Учебник Математика 11 класс Латотин Чеботаревский

л. А. Латотин Б. Д. Чеботаревский ИАТБИАТИКА Учебное пособие для 11 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения 2-е издание, пересмотренное Допущено Министерством образования Республики Беларусь Минск «Народная асвета» 2013 Правообладатель Народная асвета УДК 51(075.3=161.1) ББК 22.1я721 Л27 Перевод с белорусского языка И. П. Ефременко Рецензент главный научный сотрудник государственного научного учреждения «Институт математики Национальной академии наук Беларуси», доктор физико-математических наук, профессор В. И. Берник Латотин, Л. А. Л27 Математика : учеб. пособие для 11-го кл. учреждений общ. средн. образования с рус. яз. обучения / Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский ; перевод с белорус. яз. И. П. Ефременко. — 2-е изд., пересмотр. — Минск : Нар. асвета, 2013. — 462 с. : ил. ISBN 978-985-03-1965-4. УДК 51(075.3=161.1) ББК 22.1я721 ISBN 978-985-03-1965-4 © Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д., 2008 © Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д., 2013, с изменениями © Ефременко И. П., перевод на русский язык, 2013 © Оформление. УП «Народная асвета», 2013 Правообладатель Народная асвета Дорогие друзья! Данное учебное пособие обеспечивает изучение программного материала выпускного класса и повторение всего курса математики. Оно организовано так же, как и пособия предыдущих классов. Каждый параграф начинается с обсуждения того круга вопросов, которые обозначены в названии параграфа. Наиболее важное выделено специальными шрифтами. Новые понятия выделяются полужирным шрифтом. Правила и утверждения выделены полужирным курсивом, а понятия и факты, на которые следует обратить внимание, но необязательно запоминать, — курсивом. Материал, выделенный треугольниками А, не предназначен для обязательного контроля. После объяснительного текста идут контрольные вопросы, помеченные знаком . Они предназначены для проверки того, как вы усвоили содержание объяснительного текста. Если на тот или иной вопрос вы не смогли ответить, нужно вернуться к объяснительному тексту и с его помощью попробовать ответить на этот вопрос снова. Упражнения, идущие после контрольных вопросов, разделены на три группы. Упражнения первой группы посвящены тем вопросам, которые обсуждались в объяснительном тексте. Они имеют в основном тренировочный характер, хотя среди них могут встретиться и более сложные. Вторую группу после разделительной горизонтальной черты составляют разнообразные упражнения на повторение. При их выполнении вам нужно будет применять знания, приобретенные ранее, в том числе и в предыдущих классах. Задачи третьей группы, которые идут после разделительных звездочек, являются в чем-то нестандартными. Они требуют творческого подхода, самостоятельности в рассуждениях. Вместе с тем для их решения у вас достаточно знаний. Желаем вам успехов! Авторы Правообладатель Народная асвета 3 Раздел I Призма и цилиндр 1. Призма Ранее вы уже знакомились с призмой, т. е. многогранником, две грани которого — равные п-угольники, а остальные n граней — параллелограммы. Равные грани-многоугольники призмы лежат в параллельных плоскостях и называются основаниями призмы, а остальные грани-параллелограммы — боковыми гранями. Ребра боковых граней, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называют диагональю призмы (рис. 1). Плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение призмы диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 2 показаны два диагональных сечения призмы. Призмы разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Призма, изображенная на рисунке 1, — шестиугольная, а на рисунке 2, — девятиугольная. Отличают прямые и наклонные призмы в зависимости от того, перпендикулярны или не перпендикулярны боковые ребра призмы ее основаниям. Обычно при изображении прямой призмы ее боковые ребра проводят вертикально. Основание Диагональ Боковая грань Боковое ребро Основание Рис. 1 Правообладатель Народная асвета 4 Е Рис. 3 Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной призмой. В прямой призме все боковые грани — прямоугольники, а в правильной — равные прямоугольники. Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания призмы к плоскости другого основания, называется высотой призмы. На рисунке 3 показаны две высоты DD 2 и HHi призмы ABCDEAiBiCiDiEi. У прямой призмы ее высота равна боковому ребру. Боковые грани составляют боковую поверхность призмы, а боковые грани вместе с основаниями — полную поверхность призмы. Теорема 1. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра: ^ ^ с — р. г ^бок - P Доказательство. Пусть имеется п-угольная призма A1A2A3^An _ 1AnB1B2B3^Bn _ ^Bn (рис. 4). Пересечем ее плоскостью а, перпендикулярной боковому ребру. Получим перпендикулярное сечение C^C2C3^Cn _ ^Cn, стороны которого перпендикулярны сторонам параллелограммов, составляющим боковую поверхность призмы. Поэтому для боковой поверхности Ббок получим: S6oK = SAiBiB2 A2 + SA2B2B3 A3 + ^ + SA^ - iB„ _ iB„A„ + ^A^B^Bi Ai = (1) = A1B1 ■ C1C2 + A2B2 ' C2C3 + ^ An - 1Bn - 1 ' Cn - 1Cn + AnBn ' CnC1 = (2) = (C1C2 + C2C3 + ^ + Cn - iCn + CnCi) • AiBi = P • l. Правообладатель Народная асвета 5 При переходе (1) мы учли, что все боковые ребра призмы равны друг другу, при переходе (2) — то, что сумма С1С2 + C2C3 + ^ Cn _ 1Cn + CnC1 выражает периметр P перпендикулярного сечения призмы, а множитель A1B1 — длину l бокового ребра. Следствие 1. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания и высоты. Действительно, перпендикулярное сечение прямой призмы равно ее основанию, а боковое ребро является высотой. Частным видом призмы является параллелепипед, т. е. призма, основанием которой является параллелограмм. Параллелепипед, как и призма, может быть прямым или наклонным. Прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом. Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны друг другу, называется кубом. У параллелепипеда все грани — параллелограммы, из которых у прямого параллелепипеда прямоугольниками являются боковые грани, а у прямоугольного параллелепипеда — все грани. 12 ребер параллелепипеда разделяются на три четверки равных ребер (рис. 5), его 6 граней — на три пары равных граней (рис. 6), а 4 диагонали пересекаются в одной точке, явля- Рис. 5 Рис. 6 Правообладатель Народная асвета 6 Рис. 8 2 , , 2 , 2 а = а + Ь + с Рис. 12 ющейся центром симметрии параллелепипеда (рис. 7). Прямой параллелепипед еще имеет ось симметрии (рис. 8) и плоскость симметрии (рис. 9). Прямоугольный параллелепипед имеет три оси симметрии (рис. 10) и три плоскости симметрии (рис. 11). Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (рис. 12), и все его диагонали равны друг другу. Важной характеристикой плоской фигуры является ее площадь. Подобной характеристикой тела является его объем. Будем считать, что изучаемые нами тела имеют объем. За единицу объема принимают объем куба с ребром 1. На практике пользуются разными единицами объема: как метрическими — кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр, кубический Правообладатель Народная асвета 7 километр, так и неметрическими — галлон, барель, бушель, кварта. Для объема тела выполняются его основные свойства: равные тела имеют равные объемы; если тело разделено на части, то его объем равен сумме объемов этих частей. При этом равными фигурами называют фигуры, которые преобразуются друг в друга определенным движением. Например, равными являются две шестиугольные правильные призмы, у которых соответственно равны стороны оснований и высоты (рис. 13), или два цилиндра с соответственно равными радиусами оснований и образующими (рис. 14). Тело, изображенное на рисунке 15, можно разделить на цилиндр и конус, и его объем равен сумме объемов этих цилиндра и конуса. Два тела с равными объемами называют равновеликими телами. Равные тела являются равновеликими, но не наоборот. Вы знаете, что объем V прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений а, b, c (рис. 16): V = abc. Учитывая, что в формуле V = abc произведение ab выражает площадь S основания прямоугольного параллелепипеда, а число c — его высоту h, получим, что объем V прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты: V = 8осн • h. Рис. 13 I Рис. 14 V = abc = S^„-h Рис. 16 Правообладатель Народная асвета 8 Теорема 2. Объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты: V = SOCH • h- Доказательство. Пусть имеется произвольный параллелепипед ABCDA^B^CiD^ (рис. 17). Через ребро AB проведем плоскость, перпендикулярную ребру AD, она отсечет от параллелепипеда треугольную призму AA1GBB1H (рис. 18). После параллельного сдвига этой призмы в направлении отрезка AD получим призму DD1ECC1F. Параллелепипед ABCDGHFE равновелик с данным параллелепипедом ABCDA-^^B-^C-^Di. Выполненное преобразование параллелепипеда также сохраняет объем параллелепипеда, площадь его основания и высоту. У параллелепипеда ABCDGHFE его боковые грани AGHB и DEFC перпендикулярны плоскости основания. К граням AGED и BHFC, которые не перпендикулярны плоскости основания, применим такое же преобразование, в результате которого получим прямой параллелепипед IGHKJEFL (рис. 19), в котором сохраняются объем, площадь основания и высота. Наконец, применив еще раз такое преобразование к граням IGHK и JEFL прямого параллелепипеда IGHKJEFL, получим прямоугольный параллелепипед IGMNJEOP (рис. 20), сохранив объем параллелепипеда, площадь его основания и высоту. Правообладатель Народная асвета 9 Значит, V, = Vi IGMNJEOP = Si IG = Sa IG. ABCDA^BC-iD^ Множитель Sabcd есть площадь основания параллелепипеда ABCDA^BjCiD^, а множитель IG выражает его высоту, так как IG есть перпендикуляр, возведенный из точки I основания ABCD к другому основанию A^B-^CiDi. Значит, объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты. Теорема 3. Объем призмы равен произведению площади ее основания и высоты: V = ^осн • h- Доказательство. Рассмотрим сначала треугольную призму ABCA1B1C1 (рис. 21). Дополним ее до параллелепипеда ABDCA1B1D1C1 (рис. 22). Точка P пересечения диагоналей диагонального сечения BCC1B1 этого параллелепипеда является его центром симметрии. Это означает, что достроенная призма BCDB1C1D1 симметрична данной призме ABCA1B1C1 относительно центра P, а потому эти призмы равны друг другу. Значит, объем параллелепипеда ABDCA1B1D1C1 равен удвоенному объему данной призмы. Объем параллелепипеда ABDCA1B1D1C1 равен произведению площади его основания ABDC и высоты. Но площадь его основания ABDC равна удвоенной площади основания ABC данной призмы, а высота параллелепипеда равна высоте призмы. Отсюда следует, что объ- Ci 10 Правообладатель Народная асвета чениями, проходящими через вершину Ai, разобьем ее на треугольные призмы-части AlA2A3BlB2B3, AlA3A4BlB3B4, ^, AiAn - 2An - iBiBn - iBn - 2, AiAn - lAnBiBn - iB„, которые все имеют одну и ту же высоту, равную высоте h данной призмы. Объем данной призмы равен сумме объемов призм-частей. По уже доказанному для объема V данной призмы получим: V = S. h + S. h + . AiAn - 2An -1 ■ h + S. h = AiA2A3 Ai A3 A4 = (Sai a2 a3 + Sai a3 a4 + ^ + Saia„ - 2 An -1 + Sai An -1 An ^ " h. Учитывая, что сумма в скобках выражает площадь S основания данной призмы, получим: V = SocH • h. Следствие 2. Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания и бокового ребра. i. Какой многогранник называется призмой? • 2. Какие грани призмы называют ее основаниями; боковыми гранями и какие ребра призмы называют боковыми ребрами? 3. Какой отрезок называют диагональю призмы; высотой призмы? 4. Какая плоскость называется диагональной плоскостью призмы и какой многоугольник называют диагональным сечением призмы? 5. Какая призма называется прямой призмой; наклонной призмой? 6. Какая прямая призма называется правильной призмой? 7. Какая призма называется параллелепипедом? 8. Какой параллелепипед называется прямым? Какой прямой параллелепипед называется прямоугольным? Какой прямоугольный параллелепипед называется кубом? 9. Сформулируйте свойства ребер параллелепипеда; граней параллелепипеда; диагоналей параллелепипеда; диагоналей прямоугольного параллелепипеда. 10. Какие ребра прямоугольного параллелепипеда называются его измерениями? ii. Как связаны диагональ прямоугольного параллелепипеда и его измерения? 12. Из чего состоит боковая поверхность призмы; полная поверхность призмы? 13. Как связаны между собой боковая поверхность призмы, периметр ее перпендикулярного сечения и боковое ребро? 14. Как найти боковую поверхность прямой призмы? 15. Что принимают за единицу объема? Сформулируйте основные свойства объема. 16. Какие фигуры называют равными; равновеликими? Как связаны равенство и равновеликость фигур? 17. Как найти объем прямоугольного параллелепипеда по его извест- ным измерениям ? 18. Чему равен объем произвольного параллелепипеда? 19. Чему равен объем призмы; объем прямой призмы? Правообладатель Народная асвета ii 1. Докажите, что в прямой призме: а) все боковые грани — прямоугольники; б) ее высота равна боковому ребру. 2. Докажите, что сечение призмы плоскостью, параллельной основанию, равно этому основанию. 3. Докажите, что в правильной призме: а) все боковые грани — равные друг другу прямоугольники; б) двугранные углы при боковых ребрах равны друг другу; в) любая точка прямой, проходящей через центры оснований, равноудалена от боковых граней, а также от боковых ребер. 4. Верно ли, что: а) у параллелепипеда все грани — параллелограммы; б) у прямого параллелепипеда основания — параллелограммы, а боковые грани — прямоугольники; в) у прямоугольного параллелепипеда все грани — прямоугольники? 5. Докажите, что у параллелепипеда: а) есть три четверки равных ребер; б) есть три пары равных граней; в) его четыре диагонали пересекаются в одной точке, которая является центром симметрии параллелепипеда. 6. Определите: а) может ли какая-либо боковая грань наклонного параллелепипеда быть прямоугольником; б) сколько боковых граней наклонного параллелепипеда могут быть прямоугольниками. 7. Докажите, что у прямого параллелепипеда есть: а) ось симметрии; б) плоскость симметрии. 8. Докажите, что у прямоугольного параллелепипеда: а) есть три оси симметрии; б) есть три плоскости симметрии; в) квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений; г) все четыре диагонали равны друг другу; д) с двумя равными измерениями есть пять плоскостей симметрии; 12 Правообладатель Народная асвета е) с тремя равными измерениями есть девять плоскостей симметрии; ж) с тремя равными измерениями есть девять осей симметрии. 9. Найдите диагональ правильной четырехугольной призмы, у которой площадь основания равна 121 см2, а высота — 12 см. 10. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, учитывая, что диагонали его граней равны 11 см, 19 см и 20 см. 11. Найдите боковую поверхность и объем наклонной треугольной призмы, у которой: а) расстояния между параллельными прямыми, содержащими боковые ребра, равны 2 см, 3 см и 4 см, а сами ребра — 5 см; б) две боковые грани равны и образуют угол в 60°, а прямая, содержащая их общее ребро длиной а, находится на расстоянии a от плоскости противолежащей боковой грани. 12. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 8 см, а сторона основания — 4 см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через: а) боковое ребро и середину стороны основания, не имеющей с ребром общих точек; б) три вершины призмы, которые не принадлежат одной грани. 13. По стороне основания а и боковому ребру l найдите полную поверхность правильной призмы, основанием которой является: а) треугольник; б) четырехугольник; в) шестиугольник. 14. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 24 см и 10 см, а его диагональ образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда. 15. Найдите полную поверхность и объем прямоугольного параллелепипеда, учитывая, что: а) его диагональ равна 81 см, а измерения относятся как 2 : 7 : 26; б) диагонали его граней равны 7 см, 8 см и 9 см; в) его диагональ имеет длину 12 см и составляет с одной боковой гранью угол в 30°, а с другой — угол в 45°; Правообладатель Народная асвета 13 г) сторона его основания длиной a составляет с диагональю основания угол а, а с диагональю боковой грани, в которой эта сторона лежит, — угол в; д) диагональ прямоугольного параллелепипеда равна l и составляет с одной боковой гранью угол в 30°, а с другой — угол в 45°. 16. Найдите боковую поверхность прямого параллелепипеда и его объем, учитывая, что стороны его основания равны 2 см и 7 см, меньшая диагональ параллелепипеда — 8 см и один из углов основания — 60°. 17. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 м и 9 м, а его диагонали составляют с плоскостью основания углы в 45° и 60°. Найдите диагонали параллелепипеда, его боковую поверхность и объем. 18. Найдите боковую поверхность и объем призмы, у которой: а) основанием является ромб со стороной, равной 10 см, и углом в 60°, а меньшая диагональ составляет с основанием и боковым ребром углы в 45°; б) все грани — равные ромбы со стороной, равной 6 см, и углом в 60°. 19. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с основаниями 50 см и 18 см и высотой 16 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы. 20. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 32 см, а боковое ребро — 24 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания. 21. Боковое ребро AA1 призмы, основанием которой является правильный треугольник ABC, образует равные углы со сторонами основания AC и AB. Докажите, что: а) ребра BC и AA1 перпендикулярны; б) четырехугольник CC1B1B является прямоугольником. 22. Основанием наклонной призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC = 13 см, BC = 10 см и боковое ребро образует с плоскостью основания угол в 45°. Перпендикулярной проекцией вершины A1 на 14 Правообладатель Народная асвета плоскость треугольника ABC является точка пересечения его медиан. Найдите площадь грани CCiB-^B. 23. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 24 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 10 см. Найдите боковую поверхность призмы. 24. Две боковые грани наклонной треугольной призмы перпендикулярны друг другу, их общее ребро равно 72 см и отстоит от двух других боковых ребер на 36 см и 105 см. Найдите боковую поверхность призмы. 25. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с плоскостью основания угол ф, а с меньшей боковой гранью — угол а. Найдите боковую поверхность параллелепипеда. 26. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом ф. Через противолежащий ему катет и противолежащую этому катету вершину основания проведено сечение, составляющее угол в с плоскостью основания. Определите, какую часть площадь сечения составляет от площади боковой поверхности призмы. 27. Докажите, что: а) равные тела являются равновеликими; б) равновеликие тела не обязательно являются равными. 28. Тело P составлено из тел M и N, которые имеют соответственно объемы V1 и V2. Выразите объем V тела P через объемы V1 и V2, учитывая, что: а) тела M и N не имеют общих внутренних точек; б) тела M и N имеют общую часть, объем которой равен 1 V^. 3 29. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны a и b, а высота — h, учитывая, что: а) a = 22, b = 24, h = 30; б) a = 9/2, b = 9/5, h = З9/1О; в) a = 72, b = 29/3, h = 52; г) a = 31, b = л/б, h = 0,96. 3 30. Найдите массу кирпича размерами 25 см х 12 см х 6,5 см, учитывая, что плотность кирпича равна 1,9 г/см3. Правообладатель Народная асвета 15 31. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда PQRTPiQiRiTI, учитывая, что PRi = 13 см, QT = 12 см и QRi = = 11 см. 32. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого: а) равна 18 см и составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани и угол в 45° с боковым ребром; б) составляет угол а с плоскостью боковой грани и угол в с плоскостью основания, а его высота равна h. 33. Диагональ B1D прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 составляет с плоскостью основания угол в 45°, а двугранный угол A1B1BD равен 60°. Найдите объем параллелепипеда, учитывая, что диагональ основания равна 12 см. 34. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда MNOPM1N1O1P1, учитывая, что: а) MO1 = 1 м, Z O1MO = 45°, Z O1MN = 60°; б) MO1 = 24 см, Z O1MP1 = 45° и диагональ MO1 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани. 35. Найдите объем прямой призмы ABCA1B1C1, учитывая, что Z BAC = 90°, BC = 37 см, AB = 35 см, AA1 = 11 см. 36. Найдите объем прямой призмы XYZX1Y1Z1, учитывая, что: а) Z YXZ = 120°, XY = 5 см, XZ = 3 см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2; б) Z XY^Z = 60°, XY = 4, ZY1 = 12 и двугранный угол с ребром YY1 прямой. 37. Пять ребер прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равны а, а остальные четыре ребра равны друг другу. Найдите объем призмы. 38. Найдите объем прямой призмы BCDB1C1D1, учитывая, что BC = CD, Z BCD = а, диагональ B-^D равна l и составляет с плоскостью основания угол в. 39. Основанием прямой призмы является параллелограмм. Через его сторону, равную а, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, которое составляет угол в с плоскостью основания. Найдите объем призмы, учитывая, что площадь сечения равна Q. 16 Правообладатель Народная асвета 40. Через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания правильной треугольной призмы проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол в 60°. Найдите объем призмы, учитывая, что сторона основания равна а. 41. Основанием призмы KLMK^L^M^ является равносторонний треугольник KLM со стороной l. Вершина К^ проектируется в центр этого основания, а ребро КК^ составляет с плоскостью основания угол ф. Найдите объем призмы. 42. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, наибольшая диагональ которой равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. 43. Найдите объем наклонной призмы, основанием которой является треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см, а боковое ребро, равное 8 см, составляет с плоскостью основания угол в 60°. 44. Найдите объем наклонной призмы ABCA1B1C1, учитывая, что AB = BC = CA = а, ABB1A1 — ромб, AB1 < BA1, AB1 = b, а двугранный угол с ребром AB — прямой. 45. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 5 см. Найдите объем призмы, учитывая, что радиус окружности, описанной около основания призмы, равен 6,5 см, а высота призмы — 10 см. 46. Основанием призмы является вписанный в окружность с радиусом 4 см равнобедренный треугольник с углом 30° при основании. Найдите объем призмы, учитывая, что ее высота равна боковой стороне основания. 47. Найдите объем параллелепипеда, учитывая, что: а) основанием его является прямоугольник со сторонами а и b, а боковое ребро длиной c составляет со смежными сторонами основания углы, равные ф; б) все его грани — равные ромбы с диагоналями, равными 6 см и 8 см. 48. Докажите, что объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра и площади сечения призмы плоскостью, перпендикулярной этому ребру. 49. Найдите объем наклонной треугольной призмы, учитывая, что расстояния между ее боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 30 см, а площадь боковой поверхности — 480 см2. Правообладатель Народная асвета 17 50. Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда с общей вершиной равны S2 и S3. Выразите объем этого параллелепипеда через S^ S2 и S3 и вычислите его при Si = 12 дм2, S2 = 24 дм2, S3 = 36 дм2. 51. У трех граней прямоугольного параллелепипеда диагонали, выходящие из одной вершины, равны 21 см, 24 см и 27 см. Найдите объем этого параллелепипеда. 52. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см и 3/2 см, а острый угол между ними — 45°. Найдите объем параллелепипеда, учитывая, что его меньшая диагональ составляет с плоскостью основания угол в 45°. 53. Диагонали BD1 и А1С прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см, а ребро AB равно 3 см. Найдите объем параллелепипеда. 54. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен 3 м3, а наименьшая и наибольшая из площадей боковых граней — 3 м2 и ^/5 м2. Найдите длины ребер призмы. 55. Докажите, что объем треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани и расстояния от этой грани да параллельного ей ребра. 56. На трех данных параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости, отложены три равных отрезка A^1, BB1 и CC1. Докажите, что объем призмы, боковыми ребрами которой являются эти отрезки, не зависит от положения отрезков на данных прямых. 57. Найдите объем наклонной треугольной призмы, площади боковых граней которой пропорциональны числам 20, 37 и 51, ее боковое ребро равно 0,5 дм, а боковая поверхность — 10,8 дм2. 18 58. На рисунке 24 показана деталь. Найдите площадь ее поверхности и объем, учитывая, что размеры даны в миллиметрах. Правообладатель Народная асвета 59. Основанием наклонной призмы является прямоугольный треугольник IJK с катетами IJ и IK, соответственно равными 7 см и 24 см. Вершина I^ равноудалена от вершин I, J и K. Найдите объем призмы, учитывая, что ребро IIсоставляет с плоскостью основания угол в 45°. 60. Равносторонний треугольник со стороной ^/3 см является основанием треугольной призмы, у которой одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех сторон нижнего основания, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите боковую поверхность призмы и ее объем. 61. Найдите такое число т, что НОД(т, 48) = 2 и НОК (т, 46) = 3542. 62. Определите, сколько есть пятизначных чисел, которые: а) делятся на 5; в) делятся на 2; б) не делятся на 5; г) не делятся на 2. 63. Найдите сумму всех целых значений переменной х, при которых значение выражения числом. 12 х - 5 является целым 64. Найдите среднее арифметическое всех целых значений переменной п, при которых значение выражения ется натуральным числом. 8 п + 3 явля- 65. Определите, при каких целых значениях переменной п дробь 2п2 + 7п - 7 п + 2 является сократимой. 66. Найдите наименьшее натуральное число, которое больше 10 и при делении на 24, 45, 56 дает в остатке 1. 67. Число A выражается произведением Рг Р6 различных простых чисел p1, p2, p3. Определите количество всех натуральных делителей числа A. 68. Найдите область определения функции: а) у = ^2х2 - 9х - 4; в) у = V-2 + 5х - 2х2; б) у = г) у = 3 - 5х 3х2 + 7х + А ' V1 + 2х Правообладатель Народная асвета 19 69. Найдите область значений функции: а) у = 2x2 + 9x - 4; в) у = -3 + 7х - 2x2; б) у = 3х2 + 7х + 4; г) у = -3х2 - 2х - 4. 70. Найдите область значений функции: а) у = 3sin 2х + 5; в) у = tg б) у = -5cos (3х2 + 7х + 4); (2х + 1)2 + 4 г) у = tg (3х2 - 2) + ctg (3х2 - 2). 71. В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием 10 и боковой стороной 12. Найдите хорду, перпендикулярную высоте, проведенной к основанию, и проходящую через середину высоты. 72. В окружность вписан треугольник, одна из сторон которого равна 21. Параллельно этой стороне через точку пересечения медиан проведена хорда. Найдите стороны треугольника, учитывая, что отрезки хорды вне треугольника равны 8 и 11. 73. В окружность вписан треугольник ABC, медианы AM и BN которого соответственно равны 45 и 63. Луч AM пересекает окружность в точке K. Найдите стороны AC и BC, учитывая, что MK = 24,2. 74. В окружность вписан треугольник ABC, и через точку пересечения его биссектрис проведена хорда, параллельная стороне AC. Найдите стороны AC и BC, учитывая, что сторона AB равна 30 и делит хорду на части длиной 8 и 25. 75. Сторона AB параллелограмма ABCD равна его диагонали BD. Описанная около треугольника ABD окружность делит большую диагональ на отрезки длиной 65 и 16. Найдите стороны параллелограмма. 76. Через точку K проведены к окружности касательная KT и секущая KM, проходящая через центр (рис. 25). Найдите косинус угла MKT, учитывая, что KM = 2KT. 20 Правообладатель Народная асвета 7Г * * * 77. Постройте треугольник по его медиане ma и высоте ha, проведенным из вершины A, и высоте hb, проведенной из вершины B. 78. В треугольнике ABC проведена высота AM. Определите, может ли радиус вписанной в треугольник AMB окружности быть вдвое больше радиуса окружности, вписанной в треугольник AMC. 79. Найдите наименьшее натуральное число, среди делителей которого есть четыре последовательных двузначных числа. 80. В правильном 12-угольнике A^Ag^A^^A^g около вершины A1 записано отрицательное число, а около остальных вершин — положительные. Разрешается изменять на противоположные знаки у шести чисел, стоящих рядом. Можно ли после нескольких таких действий получить около вершины A2 отрицательное число, а около остальных вершин положительные? 2. Цилиндр Цилиндром называется тело, полученное вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через его сторону (рис. 26). На рисунке 27 показано образование цилиндра при вращении прямоугольника ABCD вокруг прямой l, которой принадлежит сторона AD. При этом ломаная ABCD описывает поверхность цилиндра, отрезок BC — боковую поверхность, а отрезки AB и DC — основания цилиндра (рис. 28). Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью цилиндра, Правообладатель Народная асвета Рис. 28 Основание Боковая поверхность Основание 21 Высота Ось Образующая отрезок, соединяющий окружности оснований и перпендикулярный им, — образующей цилиндра, а перпендикуляр, опущенный из какой-либо точки одного основания на другое основание, — высотой цилиндра (рис. 29). Образующая цилиндра является его высотой. Поверхность цилиндра можно Рис- 29 развернуть на плоскость, в ре- зультате получится прямоугольник, представляющий боковую поверхность цилиндра, и два круга, представляющих его основания. На рисунке 30 показан цилиндр и его развертка. Теорема 4. Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности основания и образующей: ^бок = 2nrl. Доказательство проведите самостоятельно, используя рисунок 30. На плоскости важной конфигурацией, которая часто встречается в задачах, является сочетание окружности с прямой. Подобной пространственной конфигурацией является сочетание цилиндра с плоскостью. Если цилиндр пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится круг, равный основанию (рис. 31), а если плоскостью, перпендикулярной основанию, то — прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра (рис. 32). Осевое сечение цилиндра, т. е. сечение плоскостью, проходя- 22 Правообладатель Народная асвета Рис. 31 щей через ось цилиндра, является прямоугольником, стороны которого равны высоте цилиндра и диаметру его основания (рис. 33). А Будем двигать плоскость, проходящую через ось цилиндра, параллельно самой себе (рис. 34). При этом две противолежащие стороны прямоугольника-сечения цилиндра, являющиеся хордами оснований, будут уменьшаться, а две другие стороны, которые являются образующими цилиндра, — сближаться до того момента, пока не совпадут. Получим плоскость, содержащую образующую MN цилиндра и не имеющую с ним других общих точек. Такая плоскость называется касательной плоскостью цилиндра. Любая прямая, проведенная в касательной плоскости цилиндра и отличная от образующей, имеет с цилиндром единственную общую точку. Такая прямая называется касательной прямой цилиндра. А Правообладатель Народная асвета 23 Теорема 5. Если плоскость касается цилиндра по некоторой образующей, то ей перпендикулярна плоскость, проходящая через эту образующую и ось цилиндра. А Доказательство. Пусть плоскость а касается цилиндра с осью AB по образующей MN (рис. 35). Докажем, что плоскость, содержащая образующую MN и ось AB, перпендикулярна плоскости а. Проведем прямую l, которая пересекает прямую AB в точке C, прямую MN в точке D и перпендикулярна оси AB. Через точку D проведем плоскость в, перпендикулярную образующей MN. Эта плоскость пересекает цилиндр по кругу, центр которого находится в точке С, а плоскость а — по прямой DE, касающейся окружности с центром C. Учитывая свойство касательной к окружности, можем утверждать, что прямая DE перпендикулярна радиусу CD окружности с центром в точке С. Кроме того, поскольку прямая AB параллельна прямой MN, то прямая l перпендикулярна прямой MN. Получили, что прямая l перпендикулярна как прямой MN, так и прямой DE, которые пересекаются и лежат в плоскости а. Поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая l перпендикулярна плоскости а. Но плоскость, содержащая образующую MN и ось AB, проходит и через прямую l. Поэтому она, по признаку перпендикулярности плоскостей, перпендикулярна плоскости а. А Теорема 5 выражает свойство касательной плоскости цилиндра. 24 Правообладатель Народная асвета Теорема 6. Плоскость касается цилиндра, если она проходит через его образующую и перпендикулярна плоскости, содержащей эту образующую и ось цилиндра. А Доказательство. Пусть плоскость а содержит образующую MN цилиндра и перпендикулярна плоскости, проходящей через эту образующую и ось AB (рис. 36). Докажем, что плоскость а не имеет с цилиндром других общих точек, кроме точек образующей MN. Пусть E — точка плоскости а, не принадлежащая образующей MN. Через эту точку проведем плоскость в, перпендикулярную оси AB. Она пересечет цилиндр по кругу с центром F, образующую MN в некоторой точке G и плоскость а по прямой GE. Поскольку плоскости в и MAB обе перпендикулярны плоскости а, то их линия пересечения FG также перпендикулярна плоскости а, а потому FG1. GE. Учитывая, что FE и FG — соответственно гипотенуза и катет прямоугольного треугольника EFG, получим, что FE > FG. Значит, точка E не принадлежит цилиндру с осью AB. А Теорема 6 выражает признак касательной плоскости цилиндра. Пусть имеется цилиндр (рис. 37). Впишем в одно из оснований цилиндра многоугольник AlA2^An_ iAn, через его вершины Ai, A2, ^, An_!, An проведем образующие A-^B^, A2B2, ^, An_^Bn_!, AnBn и соединим их другие концы B^, B2, ^, Bn_^, Bji. В результате получим призму A^A2^An_ lAnBlB2^Bn_ iBn. Ее называют призмой, вписанной в цилиндр, а сам цилиндр называют цилиндром, описанным около призмы. Если ци- Правообладатель Народная асвета 25 линдр описан около призмы, то основания цилиндра описаны около оснований призмы, а боковая поверхность цилиндра содержит боковые ребра призмы. Подобным образом вводится понятие призмы, описанной около цилиндра, и цилиндра, вписанного в призму (рис. 38). Если призма описана около цилиндра, то ее основания описаны около оснований цилиндра, а боковые грани касаются боковой поверхности цилиндра. Теорема 7. Объем цилиндра равен произведению площади его основания и образующей: V = Seen • l. Доказательство. Пусть имеется цилиндр с осью OO^ (рис. 39). В него впишем правильную призму _ 1AnB1B2^Bn _ ^Bn и, кроме того, около него опишем правильную призму C1C2^Cn_ iCnD1D2^Dn_ ]Вп. В соответствии с теоремой 3 объем первой призмы равен произведению площади многоугольника A1A2^An_ ^An и высоты призмы, которая равна боковому ребру A-^Bi, а объем второй — произведению площади многоугольника C^C2^Cn_ yCn и той же высоты. Объем самого цилиндра заключен между этими объемами. Будем количество n сторон оснований призмы делать все большим и большим. Тогда объем первой призмы увеличивается, объем второй — уменьшается, а разность между ними стремится к нулю, если количество сторон n становится неограниченно большим. То число, к которому приближаются объемы обеих призм, принимается за объем цилиндра. В описанном процессе высота H призмы остается равной боковому ребру, которое равно образующей l цилиндра, а пло- 26 Правообладатель Народная асвета щади многоугольников A^A2^An_ ^An и ClC2^Cn_ lCn стремятся к площади S круга, лежащего в основании цилиндра. Значит, объем V цилиндра равен произведению площади S основания и образующей l цилиндра: V = S„ l. I. Какое тело называется цилиндром? * 2. Что называют поверхностью цилиндра; боковой поверхностью цилиндра; основаниями цилиндра? 3. Какую прямую называют осью цилиндра? 4. Какой отрезок называют образующей цилиндра; высотой цилиндра? 5. Чему равна боковая поверхность цилиндра; объем цилиндра? 6. Какая фигура получается при пересечении цилиндра плоскостью, параллельной основанию цилиндра; перпендикулярной основанию цилиндра? 7. Какое сечение цилиндра называют осевым сечением? 8. Что называют касательной плоскостью цилиндра и чем является линия касания? 9. Какая прямая называется касательной прямой цилиндра? 10. Сформулируйте свойство касательной плоскости цилиндра. II. Сформулируйте признак касательной плоскости цилиндра. 12. Когда говорят, что призма вписана в цилиндр; цилиндр описан около призмы? 13. Когда говорят, что цилиндр вписан в призму; призма описана около цилиндра? 81. Верно ли, что: а) высота цилиндра равна его образующей; б) сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию, есть круг, равный основанию; в) сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной основанию, есть прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра; г) ось цилиндра параллельна его образующей; д) осевое сечение цилиндра является прямоугольником, смежные стороны которого равны высоте цилиндра и диаметру основания; е) плоскость, параллельная основанию цилиндра, отсекает от него тело, которое также является цилиндром? 82. Докажите, что: а) плоскость, определенная осью цилиндра и образующей, по которой другая плоскость касается цилиндра, перпендикулярна касательной плоскости; Правообладатель Народная асвета 27 б) плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости, определенной этими образующей и осью цилиндра, является касательной плоскостью цилиндра. 83. Имеет ли цилиндр: а) центр симметрии; б) оси симметрии; в) плоскости симметрии? 84. Учитывая, что точка M является точкой образующей TT-^ цилиндра с осью OOi, точка М^ — проекцией точки M на эту ось, прямая a касается окружности основания с центром O, а прямая b касается цилиндра в точке М (рис. 40), укажите, какой может быть величина угла между: а) плоскостью TT^O и прямой а; б) плоскостью TT^O и прямой b; в) прямыми TT^ и TO; г) прямыми TT^ и ММ^. 85. Докажите, что если плоскость параллельна оси цилиндра и отстоит от нее на радиус цилиндра, то плоскость содержит образующую цилиндра, и притом только одну, т. е. является касательной плоскостью цилиндра. 86. Определите, какую фигуру образуют точки поверхности цилиндра, равноотстоящие от: а) двух точек основания; б) двух образующих. 87. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра, учитывая, что радиус цилиндра и его высота соответственно равны: а) 1,5 м и 4 м; б) 10 см и 21 см; в) 22 и 117. 88. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 24 см, а угол между ней и образующей цилиндра — 60°. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь сечения. 28 Правообладатель Народная асвета 89. Цилиндр получен вращением квадрата со стороной a вокруг одной из его сторон. Найдите: а) площадь осевого сечения цилиндра; б) площадь боковой поверхности цилиндра; в) площадь полной поверхности цилиндра; г) объем цилиндра. 90. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 40 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра; в) боковую поверхность цилиндра; г) объем цилиндра. 91. Осевые сечения двух цилиндров равны. Можно ли утверждать, что равны и высоты этих цилиндров? 92. Площадь осевого сечения цилиндра равна 40 м2, а площадь его основания — 10 м2. Найдите высоту цилиндра. 93. Высота цилиндра равна 16 см, радиус его основания — 10 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, учитывая, что расстояние между этими плоскостью и осью равно 6 см. 94. Цилиндр, высота которого равна 12 см, а радиус основания — 10 см, пересечен такой плоскостью, параллельной оси цилиндра, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости. 95. Через образующие AB и CD цилиндра с радиусом основания r и высотой h проведено сечение, которое отсекает от окружности основания дугу в 60°. Найдите площадь этого сечения. 96. Есть цилиндр, радиус основания которого равен г, а высота — h. Точки A и B на окружностях оснований цилиндра выбраны так, что прямая AB находится на расстоянии d от оси цилиндра. Найдите: а) h, учитывая, что r = 10 дм, d = 8 дм, AB = 13 дм; б) d, учитывая, что h = 12 см, r = 10 см, AB = 20 см. Правообладатель Народная асвета 29 97. Через одну образующую цилиндра проведены две секущие плоскости, из которых одна проходит через ось цилиндра под углом ф к другой (рис. 41). Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями. 98. Высота цилиндра равна h, а площадь осевого сечения — S. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси и отстоящей от нее на d. Рис. 41 99. Через образующую цилиндра про- ведены две такие взаимно перпендикулярные плоскости, что площади полученных сечений равны S каждая. Найдите площадь осевого сечения цилиндра. 100. Найдите боковую поверхность и объем цилиндра, диаметр основания которого равен 1 м, а высота равна длине окружности основания. 101. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, боковая поверхность которого равна S. 102. Найдите радиус основания цилиндра с полной поверхностью 288п см2 и его высоту, учитывая, что она на 12 см больше радиуса основания. 103. Определите, сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 25 см, учитывая, что на швы необходимо добавить 2,5 % площади ее боковой поверхности. 104. Найдите боковую и полную поверхности цилиндра, у которого угол между диагоналями развертки боковой поверхности равен ф, а сама диагональ — d. 105. Учитывая, что один цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой AB, другой — вращением того же прямоугольника вокруг прямой BC: а) докажите, что боковые поверхности этих цилиндров равны; б) найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров, учитывая, что AB = р, BC = q. 106. При вращении прямоугольника вокруг неравных сторон получаются цилиндры, полные поверхности которых равны S1 и S2. Найдите диагональ прямоугольника. 30 Правообладатель Народная асвета 107. Боковая поверхность цилиндра равна площади круга, описанного вокруг его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте. 108. Концы отрезка лежат на окружностях оснований цилиндра, а угол между радиусами, проведенными в его концы, равен 30° (рис. 42). Найдите угол между этим отрезком и осью, учитывая, что осевым сечением цилиндра является квадрат. 109. Плоскость, параллельная оси цилиндра с высотой 10 дм, пересекает его по прямоугольнику с площадью 240 дм2. Найдите боковую поверхность цилиндра, учитывая, что расстояние от оси цилиндра до плоскости равно 9 дм. 110. Найдите высоту и радиус цилиндра, у которого площадь боковой поверхности наибольшая, учитывая, что периметр осевого сечения цилиндра равен 2p. 111. На окружностях оснований цилиндра, высота и радиус основания которого соответственно равны 20 см и 70 см, выбраны точки A, B, C, D, являющиеся вершинами квадрата (рис. 43). Найдите его сторону. 112. Треугольная пирамида, все ребра которой равны а, и цилиндр расположены так, что одна вершина пирамиды является центром основания цилиндра, а три остальные лежат на окружности другого основания (рис. 44). Найдите полную поверхность цилиндра. 113. Восьмигранник, все грани которого являются правильными треугольниками, и цилиндр расположены так, что две вершины восьмигранника являются центрами оснований Рис. 45 цилиндра, а остальные лежат на цилиндрической поверхности (рис. 45). Найдите площадь осевого сечения цилиндра, учитывая, что его высота равна h. 114. Учитывая, что V, r и h — соответственно объем, радиус и высота цилиндра, найдите: а) V, если r = ^42 см, h = 6 см; б) г, если V = 120 см3, h = 3,6 см; в) h, если r = h, V = 27п см3. 115. Найдите длину алюминиевого провода диаметром 4 мм, учитывая, что его масса равна 6,8 кг, а плотность алюминия — 2,6 г/см3. 116. Определите, сколько тонн нефти содержит цилиндрическая цистерна диаметром 18 м и длиной 7 м, учитывая, что плотность нефти равна 0,85 г/см3. 117. Найдите объем цилиндра, у которого площадь основания равна Q, а площадь осевого сечения — S. 118. Найдите массу свинцовой трубы длиной 25 м с толщиной стенок 4 мм и внутренним диаметром 13 мм, учитывая, что плотность свинца равна 11,34 г/см3. 119. Определите, во сколько раз нужно увеличить: а) высоту цилиндра без изменения его основания, чтобы объем увеличился в n раз; б) радиус основания цилиндра без изменения его высоты, чтобы объем увеличился в n раз. 120. Докажите, что полная поверхность цилиндра равна боковой поверхности другого цилиндра того же радиуса, высота которого равна сумме радиуса и высоты данного цилиндра. 121. В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в призму вписан цилиндр (рис. 46). Найдите отношение объемов цилиндров. 122. Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, Рис. 46 у которой каждое ребро равно а. 32 Правообладатель Народная асвета 123. В цилиндр вписана правильная п-угольная призма. Найдите отношение объемов призмы и цилиндра, учитывая, что: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6; г) п = 8; д) п — натуральное число. 124. В цилиндр, радиус основания и высота которого равны друг другу, вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра. 125. В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом a и прилежащим к нему углом а. Найдите объем цилиндра, учитывая, что высота призмы равна h. 126. Найдите объем цилиндра, учитывая, что диагональ вписанного в него прямоугольного параллелепипеда равна m и составляет с основанием угол а. 127. Есть правильная треугольная призма с боковым ребром a. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму, учитывая, что отрезок, соединяющий середину бокового ребра с центром основания, составляет с основанием угол а (рис. 47). 128. Определите, можно ли вписать цилиндр в прямую призму, если ее основанием является: а) треугольник; б) ромб; в) прямоугольник; г) трапеция. а 129. Определите, можно ли описать цилиндр около прямой призмы, если ее основанием является: а) треугольник; в) прямоугольник; б) ромб; г) трапеция. 130. Цилиндр вписан в прямой параллелепипед, основанием которого является ромб с меньшей диагональю m и большим углом а. Сечение, проведенное через меньшую диагональ одного основания и конец большей диагона- Правообладатель Народная асвета 33 ли другого, составляет с основанием угол в 45° (рис. 48). Найдите объем цилиндра. 131. Определите, около какой прямой призмы можно описать цилиндр, если эта призма: а) треугольная; б) четырехугольная. 132. Определите, в какую прямую призму можно вписать цилиндр, если эта призма: а) треугольная; б) четырехугольная. 133. Докажите, что: а) если прямая четырехугольная призма вписана в цилиндр, то сумма противолежащих двугранных углов при боковых ребрах равна 180°; б) если четырехугольная прямая призма описана около цилиндра, то суммы площадей противолежащих боковых граней равны. 134. Найдите значение выражения: а) б) 9Г3 ■ 812-(9)4+(1Г4; 225 ’ i у3 .(1 )-4 + 0,2-2 1^ \7^ 125 в) г) (sjl2 ^v/s)^13 ^/36 - W6) -^2 + 2 (43 ^12) ^/72 17,^ ’ ^/54' 135. Упростите выражение и найдите его значение при указанном значении переменной: а) б) в) а" + ^/ГЗ + б4а + 2/2 а3 + W2 + 24а +48 b2 - 4 . b W8b + 2 - 1, а = 2; b - 242b + 2 12 (c -424c + 6){4c We) . ^Jc W21^ ^ , b = 26; ' + 46c + 6 , c = 18; . (d -45d + 5){4d We) . (Wd W125) r =r,f. ' d - 5 Wd W5)2 34 Правообладатель Народная асвета 136. Упростите выражение: а) б) в) . +1 Vi - x2 v^/г- + x + ^ m - -1 учитывая, что x = 2\[а а +1 и а > 1; ^т + x - yj m - x ’ ' 1 + 1 \jx^ - ( x учитывая, что x = Щттп-, m > 0 и 0 < n < 1; , учитывая, что x = а 2mn и x ^/x2- 0 < m < n; . Ja + bx ^a - bx 2am г) j , , учитывая, что x = —2—т ,Ja + bx --Ja - bx b\m + 1j 137. Вычислите: а) (3 ^бХ/ПГб/б; и |m| < 1. б) (3 -42)^ 11 + ^/2; в) ^26 + WI7 + 726-6^7 ; ^26 - ^17 ^26 + ^17 ’ , J39 + W17 J39 - W17 г) ^ + ■ а) 739-9/17 739+9/17 138. Найдите сумму целых решений системы уравнений: j ^ (x + 7) = x + 7, ^(x - 2)2 = 2 - x; б) ^(2x - 5)2 = 5 - 2x, ^ (x + 5)2 = 5 + x. 139. Решите неравенство: а) x2 - 2x - 3 < 0; г) -2t2 - 3t - 1 > 0; б) у2 + У - 2 > 0; д) 3и2 + 10и + 3 > 0; в) 2г2 + 5г + 3 < 0; е) 5v2 + 7v + 2 < 0. 140. Решите неравенство: а) 5 ^ 3 . Ь 3 - b; в) 4 ^ 6. 6 - x x; д) б) 3 + Ч > 0; a a - 7 г) 10 + 12 < 0; c c - 2 ’ е) У 6 - у < 0; 2 + 7 > 0. 10 - d d 141. Решите неравенство: 2и - 7 ч 3t + 2 \ 1 а) -2------7 > -1; t2 + t - 2 w + 5 , -I б) < 1; в) и2 + 2и - 8 < 1; д) 7 8 + 1 ’ + 48 + 3 < 1; ч 51 +1 1 г) ^----------> -1; l2 - 3l - 4 19t + 53 е) т---------> -1. t2 - 4t + 3 Правообладатель Народная асвета 35 2 2 1 1 142. Найдите промежутки возрастания и убывания функ- ции: а) у = 2x2 - 7x - 4; V 3x - 7 в) У = 2x + 1; б) у = -3x2 - 7x + 5; г) у = . 3x2 + 2x + 4 143. Найдите промежутки знакопостоянства функции: а) у = 2x2 - 7x - 4; .. 4x -1 в) у = —5 ; 3x2 + 2x - 5 б) у = -3x3 - 7x2 + 5x; .. -3x2 + 2x + 5 г) у = Q . 3x2-4x+2 * * * 144. Окружность ABCD в точках M и касается оснований AD и BC трапеции N, а боковых сторон — в точках P и Q. Докажите, что если прямые MC, ND и PQ пересекаются в одной точке, то трапеция равнобедренная. 145. Решите уравнение (1 + x + x2)(1 + x + xX + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10) = = (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)2. 146. Решите неравенство 2x2 < x + 4. (1 -41 + 2x) 147. Последовательность {an} задана условиями a1 = 3 + W7, an + 1 = . Найдите a2010. 1 an Правообладатель Народная асвета Раздел II Степень с действительным показателем 3. Корень из числа Вам уже известно, что уравнение X2 = a при неотрицательном значении a имеет два корня: Xi = \fa; x2 = -^a, где выражение %/a обозначает арифметический квадратный корень из числа a, т. е. такое неотрицательное число, квадрат которого равен a. Рассмотрим уравнение xn = a, где a — некоторое действительное число, n — натуральное число. Корень этого уравнения называют корнем n-й степени из числа a. Корнем п-й степени из числа a называется такое число, n-я степень которого равна а. Теорема 1. Из положительного числа существует единственный положительный корень степени п. Доказательство. Пусть a — положительное число. Нужно доказать, что существует такое единственное положительное число X, что n Xn = a. Доказательство существования искомого числа x выходит за пределы тех возможностей, которые теперь у нас есть. Покажем на примере, как можно найти приближенное значение положительного корня n-й степени из положительного числа с любой степенью точности. Пусть нужно найти значение корня третьей степени из числа 6. Приближенными значениями этого корня с точнос- Правообладатель Народная асвета 37 тью до единицы являются число 1 с недостатком и число 2 с избытком, так как 13 = 1 и 1 < 6, а 23 = 8 и 8 > 6. Чтобы найти нужное значение с точностью до десятой, следует испытать числа 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9. Поскольку 1,83 = 5,832 и 5,832 < 6, а 1,93 = 6,859 и 6,859 > 6, то нужное значение находится между числами 1,8 и 1,9. Испытав числа 1,81; 1,82; 1,83; 1,84; 1,85; 1,86; 1,87; 1,88; 1,89, найдем, что значение корня третьей степени из числа 3 находится между числами 1,81 и 1,82. Если этот процесс продолжать далее, то мы будем получать искомое значение корня с все большей точностью. Докажем единственность положительного корня степени n из положительного числа а. Пусть есть два таких положительных числа и x2, что х’П = а и х2П = а. Тогда х’П = х’П. Допустим, что х^ > х2, тогда по соответствующему свойст- t’n > хПп, ву числовых неравенств получим, что х’П > х’П, а это противо- речит отношению хП = х’П. Также ведет к противоречию и допущение о том, что х^ < х2. Поэтому для х^ и х2 остается единственная возможность: ^01 — ^0 2. Неотрицательный корень п-й степени из неотрицательного числа называют арифметическим корнем п-й степени. Корень П-й степени из числа а обозначают ^а. Число п называют показателем корня, число а — подкоренным выражением. Если подкоренное выражение а неотрицательно, то ^а обозначает арифметический корень. Действие нахождения корня П-й степени из числа а называется извлечением корня степени п. Это действие является 38 Правообладатель Народная асвета обратным для действия возведения в натуральную степень n (рис. 49). Корень второй степени называют еще квадратным корнем, корень третьей степени — кубическим корнем. Пример 1. а) Запись ^81 означает корень четвертой степени из числа 81. ^81 = 3, так как 3 > 0 и 34 = 81. б) Запись ^64 означает корень шестой степени из числа 64. Возведение в натуральную степень X = а X = Извлечение корня Рис. 49 ^64 = 2, так как 2 > 0 и 26 = 64. в) Запись 5-32 означает корень пятой степени из числа -32. 5-32 = -2, так как (-2)5 = -32. г) = 1, так как 117 = 1. д) = 0, так как 011 = 0. Теорема 2. Из положительного числа: а) не существует отрицательного корня нечетной степени; б) существует единственный отрицательный корень четной степени, причем он противоположен положительному корню из данного числа. Доказательство. Пусть a — положительное число. Пусть степень n корня — нечетное число. Допустим, что есть такое отрицательное число х0, для которого истинно равенство хПП = а. Поскольку по условию х0 — отрицательное число, то число хПП также отрицательное как произведение нечетного количества отрицательных чисел. Получается, что левый компонент х0 равенства х0 = a отрицательное число, а его правый компонент а — положительное число. Но такое невозможно. Поэтому допущение о существовании отрицательного корня нечетной степени из положительного числа нужно отклонить и признать, что отрицательного корня нечетной степени из положительного числа не существует. Правообладатель Народная асвета 39 Пусть степень n корня — четное число. По теореме 1 существует единственный положительный корень х0 уравнения xn = a. А если истинно равенство х^П = а, то истинно и равенство (-х^)^ = а. А это означает, что -х0 — отрицательный корень уравнения хп = а. Единственность отрицательного корня устанавливается так же, как и единственность положительного корня. Теорема 3. Из отрицательного числа: а) не существует корней четной степени; б) существует единственный корень нечетной степени, причем это отрицательное число. Доказательство. Пусть а — отрицательное число. Пусть степень п корня — четное число. Допустим, что есть такое число х0, для которого истинно равенство хПП = а. Тогда число хПП неотрицательно как произведение четного количества равных чисел х0. Получается, что левый компонент хПП равенства хПП = а — неотрицательное число, а его правый компонент а — отрицательное число. Получили противоречие. Поэтому допущение о существовании корня четной степени из отрицательного числа нужно отклонить и признать, что не существует корней четной степени из отрицательного числа. Пусть степень п корня — нечетное число. Тогда корень х0 степени п из отрицательного числа а не может быть неотрицательным, так как в противном случае в равенстве хПП = а левый компонент хПП был бы неотрицательным, а правый компонент а отрицательным. Поскольку а — число отрицательное, то противоположное число -а положительное. В соответствии с теоремой 1 существует положительный корень х0 уравнения хп = -а, т. е. истинно равенство хпп = -а. Тогда -хпп = а. Поскольку по условию число п нечетное, то (-х0)п = -х,п. Значит, (-х0)п = а. А это и означает, что отрицательное число -х0 есть корень нечетной степени п из отрицательного числа а. Единственность отрицательного корня нечетной степени из отрицательного числа устанавливается так же, как и единственность положительного корня. Таким образом, если а > 0, то выражение ^а имеет значение при любом натуральном значении п, как четном, так 40 Правообладатель Народная асвета и нечетном, а если a < 0, то выражение имеет значение только при нечетном натуральном значении п. По определению корня, при каждом значении а, при котором выражение ^а имеет значение, истинно равенство {^а) = а. Следствие 1. Корни нечетной степени n из противоположных чисел являются противоположными числами: j—a = —KJa, если n — нечетное число. Действительно, если п — нечетное число, то истинное равенство [—^а) = —а означает, что число —^а является значением корня степени п из числа —а: п—а = —^а. Следствие 2. ,— (а, если n — нечетное натуральное число, na" = ^, I И а , если n — четное натуральное число. Рассмотрим примеры решения уравнений вида хп = а. Пример 2. Решим уравнение а5 = 11. Уравнение имеет единственный корень. Он является положительным числом, пятая степень которого равна 11, т. е. числом ^ГГ. Число иррациональное. С помощью калькулятора на- ходим, что с точностью до тысячной оно равно 1,615. Пример 3. Решим уравнение = 21. Уравнение имеет два корня, которые являются противоположными числами. Положительный корень — это положительное число, четвертая степень которого равна 21, т. е. число ^21. Отрицательный корень — число —^21. Числа 4^ и —4^ иррациональные. С помощью калькулятора находим, что с точностью до десятитысячной они равны 2,1407 и —2,1407. Пример 4. Решим уравнение а9 = —373. Уравнение имеет единственный корень. Он является отрицательным числом, девятая степень которого равна —373, т. е. числом 9—373, или, используя представление с помощью арифметического корня, числом —^373. Число —^373 иррациональное. Его десятичное приближение с точностью до десятитысячной равно —1,9308. Правообладатель Народная асвета 41 1. Какое число называется корнем степени n из числа а? • 2. Какое действие называют извлечением корня? 3. Какой корень называют квадратным; кубическим? 4. Что называют показателем корня; подкоренным выражением? 5. Какой корень называют арифметическим корнем степени n? 6. Какова область определения выражения ^а при четном значении п; при нечетном значении n? 7. Как корень нечетной степени из отрицательного числа выразить с помощью арифметического корня? 8. Чему равно значение выражения при различных значениях п? 148. Найдите устно арифметический квадратный корень из числа: а) 1; б) 25; в) 289; г) 225; ,.4 25 . д) 121; е) ^9. ^ 400 149. Найдите устно арифметический кубический корень из числа: а) 125; б) ^7; в) 0,027; 150. Определите, верно ли что: а) VI6 = 2; в) б) 30,216 = 0,6; г) 151. Найдите значение корня: г)27; д) 94. 125 1. 2; 2 3. а) 131; б) 3125; в) Зб25; г) 3-1; д) (ti; е) 40,0625; ж) ^^; з) 3-0,027; к) ^7^. 81 и) 3-3f; 152. Найдите значение выражения: а) 3^Лт-; в) 0,5410000; д) -3 + 740,0081; б) 531000; г) -0,2481; 153. Найдите значение степени: е) 5-0,03125 а) и^)2; б) (336)3; в) (ЗИбГ; 42 г) (З-^)7; д) (244)4; е) (-339)3; ж) (-З^)7; з) (-35)8; и) (5З-7 3; к) (б4^)' Правообладатель Народная асвета 154. Найдите арифметический корень четвертой степени из числа: г) 29Ц. а) 0; б) 16; 155. Вычислите в) 16. ) 81. 81 в) 4(215]; а) ^Эб3; в) 4 б) 5-1024; г) 3-353; д) ^Т!6; е) V-87; ж) 4 аГ; з) ^-7^. 32 156. Найдите, при каких значениях переменной имеет значение выражение: а) ^У; в) 3-ё; д)^; ж) б) ^У; г) 19х - 2; е)14:;;2; з) 6d2 - 4 ’ ^2/2 - 3 25 15f2- 157. Что можно сказать о выражении а, учитывая, что: а) квадратный корень из выражения а имеет два значения; б) никакое положительное число не является значением выражения ? 158. Укажите, при каких значениях переменной истинно равенство: а) VO2 = а; б) = х; в) ^b3 = b; г) 18у18 = у. 159. Вычислите: а) ^/а^Ж ^3 W5f; в) ^5^Жз^; б) -.,/2 Ws ^/з ^/2 л/3 ^/2 ^/2 Wb’ 160. Решите уравнение: а) а5 = -243; в) х3 = 5; г) 24 = 10; г) х/б^У20 • 3-0,001. б) х6 = 7^; 64 д) W5= 11; е) а10 = 2048. 161. Сколько есть натуральных чисел п, удовлетворяющих неравенству: а) 2005 < ^/n < 2006; б) 2005 < ЗП < 2006? 162. Найдите область определения функции: а) у = \/х - 7; б) c = ^^St2 + 5t - 2; в) p = 9c2 + c + 1. Правообладатель Народная асвета 43 163. Упростите: а) -у/(4—x)6, если x < 4; если x > 4; б) 3(a - 3)3, если a > 3; если a < 3. 164. Упростите: а) 3(a - 2)3; в) 8(2с2 - 3с + 1)8; б) 4(& + 2)4; г) 9(2с3 - 3с + 1)9. 165. Найдите: а) величину вклада в a p. через n лет, учитывая, что годовая процентная ставка составляет p %; б) годовую процентную ставку, учитывая, что величина вклада удвоится через 20 лет. 166. Решите уравнение: а) 324 - 7a = 3; б) 44b - 3 = -1; в) Зе2 - 1 = 4. 167. Решите уравнение: а) 3(a + 5)2 = - 5 - а; в) 6(с2 + 2с - 3)6 = с2 + 2с - 3; б) 4(1 - 2b)8 = (1 - 2b)2; г) 8(8 - 4d - d2)8 = d2 + 4d - 8. 168. а) Упростите выражение ^(x- 2)2 W(4 - x)2; б) постройте график функции у = ^J(x - 2)2 ^(4 - x)2; в) решите уравнение \j(x- 2)2 ^(4 - x)2 = 2. 169. Постройте график функции: а) у = 8(x - 1)2; б) 2 = ; в) A = ЗУ6; г) K = -4 a8. Рис. 50 170. Для определения расстояния от точки M до недоступной точки N выбрали точку P на расстоянии l от точки M и измерили углы а и в, которые составляет прямая MP с прямыми MN и PN (рис. 50). Найдите расстояние MN, учитывая, что: 44 Правообладатель Народная асвета а) l = 30 м, а = 80° и р = 70°; б) l = 40 м, а = 60° и р = 55°; в) l = 58 м, а = 56° и р = 63°; г) l = 90 м, а = 20° и р = 67°. 171. Докажите, что: а) биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, используя теорему синусов; б) если на стороне треугольника выбрать точку, делящую эту сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то отрезок, соединяющий выбранную точку с противолежащей вершиной треугольника, является его биссектрисой. 172. Используя теорему синусов, докажите, что в треугольнике: а) против равных сторон лежат равные углы; б) против равных углов лежат равные стороны; в) против большей стороны лежит больший угол; г) против большего угла лежит большая сторона. 173. Углы A и C треугольника ABC равны соответственно а и Y, а углы A и D треугольника ABD — соответственно 5 и S. Найдите отношение BC BD' 174. Две прямые пересекают одну сторону угла A величиной а в точках M и P, другую — в точках N и Q (рис. 51). Углы M и N треугольника AMN, углы P и Q треугольни- AP AM ка APQ и отношение равны со- ответственно Р, Y, 5, S, а. Найдите отношения AQ AN и PQ MN ' Рис. 51 175. В равносторонний треугольник вписан другой равносторонний треугольник так, что стороны первого треугольника перпендикулярны сторонам второго. Докажите, что отношение сторон вписанного и данного треугольников равно ;3. 176. Измерив два угла и две стороны треугольника, получили 32°, 43°, 4 см, 5 см. Определите, какой может быть третья сторона. Правообладатель Народная асвета 45 177. Один угол параллелограмма равен 21° 36', его большая сторона — ^ дм, меньшая диагональ — 2,2 дм. Найдите: а) меньшую сторону и большую диагональ параллелограмма; б) площадь и высоты параллелограмма; в) углы, образованные меньшей диагональю со сторонами параллелограмма; г) углы, образованные большей диагональю со сторонами параллелограмма. 178. Хорды PQ и RS одной окружности длиной 18 и 24 соответственно пересекаются в точке A. Найдите угол между ^ хордами, учитывая, что точка Q отстоит от точек А и S соответственно на 8 и ^/3. 179. На горе находится вышка высотой 20 м (рис. 52). Некоторый предмет P около горы наблюдают из вершины A вышки и затем от ее основания B, и в результате получают величины 36° и 27° соответственно. Найдите высоту h горы. 180. Ребро QR пирамиды QRST равно 12 и перпендикулярно ее ребрам RS и RT (рис. 53). Найдите полную поверхность пирамиды, учитывая, что ребра ST и QR, а также RS и RT равны друг другу, а угол SQT равен 75°. 181. Точки J, B и Q — середины ребра SS1 и диагоналей S1T и S-^U соответствующих граней куба STRUS1T1R1U1 (рис. 54). Найдите площадь полной поверхности куба, учитывая, что периметр треугольника JBQ равен 2 + 42 см. Q 46 Правообладатель Народная асвета 182. Точки A и B — середины диагоналей GE и HK трапеции GHEK, являющейся основанием пирамиды FGHEK, а точка Q — середина ребра FH. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки Q, A, B. Какой фигурой является сечение? Л, и. 183. Решите неравенство: а) \г - 2 > 1; в) \2v - 3 < 2; б) |2с - 3 < 3; г)\b + 2 - |b| > 0; д) I2? + 3 ^ \4Ч - 3|; е) \2w - 3 - |3w + 7| > 0. 184. Решите неравенство: а) (d2 - 4d + 6 > 0; д) 2r2 - 3r + 7 < 0; б) е2 + 6е + 10 < 0; е) 4s2 - 8s + 9 > 0; в) k2 + k + 2 > 0; ж) 3с2 - c < c + 5; г) m2 + 3m + 5 < 0; з) 2n2 + 9 > n2 + 6n. 185. Решите неравенство: а) б) в) е + 2 е -1 2r -1 r -1 y2 -1 y + 2 > 1; > 2; < 1; г) д) е) 2u - 3 > 2; ж) m2 - 3m - 1 < 3; t + 2 < 10 i2 - 3i + 2 i + 3i + 2 t -1 > 1; m2 + m + 1 з) |2q + 7 - |3q + 5 ^ 0; и) |2 - 53 - |3s + 9| < 0. 186. Пытаясь предсказать результат заплыва, первый наблюдатель расположил пловцов так: A, B, C, D, E. Оказалось, что он не угадал правильно ни место ни одного из пловцов и ни одной пары пловцов, которые финишировали друг за другом. В прогнозе D, A, E, C, B, сделанном вторым наблюдателем, были правильно угаданы места двух пловцов и две пары пловцов, которые финишировали друг за другом. Определите, в каком порядке финишировали пловцы. 187. Определите, при каких значениях переменной n все вершины правильного n-угольника могут располагаться в узлах квадратной сетки на плоскости. 188. Докажите, что числа вида 32,0...07 иррациональны. Правообладатель Народная асвета 47 •к •к •к 4. Свойства арифметического корня Мы знаем, что квадратный корень имеет такие свойства: если a > 0 и b > 0, то -Jab = -Ja ‘4b; если a > 0 и b > 0, то .[^ ; V b yjb если a > 0 и b > 0, то неравенство a > b равносильно неравенству sfa > 4b. Аналогичные свойства имеет корень n-й степени и при n > 2. Теорема 4. При любом натуральном значении п: а) 4аЬ = 4а • 4Ь, если а > 0 и b > 0; б) если а > 0 и Ь > 0. ^ \b ПЬ Доказательство. Пусть a > 0 и b > 0. Докажем, что 4ab = 4~a • 4b. Для этого в соответствии с определением арифметического корня нужно доказать, что: 4a • 4b > 0 и {4a • 4b) = ab. Поскольку a > 0, то выражение 4a имеет значение и это значение неотрицательно. Так же поскольку b > 0, то выражение 4b имеет неотрицательное значение. Поэтому и выражение 4~a • 4b имеет неотрицательное значение. Далее по свойству натуральной степени произведения и определению корня получим [4a • п4ъ )n=[40. )n -{41 )n = ab. Доказательство равенства = ПО проводится аналогично. Следствие 1. При любом нечетном натуральном значении п: а) 4аЬ = 4а • 4b, если а и b — любые числа; б) = ^^, если а — любое число и b Ф 0. ’ Vb Пь Действительно, если, например, a > 0 и b < 0, то na (=) na (jL) na b \-b ^-b -4-b 4b' la (1) la (2) na (3) ^a (4) ^a q /ич n- = -^— = - = ,— = ^. Здесь использованы (1) и (4) — 48 Правообладатель Народная асвета следствие 1 из параграфа 3, (2) — теорема 4, (3) — свойство дроби. Теорема 4 дает правила извлечения корня из произведения и из дроби: чтобы найти корень из произведения, можно найти корни из отдельных множителей и полученные числа перемножить; чтобы извлечь корень из дроби, можно извлечь его отдельно из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй. Прочтение тождеств из теоремы 4 справа налево: = ^аЬ и = JE Пь \ъ дает правила умножения и деления корней с одинаковыми показателями: чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, можно перемножить их подкоренные выражения и извлечь корень из полученного произведения. чтобы разделить корни с одинаковыми показателями, можно разделить их подкоренные выражения и извлечь корень из полученного частного. Пример 1. а) 4625 • 10000 = 4б25 • 4IOOOO = 5 • 10 = 50; б) 38 • (-125) • 27 = -38 • 125 • 27 = -48 • 4l25 • 427 = = -2 • 5 • 3 = -30; в) J2113 = J625 = = 5 = .1. в) 422б6 V256 4256 4 14; г) J/783 = /783 = ^27 = 3. Теорема 5. Если а > 0, то при любых натуральных значениях n и m истинны равенства (^а) = и . Доказательство. Пусть a > 0. Тогда: m множителей m множителей Докажем второе тождество. Выражение 'ф^а имеет значение, причем это значение неотрицательно. Поскольку а а = а, Правообладатель Народная асвета 49 то выражение является значением корня степени mn из числа а: 'ф^а = mmfa. Следствие 2. Если n и m — нечетные числа, то при любом значении a истинны равенства (^а) = Пат и ф^а = ттПа. Действительно, если, например, а < 0, m и n — нечетные числа, то I— I—— — т^а = m -n-а = -mn-а = -mn-а = '^а. Теорема 5 позволяет сформулировать правило возведения корня в степень и правило извлечения корня из корня: чтобы возвести корень в степень, можно возвести в эту степень подкоренное выражение, оставив показатель корня прежним; чтобы извлечь корень из корня, можно перемножить показатели корней, оставив подкоренное выражение без изменений. Пример 2. а) (^В) = Ф88 = = 2; б) (3^4)5 = 3(-4)5 = 3(-22)5 = 3-(22)5 = 3-210 =-3210=-32®^2 = = -832; в) = ^^Э. Следствие 3. Если а > 0, то при любых натуральных значениях т, n и k истинно равенство пП^ат = Пат. Действительно: п4ат = Пкакт = Пк (ат )к = . Доказанное утверждение выражает основное свойство корня: если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится. Пример 3. а) З^/З = = ^/з3 = Зз3 = ■S; б) ^/3 • 39 = З33 • З92 = З33 • 92 = З33 • 34 = З3З • 3 = S3^. Можно доказать, что если т, п и k — нечетные числа, то при всех значениях а истинно равенство пкат = кат. Теорема 6. Если а ^ 0 и b > 0, то неравенство а > Ъ равносильно неравенству ^а > ^Ъ при любом натуральном значении п. 50 Правообладатель Народная асвета Доказательство. Пусть a > 0 и b > 0. Тогда выражения и nb имеют значения при любом значении п. Пусть а > b. Допустим, что ^а < ^b. Возведя обе части этого неравенства с неотрицательными компонентами в п-ю степень, получим а < b. Но это противоречит условию а > b. Пусть ^а > ^Ь. Возведя обе части этого неравенства с неотрицательными компонентами в п-ю степень, получим а > b. Следствие 4. Если n — нечетное число, то неравенство a > Ъ равносильно неравенству > ^Ъ при любых значе- ниях а и Ъ. Действительно, если а < 0 и b < 0, то -а > 0 и -b > 0. Неравенство -а < -Ь по уже доказанному равносильно неравенству а < п-Ь, или неравенству -^а < -^Ъ, или неравенству ^а > ^Ъ. Получили, что если а < 0 и b < 0, то неравенство а > b равносильно неравенству ^а > ^b. Равносильность неравенств в случаях, когда числа а и b имеют разные знаки и когда одно из чисел равно нулю, устанавливается аналогично. 1. Сформулируйте правила извлечения корня из произведения для не* отрицательных подкоренных выражений; для нечетного показателя корня. 2. Сформулируйте правила извлечения корня из дроби для неотрицательных подкоренных выражений; для нечетного показателя корня. 3. Сформулируйте правила умножения корней с одинаковыми показателями для неотрицательных подкоренных выражений; для нечетного показателя корня. 4. Сформулируйте правила возведения корня в степень для неотрицательных подкоренных выражений; для нечетного показателя корня. 5. Сформулируйте правила извлечения корня из корня для неотрицательных подкоренных выражений; для нечетного показателя корня. 6. Сформулируйте основное свойство корня. 7. Сформулируйте теорему, связывающую неравенства а > b и для неотрицательных подкоренных выражений; для нечетного показателя корня. 189. Найдите значение выражения: а) 327 • 125; в) 4l6 • 81; д) ^0,001 • 343; б) 424 • 34; г) 3212 • 36; е) ^9 • 24. Правообладатель Народная асвета 51 190. Найдите значение выражения: а) Тб ^У^; г) 5 'J52 • 73 • 453 • 72; б) 3/121 • 3/1Г; д) 712 W19 • 412 W19; в) 42 • 49 • 48 • 49; е) 410 W19 • 410 ^/19. 191. Вычислите: а) f^; б) 3/36; У12^ V63 в) 4^; г) 5?!, 192. Найдите значение выражения: а) n/s. б) 354. а) ^/1; б) 32 ; в) За . г) Зб 348’ 66 000 000' 193. Установите, во сколько раз значение выражения: а) л/б3 больше значения выражения б) 7 7 , меньше значения выражения '216 ^ У 64 194. Найдите значение выражения: а) Vl972 - 282; г) 32342 - 1092; б) л/1732 - 522; д) ^8 1 772 - 74 482; в) 4440,52 - 184,52; е) ^/2 3 3 442 - 2 3 3 1 22. 195. Найдите катет прямоугольного треугольника, у которого второй катет и гипотенуза соответственно равны: а) 391 и 409; в) 441 и 1512; б) 312 и 480; г) 1197 и 1995. 196. Вычислите: а) 3 3.3/21; 24 б)44/15! ^ 4f; 197. Вычислите: а) 4432 + ^/^бГ; б) 33/31 + 4^4/4^ ^7256; в) ; г) (^/1? в) ^11^75? • 311 W57; г) V17W33 • V17W33. 52 Правообладатель Народная асвета 198. Вычислите: а) 30,125 • 216; в) • 32; б) 3686 • 4; г) 40,0032 • 1024; 199. Вычислите: а) l^6^; в) 4324 : 34; д) W45) ^/5; д) 3128 •2187; е) 4/1,5 • 3|. 1125 б) Зз3- г) 316- б) V38; г) 3/2 ; е) (3625 - 35): 35. 200. Установите, при каких значениях переменной истинно равенство: а) За2 - 4 = \fa-2 • s[a+~2; б) 4(5 - 3)(7 - b) = 45—3 • 47 - b; в) 3(с + 2)(с - 4) = 3c + 2 • 3c - 4; г) 6d(d + 2)(d + 4) = 3d • 3d+"2 • 3dT4; д) 8(x - l)3 = (8x -1 f; е) 3(y - 7)4 = {9y-7 )4. 201. Упростите: а) 325a2; в) 332x15; б) 481c8; г) 3822; д) 32Xy • 34x2y • 327y; е) ^,3?2 • 3зk2 3зkг 202. Представьте дробью выражение: а) б) 35f; 203. Упростите: в) г) 4 а) 5x6y7 : 4xy2; б) 38Ю5:33a5; в) 3 3c • J d f d2 V 9c2 г) 4/!3^ ^ £^3. 204. Упростите: а) 1^35; в) 1^(-5)4; д) 125 ж) ) ; 256 б) 1454; г) 3x4; Правообладатель Народная асвета е) J2i|; з) 1У(-1ЯЯ 53 205. Упростите: а) 6^/7 - 2)3; в) 4(1 ^/2)2; б) ^3 - 4)2; г) 9^/3 -Д)3 206. Вычислите: а) 333 • 53; г) ^20 • -^50; д) 8^/5 - 2)4; е) 6(1 W3)2. ж) 34 |27 /1 б) 474 • 114; д)7117 • 177; з) • 3 ^ . о12 з8 в) 48 • 162; е) 4о;04 • 4о;2; 207. Упростите: а) 447; б) 44^; в) 448; г) 44б25; 208. Упростите: а) va ^ a ; б) vc ^ с ; в) ve е ; 209. Упростите: а) 4((a - 1)(a + 1))4; г) 4((е - 1)(е + 1))12; б) !4(&2 - b + 1)6; д) 4(-d2 + d - 1)6; в) 4((с - 1)(с + 1^6; е) 8(/2 - 5/ + 6)4. 210. Упростите выражение: а) ^/3; в) 44^; д) 4W64; б) 446; г) -Jafa; е) 4Ы1ь. 211. Выполните действия: а) 4т2; в) 4^/7; д) б) 14Э64; г) V2 • ^8 • ^1; е) n/s • 49 -J2 • fa >/8 ■ д) 44-3. г) ^й4 ^ 44. 212. Упростите выражение: а) ^OJa; б) a\[4a • Via • 44a4. 54 Правообладатель Народная асвета 213. Найдите значение выражения: а) 38 -437 • 38 W37; в) у]4 - 2^2 • ^6 + W2; б) ^7 - W3 ^2 W3; г) ^3 - 2/2 • ^1 W2. 214. Упростите выражение: а) ^64ab6; в) ^2^ • ■^4kZ; б) 532c10d20; г) 4/£/ • 4 . V г V / 215. Вычислите: а) (673)2; б) (1^32)2; в) V^T^; 216. Упростите: а) 3 ХУ2.3 x!y; V г V z2 ’ б) • 4k3l3m2 4 klm^ г) • ^Э7. в)( 5^" )5 •( )3. а) 33c18 + 217. Упростите: ТЗС4)3; ^ б) ; 218. Докажите: а) ^^4 + 2Jз -З4 - ЫЗ = 2; в) 4 ) - (Vn^m8) г) 3(2,07)-9 ^(5,75)-9. б) Зт - ^/б ^7 + 2/6 = -2. 219. С помощью калькулятора с точностью до тысячной найдите значение выражения: а) Т^; г) 31^; б) 3^; д) 45,128; в) 31,62; е) 35,128. 220. С точностью до десятитысячной с помощью калькулятора найдите значение выражения: а) S --Ль w5; б) 36,8 ^У24 ^0,38; в) 3(1,35)-7 ^(0,45)-t. 221. Сравните значения выражений: а) 35 и 35; б) 35 и 35; в) 35 и 32/3. Правообладатель Народная асвета 55 222. Сравните с нулем значение выражения: а) V2 - 33; в) ^4 - 55; б) ^3l0 - ^УЛ; г) ^020 - ^321. 223. Упростите: а) б) в) г) slq ^Jp ЗУ + 33P. - 4P ЗУ + ЗУ ’ ( 1 1 \5m - 3m + 3n, e - f e + f ; 3~e - 3f 3e + 3f ’ / x + y - ■ (3 \ + ЗУ ); 224. Определите знак выражения: а) sin (-201°) • sin 299°; в) cos (-43°) • sin 121° • tg (-149 °); б) tg 145° • ctg (-297°); г) sin (-196°) • cos (-916°) • ctg 1276°. 225. Есть выражения sin x, cos x, tg x, ctg x. Найдите значения тех из них, которые не известны, учитывая, что: а) ctg x =----ип < x < п; ' ^ 15 2 б) sin x = - -I8 и < x < 2п; ' 73 2 77 в) cos x = - — и п < x< 2п; ' 85 ’ 3п г) cos x = —99 и 0 < x < п; д) tg x = ■|1 и 0 < x < -|; е) ctg x = 112 и п < x < . 15 2 226. Представьте произведением выражение: г) ctg 8° - ctg 49°; д) tg2 15° - ctg2 г; е) tg2 x - tg2 y. а) tg (P + 4П) + tg (p - 4П); б) ctg 112° + ctg 7°; в) ctg2 g - ctg2 h; 227. Проводятся различные прямые, отсекающие от данного угла треугольники с данной площадью. Какой из этих треугольников имеет меньшую сторону, заключенную между сторонами угла? 228. Углы CQD и EQD, а также QDC и QDE пирамиды QCDE равны друг другу (рис. 55). Определите: а) сколько граней пирамиды являются равнобедренными треугольниками; 56 Правообладатель Народная асвета Q Рис. 55 б) полную поверхность пирамиды, учитывая, что QD = 60, Z CQD = 45°, Z QDC = 75°, Z DCE = 60°. 229. На ребрах и MP призмы МНОРЫ^Н^О^Р^ вы- браны точки A и B. Постройте: а) точку, в которой прямая AB пересекает плоскость M-^NiOi, б) прямую, по которой плоскость ABNi пересекает плоскость MiNiOi. 230. Постройте сечение пирамиды QXYZ, все ребра которой равны l, плоскостью, проходящей через середины ребер XY, QZ и параллельной ребру QY. Найдите периметр сечения. 231. Есть правильная треугольная призма XYZX1Y1Z1, на ребре XX1 которой выбрана такая точка A, что XA ■ AX1 = 2 : 3 (рис. 56). Через эту точку и вершины Y1, Z1 проведены прямые, пересекающие плоскость основания в точках B и C соответственно. Найдите отрезок BC, учитывая, что XY = 36 мм. 232. Произведение диагоналей ромба, являющегося основанием прямого параллелепипеда, равно 192 см2, радиус вписанной в него окружности — 4,8 см, а диагональ боковой грани — 26 см. Найдите полную поверхность параллелепипеда. 233. Найдите полную поверхность прямоугольного параллелепипеда, учитывая, что диагонали его граней равны 5 см, 741 см и ^/34 см. * * * 234. Действительные числа a и b удовлетворяют условию а2 + b2 + ab + л/3 (a + b) = 0. Докажите, что a2 + b2 < 3. Правообладатель Народная асвета 57 235. Точки Ai и C2, и A2, Ci и B2 выбраны соответственно на сторонах AC, AB и BC треугольника ABC так, что A1A2 | BC, B1B2 I AC, CiC2 I AB и отрезки A1A2, B1B2, Cj_C2 пересекаются в центре окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите значение выражения A1 A2 + B1B2 + C1C2 BC AC AB 236. По кругу записано 2008 целых чисел так, что из любых пяти чисел, идущих подряд, можно выбрать три числа, сумма которых в два раза больше суммы двух остальных чисел из этих пяти. Докажите, что все записанные числа — нули. 5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Пример 1. Рассмотрим квадрат со стороной 1 (рис. 57). Если середины его противоположных сторон соединить от- 1 то возникнут два прямоугольника с площадью ^ резком, Если теперь середины одного из полученных прямоугольников соединить отрезком, то получится два прямоугольника с площадью 4. Снова повторив такое действие, получим два прямоугольника с площадью i. Будем продолжать этот про- 8 цесс далее. В результате получим бесконечную убывающую последовательность 1 1 1 i А 1 2’ 4’ 8’ 16’ 32’ 64’^, у которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на 2. Естественно считать, что сумма 1 + 1 + 1 + — + — + — + ... 2 4 8 16 32 64 равна 1, так как она представляет площадь всего данного квадрата. Записанная сумма содержит бесконечно много слагаемых. Рассмотрим ее часть Sn из n слагаемых: 1 64 1 1 16 32 1 4 8 Рис. 57 Sn = 1 + 1 + 1 + 2 8 + . 2n 58 Правообладатель Народная асвета Ее компоненты образуют геометрическую прогрессию со знаменателем -I. Поэтому Sn = 1' П 2 1 - П П 2 1 -^ = 1 - . 2П С возрастанием значения переменной п значение выражения — становится все меньше и меньше: значение перемен- 2П ной п всегда можно подобрать так, что значение выражения станет меньше любого малого заранее выбранного числа. Поэтому бесконечную сумму 1 + 1 + 1 + — + — + — + ... считают равной 1. Рассмотрим теперь бесконечную геометрическую прогрессию 2 3 «1, a1q, a1q , a1q , a1q П - 1 где q| < 1. Для таких прогрессий истинно условие |a1q*| > |a1q* +1|, их называют бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями. Суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (an) со знаменателем q называется число S = . Это определение объясняется тем, что с увеличением п число S все меньше отличается от суммы первых П членов этой прогрессии. Действительно, Sn = a,= a,^ = ^ ^qn. п 1 q - 1 11 - q 1-q 1 - q^ Поскольку q| < 1, то qn с увеличением п приближается к qn нулю, а значит, приближается к нулю и вычитаемое a1 ^п 1-q Поэтому сумма Sn приближается к 1-q Пример 2. Найдем значение суммы 343 - 147 + 63 - 27 + 81 Замечаем, что слагаемые этой алгебраической суммы являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой a1 = 343 и q = = -147 = -1-. Поэтому a1 343 7 Правообладатель Народная асвета 59 a 1 + 7 S = 343 1 - (-3 343 7 = 240,1. Мы знаем, что любое рациональное число можно представить десятичной дробью. При этом если разложение на простые множители знаменателя несократимой дроби, представляющей данное рациональное число, содержит только двойки и пятерки, то получается конечная десятичная дробь, а если это разложение содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то получается бесконечная периодическая десятичная дробь. Например: 37 37•5•5 • 5 37•125 37 =____________ 80 2 • 2 • 2 • 2 • 5 __________________________________^ 4625 2 • 2 • 2 • 2 • 5 • 5 • 5 • 5 10 • 10 • 10 • 10 10000 = 0,4625; 341 = 0,(90243); 328 = 0,112(80487). Повторяющаяся группа цифр называется периодом десятичной дроби, группа цифр между целой частью и периодом называется предпериодом. В записи 0,112(80487) предпериод равен 112, а период — 80 487. Обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную делением ее числителя на знаменатель. Установим алгоритмы преобразования бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную. В дальнейшем мы будем пользоваться записью вида bs K.b2b1,a1a2K.ak. Она обозначает десятичную дробь, целая часть которой записана с помощью цифр b1, b2, ^, bs, а дробная — с помощью цифр a1, a2, ^, ak. Теорема 7. Бесконечная периодическая десятичная дробь без предпериода равна обыкновенной дроби, числитель которой есть число, записанное цифрами периода, а знаменатель — число, записанное столькими девятками, сколько есть цифр в периоде. А Доказательство. Пусть 0, (a1a2 K.ak) — периодическая десятичная дробь, где a1, a2, ^, ak — цифры периода. Тогда число 0, (a^a2 кak) можно представить бесконечной суммой: 0, (a,a2^a^) = + 010^0* +, 100...0 kнулей 100...0 2k нулей + a1a2Kak + 100...0 nk нулей в которой каждое слагаемое получается из предыдущего 1 100...0 нулей . Это означает, что бесконечную перио- умножением на 60 Правообладатель Народная асвета дическую дробь можно рассматривать как сумму S членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым 1 членом 100...0 k нулей и знаменателем 100...^ k нулей Поэтому S = IOOkkO k нулей 1 - 1 100...Q k нулей 100k.X) k нулей нулей 1GG...Q k нулей 100...0 - и = 99...^ k девяток Период о, Y к цифр Рис. 58 Теорема 7 обосновывает алгоритм представления обыкновенной дробью бесконечной периодической десятичной дроби без предпериода, который изображен схемой, приведенной на рисунке 58. Пример 3. Представим обыкновенной дробью десятичную дробь 0,(9504). Имеем: 0,(9504) = 9504 = Теорема 8. Бесконечная десятичная периодическая дробь с предпериодом равна обыкновенной дроби, числитель которой равен разности между числом, записанным цифрами от десятичной запятой до конца первого периода, и числом, записанным цифрами предпериода, а знаменатель — числу, записанному столькими девятками, сколько есть цифр в периоде, и столькими нулями, сколько есть цифр в предпериоде. k+ 2 K ak + s ) 96 101' A Доказательство. Пусть 0, a1a2.. ak (ak периодическая десятичная дробь, где a1, a2 предпериода, ak + 1, a k + 2, ^, ak + s — цифры периода. Тогда число О, a1a2 K ak (ak +1' ak — цифры a,. s) можно представить суммой 0, a1a2 Kak(ak + 1ak + 2 Kak + s) = = 0,a1a2K.ak + 0, p0...0(a^ kнулёу или, с учетом теоремы 7, суммой Правообладатель Народная асвета ) 61 ■ + ■ l ak 1ak + 2 Kak 100...0 100...0 IOOkO -1 kнулей kнулей s нулей Преобразуем полученное выражение: a1a2Kak 100.к0 k нулей + 1 a 1ak + 2 .a,. 10()„.0 k нулей s нулей 100Ук.С) -1 s нулей 100...0 - 1 + a 100...0 -/100...0 - 1 k нулей s нулей a1a2Kak • 100---0 - a1a2Kak + ak + 1ak + 2Kak 100)...0 • 09k9 kнулей s девяток a1aoKakak - a1aoKau 09...900...0 s девяток k нулей Теорема 8 обосновывает алгоритм представления обыкновенной дробью бесконечной периодической десятичной дроби с предпериодом, который отражен на схеме, представленной на рисунке 59. о» ^ +A + 2***®iS!+s ) ---Y--- к цифр ---Y--- S цифр Рис. 59 + 1®* + 2*"®* +s S девяток к нулей Период____________^ Предпериод Пример 4. Представим обыкновенной дробью десятичную дробь 0,3213(513). Имеем: 0 3213(513) = 3213513 - 3213 = 3210300 = 32103 = 3567 9990000 ________ =______ =______ = 1189 9990000 99900 11100 3700' 1. Что происходит со значением выражения rn, где |г| < 1, если значе-• ние переменной n неограниченно увеличивается? 2. Какое число называют суммой членов бесконечно убывающей геомет- рической прогрессии ? 62 Правообладатель Народная асвета 3. Какое рациональное число можно представить конечной десятичной дробью? 4. Какое рациональное число представляется бесконечной периодической десятичной дробью? 5. Что называют периодом бесконечной периодической десятичной дроби; предпериодом бесконечной периодической десятичной дроби? 6. Как конечную десятичную дробь преобразовать в обыкновенную? 7. Как бесконечную периодическую десятичную дробь без предпериода преобразовать в обыкновенную дробь? 8. Как бесконечную периодическую десятичную дробь с предпериодом преобразовать в обыкновенную дробь? 237. Докажите, что бесконечно убывающей геометрической прогрессией является бесконечная последовательность: а) 2, 1, 2, ^; в) 1 1 1 ^ • ) , 3’ 9’ 27’ ^; б) -81, -27, -9, -1, ^; г) -16, 8, -4, 2, ^ . 238. Установите, является ли бесконечно убывающей геометрической прогрессией бесконечная геометрическая прогрессия, для которой: а) а1 = 40, а2 = -10; б) b6 = 18, b7 = 36; 3 в) u7 = 12, u11 = г) ^5 = -9, V9 = - ^у. 239. Установите, является ли бесконечно убывающей геометрической прогрессией бесконечная последовательность, для которой: а) tn = 3 • (-2)n; в) = 2 • (-,1^ б) х„ = -3 • 4n; г) г„ = 7 • (-\ 240. Докажите, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, учитывая, что: а) b2 = -81, S2 = 162; в) v1 + v3 = 130, v1 - v3 = 120; б) y2 = 33, S2 = 67; г) z2 + z4 = 68, z2 - z4 = 60. 241. Найдите сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, для которой: а) а1 = ■|’ q = в) U1 = 9, q = - б) b5 = ■^’ q = 1; г) v4 = - q = -1 8^^ ^ ' 4 2 Правообладатель Народная асвета 63 242. Найдите сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии: а) 3’ 3’ 9’ 27’ б) 9, 3, 1, ,1’ ^1’ ^ в) 6’ 1’ 1 1 ^ 36’ ■■■’ г) 6’ 1’ 6’ 36’ д) —25’ —5’ —1’ е) -49’ 7’ -1’ ^ . 243. Найдите сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии: а) 1 111 ; о’ л’ о’ ^ 4’ . ч/3 + ^ 1 S -1 в) nz . ’ 1’ б) 3’ - 1’ 1’ - 9’ V3-V3 +1’ ■■■’ г) 1’ X’ x2’ x3’ ^’ если 1x1 < 1. 244. Найдите сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии’ для которой: а) и5 = Ц’ q = 2; в) I3 = -9’ q = - -i; б) ^4 = I1!’ q = i3; г) ^4 = -1’ q = -1. 245. Есть правильный треугольник со стороной a. В него соединением середин сторон вписывается треугольник’ в который тем же способом вписывается новый треугольник’ и так далее до бесконечности. Найдите: а) сумму периметров этих треугольников; б) сумму площадей этих треугольников. 246. Есть квадрат со стороной l. В него соединением середин сторон вписан квадрат’ в который таким же способом вписан новый квадрат’ и так далее до бесконечности. Найдите: а) сумму периметров этих квадратов; б) сумму площадей этих квадратов. 247. На кубе со стороной a стоит куб со стороной aa’ на котором стоит куб со стороной aa ’ и т. д. Ребро каждого следующего куба в два раза короче ребра предыдущего куба. В результате получается ступенчатая фигура (рис. 60). Найдите: 64 Правообладатель Народная асвета а) высоту этой фигуры; б) площадь задней боковой грани этой фигуры; в) объем этой фигуры. 248. В угол, равный 60°, последовательно вписаны окружности, которые касаются друг друга (рис. 61). Радиус R-^ самой большой окружности равен г. Найдите радиусы R2, R3, ^, Rn, ^ следующих окружностей. Докажите, что сумма R1 + 2(R2 + R3 + ^ + Rn + ^) равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла. 249. Найдите, при каких значениях переменной x прогрессия ‘а + ^х, а - х — + х ^ является бесконечно убывающей, и найдите сумму ее членов. 250. Постройте график функции у = х + 1 + х2 (1 + х2)2 + ^ 251. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150. Найдите: а) u1, учитывая, что q = i; б) q, учитывая, что t1 = 75. 252. Составьте такую бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, чтобы сумма ее членов была равной 25., 625 а сумма квадратов ее членов равна -24. 253. Установите, можно ли из чисел 2, -|, -1, ^, ^ выбрать такие числа, которые образуют бесконечную геометрическую прогрессию с суммой членов, равной: а)5; б) 1. 254. Найдите первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, учитывая, что сумма: а) членов прогрессии равна 4, а ее знаменатель равен 2; Правообладатель Народная асвета 65 2 х б) членов прогрессии равна 2^/2 + l), а ее знаменатель — 11 '''2 в) пяти первых членов равна —, а сумма членов прогрес- 8 4 сии — —. 3 255. Найдите сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии: а) 1 + sin 30° + sin2 30° + sin3 30° + ^; б) 1 - cos 30° + cos2 30° - cos3 30° + ^ . 256. С использованием суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии запишите периодическую дробь без предпериода: а) 0,(2); в) 1,(3); д) 1,(27); ж) 3,(342); б) 2,(7); г) 2,(21); е) 0,(19); з) 0,(901). Найдите эту сумму. 257. С использованием суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии запишите периодическую дробь с предпериодом: ж) 1,06(32); з) 0,00(819); и) 0,111(2). а) 0,2(3); г) 3,7(288); б) 1,0(7); д) 3,20(3); в) 2,3(24); е) 2,15(30); Найдите эту сумму. 258. Представьте десятичной дробью рациональное число: в) -13' г) -1 а) -9; ’ 11’ б) 44’ 37’ 13. '74’ д) 4iт’ е) ^^. ’ 123 259. Найдите представление бесконечной периодической десятичной дробью рационального числа с числителем 47 и знаменателем: а) 37; б) 41; в) 73; г) 111; д) 185. 260. Найдите представление бесконечной периодической десятичной дробью рационального числа со знаменателем 72 и числителем: а) 19; 66 б) 11; в) 161; г) 271; д) 7. Правообладатель Народная асвета 261. Обыкновенной дробью представьте рациональное число: а) 0,(36); в) 3,(234); д) -6,(7361); б) 0,(81); г) 4,(93); е) 0,(923076). 262. Обыкновенной дробью представьте рациональное число: а) 0,3(36); в) 3,144(234); д) -6,54(7361); б) 0,27(81); г) 4,111(93); е) 0,0102(923076). 263. Через вершину прямого угла Z прямоугольного треугольника XYZ проведена плоскость а, параллельная гипотенузе XY. Биссектриса угла X пересекает плоскость а в точке Q. Найдите длину отрезка ZQ, учитывая, что XY = 5 см, YZ = 4 см. 264. Точки A и B — соответственно середины ребер NK и ML пирамиды MNKL, все ребра которой равны друг другу. Найдите отрезок, по которому пересекаются сечения пирамиды плоскостями, проходящими через прямые MA и KB и параллельные прямой NL, учитывая, что NK = 60 см. 265. Есть треугольная пирамида PABC, все ребра которой равны 1. Начертите плоскость перпендикуляров к прямой: а) PQ в точке Q основания пирамиды; б) PQ в точке P; в) СВ в середине K ребра СВ; г) AC в точке Q; д) PA в точке P. 266. Точка K — середина ребра KM треугольной пирамиды QKLM, все ребра которой равны 10. Начертите сечение пирамиды и найдите его площадь, учитывая, что плоскость сечения перпендикулярна прямой: а) QL и проходит через точку K; б) QK и проходит через точку L; в) LM и проходит через точку K. 267. C двух участков вместе собрали 2337 ц зерна. Оказалось, что урожайность на первом участке составила 27 ц/га, на втором — 30 ц/га, а урожай на втором участке был на 1203 ц больше, чем на первом. Найдите площади участков. Правообладатель Народная асвета 67 268. Когда собрали урожай с двух участков площадью 30 га и 45 га, то оказалось, что урожай на втором участке был на 555 ц больше, чем на первом. Найдите урожайности на каждом участке, учитывая, что средняя урожайность на двух участках оказалась равной 25 ц/га. 269. Есть треугольник ACB, сторона BC которого на 8 см длиннее стороны AB. Найдите возведенный к плоскости треугольника перпендикуляр BP, учитывая, что точка P отстоит от вершин A и C на 26 см и 30 см. 270. Есть прямоугольный параллелепипед PQRSP1Q1R1S1 с квадратным основанием PQRS. Найдите боковую поверхность четырехугольной пирамиды Q^PQRS, учитывая, что PQ = 10 см, PRi = 10/6 см. * * * 271. В треугольнике ABC угол A равен а. Окружности с центрами 01 и 02 проходят через точку A и касаются стороны BC в точках B и C. Определите угол 01P02, где P — еще одна, кроме A, общая точка окружностей. с3 = 13у + 12, 272. Решите систему уравнений у3 = 132 + 12, 23 = 13х + 12. 273. Найдите все тройки чисел а, b и c (a Ф b и ab Ф 0), такие, что графиками функций у = ах^ + bx + c и у = bx^ + cx + а являются различные параболы с общей вершиной. 6. Степень с действительным показателем Понятие степени а* с различными показателями t вводится постепенно. Сначала определяется степень с натуральным показателем n как многократное умножение: n опр ап = а • а (1) n множителей Здесь символом = подчеркивается, что равенство (1) особое: это равенство-определение, и поэтому не требует обоснования в отличие, например, от равенства (а + b)2 = а2 + 2ab + b2. 68 Правообладатель Народная асвета Определение-равенство (1) осмысленное только для тех натуральных значений показателя п, которые не меньше 2, так как умножение есть двуместное действие. Поэтому натуральная степень а1 требует особого определения, но такого, при котором сохраняются свойства натуральной степени, в частности, свойство а k а!1 = ак *. С учетом этого должно быть: а5 : а4 = а5 4 = а1. Вместе с этим а- = ,5 - 4 а • а • а • а • а а • а • а • а = а. Поэтому первую степень а1 целесообразно определить так: 1 опр а = а. m ^*44 — 40 Так же, поскольку а • а = а = а и вместе (2) с этим а а • а • а • а а4 а • а • а • а делить так: = 1, то нулевую степень а0 целесообразно опре- а0 о=р 1. (3) Обратив внимание, например, на то, что а2 ■ а5 = а2 = а и вместе с этим а^ а • а • а • а • а отрицательную целую степень а^п, где п ло, целесообразно определить так: а-п о=р ^. = ^3., приходим к выводу, что натуральное чис- (4) При этом, если в равенствах (1) и (2) основание а может иметь любое действительное значение, то в равенствах (3) и (4) это значение должно быть отличным от нуля. m Рациональную степень ап с положительным основанием а введем из следующих соображений. Для целых показателей к и I выполняется свойство (а*)1 = ак1. Желательно, чтобы оно выполнялось и для дробных показателей. В таком случае будет \а^ = ап 'п = ат. Но равенство \а^ = ат означает, что m число ап должно быть корнем п-й степени из числа ат: ап = пат. Пример 1. С учетом определения (5) получим: а) 6254 = ^625 = 4^5^ = 5; б) 2435 = 52433 = 5(35)3 = (^Э5)3 = 27; 4 в) 1024-5 = 5/1024-4 = (51024)—4 = 4—4 = -^fg. Правообладатель Народная асвета (5) 69 5 а Э 2 а т т Из определения степени с рациональным показателем следует, что при любом положительном значении основания a и любом рациональном значении показателя t число а* является положительным. , I I— m Поскольку, с учетом свойств корня, a’^^ = \jam = nam = an , то значение рациональной степени a не зависит от того, какой дробью из множества равных дробей представлен рациональный показатель t. Если показателем степени является дробь т с нечетным n знаменателем п, определение (5) распространяется и на отрицательные значения основания a. Пример 2. а) (-4)3 = 3(-4)4 = = ^2® = З26 • 22 = 4^4; б) (-4)3 = 3(-4)5 = -^i5 = -^210 = -З29 • 2 = -832. Если показателем степени является дробь - с чет- ным знаменателем п, то степень an с отрицательным основанием не определяется. Степень a* положительного числа a с иррациональным показателем t определяется так. Пусть a > 1. Для числа t выпишем последовательности x1, x2, x3, ^, xn, и y1, y2, y3, ^, yn, его десятичных приближений по недостатку и по избытку соответственно. Тогда Xi < X2 < X3 < ^ < Xn < t < ^ < Уп < ^ < Уз < У2 < yi. Из этих неравенств с учетом того, что если a > 1 и и < v, то au < av, получим: < aX2 < aX3 < ^ < axn < _ < ay < ay3 < ay2 < ayi. (6) Оценим разность ayn - aXn. Получим: ayn - aXn = aXn (ayn - Xn - 1) < ayi(ayn - Xn - 1). Если значение переменной n неограниченно увеличивается, то значение выражения yn - Xn стремится к нулю, значе- ние выражения a yn Xn _____ к единице, а значение выражения ayn Xn -1, а потому и выражения ay1 (ayn Xn -1) — к нулю. Это означает, что значения выражений aXn и ayn приближаются друг к другу. Можно доказать, что есть только одно чис- 70 Правообладатель Народная асвета ло b, для которого aXn < b < ayn при всех n. Оно и принимается в качестве значения иррациональной степени а*. опр а = b = а < b < a’k, где p и к — рациональные приближения иррационального числа t по недостатку и по избытку соответственно. Так же определяется иррациональная степень а для 0 < а < 1. При этом для любого действительного показателя t = 1. (7) Отметим, что если действительный показатель t больше нуля, то а* имеет смысл и при а = 0, именно: 0* = 0, если t > 0. (8) Пример 3. Рассмотрим иррациональную степень 3'^15. Учитывая, что = 2,4662120743304701014916113231546^, получим: 2 < 2,4 < 2,46 < 2,466 < 2,4662 < ^ < 315 < ^ < < 2,4663 < 2,467 < 2,47 < 2,5 < 3. Поэтому 32 < 32’4 < 32’4® < 32’46® < 32’4®®2 < ^ < 3315 < ^ < ^ 32,4®®з ^ 32,467 ^ 32,47 ^ 32,5 ^ 3З, или 9 < 13,9666 < 14,9183 < 15,0169 < 15,0202 < ^ < < 3315 < ^ < 15,0219 < 15,0334 < 15,0831 < 15,5885 < 26. Вычисление на калькуляторе для числа 3'^ дает: 3315 * 15,020424245668110725418995118572. Для степени с действительным показателем верны известные вам основные свойства степени: если a > 0 и b > 0, то: а) ax • ay = ax + y; г) (a • b)x = ax • bx; (9) б) ax : ay = ax - y; д) (a) = ax; в) (ax)y = ax • y; Правообладатель Народная асвета 71 если a > 0, то выражение a* имеет значение при любом значении переменной t; (10) если a > 0, то ax > 0 при любом значении переменной х; (11) если a > 1, то ax > 1 при х > 0 и ax < 1 при х < 0; если 0 < a < 1, то ax < 1 при х > 0 и ax > 1 при х < 0; если a > 1 и х1 > х2, то ax1 > ax2; если 0 < a < 1 и х1 > х2, то ax1 < ax2. (12) (13) (14) (15) Докажем, например, что ax > 0 при любом иррациональном значении переменной х. Если a = 1, то ах = 1 > 0. Пусть а > 1, х — иррациональное число, х^_ и х2 — рациональные приближения к х по недостатку и избытку: х1 < х < х2. Из определения иррациональной степени следует, что ах1 < ах < ах2, а поскольку ах1 > 0, то и ах > 0. Если 0 < а < 1, то так же получим, что ах1 > ах > ах2 > 0. Понятием степени с натуральным показателем пользовались уже в Древней Греции. Об этом свидетельствуют термины квадрат числа и куб числа, известные с тех времен. Современные обозначения натуральной степени а2, а3, ^, ап ввел в 1637 г. французский математик Рене Декарт. Французский математик Николя Орем (около 1323—1382) уже пользовался дробными показателями. Отрицательные и нулевой показатели ввел в обиход французский математик Николя Шюке (около 1445 — около 1500). Нидерландский ученый и инженер Симон Стевин (1548—1620) обратил внимание на то, 1 что целесообразно понимать как ап. Знак для обозначения корня впервые использовал в 1525 г. чешский математик Криштян Рудольф (около 1500 — около 1545), а современный символ ^/ с горизонтальной чертой сверху ввел Декарт. 1. Как определяется натуральная степень ап действительного числа а? • Как определяется первая степень действительного числа а? 2. Как определяется нулевая степень а0 действительного числа а? 3. Как определяется целая отрицательная степень а^" действительного числа а? ш_ 4. Как определяется рациональная степень а" положительного действительного числа а? 72 Правообладатель Народная асвета в) 2 5. В каком случае рациональная степень an рассматривается и для отрицательных значений основания? 6. Как определяется иррациональная степень а" действительного числа a для а > 1; 0 < а < 1; а = 1; а = 0? 7. Сформулируйте свойства произведения и частного действительных степеней с одинаковыми основаниями. 8. Сформулируйте свойства действительной степени произведения, частного, степени. 274. Представьте степенью числа 2 число: ж) V2; к) 2J2J2; з) ^4; л) 0,0625; ^ м) 0,015625. а) 8; б) 1024; г) д) 0,5; е) 0,25; и) 48; 275. Представьте степенью с рациональным показателем число: а) ^27; б) 3(1)"; 3125 ’ в) в) 39; 1 д)?. е) 339 276. Представьте радикалом число: 6 а) ^5; в) 53,2; 2 д) (33 10 1 1 б)(1)- г) 2-0,25; е) 22 • 55 277. Найдите значение выражения: а) 243 0,4. б) (6384Г8; 5 в) 164; г) 273 1256 112 д) 82 : (86 • 83); е) ^/100 • ^/2 8 |3 . 5 1\3. ж) 8 3 : 81 0,75. 0,5 з) -(4i )-3. 278. Определите, какое из чисел больше: а) или 5 23’ б) 60,44 или 3/2; 3 в) ^3 или ^6; д) 1714 г) (З)" 1 или (|■)"; е) 23100 Правообладатель Народная асвета 73 1 11 100 2 279. Сравните числа: а) и Э"8; в) ^б5 и & 1,7. . ,15 б) 0,4-2,7 и (!)7; г) (!)3 и 280. Представьте степенью выражение: 11 111 08 . а) 2 • 22 • 24 • 28; 3 _ 1 _ 1 б) 64 • 22 • 2 3 • 2 -б: в) 33 • 73 1 93 / ^3 г) (!^) \46/ д) '' 427 ; е)е1г )■43 •( I). 281. Представьте степенью выражение: а) a5a7a12; б) a“2a3a^5; в) (Ь-1^3)-2^-3; д) ^(a2)3 2 _ 5 г) Ь^Ь^Ь^у/Ь; е) a3 a ^ . 3 _1 7 2 • a 3 282. Разложите на множители выражение: 11 11 г) (3х)2 - (5х)2; 11 1 1 д) x3 у3 - x3 - у3 + 1; _ 1111 в) 3 + 32; е) a + Ь2 + a2 + a2 • Ь2; 283. Определите, имеет ли значение выражение: - 2 11 5 а) (-5) 3; в) 743; д) 07; а) (ax)3 + (ay)3; -1 б) a - a 2; 1 ж) 4 - 43; 1 1 з) c2 + c4. б) (-3)- г) 0 3; е) 0 ,Р5 284. Найдите область определения выражения: а) (х + 5) 7; 5 б) z3; в) (t - 3Г4; 2 г) (7 - х)3; д) |х - 2 |Р5 е) х2 - 4 \W7 285. Определите, при каких значениях переменной истинно равенство: а)(a 8 )8 = a; ‘ ' 1 i! в) (^10)10 = li^; б) (х6)6 = -х; г)(о°’7)7= -и. 74 Правообладатель Народная асвета 1 3 286. Упростите выражение: z - 8 .. a - b а) Л--------г; a2 - b2 б) 2 г ’ z3 + 2z3 + 4 в) г x2 - 4 ; x -16 ’ г) a + b 2 гг 2 a3 - a3b3 + b3 а) 287. Упростите выражение: 11 11 X - y X2 y4 + X4 y2 X 4 + X 2 y 4 X 2 + y2 б) a-1 1 a2 + 1 1 3 a + a2 + 1 a2 - 1 + 2a2; в) г) 11 a2 + ab + b2’ a + a2•b2 a - a2b2 -Jx + 1 k4x + X + 4x X2 - -Jx 288. Упростите выражение: а) 3X - 1 + 3X + 3X+1; в) б) V25x-2 - 2 • 5X + ^/5)2x + 4; 1 _ X X 1 + 492 - 7X +1; г) 2x • 32 - X - 8 3 + ^'/2 9^ ^/3)2x-2 289. Используя свойства степени с рациональным показателем, докажите, что если a > 0 и b > 0, то: а) aX = ; б) ax • ay = ax + y- в) ax ■■ ay = ax - y; г) (ax)y = axy; д) (a • b)x = ax • bx; е) (a)x = aX. ^ \и bx 290. Используя свойства степени с рациональным показателем, докажите, что: а) если a > 1, то ax > 1 при x > 0 и ax < 1 при x < 0; б) если 0 < a < 1, то ax < 1 при x > 0 и ax > 1 при x < 0; в) если a > 1 и x1 > x2, то aX1 > aX2; г) если 0 < a < 1 и x1 > x2, то aX1 < aX2. 291. Сравните числа: а) (!) 2 и 1; в) 2,5 б) и (3)2,8; г) 0,3 45 6 292. Найдите значение выражения: а) {{42)'^2 ^^; б) 31 - • 91 ^^; Правообладатель Народная асвета в) 8'^ ■■ 2^^; г) 13" 75 11 3 11 1 x -1 a 293. Упростите выражение: а) в) (а ч/б W5, б) X” ; г) • у1,3 : 294. Упростите выражение: а)^Ч^^Т2 + 1; в) а^5 - б) {^2 - v^3 )2 (а^3 - 1)(а^3 + ^3 + а^3). а^3 - ; 2/5 45 ч/7 2/7 ’ а 3 + а 3 ■ b 3 + b 3 г) Шх” + у”) - [4п ху 295. Упростите выражение: а) (а1 j1 ”'2; г) (а39 + 33 +1)1 - 33, 3 1 б) (^1-Z5 ) • m ^; д) а 2 ч/а ^fb аЬ2 2а2 , -УЬ ^/а а - b’ в) (а32 + 33 )34 - 36 + 39, е) 3ху - у2 X - у WX WX 4х -у[у -JX + у[у 296. Вычислите: а) 2^ • 2-^; г) ((0, .бу^2 f; ж) (5")‘^'2; б) 32/5 . ^/З; д) 22- -2/5. 8^; з) (б1 -*)‘ ^'5 - W5: в) (5 ^/з W3 , е) 31 +232.932; 297. Найдите значение выражения: а) 21 -• 4^; д) 102 . д) 22 W7.51 W7; б) 32-• 27^; с) 63 ^Z5 . ^ 52 ^/5.31W5 ’ в) 91+'^• 31 • 3-2^^; ж) (251 - 5^^) • 5-1 -^^; г) 43 • 51 * 5-4 -^^* з) (З^/3 - 4/3 -1) • 2-^^. 298. Определите, какое из чисел больше: а) 3'71 или 369; 4ё9, в) 4 или 4 '^; д) или {2'^- б) 3 или 2; г) 2'3 или 21 е)(^9) или(х9 76 Правообладатель Народная асвета 299. Сравните с единицей выражение: а) 2-2; б) (0,013)-1; в) Ц]; г) 271’5; Д) 2 -45. е) 1\43 ж) gy'5-2; з) Пз/8 - 3 б) a 300. Упростите выражение: ^ • а1 -Z2; в) f ■■ b2; 43-1. ^43 +1. „-V (.,43- 1\(i^!3) а) O'2 • a г) [y 301. Упростите выражение: а) б) a^2 a-0’5 , 2 ' a3 1 ’ r 3 в) (B2'5)2^^; г) 44 (y Д) * ■; 0 42 14 е) у/з +1 ^-1 -43 f43 -1 302. С помощью калькулятора найдите значение выражения: а) 5cos 143; г) 56sin (-2); ж) 8ctg 147’6 ; к) 4,94^; б) 1,743; д) О'б3120; з) 5,759; л) 4sin 68; в) 735; е) 3tg 0’3; и) 3 ,318,4 . м) 27cos (-5). 303. Найдите наибольшее целое значение переменной х, удовлетворяющее неравенству: .. 7х + 1 5 - 4x^-1 а) —^ > 1; 9 5 б) 10y 2 - 9y + 2 < -2; . 5t - 2 3t - ^ 2 в) ^ -3; 8u - 2 4u - ^^8 ''5 3 7 9 10 304. Найдите сумму целых решений неравенства: .. 7а +1/^4 а) 30^ < 0; ч 5 3х л в) 5Х^ > 0; д) 2 5b - 8 > 1; б) < 0; г) 7y--32 > 0; е) > 1. 305. Найдите: а) основание равнобедренного треугольника с высотой 35 и периметром 98; б) боковую сторону равнобедренного треугольника с высотой 20 и площадью 420. 306. Найдите площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной ^З^81, учитывая, что высота, проведенная к основанию, равна 10. Правообладатель Народная асвета 77 7 -2 t 307. Гипотенуза прямоугольного треугольника втрое больше одного из его катетов. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, учитывая, что больший катет равен W2. 308. Найдите стороны прямоугольного треугольника, учитывая, что радиусы его описанной и вписанной окружностей равны 17 и 6 соответственно. 309. Найдите наименьший корень уравнения принадлежащий промежутку ; 0 3 tg 3x = ^^3, 310. Найдите периметр треугольника, одна сторона кото-1Л/2 рого равна а прилежащие к ней углы — 105° и 45° 311. В одной системе координат постройте графики функций: а) У = х1 и У = х1 + 1; г) У = X1 и У = ; д) У = 1 и У = 2- б) У = X и У = XTi; в) У = 1 и У = 2; е) У = 1 и У = X - 1’ 1 ^ “ 3 - 2х 312. В одной системе координат постройте графики функций: а) У = X2 и У = X2 + 1; в) у = х2 и у = 2х2; б) У = X2 и У = (х + 1)2; г) У = X2 и у = (2х + 1)2 - 2. 313. Постройте график четной функции, учитывая, что она задана условием у = (x + 1)2: а) при положительных значениях аргумента; б) при отрицательных значениях аргумента. 314. Постройте график нечетной функции, учитывая, что она задана условием у = 2х2 - 4х: а) при положительных значениях аргумента; б) при отрицательных значениях аргумента. 78 315. На рисунке 62 показан график функции У = f(x). Постройте гра-Рис. 62 фик функции: Правообладатель Народная асвета 4 а) y = f(pc) - 1; б) y = f(x - 1); в) y = 2f(x); г) y = f(2x); Д) y = \f(x)\; e) y = x I); ж) y = f(-| xI); з) y = (f(x)12- 316. На рисунке 63 показан график функции y = f(x - 1). Постройте график функции: а) y = f(x); б) y = f(x) - 1; в) y = 2f(x); г) y = f(2x); д) y = \f(x)|; е) y = f[\ x I); ж) y = f(-| xI); з) y =(f(x))2. 317. На высоте AD треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите отрезки AN и NC, учитывая, что BD = 12 см, DC = 4 см и AM - MB = 2 см. 318. Основание равнобедренного треугольника равно 36 см, а боковая сторона — 30 см. Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей. 319. Найдите медиану, проведенную к боковой стороне равнобедренного треугольника, учитывая, что вне окружности, построенной на боковой стороне как на диаметре, находится 6 см основания треугольника и 51 см боковой стороны. * * * 320. Найдите все натуральные решения уравнения 15x + 21y2 + 35г3 = 2310. 321. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на части, разность которых равна этой высоте. Найдите углы треугольника. 322. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CD к гипотенузе. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки A на медиану CM треугольника BCD, делит отрезок CD пополам. 323. Докажите, что если x > 1, то f(f(x)) = x, учитывая, что , x + 2 ^l2x - 1 f(x) = --h 1 . x - у2x -1 324. Можно ли по окружности расставить числа 1, 2, 3, ..., 13, 14 так, чтобы два любых соседних числа отличались на 3, 4 или 5? Правообладатель Народная асвета 79 7. Степенная функция с действительным показателем Выражение х^, в котором переменные x и t могут принимать разные действительные значения, описывает разные функции в зависимости от того, значение какой переменной — х или t — сделать неизменным, постоянным. Если зафиксировать значение переменной t, т. е. придать этой переменной определенное числовое значение г, то выражение х* задает степенную функцию у = хг. Если зафиксировать значение переменной х, т. е. придать ей определенное числовое значение а, то выражение х* задает показательную функцию у = а*. В этом параграфе рассмотрим степенную функцию, т. е. функцию вида у = хг, где х — аргумент, а г — некоторое действительное число. Все степенные функции определены при положительных значениях аргумента. При некоторых показателях г область определения степенной функции у = хг более широкая. Например, степенные функции у = х0’5 и у = х2 своими областями определения имеют соответственно множество всех неотрицательных действительных чисел и всех действительных чисел. Рассмотрим сначала степенную функцию у = хг при х > 0. При положительных значениях аргумента ее значениями являются все положительные действительные числа. Ряд свойств степенной функции у = хг и ход ее графика зависят от значения показателя г. Если г< 0, то свойства степенной функции похожи на свойства функции у = х^1 (рис. 64). При г < 0 степенная функция у = хг: • убывает от +^ до 0; • выпукла вниз, т. е. часть ее графика, ограниченного любыми двумя его точками, расположена ниже отрезка, который эти точки соединяет (рис. 65). 80 Правообладатель Народная асвета Рис. 68 На рисунке 66 показаны графики степенных функций 5 -32 cos-- „г— У = x и у = x - с отрицательными показателями -„2 и cos 22, которые соответственно приближенно равны -1,26 и -0,801. Если 0 < r < 1, то свойства степенной функции похожи на 1 свойства функции у = x2 (рис. 67). При 0 < r < 1 степенная функция у = xr: • возрастает от 0 до +^; • выпукла вверх, т. е. часть ее графика, ограниченного любыми двумя его точками, расположена выше отрезка, который эти точки соединяет (рис. 68). 1 На рисунке 69 показаны графики функций у = x и у = x®^“ 3 с положительными меньшими единицы показателями -1 и sin 3, которые соответственно приближенно равны „2 0,79 и 0,14. Правообладатель Народная асвета 81 ®/2 Ola: Рис. 70 Если r > 1, то свойства степенной функции похожи на свойства функции у = х2 (рис. 70). При r > 1 степенная функция у = х'': • возрастает от 0 до +^; • выпукла вниз. 32 На рисунке 71 показаны графики функций у = Х и tg5 у = х 4 с положительными большими единицы показателями 3/2 и tg которые соответственно приближенно равны 1,26 и 3,01. При положительных показателях степени в область определения функции включается и число 0, поскольку при r > 0 верно равенство 0r = 0. Если показатель r степени xr есть рациональное число , где m — целое число, n — нечетное натуральное число и чис- m ла m и n взаимно просты, степенная функция у = хп, т. е. функция у = Пхт , может быть распространена и на отрицательные значения аргумента х, так как в этом случае выра- жение S/x имеет значения при всех значениях переменной х. т т При этом, если т — нечетное число, то (-х)n = -х n , а если т т т — четное число, то (-х^ = х'". Это означает, что при нет четных значениях числителя т функция у = хп нечетная, а при четных — четная. Отмеченное позволяет получить гра- 82 Правообладатель Народная асвета фик функции у = xn при отрицательных значениях аргумента симметричным отображением графика функции при x > 0 относительно начала координат или оси ординат при нечетных и при четных значениях числителя m соответственно. _ 3 На рисунках 72, 73 и 74 показаны графики функций у = x , 3 11 у = x5 и у = x 5 с нечетными значениями числителя т, _ 12 а на рисунках 75, 76 и 77 — графики функций у = x 5 , 2 12 у = x5 иу = x 5 с четными значениями числителя т. Если знаменатель n — четное натуральное число, то числитель т может быть только нечетным, так как в противном Правообладатель Народная асвета 83 т Рис. 80 случае дробь будет сократимой. Учитывая, что выражение xn, т. е. выражение Щх-, имеет значения только если x > 0 при т > 0 и х > 0 при т < 0, получаем, что при четном значе- т нии знаменателя n функция у = хп не распространяется на отрицательные значения аргумента. На рисунках 78, 79 и 80 _13 5 17 показаны графики функций у = х 6, у = х6 и у = х 6. Раньше было доказано, что производная у' степенной функции у = хп для целого показателя n определяется формулой у' = пхп- 1. Можно доказать, что по этой же формуле можно находить производную степенной функции при любом действительном показателе: (х')' = тх’’ - 1. 84 Правообладатель Народная асвета ^ 1. Какая функция называется степенной функцией? 2. Представьте схематически график функции у = X при действительном отрицательном значении показателя r и укажите ее основные свойства. 3. Представьте схематически график функции у = при действительном положительном, меньшем единицы, значении показателя r и укажите ее основные свойства. 4. Представьте схематически график функции у = х^ при действительном, большем единицы, значении показателя r и укажите ее основные свойства. m 5. Представьте схематически график функции у = хп с рациональным m показателем —, где n — нечетное натуральное число и m — нечетное n отрицательное целое число, и укажите ее основные свойства. m 6. Представьте схематически график функции у = хп с рациональным m показателем —, где п — нечетное натуральное число и m — нечетное n натуральное число, меньшее числа n, и укажите ее основные свойства. m 7. Представьте схематически график функции у = хп с рациональным m показателем —, где п — нечетное натуральное число и m — нечетное n натуральное число, большее числа п, и укажите ее основные свойства. m 8. Представьте схематически график функции у = хп с рациональным m показателем —, где п — нечетное натуральное число и m — четное п отрицательное целое число, и укажите ее основные свойства. m 9. Представьте схематически график функции у = хп с рациональным m показателем —, где п — нечетное натуральное число и m — четное на-п туральное число, меньшее числа п, и укажите ее основные свойства. m 10. Представьте схематически график функции у = хп с рациональным m показателем —, где п — нечетное натуральное число и m — четное на-п туральное число, большее числа п, и укажите ее основные свойства. 325. Докажите, что если х1 > х2 > 0, то: а) х'у < х’г при отрицательном действительном г; б) х’г > х2 при положительном действительном г. 326. Докажите, что если r1 < r2, то: а) хГ1 < хГ2 при х > 1; б) хГ1 > хГ2 при 0 < х < 1. Правообладатель Народная асвета 85 327. На промежутке [-2; 2] с шагом 0,5 с помощью калькулятора составьте таблицу значений функции: 18 а) у = x 7 и постройте ее график; 17 б) у = x 7 и постройте ее график; 17 в) у = x 8 и постройте ее график; 8 г) у = x9 и постройте ее график; 11 д) у = x13 и постройте ее график; 11 е) у = x12 и постройте ее график. 328. Запишите уравнение сплошной кривой и уравнение штриховой кривой, представленных на рисунке: а) 81, учитывая, что одна из них представляет функцию 20 34 у = x 9 , а другая — функцию у = x27; б) 82, учитывая, что одна из них представляет функцию у = x 9 , а другая — функцию у = x27; в) 83, учитывая, что одна из них представляет функцию 86 Правообладатель Народная асвета 13 1 X Рис. 83 г) 84, учитывая, что одна из них представляет функцию 14 4 у = x15, а другая — функцию у = x15; д) 85, учитывая, что одна из них представляет функцию 15 11 у = x17, а другая — функцию у = x51; е) 86, учитывая, что одна из них представляет функцию _9 _3_ у = x10, а другая — функцию у = x10. 329. Запишите уравнение сплошной кривой и уравнение штриховой кривой, представленных на рисунке: а) 87, учитывая, что одна из них представляет функцию 4 4 у = x75, а другая — функцию у = x^; Правообладатель Народная асвета 87 б) 88, учитывая, что одна из них представляет функцию у = x, а другая — 1 функцию у = в) 89, учитывая, что одна из них пред- Js ставляет функцию у = х , а другая — функцию у = х . 330. На промежутке [-2; 2] с шагом 0,5 с помощью калькулятора составьте таблицу значений функции: а) у = х 7 и постройте ее график; _ 22 б) у = х 7 и постройте ее график; _ 23 в) у = х 8 и постройте ее график. 331. Запишите уравнение сплошной кривой и уравнение штриховой кривой, представленных на рисунке: а) 90, учитывая, что одна из них представляет функцию _ _3 _11 у = х 13, а другая — функцию у = х 12; б) 91, учитывая, что одна из них представляет функцию _15 _27 у = х 13, а другая — функцию у = х 13; в) 92, учитывая, что одна из них представляет функцию _ ^ _ 7 у = х 8 , а другая — функцию у = х 4; 88 Правообладатель Народная асвета 23 Рис. 92 г) 93, учитывая, что одна из них представляет функцию _ _4 _ 28 У = x 13, а другая — функцию у = x 13. 332. Запишите уравнение сплошной кривой и уравнение штриховой кривой, представленных на рисунке: а) 94, учитывая, что одна из них представляет функцию у = х“а другая — функцию у = х“ б) 95, учитывая, что одна из них представляет функцию у = х '^, а другая — функцию у = х 75; в) 96, учитывая, что одна из них представляет функцию __^ у = х“'^, а другая — функцию у = х 35. Правообладатель Народная асвета 89 333. Докажите, что степенная m функция у = xn, где n — натуральное число и m — целое число, взаимно простое с п, при: а) нечетном значении п и нечетном положительном значении m на промежутке (-^; +^) возрастает от -^ до +^; б) нечетном значении n и нечетном отрицательном значении m на промежутке (-^; 0) убывает от 0 до -^ и на промежутке (0; +^) убывает от +^ до 0; в) нечетном значении n и четном положительном значении m на промежутке (-^; 0] убывает от +^ до 0 и на промежутке [0; +^) возрастает от 0 до +^; г) нечетном значении n и четном отрицательном значении m на промежутке (-^; 0) возрастает от 0 до +^ и на промежутке (0; +^) убывает от +^ до 0; д) четном значении n и нечетном положительном значении m на промежутке [0; +^) возрастает от 0 до +^; е) четном значении n и нечетном отрицательном значении m на промежутке (0; +^) убывает от +^ до 0; ж) нечетном значении n и нечетном значении m является нечетной; з) нечетном значении п и четном значении m является четной. 334. Из рисунков 97—105 укажите тот, на котором представлен график функции: 90 Правообладатель Народная асвета Рис. 100 а) y = x 4; в) y = x9; д) y = x9; 9 _ 12 _5_ б) у = x5; г) у = x 5 ; е) у = x12; Правообладатель Народная асвета 91 9 5 4 9 ж) y = x4; 12 з) y = x5 ; и) y = x 335. Найдите наибольшее и наименьшее значения 5 функции у = x3 на промежутке: а) [1; 8]; б) [-1; 8]; в) (-1; 8]; г) (-1; -8). 336. Найдите наибольшее и наименьшее значения функ- ции у = x 3 на промежутке: а) [-0,125; 2]; б) (-0,125; 2); в) (-0,125; 2]; г) [-0,125; 2). 337. Найдите наибольшее и наименьшее значения функ- ции у = x3 на промежутке: а) [1; 8]; б) [-8; -1]; в) [-1; 8); г) (-1; 8]; д) (-1; 8); е) [-1; 8]. 338. Найдите наибольшее и наименьшее значения функ- ции у = x4 на промежутке: а) [1; 16]; в) [-1; 16); д) (-1; 16); б) [-16; -1]; г) (-1; 16]; е) [-1; 16]. 92 Правообладатель Народная асвета 5 5 3 339. Найдите наибольшее и наименьшее значения функ- ции у = x 4 на промежутке: а) [1; 16]; б) [0,625; 16]; в) [0,625; 1]. 340. Укажите область определения и область значений, начертив схематически график функции: а) у = x6; в) у = x5; д) у = x2; ж) у = x б) у = x5; г) у = x5; е) у = x2; з) у = x 2. 341. Определите, какой — возрастающей или убывающей — является функция у = xr при x > 0, учитывая, что: а) r = \17; в) r = 1 ^/3; д) r = 3 - п; б) r = -; г) r = 1; е) r = 0,(3). д) у = x 5; _j- е) у = x 2 ; 342. Нарисуйте схематически график функции: 2 5 а) у = x5; в) у = x2; 9 5 б) у = x5; г) у = x7; е) у = x 2 ; з) у = x3 343. Используя свойства степенной функции, сравните с единицей число: а) 4,12,7; в) 0,20,3; д) 0,79,1; б) 5,2tg 7’8; г) 0,2cos 13; е) 0,T=tg9’5; 344. Сравните значения выражений: а) 3,17’2 и 4,37’2; в) 0,30’3 и 0,29’3; ж) у = x'^; 4 = x 34 ж) ^/3) ’ ; з) ^/-)sin1-’2. д) и 10 б) 10 и 12\2’3 г) 2,5-3’1 и 2,6 -3,1. 11 11 345. Найдите производную функции: а) у = 2x5; в) у = 5x7; д) у = 4x*g 1’25; е) lй)- и (Ц)4. б) у = 3x4 ; г) у = 3x'^; e) у = 3x л/б - 1 346. Найдите производную функции: а) у = x'^; г) у = (x - 2)'^; 42 ж) у = 2(2x - 2)'^; б) у = 2x'^; д) у = (2x^ ; з) у = (x - 2)^^. в) у = (2x)'^; е) у = |(x - 2)'^; Правообладатель Народная асвета 93 3 1 6 7 3 347. Одна из сторон треугольника равна 13 см. Найдите две другие его стороны, учитывая, что одна из них больше другой на 7 см, а угол между ними равен 60°. 348. Боковые стороны трапеции равны 9 и 13 см, а основания и меньшая диагональ относятся как 9 : 6 : 4. Найдите среднюю линию трапеции. 349. Найдите периметр прямоугольного треугольника с гипотенузой 20, учитывая, что радиус вписанной в него окружности равен 4. 350. Найдите: а) периметр описанной около окружности трапеции со средней линией 12; б) площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности с радиусом 3, больший угол которой равен 150 °. 351. Найдите основания трапеции, боковые стороны которой равны 10 и 16, а меньшая диагональ длиной 12 является средним геометрическим оснований. 352. Найдите: а) наибольшее целое отрицательное решение неравенства \х + 5 > 13; б) среднее арифметическое корней уравнения Х + 5 = 2 • (16 - х). 353. Решите систему уравнений: а) б) [3х + у = -2, [2х + 3у = 1; Г9а + 16b = 114, в) |1 + ^ t 191 - 35г = 0, 1 5а - 14b + 75 = 1; [19t + 12z = 22; (8c + 25d = 110, г) i 3d - 6c - 25 5c + 8d = 1. 354. Решите уравнение: а) (а - 3)(а - 4)(а - 7)(а - 8) = 60; б) (b + 6)(b + 7)(b + 9)(b + 10) = 10; в) (c + 2)(c + 5)(c + 15)(c + 18) = -360; г) (12d - 1)(6d - 1)(4d - 1)(3d - 1) = 5. Правообладатель Народная асвета 94 355. Решите уравнение: а) / 1 + 1 = 2 ; в) 2 1 у 1 - w w л/1 - w ' \jv + 3 v +1 б) /и + 1 и = 1 ; г) /31 - У = 3 \ 1 - и и + 2 ..Ju + 2 ' V9 - У2 ->У3 + 3 . v + 3. 356. Решите уравнение: а) 10s ^ \/2s + 1 = 1; б) Wr - 5 - 9; л/r - 5 в) 24Р+1 -^±= + 7 = 0; slP + 1 г) 5q + 25 1 - 2/q + 5 357. Решите неравенство: а) yji + 3 > 2; в) л/24 - 5k < k; б) - 3 < 2; г) -Jm + 6 > m; д) \Jn + 1 < n - 1; е) sj2x - 1 > x - 2. 358. Докажите, что окружности, описанные около четырех треугольников, образовавшихся при пересечении четырех прямых (рис. 106), проходят через одну точку. 359. Решите уравнение л/1 - 2у (1 - 4^ 1 + 2у) = 8y2 - 1. 360. Докажите, что при n > 1 истинно неравенство 1 - 1 - 1 - 1 - > 2. 3 361. Решите уравнение f(f(f(f(f(x))))) = 0, где f(x) = x2 + +10x+20. Правообладатель Народная асвета 95 8. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства С действием возведения в степень связаны разные виды выражений. Будем рассматривать выражения с переменными, при образовании которых используются действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень, причем возведение в степень хотя бы один раз применено к выражению с переменной. Если показатель степени целый, то возникает рациональное выражение, если дробный, то — иррациональное выражение, а если иррациональный, то — трансцендентное выражение. К трансцендентным выражениям приводят и действия нахождения значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса. Рациональные и иррациональные выражения вместе составляют множество алгебраических выражений. Из выражений (1) X2 + 3х - 7, (4) 43у5 - 7, (2) (5) X67 + 3x2 - 7, (3) t3 - 3t, (6) Vi : cos z выражения (1) и (2) являются рациональными, выражения (3) и (4) — иррациональными, выражения (5) и (6) — трансцендентными, а выражения (1)—(4) — алгебраическими. В зависимости от того, из каких выражений составлено уравнение, говорят о рациональных, иррациональных, трансцендентных уравнениях. Из уравнений (2) = 2a, (1) X2 + 3x = 7, (4) 43y5 - 7 = y2, (5) x^ + 3x2 - 7 = 0, (3) t3 - 3t = 0, (6) Vi = cos z уравнения (1) и (2) являются рациональными, уравнения (3) и (4) — иррациональными, а уравнения (5) и (6) — трансцендентными. Так же говорят о рациональных, иррациональных, трансцендентных неравенствах. 96 Правообладатель Народная асвета 1 В этом параграфе рассматривается решение иррациональных уравнений и неравенств. При их решении нужно следить за тем, какие преобразования выполняются при этом. Утверждение Q(x) равносильно утверждению Р(х), если утверждения Р(х) и Q(x) истинны при одних и тех же значениях переменной х. Равносильность уравнений означает, что они имеют одни и те же корни, а равносильность неравенств — то, что они имеют одни и те же решения. Равносильность утверждений P(x) и Q(x) обозначают P(x) = Q(x). Утверждение Q(x) следует из утверждения P(x), если утверждение Q(x) истинно при всех значениях переменной x, при которых истинно утверждение P(x). Следование второго уравнения из первого означает, что каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но второе уравнение может иметь и дополнительные корни. Так же понимается и следование одного неравенства из другого. Следование утверждения Q(x) из утверждения P(x) обозначают P(x) ^ Q(x). Отношения равносильности и следования связаны: P(x) = Q(x) означает, что P(x) ^ Q(x) и Q (x) ^ P (x). При решении иррациональных уравнений используют прием возведения левой и правой частей уравнения в одну степень. Теорема 9. Возведение левой и правой частей уравнения в нечетную натуральную степень дает уравнение, равносильное данному, а возведение в четную степень — уравнение, являющееся следствием данного уравнения. Доказательство. Пусть a — корень уравнения f(x) = g(x). Тогда истинно числовое равенство f(a) = g(a). Возведя его в степень п, по соответствующему свойству числовых равенств получим равенство fn(a) = gn(a), которое также истинно. А это означает, что число a — корень уравнения fn(x) = gn(x). Поскольку каждый корень уравнения f(x) = g(x) является корнем уравнения fn(x) = gn(x), то из уравнения f(x) = g(x) следует уравнение fn(x) = gn(x). Пусть n — нечетное натуральное число и b — корень уравнения fn(x) = gn(x). Тогда истинно числовое равенство fn(b) = gn(b). Извлекая из обеих его частей корень степени n, по соответствующему свойству числовых равенств получим числовое равенство f(b) = g(b), которое истинно. Значит, число b — корень уравнения f(x) = g(x). Правообладатель Народная асвета 97 Поскольку при нечетном натуральном n из уравнения fix) = g(x) следует уравнение f^ix) = gn(x) и из уравнения f^ix) = gn(x) следует уравнение f(x) = g(x), то эти уравнения равносильны. Пример 1. Решим уравнение 3 2a2 - 7a - 3 = a. Данное уравнение равносильно уравнению 3 - a = \J2a2 - 7a - 3. Возведем обе его части в квадрат и приведем подобные: 9 - 6a + a2 = 2a2 - 7a - 3; a2 - a - 12 = 0. Полученное квадратное уравнение имеет корнями числа -3 и 4. Сделаем проверку. Подставив числа -3 и 4 в данное уравнение, получим числовые равенства 3 ^2 • (-3)2 - 7 • (-3) - 3 = -3 и 3 ^2 • 42 - 7 • 4 - 3 = 4, из которых истинно только первое равенство. Ответ. -3. Этот пример иллюстрирует ту часть теоремы 9, в которой утверждается, что возведение в четную степень обеих частей уравнения дает уравнение, которое является следствием данного уравнения. Появление постороннего корня 4 связано с тем, что возведением в квадрат к уравнению 9 - 6a + a2 = = 2a2 - 7a - 3 приводит не только данное уравнение, но и уравнение 3 + \12a2 - 7a - 3 = a, которое и имеет корнем число 4. Вообще, при решении уравнений нужно быть внимательным к выполняемым преобразованиям. Полученные в результате решения числа включаются в ответ только в случае, когда все преобразования были преобразованиями равносильности. Пример 2. Решим уравнение 3 - a = \J2a2 - 7a - 3, используя только преобразования равносильности: 3 - a = \12a2 - 7a - 3 ^ 2a2 - 7a - 3 > 0, ^ < 3 - a > 0, (3 - a)2 = 2a2 - 7a - 3 \a < 3, a2 - a - 12 = 0 ^ a = -3. Некоторые иррациональные уравнения могут быть решены приемом введения вспомогательных переменных. 98 Правообладатель Народная асвета Пример 3. Решим уравнение с2 - 3с = 7 с2 - 3с + 5. Обратим внимание на то, что данное уравнение равносильно уравнению Vc2 - 3с + 5 = -(с2 - 3с - 7), в котором выражение с2 - 3с повторяется. Это наводит на мысль, что его или выражение, его содержащее, целесообразно рассматривать в качестве новой переменной. Обозначим через t, например, выражение с2 - 3с - 7, т. е. с2 - 3с - 7 = t. Тогда с2 - 3с + 5 = (с2 - 3с - 7) + 12 = t + 12. Это позволяет данное уравнение заменить уравнением yjt + 12 = -t. Решим его: t + 12 = t2, Vt + 12 = -t = < -t > 0, ^ t + 12 > 0 (t + 3)(t - 4) = 0, ft2 -1 - 12 = 0, it < 0 t < 0 ^ t =-3. Вернемся к исходной переменной: с2 - 3с - 7 = -3. Полученное уравнение имеет корнями числа -1 и 4. Они и являются корнями исходного уравнения. Ответ. -1; 4. Иногда бывает удобно ввести две вспомогательные переменные. Пример 4. Решим уравнение ^28 - У + 37 + у = 5. Обозначим и и v первый и второй радикалы соответственно: I^28 - у = и, i ^7 + у = V. Тогда данное уравнение запишется как и + V = 5. Из системы (1) получим еще одно уравнение, связывающее переменные и и v: (1) I 28 - у = и3, откуда и3 + V3 = 35. [7 + у = V3, Правообладатель Народная асвета 99 Таким образом, для нахождения значений переменных и и которая решается так: I и + v = 5, v получилась система i „ lu3 + v3 = 35, {и + v = 5, I u3 + v3 = 35 и + v = 5, (u + v)(u^ - uv + v2) = 35 и + v = 5, u2 + uv - v2 = 7 и + v = 5, I и + v = 5, I и + v = 5, (u2 + 2uv + v2) - 3uv = 7 |(u + v)2 - 3uv = 7 [25 - 3uv = 7 и + v = 5, uv = 6 ^ (u; v) = (2; 3) или (и; v) = (3; 2). Теперь, чтобы найти значения исходной переменной, достаточно решить любое из уравнений системы (1). Для v = 3, а затем для v = 2 получим соответственно: ^7 + у = 3 ^ 7 + у = 27 ^ у = 20; ^7 + у = 2 ^ 7 + у = 8 ^ у = 1. Анализ выполненных преобразований показывает, что все они являются преобразованиями равносильности. Поэтому оба полученных значения переменной у являются корнями данного уравнения. Ответ. 1; 20. При решении иррациональных неравенств нужно учитывать, что проверка подстановкой найденного множества чисел обычно невозможна из-за его бесконечности. Поэтому при решении неравенств нужно следить за равносильностью проводимых преобразований. Теорема 10. Верны следующие равносильности: а) 4Г(х) < g(x) = б) (x) > g(x) = f (x) > 0, g(x) > 0, f (x) < g^(x); I g(x) < 0, | f (x) > 0; I'g(x) > 0, 1^ f(x) > g^(x); 100 Правообладатель Народная асвета в) < g(x) = г) slf(xj > g(x) = f (x) > 0, g(x) > 0, f (x) < g^(x); \g(x) > 0, If(x) > g^(x); ^g(x) < 0, If(x) > 0. Доказательство проводится по схеме, использованной при доказательстве теоремы 9 с применением соответствующих свойств числовых неравенств. Пример 5. Решим неравенство \j2t^ + 7t + 45 > t - 3. Это неравенство равносильно совокупности неравенств t - 3 > 0, 2t2 + 7t + 45 > (t - 3)2; t - 3 < 0, 2t2 + 7t + 45 > 0. Первую систему можно заменить равносильной системой t - 3 > 0, (t > 3, „ которая равносильна системе < t2 +13t + 36 > 0^ ^ |t < -9 или t > - которая, в свою очередь, равносильна неравенству t > 3. Вторая система совокупности равносильна системе t < 3, -то < t < +^, Решения данного неравенства получим, когда объединим решения t > 3 и t < 3 первой и второй систем совокупности, в результате получим множество всех действительных чисел. Ответ. (-^; +^). Пример 6. Решим неравенство sjz - 1 + \12z - 5 z + 6. Обратим внимание на то, что на области определения левая и правая части данного неравенства обе неотрицательны, поэтому оно равносильно системе неравенств Правообладатель Народная асвета 101 которая равносильна неравенству t < 3. 2 - 1 > 0, 2z - 5 > 0, 2 + 6 > 0, (z - 1) + (2z - 5) + 2j(z - 1)(22 - 5) < z + 6, решение которой следующее: [z > 2,5, [2z2 - 7z + 5 < (6 - z)2 J2,5 < z < 6, |2z2 - 7z + 5 < 36 - 12z + z2 Iz2 + 5z - 31 < 0 z > 2,5, 6 - z > 0, V2z2 - 7z + 5 < 6 - z 2,5 < z < 6, [2,5 < z < 6, -5 ^149 < z < ,-- — 25 ^ 2 ^ 5 + ''Z149 -5 Wi49 — 2,5 ^ z ^ 2 ■ Ответ. 2,5; •J149 - 5 (2) Пример 7. Решим систему уравнений X2 + у2 ^J2xy = ^/2, ^/x ^Jy = 2. Обозначим m и n соответственно сумму и произведение радикалов \fx и yjy: JVX ^Jy = m, yX^Jy = n. Выразим X2 + у2 через m и n. Получим: X + у = (\[X + sfy f - yXy = m2 - 2n; X2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = (m2 - 2n)2 - 2n2 = m4 - 4m2n + 2n2. С учетом этого исходная система запишется так: j^\lm* - 4m2n + 2n2 ^/2n = ^/2, I m = 2. 102 Правообладатель Народная асвета 2 2 Поскольку m = 2, то первое уравнение системы приводится к уравнению \ln^ - 8n + 8 = 2 - n, решив которое, получим n = 1. Учитывая, что (m; n) = (2; 1), из системы (2) находим, что X = у = 1. Ответ. (1; 1). Иногда при решении системы бывает полезна тригонометрическая подстановка. IX + = 1, Пример 8. Решим систему уравнений < _____ [у 1 - X2 ^Уз. Обратим внимание на то, что модули переменных x и у не превышают 1. Поэтому можно ввести вспомогательные переменные и и v: Ix = cos и, 0 < и < п, |у = sin v, --| < v < -|. Выразим через них исходную систему и найдем ее решения: fcos и + cos v = 1, [ sin и + sin v о и + v и - v -I 2cos-----cos-----= 1, о о ^ (1) о • и + v и -2si^ —— cos —- v ^Уз (1) о и + v и - v 2co^ co^—=1,(2) j и + v W 3 и - v t co^ =1, и + v __ | 2 _ 3 и - v =0, ^ и = v = |. и + ^ _ п 3 2 = 3 При переходе (1) мы покомпонентно второе уравнение разделили на первое, при переходе (2) учли то, что поскольку -4 ч 2 ^ ^, то уравнение tg—— = \13 имеет корнем чис- I I 1 ло 3, но cos 3 = 3, поэтому первое уравнение записывается в и - v Ч виде co^ _ = 1. Вернувшись к исходным переменным, получим, что x = 1 и у =4. 2 Ответ. (X, у) = I1; 4 Правообладатель Народная асвета 103 1. С помощью каких действий образуется рациональное выражение; * иррациональное выражение; трансцендентное выражение? Как эти виды выражений связаны с действием возведения в степень? 2. Какие уравнения или неравенства называют рациональными; иррациональными; трансцендентными? Приведите примеры таких уравнений и неравенств. 3. Какие утверждения называют равносильными? Что означает равносильность уравнений; неравенств? 4. Что означает следование одного утверждения из другого? Что означает следование одного уравнения из другого; следование одного неравенства из другого? 5. Сформулируйте утверждение о возведении левой и правой частей уравнения в нечетную натуральную степень; в четную натуральную степень. 6. Какой системе неравенств равносильно неравенство ^Jf (x) < g(x); неравенство < g(x)? 7. Какой совокупности систем неравенств равносильно неравенство \Jf(x) > g(x); неравенство -Jf(x') > g(x)? 8. Какие приемы используются при решении иррациональных уравнений; неравенств? 362. Есть выражения: 1 (1) 2x2 - 5x + 7; (2) 3x2 + x35 - 3; (3) + x - 3; (5) 2x2 + 5x2 - 4; (6) -3. - 5x - 4; (7) tg2 x + tg x - 3; 1 1 -v*2 (9) 3x^2 - 5x2 - 4; (10) x + cos x - 4; (11) - 3; (4) x 2 + x2 + 1; (8) x^^n3 + x2 - 3; Укажите, какие из них являются: а) рациональными; б) иррациональными; в) трансцендентными. 363. Определите, равносильны ли уравнения: а) 3а - 7 = 5а + 5 и 2а + 12 = 0; (12) + 4tg x. б) ^(2x - 1) = 1 и 3x -1 ^ ^ ^ 8 ^ _ о ., о* - 1 . = 1; в) t2 - 1 = 0 и 2* = 0; г) |2x - 1 = 3 и 2x - 1 = 3; д) (с - 5)2 = 3(c - 5) и c - 5 = 3; 104 Правообладатель Народная асвета x2 - 4 x3 + 5 е) 22 - 3z + 2 = 0 и 22 + 3z + 2 = 0; ж) \п - 2\ = -3 и 3“ = (-1)3; з) 3^3-2 - 4,2У - 3y6-5 = 2y - 2 и 2y + 3 = f. 364. Определите, равносильны ли уравнения или неравенства: а) 2х - 1 > 2 и 2(х - 1) > 1; б) (t - 1)(t + 2) < 0 и t2 + t < 2; в) 2d - 1 = 4 - 1,5d и 3,5d - 5 = 0; г) “(“ - 1) = 2“ + 5 и “2 - 3“ - 5 = 0; д) (а - 2)(a + 1) < 3a + 3 и a - 2 < 3; е) b(b + 3) > 2b и b2(b + 3) > 2b2; ж) 23" + 1 = 2-3 и 3v + 1 = -3; з) + 2 = 3 и y + 2 = 9. 365. Установите, какое из двух уравнений является следствием другого: а) v - 3 = 0 и v2 - 5v + 6 = 0; б) 1^ = и \[х2 = 5; в) г) У - 3у + 2 у -1 = 0 и у2 - 3у + 2 = 0; а - 2 а - 3 а + 3 а + 2 и (а - 2)(а + 2) = (а - 3)(а + 3). 366. Определите, какое из двух неравенств является следствием другого: д) b > 4 и b > 2; е) b > 4 и b > 4; ж) “ > 0 и > 0; з) “ > 2 и > ^2. а) x > у и X2 > у2; б) X5 > у5 и X > у; в) а > 0 и а2 > 0; г) а > 0 и а7 > 0; 367. Определите, верно ли утверждение а) /2(х) = g2(x) ^ f(x) = g(x); б) f(x) = g(x) ^ f(x) • X = g(x) • x; ^ f(x) = g(x); f(x) + V1 - x2 = g(x) + ^1 - x ’ f (x) g (x) г) f (x) = g(x) = д) f(x) = g(x) ^ |f(x^ = |g(x)|. Правообладатель Народная асвета 105 (4) X2 + ^2 = 2; x 368. Есть уравнения: (1) Vx + 2 = |x|; (2) X + — = 2; (5) X = X2; x (3) 4x + 2 =42 - x; (6) X2 + ^2 = 5; X + 5 (7) ^; (8) Vx X + 1 = 0. Укажите все пары уравнений, для которых выполняется условие: а) P(x) ^ Q(x); б) P(x) ^ Q(x). 369. Решите уравнение: а) Wk + 6 = k + 1; в) с - 5 = \]c + 1; д) л/2а - 7 = a - 21; б) л/12 - k = k; г) 41-y = y + 2; е) 4f-2 = f - 4. 370. Решите уравнение: а) л/x + 2 = 2 + \/X - 6; г) 4У + sj25 - у = 5; б) 2 + у/a - 7 a + 1; д) 4ь + у/16 - b = 4; в) sld + 20 = 3 + sjd - 1; е) ^/^ + 2 = ^t + 4. 371. Решите уравнение: а) 2у!z + 18 = 15 -yj4z - 3; б) л/22 - с = 2 + у! 10 - с; в) yj2n + 2 = 1 2n + 1; г) ^1 - h =у1 16 - 4h - 2. 372. Решите уравнение: а) б) 8 710 - X 3 7з - с + 1 10 - X = 2; ^3 - с = 5; г) yjz + 3 ■\J z + 3 + 3 = 2; д) = -3; 2 + v 2 - v в) - ^b-.! = 1; b -1 2b +1 е) 1 - n n + 1 /1 - 3 2. n. 1 373. Решите уравнение: а) л/n2 + 3n + 5 + n2 = 3n + 7; б) Vb3 + 8 + 4b3 + 8 = 6; в) ^с2 + 15 - ^/c4с2 + 15 = 2; г) d2 Wd2 + 20 = 22; 106 Правообладатель Народная асвета x д) - 4m - 6 = yj2m^ - 8m + 12; е) Vc2 + c + 7 + Vc2 + c + 2 = \ISc^ + 3c + 19; ж) (p + 4) • (p + 1) - ^p2 + 5p + 2 = 6; з) q2 - 3q - ^9q2 + q - 2 = -18 - 298 q. 374. Решите уравнение: а) \j4x2 - 1 + x = \x - 2|; в) \j2t2 - 3t + 1 = |t + 1 -1; б) \J4 - c2 - 2c = |2 - c|; г) ^1 - p - p2 = p -1p - ^. 375. Решите уравнение: а) \j3a - 5 a - 2 = 1; б) y/b + 1 -у/9 - b =y]2b - 12; в) V2c + 5 W5c + 6 W12c + 25; г) yjd - 2 d + 3 = 2; д) sfm -yj m + 1 + yfm+~9 - у/ m + 4 = 0; е) V4-2n ^У2ТП = ^/2; ж) Vp - 1 W3 - p = 1; з) ^2q ^J6q2 + 1 = q + 1. 376. Решите систему уравнений: а) ^ x + yj x + У = 4, в) 1V 2c + b + 1 - у! c + b [у - x = 7; [3c + 2b = 4; б) ^^yfz-4у = ■|^/Zy, г) ^ a + b + yj a - b = 3, [z + У = 5; [a + b = 4. 377. Решите систему уравнений: а) ^ У x + У = 10; в) ^ n It - n = 3; б) ' 3d - 2у 2d = 2, и + 1 г) ' 2d у 3d - 2у d - У = 5; Правообладатель Народная асвета v и + 1 и + v = 11. = 2, 107 378. Решите неравенство: а) Vl4 - x > 2 - x; в) Vod—20 > d; б) л/о + 78 < v + 6; г) 7\/1 - 42 < t; д) л/c + 6 < c; е) ^m + 48 > m. 379. Решите неравенство: а) Vx2 - 4x > x - 3; е) л/b + 3 - Vb - 4 > 2; б) ^3у2 - 22y > 2y - 7; в) \Jz^ - 5z + 6 < 2 + 4; г) V2t2 + 7t + 50 > t - 3; д) \/a + 1 - da - 2 < 1; ж) dc - 1 + \/c + 2 < 1; з) d3d + 1 + dd - 4 - d4d + 5 < 0; и) 2yfm+1 - \lm - 1 > 2 m - 3; к) do-3 + d! - n > \j8n - 5. 380. Решите неравенство или уравнение: а) 2 + > 1 I2 2 ^4-m2 m б) — 1; в) + ^ly + 3 - ^y -1 — 1; г) Vz + 2 + 2\jz + 1 + \Jz + 2 - 2jz + 1 — 2; д) Vt + 19 - 8\/1 + 3 - \Jt + 7 - Wt + 3 — 2. 381. На координатной плоскости представьте множество точек, заданное неравенством: а) 3x - 2y + 6 > 0; д) yz > 1; б) у - 2x > 1; е) xy < -2; в) ax > 0; ж) b2 - y2 < 0; г) (e - 2)(e - 2z) < 0; з) m2 + n2 < 2(m - n). 382. На координатной плоскости представьте множество точек, заданное неравенством: а) x2 > xt + 1; в) z > ■1; д) в2 + y2 > s + y; 1 , 1 г) 1 + 1 ^ °; е) z + 1 ^ y. б) c + t < t2; 108 Правообладатель Народная асвета 2 1 а) б) в) г) д) е) 383. Представьте графически множество точек, являющихся решениями системы неравенств: a + x2 < 0, a - x2 > 1; b2 + у2 < 4, \b\< 1, Ы >1; 384. Определите, при каких значениях переменной a имеет один корень уравнение: а) \Jx + a = x + 1; в) Vc + 1 = c - a; б) \ja - z = 2 - z; г) 42—n = a - n. 385. Решите уравнение при различных значениях переменной c: 2x - у + 2 > 0, x + у + 1 < 0; z > 2t, zt < 1; Оb + у| > У, [b - у < 0; I c2 + t2 > 1, |c2 + t2 < 16. а) \l4x + c = 2x + 1; г) ^jy - 3 + ^y - 7 = c б) \jc + u + sjc - u = u; д) VT в) 2z + cz + 4~z = 0; е) x = c + ^Jx^ + 2(c + 1)x + 4c + t + t + ^Уl — t + t — c; 386. Решите уравнение при различных значениях переменной d: а) z + sjd + \fz — d; в) ^2y + d - -yjy - 1 — 2; б) s2 - \/d - s — d; г) ^Jx - \jx + 2dx/x2 + 7d^ — 0. 387. Определите, при каких значениях переменной a име- ет корни уравнение: а) x + ^/x — a; г) \Ju + a + б) \jv + a — v; д) \lz + 2 - в) ^^4 + 2 — a + \l^4 - 3; е) Jx2 + x + — x -■ , (x -1)2 x -1 388. Определите, при каких значениях переменной: а) c корни уравнения ^y2 - y - 2c2 + 2c + 2 — y +1 имеют разные знаки; б) b уравнение b - t2 — sjb + t имеет неотрицательные корни. Правообладатель Народная асвета 109 2 a 389. Определите, при каких значениях: а) переменной q уравнение q 6z - z2 - 8 = = 3 ^ 1 + 2qz - q2 - z2 имеет единственный корень; б) переменных a, b, c уравнение \jx + afx + b + \[x = бесконечно много корней. c имеет 390. Решите неравенство при различных значениях переменной a: а) 2х + Va2 - x2 > 0; б) \jx - 2 x - 6 < a. 391. Выделите полный квадрат и найдите область значений функции, заданной квадратным трехчленом: а) x2 - 2x + 5; в) c2 + 3c + 2; д) 0,5a2 - a + 2; б) 4b2 - 2b - 1; г) 2f2 - 2f + 5; е) 3t2 - 5t + 1. 392. Найдите коэффициент при x2 у многочлена, тождественно равного выражению: а) (x - 3)3 - (2x (5 + (x - 2)2) - 7); б) 4(x - 1)(2 - x)(3 + 2x) - x(1 - 2x)2; в) (x2 + x + 2)(x + 1) + (2x2 - x - 1)(x - 2); г) (2x + 1)(x + 2)(x - 1) - (x + 1)(x - 2)(x - 3). 393. Определите, при каких целых значениях переменных a, b, c тождеством является равенство: а) x4 + 2x3 + 2x2 + 6x - 3 = (x2 + ax + 1)(x2 + bx + c); б) x4 + 2x3 + 2x2 + 6x - 3 = (x2 + ax - 1)(x2 + bx + c); в) x4 - 5x3 + 8x2 - 3x - 3 = (x2 + ax + 1)(x2 + bx + c); г) x4 - 5x3 + 8x2 - 3x - 3 = (x2 + ax - 1)(x2 + bx + c). 394. Решите уравнение: а) (x + 0,5)(x2 - 9) = (2x + 1)(x + 3)2; б) (t - 0,3)(4t2 - 9) = (10t - 3)(t - 1,5)2; в) (5a - 1)(2a - 5)2 = (4a2 - 25)(a - 0,2); г) (2Z + 8)2(13Z - 39) = 26(Z - 3)(4Z2 - 64). 395. Найдите скорости пешеходов, которые вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов A и B, расстояние между которыми равно: а) 26 км, учитывая, что через 2 ч расстояние между ними сократилось до 8 км, а еще через 2 ч одному осталось пройти до B на 4 км меньше, чем другому до A; 110 Правообладатель Народная асвета б) 30 км, учитывая, что они встретились через 3 ч 20 мин, а если бы первый вышел на 2 ч раньше второго, то встреча произошла бы через 2,5 ч после выхода второго. 396. Дорога из A в B состоит из трех участков — под гору, горизонтального и в гору. Определите: а) протяженность горизонтального участка, учитывая, что с горы пешеход идет со скоростью 5 км/ч, на горизонтальном участке — со скоростью 4 км/ч, в гору — со скоростью 3 км/ч, на путь из A в B пешеход затрачивает 2 ч 54 мин, из B в A — 3 ч 6 мин, а длина дороги равна 11,5 км; б) скорости туриста на каждом участке пути — под гору, на горизонтальном и в гору, — длины которых соответственно равны 3 км, 5 км, 6 км, учитывая, что турист затратил на то, чтобы пройти из A до середины пути и вернуться назад в A, 3 ч 36 мин, на путь от A до B — 3 ч 27 мин, а на путь от B до A — 3 ч 51 мин. 397. Определите вид треугольника, углы которого относятся как: а) 2 : 3 : 5; б) 3 : 4 : 8; в) 4 : 5 : 8. 398. Найдите углы между парами биссектрис треугольника, углы которого относятся как: а) 2 : 3 : 5; б) 3 : 4 : 5; в) 3 : 5 : 10. 399. Отрезок CD является высотой прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. Найдите неизвестные стороны треугольника, учитывая, что: а) AB = 24, AD = 6; в) AC = 13, tg (Z ACD) = 2,4; б) AD = 1,96, BD = 23,04; г) AC = 8, AB - BC = 2. 400. Найдите площадь треугольника ABC, учитывая, что: а) AB = 3, AC = 4, Z A = 45°; б) AB = 5, AC = 13, Z B = 90°; в) AB = 11, AC = 12, BC = 17; г) AB = 4, AC = 5, Z B = 60°. 401. Точки A, B и C — соответственно середины ребра ^1^, диагонали NiM грани и диагонали NiL куба MNKLM1N1K1L1. Найдите площадь сечения пирамиды N1MNKL плоскостью ABC, учитывая, что полная поверхность куба равна 96 см2. Правообладатель Народная асвета 111 402. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды REFGH, каждое ребро которой равно l, плоскостью, проходящей через вершину R, середину ребра EF и параллельной диагонали GE основания, и найдите площадь сечения. 403. Точка Q — центр основания NKL правильной треугольной пирамиды MNKL, а точка E делит ребро ML на 13 26 отрезки ME и EL, соответственно равные — см и — см. До- 3 3 кажите, что прямая QE параллельна плоскости NMK, и найдите длину отрезка QE, учитывая, что NK = 10 см. 404. Точки M и N — середины ребер BD и CD треугольной пирамиды ABCD, все ребра которой равны друг другу. Найдите косинус угла между прямыми AM и BN. 405. Есть треугольная пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник, а боковые ребра равны друг другу. Через центр основания параллельно двум непересекающимся ребрам проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения, учитывая, что боковое ребро пирамиды равно т, а сторона основания — п. 406. Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке B, проходит через вершину C и пересекает сторону AC в точке D. Найдите сторону BC, учитывая, что ZA = 60°, BD = 35 см и AC - AB = 24 см. 407. В окружность вписан четырехугольник ABCD, биссектрисы углов B и D которого пересекаются на диагонали AC. Учитывая, что AB = 66, DC = AC = 77, найдите две остальные стороны этого четырехугольника. 408. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, одна сторона которого равна 14, прилежащий к ней угол — 45°, а площадь — 56. * * * 409. Уравнение х4 + ах3 + 29х2 + bx + 4 = 0 с рациональными коэффициентами имеет своим корнем число 2 + \fs. Найдите остальные его корни. 410. На сторонах AB и BC квадрата ABCD выбраны такие точки M и N, что MB + BN = AB. Докажите, что прямые DM и DN делят отрезок AC на три части, которые могут быть сторонами треугольника, один из углов которого равен 60°. 112 Правообладатель Народная асвета 411. Учитывая, что a — определенное число, решите систему уравнений ax1 = x2 + x5. ax2 = x1 + X3, ax3 = x2 + x^, ax4 = x3 + x5, ax5 = x1 + x4. 412. Последовательность (ak) задана условиями а^ = 0, а2 = 1 и ак +1 = ак - i + ^12ak (ak + 1) + 1 при к > 1. Докажите, что все члены этой последовательности, кроме первого, являются натуральными числами. Правообладатель Народная асвета Раздел Пирамида и конус 9. Пирамида Вы уже знакомы с пирамидой, т. е. многогранником, одна грань которого является многоугольником, а остальные грани-треугольники имеют общую вершину. Треугольные грани пирамиды, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями, а эту общую вершину — вершиной пирамиды. Ребра боковых граней, сходящиеся в вершине пирамиды, называют боковыми ребрами пирамиды. Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называют основанием пирамиды (рис. 107). Пирамиды разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Пирамида, изображенная на рисунке 107, — пятиугольная, а на рисунке 108, — восьмиугольная. Треугольную пирамиду называют еще тетраэдром. У тетраэдра все грани являются треугольниками (рис. 109). Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 108 показана высота SO пирамиды SABCDEFGH. Основание высоты может и не принадлежать основанию пирамиды (рис. 110). Вершина Боковое ребро Боковая грань Основание Плоскость, проходящая через два боковых ребра пирамиды, не принадлежащие одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение пирамиды диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 111 показано диагональное сечение шестиугольной пирамиды. Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а основание ее высоты совпадает с центром этого многоугольника, называется правильной пирамидой (рис. 112). Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды. Отметим, что в правильной пирамиде: боковые ребра равны; боковые грани равны; апофемы равны; двугранные углы при основании равны; двугранные углы, при боковых ребрах равны; каждая точка высоты равноудалена от вершин основания; каждая точка высоты равноудалена от ребер основания; каждая точка высоты равноудалена от боковых граней. Отметим, что если в пирамиде равны все: боковые ребра, то около ее основания можно описать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты, пирамиды, (рис. 113); двугранные углы при основании, то в это основание можно вписать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 114). Правообладатель Народная асвета 115 Рис. 116 116 Боковые грани составляют боковую поверхность пирамиды, а боковые грани вместе с основанием — полную поверхность пирамиды. Вы знаете, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра ее основания и апофемы. Теорема 1. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то: а) боковые ребра и высота разделяются на пропорциональные части; б) в сечении получается многоугольник, подобный основанию; в) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды. Используя рисунок 115, докажите эту теорему самостоятельно. Секущая плоскость, параллельная основанию пирамиды, разделяет ее на две части (рис. 116). Одна из этих частей также является пирамидой, а другая — многогранником, который называется усеченной пирамидой. Параллельные грани усеченной пирамиды называются ее основаниями (рис. 117). Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники, стороны которых попарно параллельны, поэтому ее боковые грани являются трапециями. Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания пирамиды к плоскости другого основания. Правообладатель Народная асвета Основание Высота - Основание Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой усеченной пирамиды. На рисунке 118 показана четырехугольная правильная усеченная пирамида и одна из ее апофем. Теорема 2. Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований и апофемы: S6 = ^(^1 + P2)l. Доказательство. Пусть есть правильная п-угольная усеченная пирамида (рис. 119). Пусть Р1 и Р2 — соответственно периметры нижнего и верхнего оснований и l — апофема пирамиды. Боковая поверхность данной пирамиды состоит из п равных трапеций. Пусть a и b — основания одной из этих трапеций, тогда ее площадь равна ■1 (а + b)l. Учитывая, что боковая поверхность пирамиды состоит из п таких трапеций, получим, что «бок = (а + b)ln = ^2 (ап + bn)l = 2 (Р1 + Pg)l. Теперь установим формулу для вычисления объема пирамиды. Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими. Теорема 3. Треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики. Правообладатель Народная асвета 117 А Доказательство. Пусть есть две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами (рис. 120). Разделим высоты одной и другой пирамид на n долей и через точки деления проведем плоскости, параллельные основаниям. Этим самым пирамиды разделяются на n частей. Для каждой части первой пирамиды построим наибольшие по объему призмы, целиком содержащиеся в пирамиде, а для каждой части другой пирамиды — наименьшие по объему призмы, целиком содержащие эту часть. Пусть V1 и V2 — объемы первой и второй пирамид, а Q1 и Q2 — суммарные объемы призм, построенных для этих пирамид. При счете от оснований пирамид призма в k-й части первой пирамиды равновелика призме для (k + 1)-й части второй пирамиды, так как у этих призм равновелики основания и равные высоты. Поэтому объем Q2 больше объема Q1 на объем первой призмы, у которой основанием является основание второй пирамиды, а высота равна П, где h — высота пирами- h h ды (см. рис. 120), т. е. Q2 = Q1 + S • n, или Q1 = Q2 - S • n, где S — площадь основания пирамиды. Теперь учтем, что V1 > Q1, а V2 < Q2. Поэтому V1 > V2 - S • ^h, или V2 - V1 < S • ^h. При увеличении значения переменной n значение выражения S • h стремится к нулю, а это означает, что V2 - V^ < 0, или V2 < V1. (1) Такие же рассуждения можно провести, если первую и вторую пирамиды поменять ролями. В результате получим неравенство V1 < V2. (2) Из неравенств (1) и (2) следует, что V^ = V2. А 118 Правообладатель Народная асвета Теорема 4. Объем пирамиды равен третьей доле произведения площади ее основания и высоты: V = 1S 3 о H. Доказательство. Пусть есть треугольная пирамида QABC (рис. 121). Достроим ее до призмы ABCEDQ с основанием ABC (рис. 122). Отделим от призмы данную пирамиду, получится четырехугольная пирамида QBDEA (рис. 122 и 123). Диагональная плоскость QDA разделяет ее на две пирамиды QDAB и QDAE, у которых одна и та же высота, проведенная из вершины Q, и равные основания ABD и AED. Поэтому, в соответствии с теоремой 3, пирамиды QDAB и QDAE равновелики. Сравним пирамиду QDAE с данной пирамидой QABC. У них равные основания QDE и ABC и высоты, проведенные из вершин A и Q, поэтому эти пирамиды также равновелики. Получается, что все три пирамиды QABC, QDAB и QDAE равновелики. Поскольку объем призмы ABCEDQ равен произведению SH площади S основания ABC и высоты призмы H, которая равна высоте пирамиды QABC, то объем пирамиды QABC, т. е. третьей части призмы ABCEDQ, равен третьей доле этого объема, т. е. ^ 8осн • H. 3 Пусть теперь есть произвольная пирамида QA1A2A3^An_ 1An (рис. 124). Через диагонали A^A3, A^A4, ^, A1An _ 1 основания A1A2A3^An _ 1An, выходящие из одной вершины A1, проведем диагональные сечения, они разделят данную Рис. 121 Правообладатель Народная асвета 119 пирамиду на треугольные пирамиды QAiA2A3, QAiA3A4, QA-^A^_ ^A^. Поскольку все они имеют общую высоту H, то • H = V = 1SA A A 3 a1a2A3 H + 1 sa a a 3 a1a3A4 H + ••• + — Sa a a 3 A1 ^An - 1An 3 H (SAi A2Аз + SAiA3A4 + ^ + SAi A^ - — A^ ) 3 H ' Sосн 3 Sоcн ' H. Пример. Найдем объем усеченной пирамиды, нижнее и верхнее основания которой имеют площади S— и S2, а высота равна H (рис. 125). Для этого достроим данную усеченную пирамиду до полной. Пусть высота дополнительной пирамиды равна х. Искомый объем V можно найти как разность объемов полной и дополнительной пирамид: V = ,3Si(H + х) - ^S2X = 3(S—H + + S—x - S2x) = — (S—H + (S— - S2)x). 3 Чтобы найти высоту x, используем установленное в теореме 1 утверждение о том, что площади сечений пирамиды относятся как квадраты их расстояний от вершины: (H + x)2 Решим это уравнение, учитывая, что S— и S2 — положительные числа: S2 _ \[S2i = x ~ -JS— ~ H+x S— (H + x)2 ^ — _ hS2 = xUS— ^S2) _ x = VS1 - S2 Значит, _ H\] S2 + x\l S2 = x\l S1 _ (S— - S2 V = —{s1h^ ^ . n 4S— ^ )WS2 \ _ 3 H(Si + US— )US~i ys^\ _ ^/S— ^S~2 } _ — h(Si + {4s— + 4s2)4s2) _ 3H{s— ^fS—s~2 + S2). Таким образом, объем V усеченной пирамиды равен третьей доле произведения высоты Н пирамиды и суммы площадей S1 и S2 оснований пирамиды и их среднего геометрического 4Ss~2: V = ,3H{S— + S2 +4SS2). 120 Правообладатель Народная асвета 2 x 1. Какой многогранник называется пирамидой? * 2. Какую пирамиду называют тетраэдром? 3. Какую грань пирамиды называют ее основанием и какие грани — бо- ковыми гранями ? 4. Какие ребра пирамиды называют боковыми ребрами и какую точку — вершиной пирамиды? 5. Какой отрезок называют высотой пирамиды? 6. Какая плоскость называется диагональной плоскостью пирамиды и какой многоугольник — диагональным сечением пирамиды? 7. Какая пирамида называется правильной пирамидой? 8. Какой отрезок называется апофемой пирамиды? 9. Сформулируйте свойства элементов правильной пирамиды: боковых ребер; боковых граней; апофем; двугранных углов при основании; двугранных углов при боковых ребрах; точек высоты. 10. Сформулируйте свойство основания пирамиды, у которой равны все: боковые ребра; двугранные углы при основании. 11. Что понимают под боковой поверхностью пирамиды; полной поверхностью пирамиды? 12. Как связаны между собой боковая поверхность правильной пирамиды, периметр ее основания и апофема? 13. Сформулируйте свойства отрезков боковых ребер и высоты пирамиды, на которые они разделяются плоскостью, параллельной основанию. 14. Сформулируйте свойства сечения пирамиды плоскостью, параллельной основанию. 15. Какой многогранник называется усеченной пирамидой? 16. Какие грани усеченной пирамиды называют ее основаниями и какой отрезок — ее высотой? 17. Какая усеченная пирамида называется правильной и какой отрезок называется апофемой правильной усеченной пирамиды? 18. Как связаны между собой боковая поверхность правильной усеченной пирамиды, периметры ее оснований и апофема? 19. Какие тела называют равновеликими? 20. Какое свойство имеют треугольные пирамиды с равновеликими ос- нованиями и равными высотами? 21. Чему равен объем пирамиды? 413. Установите, сколько вершин, ребер и граней имеет: а) н-угольная пирамида; б) усеченная н-угольная пирамида. 414. В правильной пирамиде найдите точку, равноудаленную от всех ее: а) вершин; б) ребер; в) граней. 415. Есть правильная пирамида. Можно ли утверждать, что она имеет плоскость симметрии? Правообладатель Народная асвета 121 416. Найдите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, у которой: а) боковое ребро равно b и составляет с плоскостью основания угол а; б) сторона основания равна а, а двугранный угол при основании — а. 417. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а, а боковое ребро — 2а. Найдите: а) площадь каждого диагонального сечения; б) угол между боковым ребром и основанием. 418. Докажите, что в правильной пирамиде: а) боковые ребра равны; б) боковые грани равны; в) апофемы равны; г) двугранные углы при основании равны; д) двугранные углы при боковых ребрах равны; е) каждая точка высоты равноудалена от вершин основания; ж) каждая точка высоты равноудалена от ребер основания; з) каждая точка высоты равноудалена от боковых граней. 419. Докажите, что если в пирамиде равны все: а) боковые ребра, то около ее основания можно описать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды; б) двугранные углы при основании, то в это основание можно вписать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды. 420. Докажите, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра ее основания и апофемы. 421. Докажите, что если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то: а) боковые ребра и высота разделятся на пропорциональные части; б) в сечении получится многоугольник, подобный основанию; в) площади сечения и основания будут относиться как квадраты их расстояний от вершины пирамиды. 122 Правообладатель Народная асвета 422. Докажите, что в правильной усеченной пирамиде: а) боковые ребра равны; б) боковые грани равны; в) апофемы равны; г) двугранные углы при основании равны; д) двугранные углы при боковых ребрах равны; е) сумма двугранных углов при параллельных ребрах одной боковой грани равна 180 °. 423. Боковые ребра пирамиды равны друг другу. Определите, может ли основание пирамиды быть: а) ромбом; в) трапецией; б) прямоугольником; г) правильным шестиугольником. 424. Есть пирамида, у которой двугранные углы при основании равны друг другу. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание; б) высоты всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны; в) боковая поверхность равна произведению полупериметра основания и высоты боковой грани, проведенной из вершины пирамиды. 425. Сечение пирамиды, параллельное ее основанию, делит высоту в отношении 2 : 3, если считать от вершины. Найдите его площадь, учитывая, что она на 105 см2 меньше площади основания. 426. Найдите высоту пирамиды, стороны основания которой равны 13, 14 и 15, учитывая, что: а) все боковые ребра составляют с основанием углы, равные а; б) все боковые грани составляют с основанием углы, равные р. 427. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 13 см, а одна из диагоналей — 10 см. Найдите боковые ребра пирамиды, учитывая, что ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 35 см. 428. Прямоугольный треугольник ABC, гипотенуза AB и катет AC которого соответственно равны 29 см и 21 см, является основанием пирамиды DABC. Ее ребро DA перпендикулярно плоскости основания и равно 20 см. Найдите боковую поверхность пирамиды. Правообладатель Народная асвета 123 429. В основании пирамиды лежит параллелограмм со сторонами 60 см и 108 см и площадью 3240 см2, точка пересечения диагоналей которого является основанием высоты пирамиды. Найдите боковую поверхность пирамиды, учитывая, что ее высота равна 36 см. 430. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами основания 6 см и 14 см и одной из диагоналей 12 см, а ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды. 431. Есть пирамида с квадратным основанием. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а один из двугранных углов при основании равен 45°. Учитывая, что наибольшее боковое ребро равно 12 см, найдите: а) высоту пирамиды; б) боковую поверхность пирамиды. 432. Найдите апофему и высоту правильной усеченной треугольной пирамиды, у которой стороны оснований равны 15 см и 5 см, а боковое ребро — 13 см. 433. Найдите площадь диагонального сечения правильной усеченной четырехугольной пирамиды, у которой стороны оснований равны a и b, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол а. 434. Прямоугольник с диагональю 24 см является основанием пирамиды, плоскости двух боковых граней которой перпендикулярны плоскости основания, а плоскости двух других боковых граней образуют с основанием углы в 30° и 45°. Найдите поверхность пирамиды. 435. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 24 см, 20 см и 20 см, а каждая боковая грань наклонена к основанию под углом в 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 436. Учитывая, что высота треугольной пирамиды равна 40 см, высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, — 41 см, а периметр основания — 42 см, докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание, и найдите площадь этого основания. 124 Правообладатель Народная асвета 437. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 20 см. Боковые ребра пирамиды равны друг другу, а ее высота равна 24 см. Найдите боковое ребро пирамиды. 438. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом в 120°, а боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в 45°. Найдите площадь основания пирамиды. 439. Равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и W6 см и высотой 5 см является основанием пирамиды, каждое боковое ребро которой равно 13 см. Найдите высоту пирамиды. 440. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, а ее высота — H. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды; д) двугранный угол при боковом ребре пирамиды. 441. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды имеет длину 12 см и образует угол в 60° с плоскостью основания. Найдите поверхность пирамиды. 442. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна l, а плоский угол при вершине — а. Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое ребро; в) угол между боковой гранью и плоскостью основания; г) двугранный угол при боковом ребре пирамиды. 443. Найдите боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды, учитывая, что сторона ее основания равна а, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведенного через вершину пирамиды и большую диагональ основания. 444. Все двугранные углы при основании пирамиды рав- Q S„ 2Q cos2 , где Sбок и ны ф. Докажите, что Sбок = cos ^ полн cos ф — боковая и полная поверхности пирамиды, Q — пло- S щадь ее основания. Правообладатель Народная асвета 125 445. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 63 см, апофема — 65 см, а стороны оснований относятся как 7 : 3. Найдите эти стороны. 446. Плоскость, параллельная основанию правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1 : 2, если считать от вершины. Апофема полученной усеченной пирамиды равна 4 дм, а ее полная поверхность — 186 дм2. Найдите высоту усеченной пирамиды. 447. Основаниями усеченной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 см и 3 см, а одно из ее боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 1 см. Найдите боковую поверхность пирамиды. 448. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 5 м и 8 м, а высота — 3 м. Плоскость проходит через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания. Найдите площадь сечения и двугранный угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. 449. Найдите объем пирамиды с высотой h, учитывая, что: а) h = 20 см, а основанием является квадрат со стороной 30 см; б) h = 22 м, а основанием является треугольник ABC, в котором AB = 2 м, BC = 1,35 м, Z ABC = 30°. 450. Найдите поверхность и объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8 см, а высота — 20 см. 451. Найдите боковую поверхность и объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а высота — 12 см. 452. Все боковые грани пирамиды SABC наклонены к основанию под углом 45°. Найдите объем пирамиды, учитывая, что AC = 15 см, BC = 8 см, Z ACB = 60°. 453. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой: а) высота равна h, а двугранный угол при основании — а; б) сторона основания равна а, а плоский угол при вершине — а; 126 Правообладатель Народная асвета в) сторона основания равна а, а двугранный угол при боковом ребре — а; г) радиус окружности, вписанной в боковую грань, равен г, а острый плоский угол при одной из вершин основания — а; д) высота равна H, а двугранный угол при основании — в; е) сторона основания равна т, а плоский угол при вершине — а; ж) боковое ребро равно l и составляет с плоскостью основания угол ф. 454. Квадрат является основанием пирамиды, две ее грани перпендикулярны основанию, двугранный угол между противолежащими боковыми гранями равен а, а высота пирамиды — h. Найдите объем, боковую и полную поверхности пирамиды. 455. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, у которой: а) боковое ребро равно b и составляет с плоскостью основания угол а; б) боковое ребро равно b и составляет с прилежащей стороной основания угол а; в) радиус окружности, описанной около боковой грани, равен R, а плоский угол при вершине — а; г) высота равна 15 см, а сторона основания — 12 см; д) боковое ребро равно l и составляет с плоскостью основания угол ф; е) боковое ребро равно l и составляет с прилежащей стороной основания угол а; ж) боковое ребро равно l, а плоский угол при вершине — в; з) плоский угол при вершине равен ф, а сторона основания — а. 456. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны 25 см, а третья сторона — 48 см. Найдите объем пирамиды, учитывая, что каждое ее боковое ребро равно 105 см. 457. Найдите объем и боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды, учитывая, что ее боковое ребро равно 37 см, а диаметр круга, вписанного в основание, — 24 см. Правообладатель Народная асвета 127 458. Найдите объем пирамиды, основанием которой является: а) равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB и BC, равными 26 см, и основанием AC, равным 20 см, а каждое боковое ребро пирамиды образует с ее высотой угол в 30°; б) прямоугольный треугольник с катетами a и b, а каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом ф; в) ромб со стороной 15 см, каждый из двугранных углов при основании равен 45°, а высота пирамиды равна 6 см. 459. Основание четырехугольной пирамиды — прямоугольник с диагональю b и углом а между диагоналями. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Найдите этот угол, учитывая, что объем пирамиды равен V. 460. Найдите объем треугольной пирамиды QABC, учитывая, что: а) Z CAB = 90°, BC = c, ZABC = ф и каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол а; б) AB = 12 см, BC = CA = 10 см и двугранные углы при основании равны 45°; в) боковые ребра попарно перпендикулярны и имеют длины a, b и c. 461. Основанием пирамиды IJKL является треугольник, в котором JK = 20 см, JL = 29 см, KL = 21 см. Грани IJK и IJL перпендикулярны плоскости основания, а грань IKL составляет с ней угол в 60°. Найдите объем пирамиды. 462. Одно ребро тетраэдра равно 12 см, а остальные ребра — 9 см каждое. Найдите объем тетраэдра. 463. Одна из сторон основания треугольной пирамиды равна 16 см, противолежащее ей боковое ребро — 18 см, каждое из четырех остальных ребер — 17 см. Найдите объем пирамиды. 464. Определите, как изменится площадь боковой, полной поверхностей и объем пирамиды, если, оставив углы прежними, все ее ребра: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 5 раз. 128 Правообладатель Народная асвета 465. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 24 дм и 10 дм, а каждое боковое ребро равно 85 дм. Пирамида пересечена плоскостью, которая параллельна плоскости основания и делит боковое ребро пополам. Найдите объемы полученных частей пирамиды. 466. Кристалл кварца состоит из правильной шестиугольной призмы с боковым ребром 6,2 см и стороной основания 1,7 см и двух правильных шестиугольных пирамид с боковым ребром 2,5 см. Найдите массу кристалла, учитывая, что плотность кварца равна 2,7 г/см3. 467. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 7 см, а стороны оснований — 10 см и 2 см. Найдите боковое ребро пирамиды, ее диагональ и объем. 468. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 4 см и 10 см, а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна 42 см2. Найдите объем пирамиды. 469. Найдите объемы частей пирамиды, на которые она рассечена плоскостью, параллельной основанию, учитывая, что: а) это основание и полученное сечение являются равнобедренными прямоугольными треугольниками с гипотенузами m и п, две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны основанию, а третья составляет с ней угол ф; б) пирамида правильная четырехугольная, стороны основания и полученного сечения равны a и , а апофема — а. 470. Диагонали трапеции ABCD с периметром 14,4 пересекаются в точке Q. Точки A1, B1, C1, D1 на диагоналях выбраны так, что QA1 : QA = QB1 ■ QB = QC1 ■ QC = 2 : 3. Найдите периметр четырехугольника A1B1C1D1. 471. В равнобедренный треугольник с боковой стороной 20 и основанием 24 вписана окружность, и к ней проведена касательная, параллельная основанию. Найдите периметр треугольника, отсеченного этой касательной. Правообладатель Народная асвета 129 472. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны такие точки M и N, что прямая MN проходит через центр вписанной в треугольник окружности и параллельна AC. Найдите периметр треугольника ABC, учитывая, что: а) MB = 12, BN = 15 и MN = 18; б) MB = n, BN = m и MN = b. 473. Найдите стороны прямоугольника, который прямая делит на два подобных друг другу прямоугольника с диагоналями 15 и 20. 474. Наименьшая из диагоналей двух подобных ромбов равна 6, а наибольшая — 12. Найдите стороны ромбов, учитывая, что их площади отличаются на 30. 475. Ученик при перемножении двух чисел ошибся: цифра десятков в произведении оказалась на 4 меньше нужной. При делении полученного им произведения на больший множитель в частном получается 52 и в остатке — 107. Найдите множители, учитывая, что они отличаются на 94. 476. В некоторой дроби знаменатель на 1 больше удвоенного числителя. Если эту дробь умножить на дробь, у которой числитель и знаменатель увеличены на 5, то получится 0,28. Найдите исходную дробь. 477. В шахматном турнире участвовали студенты и школьники. Школьников было в 10 раз меньше, и они набрали очков в 4,5 раза меньше. Сколько очков набрали студенты? 478. В треугольник вписана окружность. Определите, на какие части точки касания разбивают стороны, если эти стороны равны: а) 10 см, 17 см, 21 см; б) 15 см, 26 см, 37 см; в) 20 см, 51 см, 65 см. 479. Одна из высот остроугольного треугольника делит сторону на части длинами 48 см и 120 см. Найдите остальные стороны этого треугольника, учитывая, что радиус описанной около него окружности равен 85 см. 130 Правообладатель Народная асвета 480. Большая сторона тупоугольного треугольника равна 126 см, а высота, проведенная к ней, — 40 см. Найдите остальные стороны треугольника, учитывая, что радиус описанной около него окружности равен 65 см. 481. Две смежные стороны четырехугольника, описанного около окружности, равны 18 м и 24 м, а периметр — 68 м. Найдите остальные стороны четырехугольника. * * * 482. Докажите, что прямые, проведенные через точки А1, B1, С1 перпендикулярно прямым BC, AC, AB соответственно, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда A1B2 - BC12 + C1A2 - AB12 + B1C2 - CA12 = 0. 483. Радиус вписанной в треугольник окружности равен 1, а длины высот треугольника — целые числа. Докажите, что этот треугольник равносторонний. 484. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение cos x -1 sin aX^ = 1 имеет единственное решение. 485. Числа a, b и ^a + — рациональные, а число ^a — иррациональное. Докажите, что a + b = 0. 10. Конус Конусом называется тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через один из его катетов (рис. 126). На рисунке 127 показано образование конуса при враще- | нии прямоугольного треугольника ABC вокруг прямой l, которой принадлежит катет BC. При этом ломаная BAC описывает поверхность конуса, гипотенуза AB — боковую поверхность, а катет AC — основание конуса (рис. 128). Саму гипотенузу AB называют образующей конуса, неподвижную точку B — вершиной конуса, прямую, проходящую через неподвижный катет BC, — осью конуса, а перпендикуляр, опу- Рис. 126 Правообладатель Народная асвета 131 щенныи из вершины конуса на основание, — высотой конуса (рис. 129). Основание высоты конуса совпадает с центром основания конуса. Поверхность конуса можно развернуть на плоскость, в результате получится сектор, представляющий боковую поверхность конуса, и круг, представляющий основание конуса. На рисунке 130 представлены конус и его развертка. Теорема 5. Боковая поверхность конуса равна произведению полуокружности его основания и образующей: S6oK nrl. Доказательство проведите самостоятельно, используя рисунок 130. Важной пространственной конфигурацией, которая часто встречается в задачах, является сочетание конуса с плоскостью. Если конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится круг (рис. 131), а если плоскостью, проходящей через вершину, то — равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 132). 132 Правообладатель Народная асвета Рис. 131 Рис. 132 Рис. 133 Осевое сечение конуса, т. е. сечение плоскостью, проходя- щей через ось конуса, является равнобедренным треугольни- ком, у которого основание равно диаметру основания конуса (рис. 133). Проведем через вершину конуса секущую плоскость и будем ее поворачивать вокруг прямой, перпендикулярной оси конуса (рис. 134). При этом основание треугольника-сечения будет укорачиваться, а его боковые стороны сближаться до того момента, пока не совпадут. Получим плоскость, целиком содержащую образующую и не имеющую с конусом других общих точек. Такая плоскость называется касательной плоскостью конуса. Теорема 6. Если плоскость касается конуса по некоторой образующей, то ей перпендикулярна плоскость, проходящая через эту образующую и ось конуса. А Доказательство. Пусть плоскость а касается конуса с осью AB по образующей AC (рис. 135). Докажем, что плоскость, содержащая эту образующую и ось AB, перпендикулярна плоскости а. Правообладатель Народная асвета 133 Проведем прямую l, которая перпендикулярна образующей AC, пересекает ось конуса в точке M, отличной от вершины A. Через точку N проведем плоскость в, перпендикулярную оси AB, она пересечет конус па кругу с центром P и плоскость а — по прямой NR, касающейся окружности с центром P. Эта касательная по свойству касательной к окружности перпендикулярна радиусу PN соответствующей окружности. Но этот радиус является проекцией наклонной MN на плоскость в, поэтому по теореме о трех перпендикулярах прямая NR перпендикулярна наклонной MN, т. е. прямой l. Таким образом, прямая l перпендикулярна прямым AC и NR, которые пересекаются и лежат в плоскости а, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая l перпендикулярна плоскости а. Значит, плоскость ABC, содержащая прямую l, перпендикулярна плоскости а. А Теорема 6 выражает свойство касательной плоскости конуса. Теорема 7. Плоскость касается конуса, если она проходит через его образующую и перпендикулярна плоскости, проходящей через эту образующую и ось конуса. А Доказательство. Пусть плоскость а проходит через образующую AC конуса с осью AB и перпендикулярна плоскости ABC (рис. 136). Докажем, что плоскость а касается конуса, 134 Правообладатель Народная асвета т. е. что точки образующей AC, и только они, являются общими точками конуса и плоскости а. Точки образующей AC принадлежат и конусу, и плоскости а. Пусть E — какая-либо точка плоскости а вне образующей AC. Через эту точку проведем плоскость в, перпендикулярную оси AB, она пересекает поверхность конуса по окружности ю с центром F, образующую AC — в некоторой точке G и плоскость а — по прямой GE. Пусть GK — прямая, которая перпендикулярна плоскости а и пересекает ось AB в точке K. Тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая GE, проведенная в плоскости в через основание наклонной GK перпендикулярно к ней, перпендикулярна ее проекции FG. Значит, GE — касательная к окружности ю, и поэтому точка E находится вне окружности ю, а значит, и вне конуса. А Теорема 7 выражает признак касательной плоскости конуса. Пусть есть конус с вершиной P (рис. 137). Впишем в основание конуса многоугольник A1A2^An_ 1A^n и через его р Рис. 137 вершины A1, A2, An проведем образующие A1P, A2P, ^, An_ 1P, AnP. В результате получим тело PA1A2^An _ 1An, Правообладатель Народная асвета 135 n - 1? являющееся пирамидой. Ее называют пирамидой, вписанной в конус, а сам конус — конусом, описанным около пирамиды. Если основание конуса вписано в основание пирамиды, а боковая поверхность конуса касается боковых граней пирамиды, то говорят, что пирамида описана около конуса, или конус вписан в пирамиду (рис. 138). Теорема 8. Объем конуса равен третьей доле произведения площади его основания и высоты: V = 1S 3 о H. Доказательство. Пусть есть конус с осью MN (рис. 139). В него впишем правильную пирамиду MA1A2^An _ ^A^, а около него опишем правильную пирамиду MB1B2^Bn_ 1Bn. В соответствии с теоремой 4 объем первой пирамиды равен третьей доле произведения площади многоугольника A1A2^An_ ^A^ и высоты H пирамиды, т. е. высоты конуса, а объем второй — произведению площади многоугольника B1B2^Bn_ 1Bn и той же высоты. Объем самого конуса заключен между этими числами. Будем увеличивать количество n сторон оснований пирамид. Тогда объем первой пирамиды будет увеличиваться, объем второй — уменьшаться, причем их разность стремится к нулю, если значение переменной n неограниченно увеличивается. То число, к которому приближаются объемы обеих пирамид, принимается за объем конуса. В описанном процессе высота H пирамиды не изменяется, а площади обоих многоугольников — A1A2^An_ ^An и B1B2^Bn _ 1Bn — стремятся к площади S круга, являющегося основанием конуса. Значит, объем V конуса равен третьей доле произведения площади S основания конуса и его высоты H: V = 1S ^ ° H. 136 Правообладатель Народная асвета Теорема 9. Если конус пересечь плоскостью, параллельной его основанию, то: а) образующая и высота разделяются на пропорциональные части; б) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины. Используя рисунок 140, докажите эту теорему самостоятельно. Секущая плоскость, параллельная основанию конуса, разделяет его на две части (рис. 141). Одна из этих частей также является конусом, а другая — телом, которое называется усеченным конусом. Основание данного конуса и круг, полученный в сечении, называют основаниями усеченного конуса, а отрезок образующей данного конуса, заключенный между его основанием и секущей плоскостью, — образующей усеченного конуса (рис. 142). Высотой усеченного конуса называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного его основания к плоскости другого основания. Усеченный конус можно получить вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, к которой прилежат прямые углы (рис. 143). Рис. 142 Основание Высота Образующая Основание Правообладатель Народная асвета Рис. 143 137 Пример 1. Найдем боковую поверхность усеченного конуса. Пусть есть усеченный конус, у которого радиусы оснований BC и Б-^С-^ равны и r2 соответственно, а образующая CCi равна l (рис. 144). Достроим его до полного конуса. Достроенная часть представляет собой конус, у которого радиус основания равен r2. Пусть образующая C1A достроенного конуса равна l2. Боковую поверхность 8бок усеченного конуса можно получить как разность боковых поверхностей S1 и S2 полного и достроенного конусов. Пусть C1 и C2 — длины окружностей нижнего и верхнего оснований усеченного конуса. Тогда: S6ок = S1 - S2 = ^2 C1(l + I2) - 12 C2I2 = (2ПГ11 + 2пг112 - 2ПГ212) = = n(r1l + (r1 - r2)l2). Найдем l2, учитывая подобие треугольников ABC и AB1C1: r1 _ l + l2 ^ ^ T - I I r2l r2 l2 Значит, ^ r1l2 = r2l + r2l2 = l2 = —2- Sбок = n(r1l + (Г1 - r2)l2) = n( r1l + (Г1 - Г2) r2l = nr1l + nr2l = = C1+C21 2 . Таким образом, боковая поверхность усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей его оснований и образующей. Пример 2. Используя рисунок 144, можно, как и для усеченной пирамиды (см. параграф 9), доказать, что объем V усеченного конуса равен третьей доле произведения высоты H конуса и суммы площадей S1 и S2 оснований конуса и их среднего геометрического ■\JS1S2 : 138 V = 1 h(S1 + S2 Правообладатель Народная асвета 1. Какое тело называется конусом? * 2. Что называют поверхностью конуса; боковой поверхностью конуса; основанием конуса? 3. Какую прямую называют осью конуса? 4. Какой отрезок называют образующей конуса; высотой конуса? 5. Чему равна боковая поверхность конуса; объем конуса? 6. Какая фигура получается при пересечении конуса плоскостью, параллельной его основанию; плоскостью, проходящей через вершину? 7. Какое сечение конуса называют осевым сечением? 8. Какую плоскость называют касательной плоскостью конуса? 9. Сформулируйте свойство касательной плоскости конуса. 10. Сформулируйте признак касательной плоскости конуса. 11. Когда говорят, что пирамида вписана в конус; конус описан около пирамиды? 12. Когда говорят, что конус вписан в пирамиду; пирамида описана около конуса? 13. Сформулируйте свойство отрезков образующей и высоты конуса, на которые они разделяются плоскостью, параллельной основанию. 14. Сформулируйте свойство сечения конуса плоскостью, параллельной основанию. 15. Какое тело называется усеченным конусом? 16. Что называют основаниями усеченного конуса, его образующей и высотой? 486. Докажите, что полная поверхность S конуса с образующей l и радиусом основания r может быть вычислена по формуле S = nr(l + r). 487. Найдите образующую конуса, высота которого равна 45 см, а радиус основания — 24 см. 488. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите площадь основания конуса, учитывая, что: а) а = 30°; б) а = 45°; в) а = 60°. 489. Найдите поверхность тела, образованного вращением: а) прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг меньшего катета; б) равнобедренного треугольника с боковой стороной m и углом при основании ф вокруг основания; в) прямоугольного треугольника с катетом a и прилежащим к нему углом 60° вокруг оси, проходящей через вершину данного острого угла перпендикулярно катету. Правообладатель Народная асвета 139 490. Найдите полную поверхность конуса, у которого: а) образующая наклонена под углом ф к основанию, а вписанный в него треугольник имеет одной стороной отрезок длиной a и противолежащий угол величиной а; б) площадь осевого сечения равна 0,6 м2, а высота конуса — 1,2 м; в) площадь осевого сечения равна 25 см2, а угол между высотой и образующей — 45°. 491. Найдите боковую поверхность и площадь основания конуса, учитывая, что его осевое сечение — равносторонний треугольник с высотой 2/3 см. 492. Определите угол развертки боковой поверхности конуса, у которого: а) наибольший угол между образующими является прямым; б) образующая составляет с плоскостью основания угол в 30°; в) радиус основания равен г, а образующая — l. 493. Сектор с радиусом 6 м и углом 120° свернут в коническую поверхность. Найдите площадь основания и высоту соответствующего конуса. 494. Полукруг свернут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей соответствующего конуса и его высотой. 495. Найдите боковую поверхность конуса, высота которого равна 4 см, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. 496. Две стороны треугольника равны b и с, а тупой угол между ними — а. Найдите объем тела, образованного вращением треугольника около стороны b. 497. Докажите, что если треугольник вращается вокруг стороны, то объем полученного тела равен 3nR2h, где h — сторона, вокруг которой происходит вращение, а R — высота треугольника, опущенная на эту сторону. 498. Отношение боковой и полной поверхностей конуса равно 55. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса. 499. Площадь основания конуса равна S, а его боковая поверхность — S0. Найдите площадь осевого сечения конуса. 140 Правообладатель Народная асвета 500. Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 120°, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь сечения, учитывая, что радиус основания равен 20 см. 501. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, учитывая, что: а) она проведена через вершину конуса и отсекает от окружности основания дугу в 90°, а высота конуса равна радиусу основания г; б) она проведена через две взаимно перпендикулярные образующие, высота конуса равна h и наклонена к образующей под углом в 60°; в) она проведена через вершину конуса, составляет с плоскостью основания угол в 60° и отсекает от окружности основания с радиусом г дугу в 120°; г) она проведена через вершину конуса и отстоит от центра основания на 24 см, высота конуса равна 40 см, а радиус основания — 50 см; д) она параллельна основанию конуса с радиусом R и отстоит на d от вершины, а высота конуса равна H. 502. Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной 2m. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие конуса, угол между которыми равен: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°. 503. Найдите косинус угла при вершине осевого сечения конуса, который имеет три попарно перпендикулярные образующие. 504. На расстоянии 2 см от вершины конуса с высотой 5 см проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объем исходного конуса, учитывая, что объем конуса, отсеченного от исходного, равен 24 см3. 505. Определите, на каком расстоянии от основания конуса проходят две плоскости, параллельные плоскости этого основания и делящие боковую поверхность конуса на три равные части, учитывая, что высота конуса равна H. 506. Через середину высоты конуса проведена прямая, параллельная его образующей, длина которой равна l. Найдите длину отрезка прямой, заключенного внутри конуса. Правообладатель Народная асвета 141 Рис. 145 507. Есть конус с образующей 13 см и высотой 12 см, пересеченный прямой, параллельной основанию и отстоящей от основания на 6 см, а от высоты на 2 см (рис. 145). Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри конуса. 508. Найдите объем тела, полученного вращением: а) параллелограмма с площадью Q вокруг стороны длиной а; б) треугольника со сторонами 15 см, 41 см и 52 см вокруг большей стороны; в) прямоугольного треугольника с площадью S и острым углом а вокруг его гипотенузы. 509. Найдите объем конуса, учитывая, что его: а) высота равна H и равна диаметру его основания; б) образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения — 60 см2; в) образующая равна l, а боковая поверхность — P; г) площадь его основания равна Q, а боковая поверхность — P. 510. Найдите объем конуса, у которого: а) диаметр основания равен 40 см, а высота — 50 см; б) образующая равна 60 см, а высота — 30 см; в) радиус основания равен 85 см, а образующая составляет с осью конуса угол в 30°; г) радиус основания равен 42 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 65°; д) полная поверхность равна 680 дм2, а образующая — 25 дм; е) полная поверхность равна 160 см2, а образующая больше радиуса основания на 2 см. 511. Пусть h, r и V — соответственно высота, радиус основания и объем конуса. Найдите: а) V; учитывая, что h = 12 см, r = 6 см; б) h, учитывая, что r = 4 см, V = 48п см3; в) г, учитывая, что h = m, V = p. 512. Высота конуса разделена на три доли, и через точки деления проведены плоскости, параллельные плоскости основания конуса. Определите, в каком отношении этими плоскостями делится объем конуса. 142 Правообладатель Народная асвета 513. Есть конус, радиус основания которого равен г, а высота — H. Определите, на каком расстоянии от плоскости основания нужно провести плоскость, ей параллельную, чтобы этой плоскостью конус разделился на части, объемы которых относятся как: а) 1 : 1; б) 1 : 2; в) 2 : 1; г) 1 : 42; д) 42 : 1. 514. Через середину высоты конуса, боковая поверхность которого равна 80 см2, проведена плоскость, перпендикулярная высоте. Найдите боковую поверхность образовавшегося усеченного конуса. 515. Учитывая, что радиусы оснований усеченного конуса равны: а) 9 см и 18 см, а высота — 12 см, найдите его образующую; б) 16 см и 4 см, а образующая — 20 см, найдите его высоту. 516. Найдите поверхность усеченного конуса, учитывая, что радиусы его оснований равны 6 см и 10 см, а образующая — 10 см. 517. Докажите, что: а) боковая поверхность конуса равна боковой поверхности цилиндра с той же высотой и радиусом основания, равным высоте равнобедренного треугольника, основанием которого является образующая, а вершина лежит на оси конуса (рис. 146); б) боковая поверхность усеченного конуса равна боковой поверхности цилиндра с той же высотой и радиусом основания, равным высоте равнобедренного треугольника, основанием которого является образующая, а вершина лежит на оси конуса (рис. 147). 518. Найдите площадь сечения усеченного конуса плоскостью, учитывая, что она проходит через: а) две его образующие, отсекает от окружности основания дугу в 120°, радиусы оснований конуса равны 3 и 5, а высота — 42; б) середину высоты, параллельна основаниям, площади которых равны 16 дм2 и 64 дм2. 519. Плоскость, параллельная основанию конуса с радиусом 6 м, пересекает его по кругу с радиусом 3 м. Найдите объемы полученных частей конуса, учитывая, что плоскость разделяет образующую конуса на части, из которых та, которая ограничена этой плоскостью и основанием конуса, равна 5 м. 520. Плоскость, параллельная основанию конуса с радиусом 22 м, пересекает его по кругу с радиусом 4 м. Часть конуса, заключенная между его основанием и секущей плоскостью, равновелика цилиндру с такой же высотой. Найдите радиус основания этого цилиндра. 521. Прямоугольный треугольник с гипотенузой c и острым углом а вращается вокруг прямой, параллельной гипотенузе, отстоящей от нее на высоту, проведенную к гипотенузе, и не имеющей с треугольником общих точек (рис. 148). Найдите объем полученного тела. 522. В конусе просверлили цилиндрическое отверстие, ось которого совпадает с осью конуса. Найдите объем образовавшегося тела, учитывая, что высота конуса равна 30 см, диаметр его основания равен 20 см, а диаметр цилиндрического отверстия — 10 см. 523. В треугольную пирамиду с равными ребрами вписан конус, и около этой пирамиды описан конус. Определите, во сколько раз полная поверхность описанного конуса больше полной поверхности вписанного конуса. 524. Высота конуса равна 4 см, а радиус — 6 см. Найдите полную поверхность правильной п-угольной пирамиды, вписанной в конус, учитывая, что: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6; г) п = 5. 144 Правообладатель Народная асвета 525. В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Меньшая сторона прямоугольника равна а, а острый угол между его диагоналями — а. Боковая грань, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания угол р. Найдите объем конуса. 526. Основанием пирамиды является ромб со стороной а и острым углом ф. В пирамиду вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол р. Найдите объем конуса. 527. Есть конус с радиусом основания 5 см и высотой 4 см, в который вписана правильная п-угольная пирамида. Плоскость, параллельная основанию конуса, пересекает его по кругу с радиусом 2 см. Найдите полную поверхность части пирамиды, заключенную между основанием конуса и секущей плоскостью, учитывая, что: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6; г) п = 5. 528. Найдите ребро: а) куба, вписанного в конус с радиусом основания R и высотой H (рис. 149); б) правильной треугольной призмы, у которой боковые грани являются квадратами и которая вписана в конус с радиусом основания R и высотой H. 529. Есть конус с образующей l, наклоненной к плоскости основания конуса под углом в 60°. В него вписана правильная треугольная призма, боковое ребро которой в два раза больше стороны основания (рис. 150). Найдите это ребро. Правообладатель Народная асвета 145 20 20 20 20 ::4o 1 ‘ ^ у 350 * 120 ’ У ' 450 ' 200 ' ,40 Рис. 151 Рис. 152 530. Принимая плотность стали равной 7,8 г/см3, найдите массу круглой стальной детали, размеры которой в миллиметрах даны на рисунке: а) 151; б) 152. 531. Вычислите: а) (22) - (0,125)-1 + ^22 б) 2 • (-3)-2 + ((I)3) +(-3)0; iVl в) ^1б3 j2+(0,25)-1j- (0,5)3; 532. Вычислите: а) ^25 + ^/84 • [4И - 2); б) ^18 ^/83 + 164 • (9 W8l); 533. Упростите выражение: а) 1 + (а + х) 1 - (а + х)- 1- 1-(а2 + х2) 2ах б) в) dc г) p-1 - r-1 p^3+ r“3 -2 -2 rp + pr r - p 534. Решите уравнение: а) Л-т - l/^-m=2; 2 + т 3 - т б) г) 3 П8 д) 33 -14 2 1 -12 (-2) -^-3 е) (2-10) 2 - 7 • (-0,5)- в) ^60 + 1^35 • (10 W^); г) ^/^/204 + 20 • U3 ^/17). д) е) ж) з) 3 3 2 1 12 b2 - c2 b3c2 + b2c3 1 1 b2 - c2 1 1 ’ b 6 + c 6 17 -1 5 3 - r 3 r 3 - r 3 + r r 3 _ r ! 4 2 1 ; - r 3 1 - г"2 r 3 1 + г - r 3 . г + 1; - 1 ^ г - 1; 1 + г 2 1-г 2/ i 1 1 t- p4 : p2+1 + 1. ^ 1 : 1 1 ^ + p 2 p2+p4 S - 1 2 - s - 7 /SZ.1 = 6; 2- 146 Правообладатель Народная асвета в) -т^ = 2; г) - ^d - 1 = 3. \/а + 2 ^ ’ \fd-1 535. Решите уравнение: а) л/б - x x - 2 + 2^(6—x)(X—2) = 2; б) 477 + с + 420 - с = 5; в) 3 b + 3 + 36 - b = 3; г) ^33 - у + 5У = 3. 536. Первый и четвертый члены геометрической прогрессии равны соответственно 64 и 8. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии. 537. Три целых числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите третий член этой прогрессии, учитывая, что второй член положителен и на единицу больше первого. 538. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 1,5, а сумма квадратов ее членов — 0,125. Найдите знаменатель этой прогрессии. 539. Определите, при каких значениях переменной m из четырех корней уравнения х4 + (m - 3)x2 + (m + 10)2 = 0 можно образовать арифметическую прогрессию. 540. Сравните числа 3 W5 3 ^/5 * * * и 4 W7 4 ^У7 2^12 ^ 3 W5 2У2 ^/3-75 3/2 ^ 4 W7 3/2 ^ 4 ^J7 541. Через основания биссектрис треугольника проведена окружность. Докажите, что из отрезков, высекаемых ею на сторонах треугольника, один равен сумме двух других. 542. Функция f(x) определена на множестве действительных чисел, принимает действительные значения и удовлетворяет условию f(x + f(xy)) = xf(1 + f(y)) при всех действительных x и у. Найдите все такие функции. 543. Есть n пчел и n + 1 цветков. Определите, при каких значениях переменной n может так случиться, что каждая пчела посетила одинаковое количество цветков, но на каждом цветке побывало разное количество пчел. Правообладатель Народная асвета 5 Раздел IV Показательные и логарифмические выражения, функции, уравнения, неравенства 11. Показательная функция Показательной функцией называется функция, заданная формулой _ ^ у _ а , где а — некоторое действительное число, а > 0 и а Ф 1. Теорема 1. Областью определения показательной функции является множество R всех действительных чисел, а областью значений — множество R+ всех положительных действительных чисел. Доказательство. Пусть а > 0. Тогда, по свойству (10) степени с действительным показателем из параграфа 6, выражение-степень ах имеет значение при любом значении переменной х, а это означает, что областью определения показательной функции является множество R всех действительных чисел. Поскольку а > 0, то, по свойству (11) степени с действительным показателем из параграфа 6, значение выражения ах положительно при всех значениях переменной х. В курсе математического анализа доказывается, что при b > 0 уравнение ах _ b имеет единственный корень. Это означает, что каждое положительное число b можно получить как значение выражения ах, иными словами, областью значений показательной функции является множество R+ всех положительных действительных чисел. Теорема 2. Показательная функция у _ ax на множестве всех действительных чисел при a > 1 является возрастающей, а при 0 < a < 1 — убывающей. Доказательство. Сравним значения выражений ах1 и ах2: 148 аХ1 - ах2 _ ах1(1 - ах2 -х1). Правообладатель Народная асвета Пусть X! < x2, т. е. x2 - x^ > 0. Если a > 1, то, по свойству (12) степени с действительным показателем из параграфа 9, из условия х2 - х1 > 0 следует, что aX2 - X1 > 1, а потому 1 - aX2 - X1 < 0 и, значит, aX1(1 - aX2 - X1) < 0, так как aX1 > 0 по свойству (11) из параграфа 6. Получили, что aX1 - aX2 < 0, или aX1 < aX2. Это неравенство вместе с определением возрастающей функции позволяет утверждать, что функция у = aX является возрастающей при a > 1. Если 0 < a < 1, то — > 1 и по уже доказанному (aj < (^1 , X1 > aX2. Это неравенство с учетом или < 1 и потому a aX1 aX2 определения убывающей функции позволяет утверждать, что при 0 < a < 1 функция у = aX является убывающей. Следствие 1. Равные степени с одним и тем же положительным и не равным единице основанием имеют равные показатели: если a > 0, a Ф 1 и О^'1 = ax2, то х1 = x2. Действительно, если допустить, что X1 < X2, то при a > 1 по теореме 2 получим, что aX1 < aX2, а при 0 < a < 1 — что aX1 > aX2. Но оба эти неравенства противоречат условию. Так же приводит к противоречию с условием и допущение X1 > X2. Теорема 3. Графики всех показательных функций проходят через точку (0; 1). Для доказательства теоремы достаточно заметить, что при любом положительном a истинно равенство a0 = 1. Построим график функции у = 2X. Для этого нанесем на координатную плоскость некоторые точки этого графика, составив предварительно таблицу значений функции. X -3 -2 -1 0 1 2 3 2X 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 Используя построенные точки и установленные свойства показательной функции, получим график функции у = 2X, который представлен на рисунке 153. Обратим внимание на то, что график функции у = 2X при уменьшении отрицательных значений переменной X быстро приближается к оси абсцисс, но остается выше нее. Правообладатель Народная асвета 149 Для построения графика функции у = f1) учтем, что f1) = 2 ^ \2 - ’ и используем утверждение о том, что график функции у = f(-x) получается из графика функции у = f(x) симметричным отражением относительно оси ординат. Указанное преобразование приведено на рисунке 154. Обращаем внимание на то, что график функции у = ^1j при увеличении положительных значений переменной x быстро приближается к оси абсцисс, но не пересекает ее. Теорема 4. Если 0 < a < b, то ax < bx при x > 0 и ax > bx при x < 0. Доказательство. Пусть 0 < a < b, тогда b > 1. Сравним значения вы- a ражений ax и bx: ax - bx = ax (l - = ax il - {-b- Пусть x > 0, тогда > 1, так как b > 1. Значит, 1 - (< 0, а по- aa тому ax 1^1 - 0, так как ax > 0. Значит, ax - bx < 0, или ax < bx. Пусть x < 0, тогда < 1 и, зна- чит, 1 - (—) > 0. Поскольку ax > 0, то ax (1 - (—) ) > 0. Значит, ax - bx > 0, или ax > bx В соответствии с теоремой 4 при увеличении основания a график функции у = ax на промежутке (-^; 0) будет располагаться более близко к оси абсцисс, а на промежутке (0; +^) — более далеко. График любой показательной функции у = ax с основанием a, большим единицы, похож на график функции у = 2x. На 150 Правообладатель Народная асвета рисунке 155 представлены графики функций у = 5х и у = 10х. График любой показательной функции у = ах с положительным основанием а, меньшим единицы, похож на график функции у = ^2 На рисунке 156 приведены графики функций у = (^5J^ и у = ji1oJ". Обратим внимание на ограничения а > 0 и а Ф 1 на основание степени а показательной функции у = ах. Первое ограничение вызвано тем, что значение выражения ах определено при всех значениях показателя x только при положительном основании. Второе ограничение объясняется тем, что при а = 1 функция у = ах принимает вид у = 1х, т. е. все значения такой функции равны единице (рис. 157), и такая функция не вызывает особого интереса. Показательная функция описывает ряд физических процессов. Например, радиоактивный распад определяется формулой m(t) = m0 (1) г где m0 и m(t) — массы радиоактивного вещества в начальный момент времени 0 и в момент времени t, г — период полураспада, т. е. промежуток времени, за который количество радиоактивного вещества уменьшается в два раза. С помощью показательной функции описыва- _h_ ется зависимость p(h) = p0e H от высоты h, где p0 = p(0) — давление на уровне моря, H — определенная константа; ток самоиндукции в катушке после подачи постоянного напряжения. у 1 о 1 X Рис. 157 Правообладатель Народная асвета 151 1. Какая функция называется показательной? * 2. Какое множество является областью определения показательной функции; областью значений показательной функции? 3. Какой — возрастающей или убывающей — является показательная функция, если ее основание: больше единицы; положительно и меньше единицы? 4. Какое значение имеют все показательные функции при нулевом значении аргумента? 5. Как связаны значения показательных функций с различными основаниями при одном значении аргумента? 6. Как себя ведет график показательной функции, если ее аргумент неограниченно увеличивается; неограниченно уменьшается? 544. По закону, выведенному основателем космонавтики К. Э. Циолковским, количество M топлива, необходимого для того, чтобы ракета массой m (без топлива) получила скорость v, выражается формулой / 0,43^ \ M = m[10 V1 - lj, где v1 — скорость вытекания продуктов горения из сопла ракетного двигателя (сопротивление воздуха и притяжение Земли игнорируются). Найдите, сколько понадобится топлива, чтобы ракете массой 1,2 т придать вторую космическую скорость, равную 11,2 км/с, учитывая, что скорость вытекания продуктов горения из сопла равна 4,5 км/с. 545. Сравните с единицей число: а) 2^/®; в) 0,32; д) елГ5 б) (2Г3; г) 1,73; е) 546. Сравните числа: а) 4^/3 и 4 '^; в) (2 1,4 и (Г; б) 2^ и 21’7; г) (1 Г и( П3,14; 9/ ; д) П0,2 и П1,2. 5) ; е) 5-0’2 и 5- 547. Определите, является ли показательной функция: а) у = x3; б) у = 3х; в) у = (¥5)х; г) у = (-2)х; 152 д) у = 2-х; е) у = хх; ж) у = ax, где х — некоторое число; з) у = ax, где a — некоторое число. Правообладатель Народная асвета 548. Заполнив таблицу х -3 -2 -1 0 1 2 3 у и построив график функции у = ax, проследите на нем свойства показательной функции при: 3. а) a > 1, взяв основание a равным 2’ 2 б) 0 < a < 1, взяв основание a равным — 3 549. Определите, какой — возрастающей или убывающей — является функция: а) у = {'J5 - —f; б) у = в) у = 5х; г) у = Я—)х; д) у = е) у=(то); ж) у=(!); з) у = 2-х. S - 2)х 550. Определите, какой — возрастающей или убываю- щей — является функция: а) у = б) у = 3х • 4х в) у=-2(!Г; 1\1 - х г) у = 3 х - 1, д) у = е) у = ^^Г; ж) у = (3 ^/7)х; з) у = \-j2r (з 551. Используя рисунок 158, на котором представлен график функции у = , определите значение функции у = (З! е) 3. при значении аргумента х, равном: а) -3; б) -2,5; в) -0,5; г) 0,7; д) 2,6; 552. Используя рисунок 158, на котором представлен график функции у = (31 , определите, при каком значении аргумента х значение функции равно: а) 0,45; г) 1,2; б) 0,6; д) 2; в) 0,8; е) 2,4. Рис. 158 Правообладатель Народная асвета 153 х 553. Используя рисунок 158, на котором представлен гра- фик функции у = опре- делите, при каких значениях аргумента x истинно неравенство: а) (D > °,5; б) (!) < 2; в) 0,5 <(i!)x < 2. 554. Используя рисунок 159, на котором представлен график функции у = (4 j, определите ее значение при значении аргумента, равном: а) -3; б) -2,5; в) -0,5; г) 0,7; д) 2,6; е) 3. 555. Используя рисунок 159, на котором представлен график функции у = (4 j, определите, при каком значении аргумента значение функции равно: а) 0,45; б) 0,6; в) 0,8; г) 1,2; д) 2; е) 2,4. 556. Используя рисунок 159, на котором представлен график функции у = (4 1, определите, при каких значениях переменной x истинно неравенство: а) (I)х > °,5; б) (!)х < в) 0.5 < (f) < 2. 557. С помощью двойного неравенства 3 < ^/3 О;- най- 3 ^Уз < 7 ^ 4 дите приближения по недостатку и по избытку для числа: а) 4 V3. б) ё/3. 558. Используя возрастание или убывание показательной функции, сравните числа: а) 0,15^ и 1; д) ёГ2 и Ё)1'*; в) 3,21.5 и 3,21.6; б) (3,52)°.1 и 1; г) 0,2-3 и 0,2-2; е) 3П и З3,14 154 Правообладатель Народная асвета 559. Постройте график функции: а) у = 3*; г) у = 3*+2; ж) у = 3 • 3*; б) у = 3* + 2; д) у = 3*- 2; з) у = • 3*; в) у = 3* - 2; е) у = -3*; и) у = 3-*; 560. Постройте график функции: к) у = 32*; л) у = 3' * ; 1* м) у = 32 . а) у = (3)‘; г) у = (1)" ж) у = б) у = (!)’ + 2; д) у = (1Г- 2; з) у = 3 • в) у = (3Г - 2; е) у = и> у=(3 561. Изобразите схематически график функции: а) у = 0,4*; б) у = (33) *; в) у = ; г) у = y-j^j . 562. Определите, верно ли, что показательная функция /(*) = a*: а) имеет экстремумы; б) принимает в некоторой точке наибольшее значение; в) принимает в некоторой точке значение, равное нулю; г) принимает в некоторой точке значение, равное единице; д) является четной; е) является нечетной; ж) является возрастающей; з) является убывающей. 563. Учитывая, что значение переменной * принадлежит промежутку [-2; 1], найдите промежуток значений функции: а) у = 5*; в) у = 11*; б) у = 5-*; г) у = 11-*. 564. Используя график функции у = 4*, представленный на рисунке 160, найдите приближенно значение выражения: а) 41,3; г) 2-3,2; б) 4-1,3; в) ^64; д) ^4; е) 3/16; ж) з) 6512; и) 23,2. Рис. 160 Правообладатель Народная асвета 155 565. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: а) у = 2х на промежутке [-1; 3]; б) у = 2х на промежутке [-2; 1]; в) у = 2-х на промежутке [-3; 0]; г) у = 2- на промежутке [-2; 2]. 566. Найдите наибольшее и функции: наименьшее значения а) у = 2co б) у = в) у = 5 + х'; ; г) у = 4 - 5'c°s 567. Найдите область значений функции: а) у = 3х+1 - 3; в) у = (1)^1 + 2; д) у = 1 + 3х б) у = 12х - 21; г) у = 4'х'; е) у = 3 х . 568. Найдите область значений функции: а) у = 3sin х; в) у = ^1 - 3х; д) у = 3 х + sin х; б) у = 3-cos х; г) у = 1 (3х + 3-х); е) у = х + 3х. 569. Используя свойства показательной функции, сравните значения выражений: а) и ^/3^'^; б) 2,1-1’5 и 2,1-2; г) (0,3)-3’14 и (0,3Г“. 570. Определите, какое из чисел — а или в — больше, учитывая, что: а) ^/2)а <{sl2)в; в) 0,3а > 0,3в; б) 3,1а < 3,1в; г)У|)а >У|)в, 571. Определите, какому из промежутков — (-“; 0), (0; 1), (1; +^) — принадлежит значение переменной х, учитывая, что: в) и t^)2,2; а) 2х = 1,7; б) ^/2]х = 0,5; в) (3)х = 2; г)(!)х=3. 572. Укажите условие, которому удовлетворяет показатель степени т, учитывая, что: д) 10т = 35; а) (0,2)т = ,L; в)(|) = 3; б)(!)т=4; г) 10т = 0,1; е) (f)m = 0.2, 156 Правообладатель Народная асвета 573. Укажите условие, которому удовлетворяет положительное основание а, учитывая, что: 2 3 X „4. а) а3 > а4; 2 3 / „4. б) а3 < а4; в) а-°’2 > а-1’2; г) а 6 < а 5 4 3 574. Докажите, что последовательность значений функции у = 6 х при натуральных значениях переменной x является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. 575. В одной и той же системе координат постройте графики трех функций у = 2х, у = 3х и у = 5х и запишите неравенством результат сравнения их значений при определенном значении аргумента. 576. Докажите, что график показательной функции у = f(x) является вогнутым, т. е. что для любых значений х^_ и х2 ар- f (х1) + f (х2 ) ^ J,/X^ + х2 гумента истинно неравенство ^^^ > f(X 2 ' V 2 577. Используя графики функций у = 2х и у = 3х, решите: а) уравнение ^/2^^ = ^/э)х; в) неравенство ^/2^^ < ^/э)х; б) уравнение (J2f = г) неравенство > (j.)'. 578. Решите графически уравнение: а) 2х = х; г) 2х = sin х; ж) -2х = sin х; б) 2х = х2; д) 2х = cos х; з) 2-х = cos х; в) 2х = х3; е) 2х = -х2 + 1; и) 2-х = -х + 3. 579. Найдите такое двузначное число, которое при делении на произведение его цифр дает в частном 3 и в остатке 9. 580. Человек вышел из дома между 9 и 10 часами, а вернулся назад днем между 13 и 14 часами, когда часовая и минутная стрелки поменялись местами. Определите время выхода и возвращения. 581. Войсковая колонна имеет длину 1 км. Связной выехал из головы колонны, передал пакет в ее хвост и вернулся назад. За это время колонна прошла 5 км. Какой путь за это время проделал связной? 582. Площадь первого поля равна 9 га, урожайность второго поля составила 40 ц/га, а средняя урожайность обоих полей оказалась равной 49 ц/га. Найдите общий урожай с Правообладатель Народная асвета 157 обоих полей, учитывая, что такой урожай при урожайности, равной сумме урожайностей первого и второго полей, можно собрать с поля площадью 9,8 га. 583. Найдите значение выражения: а) arcsin (sin 40°); д) arccos (cos 25°); б) arcsin (sin 140°); е) arccos (cos 125°); в) arcsin (sin 195°); ж) arccos (cos 215°); г) arcsin (sin 310°); з) arccos (cos 310°). 584. Найдите значение выражения: а) sin(arcsin3 + arcsin — ^ ' 5 13 б) sin( arcsin 33 + arccos 13); в) cos(arccos3 + arcsin — 5 13 г) cos(arccos3 + arccos — 5 13 585. Определите, верно ли утверждение: а) все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники; б) все грани прямого параллелепипеда — прямоугольники; в) ни одна из граней наклонного параллелепипеда не является прямоугольником; г) правильная четырехугольная призма, одна из боковых граней которой — квадрат, является кубом; д) прямой параллелепипед является правильной призмой; е) прямоугольный параллелепипед является прямой призмой; ж) прямоугольный параллелепипед является правильной призмой. 586. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, а боковое ребро — 2a. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и центр другого основания. 587. Вершины K и L прямоугольника KLMN лежат на окружности одного из оснований цилиндра, а вершины M и N — на окружности другого основания. Найдите радиус цилиндра, учитывая, что его образующая и отрезок KL равны а, а угол между прямой LM и плоскостью основания — 60°. 588. Найдите площадь многоугольника, по которому плоскость пересекает: а) правильную треугольную пирамиду со стороной основания а и боковым ребром 2а, учитывая, что плоскость проходит 158 Правообладатель Народная асвета через середины двух боковых ребер перпендикулярно основанию пирамиды; б) правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания a и двугранным углом при основании в 60°, учитывая, что плоскость проходит через сторону основания перпендикулярно противоположной боковой грани (рис. 161). 589. Равнобедренная трапеция, основания которой равны 6 см и 10 см, а острый угол — 60°, вращается вокруг большего основания. Найдите поверхность и объем полученного тела (рис. 162). 590. Через точки F и G, взятые на стороне AB треугольника ABC, параллельно сторонам AC и BC проведены прямые, пересекающие сторону AC в точках F1 и G1, а сторону BC — в точках F2 и G2. Докажите, что площадь треугольника CFG вдвое меньше суммы площадей трапеций GFF1G1 и GFF2G2. 591. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки Ми N. Отрезки AN и CM пересекаются в точке Q. Найдите площадь четырехугольника QMBN, учитывая, что площади треугольников AQC, AQM и CQN равны соответственно S1, S2 и S3. 592. Функция у = f(x) определена на множестве действительных чисел, принимает действительные значения и удовлетворяет условию x(f(x) + f(-x) + 4) + 2f(x) + 2 = 0. Найдите все такие функции. 593. Числа а, b и c удовлетворяют условиям (4а + 2b + c)(9a + 3b + c) < 0 и (9a - 3b + c)(16a - 4b + c) < 0. Определите знак выражения (a + b + c) (4a - 3b + c). Правообладатель Народная асвета 159 12. Логарифмические выражения Мы уже умеем по значению b степени х* и ее показателю t находить основание х степени, иными словами, решать уравнения вида х* = b, где b и t — некоторые числа. Пример 1. Решим уравнение х4 = 81. По определению арифметического корня находим, что х = ^81 = 3. Учитывая, что показатель степени четный, находим другой корень этого уравнения — число -^8Г, т. е. число -3. Теперь поставим задачу нахождения показателя t степени х* по ее значению b и основанию х, иными словами, задачу решения уравнения вида х* = b, где b и х — некоторые числа. Пример 2. Решим уравнение 3* = 81. Это уравнение можно записать как 3* = 34. Учитывая следствие 1 из параграфа 11, можем утверждать, что уравнение имеет единственный корень * = 4. Обратим внимание на то, что при решении уравнения 3* = 81 мы его левую и правую части представили степенями с одним основанием 3. Но, например, уравнение 3* = 8 таким приемом решить не получится, так как число 8 не представляется рациональной степенью числа 3. Вместе с этим уравнение 3* = 8 имеет действительный корень, что показывает рисунок 163. Этот корень называют логарифмом числа 8 по основанию 3 и обозначают logg 8. Таким образом, корнем уравнения 3* = 8 является число logg 8, приближенно равное 1,89. Логарифмом числа Ъ при основании а, a > 0, a Ф 1, называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b. Логарифм числа b при основании а обозначают logab. Пример 3. а) log3 81 = 4, так как 34 = 81; б) log13 13 = 1, так как 131 = 13; в) log^1 = -4, так как 3-4 = —; Рис. 163 г) log32 1 = 0, так как 320 = 1. V 8 L О 1 2 X 160 Правообладатель Народная асвета Таким образом, учитывая определение логарифма числа, корень уравнения а* = b можно записать как t = loga b. Иными словами, равенства а* = b и t = loga b выражают одну и ту же связь между числами а, t и b, т. е. равносильны: опр а* = b = t = loga b. Пример 4. Решим уравнение log4 (2y -3) = ^. Определение логарифма позволяет данное уравнение заме- 1 нить равносильным уравнением 42 = 2у -3, корнем которого является число 2,5. Определение логарифма коротко можно представить равенством а logab = b, которое называют основным логарифмическим тождеством. Пример 5. Вычислим значение выражения 7-3log710. Используем свойство возведения степени в степень и основное логарифмическое тождество: 7-3log7 10 = (^logY 10 )-3 = 1Q-3 = 1 ^ 1000 ■ Из свойств показательной функции следует, что выражение loga b имеет значение только при b > 0. Пример 6. Найдем область определения выражения log 7 - ж 2* + 4 7 + 4х ■ Данное выражение имеет значение, если основание логарифма 2х + 4 положительно и не равно единице, а подлога, 7 - X рифмическое выражение y+x положительно, т. е. если истин- на система условий 2х + 4 > 0, 2х + 4 ^ 1, которая равносильна системе 7 - X > 0, 7 + 4x X > -2, X ^ -1,5, Эта система дает (рис. 164) такую равносиль--1,75 < X < 7. ■-1,75 < X <-1,5, -1,5 < X < 7 Из определения логарифма следует, что Правообладатель Народная асвета 161 ную совокупность условий ю -2 -1,5 Рис. 164 loga 1 = 0; log„ a = 1, loga a = t. Действие нахождения логарифма числа называется логарифмированием. Введение действия логарифмирования порождает новый класс логарифмических выражений, т. е. выражений, которые содержат по крайней мере одно действие нахождения логарифма из выражения с переменной. При преобразованиях логарифмических выражений используются свойства действия логарифмирования. Установим эти свойства. Теорема 5. При любом положительном и не равном единице основании: • логарифм произведения положительных множителей равен сумме их логарифмов: log„ (bc) = log„ b + log„ c; • логарифм частного с положительными делимым и делителем равен разности логарифмов делимого и делителя: loga iC = log« b - loga c; • логарифм любой действительной степени положительного числа равен произведению показателя степени и логарифма основания: log„ br = г log„ b. Доказательство. Пусть a > 0 и a Ф 1, b > 0 и c > 0, r — любое действительное число. Основное логарифмическое тождество позволяет записать равенства: a}°gab = b, a}°gac = c. (1) Перемножив их, получим: a‘ogab + l0gac = bc, откуда, по определению логарифма: loga (bc) = loga b + loga c. 162 Правообладатель Народная асвета Если разделить первое равенство из (1) на второе, то получим, что „logo 6 - logo о _ b “ c ’ откуда, по определению логарифма: logo ^ _ logo b - logo c. Возведя первое равенство из (1) в степень с показателем г, придем к равенству ,гlogo b _ br, откуда, по определению логарифма: logo b^ _ г logo b. Обращаем внимание на то, что при применениях тождеств, установленных теоремой 5, нужно следить за тем, чтобы все подлогарифмические выражения были положительными. Пример 7. Прологарифмируем выражение: а) (и3 - 3)4; б) m(m - 3). а) Получим logo (и3 - 3)4 _ 4logo | и3 - 31. б) Выражение m(m - 3) можно логарифмировать, если истинно условие m(m - 3) > 0, т. е. если множители m и (m - 3) или оба положительны, или оба отрицательны. Если оба множителя m и (m - 3) положительны, т. е. если m > 3, то logo m(m - 3) _ logo m + logo (m - 3). А если оба множителя m и (m - 3) отрицательны, т. е. если m < 0, то logo m(m - 3) _ logo (-m) + logo (3 - m). Действие, обратное логарифмированию, называют потенцированием. Пример 8. Пропотенцируем выражение 2logg 5 - 2,5logg 4. Будем последовательно получать: 2logg 5 - 2,5logg 4 _ logg 52 - logg 42,5 _ log3 42-5 _ log3 21 _ logg^^l. Логарифмы чисел находят с помощью специальных таблиц или калькулятора. И в том, и в другом случае находят десятичные или натуральные логарифмы. Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10. Для десятичного логарифма вместо log10 x пишут lg x. Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию е, где e — иррациональное число, приближенно равное 2,718281828^ . Число е, как и число п, Правообладатель Народная асвета 163 25 играет важную роль во многих разделах математики и в ее применениях. Для натурального логарифма вместо log,, x пишут In x. Для вычислений достаточно иметь возможность находить логарифмы по одному основанию, так как тогда можно найти логарифм числа по другому основанию. Это позволяет делать формула перехода к другому основанию. Теорема 6. Логарифм числа по данному основанию равен логарифму числа по новому основанию, деленному на логарифм данного основания по новому основанию: log. b = ^. logc« Доказательство. Пусть a > 0 и a Ф 1, c > 0 и c Ф 1 и b > 0. Тогда, в соответствии с основным логарифмическим тождеством, можем записать a^°^ab = b. Прологарифмировав это равенство по основанию с, получим logc a'°ga b = logc b, или, используя свойство логарифма степени, loga b logc a = logc b. Отсюда loga b = logc^ logca ■ Пример 9. Найдем, через сколько лет удвоится пятипроцентный вклад в банк. Пусть имеется вклад в a р. Тогда через n лет пятипроцентный вклад станет равным (1,05)na. Нас интересует такое значение переменной n, при котором вклад станет больше в два раза, т. е. 2a. Получили уравнение (1,05)na = 2a. Решим его: (1,05)na = 2a ^ (1,05)n = 2 ^ n = log105 2. Вычисления проведем с помощью калькулятора, на котором есть клавиша для нахождения десятичных логарифмов: lg2 _ 0,3010 n = log1,05 2 = 14,2. lg1,05 0,0212 Таким образом, удвоение пятипроцентного вклада произойдет через 14,2 года. Открытие логарифмов было вызвано в XVI в. быстрым развитием астрономии и усложнением астрономических вычислений, которые имели непосредственное практическое значение при определении местонахождения судов по Солнцу и другим звездам. Логарифмы быстро вошли в практику. Первые логарифмические таблицы были составлены в одно время 164 Правообладатель Народная асвета Рис. 165 и независимо друг от друга шотландским математиком Джоном Непером (1550—1617) и швейцарским математиком и астрономом Йобстом Бюрги (1552—1632). В 1623 г. английский математик Эдмунд Гантер изобрел логарифмическую линейку, с помощью которой действия над числами — умножение, деление — заменяются действиями сложения и вычитания над логарифмами этих чисел. На рисунке 165 показана одна из логарифмических линеек. Сейчас нужные вычисления проводятся с помощью калькуляторов. Леонард Эйлер (1707—1783) установил, что действие логарифмирования является обратным действию возведения в степень. Термин логарифм предложен Джоном Непером. Современное определение логарифма впервые дано в 1742 г. английским математиком Вильямом Гардинером. 1. Что называют логарифмом числа по данному основанию? • 2. Как обозначают логарифм числа Ь по основанию а? 3. Каким может быть основание логарифма; подлогарифмическое выражение? 4. Запишите основное логарифмическое тождество. 5. Как называется действие нахождения логарифма числа; действие нахождения числа по его логарифму? 6. Чему равны логарифм числа 1 и логарифм основания? 7. Чему равен логарифм произведения; логарифм частного; логарифм степени? 8. Какой логарифм называется десятичным; натуральным? 9. Запишите формулу перехода к логарифму с другим основанием. 594. Найдите логарифм по основанию 3 числа: а) 3; г) 81; ж) 9; к) 243; б) 9; д) 1; з) ^3; л) 9^3; в) 27; е)3; и)113; „„Ч 729 м) 527. Правообладатель Народная асвета 165 595. Определите, истинно ли равенство: а) log3 81 = -4; г) logo = -5 •; ж) log^ 27 = -6; б) log5 0,04 = -2; д) lg 0,01 = -2; з) log/j 0,2 = -2; в) lo^^ 8 = 6; е) log0,5 4 = -2; и) log^/2128 = 134 596. Найдите значение выражения: а) log0,5 1; д) log5 625; и) log132; 2 б) 'og5ll5; е) log0,5 0,125; к) log1 36; 6 в> 'og4 116; ж) i°g0,5 2; л) log3i73; г) log6 216; з) log14; 2 м) ^°gl^1i. 597. Определите, между какими целыми числами находится значение выражения: а) logio 50; б) log2 10; в) log2 0,5. 598. Учитывая, что Ig 3 = 0,4771, определите количество цифр числа 3100. 599. Логарифмом с основанием: а) 4 запишите число 2; д) 3 запишите число 2; е) 3 запишите число -1; б) 4 запишите число 1; в) 2 запишите число 0; г) 2 запишите число 3; ж) 5 запишите число 1; з) 3 запишите число -3. 600. Найдите значение выражения: а) 3'og318; 6log1 2 г)(1) 2; ж) 0,32‘og0'34; к) 7—^og79; б) 8'og25; д) 9‘og312; з) 16log47; л) 35'og32; в) 0,125‘og0'51 ; е) 5'og516; и) 10‘og102; м) (^)'0g—6. 601. Упростите выражение: а) 1,7‘og1'72; г) 101 - 'g 2; /n4‘og—3 ж) (2) 2 ; к) 2log25; б) 51+‘og53; -3log5 — д) 5 g52; з) 32 - l0gЗ—8; л) 3,8^og3'8——; в) 42'og43; /ц1+log—2. е) (?) 7; и) n'og"5’2; м) 6-2'og65. 166 Правообладатель Народная асвета 602. Найдите основание x логарифма, учитывая, что: а) logx 2 = 2; г) log = -5; ж) logx 2^2 = -6; б) logx N = N; д) logx 3f = -3; з) *°g' в) logx 243 = 5; е) logx 2j2 = i4; и) logx ^2 =- ^. 603. Решите уравнение: а) log5 x = 4; г) log2 (5 - x) = 3; ж) logx1 = -1; б) log6 x = 3; д) log1(0,5 + x) = -1; з) logx 27 = -3; в) log3 (x + 2) = 3; е) logx 27 = 3; и) log^v/5 = -4. 604. Найдите значение переменной, учитывая, что: а) loga 2^2 =-2; д) log245 ^ = -4; и) logJI8 = -0,4; б) log33jb = -2,25; е) logз4f w = -^; к) log^ ^l8 = 0,4; в) log252 8 = ^; ж) log^ 2^2 = x; л) log^ ^l9 = -0,6; г) log„ 0,0625 = -4; з) log44i2-6 = y; м) log0,32 (2^) = r. 605. Найдите область определения выражения: а) log1(4 - x); 2 е) log1(-x2); 4 б) ‘og8 2x*-1; в) log0,2 (7 - x); ж) log6 1 -'2x; з) log0,7 (-2x3); г) log6 (49 - x2) ; и) log3 (1 - x3 ); д) logi (x3 + x2 - 6x); к) logx (2x - 1). 606. Определите, при какой зависимости между переменными a и b истинно равенство: а) log(2b - a) (2a - b) = 1; б) log^ (2a - b) = 0. 607. Решите уравнение: а) 2x = 5; в) 42x+3 = 5; д) 52x+1 = 7; б) 1,2x = 4; г) 71 - 2x = 2; е) 91 - 2x = 18. Правообладатель Народная асвета 167 4 608. Определите, через сколько лет количество жителей города увеличится на 20 %, если считать, что это количество ежегодно увеличивается на 1 %. 609. Учитывая, что a > 0, b > 0 и c > 0, прологарифмируйте по основанию 10 выражение: а) 10^ ab3c; г) b3 • г) 105 a6c5; ж) 0,01 c 3; 1 ; a 2 b3 1 1 1 7 б) 103a* b2c-3; д) 310 a3 b^ c 2; з) c 4 2 . в) е) 10-4 a^b^c3; 107a3b8 0,1c^Уb’ 610. Найдите значение выражения: а) log10 5 + log10 2; б) log12 2 + log12 72; в) log10 8 + log10 125; г) log3 6 + log3|; д) log2 15 - log2^; 16’ е) log154 - log12; 3 3 ж) log5 75 - log5 3; з) log8 116 - log8 32. 611. Упростите выражение: а) log8 12 - log8 15 + log8 20; б) logg 15 + logg 18 - logg 10; в) 1 log7 36 - log7 14 - 3log7 ^21; г) 2log1 6 - ■2log1 400 + 3log1 ^45. 3 2 3 3 612. Найдите выражение x, учитывая, что a и b — положительные числа и: в) log1 x = |log1 a - ilog1 b; 2 3 2 5 2 г) log2 x = -4log2 a - 4log2 b. а) log3 x = 4log3 a + 7log3 b; б) log5 x = 2log5 a - 3log5 b; 3 ^ 3 ' 3 613. Найдите выражение A, учитывая, что: а) loga A = 3 + 2loga b - ^1loga x - 4loga y; б) ln.A = ln sin x - ln cosx + -ilnx; в) lg.A = -1 + |lg (x - 1) + ^1lg (x + 1) - 3lgx. 168 Правообладатель Народная асвета 2 2 2 5 a 614. Найдите значение переменной х, учитывая, что: а) logg х = Blogg 2 + 0,5logg 25 - 2logg 3; б) log4 х = ;3log4 216 - 2log410 + 4log4 3; в) lg x = 2lg5a - 3lg b + 4lg c; г) lgx = 5lgm + 22lg^ - -jlgp. 615. Докажите, что если a > 0, a Ф 1, b > 0, b Ф 1 и r — произвольное действительное число, то: а) loga b = 1 logb a ’ б) log rb = logab. е) lg 0,17; з) lgg. 616. Вычислите на калькуляторе а) lg 23; в) lg 7; д) lg 0,37; б) lg 81; г) lg 2; 617. Вычислите: а) log812 + log^B; 8 б) log2718 + log 1 2; в) log1 b= -logab. ж) lgBB; д) log3 49 • log/75 • log25 2 7; log^27 е) в) log9 32 . ) log9 4 ; lOg2^y3 log3 5 ж) g1+'og32; log5 8 з) 51+‘og82. г) log4 5 • log5 g • logg 7 • log7 8; 618. Учитывая, что lg 3 « 0,4771 и lg 5 « 0,G990, с точностью до тысячной найдите значение выражения: а) log30 g0; б) log3g 15. 619. Учитывая, что log5 2 = a и log5 3 = b, найдите: а) log5 72; б) log5 15; в) log5 12; г) log5 30. 620. Учитывая, что: а) log12 18 = a, найдите log8 9; б) log34525 = a, найдите log9 15; в) log9 20 = a, lg 2 = b, найдите log250 120; г) log25 28 = c, log14 2 = d, найдите logg8g 5G0. Правообладатель Народная асвета 1g9 r 27 621. Используя десятичные логарифмы, найдите на калькуляторе с точностью до тысячной значение выражения: а) log7 25; б) log5 8; в) logg 0,75; г) logo,75 1,13. г) log2 x - 2log1 x = 9; 622. Решите уравнение: а) log5 x = 2log5 3 + 4log25 2; б) log3 x = 9log27 8 - 3log3 4; в) log2 x + log8 x = 8; д) log9 x2 - log^ x = 3; е) log4 x - logi6 x = i. 623. Найдите значение выражения: а) б) log3 8 . log3 16’ lOg59 ’ г) log78 в) log536 - log512 , ) log5 9 ; log715 - log730 ’ log2 24 - 1log2 72 д) ---------2------; log318 - 3log372 log714 - 1log756 е) --------1^-------; log630 - 1log6150 ж) log2 4 + log^y^ _ log2 20 + 3log2 2 ; 3log72 - 1log764 з)--------1-------; 4log5 2 + ^log5 27 и) 3log72 - log74 log7 2 + log74 ■ 624. Найдите значение переменной, учитывая, что: а) 5 log0,4 ^50 = r; д) log^ (2(2^3)) = 2; б) log(x - 2) 9 = 2; е) log^/2+1) (3 + 2^2) = ^; в) log. (3 - Ы2] = 2; ж) log(; - 2) (Z3 - 14) = 3; г) log(3 - „2 (fe2 + 2k - 1) = 2; з) log2 (m2 + 6m + 17) = 3. 625 . Пропотенцируйте равенство: а) lg x = mlg N; ж) lg x = 3lg m + 4lg n; б) lgx = -^lgN; m з) lgx = 33(lga + lgb); в) lg x -- lg N1 - lg N2; и) 2lg x = -lg (6 - x2); г) lg x = = lg N1 + lg N2; к) lg x = 2lg a - 3lg b + 4lg c; д) lgx = fg«; л) lg x = -lg a - 2lg b - 3lg c; е) lg x = = 2lg a - 3lg b; м) lgx = -|lga + 23 lgb. 170 Правообладатель Народная асвета 2 626. Решите уравнение: а) 5log2 c = 3log2 c + 6; б) 2log3 d - 3logg 81 = 5log3 d; в) lg x = lg 2 + lg sin a + lg cos a; г) lg x = lg sin e - lg cos e + lg ctg P; д) (log2x)2 - log2 x - 6 = 0; е) 3log3 u + 7log3 u - 6 = 0; ж) (log3 /)2 - 6log3 f + 9 = 0; з) 2log221 - 7log12 t + 6 = 0. 627. Решите уравнение: а) log2 x + log4 x + log8 x = 11; б) log64 y + log8 y = 0,5; в) log81 2 + log9 2 + log3 2 = 3,5; г) l°gat + l°g,2t + l°g^4t = 628. Докажите, что: а) log13 + log3^2 < -2; 2 д) log2 x - 9log8 x = 4; е) 16log126 x + 3log4 x - 1 = 0; ж) log23 x + 5log9 x - 1,5 = 0; з) log23 x - 15log27 x + 6 = 0. в) 4'og57 = 7log54. г) 3log25 = 5log23 б) log3 7 + log7 3 > 2; 629. Учитывая, что a, b, c — положительные и отличные от единицы числа, докажите, что: а) a logbc = c'°gba б) logab c = loga c logb c 630. Запишите уравнение прямой, проходящей через точки А(2; 1) и B(3; 5), и найдите площадь треугольника, ограниченного прямой AB и координатными осями. 631. Найдите квадратную функцию, график которой проходит через точки (-1; 0), (1; 4) и (2; 3), и найдите, чему равна сумма тех целых значений аргумента, при которых эта функция принимает положительные значения. 632. Найдите квадратную функцию, график которой пересекает ось ординат в точке 1, симметричен относительно прямой x + 2 = 0 и проходит через точку (2; 7). Правообладатель Народная асвета 171 1 633. Квадратный трехчлен f(x) при x = 1 принимает наименьшее значение, равное нулю, а график функции у = f(x) проходит через точку (-1; 4). Запишите уравнение касательной к этому графику, параллельной прямой 4х + у - 5 = 0. 634. Запишите уравнение касательной к графику функции у = (х + 2)2 - 1, проходящей через начало координат. 635. Определите, с помощью каких преобразований из графика функции у = 1 можно получить график функции: а) у = 1 х - 2’ б) у = т-2 + 1; в) у = г) у = -2 . х - 2; 3х - 2 х - 2 . 636. В равнобедренный треугольник с периметром 64 см вписана окружность. Прямая, параллельная основанию треугольника и касающаяся окружности, отсекает от него трапецию с периметром 60 см. Найдите радиус окружности. 637. Около окружности с радиусом 7 описан прямоугольный треугольник, биссектриса прямого угла которого делится центром окружности в отношении 7 : 5. Найдите стороны треугольника. 638. Две стороны треугольника равны 112 см и 120 см, а высота, проведенная к меньшей из них, — 96 см. Найдите радиус описанной окружности. 639. В окружность с радиусом 65 см вписан остроугольный треугольник, в котором одна высота равна 72 см, а сторона, к которой она проведена, находится на расстоянии 16 см от центра окружности. Найдите стороны треугольника. 640. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, основание которого отстоит от центра окружности на 7 см, а боковая сторона — на 15 см. * * * 641. Окружности ю1, ю2, ю3, ... расположены внутри параболы у = х2 так, что ю1 касается параболы в ее вершине и имеет радиус 0,5, окружность + 1 при каждом m касает- 172 Правообладатель Народная асвета ся окружности и ветвей параболы (рис. 166). Найдите радиус окружности Ю2009- 642. Докажите, что истинно равенство arotg! + arctg1 + arctg1 + 3 7 + ^ + arctg - 1 n2 - n + 1 = arctg n. 643. Найдите сумму b I \ m ) + {a + 2^ + + (a + (m - 1)^ mm где a некоторое целое число, натуральные числа b и m взаимно просты, а {x} обозначает дробную часть числа х, т. е. разность между x и наибольшим целым числом, не превосходящим х: {х} = х - [х]. 644. Решите уравнение ^9 + х2 - 3W3 х2 + у2 - хуМ + ^16 + у2 - 4^/3 = 5. 13. Логарифмическая функция Логарифмической функцией называется функция, задаваемая формулой у = loga х, где a — некоторое действительное число, a > 0 и a Ф 1. Теорема 7. Областью определения логарифмической функции является множество R+ всех положительных действительных чисел, а областью значений — множество R всех действительных чисел. Доказательство. Пусть a > 0 и a Ф 1. Тогда выражение loga х, в соответствии с определением логарифма числа, имеет значение, если значение аргумента — положительное действительное число, т. е. областью определения логарифмической функции является множество R+ всех положительных действительных чисел. Любое действительное число b может быть значением выражения loga х, так как уравнение loga х = b имеет корень при любом действительном b. Значит, областью значений логариф- Правообладатель Народная асвета 173 мической функции является множество R всех действительных чисел. Теорема 8. Логарифмическая функция на множестве всех положительных действительных чисел является возрастающей при а> 1 и убывающей при 0 < a < 1, а ее график проходит через точку (1; 0). Доказательство. Пусть a > 1 и 0 < < x2. Если допустить, что loga х1 > loga х2, то, с учетом возрастания показательной функции с большим единицы основанием (см. теорему 2 из параграфа 11 и следствие из нее), получим, что a^°^aX1 > a^°^aX^, или х1 > х2, что противоречит условию х1 < х2. Потому остается признать, что loga х1 < loga х2. Пусть 0 < a < 1, тогда 1 > 1. Если 0 < х1 < х2, то по дока- a занному log1 х< logi х2. После перехода к основанию a по- a a лучим, что -loga х1 < -loga х2, или loga х1 > loga х2. Поскольку loga 1 = 0, то точка (1; 0) принадлежит графику логарифмической функции. Из доказанной теоремы непосредственно получаем следующие утверждения. Следствие 2. Значения логарифмической функции с основанием, большим единицы, на промежутке (0; 1) отрицательны, а на промежутке (1; +^) положительны. Следствие 3. Значения логарифмической функции с положительным и меньшим единицы основанием на промежутке (0; 1) положительны,, а на промежутке (1; +^) отрицательны. Построим график функции у = log2 х. Для этого нанесем на координатную плоскость некоторые точки этого графика, составив предварительно таблицу значений функции. х 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 у -3 -2 -1 0 1 2 3 Используя построенные точки и установленные свойства логарифмической функции, получим график функции у = log2 х, который представлен на рисунке 167. Для построения графика функции у = log1 х учтем равенст- во log1 х = -log2 х и используем то, что график функции у = -f(x) Правообладатель Народная асвета 174 2 получается из графика функции у = f(x) симметричным отражением относительно оси абсцисс. Указанное преобразование проведено на рисунке 168. Теорема 9. График функции у = log„ x симметричен графику функции у = ax относительно прямой у = X. Доказательство. Пусть точка P (и; и) принадлежит графику функции у = ax (рис. 169). Тогда ее координаты и и и удовлетворяют равенству и = au. Но тогда истинно и равенство и = loga и. А это означает, что точка Q (и; и) принадлежит графику функции у = loga x. Так же доказывается, что если точка R (p; q) принадлежит графику функции у = loga x, то точка S (q; p) принадлежит графику функции у = ax. Для завершения доказательства остается заметить, что точки (c; d) и (d; c) симметричны относительно прямой у = x. Теорема 10. Если положительные основания a и b логарифмов loga X и logb X оба больше единицы или оба меньше ее и a < b, то loga x > logb x при x > 1 и loga x < logb x при 0 < x < 1. Доказательство. Сравним значения выражений loga x и logbx: logb x - loga x = logax - loga x = logax - 1) = loga x(logb a - 1). logab a a Vl°gab Пусть b > a > 1, тогда, с учетом возрастания логарифмической функции с большим единицы основанием, получим logb a < 1, или logb a - 1 < 0. Правообладатель Народная асвета 175 Если x > 1, то log^ x > 0, и потому log^ x(logj a - 1) = = logj x - loga x < 0, или logj x < loga x. Если 0 < x < 1, то loga x < 0, и потому loga x (log^ a - 1) = = logj x - loga x > 0, или logj x > loga x. Пусть теперь 1 > b > a > 0. Поскольку логарифмическая функция с меньшим единицы основанием убывает, то logb a > 1, или logb a - 1 > 0. Если x > 1, то loga x < 0, и потому loga x (logb a - 1) = = logb x - loga x < 0, а если 0 < x < 1, то loga x > 0, и потому loga x (logb a - 1) = logb x - loga x > 0. В соответствии с теоремой 10 с увеличением основания a график функции у = loga x на промежутке (0; 1) располагается более высоко, а на промежутке (1; +^) — более низко. График любой логарифмической функции у = loga x с основанием a, большим единицы, похож на график функции у = log2 x. На рисунке 170 представлены графики функций у = log5 x и у = lg x. График любой логарифмической функции у = loga x с положительным основанием a, меньшим единицы, похож на график функции у = log^ x. На рисунке 171 приведены графики функций у = log^ x и у = log x. fy 1. Какая функция называется логарифмической? * 2. Какое множество является областью определения логарифмической функции; областью значений логарифмической функции? 3. Какой является логарифмическая функция, если ее основание больше единицы? 4. Какой является логарифмическая функция, если ее основание положительно и меньше единицы? 5. Через какую точку проходят графики всех логарифмических функций? 6. Каким неравенством связаны значения логарифмических функций с разными основаниями при одном значении аргумента? 176 Правообладатель Народная асвета 2 5 645. Определите, каким — положительным или отрицательным — является число: а) log3 4,5; б) loga 0,45; в) log5 25,3; г) logo,5 9,6. 646. Сравните с единицей число х, учитывая, что: а) log3 х = -0,3; б) logj х = 1,7; в) log2 х = 1,3. 3 647. Сравните числа: в) logi9 и logi17; а) i°g36 и log355; ’3 5 б) logi е и logi п; г) log^l5 и log^l3. 2 2 648. Найдите область определения функции: а) у = log4(x - 1); б) у = log3(x2 + 2х); г) у = log/2 (4- х2); д) у = log2l3 - х| - log2lx3 - 8|; е) у = logoз4x+1 + logo,4(1 - 8х3). в) у = logo,3(1 + х); 649. Определите, какой — возрастающей или убывающей — является функция: а) у = logo,o75 х; в) у = lg х; д) у = log1 х; б) у = log^ х; г) у = ln х; е) у = log!1. 650. Изобразите схематически график функции: а) у = lg х; б) у = ln х; в) у = log0,4 х; г) у = log1 х; д) у = log п х; ctg^ е) у = log ctg-^ х. 5 7 651. Используя график функции у = 2х, постройте график функции: а) у = 2-х; г) у = -log2 х; ж) у = log2 (х - 1); б) у = log2 х; д) у = log2 х + 5; з) у = logl(x + 2). 2 в) у = log1 х; е) у = log2 (-х); 2 652. Используя график функции у = 3х, постройте в этой же системе координат графики функций у = log3 х, у = log1 х, у = -log3 х. 3 Правообладатель Народная асвета 177 2 2 653. Найдите область определения функции: а) у = logs (x2 - 3x - 4); /-Ч 1 x2 - 9 б) у = logo,71ХТ5Г; в) у = logn (2x - 2); г) у = log^(-x2 + 5x + 6); д) у = logi x - 4 , 3 ; x - 1 е) у = log3 (3x - 1 - Г). 654. Найдите область определения выражения: а) log2 sin x; б) log3 (2x - 1); в) log^cos x; г) Ig (1 - 3x). 2 655. Найдите область определения, область значений и постройте график функции: а) у = log3 (x - 1); б) у = log1 x - 1; в) у = log1(x + 1); _ д) у = 1 + log3 x; 3 г) у = 1 + log3 (x - 1); е) у = 1 + ^2log3 x. 656. Найдите область определения, область значений и промежутки возрастания и убывания, построив график функции: а) у = Ilog3 x|; б) у = log3 Ix|; в) у = log2 |3 - x|; г) у = |1 - log2 x|. 657. Докажите, что функция у = log2 (x2 - 1) возрастает на промежутке (1; +^). 658. По графику функции у = log2,5 x, представленному на рисунке 172, найдите приближенно: Рис. 172 а) log2,5 3; б) log2,5 0,34; в) log2,5 5; г) log2,5 0,7. 659. Установите, при каких значениях аргумента x функция у = log2 (x2 - 3): а) принимает положительные значения; б) принимает отрицательные значения; в) не определена. 178 Правообладатель Народная асвета 3 660. Решите неравенство: а) log5 X > log53; в) Ig х < Ig 4; б) log, X < log, -i; г) In X > In 0,5; — — 8 5 5 661. Решите уравнение: а) log3 (5х - 1) = 2; в) lg (3х - 1) = 0; б) log4 (2х - 3) = 1; г) log5 (3х + 1) = 2; д) log3 X < 2; е) logo,4 X > 2. д) log7 (X + 3) = 2; е) lg (2 - 5x) = 1. 662. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на промежутке I, учитывая, что: а) f(X) = log1 X и I = [1; 4]; в) f(X) = log5 X и I = ^5; 1 б) f(X) = logg X и I = 9 9’ г) f(X) = log1 X и I = 663. Сравните значения выражений: а) 1 + lg 3 и lg 19 - lg 2; lg5 +l^^ в) и lg —’4 2;4 5 б) 3 (lg 7 - lg 5) и lg 9 - 2lg 8; 3 22 3 г) lg lg lg 50 и lg3 50. 664. Решите графически уравнение: д) log2 X = -X2; а) log2 X = -X; б) log2 X = -X + 1; в) 2log2 X = -2X + 3; г) log2 X = sin x; е) log1 X = cos x; 2 ж) 2 = log1 X; 2 з) log1 X = 2X - 5; и) log3 X = 3 ; X к) lg X = 2 X - 4; л) lg X = VX; м) lg X = 2-X. 665. Сравните числа: а) log2 10 и log5 30; г) log0,2 л/2 и log0,7 0,3; б) log0,3 2 и log5 3; д) log0,1 0,25 и logg,5 0,3; в) log3 5 и log7 4; е) log3 10 и log8 57. 666. Определите, при каких значениях переменной х истинно неравенство: а) logx 8 < logx 10; б) logx 44 < logx ^2. Правообладатель Народная асвета 179 4 2 667. Докажите, что график логарифмической функции у = f(x) является: а) вогнутым при меньшем единицы основании, т. е. что ис- f(xi) + f (х2) тинно неравенство ^ ^ 2 х^ и х2 аргумента; б) выпуклым при большем единицы основании, т. е. что ис- f(xi) + f (х2) тинно неравенство ^2 2 x1 и x2 аргумента. > f^х1 2 Х2 j для любых значений диницы основании, т. е. что ис- < f^Xl 2 Х2 j для любых значений 668. Найдите угол между образующей и высотой конуса, учитывая, что разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой в 270°. 669. Прямоугольный треугольник вращается вокруг оси, содержащей гипотенузу. Найдите поверхность полученного тела, учитывая, что гипотенуза равна с, а острый угол треугольника — а. 670. Радиус основания конуса равен R, а образующая наклонена к плоскости основания под углом а. Через вершину конуса проведена плоскость под углом ф к его высоте. Найдите площадь полученного сечения. 671. Есть конус, радиус основания которого равен r и образующая — 2r. Плоскость, параллельная основанию, делит его на два тела, полные поверхности которых равны. Определите образующую конуса, отсеченного этой плоскостью. 672. Найдите объем тела, полученного при вращении: а) прямоугольного треугольника с катетами 10 см и 15 см вокруг оси, содержащей гипотенузу; б) равнобедренного треугольника с боковой стороной 20 см и основанием 10 см вокруг оси, содержащей основание. 673. Треугольник ABC, у которого стороны AB и AC равны 13 см каждая, а сторона BC — 10 см, является основанием пирамиды DABC. Ее ребро AD перпендикулярно плоскости основания и равно 9 см. Найдите боковую поверхность пирамиды. 674. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 39 см, а основание — 30 см. Каждый из двугранных углов при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды. 180 Правообладатель Народная асвета 675. Найдите объем конуса, у которого: а) диаметр основания равен 24 см, а высота — 38 см; б) радиус основания равен 8\13 см, а образующая составляет с осью конуса угол в 60°; в) осевым сечением является правильный треугольник со стороной а. 676. Найдите сумму корней уравнения: а) 22 - 3г + 2|г - 2| = 0; в) ш2 + 2w - \ w + 3| = 21; б) X2 - 4х - |х + l| - 11 = 0; г) + 4t - 2\t + 5| = 19. 677. Решите уравнение: а) | 2а - 1| + 6а = | 2а - 4| + 15; б) |2 - с| - с = |2с - 1| - 21; 678. Найдите те значения параметра а, при которых имеет три корня уравнение: в) |^ - 5| + 3d = |2d - 4| + 11; г) !и + 3| - 7и = |u + б| + 11. а) | X2 -2X - 3| = а; б) |5 + 2у - y2| = а; в) |2 - 3t - t2| = 5а; г) |3и2 + 6v - 3| = -0,5а. * * * 679. Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит медиану AM на три доли. Определите, как сторона BC относится к стороне AB и к стороне CA. 680. Определите, имеют ли общий корень уравнения X4 + ах + b = 0 и X4 + сх + d = 0 при условии 0 < а < с < d < b. 681. Решите уравнение 2(2cos 4х + 1)cos х = 1. 682. Можно ли в квадрате размерами 5 X 5 клеток закрасить 16 клеток так, чтобы в каждом квадрате размерами 2 X 2 было закрашено не более двух клеток? 14. Показательные уравнения, неравенства и их системы При решении показательных уравнений и неравенств, т. е. уравнений и неравенств, в которых переменная содержится в показателе степени, используются свойства показательной функции: • областью значений показательной функции у = ах является множество всех положительных действительных чисел; Правообладатель Народная асвета 181 Рис. 173 у ‘ О*/ у Л О 1 X • если a > 0 и аф 1, то условия ax = ab и x = b являются равносильными; • при а > 1 показательная функция у = ах является возрастающей, а при 0 < а < 1 — убывающей. Пример 1. Решим уравнение: а) 2х2+3х+4 = 4; б) 23х - 1 = 5; в) 2х+2 = -1. = 22 ^ х2 + 3х + 4 = 2 ^ х2 + 3х + 2 = 0 ^ а) 2х + 3х+4 = 4 = 2х + ^ х = -1 или х = -2. Ответ. -1; -2. б) 23х - 1 = 5 ^ 23х - 1 = 2'og25 ^ 3х - 1 = log2 5 ^ х = ,3(1 + log2 5). Ответ. 1(1 + log2 5). в) Поскольку число -1 не принадлежит области значений показательной функции у = 2х, то уравнение 2х + 2 = -1 не имеет корней (рис. 173). Ответ. Корней нет. Пример 2. Решим неравенство: а) 52х+1 < 9; в) 0,22х+3 > 2; б) 5х > -2; г) 0,23 - х < -2. а) 52х+1 < 9 ^ 52х+1 < 5log59 ^ 2х + 1 < log5 9 ^ х < 0,5(log5 9 - 1). Ответ. (-^; 0,5(log5 9 - 1)). Здесь при переходе от неравенства 52х + 1 < 5log59 к неравенству 2х + 1 < log5 9 мы сохранили знак неравенства, так как основание степени больше единицы. б) Поскольку значениями показательной функции у = 5х являются положительные числа, то условие 5х > -2 истинно при любом значении показателя, т. е. каждое действительное число является решением этого неравенства. Ответ. (-^; + ^). в) 0,22х+3 > 2 ^ 0,22х+3 > 0,2log0'22 ^ х < 0,5(log0,2 2 - 3). Ответ. (-^; 0,5(logQ,2 2 - 3)]. I82 Правообладатель Народная асвета Здесь при переходе от неравенства 0,22х + 3 > Q,2'°g0’22 к неравенству 2х + 3 < logQ,2 2 мы изменили знак неравенства на противоположный, так как основание степени меньше единицы. г) Поскольку при любом значении показателя 3 - x значением выражения 0,23 - x является положительное число, то неравенство 0,23 - x < -2 не может быть истинным ни при каком значении переменной x, т. е. оно не имеет решений (рис. 174). Для сведения показательного уравнения или неравенства к простейшим применяют общие приемы решения уравнений и неравенств: введение вспомогательной переменной, использование графических представлений, использование свойств функций, разложение на множители. Пример 3. Решим уравнение: а) 4х + 2х+1 - 3 = 0; б) 4х + 52x+1 = 6 • 10х. а) Пусть 2x = t. Тогда уравнение 4x + 2x + 1 - 3 = 0 запишется в виде t2 + 2t - 3 = 0. Числа 1 и -3 — его корни. Вернувшись к исходной переменной, получим уравнения 2x = 1 и 2x = -3. Корнем первого является число 0, а второе уравнение корней не имеет. Ответ. x = 0. б) Перед введением вспомогательной переменной разделим обе части уравнения 4x + 52x+1 = 6 • 10x на выражение 52x, которое положительно при любых значениях переменной. Будем иметь: 4x + 52x+1 = 6 • 10x ^ (2x )2 - 6 • 2x • 5x + 5 • (5x f = 0 ^ - 6 .(2Г + 5 = Q. 2 5 Пусть = a, тогда получим уравнение a2 - 6a + 5 = 0, ^ i2\x корнями которого являются числа 1 и 5. Значит, (^j = 1 или 2x = 5, откуда x1 = О и x2 = logQ,4 5. Ответ. x1 = О; x2 = logQ4 5. Правообладатель Народная асвета 183 у пх/ У = ^ Л О [ \ X Рис. 175 У = 5 - 3Д Пример 4. Решим неравенство 2х < 5 - 3x. Построим графики функций у = 2х и у = 5 - 3х (рис. 175) и найдем, при каких значениях аргумента х точка графика первой функции лежит ниже точки графика второй. Видим, что графики пересекаются в точке (1; 2). Если х < 1, то 2х < 21, а 5 - 3х > 5 - 3 • 1, так как функция у = 2х возрастает, а функция у = 5 - 3х убывает. Значит, при х < 1 истинно неравенство 2х < 2 < 5 - 3х. А если х > 1, то 2х > 21, 5 - 3х < 5 - 3 • 1 и потому истинно неравенство 2х > 2 > 5 - 3х, из которого следует, что ни одно число, большее 1, не является решением данного неравенства. Ответ. (-^; 1]. Пример 5. Решим неравенство 3х + 4х < 5х. Функции, определяемые выражениями, записанными в левой и правой частях уравнения, возрастающие, но возрастают они с разной скоростью. Используем это. Разделим обе части неравенства на выражение 5х, которое всегда положительно. Получим равносильное неравенство ^3^ +(55^ ^ 1. Функция /(х) = +(55^ является убывающей как сумма убывающих функций. А поскольку /(2) = 1, то решениями данного неравенства являются все числа, большие 2. Ответ. (2; +га). Пример 6. Решим уравнение х2 • 2х + 1 = х2 + 2х. х2 • 2х + 1 = х2 + 2х ^ х2 • (2х - 1) - 2х + 1 = 0 ^ ^ (2х - 1)(х2 - 1) = 0. Остается решить уравнения 2х - 1 = 0 и х2 - 1 = 0. Их корни 0, -1 и 1 исчерпывают все корни исходного уравнения. Ответ. 0; -1; 1. [2r • 5' = 40, Пример 7. Решим систему уравнений l5r • 2' = 250. Перемножив уравнения системы, получим уравнение 2r X 5r + = 10 000, которое равносильно уравнению Значит, r + t = 4. 184 Правообладатель Народная асвета 10r+' = 104 Разделив первое уравнение системы на второе, придем к уравнению 2r f) = (f Г' Потому r - t = 2. 5t — r 4 ' r , которое равносильно уравнению 25 Таким образом, данная система равносильна системе r +1 = 4, r — t = 2, Ответ. (3; 1). которая имеет решением пару (3; 1). Пример 8. Решим систему Решим уравнение системы: 122m — 3 ^ 243, T\2m2 — 3m 9) ' 9)2 - = 0. 7\2m2 — 3m 9) ' 9\2 — m2 = 0 -^9j 7\2m2 — 3m nXm2 — 2 =l9j ^ 2m2 — 3m = m2 — 2 ^ ^ m2 — 3m + 2 = 0 ^ m = 1 или m = 2. Из найденных чисел неравенству удовлетворяет только число 2. Ответ. m = 2. Пример 9. Решим уравнение 121* — 2 • 11* = с, где c — некоторое число. Данное уравнение равносильно уравнению 112* — 2 • 11* = с. Оно заменой 11* = у сводится к квадратному уравнению у2 — 2у — с = 0, решение которого зависит от дискриминанта 4(1 + с). Пусть 1 + с < 0, т. е. с < —1. Тогда квадратное уравнение не имеет корней, а потому не имеет корней и исходное уравнение. Пусть 1 + с = 0, т. е. с = —1. Тогда квадратное уравнение имеет один корень у = 1. Учитывая замену 11 * = у, получим уравнение 11 * = 1, корнем которого является число * = 0. Пусть 1 + с > 0, т. е. с > —1. Тогда квадратное уравнение имеет два корня: у = 1 — 1 + с и у = 1 + 1 + с . Возвращение к исходной переменной приводит к уравнениям: 11* = 1 ^уТ+с 11* = 1 1 + с. Корнем первого уравнения является число = logтт(1 + ^J1 + с). Второе уравнение имеет корнем число * = logn i1 ), но при условии, что 1 — 1 + с > 0, т. е. при с < 0. Ответ. Если с < —1, то уравнение не имеет корней; Правообладатель Народная асвета 185 если c = -1, то x = 0; если -1 < c < 0, то x1 = iogii (1 ^/Т+7) и X2 = log11 (1 ^JТTc); если c > 0, то X = logТТ (1 + yj 1 + c). 1. Какие утверждения Р(х) и Q(x) с переменной x называются равно-• сильными? 2. Когда говорят, что из утверждения Р(х) следует утверждение Q(x)? 3. Что означает равносильность уравнений f(x) = g(x) и /i(x) = giix)? 4. Что означает утверждение уравнение f1(x) = g1(x) следует из уравнения f(x) = g(x)? 5. Что означает равносильность двух неравенств? 6. Что означает следование одного неравенства из другого? 7. Как равенство или неравенство степеней с определенным основанием связано с отношением между их показателями? 8. Какие приемы используют при решении показательных уравнений и неравенств? 683. , Решите уравнение: а) 4х - 1 : = 1; д) 0,5s = 4s^1; б) 22^ = 2^5; е) 2q2 - 7q+10 = 1; в) 2 • 4" = 64; ж) 23v+2 - 23v- 2 = 30; г) a -1 2^ : = 4; з) 2‘ + 1 + 2‘ - 1 + 2‘ = 28. 684. Решите неравенство: а) 3 3" + 2 • 33 - 2 > 1; д) (й'« i1т; б) 3 • 9" < 81; е) 32" - 1 + 32" > 108; в) 27* < 1. 3; ж) 3х2 + х - 12 < 1; г) (1)3х > 9; з) 3а - 1 - 3а + 3а+1 > 63. 685. Решите уравнение: а) 400 j = 1 , 20; г)(21)- .2 - 2. +3 = 1; б) 100“' '-1 = 101 - 5“; д) (5)3 = 25-2; в) 0,33^ = 33; е) 5,12(х - 3) = 5,W5,Т. 186 Правообладатель Народная асвета 686. Решите неравенство: а) 0,6' • 0,6I < ; г) 0,5“+7 • 0,51 - 2“ > 2; ж) 5у > 8у; 6)6i' . 6 < 6 .(i)2"; д) 10“ > —; 410000 з)(^)' >(I)'; в) 10* < 510000; е) 2252g2 -24 > 15; и) 4" < I2. 687. Решите уравнение: а) 2'' - 2' = 2'' + 4; в) 2,5'5 - *' = 2,5'* - 1; б) !у + 1' = I2 - 1у1; г) 5' “' = 5' 2 - “' - 1. 688. Найдите область определения функции: а) у = ,/25' - 5'; в) у = ^/7| -(2| 4 - 2- б) у = ^4' -1; г) у = VV5 - 5'+ 689. Решите уравнение: а) 7' - 7' - 1 = 6; в) 12* - 1 + 12* - 2 - 12* - 4 = 115 д) у = е) у = 77'+2 - 5'+2. б) 5|у + 1 • 5|у - 2 = 140; г) 2^ + 1 + 1 • 2^ - 1 - 5 • 2^ + 6 = 0. 690. Определите, при каких значениях переменной ' сумма чисел 2' - 1, 2' - 4 и 2' - 2 равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии 6,5; 1,25; 1,625; ^ . 691. Решите уравнение: а) lv+1 + lv = 7v+1 + 5 • 7v; б) Is+4 + 1 • 5s+1 = 5s+4 + Is+3; в) 28 - d + 71 - d = 7 4- d + 21 - d • 11; г) 2n + 1 + 2n - 1 - In - 1 = In - 2 - 2n - 1 + 2 • In - 3. 692. Решите неравенство: а) 2^ - 1 + 2^ + 1 > 17; в) 22d - 1 + 22d - 2 + 22d - 1 > 448; б) I"+2 + I" - 1 < 28; г) 51*+1 - 51* - 1 < 624. 693. Решите уравнение: а) 9" - 4 • I" + I = 0; в) 16“ - 17 • 4“ + 16 = 0; б) 25* - 6 • 5* + 5 = 0; г) 64^ - 8^ - 56 = 0. 694. Решите неравенство: а) 8 • 4^ - 6 • 2g + 1 < 0; б) 1I2“ + 1 - 1I“ - 12 > 0; в) 2I“ + 8 • 2“ - 6 • 22“ > 0; г) (4)- + (2)'-6 < 0; д) I2*+1 - 10 • Ih + I > 0; е) 5I"+1 + I4 • 52" - 7 • 5" < 0. Правообладатель Народная асвета 187 695. На промежутке [-3; 3] найдите целые решения неравенства: 4 r С)Г а) 9* - 3* - 6 > 0; в) 4r - 2r < 12; б) 52^+1 + 4 • 5У - 1 > 0; г) 3 • 9^ + 11 • 3^ < 4. 696. Решите неравенство: а) 1Г/^+6 > 11q; б) > 0,3“; г) 4« < 4; 4к - 3к д) 25 • 0,042" > 0,2"(3 - ">; г) 4(1)* + (f ^ 5.4- в) 0,4' - 2,5' + 1 >1,5; е) (i)' - 32 ■ (i) < 0. 697. Решите уравнение: а) 4 • 9^ - 13 • 6^ + 9 • 4^ = 0; в) 16 • 9“ - 25 • 12“ + 9 • 16m = 0; б) 2 • 4" - 3 • 10" - 5 • 25" = 0; г) 4 • 9* + 12* - 3 • 16b = 0. 698. Решите неравенство: а) 6" - 2 • 4" < 9"; в) 5 • 4' - 7 • 10' + 2 • 25' > 0; б) 5 • 25* + 2 • 15 * < 3 • 9*; 699. Разложением на множители решите уравнение: а) *2 • 2* - 2 + 3 • 2* - 3 - 2*2 • 33 - * - 34 - * = 0; б) 50* • 0,12* + 3 • 10*2 = 5* • 10*2 + 30 • 0,12*; в) * • 32*+1 + 2*+1 = 3* • 2* + 2 • 9*; г) 2 • 1920,5* + 9 ^3* + 18 • 8*. 700. Разложением на множители решите неравенство: а) 2 • 25* - 10* > 4*; в) ^ft—3 • 21'' + 1 < V' - 3 + 21'; б) *2 • 2* + 2 < 2*+1 + *2; г) *0,5 • 2* - 8 > W* - 2*+!. 701. Докажите, что уравнение имеет только один корень ' = 1: а) 4' + 25' = 29; б) 7' + 18' = 25. 702. Решите графически уравнение: а) [3J = * + 1; в) (^2f = и - 2; д) 2к = 3 - 2к - к2; б) 2* = -* - 4; г) 3' = 11 - '; е)(|)’ =- 3. 188 Правообладатель Народная асвета 703. Решите графически неравенство: а) (зГ ^ У + б) 2^ < 9 - д; в) (2)^ ^ - 2; г) 3^ > -3- - 3; д) 3- ^ > 4dTl; е)(2 > S3 - 1. 2 а) б) 704. Решите систему уравнений: а) |2х - У = 1, в) [а + s = 1, д) [5х+У = 25; [2а - s = 8; [* - р = 2, [d + 2b = 3, б) |3*2 +р = 1; г) |3d -" = 81; е) 9’ 705. Решите систему уравнений: в) г) |5" - 5У = 100, [5х -1 + 5У -1 = 30; |2х -9• 3У = 7, 2х а) б) в) г) 12х + 2У = 6, '[2х - 2У = 2; ^3х + 5У = 8, ^3х -5У =-2; 706. Решите систему условий: '(5“ ) = 521, д) |5“ • 5" = 510, , 3У = 8. 3 = 9; д) е) |16У - 16х = 60, [16х+У = 256; [3х + 2х+У+1 = 5, I 3х+1 2х+У__1 |5'+1 • 3“ = 75, [3' • 5“ -1 = 3; [52p +1 > 625, 1116 Р2 -10 P = 119 P- [0,310д2 - 47д = 0,3-|3,7д2 > 3,74; е) ж) 3“ > 3"; (0,2У )х = 0,008, (0,4)У = 0,43,5 - х, 2х • 0,5У < 1; [3'-1 ^Уэ, ^(0,2)3'2 - 2 = (0,2)2 10д - 7 3mn _310 з) [4m = 47 - n, 2m < 2n. 707. Учитывая, что а — определенное число, решите уравнение или неравенство: а) 144У' - 2 • 12'У' + а = 0; в) 4* - 2(*+1)а - 2* + а(а + 1) = 0; -х 1 + а-^ б) 4" - 2а(а + 1) • 2"-1 + а3 = 0; г) >. ах -1 1 - 2а^х Правообладатель Народная асвета 189 708. Сравните с единицей число: а) log5 3; в) log2 7; д) Ig 0,17; б) Ig 6; г) logo,6 0,5; е) logo,5 0,8. 709. Найдите целую часть числа: а) log2 5; в) log3 76; д) lg 0,17; б) lg 64; г) log0,6 0,18; е) log0,5 0,98. 710. Сравните числа: в) log3 75 и log0,6 0,23; а) logi ,1 и logi 1; 2 3 2log2 5 + log1 9 9 б) 2 9 и V8; г) log0,5 0,98 и lg 0,17. 711. Решите уравнение: а) 7^-2(к2 - к) = 0; г) ^2у + 1 (у2 -1) = 0; б) 72 + m (m2 + 3m) = 0; д) -JT^(b2 - 4b) = 0; в) 7« -1 (n2 - 4) = 0; е) „J2 + q(9 - q2) = 0. 712. Решите уравнение: 2 . а) Jib + -T = б) J2 - z + 1 л/1 - x ’ 4 . ^z +1; в) 2q _ ^- 1 4^+1’ г) д) е) ■- 2 2r 2 1 3 у + 3 y +1 'Уу + 3’ 31-к = 3 9 - к2 У3 - к ' 713. Решите неравенство: а) V3a - 2 > 1; б) \b + 3 > 2; /4 - Ь в) l2c - 1 < 3; j3c - 2 190 П г) 5v - 2v2 > 0; v + 3 д) 7(p + 2)(p - 5) < 8 -p; е) 7(m - 3)(m + 1) > 3(m + 1). Правообладатель Народная асвета а) 714. Решите неравенство: ■ - \[2—~х < 2; ^/2- б) (у - 3К/у2 - 4 < у2 - 9; в) \[4+г + 416 - z > 2; ч •Jn2-1^1 / 5 г) ,-- W n - 3 < ----; Vn-3 Vn-3 д) Va2 + 3a + 4 ^s/a + 1 > 1,4; е) ■Jb2^3b+4 -\l b2 - b + 1 < 1. 715. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно a и составляет с основанием пирамиды угол в 60°. Найдите площадь сечения, проведенного через сторону основания перпендикулярно противолежащему боковому ребру. 716. Треугольник ABC, у которого стороны AB и AC равны 13 см каждая, а сторона BC равна 10 см, является основанием пирамиды DABC. Ее ребро AD перпендикулярно плоскости основания и равно 9 см. Найдите полную поверхность пирамиды и ее объем. 717. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a, а двугранный угол при основании — а. Найдите объем конуса: а) вписанного в пирамиду; б) описанного около пирамиды. 718. Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны, одно из оснований осевого сечения равно 40 см, а его площадь — 36 дм2. Найдите боковую и полную поверхности усеченного конуса. * * * 719. В равнобедренном треугольнике ABC проведена биссектриса AD угла при основании AC. Точки M, N и K выбраны на прямой AC так, что ZAMB = ZAND = Z ADK = 90°. Найдите MN, учитывая, что AK = k. 720. Докажите, что [2a + 2b] > [a + b] + [a] + [b]. Здесь [x] обозначает целую часть числа x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x. Правообладатель Народная асвета 191 721. Доля юношей среди учеников классов А и Б составляет 2, а среди учеников классов Б и В — 3. Ка- 5 7 кой может быть доля юношей среди учеников всех трех классов? 722. Докажите, что если число 2" + 1 является простым, то показатель n есть степень двойки. 15. Логарифмические уравнения, неравенства и их системы Рассмотрим логарифмические уравнения, т. е. уравнения, в которых переменная содержится под знаком логарифма. Теорема 11. Логарифмы при одном и том же положительном и не равном единице основании равны тогда и только тогда, когда положительны и равны подлогарифмические выражения: f () > 0, если a > 0 и a Ф 1, то loga f(x) = loga g(x) ^ < g(x) > 0, . f (x) = g( x). Доказательство. Пусть a > 0 и a Ф 1. Из равенства loga f(x) = loga g(x) следует, что f(x) > 0 и g(x) > 0. Кроме того, f(x) = a - „logaf (x) - „log, = a x) = g(x). Получили, что из равенства f (x) > 0, loga f(x) = loga g(x) следует система < g(x) > 0, f(x) = g (x). А если истинна последняя система, то для любого положительного и не равного единице числа a существуют и равны значения выражений loga f(x) и loga g(x). Это озна- ff(x) > 0, чает, что из системы условий loga f(x) = loga g(x). g(x) > 0, следует равенство f (x) = g (x) Для завершения доказательства остается заметить, что системы < 192 f(x) > 0, g(x) > 0, и ^ f(x) = g (x). f (x) > 0, g(x) > 0, равносильны. Действи-f (x) = g (x) Правообладатель Народная асвета тельно, последняя система является следствием предыдущей, и, в свою очередь, неравенство f{x) > 0 (или g{x) > 0) следует из равенства f(x) = g(x) и неравенства g(x) > 0 (соответственно f(X) > 0). В соответствии с доказанной теоремой при решении уравнения log^ f(x) = log^ g(x) можно решить уравнение f(x) = g(x) и из полученных корней выбрать те, которые удовлетворяют какому-либо из неравенств f(x) > 0 или g(x) > 0. Пример 1. Решим уравнение log7 (5 + 3а - а2) = log7 (2a - 7). log7 (5 + 3а - а2) = log7 (2а - 7) ^ 15 + 3а - а2 = 2а - 7, |2а - 7 > 0 а = -3 или а = 4, а > 3,5 ^ а = 4. Если a > 1, то log^ f(x) < log^ g(x) ^ а если 0 < a < 1, то loga f(x) < loga g(x) ^ Здесь мы для проверки выбрали более простое неравенство 2а - 7 > 0. Ответ. а = 4. Теорема 12 - 0 < f(x) < g(x), ^ 0 < g(x) < f(x)- Доказательство. Пусть а > 1. В этом случае функция у = loga x возрастает. Потому из неравенства 0 < f(x) < g(x) следует, что существуют значения выражений loga f(x) и loga g(x) и loga f(x) < loga g(x). Из возрастания показательной функции у = ax получаем, что из не- loga/ (x ) < равенства loga f(x) < loga g(x) следует, что f(x) = а < a^°gag(x) = g(x). Кроме того, истинно неравенство f(x) > 0. Значит, из условия loga f(x) < loga g(x) следует условие 0 < f(x) < g(x). Таким образом, первое утверждение теоремы доказано. Если 0 < а < 1, то функции у = loga x и у = а^ обе являются убывающими. В этом случае из неравенства 0 < g (x) < f(x) получаем, что значения выражений loga f(x) и loga g(x) существуют и loga f(x) < loga g(x). В свою очередь, из неравенства loga f(x) < loga g(x) следует, что g(x) < f(x) и g(x) > 0. Этим обоснована равносильность условий loga f(x) < loga g(x) и 0 < g (x) < f(x). Правообладатель Народная асвета 193 Пример 2. Решим неравенство logg (2r^‘ - 15r + 25) > logg (13 - 6r) + 2. Преобразуем правую часть неравенства: logg(13 - 6r) + ^1 = logg (13 - 6r) + logg 3 = logg (39 - 18г). С учетом теорем 11 и 12 данное неравенство равносильно системе 2r2 - 15r + 25 > 0, < 3g - 18r > 0, 2r2 - 15r + 25 > 3g - 18r. Опустив первое неравенство, которое является следствием третьего и второго неравенств, и упростив третье неравенство, получим систему 3g - 18r > 0, 2r2 + 3r -14 > 0, или < r < 26, r < - 31 или r > 2. 2 Изобразим полученные решения на координатной прямой (рис. 176) и запишем ответ. Рис. 176 —Ч— 2— Ответ. (-те; -3^ и 2;2i При решении логарифмических неравенств и уравнений важно обеспечивать равносильность проводимых преобразований. Пример 3. Решим неравенство logg c + logg (c + 2) < 1. Выражения log3 c и log3 (c + 2) имеют значения только при положительных значениях c. С учетом этого имеем: log3(c(c + 2)) < 1, log3 c + log3 (c + 2) < 1 ^ 0, c > 0 _ Jc2 + 2c - 3 < 0, _ Г-3 < c < 1, “ [c > 0 _ [c > 0 Ответ. (0; 1]. 1g4 Правообладатель Народная асвета log3(c(c + 2)) < log 3, c > 0 _ 0 < c < 1. Пример 4. Решим неравенство log2 x ■ log4 2x logg4x > logi6 8x. Учтем, что log4 2x = log22x = + iog2 x), log8 4x = log2= log2 4 2 log2 8 = 1(2 + log2 x), log16 8x = log2 8x = irg + log2 x). Это позволяет 3 log216 4 ввести замену log2 x = t и привести исходное неравенство к t ■1 (1 +1) 1 виду —-2------> ^(З + t). Решим полученное дробно-рацио- ^(2 +1) 4 3 нальное неравенство: t • ^(1 +1) , ^2------> 4(3 + t) - 3(2+t) 4 _ 6t(l + t) — (З + t)2 + t) ^ 0 _ 5t2 + t — 6 ^ Q _ 2 + t 2 + t 5(t + 6)(t — 1) ^------ > 0 _ 2 + t t > 1, —2 < t < — 6. 5 Если —2 < t < ——, то: —2 < log2 x < —1,2 _ log22—2 < log2 x < log2 2—1,2 _ 2—2 < x < 2—1’2. Если t > 1, то: log2 x > 1 _ log2 x > log2 2 _ x > 2. Таким образом, решениями исходного неравенства являются все числа из промежутков (2—2; 2—1’2] и [2; +^). Ответ. (2—2; 2—12] U [2; +^). Разобранные примеры демонстрируют два пути решения логарифмических уравнений и неравенств. На первом пути используется потенцирование для сведения исходного условия к отношению между логарифмами некоторых выражений. Так решался пример 3. На втором пути, как при решении примера 4, используется новая переменная для сведения исходного условия к другому, более простому. Пример 5. Решим систему уравнений [log3(n — m) = 1, [log3 m — log3 2 — 3 + log3 n = 0. Решение системы должно удовлетворять условиям m > 0, n > 0 и n > m. При этих условиях первое уравнение дает n — m = 3, а второе — log3 (mn) = log3 54, или mn = 54. Правообладатель Народная асвета 195 Таким образом, исходная система равносильна системе n > 0, m > 0, \m > 0, < n > m, которая равносильна системе 0, <8 ф1, s - q > 0, которой на координатной плоскости sOq соответствует множество D точек, лежащих ниже прямой q = s, правее оси ординат q и не принадлежащих прямой s = 1 (рис. 177). Если s > q и 0 < s < 1, то исходное неравенство равносильно неравенству s - q > s2, а если s > 1, то неравенству s - q < s2. Прямая s = 1 и парабола q = -s2 + s разделяют область D на четыре части D1, D2, D3, D4 (рис. 178), в которых знаки каждого из выражений s - 1 и q + s2 - s постоянны. Если 0 < s < 1, то должно выполняться неравенство q < -s2 + s, т. е. должны быть выбраны те точки области D, 196 Рис. 178 Правообладатель Народная асвета которые расположены на параболе q = -s2 + s или ниже ее, т. е. точки фигуры D4. Если s > 1, то должно выполняться неравенство q > -s2 + s, т. е. должны быть выбраны точки области определения, расположенные на параболе q = -s2 + s или выше ее, т. е. точки фигуры D2. Чтобы записать ответ, нужно для каждого значения q0 переменной q найти те точки фигур D2 и D4, ординаты которых равны q0, и установить, какими могут быть их абсциссы. Например, для значения q, показанного на рисунке 179, ответ составляют абсциссы внутренних точек отрезка KL и луча MN. Для выписывания ответа найдем абсциссы точек пересечения прямой q = q0 и параболы q = -s2 + s, которые являются корнями уравнения q0 = -s2 + s. Получим: si = = 1 1 - 4qo _ = 1 + 41 - 4qo s2 = Видно, что прямая q = q0 пересекает параболу q = -s2 + s, если q0 < 4, 1 1W1 - 4qo Ответ. Если q < 0, то 0 < s < 1 или s > 2 7 если q = 0, то 0 < s < 1 или s > 1; n ^ 1 1 -41 - 4q^ ^ ^1 + J1 - 4q0 . ^ ^ 2 2 ’ если -1 < q < 1, то s > 1; если q > 1, то s > q. (y 1. Какие утверждения P(x) и Q(x) с переменной x называются равно-• сильными? 2. Когда говорят, что из утверждения P(x) следует утверждение Q(x)? 3. Что означает равносильность уравнений f(x) = g(x) и /i(x) = gi(x)? 4. Что означает утверждение Уравнение f1(x) = g1(x) следует из уравнения f(x) = g(x)? 5. Что означает равносильность двух неравенств? 6. Что означает следование одного неравенства из другого? Правообладатель Народная асвета 197 2 7. Какие свойства логарифмической функции используются при решении логарифмических уравнений и неравенств? 8. Какие общие приемы используются при решении логарифмических уравнений и неравенств? 723. Без решения определите, равносильны ли уравне- ния: а) 23 = 2 3 и 3х + 1 = -3; б) log3 (x - 1) = 2 и x - 1 = 9. 724. Установите, равносильны ли уравнения: а) Ig x2 = 0 и 2lg x = 0; б) Ig н3 = 0 и 3lg u = 0; в) 5lg (-t) = Ig t4 и (-t)5 = t4; г) log2 (3x - 6) = log2 (2 - x) и log3 (1 - y2) = log3 (y2 - 4). 725. Запишите систему, которой равносильно уравнение: а) lg (3x - 6) = lg (4x - 10); б) lg (z2 - z - 12) = lg (z2 - 3z - 10). 726. Решите уравнение: а) log5 x2 = 0; в) log3 x3 = 0; б) log4 x2 = 3; г) log4 x3 = 6; д) lg x4 + lg 4x = 2 + lg x3; е) lg x +lg x2 = lg 9x. 727. Найдите три последовательных члена геометрической прогрессии, учитывая, что их сумма равна 62, а сумма их десятичных логарифмов — 3. 728. Решите уравнение: а) log7 (x - 1) log7 x = log7 x; б) log1 xlog1(3x - 2) = log1(3x - 2); 3 3 3 в) log2 (3x + 1) log3 x = 2log2 (3x + 1); г) log/3(x - 2) log5 x = 2log3 (x - 2); д) log4 (x + 2)(x + 3) + log x - 2 4 x + 3 = 2; е) log2 + log2 (x - 1)(x + 4) = 2. 198 Правообладатель Народная асвета 729. Решите неравенство: а) log3 (x - 7) < 3; б) logs (6 - 3t) > 2; в) log3 (v + 1) < -2; г) logi(y - 7) > -2; 3 д) logi(4 - 3s) > -1; 5 е) log2(2 - 5z) < -2; 3 ж) Ig u > Ig 7 + 1; з) Ig r > 2 - Ig 5; и) log2 (f - 4) > 1; к) logi(3g - 5) > logi(g + 1); 7 7 л) log17 (f - 3) + log17 (f - 5) < 1; м) log1(ft - 2) + log1(12 - h) > -2. 730. Решите неравенство: а) log2 (x - 5) + log2 (x + 2) > 3; б) log3 (x - 2) + log3 (x + 6) < 2; в) lg(x ^Уэ) + lg(x ) < 0; г) lg (x - 1) + lg (x + 1) < 0; д) lg (x - 1) - lg (2x - 11) > lg2; е) lg (3x - 1) - lg (x + 5) > lg 5. 731. Решите уравнение: а) log3 x2 - log3 xx+6 = 3; б) log2 + log2 x2 = 5; в) 23'g x • 5'g x = 1600; г) 2‘og3x2 • 5‘og3x = 400; д) 1 2 4 + lg x 2 - lg x = 1; е) 1 5 - lg x 1 + lg x = 1. 732. Решите неравенство: а) log1 w - 4 > 0; в) 13 - log2 11 < 2; б) log3 w - 9 > 0; г) |3lg n - 1| < 2. 733. Решите неравенство: а) log2 x - 2logx 2 > - 1; г) log2 x + logx 2 > 2,5; б) log3x + 2logx 3 < 3; д) log3 x - 6logx 3 < 1; в) logx2 9 + log/^ 4 > 2; е) logx216 - log^^ 7 < 2. Правообладатель Народная асвета 199 3 3 734. Решите уравнение: а) Ig (6 • 5х - 25 • 20х) - Ig 25 = x; б) Viog,25+3 = ; в) ig (2х + х + 4) = х - xlg 5; г) ^2 log2 х + 3 log2 х - 5 = log2 2х. 735. Найдите область определения функции: а) у = ig (3х - 2); д) b = log6 (2а2 + 5а - 7); б) 2 = log2 (5 - 15i); е) d = ^Jlg c + ig (c + 3); ж) f = log6 log631^-+^2; з) g = Vlg(h + 3) + lg(h - 3). в) u = logi(u2 - 8); 2 г) r = log/2(9 - s2); 736. Решите уравнение: а) log3 х + log9 х + log27 х = 11. 12; г) log5 b • log3 b = 9log5 3; д) log^:1-^ = logi 2; 7 - 2 е) log3 (2 - c2) - log3 (- c) = 0. б) log3 а + log^ а + log1 а = 6; в) log3 у • log2 у = 4log3 2; 737. Решите уравнение: а) lo^5 q + 4log4 q + log8 q = 13; б) log1 5 + log_^ 12 + 1■logx 3 = 1; х х2 2 в) ijlogr 7 - log_^ 3 - log 2 28 = 1; 2 г r ■Jr г) logo,5 (а + 2) - log2 (а - 3) = ^2log 1 (-4а - 8); 2 -M д) log2 b • log2 (b - 3) + 1 = log2 (b2 - 3b); е) log5 (х + 1) • log5 (х - 1) + logo,2 (х2 - 1) + 1 = 0. 200 Правообладатель Народная асвета 2 а) 738. Решите уравнение: 1 , 5 = 2; 5 - 4lg(r + 1) 1 + 4lg(r + 1) б) Ig2 (100s) + Ig2 (10s) = 14lg s + 15; в) lg (u2 - 8) lg (2 - v) = ig55|2-|; г) log2 (u + 1)2 + log^ u2 + 2u +1 = 6; д) lg(35 - p3) = 3; lg(5 - p) е) 4 - lg m = 3/lg m; ж) log„ 2 + log2 n = 2,5; з) log14x + log2 = 8. 739. Определите, при каких значениях переменной истинно условие: а) log2 (2y - 5) - log2 (2y - 2) = 2 - y; б) log2 (2 ^ + 1) + log2(2 ^+1 + 2) = 2; в) log2 (25'+3 - 1) = 2 + log2 (5'+3 + 1); г) log2 (4 ‘ + 4) = log2 2 ‘ + log2 (2 ‘+1 - 3); д) log2 (9 - 2") = 3 - w; е) log4 (2 • 4u - 2 - 1) = 2u - 4; ж) x lg 5 - x > lg (2x + 1) - lg 6; з) 1 + lg (2‘ - 2 + 1) > lg 2 + lg (4‘ - 2 + 9). 740. Решите неравенство: а) log^log2 a2 > 0; б) log3log1(&2 - 1) < 1; 2 в) log0,1 v - 3log0,1 v > 4; 11 г) < 1; 5 - lg w 1 + lg w д) log0,2 y - 5log0,2 y < -6; 741. Решите неравенство: е) log0,2 l - log5 (l -2) < log1 3; 5 ж) log0,1 t - log0,1 (t - 1) > log0,1|; з) log3 (2 - 3-‘) < i + 1 - log3 4; и) log^2 _ 3(4z + 7) > 0; к) log ^^ [\f6 - 2c) < 0. c 5c - 6 а) log2 a -log2 a < 6; б) lg2 b + 2lg b > 3; в) log2 (sinl) < -1; г) log1 cos2m > 1; 2 д) log 2a + 3 a2 < 1; е) log 2(c + 2) < 1. Правообладатель Народная асвета 201 2 2 3 742. Решите уравнение: а) log5 - 12) - log5(-m) = 0; б) logi - ^ (3 - x) = log3 - x (1 - x); в) 3 + 2log(+1 3 = 2log3 (t + 1); г) log3^ + 7 (5d + 3) = 2 - log5d + 3 (3d + 7); д) 1 + 2logx + 2 5 = log5 (x + 2); е) 2 - lg (3y + 1) = log3y + 1 10. 743. Решите неравенство: а) 4log4 j - 33logj 4 < 1; б) log^ 3 < 4(1 + log1 i); г) log^(6' +1 - 36') > -2; ч/б д) 1 1 < 3; logax - 1 log^x2 + 1 2’ в) log1(2" +2 - 4k) > -2; е) log3 (y2 + 7y - 5) > 1. 744. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: а) log2 (x + y) < 1; б) log2 (y - x2) < 2. 745. Решите графическим способом уравнение: а) log3 x = 5 - x; в) log3 x = 3; д) logo,5 t = 4 - t2; x б) log1 x = 3x; г) x log2 x = 1; е) log1 x = 2x. 3 2 746. Решите уравнение: а) lg2 (x + 1) = lg (x + 1) lg (x - 1) + 2lg2 (x - 1); б) 2log5 (4 - x) • log2x (4 - x) = 3log5 (4 - x) - log5 2x; в) w2'°g36 (5u2 - 2u - 3) - ulog^5u2 - 2u - 3 = u2 + u; ^4 3 + t ^ Oj.\ ^ о 1 3t + 11t + 6 ^"2-^ - t l°g1(2 + 3t) = t - 4 + 2 log/2-------------10-----• г) t2log 747. Решите неравенство: а) б) 1 log2 c log^ycr^ ’ logo,Wa + 3 l°go,5 (a +1)’ в) '/^°g0■^f+2 < 1; г) l°g0,5 f - 1 j + 1 < 1. l°g2(1 + 2j) - 1 202 Правообладатель Народная асвета 3 3 6 1 748. Решите систему уравнений: а) Ig X - Ig y = 2, x - 10y = 900; в) flg X - Ig y = 7, riog3 X + log3 y = 2, б) 1 2 lx y-2y + 9 = 0; ig X + ig y = 5; г) 1log2x + 5log2;y = xy = 2. 749. Решите систему уравнений: а) б) x + y = 7, lg x + lg y = 1; m + n = 34, log2 m + log2 n = 6; в) г) log4(u + v) = 2, log3 u + log3 v = 2 + log3 7; log4 a - log4 b = 0, a2 - 5b2 + 4 = 0. 750. Решите систему уравнений: ) J3y • 9x = 81, |lg(x + y)2 - lg x = 2lg3; б) Гю1+lg ((+z)= 50, lg (t + z) + lg (t - z) = 2 - lg 5; 751. Решите уравнение: а) u'g 9 + 9lg u = 6; в) г) f3a • 2b = 576, [log/2 (b - a) = 4; I'lg r - lg s = lg15 - 1, 10>g(3r+2s)= 39. в) t'°g33t = 9; 3lg3 x д) x г) y^^l^ = 100; е) z1 + lg z = 1003/^; б) x'g x = i00; x 752. Найдите все значения переменной a, при которых уравнение 5log5 x + loga x - 4log25 x = a имеет корни. 753. Найдите все решения неравенства loga (x2 - x - 2) > loga (x2 + 2x + 3), учитывая, что число л/б является одним из его решений. 754. Решите неравенство: а) loga (x2 + x + 2) < loga (2x2 - 18), где a — определенное число, учитывая, что x = -3,5 — одно из его решений; б) logc (z2 - z - 2) > logc (-z2 + 2z +3), учитывая, что c — определенное число и неравенство истинно при z = 44. Правообладатель Народная асвета 203 755. Определите, какие значения может принимать переменная а, учитывая, что все корни уравнения (а - 1)log3(x - 2) + 2(a + 1) logg (x - 2) + a - 3 = 0 меньше 3. 756. Определите, какие значения может принимать переменная b, учитывая, что: а) каждое решение неравенства 0,4^ +1 > 6,25b-3у является решением неравенства у2 - 6у + 4 < b2; б) каждое решение неравенства log0,5 у2 > log0,5 (у + 2) является решением неравенства 49у2 - 4b2 < 0; в) неравенство logb(b +1)(X + 4) > 1 истинно при любом значении переменной х; г) неравенство log2 ^ ((b2 - 1)22 +2г + 2) > 1 истинно при любом значении переменной z; д) неравенство log b (t2 + 2) > 1 истинно для любого значения b +1 переменной t. 757. Решите систему определенное число. 1 logx-2(2х2- 4х + у + 1) = 2, 1х + у - 3 = а - а2, где a 758. Решите уравнение: а) л/у+Г = 11 - у; в) 2yjt + 5 = t + 2; б) \l5s + 1 = 1 - s; г) л/7 - u = u - 1. 759. Решите уравнение: а) (х2 + 4х)\1 X + 1 = 0; в) (16 - q2^q + 3 = 0; б) (r2 + r)\lr - 1 = 0; г) (у2 - 4p)^j1 - p = 0. 760. Решите уравнение: а) У|х -7 = х - 1; г) yJ\z-10\ = z + 2; б) Vk-5 = c + 1; д) ^j\y-Ц = у - 2; в) У|2а - 32 = а - 4; е) y|3t - 9 = t + 3. 204 Правообладатель Народная асвета а) б) 761. Решите систему уравнений: I л/7 -4п = 0,5ftn, [t + n = 5; IVk + m + \jk - m = 6, + 2m = 37; в) г) \^Jv - f + 4-^v + f = 1, l2v + f = 1,5; \y}2g + n -4n—g = 1, Ig + n = 3. 762. Решите неравенство: а) yj2d + 10 < 3d - 5; д) < y - 8; vy + 2 б) Vq2^^-12 < q; в) sj(n + 4)(2n - 1) < 2(n + 4); г) -J9u - 20 < u; е)Х +1Ч - 3; ж) л/17 - 4t Wt - 5 W 13t + 1; з) VP+6 y^Jp-1 ^ 2 p - 5. 763. Докажите, что: а) скрещивающиеся ребра правильной треугольной пирамиды перпендикулярны друг другу; б) плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды и высоту ее боковой грани, перпендикулярна плоскости этой грани. 764. Есть правильная треугольная пирамида, боковое ребро которой наклонено к плоскости основания под углом в 60°. Через сторону основания, равную 12 см, под углом в 30° к плоскости основания проведена плоскость. Найдите площадь сечения. 765. Основанием пирамиды является ромб со стороной 25 см и меньшей диагональю 14 см, а высота пирамиды, равная 2,8 см, проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Найдите высоту боковой грани. 766. Стороны оснований треугольной усеченной пирамиды равны 12 дм и 6 дм, а ее высота — 1 дм. Найдите боковую поверхность и объем пирамиды. 767. Найдите объем пирамиды, учитывая, что: а) она правильная четырехугольная с боковым ребром b и двугранным углом при нем — а; Правообладатель Народная асвета 205 б) ее основание — прямоугольник с площадью 1 м2, две боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к нему под углами в 30° и 60°. 768. Определите, как расположены на поверхности конуса точки, равноудаленные от двух точек окружности его основания. 769. Есть конус, радиус основания которого равен r и образующая — 2r. Сечение конуса плоскостью, проведенной через две образующие, в V3 раз меньше осевого сечения. Определите косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. * * * 770. Найдите все натуральные значения переменной п, n(n + 1) при которых значение выражения ^ тым числом. -1 является прос- 771. Есть полуокружность с диаметром AB. На диаметре выбрана отличная от его середины O точка M, а на полуокружности — такие точки C и D, что ZAMC = Z BMD. Найдите CD, учитывая, что CM - MD = l и OM = k • OA. 772. Решите уравнение 8х(2х2 - 1)(8х4 - 8х2 + 1) = 1. 773. Четыре корня многочлена f(x) = х4 + ах3 + Ьх2 + сх + d образуют арифметическую прогрессию с разностью 1. Найдите расстояние между точками минимума функции f(x). Правообладатель Народная асвета Раздел V Сфера и шар 16. Сфера Сферой называется поверхность, полученная вращением окружности вокруг какого-либо ее диаметра (рис. 180). Центр этой окружности называется центром сферы. Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом сферы, отрезок, соединяющий две точки сферы, — хордой сферы, а хорда, которой принадлежит центр сферы, — диаметром сферы (рис. 181). Из определения сферы следует, что все ее точки равноудалены от центра сферы. Поэтому все радиусы сферы равны друг другу. Теорема 1. Сечение сферы плоскостью есть окружность, центр которой совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из центра сферы на секущую плоскость. Доказательство. Пусть сфера с центром O пересечена плоскостью а, и Q — основание перпендикуляра, опущенного из центра O на плоскость а (рис. 182). Пусть X и Y — произвольные точки линии пересечения сферы с плоскостью а. Треугольники OQX и OQY оба прямоугольные, так как отрезок OQ перпендикулярен плоскости а, а значит, и отрезкам QX и QY, лежащим в этой плос- Хорда Радиус Центр Диаметр Рис. 181 Правообладатель Народная асвета Рис. 182 207 кости. Отрезок OQ является общим катетом, а гипотенузы этих треугольников равны как радиусы сферы. Поэтому треугольники OQX и OQY равны друг другу, а значит, QX = QY. Получили, что любые две точки линии пересечения сферы плоскостью а равноудалены от основания Q перпендикуляра, опущенного из центра сферы на эту плоскость. Значит, эта линия является окружностью с центром Q. Следствие. Радиус r сечения сферы плоскостью удовлетворяет условию 0 < r < R, где R — радиус сферы. Сечение имеет наибольший радиус R, если секущая плоскость проходит через центр сферы, это сечение называют большой окружностью, а ограниченный ею круг — большим кругом. Плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку, называется касательной плоскостью сферы. Общая точка сферы и касательной плоскости называется точкой касания. Прямая касательной плоскости сферы, проходящая через точку касания, имеет со сферой единственную общую точку. Такая прямая называется касательной прямой сферы. Теорема 2. Касательная плоскость сферы перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Доказательство. Пусть плоскость а касается сферы с центром O в точке C(рис. 183). Пусть B — произвольная точка плоскости а, отличная от точки C. Через точки O, C, B проведем плоскость в, она по теореме 1 пересекает сферу по окружности. По отношению к этой окружности прямая BC является касательной, так как точка C — их единственная общая точка. По свойству касательной к окружности радиус OC перпендикулярен прямой BC. Таким образом, радиус OC перпендикулярен любой прямой BC, проведенной в плоскости а через ее точку C. Значит, радиус OC перпендикулярен плоскости а. Теорема 3. Если плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной плоскостью сферы. Рис. 183 208 Правообладатель Народная асвета Доказательство. Пусть плоскость у проходит через точку M сферы и перпендикулярна радиусу OM (рис. 184). Пусть N — произвольная точка плоскости у, отличная от точки M. Треугольник OMN прямоугольный с гипотенузой ON, и она длиннее катета. Поэтому точка N расположена вне сферы. Получается, что любая точка плоскости у, кроме точки M, не принадлежит сфере. Значит, точка M — единственная общая точка плоскости у и сферы, а поэтому плоскость у является касательной плоскостью сферы. Теоремы 2 и 3 выражают соответственно свойство и признак касательной плоскости сферы. Теорема 4. Две сферы пересекаются по окружности, плоскость которой перпендикулярна прямой, проходящей через центры сфер. Доказательство. Пусть имеются две пересекающиеся сферы с центрами 01 и O2, и A — какая-либо их общая точка (рис. 185). Через точку A проведем плоскость а, перпендикулярную прямой O1O2. Пусть эта плоскость пересекает прямую O1O2 в точке B. В соответствии с теоремой 1 плоскость а пересекает одну и другую сферы по окружности с центром B. Получили, что окружность с центром B является общей окружностью данных сфер. Других общих точек данные окружности не имеют. Допустим, что это не так. Пусть C — какая-либо общая точка сфер, не принадлежащая окружности с центром B. Через точки C, O1 и O2 проведем плоскость, которая пересечет сферы по окружностям с центрами O1 и O2. Эти окружности пересекаются в двух точках, которые принадлежат окружности с центром B, и вместе с этим им обеим принадлежит точка C. Правообладатель Народная асвета 209 Но это противоречит утверждению о том, что две окружности имеют не более двух общих точек. Прежде чем доказывать утверждение о поверхности сферы, обобщим утверждения о боковых поверхностях конуса, усеченного конуса и цилиндра. Теорема 5. Боковая поверхность конуса, усеченного конуса, цилиндра равна боковой поверхности цилиндра с той же высотой и радиусом основания, равным длине перпендикуляра, соединяющего середину образующей с точкой на оси этого тела. Доказательство. Пусть есть конус с вершиной S, основанием которого является круг с центром O. Пусть SAB — осевое сечение конуса (рис. 186). В плоскости AOS к образующей AS из ее середины C возведем перпендикуляр, который пересечет ось SO в некоторой точке D. Прямоугольные треугольники AOS и DCS подобны, так как у них угол при вершине S общий. Поэтому OOS = , или ^OA = Id, или OOS = 2CD . Отсюда A^S • OA = 2OS • CD. С учетом этого для боковой поверхности Sбок конуса будем иметь: SgoK = п • AS • OA = In • OS • CD. Пусть есть усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции O1EGO2 со средней линией HL вокруг боковой стороны O1O2, которая перпендикулярна основаниям O1E и O2G, отрезок EM — проекция EG на основание O1E (рис. 187). В плоскости O1EG к образующей EG усеченного конуса из ее середины H возведем перпендикуляр, кото- S рый пересечет ось ОхО2 в некоторой точке K. Прямоугольные треугольники EGM и KHL подобны, так как их стороны попарно перпендикулярны. Поэтому HK HL Е^ „„„ Н^ _ EG GM , HL Отсюда EG • HL = OiOg • HK. С учетом этого для боковой поверхности Ббок усеченного конуса будем иметь: SsoK = п • EG • HL = 2п • OiO2 • HK. Для цилиндра утверждение очевидно (рис. 188). Теорема 6. Поверхность сферы равна учетверенной площади большого круга: S = Доказательство. Пусть есть сфера, образованная вращением полуокружности AB вокруг своего диаметра (рис. 189). Впишем в эту дугу ломаную AM1M2M3^Mn_ 1MnB с равными звеньями и из точек M1, M2, M3, ^, Mn_ 1, Mn опустим перпендикуляры M1P1, M2P2, M3P3, _, M^- 1^^ _ 1, M^Pn на диаметр AB. Пусть Q1, Q2, Q3, ^, Qn_ 1, Q n — середины звеньев ломаной. Тогда OQ1, OQ2, OQ3, ^, OQ n_ 1, OQ n — серединные перпендикуляры к этим звеньям. При вращении вокруг AB звенья ломаной будут описывать или конусы, или усеченные конусы, или цилиндр. Поэтому, в соответствии с теоремой 5, для образовавшейся поверхности Sn получим Sn = 2п • АР-^ • OQ-^ + 2п • P1P2 • OQ2 + 2п • P2P3 • OQ3 + ^ + + 2п ■ Pn - 1Pn ' OQn - 1 + 2п ■ PnB ' OQn. Рис. 188 Правообладатель Народная асвета 211 Учтем, что отрезки OQi, OQ2, OQ3, OQ n_ i, OQ n все рав- ны друг другу: Sn = 2п ■ OQ1 ■ (АР 1 + P1P2 + P 2P 3 + + ^ + Pn - 1Pn + PnB) = 2n ' OQ1 ' AB. Пусть радиус сферы равен R. Тогда AB = 2R. Будем неограниченно увеличивать количество звеньев ломаной. Тогда отрезок OQ1 будет стремиться к радиусу сферы, а выражение 2п • OQ1 • AB — к выражению 2п • R • 2R, т. е. к выражению 4nR2. Этот предел и принимается в качестве площади поверхности сферы. Учитывая, что nR2 выражает площадь большого круга, получим, что поверхность сферы равна учетверенной площади большого круга. 1. Какая поверхность называется сферой, какая точка называется цент-• ром сферы? 2. Какой отрезок называется радиусом сферы; хордой сферы; диаметром сферы? 3. По какой фигуре пересекаются сфера и плоскость; две сферы? 4. Какое сечение сферы плоскостью называют большой окружностью, какой круг называют большим кругом? 5. Какая плоскость называется касательной плоскостью сферы, какая точка называется точкой касания плоскости и сферы? 6. Какая прямая называется касательной прямой сферы? 7. Сформулируйте свойство касательной плоскости сферы; признак касательной плоскости сферы. 8. Сформулируйте утверждение, которое обобщает утверждения о боковых поверхностях конуса, усеченного конуса и цилиндра. 9. Чему равна поверхность сферы? 774. Секущая плоскость разделяет сферу на две поверхности (рис. 190), каждая из которых называется сферическим сегментом. Окружность сечения Сферический сегмент Высота Основание Высота Сферический сегмент называется основанием сегмента. Каждый из отрезков, на которые секущая плоскость разделяет перпендикулярный ей диаметр сферы, называют высотой соответствующего сферического сегмента. Докажите, что поверхность сферического сегмента равна произведению длины 212 Рис. 190 Правообладатель Народная асвета Сферический сегмент Основание Сферический пояс Высота Основание Сферический сегмент Рис. 191 окружности большого круга и высоты сегмента (рис. 191). Рис. 192 775. Две параллельные секущие плоскости разделяют сферу на два сегмента и еще одну поверхность (рис. 192), которую называют сферическим поясом. Окружности сечений называются основаниями сферического пояса. Перпендикуляр, опущенный из одной секущей плоскости на другую, называют высотой сферического пояса. Докажите, что поверхность сферического пояса равна произведению длины окружности большого круга и высоты пояса (рис. 193). 776. Докажите, что: а) радиус r сечения сферы плоскостью удовлетворяет условию 0 < r < R, где R — радиус сферы; б) радиусы сечений сферы плоскостями, равноудаленными от центра сферы, равны друг другу; в) из двух сечений больший радиус имеет то, плоскость которого расположена ближе к центру; г) любые две не диаметрально противоположные точки сферы определяют ее единственную большую окружность; д) центр сферы является центром ее симметрии; е) любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы; ж) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии сферы. Правообладатель Народная асвета 213 777. Найдите геометрическое место проекций точки A на все плоскости, которые можно провести через точку B. 778. Определите взаимное расположение сферы с центром O и радиусом R и плоскости ABC, учитывая, что треугольник ABC есть основание треугольной пирамиды OABC с высотой OH и: а) R = 3 дм, OH = 30 см; б) R = 6 м, OH = 190 см; в) R = 1 дм, OH = 9 см; г) R = 0,7 дм, OH = 8 см. 779. Найдите длину окружности, являющейся: а) сечением сферы с радиусом 82 см плоскостью, отстоящей от центра сферы на 18 см; б) геометрическим местом точек сферы с диаметром 25 см, отстоящих от данной точки P этой сферы на 15 см. 780. Секущая плоскость отстоит на d от центра сферы с радиусом R. Найдите: а) площадь S сечения, учитывая, что R = 18 см, d = 12 см; б) R, учитывая, что площадь сечения равна 18п см2, d = 3 см. 781. Точка M находится в плоскости, касающейся сферы с радиусом R в точке A. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния от точки M до точек сферы, учитывая, что: а) MA = 15 см и R = 112 см; б) MA = 16 см и R = 63 см. 782. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости: а) прямоугольника, вершины которого лежат на сфере с радиусом 30 см, а диагональ равна 48 см; б) треугольника, вершины которого лежат на сфере с радиусом 26 см, а стороны равны 12 см, 16 см и 20 см. 783. Определите, через какие две точки сферы можно провести: а) бесконечно много больших окружностей; б) только одну большую окружность. 784. Вершины прямоугольного треугольника с катетами 18 см и 24 см лежат на сфере. Определите: а) положение центра сферы, радиус которой равен 15 см; б) расстояние от центра сферы с радиусом 65 см до плоскости треугольника. 214 Правообладатель Народная асвета 785. Докажите, что вершины двух прямоугольников, которые лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону, принадлежат одной сфере. 786. Найдите расстояние от центра до плоскости треугольника, стороны которого касаются сферы с радиусом 5 см и равны: а) 10 см, 10 см и 12 см; б) 13 см, 14 см и 15 см. 787. Найдите расстояние от центра сферы с радиусом 10 см до плоскости ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, а все стороны касаются сферы. 788. Сфера касается сторон треугольника с длинами 10 см, 10 см и 12 см, а ее центр отстоит на 13 см от вершины большего угла. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника. 789. Через середину радиуса R сферы перпендикулярно к нему проведена секущая плоскость. Найдите: а) радиус полученного сечения; б) площадь боковой поверхности и объем конуса, вершиной которого является центр сферы, а основанием — полученное сечение. 790. Через конец диаметра сферы с радиусом R проведена секущая плоскость под углом а к диаметру. Найдите длину полученного сечения, учитывая, что: а) R = 3 см, а = 30°; б) R = 5 м, а = 45°. 791. Найдите радиус окружности, по которой пересекаются сферы, учитывая, что их радиусы равны R, а расстояние между центрами — 1,6 R. 792. Найдите геометрическое место: а) центров сфер, которым принадлежат вершины данного треугольника; б) центров сфер данного радиуса, которые касаются граней данного двугранного угла. 793. Есть тело, ограниченное двумя сферами с общим центром. Докажите, что площадь его сечения плоскостью, прохо- Правообладатель Народная асвета 215 дящей через центр сфер, равна площади сечения плоскостью, касательной к внутренней сфере (рис. 194). 794. Перпендикулярные плоскости так пересекают сферу, что полученные сечения имеют единственную общую точку, а их радиусы равны r1 и r2. Найдите поверхность сферы. 795. Через точку сферы с радиусом R проведены две плоскости, из которых одна касается сферы, а другая наклонена к касательной плоскости под углом ф. Найдите длину окружности сечения. 796. Вершина конуса принадлежит сфере, его ось проходит через центр, а образующая пересекает поверхность сферы. Найдите поверхность части конуса, расположенную внутри сферы, учитывая, что радиус сферы равен 12 см, а угол при вершине осевого сечения конуса — 30°. 797. Сферу с радиусом 14 см пересекают две перпендикулярные плоскости по равным окружностям с общей хордой 4 см (рис. 195). Найдите радиусы окружностей. 798. Найдите длину линии пересечения сфер, радиусы которых равны 25 дм и 29 дм, а расстояние между центрами — 36 дм. 799. Найдите радиус сферы и расстояние между точками ее касания с гранями двугранного угла в 120°, учитывая, что центр сферы отстоит на a от ребра угла. 800. Прямая отстоит на d от центра сферы с радиусом R. Докажите, что: а) если d < R, то прямая пересекает сферу в двух точках; б) если d = R, то прямая имеет только одну общую точку со сферой; в) если d > R, то прямая не имеет со сферой общих точек. 216 Правообладатель Народная асвета 801. Найдите площадь сферы, радиус которой равен: а) 6 см; б) 2 дм; в) V2 м; г) 2sjz см. 802. Докажите, что: а) поверхности сфер пропорциональны квадратам их радиусов; б) полная поверхность цилиндра, полученного при вращении квадрата вокруг прямой, содержащей одну из его сторон, равна площади сферы, радиус которой равен стороне квадрата; в) площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник с высотой, равной диаметру сферы. 803. Найдите поверхность сферы, учитывая, что: а) длина большой окружности равна 6\[П м; б) радиусы двух ее параллельных сечений, отстоящих на 3 см, равны 9 см и 12 см. 804. Найдите радиус: а) сферы, поверхность которой равна 324п см2; б) круга, площадь которого равна поверхности сферы с радиусом 5 м. 805. На сфере с радиусом R выбраны такие точки A, B, C и D, что ZADB = Z BDC = Z CDA = 2ф и AD = BD = CD. Найдите: а) хорды AB и AD; б) площадь сечения сферы плоскостью ABC. 806. Вне сферы с радиусом 10 см выбрана точка M на расстоянии 16 см от ее ближайшей точки. Найдите длину такой окружности на сфере, все точки которой отстоят от точки M на 24 см. 807. Средний радиус Земли равен 6371 км. Найдите: а) площадь суши, учитывая, что вода покрывает примерно -З земной поверхности; б) длину тропика, широта которого равна 23° 27'; в) длину полярного круга, широта которого равна 66° 33'; г) длину параллели, на которой расположен Минск (53°56' северной широты). 808. Определите, сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча с радиусом 10 см, добавив на швы 8 % площади поверхности мяча. Правообладатель Народная асвета 217 809. Телевизионные волны распространяются по прямой. Определите, на каком расстоянии можно принять телепередачу, учитывая, что высота телевизионной башни станции равна: а) 150 м; б) 308 м; в) 537 м. 810. Определите, какой путь проходит за час вследствие вращения Земли вокруг своей оси город: а) Могилев, который находится на 53° 54' северной широты; б) Белыничи, который находится на 53° 55' северной широты; в) Витебск, который находится на 55° 12' северной широты; г) Брест, который находится на 52° 06' северной широты. 811. Радиус сферического сегмента равен г, а дуга осевого сечения — а. Найдите: а) длину окружности основания сегмента; б) высоту сегмента. 812. Радиус сферического пояса равен г, а углы, под которыми видны из центра сферы диаметры его оснований, — а и р. Найдите высоту пояса. 813. Найдите поверхность сферического пояса, радиусы оснований которого равны: а) 16 см и 33 см, а высота — 7 см; б) 20 м и 24 м, а радиус сферы — 25 м. 814. Основания сферического пояса равны 144п см2 и 25п см2, а его высота — 17 см. Найдите радиус сферы. 815. Найдите поверхность сферического сегмента, у которого: а) радиус основания равен г, а дуга осевого сечения — 90°; б) радиус основания равен г, а дуга осевого сечения — 60°; в) высота равна h, а дуга осевого сечения — 120°. 816. Решите уравнение: а) 1,5 5"-7 - ^ г) 3* + 4 • 3* + 1 = 13; д) 52* - 5* - 600 - 0; е) 9* - 3* - 6 - 0. б) 5* - 5* - 6 - 1; в) 2* + 2* - 3 - 18; 218 Правообладатель Народная асвета 817. Решите неравенство: а) 3a - 2 > 9; г) 0,5^2+2 > -1; ж) 3 т - 2 < 9; б) 52b > 25; v - 3 д) 8,4v2 +1 <1; з) 2"- 2 > 4"+ в) 0,7х2 +2х < 0,73; е) 4'- 2' +1+8 < 8'; ' .^1 -1 и) 4p+1 > 16. 818. Решите уравнение: а) 9“ - 8 • - 9 = 0; б) 100" - 11 • 10" + 10 = 0; в) 36^ - 4 • 6^ - 12 = 0; г) (5)‘-1 - (Г'1 = 4,8; д) 5 •(!)"3 + (I)"1 = 162; е) 5 • 9У + 9У - 2 = 406; ж) 5* + 1 + 8* + 1 = 13; з) 7m - 2 = 42 - т. 819. Решите уравнение: а) Ig2 и - 3 Ig и = 4; б) Ig (v - 2) + Ig v = Ig 3; в) In (t + 2) + In t = In 15; 820. Решите неравенство: а) log2 (x - 2) < 2; д) log3 (v - 1) < 2; б) log3 (7 - y) > 1; е) log^(2 - w) >-1; r) log2 (m - 2) + log2 (m - 3) = 1; Д) log3 (5 - q) + log3 (-1 - q) = 3; е) log/6(x - 1) + log/6(x + 4) = 2. в) log1 (2^ + 1) > - 2; 2 r) log^(3 - 5u) < -3; 2 ж) log3 (5 - 4a) < log3 (a - 1); з) log0,3 (2b + 5) > log0,3 (b + 1). 821. Решите неравенство: а) lo^6(x - 4) + lo^6(x + 1) < 2; б) log^/2(b - 5) + log^/2(b + 12) < 2; в) log3 (8y2 + y) > 2 + log3 y2 + log3 y; r) log2 a + log2 (a - 3) > log2 4; д) log1(2 - 10) - log1(2 + 2) > - 1; 5 5 е) log 1 (r + 10) + log 1 (r + 4) > -2. ■J7 47 Правообладатель Народная асвета 219 2 5 822. Решите уравнение: а) 2cos2 t + cos t - 6 = 0; б) 2cos2 y + 5 cos y - 3 = 0; 823. Решите уравнение: а) cos (3x - 4n) = sin(n - x); б) cos 5y + cos 7y = cos (n + 6y); в) sin z + 2 sin 2z = -sin 3z; г) cos 5c - sin 5c = sin 7c - cos 7c; д) sin 3r = sin 2r + sin r; е) cos 6a = 2sin + 2a 824. Решите уравнение: а) Vs sin y + cos y = б) sin5z ^s/3(1 + cos5z); в) sin5t + cos5t ^/2cos13t; г) sin(n - 6a) ^«/Bsin (П + 6a) = \f3; в) 3sin2 x - 5 sin x - 2 = 0; г) tg2 x + 2 tg x - 3 = 0. д) 2cos2 c + ^/3cosc sinc + 1 = 0; е) 3sin b - 5sin(lb + = 4cos b. 825. Есть два прямоугольных треугольника с площадями 840 см2 и 672 см2. Когда их приложили друг к другу одной парой катетов и построили, как на рисунке 196, прямоугольный треугольник с площадью, равной суммарной площади данных треугольников, то второй катет этого треугольника оказался равным 54 см. Если то же проделать для другой пары катетов данных треугольников (рис. 197), то в полученном треугольнике второй катет будет равен 27 см. Найдите катеты исходных треугольников. * * * 826. Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон AB, BC и CA в точках F, G и H соответственно. Через точку G и конец K диаметра HK проведена прямая, которая пересекает прямую HF в точке L. Докажите, что прямые BL и AC параллельны. 827. Решите систему уравнений x + у + z = a, x + у + z = b , 2 xy = z и определите, при каких значениях переменных a и b числа в решении системы являются положительными и различными. 828. Дробно-линейные функции f (x) и g(x) таковы, что f(x) > g(x) при всех значениях x, принадлежащих областям определения обеих функций. Докажите, что функция f (x) - g(x) постоянна на своей области определения. 829. Докажите, что для любых положительных чисел а^, a2, an верно неравенство + + > -. 4 17. Шар Шаром называется тело, полученное вращением круга вокруг какого-либо его диаметра (рис. 198). Границей шара является сфера. Центр, радиус, диаметр сферы называют также центром, радиусом, диаметром шара соответственно. Расстояние от центра шара до любой его точки не больше радиуса шара. Сечением шара плоскостью является круг, радиус которого изменяется в пределах от нуля до радиуса шара (рис. 199). Теорема 7. Объем тела, полученного вращением треугольника вокруг прямой, лежащей в его плоскости, прохо- Правообладатель Народная а а n - 2 1 2 + а n дящей через его вершину и не имеющей с треугольником общих внутренних точек, равен третьей доле произведения поверхности, образованной стороной, лежащей против той вершины треугольника, которая принадлежит оси вращения, и высоты, проведенной к этой стороне. А Доказательство. Пусть есть тело, полученное вращением треугольника ABC вокруг прямой l, которая лежит в плоскости треугольника, проходит через его вершину и не имеет с треугольником общих внутренних точек. Пусть вершина C принадлежит оси l, а CE — высота, проведенная к стороне AB против вершины C. Докажем, что объем V тела вращения равен ^ Sab • CE, где Sab обозначает поверхность, образованную вращением стороны AB. Пусть сторона AC лежит на оси вращения l и BD — перпендикуляр, опущенный из вершины B на прямую l (рис. 200). Тогда стороны AB и CB опишут поверхности двух конусов с общим радиусом BD и высотами DA и DC соответственно. Для объема V тела вращения получим: V = 1 п • BD2 • DA + 1 п • BD2 • DC = 1 п • BD2 • (DA + DC) = ООО = О п • BD • BD • AC. Теперь обратим внимание на то, что BD • AC = AB • CE, так как одно и другое произведения выражают удвоенную площадь треугольника ABC. Поэтому V = 1 п • BD • AB • CE = 1(п • BD • AB) • CE = 1 Sab • CE. 222 О О О Правообладатель Народная асвета Пусть сторона AC не лежит на оси вращения l, а сторона AB не параллельна этой оси (рис. 201). Тогда прямая AB пересекает ось l в некоторой точке F, и объем V тела вращения равен разности объемов тел, полученных вращением треугольников CAF и CBF. Учитывая это и то, что сторона CF этих треугольников принадлежит оси вращения, для объема V получим: V = 3Saf • CE - 3Sbf • CE = ,3(Saf - Sbf) • CE = 3Sab ' CE. Пусть сторона AC не лежит на оси вращения l, а сторона AB параллельна этой оси (рис. 202). Из точек A и B опустим перпендикуляры AG и BF на ось вращения l. Объем V тела вращения можно получить, вычитая из объема цилиндра, полученного вращением прямоугольника ABFG, объемы двух конусов, полученных вращением треугольников CBF и CAG. Поэтому: V = п • CE2 • AB - (1з п • ^^2 • CF + ^3 п • CE^ • C^ =п • CE2 • AB -- 3 п • CE2 • (CF + CG) = п • CE2 • AB - 3 п • CE2 • AB = 3 3 = 3 • 2п • CE2 • AB = 3 . (2п • CE • AB) • CE = 3 sab • CE, 3 3 3 так как выражение 2п • CE • AB задает поверхность, образованную вращением стороны AB. А Теорема 8. Объем тела, полученного вращением кругового сектора вокруг прямой, проходящей через его центр, лежащей в его плоскости и не имеющей с ним общих внутренних точек, равен третьей доле произведения радиуса сектора и поверхности, образованной при вращении дуги сектора. Правообладатель Народная асвета 223 I Доказательство. Пусть имеется тело, полученное вращением кругового сектора АОВ с радиусом R вокруг прямой l, проходящей через центр сектора О и не имеющей с ним общих внутренних точек. Впишем в этот сектор ломаную О AAlA2^An _ iAnB с равными звеньями (рис. 203). Объем тела, полученного вращением этой ломаной вокруг прямой l, равен сумме объемов тел, полученных вращением треугольников AOA^, А^ОА2, ^, An - lOAn, AnOB. Пусть OC, OCi, ^, OCn — высоты этих треугольников. Применив теорему 7, получим: V = - S V 3 OC + - S Л • OC, 3 Но OC = OCi = ... = OCn. Поэтому V = З (SAAi + SAiA^ + ... + + - S, OC = - Sn 3n OCn OC, -A2 ^ ■ AnB ^ где Sn — поверхность, образованная при вращении n-звенной ломаной. Будем увеличивать количество сторон ломаной, вписанной в круговой сектор AOB. Тогда высота OC будет стремиться к радиусу R, а поверхность Sn — к поверхности S^AB. Поэтому R, которое и при- объем V стремится к выражению V = -З S,^AB ■ нимается в качестве объема тела, образованного вращением кругового сектора AOB вокруг прямой l, проходящей через центр сектора O и не имеющей с ним общих внутренних точек. Следствие 1. Объем шара равен третьей доле произведения его поверхности и радиуса: V = 4 %R^. 3 Действительно, шар с радиусом R можно рассматривать как тело, образованное вращением сектора-полукруга вокруг диаметра (рис. 204). Тогда соответствующая окружность образует сферу. В соответствии с теоремой 8 получим: Рис. 204 V = 3 S^^AB • R = - 4nR2 • R = 4 nR3 3 224 Правообладатель Народная асвета Рассмотрим комбинации шара с другими телами. Вписанным в шар многогранником называется многогранник, все вершины которого лежат на соответствующей сфере (рис. 205). Описанным около шара многогранником называется многогранник, все грани которого касаются соответствующей сферы (рис. 206). Вписанным в шар цилиндром называется цилиндр, окружности оснований которого принадлежат соответствующей сфере (рис. 207). Описанным около шара цилиндром называется цилиндр, основания и все образующие которого касаются соответствующей сферы (рис. 208). Вписанным в шар конусом называется конус, вершина и окружность основания которого принадлежат соответствующей сфере (рис. 209). Описанным около шара конусом называется конус, основание и все образующие которого касаются соответствующей сферы (рис. 210). Правообладатель Народная асвета 225 Вписанным в шар усеченным конусом называется усеченный конус, окружности оснований которого принадлежат соответствующей сфере (рис. 211). Описанным около шара усеченным конусом называется конус, основания и все образующие которого касаются соответствующей сферы (рис. 212). Теорема 9. Около каждой треугольной пирамиды можно описать единственный шар. Доказательство. Сначала обратим внимание на то, что геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть плоскость, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему (рис. 213). Она называется серединной плоскостью отрезка. Геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин треугольника, является прямая, проходящая через центр описанной около треугольника окружности и перпендикулярная его плоскости (рис. 214). Пусть есть треугольная пирамида ABCD. Через центр 01 окружности, описанной около грани ABC, проведем прямую l, перпендикулярную плоскости этой грани (рис. 215). Все точки прямой l равноудалены от вершин A, B, C. Построим серединную плоскость а отрезка AD, она пересечет прямую l в 226 Правообладатель Народная асвета некоторой точке O. Вершины A и D равноудалены от точки O. А поскольку вершины A, B, C равноудалены от точки O, то все четыре вершины A, B, C, D равноудалены от точки O. Получили, что все вершины пирамиды ABCD принадлежат сфере с центром O, а это означает, что шар с центром O и радиусом OA и есть шар, описанный около пирамиды ABCD. Единственность найденного шара следует из того, что прямая l и ее точка O определяются однозначно. Следствие 2. Четыре точки пространства, не лежащие в одной плоскости, определяют единственную сферу, единственный шар. Теорема 10. В каждую треугольную пирамиду можно вписать единственный шар. Доказательство. Сначала обратим внимание на то, что геометрическим местом точек, равноудаленных от граней двугранного угла, является полуплоскость, граница которой совпадает с ребром двугранного угла и которая делит этот угол пополам (рис. 216). Она называется биссекторной плоскостью угла. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон треугольника, является прямая, проходящая через центр вписанной в треугольник окружности и перпендикулярная его плоскости (рис. 217). Пусть есть треугольная пирамида PQRS. Пусть биссекторные плоскости двугранных углов SQ и PS пересекаются по прямой l (рис. 218). Каждая точка прямой l равноудалена от плоскостей SQP Правообладатель Народная асвета 227 Рис. 219 и SQR, а также от плоскостей SPR и SPQ. Поэтому каждая точка прямой l равноудалена от боковых граней пирамиды. Построим биссекторную плоскость а двугранного угла PR, она пересечет прямую l в некоторой точке O. Эта точка равноудалена от граней SPR и PQR. А поскольку точка O как точка прямой l равноудалена от граней SPQ, SPR, SRQ, то все четыре грани SPQ, SPR, SRQ, PQR равноудалены от точки O. Получили, что все грани пирамиды PQRS касаются сферы с центром O, а это означает, что шар с центром O и радиусом OP и есть шар, вписанный в пирамиду PQRS. Единственность найденного шара следует из того, что прямая l и ее точка O определяются однозначно. Теорема 11. Объем описанного около шара многогранника равен третьей доле произведения полной поверхности многогранника и радиуса шара. Доказательство. Пусть есть многогранник, который описан около шара (рис. 219). Центр шара соединим со всеми вершинами многогранника. Если многогранник имеет n граней, то образуется n пирамид, для которых центр шара является общей вершиной, основания составляют поверхность многогранника, а сами пирамиды вместе составят многогранник. Основания высот этих пирамид совпадают с точками касания, а поэтому сами высоты все равны радиусу r шара. Пусть площади граней многогранника равны S1, S2, ^, Sn. Тогда для объема V многогранника, который равен сумме объемов пирамид, получим: V = 1S1 • r + 1S2 • r + 3 1 3 2 где S — полная поверхность многогранника. + 3 Sn r = ,3 (Si + S2 + ^ + Sn) • r = ,1 Sr, ^ 1. Какое тело называется шаром и какая точка называется центром ? шара 2. Какой отрезок называется радиусом шара; хордой шара; диаметром шара ? 228 3. По какой фигуре пересекаются шар и плоскость? Правообладатель Народная асвета 4. Сформулируйте утверждение об объеме тела, полученного вращением треугольника вокруг прямой, лежащей в плоскости треугольника, проходящей через его вершину и не имеющей с треугольником общих внутренних точек; об объеме тела, полученного вращением кругового сектора вокруг прямой, лежащей в его плоскости и содержащей диаметр соответствующего круга, не пересекающий этот сектор. 5. Какой многогранник называется вписанным в шар; описанным около шара? 6. Какой шар называется вписанным в многогранник; описанным около многогранника? 7. Какой цилиндр называется вписанным в шар; описанным около шара? 8. Какой шар называется вписанным в цилиндр; описанным около цилиндра ? 9. Какой конус называется вписанным в шар; описанным около шара? 10. Какой шар называется вписанным в конус; описанным около конуса? 11. Какой усеченный конус называется вписанным в шар; описанным ? около шара 12. Какой шар называется вписанным в усеченный конус; описанным около усеченного конуса? 13. Какая плоскость называется серединной плоскостью отрезка; бис-секторной плоскостью двугранного угла? 14. В какой точке находится центр шара, описанного около треугольной пирамиды; центр шара, вписанного в треугольную пирамиду? 15. Сколькими точками пространства определяется сфера? 16. Какой зависимостью связаны объем шара и поверхность описанного около него многогранника? 830. Секущая плоскость разделяет шар на два тела (рис. 220), каждое из которых называется шаровым сегментом. Круг сечения называется основанием сегмента. Каждый из отрезков, на которые секущая плоскость разделяет перпендикулярный ей диаметр шара, называют высотой соответствующего шарового сегмента. Две параллельные секущие плоскости разделяют шар на два шаровых сегмента и еще одно тело (рис. 221), которое на- Шаровой сегмент Высота Основание Высота Шаровой сегмент Правообладатель Народная асвета 229 зывают шаровым слоем. Круги сечений называются основаниями шарового слоя. Перпендикуляр, опущенный из одной секущей плоскости на другую, называют высотой шарового слоя. Докажите, что: а) объем V шарового сегмента с радиусом R и высотой h вычисляется по формуле V = 1 nh (3R - h)(рис. 222); б) объем V шарового слоя с радиусом R, радиусами оснований и г2 и высотой h вычисляется по формуле V = nh[3г^ + 3г22 + h2) (рис. 223). 831. Тело, образованное вращением кругового сектора вокруг прямой, проходящей через его центр, лежащей в его плоскости и не имеющей с ним общих внутренних точек, называется шаровым сектором. Шаровой сектор может быть двух видов в зависимости от того, принадлежит или нет оси вращения один из крайних радиусов кругового сектора. Первый из этих секторов ограничен сферическим сегментом и конической поверхностью (рис. 224), второй — сферическим поясом и двумя коническими поверхностями (рис. 225). Высота сегмента для первого сектора или перпендикуляр, опущенный из плоскости основания одной конической поверхности на плоскость основания другой поверхности, для второго сектора называется высотой шарового сектора. Докажите, что объем шарового сектора с радиусом R и высотой h определяется формулой V = 2 %R h. 3 832. Докажите, что: а) геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть его серединная плоскость; б) геометрическое место точек, равноудаленных от вершин треугольника, есть прямая, проходящая через центр описанной около треугольника окружности и перпендикулярная его плоскости; в) три серединные плоскости сторон треугольника пересекаются по одной прямой, которая проходит через центр описанной около треугольника окружности и перпендикулярна его плоскости; г) геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, есть полуплоскость, граница которой проходит через вершину угла и перпендикулярна его плоскости; д) геометрическое место точек, равноудаленных от сторон треугольника, есть прямая, проходящая через центр вписанной в треугольник окружности и перпендикулярная его плоскости; е) две биссекторные плоскости двугранных углов треугольной пирамиды при одной вершине пересекаются по прямой, через которую проходит третья биссекторная плоскость двугранного угла при той же вершине. 833. Докажите, что: а) около любого цилиндра можно описать шар; б) в цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда осевое сечение цилиндра является квадратом; в) около любого конуса можно описать шар; г) в любой конус можно вписать шар; д) около любого усеченного конуса можно описать шар; е) в усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда, когда в осевое сечение конуса можно вписать окружность или если образующая конуса равна сумме радиусов его оснований, или если высота конуса равна среднему геометрическому диаметров его оснований; ж) около любого прямоугольного параллелепипеда можно описать шар. 834. Осевым сечением цилиндра является квадрат. Докажите, что: а) центры шаров, вписанного в цилиндр и описанного около него, совпадают и лежат на оси цилиндра; Правообладатель Народная асвета 231 б) боковая поверхность цилиндра равна поверхности вписанного в него шара; в) полная поверхность цилиндра относится к поверхности вписанного в него шара как 3 : 2; г) объем цилиндра относится к объему вписанного в него шара как 3 : 2; д) центр шара, вписанного в цилиндр, является центром симметрии цилиндра; е) центр шара, описанного около произвольного цилиндра, является центром его симметрии. 835. Докажите, что: а) центры шаров, вписанного в конус и описанного около него, лежат на прямой, содержащей ось конуса; б) отношение объема конуса к объему вписанного в конус шара равно отношению их поверхностей; в) центры шаров, вписанного в усеченный конус и описанного около него, не совпадают; г) отношение поверхности шара к полной поверхности описанного около него усеченного конуса равно отношению их объемов. 836. Найдите геометрическое место: а) середин равных хорд шара; б) центров равных круговых сечений шара. 837. Докажите, что: а) цилиндр или конус, ось которого проходит через центр шара, пересекает его поверхность по окружностям; б) около любой правильной пирамиды можно описать шар; в) в любую правильную пирамиду можно вписать шар; г) объем полого шара с внешним радиусом R и толщиной стенок а равен (3R2 + а2 - 3Ra). 3 838. Учитывая, что V — объем шара с радиусом R, а S — площадь его поверхности, найдите: а) S и V при R = 8 см; б) R и S при V = 113,04 см3; в) R и V при S = 64п см2. 839. В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до определенного уровня, опускают 4 одинаковых металлических шарика с диаметром 1 см. Определите, на сколько изменится уровень воды в мензурке. 232 Правообладатель Народная асвета 840. Найдите диаметр шара, учитывая, что при опускании в воду он становится легче на 39,6 кг. 841. Учитывая, что плотность меди 8,9 г/см3, определите, будет ли плавать в воде пустой медный шар с диаметром 10 см и толщиной стенок: а) 2 мм; б) 1,5 мм. 842. Определите, во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в: а) 3 раза; б) 5 раз; в) n раз. 843. Диаметр Луны составляет приближенно четвертую долю диаметра Земли. Сравните объемы Луны и Земли. 844. Свинцовый шар, диаметр которого равен 20 см, переплавляется в шарики, диаметры которых в 10 раз меньше. Определите, сколько таких шариков получится. 845. Найдите радиус шара, объем которого равен объему: а) цилиндра с высотой 10 см и радиусом 6 см; б) конуса с высотой 20 см и радиусом основания 10 см. 846. Найдите высоту цилиндра, объем которого равен объему шара, учитывая, что радиус основания цилиндра равен 4 см, а радиус шара — 6 см. 847. Есть четыре тела — куб, шар, цилиндр и конус, причем диаметры оснований цилиндра и конуса равны их высотам. Поверхности всех этих тел равны друг другу. Определите, какое из этих тел имеет наибольший объем, а какое — наименьший. 848. Емкость имеет форму полушара с радиусом R, дополненного цилиндром. Определите, какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы емкость имела объем V. 849. Учитывая, что плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит этот диаметр на части: а) в отношении 3 : 1, найдите отношение объемов полученных шаровых сегментов; б) длинами 3 см и 9 см, найдите объемы полученных шаровых сегментов. Правообладатель Народная асвета 233 850. Определите, сколько кубометров земли понадобится для того, чтобы сделать клумбу, имеющую форму шарового сегмента с радиусом основания 5 м и высотой 60 см. 851. Найдите объем шарового слоя, который образуется, если в шаре с радиусом: а) 13 см по разные стороны от его центра провести два равных параллельных сечения с радиусом 5 см; б) r провести два параллельных сечения, из которых одно проходит через центр, а другое делит поверхность шара в отношении 1 : 3. 852. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите отношение объема их общей части к объему одного шара. 853. Радиусы поверхностей двояковыпуклой линзы равны 113 мм, а ее толщина — 30 мм. Найдите объем линзы. 854. В шаре радиусом 60 мм просверлено цилиндрическое отверстие диаметром 30 мм, ось которого проходит через центр шара. Найдите объем образовавшегося тела. 855. Диаметр шара равен 30 см и является осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем части шара, заключенной внутри цилиндра. 856. Найдите объем шарового сектора, полученного вращением кругового сектора: а) с углом 30° и радиусом R вокруг одного из граничных радиусов; б) с радиусом r и дугой 120° вокруг прямой, которая проходит через центр сектора, лежит в его плоскости и составляет с крайними радиусами углы в 30°. 857. Полукруг с радиусом г, разделенный двумя радиусами на три доли, вращается вокруг прямой, которой принадлежит диаметр. Найдите объемы тел, полученных при вращении каждой доли. 858. Найдите объем шарового сектора, дуга осевого сечения которого равна а, если: а) радиус шара — г; б) высота сектора — h. 234 Правообладатель Народная асвета 859. Около шара с радиусом r описан прямоугольный параллелепипед. Определите его вид и найдите объем. 860. Найдите радиус шара, описанного около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 6 см, 9 см, 18 см. 861. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, в котором два шара с радиусом r расположены так, что каждый касается другого шара и пяти граней параллелепипеда. 862. Докажите, что: а) если в правильную призму можно вписать шар, то центром шара является середина отрезка, соединяющего центры оснований призмы; б) около прямой призмы можно описать шар тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность; в) в пирамиду с одинаковыми двугранными углами при основании можно вписать шар, если в основание пирамиды можно вписать окружность. 863. Около шара описана прямая треугольная призма, основанием которой является равнобедренный треугольник с боковой стороной a и углом при вершине а. Найдите высоту призмы. 864. Найдите диаметр шара, описанного около правильной треугольной призмы, учитывая, что боковое ребро призмы равно 4 см, а ребро основания — 6 см. 865. В шар с радиусом r вписана правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны друг другу. Найдите ребро призмы. 866. В шар с радиусом R вписана правильная четырехугольная призма, диагональ которой составляет с боковой гранью угол а. Найдите ее объем. 867. В шар с радиусом R вписан многогранник, состоящий из семи кубов, один из которых имеет общий центр с шаром, а каждый из остальных — общую грань с этим кубом и четыре вершины на поверхности шара. Найдите ребро куба. Правообладатель Народная асвета 2зб 868. В шар вписана прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 18 см и 24 см. Найдите объем призмы, учитывая, что радиус шара равен 39 см. 869. В шар вписан цилиндр, в котором угол между диагоналями осевого сечения равен а, а образующая — l. Найдите объем шара. 870. Есть два цилиндра, осевыми сечениями которых являются квадраты, причем один из них описан около шара, а другой вписан в этот шар. Найдите отношение их объемов. 871. Найдите объем шара, вписанного в конус, образующая которого равна: а) b и равна диаметру основания конуса; б) a и составляет с плоскостью основания угол 5. 872. В конус с углом а при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписан шар с радиусом R. Найдите: а) r как функцию R и а; б) R как функцию r и а; в) а как функцию R и г. 873. В конус с радиусом основания r и образующей l вписан шар. Найдите длину линии, по которой шар касается боковой поверхности конуса. 874. Шар с радиусом R вписан в усеченный конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен а. Найдите радиусы оснований и образующую усеченного конуса. 875. Образующая конуса равна l и составляет с основанием угол а. Найдите радиус: а) описанного шара; б) вписанного шара. 876. В шар вписан конус. Докажите, что радиус шара ра- h2 + r2 , вен —2h—, где h — высота конуса, r — радиус его основания. 877. Найдите радиус шара, описанного около треугольной пирамиды, все ребра которой равны a. 236 Правообладатель Народная асвета 878. Найдите радиусы шаров, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду и описанного около нее, учитывая, что сторона основания пирамиды равна a и: а) плоский угол при вершине — а; б) двугранный угол при основании — 60°. 879. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 20 см, а радиус шара, описанного около пирамиды, — 12,5 см. Найдите объем пирамиды. 880. Найдите объем шара, вписанного в: а) правильную шестиугольную пирамиду, сторона основания которой равна а, а боковое ребро — b; б) пирамиду, учитывая, что ее основанием служит ромб со стороной а, острым углом а и двугранными углами в при основании. 881. Найдите радиус шара, который: а) описан около правильной треугольной пирамиды, апофема которой равна a и составляет с плоскостью основания угол а; б) вписан в правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания 26 см и высотой 16 см. 882. В правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой равна 4 см, вписан шар. Найдите объем пирамиды, учитывая, что радиус шара равен 1 см. 883. Определите объем шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, учитывая, что центр шара: а) отстоит от вершины пирамиды на a, а от бокового ребра — на b; б) делит высоту пирамиды в отношении 5 : 3, если считать от вершины, а сторона основания пирамиды равна a. 884. В шар с радиусом R вписана пирамида, основанием которой является равнобедренный треугольник с углом а при вершине, а каждое боковое ребро составляет с основанием угол в 60°. Найдите ее объем. 885. В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а и углом а, вписан шар. Найдите объем шара, учитывая, что две боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к нему под углом в. Правообладатель Народная асвета 237 886. Найдите поверхность и объем шара, описанного около пирамиды, основанием которой является: а) прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 см, а каждое боковое ребро составляет с основанием угол а; б) прямоугольник с диагональю 10 см, а боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом р. 887. Найдите радиус шара, описанного около: а) правильной четырехугольной усеченной пирамиды, у которой стороны оснований 14 дм и 2 дм, а боковое ребро наклонено к основанию под углом в 45°; б) пирамиды, у которой основанием является прямоугольник со стороной a и углом между этой стороной и диагональю основания а, а каждое ребро пирамиды составляет с основанием угол в 60°; в) правильной треугольной усеченной пирамиды, у которой высота равна 17 см, а радиусы окружностей, описанных около основания, — 5 см и 12 см. 888. Шар касается всех ребер треугольной пирамиды. Найдите его радиус, учитывая, что все ребра пирамиды равны a. 889. Квадрат со стороной a является основанием пирамиды, две боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду, учитывая, что большее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол а. 890. В треугольную пирамиду с высотами h1, h2, h3, h4 вписан шар с радиусом R. Докажите, что 1 = 1 + 1 + 1 + i1. h1 ^^2 h'3 ^^4 891. Докажите, что: а) объем конуса равен третьей доле произведения его полной поверхности и радиуса вписанного шара; б) если конусы описаны около шара, то их объемы пропорциональны площадям поверхностей. 892. Докажите, что если около шара описать цилиндр и конус, осевые сечения которых есть правильные многоугольники, то: а) объем цилиндра является средним геометрическим объемов шара и конуса; б) площади их поверхностей образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. 238 Правообладатель Народная асвета 893. В конус вписан цилиндр, полная поверхность которого равна боковой поверхности конуса. Наибольший угол между образующими конуса прямой. Докажите, что вершина конуса отстоит от верхнего основания цилиндра на половину образующей конуса. 894. Из шарового сегмента вырезан конус, имеющий с ним общие основание и высоту. Найдите объем оставшейся части сегмента, учитывая, что дуга осевого сечения сегмента равна а, а радиус дуги — R. 895. В шаровой сегмент, дуга осевого сечения которого равна а, вписан шар с объемом V. Найдите разность объемов сегмента и шара. 896. Цену на товар снижали три раза — на 10 %, на 20 % и на 25 %. Определите, на сколько процентов оказалась в результате снижена цена. 897. Магазин продал товар со скидкой в 20 % по сравнению с первоначальной ценой и от этого получил 4 % убытка. Определите, на какой процент прибыли вначале рассчитывал магазин. 898. Собрали 42 кг свежих грибов, которые содержали 95 % воды по массе. После сушки грибы стали весить 3 кг. Определите влажность сушеных грибов. 899. Скорость автомобиля по шоссе на 12,5 % больше скорости по грунтовой дороге. Время, которое он двигался по грунтовой дороге, на 10 % меньше времени движения по шоссе. Определите, на сколько процентов больший путь автомобиль проехал по шоссе, чем по грунтовой дороге. 900. Определите наименьшее возможное количество квартир в доме, учитывая, что процент неприватизированных квартир заключен в пределах от 96,5 % до 97,2 %. 901. Из колбы, в которой находилось 80 г 10 %-го раствора соли, отлили в пробирку некоторую его часть. После выпаривания процентное содержание соли в пробирке повысилось втрое. Когда выпаренный раствор влили назад в колбу, то процентное содержание соли в полученном растворе оказалось на 2 процентных пункта больше, чем в первоначальном. Определите, сколько граммов раствора отливали в пробирку. Правообладатель Народная асвета 239 902. Есть три сплава. Первый содержит 30 % никеля и 70 % меди, второй — 10 % меди и 90 % марганца, а третий — 15 % никеля, 25 % меди и 60 % марганца. Из них необходимо получить новый сплав, в котором должно быть 40 % марганца. Определите, какое процентное содержание меди может быть в этом сплаве. 903. Из пункта A в пункт B в 10 ч вышел пешеход, а в 10 ч 15 мин из B в A выехал велосипедист, который в 11 ч 30 мин встретил пешехода. Если бы велосипедист выехал в 10 ч, то встреча состоялась бы в 11 ч 20 мин. Определите, в котором часу велосипедист приехал в пункт A, а пешеход пришел в пункт B. 904. Если теплоход и катер плывут по течению реки, то путь из A в B теплоход проходит в 1,5 раза быстрее катера. При этом катер за час отстает от теплохода на 8 км. Определите скорость теплохода в стоячей воде, учитывая, что обратный путь из B в A теплоход проходит вдвое быстрее катера. 905. Трое рабочих выполняют определенный заказ за 4 дня. Если бы над этим заказом работали только первый и второй рабочие, то на его выполнение понадобилось бы 6 дней, а если бы только второй и третий — то 8 дней. Определите, на сколько процентов больше производительность труда второго рабочего по сравнению с третьим. 906. Три каменщика различной квалификации выложили кирпичную стену. При этом первый работал 6 ч, второй — 4 ч, третий — 7 ч. Если бы первый каменщик работал 4 ч, второй — 2 ч, третий — 5 ч, то было бы выложено только 3 стены. Определите, за какое время выполнили бы всю работу трое рабочих, если бы все время работали вместе. 907. В цехе есть сборочные линии трех видов, общее количество которых не больше 10. На каждой линии первого, второго и третьего вида за смену собирается соответственно 100, 400 и 30 узлов первого класса сложности и 19, 69 и 5 узлов высшего класса сложности. Определите, сколько линий каждого вида есть в цехе, учитывая, что всего за смену в цехе собирается 1030 узлов первого класса сложности и 181 узел высшего класса сложности. 908. Цех, в котором было несколько одинаковых прессов, за смену выпускал 6480 деталей. В ходе реконструкции каж- 240 Правообладатель Народная асвета дый пресс заменили новым, с большей производительностью, да еще установили 3 дополнительных, из-за чего сменная выработка увеличилась до 11 200 деталей. Определите, сколько в цехе теперь прессов. 909. Докажите, что в произвольном треугольнике отношение наименьшей высоты к наименьшей биссектрисе больше ^. 910. На окружности а с центром O выбраны точки A и B. Окружность, проходящая через точки A и O, еще раз пересекает окружность а в точке N и прямую AB в точке M. Докажите, что BM = MN. 911. Докажите тождество 2,4,6 = 11 X2 -1 1 + X2 - 4 + X2 - 9 + ... +- 20 X2 -100 1 (х - 1)(x + 10) (x - 2)(x + 9) .. + 1 (х - 10)(х + 1) 912. Докажите, что если a > b > то истинно неравенство а3 - b3 > a2 - b2. 18. Правильные многогранники Пусть есть плоский многоугольник A1A2A3^An- 1An. Вне плоскости этого многоугольника выберем произвольно точку S и проведем лучи через нее и все точки сторон многоугольни- ка A^^^^3_A„ 1An. Эти лучи образуют определенную поверх- ность (рис. 226), которая разделяет пространство на две области. Ту из областей, которая не содержит целиком никакой прямой, называют многогранным углом. Точку S называют вершиной многогранного угла, плоские углы A1SA2, A2SA3, ^, An SA1 — гранями, а лучи SA1, SA2, ^, SAn — ребрами многогранного угла (рис. 227). Многогранный угол называется выпуклым, если он расположен по одну Правообладатель Народная асвета S Рис. 226 241 •к •к •к Рис. 228 сторону от плоскости любой его грани. Многогранный угол на рисунке 228 выпуклый, а на рисунке 229 — невыпуклый. По количеству граней многогранные углы разделяют на трехгранные, четырехгранные и т. д. Теорема 12. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. А Доказательство. Установим сначала, что каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его углов. Пусть есть трехгранный угол QMNP (рис. 230). Пусть для определенности угол MQP — больший из плоских углов трехгранного угла. В плоскости грани MQP от луча QP отложим угол PQR, равный углу PQN, и на лучах QN и QR отложим равные отрезки QA и QB. Через прямую AB проведем такую плоскость, которая пересекает ребра QM и QP в некоторых точках C и D. Треугольники AQD и BQD равны, так как у них сторона QD общая, и по построению равны углы BQD 242 Правообладатель Народная асвета и AQD, а также стороны BQ и R Рис. 231 AQ. Значит, DB = DA. Далее по свойству сторон треугольника получаем DC < AC + DA, или DB + BC < AC + DA, или BC < AC. Теперь, поскольку у треугольников BQC и AQC сторона QC общая, стороны BQ и AQ равны, но BC < AC, то Z BQC < Z AQC. Прибавив к левой и правой частям этого неравенства соответственно углы BQD и AQD, которые равны друг другу, получим, что Z BQC + Z BQD < ZAQC + Z AQD, или Z CQD < ZAQC + ZAQD. Пусть теперь есть выпуклый многогранный угол с вершиной R (рис. 231). Если пересечь его какой-либо плоскостью, iBn, каждая то в сечении получим многоугольник B1B2B3^B вершина которого является вершиной трехгранного угла, образованного двумя гранями данного угла и секущей плоскостью. По доказанному для этих трехгранных углов получаем: ZBnB1B2 ^ Z BnB1R + Z B2B1R; Z B1B2B3 ^ Z B1B2R + Z B3B2R; Z B2B3B4 ^ Z B2B3R + Z B4B3R; — Z Bn - 1BnB1 < Z Bn - 1BnR + Z B1BnR. Сложим покомпонентно эти неравенства: Z BnB1B2 + Z B1B2B3 + Z B2B3B4 + — + Z Bn - 1BnB1 = = (Z BnB1R + Z B1B2R + Z B2B3R + — + Z Bn - 1BnR) + + (Z B2B1R + Z B3B2R + Z B4B3R + — + Z B1BnR). Теперь обратим внимание на то, что сумма в левой части последнего неравенства есть сумма углов многоугольника B1B2B3—Bn - 1Bn, которая равна 180° • (n - 2), а в правой — сумма углов всех треугольников B1RB2, B2RB3, B3RB4, —, Bn- 1RBn и BnRB1, но без их углов при вершине R, которая равна 180° • n - S, где S выражает сумму плоских углов данного многогранного угла. Таким образом, 180° • (n - 2) < 180° • n - S, отсюда S < 360°. А Правообладатель Народная асвета 243 Многогранник, у которого все грани являются равными правильными многоугольниками и все двугранные углы равны друг другу, называется правильным многогранником. Из этого определения следует, что у правильного многогранника равны друг другу все его: • плоские углы; • многогранные углы; • ребра. Теорема 13. Количество ребер, сходящихся в каждой вершине правильного многогранника, не больше пяти. А Доказательство. Допустим, что это не так, т. е. в вершине многогранника сходится шесть или больше ребер. Тогда при этой вершине многогранник имел бы шесть или больше равных плоских углов. Учитывая, что сумма этих углов меньше 360°, получаем, что каждый из них меньше 60°. Но это невозможно, поскольку гранями правильного многогранника являются правильные многоугольники, а у них углы не меньше 60°. А Теорема 14. Количество сторон правильного многоугольника, являющегося гранью правильного многогранника, не больше пяти. А Доказательство. В каждой вершине правильного многогранника сходится не менее трех плоских углов, а поэтому каждый из них должен быть меньше 120°. Вместе с этим угол правильного шестиугольника равен 120°, а угол правильного многоугольника с большим количеством сторон больше 120°. Поэтому правильные многоугольники, количество сторон которых больше пяти, не могут быть гранями правильного многоугольника. А Теорема 15. Есть пять типов правильных многогранников. А Доказательство. В соответствии с теоремой 14 гранями многогранника могут быть правильные треугольники, четырехугольники или пятиугольники. Если гранями правильного многогранника служат треугольники, то, с учетом теоремы 13, в вершинах многогранника могут сходиться три, четыре или пять ребер. Если гранями правильного многогранника служат четырехугольники или пятиугольники, то в вершинах многогранника может сходиться только три ребра. Значит, существует не более пяти видов правильных многогранников. Чтобы убедиться, что такие виды многогранников существуют, достаточно указать способ построения каждого из них. 244 Правообладатель Народная асвета Рис. 232 D Прежде всего отметим, что правильным многогранником, гранями которого служат правильные четырехугольники, т. е. квадраты, является куб, который еще называют правильным гексаэдром. Куб можно построить так. В произвольно выбранной плоскости построить квадрат, через его стороны провести плоскости, перпендикулярные выбранной плоскости, и провести еще одну плоскость, параллельную выбранной плоскости и отстоящую от нее на сторону квадрата (рис. 232). Мы видим, что гексаэдр имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. Построение многогранника, в каждой вершине которого сходится по три треугольные грани, может быть таким. Построить куб. Выбрать одну из его вершин A и в каждой грани с этой вершиной выбрать вершину, противолежащую вершине A. Пусть это вершины B, C, D. Точки A, B, C, D являются вершинами искомого многогранника (рис. 233). Действительно, каждый из отрезков AB, AC, AD, BC, CD, DB является диагональю одной из граней куба, а поэтому все эти отрезки равны друг другу. Получается, что в треугольной пирамиде ABCD все грани являются правильными треугольниками. Такая пирамида называется правильным тетраэдром. Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Построение многогранника, в каждой вершине которого сходится по четыре треугольные грани, может быть таким. Построить куб и найти центры шести его граней (рис. 234). Эти точки являются вершинами многогранника, все грани которо- Правообладатель Народная асвета 245 Рис. 235 го — правильные треугольники. Такой многогранник называется правильным октаэдром. Октаэдр имеет 8 граней, 12 ребер и 6 вершин. Построение многогранника, в каждой вершине которого сходится по три пятиугольные грани, можно выполнить, снова используя куб. Если через каждое из двенадцати ребер куба провести плоскость, которая не имеет с поверхностью куба других общих точек, кроме точек этого ребра, то полученные 12 плоскостей при пересечении дадут грани некоторого многогранника. Можно так подобрать наклон этих плоскостей к граням куба, что грани этого двенадцатигранника будут правильными пятиугольниками (рис. 235). Такой многогранник называется правильным додекаэдром. Додекаэдр имеет 12 граней, 30 ребер и 20 вершин. Наконец, многогранник, в каждой вершине которого сходится по пять треугольных граней, можно построить, используя додекаэдр: центры граней додекаэдра являются вершинами искомого правильного многогранника (рис. 236). Такой многогранник называется правильным икосаэдром. Икосаэдр имеет 20 граней, 30 ребер и 12 вершин. Таким образом, есть пять типов правильных многогранников. А Названия правильных многогранников происходят из греческого языка. Термин тетраэдр, по-гречески xsxpasSpov, означает четырехгранник: xsxpa — четыре и sSpa — грань. Соответственно термины гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр, по-гречески s^asSpov, OKxasSpov, SraSsKasSpov, siKocasSpov, 246 Правообладатель Народная асвета означают шестигранник, восьмигранник, двенадцатигранник, двадцатигранник: — шесть, окта — восемь, ЗюЗека — двенадцать, siKom — двадцать. Мы знаем, что правильные гексаэдр и тетраэдр имеют описанный и вписанный шары. Также описанный и вписанный шары имеют октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Центры этих шаров совпадают, и эта точка является центром симметрии соответствующего правильного многогранника, кроме тетраэдра, который не имеет центра симметрии. 1. Как образуется многогранный угол? • 2. Какую точку называют вершиной, какой угол называют гранью и какой луч называют ребром многогранного угла? 3. На какие виды разделяются многогранные углы по количеству их граней? 4. Каким отношением связаны плоские углы многогранного угла? 5. Какому условию удовлетворяет сумма плоских углов выпуклого многогранного угла? 6. Какой многогранник называется правильным? 7. Каким отношением связаны плоские углы правильного многогранника; многогранные углы правильного многогранника; ребра правильного многогранника? 8. Какому условию удовлетворяет количество ребер, сходящихся в вершине правильного многогранника; количество сторон грани правильного многогранника? 9. Какой правильный многогранник называется тетраэдром; гексаэдром; октаэдром; додекаэдром; икосаэдром? 10. Сколько граней, сколько ребер, сколько вершин имеют: тетраэдр; гексаэдр; октаэдр; додекаэдр; икосаэдр? 913. Докажите, что: а) если все плоские углы трехгранного угла прямые, то и все двугранные углы также прямые; б) если два плоских угла трехгранного угла прямые, то и противолежащие им двугранные углы также прямые. 914. Трехгранный угол, плоские углы которого прямые, пересечен плоскостью. Докажите, что ортоцентр сечения является основанием перпендикуляра, проведенного из вершины угла на секущую плоскость. 915. Ребра трехгранного угла с вершиной S, плоские углы которого прямые, пересекает плоскость а в точках A, B, C. Докажите, что: Правообладатель Народная асвета 247 а) площадь каждого из треугольников SAB, SAC, SBC есть среднее геометрическое площади проекции этого треугольника на плоскость а и площади треугольника ABC; б) сумма квадратов площадей треугольников SAB, SAC, SBC равна квадрату площади треугольника ABC. 916. Докажите, что у трехгранного угла пересекаются по одной прямой три его: а) биссекторные плоскости двугранных углов; б) плоскости, каждая из которых проходит через биссектрису плоского угла и перпендикулярна его плоскости; в) плоскости, каждая из которых проходит через ребро и биссектрису противолежащего плоского угла; г) плоскости, каждая из которых проходит через ребро и перпендикулярна противолежащей грани. 917. Трехгранный угол пересекается параллельными плоскостями. Найдите геометрическое место: а) ортоцентров полученных треугольников; б) центроидов полученных треугольников; в) центров окружностей, описанных около полученных треугольников. 918. Склейте правильный: а) тетраэдр по его развертке, изображенной на рисунке 237; б) гексаэдр по его развертке, изображенной на рисунке 238; в) октаэдр по его развертке, изображенной на рисунке 239; г) додекаэдр по его развертке, изображенной на рисунке 240; д) икосаэдр по его развертке, изображенной на рисунке 241. 919. Два одинаковых правильных тетраэдра приставлены друг к другу равными гранями. Является ли полученный многогранник правильным? 920. От каждой вершины правильного тетраэдра с ребром 2 отсекают правильный тетраэдр с ребром 1. Определите вид полученного тела. 921. Ребро куба равно а. Найдите радиус шара: а) вписанного в куб; б) описанного около куба. 922. Докажите, что: а) около куба можно описать и в него можно вписать шар; б) около правильного тетраэдра можно описать и в него можно вписать шар; в) около правильного октаэдра можно описать и в него можно вписать шар. 923. Найдите радиус шара: а) вписанного в правильный тетраэдр с ребром а; б) описанного около правильного тетраэдра с ребром а; в) вписанного в правильный октаэдр с ребром а; г) описанного около правильного октаэдра с ребром а. Правообладатель Народная асвета 249 924. Радиус шара равен R. Найдите полную поверхность описанного около шара многогранника, учитывая, что это: а) куб; б) правильный октаэдр; в) правильный тетраэдр. 925. Укажите, сколько центров симметрии имеет: а) отрезок; б) параллелепипед; в) пара пересекающихся плоскостей; г) правильная треугольная призма; д) шестиугольная призма; е) куб; ж) правильный тетраэдр; з) правильный октаэдр; и) правильный додекаэдр; к) правильный икосаэдр. 926. Укажите, сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; г) куб; б) правильный треугольник; д) правильный тетраэдр; в) правильный шестиугольник; е) правильный октаэдр. 927. Укажите, сколько плоскостей симметрии имеет: а) четырехугольная призма; б) правильная шестиугольная призма; в) треугольная пирамида; г) правильный тетраэдр; д) куб; е) правильный октаэдр; ж) правильный додекаэдр; з) правильный икосаэдр. 928. Найдите площадь сечения куба с ребром а, проходящего через диагонали двух его граней. Рассмотрите все случаи. 929. Концы диагоналей D^A, D^C и граней куба ABCDA^B^CiD^ соединены отрезками. Докажите, что многогранник DjABB^ — правильный тетраэдр, и найдите отношение площадей поверхности куба и тетраэдра. 930. Найдите угол между ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину и не принадлежат одной грани. 260 Правообладатель Народная асвета 931. Найдите двугранный угол: а) правильного тетраэдра; б) правильного октаэдра. 932. Ребро правильного тетраэдра PQUV равно q. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, которая проходит через центр грани QUV и: а) параллельна грани UPV; б) перпендикулярна ребру QP. 933. Докажите, что равны друг другу отрезки, соединяющие центры граней правильного тетраэдра. 934. В правильном тетраэдре h — высота, l — ребро, а k — расстояние между центрами граней. Выразите: а) l через h; б) k через l. 935. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите расстояние между: а) двумя его противолежащими вершинами; б) центрами двух смежных граней; в) противолежащими гранями. 936. Докажите, что центры граней правильного: а) октаэдра являются вершинами куба; б) тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра; в) куба являются вершинами правильного октаэдра; г) додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра; д) икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра. 937. Докажите, что двугранный угол правильного тетраэдра вместе с двугранным углом правильного октаэдра составляет 180°. 938. Вершины грани правильного тетраэдра соединены с серединой проведенной к ней высоты. Докажите, что полученные отрезки попарно перпендикулярны. 939. Докажите, что в правильном октаэдре: а) противолежащие ребра параллельны; б) противолежащие грани параллельны; в) расстояния между противолежащими гранями равны; г) периметр сечения, параллельного грани, — величина постоянная. Правообладатель Народная асвета 251 940. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите расстояние между центрами двух его граней. Рассмотрите все возможные случаи. 941. В цилиндр, высота которого равна h, вписан такой октаэдр, что две его вершины являются центрами оснований цилиндра. Определите, при каких условиях октаэдр будет правильным, и найдите его ребро. 942. Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма количества граней и вершин на 2 больше количества ребер (теорема Эйлера). 943. Найдите сумму всех целых чисел из области определения функции: а) у = - |2х + 3|; в) у = ^8 - |14 + 5х |; б) у = 8l0 -17 - 6x I; г) у = б9 - |4х + 131. 944. Найдите наибольшее целое значение функции: а) у = 3^4cos2 x + 4cos x + 8; в) у = 2^ (cos x + sin x )2 + 1; б) у = ;^^36sin2 x - 12sinx + 17; г) у = 8^^sin2 x + cos2x + 7. 945. Найдите наименьшее значение функции: а) у = log0,5 (2 - x2); в) у = -log2 (8 - x2); б) у = log0,5 (4 - x2)- г) у = -log3 (9 - x ). 946. Найдите наибольшее значение функции на указанном промежутке: а) у = 2 - log8 2-x, [-3; 6]; в) у = 2 + log8 4-x, [-3; 5]; б) у = 3 - log25 5-x, [-1; 5]; г) у = 2 - log9 3-x, [-3; 6]. 947. Найдите сумму: а) пятого, двенадцатого и двадцатого членов арифметической прогрессии, учитывая, что седьмой ее член равен 19, а сумма первых девятнадцати членов — 475; б) первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, учитывая, что ее третий член равен 25, а десятый — 4. 252 Правообладатель Народная асвета 948. Второй член арифметической прогрессии равен -7, а разность между пятым и восьмым членами равна -9. Определите, какой номер имеет член этой прогрессии, равный 8. 949. Длины сторон треугольника образуют геометрическую прогрессию. Определите, в каких границах находится знаменатель этой прогрессии. 950. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 12, а сумма квадратов ее членов равна 48. Найдите сумму первых десяти членов данной прогрессии. 1 W5 951. Знаменатель геометрической прогрессии равен 2 Докажите, что каждый член этой прогрессии, начиная со второго, равен разности двух соседних с ним членов. * * * 952. Точка Q прямоугольного треугольника ABC выбрана так, что QA2 + QB2 = QC2. Найдите угол AQB. 953. Есть квадратный трехчлен с целыми коэффициентами. Найдите наименьшее из тех натуральных значений его дискриминанта D, которые не являются точными квадратами. 954. Решите уравнение (х + 1)(4x + 3)(8x + 7)2 = 4,5. 955. Докажите, что если а, b, c, d — положительные числа, то неравенства а + b < c + d, (а + b)(c + d) < ab + cd, (a + b)cd < ab(c + d) не могут выполняться одновременно. Правообладатель Народная асвета Раздел VI Повторение курса математики 19. Числа и вычисления Школьная математика начинается с арифметики, в которой изучаются числа, действия над числами, отношения между ними, числовые выражения. Основой арифметики являются натуральные числа, с помощью которых определяется количество предметов того или иного множества: 1, 2, 3, ^ . Все натуральные числа вместе составляют множество натуральных чисел, которое обозначают N. Во множестве натуральных чисел всегда выполнимы действия сложения и умножения, а действие вычитания, с помощью которого находят неизвестное слагаемое по известным сумме и одному из слагаемых, во множестве натуральных чисел выполнимо не всегда. Если к натуральным числам присоединить противоположные им числа -1, -2, -3, ^ и число 0, то образуется множество целых чисел, которое обозначают Z. Во множестве целых чисел всегда выполнимы действия сложения, вычитания и умножения, а действие деления, с помощью которого находят неизвестный множитель по известным произведению и одному из множителей, во множестве целых чисел остается не всегда выполнимым. Если есть такое целое число с, что верно равенство a = b • c, то говорят, что целое число a делится на целое число b, или, иначе, число a кратно числу b, или что число b является делителем числа а. Натуральное число, имеющее точно два различных натуральных делителя, называется простым числом, а число, имеющее более двух различных натуральных делителей, называется составным числом. Число 1 не является простым и не является составным. Каждое натуральное число однозначно представляется произведением простых множителей, если не учитывать порядок их записи. 254 Правообладатель Народная асвета Число, которое делится на 2, называется четным числом, а которое не делится, — нечетным числом. Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называются четными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечетными. Число n Свойство числа, делящегося на n Признак делимости числа на n 2 Если число делится на 2, то оно оканчивается четной цифрой Число делится на 2, если оно оканчивается четной цифрой 5 Если число делится на 5, то оно оканчивается цифрой 0 или цифрой 5 Число делится на 5, если оно оканчивается цифрой 0 или цифрой 5 3 Если число делится на 3, то сумма его цифр делится на 3 Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3 9 Если число делится на 9, то сумма его цифр делится на 9 Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9 Наибольшее из чисел, на которые делятся данные числа, называется наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел. Например, НОД (23 • 3 • 5, 22 • 52 • 7) = 22 • 5. Наименьшее из чисел, которые делятся на все данные числа, называется наименьшим общим кратным (НОК) этих чисел. Например, НОК (23 • 3 • 5, 22 • 52 • 7) = 23 • 3 • 52 • 7. Произведение 1 • 2 • 3 • ^ • n обозначают n! и называют факториалом числа n. Числа, являющиеся корнями уравнений вида nx = m, где m — целое число, а n — натуральное число, вместе составляют множество рациональных чисел, которое обозначают Q. Во множестве рациональных чисел всегда выполнимы действия сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на 0). Каждое рациональное число можно единственным образом представить обыкновенной несократимой дробью mm с целым числителем m и натуральным знаменателем n. Рациональные числа можно представлять и десятичными дробями, конечными или бесконечными периодическими. Если не использо- Правообладатель Народная асвета 255 вать бесконечные десятичные дроби с периодом 9, то такое представление также единственное. Обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную делением числителя на знаменатель. При этом полученная десятичная дробь будет конечной или бесконечной периодической без предпериода или с предпериодом: 430 = 0,075; = 0,(837); = 2,7(162). Чтобы конечную десятичную дробь преобразовать в обыкновенную, можно записать дробь с числителем, равным дробной части десятичной дроби, и знаменателем, равным разрядной единице со столькими нулями, сколько есть цифр в дробной части десятичной дроби, и затем сократить полученную обыкновенную дробь: 0,075 = 75 1000 3 40' Чтобы бесконечную периодическую десятичную дробь без предпериода преобразовать в обыкновенную дробь, можно записать обыкновенную дробь, числитель которой равен периоду, а знаменатель — числу, записанному столькими девятками, сколько есть цифр в периоде, и затем сократить полученную обыкновенную дробь: п ^QQ'7\ 837 93 31 0’(837) = 999 = Ш = 37' Чтобы бесконечную периодическую десятичную дробь с предпериодом преобразовать в обыкновенную дробь, можно записать обыкновенную дробь, числитель которой равен разности между числом, записанным цифрами от десятичной запятой до конца первого периода, и числом, записанным цифрами предпериода, а знаменатель — числу, записанному столькими девятками, сколько есть цифр в периоде, и столькими нулями, сколько есть цифр в предпериоде: 2,7(162) = 2 + 7162 - 7 = 27155 = 2^. Некоторые часто используемые дроби-доли имеют специальные названия. Сотая доля называется процентом, а тысячная — промилле. Процент обозначают знаком %, а промилле — знаком ^: 256 Правообладатель Народная асвета 1 % = 100 = 1 V = 1 1000 = 0,001; 47 % = JL = 0,47; 100 ’ ’ 47 V = °,047- Числа, представимые десятичными дробями, конечными или бесконечными, вместе составляют множество действительных чисел, которое обозначают R. Между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие. При этом расстояние от числа a до начала координат называется модулем числа а. Полезно знать, что выражение |а - Ъ\ представляет расстояние между числами а и Ъ на координатной прямой. Действительное число, не являющееся рациональным, называется иррациональным. Результаты действий извлечения корня, логарифмирования, нахождения значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, за редким исключением, являются иррациональными числами: S = 2,236 0679 774...; б| = 2,924 017 738...; log7 25 = 1,654 174 95...; Ig 25 = 1,397 940 008...; sin 2° = 0,034 899 496...; tg 89° = 57,289 961 630...; 7 arccos 7 = 0,679 673 818. 9 ’ arcctg 89 = 0,011 235 482... . Иррациональными являются и известные вам числа п и е: п = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279...; е = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352... . Корнем ^а степени n из числа а называется такое число х, 1 что хп = а. Вместо пишут еще ап. Вообще степень числа вводится следующим определением: а0 = 1, если а Ф 0; а1 = а; ап = а • 4 • ... • а если n — натуральное число и n > 1; ''-----V------^ n множителей а п = , если а Ф 0, n — натуральное число; Правообладатель Народная асвета 257 an число; an число ‘, если a > 0, m — целое число, а n — натуральное = 0, если a = 0 и m — положительное рациональное если а — „а иррациональное число, то a — такое действительное число, которое находится между числами ap и aq, где p и q — произвольные рациональные приближения к числу а по недостатку и по избытку. Логарифмом числа b по основанию a (a > 0, a Ф 1) называется показатель c степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b: опр log b = c = ac = b. Синусом числа t называется ордината y точки Mt (x; y), полученной поворотом точки M0 (1; 0) вокруг начала координат на угол с радианной мерой t (рис. 242). Арксинусом числа a называется такое число из промежут- ка п, п '2’ 2 синус которого равен a (рис. 243): arcsin a = t = -п /5Г и 3 W17’ г) и 2 + 35. Правообладатель Народная асвета 261 973. Найдите: а) количество чисел, меньших миллиона, которые можно записать с помощью цифр 7 и 8; б) сумму всех трехзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5; в) сколькими способами можно так записать n единиц и m нулей, чтобы никакие два нуля не стояли рядом. 974. Найдите значение выражения: а) 22 -3 : 6 -11 + (l235 + 2,88^ • 0,125 - (3,5 - 6,2): 1,8; 12 + (41 1 . 30) : 2I1 + (51 - \ 8 25 / 4 \ 5 (2 • (3217 - ) + 4,2) - 11; 42 35 / ’ } : 7,5) : \ 25 +7 -1,12) + 3,2; 2,15 - 8^ ] - (12 : ) • (4Л. 30/ 13 / \ 15 е) (10i3 • (б112 - 5-|)) • (4,16 : 20,8 + 0,5 • 2) + 4,4. 975. Найдите значение выражения: а) б) в) 7 -(15 : 75 + 2,3) г) . (2^ - б5) 31 V 18 0,16 • 0,625 + 6,1; 41 • (3 - 2|) ’ V7 35/ d - 0,85) : 0,025 д) (5,4 + 217) : 1,5 (33 -1,5): 1,5 ’ V20 / 21 : 1,05 + 21 : 251’ 40 3 37 0,125- - -15)- 18 V21 6^ ; е) (2^ - 2 -1)-0,3 V 27 3 1/ 0,004 - 0,2 -1,01 ’ I25 - И)• -1 + 0,25 18 36 65 976. Решите уравнение: (111 + 0,5б)-1 — - 0,25 :5 а) \ 25 I = 2^ 6 . 5а 137 -16,5 | 262 Правообладатель Народная асвета б) в) b — + 7,7 : 243 1^ 4 ^___________________ А - 17 . _1 (i22 + 2,12). _3’ 72 18 34 \ 2Ь ! 16 21 - 85 • 0,2 (7,5 - 6-3) • 2 2 ^ ^ V ^ 3 . 7у 7,5 + 43) : 0,5 (2 - 0,15)-0,8 0,22 •4-6 - 24 г) W ^ 11 25 11 • 1,2 + 22|- 0,375 33 z 977. Разделите число: 12 а) 60 прямо пропорционально числам —, ^ и 8; 33 12 б) 74,8 прямо пропорционально числам —, 6 и 11—; 73 в) 1200 прямо пропорционально числам 2, 3, 34 и 111; 55 г) 92,5 прямо пропорционально числам i, 5 и 7; 3 22 д) 405 прямо пропорционально числам —, ^ и 6. 33 978. Найдите значение выражения: а) ((i)“ -12 ■ 3-3)■ 18 .(8 - в ■ (18)”2- б) (( Г - (Г)-1 ■ 3 - (|)“-(0,1)-1; в) ((2Г2 - 5- 2-2+(Г г) ( :(!)2 - 4-2 )'((l)”+ а) 979. Найдите значение выражения: 2^ 15(382 - 232) ^29 ^/(272 - 222)• 5 ^/7 б) 12 |362 - 272 2+ 2 47 Правообладатель Народная асвета 263 1 68(322 -152 103 - 73 )(3l00 + ^70 + ^io) в) (Ы16 - We)2 \ 3 (уЦб We 53 + 23 )(325 - + ^i) 0,25 / 1 1\3 We)3 (ii2 + e2) г) 53 + 3^ (le - le-l/le + le ■ /1 1\3 (72 - e2 j Я/7 We)3 0,125 980. Найдите значение выражения: Я/17 - 2)ЯЯ4 Ws W17 + 2) ^2 W7 + i • 22) а) 1 18 + 2 • 5e2 122 ws) - 32 г) yj2 + 1 ЯЯ4 + 1)(W2 W7 + W1i - 2) 3e2 - Wej(2 + 2 5i3 + 381)(182 W2) ^/28 + i ^/15 W3)^/e0 W12 Wi5 + 3) б) 5 • 23 + 5 • 3/) ^5 -93)(322 ws) д) в) 3i0 -723 1 1 82 W2j (i3 -1 323 - 31e е) __________2 Ws_________. W2)^/38 W57 We - 2) ’ V2 Wa Я/40 - 2)ЯЯ^ W^ + 5J10 + 5) _________^Я^ + 5_______ (W2 Wa )Я/24 + 3 W^ We) >Я2 + W2 981. Определите, является ли натуральным число: а) log2 1б; д) log3 81; и) log^/2; б) log2 2; е) log2 ei; к) log3 3; в) log3 27; ж) log2^8; л) log”'^lf; г) log3 -9; з) log2 2; м) log8 128. 2ei Правообладатель Народная асвета 1 982. Определите, является ли целым число: а) loga1; в) log3 log2 8; ’33 i2 log3 983. Сравните числа: д) log27 logio 1000; б) log2 log3 81; г) ^aiogg log2 8; е) 3log2 log^ 16 + logi 2. а) log2V2 и log3^8; в) log^^ и log2-|; 1 1 б) log2^/l и log3 1; г) log7 49 и logi27. 984. Найдите значение выражения: а) log3 27 : log4 32 + log2 0,25 : log36 6 - lo^6^6; б) logi 3 • logi • Wb : (log27 7 29 • log^ ^ : log3 9); в) ^log3 81 • yjlg 10 000 + 3log2 256 : log31 4 : log3 8 32 г) log2,5 4 • log25 1 25 - log3 99 ■ log127 • -\/-2log3^. 3 2^ 985. Найдите значение выражения: а) log,- log!1 + log9log4 (^4); 9 3 б) log^gloga 81 : log3log25 125; 2 в) log.log, 4 - 0,8 (1 + 9log38)log655; г) 491 - log714 + 5-log54 • 3 (log216 + 27log32 )log1249; д) loglglog27 81 : log1log2 4; 9 2 е) log1log2 8 • log2 log3 ( Vb); ж) 32log43-0,1log-3 + 102 - lg 2 - 25log54; з) 81 2 - log1 3 • log1 4 2 + Us logз^llg)^logf3 986. Найдите значение выражения: а) log4 sin п; в) log8 sin 150°; б) log10 tg i; г) log2 cos 60°. Правообладатель Народная асвета 265 4 2 3 987. Найдите: а) стороны AB и BC треугольника ABC, учитывая, что AC = 21 см, ctg A = ^4, ctg C = l8; б) косинусы углов B и C треугольника ABC, учитывая, что AB = 14 см, AC = 10 см и cos A = 1; в) синус, косинус и котангенс угла C треугольника ABC, учи- о тывая, что AB = 34 см, AC = 42 см и sin А = у^; г) синус, косинус и тангенс угла C треугольника ABC, учитывая, что его площадь равна 84 см2, AC - AB = 11 см и sin A = 0,8. 988. Найдите значение выражения: а) arcsi^^l2 _ arcsin (-г3-); J2 3 б) arcco^^!2 + arcco^2-; г) arccos (- ^^Ц2) + arccos 2; д) arcsin(- ^^22) + arccos (^т--); arccos ^ , arccos 1 е) ------— + в) arcsin 0 arcsin 1 1 arcsin (- 2 arcsin (-1) 989. Найдите значение выражения а) arctg -js- arctg (-ji )■ б) arcctg -1 + arctg (- ); в) arcctg 0 (arctg 1 - arctg(-1)); arct^/— + arcctg (-yf-j arccos (-1) /1 ' ' arccos ^- — г) arcctg 0 (arcctg 1 + arcctg (-1)) arcct^/3 - arcctg (-^J—) 990. Сравните числа: а) arcsin 0,6 и 2; д) arcsin (sin212) ип; б) arcos (-0,2) и 1; е) arccos (cos2—2) и 4П; в) arctg (-3) и 2; / 3—п ж) arccos (sin3— 5 ) и arcsin (cos^|n); г) arcctg (-2) и 1,5; з) arctg (ctg2!^) и arcctg ( tg^^On). 266 Правообладатель Народная асвета 991. Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел: а) 25 и 49; в) 77 и 693; д) 16, 25 и 540; б) 125 и 245; г) 637 и 2197; е) 608, 646 и 5491. 992. Найдите среднее арифметическое чисел: а) -29 и 97; в) -77 и 693; д) 16, -25 и 540; б) 125 и -245; г) 637 и -2197; е) -608, -646 и 5491. 993. Три точки окружности разделяют ее на дуги, которые относятся как 3 : 4 : 5, а треугольник касается окружности в этих точках. Найдите его площадь, учитывая, что радиус окружности равен г. 994. На стороне AB треугольника ABC выбраны такие точки Ми N, что А^ '■ MN '■ NB = 1 : 2 : 3. Через точки Ми N проведены прямые, параллельные прямой AC. Найдите площадь части треугольника, расположенной между проведенными прямыми, учитывая, что площадь треугольника ABC равна S. 995. В треугольник ABC, угол А которого равен а, вписана окружность с центром Q. Найдите угол BQC. 996. Прямые, проведенные через точку А вне окружности, касаются ее в точках B и C. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC, лежит на данной окружности. 997. Найдите сторону ромба, сумма диагоналей которого равна т, а его площадь — S. 998. В сегмент с дугой 120° и радиусом г вписан квадрат, две вершины которого находятся на дуге, а две другие — на хорде. Найдите сторону квадрата. 999. Площади треугольников, ограниченных диагоналями трапеции и ее основаниями, равны S1 и S2. Найдите площадь трапеции. 1000. Вершины правильного шестиугольника со стороной . Най- a являются центрами окружностей с радиусами 2 дите площадь части шестиугольника, находящейся вне этих окружностей. Правообладатель Народная асвета 267 1001. Через вершину A треугольника ABC и середину медианы BQ проведена прямая. Определите, в каком отношении она делит сторону BC. 1002. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны такие точки M и N, что AM ■ MB = 2 : 3 и BN ■ NC = 6 : 5. Определите, в каком отношении прямая AN делит отрезок CM точкой пересечения. 1003. Диагонали вписанного в окружность четырехугольника пересекаются в точке Q. Найдите ZACD, учитывая, что ZABC = а, АBQC = в и Z BAD = j. 1004. Число A делится на число B, записанное m единицами. Докажите, что сумма цифр числа A не меньше т. 1005. Определите, какое из чисел больше: 3111 или 1714. 1006. Через точку K биссектрисы AD острого угла A прямоугольного треугольника ABC проведена под прямым углом к AD прямая, пересекающая гипотенузу AB в точке N. Докажите, что угол между прямыми DN и CK равен половине угла BAC. 20. Выражения и их преобразования В арифметике изучают числовые выражения, которые образуются из чисел с помощью действий. Мы знаем действия сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня, логарифмирования, нахождения значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса. Знаем также, что на множестве действительных чисел действия сложения, вычитания, умножения, нахождения значений синуса, косинуса, арктангенса, арккотангенса всегда выполнимы, а остальные имеют определенные ограничения. Обратим внимание на то, что действие извлечения корня является частным случаем действия возведения в степень, а именно возведения в рацио- нальную степень: Если при образовании выражения с помощью названных действий, кроме чисел, использовать еще и переменные, то 268 Правообладатель Народная асвета •к •к •к т образуются выражения с переменными, изучаемые в разделе математики, названном алгеброй. Особенностью переменной является то, что она принимает разные значения из определенного множества. В алгебре таким множеством является множество действительных чисел. Чтобы задать переменную, нужно для нее выбрать имя — некоторую букву — и указать множество, из которого она принимает свои значения. Если это множество не указано, то подразумевается множество действительных чисел или та его часть, на которой данное выражение имеет значения. Напри- 3 мер, для выражения 4 x - 9 такое множество находится из ус- ловия x - 9 > 0, так как если это условие не выполнено, то данное выражение не имеет значений. Действия, с помощью которых образуются выражения, разделяют на алгебраические и трансцендентные. К алгебраическим действиям относят действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в рациональную степень. Остальные действия, т. е. действия возведения в иррациональную степень, логарифмирования и нахождения значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, считают трансцендентными действиями. В зависимости от действий, использованных при образовании выражения, его относят к тому или иному виду, отношения между которыми показывает схема, приведенная на рисунке 246. Если в выражение с переменными подставить вместо каждой переменной какое-либо ее значение, то получится числовое выражение, значение которого называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных. Множество наборов значений переменных, при которых выражение с переменными имеет значения, называют областью определения выражения. Два выражения называются тождественно равными, если при всех наборах значений переменных из области определения обоих выражений соответствующие значения выражений равны. Замена выражения тождественно равным ему выражением называется тождественным преобразованием этого выражения. Правообладатель Народная асвета 269 Выражение с переменными Да Содержит только \Нет алгебраические действия Алгебраическое выражение т Трансцендентное выражение Да Содержит действие извлечения корня из выражения с переменными \Нет Иррациональное выражение Рациональное выражение т Да Содержит действие \ д-g^ ^деления на выражение^ с переменными Дробно-рацио- Целое выражение налъное выражение Рис. 246 При тождественных преобразованиях выражения используют свойства действий, участвующих в его образовании. Сложение и умножение имеют переместительное и сочетательное свойства, а умножение — распределительное свойство относительно сложения: a • b = b • a; a • (b • c) = (a • b) • c; a + b = b + a; a + (b + c) = (a + b) + c; a • (b + c) = ab + ac. Распределительное свойство позволяет ввести преобразования — раскрытие скобок, вынесение общего множителя за скобки, приведение подобных слагаемых: • раскрытием скобок называется замена выраже- ний a(b^ + b2 + ^ + bn) и (a^ + a2 + ^ + an)b выражениями ab^ + ab2 + ^ + abn и a^b + a2b + ^ + anb соответственно; • вынесением общего множителя за скобки называется замена выражений ab-^ + ab2 + ^ + abn и a-^b + a2b + ^ + anb выражениями a(b^ + b2 + ^ + bn) и (a! + a2 + ^ + aj)b соответственно; 270 Правообладатель Народная асвета • приведением подобных слагаемых называется замена суммы подобных слагаемых тождественно равным ей одним слагаемым. Тождество a - b = a + (-b) позволяет выражение, образованное из других выражений с помощью сложения и вычитания, записать как сумму, которая называется алгебраической суммой. Свойства сложения и умножения дают возможность обосновать формулы сокращенного умножения: (а ± b)2 = a2 ± 2ab + b2; (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3; (a - b)(a + b) = a2 - b2; (a ± b)(a2 + ab + b2) = a3 ± b3. Действие возведения в степень имеет такие свойства: apaq = ap + q; ap : aq = ap - q; (ab)p = apbp; (0\p = ap . \~b j ~~bP ; 4ab = 4a • ^4b; (ap)q = ap q; nkamk = ^a^; ja=nna. Чь Пь ’ (4a )m = 4am a, если n — нечетное натуральное число, 11 a I, если n — четное натуральное число; n-a =- na, если n — нечетное натуральное число; a > b ^ 4a > ^b. Действие логарифмирования имеет свойства: loga bc = loga b + loga C; loga Ь = loga b - loga C; logc b loga br = r loga b; a°ga = b; logab = log a. Свойства действий нахождения значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса выражают: • формулы четности: sin (-^) = -sin t; cos (-t) = cos t; tg (-t) = -tg t; ctg (-t) = -ctg t; • основные тригонометрические тождества: . 2 2^1. sin ^ j cos a sin a + cos a = 1; tg a =-; ctg a =--; cos a sin a 2 1 2 1 tg a • ctg a = 1; 1 + ctga = —1 + tga = — sin2 a cos2 a Правообладатель Народная асвета 271 • формулы сложения: cos (u ± v) = cos u cos v + sin u sin v; sin (u ± v) = sin u cos v ± cos u sin v; tg (u ± v) = u ± v ; '■ 1 + tg u tg v • формулы приведения: sin (2 ± t) = cos t; sin (n ± t) = +sin t; sin (± t) = -cos t; cos (2 ± t) = +sin t; cos (n ± t) = -cos t; cos (35- ± t) = ±sin t; tg (■|± t) = +ctg t; tg (n ± t) = ±tg t; tg (32 ± t) = +ctg t; ctg (2П ± t) = +tg t; ctg (n ± t) = ±ctg t; ctg (32 ± t) = +tg t; sin (2n ± t) = ±sin t; cos (2n ± t) = cos t; tg (2n ± t) = ±tg t. ctg (2n ± t) = ±ctg t; • формулы двойного аргумента: sin 2a = 2 sin a cos a; cos 2a = cos2a - sin2a; tg 2a ; 1 - tg2 a • формулы половинного аргумента: sin2 a = ; 2 2 ’ tg t ^ sin t 2 a 1 + cos a co^ — = —-—; 2 2 ’ , t 1 - cos t tgt=■ ■ 2 1 + cos ^ 2 sin t ’ • формулы преобразования суммы в произведение: sin a + sin P = 2 sin —^ • cos a + R a - R • cos —— 22 sin a - sin P = 2 cos "• sin a + R . a - R —^ • sin —— 22 272 D О a+R a-R cos a + cos e = 2 cos-• cos-:-; 22 n o- a+R . a-R cos a - cos e = -2 sin-• sin -; 22 Правообладатель Народная асвета • формулы преобразования произведения в сумму: sin а • sin в = -1 (cos (а - в) - cos (а + в)); cos а • cos в = 2 (cos (а + в) + cos (а - в)); sin а • cos в = 2 (sin (а + в) + sin (а - в)); • формулы универсальной тригонометрической подстановки: • Oj. 2 tg t Oj. 1 - tg2 t sin 2t =--; cos 2t =------; 2 1 + tg2 t 1 + tg2 t • формула вспомогательного аргумента: a sin t + b cos t = ^a2 + b2 sin (t + u), где cos u = Va2 + b2 , sin u = va^Tb2 и a Ф 0 или b Ф 0. Действия нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса имеют такие свойства: sin(arcsin a) = a, если a е [-1; 1]; arcsin(sin t) = t, если t е cos (arccos a) = a, если a е [-1; 1]; n , П '2’2 arccos (cos t) = t, если t е [0; n]; tg (arctg a) = a; arctg (tg t) = t, если t е (-2П; -|j; сtg (arcсtg a) = a; arcсtg (сtg t) = t, если t е (0; n); arcsin (-a) = -arcsin a; arccos (-a) = n - arccos a; arctg (-a) = -arctg a; arcctg (-a) = П - arcctg a; arcsin a + arccos a = —; 2 arctg a + arcctg a = 2^. Правообладатель Народная асвета 273 b a Любое целое выражение представляется многочленом стандартного вида, т. е. суммой одночленов стандартного вида. Одночленом стандартного вида называют произведение числа и степеней различных переменных. Обратное преобразование — представление многочлена стандартного вида произведением нескольких множителей-многочленов — называют разложением многочлена на множители. При разложении многочлена на множители используют вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращенного умножения. Среди целых выражений важную роль играет квадратный трехчлен, т. е. выражение вида ax^‘ + bx + c, где a, b, c — некоторые числа, x — переменная, причем a Ф 0. Значения переменной х, при которых квадратный трехчлен имеет своим значением число 0, называются корнями квадратного трехчлена. Выражение b2 - 4ac называют дискриминантом квадратного трехчлена и обозначают D, т. е. D = b2 - 4ac. Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два корня х^ и х2, которые выражаются через его коэффициенты следующим образом: -b --Id -b + 4d 2a 2a Если D = 0, то квадратный трехчлен имеет один корень x = -- 2a Если D < 0, то квадратный трехчлен не имеет корней. Связь между корнями квадратного трехчлена и его коэффициентами выражает теорема Виета: если x^ и x2 — корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c, то b c x + x =---и x * x ^ —. 12 a 1 2 a Теорема, обратная теореме Виета, указывает условия, при которых два числа являются корнями квадратного трехчлена: и + b если числа a, b, c, x1 и x2 удовлетворяют условиям x1 + x2 = — c и xi • x2 = a, то xi и x2 являются корнями квадратного трехчлена ax2 + bx + c. 274 Правообладатель Народная асвета b Найдя корни квадратного трехчлена, его можно представить произведением линейных множителей: если и х2 — корни квадратного трехчлена ах? + Ьх + с, то верно равенство ах^ + Ьх + с = а(х - х1)(х - х2). Любое рациональное выражение представляется рациональной дробью или многочленом, при этом под рациональной дробью понимают дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами стандартного вида. 1. Назовите действия, с помощью которых образуется выражение с переменными. 2. Какие два выражения называются тождественно равными? 3. Какое изменение выражения называют его тождественным преобразованием? 4. Запишите свойства действий сложения и умножения. 5. Какое тождественное преобразование называют раскрытием скобок; вынесением общего множителя за скобки; приведением подобных слагаемых? 6. Запишите формулы квадрата суммы и разности; формулы куба суммы и разности; формулы разности квадратов; формулы суммы и разности кубов. 7. Запишите свойства действия возведения в степень; свойства действия извлечения корня; свойства действия логарифмирования. 8. Запишите формулы, выражающие свойства четности синуса, косинуса, тангенса, котангенса. 9. Запишите формулы, выражающие связи между значениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса одной переменной. 10. Запишите тригонометрические формулы сложения. 11. Запишите формулы приведения. 12. Запишите формулы двойного аргумента для синуса, косинуса, тангенса; формулы половинного аргумента для синуса, косинуса, тангенса. 13. Запишите формулы преобразования в произведение суммы синусов, суммы косинусов, разности синусов и разности косинусов. 14. Запишите формулы преобразования в сумму произведения синусов, произведения косинусов, произведения синуса и косинуса. 15. Запишите формулы универсальной тригонометрической подстановки; формулу вспомогательного аргумента. 16. Запишите формулы нахождения синуса арксинуса, косинуса арккосинуса, тангенса арктангенса, котангенса арккотангенса. 17. Запишите формулы нахождения арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса, арккотангенса котангенса. 18. Запишите формулы, связывающие значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса от противоположных чисел. 19. Запишите формулы, выражающие связи между значениями арксинуса и арккосинуса одной переменной, арктангенса и арккотангенса одной переменной. Правообладатель Народная асвета 275 20. Какое целое выражение называют квадратным трехчленом; дискриминантом квадратного трехчлена? 21. При каком условии квадратный трехчлен имеет два корня и как их найти; имеет один корень и как его найти; не имеет корней? 22. Сформулируйте теорему Виета и теорему, обратную ей. 23. Как по корням квадратного трехчлена записать его разложение на линейные множители? 1007. Определите, является ли тождеством равенство: а) p + q = q + p; б) (k + l) + m = k + (l + m); в) I cd = IC ■ Id|; г) \u + и I = UI + 1^1; д) i.x - y)2 = (y - x)2; е) IШI = w; ж) |ft2 + 5 = h2 + 5; з) \g2 - 4 = g2 - 4; и) i2 - 7i = i(i - 7); к) 3j - 4 = 4 - 3j. 1008. Определите, является ли тождеством равенство: а) cos x + cos y = cos y + cos x; б) (Ig k + Ig l) + Ig m = Ig k + (Ig l + Ig m); в) arccos (3p - 4) = arccos (4 - 3p); г) arcsin2 t - 7 arcsin t = arcsin t (arcsin t - 7); д) (arctg a - arcctg 6)4 = (arctg a - arcctg b)4; е) cos cd = cos (-c) cos (-d); ж) ctg ij = ctg (-i) ctg (-j); з) lg ab = lg (-a) lg (-b); и) l^r -I = 1 I -||; к) l^uI = 1 ^u| • I|. 1009. Докажите, что является тождеством формула: а) 5log3 a + 5 = 5(log3 a + 1); б) 6arctg x - 18 = 6(arctg x - 3); в) 5 • 7z - 3 = 2 • 7z + (3 • 7z - 3); г) |logo,99(a2 + 1,1) |> 0; д) 5s + 3loga q - 5s = 3loga q; е) 12 - ex| > 0. 1010. Запишите многочленом стандартного вида выражение: а) (2x - 5y)(x + y) - 2x2; б) 5a2 + (4a + b)(b - a); в) 2m(6 - m) - (n + 3m)(2 - m); 276 Правообладатель Народная асвета г) (u + 7v)(l - 3u) - 5u(v - u); д) (k + 3l)(4k - 5l) - (2k - l)(l - k); е) (6i - 4y)(37 + i) + (2i - i)(i - 2j). 1011. Разложите на множители выражение: а) (x + 3y)2 - 22; д) (2u - 3)2 - 81v2; и) (i + j2)2 - Qi2/4; б) (4a - 3b)2 - 16c2; е) (p - q)2 -p2q2; к) (s2 - r)2 - 1; в) (3p - l)2 - 100q2; ж) (5^ + 3h)2 - 49; л) (2d - 7)2 - 225; г) (m + 5n)2 - h2; з) (4e + 3h)2 - f 4; м) 289 - (7 + 6y2)2. 1012. Разложите на множители выражение: а) bc(b - c) + ac(c - a) + ab(a - b); б) yz(y + z) + xz(z - x) - xy(x + y); в) t(t2 - a3) + at(t2 - a2) + a3(t - a); г) (b - r)s3 - (b - s)r3 + (r - s)b3. 1013. Упростите выражение: а) б) a - a —; a m2 - 4m + 5 в) n - m -1 2 3n +1 m -1 - m; 3n2 - 0,5n - 2,5 3n + 1 г) д) 3 p2 + 12 p + 13 3 p + 6 2q2 + 11q + 14 1 q + 3 - 2q + 3(p + 2) ’ 1 ; q + 3’ е) ж) - b; b2 + 2b - 3 b-1 c + 1 1 _ c2 - c - 2 - ; , 6d2 - d - 2 ctj з) ------------ 2d; ' 3d - 2 , 3t2 - 2t -1 , 1 и) -----1------ 3t + T; .. 2x2 + 5x -12 , к) -------------- x + 1. ' 2x - 3 1014. Упростите выражение: ^,1,1 а) -—^—- + б) в) 4a2 - 4 4a2 - 8a + 4 4a2 + 8a + 4 ’ _____1______+_______1___________ 2 + 4b + 2b2 2 - 4b + 2b2 1 - b2 ’ x + y 2 , 2 x + y 2 9 3 9 ’ x - xy xy + y2 y - x2y 2 2 , m 4m n - mn г) + „3 „3 + n2 + mn + m2 Правообладатель Народная асвета 277 2 n 1015. Упростите выражение: а) б) в) г) д) \l + -1 (х2 - Ь2 )-1 - (х2 + Ь2 )-1 2 \х2/ (p2z-3 + h-1): (hz^2 - z^1 + h^1 -2 (^^-2 - 1):( М + — / —2 +1)-1; к^6 - 64 , к2 (к^3 + 8)-1 4 + 2к^1 + к^2 (4 - 4к^1 + к-2){к-1 t2 +1 1 е) -^ -2 ^ + z y + z 1z - z 1016. Найдите значение выражения: а) ^/21 - 2^25 + WS4 ; . ; 9 ^/S3 У18 • VS3 + 164 (10 ^J140)^j 60 + 1^/35 б) (W3 50 ^J384 ; ^/28 ^/12^/10+784 в) г) д/ +97 + 4^ 113 - 8j97 _ +33 - 2+ 37 + 2J132 Ы6 WH^ 35 - W264 (5 - W2+43 + WT2 +3 ^/17 +>/204 + 20 1017. Раскройте скобки и приведите подобные: а) + 2j /2 ^Jpy, в) (^/х - х) (^/х + х) ; б) Wef; г) {4Z f - 10 [4г -ЛУ f • 1018. Найдите значение выражения: lg625 1^^^ ^ в) 5lg25; г) log1 (log3 4 • log2 3). а) log36 2 - (2log13; б) 2log25 30 + log0,2 6; 1019. Найдите значение выражения: а) log2 27 - 2 log2 3 + log2 22; г) log6 34 - log6 17 + log6 18; б) log2 39 - log2 13 - log2 24; д) log3 21 + log3 2 - log3 14; в) log4 91 - log4 13 + log4|; е) log363 - log39 + (2log3^. 278 Правообладатель Народная асвета 2 4 1020. Учитывая, что: а) log^ 2 = m, найдите log49 28; б) Ig 3 = m, Ig 5 = n, найдите log1g 30; в) log6 2 = m, найдите log24 72; г) log36 8 = m, найдите log3g 9. 1021. Учитывая, что: а) log3 15 = a и log3 10 = b, найдите значение выражения i°^3 50; б) log2 5 = a, найдите значение выражения log4 1250. 1022. Пропотенцируйте равенство: а) lg X = 2lg (a + b) - 3lg (a - b); б) lg X = 71lg (a - b) - 2lg (a + b); в) lg X = lg (1 + sin a) + lg (1 - sin a); г) lg X = -2lg (m + n) - 3lg (m - n); д) lg X = - Slsi; е) lg X = ; ж) lg X = -^ + lg 10 --3---; з) lg X = -lg100 - ilga -2lgb. 1023. Учитывая, что sin t = 0,28 и cos t < 0, найдите значение выражения: 3sin2t + cos2t а) - б) sin2t - 2cos2t 2sint + 3cost _ sint + 2cost ’ в) ctg (t + inj; г) tg (2< + i). 1024. Докажите тождество: а) sin 3t = 3sin t - 4 sin3t; б) cos 3t = 4 cos3 t - 3cos t; в) ctg ^X - -34^1 • (^1 + sin 2x) = cos 2x; г) tg ( X + -jj • cos 2x = 1 + sin 2x. Правообладатель Народная асвета 279 1025. Докажите, что верно равенство: \ п 5п 7п yjS а) cos cos cos ; 18 IQ IQ Q ’ 18 18 п 4п 5п 1 б) cos 7 cos cos = 2; в) cos + cos 4п + cos ^7^ = - ^1; г) + 1 п • 2п si^ — sin — 7 7 sin - 3п ' 7 1026. Упростите выражение: а) sin4 — + sin4 31 + sin4 51 + sin4 71; 8 8 8 8 б) sin 18 sin g sin g; в) sin 6x cos3 2x + cos 6x sin3 2x; sin5x + sin6x + sin7x г) а) б) cos5x + cos6x + cos7x 1027. Найдите значение выражения: tg15°- ctg15°; ctg 30° ; (1 + tg 75°) cos 75° _ W2sin120° (tg15° + tg30°)cos15° cos 30° в) ^ 777 ; sin 45° „2 . г) ctg2 34°-cos2 34°. 2 ctg2 34° cos2 34°’ , (tg!4° + ctg28°)cos14° sin14° д) ^^--------------------------• е) sin 24°(tg12° + ctg 12°) (ctg 27° -ctg54°)sin54° + 1,5 ; (tg14° + ctg 28°) cos 14° sin 14° ’ ж) tg 26°- ctg 52° cos 26° sin 52°; cos 78° з) tg2 31° - sin2 31° 4tg2 31° sin2 31° ctg 31° - tg 31° 3 tg 31° + ctg 31° 1028. Упростите выражение: cos 62° а) sin (2x + y) - 2cos (x + y); в) sin x б) sin2 + x' |- sin2 (8—- x); г) 4cos2x ; ctg2x - tg2x ’ 2cos2 x - 1 2tg ^— - xj sin2 ^— + x 280 Правообладатель Народная асвета 1029. Упростите выражение: а) б) (sin x + cosxx) - 1 sin2x - tgx _ cos2x • tgx ’ tg2x - tg23n в) —;--------- 3tg 3x • ctg x; tg2x - ctg2 33 1 + sin2x - cos2x Г) - tg x. а) б) sin2x + cos2x 1030. Упростите выражение: sin38° + sin22° .. sin70°-cos40° cos8° cos 41°- cos 49° sin 4° в) г) cos50° + cos110° sin74° - cos74° sin89° - cos59° 1031. Учитывая, что a, P, y — углы треугольника, упростите выражение: а) sin2 a + sin2 P + sin2 у - 2cos a cos P cos y; б) cos2 a + cos2 P + cos2 у + 2cos a cos P cos y; в) sin a + sin P + sin у - 4cos — cos — cos —; 222 г) ctg a ctg P + ctg a ctg у + ctg P ctg y. 1032. Упростите выражение: 12 в) cos (arcsin ); а) sin (arcсos 0,8); б) sin (arcсtg 7); г) cos (arctg -у/Тб). 1033. Упростите выражение: а) tg (2arcsin 0,6); в) cos ^arcsin + arccos153j; б) cos (2arctg 3); г) tg (arctg 0,4 + arcos 0,8). 1034. Сравните числа: а) arctg 23 и - arctg ^5; б) arcctg 1 и - arcctg 4; в) arcctg -\/3 и 4^ - arcctg (2 + '13); Правообладатель Народная асвета 281 cos4 x - sin4 x г) arctg 1 + arctg 2 + arctg 3 и п; д) arctg 1з + arctg I + arctg 1 + arctg ^8 и ; е) arcsin + arctg ^^222 и arctg ^/2 + l)^. 1035. Найдите значение выражения: а) sin (2arccos ^Ij; г) ctg (3arctg 4); б) cos (3arcsin 0,6); д) cos (2arcsin x); в) tg (2arcsin 0,8); е) sin (2arccos x). V2 1036. Выразите через арккосинус: а) arcsin -3; б) arctg 2; в) arcctg (-3); г) arctg 2,4; д) arcsin (-0,6); е) arctg (-2). 1037. Выразите через арксинус: а) arccos I3; б) arctg 4; в) arcctg (-4); г) arctg 12; д) arccos (-0,8); е) arctg (-2). 1038. Выразите через арктангенс: а) arccos 0,6; г) arcctg 0,25; д) arcsin (-0,8); б) arccos (-■1|); е) arcsin —. ' 12 в) arcctg (-4); 1039. Упростите выражение: а) arcsin 3 + arcsin —; ' 5 13’ б) arctg ^2 + arctg ;1; ч J- ^ J- 48 + 2W3 в) arctg — + arcctg----; 4 39 31 г) arcctg 4 + arcctg 7; д) arcsin 4 + arcsin — + arcsin ^; 5 13 65 е) arcctg ЗТ3 + arccos f-17 ]. 282 Правообладатель Народная асвета 1040. Найдите с точностью до минуты градусную меру дуги окружности с радиусом 24 дм, длина которой равна: а) 10 дм; в) 54 дм; д) 75 дм; ж) 136 дм; б) 40 дм; г) 70 дм; е) 113 дм; з) 150 дм. 1041. Найдите с точностью до миллиметра радиус окружности, у которой дуга длиной 18 см имеет градусную меру, равную: а) 20°; в) 75°; д) 180°; ж) 270°; б) 45°; г) 160°; е) 225°; з) 350°. 1042. Найдите длину хорды круга с диаметром 10, учитывая, что эта хорда: а) отстоит от центра на 3; б) видна из центра под углом 135°; в) равна перпендикулярной хорде, проведенной через один из ее концов; г) образует с равной хордой, имеющей с ней общий конец, угол величиной 120°; д) разделяет перпендикулярный ей диаметр в отношении 1 : 3. 1043. Докажите, что перпендикуляр, опущенный на диаметр окружности из какой-либо ее точки, является средним геометрическим отрезков, на которые делит диаметр основание перпендикуляра. 1044. Отрезок а, соединяющий две точки окружности с радиусом г, виден из центра окружности под углом а. Докажите, что переменные а, г, а связаны формулой а = ^ 2 (1 - cos а). 1045. Отрезки EF и GH являются равными хордами окружности с центром Q и радиусом г, параллельными ее диаметрам AB и CD, угол между которыми равен р. Найдите кратчайшее расстояние между точками хорд EF и GH, учитывая, что угол, под которым хорда GH видна из центра Q, равен а. 1046. Докажите, что: а) если две стороны треугольника не равны друг другу, то медиана, проведенная к третьей стороне, не является высотой и не является биссектрисой этого треугольника; Правообладатель Народная асвета 283 б) если две стороны треугольника не равны друг другу, то высота, проведенная к третьей стороне, не является медианой и не является биссектрисой этого треугольника; в) если две стороны треугольника не равны друг другу, то биссектриса, проведенная к третьей стороне, не является медианой и не является высотой этого треугольника. 1047. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, учитывая, что: а) основание треугольника и его боковая сторона соответственно равны 6 и 8; б) основание треугольника и угол против него соответственно равны 2 и а; в) площадь треугольника и угол при основании соответственно равны S и р. * * * 1048. Для данного натурального числа n выписываются все дроби вида Pq, где числаp и q взаимно просты, 0 < p < q < n и p + q > n. Докажите, что сумма всех таких дробей равна 2. 1049. Числа a и b удовлетворяют условию a2010 + b2010 = = a2008 + b2008. Докажите, что a2 + b2 < 2. 1050. Пять отрезков имеют то свойство, что любые три из них могут быть сторонами некоторых треугольников. Докажите, что среди этих треугольников обязательно будет остроугольный. 21. Уравнения и неравенства Из выражений с переменными с помощью отношений равно, меньше, больше и их отрицаний — не равно, больше или равно, меньше или равно — образуются формулы: A = B, A < B, A > B, A ^B, A > B, A < B. Формула-равенство A = B называется уравнением, формулы-неравенства A < B, A > B, A Ф B, A > B, A < B — неравенствами с переменными. Число, обращающее уравнение в истинное числовое равенство, называют корнем уравнения. Решить уравнение означает найти все его корни или установить, что их нет. 284 Правообладатель Народная асвета Система, состоящая из формул A и B, обозначается Число, обращающее неравенство с переменной в истинное числовое неравенство, называют решением неравенства. Решить неравенство означает найти все его решения или установить, что их нет. Формула, которая обращается в истинное высказывание при любых наборах значений входящих в нее переменных, называется тождественно истинной формулой. Тождественно истинные формулы-равенства называют еще тождествами. Из формул образуются их системы и совокупности. Системой формул называется формула, которая состоит из двух или больше формул и которая истинна при тех и только тех наборах значений переменных, при которых истинна каждая из формул. fA’ [B. Совокупностью формул называется формула, которая состоит из двух или больше формул и которая истинна при тех и только тех наборах значений переменных, при которых истинна хотя бы одна из формул. Совокупность, состоящая из ■ A, B. Каждая пара значений переменных, удовлетворяющая системе или совокупности формул с двумя переменными, называется решением системы или совокупности. Решить систему или совокупность означает найти все ее решения или установить, что их нет. Решение уравнений, неравенств и их систем часто предусматривает сведение их к стандартным уравнениям или неравенствам. При этом полученное в результате преобразований уравнение, неравенство или система должны иметь те же решения, что и исходные уравнение, неравенство или система. В таком случае говорят о равносильных уравнениях, неравенствах, системах. Преобразованиями равносильности уравнений или неравенств являются: формул A и B, обозначается • перенос слагаемого из одной части уравнения или неравенства в другую с противоположным знаком; • умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число; Правообладатель Народная асвета 285 • умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число; • умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число с заменой знака неравенства знаком противоположного смысла; • возведение обеих частей уравнения или неравенства в одну и ту же нечетную степень. При решении уравнений пользуются и преобразованиями следования, т. е. преобразованиями, при которых все корни данного уравнения являются корнями полученного уравнения. Примером преобразования следования является возведение обеих частей уравнения или неравенства в одну и ту же четную степень. Преобразование следования может приводить к появлению побочных корней, т. е. таких чисел, которые являются корнями полученного уравнения, но не являются корнями исходного. Поэтому при использовании преобразований следования обязательным этапом решения уравнения является проверка того, являются ли полученные числа корнями данного уравнения. При решении уравнений и неравенств используются такие типичные приемы, как введение вспомогательной переменной, разложение на множители, перебор случаев, сведение к системе, использование графических представлений, использование свойств функций. Проиллюстрируем сказанное примерами. Уравнение 15 X2 - x + 1 = (x - 1)2 + X2 с введением переменной у = X2 - X + 1 приводится к уравнению 15 = 2у — 1. Уравнение х2 sin x + cos x = x2 cos x + sin x можно записать в виде (x2 - 1)(sin x - cos x) = 0. Поэтому оно сводится к совокуп- x2 -1 = 0, sinx - cosx = 0. С разложением на множители связан метод интервалов, с использованием которого решаются рациональные нера- ности уравнений венства. Неравенство 2 2 t + 3 3t + 2 3 2t -1 сводится к нера- венству 286 (t + 1)(t - 4) > 0, для которого метод интервалов (t + 3)3t + 2)2t - 1) Правообладатель Народная асвета + (рис. 247) в качестве ответа дает множество (-3; -1] ^ (-1; I) ^ и [4; +га). ( + 1 + 1 + -43 -1 11 I 4 г Рис. 247 При решении неравенства с модулем |х + 2 \ + \ 2х - 5| < 7 приходится рассматривать его на трех промежутках (-^; -2), [-2; 2,5] и (2,5; +га). I---- I-------- 13х + 45 = а, Уравнение 3х + 45 - 3х - 16 = 1 заменой < _____ , I 3х - 16 = b \а - b = 1, сводится к системе а3 - b3 = 61, которая равносильна систе- ме ^а - b = 1, [(а - b)(а2 - 2ab + b2 + 3ab) = 61, или системе а - b = 1, ab = 20. Ее решения (5; 4) и (-4; -5) позволяют получить решения данного уравнения: х^_ = 80 и х2 = -109. Чтобы ответить на вопрос о количестве корней уравнения Ig х = sin х, удобно использовать графический способ решения. Построив графики функций у = lg х и у = sin х (рис. 248), замечаем, что они имеют 3 точки пересечения: одна — на промежутке (0,5п; п), другая — на промежутке (2 п; 2,5п) и третья — на промежутке (2,5п; 3п). При решении уравнения .^2х + 5 + 5 2х - 5 = 4 - х находим подбором, что число 2 является корнем. Других корней уравнение не имеет, поскольку функция у = -^2х+5 + + 5 2х - 5, определяемая левой частью уравнения, возрастает на области определения, а функция у = 4 - х убывает. Правообладатель Народная асвета 287 Сведения о решении линейных, квадратных, двучленных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений приведены в следующей таблице. Уравнение Множество корней ax = b b n —, если a Ф 0 a ax^ + bx + c = 0 -lb ±sj bb - 4ac если D = b2 - 4ac > 0 2a ’ xn = a Va, если n — нечетное число; ±\[a, если n — четное число и a > 0 ax = b loga b, если b > 0, a > 0 и a Ф 1 loga x = b ab sin x = a (-1)* arcsin a + kn, k e Z, если I a| < 1 cos x = a ±arccos a + 2mn, m e Z, если I a I < 1 tg x = a arctg a + mn, m e Z ctg x = a arcctg a + mn, m e Z Сведения о решении линейных, квадратных, двучленных, показательных, логарифмических и тригонометрических неравенств даются в следующей таблице. Неравенство Множество решений ax < b Рис. 249, а ax2 + bx + c < 0 Рис. 249, б xn < a {-(х>; ^[a), если n — нечетное число; ), если n — четное число и a > 0 ax < b (-то; loga b), если b > 0 и a > 1; (loga b; +то), если b > 0 и 0 < a < 1 loga x < b (0; ab), если a > 1; (ab; +to), если 0 < a < 1 sin x < a (-П - arcsin a + 2kn; arcsin a + 2kn), m e Z, если I a I < 1 cos x < a (arccos a + 2kn; 2n - arccos a + 2kn), k e Z, если I aI < 1 tg x < a |--П + kn; arctg a + k%^, k e Z ctg x < a (arcctg a + kn; п + kn), k e Z 288 Правообладатель Народная асвета а) ах <Ь Да Ъ а а> О Да Нет а < О Нет а Да 6 > О Нет Любое число — решение неравенства Нет решений б) Да а < О Нет Г\ R \J. Нет решений 7Y (-схз;-^) и (-^ ; +СХ)) Ат Vr Рис. 249 -b-yjo _ ^ -Ь+yfD 2а ^ 2а При решении систем уравнений стремятся уменьшить количество переменных и получить уравнение с одной переменной, которое позволит найти ее значения, а затем для каждого из полученных значений отыскать значения остальных переменных. Исключить одну из переменных из системы двух Правообладатель Народная асвета 289 линейных уравнений с двумя переменными можно способом подстановки или способом алгебраического сложения. Уравнение, неравенство или система могут содержать две или больше переменных, причем одна из них считается переменной уравнения, а остальные рассматриваются как параметры, т. е. их значения считаются фиксированными. В таком случае говорят об уравнении, неравенстве или системе с параметрами. Решить уравнение, неравенство или систему с параметрами означает для каждого набора значений параметров найти корни или решения соответствующих уравнения, неравенства или системы. fy 1. Что называется корнем уравнения? Как понимать задание Решить * уравнение? 2. Что называется решением неравенства? Как понимать задание Решить неравенство? 3. Что называется решением системы? Как понимать задание Решить систему? 4. Как понимать задание Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром? 5. Какие условия называются равносильными? 6. Когда одно из условий считается следствием другого? 7. Как решают простейшие уравнения; простейшие неравенства? 8. Как решают уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля? 9. Как решают дробно-рациональные уравнения и неравенства? 10. Как решают иррациональные уравнения и неравенства? 11. Как решают показательные уравнения и неравенства? 12. Как решают логарифмические уравнения и неравенства? 13. Как решают тригонометрические уравнения и неравенства? 14. Какие приемы используются при решении уравнений и неравенств? 1051. Решите уравнение: а) 0,15х = 3; 5 б) -157X = 0,85; в) 4 X = -1,(7); г) -2,0(7)X = 18. 1052. Решите неравенство: ч 2х + 3 , X + 7 \ гг а) ^ > 7; б) 2х + 1 ^ 1 + 3х -1. Зх + 5 10 - 3^ ^ 2х - 7 „ в) -7; ) 7х 11(х + 3) ^ 3х - 1 13 - х г) 3 6 ^ 5 290 2 " '' 3 6 5 2 Правообладатель Народная асвета 1053. Решите уравнение: а) 5 - 3(х - 2(x - 2(x - 2))) = 2; б) 2-- 21; 8 ; 2-■ 3 2 - x x в) 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 = “6; г) 1- x +1 3 2x - 10 - 7x 3 x 2 1054. При каком значении переменной a уравнение ax - 4 = 3x имеет корнем число 8? 1055. При каком значении переменной a через точку A (-1; 5) проходит прямая: а) у = ax - 3; б) у = 3x + a? 1056. При каких значениях переменной a не имеет корней уравнение: а) 2(a - 2x) = ax + 3; в) a2x = a(x + 2) - 2; б) а) б) 8 + 5x 2 - x = 2a; г) x - 5 = a - x ? г) 7 - x = 7 - x ■ 1057. Решите систему уравнений: x + у = 4, f3x + 5y = 21, в) 1 x - у = 8; [2x - у = 1; 2x + 5у = 15, J2x + 5у = 15, x - 2у = 3; ^ [3x + 8у = -1. 1058. Решите систему уравнений: 9 а) б) I 3x + 2у = 5, 5 = 2,5 . 3 - 2x 1 - у; x = 3 у=^, x-1 1 в) ' г) у + 2 2’ 4x + 9 = 21, у ^ = 17 - 3x; у ^ -3 - ^ = 21, x у ’ i + i = 13. x у Правообладатель Народная асвета 291 3 3 2 1059. При каких значениях переменной a не имеет решений система: а) б) x + ay = 1, x - 3ay = 2a + 3; 16x + ay = 4, ax + 9y - 3 = 0; в) г) [-4x + ay = 1 + a, [(6 + a) x + 2y = 3 + a; I (a + 1) x - 3y = 4, [2x - ay = 3? 1060. При каких значениях переменной a имеет бесконечно много решений система: [3x + ay = 3, {(a + 1)x - y = 2 + a, [ax + 3y = 3; [x + (a - 1)y = 2; [x + ay = 1, {(a + 1) x + 8y = 4a, [ax - 3ay = 3 + 2a; ^ [ax + (a + 3) y = 3a - 1? 1061. Решите уравнение: - = 2,5; w + u = 4; а) б) а) a2 + 2a = 0; д) б) b2 - 8b + 7 = 0; е) в) c2 + 4c + 4 = 0; ж) г) d2 - 3d + 6 = 0; з) u + 4 y = 1. 2y + 3 y ’ x x + 2 x + 1 x - 2 = 1. 1062. При каких значениях переменной a имеет единственный корень уравнение: а) ax2 + 6x + 9 = 0; в) 4x2 - ax + a - 3 = 0; б) x2 + ax + 4 = 0; г) (a + 1)x2 + 2ax + a - 3 = 0? а) 1063. Решите уравнение: 6 2 = 2 - x + 4. x2 - 1 x - 1 б) y +8 = 1 - 6y; ^ y + 2 в) г) 3 2г -1 x +1 ’ 2г + 1 г + 2 г + 1 z2 + 3z + 2’ 4 3 12 1. д) a3 - 5a2 + 6a = 0; е) (b + 1)( b2 - 5b) + 6(b + 1) = 0; ж) c3 - 3c2 - c + 3 = 0; з) + d2 - d - 1 = 0. t + 2 t - 2 4 -12 7’ 292 Правообладатель Народная асвета 1064. Решите уравнение: а) г® + 7r3 - 8 = 0; б) 2w8 + 5u4 - 7 = 0; в) (2i2 + 3t)2 - 7(2t2 + 3t) = -10; г) 4 + 5=^2; д) 1 v2 + 1 v2 + 2 ■ + ■ 2 2 = 2; е) 73^+3" =2; ж) a2 + ^ + a + 1 = 4; a2 a з) X3 + 4x2 + 4x + 1 = 0; 1 и) 2 (Z2 + -2) + 4,5 (Z + j) - 13 = 0; 1 к) c(c + 1)(c + 2)(c + 3) = 24. 1065. Учитывая, что x1 и x2 — корни уравнения 3x2 - 2x - 6 = 0, найдите значение выражения: а) ^ + ^; б) X12 + X22; в) + 4^; г) х3 + х. 1066. Найдите сумму корней уравнения х2 + ax + 6 = 0, учитывая, что сумма их квадратов равна 13. а) б) в) г) 1067. Решите систему уравнений: a + b = 7, ab = 12; i + j = 5, i2 - ij + j2 = 7; 3Z + t = 2, Z2 - Zt + 6t = - 4; c2 + d2 = 20, cd = 8; ) ^xy + X + y = 11, x2y + xy2 = 30; juv = 48, ^ [u2 + v2 = 100; ж) з) j m2 + mn = 15, [n2 + mn = 10; \r3 + s3 = 28, г + s = 4. 1068. Решите систему уравнений: а) |v2w3 = 8, в) ja2 + 3ad = 18, [v3w2 = 4; [3d2 + ad = 6; б) [b2 + c = 6, г) [k3 + Z3 = 65, |c2 + b = 6; [k2Z + kZ2 = 20. Правообладатель Народная асвета 293 X X 2 1069. Решите уравнение: а) ^ c + 5 = c + 2; б) d - 1 =yjd + 5; в) yfw w + 3 = 1; г) -yj3u + 1 - 2 ^ u + 1 = 0; 1070. Решите уравнение: а) 4^^ = ^ 3b + 1; ^Jb-1 ^ б) 79 - 5d =,J3 - d д) 7 ^2 + 5x + 1 + 1 = 2x; е) 7 x - 5 ^^10 - x = 3; ж) 711® - 2 + 3[a = 6; з) 75c + 6 = 7-yjc + 7. ж) t ^/1 +12 t ^ 1 +12 ■^/l = t - 3; y/S-d ’ ^6 - x - x2 yj 6 - x - x2 _ з) 1 - 1 ^/3. 1 ^J1-] 1 j ; 2x - 5 2 + 0,5 = - x-2 4 в) 2 ^ Vz 2yfz - z д) fb+2 - 3 b - 17 = 1; е) 3 ^ - 2 + 3 ^ - 3 = 321 - 5; 1071. Решите систему уравнений ^/X = 5, ТУ + ту = 3; + ЗУ=3, и) yjy - 5 + 6 = 53 У - 5; к) ^ 3s2 + 13-y/s33s2 +13=2; л) ^-о + yfv2 + 24 = v + 1; м) ^ 1 - - и2 = и - 1. а) б) x + /у =5 в) ^ У V x 2 ’ x + У = 5; г) yj 2x + У + 2 = 3, [ЗУ2 - 33"xy + ЗУ2 = -1; 1^7 2x + У - 3 = У - x. 1072. Решите уравнение: а) |2x + 1I = 2x; ж) |5 - 2t| + |t + 3| = 2 - 3t; б) |2у - 3| = у; з) |1 - 2| + |4 - l| = 6 - 21; в) |w - 3| = -1; и) |и2 + и| + 3и - 5 = 0; г) |z - 2| = -z; к) |v2 - 1| + v = 5; д) |а - 3| + 2|а + 1| = 4; л) 3j2 + 4j + 2| = 5j + 16; е) |b + 3| + |2b - 1| = 8; м) |i2 - 5i + 9| = |i - 6|. 1073. Найдите наибольшее целое решение неравенства: а) (x - 1)(x + 2) < 0; в) 3x2 - 7x + 2 < 0; б) x2(x - 2)(x + 3) < 0; г) -x2 - 5x + 6 > 0. 294 Правообладатель Народная асвета 1074. Решите уравнение: а) 2“ + 1 + 4а = 80; б) 3" + 31 -" = 28; 3 в) 72" - 6 • Т + 5 = 0; 2* + 2-^ 17 г) ’2* - 2-* Д) 10 15’ 1 + У2 - 101 - у2 = = 99; е) 32" - 2 • 3" = 3; ж) = 2; з) 2 • 3'+1 - 5 • 9' - 2 = 81; и) 4^ + 6^ = 2 • 9^; к) 2 • 4‘ - 5 • 6* + 3 • 9‘ = 0. 1075. Решите неравенство: а) 63 - у < 216; б) 1000 • 0,3^ +1 < 27; в) 2»2 - 86 - 2,5 > 1^/2; г) (Ig 3)3' - 7 > (log3 10)7'+3; д) (log2 3 • log3 4 • log4 5)* > (log2 3 • log3 5 • log5 6)2*; е) 2“ • 5“ > 0,1 • (10“ - 1)5; ж) 3-" - 1 • 4-" - 1 > 12 • (1442v - 1)2; з) 35r 13^r2 -1 > 35r -'. 1076. Решите уравнение: а) log2 (* + 1) + log2 (* + 3) = 3; б) log3 (*3 - *) - log3 * = 1; в) ^1lg (*2 + * - 5) = lg 7* + lgт*; г) ^lg (*2 - 4* - 1) = lg 8* - lg 4*; д) log3 (5* + 3) = log3(7* + 5); е) log^ (3* - 1) = log^ (6* + 8). 2 2 1077. Найдите область определения функции: а) у = log7 (5 - 2а); в) у = log* + 3 (2* + 10); б) у = log2 (*2 - 2*); г) у = log'2-4 ('2 + ' - 12). Правообладатель Народная асвета 295 1078. Решите неравенство: a) log532 - 2 > 0; t2 -1 ж) log6 (t2 - 3t - 2) > 1; б) log1 y - 7 < 0; 3) log8 (a2 - 4a - 3) < 1; в) ln (3v - 4) < ln (2v - 1); и) lg (i2 - 8i - 13) > 0; г) log1 (2l - 3)> log1 (l - 1); к) log,(b2 - 5b - 7) < 0; 2 2 д) log3 (s2 + 2s) > 1; е) log2 (г2 - 2,5z) < -1; 3 л) log2 (f 2 + 2f) < 3; м) log1 (s2 - 5s - 6) > -3. 2 1079. Решите уравнение: а) log3 f - 3 log3 f + 2 = 0; б) 1 1 3 - Ig x 1 + Ig x = 1; в) log3 b + log3 b = 8; г) Ig3 c2 = 8 Ig c; д) log2Zlog4 l log81 log161 = T^log! l; 2 е) log2 t + log^ t + log11 = 6; 2 32 ж) log3i+ log3 i = 1; з) logx (x - 2) = -1. 1080. Решите неравенство: а) lg m > 1; г) logo,5 q > 2; б) lg n < 2; д) lg (1 - r) > 2; в) log2p < -1; е) ln s2 < 1; 1081. Решите неравенство: a) lg y + lg (y - 3) < 1; д) ж) log3 u - logu 3 < ^; з) log2 (2v - 3) < 3; и) log1 (w + 5) < -2. 2 < 1; б) (log2 г)2 < 4; в) lg (2a + 3) < lg (a - 1); г) 2lg (b + 2) > lg (b + 4); log2 (c - 2) 2’ е) log^ 3 < -1; ж) log1 f + log3 f + logg f <-1; 3 з) > 2. lg g 296 Правообладатель Народная асвета 5 1 1082. Решите систему уравнений: а) б) 5У = 75, в) г) cd + 2 „2d -1 ^ = 10, = 100; [2“ + 2" = 6, [и + V = 3; д) е) fef = 10, ^(Ig e) (Ig f) = -2; = 16, n + log2 m = 5. 1083. Решите уравнение: а) ctg 5a = ctg 2a; б) cos 6b + sin2 3b = 0; в) 2sin (t + 4^) sin (t - 4^j = 1; г) 3cos2 z + 5sin2 z = 3,5; 1084. Решите уравнение: а) л/э sin w = cos w; б) 2 sin2a - Vs sin 2a = 0; в) sin 3c = sin 4c; г) tg3 и + tg2 и - 3 tg и = 3; 1085. Решите уравнение: а) sin22a + sin2a =—; ' 16’ б) 2 (1 - cos 2b) = -у/в tg b; в) sin 5c = cos 4c; г) 25 sin2 d + 100 cos d = 89; д) ----— = 1 + cos4x; 1 - tg2 2x 1086. Решите неравенство: ч 1 - cos2x о д) ^ — 2; sin x е) cos 7s — cos 5s + sin s; ж) 1 + tg3b = 1. ) 1 - tg 3b ; з) 2 + sin V cos V — 2 sin v + cos v. д) sin 2b + cos 2b — yf2 sin 3b; е) 1 - cos 2j — sin j; ж) sin 3r — sin r + sin 2r; з) tg2 q + 3 ctg2 q — 4. е) 2 tg y - 2 ctg y — 3; ж) cos 2z + 3 sin z — 2; з) tg (70° + t) + tg (20° - t) — 2; и) sin l + sin — sin + ^^i; к) 6 ctg2 w - 2 cos2 w — 3. а) sin x > ^^-Э; д) tg z < 1; б) sin a < -^; е) tg c > V3; в) cos y < ^-Э; ж) ctg t < ^33; г) cos b > ^2; з) ctg d > -1; и) 0 < sin и < ^; к) -^ < cosp < 0; л) 0 < tg v < -^; V3 м) -43 < ctg q < -1. Правообладатель Народная асвета 297 1087. Два автомобиля, двигаясь по кольцевой трассе, встречаются каждые полчаса. Если бы они двигались в одном направлении, то оказывались бы рядом каждый час. За какое время проезжает кольцевую трассу каждый из автомобилей? 1088. Пассажир, ехавший из А в В, половину времени ехал автобусом, а половину — на автомобиле. Если бы он половину пути ехал автобусом, а половину — на автомобиле, то на весь путь затратил бы вдвое больше времени. Определите, во сколько раз скорость автомобиля больше скорости автобуса. 1089. Человек, идущий по шоссе, заметил, что каждые 15 мин его обгоняет автобус и каждые 10 мин он встречает автобус. Учитывая, что автобусы движутся в обе стороны с одинаковыми интервалами, найдите эти интервалы. 1090. Автомобильная колонна едет со скоростью 80 км/ч. Навстречу со скоростью 40 км/ч едет машина ГАИ, при встрече с которой каждый автомобиль снижает свою скорость до 60 км/ч. Во сколько раз изменится длина автоколонны после того, как она разминется с машиной ГАИ? 1091. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за 1 мин. Если бы человек шел вдвое быстрее, то он спустился бы за 45 с. Определите, сколько времени спускается по эскалатору стоящий человек. 1092. Два бегуна стартовали с интервалом 2 мин. Пробежав 1 км, второй из них догнал первого, пробежал еще 4 км, повернул назад и встретил первого, который к этому моменту находился в дороге 20 мин. Определите скорость второго бегуна. * * * 1093. Решите в целых числах уравнение 3(х2 + xy + y2) = = x + 8y. 1094. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны и равны. Найдите его углы, учитывая, что AB = 1, BC = ^/2, CD = ^/3. 298 Правообладатель Народная асвета 1095. Несколько чисел выписаны по кругу. Если для некоторых четырех записанных друг за другом чисел а, b, c, d выполняется условие (а - d) (b - c) < 0, то числа b и c можно поменять местами. Докажите, что эту операцию нельзя выполнять бесконечно долго. У 22. Координаты и функции Если на прямой выбраны две точки O и E и с ними сопоставлены числа 0 и 1 соответственно, то говорят, что на прямой задана система координат, а саму прямую называют координатной прямой или координатной осью. Точку O называют началом координат, а отрезок OE — единичным отрезком. Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами взаимно однозначное: каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой. Число X, соответствующее точке A координатной прямой, называют координатой этой точки и записывают A (X). Когда на каждой из двух перпендикулярных прямых заданы системы координат с общим началом в точке O пересечения прямых (рис. 250), то говорят, что задана система координат на плоскости. Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью, одну из координатных прямых, обычно горизонтальную, называют осью абсцисс, другую — осью ординат. Соответствие между точками координатной плоскости и парами действительных чисел взаимно однозначное: каждой точке координатной плоскости соответствует единственная пара действительных чисел, а каждой паре действительных чисел соответствует единственная точка координатной плоскости. Числа x и у пары (x; y), соответствующие точке M координатной плоскости, называют координатами этой точки, причем первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой. Это записывают M (х; у). Правообладатель Народная асвета 299 о Рис. 250 Если есть точки A (xl) и В (x2), то расстояние между ними выражает число |х! - x2l, а если точки A(x^, yl) и В(x2; y2), то число ^/(x1^x2^+(/1^-y2) (рис. 251). Зависимость одной переменной у от другой x, при которой каждому значению переменной x из некоторого множества D соответствует единственное значение переменной у, называется функциональной зависимостью или функцией. Функциональную зависимость переменной y от переменной x обозначают у = f(x) или у = y(x). При этом переменную x называют аргументом функции. Множество тех значений, которые может принимать аргумент функции, называется областью определения функции, а множество тех значений, которые может принимать зависимая переменная у — областью значений функции. Область определения функции у = f(x) обозначают символом В(у), а область значений — Е(у) (рис. 252). Графиком функции у = f(x) называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции. Число M называют наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве K, если это число является значением функции при некотором значении x0 аргумента из множества K, а при других значениях аргумента из мно- А \Xi - X2I в О Рис. 251 Рис. 252 300 Правообладатель Народная асвета к = [а, Ь] М — наибольшее значение функ- „ опр ции на л = существует такое из К, что М = у(Хд) и для всех х из К у(х) < М. К = [а, Ь] т — наименьшее значение функции на А = существует такое х^ из К, что т = у(Хд) и для всех х из К у(х) > /те. Рис. 253 жества K значения функции не больше (не меньше) числа M (рис. 253). Функция у = f (x) называется возрастающей (убывающей) на множестве K, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее (меньшее) значение функции (рис. 254). К = [а, Ь] Функция у — возрастающая на X' = для любых х^ и Х2 из К, если *2 > *1> то у(х2) > y(.Xi). К = [а, Ь] Функция у — убывающая опр H8L К = ДЛЯ любых Xi и Х2 ИЗ ЗСЛЯ Х^ то y(Xj). Рис. 254 Правообладатель Народная асвета 301 _-г. Функция у — четная = для любого X из области определения выполняется равенство у(-х) = у{х). * о°Р Функция у — нечетная = для любого X из области определения выполняется равенство у(-х) = -у{х). Рис. 255 Функция у = f (x) называется четной (нечетной), если для каждого значения аргумента x из области определения значения функции y(-x) и y(x) равны (противоположны) (рис. 255). График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции — относительно начала координат. Функция у = f (x) называется периодической с периодом T, T ^0, если для любого значения аргумента x из области определения значения функции в точках x, x - T, x + T равны друг другу, т. е. f (x) = f (x - T) = f (x + T). Функция, которая задается уравнением у = ax + b, называется линейной. Ее графиком является прямая, образующая с осью абсцисс такой угол а, что a = tg а. Число a называют угловым коэффициентом прямой, являющейся графиком функции у = ax + b. Графики двух разных линейных функций, заданных формулами вида у = ax + b, пересекаются, если их угловые коэффициенты различны, и параллельны, если угловые коэффициенты одинаковы. Функция, которая задается уравнением у = ax2 + bx + c, где a Ф 0, называется квадратной функцией. Ее графиком является парабола, вершина которой находится в точке b2 - 4ac . Эта парабола имеет осью симметрии прямую 2^ 4a 302 Правообладатель Народная асвета y = —2a, и ее ветви направлены вверх, если а > 0, или вниз, если а < 0. Среднее арифметическое абсцисс точек параболы у = ах^ + bx + c с одинаковыми ординатами равно абсциссе вершины этой параболы. Функция, которая задается уравнением у = х'', называется степенной функцией. Показательной функцией называется функция, которая задается уравнением у = ах, где а > 0 и а Ф 1. Логарифмической функцией называется функция, которая задается уравнением у = 1с§а х, где а > 0 и а Ф 1. Свойства простейших степенных, показательных и логарифмических функций следующие. Функция D(y) E(y) Четность Монотон- ность График у = х R R Нечетная Возрастает Рис. 256, а у = х2 R [0; +то) Четная Убывает на (-то; 0), возрастает на (0; +то) Рис. 256, б у = х3 R R Нечетная Возрастает Рис. 256, в 1 у=хх (-то; 0) и и(0; +то) (-то; 0) и и (0; +то) Нечетная Убывает на (-то; 0) и на (0; +то) Рис. 256, г у =4х [0; +то) [0; +то) Ни четная, ни нечетная Возрастает Рис. 256, д у = R R Нечетная Возрастает Рис. 256, е у = 2х R (0; +то) Ни четная, ни нечетная Возрастает Рис. 256, ж у=(1)х R (0; +то) Ни четная, ни нечетная Убывает Рис. 256, з у = 1og2 х (0; +то) R Ни четная, ни нечетная Возрастает Рис. 256, и у = 1og1 х 2 (0; +то) R Ни четная, ни нечетная Убывает Рис. 256, к Правообладатель Народная асвета 303 и) у.. к) у Рис. 256 Функции, которые задаются формулами у = sin x, y = cos x, y = tg x, у = ctg x, где x — аргумент, называются синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом соответственно. Функции, которые задаются формулами у = arcsin x, у = arccos x, у = arctg x, у = arcctg x, где x — аргумент, называются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом, арккотангенсом соответственно. Свойства тригонометрических функций следующие. Свойство У = sin x У = cos x У = tg x У = ctg x 0(у) R R R, без чиП 7 сел + kn 2 R, без чисел kn Е(у) [-1; 1] [-1; 1] R R Четность Нечетная Четная Нечетная Нечетная 304 Правообладатель Народная асвета Продолжение Свойство У = sin x У = cos x У = tg x У = ctg x Наименьший положительный период 2п 2n П П Промежутки возрастания -— + 2kn; 2 n + 2kn 2 ] [-П + 2kn; 0 + 2kn] (-- + kn; V 2 - + kn) 2 Нет Промежутки убывания - + 2kn; L 2 3n + 2k%\ 2 J [0 + 2kn; П + 2kn] Нет (0 + kn; П + kn) Нули kn — + kn 2 kn П 7 — + kn 2 Промежутки отрицательных значений (-П + 2kn; 0 + 2kn) (- + 2kn; \2 TT* 2k”) (- + kn; V2 П + knj {- + kn; V2 П + knj Точки максимума 2^ + 2kn 2kn Нет Нет Точки минимума —— + 2kn 2 П + 2kn Нет Нет График Рис. 257, а Рис. 257, б Рис. 257, в Рис. 257, г Правообладатель Народная асвета 305 Рис. 257, в, г Свойства обратных тригонометрических функций следующие. Функция D(y) E(y) Четность Монотон- ность График у = arcsin x [-1; 1] П. П L 2; 2J Нечетная Возрастает Рис. 258, а у = arccosx [-1; 1] [0; П] Ни четная, ни нечетная Убывает Рис. 258, б у = arctg x R / П ; n\ 2; 2) Нечетная Возрастает Рис. 258, в у = arcctg x R (0; n) Ни четная, ни нечетная Убывает Рис. 258, г Графики сложных функций можно получать из графиков более простых функций определенными преобразованиями. Из графика функции у = f(x) получается график функции: 306 Правообладатель Народная асвета в) у 71 2 Я о 1 X 2 г) у 71 2 о 1 X Рис. 258 • y = f(x) + c сдвигом вдоль оси ординат на c единиц вверх, если c > 0 (рис. 259, а), и на |с| единиц вниз, если c < 0 (рис. 259, б); • у = f(x + c) сдвигом вдоль оси абсцисс на c единиц влево, если c > 0 (рис. 259, в), и на |c| единиц вправо, если c < 0 (рис. 259, г); • у = -f(x) симметричным отражением относительно оси абсцисс (рис. 259, д); • у = f(-x) симметричным отражением относительно оси ординат (рис. 259, е); • у = |f(x)| симметричным отражением относительно оси абсцисс его части, расположенной ниже этой оси (рис. 259, ж); • у = f ^ x |) добавлением к графику функции у = f(x) для x > 0 его симметричного отражения относительно оси ординат (рис. 259, з); • у = kf(x) растяжением от оси абсцисс в k раз, если k > 1 (рис. 259, и), и сжатием к этой оси в k раз, если 0 < k < 1 (рис. 259, к); • у = f(kx) сжатием к оси ординат в k раз, если k > 1 (рис. 259, л), и растяжением от этой оси в раз, если 0 < k < 1 (рис. 259, м). Правообладатель Народная асвета 307 ж). /W, о \ / л: л) у -г \ 1 ' . ' ' V'/ ' ^ X о \/, /' л: Рис. 259 Уравнение или неравенство с двумя переменными на координатной плоскости выделяет некоторое множество точек. Множествами точек координатной плоскости, задаваемыми уравнениями 2х + 3у = 6 и (и - 2)2 + (и + 3)2 = 16, являются соответственно прямая и окружность, изображенные на рисунках 260 и 261. На рисунках 262, а, 262, б, 262, в, 262, г изображены множества решений неравенств 2х + 3у < 6, 2х + 3у > 6, 2х + 3у < 6, 2х + 3у > 6 соответственно, на рисунке 263 — множество решений неравенства (и - 2)2 + + (и + 3)2 < 16, а на рисунке 264 — множество решений неравенства rs > 4. Производной функции у = f(x) в точке х называется предел f (х,) - f (х) отношения при стремлении х, к х. Если тело дви- жется по закону s = s(t), то значение производной s'(t) показывает мгновенную скорость тела в момент t. В этом заключается механический смысл производной. Геометрический смысл производной заключается в том, что производная f'(c) равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой c (рис. 265). 308 Правообладатель Народная асвета Рис. 262 S 4 2 WnmdL “2 О 2 4 г ffflMffl Рис. 264 Рис. 265 Правообладатель Народная асвета 309 Верны следующие формулы дифференцирования: с' = 0 (ax2)' = 2ax (1 )'= -1 x2 sin' x = = cos x i ' 1 tg 'x = 2 cos x (ax + Ь)' = a (x3)' = 3x2 Ux) = 2si x cos' x = = -sin x 1 ctg x — 2 sin x При нахождении производных можно пользоваться следующими правилами: (u ± v)' — u' ± v' (cu)' — cu' (x^)' — rxr 1 (uv)' — u'v + uv' ju \ u'v - uv' = v2 (g (f(x)))' — g'(f(x)) f '(x) Точка х0 называется точкой максимума функции fix), если для всех значений переменной х из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x) < fixg) (рис. 266). Точка х0 называется точкой минимума функции fix), если для всех значений переменной x из некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство f(x) > fixg) (рис. 267). Значение функции в точке максимума называется максимумом функции, в точке минимума — минимумом функции. Точки максимума 310 Правообладатель Народная асвета Рис. 268 Рис. 269 и минимума вместе называют точками экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумами функции. Свой экстремум функция может иметь в таких внутренних точках ее области определения, в которых производная равна нулю или не существует (рис. 268). Эти точки называются критическими точками. Если функция f(x) в каждой точке промежутка (a; b) имеет производную и если эта производная положительна, то на промежутке (a; b) функция f(x) возрастает, а если эта производная отрицательна, то на промежутке (a; b) функция f(x) убывает (рис. 269). Если при переходе через критическую точку производная функции меняет свой знак с плюса на минус, то эта критическая точка является точкой максимума, а если с минуса на плюс — точкой минимума (рис. 270). Аргумент x (а; Ъ) Ъ (Ъ; с) с (с; d) Производная у' Положи- тельна Равна нулю Отрица- тельна Равна нулю Положи- тельна Функция у Возрастает ^ Имеет максимум Убывает \ Имеет минимум Возрастает / Правообладатель Народная асвета 311 Производную можно использовать для приближенных вычислений. График функции у = f (x) в окрестности точки х0 расположен близко к прямой у = f (х0) + + f '(х0)(х - х0) — касательной к графику в точке х0 (рис. 271). Поэтому верно приближенное равенство f(xQ + Ах) « f(xQ) + f \х0) • Ах, где Ах = х - х0. Функция, областью определения которой является множество натуральных чисел или множество первых n натуральных чисел, называется последовательностью. Арифметической прогрессией называется последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа d, которое называется разностью прогрессии. Последовательность (an) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних членов: a =- Формулы an = a1 + (n - 1) d и Sn = ai+an_ 2 n дают возможность найти n-й член арифметической прогрессии и сумму n ее первых членов. Геометрической прогрессией называется последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же не равное нулю число q, которое называется знаменателем прогрессии. Последовательность (bj) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов: bn = bn - 1bn + 1. Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии и суммы первых n ее членов можно использовать формулы: qn -1 bn = b1 • qn - 1 и Sn = b1 q-1 312 Правообладатель Народная асвета 2 Суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом Ъ-^ и знаменателем q, | q | < 1, на- bi зывается число S = 1 - q (у 1. Как задать систему координат на прямой; на плоскости? • 2. Как называются координаты точки координатной плоскости? 3. Как найти расстояние между точками координатной плоскости? 4. Какая зависимость между двумя переменными называется функцией и как называются эти переменные? 5. Какое множество называется областью определения функции; областью значений функции? 6. Что называется графиком функции? 7. Какое значение функции называется ее наибольшим (наименьшим) значением на данном промежутке? 8. Какая функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке? 9. Какая функция называется четной; нечетной? 10. Какая функция называется периодической и какое число называется периодом функции? 11. Какая функция называется степенной; показательной; логарифмической? 12. Опишите основные свойства и нарисуйте графики простейших сте- функций: у = X, у = x2, у = x3, у = ^, у = 4х, у = ^х. пенных 13. Опишите основные свойства и нарисуйте графики простейших по- /X казательных функций: у = 2х, у = . 14. Опишите основные свойства и нарисуйте графики простейших логарифмических функций: у = log2 X, у = log1 х. 2 15. Какой вид имеет график степенной функции с рациональным показателем —, если m и n оба нечетны и: — > 1; 0 < — < 1; — < 0? n n n n 16. Какой вид имеет график степенной функции с рациональным по- mm казателем —, если m — четное число, n — нечетное число и: — > 1; nn 0 < m < 1; m < 0? nn 17. Какой вид имеет график степенной функции с рациональным по- mm казателем —, если m — нечетное число, n — четное число и: — > 1; nn 0 < m < 1; m < 0? nn 18. Какой вид имеет график степенной функции с иррациональным показателем? 19. Какой вид имеет график показательной функции с большим единицы основанием; с положительным и меньшим единицы основанием? 20. Какой вид имеет график логарифмической функции с большим единицы основанием; с положительным и меньшим единицы основанием? Правообладатель Народная асвета 313 21. Какая функция называется линейной и какая линия является ее графиком? 22. Чем определяется угол между графиком линейной функции и положительным направлением оси абсцисс? 23. При каком условии графики двух линейных функций пересекаются; параллельны? 24. Какая функция называется квадратной и как ее коэффициенты определяют расположение графика на координатной плоскости? 25. Какая функция называется синусом; косинусом; тангенсом; котангенсом? 26. Опишите основные свойства и нарисуйте график синуса; косинуса; тангенса; котангенса. 27. Как из графика функции у = f(x) получить график функции: у = f(x) + е; у = f(x + c); у = -f(x); у = f(-x); у = I f(x) |; у = f (x|); у = kf(x); у = f(kx)? 28. Какая функция называется последовательностью? 29. Какая последовательность называется арифметической прогрессией; геометрической прогрессией? 30. Как найти сумму n первых членов арифметической прогрессии; геометрической прогрессии? 31. Какая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей и чему равна сумма ее членов? 32. Какая функция называется производной данной функции? 33. В чем заключается механический и геометрический смысл произ- ? водной 34. Какая точка называется точкой максимума функции и каков ее признак? 35. Какая точка называется точкой минимума функции и каков ее признак? 36. Сформулируйте признак возрастания функции на промежутке; признак убывания функции на промежутке. 37. Как найти наибольшее значение функции на промежутке; наименьшее значение функции на промежутке? 1096. Найдите расстояние между точками: а) A(5; 7) и В (-1; 15); б) C (-6; 5) и D (-1; -7); в) E (0; 9) и F (8; -6); г) G(5; 17) и H(-2; 41); д) I (-5; 27) и I (19; -5); е) K(45; 21) и L (-39; 8). 1097. Найдите площадь треугольника, вершины которого находятся в точках: а) A (1; 7), В (-4; -5) и C (-6; -5); б) D (-6; 15), E (-1; 7) и F (10; 9); в) G (-6; 5), H(7; -9) и I (8; -6); г) J(6; 1), K(3; -7) и L (2; -6). 314 Правообладатель Народная асвета 1098. Найдите проведенную к большей стороне высоту треугольника, вершины которого находятся в точках: а) А (1; -3), В (4; 7) и C (-6; -1); б) D (-2; -5), E (-1; -7) и ^(10; 2); в) G (6; 3), H(4; -9) и I (-7; -5); г) J(6; 11), K(3; -7) и L (2; -6). 1099. Определите, какая из зависимостей, заданных графиками, представленными на рисунке 272, является функцией. Рис. 272 1100. Укажите области определения и области значений функций, заданных графиками, приведенными на рисунке 273. Правообладатель Народная асвета 315 1101. Найдите область определения функции: а) у = -1 - 1; , .. (ы + 10)(г - 6) г) v - 'og' ^—6+1—^; б) z - ^1 - 7 ■ 49'; д) S - 11 Ig 2r - r r +1 в) U - 10j 4z - 7 (3 - 2z)(3z + 6) е) w - log у (у -1)(4 - у) y-^ 5 + у 1102. Найдите область определения функции: x - П а) у - tg r,/t\2l + 5 г) v - arccos 9^; 2 б) z - ctg ' + 2 ’ д) w - sinlog1 3 - 2z 3 (z + 6)1 - z) е) T - ^ cos 2i + 5 sin i + 2. 1103. Найдите область значений функции: в) u - arcsin (11-j6z 3; а) z - -0,3 sin 6r; в) v - 13 - h2 3h + 9 д) w - + 3l; б) u - ^ sin 2i; г) у - x2 - x - 3 2x2 + 7x + 6 1104. Найдите область значений функции 18 . /3(sin' + cos') 1 а) x - — arcsin I ^----=--- — П \ W2 е) s - i3^ + 2rI. 4 б) у - 6- arccos (-1 (cos h - sin h)j; .. 12 /sin r - cos r + в) s - — arccos I------------- П 1 W2 г) z - 12 arctg ^-4 ^3 sin l - cos l + 2j); д) u - log1 (^16 + ^ ^^4 '); е) v - log1 /^^0^^ ^ \ 300 316 Правообладатель Народная асвета 1105. Найдите область значений функции z = sin 2t, учитывая, что значения переменной t принадлежат промежутку: а) arctg1; arctg2 3 в) arctg 2; arctg 3 б) arctgf; i 1106. Укажите промежутки возрастания и промежутки убывания функций, представленных на рисунке 274. 1107. На промежутке [0; 4п] определите, сколько промежутков возрастания и сколько промежутков убывания имеет функция: Л 1Г„2 , а) у = 2cos 2х + sin2 x; , л/l - cos2 t в) u = ^-----------• cos t б) z = 2sin2 l + cos 2l; г) z ^/T^cOs^h + sin h. 1108. Определите, сколько промежутков возрастания и сколько промежутков убывания имеет функция: а) z = ^р1- sin2 x + cos x на промежутке б) у = sin t^Jcos^t + cos x^/sin^t на промежутке [-п; 3п]. 1109. Определите, какой — четной, нечетной, ни четной и ни нечетной — является каждая из функций, графики которых приведены на рисунке 275. 3п ; 3п '”2; ”2~ а) у а J \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 1 с / : / о / 1 / 1 / 1 / |/ ъ L 1 \ \ 1 \ 1 > 1 / d X Рис. 274 а) б) \ У О X у X Рис. 275 Правообладатель Народная асвета 317 1110. Из функций, графики которых приведены на рисунке 276, укажите четные. Рис. 276 1111. Из функций, графики которых приведены на рисунке 277, укажите четные. г) . у \о X 1112. Определите, какой — четной, нечетной, ни четной и ни нечетной — является функция: а) у = X2 - 4x4 - 5; е) f = ctg 5t + arcsin t; б) z = u3 + 5u5 - 5u; ж) g = arcsin s + 2 arctg 3s - 1; в) u = t + 5t4 - 5u3; з) h = arcsin4 s + ctg2 3s - 1; г) у = sin z + tg 2z; и) r = arccos i - arcctg i. д) v = sin2 2t - cos 3z; 318 Правообладатель Народная асвета 1113. Из графиков, представленных на рисунке 278, укажите тот, который является графиком функции: а) у = logi х; б) у = х2; 2 в) у = 4х; г) у = х3; д) у = х; е) у = ^х; ж) у = log2 х; к) у = х. з) у = 2х; и) у=(1)х; 1114. Из графиков, представленных на рисунке 279, укажите тот, который является графиком функции: 12 а) у = х 5; 15 г _ /V» 8 I б) у = х 8; -12 в) у = х 5 3 г) у = х5; - 3 5 4 ж) у = х5 5 з) у = х8 ; к) у = х _ -v.6,5 д) у = х е) у = х 8; и) у = х ‘ Правообладатель Народная асвета 11 5 319 а) и) к) У О Рис. 279 1115. Из графиков, представленных на рисунке 280, укажите тот, который является графиком функции: 1 а) у = в) у = log3 x; д) у = xж) у = log^ x; б) у = (3)х; 2 г) у = х37; е) у = (1)х; з) у = x = х 37 . 1116. Определите взаимное расположение на плоскости линий, заданных уравнениями: а) 3х + 2у - 7 = 0 и 9х + 6у - 20 = 0; б) -3u + 4v + 5 = 0 и 6u - 8v - 2 = 0; 320 Правообладатель Народная асвета 7 3 2 б) в) Рис. 280 в) 3r - s = 3 и (r - 3)2 + (s - 2)2 = 2; г) 3g + 4h = 25 и g2 + h2 = 25; д) 3g + 4h = 25 и g2 + h2 = 25; е) (i - 8)2 + (j + 17)2 = 25 и i2 + j2 = 169. 1117. Найдите точки пересечения прямой 2х - 5y - 15 = 0 с координатными осями. 1118. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку M (a; b) и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол а, учитывая, что: 5п в) M (-1; -3) и а = - 6 а) M (1; 2) и а = ; б) M (5; 0) и а = ; 1119. Найдите уравнение прямой, которая: а) параллельна прямой у = 3х + 2 и проходит через точку A(-2; 3); б) перпендикулярна прямой у = -5x + 3 и проходит через точку C (4; 5); в) проходит через точку В (2; 1) и перпендикулярна прямой, проходящей через точки U (3; -4) и F(5; 3). 1120. Найдите точку M, симметричную точке A(-5; 13) относительно: а) начала координат; в) прямой 2х - 3у = 3. б) точки S (-1; 1); Правообладатель Народная асвета 321 1121. Найдите уравнение прямой, параллельной прямым 2х + 3у - 6 = 0 и 4х + 6у + 17 = 0 и равноудаленной от них. 1122. Найдите уравнение окружности, учитывая, что: а) ее центр находится в точке A(2; -7), а радиус равен 7; б) она проходит через точку В (2; 6), а центр находится в точке С (-1; 2); в) один из ее диаметров имеет концами точки D (-1; 6) и E (3; 2); г) она касается прямой 3х - 4у = 25, а центр находится в начале координат; д) она проходит через точки F (-1; 3) и G (3; 1), а центр лежит на прямой 3х - у - 2 = 0. 1123. Найдите квадратный трехчлен, учитывая, что: а) его наибольшее значение 3 достигается при значении переменной, равном 2, а график заданной им функции проходит через начало координат; б) его свободный член равен 1, а график заданной им функции проходит через точку A (2; 7) и симметричен относительно прямой х + 2 = 0; в) график заданной им функции проходит через точки A (-2; 2) и В (2; 26) и симметричен относительно прямой х + 1 = 0; г) график заданной им функции проходит через точки A(2; -1) и В (-4; 47) и симметричен относительно прямой х - 1 = 0. 1124. График функции, заданной квадратным трехчленом, наименьшее значение 0 которого достигается при значении аргумента, равном 1, проходит через точку F (-1; 4). Найдите уравнения касательных к этому графику, проходящие через начало координат. 1125. Постройте графики неравенств у > — и ху > 1 и объясните, чем они отличаются. 1126. Составьте уравнение касательной к гиперболе у = 1, параллельной прямой у + 4х = 1. 1127. На одном рисунке постройте графики уравнений: а) у = х2; у = (х - 3)2; у = (х - 3)2 - 2; б) у = х ’ у = х+2 ’ у = х-2 ’ в) х2 + у2 = 4; (х - 1)2 + у2 = 4; (х - 1)2 + (у + 3)2 = 4. 322 Правообладатель Народная асвета 1128. Постройте график уравнения: а) у = X2 - 3х + 4; б) у = 2x2 + 7x - 14; 3x - 4 4x + 3 г) у = 2X3!; д) X2 - 6x + у2 + 2у - 6 = 0; е) (х - 1)( у + 2) = 2х - 3. в) у = ’ 1129. Найдите уравнение окружности с центром A (-1; 2), в которую при движении преобразуется окружность: а) (х - 1)2 + (у + 1)2 = 9; б) х2 - 4х + у2 + 6у = 0. 1130. Запишите уравнение параболы, в которую преобразуется парабола у = х2 + 2х + 2 таким параллельным сдвигом, что ее вершина оказывается в точке: а) A (0;0); б) В (-3; 4); в) C(1;-1). 1131. Запишите уравнение гиперболы, в которую преобразуется гипербола у = XX таким параллельным сдвигом, что ее центр симметрии оказывается в точке D (-3; 2). 1132. На одном рисунке постройте графики уравнений: а) у = 2 + х; у = 2 - х; у = -(2 + х); б) у = х2 + 2х; у = х2 - 2х; у = -(х2 + 2х); в) у = 1 2 + х у = 2-х у = 1 .. 2х + 1 2х - 1 г) у = ——; у = у = х + 2 2х +1 х х х 2 2 2 2 д) (х - 1)2 + у2 = 1; (х + 1)2 + у2 = 1. 1133. На одном рисунке постройте графики уравнений: а) у = х2; у = (2х)2; 2у = х2; б) у=хх; у = 3у = в) х2 + у2 = 4; (2х)2 + у2 = 2; х2 + (^Х у^ = 4; (2х)2 + (^Х у^2 = 4; г) (х - 1)2 + (у + 2)2 = 9; 4(х - 1)2 + (у + 2)2 = 9. 1134. Постройте график неравенства: а) 4(х - 1)2 + (у + 2)2 < 9; б) .9 и2 + V2 - 4v < 0; в) 2p2 + 5q2 + 4p - 10q + 5 < 0. Правообладатель Народная асвета 323 1 1135. Постройте график системы неравенств: \xy > 2, ^ |х2 + 4х + -1 у2 <0; б) - I)2 + (- +1)2 (u - I)2 +(^ + 1)2 < 1, > 1. 1136. На одном рисунке постройте графики уравнений: а) У = ; у = ] Г; ^У^ = ; ^У^ = ] Г; б) у = 2х; у = 2'х; |у| = 2х; |у| = 2'х1; в) у = х3; у = |х|3; |у| = х3; |у | = |х|3; г) у = log2 х; у = log2 |х|; |у| = log2 х; |у| = х| 1137. На одном рисунке постройте графики уравнений: \ 1 1 \2121 а) у = х; у = -; у = х + -; г) у = х2; у = —; у = х2 + 2 б) у = х; у = sin х; у = х + sin х; в) у = х2; у = - i1; у = х2 - ; 1138. Постройте графики уравнений а) у = х + |х| + 1; в) у = ; д) у = 2х - х2; у = е) у = 1 + х2; у = 1 2х - х2 1 1 + х 2 б) у = х • | х - 11 г) у = 1139. Постройте графики уравнений: а) у = 2(х - 2)2 + 2; б) х = 4t - t2 - 6; . 2l - 3 в) r = е) w = k -1 2 l-2 1 ж) 3(i - 1)2 + 4(7 + 1)2 = 0; з) 2r2 + s2 + 8r + 2s + 7 = 0; г) s = - „ (7 - 1)2 д) г = 324 у2 -1 ; и) (a + 2)2 + 4(b - 3) = 16; к) с2 - cd + 1 = 0. Правообладатель Народная асвета 4 9 х х х х 2 х 2 k 1 1140. Найдите уравнение прямой, которая проходит через точку: а) A(2; 1) и пересекает параболу у = х2 - 4х в точках, сумма квадратов абсцисс которых наименьшая; б) В (1; 5) и пересекает параболу у = х2 + х + 1 в точках, сумма ординат которых наименьшая; в) C (1; -3) и пересекает параболу у = -х2 + 2х в точках, сумма ординат которых наибольшая. 1141. Найдите длину перпендикуляра, опущенного из точки: 4 + х 6 - х а) A(3; -1) на прямую, пересекающую гиперболу у = точках, ординаты которых равны 1 и 2; 3 б) В (5; 0) на касательную к параболе у = х2 + 3, проведенную через точку C (0; 1). 1142. Найдите точку: а) оси ординат, через которую проходят две перпендикулярные друг другу касательные к графику функции у = х2 - 2х = 6; б) прямой 2х - 3у = 6, через которую проходят две перпендикулярные друг другу касательные к графику функции у = ^ х2. 1143. Есть точки A(1; 3) и В (5; 2). На прямой, проходящей через точки C(-3; 1) и D(4; -6), найдите такую точку F, чтобы сумма отрезков FA и FB была наименьшей. 1144. Есть точка A(5; 7) и угол, стороны которого лежат на прямых у = 0 и у = х + 5. На сторонах этого угла найдите такие точки B и C, чтобы периметр треугольника ABC был наименьшим. 1145. Найдите уравнения касательных к параболам у = 2х2 - 5 и у = х2 - 3х + 5, проходящих через точки их пересечения. 1146. Найдите площадь треугольника, образованного: а) двумя касательными к графику уравнения у = 2х2 + 4х + 4, проведенными через точки с абсциссами, равными -1 и 1, и прямой, проходящей через точки касания; б) тремя касательными к графику функции у = х2 - 4х + 3, проведенными через точки с абсциссами, равными -2, 2 и 4. Правообладатель Народная асвета 325 1147. Докажите, что функция: а) у = X3 + 2x2 + 5x возрастает в области определения; б) у = 2x3 + 3x2 - 12x + 1 убывает на промежутке (-2; 1). 1148. Найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции: а) у = X3 - 3x2 - 9x + 15; б) у = X4 - 2x2 -5; в) у = X - 2 sin x; г) у = 2х + ; д) у = sin X + cos 2х; е) у = sin X + tg X. 1149. Найдите критические точки функции: а) у = 2x3 + 3x2 - 12x + 5; г) s = cos r cos 2r; б) w = Z + 3; д) u = tg l + ctg 2l; 3 z в) z = h + 8 sin h - 5 cos h; е) v = sin2 t + 3yj t2 - 4t + 4 + cos 1. 1150. В точках экстремума найдите значения функции: а) у = 2x3 + 3x2 - 12x + 5; б) с = 2l3 - 6l2 - 18l + 7; в) d = i3 - i2 - 3i; г) f = v5 - 5v4; д) w = 44 (j - 2)2(j + 4); е) z = 2h ж) u = j j -■!+1; з) f = ^ 2a2 - a + 2; и) g = sin 2r; к) h = с + sin 2с. 1151. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: а) у = 2x3 - 3x2 - 36x + 10 на промежутке [-5; 4]; б) w = ^ а3 - 4а на промежутке [0; 2]; в) Z = 2l3 - 9l2 + 12l на промежутке [0; 3]; г) и = 13 j3 - 33 j2 + 1 на промежутке [-1; 1]; д) v = p4 - 4p2 на промежутке [-3; 3]; е) w = q4 - 2q2 - 5 на промежутке [0; 2]; у 2 ж) q = Z + — на промежутке [1; 6]; 8 у з) r = h -h2 + h - 1 на промежутке [-2; 2]. 326 Правообладатель Народная асвета h2 + 9 1152. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: а) у = 4 + t на промежутке [0; 5]; (t-2)___ б) w = д/ЮО—b2 на промежутке [-6; 8]; в) z = - l - 2 на промежутке [3; 5]; г) и = 3 2/ -1 на промежутке 3- 2 4’ 2. д) v = i2 - 6i + 10 - 9 3(i - 3)4 + 273(i - 3)2 на промежутке [-5; 4]; е) w = sin h + cos 2h на промежутке [0; п]; ж) q = cos 3у - 15 cos у + 8 на промежутке 3l ; з) r = -X3 + 7|x I - 12 на промежутке [-4; 3]; и) s = 4у3 - у|у - 21 на промежутке [0; 3]. 1153. Найдите наибольшее значение функции: а) у = log2 X - log2 (X2 + 9X + 9); г-\ l + 3 б) z = ^; Z2 + 6Z + 18 в) w = sin3 1 - 4 sin2 1 + 2. l 3 l 1154. Постройте график функции: а) у = а3 - 9а + 8; г) и = (с - 1)с2; б) z = X4 - 2x4 + 5; д) v = в) w = 116 - 314 - 5; е) w = ^ 6 4 ’ ' h - 2 3 у 1 - у2 1155. Решите уравнение: а) cos 2X = 1 + X2; б) у4 - 2у2 = 1 - cos2 у; в) 27 • 4t + 7 • 9t = 15 • 25t. 1156. Решите уравнение: а) |x2 - 9| + |x2 - 4| = 5; б) |x2 - 1| - |x2 - 4| = 3; в) |x2 - 1| + |x2 - 10| + |x2 - 19| = 24; ж) f = 2t sin 2t; з) g = cos 2b + sin b; и) h = sin j - ctg j. г) |x2 - 1| + |x2 - 5| + |x2 - 8| + |x2 - 16| = 20. Правообладатель Народная асвета 327 2 j 2 h 1157. Решите уравнение: а) X3 + 4x2 + 4x + 1 = 0; в) x4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 1 = 0; б) 2x3 + 3x2 + 3x + 2 = 0; г) x4 + 7x3 + 14x2 + 7x + 1 = 0. 1158. Решите уравнение: а) x4 + (1 - x)4 = 97; в) x3 = 3x2 - 4; б) (5 - x)4 + (2 - x)4 = 17; г) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24. 1159. Нарисуйте линию, заданную уравнением: а) у = -2x + 1,5; в) у = -x; д) (x - 4)2 + (у + 3)2 = 9; б) 2у - 3t = 1; г) xz = -12; е) x2 - 4x + 5 + у2 = 2. 1160. Определите, в какой полуплоскости по отношению к прямой 2x + 3у = 5 находится точка: а) O (0; 0); б) A(-3; 2); в) В (4; 6); г) C(0; 10). 1161. На прямой, которой принадлежат точки A (-3; 8) и В (3; -7), найдите точку с: а) абсциссой 1; в) ординатой 13; б) абсциссой -2; г) ординатой -10. 1162. Докажите, что функция у = sin x на промежутке: а) [0; п] выпуклая, т. е sin a + sin b < sin a + b , если 0 < а, b < п; г от sin a + sinb ^ ■ a + b ^ r ^ о б) [п; 2п] вогнутая, т. е.-2-^ sin 2 , если п ч а, b ч 2п. 1163. Найдите уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точек: а) A(-1; 3) и В (3; -1); б) K(3; 3) и L (-1; 5). 1164. Найдите точку пересечения прямых: а) x + 2у = 5 и 2x + 3у = 8; б) 2a - 5b = 3 и 4a + 10 b = 6. 1165. Найдите угловой коэффициент прямой, которая: а) задана уравнением 2x + 3у = -1; б) содержит точки U (-2; 3) и V(0; 1); в) задана уравнением у = -3. 1166. Запишите уравнение: а) прямой, проходящей через точки M (-3; 2) и N (2; -3); б) прямой с угловым коэффициентом -2, проходящей через точку K (-2; 3); 328 Правообладатель Народная асвета в) окружности с радиусом 7, центр которой находится в точке А (4; -3); г) окружности, которая проходит через точку А(2; 2) и центр которой находится в точке В (-1; -2). 1167. Докажите, что уравнением прямой, проходящей через точку А(x0; у0) и имеющей угловой коэффициент k, является уравнение у - у0 = k(x - x0). 1168. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку S (-2; -3) и имеющей угловой коэффициент: а) -3; б)- 2; в) 7З; г) 4; д) 0. 1169. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку T (-2; -1), луч которой, расположенный выше оси абсцисс, образует с положительным направлением этой оси угол, равный: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°; д) 120°; е) 135°; ж) 150°; з) 15°; и) Р. 1170. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку X (3; -2) и: а) параллельной оси абсцисс; б) параллельной оси ординат; в) образующей с осью абсцисс угол в 45°; г) образующей с осью ординат угол в 60°; д) параллельной прямой у = -х + 2; е) перпендикулярной прямой у = x. 1171. Запишите уравнение окружности с радиусом: а) ^/2, проходящей через точки C (-3; 3) и D (1; -1); б) W5, проходящей через точки E (-12; -4) и F (4; -4). 1172. Найдите точку, равноудаленную от точек А (-3; -2) и В(3; 2) и лежащую на: а) прямой у = -x; в) окружности x2 + у2 = 9; б) прямой у = -х - 2; г) окружности (х - 1)2 + (у + 1)2 = 4. 1173. Найдите середины сторон треугольника, вершины которого находятся в точках: а) А (3; -7); В (5; 2); C(-1; 0); б) E (10; 3); F (-5; 13); G(-1; -10). Правообладатель Народная асвета 329 1174. Найдите медианы треугольника, вершины которого находятся в точках: а) I (3; -7); J(5; 2); K(-1; 0); б) L (3; -2); M (5; 2); N (-1; 4). 1175. Точки A(х1; y1) и В (х2; y2) являются смежными вершинами ромба, диагонали которого параллельны координатным осям. Найдите координаты двух других вершин ромба. 1176. Точки I (-4; -7), J (2; 6) и A (3; 1) являются смежными вершинами параллелограмма и точкой пересечения его диагоналей соответственно. Найдите координаты двух других вершин параллелограмма. 1177. Найдите координаты: а) точек, разделяющих отрезок с концами В (3; 2) и C(18; 7) на 5 долей; б) точки пересечения медиан треугольника, вершины которого находятся в точках F (1; 4), G(-5; 0) и H(-2; -1); в) точки пересечения общих касательных к окружностям с (28 25\ —; — j и радиусами, равными 3 и 7 соответственно. 1178. Точка F (3; -6) является вершиной общего угла двух подобных треугольников с коэффициентом подобия, равным 2,5. Найдите координаты двух других вершин меньшего треугольника, учитывая, что вершины большего находятся в точках G(11; 0) и H(8; 11,5). 1179. Найдите координаты центра тяжести: а) системы, состоящей из трех грузов массами 40 г, 60 г и 100 г, находящихся в точках A(4; 2), В (9; -0,5) и C (8; 5) соответственно; б) четырехугольной однородной пластинки, вершины которой находятся в точках A(5; 3), В (6; 6), C(11; 9) и E (13; 3); в) тела в виде прямого угла со сторонами a и b, полученного в результате сгибания однородной проволоки. 1180. Прямая проходит так, что отсекает на оси абсцисс отрезок OA длиной 4 единицы, а на оси ординат — отрезок длиной 7 единиц. Найдите координаты основания перпендикуляра, опущенного на эту прямую из начала координат. 1181. Найдите угол между прямыми: а) 2х - 3у = -6 и x - 2y = 11; б) 3a + 2b = 6 и 2a - b = -10. 330 Правообладатель Народная асвета 1182. На сторонах PQ и PS квадрата PQRS точки A и B выбраны так, что 3AQ = 2PB = RS. Найдите угол между прямыми AR и BQ. 1183. Найдите расстояние до прямой 4х - 3у = -6 от точки: а) C(8; 6); б) D(-5; 8); в) E (6; -3); г) F (-4; -6). 1184. Найдите уравнение геометрического места точек, равноудаленных от прямых: а) 4х + 3у = 7 и 4х - 3у = 1; в) 5х + 12у = -7 и 12х + 5у = 7; б) х + 2у = 5 и 4х + 2у = 23; г) 3х + 2у = 15 и 2х + 3у = 10. 1185. Найдите радиусы окружностей, вписанной в треугольник и описанной около треугольника, вершины которого находятся в точках: а) C (-8; -10); D (-1; 14); E (9; -10); б) G(-12; -16); H(8; 32); I (44; -16). 1186. Вершины треугольника находятся в точках A(-4; 7), В(4; 1), C(7; 5). Найдите: а) стороны треугольника; б) углы треугольника; в) площадь треугольника; г) медианы треугольника и координаты их оснований; д) высоты треугольника и координаты их оснований; е) биссектрисы треугольника и координаты их оснований; ж) центры и радиусы окружностей — вписанной в треугольник и описанной около него. 1187. Упростите выражение у/а ^ а -1 \[а ^ а -1 yj а + 1 а - 1) . 1188. Найдите все значения переменной т, при которых один корень уравнения (2 - т)х2 + 2тх + 8 - т2 = 0 больше 2, а другой меньше 2. 1189. Нарисуйте окружность и отметьте ее центр. С помощью только циркуля впишите в нее квадрат, обратив внимание на то, что треугольник со сторонами 1, V2, yjs является прямоугольным. Правообладатель Народная асвета 331 1190. Нарисуйте окружность с радиусом R и впишите в нее правильный треугольник. В полученный треугольник впишите окружность, в которую впишите квадрат. Наконец, в этот квадрат впишите окружность, в которую впишите правильный шестиугольник и в него снова впишите окружность. Найдите радиус последней окружности. Изменится ли ответ на вопрос задачи, если последовательность вписанных многоугольников станет обратной: сначала шестиугольник, затем квадрат и, наконец, треугольник? 1191. Докажите, что биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника с углом против основания в 36° разделяет этот треугольник на два равнобедренных треугольника, из которых один подобен данному треугольнику. Учитывая это: а) найдите значения тригонометрических функций угла, равного 18°; б) выразите сторону правильного десятиугольника через радиус описанной окружности; в) выразите сторону правильного пятиугольника через радиус описанной окружности; г) постройте правильный десятиугольник, вписанный в окружность; д) постройте правильный пятиугольник, вписанный в окружность. 1192. Докажите, что: а) если все углы вписанного многоугольника с нечетным количеством сторон равны, то этот многоугольник правильный; б) если все стороны описанного многоугольника с нечетным количеством сторон равны, то этот многоугольник правильный. 1193. Есть многоугольник, все углы которого равны друг другу. Докажите, что сумма расстояний от произвольной внутренней точки этого многоугольника до его сторон есть величина постоянная. 1194. Найдите: а) разность между наибольшим и наименьшим корнями урав- ^11 11 нения x + \x\ = —; 16’ 332 Правообладатель Народная асвета б) количество положительных корней уравнения х2 • 3х + 9 = = 3х + 2 + х2; 6 3 в) сумму корней уравнения --+ 2 = -------- ; 4 ^5х - 8 -1 ^5х - 8 г) количество и сумму корней уравнения 1°§0,1х ~ 1 logX 0,1 = 1. 1195. Найдите значение выражения учитывая, что ctg а = 0,5. cos4a • tg2a - sin4a cos4a • ctg2a + sin4a ’ 1196. Определите: а) во сколько раз увеличится площадь правильного пятиугольника, если его сторону увеличить на 20 %; б) на сколько процентов нужно увеличить ребро правильного октаэдра, чтобы его объем увеличился на 33,1 %. 1197. Найдите площадь треугольника ABC, учитывая, что AB = 25 см, BC = 39 см и cos A = -0,8. 1198. Найдите: а) количество целых решений неравенства 1 ^ 5х + 4 < х2 + 6х + 9 ^ ^ б) сумму целых решений неравенства lg2 (х + 6) - lg (х + 6) • lg х > 2lg2 х. * * * 1199. В треугольнике ABC отрезки CH и CK — соответственно высота и биссектриса. Точка N выбрана на стороне ВС так, что HN параллельна АС. Считая, что NK перпендикулярна ВС, докажите, что AK = CK. 1200. Докажите, что если числа а, b и c удовлетворяют ус- ловиям ab + bc + ca = 1 и b 1 - а 2 1-b 2 1 - c = 0, то по край- ней мере одно из них равно нулю. 1201. Установите, можно ли числа 1, 2, 3, ..., 13 расставить по окружности так, чтобы два любых соседних числа отличались на 3, 4 или 5. Правообладатель Народная асвета 333 + а c + + 23. Геометрические фигуры и их свойства Основное содержание школьной геометрии связано с соответствующими геометрическими конфигурациями — простейшими геометрическими фигурами или их сочетаниями. Опишем их. Прямые в пространстве Две прямые a и b могут не принадлежать одной плоскости или принадлежать ей. Две прямые одной плоскости могут иметь общую точку или не иметь ее. В соответствии с этим две прямые пространства или скрещиваются (рис. 281), или пересекаются (рис. 282), или параллельны (рис. 283). Скрещивающиеся и пересекающиеся прямые могут быть перпендикулярными, т. е. такими, что угол между ними равен 90° (рис. 284). Отноше- ние Признаки Свойства Прямые Прямые скрещивают- Если прямые скрещиваются, то: скрещи- ся, если: • через каждую из них можно ваются • одна из них при- провести плоскость, параллель- надлежит некоторой ную другой прямой; плоскости, а другая • через них можно провести плос- пересекает ее в точке, кости, параллельные друг другу; не принадлежащей • они имеют единственный об- первой прямой. щий перпендикуляр. Прямые Прямые параллель- • Если из трех различных прямых парал- ны, если: одна прямая параллельна второй, лельны • они перпендику- а вторая третьей, то первая и тре- лярны одной плоскос- тья прямые также параллельны. ти; • Если две различные прямые па- • они являются раллельны третьей, то они парал- линиями пересечения лельны и друг другу. двух параллельных • Если одна из двух параллельных плоскостей третьей прямых пересекает плоскость, то плоскостью. ее пересекает и другая прямая. • Если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость. • Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны друг другу. 334 Правообладатель Народная асвета Рис. 282 Рис. 284 Рис. 285 'О-'' Рис. 287 Рис. 288 Прямая и плоскость В пространстве у прямой и плоскости общих точек может быть ни одной, одна или больше одной. В соответствии с этим прямая и плоскость пространства или параллельны (рис. 285), или пересекаются (рис. 286), или прямая лежит в плоскости (рис. 287). Частным случаем пересекающихся прямой и плоскости является их перпендикулярность, т. е. такое их расположение, когда прямая перпендикулярна любой прямой плоскости (рис. 288). Правообладатель Народная асвета 335 Отношение Признаки Свойства Прямая и плос- Прямая параллельна Если плоскость про- кость параллель- плоскости, если: ходит через прямую, ны • она не принадлежит этой плоскости и параллельна какой-либо ее прямой. параллельную другой плоскости, то она пересекает ее по прямой, параллельной первой прямой. Прямая и плос- Прямая перпендику- Через каждую точку кость перпенди- лярна плоскости, если: пространства можно кулярны • она перпендикуляр- провести: на двум пересекаю- • единственную плос- щимся прямым этой кость, перпендикуляр- плоскости; ную данной прямой; • она является линией • единственную пря- пересечения двух плос- мую, перпендикуляр- костей, которые пер- ную данной плоскости. пендикулярны данной плоскости. Две плоскости В пространстве две плоскости или имеют общую точку, или не имеют ее. В соответствии с этим две плоскости пространства или параллельны (рис. 289), или пересекаются (рис. 290). Частным случаем пересекающихся плоскостей является их перпендикулярность, т. е. такое их расположение, когда угол между ними равен 90° (рис. 291). Рис. 289 Рис. 290 Рис. 291 336 Правообладатель Народная асвета Отношение Признаки Свойства Параллельность плоскостей Плоскости являются параллельными, если: • одна из них проходит через пересекающиеся прямые, параллельные другой плоскости; • две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости; • они перпендикулярны одной прямой. • Если прямая перпендикулярна одной из параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости. • Две параллельные плоскости высекают на параллельных прямых равные отрезки. • Три параллельные плоскости высекают на двух прямых пропорциональные отрезки. • Если одна плоскость параллельна второй, а вторая — третьей, то первая и третья плоскости также параллельны. • Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны друг другу. Перпендикулярность плоскостей Плоскости являются перпендикулярными, если: одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости. • Плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух данных плоскостей, перпендикулярна каждой из них. • Если через точку одной из перпендикулярных плоскостей проведена прямая, перпендикулярная другой плоскости, то эта прямая принадлежит первой плоскости. Правообладатель Народная асвета 337 Перпендикуляр и наклонная к плоскости Отрезок, соединяющий какую-либо точку P прямой l, перпендикулярной плоскости а, с точкой Q пересечения прямой l и плоскости а (рис. 292), называется перпендикуляром плоскости, проведенным из точки P, а точка Q — основанием перпендикуляра. Отрезок PR, соединяющий какую-либо точку P пространства, не принадлежащую плоскости а, с какой-либо ее точкой R, называется наклонной к плоскости, проведенной из точки P, а точка R — основанием наклонной. Если PQ — перпендикуляр к плоскости а, то отрезок QR называется проекцией наклонной PR на плоскость а. Рис. 293 Перпенди- куляр Наклонная Проекция наклонной Теорема о трех перпендикулярах. Если прямая плоскости перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной, а если прямая плоскости перпендикулярна наклонной к плоскости, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной (рис. 293). Две прямые плоскости Параллельные прямые разделяют плоскость на две полуплоскости и полосу (рис. 294). Пересекающиеся прямые разделяют плоскость на четыре угла (рис. 295), которые объединяют в пары. Углы 1 и 2, имеющие общую сторону, Полуплос- называют смежными, а углы 1 и 3, сторо- кость ны каждого из которых являются продол- Полоса Полуплос- кость Z 1 Ч- Z 2 = 180 Z1 = Z3 Рис. 295 338 Рис. 294 Правообладатель Народная асвета жениями сторон другого угла, — вертикальными. Смежные углы вместе составляют 180 °, а вертикальные углы равны друг другу. Три прямые плоскости Среди трех прямых а, b, c может не быть параллельных прямых (рис. 296) или такие прямые могут быть. Если параллельные прямые а и b есть, то третья прямая c может быть параллельной им (рис. 297) или пересекать их (рис. 298). Если две прямые а и b пересечены третьей прямой, то образуется 8 углов (рис. 299). Углы 1 и5, 2и6, 3и 7, 4и 8 называются соответственными, углы 3 и 6, 4 и 5 — внутренними односторонними, углы 3 и 5, 4 и 6 — внутренними накрест лежащими. Если а II & и & II с, то а II с Если а II & и а II с, то II с Рис. 297 Признаки параллельности прямых плоскости Свойства параллельн^хх прямых плоскости Прямые являются параллельными, Если прямые параллельны, если: то: • они перпендикулярны одной прямой; • соответственные углы • соответственные углы равны; равны; • внутренние накрест лежащие углы • внутренние накрест лежа- равны; щие углы равны; • внутренние односторонние углы вмес- • внутренние односторонние те составляют 180°. углы вместе составляют 180°. Правообладатель Народная асвета 339 Треугольник Три попарно пересекающиеся прямые выделяют из плоскости треугольник (рис. 300). Стороны и углы треугольника называют его основными элементами. С треугольником связывают и другие элементы. Внешний угол треугольника — угол, смежный с его внутренним углом (рис. 301). Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис. 302). Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны (рис. 303). Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между его вершиной и противолежащей стороной (рис. 304). Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, проходящую через противолежащую сторону (рис. 305). Треугольник (рис. 306) имеет такие свойства. Рис. 301 Элемент Свойство Стороны Сумма внутренних углов Z A + Z B + Z C = 180°. и углы равна 180°. Каждая сторона треуголь- Ь - c < a < b + c; ника меньше суммы двух других его сторон и больше их разности. a - c < b < a + c; a - b < c < a + b. Большему углу соответству- Если ZА > Z С, ет большая противолежащая сторона. то а > с. Большей стороне соответ- Если а > с, ствует больший противолежащий угол. то ZА > Z С. Квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними (теорема косинусов). a2 = Ь2 + c2 - 2bc cosA. Стороны пропорциональны a = b = синусам противолежащих углов (теорема синусов). sin A sin B = c sin C ' Внешний Внешний угол треугольника Z BAD = Z B + Z C. угол равен сумме двух его внутрен- (см. рис. 301) них углов, не смежных с ним. Средняя Средняя линия треугольника MN 1 AB, линия параллельна третьей стороне MN = 1 AB. 2 (см. рис. 302) и равна ее половине. Правообладатель Народная асвета 341 Продолжение Элемент Свойство Медиана Медиана треугольника делит его на равновеликие части (см. рис. 303). Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, если считать от вершины (рис. 307). ^САА1 “ SBAAi; AG : GA1 = 2 : 1, BG : GB1 = 2 : 1, CG : GC1 = 2 : 1. Биссектриса Биссектриса треугольника BA1 AB делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам (см. рис. 304). CA1 ~ AC ’ Биссектрисы треугольника A! AB + AC пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис треугольника делит каждую из них в отношении, первый компонент которой — сумма сторон, заключающих биссектрису, а второй — третья сторона (рис. 308). IA1 BC Высота Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке (рис. 309). 342 Правообладатель Народная асвета Прямоугольный треугольник Два угла треугольника обязательно острые, а третий — больший — его угол может быть и острым (рис. 310), и прямым (рис. 311), и тупым (рис. 312). В соответствии с этим треугольники делятся на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные. Стороны, образующие прямой угол прямоугольного треугольника, называют катетами, а третью его сторону — гипотенузой. Прямоугольный треугольник (рис. 313) имеет такие свойства. Катет Гипотенуза Катет Элемент Свойство Стороны и углы Острые углы вместе составляют 90°. Z A + Z B = 90°. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора). AB2 = AC2 + BC2. Если катет лежит против угла в 30°, то он равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°. Правообладатель Народная асвета 343 Продолжение Элемент Свойство Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Косинус острого угла равен отношению прилежа- • л BC am А = ; cos А = AC . AB щего катета к гипотенузе. д BC Тангенс острого угла ра- А = :ас . вен отношению противолежащего катета к прилежащему. Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему. д. Д AC ctgА = -BC . Медиана, проведенная к CC1 = AC1 = BC1 = R. гипотенузе, равна полови- Медиана не этой гипотенузы и явля- ется радиусом описанной окружности (рис. 314). Высота прямоугольного треугольника, проведен- CC1 = -yACl^^Bq; ная к гипотенузе, является средним геометричес- AC = ,JaB • AC1; Высота ким отрезков, на которые она разделяет гипотенузу, а катет есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу (рис. 315). BC = „JAb^~BC . 344 В Рис. 315 Правообладатель Народная асвета Признаки прямоугольного треугольника. Треугольник является прямоугольным, если: • он имеет прямой угол; • сумма двух каких-либо его углов равна 90°; • квадрат большей его стороны равен сумме квадратов двух других сторон; • одна из его медиан равна половине стороны, к которой проведена. Равнобедренный треугольник Если треугольник имеет равные стороны, его называют равнобедренным (рис. 316). Равнобедренный треугольник с тремя равными сторонами называют равносторонним (рис. 317). Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием. Равнобедренный треугольник (рис. 318) имеет такие свойства. Элемент Свойство Стороны и углы Углы при основании равны. Z A = Z B. Медиана, высота, биссектриса Медиана, биссектриса, высота, проведенные к основанию, совпадают. Если СС1 — медиана, то СС1 — биссектриса и высота; если СС1 — биссектриса, то СС1 — медиана и высота; Если СС1 — высота, то СС1 — биссектриса и медиана. Рис. 316 Рис. 317 Правообладатель Народная асвета 345 Признаки равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если: • две его стороны равны; • два его угла равны; • проведенные из одной вершины медиана и высота совпадают; • проведенные из одной вершины медиана и биссектриса совпадают; • проведенные из одной вершины высота и биссектриса совпадают. Окружность и круг Отношение длины C окружности к ее диаметру d есть постоянная величина для любой окружности. Это отношение выражается числом, обозначаемым п. C 22 355 Q 1 y-i 1 коо п = ^d * * Из * 3,141592^ Длина C окружности, площадь S соответствующего круга и их радиус r связаны формулами: C = 2пг; S = nr2; S = C2 r. Окружность и прямая Общих точек прямая с окружностью может иметь не более двух (рис. 319). Секущая — прямая, имеющая с окружностью две общие точки. Касательная — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку. Свойство касательной: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку Касательная касания. Признак касательной. Прямая является касательной, если она проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Секущая 346 Рис. 319 Правообладатель Народная асвета Если прямая проходит через данную точку и пересекает данную окружность, то произведение расстояний от этой точки до точек пересечения прямой с окружностью есть величина постоянная для любой такой прямой, равная г2 - а2, где r — радиус круга, а — расстояние от центра до выбранной 22 точки, если точка лежит внутри круга, и равная а - r , если точка лежит вне круга (рис. 320). Окружность и две прямые Две параллельные прямые, каждая из которых имеет общие точки с окружностью, высекают из окружности равные дуги (рис. 321). Пересекающиеся прямые по отношению к окружности могут располагаться так, что точка пересечения или совпадает с центром, или лежит на окружности, или лежит внутри круга, или лежит вне круга. Угол, вершина которого находится в центре круга (рис. 322), называется центральным углом. Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается. Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Угол между касательной и секущей, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной внутри него (рис. 323). Рис. 322 Правообладатель Народная асвета 347 Рис. 321 ^АМВ = \ ^ВСМ Рис. 323 Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны (рис. 324). Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, одна из которых заключена между сторонами данного угла, а другая — между сторонами угла, вертикального данному (рис. 325). Угол, вершина которого находится вне круга, а стороны пересекают окружность, измеряется полуразностью дуг, которые данный угол высекает из окружности (рис. 326). Если секущая и касательная проходят через данную точку вне круга, то произведение расстояний от этой точки до точек пересечения секущей с окружностью равно квадрату расстояния от данной точки до точки касания касательной, проходящей через данную точку. Расстояния от данной точки вне круга до точек касания с данной окружностью двух касательных, проведенных через данную точку, равны друг другу (рис. 327). 348 Правообладатель Народная асвета Рис. 325 Рис. 326 Окружность и треугольник Окружность, вписанная в многоугольник, — окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Окружность, описанная около многоугольника, — окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника (рис. 328). Центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис. 329). Правообладатель Народная асвета 349 Радиусы r и R вписанной и описанной окружностей связаны с другими элементами треугольника формулами: r = ^; R = p abc. a sin A 4S ’ = 2R (рис. 330). Четырехугольник Плоская замкнутая четырехзвенная ломаная без самопересечений выделяет из плоскости четырехугольник. Четырехугольник на рисунке 331 — выпуклый, а на рисунке 332 — невыпуклый. Обычно рассматривают выпуклые четы-рехугол ьники. Свойства четырехугольника: • сумма внутренних углов равна 360°; • середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма (рис. 333); • из треугольников, на которые диагонали разделяют четырехугольник, произведение площадей треугольников, прилежащих к одной паре противоположных сторон, равно произведению площадей треугольников, прилежащих к другой паре противоположных сторон (рис. 334). D Рис. 334 350 Правообладатель Народная асвета в / \ / \ / \ Трапеция Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны (рис. 335). Свойства трапеции (рис. 336): • сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 °: Z A + Z B = 180°; Z C + Z D = 180 °; • средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме: MN | AD, MN | BC, MN = 2 (AD + BC); • две прямые, содержащие боковые стороны трапеции, и прямая, проходящая через середины ее оснований, пересекаются в одной точке; • из треугольников, на которые диагонали разде- ляют трапецию, треугольники, прилежащие к основаниям, — подобны, а треугольники, прилежащие к бо- ковым сторонам, — равновелики: А AOD — А BOC; SAOB = SDOC. Признаки четырехугольника с па'раллел'Ь'ны^^ сторонами: • сумма углов, прилежащих к какой-либо стороне, равна 180 °: Z A + Z B = 180 ° или Z B + Z C = 180 ° или Z C + Z D = 180 ° или Z D + Z A = 180°; • отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника, равен полусумме двух других его сторон: MN = ^ (AD + BC) или PQ = 2 (AB + CD); • из четырех треугольников, на которые диагонали разделяют четырехугольник, два треугольника, прилежащие к противоположным сторонам, равновелики: SAOB = SDOC или SAOD = SBOC. Правообладатель Народная асвета 351 Рис. 337 Рис. 338 Параллелограмм Параллелограмм — четырехугольник, у которого есть две пары параллельных сторон (рис. 337). Свойства параллелограмма (рис. 338): • сумма углов, прилежащих к любой его стороне, равна 180°: Z A + Z B = 180° и Z B + Z C = 180° и Z C + Z D = 180 ° и Z D + Z A = 180°; • его противоположные стороны параллельны и равны: AD I BC и AB I CD; AD = BC и AB = CD; • его противоположные углы равны: ZA = Z C и Z B = Z D; • точка пересечения диагоналей делит их пополам: AO = CO; BO = DO. • точка пересечения диагоналей есть центр симметрии параллелограмма. Признаки параллелограмма. Четырехугольник является параллелограммом, если: • суммы углов, прилежащих к каким-либо двум смежным сторонам, равны 180° каждая: Z A + Z B = 180° и Z B + Z C = 180° или Z B + Z C = 180° и Z C + Z D = 180° или Z C + Z D = 180° и Z D + Z A = 180 ° или Z D + Z A = 180° и Z A + Z B = 180°; • его противоположные стороны параллельны: AD I BC и AB I CD; • его противоположные стороны равны: AD = BC и AB = CD; • он имеет пару противоположных параллельных и равных сторон: AD | BC и AD = BC или AB = CD и AB | CD; • его противоположные углы равны: ZA = Z C и Z B = Z D; • его диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO = CO; BO = DO. Прямоугольник Прямоугольник — параллелограмм, у которого есть прямой угол (рис. 339). 352 Правообладатель Народная асвета ABCD — параллелограмм и Z A = 90° d__________________ D Рис. 339 Свойства прямоугольника (рис. 340): • все его углы равны друг другу и прямые: Z A = Z B = Z C = Z D = 90°; • его диагонали равны: AC = BD; • серединные перпендикуляры к его сторонам являются осями симметрии. Признаки прямоугольника. Параллелограмм является прямоугольником, если: • его диагонали равны: AC = BD; • серединный перпендикуляр к какой-либо стороне параллелограмма является его осью симметрии: MN — ось симметрии или PQ — ось симметрии. Ромб Ромб — параллелограмм, у которого есть равные смежные стороны (рис. 341). Свойства ромба (рис. 342): • все его стороны равны друг другу: AB = BC = CD = DA; • его диагонали перпендикулярны: AC Z BD; • его диагонали делят углы пополам: ZABD = Z CBD и Z BCA = Z DCA; • прямые, содержащие диагонали, являются осями симметрии. Признаки ромба. Параллелограмм является ромбом, если: • он имеет пару равных смежных сторон: AB = BC или BC = CD или CD = DA или DA = AB; Рис. 341 Правообладатель Народная асвета 353 • его диагонали перпендикулярны: AC ^ BD; • его диагонали делят углы пополам: ZABD = Z CBD и Z BCA = Z DCA; • прямые, содержащие диагонали, являются осями симметрии. Квадрат Квадрат — прямоугольник, у которого есть равные смежные стороны, или ромб, у которого есть прямой угол (рис. 343). Поскольку квадрат является и прямоугольником, и ромбом, то у него есть все свойства прямоугольника и все свойства ромба. Окружность и четырехугольник Свойство описанного четырехугольника (рис. 344): суммы противоположных сторон равны. Признак описанного четырехугольника. Четырехугольник является описанным около окружности, если у него равны суммы противоположных сторон. Свойства вписанного четырехугольника (рис. 345): С Рис. 344 Рис. 345 354 Правообладатель Народная асвета • суммы противоположных углов равны 180°; • произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: AC * BD = AB • CD + AD • BC. Признаки вписанного четырехугольника. Четырехугольник является вписанным в окружность, если: • сумма противоположных углов равна 180 °: Z A + Z C = Z B + Z D = 180°; • углы, каждый из которых образован стороной и диагональю и которые опираются на одну сторону, равны: Z ACB = Z ADB или Z BAC = Z BDC или Z CAD = Z CBD или Z ACD = Z ABD. Отношения между фигурами Геометрические фигуры могут находиться в отношении равенства и подобия. Равные фигуры — фигуры, преобразующиеся друг в друга при некотором движении. Признаки равенства треугольников. Треугольники являются равными, если соответственно равны: • две стороны и угол между ними в одном двум сторонам и углу между ними в другом; • сторона и прилежащие к ней углы в одном стороне и прилежащим к ней углам в другом; • три стороны в одном трем сторонам в другом. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Прямоугольные треугольники являются равными, если у них соответственно равны: • катеты; • катет и прилежащий к нему острый угол; • гипотенуза и острый угол; • гипотенуза и катет. Теория подобия основывается на теореме Фалеса: если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то отрезки, высекаемые ими на другой стороне угла, также равны (рис. 346). Верна обобщенная теорема Фалеса: ряд параллельных прямых, пересека- Правообладатель Народная асвета 355 Рис. 347 ющих две другие прямые, высекают на них пропорциональные отрезки (рис. 347). Подобные треугольники — треугольники, углы которых попарно равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Признаки подобия треугольников. Треугольники являются подобными, если у них: • есть по равному углу, а прилежащие к ним стороны пропорциональны; • есть по два равных угла; • три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого. Отношение любых соответствующих линейных элементов подобных фигур равно коэффициенту подобия. Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Отношение объемов подобных фигур-тел равно кубу коэффициента подобия. fy 1. Какие две прямые пространства называют скрещивающимися; пере-• секающимися; параллельными? 2. Сформулируйте свойства скрещивающихся прямых; параллельных прямых. 3. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых; признаки параллельных прямых. 4. Какие прямая и плоскость называются параллельными; пересекающимися; перпендикулярными? 5. Сформулируйте свойства параллельных прямой и плоскости; перпендикулярных прямой и плоскости. 356 Правообладатель Народная асвета 6. Сформулируйте признаки параллельности прямой и плоскости; перпендикулярности прямой и плоскости. 7. Какие две плоскости называют параллельными; пересекающимися; перпендикулярными? 8. Сформулируйте свойства параллельных плоскостей; перпендикулярных плоскостей. 9. Сформулируйте признаки параллельных плоскостей; перпендикулярных плоскостей. 10. Какой отрезок называют перпендикуляром к плоскости; наклонной к плоскости; проекцией наклонной на плоскость? 11. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах. 12. Какие углы называют смежными; вертикальными? 13. Сформулируйте свойство смежных углов; вертикальных углов. 14. Какие углы, образованные при пересечении двух прямых третьей, называют соответственными; внутренними накрест лежащими; внутренними односторонними? 15. Сформулируйте свойства углов, образованных при пересечении двух прямых третьей. 16. Сформулируйте признаки параллельных прямых через углы, образованные при пересечении двух прямых третьей. 17. Какой отрезок называют средней линией треугольника; медианой треугольника; биссектрисой треугольника; высотой треугольника? 18. Какой угол называют внешним углом треугольника? 19. Сформулируйте свойства-неравенства, связывающие стороны и углы треугольника. 20. Сформулируйте свойства-равенства, связывающие стороны и углы треугольника. 21. Сформулируйте свойства внешнего угла треугольника. 22. Сформулируйте свойства средней линии треугольника. 23. Сформулируйте свойства медианы треугольника; точки пересечения медиан треугольника. 24. Сформулируйте свойства биссектрисы треугольника; точки пересечения биссектрис треугольника. 25. Какой треугольник называется остроугольным; прямоугольным; тупоугольным? 26. Как называются стороны прямоугольного треугольника? 27. Сформулируйте свойства углов прямоугольного треугольника; сторон прямоугольного треугольника; медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе; высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. 28. Сформулируйте признаки прямоугольного треугольника. 29. Какой треугольник называется равнобедренным; равносторонним? 30. Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника; признаки равнобедренного треугольника. 31. Что выражает число п? 32. Чему равна длина окружности; площадь круга? 33. Какая прямая называется касательной к окружности; секущей окружности ? 34. Сформулируйте свойства касательной; признак касательной. Правообладатель Народная асвета 357 35. Сформулируйте свойства точки секущей, расположенной внутри круга; точки секущей, расположенной вне круга. 36. Сформулируйте свойства дуг, высекаемых из окружности параллельными прямыми. 37. Какой угол называется центральным; вписанным? 38. Как измеряется центральный угол; вписанный угол; угол с вершиной внутри круга; угол с вершиной вне круга? 39. Как связаны между собой расстояния от данной точки секущей, расположенной вне круга, до точек ее пересечения с окружностью и расстояние от данной точки до точки касания касательной, проходящей через данную точку? 40. Как связаны расстояния от данной точки вне круга до точек касания с данной окружностью двух касательных, проведенных через данную точку? 41. Какая окружность называется вписанной в многоугольник; описанной около многоугольника? 42. Где находится центр вписанной в треугольник окружности; центр описанной около треугольника окружности? 43. Как радиусы вписанной в треугольник окружности и описанной около треугольника окружности связаны с основными элементами треугольника и его площадью? 44. Как сторона треугольника и противолежащий ей угол связаны с радиусом описанной окружности? 45. Сформулируйте свойства четырехугольника. 46. Какой четырехугольник называется трапецией; параллелограммом? 47. Какой параллелограмм называется прямоугольником; ромбом? 48. Дайте два определения квадрата. 49. Сформулируйте свойства трапеции; параллелограмма; прямоугольника; ромба. 50. Сформулируйте признаки трапеции; параллелограмма; прямоугольника; ромба. 51. Сформулируйте свойства описанного четырехугольника; признак описанного четырехугольника. 52. Сформулируйте свойства вписанного четырехугольника; признак вписанного четырехугольника. 53. Какое отношение между фигурами называется равенством фигур; подобием фигур? 54. Сформулируйте признаки равенства треугольников; признаки подобия треугольников. 55. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. 56. Сформулируйте теорему Фалеса; обобщенную теорему Фалеса. 57. Чему равно отношение линейных элементов подобных фигур; площадей подобных фигур; объемов подобных фигур? 58. Как отношение равенства фигур связано с отношением подобия? 358 Правообладатель Народная асвета 1202. Из точки K опущены перпендикуляры KM и KN на стороны угла ABC величиной 60°. Найдите отрезок MN, учитывая, что KB = а. 1203. Найдите сторону BC треугольника ABC, у которого угол A равен 60°, а стороны AB и AC — соответственно 5 и 8. 1204. Найдите сторонуAC треугольника ABC и дайте геометрическое объяснение полученному результату, учитывая, что: а) угол A равен 60°, а стороны AB и BC — соответственно 15 и 13; б) угол A равен 120°, а стороны AB и BC — соответственно 16 и 19; в) угол A равен 60°, а стороны AB и BC — соответственно ^/б и 6yf2; г) угол A равен а, а стороны AB и BC — соответственно c и а; установите, сколько решений имеет задача при различных значениях а, b и а. 1205. Найдите периметр треугольника, у которого: а) средняя по длине сторона на единицу отличается от каждой из остальных сторон, а косинус наибольшего угла равен :5; б) одна сторона равна 6 см, а прилежащие к ней углы — 45° и 60°. 1206. Найдите отношение сторон AC и BC треугольника ABC, углы A и B которого соответственно равны 30° и 45°. 1207. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, у которого: а) одна сторона равна 10, а угол против нее — 120°; б) одна сторона равна т, а прилежащие к ней углы — а и в; в) две стороны равны а и b, а высота, проведенная к третьей стороне, — h. 1208. Основание равнобедренного треугольника равно а, боковая сторона — b, а высота, проведенная к основанию, — h. Выразите радиус окружности, описанной около треугольника, через каждые две из трех данных переменных. Правообладатель Народная асвета 359 1209. Найдите радиус окружности, проходящей через: а) две противоположные вершины прямоугольника с измерениями 4 и 6 и середину большей стороны; б) две противоположные вершины прямоугольника с измерениями 4 и 6 и середину меньшей стороны; в) через вершины острых углов и середину большей стороны прямоугольного треугольника с катетами 12 и 5; г) через центр квадрата со стороной а, его вершину и середину стороны, не содержащей этой вершины. 1210. Найдите: а) sin 15°; б) cos 75°; в) tg 105°; г) ctg 165°. 1211. Докажите, что окружности, описанные около треугольников: а) ACK и BCK, где K — точка основания AB равнобедренного треугольника ABC, равны друг другу; б) ABC и ABH, где H — точка пересечения высот непрямоугольного треугольника ABC, симметричны относительно прямой AB. 1212. В окружность вписан треугольник ABC, у которого AB = ^/3 . Найдите угол C, учитывая, что центр окружности находится вне треугольника на расстоянии 1 от стороны AB. 1213. OA и OB — отрезки одной прямой, ОА = а, OB = b. Найдите расстояние между: а) точками A и B; б) точкой O и серединой C отрезка AB. 1214. Найдите угол между биссектрисами: а) двух углов с общей стороной, величины которых равны а и в, и примените результат для случая смежных углов; б) углов AOB и COD, учитывая, что они и угол BOC соответственно равны а, в и у, и примените результат для случая вертикальных углов. 1215. Выясните: а) можно ли разносторонний треугольник разрезать на два равных треугольника; б) сколькими способами равносторонний треугольник можно разрезать на два равных треугольника. 1216. Учитывая, что M — внутренняя точка треугольника ABC, сравните углы BAC и BMC. 360 Правообладатель Народная асвета 1217. Учитывая, что точка M — основание медианы AM треугольника ABC и AB > AC, сравните углы: а) AMB и AMC; б) BAM и CAM. 1218. Учитывая, что точка L — основание биссектрисы AL треугольника ABC и AB > AC, сравните: а) углы ALB и ALC; б) отрезки BL и CL. 1219. Учитывая, что точки M, L, H — соответственно основания медианы, биссектрисы и высоты AM, AL, AH треугольника ABC с неравными сторонами AB и AC, установите взаимное расположение этих точек на прямой BC. 1220. Докажите, что: а) сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны меньше чем на удвоенный отрезок, соединяющий общую точку этих двух сторон с произвольной точкой третьей стороны; б) сумма расстояний от произвольной точки многоугольника до всех его вершин больше полупериметра многоугольника; в) медиана треугольника меньше полусуммы сторон, ее заключающих, и больше разности этой полусуммы и половины третьей стороны. 1221. Найдите: а) границы, между которыми заключена сумма медиан треугольника, учитывая, что его стороны равны а, b, c; б) точку, сумма расстояний от которой до вершин данного четырехугольника наименьшая. 1222. Докажите, что отрезок, соединяющий: а) вершину треугольника и произвольную точку противоположной стороны, меньше большей из двух других сторон; б) точки двух сторон треугольника, меньше наибольшей его стороны; в) две внутренние точки треугольника, меньше наибольшей его стороны. 1223. Есть треугольник, у которого один из углов не меньше 90°. Его острый угол разделен лучами на несколько долей. Докажите, что эти лучи делят противоположную сторону на части, длины которых возрастают, если считать от вершины большего угла. Правообладатель Народная асвета 361 1224. Есть треугольник, у которого один из углов не меньше 90°. Одна из сторон этого угла разделена на несколько долей. Докажите, что лучи, выходящие из вершины противолежащего угла и проходящие через точки деления, разделяют этот угол на части, величины которых убывают, если считать от другой стороны большего угла. 1225. Докажите, что луч, выходящий из вершины равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, и параллельный этому основанию, делит соответствующий внешний угол пополам. 1226. Через точку пересечения биссектрис треугольника проведена прямая, параллельная одной из сторон. Докажите, что отрезок этой прямой, заключенный между сторонами треугольника, равен сумме отрезков сторон, заключенных между параллельными прямыми. 1227. Один из углов треугольника равен а. Найдите угол, образованный: а) биссектрисами внутренних углов, прилежащих к стороне против угла а; б) биссектрисами внешних углов, прилежащих к стороне против угла а; в) биссектрисами одного из внутренних углов, прилежащих к стороне против угла а, и биссектрисой внешнего угла при другом конце этой стороны. 1228. Углы B и C треугольника ABC равны в и у соответственно, причем в < Y. Основание D биссектрисы AD соединено с такой точкой E стороны AB, что А^ = AC. Найдите угол BDE, учитывая, что отрезок AD является биссектрисой: а) внутреннего угла А (рис. 348); б) внешнего угла при вершине А (рис. 349). 1229. Найдите угол между: а) высотой и биссектрисой, проведенными из одной вершины треугольника, учитывая, что углы против этой вершины равны а и в; б) высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла прямоугольного треугольника с острым углом а. 1230. Докажите, что биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника с разными катетами делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными к гипотенузе. 1231. Три угла четырехугольника равны а, в и у. Найдите угол между биссектрисами двух: а) соседних углов; б) противоположных углов; в) углов, образованных парами прямых, которым принадлежат противоположные стороны. 1232. Докажите, что: а) если противоположные стороны шестиугольника равны и параллельны, то три его диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (рис. 350); б) если противоположные стороны четырехугольника не параллельны, то три прямые, проходящие через середины противоположных сторон и середины диагоналей, пересекаются в одной точке; в) середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой. 1233. Найдите расстояние: а) между серединами диагоналей трапеции, учитывая, что основания трапеции равны a и b; б) от середины отрезка до прямой, учитывая, что его концы отстоят от этой прямой на a и b; в) от вершины параллелограмма до прямой, проходящей через противоположную вершину, учитывая, что две другие вершины отстоят от этой прямой на a и b. Правообладатель Народная асвета 363 1234. Докажите, что сумма расстояний от любой: а) точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой стороне; б) внутренней точки равностороннего треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника. 1235. Выясните, при каком условии: а) около параллелограмма можно описать окружность; б) около трапеции можно описать окружность; в) в параллелограмм можно вписать окружность. 1236. Выясните, какая из: а) хорд, проходящих через точку внутри круга, наименьшая; б) секущих, проходящих через данную точку вне круга, имеет с ним наибольшую общую часть. 1237. Установите, как два круга с радиусами r и 3r расположены относительно друг друга, учитывая, что их центры отстоят на: а) r; б) 2r; в) 3r; г) 5r; д) 4r. 1238. Выясните, сколько одинаковых кругов можно расположить вокруг круга такого же радиуса так, чтобы каждый из них касался этого круга и двух соседних. 1239. Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, учитывая, что углы между его противоположными сторонами равны у и в (рис. 351). 1240. Углы, прилежащие к одной стороне вписанного в окружность треугольника, равны а и р. Найдите угол между этой стороной и касательной окружности, проведенной через противолежащую вершину. 1241. Два угла треугольника, вписанного в окружность, равны а и р. Найдите углы треугольника, образованного касательными окружности, проведенными через вершины данного треугольника. 364 Правообладатель Народная асвета 1242. Докажите, что хорды двух: а) пересекающихся окружностей, которые соединяют точки пересечения с ними двух секущих, проходящих через точки пересечения окружностей, параллельны друг другу (рис. 352); б) касающихся окружностей, которые соединяют точки пересечения с ними двух секущих, проходящих через точку касания окружностей, параллельны друг другу (рис. 353). 1243. Докажите, что прямая, параллельная касательной в вершине вписанного треугольника и пересекающая стороны, выходящие из этой вершины, отсекает от треугольника четырехугольник, около которого можно описать окружность. 1244. Есть равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Докажите, что расстояние любой точки дуги, стягиваемой какой-либо стороной треугольника, от противолежащей вершины равно сумме расстояний этой точки от двух других вершин. 1245. Докажите, что: а) высота треугольника и радиус описанного около него круга, проведенные из одной вершины, образуют равные углы со сторонами треугольника, выходящими из той же вершины; б) основания высот треугольника являются вершинами треугольника, для которого высоты данного треугольника являются биссектрисами; в) если из четырех точек одна является ортоцентром треугольника с вершинами в трех остальных точках, то каждая из этих точек является ортоцентром треугольника с вершинами в трех остальных точках; г) биссектриса внутреннего угла треугольника и биссектрисы двух внешних углов при двух других вершинах пересекаются в одной точке, которая равноудалена от стороны, противоле- Правообладатель Народная асвета 365 жащей этому внутреннему углу, и прямых, проходящих через две другие стороны; д) из шести биссектрис внутренних и внешних углов треугольника каждые три, которые пересекаются в одной точке, являются высотами треугольника с вершинами в трех остальных точках. 1246. Выясните, к какой стороне треугольника ближе расположена точка пересечения: а) серединных перпендикуляров сторон треугольника; б) высот треугольника; в) медиан треугольника. 1247. Выясните, к какой вершине треугольника ближе расположена точка пересечения: а) биссектрис треугольника; б) высот треугольника; в) медиан треугольника. 1248. Выясните, какой из трех отрезков наименьший, учитывая, что эти отрезки являются: а) высотами одного треугольника; б) медианами одного треугольника; в) биссектрисами треугольника. 1249. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с внутренней точкой противоположной стороны, разделяет его на два треугольника. Докажите, что эта вершина и центры окружностей, описанных около этих и данного треугольников, лежат на одной окружности. 1250. Докажите, что: а) отрезки, соединяющие вершину параллелограмма с серединами сторон, сходящихся в противоположной вершине, разделяют на три доли диагональ, соединяющую две другие вершины; б) расстояние от центра окружности, описанной около треугольника, до стороны треугольника в два раза меньше расстояния от ортоцентра до противолежащей вершины. 1251. Есть два подобных треугольника, стороны одного из которых равны 5, 6, 8, а наименьшая сторона второго — 15. Найдите две другие стороны второго треугольника. 366 Правообладатель Народная асвета 1252. Докажите, что: а) два параллелограмма подобны, если у них есть по равному углу и стороны их пропорциональны; б) два прямоугольника подобны, если они имеют пару пропорциональных смежных сторон; в) два любых квадрата подобны. 1253. Есть два параллельных отрезка BD и CE с концами на сторонах угла A (рис. 354). Прямые, проходящие через концы отрезка BD и перпендикулярные сторонам угла, пересекаются в точке F, а такие же прямые для отрезка CE — в точке G. Докажите, что точки A, F, G лежат на одной прямой. 1254. Найдите длину отрезка, концы которого: а) лежат на сторонах треугольника и делят каждую в отношении m ■ n, если считать от их общей вершины, учитывая, что третья сторона треугольника равна а; б) лежат на боковых сторонах трапеции и делят их в отношении m '■ n, если считать от большего основания длиной а, учитывая, что другое основание равно b. 1255. Вершины треугольника отстоят от не пересекающей его прямой на k, l, m. Найдите расстояние от этой прямой до центроида треугольника. 1256. Есть трапеция с основаниями а и b. Найдите: а) отношение отрезков каждой диагонали, на которые они делятся точкой пересечения; б) отношение расстояний от точки пересечения боковых сторон до концов каждой из них; Правообладатель Народная асвета 367 в) длину отрезка прямой, проведенной параллельно основаниям через точку пересечения диагоналей, причем концы отрезка принадлежат боковым сторонам; г) длину отрезка прямой, проведенной параллельно основаниям через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны, причем концы отрезка принадлежат прямым, содержащим диагонали. 1257. Есть треугольник со сторонами а, b, c. Найдите расстояния от концов стороны длиной а до точки, в которой биссектриса внешнего угла при противолежащей вершине пересекает прямую, содержащую эту сторону. 1258. Прямая пересекает две стороны треугольника и прямую, содержащую третью сторону. Учитывая, что точками пересечения первая и вторая сторона делятся в отношении k и l, найдите отношение расстояний от точки пересечения прямой с продолжением третьей стороны до ее концов. 1259. Докажите, что прямой, проходящей через середины оснований трапеции, принадлежат точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны. 1260. Через середину хорды длиной а проведена другая хорда длиной b. Найдите отрезки, на которые эта хорда делится первой хордой. 1261. Окружность касается одной стороны треугольника и пересекает его другую сторону в точках, отстоящих от вершины на а и на b. Найдите расстояние от вершины треугольника до точки касания. 1262. Через точку внутри круга с радиусом г, отстоящую от центра на а, проведен диаметр и перпендикулярная ему хорда. Найдите эту хорду. 1263. Через точку вне круга с радиусом г, отстоящую от центра на а, проведена касательная. Найдите расстояние от этой точки до точки касания. 1264. Используя свойства внутренней точки хорды окружности, докажите теорему косинусов и теорему Пифагора. 1265. Докажите, что расстояние точки окружности от ее хорды равно среднему геометрическому расстояний концов хорды от касательной к окружности в этой точке. 368 Правообладатель Народная асвета 1266. От точки F пересечения прямых на одной из них отмечены такие точки Л-^ и A2, на другой — такие точки Е-^ и Е2, что FA-^ • FA2 = FE^ • FE2, при этом точки отмечались на обеих прямых по одну сторону (рис. 355) или на обеих прямых по разные стороны от точки F (рис. 356). Докажите, что точки Л^, Л2, Е^ и Е2 лежат на одной окружности. Используя это, докажите, что: а) общие хорды трех попарно пересекающихся окружностей пересекаются в одной точке или параллельны; б) общие хорды данной окружности со всеми окружностями, проходящими через две данные точки, пересекаются в одной точке или параллельны. 1267. Через произвольно выбранную точку прямой, содержащей общую хорду двух окружностей, проведены их касательные. Докажите, что расстояния от этой точки до точек касания равны друг другу. 1268. Через конец A диаметра ЛЕ данной окружности проведена прямая l, пересекающая другую прямую т, которая перпендикулярна прямой AB (рис. 357). Докажите, что произ- Рис. 357 Правообладатель Народная асвета 369 ведение расстояний от конца A диаметра до точек D и E пересечения прямой l с прямой m и окружностью соответственно есть постоянная величина. 1269. Через центр Q гомотетии двух окружностей проведена прямая, пересекающая их в точках А^ и A2, причем эти точки не являются гомотетичными (рис. 358). Докажите, что для любой такой секущей произведение QA-^ • QA2 есть постоянная величина. 1270. Центры двух окружностей с радиусами r и R удалены на d. Найдите расстояние между точками касания их: а) внешней касательной; б) внутренней касательной. 1271. Найдите расстояние между точками касания внешней касательной двух касающихся окружностей с радиусами r и R. 1272. Найдите радиус круга, который касается двух внешним образом касающихся окружностей с радиусами r и R и их общей касательной (рис. 359). 1273. На отрезке и двух его половинах в одной полуплоскости построены полукруги (рис. 360). Учитывая, что радиус меньшего полукруга равен r, найдите радиус круга, касающегося всех трех полукругов. 1274. На отрезке и двух его неравных частях в одной полуплоскости построены полукруги. Учитывая, что радиусы двух меньших полукругов равны R и r, найдите радиус круга, касающегося всех трех полукругов. 1275. Прямоугольный сектор с радиусом r разделен на две части дугой с таким же радиусом и с центром в конце дуги сектора. Найдите радиус круга, вписанного: а) в меньшую часть; б) в большую часть (рис. 361). 1276. Найдите: а) проведенную к гипотенузе высоту прямоугольного треугольника, учитывая, что его катеты равны a и b; б) сторону треугольника, учитывая, что проведенная к ней высота равна h, а две другие стороны — a и b; в) высоты треугольника и его площадь, учитывая, что его стороны равны а, b, c; г) площадь треугольника, учитывая, что его высоты равны ha, hb, hc; д) медианы треугольника, учитывая, что его стороны равны a, b, c; е) стороны треугольника и его площадь, учитывая, что его медианы равны ma, mb, mc; ж) биссектрису la треугольника, учитывая, что его стороны равны a, b, c; з) радиус описанной около треугольника окружности, учитывая, что его стороны равны a, b, c. 1277. Докажите, что квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, выходящих из той же вершины, что и биссектриса, уменьшенному на произведение отрезков, на которые основание биссектрисы делит противолежащую сторону. 1278. Докажите, что площадь остроугольного треугольника равна радиусу описанного круга и полупериметра треугольника, образованного основаниями высот. 1279. Стороны треугольника равны a, b, c. Найдите: а) радиус вневписанной окружности, касающейся стороны a (рис. 362); Рис. 362 Правообладатель Народная асвета 371 б) расстояния от вершины A до точек касания вписанной окружности и сторон треугольника (рис. 363); в) расстояния от вершины A треугольника до точек касания противолежащей вневписанной окружности и прямых, содержащих стороны треугольника (рис. 364). 1280. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза — с. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей. 1281. Докажите, что радиус r окружности, вписанной в треугольник со сторонами a, b, с, и радиус ra его вневписанной окружности, касающейся стороны длиной a (рис. 365), связаны формулой гГа = (р - b)(p - с), где р — полупериметр треугольника. 1282. Докажите, что: а) сумма квадратов расстояний ортоцентра треугольника от его вершины и от противолежащей стороны равна квадрату диаметра описанной окружности; б) сумма трех слагаемых, каждое из которых есть произведение высоты остроугольного треугольника и расстояния ортоцентра до вершины, из которой проведена эта высота, равна полусумме квадратов сторон треугольника. 1283. Высота треугольника равна h, а отрезки, на которые противолежащая сторона разделяется основанием высоты — k и l. Найдите отрезки, на которые разделяется эта высота другой высотой треугольника. 372 Правообладатель Народная асвета 1284. Стороны треугольника равны а, b, c. Найдите расстояния: а) от ортоцентра треугольника до его вершины А; б) от центра окружности, описанной около треугольника, до его стороны АВ; в) от центра окружности, вписанной в треугольник, до его вершины А; г) от центра JA вневписанной окружности треугольника до его вершины А; д) между центрами вписанной и трех вневписанных окружностей. 1285. Найдите разность квадратов диагоналей параллелограмма, учитывая, что: а) его внутренняя точка отстоит от вершин на а, b, c, d; б) его стороны равны m и п, а площадь — S. 1286. Найдите площадь параллелограмма, учитывая, что его стороны равны m и п, а внутренняя точка отстоит от вершин на а, b, c, d. 1287. Основания трапеции равны а и b, а боковые стороны — c и d. Найдите: а) диагонали трапеции; б) площадь трапеции. 1288. Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований. 1289. Найдите площадь четырехугольника, учитывая, что его стороны равны а, b, c и d, а диагонали — k и l. 1290. Стороны вписанного четырехугольника равны а, b, c и d. Найдите его: а) диагонали; б) площадь. 1291. Докажите, что произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон (теорема Птолемея). 1292. Конец B хорды AB окруж- ности с радиусом R является центром окружности с радиусом п, пересекающей данную окружность в точках P и Q (рис. 366). Найдите хорды AP и AQ, учитывая, что хорда AB равна т. Рис. 366 Правообладатель Народная асвета 373 1293. Установите, может ли: а) вписанный многоугольник иметь равные углы и неравные стороны; б) вписанный многоугольник иметь равные стороны и неравные углы; в) описанный многоугольник иметь равные углы и неравные стороны; г) описанный многоугольник иметь равные стороны и неравные углы. 1294. Найдите радиус каждого: а) из трех равных кругов, вписанных в круг с радиусом R и касающихся друг друга (рис. 367); б) из четырех равных кругов, каждый из которых касается круга с радиусом R и двух из этих равных кругов (рис. 368). 1295. Выразите через радиус r окружности сторону правильного описанного около нее: а) треугольника; в) шестиугольника. б) четырехугольника; 1296. Найдите сторону и диагонали правильного вписанного в окружность с радиусом R: а) пятиугольника; б) десятиугольника. 1297. Найдите площадь правильного десятиугольника, учитывая, что его сторона равна а. 1298. Найдите сторону правильного вписанного в окружность с радиусом 1: а) двадцатиугольника; б) пятнадцатиугольника. 374 Правообладатель Народная асвета 1299. Используя рисунок 369, на котором около окружности описан квадрат и в нее вписан правильный шестиугольник, докажите, что число п заключено между числами 3 и 4. 1300. На сторонах угла A величиной 75° выбраны такие точки K и L, что AK = 2 и AL = л/б. Точка M выбрана так, что ZKAM = 30°, ZLAM = 45° и AM = V3. Докажите, что точки K, L, M лежат на одной прямой. 1301. Выясните, сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен: а) 135°; в) 150°; д) 1284 е) 163171 . б) 144°; г) 156°; 1302. Выясните, сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внешних углов которого равен: а) 36°; б) 24°; в) 14,4°; г) 6| . 1303. Постройте аккуратно правильный двенадцатиугольник и проведите все его диагонали. Найдите точки, через которые проходит точно: а) три диагонали; б) четыре диагонали. Обоснуйте полученные гипотезы. 1304. Через радиусы R и r описанной и вписанной окружностей выразите сторону a правильного: а) восьмиугольника; б) двенадцатиугольника; в) шестнадцатиугольника. 1305. Найдите число, 32 % которого равны ^ \. 1 о 2 6 7 7 122 : 1,5. 3 ’ 13 13-19; 1306. Найдите значение выражения: а) log4 5 • log5 6 • log6 7 • log7 8; б) sin (6 arcctg (—Js ) + 4arctg ). Правообладатель Народная асвета 375 1307. Найдите: ж3 - 2Х2 + 1 а) значение выражения x = 1,2; б) область определения функции у = - 2х ' x + 2 при x jx + 4х + 4 1308. Укажите ближайшие целые числа, между которыми находится сумма корней (или корень, если он единственный) уравнения л/х2 - 1 = (2х + 3)1 ^+1. 1309. Упростите выражение tg3 х + tg2 х + tg х + 1 - 3 ' cos х 1310. Через 30 c после старта первого велосипедиста за ним выезжает второй со скоростью на 20 % большей и догоняет первого в 2 км от места старта. Найдите скорость первого велосипедиста. 1311. Найдите наименьшее значение переменной а, при котором прямая у = а(х + 1) является касательной к параболе у = х2. 1312. Функция у = 0,5х4 + х3 - х2 задана на промежутке [-3; 0]. Найдите количество целых чисел в области ее значений. 1313. Выясните вид четырехугольника, около которого можно описать окружность, учитывая, что диагонали его точкой пересечения делятся пополам. 1314. Две окружности с радиусами 9 и 3 касаются внешним образом в точке Q, а Ми N — точки касания их общей внешней касательной. Найдите площадь треугольника MNQ. 1315. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и ^/5. Найдите расстояние до плоскости этого треугольника от точки, находящейся на расстоянии 15 от каждой вершины треугольника. 1316. Хорда AB окружности с центром Q и радиусом 12 имеет длину 6. Найдите расстояние от точки М прямой AB до середины хорды AB, учитывая, что MQ = 16. 376 Правообладатель Народная асвета sin х 1317. Основанием четырехугольной пирамиды является прямоугольник с диагональю 12\[3 и углом 60° между диагоналями. Найдите объем пирамиды, учитывая, что каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. 1318. Решите уравнение f(x) = -1, учитывая, что f(x) — нечетная функция, которая при x > 0 задается формулой f(x) = log5 (1,5x). В ответ запишите число 9Р, где Р — произведение корней уравнения. 1319. Найдите: а) произведение k • x0, где k — количество корней, а x0 — корень уравнения logg(x - 2)2 = log^ ^2x - 1, принадлежащий промежутку (1; +^); б) произведение наименьшего целого положительного и наибольшего целого отрицательного решений неравенства 3 • 16x -- 7 • 12x + 4 • 9x > 0; в) сумму x0 + y0, где (x0, y0) — решение системы уравнений llog4 (x + 2y)y = 1, ”[(x + 2y) • 5y = 400. г) произведение целых корней уравнения 3x2 - 13x + 5 4x2 - 13x +1 x2 -1 2x2 - 5 д) произведение корней уравнения Vx-3 (6 - |x2 - 3x - 4|) = 0. е) произведение наименьшего и наибольшего целых решений -log4 27 - x неравенства 4 x +2 > (x - 3)(x - 30). ж) произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения x = ^/9 + x + 3 )Х/9 + x + x2 + 8x - 23). 1320. В двух колбах находилось 40 г и 60 г раствора соли различной концентрации. Из каждой колбы взяли по n г раствора и влили взятое из первой колбы во вторую, а взятое из второй колбы — в первую, после чего в обеих колбах концентрации сравнялись. Найдите n. Правообладатель Народная асвета 377 1321. На промежутке [-7, 6] задана функция графиком, представленным на рисунке 370. Найдите количество значений аргумента, при которых значения функции равны нулю. 1322. Нечетная функция имеет областью определения промежуток [-3; 3] и на промежутке (0; 3] задана графиком, представленным на рисунке 371. Укажите количество целых значений этой функции. 1323. Найдите произведение наибольшего целого отрицательного и наименьшего целого положительного значений переменной х из области определения функции у = 1 + ----. ^ X - 5x + 4 1324. Найдите число х0 - у0, учитывая, что (x0; у0) — решение: а) системы |(х + у) -3у-x = 27, [3log5(x + у) = x - у; б) неравенства х2 + 4xy + 13у2 - 6у + 1 < 0. 1325. Найдите сумму корней уравнения: а) log4 х2 = 2; б) ^77 + х + ^20 - х = 5. * * * 1326. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке Q. Точки P и R выбраны так, что BP Р AC, CP Р BD, AR Р BD и DR Р AC. Докажите, что точки P, Q и R лежат на одной прямой. 1327. Двузначное число, умноженное на 100, разделили на двузначное число. Выясните, какое наименьшее натуральное число может получиться в частном. 1328. Докажите, что неотрицательные числа а, b и c удовлетворяют неравенству а2 + b2 + c2 > a|b - c| + b|c - a| + c|a - b|. 378 Правообладатель Народная асвета 24. Геометрические величины В школьной математике изучают четыре величины — градусную меру угла, длину отрезка, площадь фигуры, объем тела. Использование величины позволяет результат сравнения геометрической фигуры Ф с фигурой, с которой сопоставлено число 1, выразить определенным действительным числом г. Это сопоставление задает определенную функцию r = /(Ф). Выбор фигуры-эталона означает выбор единицы измерения. Кроме основной единицы, используют и производные от нее, которые в метрической системе мер образуются единообразно с помощью приставок греческого происхождения. Значения наиболее употребительных приставок приводятся в таблице. Пристав- Обозна- Множи- ка чение тель гига Г 109 мега М 106 кило к 103 гекто г 102 Пристав- Обозна- Множи- ка чение тель деци д 10-1 санти с 10-2 милли м 10-3 микро мк 10-6 С помощью функции г = /(Ф) можно так сформулировать общие свойства геометрических величин: • результат измерения есть неотрицательное число, т. е. /(Ф) > 0; • если фигуры Ф1 и Ф2 равны, то результаты их измерения также равны, т. е. если Ф1 = Ф2, то /(Ф1) = /(Ф2); • если фигура Ф разделена на части Ф1 и Ф2, то результат измерения фигуры Ф равен сумме результатов измерения фигур Ф1 и Ф2, т. е. /(Ф) = /(Ф1) + /(Ф2). Меры угла и дуги Два луча с общим началом разделяют плоскость на две части (рис. 372), каждую из которых вместе с лучами называют углом, сами лучи — сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла. Угол обозначают знаком Z. Угол Угол Правообладатель Народная асвета 379 Луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам, называют биссектрисой угла (рис. 373). Угол, стороны которого являются противоположными лучами, называют развернутым, его стовосьмидесятую долю называют градусом и обозначают °. Градус есть единица измерения величины, называемой градусной мерой угла. Шестидесятую долю градуса называют минутой, шестидесятую долю минуты — секундой. Минуту обозначают знаком ', секунду — знаком ". Угол, равный своему смежному углу, называют прямым, это показывают так, как на рисунке 374. Угол, который меньше прямого, называют острым, а угол, который больше прямого и меньше развернутого, — тупым. Угол можно рассматривать как меру поворота луча OM вокруг своего начала O от некоторого первоначального его положения OMq. Тогда четверть полного оборота дает прямой угол (рис. 375), полный оборот — угол величиной 360° (рис. 376), а два полных оборота — угол величиной 720° (рис. 377). При измерении углов, связанных с окружностью, пользуются понятием градусной меры дуги. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла. Например, градусная мера четверти окружности равна 90°, полуокружности — 180°, трех четвертей окружности — 270°, всей окружности — 360° (рис. 378). Биссектриса jil R Q м, к 90 О Мп Рис. 375 Еще одной единицей угла является град, под ним понимают сотую долю прямого угла. Важным для математики является радианное измерение углов. Пусть зафиксирована одна из сторон угла. Если вращать другую его сторону вокруг вершины, то образуется некоторый угол. Отношение пути s, который описывает произвольная точка M луча при вращении вокруг его нача- ла O, к отрезку OM равно 180 т. е. не зависит от выбора точки M (рис. 379). Поэтому это отношение принимается за меру угла. Количественно она равна пути, пройденному точкой по единичной окружности. Развернутому углу соответствует половина длины единичной окружности, т. е. число п (рис. 380). Прямой угол равен п (рис. 381), угол правильного треугольника — — (рис. 382). Угол, мера которого равна 3 числу 1, называется радианом (рис. 383). Угол в 1 радиан вырезает из окружности дугу, равную радиусу этой окружности (рис. 384). 0,017453 радиан; 57,2958° * 57° 17' 45". 1° = -- радиан 180 ^ 1 180° 1 радиан = --- Принято обозначение радиана в записи меры угла опускать. Запись вида а = 1,23 означает, что величина угла а равна 1,23 радиана. Рис. 379 О Рис. 380 Рис. 381 Правообладатель Народная асвета 381 7Га Соответствие между градусной и радианной мерами для часто используемых углов дается следующей таблицей. Градусы 30 45 60 90 120 135 150 180 Радианы п 6 п 4 п 3 п 2 2п “3“ 3п ~т 5п "6“ п Градусы 210 225 240 270 300 315 330 360 Радианы 7п 6 5п т 4п ”3" 3п 5п "3" 7п 4 11п 6 2п Углом между пересекающимися прямыми называется один из четырех образованных ими углов, не больший 90° (рис. 385). Угол между параллельными прямыми принимается равным нулю (рис. 386). Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, им параллельными (рис. 387). Углом между пересекающимися прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 388). Угол между параллельными прямой и плоскостью принимается равным нулю. Две полуплоскости с общей границей разделяют пространство на две части (рис. 389), каждую из которых вместе с полуплоскостями называют двугранным углом, сами полуплоскости — гранями двугранного угла, а их общую пря- Рис. 386 Грань Ребро Грань Рис. 388 Рис. 389 382 Правообладатель Народная асвета мую — ребром двугранного угла. Линейным углом двугранного угла называют плоский угол, возникающий при пересечении двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной его ребру (рис. 390). Все линейные углы двугранного угла равны друг другу. Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Углом между пересекающимися плоскостями называется один из четырех образованных ими двугранных углов, не больший 90° (рис. 391). Угол между параллельными плоскостями принимается равным нулю. Сумма углов многоугольника, как выпуклого, так и невыпуклого, с количеством сторон n равна 180° • (п - 2). Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. Длина отрезка. Расстояние Две точки M и N прямой разделяют ее на три части (рис. 392), которые вместе с точками M и N образуют луч с началом в точке M, луч с началом в точке N и отрезок MN. Если выбрать единицу длины, то можно измерить длину отрезка. В качестве единицы длины принят метр, под которым 1 понимают путь, долю секунды. пройденный в вакууме светом за 299792458 С длиной отрезка связана еще одна величина — расстоя- ние. Из точки A в точку B можно попасть разными путями (рис. 393). Кратчайшим из них является путь 2 М N Луч Отрезок Луч Рис. 392 Правообладатель Народная асвета 383 по отрезку AB. Расстоянием между точками называется длина отрезка, их соединяющего. Наименьшим расстоянием от точки E до прямой l является расстояние до точки P — основания перпендикуляра EP (рис. 394). Расстоянием между точкой и прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из точки на прямую. Любые две точки одной из параллельных прямых равноудалены от другой прямой (рис. 395). Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-либо точки одной прямой до другой прямой. Две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр (рис. 396). Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Перпендикуляр к плоскости, проведенный из некоторой точки, меньше любой наклонной к этой плоскости, проведенной из той же точки. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости (рис. 397). Расстояние от любой точки прямой, параллельной плоскости, до этой плоскости одно и то же и равно длине перпендикуляра, проведенного из какой-либо точки прямой к плоскости (рис. 398). Расстоянием между параллельными прямой и плоскостью называется длина перпендикуляра, проведенного из какой-либо точки прямой к плоскости. Е Рис. 399 Рис. 401 Расстояние от любой точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости одно и то же и равно длине их общего перпендикуляра (рис. 399). Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, проведенного из какой-либо точки одной плоскости к другой плоскости. Если данная точка пространства равноудалена от сторон многоугольника, то в этот многоугольник можно вписать окружность, центр которой совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость многоугольника (рис. 400). Если данная точка пространства равноудалена от вершин многоугольника, то около этого многоугольника можно описать окружность, центр которой совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость многоугольника (рис. 401). Длина C окружности с радиусом R выражается формулой C = 2nR. Длина l дуги окружности с радиусом R и радианной мерой а выражается формулой l = Ra (рис. 402). Площадь фигуры Если выбрать единицу площади, то можно измерить площадь фигуры. В качестве единицы площади можно принять квадратный метр, под которым понимают площадь квадрата со стороной, равной 1 м. Правообладатель Народная асвета 385 Рис. 405 Рис. 406 Площадь треугольника (рис. 403) равна: • половине произведения стороны и проведенной к ней высоты: S =1 a ■ h ; 2 a • произведению высоты треугольника и перпендикулярной ей средней линии: S = ha • la; • половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними: S = ab sin j; • квадратному корню из произведения полупериметра и трех разностей полупериметра с каждой стороной: P = ^(a + b + c); S = ^p(p - a)(p - b)(p - c); • произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности: S = pr; • произведению трех сторон треугольника, разделенному на учетверенный радиус описанной окружности: S = . 4R Площадь четырехугольника (рис. 404) равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними: S = ^ di • d2 • sin а. Площадь трапеции (рис. 405) равна произведению ее средней линии и высоты: S = l • h. Площадь параллелограмма (рис. 406) равна произведению стороны и проведенной к ней высоты: S = a • h. 386 Правообладатель Народная асвета ь / d\ d2 а /а Рис. 407 Рис. 408 Рис. 412 Площадь прямоугольника (рис. 407) равна произведению его смежных сторон: S = a • b. Площадь ромба (рис. 408) равна половине произведения диагоналей: S = ^ • d2. Площадь круга с радиусом R выражается формулой S = nR2. Площадь сектора с радиусом R и центральным углом (рис. 409), радианная мера которого равна а, 0 < а < 2п, выражается формулой S = 2 R2a. Площадь S боковой поверхности призмы (рис. 410) равна произведению периметра P ее перпендикулярного сечения и длины l бокового ребра. Площадь боковой поверхности прямой призмы (рис. 411) равна произведению периметра ее основания и высоты: S = Росн • h. Площадь боковой поверхности цилиндра (рис. 412) равна произведению длины окружности основания и высоты: S = C • h. Правообладатель Народная асвета 387 Cl Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (рис. 413) равна произведению полупериметра ее основания и апофемы: S = p • l. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды. (рис. 414) равна произведению полусуммы перимет- ров ее оснований и апофемы: S = Pi + P2 l. Площадь боковой поверхности конуса (рис. 415) равна произведению половины длины окружности его основания и образующей: S = ^ C • l. Площадь боковой поверхности усеченного конуса (рис. 416) равна произведению полусуммы длин окружностей его оснований и образующей: S = C1 + C2 • l. Площадь сферы (рис. 417) равна учетверенной площади большого круга: S = 4nR2. 388 Правообладатель Народная асвета Площадь сферического сегмента, как и сферического пояса (рис. 418), равна произведению длины окружности большого круга и высоты соответствующего тела: S = 2nRh. Объем тела Если выбрать единицу объема, то можно измерить объем тела. В качестве единицы объема можно принять кубический метр, под которым понимают объем куба с ребром 1 м. Объем прямоугольного параллелепипеда (рис. 419) равен: • произведению трех его измерений: V = abc; • произведению площади его основания и высоты: V = Sh. Объем произвольного параллелепипеда (рис. 420) равен произведению площади его основания и высоты: V = Sh. Объем призмы (рис. 421) равен произведению площади ее й основания и высоты: V = Sh. Объем прямой призмы (рис. 422) равен произведению площади ее основания и бокового ребра: V = Sl. Рис. 422 Правообладатель Народная асвета 389 Объем цилиндра (рис. 423) равен произведению площади его основания и образующей: V = Sl. Объем пирамиды (рис. 424) равен третьей доле произведения площади ее основания и высоты: V = 1 Sh. 3 Объем усеченной пирамиды (рис. 425) равен треть- ей доле произведения высоты пирамиды и суммы площадей оснований пирамиды и их среднего геометрического: V = ,3 h(Si + S2 + 4s1s2 Объем конуса (рис. 426) равен третьей доле произведения площади его основания и высоты: V = 1 Sh. 3 Объем усеченного конуса (рис. 427) равен третьей доле произведения высоты конуса и суммы площадей оснований конуса и их среднего геометрического: V = 1 hiS^ + S2 S1S2 Объем шарового сектора (рис. 428) равен третьей доле произведения поверхности соответствующего сферического пояса *1 2 2 или сегмента и радиуса: V = — • 2nRh • R = 2%R h. 33 390 Правообладатель Народная асвета Рис. 431 Объем шара (рис. 429) равен третьей доле произведения его поверхности и радиуса: V = 1 • 4пВ^ • R = — nR3. 3 3 Объем шарового сегмента (рис. 430) с радиусом R и высотой h выражается формулой V = 1 %h^(3R - h). 3 Объем V шарового слоя (рис. 431) с радиусом R, радиусами оснований г1 и г2 и высотой h выражается формулой V = ^6 nh (3г12 + 3г22 + h2). Объем описанного около шара многогранника (рис. 432) равен третьей доле произведения его полной поверхности S и радиуса r шара: V = 1 Sr. 3 1. Что такое единица измерения и как из основной единицы некоторой • величины образуются ее новые единицы? 2. Сформулируйте основные свойства величины. 3. Какую фигуру называют углом и что называют его сторонами и вершиной? 4. Какой луч называют биссектрисой угла? 5. Какой угол называют прямым; острым; тупым; развернутым? 6. Как называют величину, с помощью которой измеряют углы? Правообладатель Народная асвета 391 392 7. Как называют основную единицу измерения углов и как она определяется? 8. Назовите производные единицы измерения угла и укажите, как они связаны с основной единицей. 9. Какой смысл имеют углы с градусной мерой больше 360°? 10. Что называют градусной мерой дуги? 11. Какая единица измерения углов называется радианом и как радиан связан с градусом? 12. Что называют углом между пересекающимися прямыми; между скрещивающимися прямыми? 13. Что называют углом между пересекающимися прямой и плоскостью; пересекающимися плоскостями? 14. Что принимают за величину угла между параллельными прямыми; между параллельными прямой и плоскостью; между параллельными плоскостями? 15. Что называют двугранным углом; гранями двугранного угла; ребром двугранного угла? 16. Какой угол называют линейным углом двугранного угла и какое свойство имеют линейные углы одного и того же двугранного угла? 17. Что принимают за меру двугранного угла? 18. Чему равна сумма внутренних углов плоского многоугольника? 19. Какому условию удовлетворяет сумма плоских углов выпуклого многогранного угла? 20. Какую фигуру называют отрезком? 21. Как называют величину, с помощью которой измеряют отрезки? 22. Назовите употребительные единицы измерения длины и укажите, как они связаны друг с другом. 23. Что называют расстоянием между двумя точками; расстоянием между точкой и прямой? 24. Что называют расстоянием между параллельными прямыми; расстоянием между параллельными прямой и плоскостью; расстоянием между параллельными плоскостями? 25. Сформулируйте свойство многоугольника, для которого существует точка пространства, равноудаленная от всех вершин многоугольника. 26. Сформулируйте свойство многоугольника, для которого существует точка пространства, равноудаленная от всех сторон многоугольника. 27. Чему равна длина окружности с радиусом R; длина дуги окружности с радиусом R и радианной мерой а? 28. Как называют величину, с помощью которой измеряют поверхности? 29. Как называют основную единицу измерения площади и как она определяется? 30. Назовите производные единицы измерения площади и укажите, как они связаны с основной единицей. 31. Скажите, как площадь треугольника выражается через сторону и проведенную к ней высоту; через среднюю линию и высоту; через две стороны и угол между ними; через стороны; через полупериметр и радиус вписанной окружности; через стороны и радиус описанной окружности. Правообладатель Народная асвета 32. Скажите, как площадь четырехугольника выражается через его диагонали и угол между ними. 33. Скажите, как площадь трапеции выражается через среднюю линию и высоту. 34. Скажите, как площадь параллелограмма выражается через его сторону и проведенную к ней высоту. 35. Скажите, как площадь прямоугольника выражается через его стороны. 36. Скажите, как площадь ромба выражается через его диагонали. 37. Чему равна площадь круга с радиусом R; площадь сектора с радиусом R и центральным углом, радианная мера которого равна а? 38. Чему равна площадь боковой поверхности призмы; прямой призмы; цилиндра? 39. Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды; конуса; правильной усеченной пирамиды; усеченного конуса? 40. Чему равна площадь сферы? 41. Как называют величину, с помощью которой измеряют тела? 42. Как называют основную единицу измерения объемов и как она определяется? 43. Назовите производные единицы измерения объемов и укажите, как они связаны с основной единицей. 44. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда; произвольного параллелепипеда ? 45. Чему равен объем призмы; прямой призмы; цилиндра? 46. Чему равен объем пирамиды; конуса? 47. Чему равен объем шара? 48. Как объем описанного около шара многогранника связан с его поверхностью и радиусом шара? 1329. Три прямые а, b, c пересекаются в одной точке, причем прямая а составляет с прямой b угол в 20°, а с прямой c — угол в 72°. Найдите: а) угол между прямыми b и с; б) угол между биссектрисами углов, которые прямая с составляет с прямыми а и b, причем эти углы расположены по одну сторону от прямой c. 1330. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния: а) точки M от точек окружности с радиусом г, учитывая, что точка M удалена от центра окружности на а; б) между точками окружностей с радиусами г1 и г2, учитывая, что расстояние между их центрами равно d; в) между точками прямой и окружности с радиусом г, учитывая, что прямая удалена от центра окружности на d. Правообладатель Народная асвета 393 1331. Опишите способ разделения: а) треугольника на два равновеликих треугольника одной прямой; б) параллелограмма двумя прямыми, которые проходят через произвольную точку на его диагонали, так, что части, расположенные по разные стороны диагонали, попарно равновелики; в) прямоугольника на равновеликие фигуры прямой, не проходящей через вершину. 1332. Найдите стороны прямоугольника, учитывая, что одна из них относится к его диагонали как 5 : 13, а диагональ квадрата, равновеликого прямоугольнику, равна ^/3о см. 1333. Найдите стороны треугольника, учитывая, что: а) одна из них меньше в два раза второй и на 4 см третьей, а площадь треугольника равна W5 см2; б) радиусы вневписанных окружностей равны 6 см, 9 см и 18 см (рис. 433). 1334. Найдите отношение сторон прямоугольника, площадь которого составляет 75 % площади квадрата с периметром, равным периметру прямоугольника. 1335. Найдите площади двух подобных прямоугольников, на которые разделен прямоугольник со сторонами 4 м и 17 м. 1336. Найдите перпендикуляры, опущенные на стороны равностороннего треугольника длиной 24 см из его внутренней точки, учитывая, что они относятся как 1 : 2 : 3. 1337. Найдите сторону ромба, диагонали которого относятся как m '■ n, а площадь равна S. 1338. Найдите сторону треугольника, учитывая, что: а) две другие его стороны равны 5 см и 6 см, а площадь треугольника — 12 см2. б) две другие его стороны равны 10 м и 17 м, а радиус описанной окружности — 105 м. 8 394 Правообладатель Народная асвета 1339. Найдите площади треугольников, на которые треугольник со сторонами 13 см, 14 см, 15 см разделяется: а) своими медианами; б) медианой и высотой, проведенными к средней по длине стороне. 1340. Внутренняя точка треугольника со сторонами 4 см, 13 см, 15 см отстоит на 5 см от первой стороны и на 1 см от второй. Найдите ее расстояние от третьей стороны. 1341. Найдите стороны треугольника, учитывая, что отрезки, соединяющие центр вписанной окружности с вершинами треугольника, разделяют его на треугольники с площадями 12 см2, 39 см2 и 45 см2. 1342. Найдите площадь треугольника, у которого: а) две стороны вместе составляют 15 см, а проведенные к ним высоты равны 4 см и 6 см; б) две стороны равны 5 см и 7 см, а угол против одной из них — 45°; в) две стороны равны 27 см и 29 см, а медиана к третьей стороне — 26 см; г) две вершины являются основаниями высот, проведенных к двум большим сторонам треугольника со сторонами 65 см, 70 см, 75 см, а третья вершина является вершиной данного треугольника (рис. 434), из которой выходит его третья высота; д) одна сторона равна 10 см, а медианы, проведенные к двум другим сторонам, — 9 см и 12 см; е) медианы равны 9 см, 12 см, 15 см. 1343. Найдите биссектрису угла треугольника, учитывая, что этот угол равен 120°, а прилежащие к нему стороны — 6 см и 12 см. 1344. Найдите отрезки, на которые разделяет сторону треугольника его биссектриса длиной 24 см, проведенная из вершины, в которой сходятся стороны длиной 20 см и 45 см. Правообладатель Народная асвета 395 1345. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые делит его гипотенузу точка касания с вписанной в треугольник окружностью. 1346. Из треугольника ABC со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вырезан треугольник KLM, площадь которого составляет шестнадцатую долю площади треугольника ABC, а стороны параллельны сторонам треугольника ABC и равноудалены от них (рис. 435). Найдите расстояние между параллельными сторонами треугольников. Рис. 435 1347. Стороны AB, BC, CD, DA четырехугольника равны 17 см, 25 см, 26 см, 30 см, а диагональ AC — 28 см. Найдите площадь четырехугольника и его диагональ BD. 1348. Найдите площадь трапеции, у которой: а) основания равны 142 см и 89 см, а диагонали — 120 см и 153 см; б) высота равна 12 см, а диагонали — 20 см и 15 см; в) основания равны 6 см и 20 см, а боковые стороны — 13 см и 15 см. 1349. Основания трапеции равны 5 см и 11 см, а высота — 5 см. Определите, на каком расстоянии от меньшего основания нужно провести прямую, параллельную ему, чтобы площадь трапеции разделилась в отношении 9 : 8, если считать от меньшего основания. 1350. Прямая, проведенная через вершину тупого угла трапеции параллельно боковой стороне, разделяет основание в отношении 1 : 2. Найдите: а) основания трапеции, учитывая, что площадь отделенного треугольника равна 6 см2, а высота трапеции — 3 см; б) большее основание трапеции, учитывая, что ее средняя линия равна 15 см. 1351. Найдите большую сторону трапеции, учитывая, что три ее стороны равны друг другу, площадь равна 8 см2, а острый угол — 30°. 396 Правообладатель Народная асвета 1352. Определите, на каком расстоянии от вершины треугольника с высотой 4 см нужно провести прямую, параллельную стороне, к которой проведена эта высота, чтобы площадь треугольника разделилась в отношении m '■ n, если считать от вершины. 1353. На сторонах прямоугольного треугольника с катетами a и b построены квадраты и свободные их вершины соединены (рис. 436). Найдите площадь полученного шестиугольника. 1354. Точка P стороны AB треугольника ABC делит ее в отношении m ■ n, а точки Q и R сторону BC — в отношении i ■ j ■ k. Найдите, в каком отношении площадь треугольника разделяется прямыми PQ и PR. 1355. Одна сторона треугольника с площадью S разделена на n долей прямыми, параллельными другой стороне, и из обоих концов каждого из параллельных отрезков, заключенных между сторонами треугольника, опущены перпендикуляры на следующую прямую (рис. 437). Найдите площадь фигуры, образованной полученными прямоугольниками. 1356. Определите, в каком отношении, если считать от вершины, нужно разделить сторону треугольника двумя прямыми, параллельными другой стороне, чтобы треугольник разделился на равновеликие части. 1357. Каждая сторона треугольника с площадью Q разделена в отношении m ■ n ■ m. Найдите площадь шестиугольника, вершинами которого являются точки деления. 1358. Определите, в каком отношении диагоналями делится на четыре части площадь трапеции, основания которой относятся как m '■ n. 1359. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD выбраны соответственно такие точки M и N, что AM ■ MB = k и AN ■ ND = l. Найдите, какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь четырехугольника AMPN, учитывая, что P — точка пересечения прямых BN и DM. 1360. Определите, существует ли треугольник, высоты которого равны: а) 3 см, 4 см и 5 см; б) 1 см, 1 см и 3 см; в) 5 см, 10 см и 12 см. 1361. Точки G1, G2, G3 являются проекциями центроида G прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C на стороны BC, AC, AB соответственно (рис. 438). Докажите, что ^ площадь треугольника GG1G2 равна площади четырехугольника GG1G3G2. 1362. Прямая, проходящая через вершину A треугольника ABC и разделяющая его медиану BG в отношении 1 : 2, если считать от вершины, пересекает сторону BC в точке K. Определите, какую часть площади треугольника ABC составляет площадь треугольника ABK. 1363. Прямые, проходящие через концы основания равнобедренного треугольника и середину его высоты, проведенной к основанию, разделяют треугольник на три треугольника и четырехугольник (рис. 439). Найдите, какую часть каждый из них составляет от площади данного треугольника. 1364. Докажите, что треугольники ABM и CBM, где M — внутренняя точка треугольника ABC, равновелики тогда и только тогда, когда точка M является точкой медианы BB1. 398 Правообладатель Народная асвета 1365. Докажите, что площадь трапеции равна: а) удвоенной площади треугольника, вершинами которого являются концы одной боковой стороны и середина другой; б) произведению одной боковой стороны и перпендикуляра к ней, опущенного из середины другой боковой стороны. 1366. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны: а) 6 и 8, а отрезок, соединяющий середины оснований, — 5; б) m и п, а средняя линия — l. 1367. Докажите, что: а) два четырехугольника, середины сторон которых совпадают (рис. 440), равновелики; б) если середины M и N сторон BC и AD четырехугольника ABCD соединить с его вершинами (рис. 441), то суммарная площадь треугольников ABN и CDN равна площади треугольника ADM; в) если M и N — такие точки сторон AB и DC четырехугольника ABCD, что AM '■ BM = CN ■ DN, а P и Q — точки пересечения отрезка AN с отрезком DM и отрезка CM с отрезком BN соответственно (рис. 442), то площадь четырехугольника MQNP равна суммарной площади треугольников APD и BQC; г) если M и N — точки, делящие сторону AB четырехугольника ABCD на три доли, а P и Q — точки, делящие сторону DC также на три доли (рис. 443), то площадь четырехугольника MNQP равна третьей доле площади данного четырехугольника. 1368. M, N, O, P — такие точки сторон четырехугольника ABCD, что AM : BM = 3 : 5, BN ■ CN = 1 : 3, CO : DO = 4 : 5, DP ■ AP = 1 : 8. Определите, какую часть площадь шестиугольника MBNODP (рис. 444) составляет от площади данного четырехугольника, и установите, при любых ли отношениях AM : BM, BN : CN, CO ■ DO, DP ■ AP задача имеет решение. 1369. Найдите площадь каждого из треугольников, на которые разделяется четырехугольник с площадью 45 м2 точкой пересечения диагоналей, учитывая, что эта точка разделяет их в отношении 2 : 3 и 4 : 5. 1370. Найдите площадь четырехугольника ABCD, у которого противоположные стороны AB и CD длиной соответственно 2 и 4 перпендикулярны, а стороны AD и BC равны 5 и 7 соответственно. 1371. Прямые, проходящие через вершины C и D четырехугольника ABCD и соответственно параллельные прямым BD и BC, пересекаются в точке E. Докажите, что треугольник ACE равновелик данному четырехугольнику. 1372. Внутреннюю точку параллелограмма соединили с его вершинами. Докажите, что сумма площадей треугольников, прилежащих к одной паре противоположных сторон, равна сумме площадей треугольников, прилежащих к другой паре сторон. 1373. Через середину каждой диагонали четырехугольника провели прямую, параллельную другой диагонали, и через точку пересечения этих прямых и середину каждой стороны четырехугольника провели прямые. Докажите, что они разделили четырехугольник на равновеликие четырехугольники. 1374. Прямая, параллельная стороне треугольника, разделила его на равновеликие части. Выясните, в каком отношении эта прямая разделила две другие стороны. 1375. Каждая из сторон AB и DC параллелограмма ABCD разделена на m равных отрезков, а каждая из двух других сторон — на n равных отрезков. Начало первого, второго и т. д. отрезков на стороне AB, считая от вершины A, соеди- 400 Правообладатель Народная асвета нили с концом первого, второго D и т. д. отрезков на стороне CD, считая от вершины D. Также конец первого, второго и т. д. отрезков на стороне AD, считая от вершины A, соединили с началом первого, второго и т. д. отрезков на стороне BC, считая от вершины B. В результате параллелограмм разделили на треугольники, трапеции и параллелограммы (рис. 445). Выясните, какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь одного такого параллелограмма. 1376. Каждая вершина параллелограмма соединена с серединами двух противоположных сторон. Выясните, какую часть площади параллелограмма составляет площадь восьмиугольника, ограниченного этими отрезками (рис. 446). 1377. Из четырех треугольников, на которые разделена трапеция своими диагоналями, треугольники, прилежащие к основаниям, имеют площади и S2. Найдите площадь трапеции. 1378. Прямая, параллельная стороне треугольника с площадью S, отсекает от него треугольник с площадью Q. Найдите площадь четырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами меньшего треугольника, а четвертая лежит на стороне большого треугольника. 1379. Найдите все такие внутренние точки X треугольника ABC, что треугольники XAB и XAC равновелики. 1380. Используя площади, докажите теорему о точке пересечения медиан треугольника. 1381. В круг с радиусом R вписаны три равных круга, касающиеся друг друга. Найдите площадь той части большого круга, которая не покрывается вписанными кругами (рис. 447). Правообладатель Народная асвета 401 1382. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5 : 6, а гипотенуза равна 122 см. Найдите проекции катетов на гипотенузу. 1383. Один катет прямоугольного треугольника с периметром 84 см равен 35 см. Найдите гипотенузу. 1384. Докажите, что сумма величин, обратных квадратам катетов прямоугольного треугольника, равна величине, обратной квадрату высоты, проведенной к гипотенузе. 1385. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 35 см. Найдите медиану, проведенную из вершины прямого угла. 1386. Найдите радиус окружности, описанной около: а) прямоугольного треугольника, биссектриса которого делит один из катетов на части 4 см и 5 см; б) равнобедренной трапеции, основания которой равны 60 см и 80 см, а боковая сторона — 26 см. 1387. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, у которых наибольшие биссектрисы равны 5 см и 12 см. Найдите наибольшую биссектрису треугольника. 1388. Найдите стороны треугольника, учитывая, что: а) один из его углов прямой, биссектриса другого угла делит противолежащую сторону в отношении 3 : 5, а периметр равен 72 см; б) его углы, прилежащие к одной стороне, равны 45° и 60°, а проведенная к ней высота — 12 см. 1389. Диагонали трапеции равны 15 см и 20 см, а средняя линия — 12,5 см. Найдите высоту трапеции. 1390. Основания прямоугольной трапеции равны 17 см и 25 см, а большая боковая сторона — 10 см. Найдите отрезок, который соединяет точку продолжения меньшей боковой стороны с серединой большей и ей перпендикулярен. 1391. Найдите периметр прямоугольного треугольника, гипотенуза которого больше одного катета на 2 см, а другого — на 25 см. 402 Правообладатель Народная асвета 1392. Биссектриса, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит ее в отношении 2 : 5. Выясните, в каком отношении делит гипотенузу проведенная к ней высота. 1393. Высота, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, делит ее на части 3 см и 2 см, если считать от вершины. Найдите эту высоту и периметр треугольника. 1394. Высота равнобедренного треугольника разделена в отношении 2 : 3, если считать от вершины. Через вершину основания и точку деления проведена прямая. Выясните, в каком отношении она делит боковую сторону. 1395. Сравните поверхность шара с полной поверхностью цилиндра, учитывая, что они имеют равные объемы и радиус шара равен радиусу основания цилиндра. 1396. Гипотенуза и катеты треугольника являются диаметрами трех шаров. Установите зависимость между их поверхностями. 1397. Радиус шара равен 18 см. Выясните, какую площадь имеет часть его поверхности, которая видна из точки, отстоящей от центра на 30 см. 1398. Четыре шара лежат на столе так, что каждый касается трех остальных и плоскости стола. Три шара имеют радиус, равный R. Найдите радиус четвертого шара. 1399. Плоскость, отстоящая на 3 см от центра шара, пересекает его по кругу с радиусом 4 см. Найдите объем шара. 1400. Найдите объем конуса, учитывая, что: а) в него вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник, у которого меньшая сторона равна a и острый угол между диагоналями — а, а боковая грань, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания угол в; б) он вписан в пирамиду, основанием которой является ромб со стороной a и острым углом ф, а образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 0. 1401. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Выясните, как относится площадь полученного сечения к площади большого круга. Правообладатель Народная асвета 403 1402. Докажите, что если одна из граней вписанной в цилиндр треугольной призмы проходит через ось цилиндра, то две другие грани взаимно перпендикулярны. 1403. В конус высотой 24 см вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см. Найдите отношение полных поверхностей пирамиды и конуса. 1404. В усеченный конус вписана правильная усеченная п-угольная пирамида. Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см, а высота — 4 см. Найдите полную поверхность пирамиды, учитывая, что: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6. 1405. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, вписанного в цилиндр: а) с радиусом основания г, учитывая, что диагональ параллелепипеда составляет с основанием цилиндра угол а, а угол между диагоналями основания равен 60°; б) с высотой h, учитывая, что угол между диагоналями одной грани параллелепипеда, обращенный к боковому ребру, равен а, а угол между диагоналями параллелепипеда, обращенный к тому же ребру, — р. 1406. Есть цилиндр с радиусом основания г, осевым сечением которого является квадрат. В него вписана прямая треугольная призма, у которой два двугранных угла при боковых ребрах равны а каждый. Найдите объем призмы. 1407. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с острым углом а. В него вписан цилиндр с радиусом г, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол 60°. Найдите объем параллелепипеда. 1408. Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около шара с радиусом г. 1409. Радиус основания конуса равен г, а образующая составляет с основанием угол а. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус. 1410. Образующая конуса равна l и составляет с основанием угол а. В него вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с острым углом р. Найдите объем пирамиды. 404 Правообладатель Народная асвета 1411. Форма для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр большего основания — 5 см. В нее вложили две ложки мороженого в виде полушаров диаметром 5 см. Выясните, поместится ли мороженое в форме, когда оно растает. 1412. Шарообразный приемник газа имеет в диаметре 9,22 м. Выясните: а) какова его вместимость; б) до скольких атмосфер сжат газ в газоприемнике, учитывая, что в него закачано 2500 м3 газа при нормальном давлении. 1413. Чтобы отлить свинцовый шар диаметром 3 см, используют свинцовые шарики диаметром 5 мм. Выясните, сколько таких шариков нужно взять. 1414. Выясните, сколько воды вмещает котел, размеры которого на рисунке 448 даны в сантиметрах. 1415. Железобетонная плита для перекрытия потолка размерами 180 х 24 х X 580 см имеет по длине 9 круглых сквозных отверстий диаметром 10 см. Найдите массу плиты, приняв плотность железобетона равной 2400 кг/м3. 200 Рис. 448 1416. Цилиндр с радиусом основания r и высотой h рассечен плоскостью, параллельной оси. Найдите объем меньшей части цилиндра, учитывая, что дуга ее основания равна 120°. 1417. Две полуплоскости с общей границей касаются цилиндра и двугранный угол между ними, обращенный к цилиндру, равен 60°. Выясните, в каком отношении линии касания этих поверхностей разделили боковую поверхность цилиндра. 1418. Ось цилиндра с радиусом основания r и вдвое большей высотой является границей двух полуплоскостей, двугранный угол между которыми равен 36°. Найдите полную поверхность образовавшейся меньшей части цилиндра. 1419. Радиус шара равен 2 м, а радиус сечения шара плоскостью — 1 м. Найдите объем сектора, который соответствует сегменту, отсеченному плоскостью. Правообладатель Народная асвета 405 1420. Найдите площадь сечения шара плоскостью, которая : а) отстоит от центра на 10 см, а радиус шара равен 60 см; б) отстоит от центра на 19 дм, а радиус шара равен 82 см; в) проведена через середину радиуса длиной 28 см; г) проведена через конец радиуса длиной R под углом 60° к нему. 1421. Докажите, что сечения шара двумя плоскостями, проходящими через концы одного диаметра под равными углами к нему, равновелики. 1422. Найдите полную поверхность конуса, учитывая, что: а) он описан около шара с радиусом г, а угол между образующей и основанием конуса равен а; б) его образующая составляет с плоскостью основания угол 45°, а высота равна 6 см; в) он получен свертыванием жестяного сектора с углом 270° и радиусом 7,1 см и закрыт жестяным кругом. 1423. Центральный угол развертки боковой поверхности конуса равен 90°. Найдите площадь его осевого сечения, учитывая, что радиус основания конуса равен 6 см. 1424. Найдите радиус шара, учитывая, что: а) площадь сечения шара плоскостью, которая перпендикулярна радиусу и проходит через его середину, равна 36п см2; б) общая хорда перпендикулярных сечений, проведенных на расстояниях 8 см и 12 см от центра, равна 18 см; в) он описан около правильной треугольной призмы, у которой высота равна H, а диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания под углом а; г) он вписан в правильную п-угольную пирамиду, у которой сторона основания равна а, а двугранный угол при основании — ф; д) он описан около правильной п-угольной пирамиды, у которой сторона основания равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом а; е) он описан около пирамиды, у которой основанием является прямоугольник с диагональю 8 см, а каждое боковое ребро составляет с основанием угол 15°; 406 Правообладатель Народная асвета ж) он описан около правильной четырехугольной пирамиды, каждое ребро которой равно 4 см. 1425. Найдите объем цилиндра, учитывая, что он вписан в: а) правильную четырехугольную призму, каждое ребро которой равно а; б) правильную шестиугольную призму, каждое ребро которой равно а; в) шар с радиусом R, а высота равна диаметру основания; г) шар с радиусом R, а диагональ его осевого сечения составляет с основанием угол а. 1426. Найдите боковую поверхность цилиндра, учитывая, что: а) площадь его осевого сечения равна S; б) он вписан в шар с радиусом R, а диагональ осевого сечения составляет с основанием угол а. 1427. Найдите объем шара, учитывая, что: а) его диаметр равен D; б) объем его части, заключенной между касательной плоскостью шара и плоскостью, параллельной ей и отстоящей на 3 см, равен 72п см3; в) он описан около прямой призмы с объемом 24 см3, основанием которой является прямоугольный треугольник, а катеты основания и боковое ребро относятся как 1 : 2 : 3. 1428. Выясните, как: а) изменится поверхность шара, если его радиус увеличить в 2 раза; б) относятся объемы шаров, если их поверхности относятся как m ■ n. 1429. Найдите массу гранитного шара диаметром 1,8 м, учитывая, что плотность гранита равна 2,6 кг/дм3. 1430. Найдите радиус шара, учитывая, что его масса равна: а) 150 кг и он изготовлен из железа, плотность которого равна 7,9 г/см3; б) 10 кг и он изготовлен из чугуна, плотность которого равна 7,2 г/см3. Правообладатель Народная асвета 407 1431. Выясните: а) шар какого диаметра получится при переплавке двух чугунных шаров с диаметрами 25 см и 35 см; б) сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска свинца массой 1 кг, учитывая, что плотность свинца равна 11,4 г/см3. 1432. Найдите массу полого железного шара, учитывая, что плотность железа равна 7,9 г/см3, а: а) внутренний и внешний диаметры соответственно равны 35 мм и 50 мм; б) радиусы внутренней и внешней поверхностей равны 50 мм и 100 мм. 1433. Внешний диаметр полого шара равен 30 см, а толщина стенок — 5 см. Найдите объем материала, из которого изготовлен шар. 1434. Чугунный шар диаметром 10 см покрыт бронзовой оболочкой толщиной 3 мм. Найдите массу бронзы, израсходованной на покрытие шара, учитывая, что плотность бронзы равна 8,7 г/см3. 1435. В шаре с радиусом 15 см вдоль диаметра просверлено цилиндрическое отверстие диаметром 18 см. Найдите полную поверхность полученного тела. 1436. Правильная четырехугольная пирамида, у которой сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен а, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину и параллельной стороне основания. Найдите объем полученного тела вращения. 1437. Шар получен вращением полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр. При этом поверхность, образованная при вращении некоторой хорды, один конец которой совпадает с концом данного диаметра, разделяет шар на части с равными объемами. Найдите косинус угла между этой хордой и диаметром. 1438. Площадь большого круга шара равна 50п см2, а два взаимно перпендикулярных сечения шара имеют общую хорду длиной 6 см. Найдите расстояние от центра шара до сечения, учитывая, что площадь одного из них равна 25п см2. 408 Правообладатель Народная асвета 1439. Внутри шара с радиусом r взята точка, отстоящая от центра на d. Через его проведены три попарно перпендикулярные плоскости. Найдите сумму площадей трех полученных сечений. 1440. Четверть круга AOB с радиусом r вращается вокруг радиуса OB. Выясните, на каком расстоянии x от центра O нужно выбрать точку P и через нее провести прямую l, параллельную радиусу OA, чтобы кольцо, описанное отрезком CD, где C и D — точки пересечения прямой l с хордой AB и дугой AB соответственно (рис. 449), имело данную площадь пт, и найдите наибольшее значение этой площади при изменении x от 0 до г. 1441. Газовый резервуар имеет форму цилиндра, который сверху закрыт шаровым сегментом. Радиус цилиндра равен 15,0 дм, высота цилиндрической части — 100 дм, а полная высота резервуара — 125 дм. Найдите его объем. 1442. Выясните, какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, высота которого равна десятой доле диаметра шара. 1443. Найдите объем части шара, которую отсекает от него плоскость, учитывая, что радиус окружности сечения равен: а) 24 см, а радиус шара — 30 см; б) 60 см, а радиус шара — 75 см. 1444. Найдите объем части шара с радиусом R, учитывая, что она заключена между: а) двумя плоскостями, которые перпендикулярны диаметру шара и разделяют диаметр на три доли; б) параллельными плоскостями а и в, из которых плоскость а пересекает шар по окружности с радиусом r = 0,8R, а плоскость в равноудалена от плоскости а и параллельной ей касательной плоскости шара. 1445. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара с радиусом 9 см, делит этот диаметр в отношении 1 : 2. Найдите объем меньшего шарового сегмента. Правообладатель Народная асвета 409 1446. Цистерна имеет форму цилиндра, к основаниям которого приставлены равные сферические сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента — 0,5 м. Выясните, какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны была равной 50 м3. 1447. Найдите объем шарового сектора, учитывая, что: а) его радиус равен г, а угол его осевого сечения — 120°; б) радиус окружности основания соответствующего сегмента равен 60 см, а радиус шара — 75 см; в) радиус окружности основания соответствующего сегмента равен 100 см, а радиус шара — 125 см. 1448. Шаровой сектор образован вращением кругового сектора около своей оси симметрии. Докажите, что если площадь его осевого сечения равна третьей доле площади большого круга, то объем его равен четвертой доле объема шара. 1449. Докажите, что центр шара, описанного около: а) правильной призмы, лежит на середине отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы; б) правильной пирамиды, лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды. 1450. Поверхность шара равна 100п см2. Найдите объемы сегментов, на которые плоскость, перпендикулярная диаметру, делит шар, учитывая, что площадь сечения шара этой плоскостью равна 16п см2. 1451. Найдите поверхность шара, учитывая, что: а) он вписан в цилиндр с боковой поверхностью 36п см2; б) в него вписана прямая призма, основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник, высота призмы равна 12 см, а длина диагонали меньшей грани — 13 см; в) он описан около прямой призмы, основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами 3 см, а площадь сечения, проведенного через один из катетов основания и противолежащую вершину другого основания, равна 7,5 см2; г) он касается поверхности данного шара с радиусом г, боковой поверхности цилиндра, описанного около данного шара и одного основания цилиндра; 410 Правообладатель Народная асвета д) осевое сечение цилиндра, вписанного в шар, является квадратом, а боковая поверхность цилиндра равна 16п см2; е) он вписан в правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания 4 см и боковой гранью, наклоненной к плоскости основания под углом а; ж) он вписан в правильную четырехугольную пирамиду, высота которой втрое больше радиуса шара, а сторона основания равна а; з) он описан около правильной пирамиды, боковое ребро которой равно b и составляет с основанием пирамиды угол а; и) он вписан в конус, образующая которого равна l и составляет с плоскостью основания угол 60°. 1452. В цилиндр, диаметр d которого равен высоте, вписан шар. Найдите поверхность шара и полную поверхность цилиндра. 1453. Найдите поверхность шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, у которой: а) сторона основания равна 2 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°; б) сторона основания равна а, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 30°; в) боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°, а радиус окружности, описанной около основания, равен 6 см; г) ребро равно а и составляет с плоскостью основания угол а. 1454. Найдите диаметр шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, у которой: а) сторона основания равна 4 см, а боковое ребро — 6 см; б) высота равна 28 см, а боковое ребро — 35 см; в) все ребра равны а. 1455. Найдите радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, у которой: а) боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°, а радиус окружности, описанной около основания, — 4 см; б) сторона основания равна а и высота — h; в) боковые ребра составляют с плоскостью основания угол 60°, а сторона основания равна а; г) плоский угол при вершине равен а, а сторона основания — а. Правообладатель Народная асвета 411 1456. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4 см. Найдите площадь сечения призмы, проведенного через второй катет и противолежащую вершину второго основания, учитывая, что боковое ребро призмы равно 3 см, а площадь описанного около нее шара — 61п см2. 1457. Найдите объем призмы, вписанной в шар с радиусом: а) 9 см, учитывая, что она четырехугольная и ее высота равна 14 см; б) R, учитывая, что она треугольная и ее высота равна H; в) R, учитывая, что она четырехугольная и диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания под углом а. 1458. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, вписанного в шар с радиусом R, учитывая, что диагональ параллелепипеда составляет с одной гранью угол а, а: а) с другой — угол 60°; б) угол между диагональю этой грани и стороной основания равен 60°. 1459. Около шара с радиусом r описана правильная треугольная призма. Найдите ее: а) боковую поверхность; б) полную поверхность. 1460. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 2 м, а сторона основания — 3 м. Найдите: а) диаметр описанного шара; б) угол, под которым видно из центра боковое ребро. 1461. Найдите отношение: а) полной поверхности цилиндра, вписанного в шар, к поверхности шара, учитывая, что высота цилиндра равна диаметру его основания; б) полной поверхности цилиндра к поверхности вписанного в него шара; в) объемов шара и вписанного в него конуса, основанием которого служит большой круг, а вершина принадлежит поверхности шара; г) объемов усеченного конуса с радиусами оснований r и r1 и вписанного в него шара. 412 Правообладатель Народная асвета 1462. Докажите, что на прямой, содержащей высоту правильной пирамиды, лежит центр: а) описанного около нее шара; б) вписанного в нее шара. 1463. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, учитывая, что она: а) описана около шара с радиусом 3 см, а диагональ ее основания — см; б) описана около шара с радиусом г, двугранный угол при ее основании равен а; в) вписана в шар с радиусом 4 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°. 1464. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, учитывая, что она: а) описана около шара с объемом V, а двугранный угол при основании пирамиды равен а; б) вписана в шар с радиусом R, а плоский угол при вершине равен а; в) вписана в шар с радиусом R, а боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол а; г) вписана в шар с радиусом г, а боковая грань наклонена к основанию под углом а; д) описана около шара с радиусом г, а высота пирамиды равна H. 1465. Правильная п-угольная призма вписана в шар с радиусом R. Ребро основания призмы равно а. Найдите высоту призмы, учитывая, что: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6. 1466. Около правильной четырехугольной пирамиды описан шар. Найдите радиус этого шара, учитывая, что сторона основания равна: а) 6 см, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60°; б) 2а, а боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°. 1467. Найдите радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, учитывая, что: а) сторона ее основания равна а и плоский угол при вершине — а; Правообладатель Народная асвета 413 б) ее высота равна стороне основания, а объем равен 9 см3; в) ее боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30°, а середина апофемы пирамиды отстоит от плоскости основания на 2 см; г) ее боковое ребро равно 2 см и наклонено к плоскости основания под углом 60°; д) ее высота равна 12 см, а боковое ребро — 15 см. 1468. Найдите радиус шара, учитывая, что: а) в него вписана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна а, а высота равна стороне основания; б) он вписан в пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а и углом а, а каждая боковая грань пирамиды наклонена к плоскости основания под углом в; в) в него вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю 10, а ее боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 5; г) он вписан в треугольную пирамиду, боковые ребра которой взаимно перпендикулярны и равны а; д) в него вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю 2а, а каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом в; е) он вписан в правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания а и высотой h. 1469. Найдите боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, учитывая, что: а) ее высота равна 8 см, а сама она описана около шара, центр которого отстоит от боковой грани пирамиды на 3 см; б) радиус вписанной в нее сферы равен 8 см, а боковая грань пирамиды наклонена к плоскости основания под углом 60°; в) она описана около шара с радиусом R, а плоский угол при ее вершине равен а; г) она усеченная, описана около шара с радиусом г, а двугранный угол при ее основании равен а. 1470. Найдите радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, боковые грани которой наклонены к плоскости основания под углом 60°, а сторона основания равна: а) 12 см; б) 18 см; в) l. 414 Правообладатель Народная асвета 1471. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, а боковое ребро — 2a. Найдите радиусы вписанного и описанного шаров. 1472. Радиусы шаров, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду и описанного около нее, равны 4 см и 10 см. Найдите сторону основания и высоту пирамиды. 1473. Найдите радиус шара, описанного около правильной пирамиды, у которой боковое ребро равно: а) b и составляет с основанием угол а; б) l, а высота — h. 1474. В шар с радиусом r вписана правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро которой составляет с основанием пирамиды угол а. Найдите это ребро. 1475. Найдите радиус шара, вписанного в правильную пирамиду, высота которой равна h, а двугранный угол при основании равен: а) 60°; б) а. 1476. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, а угол между противолежащими боковыми гранями — а. Найдите радиус вписанного шара. 1477. Высота правильной пирамиды равна h, а радиус описанной около основания окружности — г. Определите: а) радиус описанного шара; б) при каком соотношении между h и r центр шара лежит внутри пирамиды, на ее основании, вне пирамиды. 1478. Радиус шара, вписанного в правильную пирамиду, равен г, а двугранный угол при основании — а. Найдите полную поверхность пирамиды, учитывая, что она является: а) четырехугольной; б) треугольной. 1479. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см, а боковое ребро — 2 см. Выясните, как по отношению к пирамиде расположен центр описанного около нее шара. 1480. Учитывая, что шар вписан в правильную: а) треугольную пирамиду со стороной основания а и двугранным углом при ней — а, найдите объем шара; Правообладатель Народная асвета 415 б) четырехугольную пирамиду, расстояние вершины которой до центра шара равно а, а угол наклона боковой грани к плоскости основания — а, найдите полную поверхность пирамиды. 1481. Найдите объем шара, учитывая, что он: а) описан около правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 30 см, а боковое ребро — 24 см; б) вписан в правильную треугольную пирамиду, сторона основания которой равна а, а двугранный угол при основании — а. 1482. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна а, а угол при основании треугольника — а. Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом ф. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара. 1483. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, учитывая, что: а) радиус шара, вписанного в нее, равен 10 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°; б) ее высота равна H, а радиус описанного около нее шара — R. 1484. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, учитывая, что: а) радиус шара, вписанного в нее, равен 10 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°; б) ее высота равна H, а радиус описанного около нее шара — R. 1485. Найдите объем конуса, в который вписан шар с радиусом г, учитывая, что: а) образующая конуса равна диаметру его основания; б) это конус наименьшего объема; в) угол наклона образующей к плоскости основания равен а. 1486. Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание и общую высоту. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Докажите, что площадь сечения, заключенного между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площади основания. 1487. Через точку высоты полушара проведена перпендикулярная ей плоскость, и в полученные шаровые сегмент и слой вписаны такие конус и цилиндр соответственно, что 416 Правообладатель Народная асвета сечение полушара является их общим основанием. Найдите такое положение сечения, при котором боковые поверхности конуса и цилиндра равны. 1488. Найдите объем конуса, учитывая, что радиус его основания равен 18 дм, а радиус вписанного в конус шара равен 9 дм. 1489. Найдите площадь осевого сечения конуса с объемом 48 см3 и длиной окружности основания 9 см. 1490. Есть правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2. Угол при вершине между ребрами одной грани равен а. Через центр основания проведена плоскость, параллельная боковой грани. Найдите периметр и площадь полученного сечения. 1491. Найдите значение выражения: а) 2008 + 22 - 32 + 42 - 52 + 62 - 72 + ... + 982 - 99' 2. б) 83 - (0,(1))- (4о,25 - 1)-(4о,25 +1) ’ в) 25'og93 + log-2(log! ^ 49 7 1492. Найдите 30 % числа 0,8 - ^ • (4,22 - 28,07 : 3,5)J2 + 18^ 0,25. 1493. Найдите значение выражения: а) -(^—x y , учитывая, что x = 0,11 и у = 5,5; х° - x2y sin2a- cos2a + 1 , „ „ б) ---;—73; учитывая, что tg а = 0,3; sin2a + cos2a +1 в) a + 3 95 - a’ Ых - 15 = 4 • VX учитывая, что a корень уравнения 1494. Расположите по возрастанию числа х = 0,5 у = log2 256 и z = 2П. loga X • log, X 1495. Упростите выражение —a----------—. loga X + log, X -S Правообладатель Народная асвета 417 2 решение системы решение системы 1496. Найдите сумму: а) Хо + уо, учитывая, что (xo; y0) • 3y = 12, "[2y • 3x = 18; б) x0 + Уо2, учитывая, что (x^; y0) I xy - ^ = 1,5, y x lx2 - y2 = 3; ,, , Ч „ I x ^ 4, в) целых решений системы неравенств V 1497. Найдите значения переменной а, при которых: а) сумма кубов корней уравнения х2 - 6х + а = 0 равна 162; б) один корень уравнения а2х2 - 5х - 21 = 0 меньше 3, а другой — больше 3. 1498. Один рабочий может выполнить заказ за 4 ч, а другой — за 6 ч. Определите, за какое время они выполнят заказ, если будут работать вместе. 1499. Найдите радиус круга, вписанного в сектор AQB, учитывая, что QA = 6 см и AB = 3 см. 1500. Найдите: а) корень уравнения 3х - 2 - 2х + 1 = 2х - 1 - 77 • 3х - 7; - 1с§3(3х - 1) + б) сумму целых решений неравенства 31 + 1og3(7 - х) < 2; в) количество корней уравнения sin 6х - cos2 х = Vs cos 6х + 2 на промежутке [0; 10п]; г) количество целых значений в области определения функции у = yj{9 - х2) 43х - 6 . 1501. Касательная к графику функции у = х2 - х - 2 наклонена к оси абсцисс под углом 60°. Найдите удвоенную ординату точки касания. 1502. Найдите длину промежутка, на котором убывает функция у = х3 - 6х2 + 9х + 2. 1503. Найдите сумму координат вершины равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенуза которого соединяет точки (1; 3) и (3; 5). 418 Правообладатель Народная асвета * * * 1504. Диагональ AC выпуклого четырехугольника ABCD делит пополам диагональ BD. Сравните углы ACB и ACD, учитывая, что AB > AD. 1505. Решите уравнение x = [^fx + 2)(l —JT—Jx )2. 1506. Докажите, что при любом натуральном значении переменной n целые части чисел \fn + sjn + 3 и -Jn + 1 + -Jn + 2 равны. 25. Геометрические построения Построения линейкой и циркулем В геометрии важную роль играют построения с использованием только двух инструментов — линейки и циркуля. Геометрическая линейка односторонняя и не имеет делений (рис. 450). С ее помощью можно провести: • прямую через две данные точки; • луч, который начинается в данной точке и проходит через другую данную точку; • отрезок, соединяющий две данные точки; • произвольную прямую; • произвольный луч; • произвольный отрезок. С помощью циркуля (рис. 451) можно: • отметить две точки R и S, расстояние между которыми равно данному отрезку AB; • построить окружность с центром в выбранной точке и радиусом, равным данному отрезку; • построить произвольную окружность. 1 Рис. 450 Правообладатель Народная асвета 419 Это элементарные построения, которые можно выполнить линейкой и циркулем. Их сочетание позволяет проводить более сложные построения. Решить задачу на построение означает свести ее к последовательному выполнению элементарных построений, которые можно выполнить циркулем и геометрической линейкой. Вместе с этим сведение решения каждой задачи к элементарным построениям нерационально. Обычно построение нужной фигуры сводят к так называемым основным построениям: • построение отрезка, равного данному отрезку; • построение угла, равного данному углу; • построение треугольника, равного данному треугольнику; • построение треугольника, стороны которого равны трем данным отрезкам; • построение треугольника, сторона которого равна данному отрезку, а прилежащие к ней углы — двум данным углам; • построение треугольника, угол которого равен данному углу, а прилежащие к нему стороны — двум данным отрезкам; • построение середины данного отрезка; • построение биссектрисы данного угла; • построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой; • построение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой; • построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу; • построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету; • построение прямой, проходящей через данную точку и касающейся данной окружности; • деление данного отрезка на n отрезков-долей; m • деление данного отрезка в данном отношении n; • построение отрезка, четвертого пропорционального трем данным отрезкам. Множество всех точек, имеющих определенное свойство, называют геометрическим местом то'чск. 420 Правообладатель Народная асвета Геометрическим местом точек, которые: • равноудалены от сторон угла, является биссектриса этого угла (рис. 452); • равноудалены от данной точки, является окружность (рис. 453); • равноудалены от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (рис. 454); • равноудалены от двух данных параллельных прямых, является серединный перпендикуляр к перпендикуляру, опущенному из какой-либо точки одной прямой на другую прямую (рис. 455); • равноудалены от двух данных пересекающихся прямых, является пара прямых, образованных биссектрисами углов, на которые данные прямые разделяют плоскость (рис. 456). Геометрическим местом точек, из которых: • данный отрезок виден под прямым углом, является окружность, для которой данный отрезок служит диаметром (рис. 457); Правообладатель Народная асвета 421 Рис. 458 • данный отрезок виден под данным углом, отличным от развернутого, является пара дуг, для которых данный отрезок служит общей хордой (рис. 458). Функцию, областью определения которой является множество всех точек плоскости (пространства), и каждая точка получается точно из одной точки, называют преобразованием плоскости (пространства). Если точка M при преобразовании переходит в точку M', то точку M' называют образом точки M, а точку M — прообразом точки M'. Если точки X' и Y' — образы точек X и Y при некотором преобразовании плоскости или пространства и всегда Х''^' = XY, то говорят, что это преобразование сохраняет расстояния между точками. Преобразование, сохраняющее расстояния между точками, называется движением. Преобразование движения имеет такие свойства: • три точки одной прямой отображаются в три точки также одной прямой, а три точки, не лежащие на одной прямой, — в три точки, которые также не лежат на одной прямой; • отрезок отображается в отрезок, луч — в луч, прямая — в прямую, треугольник — в треугольник, плоскость — в плоскость; • сохраняются величины углов, площади многоугольников. На плоскости рассматриваются следующие виды движений — осевую симметрию, центральную симметрию, параллельный перенос, поворот. Точки X и X' называются симметричными относительно прямой l, если прямая l является серединным перпендикуляром к отрезку XX' (рис. 459). Каждая точка прямой l считается симметричной самой себе. Прямая l называется осью симметрии. Преобразование плоскости, при котором каждая точка плоскости отобра- X' модули которых не превышают 4. 1564. Катер за 80 мин прошел 5 км по озеру и 13 км против течения реки. Найдите скорость катера по озеру, учитывая, что скорость течения реки равна 2 км/ч. 1565. Найдите все значения переменной т, при которых уравнение (1 - x)|x + 2| = т2 имеет три корня. 1566. Расстояние между точками M и N, в которых прямые, проведенные через точку A, касаются окружности, равно 60 см. Найдите радиус окружности, учитывая, что AM = 78 см. 1567. Найдите: а) количество корней уравнения \/-x 1 + x = 1 + yf-x; б) произведение корней уравнения log4 x + logx 0,0625 = 1; Правообладатель Народная асвета 441 в) сумму корней уравнения sin 3x - cos 8x = 2, принадлежащих промежутку [-180°; 270°]; г) количество целых чисел в области значений функции у = \х - l| + |2x + 4|, заданной на множестве [-3; 2]; д) наибольшее целое число из промежутка убывания функ- 2 -4 ции у = х + х . 1568. Найдите: а) произведение абсцисс тех точек графика функции у = -х3 + + 3х2 + 16х + 2, в которых касательная образует с осью абсцисс угол 45°; б) медиану треугольника с вершинами в точках (-7; 3), (-5; 1) и (-2; -1). 1569. Найдите: а) какую часть от поверхности шара составляет площадь его сечения плоскостью, перпендикулярной диаметру и делящей его в отношении 1 : 4; б) при каком боковом ребре правильная четырехугольная пирамида имеет наибольший объем, учитывая, что периметр боковой грани равен 36 см. 1570. На смежных сторонах AB и BC ромба ABCD построены такие правильные треугольники ABF и BCG, что один из них лежит вне ромба, а другой имеет с ромбом общую треугольную часть. Докажите, что точки D, F и G лежат на одной прямой. 1571. Решите уравнение 4cos 2х - cos 4х = 16х + 3. 1572. Докажите, что при положительных значениях переменных а, b, c, d истинно неравенство a4 + р- + ci + d4 > а2 + b2 + c2 + d2. bc cd da ab Правообладатель Народная асвета Ответы Раздел I 9. >/386 см. 10. 21 см. 11. а) 45 см2; I5/15 см3; б) 2аУз; . 2 г 4 ^ 13. а) 3al + ; б) 4al + 2a2; в) 3aV3 + 6al. 14. 26 см. 15. а) 4464 см2, 9828 см3; б) 3^3 + 2W1I + Ызз см2, 4^11 см3; в) 72(l + Ы2) см2, 21W2 см3; г) 2a2(tg а + tg в + tg а tg Р), a3tg а tg Р; д) —(1 + W2), 1 . 28 16. 90 см2, 3^/3 см3. 17. м, 6у15 м, 7^15 м2, 13,^^ м3. 18. а) 400 см2, 50^/3 см3; б) 200^I3 см2, 108/2 см3. 19. 45° и 135°. 20. 128/21 см2. 22. 88/2 см2. 23. 960 см2. 24. 18 144 см2. 25. 2d2sin ф(sin а + V cos2а - si^ф). 26. sin ф ----. 28. а) F1 + F2; б) -F, + F,. 30. «3,7 кг. 2sin Р (1 + sin ф + cos ф) _______3_____ 7 ^ I 2 ^ 2~^ 31. 240/2 см3. 32. а) 720/2 см3; б) h sin ^C°s„ а—sin-P. 33. 438/s см3. sin2 Р 34. а) 8 м3; б) 1728/2 см3. 35. 2310 см3. 36. а) 70/3 4 см3; б) 98/2. 37. —. 4 38. l3sin а sin Р cos2 Р ^ Q2 sin 2Р 4(1 - cos а) 2a 40. 3aV3 8 41 l3tg ф 4 42. 72 см3. 43. 198/3 см3. 44. . 45. 300 см3. 46. ю/3 см3. дм3. a^3(4a2 - b2) 8 47. а) ab^- cos 2ф; б) 18/^ см3. 49. 1080 см3. 50. ylS1S2S3; 78/2 51. 1298/1Г см3. 52. 105 см3. 53. 60 см3. 54. 2 м, 1 м, V3 м, 3 м. 57. 612 см3. 59. 1050 см3. 60. 8/3 см2, 2,25 см3. 61. 154. 62. а) 18 000; б) 72 000. 63. 60. 64. 3. 65. n = 13k - 2, k е Z. 66. 2521. 4 67. 105. 68. а) (-^; .. 9 ^/1^ 9 wn3. 4 ; +^j; б) ^-^; -U (-1; +то); в) [0,5; 2]; г) (-0,5; 0,6]. 70. а) [2; 8]; б) [-5; 5]; в) (0, 1]; г) (-^; -2] U [2; +^). 71. 13. 72. 30; 33. 73. 42; 66. 74. 27; 28,5. 75. 36; 63. 76. 0,8. 87. а) 5 м; б) 29 см; в) 125. 88. а) 12 см; б) о/3 см; в) 14W3 см2. 89. а) 2a2; б) 2na2; в) 4na2; г) na3. 90. а) 20/2 см; б) 200п см2; в) 800п см2; г) 4000W3 см3. 92. 8/^0П м. 93. 256 см2. 94. 8 см. 95. rh. 96. а) 5 дм; б) 6 см. 97. cos ф. 98. yis2 - 4h2d2. 99. s/2. 100. п2 м2; м3. 101. —. 4 102. 6 см; 18 см. 103. «3,3 м2. 104. 1 d2 sin ф; — (2п sin ф + cos ф + 1). d2 2 4п 106. —2 + —2 -. 107. 1 ±^^. 108. arctg ^ I-1. 109. 300п дм2. 110. pp. 2п(—1 + S2^^ ^ ^ ^ 8/2 Правообладатель Народная асвета 24 443 111. 20 см или 100 см. 112. 2-кд 3 (l W2). 113. h^■. 114. а) 108п см3; б) см; в) 3 см. 115. 208 м. 116. «1513 т. 117. —^nQ. 118. « 106,8 к v34 2 . 360° 121. 4 : 1. 122. 3пд 3/а. б) 2. в) 3/а. г) 2/2. . 123. а) ^; б) П; в) ^; г) ^; д) 4 4п п 2п п 124. 45°. 125. na2h 4cos2 а 126. пт3 cos а sin 2а 8 . 127. 1 on пт3 .2 ^ ^ ^ ^ ^ N Va - 1 ^/a + 1^ 1 , т2 .. 1 130. —^sin -t^. 136. а) -----^-----; б) -; в) —^; г) —. 8 2 2 у/a n п2 т 2п 2 пa ctg а 2 . Раздел II 284. а) (-^; -5) U (-5; +^); б) (-^; +^); в) (3; +^); г) (-^; +^); д) (-^; 2) U и (2; +^); е) (-^; +^). 285. а) a > 0; б) ж < 0; в) и = ^-^; г) и = 0. 141 ■Д 292. а) 2; б) 27; в) 1; г) 9. 293. а) a; б) yfx; в) a5; г) у1,3. 294. а) —2д-; о/2 _ W 3 г ^ ^ I I ^ a b б) O'3 + 1; в) a 3 - b 3 ; г) жп - уп . 295. а) a 1; б) л/т9; в) a5; г) a 2; д) - a; е) 2у. 303. а) 5; б) -8; в) 5; г) 2. 304. а) 0; б) 0; в) -5; г) 10; д) 2; е) 2. 305. а) 24; б) 29. 306. 45. 307. 3. 308. 16; 30; 34. 309. -. 310. 17 -^/2 Ws + 3. 9 4 317. 8 см; см. 318. 3,75 см. 319. 11 см. 346. а) л/2ж^^1; ж) л/2(2ж - 2^^-1. 347. 8 см, 15 см. 348. см. 349. 48. 350. а) 48; б) 54. 351. 7,5; 19,2. 4 352. а) -19; б) 9. 353. а) (-1; 1); б) (2; 6); в) (-2; 5); г) (-5; 6). 354. а) 2; 9; б) -8 WO; в) -17; -3; -10 ± ^Ю; г) ^^; 7. 355. а) 7; б) -1; -0,5; в) -2; г) -0,5. 356. а) 0,22; б) 6; в) -0,75; г) -4,84. 357. а) (1; +^); б) [3; 7); в) (3; 4,8]; г) [-6; 3); д) (3; +^); е) [0,5; 5). 369. а) 19; б) 3; в) 8; г) 0; д) 28; е) 6. 370. а) 7; б) 8; в) 5; г) 0; 25; д) 0; 16; е) 0. 371. а) 7; б) 6; в) -0,5; г) 0. 372. а) 6; б) -1; в) 2,5; г) -2; д) 0; е) 0,6. 373. а) -1; 4; б) 2; в) 1; г) ±4; д) -2; 6; е) -2; 1; ж) -7; 2; з) 1 ± ^/64^ ; 1 ±^60589 374. а) 5; 18 18 8 б) -2; 0; в) -3,5; 0; 1,5; г) 0,6. 375. а) 2; 3; б) 7; 8; в) 2; г) нет корней; д) 0; е) -2; 14; ж) 2 ^^; з) 0; 2. 376. а) (1; 8); б) (45-5^65; в) (-1; 2); г) (2,5; 1,5). 377. а) (2; 8); (8; 2); б) (10; 5); в) (1; 4); г) (5; 6). 378. а) (-2; 14]; б) [3; +^); в) [4; 5]; г) [42; +^); д) [3; +^); е) [-48; 16]. 379. а) (-^; 0] U (4,5; +^); б) (-^; 0]; в) 9 -10; 2 13 д) [3; +^); е) 4; 4 16 и [3; +“); г) (-“; +“); 16 3; 1 + л/15 ; к) нет ; ж) нет решений; з) [4; 5); и) решений. 380. а) (-2; 0) U (0; 2); б) [0; 3]; в) [2; 5]; г) [-1; 0]; д) [-3; 1]. 444 Правообладатель Народная асвета 3 п 385. а) Нет корней, если c < 1; 0, если c = 1; ±0,5jc - 1, если 1 < c < 2; 0,^/C^T, если c > 2; б) нет корней, если c < 0 или 0 < c < 2; 0, если c = 0; 2\1 c -1, если c > 2; в) 0, ---1—2, если c < -2; 0, (2 + c)2 если c > -2; г) нет корней, если c < 2; 4c2 -, если c > 2; c Ic2 4 c(c — 4) д) нет корней, если c < 2; ±^^^------, если c > 2; е) —-----—, если c < -2 ^ ^c2 -1 2(2c +1)’ или -0,5 < c < 0; нет корней, если -2 < c < -0,5 или c > 0. 386. а) Нет кор, = 0. 2d - 1 -yl4d - 3 2 ней, если d < 0 и если 0 < d < 1; 0, если d = 0; -, если d > 1; б) нет корней, если d < -0,25; 1 ± ^d + 1, если -0,25 < d < 0; -1 ±-j4d + 1 если 0 < d < 1. -1 -yl4d + 1 1 W4d - 3 если d > 1; в) 11 - d W6 - d, 22 если d < 2; 11 - d ± \l6 - d, если 2 < d < 6; нет кор- ней, если d > 6; г) 0. 387. а) a > 0; б) a > -0,25; в) 0 < a < VS; г) a > 1; д) a > 1; е) a > 0. 388. а) e e [-1; -0,5) U (1,5; 2]; б) b > 1. 389. a) 3 W2; , если a Ф 0; нет решений, б) a = -2c, b = c2, c > 0. 390. а) (; |a если a = 0; б) нет решений, если a < 2; 6; 6 + 22 ^ - 4 2a , если a > 2. 391. а) [4; +^); б) [-1,25; +^); в) [-0,25; +^); г) [4,5; +^); д) [1,5; +^); е) -1^; +^j. 392. а) -1; б) 16; в) -3; г) 7. 393. а) Ни при каких; б) a = 2, b = 0, c = 3; в) ни при каких; г) a = -2, b = -3, c = 3. 394. а) -3; -0,5; -9; б) 0,3; 1,5; 3,5; в) 0,2; 2,5; 3,75; г) -4; 3; 12. 395. а) 5 км/ч; 4 км/ч; б) 5,25 км/ч; 3,75 км/ч. 396. а) 4 км; б) 4 км/ч; 5 км/ч; 3 км/ч. 397. а) Прямоугольный; б) тупоугольный; в) остроугольный. 398. а) 72°, 63°, 45°; б) 67,5°, 60°, 52,5°; в) 75°, 65°, 40°. 399. а) ^^-i; ЯЬ/4!; б) 7; 24; 25; 20 20 в) !69; if; г) 15; 17. 400. а) W2; б) 30; в) 1^30; г) (2 W^) ^/в. 401. 4 см2. 402. . 403. 8 см. 404. i. 405. 2шп. 406. 56 см. 407. 42; 49. 408. W2. 8 6 9 Раздел III i\f2tg • а . 417. а) a\IS; 2 sf39. ; б) 60°. 416. а) b2sin а cos а; б) _ _ , 44 65 -; б) ^^. 427. 37 см, 2^2 см. 428. 790 см2. 425. 20 см2. 426. а) 2cos а sin в 429. 6912 см2. 430. 10 см, 12 см. 431. а) Ws см; б) 48^/2 + 1) см2. 432. 12 см, Правообладатель Народная асвета 445 2 a2 - b2 см. 4^3. ■tg a. 434. 72(3 + Wa We) см2. 435. 19^2 см2. 436. 189 см2. 437. 26 см. 438. eWs см2. 439. 12 см. 440. а) Jh2 + ; б) arccos- 6H2 + 2a 441. 72^/7 + 1) см2. 442. а) ; в) arctg H; г) arctg 2H^; д) 2arcsin 2 a Ц/cos a 1 - cos a a б) l в) arccos tg —; ’ ^ 2 2 г) 2arcsin ^/2cos a). 44^. 3a2. 445. 24 см, 56 см. 446. \I7 дм. 447. 16 448. 24 м2, 30°. 449. а) 6 дм3; б) 4,95 м3. 450. 64 ^/26 +1) см2, 4262 см3. 3 в) —, 2 ; г) 4r3ctg3 a^- cos 2a 451. 6^3 см2, 3^3 см3. 452. 50 см3. 453. а) 4h3ctg2a; б) a\Jcos 2a 6 sin a 3j-2c 2 3 cos a ; д) 2H m3 I 2cosa ctg2 P; e) —, 3 6 1 - cos a l3 h3 2 ж) —cos Ф sin 2ф. 454. —tg a; 3 3 cos a h2 h2 (1 + sin a); -----(1 + sin a + cos a). 455. а) b sin a cos2a; б) — cos2 a^ 1 - 2cos 2a; в) 2 ^3sin2 a cos —^1 + 2cos a; . а) г) 18^/s см3; д) sin ф cos2 ф; e) ^cos2 a^J 1 - 2cos 2a; ж) sin2 в^1 + 2cos P; 2 l3 . 2 P —sin — 3 2 з) 3sin ф ^1 + 2cos ф. 456. 5^419 см3. 457. 252^/3 см3, 3^1333 2 458. а) 338^^ см3; б) 9 12 -tg ф; в) 360 см3. 459. arctg „12^—. b3 sin a 460. а) ^sin2ф tg a; б) 48 см3; в) 1 abc. 461. 140^/3 см3. 462. 2Л/П см3. 463. 576 см3; 465. 24^3 дм3; 168^/3 дм3. 466. «127 г. 467. 9 см, 11 см, ■868 см3. 3 aV3 7aV3 3 3 m - n 468. 15W2 см3. 469. а) ^tg ф, m^tg ф (m > n); б) , . 24 24 48 48 470. 9,6. 471. 16. 472. а) 75; б) (m + п + b) . 473. 12; 25. 474. 5; 7,5. 475. 53 m + п 27 и 147. 476. — или —. 477. 10. 478. а) 3 см + 7 см; 3 см + 14 см; 14 см + 7 см; 5 15 б) 2 см + 13 см; 2 см + 24 см; 24 см + 13 см; в) 3 см + 17 см; 3 см + 48 см; 48 см + 17 см. 479. 102 см, 150 см. 4^0. 50 см, 104 см. 4^1. 16 м, 10 м. 487. а) 144п см2; б) nm2 sin 2ф; в) na2(3 + W3). 4^8. 51 см. 4^9. а) 108п см2; б) 72п см2; в) 36п см2. 490. а) -^—2 g ; б) 0,9п м2; 4sin2 a Q«n° в) 25п(1 W2) см2. 491. 8п см2, 4п см2. 492. а) « 255°; б) « 312°; в) 3 ^ Г. 493. 4п м2; ^/2 м. 494. 30°. 495. 16^/2 см2. 496. — bc2sin2a. 498. arccos 0,6. 446 Правообладатель Народная асвета 2 2 см . cos 3 a см2. 499. - S2. 500. 10^/б см2. 501. а) ; б) 2й2; в) ; г) 200 см2; 2 2 д) nR2d2 H2 ' 502. а) m2; б) m\[2; в) mVs; г) 2m2. 503. -^. 504. 375 505. Ну13; H^/6. 506. 0,751. 507. 3 см. 508. а) ; б) 1404п 3 3 - a см3; в) 2 nSjS sin 2а. 509. а) пН3 12 ; б) s33n^J2 12 см3; в) -Ar3'Jn2l4 - P2; 3n2l3 г) ----^2. 510. а) —1^ см3; б) 27 000п см3; в) 1 • 85W3 см3; г) 24 696п ctg 65°; д) «4065 дм3; е) 103,2 см3. 511. а) 144п см3; б) 9 см; в) J3-^. 512. 1 : 7 : 19. 513. а) Н(2 - 34). 514. 60 см2. 515. а) 15 см; V пт 2 б) 16 см. 516. 160п см2. 518. а) 12; б) 36 дм2. 519. 12п м3, 84п м3. см2; 520. 14 м. 521. sin22a. 522. 500п см3. 523. 1 Ws. 524. а) 7^/3 3 б) 24 (3 W17) см2; в) 18(3/3 W43) см2; г) 2^^ (з/б+Тб ^ 125 - з/^) см2. 525. 3 ct^j^tg в з/а. 24 sin — 2 . 526. ^^tg в sin3 ф. 527. а) 2 а 2^ ^ ^ 4 29 + 3/73) см2; б) (14,5 + 13/41) см2; в) 3(^91 + 53/3) см2; г) (23/2 + 3/5 48 13/53/5 - 32) см2. 528. а) RW3 ; б) ----------^ ^ H + r/2 H + Wb R^y/B 529 ^/3 . 3 . 531. а) -6,875; б) 4; в) 5; г) 0,81; д) 8; е) 0,25. 532. а) 17; б) -2; в) -20; г) -14. 533. а) (а + x + 1) ; б) uv; в) —1—; г) 1; д) Ь + с; е) 1 - r2; ж) 2; 2ax c + d зЗ/p. 534. а) -1,5; б) 1,02; в) 36; г) 2. 535. а) 6; б) 4; -61; в) -2; 5; г) 1; 32. 536. 124. 537. 4. 538. i7. 539. -7; - ^. 19 3 Раздел IV 563. а) — ■; 5 ; б) 2; 25 ; в) — ■; 11 ; г) -1; 121 L 2^ J J L121 J L1^ J 565. а) 8; |; б) 4; 1; в) 8; 1; г) 1; 0,25. 566. а) 2; |; б) 2; |; в) 9; 6; г) 3; -1. 567. а) (-3; +^); б) (-21; +^); в) (2; +^); г) [1; +^); д) (0; 1); е) (0; 1]. 568. а) б) 7; 3 3 7; 3 3 ; в) [0;1); г) [1; +^); д) (-1; +^); е) (-^; +^). 572. а) m = 2; б) 0 < m < 1; в) -1 < m < 0; г) m = -1; д) 1 < m < 2; е) -4 < m < -3. 573. а) 0 < а < 1; б) а > 1; в) а > 1; г) а > 1. 577. а) 0; б) 0; в) (0; +^); г) (-^; 0). 579. 63. 580. 9 ч 8116 мин, 13 ч 45105 мин. 581. 1 + -.126 км. 582. 980 ц. 14^ 143 Правообладатель Народная асвета 447 см3. 3 2п. 2п. 5п 35a\f3 583. а) —; б) —; в) ; г) . 586. 9 9 12 18 36 587. W3 588. а) a^^33; б) 3^^. 589. 40W3 см2; 88п см3. 594. з) -; и) --; 4 8 3 3 к) -5; л) 2-; м) 5,4. 598. 48. 602. а) V2; б) ^N; в) 3; г) 3; д) 2; е) 4; 43 ж) т1; з) -j^; и) -j^. 603. в) 25; г) -3; д) 5,5; е) 3; ж) 7; з) —; и) 5 8. 94 34 32 3 _2 _1 604. а) 2 3; б) —; в) -2,5; г) 2; д) —; е) 3 2; ж) 2,5; з) -2,4; и) 2; к) -; 27 80 2 л) 3; м) 0,5. 605. а) (-^; 4); б) (0,5; +^); в) (-^; 7); г) (-7; 7); д) (-3; 0) и (2; +^); е) нигде не определено; ж) (-^; 0,5); з) (-^; 0); и) (-^; 1); к) (0,5; 1) U (1; +то). 606. а) a = b > 0 и a ф 1; б) Ь = 2а - 1 и a > 0,5. 610. а) 1; б) 2; в) 3; г) 2; д) 4; е) -3; ж) 2; з) -3. 611. а) 4; б) 1,5; 3 2 ^~2 4Г~ в) -2; г) -4. 612. а) x = a4b7; б) x = a-; в) x =]a ; г) x = , ’ ’ ’ ’ ’ Ь3 5^ 7Пл 613. а) г) •Jxy4 ■ 3П2 , ,0, Wx2 - 1 ; б) ^x tg x; в) ’ ^ 3----. 614. а) 40; б) 4,86; в) c4 • \[ba —j=—. 617. а) -; б) -; в) 2,5; г) 1,5; д) 6; е) 36; ж) 5; з) 2,25. 4 P 33 618. а) 1,204; б) 0,756. 619. а) 3a + 2Ь; б) 1 + Ь; в) 2a + Ь; г) 1 + a + Ь. 620. а) 2(1 - 2a); б) 6 + a ; в) (1 + 2a)(1 + Ь); г) 2с + d + 6cd + 1. 622. а) 36; ’ 3(a - 2Г 2(6 - a) ’ 2a(3 - 2Ь) ’ 2c(3 - 2d) ^ б) 8; в) 64; г) 8; д) ^Тт; е) 2. 623. а) 44; б) 1.5; в) -; г) -3; д) |; е) 44; ж) 2; з) 0; и) i. 624. а) i; б) 5; в) V2 - 1; г) -11; 1; д) S - 1; е) 2; ж) V2 + 1; 33 з) -3. 625. е) x = a3'; ж) x = m3n4; з) x = ^О^Ь3; и) x2 = —1“j; к) x = a c ; 6-x л) x = ^^; м) x = зО2 ЧЬ3. 626. а) 8; б) i; в) sin 2а; г) 1; д) 8; i; аЬ2с3 9 4 е) ^; ^9; ж) 27; з) 144; 2Wa. 627. а) 64; б) 2; в) 9; г) ^а3; д) 16; 0,5; е) i; V2; ж) —; ^/3; з) 27; 9. 630. у = 4x - 7; 61. 631. у = -x2 + 2x - 3; 2. 632. у = 1 x2 + 2x + 1. 633. 4x + у = 0. 634. у = 2(2±yls)x. 637. 21; 28; 35. 638. 65 см. 639. 78 см, 120 см, 125 см. 640. 25 см. 64^. а) (1; +^); б) (-^; -2) и (0; +^); в) (-1; +^); г) (-2; 2); д) (-^; 2) U (2; 3) U (3; +^); е) (-1; 0,5). 653. а) (-^; -1) U (4; +^); б) (-5; -3) U (3; +^); в) (1; +^); г) (-1; 6); д) (4; +^); е) (3; +^). 654. а) (2nk; (2k + 1)п), k е Z; б) (-^; +^); в) ^-п + 2nk; I + 2nkj, k е Z; г) (-^; 0). 660. а) (3; +^); б) г) (0,5; +^); д) (0; 9); е) (0; 0,16). 661. а) 2; б) 3,5; в) |; г) 8; д) 46; е) -8. ^1; +^j; в) (0; 4); 448 Правообладатель Народная асвета 3 Ь x 666. а) (1; +^); б) (0;1). 668. arcsin 0,75. 669. V2c 670. г)2 • R sin а 2 2 cos а cos ф ^/со^(а+"Ф)сО^(а^Ф). 671. ^/з. 672. а) 1500пл/13 13 б) 1250п см3. 673. 192 см2. 674. 1800 см3. 675. а) 1824п см3; б) 512п см3; в) У3 . 683. в) 2,5; г) 3; д) —; е) 2; 5; ж) 1; з) 3. 684. а) (0,75; +^); 24 3 б) (-^; 1,5); в) ^-^; -^j; г) ^-^; -2j; д) [4; +^); е) (2; +^); ж) (-4; 3); з) (3; +^). 685. а) -0,5; б) -3; 0,5; в) ^; г) -3; 1; д) 4; е) 6. 686. а) (-^; 8]; 3 б) (-^; 0,4); в) (-^; 0,8); г) [9; +^); д) (-1; +^); е) (-^; -3,5] U [3,5; +^); ж) (-^; 0]; з) (0; +^); и) (-^; 0]. 687. а) -1; б) -1,5; 0,5; в) 3; г) 0,5. 688. а) [0; +^); б) [0; +^); в) (-^; 2]; г) (-^; -0,5]; д) (-^; 1) U (2; +^); е) [-2; +^). 689. а) 1; б) 1; в) 3; г) 2. 690. 4. 691. а) 1; б) -3; в) 2; г) 4. 692. а) (1; +^); б) (-^; 1); в) [4,5; +^); г) (-^; 1]. 693. а) 0; 1; б) 0; 1; в) 0; 2; г) 1. 694. а) (-2; -1); б) (0; +^); в) (-^; 1] U [2; +^); г) [-0.5; +^); д) (-^; -1) и (1; +ТО); е) (-^; -1). 695. а) 2; 3; б) 0; 1; 2; 3; в) -3; -2; -1; 0; 1; г) -3; -2. 696. а) [-6; 3); б) (5; 30]; в) (-^; -1); г) (-^; 0) U (1; +то); д) (-2; 1); е) ^-|; 2^. 697. а) 0; 2; б) -1; в) 0; 2; г) 1. 698. а) (-^; +^); б) (-^; -1]; в) (-^; 0) U (1; +то); г) (-^; 0]. 699. а) 3; б) 0,6; -1 W2; в) 0; 2; г) -i; 4. 700. а) (0; +^); б) (-^; -/2] U [0^/2]; в) [3; 4]; г) [2; +^). 33 704. а) (1; 1); б) (0; -2), (-1; -3); в) (2; -1); г) (-1; Ц); д) (3; 1); е) (-1; |j. 705. а) (2; 1); б) (1; 1); в) (3; 2); г) (3; -2); д) (1,5; 0,5); е) (0; 1). 706. а) (1; 1); б) (0; 2); в) 5; г) 3,5; д) (7; 3); е) (1,5; 2); ж) 1 - ; з) (2; 5). 32 707. а) ± logi2 (1 WT - b), если Ь < °; ±l°g12(1 WT-&), если Ь е (0; 1]; нет корней, если Ь > 1; б) нет корней, если c = 0; {log2 c; 2 log2 c}, если c > 0; в) нет корней, если a < -1; log2 (a + 1), если a е (-1; 0]; log2 (a + 1), log2 a, если a > 1; г) (loga 2; 0) U (-loga 2; +^), если 0 < a < 1; (-^; -loga 2) U U (0; loga 2), если a > 1. 709. а) 2; б) 1; в) 3; г) 3; д) -1; е) 0. 711. а) 2; б) -2; 0; в) 1; 2; г) -0,5; 1; д) 0; 1; е) -2; 3. 712. а) 0,25; б) 14; в) 2; г) 4; д) -2; е) 0,4. 713. а) (1; +^); б) [2,6; 4); в) (-^; 0,5] U ^|; +^j; г) (-3; 1]; -21; - 2 6 д) (-^;-2]и[5; 51|); е) ( -ТО; -1). 714. а) ( -ТО; ^/5 - 4); б) в) (3; 5); г) (-5; 0^. 715. . 716. 252 см2, 180 см3. 717. а) 3 32 216 и [2; 3]; n^v/stg ( Правообладатель Народная асвета 449 2^1 п nc sin а + — 3 см б) Vatg. 54 . 718. 24W10 дм2; 4п(5 + Wl0) дм2. 726. а) ±1; б) ±8; в) 1; г) 16; д) 5; е) 3. 727. 2, 10, 50 или 50, 10, 2. 728. а) 8; б) 1; в) 9; г) 3; 8 ■ - 9 _ д) ; г) (7; 16); 5; д) ±^5; е) 3. 729. а) (7; 34); б) ^ —ТО; —19.ij; в) ^“1; ■-; Ij; е) (—^; —0,05); ж) (70; +^); з) (20; +^); и) [6; +^); к) (|;3^; л) (5; 4 + W2); м) (2; 3) U (11; 12). 730. а) (6; +^); б) (2; 3]; в) ^/3; 2); г) (1; V2); д) (5,5; 7]; е) нет решений. 731. а) —9; 3; б) —8; 4; в) 100; г) 9. 732. а) (0; 9.) U (9; +^); б) (0; ] U [27; +^); в) (2; 32); г) ^3i=; 10^. 733. а) ^i; 1j и (2; +^); б) (0; 1] U [3; 9]; в) ^0; U (1; 27); г) (1^/2] U [4; +^); д) (1; Ws]; е) (0; Ци ^1; +c»j. 734. а) —loga 5; б) |; в) —4; г) 4; 8. ; +^j; з) ^/10; +то) . 736. а) V3; б) 27; в) i; 4; г) -^; 27; д) 2; 5; е) —1. 737. а) 8; б) 0,1; в) 4,5; г) нет корней; д) 5; е) 4; 6. 738. а) -JT0 — 1; 9; б) 0,1; 105; в) —8; —3; г) —5; 3; д) 2; 3; е) 10; ж) V2; 4; з) 2; 2—7. 739. а) 3; б) log2^/2 — 1); в) —2; г) 2; д) 0; 3; е) 2; ж) (0; 1]; з) [2; 4]. 740. а) (^/2; 0) U (0^/2); б) (—^; )^^^; +^); в) (Ю0; +^); г) (0; 0,1) и (ю2 ^^; 102 и и (105; +^); д) (0; 5—1’5); е) (3; +^); ж) нет решений; з) (—^; log3 2 — 1) U и (logg 2; +^); и) (2; +^); к) |^—то; 1j и (1,2; 1,25). 741. а) [0,25; 8]; б) (0; 0,001) и (10; +^); в) (4пк; | + 4nkj + 4nk; 2п + 4п^ k е Z; г) f—п + nk; п + пк], k е Z. 742. а) —4; б) 2 W2; в) ^ — 1; 8; г) 2; д) —1,8; 735. е) 1 — 3. 2 23; е) 3. 743. а) j U (1; 8); б) (0; 1) U ^/3 j; в) (—^; +^); г) (—^; 0] U и [log6 5; 1); д) ^0; -|j U [1; 9); е) (—^; —8) U (1; +то). 746. а) 3; >/2; б) 4; 2; в) —2,6; —1; 3; г) 1; 2. 747. а) (0; 1) U [2; +^); б) (-1; 0) U [1; +то); 3 в) (—^; —9] и [9; 15); г) [—log3 2; 0). 748. а) (1000; 10); б) (1; 9); в) (106; 0,1); г) (8; 0,25). 749. а) (2; 5), (5; 2); б) (32; 2), (2; 32); в) (9; 7), (7; 9); г) (1; 1). 750. а) (1; 2); (16; —28); б) (4,5; 0,5); в) (2; 6); г) (9; 6). 751. а) ^Я^; б) 0,01; 10; в) i; 3; г) 0,01; 100; д) 10; 0,1; е) 0,01; 10. 752. a >0; a ф ,г^, a ф 1. 753. (—5; — 1) U (2; +^). 754. а) (—4; —3) U (3; 5); ............V 3’ , б) (2; 2,5). 755. (—^; —1) и (3; +^). 756. а) (—3; 1); б) (—^; — 7] U [7; +^); 450 Правообладатель Народная асвета в) -1 -уЦ. -1 --Jb\^-1W5. -1 Wi^\. г) никакие; д) (-^; -2). 757. (1 - а; 2 + 2а - a2), если a е (-^; -2) U (-2; -1); (a; 3 - a2), если a е (2; 3) U и (3; +^); нет решений, если [-1; 2] U {-2; 3}. 760. а) 3; б) 1; в) 8; г) 1; д) 4; е) 0. 761. а) (4; 1); б) (13; 12); в) (0,5; 0,5); г) (1; 2). 762. а) (3; +^); б) [4; +^); в) [0,5; +^); г) 20- з) ■20; 4^ и (5; +^); д) (9; +^); е) {-^Js; 0); ж) нет решений; 2,5; 7 + V297 ]. 764. 54 см2. 765. 7,28 см. 766. 54 дм2; 2Uf3 дм 01,3 а 2b cos а cos— 767. а) - 2; б) 1 м3. 769. ^/3; 3 2пг3 Раздел V 779. а) 160п см; б) 24п см. 780. а) 180п см2; б) 3\[3 см. 781. а) 1 см, 225 см; б) 2 см, 128 см. 782. а) 18 см; б) 24 см. 784. б) 20\l10 см. 786. а) 4 см; б) 3 см. 787. 8 см. 788. 12 см. 789. а) ; б) ^. 2 2 8 790. а) 3Wa см; б) 5^/2 м. 791. 0,6 R. 794. 4п(г12 + r22). 795. 2nR sin ф. 796. 216п см2. 797. 10 см. 798. 40п дм. 799. 2; 801. а) 144п см2; б) 16п дм2; в) 8п м2; г) 48п см2. 803. а) 36 м2; б) 900п см2. 804. а) 9 см; . а) 4R sin ^^1 - 4 sin2 ф; 2Rj1—4sin2ф; б) 16 nR2 sin2 ф(3 - 4sin2 ф). 806. 240п см. 807. а) «127,5 млн км2; б) «36 724 км; в) «15 930 км; 13 г) «23 567 км. 808. «1420 см2. 809. а) «44 км; б) «63 км; в) «83 км. б) 10 м. 805 240 б) r(1 - cos а^. 812. r(cos а ± cos -О). 813. а) 1820п см2; б) 240п м2 или 660п м2 810. а) 983 км; б) 985 км; в) 952 км; г) 1025 км. 811. а) 2пгsin—; в 2 814. 13 см. 815. а) пг2(2 W2); б) пг2(2 ^Д); в) 4пй2. 816. а) 1; б) -1; 6; в) 4; г) 0; д) 2; е) 1. 817. а) (4; +^); б) (-1; +^); в) (-^; -3) U (1; +то); г) 0; д) (-^; 3); е) (1; +^); ж) (0; 4); з) (-4; 0); и) (-^; -3) U (1; +то). 818. а) 2; б) 0; 1; в) 1; г) 0; д) -2; е) 2; ж) 0; з) 2. 819. а) 0,1; 104; б) 3; в) 3; г) 4; д) -4; е) 2. 820. а) (2; 6]; б) (-^; 4); в) (-0,5; 1,5); г) (-^; -1); д) (1; 10]; е) (-3; 2); ж) (1,2; 1,25); з) нет решений. 821. а) (4; 5]; б) (5; 6]; в) (0; 1); г) (4; +^); д) (10; +^); е) (-4; -3). 822. а) Нет корней; б) ±п- + 2кп, 3 к е Z; в) (1)k + 1arcsin1 + кп, к е Z; г) ^ + кп, к е Z; arctg (-3) + пп, n е Z. 34 823. а) п + пк к е Z; 3п + пп, п е Z; б) — + пк 8 + 2 ’ 4 12 6 ' пп п е Z; г) — + пк, к е Z; п + пп , п 2 ' 2 24 + 6 к е Z; ± -2^ + 2пп, 3 Правообладатель Народная асвета 451 8 3а 3 sin — 2 2 2 ± + 2пп, n е Z; е) - + - k, k е Z. 824. а) ^-^42 ’ ±- + - + 2kn, k е Z; 4 3 б) (2п + 1)п, п е Z; 2n(3k + 1), k е Z; в) n(8k + 1), k е Z; п(8п + 1), п е Z; Ь 1Ь 72 32 ^ kn , „ (6п + 1)п \ 2п ^ ^ „ \ Ьп , 1 3 , пп г) —, k е Z; --------—, п е Z; д)----+ nk, k е Z; е)---+— arccos —+----, 3 1^ ’ 3 48 8 5 4 п е Z; —п— -^arccos 3 + , k е Z. 825. 35 см и 48 см, 21 см и 64 см или 36 6 5 ^ 24 см и 70 см, 32 см и 42 см. 838. а) 256п см2; 2°48п см3; б) 3 см; 113,04 см2; в) 4 см; 256п см3. 839. На «0,43 cм повысится. 841. а) Нет; б) будет. 844. 1000 . 845. а) 3^^ см; б) см. 846. 18 см. 847. Шар; конус. 32 848. - 23. 849. а) 5 : 27; б) 45п см3, 243п см3. 850. «23,6 м3. 851. а) 2904п см3; nR2 3 б) . 852. 5 : 16. 853. 152 604 мм3. 854. «821 см3. 855. 3528п см3. 8 856. а) nR-(2 Wa); б) 3 858. а) (1 - cos 01); б) 2пг Vs 857. nr 3 2nr_. nr3 3 ; 3 2nh3 3(1 - cos —^2 859. 8r3. 860. 10,5 см. 861. 16r3. 863. a cos — 2 864. 8 см. 865.0,4^/5. 866. 8R3 sin2 ayjcos 2a. 867. 0,2R/^. 868. 15 552 см3. 869. 4na3cos3 6 tg3 — nl3 a 3 a 6cos — . 870. W2:1. 871. а) пЬЫ_. 54 б) 2 . 872. а) R ctg n—-. 873. —r). 874. 2R tg -; 2R ctg -; 4 l ^ ^ ^ 2 2R 875. а) —7 ; б) l cos a tg —. 877. . 878. а) a 2sin ^ 2 2J2 4' --------; б) ; -5^. 879. 1536 см3. • 2 a 6 ^/3 880. а) 4n'JZa 2 3 wVb + 44b2'- б) 13(13 - W17) см. 882. 128 см3. 883. а) na^ . 3 3 ^ ч aj 3cos2 а + 1 ; б) ---sin а tg —. 881. а) — -----------• 6 2 3(2a2 - b2)yj2a2 - b2 ; б) 2sin a na Vb 432 884. 3R_ 32 sin a(1 - cos a). 886. а) 4n 4n sin2 2a 3sin3 2a см3; б) 100n 2 ---5— см ; sin2 2p 500n 3sin32p 889. 2д/з . 887. а) 10 дм; б) —; в) 13 см. 888. 3 cos а 6 ^/6 a V2 sin оск.4 4nR3 • 2 2 а\ . 894. -------si^ — 1 - co^ — . 3 М 4 ■V2 sin а + ‘^ 1 + sin2 а . 896. 46 %. 89' Правообладатель Народная асвета 895. 3Fcos^. 896. 46 %. 897. 20 %. 898. 30 %. 899. 25 %. 900. 29. 4 452 3 3 a 3 о а . а 2 cos---sin — 2cos —+ sin — sin 2 2 см 3 901. 20 г. 902. От 40 % до 431%. 903. 12 ч 15 мин, 14 ч. 904. 20 км/ч. 905. На 50 %. 906. За 6 ч. 907. 2; 2; 1. 908. 8. 921. а) -; б) . 2 2 923. а) ; б) —^; в) ; г) ^. 924. а) 24Д2; б) 12rV3; в) 24rV3. 1^ ^ ^ 2 928. aV2; . 929. V3:1. 930. 90°. 931. а) arccos1; б) 2arccos^. ’2 ’ 3^ S 932. а) ; б) . 934. а) l = ; б) k = 11. 935. а) W2; б) ^^; 9 9 ^ ^ 3 в) —^. 940. —^; 2-; ^^. 941. . 943. а) -9; б) 3; в) -9; г) -15. 3 ^^3 2 944. а) 9; б) 2; в) 6; г) 4. 945. а) -1; б) -2; в) -3; г) -2. 946. а) 4; б) 5,5; в) 4; г) 5. 947. а) 260; б) 136. 948. 7. 949. (^ - 1; ^ + 1). 950. 11253. Раздел VI 960. а) 13; б) 14; в) 13; г) 9; д) 13; е) 14. 961. а) 4 и 1 945 944; б) 43 и 147 533; в) 2 и 67 320; г) 51 и 7140. 962. а) 841; б) 301; в) 29. 963. 6237. 965. 5 и 105; 15 и 35. 967. 13k + 9, k е Z. 968. а) 0,(342); б) 0,23(571428); в) 0,0(051282); г) 0,(104643). 969. а) ^; б) ^; в) 2^; г) ^^; д) ^; 11 55 27 70 33 е) 2^^. 973. а) 126; б) 41 625; в) 6. 974. а) 120; б) 0,16; в) 2352; г) 0,1; д) 0,82; е) 64,4. 975. а) 3,1; б) 300; в) 10^; г) —; д) 3,3; е) 2. 976. а) 70; б) 8; в) ^^; г) 0,32. 977. а) 2; 10 и 48; б) 0,6; 25,2 и 49; в) 2,5; 37,5 15 и 52,5; д) 32,4; 81 и 291,6. 978. а) 2,5; б) -7; в) 12; г) 1. 979. а) ^; 5 15 б) 2; в) —; г) 0,5. 980. а) 0,45; б) V2; в) 9; г) 2; д) i2; е) 18. 984. а) -3,2; б) 3; в) ^91; г) -66. 985. а) 1,5; б) 0,125; в) -4,5; г) 5,5; д) -0,5; е) 1; ж) 43; 108 з) i. 986. а) -0,25; б) 0; в) -2; г) -1. 987. а) 10 см; 17 см; б) ^i; 0,5; 3 ^ 14 в) 0,8; 0,6; 0,75; г) —, i5, — или -р^; ^2^; А. 988. а) ; б) ^; 17 17 15 V793 n/793 27 12 12 в) 3; г) ^; д) ; е) 0,5. 989. а) п; б) п; в) ^; г) п. 991. а) 37; 35; б) 185; 1^^ 1^^ ^ ^ 1^ 2 175; в) 385; 231; г) 1417; 1183; д) 1932; 60; е) 22481; 1292. 992. а) 34; б) -60; в) 308; г) -780; д) 177; е) 14121. 993. г2(3 + Ws). 994. 4S. 39 995. 90°+ а. 997. 0,Wm2 - 4S. 998. - 2 г. 999. S^^ + S2 + 2jS^S2. 25 а + в - Y 1000. (^/3 - 6 -п). 1001. 1 : 2. 1002. 25 : 18. 1003. 2 1010. а) -3xy - 5y2; б) а2 + 3аЬ + Ь2; в) т2 + mn + 6m - 2n; г) 2u2 - 26uv + u + 7v; д) 6k2 + 4kl - 14l2; е) 8i2 + 9ij- 10J2. 1012. а) (а - Ь)(а - c) (Ь - c); б) (x + y)(y + z)(z - x); Правообладатель Народная асвета 453 4 в) (t - a)(t + a)(t^ + at + a2); г) (b - r)(r - s) (b - s)(b + r + s). 1013. a) 4; б) -3; в) 0,5; г) 2; д) 5; е) 3; ж) 0; з) 1; и) -2; к) 5. 1014. а) 3a2 + 1 ; б) 2b2 г; в) ^ + у . 4(a2 - 1)^ (b2 - 1)^ У(х - у)’ г) 2(m - 2 . 1015. ; б) -; в) -m2; г) k2; д) i; е) ^2. 1016. а) -8,5; т2 + mn + n2 2b2 z t У б) ^^; в) —; г) -26. 1017. а) 4 -p; б) 6 + s - 2s[Qs; в) x4 - 18x3 + 81x2; 88 29 г) 2^/уг - 9y - 9z. 1018. a) 0,5; б) 1; в) 25; г) -0,5. 1019. a) 1; б) -3; в) 0,5; г) 2; д) 1; е) 1,5. 1020. а) 0,5 + т; б) т + 1; в) 2 + т ; г) 1 - 2т. 1021. а) 2b + т + n 1 + 2m 3 + 2a - 2; б) 2a + 0,5. 1022. а) x = (a + b) ; б) x = b-; в) x = cos2 a; (a - b)3 Va + b г) x = 1 —2-----21-------; Д) x ^;t= ; e) x = ^rn^^n4; ж) x = 310^ ; (т2 - n2)2(rn - n) 4b3 3a - b з) x =----V,= . 1023. а) ^^81; б) 117; в) 1^; г) ^. 1026. а) 1,5; 100bVa 1390 '41 '17 ' 863 ' б) 0,125; в) 0,75sin 8x; г) tg 6x. 1027. а) -2; б) 0,5; в) 1; г) 0,5; д) ^; 4 е) 5; ж) -1; з) —. 1028. а) sin У; б) s4n^x; в) sin2 2x; г) 1. 1029. а) ctg 2x; 12 sin x ^2 б) 1; в) 0; г) 0. 1030. а) 1; б) 32; в) ^; г) 32. 1031. а) 2; б) 1; в) 0; г) 1. 3 1032. а) 0,6; б) ^; в) —; г) ^. 1033. а) 33; б) -0,8; в) -i19; г) Ь9. 1035. а) ^^; б) ^^; в) -33; г) 47; д) 1 - 2x2; е) 2W1 - x2. 14 9 125 52 1036. а) arcco^^^; б) arccos -^; в) п - arccos ,3 ; г) arccos —; ^ ^ ' 45 3^ 13 1 2\/2 4 д) -arccos 0,8; е) - arccos -^. 1037. а) arcsin ——; б) arcsin , ; v5 3 •v17 1 5 2 в) п- arcsin , ; г) arcsin —; д) п - arcsin 0,6; е) - arcsin —^. 1038. а) arctg —; б) п - arctg —; в) п - arctg 0,25; г) arctg 4; д) -arctg —; 3 12 3 е) arctg ,5 . 1039. а) arcsin 2^; б) —; в) arctg -9; г) 3п; д) —; е) 3п. 1051. а) 4; б) -2,89; в) -31; г) 2^т. 1052. а) ^3—; +^j; б) (-0,2; +^); в) [14,375; +^); г) (-^; 2]. 1053. а) 3; б) 4; в) -7; г) ^. 1054. 3,5. 1055. а) -8; б) 8. 1056. а) -4; б) -2,5; в) 0; г) 9. 1057. а) (6; -2); б) (5; 1); в) (2; 3); г) (125; -47). 1058. а) (1,2; 0,7); б) (6; 8); в) (5; 9); г) ^i; 1 1059. а) 0; б) ни при каких; в) -4; г) -3; 2. 1060. а) 3; б) -3; в) 0; г) 1. 1061. д) 2; 0,5; е) ±3; ж) -1; 3; з) -4; 0. 1062. а) 0; 1; б) ±1; в) 4; 12; г) -1,5. 1063. а) 2; б) -3; -1; в) 1; г) 5; д) 0; 2; 3; е) -1; 2; 3; ж) ±1; 3; з) ±1. 1064. а) 1; 2; б) ±1; 3; в) -2,5; -2; 0,5; г) -1; 0,2; д) 0; е) 0; -32,5; 454 Правообладатель Народная асвета ж) 1; 3 ± ^; з) -1; 3 ± ^; и) -1; 4; 0,25; к) -4; 1. 1065. а) -б) 4-; в) 11; г) 427. 1066. ±5. 1067. а) (3; 4); (4; 3); б) (2; 3); (3; 2); в) (1; -1); (4; -10); г) (2; 4); (-2; -4); (4; 2); (-4; -2); д) (2; 3); (3; 2); (1; 5); (5; 1); е) (6; 8); (8; 6); (-6; -8); (-8; -6); ж) (3; 2); (-3; -2); з) (1; 3); (3; 1). 1068. а) (1; 2); б) (2; 2); (3; 3); 1W2T. 1 ^21 ; в) (3; 1); (-3; -1); 22 г) (1; 4); (4; 1). 1069. а) 4; б) 4; в) нет корней; г) 8; д) 3; е) 6; 9; ж) 1; з) 2. 1070. а) 5; б) -3; в) -3; 2; г) 16; д) -10; 25; е) 2; 3; ж) 1; з) 0,25; и) 21; 86; к) 1; л) 1; м) 1,25. 1071. а) (16; 1); (1; 16); б) (8; 1); (1; 8); в) (4; 1); (1; 4); г) 1^12; 32). 1072. а) Нет корней; б) 1; 3; в) нет корней; г) нет корней; д) -1; е) -31; 2; ж) (-^; 3] з) 2; и) 1; -5; к) -3; 2; л) 1; -3|; м) 1; 3. 1073. а) 1; б) 1; в) 2; г) 0. 1074. а) 3; б) -1; 2; в) log7 5; 0; г) 2; д) ±1; е) 1; ж) 0,5; з) 4; 4 - log3 5; и) 0; к) -1; 0. 1075. а) (0; +^); б) (4; +^); в) (-то; -1) и (7; +ТО); г) (-то; 0,4); д) (-то; 0); е) (-то; 1,5); ж) ^-то; 2^; з) (-“; -1) и (1; +ТО). 1076. а) 1; б) 2; в) 2; г) 5; д) нет корней; е) нет корней. 1077. а) (-то; 2,5); б) (-то; 0) U (2; +то); в) (-3; -2) U (-2; +то); г) (-то; -4) U и (3; +ТО). 1078. а) Нет решений; б) (7; +^); в) (^12; 5j; г) нет решений; д) (-то; -3] и [1; +ТО); е) (-то; -0,5) и (3; +то); ж) (-то; -1] и [4; +то); з) (-1; 1) и и (3; 5); и) (-то; 2) U (6; +то); к) (-то; 2) U (3; +то); л) (-4; -2) U (0; 2); м) [-2; -1) и (6; 7]. 1079. а) 3; 9; б) 10; в) 3-4; 9; г) 1; 0,1; 10; д) 1; 0,25; е) 8; ж) i; 1; 3; з) 1W2. 1080. а) (10; +то); б) (0; 100); в) (0; 0,5); “ 1 г) (0; 0,25); д) (-то; -99); е) (^^; 0)и(0^Я^); ж) и) (-1; +ТО). 1081. а) (3; 5); б) (0,25; 4); в) нет решений; г) (0; +^); д) (2; 3) и (6; +то); е) i; 1); ж) (^0; ij; з) (1; 10]. 1082. а) (1; 2); б) (4; 1): в) нет решений; г) (1; 2); (2; 1); д) (0,1; 100); (100; 0,1); е) (2; 4); (16; 1) ^; 1) и (1; 9]; з) (1,5; 5,5); 1083. а) п(3k ± 1), k е Z; б) п(2k + 1), k е Z; в) п(2k + 1), k е Z; г) ±п + nk, k е Z; д) п + 2nk, k е Z; е) nk, k е Z; (-1)" + ^^ + , k е Z; ж) , k е Z; , 2 ^ ^ , 36 ^ 3 з) п + 2nk, k е Z. 1084. а) п + nk, k е Z; б) п + nk, k е Z; пп, п е Z; в) 2nk, 2 6 6 k е Z; п(2п + 1), п е Z; г) ±п + nk, k е Z; -п + пп, п е Z; д) + |nп, п е Z; , 7^ h , ) 3 , ’ 4 ’ ^ 20 5 п + 2nk, k е Z; е) (-1)k П + nk, k е Z; пп, п е Z; ж) 2nk, k е Z; з) ±п + nk, k е Z. 1085. а) ± iarccos 3 + nk, k е Z; б) пт, m е Z; (-1)k п + п k, k е Z; -^2 4 ^ ^ ’ ^-^62 в) |(4k + 1), k е Z; 18 (4п + 1), п е Z; г) ±arccos 0,8 + 2nk, k е Z; Правообладатель Народная асвета 455 д) — (6k ± 1), k е Z; е) —arcctg 3 + — k, k e Z; ж) — + 2nn, n e Z; 12^ 2 4 2 2 (-1)k n + %k, k e Z; з) -25° + 90°k, k e Z; и) ±^-1 + 2nk, k e Z; 2n 2n к) ±— arccos 9 + •v/73 + nk, k e Z. 1086. a) 2 2 - + 2%k; + 2%k 33 , k e Z; б) (-+ 2nk; - n + 2nk\, k e Z; в) in + 2nk; ——n + 2%k\, k e Z; 'a 6 1 \6 6 ' г) -n + 2nk; n + 2nk 33 , k e Z; д) (-n + nk; n + nk ’ ' 2 4 . , k e Z; e) (n + nk; n + nkj, k e Z; ж) + nk; n + nkj, k e Z; з) ^nk; Зр + nk , k e Z; и) к) м) 2nk; n + 2'Kk'] U l5^ + 2nk; n + 2nk . 6 ! \6 . ,k e Z; n + 2%k; 3^ + 2nk) ^{4n + 2%k; 3^ + 2%k 2 3 3 2 3^ + nk; 3^ + nk 46 , keZ; л) , k e Z. 1087. 40 мин, 2 ч. nk; —+ nk I, k e Z; 6 ' 1088. 3 + 2J2. 1089. 12 мин. 1090. На — уменьшится. 1091. 90 с. 1092. 1 км/мин. 1097. а) 6; б) 49; в) 48,5; г) 5,5. 1098. а) 4^; 3 7 Г1 ^1 ' —; +“j; б) [-2; 0]; в) (-^; -2) U (1,5; 1,75]; б) 73к; в) т13; г) ;/37. 1101. а) г) (-6; -2) и (6; +^); д) (-^; -1) U (0; 2); е) (2; 3) U (3; 4). 1102. а) ж ^ -п п(4 + П + 2nk) ^ ^ ^ „ п (1 + n) ±'Jn и X —-, k e Z; б) t Ф -2 и t Ф----------— -2 (1 + n)2 + 8 nn 4(1 - п - 2kn) в) [0,5; +^); г) [1,5; +^); д) (-6; 1) U (1,5; +^); е) 2 -п + 2kn; 7п + 2kn 66 , n e Z; , k e Z. 1103. а) [-0,3; 0,3]; б) [-0,5; 0,5]; в) (-^; +^); г) (-^; -13] U [-1; +^); д) (-4; +^); е) (-2; +^). 1104. а) [-9; 3]; б) [1,5; 4,5]; в) [0; 4]; г) [0; 3]; д) (-^; -2]; е) (-^; -2]. 1105. а) [0,6; 1]; б) [0,5; 1]; в) [0,6; 1]. 1107. а) 4 и 4; б) 0 и 0; в) 6 и 4; г) 2 и 2. 1108. а) 1 и 1; б) 0 и 0. 1119. а) у = 3х + 9; б) у = 0,2(x + 21); в) 2х + 7у = 11. 1120. а) (5; -13); б) (3; -11); в) (11; -11). 1121. 8х + 12у +5 = 0. 1122. а) (х - 2)2 + (у + 7)2 = 49; б) (х + 1)2 + (у - 2)2 = 25; в) (х - 1)2 + (у - 4)2 = 8; г) х2 + у2 = 25; д) (х - 2)2 + (у - 4)2 = 10. 1123. а) -3 (х - 2)2 + 3; б) 0,5х2 + 2х + 1; 4 в) 3(х + 1)2 - 1; г) 2(х - 1)2 - 3. 1124. у = 0; у = -4х. 1126. у = -4х ± 8,5. 1129. а) (х + 1)2 + (у - 2)2 = 9; б) (х + 1)2 + (у - 2)2 = 13. 1130. а) у = х2; б) у = (х + 3)2 + 4; в) у = (х - 1)2 - 1. 1131. у = + 2. 1140. а) у = -2(х - х+3 - 2) + 1; б) у = 1,5(х - 1) + 5; в) у = (4 - Wo) (х - 1) - 3. 1141. а) -^; V10 б) 1^^ ± 1. 1142. а) (0; 4,75); б) (1,5; -1). 1143. F^З; 1-|j. 1144. ^0; 3^j, ^3; 1^3 ]. 1145. у = -20х - 55 и у = -13х - 20; у = 8х - 13 и у = х + 1. 14 14 456 Правообладатель Народная асвета 1146. а) 4; б) 12. 1149. а) -2; 1; б) ±3; в) ±arccos (- VS9 VS9 +2kn, k e Z; г) kn, k e Z; ±arccos ( ) + 2nn, n e Z; д) — + kn, k e Z; e) 2. 2 1 1150. a) 25; -2; б) 17; -47; в) I2; -9; г) 0; -256; д) 8; 0; e) ±—; ж) экстремумов 3 3 нет; з) "~°; и) ±1; к) экстремумов нет. 1151. а) 54; -135; б) ±22; в) 9; 0; г) 1; -5; д) 45; -4; е) 3; -6; ж) 21; 1; з) -1; -1. 1152. а) Наибольшего значения нет; 1; б) 10; 6; в) ^/2; 2; г) наибольшего и наименьшего значений нет; д) 29; 20; е) 11; 0; ж) 22; -0,5; з) 80; -18; и) 105; -12. 1153. а) -log2 15; 8 27 б) 2; в) 2. 1155. а) 0; б) 0; в) 0,5. 1156. а) [-3; -2] U [2; 3]; б) (-^; -2] U 6 и [2; +^); в) ±2; ±4; г) ±2; ±3. 1157. а) -1; -3 ±^; б) -1; в) 1; 2 ± VS; г) -2 ± V3; -3 ± . 1158. а) -2; 3; б) 3; 4; в) -1; 2; г) 1; -4. 1163. а) ж + у = 0; б) ж - 2у + 7 = 0. 1172. а) (0; 0); б) (4; -6); в) 6 9 ~J13/ Л5-Л3) г>(-1 ■ ); (t'1 ■ ■1 + )■ 1175. (2ж2 - Ж1; у1), (ж2; 2у1 - у2). 1177. а) (6; 3), (9; 4), (12; 5), (15; 6); б) (-2; 1); в) (0; -35). 1178. (6,2; -3,6) и (5; 1) или ‘ 15 + 4'^53 3V53 30 в) 1179. а) (7,5; 2,75); б) (9,2; 5,2) 8 + 28 - ^53 ; —a-----; --b---|. 1180. (3-1; 1—). 1181. а) arctg -1; б) arctg 1,75 2(a + b) 2(a + b)) \ ^ ^ ^ 8 ^ 1182. arctg 7. 1183. а) 4; б) 7,6; в) 7,8; г) 1,6. 1184. а) (ж - 1)(у - 1) = 0 б) (3ж + 3у - 14)(ж - у - 9) = 0; в) (ж + у)(ж - у -2) = 0; г) (ж + у - 5)(ж - у - 5) = = 0. 1185. а) 6; 131^; б) 16; 32,5. 1186. а) 10; ^5; 5; б) arccos -^; 90° arcco^^; в) 25; г) ; (5,5; 3); 2,5/5; (1,5; 6); 5/2; (0; 6) V5 2 д) 10; (4; 1); W5; (4,8; 5,4); 5; (4; 1); е) ^Ь/2; /3I; 52.^; 2,^^5 - 2 3 V 3 3 / 5 - 5/5; 1 + 9^ ); 1oJl^|To—й^5 ; ( -8 + 5/5; -15 + 5/5) / I ж) 4 5 W5 23 - 5/5 ^ ^ j; 2,5(3 W5); (1,5; 6); 2,5/5. 1187. Va2 + a Wa2 - a 1188. (-^; -4) U (2; 4). 1194. а) - 1; б) 1; в) 2,4; г) 0,1. 1195. -100 1196. а) В 1,44 раза; б) на 10 %. 1197. 120 см2. 1198. а) 4; б) 6. 1202. 2 1203. 7. 1204. а) 7 или 8; б) 5; в) W5. 1205. а) 18,6; б) 6^/3 W2)^/2 - 1^ Правообладатель Народная асвета 457 8 1206. V2 : 1. 1207. а) -10; б) ■.Js’ 2sin (a + в) h 2 2 ; в) . 1208. —; a 2h 4a2 - b2 8h -. 1209. a) ^H^; б) :^/1^; в) 1,Ыб1; г) ^Z15. 1210. а) 1^; в) 2 ^Уз. 1212. 120°. 1213. a) a + b или \a - b|; б) ^^или ^ ^ b . 1214. a) ; б) a + 2в + Y. 1227. a) 90° - a; б) 90° - a; в) a. 2 2 2 2 2 1228. a) Y - в; б) Y - в. 1229. a) ^а-в^; б) |90° - 2a|. 1231. a) 180° -или а^+в-; б) a + 2в + Y - 180°; в) |а + в- 180°|. 1233. a) ^a - Ь; б) или ; в) a + b. 1238. 6. 1240. |а-в|. 1241. 180° - 2a, 180° - 2в, 2(a + в) - 180°. 1251. 18; 24. 1254. a) a\ ; б) an + ^b'm . 1270. a) ^Jd2 - (R - r)^ ; б) yjd2 - (R + r)2 . 1271. ^Rr. 1272. m + n m + n Rr 1274. Rr (R + r) R2 + Rr + r2 ^ . 1273. ^r. ,^/R Wr )2 З . 1275. a) -; б) -(з/з - 5)(^/2 + 1 ^/з). з2 1276. г) dh-^ + h-^ + h-1 )(hal + h-^ - h-^)(h--^ - h-^ + h-1 )(-hal + h-^ + h-^))-0,5; Ж> 'a ■ 1279- a> -----, где S — площaдь, a p — по- p - a лупериметр треугольникa; б) p - a, где p — полупериметр; в) p, где p — полупериметр. 1280. a + b - c a - b + c -a + b + c a + b + c 1284. a) 4S 2 2 2 -, где S — площaдь треугольникa; 1283. kl, . hh cla2 + b2 - Ip - a б) —---------^, где S — площaдь треугольникa; в) -bc, где p — pbc a pbc полупериметр; г) —-----, где p — полупериметр; д) — —------, где p Ip - a p \ p - a полупериметр. 1285. a) 2(a2 - b2 + c2 - d2); б) Wm2n2 - S2 . 1286. 0,^(2mn + a2 - b2 + c2 - d2)(2mn - a2 + b2 - c2 + d2). 1287. a) ab + a - b ab + a - b б) 1. a + b J(a - b + c + d)(a - b + c - d)(a - b - c + d)( - a + b + c + d). 4 a - b 1289. 0,25^(2kl + a2 - b2 + c2 - d2)(2kl - a2 + b2 - c2 + d2). 1290 ) ((ac + bd)(ad + bc); |(ac + bd)(ab + cd); ' У ab + c^ ’ у ad + bc ’ б) -d(p - a)(p - b)(p - c)(p - d), где p — полупериметр. 458 Правообладатель Народная асвета m ac2 - bd2 ad2 - bc2 1292. ^|1 - (-2R) ± nj 1 - (2R) . 1294. а) R (Ws - 3); б) R^/2 - l). 1296. а) RV1o^2/5, RV10 + 2у[Е; б) ^^/5 - l), RV10 - , R Vl0 + W5, R^/5 + l), 2R. 1297. 2,5aS/5+2/5. 1298. a) ^6 ; б) 1 ^ 10 + W5 W3 ^«/15). 1301. a) 8; б) 10; в) 12; г) 15; д) 7; е) 22. 1302. а) 10; б) 15; в) 25; г) 54. 1304. а) 2r(2 -^12), ^2 -у12; б) 2r(2 -43), -R[43 - 1); в) 2r^4 + 242 -42 -1), . V 2 1305. 25. 1306. а) 1,5; б) W5 1308. -2 и 0. 1309. 1 9 . 1307. а) 25; б) [-3; -2) U (-2; 1]. 2 ' cos x 1310. 40 км/ч. 1311. -4. 1312. 9. 1313. Ромб. 1314. 13,W3. 1315. 12. 1316. 11. 1317. 648. 1318. -0,16. 1319. а) 10; б) -2; в) 14; г) 15; д) -24; е) 78; ж) 2. 1320. 24 г. 1321. 5. 1322. 3. 1323. -2. 1324. а) 3; б) 1. 1325. а) 0; б) -57. 1332. 10 см, 24 см. 1333. а) 3 см, 6 см, 7 см; б) 9 см, 12 см, 15 см. 1334. 1 : 3. 1335. 4 м2, 64 м2 или 34 м2 и 34 м2. 1336. W3 см, W3 см, W3 см. 1337. т2 + п2 Is 2mn . 1338. а) 5 см или V97 см; б) 9 м или 21 м. 1339. а) 14 см2; б) 42 см2, 12 см2, 30 см2. 1340. 1 см. 1341. 8 см, 26 см, 30 см. 1342. а) 18 см2; б) 10,5 см2 или 14 см2 или 5 (5 + 4т3 j см2; в) 270 см2; г) 756 см2; д) 72 см2. 1343. 4 см. 1344. 12 см; 27 см. 1346. 4 см. 1347. 546 см2; V1621 см или 126 см2; V181 см. 134^. а) 8316 см2; б) 150 см2 или 42 см2; в) 156 см2. 1349. 3 см. 1350. а) 8 см, 12 см или 2 см, 6 см; б) 8 см или 11,25 см. 1351. 8 см. 1352. ^ I---- см. 1353. 2(a2 + Ь2 + аЬ). 1354. in '■ jn '■ (i + j)m + (m + n)k. V m + n 1 2 2. 1355. n^S. 1356. 1 -{42 - 1)-i43 -42). 1357. m + n + ^mn q. 1358. m2 • mn • n2 • mn. 1359. k+1 2(k + l + 1) (2m + n)2 1363. 1 6 6 2 6 6 1362. i. 1363. 1 • 1 • 1 • 1 1366 '. а) 24; б) j m + n + 2l m + n - 2l m - n + 2l -m + n + 2l 2 1369. 8 м2, 10 м2, 15 м2, 12 м2. 1370. 4,8 + 1,W3T. 1374. 1 : 42 - 1. 1375. —1—. 1376. ^. mn + 1 6 1377. ^/ST + 4S2)2. 1378. 24SQ. 1381. 2nR2 (1^/3 - 31). 1382. 50 см, 72 см. 1383. 37 см. 1385. 18,5 см. 1386. а) 7,5 см; б) 4^^ см. 1387. 13 см. 12 1388. а) 18 см, 24 см, 30 см; б) 843 см, 1242 см, 4(3 + \[3) см. 1389. 12 см. 1390. 35 см. 1391. 84 см. 1392. 4 : 25. 1393. 4 см; 2(5 + 45) см. Правообладатель Народная асвета 459 2 2 1394. 1 : 3. 1395. 8ш = - S„. 1397. 259,2п см2. 1398. —. 1399. см3. ш 7 ц 3 3 1400. а) па3 cos а tg в 2----; б) sin2 Ф tg 0. 1401. 3 : 4. 1403. 24 4(2 W10 W17) 15п 1404. а) 2W3 + 1^73 2; б) 58 + ^/81 см2; в) 1,5(2Wa + л/91) 1405. а) 2г^У3 tg а; б) ^2(cos в - cos а) • ^ • в si^^ sin — 2 2 8r%/3 1406. 8r3 sin3 a cos a. 1407. 8r ^3 . 1408. 6r\fs. 1409. *Vatg( 1410. l3 sin a cos2 a sin 2в. 1412. а) 410 м3; б) 6,1. 1413. 216. 1416. r2h ^п j. 1417. 1 : 2. 1418. 0,6пг2. 1419. (2 ^/3) м3. 1420. а) 3500п см2; 3 б) 0; в) 588п см2; г) п—-. 1422, . а) пг2 ctg2 а (1 +-1—); б) 36п (1 + \/2) см2; ^ cos а ! в) « 208 см2. 1423. 36yiF см2. 1424. а) 4\13 см; б) 17 см; в) "^^1 + 4 ctg2 а; , ^ 180° Ф , г) 7г ctg — ■ t^; д) 2 n 2 а 2 sin 2 а sin -------; е) 8 см; ж) -/в см. 1425. а) па ; 180° 4 б) 1,5па^У3; в) п— ; г) п—3 cos а sin 2а. 1426. а) nS; б) 2п—2 sin 2а. V2 1427. а) ; б) 972 см3; в) 504W^ см3. 1429. « 2,5 т. 1431. б) 167. 1432. а) « 340 г; б) « 29 кг. 1433. « 5,9 дм3. 1434. « 422 г. 1435. 936п см2. 1436. (2ctg2 а +1^. 1437. -3. 1438. 5 см; 4 см. 1439. п(3г2 - d2). — 2 - 2т П—^ ^ 125000п 3 1440. ------------; ------. 1442. -. 144^. а) 3744п см3; б) ------- см3. 2 2 250 3 1444. а) 419п—3 1296 ; б) 38 п—3 375 68 п—3 375 1445. 117 п 8 . 1446. 6,56 м. 1447. а) ; б) 2943,5 см3; в) « 1 635 417 см3. 1450. см3; см3. 1451. а) 36п см2; б) 194п см2; в) 34п см2; г) 4пг2 (17 -1^2); д) 32п см2; е) 16п tg2 а; ж) па ; з) пЬ—; и) -п^. 1452. пd2; 1,5 пd2. 1453. а) 25п см2; 2 2 3 sin а 3 3 sin а 22 /-•ч 8п^ ^ ^ сг/"\ ^ \ па б) --------; в) 150п см2; г) sin а ай , . 1454. а) 1^J-3 см; б) ~~ см; V2^ 4 175 ; в) ; г) ,_2 а 1 2 3 в) 1,5. 1455. а) •Jz см; б) 1456. 15 см2. 1457. а) 896 см3; б) 3''^Н (4—2 - H2); в) 8 — tg “ I-------- > ■“ / I > ■*• / • 7а2 + 12й2 1 2(1 Wsctg а) V(2 + tg2 а)3 460 Правообладатель Народная асвета 2 4 r а а 1458. а) 2R3 sin а • ^3(4 cos2 а-3); б) 2Д%/3 • sin а cos2 а. 1459. а) 12г^ V3; б) 18г^ Va. 1460. а) 4 м; б) 60°. 1461. а) 3 : 4; б) 3 : 2; в) 4 : 1; г) 1 +1). ^ r1 r 1463. а) 480,2 см3; б) — г3 ctg3 — tg а; в) 16 см3. 1464. а) 3 2 3V-Jz 4п ctg3 0^ tg а; б) ^/3Risin2 а (3 -4sin2 аV2 2 27 2 ^3 - 4 sin2 2 ) ; в) 2R3 sin4 а cos2 а; г) W3 г3 sin2 2а(1 + cos2o) (5 + 3cos2—)3 2 2 д) Vs . 1465. а) ^ R2 - ^; б) R2 - —; в) H - 2r У ^ ^ У 2 ^ R 2 - ^ 1466. а) см; б) 5а^. 1467. а) а^1 cos а г. з^/5 -1) — -----; б) —^^ см; в) ^/3 - 12 см; г) см; д) 9- 3) см. 1468. а) ; б) а sin 2а sin в в) —5—; г) а(3--J3); д) —а—; е) sin2^ ’ 6^ ' ’ sin2e б) 1536 см2; в) 4R2 sin 2а; г) 16r 3 2(cos в + 1) ’ 1469. а) 120 см2; 1470. а) 2 см; б) 3 см; в) —. 6 1 ^ 11 + 4|h I2 1 .tm ^Зз (Ws -1) 4^/33 1 о 10 о лг 1471. -----^-------; -----. 1472. ^3 см, 12 см или ^2 см, 132 11 Ь 1473. а) см, 16 см. —2 h. -; б) —. 1474. 2r sin а. 1475. а) -; б) h ctg а tg —. 2sinа 2h 3 2 1476. аctg(— + 45°). 1477. а) h + Г . 1480. а) tg3 —. 2 U / 2r 54 2 3 ”a3tg3 ^2 а ^ 1481. а) «70 711,49 см3; б) ---^. 1482. а cos а tg — tg 9. 18\j3 2 2 1483. а) 900^/3 см3; б) H V3(2R H). 1484. а) 600^/3 4 3 б) HV3(2 R - H) 1485. а) 3nr3; б) ; в) tg а ctg3 а. 1488. 2592п дм3. 2 ' 3 3 2 1489. 32 см2. 1490. 3 + ■ 1 3/7 + cos а sin а ^1 - cos а 2 . 1491. а) -2941; б) 46; в) 9. 1492. 15. 1493. а) -150; б) 0,3; в) 6. 1494. ж; у; г. 1495. logab ж. 1496. а) 3; б) 5; в) 11. 1497. а) 3; б) 0 < < 2. 1498. За 1 ч 12 мин. 1499. 1,2 см. pq 1500. а) 7; б) 20; в) 0; г) 1. 1501. -3. 1502. 2. 1503. 6. 1534. -. 1536. 12. p + q 1538. 5 или 7. 1560. а) 1 - W7; б) 3; в) 676; г) 37. 1561. а) 2; б) 2. 1562. а) ж - 4; б) ж - ж3. 1563. а) 3 и 4; б) 1; в) 2; г) 2. 1564. 15 км/ч. 1565. 0 < m < 2,25. 1566. 32,5 см. 1567. а) 2; б) 4; в) 270°; г) 7; д) 1. 1568. а) -5; б) 5. 1569. а) —; б) 12 см. 25 Правообладатель Народная асвета СОДЕРЖАНИЕ Раздел I. Призма и цилиндр 1. Призма............................................. 4 2. Цилиндр .............................................. 21 Раздел II. Степень с действительным показателем 3. Корень из числа....................................... 37 4. Свойства арифметического корня........................ 48 5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия........ 58 6. Степень с действительным показателем.................. 68 7. Степенная функция с действительным показателем........ 80 8. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства..... 96 Раздел III. Пирамида и конус 9. Пирамида ............................................ 114 10. Конус .............................................. 131 Раздел IV. Показательные и логарифмические выражения, функции, уравнения, неравенства 11. Показательная функция............................... 148 12. Логарифмические выражения........................... 160 13. Логарифмическая функция ............................ 173 14. Показательные уравнения, неравенства и их системы... 181 15. Логарифмические уравнения, неравенства и их системы. 192 Раздел V. Сфера и шар 16. Сфера .............................................. 207 17. Шар................................................. 221 18. Правильные многогранники............................ 241 Раздел VI. Повторение курса математики 19. Числа и вычисления ................................. 254 20. Выражения и их преобразования....................... 268 21. Уравнения и неравенства............................. 284 22. Координаты и функции ............................... 299 23. Геометрические фигуры и их свойства ................ 334 24. Геометрические величины............................. 379 25. Геометрические построения .......................... 419 Ответы.................................................. 443 Правообладатель Народная асвета Учебное издание Латотин Леонид Александрович Чеботаревский Борис Дмитриевич МАТЕМАТИКА Учебное пособие для 11 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения Зав. редакцией В. Г. Бехтина. Редактор Г. А. Бабаева. Технические рисунки А. Л. Латотина. Художественный редактор Л. А. Дашкевич. Технический редактор И. И. Дроздова. Компьютерная верстка Л. И. Шевко. Корректоры Д. Р. Лосик, В. С. Бабеня, А. В. Алешко. Подписано в печать 15.01.2013. Формат 60 х 901/16. Бумага офсетная. Гарнитура школьная. Офсетная печать. Усл. печ. л. 29 + 0,25 форз. Уч.- изд. л. 18,74 + 0,26 форз. Тираж 5465 экз. Заказ . Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная асвета» Министерства информации Республики Беларусь. ЛИ № 02330/0494083 от 03.02.2009. Пр. Победителей, 11, 220004, Минск. ОАО «Полиграфкомбинат им. Я. Коласа». ЛП № 02330/0150496 от 11.03.2009. Ул. Корженевского, 20, 220024, Минск. Правообладатель Народная асвета (Название и номер учреждения образования) Учебный год Имя и фамилия учащегося Состояние учебного пособия при получении Оценка учащемуся за пользование учебным пособием 20 / 20 / 20 / 20 / 20 / Правообладатель Народная асвета