Учебник Математика 7 класс Латотин Чеботаревский

Л. А. Латотин Б. Д. Чеботаревский Н Учебное пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения Допущено Министерством образования Республики Беларусь 4-е издание, исправленное и дополненное Минск «Народная асвета» 2014 Правообладатель Народная асвета УДК 51(075.3=161.1) ББК 22.1я721 Л27 Перевод с белорусского языка Д. А. Карпикова Рецензент доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник государственного научного учреждения «Институт математики» Национальной академии наук Беларуси В. И. Берник Латотин, Л. А. Л27 Математика : учеб. пособие для 7-го кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский ; пер. с белорус. яз. Д. А. Карпикова. — 4-е изд., испр. и доп. — Минск : Нар. асвета, 2014. — 367 с. : ил. ISBN 978-985-03-2151-0. Предыдущее издание вышло в 2009 году. УДК 51(075.3=161.1) ББК 22.1я721 ISBN 978-985-03-2151-0 © Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д., 2004 © Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д., 2014, с изменениями © Карпиков Д. А., перевод на русский язык, 2014 © Оформление. УП «Народная асвета», 2014 Правообладатель Народная асвета Дорогие друзья! Математика, которую вы будете изучать в VII классе, отличается от математики V и VI классов. Ранее основное внимание было направлено на расширение «мира чисел». В V классе вы завершили изучение натуральных чисел и начали изучать обыкновенные дроби и действия над ними. Вам стали известны все положительные рациональные числа. Изучение математики в VI классе началось со знакомства с десятичными дробями, которыми можно представлять рациональные числа. Десятичные дроби наиболее удобны для практических вычислений, особенно теперь, когда есть возможность пользоваться калькулятором. В VI классе появились новые числа — отрицательные, которые вместе с изученными ранее числами составили множество всех рациональных чисел. В VII классе вы не будете знакомиться с новыми числами, это вас ожидает в VIII классе. Изучение чисел и действий над ними составляет содержание арифметики. В VII классе вместо конкретных чисел вы будете рассматривать переменные. Из чисел и переменных образуются выражения и формулы. Изучение выражений и действий над ними составляет основное содержание алгебры, которая вместе с арифметикой и геометрией принадлежит к древнейшим ветвям математики. Выделение алгебры в отдельный раздел связано с деятельностью математика и астронома IX века Абу Абдаллы Мухаммеда бен Мусы аль-Маджуси аль-Хорезми и ученого-энциклопедиста X—^XI веков Абу Рейхана Мухаммеда ибн Ахмеда аль-Беруни. Дальнейшее развитие алгебры связано с деятельностью математика XVI века Франсуа Виета и философа 3 Правообладатель Народная асвета и математика XVII века Рене Декарта. Основная проблема алгебры XVI — XVIII веков — решение уравнений разных видов. Вы научитесь решать наиболее простые, линейные уравнения. Отметим, что Виет знал общие приемы решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Каждый раздел учебного пособия разбит на отдельные параграфы, в которых буквами А), Б) и т. д. выделены смысловые блоки. Как и в предыдущих классах, каждый параграф начинается с обсуждения вопроса, обозначенного его названием. Наиболее важное в параграфе выделено специальными шрифтами. Новые понятия выделяются жирным шрифтом. Правила, утверждения выделены жирным курсивом, а понятия и факты, на которые нужно обратить внимание, но необязательные для запоминания, — курсивом. Материал, обозначенный треугольниками А, не предназначен для обязательного контроля. После объяснительного текста идут контроль- Они предна- ные вопросы, отмеченные знаком значены для проверки того, как вы разобрались в содержании объяснительного текста. Если на тот или иной вопрос вы не смогли ответить, нужно вернуться к объяснительному тексту и с его помощью попробовать ответить на этот вопрос снова. Упражнения, идущие после контрольных вопросов, разделены на три группы. Упражнения в первой группе посвящены тем вопросам, которые обсуждались в объяснительном тексте. Они имеют преимущественно тренировочный характер, хотя могут быть и более сложными. Во второй группе после разделительной черты задания самые разнообразные. При их выполнении вам придется применять знания, полученные ранее. 4 Правообладатель Народная асвета Задачи третьей группы, расположенные после разделительных звездочек, потребуют нестандартных рассуждений. И в то же время для их решения достаточно полученных вами знаний. Если в формулировке использованы понятия стоимости, цены, то их нужно рассматривать как условные и относиться к ним, как к математическим величинам. В конце учебного пособия приведены ответы на те упражнения, при выполнении которых вы можете испытывать определенные затруднения. Это в некоторой степени поможет проконтролировать правильность вашего решения. Желаем успехов! Авторы Правообладатель Народная асвета m раздел Начальные понятия геометрии 1. Геометрические фигуры А) Вокруг нас находятся различные тела. Они имеют разнообразные свойства. Строителя интересует, какие материалы использованы при строительстве дома, архитектора — его оформление, покупателя — стоимость дома. Геометра же интересуют форма предмета и его размеры. Кирпич, книга, коробка из-под овсяных хлопьев имеют форму прямоугольного параллелепипеда; мяч, клубок ниток, мыльный пузырь — форму шара; соломинка, карандаш — форму цилиндра. Если внимание обращается только на форму предмета и его размеры, то говорят о геометрическом теле. Понятно, что в природе мы не встречаем тел без цвета, массы. Поэтому говорят, что понятие тела является математической абстракцией, определенной идеализацией. Каждое геометрическое тело имеет три измерения, которые условно называют длиной, шириной, высотой. Поэтому пространство, в котором мы живем, называют трехмерным. Легко указать измерения у прямоугольного параллелепипеда (рис. 1). А какие измерения, например, у ложки? Под ними часто понимают измерения наименьшего из прямоугольных параллелепипедов, в котором целиком вмещается такое тело (рис. 2). Каждое геометрическое тело имеет поверхность, которая является оболочкой, границей тела. По по-6 Правообладатель Народная асвета верхности тела мы определяем его форму и цвет. Поверхность можно представить себе в виде очень тонкой пленки, толщину которой можно не брать в расчет. В жизни некоторые предметы мы считаем поверхностями. Например, пользуясь словосочетаниями «простыня 1 м 40 см на 2 м 10 см», «фотография 9 см на 12 см», мы подчеркиваем, что третье измерение в этих случаях несущественно. Поверхностью геометрического тела, изображенного на рисунке 3, пространство делится на две части — внутреннюю и внешнюю. Чтобы попасть из любой внутренней точки A во внешнюю B, придется пересечь поверхность тела. Некоторые поверхности имеют специальные названия. Поверхность шара называется сферой (рис. 4). Важной поверхностью является плоскость, которая бесконечна во всех направлениях. В жизни мы встречаемся с объектами, которые считаем линиями. Это волос, нить, проволока, дорога, государственная граница. У всех таких объектов одно измерение значительно превосходит два осталь- Рис. 4 Правообладатель Народная асвета 7 Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8 ных. Это мы подчеркиваем, когда говорим «длина волоса 3 см», «путь от Могилева до Минска составляет 199 км», «государственная граница Беларуси составляет 3098 км». Линия является границей поверхности, если такая граница есть. Линия образуется при пересечении двух поверхностей (рис. 5). При пересечении сферы с плоскостью образуется окружность (рис. 6). Окружность является пересечением и двух сфер (рис. 7). При пересечении двух плоскостей образуется прямая (рис. 8). Иной раз нас не интересует ни длина, ни ширина, ни высота предмета, а только его месторасположение. В этом случае тело рассматривается как точка. Точкой является прокол иголкой в листе бумаги, город на географической карте, звезда на небе. Точка образуется при пересечении двух линий (рис. 9), линии с поверхностью (рис. 10). Точка, линия, поверхность — также идеализации. Считается, что линия, поверхность, тело состо-8 Правообладатель Народная асвета Рис. 9 ят из точек. Любое множество точек будем называть геометрической фигурой. Геометрические фигуры разделяют на плоские и пространственные. Фигура называется плоской, если все ее точки принадлежат одной плоскости. В противном случае фигура называется пространственной. На рисунках 11, 12, 13 изображены плоские фигуры, а на рисунках 14, 15, 16 — пространственные. Б) Две геометрические фигуры считаются равными, если они совмещаются при наложении. Для обозначения равенства фигур будем использовать знак = . Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14 Рис. 15 Рис. 16 Правообладатель Народная асвета 9 Рис. 17 Рис. 20 Каждая точка прямой разделяет ее на две полупрямые. Каждую из этих полупрямых вместе с граничной точкой называют лучом (рис. 17). Лучи на рисунке 17 имеют общее начало — точку A и противоположные направления. Такие лучи называют дополнительными. Чтобы задать луч, достаточно указать начало луча и еще какую-либо его точку, причем первым указывается начало. На рисунке 18 показаны три луча с началом O — OP, OQ, OR. На рисунке 19 точка Q лежит между точками M и N дополнительных лучей. Отрезком FG называют фигуру, состоящую из точек F и G и всех точек X, лежащих между F и G (рис. 20). Луч и отрезок — части прямой. Каждая прямая l плоскости разделяет ее на две части — две полуплоскости (рис. 21). Полуплоскость образуют все точки, лежащие по одну сторону от прямой l, и точки самой прямой l. Прямую l считают границей полуплоскости. Точки A и B лежат по одну сторону от прямой l, если отрезок AB не пересекает прямую l. А если отрезок CD пересекает прямую l, то точки C и D лежат по разные стороны от l (рис. 22). 10 Правообладатель Народная асвета В) Если выбрать единицу длины, то можно измерить длину отрезка. Длина отрезка выражается положительным числом. Равные отрезки имеют равные длины. Если M — внутренняя точка отрезка AB, то длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AM и MB (рис. 23). Числовое выражение длины зависит от выбора единицы измерения (рис. 24). Вместе с тем отношение длин отрезков не зависит от выбора единицы измерения. Поэтому можно говорить об отношении отрезков. Например, утверждение AB = 7 MN 4 означает, что если первый отрезок поделить на 7 долей, то второй отрезок состоит из 4 таких долей (рис. 25). Отрезок с концами в точках A и B, как и длину этого отрезка, обозначают AB. Рис. 24 АВ = 76 мм АВ = 7,6 см Рис. 25 А \— М I— N —I АВ MN 11 Правообладатель Народная асвета ^ Сторона Вершина Рис. 28 Рис. 29 С помощью измерения можно установить, что два отрезка равны или что один из них меньше другого (рис. 26). Г) Два луча с общим началом разделяют плоскость на две части (рис. 27). Каждую из этих частей вместе с лучами называют углом, сами лучи — сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла (рис. 28). Угол с вершиной в точке C и сторонами CB и CD можно обозначить Z BCD, или короче — Z C. Угол, стороны которого являются дополнительными лучами, называют развернутым (рис. 29). За единицу измерения величины угла принимается градус. Градус есть стовосьмидесятая доля развернутого угла (рис. 30). Величина угла выражается положительным числом. Равные углы имеют одинаковые градусные меры. Если луч ON принадлежит внутренней части угла MOP, то градусная мера угла MOP равна сумме градусных мер углов MON и NOP (рис. 31). 12 Правообладатель Народная асвета Шестидесятую долю градуса называют минутой, шестидесятую долю минуты — секундой. Минуту обозначают знаком ', секунду — знаком ". Так, запись Z DBC = 134°17'29" а мор = amon + а NOP означает, что угол DBC равен 134 градусам 17 минутам 29 секундам. С помощью измерения можно установить, что два угла равны или что один из них меньше дру- Рис. 31 Правообладатель Народная асвета Угол величиной 90° называют прямым (рис. 33). Угол, который меньше прямого, называют острым (рис. 34). Угол, который больше прямого и меньше развернутого, называют тупым (рис. 35). Любой угол можно получить вращением луча вокруг его начала (рис. 36). Если луч PB повернуть так, чтобы он занял свое первоначальное положение, то будет описан полный угол (рис. 37). Луч, который выходит из вершины угла и делит его пополам, называют биссектрисой угла (рис. 38). Знак Z для обозначения угла введен французским математиком Пьером Эригоном в 1631 г. Знак ° для обозначения градуса ввел в 1558 г. французский поэт и математик Жак Пелетье (1517—1582), знаки ' и " для обозначения минуты и секунды встречаются уже у древнегреческого астронома, математика и географа Клавдия Птолемея (около 90 — около 160). 14 Правообладатель Народная асвета 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Сколько измерений имеет тело; поверхность; линия; точка? Что называют геометрической фигурой? Какая фигура называется плоской; пространственной? Какие геометрические фигуры называют равными? Что называют лучом? Чем он определяется? Какие лучи называют дополнительными? Что называют отрезком? Сформулируйте свойства длины отрезка. Что называют углом; вершиной угла; стороной угла? Как обозначают угол? Назовите единицы измерения величины угла. Укажите связи между ними. Сформулируйте свойства величины угла. Какой угол называют развернутым; прямым; острым; тупым; полным? Какой луч называют биссектрисой угла? 1. Какое известное вам геометрическое тело наиболее соответствует предмету, изображенному на рисунке: а) 39; б) 40; в) 41; г) 42? Рис. 39 Рис. 40 Рис. 41 Рис. 42 2. Лист картона является телом. Назовите его измерения. Если на этом листе рисуют, то какие его измерения нас интересуют, а какие не интересуют? Какие измерения интересуют нас, когда пакуем стопку таких листов? 15 Правообладатель Народная асвета 3. Чем — телом, поверхностью, линией, точ- кой — удобно считать: а) школьный двор; б) школьную тетрадь; в) альбом для рисования; г) спицу для вязания; д) лезвие ножа; е) веревку; ж) пол; з) острие иголки; и) яичную скорлупу; к) кожу человека? 4. Как вы объясните происхождение названий: а) населенный пункт; б) точка отправления; в) точка прибытия; г) троллейбусная линия; д) линия водораздела; е) береговая линия озера; ж) линия перемены дат; з) линия электропередач; и) земная поверхность; к) водная поверхность? 5. Отметьте в тетради четыре точки так, как пока- зано на рисунке 43. Сколько эти точки определяют: а) отрезков; б) прямых; в) лучей? Рис. 43 в с D 6. Отметьте в тетради четыре точки так, как показано на рисунке 44. Сколько эти точки определяют: а) отрезков; б) прямых; в) лучей? Е G Рис. 44 Н 16 Правообладатель Народная асвета 7. Отметьте в тетради пять точек так, как показано на рисунке 45. Сколько эти точки определяют: а) отрезков; б) прямых; в) лучей? 8. На рисунке 46 изображены призма, пирамида, цилиндр, конус, шар. Скольким плоским поверхностям принадлежит точка: М N Q О р Рис. 45 а) А; г) D; ж) G; к) J; н) M; б) B; д) E; з) H; л) K; о) N? в) C; е) F; и) I; м) L; 9. Между какими точками (рис. 47) лежит точка: а) А; б) G; в) C; г) F; д) O; е) E? 10. Измерьте отрезки, обозначенные на рисунке 47. н 17 Правообладатель Народная асвета 11. На отрезке MN длиной 5 см выбраны точки A и B так, что MA = 2,6 см, а NB = 1,3 см. Найдите длину отрезка AB. Каким может быть ответ, если точки А и В выбирать на прямой MN? 12. Используя рисунок 48, найдите отношение отрезка: ж) AB к отрезку IH; з) AB к отрезку GH; и) BC к отрезку AB; к) FG к отрезку IH; л) ED к отрезку BC; м) FI к отрезку IH. 13. Как изменится отношение отрезка AB к отрезку BC, если рисунок 48 изменить в масштабе: а) 1 : 3; б) 3 : 1; в) 1 : 0,01? 14. Найдите длину каждой ломаной (см. рис. 48), которая начинается в точке: а) A и заканчивается в точке E; б) A и заканчивается в точке G; в) A и заканчивается в точке H; г) G и заканчивается в точке B; д) G и заканчивается в точке I. а) AB к отрезку BC; б) AB к отрезку CD; в) AB к отрезку DF; г) AB к отрезку DI; д) AB к отрезку DE; е) AB к отрезку FG; ШШ: 30 30 а 30 18 Рис. 48 Правообладатель Народная асвета 15. Измерениями и вычислениями по рисунку 49 найдите величины всех углов с вершиной: а) B; б) E; в) F. 16. По рисунку 49 запишите все: а) острые углы; б) прямые углы; в) тупые углы; г) развернутые углы. 17. Докажите, что величина: а) острого угла меньше 90°; б) полного угла равна 360°. 18. Внутри угла ABC, величина которого равна 122°, проведен луч BP (рис. 50). Найдите величину угла ABP. 19. Вне угла MNP, величина которого равна 98°, проведен луч NA (рис. 51). Найдите величину угла MNA. Рис. 49 Рис. 50 20. Учитывая, что на рисунке 52 I — точка пересечения биссектрис треугольника SRT, найдите измерениями и вычислениями все его углы. 19 Правообладатель Народная асвета 21. Сделайте в тетради рисунок, похожий на рисунок 52, и затем постройте угол, равный углу: а) RST; в) TRS; д) SIR; ж) SIT; б) STR; г) RSI; е) IRS; з) RIT. 22. Начертите луч. Используя только линейку, постройте на глаз угол, равный: а) 15°; г) 60°; ж) 105°; к) 150°; б) 30°; д) 75°; з) 120°; л) 165°; в) 45°; е) 90°; и) 135°; м) 175°. Найдите величину построенного вами угла с помощью транспортира. Определите, на сколько процентов результат вашего построения отличается от нужного результата. 23. Вычислите: а) 90°27' + 19 °17'; б) 56°39' + 19 °21'; в) 111°58' + 18°2'; г) 137°8' + 13 °48'; д) 14° • 2; е) 71°17' • 3; 24. Вычислите: а) 90° - 19 °27'; б) 33° - 11°11'; 20 ж) 14°35' • 2; з) 71°17' • 10; и) 28°22' • 5; к) 28' • 6; л) 9'9" • 4; м) 23'19" • 7. в) 127° - 82 °58'; г) 169° - 134°8'; Правообладатель Народная асвета д) 50° - 28'34"; е) 44° - 34'34"; ж) 50° - 20'34"; з) 115° - 59°59'; и) 100° - 20°20'50"; к) 78° - 35°20'55"; л) 176° - 125°28'54"; м) 101° - 87°31'49". 25. Вычислите: а) 92° : 4; д) 14°17' : 2; б) 92° : 5; в) 111°57' : 3; г) 137°8' : 4; е) 73° : 3; ж) 14'35" : 5; з) 71' 55" : 10; 26. Постройте угол и проведите его биссектрису, учитывая, что угол равен: а) 60°; в) 90°; д) 170°; б) 86°; г) 118°; е) 180°. 27. Сделайте в тетради рисунок, похожий на рисунок 53, и затем постройте угол, равный углу с вершиной: а) D; б) E; в) F. Проведите биссектрисы построенных углов. и) 28°22'55" : 5; к) 37°44'43" : 2,5; л) 19°32'3" : 1; 3 м) 74°48'18" : ^3. 28. Сравните числа: а) 237 и 256; д) 2,37 и 2,56; и) 2I и 3 2,332; б) 237 и -256; е) 2,37 и ^^; 25’ к) -2,45 и -24: 9 в) -237 и 256; ж) 23 и 212; '5 23 л) 2I и 7 27 г) -237 и -256; 3) 2|3 и 217; 24 м) -2I : 5 и -^^ 15 21 Правообладатель Народная асвета 29. Сравните с нулем значение выражения: а) 256 - 259; б) 25,6 - 2,59; в) 0,256 - 0,0259; г) 0,256 - 0,256; 30. Вычислите: д) а) (-1)24; б) 1-7; в) 24; г) 3 -4. ; 7 14 15 31 3 5 , 7 14; 3 1, 7 " ’ 2; 3 5, 7 9; ж) (-' д) (-3)-4; е) 11 з) i-1! и) (-2| 3 ; -3 и) -171 - 243; к) -811 - (-923); л) -317 - (-212); м) 544 - (-713). к) I-il л) 0,001-2; м) 0,25-2. в) увеличьте в 4 раза; г) уменьшите в 4 раза. 31. Число 5,32: а) увеличьте на 3,08; б) уменьшите на 1,41; 32. В лесу происходит самопрореживание, т. е. число деревьев на единицу площади с течением времени уменьшается. Сколько сосновых деревьев приходится на 1 га столетнего леса, если сначала на 1 га было 10 тыс. деревьев, к сорокалетнему возрасту леса осталось только 25 % этого числа, а к столетнему — 21,2 % деревьев, оставшихся к сорокалетнему возрасту? 33. Если из числа жителей Жлобинского района 2 вычесть 20 % его, затем 25 % остатка и еще 1^ % 7 следующего остатка, то в результате получится 18 тыс. жителей. Сколько человек живет в Жлобин-ском районе? 34. Ола и Гайна — притоки Березины. Если к длине Березины прибавить длину Олы, то получится 713 км, а если из длины Березины вычесть длину 22 Правообладатель Народная асвета Гайны, то получится 513 км. Найдите длины Березины, Олы и Гайны, учитывая, что длины притоков одинаковы. 35. Сумма двух чисел равна 10. Если первое число увеличить втрое, то сумма станет равной 19-1. Какие это числа? * * * 36. Для нумерации страниц в книге понадобилось всего 5293 цифры. Сколько страниц в этой книге? 37. Из спичек составлено 5 квадратов (рис. 54). Нужно переложить 3 спички так, чтобы получилось 4 квадрата. 38. Свое лучшее произведение — поэму «Песня о зубре» — Микола Гу-совский создал в году, о котором известно следующее: количество прошедших столетий есть произведение двух нечетных простых чисел, а количество лет от начала столетия на 7 больше количества прошедших столетий. В каком году Гусовский создал «Песню о зубре»? Рис. 54 2. Углы между прямыми А) Отметим на плоскости две точки A и B и проведем через них прямую (рис. 55). Другую прямую через эти точки провести нельзя. Этот факт формулируют как основное свойство прямой: Рис. 55 23 Правообладатель Народная асвета Рис. 56 Рис. 57 через две различные точки плоскости можно провести прямую, и только одну (рис. 56). Прямую, проходящую через точки A и B, обозначают AB. Прямые на рисунке 57 можно назвать MN, OM, ON. Используя основное свойство прямой, можно обосновать такое утверждение. Теорема 1. Если две различные прямые имеют общую точку, то эта точка единственная. Доказательство. Пусть M — общая точка прямых a и b (рис. 58). Допустим, что эти прямые имеют еще одну общую точку — точку N. Получается, что через точки M и N проходят прямая a и отличная от нее прямая b, т. е. две различные прямые. Но это противоречит основному свойству прямой. Поэтому допущение о наличии у прямых a и b другой общей точки нужно отклонить. Значит, M является единственной общей точкой прямых a и b. Б) Теоремами в математике называют утверждения, истинность которых устанавливается с помощью рассуждений, доказательств. 24 Правообладатель Народная асвета Q m n Рис. 61 Так, в теореме 1 доказано, что две различные прямые или не имеют общих точек (рис. 59), или имеют единственную общую точку (рис. 60). Прямые, которые имеют единственную общую точку, называют пересекающимися. Прямые на плоскости, не имеющие общих точек, называют параллельными. Если известно, что прямые имеют не менее двух общих точек, то это совпадающие прямые (рис. 61). В) На рисунке 62 показаны две пересекающиеся прямые k и l. Они разделили плоскость на четыре части (рис. 63), каждая из которых вместе с соответствующими лучами является углом. При этом углы, у которых есть общая сторона, а две другие стороны составляют прямую, называют смежными. На рисунке 64 угол ABC смежный с углом CBD, а угол DBC смежный с углом CBA. При пересечении двух прямых образуются четыре пары смежных углов. Сумма градусных мер смежных углов равна 180°: Z ABC + Z CBD = 180°. Правообладатель Народная асвета Рис. 65 *Р Рис 66 Углы, у которых стороны одного являются дополнительными лучами к сторонам другого, называют вертикальными. На рисунке 65 угол AOC вертикален углу BOD, а угол COB вертикален углу AOD. Теорема 2. Вертикальные углы равны. Доказательство. Пусть углы PAS и RAQ являются вертикальными (рис. 66). Поскольку угол PAQ является развернутым, то Z PAS = 180 ° - Z SAQ. Поскольку угол RAS — также развернутый, то Z RAQ = 180 ° - Z SAQ. Из этих равенств видно, что Z PAS = Z RAQ. Из двух пар вертикальных углов, возникающих при пересечении двух прямых, углы хотя бы одной пары не превышают 90°. Величину каждого из этих углов принимают за величину угла между прямыми. На рисунке 67 угол между прямыми KL и MN равен углу LON, или, что то же самое, углу KOM, и равен 37°. Величина угла между прямыми находится в пределах от 0° до 90°. Г) Пересекающиеся прямые называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых по-Рис. 68 казывают так, как на рисунке 68. 26 D П , А В с Правообладатель Народная асвета То, что прямые AB и CD перпендикулярны, записывают так: AB 1 CD. Прямую, которая проходит через данную точку и перпендикулярна данной прямой, строят с помощью угольника (рис. 69) или чертежного треугольника (рис. 70). Рисунки 71 и 72 показывают, как это делать. Теорема 3. Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной, и только одну. Доказательство. Допустим, что это не так. Пусть прямые а и Ь, которые проходят через точку С, пересекают прямую l в точках A и B соответственно и образуют с ней прямые углы (рис. 73). Тогда в треугольнике ABC углы A и B будут прямыми. Сумма этих углов вместе с углом C даст величину, большую 180°. Но сумма внутренних углов треугольника не может быть больше 180°. Полученное сУ / \ / \ / \ / \ 1 п г А В а ь Рис. 73 27 Правообладатель Народная асвета противоречие вынуждает отклонить допущение и согласиться с тем, что прямые a и b, перпендикулярные данной прямой, не пересекаются. Знак 1 для обозначения отношения перпендикулярности прямых ввел в 1634 г. французский математик Пьер Эригон. Д) Вы уже, наверное, обратили внимание на то, что в учебном пособии некоторые слова или словосочетания выделены жирным шрифтом или курсивом. Так в тексте отмечены понятия. Понятие вводится с помощью определения. Дать определение понятия означает разъяснить, что это понятие обозначает. Например, определение Острым углом называется угол, который меньше прямого нужно понимать так: словосочетание Острый угол обозначает то же самое, что и словосочетание Угол, который меньше прямого. На вопрос Какие прямые называют пересекающимися? вы ответите таким предложением: Пересекающимися прямыми называют прямые, имеющие единственную общую точку. Это означает, что утверждение Прямы.е являются пересекающимися выражает то же самое, что и утверждение Прямые имеют единственную общую точку. Свойства понятий или отношений между ними мы формулируем утверждениями. Эти утверждения в учебном пособии также выделены, но иначе — жирным курсивом. Истинность утверждения в математике обычно устанавливают с помощью рассуждения, которое называют доказательством. Доказанное утверждение называют теоремой. В теореме выделяют две части: то, что дано, и то, что нужно доказать. Например, в теореме Если две различные прямые имеют общую точку, то эта 28 Правообладатель Народная асвета Рис. 74 точка единственная дано утверждение Две различные прямые имеют общую точку, а утверждение Точка пересечения двух различных прямых единственная нужно доказать. То, что дано, называют условием теоремы, а то, что нужно доказать, — заключением теоремы. От условия к заключению мы переходим с помощью рассуждения. Выделить условие и заключение несложно, если теорема сформулирована в форме Если A, то B. А если это не так, то перед выделением условия и заключения нужно попробовать перейти к такой формулировке теоремы. Например, теорему Вертикальные углы равны можно переформулировать так: Если углы вертикальны., то эти углы равны., и тогда становится понятным, что данным является утверждение Углы являются вертикальными (углы A и B вертикальные), а доказать нужно утверждение Углы являются равными (Z A = Z B). Первые доказательства связывают с именем древнегреческого математика, астронома и философа Фалеса (625—547 до н. э.) (рис. 74). 1. Сформулируйте основное свойство прямой. 2. Как обозначают прямую? 3. Сколько общих точек могут иметь две прямые? 4. Какие прямые называют пересекающимися; параллельными? 5. Сформулируйте свойство смежных углов. 6. Сформулируйте свойство вертикальных углов. 7. Какой угол называют углом между прямыми? 8. Какие пересекающиеся прямые называются перпендикулярными? 9. Какое свойство имеют прямые, перпендикулярные одной прямой? 29 Правообладатель Народная асвета 10. Что означает требование дать определение? 11. Какое утверждение называют теоремой? 12. Что называют условием теоремы; заключением теоремы? 39. На сколько частей разделяют плоскость две прямые при их различных возможных расположениях? 40. На плоскости проведены три прямые так, что каждая из них пересекает две другие в различных точках. Определите: а) на сколько частей разделилась плоскость; б) на какие части разделилась каждая прямая; в) сколько образовалось отрезков; г) сколько образовалось лучей; д) сколько образовалось лучей, каждый из которых не содержит другого луча в качестве своей части. 41. Угол ABC равен 46°, а угол CBD — 24°. Найдите угол ABD. 42. Используя рисунок 75, найдите углы, образованные при пересечении прямых AB и CD. 43. Докажите, что если один из углов, возникших при пересечении двух прямых, равен 90°, то остальные углы также равны 90°. 30 Правообладатель Народная асвета 44. Один из четырех углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 95°. Чему равен угол между этими прямыми? 45. Какое наибольшее количество лучей с началом в данной точке можно провести на плоскости, чтобы все углы, сторонами которых они являются, были тупыми? 46. По рисунку 76 найдите углы: а) треугольника ABC; б) треугольника ADE; в) треугольника DBF; г) треугольника CFE; д) четырехугольника ADFC; е) четырехугольника ABFE. 47. Через вершину угла в 66° проведена прямая, перпендикулярная его биссектрисе. Найдите углы, которые образует эта прямая со сторонами угла. 48. Через вершину угла в 118° проведена прямая, перпендикулярная одной из его сторон. Найдите углы, которые образует эта прямая с биссектрисой угла. 49. Найдите угол, учитывая, что его биссектриса образует со стороной угол, равный: а) 20°; б) 77°; в) 20°32'; г) 20°32'11". 50. Найдите величину угла, смежного с углом ABC на рисунке: а) 77; б) 78; в) 79. Г34° D В Рис. 77 Рис. 78 Рис. 79 31 Правообладатель Народная асвета 51. Углы POR и QOR смежные. Найдите их величины, учитывая, что один из них на 28° больше другого. 52. Углы APB и CPB смежные. Найдите их величины, учитывая, что один из них на 19 ° меньше другого. 53. Найдите углы MAL и LAK, учитывая, что они смежные и один из них в пять раз больше другого. 54. Найдите углы BEN и CEN, учитывая, что они смежные и один из них в полтора раза меньше другого. 55. Определите, какой из двух углов больше и на сколько, учитывая, что сумма первого угла и угла, смежного со вторым, равна 215°. 56. Докажите, что биссектрисы: а) одной пары вертикальных углов составляют прямую; б) четырех углов, образованных при пересечении двух прямых, составляют пару перпендикулярных прямых. 57. Используя свойство смежных углов, найдите все углы по данным, приведенным на рисунке: а) 80; в) 82; д) 84; б) 81; г) 83; е) 85. м о Рис. 80 32 Правообладатель Народная асвета Рис. 83 Рис. 84 Рис. 85 58. Найдите все углы по данным, приведенным на рисунке: а) 86; в) 88; д) 90; ж) 92; б) 87; г) 89; е) 91; з) 93. Рис. 86 ZNOP + ZPOS + + ZSOM = 221° Рис. 87 Рис. 88 Рис. 89 Рис. 91 ZMOR:ZSOR=7:8 33 Правообладатель Народная асвета Е D Рис. 94 59. Докажите равенство углов CAB и CBA, учитывая сведения, приведенные на рисунке 94. 60. У двух углов величиной 20° и 50° общая только вершина. Найдите угол между их биссектрисами, учитывая, что стороны углов образуют угол в 60°. 61. Три угла, образованных при пересечении двух прямых, оказались равными друг другу. Докажите, что эти прямые перпендикулярны. 62. В определении Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками можно выделить две части: определяемое понятие Отрезок и определяющее понятие Часть прямой, ограниченная двумя точками (рис. 95). Рис. 95 часть прямой, Отрезок есть ограниченнее двумя точками Определяемое _ Определяющее понятие понятие Выделите определяемое понятие и определяющее понятие в определении: а) четным числом называется число, делящееся на 2; б) уравнением называют равенство с переменной; в) кубическим метром называют объем куба с ребром, равным 1 м; г) минутой называется шестидесятая доля градуса; д) угол, который больше прямого и меньше развернутого, называют тупым. 63. В определении Две геометрические фигуры называют равными, если они совмещаются при наложении определяемым является отношение Фигуры 34 Правообладатель Народная асвета Рис. 96 Фигуры являются значит фигуры совмещаются равными при наложении Определяемое Определяющее понятие понятие являются равными, а определяющим — отношение Фигуры совмещаются при наложении (рис. 96). Выделите определяемое понятие и определяющее понятие в определении: а) параллельными прямыми называют прямые одной плоскости, не имеющие общих точек; б) прямые называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°; в) число a делится на число b, если остаток от деления числа a на число b равен нулю; г) решить уравнение означает найти его корни или доказать, что уравнение не имеет корней; д) запись a > 0 означает, что a является положительным числом; е) запись a < 0 означает, что a является отрицательным числом; ж) запись a > 0 означает, что a является положительным числом или нулем; з) запись a < 0 означает, что a является отрицательным числом или нулем. 64. Выделите условие и заключение в теореме: а) если число оканчивается четной цифрой, то оно делится на 2; б) если число делится на 2, то оно оканчивается четной цифрой; в) если число оканчивается нечетной цифрой, то оно не делится на 2; г) если число не делится на 2, то оно оканчивается нечетной цифрой. 35 Правообладатель Народная асвета 65. Сформулируйте утверждение по данным условию и заключению. Условие Заключение Углы являются смежными Сумма углов равна 180° Углы A, B, C — углы треугольника Сумма углов A, B, C равна 180° а, b, c — стороны треугольника а < b + c Число оканчивается цифрой 0 Число делится на 10 Число делится на 10 Число оканчивается цифрой 0 Сумма цифр числа делится на 3 Число делится на 3 Число не делится на 3 Сумма цифр числа не делится на 3 Углы A и B — углы при основании равнобедренного треугольника Углы A и B равны 66. Определите, является ли теоремой утверждение: а) если число делится на 5, то оно оканчивается цифрой 0 или цифрой 5; б) если число оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, то оно делится на 5; в) если число не делится на 5, то оно не оканчивается ни цифрой 0, ни цифрой 5; г) если число не оканчивается ни цифрой 0, ни цифрой 5, то оно не делится на 5; д) если углы являются вертикальными, то они равны друг другу; е) если углы равны друг другу, то они вертикальные; 36 Правообладатель Народная асвета ж) если углы не являются вертикальными, то они не равны друг другу; з) если углы не равны друг другу, то они не являются вертикальными. 67. Через точку A, не лежащую ни на одной из двух пересекающихся прямых k и l, проведены прямые a и b, одна из которых перпендикулярна прямой k, другая — прямой l. Докажите, что прямые a и b не совпадают. 68. Сравните числа a и b, зная, что: а) a > 0 и b < 0; д) a < 0, b < 0, I a I < б) a < 0 и b > 0; в) a > 0 и b = 0; г) a < 0 и b = 0; е) a < 0, b < 0, I a I > ж) a > 0, b > 0, I a I < з) a > 0, b > 0, I a I > I |b |; b |; |b |; b I. 69. Найдите число: а) на 50 % меньшее 2,8; б) на 10 % большее 2,8; в) 50 % которого составляют 2,8; г) 10 % которого составляют 2,8. 70. Вычислите: а) 6-4 : (-2); б) (-6^) : (-0,2); в) 6^ • (-2); г) (-6^) • (-0,2); д) (-4^3): О,1; е) 4-| • (-0,1). 17 Правообладатель Народная асвета 71. Выполните действия: а) 3,52 + (17,31 - 9,56); б) 6,789 - (4,761 + 11,457); в) 2312 - (1217 + 1213); ^ 25 \ 50 50/ г) 33.124 - 4^ • 41 4 5 11 8 . 112•24 ’ 3 7 д) (1 - ^^ - 91; е) (^ - 9 •: 13 32 0,40625); ж) 44 - (8,1425 - 11 ’ 7 W 16 з) 63 : - + 284 : 135 5 3 5 7 1^:21 16 4 72. Масса крови человека составляет около 7,5 % его общей массы. Сколько крови у человека, если его масса: а) 38 кг; г) 61 кг; ж) 110 кг; б) 42 кг; д) 70 кг; з) 130 кг; в) 46 кг; е) 96 кг; и) 126 кг? 73. Эльба, Везер, Рейн, Темза — наиболее крупные реки, впадающие в Северное море. а) Длина Эльбы такова, что она вместе с длиной Темзы на 179 км больше длины Рейна, вместе с длиной Везера (от истока Верры) составляет 1889 км и относится к длине Рейна как 233 ^ 264. Найдите длины Рейна, Эльбы, Везера и Темзы, учитывая, что длина Рейна на 262 км больше общей длины Везера и Темзы. 38 Правообладатель Народная асвета б) На схеме, приведенной на рисунке 97, отражены соотношения между площадями водосборов Эльбы, Везера, Рейна и Темзы. Составьте задачу и решите ее. 23 74 112 Эльба 1 1 1 1 •N 1 Везер Рейн 1 1 1 н ^433 Темза ' 1|ТЫС. км^ J 14 Рис. 97 в) Годовой сток Рейна равен увеличенному на 1 км3 удвоенному общему годовому стоку Везера и Эльбы и на 9 км3 больше увеличенного в семь раз годового стока Везера. Найдите годовые стоки Рейна, Везера, Эльбы и Темзы, учитывая, что годовой сток Эльбы на 1 км3 меньше утроенного годового стока Везера, а годовой сток Темзы составляет 4 годового стока Везера. * * * 74. Площади оснований первого и второго прямоугольных параллелепипедов равны 48 см2 и 55 см2, а их объемы вместе составляют 3645 см3. Найдите: а) высоты первого и второго параллелепипедов, учитывая, что они относятся как 5 ^ 3; б) измерения основания первого параллелепипеда, учитывая, что они относятся как 4 : 3; 39 Правообладатель Народная асвета в) измерения основания второго параллелепипеда, учитывая, что они отличаются на 6 см. 75. Высоты первого и второго прямоугольных параллелепипедов соответственно равны 37 см и 35 см, а объемы вместе составляют 4312 см3. Найдите: а) площади оснований первого и второго параллелепипедов, учитывая, что они относятся как 7 ^ 8; б) измерения основания первого параллелепипеда, учитывая, что они отличаются на 10 см; в) измерения основания второго параллелепипеда, учитывая, что одно из них в 4 раза больше другого. 76. Самолет вылетел из города А в полдень и приземлился в городе B в 14 ч местного времени. В полночь он вылетел назад и приземлился в А, когда там было 6 ч утра. Сколько времени длился полет? 77. Какое наибольшее количество фишек можно расставить на шахматной доске с учетом того, что из любых двух полей, симметричных относительно поля d4, может быть занято фишкой только одно, а само поле d4 должно быть незанятым? 78. Из проволоки сделан каркасный октаэдр (рис. 98). Может ли муравей проползти по каждому ребру по одному разу? А по каждому ребру куба (рис. 99)? Правообладатель Народная асвета mi раздел Линейные уравнения и функции 3. Выражения и формулы А) Выражение получается из чисел и букв с помощью знаков действий и скобок. Примерами выражений являются записи: 1,5 • 4 + 2 2 + 1; 1,5 • (43 - 9,6); 6 : (8 - 23); 8 • 2 - 5•3’ 2^ 2 ^ , L4 m - n d; x2; 2(а + Ъ); —^. Отдельное число или букву также считают выражением. В первые четыре выражения не входят буквы. Это числовые выражения. В остальные выражения буквы входят. Это выражения с переменными. Число, которое получится, если в числовом выражении выполнить все действия, называется значением числового выражения. Найдем, например, значение второго из приведенных выше выражения. Для этого нам нужно, учитывая соглашение о порядке выполнения действий, сначала выполнить возведение в степень, затем вычитание и, наконец, умножение: 43 = 64; 43 - 9,6 = 54,4; 1,5 • 54,4 = 81,6. Число 81,6 — значение выражения 1,5 • (43 - 9,6) (рис. 100). Рис. 100 41 1,5-(4-9,6) =81,6. Числовое Значение выражение числового выражения Правообладатель Народная асвета Если какое-нибудь действие в выражении нельзя выполнить, то говорят, что выражение не имеет значения. Таким является выражение 6 ^ (8 - 23), поскольку значением выражения 8 - 23 является число 0, а на нуль делить нельзя. Б) Если в выражение с переменными подставить вместо каждой буквы какое-нибудь ее значение, то получится числовое выражение. Его значение называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных. Рассмотрим выражение Если p = 6, то P _ p + 4 6 6 Если P = 0,8, то P + 4 6 + 4 10 P = 0,8 = 0,6. = — = 1 (рис. 101). P + 4 0,8 + 4 48 6 ^ Выражение Переменная ^ переменной \ f Если р = 0,8, то Значение Значение переменной Рис. 101 выражения с переменно^ При P = -4 значение данного выражения найти нельзя, так как в этом случае делитель p + 4 равен нулю. При P = -4 выражение ния (рис. 102). P+4 не имеет значе- При всех P Ф -4 выражение P+4 имеет значе- ния. Множество этих значений p называют облас- P тью определения выражения 42 p + 4 Правообладатель Народная асвета Переменная I Выражение с переменной Если р = -4, то выражение ^ ^ ^ не имеет значения. I Значение переменной Рис. 102 В) Обычно область определения выражения включает все те значения переменной, при которых выражение имеет определенное значение. Если выражение возникает при решении конкретной задачи, его область определения устанавливается условием задачи. Если выражение содержит несколько переменных, его область определения составляют те наборы значений этих переменных, при которых выражение имеет значение. Например, область определения вы-2b + a ражения a - b составляют все пары (a, b) неравных чисел, а область определения выражения m - n со- ставляют любые тройки (m, n, p) чисел, в которых третий компонент не равен нулю. Г) Если два выражения соединить знаком равенства или неравенства, то получится формула. Формулами записываются свойства арифметических действий. Например, переместительное свойство сложения выражается формулой a + b = b + a; сочетательное свойство умножения — формулой a(bc) = (ab)c; распределительное свойство умножения относительно сложения — формулой a(b + c) = ab + ac; 43 Правообладатель Народная асвета свойство деления суммы на число — формулой (а + Ь) ■ c = a ■ c + b ■ c; свойство квадрата числа — формулой m2 > 0. Названные формулы истинны при любых значениях переменных. Такие формулы называют тождествами. Формулами записываются и другие свойства. Например, свойство длин сторон а, Ь, c треугольника (рис. 103) можно передать формулой а < Ь + c; свойство величин углов A, B, C треугольника — формулой Z A + Z B + Z C = 180 °. Д) Формулами удобно записывать зависимости между величинами. Например, зависимость между длиной окружности C и ее диаметром d (рис. 104) передается формулой C = nd; зависимость между периметром прямоугольника P и его измерениями а и Ь (рис. 105) — формулой P = 2(а + Ь); Рис. 103 Рис. 104 Рис. 105 44 Правообладатель Народная асвета Рис. 106 Дом V к Школа и S 4 Рис. 107 зависимость между площадью квадрата S и длиной x его стороны (рис. 106) — формулой S = x2; зависимость пройденного пути s от скорости v и времени t при равномерном движении (рис. 107) — формулой s = v • t. Смысл той или иной формулы можно передать разными словесными формулировками. Например, формулу (а + b) ■ c = a ■ c + b ■ c можно прочитать как утверждение: частное от деления суммы на число равно сумме частных, полученных от деления каждого слагаемого на это число. Эту формулу можно прочитать и как правило: чтобы разделить сумму на число, можно на это число разделить каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Формулу s = v • t можно передать утверждением: пройденный путь равен произведению скорости на время движения или правилом: чтобы найти путь, надо скорость умножить на время движения. 1. Как из чисел и букв получить выражение? 2. Что называют значением числового выражения? Когда говорят, что выражение не имеет значения? 3. Чем отличаются арифметические (числовые) выражения от алгебраических выражений (выражений с переменными)? 4. Что называют значением выражения с переменными при данных значениях переменных? 45 Правообладатель Народная асвета 5. Что называют областью определения выражения с одной переменной? 6. Какую запись называют формулой? 7. Приведите примеры формул-свойств. 8. Что называется тождеством? 9. Приведите примеры формул-зависимостей. 79. Запишите числовым выражением: а) сумму чисел 78,9 и 45,1; б) разность чисел -56,2 и 44,3; в) сумму чисел -5,67 и 89,11; 11. 50; 23 г) разность чисел 14— и -19 25 д) сумму чисел -45,2 и - 9,88; 3 13 е) разность чисел -12— и -11—; ^ 14 42 7 3 ж) произведение чисел -^^ и -^; з) частное от деления числа 1,2 на число 12; и) произведение чисел 2, 3,1 и -6; к) половину числа 23,86; л) полусумму чисел 2,2 и -78; 31 м) полуразность чисел ^ и -^. 55 80. Прочитайте словами выражение: а) 17,08 + 14,6; б) (-3,62) + 27,19; в) (-25,2) - 4,35; г) 4-^ - (-3 д) 2 • (-4,55 + 9,78); е) ^ • (14,32 - 8,5); ж) 2,36 • 4,05; з) 10,24 : 32; и) 2,5 • 4,2 • (-5,6); к) 23 • 5,5; л) (12,2 + (-2,8)) : 2; м) (33 - 22) : 5. 81. Прочитайте как утверждение и как правило формулу: 46 Правообладатель Народная асвета а) периметра прямоугольника; б) объема прямоугольного параллелепипеда (рис. 108); в) нахождения произведения двух обыкновенных дробей; г) вычитания суммы из числа. 7 1 с h i i Рис. 108 82. Найдите значение выражения 2 • (5a + 3b) при данных значениях переменных a и b: а) a = 3, b = 2; г) a = 0, b = 8; б) a = -1, b = 2; д) a = 4, b = -5; в) a = -2, b = -5; е) a = 3, b = -5. 83. Запишите выражение и найдите его значение, используя схему, приведенную на рисунке: а) 109; б) 110. -ЗД 4,06 -0,5 -0,159 0,003 15 28 11 36 21 «6 29 °7 if 16,5 84. Найдите значение выражения: а) 128 : 4 + 2 . ^; 24 б) (1 + ^- 1; ^4 1^ 23 в) 5 - (1 + 1 + 1 + 1); г) - 11 • 11 - 75; ^ 11 11 95 7’ д) (3| • 2;5 - .б): 51 + 1l11; е) ^56 + J7 : (А -1 -1 ' 157 139 \20 4 5 47 Правообладатель Народная асвета 1,2 а 0,3 Ь 1,7 4,01 с 85. Запишите выражение, используя схему, показанную на рисунке 111. Найдите числа, которых не хватает в столбцах таблицы. Значение переменной а 0 -1,5 100 -13 -0,12 Значение переменной b 0 6 10 -13 -0,12 Значение переменной c 7 -154 100 -13 -0,12 Значение выражения 8,3 18,3 а) б) в) г) д) е) ж) 86. Запишите выражением число, содержащее: а) a десятков и 1 единицу; б) a сотен и b десятков; в) a сотен b десятков и 2 единицы; г) a сотен b десятков и c единиц; д) a тысяч b десятков и 6 единиц; е) a десятков тысяч b тысяч c сотен и 6 единиц; ж) a сотен тысяч 3 десятка тысяч s сотен и 9 единиц; з) h миллионов 5 тысяч f десятков и k единиц. 87. Запишите выражением, сколько: а) килограммов в t т; б) килограммов в a т b ц; в) метров в r км; г) сантиметров в t км и d м; д) минут в z ч; е) секунд в t ч и r мин; ж) квадратных метров в a га b а и c м2. 48 Правообладатель Народная асвета 88. Прочитайте словами выражение с переменными: а) a + 3; б) a + b; в) 2a - 5; г) 3 • (a + b); д) 2 • (a - 3b); е) с2 + 1; ж) 1 • (х2 - з) (х + 2)2; и) (a + b)2. 4); 89. Составьте выражение для решения задачи: а) Урожайность ржи на одном участке площадью a га составила 19 ц/га, а на другом площадью b га — 24 ц/га. Сколько тонн ржи собрали с обоих участков вместе? б) Турист прошел s км пешком, а затем три часа ехал на машине со скоростью 50 км/ч. Сколько километров преодолел турист? в) Расстояние между двумя пристанями равно s км. Собственная скорость моторной лодки равна v км/ч, скорость течения реки — a км/ч. Какое время затратила лодка на путь от одной пристани до другой и на обратный путь? г) Смешали a кг чая по k р. за килограмм и 12 кг чая по l р. за килограмм. Какова цена 1 кг смеси? 90. Найдите область определения выражения: а) б) 4. ; с 41 3 . х в) 7,4 - г) 6 - w w д) е) ж) з) z - 5 ; z + 3 ; 4,1 + n _ 7 - n ’ 6y - 3’ P2 - 9 , 2 p - 8’ и) к) л) м) + 12 ; 10 - 5t ’ a2 , 9 a - 3; 9q + 2 6f -18 f3 ■ 91. Определите, какой смысл имеет выражение: а) a • b, если a и b — длины сторон прямоугольника; б) a • b • с, если a, b, с — измерения прямоугольного параллелепипеда; 49 Правообладатель Народная асвета Рис. 112 в) а2, если a — длина стороны квадрата; г) а3, если а — длина ребра куба; д) 2(а + b), если а и b — длины сторон прямоугольника; е) 4а, если а — длина стороны квадрата; ж) а • b - b2, если а и b — длины сторон прямоугольников (рис. 112); з) Ol., если а и b — длины сторон прямоугольников (см. рис. 112); Ь2 и) —, если а и b — длины сторон прямоугольников оЬ (см. рис. 112); к) —, если V — объем прямоугольного параллеле-а пипеда, а а — одно из его измерений (см. рис. 108); л) —, если V — объем прямоугольного параллелепипеда, а 5 — площадь одной из его граней (см. рис. 108). 92. Запишите одно выражение для площади, а другое для периметра фигуры, представленной на рисунке: а) 113; б) 114. с _________Ь__________^ с с. J V |С Правообладатель Народная асвета 8 4 93. Найдите значение выражения —^— при х, x —1,5 равном: а) 3,5; б) 22; ^ 3 в) 2,1; г) —0,9; д) 0,6; е) 0. 94. Вычислите значение выражения: а) (1,3a + 0,01b) : (a + b) при a = —6,9; b = 1,03 с точностью до сотых; m — n ,9 с, б) ---- при m = 4—, n = —2,755 с точностью до ты- n — m 20 сячных; в) |7,5х — 4,3y| при х = —14, У = 23 с точностью до сотых; г) ^2-1 rj — {—11 sj при r = —0,702, s = ^ с точностью до сотых. 95. Используя три раза цифру 2, составьте шесть разных выражений, значение каждого из которых равно 2. 96. Запишите с помощью переменных: а) распределительное свойство умножения относительно сложения; б) переместительное свойство умножения; в) сочетательное свойство сложения; г) правило умножения дроби на дробь; д) правило деления дроби на натуральное число; е) правило вычисления площади квадрата; ж) правило нахождения дроби от числа; з) правило нахождения периметра треугольника. 97. Запишите формулой утверждение: а) число 1,56 — положительное; б) число —13,77 — отрицательное; в) число a — неположительное; 51 Правообладатель Народная асвета г) число b — неотрицательное; д) число s больше или равно числу г; е) число t не меньше числа р; ж) число m меньше или равно числу п; з) число c не больше числа d. 98. Температуры C и R, измеренные термометрами Цельсия и Реомюра соответственно, связаны формулой C = 5R (рис. 115). Найдите с точностью 4 до десятой температуру по Реомюру, °R °С если по Цельсию она равна: а) 24°; г) 0°; ж) -37°; б) 100°; д) 36,6°; з) -100 °; в) 56°; е) 224°; и) -65°. 99. Зависимость объема V прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием от длины a стороны квадрата и высоты h (рис. 116) выражена формулой V = а2 • h. Найдите значение V, если значения a и h соответственно равны: 40 30 20- 10 -50 40 30 20 10 -10 -20- -30 -10 ^-20 ^-30 а) 1 и 1; б) 1 и 23,6; в) 1 и 231; г) 3 и 4; д) 0,3 и 0,4; е) 0,4 и 0,3; ж) 12 и 4,2; з) 3,2 и 10; и) 3 и Ч 2 2 к) — и —. ^ 3 5 -40 Рис. 115 Рис. 116 52 Правообладатель Народная асвета 100. Найдите с точностью до десятой температуру по Цельсию, если по Реомюру она равна: а) 25°; г) 45,8°; ж) -13 °; к) -1°; б) 100°; д) 104°; з) -78°; л) 80°; в) 0°; е) 500°; и) -5°; м) -80°. 101. Плотность р вещества, его масса m и объем V связаны формулой m = pV. Найдите в граммах на кубический сантиметр плотность: а) меди, если медный кубик с ребром 2 см имеет массу 70,4 г; б) льда, если ледяной кубик с ребром 8 см имеет массу 460,8 г; в) бетона, если бетонный куб с ребром 60 см имеет массу 432 кг. 102. Найдите значения выражений и переменных, недостающих в таблице. t -5 4,3 -11,5 0 2 - 3t 0 -12 1,2 -7,8 3t - 2 12 -1,2 Какими числами являются соответствующие значения выражений 2 - 3t и 3t - 2? Запишите свою гипотезу формулой. 103. Заполните следующую таблицу, перечертив ее в тетрадь. х -9 -5 -3,5 -1 -0,4 0 0,5 1 1,6 2 х2 + 4х 5х + 2 77 Что можно утверждать о значениях выражений X2 + 4х и 5х + 2 при значениях переменной х, приве- 53 Правообладатель Народная асвета денных в таблице? Какую гипотезу вы можете выдвинуть? Запишите ее формулой. 104. Истинна ли формула а) x = 4; д) x = -150; > 2, если: б) x = -5; в) x = 0,8; г) x = 0,01; е) x = 2; ж) x = -3,2; з) x = -1,2; x +1 x и) x = Ц; к) x = -3,14; л) x = 7; м) x = - -1? 3 Какую гипотезу вы можете выдвинуть? 105. Запишите в тетрадь те формулы, которые истинны при любых значениях переменных: а) a - (b + c) = a - b - c; д) a - (b - c) = a - b + c; б) a ■ bc = a ■ b ■ c; е) (a + b) ■ c = a ■ c + b ■ c; в) a(b ■ c) = ab ■ c; ж) a ■ (b + c) = a ■ b + a ■ c; г) a - (b - c) = a - b - c; з) (a + b) - c = (a - c) + b. 106. По формуле m = -1- x + y ^ x - y I найдите значение переменной m, если: а) x = 4; У = 6; е) x = 4,6; У = 0; б) x = -4; У = 5; ж) x = -2,7; У = -1,3; в) x = 3; У = -7; з) x = 0; У = -4,86; г) x = -3,2; У = 3,4; и) x = -|; У=- д) x = -2,4; У = 1,6; к) x = 4,7; У = -1,5. Какую гипотезу вы можете выдвинуть? 107. Найдите периметр P и площадь S фигуры, представленной на рисунке: а) 117; б) 118; в) 119. Рис. 117 54 Правообладатель Народная асвета Рис. 119 108. Три прямые пересекаются в одной точке. Сколько при этом образуется лучей? 109. Сколько лучей определяют взятые на прямой две; три; четыре точки? 110. На прямой отмечено четыре точки. Сколько отрезков они определяют? 111. На рисунке 120 отрезки AB и CD равны. Какие еще равные отрезки есть на этом рисунке? 112. Выпишите пары равных отрезков на рисунке 121, учитывая, что отрезки PQ и RS равны, а M — середина отрезка QR. 113. Отметьте в тетради две точки. Постройте отрезок и ломаную из трех звеньев с концами в отмеченных точках. Измерьте длины отрезка и звеньев ломаной. Сделайте соответствующие записи. Сравните длину отрезка с длиной ломаной. Сделайте вывод. 114. На прямой отмечены точки A, B, C и D, причем AB = 1 см, BC = 3 см, CD = 5 см. Каким может быть расстояние между точками A и D? Как изменится ответ, если точки A, B, C и D выбираются не обязательно на одной прямой? D Q м R S Рис. 120 Рис. 121 55 Правообладатель Народная асвета 115. В бассейн проведены две трубы. Через первую он наполняется за 2 ч, а через вторую опорожняется за 3 ч. Когда открыли обе трубы, то в бассейне через 15 мин стало 125 л воды. Какова вместимость бассейна? 116. 1 см3 керосина имеет массу 4 г, а 1 см3 бензи- 1 5 на — на ^ г меньше. Определите массу 1 см3 смеси, в которой 24 доли керосина и 1 доля бензина. 117. В таблице приведены площади поверхности и массы Солнца, планет Солнечной системы и спутника Земли — Луны (рис. 122). С помощью калькулятора найдите числа, которые отсутствуют в столбцах таблицы. Рис. 122 56 Правообладатель Народная асвета Небесное тело Площадь поверхности Масса 2 млн км2 Процент по отношению к Земле млрд Тт Процент по отношению к Земле Солнце 6 090 000 2 • 106 Меркурий 14,6 5,5 Венера 460 82 Земля 510 5,98 Луна 38 0,0735 Марс 28,2 11 Юпитер 64 100 1900 Сатурн 8961 9498 Уран 8240 87 Нептун 1516 103 118. Велосипедист выехал из пункта А в 8 ч со скоростью 16 км/ч. Через 1,5 ч он сделал остановку на 30 мин, а затем поехал с прежней скоростью. В 11 ч за ним выехал мотоциклист со скоростью 56 км/ч. Когда и на каком расстоянии от A мотоциклист догонит велосипедиста? 119. Определите урожай картофеля с 1 га и площадь участка, с которого его собрали, учитывая, что если бы урожайность была равной 20,25 т/га, то картофеля собрали бы на 52,5 т меньше, а если бы урожайность была равной 20,75 т/га, то картофеля собрали бы на 31,5 т меньше. 57 Правообладатель Народная асвета * * * 120. Футбольная команда сыграла три матча: один выиграла, один проиграла и один сыграла вничью. При этом она забила 3 мяча и пропустила 1. С каким счетом закончился каждый матч? 121. Расшифруйте арифметический ребус, в котором разные буквы обозначают разные цифры, а одинаковые буквы — одинаковые цифры: В + = АВ. 122. Прямоугольник на рисунке 123 состоит из 12 одинаковых квадратиков. По сторонам квадратиков его нужно разрезать на две равные части. Сколькими способами это можно сделать? А если бы прямоугольник был размерами 4 на 5? Рис. 123 4. Тождественные преобразования выражения А) Вы знаете, что выражение, содержащее несколько последовательных сложений и вычитаний, можно записать как сумму. Например, _________________ 3т - 7 - 6п + 5mn = = 3т + (-7) + (-6n) + 5mn. 3/n - 7 - 6n -Ь Ътп Алгебраическая сумма слагаемых Зттг, -7, -6п, +Ътп Поэтому подобные выражения называют алгебраи- Рис. 124 ческими суммами (рис. 124). Преобразовывать выражения позволяют свойства арифметических действий. 58 Правообладатель Народная асвета Пример 1. Упростим выражение 3(2 + t) - 2t. Используя свойства арифметических действий, ПОЛУЧИМ: (1) (2) (3) 3(2 + t) - 2t = (3 • 2 + 3 • t) - 2t = 3 • 2 + (3 • t - 2 • t) = (4) (5) = 3 • 2 + (3 - 2) • t = 6 + 1 • t = 6 + t. Значит, 3(2 + t) - 2t = 6 + t. Здесь использованы распределительное свойство умножения относительно сложения — переход (1), свойство вычитания из суммы — переход (2), распределительное свойство умножения относительно вычитания — переход (3), замена числовых выражений их значениями — переход (4) и свойство единицы при умножении — переход (5). Б) Понятно, что если в примере 1 букву t во всех выражениях заменить одним и тем же числом, то получатся числовые выражения с одинаковыми значениями. Запись 3(2 + t) - 2t = 6 + t надо понимать именно так: числовые значения выражений 3(2 + t) - 2t и 6 + t всегда одинаковы при одинаковых значениях переменной t. Такие выражения называются тождественно равными (или, короче, равными) (рис. 125). Замена выражения Рис. 125 59 Правообладатель Народная асвета Тождественное f преобразование) 6 + t 3(2 + t)-2t Тождественное ) преобразование Рис. 126 тождественно равным ему выражением называется тождественным преобразованием этого выражения (рис. 126). В) Знакомое вам раскрытие скобок является тождественным преобразованием. Напомним, как оно выполняется. Пример 2. Раскроем скобки в выражении -2(3u - v + w). Данное выражение есть произведение числа -2 и алгебраической суммы 3u + (-v) + w. Распределительное свойство умножения позволяет это произведение записать суммой произведений числа -2 на отдельные слагаемые: (-2) • (3u + (-v) + w) = (-2) • (3u) + (-2) • (-v) + (-2) • w. Вычислим частичные произведения: (-2) • (3u) = ((-2) • 3) • u = -6u; (-2) • (-v) = +2v; (-2) • w = -2w. Поэтому -2(3u - v + w) = (-6u) + (+2v) + (-2w) = -6u + 2v - 2w. Раскрытие скобок — это замена выражений a(b + c) и (a + b)c выражениями ab + ac и ac + bc соответственно. Пример 3. Раскроем скобки в выражении 2a + (3 + x). Учитывая свойство числа 1 при умножении, получим: 2a + (3 + x) = 2a + 1 • (3 + x) = 2a + 1 • 3 + 1 • x = = 2a + 3 + x. Так же: 9m + (6a - 1 + 2c) = 9m + 6a - 1 + 2c; 3 + (-k + t) = 3 - k + t. 60 Правообладатель Народная асвета Знак не изменился ■> 1 а + (-& + c- d + e) = a- b + c- d + e 1________I f t Знак не изменился Рис. 127 Если перед скобками, заключающими выражение, стоит знак «+», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого (рис. 127). Пример 4. Раскроем скобки в выражении 5b -- (3с - 4). Учитывая, что 5b - (3с - 4) = 5b + (-(3 с - 4)) и что -(3с - 4) = (-1) • (3с + (-4)), получим: 5b - (3 с - 4) = 5b + (-1) • (3с + (-4)) = = 5b + (-1) • (3с) + (-1) • (-4) = 5b - 3с + 4. Так же: 9т - (6a - 1 + 2с) = 9т - 6а + 1 - 2с; 3 - (-k + t) = 3 + k - t. Если перед скобками, заключающими выражение, стоит знак «-», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого на противоположный (рис. 128). Знак изменился Г 1 а - (-Ь + c- d-\-e) = a-\-b-c-\-d-e 1______I \ \ Знак изменился Рис. 128 61 Правообладатель Народная асвета Вынесение общего множителя за скобки Рис. 129 Рис. 130 Распределительное свойство умножения относительно сложения можно записать так: ab + ac = a(b + c); ac + bc = (a + b)c. Замену суммы двух произведений, имеющих общий множитель, произведением общего множителя и суммы остальных двух множителей называют вынесением общего множителя за скобки (рис. 129). Вынесение общего множителя за скобки является тождественным преобразованием выражения, обратным раскрытию скобок (рис. 130). Пример 5. а) 4a + 2a = a(4 + 2) = a • 6 = 6a; б) 7x - x = x(7 - 1) = x • 6 = 6x. Слагаемые 4a и 2a, 7x и -x имеют одинаковые буквенные части и отличаются только числовыми множителями. Такие слагаемые называют подобными. Замену подобных слагаемых одним слагаемым называют приведением подобных слагаемых. Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их числовые множители и результат умножить на общую буквенную часть. л 1. Какие выражения с переменными называют равными? 2. Что называют тождественным преобразованием выражения? 62 Правообладатель Народная асвета 3. Как понимать задание Раскройте скобки? На каком свойстве основано раскрытие скобок? 4. Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+»? 5. Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-»? 6. Как заключить в скобки группу слагаемых алгебраической суммы? 7. Какое тождественное преобразование выражения называют вынесением общего множителя за скобки? 8. Какие слагаемые называются подобными? 9. Какое тождественное преобразование выражения называют приведением подобных слагаемых? 10. Как привести подобные слагаемые? 123. Найдите выражения с одинаковыми значениями и запишите соответствующие равенства: 3 + 6; 20 • 25 - 25 • 20; 5 - 22; 32 - 23; 63 : 7; 22 + (-12) + (-10). 124. Найдите наиболее простым способом значение выражения: а) 3,5 - 6,7 + 6,5 - 11,3; б) 21,3 - 6,4 + 7,7 + 5,4 - 7,6; в) 20 • 25 • 17 • 50 • 4; г) 60 • 23 - 40 • 33 + 60 • 47 - 60 • 67; д) ab + ac при a = -5^, b = 8^, c = ^^; ^ 1^ 1^ 13 е) ac - bc при a = 2^, b = -^^, c = ^^. 11 13 11 125. Упростите выражение: а) a + 2 + a + a; в) b • b - 2; д) 2x + 3x; б) -a + 5 + a + a; г) c3 : c2; е) 5z - z. 126. Автомобиль ехал a ч со скоростью 60 км/ч и b ч со скоростью 72 км/ч. Запишите формулу средней скорости автомобиля. Найдите ее, если: а) a = 2, b = 3; б) a = 21, b = 22. 33 63 Правообладатель Народная асвета 127. Найдите два числа, одно из которых противоположно, а второе обратно: а) сумме чисел -4,2 и 6,7; б) разности чисел —г и -0,75; 6 в) произведению чисел 2,5 и -1,6; г) частному чисел -43 и 6-1- 128. Запишите выражением: а) сумму частного чисел m и n и числа l; б) произведение суммы чисел r и s на число t; в) разность числа a и частного чисел b и с; г) частное разности чисел x и у на их полусумму. 129. Докажите, что (рис. 131): а) сумма 37 • 18 + 18 • 23 делится на 5; б) сумма 91 • 73 + 91 • 70 делится на 11; в) разность 42 • 86 - 42 • 219 делится на 19; г) разность 67 • 29 - 222 • 29 делится на 31. 130. Раскройте скобки: аЬ делится на а -< аЬ делится на Ъ Рис. 131 а) -3(k - 3l +2); б) 5(9 - 2x + 5a); в) 7(1 - 4d - f); г) (2 - 52 + 3) • 2; д) -(11 - 12у - x); е) -(-q + 6s - 2a); ж) (f - 15a - n) • (-5); з) (-3r + 12 - s) • (-1); и) -(-6 + 2d + r); к) (-4a - 4b - c) • (-2); л) -9(-m + 3n - 12k); м) -6(2 - s -12p). 131. Запишите разность выражений и упростите результат: а) -6 - w и w + 6; б) a - 3,6 и 3,6 - b; в) m - n и n - m; 64 г) 45 - k и k - 46; д) -3v + 2w и 4v - w; е) 6,62 - 2,2t и t - 2. Правообладатель Народная асвета 132. Используя скобки, запишите суммой двух слагаемых выражение: а) 2а - 3b + 5c - 13; б) 2z + 4t - 22u - v + w; в) 4 - 2p - 9r + s - 7t - z; г) 15fe - 11l + 1,5n - m - 4t + p - 2r. Сколькими способами это можно сделать? 133. Запишите выражение w + x - y + z: а) суммой двух слагаемых, из которых одно w + x; б) суммой двух слагаемых, из которых одно w - y; в) разностью с уменьшаемым w - у; г) разностью с вычитаемым у - х. 134. Решите уравнение: а) 3 - 2(х - 3) = 2; б) -7(2у + 3) + 6 = 13; в) 4(4 - 3z) - 13 = -33; 135. Вычислите: а) 4,67 кг + 1,33 кг; б) 23,9 м3 - 19,9 м3; в) 1,45 см - 0,98 см; г) 6 кг 120 г - 4,5 кг; г) (3у - 29) - 35 = 44; д) -(14 - 4^) + 53 = 71; е) (2/ + ^ 7 2 18 12 9 д) 2 га 75 а + 3 га 96 а; е) 3 км2 - 13,4 га; ж) 5540 см3 - 3 дм3 55 см3; з) 12 Мт - 126 кт. 136. Вынесите общий множитель за скобки и затем вычислите: а) 576 • 0,705 + 576 • 1,295; б) 0,647 • 6,46 + 9,54 • 0,647; в) 0,987 • 0,652 - 0,987 • 0,452; г) 67,3 • 3,87 - 4,87 • 67,3; 137. Выполните вычитание: д) 97,42 + 2,6 • 97,4; е) 6,45 • 12,45 - 6,452; 55,1 + 55,12; 7,47 - 7,472. ж) 44,9 з) 6,84 а) 3^2 - (-2^2); б) -13z2 - (-10 z2); в) 5s3 - (+3s3); г) -er - (+er); д) -12vw - (6vw); е) 2ab2 - (-0,5ab2); ж) (-3d) - (-3d); з) -p - (+2 p); 65 Правообладатель Народная асвета и) i3 “ - (-^6 л) 2,3й2 - (-4 Н' 5 м) 1-4k’ - (2i3 k>). к) -0,7m^n - (-2,1m2n); 138. Приведите подобные слагаемые: а) 2х + 3х - 4х; д) 6с + 4с - 5c; б) у + 2у - 3y; е) -3d - 4d - 5d; в) a - 2a + 3a; ж) -5k + 2k - 4k; г) 5Ъ + 2b - 3b; з) -z + 2z - 3z. 139. Приведите подобные слагаемые: а) -6х + 9х - 2х + 7х; б) 7s + 3s - 4s - 1 s; ' 9 9 9 9 в) 16a - 4a + 2a - 9a; г) 22d + 2d - 30d - 7d; д) t + 4,7t - 3,2t - t; е) -22^ - 18 q + 4,3q + 7,1 q; ж) 2 k + 5 k - 11 k - 3 k; '3 6 12 4 з) w + 0,9w - 4w - 1 w. 92 140. Запишите четыре последовательных целых числа (рис. 132), большее из которых равно а. Найдите: а) сумму этих чисел; б) разность между суммой двух первых и суммой двух последних чисел; в) разность между суммой двух первых и разностью двух последних чисел; г) разность между суммой двух крайних и суммой двух средних чисел. Число, предшест- Число, следующее вующее числу а за числом а Рис. 132 141. Решите уравнение: а) -(3 - 2х) - 5х = 12; г) 2(а + 1) - 4а = 2; б) у - 2(5 + 2у) = -10; д) 3Ъ - (4 - 3Ъ) = 8; в) -6z - 3(7 - 2z) = 12; е) 3с + 6 - (4 + 3с) = 2. 66 Правообладатель Народная асвета 142. Решите уравнение: а) -5(1,2 - 2x) - 4x = 12; б) 3,7p - 1,4(-5 + 2p) = -1,1; в) -15 с - 5(4 - 3с) = 21; г) 2(а + 1) - 7а = 22; д) 9b + 3(4 - 3b) = 12; А - 3 с) . (-7) = 1, 14 W \ 1^ 6 е) — с ^ 5 143. Решите уравнение: а) 8 • (3 - 3b) + 5 • (3 b + 5) = 7; б) -6 • (3t + 4) + 4 • (2t - 2) = 0; в) -11 • (1 - 6p) - 2 • (4p + 1) = 7; г) 2(3^ - 5) - 7(7 - 2w) = -25; д) 2(4x - 3) + 3(7 - 2x) = 13; е) 5 • (2 с + 1) - (5 с + 2) = 0; ж) 4(2/ + 5) - 5(6 - f) = 16; з) 3(5 - 2h) - 2(7 - 3h) = 1; и) 2(4 - 3u) + 3(2u - 1) = 6; к) 3(2a + 5) - 4(3a + 2) = 19. 144. Приведите подобные слагаемые: а) -8s2 + s2 + 8s2; г) 4сд, + 5сд, - 13с^; б) 6Ьс - 7Ьс + Ьс; д) 12с2 - 17с2 + 18с2; в) 5x^y - x2y - 10x2y; е) d3 + 30d3 + 31d3. 145. Упростите выражение: а) (a2 - 3ab + b2) + (-a2 + 3ab + b2); б) (x2 + x + 1) + (x2 - x + 1); в) (4fe2 + 2k + 1) + (-4k2 + 2k - 1); г) (2m2n - 3mn2 - 3mn) + (-mn + 5m2n + 6mn2); д) (2p - q - r) + (-p + 2q - r) + (-p - q + 2r); е) (4a3 - 5a2 + 3a - 2) + (3a3 - 4a + 5) + (2 a3 - 3 + 5a + 4a2); ж) (423 - 5z^y + 7zy2 - 8y2) + (-3z3 + 5z2y - 2zy^ - 5y2); з) -(2ab2 - ab + b) + 3ab2 - 4b - (5ab - ab2). 67 Правообладатель Народная асвета 146. Вычислите: а) 2!+ б) 410 + 551; в) 23 - А) 27 14’ г) lH - 2^’ ^ 39 26 е) 1-411 -343 48 ж) (-15 з) 1| ^ (-211)’ и) (-2 13 23 39 д) (-33 147. Найдите значение выражения: а) 23 • 11+3^4 ■ 3’ в) 2’83 ^ 5+1’27 ^ 1’ б) 5,35 : 2 - 1,01 : 2’ г) 3,51 ■ 0,5 - 1,25 ■ 0,5. 148. Запишите формулой утверждение: а) a — положительное число’ б) a — отрицательное число’ в) число a больше нуля’ г) число a меньше нуля’ д) число a равно нулю’ е) a — неположительное число’ ж) a — неотрицательное число’ з) число a не равно нулю’ и) число a больше нуля или равно ему’ к) число a меньше нуля или равно ему. 149. Диагональ AC делит четырехугольник ABCD на два равных треугольника (рис. 133). Найдите диагональ и стороны четырехугольника, если его периметр и периметр треугольника D Рис. 133 68 Правообладатель Народная асвета равны 150 см и 140 см соответственно, а стороны AB и BC относятся как 2 : 3. 150. Отрезок BK соединяет вершину B треугольника ABC с точкой K противоположной стороны (рис. 134). Углы A и B этого треугольника соответственно равны 65° и 92°. Найдите углы треугольников ABK и CBK, учитывая, что угол CKB в два раза больше угла BAC. 151. За какое время будет выполнена вся работа, если: а) за 2 ч выполнено ^ всей работы; б) за 9 ч выполнено 0,45 всей работы; в) за 3 ч выполнено 24 % всей работы? 152. Хозяйство убрало 1320 га зерновых и осталось убрать еще 29,6 % их. Сколько гектаров зерновых осталось убрать? 153. При сложении двух десятичных дробей во втором слагаемом ошибочно поставили десятичную запятую на 1 знак правее, чем нужно, и вместо суммы 27,95 получили 41,9. Какие числа нужно было сложить? 154. Сха и Плиса — притоки Березины. Длина Плисы составляет 80 % длины Схи. Если бы Сха была на 8 км короче, а Плиса на столько же длиннее, то эти реки имели бы одинаковую длину. Найдите длины Схи и Плисы. 155. Средняя урожайность пшеницы на двух полях размерами 160 м х 120 м и 200 м х 170 м составила 22,5 ц/га. Определите урожайность на первом поле, если на втором поле собирали в среднем по 21 кг с каждых 100 м2. 69 Правообладатель Народная асвета Выигрыш — 3 очка Ничья — 2 очка Проигрыш — 1 очко * * * 156. На сколько частей могут разбить плоскость четыре разные прямые? Подкрепите ответы рисунками. 157. За первый день в буфете продали 1 большую и 4 средние банки сока, за второй день — 2 большие и 6 литровых банок, а за третий — 1 большую, 3 средние и 3 литровые банки. Сколько всего литров сока продали за три дня, если каждый день продавалось одинаковое количество сока? 158. В викторине из нескольких конкурсов соревновались две команды. Результат каждого конкурса оценивался Рис. 135 в соответствии с рисунком 135. Определите, возможно ли, чтобы викторина закончилась со счетом: а) 23 : 20; б) 17 : 17; в) 24 : 16; г) 15 : 17. 5. Линейное уравнение с одной переменной А) Напомним, что уравнением называют равенство, содержащее переменную. Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство, называют корнем уравнения. Решить уравнение означает найти все его корни или установить, что их нет (рис. 136). Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. При решении сложных уравнений их сначала упрощают, заменяя равносильными. Пример 1. Решим уравнение 5х = 3х + 150, которое можно наглядно представить рисунком 137. Рассуждать можно так. Равновесие весов не нарушится, если с каждой чашки снять по 3 пачки 70 Правообладатель Народная асвета Г л г л Уравнение — равенство с переменной V J J г л Корень уравнения Ч____________J число, превращающее уравнение в истинное равенство Г \ Решить уравнение V____________J наити все корни уравнения либо доказать, что корней нет Рис. 136 чая (рис. 138). Значит, одна пачка имеет массу 150 г : 2 = 75 г. Эти рассуждения подсказывают такой путь решения данного уравнения. Вычтем из левой и правой частей уравнения 5х = 3х + 150 выражение 3x. Получим: 5х - 3х = 3х + 150 - 3x. Слагаемые 3х и -3х в правой части в сумме дают нуль, или, как говорят, взаимно уничтожаются. Поэтому 5х - 3х = 150. Далее находим: 2х = 150, или х = 75. Рис. 137 Рис. 138 71 Правообладатель Народная асвета Пример 2. Решим уравнение 7k + 13 = 76 - 2k. Если к каждой части уравнения прибавить выражение 2k, то после приведения подобных в правой части не будет слагаемых с переменной: 7k + 13 + 2k = 76 - 2k + 2k; 7k + 13 + 2k = 76. Сравнивая полученное уравнение с данным, замечаем, что слагаемое -2k перешло из правой части в левую с противоположным знаком. Приводим подобные в левой части: 9k + 13 = 76. Находим неизвестное слагаемое: 9k = 76 - 13. Замечаем, что уравнение 9k = 76 - 13 получается из уравнения 9k + 13 = 76 после переноса числа 13 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком. Наконец находим: 9k = 63; k = 7. Б) Видим, что если в уравнении любое слагаемое перенести из одной части в другую, изменяя его знак, то получится уравнение, равносильное данному (рис. 139). Переносят слагаемые так, чтобы в одной части уравнения были слагаемые с переменной, а в другой — известные числа. Если уравнение содержит скобки, то сначала их нужно раскрыть. 72 7А: -ЫЗ = 76 - 2k Перенос с противо- \ ^ положным знаком 7k + 2k + 13 = 76 [Перенос с противоположным^наком 7fe -Ь 2й = 76 - 13 Рис. 139 Правообладатель Народная асвета Пример 3. Решим уравнение 8(2х + 3) = 3(3x - 6). Сначала запишем его без скобок: 16x + 24 = 9x - 18. Перенесем слагаемое 9х из правой части в левую, а слагаемое 24 — из левой части в правую с противоположными знаками: 16x - 9x = -18 - 24. Приведем подобные слагаемые и найдем х: 7х = -42; х = -6. При решении уравнений пользуются и таким свойством: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, то получится уравнение, равносильное исходному. 2 11 Пример 4. Решим уравнение —у +— =-----у. 3 6 2 Умножим левую и правую части уравнения на 6 и тем самым избавимся от дробных чисел: 4у + 1 = 3 - 6у. Сделаем нужные переносы слагаемых и приведем подобные: 4у + 6у = 3 - 1; 10у = 2. Разделим обе части уравнения на 10: у = 0,2. В) Можно рекомендовать такой порядок упрощения уравнения: 1) избавиться от дробных чисел; 2) раскрыть скобки; 3) собрать слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а слагаемые без переменной — в другую; 4) привести подобные. 73 Правообладатель Народная асвета При решении уравнений мы сводили их к простейшему виду, например: 7х = -42; -р = -1,2; 0у = 2; 0z = 0. Г) Уравнение вида ах = b, где х — переменная, a и b — определенные числа, называется линейным уравнением с одной переменной. При решении линейного уравнения нужно обращать внимание на числа а и b. Пусть а ^0. Тогда левую и правую части уравнения ах = b можно разделить на а, получим х = = b. Видим, что линейное уравнение ах = b при а Ф 0 а b имеет единственный корень — число —. а Пусть а = 0. В этом случае линейное уравнение становится таким: 0 • х = b. Понятно, что при b Ф 0 оно не имеет корней. Если b = 0, уравнение принимает вид 0 • х = 0, и его корнем является любое число. Таким образом, линейное уравнение ах = b: • имеет единственный корень х = —, если а ф 0; а • не имеет корней, если а = 0 и b ф 0; • имеет корнем любое число, если а = 0 и b = 0 (рис. 140). 74 Рис. 140 Правообладатель Народная асвета Пример 5. Решим уравнение 4(z - 3) = 2 - (10 - 3z). Последовательно получаем: 4z - 12 = z - 10 + 3z; 4z - z - 3z = -10 + 12; (4 - 1 - 3)z = -2; 0 • z = -2. Полученное уравнение не имеет корней, поэтому равносильное ему уравнение 4(z - 3) = z - (10 - 3z) также не имеет корней. Пример 6. Решим уравнение 5 - 2х = 1 + 2(2 - x). 5 - 2x = 1 + 4 - 2x; -2x + 2x = 1 + 4 - 5; 0 • x = 0. Корнем уравнения 0 • x = 0 является любое число. Значит, и уравнение 5 - 2x = 1 + 2(2 - x), равносильное уравнению 0 • x = 0, имеет корнем любое число. 1. Что называют уравнением; корнем уравнения? 2. Что означает требование Решить уравнение? 3. Какие уравнения называют равносильными? 4. Сформулируйте свойство уравнения о переносе слагаемого из одной части в другую. С какой целью делаются такие переносы слагаемых? 5. Сформулируйте свойство уравнения об умножении или делении его частей на одно и то же число. 6. Каков общий порядок упрощения уравнения? 7. Какое уравнение называют линейным? 8. При каком условии уравнение ax = b имеет один корень? 9. При каких условиях уравнение ax = b не имеет корней? 10. При каких условиях уравнение ax = b имеет корнем любое число? 75 Правообладатель Народная асвета 159. Докажите, что каждое из чисел -5, 0, 3 является корнем уравнения: а) z(z - 3)(2 + 5) = 0; в) а(а2 + 2а - 15) = 0; б) а3 + 2а2 = 15 а; г) (2х3 + 11 х2 + 5х)(х2 - 9) = 0. 160. Решите уравнение: а) х(х - 2)(х - 3) = 0; в) (а - 2)(а2 + 2) = 0; б) 2(y - 3)(y + 3) = 0; г) (b - 1)(b2 + 5)(b + 9) = 0. 161. Определите, равносильны ли уравнения: а) а - 4 = 6 и а - 5 = 7; б) а - 4 = 6 и а - 1 = 3; д) 5(с - 2) = 30 и с - 2 = е) = 6 и 3d = 24; 4 в) 7 + 2b = 0 и 2b = -7; ж) = 6 и 3d = 16; г) 7 + 2b = 0 и 2b + 4 = 3; з) = 6 и 2d = 16. 4 162. Найдите корень уравнения: д) 8с = -42; е) 12d = 16; ж) 178 ^ = 1?^ з) 20 у = -'f; а) 9b = 108; б) -6у = -132; в) 11ft = ,1; г) 15b = ;6; 163. Решите уравнение: а) 25у - 1 = 9; б) 7g + 8 = 11; в) 3i - 5 = 10 - i; г) 3p + 6 = 10 - p; д) 4j + 4 = j + 5; и) -21z = -14; к) 0j = 0; л) .50 3 = -1; м) 123 25 126 t = -1. е) 5h = 24 - 2h; ^ 5 ж) 7e + 22 = 3e; 3 з) 2-1 + 5q = 2q; 3 и) 3— - w = 5w; 5 к) 7,5t - 3,9t = 18,05t. 164. Решите уравнение: а) 2y - 5 + 8y = 9y + 3 - 3y; б) 4z - 21 + 3z - 3 = 3z - 5 + 7z - 3; 76 Правообладатель Народная асвета в) 33 - 4a + 4 + 13 a = 61 - 12a + 31 + 3a; г) -3Ъ + 7 + 26b = 6 + b - 1 + 24b; д) 14c + 4 - 18c + 10 = -15 c + 37 + 10 c - 3; е) 3d - 31 + 6d + 36 - 6d + 25 = 30. 165. Поделите обе части уравнения на одно и то же число и затем решите уравнение: а) 6(d + 1) = 18; г) 13(5 - и) = 26; б) 8(с - 5) = 32; д) (1 - j)19 = 57; в) 7(4 - h) = 42; е) (5 - 2k)11 = 99. 166. Решите уравнение: а) Ъ + 11 = 2Ъ - 7; б) f - 23 = 17 - 3f; в) 19 - 13h = 1 - 4h; г) 0,8i - 2 = 2,3t + 2,5; д) 1,17 - 1,7a = u + 1,17; е) 4,9 + 1,4p = 1,2 - 0,6p; ж) 7,3i - 7,7 = 3,8i - 7; з) a - 23 = 2a - 17; 3 и) 2 6 q^q + h к) 3,5s + 61 = 41 s - 2|; 3 6 6 72 d - 31 : = 53 - 2 3 d; 3 6 4 4 ’ 3 m + 113 = -11 1 + 1 m; 7 4 28 2 ’ 1 32 j = - 1 j; 12 9-' 15 2 о) -0,7Z - 1 = -31 - 0,2Z + 5. 36 167. При каком значении переменной: , „2 - w 3w + 2 а) сумма выражений —^— и —-— равна нулю; 5 7 „48 + 5х 2 х + 6 _ б) разность выражений —— и —— равна 7; 12 15 , „2 - у у + 7 в) сумма выражений —;;— и равна выражению 8-у 6 15 77 Правообладатель Народная асвета 2 , „4 z + 18 30 - 7z г) разность выражений —-— и ——— равна нулю; 9 15 , „2а - 31 36 - 5а „ д) сумма выражений —-— и —— равна -3; 9 16 , „25 +1 b + 2 е) разность выражений —— и ^ равна выраже- b-6 нию ----? 6 18 9 168. Решите уравнение: а) (21щ - 19) - (1 + 4m) = 12m; б) (32 - 7n) + (64 + 17n) = 19 - (6n -13); в) 2,4v - (v - 4,2) = -6,3 + (0,4v + 3,3); г) (7,5 - 3,7c) - (7,1 - c) = (1,2c + 1,9) - (5,3 - 2c); д) 25 - (-1| + 23x) = x) - (^5 - ^3^ ); 6 8 7 12 14 24 21 е) -(2-8 z + 3f) - (6| + If z) = -(-2f +14 z) - (l012 + +111 z)- 169. Решите уравнение: а) б) в) г) 10 g - 9 3 - 4 g 5 g - 9 5 - 6 g . 14 7 10 5 ; 3 x + 2 4 x - 3 x + 13 5 x - 3; 11 3 4 2 ; 5 а + 6 + 7 a + 11 6 a - 8 11a + 2; 3 ' 6 7 3 ; 3 k -11 + 7 k -10 = 11k - 20 4 k -13 + 4 6 8 12 170. Определите, при каком значении переменной: ч „3Ь + 7 7 b + 3 а) сумма выражений -- и --- равна -6; 4 8 „ 61 - 9 19 - 71 -ю б) разность выражений —— и —— равна 18; 11 78 Правообладатель Народная асвета в) значение выражения 2(х^+2) на 1 больше значе- 3( x -1) ния выражения — г) значение выражения--- в два раза больше зна- чения выражения 2 a - 3 2 ^ 8 ч 11 p + 4 - д) значение выражения —^— на 5 меньше значе- 10 -13 p ния выражения • 12 е) значение выражения значения выражения 7 - 6 q 2~ 5 q + 9,5 3 ■ в два раза меньше 171. В уравнении неизвестное число обозначено буквой X. Определите, какое число обозначает буква a, учитывая, что число 1 является корнем уравнения: а) X + 3 = а; г) 3х - 4 = 2 + а; б) 2(х - 1) = 2х + а; д) а - х + 2 = 2а; в) (6 - а) + 9х = 2а; е) ах + 5 = 7. 172. Приведите дроби к общему знаменателю: 2 3. 3, 4; 1 2, (6’ 5 ; д)i2’ 2, 5; 12; 5 3; г) ■|’ 7 ; е':4’ 6, 4; 12; б) ^ ^ ^ 1^ ^ ^ 15 173. Запишите хотя бы одно число, удовлетворяющее неравенству: 1 < г < 1- а) 1,2 < d < 1,25; б) -1,25 < 2 < 1,2; в) 1 < г < ^; ^2 3 г) д) е) 32 д) -1,25 < d < -1,2; 1 < г < -1 2 3 79 Правообладатель Народная асвета 174. Упростите выражение: а) 5а + 8a; в) 3т + 4 - 9m; д) 2k + 3 - (6k - 2); б) 5x - 8x; г) -5y - 2 - y; е) 2 - 3z - (7 - 5z). 175. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения: а) 7(4x - 5) - 14(2 x + 1) равно -49; б) 20(-7г - 7) + 35(4г + 17) равно 455; в) 31(21i - 9) - 93(7i - 4) равно 93. 176. Картина размерами 42 см х 35 см вставлена в прямоугольную рамку шириной 5 см. Какой процент от площади картины и рамки занимает рамка? 177. Хозяйка 1 поросенка продала по 88 000 р. за 6 килограмм, — поросенка — по 80 000 р., а осталь-16 ные 26 кг — по 60 000 р. за килограмм. Сколько денег выручила хозяйка от продажи поросенка? 178. Автомобиль расходует в среднем на каждые 100 км пути при движении по шоссе 4,5 л бензина, а в городе — 7 л. К концу дня из залитых в бак 40 л бензина осталось 6,8 л, а показания спидометра изменились с 24 783 км на 25 443 км. Определите, какой путь за этот день автомобиль прошел по шоссе и какой — по городским улицам. 179. Для изготовления бронзы сплавили медь, олово и фосфор. Масса олова относится к массе фосфора как 9 : 1, а к массе меди — как 27 : 220. Сколько этих веществ в сплаве, если фосфора использовано на 21,7 ц меньше, чем меди? 180. Из Римдюн в направлении Ошмян (рис. 141) вышел пешеход, а через 2 ч навстречу ему из Ошмян 80 Правообладатель Народная асвета выехал велосипедист, который через час встретил пешехода. Найдите их скорости, учитывая, что скорость пешехода на 12 км/ч меньше. 181. По Мозырскому району текут притоки Припяти — Тремля, Ипа, Неначь и Мытва. Длина Трем-ли меньше на 8 км общей длины Неначи и Мытвы и на 70 км общей длины Неначи и Ипы. Мытва на 6 км длиннее Неначи, а вместе с Ипой составляет 156 км. Найдите длины этих притоков Припяти. 182. Река Неначь вливает в Припять 1 814 400 м3 воды за неделю, а река Тремля — 2 522 880 м3 за декаду. Определите, сколько кубических метров воды в секунду вливает в Припять река Ипа, учитывая, что ее расход воды составляет 99,66 % от общего расхода воды Неначи и Тремли. * * * 183. Найдите дату рождения белорусского писателя Максима Горецкого, о которой известно следующее. Год рождения получится, если утроить то простое число седьмой сотни, разность простых соседей которого наибольшая. Число, когда родился писатель, совпадает с количеством прошедших столетий, а порядковый номер месяца в 9 раз меньше этого количества. 184. Костя купил 3 пакетика с орехами, а Иван — 2 таких пакетика. К ним присоединился Антон, и орехи были разделены поровну. Оказалось, что Антон должен заплатить друзьям 2500 р. Сколько из этих денег должен получить Костя и сколько Иван? Сколько стоит пакетик с орехами? 185. На одном острове живут два племени: мум-ба и юмба. Мумба всегда говорят правду, а юмба всегда лгут. Путешественник, приехавший на этот остров, нанял одного из туземцев-островитян в про- 81 Правообладатель Народная асвета водники и отправил его узнать, из какого племени встреченный ими островитянин. Проводник вернулся, и по его ответу путешественник понял, что проводник сам из племени юмба. Как он догадался? 6. Решение задач с помощью уравнений А) Уравнения используют при решении текстовых задач. Для этого обозначают буквой одну из неизвестных величин. Через нее, используя условие задачи, выражают другие величины. Сравнив два выражения для одной и той же величины, полученные разными способами, составляют уравнение и решают его. Полученный результат сопоставляют с условиями задачи и формулируют ответ. Задача 1. При увеличении населения городского поселка Радошковичи на 1,9 тыс. человек, или в 1— раза, получаются равные числа. Сколько тысяч человек проживают в Радошковичах? Решение. Пусть в Радошковичах проживают x тыс. человек. Тогда первое указанное увеличение дает (х + 1,9) тыс. человек, а второе — 1— x тыс. человек. По условию задачи числа х + 1,9 и 11 х равны. Поэтому должно быть истинным равенство х + 1,9 = 11 х. 3 Решим полученное уравнение: 1,9 = 11 х - х; 3 х = 1,9; х = 1,9 • 3; х = 5,7. Ответ. В Радошковичах проживают 5,7 тыс. человек. 82 Правообладатель Народная асвета Б) Задача 2. Девятиклассник Гена для своей сестры Зины, которая учится в 6-м классе, составил такую задачу: «Три мальчика нашли 22 гриба, причем второй мальчик нашел на 2 гриба больше, чем первый, и на 15 грибов больше, чем третий. Сколько грибов нашел второй мальчик?». Зина решала задачу так. Пусть второй мальчик нашел k грибов. Тогда первый мальчик нашел (k - 2) грибов, а третий — (k - 15) грибов. Учитывая, что втроем они нашли 22 гриба, записываем уравнение: k + (k - 2) + (k - 15) = 22. Решим его: k + k - 2 + k - 15 = 22; 3k = 39; k = 13. Можно будто бы ответить, что второй мальчик нашел 13 грибов. Но Зина решила проверить, выполняются ли все условия задачи. Пусть второй мальчик нашел 13 грибов. Тогда первый нашел 13 - 2 = 11 грибов, а третий 13 - 15 = -2 гриба. Но -2 гриба найти невозможно. Ответ. Такое распределение грибов у мальчиков невозможно. Рассмотрение этой задачи показывает, что после решения уравнения нужно сделать проверку найденного корня по полному условию задачи для того, чтобы убедиться, что условия задачи не содержат противоречий. В) Задача 3. Разность площадей водосборов Немана и Западной Двины составляет одиннадцатую долю площади водосбора Припяти, а площадь водосбора Припяти на 34 тыс. км2 больше площади водосбора Западной Двины. Найдите площади водосборов Немана, Западной Двины и Припяти, 83 Правообладатель Народная асвета учитывая, что площади водосборов Немана и Западной Двины вместе составляют 185 тыс. км2. Решение. Пусть x тыс. км2 есть площадь водосбора Западной Двины. Тогда площади водосборов Припяти и Немана равны соответственно (х + 34) тыс. км2 и (185 - х) тыс. км2, а разность площадей водосборов Немана и Западной Двины равна (185 - х) - х тыс. км2. По условию задачи эта разность составляет одиннадцатую долю от площади водосбора Припяти. Поэтому должно быть истинным равенство 1 х = — (х + 34). (185 - х) Решим полученное уравнение: 185 - х ,v ^^34. х = й х + _х__ х__ 1 х___ 34 __ х 11х - 11 --23 х = - 2001, 11 х 11 185; х = I - 2001 23 11 11 х = 87. Получили, что площадь водосбора Западной Двины равна 87 тыс. км2. Теперь находим площадь водосбора Припяти: 87 + 34 = 121 (тыс. км2) и Немана — 185 - 87 = 98 (тыс. км2). Ответ. Площадь водосбора Немана равна 98 тыс. км2, Западной Двины — 87 тыс. км2, Припяти — 121 тыс. км2. 1. Из каких этапов состоит решение текстовой задачи с помощью уравнения? 2. Как по условию задачи составляют уравнение? 3. Почему после решения составленного по условию задачи уравнения необходимо сопоставление результатов решения с условием задачи? 84 Правообладатель Народная асвета 186. К — неизвестного числа прибавили 119 и 15 получили 3 его. Найдите неизвестное число. 187. К задуманному числу прибавили число, равное ему, да еще 3 его и получили 25,5. Найдите задуманное число. 188. Лена задумала число, прибавила к нему 5, затем сумму разделила на 3, к полученному частному прибавила 5 и получила задуманное число. Какое число задумала Лена? 189. Имеется четыре последовательных четных числа. Если из удвоенной суммы крайних чисел вычесть утроенную положительную разность средних чисел, то получится 22. Найдите эти числа. 190. Отцу 40 лет, а сыну 16. Через сколько лет отец будет в два раза старше сына? 191. На первом элеваторе было зерна в два раза больше, чем на втором. Из первого элеватора вывезли 750 т зерна, на второй привезли 350 т, после чего на обоих элеваторах зерна стало поровну. Сколько зерна было вначале на каждом элеваторе? 192. Лодка шла по течению реки 2,4 ч и против течения — 3,2 ч. Путь, пройденный лодкой по течению, оказался на 13,2 км короче пути, пройденного против течения. Найдите скорость лодки по озеру, если скорость течения реки равна 1,5 км/ч. 193. Разделите число 7800 на две части так, чтобы 40 % первой части были на 1712 больше 24 % второй. 194. Туристы на дорогу из одного населенного пункта в другой и на обратную дорогу затратили 9,5 ч. Туда они двигались со скоростью 5 км/ч, а назад — 4,5 км/ч. Найдите расстояние между населенными пунктами. 85 Правообладатель Народная асвета Рис. 142 Проба — количество долей определенного металла в 1000 долей вещества. 195. Имеется 150 г сплава 850-й пробы (рис. 142). Сколько нужно взять сплава 920-й пробы, чтобы при переплавке получился сплав 900-й пробы? 196. (Старинная задача.) Капитан на вопрос, сколько имеет в своей команде людей, ответил, что 2 2 1 — его команды на страже, — — работают, 4 — в 5 7 лазарете да в наличии 27 человек. Сколько людей в команде? 197. Число единиц двузначного числа на 3 больше числа десятков. Если к этому числу прибавить 27, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите все такие числа. 198. Найдите такое число вида *77, что запись его цифр в обратном порядке дает число, меньшее на: а) 396; в) 720; д) 198; б) 594; г) 0; е) 297. 199. Переднее колесо телеги (рис. 143) сделало на 25 оборотов больше, чем заднее. Определите, сколько оборотов сделало каждое колесо, учитывая, что окружность переднего колеса — 1,6 м, а заднего — 2 м. Рис. 143 86 Правообладатель Народная асвета 200. Найдите двузначное число, учитывая, что: а) сумма его цифр равна 12, а частные от деления самого числа на 12 и обращенного на 21 равны (рис. 144); б) сумма его цифр равна 11, а частное от деления самого числа на 14 составляет 80 % частного от деления обращенного числа на 13; / N 1307 — само число 7031 — обращенное число V ) Рис. 144 в) сумма его цифр равна 9, а частное от деления самого числа на 18 в четыре раза больше частного от деления обращенного числа на 27; г) сумма его цифр равна 12, а частное от деления самого числа на 15 составляет 12 частного от деления обращенного числа на 19; д) сумма его цифр равна 15, а частное от деления самого числа на 29 в два раза меньше частного от деления обращенного числа на 13. 201. Велосипедист выехал из Краснополья в Ко-стюковичи (рис. 145) и ехал сначала со скоростью 18 км/ч, а затем, после 20-минутного отдыха, — со скоростью 16 км/ч. На каком расстоянии от Костю-кович отдыхал велосипедист, если в дороге он был 3 ч 30 мин? 87 Правообладатель Народная асвета 202. Чтобы прочитать книгу к требуемому сроку, учащийся должен был ежедневно прочитывать по 50 страниц. На самом же деле учащийся читал по 65 страниц, и за два дня до конца срока ему оставалось прочитать 55 страниц. Сколько дней читал книгу учащийся и сколько страниц было прочитано? 203. На территории нашей страны растут три вида грибов рода лекцин — грабовик, подосиновик, подберезовик. Диаметр шляпки подосиновика такой, что его четвертая доля равна третьей доле диаметра шляпки подберезовика, а его пятая доля — половине диаметра шляпки грабовика. Найдите диаметры шляпок этих грибов, учитывая, что сумма диаметров шляпок подосиновика и грабовика равна 28 см. 204. В Беларуси количество форм грабовика на 2 меньше количества форм подберезовика, в два раза меньше количества форм подосиновика, а вместе с количеством форм подосиновика дает количество форм подберезовика. Найдите количество форм подосиновика, подберезовика и грабовика. 205. Висла — самая большая река Польши, Сан и Нарев — ее притоки. По рисунку 146, на котором указаны связи между длинами этих рек, составьте задачу и решите ее. 20 22 47 Сан 1 1 Нарев Висла !3к1я Ь--| 1 — 13км h---j Сан Нарев 120 км Рис. 146 88 Правообладатель Народная асвета 206. Годовой сток Вислы таков, что он в 8,5 раза больше годового стока Сана и в 3,4 раза больше годового стока Нарева. Найдите годовые стоки этих рек, учитывая, что годовой сток Сана на 6 км3 меньше годового стока Нарева. 207. Решите уравнение: а) 2,8 • X = 0,56; г) -0,5 • k = -1,2; б) 2,5 • у = -1,75; д) 1,3 • m + 18,2 = 0; в) -1,5 • t = 10,5; е) -0,46 + 9,2 • 2 = 0. 208. Решите уравнение: а) 4(3m - 2) + 2(m - 6) = 5(2m - 8); б) 10(5 + 3n) - (11 + 2n) + 3n - 8 = 0; в) t - 6 3 3t - 2 t - 25 5 7 - X 4 ’ 2 X -16 . 2 X - 8 г) + ■ 5 6 8 209. Упростите выражение: а) 3(2s - 4) - 6s + 11; г) 8,3^ - 5,5 - (3,1 - 11^); б) 9,6 - 7,3d + (8d - 4,3); д) -(2,9й - 4,9) + 10h - 9,3; в) 6,7f + (7 - 5,1/) - 11,4; е) -(у - и) - 12 - (и - у). 210. Найдите значение выражения: а) б) в) А +1 33 3 6 35 + 817 3 . + 15:_^ 2 5 21 28 84 5:1 + 10 2 84 1 + 3:1 56 12- 8 11 1635 36 1. 3; + 1:2 +1:3 А - 1^; 36 35 3: (23 - 115 \ + 2:3 28 57 3 2 223 14 .(55 - 43 \ - 95 + А 7 13 89 Правообладатель Народная асвета 2 7 г) + 31 _ /^31 + з5 84 63 252 21 24 : (1- :43 1^ + ^_____ 26 39 156 7 "': ^20-:26 д) (7ЗМ _ 5890 405 891 14^ _ 98\\: /10 _ 8151 495 99 198 211. Запишите координаты вершин ломаной на рисунке 147. 212. Постройте треугольник по координатам его вершин M(_1; 4), K(_1; _2), N(9; 4). Найдите координаты: а) точек A и B, в которых стороны MN и KM пересекают оси координат; б) точек Си D, в которых сторона KN пересекает оси координат. Как можно записать координаты произвольной точки прямой KM; прямой MN? 213. Найдите углы треугольника, учитывая, что один из них на 37° меньше другого и составляет 60 % третьего. 90 Правообладатель Народная асвета 214. Площадь одной из граней прямоугольного параллелепипеда относится к площади второй его грани как 5 ^ 3 и на 45 см2 меньше площади третьей грани. Учитывая, что то из измерений, которое принадлежит граням с самой малой и с самой большой площадями, равно 9 см, найдите: а) измерения параллелепипеда; б) площадь поверхности параллелепипеда; в) объем параллелепипеда. 215. Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке L, причем угол ALB равен 130° (рис. 148). Найдите углы треугольника ABC, учитывая, что угол CBL равен 34°. 216. Площади прямоугольников ABCD и BCEF с общей стороной BC относятся как 4 : 7, а их разность составляет 3600 см2 (рис. 149). Найдите измерения этих прямоугольников, учитывая, что их общая сторона равна 80 см. А D Рис. 149 * * * 217. Найдите год, в котором Слуцк получил маг-дебургское право, учитывая, что этот год есть произведение двух простых чисел, в записях которых четыре раза использована цифра 1, причем большее число на 10 больше квадрата меньшего числа. 218. Около каждой стороны 2009-угольника записали по числу так, что каждое из них равно полусумме двух соседних. Около каждой вершины записали разность чисел, стоящих около сторон, выхо- 91 Правообладатель Народная асвета 9l_^ дящих из этой вершины (рис. 150). д ^----iLi® ^ Какие числа могут быть записаны около вершин? 219. Найдите значение выражения: Рис. 150 1 + ^ ^ ^ + ... 2 • 3 3 • 4 4 • 5 5 • 6 ... + 1 + 1 18 • 19 19 • 20 7. Линейная функция А) Рассмотрим несколько примеров зависимостей. Пример 1. Масса пустой литровой пластиковой бутылки 30 г, а плотность подсолнечного масла 0,9 г/см3. Найдем зависимость массы m бутылки от объема V налитого в нее подсолнечного масла. Искомая масса m в граммах состоит из массы налитого подсолнечного масла, равной 0,9V, и массы самой бутылки, равной 30 г. Значит, m = 0,9V + 30. Пример 2. Из Видзов в Браслав со скоростью 16 км/ч выехал велосипедист (рис. 151). Найдем зависимость пути s, который остается проехать велосипедисту, от времени t. Всего велосипедисту нужно проехать 40 км. За время t он проехал путь, равный 16t. Поэтому ему остается проехать путь, равный 40 - 161. Значит, s = 40 - 16t, что можно записать и так: s = -161 + 40. 92 Правообладатель Народная асвета Обе рассмотренные зависимости записаны формулами одного вида y = ax + b, где x — аргумент, a и b — некоторые числа. Зависимость переменной у от переменной х, которую можно задать формулой вида у = ах + b, где a и b — некоторые числа, называется линейной функцией, а переменная х — аргументом линейной функции. Если условия задачи никак не ограничивают аргумент линейной функции, то его значением может быть любое число. Условия задачи могут накладывать на аргумент дополнительные ограничения. Например, поскольку значение объема V подсолнечного масла может выражаться только числом из промежутка от 0 до 1000, то аргумент V функции m = 0,9V + 30 из примера 1 принимает числовые значения, удовлетворяющие условию 0 < V < 1000. Возможные значения аргумента функции s = = -161 + 40 найдем, исходя из того, что если велосипедист доедет до Браслава, то путь s, который ему остается проехать, станет равным нулю: 0 = -161 + 40. Решим полученное уравнение: 0 = -161 + 40; 161 = 40; t = 2,5. Значит, значения аргумента рассматриваемой функции являются числами, удовлетворяющими двойному неравенству 0 < t < 2,5. Б) Пример 3. Рассмотрим функцию у = 2х - 1. Для построения ее графика составим таблицу соответствующих значений переменных х и у. х -5 -3 -2 -1 0 1 2 3 5 у -11 -7 -5 -3 -1 1 3 5 9 93 Правообладатель Народная асвета Отметив на координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице, получим рисунок 152. Можно заметить, что все отмеченные точки лежат на одной прямой. Эта прямая показана на рисунке 153, она является графиком линейной функции у = 2х - 1. £ f и 4 S 2 С . Ьг Рис. 152 Рис. 153 Графиком линейной функции является прямая. Мы знаем, что прямая определяется своими двумя точками. Поэтому для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, нанести эти точки на координатную плоскость и через них провести прямую. 94 Правообладатель Народная асвета Пример 4. Построим график функции z = -11 - 3. 3 Поскольку это линейная функция, то для построения ее графика найдем координаты двух точек графика: если t = -3, то z = -1 • (-3) - 3 = -2; 3 если t = 3, то z = -1 • 3 - 3 = -4. 3 Отметив на координатной плоскости точки M (-3; -2) и N (3; -4), проводим через них прямую MN (рис. 154), которая является графиком функ- Заметим, что при построении графика линейной функции удобно в качестве одной из точек брать точку с абсциссой 0. Если бы взяли t = 0, то получили бы z = - 3. В) Пусть в формуле у = ax + b число a равно нулю. Тогда формульное выражение линейной функции получает вид у = 0 • x + b, т. е. у = b. Линейная функция, которая задается формулой у = b, при любом значении аргумента принимает одно и то же значение b. Пример 5. Построим график функции s = 4, т. е. s = 0u + 4. При любом значении переменной и переменная s принимает значение, равное 4, т. е. графику функции принадлежат, например, точки R (0; 4) и T (3; 4) с одной и той же ординатой 4. Прямая 95 Правообладатель Народная асвета Г f 1 \ . ! с 1 1 1 Г ; Г t г . . г Г L е 1 1 Рис. 155 RT является графиком линейной функции s = 4 (рис. 155). Пусть в формуле у = =ax+ b число b равно нулю. Тогда формульное выражение линейной функции становится таким: у = ax. Функция, которую можно задать формулой у = ax, где x — аргумент, a — некоторое не равное нулю число, называется прямой пропорциональностью. Поскольку прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, то графиком прямой пропорциональности является прямая линия. Эта прямая проходит через начало координат, так как при x = 0 значение у равно 0. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Рассмотрим вопрос о взаимном расположении на координатной плоскости графиков линейной функции у = ax + b и прямой пропорциональности у = ax. Сначала отметим, что координатные оси разделяют координатную плоскость на четыре части, которые называют координатными углами или координатными четвертями (рис. 156). Первая координатная четверть — это часть координатной плоскости, в которой абсцисса и ордината точек положительны, вторая координатная четверть — часть координатной плоскости, в которой абсцисса точки отрицательна, а ордината положительна, третья координатная четверть — часть координатной плоскости, в которой абсцисса и ордината точки отрицательны, 96 Правообладатель Народная асвета Вторая четверть Третья четверть Первая четверть L :с пеа£Щ71Ш Рис. 156 Рис. 157 четвертая координатная четверть — часть координатной плоскости, в которой абсцисса положительна, а ордината отрицательна. Пример 6. Построим в одной системе координат графики функций у = 1,5х, у = 1,5x + 2 и у = 1,5x - 2 (рис. 157). Можно заметить, что из графика функции у = 1,5x получается график функции у = 1,5x + 2 сдвигом на 2 единицы вдоль оси ординат в положительном направлении, а график функции у = 1,5x - 2 — сдвигом на 2 единицы вдоль оси ординат в отрицательном направлении. Теорема 1. График линейной функции у = ax + b получается из графика прямой пропорционально -сти у = ax сдвигом вдоль оси ординат на b единиц в положительном или отрицательном направлении в зависимости от того, каким — положительным или отрицательным — является число b. Доказательство. Пусть есть линейная функция у = ax + b и прямая пропорциональность у = ax. Пусть x0 — произвольное значение аргумента x. Найдем разность значений линейной функции и 97 Правообладатель Народная асвета прямой пропорциональности аргумента: (ax0 + Ь) при этом значении ax0 = Ь. Получаем, что при любом значении аргумента значение линейной функции у = ax + Ь и прямой пропорциональности у = ax отличаются на число Ь. Другими словами, значение ax0 + Ь линейной функции у = ax + Ь при x = x0 получается из значения ax0 прямой пропорциональности у = ax при этом значении аргумента прибавлением числа Ь. Это приводит к сдвигу вдоль оси ординат на |Ь| единиц в положительном направлении, если число Ь положительно (рис. 158), и в отрицательном направлении, если число Ь отрицательно (рис. 159). Рис. 159 Г) Наконец, рассмотрим вопрос о взаимном расположении графиков линейных функций. Прямые, являющиеся графиками двух линейных функций, либо пересекаются, либо параллельны. Пример 7. Рассмотрим графики линейных функций у = x + 2 и у = 2 x - 5 с разными коэффициентами при аргументе x (рис. 160). Пересечение графиков функций означает, что эти графики имеют общую точку. Иными словами, есть такое значение 98 Правообладатель Народная асвета переменной x, что значения переменной у для каждой из функций у = x + 2 и 2 5 у = —X - — одинаковы. Чтобы найти это значение х, нужно решить уравнение X + 2 = — X - —. Сделаем это: 3 3 X + 2 = — X 3 3’ 3x + 6 = 2x - 5’ X = -11. Найдем значение каждой из функций при значении X, равном -11: -11 + 2 = -9’ 2(-11) - — = -22 - — = -27 = -9. ^ ^ 3 3 3 3 2 При X = -11 обе функции у = X + 2 и у = —X - 3 принимают значение, равное -9. Точка (-11’ -9) — единственная общая точка обоих графиков. Это означает, что прямые, являющиеся графика- ми функций у = X + 2 и у = 2 X - —, пересекаются. — 3 Пример 8. Рассмотрим графики линейных функций у = 0,6x + 4 и у = 0,6x - 3 с одинаковыми коэффициентами при аргументе X (рис. 161). Выясним, пересекаются Рис. 161 99 Правообладатель Народная асвета ли они. Для этого решим уравнение 0,6х + 4 = = 0,6х - 3: 0,6х + 4 = 0,6х - 3; 0 • х = -7; корней нет. Поскольку уравнение не имеет корней, то прямые, являющиеся графиками линейных функций у = 0,6х + 4 и у = 0,6х - 3, не имеют общих точек, а это означает, что рассматриваемые графики параллельны. Теорема 2. Графики двух различных линейных функций, заданных формулами вида у = ax + b: а) пересекаются, если коэффициенты a различны; б) параллельны,, если коэффициенты a одинаковы. Доказательство. Пусть у = а^х + и у = = а2х + Ъ2 — две разные линейные функции. Выясним, как расположены графики записанных функций на координатной плоскости. Для этого нужно решить уравнение а^х + Ъ^ = а2х + Ъ2. Получим: а^х + Ъ^ = а2х + Ъ2; а^х - а2х = Ъ2 - Ъ^; (а1 - а2)х = Ъ2 - Ъ^. Пусть коэффициенты а^ и а2 различны. Тогда а^ - а2 Ф 0. Значит, уравнение имеет единственный корень. Это означает, что графики функций пересекаются. Пусть коэффициенты а^ и а2 одинаковы, а Ъ^ и Ъ2 — различны. Тогда а^ - а2 = 0 и Ъ2 - Ъ^ ф 0. В этом случае уравнение не имеет корней. А это означает, что графики функций параллельны. На рисунке 162 показаны графики линейных функций, заданных уравнениями вида у = ах + Ъ, с одинаковыми значениями а и различными значе-100 Правообладатель Народная асвета ниями b. Эти прямые параллельны друг другу и образуют с осью абсцисс равные углы. Величина этих углов зависит от коэффициента а. Число a называют угловым коэффициентом прямой, являющейся графиком функции у = ах + b. Если х = 0, то линейная функция у = ах + b принимает значение, равное b. Это означает, что график функции у = ах + b пересекает ось ординат в точке (0; b). На рисунке 163 показаны графики линейных функций с различными значениями а и одним и тем же значением b. Все эти прямые пересекаются в одной точке, расположенной на оси ординат. 1. Какая функция называется линейной? 2. Какая линия является графиком линейной функции? 3. Как построить график линейной функции? 4. Какая линейная функция называется прямой пропорциональностью? 5. Какая линия является графиком прямой пропорциональности? 6. Какую часть координатной плоскости называют первой координатной четвертью; второй координатной четвертью; третьей координатной четвертью; четвертой координатной четвертью? 101 Правообладатель Народная асвета 7. Как в координатной плоскости расположен график функции у = ax при положительном значении коэффициента а; при отрицательном значении коэффициента а? 8. При каком условии графики линейных функций пересекаются; параллельны? 9. Как найти координаты точки пересечения графиков линейных функций? 10. Какое число называют угловым коэффициентом прямой, являющейся графиком линейной функции? 11. Что показывает коэффициент b в формуле у = ах + b, задающей линейную функцию? 220. Определите, является ли линейной функцией зависимость, заданная формулой: 4t -1 а) у = 3х - 5; б) C = 2nR; в) g = -3,5l; г) S = пг2; д) у = t2 + 5; е) P = 9,81m; ж) h = 5 з) F = (2 + b) • 7; и) s = (m + 2)(m - 3). 221. В бассейн вместимостью 600 м3 каждую минуту вливается 0,4 м3 воды. Запишите формулу, выражающую зависимость объема V незаполненной части бассейна от времени t. Определите, является ли эта функция линейной. 222. Одно измерение прямоугольника а м, а другое — на 5 м меньше. Запишите формулу, выражающую зависимость от измерения а периметра прямоугольника, и формулу, выражающую зависимость от этого измерения площади прямоугольника. Какая из двух записанных зависимостей является линейной функцией? 223. Определите, является ли прямой пропорциональностью зависимость, заданная формулой: а) у = x; б) s = -2k; в) 2 = -t; д) A = ^7; ж) T = г) S = а2; е) V = х3; з) D = C. с - 3 3 102 Правообладатель Народная асвета 224. Прямая пропорциональность задана форму- лой у = --Х. Заполните таблицу. 12 x -12 -4 -2 2 3 0 6 12 24 у -1 -4 1 2 71 3 225. Постройте график линейной функции p = 4b. По графику найдите: а) значение р, соответствующее значению b, равному 6; б) при каком значении аргумента b значение функции p равно 6. Существует ли такое значение переменной b, при котором значение р равно -400? Если существует, то найдите его. 226. Постройте график прямой пропорциональности, заданной формулой: а) x = -2s; в) T = -l; б) h = l,5x; г) b = 0,5a. 227. На рисунке 164 приведены графики движения пешехода и велосипедиста. Определите: а) сколько времени был в дороге велосипедист; пешеход; б) какой путь преодолел велосипедист; пешеход; в) с какой скоростью двигался велосипедист; пешеход; г) сколько процентов составляет путь, проделанный велосипедистом, от пути, пройденного пешеходом; 103 Правообладатель Народная асвета путь, пройденный пешеходом, от пути, проделанного велосипедистом. Запишите формулы, выражающие зависимости путей, проделанных велосипедистом и пешеходом, от времени движения. 228. Скажите, в каких координатных четвертях находится график функции: а) у = 0,0047х; г) F = 100 047м; б) p = 13 :Ъ; д) у = ax, где a > 0; е) у = ax, где a < 0. 131417 в) S = -678 947Z; 229. Запишите формулу, выражающую прямую пропорциональность, график которой проходит через точку: а) А(1; 3); г) В{-1; -3); б) B(3; 1); д) E(4; 6); в) С(1; -3); е) F(-6; 2). 230. Запишите формулу, выражающую прямую пропорциональность, график которой изображен на рисунке: Рис. 165 Рис. 166 104 Правообладатель Народная асвета Рис. 167 231. Определите, проходит ли график функции z = 1,4y - 13 через точку: а) А(10; 1); в) С(-100; 123); б) Б(-10; -27); г) ^(500; 687). Рис. 168 232. Линейная функция задана формулой S = 7 - 1 h. Найдите значение этой функ- 3 ции при значении h, равном: а) 3; в) 0,3; б) -3; г) i2; е) -6; 233. Линейная функция задана формулой S = 7 - 1 h. Найдите значение аргумента h, если зна- 3 чение S функции равно: д) -1; ж) —; ^ 13 з) 2^4. а) 6; б) 8; в) 6,9; 7. г) 6 9’ д) 7 е) 9; 2. 9; ж) 6 10, 13 ; з) 61. 234. Линейная функция задана формулой v = 60 + + 2,5i. Заполните таблицу. t -4 -1,8 0 2 5 v 40 60 80 90 105 Правообладатель Народная асвета 235. Постройте график функции, заданной формулой: г) k = -s + 3,5; а) s = 4t + 2; б) y = -2х - 1; в) a = 0,21 + 4; 2 д) S = 2 h - 3; ж) x = — t - 1; з) Z = ; е) p = -a - 4,5; и) m = -3h. 236. Определите, в каких координатных четвертях расположен график линейной функции: а) K = 0,2t - 21; б) a = -11 + 13. 2 237. Определите знаки коэффициентов a и b в формулах вида g = ay + b, задающих прямые, на которых лежат стороны четырехугольника ABCD (рис. 169). 238. Постройте график функции у = -2n + 3. Запишите координаты точек C и D пересечения графика с осями абсцисс и ординат соответственно. При каких значениях аргумента значения функции: а) положительны; б) отрицательны; в) неположительны; г) неотрицательны? 239. При каких значениях аргумента значения функции K = 4с - 5: а) положительны; в) неположительны; б) отрицательны; г) неотрицательны? 240. Без построений найдите координаты точек R и S пересечения с осями абсцисс и ординат соответственно графика функции: 106 Рис. 169 Правообладатель Народная асвета а) y = 4x - 8; в) R = 0,4s + 18; б) z = -y + 12; г) F = 2 m - 11. 3 241. Постройте график функции s = 16 - 4r. По графику определите, при каких значениях аргумента значения функции: а) больше -4; в) меньше 6; б) не больше 12; г) не меньше -6. 242. Постройте график функции z = 2m - 3. Запишите координаты точек А и B пересечения графика с осями абсцисс и ординат соответственно. По графику определите, при каких значениях аргумента значения функции: а) больше 1 и меньше 6; б) не больше 5 и не меньше -3; в) меньше 1 и не меньше -1; г) больше -9 и не больше -2. 243. На одной координатной плоскости постройте графики функций: у = 0х + 6; у = 6; у = -4; у = -1,2; У = 3,8. 244. Запишите формулу, выражающую линейную функцию, график которой проходит через точки: а) А(0; 2) и B(3; 0); в) E(0; -4) и F(-2; 0); б) С(0; 4) и D(2; 0); г) М(0; m) и N(n; 0). 245. Постройте график зависимости, заданной уравнением: а) 2х - у = 1; б) 2t - 2у = 4; в) 2и - 6у = 12. 246. Определите, пересекаются или параллельны прямые, заданные формулами: а) у = 6х + 3 и у = 6х - 8; г) k = -6l - 7 и k = -6l; б) z = 7и - 4 и z = -7и - 7; д) g=4h + 1 и g=-3h + 1; в) s = 3t - 5 и s = -6t + 2; е) V = 17a и V = -8a. 107 Правообладатель Народная асвета 247. Для линейной функции p = 4c запишите какую-либо функцию, график которой: а) параллелен графику этой функции; б) пересекает график этой функции. 248. Найдите координаты точки пересечения графиков функций: а) s = 8u - 5 и s = -3u + 6; б) y = 8 - 3,3t и y = -7,31 + 12; в) z = 30x - 40 и z = 70x + 120; г) f = 39l + 7 и f = 27l - 17; д) F = 21h и F = -8h + 5,6; е) S = -9k + 13 и S = -14. 249. Найдите, если возможно, координаты точки пересечения графиков функций: а) T = -6u - 9 и T = 2и + 7; б) у = -0,3х - 2 и у = 7,3x - 10; в) R = 0,2s - 4 и R = 1 s + 2; г) z = l и z = 7l - 18; 5 д) p = 2,1h и p = 2,1h + 11; е) С = 4 - 9k и С = -23. 250. В одной системе координат постройте графики функций: а) s = t - 5; s = -t - 2,5; s = -t; s = -2,5; s = t + 2,5; б) и = x - 1,5; и = -x + 1,5; и = -1,5x; и = 1,5; и = 1,5x + 1,5. 251. Запишите линейную функцию, график которой пересекает ось ординат в той же точке, что и график функции: а) у = x + 6; б) z = -15x - 5; в) F = 1,6a - 8. 252. Определите, в каких координатных четвертях расположен график прямой пропорциональ-108 Правообладатель Народная асвета ности, если он параллелен графику линейной функции: а) K = 0,2t - 21; б) a = - \ l + 13. 2 253. Имеется равнобедренный треугольник. Найдите его: а) стороны, учитывая, что периметр треугольника равен 35 см, а одна сторона больше другой на 7 см; б) углы, учитывая, что один из них на 36° меньше другого. 254. Постройте треугольник по стороне ST и прилежащим к ней углам S и T, если: а) ST = 65 мм; Z S = 70°; Z T = 65°; б) ST = 120 мм; Z S = 15°; Z T = 67°; в) ST = 26 мм; Z S = 70 °; Z T = 100 °. 255. На изготовление новой модели станка пошло 14,7 ц металла, что на 30 % меньше по сравнению с предыдущей моделью. Каковы были затраты металла на прежнюю модель станка? 256. За контрольную работу 7 учащихся получили отличные отметки (8, 9 или 10). Сколько учащихся в классе, если учащиеся, получившие отличные отметки, составляют 25 % от остальных учащихся класса? 257. Два теплохода вышли одновременно из одного пункта и идут в одном направлении. Первый теплоход за каждые 1,5 ч проходит 37,5 км, а второй за каждые 2 ч — 45 км. Через какое время первый теплоход будет находиться на расстоянии 10 км от второго? 258. Калужница болотная, прострел широколистный, ветреница лесная, перелеска благородная — многолетние травянистые растения семейства лютиковых. Высота, на которую может вырастать калужница, такова, что она составляет 2,4 высоты 109 Правообладатель Народная асвета прострела, 4 высоты перелески, а уменьшенная на 5 см составляет общую высоту ветреницы и перелески. Найдите наибольшие высоты этих растений, учитывая, что общая высота прострела и перелески составляет высоту ветреницы. 259. На рисунке 170 показаны соотношения между самыми малыми высотами, на которые вырастают калужница, прострел, ветреница и перелеска. Составьте задачу и решите ее. . f ? 3 6 1 Перелеска 1 Прострел 1 , Калужница , Ветреница 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , Калужница , Прострел 5 см Рис. 170 * * * 260. Какое наименьшее количество множителей произведения всех натуральных чисел от 1 до 24 нужно зачеркнуть, чтобы произведение оставшихся чисел было точным кубом? 261. От прямоугольника размерами 5 х 8 клеток отрезали угловой квадрат со стороной в 2 клетки. Как разрезать полученный пятиугольник на две части, из которых можно сложить квадрат? 262. На доске записаны все натуральные числа от 1 до 2009. Вытираются два произвольно выбранных числа и записывается их разность. Если повторить эти действия достаточное количество раз, то на доске останется одно число. Может ли оно быть нулем? Правообладатель Народная асвета I I I I I I I Щ раздел Треугольники 8. Равные фигуры А) Равные фигуры — это такие фигуры, которые совмещаются при наложении. Отрезки одинаковой длины равны (рис. 171). Углы с одной и той же градусной мерой также равны (рис. 172). Два учащихся по заданию учителя начертили на доске окружности с радиусами 20 см: одну — с центром A, другую — с центром B (рис. 173). Если наложить одну из окружностей на другую так, чтобы l!L Рис. 173 111 Правообладатель Народная асвета Рис. 174 их центры совместились, то совпадут и сами окружности, так как в противном случае они имели бы разные радиусы (рис. 174). Таким образом, окружности с равными радиусами равны. Понятно, что и круги с равными радиусами равны. Из этого следует, что для задания окружности или круга достаточно указать их радиус. Вы знаете, что прямоугольным треугольником называют треугольник, у которого имеется прямой угол (рис. 175). Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, а две другие — катетами прямоугольного треугольника. Б) Учащиеся построили прямоугольные треугольники ABC и PQR с катетами 45 см и 20 см (рис. 176). Можно предположить, что полученные треугольники будут равными. Чтобы убедиться в этом, наложим треугольник PQR на треугольник ABC так, чтобы их прямые углы R и С совпали: это возможно, так как Катет Рис. 175 112 Правообладатель Народная асвета все прямые углы равны. Про- B(Q) следим также, чтобы больший катет RP пошел по большему катету СА, а меньший катет RQ — по меньшему катету CB (рис. 177). Тогда катет RP точно наложится на катет СА, так как они имеют равные длины, а значит, точки P и А совпадут. Также по причине равенства катетов RQ и CB совпадут точки Q и B. Значит, треугольники PQR и ABC совпадут полностью. Поэтому они равны. Таким образом, мы установили признак равенства прямоугольных треугольников: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие прямоугольные треугольники равны. В соответствии с доказанным признаком для задания прямоугольного треугольника достаточно задать его катеты. В) Задача. Построим треугольник ABC, у которого известны две стороны и угол между ними: AB = 47 см, AC = 35 см, Z А = 72 °. Строим угол KAL, равный 72°. На одной из его сторон находим точку B, отстоящую от точки A на 47 см, а на другой — точку C, отстоящую от точки A на 35 см (рис. 178). Соединяем точки B и C. Треугольник ABC — искомый. Пусть по этим сведениям построен и треугольник PQR, у которого PQ = 47 см, PR = 35 см и Z P = 72° (рис. 179). Докажем, что треугольники ABC и PQR равны. 113 Правообладатель Народная асвета C(R) Рис. 180 Наложим треугольник PQR на треугольник ABC так, чтобы совпали их равные углы P и A (рис. 180). Поскольку отрезки PQ и AB равны, то точка Q наложится на точку B, а поскольку отрезки PR и AC равны, то точка R наложится на точку C. В результате при наложении все вершины треугольника PQR совместятся с вершинами треугольника ABC. Треугольники PQR и ABC полностью совпали. Значит, они равны. Если длины сторон треугольника и градусную меру угла взять другими, то рассуждения от этого не изменятся. Поэтому справедлива следующая теорема. Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Из этого следует, что для задания треугольника достаточно задать две его стороны и угол, лежащий между ними. 1. Какие фигуры называются равными? 2. Почему для задания окружности достаточно указать ее радиус? 114 Правообладатель Народная асвета 3. Какой треугольник называют прямоугольным? 4. Как называют стороны прямоугольного треугольника? 5. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по катетам. 6. Как построить треугольник по двум его сторонам и углу между ними? 7. Сформулируйте признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. 263. Будут ли: а) равными прямоугольные треугольники, у которых катеты соответственно равны; б) соответственно равными катеты в равных прямоугольных треугольниках; в) равными прямоугольники, у которых измерения одинаковы; г) одинаковыми измерения в равных прямоугольниках? 264. Используя рисунок 181, назовите: а) остроугольные треугольники; а б) тупоугольные треугольники; в) прямоугольные треугольники; г) гипотенузы прямоугольных треугольников; д) катеты прямоугольных треугольников. 265. Постройте: а) отрезок длиной 43 мм; б) угол с градусной мерой в 67°; в) прямой угол; г) окружность с радиусом 45 мм; д) круг с радиусом 32 мм; е) прямоугольный треугольник с катетами 56 мм и 71 мм; ж) прямоугольник с измерениями 35 мм и 69 мм; з) квадрат со стороной 38 мм. 115 Правообладатель Народная асвета Е Рис. 182 D 266. С помощью циркуля на рисунке 182 найдите равные отрезки. Сколько отрезков разной длины на этом рисунке? Измерьте их и нарисуйте прямоугольник с такими измерениями. 267. Как с помощью циркуля сравнить два отрезка? Постройте отрезки, равные отрезкам BC и ED (см. рис. 182). Для откладывания отрезков используйте циркуль. 268. Постройте угол A, равный 110°. На одной из его сторон отметьте точку B. Постройте луч с началом в точке B так, чтобы он образовывал с лучом BA угол в 35° и пересекал другую сторону угла A в определенной точке C. Измерьте стороны построенного треугольника ABC. Какой это треугольник? Запишите величины его углов. 269. Постройте угол K, равный 55°. На одной из его сторон отметьте точку L. Постройте луч с началом в точке L так, чтобы он образовывал с лучом LK угол в 65° и пересекал другую сторону угла K в определенной точке M. Измерьте стороны построенного треугольника KLM. Какой это треугольник? Запишите величины его углов. 270. Постройте прямоугольник, найдите его периметр и площадь, учитывая, что измерения прямоугольника равны: а) 40 мм и 60 мм; в) 5 мм и 3 см 4 мм; б) 6,7 см и 2,1 см; г) 3 см 6 мм и 3 см 6 мм. 271. Катет прямоугольного треугольника равен 35 мм, его периметр — 84 мм, а гипотенуза — 37 мм. Найдите второй катет. Постройте этот треугольник. 272. Диагонали четырехугольника точкой пересечения разделились пополам. Докажите, что диа-116 Правообладатель Народная асвета D E гонали разбили четырехугольник на две пары равных треугольников. 273. На рисунке 183 равные отрезки и углы отмечены одинаково. Равенство каких треугольников на этом рисунке можно обосновать? 274. На стороне CF квадрата CDEF выбраны точки G и Н так, что отрезки CG и FH равны. Эти точки соединены соответственно с точками D и E (рис. 184). Найдите: а) периметр четырехугольника DEHG, учитывая, что катеты треугольника CDG равны 48 мм и 20 мм, а гипотенуза треугольника FEH равна 52 мм; б) углы четырехугольника DEHG, учитывая, что Z FEH = 23°. 275. Диагонали MN и PQ четырехугольника MPNQ оказались перпендикулярными, и каждая из них точкой пересечения O разделилась пополам (рис. 185). Докажите, что у этого четырехугольника все стороны равны. 276. Постройте равнобедренный треугольник PQR с основанием PR, учитывая, что: а) PQ = 16 мм; Z Q = 170 °; б) PQ = 65 мм; Z R = 50°; в) PQ = 24 мм; Z P = 20°; г) PQ = 8,2 см; Z P = 90°. 117 Правообладатель Народная асвета Рис. 186 К М 277. Постройте треугольник, у которого одна сторона равна 72 мм, другая — 56 мм, а угол между ними равен 145°. Измерьте третью сторону. Измерьте больший из неуказанных углов. Найдите вычислением третий угол. Проверьте вычисления измерением. 278. Постройте треугольник со сторонами 56 мм и 72 мм и углом 145°. Сколько решений имеет задача? 279. На рисунке 186 стороны KL и KM треугольника KLM соответственно равны сторонам SQ и SR треугольника SQR. Угол K равен 80°, а величины углов Q, R, S относятся как 2 : 3 : 4. Докажите, что: LM = QR; Z L = Z Q; Z M = Z R. 280. Прямые AB и CD пересекаются в точке O (рис. 187), от которой на прямой AB отложены равные отрезки OA и OB, а на прямой CD — равные отрезки OC и OD. Докажите, что: а) AD = BC; в) Z ODA = Z OCB. б) Z OAD = Z OBC; 281. Треугольник LMN — равносторонний. На его сторонах от вершин углов в направлении по часовой стрелке отложены равные отрезки LP, MO и NQ, и точки P, O, Q соединены отрезками (рис. 188). Докажите, что треугольник OPQ также равносторонний. 118 Правообладатель Народная асвета м 282. Вычислите: а)12^3: 6; в) -4,6 • (-1,5); д) 3,27 ■ 4 + 4,73 ■ 5; б)7^9.6; г) -6,3 : 1,5; е) 4,39 • 19 - 6,39 • 20. 283. Представьте произведением выражение: а) 6а + 2; в) 4т + 5m; д) 7t + 5 + 8t; б) -3х + 12; г) 3у - 8y; е) 4z - 21 - 18z. 284. Вынесите общий множитель за скобки: а) k + k2; г) 3Ь3 + 9b2; ж) 12х - 8у + 16xy; б) а3 - а2; д) 6 - 9^2; з) 6а3Ь + 24а3Ь3 + 6а2Ь2; в) 21 - 2l2; е) 5v -10vw; и) 11kl2 + 22kl + 11kl2. 285. Решите уравнение: а) 5,9у - (3,5 - 2,1у) = 10,2 + (7,3 - 6у); б) 0,9v - 3,3 = (5,3v + 7,1) - (7,2v - 4,3); в) (I а -1) - (31 - 23 а) = 31 а - 42; г) 13 ■ (6 - 0,6x) - (1^5 + 1,2x) • 2 = 2,2x - 1l3. 286. Удвоенный процент территории Ганцевич-ского района, занятой сельскохозяйственными угодьями, на 0,6 % больше процента территории, занятой лесами. Какой процент территории Ганце-вичского района занят лесами и какой сельско- 119 Правообладатель Народная асвета хозяйственными угодьями, если другие земли составляют 20,2 % территории района? Постройте соответствующую круговую диаграмму. 287. Используя сведения из предыдущей задачи, найдите с точностью до тысяч гектаров площади сельскохозяйственных угодий и лесов Ганцевичско-го района, если другие земли занимают 343,4 км2. 288. По Ганцевичскому району протекают притоки Припяти — Лань, Цна, Бобрик. Лань длиннее Цны на 21 км и длиннее Бобрика на 38 км. Найдите длины этих рек, учитывая, что 6 длин Лани равны 7 длинам Цны. 289. Токарь изготовил 96 деталей, а его ученик — 16 деталей. Найдите производительности труда токаря и ученика в отдельности, учитывая, что время работы токаря было в два раза большим, а вместе токарь и ученик за час изготавливают 16 деталей. 290. У одного хозяина вместе 19 кур и коз, у которых 86 ног. Сколько у него кур и сколько коз? 291. Барань и Копысь — населенные пункты в Оршанском районе. В них вместе проживает 12,9 тыс. жителей. Сколько жителей в Барани и Копыси в отдельности, если население Барани составляет 1512,5 % населения Копыси? 292. В книжный магазин привезли книги двух авторов: 5 упаковок книг первого автора и 7 упаковок второго. Всего привезли 220 книг обоих авторов. Учитывая, что количества книг первого и второго авторов в упаковке относятся как 4 : 5, найдите по отдельности количества книг первого и второго авторов. 293. В книжный магазин привезли книги двух авторов: в упаковке книг первого автора — 8 книг, а второго — 12 книг. Всего привезли 288 книг обоих авторов. Учитывая, что количества упаковок 120 Правообладатель Народная асвета книг первого и второго авторов относятся как 3 ^ 4, найдите по отдельности количества книг первого и второго авторов. * * * 294. После велосипедной гонки, в которой участвовало пятеро школьников, пятеро зрителей обсуждали ее результаты. Первый сказал: «Сергей был вторым, а Андрей третьим». Второй сказал: «Третьим был Петя, а последним Толя». Третий сказал: «Нет, Толя выиграл гонку, а Петя был вторым». Четвертый сказал: «Вторым был Сергей, а четвертым Иван». Пятый сказал: «Правильно, Иван был четвертым, но первым был Андрей». Найдите правильное распределение мест, зная, что каждый из зрителей один раз сказал правду и один раз ошибся. 295. Два колокола начали и закончили бить одновременно. Удары первого происходили через 2 с, а второго — через 3 с. Всего было слышно 13 ударов (совпавшие удары воспринимались как один). Сколько времени прошло между первым и последним ударами? 296. Число оканчивается цифрой 2. Если переставить эту цифру с конца в начало, то число удвоится. Найдите наименьшее число с таким свойством. 9. Равные треугольники А) С треугольником связывается ряд других понятий. Прежде всего это его стороны и его углы. Введем в рассмотрение еще три понятия. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой треугольника. Правообладатель Народная асвета Рис. 189 На рисунке 189 показана медиана СС1, проведенная к стороне AB треугольника АВС. На рисунке 190 построена биссектриса угла P треугольника PQR. Она пересекает противолежащую сторону треугольника в точке P1. Отрезок биссектрисы угла, ограниченный вершиной угла и точкой пересечения биссектрисы с противолежащей стороной треугольника, называется биссектрисой треугольника. На рисунке 190 луч PP1 — биссектриса угла QPR, а отрезок PP1 — биссектриса треугольника QPR. На рисунках 191 и 192 показаны прямые MM1 и TT1, проходящие через одну из вершин треугольника перпендикулярно прямой, содержащей противолежащую сторону. Отрезок такой прямой, ограни- Рис. 191 122 Правообладатель Народная асвета ченныи вершиной треугольника и точкой пересечения с противолежащей стороной или ее продолжением, называется высотой треугольника. Сторона треугольника, к которой проведена высота, называется основанием треугольника. Точку медианы, биссектрисы, высоты треугольника, принадлежащую стороне треугольника или ее продолжению, называют основанием медианы, биссектрисы, высоты соответственно. У каждого треугольника есть три медианы, три биссектрисы, три высоты. Стороны, углы, биссектрисы, медианы, высоты треугольника — все это элементы треугольника. Мы называем фигуры равными, если они совмещаются при наложении. У равных фигур равны все соответствующие элементы. Важным представляется и обратный вопрос о том, что достаточно знать о двух фигурах, чтобы быть уверенными, что эти фигуры равны. Два отрезка равны, если их длины равны; два угла равны, если равны их градусные меры. Зададимся вопросом о том, равенство каких соответствующих элементов двух треугольников приводит к равенству треугольников, а значит, и равенству их других соответствующих элементов. В предыдущем параграфе мы доказали, что если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Утверждение этой теоремы 1 называют первым признаком равенства треугольников. Б) Теорема 2. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 123 Правообладатель Народная асвета Доказательство. Пусть построено два треугольника PQR (рис. 193) и (рис. 194), у ко- торых PQ = P1Q1; Z QPR = Z Q1P1R1; Z PQR = Z P1Q1R1. Тогда можно так наложить треугольник PQR на треугольник P1Q1R1, чтобы сторона PQ совпала с равной ей стороной P1Q1, угол QPR совпал с равным ему углом Q1P1R1, а угол PQR — с равным ему углом P1Q1R1. Точка R принадлежит лучам PR и QR, которые наложились на лучи P1R1 и Q1R1. Значит, точка R окажется и на луче P1R1, и на луче Q1R1, т. е. совпадет с единственной общей точкой R1 этих лучей. Поскольку у треугольников PQR и P1Q1R1 совпадут все три вершины, то они совпадут целиком. Это означает, что APQR = AP1Q1R1. Утверждение теоремы 2 называют вторым признаком равенства треугольников. 1. Какой отрезок называют медианой треугольника; биссектрисой треугольника; высотой треугольника? 2. Сформулируйте первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 3. Сформулируйте второй признак равенства треугольников (по стороне и прилежащим углам). 297. На рисунке 195 показаны четыре луча, выходящие из точки O, причем ZAOB = Z COD. На них выбраны точки A, B, C, D так, что OA = OD и OB = OC. Назовите пары равных треугольников с вершинами в точках A, B, C, D. 124 Правообладатель Народная асвета в 298. Диагональ четырехугольника образует с противоположными сторонами равные углы (рис. 196). Докажите, что противоположные углы четырехугольника попарно равны. 299. На рисунке 197 равные углы отмечены одинаково. Равенство каких треугольников на этом рисунке можно обосновать? Можно ли доказать, что треугольник BDE прямоугольный? 300. От точки M пересечения двух прямых на одной из них отложили два равных отрезка MR и MS, на другой — равные отрезки MU и MV. Докажите, что отрезки RV и US также равны. 301. DD1 — медиана треугольника CDE. На луче DD1 отложен отрезок D1F, равный отрезку D1D (рис. 198). Докажите, что CF = DE и EF = DC. 302. Докажите, что диагонали квадрата равны и перпендикулярны. Правообладатель Народная асвета 303. Начертите в тетради произвольный треугольник. Постройте треугольник, равный начерченному. Какие способы такого построения вы можете предложить? 304. Начертите в тетради произвольный угол. Постройте угол, равный начерченному. Какие способы такого построения вы можете предложить? 305. Постройте точки и Е^, симметричные точкам Л и Е относительно некоторой прямой. Докажите, что: а) АЛ^.Е = АЛ^.Е,; б) АЛЕЕ, = АЛ.ЕЕ,. 306. Для измерения на местности расстояния от точки M до точки N, между которыми нельзя пройти (рис. 199), выбирают точку Л, из которой видны обе точки M и N. Провешивают отрезки МЛ и NЛ и продолжают их за точку Л так, что ЛМ, = ЛМ и ЛN1 = ЛN. Измеряют расстояние M1N1 и принимают его за искомое расстояние между точками M и N. Почему так можно делать? 307. Для измерения на местности расстояния между двумя точками Л и Е, одна из которых недоступна, провешивают направление луча ЛЕ до некоторой точки C (рис. 200). Выбирают точку K, из которой видна точка Л и можно пройти к точкам Е и C. Провешивают направления лучей ЕК и CK, Правообладатель Народная асвета на которых находят точки L и M так, что KL = KB и KM = KC. Провешивают направление луча ML и на нем находят точку N, которая лежит и на луче AK. Измеряют расстояние LN и принимают его за искомое расстояние между точками A и B. Почему так можно делать? 308. Углы QPR и QRP треугольника PQR равны соответственно 64° и 50°. Из вершины Q провели высоту и медиану и продлили их за сторону PR на расстояния, равные им. Концевые точки S и Т полученных отрезков соединили с вершиной R. Найдите угол SRT. 309. Можно ли утверждать, что если две стороны и угол одного: а) треугольника равны двум сторонам и углу другого, то такие треугольники равны; б) тупоугольного треугольника равны двум сторонам и углу другого тупоугольного треугольника, то такие треугольники равны; в) остроугольного треуголь- р ника равны двум сторонам и углу другого остроугольного треугольника, то такие треугольники равны? 310. На рисунке 201 рав- ны друг другу углы B и C, а также отрезки BM и CN. Докажите, что AB = AC. Рис. 201 311. Запишите в стандартном виде число: а) 576; б) 3001; в) 0,00067; г) 0,1. 312. По карте масштабом 1 : 2 500 000 Василий определил, что расстояние от Минска до Чернигова 127 Правообладатель Народная асвета равно 146 мм, угол между направлениями Минск — Смоленск и Минск — Чернигов равен 71°, а между направлениями Чернигов — Смоленск и Чернигов — Минск равен 48° (рис. 202). Постройте план взаимного расположения названных городов и по нему определите реальные расстояния от Смоленска до Минска и от Смоленска до Чернигова. 313. Один поезд вышел из Бреста в Брянск (рис. 203) со скоростью 53 км/ч, другой на час позже из Брянска в Брест со скоростью v. Поезда встретились через t ч после выхода первого поезда. Выразите: а) v через t; б) t через v. Рис. 203 314. При вычитании десятичных дробей в уменьшаемом ошибочно поставили десятичную запятую на один знак левее, чем нужно, и вместо разности 3,7 получили 13,15. Найдите правильные уменьшаемое и вычитаемое. 315. Когда перед двузначным числом написали цифру 3, то получилось трехзначное число, большее исходного двузначного в 4 раза и еще на 39. Найдите исходное число. 128 Правообладатель Народная асвета 316. Из Браслава и Людвиново (рис. 204) навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста и встретились через 2,5 ч между Шар-ковщиной и Германовичами в 1 км от Шарковщи-ны. Найдите скорости велосипедистов и расстояние между Шарковщиной и Германовичами, учитывая, что скорость людвиновского велосипедиста составляла 7 скорости браславского. 317. Волга, Урал, Кура — крупнейшие реки, впадающие в Каспийское море. Длина Волги такова, что она на 562 км меньше утроенной длины Куры, на 38 км больше удвоенной длины Урала, уменьшенной на длину Куры. Найдите длины этих рек, учитывая, что Урал длиннее Куры на 1064 км. 318. По рисунку 205, на котором представлены соотношения между площадями водосборов Волги, Урала, Куры, составьте задачу и решите ее. 7 44 тыс. км^ Кура '—I Волга Урал 205 ты<;. км^ I----------------------------------1 Урал Урал ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 898 тыс. км2 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________J Рис. 205 129 Правообладатель Народная асвета 319. Объем воды Каспийского моря составляет 78 тыс. км3. Определите, сколько процентов этого объема составляет годовой сток каждой из рек — Волги, Урала, Куры, учитывая, что среднегодовой сток Волги равен 7140 м3/с, Урала — 225 м3/с, Куры — 270 м3/с. 320. Отец с сыном ведрами носили воду, причем ведро отца вмещало на 5 л воды больше, чем ведро сына. Отец принес ведер в 3 раза больше сына. Найдите, сколько ведер принесли отец и сын в отдельности, учитывая, что отец заполнил бочку вместимостью 210 л, а сын — кадку, вмещающую 35 л. 321. С первого поля урожайностью 30 ц/га собрали на 180 ц ячменя больше, чем со второго урожайностью 33 ц/га. Учитывая, что площади первого и второго полей относятся как 7 : 5, найдите, сколько ячменя собрали с каждого поля. 322. С первого поля площадью 24 га собрали на 170 ц ячменя больше, чем со второго площадью 22 га. Учитывая, что урожайности первого и второго полей относятся как 6 ^ 5, найдите, сколько ячменя собрали с каждого поля. * * * 323. Найдите трехзначное и четырехзначное числа, учитывая, что их сумма равна 1576, а сумма обращенных чисел равна 4375. 324. Найдите два таких числа, сумма, произведение и частное которых равны между собой. 325. Найдите наименьшее натуральное число, сумма цифр которого в два раза больше суммы цифр утроенного числа. 130 Правообладатель Народная асвета 10. Равнобедренный треугольник А) Треугольник, у которого имеются равные стороны, называется равнобедренным. Каждая из равных сторон равнобедренного треугольника называется боковой стороной, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника (рис. 206). Треугольник, в котором все стороны равны, называют равносторонним (рис. 207). Теорема 3. Если треугольник является равнобедренным, то: а) углы при его основании равны; б) его биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают. Доказательство. Пусть треугольник NMO равнобедренный: MN = NO (рис. 208). Построим его биссектрису NNi. У треугольников MNN^ и ONN{. Z MNN^ = Z ONN^, поскольку NN^ — биссектриса; MN = NO по условию; NN^ — общая сторона. В соответствии с первым признаком равенства треугольников заключаем, что А MNN^ = А ONN^. Это означает, что в треугольниках равны все соответствующие элементы. Поэтому Z NMN^ = Z NON^. Поскольку MN^ = N^O, то NN^ — медиана. Поскольку Z MN^N = Z ON^N, а вместе эти углы составляют развернутый угол, то каждый из них равен 90°. Значит, NNi — высота. Основание Рис. 206 131 Правообладатель Народная асвета Мы доказали, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его медианой и высотой. А поскольку к основанию можно провести только одну биссектрису, одну медиану и одну высоту, то медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой, как и высота является биссектрисой и медианой. Следствие. Углы равностороннего треугольника равны друг другу и равны 60° каждый. Пусть треугольник KLM является равносторонним (рис. 209). Если рассматривать его как равнобедренный треугольник с основанием KL, то Z K = Z L, а если как равнобедренный треугольник с основанием LM, то Z L = Z M. Значит, Z K = Z L = Z M. Учитывая, что Z K + Z L + Z M = 180°, получаем, что каждый из них равен 60°. Б) Теорема 4. Если в треугольнике два угла равны,, то такой треугольник является равнобедренным. Доказательство. Пусть углы E и G треугольника EFG равны (рис. 210). Сделаем копию треугольника EFG и перевернем ее, получим треугольник GFE (рис. 211). Наложим треугольник GFE на треугольник EFG. Тогда сторона GE наложится на сторону EG, а лучи GF и EF треугольника GFE наложатся соответственно на лучи EF и GF треугольника EFG. Значит, общая точка лучей GF и EF совпадет с общей М Рис. 209 G 132 Правообладатель Народная асвета точкой лучей EF и GF, и треугольники EFG и GFE совместятся целиком. Поэтому EF = GF, т. е. треугольник EFG равнобедренный с основанием GE. В) Теорема 5. Если в треугольнике медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным. Рис. 212 Доказательство. Пусть отрезок LL1 является медианой и высотой треугольника KLM (рис. 212). Тогда KL^ = ML1, а Z KL,L = Z ML,L = 90°. Учитывая, что отрезок LL1 — общая сторона треугольников KL1L и ML1L, по первому признаку равенства треугольников получаем, что А KL1L = А ML1L. Поэтому KL = LM. Г) Теорема 6. Если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным. Доказательство. Пусть отрезок OO1 является биссектрисой и высотой треугольника NOP (рис. 213). Тогда Z NOO, = ZPOO,, а Z NO,O = = ZPO1O = 90°. Учитывая, что отрезок OO1 является общей стороной треугольников NO1O и PO1O, по второму признаку равенства треугольников получаем, что А NO1O = А PO1O. Рис. 213 Поэтому NO = PO. Д) Теорема 7. Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник является равнобедренным. 133 Правообладатель Народная асвета -S' Доказательство. Пусть от- резок SS^ является медианой и биссектрисой треугольника RST (рис. 214). На луче SS1 за точку S1 отложим отрезок S1U, равный медиане SS1. Точку U соединим с точкой R. Стороны SS1 и S1T треугольника SS1T соответственно равны сторонам US1 и S1R треугольника US1R, равны и углы SS1T и US1R этих треугольников как вертикальные. По первому признаку равенства треугольников получим, что ASS1T = AUS1R. Поэтому ST = UR и Z TSS1 = Z RUS1. Поскольку по условию отрезок SS1 является биссектрисой, то Z RSS1 = Z TSS1. Значит, Z RSS1 = Z RUS1. С учетом первой части теоремы получаем, что UR = RS. А поскольку уже доказано, что ST = UR, то RS = ST. 1. Какой треугольник называют равнобедренным? Какую сторону равнобедренного треугольника называют боковой стороной; основанием? 2. Какой треугольник называют равносторонним? 3. Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника. 4. Сформулируйте свойства равностороннего треугольника. 5. Сформулируйте признаки равнобедренного треугольника. 326. Постройте равнобедренный треугольник: а) с основанием в 55 мм и углом при основании в 45°; б) с основанием в 50 мм и углом против основания в 50°; в) с боковой стороной в 45 мм и углом против основания в 110°; г) с боковой стороной в 40 мм и углом при основании в 70°. 327. На боковой стороне равнобедренного треугольника построен равносторонний треугольник, периметр которого равен 60 см. Найдите основание равнобедренного треугольника, учитывая, что его периметр равен 55 см. 134 Правообладатель Народная асвета 328. Стороны TS и TU треугольника STU равны. На этих сторонах выбраны такие точки A и B, что TA = TB (рис. 215). Докажите, что диагонали четырехугольника SABU равны. 329. На плоскости выбраны четыре точки P, X, Y, Z так, что PX = PY = PZ и Z XPY = 80°; Z YPZ = 150°; Z ZPX = = 130°. Найдите углы треугольника XYZ (рис. 216). Дано :PX = PY = PZ,A XPY = 80°, AYPZ = 150°, А ZPX =130°. Найти: AYXZ, AXYZ, AYZX. Решение. 8(f + 15(f + 13(f=360°—полный угол, поэтому такое расположение точекР,Х, У, Z возможно. Z А XPY — равнобедренный с основанием XY, nosTOMyZPXY =APYX = (180° - 80°): 2 = 50°. Также APYZ = APZY = (180° - 150°): 2 = 15° и APXZ = APZX = (180° - 130°): 2 = 25°. Поэтому: AYXZ =Z PXY +APXZ = 50° -b 25° = 75°; AXYZ =Z PYX +A PYZ = 50° -Ы5° = 65°; AYZX=APZY + APZX = 15° -H 25° = 40°. Ответ: 75°, 65°, 40°. Рис. 216 330. Докажите, что в равнобедренном треугольнике: а) биссектрисы углов при основании равны; б) медианы, проведенные к боковым сторонам, равны; в) высоты, опущенные на боковые стороны, равны. 135 Правообладатель Народная асвета 331. Стороны KL и KM треугольника KLM соответственно равны 14 и 15. На стороне KL выбрана такая точка A, что KA ■ AL = 3 : 4, а на стороне KM — такая точка B, что KB ■ BM = 2 ■ 3. Определите, в каком отношении биссектриса угла K делит отрезок AB. 332. В треугольнике ABC (рис. 217) построена биссектриса BB1. Из точки B проведен луч BD так, что Z B1BD = Z BB1C, а точка D выбрана так, что BD = B1C. Отрезок DB1 пересекает отрезок AB в точке E. Докажите, что BE = B1E. 333. На боковых сторонах PQ и RQ равнобедренного треугольника построены равносторонние треугольники PAQ и RBQ (рис. 218). Точки A и B соединены с серединой S основания PR. Докажите, что: а) AS = BS; D б) AK = BL. В Рис. 218 334. На сторонах XY, YZ, ZX равностороннего треугольника выбраны соответственно точки A, B, C так, что XA = YB = ZC. Докажите, что прямые XB, YC, ZA при пересечении образуют равносторонний треугольник. 335. Найдите угол между медианами равностороннего треугольника. 336. Докажите, что если в прямоугольном треугольнике: а) катет лежит против угла в 30°, то он равен половине гипотенузы; 136 Правообладатель Народная асвета б) катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°. 337. На продолжении стороны AC за точку A выбрана точка M так, что AM = AB, а на продолжении за точку C выбрана точка N так, что CN = CB. Найдите углы треугольника MBN, учитывая, что: а) Z BAC = 40°; Z BCA = 60° (рис. 219); б) Z BAC = а; Z BCA = р. 338. На сторонах угла A величиной в 20° отмечены точки B1, B2, B3, B4, Bg так, что AB1 = B1B2 = B2B3 = = B3B4 = B4Bg (рис. 220). Найдите углы треугольника: а) AB4Bg; б) B1B4Bg. 339. Докажите, что диагонали четырехугольника с равными сторонами перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. 340. Докажите, что в равнобедренном треугольнике: а) три его медианы пересекаются в одной точке; б) три его биссектрисы пересекаются в одной точке; 137 Правообладатель Народная асвета в) три его высоты или прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке. 341. Есть два равнобедренных треугольника с равными боковыми сторонами. Можно ли расположить их так, чтобы один из них был внутри другого? 342. Постройте треугольник по координатам его вершин P(-1; 3), R(-1; -3), S(7; -3). Найдите координаты: а) точек A и B, в которых сторона PS пересекает оси координат; б) точек C и D, в которых стороны SR и RP пересекают оси координат. Как можно записать координаты произвольной точки прямой SR; RP? 343. Постройте биссектрисы углов P, R, S треугольника, построенного при выполнении упражнения 342. Точки, в которых они пересекают стороны RS, PS, PR, обозначьте E, F, G соответственно. Найдите координаты: а) точек E, F, G и точки I пересечения биссектрис; б) точек H, K, в которых биссектриса PE пересекает оси координат; в) точек L, M, в которых биссектриса RF пересекает оси координат; г) точек N, Q, в которых биссектриса SG пересекает оси координат. 344. Используя треугольник, построенный при выполнении упражнения 343, и измерив нужные отрезки, найдите с точностью до сотых и сравните отношения: а) SE и PS- RE PR б) и ; ' PF RP в) PG и SP, ^ RG SR 138 Правообладатель Народная асвета 345. Свирь, Волхов, Ву-окса, Сясь — крупнейшие реки, впадающие в Ладожское озеро — самое большое в Европе (рис. 221). Длина Вуоксы такова, что она на 68 км меньше длины Волхова, ее тридцать девятая доля равна пятьдесят шестой доле длины Свири, а третья доля — пятой доле длины Сяси. Найдите длины этих рек, учитывая, что шестьдесят пятая доля длины Сяси равна пятьдесят шестой доле длины Волхова. 346. На схеме, изображенной на рисунке 222, показаны соотношения между площадями водосборов Свири, Волхова, Вуоксы, Сяси. Составьте задачу и решите ее. Рис. 221 131 —»— 211 —•— Вуокса (Ьясь Свирь 40,87 тыс. км2 4,2 тыс. км2 77,07 тыс. км2 Сясь г - Волхов Вуокса Рис. 222 347. На схеме, изображенной на рисунке 223, показаны соотношения между среднегодовыми расходами воды в устьях Свири, Волхова, Вуоксы, Сяси. Составьте задачу и решите ее. 139 Правообладатель Народная асвета 17,9 183 200 Сясь 546,3 м^с Волхов , Вуокса 69 ' 61 Г 1Свирь 1 Рис. 223 348. Масса 90 столовых и чайных ложек равна 2150 г. Определите, сколько было столовых и чайных ложек в отдельности, учитывая, что массы столовой и чайной ложки равны соответственно 55 г и 15 г. 349. На склад привезли 90 коробок с конфетами двух производителей. У первого производителя в коробке 30 конфет, а у второго — 20 конфет. Учитывая, что количества конфет первого и второго производителей относятся как 6 ^ 5, найдите количество конфет каждого производителя. 350. На склад привезли коробки с конфетами двух производителей: первого производителя — 40 коробок, а второго — 20 коробок, причем суммарное количество конфет в одной коробке у первого и второго производителей равно 40. Учитывая, что количества конфет первого и второго производителей относятся как 4 : 3, найдите количество конфет каждого производителя. * * * 351. Найдите все натуральные значения перемен- „ a +11 ной а, при которых значение выражения------ явля- a - 9 ется целым числом. 352. Найдите все наборы (п, z, r) из натурального числа п, целого отрицательного числа z и рационального числа г, удовлетворяющие равенству 3п - 2z = r, если -5п + z = -11. 140 Правообладатель Народная асвета 353. На бумажном листе записано несколько двузначных чисел. «Интересно, использовано не так много цифр, — заметил Богдан, — а выписанные числа при делении на 8 дают все возможные остатки». Какое наименьшее количество цифр могло быть использовано? 11. Свойства и признаки А) Вы неоднократно встречали в учебном пособии слова свойство и признак. Мы говорили о переместительном и сочетательном свойствах сложения и умножения, о распределительном свойстве умножения относительно сложения, о свойстве сторон прямоугольника, квадрата, о свойстве углов равнобедренного треугольника. Свойство — это утверждение о данном предмете или явлении. Например, утверждение Если треугольник равнобедренный, то его биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают выражает свойство равнобедренного треугольника. Мы говорили также о признаках делимости на 2, на 5, на 3, на 9, о признаке правильной пропорции, о признаках равнобедренного треугольника. Признаком называют такое утверждение, которое позволяет охарактеризовать сам предмет. Например, утверждение Отрезок LL^ является высотой и биссектрисой треугольника KLM — это признак равнобедренного треугольника (рис. 224), поскольку его истинность гарантирует истинность утверждения Треугольник KLM является равнобедренным 141 Правообладатель Народная асвета с основанием KM. Утверждение Сумма цифр числа n делится на 3 является признаком делимости числа n на 3, поскольку истинность названного утверждения позволяет утверждать, что является истинным и утверждение Число n делится на 3. Б) В геометрии важную роль играют признаки равенства треугольников. В параграфе 9 мы рассмотрели два таких признака. Есть и другие признаки равенства треугольников. Задача 1. Построить треугольник по его сторонам AB = 60 мм, BC = 30 мм, AC = 45 мм (рис. 225). Строим отрезок AB длиной 60 мм. С центрами в концах A и B этого отрезка проводим две дуги радиусами 30 мм и 45 мм так, чтобы они пересеклись в некоторой точке C (рис. 226). Тогда длина отрезка AC равна 45 мм, а длина отрезка BC — 30 мм. Треугольник ABC — искомый. Теорема 8. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны. Доказательство. Пусть построены два треугольника QRS (рис. 227) и (рис. 228), у ко- торых QR = QiRi, RS = R^S^, SQ = S1Q1. Докажем, что эти треугольники равны. Приложим треугольник Q^R^S^ к треугольнику QRS так, чтобы равные стороны SQ и S^Q^ совместились. Тогда треугольник Q^R^S^ займет положение треугольника QR2S (рис. 229), причем QR2 = Q^R^ и SR2 = S^R^. 142 Правообладатель Народная асвета s Треугольники RQR2 и RSR2 являются равнобедренными, поэтому Z QRR2 = Z QR2R и Z SRR2 = = Z SR2R. Значит, равны и углы QRS и QR2S. Теперь, в соответствии с первым признаком равенства треугольников можно утверждать, что треугольники QRS и QR2S равны. Значит, равны и треугольники QRS и Q^R^S^. Утверждение теоремы 8 называют третьим признаком равенства треугольников. Из третьего признака следует, что если заданы три стороны треугольника, то этим целиком определена его форма, которая не может быть изменена. Это свойство треугольника называется жесткостью. Оно находит различные применения. На рисунке 230 показано фиксирование положения раскрытого окна, на рисунке 231 — фиксирование некоторого положения лестницы. Рисунок 232 показывает, как предупреждают перекашивание калитки. Рис. 230 Рис. 232 143 Правообладатель Народная асвета В) Задача 2. Построим треугольник по двум сторонам длинами 40 мм и 36 мм и медиане длиной 24 мм. Возможны три разных случая связи данной медианы с данными сторонами: медиана проведена к стороне длиной 40 мм (рис. 233); медиана проведена к стороне длиной 36 мм (рис. 234); медиана проведена к третьей стороне (рис. 235). Треугольник ABC с медианой, проведенной к стороне длиной 40 мм, можно построить так. Строим треугольник ACC^ со сторонами AC^ = 20 мм, AC = 36 мм, CC^ = 24 мм (рис. 236). На луче AC^ за точку C^ отложим отрезок C^B, равный отрезку AC^. Соединим точки B и C отрезком. Треугольник ABC является искомым, поскольку в нем AB = 40 мм, AC = 36 мм и к стороне AB проведена медиана CC^ длиной 24 мм. Треугольник MNP с медианой, проведенной к стороне длиной 36 мм, строится аналогично (рис. 237). 144 Правообладатель Народная асвета Рис. 238 _ 40 _ Рис. 237 S' Путь к построению треугольника QRS с медианой, проведенной к третьей стороне, можно найти так. На луче QQ^ за точку Q! отложим отрезок Q^T, равный отрезку QQ^ (рис. 238). Треугольники SQ^Q и RQ^T равны по первому признаку равенства треугольников. Поэтому RT = QS, и треугольник QRT можно построить по трем сторонам QR = 40 мм, RT = 36 мм, QT = 48 мм. После этого на луче RQi, где Q1 — середина отрезка QT, за точку Q1 отложим отрезок Q1S, равный отрезку RQ1. Треугольник QRS является искомым, поскольку в нем QR = 40 мм, QS = 36 мм, QQ1 = 24 мм и QQ1 — медиана, проведенная к третьей стороне RS. Г) Из самого процесса построения понятно, что в любом из случаев треугольник по двум сторонам и медиане строится однозначно. Поэтому можно сформулировать признаки равенства треугольников. Если две стороны и медиана, проведенная к одной из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к соответствующей стороне, другого, то такие треугольники равны. Если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне, другого, то такие треугольники равны. 145 Правообладатель Народная асвета Мы видим, что во всех установленных признаках равенства треугольников используются три элемента. Объясняется это тем, что треугольник обычно определяется заданием трех его элементов, хотя бы один из которых является отрезком. Если эти три элемента задают один треугольник, то выполняется и соответствующий признак равенства треугольников. ' о !• Какие свойства равнобедренного треугольника вы може-^ • те сформулировать? 2. Какие признаки равнобедренного треугольника вы можете сформулировать? 3. Сформулируйте первый признак равенства треугольников. 4. Сформулируйте второй признак равенства треугольников. 5. Сформулируйте третий признак равенства треугольников. 6. Какие еще признаки равенства треугольников вы можете сформулировать? 354. Докажите, что если две стороны и медиана, проведенная к: а) одной из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к соответствующей стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны; б) третьей стороне, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны. 355. Стороны AB и AD четырехугольника ABCD соответственно равны сторонам CD и CB (рис. 239). Докажите, что углы A и C равны. 356. Стороны MN и NO четырехугольника MNOP соответственно равны сторонам MP и PO (рис. 240), 146 Правообладатель Народная асвета N R S Рис. 241 Рис. 242 а углы M и N соответственно равны 70° и 25°. Найдите углы P и O. 357. В четырехугольнике QRST равны стороны QR и TS и диагонали QS и TR (рис. 241). Докажите, что: а) Z RQT = Z STQ; в) Z SQT = Z RTQ; б) Z QRS = Z TSR; г) Z QRT = Z TSQ. 358. Стороны KL и MN, а также KN и LM четырехугольника KLMN попарно равны, а отрезки KK1 и MM1 перпендикулярны LN (рис. 242). Докажите, что: а) ALKK1 = ANMM1; б) ALMM1 = ANKK1. 359. Начертите две окружности с центрами O и P, пересекающиеся в точках А и B (рис. 243). Докажите, что прямая OP является серединным перпендикуляром к отрезку-хорде АВ, т. е. что прямая OP 147 Правообладатель Народная асвета проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна ему. 360. Две окружности с центрами A и B имеют общую хорду PQ. Докажите, что центр любой другой окружности с хордой PQ лежит на прямой AB. 361. EE^ и LL^ — биссектрисы треугольников EFG и LMN. При этом EF = LM, EE^ = LL^, FE^ = ML^. Докажите, что треугольники EFG и LMN равны. 362. У двух четырехугольников соответственно равны стороны. Можно ли утверждать, что эти четырехугольники равны? 363. AB — общее основание равнобедренных треугольников MAB и NAB. Отрезки AB и MN пересекаются в точке H. Докажите, что MN является серединным перпендикуляром к AB. 364. Докажите, что если у четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, то диагонали этого четырехугольника точкой пересечения делятся пополам. 365. Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то он равнобедренный. 366. Если из точки O провести лучи OK и OL через концы данного отрезка KL (рис. 244), то образуется угол KOL. Говорят, что отрезок KL виден из точки O под углом KOL. Докажите, что равные хорды одной окружности видны из ее центра под равными углами. 367. Докажите, что середины равных хорд одной окружности равноудалены от центра этой окружности (рис. 245). 148 Правообладатель Народная асвета Дано: АВ и CD — хорды круга с центром О, АВ = CD, РА = РВ, QC = QD. Доказать: ОР = OQ. Доказательство. ОА = OD и ОВ = ОС, так как это радиусы одной окружности; AB=CD по условию. Поэтому Л АОВ = Л О DC по трем сторонам. Z РАО = Z QDO, так как это соответственные углы равных треугольников; РА =^АВ =^CD = QD, ОА = OD. Поэтому Л РАО = А QOD по углу и прилегающим сторонам. ОР = OQ, так как это соответственные стороны равных треугольников. J Рис. 245 368. Стороны QR, RS, QS треугольника QRS соответственно равны 65 мм, 36 мм и 80 мм (рис. 246). Через вершину R перпендикулярно биссектрисе угла Q проведена прямая, которая пересекает сторону QS в точке A. Через точку A перпендикулярно биссектрисе угла S проведена прямая, которая пересекает сторону RS в точке B. Наконец, через точку B перпендикулярно биссектрисе угла R проведена прямая, которая пересекает сторону QR в точке C. Найдите длину отрезка QC. R 369. Стороны LM, MN, LN треугольника LMN равны 42 мм, 48 мм и 54 мм соответственно (рис. 247). На них точки K, P, S выбраны так, 149 Правообладатель Народная асвета м Рис. 247 L N что прямые KP, PS, KS перпендикулярны соответственно биссектрисам углов M, N, L. Найдите, на какие отрезки точки K, P, S делят стороны треугольника. 370. Постройте четырехугольник по его сторонам, равным 35 мм, 40 мм, 45 мм, 50 мм, и углу в 60° между наибольшей и наименьшей сторонами. 371. Является ли признаком равенства четырехугольников утверждение Если все стороны и угол одного четырехугольника равны сторонам и углу между соответствующими сторонами другого, то такие четырехугольники равны? 372. Докажите, что высоты равностороннего треугольника пересекаются под углом в 60°. 373. Треугольники OAB и OMN равны, причем OB = OM = 35 мм, OA = 45 мм, ON = 55 мм. Постройте такие треугольники и найдите AB и MN. 374. На рисунке 248 показана треугольная пирамида APQR. Докажите, что все грани этой пирамиды являются равными треугольниками, если: а) AP = QR, PQ = AR, AQ = PR; б) AP = QR, PQ = AR, Z PAR = ZARQ; в) A^P = QR, ZAPR = Z QAP, Z RAP = ZAPQ; г) Z APR = Z PRQ, ZARP = Z RPQ, ZARQ = Z PAR. 150 Правообладатель Народная асвета Рис. 248 375. На рисунке 249 изображен куб BCDEB^C^D^E^. Точки M, O, S — середины ребер B^E^, EE^ и ED. Точка N делит отрезок D-^E^ в отношении D^N ■ NE^ = 1 : 2, а точка R — отрезок BE в отношении ER '■ RB = 2 '■ 1. Докажите, что треугольники MNO и SRO равны. а) 376. Решите уравнение: 3а + 4 7a - 8 1 + 7a + 5с -1 2с - 2 б ) —г— + 13с + 9 5 6 1^ '27 6 377. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то такие треугольники равны. 378. На рисунке 250 углы А и B треугольника ABC равны соответственно 40° и 120°. Измерьте отрезок AB и сделайте такой рисунок в тетради в масштабе 3 : 1. Измерением найдите высоту CC1 треугольника, проведенную к стороне AB. 379. Для нахождения высоты предмета MN, если непосредственное измерение невозможно, измерили расстояние KL, определили углы между направления- 151 Правообладатель Народная асвета ми из точек K и L на основание N предмета и на его вершину M (рис. 251). Пусть подобными измерениями нашли, что KL = 6 м, Z MKN = 45°, Z MLN = 70 °. Сделав в масштабе 1 ^ 100 подобный рисунок в тетради, измерением найдите высоту предмета. 380. Олень благородный, косуля, лань, лось — млекопитающие семейства оленевых, живущие или жившие на территории нашей страны. Длина тела лани такова, что она относится к длине тела оленя как 16 : 23, к длине тела лося как 8 : 15, к длине тела косули как 32 : 27 и на 5 см меньше разности длин тел лося и косули. Найдите длины тел этих животных. 381. Высота в холке лани такова, что она относится к высоте оленя как 2 : 3, к высоте косули как 20 : 17, а вместе с высотой оленя на 20 см больше высоты лося. Найдите высоты этих животных, учиты- 15 вая, что высота оленя составляет — высоты лося. 23 382. По рисунку 252, на котором показаны соотношения между массами оленя благородного, косули, лани, лося, составьте задачу и решите ее. 383. Ребра прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, таковы, что одно из 152 Правообладатель Народная асвета 6 25 , Лань 1 1 1 1 Лось 1 1 1 1 1 Олень 1 1 1 1 1 , , Олень 1 1 1 , 235 кг 1 1 1 Косу)1я 1 1 ' 7 24 46 Рис. 252 них равно а, второе — на 2 больше, а третье — на 2 больше второго. Найдите длину L всех ребер прямоугольного параллелепипеда. Выразите а через L. 384. Площадь участка, засеянного рожью, на 5 га больше площади участка, засеянного пшеницей. При этом нормы высева ржи и пшеницы на гектар оказались равными 218 кг и 178 кг соответственно. Какова площадь каждого участка, если на то, чтобы их засеять, понадобилось 3 т 70 кг семян? 385. Катя купила карандаши в коробках по 6 штук и фломастеры в коробках по 18 штук, причем количество коробок карандашей на 5 больше количества коробок фломастеров. Учитывая, что количества карандашей и фломастеров относятся как 2 : 3, найдите, сколько Катя купила коробок карандашей и фломастеров. 386. Катя купила 5 коробок карандашей и 6 коробок фломастеров, причем количество карандашей в коробке на 8 штук больше количества фломастеров. Учитывая, что количество карандашей и количество фломастеров относятся как 5 ^ 4, найдите, сколько Катя купила карандашей и сколько фломастеров. 153 Правообладатель Народная асвета * * * 387. Проанализируйте тройки равенств: 12 + 52 = 26; 42 + 102 = 116; 32 + 72 = 58; 52 + 72 = 74; 26 • 58 = 82 + 382; 116 • 74 = 222 + 902; 82 + 122 = 208; 142 + 162 = 452; 208 • 452 = 402 + 3042. Обобщите свои наблюдения, сформулируйте утверждение и попробуйте его обосновать. 388. Докажите, что если при целых значениях переменных a и b значение выражения а2 + 5ab + b2 делится на 7, то значение выражения а2 - b2 также делится на 7. 389. У трех братьев вместе 24 конфеты, причем у каждого на 3 конфеты меньше, чем ему лет. Младший брат предложил: «Я оставлю себе половину своих конфет, а остальные разделю между вами поровну. Хорошо было бы, чтобы и средний брат также оставил себе половину конфет, а остальные разделил поровну между старшим братом и мной, а потом и старший брат так же разделил свои конфеты». Так братья и сделали, после чего конфет у них стало поровну. Какой возраст каждого из братьев? 12. Соотношения между элементами треугольника А) Вы уже знаете некоторые связи между элементами треугольника: если A, B, C — углы треугольника, то ZA + Z B + Z C = 180° (свойство внутренних углов треугольника); если а, b, c — стороны треугольника, то а + b > c, а + c > b и b + c > a (неравенство треугольника). 154 Правообладатель Народная асвета Установим еще ряд соотношений между элементами треугольника. Угол, смежный с углом многоугольника, называется внешним углом многоугольника. На рисунке 253 показаны два внешних угла выпуклого пятиугольника ABCDE. Понятно, что у этого пятиугольника пять пар внешних углов. Теорема 9. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних его углов, не смежных с ним. Доказательство. Пусть угол STA — внешний угол треугольника RST (рис. 254). С одной стороны, Z STR + Z STA = 180 °, с другой — Z STR + (Z TRS + Z RST) = 180 °. Отсюда понятно, что Z STA = Z TRS + Z RST. Б) Мы знаем, что против равных сторон треугольника лежат равные углы, и наоборот, против равных углов лежат равные Рис. 255 стороны (рис. 255). Теорема 10. Против большей стороны треугольника лежит больший угол. Против большего угла треугольника лежит большая сторона. 155 Правообладатель Народная асвета Доказательство. Пусть в треугольнике KLM сторона KL больше стороны LM (рис. 256). Докажем, что угол LMK больше угла MKL. На большей стороне LK выберем точку B такую, что LB = LM (рис. 257). Поскольку угол LMB является частью угла LMK, то Z LMK > Z LMB. Учитывая, что в равнобедренном треугольнике LMB Z LMB = Z LBM, получаем: Z LMK > Z LBM. (1) Но угол LBM как внешний угол треугольника KBM равен сумме углов MKB и BMK, и поэтому Z LBM > Z BKM, или Z LBM > Z LKM. (2) Из (2) и (1) получаем, что Z LMK > Z LKM. Пусть теперь угол LMK больше угла MKL. Докажем, что сторона KL больше стороны LM. Длины сторон KL и LM связаны одним из трех отношений: или KL < LM, или KL = LM, или KL > LM. 156 Правообладатель Народная асвета Если допустить, что KL < LM, то по доказанному получаем, что Z MKL > Z LMK, но это противоречит условию. Если допустить, что KL = LM, то по теореме 5 получаем, что Z MKL = Z LMK. Это также противоречит условию. Остается согласиться с тем, что KL > LM. Таким образом, определенное отношение (=, <, >) между сторонами треугольника влечет за собой такое же отношение между противолежащими углами, и наоборот, определенное отношение между углами треугольника влечет за собой такое же отношение между противолежащими сторонами. В) Следствие. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катета. Доказательство. Пусть EFG является прямоугольным треугольником с прямым углом E (рис. 258). Тогда угол HEF как внешний угол треугольника EFG больше каждого из углов G и F. Поэтому и угол GEF, который равен углу HEF, больше каждого из углов G и F. Значит, по теореме 10 гипотенуза GF больше катета EF и катета EG. На рисунке 259 точка P соединена с точками A, B, C, D прямой l, при этом PA Z l. Отрезок PA называют перпендикуляром к прямой l, проведенным из точки P, остальные отрезки называют наклонными 157 Правообладатель Народная асвета к прямой. Точку A называют основанием перпендикуляра. В соответствии с доказанным следствием перпендикуляр к данной прямой, проведенный из данной точки, короче любой наклонной, проведенной из той же точки к той же прямой. Длина перпендикуляра, проведенного из точки P к данной прямой l, называется расстоянием от точки P до прямой l. Г) Теорема 11. Если в двух треугольниках углы между соответственно равными сторонами не равны, то против большего угла лежит большая сторона, и наоборот, против большей стороны лежит больший угол. Доказательство. Пусть у треугольников ABC (рис. 260) и A^B^C^ (рис. 261) равны стороны AB и A1B1, BC и B1C1, а угол ABC больше угла A1B1C1. Докажем, что AC > A1C1. Рис. 261 Наложим треугольник A1B1C1 на треугольник ABC так, чтобы совпали вершины B и B1, стороны AB и A1B1. Пусть при этом вершина C1 займет положение C2 (рис. 262). Проведем биссектрису угла CBC2, которая пересекает сторону AC в точке L. Треугольники LBC и LBC2 имеют общую сторону LB, равные стороны BC и BC2 и равные углы LBC и LBC2. Значит, эти треугольники равны. Поэтому LC = LC2. 158 Правообладатель Народная асвета Поскольку AL + LC2 > AC2 и AL + LC2 = AL + LC = AC, то AC > AC2. Но AC2 = A1C1_, значит, AC > A^C^. Пусть теперь у треугольников ABC и A^B^C^ равны стороны AB и A^B^^, BC и B^C^, но AC > A^C^. Докажем, что ZABC > ZA^B^C^. Допустим, что это не так, т. е. что ZABC < ZA1B1C1_. Если ZABC < < ZA^B^C^, т. е. ZA^B^C^ > ZABC, то по только что доказанному должно быть A^C-^ > AC, что противоречит условию AC > A^C^. а если ZABC = ZA^B^C^, то треугольники ABC и A^B^C-^ равны, и поэтому AC = A^C-^, что снова противоречит условию AC > A.C,. 1. Дайте словесную формулировку свойства внутренних углов треугольника. 2. Дайте словесную формулировку неравенству треугольника. 3. Какой угол называют внешним углом выпуклого многоугольника? 4. Сформулируйте свойство внешнего угла треугольника. 5. Известно, что две стороны треугольника равны. Что можно сказать о противолежащих этим сторонам углах? 6. Известно, что два угла треугольника равны. Что можно сказать о противолежащих этим углам сторонах? 7. Известно, что одна сторона треугольника больше другой. Что можно сказать о противолежащих этим сторонам углах? 159 Правообладатель Народная асвета 8. Известно, что один угол треугольника больше другого. Что можно сказать о противолежащих этим углам сторонах? 9. Каким соотношением связаны гипотенуза и катет прямоугольного треугольника; перпендикуляр и наклонная к прямой, проведенные из одной точки? 10. Что называют расстоянием от точки до прямой? 390. Могут ли быть сторонами треугольника отрезки с длинами: а) 3, 5 и 7; в) 20, 42 и 53; б) 12, 15 и 27; г) 37, 47 и 85? 391. Стороны KL и KM треугольника KLM равны 5 и 1. Найдите длину третьей стороны, учитывая, что она выражается натуральным числом. 392. Четыре точки A, B, C, D на плоскости расположены так, что AB = 17, BC = 23, CD = 32, AD = 72. Сделайте соответствующий рисунок в тетради. Найдите: а) AC; б) BD; в) BD + AC; г) BD - AC. 393. Четыре точки P, Q, R, S на плоскости расположены так, что PQ = 5, QR = 6, RS = 7, а PR + QS < 2. Найдите PS. 394. Одна сторона равнобедренного треугольника равна 15, другая — 7. Какая из них является основанием треугольника? 395. Найдите сторону равнобедренного треугольника, учитывая, что две другие его стороны равны: а) 80 и 35; б) 30 и 50; в) 120 и 60. 396. Длины двух отрезков равны x и у. Определите, какой из отрезков длиннее, учитывая, что существует треугольник со сторонами: 160 Правообладатель Народная асвета Рис. 263 а) 2х + у, 3х + 5у и 2х + 3y; б) х + 5у, 3х + 6у и х + 2у. 397. В каких пределах может изменяться периметр треугольника, две стороны которого равны a и b? 398. OA, OB, OC — радиусы одной окружности, причем Z AOB < < Z COB < 180° (рис. 263). Докажите, что AB < CB. 399. На плоскости построена окружность и выбрана точка K. Найдите такую точку окружности, расстояние от которой до точки K: а) наибольшее; б) наименьшее. 400. Найдите углы равнобедренного треугольника, учитывая, что один из его внешних углов равен: а) 70°; б) 110°. 401. Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, учитывая, что: а) угол против основания в два раза больше угла при основании; б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним. 402. Докажите, что если один из внешних углов треугольника в два раза больше угла треугольника, не смежного с ним, то такой треугольник равнобедренный. Сформулируйте обратное утверждение. Истинно ли оно? 403. Может ли быть тупым угол Q треугольника OPQ, если: а) OQ > OP > PQ; в) OP = QP < OQ; б) OQ = PQ < OP; г) РО > QO > QP? 161 Правообладатель Народная асвета 404. Запишите отношения между сторонами треугольника ABC, учитывая, что: а) Z A < Z B < Z C; б) ZA = Z B < Z C; в) Z A < Z B = Z C. 405. Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий внутреннюю точку основания с противолежащей вершиной, короче боковой стороны. 406. Докажите, что медиана треугольника не меньше его высоты, проведенной из той же вершины. 407. Биссектрисы KK^ и равнобедренного треугольника с основанием KM пересекаются в точке A. Докажите, что треугольник KAM равнобедренный. 408. На боковых сторонах BA и BC равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки BR и BS (рис. 264). Отрезки AS и CR пересекаются в точке T. Докажите, что: а) треугольник ATC равнобедренный; б) прямая BT — серединный перпендикуляр к отрезку AC. 409. Найдите периметр равнобедренного треугольника, две стороны которого равны: а) 46 и 95; б) 46 и 90. 410. Периметр треугольника равен 76, а одна его сторона — 18. Найдите две другие стороны, учитывая, что два внешних угла треугольника при разных вершинах равны друг другу. 411. Периметр равнобедренного треугольника равен 35, один из его внешних углов острый. Найди-162 Рис. 264 Правообладатель Народная асвета те стороны треугольника, учитывая, что одна из них больше другой на 5. 412. В треугольной пирамиде SABC угол CSA больше угла CAS, а угол CAB больше угла CBA (рис. 265). Сравните углы CSB и CBS. а) 413. Решите уравнение: 2x + 5 3x - 8 16 - 7x + - z + 2 б) + Рис. 265 3z - 4 3z + 7 10 15 3 6 1^ '6 414. Определите, при каком значении переменной: 17 - 5а а) разность выражений 21 43 + 5x б) сумма выражений —тт:— и —13а + 5 г, и —— равна -3; -4 x +16 равна 4,8; 12 15 ч 5 - у в) сумма выражения —— и удвоенного выражения 7у -1^ . 6 —---- равна 1; ч 4 z +13 г) разность удвоенного выражения ------ и выра- 8 z -1 ^ 10 жения ----- равна 1,4; ч „ „ 2с -11 д) разность утроенной суммы выражений ------- и 36 - 5с 2 с + ^ 9 и выражения ------ равна 0,25; 12 15 ч „2& +1 b + 2 е) утроенная разность выражений ^ ^ и —^ рав- на выражению 5b - 4 16 ' 18 9 415. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций: а) у = 2x + 7 и у = -x + 16; б) у = -3x + 1 и у = 2x + 9. 416. Найдите ординату точки пересечения графиков функций: а) у = 5x + 7 и у = 2x + 16; б) у = -2x + 5 и у = 2x + 9. 163 Правообладатель Народная асвета 417. Найдите координаты точки пересечения графиков функций: а) у = -3x + 8 и у = -X + 12; б) у = 6х - 13 и у = 2х + 11. 418. Постройте треугольник по координатам его вершин D(-5; -2), E(-1; 6), F(3; -2). Найдите координаты: а) точек A и B, в которых прямая DE пересекает оси координат; б) точек Ми N, в которых сторона EF пересекает оси координат; в) точек, в которых прямая FD пересекает оси координат. 419. Найдите середины P, Q, R сторон DE, EF, FD треугольника DEF, построенного при выполнении упражнения 418. Проведите медианы FP, DQ, ER этого треугольника. Найдите координаты: а) точек P, Q, R и точки G пересечения медиан; б) точек, в которых медиана FP пересекает оси координат; в) точек K, L, в которых медиана DQ пересекает оси координат; г) точек, в которых медиана ER пересекает оси координат. 420. Выпуск продукции на предприятии за прошлый год увеличился на 20 %, а за этот уменьшился на 10 %. Определите, на сколько процентов изменился выпуск продукции за два года. 421. Общий доход фирмы, состоящей из двух предприятий, увеличится на 100 %, если доход первого предприятия увеличится в 3 раза, а доход второго останется неизменным. На сколько процентов должен увеличиться доход второго предприятия, чтобы, не изменяя дохода первого, доход фирмы увеличился в 3 раза? 164 Правообладатель Народная асвета 422. Сколько воды нужно испарить из 500 кг целлюлозной массы, которая содержит 90 % воды, чтобы получить массу с содержанием воды 50 %? 423. Сколько воды нужно долить в 5-процентный раствор, который содержит 40 г соли, чтобы получить 4-процентный раствор? 424. Футбольная команда выиграла в два раза больше матчей, чем сыграла вничью, и не проиграла ни одного матча, набрав при этом 28 очков. Найдите, сколько игр команда сыграла вничью, учитывая, что победа и ничья оцениваются соответственно в 3 и 1 очко. 425. Вика купила 11 пирожных и шоколадок вместе, за пирожные заплатила 36 000 р., а за шоколадки — 45 000 р. Учитывая, что цена пирожного и цена шоколадки относятся как 2 : 3, найдите эти цены. 426. Вика купила пирожные и шоколадки, за пирожные заплатила 70 000 р., за шоколадки — 44 000 р., а суммарная цена одного пирожного и шоколадки равна 18 000 р. Учитывая, что количество пирожных и количество шоколадок относятся как 5 : 2, найдите эти количества. * * * 427. Найдите все правильные дроби, разность которых равна ^. 428. Докажите, что если при целых значениях переменных а и Ь значение выражения а2 - Ь2 делится на 7, то на 7 делится и значение выражения а2 - 5аЬ + Ь2 или значение выражения а2 + 5аЬ + Ь2. 429. Среди монет достоинством в 1, 2, 3 и 5 талеров есть одна фальшивая, которая отличается от настоящих массой. Как с помощью двух взвешива- 165 Правообладатель Народная асвета ний на чашечных весах найти фальшивую монету, если настоящие монеты в 1, 2, 3 и 5 талеров имеют массы соответственно 1, 2, 3 и 5 г? 13. Прямоугольный треугольник А) В треугольнике два угла обязательно острые. А третий, больший, угол может быть и тупым, и острым, и прямым. Если у треугольника больший угол тупой, то он называется тупоугольным (рис. 266), если больший угол острый, то остроугольным (рис. 267), а если больший угол прямой, то прямоугольным (рис. 268). Рассмотрим некоторые свойства прямоугольного треугольника. Теорема 12. В прямоугольном треугольнике острые углы вместе составляют 90°. Доказательство. Пусть в треугольнике PQR угол R прямой (рис. 269). Тогда величина угла R равна 90°. Поскольку сумма углов P, Q, R треугольника PQR равна 180°, то два острых угла P и Q этого треугольника вместе составляют 180 ° - 90°, т. е. 90°. Б) Теорема 13. Если катет прямоугольного треугольника лежит против угла в 30°, то он равен половине Рис. 269 гипотенузы. 166 Правообладатель Народная асвета Рис. 270 Доказательство. Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, а угол B равен 30° (рис. 270). Тогда, учитывая теорему 12, получаем, что Z A = 90° - 30° = 60°. Построим треугольник A^BC, симметричный треугольнику ABC относительно катета BC (рис. 271). Поскольку треугольники A1BC и ABC равны, то Z BA,C = Z BAC = 60°, Z A,BC = Z ABC = 30°. Поэтому Z ABA1 = 60°. Получается, что в треугольнике ABA1 углы ^A1B и ABA1 равны. Поэтому по теореме 4 параграфа 10 этот треугольник является равнобедренным с основанием A.B. Значит, AA, = AB. Но AC = 1AA,. Значит, AC = 1AB. 2 В) Теорема 14. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Доказательство. Пусть в прямоугольном треугольнике MNP угол P прямой, а катет MP равен половине гипотенузы MN (рис. 272). Построим треугольник M1NP, симметричный треугольнику MNP относи- 167 N Правообладатель Народная асвета N М Рис. 273 Рис. 274 тельно катета NP (рис. 273). Получим равносторонний треугольник MNM^ (объясните почему). В нем Z MNM^ = 60°. Значит, Z MNP = 1Z MNM^ = 30°. 2 Г) Рассмотрим некоторые признаки прямоугольного треугольника. Теорема 15. Если сумма двух углов треугольника равна 90°, то этот треугольник прямоугольный. Доказательство. Пусть в треугольнике KLM углы K и M вместе составляют 90° (рис. 274). Тогда величина третьего угла L равна 180° - 90° = 90°. Значит, треугольник KLM является прямоугольным. Теорема 16. Если одна из медиан треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник является прямоугольным. Доказательство. Пусть SS1 — медиана треугольника RST, равная половине стороны RT, к которой проведена (рис. 275). По свойству углов треугольника получим: Z 1 + Z 2 + Z 3 + Z 4 = 180°. (1) S 168 Правообладатель Народная асвета Поскольку треугольники RS^S и SS^T равнобедренные с основаниями RS и ST соответственно, то Z 1 = Z 3 и Z 2 = Z 4. Заменив в равенстве (1) углы 3 и 4 равными им углами 1 и 2 соответственно, получим: Z 1 + Z 2 + Z 1 + Z 2 = 180 °, или 2 • (Z 1 + Z 2) = 180 °, или Z 1 + Z 2 = 90°. Мы доказали, что угол RST равен 90°. Поэтому треугольник RST является прямоугольным. Д) Докажем признаки равенства прямоугольных треугольников. Поскольку прямые углы равны друг другу, то первый и второй признаки равенства треугольников позволяют сформулировать следующие признаки. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны. Теорема 17. а) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. б) Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого, то такие треугольники равны. Доказательство. а) Пусть у прямоугольных треугольников ABC и A1B1C1 равны гипотенузы AC и A1C1, а также углы A и А1 (рис. 276). 169 Правообладатель Народная асвета Рис. 276 В соответствии с теоремой 12 у этих треугольников равны друг другу и углы C и С^. Получается, что у треугольников ABC и A^B^C^ равны гипотенузы AC и AjC-^, прилежащие к ним углы A и А^, а также углы C и C^. Поэтому эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Утверждение б) докажите самостоятельно. Теорема 18. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. Доказательство. Пусть у треугольников LMN и L^M^N^ равны гипотенузы MN и M^N^, а также катеты LM и L^M^ (рис. 277). Отразим треугольник LMN симметрично относительно катета LN, а треугольник L^M^N-^ относительно катета L^N^. В результате получаем треугольники MNK и M^N^K^ (рис. 278). У них стороны MN и M^N^ равны по условию; стороны NK и N^K^ равны, поскольку они соответственно равны сторонам MN 170 Правообладатель Народная асвета Рис. 278 и M^N^; стороны MK и равны, поскольку они в два раза больше равных по условию сторон ML и M^L^. Поэтому треугольники MNK и M^N^K^ равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство углов M и M^. Значит, треугольники LMN и L^M^N^ равны по двум сторонам и углу между ними. 1. Какой треугольник называется прямоугольным; остроугольным; тупоугольным? 2. Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? Какие стороны прямоугольного треугольника называются катетами? 3. Сформулируйте свойство острых углов прямоугольного треугольника. 4. Сформулируйте свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°. 5. Сформулируйте свойство угла прямоугольного треугольника против катета, равного половине гипотенузы. 6. Сформулируйте признак прямоугольного треугольника по сумме его острых углов. 7. Сформулируйте признак прямоугольного треугольника по медиане, проведенной к одной из сторон. 8. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по катетам. 171 Правообладатель Народная асвета 9. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу. 10. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. 11. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. 430. Докажите, что если биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника перпендикулярна гипотенузе, то такой треугольник равнобедренный. 431. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них: а) на 20° больше второго; б) в пять раз меньше второго; в) составляет 2 второго; г) составляет 150 % второго. 432. АА1 является высотой равнобедренного треугольника ABC с основанием AC. Найдите углы треугольника AA-^C, учитывая, что угол B равен 62°. 433. Углы треугольника относятся как 5 ^ 7 ^ 12. Докажите, что этот треугольник прямоугольный, и найдите его острые углы. 434. Вершины треугольника лежат на одной окружности, и одна из его сторон является диаметром. Докажите, что этот треугольник прямоугольный. 435. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность между гипотенузой и меньшим катетом равна 6 см. Найдите эти стороны. 436. На рисунке 279 AN = BM, ZAMN = ZBNM = = 90°. Докажите, что: а) AM = BN; б) треугольник MQN равнобедренный; в) треугольник AQM равнобедренный; г) А AQM = А BQN. 172 Правообладатель Народная асвета М N Е G Q s Рис. 279 Рис. 280 Рис. 281 437. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 4 дм, а боковая сторона — 80 см. Найдите углы треугольника. 438. Высота FF1 треугольника EFG, проведенная из угла в 75°, разделяет сторону EG на части, одна из которых F1G равна 5 м, а другая F1E — высоте FF1 (рис. 280). Найдите остальные углы треугольника EFG, учитывая, что FG = 10 м. 439. Докажите, что высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны друг другу. 440. Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то он равнобедренный. 441. Высоты QQ1 и SS1 к боковым сторонам тупоугольного равнобедренного треугольника QRS продлены до их взаимного пересечения в точке H (рис. 281). Найдите углы треугольника QRS, учитывая, что угол QHS равен 80°. 442. Отрезки TA и TB — соответственно биссектриса и высота, проведенные к боковой стороне UV равнобедренного треугольника TUV. Найдите углы треугольника TAB, учитывая, что угол U против основания треугольника равен 100°. 443. На сторонах угла A выбраны точки B и C так, что AB = AC. Прямые, проходящие через точки B и C перпендикулярно сторонам угла, пересекаются в точ- 173 Правообладатель Народная асвета А ' С Рис. 282 Рис. 283 £> ке O (рис. 282). Докажите, что луч AO является биссектрисой угла A. 444. Докажите, что: а) если точка принадлежит биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла; б) если точка равноудалена от сторон угла, то она принадлежит биссектрисе этого угла. 445. Докажите, что если два угла и высота, проведенная из одного из этих углов, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны. 446. Высоты AA^ и CC^, проведенные к боковым сторонам остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке H (рис. 283). Найдите углы треугольника ABC, учитывая, что угол AHC равен 150°. 447. На рисунке 284 AB = CD, AD = BC, ZAQB = Z CPD = 90°. Докажите, что AQ = CP. 448. В прямоугольном треугольнике с острым углом в 30° проведена высота к гипотенузе, равной 20 см. Найдите отрезки, на которые эта высота делит гипотенузу. 449. Раскройте скобки и найдите значение выражения: а) 1,2 + (3,4 - 5,9); б) -7,95 + (-2,59 + 2,11); 174 Правообладатель Народная асвета в) 7,9 + (3,6 - 5,1 + 5,7); г) (5,71 - 3,97) + (5,01 - 3,99); д) 6,3 - (6,1 - 5,2 - 1,5); е) (4,61 - 5,9) - (8,88 - 4,97); ж) -9,7 - (5,21 - 2,91 - 10); з) (5,78 - 9,09) - (6,67 + 5,31). 450. Степенью с основанием 5 запишите число: а) 253; г) 1257; ж) 31254; к) 6253^; б) 255; д) 6252; з) 31258; л) 15 6 253; в) 1254; е) 6256; и) 125‘; м) 31255'. 451. Найдите значение выражения: д) 506 • 0,28; 55; 253; 1254; г) 0,25 • 58; а) 27 б) 45 в) 85 е) (-20)15 • 0,0513; • 1,59; • 1,815; ж>( ^3 з>( ^ и) 22,88• к) 5,87517 л) (5311’ /12М9 25 у 57/ м) 1147 / - ) 47/ 6,62517; • 1,17610. 452. При перевозке брикета две автомашины сделали по 5 рейсов. Найдите отношение грузоподъемностей автомашин, учитывая, что первая автомашина перевезла бы 75 % этого брикета за 15 рейсов. 453. Рожью занято 65 % площади первого поля и 45 % площади второго. Найдите, какую часть всей засеянной площади составляет первое поле, учитывая, что рожью занято 53 % площади обоих полей. 454. Два завода вместе за месяц должны были сделать 360 станков. Поскольку первый завод выполнил план на 112 %, а второй — на 110 %, то за месяц вместе заводы изготовили 400 станков. Найдите план выпуска станков для каждого завода. 455. При переработке нектара цветов в мед пчелы уменьшают в нем содержание воды. Найдите, 175 Правообладатель Народная асвета сколько килограммов нектара нужно переработать пчелам для получения 1 кг меда, учитывая, что нектар содержит 70 % воды, а полученный из него мед — 17 %. 456. В магазине купили тетради и карандаши, причем за тетради уплатили на 12 500 р. больше. Цены тетради и карандаша соответственно равны 2500 р. и 1250 р. Найдите, сколько купили тетрадей и сколько карандашей, учитывая, что их вместе оказалось 8. 457. Первый рабочий изготовил 72 детали, второй — 60 деталей, причем первый рабочий работал на 3 ч больше. Найдите производительности первого и второго рабочих, учитывая, что они относятся как 3 : 4. 458. Первый рабочий изготовил 66 деталей, второй — 32 детали, причем производительность первого рабочего на 3 детали в час больше производительности второго. Найдите время работы каждого рабочего, учитывая, что время работы первого рабочего относится ко времени работы второго как 3 ^ 2. * * * 459. Как разрезать квадрат на пять прямоугольников так, чтобы у соседних прямоугольников стороны не совпадали? 460. В каждом из чисел 1, 2, 3, ..., 200 520 062 007 подсчитывается сумма цифр, у полученных чисел снова подсчитывается сумма цифр и т. д., пока не получатся однозначные числа. Каких чисел получится больше: 3 или 8? Обоснуйте свой ответ. 461. Если последнюю цифру числа, которое начинается цифрой 1, перенести в его начало, то получится вдвое большее число. Найдите наименьшее из таких чисел. Правообладатель Народная асвета fivl раздел Многочлены 14. Одночлены А) Произведение чисел, переменных и их степеней называют одночленом. Так, выражения abc, 4y3, ^--3j k^l, 5 b^(-3)xz являются одночленами, а выражения и 4 - 3r од- xy ночленами не являются. Одночленами считают также отдельные числа, переменные и их степени. Например, выражения 4,7; р; 43; х6 — одночлены. Одночлен 2x2(-5)xy4 можно упростить, если использовать переместительное и сочетательное свойства умножения и правило умножения степеней: 2x2(-5)xy4 = 2 • (-5)x2xy4 = = -10x3y4. Одночлен -10x3y4 является произведением числового множителя, записанного первым, и степеней различных переменных. Такую запись одночлена называют его стандартным видом (рис. 285). Любой одночлен можно записать в стандартном виде. Рис. 285 177 Стандартный вид одночлена -lOxV S ж ж S' S ■Sh ■Он Ж iC Е ^ ж е н Правообладатель Народная асвета Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Коэффициентом одночлена -35 а®явля- 9 рг ется число -35. 9 Поскольку ах^ = 1 • ax^, то коэффициентом одночлена ах^ является число 1, а поскольку -ах^ = = -1 • ах^, то коэффициент одночлена -ах^ равен -1. Сумму показателей степеней всех переменных одночлена называют степенью одночлена. Например, степень одночлена 5а^Ьу^ равна 2 + 1 + 4 = 7, а степень одночлена -3,8s® равна 6. Если одночлен является не равным нулю числом, то его степень считают равной нулю. Степень нуля как одночлена не определяют. Б) Пример 1. Найдем произведение одночленов а2 и а4. Для этого используем правило умножения степеней с одинаковыми основаниями, в соответствии с которым основание степени остается прежним, а показателем степени является сумма показателей степеней множителей. Значит, а2 • а4 = а6. Пример 2. Найдем произведение одночленов 3a2x^3 и -4a2r2^. Используя переместительное и сочетательное свойства умножения и правила умножения степеней с одинаковыми основаниями, получим: (3 a2x^3) • (-4a2r2^) = (3 • (-4))(a2a2)r2(^3^)x = -12a4r2^4x. Видим, что произведение одночленов есть одночлен. Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить коэффициенты, а показатели степеней одинаковых переменных сложить (рис. 286). В) Напомним правила возведения в степень произведения и степени. Чтобы возвести в степень произведение, нужно в эту степень возвести каждый множитель и результаты перемножить. 178 Правообладатель Народная асвета Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить прежним, а показатели перемножить. Пример 3. Возведем в четвертую степень одночлен 31^jk^. Для этого используем правила возведения в степень произведения и степени: (3i2jk3)4 = 34(i2)4j4(k3)4 = 81i8j4k12. Степень одночлена есть одночлен. Чтобы возвести в степень одночлен, нужно возвести в эту степень каждый из множителей (рис. 287). 1. Как определяется: натуральная степень числа, большая единицы; первая степень числа; нулевая степень числа; целая отрицательная степень числа? 2. Что называют одночленом? 3. Какую запись одночлена называют его стандартным видом? 4. Какое число называют коэффициентом одночлена? 5. Какое число называют степенью одночлена? 6. Сформулируйте правило умножения одночленов. 7. Чем является произведение одночленов; степень одночлена? 8. Сформулируйте правило возведения в степень произведения. 9. Сформулируйте правило возведения степени в степень. 10. Сформулируйте правило возведения одночлена в степень. 179 Правообладатель Народная асвета 462. Из выражений 3abc, 2ax3, -4a^b^t + 1, 3a2x + t3, -4, a2x2 : t, 3(a2 + b2), x2^3^, 5 - ab^c^ выпишите те, которые являются одночленами. 463. Укажите коэффициент и степень одночлена: а) 2xbs; в) -a3b2c; д) 5a2xy3; ж) -5xy2z4; б) -3ab2; г) 1; е) x2y3z; з) -p. 464. Найдите значение одночлена при указанных значениях переменных: а) -m^n^ при m = 2, n = -1; б) 5a2bx при a = -2, b = -1, x = 0; в) x2y3z при x = 2, y = 1, z = -2. 465. По словесной формулировке запишите выражение и определите, является ли оно одночленом: а) утроенное произведение чисел a и b; б) две трети произведения квадрата числа x и четвертой степени числа y; в) учетверенное произведение числа c и числа, на 7 большего; г) увеличенное в пять раз произведение числа k и числа, в два раза большего; д) произведение куба числа h и квадрата числа, в полтора раза меньшего; е) количество секунд в t часах; ж) количество секунд в сутках; з) количество квадратных метров в гектаре; и) количество квадратных метров в n гектарах; к) количество кубических метров в кубическом километре; л) количество кубических метров в k кубических километрах. 466. Представьте одночленом и назовите коэффициент выражения (рис. 288): 180 Правообладатель Народная асвета а)5Т; в) w . ¥; д) 3аЪ . -2 ; ж) б>-14; г) 2а2с . 7 ; е) -7s2t3 . -21 ; з) 7,2m2n ; 18 ’ 42 5,6m^n^ 8m^n^ 8 ^2 3 ^ 2 —^--------------= ~^m n = 2n ; 2,1 3 3 \ — коэффициент. Рис. 288 467. В стандартном виде представьте одночлен: а) -2,8qq3q; б) 25ef • 0,2/; в) -6rs • (-3,5)г2; г) -472а • 2 ЪГ3; д) 0,35ух2 • 4xy2; е) -5u^w • a2u2; ’ 15 ж) 10i3j • (7,1/-4); з) -5as4 • (-0,6)rs • 2 ar3; 3 и) 12/ • (-0,5eg) • 5 fg2; 6 к) 32kV3 • (-4)2l2k2; м) 5 g 5h • — gh4. л) 25x223 • 52xz7; 2 6^' 13 468. Найдите значение одночлена (рис. 289): а) 2 x(-0,3)y при x = 5 и у = 3; при x = 21 и у = 5; 5 1^ 1 2 б) 5 аЪ^ 25 а^Ъ при a = — и Ъ = 7; при a = — и Ъ = -5. |х(-0,1)у = I (-0,1)х1/ = - ^ ху; х = у = 25; -И-П-25- 3 5 Я*2б _ 15 _ 4 J.3-11 11 -^и- ЗГ 1 Рис. 289 181 Правообладатель Народная асвета 469. Назовите степень и коэффициент одночлена: а) 5а3Ь2; в) -r^st4; д) -3^ ij^k^l4; ж) 3,1; г) 2,7a^q4; е) -13л11; з) w. 470. Степенью с основанием 3 запишите число: а) 92; в) 274; д) 813; ж) 2434; и) 81"; рг б) -xyz; б) 94; г) 276; е) 815; з) 2438; 471. Возведите в степень: а) (z2)3; в) (a3)6; д) (b7)4; ж) (j 10)3; б) (z3)2; г) (d5)4; е) (f 4)7; з) (r8)9. 472. Упростите выражение: а) a3(a2)4; г) (d2)5(d5)2; ж) ((^2)3)4; б) (b3)2b6; д) (е4е6)9; з) ((й2)3^2)4; в) (с4)5(с6)2; е) (f 8 : f 6)11; и) x(x3)2(x2)3. 473. Найдите произведение одночленов: а) (2xy2) • (3x3); г) (2cxy2) • (-x2y2); б) (-ay2) • (2 ax); д) (-6cx2) • (3ay); в) (5mk) • (-2k2m); е) (7x5y2) • (8x2y3). 474. Выполните умножение: а) (-5q2ru5) • (32 q5v4v6); б) (-70u4w2x4) • (-0,01w3x2u6); к) 81 5m в) [^4 a^ y г) ^-3d x y д) (- 6 f ‘g’ Л' 9y a b); 9 d‘ x‘ y’ ■f f ‘ g' 25 2 4 7 —x a y 26 ^ е) (-5 a^x^y‘ ж) (-0,6d2^4f 3) • (-3,2d6f 5й5); з) (3,1r3t3i6) • (-3i2rt2); -1-| pk^'r7); и) (1^3 p^k^n^ 182 Правообладатель Народная асвета к) j • (2,4v3wa5); л) (-0,28a9b8i7) • k); м) ^--5 u®j • (-1,6v11u12a3). 475. Одночлен -18k4l® выразите произведением: а) двух одночленов стандартного вида; б) трех одночленов стандартного вида; в) четырех одночленов стандартного вида (рис. 290). -18kU^= (-2k4)i-3l")(-kl)(3l). У Рис. 290 -ISkU^ = (-k4)(9l\2k)(kf). 476. Возведите одночлен: а) 3a2b7 в квадрат; б) -pq^ в куб; \ 1 • 3 5 в) — i vw в пятую степень; 3 2 г) -2 ax3y2 в четвертую степень; д) -0,1a2c®2 в шестую степень; е) -mn5k3 в седьмую степень. 477. Выразите одночленом стандартного вида вы- ражение: а) (-5a2b9c4)4; е) (-31 i^u7v^ j ; б) (10de11fg^)5; ч I2w^xy^z\4 ж)( 3y ) ; в) (1,3^3i5./7k9)3; з)(5. f 2 )5; г) (1-2 " n® o'); и) (-8 . Ilk5)6; д) (-2^3рвq^r's); к) (-!■! x' y' f. 183 Правообладатель Народная асвета 478. Упростите выражение: а) (2s2)2 • (-5s); б) 4d • (0,5d6)3; в) -0,001/ 5 • (10/ 3)5; д) (-3^2h‘ ТТ h' е) -0,8(пп)7 • (0,5п2п)3; 2 ж) (2:4''■ (--| г) 25 ^ ’ • (-Т^ ^ ■ з) (-1-1 X2 2 479. Упростите и найдите значение выражения: а) — kl^ • 0,75k2Zm3 при k = -1, l = -1, m = 6; 3 7 2 б) -8xy • 0,125xy223 при X = -2, у = -18, z = -Т; в) 2a^b • 14ab^c при a = 7, b = 4, c = -1 (рис. 291). 7 7 6 480. Вычислите: 7 o10 а) 2' • 3 . а) 26 • 38 ; 28 • 38 б) -65-; в) r) 144 23 • 73 ’ 5 o5 45 • 3 12 3 ’ д) е) 107 23 • 53 ’ 10 10 12 10 481. Произведением степеней простых чисел выразите число (рис. 292): а) 224; в) 306; д) 846; б) 264; г) 750; е) 966. 184 Рис. 292 Правообладатель Народная асвета [ 884 = 2 -13-17. ] 884 2 442 2 221 13 17 17 1 V ) 482. Решите уравнение: а) 1 - 2,6x - (0,7x + 3) = 5,7; б) 21 a - 5 = 31 a + 2; ' 3 6 6 3 в) 7 - 0,52 = 0,2z - 35; г) 41 + (21 у - 52) = 35 у - 1. ' 7 \ ^ 7! ^7 483. Одна насечка напильника образует с его ребром угол 30°, другая — 80° (рис. 293). Найдите угол между насечками. Рис. 293 484. Найдите углы между прямыми a и с, a и d, b и с, b и d, с и d на рисунке: а) 294; б) 295. 485. Постройте четырехугольник, вершины которого расположены в точке М(3; -4) и точках, симметричных ей относительно осей координат и начала координат. Какой четырехугольник получился? Найдите его площадь и периметр. В какой точке пересекаются его диагонали? 185 Правообладатель Народная асвета Рис. 297 486. Есть два равных треугольника ABC и (рис. 296). Докажите, что у них равны высоты AD и A^D^, проведенные к соответствующим сторонам BC и B.C^. 487. Осиповичи, Татарка, Елизово — самые большие населенные пункты Осиповичского района. Количество жителей Елизово на 0,2 тыс. человек больше утроенного количества жителей Татарки, а вместе в этих населенных пунктах живет 3,8 тыс. человек. Найдите количества жителей Осиповичей, Татарки, Елизово, учитывая, что общее количество жителей в этих населенных пунктах относится к количеству жителей Татарки как 127 : 9. 488. Из Могилева и Рогачева в Гомель (рис. 297) 186 Правообладатель Народная асвета одновременно выехали две машины со скоростями 73 км/ч и 50 км/ч соответственно. Через какое время расстояние, которое останется проехать могилевской машине, станет в 1,2 раза больше расстояния, которое нужно будет проехать рогачевской машине? 489. Республика Тринидад и Тобаго расположена на одноименных островах в Карибском море (рис. 298). Площадь острова Тринидад в 16 раз, или на 4500 км2, больше площади острова Тобаго. Найдите с точностью до единицы среднюю плотность населения республики, учитывая, что в ней живет 1,23 млн человек. 490. Коров на первой ферме 400 голов, а на второй — 200, причем на первой ферме надаивают за день на 6000 л молока больше. Найдите, сколько молока надаивают в день на первой ферме, учитывая, что на ней от одной коровы надаивают молока в среднем на 5 л больше, чем на второй ферме. 491. В цехе работали два автомата по изготовлению деталей, производительность первого автомата 12 деталей в час, а второго — 14 деталей в час, причем общее количество изготовленных деталей первым и вторым автоматами равно 66. Учитывая, что время работы первого и второго автоматов вместе составляет 5 ч, найдите время работы каждого автомата. 492. В цехе работали два автомата по изготовлению деталей. Время работы первого автомата 4 ч, 187 Правообладатель Народная асвета а второго — 3 ч, причем общее количество изготовленных деталей первым и вторым автоматами равно 94. Учитывая, что производительность первого и второго автоматов вместе составляет 26 деталей в час, найдите производительность каждого автомата. * * * 493. В турнире, который проводится по олимпийской системе (проигравший сразу выбывает), участвуют 10 боксеров. Сколько нужно провести боев для определения победителя? 494. На вопрос о номере своей квартиры Иван ответил так: «Если сложить все шесть двузначных чисел, которые можно образовать из цифр этого номера, то получится удвоенный номер моей квартиры». В какой квартире живет Иван? 495. На прямой AB вне отрезка AB выбрано 25 точек. Докажите, что сумма расстояний от выбранных точек до точки A не равна сумме расстояний до точки B. 15. Многочлен А) При решении многих задач получаются выражения, являющиеся суммами или разностями одночленов. Пример 1. Запишем площадь фигуры, показанной на рисунке 299. Получим выражение ab - 2x2, являющееся разностью одночленов ab и 2x2. Пример 2. Найдем периметр фигуры, показанной на рисунке 300. Этот периметр составляют три стороны прямоугольника длинами k, k, l и полуокружность диаметром l. Поэтому искомый периметр равен 2k + l + 1 nl. Полученное выражение является суммой одночленов 2k, l и — nl. 188 2 Правообладатель Народная асвета а Рис. 299 Рис. 300 Рис. 301 Многочлен 2а/ - 5,ЗЬху О № О Л Ф № О 14 № о Л II Ф № О 14 Щ О л II ф » Многочлен алгебраическая сумма одночленов. Алгебраическую сумму одночленов называют многочленом (рис. 301). Одночлены, из которых составлен многочлен, называют его членами. Многочлен из двух членов называют двучленом, а из трех членов - трехчленом. Одночлен также считают многочленом. Рассмотрим многочлен 4 + 5а3х + 2ax2 - 3 - a3x. Его члены 5a3x и -a3x — подобные слагаемые, поскольку их буквенные части одинаковы. Подобные слагаемые многочлена называют подобными члена- 189 Правообладатель Народная асвета Рис. 302 Подобные члены 4 + Ъа^х + 2ах^ - 3 - а^х т Подобные члены Т ми многочлена. Члены 4 и -3 без буквенных частей также подобны (рис. 302). Приведем подобные члены многочлена 4 + 5а3х + + 2ax2 - 3 - a^x. Получим: 4 + 5a3x + 2ax2 - 3 - a^x = = (5 a3x - a3x) + 2ax2 + (4 + (-3)) = 4a3x + 2ax2 + 1. Каждый член многочлена 4a3x + 2ax2 + 1 записан в стандартном виде, и среди них нет подобных. Многочлен, все члены которого записаны в стандартном виде и среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида (рис. 303). / Л Многочлен стандартного вида У Рис. 303 ЪкЧ - 7Ы + 91^ - 7. Нет подобных членов; все члены записаны в стандартном виде. < Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Степенью многочлена называется наибольшая из степеней одночленов после приведения многочлена к стандартному виду. Например, многочлен 2a3x + ax2 - 3 имеет степень 4. Есть единственный многочлен, степень которого не определена. Это нулевой многочлен (число 0). Пример 3. Приведем подобные в многочлене 4ab - 3ac - abc + bc - 8ac - 4ab + 9bc - 7bc. 190 Правообладатель Народная асвета Выделим подобные члены. Для этого подобные члены 4ab и -4ab подчеркнем одной чертой, подобные члены -3ac и -8ac — двумя чертами, подобные члены bc, 9bc и -7bc — точками. Член -abc подобных не имеет, и его подчеркивать не будем. После этого выполним приведение подобных. Получим: - 3ac - abc +^bc - 8ac - jab + 9bc — 7bc = = -11ac + 3bc - abc. О членах 4ab и -4ab, которые в сумме дают нуль, говорят, что они взаимно уничтожаются. При приведении подобных их можно зачеркивать. Б) Сложим многочлены 5a + 3b - 3ab - 2 и -4ab - 3a + 6b. Получим: (5a + 3b - 3ab - 2) + (-4ab - 3a + 6b) = = 5a + 3b - 3ab - 2 - 4ab - 3a + 6b = 2a + 9b - 7ab - 2. Сначала мы записали сумму данных многочленов, затем раскрыли скобки и в полученном многочлене привели подобные члены. Сумму данных многочленов мы заменили тождественно равным многочленом стандартного вида. Разность многочленов также можно заменить тождественно равным многочленом стандартного вида. Например, при вычитании из многочлена 5a + 3b - 3ab - 2 многочлена -4ab - 3a + 6b получаем: (5a + 3b - 3ab - 2) - (-4ab - 3a + 6b) = = 5a + 3b - 3ab - 2 + 4ab + 3a - 6b = 8a - 3b + ab - 2. Сумму или разность любых многочленов можно выразить многочленом стандартного вида. В) При решении обратной задачи — представлении многочлена суммой или разностью многочленов — пользуются правилами: 191 Правообладатель Народная асвета если при заключении в скобки членов многочлена перед скобками поставлен знак «плюс», то члены в скобках записывают со своими знаками; если при заключении в скобки членов многочлена перед скобками поставлен знак «минус», то члены в скобках записывают с противоположными знаками (рис. 304). Зах - 7а + 9л: - 5 = Зал: + (-7а + 9л: - 5) ^^ I ^ t Знаки не изменились , Зах - 7а + 9л: - 5 = Зал: - (+7а - 9л: + 5) >----i I t Знаки изменились . Рис. 304 Пример 4. 4k - 5l + 6kl - 7 = 4k - 5l + (6kl - 7); 4k - 5l + 6kl - 7 = 4k - 5l - (-6kl + 7). 1. Что называют многочленом? 2. Как называют одночлены, из которых состоит многочлен? 3. Какой многочлен называют двучленом; трехчленом? 4. Какие члены многочлена называют подобными? 5. Какое тождественное преобразование многочлена называют приведением подобных членов? 6. Как привести подобные члены многочлена? 7. Какой многочлен называют многочленом стандартного вида? 8. Как определить степень многочлена? 9. О каких членах многочлена говорят, что они взаимно уничтожаются? 10. Как сумму или разность многочленов представить многочленом стандартного вида? 11. Сформулируйте правила заключения в скобки членов многочлена. 192 Правообладатель Народная асвета Рис. 305 496. Из выражений 3а + bc, 2 + ax^, -4a2 : b^t + 1, 3a2x + t3, -4, a^x^ '■ t, x^y^z, 5 - ab^c^, 3(a2 + b2) выберите те, которые являются многочленами. 497. Укажите порядок выполнения действий при вычислении значения многочлена: а) 3a + bc + 2b; г) 1 - 4a2 - b2t; б) -3ab2 + bc; д) 5a2 xy3 - 5axy2z; в) 4a3b2c - ab2c4; е) x2 + 2y2z (рис. 305). 498. Найдите значение многочлена: а) 4m^n - при m = -1, n = 2; б) 5a2bx - 5a2b при a = -2, b = -1, x = 1; в) x2y3z + 4y3z при x = 2, y = -1, z = -2. 499. Запишите многочленом сумму трех последовательных натуральных чисел, кратных трем, из которых число 3k является: а) наибольшим; в) средним по величине. б) наименьшим; 500. Запишите алгебраическую сумму одночленов и приведите полученный многочлен к стандартному виду: а) 2a, 4 и -3a; г) 5x, -7x2, x, 1,3x и 4; б) 5r, -1,7 и 4; д) j 2l, -2jZ2, -4j 2l и 6jl2; в) -c2x, -cx2 и -3c2x; е) rs3, -3rs2, -5, -rs2 и -9rs3. 501. Запишите многочленом стандартного вида выражение (рис. 306): а) 11a • (-4b) - 3a2 • (3 b) + 8ab2; б) 7s - + k2s2 - ' 12 9 34 Рис. 306 {Ътп){0,2тп2) - 3m-2n^ - 4:mn\-0y5mn) = 6mn^ + 2m^n^ = 3m^n^ - 6mn^. = 193 Правообладатель Народная асвета в) 10г2 ■ (-1,1г) - 3(-г«2) + (-3г) ■ (7zt); 5y] - (-lip2q• г) (2xy) • 6 7 2-| pq]; д) + de2 - (h2 k‘) • (-1,4 hk3). 502. Найдите степень многочлена: а) 5a + 3b - 3ab; б) -2 + 4ab2 + 3a2 - 6b; в) 5z2 - 3z2 - 2z2 + 5z; г) 2x + 3y - 4z - xy + 3xz - xyz; д) 2x2 - 3x - 2x2 + 3x - 2; е) 2x3y + 3y2z - 4x - 2x3y + 3xz - 3y2z. 503. Запишите многочлены, выражающие объем и площадь поверхности фигуры на рисунке: а) 307; б) 308. Рис. 308 504. Найдите значение многочлена: а) a2 + 2ab + b2 при a = 4, b = -3; б) 2x4 - x^y + 2xy2 - y3 при x = 1, y = -1; в) Щ3 - 3m^‘n + 3mn2 - n3 при m = -5, n = 2; г) x2y3 - x2y3 + xy^ - xy при x = -2, y = ^. 2 194 Правообладатель Народная асвета 505. Приведите к стандартному виду многочлен: а) 1 и2 + 1 v - 0,5v2 - — v + 0,2v; б) 3 a^b + 1 ab^ - — ab^ - — a^b - 1 ab^; ' 4 2 8 8 2 в) 0,6c2 + 3z - 7cz - 3z - 5,4c2 + 7cz; г) 7,2 - 6h^ - 4,1h - 0,4h3 - 1,3h - 9,3; д) --| by - -|b2y + 2by - -| b2y - ii2 by; е) 6mn - 4m2n2 - 9mn2 + 5mn - mn^ - 6m2n2; ж) 21i2jfe + 11ijfe2 - 13i2jk - ijk2 + 5i2jk + ijk2; з) i-2 vw^ + 3v3w - 51 v^w - vw^ - 1 v^w - v3w. '3 2 2 506. Запишите многочленом стандартного вида: а) 7,1u - (2,5u + 5,7u2); б) -0,1a2 + 6,3a + (3,2a - 0,4a2); в) 9y2 + (7,2 - y2) + (6,5y2 - 2); г) (6,4c - c4 + 6) + 0,3c4 - (7,8c - 4,3c4); д) 19v3 - (Uv - 7 + 19v3); е) -13 b3 + 6b + (b + 12Ь3); ж) (3a+1 b' - ^ a + ■2 b) + (a + b); 4p2q); з) (1 * -4y) - (-hx+6y) + (Пx+158y)- 507. Упростите: а) 13a2 - 7ab + 17b - (25 a2 - Uab + 21b); б) 14p2 + 13p2q + 7pq2 + (Up2q + 5pq2) - (5p2 в) 39y + 10 by + 25b2y - (17y + 19by - 3b2y); г) 10i2 + 7]^ + 6k2 + 9Z2 + (6i2 - 5]^) - (4k2 - 7l2); д) 3uvw - 19vw + 21u + (4uvw + 8vw - 12u) - (10u + Hvw); е) 21az - 13bz + 18b2 - (Uaz + 12bz - 4b2) - 2az - 2bz; ж) 4m2 + 6mn + 7m2n - (4 mn + 4m2) - (6m2n - 2m2); з) (4c/^ + 4c2/ 2^ 2 + 6c4/ 4^ 4) - (3e4/ 4^ 4 + 2efg + e^f 2g 2); и) (-8h2 + 9hi + i2) + (6h2 - 3hi + i2) - (h2 - 10hi + 8i2); к) (f + v3 + 2^2v|) - (-6^2u| - 3v3 + 4t2) - (3t2 + u|^2). 195 Правообладатель Народная асвета 508. Найдите значение выражения (6Ь3 - 7b2c + + 4bc2) - (4 b3 + 8b2c + 2bc2) + (6 b3 + 15 b2c - 2bc2) при значении b, равном: а) -10; в) --2; д) ^4; ж) 2; б) -2; г) 0; е) ,2; з) 10. 509. Найдите значение выражения (рис. 309): а) (6,8xy2 - 4,2xy - 9x3) - (5,8xy - 2,2xy2 - 9x3) при x = 5, y = -2; x = -25, y = -4; б) 8a3 - (13ac - 11a3) + (10ac - 19a3) при a = 2, c = -17; 1 3 a = -4,2, c = -21; 6 в) 3a2b - 2ab2 + a2b + 2ab2 - ab - 7 при a = -2, b = 3; a = 2, b = -3; г) 5x5y4 - 4x5y4 + x2y2 - x5y4 - x2y2 + x - y - 11 при x = 10, y = -5; x = 0,1, y = 50. Рис. 309 4ra® - (5m® - 6n®) + (4/7i® - 9ra®) = = 4n® - 5m® + Qn^ + 4/n® - 9n^ = = /I® - oi®; n = 11; 7П = 4; ЦЗ _ 45 ^ 1331 _ 1024 = 307. 510. Решите уравнение: а) 1,4i - 2,5 + 4,7i = 3 - 1,4i + 2,7; б) 6,3 + 7,8/ - 3,6j = j - 12,9 - 7,3j; в) 2 x - 1 - 1 x + A = x - A - 5 x. '3 7 2 14 14 6 ^93 12 12 18 4 511. Решите уравнение: а) (5щ3 - 4m2 + 3m + 2) + (4 m2 - 6 - 5m3 - 8m) = 11; б) (2x2 - 3x - 7) - (11 - 5x - 5x2) + (8 + 3x - 7x2) = 5. 196 Правообладатель Народная асвета 512. Найдите многочлен K, обращающий в тождество равенство (рис. 310): а) 4г3 - 4z + a - K = 3a; б) K - (c2 + 6c - 1) = 1; в) K + (6s2 - 3si) = 7s2 + 6st - t2; г) K - (3x2 - 3z2) = X2 - 9x2 + llz2. Рис. 310 ЪЪу -К + 4.у= ЪЪу - Ыу; Zby +Ау-К= 5Ьу" - Ыу; К = Щ1 + 4у - ЪЪу + Ыу; К = -26г/2 + 18у\ 513. Докажите, что сумма: а) двух нечетных чисел есть четное число; б) четного и нечетного чисел есть нечетное число; в) двух последовательных натуральных чисел есть нечетное число; г) трех последовательных натуральных чисел делится на 3; д) четырех последовательных натуральных чисел не делится на 4; е) трех последовательных нечетных натуральных чисел делится на 3 (рис. 311). -Ь 1, 2fe -I- 3, -Ь 5 — три последовательных нечетных числа. 2к+1 +2k + 8 +2k+ Ъ = %к + % = 3(2/? -К 3). 2fe -I- 3 есть натуральное число, поэтому 3(2/? + 3) делится на 3. Значит, на 3 делится и сумма 2/? -Ь 1 -I- 2/? -Ь 3 -Ь 2/? -Ь 5. _______________________________________________'' Рис. 311 514. Докажите, что значения многочлена х3 -- X2 - 2 при отрицательн^1х значениях х отрицательны. 197 Правообладатель Народная асвета в) 1 u + 1 u + 1 u; '2 3 6 г) -1 v3 + 2 v3 - 5 v3. М2 3 6 515. Увеличьте число 90 на: а) 10 %; в) 50 %; д) 5 %; б) 20 %; г) 25 %; е) 15 %. 516. Приведите подобные члены: а) 13а + 28а - 14 а; б) 27х2 - 11x2 - 35x2; 517. Решите уравнение: а) 1 x - 5 - 4 x + 11. а) 2 x 6 - 5 x + 12; б) 0,4а + ^6 - -| а - 0,8; в) 4,6fe - 2,3 + 6,4fe - k - 11,2; г) 8,9Z + 5,8 - 23,1Z - 14,2 - 20,1Z. 518. Упростите выражение: а) (-| с' x® • (-cx)2; б) -0,1Ь5^6 • (-20Ьу2)2; в) (^6 и‘ v‘ 11 u^v^ г) (-аЬ3)4 • (-0,1a|b)| • (30 а4Ь6)3. 519. Запишите все способы представления степенью с показателем, большим 1, числа: а) 315; б) 310; в) 318; г) 312 (рис. 312). / ' 12 = 1-12 = 2-6 = 3-4 = 4-3 = 6-2; 3^2 ^ (31)12 ^ (32)6 ^ (З3)4 ^ (З4)3 ^ (36)2. или 3^2 = 312 = 96 = 27"‘ = 81^ = 729^ Рис. 312 V--------------------------------------, 520. Длина реки Солон составляет 80 % длины Талицы и 25 % длины Оресы. Найдите дли-198 Правообладатель Народная асвета ны этих рек, учитывая, что Солон короче Талицы на 8 км. 521. Среднегодовой расход воды в устье Талицы составляет полтора расхода воды Солона, а расход воды Оресы на 0,1 м3/с меньше увеличенного в восемь раз расхода воды Талицы. Найдите среднегодовые расходы воды этих рек, учитывая, что расход воды Солона на 15,3 м3/с меньше расхода воды Оресы. 522. В Столинском районе находятся населенные пункты Давид-Городок и Речица. Население Давид-Городка составляет 56 % от населения Столина и на 0,4 тыс. человек больше населения Речицы. Найдите, сколько жителей в каждом из этих населенных пунктов, зная, что в них вместе живет 26,1 тыс. человек. 523. Озера Жежлино, Люкшино и Хотино находятся в Лепельском районе. Объем воды в Люкшино в 1,85 раза больше, чем в Жежлино, а в Хотино на 1,1 млн м3 меньше, чем в Жежлино. Найдите объем воды в каждом из этих озер, учитывая, что вместе в них 4,29 млн м3 воды. 524. Сторона PQ треугольника PQR на 2 см больше его стороны PR и на 2 см меньше стороны QR (рис. 313). Найдите длины сторон, учитывая, что периметр треугольника равен 27 см. 525. На ребре куба выбрали точку M. Докажите, что эта точка вместе с вершинами куба K и L (рис. 314) определяет равнобедренный треугольник. 199 Правообладатель Народная асвета 526. Есть два равных треугольника. Докажите, что в них равны биссектрисы, проведенные к соответствующим сторонам. 527. Путь, который проехал велосипедист за 4 ч, на 50 км больше пути, который прошел пешеход за 2 ч. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, учитывая, что скорость велосипедиста в три раза больше. 528. C участков площадями 16 га и 20 га вместе собрали 1072 ц ячменя. Учитывая, что урожайность первого участка на 4 ц/га больше урожайности второго, найдите урожайности каждого участка. 529. С участков, урожайности которых составили 30 ц/га и 25 ц/га, вместе собрали 1250 ц ячменя. Учитывая, что площадь первого участка на 5 га больше площади второго, найдите площадь каждого участка. * * * 530. Можно ли найти семь таких различных натуральных чисел, что сумма обратных им чисел равна единице? 531. Расшифруйте арифметический ребус СОМС = ОГОГО, в котором одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами, а разные — разными. 532. В строчку выписано 40 чисел, причем произведение любых трех соседних больше 1. Можно ли утверждать, что произведение всех выписанных чисел больше единицы? 16. Умножение многочленов А) Умножим одночлен 6ab на многочлен а2 + ab + 2b. Получим: 6ab • (а2 + ab - 2b) = = 6ab • a2 + 6ab • ab - 6ab • 2b = 6a3b + 6a2b2 200 12ab2. Правообладатель Народная асвета Мы записали произведение одночлена и многочлена, затем раскрыли скобки, используя распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания, и записали одночлены в стандартном виде. Произведение одночлена и многочлена мы заменили тождественно равным многочленом стандартного вида. При умножении одночлена на многочлен пользуются правилом: чтобы умножить одночлен на многочлен, надо этот одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить (рис. 315). Если рассматривать A, B, C, D как длины отрезков и учесть правило нахождения площади прямоугольника, то правило умножения одночлена на многочлен разъясняет рисунок 316. BCD А АВ АС AD J S = А(В -Ь С -Ь Л) Рис. 315 S=AB+АС+AD Рис. 316 Пример 1. Найдем произведение (5cx - c^x + + c) • (-3cx2). Умножая многочлен 5cx - c3x + c на одночлен -3cx2, получаем: (5cx - c^x + c) • (-3cx2) = = 5cx • (-3cx2) - c3x • (-3cx2) + c • (-3cx2) = = -15 c2x3 + 3c4x3 - 3c2x2. Промежуточные результаты можно не писать, а сразу записывать ответ, выполняя умножение одночленов устно. Б) Найдем произведение (a + b)(x + y + z) многочленов a + b и x + y + z. Будем второй множитель 201 Правообладатель Народная асвета рассматривать как одно целое и используем распределительное свойство умножения: (а + b)(x + у + г) = a(x + у + г) + b(x + у + г). Теперь раскроем скобки в произведениях полученной суммы: a(x + у + г) + b(x + у + г) = ах + ау + аг + bx + by + bz. Таким образом, (а + b)(x + у + г) = ax + ау + аг + bx + Ьу + bг. В правой части равенства записан многочлен, который является суммой произведений, получающихся при умножении каждого члена многочлена а + b на каждый член многочлена x + у + г. Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и записать сумму полученных произведений (рис. 317). f ^ ^ ^ (а + Ь)(х + у + г) - ах + ау + аг + Ьх + by + bz. i ft_____1_______f Рис. 317 Если переменные а, b, c, x, у, г рассматривать как длины отрезков и учесть правило нахождения площади прямоугольника, то правило умножения многочленов можно проиллюстрировать. Например, рисунки 318 и 319 поясняют тождества: (а + b)(x + у) = ax + ау + bx + Ьу; (а + b + c)(x + у) = ax + ау + bx + Ьу + cx + су. Можно заметить, что при умножении многочлена с m членами на многочлен с n членами получается многочлен с mn членами. Если в полученной 202 Правообладатель Народная асвета ay by ax bx X ay by cy ax bx cx a * b * c X Рис. 318 Рис. 319 сумме имеются подобные слагаемые, то их обычно приводят. Пример 2. Умножим многочлен p - 3q на многочлен 2p2 - 3pq + q2. Получим: (p - 3q)(2p2 - 3pq + q2) = = p • 2p2 + p • (-3pq) + pq2 + (-3q) • 2p2 + + (-3q)(-3pq) + (-3q)q2 = = 2p3 - 3p2q + pq2 - 6p2q + 9pq2 - 3q3 = = 2p3 - 9p2q + 10pq2 - 3q3. Понятно, что записи могут быть и более краткими. Пример 3. Упростим выражение (4 - n)(2n2 - n + + 3) - 5n2(n - 2). Получим: (4 - n)(2n2 - n + 3) - 5n2(n - 2) = = 8n_ - 4n + 12 - 2n3 + n2 - 3n - 5n3 + 10n2 = ....= -7n3 + 19n2 - Vn + 12. Умножение более чем двух многочленов выполняют по очереди. Пример 4. Найдем произведение (a - x)(2a - x + + 3y)(a - 2x): (a - x)(2a - x + 3y)(a - 2x) = = (2a2 - ax + 3ay - 2ax + x2 - 3xy)(a - 2x) = = (2 a2 - 3ax + 3ay + x2 - 3xy)(a - 2x) = = 2a3 - 4a2x - 3a2x + 6ax2 + 3a2y - 6axK + ax2 -- 2x3 - 3axy. + 6x2y = = 2a3 - 7a2x + 7ax2 + 3a2y - 9axy - 2x3 + 6x2y. 203 Правообладатель Народная асвета 1. Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен. 2. Какие свойства умножения используют при умножении одночлена на многочлен? 3. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен. 4. Сколько слагаемых получается при умножении многочлена с m членами на многочлен с n членами? 533. Проверьте, верно ли выполнено умножение: а) 2(a - 4) = 2a - 4; б) -3(y - 1) = -3y - 3; в) 4(Ь + 1) = 4b + 4; г) -5(x + 2) = -5x - 10; д) 2(-с - 4) = -2с + 4; е) -3(t - 2) = -3t + 6; ж) 4(-k + 2) = -4k + 8; з) -2(z - 3) = -2z + 6. 534. Проверьте, верно ли выполнено умножение: а) a(b - 4) = ab - 4a; б) -3x(y - 1) = -3xy + 3; в) 4a(b - 2) = 4ab - 8a; г) -2x(y - 5) = -2xy - 10x; д) (2 + a)(b - 4) = 2ab - 4a; е) (x - 3)(y - 1) = xy + 3; ж) (4 - a)(b + 1) = 4b + 4 - ab - a; з) (x + 2)(y - 5) = xy - 5x + 2y - 10. 535. Выполните умножение: а) 3b(b - 4); д) (2 + a)(-4b); б) -2c(b - 3); е) (x - 3)(-y); в) 4a(-2b - 2); ж) (4 - x)(y + 2); г) -2x(3x - 2); з) (-t + 3) (t - 5). 536. Выполните умножение: а) ^ a(2,1a3 4,2a); б) -2 x(0,9y2 - 15x); -cd^ в) (1 c^d^ + ^-^2 204 c2d; Правообладатель Народная асвета г) (—m^+ 2ш^П\ • 27 m^n^; ' \3 9 /34 д) -—(^3 - 5 pq+6 p’); е) (бЬ®x - Z5bx^ - 10x^ ] • ^ b^x^; \ ±4 —1 / 1б _8_ 13 ж) (41 k4V3 - ±6k314 - 13kV— )(-1—k— 1; 3)l-—19 ^ ^ Д- —4c z-cz + ±±36c z ]• 537. Запишите многочленом выражение: а) (q— - 4q + б) • 6q - (8 - 4q - 2q—) • 2q; б) 11d2 - (d - 2e) • 4d + 3e(6e - 6d) - 6e2; в) 91^(г - 4) - t24t - t • 6t2 + (t3 - 7t); г) k • 7k3 - (33 - 4) + (k + 4) • 6k3 - k • 10k2; д) 2x2 - x(6x - 2y) - y(3x - y); е) 6i2 - 6i(-i + 2j) + 6i ^-2i - 21 j; ж) б(3,4 - 0,8^ + 0,16^2) - 2(-1 + 1,б^ + 0,2^2); з) (1 f - 2 g) • 6f - (i3 g - 1 f) • 12g - (6g - 3f)(-2g). 538. Запишите многочленом выражение: а) 10и(4и2 - 6w) - 6v(6w + 7v2) - 2vw; б) 6x(4y - 3x) - 7(4 x2 - 3xy) - 3x(6x - 2y); в) 1,6а(0,ба - 0,4x) - 6(0,6x2 - 4ax) + 0,2x(8x - ба); г) (1,бd2 - 1,1б) • 1,6d - (2,2d - 1,8) • 0,6d2 - 0,8(2,6d2 -- 1,4d + 3,2); д) 6z - 3(z - 2) - 3(z - 4(3 - 2z) + 7) - 6(-z - 1); е) 6m - 3(2 - 3(3m - y)) - 3(y - (2m - 3y) - б). 539. Найдите значение выражения при данных 3начениях переменных: а) -2c(c2 - c - 2) + c(2 c2 - c - 4) при c = -11; -0,11; 11; б) а(а - b) - b(b2 - а) при а = -6 и b = 2; а = 6 и b = -2; а = -6 и b = -2; в) 6y(3y - 2) - 3,6y(6y - 3) при y = -2; -0,2; 2; 206 Правообладатель Народная асвета г) 4d(d - 5e) - 5e(e - 4d) при d = 5 и e = -7; d = -5 и e = -7; d = -5 и e = 7. 540. Докажите, что: а) выражение a(3a - 2) - a2(a + 3) + (a3 + 2a - 8) имеет одно и то же значение при любом значении переменной a; б) изменение значения переменной x не изменяет значения выражения x(2x2 - x - 6) - (3x3 + 2x - 13) + (x3 + + x2 + 8x - 10); в) значение выражения 2t(t^ + t) - t(3t2 + 1) - (5 + t2 - t3) не зависит от значения переменной t (рис. 320); 2t(t" + t)~ t(3t^ + t)-(5 + i®) = = 2t^ + 2f - f = -5. Данное выражение тождественно равно -5. Поэтому изменение значения переменной t не меняет значения самого выражения. Рис. 320 V___________________________________У г) значение выражения 3p(p - 4) - 6(p2 - 2p + 2) отрицательно при любых значениях переменной р; д) значение выражения 4b(3 - b) - 4(b2 - 1) + 4(3b2 - 3b + 1) положительно при любых значениях переменной b; е) значение выражения 3m(m - 5) + 5m(5 - m) - 10(m + 1) отрицательно при любых значениях переменной m (рис. 321). 3m(m - 5) -I- 5tw(5 - m) - 10(тп -Ь 1) = = Зт^ - 15m + 25m - 5m^ - IQm - 10 = = -2m^ - 10 = -2{jn^ + 5). Значение выражения ttl + Ъ положительно при любых значениях т. Поэтому значение выражения -2(т^ + 5) отрицательно при любых значениях т. Рис. 321 541. Решите уравнение: а) 2d(3d - 2) - 6d(8 + d) = 26; б) 2,5Z(3 + 3Z) = 7,5Z(Z + 2) - 60; 206 Правообладатель Народная асвета в) 12s(5 s - 6) - 15s(4 s - 10) = 50 + 28s (рис. 322); г) 35^ - 7g(21g - 9) = -56 - 49g(3g - 2); д) 5(-3a + 1) -2(a + 11) = 2a - 3(2 - a); е) -5(4 - 2k) + 4(k - 7) = 7(3 - k) - 2k; ж) 4x(5x - 1) - 2x(10x - 4) = 13x - 7(3 + x); з) 182 + 8z(2 - 3z) = 6z(5 - 4z) - 39. ------------------------------------^ 12s(5s - 6) - 15s(4s - 10) = 50 + 28s; 60s2 - 72s - 60s2 + 150s = 50 + 28s; - 72s + 150s -28s = 50; 50s = 50; s = 1. Рис. 322 V--------------------------------------^ 542. Выполните умножение: а) (3a + 3)(6a - 4); б) (5Z - 2m)(4l - m); в) (3x - 7y)(3x + 7y); г) (5 - h)(h + 5); д) (2c + 5d)(5d - 2c); е) (x2 + y)(x + y2); ж) (a2 + 2b2)(a2 - b); з) (3j2 - k2)(4j2 + k2); и) (5^2 - 4^)(^ + 1); к) (r - 2)(4r3 - 3r2); л) (9Z2 - 4Z)(7Z - 5); м) (g 3 + 5g 4)(g 3 - 2g). 543. Представьте многочленом выражение: а) (x2 + a)(a + x2); б) (a2 + 2b)(2a + b2); в) (6f 2 - 7g 2)(7f 2 - 6g 2); г) (9i3 - 8j 4)(9j4 - 8i3); д) (y2 - 2y + 1)(y - 1); е) (4d - 5z)(-8d - 6x + 8z); ж) (6q - v)(-3q + 5v - 3w); з) (7i - 5j + 2k)(5i - 5j). 544. Раскройте скобки: а) (9g 2 - 6gh + 4h2)(3g + 2h); б) (9k2 - 15kl + 25l2)(3k + 5l); в) (-2y2 + 3y + 3)(4y - 3); г) (7 - 3s)(5s2 + 5s + 4); д) (i2 - i + 2)(3i2 + i - 3); е) (4 - 3z - z2)(4z2 - 2z - 1); 207 Правообладатель Народная асвета ж) (fe2 - 2Z2)(k4 + 2k^l^ + 4l4); з) (16c2 - 20cd2 + 25d4)(4c + 5d2). 545. Представьте многочленом выражение: а) (3а - 2)(2а + 5) - 5а(3а - 5); б) (7х + 4)(2x + 3) - 3x(7x - 1); в) (Ь3 + 2b2c - 5bc2 - 3c3)(5b + 4c); г) (щ3 + 3m2n - 3mn2 + 4n3)(3m + 2n); д) (d4 + 3d3 + 5d2 - 3d + 1)(d2 - 2d + 1); е) (324 - 2Z3 + 2z2 - 4z + 2)(z2 - z - 3); ж) (2i - 3j - 41)( 3 ^ - 2j ^ l); з) (2m + 1 n + 3k)(3k - 1 n + 2m). ' \3 2 4 /\4 2 3 / 546. Представьте многочленом выражение: а) (9 + 7а2 - 5а)(-3а + 2 - а2); б) (5ij2 - 3i3 + 2i2j)(-ij + 3i2 + 4j2); в) (4c2 + 4d2 - 2cd)(-2cd - d2 + 7c2); г) (3a2 - 4c2 + 6uv)(uv^ + 5u3 - 3a2u); д) (4^ 2 - 5^ 3 + 2^ + 1)(4 - 3^ 2 + 7g); е) (-3 + 6x2 - 8x - 10 x3)(-2 + 4x2 - x); ж) (x - a)(x - b)(x - c); з) (m2 + m + 1)(m2 - m + 1)(m2 - 1); и) (-а + b + c)(a - b + c)(a + b - c); к) (v3 + v‘^w + vw^ + w3)(v - w); л) (p4 - p^q + p^q^ - pq3 + q4)(p + q). 547. Докажите, что при любом целом значении n значение выражения: а) n(n + 5) - (n + 1)(n + 2) четное; б) (n + 2)(n + 4) - (n - 4)(n - 5) кратно трем; в) (n - 2)(n - 3) - (n - 6)(n - 7) кратно четырем; г) (n - 3)(n - 4) - (n - 8)(n - 9) кратно пяти; д) (n - 2)(n - 3) - (n - 5)(n - 6) кратно шести; е) (2n + 1)(n + 3) - (2 n + 6)(n - 3) кратно семи; ж) (2n - 1)(n + 2) - (2n + 5)(n - 4) кратно шести (рис. 323). 208 Правообладатель Народная асвета {2п - l)(n + 2) - (2n + 5)(n - 4) = = 2n^ + 4n - Ai - 2 - 2n^ + 8n - 5n + 20 = = 6n + 18 = 6(/г + 3). Значение выражения 6(ra + 3) кратно 6 при любом значении п. Поэпюму и значение выражения (2га - 1Хга + 2) - (2га + 5Хга - 4) кратно 6 при любом значении га. Рис. 323 548. Решите уравнение: а) (х + 4)(x - 2) - (x - l)(x + 5) = 0; б) a2 + a(8 - 2a) = -(a - 3)(a - 4) - 5; в) (3y - 1)(2y + 5) - (y + 2)(6y - 3) = 21; г) (3b - 2)(2 b + 3) - (6b2 - 37) = 71; д) (4z + 1)(3 z - 5) - (2 z - 11)(6 z - 7) = 44; е) (c + 1)(c + 2) - (c + 3)(c + 4) = 42; ж) (3i - 4)(4t - 3) - (6t + 4)(21 - 3) = 3; з) 5(d + 1)(d + 2) = 42 + (5d - 2)(d + 2); и) 2(4a - 2)(2a + 5) = 16 + (4u - 1)(4u - 4); к) 2(3v - 2)(2v + 6) + 3(1 - 4v)(v - 1) = 50; л) 2(5s - 4)(s - 1) = -32 - 5(2s + 3)(s + 2). 549. Найдите четыре последовательных четных натуральных числа, учитывая, что произведение второго и четвертого чисел на 52 больше произведения первого и третьего чисел. 550. Периметр прямоугольника равен 70 см. Если увеличить его ширину на 2 см, а длину на 5 см, то площадь нового прямоугольника будет на 120 см2 больше площади данного. Найдите измерения данного прямоугольника. 551. Числа 3,141; 3,142; 31 и 310 7 71 женные значения числа п = 3,14159265^ них более точное? — прибли-. Какое из 209 Правообладатель Народная асвета 552. Представьте степенью выражение (рис. 324): а) 44 • 219; в) 86 • 1615; д) 167 • 423. б) 97 • 321; г) 2711 • 913; Рис. 324 gi® .81^® = 9^' • (9')^® = 9^® • 9'" = 9"^ 553. Решите уравнение: ч а - 3 2 2 a - 5 а) ---- + — = ----; ' 6 3 5 .-ч 2т + 3 ^ 1 m -11 '3 3 5 в) _^+7 = 2,25 + 6 4 ч 3s + ^ о 7 s + 20 г) —^— + 2 = 46 554. Докажите тождество: а) (1 + т)(1 - т)(1 + т2) = 1 - т4 (рис. 325); б) 2(х - у) - 3(х + у) - (5х - 4y) + 5(х - 2y) - (x - y) = -2(x + + 5y); в) 3(2a - 3b) - 4((3a + b) - (a - 3b)) - (4(a - b) - 5(3a - b)) = = 9a - 26b. ^ (1 + m)(l - 7п)(1 + m^) = = (1 - m + m - m^)(l + m^) = = (1 - m^)(l + m^) = = 1 + = Рис. 325 В = 1 m Рис. 326 555. По словам Анфисы, у нее на трех полках 118 книг, причем на второй на 9 книг больше, чем на первой, а на третьей на 4 книги меньше, чем на второй. Возможно ли такое распределение книг? 556. Вы знаете, что сумма углов треугольника равна 180°. Используя это и рисунок 326, докажите, что сумма углов четырехугольника равна 360°. 210 Правообладатель Народная асвета 557. Один угол четырехугольника ^ вдвое больше второго, на 25° больше третьего и втрое меньше четвертого (рис. 327). Найдите углы четырехугольника. 558. Есть два равных треугольника. Докажите, что в них равны медианы, проведенные к соответствующим сторонам. 559. Уза, Липа и Чечера — притоки Сожа, протекающие по Буда-Кошелевскому району. Длина Липы на 14 км меньше длины Узы и на 6 км больше длины Чечеры. Найдите длины этих рек, учитывая, что длина Чечеры составляет 14 длины Узы. 560. Уза за одну секунду вливает в Сож на 0,2 м3 воды больше Чечеры и на 1 м3 больше Липы. Найдите среднегодовые расходы воды в устьях Узы, Чечеры и Липы, учитывая, что расход воды Липы составляет — расхода воды Чечеры. 4 561. Найдите массу 1 см3 алюминиевой бронзы, если для ее получения использовали меди 12 кг, алюминия — 10 % этого количества. Учтите, что масса 1 см3 меди равна 8,9 г, алюминия — 2,7 г. 562. Масса серебряного слитка 875-й пробы равна 232 г. Определите, сколько нужно взять меди, чтобы после переплавки получить серебро 840-й пробы. 563. В емкости содержится 10,5 мл 40-процентного раствора серной кислоты. Определите, сколько 75-процентного раствора этой же кислоты нужно долить в емкость, чтобы получить 50-процентный раствор. 211 Правообладатель Народная асвета т^/1 Мл (к м р Рис. 328 564. В основании прямоугольного параллелепипеда MNOPABCD лежит квадрат (рис. 328). На ребре PD выбрали точку K и соединили ее с вершинами M, O, A, C. Докажите, что: о а) KM и KO равны; б) отрезки KA и KC равны; в) углы MKA и OKC равны; г) углы KMA и KOC, а также KAM и KCO равны. 565. На двух машинах перевозили картофель, причем на первой сделали 6 рейсов, на второй — 4. Найдите, сколько картофеля перевезли на каждой машине, учитывая, что на первой машине перевозили картофеля в 3 раза больше, чем на второй, а их суммарная грузоподъемность равна 9 т. 566. В первом кинотеатре 30 рядов, а во втором — 20, причем в первом кинотеатре имеется на 1000 мест больше, чем во втором. Учитывая, что количество мест в одном ряду первого кинотеатра вместе с количеством мест в одном ряду второго кинотеатра составляет 100, найдите количество мест в одном ряду каждого кинотеатра. 567. В первом кинотеатре ряд содержит 56 мест, а во втором — 50, причем первый кинотеатр содержит на 504 места больше, чем второй. Учитывая, что количество рядов в первом кинотеатре вместе с количеством рядов во втором кинотеатре составляет 62, найдите количество рядов в каждом кинотеатре. * * * 568. На сколько частей можно разбить плоскость четырьмя прямыми? 569. Докажите, что если 15-угольник имеет ось симметрии, то она проходит через одну из его вершин. 212 Правообладатель Народная асвета 570. Можно ли прямоугольную таблицу размерами 20 X 30 клеток заполнить числами так, чтобы их сумма в каждой строке таблицы была положительной, а в каждом столбце — отрицательной? 17. Вынесение общего множителя за скобки А) Рассмотрим сначала деление одночленов. Пример 1. Выполним деление 12х4^3 : 3х2. Получим: (1) (2) 12х4^3 : (3х2) = (12х4^3 : 3) : X2 = ((12 : 3)х4^3) : X2 = (3) (4) = (4 х4^3) : X2 = 4(х4 : x2)y3 = 4x2y3. Переход (1) сделан на основании правила деления числа на произведение, переходы (2) и (3) используют правило деления произведения на число, при переходе (4) использовано правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Понятно, что промежуточные вычисления можно не записывать. Пример 2. Разделим 14 m4n5k2 на 7m3 k2. Получим: 14 m4n5k2 : (7m3k2) = 2mn5. Результат деления одночленов можно проверить умножением. Поскольку (2mn5) • (7m3k2) = 14m4n5k2, то деление в примере 2 выполнено верно. Б) Рассмотрим деление многочлена на одночлен. Пример 3. Разделим многочлен 6k2Z3 - 12k3l2 + + 9kl2m на 3kl. Используя правило деления суммы на число, получим: (6k2l3 - 12k3l2 + 9kl2m) : (3kl) = = (6k2l3) : (3kl) - (12k3l2) : (3kl) + (9kl2m) : (3kl) = = 2kl2 - 4k2l + 3lm. 213 Правообладатель Народная асвета Рис. 329 Чтобы многочлен разделить на одночлен, надо каждый член многочлена разделить на этот одночлен (рис. 329). Пример 4. Каждый член многочлена 6c^d + 8d3 можно представить произведением двух одночленов, один из которых есть 2d: 6c2d + 8d3 = 2d • 3c2 + 2d • 4d2. Теперь общий одночлен-множитель 2d можно вынести за скобки: 2d • 3c2 + 2d • 4d2 = 2d(3c2 + 4d2). Значит, 6c2d + 8d3 = 2d(3 c2 + 4d2). В) Путем вынесения общего множителя за скобки мы представили многочлен 6c2d + 8d3 произведением множителей 2d и 3c2 + 4d2. Тождественную замену многочлена произведением двух многочленов называют разложением многочлена на множители (рис. 330). Рис. 330 Пример 5. Разложим на множители многочлен 24щ3^2 - 36щ2^3 - 12m3n. 214 Правообладатель Народная асвета Его члены имеют разные общие множители: щ2; т; п; 4mn; -4mn; -12m2n; 12m2n и др. Обычно множитель, который выносят за скобки, выбирают так, чтобы модули коэффициентов многочлена в скобках не имели общих множителей, кроме чисел 1 и -1, и чтобы члены многочлена в скобках не имели общего буквенного множителя. Модулями коэффициентов данного многочлена являются числа 24, 36 и 12. Их НОК равно 12. Поэтому коэффициентом общего множителя целесообразно взять 12 или -12. Переменная т входит в члены многочлена в третьей и второй степенях, поэтому за скобки можно вынести т2. Поскольку переменная n в членах многочлена содержится во второй, третьей и первой степенях, то за скобки выносится n. Получается, что за скобки есть смысл вынести одночлен 12m2n или -12m2n. Разделив все члены данного многочлена на общий множитель -12m2n, получим второй множитель произведения: (24 m3n2 - 36m2n3 - 12m3n) : (-12m2n) = -2mn + 3n2 + m. Таким образом, 24m3n2 - 36m2n3 - 12m3n = -12m2n(-2mn + 3n2 + m). Чтобы вынести общий множитель членов многочлена за скобки, надо: • выделить этот общий множитель; • делением членов многочлена на общий множитель найти многочлен, который записывается в скобках. Г) Пример 6. Решим уравнение 2г/2 - 7у = 0. Для этого в левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель /: y(2y - 7) = 0. 215 Правообладатель Народная асвета Теперь учтем, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей (рис. 331): у = 0 или 2у - 7 = 0. АВ = О равнозначно А = ^ шш В = = Рис. 331 Второе уравнение имеет корень у = 3,5. Таким образом, произведение у(2у - 7) равно нулю при у = 0 и при у = 3,5. Это означает, что уравнение 2у2 - 7у = 0 имеет два корня — числа 0 и 3,5. Ответ: 0 и 3,5. Записи при решении таких уравнений могут быть и более краткими. Пример 7. Решим уравнение 7s2 - 4s = 0. Получим: 7s2 - 4s = 0; s(7s - 4) = 0; s = 0 или 7s - 4 = 0; s = 0 или s = —. 7 Ответ: 0 и —. 7 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. Как многочлен разделить на одночлен? Какое тождественное преобразование называют разложением многочлена на множители? Какое тождественное преобразование многочлена называют вынесением общего множителя за скобки? Как вынести за скобки общий множитель членов многочлена? Сформулируйте условие, при котором произведение равно нулю. Что вы можете сказать о множителях равного нулю произведения? 216 Правообладатель Народная асвета 571. Выполните деление: а) 5а ■■ ^-22aj; б) (-t) ■■ (f t); в) 6b ■■ (-,|b); г) n) ■ n \ \18 ж) 1,47m : (-2,1m); з) -14,8^ : (I,7^); и) 20,7^5 : (2,Ipq); к) (-2,07rs) : (-8,9rs); л) f cd '■ (-1,5cd); | м) -1,75feZ : (4 kl). д) 4,9x : (7x); е) (-12,1k) : (-k); 572. Выполните деление: а) (7ab3 + 5a2b2) : (7ab); б) (2x6^5 - 4x5^4) : (-4x5y4); в) (-24c5d6 + I2c6d5) : (-8c1 d4); г) (-I6k5l| - I0k4l3) : (12 k|l|); д) (12г - 8s - 4) : 4; е) (8m2 + 12m1 - 20m4) : (-10 m2); ж) (21n - 28nk - 7n2) : (-7n); з) (2t7 - lt5 - 4t3 + 5t) : (21). 573. Выполните деление: а) (^a’b - 4ab‘ + 8ab) '■ (fab}’ б) (3 x‘ y- - ^| x'y‘ - 5 x‘y‘) : (~6x‘y‘y. „ 2 2 —m n 7 в) (-- m n - — m n + — m n \7 7 7 г) (0,02c5 - 0,04c4 + 0,06c1 - 0,08c—) : (0,01c—); д) (-1,05210 + 1I,I28 - 18,9s6 - 25,9s4) : (70s3); е) (— k‘ y‘ - 6 k‘ y‘ + ^ k' y' - H k' y^ ■■ (— k‘ y‘ ж) (-f l3x® - 41"x® + 81®x® ' ' 9 9 9 111® x^“ 9 1‘ x‘ 27 з) (s— - 2s3 + Is4 - 4s5 + 5s6 - 6s7) : (-Is). 217 Правообладатель Народная асвета 574. Выразите произведением многочлен: а) X4 - 2x2; б) 2с2 + 7с5; в) 7i/4 - 21y2; г) 15fe7 + 10 k4; д) t5 - 3t4; е) 8z + 1022; ж) i2j - ij2; з) щ2^3 - m3n2; и) 9/5 - 12/4 - 3/3; к) 5a - 10 ab + 20ac; л) 4vw + 8uw - 6w; м) 7fgh + 21ghi - 7fghi. 575. Найдите значение выражения: а) 0,13t2 + t3 при t = 0,87; -1,13; 2,87 (рис. 332); б) с2 - 5,56с при с = -4,44; 4,56; 6,56; в) X3 - ax2 при X = -2,37 и a = 7,63; x = 2,37 и a = = 1,37; г) z3 + bz2 при b = -5,03 и z = 7,03; b = -2,97 и z = -7,03; b = 10,03 и z = -7,03; д) km2 + m3 при k = 8,47 и m = 1,53; k = -8,47 и m = = -1,53; k = 6,53 и m = -1,53. 0,13^" + f = i^(0,13 + ty, t - 0,87; (0,87f(0,13 + 0,87) = 0,7569-1 = 0,7569. Рис. 332 576. Упростите: а) (z2 - 3xz) • 7z2 - (12x3z - 16 x2z5) : (4 x2z); б) (21k2Z3 - 28k4l4) ■■ (7k2l) - (4 + 3k2l) • l2; в) (b2 - ab) '■ b + (a - b) - (a2 - ab) ■ a; г) 14 (3v - 1) + (-18v2 + 6v) : (-6v) + (-2v + 3); д) -6 (^6y -12j + (12/2 - 6y) : (-3/) - (y - 3); е) -3(2 - u - u2) + 5(1 + u - 3u2) - (6u3 - 8u2 - 2u) : (-2u). 218 Правообладатель Народная асвета 577. Решите уравнение: а) 4х - 8x2 = 0; г) 7,2d + 3d2 = 0; 5 б) Та2 + 2а = 0; д) 12m2 = 6m; в) 5,Тс - 1,9c2 = 0; е) 2,8^ = — w2. 12 578. Докажите, что значение выражения: а) 184 + 183 делится на 19; б) 184 - 183 делится на 1Т; в) 256 + 513 делится на 30; г) Т16 + 49Т делится на 350; д) 61Т - 368 делится на 180; е) 1130 - 12114 делится на 120 (рис. 333). Рис. 333 цЗО _ J2114 = ЦЗО _ ^^2)14 ^ ^ ЦЗО - 1128^1128.(Ц2_1)^ = Ц2®-120. Произведение 11 *120 содержит множитель 120, поэтому делится на 120. Значит, на 120 делится и выражение 11®” - 121^'*. 579. Запишите формулы для площадей пяти прямоугольников на рисунке 334. Вычислите эти площади для а = 20 см, b = 15 см. 580. Значения переменных m и п выбрали так, что значением выражения m - 2п стало число ^. Найдите 3 при этих значениях переменных m и п значение выражения: 3 Рис. 334 а) (m - 2п)2; б) (2п - m)2; в) 2п - m; г) д) 2п - m 2п - m 2 3 ж) (m - 2п)3; з) (2п - m)3 (рис. 335). е) -6(2п - m); 219 Правообладатель Народная асвета Рис. 335 581. Запишите и упростите выражение, являющееся суммой: а) четырех последовательных натуральных чисел, большее из которых есть число п; б) трех последовательных натуральных чисел, большее из которых есть число п - 1; в) пяти последовательных натуральных чисел, большее из которых есть число п - 3; г) пяти последовательных натуральных чисел, большее из которых есть число п + 3. 582. Докажите, что при любом значении переменной: а) сумма выражений 2(3х - 8) - х(3х - 8) и х(3х - 11) -- (3х - 11) принимает значение, равное 5; б) значение суммы а(2a - 3) + 5(2a - 3) меньше значения суммы — a(6a - 1) + 1— (6a - 1). 3 18 583. Решите уравнение: а) 3 a + 5 7 a + 11 9 = 0; .-ч 19 - 3 х 7 х + 12 п б) ------^;-------------------- = 6. 7 8 584. Найдите три последовательных нечетных числа, зная, что произведение второго и первого из них на 116 меньше произведения второго и третьего чисел. 585. Определите, сколько воды нужно: а) испарить из 500 кг целлюлозной массы, содержащей 90 % воды, чтобы получить массу с содержанием воды 50 %; 220 Правообладатель Народная асвета б) долить к 5-процентному раствору, содержащему 40 г соли, чтобы получить 4-процентный раствор. 586. Постройте треугольник по стороне MN и углам M и N, учитывая, что: а) MN = 45 мм, Z M = 36° и Z N = 60°; б) MN = 6,2 см, Z M = 90° и Z N = 15°; в) MN = 0,57 дм, Z M = 125° и Z N = 45°. Найдите величину третьего угла построенного треугольника. 587. В пределах Шкловского района Днепр имеет три притока — Березовку, Черницу, Артислов-ку. Длина Березовки на 2 км меньше удвоенной длины Черницы, на 8 км меньше удвоенной длины Артисловки и на 12 км больше длины Черницы. Найдите длины этих притоков Днепра. 588. В общежитии есть 90 комнат с одним количеством мест и 30 комнат с другим количеством, причем первое количество мест на два больше. Найдите эти количества мест, учитывая, что во всех комнатах первого вида в 6 раз больше мест, чем во всех комнатах второго вида. 589. Света купила 20 DVD-дисков и 15 CD-дисков, причем на приобретение DVD-дисков было затрачено на 55 000 р. больше. Учитывая, что цена DVD-диска на 2000 р. больше цены CD-диска, найдите цену DVD-диска и цену CD-диска. 590. Света купила DVD-диски по 5500 р. и CD-диски по 3500 р., причем на DVD-диски было затрачено на 102 500 р. больше. Учитывая, что количество DVD-дисков на 15 больше количества CD-дисков, найдите количество DVD-дисков и количество CD-дисков. 221 Правообладатель Народная асвета * * * 591. По следующим сведениям определите год, с которого известен город Шклов. Этот год является четырехзначным числом, равным произведению двух простых множителей, один из которых однозначный, а второй — на 2 больше увеличенного в 61 раз однозначного множителя. 592. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 есть также простое число или 1. 593. В строчку записано 50 таких чисел, что сумма любых трех соседних из них положительна. Можно ли утверждать, что сумма всех записанных чисел положительна? 18. Формулы сокращенного умножения А) Представим многочленом выражение (а + b)2. Для этого запишем его произведением (а + b)(a + b) и выполним умножение: (а + b)2 = (а + b)(a + b) = а2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. Таким образом, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Полученную формулу называют формулой квадрата суммы. Ее иллюстрирует рисунок 336. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого ь выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго а выражения. Представим многочленом выражение (а - b)2. Получим: (а - b)2 = (а - b)(a - b) = Рис. 336 = а2 - ab - ab + b2 = а2 - 2ab + b2. 222 ab аЬ Правообладатель Народная асвета Таким образом, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. Полученную формулу называют формулой квадрата разности. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. Формулу квадрата разности можно получить из формулы квадрата суммы, рассматривая разность a - b как алгебраическую сумму a + (-b): (a - b)2 = (a + (-b))2 = = a2 + 2a(-b) + (-b)2 = = a2 - 2ab + b2 (рис. 337). I t (a -b bf = a" -h 2ab + b" (a - b)^ - 1 2ab -b b^ i____________T Рис. 337 Б) Выполним умножение разности a - b двух выражений на их сумму a + b. Получим: (a - b)(a + b) = a2 + ab - ab - b2 = a2 - b2. Значит, (a - b)(a + b) = a2 - b2 Полученную формулу называют формулой разности квадратов. Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности квадратов этих выражений. Формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов являются тождествами, в них a и b обозначают любые выражения. Рассмотрим примеры применения этих тождеств. 223 Правообладатель Народная асвета Пример 1. Представим многочленом выражение (10 a + 5)2. По формуле квадрата суммы получаем: (10a + 5)2 = (10a)2 + 2 • 10a • 5 + 52 = = 100a2 + 100a + 25. Пример 2. Вычислим 20092. Учитывая, что 2009 = 2000 + 9, получаем: 20092 = (2000 + 9)2 = 4 000 000 + 36 000 + 81 = = 4 036 081. Пример 3. Найдем 9982. Учтем, что 998 = 1000 - 2. Получаем: 9982 = (1000 - 2)2 = = 1 000 000 - 4000 + 4 = 996 004. 1. Запишите формулу квадрата суммы и дайте ее словесную формулировку. 2. Запишите формулу квадрата разности и дайте ее словесную формулировку. 3. Запишите формулу разности квадратов и дайте ее словесную формулировку. 594. Прочитайте запись, упростите ее и прочитайте результат: а) (a + 3)2; б) (1 - X)2; в) (с + d)2; г) (2 + k)2; д) (т - n)2; е) (3b - 1)2; ж) (2x + y)2; з) (2x - 3y)2; и) (7l - 4m)2. 595. Учитывая, что (a + b)3 = (a + b)2(a + b) и (a - b)3 = = (a - b)2(a - b), представьте многочленами куб суммы и куб разности двух слагаемых a и b. Вы получите формулы куба суммы и куба разности. Дайте словесные формулировки этих тождеств. 596. Используя формулу куба суммы (a + b)3 = = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, докажите формулу куба разности (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3. 597. Представьте объемы тел на рисунке 338 и результат их сравнения запишите формулой. 224 Правообладатель Народная асвета Рис. 338 598. Представив многочленами произведения (а + b)(a^ - ab + b2) и (a - b)(a^ + ab + b2), получите формулы суммы кубов и разности кубов. Используя рисунок 339, дайте словесные формулировки этих тождеств. Рис. 339 f Неполный квадрат разности (a + b)( - ab -\- s ) = + ь® (a - b)( + ab + b^ Неполный квадрат ) = а^ - Ь^ V суммы К J 599. Используя формулу суммы кубов a3 + b3 = = (a + b)(a^ - ab + b2), докажите формулу разности кубов a3 - b3 = (a - b)(a^ + ab + b2). 600. Прочитайте словами выражение: а) (a - t)2; д) U3 + (2v)3; б) (a + 5)2; е) s2 - t2; в) (1 - m)2; ж) (s + k)(s - k); г) (m + 2n)3; з) k2 + 2k + 1; 225 Правообладатель Народная асвета и) p2 + f 2 - 2pf; л) (s - t)(s^ + st + t2); к) (m + n)(m^ - mn + n2); м) (s + k)2(s - k)2. 601. Запишите многочленом выражение: а) (t - 6)2; д) (и + 10 v)2; и) (3,1 + f)2; б) (а + 7)2; е) (16s - v)2; к) (ll - ^ f; в) (11 - p)2; ж) (s + 0,1)2; л) (3 i+^ )2; г) (2m + 3n)2; з) (k + 2,5)2; м) (2 m -112 • 602. Преобразуйте в многочлен выражение: а) (2s + 5)2; ж) (^ - ■!2; н) (0,4p - 0,5y)2; б) (8 - 7а)2; з) (k - ; о) (0,2а + 0,8z)2; в) (12 + 7i)2; и) (U; + V6 J; п) (10b - 0,1b2)2; г) (7f - 4^)2; к) (5i - 5 jf р) (12^2 + 1,2 w)2; д) (d -2 ь л) ^ 1 m + 3kj; с) (1■|x^z) ^ е) (3 + hf; м) I2!1 v + т) (l-|r - 0,75s') , 603. Найдите квадраты чисел 15, 25, 35, 45, 55, 65. Проанализируйте полученные результаты. Какую гипотезу о возведении в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5, вы можете выдвинуть? Попробуйте обосновать свою гипотезу. 604. Выразите многочленом квадрат двучлена: а) (0,5х2 - 2y)2; б) (4а2 + 0,3Ь)2; в) (2,5г2 + 1,2z3)2; г) (2,3Ь3 - 1,5 Ь2)2; 226 д) (-|у2 - 0,5с') ; е) (l|d^ + 0,6с^ ж) (1 i ^ j - 2 i ^ j ^ з) (i!k^i2 - 4 k^i^ У; \ 2 9 / Правообладатель Народная асвета и) (5 m n - 3 mn ’ \6 5 к) (2 u ^v* - 21 v \ 3 2 л) (l1 r^- 4 r^ \ 4 5 м) (i|j‘k‘ +1|jjk b" {a-bf ‘fe' 605. Используя рисунок 340, докажите тождество (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. 606. Замените T таким одночленом, чтобы квадратом двучлена стал трехчлен: а) X2 + 2xy + T; г) I2 + T + Slj2; б) а2 - 14a + T; д) T - 112d + 49; в) 4y2 - T + 9b2; е) T + 30gh + 25h2 (рис. 341). ^ Т + 30gh + 25h^ = Т+ 30gh + {bhf = Т + 2-bh-{Zg) -Н {bhf = i^gf + 2-(3^)-(5Л) -Ь {bhf = 9/ -Ь ЗО^Л + 25Л^; Т = 9/. Рис. 340 Рис. 341 607. Выполните действия: а) у2 + 64 - (у - 8)2; д) (a - 4)2 + a(a + 16); б) n4 - 49 - (n2 + 7)2; е) (2z + 7)2 - 7(4 z + 7); в) 14x + (X - 7)2; ж) 6с(с - 2) - (2 с - 3)2; г) (6d -1)2 - 36d2; з) 5s(4 + s) + (1 - 5s)2. 608. Решите уравнение: а) (m - 5)2 - m(m + 6) = 1; б) 8x(2 X + 5) - (4 X + 1)2 = 2; в) a(a + 1) - (a - 6)2 = 3; г) 18у(2 - 2у) + (6у - 5)2 = 0; д) (u - 6)2 = u(u - 13) - 10; е) (2s + 1)2 = 2(2s2 - 1) - 13; ж) 25z2 - 3 = (5z - 3)2; з) 4g + (6g + 2)2 = 6(3 + 6g2). 227 Правообладатель Народная асвета 609. Прочитайте запись, упростите ее и прочитайте результат: а) (х + y)(x - у); г) (3 - ш)(3 + ш); б) (d - c)(c + d); д) (i - 4/)(4/ + i); в) (v - 7)(v + 7); е) (3e - 2f)(2f + 3e). 610. Выполните умножение: а) (k - p)(p + k); б) (u + 5)(5 - u); в) (4s - 1)(4 s + 1); г) (6 + 5y)(5y - 6); д) (7g + 9h)(9h - 7g); е) (10v - 3^)(10v + 3w); ж) (a2 - b2)(b2 + a2); з) (x3 + y3)(x3 - y3); и) (f 5 + 10)( f 5 - 10); к) (2г2 - r3)(r3 + 2z2). 611. Выразите многочленом произведение: а) (ш2 - л3)(ш2 + n3); б) (3u4 - v2)(v2 + 3u4); в) г) д) е) 3c + 0,7d)(0,7d - 3c 4 / \ 4 1,2c - 1^1 r)(1,2c + 1^6r); 21 ш - 2n)(23ш + 2n 0,8p3 + ^6qj{0,8p3 - ^6q); ж) (ij + 1,6k3)(1,6k3 - ij); з) (0,4p3 + 0,5q4)(0,5q4 - 0,4p3). 612. Запишите многочленом выражение: а) (a - b)2(a + b); е) (v + 6)2(6 - v)2; б) (ш + n)2(n - ш); ж) (z - 1)(z + 1)(z2 + 1); в) (c - 3)2(c + 3)2; з) (5 - f)(5 + f)(25 + f 2); г) (x + 5)2(x - 5)2; и) (g2 + 4)(g + 2)(g - 2); д) (u - 4)2(4 + u)2; к) (i4 + 1)(i2 + 1)(i2 - 1); л) (v2 + 7)(v4 - 49)(v2 - 7); м) (s3 - 4)(s6 + 16)(s3 + 4) (рис. 342). 228 Правообладатель Народная асвета Рис. 342 (s^ - 4)(s® + 16)(s^ + 4) = = ((s® - 4)(s^ + 4))(s® + 16) = = ((s®)" - 4^)(s® + 16) = = (s® - 16)(s® + 16) = = - 256. 613. Выразите многочленом произведение: а) (a + 2b + 3c)(a - 2b + 3c); б) (x - 3y - 5z)(x + 3y + 5z); в) (i + j + k + l)(i + j - k -1); г) (e - f + g + h)(e - f - g - h); д) (щ2 + 3)(m2 + 3m + 3)(m2 - 3m + 3); е) (p + q + r)(p - q + r)(p - q - r)(p + q - r); ж) (n + h)^(n - h)3; к) (m + 2p - 3t)2; з) (t + v)^(t - v)^‘ (рис. 343); л) (2q - r + 3x)2; и) (b + c + d)2; м) (3 - a - z)2 (рис. 344). 614. Решите уравнение: а) (4d - 7)2 = (4 d + 5)(4d - 5) + 67; б) (3s + 5)(3s - 5) = 9(s - 5)(s + 5); в) 4y(y + 4) - (2y + 5)(2y - 5) = -7; г) 25c(c - 4) = (5 c - 10)(5 c + 10); 229 Правообладатель Народная асвета д) (6 - х)(6 + x) + (x - 3)2 = 3; е) 16h(h + 2) - (4h + 3)(4h - 3) = 29; ж) (5u + 3)(5u - 3) - (5u - 7)2 = 40; з) (a + 7)(a - 7) = (6 - a)(a + 6) - 53. 615. Прочитайте запись, упростите ее и прочитайте результат: а) (i + j)3; в) (2s - p)3; д) (5a - 2b)3; б) (a - x)3; г) (q + 4x)3; е) (3b + 4c)3. 616. Используя формулу куба суммы (a + b)3 = = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, упростите выражение: а) (w - 6)3; в) (9 - с)3; д) (0,4 - y)3; б) (2,1 + h)3; г) (s + 0,2)3; е) (k + 1,5)3. 617. Каждую сторону квадрата уменьшили на 7 мм. В результате получился новый квадрат, площадь которого на 749 мм2 меньше. Найдите сторону нового квадрата. 618. Докажите, что: а) если к произведению двух последовательных нечетных натуральных чисел прибавить меньшее из них, то получится число, равное произведению меньшего из данных чисел и следующего за большим (рис. 345); (^п + 1 и 2п + 3 — два последовательных^ нечетных натуральных числа; 2п + 4 — число, следующее за числом 2п + 3; (2га + 1)(2га + 3) + (2га -Ы) = - 4га^ -Ь 6га -Ь 2га -Ь 3 -Ь 2га -I- 1 = = 4га^ + Юга + 4; (2га + 1)(2га -I- 4) = 4га^ -Ь 8га -Ь 2га -Ь 4 = = 4га" -Ь Юга + 4. Значит, (2га + 1)(2га -h 3) + (2га -Ы) = Рис. 345 у= (2^ + 1)(2/г + 4).___________________^ 230 Правообладатель Народная асвета б) если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа. г) 5,012. ж) (2,3м3и2^5)3; з) (-3cd2)3; и) (-1,1у425)4. 619. Вычислите: а) 5,12; б) 4,92; в) 5,22; 620. Возведите в степень: а) (ах)3; г) (-2k2l3)4; б) (ТЬу)2; д) (0,1i2jk)3; в) (2,5щп)2; е) (10е/ 2^)4; 621. Вычислите: а) (15 • 32k + 1 - 10 • 32k + 5 • 32k - 1) : (5 • 32k - 2); б) (19 • 14n - 16 • 2n - 4 • 7" - 2n + 1 • 7" + 1) : 14n - 1. 622. Представьте произведением выражение: а) 6х2 + 4х; в) 9 - n2; б) 4z2 + 4z + 1; г) -а2 + 2а - 1. 623. Докажите, что: а) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел есть нечетное число; б) для любого натурального числа n значение выражения (7n - 1)2 - (2n - 6)2 кратно 5. 624. Найдите две точки и постройте на координатной плоскости график зависимости: д) у = 6 х + 3; 5 е) у = - -| х + 3. а) у = -3х + 1; в) у = 2х + 2; б) у = -3 х + 1; г) у = - -2 х + 2; 625. Докажите, что: а) если а2 + b2 = 2, то (а + Ъ)(а + b + 2) = 2(а + 1)(b + 1); б) если а + Ъ = 7, то (а + 1)(Ъ + 1) - (а - 1)(Ъ - 1) = 14; в) если аЪ > 0, то (а - c)(b - c) + (а + c)(b + c) > 0. 231 Правообладатель Народная асвета 626. Один угол четырехугольника в два раза меньше другого, который в три раза меньше третьего. Найдите углы четырехугольника, учитывая, что третий угол больше первого на 125°. 627. Есть два равных треугольника. Докажите, что у них равны средние линии, которые соединяют середины пар соответствующих сторон. 628. (Задача Бхаскары^.) Кто-то сказал своему другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду в два раза богаче тебя», на что последний ответил: «Если ты мне дашь только 10 рупий, то я стану в шесть раз богаче тебя». Нужно ответить, сколько рупий было у каждого. 629. Утроенное число жителей городского поселка Смиловичи, находящегося в Червенском районе, на 5,8 тыс. человек больше числа жителей города Чер-веня, а утроенное число жителей Червеня на 5,2 тыс. человек меньше числа жителей Червенского района. Найдите по отдельности количества жителей Черве-ня, Смиловичей и Червенского района, учитывая, что в Червенском районе на 20,1 тыс. жителей больше, чем в Червене и Смиловичах вместе. 630. Покоть, Чечера, Колпита — реки, протекающие по Чечерскому району. Площади водосборов Поко-ти и Колпиты относятся как 56 ^ 61, площадь водосбора Чечеры на 2 км2 больше площади водосбора Колпи-ты и вместе с площадью водосбора Покоти составляет 1055 км2. Найдите площади водосборов этих рек. 631. Токарь изготовил 96 деталей, а его ученик — 16 деталей, при этом суммарная продолжительность их работы составила 12 ч. Найдите производительность труда токаря и ученика, учитывая, что токарь изготавливает в час в 3 раза больше деталей, чем ученик. 1 Ачарья Бхаскара (1114 г. — после 1178 г.) — индийский математик. 232 Правообладатель Народная асвета 632. В магазине было продано 120 пачек одного вида мороженого и 70 пачек другого, причем общая выручка составила 1 215 000 р. Учитывая, что цены пачки первого и второго видов мороженого относятся как 5 : 3, найдите эти цены. 633. В магазине продавали пачки мороженого по цене 5700 р. и по цене 4800 р., причем общая выручка составила 1 548 000 р. Учитывая, что количества проданных пачек первого и второго видов мороженого относятся как 2 : 3, найдите эти количества. * * * 634. Проводится шахматный турнир по переписке, в котором все партии играются одновременно. Сведения о результатах законченных партий сообщаются судье, который заносит их в турнирную таблицу. Докажите, что количество участников, сыгравших нечетное число партий, в любой момент четное. 635. Квадрат натурального числа содержит нечетное количество десятков. Найдите цифру единиц этого квадрата. 636. Докажите, что для каждого натурального числа n существует число вида 11...100...0, делящееся на n без остатка. 19. Разложение многочлена на множители А) Многочлен, все члены которого имеют общий множитель, можно разложить на множители, если вынести общий множитель за скобки. Можно разложить на множители и некоторые многочлены, члены которых не имеют общего множителя. Пример 1. Разложим на множители многочлен а2 - 2ab - 3a + 6b. Для этого сгруппируем его члены так, чтобы в каждой группе можно было вынести за скобки определенный множитель: а2 - 2ab - 3а + 6b = (а2 - 2ab) + (-3а + 6b). 233 Правообладатель Народная асвета В каждой группе вынесем общий множитель за скобки: (а2 - 2ab) + (-3a + 6b) = a(a - 2b) - 3(a - 2b). Теперь можно вынести за скобки общий множитель a - 2b: a(a - 2b) - 3(a - 2b) = (a - 2b)(a - 3). Получим: a2 - 2ab - 3a + 6b = (a - 2b)(a - 3). Использованный в этом примере способ разложения многочлена на множители называют способом группировки. При разложении на множители многочлена a2 - 2ab - 3a + 6b его члены можно сгруппировать и иначе: a2 - 2ab - 3a + 6b = (a2 - 3a) - (2ab - 6b) = = a(a - 3) - 2b(a - 3) = (a - 3)(a - 2b). Пример 2. Разложим на множители многочлен a^x - 3axy - 6y^ + 2ay + 9y - 3a. Для этого сгруппируем первый, четвертый и шестой члены, а также второй, третий и пятый члены: a^x - 3axy - 6y^ + 2ay + 9y - 3a = = (a^x + 2ay - 3a) - (3axy + 6y^ - 9y) = = a(ax + 2y - 3) - 3y(ax + 2y - 3) = = (ax + 2y - 3)(a - 3y). Б) Формулы (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2, (a + b)(a - b) = a2 - b2 называют формулами сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения, записанные в виде 234 Правообладатель Народная асвета а2 + 2ab + b2 = (a + b)2, a2 - 2ab + b2 = (a - b)2, a2 - b2 = (a + b)(a - b), можно использовать для разложения многочлена на множители. Пример 3. Разложим на множители выражение 36a2 + 60a + 25. Обратим внимание на то, что первое слагаемое является квадратом выражения 6a, третье — квадратом числа 5, а второе — их удвоенным произведением. Поэтому данное выражение можно представить квадратом суммы выражений 6a и 5: 36a2 + 60a + 25 = (6a)2 + 2 • 6a • 5 + 52 = (6a + 5)2. Сумму квадратов двух выражений, увеличенную на их удвоенное произведение, можно записать квадратом суммы этих выражений (рис. 346). Сокращенное умножение 1 (а -Ь bf а^ -Ь 2аЬ -\- Ь^ (а - bf = а^ - 2аЬ -\- Ь^ (а -Ь bf а® -Ь За^Ь -К ЗаЬ" + Ь® (а - bf = а® - За^Ь -Н ЗаЬ^ - Ь® (а - Ь)(а -1- Ь) = а^-Ь^ (а -Ь Ь)(а^ - аЬ -\- Ь^) = а® -Ь Ь^ (а - Ь)(а^ -\- аЬ -\- Ь2) = а® - Ь® Т Разложение на множители, Рис. 346 235 Правообладатель Народная асвета Пример 4. Разложим на множители трехчлен 4х2 - 28xy + 49y2. Поскольку 4x2 = (2 x)2, 49y2 = (7y)2 и 28xy = 2 • 2x • 7y, то 4x2 - 28xy + 49y2 = (2x - 7y)2. Сумму квадратов двух выражений, уменьшенную на их удвоенное произведение, можно записать квадратом разности этих выражений. Пример 5. Разложим на множители двучлен 64 - 9щ4. Поскольку 64 = 82 и 9m4 = (3m2)2, то 64 - 9m4 = 82 - (3m2)2 = (8 - 3m2)(8 + 3m2). Разность квадратов двух выражений можно записать произведением разности этих выражений на их сумму. При разложении на множители можно использовать и другие формулы-тождества, например формулы а3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3, a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3, a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2), a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) (см. рис. 346). В) Мы рассмотрели отдельные способы разложения многочленов на множители — вынесение общего множителя за скобки, группировку членов многочлена, использование формул сокращенного умножения. На практике при разложении многочленов на множители эти способы чаще всего приходится сочетать. Пример 6. Разложим на множители многочлен a3b - 3a2b + 2a3 - 6a2. Члены многочлена имеют общий множитель a2, поэтому вынесем его за скобки: a3b - 3a2b + 2a3 - 6a2 = a2(ab - 3b + 2a - 6). 236 Правообладатель Народная асвета Теперь попробуем разложить на множители многочлен ab - 3b + 2a - 6, используя группировку его членов: ab - 3b + 2a - 6 = (ab + 2a) - (3b + 6) = = a(b + 2) - 3(b + 2) = (b + 2)(a - 3). Значит, окончательно: a^b - 3a2b + 2a3 - 6a2 = a^(b + 2)(a - 3). Пример 7. Разложим на множители многочлен 4щ2 - 12mn + 9n2 - 16 k2. Сгруппировав первые три члена многочлена, получаем трехчлен, являющийся квадратом разности выражений 2m и 3n. Поэтому 4m2 - 12mn + 9n2 - 16 k2 = (4 m2 - 12mn + 9n2) - 16k2 = = (2m - 3n)2 - (4 k)2. Выражение (2m - 3n)2 - (4k)2 можно разложить на множители по формуле разности квадратов: (2m - 3n)2 - (4 k)2 = (2m - 3n + 4k)(2m - 3n - 4k). Окончательно: 4m2 - 12mn + 9n2 - 16 k2 = (2m - 3n + 4k)(2m - 3n - 4k). Разложение многочлена на множители, другие тождественные преобразования используют для упрощения вычислений, решения уравнений, других задач. Г) Задача 1. Докажем, что площадь треугольника можно найти как половину произведения основания этого треугольника на высоту, проведенную к этому основанию. S. = 1 a • h. ^ 2 Сначала докажем, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 237 Правообладатель Народная асвета На рисунке 347 показан прямоугольник ABCD. Диагональ AC разделяет его на два равных треугольника ABC и ADC. Действительно, оба они прямоугольные и катеты AB и BC треугольника ABC соответственно равны катетам DC и AD треугольника ADC, так как эти катеты — противоположные стороны прямоугольника. Поскольку треугольники ABC и ADC равны, то равны и их площади, и каждая из них равна половине площади прямоугольника, т. е. 1AD • DC. 2 Рассмотрим теперь произвольный треугольник MNK (рис. 348). Выберем в качестве основания сторону MK и к ней проведем высоту NL. Треугольник MNK разделился на два прямоугольных треугольника MNL и KNL. Площадь треугольника MNK равна сумме площадей треугольников MNL и KNL: SMNK = SMNL + SKNL. Запишем площади треугольников MNL и KNL: Smnl = 2 ML ■ NL; Sk„, = \ LK • NL. Поэтому (1) (2) SMNK = 1 ML • NL + 1 LK • NL = 1(ML + LK) • NL = 2 2 2 = 1 MK • NL. 2 Здесь при переходе (1) использовано вынесение за скобки общих множителей 1 и NL, а при переходе (2) — то, что ML + LK = MK. 238 Правообладатель Народная асвета Д) Задача 2. Докажем, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. Вырежем четыре прямоугольных треугольника с катетами a и b (a > b) и гипотенузой c (рис. 349) и сложим их так, как показано на рисунке 350. Тогда гипотенузы этих треугольников образуют квадрат. Действительно, все стороны четырехугольника EFGH равны гипотенузе с, а каждый угол образован из двух острых углов прямоугольного треугольника, которые вместе составляют угол в 90°. Квадрат EFGH состоит из четырех треугольников с катетами a и b и квадрата со стороной a - b. Поэтому можем записать: с2 = 4 • 1 ab + (a - b)2. Упростим выражение в правой части этого равенства: с2 = 2ab + a2 - 2ab + b2; с2 = a2 + b2. Получили формулу, которая выражает известную теорему Пифагора. G Рис. 350 239 Правообладатель Народная асвета Пифагор (около 570 г. до н. э. — около 500 г. до н. э.) (рис. 351) — древнегреческий мыслитель. Теорема, носящая его имя, была известна вавилонянам за 1200 лет до Пифагора. Пифагор, скорее всего, нашел доказательство этого утверждения. Теперь известно более ста доказательств этой теоремы. Теорема Пифагора дает возможность находить длину гипотенузы прямоугольного треугольника по известным длинам его катетов, а также находить длину катета по известным длинам гипотенузы и другого катета. Рис. 351 1. На примере b^x + 2bx - b - 2 объясните сущность разложения многочлена на множители способом группировки. 2. Какие формулы называют формулами сокращенного умножения? 3. Запишите формулу квадрата суммы в том виде, в котором она используется при разложении многочлена на множители. Прочитайте ее словами. 4. Запишите формулу квадрата разности в том виде, в котором она используется при разложении многочлена на множители. Прочитайте ее словами. 637. Представьте произведением многочлен: а) а3 + а2 + a + 1; б) X6 - X4 - X2 + 1; в) b3 - 3b2 + 3b - 9; г) y5 + 3y3 - y2 - 3; д) с6 - 7c4 - 2c2 + 14; е) Z6 - az - 5z5 + 5a; ж) - 4mn + n2 - 4m; з) 13d - cd + 13c - c2; и) 64 - 8g - Sg2 + g3; к) s3 - 49 - 7s2 + 7s; л) 7V2 - 3uv - 2Svu + 12u2; м) 4ij - j2 - 12ci + 3cj; н) 9d2 - 11ad + 1Sda - 22a2; о) 11h2 - 13h2g - 39g + 33h. 638. Представьте произведением многочлен: а) a2b3 + ab - a3b^ - a2b2; б) x2y3 - xy - x^y^ + x3y3; в) 3u3v2 - 6u3v3 - 4u2v3 + Su2v4; 240 Правообладатель Народная асвета г) 4z^ - 4z3 + З22 - 3z; д) \2u^v + 15x4 - 15u^x - 12vx3; е) 16ij2 + 24jfe2 - 24ife2 - 16j3; ж) 10c4d3 - 8c3d4 + 5c2d3 - 4cd4; з) 2m^n - 6m5n2 - 3m2n2 + 9m3n3. 639. Разложите на множители многочлен: а) a^‘b + a + ab^ + b + 2ab + 2; б) cx2 - dx2 - dx + cx - c + d; в) cx2 + dx2 - dx - cx + c + d; г) pz^ + qz^ + pz - rz^ + qz - rz; д) pz2 + qz2 - qz - pz + rz^ - rz; е) m5 - m4 + m3 - m2 + m - 1; ж) w" + w4 - w3 - w2 + w + 1; з) m2 - mn + m - mn^ + n3 - n2. 640. Найдите значение выражения: а) a2b3 - b4 - a3 + ab при a = 2 и b = 3; a = -2 и b = -3; a = 3 и b = 2; a = -3 и b = -2; б) x2 - xy - 9x + 9y при x = 9 и y = 9; x = -9 и y = 9; x = 9 и y = -9; x = -9 и y = -9; в) 3bu - 5cv + 5bv - 3cu при b = 5, c = 2, u = 6 и v = 3; 6 3 b = - 5, c = 2 6’ 3’ u = -6 и v = -3; IQ 1 г) 2m - m^n - 2n + mn^ при m = 21 и n = 3; m = -21 и n = -21; m = 20 и n = -13; 3 2 3 д) q^p - 3qp2 - 3q + 9p при p = -3 и q = 3; p = и q = 4; p = 22 и q = 12 (рис. 352). 3 __________________________________________ q^ - 3qp^ - Sq + 9p =(q^p ~ 3qp^) - (3q - 9p) = =qp(q - 3p) - 3{q -3p)={q - 3p){qp - 3); Рис. 352 12 - 3-2f 12 p = 2^;q = 12; = (12 - 8)(32 - 3) = 4 • 29 = 116. 2f-3| = 241 Правообладатель Народная асвета 641. Представьте квадратом двучлена трехчлен: а) 4а2 + 12а + 9; б) 36х2 + 12x + 1; в) 25Ь2 - 10 b + 1; г) 81 + 18y + y2; д) 9с2 + 24cd + 16 d2 е) 100 - 602 + 9г2; ж) — t2 + 9s2 - 2st; з) 9f 2 + 24f + 16; и) 81fe2 + l2 - 18kl; к) 36a2 + v2 + 12uv; л) 10gh + 0,25g2 + 100h2; м) 1 + e2 + e (рис. 353). 4 Рис. 353 642. Разложите на множители выражение: а) (5 - 12x)2 - 1; б) т2 - (2m + 1)2; в) (3y + 4)2 - 4; г) 256 - (b + 1)2; д) (4с - 5)2 - 289; е) 324 - (2 - 11)2; ж) (7u - 9)2 - 361; з) 400 - (3v - 17)2; и) (3i2 - 3]2)2 - 1; к) (5у2 + 7г3)2 - 4; л) (g2 + h2)2 - 4g2h2 (рис. 354); м) (v - w4)2 - 25v2w2. (/ + hY - = (/ + hY - (2ghf = = {g^ + h^- 2gh)(g^ + h^ + 2gh) = ^(g- h)\g + h)\ или (g^ + - 4g^h^ = ^ + 2g^h^ + - 4g^h^ = = ^ - 2/Л" + h^ = (^~ ny = = ((g - h)(g + h)f = (g- hf(g + hf. Рис. 354 242 Правообладатель Народная асвета 643. Выделите точный квадрат и разложите на множители выражение: а) X2 + 3х + 2; г) у2 + 2у - 3; б) а2 + 7а - 8; д) d2 - Id + 6; в) с2 + 9с - 10; е) г2 + \2г + 35 (рис. 355). z" + 122 + 35 = 2^ + 2 • г • 6 + 36 - 1 = = (2 + - 12 = (2 + 6 - 1)(2 + 6 + 1) = (2 + 5)(2 + 7). ч,_________________________________________ Рис. 355 644. Разложите на множители выражение: а) 25 - 64а2; б) 49x2 - 9у2; в) 64Ь2 - 100 с2; г) 81z2 - 1612; д) 0,01у2 - 121у2; е) 64 - щ2а2 ; ж) 81i2j2 - 1; з) d2 - k2l2; и) 144а2р2 - 64^2; к) 4f2g2 - 4; л) 169 - r2y2; м) a^q2 - 196x2 (рис. 356). Г \ - 196х^ = {aqf - (Ых^ = = (aq - 14х) • (aq + 14х). Рис. 356 645. Решите уравнение: а) г2 - 100 = 0; б) 49 - а2 = 0; в) X2 + 25 = 0; г) Ь2 - 0,01 = 0; д) ^5 _ = 0; е) d2 64 121 ж) 1,21 - g2 = 0; з) 4,62 + z2 = 0; и) 9l2 - 16 = 0; к) 25 - 49s2 = 0; л) 36q2 - 121 = 0; = 0; м) 169а2 - 144 = 0. 243 Правообладатель Народная асвета 646. Решите уравнение: а) 25а2 - (5a - 4)2 = 0; д) -ly(y - 2) + 5(y - 2)2 = 0; б) 49х2 - (4 + 7х)2 = 0; е) 3g(2 - g) - 4(g - 2)2 = 0; в) (3s - 5)2 - 9s2 = 0; ж) (3s - 2)2 - (2 s - 3)2 = 0; г) (6b + 9)2 - 36b2 = 0; з) (4а + 5)2 - (3а + 5)2 = 0. 647. Разложите на множители выражение: а) ах3 - axy2; д) 9р3 - р; и) 50а4и2 - 32а2и4; б) mb^ - 9mc2; е) g4 - g2^2; к) 45i3j5 - 20i5j3; в) 6y2 - 54; г) 7d2 - 112; ж) 4f 3 - 4fg2; з) 0,25^3 - 16 q; л) 1,21s3r3 - sr; м) 98e3^ - 72 ew^. 648. Разложите на множители выражение: а) 9 - а2 + 2ab - b2; б) 16 - х2 - 2xy - y2; в) 1 - c2 + 2cd - d2; г) 4 - 22 - 2zt - t2; д) 4m2 - 20ma + 25a2 - 36; е) 16k2 - 8kl + l2 - 81; ж) x2 - y2 - x + y; з) e2 - f 2 + e + f; и) i3 + i2j - ij - j2; к) g3 - g^h - gh^ + h3; л) 9s2 - 4r2 + 4rt - t2; м) 25j2a2 - 4а2 + 12ap 9p2 649. Разложите на множители выражение: а) а4 - а3 + а - 1; б) x6 - x4 + 3x3 + 3x2; в) (c + d)3 - (c - d)3; г) (y + z)4 - (y - z)4; д) а2 - v2 - а + v; е) 45m + 6n - 3mn - 90; ж) -5pq - 40q - 15p - 120; з) rs4 - s4 + rs3 - s3; и) e3 - e2f + e2 - ef; к) i2 - ik + jk - ij; л) f 2 - t2 + 2f + 1 (рис. 357); м) b2 - y2 - 10y - 25. Рис. 357 244 f + 2f+l = = (f + 2f + 1)- = = if+ If -t^ = = (f + 1 - t)if +l + t) ^if-t+ !)(/ + t + 1). Правообладатель Народная асвета 650. Разложите на множители выражение (рис. 358): ж) ef 2 - e - f 3 + f; з) kl^ + 2k2 - k3 - 2l2; и) t3 + t^z - 4z - 4t; к) g3 - 5h2 + 5g2 - gh2, л) (i - j2)2 + 2ik3 - 2j2k3 + k6; м) p2q5(p3 - q) - p5q2(q3 - p). а) a2 - b2 - a - b; б) M2 - u2 - u + v; в) r + s + s2 - r2; г) c2 - d - d2 - c; д) X - y + x2 - y 2 е) m2 + n - n2 + m; 651. Разложите на множители выражение: а) 125a3 + 75 a2 + 15 a + 1; б) 27 - 108x + 144x2 - 64x3; в) 125i6 - 150 i4j2 + 60i2j4 - 8j6; г) 8щ3 + 60m2 + 150m + 125. 652. Разложите на множители выражение: а) -a3 + b3; г) \ s3 + 1; ж) -27 - h24; 27 64 б) -8 - t3; д) m9 + n6; з) q12 + -2Ц q6; в) -y9 + 7; е) i12 - k9; 8 и) 729 - c6. 653. Разложите на множители выражение: а) a6 - 2a3b + b2; в) 125m3n6 + 216k6l3; б) 4c10 + 20c5y6 + 25y12; г) 216d6f 3 - 125e3h9; 245 Правообладатель Народная асвета д) Si3 - 60i^j + 150ij^ - 125j3; е) Sp^ + 72p^q + 216pq2 + 216 q3; ж) M12 + u10 - u7 + 2u6 - u5 - 2U11; з) g^h2 + b2c2 - b2g2 - c2h2. 654. Докажите, что: а) квадрат любого нечетного числа, уменьшенный на единицу, делится на S; б) разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на S; в) если каждое из двух последовательных натуральных чисел не делится на 3, то разность квадратов большего и меньшего из этих чисел делится на 3. 655. Вычислите площадь прямоугольного треугольника, учитывая, что его катеты равны: а) 6 см и 5 см; г) 2 см и 1,4 см; б) 4,6 см и 5 см; д) 4 м и 35 дм; 2 в) 1 дм и S см; е) 2,7 см и — см. 656. Выполните нужные измерения и вычислите площадь треугольника на рисунке: а) 359; б) 360; в) 361. D 246 Правообладатель Народная асвета 657. Постройте треугольник MNP по его сторонам NM и NP и углу MNP и найдите его площадь, учитывая, что: а) NM = 75 мм; NP = 85 мм; Z MNP = 28°; б) NM = 55 мм; NP = 73 мм; Z MNP = 41°; в) NM = 51 мм; NP = 68 мм; Z MNP = 37°. 658. Сделайте необходимые измерения и найдите площадь треугольника на рисунке: а) 362; в б) 363; в) 364. R Рис. 363 Рис. 364 659. В таблице приведены данные об основании треугольника а, высоте h, проведенной к этому основанию, и его площади S. По двум известным величинам найдите третью. а) б) в) г) д) е) Основание а Высота h Площадь S 1,6 м 0,9 м 0,8 дм 10 см2 4 дм 1 м2 3,6 м 47 дм 4,8 м 10,8 м2 30 см 0,12 м2 247 Правообладатель Народная асвета 660. Треугольник MKL задан координатами своих вершин. Вычислите его площадь тремя способами, взяв в качестве основания разные стороны треугольника, и сравните полученные результаты, учитывая, что: а) M(-6; -1); K(3; 4); L(-1; -2); б) M(-2; 2); K(4; 3); L(0; -2); в) M(-4; -1,5); K(-1; 2,5); L(5; -2). Чем объясняются возможные расхождения? 661. Измерьте стороны прямоугольного треугольника на рисунке: а) 365; б) 366; в) 367; г) 368; д) 369. Проверьте правильность своих измерений, используя теорему Пифагора. F N S О Рис. 369 Правообладатель Народная асвета 662. Найдите катет прямоугольного треугольника, у которого другой катет и гипотенуза равны: а) 6 см и 10 см; д) 77 мм и 85 мм; б) 45 мм и 53 мм; е) 80 мм и 89 мм; в) 32 мм и 68 мм; ж) 55 мм и 73 мм; г) 56 мм и 65 мм; з) 72 мм и 97 мм. 663. Подбором найдите катет прямоугольного треугольника, у которого другой катет и гипотенуза равны: а) 12 см и 13 см; в) 35 мм и 37 мм; б) 8 см и 17 см; г) 11 мм и 61 мм. 664. Основания двух равновеликих треугольников (рис. 370) равны соответственно 9 см и 12 см. Высота первого треугольника равна 8 см. Найдите высоту второго треугольника. 665. На координатной плоскости постройте треугольник по координатам его вершин: А(-9; -5), Б(16; -5), C(7; 7). Через вершину C проведите высоту CD. Найдите координаты точки D и длину высоты CD. Вычислите длины сторон. Найдите и сравните произведения AC • BC и AB • CD. Как объяснить полученный результат? Найдите отношения , AC- ^ ^ В^ AB 249 Правообладатель Народная асвета и сравните их между собой. Измерьте угол ABC и найдите остальные углы треугольников ABC, ACD и BCD. 666. Постройте произвольный треугольник ABC. Сохранив основание AC, постройте треугольник с углом при основании в 35°, равновеликий треугольнику ABC. 667. Вычислите: а) 23 • 177 + 46 • 177 + 323 • 46 + 23 • 323; б) 132 • 86 - 86 • 52 - 52 • 15 + 132 • 15; в) 23,7 • 253 - 6,3 • 43 + 253 • 6,3 - 23,7 • 43; г) 52 • 173 + 41 • 2,4 + 52 • 2 2 + 17,6 • 41; 3 5 ^ 3^3 д) 13,7 • 6,4 - 11,2 • 23,6 - 6,4 • 11,2 + 23,6 • 13,7; е) 0,69 • 1,37 + 2,31 • 1,63 + 1,37 • 0,31 + 2,31 • 0,37. 668. Одночленом стандартного вида представьте выражение: а) a^b^c • 0,64ab2c3 • (-0,47a3b4c); 16 б) 16х5у226 • (-13,63x3y4z) • (-0,625x3yz4); в) 2401м7и10 : (-49u4v4) : 0,49u3v5; г) -1 m5n7 : 125m2n : 155 mn5; ^8 8 д) (22k2l3i4)3 • (-0,1kl4i2)3; е) (q^r4)4 • (p3 g2)5 ) (P3q2r)6 . 669. Решите уравнение: а) 7 - a(a + 7) = 7 - a2; б) (c - 2)(c + 2) - c2 = -4; в) 3x(4x - 1) - 2x(6x - 9) = 12; г) (y - 5)(y + 7) = (y + 3)(y - 2) - 11. 250 Правообладатель Народная асвета 670. Решите уравнение: а) 3s - S - 3 2 = - 5,5; 6 г) 5а -1 3 3 б) x + 5 2 = x 4 x + 3 д) 1,38 = е) 5 + 3u = 3; 13 5 - 2t 12 А 13,8; 4 1,2 = u + 6. 3 ■■ 7 ’ в) + b = b + 5; 8 2 671. Решите уравнение: а) 4x4 - 6x3 = 0; в) г2 + 2z + 1 = 0; б) 6y4 + 4y2 = 0; г) 12 - 3t2 = 0. 672. При каком значении переменной b уравнение bx = 14 имеет корень, равный: а) -7; б) 1; в) -14; г) 0; д) - 21; е) -2,8? 673. Выполните умножение многочленов: а) (а - x)(a2 + x2)(a + x); г) (u - v + w)(u - v - w); б) (4 + a)(4 - a)(a2 - 9); д) (-p + 2q)(4q2 + 4pq + p2); в) (x + y - z)(x + y + z); е) (4щ2 - 6mn + 9n2)(3n + 2m). 674. Докажите тождество из книги древнегреческого математика Диофанта (III в.) (рис. 371): (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2. 675. Выполните действия: а) (x + y)2 + (x - y)2; б) (a + b)3 + (a - b)3; в) (u + v)2 - (u - v)2; г) (m + n)3 - (m - n)3. 676. Найдите четыре последовательных натуральных числа, зная, что: а) произведение двух первых из этих чисел на 42 меньше произведения двух последних; б) произведение первого и третьего из этих чисел на 55 меньше произведения двух остальных; 251 Рис. 371 Правообладатель Народная асвета в) произведение двух первых из этих чисел на 33 меньше произведения двух остальных. 677. Используя данные из таблицы, постройте столбчатую диаграмму изменения населения Хойников. Год 1897 1939 1959 1970 1985 1995 2006 Население, тыс. чел. 2,7 3,4 6,0 9,5 16,5 12,5 13,7 Рис. 372 678. По углам квадратного листа жести вырезали квадраты со стороной 6 см (рис. 372) и образовавшиеся края загнули. В результате получилась коробка. Найдите размеры листа и вместимость коробки, учитывая, что площадь дна коробки на 480 см2 меньше площади листа. Сделайте из бумаги развертку такой коробки и проверьте измерением решение задачи. Щ 679. Два измерения прямоуголь- ' 1 ного параллелепипеда равны 20 см, а третье — 40 см (рис. 373). На его гранях-квадратах закрашены круги диаметром 20 см, а на гранях-прямоугольниках — закрашено еще по два таких же круга. Какова незакрашенная площадь поверхности параллелепипеда? 680. Есть отходы стали с содержанием никеля 5 % и 40 %. В какой пропорции нужно их взять, чтобы получить сплав с содержанием никеля 30 %? 681. Сколько воды нужно долить к 1,5 л 70-процентного раствора уксуса, чтобы получить 9-процентный раствор; 6-процентный раствор? 252 Правообладатель Народная асвета Выгонощи 'f ' Красная Слобода ' „ тз >>/ 35 ^ Ганцевичи ____Солигорск Огарввичи Вбликии Рожан Телеханы Логишин Хотыничи Доброславка Рис. 374 682. Из Выгонощей в Солигорск (рис. 374) выехала машина со скоростью 60 км/ч. Через три четверти часа навстречу из Солигорска выехал велосипедист со скоростью 19 км/ч. Через какое время он встретит машину? 683. Турист вышел из одного населенного пункта и пошел в Ганцевичи (см. рис. 374). Он рассчитал, что если будет идти со скоростью 5 км/ч, то придет на условленную встречу ранее срока на 24 мин, а если будет идти со скоростью 4 км/ч, то опоздает на час. Из какого населенного пункта вышел турист? 684. Первый комбайнер убрал 120 га ржи, а второй — 96 га; первый работал на 2 дня больше второго. Найдите, сколько дней работал каждый комбайнер, если в день они убирали ржи поровну. 685. Первая и вторая машины двигались со скоростью 60 км/ч и 80 км/ч соответственно, и первая машина проехала на 40 км больше. Учитывая, что время движения первой машины относится ко времени движения второй машины как 3 ^ 2, найдите время движения каждой машины. 686. Первая и вторая машины ехали соответственно 4 ч и 2 ч, и первая машина проехала на 253 Правообладатель Народная асвета 80 км больше. Найдите скорость движения первой и второй машин, учитывая, что они относятся как 3 ^ 4. 687. По Чаусскому району протекают притоки Прони — реки Бася и Реста — и приток Ресты — река Рудея. Длина Прони соотносится с длиной Баси как 43 : 26, а с длиной Ресты — как 43 : 25; Бася длиннее Ресты на 4 км. Найдите длины этих рек, учитывая, что Рудея короче Ресты в 2,5 раза. 688. На рисунке 375 показана группа озер на границе Россонского и Верхнедвинского районов. Объем воды в озере Бредно составляет 30 % от объема воды в озере Изубрица и относится к объему воды в озере Белое как 27 : 205. Найдите, сколько воды в каждом из этих озер, учитывая, что в озере Изубрица воды на 2,3 млн м3 меньше по сравнению с озером Белое. * * * 689. Проверьте, что 303 -173 30 -17 303 + 473 что вообще при c = a + b верно равенство 30 + 47 a3 - b3 . Докажите, a - b a3 + c3 a + c 690. Многоугольник разрезали на два треугольника. Сколько сторон мог иметь многоугольник? 691. Докажите, что среди любых пяти человек есть двое с одинаковым количеством знакомых среди этих пяти человек. Правообладатель Народная асвета :mi раздел Параллельные прямые 20. Признаки параллельных прямых А) Напомним, что две прямые на плоскости могут пересекаться, т. е. иметь одну общую точку, а могут быть параллельными, т. е. вовсе не иметь общих точек. Здесь мы установим признаки, которые позволят утверждать, что две данные прямые параллельны. Пересечем две прямые a и b третьей прямой х. Прямую х, чтобы отличать от прямых a и b, называют секущей (рис. 376). При этом возникает 8 углов (рис. 377). Четыре из них 1, 2, 7, 8, расположенные вне полосы между прямыми, называют внешними углами, четыре остальных 3, 4, 5, 6 — внутренними углами. Их определенным образом объединяют в пары и дают специальные названия. Углы 1и5, 2и6, 3и 7, 4и8 (рис. 378) называют соответственными, углы 3 и 5, 4 и 6 (рис. 379) — внутренними односторонними, а углы Рис. 376 Правообладатель Народная асвета 3 и 6, 4 и 5 (рис. 380) — внутренними накрест лежащими. Б) Мы умеем строить треугольник по стороне и прилежащим к ней углам. Нетрудно понять, что не всегда, если дана сторона и два прилежащих угла, можно построить треугольник. Попробуем, например, 256 Правообладатель Народная асвета Рис. 381 построить треугольник со стороной 30 мм и прилежащими к ней углами в 85° и 125°. Рисунок 381 показывает, что лучи MP и NQ расходятся, поэтому пересекаться не могут. Теперь обратим внимание на то, что углы PMN и QNM — внутренние односторонние углы при пересечении прямой MN с прямыми MP и NQ. Их сумма превышает 180°, и лучи MP и NQ не пересекаются. Сумма другой пары внутренних односторонних углов RMN и SNM меньше 180°, и лучи MR и NS пересекаются. Связь между суммой односторонних углов и пересекаемостью лучей была замечена давно. Древнегреческий математик Евклид (рис. 382) в книге «Начала», созданной более 2300 лет назад, этот факт сформулировал так. Если при пересечении двух прямых третьей образовались внутренние односторонние углы, сумма которых не равна 180°, то эти прямые пересекаются с той стороны, с которой эта сумма меньше 180°. А если с одной и с другой стороны от MN внутренние односторонние углы в сумме составляют 180°, то прямые MP и NQ не пересекаются, они параллельны (рис. 383). Теорема 1. Если при пересечении двух прямых третьей получились внутренние односторонние углы, вместе составляющие 180°, то такие прямые параллельны. Рис. 383 257 Рис. 382 Правообладатель Народная асвета Рис. 384 Доказательство. Пусть прямые MP и NQ пересечены прямой MN, и Z PMN + Z QNM = 180° (рис. 384). Допустим, что прямые MP и NQ пересекаются в некоторой точке T. Тогда образуется треугольник MTN, у которого по условию сумма внутренних углов TMN и TNM равна 180°. Если учесть третий внутренний угол MTN, то получится, что сумма внутренних углов треугольника MTN больше 180°. Но такого не может быть, поскольку эта сумма равна 180°. Поэтому допущение о пересекаемости прямых MP и NQ нужно отклонить и признать, что эти прямые параллельны. В) Теорема 2. Если при пересечении двух прямых третьей получились равные соответственные углы, то такие прямые параллельны. Доказательство. Пусть прямые MP и NQ пересечены прямой MN, Z QNM = Z PMR (рис. 385). Поскольку углы PMR и PMN смежные, то Z PMR + Z PMN = 180°. Учитывая равенство углов PMR и QNM, получаем: Z QNM + + Z PMN = 180°. Но углы QNM и PMN являются внутренними односторонними. Значит, по теореме 1 прямые MP и NQ параллельны. Г) Теорема 3. Если при пересечении двух прямых третьей получились равные внутренние накрест лежащие углы, то такие прямые параллельны. Доказательство. Пусть прямые MP и NQ пересечены прямой MN и Z SMN = Z QNM (рис. 386). Поскольку углы PMR и SMN вертикальные, то Z PMR = Z SMN. Значит, Z PMR = Z QNM. Но углы PMR и QNM являются соответственными. Поэтому 258 Рис. 385 Правообладатель Народная асвета Рис. 386 по теореме 2 прямые MP и NQ параллельны. Теоремы 1, 2, 3 выражают признаки параллельности прямых. Признак, сформулированный в теореме 2, используют при построении параллельных прямых с помощью малки. Она состоит из двух планок, угол между которыми можно менять (рис. 387). При сжимании планок винтом угол между ними фиксируется. На рисунке 388 показано, как пользоваться малкой: одна планка скользит вдоль края доски, а по краю другой проводят параллельные линии. С этой целью используют и чертежный треугольник, а вместо ровного края доски, по которому скользит одна планка малки, можно приспособить линейку (рис. 389). 259 Правообладатель Народная асвета 1. При каком условии можно построить треугольник по данной стороне и прилежащим к ней углам? 2. Сформулируйте признак параллельности прямых по сумме внутренних односторонних углов. 3. Сформулируйте признак параллельности прямых по соответственным углам. 4. Сформулируйте признак параллельности прямых по внутренним накрест лежащим углам. 5. Как проводят параллельные прямые с помощью малки? 6. Как провести параллельные прямые с помощью чертежного треугольника и линейки? 692. На рисунке 390 прямая IF — секущая. Назовите угол: а) соответственный углу FBA; б) соответственный углу HCB; в) внутренний односторонний с углом CBE; г) внутренний односторонний с углом DCF; д) внутренний накрест лежащий с углом IBG; е) внутренний накрест лежащий с углом EBC. 693. На рисунке 391 прямая EG — секущая. Назовите угол: а) соответственный углу DFB; б) соответственный углу IBE; в) внутренний односторонний с углом FBA; г) внутренний односторонний с углом HBG; д) внутренний накрест лежащий с углом HBE; е) внутренний накрест лежащий с углом DFB. Правообладатель Народная асвета Рис. 393 Рис. 392 694. Найдите углы между прямыми a и с, a и b, Ъ и с, Ъ и d, c и d, показанными на рисунке: а) 392; б) 393. 695. Докажите, что если при пересечении двух прямых третьей: а) внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары также равны; б) соответственные углы одной пары равны, то соответственные углы каждой пары также равны; в) внутренние односторонние углы одной пары вместе составляют 180°, то внутренние односторонние углы другой пары вместе также составляют 180 °. 696. На рисунке 394 внутренние односторонние углы 2 и 3 вместе составляют меньше 180 °. Что можно сказать о: а) соответственных углах; б) внутренних накрест лежащих углах? 697. Внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямой с с прямыми a и Ъ, равны. Что можно сказать о: а) внутренних односторонних углах; б) соответственных углах? 261 Правообладатель Народная асвета м 698. От вершин B и D прямоугольника ABCD на его сторонах отложили равные отрезки BM и DN (рис. 395). Докажите, что: а) Z BMN = Z DNM; б) Z CMN = Z ANM. 699. Прямая AB пересекает прямые PQ и RS в точках M и N (рис. 396). Когда измерили углы QMN и RNM, то оказалось, что они равны. Докажите, что полоса QMNS наложится на полосу RNMP. 700. Определите, какие углы образуются при пересечении прямых AB и BC, BC и CD, учитывая, что ZABC = 70° и Z BCD = 80°. Запишите пары соответственных, внутренних односторонних, внутренних накрест лежащих углов. 701. Докажите, что две прямые на плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. 702. Учитывая обозначения на рисунке 397, скажите, будут ли прямые a и b параллельными, если: а) Z 3 = 42° и Z 5 = 138°; в) Z 2 = 143 ° и Z 5 = 39°; б) Z 2 = 126° и Z 6 = 126°; г) Z 1 = 58° и Z 8 = 58°. 703. Способом, показанным на рисунке 389, проведите три прямые, параллельные друг другу. 704. Вырежите из бумаги треугольник PQR (рис. 398). Загните угол R так, чтобы точка R со-262 Правообладатель Народная асвета о м R Рис. 399 вместилась с точкой на стороне PR, и проведите прямую AB. Сделайте это еще один раз, и получите прямую A^B^. Докажите, что прямые AB и A^B^ параллельны. 705. Один из внутренних односторонних углов, возникших при пересечении прямых UT и SD третьей, равен 30°, другой — в пять раз больше его. Докажите, что прямые UT и SD параллельны. 706. Лучи OM и NP образуют с отрезком ON углы в 65° и 105° соответственно (рис. 399). Найдите угол между прямыми OM и NP. 707. Объясните, как измерить угол между двумя прямыми, если точка их пересечения находится за пределами листа, на котором они начерчены. Сколько способов вы можете предложить? 708. Начертите прямую GH и отметьте точку P вне ее. С помощью чертежного треугольника постройте прямую, которая проходит через точку P параллельно прямой GH. 709. Используя линейку и транспортир, через данную точку проведите прямую, параллельную данной прямой. 710. Один из внутренних односторонних углов, возникших при пересечении прямых AC и BD третьей, равен 56°, другой — на 68° больше его. Докажите, что прямые AC и BD параллельны. 263 Правообладатель Народная асвета 711. Докажите, что центрально-симметричные отрезки параллельны. 712. У равнобедренных треугольников ABC и CDE общая вершина C, а основания CB и CD лежат на одной прямой (рис. 400). Докажите, что прямые AB и DE параллельны. 713. Отрезки PQ и RS пересекаются в их общей середине. Докажите, что противоположные стороны четырехугольника PRQS параллельны. 714. Стороны KL и LM четырехугольника KLMN равны, а диагональ KM является биссектрисой угла LKN (рис. 401). Докажите, что у четырехугольника KLMN есть пара параллельных сторон. 5 715. На боковой стороне AC рав- нобедренного треугольника ABC с основанием AB и углом при основании, равном 68°, выбрали некоторую точку D и соединили ее с такой точкой E стороны BC, что DA = DE (рис. 402). Оказалось, что угол EAB равен 34°. Докажите, что: а) DE У AB; б) треугольник CDE равнобедренный. 716. В треугольнике PRQ построена биссектриса QS, а через точку S проведена прямая, пересекающая сторону QR в такой точке T, что TQ = TS. Докажите, что прямые PQ и ST параллельны. 264 Правообладатель Народная асвета 717. Вычислите: а) 1422 + 142 • 58; г) 0,73 - 0,49 • 2,7; б) 0,83 + 0,8 • 9,36; д) 0,122 + 0,78 • 1,2; в) 3762 - 76 • 376; е) 0,63 + 3,6 • 0,05. 718. Вынесите общий множитель за скобки: а) 28х3^4 - 21х4^3; б) 11а4Ь2 + 33а3Ь; в) 8p^q^ - 36p2q3 + 12p3q2; г) 16i2j4 + 24i4j2 - 32i3j3; д) x2(x - 5) - x(x - 5)2; е) u(u + 3)3 + (3 + u)2u3; ж) г^(г - 7)2 + t2(7 - t)2; з) 3m(m - n)2 - 12m2(m - n). 719. Решите уравнение: а) 0,15(/ - 6) = 7,5 - 0,3(/ - 2); б) 3,6(x - 4) - 0,8 = 4(0,3x - 6); в) (0,8^ - 3,1) - (0,2 - g) = 0,4(4g - 2) + 0,3; г) -7(2 - 0,9s) + 4,7 = 0,3(2s + 7). 720. Разложите на множители выражение: а) 5(a + b)(a - b) - (a + b)2; б) 3(x - y)2 - (x + y)(y - x); в) (m + n)3 - m(m + n)2; г) i(i - k)2 - (k - i)3. 721. Остер, Волчес, Уза — притоки Сожа. От длины Волчеса длина Узы составляет 95 %, а длина Остера — 342,5 %. Найдите длины этих рек, учитывая, что Остер длиннее Узы на 198 км. 722. В первой емкости 2 кг 10-процентного раствора соли, во второй — 3 кг 15-процентного. Из первой емкости испарили некоторое количество воды, и полученный раствор влили во вторую емкость. Может ли полученный раствор быть 16-процентным? 265 Правообладатель Народная асвета 723. В первой емкости 5 кг 4-процентного раствора соли, во второй — 1 кг 10-процентного. Из второй емкости испарили некоторое количество воды, и полученный раствор влили в первую емкость. Определите с точностью до 0,1 %, какой концентрации может быть полученный раствор. 724. Сплавили два куска серебра 600-й и 840-й пробы и получили сплав 790-й пробы. Определите массу каждого куска, учитывая, что масса первого была на 140 г меньше массы второго. 725. Из двух сплавов с 60-процентным и 80-процентным содержанием меди нужно изготовить 4 кг сплава с 75-процентным содержанием меди. Сколько нужно взять для этого каждого сплава? 726. Количество приватизированных квартир в доме заключено в пределах от 96,5 % до 97,2 % общего количества квартир. Какое наименьшее количество квартир может быть в таком доме? 727. После проверки оказалось, что на диске количество файлов с вирусами находится в пределах от 3,89 % до 4,44 % всех файлов. Какое наименьшее количество файлов могло быть на этом диске? 728. Чтобы засеять 10 га рожью и 5 га озимой пшеницей, понадобилось 3 т 70 кг семян. Найдите норму высева тех и других семян на гектар, учитывая, что озимой пшеницы на гектар высевали на 40 кг меньше, чем ржи. 729. Имеется два прямоугольных параллелепипеда с высотами 6 м и 9 м и общей площадью их оснований, равной 45 м2. Найдите объемы первого и второго параллелепипедов, учитывая, что они относятся как 8 : 15. 730. На отрезке АВ длиной 31 м выбрали точку С и на отрезках-частях АС и ВС как на высотах построили прямоугольные параллелепипеды с пло-266 Правообладатель Народная асвета щадями оснований 40 м2 и 24 м2. Найдите объемы первого и второго параллелепипедов, учитывая, что они относятся как 16 ^ 9. * * * 731. В примере 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9, определенным образом расставив вместо звездочек знаки «+» и «-», Янка получил 21, а Антон — 20. Можно ли утверждать, что: а) хотя один из мальчиков ошибся; б) Янка не ошибся; в) ошибся Антон; г) ошибся Янка? 732. Найдите наименьшее число, которое начинается цифрами 2009 и делится на все числа от 1 до 9. 733. Есть шесть грузиков массами 1 г, 2 г, 3 г, 4 г, 5 г и 6 г с надписями «1 г», «2 г», «3 г», «4 г», «5 г» и «6 г», хотя надписи могут быть и перепутаны. Как за два взвешивания на рычажных весах выяснить, есть ли грузики, надписи на которых не соответствуют их массе? 21. Свойства параллельных прямых А) Известный вам факт о сумме углов треугольника тесно связан с параллельностью прямых. Теорема 4. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. АДоказательство. Пусть известно, что сумма углов треугольника равна 180°. Пусть l — данная прямая и A — данная точка (рис. 403). Через точку A проведем прямую, перпендикулярную прямой l, пусть она пересекает прямую l в точке B0. Построим прямую AC, перпендикулярную прямой AB0. 267 Правообладатель Народная асвета Рис. 403 Поскольку внутренние односторонние углы, образованные при пересечении прямых AC и l прямой AB0, вместе составляют 180 °, то по теореме 1 прямая AC параллельна прямой l. Значит, прямая AC является прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой l. Остается доказать, что любая другая прямая, проходящая через точку A, пересекает прямую l. Пусть AK — еще одна прямая, проходящая через точку A (рис. 404), а угол между прямыми AC и AK равен а. На прямой l от точки В0 отложим отрезок B0B1, равный отрезку AB0. Поскольку треугольник AB0B1 является равнобедренным, то его углы B0AB1 и B0B1A равны и равны то Z CAB, = -90°. 90° Поскольку угол B0AC прямой, На луче B0B1 отложим отрезок B1B2, равный отрезку B1A (рис. 405). Получили равнобедренный треугольник AB1B2. Его внешний угол AB1B0 равен сумме углов B1AB2 и B1B2A. А поскольку эти углы равны, то угол B1B2A равен половине угла AB1B0, т. е. Z AB2B1 = 90° 4 90° Теперь обратим внимание на то, что угол B2AB0 углами AB2B0 и CAB2 допол- 268 Правообладатель Народная асвета 2 2 няется до 90°. Значит, Z CAB2 = ZAB2B0. Поскольку Z ABB = ^0°, то Z CAB2 = 90° 2^ ^ - - 2 22 Отложив на луче B0B2 отрезок B2B3, равный отрез- 90° ку B2A (рис. 406), также убедимся, что Z CAB3 = 23 После n шагов этого процесса получаем угол 90° 90° CABn, равный . Значение выражения с пе- реходом к следующему значению переменной n уменьшается в 2 раза и может стать меньше любого выбранного заранее значения. Например, при n = 10 угол CABn равен 5'16,4". Значит, при некотором значении n угол CABn станет меньше а, и поэтому луч ABn пройдет выше луча AK (рис. 407). Это означает, что на некотором шаге n будет получен такой треугольник Bn_ 1ABn, что луч AK будет заключен Правообладатель Народная асвета в угле Bn _ (рис. 408). Получается, что луч AK пересечет сторону Bn _ ^Bn треугольника Bn_ ^ABn. Значит, произвольно выбранная прямая AK, отличная от прямой AC, пересекает прямую l. А Следствие 1. Если прямая c пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Действительно, пусть a У b и прямые c и a пересекаются в точке M (рис. 409) Если допустить, что прямые c и b не пересекаются, то получится, что через точку M проходят две прямые c и а, не пересекающие b. Но это противоречит теореме 4. Аналогичным рассуждением обосновывается и следующее следствие. Следствие 2. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Б) Теорема 5. Если две параллельные прямые пересечены третьей, то: а) сумма внутренних односторонних углов равна 180 °; б) соответственные углы равны; в) внутренние накрест лежащие углы равны. Поскольку утверждения а), б), в) или все одновременно истинны, или все одновременно ложны, то достаточно доказать одно из них. Докажем утверждение б). Пусть параллельные прямые а и b пересекла прямая MN и при этом получились 270 Рис. 409 Правообладатель Народная асвета соответствующие углы 1 и 2 (рис. 410). Докажем, что они равны. Допустим, что это не так. Через точку M пересечения прямой MN с прямой b проведем прямую MQ так, чтобы угол PMQ был равен углу 2. Поскольку углы PMQ и 2 соответственные, то по теореме 2 прямая MQ параллельна прямой а. Но через точку M проходит и прямая b, которая по условию также параллельна прямой а. Получили, что через точку M проходят две различные прямые MQ и b, которые параллельны прямой а. А это противоречит теореме 4. Поэтому сделанное допущение нужно отклонить и согласиться с тем, что соответственные углы, образованные при пересечении прямой MN с параллельными прямыми а и b, равны. В) Утверждения о равенстве суммы углов треугольника 180 ° и о единственности прямой, которая проходит через данную точку и параллельна данной прямой, равносильны в том смысле, что, приняв одно из них, можно доказать другое как теорему. Одна из них это теорема 4. А Докажем теперь обратное утверждение. Пусть известно, что через любую точку плоскости можно провести прямую, параллельную данной прямой, и только одну. Пусть AB — данная прямая и P — данная точка (рис. 411). Пусть через точку P проведены прямые CD и EF, из которых первая параллельна прямой AB, а вторая пересекает эту прямую в точке Q (рис. 412). А В Рис. 411 Правообладатель Народная асвета Докажем сначала, что накрест лежащие углы BQE и CPF равны. Построим угол FPG, равный углу BQE. Прямая PG не пересекает прямую AB. Допустим, что это не так, т. е. прямая PG пересекает прямую AB в некоторой точке M (рис. 413). От точки Q на луче QB отложим отрезок QN, равный отрезку PM, и точку N соединим с точкой P. Получили треугольники PMQ и QNP, у которых сторона PQ общая, а углы QPM и PQN, как и стороны PM и QN, равны по построению. Поэтому треугольники PMQ и QNP равны. Значит, углы PQM и QPN этих треугольников также равны. Но углы PQN и PQM вместе составляют 180°, поэтому и углы QPN и QPM также вместе составляют 180°. А это означает, что точки M, P и N лежат на одной прямой. В результате мы получили, что через точки M и N проходят две различные прямые PG и AB, что противоречит основному свойству прямой. Это вынуждает отклонить допущение о том, что прямая PG пересекает прямую AB, и тем самым согласиться с тем, что прямая PG параллельна прямой AB. Теперь, используя условие о единственности прямой, параллельной данной, утверждаем, что прямая PG совпадает с прямой CD, а угол FPG совпадает с ^ ^ ^ углом FPC. Значит, накрест ле- жащие углы BQE и FPC равны. Докажем теперь, что сумма углов в любом треугольнике равна 180 °. Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 414). Через 272 Правообладатель Народная асвета точку C проведем прямую, параллельную прямой AB. Пусть это прямая XY. Тогда углы ABC и BCY равны, так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и XY, пересеченных прямой BC. Углы BAC и ACX также равны, так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и XY, пересеченных прямой AC. Значит, Z ABC + Z BAC + Z ACB = Z BCY + Z ACX + Z ACB. Учитывая, что углы BCY, ACX и ACB вместе составляют развернутый угол, получаем: Z ABC + Z BAC + Z ACB = 180 A 1. Сформулируйте свойство внутренних углов треугольника. 2. Сформулируйте свойства параллельных прямых. 3. Сформулируйте утверждение о существовании и единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой. 4. Как связаны между собой свойство внутренних углов треугольника и утверждение о существовании и единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой? 734. Докажите, что если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние односторонние углы вместе составляют 180°. 735. На рисунке 415 стороны треугольника A1B1C1 параллельны сторонам треугольника ABC. Что вы можете утверждать о соответствующих углах этих треугольников? 736. Докажите, что если первая прямая параллельна второй прямой, которая параллельна третьей прямой, то первая прямая параллельна третьей прямой. 273 Правообладатель Народная асвета Рис. 416 Рис. 417 737. Прямые a и b перпендикулярны прямой k. Прямая p пересекает прямую а. Обязательно ли прямая p пересекает: прямую b; прямую k; прямые b и k? 738. Прямая а параллельна стороне TU треугольника TUV (рис. 416). Докажите, что каждая из прямых VU и VT пересекает прямую a. 739. На рисунке 417 прямая а пересекает прямые k, l и m, при этом углы 1, 2 и 3 соответственно равны 48°, 134° и 132 °. Какие прямые на этом рисунке параллельны? 740. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей, если один из углов: а) равен 140 °; б) на 75° меньше другого; в) в 3,5 раза больше другого. 741. Параллельные прямые CD и EF пересечены третьей прямой AB. Найдите величины образованных при пересечении углов, учитывая, что один из внутренних односторонних углов: а) на 126° больше другого; б) на 16° меньше другого; в) в четыре раза меньше другого; г) состоит из 7 долей, а другой — из 8 таких долей. 742. Через середину O отрезка MN, концы которого лежат на параллельных прямых а и b, проведе-274 Правообладатель Народная асвета на прямая, которая пересекает прямые a и b в точках P и Q. Докажите, что отрезки OP и OQ равны. 743. Найдите угол между прямыми OM и NP, учитывая, что с отрезком ON лучи OM и NP образуют соответственно углы в: а) 65° и 105°; б) 65° и 10°; в) 65° и 115°. 744. Разность внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, равна 40°. Найдите все образовавшиеся при этом углы. 745. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей, вместе составляют 80°. Найдите все образовавшиеся при этом углы. 746. Прямые a и b, а также c и d параллельны (рис. 418). При их пересечении образовался четырехугольник PQRS. Найдите его углы, учитывая, что прямые b и c пересекаются под углом 72 °. 747. Два груза подвешены на бечевке, перекинутой через блоки K и L (рис. 419). Третий груз P3 подвешен на этой же бечевке в точке M и уравновешивает грузы P1 и P2. Докажите, что угол KML равен сумме углов 1 и 2 между бечевками. 748. Параллельные прямые пересечены третьей прямой. Докажите, что: а) биссектрисы внутренних односторонних углов перпендикулярны; б) биссектрисы внутренних накрест лежащих углов параллельны. Рис. 418 Рис. 419 275 Правообладатель Народная асвета 749. Докажите, что углы с соответственно параллельными сторонами равны или в сумме составляют 180°. 750. Найдите внутренние углы равнобедренного треугольника, учитывая, что один из его внешних углов равен: а) 100°; б) 120°; в) 30°. 751. Докажите, что хотя бы два угла треугольника острые. 752. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника острые. 753. Упростите выражение и найдите его значение при данных значениях переменной: а) (4a - 1)(4a + 1) - (8a - 5)(2a + 1) при a = -2,5; -21; 0; 2; 2-3; 2,5; 3 б) (7 + 2ж)2 - 2x(2 x + 15) при x = -25; -24; 0; 24; 25. 754. Решите уравнение: ,, 5a - 4 2a -1 а) ----------= -1; ^3 5 7 - x 3 x - ^_о2. '3 2 3 .3d -1 d -1 „ е) — -7; ж) 6 3 6 - 7c = 3c; ~9 ^; в) 4b - 7 b- 6 = 7; 8 12 = 8; г) 5у -11 + 11 - 5у = 7_, ’ 20 15 20 ,,32 - 5 z + 2 д) — 2; з) ! — ; 6 8 и) ^ ; ^11 6 . l - 1 l + 2 к) 37 45 755. Разложите на множители выражение: а) a(a - x) + 7(x - a); б) b(m - n) - 11(n - m); 276 Правообладатель Народная асвета в) (i - if - 4(i - j); д) + y2 - 5y - 5; г) 2z(p + q) - (p + q); e) 3a4 - 12a8 + 3a2 + 6a6. 756. Упростите выражение: а) 7p^3q • 5p^2q^2r; б) -3a-3b-3 ■■ (6a5b^2c); в) 2-2e^mfng-1 • 2-4e^mf ^ng l; г) -6b^tC2du ■■ (-3b^vc^4drl- 1e-v); д) (m- - m4 + m^4) • m4; е) (n 9 + n6 - n 4) '■ (-n 5). 757. Зависимость между величинами t и x задана формулой t = 2x + 3. Вычислите значения величины t при значениях х, указанных в таблице. х -3 0 1 1,5 3 t По парам чисел, записанным в таблице, постройте соответствующие точки на координатной плоскости. Соедините эти точки плавной линией. Какой линией является график зависимости t = 2х + 3? 758. Путь между двумя станциями пассажирский поезд проходит со скоростью, на 20 % меньшей скорости скорого поезда. На сколько процентов больше времени затрачивает на этот путь пассажирский поезд по сравнению со скорым? 759. Первый рабочий может выполнить задание за 8 ч, второй — за 6 ч. Вместе они работали 2 ч, а заканчивал задание только второй рабочий. Сколько времени пошло на выполнение задания? 760. Пассажир половину пути из А в В проехал на автобусе, а другую половину — на легковой машине. Если бы он ехал из А в В только автобусом, то затратил бы времени в полтора раза больше. Во сколько раз скорость машины больше скорости автобуса? 277 Правообладатель Народная асвета 761. Пассажир ехал из А в В некоторое время на автобусе и столько же времени на легковой машине. Если бы он ехал из А в В только на автобусе, то затратил бы времени в полтора раза больше. Во сколько раз скорость машины больше скорости автобуса? 762. Александр Скиба обычно выходит из дома в 7 ч 30 мин, садится в подъехавшую машину и едет на работу. Однажды он вышел в 6 ч 30 мин и пошел навстречу машине, которая встретила его и привезла на работу на 10 мин раньше обычного. Во сколько раз скорость машины больше скорости Александра Скибы? 763. Александр Скиба обычно выходит из дома в 7 ч 30 мин, садится в подъехавшую машину и едет на работу. Однажды он вышел в 6 ч 30 мин и пошел не навстречу машине, а в противоположном направлении. Машина догнала его и привезла на работу на 10 мин позже обычного. Во сколько раз скорость машины больше скорости Александра Скибы? 764. Футбольная команда из 12 сыгранных матчей выиграла 8, а остальные матчи сыграла вничью, набрав при этом 28 очков. Найдите, во сколько очков оценивалась победа, если количество очков, набранных за ничью, в 3 раза меньше. 765. Фирма закупила конверты с марками в пачках по 20 конвертов и без марок в пачках по 36 конвертов, причем пачек конвертов с марками было закуплено на 4 больше, чем без марок. Учитывая, что количества конвертов с марками и конвертов без марок относятся как 2 : 3, найдите эти количества. 766. Фирма закупила 12 пачек конвертов с марками и 18 пачек конвертов без марок, причем в пачке конвертов с марками было на 10 конвертов боль-278 Правообладатель Народная асвета ше, чем в пачке конвертов без марок. Учитывая, что количества конвертов с марками и конвертов без марок относятся как 8 ^ 9, найдите эти количества. * * * 767. Докажите, что если к целому числу k прибавить квадрат половины предшествующего ему числа, то получится квадрат рационального числа. 768. Нужно посадить 9 яблонь в 10 рядов, по 3 яблони в каждом. Как это сделать? 769. Можно ли записать 6 таких различных чисел, что каких бы два из них а и b (а < Ъ) мы ни взяли, можно было бы подобрать из остальных такое число х, что а < -х < b? 22. Расстояния А . А) Пусть А и B — две данные точки (рис. 420). Из точки А в точку B можно попасть различными путями (рис. 421). Кратчайшим из них является путь 2 по отрезку АВ. Длину отрезка АВ называют расстоянием между точками А и В. Пусть l — данная прямая, а E — данная точка (рис. 422). Из всех расстояний от точки E до точек прямой l (рис. 423) Рис. 420 Е Е Правообладатель Народная асвета наименьшим является расстояние до точки P — основания перпендикуляра EP. Длину перпендикуляра, проведенного из точки на прямую, называют расстоянием от точки до прямой. Теорема 6. Любые две точки одной из параллельных прямых находятся на одинаковых расстояниях от другой прямой. Доказательство. Пусть a и b — параллельные прямые, а P и Q — две произвольные точки прямой a (рис. 424). Расстояниями от точек P и Q до прямой b являются длины перпендикуляров PP^ и QQi соответственно. Докажем, что эти длины равны. Q Рис. 424 Поскольку отрезок Q^Q перпендикулярен прямой а, то треугольник QiQP прямоугольный. У прямоугольных треугольников PP^Q^ и Q^QP общая гипотенуза, а острые углы QPQ^ и P^Q^P равны, поскольку это накрест лежащие углы при параллельных прямых a и b и секущей PQ^_. Значит, эти треугольники равны. Поэтому PP^ = QQi. Б) Из теоремы 6 следует, что если точка двигается по одной из параллельных прямых, то расстояние от нее до другой прямой не изменяется. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-либо точки одной прямой до другой прямой. 280 Правообладатель Народная асвета Расстояние между параллельными прямыми является наименьшим из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой. 1. Что называют расстоянием между точками? 2. Что называют расстоянием от точки до прямой? 3. Какое свойство имеют точки прямой, параллельной данной? 4. Что называют расстоянием между параллельными прямыми? 770. Из точки A к прямой k проведены перпендикуляр AO и наклонная AP. Сумма их длин равна 18 см, а разность — 2 см. Найдите перпендикуляр, наклонную и расстояние между их основаниями O и P. 771. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная из угла в 120°, равна 5 м. Найдите боковую сторону треугольника. 772. Сумма катета AC и гипотенузы AB треугольника ABC равна 18 дм, а их разность — 8 дм. Найдите расстояния от вершин A, B, C до прямых, проходящих через противолежащие стороны треугольника. 773. Один из катетов прямоугольного треугольника относится к гипотенузе как 4 : 5, а вместе они составляют 45 см. Найдите расстояния от вершин треугольника до прямых, которым принадлежат противолежащие стороны. 774. Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания находится на одинаковых расстояниях от боковых сторон. 775. Точка A основания KM равнобедренного треугольника KLM находится на одинаковых расстояниях от боковых сторон KL и ML. Докажите, что отрезок LA является высотой треугольника. 776. В круге с диаметром 40 мм проведены два радиуса OK и OL, угол между которыми равен 120°. Найдите расстояние от центра O до хорды KL. 281 Правообладатель Народная асвета а) L до стороны MN; о Рис. 425 777. Отрезок LL^ — биссектриса равностороннего треугольника LMN. Учитывая, что расстояние от точки L^ до прямой LN равно 7 дм, найдите расстояние от точки: б) N до стороны LM. 778. Внутри угла A вели- чиной 90° выбраны точки B и C, равноудаленные от сторон угла: BM = BO и CN = CP (рис. 425). Найдите площадь шестиугольника MNCPOB, учитывая, что AM = 6 см, а MN = 4 см. 779. Расстояние между параллельными прямыми k и l равно 4 см, а между параллельными прямыми l и m — 3 см. Найдите расстояние между прямыми k и m. 780. Прямая l пересекает параллельные прямые a и b в точках M и N. Найдите расстояние между прямыми a и b, учитывая, что MN = 8 см и угол между прямыми l и a равен 30°. 781. Найдите кратчайший путь по поверхности треугольной пирамиды между серединами ее противоположных ребер (рис. 426), учитывая, что каждое ребро пирамиды равно 6 см. 782. Найдите кратчайший ■В путь по поверхности куба межРис. 427 ду точками A и M (рис. 427), 282 •М Правообладатель Народная асвета учитывая, что ребро куба равно 8 см, а расстояние между точками M и B — 1 см. 783. Цилиндр образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Найдите кратчайший путь по поверхности цилиндра между противоположными точками его осевого сечения (рис. 428), учитывая, что высота цилиндра равна 12 см, а окружность в основании цилиндра имеет длину 10 см. Сколько есть этих кратчайших путей? 784. Конус получен вращением вокруг катета прямоугольного треугольника SMQ с гипотенузой 8 см и углом при вершине в 30° (рис. 429). Найдите кратчайший путь по поверхности конуса между точками Ми N осевого сечения, учитывая, что расстояние между точками N и S равно 6 см. Рис. 429 785. Найдите число, учитывая, что 36 есть его: а) 10 %; в) 25 %; д) 15 %; б) 50 %; г) 5 %; е) 45 %. 786. Запишите произведением степеней значение выражения: б) в) 84 . 44; г) (-5)5 . 155 ; ж) ^^; ^ 104 к) 514 . 174; д) (-24)7 . 87 ; з) 21. ) 63; л) 77 . 147; е) (-5,2)5 . (-1,3)5 ’ и) 125; 153 м) 3 ’ 2197, 26 1331 2 ’ 22 233 28561 283 Правообладатель Народная асвета 787. Дробью запишите выражение: а) (а^ + а7 - a 3) ■ (-a^); б) (Ь^12 - Ь-^° - Ъ -) ■■ (Ъ-^); в) (m -4 - mr3n + mr2n^ - m 4n2 + n4) • m^n^; г) (r-10 + r^^^s4 + + r ^s8) ■ (-r^s8). 788. Сумма четырех чисел равна 128. Первое число относится ко второму как 5 ^ 6, второе к третьему — как 2 : 3, а третье к четвертому — как 3 ^ 4. Найдите эти числа. 789. Найдите длины сторон треугольника, учитывая, что его периметр равен 95 см, одна сторона при делении на наименьшую сторону дает в частном 2 и в остатке 7 см, а другая — в частном 3 и в остатке 4 см. 790. (Задача из учебника аль-Хорезми.) Если из числа вычесть его треть и его четверть, то получится 8. Найдите число. 791. (Задача из учебника А. Ф. Малинина и К. П. Буренина.) Купец рассчитал, что если он будет прода- 3 вать сукно по 3— р. за аршин, то получит 18 р. 50 к. 4 убытка, а если по 41 р. за аршин, то будет иметь 2 прибыли 37 р. Сколько аршин сукна у него было? 792. В 8 ч вечера были зажжены две свечи одинаковой длины, но разного диаметра. Первая сгорает за 5 ч, а вторая — за 4 ч. Когда свечи погасили, то оказалось, что первая свеча в 4 раза длиннее второй. Когда были погашены свечи? 793. За 1 кг одного продукта и 10 кг другого уплатили 200 тыс. р. Если при сезонном изменении цен первый продукт подорожает на 15 %, а второй подешевеет на 25 %, то за такую же покупку нужно 284 Правообладатель Народная асвета будет уплатить 182 тыс. р. Сколько стоит 1 кг каждого продукта? 794. За 6 тетрадей уплатили на 12 500 р. больше, чем за 2 карандаша. Найдите цену тетради и цену карандаша, учитывая, что тетрадь и карандаш вместе стоят 3750 р. 795. На склад привезли пачки чая в пакетиках двух производителей. В пачках первого производителя было 1250 пакетиков, а в пачках второго — 2250, причем общее количество пачек чая первого и второго производителей равно 55. Учитывая, что количества пакетиков в пачках первого и второго производителей относятся как 2 : 3, найдите эти количества. 796. На склад привезли пачки чая в пакетиках двух производителей. В пачках первого производителя было 2500 пакетиков, а в пачках второго — 3000, причем суммарное количество пакетиков чая в одной пачке первого и второго производителей равно 150. Учитывая, что количества пачек первого и второго производителей относятся как 5 ^ 3, найдите эти количества. * * * 797. Можно ли так записать числа в прямоугольную таблицу размерами 5 на 6 клеток, чтобы сумма чисел в каждой строке была равна 12, а в каждом столбце — 15? 798. Используя все цифры 0, 1, 2, ..., 9, запишите такое десятизначное число, чтобы число, записанное первой его цифрой, делилось на 1, записанное первыми двумя цифрами — на 2, первыми тремя цифрами — на 3 и т. д., а само число делилось на 10. 799. Каждая точка прямой окрашена в белый или красный цвет. Докажите, что на этой прямой есть отрезок, концы и середина которого окрашены одинаково. Правообладатель Народная асвета Fil рраз^дее л Рациональные выражения 23. Рациональные дроби А) Выражения, построенные из чисел и переменных с использованием действий сложения, вычитания, умножения, возведения в целую степень, а также деления на отличное от нуля число, называют целым выражением. Примерами целых выражений являются: 5 ab^c^, 2x5 - 3xy + 7y; (m3 - + n); ^ ; -12,52 : 2,5; p(2q) + p - 3q4. А выражения ^ „ V m + n —; 4x • 3y; u - -; —5-------3- a 5 + u 2m2 + 3mn - n3 не являются целыми, поскольку в каждом из них содержится деление на выражение с переменными. Выражение, содержащее деление на выражение с переменными, называют дробным выражением (рис. 430). Любое целое выражение можно представить многочленом стандартного вида. В область определения дробного выражения некоторые наборы значений переменных могут не входить, поскольку деление не выполнимо, если делитель равен нулю. Например, в область определения выражения 7 - 1,7 не входит число 3, посколь- 6 - 2х ку при этом значении переменной х выражение 286 Правообладатель Народная асвета Выражение построено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень Рис. 430 6 - 2х равно нулю. Все остальные числа составляют область определения выражения 7 6 - 2 x - 1,7. В об- ласть определения выражения 2а + —a— не входят а - b пары равных друг другу чисел, поскольку при таких значениях переменных а и b выражение а - b обращается в нуль. Все другие пары чисел составляют область определения выражения 2 а + а - b Б) Дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами стандартного вида, называют рациональной дробью (рис. 431). Примерами рациональных дробей являются: x . а - 7; 1,^ . r2 - s 3x - 7 y 13 .2 , r2 - 3rs - s^ 5 + 6x u + v Рациональная дробь = Многочлен Многочлен Рис. 431 Пример 1. Найдем область определения рацио- нальной дроби 3x 2 . В нее не войдут те значения x2 + 2x 287 Правообладатель Народная асвета переменной x, при которых знаменатель становится равным нулю. Чтобы найти их, надо решить уравнение X2 + 2х = 0: x(x + 2) = 0; X = 0 или X + 2 = 0; X = 0 или X = -2. Значит, область определения составляют все числа, кроме чисел -2 и 0. Пример 2. Найдем область определения дроби a2+ 2b . Ее образуют все пары чисел (a; b), кроме тех, a - b для которых а2 - b2 = 0. Преобразуем это условие: (a - b)(a + b) = 0; а - b = 0 или а + b = 0; а = b или а = -b. Значит, область определения дроби а2+ 2b| соа - b ставляют все пары чисел (а; b), для которых а ф b и а ф -b. В) Поскольку в рациональной дроби значениями переменных являются числа, то для нее истинно основное свойство дроби: a = ak, b ф 0, к ф о. b bk Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить или разделить на одно и то же не равное нулю выражение, то получится равная ей рациональная дробь. Основное свойство дроби является тождеством, поскольку оно верно при всех наборах значений переменных а, b, k из области определения. Его используют для приведения дроби к новому знаменателю (рис. 432). 288 Правообладатель Народная асвета Рис. 432 Приведение дроби к новому знаменателю / S а ak Lm м , 6 ^ О, /г ^ 0. 1 Сокраш/вние дроби Пример 3. Сократим дробь т/ - 25m 2m2 + 10 m Сначала числитель и знаменатель дроби разложим на множители: т3 - 25т т(т2 - 25) т(т + 5)(т - 5) 2т2 + 10т 2т (т + 5) 2т (т + 5) Теперь сократим последнюю дробь на общий множитель т(т + 5): т(т + 5)(т - 5) т - 5 2т (т + 5) Таким образом, 2 т - 25т т - 5 2т + 10 т 2 5 x Пример 4. Приведем дробь — к знаменателю 42у4. 6 y Выделим в выражении 42y4 множитель 6y. Получим: 42y4 = 6y • 7y3. Умножим числитель и знаменатель дроби на 7y3. Получим: 6 у 5х = 5х • 7у3 = 35xy3 6у 6у • 7у3 42у4 ■ Множитель 7у3 называют дополнительным мно- 5х жителем к числителю и знаменателю дроби —. 6 у 289 Правообладатель Народная асвета Пример 5. Приведем дробь к знамена- 2и - 3v телю 3v - 2и. Для этого используем основное свойство дроби, умножив числитель и знаменатель дроби на -1: , и = и • (-1) = -и 2и - 3v (2и - 3v) • (-1) 3v - 2и ’ Значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки ее числителя и знаменателя на противоположные. Дробь и 2и - 3v тождественно равна дроби -и 2и - 3v ’ как и дроби —. 3v - 2и Значение дроби не изменится, если изменить знак самой дроби и вместе с этим знак ее числителя или знаменателя (рис. 433). Рис. 433 \ а -а -а а Ь -Ь Ъ -Ь V J (—^ 1 2' [U 2' 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 290 Какое выражение называют целым? Какое выражение называют дробным? Каким выражением можно всегда представить целое выражение? Какие наборы значений переменных составляют область определения целого выражения? Какое дробное выражение называют рациональной дробью? Как найти область определения рациональной дроби? Сформулируйте основное свойство дроби. Как называют множитель, на который умножают числитель и знаменатель дроби при приведении ее к новому знаменателю? Сформулируйте правило об изменении знака числителя и знаменателя дроби. Сформулируйте правило об изменении знака самой дроби. Правообладатель Народная асвета и 800. Запишите дробь по ее словесному описанию: а) разность переменных а и Ь, разделенная на их сумму; б) произведение переменных x и у, разделенное на их разность; в) утроенная сумма переменных k и l, разделенная на сумму утроенной переменной k и удвоенной переменной l; г) числителем дроби является учетверенное произведение переменных и, v и w, а знаменателем — сумма произведения переменных и и v и удвоенной переменной w; д) числителем дроби является утроенная разность переменных а и x, а знаменателем — учетверенная разность переменной а и удвоенной переменной х. 801. Найдите, при каких значениях переменной имеет значение выражение (рис. 434): а) б) в) а + 1 а (а - 1) ’ 3 . х2 - 4; 4 . 5Ь (Ь + 3). г) д) е) у + 7 . у2 - 2 у ’ -3,6 . с2 + 25; 22 + 100 . 22 + 7 2 ’ ж) 3 d -11 d + 11 3 t - 3 ч 2,7 , з) ----- + 2 гт ’ t t2 + 7t и) 2 7 - х х + 2 16 - х2 Зп га - 4 п^- п' тг-4?^0 и - п ^ 0; га ^ -4 и га • (га - 1) ^ 0; п ^ -4: и п ^ о и п ^ 1. Ответ: все числа, кроме -4; 0; 1. Рис. 434 291 Правообладатель Народная асвета 5s - 18 8 = 4; 5s - 18 = 32; 5s = 50; s = 10. Ответ: при s = 10. Рис. 435 802. При каком значении переменной значение 4 имеет дробь: 4b + 7 . x - 2 а)^; 2 a + 3 б) 4 г) д) 9 3 у - 1, 6 в) 5^ 818 (рис. 435); 803. Найдите значения выражений a +4 2 a — 2 , взяв значения переменной из таблицы. и 2 a + 4 a —6 —2,4 —1 5 0 1 5 2,4 6 6 6 2x x2 + 2 при X, рав- 804. Найдите значение дроби ном: а) —2; в) — ^3; д) 0; ж) -|; и) 1,5; б) —1,5; г) — -2; е) -|; з) 1; к) 2. 805. Запишите многочленом выражение: а) (3a — c)(c + 3a) — (a + 2c)(c — 3a); б) (x — 3y)(x + 4у) + (x — 4у)(4у + x); в) 3 b(4 b + 1)(4 b — 1) — 0,25 (16b^ + 3); г) ^ k(7k — 2)(7k + 2) — ■l h(6k‘ + 134); д) 0,4t(5 s — 2,5t) — 8(0,25t + s)(s — 0,25(); е) 0,6u{4v — 2,5u) — 1,4(2v — 5u)(5u — 2v). 806. Найдите значение выражения: а) 6(a^ — 2)(2 — a^) — 6a2(1 — a2) — 2(9a2 — 4) при a = = —4; —0,5; 0; 0,5; 4; 292 Правообладатель Народная асвета б) 4,9х^22+ xj - 0,2x3(2x2 + 1) при x = -10; -3; 0; 3; 10. 807. Докажите тождество: а) 4(4a2 - 4a + 1) (0,5 a + 1) + (2 a7 - a6) : (-1 a") = 1 - 2a; б) (1^(1 - 3y)(1 + 3y) - 1,(2 - 1,5y)(3 + 6y)): (-^4) = 6y2 + + 5y + 2-|. 808. При вычислении значений дроби 1 + a для значений a, близких к нулю, пользуются приближенным равенством 1 вычислите: 1 1 + а 1 - а. По этой формуле а) б) в) а) 1,01’ 1 . 1,03; 1 , 0,98 ; г) д) е) 0,995 ; ж) 2,001; 2 « з) 1 « 1,03; 1,993; 5 . и) 3 . 0,9983 ; 3,0015; 809. Сократите дробь (рис. 436): 14 ab, 21bc ’ б) 12xy^. б) 18 yZ2’ в) -27u^v_ 3v3 ^ ,•3 д) - gh3, h^f ’ г) 2^- ) -i^k ’ е) 9dpq . ) 18 dq4 ’ к) л) м) ж) з) 4 3,9964 ’ 7 , 4,0002 ; 11 2,9997. 42st ’ 63a3x2 45a5x6. Рис. 436 r 9tuv^' 4t \ 36t^uv° U V ~ 9tuv^•5u^v^ ~ ЪиЧ^' J 810. Сократите дробь (рис. 437): \ x - y а) -----^; у - x и (b - и) _ в) б) v(и - b) ’ 6 c (c - g ) _ 36c(g - c); г) 8 d(e -f > ; 32d2(f - e) 293 Правообладатель Народная асвета ) - 4); ^ 21mn4 (4 - m) ’ e) 28ij^(2i - 3 j) ; ) 42i3 j4(3 j - 2i)’ ж) з) 95u3o4(4 - 5v); 57uv^(5v - 4) ’ 136k^l(4 - k)(3 - l) 102k4l4(k - 4)(l - 3)' Рис. 437 6 16^ -1 t?) 76(iV42^-&Ka^-3) 5 o21 1 -1 6&^ 5fl2- 811. Разложив на множители числитель и знаменатель, сократите дробь (рис. 438): 2а + 105 . 3t(t + 7) _ ч г) ~~a~l оо ; ж) а) б) в) 2аЬ 14x - 21y; 28^ ’ 3 с - 9 ; 2(c - 3) ’ д) 4t + 28 m - 4n m2 -4mn’ е) 3g2 + 24gh ; ) g + 8 h ’ u3 - 2u2 ; 3u2 - 6u ’ з) 4 + 6 p3 ) 3p5 + 2 p8 . Рис. 438 - x^y^ x^y\y - X) 2,.2/ I/ - д;. 812. Приведите дроби —и —к знамена- 6mn 8m n телю: а) 48m3n3; б) 96m4n2; в) 24m2n2; г) 24m6n5. 813. Приведите дробь (рис. 439): а) —4— к знаменателю (х - у)2; x - у ^ ------------- ,,2 - и2. б) в) а - Ь Ь u + v к знаменателю а - Ь ; к знаменателю (u + v)3; г) 3с к знаменателю Ь3 - 1; Ь -1 ч 1,9 2 д) —^ к знаменателю 9 - q ; 294 Правообладатель Народная асвета е) ж) r + t 13 2 - 13 к знаменателю r2 - t2; к знаменателю 13 - z; з) 2 ^ к знаменателю + h3; g + h и) , 1,4-- к знаменателю х3 - 8; X2 + 2х + 4 к) i + 5 15 - 3i 7 к знаменателю 3(i2 - 25). 3(ы^-25) 3(и-5)(и+5) 15-Зи 3(5-U) (U+5)-(-(и+5)) (u+5f = -(и + 5); (и + 5)^ Рис. 439 (15 - Зи) • (-(ц + 5)) 3(и^-25) 3(25-и^)' 814. Преобразуйте дробь в тождественно равную дробь, перед которой стоит знак минус: 5+t а) б) 2 - a в) m - n _ д) 7 - k ; b ’ 2 + l ’ k -11; 2x . г) u - 3 ; е) c - y . 3 - x ’ 4 - u ’ d - y’ ж) з) t -17’ g + h 815. Сократите дробь: а) a6 + a4 ; г) a4 + a2 ’ ,.6 ,,8 б) y y . д) 4 2 ’ y - y b7 - b10 ; в) е) b5 - b2 ; .,7 ,,5 z - z z4 - z3 (6s - 6t)2 , s -1 (4 c + 12d)2 c + 3d ж) з) и) h + f (5u + 10o)2 ; 4u + 8o ’ 9 g2 - h2 ; (15g + 5h)2 ; d5 - 4d3 4 - d2 816. Сократите дробь (рис. 440): а) ax + ay - bx - by ^ ax - ay - bx + by’ б) mk - nk + ml - nl ^ mk + nk + ml + nl’ 295 Правообладатель Народная асвета 3 в) г) д) pq + pr + q2 + qr ^ е) u2 - u2 - u + 1; ps + pt + qs + qt ’ u4 - 2u2 + 1 ; (m + n)2 - к2 ; ж) 1 - 3o + 3v2 - v3 m + n + к ’ r - rv + s - sv i2 + j2 - к2 + 2ij ; з) t2 - gt + ht - gh i2 - j2 + к2 + 2ik ’ t + ht + gt + gh 10х^ - 10у^ (2x + 3yf-(3x + 2yf 10-(/-у) (2х + Зу - Зх - 2у) • (2л; + Зу + Зл: + 2у) 10 • (л: - у) • (л: + у) 10-(х-у)-(х + у) (-Х + у) • (5х + 5у) (-х + у)-5-{х + у) Рис. 440 817. Найдите значение дроби: ч 12х2 - 9xy 2 -I А а) -----при x = - и у = 1,4; 4ху - 3у 7 16а2 - 9&2 3 L 2 ^ 20a2b - 15ab^ 4 3’ ч 7 р2 + 21 pq 4 1 18 q2 + 6 pq 35 24 = -2. г) m2 + 14mn + 49n2 35mn + 5m2 при m = -1,2 и n = 35 sjc + ЛС = + 2s + 1; jc(s + 1) = (s + 1)^; (s + If X = — s + 1 JC = s + 1. Рис. 441 818. Решите уравнение относительно переменной х (рис. 441): а) ах - 2х = а2 - 4; б) рх - qx = 6р - 6q; в) gfx - в/х = f 2g- ef 2; г) mx - пх = m2 - n2; д) к2х - г2х = к2 + кЬ + г2; 296 Правообладатель Народная асвета 4 е) lux + 7vx = 21u2 - 21v2; ж) sx + x = s2 + 2s + 1; з) i^x + 2ijx + j^x = 4i2 - 4/2. 819. Представьте многочленом выражение: а) (a + 8)2; б) (x - 4y)2; в) (m - 5)3; г) (2u + 3v)3; д) (b + 2c)(b - 2c); е) (5 - lz)(lz - 5); ж) (g - 3h)(g2 + 3gh + 9h2); з) (4p2 - 6pq + 9q2)(2p + 3q). 820. Упростите выражение: а) 6x2 - (2 x - 4)(3x + 5); б>(3а -1)(3a+1) -1; в) 3b(b - 1,2 c) - 1,2(5 b + c)(c - b); г) 4(k - 3l)(3l - k) - 0,5k(30l - l2k). 821. Разложите на множители: а) x4 - y4; д) 4(z - 2)2 + 9 + 12(z - 2); б) -a3 - a + 2a2; е) a2 - b2 + t2 - s2 + 2(at - bs); в) b2 - ab - b + a; г) m2n^ - 1000m5n2; ж) u2 + 2uv + v2 - ux - vx; з) cf - df - c2 + 2cd - d2 822. Разложите на множители: а) 121 - u2; б) 81 v4 - w2; в) 25m2n - 4n3; г) 24x5 - 3x2; д) f6 - f 5 - f 2 + f; е) p5 + p3 - p2 - 1; 823. Отрезок LM является медианой треугольника KLN (рис. 442). Докажите, что треугольники KLM и К М N NLM равновелики. Рис. 442 291 ж) (c3 + 1)2 - (d3 - 1)2; з) s3 + 8 + 6s2 + 12s; и) 8x3 + 21; к) 1000i3 - 21j3; л) 125a3b6 + 216 c6; м) 343g3h9 - 512 i6j9. Правообладатель Народная асвета 824. Найдите длину отрезка AB по данным, приведенным на рисунке: а) 443; в б) 444; в) 445. 825. От прямоугольной пластины отрезали треугольную часть. В результате получился четырехугольник ABCD площадью 2232 см2, две стороны которого равны 72 см и 16 см (рис. 446). Найдите другие стороны четырехугольника ABCD. 826. Когда к 10-процентному раствору кислоты долили определенное количество ее 60-процентного раствора, то получили 200 мл 20-процентного раствора. Сколько миллилитров каждого раствора использовали? 827. По Узденскому району протекают притоки Немана — реки Лоша и Уса, а также приток Пти-чи — река Шать. Длина Шати относится к длине Лоши как 5 : 6, а к длине Усы — как 7 : 23. Найдите длины этих рек, учитывая, что Уса длиннее Лоши на 73 км. 298 Правообладатель Народная асвета 828. На рисунке 447 показан прямоугольный параллелепи- пед, разрезанный на две одинаковые части, каждая из которых является призмой. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 16 см, 30 см и 40 см. Найдите объем и полную поверхность призмы ABCA1B1C1. 829. На первой ферме корова дает 25 л молока в день, что на 5 л больше удойности коровы на второй ферме. Всего на первой ферме надаивают за день молока на 6000 л больше, чем на второй ферме. Найдите, сколько молока надаивают в день на первой ферме, учитывая, что на ней на 200 коров больше, чем на второй ферме. 830. Имеются две емкости в форме прямоугольного параллелепипеда. Объем первой емкости — 36 м3, объем второй — 90 м3, а высота первой емкости на 2 м меньше высоты второй. Учитывая, что площади дна первой и второй емкостей относятся как 2 : 3, найдите эти площади. 831. Имеются две емкости в форме прямоугольного параллелепипеда. Объем первой емкости — 48 м3, объем второй — 60 м3, а площадь дна первой емкости на 7 м2 меньше площади дна второй. Учитывая, что высоты первой и второй емкостей относятся как 3 : 2, найдите эти высоты. * * * 832. На плоскости отмечены четыре точки. Докажите, что из них можно образовать две группы так, что эти группы нельзя отделить одну от другой никакой прямой. 299 Правообладатель Народная асвета 833. Докажите, что равенство х2 + 3xy = 5 не выполняется ни при каких целых значениях х и у. 834. В последовательности 4, 9, 3, 2, 5, 7, ... каждое число, начиная с третьего, является последней цифрой суммы двух предыдущих чисел. Могут ли встретиться в ней такие последовательные числа, как 5 и 4? Если да, то какое число будет стоять перед этой группой? 24. Действия над рациональными дробями А) Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам, что и сложение и вычитание обыкновенных дробей: a + b = a b . a b = a - b k k k ’ k k k Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, оставив прежний знаменатель. Чтобы из одной рациональной дроби вычесть вторую с тем же знаменателем, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, оставив прежний знаменатель. тт ч г, ^ 5х + 7у 3х - 11у -гг Пример 1. Сложим дроби ----— и -------. По- 12ху 12ху лучим: 5х + 7у + 3х - 11у 5х + 7у + 3х - 11у 12ху 12ху 12ху _ 8х - 4^ _ 4(2х - у) _ 2х - у 12 ху 12ху 3ху Пример 2. Найдем разность дробей 3а - 5b т-г ------. Получим: 4 а + 2b 300 7 а + 9b 4 а + 2b и Правообладатель Народная асвета 7a + 9b _ 3a - 5b _ 7a + 9b - (3a - 5b) _ 4 a + 2b 4 a + 2b 4 a + 2b _ 7a + 9b - 3a + 5b _ 4a + 14b _ 2(2a + 7b) _ 2a + 7b 4 a + 2b 4 a + 2b 2(2a + b) 2a + b Чтобы выполнить сложение или вычитание дробей с разными знаменателями, нужно предварительно привести их к общему знаменателю. Пример 3. Упростим выражение _L_ + ^ + .2lL. p + 3 3 - p p^ - 9 Прежде чем найти общий знаменатель, разложим знаменатели дробей на множители: 3 2 p -1 + —— + 2 p2 3 2 p -1 + —---- + 2 p 2 p + 3 3 - p p2 - 9 p + 3 3 - p (p + 3)(p - 3) Общим знаменателем дробей является выражение (p + 3)(p - 3). Значит, дополнительными множителями будут выражения: p - 3, -(p + 3) и 1. Далее получим: p - 3 - (p+3) 1 3 p+3 2 p -1 + —— + 2 p 2 _ 2 p -1 + —----+ 2 p 2 3 - p p2 - 9 p + 3 3 - p _ 3(p - 3) - (2p - 1)(p + 3) + 2p2 p2 - 9 (p + 3)(p - 3) 3p - 9 - 2 p2 - 6 p + p + 3 + 2 p2 -2 p - 6 (p + 3)(p - 3) -2( p + 3) -2 (p + 3)(p - 3) 2 (p + 3)(p - 3) p - 3 p - 3 Б) Умножение и деление рациональных дробей, возведение рациональной дроби в степень выполняются по тем же правилам, по которым выполняются эти действия над обыкновенными дробями: a . m _ am ; a m a . n b n bn ’ b n b m 301 Правообладатель Народная асвета Чтобы умножить дробь на дробь, надо произведение числителей дробей-множителей записать числителем дроби, а произведение знаменателей — знаменателем дроби. Чтобы разделить одну дробь на другую, надо дробь-делимое умножить на дробь, обратную дроби-делителю. Пример 4. Разделим дробь 21 +1 на дробь Получим: +3 21 + 1 . 3 + I _ 21 + 1 г2 = 3 + I ~1^' I + 3 Z2 (2Z + 1) • Z2 I + 3 3 + Z 2Z3 + Z2 (Z + 3) • (Z + 3) (Z + 3) Пример 5. Перемножим дроби лучим: -2 8x^‘ • 5у4 _ 8X2 . _5у4_ 12x3 12x3 8 X2 у3 10 у 3х и 5 у4 12х3 По- у 12X у В) Произведение трех и более множителей находят по тому же правилу, что и произведение двух множителей. Учитывая, что произведение нескольких одинаковых множителей представляется степенью, получим тождество: / xk a \ b / ~Ь^. Чтобы возвести в степень дробь, надо эту степень числителя записать числителем дроби, а степень знаменателя — знаменателем дроби. Пример 6. Возведем дробь пень. Получим: (3u3v )4 3u3v u2 + v в четвертую сте- 3u3v ^^ u2 + v 81u12v4 (u2+ v)4 (u2+ v) 4 302 Правообладатель Народная асвета Пример 7. Упростим выражение (т + и) '■ Получим: (т + и) '■ (— + —) = (т + и) '■ и + т = \т и/ ти ^ + 1 т и т + и 1 ти (т + и) ти т + и = ти. т + и 1. Запишите тождество, выражающее правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Сформулируйте это правило словами. 2. Запишите тождество, выражающее правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Сформулируйте это правило словами. 3. Как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знаменателями? 4. Запишите тождество, выражающее правило умножения дробей. Сформулируйте это правило словами. 5. Запишите тождество, выражающее правило деления дробей. Сформулируйте это правило словами. 6. Запишите тождество, выражающее правило возведения дроби в степень. Сформулируйте это правило словами. 835. Представьте дробью выражение: ч 2a + 5 2a - 3 5a + 6 а) —— + 9 a 9 a 9a .-ч x - 1 x - 2 2x + 8 б) ---------+------------------------ в) г) д) е) 3b +1 2b -1 b + 2; c c c 4u - 3 5 - 4u u + 1 _ 3u 3u 3u ’ 5 f - 2 e 3 e + 2f + e - f; 4ef 4 ef 4 ef 9r + 5 s s - 7r 3s - 2r 6 s3 + 6 s3 + 6 s3 303 Правообладатель Народная асвета ж) g + 5h _ 6h - 2g + g + h ; Ж 7 gh 7 gh 7 gh ’ . - k2 2k3 + 4k 2k3 - 5k з) — + 6 6 6 836. Найдите значение выражения: а) -^ при ж = -17,7; 0; 17,7; X + 7 X + 7 ,-,,7 а - 2 4 a - 14 о er /л б) при а = -3,5; 0; 4; а2 - 16 а2 - 16 .с2 + 32с + 1 ,, ^гк2о в) - при с = -2; ~; 0; ^; 2; с3 - 8 с3 - ^ 7" ’7 ч 2 у2 + 8 у2 + 3 у - 1 г) 3 - 3 при у = -3; -^; —; 14; 3. 1^ 1^ 13 у3 + 27 у3 + 27 837. Упростите выражение (рис. 448): а) б) в) г) д) е) а + ■ 7 . ж) z - 5 3 . b -1 1 - b ’ z - 2 2 - z ; X 5 . з) k + 2k -1; у - 3 3 - у ’ 3k -1 l - 3k ’ 3и + 3o . и) t + 3 . с - d d - с ’ t2 - 9 9 -12 ; 4s - + 8 s . к) w2 + 1 . 2t - s s - 2t ’ w -1 1 - w ’ 8 e + 5e . л) m2 36 f - g X; g - f (m - 6)2 (6 - m)2 5i + - 5 j . м) n2 + 36 + 12n i - J J - i (n - 6)2 (6 - n)2 4с^ 5(4с - 5) 2 - Зс 4с^ Зс - 2 _2 Зс - 2 2 5(4с - 5) Зс - 2 ^ 4с^ - 20с + 25 _ (2с - 5) Зс - 2 Зс - 2 304 Рис. 448 Правообладатель Народная асвета 838. Алгебраической суммой запишите дробь (рис. 449): а) а2 + b2 b2 б) 3u - 2v v в) d2 +1 3d ' г) m2 -4mn m 6k^ + 15fe - 2 ^ ^ \bk 2 _ . 5 1 6As 6ft 6ft 6ft 2 3ft' а) г) д) е) Рис. 449 839. Представьте дробью выражение: 2g ’ _5. 9Z ’ S . 8b ’ g . 5a -4 3a . 9 ’ и) — + 4 p 4 x _ 9 x. к) 4 - 5 4 ’ 3k 8 y 15 x - 7 y . 12x’ л) — + 6a 11b . 12 _ 7 b. 10’ м) l -12f 1 + 2 ’ н) 15t -1 6mn 5mn 9w 7 5 ’ о) 9 x + 4 27 ij 18 ij ’ 8 j 4u 3u ’ п) m + n 5v 4v ’ k2 5s 6t 7 s ’ 30t ’ р) y - 2z yz^ 18 h’ 2a - 4v 15w 3x -1 + 6 j m - n kl 840. Представьте дробью сумму или разность: а) б) в) г) а - b а - c ab ac x- 2y y-2x ^ 4 y c - d ~c3d2 2l + 3 f 6l2 f 4x c + d _ c2d3 ’ 3 f - 4l; 9lf2 ’ д) е) 2i - j 2 j - i. 2i2 j 2u - 5v 2u2v 3ij2 ’ 6 v - 9u 5uv 2 2 ж) 2g - 3h + 4g2 - 5h2 з) g 5 k2 -12 kl gh 3k - 2l l ’ 305 Правообладатель Народная асвета и) 2mr - 3nx mn - 5nx nx mx „2 ^ ^ „2 л) м) 1 + 2 r4 s3 r3s4 ’ 3 4 к) 3 P + 5 pq + q - 3 Pr . pr qr 841. Преобразуйте в дробь выражение (рис. 450): а) m + —; ж) + h; n б) -р - р; q. 4; в) 2q г) 4r------; r д) U2 + v u; е) 2е 4 е2 + 1, 2е ' з) i 2 g (j + i)2 . 2j ’ . x - 1 3x - 1 5x - 1 и) --:— + к) 4 2a - 3b 2 2 a - 2b + 6 b-a 4 л) y - 2z - 3(z - 2y) + y + z ; ) 4 6 12 ; м) 2c - 3d - 2(c - 2d) + 3(c - d) 5 2 ' 3 . , 2 . ' 1 - 5a-b 2(b - 1) 2b+ 1 15a - 3b - 4b + 4 - 2b - 1 2 3 15a-9b + 3 6 3(5a - 3b + 1) 2-3 5a - 3b + 1 Рис. 450 842. Преобразуйте в дробь выражение (рис. 451): а) б) в) г) 306 x+3 x2 - 2x x 9 - a2 4 - a2 4 + x2 - 4 a+4 a + 2 ; u+5 2 2u + 1 1 - 4u (b + c)2 (b - c) b2 + bc + b2 - bc д) + p- 3pq е) ж) з) p - q (p - q)(p + q)’ m2 -4mn n2 - m2 u2 - 4uv u2 - v2 n , m - n u - 3v u + v z + z z + 2 z2 -1 ' Правообладатель Народная асвета u 1 а) 843. Докажите тождество (рис. 452): 2а . 4b _ 2a(a + b) + 4b2 _ + 3a + 3b 3a - 3b 3a2 - 3b2 б) 5y _ 2x _ 5y2 - 2x2 ax + bx ay + by xy (a + b) m m + 2, m jn - 2, 2 771-4 771-2 777 + 2 3 2 m —m - 2777 — 2777 + 4 _ 777 -4 m -rn - 4t77 + 4 ~ 2 ^ ~ 777 -4 _ 777^(777 - 1) - 4(777 - 1) _ = m-l. Рис. 452 777 -4 (777 - 1)(t77^ - 4) 2 ~ 777 -4 = 7П - 1. 844. Упростите выражение: 5a а) ^ + 4 б) в) a + 1 a - 1 (a + 1) 6b 2 + b + 2 b - 2 b2 + 4b + 4’ 1 3 3x x - 3 2x + 6 2x2 - 12x + 18’ 4 y - z . г) 6 -________ ___________ ) y y - 2z 4z2 - y2 ’ Д) ^ ^ c - 2d c + 2d 4cd2 - c 3 ’ 307 Правообладатель Народная асвета е) ж) з) а) 3т - 4 5 + 4m 2 - m + 6m2 3 - 2m 3q + 1 2q 5 3 + 2m . 3q 2q -1 1 - 2u 4 m2 - 9 1 + 2q - 4q2 3u2 - 4u + 5 г) д) е) ж) 1 - u u2 + u + 1 u3 - 1 845. Представьте дробью выражение: и) 2^ . 6^. ) 3t 5s2 ’ . . г; к) л) м) н) 6 a . 5. 25b 3’ x2 . y^. y3 x 13 . e4 . 5e 13f ’ 14 g3 . 1 . 15 h 7g3 ’ 3cd . 10u2v 4uv 21c2d 11k4 . 16l. 8 k5 ’ 4i3 . 15l. 3 j2 2 ’ 17 y3 . 24 q4 18 q 34 q4 45i5 . 8i3 . 64 i4 15i3 ’ 20 m4 . 22n5 . 11n3 25m2 ’ 19u4 . 22v6 . 11v7 57u3 ’ 54 w4 . / 3,7 z3 3,7 z5 \ 18w5 28 cy3 . 10cd. 15d2z 2 ,-3 Ч 36i2i п)--------2- 33 k2l 21yz ’ 44kl 2 '2 ^4 р) 5^ 51xy 27 i2 i 68 x5 y 846. Упростите выражение (рис. 453): а) 2x2y . 9a2b . _6 3ab 4xy2 ■'" 42u3o2 ax 3 б) в) 5w ^3 20 c4 d 21e 2 v 49u5w3 ^4 15y3 4 35u2w2 7 . 7 c3g , ’ 4d6 f2 ' 5h2 . 18z5 6v7 3e3d2 . 5e6f ’ ^ Зба^пг^ _ 6re^ За^тп^ 5ЬЧ^ ^ 5-36-aV-&V-g^/n^ 6 • 3 • 5 • • ЬЧ^ г) . ^ 3hk 4ik 25gh’ 1 2 a*l 1 1 1 1 11ml 2a^ m ‘ д) ^2 5m n . 4kl . 9n k 3kl 15n4 16m 2 Рис. 453 308 Правообладатель Народная асвета е) . 36, 5^. е) 3 p4 q4 5i2 j4 4 j2 ’ з) U^..2 11 ax2 . 28d3z4 . 24&2x 21&32 15cx3 ж) 9rs . 3io . 4vu а) б) 5tv 4ru 3rst ’ 847. Упростите выражение: а) (fb )3; г) ( 2z 3t4 ’ ж) б) / 2x \3, ’ д) ( ' t2/ \3; , 2 gh4 ’ з) в) / 3b2 \2, \2c^ ’ е) ( 5mn2 \3; 2k3W ’ и) (k -1 )2 k2 -12 a2 - &2 3b -1 (a + 7)2 4 a + 12 c + 5d 2 a + 6 „ при а = -7; --1; 7. a2 - 4^ V 7 33 a3 z4 (b + a)2 ’ 36 - p2 p4 + 36 p2 848. Найдите значение выражения: c2 - 25d2 3ab - a ^ in r n при а = 12, с = 12, d = 2; 849. Выполните деление (рис. 454): а) 4a2b : 8 ab2 3cd 2 б) ^ (-зе5/ 3); в) 16i6 j4 ) 17 k8l2 5 ,-3 г) 169 mn 289p Д) : ^ 125r4 e) 144 : (- - 8i5 j 68 k415 ; 13 p ; 17 mn ’ 3 c5 25r 4 16 uvw^ Рис. 454 9c^ ж) -3 4a3x2 з) 16c2d3 ■ к) м) 3ax2; - 20c5d4 3е2 / 6ij3 . 5kl 10k^l* ’ 46m3n . 62m2n 15 p 10 p3 24u2 : 8u3v2 ; 13w32 ’ 16k2t . 10 kt3 7 s 21г3 . -3c^ 31 11 125d4 ' 5d4 • (>3^) , 25 1 -11 25* ___) 309 Правообладатель Народная асвета 850. Упростите выражение (рис. 455): а) б) в) г) д) е) a + 1 . a2 -1’ ж) m3 - n3 . m2 - n2 ’ b 2b2 ’ mn (n + m) m2 + mn’ 3x . x2 + y2 ’ з) 4 4 2 p - q . pq - q ’ x - y x2 - y2 ’ p2 + 2 pq + q2 p + q ’ b2 - c2 . 5c - 5b ’ и) (r - s)2 . r(r + s) _ b2 + c2 5c ’ s2(r + s) s4 ’ ge + ef . g2 + hf ’ к) u2 - o2 . u - v ’ gh - hf ge - ef ’ u + v u3 + v3 ’ j(i - j) . j3 ’ л) Ш3 + 23 . w2 - w2 _ (i + j)2 (i + j )3’ w2 - 22 2(w - 2)’ k3 + Z3 . k + Z ’ м) 4 4 2 a - y , a - ay k - Z k3 - Z3 ’ a2 - 2ay + y2 a - y Ъ + с _{а-Ь)^ - а + Ь- с _ Рис. 455 + Ь^ - 2аЬ - , + 2аЬ + Ь^-с^’а + Ь- с (а + Ь) _{а - Ь - с)(а-^^-6^='сДа-4—_ а 2 2 - с а Ь + с а + Ь + с‘ 851. Выполните деление: а) б) в) г) б) 310 5a+10b . 3 a + 6 b ’ a - b a2 - 2ab + b2 ’ y2 + 6 y + 9 . 9 - y2 ’ 81 - y4 9 + y2 ’ c2 + cd + d2 . c3 - d3 ’ cd + 2ce df + 2fe ’ 9 g2 - 16 h2 . 3 g + 4 h ’ g3 + 8 g2 - 2 g + 4’ 852. Вычислите: 1 + 2’ 2 5 в) 1 + —’ 6 21 5 + 2’ 6 3 г) — + —: М5 12 д) е) ж) з) i2 + 6i + 9 . ki + 3k 3i2 j 6ij ’ 2mn3 . 2m2n2 ’ 8 - 8 p 1 - 2 p + p2 ’ q2 + qr + r2 . q3 - r3 r - 2 r3 - 8 4 v2 - 9 . 2v + 3 v2 - 4 3v - 6. .гЧ 2 1. Д) 3 2’ е) J_ 15 1 6' Правообладатель Народная асвета 853. Вычислите: а) 1 . 2 б) 5 . 2, 2 ^ ' 6 3’ 854. Сократите дробь: в) 1 • 6 ' 21’ г) ^ • 1. 15 ' 12' а) 1 - a2 . в) b2 - 8b + 16’ д) 6m2n2 - 3m3n ’ a3 + 2a2 + a ’ b3 - 16b ’ 3m3n - 9m2n2 ’ б) x2 + xy + y2 г) cd^ - 16c3 ’ е) 2i/3 + 4i/2 + 2ij x6 - x3 y3 ’ (d + 4c)2 ’ jj + 3 j2 + 3 j +1. 2ab + a2 + b2 - с2 2ac + a2 - b2 + c2 855. Найдите значение выражения при: а) a = 1,42’ b = 5,58’ с = -1,84’ б) a = А’ b = А’ с = ^ 1^ 1^ 143 856. На рисунке 456 приведены графики зависимостей у = 1,2х + 1,5 и у = - 4 x + 4. Найдите по этому рисунку координаты точки A пересечения этих Правообладатель Народная асвета графиков. Найдите абсолютную и относительную погрешности значений этих координат. Точные значения координат точки A вычислите, исходя из того, что для точки пересечения значения переменной у в обеих зависимостях одинаковы, т. е. 1,2х + 1,5 = = - -3 x + 4- 857. Постройте прямоугольный треугольник ABC по его катетам CA и CB, учитывая, что: а) CA = 4 см, CB = 7 см; б) CA = 33 мм, CB = 56 мм. 858. У четырехугольника MNOP на рисунке 457 углы O и MNP прямые, а стороны NO, OP и PM соответственно равны 24 см, 18 см и 78 см. Найдите: а) периметр и площадь треугольника NOP; б) периметр и площадь треугольника MNP; в) периметр и площадь четырехугольника MNOP. Рис. 457 N 859. Постройте треугольник KLM, учитывая, что: а) KM = 47 мм; Z K = 45°; Z M = 57°; б) KM = 28 мм; Z K = 32°; Z M = 95°. 860. Скорости велосипедиста и пешехода равны соответственно 15 км/ч и 5 км/ч. Велосипедист проехал на 50 км больше, чем прошел пешеход. Найдите время движения велосипедиста, если оно вдвое больше времени движения пешехода. 312 Правообладатель Народная асвета 861. В поход купили 5 банок тушенки из свинины и 6 банок тушенки из говядины, и на это истратили 276 000 р. Найдите цену банки тушенки из свинины и цену банки тушенки из говядины, учитывая, что вместе эти цены составляют 50 000 р. 862. В поход купили тушенку из свинины по 22 500 р. за банку и тушенку из говядины по 25 000 р. за банку, и на это истратили 310 000 р. Найдите, сколько банок одной и другой тушенки купили, учитывая, что всего купили 13 банок. * * * 863. Какое из чисел больше: 230° или З200? 864. На окружности отмечено 2000 точек синим и одна точка красным цветом. Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше — тех, среди вершин которых есть красная, или тех, все вершины которых синие? 865. Найдите все такие простые числа р, для которых число 8р2 + 1 также простое. 25. Рациональные выражения Целые и дробные выражения вместе называют рациональными выражениями (рис. 458). Мы знаем, что любое целое выражение можно представить многочленом стандартного вида. Рис. 458 313 Правообладатель Народная асвета Любое дробное выражение можно представить рациональной дробью или многочленом стандартного вида. Пример 1. Упростим выражение a - b - • a + b a - b Для этого сначала выполним деление дробей, а затем полученный результат вычтем из многочлена a - b: 1 2b(a - b) 2ab - 2b2 1) 2b a + b 2) a - b - a - b a + b a + b 2ab - 2b2 (a - b)(a + b) - (2ab - 2b2) a + b a2 - b2 - 2ab + 2b2 a2 - 2ab + b2 a + b _____________________________ = (a - b)2 a + b a + b a + b В результате дробное выражение a - b - 2b a + b a - b представлено рациональной дробью (a - b)2 a + b Решение можно оформить и цепочкой равенств: a - b - 2b , 2b(a - b) , 2ab - 2b2 = a - b - —^^ = a - b - a + b a - b a + b = (a - b)(a + b) - (2ab - 2b2) a + b a2 - b2 - 2ab + 2b2 a2 - 2ab + b2 a + b a + b a + b (a - b)2 a + b Пример 2. Упростим выражение (X2 - y2 - z2 - 2yz) . X + y + z X + y - z Будем последовательно получать: . X + y + z (X2 - y2 - z = (X2 - (y2 + z2 + 2yz)) 2 yz) X + y - z X + y - z = (X2 - (y + z)2) • X + y + z 314 Правообладатель Народная асвета = (x - y - z)(x + y + z) • x + y - z x + y + z (x - y - z)(x + y + z)(x + y - z) = (x - y - z)(x + y - z) = x + y + z = ((x - z) - y)((x - z) + y) = (x - z)2 - y2 = = x2 - 2xz + z2 - y2 = x2 - y2 + z2 - 2xz. Тождественными преобразованиями дробное представлено /2 2 ^ Л \ ш x + y + z выражение (x - y - z - 2yz) x + y - z многочленом x2 - y2 + z2 - 2xz. Пример 3. Упростим выражение s2 + i2 t s s2 -12 Получим: s2 + t2 t -s 1 - 1 t s 1 - 1 t s s2 -12 s3 + t3 s2 + t2 - st s -1 st s2 -12 'sr+t3 (s2 + t2 - st)st (s - t)(s + t) t (s - t) s3 +13 (s2 +12 - st)st(s -1)(s + t) (s2 +12 - st)(s +1)s (s3 +13)s t (s -1 )(s3 +13) s3 +13 s3 +13 = s. В этом примере дробное выражение, у которого числитель и знаменатель одной дроби сами были дробями, тождественными преобразованиями мы заменили одночленом s (рис. 459). Целое выражение представляется многочленом. тт я II II многочленом или Дробное выражение^-»«}представляется9^ „ , Т I ^ ___________) [рациональной дробью Рис. 459 315 Правообладатель Народная асвета 1. Какое выражение называют целым; дробным; рациональным? 2. Что называют многочленом стандартного вида; рациональной дробью? 3. Какие выражения называют тождественно равными? 4. Что называют тождественным преобразованием выражения? 5. Каким выражением можно представить целое выражение? 6. Каким выражением можно представить дробное выражение? а) б) в) г) е) 866. Выполните действия: m - 1 m + 1 _ m - 2 m + 2 ’ За - з\/1 - а - & а - b r2 2 pr + r 1- c + d а + b p + q r - q 1 + d - c д)(^ + 7y-ia -f); y x x - y x + y x2 + y2 xy - y 2 . m + n mn + n‘ ж) ---- + --z— n з) n u - v u uv - u 11v 5m ’ 11v а) б) в) г) 316 867. Упростите выражение: За + 1 За - ^ ^ 12а За -1 b + 5 5 c + 2 c - 4 7 x + y + + За + 1 b + 5 b - 5 5c - 2 c+4 7 x - y + 21а - 7’ b-5 x - 7 y x + 7 y b+5 c2 -16 ; 5 c2 + 8 ; , 7 x2 + 7 y2 ; 2 x2 - 98 y2 ’ Правообладатель Народная асвета 2 u д) (1 + 4 + 42)(1 -4 + 42); е) ж) d 2m m + n 4 + d2 n - m m d d2 m2 + n2 m + n + \ . 16r2 + 12pr ; " ■ 2 2 2 ; 3p + 3^ pr + 3p^r + 3q^r u + 6 u - 6' . I u - 6 u + 6 з) (------^ + а) б) в) г) д) е) ж) з) u + 6 u - 6 u - 6 u + 6 868. Упростите выражение (рис. 460): X2 - 36 1 x - 6 x+4 X2 + 6x X2 - 4x 1 - 2b b2 + 2b . 2 + b ; 3b + 1 ' 9b2 -1 6 b + 2; n - p mn - n2 2 2 . m - p m + n m2 - mp 2 2 m - n a3 - 9a . a2 - 3a 3 + ac + ; b2 - 4 d2 + 9 bc + 2c 9 - d2 d 3 d3 + 27 + u 6 u - 6 / \u - 6 ^ + и + 3^:^^ 3 + v 9 -1 + u); v+3 Й2 + 9 k + 3)(3 k+3 v - 3j; k3 - 27 9 - k2 . Рис. 460 m + 1 2m+2-1 m + 1 2m + 1 1- m“ 2m^-2 + 2m^+l • m^-1 4m^-l m + 1 ' {m + l){m - 1) 1 1 jC2»i-KlKBjr-Ktl(77i - 1) m-1 ~ ipi++rfi^m.+^2m - 1) “ {2m - 1)' 1 1 317 Правообладатель Народная асвета а) б) в) 869. Выполните действия (рис. 461): a + 3 3 a — 6 5 a2 — 4 a + 4 a2 — 9 a — 3’ x — 5 . / X x2 + 25 5 X2 + 50 X + 125 \5 X — 25 5 x2 — 125 x2 + 5x/’ 52 — 7b 7 b + 49 b2 — 14b + 49 b2 — 49 7 b/’ r)L ^ — + 2 + 5^ 1 д) 6 y + (y — 2) y — 8 y — 2 m + ^ / 3 1 + y + 2y 3 + 1 3m — (m + 1)2 Vm2 — m + 1 m3 + 1 m + 1/’ e) (+ v] ■■ (^4 + ^ U — V u2 + v2 и u2 v^ u2 + v2 870. Упростите выражение (рис. 462): 4 xy а) б) 318 a — 1 + 6 a — 6 . a — 4; a — 2 + 3 a — 5 ’ a — 6 b + 2 — 1 b + 2 . b + 4 ; b + 2 + b b + 3’ b + 2 в) г) 2 2 x — y x + y x — y x — y x + y m2 + n2 + n m 3 3 ? 1 1 \ m — n m2 n2 / m2 + n2 Правообладатель Народная асвета i -1 j - 1 k -1 ■ ^-------+ ■ j д) 3ijk _ i j k ; jk + ik + ii 1,1,1 ’ jk + ik + ij 2uv - u — ^ — + — i j k ^ - v . u + v + u + v 1 + ---+ ' . v u - 2v u v - 2u 3abc be + ac - ab be g - 1 & - 1 c - 1 a 0 c ab ab + ac + be be + ac - ab ’ ^ . g - 1 b - 1 c - 1 _ bc(a - 1) + ac(b - 1) + ab(c - 1) ^ a b c abc _ abc - be + abc - ac + abc - ab _ 3abc - (ab + ac + bc)^ abc ’ abc be ae ab 1 , 1 ^ _ b IT - a b c ~ 3) be + ac - ab ^ abc ’ 3abc - (ab + ac + be) be + ac - ab abc 3abc - (ab + ac + be) abc 4) be + ac - ab ’ 3abc 3abc - (ab + ac + be) be + ac - ab be + ac - ab 3abc - 3abc + ab + ac + be ab + ac + be be + ac - ab be + ac - ab' a) Рис. 462 871. Найдите значение выражения: m n(m - n)2 m2 + n2 m4 - n 7 5 7 4 4 при m = — и n = —; m = -— и 9 6 5 7 5 7 5 n = —; m = — и n = -—; m = -— и n = -—; ^9 ^9 6’ ^ X “2 -b2) б) ^^ ^ 11 при а = 17,8 и b = -12,2; а = -17,8 и a2 + b2 ^ ab b = -12,2; а = 17,8 и b = 12,2; 319 Правообладатель Народная асвета в) г) 1 1 + X + у d + 2 - 1 - xy 1 d+2 d + 2-■ 4 d + 5 1 - xy + X(X + у) (1 - xy)^ 4 d + 4 - d + 4-■ 1 при у = -17; -7; 0; 7; 17; d+4 при d = -1947; 458. d+4 872. Сравните выражения: а) 1 + 1 • 2 и 1 + 2; ^ 2 2 5 2 5 б) 5 + 2 . 2 и (5 + 2 ' 6 3 5 \6 3 в) 2 - 1.1 и (2 - 1 ^ 3 2 6 \3 2 г) ^ - 1: 5 и 15 6 3 7 15 5. 6; 1, 6; 1 5 63 873. Сократите дробь: а) б) в) а) a3 - 2a2 + a ; г) (u3 + v3 a - a3 ’ (u3 - v3 xy + 1 - x - у _ д) z2 - (c - у + z - 1 - yz’ z3 + dz2 4 4 m - n ^ е) (p + q )2 2 2 ; m + n (p + r )2 874. Выполните действия: а2 X ax + X 18by2 3b2 у 2b3 ^ВЬу2 a^x б) 15s- -3 - ^) - ^(6s - 3s2 - 9s3); ' 13s 10 1^ 3s ^ ' в) m (3n 2n \4p 4k + 3nk \ _ 3k / 5m _ 7p + p\; 5m 5ml/ 5p\ 2k 3n 2l/’ г) 5u2 /2o2 3v2 \5u 3v 4u 3 25 6v wu 3u 5v 9 14 320 Правообладатель Народная асвета 875. Внутри прямого угла отметили точку, расстояния которой (по перпендикулярам) от сторон равны 24 мм и 70 мм (рис. 463). Найдите расстояние от этой точки до вершины угла. 876. В пластине сделаны три круглых отверстия (рис. 464). Найдите расстояния между центрами отверстий Oi, О2, О3, учитывая, что размеры на рисунке даны в миллиметрах. 70 24 70 Рис. 463 Рис. 464 877. Постройте треугольник по координатам его вершин: А(-10; -2); Б(-1; 5); С(2; -10). С помощью чертежного треугольника через вершины A и B проведите прямые, перпендикулярные противолежащим сторонам треугольника. Запишите координаты точки H пересечения этих прямых и координаты точек, в которых они пересекают оси координат и стороны треугольника. 878. На рисунке 465 показаны три прямые AB, АС, ВС, попарно пересекающиеся в точках A, B, С, и четыре окружности, касающиеся каждой из этих 321 Правообладатель Народная асвета трех прямых. Радиусы окружностей г, т^, r2, r3 связаны формулой — = — + — + —. Выразите из этой Г Г1 Г2 Г3 формулы г3 через г, г—, г2. Вычислите г3, определив Г, Г—, Г2 измерением по рисунку. 879. На двух машинах перевозили картофель, причем на первой машине перевезли картофеля в 3 раза больше, чем на второй. Грузоподъемность первой и второй машины соответственно равна 6 т и 3 т. Найдите, сколько картофеля перевезли на каждой машине, учитывая, что суммарное количество рейсов равно десяти. 880. Школа закупила на 70 000 р. грамоты по 2000 р. и дипломы по 3000 р. Найдите количества купленных грамот и дипломов в отдельности, учитывая, что грамот куплено на —0 штук больше. 881. Школа закупила 30 грамот и 20 дипломов на 110 000 р. Найдите цену грамоты и цену диплома, учитывая, что цена грамоты на 750 р. больше. 322 Правообладатель Народная асвета * * * 882. Найдите год, с которого известны Старые Дороги (рис. 466), зная, что он является произведением трех простых чисел, два из которых однозначные, и их произведение, увеличенное в девять раз и уменьшенное на 13, дает третий множитель. 883. О натуральных числах a и b известно, что: 1) a + 1 делится на b; 2) a = 2b + 5; 3) a + b делится на 3; 4) a + 7b — простое число. Найдите все возможные пары чисел a и b, для которых три из четырех приведенных утверждений истинны, а одно — ложно. 884. Докажите, что истинно равенство: 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -1 + ... + + 1 1 + 1 199 200 101 102 103 + ... + 1 200 Правообладатель Народная асвета Геометрические построения щ ]^раздел л. 26. Построения линейкой и циркулем А) Построения геометрических фигур мы выполняли, пользуясь линейкой с миллиметровыми делениями (рис. 467), циркулем (рис. 468), транспортиром (рис. 469), чертежным треугольником (рис. 470). В геометрии важную роль играют построения с использованием только двух инструментов — линейки и циркуля. Геометрическая линейка односторонняя и не имеет делений (рис. 471). С ее помощью можно провести прямую, проходящую через две отмеченные точки; луч с началом в данной точке и проходящий через другую данную точку; отрезок, соединяющий данные точки. Понятно, что с помощью Рис. 471 324 Правообладатель Народная асвета линейки можно провести и произвольную прямую, произвольный луч, произвольный отрезок. Для этого сначала нужно произвольно выбрать две точки. С помощью линейки можно также провести прямую через данную точку, луч с началом в данной точке, отрезок, одним из концов которого является данная точка. Другие построения геометрической линейкой невозможны. В частности, ею нельзя провести прямую, параллельную данной прямой (рис. 472), построить отрезок, равный данному (рис. 473), как мы делали это обычной линейкой. Рис. 473 С помощью циркуля можно, установив его раствор равным расстоянию между данными точками A и B (рис. 474), отметить две точки R и S, расстояние между которыми равно AB (рис. 475). Можно также построить окружность с центром в выбранной точке и радиусом, равным данному отрезку (рис. 476). Рис. 474 Рис. 475 325 Правообладатель Народная асвета Это — элементарные построения, которые можно выполнить линейкой или циркулем. Их сочетание позволяет проводить более сложные построения. Б) Задача 1. Построим отрезок, равный данному отрезку. Пусть на плоскости дан отрезок MN (рис. 477). Отметим произвольную точку C. Установим раствор циркуля равным расстоянию между точками M и N (рис. 478). С центром в точке C проведем дугу радиусом, равным установленному раствору. Выбрав на этой дуге произвольную точку D, с помощью линейки соединим ее с точкой C (рис. 479). Отрезок CD — искомый отрезок, поскольку он совмещается с данным отрезком MN при наложении. Задача 2. Построим угол,равный данному углу. Пусть на плоскости дан угол Q (рис. 480). Отметим произвольно точку O и проведем с помощью линейки произвольный луч OL (рис. 481). Построим дугу произвольного радиуса с центром в вершине Q данного угла так, чтобы она пересекла стороны в некоторых точках P и R (рис. 482). Проведем окружность радиусом QP с центром в точке O. Она пересекает луч OL в некоторой точке S. 326 Рис. 479 Правообладатель Народная асвета Рис. 480 Рис. 481 Строим дугу радиусом PR с центром в точке S так, чтобы она пересекла построенную окружность с центром O в некоторой точке T (рис. 483). Наконец проведем луч OT. Угол LOT — искомый. Докажем это. В треугольниках QPR и OST их стороны OS, OT, QP, QR — равные между собой отрезки, поскольку это радиусы равных окружностей. Отрезки ST и PR также равны по построению. Значит, по третьему признаку равенства треугольников треугольники OST и QPR равны. А поэтому построенный угол LOT равен данному углу PQR. В) Задача 3. Построим треугольник, равный данному треугольнику. Пусть на плоскости задан треугольник ABC (рис. 484). Выбираем одну из сторон треугольника, например AB, и строим отрезок A1B1, равный этой стороне (рис. 485). После этого с центрами в концах А1 и B1 строим две пересекающиеся дуги, радиусы которых равны двум другим сторонам AC и BC данного треугольника. Точку пересечения этих дуг обозна- 327 Правообладатель Народная асвета А '^1 Рис. 485 Л 'в. Рис. 486 Рис. 487 'К, чим Ci (рис. 486). Соединим точку Ci с точками и (рис. 487). Треугольник Л1Е1С1 — искомый. Действительно, треугольники Л1Е1С1 и ЛЕС равны по третьему признаку равенства треугольников. Задача 4. Построим тре-Кд угольник, стороны которого равны трем данным отрезкам. Пусть KiLi, K2L2, K3L3 — данные отрезки (рис. 488). Построение проводится, как и при решении задачи 3. ^1 Задача 5. Построим тре- угольник, сторона которого равна данному отрезку, а прилежащие к стороне углы равны Рис. 488 двум данным углам. Пусть ЛЕ — данный отрезок, X и Y — данные углы (рис. 489). Строим отрезок Л1Е1, равный отрезку ЛЕ. Далее строим угол со стороной Л1Е1, равный углу X, и угол со стороной Е^Л^, равный углу Y. Точку пересечения других сторон этих углов обозначим Ci (рис. 490). Треугольник Л1Е1С1 — искомый, поскольку в нем Л1Е1 = ЛЕ, Z С^Л^Е^ = ZX, Z С^Е^Л^ = Z Y по построению. 328 Правообладатель Народная асвета Рис. 489 Задача 6. Построим треугольник, две стороны которого равны двум данным отрезкам, а угол между ними равен данному углу. Пусть F — данный угол, и K2L2 — данные отрезки (рис. 491). Строим угол F1, равный углу F, и от вершины F на одной его стороне откладываем отрезок F1E1, равный отрезку K1L1, а на другой — отрезок F1G1, равный отрезку K2L2 (рис. 492). Треугольник E1F1G1 — искомый, поскольку в нем Z E1F1G1 = ZF, F1E1 = K1L1, F1G1 = K2L2 по построению. Рис. 491 Правообладатель Народная асвета 1. Какие построения можно выполнить геометрической линейкой? 2. Какие построения можно выполнить циркулем? 3. Как построить отрезок, равный данному отрезку? 4. Как построить угол, равный данному углу? 5. Как построить треугольник, равный данному треугольнику? 6. Как построить треугольник, стороны которого равны трем данным отрезкам? 7. Как построить треугольник, сторона которого равна данному отрезку, а прилежащие к стороне углы — двум данным углам? 8. Как построить треугольник, две стороны которого равны двум данным отрезкам, а угол между ними равен данному углу? 885. Постройте в тетради произвольную прямую l. Отметьте на прямой l произвольную точку M. Проведите луч с началом в точке M. 886. Отметьте в тетради две точки A и B. Постройте в тетради отрезок с концами в точках A и B. 887. Отметьте в тетради две точки Ми N. Отметьте еще одну точку S. Постройте луч с началом в точке S. Найдите на этом луче точку T, расстояние от которой до точки S равно расстоянию между точками M и N. 888. Отметьте в тетради две точки P и Q. Отметьте еще одну точку O. Постройте окружность с центром в точке O, радиус которой равен отрезку PQ. 889. Постройте в тетради произвольную окружность. Постройте вторую окружность, которая бы пересекала первую. 890. Постройте в тетради окружность. Постройте прямую, которая бы не пересекала окружность. Постройте окружность, которая бы пересекала построенные окружность и прямую. 330 Правообладатель Народная асвета 891. Постройте в тетради произвольный: а) отрезок и затем постройте отрезок, равный ему; б) угол и затем постройте угол, равный ему; в) треугольник и затем постройте треугольник, равный ему. 892. Постройте в тетради произвольные: а) три отрезка и затем постройте треугольник, стороны которого равны этим отрезкам; б) отрезок и два угла и затем постройте треугольник, одна сторона которого и прилежащие к ней углы равны этим отрезку и двум углам; в) два отрезка и угол и затем постройте треугольник, две стороны которого и угол между ними равны этим двум отрезкам и углу. 893. Постройте в тетради два отрезка, один из которых визуально: а) меньше половины другого отрезка, и затем постройте равнобедренный треугольник, стороны которого равны этим отрезкам; б) больше половины другого отрезка, и затем постройте равнобедренный треугольник, стороны которого равны этим отрезкам. 894. Постройте в тетради произвольный: а) отрезок и затем постройте отрезок, который больше его в 2 раза; б) угол и затем постройте угол, который больше его в 2 раза. 895. Постройте в тетради произвольные: а) два отрезка и затем постройте прямоугольный треугольник, у которого катеты равны этим отрезкам; б) отрезок и острый угол и затем постройте прямоугольный треугольник, у которого катет и острый угол равны этому отрезку и углу. 331 Правообладатель Народная асвета 896. Постройте в тетради произвольные: а) отрезок и острый угол и затем постройте равнобедренный треугольник, у которого основание и угол при нем равны этому отрезку и углу; б) отрезок и тупой угол и затем постройте равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона и угол между боковыми сторонами равны этому отрезку и углу. 897. Вычислите: а) 14 • 1,5; в) 24 • 2,25; б) 140 • 2,1; г) 232 • 3,125. 898. Вычислите: а) 64 • 362 6^ 35 • 27 б) -99^-; в) г) 46 • 37 6 157 8 ’ 106•65 ■ 899. Упростите выражение: а) 43X -(21 + 36х) - ^; ^7 \ 6 W 12 б) 4,1y - (12,3 - 7,2y + 0,7); в) 1^" +("5 - 0’5z)"(^- ^z}’ г) 5(2,9а + 1,3) - 2(7,7 - 4,5а). 900. Приведите подобные члены: а) 1 + -1 w5 - ^ w5 + 1 w5; б) —Х2-----X z +--X 2 '3 6 9 в) 3 i2l4 - 5 i2l4 + 1 i2l4 - X i2l4; 2 5 ,v3„. 12 X ; L i2?4. 12 г) 1 gh6 - -1 gh^ + 3 gh^ - 7 gh6. ^ 5 3^ 1^ 15 332 Правообладатель Народная асвета 901. Выполните умножение многочленов: а) (2a + x)(a^ + x2)(a - 0,5x); б) (2p - q + 3r)(2p + q - 3r); в) (m2 - m + l)(m2 + m + 1); г) (d + 3)2(d - 3)2; д) (u + v)(u - v)2; е) (f + g + h)2. 902. Решите уравнение: а) (2a - 3)2 - 2a(7 + 2a) = 78; б) (6x - 4)(4 + 6x) - 3x(12x - 1) = 0; в) (7b - 6)2 - (12 + 7b)2 = -18; г) (5s + 3)2 - 17 = (6 - 5s)2 + 28. а) 3b 903. Решите уравнение: 2b + 3 3b - 5 6 7 6,5; г) 2,1 = 4 s -1 1,5; о x - ^ ^ 3x + 1 б) 3 +- = 2x--—: 67 b) 3a - + 5; д) d - 2,4 = 5d9-3 • 2,7; . 7u - 5 __ е) —11— • 0,7 = u + 1,9. 904. Разложите на множители: a) 5a2bc + 4ab2c - 3abc2; б) 12xy2 - 6x2y - 18x2y2; b) 24m2n + 16mn2 - 32m2n2; г) 3(a - x) - a(a - x) - (a - x); д) -21i2i2k4 - 35i4i2k2; е) 33b4c3d4 - 77b3c4d2; ж) 1,2f 2g 5 + 0,4f 3g 3; з) 5,2u2(v - 3)2 - 1,3u2(v - 3). 905. Плотность p вещества, из которого состоит тело, выражается через его массу m и объем V формулой p = mm. Выразите из этой формулы: а) переменную m через переменные p и V; б) переменную V через переменные p и m. 333 Правообладатель Народная асвета 906. Найдите плотность: а) меди, учитывая, что масса медного кубика с ребром 4 см 571 г; б) олова, учитывая, что масса оловянного шарика радиусом 9 мм 17,6 г. Объем шара вычисляется по формуле V = 4 пг3, где r — радиус шара. 3 907. Упростите выражение: b - a - а) б) 16 a2 b - a -1 + ^ .^2 2 1 +1 b - a + 4 a 2 в) P q P + ^ . ) (p + q )2 ; b - 6a Pq u2 + o2 v - u 2 2 u - v 1 -1 v u u3 + v3 ’ г) c + 1 d 1 c + de + 1 d (cde + c + e) 908. Рациональной дробью представьте выражение: a - b ( 1 /a2 + b2 ' + A" ■ ' ^ ab \ a bH \ ab \a b б) ic - 2 + 1) : (c3 - c - 1 + 1); в) m2 + n2 mn m n mn + n m + mn 2 mn г)( ^ :(P2 - q“))( - !)• а) б) в) 334 909. Упростите выражение: 11 1 (a - b)(b - c) (a - c )(b - c) (b - a)(c - a)’ 3 + 4 - 3 . (P - q)(r - q) (P - г)(q - г) (P - г)(q - p) ’ 1,^,1 + + u(u - v)(u - w) v(v - u)(v - w) w(w - u)(w - v) ’ Правообладатель Народная асвета г) д) е) + 2 j + k (i - 2 j)(i - k) (2 j - k)(2 j - i) (k - i)(k - 2 j) 3x + 2y 3y - 2z z(3x + y) 3 x + y 3 y - z m(k - n) m2 + kn - mn - km 3y + 9xy - 3xz - yz m - 2n m + 3k + ------+ n - m m - k 910. Постройте треугольник EFG по двум сторонам EF и FG и углу EFG между ними, учитывая, что: а) EF = 5 см, FG = 7,5 см; Z EFG = 56°; б) EF = 38 мм, FG = 45 мм; Z EFG = 115°. 911. Постройте прямоугольный треугольник ABC по его катетам CA и CB, учитывая, что: а) CA = 48 мм, CB = 65 мм; б) CA = 48 мм, CB = 55 мм. 912. На рисунке 493 показан один из приемов построения параллельных прямых при помощи рейсшины. Как обосновать, что прямые AB и CD параллельны? 913. Углы M и N треугольника OMN на рисунке 494 соответственно равны 25° и 70°. Через точку A на стороне MN провели прямую, параллельную MO, которая пересекла сторону ON в точке B. Найдите углы треугольника ANB и четырехугольника MABO. N Рис. 494 Рис. 493 335 Правообладатель Народная асвета i 914. Сельскохозяйственные угодья Молодечнен-ского района занимают 53,2 % его площади. Их почвы: дерново-подзолистые — 57,6 %, торфяно-болотные — 18,1 %, дерново-подзолистые заболоченные — 14,4 %. Остальную площадь занимают другие почвы. Определите с точностью до квадратного километра площади дерново-подзолистых, торфяно-болотных, дерново-подзолистых заболоченных и других почв Молодечненского района, учитывая, что район занимает площадь в 1,4 тыс. км2. Постройте соответствующую круговую диаграмму. 915. Еленка, Ольшовка, Жадунька — притоки Бе-седи, протекающие по Хотимскому району. Площадь водосбора Ольшовки относится к площади водосбора Жадуньки как 41 : 122, а к площади водосбора Еленки — как 82 : 51. Найдите площади водосборов этих рек, учитывая, что площадь водосбора Жадунь-ки на 386 км2 больше площади водосбора Еленки. 916. Река Дива вытекает из озера Урода, протекает через озера Отолово, Туроссы, Березовское, Па- ульское и впадает в озеро Яново (рис. 495). Эти озера — часть Ушачской группы озер. Площадь озера Отолово относится к площади озера Ту-россы как 410 : 37, а общая их площадь равна 8,94 км2. Найдите по отдельности площади озер Урода, Отолово, Турос-сы, учитывая, что отношение площадей Уроды 38 и Отолова равно 205 336 Правообладатель Народная асвета 917. Купили два куска ткани одинаковой длины, причем за первый кусок уплатили 840 000 р., аза второй — на 240 000 р. меньше. Найдите цену 1 м ткани из первого и второго кусков, учитывая, что они в сумме дают 120 000 р. 918. Над заказом работали две бригады, производительность первой бригады — 55 деталей в час, производительность второй — 50 деталей в час. Первая бригада изготовила на 70 деталей больше. Учитывая, что время работы первой бригады вместе со временем работы второй бригады составляют 7 ч, найдите время работы каждой бригады. 919. Над заказом работали две бригады, время работы первой бригады 5 ч, а время работы второй — 3 ч. Первая бригада изготовила на 155 деталей больше. Учитывая, что производительность первой бригады вместе с производительностью второй бригады составляет 135 деталей в час, найдите производительность каждой бригады. * * * 920. Расшифруйте арифметический ребус ОДИН + ОДИН = МНОГО, в котором одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами, а разные — разными. 921. От квадрата отрезали прямоугольный треугольник, сумма катетов которого равна стороне квадрата. Докажите, что углы, под которыми из трех остальных вершин квадрата видна линия разреза (рис. 496), в сумме составляют 90°. 337 Правообладатель Народная асвета 922. Определите, делятся ли на 2007 разность и сумма произведений 2 • 4 • 6 • ... • 2002 • 2004 • 2006 и 1 • 3 • 5 • ... • 2001 • 2003 • 2005. 27. Основные задачи на построение А) Решить задачу на построение означает свести ее к последовательному выполнению элементарных построений, которые можно выполнить циркулем или геометрической линейкой. Вместе с этим сведение решения каждой задачи к элементарным построениям нерационально. Обычно построение нужной фигуры сводят к так называемым основным построениям, часть которых мы уже рассмотрели в параграфе 26. Теперь опишем другие основные построения. Задача 7. Построим середину данного отрезка. Пусть AB — данный отрезок. Радиусом, большим половины отрезка AB, начертим две пересекающиеся дуги с центрами в точках A и B. Пусть P и Q — точки пересечения этих дуг, а M — точка, в которой отрезок PQ пересекает отрезок AB (рис. 497). Точка M — искомая середина отрезка AB. Докажем это. Треугольники PAQ и PBQ равны по третьему признаку, поскольку AP = BP, AQ = BQ по построению, а PQ — общая сторона. Значит, углы APM и BPM равны, а поэтому PM — биссектриса равнобедренного треугольника APB. По соответствующему свойству равнобедренного треугольника биссектриса PM является и медианой. Поэтому точка M является серединой отрезка AB. 338 Правообладатель Народная асвета Рис. 498 Задача 8. Построим биссектрису данного угла. Пусть MON — данный угол. На его сторонах от вершины O отложим равные отрезки OR и OS. Начертим две пересекающиеся дуги одного радиуса с центрами в точках R и S. Пусть T — точка пересечения этих дуг (рис. 498). Луч OT — искомая биссектриса. Действительно, треугольники ORT и OST равны по третьему признаку равенства треугольников, а значит, равны и их соответствующие углы ROT и SOT. Б) Задача 9. Построим прямую, проходящую через данную точку перпендикулярно данной прямой. Пусть l — данная прямая и C — данная на ней точка. На прямой l от точки C отложим равные отрезки CD и CE. Начертим две пересекающиеся дуги одного радиуса с центрами в точках D и E. Пусть N — точка пересечения этих дуг (рис. 499). Прямая CN — искомая прямая. Действительно, в соответствии с построением отрезок NC является медианой равнобедренного треугольника DNE. А по соответствующему свойству равнобедренного треугольника эта медиана является и высотой. Значит, прямая NC проходит через точку C прямой l и перпендикулярна этой прямой. Пусть l — данная прямая и G — данная точка, которая не лежит на прямой l. С центром в точке G проведем дугу так, чтобы она пересекала прямую l в двух точках U Правообладатель Народная асвета \и/ G А \у (н Рис. 500 и V (рис. 500). С центрами в точках U и V начертим две пересекающиеся дуги одного радиуса. Пусть H — точка пересечения этих дуг. Прямая GH — искомая прямая. Докажем это. Пусть A — точка, в которой прямая GH пересекает прямую l. Треугольники GUH и GVH равны по третьему признаку равенства треугольников. Поэтому их соответствующие углы UGA и VGA равны. Значит, отрезок GA — биссектриса равнобедренного треугольника UGV. Тогда этот отрезок является и высотой этого треугольника. Таким образом, прямая GH проходит через точку G и перпендикулярна прямой l. Задача 10. Построим прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой. Пусть k — данная прямая и M — данная точка, не лежащая на прямой k. Через точку M проводим прямую р, перпендикулярную прямой k, и затем прямую q, перпендикулярную прямой р (рис. 501). Прямая q — искомая прямая. Действительно, сумма внутренних односторонних углов при пересечении прямых k и q прямой р, как сумма двух прямых углов, равна 180°, поэтому по соответствующему признаку параллельности прямые k Рис. 501 и q параллельны. 340 Правообладатель Народная асвета В) Задача 11. Построим прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу. Пусть дан отрезок CD и острый угол T (рис. 502). Отложим отрезок C^D^, равный отрезку CD. Строим угол D-^C-^E, равный углу T. Из точки D^ опустим перпендикуляр D^E^ на прямую C^E (рис. 503). Треугольник C-^D-^E^ — искомый. Действительно, по построению треугольник C^D^E^ — прямоугольный, а его гипотенуза C^D^ и угол D-^C-^E^ соответственно равны данному отрезку CD и углу T. Задача 12. Построим прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету. Пусть даны отрезки KL и MN, первому из которых должна быть равна гипотенуза, а второму — катет искомого прямоугольного треугольника (рис. 504). Построим прямой угол М^. От вершины М^ на одном из лучей этого угла отложим отрезок M^N^, равный отрезку MN. Наконец с центром в точке N^ проведем дугу радиусом, равным KL, которая пересекает вторую сторону прямого угла в точке L^ (рис. 505). Треугольник M1L1N1 — искомый. 341 Правообладатель Народная асвета Действительно, по построению треугольник прямоугольный, а его катет M^N^ и гипотенуза N^L^ соответственно равны данным отрезкам MN и KL. 1. Как построить середину данного отрезка? 2. Как построить биссектрису угла? 3. Как построить прямую, проходящую через данную точку данной прямой и перпендикулярную этой прямой? 4. Как построить прямую, проходящую через данную точку, не принадлежащую данной прямой, и перпендикулярную этой прямой? 5. Как построить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой? 6. Как построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу? 7. Как построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету? 8. Как построить прямую, которая проходит через данную точку и касается данной окружности? 923. Постройте произвольный отрезок и затем постройте на нем точку, которая делит этот отрезок в отношении: а) 1 : 1; в) 1 : 7; б) 1 : 3; г) 3 : 5. 924. Постройте произвольный угол ABC и затем построите луч с началом в точке В, который делит угол ABC в отношении: а) 1 : 1; в) 1 : 7; б) 1 : 3; г) 3 : 5. 925. Постройте угол, величина которого равна: а) 60°; б) 30°; в) 15°; в) 75°. 926. Постройте произвольную прямую m и отрезок CD, а затем точку B, отстоящую от прямой m на отрезок CD. Через точку B проведите прямую, параллельную прямой m. 342 Правообладатель Народная асвета 927. Постройте произвольный треугольник IJK. Через его вершины проведите прямые, параллельные сторонам треугольника IJK. Сравните углы треугольника, образованного построенными прямыми, и треугольника IJK. 928. Проведите произвольную прямую l и выберите на ней произвольно точку C. Постройте прямую, проходящую через точку C перпендикулярно к прямой l. 929. Постройте произвольный отрезок RS и через его концы R и S проведите прямые и и t, перпендикулярные RS. Каким отношением связаны прямые и и t? 930. Постройте треугольник и проведите его высоты, учитывая, что этот треугольник: а) остроугольный; в) тупоугольный. б) прямоугольный; 931. Постройте произвольный отрезок KL, а затем постройте отрезок PQ, равный отрезку KL. Найдите середину A отрезка PQ. Через точку A проведите прямую k, перпендикулярную прямой PQ. На прямой k найдите точку B, отстоящую от точки Q на отрезок KL. Найдите углы треугольника ABQ. 932. Постройте произвольный треугольник и проведите его: а) медианы; б) биссектрисы. 933. Постройте произвольный отрезок и острый угол, а затем постройте прямоугольный треугольник, гипотенуза и острый угол которого равны этому отрезку и углу. 934. Постройте два произвольных отрезка, а затем прямоугольный треугольник, гипотенуза и катет которого равны этим отрезкам. 935. На сторонах угла ABC отложены равные отрезки BM и BN и затем также равные отрезки MP и 343 Правообладатель Народная асвета NQ. Прямые MQ и NP пересекаются в точке O. Докажите, что луч BO — биссектриса. Используя эту задачу, опишите способ построения биссектрисы угла. 936. Постройте два произвольных отрезка и третий отрезок, который меньше каждого из них. Затем постройте треугольник, две стороны которого равны двум первым отрезкам и: а) высота, проведенная к третьей стороне, равна третьему отрезку (рис. 506); в с D Е F Дано: отрезки АВ, CD, EF. Построить: aPQR, у которого PQ = АВ, PR = CD, РР, = EF, PPi — высота. Допустим, что искомый треугольник построен и — высота. APQP,: 1) АР,= 90°; 2) РР, = EF — катет; 3) PQ = АВ — гипотенуза. APRP,: 1)АР,= 90°; 2) РР, = EF — катет; 3) PR = CD — гипотенуза. Строим: 1. APQPi, у которого APP,Q = 90°, PP, = EF и PQ=AB. 2. Окружность О (Р, CD) с центром Р и радиусом, равным CD. 3. Точки Д; и Дг — точки пересечения О (Р, CD) с QPj. APQRi и APQR2 — искомые, так как PQ =АВ, PR, = PR,= CD, РР, = EF и PPi — высота. Если EF <АВ, EF < CD иАВ =CD, то задача имеет два решения. Если EF =АВ < CD или EF=CD <АВ, или EF=АВ < CD, то згдача имеет одно решение. Ecnis.EF>ABvinis.EF>CD, то задача не имеет решений. 344 Рис. 506 Правообладатель Народная асвета б) биссектриса, проведенная к третьей стороне, равна третьему отрезку. 937. Начертите дугу CD окружности. Поделите дугу CD пополам. 938. Найдите значение выражения: а) б) 5 • 215 ; г) 104 • 35 ж) 155 • 7 ; 33.75.27; 154 ; 35 • 55 • 25; 39 • (52)5 д) 81 • 274 ; з) 77 • 115 • 121 158 ; 313 ; 775 ^ 72 415 . е) (23)4 • 27 ; 84 ; (25)3 ; 939. Представьте степенью произведение: а) г) (-2,5)2а2Ь2; 16 б) 2,84u4v4; д) 81р2г2; е) 81k4l4; ж) 16 v2^2; ' 81 в) () ,»«»; з) 0,0016е4/ 4; и) -0,027i3./3. 940. Учитывая, что 26 = 64, а 210 = 1024, вычислите: а) 211 : 25; в) 45; д) 211 : 16; б) 210 : 25; г) 64 • 32; е) (26)2. 941. Учитывая, что а3 = 3, найдите (рис. 507): а) а6; б) а9; в) а12; г) а15; д) а21. Рис. 507 = 3" = 59 079 ^ЗчЮ 10 942. Докажите тождество: а) 4(1 - а)2 - 5(1 - а)(1 + а) - (3 + а)2 = 2(4а2 - 7а - 5); б) (х - 2y)(4y + 2x) + 2y(x + 2y) - 2y(x - 2y) = 2x2. 943. Рассмотрите тождество 5x3 + 4x2 - 2x + 3 = = ((5 • x + 4) • x - 2) • x + 3. Обобщите записанное тож- 345 Правообладатель Народная асвета дество. Расскажите, как можно организовать свои действия при вычислении значения многочлена. Найдите значение многочлена: а) 2х4 - 15x3 + 40x2 - 45x + 18 при x, равном: -2; -1; -j2; 0; 1; ^; 2; 3; б) а5 - а4 - 13а3 + 13а2 + 36a - 36 при а, равном -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 944. Решите уравнение: а) 5,92 - 7,64 = -42 + 15,13; б) 5,8а + 14 = 14 - 15,9 а; в) 3,4s -9,7 - 0,8s = 2,6s - 19; г) 7,6 - 4,7/ - 1,2 + 1,1/ = 6,4 - 3,6/. 945. Решите уравнение: а) (а + 2)(а2 - 2а + 4) - а(а + 3)(а - 3) = 53; б) (х - 3)(x2 + 3x + 9) - x(x - 5)(x + 5) = 48; в) (3Ь + 1)(9 Ь2 - 3b + 1) - 9b(3 b2 - 5) = 136; г) (2а - 3)(4а2 + 6а + 9) - 4а(2 а2 - 11) = 226. 946. Представьте многочленом выражение: а) (i4 + + i2j2 + if3 + j4)(i - j); б) (i4 - i3f + i2f2 - if3 + f4)(i + f). 947. Вынесите за скобки общий множитель: а) c2(x - у) - (x - y); ж) (e + 2)2 - e(e + 2); б) (c + d) + x3(c + d); з) -42(x - 3) + 8(3 - x)2; в) 3s(m + n) + t(m + n); и) а(с - d) + b(c - d); г) k(m - n) - (m - n); д) (d + 5) - x(d + 5); е) 11(q - 1) + (q - 1)2; 948. Решите уравнение: а) (а + 2)3 + (а - 2)3 - 2а3 = -48; б) (2 + 3)3 - (2 - 3)3 - 62(32 - 1) = 0; 346 к) i(j - 3) - f(3 - f); л) 4k(3y - 4) + 5Z(4 - 3y); м) (а - a)2 - w(v - а). Правообладатель Народная асвета в) 3c(c - I)2 - 3(c + I)3 + 33 (1 + 2с)(2с - 1) + с = 1; г) (2x - 3)3 + (5 + 6x)(5 - 6x) - 8x(x2 - 9x) = 52; д) (y + 3)3 - y2(y + 9) = 18; е) (2u - 1)3 + (3 - 2u)4u2 = 5; ж) (4щ + 5)(4щ - 5)4щ + (3 - 4щ)3 - (12m - 5)2 = 24; з) (1 + d)3 + (1 - d)3 - 10d(1,2 + 0,6d) = 6; и) (3k - 4)3 + 27k2(4 - k) = 8. 949. Упростите выражение: а) 4(a - b)2 + 4a(a - b); в) (m + 7)2 - 2(m + 3)(m + 10); б) (6 + 3y)2 - 9y(4 + y); г) (u - 4)(5 + 7u) - 8(1 - u)2. 950. Запишите многочленом выражение: а) x(1 - 3x)2 - (x2 - 2)(2 - x) + 3x3(4 x - 1); б) (c2 - 2c)2 - c(5 - c)(c + 4) - 4c(2 c3 - 5); в) (y - a)3(y - a) - (y - a)2(ay + a2); г) (b2 - b + 1)( b2 + b + 1)(b4 - b2 + 1); д) (i + j + k)(i + j - k)(i - j + k)(i - j - k); е) (2 + u2 + 3u3 + v2)(2 + u2 - 3u3 - v2). 951. Найдите значение выражения: а) б) 1 +1 b a 1 a при (a; b) = (-3; 2), (-1,7; -2,3), л!. 511\. 17; 514/; (x + y)2 - (xy + 1)2 xy - 1 - x + y при (x; y) = (-1; 2), (-0,1; -0,2), 14- - 17; 127. 952. Рациональной дробью представьте выражение: а) (a-3 + b^5) : (a^3 - b^5); в) (x^k + y^k) ■ (x^1 - y^1); б) (c^2m - d-2m) ■■ (c-m + d^m); г) (u^3‘ - v^3‘) : (u^‘ - v^‘). 953. Рациональной дробью представьте выражение: а) ((a - b)(a + b)-1 - (a + b)(b - a)-1) • 4-1a-1b-1; б) (x - y2(x - y)-1)(x2(x - y)-1 - y)-1. 347 Правообладатель Народная асвета R 954. Биссектриса RU треугольника RTS равна стороне RS и отрезку TU (рис. 508). Найдите углы треугольника RTS. 955. Найдите углы треугольника, в котором биссектриса одного из углов разделяет треугольник на два равнобедренных треугольника. 956. Найдите периметр и площадь четырехугольника на рисунке: а) 509, учитывая, что сторона DC равна 16; б) 510, учитывая, что сторона FG равна 9. А Ъ В F Рис. 509 Рис. 510 957. Морская вода содержит 8 % соли. Сколько килограммов пресной воды нужно долить к 10 кг морской воды, чтобы содержание соли стало равным 5 %? 958. Индигирка, Алазея, Колыма — наиболее крупные реки, впадающие в Восточно-Сибирское море. Расход воды в нижнем течении Алазеи относится к расходу воды в нижнем течении Индигирки как 6 : 37 и в 13 раз меньше расхода воды в нижнем течении Колымы. Найдите расходы воды этих рек, учитывая, что расход воды Колымы на 2050 м3/с больше расхода воды Индигирки. 959. На рисунке 511 приведены соотношения между длинами Индигирки, Алазеи, Колымы. Составьте задачу и решите ее. 348 Правообладатель Народная асвета 30 32 40 Алазея Т Т 7 1 Алазея 1 . Индигирка ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Колыма 1 1 1 1051 км ' Рис. 511 960. Турист на велосипеде выехал из Мяделя в Илью (рис. 512) и на всю поездку затратил 4 ч 30 мин с учетом того, что он отдыхал в 2 Костеневичах — ч. С какими 5 скоростями ехал турист до отдыха и после отдыха, если после отдыха скорость была на 1 км/ч меньше? 961. Объем воды Паульско-го озера относится к объему воды Березовского озера как 535 : 263, а объем воды последнего к объему воды озера Яново как 23 : 76. Найдите, сколько воды в каждом из этих озер, учитывая, что воды в Янове на 15,05 млн м3 больше, чем в Паульском. 962. Мелколиственные леса нашей страны состоят из бородавчатоберезовых, осиновых и сероольховых лесов. Бородавчатоберезовые и осиновые леса составляют соответственно 81,1 % и 13,5 % от площади мелколиственных лесов, а сероольховые леса занимают 64 тыс. га. Определите: а) какие площади занимают бородавчатоберезовые и осиновые леса; 349 Правообладатель Народная асвета I I — Бородавчатоберезовые, 81,1 % I I — Осиновые, 1,35 % I I — Сероольховые, 5,4 % Рис. 513 б) правильно ли построена круговая диаграмма, представленная на рисунке 513. 963. Янка, Березовка, Мнюта — крупнейшие притоки Дисны, протекающие по Шарковщинско-му району. За сутки они вместе в среднем вливают в Дисну 1,2 млн м3 воды. Это же количество воды Березовка вливает за 3,02 сут, а Березовка вместе с Мнютой — за 1,36 сут. Определите с точностью до десятой кубического метра в секунду среднегодовые расходы этих рек в их устьях. 964. Из Барановичей и Осиповичей в одно время навстречу вышли два поезда (рис. 514). Скорость поезда из Барановичей на 4 км больше скорости другого поезда. Через полтора часа расстояние между ними стало равным 34 км. Определите скорости поездов. 350 Правообладатель Народная асвета 965. На территории Толочинского района начинаются реки Оболянка, Бобр, Друть, Усвейка. Длина Друти на 47 км больше удвоенной длины Бобра и на 63 км больше удвоенной длины Усвейки. Найдите длины этих рек, учитывая, что длина Бобра относится к длине Усвейки как 31 ^ 29, а Оболянка короче Усвейки на 27 км. 966. Площадь сельскохозяйственных угодий То-лочинского района относится к площади его лесов как 294 : 145, а к площади других земель — как 294 : 61. Найдите распределение земель Толочинско-го района, учитывая, что площадь земель, занятая лесами, на 252 км2 больше площади других земель. Ответ покажите круговой диаграммой. 967. По Столинскому району протекают притоки Припяти — реки Стыр, Горынь и Ствига. Длины Стыри и Ствиги относятся как 242 : 89, а Горынь длиннее Стыри на 175 км. Найдите длины этих притоков Припяти, учитывая, что разность длин Горыни и Ствиги на 3 км меньше длины Стыри. 968. Население Давид-Городка в 1971 году относится к населению в 1959 году как 3 : 4, а к населению в 1995 году как 23 : 25. Население этого города 2 в 1897 году составляло — от населения в 1939 году 39 и — — от населения в 1959 году. Найдите числен-46 ность населения Давид-Городка в названные годы, учитывая, что в 1939 году по сравнению с 1995 годом она была на 4,2 тыс. человек больше. 969. Леса занимают 35 % территории Столин-ского района, и это составляет 96,1 % от площади сельскохозяйственных угодий. Найдите с точностью до квадратного километра площади, занятые леса- 351 Правообладатель Народная асвета ми и сельскохозяйственными угодьями, учитывая, что другие земли занимают 972 км2. Распределение земель Столинского района покажите круговой диаграммой. 970. В Столбцовском районе площади лесов, сельскохозяйственных угодий и других земель относятся как 44 : 41 : 15. Постройте круговую диаграмму распределения земель Столбцовского района. Сколько квадратных километров занимают леса, сельскохозяйственные угодья и другие земли, учитывая, что площадь Столбцовского района равна 1900 км2? 971. Отец с сыном ведрами носили воду, причем ведро отца вмещало в 2 раза больше воды, чем ведро сына. Отец принес на 14 ведер больше сына. Сколько ведер принесли отец и сын в отдельности, учитывая, что отец заполнил бочку вместимостью 210 л, а сын — кадку вместимостью 35 л? 972. Масса 20 столовых и 70 чайных ложек равна 2150 г. Найдите массу столовой и чайной ложек в отдельности, учитывая, что вместе их масса 70 г. 973. В общежитии есть двухместные и четырехместные комнаты, причем четырехместных комнат на 60 больше, чем двухместных. Найдите количество двухместных и количество четырехместных комнат в общежитии, учитывая, что все четырехместные комнаты вмещают в 6 раз больше проживающих, чем все двухместные комнаты. 974. Хозяйство закупило 25 саженцев яблонь и 20 саженцев груш, причем за все саженцы заплатило 3 100 000 р. Найдите цены одного саженца яблони и одного саженца груши, учитывая, что они относятся как 3 ^ 4. 352 Правообладатель Народная асвета 975. Хозяйство закупило саженцы яблонь по 75 000 р. и саженцы груш по 90 000 р., причем за все саженцы заплатило 4 050 000 р. Учитывая, что количество саженцев яблони относится к количеству саженцев груши как 3 ^ 2, найдите эти количества. * * * 976. Какое наибольшее количество королей можно поставить на шахматную доску, чтобы они не били друг друга? 977. Можно ли все натуральные числа от 1 до 21 распределить на несколько групп так, чтобы наибольшее число в каждой группе было равно сумме остальных? 978. Нашли сумму цифр числа 2201°, затем сумму цифр полученного числа, и так продолжали до тех пор, пока не получили однозначное число. Какое это число? Правообладатель Народная асвета ОТВЕТЫ Раздел I 11. 1,1 см. 12. а) 45 : 12; к) 1 : 1. 14. а) 99; 261; г) 69; 141. 18. 90°. 19. 126°. 23. а) 109°44'; к) 2°48'; м) 2°43'13". 24. а) 70°33'; б) 21°49'; в) 44°2'; г) 34°52'; д) 49°31'26"; е) 43°25'26"; ж) 49°39'26"; з) 114°1"; и) 79°39'10"; к) 42°39'5"; л) 50°31'6"; м) 13°28'11". 25. б) 18°24'; д) 7°8'30"; ж) 2'55"; з) 7'11,5"; м) 99°44'24". 33. 35 тыс. 34. 613 км, 100 км, 100 км. 35. 42 и 51. 36. 1600. 38. В 1522 г. 41. 70° или 22°. 3 3 44. 85°. 47. 57°; 123°. 48. 31°; 149°. 51. 76°; 104°. 52. 80,5°, 99,5°. 53. 30°, 150°. 54. 72°, 108°. 55. Первый, на 35°. 57. а) 115°, 65°; б) 140°, 40°; в) 150°, 160°; г) 15°, 15°, 30°; д) 22°, 136°, 44°; е) 75°, 30°, 15°, 15°. 58. а) 138°, 42°, 138°; б) 133°, 47°, 133°, 47°; в) 76°, 46°, 76°, 58°; г) 42°, 96°, 42°, 42°, 96°; д) 90°, 90°, 90°, 48°, 42°; е) 146°, 34°, 146°, 47°, 99°; ж) 140°, 40°, 110°, 70°; з) 60°, 120°, 60°, 120°, 96°, 84°, 96°, 84°. 60. 95°, или 75°, или 45°. 69. а) 1,4; б) 3,08; в) 5,6; г) 28. 70. а) -3|; б) 32|; в) -131; г) 111; д) -46; е) -0,46. 71. а) 11,27; II 7 35 2 б) -9,429; в) -1,12; г) 1; д) ^; е) выражение не имеет значения; ж) -^89; з) 7,2. 73. а) 1320 км, 1165 км, 724 км, 334 км; в) 79 км3, 10 км3, 29 км3, 8 км3. 74. а) 45 см и 27 см; б) 6 см и 8 см; в) 5 см и 11 см. 75. а) 56 см2 и 64 см2; б) 4 см и 14 см; в) 4 см и 16 см. 76. 4 ч. Раздел II 83. а) -3,1 + 4,06 • (-0,5) - (0,159) : 0,003 = 47,87; б) ((Щ - -Цj X X11 + 66 : ^) : 16,5 = 5. 84. а) 3I; б) -1; в) 3И; г) -75; 29 7 2U 9 ’ ^ ’ 3 6^ 7 д) 10,4; е) не имеет значения. 85. а) 0; б) 0; в) -47 232; г) -585,585. 86. а) а • 10 + 1; б) а • 100 + b • 10; в) а • 100 + b • 10 + 2; г) а • 100 + b • 10 + с; д) а • 1000 + b • 10 + 6; е) а • 10 000 + + b • 1000 + с • 100 + 6; ж) а • 100 000 + 3 • 10 000 + s • 100 + 9; з) h • 1000 000 + 5 • 1000 + f • 10 + k. 87. а) t • 1000; б) а • 1000 + + b • 100; в) r • 1000; г) t • 100 000 + d • 100; д) z • 60; е) t • 3600 + 354 Правообладатель Народная асвета + r • 60; ж) а • 10 000 + b • 100 + с. 89. а) (19а + 24b) : 10; б) s + + 50 • 3; в) s : (о - а) + s(o + а); г) (k • а +1 • 12) : (а + 12). 90. а) c ^ 0; д) z Ф -3; е) n ф 7; ж) у ф 0,5; л) q ф 0. 92. а) (т + b + 2а)(п + с) - ad - - bc - 0,5n(a2 + b2); 2m + 2n + 2c + 2a + n(a + b) ; б) (a + 2c)(b + 2c) - - nc2; 2a + 2b + 2nc. 93. a) 4,2; б) 7,2; в) 14; г) -3,5; д) -91; 3 е) -5,6. 94. а) « 1,53; б) -1; в) « 25,33; г) « -3,20. 98. д) « 29,3°; е) 179,2°; ж) -29,6°; з) -80°; и) -52°. 100. а) « 31,3°; б) 125°; в) 0°; г) « 57,3°; д) 130°; е) 625°; ж) « 16,3°; з) -97,5°; и) « 6,3°; к) « 1,3°; л) 100°. 101. а) 8,8 г/см3; б) 0,9 г/см3; в) 2 г/см3. 107. а) Р = 2а + 2b - 2c - 2d + 2t, S = аb - cd; б) Р = 4a + + 2b + 4d + 2c, S = (2a + b)(c + d) - bd; в) Р = 2а + 2b + 4(/ + g), S = ab - 2dc - 2de - 2 fg. 108. 6. 115. 3000 л. 116. 0,796 г. 117. Солнце — 1 190 000 % и 3 320 000 %; Меркурий — 77,56 млн км2 и 0,299 млрд Тт; Луна — 7,30 % и 1,23 %, Марс — 17,14 млн км2 и 0,66 млрд Тт; Юпитер — 11 990 % и 840 %; Сатурн — 41 490 млн км2 и 570 млрд Тт; Уран — 16 % и 1450 %; Нептун — 7840 млн км2 и 1730 %. 118. В 12 ч на расстоянии 56 км. 119. 21,5 т/га, 42 га. 126. оср = (60а + 72b) : (а + b) км/ч; а) 67,2 км/ч; б) 66,4 км/ч. 127. а) -2,5; 0,4; б) —; -12; в) -4; 0,25; г) 7; -^. 128. а) т : п + 12 7 + l; б) (г + s)t; в) а - b : с; г) (х - у) : ^ + У 2 ' 130. а) -3k + 9l - 6; е) q - 6s + 2a. 131. а) -12 - 2w; б) а + b - 7,2; в) 2т - 2п; г) 91 - 2k; д) 3w - 7о; е) 7,6z - 3,2t. 132. б) (2z + 4t) + (-22и - - о + w). 133. а) (w + х) + (-у + z); б) (w - у) + (х + z); в) (w - у) - - (-х - z); г) (w + z) - (у - х). 134. а) 3,5; б) -2; в) 3; г) 36; д) 8; е) -—. 135. д) 6,71 га; е) 286,6 га; ж) 2485 см3; з) 11,874 Мт. 72 140. а) 4а - 6; б) -4; в) 2а - 4; г) 0. 141. а) -5; б) 0; в) нет корней; г) 0; д) 2; е) с — любое число. 142. а) 3; б) -9; 2 в) нет корней; г) -4; д) b — любое число; е) 0. 143. а) ^—; б) -3,2; 3 в) §; D 1,7; д) -1; е) -0,6; ж) 2; з) Н — любое число; и) не. корней; к) -2. 145. а) 2b2; б) 2х2 + 2; в) 4k; г) 7m2n + 3mn2 - - 4mn; д) 0; е) 9а3 - а2 + 4а; ж) z3 + 5zу2 - 13у2; з) 2аb2 - 4аb - 5b. 146. а) ^^; б) 92; в) 2^; г) -77; д) 31; е) 181; ж) 2; з) -0,6; 1^ ^ 1^^ 7^ 8 ^ 3 355 Правообладатель Народная асвета и) 0,75. 149. 65 см, 30 см, 45 см. 150. 65°, 50°, 65°; 27°, 130°, 23°. 151. а) За 7 ч 30 мин; б) за 20 ч; в) за 12 ч 30 мин. 152. 555 га. 153. 26,4 и 1,55. 154. 80 км, 64 км. 155. « 25,2 ц/га. 157. 54 л. 163. а) 0,4; б) 3; в) 3,75; г) 3,75; д) -|; е) 0,4; ж) ^3; з) -^; и) 0,6; к) 0. 164. а) 2; б) -5^3; в) 31^8; г) 1; д) 20; е) 0. 166. а) 18; б) 10; в) 2; г) -3; д) 0; е) -1,85; ж) 0,2; з) 18; и) Ь3; к) 13,75; л) 0,856; м) 319; н) -0,9; о) 3. 167. а) -3; б) 12; в) 8; г) 0; д) 20; е) 5. 168. а) 4; б) -4; в) -7,2; г) Ц; 59 д) iTiTj; е) -1-|0. 169. а) 2; б) 3; в) -1; г) 4. 170. а) -5; б) 7; в) 8; г) 2; д) -2; е) q = 0,5. 171. а) 4; б) -2; в) 5; г) -3; д) 1; е) 2. 176. « 31,2 %. 177. 7288 тыс. р. 178. 520 км, 140 км. 179. 22 ц, 2,7 ц, 0,3 ц. 180. 5,5 км/ч, 17,5 км/ч. 181. 80 км, 109 км, 41 км, 47 км. 182. 5,9 м3/с. 183. 18 февраля 1893 г. 184. 2000 р. и 500 р.; 1500 р. 186. 420. 187. 10,5. 188. 10. 189. 4; 6; 8; 10. 190. Через 8 лет. 191. 2200 т, 1100 т. 192. 27 км/ч. 193. 5600, 2200. 194. 22,5 км. 195. 375 г. 196. 420. 197. 14; 25; 36; 47; 58; 69. 198. а) 377; б) 177; в) не существует; г) 777; д) 577; е) 477. 199. 125 и 100. 200. а) 48; б) 56; в) 72; г) 75; д) 87. 201. 16 км. 202. 3 дня и 195 с. 203. 8 см, 20 см, 15 см. 204. 2, 3, 1. 206. 34 км3, 4 км3, 10 км3. 208. а) -5; б) -1; в) 9; г) 94. 210. а) 544; б) 0; в) |46; г) 5; д) |. 213. 39°, 76°, 65°. 45 731 3 214. а) 6 см, 9 см, 15 см; б) 558 см2; в) 8100 см3. 215. 32°, 68°, 80°. 216. 60 см, 105 см. 217. 1441 г. 218. Нули. 219. 0,45. 229. а) у = 3х; б) у = 1 х; в) у = -3x; г) у = 3x; 13 д) у = 1,5х; е) у = х. 230. а) у = -3х; б) у = 0,6х; в) у = 0,4х; г) у = -2,4х. 238. С(1,5; 0), ^(0; 3); а) при n < 1,5; б) при n > 1,5; в) при n > 1,5; г) при n < 1,5. 239. а) При c > 1,25; б) при c < 1,25; в) при c < 1,25; г) при c > 1,25. 240. а) R(2; 0), 8(0; -8); б) R(12; 0), 8(0; 12); в) R(-45; 0), 8(0; 18); г) R(16,5; 0), 8(0; -11). 241. а) При r < 5; б) при r > 1; в) при r > 2,5; г) при r < 5,5. 242. а) При 2 < m < 4,5; б) при 0 < m < 4; в) при 1 < m < 2; г) при -3 < m < 0,5. 244. а) у = -2х + 2; 356 Правообладатель Народная асвета б) y = -2x + 4; в) y = -2x - 4; г) y = -mx + m. 249. a) (-2; 3); n б) (0,95; 2,285); в) графики не пересекаются; г) (3; 3); д) графики не пересекаются; е) (3; -23). 253. а) 7 см, 14 см, 14 см или 91 см, 91 см, 161 см; б) 72°, 72°, 36° или 84°, 48°, 48°. 3 3 3 255. 21 ц. 256. 35. 257. Через 4 ч. 258. 60 см, 25 см, 40 см, 15 см. 260. 7. Раздел III 274. а) 160 мм; б) 67°, 113°, 113°, 67°. 285. а) 1,5; б) 5,25; в) -2,6; г) 2. 286. 53 %, 26,8 %. 287. 46 тыс. га, 90 тыс. га. 288. 147 км, 126 км, 109 км. 289. 12 дет./ч, 4 дет./ч. 290. Условие противоречивое. 291. 12 100 и 800. 292. 80 книг, 140 книг. 293. 96 книг, 192 книги. 294. Первый — Сергей, второй — Петя, третий — Андрей, четвертый — Янка, пятый — Толя. 295. 18 с. 296. 105 263 157 894 736 842. 308. 14°. 313. а) v = б) t = 756 756 t -1 - 53; + 1. 314. 14,2 и 10,5. 315. 87. 316. 18 км/ч, 14 км/ч, 53 + v 21 км. 317. 3530 км, 2428 км, 1364 км. 319. 0,29 %, 0,009 %, 0,01 %. 320. 21 и 7. 321. 840 ц и 660 ц. 322. 720 ц и 550 ц. 323. 462 и 1114. 324. 0,5 и -1. 325. 369. 327. 15 см. 329. 75°, 65°, 40°. 331. 1 : 1. 335. 60°. 337. а) 20°, 130°, 30°; б) а, ОЛЛО 15 Q 2 -----а-в, 338. а) 20°, 80°, 80°; б) 30°, 70°, 80°. 345. 224 км, 22 224 км, 156 км, 260 км. 348. 20 и 70. 349. 1200 и 1000. 350. 640 и 480. 351. 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 19; 29. 352. (1; -6; 15), (2; -1; 8). 353. 4. 356. 25°, 240°. 368. 44 мм. 369. 24 мм, 18 мм; 18 мм, 30 мм; 30 мм, 24 мм. 373. 55 мм, 45 мм. 376. а) 2; б) ^^. 380. 230 см, 135 см, 160 см, 300 см. 381. 100 см, 13 -150 см, 85 см, 230 см. 383. 12а + 24; L - 24. 384. 5 га и 12 10 га. 385. 10 и 5. 386. 120 и 96. 389. 16 лет, 10 лет, 7 лет. 391. 5. 392. а) 40; б) 55; в) 95; г) 15. 393. 6. 395. а) 80; б) 30 или 50; в) 120. 397. а + b + |а - b| < P < 2(а + b). 400. а) 35°, 110°, 35°; б) 55°, 70°, 55° или 70°, 40°, 70°. 401. а) 45°; 357 Правообладатель Народная асвета б) 45°. 404. а) AB > AC > BC; б) AB > AC = BC; в) AC = AB > BC. 409. a) 236; б) 182 или 226. 410. 29 и 29. 411. 10; 10; 15. 413. a) -2-|; б) 2. 414. a) -5; б) 1; в) 3; г) -4,75; д) 7; е) -0,8. 415. а) 3; б) -1,6. 416. а) 22; б) 7. 417. а) (-2; 14); б) (6; 23). 418. а) A(-4; 0), B(0; 8); б) М(2; 0), N(0; 4); в) (0; -2). 419. а) P(-3; 2), Q(1; 2), R(-1; -2), g(-1; -D; б) (0; 0); в) K(-2; 0), L^0; 1-1 j; г) (0; -1). 420. На 8 % увеличился. 421. На 400 %. 422. 400 кг. 423. 200 г. 424. 4. 425. 6000 р. и 9000 р. 426. 10 и 4. 431. а) 55°, 35°; б) 15°, 75°; в) 36°, 54°; г) 54°, 36°. 432. 31°, 90°, 59°. 435. 12 см и 6 см. 437. 30°, 30°, 120°. 438. 45°, 60°. 441. 40°, 40°, 100°. 442. 30°, 60°, 90°. 446. 75°, 75°, 30°. 448. 5 см, 15 см. 449. а) -1,3; б) -8,43; в) 12,1; г) 2,76; д) 6,9; е) -5,2; ж) -2; з) -15,29. 450. а) 56; б) 510; в) 512; г) 521; д) 58; е) 524; ж) 52°; з) 540; и) 53'; к) 512«. 452. 1 : 3. 453. |. 454. 200, 160. 455. « 2,8 кг. 456. 2 и 6. 457. 9 дет./ч, 5 12 дет./ч. 458. 6 ч и 4 ч. 461. 105 263 157 894 736 842. Раздел IV 472. а) а11; в) с32; д) е90; е) f ||; ж) g24; з) ft32. 474. е) — а1°х4у10; 13 ж) 1,92d8h9f 8; з) -9,3i8r4^5; и) -2k15n2p5r7; к) -a5u6v8w5; л) -2а9Ъ44i12k4; м) a®u17u11y|. 478. д) 401 h16; е) -0,1u13u10; 33 1 2 ж) i4j5; з) 0,2a3x41y3. 482. а) -21; б) -1,8; в) 60; г) -2. 33 483. 70°. 484. а) 70°; 40°; 70°; 40°; 70°; б) 80°; 80°; 60°; 80°; 20°. 487. 8,9 тыс.; 0,9 тыс.; 2,9 тыс. 488. Через 2 ч. 489. 241 чел./км2. 490. 10 тыс. л. 491. 2 ч и 3 ч. 492. 16 дет./ч, 10 дет./ч. 493. 9. 494. 198. 499. а) 9k- 9. 500. а) -а + 4; д) -3j|Z + 4jZ|. 501. г) 5х^у^‘ - 3p3q 4. 502. а) 2; б) 3; в) 1; г) 3; д) 0; 3 е) 2. 503. а) Z3; 6-I t2; б) -31 xyz; 2xy + 2xz + 2yz. 505. г) -6,4h3 - - 5,4h - 2,1; д) -^b2y - 1 by. 510. а) b7; б) -V29; в) нет 6 4 75 35 358 Правообладатель Народная асвета корней; г) -З^- 511. а) -3; б) 3. 517. а) -^5; б) 2^; в) -0,89; г) З23. 520. 32 км, 40 км, 128 км. 521. 2,1 м3/с; 59 1,4 м3/с; 16,7 м3/с. 522. 7,5 тыс.; 7,2 тыс.; 11,6 тыс. 523. 1,4 млн м3; 2,59 млн м3; 0,3 млн м3. 524. 9 см, 7 см, 11 см. 527. 5 км/ч, 15 км/ч. 528. 32 ц/га, 28 ц/га. 529. 25 га, 20 га. 531. 2642 = 69 696 . 537. а) 10д 3 - 16д 2 + 14д; б) 7d2 - 10ed + 10е2; в) -36i2 - 7t; д) -3х2 - ху + у2. 538. а) 5о3 - - 92vw; б) -58х2 + 47ху; в) 0,8а2 + 18,36ах - 1,4х2; г) 1,3d3 - - 1,18d2 - 0,72d - 2,56; д) -20z + 26; е) 14m + 27у - 51. 541. а) -0,5; б) 8; в) 1; г) нет корней; д) -0,5; е) 3; ж) 10,5; з) -9,75. 546. з) m6 - 1; к) v4 - w4; л) у5 + q5. 548. а) 0,5; б) -17; в) 5; г) 8; д) 2; е) -13; ж) 1,4; з) 4; и) 10; к) 1-34; 13 43 л) i0. 549. 10, 12, 14, 16. 550. 212 см, 131 см. 553. а) 5; 53 3 3 б) -4; в) -2; г) -2. 557. 70°, 35°, 45°, 210°. 559. 76 км, 62 км, 56 км. 560. 3,4 м3/с; 3,2 м3/с; 2,4 м3/с. 561. 7,4 г. 562. 92 г. 563. 4,2 мл. 565. 36 т и 12 т. 566. 60 и 40. 567. 34 3 и 28. 576. а) 11z4 - 21z3 -3х; б) -Z2 - 7k2l3; в) b - а; г) 7v - 12; д) -6у + 7,5; е) -9а2 + 4а - 2. 577. а) 0; 0,5; е) 0; 4,8. 583. а) -2; б) 4. 584. 27, 29, 31. 585. а) 400 кг; б) 200 г. 587. 26 км, 14 км, 17 км. 588. 4 и 2. 589. 5000 р., 3000 р. 590. 25 и 10. 591. 1535 г. 601. к) 4 - 4 g + g2; л) 4 i2 + 9 3 9 + i + —. 602. ж) 4 х4 - 2 х2 + 4; м) 54 v2 + 7v3 + 24 v4; о) 0,04а2 + 16 9 3 4 9 4 + 0,32az + 0,64z2. 604. а) 0,25х4 - 2х2у + 4у2; в) 6,25z4 + 6z5 + + 1,44z6; д) 9 у4 - 3 у2с2 + 0,25с6; е) 25 d8 + 2d4e2 + 0,36e4; 16 4 9 з) 21 k4i4 - 11 k5i5 + 16k6i6. 606. а) у2; б) 49; в) 12yb; г) 18ij; 4 3 81 д) 64d2; е) 9g2. 607. а) 16у; б) -98 - 14а2; в) х2 + 49; г) 1 - 12d; 3 1 з) 30s2 + 10s + 1. 608. а) 1,5; б) —; в) 3; г) ^; д) -46; е) -4; 32 24 ж) 0,4; з) 0,5. 611. б) 9а8 - v4; в) 0,49d2 - — с2; д) 49т2 - 16 9 359 Правообладатель Народная асвета 4 25 - 4n2; е) 0,64p4 - 25g2; ж) 2,56k6 - i2;'2; з) 0,25g8 - 0,16p ^ T^'2. 9 36 612. б) п3 + тп2 - т2п - т3; в) с3 - 18с2 + 81; д) и4 - 32и2 + 256; ж) 24 - 1; л) о8 - 98о4 + 2401. 613. а) а2 + 6ас + 9с2 - 4b‘ б) х2 - 9у2 - 25z2 - 30zy; в) i2 + ;2 - k2 - l2 + 2ij - 2lk; г) е2 + f2 -- g2 - h2 - 2ef - 2gh; д) т6 + 27; е)p4 + g4 + r4 - 2p2g2 - 2p2r2 - 2g2r2 ж) п6 - 3n4h2 + 3n2h4 - h6; з) t5 + t4v - 2t3v2 - 2t2v3 + v4t + о5 и) b2 + с2 + d2 + 2bc + 2bd + 2cd; к) m2 + 4p2 + 9t2 + 4mp - 6mt - 12pt л) 4g2 + r2 + 9х2 - 4gr + 12gx - 6rx; м) 9 + а2 + z2 - 6а - 6z + 2az 1 5 614. a) —; б) нет корней; в) -2; г) 1; д) 7; е) —; ж) 1,4; 8 8 з) 4; -4. 617. 50 мм. 621. а) 66; б) 56. 626. 25°; 50°; 150' 135°. 628. 40 и 170 рупий. 62э. 11,6 тыс. чел.; 4,6 тыс. чел 40,3 тыс. чел. 630. 504 км2; 549 км2; 551 км2. 631. 12 дет./ч, 4 дет./ч. 632. 7500 р., 4500 р. 633. 120 и 180. 635. 6 637. а) (а + 1)(а2 + 1); б) (х2 - 1)(х4 - 1); в) (b - 3)(b2 + 3); г) (у3 - 1)(у2 + 3); д) (с4 - 2)(с2 - 7); е) (z5 - а)(z - 5); ж) (п2 - 4т) X X (п + 1); з) (d + с)(13 - с); и) (8 - g)(8 - g2); к) (s2 + 7)(s - 7); л) (7v - 3u)(v - 4u); м) (4i - f)(j - 3c); н) (9d - 11a)(d + 2a); о) (11h - 13g)(h2 + 3). 638. а) ab(1 - ab)(1 + ab2); б) ху(1 - ху) X X (1 + ху)(ху2 - 1); в) (3u3v2 - 4u2v3)(1 - 2v); г) (4z3 + 3z2)(z - 1); д) 3(5х - 4v)(x3 - и2); е) 8(2j2 - 3k2)(i - j); ж) cd3(2c2 + 1)(5с - 4d); з) т2п(2т2 - 3п)(1 - 3тп). 639. а) (а + b + 2)(1 + ab); б) (с - d) X X (х2 + х - 1); в) (с + d)(x2 - х + 1); г) z(z + 1)(р + g - r); д) z(z - 1) X X (р + g + r); е) (т - 1)(т4 + т2 + 1); ж) (w + 1)(w4 - w2 + 1); з) (т - п + 1)(т - п2). 640. а) (a2 - b)(b3 - а); 25; 175; 35; -55; б) (х - 9)(х - у); 0; 324; 0; 0; в) (b - с)(3и - 5v); 5,5; 49,5; г) (т - п)(2 - тп); 119; 0; 8646. 21 643. а) (х + 1)(х + 2); б) (а + 8)(а - 1); в) (с + 10)(с - 1); г) (у + 3)(у - 1); д) (d - 6)(d - 1); е) (z + 5)(z + 7). 645. в), з) нет корней. 646. а) 0,4; б) -2; в) 5; г) - -3; д) 2; -5; е) 2; -I; ж) 1; -1; з) 0; -1-3. 647. а) ах(х + у)(х - у); 4 7 7 и) 2u2v2(5u - 4v)(5u + 4v); л) sr(1,1sr - 1)(1,1sr + 1); м) 2ew X X (7e - 6w)(7e + 6w). 648. а) (3 - а + b)(3 + а - b); б) (4 + х + у) X X (4 - х - у); ж) (х - у)(х + у - 1); з) (е + f)(e - f + 1); и) (i + j)(i2 - j); к) (g - h)2 • (g + h). 649. а) (а - 1)(а + 1)(а2 - а + 1); б) х2 X X (х + 1)(х3 - х2 + 3); в) 2d(3c2 + d2); г) 8уz(у2 + z2); д) (и - v)(u + 360 Правообладатель Народная асвета 6 + v - 1); е) 3(т - 2)(15 - п); ж) -5(р + 8)(q + 3); з) з^(г - 1)(s + 1); и) е(е - f)(e + 1); к) (i - j)(i - k); м) (b - у - 5)(b + у + 5). 650. а) (а + Ь)(а - b - 1); б) (и - v)(u + v - 1); в) (r + s)(1 + s - r); г) (с + d)(c - d - 1); д) (х - у)(1 + х + у); е) (т + п) (т - п + 1); ж) (е - 1)(f - 1)(f + 1); з) (k - 2)(k - l)(k + l); и) (t + z)(t - 2)(t + 2); к) (я - ft)(g + h)(g + 5); л) ((i - j)2 + k3)2; м)p2q2(р2 + q2)(р + q)(p - q). 651. a) (5а + 1)(25а2 + 10а + 1); б) (3 - 4х)(9 + 24х + 16х2); в) (5i2 - - 2j2)3; г) (2т + 5)3. 652. а) (-а + b)(a2 - ab + b2); б) -(2 + t)(4 - - 2t + t2); в) (-0,5 + y)(0,25 - 0,5y + y2); г) (^3s + 1^ ^-9s2 - .3s + 1^; д) (m3 + п2)(т6 - т3п2 + п4); е) (i4 - k3)(i8 + i4k3 + k6); ж) -(3 + h - 3h8 + h16 ); 3) q6(q2 + 6 t - 5q2 + -Ц). 653. a) (a3 - b)2; 6 б) (2с5 + 5у6)2; в) (5тп2 + 6k2l)(25m2n4 - 30k2lmn2 + 36k4l2); г) (6d2f - 5eh3)(36d4f 2 + 30d2efh3 + 25e2h6); д) (2i - 5j)3; e) 8(p + 3q)3; ж) u5(u - 1)3(u4 + u3 + u2 + и + 1); з) (с - g)(c + g)(b - h)(b + h). 659. a) 0,72 м2; б) 2,5 см; в) 50 дм; г) 846 дм2; д) 4,5 м; е) 0,8 м. 662. а) 8 см; б) 28 мм; в) 60 мм; г) 33 мм; д) 36 мм; е) 39 мм; ж) 48 мм; з) 65 мм. 663. а) 5; б) 15; в) 12; г) 60. 664. 6 см. 665. D(7; -5); CD = 12, AB = 25, AC = 20, BC = 15. 669. a) 0; б) любое число; в) 0,8; г) 18. 670. а) -3; б) 1; в) 12; г) 8; д) 2,3; е) -76; 672. а) -2; б) 14; в) -1; г) ни при каком; д) -2; е) -5. 676. а) 9, 10, 11, 12; б) 28, 29, 30, 31; в) таких чисел нет. 678. 26 см х 26 см; 1176 см3. 680. 2 : 5. 681. 101 л; 6 16 л. 682. Через 2 ч. 683. Из Будчи. 684. 10 дней, 8 дней. 685. 6 ч и 4 ч. 686. 60 км/ч и 80 км/ч. 687. 172 км; 104 км; 100 км; 40 км. 688. 0,54 млн м3; 1,8 млн м3; 4,1 млн м3. 690. 3 , 4, 5 или 6. Раздел V 694. а) 90°; 20°; 70°; 90°; 20°; б) 80°; 0°; 80°; 60°; 40°. 718. а) 7х3у3(4у - 3х); б) 11a3b(ab + 3); в) 4p2q2(2 - 9q + 3p); г) 8i2j2(2j2 + 3i2 - 4ij); д) 5х(х - 5); е) u(u + 3)2(u + 3 + u2); ж) t2(t - 7)2(t + 1); з) 3m(m - n)(-n - 3m). 719. а) 20; б) -32; в) 14; г) 2. 720. а) 2(а + b)(2a - 3b); б) 2(х - у)(х - 2у); 361 Правообладатель Народная асвета в) (m + n)2 • п; г) (k - i)^(2i - k). 721. 274 км, 80 км, 76 км. 722. Может. 723. От 5 % до 5,9 %. 724. 50 г, 190 г. 725. 1 кг и 3 кг. 726. 29. 727. 22. 728. 218 кг/га, 178 кг/га. 729. 120 м3, 225 м3. 730. 640 м3, 360 м3. 732. 20 091 960. 740. а) 140°, 40°; б) 52,5°, 127,5°; в) 40°, 140°. 741. а) 153°, 27°; б) 82°, 98°; в) 36°, 144°; г) 84°, 96°. 743. а) 10° или 40°; б) 75° или 55°; в) 50° или 0°. 744. 70°, 110°. 745. 40°, 140°. 746. 72°, 108°, 72°, 108°. 750. а) 50°, 50°, 80° или 80°, 80°, 20°; б) 60°, 60°, 60°; в) 150°, 15°, 15°. 753. а) 2(а + 2); б) 49 - 2х. 754. а) ^; б) 2; в) 3; г) -2; д) 13,75; е) -43; ж) 4|; з) 0,6; и) 11. 83 755. а) (а - x)(a - 7); б) (m - n)(b + 11); в) (i - j)(i - j - 4); г) (p + q)(2z - 1); д) (у2 - 5)(y + 1); е) 3a2(1 - a2)(6a4 + 4a2 + 1). 756. а) ^l^; б) в) p q 2a8 bc 1 64e2 . fi'UV -6 ju + I + 1 „„v ^ -; г) 2b c d e ; д) —— m8 + m3; e) —1- - n11 + n. 758. На 25 %. 759. 4,5 ч. m n 760. В 3 раза. 761. В 2 раза. 762. В 11 раз. 763. В 13 раз. 764. 3 очка. 765. 480 и 720. 766. 480 и 540. 770. 8 см, 10 см, 6 см. 771. 10 м. 772. 12 дм, 5 дм, дм. 773. 15 см, 20 см, 13 12 см. 776. 10 мм. 777. а) 14 дм; б) 14 дм. 778. 64 см2 или 32 см2. 779. 1 см или 7 см. 780. 4 см. 781. 6 см. 782. 17 см. 783. 13 см. 784. 10 см. 785. а) 360; б) 72; в) 144; г) 720; д) 240; е) 80. 787. а) -a + a -1; б) 1 - Ь - Ь в) 1 - mn + m2n2 - m3n3 + m4n4 г) n a 1 1 + r2 34 + r4 36 + r6 38 r 4 s8 788. 20, 24, 36, 48. 789. 35 см, 46 см, 14 см. 790. 19,2. 791. 74 аршина. 792. В 23 ч 45 мин. 793. 80 тыс. р., 12 тыс. р. 794. 2500 р., 1250 р. 795. 50 и 75. 796. 50 и 30. 798. 1 834 567 920. 800. а) a-b; б) a + b 3 Раздел VI xy . в) 3(k + l); г) 4uvw . д) 3(a - x) x - у 3k + 2l uv + 2w 4(a - 2x) 2 805. в) 12b3 - 4b2 - 3b - ^; г) 31k3 - 1 k - 20; д) -0,5t2 + 2ts -4 1^ 7 7 ’ ’ 362 Правообладатель Народная асвета - 8s2; e) 33,5u2 - 25,6uv + 5,6u2. 815. a) a2; б) -у4; в) -&5; 2. ,,4. h5. г) z2(z + 1); д) 36(s - t); e) 16(c + 3d); ж) 25(u + 2v) 3g - h 4 ; з) 25(3g + h) \ x + ^ m - n . q + ^ . i + j - k 816. a) ----—; б) ------; в) ----; г) т + п - k; д) -------; x - y m + n s +1 i - j + k e) ж) ; 3) . 818. д) x = k' + k‘ +'' u + 1 r + s t2 + g k2 - Z2 е) x = 3(u - v); ж) x = s + 1; з) x = ——. 821. в) (a - b)(1 - b); i + j г) т2п2(п - 10т)(п2 + 10тп + 100т2); е) (а + t - b - s)(a + t + + b + s). 822. д) f(f + 1)2(/ - 1)2; e) (p - 1)(р2 + 1)(р2 + р + 1); ж) (с + d)(c2 + cd + d2)(c3 - d3 + 2). 824. a) 13; б) 13; в) 10. 825. 46 см; 78 см. 826. 160 мл, 40 мл. 827. 42 км, 115 км, 35 км. 828. 9600 см3, 2080 см2. 829. 10 000 л. 830. 12 м2, a + 4 11 18 м2. 831. 6 м, 4 м. 835. а)------; б) . 837. а) 9а 5 a - 7; b -1 ’ . m + 6 ч (n + 6)^ ч q + 2p ч mZ + nZ + mk - nk л) ----;т; м) ^----;^. 839. и) ——•; п) • m - 6 (n - 6)2 4 pq k2 Z Р) y2 - yz - 2z2 y2 z2 840. a)-----; г) c - b , 9f2 + 8Z2 , 4g2 + 2gh - 8h к) 3pq + 6q2 - 3pr qr bc 841. a) 18Z2 f2 mn + 1 ; ж) gh n ; б) в) l!; p4 , 4r2 - 2 , v , 1 , g2 + h2 , i2 + j2 г) ------; д) -; e) ; ж) —-------; з)-----; r u 2e 2 g 2j Ч 11x - 7 Ч 5a - 7b Ч 16y - 11z 4 12c - 22d и) —rz—; к) ———; л) ---—----; м) 12 12 12 10 йло \ 5x + 6 2а +1 9 - 7^ 2p 842. a) —;^; б)-----2—-; в) -——; г) 2; д) — x(x2 - 4) a2 - 4 1 - 4u4 е) m2 - 3mn + n2 2 2 n - m ; ж) -3v2 u2 - v2 ; з) - z2 + z + 1 z(z2 -1) . 844. a) p + q 2a2 + 13a + 1 (a - 1)(a + 1)2 ’ б) 5b2 - 32b - 36 (b - 2)(b + 2)2 ; в) -4x2 + 9x - 45 2(x - 3)2(x + 3) ; г) 24z2 - 3y2 + 9yz y(4z2 - y2) ’ 363 Правообладатель Народная асвета , _ , 20m2 - 2m - 25 , q +1 , 1 - 12u д) 0; е) ------;; ^ 2-----; ж) з) 2a. 5b 9 - 4m^ ' ' 2q(1 - 2q) 845. a) 2a; н) о) -8^^^; п) ^kL. 846. д) k-; е) zw 9dz 9k 4 u2 -1 3p2 i2 ; qj ’ ж) ; 3) _32д^х_. 849. a) 3a£d2; д) - 3q_; и) ; к) 46mP-; 5tr 45a2bcz 2b 5c5 j 93 39w2 24kz^ ^ c (b + c) л) ----^; м) 85°. в) - ,. 2 ; ж) uv 5t2 s b2 + c2 m2 + mn + n2 n(m + n) Ч 3 3 Ч (a + y)(a2 + y^) . 5(a - b) ^ 1 к) u3 + v3; м) 851. a) ------; б) 1 a(a - y) 3( a + b) (y - 3)2 в) f ; г) 3^-4h; д) ; е) n(1 -p); ж) r' + 2r + 4' c (c - d) g + 2 ki 3) . 854. a) 1 a ; б) 8m 1 v+2 a (a +1) x (x - y) ; в) q - r b - 4 b (b + 4)' , c(d-4c) , 2n-m . 2i^ ^ ^ 2 г) -------; д) -------; е) ----. 858. a) 72 см; 216 см2; d + 4c m - 3n i + j б) 180 см; 1080 см2; в) 192 см; 1296 см2. 860. 4 ч. 861. 24 000 р., 2m 6b2 26 000 р. 862. 6 и 7. 865. 3. 866. a) —--------; б) q d - c f в) —; г) ------; д) -----; е) p d + c f - e m2 -4 2 y ; ж) (1 + ; 3) x + y 2 r2 ’ a - b 2(u - v) 867. a) -^; б) ^; в) 2; г) 4; д) ^8' + ^ ^ ^d ■ 3a +1 b-5 u2 + 36 d^ 868. a) -8(2x-6); б) 4b-;:1; x(x2 -16) 9b2 -1 е>^1; ж>4Р(Р4^ 12u в) -^p; г) 23; д) 3; е) ; ж) V + (^ + 3))2 ; з) -3. m b - 2 u - 4 1 - (v + 3)2 869. a) —13 5a—; б) (a - 2)(a - 3) x ; в) 8^8; г) - 1 5( x + 5) y(y + 2) 22 д) -1; е) . 870. a) 1; б) 1; в) 1; г) ; д) 1; u - V m - n Ч orro Ч 1 - a .. x -1 , z - c , p + q - r - s е) uv. 873. a) --; б) --; д) -2-; е) -. 1 + a 1 - z z + c p - q + r - s 364 Правообладатель Народная асвета u 874. а) -(l - 3xy] ; б) 5s2 - 2,5s + 21; в) k - ; г) — {- -1 I ab^ n 8p 2olo 875. 74 мм. 880. 20 и 10. 881. 2500 р., 1750 р. 882. 1582 г. 883. (9; 2), (17; 6). Раздел VII 898. а) 63; б) 3-10; в) 51; г) 3 45 2048 903. а) -3; б) 2; 6 в) ^^; г) 1,3; д) -3; е) -4. 906. а) 8,9 г/см3; б) 5,8 г/см3. 13 rvrxrj ч (b - 6a)(b + 3a^ ^ Ч ^ ^ ^ ^гчо Ч b + a 907. а) --- ; б) и; в) —; г) 1. 908. а) —2——; (b - a)(b - 2a) pq a + b б) ^—; в) ; г) p-q-. 909. а) 0; б) c +1 8 q2 (q - r)(p - r) ; в) 1 uvw г) 0; д) —y—; е) . 913. 25°, 70°, 85°; 25°, 155°, 95°, 85°. 3x + y m - k 914. 429 км2, 135 км2, 107 км2, 74 км2. 915. 102 км2, 164 км2, 488 км2. 916. 1,52 км2; 8,2 км2; 0,74 км2. 917. 70 000 р./м, 50 000 р./м. 918. 4 ч, 3 ч. 919. 70 дет./ч, 65 дет./ч. 920. 6823 + 6823 = 13 646. 944. а) 2,3; б) 0; в) нет корней; г) f — любое число. 945. а) 5; б) 3; в) 3; г) 5,75. 948. а) -2; б) -9; в) -1,55; г) 1; д) -^3; е) 1; ж) -0,25; з) --|. ,ч.-.ч ч b5 - a2 , dm - cm ^ xlyl (yk + xk) , 952. а) ^-----^; б)----------; в) —^; г) u2^ + u^v^ + v2^ 953. а) b5 + a3 ___L_ b2 - a' dmcm xkyk (yl - xl) u2tv2t ; б) 1. 954. 36°, 72°, 72°. 955. 90°, 45°, 45° или 36°, 72°, 72°. 956. а) 54; 126; б) 96; 324. 957. 6 кг. 958. 1850 м3/с, 300 м3/с, 11 100 м3/с. 960. 16 км/ч, 15 км/ч. 961. 26,75 млн м3, 12,65 млн м3, 41,8 млн м3. 963. 3,7 м3/с, 4,6 м3/с, 5,6 м3/с. 965. 89 км, 124 км, 295 км, 116 км. 966. 882 км2, 435 км2, 183 км2. 967. 484 км, 659 км, 178 км. 968. 7,5 тыс., 6,9 тыс., 9,2 тыс., 7,8 тыс., 11,7 тыс. 969. 1189,5 км2, 1237 км2. 970. 836 км2, 779 км2, 285 км2. 971. 21 и 7. 972. 55 г, 15 г. 973. 30 и 90. 974. 65 тыс. р., 80 тыс. р. 975. 30 и 20. Правообладатель Народная асвета СОДЕРЖАНИЕ Раздел I Начальные понятия геометрии 1. Геометрические фигуры......................... 6 2. Углы между прямыми........................... 23 Раздел II Линейные уравнения и функции 3. Выражения и формулы ......................... 41 4. Тождественные преобразования выражения....... 58 5. Линейное уравнение с одной переменной........ 70 6. Решение задач с помощью уравнений ........... 82 7. Линейная функция............................. 92 Раздел III Треугольники 8. Равные фигуры .............................. 111 9. Равные треугольники ........................ 121 10. Равнобедренный треугольник ................ 131 11. Свойства и признаки ........................141 12. Соотношения между элементами треугольника . . . . 154 13. Прямоугольный треугольник ..................166 Раздел IV Многочлены 14. Одночлены...................................177 15. Многочлен...................................188 16. Умножение многочленов ..................... 200 17. Вынесение общего множителя за скобки........213 18. Формулы сокращенного умножения .............222 19. Разложение многочлена на множители..........233 Раздел V Параллельные прямые 20. Признаки параллельных прямых................255 21. Свойства параллельных прямых................267 22. Расстояния..................................279 366 Правообладатель Народная асвета Раздел VI Рациональные выражения 23. Рациональные дроби...........................286 24. Действия над рациональными дробями...........300 25. Рациональные выражения.......................313 Раздел VII Геометрические построения 26. Построения линейкой и циркулем ............. 324 27. Основные задачи на построение ...............338 Ответы ......................................354 Правообладатель Народная асвета (Название и номер учреждения образования) Учебный год Имя и фамилия учащегося Состояние учебного пособия при получении Оценка учащемуся за пользование учебным пособием 20 / 20 / 20 / 20 / 20 / Учебное издание Латотин Леонид Александрович Чеботаревский Борис Дмитриевич МАТЕМАТИКА Учебное пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения 4-е издание, исправленное и дополненное Зав. редакции В. Г. Бехтина. Редактор Л. В. Гринкевич. Художественный редактор Л. В. Павленко. Технический редактор И. И. Дроздова. Компьютерная верстка И. И. Дроздовой, Л. И. Шевко. Корректоры О. С. Козицкая, Е. П. Тхир, Е. И. Даниленко, В. С. Бабеня, А. В. Алешко. Подписано в печать 31.01.2014. Формат вОхОО^/хе. Бумага офсетная. Гарнитура школьная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 23 + 0,25 форз. Уч.-изд. л. 14 + 0,22 форз. Тираж 3588 экз. Заказ . Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная асвета» Министерства информации Республики Беларусь. Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/2 от 08.07.2013. Пр. Победителей, 11, 220004, Минск. ОАО «Полиграфкомбинат им. Я. Коласа». ЛП № 02330/0150496 от 11.03.2009. Ул. Корженевского, 20, 220024, Минск. Правообладатель Народная асвета