитывая, что их радиусы относятся как 2 : 3 и окружности касаются:
а) внешним образом; б) внутренним образом.
834. Выберите произвольно две точки A и B. Постройте окружности с центрами в точках A и B, учитывая, что их радиусы относятся как 1 : 3 и окружности касаются:
а) внешним образом; б) внутренним образом.
835. Отрезок GA — биссектриса треугольника FGH. Найдите:
а) отрезки FA и AH, учитывая, что FG = 12 см, GH = 18 см, FH = 24 см;
б) сторону GH, учитывая, что FA ■ AH = 7 : 5 и FG = 21 м;
в) сторону FH, учитывая, что FG ■ GH = 3 : 7 и AH - AF = 4 см.
836. В треугольнике со сторонами 12 см и 9 см проведена биссектриса к третьей стороне. При этом оказалось, что один из отрезков, на которые биссектриса разделила эту сторону, равен одной из данных сторон. Найдите третью сторону.
837. Стороны LM, KM, KL треугольника KLM соответственно равны 15 см, 18 см, 21 см. На этих сторонах выбраны точки D, C, B так, что четырехугольник LBCD — ромб. Найдите отрезки KC и CM.
838. Окружность касается сторон треугольника длинами 39 см и 65 см, а ее диаметр лежит на третьей стороне, равной 80 см. Найдите отрезки-части, на которые третью сторону делит центр окружности.
839. Сторона CD треугольника CDE разделена на 4 доли, и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне CE, которая равна 20 см. Найдите отрезки параллельных прямых, ограниченные сторонами треугольника.
239
Правообладатель Народная асвета
840. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 20 см, а основание относится к высоте как 3 : 2. Найдите части, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.
841. Точка K на стороне ВС треугольника АВС равноудалена от сторон А^ и АС. Учитывая, что АВ = 12 см, ВС = 18 см, АС = 15 см, найдите отрезки КВ и КС.
842. В равностороннем треугольнике периметром 81 см проведена высота к основанию. Точка О делит его в отношении 7 : 2 и равноудалена от сторон. Найдите это расстояние и стороны треугольника.
843. Стороны AB и AC треугольника ABC равны соответственно 10 см и 15 см. Через конец D биссектрисы AD параллельно стороне AB проведена прямая, которая пересекает сторону AC в точке E. Найдите отрезки EA и EC.
844. Решите уравнение: а) X2 + 2х - 4 = |3х - 2|;
3х + 25
17 8 '
б) |х + ^ =
845. Решите неравенство:
, 5х - 1 3 - ^ , 11x - 1 а) —г— +------<--------;
б)
2
5У + 2 2
6
4 у + 1 3
8
4 у -13 7
Рис. 368
846. На рисунке 368 показаны графики функций у = х2 и у = (х - а)2. Найдите число a и координаты точек пересече-
ния графиков с координатными осями.
* * *
847. В классе 27 учеников. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками класса, а каждая девочка — с пятью мальчиками. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?
240
Правообладатель Народная асвета
848. Есть сороказначное число 199619971998...200320042005. Оно произвольным образом разделяется на два числа, и эти числа складываются. С полученным числом выполняют такие же действия до того момента, пока не получится однозначное число. Какое это число?
849. В прямоугольном треугольнике с катетами АС и ВС, равными 8 см и 15 см, провели высоту CH. Найдите расстояние между основаниями F и G биссектрис CF и CG треугольников CHA и CHB.
25. Подобные треугольники
Интуитивно мы достаточно хорошо распознаем подобные предметы, выделяем их среди других. Однако выразить эти представления точным математическим языком не очень просто. Начнем изучение отношения подобия с простейшей геометрической фигуры — треугольника.
Треугольники, углы которых попарно равны, а соответствующие стороны пропорциональны, называют подобными.
У треугольников ABC и A1B1C1 на рисунках 369 и 370 углы A и A1, B и B1, C и C1 равны друг другу, а стороны треугольника A1B1C1 в полтора раза меньше соответствующих сторон треугольника ABC, т. е. для треугольников ABC и A1B1C1 истинны равенства:
ZA = ZA1; Z B = Z B1; Z C = Z C
AB
1
BC
B1C1
AC
Поэтому треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1. Утверждение о подобии треугольников ABC и A1B1C1 коротко записывают так: А ABC " А A1B1C1.
Число k, равное отношению соответствующих сторон подобных треугольников, называют коэффициентом подобия. Поскольку стороны треугольника ABC на рисунке 369 в
1-1 раза длиннее соответствующих сторон треугольника A1B1C1
Рис. 369
Рис. 370
241
Правообладатель Народная асвета
на рисунке 370, то треугольник ABC подобен треугольнику с коэффициентом подобия 1-1. Можно сказать также,
что треугольник A1B1C1 подобен треугольнику ABC с коэффици-
2
ентом подобия так как стороны треугольника A1B1C1 состав-
2
ляют — соответствующих сторон треугольника ABC.
Понятно, что равные треугольники подобны друг другу с коэффициентом подобия 1.
Следующая теорема показывает, что подобные треугольники существуют.
Теорема 7. Прямая, которая пересекает две стороны треугольника и параллельна третьей стороне, отсекает треугольник, подобный исходному.
J Доказательство. Пусть пря-
мая р, параллельная стороне LM треугольника KLM, пересекает его стороны KL и KM в точках L1 и М1 соответственно (рис. 371). Докажем, что треугольники KLM и KL1M1 подобны.
У этих треугольников угол K общий, а углы KLM и KL1M1, а также KML и KM1L1 равны, так как это соответственные углы при параллельных LM и L1M1, пересеченных один раз прямой KL, другой раз — прямой KM. Условие равенства соответственных углов подобных треугольников выполнено.
Установим пропорциональность соответствующих сторон. Поскольку прямые LM и L1M1 параллельны, то теорема 3 о пропорциональных отрезках позволяет записать пропорцию
L1L _ M1M
Прибавим к обеим частям этого равенства по
KL-^ KM1
единице и преобразуем новое равенство:
KL
1 M1M ,
+ 1 = + 1;
1
KM1
L1L + KLy
KL1
1
M-.M + KM.
KM1
1
242
Правообладатель Народная асвета
Учитывая, что L-^L + KL^ = KL, а + KM^ = KM, можем
записать
KL
KL,
KM
KM,
а это означает, что стороны KL и KL,, а также KM и KM, пропорциональны.
Остается доказать, что этим парам сторон пропорциональна и третья пара LM и L^M,. Через точку L, параллельно стороне KM проведем прямую, которая пересекает сторону LM в точке A. Применив снова теорему 3, получим равенство
AM = L,K-, которое можно преобразовать так:
LA
LL,
LA
AM
LA + AM AM LM
+ 1 = + 1;
L ,K
AM
LK L,K '
Но AM = L1M1, так как четырехугольник L1AMM1 — па-
раллелограмм. Поэтому
LM
KL
L-^M, L^K
Учитывая полученную пропорцию
чим:
KL
KL,
KM
KM,
полу-
KL
KM
LM
KL, KM, L-^M-,
Теорема 8. Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть для треугольников ABC (рис. 372) и A1B1C1 (рис. 373) истинны равенства:
AB
A,B,
AC A,C,
; Z A = Z A,.
243
Правообладатель Народная асвета
LL, + L ,K
На луче AB от вершины A отложим отрезок AR, равный отрезку A-^B^, и через точку R параллельно стороне BC проведем прямую, которая пересекает прямую AC в точке S (рис. 374). Получился треугольник ARS, который, в соответствии с теоремой 7, подобен треугольнику ABC.
Докажем, что треугольник ARS равен треугольнику A-^B-^Ci. У них углы A и А^ равны по условию, а стороны AR и AlBl равны по построению.
В соответствии с теоремой 7 истинна пропорция
AB AC
---= . Учитывая, что AR = AlBl, и сравнив эту пропор-
AR AS
„ „ AB AC
цию с данной по условию пропорцией . „ ^ _ , заключа-
Рис. 374
ем, что
AC
AC
Ai Bi
AiCi
Значит, AS = A^^Ci.
AS AlCl
Значит, по первому признаку, треугольник ARS равен треугольнику AlBlCl.
Поскольку, по уже доказанному, треугольник ARS подобен треугольнику ABC, то и треугольник AlBlCl, равный треугольнику ARS, подобен треугольнику ABC.
Теорема 8 выражает первый признак подобия треугольников.
Теорема 9. Если два угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть углы D и E треугольника DEF (рис. 375) соответственно равны углам Dl и El треугольника DlElFl (рис. 376).
Е
Рис. 375 D 244
Правообладатель Народная асвета
На луче DE от вершины D отложим отрезок DM, равный отрезку D^E^, и через точку M параллельно стороне EF проведем прямую, которая пересекает прямую DF в точке N (рис. 377). Полученный треугольник DMN, в соответствии с теоремой 7, подобен треугольнику DEF.
Докажем, что треугольник DMN равен треугольнику D^E-^F^. У них
стороны DM и D-^E-^ равны по построению, углы D и D^ равны по условию, а углы DMN и E^ равны углу E, и поэтому равны друг другу. Значит, по второму признаку равенства треугольников, треугольник DMN равен треугольнику D^E-^F^.
Поскольку, по уже доказанному, треугольник DMN подобен треугольнику DEF, то и треугольник D^E-^F^, который равен треугольнику DMN, подобен треугольнику DEF.
Теорема 9 выражает второй признак подобия треугольников.
Теорема 10. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть для треугольников KLM (рис. 378) и K^L^M^ (рис. 379) истинны равенства:
KL
KiLi
LM
MK
L1M1 M^ K^
На луче KL от вершины K отложим отрезок KA, равный отрезку K-^Li, и через точку A параллельно стороне LM проведем прямую, которая пересекает прямую KM в точке B
К
М Рис. 378
245
Правообладатель Народная асвета
к
(рис. 380). Полученный треугольник KAB, в соответствии с теоремой 7, подобен треугольнику KLM. Докажем, что треугольник KAB равен треугольнику K^L^M^.
Поскольку треугольник KAB подобен треугольнику KLM, то
. Вместе с этим по усло-
KA AB ^
KL LM
вию
Поскольку в этих
K^L^ L-^M-^
двух пропорциях по три компонента равны, то равны и четвертые компо-
Теперь, сравнив пропорцию = MK,
AB BK
которая следует из подобия треугольников KAB и KLM, с
LM MK
ненты: AB = L^M^
данной по условию пропорцией
и приняв во
внимание равенство AB = L^M^, получим: BK = M^K^.
Таким образом, каждая из сторон треугольника KAB равна соответствующей стороне треугольника K^L^M^. Значит, эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.
Поскольку, по уже доказанному, треугольник KAB подобен треугольнику KLM, то и треугольник K^L^M^, который равен треугольнику KAB, подобен треугольнику KLM.
Теорема 10 выражает третий признак подобия треугольников.
Мы доказали три признака подобия треугольников. Можно заметить, что они соответствуют тем признакам равенства треугольников, которые использованы при доказательстве теорем 8, 9, 10.
fy 1. Какие треугольники называются подобными?
• 2. Что показывает коэффициент подобия?
3. Чему равен коэффициент подобия равных треугольников?
4. Как символьно записывается утверждение о подобии треугольников
ABC и AiBiCi?
5. Сформулируйте свойство прямой, которая параллельна какой-либо стороне треугольника и пересекает две другие его стороны.
6. Сформулируйте первый признак подобия треугольников (по углу и прилежащим сторонам).
7. Сформулируйте второй признак подобия треугольников (по двум углам).
8. Сформулируйте третий признак подобия треугольников (по трем сторонам).
246
Правообладатель Народная асвета
850. Одна прямая пересекает стороны угла K в точках M и N, другая прямая, параллельная первой, — в точках O и Р (рис. 381). Запишите пропорцию, которая начинается с отношения: KM .
а) KN.
^ КР ’
б)
ОР .
MN ''
в)
г)
MO ’ КО
MN
851. У треугольников ABC и A1B1C1 углы A и A1, а также B и В1 равны друг другу. Стороны AB и BC равны 8 см и 12 см, A1B1 и A1C1 — 6 см и 12 см. Найдите стороны AC и B1C1.
852. Стороны одного треугольника равны 80 мм, 48 мм, 64 мм, а периметр подобного ему треугольника — 156 мм. Найдите стороны другого треугольника.
853. Основания CF и DE трапеции CDEF равны соответственно 9 см и 6 см, а боковая сторона CD — 3 см. На сколько нужно продлить боковую сторону CD до ее пересечения с продолжением другой боковой стороны?
854. Прямые, проходящие через боковые стороны PQ и SR трапеции PQRS, пересекаются в точке A. Найдите:
а) меньшее основание QR, учитывая, что большее основание PS равно 50 мм, боковая сторона PQ — 8 мм, а отрезок PA — 20 мм;
б) отрезок QA, учитывая, что отрезок PA равен 18 см, а основания PS и QR относятся как 6 : 5.
855. Боковые стороны VR и TS трапеции RSTV продлены до пересечения в точке B. Найдите среднюю линию трапеции, учитывая, что RV = 60 мм, RB = 100 мм, RS = 120 мм.
856. Сторона AB треугольника ABC разделена на пять отрезков-долей, и через точки деления параллельно стороне AC проведены прямые, которые пересекают сторону BC. Определите отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами AB и BC, учитывая, что сторона AC равна 250 мм.
857. Две пересекающиеся прямые с общей точкой О одна из параллельных прямых пересекает в точках M и N, другая —
247
Правообладатель Народная асвета
D
в точках P и Q, а через точку O к прямым MN и PQ проведен общий перпендикуляр RS (рис. 382). Стороны OP, OQ, PQ треугольника OPQ оказались равными 48 мм, 36 мм, 60 мм, а высота треугольника OMN — 8 мм. Найдите высоту треугольника OPQ и стороны треугольника OMN.
858. Вершины Б и D треугольников ABC и ADC расположены по одну сторону от прямой AC и равноудалены от нее (рис. 383). Докажите, что отрезки каждой прямой, параллельной стороне AC, заключенные между двумя другими сторонами этих треугольников, равны.
859. Основание высоты BB-^ треугольника ABC отстоит от вершин A и C соответственно на 27 см и 15 см. Найдите части, на которые делится сторона AB длиной 45 см серединным перпендикуляром к стороне AC.
860. У треугольников PQR и P1Q1R1 углы P и Р1 равны, а стороны PQ и PR треугольника PQR в 1,6 раза меньше соответствующих сторон P1Q1 и P1R1 треугольника P1Q1R1. Найдите стороны QR и Q1R1, учитывая, что их сумма равна 78 мм.
861. Углы против оснований у двух равнобедренных треугольников равны друг другу. Основание и боковая сторона одного из них равны 12 см и 8 см соответственно. Найдите основание другого треугольника, учитывая, что его боковая сторона равна 12 см.
862. На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки D и E соответственно. Определите, подобны ли треугольники ABC и ADE, если:
а) AB = 24 мм; AC = 16 мм; AD = 21 мм; AE = 14 мм;
б) AB = 28 дм; AC = 21 дм; AD = 33 см; AE = 44 см;
248
Правообладатель Народная асвета
в) AB = 46 см; AC = 69 см; AD = 22 мм; AE = 14 мм;
г) AB = 36 м; AC = 63 м; AD = 91 мм; AE = 52 мм.
863. Отрезки AM и CN — биссектрисы равнобедренного треугольника ABC с основанием AC, равным т, и боковыми сторонами, равными п. Найдите расстояние между точками M и N.
864. Определите, подобны ли треугольники, если их стороны следующие:
а) 10 см, 15 см, 20 см; 4 см, 6 см, 8 см;
б) 1 м, 1,5 м, 2 м; 2 см, 3 см, 4 см;
в) 12 дм, 15 дм, 18 дм; 4 м, 6 см, 5 см;
г) 10 см, 15 см, 20 см; 2 см, 5 см, 4 см.
865. Диагонали CE и DF трапеции CDEF с основаниями CF и DE пересекаются в точке A. Найдите отрезки DA и AF, учитывая, что CE = 36 мм, DF = 54 мм, AE = 20 мм.
866. Диагонали RT и SV трапеции RSTV с основаниями RV и ST пересекаются в точке X. Средняя линия этой трапеции равна 290 мм, а отрезки SX и XV относятся как 9 : 20. Найдите основания трапеции и отношение отрезков другой диагонали.
867. Луч, выходящий из вершины D треугольника CDE, пересекает сторону CE в такой точке A, что угол DAE равен углу CDE, а отрезки AC и AE соответственно равны 7 см и 9 см. Найдите сторону DE и отношение сторон DA и DC.
868. Основания трапеции относятся как 13 : 8, а одна из боковых сторон равна 160 мм. На сколько нужно продлить эту сторону, чтобы она пересекла продолжение другой боковой стороны?
869. На стороне BC параллелограмма ABCD выбрали точку X так, что BX '■ XC = 5 : 7, и через точки Du X провели прямую, которая пересекает прямую AB в точке Y. Найдите отрезок BY, учитывая, что сторона AB равна 70 мм.
870. На продолжении стороны IJ параллелограмма IJKL за точку J выбрали точку B и соединили ее с вершиной L отрезком, который разделяет диагональ IK на отрезки IA и AK в отношении a ■ b. Найдите отрезок JB, учитывая, что сторона IJ равна c.
871. Параллелограмм вписан в треугольник так, что параллелограмм имеет общий угол с треугольником, стороны параллелограмма относятся как 5 : 6, а параллельные им
249
Правообладатель Народная асвета
стороны треугольника равны соответственно 35 см и 28 см. Найдите стороны параллелограмма.
872. В треугольник MNP вписан ромб MABC. Найдите сторону ромба, учитывая, что стороны MN и MP этого треугольника равны a и b соответственно.
873. Когда через вершину A ромба ABCD вне его провели прямую, то она пересекла прямые CB и CD в таких точках X и Yсоответственно, что BX = т, DY = п. Найдите сторону ромба.
874. Через точку M внутри угла A проведите прямую так, чтобы точка M делила пополам отрезок этой прямой, заключенный между сторонами угла.
875. В данный треугольник с основанием a и проведенной к нему высотой h вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на других сторонах треугольника. Найдите сторону квадрата.
876. В треугольник, основание которого равно 96 мм, а проведенная к нему высота — 32 мм, вписан прямоугольник, большая сторона которого лежит на основании треугольника и относится к меньшей стороне как 9 : 5. Найдите измерения прямоугольника.
877. Решите уравнение:
, a - 7 5a + 8
а) т:-^ + 1 =
3 - 4 a
5 - 2a ’
в) 1 +
4 - у = 1 - У . 2у - 5 12 - у .
12 - 2х x + 2
б) - 3ГХ = 1;
г)
3b - 7 b - 3
b - 3
+ b.
878. Докажите, что при всех действительных значениях переменных x и у верно неравенство:
а) 4x2 - 3xy + 2у2 > 0;
б) X3 + у3 > х^у + xy2;
в) X2 + ■
1
> 1;
г)
x1
4 ^ 2'
1+x
879. Зависимости между величинами t и v заданы уравне-1 2 2
ниями v = 2t + 5, v = 11 + 2, v = -51 + 7-2. Постройте графики этих зависимостей. Найдите:
а) координаты точек A, B и C, в которых пересекаются
2 2 1
графики функций v = 2t + 5 и v = t + 7—, v = — t + 2 и
5 5 2
2 2 1
v = — t + v = 2t + 5 и v = — t + 2 соответственно;
5 ^ 2 ’
250
Правообладатель Народная асвета
x2 + 1
б) площадь треугольника ABC;
в) длины сторон треугольника ABC;
г) высоты AA^, BBj_, CCi треугольника ABC.
880. Найдите точки пересечения графика функции
у = 3x2 - 7x - 6:
а) с осями координат;
б) с прямыми x = 4 и у = -8;
в) с прямыми x = 5 и у = -10.
881. Маршрутное такси проезжает расстояние в 200 км на 1,5 ч быстрее рейсового автобуса, который движется со скоростью, на 30 км/ч меньшей. Найдите скорость автобуса.
* * *
882. Найдите наибольшее семизначное число, которое кратно 72 и записано разными цифрами.
883. На плоскости проведена прямая l и отмечены точки P и Q. Постройте треугольник, одна сторона которого лежит на прямой l, а точки P и Q являются основаниями высот, проведенных к двум другим сторонам.
884. Точку A (m; n) можно соединять отрезками с точками B (m; n - m) и C (m - n; n). Это же можно сделать и с точками B и C и т. д. Можно ли по этим правилам точку X соединить ломаной с точкой Y, если:
а) X (20; 7) и Y (2007; 702);
б) X (231; 990) и Y (1309; 1463)?
26. Подобные фигуры
Обобщением понятия подобных треугольников является понятие подобных многоугольников.
Два многоугольника с одинаковым количеством сторон называются подобными, если углы одного многоугольника равны углам другого многоугольника, а соответствующие стороны многоугольников пропорциональны. При этом отношение соответствующих сторон называют коэффициентом подобия.
Два подобных многоугольника диагоналями, проведенными из вершин пары соответствующих углов, разделяются на пары соответственно подобных треугольников.
251
Правообладатель Народная асвета
Пусть
B1B2B3B4"
выпуклые многоугольники A1A2A3A4^An _ 1An
и
Bn_ 1Bn подобны (рис. 384) и в них:
^ A1 = А B1, А A2 = А B2, А A3 = А B3, 1, А An = А Bn; An - 1 -An An A1
Bn - 1 Bn Bn B 1
Z An
-1 = Z Bn -
= k.
Проведем все диагонали из вершин A1 и B1, в результате получим n - 2 пары соответствующих треугольников A1A2A3 и B1B2B3, A2A3A4 и B2B3B4, An - 1AnA1 и Bn - 1BnB1. Докажем,
что треугольники каждой пары подобны.
Треугольники A1A2A3 и B1B2B3 подобны, так как ZA2 = Z B2,
а _ A2A3 . А тогда ZA1A3A2 = Z B1B3B2 и A1A3 = k. Поэтому
1B2 B2 B3 B1B3
равны и углы A1A3A4 и B1B3B4 как разности ZA2A3A4 - ZA1A3A2 и Z B2B3B4 - Z B1B3B2 с соответственно равными компонен-
тами. Учитывая, что
A1 A3
= k =
A3 A4
утверждаем, что тре-
угольники A1A3A4 и B1B3B4 подобны.
Так же устанавливается подобие следующих соответствующих пар.
А если подобные многоугольники A1A2A3A4^An - 1An
и
1Bn
невыпуклые, то и в этом случае можно
B1B2B3B4^Bn
доказать подобие треугольников A1A2A3 и B1B2B3, A2A3A4 и
B2B3B4, ^, An - 1AnA1 и Bn - 1BnB1.
Теорема 11. Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия.
Доказательство. Пусть многоугольник C1C2C3C4^Cn- 1Cn
подобен многоугольнику D1D2D3D4. подобия k (рис. 385). Тогда
252
Dn - 1Dn с коэффициентом
Правообладатель Народная асвета
CiC,
C2C3
Cn - lCn
D1D2 D2 D3 Dn - 1Dn
Учитывая теорему 6, получим:
C„Ci
DnDi
= k.
= k, или — = k,
где — — периметр многоугольника C1C2C3C4^C„ _ 1C„, —1 — периметр многоугольника D1D2D3D4^D„ _ 1D„.
Теорема 12. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство. Пусть треугольник EFG подобен треугольнику E1F1G1 с коэффициентом подобия k, а FH и F1H1 — высоты этих треугольников, проведенные к соответствующим сторонам EG и E1G1 (рис. 386). Тогда прямоугольные треугольники EFH и E1F1H1 подобны по второму признаку, так как Z EFH = Z E1F1H1 и Z EHF = Z E1H1F1 = 90°. Поэтому
FH
EF
= k.
FiHi EiFi
Найдем площади S и S1 треугольников EFG и E1F1G1: S = ^• EG • FH, Si = -2 • EiGi • FiHi.
Рис. 386
253
Правообладатель Народная асвета
'л- 1
Теперь найдем отношение площадей, учитывая, что
EG
EiGi
EF
EiFi
= k:
_S_
Si
-• EG■ FH 2_________
2 • EiGi • FiHi
EG FH
EiGi FiHi
= k2
Пусть теперь многоугольник KiK2K3K4^Kn _ iKn подобен многоугольнику LiL2L3L4^Ln _ iLn с коэффициентом подобия k (рис. 387). Диагоналями, выходящими из вершин Ki и Li, эти треугольники разделяются на пары KiK2K3 и LiL2L3, KiK3K4 и LiL3L4, _, K^- iK„Ki и L^- iL„Li подобных треугольников. По уже доказанному
SKjK2K3 SLiL2 L3
= k2,
или
SKiK2K3
SKjK3K4
SLiLaL4
SKiK3K4
= k2,
S
= k2
'LnLn - i^i
S
'KnKn - iKi
= k2
SIiL2L3 SIiL3L4 s
Используя теорему 6, получим:
^ ^ Hi + . ^ ь
KiK2K3 KiK3K4 K
S-IiI2I3 + S-IiI3l4 + ^ + SlnLn - iIi
= k2
Поскольку суммы SK K K + SK K K +
KiK2K3 Л1Л3Л4
+ SK
и S
I1I2I3
+ SL^LL^ + ^ + SL L ^L дают площади S и S1 многоугольников
K1K2K3K4^Kn - 1Kn и L1L2L3L4^Ln - 1Ln, то = k .
Si
Зададим теперь вопрос о том, как целесообразно определить подобие любых фигур, а не только многоугольников.
Обратим внимание на то, что если многоугольники A1A2A3A4^An - 1An и B1B2B3B4^Bn- 1Bn подобны, то между их
254
Правообладатель Народная асвета
S
+
точками можно установить такое соответствие, при котором каждой точке M многоугольника _ ^A^^ соот-
ветствует единственная точка N многоугольника Bn _ ^Bn, и наоборот, если при этом точкам X и Y многоугольника AlA2A3A4^An _ ^A^^ соответствуют точки Х^ и Y^ много-
XY
= k (рис. 388).
угольника BlB2B3B4^Bn _ ^Bn, то
XiYi
Можно доказать, что верно и обратное утверждение: если между точками двух многоугольников можно установить такое соответствие, при котором каждой точке M первого многоугольника соответствует единственная точка второго многоугольника, и наоборот, и при этом отношение расстояний между парами соответствующих точек постоянно, то эти многоугольники являются подобными.
Отмеченное обстоятельство дает основание для следующего определения.
Фигура Ф называется подобной фигуре Ф1 с коэффициентом подобия k, если между точками фигур Ф и Ф1 можно установить соответствие, при котором каждой точке A фигуры Ф соответствует единственная точка A1 фигуры Ф1, и наоборот, при этом если точкам X и Y фигуры Ф соответствуют
точки Х1 и Y1 фигуры Ф1, то всегда
XY
X1Y1
= k (рис. 389).
255
Правообладатель Народная асвета
Это определение распространяется и на геометрические тела.
Мы доказали, что отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия k, а отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату k2 коэффициента подобия. Аналогичное утверждение верно и для произвольных подобных фигур, а также для объемов подобных фигур.
Отношение объемов подобных фигур-тел равно кубу коэффициента подобия.
fy 1. Какие многоугольники называются подобными?
• 2. Сформулируйте теорему об отношении периметров подобных много-
угольников.
3. Сформулируйте теорему об отношении площадей подобных многоугольников.
4. Какие фигуры называются подобными?
5. Сформулируйте свойство периметров подобных фигур; площадей подобных фигур.
885. Подобны ли два любых:
а) равносторонних треугольника;
б) прямоугольника;
в) ромба;
г) квадрата;
д) окружности;
е) круга?
886. Докажите, что:
а) если треугольник ABC подобен треугольнику A1B1Ci, а треугольник подобен треугольнику A2B2C2, то треугольник ABC подобен треугольнику A2B2C2;
б) если треугольники ABC и DEF подобны треугольнику PQR, то они подобны друг другу;
в) если треугольник ABC подобен треугольнику AlBlCl с коэффициентом подобия k, то треугольник A1B1C1 подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия -l.
887. Стороны одного пятиугольника равны 42 мм, 28 мм, 49 мм, 35 мм, 14 мм, а большая сторона подобного ему другого пятиугольника равна 35 мм. Найдите остальные стороны другого пятиугольника.
888. Стороны одного четырехугольника относятся как 3 : 5 : 7 : 11, а суммарная длина наибольшей и наименьшей
256
Правообладатель Народная асвета
сторон другого четырехугольника, подобного первому, равна 56 дм. Найдите стороны другого четырехугольника.
889. Наибольшие стороны двух подобных многоугольников равны 70 мм и 175 мм, а разность периметров составляет 300 мм. Найдите периметры этих многоугольников.
890. Серединный перпендикуляр к стороне прямоугольника разделяет его на части, подобные этому прямоугольнику. Найдите отношение сторон данного прямоугольника и прямоугольника-части.
891. Укажите достаточные условия для того, чтобы были подобными:
а) прямоугольники;
б) ромбы;
в) параллелограммы;
г) трапеции;
д) прямоугольные трапеции;
е) равнобедренные трапеции.
892. Приведя соответствующие рисунки, докажите, что для подобия четырехугольников ABCD и A1B1C1D1 недостаточно выполнения условия:
а) Z A = Z A1, Z B = Z B1, Z C = Z C1;
б)
AB
A1B1
BC
B1C1
CD
C1D1
DA
D1A1
893. Учитывая, что закрашенный контур имеет одну и ту же ширину, скажите, будут ли подобными фигуры, которые являются внешним и внутренним контурами фигуры на рисунке:
а) 390; б) 391; в) 392; г) 393; д) 394.
Рис. 390
Рис. 393
Рис. 394
257
Правообладатель Народная асвета
894. Во сколько раз площадь квадрата ABCD больше площади квадрата A^B^CiD-^, если:
а) AB
б) CD
в) AD
A1B1 = 2 : 1; CiDi = 5 : 3; A1D1 = 5 : 4;
г) A1B1 : AB = 1 : 3;
д) A1C1 ■■ AC = 5 : 11;
е) B1D1 : BD = 1 : 3?
895. Найдите отношение площадей подобных многоугольников, если коэффициент подобия равен:
а) 3;
б)
в) 2,5;
г) 0,4
д) ^3;
е) 21. ^ 3
896. Найдите отношение соответствующих сторон подобных многоугольников, если площадь первого многоугольника относится к площади второго как:
а) 4 : 1; в) 9 : 25; д) 121 : 625;
б) 1 : 16; г) 100 : 49; е) 81 : 361.
897. Запишите отношение площадей:
а) квадратов, стороны которых относятся как 3 : 5;
б) равносторонних треугольников, стороны которых относятся как 5 : 7.
898. На стороне равностороннего треугольника PQR построили квадрат PRTS (рис. 395 и 396). Найдите отношение площади треугольника PQR к площади:
а) квадрата PRTS;
б) пятиугольника PQRTS.
899. Площади квадратов относятся как 5 : 7, а сторона меньшего квадрата равна 10 м. Найдите с точностью до сотой сторону большего квадрата.
S
Рис. 395 Р 258
R
R
Правообладатель Народная асвета
900. Найдите, какую часть от площади данного треугольника составляет площадь треугольника:
а) отсеченного от него средней линией;
б) ограниченного его средними линиями.
901. Площадь данного многоугольника равна 54 дм2. Найдите площадь подобного ему многоугольника, если соответствующие стороны многоугольников равны 8 см и 12 см.
902. На рисунке 397 в масштабе 1 : 2000 изображен план участка. Проведя необходимые построения и измерения, найдите его площадь.
903. Треугольник двумя прямыми, параллельными одной стороне, разделен на три равновеликие части. Определите, в каком отношении разделились две другие стороны.
904. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а высота делит его площадь на части, разность которых равна 840 дм2. Найдите площадь данного треугольника.
Рис. 397
905. Найдите отношение объемов подобных прямоугольных параллелепипедов, если коэффициент подобия равен:
а) 3;
б) i;
’ 3’
в) 2,5;
г) 0,4
д) ^3;
е) 21. ’ 3
906. Сократите, если возможно, рациональную дробь:
а)
б)
а2 - 18a + 65 ; а2 - 16а + 39 ’ 2b2 - 18b + 28
в)
г)
2е2 + 12е - 14 ^ 3е2 + 27е - 30 ' 135 - 12d - 3d2
3b2 - 3b - ^ ' 2d2 - 24d + 70*
907. На одной координатной плоскости постройте графики функций у = 2 и у = 2 - 2. Какую гипотезу вы можете
x x
выдвинуть?
908. Площадь первого прямоугольника равна 45 м2, второго — 36 м2. Найдите измерения каждого прямоугольника, учитывая, что из меньших измерений прямоугольников большее на 2 м у первого прямоугольника, а из больших — на 3 м у второго.
259
Правообладатель Народная асвета
909. На первую половину пути поезд затратил на 20 мин больше, чем на вторую, а скорость на второй половине была на 10 км/ч большей. Найдите скорость поезда на первой половине, учитывая, что весь путь составляет 280 км.
910. Числитель дроби на 3 меньше знаменателя. Если числитель увеличить на 5, а знаменатель на 4 уменьшить, то дробь увеличится в 4 раза. Найдите исходную дробь.
911. На доске выписали подряд все числа от 1 до 10 000, а потом вытерли кратные 2, 3 или 5. Какое число находится теперь на 2010-м месте?
912. Докажите, что не существует такого натурального числа п, что произведение 73 • n записывается как 3n7.
913. Викторина состоит из простых и сложных вопросов. За правильный ответ на простой вопрос начисляется 2 очка, а за правильный ответ на сложный вопрос — 3 очка. Если на простой вопрос не дан правильный ответ, то с участника списывается 1 очко. Определите, сколько простых вопросов было задано, учитывая, что один из участников правильно ответил на 10 вопросов и набрал 16 очков.
27. Свойства прямоугольного треугольника
В параграфе 13 учебного пособия для 7-го класса мы уже обсуждали свойства и признаки прямоугольного треугольника. Вы знаете, что если треугольник является прямоугольным, то:
• квадрат его гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора);
• его острые углы вместе составляют 90°;
• медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине;
• если катет лежит против угла в 30°, то он равен половине гипотенузы;
• если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
Вы знаете также, что треугольник является прямоугольным, если:
• сумма двух углов треугольника равна 90°;
• одна из медиан треугольника равна половине стороны, к которой проведена.
260
Правообладатель Народная асвета
•к •к •к
Прямоугольный треугольник имеет ряд других интересных свойств. Рассмотрим некоторые из них.
Сначала введем одно понятие. Вы знаете, что средним арифметическим a двух чисел и а2 называется полусумма этих чисел:
_ а1 + а2 а =
2
Средним геометрическим, или средним пропорциональным, g двух неотрицательных чисел а^ и а2 называется квадратный корень из произведения этих чисел:
g = ^Jа^а2 .
Теорема 13. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, является средним геометрическим отрезков, на которые она разделяет гипотенузу.
Доказательство. Пусть — высота прямоугольного тре-
угольника ABC, проведенная к гипотенузе AC (рис. 398).
Докажем, что
А
BB, =,[ab~^cbI .
Каждый из треугольников ABB^ и CBB^ подобен данному треугольнику ABC, так как, кроме равных прямых углов, треугольники ABB^ и ABC имеют общий острый угол A, а треугольники CBB^ и ABC — общий острый угол C. Поэтому треугольники ABB^ и CBB^ подобны друг другу. Это позволяет записать
^ Т"'^2 л УЧ Т''^
пропорцию —- = —из которой получаем ВВ^ = АВ^ • CB^,
ВВл CB-
или
ВВт ^ АВт • СВт.
Теорема 14. Катет прямоугольного треугольника является средним геометрическим гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Доказательство. Пусть BB- — высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная к гипотенузе AC (см. рис. 398).
Докажем, что АВ = ,JAC • АВт, а BC = .JaC^CB-.
261
Рис. 398
Правообладатель Народная асвета
Поскольку треугольник ABB-^ подобен треугольнику ACB,
то
AB
AC. Поэтому AB^‘ = AC • ABj_, или ABl AB
AB = .JAC • AB .
Также из подобия треугольников CBB^ и CAB следует пропорция = AC. Значит, BC^ = AC • CB^, или
BC = ^AC • CB^.
Теорема 14 позволяет получить еще одно доказательство теоремы Пифагора. Пусть BB^ — высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная к гипотенузе AC (см. рис. 398). Тогда
AB2 = AC • AB^, а BC2 = AC • CB^.
Сложив покомпонентно эти равенства, получим:
AB2 + BC2 = AC • AB^ + AC • CB^,
или
AB2 + BC2 = AC • (AB^ + CBi).
Наконец, учитывая, что AB^ + CB^ = AC, можем записать: AB2 + BC2 = AC2.
Задача. Найдем длину отрезка AB на координатной плоскости, концы которого заданы своими координатами: A(xi; yi); B(x2; У2) (рис. 399).
Через точку A проведем прямую, параллельную оси ординат, а через точку B — прямую, параллельную оси абсцисс. Пусть они пересекаются в точке C. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то
AB2 = CA2 + CB2.
Но
CA = \у2 - yi\, CB = Х2 - Xi|,
Рис. 399
поэтому
AB2 = (X2 - xi)2 + (у2 - yi)2, или
AB = y](X2 - Xi)2 + (У2 - У1)2 .
Длина отрезка равна квадратному корню из суммы квад-
262
Правообладатель Народная асвета
ратов разностей одноименных координат концов этого отрезка.
Свойства подобных треугольников дают возможность обобщить теорему Пифагора.
Если l, т, n — три соответствующих отрезка прямоугольных треугольников ABC, A^B, A^C, где точка D — основание высоты, проведенной из вершины прямого угла A треугольника ABC, то l2 = m2 + n^.
Действительно, пусть в прямоугольном треугольнике ABC проведена высота AD к гипотенузе AC и l, т, n — три соответствующих отрезка в
прямоугольных треугольниках ABC, ADB, АDC (рис. 400).
Треугольники ABC, ADB, АDC подобны друг другу. По-
Рис. 400
l AC l
этому — =--- и — =
т AB n
AC BC ’
а, значит,
l
BC
l
BC '
Пусть значение каждой из дробей Тогда
l = aBC, m = aAB, n = aAC.
m
~AB
m
~AB
и
n
Ac ■
n
AC
равно a.
Умножив равенство BC^ = AB^ + AC2, которое истинно в соответствии с теоремой Пифагора, на a2, получим:
a2BC2 = a2AB2 + a2AC2.
Но a2BC2 = l2, a2AB2 = m2, a2AC2 = n2. Поэтому
l2 = m2 + n2.
fy 1. Какое свойство имеют острые углы прямоугольного треуголь-• ника?
2. Какое свойство имеет катет прямоугольного треугольника, лежащий против острого угла в 30° ?
3. Какое свойство имеет угол прямоугольного треугольника, который лежит против катета, равного половине гипотенузы?
4. Каким равенством связаны гипотенуза и катеты прямоугольного треугольника?
5. Какое число называют средним арифметическим двух чисел?
6. Какое число называют средним геометрическим, или средним пропорциональным, двух неотрицательных чисел?
7. Какое свойство имеет высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе?
8. Какое свойство имеет катет прямоугольного треугольника?
9. Сформулируйте известные вам признаки прямоугольного треугольника.
263
Правообладатель Народная асвета
914. Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел:
а) 2 и 8;
б) 6 и 24;
в) 63 и 7;
г) 21 и 84;
д) 15 и 19;
е) 16 и 48;
ж) -| и 1,2;
з) 11 и 2.
/о о
д) 11 и 17;
е) ^/3 и 3/2.
2 3
915. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, учитывая, что его катеты равны:
а) 8 см и 15 см; в) 16 дм и 63 дм;
б) 12 м и 35 м; г) 5 и 7;
916. Найдите катет прямоугольного треугольника, учитывая, что его второй катет и гипотенуза соответственно равны:
а) 12 см и 13 см; в) 9 дм и 41 дм; д) 7 и 18;
б) 7 м и 25 м; г) 4,/^ и ^Л; е) 13 и 17.
917. Найдите длину отрезка RS, учитывая, что:
а) R(7; -3); S(10; 1); г) R(5; 13); S(17; 40);
б) R(-5; -12); S(6; 48); д) R(-1; 3); S(3; -1);
в) R(-5; -2); S(0; 10); е) R(9; 10); S(-3; 10).
918. Найдите высоту h, проведенную из вершины C прямоугольного треугольника ABC, и отрезки и c2, на которые основание D высоты разделяет гипотенузу (рис. 401), учитывая, что катеты a и b равны соответственно:
а) 15 и 20; б) 8 и 15; в) 7 и 24; г) 21 и 72.
Рис. 401
919. Найдите высоту h, проведенную из вершины C прямоугольного треугольника ABC, и отрезки е^ и е2, на которые основание D высоты разделяет гипотенузу (см. рис. 401), учитывая, что катет a и гипотенуза е соответственно равны: а) 6 и 10; б) 9 и 41; в) 55 и 73; г) 11 и 61.
264
Правообладатель Народная асвета
920. С учетом обозначений, приведенных на рисунке 401, найдите значения отсутствующих в таблице величин.
a b с С1 С2 h
а) 5 10
б) 9 15
в) 21 29
г) 3 1,8
д) 5 1^^ 13
е) 6 4,8
ж) 75 80
з) 2
и) 31 3 2
к) 20 2
л) 169 25
м) 25 6,72
н) 64 225
о) З^1 41 8^2 41
п) 1323 29 14^ 29
р) 40 З^1 41
921. Докажите, что если катеты прямоугольного треугольника равны a и b, гипотенуза — с, высота, проведенная к гипотенузе, — h, то истинно равенство ab = ch.
922. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5 : 7, а гипотенуза равна 222 мм. Найдите отрезки гипотенузы, на которые она разделяется высотой треугольника, проведенной из вершины прямого угла.
923. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а из отрезков гипотенузы, на которые она разделяется высотой треугольника, проведенной из вершины прямого угла, один меньше другого на 70 мм. Найдите стороны треугольника.
265
Правообладатель Народная асвета
924. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 8 : 15. Определите отрезки гипотенузы, на которые она разделяется высотой треугольника, проведенной из вершины прямого угла, учитывая, что эта высота равна 204 см.
925. Докажите, что отношение квадратов катетов прямоугольного треугольника равно отношению их проекций на гипотенузу.
926. Найдите тройки (a, b, c) последовательных натуральных чисел, которые выражают стороны прямоугольного треугольника.
927. Найдите расстояние от точки внутри прямого угла до его вершины, учитывая, что она удалена от сторон угла на:
а) 12 см и 35 см; б) a и b.
928. Найдите диагональ прямоугольника, измерения которого равны 60 мм и 91 мм.
929. Найдите радиус окружности, которой принадлежат все вершины прямоугольника (рис. 402) со сторонами a и b.
930. Найдите стороны прямоугольника, все вершины которого принадлежат окружности с радиусом 50 мм, учитывая, что измерения прямоугольника относятся как 7 : 24.
931. Катеты прямоугольного треугольника равны 14 и 48. Найдите радиус окружности, проходящей через вершины треугольника.
932. Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите его медиану, проведенную к гипотенузе.
933. Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 48. Найдите его медианы.
934. Высоты треугольников, на которые разделяет данный прямоугольный треугольник высота, проведенная из вершины прямого угла, равны 8 и 15. Найдите:
а) высоту данного треугольника;
б) стороны данного треугольника.
266
Правообладатель Народная асвета
935. Биссектрисы меньших углов треугольников, на которые разделяет данный прямоугольный треугольник высота, проведенные из вершины прямого угла, равны 1 и 2. Найдите:
а) биссектрису меньшего угла данного треугольника;
б) стороны данного треугольника.
936. Точки P, Q, R и S выбраны в одной плоскости так, что PQ = QR = 25, PS = RS = 39, PR = 30. Найдите отрезок QS.
937. Точки M, N, O и P выбраны в одной плоскости
так, что MO = NP = OP = 5, MN MP = ^/5. Найдите
отрезок NO.
938. Отношение меньшего катета прямоугольного треугольника ABC к его гипотенузе равно 0,5. Найдите отношение большего катета к меньшему в треугольнике A1B1C1, подобном треугольнику ABC.
939. Отношение катетов NM и NQ прямоугольного треугольника NMQ равно 2. Треугольник N1M1Q1 с прямым углом N1 подобен треугольнику NMQ. Найдите отношение:
M1Q1 ;
N1M1 ;
^^1Q1
а) N1M1 ; N1Q1 ; в) N1Q1 . N1M1 ; д)
б) N1M1 ; г) N1Q1 . е)
M^1Q1 Q1M^1
N1Q1
940. Решите уравнение:
а) yj2x - 1 = 3; в) V3x + 1 = 5;
б) л/3 - 2х = 3; г) V-3 - 2х = 5.
941. Напишите уравнение прямой, изображенной на рисунке 403. Составьте таблицу значений соответствующей функции на промежутке [-6; 6] с шагом 1,5.
942. Постройте график функции:
а) у = х2; в) у = (х - 1)2;
б) у = х2 - 1; г) у = -2(х - 1)2.
Рис. 403
267
Правообладатель Народная асвета
943. Напишите уравнение квадратной функции, представленной на рисунке 404. Составьте таблицу ее значений на промежутке [-2; 4] с шагом 0,5.
944. Потери энергии Q в Джоулях в электрической цепи находятся по формуле Q = I^Rt, где I — сила тока в амперах, R — сопротивление цепи в Омах, t — время в секундах. Когда сила тока в цепи возросла на 10 А, то потери энергии увеличились в два раза. Определите первоначальную силу тока.
945. Отношение площадей двух кругов равно 2. Найдите радиусы кругов, учитывая, что они отличаются на 6 см.
Рис. 404
* * *
946. Запишите уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого является число V2 Wb.
947. Докажите, что при любом целом значении переменной n значение выражения п6 - п2 кратно 60.
948. Докажите, что если сумма трех простых чисел, больших b, кратна трем, то все попарные разности этих чисел кратны шести.
28. Синус и косинус углов од 0° до 180°
Мы знаем, что каждому острому углу а соответствует оп-
MX
ределенное значение отношения острого угла а:
MA
(рис. 405), т. е. синуса
sin а =
MX MA '
(1)
Если здесь рассматривать MX как расстояние от точки X на одной стороне угла до прямой, содержащей другую его сторону (рис. 406), то формулу (1) можно принять за определение синуса для углов от 0° до 180°. Именно, синус угла можно определить как отношение, первый компонент
268
Правообладатель Народная асвета
которого есть расстояние от произвольной точки M на одной стороне угла до прямой, содержащей другую его сторону, а второй компонент — расстояние от точки M до вершины угла (рис. 406).
При таком определении синус тупого угла а равен синусу смежного с ним острого угла.
Если угол а является прямым (рис. 407), то MX = AM, и поэтому синус пря^мого угла равен 1.
Если угол а равен 0° или 180°, то перпендикуляр MX превращается в точку, значит, MX = 0. Поэтому
sin 0° = sin 180° = = 0.
MA
Поскольку синусы смежных углов равны, то для любого острого Рис. 407
угла а верно равенство
sin (180° - а) = sin а.
Это равенство позволяет найти синусы некоторых тупых углов: sin 120° = sin (180° - 60°) = sin 60° =
sin 135° = sin (180° - 45°) = sin 45° = ^;
sin 150° = sin (180° - 30°) = sin 30° = i.
Результаты вычислений сведем в таблицу.
Угол а, ° 0 30 45 60 90 120 135 150 180
Синус угла а 0 1 2 ^/2 2 2 1 ^/3 2 42 2 1 2 0
Теперь можно обосновать некоторые свойства синуса.
269
Правообладатель Народная асвета
Рис. 409
Синус любого угла не больше единицы: sin а < 1.
Это следует из того, что длина перпендикуляра к прямой не больше длины другого отрезка от той же точки до любой точки прямой.
Если угол возрастает от 0° до 90°, то синус возрастает от 0 до 1.
Действительно, пусть AOB — острый угол величиной а (рис. 408). На одной из его сторон, например OB, выберем точку M на расстоянии 1 от вершины O. Из точки M опустим перпендикуляр MX на другую сторону OA. Тогда длина этого перпендикуляра есть sin а.
При возрастании угла а от 0° до 90° отрезок OA поворачивается вокруг точки O от положения OM1 на луче OA до положения OM2 на луче OB (рис. 409). При этом точка M прорисовывает четверть окружности, а длина отрезка MX, это значит sin а, возрастает от 0 до 1.
Если угол возрастает от 90° до 180°, то синус убывает от 1 до 0.
Действительно, если тупой угол возрастает от 90° до 180°, то смежный с ним угол убывает от 90° до 0°, а это, по предыдущему свойству, означает, что синус такого угла убывает от 1 до 0.
Наглядно изменение синуса тупого угла при возрастании угла от 90° до 180° можно проследить по рисунку 410.
270
Правообладатель Народная асвета
Рис. 411
Величина острого угла определяется его синусом, это означает, что по синусу острого угла можно найти сам угол.
Величина тупого угла также определяется его синусом. А если известен только синус угла и неизвестно, какой это угол — острый или тупой, то величина угла не определяется однозначно. Например, если известно, что /2
sin а = -^, то сам угол а равен или 45°, или 135°.
Напомним, что каждому острому углу а соответствует оп-
AX
Рис. 412
ределенное значение отношения острого угла а:
cos а =
AM
AX AM '
(рис. 411), т. е. косинус
(2)
Понятию косинуса можно дать такое практическое объяснение. Проследим за движением маятника метронома (рис. 412), который колеблется, отклоняясь от вертикали то в одну, то в другую сторону. На рисунке 413 стрелкой AM условно показан маятник метронома, через неподвижную точку A которого проведена горизонтальная прямая х. Каждому отклонению маятника AM от вертикали соответствует определенная его проекция AX на прямую х (рис. 414). Вместе с этим длина отрезка AX не определяет однозначно положения
М
М
/
Рис. 413
А.
А X
Рис. 414
271
Правообладатель Народная асвета
м.
А.
Рис. 415
маятника. Например, положения маятника, показанные на рисунках 415 и 416, различны, хотя проекции их на прямую x равны. Однако если прямую x сделать координатной прямой, то точки Х1 и Х2 получат различные координаты, которые уже однозначно определяют положения маятника. Это позволяет следующим образом определить косинус для всех углов из промежутка [0°; 180°].
cos а = < -
AX
AM
AX
, если угол a не больше прямого (рис. 417 и 418),
AM
, если угол a тупой или развернутый (рис. 419 и 420).
Mi
Рис. 417
а
А(Х)
Рис. 418
а
Рис. 419
М(Х) А
Рис. 420
Если а = 0°, то AX = AM, поэтому cos 0° = 1.
Если угол а прямой, то AX = 0, поэтому cos 90° = 0.
Если угол а развернутый, то AX = AM, поэтому cos 180°
AX = - AM = -1 ~ AM = AM = .
Обоснуем некоторые свойства косинуса.
272
Правообладатель Народная асвета
Если углы смежные, то их косинусы противоположны. Пусть угол DAB смежный с углом CAB (рис. 421). Из произвольной точки M общей стороны AB этих углов опустим перпендикуляр MX на другую сторону острого угла CAB. Тогда, по определению косинуса, можем записать:
cos CAB =
AX
; cos DAB = —
AX
AM" AM
Утверждение истинно и для прямых углов, так как их косинусы равны нулю.
Значит,
cos (180° — а) = — cos а.
Найдем косинусы некоторых углов.
Имеем:
cos 30° = = sin (90° — 30°) = sin 60° = n/3. 2 ;
cos 45° = = sin (90° — 45°) = sin 45° = s/2. 2 ;
cos 60° = = sin (90° — 60°) = sin 30° = 1. 2;
cos 120° = cos (180' ° — 60°) = — cos 60° = 1. 2;
cos 135° = cos (180' ° — 45°) = — cos 45° = Ж 2
cos 150° = cos (180' ° — 30°) = — cos 30° = s 2
Результаты вычислений сведем в таблицу.
Угол а, ° 0 30 45 60 90 120 135 150 180
Косинус угла а 1 s 2 2 1 2 0 1 2 2 s 2 —1
Формула sin2 а + cos2 а = 1 верна для любых углов а от 0° до 180°.
Эта формула доказана для острых углов. Пусть теперь угол а — тупой ив — смежный с ним угол. Тогда sin а = sin (180° — в) = sin в, cos а = cos (180° — в) = —cos в и
sin2 а + cos2 а = (sin в)2 + (—cos в)2 = sin2 в + cos2 в = 1.
273
Правообладатель Народная асвета
Если а = 90°, то sin 90° = 1, cos 90° = 0. Значит, sin2 а + cos2 а = 12 + 02 = 1.
Если а = 0°, то sin 0° = 0, cos 0° = 1. Значит, sin2 а + cos2 а = 02 + 12 = 1.
Если а = 180°, то sin 180° = 0, cos 180° = -1. Значит, sin2 а + cos2 а = 02 + (-1)2 = 1.
Косинус любого угла не меньше -1 и не больше 1,
-1 < cos а < 1.
Если угол возрастает от 0° до 180°, то косинус убывает от 1 до -1.
Докажем это. Пусть AOB — угол величиной а (рис. 422 и 423). На одной из его сторон, например OB, выберем точку M, отстоящую от вершины O на 1. Из точки M опустим перпендикуляр MX на другую сторону OA. На прямой OA зададим систему координат с началом O и единичным отрезком, равным OM. Пусть точки R и S имеют соответственно координаты 1 и -1. Тогда координата точки X есть cos а.
При возрастании угла а от 0° до 180° отрезок OM поворачивается вокруг точки O от положения OR на луче OA до положения OS. При этом точка M прорисовывает полуокружность, а точка X пробегает отрезок RS от точки R до точки S. Это означает, что координата x точки X, иначе cos а, убывает от 1 до -1.
Величина угла определяется его косинусом, т. е. по косинусу угла можно найти сам угол.
Например, если известно, что cos а = то сам угол а
n/2 2
равен 45°, а если cos а = —то сам угол а равен 135°.
274
Правообладатель Народная асвета
I. Отношение каких расстояний называют синусом угла?
• 2. Как определяется синус тупого угла?
3. Как определяется синус прямого угла; развернутого угла; нулевого угла?
4. Как синус угла связан с отвесностью подъема или спуска?
5. Какой зависимостью связаны высота подъема и пройденный путь?
6. Какой смысл имеет синус острого угла прямоугольного треугольника?
7. Чему равен синус 30°; 45°; 60°; 90°; 120°; 135°; 150°; 180°?
8. Сформулируйте свойства синуса.
9. Как определяется косинус угла, не большего 90° ?
10. Как связаны косинусы смежных углов?
II. Какой зависимостью связаны синус и косинус одного угла?
12. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?
13. Чему равен косинус 0°; 30°; 45°; 60°; 90°; 120°; 135°; 150°; 180°?
14. Сформулируйте свойства косинуса.
949. Постройте полуокружность с центром O и диаметром PQ, равным 2. Найдите такие точки X этой окружности, что:
а) sin Z XOP = i; в) sin Z XOP > ^;
б) sin Z XOP < i;
г) 1 < sin Z XOP < i. ^ 4 2
950. Докажите, что:
а) синус одного из углов треугольника равен синусу суммы двух других его углов;
б) сумма синусов острых углов прямоугольного треугольника больше 1, но меньше 2.
951. Запишите по возрастанию значений выражения:
а) sin 10°; sin 70°; sin 50°; г) sin 42°; sin 130°; sin 57°;
б) sin 36°; sin 64°; sin 140°; д) sin 61°; sin 117°; sin 173°;
в) sin 115°; sin 170°; sin 42°; е) sin 89°; sin 178°; sin 1°.
952. Укажите истинные утверждения:
а) если углы равны, то их синусы также равны;
б) если синусы углов равны, то и сами углы равны;
в) если углы не равны, то их синусы также не равны;
г) если синусы углов не равны, то и сами углы не равны;
д) если первый угол больше второго, то и синус первого угла больше синуса второго;
е) если синус первого угла больше синуса второго, то и первый угол больше второго.
275
Правообладатель Народная асвета
953. Найдите значение выражения:
а) sin 45° + sin 60°;
б) sin 45° - sin 60°;
в) sin 45° : sin 60°;
г) sin 45° • sin 60°;
д) л/2 • sin 45°;
е) л/3 • sin 60°;
ж) (sin 60°)4;
з) (sin 45°)6;
и) sin 45° : sin 135°;
к) sin 45° • sin 135°;
л) sin 120° : sin 60°;
м) sin 120° - sin 60°.
954. Найдите значение выражения:
а) (sin 30° • sin 60°)2; д) (sin 180° - sin 30°)10;
б) (sin 120° + sin 150°)2; е) (sin 0° • sin 90°)21;
в) (sin 135° : sin 45°)4; ж) (sin 180° : sin 135°)11;
г) (sin 90° - sin 150°)5; з) (sin 45° : sin 180°)3.
955. Найдите значение выражения:
а) sin 91°; в) sin 121°; д) sin 99°; ж) sin 178°;
б) sin 103°; г) sin 147°; е) sin 167°; з) sin 130°.
956. Найдите острый угол, синус которого равен:
а) 0,1736; в) 0,6561; д) 0,0175;
б) 0,9703; г) 0,9945; е) 0,4384.
957. Найдите тупой угол, синус которого равен:
а) 0,9848; в) 0,3507; д) 0,9272;
б) 0,7386; г) 0,6157; е) 0,0523.
958. Найдите углы, синус которых равен:
а) 0,2233; в) 0,7982; д) 0,4725;
б) 0,3241; г) 0,2340; е) 0,9981.
959. Проекция отрезка m на прямую a равна ш^. Угол между прямой a и прямой, содержащей отрезок m, равен а (рис. 424). Запишите зависимость:
а) переменной m1 от переменных m и а;
б) переменной m от переменных m1 и а;
в) переменной а от переменных m и m1.
276
Правообладатель Народная асвета
960. Проекция отрезка m на прямую a равна (см. рис. 424). Угол между прямой a и прямой, содержащей отрезок ш, равен а. Найдите те значения, которых недостает в таблице.
ш 1 1 1 1 1 1
ш^ 1 3 1 2 1 1 1 1
а 60° 50° 90° 20° 45° 30°
961. В формуле, выражающей зависимость переменной ш^ от переменных ш и а (см. рис. 424), зафиксируйте значение переменной m. Пусть значение переменной а возрастает от 0° до 90°. Как при этом ведет себя переменная ш^?
962. Определите смещения подвижного конца часовой стрелки, длина которой равна 15 см, по вертикали и по горизонтали при переходе ее из положения, которое она занимает в 12 ч, в положение, которое она занимает в:
а) 13 ч; в) 13 ч 30 мин;
б) 14 ч; г) 14 ч 45 мин.
963. Прямая a проходит через конец U отрезка UV и составляет с ним угол 5. Когда отрезок повернули на 90° вокруг точки U, он занял положение UV1, причем точки V и V1 оказались по одну сторону от прямой а. Найдите сумму проекций AB отрезков UV и UV1 на прямую а. Укажите, как изменяется длина отрезка AB при изменении угла 5 от 0° до 90°.
964. Из точки E на стороне угла A провели перпендикуляр EF к другой стороне угла, затем из точки F — перпендикуляр FG к первой стороне. Найдите синус угла A и отрезок FA, учитывая, что перпендикуляры EF и FG соответственно равны k и l.
965. Найдите косинусы углов равнобедренного треугольника, если его высоты равны ш и п.
966. Запишите по возрастанию значений выражения:
а) cos 20°; cos 80°; cos 50°; г) cos 42°; cos 140°; cos 57°;
б) cos 36°; cos 73°; cos 140°; д) cos 61°; cos 119°; cos 176°;
в) cos 105°; cos 165°; cos 31°; е) cos 88°; cos 177°; cos 2°.
277
Правообладатель Народная асвета
967. Укажите верные утверждения:
а) если углы равны, то их косинусы также равны;
б) если косинусы углов равны, то и сами углы равны;
в) если углы не равны, то их косинусы также не равны;
г) если косинусы углов не равны, то и сами углы не равны;
д) если первый угол больше второго, то и косинус первого угла больше косинуса второго;
е) если косинус первого угла больше косинуса второго, то первый угол меньше второго.
968. Начертите какой-либо угол а такой, что: а) sin а < 1 и cos а < ^; в) sin а > 1 и cos а < ^;
/ о о’' О о’
б) sin а < 1 и cos а > 1; ^ 3 3 ’
г) sin а > 1 и cos а > 1.
33
969. Докажите, что:
а) если sin а = cos в и 0° < а < 90°, то а + в = 90°;
б) если cos а = -cos в и в < 90°, то а + в = 180°.
970. Докажите, что если cos а < cos в и а и в — острые углы, то а > в. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для случая, когда:
а) а и в — тупые углы;
б) а — острый угол, а в — тупой угол.
971. Грани PMN и KMN пирамиды PKMN — равные равнобедренные треугольники с общим основанием MN (рис. 425). Медианы PQ и KQ граней PMN и KMN перпендикулярны. Найдите площадь поверхности пирамиды, учитывая, что ребро MN и угол PMN соответственно равны b и а.
К
972. Найдите значение выражения:
а) cos 108°; в) cos 130°; д) cos 98°;
б) cos 110°; г) cos 152°; е) cos 170°
278
Правообладатель Народная асвета
973. С точностью до трех значащих цифр найдите значение выражения:
а) cos 33° + cos 159°; г) cos 72° : cos 79°;
б) cos 15° - cos 44°; д) Vl3 : cos 77°;
в) cos 19° • cos 23°; е) cos 50° - V3.
974. Найдите угол, косинус которого равен:
а) 0,0193; в) 0,6656; д) - 0,7712;
б) - 0,4713; г) - 0,4300; е) - 0,9110.
975. Докажите, что формулы sin (180° - а) = sin а и cos (180° - а) = -cos а истинны для любых углов а из промежутка [0°; 180°].
976. Прямая, проходящая через точку A на стороне MN треугольника MNP параллельно стороне MP, пересекает сторону NP в точке B. Найдите:
а) сторону MP, учитывая, что MA = 3 см, AB = 7 см, AN = = 5 см;
б) сторону MN, учитывая, что MA = 40 мм, MP = 80 мм, AB = 60 мм.
977. Биссектриса одного из углов параллелограмма разделяет одну из его сторон на отрезки, равные 8 см и 15 см. Найдите возможные значения периметра параллелограмма.
978. Периметр параллелограмма ABCD равен 28 дм и отличается от периметра треугольника ABD на 8 дм. Найдите стороны параллелограмма и его диагональ BD, учитывая, что высота, проведенная из вершины B, разделяет сторону AD пополам.
979. Суммарная масса двух кусков латуни равна 30 кг, причем в первом из них меди 13 кг, во втором — 8 кг. Найдите процентное содержание меди в каждом из кусков, учитывая, что во втором куске оно на 15 процентных пунктов больше.
980. Два дачных участка вместе занимают площадь в 16 а. На первом из них картофелем занято 5 а, на втором —
4,5 а. Определите, сколько процентов каждого участка занято картофелем, учитывая, что этот показатель больше для второго участка на 25 процентных пунктов.
279
Правообладатель Народная асвета
981. Сократите дробь:
а)
б)
е2 + е - 12 , е2 + 8 е + 16 '
d2 + 5d + 6
в)
г)
4 e2 + 12 e + 9; 2 e2 - e - 6 ’
f3 + f2 - f - 1 f2 + 2f + 1 '
982. Докажите, что сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2.
983. Докажите, что произведение суммы трех положительных чисел и суммы чисел, им обратных, не меньше 9.
* * *
984. Есть число 215 673 826 950 631. Его умножают на 6 и в полученном произведении вычеркивают цифру десятков в каком-либо классе. С новым числом поступают так же, пока не получится однозначное число. Каким может быть это однозначное число?
985. Около вершин куба записаны числа от 1 до 8. На каждом ребре записывается модуль разности чисел, записанных на его концах. Может ли сумма чисел, записанных на
ребрах, быть равной: а) 48; б) 49?
986. Есть два квадрата (рис. 426). Покажите, что больший из них можно разрезать на 4 такие доли, чтобы из пяти полученных фигур сложить Рис. 426 новый квадрат.
29. Тангенс и котангенс углов от 0° до 180°
Как и для острых углов, тангенсом угла называется отношение синуса этого угла к его косинусу:
sin а
tg а =
cos а
Из этого определения следует, что тангенс п^рямого угла
пгко f\ sin 90°
не существует, так как cos 90° = 0, и отношение ------- не
имеет значения.
cos 90
tg 120
= sin120° =S 1 \ = ^f3;
cos120
280
Правообладатель Народная асвета
tg 135° = tg 150° =
sin135° = ^ j = -i.
cos135
sin 150° = 1 . \ = _ 1 = \[3 .
cos 150° ^ V ^ ^/з 3 ’
sin 180°
tg 180° =
= -^ = 0.
_1
cos180
Результаты вычислений сведем в таблицу.
Угол а, ° 0 30 45 60 90 120 135 150 180
Тангенс угла а 0 43 3 1 4~3 Не суще- ствует _4~3 _1 43 3 0
Обоснуем некоторые свойства тангенса.
Если угол возрастает от 0° до 90°, то его тангенс возрастает от 0 до бесконечности.
Чтобы доказать это, рассмотрим прямоугольный треугольник KLM с прямым углом L и катетом KL, равным единице (рис. 427). Тогда
tg а = LM = LM = LM,
^ KL 1 ’
Рис. 427
т. е. тангенс угла равен противолежащему катету прямоугольного треугольника, в котором прилежащий катет равен единице. Если угол а увеличивается от 0° до 90°, то катет LM увеличивается от 0 до бесконечности.
Если угол возрастает от 90° до 180°, то его тангенс возрастает от минус бесконечности до нуля.
Обоснуйте это свойство самостоятельно.
Величина угла определяется его тангенсом, т. е. по значению тангенса угла можно найти сам угол.
Например, если известно, что tg а = ^/3, то сам угол а равен 60°, если tg а = _ ^/3, то угол а равен 120°.
Обоснуйте сами, что
tg (180° _ а) = _tg а,
если а — угол из промежутка [0°; 90°) или из промежутка (90°; 180°].
281
Правообладатель Народная асвета
Рассматривают также и отношение косинуса угла к его синусу, которое называют котангенсом угла.
Котангенс угла а обозначается ctg а. Таким образом, по определению
^ . cos а
ctg а =---.
Котангенс нулевого и развернутого углов не существует,
так как sin 0° = 0 и sin 180° = 0, и отношения
cos 0 sin 0°
и
cos 180“ sin 180°
не имеют значения.
Теорема 15. Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему.
Доказательство. Выразим котангенс острого угла C прямоугольного треугольника CDE через его стороны (рис. 428). Имеем:
sin C = DE; cos C = .
C^ CD
Поэтому
ctg C = ^°s C = CE : DE = CE
g sin C CD ■ CD DE '
Таким образом, котангенс острого угла C прямоугольного треугольника CDE равен отношению прилежащего катета CE к противолежащему катету DE.
Теорема 16. Тангенс и котангенс одного и того же угла а связаны соотношением
tg а • ctg а = 1.
Доказательство. По определению
sin а cos а
tg а =---- и ctg а =---.
cos а sin а
sin а cos а
Поэтому
tg а • ctg а =
= 1.
cos а sin а
Доказанное равенство позволяет по значению тангенса находить значение котангенса того же угла. Используя это, получим таблицу значений котангенса для некоторых углов.
Угол а, ° 0 30 45 60 90 120 135 150 180
Котангенс угла а Не суще- ствует Vi 1 V3 3 0 V3 3 -1 W3 Не суще- ствует
282
Правообладатель Народная асвета
Равенство ctg а =
1
tg а
позволяет по свойствам тангенса
сформулировать свойства котангенса.
Если угол возрастает от 0° до 180°, то его котангенс убывает от плюс бесконечности (+^) до минус бесконечности (-^).
Величина угла определяется его котангенсом, т. е. по значению котангенса угла можно найти сам угол.
Например, если известно, что ctg а = V3, то сам угол а равен 30°, если ctg а = - то угол а равен 150°.
Для углов, больших 90°, пользуются формулой
ctg а = -ctg (180° - а).
С помощью калькулятора находим:
ctg 33° = 1,540; ctg 89° = 0,01746;
ctg 109° = -ctg (180° - 109°) = -ctg 71° = -3,443.
С помощью калькулятора или по таблицам решают и обратную задачу.
I. Как определяется тангенс угла?
• 2. Какой смысл имеет тангенс острого угла прямоугольного треуголь-
ника?
3. Чему равен тангенс угла в 0°; 30°; 45°; 60°; 120°; 135°; 150°; 180°?
4. Сформулируйте свойства тангенса.
5. Как найти тангенс данного угла?
6. Как определяется котангенс угла?
7. Какой смысл имеет котангенс острого угла прямоугольного треугольника?
8. Каким соотношением связаны тангенс и котангенс одного угла?
9. Чему равен котангенс угла в 30°; 45°; 60°; 90°; 120°; 135°; 150°?
10. Сформулируйте свойства котангенса.
II. Как найти котангенс данного угла?
12. Как найти угол по его котангенсу?
987. Докажите, что для смежных углов истинны равенства:
а) tg (180° - а) = -tg а;
б) ctg (180° - а) = -ctg а.
988. Докажите, что для углов а и 90° - а, дополняющих друг друга до 90°, истинны равенства:
а) tg (90° - а) = ctg а;
б) ctg (90° - а) = tg а.
283
Правообладатель Народная асвета
989. Найдите котангенсы углов и сами углы треугольника по данным, приведенным на рисунке:
а) 429; б) 430; в) 431.
Рис. 429
Рис. 431
990. Найдите котангенс угла, учитывая, что его тангенс равен:
а) 2; б) 13; в) -1; г) J3; д) - 3; е) а.
991. Найдите тангенс угла, учитывая, что его котангенс равен:
а) 1; б) -^; в) -110; г) 0,2; д) -L; е) -а.
3
3
V2’
992. Определите, могут ли тангенс и котангенс одного угла быть равными соответственно:
а) -1 и 2; в) 5 и 0,2;
д) 40 и 0,25;
б) и -2; г) V и ^/2; е) ч/3 -J9. и —^—■
2
6
993. Определите, при каких значениях переменной а тангенс и котангенс соответственно равны:
1 а2 2
а) а и —; б) а и 2а; в) а и -а; г) — и —.
^ 4 а
994. Расстояния от точки X до двух взаимно перпендикулярных прямых тип соответственно равны а и b, а от
284
Правообладатель Народная асвета
точки Y до этих прямых — соответственно c и d. Найдите угол между прямой XY и прямой:
а) т; б) п.
995. Диагонали CE и DF прямоугольной трапеции CDEF с прямым углом C перпендикулярны. Докажите, что
KE = KD_ KD KC
KC
KF
, где K — точка пересечения диагоналей.
996. Запишите по возрастанию значений выражения:
а) tg 10°; tg 70°; tg 50°; г) tg 142°; tg 130°; tg 157°;
б) tg 36°; tg 64°; tg 140°; д) tg 61°; tg 117°; tg 173°;
в) tg 115°; tg 170°; tg 42°; е) tg 89°; tg 179°; tg 1°.
997. Запишите по возрастанию значений выражения:
а) ctg 10°; ctg 70°; ctg 50°; г) ctg 142°; ctg 130°; ctg 157°;
б) ctg 36°; ctg 64°; ctg 140°; д) ctg 61°; ctg 117°; ctg 173°;
в) ctg 115°; ctg 170°; ctg 42°; е) ctg 89°; ctg 179°; ctg 1°.
998. Укажите верные утверждения:
а) если углы равны, то их тангенсы также равны;
б) если тангенсы углов равны, то и сами углы равны;
в) если углы не равны, то их тангенсы также не равны.
999. Укажите верные утверждения:
а) если котангенсы углов не равны, то и сами углы не равны;
б) если первый угол больше второго, то и котангенс первого угла больше котангенса второго;
в) если котангенс первого угла больше котангенса второго, то первый угол меньше второго.
1000. Начертите угол а такой, что:
а) tg а =
3’
б) tg а < - -3;
в) tg а > 4;
г) 1 < tg а < 2.
1001. Начертите угол а такой, что:
а) tg а = - 0,5;
б) tg а > -5;
в) tg а < 0,75;
г) -2 < tg а < -1.
285
Правообладатель Народная асвета
Рис. 432
1002. Точки и ©! — середины противоположных сторон NO и MP параллелограмма MNOP (рис. 432). Докажите, что прямые ММ^ и OOi разделяют диагональ NP на три доли.
1003. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник, стороны которого относятся как 2 : 5. Найдите эти стороны, учитывая, что:
а) гипотенуза равна 63 см и на ней находится одна вершина прямоугольника;
б) гипотенуза равна 72 см и на ней находятся две вершины прямоугольника.
1004. Треугольник TUV задан координатами своих вершин (рис. 433). Найдите:
а) стороны треугольника;
б) площадь треугольника;
в) высоты треугольника;
г) медианы треугольника;
д) площадь треугольника, образованного средними линиями;
е) уравнения прямых, проходящих через стороны треугольника;
ж) уравнения медиан треугольника;
з) уравнения средних линий треугольника.
Рис. 433
1005. Докажите, что количество диагоналей выпуклого n(n - 3)
n-угольника равно
2
1006. Найдите многоугольник, количество диагоналей которого равно:
а) 35; б) 9; в) 12; г) количеству сторон.
1007. Разложите на множители трехчлен:
а) X2 + 7х + 10; в) 2а2 + 3а - 6,48;
б) 22 + 3z - 108; г) 30Ь2 + 37b + 10.
286
Правообладатель Народная асвета
1008. Постройте треугольник, подобный данному треугольнику XYZ (рис. 434), с периметром, равным длине данного отрезка AB (рис. 435).
Рис. 434
Рис. 435
1009. Найдите множество всех точек, расстояния которых до сторон данного угла относятся как:
а) 1 : 2; б) k ■ l.
1010. Через точку M внутри угла A проведите прямую так, чтобы точка M разделяла отрезок этой прямой, заключенный между сторонами угла, в отношении:
а) 4 : 7; б) k ■ l.
1011. Найдите такую точку треугольника, расстояния которой до сторон относятся как:
а) 1 : 2 : 3; б) k '■ l '■ m.
1012. В данный сегмент впишите квадрат так, чтобы одна его сторона лежала на хорде, а две вершины — на дуге.
1013. В данный треугольник впишите прямоугольник, стороны которого относятся как:
а) 3 : 4; б) k ■ l.
1014. Найдите площадь трапеции, у которой основания равны 20 см и 32 см, а боковые стороны — 5 см и 13 см.
1015. Найдите площадь трапеции, у которой основания равны 12 дм и 72 дм, а диагонали — 85 дм и 13 дм.
1016. Основания прямоугольной трапеции и один из ее углов равны соответственно а, b и а. Найдите периметр и площадь трапеции, учитывая, что:
а) а = 6 см, b = 8 см, а = 60°;
б) а = 12 дм, b = 8 дм, а = 30°;
в) а = 4 м, b = 8 м, а = 45°;
г) а = 40 мм, b = 90 мм, а = 120°.
287
Правообладатель Народная асвета
1017. Найдите координаты точки пересечения графиков зависимостей:
а) 2а + m = 5 и a - m = 1;
б) c + n = 12 и 2c - n = 0;
в) 2x + 3z = 9 и z - 3 = 0;
г) 6k - 2x = 1 и 9k - 2x = -5.
1018. График линейной функции пересекает ось абсцисс в точке K (4; 0), а ось ординат — в точке L (0; 11). Запишите уравнение, задающее эту функцию.
* * *
1019. Определите, сколько есть трехзначных чисел, из каждого из которых после приписывания справа одной цифры получается четырехзначное число, кратное 17.
1020. В футбольном турнире с 20 командами сыграно 8 туров: каждая команда сыграла с восемью другими. Докажите, что есть 3 команды, которые пока что не сыграли между собой ни одного матча.
1021. Есть два прямоугольных треугольника с общим прямым углом O (рис. 436). Докажите, что если медиана OO1,
р проведенная к гипотенузе PQ одного тре-
угольника, перпендикулярна гипотенузе QR другого треугольника, то медиана OO2, проведенная к гипотенузе QR другого треугольника, перпендикулярна гипотенузе PQ первого треугольника.
1022. На тренировке Алесь и Михась должны пробежать определенную дистанцию, для чего Алесю нужно сделать 20 кругов по одной дорожке, а Михасю — 18 кругов по другой. Они стартовали одновременно, и в момент, когда Михась пробежал 12 кругов, Алесь был в 150 м от места своего старта. Определите длину дистанции, учитывая, что мальчики бежали с одинаковыми скоростями.
1023. С помощью цифр 1, 5, 9 записали семизначное число. Какой остаток оно может дать при делении на 4?
1024. Пусть стороны треугольника ABC таковы, что AB > BC ^ AC. Докажите, что если M — произвольная внутренняя точка этого треугольника, то MA + MB + MC > > AB + BC.
288
Рис. 436
Правообладатель Народная асвета
30. Свойства и применения синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Мы знаем, что синус, косинус, тангенс, котангенс зависят только от величины угла. Говорят, что это функции угла. При изменении угла а от 0° до 180° изменение функций, значениями которых являются значения выражений sin а, cos а, tg а, ctg а, наглядно видно из графиков, приведенных на рисунках 437, 438, 439, 440.
Рис. 439
Правообладатель Народная асвета
Зависимости, задаваемые формулами у = sin а, у = cos а,
у = tg а, у = ctg а, называют тригонометрическими функциями.
Тригонометрические функции связаны между собой.
Теорема 17. Тригонометрические функции одного
аргумента связаны равенствами:
, sin а
tg а =----;
. cos а
ctg а =----;
sin а
• 2 2-й
sin2 а + cos2 а = 1; tg а • ctg а = 1;
1 + tg2 а =
1
2 9
cos а
1 + ctg2 а = —^2—.
sin2 а
Доказательство. Два первых тождества являются определениями, два следующих тождества уже доказаны. Докажем пятое тождество.
Разделим обе части тождества sin2 а + cos2 а = 1 на cos2 а:
■ 2 2
sin а cos а
---^ ^
= —1^, или 1 + tg2 а = —12
Аналогично доказывается шестое тождество.
Теорема 18. Для тригонометрических функций верны следующие формулы приведения:
sin (180° - а) = sin а; cos (180° - а) = - cos а; tg (180° - а) = -tg а; ctg (180° - а) = - ctg а;
sin (90° - а) = cos а; cos (90° - а) = sin а; tg (90° - а) = ctg а; ctg (90° - а) = tg а;
sin (90° + а) = cos а; cos (90° + а) = -sin а; tg (90° + а) = - ctg а; ctg (90° + а) = -tg а.
Доказательство. Тождества
sin (180° - а) = sin а, cos (180° - а) = -cos а, tg (180° - а) = -tg а, ctg (180° - а) = -ctg а, sin (90° - а) = cos а, cos (90° - а) = sin а доказаны ранее.
Тождество tg (90° - а) = ctg а доказывается так:
sin(90° -а^ _ c
tg (90° - а) =
290
cos(90°-а) sin а
= ctg а.
Правообладатель Народная асвета
Так же доказывается тождество ctg (90° - а) = tg а.
Тождество sin (90° + а) = cos а можно доказать так:
(1) (2) sin (90° + а) = sin (180° - (90° + а)) =
(3)
= sin (180° - 90° - а) =
(4)
= sin (90° - а) = cos а.
Переход (1) выполнен на основании тождества sin в = = sin (180° - в) для значения в, равного 90° + а, переход (2) заключался в раскрытии скобок, при переходе (3) выполнено приведение подобных, при переходе (4) использовано тождество sin (90° - а) = cos а.
Тождества
cos (90° + а) = -sin а, tg (90° + а) = -ctg а, ctg (90° + а) = -tg а доказываются аналогичными преобразованиями.
Теорема 19. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними:
8^ = 1 a • b • sin Y.
Доказательство. Пусть стороны CB и CA и угол C треугольника ABC соответственно равны а, b и у (рис. 441). Из вершины B проведем высоту BB1. Мы знаем, что
Sa = - CA • BB1.
л 2 1
Из треугольника CBB1 находим,
BB!
что sin C = . Поэтому
BB1 = CB • sin C.
Значит,
Sa = 1 CA • CB • sin C,
или
Sa = — a • b • sin у.
Установленные соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника дают возможность решать прямоугольные треугольники, т. е. по определенному набору элементов прямоугольного треугольника находить другие его элементы. Рассмотрим некоторые задачи на решение прямоугольных треугольников.
291
Правообладатель Народная асвета
Задача 1. Известны гипотенуза и один из острых углов прямоугольного треугольника. Найдем другие элементы этого треугольника.
Пусть гипотенуза AB прямоугольного треугольника A^C равна с, а его острый угол A равен а (рис. 442). Можно
сразу найти другой острый угол:
Z B = 90° - а.
Если а = 31°, то Z B = 90° - 31° = 59°.
BC
Поскольку sin A = то для катета BC получим
BC = AB • sin A = с • sin а.
Если а = 31° и с = 59 мм, то
BC = 59 мм • sin 31° = 59 • 0,5150 мм = 30,385 мм « 30 мм.
Другой катет AC можно найти разными способами. Можно, используя найденный угол B, вычислить его, как и катет BC:
AC = AB • sin B = 59 мм • sin 59° = 59 • 0,8572 мм = 50,57 мм « « 51 мм.
Можно использовать косинус угла A:
AC = AB • cos A.
Можно использовать и теорему Пифагора:
AC = sJaB2 - BC2 ^592 - 302 мм = yj3481 - 900 мм =
= \/2581 мм « 50,80 мм « 51 мм.
Теперь мы знаем основные элементы треугольника — его стороны и углы. Можно найти и другие его характеристики. Найдем, например, его площадь:
S = 1 • AC • BC ~ 1 • 51 • 30 мм2 = 765 мм2.
2 2
Для высоты CC1, проведенной к гипотенузе, получим:
CC1 =
2S 2•765
мм « 25,93 мм « 26 мм.
AB 59
Найдем медиану CC2, проведенную к гипотенузе:
CC2 = 1 • AB « 1 • 59 мм « 29,5 мм.
1
2
2
292
Правообладатель Народная асвета
Найдем биссектрису CC3, проведенную к гипотенузе: Z BCC^ = 90° - Z B = 90° - 59° = 31°;
Z C1CC3 = Z BCC3 - Z BCC1 = 45° - 31° = 14°;
CC^ _ 26 26
CC3 =
мм
мм « 26,80 мм « 27 мм.
cos C1CC3 cos14^ 0,9703
Тригонометрические функции дают возможность решать практические задачи.
Задача 2. Найдем расстояние между двумя точками R и S, одна из которых R находится на берегу озера, вторая S на острове в озере (рис. 443).
Рис. 443
Рис. 444
Чтобы решить эту задачу, построим прямой угол SRA с вершиной в точке R (рис. 444). На луче RA отметим точку P, расстояние которой от точки R может быть измерено. С помощью угломера определяем угол RPS. Тогда
tg RPS = , или RS = RP • tg RPS.
^ RP’ ®
Пусть, например, RP = 200 м, Z RPS = 48°. Тогда RS = RP • tg RPS = 200 м • tg 48° * 200 • 1,111 м * 222 м.
Тригонометрические функции и их применение изучает раздел математики тригонометрия.
Тригонометрия развивалась, прежде всего, в связи с потребностями географии, астрономии, навигации. Ее элементы использовались уже в Древнем Вавилоне и Древней Греции. В специальный раздел математики тригонометрия выделилась в работах известного азербайджанского учено-го-энциклопедиста Насиреддина Туси (1201—1274). В Европе первое изложение тригонометрии сделал немецкий астроном и математик Региомонтан (1436—1476). Современное изложение тригонометрия получила в работах математика, механика и физика Л. Эйлера (1707—1783).
293
Правообладатель Народная асвета
1. Какие функции называют тригонометрическими?
• 2. Запишите тождества, связывающие между собой тригонометричес-
кие функции одного аргумента.
3. Запишите формулы приведения для тригонометрических функций.
4. Запишите известные вам формулы площади треугольника.
5. Что означает задание Решить прямоугольный треугольник?
1025. Найдите значение выражений cos а, tg а, ctg а, учитывая, что:
а) sin а = 12 и 0° < а < 90°;
^ 13 ’
б) sin а = 12 и 90° < а < 180°;
^ 13 ’
в) sin а = — и 0° < а < 90°;
^ 25 ’
г) sin а = 24 и 90° < а < 180°;
д) sin а = 5 и 0° < а < 90°;
е) sin а = и 90° < а < 180°.
^ 7
1026. Найдите значение выражений sin в, tg в, ctg в, учитывая, что:
а) cos в = 17;
б) cos в = -17;
в) cos в = - ^Ц;
г) cos в = ^41;
д) cos в = ^Ц;
е) cos в = -
Ы2 11 '
1027. Найдите значение выражений sin у, cos у, ctg у, учитывая, что:
а) tg у = ^21;
б) tg у = - 221;
в) tg Y = - Ш;
г) tg у = 212;
д) tg у = -2,4;
е) tg у =
27x0 '
1028. Найдите значение выражений sin 5, cos 5, tg 5, учитывая, что:
а) ctg 5 = - -11-;
60
в) ctg 5 = ^;
24 •
д) ctg 5 = 0,225;
2/^
б) ctg 5 = 4^4; г) ctg 5 = -бЦ-; е) ctg 5 = - 5
1029. Определите, верны ли одновременно равенства:
а) sin v = 1 и tg v = —^; б) cos s = и ctg s = -1,875;
5 v24 17
294
Правообладатель Народная асвета
в) sin а = 0,6 и ctg а = -1-3; г) ctg ср = - и tg ср = -15.
1030. Упростите выражение:
а) 1 - sin2 а; в) sin2 у - 1; д) (1 + sin Р)(1 - sin в);
е) (1 - cos|j(1 + cos I).
б) 1 - cos2 в; г) cos2 2ю - 1;
1031. Найдите cos в, учитывая, что cos4 в - sin4 в = —
1032. Учитывая, что tg а = 2, найдите значение выражения:
а)
tg а + ctg а . tg а - ctg а '
в)
2sin а + 3cos а . 3sin а- 7 cos а ’
,, sin
г)
-V sin а- cos а
б) ^----------;
sin а + cos а
1033. Докажите тождество:
а) sin4 а + sin2 а • cos2 а + cos2 а = 1;
б) sin2 в + sin2 в ■ cos2 в + cos4 в = 1;
1 - sin а cos а
в)
г)
cos а 1 + sin а ’ sin в 1 + cos в
1 - cos в sin в ’
cos а + ctg а
д) 1 + sin а =
ctg а
, sin а + tg а
е) ^---- = 1 + cos а.
а)
б)
tg а
1034. Докажите тождество:
tg р . 2 \ 1 + ctg а .
----^— = sin2 р; г) / = ctg а;
tg ф + ctg ф 1 + tg а
ctg а 2 , (sin в + cos в )2 - 1 2 г,
-----5----- = cos2 а; д) ^^—- = 2tg2 в;
tg а + ctg а ctg в - sin в ' cos в
, (sin а + cos а)2 - ^ _ , р
е) -л:-:;—_ ___ = 2ctg2 а.
в) 1 +tg вв = tg в;
1 + ctg в tg а - sin а • cos а
1035. Значением функции дополнительного угла замените значение выражения:
а) cos 55°; в) sin 12°; д) tg 9°; ж) ctg 1°;
б) cos 81°; г) sin 76°; е) tg 59°; з) ctg 79°.
1036. Найдите значение выражения:
а) tg а • tg в, учитывая, что а и в — острые углы прямоугольного треугольника;
295
Правообладатель Народная асвета
б) tg 41° • tg 42° • tg 43° • ^ • tg 48° • tg 49°;
в) ctg 5° • ctg 15° • ctg 25° • ^ • ctg 75° • ctg 85°;
г) (sin 10° + sin 20° + sin 30° + sin 40°) - (cos 50° + cos 60° +
+ cos 70° + cos 80°).
1037. Значением функции смежного угла замените значение выражения:
а) cos 55°; в) sin 12°; д) tg 29°; ж) ctg 11°;
б) cos 125°; г) sin 176°; е) tg 159°; з) ctg 169°.
1038. К значению функции угла, меньшего 45°, приведите значение выражения:
а) sin 78°; в) tg 174°; д) ctg 169°; ж) cos 69°;
б) cos 123°; г) sin 181°; е) tg 46°; з) ctg 46°.
1039. Вычислите сумму:
а) cos 20° + cos 40° + cos 60° + ^ + cos 160° + cos 180°;
б) tg 20° + tg 40° + tg 60° + ^ + tg 160° + tg 180°;
в) ctg 15° + ctg 30° + ctg 45° + ^ + ctg 165°.
1040. Докажите, что:
а) площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон и синуса угла между ними;
б) площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.
1041. Запишите отношение площадей и S2 треугольников, используя сведения о треугольниках, данные на рисунке:
а) 445; б) 446; в) 447; г) 448.
D
Рис. 445
296
Правообладатель Народная асвета
Рис. 447
Е
Рис. 448
1042. Найдите площадь треугольника, в котором:
а) высота, проведенная к одной из его сторон, равна h, а углы при этой стороне равны а и в;
б) высоты, проведенные к двум его сторонам, равны h^ и h2, а угол между этими сторонами равен у;
в) сторона равна с, а углы, прилежащие к ней, равны а и в.
1043. Стороны AB, BC, CD, ^
DA четырехугольника ABCD соответственно равны k, l, m, n (рис. 449). Докажите, что площадь S этого четырехугольника удовлетворяет условию:
а) S < 1 (k + m)(l + n);
б) S < I (km + In);
в) S < -1 (kl + mn);
г) S < I (kn + Im). g
1044. Углы выпуклого шестиугольника равны друг другу, а стороны через одну равны 1 и 3.
Найдите площадь шестиугольника.
1045. Ребра SA, SB, SC тре-
угольной пирамиды SABC соответственно равны m, n, p, а углы ASB, BSC, CSA между этими ребрами — соответственно а, в, Y (рис. 450). Найдите боковую поверхность пирамиды. Рис. 450
297
Правообладатель Народная асвета
1046. Гипотенуза и катет прямоугольного треугольника соответственно равны 58 и 42. Найдите:
а) другой катет и площадь треугольника;
б) острые углы треугольника;
в) углы между биссектрисой и высотой, биссектрисой и медианой, проведенными к гипотенузе;
г) высоту, биссектрису, медиану, проведенные к гипотенузе;
д) углы между биссектрисой и высотой, биссектрисой и медианой, проведенными к меньшему катету;
е) высоту, биссектрису, медиану, проведенные к меньшему катету;
ж) углы между биссектрисой и высотой, биссектрисой и медианой, проведенными к большему катету;
з) высоту, биссектрису, медиану, проведенные к большему катету.
1047. Определите углы треугольников, на которые разделяется параллелограмм своими диагоналями, учитывая, что стороны и высота параллелограмма соответственно равны 50 см, 85 см, 40 см.
1048. Вершины равнобедренного треугольника CDE, в котором угол D против основания равен 70°, лежат на окружности радиусом 60 мм (рис. 451). Определите высоты MN и PQ сегментов, которые отсекаются от круга сторонами треугольника.
1049. Пусть а, b — стороны BC и AC равнобедренного треугольника ABC, S — площадь треугольника, ha, la, ma — высота, биссектриса, медиана, проведенные из вершины A, hb — высота, проведенная из вершины B (рис. 452). Найдите недостающие числа в таблице.
D
Рис. 452
Правообладатель Народная асвета
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
н)
о)
п)
р)
с)
т)
у) Ф)
a b A B S ha la ma hb
657 452
231 39°
777 72°
235 513
764 503
432 331
237 106
208 100
438 48°
992 75°
543 676
12,8 10,1
2,36 1,75
9,96 4,36
7,82 4,09
56° 23,8
63° 67,8
18° 5,52
70° 4,39
63° 4,56
1050. Меньшее основание трапеции равно 54 мм, высота — 60 мм, а углы при большем основании составляют 45° и 20°. Найдите большее основание и боковые стороны трапеции.
1051. Найдите площадь ромба, угол которого равен 44°, а расстояние между сторонами — 25 см.
1052. На рисунке 453 показано, как можно определить расстояние PQ между двумя точками P и Q, одна из которых недоступна. Найдите это расстояние, если PR = 120 м, а угол RPQ — 49°.
299
Правообладатель Народная асвета
Рис. 453
Рис. 454
1053. На рисунке 454 показано, как можно определить ширину NP реки. Определите эту ширину, если LK = 40 м, Z MLP = 10°, Z MLN = 15°.
1054. Треугольник ABC задан координатами своих вершин (рис. 455). Найдите:
а) стороны треугольника;
б) площадь треугольника;
в) высоты треугольника;
г) медианы треугольника;
д) углы треугольника;
е) биссектрисы треугольника;
ж) уравнения прямых, проходящих через стороны треугольника;
з) уравнения средних линий треугольника.
1055. В забеге на 800 м первый спортсмен опередил второго на 1l1 с. В новом забеге на эту же дистанцию первый спортсмен уменьшил скорость на 0,8 м/с, а второй на столько же увеличил. В результате теперь второй спортсмен опередил
первого на 11-1 с. Найдите скорости спортсменов в каждом забеге.
1056. Равнодействующая двух сил, направленных друг к другу под углом 60°, равна 70 кН. Если бы эти силы действовали по одной прямой и в одном направлении, то их равнодействующая увеличилась бы на 10 кН. Найдите эти силы.
300
Правообладатель Народная асвета
1057. Найдите стороны прямоугольного треугольника, учитывая, что его периметр равен 144 м, а площадь — 504 м2.
1058. Разложите на множители многочлен:
а) X4 + X2 - 2;
б) 24 - 3г^ - 4;
в) 9а4 + 8a2 - 1;
г) 20Ь4 - b2 - 1.
1059. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:
а) у = X2 и у = 6 - х; б) z = у2 и z = 7 + у.
1060. Сравнив значения функций у = х2 и у = х2 - 4 при одинаковых значениях аргументов, расскажите, как построить график функции у = X2 - 4, если можно пользоваться шаблоном параболы у = х2.
1061. Составьте таблицы значений функций у = х2 и у = (х - 1)2. Сравните значения аргументов при одинаковых значениях функций и расскажите, как построить график функции у = (х - 1)2, если можно пользоваться шаблоном параболы у = х2.
1062. Основания трапеции равны 5 см и 7 см, а высота — 3 см. Найдите сторону квадрата, площадь которого в два раза больше площади трапеции.
1063. Одна сторона параллелограмма равна 12 см, а проведенная к ней высота — 3 см. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади параллелограмма.
1064. Через вершину треугольника проведите прямую так, чтобы сумма расстояний до нее от вершин треугольника была наибольшей.
1065. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Точка K на стороне AC выбрана так, что Z CLK = Z BAC. Докажите, что LK = LB.
1066. Докажите, что квадратное уравнение с нечетными коэффициентами не имеет рациональных корней.
Правообладатель Народная асвета
•к •к •к
Материал для повторения
Числа и вычисления
Числа изучаются в разделе математики, называемом арифметикой. В арифметике рассматриваются именование чисел на языке десятичной позиционной системы счисления, действия над числами, отношения между ними, числовые выражения.
Основой арифметики являются натуральные числа, с помощью которых определяется количество предметов того или иного множества:
l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ^ .
Все натуральные числа вместе составляют множество натуральных чисел, которое обозначают N.
Во множестве натуральных чисел всегда выполнимы действия сложения и умножения, но действие вычитания, с помощью которого находят неизвестное слагаемое по известным сумме и другому слагаемому, выполнимо не всегда. Например, разность 7 - 10 во множестве натуральных чисел не имеет значения.
Если к натуральным числам присоединить противоположные им числа -1, -2, -3, ^ и число 0, то получится множество целых чисел, которое обозначают Z.
Во множестве целых чисел всегда выполнимы действия сложения, вычитания и умножения, но действие деления, с помощью которого находят неизвестный множитель по известным произведению и другому множителю, остается не всегда выполнимым. Например, частное 7 : 10 во множестве целых чисел не имеет значения.
Если имеется такое целое число с, что истинно равенство a = b • с, то говорят, что целое число a делится на целое число b, или, иначе, число a кратно числу b, или что число b является делителем числа a. Натуральное число, имеющее точно два разных натуральных делителя, называется простым числом, а число, имеющее более двух разных натуральных де-
302
Правообладатель Народная асвета
лителей, называется составным числом. Число 1 не является простым и не является составным. Каждое натуральное число однозначно представляется произведением простых множителей, если не учитывать порядок их записи.
Число, делящееся на 2, называется четным числом, а не делящееся — нечетным числом. Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называются четными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечетными.
Укажем свойства чисел, которые делятся на некоторые натуральные числа п.
Если число делится на:
• 2, то оно оканчивается четной цифрой;
• 5, то оно оканчивается цифрой 0 или цифрой 5;
• 3, то сумма его цифр делится на 3;
• 9, то сумма его цифр делится на 9.
Сформулируем признаки делимости на некоторые натуральные числа.
Число делится на:
• 2, если оно оканчивается четной цифрой;
• 5, если оно оканчивается цифрой 0 или цифрой 5;
• 3, если сумма его цифр делится на 3;
• 9, если сумма его цифр делится на 9.
Наибольшее из чисел, на которые делятся данные числа, называется наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел. Например, НОД (23 • 3 • 5, 22 • 52 • 7) = 22 • 5.
Наименьшее из чисел, делящихся на все данные числа, называется наименьшим общим кратным (НОК) этих чисел. Например, НОК (23 • 3 • 5, 22 • 52 • 7) = 23 • 3 • 52 • 7.
Если к целым числам присоединить дробные числа, т. е.
числа вида —, где m
п
целое число, а п
натуральное число, то получится множество рациональных чисел, которое обозначают Q. Во множестве рациональных чисел всегда выполнимы действия сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на 0).
Каждое рациональное число можно единственным способом представить обыкновенной несократимой дробью m с целым числителем m и натуральным знаменателем п. Рациональные числа можно представлять и десятичными дробями, конечными или бесконечными периодическими. Если не использовать бесконечные десятичные дроби с периодом 9, то такое представление также однозначно.
303
Правообладатель Народная асвета
Обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную делением числителя на знаменатель. При этом полученная десятичная дробь будет конечной или бесконечной периодической без препериода или с предпериодом:
^40 = 0,425; -|7 = 0,(729); = 1,3(648).
Чтобы конечную десятичную дробь преобразовать в обыкновенную, можно записать дробь с числителем, равным дробной части десятичной дроби, и знаменателем, равным разрядной единице со столькими нулями, сколько имеется цифр в дробной части десятичной дроби, и затем сократить полученную обыкновенную дробь:
0,175 =
175
1000
_7_ 40 '
В параграфе 10 сформулированы правила преобразования бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь.
Некоторые часто употребительные дроби-доли имеют специальные названия. Сотая доля называется процентом, а тысячная — промилле. Процент обозначают знаком %, а промилле — знаком ^:
1 % = ^ = 0,01; 71 % = 471 = 0,71;
10^ ^ ’ 100 ’ ’
1 V =
1 = 0,001; 71 V = = 0,071.
1000
1000
Числа, представляющиеся десятичными дробями, конечными или бесконечными, вместе составляют множество действительных чисел, которое обозначают R. Множества действительных чисел и точек координатной прямой связаны взаимно однозначным соответствием. При этом расстояние от числа a до начала координат называется модулем числа а. Полезно знать, что выражение |а - Ъ\ представляет расстояние между числами a и b на координатной прямой.
Действительное число, не являющееся рациональным, называется иррациональным. Результаты действий извлечения корня, нахождения значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса, за редким исключением, являются иррациональными числами:
у/5 = 2,2360679774^; ^25 = 2,924017738^;
^25 = 2,2360679774^; ^25 = 1,583819608766^; cos 2° = 0,999390827^; tg 125° = -1,4281480067^ .
304
Правообладатель Народная асвета
Иррациональным является и известное вам число п: п = 3,141592653589793238462643383279^ .
Степень числа вводится следующим определением: а0 = 1, если a Ф 0; а1 = а;
ап = а‘а‘ ...‘а, если n — натуральное число и n > 1; n множителей
а^п = , если а Ф 0, n — натуральное число и n > 1.
Корнем степени n с числа а называется такое число х, что xn = а.
Средним арифметическим а чисел а1, а2, ^, an называется их сумма, разделенная на их количество n:
а = а1 + а2 + •••+an
Средним геометрическим g положительных чисел а1, а2, ., an называется корень n-й степени из их произведения:
g = n«1 • а2 • ••• • an .
1067. Найдите значение выражения:
а) ((3 + 7) - (2 - 1)) • (5 - 3); г) 14 700 : 21 : 7 • 20;
б) ((3 + 7 - 2) - 1)) • 5 - 3; д) 14 700 : (21 : 7) • 20;
в) ((3 + 9 - 5) • (4 - 2)) : (19 - 5); е) 14 700 : (21 : 7 • 20).
1068. Найдите значение выражения:
а) ((7 + 10) - (12 - 9))((15 -5) : (19 - 14));
б) ((9 + 8) • 3 - 25) : ((11 - 8) • 8 - (22 - 11));
в) ((18 : 9) + (35 : 7) + (116 : 29)) : (40 - 29);
г) ((98 : 7) : (217 : 31)) : (456 : 57);
д) ((131 - 6) : (75 : 3)) + (152 - 41) : 37;
е) (1040 : 26 : 4) + (100 : (20 : 5)) : 25;
ж) 200 - (20 + (49 - (22 - 15)) : 7);
з) ((1000 : 2) - (36 • 15 - (140 : 7) • 5)) : (213 - 17 • 11 - 140 : 5 • 7));
и) ((336 : 7) + 5 - 4) + (336 : (7 + 5) - 4) + (336 : (7 + 5 - 4)).
1069. Найдите значение выражения:
а) ((3 - 7) + (2 - 11)) • (5 - 13); г) -14 700 : 21 : (-7) • 20;
б) ((3 - 7 + 2) - 11)) • 5 - 13; д) -14 700 : (21 : (-7)) • 20;
в) ((3 + 9 - 25) • (4 - 12)) : (19 - 15); е) -14 700 : (21 : (-7) • 20).
305
Правообладатель Народная асвета
n
и) 15;
к) 40.
1070. Разложите на простые множители число:
а) 420; б) 4950; в) 36 750; г) 55 055.
1071. Из чисел 865, 1551, 1665, 1755, 1881, 2112, 2240, 2442, 2552, 2772, 4480, 6185, 11 270, 32 750 выпишите те, которые делятся на:
а) 2; в) 4; д) 6; ж) 9;
б) 3; г) 5; е) 8; з) 10;
1072. Найдите НОД и НОК чисел:
а) 36 и 54; в) 18, 54 и 78;
б) 168 и 360; г) 102, 510 и 3570.
1073. Найдите:
а) наименьшее натуральное число, которое при делении на 12, 18 и 54 дает в остатке 2;
б) наименьшее натуральное число, делящееся на 5, а при делении на 2, 3 и 7 дающее в остатке 1;
в) двузначное число, при делении которого на сумму цифр в частном получается 3 и в остатке 5.
1074. Представьте десятичной дробью число:
а)
б)
17.
25 ’
17
в)
г)
17 , 111’
17
д)
е)
17 , 195 ;
17
^ 7Ш 1443
1075. Запишите обыкновенной дробью число:
а) 0,(54);
б) 0,2(27);
в) 1,(472);
г) 11,0(285714);
д) 0,1(12);
е) 9,2(42).
1076. Найдите:
2
а) — числа 21;
7
2
б) число, — которого составляют 12;
в) какую часть число 14 составляет от числа 49;
г) во сколько раз число 49 больше числа 21;
д) 15 % числа 150;
е) число, 15 % которого составляют 42;
ж) сколько процентов число 56 составляет от числа 280;
з) сколько процентов число 280 составляет от числа 56. 306
Правообладатель Народная асвета
1077. Выполните сложение:
а) 3 + 1; в) ^ +1; 20 4 ,.4 2^ 3 . Д) 40 + 8;
б) ^ +1; ^12 6 ’ г) ^1 + 3; 24 8 е) ^3 + X. 36 12
1078. Выполните действие:
а) ^ + 7; 12 8 в) ^1 - 3; 36 8 д) 13 - 7 ; Д) 24 18;
б) ^ + 3; 12 8 г) 17 - X; 18 12 е) 30 - ^. 21 14
1079. Выполните вычитание:
а) 15 - 2; ^9 3 в) - ^; ^ 35 14 д) 5— -17; 16 20
б) 1^ - 3; -^15 5 ’ г) 2 2 - 13. ) 215 20; е) 47 -13. 40 60
1080. Выполните вычитание:
а) ^ - 5; '^15 6 в) 5 - ^^; '^6 15 д) 17 - ^; 28 21
б) ^ - ^; -^20 12’ г) ^ -11; 10 3 е) 17 -11. 45 18
1081. Выполните сложение:
а) ^ + 0,35; в) А + 0,65; -^20 ’ ’ д) ^5 + 1,025;
б) ^3 + 0,28; г) 11 + 0,56; -^25 ’ ’ е) 7 + 0,225.
1082. Выполните вычитание:
а) ^5 - 0,7; в) ^ - 0,3; д) 0,6 - 37; 12
б) ^ - 0,6; г) 0,8 - -5; е) 0,4 - -7.
1083. Выполните вычитание:
а) 2,25 - 1^6; в) 3,3 - 2,9; д) 433 - 1,8;
б) 1,75 - 1^3; г) 2^9 - 2,1; е) 1,7 - 7.
1084. Выполните вычитание:
а) 1 - 0,15; в) 11 - 0,35; -^35 ’ ’ д) И - 0,95; ■^'24
б) А. - 0,45; -^45 ’ ’ г) 7 - 0,85; -^12 ’ ’ е) 0,72 - И. ^ ’ 12
Правообладатель Народная асвета
307
1085. Найдите произведение:
а) 11; в) 3^ • ^^; д) 21 32 , 1 ;
15 4’ 16 21’ ’ 13 ;
б) 213 18 • 1217; г) 4^ 21 • 2 1 • 217; е) 24 •111 55
1086. Найдите произведение:
а) 0,27 • 2^9; в) 1±- • 1,3; -^39 ’ ’ д) 0,72 • 3,2|;
б) 0,45 • 1^9; г) 0,63 • 11; 9 е) 0,0216 • 3^
1087. Найдите частное:
а) 1,75 : 1^1; в) 1,44 : ^^; ^ ’ 35 ’ д) 32,4 : 215;
б) -2,25 : 16; г) 2,16 : 1И; ^ ’ 55 ’ е) 4,32 : ^^. ^ ’ 35
1088. Найдите частное:
а) ^5 : 0,21; в) -1,96 : 1I9; ^ ’ 30 ’ д) -3,24 :
25
б) 11 : (-0,44);
г) 2,52 : (-21); е) -6,76 :
1089. Найдите значение выражения:
а) (0,12 - -670) • 0,3 - 0,1;
б) (0,48 - 175) • 2,5 + 0,3;
в) 0,08 + 0,132 : (l158 - 1,4);
г) 2,2 + 0,88 : (212 - 3,15);
д) (1^0 - 1,35) • 0,7 + 1,02;
е) - 0,24) • 0,45 - 0,062.
1090. Найдите значение выражения:
а) 1 - 0,15 : (^11 - 0,75);
г) (2,45 - 1-30) . 0,09 - 0,007;
б) 0,2 - 0,13 : (0,44 + ^6); д) 1,2 + 0,052 : (0,24 - ^0);
в*!1’8 -17 )• 25 + »,15;
е) 0,35 + 0,014 : (0,28 - 14).
55
1091. Найдите значение выражения:
) 6,752 + 0,125 • 67,5 ;
) 5,92 - (1,03 +1,89726 :0,618)2 ;
б)
3,052 - 2,552
0,35 • 388 - 28,8 • (20,56 - 14,501:0,85) ’
308
Правообладатель Народная асвета
в)
г)
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
а)
б)
в)
г)
а)
б)
((5,22 : 2,6 + 8,1)2 - 6,52): 0,025 ;
(60,192 : 2,4 -1,08)2 - 0,24 • 1400 ’
(81,624 : 4,8 - 4,505)2 +125 • 0,75 ((0,442 : 0,88 + 3,53)2 - 2,752 ): 0,52 '
1092. Найдите значение выражения:
3 : 5 + 21.2 - 1: 11.
46 25 9’
23 :^11 - 2
5 1
^“2 5
-2 +
15 12
= 11:6 + 6 : 11;
2 2
3 + (3 - 5 ]: 31;
/ U 6/ 6
- (1: 21 )• —
10^ Г 4 16
31 : 42 + 42: 31 ] • 44;
2 3 32 5
.3 . 3I:
7 2 I1!! 55)
31 :((4 5 - 313) • 4 + 1 -
3 U 12 24 18 12
21: 10 l10: 21 - 21 )• 36 ;
2 2 6 125 ;
3 + 5 + 9 - )--{2 + 12 15 — + 10 17 90 1- 15
31 • 2I . 22 ):(21 . 5 ; -75).
4 8^ 1 2 11 ’ 154
10
17
1093. Сравните кратно значения выражений:
3 : 5 : 9 + 3 :( 5 : 22 ] и (10: 2 2 + 7 1 : 10^- 3 + 7- 197
4 6 10 4 6 9 \ 3 2 40 12 -
^(15: 33 ^ -101 : l1 . 3 ):(123 -1 1 ] и l1: 2 1 . (83 : 1 1
4 2 2 14 52 4 / 2 4 \ 4 6
51 +1 4 11+ 4 1- 1 32 +14 13 1 -3 1 5 1+1 3
2 7 . 7 21 . 9- 19 и 3 7 3 13 2 8
51 -1 4 l1 - 4 1+ 1 и 2 32 - 14 13 1 + 3— 51 -12 :2 ;
2 7 7 21 9 19 3 7 3 13 2 3 3
360); • 22;
33 : 11 + 11: з3 : 21+^11 - 23
22 49 147
2 : 31 + 31: 13 : 2 - -17 ]• ^
5 4 3 18 36 65
и
15 : А : 33.31 + 11 + ^ 18 8 16 36 48
18
1^^ - 821 ]: 12 11 22 3
1094. Упорядочьте по возрастанию числа:
28 41 4 . в) 37 4 42 ;
23 , 53 , 5; 47 , 5, 37 ;
37 62 6. г) 5 43 49
57 , 53 , 5; 6, 39 , 61 ■
309
Правообладатель Народная асвета
1095. Упорядочьте по убыванию выражения:
а) (-1
б) (-^
-11
в) 1, (-11
1\3
-11^3 1 (5
1^ , 5, 14
5\2
- 2\3 (4
^ , 13
г) (-11 г, ^, (-7)3, (6)2
1096. Определите, в каких пределах находятся значения выражения:
а) 5а - 3b, учитывая, что 3,2 < a < 3,4 и 0,7 < b < 0,8;
б) -2т - п, учитывая, что -2,8 < m < -2,7 и 5,2 < n < 5,3;
в) -4с + 5d, учитывая, что 4,1 < c < 4,2 и 1,8 < d < 1,9;
г) 3р - 2q, учитывая, что 2,3 < p < 2,4 и -1,7 < q < -1,8.
1097. Определите, в каких пределах находятся значения периметра P и площади S прямоугольника, учитывая, что его стороны, измеренные с точностью до:
а) сантиметра, равны 74 см и 53 см;
б) миллиметра, равны 59 мм и 91 мм;
в) дециметра, равны 16 дм и 29 дм;
г) метра, равны 34 м и 56 м.
1098. Определите, какие четные числа находятся на промежутке:
а) (-2,3; 7]; б) [-5; 4,2); в) (-4; 5,8); г) [-3,3; 4].
1099. Укажите наибольшее и наименьшее целые числа, которые принадлежат промежутку:
а) (-3; 7]; б) [-5; 4); в) (-4; 5); г) [-3; 4].
1100. Упростите:
а) (2/б - W3 + W2 - 1лУв) • т/б;
б) (2-S 3 W5 W 7 - W5;
в) V63 - ^1,75 - 0,5/343 W112;
г) (3 -у[5)2 - ^/14-6Ж;
д)
е)
а)
310
Wa - 2у12 ^/з ^2
4
+ \[6;
3
•Уб W2 ^/5 ^2 л/б ^/Е'
1101. Упростите: 113
15
2 W5 3 W7 1 ^/7 n/5
^/5;
Правообладатель Народная асвета
3
2
3
3
3
б)
в)
г)
д)
1 ^ 7 - ^/б 1 si 7 + 2/б ’
л/2 Wa -Уз ^5'
V2
-У2 ^У2 1W2 2
V3 2 W2 >/2 -1 2
3 ^Ло’ ■J2 1
! 2^2 г
______________'2 - ^Яо
5 ^Ухо ^/5 -43 V 45 + 424
е) 2/3 ^5 ^ 13 W48 .
1102. Сравните числа:
а) ^/3 и ^/б;
б) V3 W5 и л/2 W6;
в) л/3 ^,/2 и 2 -\fS;
. 3 ^J5 8 - 2У7
г) ----- и -------.
1103. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
,=4 ^ . _ч ^ . _ч 2
б)
в)
зУ^’ 413 - ^ 243 -42'’
1104. Упростите выражение:
9
22
а) а)
б^ У 45 -1 43 + 2 45 W3
в) + 4)^/^ ^6)^4^Л5;
г)
г)
1W2 W5'
б ^Ут 16
7 W5 47 W5’
•^/3 + б);
43
43
ж) 2, 3, 8 и 27;
з) 1, 4, 9 и 36.
^1W3 -1 ^1 ^■/3 +1
1105. Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел:
а) 2 и 8; в) 9 и 16; д) 4, 6 и 9;
б) 5 и 20; г) 5 и 45; е) 4, 10 и 25;
1106. Найдите значение выражения:
а) sin 30° + tg 60° • cos 30°;
б) ctg 45° - ctg 150° • sin 120°;
в) tg 135° • cos 45° + sin 135°;
г) tg 120° • ctg 30° + cos 30° • cos 150°;
д) sin 90° • cos 120° + cos 90° • ctg 150°;
е) tg 40° • tg 180° + cos 35° • cos 90°.
311
Правообладатель Народная асвета
1
1
1107. Найдите значение выражения:
а) tg30° • cos45° ; г) sin120° • cos 68° • ctg 90° _
sin135° • ctg150° ’ cos 68° • ctg 15° ’
б) cos 30° • sin 45° ; д) ctg134° • sin 65° ;
tg35° • ctg35° ’ sin115° • ctg 46° • cos 60° ’
В) tg 56° • cos 60° • cos 180° ; e) tg34° • cos 37° • ctg 34°
sin150° • ctg34° ’ sin 135° • sin 53°
Выражения и их преобразования
В предыдущем параграфе мы находили значения числовых выражений, которые образуются из чисел с помощью действий. Мы уже знаем действия сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень, извлечения корня, нахождения значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Знаем также, что на множестве действительных чисел действия сложения, вычитания, умножения, возведения в натуральную степень, нахождения значений синуса и косинуса всегда выполнимы, а остальные имеют некоторые ограничения.
Если при образовании выражения с помощью названных действий, кроме чисел, использовать еще и переменные, то образуются выражения с переменными, которые изучаются в разделе математики, названном алгеброй.
Особенностью переменной является то, что она принимает разные значения из некоторого множества. В алгебре таким множеством является множество действительных чисел. Чтобы задать переменную, надо для нее выбрать имя — некоторую букву — и указать множество, из которого она принимает свои значения. Если это множество не указано, то подразумевается множество действительных чисел или та его часть, на которой данное выражение имеет значения. Например, для выражения - 2 такое множество находится
из условия х - 2 > 0, поскольку если это условие не истинно, то данное выражение не имеет значений.
Будем образовывать выражение с переменными с помощью только тех действий, которые всегда выполнимы, т. е. с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в натуральную степень и деления на число, которое не равно нулю. Такие выражения называют целыми выражениями.
Присоединим к тем действиям, которые используются при образовании целых выражений, еще одно действие — деле-
312
Правообладатель Народная асвета
ние. Выражения, которые при этом образуются, называются дробно-рациональными выражениями. Целые выражения вместе с дробно-рациональными выражениями составляют множество рациональных выражений.
Присоединим к действиям, которые используются при образовании рациональных выражений, действие извлечения корня. Выражения, которые при этом образуются, называются иррациональными выражениями. Рациональные выражения вместе с дробно-рациональными выражениями составляют множество алгебраических выражений.
Действия, с помощью которых образуются алгебраические выражения, называют алгебраическими действиями. Действия нахождения значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса относят к трансцендентным действиям.
Разделение выражений на указанные тут классы показывает схема, приведенная на рисунке 456.
Если в выражение с переменными подставить вместо каждой переменной какое-нибудь ее значение, то получится числовое выражение, значение которого называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных. Множество наборов значений переменных, при которых выражение с переменными имеет значения, называ-
Рис. 456
313
Правообладатель Народная асвета
ют областью определения выражения. Например, значением при a = 17 является число 2,4, а областью
выражения
12
■ja+8
его определения — множество (-8; +^).
Два выражения называются тождественно равными, если при всех наборах значений переменных из областей определения обоих выражений, соответствующие значения выражений равны. Замена выражения тождественно равным ему выражением называется тождественным преобразованием этого выражения.
При тождественных преобразованиях выражения используют свойства действий, с помощью которых образовано это выражение.
Сложение и умножение имеют переместительное и сочетательное свойства, а умножение — распределительное свойство относительно сложения:
a + b = b + a; a • b = b • a;
a + (b + c) = (a + b) + c; a • (b • c) = (a • b) • c;
a • (b + c) = ab + ac.
На распределительном свойстве основываются тождественные преобразования (раскрытие скобок и вынесение общего множителя за скобки):
• раскрытием скобок называется замена выражений a(b1 + b2 + ^ + bn) и (a1 + a2 + ^ + an)b выражениями ab1 + ab2 + + ^ + abn и a1b + a2b + ^ + anb соответственно;
• вынесением общего множителя за скобки называется замена выражений ab1 + ab2 + ^ + abn и a1b + a2b + ^ + anb выражениями a(b1 + b2 + ^ + bn) и (a1 + a2 + ^ + an)b соответственно.
Частным случаем вынесения общего множителя за скобки является приведение подобных слагаемых, т. е. замена суммы подобных слагаемых тождественно равным ей одним слагаемым.
Тождество a - b = (a + (-b)) позволяет выражение, образованное из других выражений с помощью сложения и вычитания, записать как сумму, которая называется алгебраической суммой.
Свойства сложения и умножения дают возможность обосновать формулы сокращенного умножения:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a - b)(a + b) = a2 - b2;
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; (a + b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3.
Действие возведения в степень имеет такие свойства:
_ m + n • пП — _ m n,
CL CL — CL у CL • CL — CL у ^ ?
(ab)m = ambm
a__
bm
314
Правообладатель Народная асвета
m
Действие извлечения квадратного корня имеет такие свойства:
-Л S-, =^jL.
Свойства действий нахождения значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса выражают:
• основные тригонометрические тождества:
sin2 а + cos2 а = 1; tg а =
tg а • ctg а = 1; 1 + ctg2 а = —
si
• формулы приведения:
cos а 1 .
ctg а = — sin
1 + tg2 а =
sin (п - а) = sin а;
cos (п - а) = -cos а; tg (п - а) = -tg а; ctg (п - а) = -ctg а.
sin (90° + а) = cos а; cos (90° + а) = +sin а; tg (90° + а) = +ctg а; ctg (90° + а) = +tg а;
Любое целое выражение представляется многочленом стандартного вида, т. е. суммой одночленов стандартного вида. Одночленом стандартного вида называют произведение числа и степеней разных переменных.
Обратное преобразование — представление многочлена стандартного вида произведением нескольких множителей-многочленов — называют разложением многочлена на множители.
При разложении многочлена на множители используют вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращенного умножения.
Среди целых выражений выделяется квадратный трехчлен, т. е. выражение вида ах2 + bx + c, где а, b, c — некоторые числа, х — переменная, причем а ф 0.
Значения переменной х, при которых квадратный трехчлен имеет своим значением число 0, называются корнями квадратного трехчлена.
Выражение b2 - 4ас называют дискриминантом квадратного трехчлена и обозначают D, т. е.
D = b2 - 4ас.
Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня х1 и х2, которые через его коэффициенты выражаются следующим образом:
-b -b WD
ц ■ "
х, =
2а
и х2 =
2а
315
Правообладатель Народная асвета
Если D = 0, то квадратный трехчлен имеет один корень
x = —
2a
Если D < 0, то квадратный трехчлен не имеет корней.
Связь между корнями квадратного трехчлена и его коэффициентами выражает теорема Виета: если х^ и х2 — корни квадратного трехчлена ах^ + bx + c, то
Xi + х2 = — — и Xi • х2 = —.
а а
Теорема, обратная теореме Виета, указывает условия, при которых два числа являются корнями квадратного трехчлена: если числа а, b, c, х^ и х2 удовлетворяют условиям х^ + х2 = ——
c
и х1 • х2 = —, то х1 и х2 являются корнями квадратного трехчлена ах^‘ + Ьх + с.
Найдя корни квадратного трехчлена, можно представить его произведением линейных множителей: если х^ и х2 являются корнями квадратного трехчлена ах^ + Ьх + с, то истинно равенство ах^ + Ьх + с = а(х - х1)(х - х2).
Любое рациональное выражение представляется рациональной дробью или многочленом, при этом под рациональной дробью понимают дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами стандартного вида.
1108. Многочленом стандартного вида представьте выражение:
а) (х + у)(х - у + 1) - (х - у)(х + у - 1);
б) (т + 3n)(m + n + 2) - (m + n)(m + n + 2);
в) (b - 1)3 + 3(b - 1)2 + 3(b - 1) + 1;
г) (Z2 + Ik + k2)(l2 - Ik + k2)(l4 - l2k2 + k4);
д) (r2 - 3r + 1)(2r + 1)2;
е) (2а + 3)(а - 2)3;
ж) (с + 1)4 + (с - 1)4;
з) (d - 2)(d4 + 2d3 + 4d2 + 8d + 16).
1109. Докажите, что при всех значениях переменных значение выражения:
а) (е + 2)2 + 1 - 2(e + 2) неотрицательно;
б) (h - 4)2 - (h + 3)2 + 7(2h + 1) положительно;
в) 9 + (f - g)( f - g - 6) неотрицательно;
г) (2p - 3)3 - (3p + 2)3 + 19p2(p + 1) - 18(p - 1) отрицательно.
316
Правообладатель Народная асвета
ь
1110. Найдите числовое значение выражения:
а) а3 + 6а^Ъ + 12ab2 + 8b3 при a = -3 и b = 2-1;
б) 27i3 - 108i27 + 144i/'2 - 64j3 при i = 12 и j = 11.
3 4
1111. Разложите на множители многочлен:
а) ax2 + bx2 + ax - cx2 + bx - cx;
б) ax2 - bx2 - bx + ax - a + b;
в) x2 - cx - 2xy + 2cy;
г) 2a2 - 2ab + 3ax - 3bx.
1112. Разложите на множители многочлен:
\ 3 2 2 3
ж) x - ax - ax + a ;
з) a3 + a2x - ax2 - x3;
и) x2 - 2cx - 2xy + 4cy;
к) a2 + ab - 2ac - 2bc;
л) 2x2 - ax + ay - 2y2;
м) 2x2 - cx - 2xy + cy.
а) (2a - 3)2 - (a + 2)2;
б) (3x + 2y)2 - (x - y)2;
в) x2 + cx - 2xy - 2cy;
г) 2a2 - 2ab + 3ax - 3bx;
д) ax2 + bx2 - ax - cx2 - bx + cx;
е) ax2 + bx2 - bx - ax - a - b;
1113. Разложите на множители многочлен:
а) x2 - 2ax + a2 - 1; д) 8x2 + 6xy + y2;
б) x2 + 4ax + 4a2 - 4; е) x2 + 8xy + 15y2;
в) 9x2 + 6ax + 4a2 - 9; ж) 3a2 - 4ax + x2;
г) 4x2 - 12ax + 9a2 - 4; з) 4a2 - 12ax + 9x2.
1114. Разложите на множители многочлен:
а) W4 - 2u3 + u2 - 1;
б) v4 - v2 - 2v - 1;
в) ш8 - w4 - 2w2 - 1;
г) x(x + 2) - (y + 1)(y - 1);
д) (t + z - 2)(t + z) - (t - z)2 + 1;
е) a3 - b3 + 3b2 - 3b + 1;
ж) 8c3 + d2 + 6d2 + 12d + 8;
з) (e + f )(e - f )3 - (e - f )(e + f )3;
и) (i - h)2(i + h)5 + (i + h)2(i - h)5.
1115. Разложите на множители многочлен:
а) r4 - 12r 2 + 16; г) g4 - g3 - g - 1;
б) s4 + 2s2 + 9; д) a2 + ab - 2b2 - a + b;
в) w4 + 324; е) (k + l)(k + l + 2) - (k - l)(k - l - 2).
1116. Разложите на множители многочлен:
а) (i + j)(i + j + 2) + (i - j)(i - j + 2) + 2(i + j + 1)(i - j + 1) - 2;
б) a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c) - 4c2;
317
Правообладатель Народная асвета
в) 1 - p(p - q + r ) + q(p - q + r) + r(q -p - r);
г) mn(m + n) + np(n - p) - mp(m + p);
д) r(s2 - t2) + s(t2 - r2) + t(r2 - s2);
е) d(e + f )2 + e(d + f )2 + f (d + e)2 - 4def ;
ж) (xy + xz + yz)(x + y + z) - xyz;
з) k2 + l3 + m3 - (k + l + m)3.
1117. Упростите выражение:
а) (i + j + k)2 + (i + j - k)2 + (i - j + k)2 + (-i + j + k)2;
б) (x + y)(x2 + y^)(x^ + y^)(x^ + y^)(x^^ + y^^)(x22 + y32), учитывая, что x - y = 1.
1118. Найдите значение выражения:
а) x2 + y2 + z2, учитывая, что x + y + z = 4 и xy + yz + zx = -5;
б) pq - qr - rq, учитывая, что p + q - r = 4 и p2 + q2 + r2 = 55.
1119. Найдите наименьшее значение выражения:
а) (2u + 1)(2u - 1) + 3v(3v - 4u); б) 2r 2 - 2r s + s2 - 2r + 2.
1120. Найдите наибольшее значение выражения:
а) 4m(5n - m) - (5n - 2)(5n + 2); б) 2xy - x2 - 2y2 + 4y.
1121. Докажите, что равенство a = b = c следует из равенства:
а) a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca;
б) (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = (a + b - 2c)2 + (b + c - 2a)2 + + (c + a - 2b)2.
1122. Найдите область определения выражения:
а)
б)
в)
3
x2 - 25 ■
3y
2 y + 7 y2
1 - z8
г)
1 - z4 11
w - -
1
д)
е)
ж)
з)
a - 3 3
3-|3b - 2| 13
|3c - 1 - |c - 2| u
u2 - 3 u
и)
к)
л)
м)
7t
(2t + 1)4 - (t - 1)4
3 - 6 h
2 h2 + 5 h - 2 d2 -16 ;
d2 - 6 d + s’
3
r2 + 5rs - 6s2
w
а)
б)
1123. Сократите дробь:
25ab2 + 15b2 - 30bc 27r5s2 + 6r4s2t - 9r4s2
в)
4 3 2 2 3 ’
m - m n - m n + mn
) uv(c2 + d2) + cd(u2 + v2) _
uv(c2 - d2) + cd(u2 - v2 ) ’
318
Правообладатель Народная асвета
20a3b + 12a2b - 24a2c
72r2st2 + 16rst3 - 24rst2
д)
е)
а)
б)
в)
г)
а)
б)
а)
б)
(5x - 4)2 + 2(5x - 4)(4 - 3x) + (3x - 4)2 ; (2x + 5)2 - 2(2x + 5)(5 - 3х) + (3x - 5)2 ’ (4у + 5)2 + 32y2 - 50 + (4у - 5)2 (4у - 5)2 - 32у2 + 50 + (4у + 5)2 '
1124. Сократите дробь:
a2 - a + 1 ; д) f2 - g2 - h2 + 2 gh ;
a4 + a2 + 1 ’ g2 - h2 - f2 - 2fh ’
b4 + 4 ; е) xn + 2 - 4 xn +1 + 4 xn
b2 - 2b + 2’ x3 - 6 x2 + 12x - 8
27e3 - 64d6 ; ж) у4 - 3 у2 + 2;
16d4 - 9e2 ; у5 +1 ;
e33 + 1 з) г47 + г46 + ■■■ + z + 1
e11 - e22 + e33; z15 + z14 + ■■■ + z + 1
1125. Сократите дробь:
x4 + (2b2 - a2)x2 + b4 ;
y2 + (p + q) у + (p + q + y)r,
2 ^ 2 2 • p + 2 pq + q - у
B)
г)
3 о 2 2 3 2
u w - 2u w + uw - uv W ^
T~2 2 ^^2 ~A 2 2 ;
(u +w - v ) - 4u w
i3 + y3 + fe3 - 3ijk (i - j)2 + (j - k)2 + (k - i)2 ■
1126. Найдите числовое значение выражения:
9x2 - 24 xu + 16 у2 - 2^ , /1 o1\
----5x:-yiyyг|-- при у) = (iT’ 213)•
—4—4—33—v---------—^ при (u; v) = (it1; —
(u4 + v4)(u3 + u2v + uv2 + v3) ^ 16 16
1127. Если возможно, найдите значение выражения:
а)
б)
а)
б)
в)
- при значении переменной u, равном -2; -1,5; 3;
u2 - u - 6
v12 -1 “ 9 1 q
—^—=------5—=-----при значении переменной v, равном -2; 1; 3.
(v4 + v2 +1)(v3-v2 + v-1)
1128. Рациональной дробью представьте выражение:
4 a2b 9b
(2a - 3)2 (3 - 2a)2
m2 , 9n2
(m - 3n)3 (3n - m)3
u2v + 16
u2 + 16v
(v - 1)(u - 4) uv - u - 4v + 4’
Правообладатель Народная асвета
319
г)
д)
3р3 - 81д3
+ 81 р2q - 54pq^ + 9q3 ; 18pq^ + 6р2q + 2р3 2pq2 - 12p2q + 18p3 ’
8 - 8w + 2w2 w
w4 - 4w3 + 16w -16 w2 - 4’
3-p
e) p + ^ _ _________.
p3 - 3 p2 - 4 p + 12 p2 - 5 p + 6
1129. Докажите, что при всех наборах значений переменных из области определения значение выражения:
а) (а - 2b)2 - 8b2(2b2 - “2)
б)
а)
3 е + 2
(2b + а )2 18 е
неотрицательно;
1
9е2 - 6е + 4 27е3 + 8 3е + 2
1130. Упростите выражение
равно нулю.
x+ 2 у ; в) / x + у x - у \ . 4 xy ;
у у) x+2 \x - у x + у / 2 2 ; x - у
x+ 2 1 • у ; г) (x - у + x + у\ . x2 - у2
у 3 у) 6 x + 4 ’ V x + у x - у/ x2 + у2
1131. Упростите выражение:
а) (S- + 1). 1+L;
' \е + 1 / 2е -1
б) - а ■а +2
а)
в) - 2х\,
' \2x- 3 2 x + 31 \2x 3 1
г) (3b-■
6b2 \ 25 - 20b + 4b2
2 - ^ а - 2^ К''' 2b - 5) 12b3 - 75b
1132. Упростите выражение:
а2 - b2 . а - b 1;
3а 3 2;
. аb + b2 b3 а + b
в) ----: — +----;
'^5 5 а b ’
а2 - b2 а2 - аb 1
б)----------------+ —;
20а 5 а
г)
а - b 7 b а2 - аb
а 5а2 7b '
1133. Упростите выражение:
а)
б)
в)
г)
320
а2 - 25 _ 1+а а - 7;
4 а + 4 5 - а 6 ;
/ а а а2 +1'
\а -1 1 + а 1 - а2-
(4 9b2 - 8 2 а + 6b
I4 3b 2
( 2 а 4 а
V 2 + а а - 2 4 - а2
)2 ’
2
2b - 2
_2__+ а + 4а
Правообладатель Народная асвета
д)
10 а2 - Ь
3 + 5 а
- 2а|:
27 + 125а
3
е) (а +
а3 - ^ . (а + 1)3
а - 1! а2 - 1
1134. Рациональной дробью представьте выражение:
4 а
2
. а2 - аЬ
а) а2Ь - Ь3 + Ь3 - аЬ2 - а2Ь + а3
б) 4т2 - 8+ ‘2ln' - 9n2;
2m - 3n
в)
222 x - xz - xy + yz y - xy - yz + xz z - xz - yz + xy
V u + 2v 3w - u
г) ^^ +
3u - 3v 2w - 2u
uv + uw - vw - u
2
4p2 - 6pq + 9q2 ^ 9q2 - 4p2 ;
2p - 3q 3 - 6c 2c + 1
8p3+27q3
8 - c
3
д)
е)
ж)
з)
1135. Найдите значение выражения: а) (т + п) ■ (т - n), учитывая, что т '■ n = 5 ■ 3;
2c2 + 4 c + 8 c2 - 4 c + 4 4 c2 - 1’
d2 + de ^ d2 - e2 + 25 - 10d
5d - d2 + e2 - 5e d - e
r + s 16 - s2 - r2 - 2rs
2 2 r - 4s + 4r - s 2 . r + rs
б)
а2 - 2аЬ
2аЬ - Ь
, учитывая, что а ■ Ь = 2 ■ 5;
,.2 а - 3Ь + c ,(.0.0
в) ------, учитывая, что а ■ Ь ■ c = 4 ■ 3 • 2;
а + 2Ь + 3 c
. аЬ - 2Ьc + 3ac , о о
г) ---=------, учитывая, что а ■ Ь ■ c = 4 ■ 3 • 2.
а2 + 2ac
1136. Рациональной дробью представьте выражение:
а)
а2 - 4
а2 + 4 а + 4
б)
w2 + w - 1
в) ( ^
w3 - 27 w2 + 3w + 9
3 - 2пг.2п + 1^3,
hn
• (0,25g3 - 2nh2n +1)3;
321
Правообладатель Народная асвета
1
1
1
г) ^2(^ 2 ^ 4 * (a3(2x + 2^2)(3x2 - 3xy2 + 3y4);
x2 + xy2 + y
22 , 2p + 6pr - pq - 3qr . 2pr + pq + 3qr + 6r
Д) 2 * 2 ;
2pq - 4p + qr - 2pr 2pq + qr - 4pr - 2r
e)
21 - 1 31 + 2 \4 /^,1 - l 2 - 21 \3
u V \ u V ^
3 'wl + 3\5
a)
1137. Рациональной дробью представьте выражение:
u2 + (p + q)u + pq ^ u2 - r2 _ u2 - (p - r)u - pr u2 - p2 ’
2a2 + ab - 6b2 2a2 - 7ab + 6b2
б) 7T-2------------------------------
в)
k2 - kl + 4k - 5l - 5 k3 - 2k2l - 5k2 + 10kl + 25k - 50l
k2 - 4l2
k3 +125
г)
y4 + 2 y2 + 4
y8 - 16 .______________________
y2 + 2y + 2 y4 - 2y3 + 4y2 - 4y + 4'
д)
x2 + 8 1
x2 + 2x + 4 x3 - 8 x - ^ \x2 - 4 2 - x/’
),1 6 z - 4 - z2 2 - z \ z3 + 4 z2 + 8 z + 8;
2 - z z3 - 8 z2 + 2z + 4 / 4 - 4z + z2 - z3 ’
\ I r - 2s ж) ^^ +
2s2
r3 + s3 r3 - r2s + rs^ r3 - rs2 r3 + r2s + rs2 + s3
1 1
. l m - n
з) -Г7-Г- ■ I1 -
l m - n
m2 + n2 - l^ . m - n - l
2mn
lmn
1138. Выразите переменную t через другие переменные:
b-
ab
а)
a + b a2b2
t
ab ’
a - b
б) 42
4
в)
9 - 4e2 - 4cd - d2 3 + 2c + d
4c2 + 2cd + 3d - 9 m - n - 5
t
2 2 m +2mn- 5m -5n + n
г)
p - q + r
2 2 2 2 2 p - g + r + 2pr p + pq - qr - r
322
Правообладатель Народная асвета
a +
t
t
1139. Докажите, что значение выражения:
а)
x + 9
2x
x2 + 2 x + 1 1 - x2
2 x + ^2
при любом значении пе-
3 - x / 1 - x
ременной x из области определения не зависит от этого значения;
б)
■ + 1) :
6Ь
при любых наборах
2а - Ь ь2 - 4а2 2а + Ь;
значений переменных a и Ь из области определения не зависит от значения переменной Ь;
в) ^ ^) + -т^------
(г+s)3 ' r W r2 + s2 + 2rs
наборах значений переменных г и s из области определения;
■ ^ ^ ^ ^ ^ 1 о\ (и - 2v )^^
положительно при любых
) положительно при любых
г) + 2 / ^ - 1 + 2 (и-2v)2 + sua
4v3
2v2
4+
2u
наборах значений переменных u и v из области определения;
д)
I- J
i2 + J2 + i + 5
(2i - J - J2 + 2ij)(j2 + J + ij + i) : (5 + i + 2j2)
2i - J 2i2 + iJ - J2
неположительно при любых наборах значений переменных i и J из области определения и не зависит от значения переменной i;
1 1 1 1 1
е) + 2
1 - y 1 + y 1 + y2
1 + y4
1 + ys
1+y
16
1+y
32
отри-
цательно при любом значении переменной y, которое больше единицы.
1140. Учитывая, что x + 4^ = 1, найдите значение выра-
жения:
а)
4 x - 5 y _
~о ;
3x + y
б)
5 x - 7 y
3 x2 - 2 xy + y2 5x2 + 2 y2
в)
x3 - 3xy2 4 x2 y + 3 y3
1141. Сократите дробь:
а)
■ 2\j3 a + 3
б)
■4 C243 +12; c4 -12 ;
в)
■^xy
1+
a - 3
1142. Упростите выражение:
а) ^75x3y6, учитывая, что y < 0;
б) 4-Sca^, учитывая, что Ь > 0;
в) m3 - н3 + m2n - mn2, учитывая, что m > n > 0;
V U + yj UV , ^
г) ---j=, учитывая, что u < 0.
323
Правообладатель Народная асвета
а)
б)
в) г)
а)
б)
в)
г)
д)
е)
а)
б)
в)
г)
324
1143. Упростите выражение:
4х 4у \ x - у.
^/X ^[у 4х +у[у
та + г-^ г- + );
4а +4ь' \4а +4ь 4а-4ь а-b'
2 4t - ^ ult +1 ^It - 1
t + 24t + 1 t - 1 2^[x2—1
4t
, учитывая, что x = 1 ^^ +
x ^x2 -1
1144. Упростите выражение
2 (43 - x 42 ^43
b I и b < а < 0.
3 + ^42
43
42
а - b
42а - ^ \ . а - 2 ______
42 + 4а / 4а-4b а -42а
i2 + W2
^ + 1 2 42
243
u - 42 \.
u -42 u + 42 /
42 '■•2
v4 + 2v2 + 4
'- qJ3
P +
3 p - Ы3
2s
+1 ^42
1145. Упростите выражение:
^+1
2 42
3q - P .
-1
P2 - Pq + W3 - Рл/3 2p - 2q ’
4stiis + 42)2 -12)
а - b / 4а 4Ь \
2 а + аЬ \ 4а -4ь 4а + 4ь Г
^4^ - 1й) ■ [4^1 + 41 +1 + 41 -1 41 -1 \ 41 + 1Г
[Pb - 4Ъс + c \ 1 4Ь + 4С + 24ьС
4Ь + 4С / \ 4ь +4 с + 4ь-4с ь - с Г
2z 1^+—+\1 у z \1у + z .
(у + z)4у + z - (у - z)4у - z
у - z у + z
+1
Правообладатель Народная асвета
u2 + 2
Д) - :IgL + : (g - h);
e)
^fg Wh g - h ^fg Wh
2( psIp - wq)
p - q
^[p Wq)(p + q^(p + q)2-(p-q)2) p + q^lip+qi^-ip-q)^
1146. Упростите выражение:
а)
3a + ^—г 13a + b3 /7;—r
3ab - ^1—3ab , учитывая, что значения
2^ V 2Ь
переменных a и Ь положительны;
б)
■^и4 - 6u3 - 9u2 ^4u4 - 4u3 + u2
учитывая, что значения пере-
u2 + 4u + 4
менной u принадлежат промежутку (0,5; 3);
, Jv^ - 4v + 3 + Jv2 - 3v „
в) -----, -----, учитывая, что значения переменной v
^6 - 2v
отрицательны.
1147. Докажите, что при всех значениях переменных из области определения постоянное значение имеет выражение:
а) cos в - sin а • sin в + sin р • cos р - sin а • cos р _
•2 •^•2 2 4 2 -20’
sin а • sin р - sin а • cos а - cos а + cos а • sin р
б)
2 2 (tg а + ctg а) - (tg а- ctg а)
- tg2 а - ctg2 а
• 2 2 sin а • cos а
1148. Упростите выражение:
а) ^sin2 а (1 - ctg а) + cos2 а(1 - tg а);
б) ^cos2 р(1 + tgр) + sin2 р(1 + ctgр);
в) ^У4cos2 а + 4cosа + 1 - -^4 - 4sin2 а;
г) ^2 - 2cos2 р + -^2sin2р - 2/2 sinр + 1.
1149. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
а) sin2 а + 2 cos2 а; в) 3 cos2 а - tg а ctg а;
б) 3 cos2 а - 4 sin2 а; г) 2 sin2 а + 3 tg а ctg а.
325
Правообладатель Народная асвета
Уравнения и неравенства
Из выражений с переменными с помощью отношений равно, меньше, больше и их отрицаний — не равно, больше или равно, меньше или равно образуются формулы:
A = B, A < B, A > B, A ^ B, A > B, A < B.
Формула-равенство A = B называется уравнением, формулы-неравенства A < B, A > B, A Ф B, A > B, A < B — неравенствами с переменными.
Значение переменной, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называют корнем уравнения.
Решить уравнение означает найти все его корни или установить, что их нет.
Значение переменной, при котором неравенство с переменной обращается в истинное числовое неравенство, называют решением неравенства.
Решить неравенство означает найти все его решения или установить, что их нет.
Формула, которая обращается в истинное высказывание при любых наборах значений входящих в нее переменных, называется тождественно истинной формулой. Тождественно истинные формулы-равенства называют еще тождествами.
Из формул образуются их системы.
Системой формул называется формула, состоящая из двух или более формул и которая истинна при тех и только тех наборах значений переменных, при которых истинна каждая из формул.
Система, состоящая из формул A и B, обозначается
[A, lB.
Каждое значение переменной, удовлетворяющее системе формул, называется решением системы.
Решить систему означает найти все ее решения или установить, что их нет.
Решение уравнений, неравенств и их систем часто предусматривает сведение их к стандартным уравнениям или неравенствам. При этом полученное в результате преобразований уравнение, неравенство или система должны иметь
326
Правообладатель Народная асвета
те же решения, что и исходные уравнение, неравенство или система. В таком случае говорят о равносильных уравнениях, неравенствах, системах.
Преобразованиями равносильности уравнений или неравенств являются:
• перенос слагаемого из одной части уравнения или неравенства в другую с изменением его знака;
• умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число;
• умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число;
• умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число с заменой знака неравенства знаком противоположного смысла.
Алгоритмы решения линейного и квадратного уравнений представляют схемы, приведенные на рисунках 457 и 458 соответственно.
Рис. 457
Рис. 458
327
Правообладатель Народная асвета
Рис. 459
Рис. 460
Алгоритмы решения линейных неравенств ax > b и ax < b показаны схемами, приведенными на рисунках 459 и 460.
1150. Вы знаете две средних величины положительных чисел a и b — среднее арифметическое a + b и среднее геометри-
ческое yfab. Используются еще среднее гармоническое ^ 2 ^ и среднее квадратическое
— + — a b
Докажите, что истинны
неравенства:
a2 + b2 ^ a + b
2 ^ ГГГ-
a b
328
Правообладатель Народная асвета
2
1151. Докажите, что при любых значениях переменных истинно неравенство:
а) а2 - ab + b2 > ab;
б) п2 + > 2uvw;
в) k(k - l) > l(k - l);
г) (x2 - y2)2 > 4xy(x - y)2;
д) m + n + mn < m2 + n2 + 1;
е) (^q + qr + rp)^‘ > 3pqr(p + q + r);
ж) /2(1 + g2) + g2(1 + h2) + h2(1 + /2) > 6fgh;
з) ^c2 + 2 < c2 + 3.
1152. Докажите, что при любых значениях переменных истинно неравенство:
а) а8 + а6 - 4а4 + а2 + 1 > 0;
б) 2b4 - 2b3 - b2 + 1 > 0;
в) c4 - c2 + 2c + 2 > 0;
г) d12 - d9 + d4 - d + 1 > 0.
1153. Докажите, что:
а) если а > 0 и b > 0, то \[а + sjb <
б) если c < d, то c < c + d < d;
P + ^ ^ r + s p + q^ ^ r + sk
то -----<----- и -------<------;
в) если — <
q s q s q
г) если f > 0, h > 0 и — < —, то — < ^ + g < —,
’ f ^ f f + h
1154. Решите уравнение:
а) 17а + 11 - 21а = 36 - 9а - 5;
б) 4b + 15 - 2b = 98 - 19b - 18;
в) 5d - 12 - 7d + 11 = 8 + 8d + 4;
г) 7f - 9 - 3f + 5 = 14f - 6 - f;
д) 5c - 9 - 6c = 10 - 15c - 15;
е) 16g - 12 + 2g - 8g = 25 + 3g - 22;
ж) 20u + 30 - 11u = 39 - 6u + 24;
з) 7v - 9 - 20v + 7 = 12v + 9 - 7v - 7.
1155. Решите уравнение:
а) 9(x + 3) - 6(x + 2) = 5(x - 1);
б) 3(8 - y) = 11(y + 2) - 6(y + 1);
в) 5 - 7(32 + 6) = 5(2 - 3) - 2(2 - 7);
г) 128 + 7(1 - 2t) = 4(5t + 2) + 5(8 - t);
329
Правообладатель Народная асвета
s
д) 8(3а - 1) - 9(5а - 11) + 2(7 - 2a) = 30;
е) 11(b - 4) - 3(4 - 3b) + 10(8 - 3b) = 4;
ж) 3(2с + 1) + 7(6с - 1) + 5(12с - 7) = 23;
з) 3(2u + 1) - 4(1 - 3u) - 5(6u - 7) = 1.
1156. Решите уравнение:
а) 10(9 - у) = 6 + 9y;
б) 9(17 - 4г) = 5(2 - 6);
в) 57 + 5 w = — w + 2w;
''7 4 ’
г) 0,15b + 0,1 = 5,1 + 0,1b;
д) 6,6 - 0,2g = 5(5g - 1) - 2,7g + 0,5g;
е) 0,36u - 3,4 = 0,3(0,4u - 1,2);
ж) 0,125x - 0,765x -5,425x + 1,85x = 1,2x - 5,375;
з) 7,2 - 0,855y - 34,1885 = 3,45y - 18,2 - 5,7y.
а)
1157. Решите уравнение:
x - 5 x - 4 x - 3 x -1
2
3
б) ^ + ii-y
32 9 z + 7
в) lz-
4
3y -1
" 5
z - 2
8
11(у +3).
г) 7+^ - 7u = ^1 _
д)
4
3a + 4
= 36;
2 - u
9
9 a + 44 + 3(3 a +10)
5a +12
, b +10 16b - 3
е) +
7 b - 6
b - 3
3
3(b - 3)
ж)
з)
3
3 e + 2 18-26d-51
20
5e - 8
42 3(2e + 1) e -1
24
2(1 - 3d)
36
= d -
10
2;
6 9’
20d - (10 - 3d)
52 13 156
1158. Решите уравнение:
ж) 2x = -x2 - 1;
з) 20x + 25x2 = -4;
и) -1 - 4x2 = 0;
к) 0,5x - x2 = 0;
л) 12 - 17x - 5x2 = 0;
м) 7x - 4x2 = -15.
а) 9x + 8x2 = -1;
б) 3 + 3x2 = 4x;
в) 25 - 10x + x2 = 0;
г) 4x - 4x2 = 1;
д) 3x2 - 4 = 0;
е) 8 + 9x2 = 18x;
330
Правообладатель Народная асвета
7
1159. Решите уравнение:
а) 2 - 9х2 = 0;
б) -15 - 2x2 = -11x;
в) -0,49 - x2 = 0;
г) 16x + 64 = - x2;
д) 13x + 3x2 = - 14;
е) 7x2 - 3x = 0;
ж) 5 = 2x - x2;
з) 16 + x2 = 8x;
и) 1 - 4x2 + 3x = 0;
к) -12x + 4 = -9x2;
л) 10x2 - 2 = x;
м) 25x2 + 40x + 16 = 0.
1160. Решите уравнение:
а) r2 - 20r - 800 = 0;
б) s2 + 21s + 108 = 0;
в) t2 - 21t + 108 = 0;
г) u2 + 22u + 120 = 0;
д) v2 - 22v + 120 = 0;
е) w2 + 23w + 132 = 0;
ж) x2 - 23x + 132 = 0;
з) y2 + 24y + 143 = 0;
и) 22 - 24z + 143 = 0;
к) a2 + 25a + 156 = 0;
л) h2 + 60h + 800 = 0;
м) b2 - 25b + 156 = 0.
1161. Решите приведенное квадратное уравнение:
а) a2 + a - 2 = 0;
б) b2 - b - 2 = 0;
в) с2 + c - 6 = 0;
г) d2 - d - 6 = 0;
д) в2 + e - 12 = 0;
е) f2 - f - 12 = 0;
ж) g2 + g - 20 = 0;
з) h2 - h - 20 = 0;
и) к2 + k - 42 = 0;
к) l2 - l - 42 = 0;
л) n2 - n - 56 = 0;
м) m2 + m - 56 = 0.
1162. Решите приведенное квадратное уравнение:
а) р2 + p - 72 = 0;
б) q2 - q - 72 = 0;
в) x2 - 4x + 3 = 0;
г) u2 + 9u + 20 = 0;
д) r2 - 20r - 8000 = 0;
е) y2 + 4y - 5 = 0;
ж) v2 - 9v + 20 = 0;
з) s2 + 21s + 108 = 0;
и) 22 - 4z - 5 = 0;
к) w2 + 10w + 9 = 0;
л) t2 - 21t + 108 = 0;
м) a2 + 4a - 12 = 0.
1163. Решите приведенное квадратное уравнение:
а) l2 + 80l + 1500 = 0;
б) m2 - 80m + 1500 = 0;
в) k2 - 60k + 800 = 0;
г) q2 - 12q + 35 = 0;
д) v2 + 15v - 700 = 0;
е) x2 + 16x + 60 = 0;
ж) y2 - 16y + 60 = 0;
з) d2 + 19d + 90 = 0;
и) w2 - 15w - 700 = 0;
к) e2 - 19e + 90 = 0;
л) z2 + 17z - 168 = 0;
м) l2 + 20l - 3500 = 0.
331
Правообладатель Народная асвета
1164. Решите квадратное уравнение со вторым четным коэффициентом:
а) 5x2 - 4x - 12 = 0;
б) 4у2 - 4у - 3 = 0;
в) 4г2 - 4z - 15 = 0;
г) 9t2 - 12t - 5 = 0;
д) 9u2 - 24u - 20 = 0;
е) 5v2 - 8v + 3 = 0;
ж) 3w2 - 2w - 8 = 0;
з) 25a2 + 90a + 81 = 0;
и) 36b2 - 84b + 49 = 0;
к) 9c2 - 4c - 4 = 0;
л) 7d2 + 18d + 5 = 0;
м) 9u2 - 6w - 35 = 0.
1165. Решите уравнение: а) (x - 1)(x - 2) = 6; ж) (3a + 2)2 = 3(a + 2);
з) (3b - 1)2 = 12(3 - b);
и) (3c - 2)(c - 3) = 20;
к) (d + 2)(4d - 5) = -3;
л) (3f - 2)2 = 8(f + 1)2 - 100;
м) (3 - g)(4 - g) = 2g2 - 20g + 48.
б) (y - 2)(12 - y) = 9;
в) (z - 2)2 = 2(3z - 10);
г) (u + 1)2 = 3(u + 7);
д) (2w - 3)2 = 8w;
е) (2v + 5)2 = 2(2v + 9);
1166. Решите уравнение:
а) (6x - 1)2 - 4(3x - 2)(3x + 2) + 7 = 0;
б) (2z - 3)2 - 4(z + 2)(z - 1) + 3 = 0;
в) (10y - 3)2 - 4(5y + 1)(5y - 1) + 7 = 0;
г) (2 - 3t)2 + 3(t + 3)(4 - 3t) + 5 = 0.
1167. Решите уравнение:
а) (13x - 4)(13x + 42) - (12x - 1)2 - (5x + 3)2 = 4;
б) (7y + 11)(7y - 11) + 4(12y + 5)2 - 25(5y - 1)2 = 27;
в) (4z - 2)(3 - z) + (z - 2)(6 - 2z) = 0;
г) (5 - a)(3a - 3) + (a - 1)(10 - 2a) = 0.
1168. Решите уравнение:
(p + 1)(p + 2)
а) a + 83 = 9; '^2 3 8
д) _P + ji + ( P + 1)
4 p
б)
в)
г)
332
b +1
3b - 7
b - 2 b -1 ’ c - 7 3c - 7
, q +1
е) ^ +
3
p
3(q -1) 4
2( c - 3) d - 7
c -1 d - 6
2(d + 3) d + 24
ж)
з)
(r -12)2
- r +
9
= (q - 3)2 + 1;
r(r - 9) = (r -14)2
(s + 2)( s - 5) 3
18 11s +12
+ 5;
= 2 -
r-2
Правообладатель Народная асвета
2
1169. Решите уравнение:
а)
б)
в)
- 6х x - 5
5 - х
= 0;
д) 4х -4-^ + 1 = 0;
х + 2 5х +1
х х +1 1 18
= 0;
х + 3 х3 - 9х
г) х -
2х
х -1 х + 1
3х - х2
= 0;
е)
ж)
з)
3 - 2х 3х- 2 3х- 5
3х + 2 х +1 х -1 1
3х2 - х
2 х + 5 ’
3х х +1
-1;
1 - 6 х + 9 х2
9 х2 -1
1170. Найдите три последовательных целых числа, учитывая, что:
а) их произведение меньше куба среднего числа на 28;
б) их произведение на столько же меньше куба среднего числа, на сколько утроенная сумма искомых чисел меньше 20;
в) квадрат среднего числа на 11 меньше суммы квадратов двух других чисел;
г) утроенная сумма их квадратов на 21 больше их удвоенной суммы.
1171. Без решения определите, сколько корней имеет уравнение:
е) 10х2 - 2 = х;
ж) 40х + 16х2 = - 25;
з) 4х2 - 7х = -7;
и) 5 = 7х - 5х2;
к) 5х + 3 = 2х2.
1172. Без решения определите, сколько корней имеет уравнение:
е) 9х2 - 2х = 8;
ж) 4х - 6х2 = - 25;
з) 3х2 - 5х = -1;
и) 6 = 2х - 3х2;
к) 3х2 + 4 = 8х.
а) 2х2 - 5х + 4 = 0;
б) х2 - 10х + 25 = 0;
в) 5х2 - 3х - 1 = 0;
г) -4х2 + 3х + 1 = 0;
д) -12х + 4 = -9х2;
а) 3х2 - 7х + 4 = 0;
б) 2х2 - 10х - 25 = 0;
в) 5х2 - 6х + 4 = 0;
г) -4х2 - 5х + 1 = 0;
д) -8х + 5 = -3х2;
1173. Без решения определите, сколько корней имеет уравнение:
а) 2х4- 5х2 + 2 = 0; г) -4х2 + 3х4 + 1 = 0;
б) х4 + 7х2 = 0; д) -12х4 + 4 = -9х2;
в) 5х4 - 3х2 - 1 = 0; е) 10х2 - 2 = х4.
333
Правообладатель Народная асвета
1174. Без решения определите, сколько корней имеет уравнение:
а) 2х2 - 5X + 1 = 0; г) -4х| + 2x2 + 1 = 0;
б) X2 + 3 X = 0; д) -10x2 + 4 = -9| X |;
в) 2x2 - 3 X - 1 = 0;
е) 8 X - 2 = X2.
1175. Определите, при каких значениях переменной a уравнение:
а) X2 - 6x + a = 0 имеет один корень;
б) X2 - aX + 3 = 0 имеет корнем число 2;
в) 5x2 - 4x - a = 0 не имеет корней;
г) 3x2 - 4x + a = 0 имеет два корня;
д) -ax2 + 4x = -6 имеет корни одного знака;
е) 5x2 - 2x = a - 2 имеет корни разных знаков.
1176. Учитывая, что один из корней уравнения:
а) X2 + px + 15 = 0 равен 3, найдите второй его корень и коэффициент р;
б) X2 + px - 12 = 0 равен 4, найдите второй корень и коэффициент p.
1177. Учитывая, что разность:
а) корней уравнения x2 + 3x + р = 0 равна 1, найдите эти корни и коэффициент p;
б) корней уравнения 5x2 + 8x + р = 0 равна 0,4, найдите эти корни и коэффициент p;
в) квадратов корней уравнения x2 - 3x + р = 0 равна 21, найдите эти корни и коэффициент p.
1178. Один из корней уравнения -7x2 + (р + 3)x - р = 0 равен 5. Найдите коэффициентр уравнения и второй его корень.
1179. Подбором решите уравнение:
а) X2 + 4x + 3 = 0; в) 5x2 - 4x - 1 = 0; д) x2 + 5 = -6x;
б) X2 - 4x + 3 = 0; г) 3x2 + 4x - 7 = 0; е) 2x2 + 2 = 5x.
1180. Составьте уравнение с целыми коэффициентами, корнями которого являются числа:
а) -1 и -3;
б) 0,5 и 4;
в) -5 и —; ^ 3 ’
г) 0,5 и - -3.
334
Правообладатель Народная асвета
1181. Сравните числа m и n, учитывая, что:
а) m - n = 0,023; в) m - n = 242 - 233;
б) m - n = (-0,03)5; г) m - n = -21 - -3I.
1182. Сравните с нулем значение выражения:
а) 5а2 + 0,14; в) (1 - Ь)2 - 243 + 232;
c - d
б) 0 • m3 - 2;
г)
_2\5 - /3]3 aW 129/
1183. Замените знак 0 знаком такого отношения, чтобы получилось истинное утверждение:
а) если m > n, то n 0 m;
б) если а > b, то а + m 0 Ь + m;
в) если а < Ь и c > 0 , то ас 0 bc;
г) если а > Ь и с < 0 , то ас 0 Ьс;
д) если а > Ь и Ь > 0 , то а2 0 Ь2;
е) если а < Ь и аЬ > 0 , то 1 0 1.
а Ь
1184. Докажите, что истинно неравенство:
а) (5х - 1)(5х + 1) < 25х2 + 4; в) г2 - 4z + 5 > 0;
б) (3y + 6)2 > 3y(y + 12); г) а2 + 4Ь2 > 4аЬ - 8.
1185. Определите, при любых ли значениях переменных истинно неравенство:
а) (2х - 3)(2х + 3) < 4х2 + 4х; в) а2 + 6а + 9 > 0;
б) (3y + 1)2 > 9y2 + 1; г) а2 + 4аЬ + 4Ь2 > 0.
1186. Запишите истинное неравенство, которое получится, если:
а) обе части неравенства -5 < -2 умножить на -3;
б) обе части неравенства 2,5 > -1,5 разделить на -5;
в) к обеим частям неравенства -6 < -1 прибавить 4;
г) из обеих частей неравенства 6 > -5 вычесть 10.
1187. Определите, в каких пределах находятся значения выражений а + Ь, а - Ь, а • Ь, а ■ Ь, учитывая, что:
а) 1 < а < 2 и 2 < Ь < 3;
б) 2 < а < 5 и 1 < Ь < 3;
в) 2 < а < 6 и 1 < Ь < 3;
г) 6 < а < 8 и 1 < Ь < 2;
д) -2 < а < -1 и -3 < Ь < -2;
е) -5 < а < -2 и -3 < Ь <-1;
ж) -6 < а < -2 и -3 < Ь < -1;
з) -8 < а < -6 и -2 < Ь < -1.
335
Правообладатель Народная асвета
1188. Определите, какие четные значения может принимать выражение 2а - b, учитывая, что:
а) -2 < а < -1 и 3 < b < 4;
б) -3 < а < -2 и 2 < b < 3;
в) 2 < а < 6 и 1 < b < 3;
г) 6 < а < 8 и 1 < b < 2;
д) -2 < а < -1 и -3 < b < -2;
е) -5 < а < -2 и -3 < b < -1;
ж) -6 < а < -2 и -3 < b < -1;
з) -8 < а < -6 и -2 < b < -1.
1189. Определите, в каких пределах находятся значения выражения (а + 1)(b - 2), учитывая, что:
а) 1 < а < 2 и 2 < b < 3; д) -2 < а < -1 и -3 < b < -2;
б) 2 < а < 5 и 1 < b < 3; е) -5 < а < -2 и -3 < b < -1;
в) 2 < а < 6 и 1 < b < 3; ж) -6 < а < -2 и -3 < b < -1;
г) 6 < а < 8 и 1 < b < 2; з) -8 < а < -6 и -2 < b < -1.
1190. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения -а2 + 2b - 3, учитывая, что:
а) 1 < а < 2 и 2 < b < 3; д) -2 < а < -1 и -3 < b < -2;
б) 2 < а < 5 и 1 < b < 3; е) -5 < а < -2 и -3 < b < -1;
в) 2 < а < 6 и 1 < b < 3; ж) -6 < а < -2 и -3 < b < -1;
г) 6 < а < 8 и 1 < b < 2; з) -8 < а < -6 и -2 < b < -1.
1191. Значением выражения
6а
Ь -1
является целое число, крат-
ное 9. Найдите его, учитывая, что 1,5 < а < 2,5 и 0,1 < b < 0,4. 1192. Решите неравенство:
\ /о ^ At ^ +1 7-3^ , 4ж +1
а) -(3х -2) < 4(х + 2); в) —-------^
5 - 2(ж -1)
ж +4 Зх 1 ... .J..
б) ----------^ > 2(х - 1);
г) - (2х -
> х + 23. 4
1193. Определите, при каких значениях переменной:
а) график зависимости у = -5х + 1 находится выше графика зависимости у = 3х + 2;
б) график зависимости у = 2х + 1 находится выше графика зависимости у = -3х + 2;
в) график зависимости у = -3х - 2 находится ниже графика зависимости у = 4х - 5;
г) график зависимости у = 4х + 3 находится ниже графика зависимости у = -2х - 9.
336
Правообладатель Народная асвета
а)
б)
1194. Найдите все значения переменной а, при которых число -2 является решением неравенства:
а) 2х + 3а > -5ax + 3; в) 2 - а - 6х < а - 5 + 3ax;
б) -3а - x + 4 > 3 + а - 4ax; г) 2а - 3ax + 1 > 6x - а - 5.
1195. Решите систему неравенств:
[б - 2x > 3(x - 3), Jl0x > - 5(9 + x),
[l - x < 2x; ^ |l0x + 3 < 9 + 15x;
[10 - 4x > 3(1 - x), J-3(x + 2) < - 2 + x,
[l4 + x < 8x; ^ I 4x - 2 > 2(3 - x).
1196. Определите, при каких значениях переменной выражение:
а) (5x - 1)(3x + 2) принимает положительные значения;
б) (2x + 1)(4x - 3) принимает отрицательные значения;
в) (4x + 3)(3x - 1) принимает положительные значения;
г) (5x - 4)(2x + 3) принимает отрицательные значения.
1197. Решите неравенство:
, 9 - 2 x в) <1;
г) < 2.
а) б!-^ > 1;
б) 10-3£ ^ 2;
’ x-^ ’ ' 3x-1
1198. Определите, при каких значениях переменной значение выражения:
6x - 5
а)
б)
в)
г)
3
3 x + 5
4
6 - 5x
4
5 - 2x
принадлежит промежутку [-2; 0]; принадлежит промежутку [-3; 1); принадлежит промежутку (-4; 2]; принадлежит промежутку [-2; 3).
1199. Определите, при каких значениях переменной истинно неравенство:
а) |2x + 1 > 3; в) |2 - 3x| > 5;
б) |3x - 1 < 2; г) |2 - 4^ < 2.
1200. В школьном конкурсе от каждой параллели (с пятого по одиннадцатый класс) выставлялись команды с одина-
337
Правообладатель Народная асвета
ковым количеством учеников. Определите, сколько учеников было в каждой команде, учитывая, что если б участников конкурса было на 36 больше, то их было бы больше, чем 69, и меньше, чем 91, а если б участников конкурса было на 29 меньше, то их было бы больше, чем 14, и меньше, чем 40.
1201. Решите уравнение:
а) |2х + 1 = 3;
б) |2х - 1 = 5х - 10;
в) |х2 - 1 = 3 х2;
г) Iх-.2|-5 = 1;
д) ||х - 1 - 3 = 5;
е) ||х - 1 + х = 5;
ж) |х - 3 + |х + 4 = 9;
з) |х — 3 + |х + 2 = 3 + |х — 4|;
и) |х - 5 + |х + 4 = 9.
1202. Решите неравенство:
а) 2х + 1 < 3; е) |х - -2\ + х < 4;
б) 2 х 1 < х; ж) х -3 - |х + 4 > 3;
в) х - - 3 > |х + 1; з) х - 3 + х + 2 ^ 3 + |х —
г) х - 3 > 1; и) \х - 4 + |х + 5 < 12;
х- 2
д) 2х 3 > 4 - 5х; к) |2х - 7|- -13 - 5х| > 4.
Координаты и функции
Если на прямой выбраны две точки O и E и с ними сопоставлены числа 0 и 1 соответственно (рис. 461), то говорят, что на прямой задана система координат, а саму прямую называют координатной прямой, или координатной осью. Точку O называют началом координат, а отрезок OE — единичным отрезком. Соответствие между точками координатной Q £ прямой и действительными числами
* * взаимно однозначное: каждой точке
координатной прямой соответствует
о 1
Рис. 461
338
Правообладатель Народная асвета
единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой. Число X, которое соответствует точке A координатной прямой, называют координатой этой точки и записывают A (x).
Если на каждой из двух перпендикулярных прямых заданы системы координат с общим началом в точке O пересечения прямых (рис. 462), то говорят, что задана система координат на плоскости. Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью, одну из координатных прямых, обычно горизонтальную, называют осью абсцисс, другую — осью ординат. Соответствие между точками координатной плоскости и парами действительных чисел взаимно однозначное: каждой точке координатной плоскости соответствует единственная пара действительных чисел, а каждой паре действительных чисел соответствует единственная точка координатной плоскости. Числа a и b пары (a; b), которая соответствует точке M координатной плоскости, называют координатами этой точки, причем первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой. Это записывают M (a; b).
Если имеются точки A(x^) и B(x2), то расстояние между ними выражает число jx^ - x21 (рис. 463), а если точки A(x^; y^)
и B(x2; У2), то число sj(xi - xg)2 + (y^ - У2)2 (рис. 464).
Графиком зависимости, связывающей переменные x и у, называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы и ординаты которых связаны этой зависимостью.
А \xi - Хг\ В
Xi Х2
Рис. 463
339
Правообладатель Народная асвета
Зависимость, задаваемая уравнением у = ax + b, называется линейной функцией. Ее графиком является прямая (рис. 465). Число a называют угловым коэффициентом прямой, которая является графиком функции у = ax + b. Частным случаем линейной функции является прямая пропорциональность у = ax. Пусть M(x0; у0) — произвольная точка графика прямой пропорциональности у = ax (рис. 466, а). Тог-
да уо = axo.
точке -
b .
2a ’
b2 - 4 ac 4a
Эта парабола име-
b
ет осью симметрии прямую x = - , и ее
ветви направлены вверх, если a > 0, или вниз, если a < 0 (рис. 468).
340
Значит, a = —. Но — = tg а.
x0 x0
Поэтому a = tg а, т. е. угловой коэффициент a зависимости у = ax равен тангенсу угла, который образует график этой зависимости с положительным направлением оси абсцисс. Рисунок 466, б показывает, что такой же смысл имеет и угловой коэффициент a линейной функции у = ax + b.
Зависимость, задаваемая уравнением у = a, называется обратной пропорциональностью. Ее графиком является гипербола (рис. 467). Число a называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Функция, задаваемая уравнением
у = ax^ + bx + c, где a Ф 0, называется квадратной функцией. Ее графиком является парабола, вершина которой находится в
Правообладатель Народная асвета
1203. Найдите расстояние между точками координатной прямой:
д) £(3,7) и £(1,3);
е) G(-13,9) и Я(13,9);
а) А(3) и Б(13);
б) С(-3) и Б(13);
в) А(3) и Б(-13);
г) С(-3) и Б(-13);
ж) I (-3i) и J (1221);
з) ^ (-715) и L (-918
1204. Найдите расстояние между точками координатной плоскости:
а) А(3; 6) и Б(13; -18);
б) Б(-3; 2) и Q(13; 30);
в) R(7; 30) и S(-13; -18);
г) £(-23; 67) и F(-10; -17);
д) £(37; -2) и £(13; 30);
е) £(39; 10) и Я(139; 115).
1205. Найдите стороны и площадь треугольника, вершины которого находятся в точках:
а) A(2; 3), Б(5; 7) и С(-3; -8);
б) Б(-1; 4), £(5; 12) и £(-2; -12);
в) G(-2; -5), H(7; 35) и I(0; 11);
г) М(-4; -1), ^(8; 34) и P(24; 4);
д) Q(0; 11), R(9; -29) и S(1; 14);
е) Г(-1; -1), £(10; 59) и F(43; 15).
1206. Постройте график функции:
_
" 3х ’ -2 ; 3х ’
1207. Постройте график функции:
а) у = 3х - 2; д) у = 1 x + 2;
а) у = 3х; в) у = -3х; д) у=-1^ ж) у
б) у = -3х; г) у = - 3 х; е) у=- ^; з) у --
б) у = -3х - 2;
в) у = 3х + 2;
г) у = -3х + 2;
е) у = - -3 х + 2;
ж) у = -3х - 2;
з) у = - -3 х - 2.
341
Правообладатель Народная асвета
Рис. 473
Рис. 475
Рис. 476
1208. Запишите формулу, выражающую ту же зависимость, что и график, представленный на рисунке:
а) 469; в) 471; д) 473; ж) 475;
б) 470; г) 472; е) 474; з) 476.
1209. Постройте график функции:
а) у = X2 - 6x;
б) у = X2 + 6x;
в) у = X2 - 2х - 8;
г) у = X2 + 2х - 8;
д) у = -X2 - 4х - 5;
е) у = -X2 + 4x - 5;
ж) у = 3x2 - 6x;
з) у = -3x2 - 6x;
342
и) у = 2x2 - 4x - 6;
к) у = -2x2 + 4x - 6;
л) у = X2 + 4x + 3;
м) у = -X2 + 4x + 3;
н) у = X2 - 4x + 3;
о) у = -X2 + 4x - 3;
п) у = 0,5x2 - X - 1,5;
р) у = -0,5x2 - X + 1,5.
Правообладатель Народная асвета
Геометрические фигуры и их свойства
Основное содержание школьной геометрии связано с соответствующими геометрическими конфигурациями — простейшими геометрическими фигурами или их сочетаниями.
Две прямые плоскости
Две прямые одной плоскости могут иметь общую точку или не иметь ее. В соответствии с этим две прямые плоскости или пересекающиеся или параллельные.
Параллельные прямые разделяют плоскость на две полуплоскости и полосу (рис. 477).
Пересекающиеся прямые разделяют плоскость на четыре угла (рис. 478), которые объединяют в пары. Углы 1 и 2, которые имеют общую сторону, называют смежными, а углы 1 и 3, стороны каждого из которых являются продолжениями сторон другого угла, — вертикальными. Смежные углы вместе составляют 180°, а вертикальные углы равны друг другу.
Три прямые плоскости
Среди трех прямых а, b и c может не быть параллельных прямых (рис. 479) или такие прямые могут быть. Если параллельные прямые а и b имеются, то третья прямая c может быть параллельной им (рис. 480) или пересекать их (рис. 481).
Свойства параллельных прямых.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то:
Полу-
плоскость
Полоса
Полу-
плоскость
Рис. 477
Z H-Z2^ Z 1 = Z3
Рис. 478
180°
Если а II Ь и Ь II с, то а II с.
Если а II Ь и а II с, то & II с. Рис. 480
343
Правообладатель Народная асвета
Рис. 482
• соответственные углы равны;
• внутренние накрест лежащие углы равны;
• внутренние односторонние углы вместе составляют 180°. Признаки параллельности прямых.
Прямые являются параллельными, если при пересечении их третьей прямой образуются:
• равные соответственные углы;
• равные внутренние накрест лежащие углы;
• внутренние односторонние углы, которые вместе составляют 180°.
Треугольник
Три попарно пересекающиеся прямые выделяют из плоскости треугольник (рис. 482). Стороны и углы треугольника называют его основными элементами. С треугольником связывают и другие элементы.
Внешний угол треугольника — угол, смежный с его внутренним углом (рис. 483).
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис. 484).
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны (рис. 485).
Биссектриса треугольни-
ка — отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между его вершиной и противолежащей стороной (рис. 486).
Рис. 483
Правообладатель Народная асвета
Рис. 487
Высота
Высота
Рис. 488
Ч С В
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, проходящую через его противолежащую сторону (рис. 487).
Треугольник (рис. 488) имеет такие свойства.
Свойства сторон и углов треугольника:
• сумма внутренних углов равна 180°; Z A + Z B + + Z C = 180°;
• каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон и больше их разности; b - c < a < b + c; a - c < b < a + c; a - b < c < a + b;
• большему углу соответствует большая противолежащая сторона; если Z C > ZA, то c > a;
• большей стороне соответствует больший противолежащий угол; если c > a, то Z C > ZA.
Свойство внешнего угла треугольника:
• внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов, не смежных с ним; Z BAD = Z B + Z C.
Свойства средней линии треугольника:
• средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине; MN ^ AB; MN = 1AB.
Свойства медиан треугольника:
• медиана треугольника делит его на равновеликие части;
SCAA1 = SBAA1 (см. рис. 485);
• медианы треугольника пересекаются в одной точке;
• точка пересечения медиан треугольника отсекает от каждой из них третью долю, если считать от стороны;
A1G = 1AA1, B1G = 1BB1, C1G = 1CC1 (рис. 489).
Свойства биссектрис треугольника:
• биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам;
BA-,
CA-.
AB
AC
(см. рис. 486).
345
Правообладатель Народная асвета
• биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноотстоящей от сторон треугольника (рис. 490);
• точка пересечения биссектрис треугольника делит каждую из них в отношении, первый компонент которого — сумма сторон, заключающих биссектрису, а второй — третья
AJ AB + AC
сторона;
(см. рис. 490).
Прямоугольный треугольник
Два угла треугольника обязательно острые, а третий — больший — его угол может быть и острым (рис. 491), и прямым (рис. 492), и тупым (рис. 493). В соответствии с этим треугольники разделяют на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные. Стороны, образующие прямой угол прямоугольного треугольника, называют катетами, а третью его сторону — гипотенузой.
Прямоугольный треугольник имеет такие свойства:
• острые углы вместе составляют 90°; Z A + Z B = 90°;
• квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора); AB^ = AC^ + BC2;
• если катет лежит против угла в 30°, то он равен половине гипотенузы;
• если катет равен половине гипотенузы, то он лежит про-
тив угла в 30°;
В
Правообладатель Народная асвета
JA1 BC
• синус острого угла равен отношению противолежащего ка-
BC .
тета к гипотенузе; sin A =
AB’
• косинус острого угла равен отношению прилежащего кате-
AC
та к гипотенузе; cos A = -^;
• тангенс острого угла равен отношению противолежаще-
BC
го катета к прилежащему; tg A = -^;
• котангенс острого угла равен отношению прилежащего
AC BC '
катета к противолежащему; ctg A =
Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе:
• медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна половине этой гипотенузы; CCi = ACi = BCi (рис. 494).
Свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе:
• высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, является средним геометрическим отрезков, на которые она разделяет гипотенузу, а катет является средним геометрическим гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу (рис. 495); CC1 = sj AC1 • BC1;
AC = .JAB • AC,; BC = .
Признаки прямоугольного треугольника. является прямоугольным, если:
• он имеет прямой угол;
• сумма двух каких-нибудь его углов равна 90°;
• квадрат большей его стороны равен сумме квадратов двух других сторон;
• одна из его медиан равна половине стороны, к которой проведена.
Рис. 495
Треугольник
347
Правообладатель Народная асвета
Равнобедренный треугольник
Если треугольник имеет равные стороны, его называют равнобедренным (рис. 496). Равнобедренный треугольник с тремя равными сторонами называют равносторонним (рис. 497).
Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием.
Равнобедренный треугольник (рис. 498) имеет такие свойства.
Боковая
сторона
Боковая сторона
А
Рис. 496
С
Основание
Свойство углов равнобедренного треугольника:
• углы при основании равнобедренного треугольника равны; Z A = Z. С.
Свойства медианы, высоты, биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенных к его основанию:
• медиана, биссектриса, высота равнобедренного треугольника, проведенные к его основанию, совпадают; если БЕ-^ — медиана, то ББ^ — биссектриса и высота; если ББ^ — биссектриса, то ББ^ — медиана и высота; если ББ^ — высота, то ББ^ — биссектриса и медиана.
Признаки равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если:
• две его стороны равны;
• два его угла равны;
• проведенные из одной вершины медиана и высота совпадают;
• проведенные из одной вершины медиана и биссектриса совпадают;
• проведенные из одной вершины высота и биссектриса совпадают.
348
Правообладатель Народная асвета
Окружность и круг
Отношение длины C окружности к ее диаметру d есть постоянная величина для любой окружности. Это отношение представляется числом, которое обозначается п.
п = C « 22 « -355 « 3,141592^ .
d 7 113 ’
Длина C окружности, площадь S соответствующего круга и их радиус r связаны формулами:
C = 2пг; S = пг2; S = Cr.
Четырехугольник
Плоская замкнутая четырехзвенная ломаная без самопересечений выделяет из плоскости четырехугольник. Четырехугольник на рисунке 499 — выпуклый, а на рисунке 500 — невыпуклый. Обычно рассматривают выпуклые четырехугольники .
Свойства четырехугольника:
• сумма внутренних углов его равна 360°;
• середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма (рис. 501);
• из треугольников, на которые диагонали разделяют четырехугольник, произведение площадей треугольников, прилежащих к одной паре противолежащих сторон, равно произведению площадей треугольников, прилежащих к другой паре противолежащих сторон (рис. 502).
Правообладатель Народная асвета
Трапеция
Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называют ее основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами (рис. 503).
Свойства трапеции (рис. 504):
• сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°; Z A + Z B = 180°; Z C + Z D = 180°;
' >\
' ' \
_ _ „ / \ \
• средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме; MN | AD, MN | BC, MN = -1(AD + BC);
• прямая, проходящая через точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции и точку пересечения диагоналей, делит основания трапеции пополам;
• из треугольников, на которые диагонали разделяют трапецию, треугольники, прилежащие к ее основаниям, — подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, — равновелики; АAOD ^ АСОВ; SAoB = SDoC.
Четырехугольник имеет параллельные стороны, если:
• сумма углов, прилежащих к какой-нибудь стороне, равна 180°; ZA + ZB = 180° или Z B + ZC = 180° или Z C + Z D = 180° или Z D + Z A = 180°;
• отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырехугольника, равен полусумме двух других его
сторон; MN = -1(AD + BC) или PQ = -1(AB + CD);
• из четырех треугольников, на которые диагонали разделяют четырехугольник, два треугольника, прилежащие к противолежащим сторонам, равновелики; SAOB = SDOC или
SAOD = SBOC.
350
Правообладатель Народная асвета
А D
Рис. 505
Параллелограмм
Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (рис. 505).
Свойства параллелограмма (рис. 506):
• сумма углов, прилежащих к любой его стороне, равна 180°; ZA + Z.B = 180° и Z B + Z C = 180° и Z C + Z D = 180° и Z D + Z A = 180°;
• его противолежащие стороны параллельны и равны; AD | BC и AB | CD;
AD = BC и AB = CD;
• его противолежащие углы равны; ZA = ZC и Z B = ZD;
• точка пересечения диагоналей делит их пополам; AO = CO; BO = DO.
• точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
Признаки параллелограмма. Четырехугольник является параллелограммом, если:
• суммы углов, прилежащих к каким-нибудь двум смежным сторонам, равны 180° каждая; Z A + Z B = 180° и Z B + Z C = 180° или Z B + Z C = 180° и Z C + Z D = 180° или Z C + Z D = 180° и Z D + Z A = 180° или Z D + Z A = 180° и Z A + Z B = 180°;
• его противолежащие стороны параллельны; AD | BC и AB I CD;
• его противолежащие стороны равны; AD = BC и AB = CD;
• он имеет пару противолежащих параллельных и равных сторон; AD | BC и AD = BC или AB = CD и AB | CD;
• его противолежащие углы равны; ZA = ZC и Z B = ZD;
• его диагонали точкой пересечения делятся пополам; AO = CO; BO = DO.
Прямоугольник
Прямоугольник — параллелограмм, у которого имеется прямой угол (рис. 507).
Свойства прямоугольника (рис. 508):
В С
ABCD — параллелограмм и Z А = 90°
D Рис. 507
Правообладатель Народная асвета
• все его углы равны друг другу и прямые;
Z A = Z B = Z C = Z D = 90°;
• его диагонали равны; AC = BD;
• срединные перпендикуляры к его сторонам являются осями симметрии.
Признаки прямоугольника. Параллелограмм является прямоугольником, если:
• его диагонали равные; AC = BD;
• срединный перпендикуляр к какой-нибудь стороне параллелограмма является его осью симметрии; MN — ось симметрии или PQ — ось симметрии.
Ромб
Ромб — параллелограмм, у которого имеются равные смежные стороны (рис. 509).
'ABCD — паралл^ ^^лограмм и АВ =A^/^q
Рис. 509
Свойства ромба (рис. 510):
• все его стороны равны друг другу; AB = BC = CD = DA;
• его диагонали перпендикулярны; AC Z BD;
• его диагонали делят углы пополам; ZABD = Z CBD и Z BAC = Z DAC;
• прямые, которым принадлежат его диагонали, являются осями симметрии.
Признаки ромба. Параллелограмм является ромбом, если:
• он имеет пару равных смежных сторон;
AB = BC или BC = CD или CD = DA или DA = AB;
• его диагонали перпендикулярны; AC Z BD;
• его диагонали делят углы пополам;
ZABD = Z CBD и Z BAC = Z DAC;
• прямые, которым принадлежат его диагонали, являются осями симметрии.
352
Правообладатель Народная асвета
Квадрат
Квадрат — прямоугольник, у которого имеются равные смежные стороны или ромб, у которого имеется прямой угол (рис. 511).
В
Поскольку квадрат является и прямоугольником, и ромбом, то у него имеются все свойства прямоугольника и все свойства ромба.
Отношения между фигурами
Геометрические фигуры могут находиться в отношениях равенства и подобия.
Равные фигуры — фигуры, которые совпадают при наложении.
Признаки равенства треугольников. Треугольники являются равными, если у них соответственно равны:
• две стороны и угол между ними в одном — двум сторонам и углу между ними в другом;
• сторона и прилежащие к ней углы в одном — стороне и прилежащим к ней углам в другом;
• три стороны в одном — трем сторонам в другом.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Прямоугольные треугольники является равными, если у них соответственно равны:
• катеты;
• катет и прилежащий к нему острый угол;
• гипотенуза и острый угол;
• гипотенуза и катет.
Теория подобия основывается на теореме Фалеса: если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, которые пересекают
353
Правообладатель Народная асвета
другую сторону угла, то эти прямые на другой стороне высекают также равные отрезки.
Истинна обобщенная теорема Фалеса: ряд параллельных прямых, которые пересекают две другие прямые, высекают на них пропорциональные отрезки (рис. 512).
Подобные треугольники — треугольники, углы которых попарно равны, а соответственные стороны пропорциональны.
Признаки подобия треугольников. Треугольники являются подобными, если у них:
• есть по равному углу, а прилежащие к ним стороны пропорциональны;
• есть по два равных угла;
• все три стороны пропорциональны.
Отношение любых соответственных линейных элементов подобных фигур равно коэффициенту подобия. Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Отношение объемов подобн^тх фигур-тел равно кубу коэффициента подобия.
1210. Докажите, что:
а) средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника;
б) медиана треугольника разделяет его на два равновеликих треугольника;
в) медианы треугольника разделяют его на шесть равновеликих треугольников;
354
Правообладатель Народная асвета
г) точка пересечения биссектрис треугольника разделяет каждую биссектрису в отношении, первый компонент которой есть сумма сторон, заключающих биссектрису, а второй — третья сторона.
1211. Верно ли, что два отрезка равны, если они являются:
а) диагоналями равнобедренной трапеции;
б) медианами равнобедренного треугольника;
в) высотами параллелограмма;
г) осесимметричными;
д) высотами одной трапеции?
1212. Верно ли, что отрезок a больше отрезка b, если a и b являются соответственно:
а) медианой и высотой треугольника, проведенными из одной вершины;
б) биссектрисой и высотой треугольника, проведенными из одной вершины;
в) большим основанием равнобедренной трапеции и ее диагональю;
г) диаметром и хордой одного круга;
д) боковой стороной равнобедренного треугольника и его основанием?
1213. Верно ли, что угол является прямым, если:
а) он равен своему смежному углу;
б) это один из углов треугольника со сторонами 10, 11 и 12;
в) это угол между диагоналями ромба;
г) его вершина отстоит на 3 см от центра окружности, а стороны проходят через концы одного диаметра;
д) если он является углом треугольника и равен сумме двух других его углов?
1214. Учитывая, что одна сторона треугольника равна 1, другая — а, а угол между ними равен 30°, определите, верно ли, что если:
а) третья сторона равна 0,8, то этот треугольник остроугольный;
б) этот треугольник остроугольный, то он не равнобедренный;
в) площадь треугольника равна 1, то этот треугольник тупоугольный;
г) этот треугольник равнобедренный, то его периметр больше 3;
д) этот треугольник прямоугольный, то его площадь больше 0,25.
355
Правообладатель Народная асвета
1215. Определите, существует ли треугольник, у которого перпендикулярны:
а) две медианы;
б) две биссектрисы;
г) медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины;
в) две высоты;
д) два срединных перпендикуляра.
1216. Учитывая, что две стороны треугольника равны 10 и 20, определите, верно ли, что если:
а) этот треугольник имеет ось симметрии, то его периметр равен 50;
б) периметр этого треугольника равен 59, то он тупоугольный;
в) угол между известными сторонами прямой, то медиана, проведенная к третьей стороне, больше 15;
г) площадь этого треугольника равна 100, то он остроугольный;
д) угол между известными сторонами равен 120°, то третья сторона равна 1^/7.
1217. Определите, существуют ли два таких равнобедренных треугольника, из которых можно составить:
а) квадрат;
б) прямоугольник с разными измерениями;
в) ромб;
г) трапецию;
д) осесимметричный четырехугольник без параллельных сторон.
1218. Определите, верно ли, что треугольник является равнобедренным, если:
а) две его высоты равны;
б) биссектриса одного из углов делит его на две равновеликие части;
в) равны две его средние линии;
г) две его медианы равны;
д) его средняя линия перпендикулярна одной из биссектрис.
1219. Учитывая, что сторона AB и угол C треугольника ABC соответственно равны 1 и 90°, установите, верно ли, что если:
356
Правообладатель Народная асвета
а) угол A больше 30°, то сторона BC больше 0,5;
б) периметр треугольника равен 2,2, то медиана, проведенная к гипотенузе, равна 0,5;
в) площадь треугольника равна 0,25, то он имеет ось симметрии;
г) сторона AC меньше 0,6, то сторона BC больше 0,9;
д) косинус одного из его углов равен синусу другого угла, то треугольник ABC является равнобедренным.
1220. Установите, верно ли, что треугольник является прямоугольным, если:
а) его высоты пересекаются на стороне;
б) одна из его сторон вдвое больше одной из медиан;
в) квадрат одной из его сторон равен разности квадратов двух других сторон;
г) синус одного из его углов равен косинусу другого угла;
д) биссектриса делит сторону, к которой она проведена, на части, из которых одна равна этой биссектрисе, а другая вдвое меньше.
1221. Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке Q, прямые, параллельные диагоналям параллелограмма, проведенные через точки A и D, пересекаются в точке P, а прямые AD и PQ пересекаются в точке O. Найдите длину отрезка OP, учитывая, что AB = 6.
1222. Определите, имеются ли такие точки P и Q квадрата ABCD со стороной 1, что:
а) PQ > 1;
б) PQ > 1,5;
в) AP = 1, CQ = 1, PQ = 1;
г) PA < PC, QC > QD, PQ = 1,2;
д) PA > PC, QC > QD, PQ < 0,1.
1223. Определите, имеется ли такая точка M прямоугольника ABCD со сторонами AB = 1 и AD = 2, что:
а) MA = 1 и Z MAB = 45°;
б) MB = MC и Z BMC = 90°;
в) Z AMB = Z CMD;
г) Z AMD = Z CMD;
д) MB = MD и ZAMD < 90°.
1224. Докажите, что в параллелограмме:
а) сумма расстояний от любой внутренней точки до прямых, содержащих стороны параллелограмма, есть величина постоянная;
357
Правообладатель Народная асвета
б) биссектриса внешнего угла вместе с продолжениями двух сторон, которые не имеют общих точек с проведенной биссектрисой, ограничивают равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной полупериметру параллелограмма;
в) биссектрисы внешних углов ограничивают прямоугольник, диагональ которого равна сумме смежных сторон параллелограмма;
г) биссектрисы внутренних углов ограничивают прямоугольник, диагональ которого равна разности смежных сторон параллелограмма;
д) точки пересечения со сторонами биссектрис углов между диагоналями являются вершинами ромба.
1225. Докажите, что в четырехугольнике:
а) сумма диагоналей меньше периметра;
б) сумма диагоналей больше полупериметра;
в) сумма диагоналей больше суммы двух противолежащих сторон.
1226. Докажите, что:
а) середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба;
б) если биссектрисы углов при одном из оснований трапеции пересекаются на другом ее основании, то это основание равно сумме боковых сторон трапеции;
в) биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом на средней линии трапеции.
1227. Докажите, что:
а) если выпуклый четырехугольник имеет равные диагонали и равные две противолежащие стороны, то он является или равнобедренной трапецией, или прямоугольником;
б) отрезок, соединяющий точки на разных основаниях трапеции, делится пополам ее средней линией;
в) прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, разбивает его на две равные трапеции или на два равных параллелограмма.
1228. Стороны треугольника равны 11 см, 12 см и 13 см. Параллельно средней по величине стороне треугольника провели прямую, которая разделила периметр треугольника пополам. Определите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри треугольника.
358
Правообладатель Народная асвета
1229. Через точку пересечения биссектрис равнобедренного треугольника провели прямую, параллельную его основанию. Учитывая, что отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 6 см, а периметр треугольника — 32 см, найдите стороны треугольника.
1230. Из вершины A параллелограмма опущены высоты AM и AN на стороны BC и CD. Найдите отрезки, на которые эти высоты разделяют диагональ BD длиной 28 см, учитывая, что BM : MC = 3 : 8 и CN ■ ND = 3 : 2.
1231. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке M. На стороне CD выбрана такая точка N, что MN | BD. Найдите стороны параллелограмма, учитывая, что CM = m и CN = n.
1232. На катете BC и гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбраны соответственно такие точки M и N, что AM — биссектриса угла A и MN ± BC. Учитывая, что CM = 5 см и MN = 13 см, найдите стороны треугольника ABC.
1233. Прямая, проходящая через точку пересечения биссектрис треугольника ABC параллельна AC, пересекает стороны AB и BC в точках F и G соответственно. Найдите стороны AB и BC, учитывая, что AC = b, AF = m, GC = n.
1234. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки F и G соответственно так, что FG | AC. Найдите отрезок AC, учитывая, что AF + GC = т, BF + BG = n и FG = а.
1235. Биссектриса угла A при основании равнобедренного треугольника ABC делит боковую сторону в отношении 2 : 3, если считать от вершины B. Через точку пересечения биссектрис параллельно основанию проведена прямая. Учитывая, что отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 30 см, найдите основание AC треугольника.
1236. На гипотенузе AB и катете BC прямоугольного треугольника ABC выбраны такие точки F и G соответственно, что отрезок CF — биссектриса и AG F CF. Найдите отрезки AF и BF, учитывая, что AC = 42 см и BG = 14 см.
1237. Биссектриса AP равнобедренного треугольника ABC делит медиану BM, проведенную к основанию, в отношении 5 : 3, если считать от вершины. Найдите основание AC, учитывая, что CP = 30 см.
1238. Высота BP треугольника ABC делит биссектрису AF в отношении 3 : 2 и сторону AC в отношении 6 : 7, если считать от вершины A. Найдите стороны AC и BC, учитывая, что AB = 42 см.
359
Правообладатель Народная асвета
1239. В треугольнике ABC проведена:
а) высота BH, а в треугольниках ABH и BHC — биссектрисы BF и BG. Найдите стороны треугольника ABC, учитывая, что AF : FH = 5 : 3, CG = 26 см и GH = 10 см;
б) биссектриса BM, а в треугольниках ABM и BMC — биссектрисы MP и MQ. Докажите, что AP • BM • CQ = AQ • CM • BP.
1240. В треугольнике ABC проведены биссектриса AP и медиана AM. Найдите BC, учитывая, что PM = p и AB : AC = b : с.
1241. Диагональ равнобедренной трапеции делится биссектрисой острого угла в отношении 2 : 3, а биссектрисой тупого угла — в отношении 5 : 6, если считать от меньшего основания. Найдите стороны трапеции, учитывая, что ее средняя линия равна 70 мм.
1242. В равнобедренной трапеции с углом 60° биссектриса этого угла делит:
а) диагональ трапеции в отношении 4 : 11, а меньшее основание — на части, которые отличаются на 30 см. Найдите стороны трапеции;
б) среднюю линию трапеции в отношении 4 : 11, а меньшее основание — на части, которые отличаются на 20 см. Найдите среднюю линию трапеции.
1243. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AF и BG, которые пересекаются в точке Q. Найдите отношение BQ ■ QG, учитывая, что AG = 8 см, CG = 12 см и CF = 10 см.
1244. На стороне BC равнобедренного треугольника ABC с основанием AC, равным 30 см, выбрали такую точку F, что прямая AF делит медиану BM на части BQ и QM, соответственно равные 24 см и 8 см. Найдите длину отрезка AF.
1245. Найдите диагонали параллелограмма со сторонами а и b, учитывая, что его угол равен углу между диагоналями.
1246. На стороне AB прямоугольника ABCD отметили такую точку K, что Z CKD = 90°. Найдите отрезки, на которые точка K разделяет сторону AB, учитывая, что измерения прямоугольника равны 4 см и 10 см.
360
Правообладатель Народная асвета
1247. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены такие точки G и F соответственно, что ZAFC = Z BAC и FG I AC. Найдите периметр треугольника AFG, учитывая, что AB = 27 см, BC = 36 см и AC = 18 см.
1248. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены такие точки G и F соответственно, что Z FAB = Z BCG. Докажите, что Z BFG = Z BAC.
1249. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены такие точки G и F соответственно, что BF + FG = 18 см и BF ■ BG = BC ■ BA. Найдите отрезок FG, учитывая, что AC = 35 см и BC = 28 см.
1250. В трапеции с боковыми сторонами 10 см и 15 см ее диагональ длиной 12 см является средним геометрическим оснований трапеции. Найдите эти основания.
1251. Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагональ — 6 см. Найдите боковые стороны трапеции, учитывая, что они отличаются на 2,5 см.
1252. Стороны AB, BC и AC треугольника ABC соответственно равны 12 см, 18 см и 15 см. На них соответственно отмечены такие точки F, G и K, что Z BFG = Z KGC. Найдите отрезок FK, учитывая, что KG = 8 см и GF = 12 см.
1253. В треугольник ABC вписан такой параллелограмм с периметром 60 см, что один из его углов совпадает с A, а остальные вершины лежат на сторонах треугольника. Найдите диагональ параллелограмма, выходящую из вершины A, учитывая, что AB = 26 см, BC = 52 см и AC = 39 см.
1254. Биссектриса AF треугольника ABC разделяет его сторону BC на части длинами 8 см и 10 см. Найдите стороны AB и AC, учитывая, что они отличаются на 3 см.
1255. В треугольнике ABC проведена биссектриса AF и на стороне AB отмечена такая точка G, что Z BGC = ZAFB. Найдите стороны треугольника, учитывая, что BF = b, CF = c и BG = m.
1256. В равнобедренной трапеции ABCD с периметром 64 см на большем основании AD и боковой стороне CD выбраны соответственно такие точки F и G, что FG | AC, DF = 18 см, DG = 12 см. Учитывая, что прямая, проходящая через точку G и точку пересечения диагоналей, параллельна основаниям трапеции, найдите эти основания.
361
Правообладатель Народная асвета
1257. Боковая сторона AB трапеции ABCD равна а, а основания AD и BC — m и n соответственно. Найдите диагонали трапеции, учитывая, что они пересекаются в точке Q и Z AQD = Z ABC.
1258. Имеется треугольник ABC со сторонами AB, BC и AC соответственно равными с, а и b. На продолжении стороны AC за точку C на расстоянии m от нее выбрана точка M, а на прямой AB — точка N так, что ZAMN = ZABC. Найдите длины отрезков AN и MN.
1259. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC и боковой стороной BC, соответственно равными b и а, проведены высоты к боковым сторонам. Найдите расстояния между их основаниями.
1260. Медиана AM треугольника ABC делит высоту BD на части длинами 10 см и 14 см. Учитывая, что AC = 63 см, найдите стороны AB и BC.
Геометрические величины
В школьной математике изучают четыре величины — градусную меру угла, длину отрезка, площадь фигуры, объем тела.
Использование величины позволяет выразить определенным действительным числом результат сравнения геометрической фигуры Ф с фигурой, с которой сопоставлено число 1. Выбор фигуры-эталона означает выбор единицы измерения. Кроме основной единицы, используют и производные от нее, которые в метрической системе мер образуются единообразным образом с помощью приставок греческого происхождения. Значения употребительных приставок приводятся в следующей таблице.
При- Обозна- Множи-
ставка чение тель
гига Г 109
мега М 106
кило к 103
гекто г 102
При- Обозна- Множи-
ставка чение тель
деци д 10-1
санти с 10-2
милли м 10-3
микро мк 10-6
362
Правообладатель Народная асвета
Угол
Угол
Градусная мера угла
Два луча с общим началом разделяют плоскость на две части (рис. 513), каждую из которых вместе с лучами называют углом, сами лучи — сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла. Угол обозначают знаком Z.
Луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам, называют биссектрисой угла (рис. 514).
Угол, стороны которого являются противоположными лучами, называют развернутым, его стовосьмидеся-тую долю называют градусом и обозначают 1°. Градус является единицей измерения величины, которую называют градусной мерой угла.
Шестидесятую долю градуса называют минутой, шестидесятую долю минуты — секундой. Минуту обозначают знаком секунду — знаком ".
Угол, равный своему смежному углу, называют прямым. Угол, меньший прямого, называют острым, а угол, больший прямого и меньший развернутого, — тупым.
Сумма углов многоугольника, как выпуклого, так и невыпуклого, с количеством сторон n равна 180° • (п - 2).
Длина отрезка. Расстояние
Две точки прямой Ми N разделяют ее на три части (рис. 515), которые вместе с точками Ми N образуют луч с началом в точке М, луч с началом в точке N и отрезок MN. Если выбрать единицу длины, то можно измерить длину отрезка. В качестве единицы длины принят метр. С длиной отрезка связана другая величина — расстояние.
М
N
Луч Отрезок Луч
Рис. 515
363
Правообладатель Народная асвета
Рис. 517 м
1 у 3 \ N,
Q к ST
Рис. 516
Рис. 518
Из точки A в точку B можно попасть разными путями (рис. 516). Наикратчайшим из них является путь 3 по отрезку AB. Расстоянием между точками называется длина отрезка, соединяющего их.
Наименьшим расстоянием от точки M до прямой l является расстояние до точки K — основания перпендикуляра MK (рис. 517). Расстоянием между точкой и прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из точки на прямую.
Любые две точки одной из параллельных прямых равно-отстоят от другой прямой (рис. 518). Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой.
Длина C окружности с радиусом R представляется формулой C = 2nR.
Площадь фигуры
Если выбрать единицу площади, то можно измерить площадь фигуры. В качестве единицы площади принят квадратный метр, под которым понимают площадь квадрата со стороной, равной 1 м.
Площадь треугольника (рис. 519) равна:
• половине произведения стороны и проведенной к ней
высоты:
S = 1 a • h
a ’
• произведению высоты треугольника и перпендикулярной ей средней линии: S = ha • la;
364
Правообладатель Народная асвета
• половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними: S = 1 absin у;
• квадратному корню из произведения полупериметра и трех разностей полупериметра с каждой стороной:
P = ^(a + b + c); S = yjp(p - a)(p - b)(p - c).
Площадь четырехугольника (рис. 520) равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними:
S = 1 di • d2 • sin a.
Площадь трапеции (рис. 521) равна произведению полусуммы ее оснований и высоты или произведению ее средней
a + b
линии и высоты: S =
h = l • h.
Площадь параллелограмма (рис. 522) равна произведению стороны и проведенной к ней высоты:
S = a • h.
Площадь прямоугольника (рис. 523) равна произведению его смежных сторон: S = a • b.
Площадь ромба (рис. 524) равна половине произведения
диагоналей: S = 1 d1 • d2.
Площадь круга с радиусом R выражается формулой S = nR2.
365
Правообладатель Народная асвета
Объем тела
Если выбрать единицу объема, то можно измерить объем тела. В качестве единицы объема принят кубический метр, под которым понимают объем куба со стороной, равной 1 м.
Объем прямоугольного параллелепипеда (рис. 525)равен:
• произведению трех его измерений:
V = abc;
• произведению площади его основания и высоты:
V = Sh.
1261. На отрезке AB выбрана внутренняя точка C. Найдите отрезки CA и CB, учитывая, что:
а) отрезок AB равен 28 см, а отрезок CA на 10 см длиннее отрезка CB;
б) отрезок AB равен 30 см, а отрезок CA относится к отрезку CB как 3 : 7;
в) к отрезку CB отрезок CA относится как 3 : 5 и длиннее отрезка CB на 8 см;
г) отрезок AB равен 56 см, а отрезок CA составляет 75 % отрезка CB;
д) отрезок CA составляет 125 %о отрезка CB и длиннее отрезка CB на 7 см.
1262. Найдите углы треугольника ABC, учитывая, что:
а) угол B на 45° больше угла A и на 30° меньше угла C;
б) угол B на 45° больше угла A и на 30° больше угла C;
в) угол B на 45° меньше угла A и на 30° больше угла C;
г) угол B на 20° меньше угла A и составляет 21 угла C;
6
д) угол B на 24° меньше угла A и составляет 112,5 % угла C.
1263. Найдите расстояние от вершины C прямого угла до гипотенузы прямоугольного треугольника ABC, учитывая, что его:
а) катеты CA и CB соответственно равны 11 и 60;
б) катеты CA и CB соответственно равны 19 и 180;
366
Правообладатель Народная асвета
в) катет CA и гипотенуза соответственно равны 84 и 85;
г) катет CA и гипотенуза AB соответственно равны 77 и 85.
1264. Учитывая, что основания AD и BC равнобедренной трапеции ABCD равны соответственно 5 и 1, установите, истинно ли утверждение:
а) точка пересечения диагоналей является центром симметрии трапеции;
б) если сторона AB равна 3, то периметр трапеции равен 12;
в) если угол A больше 45°, то высота трапеции больше трех;
г) площадь треугольника, ограниченного боковой стороной и
5
диагоналями, составляет — площади трапеции;
36
д) если диагонали AC и AD равны, то площадь трапеции равна 12.
1265. Найдите длину отрезка BD, соединяющего вершину B треугольника ABC с точкой D на стороне AC, учитывая, что периметр треугольника ABC равен 20 см, а периметры треугольников ABD и BCD — 12 см и 16 см.
1266. Точка Q делит отрезок длиной 30 см в отношении Найдите расстояние от точки Q до середины отрезка.
2 • Л.
7 ' 21'
1267. Отрезок делится точкой M в отношении 5 : 7, а точкой N — в отношении 7 : 11. Найдите длину отрезка, учитывая, что расстояние между точками M и N равно 24 см.
1268. На отрезке AB отметили такую точку C, что AC = AB, а на отрезке AC — такую точку D, что CD =
= 1,5BC. Учитывая, что AD = 26 см, найдите длины полученных частей.
1269. Отрезок разделен на четыре части в отношении 2 : 3 : 4 : 5. Учитывая, что расстояние между серединами крайних частей равно 95 мм, найдите расстояние между серединами двух остальных частей.
1270. Отрезок длиной 30 см разделен на четыре неравные части. Учитывая, что расстояние между серединами крайних частей равно 24 см, найдите расстояние между серединами двух остальных частей.
367
Правообладатель Народная асвета
1271. Луч, проведенный из вершины угла, разделил его на две части. Учитывая, что одна из частей величиной 35°
7
составляет — другой части, найдите величину всего угла.
1272. Из точки Q на прямой AB в одной полуплоскости провели два луча QM и QN так, что угол MQA составляет
5
— угла MQN и меньше его на 30°. Найдите величины углов, 8
на которые лучи разбили полуплоскость.
1273. Из точки O на прямой MN в одной полуплоскости провели два луча OA и OB так, что Z MOA = 2ZAOB, а ZAOB - Z BON = 12°. Найдите величины углов, на которые лучи разбили полуплоскость.
1274. В равнобедренном треугольнике ABC с периметром 21 см провели медианы AM и BN к боковым сторонам. Найдите стороны треугольника, учитывая, что периметр треугольника ACM на 3 см больше периметра треугольника ABN.
1275. В прямоугольном треугольнике ABC с периметром 39 см провели медиану AM к гипотенузе. Найдите длину отрезка AC, учитывая, что периметр треугольника BAM равен 24 см.
1276. В треугольнике ABC из середины стороны AB возвели перпендикуляр до пересечения со стороной BC в точке
N. Найдите периметр треугольника ABC, учитывая, что периметр треугольника CAN равен 29 см и AB = 11 см.
1277. Докажите, что площади треугольников, которые имеют:
а) общую высоту, относятся как стороны, к которым проведена эта высота;
б) общее основание, относятся как высоты, проведенные к этому основанию.
1278. Тремя прямыми, проведенными из одной вершины, разделите на три равновеликие части:
а) данный треугольник;
б) данный параллелограмм.
1279. Диагональ трапеции делит ее на два треугольника, площади которых относятся как 3 : 7. Определите, в каком отношении средняя линия делит площадь трапеции.
368
Правообладатель Народная асвета
1280. Длина боковой стороны трапеции равна а, а расстояние до этой стороны от середины противоположной стороны равно b. Найдите площадь этой трапеции.
1281. Точка K делит сторону AC треугольника A^C в отношении m ■ n. Докажите, что для любой точки L на прямой BK площади треугольников ALK и CLK относятся как m '■ n.
1282. В треугольнике ABC на сторонах AB и AC выбраны такие точки M и N, что прямая MN параллельна высоте BK. Найдите длину отрезка MN, учитывая, что он делит треугольник на две равновеликие части, а высота BK, равная 7, делит сторону AC в отношении 7 : 2.
1283. Площадь прямоугольного треугольника равна 180 см2. Найдите катеты этого треугольника, учитывая, что они отличаются на 31 см.
1284. Два равных прямоугольника, имеющих общий угол и квадратную общую часть, закрывают вместе площадь в 30 м2. Найдите измерения прямоугольника, учитывая, что его периметр равен 21 м.
1285. Точки A1, B1, C1, D1 параллелограмма ABCD являются серединами сторон CD, DA, AB, BC соответственно. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного прямыми AA1, BB1, CC1, DD1, учитывая, что площадь параллелограмма ABCD равна 35 см2.
1286. Через точку пересечения медиан равнобедренного треугольника провели прямую, параллельную основанию треугольника. Учитывая, что отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 4 см, а периметр треугольника составляет 16 см, найдите высоты треугольника.
1287. Биссектриса AN и медиана BM треугольника ABC пересекаются в точке Q. Прямая, проходящая через точку Q параллельно стороне AC, пересекает стороны AB и BC в точках F и G соответственно. Учитывая, что AF = 10 см, GC = 6 см, AC = 28 см, найдите площадь треугольника ABC.
1288. К основанию равнобедренного треугольника ABC проведена медиана BM. Окружность с центром B и радиусом BM пересекает боковые стороны треугольника в точках F и G. Учитывая, что расстояние между прямыми AC и FG равно 4 см и FG = 24 см, найдите периметр треугольника ABC.
1289. Прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольника ABC параллельно стороне AC, пересекает стороны AB и BC в точках F и G соответственно. Найдите дли-
369
Правообладатель Народная асвета
ну отрезка FG, учитывая, что периметр треугольника ABC равен 150 мм, AF + GC = 32 мм.
1290. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны такие точки F и G соответственно, что отрезок BF равен высоте BH треугольника и FG | AC. Найдите площадь треугольника ABC, учитывая, что AF = 1 см, GC = 1,7 см и расстояние между прямыми AC и FG равно 0,8 см.
1291. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны такие точки F и G соответственно, что отрезки BF и BG равны высоте BH треугольника. Прямые, проведенные через точки F и G параллельно стороне AC, пересекают стороны BC и AB соответственно в точках F1 и G1. Найдите периметр и площадь треугольника ABC, учитывая, что FG^_ = 24 мм, GF^_ = 18 мм и расстояние между прямыми FF1 и GG1 равно 12 мм.
1292. Биссектриса острого угла равнобедренной трапеции делит боковую сторону на части длинами 10 см и 15 см, если считать от меньшего основания трапеции. Найдите площадь трапеции, учитывая, что ее меньшее основание равно 3 см.
1293. Биссектриса угла A при основании AC равнобедренного треугольника ABC делит боковую сторону в отношении 5 : 8, если считать от вершины B. Средняя линия треугольника, параллельная основанию, делится этой биссектрисой на части, разность которых равна 18 см. Найдите периметр треугольника.
1294. На сторонах AC и BC треугольника ABC выбраны такие точки F и G соответственно, что отрезок FG параллелен стороне AB, проходит через точку Q пересечения биссектрис и делится этой точкой в отношении 3 : 2. Найдите периметр и площадь треугольника ABC, учитывая, что сторона AC делится биссектрисой на части AK и KC, соответственно равные 25 см и 20 см.
1295. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены такие точки G и F соответственно, что ZAFC = Z BAC и FG I AC. Найдите периметр треугольникаAFG, учитывая, что AB = 27 см, BC = 36 см и AC = 18 см.
1296. Перпендикуляр, опущенный из вершины острого угла равнобедренной трапеции на противолежащую боковую сторону, делит ее на отрезки длинами 12 см и 3 см, если счи-
370
Правообладатель Народная асвета
тать от большего основания. Учитывая, что это основание равно 20 см, найдите площадь трапеции.
1297. К основанию равнобедренного треугольника ABC проведена медиана BG, а к боковой стороне — высота AF. Учитывая, что BG ■ AF = 5 : 6 и FG = 30 см, найдите периметр треугольника ABC.
1298. Диагональ AC равнобедренной трапеции ABCD перпендикулярна ее боковой стороне CD и делит высоту BH на отрезки длиной 27 см и 21 см, если считать от большего основания. Найдите площадь трапеции.
1299. На сторонах AC и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки M и N, прямые AN и BM пересекаются в точке Q. Определите стороны AC и BC, учитывая, что AQ = 36 см, QN = 9 см, BQ = QM = 18 см и BN = 12 см.
1300. Отрезок длиной 42 см, соединяющий точки на боковых сторонах равнобедренного треугольника, проходит через точку пересечения высот и параллелен основанию. Определите боковую сторону треугольника, учитывая, что его основание равно 96 см.
1301. Основания трапеции равны a и b. Найдите длину отрезка, который параллелен основаниям трапеции и делит ее на две подобные друг другу трапеции.
1302. В четырехугольнике ABCD с периметром 84 см диагонали пересекаются в точке Q. Найдите периметр четырехугольника, вершины которого делят отрезки QA, QB, QC, QD в отношении 3 : 1, если считать от точки Q.
1303. Прямая делит прямоугольник на два подобных друг другу прямоугольника с диагоналями 15 см и 20 см. Найдите стороны исходного прямоугольника.
Геометрические построения линейкой и циркулем
В геометрии важную роль играют построения с использованием только двух инструментов — односторонней геометрической линейки без делений и циркуля.
С помощью геометрической линейки можно провести:
• прямую через две данные точки;
• луч, начинающийся в данной точке и проходящий через другую данную точку;
• отрезок, соединяющий две данные точки;
371
Правообладатель Народная асвета
• произвольную прямую;
• произвольный луч;
• произвольный отрезок.
С помощью циркуля можно:
• отметить две точки R и S, расстояние между которыми равно данному отрезку AB;
• построить окружность с центром в выбранной точке и радиусом, равным данному отрезку;
• построить произвольную окружность.
Это есть элементарные построения, которые можно выполнить линейкой или циркулем. Их сочетание позволяет проводить более сложные построения.
Решить задачу на построение с помощью циркуля и линейки означает свести ее к последовательному выполнению элементарных построений, каждое из которых можно выполнить циркулем или геометрической линейкой. Обычно построение нужной фигуры сводят к так называемым основным построениям:
• построение отрезка, равного данному отрезку;
• построение угла, равного данному углу;
• построение середины данного отрезка;
• построение биссектрисы данного угла;
• построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой;
• построение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой;
• деление данного отрезка на n отрезков-долей;
• деление данного отрезка в данном отношении m '■ n.
1304. С помощью геометрической линейки и циркуля постройте угол величиной:
а) 60°; б) 30°; в) 45°; г) 22° 30'.
1305. Постройте треугольник, у которого:
а) одна сторона и проведенная к ней высота равны двум данным отрезкам, а угол, прилежащий к этой стороне, равен данному углу;
б) сторона, проведенные к ней медиана и высота равны трем данным отрезкам;
в) сторона, проведенные к ней медиана и угол между этой медианой и высотой, проведенной к этой стороне, равны данным двум отрезкам и углу;
372
Правообладатель Народная асвета
г) две стороны и высота, проведенная к одной из них, равны трем данным отрезкам.
1306. Постройте четырехугольник ABCD (рис. 526), у которого его три стороны:
а) и обе диагонали равны пяти данным отрезкам;
б) а, b и d, два угла A и B равны данным трем отрезкам и двум данным углам;
в) а, b и с, два угла A и B равны данным трем отрезкам и двум данным углам.
1307. Постройте трапецию, у которой ее:
а) основание, боковая сторона и углы, прилежащие к другому основанию, равны данным двум отрезкам и двум углам;
б) основание, высота и углы, прилежащие к основанию, равны данным двум отрезкам и двум углам;
в) основание, высота и противолежащие углы равны данным двум отрезкам и двум углам.
1308. Постройте треугольник по:
а) его стороне и отношению а ■ b '■ с всех его сторон;
б) по сумме его двух сторон, разности этих сторон и углу против третьей стороны;
в) по его высоте, углу при стороне, к которой проведена высота, и отношению двух других сторон;
г) по периметру, углу и отношению сторон, образующих этот угол.
1309. Постройте треугольник, который равновелик одному и подобен другому из двух данных треугольников.
1310. Постройте квадрат:
а) площадь которого составляет четыре площади данного квадрата;
б) равновеликий данному прямоугольнику;
в) равновеликий данному параллелограмму;
г) равновеликий данному треугольнику.
373
Правообладатель Народная асвета
Текстовые задачи
1311. Имеются два прямоугольных параллелепипеда (рис. 527), у первого площадь основания равна 72 см2, у второго — 42 см2, а их высоты относятся как 2 : 5. Найдите объемы параллелепипедов, учитывая, что объем второго параллелепипеда на 198 см3 больше.
1312. Отрезок AB длиной 15 м точкой M разделен на два таких отрезка, что AM - BM = 1 м. На полученных частях AM и BM как на высотах построены прямоугольные параллелепипеды, площади оснований которых относятся как 8 : 9, а объем первого параллелепипеда на 6 м3 больше (рис. 528). Найдите объемы параллелепипедов.
М
Рис. 528
1313. При изменении высоты тела массой 200 кг на 220 м изменение его потенциальной энергии на Сатурне на 381 кДж больше изменения потенциальной энергии этого тела при изменении его высоты на 300 м на спутнике Сатурна Титане. Учитывая, что ускорения свободного падения на Сатурне и на Титане относятся как 70 : 9, найдите эти ускорения и изменения потенциальной энергии.
1314. Имеются два прямоугольных параллелепипеда (рис. 529), у первого площадь основания равна 30 см2, у второго — 21 см2. Высота и объем второго параллелепипеда больше соответствующих величин первого на 4 см и на 12 см3. Найдите объемы параллелепипедов.
1315. На отрезке CD длиной 18 дм выбрали такую точку N, что ND - NC = 2 дм. На полученных частях NC и ND как на высотах построены такие прямоугольные параллелепипеды, что объем первого из них на 406 дм3 меньше (рис. 530).
374
Правообладатель Народная асвета
N
D
Рис. 530
Учитывая, что площадь основания первого параллелепипеда на 35 дм2 меньше, найдите объемы параллелепипедов.
1316. К коротким плечам двух рычагов, представленных на рисунке 531, подвешены одинаковые грузы и Р2 весом 1200 Н. Приложив силы F1 и F2 в 360 Н и 500 Н к длинным плечам верхнего и нижнего рычагов соответственно, эти грузы подняли на такие высоты h1 и h2, что h2 - h1 = 0,13 м, а точки приложения сил F1 и F2 поднялись на высоты Н1 и H2, соответственно равные 0,5 м и 0,8 м. Найдите коэффициенты п1 и п2 полезного действия рычагов на верхнем и нижнем рисунках, учитывая, что п1 - п2 = 5 %, и то, что полезная работа Ак, выполненная работа Ав и коэффициент п полезного действия механизма, с помощью которого выполнялась работа, связаны зависимостью Ак = п • Ав.
375
Правообладатель Народная асвета
м
N
1317. Прямоугольник ABCD с площадью 86 см2 отрезком MN разделен на два прямоугольника AMND и BMNC (рис. 532), на которых как на основаниях построены прямоугольные параллелепипеды с высотами 10 см и 19 см. Найдите объемы параллелепипедов, учитывая, что объем второго параллелепипеда на 10 см3 больше.
1318. Отрезок MN длиной 31 см точкой A разделен на два отрезка AM и AN (рис. 533), на которых как на высотах построены прямоугольные параллелепипеды с площадями 70 см2 и 40 см2. Найдите объемы параллелепипедов, учитывая, что объем второго параллелепипеда на 190 см3 меньше.
1319. Имеются два бруска в форме прямоугольного параллелепипеда: один латунный, второй бронзовый, которые вместе имеют массу, равную 1476 г. Найдите по отдельности массы латунного и бронзового брусков, учитывая, что их объемы относятся как 2 : 3, плотности латуни и бронзы соответственно равны 8,5 г/см3 и 8 г/см3, а масса m предмета, плотность р вещества, из которого предмет сделан, и объем V предмета связаны зависимостью m = р • V.
1320. Имеются два бруска в форме прямоугольного параллелепипеда: один еловый размерами 2 см X 5 см X 120 см, второй березовый размерами 3 см X 4 см X 110 см, которые вместе имеют массу, равную 1350 г. Учитывая, что плотности ели и березы относятся как 7 : 5, найдите:
а) по отдельности массы брусков;
б) плотности ели и березы.
1321. Два бруска в форме прямоугольного параллелепипеда — дубовый и осиновый — вместе имеют массу, равную 1620 г. Объем осинового бруска на 400 см3 больше, а плотности дуба и осины соответственно равны 0,69 г/см3 и 0,495 г/см3. Найдите:
376
М
Рис. 533
Правообладатель Народная асвета
а) по отдельности массы брусков;
б) размеры дубового бруска, учитывая, что ширина составляет 0,6 длины, а высота больше длины в 16 раз;
в) размеры осинового бруска, учитывая, что длина и ширина одинаковые, а высота больше длины в 25 раз.
1322. Два бруска в форме прямоугольного параллелепипеда — грушевый объемом 400 см3 и вишневый объемом 900 м3 — вместе имеют массу, равную 833 г. Найдите:
а) по отдельности массы брусков, учитывая, что плотность груши на 0,1 г/см3 больше плотности вишни;
б) размеры грушевого бруска, учитывая, что ширина составляет 0,5 длины, а высота больше длины в 12,5 раза;
в) размеры вишневого бруска, учитывая, что ширина составляет 75 % длины, а высота — 2500 % ширины.
1323. Имеется рычаг, плечи которого Z1 и l2 равны 0,6 м и 1 м соответственно (рис. 534). К концам рычага приложены такие силы F1 и F2, что F1 - F2 = 150 Н и их моменты вместе составляют 410 Н • м. Определите, на какой высоте будет находиться один из концов рычага, если другой его конец при повороте упрется в землю, учитывая, что точка O опоры рычага отстоит от земли на 50 см, а сила F, ее плечо l и момент M связаны зависимостью M = F • l.
О 0,6 м В
Рис. 534
Fa = 900 Н
Рис. 535
1324. Имеется рычаг с концами Ми N, плечи которого l1 и l2 такие, что l1 - l2 = 0,1 м (рис. 535). К концам рычага М и N приложены силы F1 и F2, соответственно равные 720 Н и 900 Н, и их моменты вместе составляют 963 Н • м. Определите, на какой высоте будет находиться один из концов рычага, если другой его конец при повороте упрется в землю, учитывая, что точка O опоры рычага отстоит от земли на 33 см.
1325. Два бруска в форме прямоугольного параллелепипеда — ольховый объемом 1640 см3 и рябиновый объемом 600 см3 — вместе имеют массу, равную 1218 г. Найдите:
377
Правообладатель Народная асвета
а) по отдельности массы брусков, учитывая, что плотности ольхи и рябины вместе составляют 1,12 г/см3;
б) размеры ольхового бруска, учитывая, что ширина составляет 80 % длины, а высота больше длины в 16,4 раза;
в) размеры рябинового бруска, учитывая, что ширина в два раза меньше длины, а высота составляет 1875 % длины.
1326. Два бруска в форме прямоугольного параллелепипеда — каштановый и кленовый — имеют общий объем, равный 4300 см3 и общую массу, равную 2508 г. Найдите:
а) по отдельности массы брусков, учитывая, что плотности каштана и клена соответственно равны 0,52 г/см3 и 0,69 г/см3;
б) размеры каштанового бруска, учитывая, что в сравнении с шириной длина в 1,2 раза больше, а высота составляет 1800 %;
в) размеры кленового бруска, учитывая, что ширина составляет 80 % длины, а высота — в 20 раз больше ширины.
1327. Антон поднял свой груз на высоту 18 м, а Иван на 20 Н меньший груз на высоту 21 м. Определите выполненные ими работа!, учит^1вая, что они относятся как 36 : 35, а работа A, выполненная силой F на пути s, определяется формулой A = F • s.
1328. Маша, масса которой равна 55 кг, и Дима, масса которого составляет 65 кг, поднялись на разные этажи одного и того же дома, причем Дима поднялся на два этажа выше. Определите, какие работы выполнили они против силы тяжести, учитывая, что эти работы относятся как 33 : 52, и принимая высоту этажа равной 3,5 м, а ускорение свободного падения — 9,8 м/с2.
1329. Наибольшая глубина пресного озера Нарочь (Беларусь) на 9 м больше наибольшей глубины соленого озера Урмия (Иран), а плотности воды в самых глубоких местах названных озер составляют 1000 кг/м3 и 1175 кг/м3 соответственно. Найдите давления воды в этих местах Нарочи и Урмии, учитывая, что первое из них составляет 75,2 % второго, а также то, что плотность р жидкости, глубина h погружения и давление P жидкости связаны зависимостью P = pgh, где g — ускорение свободного падения. Значение величины g примите равным 9,8 м/с2.
1330. Плотность воды в озере Мона (США) на 300 кг/м3 меньше плотности воды в Мертвом море (Ближний Восток), а
378
Правообладатель Народная асвета
наибольшие глубины названных озер равны 48 м и 380 м соответственно. Найдите плотности воды озера Мона и Мертвого моря и давления воды в самых глубоких их местах, учитывая, что эти давления относятся как 28 : 285. Значение величины g примите равным 9,8 м/с2.
1331. Руслан и Максим на санках привезли в школу собранную ими макулатуру. При этом на пути от дома до школы Руслан прикладывал силу, в среднем равную 25 Н, а Максим — силу, в среднем равную 35 Н, и вместе они покрыли путь, равный 950 м. Учитывая, что работы, выполненные Русланом и Максимом, относятся как 55 : 56, найдите:
а) эти работы;
б) пути до школы от домов Руслана и Максима.
1332. Света и Наташа на санках привезли в школу собранную ими макулатуру. При этом до школы от дома Светы — 150 м, а от дома Наташи — 180 м. Учитывая, что силы, которые прикладывали Света и Наташа, вместе составляют 35 Н, а работы, выполненные ими, относятся как 5 : 8, найдите эти силы и эти работы.
1333. На полу стоят отец и сын, массы которых соответственно равны 81 кг и 54 кг, при этом давление, которое на пол оказывает отец, на 2940 Н/м2 больше. Найдите площади подошв обуви отца и сына, учитывая, что они относятся как 6 : 5, а также то, что давление p силы F на поверхность
S определяется формулой p = F, и принимая ускорение
S
свободного падения равным 9,8 м/с2.
1334. На полу стоят девочка и ее старший брат, массы которых соответственно равны 36 кг и 81 кг, при этом площадь подошвы обуви брата на 21 см2 больше. Найдите давления, которые оказывают на пол сестра и брат, учитывая, что они относятся как 2 : 3, и принимая ускорение свободного падения равным 9,8 м/с2.
1335. Игнат вытянул ведро воды объемом 11 л из колодца глубиной 25 м, а Виктор — ведро воды объемом 9 л из колодца глубиной 18 м, затратив на это вместе 29 с. Найдите мощности, которые развили Игнат и Виктор, учитывая, что они относятся как 3 : 4, а также то, что выполненная работа A, мощность N и время t выполнения работы связаны зависимостью A = N • t, и принимая массу ведра равной 1 кг.
379
Правообладатель Народная асвета
1336. Роман вытянул ведро воды объемом 9 л из колодца глубиной 15 м, а Сергей — ведро воды объемом 11 л из колодца глубиной 25 м, при этом развитые ими мощности вместе составили 343 Вт. Найдите эти мощности, учитывая, что время, затраченное на выполнение работы Романам, относится ко времени, затраченному на работу Сергеем, как 2 : 3, и принимая массу ведра равной 1 кг.
1337. Один кит плывет со скоростью, на 18 км/ч большей скорости второго кита, при этом первый кит развил мощность, равную 150 кВт, второй — мощность, равную 4 кВт. Найдите силы сопротивления воды движению первого и второго китов, учитывая, что первая из них на 18,4 кН больше, а также то, что развитая объектом мощность N, скорость его движения v и сила F сопротивления движению связаны зависимостью N = F • V.
1338. Мотор с мощностью 15 кВт, установленный на автомобиле, может придать ему при движении по горизонтальному участку дороги скорость на 78 км/ч большую скорости, которую может обеспечить лодке мотор с мощностью 12 кВт. Учитывая, что силы сопротивления движению автомобиля и моторной лодки отличаются на 3 кН, найдите:
а) эти силы;
б) скорости движения автомобиля и лодки.
1339. Одно тело притягивается к Земле с силой, равной 588 Н, а на Луне другое тело с массой на 5 кг меньшей притягивается к ней с силой, равной 88 Н. Учитывая, что ускорения свободного падения на Земле и на Луне вместе составляют 11,4 м/с2, а также то, что сила тяжести Fт, масса m тела и ускорение свободного падения g связаны зависимостью Fт = m • g, найдите:
а) эти ускорения;
б) массы первого и второго тел.
1340. Одно тело притягивается к Марсу с силой, равной 555 Н, на Венере другое тело притягивается к ней с силой, равной 712 Н, а массы тел вместе дают 230 кг. Учитывая, что ускорение свободного падения на Марсе на 5,2 м/с2 меньше, найдите:
а) эти ускорения;
б) массы первого и второго тел.
380
Правообладатель Народная асвета
1341. Костя с отцом возвращались домой. Отец поднялся в свою квартиру, а Костя пошел выше к своему другу. В результате потенциальная энергия Кости увеличилась на 13 230 Дж, а отца — на 11 466 Дж. Массы Кости и отца вместе составляют 128 кг, номера этажей, на которые они поднялись, в сумме дают число 16. Учитывая, что потенциальная энергия Еп тела, его масса m и высота h над поверхностью Земли связаны зависимостью Еп = m • g • h, и принимая для ускорения свободного падения g значение, равное 9,8 м/с2, а высоту этажа равной 3 м, найдите:
а) массы Кости и его отца;
б) этажи, на которые поднялись Костя и отец.
1342. При изменении высоты на 50 м одно тело изменяет свою потенциальную энергию на Венере на 44 500 Дж, а другое тело на Нептуне — на 71 500 Дж. Учитывая, что вместе массы тел составляют 230 кг, а ускорения свободного падения на Венере и на Нептуне — 19,9 м/с2, найдите эти массы и эти ускорения.
1343. При изменении высоты одного тела массой 120 кг его потенциальная энергия на Марсе изменяется на 66,6 кДж, а при изменении высоты этого тела на Юпитере — на 300 кДж. Учитывая, что вместе изменения высот тела составляют 250 м, а ускорения свободного падения на Марсе и на Юпитере — 28,7 м/с2, найдите эти изменения высоты и эти ускорения.
1344. Через две трубы можно наполнить бак за 2 ч 55 мин. Найдите, сколько времени этот бак будет наполняться через первую трубу, учитывая, что если наполнять его через другую трубу, то понадобится на 2 ч больше.
1345. Две бригады вместе могут выполнить некоторый заказ за 12 ч. Определите, сколько времени над этим заказом работала бы одна первая бригада, учитывая, что для этого ей нужно на 10 ч меньше, чем второй.
1346. Над выполнением заказа работали две бригады. Сначала час работала одна первая бригада, а потом добавилась вторая, и еще через 2 ч им осталось выполнить 45 % заказа. После завершения работы выяснилось, что каждая бригада выполнила по 50 % заказа. Определите, сколько времени над этим заказом работала бы каждая бригада.
381
Правообладатель Народная асвета
1347. Расстояние между двумя пристанями катер проходит за 2 ч 30 мин. Если бы катер уменьшил скорость на 6 км/ч, то он на этот путь затратил бы на 45 мин больше. Найдите скорость катера.
1348. Автомобилист проезжает путь от А до В за 1 ч. Он выехал из А и одновременно из В вышел пешеход. Автомобилист встретил пешехода, довез его до А, затем приехал в В, затратив на все 2 ч 40 мин. За какое время путь из А в В пройдет пешеход?
1349. Из двух пунктов, расстояние между которыми 29 км, вышли одновременно два пешехода. Если бы первый, пройдя 8 км, не задержался на час, то встреча произошла бы на середине пути. А так встреча состоялась через 5 км от места задержки. Найдите скорость второго пешехода, учитывая, что первый пешеход после задержки увеличил свою скорость на 1 км/ч.
1350. Два пешехода вышли из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу и встретились через 30 мин. Продолжая движение, второй пришел в А через 11 мин после того, как первый — в В. Определите, сколько времени был в пути каждый пешеход.
1351. В кружке количество парней составляет 80 % от количества девушек. Сколько процентов составляет количество девушек от количества парней в этом кружке?
1352. Первое число составляет 80 °% второго, а второе — 120 % третьего. Найдите эти числа, учитывая, что их среднее арифметическое равно 15,8.
1353. Морская вода содержит 3,5 % соли по массе. Сколько пресной воды нужно долить к 40 кг морской, чтобы полученная вода содержала 1 % соли?
1354. Влажность груш при сушке изменяется с 70 % до 20 %. Определите, сколько сушеных груш получится из 20 кг свежих.
1355. Смешали 10-процентный и 25-процентный растворы соли и получили 3 кг 20-процентного раствора. Определите, сколько было использовано каждого раствора.
1356. Первый слиток содержит 6 кг меди, а второй — 11 кг. При этом процентное содержание меди в первом слитке было на 40 процентных пунктов меньшим. После того как оба слитка сплавили, в полученном сплаве содержание меди составило 30 % . Определите процентное содержание меди в исходных слитках.
382
Правообладатель Народная асвета
1357. Первый сплав массой 300 г содержит 60 % меди, второй сплав — 40 °% меди. Сколько граммов второго сплава нужно взять, чтобы при переплавке с первым получить сплав с 56-процентным содержанием меди?
1358. Население райцентра за 2 года увеличилось с 20 000 человек до 22 050 человек. Определите среднегодовой процент роста населения в этом райцентре.
1359. Найдите отношение двух чисел, учитывая, что разность первого числа и 50 %о второго составляет 50 %о от суммы второго числа с 50 % первого.
1360. Числитель дроби на 3 меньше знаменателя, а если увеличить числитель на 7, а знаменатель на 5, то дробь увеличится на 0,5. Найдите эту дробь.
1361. Числитель дроби на 5 меньше знаменателя, а если числитель уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 16,
то дробь уменьшится на ^. Найдите эту дробь.
3
1362. Велосипедист за 3 ч 45 мин проехал 45 км. Найдите скорость велосипедиста на первой половине пути, учитывая, что на второй половине она была на 5 км/ч меньше.
1363. Двое рабочих обработали по 40 деталей. Найдите производительность труда первого рабочего, учитывая, что он работал на 3 ч больше другого, который обрабатывал на 3 детали в час больше.
Правообладатель Народная асвета
Ответы
Раздел I
18. а) 4 см; 2 см; б) 4 см; 2 см; в) 5 см; 1 см; г) 3,5 см; 2,5 см. 19. а) 4 см и 2 см или 8 см и 6 см; б) 4 см и 2 см или 12 см и 6 см; в) 5 см и 1 см или 6,2 см и 0,2 см; г) 3,5 см и 2,5 см или 21 см и 15 см. 23. а) 90°, 45°, 45°; б) 60°, 60°, 60°. 24. 17 см, 15 см, 16 см. 25. 20 г, 30 г, 17 г. 36. г) 3а + 10b > 2a + 4b; ж) 3a + 4b > > 2a - 2b. 73. a) 0° < Z N < 48°; б) 92° < Z O < 140°. 74. г) 100 м2 < S < 140 м2;
26
14
е) 50 м2 < S < 130 м2. 80. а) -26; б) не имеет значения; в) ; г) 0; д)-;
35
15
3 г; в) 2; г) 2P . 82. а) -1; б) 1. 83. а) 40 см,
е) 0. 81. а) ; б)
2^ b + ^ 3p - q
20 см, 6 см, 14 см; б) 30 см, 10 см, 4 см, 16 см; в) 7,4 м, 0,2 м, 2,4 м, 4,8 м. 84. 4 см, 6 см, 8 см. 85. а) Pj (4); б) Pj (-11); в) Pj (5); г) Pj (-12,4). 86. а) 60 мм, 45 мм; б) 63 мм, 42 мм; в) 42 мм, 63 мм; г) 55 мм, 50 мм. 87. « 67 см2. 88. 36°, 72°, 72°. 89. 6 см, 45 см, 8 см. 90. 1 тыс., 0,3 тыс., 2,6 тыс. 91. 18 км/ч, 52 км. 92. 1725 ц. 93. 2850 км, 1352 км, 2201 км, 1151 км. 107. б) -8 < а -
- b < -6; г) 1 < — < i. 108. а) 314 < C < 320,28; б) 7850 < S < 8167,14.
5b3
109. а) 20,2 см
1,5. 137. а) z < 0,5; б) y < 0,4; в) x > 5; г) w > -3; д) v < 3; е) u < -1; ж) t < 7,5; 3) s < -0,5. 138. а) При h > 5; б) при 22 g > 2,75; в) при f < —; г) при b < —; д) при e > 4,5; е) при d < 1,75; ж) при 33 c < 4; з) при a > -12. 139. а) x < -5; б) z < -1; в) y < -1,75; г) u > -^; д) t > -0,1; е) s > -2,2; ж) p > 1,1; з) r > I-. 140. а) a > 6-|; б) b < 12; в) c > 0; г) d > 5,5; д) f > -16; е) g > -11; ж) h > 2-1; з) k > 139; и) u > 251; к) w < 24; л) s < 22; 4 7 3 м) p < 3,5. 141. а) a < ^^; б) b < 21; в) c > -3,5; г) e < 53. 142. а) c = -45; 27 3 б) x = -157; в) y < ^^; г) d < -13. 144. а) x > ^; б) y < -5; в) t > ^^; г) r < --1; д) s < --1; е) u > -35. 145. а) a < —^; б) a = —^; в) a > —^; 3 6 6 43 43 43 г) a > 1^^. 146. а) a > -3; б) b < 3; в) c > 10; г) k > -3; д) m > 3; е) u < -1,5. 43 147. а) -1; б) 4; в) -2; г) 0. 148. а) 1, 2, 3, 4; б) 1, 2. 149. а) b ф -5; г) y ф 1; д) s ф -2 и s ф 2; е) k ф -1 и k ф 1; ж) y ф -3 и y ф 3; з) a, b, c — любые числа. 2 150. Меньше 3 см. 151. Не больше 2^^ км. 152. Не меньше 43 деревьев. 384 Правообладатель Народная асвета 153. Больше 5 см, но меньше 19 см. 154. 18. 155. Больше 7 41-7 км/ч. 157. a < 4 м. 158. h > 8 см. 159. h < 8,1 дм. 160. 5 < a < 11 см; b = (11 — a) см. 161. a < 8 м; b = м. 163. е) —1—; к) ■27; м) -16. a 129^ ^ 81 164. а) 1257; б) Ц; в) 3^9; г) -|. 165. а) (a + b)(b + c); б) (x + 4)(x — y); в) (m + n)(m + p); г) (^ — q)(q — 2); д) (6u + v)(2v — 1); е) (c — 7)(d + 4). 166. a) 3,25; б) 2,4; в) 2 или 9. 167. 5,6 и 7,6. 168. 1250. 169. 7 л, 6 л, 5 л. 175. а) (-^; 2); б) (17; +^); в) (0; 9); г) нет решений; д) (-^; -5]; е) [-17; -7); ж) [-7; 2]; з) [-6; +^). 176. а) (5; 6); б) (-^; -1); в) (0; 5,2]; г) нет решений; д) [6; +^); е) (-^; -2); ж) [2; 5]; з) (-2; 3). 177. а) [-12; 2]; б) нет решений; в) (0; 15); г) (-^; -3]; д) [-1; 0,8]; е) (-^; -1,5]; ж) 178. а) (3; +^); б) (-^; -3); в) [-12; 3]; г) i; +^|; з) [3; 6,7). 113; +“); д) (—'^ °. ; е)(0; 2,5]. 179. а) (-3; 2,5]; б) —-|; 2j; в) ^—-|; + ^j; г) (0; +^); д) [1,3; 2,5]; е) (-^; -4,9). 180. а) (-^; -0,6); б) (4,5; 6,5]; в) [5; +^); г) (-17; +^). 181. а) От -6 до 4; б) -1, 0, 1, 2, 3; в) От 1 до 7; г) 1. 182. а) Нет решений; б) нет решений. 183. а) (-^; 5); б) (2; 15]; в) ^2; 31j; г) (-1; +^). 184. а) (-1; 2); б) (3; 13]; в) [-1; 1]; г) (-1; 3]. 185. а) [-6; 15]; б) [-7; 11]; в) (-17; 2]; г) [3; 11]. 186. а) (5; +^); б) (-^; -4); в) (11; 14); г) нет решений; д) [18; 25); е) 4. 187. а) (-2; 3]; б) (-2; 1). 188. а) Нет решений; б) (-4; 1); в) ^1; 4^; г) нет решений. 189. а) (3 см; 10 см); б) (4 см; 15 см); в) [6 см до 15 см); г) таких треугольников нет. 190. 36 км. 191. От 8 л до 24 л 194. 135п дм2, 191,25л дм2. 195. 572 км, 452 км, 445 км; 1024 км, 1017 км 197. а) 8; б) 8; в) 8; г) 8. 199. д) 2 x^yz-6; з) 1 r13s-2t-11v-2 2 3 3 200. а) 2^—; б) 3; в) -1; г) нет решений. 206. а) -1,2; 1,2; б) -22; 24; в) 0; 3 14; г) —2; 2; д) нет корней; е) 3; ж) —51; 8; з) —11^; — i1; и) 362; 50 5 4 3 13 13 3 210. а) -3 < k < 3; б) -12 < l < 12. 211. а) \р\ < 4; г) < 7,4. 212. а) |a| > 3; в) — ^ < е < 1|. 215. а) [-3,3; 1,3]; б) (-^; -6] U [40; +^); в) (-1; 6); г) (-^; -5) и (-2,8; +^); д) (—^; —32) U (—5; +^); е) (Ц; 511); ж) л) —104; — ;з) —-; ^9] и L 13 13 J 14 J ■ 11. 1 ; м) (—^- — ш и _ 26; 13 J \ 70. ^^; +^); и) (^^; ); к) (—21; 17); 1^^ Г ’ \ 1^ 1^^^ \ ^21 ' 171; +^). 216. а) (-2; 0) U (0; 2); б) (-5; -2] и [2; 5); в) (-4; -1] U [1; 4); г) [-4; 1) U (1; 4]; д) [-1; 0,5) U (2,5; 4]; е) [0,2; 1]. 218. а) (-^; -1) U (4; +^); б) 0; 2 ; в) Г—1; 121 L 3 J L 3 J ; г) (-^; 0] и [3; +^); д) (—^; 2j; е) (-^; -2] U [5; +^). 219. а) -2; -1; 0; 1; 2; 3; б) -1; 0; 1; 2; 385 Правообладатель Народная асвета 3; 4; в) -3; -2; -1; 0; 1; г) 1; д) -12; -11; -10; -9; -8; -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; е) -2; -1; 0. 220. а) При a > -2; б) при b < -2; в) при е > 3; г) при d < 3. 222. а) 1,5; б) 0,5; в) -5,5; г) 7; д) -8; -|; е) 8; 1-5. 223. а) 0; 2; б) -17; 7; в) -1; -9; -17; г) нет корней. 224. а) (-^; +^); б) [-12; 4]; в) (-^; 2) U (10; +^); г) нет решений. 225. а) (-^; 0); б) (2; +^); в) (-3; +^). 226. а) (-^; -3] U [3; +^); б) (-^; -13,5] U [13,5; +^); в) (-^; -1,8] и [1,8; +^); г) (-7,5; 0) U (0; 7,5); д) -71; - 5^ и (-5; - 2■| е) (-“; -и |^164; + ^j. 227. а) (1; 7]; б) (2; +^); в) [-1; 1) U (3; 4). 230. 144°. 231. 144°. 232. 80° < n < 180°, In - 1304 < 50°; 32п м2 < S < 72п м2, S - 52П < 20п. 233. 16; 21 1^; 18,8 3 ; [14,25; 19]. 234. 6 см, 8 см, 7 см. Раздел II 239. 138°, 62°. 240. 140°, 70°. 241. а) 130°, 140°, 40°; б) 124°, 166°, 14°; в) 80°, 100°, 120°, 60°; г) 80°, 100°, 70°, 110°. 243. а) 54°, 126°, 72°, 108°; трапеция; б) 105°, 75°, 105°, 75°; параллелограмм; в) 128°, 96°, 56°, 80°. 245. а) 70°, 110°; б) 30°, 150°; в) 75°, 105°; г) 40°, 140°. 246. 84 см. 247. 240 см. 24^. 5 дм, 2 дм, 5 дм. 249. 12 см, 17 см; 120°, 60°. 252. 2 дм и 3 дм. 255. а) Могут; б) нет; в) нет; г) нет. 256. 80°, 100°, 130°, 50°. 257. 10 м, 4 м. 261. а) (2; +^); б) ^^j9; +^j. 262. а) [2; +^); б) (-1; 2). 263. а) 1; б) 0. 265. R3 = RR1 R2 -. 266. 42. 267. 4. 269. а) 7 см; б) 5 см; R1 R2 - R ( R1 + R2) в) 3 см. 270. 16 см. 271. 3 м. 272. 1 м. 275. 76 см. 276. 37,5 дм; 7,5 дм; 12,5 дм; 17,5 дм. 277. 960 мм, 240 мм, 300 мм, 420 мм. 278. 2 см 279. 12 см, 22 см, 30 см. 280. 4 дм. 281. 1 : 1. 282. а) 35 мм; б) 3,56 м; в) 32 см 283. 63 мм. 284. 71,5 мм. 285. 140 мм, 80 мм. 286. В 2 раза. 287. 32 см 288. 10 см. 289. 42 см, 140 см. 292. 6 см или 12 см. 293. 9 см. 294. 21 мм 2 11 297. 13 см. 298. 1 см, 6 см, 5 см или 3-| см, 31 см, — см. 301. а) [-3; 3]; 3 3 3 i L . J. б) (-^; -6) и (6; +^); в) (-^; -4] U [14; +^); г) ^--|; 2^; д) (-11; 3); е) (-“; -8] и [3; +^). 305. 53 см, 50 см, 52 см, 50 см. 313. 76°. 314. 40 см 315. а) 42°, 48°; б) 6°. 316. 26°, 64°. 317. а) 10 см; б) 29 м; в) 17 дм; г) 37 см 318. 8 см. 320. а) 280 см; б) 3731 см. 322. а) 60°, 120°; б) 30°, 60°. 324. а) 40°, 3 140°; б) 20°, 70°. 326. 40 см, 10 см. 329. 48 см. 331. а) 2 м; б) 0,5 м. 332. 4 м, 4 м. 333. а) 8; б) 2т - 1. 334. а) Нет решений; б) нет решений. 337. б) P (0,5; -1,5); Q (-1; 2,5); Q (1; 4); S (2,5; 0). 339. 3 м, 5 м, 7 м. 340. 4. 341. 142 857. Раздел III 348. а) 0,0(3); б) 0,(285714); в) -0,4(6); г) -0,85; д) -1,175. 349. а) 2,(6); б) 0,(142857); в) 0,(904761); г) -0,3(45); д) 7,(063). 353. а) —; б) —; в) ^53; 33 11 225 ^ ,14 , „ 53 , 1^ ^ , 2т - 3^ ^ , 1 -1 , 4(r2 + s2) г) ^г; д) -^;т; е) —. 355. а) -------; б) -1; в) ——; г) -----— 15 72 13 т - n k г- -.'2 386 (г - s) Правообладатель Народная асвета 357. а) 43 и 53 или 1 и 11; б) 63 и 53 или 21 и 11. 359. а) -5; б) -7; в) -11; г) -9. 360. 13,5 кг. 361. 9 г, 10 г. 362. 1 кг 920 г, 960 г, 9 кг 120 г. 363. 40 %, 50 %, 10 %. 370. г) 6; д) 1,4; е) 0,2. 371. г) -2 < ^3 < -1; д) -9 < ^75 < -8; е) -21 < ^401 < -20. 372. д) 0,800. 378. л) 1,5; м) 13. 379. л) 2,5; м) 22. 53 380. д) -1,4; 1,4; ж) -1,5; 1,5. 381. г) 4; д) ^; е) 5. 382. а) 0,11; б) 2; в) 1,44; 4 6 г) 2,31; д) -2^; е) 83. 385. а) 100; б) -^; в) 27-; г) ни при каком; д) 9; е) ни при каком. 386. а) 16,5; б) 470; в) 1,5. 393. 680 г. 394. 1 : 2. 399. б) 7 и 8; д) 0 и 1. 400. б) -10 и -9. 401. а) 4; б) 4,5; в) 4,47; г) 4,472. 403. г) 572. 404. в) 25,79; г) 51,94. 408. б) 29,83 мм; д) 267,32 м. 410. а) 17,08; б) 0,51; в) 10,96; г) 4,75; д) 13,39; е) 35,51; ж) 11,32; з) 1,65. 411. а) 9; -9; б) 2,793; -2,793; в) 0,660; -0,660; г) 0,090; -0,090; д) 9,606; 2,394; е) 3,550; -11,550; ж) 2,192; -1,620; з) 2,949; -1,494. 412. а) 29,85; б) 29,68; в) 14,36; г) 1,25; д) 6,05; е) 4,54; ж) 239,43; з) 227,91; и) 3,19; к) 4,73; л) 1,50; м) 3,93. 414. е) (J ; з) 1242. 415. 44 кг. 416. 40; 50; 45. 417. 500 г, 100 г. a + ^ , 1 5у" 418. 300 т. 422. 10, 7, 7. 424. а) -7; б) - m + 2n г) 425. н) ek - '; о) fn п) g в)-------- ; (1 + 2х + 3y)(2x + 3y) р) h-2v. 427. 8899; 9799. 2n(2n - m) 430. г) 3. 4^1. в) 159; л) нет значения. 4^2. а) 32; д) 121; е) 2197; ж) 729; з) 128. 433. а) a4; б) и6; в) с5; д) \d|7. 434. а) 3; б) 0; в) 2; г) 4; д) 7. 437. а) 5 и 6; б) 12 и 13; в) 0 и 1; г) -7 и -6; д) -32 и -31; е) -1 и 0. 438. з) 0,51; и) 3,42; к) 24; л) нет значения; м) 2,8. 439. а) 7’ б) 9. 8; в) 12, 11; г) ^; д) ^; 1^^^ 13 е) 2^; ж) 2,5; з) 11; и) 2,4; к) 21; л) 13; м) 31. 440. а) 42; б) 88; в) 14; 20 4 4 4 3 г) 0,48; д) 2,47; е) 15; ж) 3,5; з) 3,4; и) 2-|; к) 14; л) 21; м) 4,6. 441. а) 14; б) 14,4; в) 0,0042; г) 1-; д) I-; е) j1; ж) 5; з) 12; и) 2-|. 442. а) 90; б) 0,24; в) 0,0154; г) -|; д) —; е) 1. 443. а) 210; б) 90; в) 60; г) 42; д) 20; е) 7,2; 5 16 ж) 28; з) 7,6. 444. а) 7; б) 25; в) 9; г) 17; д) 37; е) 11; ж) 53; з) 13. 446. а) 280; б) 570; в) 12 000; г) 8300; д) 3,9; е) 0,046; ж) 0,0077; з) 0,00084. 447. а) 108; б) 72; в) 125; г) 261; д) 420; е) 1925; ж) 7,007; з) 4,235. 448. а) 243; б) 1875; в) 3087; г) 5929; д) 1859; е) 1547; ж) 16 093; з) 9317. 449. а) 4; б) 6; в) 10; ; в) 1; г) 2; д) ■|; е) ■|; 1^ ' 3 ' ^ ' 5 5 г) 14; д) 22; е) 21; ж) 26; з) 2. 450. а) -|; б) ^ 2- ж) -5; з) 7. 451. а) 30; б) 6; в) 15; г) -5; д) 26; е) 0,4; ж) 1,5; з) 2,5. 452. а) 18; 3 3 3 7 11 17 б) 12; в) 12; г) 45; д) -1; е) -5. 453. а) 1; б) —; в) i1; г) 117; д) 0,2; е) 6,8; 12 24 45 ж) -1; з) 83. 454. В 2 раза. 455. ^/5 см. 456. 25. 457. «71 мм. 458. а) 7; б) 15; в) 21; г) 9. 460. 2200 т, 1100 т. 461. 312. 462. 2822 и 2158. 463. 90 %. 465. Больше курочек. 466. (2; 10), (-4; 6), или (10; -2), (4; -6) или (1; 5), (5; -1). 469. и) -J10; к) V2. 476. а) W5; б) -2^2; в) 2c\l2; г) d Vl0; д) Wk; е) ; 387 Правообладатель Народная асвета ж) 5x\fx; з) 6y\fy; и) 0,5z\f5z; к) . 477. а) 5ml5m; б) 10n^yj2n; в) -2x%/6; г) 3уЫ5; д) -6aVS; е) выражение не имеет значения; ж) 6t^/2; з) 4а1%/з. 478. в) 0; г) ^/s; д) -l^fst; е) 2^J2m ; ж) -^J5V; з) -WS; и) 1Ь/2; к) -W2; л) 0; м) -W6 - 18-J2 - W1T. 479. а) 5^/з W7); б) Q(1 - у15); в) 2W2 - 60; г) 4(7 W2T); д) 10^/з + l); е) W^. 480. г) 7 + ^Л^; д) е3 - Sc24d + 3cd - d4d; е) 27 + Wa. 481. а) 44; б) 23 - 1^/77; в) 58 + 1^6; г) 93 - 3^3. 482. а) 12; б) 8; в) 18 - 52/5; г) 10 + 6/2. 483. в) 84(^/3 - б/7); г) 103. 484. б) 15б/а - 9б/б; в) 12б/2. -; в)---^^; г) -Jk - 4; 486. а) V2U/2 + 1). 487. а) h W5; б) — 2/2 - i 3 д) -Л - sfm; е) б/n + 2^[р; ж) ^6; з) -^Jq; и) ^^; к) W2 ^/3; л) 2t - 2/2; sir м) W2. 488. г) ; и) л) ^. 489. б) -^; и) —^. у2 4 7 ,у3 Wm 490. а) 3^/2 - 1); б) -2^/2 + 1); в) 5(^ ^); г) - ^; д) 3 + ^; a - Ь у - z 2 е) 2(7 - 2/3); ж) 9 + ; з) 4^/7 Wb ). 492. а) a - Ь, если аЬ > 0 и a > Ь ; — (Ь - a), если аЬ > 0 и a < Ь ; б) a + Ь, если аЬ > 0. 493. а) —; an 2 б) 2^a 1, если a > 2, , a -2 2 - a 498. В 15 ч 18 мин. 499. За 1 ч 10 мин. 500. 30 км. 501. 20 км. -, если 1 < a <2. 494. а) 10; б) 25. 497. 3,5 см. Раздел IV ^ 510. 20 м. 512. 60 дм. 513. 32 м и 42 м или 54,8 м и 57,2 м. 514. . 516. 9 дм 4 1 72 или 321 дм. 517. 4,8 м. 518. 182 см, 546 см2; 127— см. 520. 25 дм2. 521. 15 + 9 ^ 85 ______:: + W5 м; 45 м2. 522. а) 1080 мм2; б) 26/11 см2; в) 1W4Ь2 - a2 . 523. а) 84; 4 б) 66; в) 252; г) 126; д) 18,5; е) 3,5. 524. а) б/з м, 1б/з м, 1б/з м; б) 1Ь/5 м, ,29 53 12/5 м, 2б/5 м. 525. 4729 см. 526. а) б/б м или 20 м; б) 12 см или 2/3589 см; в) 11 дм или г) ^; д) qr jg + ih 2/Л дм. 528. а) a2 + aЬ + Ь2 ; б) (m + n)2 ■; в) -- и + 1 3и (q + r)2 - p2 ; е) (е - е)2 - d2 . 529. а) ; б) 4х - 3 ; в) Ь + 1 a + 1 x(x - 1) Ь-1 1 г) ■T. 530. а) 11; б) 7; в) 5; г) нет корней. 531. 739,5 км2, 510 км2, 250,5 км2. 532. 14 августа 1385 г. 533. 1 и 4; -1 и -4; 13 и -4; -13 и 4. 536. 24 см. 537. 6 дм и 8 дм. 540. а) 63; б) 66; в) 56. 541. 21 см, 18 см. 543. 10 см. 544. 32/3 м2. 545. 4 см. 546. 337,5 м2. 548. 30°; 150°. 550. 10713 м2. 551. 882 м2. 553. 100 дм, 420 дм2. 554. 1710 мм2. 555. а) 864 см2; б) 594 м2; в) 1680 мм2. 556. 30 см, 36 см. 557. 1330 мм2. 560. 75 см2. 563. а) 126 дм2; б) 12б/2 дм2; в) 12б/3 дм2. 564. 388 Q(k2 +l2) 2kl Правообладатель Народная асвета ce 566. 5400 м2. 568. 5 + 4t. 570. а) (2; +то); б) {3—; + 571. а) (-^; -3); 13 ,1 б) (3; 19]; в) нет решений; г) (З1; +^|. 572. 731 км2, 75 км2, 138 км2. 576. 41 096. 577. а) 5; б) 1,5; в) 5^/l5; г) ^i^. 578. а) 2; б) 4; в) 1,2/5; г) 5. 579. 0,^/б. 580. а) b = - a; б) b = 3 a; в) b = 3 a; г) b = 3 a. 581. а) 3 и -; 24 7 \ 1 "V3 \ \ f\ Q 15 \ ‘'’'^3 \ 3 б) — и —; в) — и ——; г) —— и ——. 582. а) 0,8; б) —; в) ——. 586. а) —, 25 25 2 2 2 2 17 2 7 3 ; в) А, 15; г) _9, 41. 588. а) 3, 3; б) А, ^К; ’ > -.п’ -.п’ > л-,’ Л-, ' ^ 5 ^ 9 ^/^; б)^, ^; в) , ; г) , ^ 1^ 1^ 4Г 41 в) У55 3/55. г) V2 589 а) 3 15 84. б) 12 24 204. в) 12 в) 8 ' 32 ; г) 2 ' 2 . . а) 5' 17' 85; ) 13' 25' 325; в) 37' 24, -924. 593. а) 2, ^; 48° 11', 41° 49'; б) ^, -^; 63° 26', 26° 34'; 2^ 925 ' 3 ^ ^ S .15 в) 0,6; 0,8; 53° 8', 36° 52'. 594. а) —, ^; 67° 23', 45° 14'; б) ^, -^; 13 3 у]5 v5 70° 32', 38° 57'; в) 0,6; 0,8; 45°, 90°. 598. а) ^; б) -^; в) ни при каких; г) при a > 1. 599. а) ^^; 1^; б) ^0; j; в) ^3; 4j; г) b2]. 600. а) в = 45°; б) 45° < в < 90°; в) в < 45°; г) 45° < в < 90°; д) в < 45°; е) в ^ 45°. 606. а) 0,4; 2,5; 21° 48', 68° 12'; б) 7, Т; 81° 52', 8° 8'; в) 3, 7; 2 7 7 3 23° 12', 66° 48'. 608. а) 6 + з/5 + W2. 609. а) a-(3 W3 + 3/2); 610. а) 12Х4 + + 7х3 - 8х2 - х + 4; б) -7с4 - 3с3 + 3с2; в) у4 - 5ау3 + 7а2у2 - 3а3у; д) и4 + j4 + k4 -- 2u2j2 - 2u2k2 - 2j2k2; e) 4 + 4m2 + u4 - 9u6 - 6u3v2 - v4. 612. а) (a3 - b)2; б) (2с5 + 5у6)2; в) (5тп2 + 6k2l)(25m2n4 - 30k2lmn2 + 36k4l2); г) (6d2f - 5eh3)(36d4f2 + 30d2efh3 + + 25e2h6); д) (2u - 5j)3; e) 8(p + 3g)3; ж) u5(u - 1)3(u4 + u3 + u2 + u + 1); з) (с - g)(c + + g)(b - h)(b + h). 613. a) 5; б) 3; в) 3; г) 5,75. 615. 1,52 км2; 8,2 км2; 0,74 км2. 616. 26,75 млн м3; 12,65 млн м3; 41,8 млн м3. 617. 2 : 5. Раздел V 629. к) -ТТ; ТТ. 630. д) -12; 12; ж) -24; 24. 631. в) -2,5; 0; д) 3. 30 30 3 3 7 7 635. а) 0; 2,5; б) ^/7,5; 77,5; в) -0,5; 0,5. 636. б) ^/0,5; 70,5; г) нет корней. 641. а) 12 см; б) 8 см, 11 см, 7185 см; 12 см, 12 см, 4 см, 7185 см, 1 см. 642. з/а см. 643. 2/5 см; 4 см 2. 644. W2 см. 645. 4, 5, 6. 646. 48 см. 647. 25°, 130°, 25°. 648. а) 3(l Ws) дм; 60°, 75°, 45°; б) 4,5(3 Ws) дм2. 649. а) 2 см, 2 см, 4 см, 2/2 см; 135°, 90°, 90°, 45°; б) 6 см2. 650. а) W3 см, 5 см, 10 см, 10 см; 90°, 90°, 120°, 60°; б) 37,з/3 см2. 651. а) 1 < х < 1,2; б) 0,2 < х < 0,4. 654. а) -4; 3; е) -1,5; -1; л) -0,5. 656. а) -5; 1,5; б) -1; - -i; в) -5; 7; г) -3; 6; д) нет корней; е) -5; ж) ■1; —; з) -8; 11; и) нет корней; 6 2 3 389 Правообладатель Народная асвета к) нет корней; л) -5; 8; м) 1,25; 1,5. 657. а) При x = 2 и при x = 10; б) при 4 3 у = -2,5 и при у = 6; в) при Ь = -1 и при Ь = 6; г) при t = — и при t = —. 34 658. а) 3; 8; б) -1; 5; в) -7; -2; г) 6; 8; д) -1; 4; е) 3; 11; ж) -10; -1; з) -2; 3; и) -3; 0,25; к) 5; 9; л) -^; 2; м) -6; -5. 659. а) 0,5; 2; б) -^; -^; в) -0,5; _ 3 2 3 3 ^/15 1 2; г) -; д) 0,5; 3; е) -0,1; 1; ж) нет корней; з) -0,1; —; и) 1,5; к) 0,3; 6 3 12 л) нет корней; м) нет корней. 660. а) ; б) 0,8; 1; в) 4; ^—; г) нет корней; 63 -7 949 д) -17; е) -17; 2; ж) 0,5; 3; з) -0,5; 3; и) нет корней; к) -; л) 2,4; 30 2,75; м) нет корней. 661. а) 1; 2; б) 1; 11; в) -2; -1; г) -2; 1; д) -11; 1; е) -1; 2; ж) 5; з) нет корней; и) -9; к) нет корней; л) 3; 8; м) -8; -3. 662. а) 3; 5; б) -8; 7; в) -5; 4; г) -11; -5; д) 7; 14; е) -12; -10; ж) -20; 9; з) -1; 17; и) нет корней; к) 16; л) 20; 30; м) -19; -10. 663. а) 2; 22; б) 4; 8; в) 0,2; 3; 7 3 7 г) -3; 7; д) -8; 10; е) -2; 24; ж) -1; 2—; з) нет корней; и) -2—; 1; к) нет 15 15 корней; л) -2; -1-; м) ^2; 1,2. 664. а) -0,2; 2; б) -7; 2; в) 3 ± W2; г) -4; 2 7 2 5; д) -12; -2,5; е) нет корней; ж) 16; 36; з) -1; 2^; и) 0,2; к) -1^; л) -0,15; м) —. 665. а) -0,5; 3; б) 1; 2; в) -1; 9; г) -3 ± ^/б; д) -8; 3; 15 6 е) -2; 3; ж) 18,5; з) нет корней; и) ±■■J—0; к) ±^13; л) нет корней; м) ±2. 666. а) --j; 5; б) -0,7; 10; в) --1; 2; г) нет корней; д) -0,5; 2; е) -21; 6 3 3 -241 ±-~J 301 -0,4; ж) 15,8; 18; з) ---. 677. 40°, 70°, 70°. 668. 110°, 135°, 70°, 270 45°. 669. 72°, 72°, 36°. 670. 20°, 80°, 80°. 671. 6 дм, 3 дм, 3 дм, 3у[3 дм. 672. 50 г, 100 г. 673. 180 кг. 674. 17 кг. 675. а) 0,5 < x < 1; б) 3,5 < x < 4. 678. а) WS; ±2; б) ±^2; в) ±1; г) ±2,5; д) ±2; ±4; е) ±0,^10; ±0,W2; ж) ±3; з) ±2; ±5; и) ±1,^2; ±'J2; к) 1; л) нет корней; м) ±^ 10. 83 679. а) -1; 0; 2; 3; б) -1; 0; 4; 5; в) -3 ± V5; г) -6; -4; д) -2; -1; е) -0,5; 0; 1; 1,5. 680. а) 0; 1; б) -3; 8; в) 3; г) -1-|; 12; д) -2; -1,5; е) -1,8; 5; ж) 1; з) 31; 7; и) 11; 5; к) -20; 40; л) -0,2; м) --|; 6. 681. а) -4; 2; б) 1; 2; 3 3 3 3 2 в) 1; 10; г) —; д) -3,5; 5; е) нет корней; ж) -3,25; 1; з) 6; и) 4; к) ±4; 2 -4 л) -9; 1; м) -3; 2. 682. а) 0; б) нет корней; в) -; г) 2; д) 2; е) 2; 32 ж) 2; з) 4 ± W2. 683. а) -0,5; 2; б) 3; 41; в) -1,4; 5; г) 2; -63; д) -1I.; 73 7 3 2 2 1 2; е) -4,7; -1; ж) 1; з) 0. 684. а) -1|; 0; б) -11; в) 4; 5; г) -1; 7; д) -1; 3 3 3 I— -^^; е) -8,5; -2; ж) -4; 9; з) 2. 685. а) 5; 6; б) -3; -|; в) -5 ^3 ; г) 2,5; 5; 15 3 2 390 Правообладатель Народная асвета д) -5,6; 4; е) 5,2; 10; ж) 9,2; 14; з) 8,25; 12. 686. а) -2 - VO; -2 + л/б; б) -у[з - 3; -\[з + 1; в) 0; V5; г) 0; V3. 687. а) При у = -1,25; б) при x = ^/2; в) при k = -1 и при k = 6; г) при m = -0,6 и при m = 5; д) при a = 2; е) ни при каких. 688. а) ±3; ±5; б) ±4; в) нет корней; г) ±2; д); +0,5; ±2; е) нет корней; ж) +0,5; +3; з) +1; и) ±5; к) +1; ±3; л) +8; м) ±-1. 689. 120°. 60°. 691. 4(3 + Wa) см2. 692. 300/3 см2; 350/в см2. 693. 2619 тыс. человек, 1461 тыс. человек, 1077 тыс. человек, 1021 тыс. человек 703. 19. 704. 2; -8. 706. 15. 711. г) 6x2 - 5x + 1 = 0; к) x2 + (3 )x + о/5 = 0. 712. а) 7; б) -0,25; в) 6; г) -35. 713. а) х2 + 16x + 48 = 0; б) х2 + 4х + 3 = 0; в) х2 + 2х - 3 = 0; г) х2 + 12х + 32 = 0; д) х2 - 4х - 96 = 0; е) х2 - 40х + 144 = 0 714. а) (а - 1)(3a - 5); б) (m - 1)(4m - 3); в) (4t - 3)(3t - 2); г) (3b - 2)(2b - 1) д) (3х + 4)2; е) {5и - 4 - ^/5)(5n - 4 + 2/5); ж) (1 - 2l)(l - 2); з) (3у + 1)(1 - у) 715. а) r + 2; б) b + 6; в) г - 2 ^ 3 - 5s ^ з) ——^; и) ; к) 1 . г) 1 . д) х + 1 _ e - 9; d + 7; х -1 ’ t + 3 л) r + 1_ м) v - 9 3t + 1; r -1; v + 8 У + 2; ж) 2а + 7 у - ' 7а + 2’ 716. а) х(х - 1)(х - 2) 10s + Г 2г - 1 б) у(у + 1)(у + 7); в) г(г + 7)(г - 3); г) t(t - 3)(t - 4); д) r(r + 2)(r - 11); е) v(4v + 3)(2v + 1). 717. а) 1 б) - 1 a - 4 718. а) --1; б) ^^; в) -^^; г) -553 3^^ 1^ 216 в) - 1 г) t - 1 b + 4 г + 1 t(t + 10) 719. а) 0/2 см; б) о/7 см; в) W7 см2; г) 3^7 см2; д) 36(1 W7) см2; е) 24(1 W2) см. 720. 8(2 Ws) см2. 12 723. 4,5 см и 9 см или см и 1^— см. 724. 105 тыс. км2, 77 тыс. км2, 77 11,5 тыс. км2, 8,6 тыс. км2. 725. 1972 м, 3087 м, 2256 м, 1338 м. 726. 12 г. 727. 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 12, 21, 24, 42. 728. 256. 729. а) 11 и 12; б) 17 и 18. 730. а) 13 и 15; б) 29 и 31. 731. 732. 5 или З1. 733. 3 6 12 8 12 734. 2 м, 4 м. 735. 4 м, 6 м. 736. 13 дм, 14 дм, 15 дм; 1^^— дм, 12 дм, 1 13 11,2 дм. 737. 60 см2. 738. 8 см, 15 см, см. 739. 3 м, 4 м. 740. 60 км/ч, 40 км/ч. 741. 18 км/ч, 50 км/ч. 742. 52 км/ч. 74^. 6 км/ч. 744. 1 км/ч. 745. 12 ч, 18 ч. 746. 12 ч, 20 ч. 747. 54 км/ч, 81 км/ч. 748. 24 м X 30 м. 749. 8 см, 15 см. 750. 4 см, 10 см. 751. 12 дм, 16 дм, 20 дм. 752. 160 г, 20 %. 753. а) 10/2 ^/5; б) W5 + ю/2; в) -о/б; г) W3; д) -1,о/2; е) 6,We - 11V15. 754. а) х2 - Щ У -1; б) 3 г) k^d - Г|Ш k3 1 + -V. 755. а) ^; б) 4,5. 757. d l 14 ^ 0/5 -10 ^ 1 + 8mjm ^ s3u/t - ^ „ 1 г) ---— ; д) —; --------; е) — ------. 760. Ни одним. 765. а) 1; б) 1 - b ,13 2 - т—г; в)--m2 + m; ; б) ; в) 2 b2 \а х + у[х у 5 20 1 - 4m 4 1 -1 “2t -4 в) -—; г) —. 766. а) (-то; -2) U (2; +то); б) а — любое число; в) (-3; 3). 9 8 767. а) (-2; 2); б) [-3; 3]; в) (-то; -1) U (1; +то); г) (-то; -4] U [4; +то). 8 8 774. а) и = -3,5t2 + 4; |-8; 0|, |8; 0|; б) v = 5 r2 - 4; |- We V5 ;»), (256;»)' 391 Правообладатель Народная асвета 777. а) u = -3,5(t + 4)2; (0; -56); б) v = - (r - 4)2; (o; 13-). 781. При p = 0; (2; 4), (1; 1); при p = 4; (2; 4), (9; 25). 782. При r = 7 WS; (7; -9) и 7- - WS; -9- + Ы3 ]; при r = 7 WS; (7; -9) и (7- + WS; -9- - Ыз\ 3 3 3 3 783. а) y = 0,2x2 + 4; б) y = 0,2x2 - 4,5; в) y = 0,2(x + 3,5)2; г) y = 0,2(x - 6)2; д) y = -0,2x2 + 3; e) y = -0,2x2 - 7; ж) y = -0,2(x + 5)2; з) y = -0,2(x - 5,2)2. 785. a) (3; -4); б) (-4; 2); в) (-5; -2); г) (-1,5; -3,5). 788. а) (0; 2); б> <0= -6>; в> (|; -1); г> (^; i?)= «> <0= -3,2» е> (-1?;5!)- 789- а> <0= 0); б) (2; 0); в) (-0,5; 0); г) ^-2; 0^. 791. а) (1; 0); (2; 0); (0; 2); б) (1; 0); (0,5; 0); (0; -1); в) (0; -8); г) ' 3 ± ; 0^; (0; 8). 792. а) y = 3(x - 1)2 - 2; б) y = -(x + 1)2 + 5; в) y = 5x2 - 10x + 2; г) y = -3x2 + 5x - 4. 793. y = -2; (x + 1)(x - 3). 798. а) (a - 1)(7a + 8); б) (x - 3)(x - 5); в) (b + 10)(b - 11); г) (y + 1)(5y + 3). 799. а) --^; б) ; в) b+2; г) 11y ~14 7 a + 8 x + 5 b + 10 5y + 3 800. 100 мм. 801. 24 см. 802. 8 см, 4 см. 803. 1^/3 см2. 805. 16^12 см2. 806. 438; 102. 807. 11 ч. 808. 52, 33, 15. 809. 70, 21, 9. 810. 10 или 12. 812. 4 : 1. 813. 7 способов. 815. 3 способа. Раздел VI 1 lx Iv 824. а) 8 см; б) 2 см; в) 4,5 см. 825. 1— см или 21,6 см. 826. -, -----. 35 x + y x + y 828. а) 15 см; б) 6 см; в) 40 см. 829. 56,25 мм, 90 мм. 830. 42 см. 835. а) 9,6 см; 14,4 см; б) 15 м; в) 10 см. 836. 15,75 см. 837. 10,5 см; 7,5 см. 838. 30 см, 50 см. 839. 5 см, 10 см, 15 см. 840. 7,5 см, 12,5 см. 841. 8 см, 10 см. 842. 3yfE см, 18 см; 31,5 см; 31,5 см. 84^. 6 см, 9 см. 844. а) -6; 2; б) -2,5; 0; 1. 845. а) (-^; -— 23 852. 65 мм, 39 мм, 52 мм. 853. На 6 см. 854. а) 30 мм; б) 15 см. 855. 84 мм или 156 мм. 856. 50 мм, 100 мм, 150 мм, 200 мм. 857. 28,8 мм; 13— мм; 10 мм; 3 162 мм. 859. 10 см и 35 см. 860. 30 мм, 48 мм. 861. 18 см. 863. . 3 m + n 865. 30 мм, 24 мм. 866. 180 мм, 400 мм, 9 : 20. 867. 12 см; 3 : 4. 868. На ab ; б) [-4,24; +^). 847. 15 и 12. 848. 7. 851. 16 см; 9 см. 256 мм. 869. 50 мм. 870. abc. 871. 14 см, 16,8 см. 872. b a + b . 873. yjmn. 875. -a^. 876. 36 мм, 20 мм. 877. а) 5 1169 ; б) 0,5; 1; в) -7; 1; г) нет a + h 26 корней. 879. а) A(1; 7), B(6; 5), C(-2; 1); б) 18; в) ^/29, W5, W5; г) -^, v5 V5 J2L. 880. а) (0; -6), (3; 0), (--|; 0^; б) (4; -22), (2; -8), (13; -8^; в) (5; 34), (1; -10), ^4.; -10j. 881. 50 км/ч. 882. 9 876 312. 887. 30 мм, 20 мм, 35 мм, 25 мм, 392 Правообладатель Народная асвета 10 мм. 888. 12 дм, 20 дм, 28 дм, 44 дм. 889. 200 мм, 500 мм. 890. V2 : 1. 897. а) 9 : 25; б) 25 : 49. 898. а) Vs : 4; б) Vs :(4 Ws). 899. « 11,83 м. 900. а) i; б) -j. 901. 24 дм2 или 121,5 дм2. 903. 1 -^/2 - 1):^/з ). 904. 3000 дм2. 906. ; б) 2(^ ~ ; в) 2(c + 7\; г) 3(5 ~ d). 908. 5 м х 9 м; а - 3 ’ 3(Ь + 1^ 3(c + 10^ 2(d - 7) 12 м х 3 м. 909. 60 км/ч. 910. 5. 911. 7537. 913. 14. 917. а) 5; б) 61; в) 13; 8 г) W97; д) W2; е) 12. 918. а) 12; 9; 16; б) ^jy; 3-^; 134г; в) 6,72; 1,96; 23,04; г) 20,16; 5,88; 69,12. 919. а) 4,8; 3,6; 6,4; б) 832; 140; 391; 41 41 41 в) 3612; 3141; 4132; г) 10-50; 1-60; 5^^. 922. 75 мм, 147 мм. 923. 150 мм, ^ 7^ 7^ 7^^ 6^ 6^ 61 200 мм, 250 мм. 924. 108,8 см; 382,5 см. 926. (3, 4, 5). 927. а) 37 см; 930. 28 мм, 96 мм. 931. 25. б) 4~а2 + Ь2 . 928. 109 мм. 929. \1а2 + Ь2 2 932. 17. 933. 26, W6T, ^601. 934. а) 17; б) 289; 289; i91^. 935. а) V5; I-----7=- I-------г I-------г- ' ' 15 8 120 ' б) V +0 5 ; ; 4 2 5 . 938. '/3. 940. а) 5; б) -3; в) 8; г) -14. 944. 10^/2 + 1) А. 945. 6^/2 + 2) см; 6^/2 + 1) см. 946. X* - 10x2 + 1 = 0. 965. 971. — tg а(2 ^2 + tg2a). 976. а) 11,2 см; б) 160 : 2т 2m2 '' 4 977. 62 см; 76 см. 978. 6 дм, 8 дм; 6 дм. 979. 65 %, 80 %. 980. 50 %, 75 %. 981. а) ; б) d---(^ZT); в) °е+_3; г) f - 1. 984. 6. 989. а) 3, —; 53° 8', c + 4 d + 2 e - 2 4 24 73° 44'; б) 1, 0; 45°, 90°; в) ,V2. 3 41 >/91’ ^91 ; 72° 33', 34° 55'. 993. а) При а ф 0; б) при а = ^^; в) ни при каких; г) при а = 2. 1003. а) 9лр2 см и 22,5/2 см; б) 16 см и 40 см или 12 см и 30 см. 1004. а) ^/34, 2/34, ^170; б) 136; в) W^, W^, 0,^170; г) 1^2, WT7, 7170; д) 34; е) у = 0,6x + 8; у = -5X - 14-2; у = 11X - 15; ж) у = — x + 2-^; у = x + 4; у = 4х + 8; 3 3 7 7 13 13 з) у = 0,6x + 1,2; у = -^X + 8; у = TTx + 8. 1006. а) 10; б) 6; в) Нет; г) 5. 1007. а) (X + 2)(x + 5); б) (z - 9)(z + 12); в) (2а - 2,4)(а + 2,7); г) (6Ь + 5)(5Ь + 2). 1014. 130 см2. 1015. 546 дм2. 1016. а) (18 + 243) см; 14/3 см2; б) (20 + W3) дм; дм°; в)4(4 ^/2)м; 24 м2; г) (230 + 5043)мм; 3250/3 мм2. 3 1017. а) (2; 1); б) (4; 8); в) (0; 3); г) (-2; 6,5). 1018. у = -2,75x + 11. 1019. 530. 1022. 9000 м. 1023. 1. 1025. а) —; 2,4; —; б) -—; -2,4; -—; в) 24; —; 13 12 13 12 25 24 24; г) ^^; -24; ^^; д) ^Z1!; ^Z^; ^^; е) -2; -1,^5; - . ^ 2^ т 2^ ^ ^ 1^ ^ ^ ’ 15 15 15 8 15 15 8 40 40 9 9 9 1026. а) —; —; —; б) —;---; —; в) —;-----;----; г) —; —; 17 8 15 17 8 15 41 9 40 41 40 393 0/5 Правообладатель Народная асвета n 2т2 - п2 40 -9-’ д) V23 . 12 ’ V23. 11 ’ 11 . е) 7 . ^/2 . ^2 V23’ е) 11’ 12 ’ 7 . 1027. а) 2-’ 21’ 29 29 21. 20’ б) 20’ 29 21. 21 , ’ в) 20 12. 35. 35. ) 35. 12. 37’ 37’ 12’ г) 37’ 37’ 12. ) 12. 5 . 35’ д) 13’ 13’ 5 . 29’ 12’ 3 е) —’ ’ 7 7 ’ 2sIl-3 . 1028. а) ^Я’ _11’ _^Я’ б) 61 61 11 9 40 9 —’ ’ ’ в) 41 41 40 24. 25’ 7. 24. 13. _84. _ 13. ) 40. _9. 40. 5. 25’ 7 ’ 25’ 85’ 84’ 41’ 41’ 9 ’ ^ 9’ Ы14. 9 ’ 2 Y 3 1030. а) cos2 а’ б) sin2 р’ в) -cos2 у’ г) sin2 2ю’ д) cos2 v’ е) sin2 —. 1031. ± —. 24 1032. а) 5’ б) -|’ в) -7’ г, 2. 1036. а) 1’ б) 1’ в) 1’ г) 0. 1038. а) cos 12°’ б) -sin 33°’ в) -tg 6°’ г) sin 9°’ д) -ctg 11°’ е) ctg 44°’ ж) sin 21°’ з) tg 44°. h2 1039. а) 0’ б) 0’ в) 0. 1041. а) 4 : 3’ б) 3 : 8’ в) 3 : 2’ г) 6 : 5. 1042. а) — X X (ctg а + ctg Р)’ б) h-,h. 1"2 ’ в) 2 Г 2 -------c--------. 1044. 11L3. 1045. 1(mn sin а + 2(ctg а + ctg P) 2 2 2sin Y + npsinp + mp sin y). 1046. а) 40’ 840’ б) 46° 29'’ 43° 31'’ в) 1° 29'’ 1° 29'’ г) 2828’ 840/2’ 29’ д) 21° 46'’ 1° 58'’ е) 42’ 8,W29’ W^’ ж) 23° 15'’ ’ 2^ 21 ’ , , , , м , м , , , 4° 27'’ з) 40’ 4^58 ’ V2041. 1047. 19° 11', 36° 2', 124° 47'’ 24° 57', 55° 13', 7 90° 50' или 17° 45', 40° 15', 122°’ 10° 19'’ 29° 56'’ 139° 45'. 1048. 39,5 мм’ 14 мм. 1050. 278,8 мм, 84,8 мм, 175,4 мм. 1051. 900 см2. 1052. 159 м. 1053. « 140 м. 1054. а) ^41, ^41, -J533’ б) 123’ в) 3,/41, ^41, 41 1107. а) -1’ б) ^’ в) -1’ г) 0’ д) -2’ е) 7. 1112. а) (а _ 5)(3a -1)’ ^^’ д) 90°, 33° 41', 56° 19'’ е) 20,1’ 10,9’ 14,5. 1055. 7,2 м/с, 6,4 м/с. 1056. 30 кН, 50 кН. 1057. 16 м, 63 м, 65 м. 1062. 6 см. Материал для повторения 1073. а) 110’ б) 85’ в) 38. 1075. а) —’ б) —’ в) 1472’ г) 1^^’ д) -37’ 11 22 999 35 330 е) ^^. 1100. а) 36 _ 3^2 + 2^/3’ б) 0’ в) 2,/7’ г) -4’ д) Vs W2’ е) 0. 33 1104. а) 6’ б) -33’ в) 2’ г) 2. 1106. а) 2’ б) 2,5’ в) ^/2’ г) -3,75’ д) -0,5’ е) 0. S. 4 ’ б) (2x + 3y)(4x + y)’ в) (x _ c)(x _ 2y)’ г) (a _ b)(2a + 3x)’ д) x(x + 1)(a + b _ c)’ е) (a _ b)(x2 + x _ 1)’ ж) (x _ a)2(x + a)’ з) (a + x)2(a _ x)’ и) (x _ 2c)(x _ 2y)’ к) (a + b)(a _ 2c)’ л) (x _ y)(2x + 2y _ a)’ м) (x _ c)(x - 2y). 1113. а) (x _ a _ 1) X X(x _ a + 1)’ б) (x + 2a _ 2)(x + 2a + 2)’ в) (3x + 2a _ 3)(3x + 2a + 3)’ г) (2x _ 3a + 2) X X(2x _ 3a _ 2)’ д) (2x + y)(4x + y)’ е) (x + 3y)(x + 5y)’ ж) (a _ x)(3a _ x)’ з) (2a _ 3x)2. 1114. а) (u2 _ u _ 1)(u2 _ u + 1)’ б) (v2 _ v _ 1)(v2 + u + 1)’ в) (w4 _ w2 _ 1)(w2 + w + 1)(w2 _ w + 1)’ г) (x + y + 1)(x _ y + 1)’ д) (2t _ 1)(2г _ 1)’ е) (a _ b + 1)(a2 + ab + b2 _ a _ 2b + 1)’ ж) (2c + d + 2)(4c2 + 2cd + 4c + d2 + 4d + 4)’ з) -4ef(e _ f)(e + f)’ и) 2i(i + h)2(i _ h)2(i2 + 3h2). 1115. а) (r2 _ 2r _ 4)(r2 + 2r _ 4)’ б) (s2 _ 2s + 3)(s2 + 2s + 3)’ в) (w2 _ 6w + 18)(w2 + 6w + 18)’ г) (g2 + 1)(g2 _ g _ 1)’ д) (q4 + 4)(q4 _ q2 _ 4)’ е) (a + b)(a + 2b _ 1)’ ж) 4k(l + 1). 1116. а) 4i(i + 2)’ 394 Правообладатель Народная асвета 5 б) (a + b - c)(a + b + 3c); в) (1 + p - q + r)(1 -p + q - r); г) (n -p)(m + n)(m + p); д) (t - s)(r - s)(r - t); e) (e + f)(d + e)(d + f); ж) (x + y)(y + z)(x + z); з) -3(k + l)(m + + k)(m + l). 1117. a) 4(i2 + j2 + k2); б) x64 - y64. 1118. a) 26; б) -19,5. 1119. а) -1; 2 3 2 2 X 4a r-\ 3r s ,m + n ^ cu + dv ,4 б) 1. 1120. a) 4); б) 4. 1123. a) -—; б) ——; в) --------; г) -----—; д) —; 5b 8t^ m cu - dv 25 2 e) 1ЁУ_. 1124. a) ----; б) b2 + 2b + 2; в) --9c2 + 12cd2 + 16d4 25 Л1 a + a + 1 e11 + 1. h - f - g ; e) --------; ж) y^ - y2 - 2y + 2 e11 h + f + g x - 2 y4 - y2 + y2 - y + 1 1125. a) ^ - ax + bl ; б) y +r ; в) 3c + 4d2 ; з) z32 + z16 + 1. i + j + k p + q - y ' (u + w)2 - v2 ; г) Ч . .u (u - 3)(u + 3)(u + 2) 1126. a) -4; б) 17. 1127. a)-;---—---------; при u = -2 и u = 3, вырaжeниe (u — 3)(u + 2) не имеет знaчeния; при u = -1,5 знaчeниe вырaжeния рaвно -2,25; (v - 1)(v + 1)(v2 + 1)(v2 + v + 1)(v2 - v + 1)(v4 - v2 + 1) б) ---------^; при v = -2 знaчeниe (v - 1)(v2 + 1)(v2 + v + 1)(v2 - v + 1) вырaжeния рявно -13; при v = 3 знaчeниe вырaжeния рaвно 292; при v = 1 -<-<00 \ 2ab + 3b ^ m + 3n , . вырaжeниe не имеет знaчeния. 1128. a)------; б) — -----------—; в) u + 4; 2a - 3 m2 - 6mn + 9n2 г) 3; д)-----Ц; е) . 1130. a) 1; б) 1; в) 1; г) 2. 1131. a) ; 2 w + 2 p - 3 6 2c -1 б) -a; в) -2; г) -^^. 1132. a) . б) ; в) (a±b\\; г) 4(a-—bl. 3 2b + 5 2^ 4a2 \ ^ Г 5a 11QQ 1 5a + ^ ^ 1 Ч 2(3b - 2) a2 + 8a - 4 , 6a + b , 12 a2 -1 3(3b +a) (a + 2')2 2a a(a + b) ; б) -6mn(2m + 3n) _ b(a - b)2 ж) —d + de + 5d (d - e)2 ; з) 2m - 3n 4 - r - s 11u + v ; 6u - 6v’ 3 2c - 4’ „ . 1135. a) 4; б) 3,2; в) —; г) 0,75. r2 - rs 16 1136. a) 4a2 - 3ab + 8a - 6b a - 2 ; б) w2 - w - 1 w - 3 ; в) 32g T,5n + 5 -V -L 7/2 h__________. г) 5n - 10 2r - q 4 17 ^ u2 + uq - ur - qr a + 2b ■, k - l - 1 , 6 о д) о.. . ,.; е) u4v4'. 1137. a) ---5-----------—; б) ——-; в) , ,^, ; г) y° - 8; 2r + q ^ 1 ^ z + 2 д) —;:; е) x + z2 - 3z + 2 -2 2 2 ; б) ; в) , ,, u^ - 2up + p^ 2a - b k + 21 r - ^^,l(n - m - l). 1138. a) t = t = 1 ; ж) ~2—-; з) ^ + 2 2 ъ.2 ’ a - b б) t = -2c - 3; в) t = m + n; г) t = p - r. 1139. a) Вырaжeниe тождественно рявно вырaжeнию 0, и поэтому не зввисит от знaчeния переменной x; б) вырaжeниe тождественно рявно вырaжeнию -2a, и поэтому не зявисит от знaчeния переменной b); в) вырaжeниe тождественно рявно вырaжeнию 1 2 2 ^s ', и поэтому его знaчeниe положительно при всех нaборaх знaчeний переменных r и s из области определения; г) выражение тождественно равно выражению 395 Правообладатель Народная асвета n -1, и поэтому его значение положительно при всех наборах значений переменных и и v из области определения; д) выражение тождественно равно выражению -(j + I)2, и поэтому его значение не положительно при всех наборах значений переменных i и j из области определения и не зависит от значения переменной i; е) выражение тождественно равно 64 выражению 1 - У 64 ’ и поэтому его значение отрицательно при любом значении переменной у, которое не больше единицы. 1140. а) -24; б) ^^l; в) 803 2128. 1141. а) x + sfS; б) ; в) + 2^; г) V-x. 1142. а) -5xy^ -J3x; va ^ - 2У3 ’ б) -2ab\l-2ab; в) (m + n)s/m - n; г) . u. 114^. а) x + У; б) \fa + ~Jb; в) 2; \ V x ^ I, ЛЛ ЛЛ \ '■16 2{\fa + y[b ^ и г) b - a. 1144. а) ; б) —^^; в) -----------------j= 3 Va и - -J2 е) -4st. 1145. а) ^; б) —2); a I - 1 в) Vb WC; г) 1; д) 1; е) , V2 , 11 p Ws ; г) ~г'; д) ^—ft; 4 б(p Wa) 3( p + q) p - q 1146. а) -bJ2, если 3a ^ b3; ^ , если b3 > 3a; б) u; в) ^1 v +у1 v . V b V2 1147. а) -1; б) 2. 114^. а) |sina - cosa|; б) |sinP - cosP|; в) 2, если cos a ^ 0; 1 1 л/2 -2, если cos a <--; 4 cos a + 1, если-< cos a < 0; г) 1, если sin В < -; 2 2 ' 2 ^2 sin p + 1, если sin p > —^. 1157. а) 13; б) 2; в) 9; г) 0,2; д) -6; е) 5; 1 2 2 4 ж) 10; з) 11. 1158. а) -1;-; б) нет корней; в) 5; г) 0,5; д) ±^^; е) —; —; 8 yj3 3 3 /2 ж) -1; з) -0,4; и) нет корней; к) 0; 0,5; л) -4; 0,6; м) -1,25; 3. 1159. а) ±——; 3 7 3 б) 2,5; 3; в) нет корней; г) -8; д) -2; —; е) 0; —; ж) нет корней; з) 4; 37 и) -0,25; 1; к) -2; л) -0,4; 0,5; м) -0,8. 1160. а) -20; 40; б) -12; 3 -9; в) 9; 12; г) -12; -10; д) 10; 12; е) -12; -11; ж) 11; 12; з) -13; -11; и) 11; 13; к) -13; -12; л) -40; -20; м) 12; 13. 1161. а) -2; 1; б) -1; 2; в) -3; 2; г) -2; 3; д) -4; 3; е) -3; 4; ж) -5; 4; з) -4; 5; и) -7; 6; к) -6; 7; л) -7; 8; м) -8; 7. 1162. а) -9; 8; б) -8; 9; в) 1; 3; г) -5; -4; д) -80; 100; е) -5; 1; ж) 4; 5; з) -12; -9; и) -1; 5; к) -9; -1; л) 9; 12; м) -6; 2. 1163. а) -50; -30; б) 30; 50; в) 20; 40; г) 5; 7; д) -35; 20; е) -10; -6; ж) 6; 10; з) -10; -9; и) -20; 35; к) 9; 10; л) -24; 7; м) -70; 50. 1164. а) -1,2; 2; б) -0,5; 1,5; в) -1,5; 2,5; ^ 15 ^2 1^ ^ 2 ± 2,/^ г) —; —; д) —; —; е) 0,6; 1; ж) —; 2; з) -1,8; и) —; к) -----; 3 3 3 3 3 6 9 -9 ±■■J—6 5 7 л) -------; м) —; —. 1165. а) -1; 4; б) 3; 11; в) 4; 6; г) -4; 5; д) 0,5; 4,5; 7 3 3 е) -3,5; -0,5; ж) 3 ± ; з) -—; -5; и) -1; 2^; к) -—; 1; л) 4; 24; м) 4; 9. 1166. а) 2; б) 1,25; в) ^; г) 5. 1167. а) -91; б) 0,1; в) 1; 3; г) 1; 5. 3 3 244 396 Правообладатель Народная асвета C 1168. а) -5; 3. б) 3. 5; в) нет корней; г) 11; 12; д) 2; е) 33. 5. ж) 15,8; 18; з) -2,7; 8. 1169. а) 1; б) -0,5; 1; в) -4; г) 0; 3; д) -0,75; 0,5; е) 0; 33; 1 3 ж) 0; 5; з) --i; 1. 1170. а) 27; 28; 29; б) 1; 2; 3; в) 2; 3; 4 или -4; -3; -2; г) -2; -1; 0. 1173. а) 4; б) 1; в) 2; г) 2; д) 2; е) 4. 1174. а) 4; б) 1; в) 2; г) 4; д) 2; е) 4. 1175. а) При a = 9; б) при a = 3,5; в) при a < -0,8; г) при a < —; 2 3 д) при a < —; е) при a > 2. 1176. а) 5; -8; б) -3; -1. 1177. а) -1; -2; 2; 3 8 б) -0,6; -1; 3; в) -2; 5; -10; 1178. 40; у. 1180. а) ж2 + 4х + 3 = 0; б) 2x2 - 9x + + 4 = 0; в) 3х2 + 14х - 5 = 0; г) 6х2 - х - 1 = 0. 1187. а) (3; 5); (-2; 0); (2; 6); (13; 1); б) [3; 8); (-1; 4); [2; 15); J^^; 5); в) (3; 9); [-1; 5); (2; 18); [-|; б). 1188. а) -6; в) 2; 4; 6; 8; 10. 1189. а) (0; 3). 1190. а) Нет, нет; в) 0; нет. 1191. -18. 1192. а) ^-3; + raj; б) (-^; 1]; в) [-2,6; +^); г) ^-то; - ^j. 13 1193. а) При х <------; б) при х > 0,2; в) при х > —; г) при х < -2. 8 7 1194. а) (-^; -1); б) (-^; 0,25); в) (-^; -4,75]; г) [-2; +^). 1195. а) ^; 3j; б) (2; 7); в) (-1,2; +^); г) (З; + то). 1196. а) (-то; -|) и (3; +то); б) (-^; ^4); в) ( -то; - 3) и (-1-; + ^) ; г) (-3; 3) . 1197. а) Нет решений; б) (3,6; 4); в) (-то; 1,5) U (3; +то); г) (-то; ■—) и (^; +то). 1198. а) [--i; -|]; б) \-^З; -1); в) [-0,4; 4,4); г) (-2; 5,5]. 1199. а) (-то; -2] U [1; +то); 33 б) -З; 1); в) (-то; -1] и (3; +то); г) [0; 1]. 1200. 7. 1201. а) -2; 1; б) 3; в) ±0,5; г) -2; 6; д) -7; 9; е) 3; ж) -5; 4; з) -6; 2; и) [-4; 5]. 1202. а) (-2; 1); б) (-|; 2); в) (-то; 1); г) (-то; 2) U (2; 2,5); д) (-|; +то); е) (-то; 3); ж) (-то; -2); з) (-6; 2); и) (-6,5; 5,5); к) . 1204. а) 26; б) W6l ; в) 52; г) 85; д) 40; е) 145. 1205. а) 5; 17; V^; 6,5; б) 10; 25; ^Лl7; 44; в) 25; 41; ^65; 32; г) 34; 37; >/809; 460; д) -JT0; 41; >/1913; 33,5; е) 55; 61; W^; 1232. ™2 1228. 9 см. 1229. 12 см; 12 см; 8 см. 1230. 6 см; 14 см; 8 см. 1231. -mn-. 1232. 2^^ см; 1^3 см; 25 см. 1233. mb m - n nb 12 12 b - m - n b - m - n 1234. a(m + n). 1235. 52,5 см. 1236. 30 см; 40 см. 1237. 66 см. 1238. 31,5 см, n ■|^./217 см. 1239. а) 25 см, 39 см, 56 см. 1240. 2^(b + c). 1241. 90 мм, 60 мм, 50 мм, 60 мм. 1242. а) 330 см, 120 см, 210 см, 120 см; б) 114 см, 48 см, 66 см, 48 см. 1243. 5 : 4. 1244. 27,2 см. 1245. ^/2. 1246. 2 см, 397 Правообладатель Народная асвета 8 см. 1247. 33— см. 1249. 10 см. 1250. 8 см, 18 см. 1251. 5 см, 7,5 см. 4 b(b + c) c(b + c) m ^ ’ b(b + m) c 1252. 10 см. 1253. Wl0 см. 1254. 12 см, 15 см. 1255. Ь + c. 1256. 8 см, 24 см. 1257. •,Jn(m + n), a(b + m) 1258. 1259. Ь(1 - 2a2 1260. 51 см, 30 см. 1261. а) 19 см, 9 см; б) 9 см, 21 см; в) 12 см, 20 см; г) 24 см, 32 см; д) 35 см, 28 см. 1262. а) 20°, 65°; 95°; б) 40°, 85°; 55°; в) 100°, 55°; 25°; г) 85°, 65°; 30°; д) 78°, 54°; 48°. >50 1263. а) 1^i!-; б) 61 18 162 181 в) 1272; г) 3252. 1265. 4 см. 1266. 3 см. 85 85 1267. 864 см. 1268. 30 см, 20 см. 1269. 21-| мм. 1270. 9 см. 1271. 95°. 1272. 20°, 32°; 128°. 1273. 96°, 48°; 36°. 1274. 5 см, 8 см, 8 см. 1275. 15 см. 1276. 40 см. 1279. 2 : 3. 1280. аЬ. 1282. 4,5. 1283. 40 см, 9 см. 1284. 2 см и 8,5 м или 5 м и 5,5 м. 1285. 7 см2. 1286. 4 см, 4,8 см, 4,8 см. 1287. 130-| см2. 3 1288. 80 см. 1289. 36 см. 1290. 32,5 см2. 1291. 36(7 + 2>I— W7) мм. 337^66 1292. 360 см2. 1293. 972 см. 1294. 112,5 см; 1296. 132 см2. 1297. 160 см. 1298. 86 01^7 4 1295. 54 см. см2. 1299. 50 см, 32 см. 1300. 80 см. 1301. -[аЬ. 1302. 63 см. 1303. 12 см, 25 см. 1311. 432 см3, 630 см3. 1312. 384 см3, 378 см3. 1313. 10,5 м/с2, 1,35 м/с2. 1314. 252 см3, 240 см3. 1315. 224 дм3, 630 дм3. 1316. 0,8, 0,75. 1317. 560 см3, 570 см3. 1318. 910 см3, 720 см3. 1319. 612 г, 864 г. 1320. а) 756 г, 594 г; б) 0,63 г/см3, 0,45 г/см3. 1321. а) 828 г, 792 г; б) 5 см X 3 см X 80 см; в) 4 см X 4 см X 100 см. 1322. а) 284 г, 549 г; б) 2 см X 4 см X 50 см; в) 3 см X 4 см X 75 см. 1323. 5 м. 1324. 0,39 м. 1325. а) 861 г, 357 г; б) 5 см X 4 см X 82 см; в) 2 см X 4 см X 75 см. 1326. а) 1404 г, 1104 г.; б) 5 см X 6 см X 90 см; в) 5 см X 4 см X 80 см. 1327. 2160 Дж, 2100 Дж. 1328. 11 319 Дж, 17 836 Дж. 1329. 245 000 Па, 184 240 Па. 1330. 1050 кг/м3, 1350 кг/м3; 493 920 Па, 5 027 400 Па. 1331. а) 13 750 Дж, 14 000 Дж; б) 550 м, 400 м. 1332. 15 Н, 20 Н; 2250 Дж, 3600 Дж. 1333. 0,054 м2, 0,045 м2. 1334. 8400 Н/м2, 12 600 Н/м2. 1335. 147 Вт, 196 Вт. 1336. 147 Вт, 196 Вт. 1337. 20 кН и 1,6 кН или 27,7 кН и 9,2 кН. 1338. а) 600 Н, 3600 Н; б) 90 км/ч, 12 км/ч. 1339. а) 9,8 м/с2, 1,6 м/с2; б) 60 кг, 55 кг. 1340. а) 3,7 м/с2, 8,9 м/с2; б) 150 кг, 80 кг. 1341. а) 50 кг и 78 кг; б) 9 и 5. 1342. 100 кг, 130 кг; 8,9 м/с2, 11 м/с2. 1343. 150 м, 100 м; 3,7 м/с2, 25 м/с2. 1344. 5 ч. 1345. 20 г, 30 г. 1346. 10 г, 8 г. 1347. 26 км/ч. 1348. За 5 ч. 1349. 4 км/ч. 1350. 55 мин, 1 ч 6 мин. 1351. 125 %. 1352. 14,4; 18; 15. 1353. 100 кг. 1354. 7,5 кг. 1355. 1 кг и 2 кг. 1356. 15 %, 55 %. 1357. 75 г. 1358. 5 %. 1359. 4 : 3. 1360. 2. 1361. 3 или |5. 1362. 15 км/ч. 5 8 30 Правообладатель Народная асвета c СОДЕРЖАНИЕ Раздел I. Неравенства 1. Числовые неравенства и их свойства........................ 5 2. Действия над числовыми неравенствами..................... 12 3. Числовые промежутки...................................... 27 4. Линейные неравенства с одной переменной................ 36 5. Система линейных неравенств с одной переменной......... 46 6. Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля . . . . 55 Раздел II. Четырехугольники 7. Трапеция и параллелограмм................................ 65 8. Средние линии треугольника и трапеции ................. 75 9. Прямоугольник, ромб, квадрат........................... 84 Раздел III. Квадратные корни 10. Рациональные числа...................................... 94 11. Иррациональные числа .................................. 103 12. Действительные числа................................... 112 13. Свойства арифметического квадратного корня............. 121 14. Выражения с квадратными корнями........................ 130 Раздел IV. Площадь фигур 15. Площадь треугольника................................... 139 16. Площадь трапеции, параллелограмма, ромба ............. 149 17. Синус, косинус и тангенс острого угла ................ 157 Раздел V. Квадратные уравнения 18. Квадратное уравнение .................................. 169 19. Формулы корней квадратного уравнения .................. 177 20. Уравнения, приводимые к квадратным .................... 186 21. Квадратный трехчлен ................................... 195 22. Решение задач с помощью уравнений ..................... 204 23. Квадратная функция .................................... 210 Раздел VI. Подобные треугольники 24. Пропорциональные отрезки .............................. 228 25. Подобные треугольники.................................. 241 26. Подобные фигуры ....................................... 251 27. Свойства прямоугольного треугольника .................. 260 28. Синус и косинус углов от 0° до 180°.................... 268 29. Тангенс и котангенс углов от 0° до 180°................ 280 30. Свойства и применения синуса, косинуса, тангенса и котангенса ..................................................... 289 Материал для повторения.................................... 302 Ответы .................................................... 384 Правообладатель Народная асвета (Название и номер школы) Учебный год Имя и фамилия ученика Состояние учебного пособия при получении Оценка ученику за пользование учебным пособием 20 / 20 / 20 / 20 / 20 / Учебное пособие Латотин Леонид Александрович Чеботаревский Борис Дмитриевич МАТЕМАТИКА Учебное пособие для 8 класса общеобразовательных учреждений с русским языком обучения 3-е издание, переработанное Зав. редакцией В. Г. Бехтина. Редактор Л. В. Тикунова. Технические рисунки А. Л. Латотина. Художественный редактор Л. А. Дашкевич. Технический редактор Г. А. Дудко. Компьютерная верстка А. В. Голоскок, А. П. Плутахиной, Т. И. Савицкой. Корректоры Т. Н. Ведерникова, З. Н. Гришели, Д. Р. Лосик, В. С. Бабеня, А. В. Алешко. Подписано в печать 17.05.2010. Формат 60 X 90 ^/16. Бумага офсетная. Гарнитура школьная. Офсетная печать. Усл. печ. л. 25 + 0,25 форз. Уч.-изд. л. 18,39 + 0,21 форз. Тираж 5850 экз. Заказ . Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная асвета» Министерства информации Республики Беларусь. ЛИ № 02330/0494083 от 03.02.2009. Пр. Победителей, 11, 220004, Минск. ОАО «Полиграфкомбинат им. Я. Коласа». ЛП № 02330/0150496 от 11.03.2009. Ул. Красная, 23, 220600, Минск. Правообладатель Народная асвета