0, т. е. скорость V в момент t определяется равенством
lim +
At->0 А'
Таким образом, скорость движения в момент / — предел отношения приращения координаты AS=S{t+At) — S{t) за промежуток времени от < до i + A^ к приращению времени At, когда At—>0, если этот предел существует.
а,2
Например, если материальная точка движется по закону (закон свободного падения), то
= = 5^т((' + ДО" - <").
^ср •
ИЛИ
■^ср
2ЛГ
§1. Определение производной
99
откуда т. е. v = gt.
Задача о касательной. Пусть функция f определена в г5-окрест-ности точки xq и непрерывна при х — хд. Рассмотрим вопрос о касательной к графику функции y = f{x) в точке Mo(^fo,«/o)> где Vo = /(^o)- Если Дх —приращение аргумента такое, что 0<|Ах|<й, то уравнение прямой I (рис. 1), проходящей через точки Mq и Л1(хо + Ax,/(xq + Ах)), можно записать в виде
где
У - Уо = - хо),
А = f{xo + ^х) - /(хо), = tg а.
(1)
Эту прямую называют секущей, а число k — {gа — угловым коэффициентом прямой /; здесь а—а(Ах) — угол, образуемый прямой I и осью абсцисс (этот угол отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки).
Пусть Ах —> О, тогда Ау —» О в силу непрерывности функции / при X = Хо, и поэтому
ММо = У(Ах)2 + (Дг/)2 0.
Касательной к кривой, заданной уравнением y = f{x), в точке Mq естественно назвать предельное положение секущей / при Ах —»0,
100
Глава XIII. Производная и дифференциал
т. е. прямую, уравнение которой получается заменой отношения ^ его пределом при Ах 0. Если существует
lim =^ = /?о,
Ах-,0 Да:
(2)
то существует предельное положение секущей. Таким образом, если предел (2) существует, то прямая с угловым коэффициентом /jq, проходящая через точку Mq, является касательной к графику функции у — f{x) в точке Mq.
Рассмотренные задачи, в которых речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента, исторически привели к появлению понятия производной — одного из важнейших понятий математического анализа.
2. Определение производной
Определение. Пусть функция y — f{x) определена в некоторой окрестности точки xq и пусть существует конечный предел отношения
/(Хр + Ах) - /(Хр)
Дх
при Дх —> 0. Тогда этот предел называется производной функции [ в точке XQ и обозначается f{xQ), т. е.
|jm /(Afp +Да:)-/(хо)
Дх--0 Дх
Пхо)
(3)
Согласно определению производная функции у = f{x) в точке Xq есть предел отношения приращения функции Ay = f{xQ + Ax)—f{xQ) к приращению аргумента Ах при условии, что Ах —* О, т. е.
/'(хо) = lim ^ ДХ-.0 Дх
(4)
Из равенства (4) следует, что
|«-№о) = £(Дл:),
где е(Ах) —» О при Дх —> О, откуда получаем
Ау = f'{xo)Ax + Ах • £г(Ах). (5)
Если Ах —»О, то Ау ^ О, и поэтому из существования производной /'(хо) в точке Хо следует непрерывность функции /(х) в точке xq.
Операция вычисления производной называется дифференцированием.
Заметим, что если функция /(х) имеет производную f'{x) в каждой точке некоторого промежутка, то /'(х) является функцией от х на этом промежутке.
§ 1. Определение производной
101
3. производные степенной и тригонометрических функций Пример 1. Найти производную функции у — [{х), если:
1) /(х) = С; 2) /(х) = х; 3) /(х) = х^.
Д 1) Если у = /(х) = С, т. е. функция /(х) принимает при всех х одно и то же значение, равное С, то
С-С
Ау = /(х + Ах) — /(х) = С - С,
Дх
Дх
lim ^ = 0, т. е. (С)' = 0.
Дл;-*0Ах '■
Итак, производная постоянной равна нулю.
2) Если у = [{х) — X, то Ау = (х + Ах) — X = Ах, ^ = 1 (при Ах^О), откуда следует, что
lim ^ = 1,
Дх -^0 Дх
т. е.
(х)' = 1.
3) Если у = /(х) = х^, то
Ау = (х + Ах)^ — х^ = 2х • Ах + (Ах)^,
^ = 2х + Ах,
Ах
откуда получаем, что
lim ^ = 2х, т. е. (х^)' = 2х. А
Пример 2. Найти производные функций y = sinx и y — cosx.
А При выводе формул для производных синуса и косинуса используем первый замечательный предел (гл. XI, § 4):
lim ^ = 1,
х-^О X
а также непрерывность функций sinx и cosx.
1) Если у = sinx, то
Ау — sin(x -f Ах) — sinx = 2cos ^х + sin
откуда
Дх
cos
. Дх
^ ' 2
102
Глава XIII. Производная и дифференциал
Так как
cos j —> COSX при Ах —> О
в силу непрерывности функции cosx, а » 1 при t—^0,
то ^-+cosx при Дх—>0, т. е.
(sinx/ = cosx.
2) Если у —cosx, то
Ау = cos(x + Дх) — cos х = —2sin^x + ^jsin откуда
Игл — sinx, т. е. (cosx)'= — sinx.
х-^О '' ''
Пример 3. Найти производные функций - и \/х.
2 ’
Д 1) Пусть
1
Дл:
[I__J- д ц =_________!________________________
^ х’ ^ х + ^Хх X х(хЧ-Ал:)’
где хфО, X + Дх ф 0. Тогда
Схх х{х + Дх) ’
Если Дх —» О, то X + Дх —+ X и по свойствам пределов существует
lim ^ т. е. (-) - —
Aj(_,0 Дл: х^ \xj
2) Пусть у = у/х, где х > О, и пусть х + Дх > О, тогда
Ых + ГХх-уГх)Ых^ГХх + уГх) ^ фхТЪх+фх
_ Дх
у/х + Дх + у/х'
откуда при Дх Ф О получаем
-
Дх \/х + Дх + у/х
Если Дх -> О, то у/х + Дх —> у/х (гл. IX, § 3, пример 4). Отсюда по свойствам пределов получаем, что
§2. Производные показательной и логарифмической функций
103
Пример 4. Доказать, что
(л:”)' = и G N. (6)
Л При п = 1 и п — 2 формула (6) была доказана в примере 1. Докажем ее для любого neN. Используя формулу бинома Ньютона, получаем
Ау = (л: + Дх)" — х" = х" + пх"“'Дх + С^х"~^{Ах)^ + ... +
+ (Дх)” — х” = /гх"“* Дх + Дх ■ £г(Дх), где е(Дх) —» О при Дх —> 0. Отсюда следует, что
^ =/гх"~* + г(Дх), £г(Дх) —> О при Дх^О.
Поэтому
при ДхО, т. е. (х”У =/гх"“‘. А
§2. ПРОИЗВОДНЫЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ
*1. Второй замечательный предел Теорема. Функция
имеет при х —> оо предел, равный е, т. е.
lim fl + -) = е.
X—>оо \ X /
о Докажем утверждение (1). Сначала рассмотрим случай, когда
X —> +00.
В гл. IX, § 2, п. 5 было доказано, что
Обозначим
О-п —
(1)
тогда
lim 0+- У = е.
п-^оо V п /
(l + 1 t 'l + i] п+1
-) - Уп=\ 1 ,
п/ ^ п}
Уп = - О.П ( — On+l (l
е при п оо. то Уп —»е и
-1
определению предела для любого е>0 найдем номер Nc такой, что для всех п~^ Ng выполняются условия
Уп е и^(е), Zn G и^{е), (2)
где и^{е) — {е- е,е + Е).
104
Глава XIII. Производная и дифференциал
Пусть X — произвольное действительное число такое, что х ^ Ng, и пусть п — [х]. Тогда
< л < л: < /г + 1, (3)
откуда по свойствам числовых неравенств следует, что
-L- < i < i
Я+1 ^ X ^ n’
п Ч-1 X п
(4)
Из соотношений (3) и (4), используя монотонность показательной и степенной функций, получаем неравенство
т. е. / 1\-»^
Zn<(^l + ij <Уп- (5)
Из условий (2) и (5) следует, что для любого е>0 найдется номер Ng такой, что для всех х^ Ng выполняется условие
Это означает, что Докажем, что
lim (1 + -)'' =
je-*+oo \ X/
lim fl + -) =e.
X—*—00 V X/
e.
Пусть x = — \ — t, тогда t —> +00 при x —» —00 и
Из соотношений (6) и (8) следует, что справедливо утверждение (7), а из равенств (6) и (7) следует утверждение (1). •*
(6)
(7)
(8)
Предел
lim + =1
х-*оо \ X/
называют вторым замечательным пределом.
2. Некоторые важные пределы
Используя второй замечательный предел, докажем два утверждения, которые будут использованы при выводе формул для производных показательной и логарифмической функций. Утверждение 1. Если а> О и аф\, то
lim = log е = (9)
х^О X 1па
§2. Производные показательной и логарифмической функций
105
О Рассмотрим функцию
/И =
х^О,
е, х = 0.
‘функция f(x) определена в окрестности точки х = О, lim(l+x)^= lim + =е
no доказанной теореме, т. e.
lim/(A:) = /(0) = e.
X >0
Поэтому функция f(x) непрерывна в точке х = 0, а функция log^^x) непрерывна в точке х = 0 как суперпозиция непрерывных функций log^i и t = l{x). Следовательно,
lim log„/(x) = logo (lim (1 + х)х) = log^e. (^)
1ак как
;(_0
loga t{x) = при x^O,
ro из соотношения (10) следует, что справедливо утверждение (9). Из равенства (9) при а = е получаем
lim =
х—О
(И)
Утверждение 2. Если а> О и аф [, то
lim ° — * - In а.
лг—О X
(12)
О Функция у=а^ — 1 непрерывна и строго монотонна на множестве К (возрастает при а > 1 и убывает при О < а < 1). На промежутке (-1,+оо) существует обратная к ней функция х = logo(l + у), непрерывная и строго монотонная. Учитывая, что у—* О при х —» О, и используя формулу (9), получаем
lim ^ ~ ‘ = lim j^—г -- In а.
jc_0 X (/->0 logfl(l+у)
Отметим важный частный случай формулы (12);
lim ^ = 1.
х-»0 X
(13)
106
Глава ХШ. Производная и дифференциал
3. Формулы для производных функций и log^x
Найдем производные функций и log^x.
I) Если у — а^, то
^х-\-Ах _„х _ „Х(„АХ Ау _ ^ха^^ - I
Ау = -а^ = а^{а^ - 1),
Ах Ах
откуда
так как
O'* In я при Дх —♦ О,
Ах
а‘-\
-----»1по при t—*0 (утверждение 2).
Таким образом, если а > О, аф [, то (а^У = In а.
Из формулы (14) при а = е получаем
{е^У = е^.
2) Если у = log^ X, то
= ^ogaix + Ах) - log„ X = log„ (l + ,
Дл:
Дх
X
откуда
так как
lim = -1—
-+ при ^ » о (утверждение 1). Итак, если я > О, я 1, х > О, то (log„x)' = ~У—.
Из формулы (16) при а = е получаем
(lnx)' = i.
Формулы (16) и (17) верны при х > 0.
(14)
(15)
(16)
(17)
§3. Правила дифференцирования. Дифференциал
107
(1)
(2)
(3)
§3. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
1. Дифференцирование суммы, произведения и частного Теорема 1. Если функции fug дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы функции f + g, fg, ^ (при 1/словии, что g(x) ^0) и при этом
if{x)+g{x)y ^f(x)+g'{x), if{x)g{x)y = f'{x)g{x) +f{x)g’{x),
о Обозначим
А/ = f{x +Ax)- f{x) и Ag = g(x + Ax) -g(x).
Тогда
Й-e'W
мри Ax —> 0, так как существуют f'(x) и g^(x). Кроме того, f(x + Ах) = f(x) + А/, g(x + Ах) = g(x) + Ag, где Д/—>0, Ag -> о, так как функции f и g непрерывны в точке х.
1) Если у = f(x) + g(x), то
Ay = f(x + Ах) + g(x + Ах) - /(х) - g(x) -Af + Ag, откуда
Дл: Дд: Лх'
Правая часть этой формулы имеет при Ах —> 0 предел, равный /'(x)+g'(x). Поэтому существует предел левой части, который по определению равен (/(х) + g(x))'. Формула (1) доказана.
2) Если у — f{x)g(x), то
Ау = fix + Ax)g(x + Ах) - /(x)g(x) =
= (/(х) + A/)(g(x) + Ag) - /(x)g(x) =
= Я^) Ag + g{x)Af + A/Ag,
Отсюда следует формула (2), так как
Ах
■g'{x),
М.
Ах
■ fix), Ag -> о при Ах —г 0.
108
Глава XIII. Производная и дифференциал
3) Если у — то
ё(х)
или
откуда
Дг/ = /(->: + Д-с) _ /(£][ _ f(x) + Af _ Дх) ^ g{x + Дх) g{x) g(x) + Ag g(x) ’
Ли - (^/)g(-^) - (Ag)/(x)
^ g(x)g(x + Ax) ’
|? = (£-gw-^/w)
g(x + Ax)g(x) ■
Переходя к пределу в этом равенстве и учитывая, что g{x + Ах) -> g{x) при Ах —» О, где g{x) Ф О, получаем формулу (3). •
Следствие 1. Если функция / дифференцируема в точке х и С — постоянная, то
(C/(x))'-C/'W,
т. е. постоянный множитель можно выносить из-под знака дифференцирования.
Следствие 2. Если функции /i(x),...,/„(х) дифференцируемы в точке X, а — постоянные, то
(с,/,(х) +... + с„их)у - с,/;(х) +... + СпШ-
Пример I. Найти производную функции f{x), если:
1) /(х) = + 2х^ — х; 2) /(х) = 2\/х +
3) /(х) = Зе^ — 41п х; 3) /(х) = 4 log3 х — 2^.
А 1) Используя формулу (х")' = лх”~* и теорему 1, находим
/'(х) = Зх^ + 4х — 1.
2) Так как
{х)
то
3) Используя формулы
получаем
{е^У = е^, (lnx)' = i, /'(х) — Зе
0^-1. х'
§3. Правила дифференцирования. Дифференциал
109
4) Так как
= (“')' = о'In о.
ТО
/'(^)=
jcln3
2^ In 2.
Пример 2, Найти f'{x), если:
= 2) /(х) =x2sinx;
3) = f{x)^{y-2\og^x){x^ + 2).
Д 1) Используя правило дифференцирования частного (формула (3)), получаем
г// ч _ (х - 2)'{х + 2)-{х- 2){х -Ь 2)' _ х + 2-{х-2) _ 4
‘ ’ (JC Ч- 2)2 (jc Ч- 2)2 (х Ч- 2)2 ■
2) По формуле (2) находим
f'{x) = 2л sin х + х^ cos X.
о\ _ Зх2(л;2 + 4)-х^ -2х _ х'* Ч- 12x2 (^2 + 4)2 (х2 + 4)2-
4) /'(л) = (з" In 3 - ^) {х^ + 2) + (3" - 2 logs Пример 3. Доказать, что:
л ^ - -f- /2Я, /2 G Z,
(ctgx)':
хф kn,
. 2
sm^x
kez.
(4)
(5)
Д 1) Так как (sinx)'= cosx, (cosx)'= — sinx, то, применяя правило (3) дифференцирования частного, получаем
■(/_ /'siпx^^_ (sinx)'COSX — (cosx)'sinx _ cos2x4-sin2x
откуда следует формула (4).
2) Аналогично,
(ctgx)'^ (cosх)'sinX—(sinх)'cosX sin2x
откуда получаем формулу (5).
COs2x
sin2 X Ч- cos2 X
. 2
sin X
110
Глава Xlll. Производная и дифференциал
2. Дифференцирование сложной функции
Теорема 2. Если функции у = ц>{х) и z = f{y) дифференцируемы соответственно в точках xq и уо, где уо — ф{хо), то сложная функция Z = f{cp{x)) дифференцируема в точке xq, причем
z'{xq) = f'{yo)(p'{xo) = f{(p{xo))(p'{xo). (6)
*ОИз существования производных ^(xq) и /'(г/о) следует (§ 1, п. 2), что функции y = f{x) и z = f{y) непрерывны соответственно в точках хо и Уо, где Уо = (р{хо).
Тогда сложная функция z — f{(p{x)) определена в некоторой окрестности точки Хд и непрерывна в этой точке (гл. IX, § 4, п. 3).
Так как функции z = f{y) и у — ф{х) дифференцируемы в точках Уо и Xq, то из определения производной {§ 1, п. 2) следует, что их приращения представимы в виде
Д2'=/'('/о)А'/+ е(А.У) • Аг/, е{Ау)^0 при Ау-^0, (7)
Ау ~ f/(xo)Ах + £| (Ах) • Дх, £| (Ах) —> О при Ах —> 0. (8)
Функция е{Ау) не определена при Ау = 0. Доопределим эту функцию в точке О, положив е(0) = 0. Тогда равенство (7) окажется верным и при Ау = 0.
Считая, что в равенстве (8) приращение Ау определяется приращением Ах, выразим Аг через Ах, подставляя Ау из равенства (8) в равенство (7).
Тогда
Аг = f'{yo){cp'{xo)Ax + £\{Ах) ■ Ах) + е{Ау) ■ Ау,
или
Аг = f{yo)f'{xo)Ax -Ь f'{yo)£\ (Ах) • Ах + е{Ау) ■ Ау. (9) Поделив обе части равенства (9) на Ах, где Ах ф 0, получим
=/'(i/o)0 при Ах-^0 (равенство (8)), а ^^f'(xo), то, переходя к пределу в равенстве (10) при Дх->0,
получаем формулу (6).
Замечание 1. Условие е(0) равным нулю при Ах Ф 0.
Замечание 2. Согласно теореме 2 для нахождения производной сложной функции Z = f{y) = f{(p{x)) в точке х нужно перемножить производные f{y) и у' = (р'{х), заменив у на (р{х).
Правило дифференцирования сложной функции можно записать
: о связано с тем, что Ау может оказаться
так:
^х = 4'Ух-
§3. Правила дифференцирования Дифференциал
Ш
Пример 4. Найти производную функции /(х), если:
1) f{x) = sin 2х; 2) /(х) = е^;
3) /(х) = cos^x; 4) fix) = In (^)-
Л 1) Данная функция — суперпозиция функций 2 = sin г/ и у = 2х. Так как (sin у)'= cosy, у'= 2, то
/'(х) = cos у -2 = 2 cos 2х.
2) Пусть 2 = у = х^, тогда
{ё>)'^еУ, (хЗ)' = Зх2, /'(x) = 3xV.
3) f{x) = 2cosx(cosx)' = 2cosx • (— sinx) = — sin 2x.
4) Пусть
2 = In у, y =
x-2 x + 2’
Тогда
(1пг/)' = ^, у'=
jc + 2
(пример 2 (D),
/'W =
AC - 2 (JC + 2)2 a;2 - 4 ■
Пример 5. Доказать, что
(>nk|)' = p хфО.
Д В § 2 (п. 3, формула (17)) было доказано, что
(1пх)' = -, X > 0.
(И)
(12)
Пусть X < о, тогда 1п|х| = 1п(-х). Используя формулу (12) и правило дифференцирования сложной функции, получаем
(1п(-^))' = i . (-хУ = 1.
Таким образом, при любом х^О верна формула (11). А
Пример 6. Найти /'(х), если:
1) fix)
__„cos^Sjc.
2) /(х) = 2е2 sin^3x;
3) /(х) = \/х2 + 1 ctg4x; 4) /(х) - 1п(х + \/l + х^).
2cos5x(cos5x)'
Д 1) /'(х) = . (cos^ 5х)' = е
рлс2
= е
/___„cos^Sa:
— ■ 2 COS 5х • (— sin 5х) • (5х)' = —sin Юх.
112
Глава XIII. Производная и дифференциал
2) Пх) = 2
■ -g- sin® Зх + ei ■ 3 sin^ Зх • cos Зх • 31 =
= ei sin® Зх + 18е2 sin^ Зх cos Зх.
3) Г(х) =
2х
2\/х2 +1
ctg4x + Vх2 I-1 • (--1—) • 4 =
\ sin 4х /
Wx^ + I
\/х2 + 1
I f
ctg 4х -
2х
2\/1 + х2
sin2 4jc 1
4) /'(х) = - ----^ ----
X + \/l+jc2 V1 + х2
*Пример 7. Доказать формулы
(shx)' = chx, (chx)' = shx, (thx)' =
(cthx)' = —
ch^Ac’ 1
sh^ jc
(13)
(14)
Д Гиперболические функции были определены в гл. X, § 2 следующими формулами;
shx=?^^^, Chx=?^^±^, thx=5^, Cthx = ^.
2 2 chjc thx
1) Применяя теоремы 1 и 2, получаем
(shx)' = = chx.
Аналогично доказывается, что (chx)' = shx.
2) Используя правило дифференцирования частного, получаем
(shjc)'chjc —shjc(ch.x)' _ ch^x —
(thx)':
ch^x
ch^x
9 9
откуда следует равенство (13), так как ch х —sh х = 1 (см. гл. X, § 2, пример 1). Аналогично доказывается формула (14).
Пример 8. Пусть функция / дифференцируема в каждой точке интервала (—а,а). Доказать, что если /(х)—четная функция, то ее производная f(x) — нечетная функция, а если /(х) — нечетная функция, то /'(х) — четная функция.
Д Пусть /—четная функция; тогда
К-х)^[{х), х£{-а,а).
§3. Правила дифференцирования. Дифференциал
113
Дифференцируя это тождество, получаем
= хе{-а,а).
Это означает, что f{x) — нечетная функция. Аналогично рассматривается случай, когда f{x) — нечетная функция. А
Пример 9. Доказать, что
(х“)' = са
а-1
а €
х> 0.
(15)
Д В §1 формула (15) была доказана для а е N, о!=-1 (ху^О), а = ^ (х>0). Функция х“ при х>0, «gR определяется формулой
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем (х“)' = е“'"^(а1пх)' = ?!е“‘"^ = ^^ А
3. Дифференцирование обратной функции
Теорема 3. Пусть у = /(х) — непрерывная, возрастающая или убывающая на интервале (а,Ь) функция; a = f{a), p = f{b). Пусть X = g{y), где а < у < §,— обратная к /(х) функция (гл. IX, § 4, теорема 4).
Если функция /(х) дифференцируема в каждой точке интервала (а,Ь) и /'(х)у^О, то функция x = g{y) дифференцируема в каждой точке интервала (а;/3), причем
«'(») = А
{X)
(16)
о Докажем формулу (16), предполагая, что ^(г/) — дифференцируемая функция. Из определения взаимно обратных функций (гл. III, § 4) следует, что
f{g{y))=y, 1/€(а;р). (17)
Дифференцируя тождество (17) и используя правило дифференцирования сложной функции, получаем
f'isiyWiy) = U
откуда следует, что
ё’(у) = 777
I
ПхУ
ГШ)
Заменяя в этом равенстве г/ на х, а х на у, получаем
^(х‘) —_—_______!__
Г (.у) ng{x))'
(18)
114
Глава XIII. Производная и дифференциал
Пример 10. Доказать формулы (arcsinx)' =
\/l —х^’
(arccosx)' = --^, (arctgj;)'
1+х2’
(arcctgA:)' = —
l+x^
\x\ < 1, \x\ < 1, X e E, X e E.
(19)
(20) (21) (22)
Д 1) Если «/= g(x) = arcsinx, где |x| < 1, to обратная функция X =/(у) = sin I/, где |у| < |. По формуле (18) находим
(arcsinx)' =
1
I
(sinf/)' cosy’
Так как siny = x и У ^ ™ cosy — л/l - Следова-
тельно, справедлива формула (19).
2) Если y = arctgx, где xgE, то x = tgy, где |у| < |. Применяя формулу (18), получаем
(arctgx)' =
(tgy)'
= cos у,
где
2 1
COS у =
I + tg2 у 1 +
Формула (21) доказана.
3) Аналогично доказываются формулы (20) и (22). Впрочем, эти формулы легко получить, используя равенства
arcsinx -Ь arccosx = arctgx -f arcctgx = |
и формулы (19) и (21).
§3. Правила дифференцирования. Дифференциал
115
4. Таблица производных
fix) fix)
с 0
х", «ем, хем пх'-'
х", a€R, х>0 ctx“-'
а’‘, а>0, а^1, xeR цХ In а
еХ, X6R ех
loggX, а>0, а^1, х>0 ,1 xina
log^ |х|, а>0. а^1. х^О X In а
1пх, х>0 i X
In |х|, х^О 1 X
fix)
fix)
sinx, хб1
cosx, xGl
tgx, хф^ 4-иг, /zeZ
ctgx, х^таг, n^t
arcsinx, |x| 0 функцией такой, что отношение второго слагаемого к первому стремится к нулю при Ах —» 0.
Поэтому первое слагаемое в формуле (23) при /'(хо)у^О называют главной частью приращения функции в точке xq.
Определение. Если функция f{x) имеет в точке xq производную /'(хо), то произведение /'(xq)Ax называется дифференциалом функции fix) в точке Хц и обозначается df{xQ) (или df).
Итак, по определению
df{xo) ^ f {xq)Ax.
Если функция /(х) имеет производную в каждой точке интервала (а; 6), то ее дифференциал
df[x) = f{x)Ax,
где Ах — приращение аргумента.
116
Глава XIII. Производная и дифференциал
Если f{x) — x, то df = dx={xy/S.x = Ах. Поэтому дифференциал независимой переменной определяют как ее приращение (dx = Ax), а выражение для дифференциала функции f{x) записывают в виде
df = f'{x) dx.
Из этой формулы следует, что
Пх)
- df{x) dx ’
т. е. обозначение для f'{x) можно понимать как дробь, в числителе которой стоит дифференциал функции f{x), а в знаменателе — дифференциал аргумента.
Обратимся к формуле (23). Если отбросить второе слагаемое в ее правой части, получится приближенное равенство
f{x) « f{xo) + f{xo)Ax, (24)
где Ах = X — хц, с помощью которого можно находить значения функции в точке х, близкой к точке Хц, зная [{xq) и f{x(,).
Пример 11. Найти с помощью формулы (24) приближенное значение функции у — ^ при х — 90.
Л Полагая в формуле (24)
/(х) = v^, хо = 81, Ах = 9
и учитывая, что
получаем
/(хо) = ^ = 3, f{x) = ^x i, f'{xo) ^?аЗ + -!-5-9 = 3 + ^, т. е.
1
43З
12’
■ 4-33’
: 3,083.
Задачи
1. Найти производную функции /(х), если:
1) /(х) = 2х2-31пх; 2) [{х} = 2уД--;
3) /(х) = 3sinx —2tgx; 4) /(х) = -Ь4ctgx;
5) /(х) = S'* — co.sx;
6) /(x) = log3X-|-;
2. Найти производную функции /(х). если:
1) /(x)=x^cosx; 4) /(x)=2^sinx;
2) /(х) = X In х; 5) /(х) =
3) f{x) = ^Дtgx■.
1пх Ч-1
7) /(X) =
Зх^
2х^ + I'
3x2 + 1’
6) /W -
Зх + 2 ’
§3. Правила дифференцирования. Дифференциал
117
3. Найти производную функции f{x), если:
1) f{x) = sin^х; 2) /(х) =л:1п(л^ + 1);
3) f{x) = \/4л:2 + 3 tg2x; 4) f{x) = {2х + 1)^ log3(x^ +1);
7) fix) =
thSjc
arctg 2х + arctg Zx 4. Найти f'ixo), если:
1) f{^) In JC. -»:o = 1;
6) fix) = 8) fix) =
1
ex
4 + cos Zx
ch^ X
sh3j; -I a resin 2л:
2) fix) =
c* + l
Xo =0;
3) fix) = ix— \)'^ix + 2), Xq = —2; 4) fix) = sin^ tlx - ix — I), jcq = 1;
5) fix) =
f. xo = 6;
ix - 2)2
5. Решить уравнение fix) = 0, если:
1) /(jc) =2л/« —3ln(x + 2); 2) /(д:) =jclnx;
6) = ^0 = 11-
3) fix) =x^ — 6x^ + 9x + 5; 4) fix) =
+ X — 6
(^-5)2 ■
6. Пусть fix) = x^ + ЗJi;^ + ax. Найти все значения a, при которых fix) ^ О для всех X € К.
7. Найти все значения а, при которых уравнение fix) = 0 не имеет действительных корней, если:
jf ’
1) fix) = ах2) fix) =х^+ + ах.
Ответы
1. 1) fix) = 4Х - 5; 2) fix) = ^ + Л; 3) fix) =Zcosx - 2 . 4) ^
Л у л дс COS X
= е*-----5) fix) = S'^lnS -I- sinjc; 6) fix) = 2. 1) fix) =
Sin jc xino
= 3x:^cosx — x^sinx; 2) fix) = Inx + 1; 3) fix) =
^y/X COS X
4) fix) = 2Mn2 • sinx + 2"cosx; 5) fix) = ^
';(3x + 2)-3(lnx-l-l) _ fi„rov2 . n_a.r3v2.
6) fix)
(3x + 2)2
ft(y\ _ 6x(2x'= + l)-4x(3x^-4) _
’ ' “ (2M)2
^(3^-|4^)-2log3x(3^1n3 + 4-ln4)
22^ ; 8) fix) = ------------. 3. 1) fix) =
(2x^ + 1)
(3^ + 4^)2
2e^'*sin^x + ■ 2sinxcosx = 2sinx • e2*(sinx + cosx); 2) fix) —
ln(x^ -b 1) -I-
2x2
х2-И’
= 6 (2x -b 1 log3 (x^ -t-1) -t- 3x2 (2x 4-1
(хЗ-И)1пЗ’
118
Плава XIII. Производная и дифференциал
г л _ 3(х +1 (2х + 3)2 - (X +1)3 ■ 4 (2х + 31 _ (X +1)2 (2х+5).
’ (2;с+3)4 (2х + 3)3 ■
6) f(x) =
7) rw=
8) /'(х) =
^(4 +cos3x) + e-« -3sin3x (4 t cos 3x)2
^(„C(g2.+.,cte3,)-(b5«(j^ + ^
(arctg2x |-arctg3x)2
2chxshx(sh3x + arcsin2x) —ch2x ^3ch3x+ -^=Л==^
(sh3x + arcsin2x)2
4. 1) e; 2) i; 3) 9; 4) 0; 5) 0; 6) 0 5. 1) X| = l, xz=4; 2) x=e~': 3) x, = I,
X2 = 3; 4) x=^. 6. й^З. 7. 1) fl<0; 2) a>12.
§4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛЫ ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА
1. Касательная к графику функции. Скорость движения
В § 1 было введено понятие касательной к графику функции y = f{x) в точке Мо(хо;/(хо)).
Если функция у = f{x) имеет производную в точке jcp, т. е. существует конечный предел
ТО существует предельное положение секущей / (см. рис. 1), заданной уравнением
У-Уо = ^{х-Хо)- (2)
Это означает, что в точке Mq{xq;[{xq)) существует касательная Iq к графику функции y=f{x), причем, согласно формуле (1) ko=f'{xo), где /го —угловой коэффициент прямой Iq. Так как feo^^goro, где «о — угол, образуемый касательной с положительным направлением оси абсцисс, то
________________________= _______________________________
Таким образом, геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции в данной точке xq равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке Мо(хо;/(хо)).
Уравнение касательной к графику функции у = f{x) в точке
Mo(xo;/(jco)), получаемое из уравнения (2) заменой ^ на /'{xq), имеет вид
У = f{xo) + ! {хо)(х - Xq). (3)
§4. Геометрический и физический смыслы производной
119
Пример 1. Записать уравнение касательной к графику функции г/ = е*, параллельной прямой у = х — \.
Л Так как угловой коэффициент касательной по условию равен угловому коэффициенту прямой у = х — 1, т. е. равен единице, то из уравнения
f'{x) = e^ = l
получаем хр = О, а по формуле (3) при хр = 0, уо = 1, /'(хр) = 1 находим уравнение касательной
£/ = х+1. А
Углом между кривыми, пересекающимися в точке УИр, называют угол между касательными к этим кривым в точке УИр. В частности, угол между графиком функции y = f{x), пересекающим ось Ох в точке УИр(хр; 0) — это угол между касательной к этому графику в точке УИр и осью Ох.
Пример 2. Под каким углом график функции ^ = sinx пересекает ось Ох?
Д Синусоида пересекает ось абсцисс в точках Xk = kn (^eZ). Пусть or* — угол между осью Ох и графиком функции в точке с абсциссой х^-Для функции /(x) = sinx найдем значения ее производной в этих точках: , ,
/ (Ч) = С05^7Г= (-1)* -
Следовательно, в точках х^ = 2кп (feGZ) синусоида пересекает ось Ох под углом |, а в точках х* = (2Л + 1)х (feeZ) —под углом
(рис. 2).
4
А
Пример 3. Показать, что касательная, проведенная к параболе у = х^ в точке с абсциссой хр Ф 0, пересекает ось Ох в точке
с абсциссой
Д Пусть /(х)=х^, тогда
/'(х) = 2х, /(хр)=х^ и /'(хр) = 2хр.
120
Глава XIII. Производная и дифференциал
По формуле (3) находим уравнение касательной:
У = + 2xq{x — Xq) = 2xqX — Xq.
Найдем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью абсцисс. Из равенства 2xqx — Xq — Q с учетом xq О находим
х= fa А
Отсюда следует простой геометрический способ построения касательной к параболе у = х^ в точке А с абсциссой xq Ф 0: прямая, проходящая через точку Л, и точку оси абсцисс, касается параболы в точке А (рис. 3).
Фокусом параболы называют точку, в которую нужно поместить источник света, чтобы все лучи, отраженные от параболического зеркала, были параллельны оси симметрии параболы. Построив касательную к параболе, можно построить ее фокус F. Для этого нужно построить прямую АВ, параллельную оси Оу, и прямую AF, образующую с касательной такой же угол, как и прямая АВ (рис. 4).
В § 1 (п. 1) был выяснен физический смысл производной. Было установлено, что если S{t) — координата движущейся материальной точки в момент времени t от момента начала движения и S{t) — дифференцируемая функция, то
S'(0 = v{t),
где v{t) — скорость движения в момент времени /.
2. Геометрический и физический смыслы дифференциала
Если функция y=f{x) дифференцируема при x=xq, то существует касательная /о (рис. 5) к графику этой функции в точке Л1о(хо;/(хо)), задаваемая уравнением (3). Пусть M(xq + Ax;/(xq + Ах)) — точка графика функции / с абсциссой Xq +Ах, Е и F —точки пересечения прямой X = Хо + Ах с касательной /д и прямой у = Уо = /(хд)
§4. Геометрический и физический смыслы производной
121
соответственно. Тогда F(xq + Лл:,^о)> ^(^0 + так как ордината точки Е равна значению у в уравнении (3) при X = Xq + Ах. Разность ординат точек Е и F равна f'{xQ)Ax, т. е. равна дифференциалу dy функции / при х = xq.
Таким образом, дифференциал функции y — f{x) при x = Xq равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в точке с абсциссой Xq при изменении аргумента от xq до xq + Ах. Таков геометрический смысл дифференциала.
Так как
MF = Ау, EF = dy,
то
ME = MF — EF = Ау — dy.
Из равенства (23) § 3 следует, что
ME = e(Ajc) • Ал: при Ал: 0.
Выясним физический смысл дифференциала.
Пусть S{t) — координата движущейся материальной точки в момент времени t от момента начала движения (см. § 1, п. 1). Тогда
S'{t)= lim
'' ' д,_0 А/
— мгновенная скорость v точки в момент времени t, т. е.
v = S'{t).
По определению дифференциала
dS = vAt.
Поэтому дифференциал функции S{t) равен расстоянию, которое прошла бы точка за промежуток времени от t до t + At, если бы она двигалась со скоростью, равной мгновенной скорости точки в момент времени t. Таков физический смысл дифференциала.
122
Глава XIII. Производная и дифференциал
3. Геометрическая и физическая интерпретации теоремы о производной обратной функции
Если существует ['{xq) 7^ О, то в точке Л^о(-*^о;/(-*^о)) существует касательная Iq к графику функции у — f{x), угловой коэффициент которой равен tga = /'(xo), где а —угол, образуемый касательной с положительным направлением оси Ох. Касательная не параллельна координатным осям, так как производная /'(хо) конечна и отлична от нуля. Пусть для определенности /'(xq) > О,
тогда О < а < ^ (рис. 6).
Если рассматривать у как независимую переменную, а х —как функцию, то кривая, заданная уравнением y = f{x), будет графиком функции X = (р{у). Пусть р —угол, образованный касательной Iq с положительным направлением оси Оу (рис. 6), тогда
tgP = <р'{Уо)-
Так как а + (3=^, то tgP = ctga=^, т. е.
Дадим физическую интерпретацию формулы (4). Так как ф'{уо) есть скорость изменения переменной х по отнощению к изменению переменной у, а ['{xq) — скорость изменения у по отношению к х, то формула (4) выражает тот факт, что указанные скорости являются взаимно обратными.
4. Односторонние и бесконечные производные
Если функция y = f{x) непрерывна слева в точке xq и существует
где At/ = /(хо + Ах) - /(xq),
lim
Ах-^-О Ах’
то этот предел называют левой производной функции f в точке xq и обозначают /1(хо). Аналогично, если функция y = f{x) непрерывна справа в точке Хп, то
lim
Дж->+0 Ах
называют правой производной функции / в точке xq и обозначают /+(хо).
Прямые, проходящие через точку AIo(xo;/(xo)) с угловыми коэффициентами /L(xq) и ['^{xq), называют соответственно левой и правой касательными к графику функции y = f{x) в точке Mq.
§4. Геометрический и физический смыслы производной
123
Из существования производной ['{xq) следует существование двух односторонних производных /L(xq) и /+(хо) и равенство
Г-Ы = Г+Ы)=Пхо)- (5)
в этом случае левая и правая касательные к графику функции у = /(х) в точке Mq совпадают с касательной в точке Mq.
Обратно: если существуют левая и правая производные функции / в точке xq и выполняется условие ['-{хо) =то существует производная /'(хц) и справедливо равенство (5).
Пример 4. Найти левую и правую производные функции /(х) = |х| в точке хц = 0.
А Здесь Ау — |Ах|, и поэтому
Г+Цо)
Ах-^-0 ^ Ах
lim
Длг^-О Дх
= -1,
lim — = 1.
Дл:—-1-0 Дх
Прямые у = —X и у = X являются соответственно левой и правой касательными к графику функции у = \х\ в точке О (рис. 7). А
Замечание. Так как/!-(хо)#/+(хо) для функции/(х) = |х|, то непрерывная в точке Xq = о функция |х| не имеет в этой точке производной. Этот пример показывает, что из непрерывности функции / в точке Xq не следует существование ее производной в данной точке.
Обратимся теперь к понятию бесконечной производной. Пусть функция у — /(х) непрерывна в точке xq и пусть
lim lim = оо. (6)
Д;с_,0 Дх Дх->0 Дх
Тогда прямую х = xq называют касательной к графику функции y = f{x) в точке Л4о(хо;/(хо)). Эту прямую можно рассматривать как предельное положение (при Дх —> 0) секущей I, если уравнение (2) записать в виде ^
х-хо=^у{у-уо)
и воспользоваться тем, что
в силу условия (6). Если
^->0
Ау
lim
при Дх о
— -Ноо,
ДЛ;_0 Дх
то говорят, что функция имеет в точке xq производную, равную -f-oo, и пишут
/ (-*^о) = +00.
124
Глава XIll. Производная и дифференциал
У=¥х
В ЭТОМ случае односторонние пределы и
lim ^ Ajc—о
lim ^ Дх->+0 Ах
Рис. 8
называют соответственно левой и правой производными функции y = f{x) в точке xq и обозначают [L{xo) и /+(jco). Таким образом, если /'(хо) =+00, то /^_(хо) = +оо и /Y(xo) = -foo. Например, если /(х) = то /'(0) = +оо, так как
lim = lim —, L .
Дх~.0 Ах Дх-^0 ^{Ах)^
- -4-00.
В точке (0,0) касательной к графику функции у=^ является прямая X = О (рис. 8).
Аналогично, если
lim ^ = —оо,
Дх Ах
то говорят, что функция у — f{x) имеет в точке xq производную, равную —оо, и пишут /'(xq) -- —оо.
В случае когда /'(xq) = -Ьоо или /'(xq) = -оо, говорят, что функция у = /(х) имеет в точке xq бесконечную производную (иногда добавляют: определенного знака).
Обратимся теперь к случаю, когда
lim ^ — оо,
Дх—О Ах
но не выполняется ни одно из условий /'(хо) = -Ноо или /'(хо) = —оо. В этом случае говорят, что
lim ^
Дх—О Ах
не является бесконечностью определенного знака. Например, эта ситуация имеет место, если
lim ^
Дх—ЬО Ах
Этим свойством обладает, например, функция У=уАМ (рис. 9).
= -Ьоо,
lim ^ = д;с__0 Ах
-оо.
§4. Геометрический и физический смыслы производной
125
Задачи
1. Составить уравнение касательной к графику функции у = f{x) в точке с абсциссой хо, если
1) /(•*) + Зх, хо = 2; 2) /(х) = 2х^ — 5, xq = —2;
3) /(x) = 2sin-, хо =
Зл_
Т’
'1) f{x) = X + In X, Хо = е;
5) /(х) = 51п(лх^), XQ = 1; 6) /(x) = cosx, xq=^.
6
2. Найти точки графика функции у = /(х), в которых касательная к этому графику параллельна прямой у = kx, если:
О /(•>;) + •)> ^ = 3; 2) /(х) = ^х^ + х^ — 2х. ^ = 1.
О
3. Записать уравнение той касательной к графику функции у = /(х), которая параллельна прямой y = kx + b, если:
1) /(х) = x^ — 2х + 3. г/ = — I + 1; 2) /(х) = -х^ + Зх + 4, = 5х + 3.
4. На параболе = х^ — 4х + 2 найти такие точки, в которых касательные, проведенные к параболе, проходят через точку (4; 1).
5. Пусть задана точка Л(0;3), В и С —точки, в которых прямые, проведенные
х2
через точку А, касаются параболы У=~^—х + 5. Найти площадь /\АВС.
6. Касательная к графику функции у = -^х^ — — образует с осью абсцисс
16 16 3
угол, равный arctg-, и пересекает в точках А и В окружность с центром
в начале координат. Найти радиус этой окружности, если АВ =
24
7. Найти точки с одинаковыми абсциссами, в которых касательные к графикам функций 1/ = х^—х+1 и у = Зх^ — 4х+1 параллельны друг другу. Записать уравнения этих касательных.
8. Найти левую и правую производные функции у = /(х) в точке xq, если
1) /(х) = |х2 - 5х + 6|, хо = 2; 2) /(х) = |2^ - 2|. Xq = 1.
Ответы
1. 1) 1/ = 7х-4: 2) {/ = 24х + 27; 3) г/=-^ + V2 + ^; 4) z/=(l + e-‘)x;
5) у^-2пх \-2к 6) =-5^+(x + ll)- 2- 1) (1;2); 2) (l;-|), (-3;6).
3. 1) = + 2) = 5х + 5. 4. (5;7), (3;-1). 5. 8. 6. |. 7. (1;-1),
у = 2х-\- (1;0), у = 2х-2. 8. 1) /'_(2) = -1, /V(2) = 1; 2) /'_(1) = -1п4,
/V(l) = ln4.
Глава XIV
ПРИМЕНЕНИЕ производной К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ
ФУНКЦИЙ
1. Локальный экстремум и теорема Ферма
Понятие экстремума было введено в § 3 гл. 111. Напомним это определение.
Пусть функция f{x) определена в й-окрестности точки xq, т. е. на множестве = (xq — й;л:о + й), и пусть для всех x£U^{xq),
X ^ Xq, т. е. для всех x£Us{xq), выполняется неравенство
f{x) < [(xq). (1)
Тогда говорят, что функция имеет в точке xq локальный максимум.
Аналогично, если для всех х € Os{xq) выполняется неравенство
f{x)>f{xo), (2)
то говорят, что функция /(х) имеет в точке xq локальный минимум.
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим термином «локальный экстремум», причем слово «локальный» часто опускают.
Функция /(х), график которой изображен на рис. 1, имеет экстремумы в точках Xi = 1, X2 — S, хз = 4, а именно, минимумы при X = 1 и X = 4 и максимум при х = 3.
Теорема 1 {Ферма). Если функция /(х) имеет экстремум в точке Xq и дифференцируема в этой точке, то
Пхо) = 0. (3)
О Пусть, например, функция /(х) имеет минимум в точке Xq. Тогда для всех X € (хо - й;хо + й). х ^ xq, т. е. на множестве 1/г(хо). выполняется неравенство
/(х)>/(хо). (4)
§1. Основные теоремы для дифференцируемых функций
127
Если X е (хо — 3;xo). то х —xq<0 и из условия (4) следует, что
/(х)-/(хр)
х-хо
<0,
(5)
а если хе(хо;хо + й), то выполняется неравенство
LW4(Xq) ^ Q (g.
Х-Хо
Так как функция / дифференцируема в точке Xq, то существует предел при x^Xq-0 в левой части неравенства (5), равный /L(xo)=f'(xo). По свойствам пределов из неравенства (5) следует, что
Г(хо) < 0. (7)
Аналогично, переходя к пределу при х —+ Хо + О в неравенстве (6), „случаем ^ ^
Из неравенств (7) и (8) следует, что /'(xq) = 0. •
Замечание Теорема Ферма имеет простой геометрический смысл; если в точке хр функция /(х) имеет экстремум, то касательная к графику функции у = 1{х) в точке (хр;/(хр)) параллельна оси абсцисс (рис. 2).
2. Теорема Ролля о нулях производной
Теорема 2 {Ролля). Пусть функция /(х) непрерывна на отрезке \а\Ь], принимает в концах этого отрезка равные значения, т. е.
Ка)^т, (9)
и дифференцируема на интервале (а-,Ь). Тогда существует точка с е (а; Ь) такая, что
/'(с) = 0. (10)
О Обозначим
М = sup /(х), т = inf /(х).
а^х^Ь а^х^Ь
По теореме Вейерштрасса (гл. IX, § 4, теорема 1) на отрезке [а; Ь] существуют такие точки с\ и сг, что f{c\) = m, f{c2)~M.
Если т = М, то /(х) = const, и в качестве с можно взять любую точку интервала (с;й).
Если тфМ, то т<М, и поэтому /(ci) (02). В силу условия (9) по крайней мере одна из точек С\,С2 является внутренней точкой отрезка [а;Ь]. Пусть, например, Тогда существует число
5>0 такое, что Us{ci)c{a\b). Так как для всех хе t/s(ci) выполняется условие /(х) > /(ci) = т, то по теореме Ферма f'{ci) = 0, т. е. условие (10) выполняется при с = с\. Аналогично рассматривается случай, когда С2&{а;Ь). Ф
У‘
1 1 1 1 1
а 0 с Ьх
Рис. 3
128
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций
Теорему Ролля можно кратко сформулировать так:
Между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один нуль производной этой функции. Для случая /(а) = f{b) = О теорема формулируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один нуль ее производной.
Например, если f{x) = 2 + 2х - х^, то /(—1) =/(3) =-I, и на интервале (—1;3) существует точка xq = 1 такая, что f'{xo) = 0.
Замечание. Геометрический смысл теоремы Ролля: при условиях теоремы 2 существует значение сб {а;Ь) такое, что касательная к графику функции y = f(x) в точке (с;/(c)) параллельна оси Ох (рис. 3).
3. Формула конечных приращений Лагранжа
Теорема 3. Если функция f[x) непрерывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема на интервале {а;Ь), то в этом интервале найдется хотя бы одна точка с такая, что
ПЬ)-[{а)=Пс)(Ь-а). (И)
О Рассмотрим функцию
(р{х) =f{x) + tx,
где число t выберем таким, чтобы выполнялось условие (р{а) = ср{Ь), т. е. /(а) + ta — f{b) + tb.
Отсюда находим
- (12)
b — а
Так как функция ф{х) непрерывна на отрезке [а;6], дифференцируема на интервале (а; 6) и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля существует точка сЕ {а\Ь) такая, что ^(с) = /'(с) + ^ = 0. Отсюда в силу условия (12) получаем равенство
равносильное равенству (11).
(13)
Замечание 1. Точку с, о которой идет речь в теореме 3, можно представить в виде с = а + tb, где 0 О, (14)
I arctgX2 — arctgxil < |л:2 — xi|, xi € М, %2 € R. (15)
Д 1) Применяя теорему Лагранжа к функции /(() = 1п(1 + t) на отрезке [0;x], где л; > О, получаем
Г+7’'^>
откуда следует неравенство (14), так как 0<с<х.
2) По теореме Лагранжа для функции /(/) = arctg( на отрезке с концами Х| и Х2 имеем
arctgX2 - arctgxi =
I +(г
откуда получаем
I arctgX2 - arctgxi| = < \х2 - xi\,
1 +с^
так как
0<
1 +с2
^ 1.
Полагая в соотношении (15) Х2 = х, х\ - О, получаем I arctgx| < |х|, хеК,
и в частности
О < arctgx < X, X ^ 0.
(16)
(17)
4. Некоторые следствия из теоремы Лагранжа
Следствие 1. Если функция /(х) дифференцируема на интервале (а; Ь) и ['(х) = О для всех х е (а; Ь), то
f(c) = С = const, X е (а; Ь).
О Пусть хо — фиксированная точка интервала {а\Ь), х — любая точка этого интервала. Применяя теорему Лагранжа к функции f{t) на отрезке с концами xq и х, получаем
/(х)-/(хо) = (х-Хо)/'(с),
где с е (а; Ь), /'(с) = О, откуда /(х) = /(хц) - С. •
5-3022
130
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций
Следствие 2. Если функция f{x) непрерывна на отрезке \а;Ь], дифференцируема на интервале (а;Ь) и для всех х е {а\Ь) выполняется равенство f'{x) = k, где k — постоянная, то
f{x) — kx + B,
т. е. / — линейная функция.
О Применяя теорему Лагранжа к функции / на отрезке [а\х\, где а^ X ^ Ь, получаем f{x) — f{a) = k{x — а), откуда следует, что f{x) = kx + В, где В = f{a) — ka. •
Следствие 3. Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (а; Ь), за исключением, быть может, точки xq е (а; Ь). Тогда, если существует конечный или бесконечный
lim f{x)=A, (18)
.>с—>л:оН-0
то в точке xq существует правая производная, причем
Г+{хо)=А.
Аналогично, если существует
lim f'{x)^B,
X-*Xq-0
то
(19)
(20) (21)
О Ограничимся доказательством равенства (19). Пусть Ах > 0 и точка хо + Дх принадлежит интервалу (а; 6). По теореме 3
f{xQ + Ах) - /(xq) = /'(хо 4- /Ах) • Ах, 0 < / < 1, (22)
так как xo+0
Поэтому существует предел в левой части соотношения (23), который по определению равен /'(.(хц), и справедливо равенство (18). •
Пример 2. Найти /1(0) и /+(0), если;
1) f{x) = |х^ — х|; 2) /(х) = (х^ — 4)е1'*^1.
Д 1) Функция /(х) непрерывна на К и дифференцируема при всех X € R, кроме х = 0 и х = 1.
§ 1. Основные теоремы для дифференцируемых функций
131
Если X < О, то /(х) =/i(х) = x^ — X, /{(х) = 2х—1, а если О < X < 1, то /(х) = /2(х) = X — х^, /^(а:) = 1 — 2х. Так как /1(0)= lim /j(x) = —1 (следствие 3), а /1(0)= lim /^(х) = 1,
X—*—о X-*+о
то /1(0) = -1. /'(0) = 1.
2) Функция /(х) непрерывна на R и дифференцируема при всех X G М. кроме X = ().
Если X < О, то
/(х) = /](х) = (х2-4)е-^,
/|(х) = 2хе“-*^ - (x^ — 4)е“-*^ = (2х + 4 — х^)е~^.
Если X > О, то
f{x) = /д(^) = (^^ - 4)е*, /г(л:) = {х^ + 2х - 4)е^.
Следовательно,
/1(0)= lim /{(х) = 4, /V(0)= lim /^(х) = -4. А
лс—О дс-^+0
Пример 3. Пусть функции /(х) и g(x) дифференцируемы при X ^ хо и удовлетворяют условиям /(xq) = g(xo), /'(х) > g'{x) при X > xq. Тогда /(х) > g(x) при х > Xq.
Д Применим теорему Лагранжа к функции h(t) = /(/) — g(t) на отрезке [xq;x], где x>xq, и учитывая, что /z(xq) = 0, получим
h(x) — /г'(с)(х-Хо), где OXq,
Л'(с) = /'(с)-/(с)>0.
Следовательно, h(x)>0, при х>хо, т. е. f{x)>g{x) при х>хц. А Пример 4. Доказать, что если х > 0, то
1п(1 +х) >х-
Д Пусть /(х) = 1п(1+х), g(x) = x —у. Тогда
f{0)=g{0), /'(x) = -j-Jy, |г'(х) = 1-х,
и при X > о справедливо неравенство
(24)
1+х
> 1 - X,
равносильное при х>0 неравенству 1 >1 —х^. Используя результат примера 3, получаем неравенство (24). А
132
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций
5. Формула Коши
Теорема 4. Пусть функции f(x) и g{x) непрерывны на отрезке [а; Ь], дифференцируемы на интервале (а; Ь), причем g!{x) фО во всех точках этого интервала. Тогда найдется хотя бы одна точка с 6 {а; Ь) такая, что
m-f{a) ^ Пс) ,25)
g(b)-g{a) /(с)
О Рассмотрим функцию
f{x) = f{x) + t-g{x),
где число t выберем таким, чтобы выполнялось равенство f{a) = f{b), которое равносильно следующему:
т-т \ t{g{b)-g{a)) = Q. (26)
Заметим, что g{b) ф g{a), так как в противном случае согласно теореме Ролля существовала бы точка а€(а;6) такая, что g'(a) = 0 вопреки условиям теоремы 4. Итак, я(й)—^(а)у^О, и из равенства (26) следует, что
I — _ fW-f(a) (27)
g(b)-g(a)-
Так как функция ср при любом t непрерывна на отрезке [а; 6], дифференцируема на интервале (а;Ь), а при значении t, определяемом формулой (27), принимает равные значения в точках а и Ь, то по теореме Ролля существует точка се(а;6) такая, что (р'{с)=^0, т. е. /'(с) + t ■ g'{c) = О, откуда
Ш = -t
g'(c)
Из этого равенства и формулы (27) следует утверждение (25). •
Замечание. Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши (g(x) = х).
Пример 5. Пусть функция f{x) непрерывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема на интервале {а\Ь), где а > 0. Доказать, что существует точка с е (а; Ь) такая, что
em^m^f(c)-cnc).
а — Ь
(28)
Д Применяя теорему 4 к функциям <р(х) = ^^ и Ь(х) = -, получаем
<р(6) - у(а) Л(й) — /г(а)
9>'(Ф h'{c) ’
Т. е.
fM.fM
Ь а i _ i
b а
сГ(с)-Пс)
±
откуда следует равенство (28).
§2. Возрастание и убывание функции
133
3) 1п(1 + х) > при X > 0;
I f л:
Задачи
1. На интервале (0;1) найти такую точку с, что касательная к графику функции у = х^ в точке (с; с®) будет параллельна хорде графика, соединяющей точки (0;0) и (1;1).
2. Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать неравенства;
1) I sin а — sin 6| ^ |а — 6|, а 6 К, 6 6 К;
2) |cosa —cos^l ^ |а —б], а е R, й е К;
4) е* ^ 1 + X при X е К; 5) > ех при х > I;
6) (Ь — а)а"~‘ < д" — а" < п(Ь - а)"“' при О < а < й. а € N;
хЗ X
8) sinx>x—— при 0<х<-.
6 2
3. Доказать, что если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке [а;й] и нс является постоянной, то на этом отрезке найдутся такие точки Cl и С2, что f'{c\)f'{C2) < 0.
4. Доказать, что если функция /(х) непрерывна на отрезке [в;й], дифференцируема на интервале (а;й) и не является линейной, то существует такая точка с€(а;й), что
т-Па)
7) COSX > * “ ^ о < X <
1/'(^)1 >
Ь — а
5. Доказать, что если функция /(х) дифференцируема на отрезке [1;2], то существует точка се(1;2) такая, что
Я2)-/(1) = ^Г(с).
Ответы
1. с =
Уз-
§2. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
Напомним, что функция f{x) называется возрастающей (гл. HI, § 3, п. 3) на некотором промежутке (гл. II, § I, п. I), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. для любых точек Х| и Х2 из этого промежутка таких, что Х2> Х\, выполняется неравенство
/(хг) >/(xi).
Если для любых точек х\ и Х2 из данного промежутка таких, что Х2>Х], выполняется неравенство
/(Х2) (xi),
то функция /(х) называется убывающей на этом промежутке.
134
Глава XIV, Применение производной к иссдедованию функций
С помощью производной можно находить промежутки монотонности, т. е. промежутки возрастания и убывания функции.
Теорема 1. Пусть функция f{x) непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале {а; Ь). Тогда если f{x) > О для всех хе(а;Ь), то функция f{x) возрастает на отрезке [а-,Ь\, а если f'{x) < О, то она убывает на этом промежутке.
О Воспользуемся теоремой Лагранжа (§ I, формула (11)). Пусть х\ и Х2 — произвольные точки отрезка [а\ Ь] такие, что х\ < Х2- Тогда f{x^2)-f{x\)^f[c){x2-xy), се{а\Ь). (1)
Так как Х2 — х\ > О, то в случае, когда f{x) > О на интервале {а\Ь), из равенства (1) следует, что f{x2) > }{х\). Это означает, что функция }{х) возрастает на отрезке [а\Ь\. Аналогично из условия f{x)<0 на интервале {а\Ь) следует, что функция f{x) убывает на отрезке [а;й]. •
Пример 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции /(х), если:
1) /(х) — х^ — 6x^ — 15х + 4;
2) fix) = \2х^ + 15х'^ - 140x3 - 30x2 + ЗбОх + 7;
3) fix) = |х2 - х|; 4) fix) = (х - 1)2(х + 1)3;
5) fix) = 6) fix) = sin X -Ь i sin 2x.
Л 1) Функция fix) дифференцируема на R и
fix) = 3x2 _ ^2x - 15 = 3(x + l)(x - 5).
Так как f(x)>0 при х<-1их>5, a /'(x)<0 при x€(—1;5), to функция fix) возрастает на промежутках (—oo; —1] и [5;-|-oo), a на отрезке [—1;5] эта функция убывает (теорема 1).
2) /'(х) = 60хЧб0хЗ-420х2-60х-Ь360=60(хЧхЗ-7х2-х-Ьб).
Многочлен л 3 о
Fix) = х'^ -f хЗ — 7x2 - X -f 6
-1, Х2 = 1. Разделив Я(х) на х2 —1, получим
х2 -f X — 6 = (х -Ь 3)(х — 2).
Следовательно, уравнение /'(х) = 0 имеет корни
Xi=-1, Х2 = 1, Хз = —3, Х4 = 2.
Применив метод интервалов, найдем, что
/'(х)>0 на промежутках х <-3, -1 < х < 1, х>2
и /'(х) < о на промежутках — 3<х<—1, 1 < х < 2.
имеет корни х\ многочлен
§2. Возрастание и убывание функции
135
Следовательно, функция f{x) возрастает на промежутках д: < —3, —л: > 2 и убывает на промежутках
—3 < х ^ -1 и 1 ^ X < 2.
3) Функция f{x) непрерывна при всех X е R и дифференцируема во всех точках х € М, кроме точек X] = О и Х2 = 1 (§1, пример 2). Если X < О или X > 1, то /'(х) = 2х—1, откуда следует, что /'(х) < О при X < О и /'(х) > О при X > 1.
Если О <х < 1, то /'(х) = 1 — 2х, откуда следует, что f{x) > О при 0<х< i и /'(х) <0 при 1^ Следовательно, функция
/(х) возрастает на промежутках 0<х<| их>1 и убывает
на промежутках X<О и |<х<1. График функции у~\х'^ — х\ изображен на рис. 5.
4) Функция /(х) непрерывна и дифференцируема при всех хеЖ. Так как
/'(х) = 2(х — 1)(х-|- l)^-f3(x —1)^(х-|-1)^ = (х — 1)(х-Ь l)^(5x — 1), то
/'(х)=0 при Х] =-1, Х2 — ^ и Хз = 1.
Методом интервалов получаем, что f'(x) > О при х < —1,
при — 1 < X < ^ и при X > I; /'(х) < О при ^ < х < 1. Так как Ь о
функция /(х) непрерывна при х = —I, при х — ^ и при х = 1, то
Э
функция /(х) возрастает на промежутках оо; i и [1;-Ьоо) и убывает на отрезке [gjlj-
5) Функция /(х) определена при всех х 6 Ж, кроме х = 5, и дифференцируема в области определения, причем
f/лл _ 3(х - 1)2(х - 5)2 - 2(х - 1)3(х - 5) _ (х - 1)2(х - 13) (х-5)4 ~ (х-5)3 •
Так как /'(х) > О при х G (—оо; 1), при х € (1;5) и при X G (13;-|-оо), а /'(х) < О при х G (5; 13), и кроме того, /(х)
136
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций
непрерывна при х = 1 и при л: = 13, то функция f{x) возрастает на промежутках (—оо;5) и [13;+оо) и убывает на промежутке (5; 13].
6) Функция 1{х) дифференцируема на М, является периодической с периодом 2л и
/'(х) = cosx + cos2x = 2cos^a: + cosa:- 1 = (2cosx — l)(cosx+1). Уравнение f'{x) = О имеет корни
х = ±^ + 2л/г, х = к + 2пп,
О
п £:
из которых отрезку [0;2л] принадлежат точки
5тг
XI =
3’
Х2 = Хз =
Неравенству /'(х)>0 удовлетворяют значения х из интервалов (О; |) и ^у;2я^, а неравенство /'(х) < О выполняется на
интервалах и
Отсюда следует, что функция /(х) возрастает на отрезках 0; |] и а также на отрезках, получаемых сдвигом
этих отрезков на 2кп, п е Z.
На отрезке А= , а также на отрезках, получаемых
L О о J
сдвигом отрезка Д на 2жп, п 6 Z, функция /(х) убывает. А Пример 2. Доказать, что если 0 < х < |, то справедливы
неравенства
tgx > X,
sinx > -X. к
(2)
(3)
А 1) Рассмотрим функцию /(x) = tgx —х. Эта функция дифференцируема на интервале причем
----^ ^ е (О; ,
COS'^X \
так как
0<СО5^Х<1 при 0<х<^.
Кроме того, функция /(х) непрерывна при х = 0. По теореме 1 эта функция возрастает на промежутке 0; Так как /(0) = 0,
§2. Возрастание и убывание функции
137
то f{x) > о при X € ^0; 0, т. е. tgx — х > О, откуда следует неравенство (2).
2) Рассмотрим функцию /(х)
Эта функция дифференци-
руема на интервале
Так как
lim =
jc->0 X
ТО, полагая /(0) = 1, доопределим эту функцию по непрерывности в точке X — 0.
Найдем ее производную:
^ xcosx -sinx ^ cosx^^ _ ^ у
Х‘‘
Учитывая, что cosx>0 и х —tgx<0 (неравенство (2)), отсюда находим, что /'(х) < О на интервале Функция Дх)
непрерывна на отрезке [^0; |j и убывает. Поэтому
"Р"
откуда следует неравенство (3).
Это неравенство выражает тот
факт, что на интервале ^0; график
функции y = sinx лежит выше прямой (рис. 6), соединяющей точки (0; 0)
А
Задачи
Найти интервалы возрастания и убывания функции Дх) (1-12):
1. Дх) = 2х^ Ч- Зх^ — Збх + 10.
2. Дх)=х‘'-2x2+3.
3. Дх) = Зх'^ - 25х^ + бОх + 7. 4. Дх) = х^ - 5х^ + 5х^ - 9.
5. Дх) = (х-1)2(х + 2)^
7. Дх) = \/2х^ + 9х^.
9.
(х + 2Y
11. Дх) = sin X — COS^ X — 1.
6. Дх) = (х-1)2е2х.
8. Дх) = + \
х2-Зх + 2
10. Дх) = |х2-2х-3|.
12. /(x) = (x2-l)eW.
138
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций
Ответы
1. Возрастает при х<—3 и при х>2, убывает при -3<х<2. 2. Возрастает
при —1 <х<О и при X> 1, убывает при х< —1 и при О<х< 1. 3. Возрастает
при X< —2, при — 1 <х< 1 и при X>2, убывает при —2<х< — 1 и при 1 <х<2.
4. Возрастает при х<1 и при х>3, убывает при 1<х<3. 5. Возрастает при
X < — g и при X > 1. убывает при — g < х < 1. 6. Возрастает при х < О и при
X > 1, убывает при О < х < 1. 7. Возрастает при —| < х < —3 и при х > О,
убывает при —3 < х < 0. 8. Возрастает при —\/2<х<1 и при у/2<х<2,
убывает при х< —\/2, 1<х<у/2 и при х>2. 9. Возрастает при х< —2 и при
X > 2, убывает при —2 < х < 2. 10. Возрастает при — I < х < 1 и при х > 3,
убывает при х< — 1 и при 1 <х<3. 11. Возрастает при — | + 2тся<х< | +2тгя
и при ^ + 2кп <х< ~ + 2т, я 6Z; убывает при | + 2пп <х < ^ + 2яя и при Y <х < ^ + 2т, я € Z. 12. Возрастает при 1 — у/2 <х < О и при X > л/2 — 1, убывает при х < 1 — %/2 и при О < х < \/2 — 1.
§3. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ
1. Необходимое условие экстремума
Понятие локального экстремума было рассмотрено в § 1. Необходимые условия экстремума легко получить из теоремы Ферма. Согласно этой теореме точки локального экстремума функции /(х) следует искать среди тех точек области ее определения, в которых производная этой функции либо равна нулю, либо не существует.
В дальнейшем будем часто опускать слово «локальный» при формулировке утверждений, связанных с понятием локального экстремума.
Точки, в которых производная данной функции равна нулю, называют стационарными точками этой функции, а точки, в которых функция непрерывна, а ее производная либо равна нулю, либо не существует, — ее критическими точками. Поэтому все точки экстремума функции содержатся среди ее критических точек. Точка х — 0 является критической точкой для каждой из функций
у^х^,у^х^ (рис. 7),у^\х\ (рис. 8),у=|х|2 (рис. 9), ^ = ij/x (рис. Ю). Причем для функций y = x^, у=\х\, у=\х\^ точка х = О —точка
экстремума, а для функций у = х^. у — хз эта точка не является точкой экстремума.
Таким образом, не всякая критическая точка является точкой экстремума функции.
§3. Экстремумы функции
139
Рис. 7
Рис. 8
4) f{x) = ^х- COSX + I sin 2х.
Пример 1. Найти стационарные точки функции f{x), если
1) /(х) - х'* - 8x2 + 5; 2) Дх) = Зх^ - 50x3 + 135х + 4;
3)Дх)=х2в-^; 2'
Л 1) Стационарные точки функции Дх) —корни уравнения /Дх) = 4x3 _ _ 4^ — о,
т. е. точки X] =0, Х2 = 2, Хз = —2.
2) Найдем производную данной функции:
/Дх) = ISx'^ - 150x2 + 135 = 15(х'* - 10x2 + 9) =
= 15(х2-1)(х2-9).
Следовательно, стационарными являются точки -3,-1,1,3.
3) Так как
/Дх) = 2хе“'*^ — х2е“-* = хе“‘‘(2 — х),
то функция /(х) имеет две стационарные точки xi = 0, Х2 = 2.
4) Найдем производную данной функции:
/Дх) = g + sin X + I cos 2х = 2 + sin X — sin2 x =
= (2 —sinx)(sinx+ 1).
Уравнение f{x) = 0 равносильно уравнению sinx = —1. Отсюда следует, что стационарными являются точки х„ = —^ + 2кп, neZ. А
Пример 2. Найти критические точки функции /(х), если
1) f{x) = 1x2 _ 2) /(х) = (х2 - 4)eW.
Л 1) Критические точки непрерывной функции /(х) — это все ее стационарные точки (корни уравнения /Дх) = 0), а также точки, в которых функция не имеет производной.
Функция [х2 — х| дифференцируема при всех х G М, кроме х = 0 и х = 1 (§1, пример 2; §2, пример 1(3)), и непрерывна
140
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций
на множестве М, а уравнение f'{x) — О имеет единственный корень х = Следовательно, критическими являются точки
0,1.1.
2) Если X > О, то
/(х) = (х^ — 4)е^, /'(х) = 2хе^ + (х^ - 4)е^ = е'*(х^ + 2х — 4).
Уравнение f'{x) — 0 имеет единственный положительный корень х\ = n/S - 1.
Так как /(х) —четная функция, то Х2 = 1 — л/5 также является корнем уравнения /'(х) = О (при х < 0).
В § 1 (пример 2) было показано, что функция /(х) не имеет производной в точке х = 0, так как /!_(0) = 4, а /(^(0) = —4. Следовательно, критическими для функции /(х) являются точки 1 — л/5, О и \/5 —1. А
Пример 3. Найти все значения а, при которых функция /(х) = х^ — Зах^ + 27х — 7 имеет единственную стационарную точку.
Д Так как
/'(х) — Зх^ — бах + 27 = 3[(х — + 9 — а\
то уравнение /'(х) = О имеет единственный корень, а функция /(х) имеет единственную стационарную точку, тогда и только тогда, когда 9 — = О, т. е. при а = —3 и а = 3. А
2. Достаточные условия экстремума
Для формулировки достаточного условия экстремума ведем понятие смены знака функции.
Пусть функция g(x) определена в проколотой 5-окрестности точки хо, т. е. на множестве (xq — S.xq) U (xo,xq-Ь 5). И пусть для всех X G (хо - 5, xq) выполняется неравенство |^(х) < О, а для всех X е (xqjXq-Ь 5) — неравенство g(x)>0. В этом случае говорят, что функция ^(х) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку xq.
Аналогично вводится понятие смены знака с плюса на минус при переходе через точку xq.
Теорема 1. Пусть функция /(х) дифференцируема в некоторой окрестности точки xq, кроме, может быть, самой точки xq, и непрерывна в точке xq.
§3. Экстремумы функции
141
Рис. 11
f{x)>0
ГМ<о
Хц — д^О XQ + S X
Рис. 12
(1)
Тогда
а) если производная f{x) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку xq, т. е. существует 5 > О такое,
f{x) < О при л: € (хо — й,хо),
f[x) > О при X € (хо,хо + 8),
то Xq —точка минимума функции f {рис. 11);
б) если ['{х) меняет знак с плюса на минус при переходе через точку Xq, то Xq — точка максимума функции f {рис. 12).
О Пусть функция f'{x) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку xq, тогда выполняются условия (1).
Если X — произвольная точка интервала (xq —3,хо), то функция / дифференцируема на интервале (х,хц) и непрерывна на отрезке [х,хо]. По теореме Лагранжа
f{x)-f{xQ) = f'{c){x-XQ), (2)
где /'(с) < О, так как с € (xq — 5,хо), и х — xq < О, так как х < xq. Тогда правая часть равенства (2) положительна и поэтому /(х) > [{xq) при X G (хо - S, хо).
Аналогично, применяя теорему Лагранжа к функции /(х) на отрезке [xq;x], где xo [{xq) при X G (хо; Xq + 8).
Таким образом, для всех х G (xq — 5;хо + 5), х хо, выполняется неравенство f{x) > [{xq).
Это означает, что Xq —точка минимума функции /(х).
Тем же способом рассматривается случай максимума. •
Пример 4. Найти точки экстремума функции /(х), если
1) [{х) = х^ + 6x2 _ i5j^. + 7- 2) /(х) = х^ + Бх'* + бх^ + 8;
3) /(х) = (х + 2)2(л; - 3)^; 5) /(х) = |х-5|(х-3)3;
4) f{x)
_ хЗ + 2а:2.
(х-1)2’
6) /(x) = (x2-4)eW.
142
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций
Д 1) Так как
/'(jc) = Зх^ + 12л: — 15 = 3(л: + 5)(л: — 1),
то л^1 = —5 и Х2 = 1 — стационарные точки функции f{x). При переходе через точку х\ производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку Х2 — с минуса на плюс. Следовательно, xi = —5 —точка максимума, а Х2 = 1—точка минимума функции /(х).
2) Уравнение
f'{x) = 5х'* + 20х^ + 15х^ = 5х^{х + 3)(х + 1) = О
имеет корни х\ =0, Х2 = -3, хз = —1. Точка Х[ =0 не является точкой экстремума, так как функция f{x) возрастает на промежутках (-1;0] и [0;-Ьоо). При переходе через точку Х2 = —3 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку хз = —1 —с минуса на плюс. Поэтому Х| = —3 — точка максимума, а Хз = 1 —точка минимума функции /(х).
3) Уравнение
/'(х) = 2(х + 2){х — 3)® -Ь 3(х -Ь 2)^(х — 3)^ = 5х(х -Ь 2)(х — 3)^ = 0
имеет корни xi = —2, Х2 = 0, Хз = 3. Точка Хз = 3 не является точкой экстремума, так как функция /(х) возрастает на интервале (0;-1-оо): ее производная положительна при хе(0;3) и при X € (3; -f оо).
Производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку Х] = —2 и с минуса на плюс при переходе через точку Х2 = 0. Следовательно, х\ = —2 —точка максимума, а Х2 = 0 —точка минимума функции /(х).
4) Функция /(х) дифференцируема при х^ причем
_ (Зх^ + 4х)(х — 1)^ — (х^ + 2х^)2(х — 1) _ (х -Ь 1)х(х - 4)
1)3 •
Пх)
(х-1)4 (X-
Методом интервалов определяем знаки /'(х) (рис. 13).
Рис. 13
Из рис.13, используя достаточное условие экстремума, заключаем, что х = —1 —точка максимума, а х = 0 и х = 4 — точки минимума функции /(х).
5) Функция /(х) непрерывна на М и дифференцируема при всех X G К, кроме X = 5.
§3. Экстремумы функции
143
Если л: > 5, то f{x) == (х-5)(л:-3)^,
f'{x) — {х — 3)^ + 3(д; — 3)^(л: — 5) = (х — 3)^(х — 3 + Зх — 15) =
= 4(х - 3)^(х - 4,5), а если X < 5, то
/'(х) = -4(х-3)2(х-4,5).
Отсюда следует, что f{x)>0 при х>5, при х<3 и 3<х<4,5; /'(х) < О при X е (4,5; 5).
Поэтому х = 4,5 —точка максимума, а х = 5 —точка минимума функции /(х).
6) /(х) — четная функция, непрерывная на R и дифференцируемая при всех хеМ, кроме х = 0. В § 1 (пример 2) было установлено, что если X > О, то
/'(x) = (x2-^2x-4)e^
а если X < О, то
/'(х) = (2х -I- 4 — х^)е~^.
Уравнение х^-Ь2х —4=^0 имеет один положительный корень X] = — 1 -Ь \/5, а уравнение 2х -Ь 4 — х^ = 0 имеет один отрицательный корень хг = 1 — л/б. Отсюда следует, что f'{x) > 0 при x>xj и при хе(хг;0); f(x)<0 при х<хг и при xe(0;xi).
При переходе через точки х\ и Х2 производная меняет знак с минуса на плюс, а при переходе через точку х = 0 — с плюса на минус. Следовательно, х\ и Х2~точки минимума, а Х2 = 0 —точка максимума функции /(х). А
Задачи
1. Найти стационарные точки функции /(х), если:
1) /(х) = 2х^ - Зх^ - 12х-1-5;
2) /(х) = 12х® - 15х^ - 140х^ -I- ЗОх^ + ЗбОх + 7.
2. Найти критические точки функции /(х), если:
•) /(х) = (х+1)^ - |х|; 2) /(х) =3е“-'-t-|3х + х^|.
Найти точки экстремума функции (3-10):
3. /(х) = Зх^ - 25х^ + бОх + 9. 5. /(х) = (х-2)2(х-И)3. (х-З)З (х + 3)2‘
9. /(х) =х|1 — х| — 5х^.
7. /(х)
4. /(х) = (хЗ- 10)(х 4-5)2.
6. fix) =
'' ' х-Н
8. /(х) = х^е-**.
10. /(х) = |х2 - 1|е1х|
144 Глава XIV. Применение производной к исследованию функций
11. Найти все значения параметра а, при которых функция f{x) = х^е~^ имеет ровно одну точку экстремума на отрезке [а; а+ 7].
Ответы
1. 1) xi = —1; Х2 = 2; 2) Х] = —2; Х2 = —1; л:з = 1: Х4 = 3. 2. I) х=0; 2) xi=0;x2 = = —3. 3. Х| = —2; Х2~ 1 — точки максимума; хз = — 1; =2 —точки минимума.
4. Х| = —5 —точка максимума: Х2 = 1 —точка минимума. 5. xj = точка
максимума; Х2 = 2 —точка минимума. 6. Х|=—3 —точка максимума; Х2 = 1—
точка минимума. 7. х = —15 — точка максимума. 8. Х[ = —л/2, Х2 = л/2 —
1
9. Х] = = — точка максимума;
О
точки максимума; х = О — точка минимума = — ^ — точка миним]
Х4 = I — у/2, Х5 = у/2 — 1 — точки максимума. 11. —7 ^ а < — 1, О < о ^ 6.
Х2 = —5—точка минимума. 10. Х|=—1. Х2 = О, хз = 1 —точки минимума;
О
§4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИИ
Понятие наибольшего (наименьшего) значения функции было рассмотрено в гл. III (§ 3, п. 4).
Если функция /(х) непрерывна на отрезке [а; 6], то согласно теореме Вейерштрасса (гл. IX, § 4, п. 4) существует точка х\ б [а; 6] такая, что
f(xi)=M, где sup f{x)= max f{x).
хе[аф\ Х&{аф]
Аналогично, существует точка Х2 € [о; Ь] такая, что
f{x2) = m, где т= inf /(х) = min /(х).
хе[а]Ь] х€^[а\Ь]
Это означает, что в точке х\ функция /(х) принимает свое наибольшее значение Л4, а в точке Х2 — свое наименьшее значение т, и для всех X € [а; Ь] справедливо неравенство
т ^ /(х) ^ М.
Пусть функция /(х) непрерывна на отрезке [а;Ь], дифференцируема во всех точках интервала {а\Ь), за исключением, быть может, точек x\,...,Xk, и имеет конечное число стационарных точек Х\,...,Хт (/Ч^О = ••• = f{xm) = 0). Тогда если М и m — соответственно наибольшее и наименьшее значения функции /(х) на отрезке [а;6], то М — наибольшее из чисел
/(o),/(6),/(xi),... ,/(x*),/(xi),... ,/(х^),
am — наименьшее из этих чисел.
В прикладных задачах при нахождении наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке [й;Ь] или на интервале (щЬ)
§4. Наибольшее и наименьшее значения функции
145
часто встречается случай, когда / дифференцируема на интервале (а-,Ь) и непрерывна на отрезке [а; 6), а уравнение f{x) = 0 имеет единственный корень XQe(a;b) такой, что /'(х) > О при xG(a;xo) и f'{x)<0 при хе(хо;6) или f{x)<0 при хе(а;хо) и f{x)>0 при X € (хо; Ь).
В этом случае число /(xq) является не только экстремумом функции /(х), но и наибольшим (наименьшим) значением этой функции на отрезке [а; Ь] или на интервале (а; Ь).
Отметим еще, что если на некотором промежутке Д справедливо неравенство ^(х) ^ О, то функция g{x) принимает в точке хц 6 А наибольшее (наименьшее) значение тогда и только тогда, когда функция [g(x)]", где а G N, а ^2, принимает в точке Xq наибольшее (наименьшее) значение.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции /(х) на множестве Е, если
1) /(х)=х‘*-8х2-рЗ, £=[-1;2];
2) /(х) = (х-ь2)2(х-3)3, £-[-3;1];
3) /(х) = sin X -f i sin 2x, E —
4) =
0;|
5) /(x) = |x2 -f 2x - 3| + I In X, £ = 2j;
6) /(x) = |x2-4|e-W, £ = M.
A 1) Уравнение
f{x) — 4x^ — 16x = 4x(x — 2)(x -b 2) = 0
имеет корних1 = —2, хг = 0, хз = 2. Отрезку [-1;2] принадлежат точки Х2 = 0, хз = 2, при этом
/(-!) =-4, /(0) = 3, /(2) = -13.
Следовательно, наибольшее значение функции /(х) на отрезке [—1;2] равно 3, а наименьшее равно —13.
2) В § 3 (пример 4(3)) было установлено, что Х| = -2 —точка максимума, а Хг = 0 —точка минимума функции /(х). Так как
/(-3) = -216, /(-2) = 0, /(0) = -108, /(1) = -72,
то наибольшее значение функции /(х) на отрезке [—3; 1] равно О, а наименьшее равно —216.
3) Уравнение
f{x) = COSX -Ь cos2x = 2 cos^ X-Ь cos X — 1 = О
146
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций
равносильно совокупности уравнении
cos
х = -1, cosx = 5.
На отрезке [О; yj уравнение cos;c = —1 имеет единственный
корень ;с1 = д, а уравнение cos.x=| имеет единственный корень
Х2 = ^. Найдем значения функции f(x) в точках О,
Имеем:
/(0) = 0, /(|) = ^, /(я) = 0, /(у) = -1-
Следовательно, наибольшее значение функции f(x) на отрезке 3\/3
4)
3 т
1у равно а наименьшее равно —1.
О
'ак как
_ 4x^(x^ + l)-2x(jc‘* + l) _ 2х(х'> +2x^-1)
(х2 t 1)2 (х2 +1)2 ’
то уравнение f(x)—0 имеет корни Х[ =0, Х2,з = ±\/— 1;
/(0)=/(1)=/(-1) = 1, [Ы)=/(хз) = ‘ = 2л/2 - 2 < 1 ■
Наибольшее значение функции равно 1, а наименьшее равно 2%/2-2.
5) Функция/(х) непрерывна на отрезке |;2 и дифференцируема во всех точках этого отрезка, за исключением точки х = 1. Если X G l]> то
/(x) = 3-2x-x2 + |lnx, f(x) = -2-2x+А =
Уравнение /'(х) = О имеет на отрезке единственный
корень Х|=
Если X € (1; 2), то
/(х) = хЧ2х-3 + |1пх, =
и уравнение /'(х) — О не имеет действительных корней.
Так как
Я2)=5+||п2.
§4 Наибольшее и наименьшее значения функции
147
а л: = 1 — критическая точка функции [{х) и /(1) = О, где /(1) 2, причем g'(x) — f'(x) при л: > 2 и g'(x) меняет знак с плюса на минус при переходе через точку х\. Поэтому Xi—точка максимума функции /(х), а функция /(х) убывает при X > Х].
При переходе через точку Хз = 2 производная /'(х) меняет знак с минуса на плюс, так как f{x) = -g'{x) при хе(0;2) и /'(х) = ^(х) при X > 2. Поэтому Х2 —точка минимума функции /(х).
Учитывая, что функция /(х) строго убывает на интервале (0;2) и четная, заключаем, что х = 0 —точка максимума функции /(х).
Используя полученные результаты и четность функции /(х), получаем, что х = —2 и х = 2 —точки минимума функции /(х); х = 0 и x=l + v^ — точки максимума этой функции.
Если Мит — соответственно наибольшее и наименьшее значения функции /(х) на R, то М — наибольшее, а т — наименьшее из чисел /(0), /(2), /(1 + л/5), где
/(0) = 4, /(2) = 0, /(l + v/5) = 2(l + \^)e“(‘+'^^<2,
так как е‘ > i при t > 0 {а значит, e~^ < у при t > 0). Следовательно, М = 4, т = 0. А
Пример 2. Доказать, что при xG
0;f
о ^ sin® X cos X < .
1о
справедливо неравенство
(1)
л Обозначим ^(х) = sin'^xcosx, тогда 4
ср{х) — 2 sin 2х(1 - cos 2х) = | sin 2х — |
sin 4х,
148
откуда
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций (р'{х) = ^(cos2x — cos4a:) = sin л: sin Зх.
Уравнение ф'{х) = О имеет единственный корень х = xq = ^ на
•5
интервале причем (j/{x)>0 при х € ^0; и q/{x)<0 при
х€ Следовательно, xq —точка максимума функции f{x) и
max с»(х) = |;р(хо) = ^. ;^е[0;|] 'б
Правое неравенство (1) доказано. Левое неравенство, очевидно, выполняется, так как sinx>0 и cosx^O при х€ 0; |
В
Пример 3. Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, найти треугольник с наибольшим периметром.
Л Пусть треугольник АВС вписан в круг радиуса R,
теореме синусов
АВ = ВС = 2/?sin а, АС = 27?sin(T: — 2а) — 2/?sin 2а. Пусть Р(а) — периметр треугольника АВС, тогда Р(а) = 2R{2 sin а -f sin 2а).
где О < а < |. Отсюда находим
Я'(а) — 4/?(cos 2а -|- cos а) = 4/?(2 cos^ а -|- cos а — 1) =
= 4/?(2 cos а — l)(cos а -Ь 1).
Уравнение Я'(а) = О имеет на интервале ^0; ^j единственное решение “ = причем Я'(а) > О при а G ^0; и Р'(а) < О при Следовательно, число является наибольшим
значением функции Р(а) на интервале ^0; Но если ZBAC—a—^,
то /.ВСА = ^ и. значит, /LABC = ^, т. е. ЛРС — равносторонний
треугольник. Итак, среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник. А
§4. Наибольшее и наименьшее значения функции
149
Пример 4. Определить отношение радиуса основания к высоте цилиндра, если при данном объеме цилиндра площадь его полной поверхности является наименьшей.
Д Пусть JC,/г,0,5 —соответственно радиус основания, высота, объем и площадь полной поверхности цилиндра. Тогда
5 ~ 2пхН + 2л>с‘^, V =
откуда
h =
кх^
при x>0,
и поэтому
5 = 5(х) = 2 , S'{x) = 2 (2пх - .
Уравнение 5' = О имеет единственный корень
причем 5'(х)<0 при xG(0;xo) и 5'(х)>0 при x>xq. Следовательно, xq —точка минимума функции 5(х), и наименьшее значение этой функции равно 5(хо), т. е. площадь полной поверхности цилиндра является наименьшей, если его радиус равен xq. Но тогда
h = -^ = 2x0,
^0
т. е. цилиндр при заданном объеме имеет наименьшую площадь полной поверхности, если его высота в 2 раза больше радиуса, т. е. в случае, когда осевое сечение цилиндра — квадрат. А
Пример 5. Определить размеры закрытой коробки объема v с квадратным основанием, на изготовление которой расходуется наименьшее количество материала.
Д Пусть X —сторона основания коробки, Л —высота коробки, 5 — ее полная поверхность. Тогда
откуда
и, следовательно.
5 - 2х^ + 4xh, V — x^h, S(x) = 2x^ + 4^ 5'(х) = 4 (х - j) .
Уравнение 5'(х) = 0 при х>0 имеет единственное решение хр= v^, причем при переходе через точку xq функция 5'(х) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, xq —точка минимума функции 5(х),
150
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций
а число 5(л:о) является наименьшим значением этой функции при х>0. Из формулы v = x^h следует, что если х = -^, то h — ^. Таким образом, высота коробки должна быть равна стороне основания, т. е. коробка должна быть кубом с ребром А
Пример 6. Найти радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар радиуса R.
Д Пусть гик — соответственно радиус основания и высота цилиндра, вписанного в шар радиуса R, о —объем цилиндра (рис. 15). Тогда
»=л, (I)'
откуда
V = 2тгг^ \//?2 - г'^, где О <г < R.
Обозначим t = r^, тогда
V = 2т:1\//?2 — t, 00, то функция v{t) имеет на интервале (0;/?^) те же точки экстремума, что и функция
Найдем критические точки функции f{t), решая уравнение
/'(/) = 2tR'^ - 3/2 = 0.
Это уравнение имеет на интервале (0;/?2) единственное решение
. 2R'^
^о = -Г’
причем точка Iq является точкой максимума функции, а число /(/о) — наибольшим значением функции /(/) на интервале (0;/?^). Следовательно, при
функция V принимает наибольшее значение, т. е. радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса R и имеющего наибольший
объем, равен R\j\- ^
§4. Наибольшее и наименьшее значения функции
151
Рис. 16
Пример 7. Найти высоту конуса, имеющего наибольший объем среди всех конусов, вписанных в шар радиуса R.
Д В сечении сферы (границы шара) плоскостью, проходящей через ось конуса, образуется окружность радиуса /?, а в сечении конуса — равнобедренный треугольник АВС {АВ = ВС), вписанный в эту окружность с центром О (рис. 16).
Пусть D —центр основания конуса, х —его высота, г —радиус основания. Тогда BD = x, AD = r. Продолжим BD до пересечения с окружностью в точке Е. Так как /ВЛ£ —прямой, то по свойству перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу треугольника АВЕ, имеем
= ED ■ DB, где
Следовательно, = (2R — х)х.
Пусть V — объем конуса, тогда
ED = BE-BD = 2R-x.
откуда
1/(х) = Ut^x = U{2Rx‘^ - х^),
О «5
V'{x) = |л(4/?х — Зх^) = I лх(4/? — Зх).
Так как 0<х<2/?, а на интервале (0;2/?) уравнение К'(х) = 0 имеет единственный корень х= причем V'{x) >0 при 0<х< ^ и V'{x) <0 при ^ 0 при 0<х<| и S'(x)<0
«5 о
о
при I <х ^ 1, то значение
О
ад=5(|)=з|
является наибольщим значением функции 5(х) на отрезке [0; 1].
Ответ. з|.
9
Задачи
Найти наибольшее М и наименьшее т значения функции f{x) на множестве Е (1-10):
1. /(л:)=а;3-6х2 + 9. £=[-1;2]. 2. /(х) = / - бх''+ 5.*^ + 1. £=[-1;2].
3. /(х) = |х^ - Зх + 21. £ = [-10:10].
4. fix) = ^=10;Ч-
1 Ь X - х’^
5. Ях) = х-21пх, £'=[|;е]. 6. /(х) = (х-2)2(х+1)3, £=[0;3].
7. fix) = 5х^ -х|х + 1|, £ = 1-2;0]. 8. fix) = (х - З)е'*+Ч, £ = (-2;4].
9. /(x) = 2sin2x + cos4x. £=|0;|]. 10. Дх) = (х-3)^е1^+'1. £=[-2;4|.
11. Определить углы треугольника АВС с наибольшей площадью, если задана длина его основания ВС и известно, что угол ВАС равен а.
12. Среди всех прямоугольников, имеющих данную площадь S, найти прямоугольник:
1) с наименьшим периметром; 2) с наименьшей диагональю.
13. Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в круг радиуса R.
14. Найти наибольшую площадь прямоугольника, две вершины которого лежат на осях Ох и Оу прямоугольной системы координат, третья —в точке (0;0), а четвертая — на параболе г/ = 3 — x^.
15. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точку 4(1;2) и отсекающей от первого координатного угла треугольник наименьшей площади.
§4. Наибольшее и наименьшее значения функции
153
16. Найти длину боковой стороны трапеции, имеющей наименьший периметр среди всех равнобедренных трапеций с заданной площадью S и углом а между боковой стороной и нижним основанием.
17. Через точку А (2; ^ j проводятся прямые, пересекающие положительные полуоси в точках В и С. Найти уравнение той прямой, для которой отрезок ВС имеет наименьшую длину.
18. Лист картона имеет форму прямоугольника со сторонами а и Ь Вырезая по углам этого прямоугольника квадраты и сгибая выступающие части крестообразной фигуры, получим открытую сверху коробку, высота которой равна стороне квадрата. Какой должна быть сторона квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?
19. Из трех досок одинаковой ширины нужно сколотить желоб. При каком угле наклона боковых стенок площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?
20. Найти высоту правильной треугольной призмы наибольшего объема, вписанной в шар радиуса R.
21. Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.
22. В конус, радиус основания которого равен R, а высота Н, вписан цилиндр наибольшего объема. Найти радиус основания и высоту этого цилиндра.
23. Из круглого листа жести вырезают сектор и свертывают его в коническую воронку. Каким должен быть угол сектора, чтобы воронка имела наибольший объем?
24. Найти наименьшую площадь боковой поверхности конуса, имеющего объем V.
25. На координатной плоскости дана точка K{Z;6). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси Оу и лежат на дуге параболы у — ^х^, заданной на отрезке (-I;!], а точка К является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
Ответы
1. 9 и -7. 2. 2 и -10. 3. 132 и 0. 4. 1 и и 0. 7. А и -38. 8. и
5. е-2 и 2-21п2. 6.64
9. I и 1. 10. е® и -125е. 11.
2....... 2 ’ 2
12. 1) Квадрат со стороной \/§: 2) квадрат со стороной v/S. 13. 2Г^.
а-уЬ— \/cfi — ab + tA 6
14. 2
15. -2.
16. ./ 17. 2х -Р 4ц = 5.
У Sin а
19. 20. 21. 4/?. 22. Радиус основания Щ-, высота 23.
24. Зб^^^у. 25. 4\/2.
154
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций
§5. ПРОИЗВОДНЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
ВЫПУКЛОСТЬ и точки ПЕРЕГИБА
1. Производные второго порядка
Пусть функция f{x) дифференцируема на интервале {а\Ь). Производную f'{x) этой функции называют первой производной или производной первого порядка функции f{x).
Если функция f'{x) дифференцируема на интервале (а;Ь), то ее производную называют второй производной или производной второго порядка функции f{x) и обозначают /"(х), т. е.
Пх) = (/'(^))'-
Пример 1. Найти f"{x), если:
О f{x) — 2х'* — Зх^ 5х -Г 1; 2) /(х) = sin^ 2х;
3) /(х) = е^:
4) /(х) = In
Х-{
х+\'
1) f'{x) = 8x3 _ 6jc + 5. /"(х) = 24x2 _ q
2) /'(х) = 4sin2xcos2x = 2sin 4х, /"(х) = 8cos4x.
3) /'(х) = Зх^е^\ f'{x) = 6хв^' + 9х‘‘е^^ = Зх(2 + Зх^)е^.
4) Пх) =
Jt-H
Г. =
4х
1)
2'
■*-1 (х+1)2 Х^-\ ' (Х^-
Выясним физический смысл второй производной.
Пусть закон движения материальной точки вдоль прямой задается формулой
s = f(t),
где S—координата движущейся материальной точки (гл. Х1И, § 1, п. 1) в момент времени t. Тогда мгновенная скорость движения v{i) в момент времени t определяется формулой
v{t) = nt).
Скорость характеризует быстроту (темп) изменения координаты со временем.
Для описания быстроты изменения самой скорости вводят ускорение a(t) по формуле
a(t) = v'(t).
Согласно определению производной второго порядка
а(0 = /"(О,
т. е. вторая производная функции S(i) по времени есть ускорение. В этом состоит физический смысл второй производной.
§5. Производные второго порядка
155
В §§ 2-4 было показано, как с помощью первой производной можно находить промежутки возрастания и убывания функции, а также точки экстремума.
Рассмотрим свойства функции, которые устанавливаются с помощью второй производной.
2. Выпуклость функции
На рис. 18-20 изображены графики функций, имеющих на интервале (с; 6) первую и вторую производные. Выясним, в чем состоит различие в поведении этих функций и какими общими свойствами они обладают. На рис. 19 изображен график убывающей функции, а на рис. 18 — возрастающей функции; функция, график которой представлен на рис. 20, не является монотонной.
Однако все кривые, изображенные на рис. 18-20, обладают общим свойством: для любой точки XQe{a;b) график функции у = f{x) лежит ниже касательной к этому графику в точке {xo\f(xo)) при всех х£{а;Ь) и x^xq. Поэтому функции, графики которых представлены на этих рисунках, называют выпуклыми вверх.
Сформулируем определение выпуклости вверх (вниз), предполагая, что функция f{x) имеет первую и вторую производные на интервале (c;fc).
Функция f{x) называется выпуклой вверх на интервале [а\Ь), если ее производная f{x) — убывающая функция на этом интервале.
Теперь рассмотрим функции, имеющие первую и вторую производные на интервале (а;^?), графики которых изображены на рис. 21-23.
Рис. 21
Рис. 22
Рис. 23
156
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций
Функции на рис. 21-22 монотонны на интервале (а;Ь): первая возрастает, вторая убывает; на рис. 23 изображена функция, которая не является монотонной на этом интервале. Однако все кривые — графики функций (рис. 21-23) обладают общим свойством. Каждая из этих кривых лежит выше касательной к этой кривой в любой точке с абсциссой Xq этого интервала. Такие функции (и их графики) называют выпуклыми вниз.
Установим связь между выпуклостью функции и второй производной этой функции. Для этого сначала рассмотрим поведение первой производной выпуклой функции (рис. 24).
Так как первая производная равна тан-|'енсу угла между осью Ох и касательной к графику функции, то из рис. 24 видно, что для выпуклой вверх функции ее первая производная убывает на интервале (а; Ь), а это означает, что ее вторая производная отрицательна.
Аналогично можно показать, что для выпуклой вниз функции ее вторая производная положительна.
Справедливо и обратное утверждение: если функция f{x) имеет на интервале (а\Ь) вторую производную f"{x) и f"{x)<0, то функция f{x) выпукла вверх, а если /"(х) > О, то выпукла вниз.
Интервалы, на которых функция выпукла вверх или вниз, называют интервалами выпуклости этой функции.
Пример 2. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз функции /(х), если:
1) /(х) = х^; 2) /(x) = sinx; 3) /(x) = arctgx.
Д 1) Так как /"(х) — 6х, то /"(х) < О при х < О и /"(х) > О при х > 0. Поэтому функция у = х^ выпукла вверх при х<0 и выпукла вниз при X > о (рис. 25).
2) Так как I/ = sin х — периодическая функция с периодом 2к (рис. 26), то будем ее рассматривать на интервале
Если v = sinx, то/"(х) = —sinx, откуда следует, что f"{x)>0 при хе (-х;0) и /"(х) < о при хе(0;л:). Поэтому функция y = f[x) выпукла вниз на интервале (—щО) и выпукла вверх на интервале (0;тг).
3) Если /(х) = arctgx, то
1+х^
Пх) = -
2х
(1 fx2)2’
§5. Производные второго порядка
157
откуда следует, что f"{x) > О при л: < О и f"{x) < О при л: > О. Поэтому функция i/ = arctgx выпукла вниз при х<0 и выпукла вверх при х>0 (рис. 27). А
3. Точки перегиба
Точка xq дифференцируемой функции f{x) называется точкой перегиба этой функции, а точка (xo;/(a:o)) ~ точкой перегиба графика функции f{x), если xq является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз для функции /(х).
Иначе говоря, в точке перегиба дифференцируемая функция меняет направление выпуклости.
Например, для функций sinx, arctgx (пример 2, рис. 25-27) точка хц = 0 является точкой перегиба.
Пусть функция /(х) имеет вторую производную на интервале (а;Ь) и х€{а;Ь). Тогда если f'{x) меняет знак при переходе через точку хо, то xq —точка перегиба функции /(х).
Пример 3. Найти точки перегиба функции /(х), если:
1) Дх) = хе^-^; 2) /(х) = х** — 6х^ + 5х + 4;
3) /(х) = х2|пх; 4)/(х) = ^-^^.
Д 1) f'{x) = е^’‘+ 2хе‘^^ — е^^{\+ 2х),
fix) = 2е^Ц\ + 2х) + 2^2^ = 4е2Д1 + х).
Так как /"(х) меняет знак при переходе через точку Хо = -1, то хо = —1—точка перегиба функции /(х).
2) /'(х) = 4х^ - 12х + 5, /"(х) = 12х2-12 = 12(х2-1).
Функция f"{x) меняет знак при переходе через точки Х\ = —1 и Х2 = 1, которые являются точками перегиба функции /(х).
3) /'(х) = 2х 1п X + X, /"(х) = 21пх + 3.
158
Глава XIV. Применение производной к исследова)1ию функций
4)
Функция f"(x) меняет знак при переходе через точку
_з
xq = е 5 — корень уравнения 2 In л:+ 3 = 0. Эта точка есть точка перегиба функции f{x).
tn \ - 2)2 - 2х^(х - 2) _ х^(х - 6)
(х-2)^ (х-2)3’
f>'(x) - (3x2 _ 12д;)(^; - 2)^ - - 6х2)3(л: - 2)2 _ 24х
’ (х-2)® (х-2)‘‘‘
Отсюда следует, что х = 0 —точка перегиба функции f{x). А
Задачи
1. Найти f"{x), если:
1) /(х) = 2х^ + ax'* t2x2+3x; 2) /(х) = ’
1 +Х'
2'
3) /(х) = хе* ;
4) /(х) = cos^ Зх;
5) /(х) = х1п(1 + х2); 6) /(X):
(х+1)2‘
2. Найти интервалы выпуклости вверх и интервалы выпуклости вниз функции /(х). если:
1) /(х) = 2х'‘- Зх^ + 5х - 4; 2) Дх) = х® - Юх^ + 4х; 3) /(х)=в^;
4) fix) =
5) Дх) =
х2 + 12’ х^ + 2’
3. Найти точки перегиба функции Дх), если:
6) Дх) =х^ — 6х1пх.
о Дх) = С05Х, —к^х^тг,
3) Дх)=хЗе~^-‘; 4) Дх) = е^; 5) Дх)=х^1пх; 6) Дх) = ;
2) fix) = х"* - 12х^ + 48x2 + 3;^ + 4-
X
х2-3
7) fix) =
8) fix) =
x^jf4x + 2 (х-И)2
Ответы
1. 1) /"(х) = 40x3 4- 36x2 ^ 4. 2) /"(;с) = 3) /"(х) = 2х/(2х^ -f- 3);
4) /"(X) = -18cos6x; 5) /"(х) = 6) /"(х) = 2. 1) Вы-
пукла вверх на интервале (~|;|)' выпукла вниз на интервалах и Q;-i-ooj; 2) выпукла вверх на интервале (-оо;1), выпукла вниз на интервале (1;+оо); 3) выпукла вверх на интервале оо; —выпукла вниз на интервалах
(-i;0) и (0;+оо): 4) выпукла вверх на интервалах (—6;0) и (6;+оо), выпукла вниз на интервалах (—оо;—6) и (0;6); 5) выпукла вверх на интервалах
§6. Построение графиков функций
159
оо; —и ^^;+оо^, выпукла вниз па интервале 6) выпукла
вверх на интервале (0;1), выпукла вниз на интервале (1;+оо). 3. 1) Х]=—
Х2 = 2) X, = 2. Х2 = 4; 3) х, = 0. Х2 = хз = 4) х =
5) X = 2; 6) X = 0; 7) х = — 8) = ^ •
§6. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 1. Асимптоты
Термин «вертикальная асимптота» был использован в гл. III (§ I, п. 3) при исследовании дробно-линейной функции
ах Ь
У =
ad - Ьс фП, сфО.
cx + d’
Если выполнено хотя бы одно из условий
lim /(х) = со, lim f(x) = со,
X—»хо-0 X—»хо-ЬО
то прямую X = хо называют вертикальной асимптотой графика функции y — f{x).
Например, прямая х = 0 — вертикальная асимптота графиков функций у= у=~, у — \пх, а прямые х= —1 и х=2 — вертикальные
^ X
асимптоты графика функции
У =
1
(х-ИКх-2)-
Рассмотрим понятие наклонной асимптоты.
Назовем прямую y = kx + b асимптотой (невертикальной асимптотой) графика функции y=f{x) при х—+-|-оо, если разность ординат графиков функции /(х) и прямой у = kx + b стремится к нулю при X —> 4-00, т. е.
lim (f{x) — {kx + Ь)) = 0. (1)
X—»-Гсю
Если кфО, то асимптоту называют наклонной, а если k = Q, то асимптоту у = Ь называют горизонтальной.
Теорема. Для того чтобы прямая y — kx + b была асимптотой графика функции у = /(х) при х —> -Ьоо, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
/(х)
к,
lim
X—>-Ьоо X
lim (/(х) — kx) — Ь.
х-*-Ноо' '
(2)
(3)
160
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций
О 1) Пусть прямая г/= 6л: +ft —асимптота графика функции y = f(x) при Х-++00. Тогда выполняется условие (1) или равносильное ему условие
f(x) = kx + Ь +а(х), «(а:) —* О при jc ^+оо. (4) Разделив обе части равенства (4) на х, получим
X XX
откуда следует, что существует предел (2). Из равенства (4) получаем
/(х) — ftx = ft + а(х), а(х) —> О при х —>+оо,
откуда следует, что существует предел (3).
2) Пусть существуют конечные пределы (2) и (3). тогда
/(х) — {kx + ft) = а(х), где ог(х) —> О при х —> +оо,
т. е. выполняется условие (4) и равносильное ему условие (1). Это означает, что прямая у = kx + Ь — асимптота графика функции y — f{x). •
Аналогично вводится понятие асимптоты при х —» —оо. В этом случае должно выполняться условие
lim (f{x) — {kx + Ь)) = 0. (5)
Если выполняются условия (1) и (5), т. е.
Jim (/(х) - {kx + ft)) = О,
то говорят, что прямая у = ^х + ft —асимптота графика функции у = /(х) при X оо.
Пример 1. Найти асимптоты графика функции у = /(х) при X —»+00 и при X—оо, если:
2) f{x) = \/х^ + 4х — 5;
.3
i) /W =
__ 3 + 2л:.
3) f{x) =
х-\'
v3
х^+х+\
4) Нх) =
’ ’ (х-2)2
Д 1) Так как
_ 2(х- 1) + 5 _ 9 , 5
л: - 1 ■ А - 1 ’
И ^^—>0 при X—юо, то прямая ^ = 2 — асимптота графика функции /(х) при X —> +00 и при X —> —оо.
§6. Построение графиков функций
161
2) Найдем сначала асимптоту при л: —♦ +оо. Если л: > О, то
\/^ = х, \/х^ + 4х — 5 = Х\11 + ^
X
X \ X
и по формуле (2) находим
k — lim = 1.
X—»+оо X
Тогда
f(x)-kx=\/x'^ + 4x-5-x = -,
v/x2 + 4x-5 + x
откуда следует, что
Ь = lim Шх) — kx) = 2,
X—>4-00
и поэтому прямая = х + 2 — асимптота графика функции f{x)
при X —» +00.
Аналогично находим асимптоту при х —> —со, пользуясь тем, что
\/х2 -- —X при X < О, v/x2 + 4x-5 = -x^1 + 1-А,
откуда следует, что
k = lim = —1,
X—>—ОО X
Нх) + X = \/х^ + 4х — 5 + х= ^ —
v/x2 + 4х + 5 - X
4х-5
Поэтому
Ь— lim (f(x)-kx) = -2,
х—^-оо
6-^3022
162
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций
а прямая у = —х — 2 является асимптотой графика функции
у = \/л:2 + 4х — 5 при х -* -со.
Замечание Нахождение асимптот при а: —»+оо и при х —» —оо можно упростить, используя равенство
/(x)-|x + 2| = ^/x2 + 4x-5-|x + 2|= (6)
Vx2 + 4х + 5 + jx + 2|
откуда следует, что
/(х) — |х + 2| —* О при X —> оо,
а прямые у = х + 2 и у = —х — 2 являются асимптотами графика функции у = л/х2 + 4х — 5 при X —* +00 их—» —оо соответственно.
Из равенства (6) следует, что график функции у = f{x) лежит ниже асимптот (рис. 28).
3) Так как
/(х) = ~ ‘ ‘ = X - 1 + -у—!---,
х2 + X + 1 х2 + X + I
то прямая у = х- I —асимптота графика функции y = f{x) при X +СО их—» —оо.
4) Для нахождения асимптот можно вычислить пределы (2) и (3). Мы, однако, применим другой подход и найдем асимптоты, разделив многочлен х^ на многочлен (х —2)^.
Используя равенство
X® = [(х - 2) +
и формулу куба суммы, получаем
х^ = (х - 2)3 + 6(х - 2)2 + 12(х - 2) + 8,
откуда
/(х) — X — 2 + 6 + +
х-2 (х - 2)2 ’
т. е.
(7)
§6. Построение графиков функций
163
Следовательно, прямая ^ = х + 4 —асимптота графика функции У — /W при X —> +00 и при X —> —оо.
Из равенства (7) следует, что при х график функции y = f{x) лежит ниже асимптоты, а при х>^ — выше асимптоты.
О
2. Графики функций
При построении графика функции y — f[x) можно придерживаться следующего плана.
1) Найти область определения функции. Выяснить, является ли функция четной (нечетной), периодической.
2) Найти точки пересечения графика с осями координат и промежутки, на которых /(х) > О и f{x) < 0.
3) Найти асимптоты графика функции.
4) Вычислить f'{x), найти экстремумы и промежутки возрастания (убывания) функции.
5) Вычислить f"\x), найти точки перегиба и промежутки выпуклости вверх (вниз) функции.
6) Нарисовать график функции.
Пример 2. Построить график функции
2х-А
У
«2 - 4x + 3 ■
Д Так как
то
х^ -4х + 3 = {х — 1)(х - 3),
У =
2{х - 2)
(д:- 1)(х-3)‘
Функция определена при всех х G R, кроме х = 1 и х = 3.
График пересекает ось Ох в точке (2;0), а ось Оу — в точке
^0;—1^. Используя метод интервалов, получаем:
у > о при i < X < 2 и при X > 3, у < о при X < 1 и при 2 < X < 3.
Прямые х = 1 и х = 3 — вертикальные асимптоты графика функции, а прямая г/ = 0 — асимптота при х —> оо.
Найдем f{x), записав /(х) в виде
/(•^) = -Ц +
' ^ ' д: — 1 а: — 3
164
Глава XIV. Применение производной к исследованию функций
Отсюда получаем
И поэтому f{x)<0 при х€М, их^^З. Следовательно, у = /(х) убывающая функция на промежутках х<1, 1<х<3 и х>3. Найдем вторую производную:
1)3 ■ (X-
Решим неравенство f"{x) > 0. Это неравенство при х ^ \ и х 3 равносильно каждому из неравенств
1 1 1^1 х-2
> -
> --
>0.
(х-1)3" (х-З)З’ х-1" х-3’ (х-1)(х-3)
Решив полученное неравенство методом интервалов, находим, что множество решений этого неравенства — совокупность промежутков 1<х<2 и х>3.
Аналогично получаем, что множество решений неравенства /"(х) < о — совокупность П1)Омежутков х<1 и 2<х<3.
Следовательно, функция /(х) выпукла вверх на промежутках х< 1, 2 < X < 3 и выпукла вниз на промежутках 1 < х < 2, х > 3.
В точках х=1, х = 2 и х = 3 меняется направление выпуклости функции. Но при х = 1 и х = 3 функция /(х) не определена, поэтому X = 2 — единственная точка перегиба этой функции.
Используя результат исследования, строим график функции (рис. 29). А
Пример 3. Построить график функции
хЗ
Д Функция определена при х^2; у>0 при х>0 и у<0 при х<0, график проходит через точку (0; 0), а прямая х = 2 — вертикальная асимптота графика этой функции.
Прямая г/=х + 4 является наклонной асимптотой графика функции при X —+ оо (пример 1(4)).
Найдем i/ и у'\ Имеем:
г _ Зx^(x-2)^-2xЗ(x■ ^ (х - 2)'>
2)
х2(х-6)
(х - 2)3 ■
Так как у' > 0 на промежутках х<0, 0<х<2 и х>6, а t/ <0 при 2 < X < 6, то функция возрастает на промежутках х < 2 и х > б и убывает при 2 < х < 6.
§6. Построение графиков функций
165
При переходе через точку x = 6 производная меняет знак с минуса
на плюс. Поэтому л: = 6 —точка минимума функции и у(6) =
27
Находим вторую производную:
24х
п _ (3x2 _ 12х){х - 2)3 - (хЗ - 6х2)3(х - 2)2 ^ (х - 2)6 (х - 2)'' ■
При х = 0 вторая производная меняет знак, следовательно, х = 0 — точка перегиба функции.
Используя полученные результаты, строим график функции (рис. 30). А
Задачи
I. Найти асимптоты графика функции с/ = /(х), если:
1) /(х) =
4) f(x) =
2х-5.
Зх +1 ’ хЗ-х2 + |
2) /(х) = х/х2 - 4х - 12; 3) /(х) =
5) /(X) =
(х - 2)3 _
Х2 - X + 1
х2-| ■ 3^2 _5'
2. Построить график функции /(х), если:
I) Дх)=х+^; 2) /(х)=х-?; 3) /(х) =
6) /(х) =
1-х^
5) /(х) =
х2-1
Х*^ + X - 1 (х-1)2 ’
6) Ях)= 7) /(х) —
^ ^ (х-2)2' ^ (х-6)2’
Ответы
4) /(х) =
20x2
(х-1)3’
8) /W =
1 2
1. 1) x = — ^,t/=^;2) t/=x —2 при X—»+оо, (/ = 2 —X при X—♦—оо; 3) (/=х+1;
4) X = -1, X = 1, р = X - 1; 5) X = X = у = ^х - 2; 6) х = -1,
X = 1, у — —X. 2. 1) Функция нечетная, определена при х 0; график не
166
Плава XIV. Применение производной к исследованию функций
пересекает координатные оси; прямые х = 0 и у = х — ее асимптоты; х = —2 — точка максимума. у{-2) =—4-, jc = 2 —точка минимума. у{2) = 4\ функция возрастает на промежутках х < —2 и х > 2. убывает при —2 < х < О и при 0<х<2; при х<0 функция выпукла вверх, а при х>0 функция выпукла вниз. 2) Функция нечетная, определена при х / 0; (—3;0) и (3;0) —точки пересечения графика с осью Ох; экстремумов нет; х = 0 и у = х — асимптоты
3) Функция определена приху^!; * I i ^ * ’■ (0; — 1)—точки
пересечения графика с осями координат; асимптоты х=1 и у = \\ — точка
минимума, 4/= — |; (0; — 1) —точка перегиба графика функции. 4) Функция
определена при пересекает оси координат в точке (0;0); х=1 и у = 0 —
асимптоты; х=О — точка максимума, t/(0)=0; х = -2 — точка минимума, t/(—2) =
= —Х1=—2 —\/3 и Х2 = —2 +\/3 —точки перегиба. 5) Функция нечетная, определена при х^±1, пересекает координатные оси в точке (0;0); асимптоты х = —1, х=), у — х; X = \/3 — точка минимума, 1/(л/3) = х = —v^ — точка максимума, i/(—v/З) = — ^^; (0;0)—точка перегиба. 6) Функция определена
при X 2; (1;0) и ^0;—^^—точки пересечения графика с координатными
27
осями; х = 2 и j/= х + 1 — асимптоты; х = 4 —точка минимума, у(4) = (1;0)—точка перегиба графика функции. 7) Функция определена при х 6; (2;0) и — точки пересечения графика с координатными осями; х = 6 и у = X + 6 — асимптоты;
,_(x-2)Z(x-l4)
^ (X - ’
« ^ 96(х-2). ^ (х-6)'' ’
х = 14 —точка минимума, «/(14) = 27; (2; 0) —точка перегиба графика функции. 8) Функция определена при х ^ 1; (0;0)—точка пересечения графика с координатными осями; х = 1 и у = 3х — асимптоты;
У
_ Зх^х^ - 4)
(х^ - 1)^
// _ 18х^(х^-|-2)
^ - (x3-l)J ’
х = О —точка максимума, у(0) = 0: x=v^ —точка минимума, у(^) = 4^; — 2v^) — точка перегиба графика функции.
Глава XV
ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§1. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ 1. Основные понятия
Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием (от лат. ш/в^гаге — восстанавливать). Его цель состоит в том, чтобы найти все такие функции F{x), производная каждой из которых равна данной функции f{x).
Определение. Пусть функции f{x) и F{x) определены на интервале (а; Ь). Если функция F{x) имеет производную на интервале (а; Ь) и если для всех х е (а; Ь) выполняется равенство
F\x)=f{x),
то F{x) называют первообразной функции f{x) на интервале {а; Ь).
Замечание. Понятие первообразной можно ввести и для других промежутков (полуинтервала — конечного или бесконечного, отрезка). Дадим определение первообразной на отрезке.
Если функции f{x) и F{x) определены на отрезке [а; 6], причем функция F(jc) дифференцируема на интервале (а; ft), непрерывна на отрезке [а; й] и для всех хе(а; Ь) выполняется равенство F'{x) = f{x), то функцию F{x) назовем первообразной функции f{x) на отрезке [а; Ь].
Пример 1. Найти какую-либо первообразную функции f{x) — 3 cos 2х.
Л Функция F{x) = I sin 2х является первообразной функции /(х) = 3 cos 2д: на всей числовой прямой, так как для любого л: € М
F'(jc) = Q sin = I (sin2x)'= 3cos2a: = /(j;). А
О
Нетрудно заметить, что первообразная ^ sin 2х не является единственной первообразной функции /(л:) = 3cos2x. Вообще, любая функция вида -sin2x4-С, где С G 1R — произвольная постоянная, является первообразной для функции 3cos2x.
Задача интегрирования состоит в нахождении всех первообразных функции f{x). Если при нахождении первообразной функции f{x) не
168
Глава XV. Первообразная и интеграл
указывается промежуток, на котором она задана, то считается, что первообразная находится на всей области определения функции /(х).
Докажем теорему, выражающую основное свойство первообразных.
Теорема {основное свойство первообразных). "Если ДДх) и р2{х) — две первообразные функции /(х) на интервале {а; Ь), то для всех х € (а; Ь) выполняется равенство
F,{x)-F2{x) = C, (1)
где С — постоянная.
О Обозначим Ф(х) =Fi(x) — Так как по определению перво-
образной для всех X € (а; Ь) выполняются равенства
Д|(х)=Ях), /^2W=/W.
то функция Ф(х) дифференцируема на интервале (а; Ь) и для всех X е (а; Ь) выполняется равенство
Ф'(х) = 0.
Докажем, что в этом случае Ф(х) = С для всех х€ (а; Ь). Для этого возьмем произвольные xi,X2€(a; Ь), где х\ <Х2- По теореме Лагранжа найдется такое cg(xi; Х2), что будет выполняться равенство
Ф(хг) - Ф(л:|) = Ф'(с){х2 - xi).
Но по условию Ф'(с) = 0. Следовательно, Ф(х]) = Ф(х2), т. е. функция Ф(х) постоянна, и значит, справедливо равенство (1). •
Таким образом, все первообразные функции f{x) имеют вид F{x) -f С, где F{x) — одна из первообразных. Поэтому задача о нахождении всех первообразных решается нахождением какой-нибудь одной из них, из которой любая другая первообразная получается прибавлением некоторой постоянной.
Выражение F{x) + С, где С € М — произвольная постоянная, называют общим видом первообразных функции /(х).
Пример 2. Найти все первообразные функции /(х) = х^.
Д Так как (х^)'= 4х'^, то ^—одна из первообразных. Следовательно, все первообразные имеют вид F[x) — — + С. А
У'
/—
у— О
Рис. 1
Геометрический смысл основного свойства первообразных состоит в том, что графики любых двух первообразных функции /(х) получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. I).
§ 1. Первообразная функции
169
Пример 3. Для функции f{x) = x^ найти первообразную, график которой проходит через точку (1; 2).
Л Общий вид первообразных для функции /(х) = х^ имеет вид
3
1'(х) = — Найдем постоянную С из условия Д(1) = 2: из равенства
О
2 = Д(1) = ^ + С получаем С= Следовательно, F{x) = ^ + I- ^
Таблица I
Таблица первообразных
Функция f{x)
Общий вид первообразных F{x)
fee К
kx + с
хР (рек, рф 1)
Р и
+ с
In 1х| I- с
COSX
sinx
sinx + С
■cosx + C
tgx + C
. 2
Sin^JC
ctg x + C
e^+C
-5-+C
In a
x/i—x2
arcsinx + C
\J\— x^
arccosx + C
I -viF
arctg X + C
1+x^
arcctg x + C
Для каждой строки этой таблицы равенство F'{x) = [{х) выполняется на любом промежутке, на котором имеют смысл ее левая и правая части.
Пример 4. Доказать, что функция In |х| — первообразная функ-
ции
170
Глава XV. Первообразная и интеграл
Д Функции 1п1а:| и ^ определены при всех л:€(—оо; 0)U(0; +оо).
При л:<0 имеем 1п |jc| = 1п(—х) и (1п|х|)^ = (1п(—= =
Следовательно, на этом промежутке функция In |лс| = 1п(—х) является первообразной функции При х > О функция 1п|л:| = 1пл: также является первообразной функции так как 1п|л:| = 11ис и (ln|x|)' = (Inj:)' = i. А
2. Простейшие правила нахождения первообразных
1. Если F(x) есть первообразная функции f(x), а G(x) — первообразная функции g{x), то F(x) -t- G(x) есть первообразная для fix)+g(x).
2. Если F(x) есть первообразная для функции /(х), а /г — постоянная, то kF(x) есть первообразная функции kf(x).
3. Если F(x) есть первообразная функции /(х), а k и Ь — постоянные,
причем /гу^О, то ^F(kx + b) есть первообразная функции f{kx-\-b).
Пример 5. Найти все первообразные функции f{x) = \/3x — 5. Л Первообразная функции f{x) = х^ имеет вид F{x) = ^x^. Со-
<5
гласно правилу 3 первообразную функции /(За: - 5) = \/За — 5 можно получить, умножив F{x) на I и заменив х на Зл: — 5.
о
Отсюда следует, что одной из первообразных данной функции будет ;[е(За: — 5) = I • I(За: — 5) i, а все первообразные задаются формулой
О О О
|(За:-5)2-ЬС. А
Пример 6. Найти все первообразные функции /(а:) = sin5а:-cosЗа:. Д Заметим, что (гл. V, § 9, ф-ла (3))
f{x) = sin 5а: • cos Зх = sin 8х + sin 2х = ^ sjn gjj ..р I 2х.
Все первообразные функции вида A(x) = sin^x при ^^0 имеют вид f/(x) = —j^coskx + C. Следовательно, функция F\(x) — —-^cosSx
является одной из первообразных функции /i(x) = | sinSx, а функция Ег(х) = —I cos2x является одной из первообразных функции /2(x) = |sin2x. Тогда E|(x)-f Е2(х) — одна из первообразных функции
§ 1. Первообразная функции
171
/(•^) =/i W+ /2(-*^). а все первообразные функции, данной в условии задачи, имеют вид
F(x) = —cos8x - j cos2jt + С. '16 4
Пример 7. Найти все первообразные функции
\ _ + 2х^-6х + 2
’ (х + 3)2 •
л Выделяя у дроби -------—------- целую часть, получим
(х + 3)2 х^ + 2х'^ -6х +2
(х + 3)2
= х-4 +
9лс + 38 + 6х + 9'
Числитель полученной дроби представим в виде 9д: + 38=9(а: + 3) + И. Отсюда
/(•«)
II
(х + 3)2 X + 3 (х + 3)2 ■
Используя таблицу первообразных и правила нахождения первообразных, получаем
F{x) = ^ - 4x -Ь 9 In |х 4- 3|-^ +С. А
^ X “1" «5
{1, если X > О,
О, если X = О,
— 1, если X < 0.
Заметим, что xsignx = |x|. Кроме того, так как производная функции |х| равна I при л! > 0 и —1 при х < 0, то \х\' =signx при X ,1^: 0. При X = О производная функции |х| не существует.
Далее, (|хр) = 3x^signx — Зх|х| уже при всех х, включая х = 0. ^Пример 8. Найти все первообразные функции:
1) /(х) = x^sigп х; 2) /(х) = |sinx|.
•J
Д 1) Так как /(х) = х^ при х > О, то F{x) = — + С при х > 0.
О
Соответственно, f{x) — -x^ при х<0 и F{x) =—^ + C при х<0.
о
Следовательно, все первообразные функции будут задаваться формулой
3 2
F{x) = ^ signх + С=^-хsignх + С = ^x^jx] -f-С,
справедливой и при х = 0.
172
Глава XV. Первообразная и интеграл
2) В данном случае f{x) = | sin x| = sin д: • sign (sin х); так как (—cosл:/= sinX, то первообразной для /(х) будет функция F{x) = — COSX • sign (sinx) + С — - ctg х | sinx| + С. А*
Задачи
1. Найти множество всех первообразных функции /(х):
1) /(х)=х —cosx; 2) /(х)=3х^ —
3) /(х) = 2х + -, х>0;
cos- X X
4) /(х)=2х-е~^; 5) /(х) = 4х^ - 2х^; 6) f(x) = sit\2x -
2. Найти первообразную функции /(х), график которой проходит через точку (хо: УоУ-
1) /(х) = 2х - 6, Хо = 2, уо - -3; 2) /(х) = 8х'’ - 5, xq =1. t/o = 4;
3) /(х) = 4х^ — 9х^ + 4х — 5, Хо = 2, уо = —8;
4) /(X) = —Хо = f. i/o = 4; 5) /(х) = (х - 1)-2,хо = 2, */о = П
6) /(х) = lOxV^, Хо = 1. Уо = 5; 7) Ях) =
4,г-^-3
Хо = -1. '/0 = 5-
3. Найти первообразную функции f{x), график которой проходит через точку Л4, если;
1) Ях) = sinx + 5х^, /4 = (0; 3); 2) Ях) = Зх^ — 2cosx; ’
3) Ях) =sinx-e“2, Af = ;
4) Ях) = 2х^ — 3v7x + 4, Af = (4; —3);
5) Ях) = Зх^ -f 3(3х + l)-°■^ Л4 = (5; 130); 6) f{x) = -х^, М = (1; е).
4. Доказать, что функция F{x) — 2009 4- In х + 4\/2х + 1 является одной из
первообразных функции Ях) =-------x(2~-f I)--- промежутке (0; -f оо).
5. Найти множество всех первообразных функции /(х):
1) Ях) = промежутке (—оо; 0);
2) /(х) = Зх^ — 2х + 3 — \/х-, 3) /(х) = Зх — 4 + — -f *
4) Ях) =
Зх^ - 12х^ н 12х^ + X - 4 (х-2)2
Зх - 4 (3;с - 4)2 ’
6. Найти ту первообразную функции [{х) = е^ — cosx, график которой проходит через начало координат.
7. Для функции Ях) = 2х — 6 найти ту первообразную, график которой пересекает ось Ох в точке с абсциссой 4.
§2. Неопределенный интеграл
173
8. Найти первообразную функции /(х) = Зx^ — 4л: + 5 — график которой
проходит через точку пересечения прямых у = 2х+\ и у — —х + А.
9. График первообразной для функции f{x) = блс + 5 пересекает ось абсцисс в точках, расстояние между которыми равно 3. В какой точке график первообразной пересекает ось ординат?
10. Для функции /(,() = sin2j:sin6x найти нули первообразной, если известно,
7к
что один из них равен ——.
11. Найти ту первообразную функции j{x) — 2х + 4, г|>афик которой касается прямой у = Слг + 3.
12. Для функции /(х) = 5(х + 3) найти все первообразные, графики которых имеют с осью абсцисс единственную общую точку.
13. Доказать, что функция F(x) = (1 - x'^)sinx^ — cosx^ является одной из первообразных функции /(х) = 2(х — cosx^. Найти ту первообразную функции /(х), наибольшее значение которой на отрегзке [0; 3] равно О
14. Найти все первообразные функции:
1)/(х)=|хр; 2) /(х)=хЗ|х|.
Ответы
1. 1) Y — sinx + С; 2) х'^ — 2 tg X + С; 3) х^ + 1пх 4 Г; 4) х^ + е ^ + С;
5) х'‘ - |хЗ + С: 6) + с. 2. 1) х^ - 6х + 5; 2) 2х'‘ - 5х + 7;
3) х** - Зх^ + 2х^ - 5х + 2; 4) 6 tg ^ - 2; 5) + 2; 6) 4x1 + 1;
7) 2х'*
3 1п(-х) + 3. 3. 1) —COSX + х^ + 4; 2) х^ — 2sinx —
xi. 8 ’
3) -cosx + 2(? t — Зе 4) ^x^ — 2х-фс + 4x — Щ-\ 5) x^ + 2(3x + 1)®'® — 3; (')) + 5. 1) |x''’-|x2 + 2x-|ln(-x) + C;2) х^-хЧЗх-|x^/l4 C;
3) (3x^ ^ lnJ3x^ _ 4. C; 4) + In |x - 21 + + C.
Лх I
6.-2---sinx - g.
10. ne
4
3(3jc-4) ' ’ ' ' jc_2
7. x^ — 6x + 8. 8. x^ — 2x^ + 5x — Inx — 1.
11. x^ + 4x + 4. 12. 2,5x^ + 15x + 22,5.
13. (1 - x^) sin x^ - cosx^ - ^ + 1 14. 1) /(x) = + C; 2) f(x) = + C.
§2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Совокупность всех первообразных функции f{x) на некотором промежутке / называют неопределенным интегралом от функции }{х) на этом промежутке, обозначают символом Ц{х)йх и пишут
f{x) dx — F{x) + С.
(1)
174
Глава XV. Первообразная и интеграл
Здесь F(x) — какая-нибудь из первообразных функции f{x) на промежутке /,С —произвольная постоянная. В равенстве (1) /(х) называют подынтегральной функцией, выражение /(х) dx — подынтегральным выражением, переменную х —переменной интегрирования, а слагаемое С — постоянной интегрирования.
Из определения неопределенного интеграла следует основное равенство
( /(x)fl'x^ =
fix).
т. е. производная любой первообразной подынтегральной функции равна этой функции.
1. Свойства неопределенного интеграла
Свойство I.
d Г /(х) dxj= /(х) dx.
О Из равенства (1) следует, что
/(х) dx ] = d {F{x) + С) = dF{x) = F'{x) dx = f{x) dx,
(2)
так как dC = 0. Свойство 2.
I dF{x) = F{x)
+ C.
(3)
о Равенство (3) следует из равенств (1) и (2). 9
Свойство 3. Если функции /(х) и g{x) имеют на некотором промежутке первообразные, то для любых а е R, /3 е R функция h{x) = af{x)-\-pg{x) также имеет первообразную на этом промежутке, причем
(а/(х)-|-^3g(x))dx = а j/(x)dx-|-/3 g{x)dx. (4)
Свойство 3 называют свойством линейности неопределенного интеграла: интеграл от линейной комбинации функций равен соответствующей линейной комбинации интегралов от рассматриваемых функций.
Из свойства 3 получаем, что:
1) интеграл от суммы функций равен сумме интегралов слагаемых,
{f{x)+g{x))dx^y[x)dx-F g{x)dx-, (5)
§ 2. Неопределенный интеграл
175
2) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
kf{x) с/л: = й I f{x) dx, кфО. (6)
Пример 1. Найти:
1) J (5а: + 3 sin л:) rfx; 2) /$1п(2а: + 3)с!а:;
3) J ^-2 cos а: + ^ "г) /сЬа:^а:; 5) JshxdA:.*
А I) Используя формулы (5), (6) и таблицу первообразных, получаем
I (5а; + 3 sin а:) с(а: = I 5а: dx -f 13 sin xdx =
= 5|xdx-f 3|sinxdx ^x^ — 3cosx-bC.
2) Так как функция — cosx является одной из первообразных функции sinx, то по правилам нахождения первообразных
1 cos(2x-I-3)^ =sin(2x-b3). Следовательно,
1
sin(2x + 3)dx = — i cos(2x -b 3) -t- C.
3) Так как cosx = (sinx)'.
I -t-x‘
= (arctgx)', TO
(—2 cos X + —dx = —2 cos x dx -f 2 —---g
\ 1 +x^/ J J 1 -l-x^
= -2 sin X -f 2 arctgx + C.
*4) Так как ch x = —, to
I ch X dx = I
2
e^ + e~^
dx =
= 11 e^dx + 11 ^ ~ Y~ ^ + shx + C.
5) Так как shx =-----—, то
sh X dx:
-dx =
1-
= i j e^dx - ^ j e~^dx = j + ^-hC=chx + C.
176
Глава XV. Первообразная и интеграл
2. Методы вычисления неопределенных интегралов
Непосредственное интегрирование. Этот метод вычисления неопределенных интегралов заключается в непосредственном использовании таблицы первообразных и правил вычисления первообразных, поскольку из венкой формулы dF{x) = f{x)dx дифференциального исчисления и свойства (2) неопределенного интеграла следует соответствующая формула инте1рального исчисления
J f{x) dx = F{x) + С. Пример 2. Вычислить интеграл
(7)
10
^\/х — dx.
Д Имеем -^У = х — 2 + Значит,
dx = ^xdx — 2 dx + ^-^dx—^—2л:-Ь In |х|-(-С. А
Замечание. Иногда искомый интеграл путем преобразования подынтегральной функции удается свести к уже известным. В частности, для нахождения интегралов от функций вида sinmjccosrtx, cosmxcosnx и sin/nxsinnx удобно преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму.
Пример 3. Найти:
1) [sin^xdx; 2) [sin2xcos3xc/x; *3) f4) [*
J J J ch'^x J sIt^x
Д 1) lsxn4dx = Y~^^dx = Y-dx-Y-^dx = \- \s\n2x + C.
2) Так как 5ш2л:созЗл: = ^ (sinSx — sinx), то
I sin 2х cos Зх dx = IJ sin 5x dx - | J sin x dx =
= I cos5x^ - i (-cosx) Ч- C =
= I cosx - ^ cos5x -b C.
*3) Так как thx = a (shx)' = chx, (chx)' = shx
и (thx)' = TO, используя формулу ch^x —sh^x=l,
ch'^x
§2. Неопределенный интеграл
177
получаем (1Ьл:У = ^—. Следовательно.
ch X dx ch^x
{\\\x)'dx = thjc + С.
предыдущему
A*
4) Аналогично
I -^=—|(cthjc)'c?x:=—cthx+C.
Следующие методы позволят свести искомый интеграл к уже известным. Это поможет расширить множество функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции.
Метод замены переменной (метод подстановки). В основе этого метода лежит формула дифференцирования сложной функции. Пусть функция t = <р(х) определена и дифференцируема на промежутке / и пусть промежуток /| = <р(/) — множество значений функции (р на I.
Если функция U{t) определена и дифференцируема на промежутке /к причем
U’it) = u{t), (8)
то на промежутке / определена и дифференцируема сложная функция F(x) = и
Р'{х) = {и{ф))У = иШ)ср'{х). (9)
Из равенств (8) и (9) следует, что если t/(/) — первообразная для функции u{t), то и{(р{х)) — первообразная для функции u{f{x))(j/{x). Отсюда следует, что если
(10)
(11)
(12)
то
или
^u{t)dt = U{t) + C,
I и {(р{х)) (р'{х) dx = U (^(х)) + С, I и {ср{х)) d(p(x) = и {(р{х)) + С.
Формулу (12) (или формулу (11)) называют формулой интегрирования методом замены переменной. Она получается из формулы (10), если вместо t подставить дифференцируемую функцию t=0, ^ = 2dy/x.
Отметим важные частные случаи формулы (12). а) Пусть F{x) — первообразная функции f{x), т. е. справедливо равенство J f{x) dx = F(jc) -f С.
Тогда
[{ах + b)dx = -F{ax -|- fc) -Ь С, афО.
(13)
Здесь (р{х) = ах + Ь, [{ах + b)dx — ^[{ах -Г b)d{ax 4- Ь).
б) Используя равенство Jy = ln|^|4-C, получаем
(14)
§ 2. Неопределенный интеграл
179
в) Так как а^—1, t>0, то
I (f/°'(x)(p'{x) dx = (р“{х) d(p{x) = + С, (15)
где аф - \, (р{х) > 0.
Приведем примеры применения формул (13)-(15).
Пример 5. Вычислить интеграл:
; 3) [-If-, 4) [^1^;
J х‘‘ +а J у/х^ + а
[ / 0^ г,у где а > 0;
J у/о^
8) j где афО.
1) J(5x + 3)®djK; 2)
5) j^cigxdx;
dx
(x + uf
7)
dx
-V x^
, где a 7^ 0;
Д 1) J(5x + 3)®rf;c = ' J(5x + 3)®d(5x + 3)=li5^±^ + C
_ (5x + 3)^*
2)
45
f d.
+ c.
(In |x + a| + C, fe = l,
(-^ + “)
1-*
3)
xdx x^ + a xdx
^ ГТТ-
sf x^ + a
5) JctgA:dx =
+ C, кф \ .
Ц±^ = иг,\х‘^ + а\ + С.
x'‘ + a X 2ч/х2 + а
COSJC
sin jc
6)
7)
8)
\ - f
J yjc?- — x^ J
= In I sin x\ + C. sm д: ' ‘
■fW ■Hi}
arcsin - + C, c > 0.
2 a
dx
ii-
'(i)
1+
(j)‘
■ — -arctg- + C, афО.
f d^... = f -L ______± f - ±
j x“^ — J2a\x — a x + a) 2a j x — a 2a _
ln|^| + C, афО.
2a 2a 2a | jt + a |
dx
x + a
180
Глава XV. Первообразная и интеграл
Пример 6. Доказать формулу
1
dx
Va2"+x2
= In |jt + у/+ + C, a ^ 0.
Л Пусть X + va^ + = t{x). Тогда
dt — t'(x) dx—(\-\—) dx = —jlM==dx,
откуда ■ Поэтому
yd^ + x'^ H-*)
Как показывает следующий пример, иногда для вычисления интеграла J /(х) dx бывает удобнее положить х = <р{(), где (p{t) — дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию 1 — ф(х). Вычислив полученный интеграл по t, в найденном результате нужно заменить / на / = <р{х).
Пример 7, Вычислить интеграл J у/а^ — x^dx, а > 0.
Д Подынтегральная функция определена на отрезке [—а; а]. Положим X = (^(/) — csin/, t€ —^ . Тогда / ф(х) == arcsin и подынтегральная функция примет вид \/^ — х^ = y/^co^t = acost,
так как i € 1 , а > 0. При этом dx = (p'{t)dt = acostdi.
Следовательно,
— x^dx = J ^ cos t a cos ^ = у J (1 -f cos 2t)dt =
= y(' + -f) + c-
Так как
Sin^-^ COSt-J\ ^^-V/«2-x2
Q \ a '
то
i sin 2/ = sin t cos t = .
2 q2
Поэтому
Va^ x4x - arcsin ^ -b -H C. A
§ 2. Неопрелелеиный иигеграл
181
Используя таблицу первообразных (табл. 1), определение неопределенного интеграла и интегралы, найденные в примерах, составим таблицу основных интегралов (табл. 2).
Таблица 2
yOf+l
1. J= —j-y-I-С (a€R, 1)
^ = 1п|х|-|-С
3. fa^dx=-^—I-С •' In а
4. ^e^dx = e^ + C
5. J'cosxrfx = sinx-|-C
6. Jsinxrfx = —cosjc-t-C
Ч:
■^=igx + C
ЛС^ V
> (-^T=
J
ctgx + C
9. Jchxrfx = shx-bC
10. J'shxrfji: = chx4 C
11
J \fa^ — .
= = arcsin - + C, ■i a
12
J a^+x^ a
a>0
афО
‘3- \ ^4 =
J
2a
• In
X —a x + a
■f Cy
.4,]
dx
a/0
= In |x -f \/x^ + a\ + C,
При вычислении интегралов вида
f и [ + P dx, где aa ф О,
]ахЧЬх + с J фах^ + bx + c
полезно преобразовать числитель подынтегральной функции, выделив в нем производную от знаменателя, т. е. воспользовавшись равенством
ах+р^ -^{2ах + Ь) -+-/3- g.
Проиллюстрируем сказанное следующим примером.
Пример 8. Вычислить интеграл:
1) [ Зх_+4. ^ 2) \-^^йх- 3) f + ^ -dx.
J х^ + Зх-1-5 J /х-х2 J v/x2+x l 3
Д 1) Так как Зх-f 4 = |(2х + 3)-Ь 4 - | = |(2х-Ь 3) - то
(16)
ч
Зх + 4
-dx
1:
2х-|-3
-I- Зх -I- 5 2 J ^2 + Зх -1- 5
d{x^ -Ь Зх + 5) 1 I dx
х^ + Зх -|- 5
dx
-'А
dx
х2 + Зх -1- 5
_ 3 Г d{x^ -Ь Зх + 5) _ 1[ Г 2J х^ + Зх-1-5 2J
х^ + Зх -1- 5'
182
Глава XV. Первообразная и интеграл
Далее выделим полный квадрат в знаменателе:
+ Зх + 5 = 4- 5 — ^ =
3 л/ТТ
где / = X + g, а = 2 • Поэтому, используя формулу
I = ~ ■ ardg ^ + С, где а ^ О, получим
1
dx
х^ + Зх + 5
= [---------2- = -7= ■ ^•
J / з\^ fVn\^
+ы
Следовательно, У = 11п(х^ + Зх + 5) —^ • arctg + С.
vAT
УП
2) J^ \ dx = -2\ -^fM=dx-z\ =
J у/х—х^ J yjХ—Х^ J у/ Х — )^ J yjх — х^
J yJx — 3^ J yjx—x^
Так как X —х^ = ”
где а > О, то
Л
— arcsin - + С,
1-^=1 J \/х — х^ J
1Н1
-('-о
= arcsin(2x - 1) + С.
Следовательно, J — -4ух —х^ — 3arcsin(2x — 1) + С.
3)/ = |
ч
+
х + 2
\/х^ + Х + 3
3| .
dx
2 J \/х^ + X + 3
\/х^ + Х + 3 __ 2 f + X + 3) . 3 Г
2 J у/х^+х 2 J
1 [ (2x + l)dx ,
2 J \/х2 + X + 3
dx
v/x^ + X + 3
. Так как
х2 + х + 3-(х+0 +(^) и j-^^-In|^ + \/i^l + C,
§2. Неопределенный интеграл
183
где а ^ О, то
dx _ I "1:
[ _Е== f
J \/д:2 +ЛС + 3 J
Следовательно,
rfU+2
(-O'
= 1п
л: + ^ + \/х'^ + л: + 3
+ С.
J = у/+ Х + 3 + I In х + ^ + у/х^ + Х + 3
+ С.
*Метод интегрирования по частям. Пусть и{х) и v{x) — дифференцируемые функции от х, определенные на одном и том же промежутке. Тогда
d{uv) — udv + vdu.
Так как J d(uo) = ыо + С, то из этой формулы вытекает, что
vdu = ^d{uv) = UV + С,
и поэтому справедлива формула, называемая формулой интегрирования по частям. Эту ф
)ормулу можно записать в виде udv = uv — ^vdu.
(17)
Пример 9. Вычислить интеграл:
1) \\x\xdx\ 2) ^xcosxdx.
Д 1) Обозначим ы(л:) = 1пл: и o(jc)=x. Используя то, что dln.« = -5;dx, и формулу (17), получим
1
Inxdx = 1пх - X —
xdlnx = xlnx— xirfx = X Inx — X + С.
J ^
2) Обозначим u(x) = х и v{x) = sinx. Используя то, что dsinx = cosxdx, и формулу (17), получим
Jxcosxdx = xsinx — |sinx0 при всех х€[а;й]. Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком функции y=f{x), двумя вертикальными прямыми х = а и х = Ь и осью Ох. Такая фигура называется криволинейной трапецией (рис. 2). Пусть требуется найти площадь этой фигуры.
Поставленную задачу можно решить так:
1) разобьем отрезок [а\Ь\ на п равных частей и обозначим последовательно точки деления через xq, Xi,..., x„_i, х„ (рис. 3), причем а = хо < Х| < ... < Xn_i < х„ = Ь\
2) обозначим длину отрезка [xk-\\ х*] через Дх*, т. е. A.Xk= Xk— Xk^\, и пусть Cfe —середина отрезка [x*_i;xy;,], где k = \, 2,..., п\
§3. Определенный интеграл
!87
3) значение /(с*) функции f{x) в точке сд, умножим на Ах^ для всех /г = 1, 2,, п, получим f{ck) ■ Axk- Геометрически каждое такое произведение численно равно площади прямоугольника со сторонами /(с*) и Axk. Составим сумму всех таких произведений /(сд.) • Ах* (* = 1, 2,..., п)
п
ст„ =/(с|) • ДХ| +/(С2) • ДХ2 +... +/(с„) • Ах„ = Y^f{ck) ■ Ах*.
fe=i
При /I —> оо длины Ах„ -+ О и сумма Оп, численно равная площади ступенчатой фигуры, составленной из п прямоугольников, стремится к значению площади S данной криволинейной трапеции.
Пример 1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = х^, вертикальными прямыми X = О и X = 1 и осью Ох.
Д Разобьем отрезок [0; I] на п равных
I ь
частей, тогда Ах* = - и х* = - (см. рис. 4).
п п
Положим Сь = Хь=-, ^=1, 2,..., гг (т. е. с* совпадает с правым п
концом отрезка [х*_|,х*|). Тогда /(с*) = Составляя сумму о-„, получим
Оп
= . i = + 2'^ -Ь • • ■ +
А-=1
Так как 1^+2^+ ... + ^ то, подставляя в сумму,
получим
= + 0 (2+i) „ГоЛ-
Поэтому искомая площадь равна S = :j. А
Замечание. Используя предельный переход, еще Архимед получил, что площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х^, отрезками прямых
q3
х = 0 и х = а, где а > О, и осью Ох, равна —.
Работа переменной силы. Пусть материальная точка движется вдоль числовой прямой Ох под действием переменной силы Р, направление действия которой совпадает с направлением движения материальной точки. Предположим, что сила Р задана как непрерывная функция от координаты х этой точки, т. е. Р = Р{х).
188
Глава XV. Первообразная и интеграл
Найдем работу силы Р при перемещении материальной точки из положения х = а & положение х = Ь. Разобьем отрезок [а; 6], как и в задаче о площади криволинейной трапеции, точками XQ, Х[,...,Хп-1, Хп и выберем с^е\хи-\\ Xk], где fe = l, 2,...,ц. Тогда работа переменной силы Р на отрезке [xk-\ \ х^] приближенно равна P{ck)-Axk, а на отрезке [а;6] работу этой силы можно считать приближенно равной сумме
A = Y2P{ck)-Axk
k=\
Предел этой суммы (при тех же условиях, что и в задаче о площади) естественно назвать работой переменной силы при перемеи^ении материальной точки из точки а в точку Ь.
В рассмотренных задачах речь идет о нахождении предела сумм
П
вида Y1 fi^k) • ^Xh, которые называют интегральными суммами. л=1
К вычислению предела таких сумм сводится решение многих важных задач из геометрии, физики, техники и других дисциплин.
2. Понятие определенного интеграла
Пусть функция f{x) определена на отрезке [а\Ь\, и пусть задано разбиение отрезка \a\b\ произвольным образом на п частей так, что
а = Xq < х\ < ... < Хп-\ <Хп = Ь.
Назовем совокупность точек xq, Х|,. .., x„_i, х„ разбиением отрезка [а;Ь] и обозначим Т = {х^, /г = 0, а отрезки Д^, = [xk-\ \ х*],
где л, назовем отрезками разбиения Т.
Пусть Дх* = х*—х*_|—длина ^-го отрезка разбиения Т. Тогда число /(Г) = тах{Дх|, , Дх^} назовем мелкостью разбиения Т (или диаметром этого разбиения). Если Ck^\xk-\\ х^^], то совокупность точек Ck (fe=l,..., л) назовем выборкой и обозначим {су^} (й = 1, ... , л).
Составим сумму всех произведений f{Ck) ■ Ах^ (к = I, ..., л), которую обозначим а(Т, {с*,}) и назовем интегральной суммой функции /(х) для данного разбиения Т и фиксированной выборки {с*} (^= 1, ... , л), т. е.
с^(7', {Ck}) = '^f{ck) ■ Axk.
(1)
А=1
§ 3. Определенный интеграл
189
Определение. Число J называется определенным интегралом
ь
от функции / на отрезке [а\Ь] и обозначается \f{x)dx, если для
а
любого е > О существует такое число 8 = 5(ег) > О, что для любого разбиения Т, мелкость которого 1{Т)<8, и для любой выборки {с*} {k = I, ... , п) выполняется неравенство
Axk-J
< е.
(2)
Иногда это определение записывают в виде ст(7', {q}) —»У при /(7)—>0 или ^^Мт^а(7', {сд,})=/, имея в виду, что этот предел не
зависит от выбора точек Ck {к = \, , п).
h
Функция /(х), для которой существует интеграл jf{x)dx. называ-
а
ется интегрируемой на отрезке (а;6], числа а и —соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Геометрический смысл определенного интеграла. Заметим, что для неотрицательной, непрерывной на [а;й] функции /(х) геометрически сумма
П
S = f{cx) ■ Axi +/(С2) • Ах2 + ... +/(с„) • Ах„ = Y^f{ck) ■ Axk
k=i
численно равна площади ступенчатой фигуры, составленной из п прямоугольников, и при /(7)—»0 стремится к площади криволинейной трапеции, т. е.
п *
■ AjJ* = j f{x)dx.
Следовательно, определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции f{x) на отрезке [а\Ь\ численно равен площади криволинейной трапеции с основанием [а\Ь], ограниченной сверху графиком функции у — [{х). В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.
Выясним условия интегрируемости функции f{x).
Теорема 1 {необходимое условие интегрируемости). Если функция f{x) интегрируема на отрезке [а; 6], то она ограничена на этом отрезке.
190
Глава XV. Первообразная и интеграл
*ОПусть функция f{x) не ограничена на отрезке [а\Ь\. Покажем, что в этом случае за счет выбора точек С], С2, можно сделать
интегральную сумму сколь угодно большой при любом разбиении отрезка \a\b\. Зафиксируем некоторое разбиение Т отрезка [а;&]. В этом случае функция f{x) не ограничена по крайней мере на одном отрезке Д,- = [x,_i; л:,] разбиения 7’. Будем для определенности считать, что f{x) не ограничена на отрезке на Ai = [a:o; xi]. Выберем на остальных отрезках точки С2, ..., с„ и обозначим
k^2
Так как f{x) не 01'раничена на отрезке Д| = [хц; Х|], то найдется точка с\ е [хо; X|] такая, что
Л + М
1/(с|)| >
Ajci
где М —любое наперед заданное число. Тогда
^ -Л + Л1,
|/(ci)-Дх'1 +/4 I ^ |Дс|) I • Дх1 - |Л I
^/(с*)-Дх*
Й=1
т. е. интегральная сумма будет больше любого наперед заданного
п
числа. Отсюда следует, что интегральные суммы ^ /(с*) • Дх^ не
*=1
могут стремиться ни к какому конечному пределу при 1{Т)—*0. Теорема доказана. •*
Следующий пример показывает, что условие ограниченности не является достаточным, т. е. существуют функции, ограниченные, но не интегрируемые на заданном отрезке.
Пример 2. Доказать, что функция Дирихле не интегрируема ни на каком отрезке.
л ^ п г/ \ Г если X G Q,
Д Функция Дирихле дх) == j q ^ ^ q ограничена на всей
числовой прямой. Покажем, что она не интегрируема ни на каком отрезке [а\Ь].
Зафиксируем произвольное разбиение Т = {х^, k = Q, I,---, п} отрезка [а;Ь]. Если выбирать все точки с* е [х^^_1; х*], где k = l,..п, рациональными, то /(q) = 1 и -
П П
Y^f{ck) ■ Дх* = ^ Дх* = Ь - а.
k=i fe=i
§3. Определенный интеграл
191
Если же выбирать точки Ck иррациональными, то /(сд,) = 0 и
п
^Xk = 0.
Л=1
Следовательно, интегральные суммы не стремятся ни к какому пределу при /(7)—>0. А
3. Достаточные условия интегрируемости функции
Теорема 2. Всякая функция, непрерывная на отрезке [а\Ь\, интегрируема на этом отрезке.
Замечание. Имеет место общая теорема: если функция f(x) ограничена на отрезке [а; 6] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.
Теорема 3. Всякая функция, монотонная на отрезке (а; 6], интегрируема на этом отрезке.
4. Свойства определенного интеграла
ь
1. Если /г — константа, то jkdx = k{b-a).
а
2. Если функции /(х) и g{x) интегрируемы на отрезке [а; ft], то функции f{x)±g{x) также интегрируемы на отрезке [а; 6] и выполняется равенство
ь ь ь
I (/(х) ± g{x)) = ^ /(x)dx±
g{x)dx.
(3)
a a a
Это значит, ЧТО интеграл от алгебраической суммы интегрируемых функций равен алгебраической сумме их интегралов.
3. Если функция /(х) интегрируема на отрезке [а;Ь], г к — константа, то функция /е/(х) также интегрируема на отрезке [а;Ь] и выполняется равенство
5 о
kf{x)dx = ^ I f[x)dx.
(4)
Это значит, что постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
192
Глава XV. Первообразная и интеграл
Совокупность свойств 2 и 3 называется линейностью определенного интеграла.
4. Если функция f{x) интегрируема на отрезке [а; Ь] и f{x) ^ О, то
О
f{x)dx ^ 0.
Замечание. Если f{x) непрерывна на отрезке [ы;&], /(ж) ^ О на [а;Ь]
ь
и /(х) >0 хотя бы в одной точке этого отрезка, то Ц(х)с1х > 0
а
5. Если функции f{x) и g(x) интегрируемы на отрезке [а\Ь\ и f{x) ^ g{x) для всех точек этого отрезка, то
ь ь
I f[x)dx > Ig{x)dx. (5)
а а
6. Если функция f{x) интегрируема на отрезке [а;&], то функция l/(x)| также интегрируема на этом отрезке и выполняется неравенство
f{x)dx
I \f{x)\dx.
(6)
7. Если функция f{x) интегрируема на отрезке [а; с] и на отрезке [с; Ь], причем а < с < Ь, то эта функция интегрируема также на отрезке [а\Ь\ и выполняется равенство ь с ь
J f{x)dx = [{x)dx -f I f{x)dx. (7)
a a c
Это означает, что определенный интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям.
Формула Ньютона—Лейбница. Пусть функция f{x) непрерывна
X
на отрезке \а\Ь]. Можно показать, что функция ^{x) — ^f{t)dt
а
является первообразной для f{x) на отрезке [а;й]. Используя этот факт, докажем формулу Ньютона—Лейбница:
ь
^f{t)dt = F{b)-F{a), (8)
а
§ 3. Определенный интеграл
193
где f{x) —любая первообразная функции f{x). Действитедьно, так как Ф(л:) и /^(х) — первообразные функции f{x), то F(x) = Ф(д:) + С, где С — постоянная. Имеем:
F{b) - F{a) = {Ф{Ь) + С) - (Ф(а) + С) = Ф{Ь) - Ф{а) =
Ь а Ь Ь
= I f{t)dl - j f{t)dt = I f{t)dt - 0 = j f{t)dt.
Формула Ньютона—Лейбница осуществляет связь между первообразной данной функции и определенным интегралом. Правую часть формулы часто записывают в виде F{x) (^. Тогда формула принимает вид
\^f{t)dt^F{x)t.
(9)
Пример 3. Вычислить интеграл;
> . V
1) lx^dx\ 2) j {2х'^— Зх) dx\ 3) Jcosxfltjc; 4) jeos (2x—^ j Ja:. Д 1) Одной из первообразных функции f{x) = является функция
l! _ 2! = 1
3 3 3’
3 ^ 3 ^
F{x) — по-зтому Jx'^dx = ^
3 Q 3
О
2) Одной из первообразных функции f{x) = 2х^ — Зх является
О j,3 Q у2
функция F{x) = ------^ . Поэтому
I
= (
233 3-32'
3 2
3) Одной из первообразных функции f{x) = cosx является функ-
ь .
ция F(x) = sinx. Поэтому J cosxdx = sin х|° = sin & — sin а.
а
п
4) jeos (2л; - |) = 1 sin (2х - I) I • = 1 (sin ! - sin (-|)) = |.
7—3022
194
Глава XV. Первообразная и интеграл
Пример 4. Вычислить интеграл J f{x)dx, если
О
при X <2, при х^2.
Д Используя свойство 7 определенного интеграла, получаем: 6 2 6 2 6 I f{x)dx = I f{x)dx Ч-1 f{x)dx = | (л: + \)dx + Jx^dx =
2 о
р2 3 |6
' VV I
= (T+-)l„+lL = (<-0) + (^2-|)=73i. i
Пример 5. Вычислить интеграл:
6 2
1) j \b-2x\dx; 2) ^ \2х-\х — \\\dx.
-1 -2
Д 1) Раскрывая модуль, получаем
|с_9и _ / Ъ-2х прил: ^ 2,5,
' ’ I 2х — 5 при X > 2,5.
Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (7):
6 2,5 6
I |5 - 2x\dx = J (5 — 2x)dx + | {2х — b)dx =
-1
-1
,2,5
2,5
|6
= (7,5 - 6,25) - (-5 - 1) + (36 - 30) - (6,25 - 7,5) = 14,5. 2) Раскрывая модули, начиная с внутреннего, получаем
|2х-к-1|| = { ]2^+(^-1)1"РИ^<'. -
= {
1)1 при X ^ 1
_J |3л: — 1| при X < 1, _ |х+ 1| прих'^\ ~
1 — Зд; при < |,
Зд: - 1 при I < л: < 1, , д: + 1 при л: ^ 1.
§ 3. Определенный интеграл
195
Далее, используя формулу (7), имеем
-2 3 > i
I \2x-\x-\\\dx— (1—Зх)йа:+ (Зл:-1)^л:+| {x+\)dx—
=(HO-(-2-¥)+(i-0-(l-H)+(2+2)-(i+i)=
м
3 ■
Способы вычисления определенного интеграла. Для вычисления определенных интегралов так же, как и для нeonpeдeлeflныx, часто используется замена переменной
н о
^ f ^ f{x)dx,
(10)
где функция f{t) имеет непрерывную производную на отрезке [а; р], (р{а) = а, (рф) = Ь, f{x) непрерывна, и множество значений функции (p{t) на отрезке [а; р] содержится в области определения функции f{x).
4
Пример 6. Вычислить интеграл J -—А=.
п 1 + ух
А Обозначим фс = 1. Тогда x = fi и dx = 2tdt. Так как х изменяется от о до 4, то ^ G [0; 2], поэтому
Ч 4 Z
f ^ = f JLdt = nL+J-1) dt =
J I + y/x + ^ ^ \ /
I + y/x 0 0
(2 -rf/= (2/- 2 In |1 H-= 4 - 2 In 3.
0
Замечание. При вычислении определенного интеграла не нужно возвращаться к исходной переменной.
196
Глава XV. Первообразная и интеграл
*Еще одним методом вычисления определенных интегралов служит метод интегрирования по частям;
ь ь
I и{х) dv{x) = (ы(л:)у(а:))|* -1 v{x) du{x).
Пример 7. Вычислить интеграл jlnxdx.
I
Л Используя формулу интегрирования по частям, получим
е е
i I 1
Для непрерывной на отрезке [-а; а] функции f{x) справедливы равенства;
а а
J f{x)dx = 2^f{x)dx, если /(х) четная, (И)
а
1
f{x)dx = О, если /(х) нечетная.
(12)
Пример 8. Вычислить интеграл;
1 л
1) J (6х^ — — х^ + х) dx; 2) J sin^xcos'^xdx.
-1 -л
Д 1) Используя свойства линейности определенного интеграла, получаем
I 1(11
I ^бх^ —v^—х^-Ьх^ с?х= 6x^dx-J ^dx—J x^й^x-^-J x О,
Решениями системы являются а € (0; 0,5] U [1;+оо). А
Пример 10. Найти все положительные значения г!араметра а, для которых
(а^ — (4 — 4а)х + 4x^)dx < 12.
I
Д Имеем 2
— f ^ — л 1 л V —
(а^ - (4 — 4а)х + 4x'^)dx =
1
= с2 jdx-(4 4а)
I 1
I 2 9 2
= а^х|^ - (4 -4а)у
2 2 xdx + 4
x^dx =
1 4
1
4 2
= + 6а + 9 = (а + 3)^.
Таким образом, искомые значения а удовлетворяют системе неравенств
а > О,
(а I 3)2 < 12.
Откуда следует, что а 6 (0; 2\/3 —3]. А
198
Глава XV. Первообразная и интеграл
I. Вычислить интеграл: 2
1) ](2x-3ydx-,
dx
О +4
1
clx
-Г 7Г=1’
0,5 v2x-x^
П . X 2 Sin -
10) J--^dx;
Задачи
2) J (3 + 5jc)2djt;
-I
о
3) /
dx
1\ х^ + 2х + 2
5) Jsin2jecos5jcrfx; 6) ^ cosbxcos4xdx\ О -к
8) J
dx
0 \/3 + 4л - 4jc2
1 ,
И) Jcos'^xrfx;
9) J -i^ dx:
It sin ‘ Зл
Т5
12) Jsin'^xrfA:;
13) |л(3>: —2)*'^dA:; 14) Jx(x — 2)^dx-, 15) Jxe^dx;
10 0
16) J {x+\)e ^^dx. -1
2. Зная, что J/(A:)rfx = 4, найти значение интеграла.
2
2 -1 ,
1) Jf{2x)dx; 2) J [{l — 4x)dx-, 3) J xf(x^ — 2)dx.
I -0,25 2
3. 1) Дана функция
Вычислить
-0,5
a) J f{x)dx; -2
2) Дана функция
( 2x, если л: ^ О, iW — I j,2^ X > 0.
6) J f{x)dx. -2
f( \ -i еслих^ 1, \ 4x^, еслил: > 1.
Вычислить Jf(x)dx.
0
4. Вычислить интеграл:
2 2
I) J|x-3|dx; 2) J|2x+lldx;
-1 -I
3) J (W + |x-2|)dx; 4) J (M + |x-3|)dx.
-2
-I
§4. Применение определенного интеграла для вычисления площадей 199
5. Вычислить интеграл, пользуясь четностью или нечетностью функции, стоящей под знаком интеграла;
3) J (1е^д:-7д:) dx-, -f ^
'г у--------------
4) J \/cosx — cos^xdx.
6. Найти все числа а и Ь, при которых функция f(x) удовлетворяет заданным условиям;
2
1) f{x)=a-3^ + b, f'{0) = 2 и ]f{x)dx= 12;
1
2
2) f{x) =as\UKX + b, /'(l)=2 и ^{x)dx = 4.
0
7. Найти все положительные значения параметра а, для которых выполняется неравенство;
1) J (2 — 4л: + ^ а; 2) ----^)rf;f<4.
о V® I /
Ответы
1. 1) 0; 2) I; 3) 5; 4) 5) 0; 6) 2; 7) 8) 9)
10)
4v^-2.
II) 12) 13) И)
15) е^ + 1; 16) 2. 1) 2; 2) -1; 3) 2.
3. 1)а) -3,75; б) 2) ^+80. 4. 1) 2) 3) 20; 4) 23. 5. 1) 4^;
2) 2; 3) 0; 4) 6. 1) а = & = 12- 2) о =-|, 6 = 2. 7. 1)а=1;
2)а€(0;4).
§4. ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ
Напомним, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на отрезке \а\Ь] функции f{x), прямыми х = а, х = Ь и осью Ох, равна определенному интегралу
сЬ
f{x) dx.
Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной функции f{x) на отрезке [а;й], принимающей только неположительные
200
Глава XV. Первообразная и интеграл
значения, двумя вертикальными прямыми х = аих = Ь {а <Ь)и осью Ох (см, рис. 5). Составим интегральную сумму
'^n=Y^f{Ck)-^4-
к=1
В приведенной сумме k-e слагаемое [{Cfi) ■ Да:* по модулю равно площади прямоугольника с основанием Axk и высотой k=l,.. .,п. Поэтому
интегральная сумма Оп, взятая со знаком минус, численно равна площади соответствующей ступенчатой
ь
фигуры, т. е. число, равное —lf{x)dx,
а
совпадает с площадью рассматриваемой фигуры. Следовательно, если
Ь
/(х) < О для всех х€[а-,Ь], то число, равное jf{x)dx, представляет
а
собой величину площади 5 между графиком функции у — f{x) на
ь
отрезке [а; ft] и осью Ох, взятую со знаком минус, т. е. Jf{x)dx = -S.
а
Рассмотрим теперь фигуру, ограниченную на отрезке [а; ft] осью Ох и графиком непрерывной функции y = f{x), принимающей как положительные, так и отрицательные значения (рис. 6). Тогда число, Ь
равное J f{x)dx, совпадает с величиной.
Рис. 6 равной сумме площадей фигур между
графиком функции y = f{x), х£[а-,Ь], и осью Ох, лежащих выще оси Ох, минус сумма площадей фигур между графиком функции y = f{x), лее [а;ft], и осью Ох, лежащих ниже оси Ох. Например, для функции y = f{x), непрерывной на отрезке [а;ft], график которой изображен на рис. 6, имеем
f{x)dx — (Si -Ь S3) — (S2 + S4).
§4. Применение определенного интеграла для вычисления площадей 201
Рис. 8
Пример 1. Используя геометрический смысл определенного интеграла, найти такие числа а и Ь, при которых выполняются равенства:
I) J {ax + b)dx = 0-, 2) ^ {2х — 4)dx — 0\ 3) J {\х\ - A)dx — 0.
-1 о -4
Л 1) Линейная функция f{x) — ax-\-b на своей области определения меняет знак не более одного раза (если функция — константа, то она не меняет знака). Из геометрического смысла определенного интеграла для функции, меняющей знак, следует, что должны быть равны площади фигур, ограниченных частями графика функции (5] и S2), отрезками оси Ох и вертикальными прямыми X = — 1 и л: = 1 (рис. 7). Это возможно в том случае, если график линейной функции проходит через начало координат, т. е. при й = О и а G К.
2) Функция f{x) = 2х — 4 пересекает ось Ох в точке х = 2. По аналогии с решением предыдущего пункта задачи, получаем, что равенство нулю интеграла возможно при 5i—S2 (рис. 8). Последнее равенство возможно только в случае равенства соответствующих треугольников, т. е. при а = 4.
3) На промежутке (—4; 4) функция f(x) = |jc| — 4 отрицательна,
при X > 4 положительна. Следовательно, необходимо найти такое значение параметра а, при котором равны площади Si и S2 фигур (треугольников) АВС и CDE (рис. 9). Так как S| = 16, то площадь прямоугольного равнобедренного треугольника CDE тоже должна равняться 16. Это возможно, если АВ — СЕ = 4\/2, значит, а —4 4- 4л/2. А
Рассмотрим фигуру, ограниченную отрезками прямых х — ачх = Ь {а < Ь) и графиками неотрицательных и непрерывных на [а;(>]
202
Глава XV. Первообразная и интеграл
Рис. 10
функций f\{x) и /2(jc), причем f\{x) ^ f2{^) (рис. 10,а). Площадь данной фигуры равна разности площадей двух криволинейных трапеций aA2B2b и аА\В\Ь, т. е.
ь ь ь
S = J f2{x)dx ~ J/i{x)dx =
{f2{x)-h{^))dx.
(1)
Докажем утверждение, справедливое в общем случае (функции f[{x) и f2(x) не обязательно неотрицательны).
Площадь S фигуры, координаты точек которой удовлетворяют неравенствам а^х^Ь, h{x) ^ у 4: h{x), где f[{x) и h{x) — заданные непрерывные функции, вычисляется по формуле
ь
S = ^{f2{x)-fi{x))dx.
(2)
О Действительно, пусть т —наименьшее значение функции f\{x) на [а\Ь\ (см. рис. 10,6). Тогда /г(х) - m ^/|(х) - m ^ О для любого хе[а;6]. Фигура, координаты которой удовлетворяют неравенствам
а^х^Ь, fi{x) - т ^ у ^ f2{x) - т,
§4. Применение определенного интеграла для вычислении площадей 203
получается из данной параллельным переносом вдоль оси Оу. Следовательно, их площади равны, и поэтому (см. формулу (1)) ь ь
S =
— fi{^) + dx =
{f2ix)-h{x))dx.
Площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = fi{x), у = f2{x) и прямыми X = а, х = Ь (здесь неравенство f\{x)^f2{x)
ь
может не выполняться), выражается формулой 5 = J|/2(jc) — f\[x) \dx.
а
пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = -х^ + Юх — 16 и у = л; + 2.
А Построим эскизы графиков заданных функций (рис. И). Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций у = —+ Юх — 16 и у — X Л-2 из уравнения —х^ + 10х — 16 = х + 2. Из квадратного уравнения х'^ —9х+18 = 0 находим Х] = 3 и Хг = 6. Так как для всех X € [3; 6] выполняется неравенство х + 2 < -х^ + Юх — 16, то, используя формулу (2), получаем:
6
S = J + 10^ — 16 — (х + 2)^ dx = -х^ + 9х — 18^ dx — (-у +
3
6
=1(-
9х^
2
18х
)i:=
= (б^ - 3^) + f (6^ - з2) - 18(6 - 3) =
= -63 + 121,5 — 54 = 4,5 (кв. ед.).
Пример 3. Пусть а<х^й, /(х) и g(x) — заданные непрерывные функции. Написать формулы, по которым можно вычислить площади заштрихованных на рис. 12 фигур.
204
Глава XV. Первообразная и интеграл
о
I X
Д а) 5 = j f{x)dx\
а
с Ь
б) S = 1 f{x)dx-^ f{x)dx\
а с
в) S = \ if{x) - g{x)) dx.
а
b b с b
г) S = j f{x)dx - jg{x)dx или S = j f{x)dx + ^ {f{x) — g{x)) dx-,
a c a c
д) 5 =
a
c b
е) S = J f{x)dx + J g{x)dx. A
a c
Пример 4. Найти все значения а (а>0), для которых площадь фигуры, ограниченной линиями у — е^, у=0, х = —а, х = а, больше 1.5.
Л Криволинейная трапеция ABCD ограничена линиями у = е^, у = 0, х = —а и х = а (рис. 13). Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, ее площадь 5 можно найти по формуле
§4. Применение определенного интеграла для вычисления площадей 205
5= J e^dx. Так как J e’‘dx= = —е то заданное условие
—а -а
равносильно неравенству > 1,5. Полагая t = где t > О,
приходим к неравенству которое на промежутке (0; +оо)
равносильно неравенству t>2 или е° >2, следовательно, а > In2. А
Пример 5. При каком значении а прямая у = а делит площадь фигуры, ограниченной линиями г/= О, у = 2-\-х — х^, пополам?
Л Парабола у=2+л: —x^ =—(х —0,5)^ + 2,25 получается из параболы у = —+ 2,25 сдвигом вдоль оси Ох (рис. 14), поэтому искомая прямая у = а разделит пополам площади под обеими параболами. Вычислим площадь S под графиком функции г/ = —х^ + 2,25, учитывая четность функции под знаком интеграла;
-1,5 О
Теперь определим, при каком значении Ь площадь под графиком
параболы у = —х?- + Ь равна | = 2,25. Тогда искомое число а будет
равно 2,25 — Ь.
Находим
у/ь Vi) ^
(Ь — x^)dx = 2 ^ {Ь — dx= 2 (Ьх — | ^ = 5^^-
-VB О
Таким образом, tb\/b — если Ь = —|—. Отсюда получим 3 4 4^
4 4^
Пример 6. Найти все положительные значения параметра Ь, при которых площадь фигуры, ограниченной параболами г/=1— и «/ = Ьх"^, равна а. При каких значениях а задача имеет решение?
Л Абсциссы точек пересечения парабол ^ = 1 — и у = Ьх^ (рис. 15) найдем, решив уравнение \ — х“^ — Ьх^. Его корнями
1 1
являются числа xi = —
у/ЬП
и Х2
n/FTT
. Вычислим площадь S
206
Глава XV. Первообразная и интеграл
\u = bx^ У‘ /
1 /
-1/4^;
fx\ X
■■ 1 —JT
Рис. 15
фигуры, ограниченной параболами, учитывая симметричность фигуры относительно оси Оу.
н
5 =
^(1 —х^) - dx =
^1 - (1 + Ь)х^^ dx=2[x-{\+ ^)у) = 2(.2-(1 + Ч^) = -
= 2
3v/6TT‘
Решив уравнение получим & = ^ —1. Из условий а>0,
й > О следует, что решение задачи существует при а е ^0; . к
Задачи
I. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти такие числа а и й, при которых выполняются равенства:
1 а о ,
1) j {2x + b)dxr^0-, 2) J(2-W)dA: = 0; 3) ] {x-afdx = 0-,
-I -4 -2
a b a
4) J arcsin = 0; 5) J'(xH-3)dx = 0 {b>a)\ 6) J cosxdx = 0;
-22 „
a+b
7) j sin xdx = 0. a
§4. Применение определенного интеграла для вычисления площадей 207
2. Используя геометрический смысл определенного интеграла, вычислить:
1
2) J - >?dx, а > 0;
1) J kxdx\
-1 -о
2 ,________________ о ,__
3) J \/2к — ifidx\ 4) J \/25 — x^dx.
0,5 -5
11айти площадь фигуры, ограниченной линиями (3-8):
3. I) у = 2х^ и (/ = I;
2) у — 2х^ и у = 4х\
3) у = х^ — 4х — Л и у = —х\ 4) у = —х^ + 4jc + 3 и у = х^ — 2х + 3.
4. Графиками функции f{x) = 2x — 2 и ее первообразной F{x), если F(Q)= I.
5. Графиками функций f{x)=)^4-2x^ — 2x-4\\ и g{x) = х^ + Sx+ 3.
6. \) у и у= у/2х\
2) у=\/х, у= - и у = 2\
3) г/ = %/Г+Т + 2, у = и у=\-х;
4) (/ = 4 + у/х + 2, у = —0,6дг + 2,8 и X = — у.
7. I) у = -, у = 2х и X — 3;
У = о :1 . . и «/ = - '
2) у = х^, у=- и X = 0,5;
х^ + 2х+ 1 " 4х + 7
8. 1) у = 3 — х^ и (/=1 + |х|; 2) х-\у\ = 2, х=1, х = 3;
3) осью абсцисс и графиком функции /(х) = (х—1) -1x1;
4) (/ =
к +
и 1/ = 3 - |3 - х1; 5) |(/| = х^ - 4|х| + 4.
9. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции / = sinx, определенной на отрезке [0; л], и прямой, проходящей через точки М = 1^
и N = {п\ 0).
10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у =х^
и (/ = cos •
11. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции
(/= 3cos2x-)-3sin3x-f 8, осью абсцисс и прямыми х = -
Ък
и X = .
3 3
12. Найти наибольшее значение площади фигуры, ограниченной линиями I/ = 2 cos X, I/ = sin 2х — 2, X = а и х = о + т:.
13. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4 + в\пх, (/ = sin2x-Tcosx, X = О и X = тс.
14. Найти все первообразные F(x) функции /(x) = cos2x, для которых выпол-
няются два условия: на промежутке
(к Зтс\ \4’ 4)
графики функций /(х) и F{x)
не имеют общих точек; площадь фигуры, ограниченной этими графиками
х Зл „
и прямыми ^—2 3.
208
Глава XV. Первообразная и интеграл
15. При каких положительных значениях р площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = х-е~^“ и прямыми х = р, х=р + 0,5, наибольшая?
16. Найти наименьшую площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f/ = е* Ч- и двумя прямыми, параллельными оси Оу, расстояние между которыми равно 2.
17. Фигура ограничена линиями г/ = О и у= —у? -f 2л: -f 3. Найти отношение площадей фигур, на которые данная фигура делится графиком функции у = {хАг 1)-.
18. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у — iP' — 2х -V 3, касательной к графику функции в его точке с абсциссой 2 и прямой л: = —I.
19. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = = —— 2х^ — лс-Г 3 и касательной к нему, проведенной в точке с абсциссой
Хо = -1.
20. Найти все такие точки М графика функции у = х^ — Ах, что площадь фигуры, ограниченной этим графиком, касательной к графику, проходящей через точку М, и осью ординат, равна 72.
21. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой у = —~, касательной к этой кривой, проведенной в точке с абсциссой х= I, и прямой х = 2.
22. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций /(х) = 2~^, g(x) =0,5- >/х и касательной к графику функции g(x) в точке с абсциссой 16.
23. Доказать, что площади фигур, каждая из которых ограничена графиком функции у = х^ — 6х^ -I- 1 и одной из касательных к этому графику, параллельных оси абсцисс, равны.
х2
24. Фигура ограничена линиями У=-^ и У=х. Отрезок наибольшей длины, заключенный внутри этой фигуры и принадлежащий прямой х = а, делит фигуру на две равные части. Доказать, что площади этих частей равны.
25Г а) Найти значения параметра а, при которых площадь фигуры, ограниченной кривой у = з\п2х, прямыми х = а и осью абсцисс, равна 0,5;
б) найти значения параметра а, при которых площадь фигуры, ограниченной кривой t/ = cos5x, прямыми и осью абсцисс,
равна 0,2. ’
26. а) Найти все такие с, чтобы площадь фигуры, ограниченной линиями
у -х^ =4, X = 2, X = а, (/ = О, была вдвое больше площади фигуры, ограниченной линиями у-х^=Л, х = 2, х = 3, у = 0,
б) найти все такие а, чтобы площадь фигуры, ограниченной линиями у ■ у/х = 2, X = I, X — а, у = 0, была вдвое меньше площади фигуры, ограниченной линиями у-^=2, х=1, х = 4, у = 0.
27. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x^ + hx + c и касательными у = Ах—13, у —Ах + 3, проведенными к этой параболе.
28Г Дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями у = 0, х = а (а > 0) и у = х^. Какую часть площади трапеции составляет площадь треугольника.
§4. Применение определенного интеграла для вычисления площадей 209
отсекаемого от данной трапеции касательной к линии у = х в точке с абсциссой х=^?
29. Найти все значения параметра а (а ^ 1), при которых:
а) площадь фигуры, ограниченной прямыми г/= 1, у = 2 и параболами у = у = 0,5ах^, будет наибольшей;
б) площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = хе~^’‘ и прямыми х = а, х = а + 0,5 и у = 0, будет наибольшей
30. а) Найти наибольшее значение площади фигуры, ограниченной линиями
(/=2 + cosx, i/ = sin^, х = а.х = а + ж\
б) найти наименьшее значение площади фигуры, ограниченной линиями у — COSX, у = sin2x — 2, х = а, х = а + |.
31. Найти значения параметра а, при которых будет наименьшей площадь фигуры, ограниченной;
а) прямыми у = 0, X = 0, X = \ и параболой у = х^ — ах +
9
б) графиком кривой «/= —— ах +а; прямыми х = 0, х = 2 и осью абсцисс.
32. Найти значение параметра а, при котором прямая у = а делит фигуру, ограниченную линиями (/ = х^ + 1 и // = 5, на две равновеликие части.
33. Через данную точку с координатами (а; й), лежащую внутри параболы у = х^, провести прямую, отсекающую от внутренней области параболы сегмент наименьшей площади Найти значение этой площади.
34. Найти наименьшее положительное число Ь, при котором для любого действительного а площадь фигуры, ограниченной линиями у = 0,х = а,х = а+1 и у = —х^, не больше площади фигуры, ограниченной линиями у = 0, х = а, X = а -I 1 и (/ = 2(х — 1)^ + Ь.
35. При каком значении t площадь фигуры, ограниченной графиком функции ^=х'’-|-2х^, касательной к нему, проведенной в точке графика с абсциссой t, и прямой х = <—1, наименьшая?
Ответы
1. I) й=0; 2) Cl =0 и 02 = ±4; 3) с = —1;4) а = ±2;5) если с ^-3, то значений Ь, удовлетворяющих условию задачи, не существует; если о<—3, то й = —6 —а;
6) а = -| i-2nk. kelA 7) аеШ, b = 2nk, keZ. 2. 1) 0; 2) Указание. Интеграл дает значение площади полукруга радиуса а; 3) ~ -I- | кв ед.;
4) ^ кв. ед.
3. 1) кв. ед., 2) 2^ кв. ед., 3) 2о| кв, ед.; 4) 9 кв. ед.
ООО
4. I5 кв. ед. 5. 7з|кв. ед. 6. 1) | кв. ед.; 2) |-1п2кв. ед.; 3) ^кв. ед.; 0 0 о о о
4) 12,5 кв. ед. 7. 1) 8 — 2 In 3 кв. ед.; 2) In 2 — ^ кв. ед.; 3) | ^ I'’ 3 кв. ед.
8. 1) ^ кв. ед.; 2) 4 1пЗкв. ед.; 3) ^кв. ед.;4) 6,5 —6In2 кв. ед.; 5) 10|кв. ед.
9. 1 — ^ кв. ед. 10. 4 -Ь кв. ед. И. 16т: кв. ед. 12. 4л+ 2 кв. ед.
210
Глава XV. Первообразная и интеграл
13. 4я+2кв.ед. 14. f{x) = bin2x-Ял) = ^ sin2jtr+15.
2 7г ' ' 2 к 2{е — \)
16. 2(e^ — е) кв. ед. 17. 1 : 3 (или 3 : 1). 18. 9 кв. ед. 19. кв. ед.
20. (-6; 60) и (6; 12). 21. 1п2—^ кв.ед. 22. 3—кв.ед.
25. а) ai = -|
9
4‘
и 02 = |; б) а\ = —i и 02 = g. 26. а)о = 6ио=^;б)о=^ ио =
27. 6=—4,с = 3, •■'‘ = 5^ кв.ед. 28. Указание. Уравнение касательной имеет вид у=^а^х— Абсцисса точки пересечения касательной с осью
Ох равна ^о. Площадь треугольника
29. а) о = 1; б) о =
2(е-1)-
30. а) 2я+ 2,5 кв. ед.; б) у - ^ кв. ед. 31. а) о = |; б) о = |. 32. о = = 1 + v^. 33. Smin = I (ft - 0^)2 кв. ед. Уравнение прямой у = 2ол + ft — 2о^.
34. ftn,in = §. 35. 0,25.
§5. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К ФИЗИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ
Определенный интеграл широко применяется при решении физических задач. Рассмотрим несколько задач из различных разделов физики, иллюстрирующих физический смысл определенного интеграла. Такими являются задачи, в которых требуется найти закон изменения некоторой величины у{х) или ее приращение при заданном изменении независимой переменной х, если у{х) удовлетворяет уравнению
f/= fix)-
В частности, величина у{х) может быть перемещением, работой, массой, электрическим зарядом, давлением, теплотой. Функция f{x) в этих случаях задает скорость изменения у{х). Переменная х в конкретной задаче есть время или координата. Соответственно, функция /(л) — скорость движения, мощность или переменная сила, плотность, сила тока, теплоемкость. '
Предполагается, что функция f{x) определена и непрерывна в некотором интервале (а; Ь). Задача определения величины у{х) сводится к нахождению множества всех первообразных для функции f{x). Искомым является множество всех функций
X
у(х) = I /(О
dt -|- С,
ло
где Хо — любая внутренняя точка интервала {а; Ь), а С — произвольная постоянная. При х = хо получим у{хо) = С. Первообразной,
§5. Приложения определенного интеграла к физическим задачам
211
являющейся решением и принимающей при x=Xq значение
X
будет функция у{х) = Уо + J /(О Равенство у{хо) = уо называют
хо
начальным условием.
Изменение величины у{х) при переходе аргумента от значения
^*2
х\ к значению Х2 равно интегралу J f{x) dx.
Х\
Пример 1. Точка движется по прямой, и в момент времени t ее мгновенная скорость равна v{t). Определить закон изменения ее координаты, если в момент времени I = координата равна xq. Найти x(/) и путь S, пройденный точкой за промежуток времени от <1 до /2-
Д Задача отыскания закона движения x{t) по известной скорости v{i) сводится к решению уравнения x'{t) — v{i). Следовательно, зави-
I
симость координаты x{t) от времени имеет вид jc(/) = хр + Jw(t) rfr.
h
Вычисление пути S сводится к нахождению разности значений первообразных для v{t), т. е.
h
S = x{t2) - x{t\) — J v(i) dt.
Пример 2. Тело движется прямолинейно со скоростью y(f) = (2 + 3/^) м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 5 с. А Используя приведенную выше формулу, получим 5
S = j(2 + 3^2)d/= (2H-f3^|^ = iO + 125 = 135 (м). А О
Пример 3. Материальная точка под действием переменной силы Р{х) перемещается вдоль оси Ох. Вычислить работу, произведенную этой силой на отрезке от х = а до х = Ь.
Д Будем считать, что при прохождении точкой малого отрезка пути [х; X -Ь Ах] сила на этом участке изменяется незначительно, поэтому ее можно приближенно считать равной значению силы в начальной точке участка, т. е. Р(х). Тогда работа АЛ на отрезке [х; х + Ах]
выражается приближенно формулой АЛ « Я(х)Ах или
Совершая предельный переход при Ах —> О, получаем А' — Я(х).
ь
Интегрируя, имеем Л = J P{x)dx. А
212
Глава XV. Первообразная и интеграл
Замечание В§3 настоящей главы было показано, что работа переменной силы Р(х) при перемещении материальной точки из точки а в точку Ь есть
п Ь
предел интегральных сумы >4 = lim Р(са-)-Ах*, т. е. A=^P(x)dx.
Пример 4. Вычислить работу, затрачиваемую на растяжение на 4 см пружины, находящейся в состоянии равновесия, если известно, что действующая сила пропорциональна растяжению пружины, а для растяжения на 1 см необходима сила ЗН.
Л По закону Гука для растяжения пружины на величину х требуется сила, равная F = kx. Следовательно, 3 = ^-0,04, или k = 300. Значит, 0,04
f / о\ 0,04
А= ЗООхг/л: = nSOx^J о
-- 0,24 Дж.
н
*
Да;
♦
Рис. 16
Пример 5. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из вертикально стоящей цилиндрической цистерны, радиус основания которой равен R, а высота Н.
Л Разобьем цистерну на «элементарные цилиндры» плоскостями, параллельными плоскости основания (рис. 16). Рассмотрим один из получившихся цилиндров, высеченный плоскостями, находящимися на расстояниях х и х + Ах от плоскости верхнего основания цистерны. Его объем равен кЯ'^Ах, а масса — kR^pAx, где р —плотность воды. Обозначим через АА работу, требуемую для подъема рассматриваемого цилиндра на высоту х. Тогда AAn^-nR'^pgxAx, или ~ ^nR^pgx. Переходя к пределу, получим А' = nR^pgx. Тогда н
Л = I nR^pgx dx = ^TtR^pg х^ ^KR^pgH^. А
Пример 6. В неоднородном стержне длиной L функция р{х) выражает линейную плотность стержня в точке с координатой х (один из концов стержня принимается за начало отсчета). Найти массу стержня.
Д Рассмотрим часть стержня между точками, расположенными соответственно на расстоянии х и х + Ах от фиксированного конца.
Пусть Ат — масса этой части стержня. Тогда ^ — средняя линейная
§5. Приложения определенного интеграла к физическим задачам
213
плотность стержня на рассматриваемом участке. Переходя к пределу,
L
получим т'{х)=р{х). Следовательно. М = jp{x)dx. А
о
Замечание. При нахождении координаты центра масс стержня иснодь-I
зуется формула Хц. — J xp(x)dx.
М Q
Задачи
1. Материальная точка массой в 1 г движется прямолинейно под действием силы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента / = 0, и обратно пропорциональной скорости движения точки. В момент < = 10 с скорость равнялась 50 см/с. а сила — 4 дин. Какова будет скорость спустя минуту после начала движения?
2. Пуля входит в доску толщиной h = 10 см со скоростью vq = 200 м/с, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью 0| =80 м/с. Считая, что сила сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату скорости движения, найти время движения пули через доску
3. Корабль замедляет свое движение под действием силы сопротивления воды, которая пропорциональна скорости корабля. Начальная скорость корабля 10 м/с, скорость его через 5 с станет 8 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 ж/с?
4. По закону Ньютона, скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой Т тела и температурой воздуха Tq. Если температура воздуха равна 20° С и тело в течение 20 мин охлаждается от 100° С до 60° С, то через сколько времени его температура понизится до 30° С?
5. Определить путь S, пройденный телом за время t, если его скорость пропорциональна проходимому пути и если тело проходит 100 ж в 10 секунд и 200 ж в 15 секунд.
6. Дно резервуара, вместимость которого 300 л, покрыто солью. Допуская, что скорость растворения соли пропорциональна разности между концентрацией в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (1 кг соли на Зд
воды) и что данное количество чистой воды растворяет | кг соли в одну
минуту, найти, сколько соли будет содержать раствор по истечении одного часа.
7. Некоторое количество нерастворимого вещества содержит в своих порах \0 кг соли. Подвергая его действию 90 д воды, нашли, что в течение одного часа растворилась половина содержавшейся в нем соли. Сколько соли растворилось бы в течение того же времени, если бы количество воды было удвоено? Скорость растворения пропорциональна количеству нерастворенной соли и разности между концентрацией раствора в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (1 кг на 3 л).
8* Некоторое количество вещества, содержащее 3 кг влаги, было помещено в комнате вместимостью 100 ж^, воздух которой первоначально имел влажность 25%. Насыщенный воздух при той же температуре содержит 0,12 кг влаги на 1 ж^. Если в течение первых суток вещество потеряло
214
Глава XV. Первообразная и интеграл
половину своей влаги, то сколько влаги в нем останется по истечении вторых суток?
9. Некоторое количество нерастворимого вещества, содержащее в своих порах 2 кг соли, подвергается действию 30 л воды. Через 5 мин 1 кг соли растворяется. Через сколько времени растворится 99% первоначального количества соли?
lOf Кирпичная стена имеет 30 см толщины. Найти зависимость температуры от расстояния точки от наружного края стены, если температура равна 20° С на внутренней и 0° С на внешней поверхности стены. Найти также количество тепла, которое стена (на 1 м^) отдает наружу в течение суток.
1. ^ = 20-: V = \0^/Шcм/c. (it о
т - ~ = -kv\ t= — . . - с. ' dt In 0,8
с dS
It
Ответы
2. =^2;
at
/i(t)| - По) _ ______________3_
VnVl In ^ "0
40 In 2,5
c.
~!=k(T-To)\ 7 = 20+ 80(0,5)® =60 ЖМН.
kS, S = 25 25. 6. 18,1 кг\ - 5^) > где й- коэффи-
7.6.2 «г. | = 8.0.82,,.
циент пропорциональности ds
^ =/es(s -f 6). Указание. Влага, содержащаяся в пористом веществе, испаряется в окружающее пространство со скоростью, пропорциональной количеству влаги в данном веществе, а также пропорциональной разности между влажностью окружающего воздуха и влажностью воздуха насыщенного.
9, 32,2ЖУЯ. iO. Т = |х; 864000 кал; ^ = —где Q = const. Указание. В силу закона Ньютона скорость Q, с которой теплота распространяется через площадку л, перпендикулярную оси Ох, равна Q=—kS^, где ^ — коэффициент теплопроводности данного вещества, 7 —температура, / — время, S —площадь площадки А] (к = 0,0015).
Глава XVI
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
§1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
С помощью производной можно исследовать свойства данной функции — определять промежутки ее возрастания и убывания, скорость роста, точки максимума и минимума, направление выпуклости и точки перегиба ее графика и пр. Часто приходится решать обратную задачу нахождения неизвестной функции по заданным ее свойствам. В простейших случаях эта задача сводится к нахождению первообразной. В других случаях для нахождения неизвестной функции по данным ее свойствам составляют соотношение, связываюи;ее неизвестную функцию и ее производные. Это соотношение называют дифференциальным уравнением.
В качестве примеров рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
Радиоактивный распад. Из эксперимента известно, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна имеющемуся количеству вещества.
Обозначим через х = x{t) массу вещества, еще не распавшегося к моменту времени t. Тогда ~ — скорость распада вещества удовлетворяет уравнению
- = -kx dt
(1)
где Л —некоторая положительная постоянная, являющаяся коэффициентом пропорциональности.
В уравнении (1) перед k поставлен знак минус, так как x{t) >0, а g<0.
Уравнение (1) называется дифференциальным уравнением радиоактивного распада.
216
Глава XVI. Дифференциальные уравнения
Падение тела в воздушной среде. Пусть в некоторый момент времени на землю сброшено тело массы т. Если v{t) — скорость падения, то согласно второму закону Ньютона
dv
(2)
dv
где есть ускорение движения тела (производная от скорости v
по времени t), а F —результирующая сила, действующая на тело в процессе движения. В данном случае
F = rng — Fеопр.) (3)
где mg —сила тяжести, а fconp. — сила сопротивления со стороны воздуха. Как известно, при обтекаемой форме тела и не слишком больших скоростях движения сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости движущегося тела, т. е. Есопр. = kv, где k — коэффициент пропорциональности. Подставив равенство (3) в формулу (2), получим
dv t dv k
m — =mp — kv или —=e——v. dt ^ di ^ m
Уравнение (4) описывает падение тела в воздушной среде.
(4)
гшмт
о
Рис. 1
Колебания груза под действием упругой силы. Рассмотрим прямолинейное колебание груза массы т под действием упругой силы F, с которой на тело действует пружина с коэффициентом упругости /г > О, как показано на рис. 1.
Для составления уравнения движения груза на прямой линии введем координату X, изменяющуюся со временем t, приняв за начало О положение равновесия груза, а за положительное направление — направление слева направо. Тогда в силу второго закона Ньютона уравнение движения имеет вид
mx"(t) = F. (5)
По закону Гука для не слишком больших растяжений (сжатий)
упругая сила F, действующая со стороны пружины на груз, будет прямо пропорциональна отклонению груза от положения равновесия и направлена против движения, т. е.
F = —kx. (6)
Подставляя равенство (6) в формулу (5), получим
mx"{t)=--kx или x"{i) = —^х. (7)
Уравнение (7) называется дифференциальным уравнением коле-
баний груза под действием упругой силы.
§1. Основные понятия
217
2. Основные определения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную функцию и ее производные. Общий вид такого уравнения: F{x, у, у', , у^''^) = 0. (8)
Число п, показывающее порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в уравнение (8), называют порядком дифференциального уравнения. Решением дифференциального уравнения (8) называют дифференцируемую функцию y = f{x), удовлетворяющую этому уравнению, т. е. обращающую его в тождество (по крайней мере, в некотором промежутке изменения х).
Обыкновенным дифференциальным уравнением t-го порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и ее производную. Общий вид такого уравнения:
Нх, У, у') = 0. (9)
Решением дифференциального уравнения (9) называют дифференцируемую функцию у = f{x), обращающую его в тождество (по крайней мере, в некотором промежутке изменения х), так что
Р{х, (р{х), (р'{х)) = 0.
Так, например, одним из решений дифференциального уравнения ху' + у = о является функция У = ^ {х ^ 0)\ одним из решений
уравнения у' = \/1 - у^ служит функция г/ = sin л: ^ ^ •
Пример 1. Показать, что функция у{х) является решением данного дифференциального уравнения:
1) у' = хЦг у, у{х) = е^ -X-U
2) y"-\-y = sinx, г/(х) = sinx-Ь cosa: - 0,5a:cosx.
Л I) у{х) = е^ — X — у'{х) = е^ — \. Подставляя у{х) и t/{x)
в уравнение, получаем, что для любого л: £ R верно равенство х-\-у = х-\-{е^—X —\ ) = е^—\=у'. Следовательно, у' = х-\-у.
2) у' = cos л: — sin а: - 0,5 cos х -Ь 0,5.ic sin х,
у” = — s\x\x — cos X-f 0,5 sin jc I- 0,5 sin X -Ь 0,5х cosx —
= — cos a: 0,5a: cos X;
y" у = — cos a: -h 0,5x cos a: -f- sin a: -)- cos x — 0,5a: cos x = sin x . A Уравнение (9), разрешенное относительно производной, имеет
у'=^Пх,у). (10)
218
Глава XVI. Дифференциальные уравнения
Его частным случаем является уравнение вида
t/=[{x), где /(л:) — заданная функция. (11)
Легко видеть, что задача нахождения решения этого уравнения сводится к нахождению первообразных функции /, т. е. к вычислению интеграла ^ f{x)dx. Таким образом, решение уравнения (11) имеет
У{х) = J f{x)dx.
Если F{x)— некоторая первообразная для функции /, то семейство первообразных для этой функции есть J[{x)dx = Е(х) + С, где С— произвольная постоянная. Следовательно, можем записать
y{x) = F{x) + C. (12)
Таким образом, дифференциальное уравнение (И) имеет бесконечно много решений, каждое из которых получается из формулы (12) при фиксированном С. Функция, заданная формулой (12), называется общим решением уравнения (11).
Вернемся к общему случаю дифференциального уравнения (10). Функция
у = (р(х, С), где С — произвольная постоянная, (13)
которая при каждом фиксированном значении С как функция независимой переменной х является решением уравнения (10), называется общим решением дифференциального уравнения (10). Каждое решение уравнения (10), которое получается из общего решения (13) при конкретном значении постоянной С, называется частным решением.
Геометрический смысл решения дифференциального уравнения. Общее решение у = ф{х. С) дифференциального уравнения с геометрической точки зрения представляет собой семейство кривых на плоскости (зависящее от одного параметра С); их называют интегральными кривыми дифференциального уравнения. Интегральная кривая — это график его решения (или интеграла).
Например, общее решение дифференциального уравнения у' = 2х задается формулой у=х'^-\-С, где С— произвольная постоянная. Семейство интегральных кривых данного уравнения — семейство парабол, получаемое из параболы у = х^ параллельным переносом вдоль оси Оу (рис. 2).
Не существует каких-либо общих правил для составления дифференциальных уравнений по условиям конкретной задачи. Условия
§2 Уравнения с разделяющимися переменными
219
задачи должны быть такими, чтобы они позволяли составить соотношение, связываю1дее независимую переменную, функцию и ее производную (или производные).
Задача Коши. Задача нахождения решения у{х) дифференциального уравнения у’ = f{x, у), удовлетворяющего условию
У{Ч)==У0, (14)
где Хо, г/о —заданные числа, называется задачей Коши дифференциального уравнения первого порядка. Условие (14) носит название начального условия. Решение, удовлетворяющее начальному условию (14), называется решением задачи Коши (10), (14).
Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Решить задачу Коши (10), (14) означает найти ту интегральную кривую уравнения (10), которая проходит через заданную точку
Мо(-«о. г/о)-
Задача отыскания решения уравнения F{x, у, у', у") = 0, удовлетворяющего начальным условиям
уЫ)=уо, у'{хо) = уи (15)
называется задачей Коши дифференциального уравнения второго порядка.
Решение задачи Коши называют частным решением, а совокупность частных решений — общим решением дифференциального уравнения. Так, решением задачи Коши
у'{х) = 2, у{0) = 1
является функция у(х) = 2х + 1. А общее решение дифференциального уравнения у'{х) = 2 имеет вид у{х) = 2х + С.
§2. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Напомним, что производную у'{х) функции у{х) можно выразить через отношение дифференциалов, т. е. у' — Поэтому дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, записывается в следующем общем виде:
Й=Я^,г/). (1)
Рассмотрим некоторые типы уравнений вида (1).
Уравнение (1) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функция [{х, у) представляет собой произведение функции переменной х и функции переменной у:
I =/«■•?(!/)■ (2)
220
Глава XVI. Дифференциальные уравнения
Если функции f{x) и ф{у) непрерывны в промежутках (а; Ь) и (с; d) соответственно и ф{у)фО в (с; d), то уравнение (2) можно записать в виде
^ = f{x)dx. (3)
Так как функции и f{x) непрерывны, то они имеют первообразные Ф(^) и F{x). Поэтому уравнение (3) может быть переписано в виде
d 0.
Освобождаясь от модуля, получим у = ±С\е^ или у^С^е^, где С2 = К\{0}.
Проверкой убеждаемся, что у — 0 также является решением. Следовательно, решением уравнения являются функции у = С-2^, где С2 = К\{0}, и г/ = 0.
Заметим, что £/ = 0 получается из формулы общего решения, если снять ограничение С2У^0. Значит, решением данного уравнения будут все функции вида у = где С е R.
Ответ, у =Се^, СбЖ. А
* Найдем решения задач радиоактивного распада и падения тела в воздушной среде, которые были сформулированы в § 1, п. 1.
Пример 4. Найти решение дифференциального уравнения ра-dx
диоактивного распада — = -kx{t), удовлетворяющее начальному условию
Д Так как х^ 0 (иначе решение отсутствовало бы), то
- = -kdt.
X
Интегрируя обе части уравнения, находим
1п |х| = In С
(здесь произвольную постоянную лучше взять в виде !пС, где С>0). Или имеем
\х\ = е~^‘‘+'"^ = С-е-
-ы
Таким образом, общее решение имеет вид x{t) = C-e где С>0.
Из условия x{Iq) = xq получаем, что C = xq^*'^. Следовательно, функция
-'^(0 = (7)
222
Плава XVI. Дифференциальные уравнения
является решением дифференциального уравнения радиоактивного распада, удовлетворяющим данному начальному условию. А
Замечание. На практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуется периодом полураспада, т. е. промежутком времени, в течение которого распадается половина исходного вещества. Так, если Г—период
полураспада, то из решения (7) при 1 = tQ + Т находим ^ откуда
и 7 I I п 2
е" = -, кТ =\п2, к = —. Отсюда, подставляя в формулу (7), получаем
Пример 5. Найти закон изменения скорости от времени v(t) при палении тела в воздухе при условии, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости.
Д В соответствии с условием получаем, что действующая на падающее тело сила задается формулой
F = mg -F,
сопр.<
или F=mg — av^
где а — коэффициент пропорциональности (считаем положительным направление движения вниз). В итоге
mv' = mg — av^ или v' = g — kv^, где ^ = ^-
Решим полученное уравнение. Так как в начале движения v — 0 и g-kxP' > О, то получаем
-^ = dt.
g-kv^
Интегрируя обе части уравнения, находим
dv
Заметим, что
Тогда
I dv
g-ku^
1
— / "Ь С.
(8)
+
g-kv"^ \^/g + y/kv -Jg-y/kv
g-
(
+
2 V 'Д ~
dv -
_L ([ dv ^ f dv \ ^
(ял+c. =
2v^ \ Д
= 1 lnV^±^ + C,.
2\/g* s/S-Д^
§2. Уравнения с разделяющимися переменными
223
Подставляя полученное значение в формулу (8), имеем
. I in^^i±^ + c, = H-c.
2\/Р vf - '/kv
Так как С, С\ — произвольные постоянные, то можем записать
' Inv^±2^ = r+C. (9)
2\/Р y/g-Vkv
Из условия v{0) = О следует О = О 4- С, т. с. С = 0. Тогда, выражая V из равенства
1 . /#Т -U \/ 1>71
и
1^ 1^ Vg + Vkv _
имеем
2\/g* y/g-s/h)
Г
-1
Замечание. Из формулы (9) следует, что при / —» оо скорость и(/) ие растет неограниченно, а стремится к значению
,-.4
Опр = lim v{t) = ... .
/—оо \ к
Экспериментально известно, что при падении человека (без парашюта) Упр = 50 м/с. *
Задачи
Решить уравнения (1-11):
1. y'cosx=j^ , у{0)=\.
3. {I + x^)dy + ydx = 0, у{\) = I.
5. tgydx - ~dy = 0. г/(1) = 5.
2. y' = igxigy.
4. ?^+е4' = 0,(/(1) = 0
уу
X
6. {\+e‘^)y'^dy — e^dx,y{0)=Q.
7. //'+ cos(a: + 2г/) = cos(jc — 2i/), г/(0) = 5. 8. ^ =\ny, y{2) = \.
9. (/'+ sin(jt +(/) = sin(A;-{/). rfi _y2
10. у'=е^^У + ^-У
Ответы
1. ^In^j/ = lntg|| + ^|. 2. sin//cosx = C. 3. y = e^ arctg x 4.2еУ{у+1) =
= .*^+1. 5. 21nlsini/| — 1. 6. arctg e* = ^ 7. In|tg «/| =
= 4(1—cosx). 8. 2(jc — 2) = In^(/. 9. 2sinx+In |tg|| = C, ^ й € Z.
10. 1/ = In tg (e* + C). 11. ^ = a sin ^arcsin ^ . У=
224
Глава XVI. Дифференциальные уравнения
§3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
1. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение вида
г/'+ сг/=/(х), (1)
где а —число, а /(л:) — заданная функция, называют линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянным коэффициентом. Если f{x) = О, то это уравнение называют однородным:
у' + ау = 0. (2)
Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид у — где С 6 М.
Пусть уо{х) — некоторое решение неоднородного уравнения
y' + ay^f{x). (3)
Такое решение называют частным решением уравнения (3). Можно показать, что любое решение уравнения (3) имеет вид
у = Се~‘^^+ Уо{х), (4)
где С —некоторая постоянная.
Задачу нахождения решения уравнения (3), удовлетворяющего условию
у{хо)=Уо^ (5)
где xq, уо“ заданные числа, называют задачей Коши, а условие (5) носит название начального условия.
Пример 1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:
1) у'-у=1, 2) у'-^2у = х, г/(0) = 2;
3) ^' + 4/ = 51пл:, j/(0) = -l; А) у'- Зу = е"^^, у{0) = 2.
А 1) Однородное уравнение имеет решения вида у = Се^, а в качестве частного решения неоднородного уравнения можно взять г/о = —1. Тогда любое решение исходного уравнения имеет вид у = Се>^-\.
По условию у(0) = 1, тогда 1 = С — 1, откуда С = 2, а у = 2е^ — 1 — решение задачи Коши.
2) Здесь у = Се~^^ — общее решение однородного уравнения, а частное решение о неоднородного уравнения будем искать в виде yQ = ax-\-b. Тогда, подставляя его в уравнение, получим
§3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
225
а + 2{ах + Ь) = X, откуда 2а = 1, а-f 26 = 0. Следовательно,
л: 1
а=|, 6 = -'
У о 2 4’
Любое решение исходного уравнения имеет вид
__ /-* — О у I X I
у = Се +
Так как у{0) = 2, то 2 = С — j, отсюда C=j. Поэтому
у = 5 ~ ^ ~ решение задачи Коши.
3) Частное решение уо неоднородного уравнения будем искать в виде i/o = asinA: +ftcosjc. Тогда, подставляя его в уравнение, получим
а cos x:-6sinx: + asinx: + 6 cos х = sin х. Приравнивая коэффициенты при созл: и sinx, получим а+ 6=0,
а — Ь = 1, откуда о = |, 6 = — Поэтому любое решение неоднородного уравнения имеет вид
у — Се~^ +
По условию у(0) = -1, т. е. —1 = С - L откуда С = —к
1 -X а у = —^е ^
+ _ решение задачи Коши.
4) Частное решение £/о неоднородного уравнения будем искать в виде уо = а^. Тогда, подставляя его в уравнение, получим 2ае^^ — откуда а = —1, а у = — любое
решение неоднородного уравнения.
Так как у{0) — 2, то 2 = С-3, откуда С=5, а у — 5е^^-3е^^ — решение задачи Коши. А
2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальное уравнение вида
у" + ау' + Ьу^ f{x) (6)
называют линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, а уравнение
у" + ау' + Ьу = 0 (7)
называют линейным однородным уравнением второго порядка {а и 6 — действительные числа).
Пример 2. Найти все решения уравнения
у"-у = 0. (8)
8-3022
226
Глава XVI. Дифференциальные уравнения
Л Функции у = е^ и у = е ^ являются решениями этого уравнения. Действительно, так как (е^)" = и = е~^, то у" — у = 0.
Отсюда следует, что при любых постоянных С\ и Сг функция
у = Схе^ + С2в~^ (9)
также является решением уравнения (8). Можно показать, что всякое решение уравнения (8) определяется формулой (9).
Если для уравнения (8) поставлена задача Коши, т. е. заданы уо и у'с такие, что
У{^) = у'ifi) = у'о, (10)
то из равенства (9) следует
Г Уо = С\ -I- Сг,
1 ~ ~ ^2-
Уц + Ур
Сч
Уо-Уо 2 ■
(И)
где Л —
Эта система имеет единственное решение С\ =
Следовательно, функция
У _ У о У'о ^ ^ Уо ~ У'о
является решением задачи Коши (8), (10).
Пример 3. Найти все решения уравнения у"-4у' + 3у = 0.
Д Будем искать решение этого уравнения в виде у = неизвестное число. Подставив эту функцию в уравнение, получим
у" - 4у' + 3у= - 4 {е^'^У + =
= AV^' - 4Ае^' + Зе^^ = - 4А + 3) = 0.
Следовательно, функция у — е^^ удовлетворяет уравнению (И) тогда и только тогда, когда А — корень уравнения А^ - 4А + 3 = 0.
Этому уравнению удовлетворяют числа А=1 или А = 3, и поэтому функции и являются решениями уравнения (11)
Рассуждая так же, как это было сделано в предыдущем примере, можно доказать, что общее решение уравнения (11) задается формулой
i/ = C,e" + C2e^
где Cl и С2 — произвольные постоянные. А
Как и в примерах 2 и 3, решения линейного однородного уравнения (7) можно искать в виде у = е^’‘. Действительно, подставив функцию у = е^’^ в уравнение (7), получим;
у" + ai/ + Ьу= {е^У -Ь а {е^)' + =
= А^е^^ + аХе^ + Ье^ = е^{>? + аХ + Ь) = 0.
§3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
227
Из последнего равенства видно, что функция у = будет являться решением уравнения (7), т. е. равенство (7) обратится в тождество при любом X, тогда и только тогда, когда А будет корнем уравнения
л2 + аА + й = 0. (12)
Уравнение (12) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (7). Для получения характеристического уравнения надо в соотношении (7) заменить у" на А^, г/ на Л и (/ на 1.
Случай различных действительных корней характеристического уравнения. Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение (12) имеет два различных действительных корня Ai и Х^, А] ф Аг- В этом случае общее решение уравнения (7) задается формулой
l/ = C,e^'^ + C2e^^^ (13)
где С\ и Сг — произвольные постоянные. Тот факт, что функция (13) является решением уравнения (7), проверяется непосредственной подстановкой, а то, что других решений нет, примем без доказательства.
Итак, чтобы найти решение дифференциального уравнения
у"+ ау'+ by
следует:
1) составить характеристическое уравнение
А^ -|- йА 4-^ = 0,
соответствующее данному дифференциальному уравнению;
2) найти корни А] и А2 характеристического уравнения;
3) в случае если уравнение имеет два различных действительных корня А) ф А2, записать общее решение данного дифференциального уравнения в виде у{х) = И- €20^^^, С\ и Сг — произвольные постоянные.
Пример 4. Найти общее решение уравнения
у"-у'-2у = 0,
а также частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 1, у'(0)-3.
Д Составим характеристическое уравнение: А^ —А-2 = 0. Его корни: А| =-1, А2 = 2. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
у{х) = С\е ^ + С2в^^, где Cl и С2 — произвольные постоянные.
228
Глава XVI. Дифференциальные уравнения
Для получения частного решения найдем С\ и С2 из начальных условий. Так как у'{х) =—С\е~^ + 2С2е^^, то
Г у{^) = С\ + €2 =
\y'{0) = -Ci Н 2Сг = 3,
откуда Ci = —I и C2 = t- Таким образом, искомое частное решение
<5 о
есть у{х) = ~^е~^+ А
Случай, когда характеристическое уравнение имеет один корень. Пусть характеристическое уравнение + аЛ + 6 = О, соответствующее дифференциальному уравнению у" + ау' + by = Q, имеет один корень кратности два, т. е. А| = Аг = of. В этом случае дифференциальное уравнение имеет вид
у" — 2of// + of^f/ = 0. (14)
Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция у = —
его решение. Покажем что функция у = также является его решением. Так как у = хе^^, у'— + ахе^^, у" = 2ае"^ + о^хе^’^, то
у" — 2ау' + сР'у = 2ofe‘“ 4- о?хе“^ — 2ог {е^ + ахе"^) + с?хе’^ —
= 2о'в”^ Н- oi^jcg"'^ — 2ofe“^ — 2о?хе'^’‘ + сР'хе^ = 0.
Следовательно, функция = — также решение. Так как функция
г/ = е"-* и функция у = суть решения дифференциального уравнения (14), то и любая функция вида
f/ = C,g"^ + C2Xg« (15)
где С\ и С2 — произвольные постоянные, также является его решением. Тот факт, что функция (15) является решением уравнения (14), проверяется непосредственной подстановкой, а то, что других решений нет, примем без доказательства.
Пример 5. Найти общее решение уравнения:
1) 9f/"-6f/' + f/ = 0;
2) у" — 2у' + у = 0, а также частное решение, удовлетворяющее начальным условиям £/(0) = 1, (/(0) = 2.
Д 1) Соответствующее характеристическое уравнение 9А^ — 6А 4-1 = = о имеет корни Ац2 = Следовательно, по формуле (15) записываем общее решение данного уравнения: у{х) = С\е^ 4- СгхеЗ, где С[ и С2 — произвольные постоянные.
§3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
229
2) Составим характеристическое уравнение: — 2А + 1 = 0. Его корни: Ai,2 = 1- Общее решение уравнения: уо^,ц = С\е^+ С2хе^.
Для получения частного решения найдем С\ и из начальных условий. Так как t/ = С\е^ + + Сгхе'’, то
Г У(0) = С| + о = 1,
Ь'(0) = С,+С2 = 2,
откуда С|=С2=1. Следовательно, искомое частное решение имеет вид у = е^ + хе^. к
Случай, когда характеристическое уравнение имеет комплексные корни. Пусть характеристическое уравнение А^ + сА + = 0, соответствующее дифференциальному уравнению г/" + of/'+ % = 0,
не имеет действительных корней. В этом случае = — —Ь,
где 6 - > 0.
4 ^
Обозначим = 6 — Характеристическое уравнение
имеет два комплексно-сопряженных корня X = a + io) и X = oc — io).
Замечание. Кроме рассмотренных в гл. VI алгебраической и тригонометрической форм комплексного числа z в математике используется показательная форма z = r-e"^‘, где г=|г|. t -f- С2 sin «/, (18)
где C\ и C2 — произвольные постоянные.
Выражение Cicos«? -Ь C2sin«/ можно привести к виду Д cos (cj?-f а), где числа А и сх выражэются через Ci и С2. Соответственно функция
л(^) = Д cos («?-|-а), (19)
где А и а—произвольные постоянные, представляет собой общее решение уравнения (17).
Формулы (18) и (19) получаются одна из другой следующим образом:
А cos {(i)t + а) = А cos а cos «/ -г- А sin or sin ut — Ci cos«/ -Ь C2Sin «/, где Cl = Л cos a, С4 — —A sin a.
Функция (19) при любых значениях А, о и а описывает гармонический колебательный процесс. Число |Л| называют амплитудой,
§3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
231
а число а —начальной фазой или просто фазой колебания, заданного уравнением (17). Уравнение (17) называется уравнением гармонических колебаний. Положительное число со называют частотой колебания.
Общее решение (19) уравнения (17) содержит две произвольные постоянные: амплитуду |Л| и начальную фазу а. Для их определения нужно задать два условия, например можно задать два условия задачи Коши:
Jc( О, получаем Л = Д^лее из
системы (21) находится начальная фаза а.
Пример 7. Решить задачу Коши для уравнения (17) с начальными условиями х(0) = jcq, а:'(0) = vq.
Д В этом случае удобнее использовать для записи общего решения
формулу (18): , , п ■ 4
x{t) = С\ cos ой + С2 sm cot.
Из начальных условий получаем систему уравнений х(0) = Cl cosO + C2SinO = Xo,
Jc'(O) = —Ciwsin 0 + C2£jcos0 = Oq |c2 = —.
Таким образом, функция
л:(^) = Xo cos — sin (22)
6>
является решением задачи Коши для уравнения (17) с начальными условиями л:(0) = л:о, л:'(0) = О0) и Других решений задача не имеет.
А
Пример 8. Найти решение дифференциального уравнения колебаний груза под действием упругой силы
mx"-{-kx = 0. (23)
А Данное уравнение является уравнением гармонических колебаний
с частотой О) = Поэтому его общее решение можно записать в виде л:(/) = Л cos л:(0 — ^1 cos -Ь С2 sin \J^t.
232
Глава XVI. Дифференциальные уравнения
Если заданы начальные условия л:(0) = Xq, х'{0) = vq, то общее решение будет иметь вид
x{t) = xocos^t + voyj^s\n^t.
Амплитуда этого гармонического колебания вычисляется по формуле
А
Рассмотрим несколько частных случаев решения задачи Коши для уравнения (23).
1. Пусть х(0) = хо > О, л'(0) = vq = 0. Тогда x(i) = xq cos \f^t,
V П7
т. e. А = Х() и а = 0. Эта функция описывает гармонические колебания груза массой т, который в начальный момент времени to = О начал двигаться из точки с координатой xq > О с нулевой начальной скоростью.
2. Пусть x(0) =jco = 0, У(0) = oq > О- Тогда Jt(^) =
и, следовательно, А и функция описывает
гармонические колебания груза массой т, который в начальный момент времени /о = О начал двигаться из положения равновесия со скоростью oq > О-
Уравнение (23) описывает многие колебательные процессы в физике. Так, например, движение маятника с длиной нити L характеризуется уравнением
1а" = —^sin а,
где а —угол отклонения нити от положения равновесия. Уравнение малых колебаний (т. е. считаем |а| < 1) получится, если применить приближенную формулу sin aw а:
Ао" = -got.
Изменение напряжения на катушке в электрической цепи, состоящей из соединенных последовательно конденсатора емкостью С и катушки индуктивностью L, описывается уравнением
CL
и.
*4. Неоднородные линейные уравнения
В общем случае при решении неоднородного линейного дифференциального уравнения у" + ау'+ by = f{x) используется следующая теорема.
§3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
233
Теорема 1. Всякое решение неоднородного уравнения у" + ау' + by = f{x) является суммой какого-либо (частного) решения этого уравнения и обш,его решения соответствующего однородного уравнения у" + at/ + &г/ = 0.
Символическая запись этой теоремы имеет следующий вид:
Уобщ. неоднор. ~ i/част. неоднор. + Уобш. однор,- (24)
Рассмогрим несколько примеров в случае, когда /(х) — некоторый многочлен. В этом случае, если характеристическое уравнение имеет отличные от нуля решения, частное решение неоднородного уравнения есть некоторый многочлен той же степени, что и правая часть.
Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения
1) у" + 2у' -8у = 3; 2) у" - Зу' + 2t/ = 2х + 1; 3) у" у'= 2х.
Л 1) Сначала решим соответствующее однородное уравнение у" I- 2/ - 8у — 0. Его характеристическое уравнение имеет вид + 2А — 8 = 0. Числа Ai = 2 и А<2 = -4 являются его
корнями, поэтому г/общ, однор. = C'ie2-^ + C2e~^^, где Сь С2 G М. Частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде у = А, где /1 — неизвестное число. Подставим эту функцию в исходное уравнение: 0 + 0 — 8/4 — 16. Отсюда А = —2. Таким образом, частное решение неоднородного уравнения равно i/частн. = —2. Прибавив к этому решению общее решение однородного уравнения, получим ответ:
Уобщ. меодн. — "Ь ^2^ ~ 2, где С], С2 € к.
2) Сначала решим соответствующее однородное уравнение у” -Зу' -\-2у — 0. Его характеристическое уравнение имеет вид А^ —ЗА+ 2 = 0. Числа А| = 1 и Аг = 2 являются его корнями,
поэтому Уобщ. однор. = ^1^ + С2е^-*, где С\, C2GIR. Частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде у=Ах-\-В. Продифференцируем эту функцию: / — А, у" = 0. Подставим в исходное уравнение: 0 —3/4+2(/4jt + fi) = 2л: +1. Приравняв коэффициенты при х и свободные члены в левой и правой частях равенства, получим: —ЗА + 2В = 1, 2А = 2. Отсюда /4 = 1, В = 2. Таким образом, частное решение неоднородного уравнения равно i/частн. = а: + 2. Прибавив к этому решению общее решение однородного уравнения, получим ответ:
Уобщ. I
— X + 2 + + С2е^'*, где С\, С2 G
234
Глава XVI. Дифференциальные уравнения
3) Характеристическое уравнение имеет вид + Л = 0. Числа А] = о и А2 = —1 являются его корнями, поэтому
У общ. однор. — С| + С26 , где С|, С<1 € К.
В этом случае частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде у = х{Ах + В), так как правая часть уравнения есть многочлен первой степени и, кроме того, нуль совпадает с одним из корней характеристического уравнения. Продифференцируем эту функцию: у' = 2Ах + В, у" = 2А. Подставим в исходное уравнение: 2А-\-2Ах-\-В = 2х. Приравняв коэффициенты при х и свободные члены в левой и правой частях равенства, получим: 2А = 2, 2А + В = 0. Отсюда Л = 1, В = —2. Таким образом, частное решение неоднородного уравнения равно (/части. —2л:. Прибавив к этому решению общее решение однородного уравнения, получим ответ:
i/общ. неодн. — ^ 2х -|- Cl "Ь C<^s , где С[, С2 S К. А*
3) (/"-8/ + 16у = 0; 6) х" + 2/+ Юл: = 0;
Задачи
1. Найти все решения уравнения:
1) у" + 2у' - 8(/ = 0; 2) у" - Ъу' + 15// = 0;
4) £/" -6(/'+ 13у = 0; 5) 4х"+х = 0;
7) у"-у = 2; 8) х" + 2х' = 2.
2. Найти решение уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию:
1) у" -2у'+ у = 0- у{2) = 1, у'{2) = -2;
2) у" + 2у' + 5(/ = 0; (/(0) = у'{<д) = 1;
3) (/"-(/'-6(/ = 0; //(0) = 1, (/'(0) = 0.
3. Какая из функций описывает гармонический колебательный процесс:
1) х(/) =: sin / + cos/; 2) x(/) = (sinf; 3) х(/) = sin 2/+ cos/;
4) x(()=sin/ + l; 5) x(() = 3cos(2( + 1)?
4. Найдите уравнение гармонических колебаний, которому удовлетворяет функция;
1) x{t) = sin t + cos t; 2) x(() = sin 2/-I-cos 2/.
Ответы
1. 1) Cie^-* + C2e~*^; 2) 3) (Q + Сгх) 4) Cie®-'cos2x -I-
-I-C2e^'*sin2x; 5) CiC0s| -l-C2Sini: 6) e~*(Ci cos3/C2sin3/); 7) Cie~^ + I 626^ —2; 8) Ci+C2e~^' + t. 2. 1) у = (7 — 3x)e“~^; 2) e“^(cos2x + sin 2x);
3) -b— 5. 3. x(() =sin/-|-cos( и x(^) = 3cos(2/-|-1). 4. 1) x"-Px =
u 10 О
= 0; 2) x"-l-4x = 0.
Глава XVII
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ И НЕРАВЕНСТВ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ
§ 1. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
Основные методы решения показательных и логарифмических уравнений были рассмотрены в §§ 4, 5 гл. X. Здесь мы применим их для исследования соответствующих задач, содержащих параметр. Пример 1. Для каждого значения параметра а решить уравнение
3-4^-2 + 27 = а + а-4^-2.
Л Произведя замену 4-*“^ = t/, где t/>0, получим линейное уравнение Зг/+ 27 = а(1 + г/) или (а — 3)у = 27 — а.
При с = 3 это уравнение не имеет решений. Если а ^ 3, то у = ■ Из условия у>0 следует неравенство >0^ которое
справедливо при с€(3;27). При этих значениях а из уравнения
лу-2 27 — а I 27 —а I о
V ^ =------ находим X = log4-^ + 2.
а — 3 а — 3
Ответ. Если ае(3;27), то л: = log4
решений нет.
27-а а — 3
4- 2; при других а
Пример 2. Для каждого значения параметра а решить уравнение
- log! л: = 0.
Д Находим ОДЗ: а>0, 2а — х>0 и x>0.
Приведем уравнение к виду 2 log^ + log^ х = 0 или
logc(2a —х)-2 + logQjt = 0 \og^^{2ax —х^) = 2 фф 2ах —x^ = a^.
Из последнего уравнения получаем {х — G)^ = 0 или х = а.
Ответ. Если а<0 или а = \, то решений нет; если а>0, аф\, то X = а. А
Пример 3. Для каждого значения параметра а решить уравнение
log^ л: + log„2 X + log^3 X = 11.
236
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
Д Учтем, что а > О, а Ф I и л:>0. Переходя в данном уравнении к одному основанию а, получим log^x + ^ log^ л: + ^ log^x = 11 или
^log„x=ll.
Из уравнения iog^x^G получаем х = а®. С учетом ограничений на а, запишем ответ.
Ответ. Если а<О или о= 1, то решений нет; если а>О, аф1, то X — а^. А
Отметим, что при решении показательных уравнений с параметром необходимо учитывать случай, когда основание равно 1. Случай, когда основание отрицательно, хотя выражение имеет смысл, если /(х) —целое число, рассматривать не следует, исходя из определения показательной функции. Проиллюстрируем сказанное следующим примером.
Пример 4. Для каждого значения параметра а решить уравнение
д2х-3 _ д2д:-2 ^ ^ J
Д Имеем + а'^^ = \ - а -Ь 1) = 1. Если
а = 1, то X может принимать любое действительное значение. Пусть а > О, аф\. Покажем, что в этом случае а® — а -|-1 > О, и поэтому уравнение
„2х-3
а =
а*’ — а -Г I
имеет решение. Действительно, при О < а < 1 слагаемое положительно и —а -Ь 1 > О, а при а > 1 имеем > а. Итак, решением
^ л /1 3—log»(a^ — а +1)
исходного уравнения при а > О, а ^ 1 является х —-------
X —
Ответ. Если а = 1, то х € 3 - loga(a^ - ° + О
если а > О, а Ф [, то
А
Пример 5. Для каждого значения параметра а решить уравнение (3 log„ X - 2) log^ а = log^ X - 3.
Д Учтем, что а>0, а^1 их>0, х^1. Приведем уравнение к виду (31og^x-2)-^ =2log„x-3.
logjx
Положим \og„x = y. Тогда уравнение примет вид (Зу -2)-\ = 2у — 3
У
или 2г/^ — Зг/^ — Зг/-Н 2 — 0. Последнее уравнение раскладывается на
§ 1. Уравнения с параметром
237
множители (у + l)(2^/^ — 5г/4-2) = О и имеет корни yi = —l, У2 = 2, г/з - 0,5. Откуда х\ = ^, х^ = ^г^, = ^/а.
Ответ. При а < О и а = 1 решений нет; если а > О, а I, то = ^> -^2 = ^
Пример 6. Найти все значения параметра а, для которых уравнение log2 х + log^ х + log^ х = 1 имеет решение.
А ОДЗ уравнения: х>О, а >О, о1. Перейдем в данном уравнении к одному основанию 2. Имеем:
ИЛИ
0 + 5;в^^ + О ‘”в2'' = > »
При а ^ ^ ^ получим log2X = ° 2' любом значе-
нии правой части найдется значение х, при котором выполняется равенство. Если же 3 log2 а-Ь 2 = О, т. е. а-—2~^.
Следовательно, исходное уравнение не имеет решения при а < О, _2
а = \ и с = 2 3.
Ответ, а G (0; 2“3) и (2“з; 1) и (1; -Ьоо). А
Пример 7. Найти все значения а, при которых уравнение log^x-t-log^ с • |а-f log^xl =alog^.a имеет решение, и найти это решение.
Д Находим ОДЗ уравнения: л:>0, и а>0, cy^l.
Перейдем в уравнении к основанию а :
2 I „ I „ I а
•Ogfl ^ +
l«ga-^
I й -Mog^ X I =
•ogflX'
ИЛИ
При замене \og^x = y получим уравнение у-\---\й+у\ -
У »
у^+ 2\а + у\-а = 0.
Последнее уравнение равносильно совокупности двух систем:
/дч (а + у^О, (а + у<0,
\у^+2у + а = 0, \/-2г/-Зй = 0.
В случае (А) получаем
Г log„JC^-a,
\\og„x = -\-.
i y/l — а.
Эта система имеет
решение при выполнении условий 1>а>0 и -1 - \/1 — й ^ —а или
238
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
— 1 + \/1 — а ^ —а. При 1 > а > О неравенство —1 — y/l - а ^ —а не выполняется, а неравенство -1 + \/1 -а^-а или л/1 — о 1 — а является справедливым. Следовательно, решением исходного уравнения
является л: =
В случае (Ь) получаем < х — 1 ± \J\ -р За система имеет
решение при выполнении условий а > О и 1 — %/1 + За < -а или 1 -Ь х/Г+За < —а. При а > О неравенство 1 -Ь \/1 + За < —а или \/1 Ч За < —1 — а не выполняется, а неравенство 1 — л/1 -Ь За < —а или \/1 -I-За> 1 +а справедливо только при 0<а< I. Следовательно, X = а!-\/1+За _ решение исходного уравнения.
Ответ. Уравнение имеет решения xj =а~’и Х2 = а'“'^’+^“ при О < а < 1. А
Задачи
1. Найти все значения параметра р, при которых имеет хотя бы одно решение уравнение:
1) (p-l-l)-4^-f 4-2^-|-р-2 = 0; 2) (р - I) ■ 4^ - 4 • 6^-1-(р-+-2) • 9^ = 0.
2. Найти все значения параметра р, при которых не имеет решений уравнение:
1) (р-4)-9^-Ь(р+1)-3-'+2р-1 =0;
2) (10-р)-5*''+'-2-5^+‘+6-р = 0.
3. При каких значениях параметра а имеет хотя бы одно решение уравнение:
1) 2*-I-2^~'‘= а; 2) 4*-I-а • 2* = 1;
3) )^-2х- log I = 0; 4) - (2“ - 1)х - 3(4“"‘ - 2“-^) = 0?
3
4. Определить, при каких значениях параметра а уравнение:
U ^ имеет два решения;
2) logj,^^(x — 2) = 2 имеет единственное решение;
3) lg(x^ + 2ах) — lg(8x — 6с — 3) имеет единственное решение.
5. В зависимости от значений параметра а определить число решений уравнения:
1) 2xlgx = 3 —algx; 2) -Ь а -I- log5(x - 5а) = 0.
При всех допустимых значениях параметра а решить уравнения 6-9 :
6. 1) log„(x^-3a) = log„(a‘^-3x); 2) log^/jr^fHx-f-а) = log^^(v/2^)'';
3) [(ax)^ - l] = ••
7. 1) а2-9^+‘-8-3-'-а = 0; 2) 144^ -2• 12^ + а = 0;
3) З 27 = а-1-а-4^-2.
§1. Уравнения с параметром
239
8. 1) log„x + log„(x-l) = 2; 2) log^2^ + log^^2a= I;
3) 21og_^a + log^j,a + 31og^2j(a = 0.
9. 1) = 2) =
10? Найти все значения х, удовлетворяющие уравнению
Iog^+o2+i(“^'*^ + 2) = 2l0gy^2;,(5- \/б-2х) при любом значении параметра а.
11. Определить, при каких значениях параметра а данное уравнение имеет не менее двух корней:
') •ogo n-* + '"Sx(19-8a)=2; 2) log„x +logj,(17 - 10а) =2.
Ответы
I. 1) -2 < р < 2; 2) -2 < р ^ 2. 2. 1) р е (-оо; 5) U [4; +оо);
2) ре (-оо; 5) и [10; +оо). 3. 1) а 4; 2) а € R; 3) а € 0) U (0; v/З];
4) ае(-оо;-2]и[0;+оо). 4. 1) 0<а<-^;2) аб(-оо;-2)и|-^|; 3) а=1
1 3
и —^ ^ а ^ Если а ^ О, то одно решение; если а < О, то два
решения; 2) если а < — g, то решений нет; если а ^ — g, то одно решение.
6. 1) Если а е (0; 1) 0(1; 3), то х = —а —3; если а > 3, то х — -а — 3 и х = а; 2) если а е (—8; —3) U (—3; +оо), то х = 4 — v^l2 + а; 3) если О < о ^ 1 или о = >/2, то решений нет; если 1 < а < л/2 или а > у/2, то х = -1 и х = 1.
7. 1) Если а = 0, то решений нет; если а < О, то x = log3(—а), если о > О, то X = log3a — 2; 2) если а ^ О, то Х|_2 = ± log|2(l + л/1 — а); если О < а < 1, то Xj_2 = ±log|.2(l + \/1 — а), Хз 4 = ±log|2(l — у/1 — а); если а = 1, то х = О, если а > 1, то решений нет; 3) если ае (—оо; 3] О [27;+оо), то решений нет; если
3 < а < 27, то X = 2 + log4 8. 1) Если а ^ О и а = 1, то решений нет;
если а>0 и а/1, тох = l±Vl±3^; 2) если а ^ О и а = 1, то решений
нет; если а > О и аф\, то х = о; 3) если а ^ О, то решений нет; если 1 — ^
а > О и аф то X] = и Х2 = а з; если а = 1, то х € (0; 1) U (1; +оо).
у/а
9. 1) Если а ^ О и а = 1, то решений нет; если а е (0; 1) О (1; +оо), то х; = и Х2 = g; 2) если с ^ О и а = 1, то решений нет; если а 6 (0; 1) О (1; +оо),
то х\ = а и Х2 =-. 10. X = 1. Указание. Решите уравнение при а = 1.
II. 1) «€(-.; 0)и"(2; 8)и(|; ; 2| «№ 1)и(Д; f)u(|, {^).
240
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
§2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ
Многие из изученных ранее методов решения неравенств (разложение на множители, замена переменной и т. д.) применяются также к логарифмическим и показательным неравенствам.
Пример 1. Для каждого значения параметра а решить неравенство O'* < 1.
Д Исходя из определения показательной функции, рассматриваем только значения а > 0. При а = 1 решений нет. Из неравенства
при а > 1 получаем — х < О или х € (0; 1), а при О < а < 1 получаем д:^ — л: > О или х е (—оо; 0) и (1; -Ьсю).
Ответ. При а < О, а = I решений нет; если О < а < 1, то X е (—оо; 0) и (1; -Ьоо); если а > 1, то л: G (0; 1). А
Пример 2. Для каждого значения параметра а решить неравенство
+ 2-^) < О-
Д Находим ОДЗ: а > О, а 1; -1-2х > 0. На ОДЗ имеем:
loga(-«^ + 2х) < О l0ga(x^ + 2х) < log^ 1.
Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств
(А) + 2х > О, ^
' а > 1
■ -I- 2х > 1, < а < I.
Решая систему (А), получаем, что х G (-1 - \/2; -2) U (0; — 1-Ь \/2) при а>\.
Решая (Б), получаем х 6 (—оо; — 1 — V^) U (—1-Ь \/2; -foo) при О < а < 1.
Ответ. При а < О или а = 1 решений нет; если О < а < 1, то X G (-оо; —I — \/2) U (—1 + \/2; -Too); если а > 1, то xg(-1-V2;-2)u(0;-H-V2). А
*Пример 3. Для каждого значения параметра а решить неравенство
logj^2(x-j-a) < 1.
Д Находим ОДЗ: х -Ь о > О, х # ±1, х 0. На ОДЗ неравенство logj(.2(x-f-а) < 1 равносильно совокупности двух систем:
(А)
х^ >х-Ьс > О, х^ > 1
и (Б)
{о
+ а> х^, <х^ < 1.
§2. Показательные и логарифмические неравенства с параметром
241
Числа XI = ^+ и JJ2 = — корни уравнения
— х — а = 0 при а > —При а < —^ неравенство х^ — хЛ-а>0
справедливо при всех х.
Решая систему (А), получаем
л:^ — X + G > О, л: + а > О, W>1
или I
X > -а,
X е (—oo;xi) и {х2\ +оо), X е (—сю; -1) и (1; +оо).
Убеждаемся, что на числовой оси Ох значение х = —а для всех афО расположено левее, чем xj; при а>0 значение х^ больше X = 1; при а > 2 значение х\ меньше х = — 1. Запишем решение
первой системы: если а < —то решений нет; если —| ^ а < О,
то X G (1; +оо); если О < а < 1, то х G (xg; +сю); если 1 < а < 2, X € (-а; —1) и (хг; +оо), если а > 2, то х е {-а; Х|) U (хг; +оо). Решая систему (Б), получаем
О < |х1 < 1, х^-х-а<0, или X + о > 0;
хе(-1; 0)и(0; 1),
Х| < X < Х2,
X ^ -а.
Получаем, что решений нет при а < —если ^ а < 0, то
X € (-оо; X]) и (хг; +оо), если 0 ^ а < 2, то х G (xi; 1); если о ^ 2, то X е (—1; 0) и (0; 1).
Ответ исходного неравенства является объединением ответов систем (А) и (Б).
Ответ. Если а < —i, то решений нет; если —| < а < 0, то X 6 (* l+v^^T4a^ (1;+оо); если о ^ а < 1, то
X € (—оо; * ~ ) и (Lt:^l + ^;-|-oc); если 1 < а < 2, то
X € (-а;-1) и и ;+оо); если а ^ 2, то
X е (-а; ‘--4^) U (-1:1) U (‘ + ^^;+оо). А*
Пример 4. Для каждого значения параметра а решить неравенство
x'°g«^ О, а 7^ 1; х > 0. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством х = а^°^“^. Тогда неравенство примет
242
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
вид < а или
Г О < а < 1,
llogfl^> 1,
Га > 1,
- UogoJC< 1;
О < о < 1, |logaJf| > 1, а > 1,
|logaA:| < I;
О < о < 1,
JJG (0;a)uQ;+oo) ; о > 1,
Ответ. Если О < а < 1, то л: € (0; а) U Q; +сю^ ; если а > 1, то хе Q; 0^; если а<0 или а = 1, то решений нет. А
Пример 5. Найти все действительные значения параметра а, при которых неравенство loga4,^ |х(а — х)| < log„_^j^x имеет хотя бы одно решение.
Л Находим ОДЗ:
х{а — х) ф О, а Ч-х > О, а + хф\, х>0
X фа,
X > —а,
X ф1 — а, (х>0.
На ОДЗ преобразуем исходное неравенство: loga+x к(а-^)1 <
'ogfl+jf + ^oga+x |а - I < log„+j, X a + л: > 1,
'oga+x |a - л:| < 0
0 < |a - j;| < 1, 0 < a + a: < 1, |a — jc| > 1
a: > 1 — a,
0 < |a — a:| < I,
-a < X < 1 — a,
|a — x[ > 1.
Рассмотрим первую систему неравенств полученной совокупности:
{X > 1 —а, хфа,
а — \ <х<а + 1.
X > 1 — а,
О < |а — х| < 1
§2. Показательные и логарифмические неравенства с параметром
243
Система имеет хотя бы одно решение, если а + 1 > 1 — а, т. е. при а > 0.
Рассмотрим вторую систему неравенств совокупности;
—а<х<1-а, f —а < X < 1 — а,
—а<х<1—а, |а — jcl > 1
а—х>1, а — х<-1
X <а — I, X > а + I.
Система имеет хотя бы одно решение, если имеет решение совокуп-
ность
а - 1 > -а, а + I < I — а
<=>
а > 0.
а < о'^' а€(—ос;0)и(0,5;4-оо).
При а = 0 неравенство приводится к виду logj. < log^ л: или 2 < I, т. е. не имеет решения.
Ответ. 0,1^0. А
Пример 6. Найти все действительные значения параметра а, при которых неравенство 1 -Ь log2(2x^ -Ь 2х -f- 3,5) ^ log2(oA:^ а) имеет хотя бы одно решение.
Л Находим ОДЗ:
Г 2jc^-I-2л:-Ь 3,5 > О, Г (2л:-(-1)^-Р 6 > О,
\ах^-|-а>0 ^ \й(х^-Ы)>0
Преобразуем исходное неравенство:
1-Р log2(2x:^ Ч-2х-Ь 3,5) ^ log2(cx^-I-й)
ЧФ log2(4x:^-р4л:-Р7) ^ log2(flx^-Р й).
Потенцируя (с учетом ОДЗ), получаем двойное неравенство 4л:^ -Р 4л: -Р 7 ^ flл;^ -Р й > 0.
Решим неравенство
4л:^ -Р 4х -Р 7 > ах^ -Р а или (4 — й)л:^ -Р 4х -р 7 — й ^ 0.
Дискриминант квадратного трехчлена (4-fl)x^-Р4х-р7-й равен D = —4й^ -Р 44й — 96 = —4(й — 3)(й — 8). Квадратичное неравенство имеет хотя бы одно решение в случае выполнения условий
й < 4, й = 4,
'4 — й > 0, ’й < 4,
Г 4 — й < 0, ^ Г й > 4,
|оо, ^ \ае[3;8], ^
.4-й = 0 ,й = 4 ^
Учитывая ОДЗ, получаем й е (0; 8]. Ответ, й € (0; 8].
244
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
Пример 7. Найти все значения параметра о, при которых неравенство а • 9-^ + 4(а — 1)3-^ + а > 1 справедливо для всех л: е Ж. Д Сделаем замену t = З-', где t > 0. Тогда получим неравенство а ■ + 4{а - 1)^ + а > 1. Исходное неравенство будет справед-
ливо при всех JC € Ж, если полученное неравенство выполняется при всех / > 0. Это возможно, если для квадратного трехчлена f{t) = a-fi + 4{a—l)t + a—l будут выполняться условия:
D<0, а > о,
G > о,
L I /(0) = а - 1 > о,
где абсцисса вершины параболы.
Решением последней совокупности является а^1.
Ответ. а^1. А
Как показывает следующий пример, иногда для решения неравенств с параметром удобно воспользоваться графическим методом Пример 8. Для каждого возможного значения параметра а решить неравенство
log^2(a-f-x) ^
А Перепишем неравенство в виде
log^2(o + x) ^ log^2 |;с|.
Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:
Г а -f-x > о,
(А) ^ 0< И<1, и (Б) t а-1-х< 1х|
В случае (А) получаем
I \х\ > 1,
-Ьх > |х|.
G-f Х>0, 0< |х|<1, а-Ьх^|х|
х>-а,
<‘){а
х>-а,
1 <х <0,
+ Х< —X,
0< X < 1,
G-fX^X,
(II) {
Аналогично в случае (Б) получаем
(III)
-1 <х <0,
|х| > 1,
G + X ^ 1х|
§2. Показательные и логарифмические неравенства с параметром
245
Все решения исходного неравенства выделены на координатной плоскости Оах (рис. 1). Используя рисунок, запишем ответ.
Ответ. Если -1 < а < О, то л: 6 (—я; 1); если а = О, то
X е (0; 1) и (1;+оо); если 0 < а < 1, то х е (-а; -|] U (1; +оо); если 1 < ж 2, то JC е (-1; —|] и(1;+ос); если а = 2. то х е (1; +оо);
если я > 2, то л: е —1) U (1; +оо). А
Для решения некоторых неравенств с параметром применяют метод разложения на множители. Приведем пример.
Пример 9. При каждом значении параметра я решить неравенство . „
2^^ + (х — 4 - я)2^-^ -Ь (5я -I- л: — 5 - ах) < 0.
Л Разложим левую часть неравенства на множители. Сделаем замену 4^ = t, где < > 0, и рассмотрим левую часть неравенства как квадратный трехчлен относительно переменной t:
P{t) — f + {х — 4 — а) ■ i + {а — 1)(5 — х) =
= /^ - ((я - 1) 4- (5-х)) • f-f- (я - 1)(5-х).
Корнями P{t) являются числа fi=5-x, t2 = a — \. Следовательно,
^(0 = (<-(5--«))•(<-(с - !))•
Сделаем обратную замену и запишем неравенство в виде (4^-(5-х))(4^-(я-1)К0.
Это неравенство равносильно совокупности систем:
4^-(5-х)<0, Г 4^-(5-х)^0,
4^-(я-1)^0; \ 4^-(я-1)<0.
Рассмотрим функцию /(х) = 4-*^-|-х — 5. Заметим, что /(1) = 0. Кроме того, функция /(х) монотонно возрастает на всей числовой оси. Поэтому /(х)^/(1), или 4*-|-х-5^0 для любого х<1 и /(х)^/(1).
(А)
246
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
или V+x-5'^О для любого х^1. Следовательно, совокупность систем А и Б равносильна совокупности систем
/х^1, /х^1,
j а<4-*^ + 1; I а>4* + 1.
Иа плоскости Оху изобразим множество точек (рис. 2), координаты которых удовлетворяют полученной совокупности.
участка, на каждом из которых легче выписывается решение данного неравенства. Для этого на соответствующем участке проводим горизонтальную прямую у = а и находим значения, соответствующие концам участков этой прямой, принадлежащих заштрихованной области. Абсциссу точки пересечения прямой у = а и графика функции у = А^-\-\ находим, решив уравнение а = 4-* + 1. Получаем х = log4(a — 1).
Ответ. Если а G (—оо; 1], то л: € (—оо; 1]; если а G (1; 5), то X е [log4(a - 1); 1]; если а = 5, то л: = 1; если а G (5;-|-оо), то [1; log4(a-1)]. А
Задачи
Найти все значения параметра а, при которых имеет решение неравенство (1-2);
1. 1) — 2 • — а • > 0; 2) ^
2. I) log^l+;c)>log,2(l+x); 2) logjx^ + 2х + 2) < 0.
Определить, при каких значениях параметра а неравенство выполняется при любом значении х (3-4):
3. I) й -9^-1-4(а-1)3^-|-а>1; 2) 4*^ •+• 2(2й + 1)2-'% 4й^ - 3 > 0.
4. 1) log^(x2-)-2) > I; 2) loga(a+i)(|x|+4)> I;
3) logfl2_6 [(о^ - I)x^ + 4ах -h sj < 1.
Для каждого значения параметра а решить неравенство (5-7):
б. 1)й^'-*>1; 2) logJI+x)>I; 3) logjx^ + 2х) < I
6. I) й2-9^+‘-8й-3^>0; 2) |3^-3~*| <3“-3-‘';
3) |0,1-^-0,1-'|<0,1“-0,Г“.
7. I) 3^"^-|-(х-8-а)3=^^ + (10а-|-2х-20-ал:) ^0;
2) 1 - (5 + й -Ь 2х)2^* + 2^-‘(6й - 2а: - 6 + 2йа:) 0.
Ах/
§2, Показательные и логарифмические неравенства с параметром
247
8. Для каждого значения параметра а > О решить неравенство:
1) а*+^+8а
,А-1
4а ' > о - 2; 2)
— 1 1 ■
f,X 1
Для всех значений параметра а решить неравенство (9-10):
9. 1) > 1;
1 + logo X
10. I) logj|.(x — а) > 2;
2) > 1.
2 + logJx
2) logo X + logj, a < 3;
3) alog3X + log3j.3 ) a ^ 0; 4) 21og4(x-a + I) + log^(x-3- 2a) > 2.
Ответы
1. 1) a e (-00;0) U (0;+oo); 2) a > 0. 2. 1) a € (0; 1) U (l;+oo);
2) 0 < a < 1. 3. 1) a ^ 1; 2) a 6 (—oo; —1) U (0;+oo). 4. 1) 1 <
< a < 2; 2) a e
3) a e (—\/4 + \/5; —\/6)U(\/6; v^4 + \/5). 5. 1) Если a^O или a = 1, то решений нет; если О < а < 1, то (0; 1); если а > 1, то х £ (-oo;0)U (1;+оо); 2) если а ^ О или а = 1, то решений пет; если О < а < I, то х е (-1; а — 1); если а > 1, то х > а — 1; 3) если а < О или а = 1, то решений нет; если О < а < 1, то X е ( -оо; -1 - y'l +а) U (-1 + VI + а; +оо); если а > 1, то
X 6 (-1 - VI + а; -2) и (0; -1 -h VI + а). 6. 1) Если а = О, то решений
нет; если а > О, то х < —2 + log3a; если а < О, то х < log3(-a); 2) если а ^ О, то решений нет; если а > О, то х € (—а; а); 3) если а > О, то
X 6 R; если а ^ О, то х е (-оо; а] U (-а;+оо). 7. 1) Если а £ (—оо; 2],
то X £ (-оо; I]; если а £ (2; 11), то х £ (logg(a - 2); 1]; если а = И, то
X = 1; если а € (11;+оо), то х £ (1; log9(a — 2)); 2) если а £ (-оо; 1), то
х£(—оо;—1]; если а£(1;5), то х£ (—оо;—l]U[-log4(a —1);+оо); если а = 5, то x€R; если а£(5;+оо), то х £ (-оо; - log4(a — 1)) U |—1; +оо). 8. 1) Если О < а < 1, то X £ (—оо; — loga(o + 2)); если а = 1, то х £ R; если а > 1, то X £ (—log^(a + 2); +оо); 2) если а = 1, то решений нет; если О < а < 1, то
X £ (-оо; 0) и (logo l) ; если а > 1, то х € (О; log„ U (1;+оо).
9. I) Если О < а < 1, то х £ (0; a)U(l; ^); если а > 1, то х £ (i; 1) U(a; +оо); а < О или а = 1, то решений нет; 2) если О < а < 1, то х £ (а^; ^ j ; если
а > 1, то X £ (^; а'*^ : если а ^ О или а = 1, то решений нет. 10. 1) Если
а < О, то X € (l; ■■ - ^ ; если а = О, то решений нет; если О < а ^ то
х£ (а; и (l + V'^-'>°; ; если i < а < 1, то х £ (а; 1); если а ^ 1,
то решений нет; 2) если а ^ О или а = 1, то решений нет; если О < а < 1, Г з+у^
то X £ а 2 ; а * и (1;+оо); если а > 1, то х £ (0; 1) U
3~уъ 34V5
3) если а < О, то х € ( 0; 3
иЦ;3
; если а > О, то
248
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
X > 4) если а < О, то решений нет; если а = О, то х > 0\ если а> О, то
X € (0;а) U (16а; +ос).
§3. СИСТЕМЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Системы, содержащие показательные и логарифмические уравнения, обычно решаются сведением тем или иным способом к алгебраической системе или к уравнению с одной переменной. Основные методы решения систем алгебраических уравнений были представлены в гл. VIII.
Сначала рассмотрим несколько примеров, в которых выполняются стандартные замены для систем показательных и логарифмических уравнений.
Пример 1. Решить систему уравнений
Г 5'^ -f 5^^ - 3,
\ 5^+У = 2.
Д Обозначим = U > О, 5^ = v> 0. Тогда получим систему
(u + v = 3,
\uv = 2,
решением которой являются пары чисел (wi; Oj) = (I; 2) и («2; Иг) = (2; 1).
Выполняя обратную замену, для первой пары получим систему
для второй —
Г5" = 1, Гх-0,
\5^' = 2 ^\^ = log52;
f 5^ = 2, Г ;с = logs 2,
\5^' = 1 ^\у = 0.
Ответ. (0; logs2), (logs2; 0). А
Пример 2. Решить систему уравнений
I (О ’’^'' + 'og3i/ = 504,
I 4^ - 2^"‘ log^«/ + logi у = 84.
Д Перепишем систему, переходя в логарифмах к основанию 3, а в степенях —к основанию 2:
Г 23^-f logii/- 504, l22"-2"log3Z/-Hogi«/-84.
§3. Системы логарифмических и показательных уравнений
249
Пусть 2^ = и>0, v=\og^y. Тогда получим систему
( -у = 504, Г ы + у = 6,
\ — иу + = 84 \ — иу + y^ = 84.
Выражая v = 6 — и из первого уравнения и подставляя во второе, получим — 18н — 48 = 0. Откуда и = 8 или и = -2. Но и> 0, поэтому и — 2’‘ = 8, т. е. а: — 3, и у = 6 — « = -2, т. е. у = log3 у = —2 или у —8^^.
Ответ. (3; |). А
Далее рассмотрим несколько более сложных примеров, в которых приходится выполнять различные преобразования уравнений, входящих в систему.
Пример 3. Решить систему уравнений
Г(а-Ь(/).3^-" = А,
\8\ogr^{x + y) = x-y.
Д Из первого уравнения системы получаем
х + у= = 5-3^-У-^.
27
(1)
Подставляя во второе уравнение, имеем
3• log5(5• _д._у logg3) = X — г/
3(1-31og5 3) = (l-31og5 3)(A;-j/).
Поскольку 1 —3Iog5 3Tt0, то х — у = 3. Подставляя в уравнение (1), получим х + у = Ъ. Из системы
{ х-\-у-Ъ,
\х-у^3
следует, что а = 4, ^ = 1.
Ответ. (4; 1). А
Пример 4. Решить систему уравнений
■og2 + 2A;г/^) - logi -t- i) = 4,
logs
6
0.
Д Первое уравнение системы можно записать в виде log2 [ху{х + 2у)] + log2 = 4,
а множество допустимых значений а и определяется условием
ху[х + 2у) > 0. (2)
250
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
При выполнении условия (2) исходная система равносильна системе
( (х + 2г/)^ = 16,
I ^ =1
I 6
а система (2)-(3) равносильна совокупности двух систем
( х + 2у = 4,
\ху = 6, и
(3)
(4)
( X 2
\ху =
2у = -4,
-6.
(5)
Исключая X из системы (4), получаем уравнение г/^ - 2^ + 3 = О, не имеющее действительных корней. Поэтому система (4) не имеет действительных решений.
Из системы (5) получаем уравнение + 2^ — 3 = О, имеющее корни у\ = —3, ,V2 = 1- Поэтому исходная система имеет два решения (2; -3) и (-6;‘1).
Ответ. (2; -3), (-6; 1). А
Пример 5. Найти решения системы уравнений
Г log3(5i/ - X - 2) - log9(x -yf = \,
удовлетворяющие неравенству x - у <0.
Л Запишем исходную систему в виде
( log3(5i/-х-2) = log331х -у\, |'og3(>-^-4^) =log3 3M.
Потенцируя в каждом уравнении и учитывая данное условие, получаем систему
{by-x-2 = 'i\x-y\,
\у-2-Аху = 2,у\х\, ^
являющуюся следствием данной.
а) Пусть л: > О, тогда |л:| = л: и с учетом условия л: < ^ из первого уравнения системы (6) получаем х = \— у.
Тогда второе уравнение этой системы преобразуется к виду
7у^ -6у-2 = 0, откуда yi =
3 + уМ
У2 =
3-\/М
. х\ =
4-
Х2
4+
Здесь для х\ не выполняется условие Jt > О, а для пары {х2\ У2) не выполняется условие х <у.
§3. Системы логарифмических и показательных уравнений
251
б) Пусть л: < О, тогда из системы (6) с учетом условия х < у получаем х=\—у, а из второго уравнения системы следует, что = 2, откуда у$ = — \/2, у\ = у/2, хз = 1 + V2, ^4 = 1 — л/2, Пара чисел (хз; у^) не удовлетворяет условию л: < О, а пара чисел (Х4; у^) удовлетворяет этому условию и исходной системе.
Ответ. — А
Пример 6. Решить систему уравнений г 3x+t/+i + 7.3i/-2 ^ 8,
I у/х + у"^ = х у.
Л Возведя в квадрат обе части второго уравнения системы, получаем х + у^ —х^ + 2ху + у“^ или
х{х + 2у-\) = 0, (7)
откуда следует, что либо х = 0, либо х = \ — 2у.
Уравнение (7) равносильно второму уравнению исходной системы, если
х + у^О. (8)
36
а) Пусть л: = 0, тогда из первого уравнения получаем ,
откуда i/ = log3jy. Пара числе (0;log3~j удовлетворяет
условию (8) и является решением исходной системы.
б) Пусть X = \ — 2у, тогда из первого уравнения получаем
32-1/ _|_ 7 . з«/-2 _ 8 или ^ + у = 8, где t = Уравнение
~8t+ 7 = О имеет корни /1 = 1, t2 — 7.
Если ^=1, то — откуда у = 2^х — —3. Однако пара чисел (—3; 2) не удовлетворяет условию (8).
Если / = 7, то 32--'' = 7, 3i' = y, i/ = log3|,x = l-2log3| = log3^. Пара чисел у) удовлетворяет условию (8).
Ответ. (О; log3^), (log3 2®; log3|). А
Пример 7. Решить систему уравнений
( logs(5x-3y- 1) _ log2(5 4- 4^ - Зх) - 1 < log.'i(2«/-x + 3) log2(3x-i/ +1) ’
1. 2х^ + ^/^ — 'ixy — д: — 1 = 0.
252
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
Д Разложив левую часть второго уравнения системы на множители, запишем его в виде {2х - г/ + 1)(л: - ^ - 1) = 0. Поэтому второе уравнение равносильно совокупности двух уравнений: y = 2jc+l и у = х—\.
а) Если t/ = 2л: + 1, то Ъх - Ъу — \ = —х — А, Ъх — у -\-\= х.
Так как неравенства —х — 4>0 и л:>0 несовместны, то в этом случае система не имеет решений (левая и правая части первого уравнения не имеют общей области определения).
б) Если у = х—\, то первое уравнение системы примет вид
logs 2 + logf.(J^ + 1) _ log2(-« + I) - I
откуда
logs(x+ 1)
+ 1 =
log.2(x4 1) 1
IOg2(x+ 1) + I’
log2(x+ I) + I - 2 log2(x+l) + l ’ 2
log2(x+l) log2(x + l) + r 31og2(A:+ 1) = -I,
x — -\-\- ^ = л: - 1 = -2 +
Ответ.
Пример 8.
-1 +
-2 +
W ‘
Решить систему уравнений
Г (л:-2)(х + 3) = у(у-5),
Г+Х +
(9)
(10)
I l0g;,(2-i/) = 4 .
Д Первое уравнение системы можно записать в виде л:^
+ 5г/ - 6 = о или {хА-у — 2)(л: -+ 3) — 0. откуда
х = у-3
или
х = 2-у.
Из второго уравнения следует, что
2>г/, г/7^0, л:>0, 1. (11)
Если справедливо равенство (Ю), то из второго уравнения системы находим х = у^, откуда, используя равенство (10), получаем
2-у = у“^ или (y-l)(^ f 2) = 0.
Если у = 1, то х = 1 и не выполняется условие (11).
Если у — -2, то X = 4 и пара чисел (4; —2) — решение данной системы.
а)
§3. Системы логарифмических и показательных уравнений
253
б) Если справедливо равенство (9) и условия (И), то г/>3 и t/<2, что невозможно.
Ответ. (4; -2). А
Пример 9. Решить систему уравнений
Г 2 log§(x + 2i/) = log, (x + 2г/) • log, (x-i/) + logl(x-^),
< 3 3
\x^ + xy- 2y^ = 9.
Д Исходную систему запишем в виде Г (1о&з(а: -у)- log3(x + 2у)) (log3(A: - г/) + 2 log3(x + 2у)) = О, (12) \{х-у){х + 2у)^9. (13)
Из уравнения (12) следует, что либо
х-у = х + 2у, (14)
либо
{х-у){х + 2у)^ = 1. (15)
Если выполнены условия
X — у > О, X + 2у > О, (16)
то система (12)-(13) равносильна совокупности систем (14), (13) и (15), (13). Первая из этих систем имеет единственное решение (3; 0), удовлетворяющее условиям (16), а вторая система равносильна
системе
х + 2у=^,
{х — у — 81,
для которой выполняются условия (16); она имеет решение р459. _728\
I — , 27/'
\ 27
Ответ, (3;0), (^f;-f) •
Пример 10. Решить систему неравенств + 2У-^^ ^ у'^ - 4х + \3,
2-1/2 <4-2^'+'.
Д Перепишем систему неравенств в виде
Г г/'’ - 4х + 13 - л;2 - 2^^+2 ^ q,
\ -г/2 + х2 _ 4 + 2i/+' ^ 0.
Умножая второе неравенство на 2 и складывая с первым, получаем следствие . „ „
у^ — 2^2 + л;2 - 4х + 5 < О,
254 Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
которое перепишем, выделяя полные квадраты:
(/ - 1)^ -f (x-2)^ ^0.
Отсюда получаем систему уравнений
(х-2 = 0,
I г/2 - 1 = о,
которая имеет две пары решений (2; 1) и (2; —1).
Мы получили необходимые, но не достаточные условия на решение задачи. Выполняя проверку, убеждаемся, что для пары (2; 1) второе неравенство исходной системы не выполняется, а tiapa (2; —1) является решением.
Ответ. (2; —1). А
Задачи
Решить системы уравнений (1-13).
1. I)
3)
2. 1)
3. 1)
4. I)
2^ + 2-^= 12, 2) /3^-3'' = !,
X — у = 5; \ 3"+^^ = 6;
3^ - 2^ = 77, 4) / 31gx 4 6lg = 0,
(л/3)^ - (у/2/ = 7; \9lgx-6lg^ = 24.
logv«/ + l%x: = 2,5. 2) / x'^y = 2,
xy = 27; \ X// = 20.
log2(x:^ + /) = 5, 2) f 3log27x4-2Iog9y =
21og4X+log2y = 4. \x^ +y^ = 20.
(3x-//)-2^-2-«'=A, 4 log3(3x - f/) = 2//- X. 2) f (2x-i/)-2-'+2-'' = 14; 1 log7(2x - £/) = X + 2(
с flog3X-2V + (/ = 3, \y2y^-2y-\og.iX = A.
у, =
\log3f/-log^(i/-2x) = l.
6?
f бл:^ + \7ху + = 16,
I log2x+y('^-^ + = 3.
( logg х + log4 у + log4 г = 2, 8. < log3J/ + log9Z+log9X = 2,
I log4 2 + log,6 X + log,6 ^ = 2.
22+y^ = 4
log2 ^ (2 - x) .
{2^y - 2.4*'^ + 64 = 0,
2//(x+2) ^ 2.2^(»+-^) - 20 • = 0.
2xy ^ 2^(x+y) _ 24 ■ 2^'^ = 0.
12. (s) +1«Й.* = ™2.
[9^-3^ ‘ log^i/ + log2(/=117.
13.
1оез(^+х) logglx+r/l
+ 106,
I.
§3. Системы логарифмических и показательных уравнений
255
14. Найти решения системы уравнений
( log2(3(/ - За: + 1) - log^ (х - Zyf = 1, I log2 ^1 - i - Зх^ - log4 х^ = 1,
удовлетворяющие неравенству x — Zy<0.
Решить систему уравнений (15-19):
ч
3^+.v+i J^. 16.31/-З = 10,
15. ( -----L..............’ 16.
у/2х + у^ = X + у.
log9(-< + 2/у - 5) _ 1оез(2д: - у) - 1 log2(3x-2(/+1) 1овз(2дг + у - 4) ’ у^ +ху+\ = 2)? + 2у-Ух.
■ч
(х-4)(л;+1) = (/(!/ +5),
>og^-2(2 + i/) = ^^.
Г
х^ — ху — 2^ = 4.
—- log, — = 3,
1оВз(3 Л-ху)-2 logg у = log3 (^ - 1).
20. Найти все значения параметра о, при которых система уравнений не имеет решений:
J. f ^15-а^^ •3*'-5-log4 х = 4о + 5, gx f 4^ + ^)=
\ 2-3i' + log4X = 3; |4-2"'-3=log5y.
21. Найти все значения параметра а, при которых система уравнении ■з2*+у+за:+3#^3_
» {з#4_з-Зх-Зу^зГ-2ж решение;
f 2^+1^ - = 1-2"
2) I 24а _ 2;t+3j,+l ^ 3.20+2!^ _ 22^+2 единственное решение.
22. Найти все значения параметра а, при которых данная система уравнений имеет ровно два решения:
.4 г log2(3 -x + y) + Z = log2(25 - 6х + 7у),
\ ^ + 2 = (х — 2о)^ + а + 2х;
2) f >0Кз(2 - X - //) + 2 = loggCl? - 8х - 10^/),
\(х-а)^ + х = (/ + а + 6.
23. Определить, при каком значении параметра а имеет единственное решение система неравенств:
f 4"^ - 5 • 2^+“ + 4"+' ^0, ' Uog2(->c + a) ^ 2;
2) b"-f •3"+“ + 9"^0,
I log^ (х + о) > 0.
24Г Решить систему неравенств
Г 2x^ - log2(«/\/2 + 6)^ -16 ^ у^ -Зх — у"^,
1 х^ -1/^ ^ log2(i/V2 + 6) + X + 1.
256
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
Ответы
1. 1) (3;-2),(2;-3);2) (l;log32);3) (4;-v/2); 4) (100;0,1). 2. i) (3;9),
(9;3); 2) (2; 10), (10; 2). 3. 1) (4,4); 2) (2; 4). (4; 2). 4. 1) (2; 3); 2) (3;-1).
5. (81, 0). (п’it) ■ + 7y'^ = (2x + y)(3x+ 7y).
7. (3; 9). Указание. Прологарифмировать первое уравнение по основанию а:. 8. (?; f) . 9. (1; 1; I), (4; 2; ^2). 10. л: € (1; 2) при
(/ = -2: (1,5; 4). II. 1) (0; 1; 2), (1; 0; 2), (1; 2; 0),(2; 1; 0),(0; 2; 1),(2; 0; 1); 2) (3;2;1),(-3;-2;-1). 12. (2;i). 13. (|; i) ,(-3;1). 14. (l-^/3; .
15. (0;log3^). (21og38-4;3-log38). 16. (^1-ь 2-f . 17. (6;2).
18. (^;?'),(2;0). 19. (|; 4) ,(1;3). 20. 1) а^5; 2) а<-3. 21. 1) а>-1;
2) а=0 и 1 5; -0,5).
Возвращаясь к исходным переменным, заметим, что для первой пары чисел {щ; О]) = (—4,5; —5,5) система уравнений
Г cos X — sin X = —4,5,
( cosy — sin г/ = —5,5
не имеет решений, так как справедливы неравенства
—л/2 < COSX — sinx ^ У2 и — \/2 < cos у — sin г/^
Для второй пары чисел (иг; Уг) = (Oi^: —0,5) получаем
COSX —sinx = 0,5, cosy — sin у = —0,5.
Используя метод введения дополнительного угла, приведем полученную систему уравнений к виду
V2
{:
cos(x + |) = Y-
cos(j/-b|) = -
4 ■
Отсюда
X + 7 = ± arccos ^ + 2лп, « е Z,
4 4
^-1-1 = iarccos -t-2xfe, ke2
arccos + 2nk^,
Запишем окончательный ответ.
Ответ. f—7 ± arccos^ + 2дп; ~ + ----------------^
\ 4 4 4
arccos ^+ 2дп; — ^ - arccos ^ + 2д^^, n,keZ. А
В некоторых случаях с помощью преобразований уравнений системы удается получить уравнения, содержащие только одну переменную или одну комбинацию неизвестных.
Пример 5. Решить систему уравнений
Г sin X sin у = 0,75,
1 tg X tg г/ = 3.
260
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
Д Отметим, что cosxcost/ О, и перепишем систему в виде
Отсюда получаем
sin л: sin у = 0,75,
sin л: sin у = 3 cos х cos у.
Г sin л: sin у = 0,75,
1 cos л: cos г/ = 0,25.
Складывая уравнения системы и вычитая из второго уравнения первое, получим
Г cos(x-i/)= 1,
\ cos{x + у) = -0,5.
у = 2пп, X + у — + 2кк, п, k С Z. Снова
Следовательно, х складывая и вычитая эти равенства, получим окончательный ответ.
Ответ. ^±1 + 7г(« + ^); ±1 + я(/г — л)^, л, ft е Z. А
В ряде случаев тригонометрические системы с помощью почленного сложения, вычитания, умножения, деления удается свести к более простым системам. Однако некоторые преобразования могут приводить к потере решений или к появлению посторонних значений переменных.
Например, в некоторых случаях систему можно привести к виду:
(1)
г sin ;< = «!,) (2) =
\cosx = g(y) \c^gx = g{y).
Тогда в случае (1) из основного тригонометрического тождества sin^л:-Ь cos^X = 1 получаем уравнение f^{y) + g^{y) = i, содержащее только переменную у. В случае (2) из равенства tg х ■ ctg х — 1 следует соотношение f{y) • g{y) = 1.
При таких способах решений необходимо следить за тем, чтобы не потерять и не приобрести посторонних решений.
Пример 6. Решить систему уравнений
{4sinx — 2sinif = 3,
2 cos X — cos*/ = 0.
Д Приведем систему к виду
sinx= | + |sinj/, cosx = ^ cosy.
§4. Системы тригонометрических уравнений и неравенств
261
Возводя левые и правые части уравнений полученной системы в квадрат и почленно складывая, получим уравнение, являющееся следствием исходной системы;
4‘
I =-| + I sin £/-Ь I sin^y + i cos^ г/
sin^^ :
Отсюда //=(-!)" arcsin | + л:«, « € Z.
Тогда из первого уравнения исходной системы с учетом полученного peujeHHH находим sinx = |, откуда х = (—!)* arcsin |-1-А € Z.
Поскольку при использовании операции возведения в квадрат левых и правых частей исходной системы могли появиться посторонние корни, необходимо произвести отбор, подставив найденные решения в исходную систему уравнений.
Заметим, что из уравнения cosx = |cost/ следует, что cosx
и cosy принимают значения одного знака, т. е. при четных пик положительны, а при нечетных пик отрицательны. Кроме того, из
равенств sinx=5 и ^ следует, что |cosx| = V1 -siirх=
I I
и \cosy\ =
с учетом этих замечаний получаем две серии решений.
Ответ, ^arcsin | + 2пк\ arcsin | -Ь 2кп^ ,
arcsin I + {2к -Ь 1)л; — arcsin | + {2п ■+■ 1)л^, п, к А
Иногда при решении систем тригонометрических уравнений можно использовать метод оценки.
Пример 7. Решить систему уравнений
{COSX - arccosi/ = 1, cos(xi/) - arcsin х = — 1.
Д Приведем первое уравнение к виду cosx = 1arccosy.
Так как О < arccosу < л, то последнее равенство возможно только в случае cosx=l, arccosi/= О, т. е. при х = 2лп, «GZ, у=1.
Из полученных значений для переменной х только значение х = 0 входит в область определения функции arcsin х Далее убеждаемся, что пара х = 0, у= \ удовлетворяет и второму уравнению системы. Ответ. (0; 1). А
Пример 8. Решить систему неравенств
{sinx — cosy ^ \/2, sini/-|-cosx ^ - V2.
262
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
Д Вычтем из первого неравенства второе:
(sin X — cosx) — (cosу + sin у) > 2\/2.
Преобразуем это неравенство:
-\/2cos - \/2cos ^ 2v^
cos (-’^ + I) + cos (i?/ — ^ -2.
Такое неравенство возможно в том и только в том случае, если cos + =cos(y-|) --1.
Отсюда получаем ^ + 2лп, у=^ + 2кк, где п, k с Z.
Ответ. jc=^4- 2пп, у=^ + 2кк, п, k С Z.
4 ^4 ’
Задачи
Решить систему уравнений (1- ■19):
1. 1) ( 5n 1 sinx = 2 sin y; sinx ■ cosi/ = 0,5.
2. 1) 1 cos(x-y) = ( cos(x H- y) = 0; 2)| sin(2x + 3£/) = 0, cos(3x —2t/)= 1;
3) fsin(2x + ) = 0, 1 cos(x + (/) = !, — K^X^K, - ■2k ^y ^ —K.
3. 1) f sin X cos £/ = 0,25, ( sin cosx = 0,75; 2). r . . sinxsinj/ = —, •Л COSXCOS(/= —.
4. 1) l'3x + 4sin!/= -11, 2x + 5sin// = 3,5; 2). sin(2x + sin^ y) = X — sin^ (/= 3.
5. 1) f sinx — sin у = 0,5, i ^ v/3 ( cosx + cos у = —; 2) ' 2 sin X + 3 cos у = 2cosx + 3sin (/ =
V2'
у/2'
Ч:
х + и X — и 1
ft I cos —^ cos —
ь. < 2 2 2
4cosxcost/ = 1.
7. 1)
' (osinx
xcosj/+2cosxsin{/ = —3, cos у — Ъ cos X sin j/ = 1;
2)
cosx cos 1/ — 5 sin X sin 1/ = —6, cos X cos I/ — 3sinxsin// = —4.
§4. Системы тригонометрических уравнений и неравенств
263
lOf
ИГ I)
2 sin ;с sin г/ + 3 cos 2дг = 1, tg X ctgi/= -1.
'tgf+tg|=2.
,ctgj: + ctg£/ = -l,8.
Scosji: — 2 sin 1/ = 9, 4sinx + cosy = 0;
{sinx — arcsin у = — \ — - , 2’
cos ^ — arcsin - = f;
2 It 6
sin 2л: sin г/+ sin X cos у =
9. v/2
cos2xsin £/+ cosxcos//=
2)
2)
f 6c \3s
cosx + 4 cosy = 5, sinx + 2sini/ = 0.
cosx + arccos// = —1, sin ^ +arccos - =
6 It 2
13Г
14! I)
arccos2w + arcsin 3x =
• о о 5it^
arcsin 2y ■ arccos 3x = —.
in(2x + y) sin у = cos 2x, 12x — sin 2y = \/2\
15! I)
Г 3cos3x = sin(x + 2(/),
’ \ 3sin(2x+f/) = — cos3\/2.
22.
y-x =
( 6\/3cos4x —3cos8x^4*’® i' —2® -^ + 39,5,
23* ) ---------------—-----------
\ Y'(v^+'y3)~‘‘*' + (A/3-\/2)”'‘^+2+101og2{cos8x) + 4y2sin4x^(/+3.
24Г При каких значениях параметра р система
Г + 2рх + Зр^ + Зр + 3 < 3 sin (/ — 4 cos 4/,
\ О < г/ ^ 2,т
имеет единственное решение?
Ответы
1. I) (|(2fe + 3); -| + 7г/г), Л € Z; 2) (| + д*; дА), (5 + я/г; | + кй) keZ. 2. 1) (| + |(2п+*); | + |(fe-2n)), (| + |(2п+й); | + |(Л-2п))
п, k е Z; 2) (^(2ft+6«); А(ЗА-4/г)). п, k £ Ъ-, 3) (-д; -к)
(0; -2д). {щ -п). 3. 1) + | + +
k,neZ. 2) (д(|+п + |); +
k, п€Ъ. 4. 1) X = -3, у = (-1)"+' g + WI. « е Z; 2) х = у =
= ±iarccosl^^ + ш. п £ Ъ. 5. 1) (|+2от; |+2д/г). (-|+2дп;
-|+2дй) ,n€Z; 2) (| + 2лл; 5 + 2^^) , й, neZ. 6. (±|+2д«; ±| + 2тсй), k,n£Z. 7.1) (-^ + (-I)*^ + i| + ;rn; + k,n£Z.
2) ^у+д(л+й); | + д(й-п)^, ^2 + д{п + й): у-д(й-п)^, к, п £ Z.
8. 2дй-тшт|). (^А:±|; 2ДЙ-ОТТ5). ^ 9. (f + f;
| + д(2л-й)), (| + дА; (-1)*+'^ + л(2п-й)). (| + дй; д(2п-й)), k,n£Z. 10. (2arctg2,5+2rc«; -2arctg0,5 + 2rcft) (-2arclg0,5+2x«; 2arctg2,5 + 2rt^),
2tg<азание. Максимальное значение
выражения 6\/3cos4x—3cos8x совпадает с минимальным значением выражения 4''^“*'—2''^"*'-1-39,5. 24. р=—2,р=|. Указание. Убедиться, что 3sinp-4cosp
равно 5 или —5 (иначе не будет единственности решения).
Глава XVIII
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
1. Линейные уравнения с двумя переменными
Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат Оху. Тогда уравнение
y = kx + b (1)
определяет прямую / (рис. I), пересекающую ось Оу в точке М{0]Ь) и образующую угол а с положительным направлением оси Ох, где tga =/г — угловой коэффициент прямой I.
Чтобы построить прямую /, заданную уравнением (1), достаточно найти две точки этой прямой. На рис. 2 изображены прямые /( и I2, заданные соответственно уравнениями
2.
У-
'-Х + 2 и у = -х-1.
Рассмотрим уравнение
Ах Т By С — О,
(2)
предполагая, что хотя бы одно из чисел А, В отлично от нуля (Л2 + Д2>0).
Пусть В фО, тогда уравнение (2) можно записать в виде
и = -^х-^ ^ S’
§1. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными
267
т. е. в виде (1), где
к = —
В’
Ь =
С
В'
Если В = О и А ^ О, то уравнение (2), которое можно записать в виде х = ®сть уравнение прямой, параллельной оси Оу.
Таким образом, при любых А,В, С таких, что А^ + В^ > О, уравнение (2) является уравнением некоторой прямой.
2. Линейные неравенства с двумя переменными
Пример 1. Дать геометрическое описание множества точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству
Зу — 2jc — 6 < 0.
Д Уравнением Зу — 2х — 6 = 0 задается прямая (рис. 3), проходящая через точки (-3;0) и (0;2). Пусть Mi(A:i;yi)— точка, расположенная ниже прямой /, а у^) — точка с абсциссой х\
и ординатой у2, лежащая на прямой /. Тогда
2у2 — Зх] - 6 = о, 2у1 — 3x1 — 6 < о,
так как yi < у^.
Аналогично, в любой точке А1(х;у), лежащей ниже прямой /, выполняется неравенство 2у —Зх —6<0, а в любой точке М{х;у), лежащей выше прямой /, справедливо неравенство 2у-3х-6>0. А Рассмотрим неравенство
Ах -р By -р С < о, (3)
считая, что > 0.
Как и в примере 1, возьмем точки (они лежат на прямой, параллельной оси Оу) М\{х\\у\) и М2{ху,у2) такие, что М\ лежит ниже прямой и заданной уравнением (2), а М2 —на этой прямой, тогда У1 < У2-
Если S > О, то Ву1 < Ву2 и поэтому
у4х] + Ву\ + С < о,
т. е. координата точки М\ удовлетворяет неравенству (3). Этому неравенству удовлетворяют координаты любой точки, расположенной ниже прямой /, если В> 0.
Если Д<0, то неравенству (3) удовлетворяют координаты любой точки, лежащей выше прямой I.
Если В = 0 (Л / 0), то неравенство (3) примет вид
Ах -р С < 0.
268
Глава XVIII Уравнения и неравенства с двумя переменными
Это неравенство равносильно неравенству
при Л > О
и неравенству
л: < —
при л < 0.
Например, неравенство Зх + 4<0, равносильное неравенству х<-
4
‘З’
выполняется во всех точках, лежащих слева от прямой л: = —
Таким образом, прямая, заданная уравнением (2), разбивает плоскость на две полуплоскости такие, что во всех точках одной из этих полуплоскостей выполняется неравенство (3), а в другой — неравенство Ах + Ву + ОО. (4)
Чтобы решить неравенство (3) или неравенство (4), т. е. чтобы определить, в какой из полуплоскостей оно справедливо, достаточно определить знак левой части этого неравенства в какой-либо точке одной из полуплоскостей.
Если С ^ о (прямая не проходит через начало координат), то в качестве такой точки удобно взять точку (0;0).
Например, неравенство
5x - 3// — 15 < о
при X = у = о является верным. Поэтому оно выполняется во всех точках той из полуплоскостей (их общая граница — прямая 5х —3^/ —15 = 0), которая содержит точку (0;0). Эта полуплоскость отмечена серым цветом на рис. 4.
3. Системы линейных неравенств с двумя переменными
Рассмотрим систему неравенств
( А\Х -h В\у “Г С] >0,
( А2Х -Г В2У -Ь С2 ^ 0'
предполагая, что Af + В^ >0, А'^Л- В'2>0. Тогда первому неравенству системы (5) удовлетворяют точки множества М\, лежащие по одну сторону от прямой /[, заданной уравнением А\х + В\у + С\=0.
Аналогично второе неравенство системы (5) является верным на множестве М2 — одной из полуплоскостей, на которые разбивается координатная плоскость прямой /3, заданной уравнением А2Х 4" В2У “Г С2 — 0.
(5)
§ 1. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными
269
Множество решений системы (5) — пересечение множеств Л}] и М2-
Если прямые и I2 пересекаются в точке А, то множество решений системы (5) — множество точек, расположенных внутри одного из четырех вертикальных углов с вершиной в точке А.
Прим1ер 2. Решить систему неравенств f 2х — Зу + 6 > О,
\х + у + I <0.
(6)
Рис. 5
Л Найдем точку А, в которой пересекаются прямые /] и I2, заданные соответственно уравнениями
2х — Зу -|- 6 = О,
(7)
л: + ^ + 1 = 0.
Решив систему (7), найдем, что прямые /]
и /2 пересекаются в точке
как координаты точки 0(0; 0) удовлетворяют первому неравенству системы (6) и не удовлетворяют второму неравенству, то системе (6) удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые лежат ниже прямой 1\ и ниже прямой I2, т. е. точки угла с вершиной А, содержащего точку (-2;0), см. рис. 5. А
Рассмотрим неравенство вида
{А\х +В\у + С\){А2Х Л-В2У + С2) > О, (8)
предполагая, что прямые 1\ и /2, заданные соответственно уравнениями
А[Х В\у -f- Cl — О, А2Х + В2У -|- С2 = О,
(9)
(10)
пересекаются в точке А.
Покажем, что множество решений неравенства (8) является либо объединением вертикальных углов М\ и М2 с вершиной А (рис. 6), либо объединением двух других вертикальных углов N\ h N2 с той же вершиной.
В самом деле, во всех точках каждого из множеств М\, М2,
N2 левая часть неравенства (8) принимает либо положительные, либо отрицательные значения, а при переходе от одного из всех этих множеств к соседним (через одну из прямых 1\, I2) знак левой части этого неравенства меняется на противоположный.
270
Глава XVIll. Урзвнения и неравенства с двумя переменными
Если, например, на множестве М| левая часть неравенства (8) положительна, то на множествах N] и N<2 она будет отрицательной, а на М2 — положительной.
Чтобы определить, на каком из двух множеств Л/) U М2 или N1UN2 справедливо неравенство (8), достаточно определить знак левой части этого неравенства в какой-либо точке одного из множеств М,, М2, Ni, N2.
Пример 3. Решить неравенство
{у-х-2){Ъх + у-^)>0. (11)
Д Прямые у-х — 2 = 0 и Зл:-1-г/ —6 = 0 пересекаются в точке Л(1;3). Первая из этих прямых проходит через точки С(-2;0) и /3(0; 2), вторая —через точки £(2;0) и F(0;6).
На рис. 7 угол Mi (содержит точку О) и угол М2 составляют одну пару вертикальных углов с вершиной Л; и Л/2~ДРУгую пару. В точке OgMi левая часть неравенства (11) положительна, и поэтому множество решений неравенства (11) — объединение множеств Mi и М2. А
Пример 4. Найти площадь фигуры Ф, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств
х^О,
X — у + 2 О,
Зх+у — Ь4:0.
(12)
Д Первым двум неравенствам системы удовлетворяют все точки первого квадранта (включая его границу), третьему — точки, лежащие ниже прямой /] и на этой прямой (рис. 7), а четвертому— точки, лежащие ниже прямой I2 и на этой прямой (рис. 7).
§1. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными
271
Следовательно, множество решений системы (12) (фигура Ф) — четырехугольник OEAD.
Пусть 5), S2 и S — площади треугольников OEF, DAF и фигуры Ф соответственно.
Тогда
5, =6, S2 = ^DF-\=2, S = 81-82 = 4. ▲
Пример 5. Пусть Ф — множество точек плоскости с координатами {х; у) таких, что числа Зх, 2у и ^ — у являются длинами сторон некоторого треугольника. Найти площадь фигуры Ф.
Д По свойству длин сторон треугольника справедливы неравенства, образующие систему неравенств
О < Зх < 2{/ f 9 — «/,
О < 2г/ < Зх + 9 — «/,
О < 9 - ^/ < Зх + 2г/.
Эта система равносильна системе неравенств г/ - Зх + 9 > О, у — X — 3 < О, х + у — 3 > О, х>0,у>0,у <9.
(13)
Пусть /(, I2 и /3 —прямые (рис. 8), заданные соответственно уравнениями
г/-Зх + 9 = 0, у-х-3 = 0, х + у —3=0.
Прямые /[ и /2 пересекаются в точке /4(6;9), прямые I2 и /3 пересекаются в точке fi(0;3), а прямые /3 и /i — в точке С(3;0).
Системе неравенств 03) удовлетворяют точки, расположенные внутри треугольника АВС.
Пусть D и £ —проекции точки А на оси Ох и Оу соответственно, тогда D(6;0), £(0;9). Если 5 — площадь фигуры Ф, 5], 82, S3 — площади треугольников ОВС, ACD и ВАЕ соответственно, а S4 — площадь прямоугольника ODAE, то S = S4 - (Si -Ь S2 -I- S3). Так как
S2 = |-3-9
то S = 18. Итак, искомая площадь равна 18
54 = 9-6 = 54, S, = i-32 = |, S2 = |-3-9 = |, S3 = |-62 = 18,
272
Глава XVIIl. Уравнения и неравенства с двумя переменными
Пример 6. Найти все пары целых чисел х,у, удовлетворяющих системе неравенств
' Зу -2х < 45,
х + г/>24, (14)
Зх — у <3.
Л Эту задачу можно решить, изобразив фигуру Ф, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств (14), а затем найти точки с целыми координатами, принадлежащие фигуре Ф.
Рассмотрим другой способ решения.
Умножая третье неравенство на 3 и складывая с первым, получаем 7x < 54, откуда
х<7|.
Умножая второе неравенство на —3 и складывая с первым, находим —Ъх < -27, откуда
X > 5|.
Итак, из условия целочисленности переменной х вытекает, что 6 < jc ^ 7, т. е. X = 6 или X = 7.
При X = б из первых двух неравенств системы (14) получаем 18 <:/ < 19, что не выполняется ни при каком целом у. При х — 7 получим у — 19. Следовательно, система (14) имеет единственное целочисленное решение (7; 19). А
Задачи
1. Найти множество точек (_х\у) координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:
1) Зх-2(/ + 6>0; 2) Зх-4у-12<0.
2. Решить систему неравенств:
1)
3)
х + у-4 < О,
Зх - 4i/ - 12 < 0;
' X + у ^ 2,
X-у ^2,
, X - 3(/ f 2 > 0;
2)
4)
(2у-х-
\2-x-i
' - X — 1 <0,
■у>0\
■ X + 6 - 2// ^ о,
2х — J/ + 2 ^ о,
.У>0.
3. Найти все пары натуральных чисел х,у, удовлетворяющие системе неравенств:
Гх + 2у>9, f х + у-8<0,
1) 1х-у<2, 2) ( х-2г/ + 4>0,
\2у — х<Ъ\ (х + Зу—11>0.
4. Решить неравенство:
I) (х + у-4)(3х-4у-12) > 0; 2) (х+ у - 1)(х - у + 3) ^ 0,
3) х^ + ху — 2у^ ^ 0;
4) Зх^ + 5ху - 2у^ > 0.
§2. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными
273
5. Найти все пары натуральных чисел х,у, удовлетворяющие системе неравенств:
{Зг/ — 5х — 16 > О, f х+у — 26>0,
Зу-х-44<0, 2) i 3^/ - л: - 5 < О,
3jt — у - 1 > 0; I Зх — 2г/ — 46 < О,
6. Пусть Ф —множество точек с координатами (х-,у) таких, что числа х, у и 6 —2х являются длинами сторон некоторого треугольника Найти площадь фигуры Ф.
7. Пусть Ф —множество точек с координатами {х\у) таких, что числа 2x, у и 3 —л: являются длинами сторон некоторого треугольника Найти площадь фигуры Ф.
Ответы
1. 1) Множество точек, расположенных ниже прямой, проходящей через точки (—2;0) и (0;3); 2) множество точек, расположенных выше прямой, проходящей через точки (4;0) и (0;—3). 2. 1) Угол с вершиной (4;0), образованный
О
прямыми у = 4 — х и у=цХ — 3, содержащий точку (0;0), без границы; 2) угол с вершиной (1;1), образованный прямыми 2у — х — \ = 0 и у = 2 — х, содержащий точку (0;0), без границы; 3) треугольник с вершинами (1; I). (4; 2) и (2;0);
4) треугольник с вершинами (—6;0), и 3. 1) (4;3); 2) (4;3).
4. 1) Два вертикальных угла без границы с вершиной (4;0), образованных прямыми X + у — 4 = 0 и 3jc — 4(/— 12 = 0; один из этих углов содержит точку (0;0); 2) два вертикальных угла с вершиной (—1;2), образованных прямыми у=\—х и (/ = х + 3; один из этих углов содержит точку (0;0); З) два вертикальных угла с вершиной (0;0), образованных прямыми у = х и = один из этих углов содержит точку (0;1); 4) два вертикальных угла без границы с вершиной (0;0), образованных прямыми у = 3х и у = — ^', один из этих углов содержит точку (1;0). 5. 1) л: = 6, (/= 16; 2) х = 20, у = 8. 6. 6. 7. 6.
§2. нелинейные уравнения и неравенства с ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
1. Нелинейные уравнения с двумя переменными
Пример 1. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:
1) - 4х^ = 0; 2) бл:^ + ху-у^ = 0\
3) 4л;2 -4-4г/ ^ 0; 4) 2х^ + Зу^ -8х+ 18г/ + 35 = 0.
Д 1) Запишем уравнение в виде
{у — 2х){у + 2х) = 0.
Множество точек, удовлетворяющих этому уравнению, — совокупность прямых
у = 2х и у = —2х.
274
Глава XVIll. Уравнения и неравенства с двумя переменными
2) Разложим левую часть уравнения на множители:
9х^ — — Зл:^+ху=(Зл:+у) (Зх — у)—х{3х—у) = (Зх—у) (2х+у).
Искомое множество — совокупность прямых Зх-у — 0 и 2х + у = 0.
3) Запишем уравнение в виде
4х^ — {у + 2)^ = 0.
Этому уравнению удовлетворяют точки, лежащие на прямых у + 2x-\-2 = Q и £/-2х + 2 = 0.
4) Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:
2(х^ - 4х -f 4) -Ь 3(/ + 6у + 9) = 0.
Тогда уравнение можно записать в виде 2(х - 2)2 Ч- Цу + 3)2 = 0.
Это уравнение имеет единственное решение (2; —3). А
Пусть на координатной плоскости Оху выбрана точка А{а-,Ь), М(х; г/) — произвольная точка этой же плоскости, — расстояние от точки М до точки А. Тогда
{x-af + {y-bf = R^.
Если задано число R >0, то данное уравнение — это уравнение окружности С радиуса R с центром в точке А{а\Ь).
Пример 2. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:
1) x2 + t/2-4x-f 6^-3 = 0; 2) х^у = Ъу\
Л 1) Применяя метод выделения полного квадрата, получаем х2 ч-1/2 — 4х -Ь 6г/ - 3 = (х - 2)2 -f (£/ -f 3)2 — 16 = 0, или (х — 2)2 + {у + 3)2 = 16.
Следовательно, множество решений данного уравнения — окружность радиуса 4с центром в точке Л(2;—3).
2) Преобразуем уравнение:
х^у - 8/ = г/(х2 - Ъу^) = о,
у{х - 2г/)(х2 ч- 2ху + 4у^) = 0, y{x-2y){{x + yf + 3y‘^) = 0.
§2. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными
275
у\
2 > В
-2 \0 Х2 X /
> -2 D
Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11
Так как равенство
(х + yf + = О
выполняется только при х = 0 и у = 0, то множество решений исходного уравнения — совокупность прямых у = 0 и х — 2у = 0.
Рассмотрим примеры уравнений с двумя переменными, содержащих знак модуля.
Пример 3. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:
1) х-\у\=0] 2) |л:|-|-|у| = 2; 3) |x|-b2|i/|-f-|2i/-3x| = l2.
Д 1) Уравнение равносильно совокупности двух систем:
(х-у = 0, (х + у = 0,
\у^0, I^ < 0.
Первой системе удовлетворяют точки, принадлежащие биссектрисе I координатного угла, второй системе —точки, принадлежащие биссектрисе IV координатного угла (рис. 9).
2) Если X ^ О, г/ ^ О, то уравнение можно записать в виде х + у = 2. Множество решений этого уравнения — отре.зок АВ, где Л(2;0), В(0;2).
Так как | — х| = |л:|, \- у\ = |4/|, то множество решений исходного уравнения — граница квадрата ABCD (рис. 10), где С( 2;0), 0(0;-2).
Замечание. Для нахождения координат вершин квадрата нужно в уравнении |х| -у\у\=2 положить х = О (и тогда |(/| = 2, т. е. у = ±2), а затем положить у = 0 (тогда х = ±2) Это связано с тем, что в точке, где выражение под знаком модуля обращается в нуль, происходит «излом» кривой.
3) Множество решений уравнения — граница многоугольника. Чтобы найти его вершины, нужно решить (см. замечание)
276
Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
ству
исходное уравнение, полагая в нем последовательно х = О, у = О, 2у — Зх = 0. Если X = О, то из данного уравнения следует, что |^/| = 3, т. е. у = ±3.
3 9
Если у = О, то |х1 = 3; если у =-^х, то |х1 = 3, \у\ = Многоугольник А\С\В\А2С2В2, где Л ,(-3; 0), Лг(3; 0),fi,(0; -3),Вг(0; 3), С, (-3; -|) , (З; |) ,
изображен на рис. 11. А
2. Нелинейные неравенства с двумя переменными
Если Л (а; 6) — точка координатной плоскости, /?>0, то неравен-
(х-а)2 + (у-6)2?2
удовлетворяют все те точки, которые находятся от точки Л на расстоянии, меньшем R, т. е. все точки (и только они), расположенные внутри окружности С радиуса R с центром в точке А{а\Ь). Аналогично множество решений неравенства
{х - а)^ + {у- bf > R^
есть множество точек, лежащих вне окружности С.
Пример 4. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:
1) 2x2 + 2у2 + 2х - б£/ - 13 < 0;
2) 9x2 ^ 9^2 _ бх + 12^ - 76 > 0.
Д 1) Преобразуем неравенство, выделяя полный квадрат:
2 ^х2 + X + + 2 ^г/2 — Зу + — 13 — 5 < о
Множество решений этого неравенства — множество точек, лежащих внутри окружности радиуса 3 с центром
2) 9х2 + 9г/2-6х + 12г/-76 = 9(х2-|х + |)+9(г/2 + 4^+4^_81,
Искомое множество решений неравенства — множество точек, лежащих на окружности радиуса 3 с центром Q;— и вне этой окружности. А
§2. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными
277
Пример 5. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:
1) \х\ + \у\'^2\ 2) А;2 + /<4|г/|; 3)
х-25 J_ х2 + у2_625 26-
Д 1) Пусть X ^ О, у ^ О, тогда неравенство примет вид х + у'^2.
Этому неравенству удовлетворяют точки первого квадранта, лежащие выше прямой X + у = 2 (рис. 12) и на ■ЭТОЙ прямой (вне треугольника АОВ, где Л(2;0), Б(0;2)).
Так как |—л:| = |л:|, \-у\ = \у\, то множество решений исходного неравенства — множество точек, лежащих на сторонах квадрата ABCD, где С(-2;0), £)(0;—2), и вне этого квадрата.
2) Если у^О, то неравенство можно записать в виде
{у - 2)^ +х^ ^4.
Полученному неравенству удовлетворяют точки множества Е|, лежащие на окружности радиуса 2 с центром (0;2) и внутри этой окружности.
Аналогично если у < О, то исходное неравенство можно записать в виде
(г/-Ь 2)4x2 ^4,
а множество £2 рещений этого неравенства — множество точек, лежащих на окружности радиуса 2 с центром (0; —2) и внутри этой окружности. Следовательно, множество £ решений исходного неравенства — объединение множеств Е\ и £2, т. е. £ = £'i и £2-
3) Данное неравенство, равносильное неравенству
(X - 13)2144 ^2 + ^2_б25
является верным в тех и только в тех точках плоскости Оху, которые лежат вне окружности радиуса 12 с центром (13; 0) и внутри окружности радиуса 25 с центром в точке О (рис. 13).
278
Глава XVIIl. Уравнения и неравенства с двумя переменными
3. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными
Решение системы уравнений
j F(x;y) = 0, (1)
lG(x;i/) = 0 (2)
с двумя неизвестными х и у геометрически можно истолковать как поиск координат точек пересечения линий Г) и Г2, заданных уравнениями (1) и (2).
Построив эти линии на клетчатой бумаге и найдя координаты точек пересечения линий Г( и Г2, можно найти приближенные решения системы.
Пример 6. Решить систему уравнений
( х^ — 2х — у + I = О,
\ х'^ + у^ + 2х - 6у + 5 = 0.
Д Первое уравнение системы, записанное в виде у = {х-1)^, задает параболу. Второе уравнение системы, записанное в виде (х+1)^ +(у —3)^ = 5, задает окружность радиуса \/5 с центром (—1;3).
Окружность и парабола, изображенные на рис. 14, имеют две общие точки Л(0; 1) и В{х2;у2), где Х2~—1,3, у2^Ь,3.
Ответ. XI = О, i/i = 1; Х2 ~ “J-3, у2 ~ 5,3. А
4. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными
Пример 7. Решить систему неравенств
Г 9х^ +У^ — 18х ^ О,
\ 2i/ + 3 - 2ху < 0.
Д Складывая первое неравенство со вторым, умноженным на 3, находим
9x^ - бху + у^ + 6{у — Зх) + 9^0 или (г/ — Зх + 3)^ ^ 0, откуда г/ — Зх + 3 = 0. Подставляя г/ = Зх — 3 в исходную систему, получаем систему неравенств
Г 9х^ - 18х 4- 9 + 9х^ — 18х < 0,
\ бх — 6 + 3 — 2(3х — 3)х ^ о, которую можно записать в виде
Г 2x^ - 4х + 1 ^ о,
1 2х^ — 4х + 1 > о,
§2. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными
279
откуда следует, что 2л:^ — 4л: + 1 = 0. Решив систему уравнений
Г у = 3х — 3,
I 2л^ - 4х + 1 = о,
найдем два ее решения, которые являются решениями исходной системы неравенств.
Пример 8. Найти все такие пары целых чисел х,у, которые удовлетворяют системе неравенств
{
у-\х^-2х\ + ^> о,
у+\х-1\<2.
Л Запишем данную систему так:
I f/+I > -2х|, (3)
U<2-|x-I|. (4)
Так как |л:^ —2л:|>0, |л: —1|>0, то из неравенств полученной системы следует, что
(5)
Целыми числами, удовлетворяющими неравенству (5), являются лишь о и I, поэтому система (3), (4) может иметь целые решения только при у = 0 и у=1.
а) Если у = 0, то система (3), (4) примет вид
I \х^-2х\ < 1,
Второму из этих неравенств удовлетворяют целые числа о, 1 и 2. Проверка показывает, что первому неравенству удовлетворяют лишь 0 и 2. Следовательно, пары чисел и xj = 0, у\=0 и Х2 = 2, г/2 = о образуют решения исходной системы неравенств.
б) Если у=1, то система (3), (4) приводится к виду
I |х2-2х| <|,
Второму неравенству этой системы удовлетворяет единственное целое число х = 1, которое является также и решением первого неравенства.
Ответ. Х| =0, i/i = 0; Х2 = 2, 1/2 = 0; -^3 = 1. i/3 = 1- ^
280
Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
Пример 9. Изобразить на координатной плоскости 0x1/ фигуру Ф, заданную системой неравенств, и найти площадь S этой фигуры:
1)
х^ + !/^ < 4, x — 3i/ + 2<0;
2)
х^ + t/^ <4,
, (x-t 1)2 -t / > 1.
Д 1) Неравенство x^ + t/^<4 задает множество точек, лежащих внутри окружности с центром в начале координат и радиусом 2, а неравенство х — Зу+2<0 — множество точек, расположенных выше прямой x — 3t/ + 2 = 0. Эта прямая пересекает окружность
в точках Л(-2;0) и э фигура Ф представляет собой
сегмент (рис. 15). Искомая площадь 5 равна разности площадей
о
•Si—52, где 5i — площадь сектора с углом д-arcsin- (рис. 15),
О
S2 —плонщдь треугольника ЛОВ. Так как
5i =
п— arcsin;
2л
ТО
■ 4д = 2 - arcsin |j ,
5г = ^ОА • ОВ ■ sin arcsin 5 = 2 (д-arcsin |) - А.
2) Фигура Ф — это множество точек, лежащих внутри окружности с центром в точке 0(0; 0) и радиусом 2, но вне окружности с центром в точке (-1;0) и радиусом 1 (рис. 16). Значит, площадь фигуры Ф равна 5 = 4д—д = 3д. А
Ответ. 1) 2 ^д- arcsin 1^ —2) S = Зд.
^Пример 10. Найти площадь фигуры Ф, которая задается на координатной плоскости системой неравенств
f л;2 + г/2 ^ 10,
3^2 + 4х — 32 ^ О,
(Зх + 2у){3у + л: + 10) < 0.
Л Первое неравенство системы определяет множество точек, лежащих вне и на границе круга с центром в точке 0(0; 0) и радиусом \/Ю (рис. 17).
§2. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными
281
Рис. 15
Рис. 16
Решив второе неравенство, полу-
О
чим —4<л<-. Поэтому второе неравенство системы задает вертикальную полосу, лежащую между прямыми
О
х = —4нх = - (включая и точки этих
О
прямых).
Наконец, третьему неравенству системы удовлетворяют точки множества М, которое состоит из двух острых вертикальных углов, образованных прямыми 3x-|-2^ = 0 и Зу-Ьл:4-10 = 0 (включая и точки этих прямых), так как в точке (-4;0), принадлежащей множеству М, левая часть этого неравенства отрицательна.
Множество М изображено на рис. 17, где указанные прямые обозначены /( и /г-
о
прямая /] пересекается с прямыми х = - и х = —4 в точках
«5
А jB(—4;6), а прямая /3 пересекается с теми же прямыми
в точках ^(|>“^) 2). Далее, прямая I2 касается
окружности = 10 в точке £(—1;—3), так как система уравнений
Гл:^^-г/^ = 10,
\ Зу Н" X + 10 = о
282
Глава XVIIl. Уравнения и неравенства с двумя переменными
имеет единственное решение (-1;-3). И наконец, прямая 1\ проходит через центр этой окружности.
Итак, фигура Ф — это трапеция ABCD, из которой удален полукруг радиуса л/Ю с центром в точке О. Искомая площадь
3=(АВ + Щ^.-Ьп,
где ЛО = |, ВС =8, Л =
Ответ. ^ —Stt. а*
Задачи
I. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:
1) 4x^-V = 0; 2) 2х^ + 3/-1-4л:-12у-Г 14=0;
3) Зх^-ГЗу^-Г6х — 12у-f Ю = 0; 4) ху + х — у — \
5) у + \у\=х\ 6) у = х\у\.
2- Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:
!) |x-l|-H// + 2| = l; 2) 3W-H(/|-H3x4-2| = 30.
3. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:
1) ^ 21x1;
х^ + у‘^ + 2х-Ау-{-\ „
’ х2-ьу2_,б9
4. Решить систему неравенств:
4х^ -I- -f- 8х ^
О, 2) I + Зху -I-1 < О,
1 9х^ - 12х - 8у ^ 0.
.хуЧ-у-И < 0;
5. Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой неравенств:
|х -Ь 1| Ч- 1уК 2, f х^ Ч- у^ ^ 4х,
(хЧ-2)^Ч-у^ < 1; 1|у|>|2-х1.
6. Найти все пары целых чисел х,у, удовлетворяющих системе неравенств
Г 2х^ -f- 2у — 12х 20у Ч" 65 О,
1)
I, 4х Ч- 2у •
7. Дана система неравенств
3>0.
Г х^Ч-у^ ^41x1,
< 1-«1 Ч- 1у1 ^ 2,
I x^ - у^ Ч-16 Ч- 8х ^ 0.
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют: а) первому неравенству системы;
§3. Уравнения и неравенства, содержащие параметры
283
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
8. Дана система неравенств
Г |-«| + \У\ ^ 3,
{.х2 + «/2>3(2{/-2х-3),
I, (2x + г/ - 3)(x + 5«/ + 3) < 0.
Р1айти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют;
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
Ответы
1. I) Совокупность прямых 2х + Зу = о и 2х - Зг/ = 0; 2) точка (—1;2);
3) окружность радиуса с центром (-1;2); 4) совокупность прямых х=1
и у = —{\ 5) лучи У = ^ о и X = О, у <0\ 6) ось Ох, лучи л: = 1, у > О
и х = —1, у<0. 2. 1) Граница квадрата с вершинами (0;—2), (2;—2), (1; —1), (1;—3); 2) граница шестиугольника с вершинами (0;-10), (0;10). (—5;0), (5;0),
10^ 3. 1) Объединение двух кругов радиуса 1 (включая их
границы) с центрами (1;0) и (—1;0); 2) множество точек, расположенных внутри круга радиуса 13 с центром (0;0) и вне круга радиуса 2 с центром (—1;2).
4,1) + 2) (if j-vi): +
5. 1) \ + f, 2) 2к. 6. (3;-4), (4;-5). 7. а) 8л; б) 6г, в) 4л + 4. 8. а) 18;
б) 1(10-л); в) 1(6-л).
§3. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ
1. Уравнения с параметрами
Пример 1. Найти все значения параметра а, при которых существует ровно одна пара действительных чисел {х\у), удовлетворяющая уравнению
2x^ — 4л: -I- -Ь 8j/ -МО — а — 0.
Д Запищем уравнение в виде
2(х - 1)^ -f 2(у + 2)^ = а,
откуда следует, что исходное уравнение имеет единственное решение (1; —2) при а = 0. А
284
Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
Пример 2. Найти все значения параметра а, при которых вершина параболы
у = — (2\/5cosa — 3)а: - cos 4а
лежит на прямой у = Зх, а парабола пересекает ось Оу в точке с отрицательной ординатой.
Л Вершиной параболы является точка (xo;t/o). где
Хо
= VEcosa— Уо = — ^5cos^ а- 3\/5cosa+ ~ ^
Так как точка (xo;f/o) принадлежит прямой у = Ъх, то
^ cos 4а + 5 cos^ а — ^ = О 4 4
или 50cos^2a+10cos2a —24 = О,
откуда По условию откуда
cos2a = —i cos2a=|.
Э D
j/(0) = —^ cos 4a < 0, cos 4a >0 или cos^2a>|.
Этому неравенству удовлетворяют значения а такие, что cos2a=—g. Ответ. а= ±1 arccos + 7Ш, л е Z. А
Пример 3. Найти все значения параметра а, при которых найдется хотя бы одна пара действительных чисел (х;г/), удовлетворяющая уравнению
х^ - Ъху -|- Ъау^ -Ь ^2а — у j у -|- 2х -f- 2 = 0. (1)
Д Будем рассматривать уравнение (1) как квадратное относительно X. Найдем дискриминант этого уравнения:
D{y\а) = (2 - byf - 4 {Ъау"^ -f 2ау - + 2^ =
= 5(5 - Аа)у^ + 2(5 - Аа)у - 4.
Хотя бы одна пара действительных чисел (х;у), удовлетворяющая уравнению (1), существует тогда и только тогда, когда имеет решение неравенство D{y\а) > 0, т. е. неравенство
5(5 — 4а)^^ 4-^(5 — 4а)^ — 4 ^ 0. (2)
Возможны три случая:
1) а = |: 2) а<|; 3) а> |.
§3. Уравнения и неравенства, содержащие параметры
285
В первом случае неравенство (2) не является верным. Во втором случае это неравенство имеет решения, так как у параболы
Z — ау^ + jSy + т, где а = 5(5 — 4а) > О, имеются точки, расположенные выше оси Оу (ветви параболы направлены вверх). Наконец, в третьем случае, т. е. при а > |,
неравенство (2) имеет решения тогда и только тогда, когда дискриминант D\ квадратного трехчлена, стоящего в левой части этого неравенства, неотрицателен:
Di (а) = 4(5 - Aaf + 80(5 - 4а) = 4(5 - 4а)(5 - 4а + 20) =
= 64(a-|)(.-f)>0,
откуда
64(„-|)(a-f)>0. (3)
Действительно, если а < 0, то ветви параболы г = аг/^ +ру + у направлены вниз и хотя бы одна точка параболы лежит выше оси Оу (или на этой оси) тогда и только тогда, когда
Di = — Аау ^ 0.
При а > I решениями неравенства (3) являются значения а такие.
что а >
5
4
4 ■
25
Ответ. а<|, а^,. —
4 4
2. Системы уравнений с параметрами Пример 4. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений , + 2М + |2у-3.| = ,2.
\х^ + у“^ = а
имеет ровно два действительных решения.
Л Множество решений первого уравнения данной системы, полученное при решении примера 3 (3) из § 2, — граница шестиугольника, изображенного на рис. 11. Множество решений второго уравнения системы —окружность радиуса у/а с центром 0(0; 0).
Данная система имеет ровно два решения в следующих случаях: 1) радиус окружности равен расстоянию от точки О до границы многоугольника: это имеет место в случае, когда окружность
касается отрезков А\В2 и Л2Д1, тогда у/а = -^, ^=2>
286
Глава XVIll. Уравнения и неравенства с двумя переменными
2) радиус окружности равен расстоянию от точки О до точек С\
и С2, тогда
гл 9 117
Ответ. а = -\
2 4
3^ +
_ П7 V2j 4 •
Пример 5. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений + 3) -2log*. = О,
\ (л: + а)^ — 2{у Ч- 6) — 9а = О
имеет хотя бы одно решение.
Д Данная система равносидьна системе JC > О, у = х-3,
{х + af' — 2{х + 3) — 9а = О, откуда + 2(а — 1)л: + a^ - 9а — 6 = 0. (4)
Уравнение (4) имеет действительные корни х\ и Х2 тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:
D = 4((а - 1)2 - (а2 - 9а - 6)) = 28(а + 1) ^ О, т. е. при а ^ — 1, причем
х\ — \-а - \Jl{a + 1), Х2 = 1 - а + ф{а + I).
Данная система и равносильная ей имеют хотя бы одно решение, если уравнение (4) имеет хотя бы один положительный корень, а это условие равносильно тому, что наибольший из корней этого уравнения Х2 > 0.
Таким образом, задача свелась к решению неравенства _______
> а — 1,
\/7(а + 1)
для решения которого построим графики функций у = \/1{а -Ь 1) и у — а — \ (рис. 18). Из рисунка видно, что решения этого неравенства образуют промежуток [-1;оо), где ад —положительный корень уравнения
§3. Уравнения и неравенства, содержащие параметры
287
Отсюда получаем
7(а + 1) = (о — 1)^, —9а —6 = 0, uq =
9 + vT05
Ответ. -1<а<
9 + \/iM
Пример 6. Найти все значения параметра /, при которых система уравнений
Г (х - 1 - 4?)^ + (г/ - 1 - 30^ = 9/^,
1 (х-5)2+ («/-3)2 = 4
имеет единственное решение.
Д Первое уравнение системы задает множество окружностей С/ с центрами 0/(1 + 4/; 1 + 3/) и радиусами /?/ = 3|<|. Если г/=1, то из уравнения следует, что х = 1 + 4^. Это означает, что каждая такая окружность имеет с прямой у= 1 единственную общую точку у4/(1+4^;1), т. е. касается прямой у=1 в точке Ai.
Второе уравнение системы задает окружность С радиуса R = 2 с центром 0(5; 3), которая также касается прямой г/= 1 в точке
Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружности С/ и С касаются.
Заметим, что касание возможно лишь при ^ > О, так как при t < О окружности С/ и С лежат по разные стороны от прямой у = 1 и А{ф А.
При t > О возможны два случая. В первом случае касание происходит по прямой у=\, т. е. Л/=Л, и тогда /=1. Во втором случае условие касания определяется уравнением
|00/|2 = (7?, + Л)2,
откуда
(4 - Atf + (2 - 30^ = (3^ + 2)2,
т. е.
2Г - 7/ + 2 = О, ^ =
7±\/33
Ответ. t=\, t =
7±v/33
Пример 7. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
+ г/2 + 64 + 16х + ^/х^ + г/2 + 36 — \2у = 10,
. х2 + у2 =
имеет единственное решение.
288
Глава XVlll. Уравнения и неравенства с двумя переменными
Л Запишем первое уравнение системы в виде
у/(х + 8)2 + (у-6)2 = 10.
Ему удовлетворяют координаты точки М{х;у) такой, что сумма расстояний от точки М до точек Mi(—8;0) и М2(0;6) равна 10. Так как расстояние М\М^ равно 10, то точка М должна принадлежать отрезку М1М2 (в противном случае сумма указанных расстояний была бы больше 10 согласно свойству сторон треугольника).
Если точка М лежит вне отрезка MiM2 на прямой, проходящей через точки М] и М2, то сумма расстояний от точки М до точек Mj и М2 больше 10.
Итак, первому уравнению системы удовлетворяют координаты точек отрезка М1М2. и только эти точки (рис. 19).
Второму уравнению системы удовлетворяют координаты точек окружности радиуса |а| с центром 0(0; 0). Эта окружность имеет с отрезком М)М2 единственную общую точку в следующих случаях:
1) окружность касается отрезка М1М2; в этом случае |а| = ОА — высота в треугольнике М1ОМ2,
р/| _ ОМ, ■ ОМ2 _ 6 • 8 _ 24.
^ М,М2 10 5 ’
2) окружность пересекает отрезок М1М2 в одной точке; в этом случае ее радиус должен быть больше катета ОМ2, но не превышать катета ОМ, прямоугольного треугольника ОМ1М2, т. е. 6 < |а| ^ 8.
Ответ. —8 < а < —6, а = —^, а = ^, 6 < а < 8. А
О о
^Пример 8. Найти все значения параметра а, при которых существуют ровно две пары действительных чисел {х-,у), удовлетворяющих системе уравнений
I (х -Ь / - 1)(г/ - \/б|х1) = О,
[ 2ау + х= 1 -f а^.
Л Пусть П —парабола у'^ — \—х, L — ломаная г/=\/б|х|, образованная лучами /] и I2, которые задаются соответственно уравнениями
у = —\/бх, у~^0 и у = \/бх, г/> 0;
/ — прямая 2ау + х = 1 + а^ (рис. 20).
§3. Уравнения и неравенства, содержащие параметры
289
Общие точки прямой / и параболы П найдем, решая систему уравнений
i У
— 1 — X,
2ау — — \ - X.
Из этой системы следует, что
— 2ау + а^ = {у — а)^ = О,
откуда
у = а, л: = I — a^,
т. е. выписанная система имеет единственное решение при любом
G е М. Это означает, что прямая / касается параболы П в точке
С(1 — а^;а).
Рассмотрим три возможных случая: а = О, а > О, с < 0.
а) Если а = 0, то прямая / задается уравнением х = 1. Эта прямая касается параболы Г1 в точке (1;0), пересекает луч /2, но не пересекает луч /]. Поэтому при а = 0 исходная система имеет ровно два решения.
б) Если а > О, то прямая I пересекает ось Оу в точке Е
„ I +
С положительной ординатой ^ также пересекает лучи
/] и /2-
Найдем сначала значения а > О, при которых прямая I проходит через одну из точек А и В, являющихся точками пересечения лучей /) и /2 с параболой П (рис. 20). Координаты
К) .wj:
290
Глава XVlIl. Уравнения и неравенства с двумя переменными
точек А и В найдем, решив систему уравнений
Г ^2 = 1 _ х,
\j/= \/б|х|.
Из этой системы получаем уравнение 6J:^ = 1 —а:, имеющее корни JC| = —Х2 = Числа х\ и хг —абсциссы точек А и в.
Значения а, при которых прямая / проходит через точки Л и б, принадлежащие параболе П, найдем из уравнений
\-а^ =
2’
1
Так как а > О, то
а\
= \/1’ =
При a = ai и а = й2 прямая / пересекает ломаную L ровно в двух точках (одна из них — общая для Z, и II) и поэтому при a = Qi и при а = 02 система имеет ровно два решения. Если
У|<а<У| или а>^~
«> \/2>
то прямая / не проходит через точки Л и б и пересекает L в двух различных точках. В этом случае исходная система уравнений имеет ровно три различных решения (одно из решений — координаты точки касания прямой / с параболой П).
Пусть k,k\ и ^2 — угловые коэффициенты прямой I и лучей /] и I2 соответственно. Тогда
k = -~ (ky^o), ki = -VE, k2 = Vb.
Если О < a < то прямая I пересекает I2 и не будет пересекать 1\ только в том случае, когда k — k\, т. е.
1
-- = -х/б, откуда ц = ^.
Следовательно, при а = исходная система имеет ровно два решения.
§3 Уравнения и неравенства, содержащие параметры
291
Если
а е
то прямая I пересекает ломаную L ровно в двух точках, не лежащих на П. В этом случае система имеет ровно три различных решения.
Пусть
О < а <
2v^’
тогда ^>v/6, -±<-\/б,
т.е. kk\ {k>Q,k\ <0).
В этом случае прямая / пересекает луч I2 и не пересекает луч 1\, и поэтому система имеет ровно два решения. Наконец, если
2у/б
то прямая I не пересекается с ломаной L.
Итак, исходная система уравнений имеет ровно два решения в следующих случаях:
2\/б'
3. Неравенства и системы неравенств с параметрами
Пример 9. Найти все значения параметра а, при которых существует хотя бы одна пара действительных чисел {х-,у), удовлетворяющая неравенству
+ 6х + у^ — 4у ^ а.
Л Исходное неравенство, равносильное неравенству (л: -Ь 3)^ + (*/ ~ 2)^ ^ а -р 13,
имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда а-Р 13^0, т. е. при а > —13. А
Пример 10. Пусть G — треугольник, образуемый при пересечении прямых /], 1-2, /3, заданных соответственно уравнениями £/ — 3x-p9 = 0, х-Р|/ — 3 = 0, у — X — 3 = О,
292
Глава XVIIl. Уравнения и неравенства с двумя переменными
а фигура Ф состоит из точек множества G таких, что неравенство f + 2i{x — 2)4-7 — г/>0
выполняется при всех значениях параметра t. Найти площадь фигуры Ф.
Д В примере 5, § 1 было установлено, что прямые /] и I2 пересекаются в точке С(3;0), прямые I2 и /3 — в точке Л(0;3), прямые /| и /3 — в точке В(6;9), а площадь треугольника АВС равна 18. Неравенство
^ 4" 2^(х — 2)-t"7 — 1/>0
является верным при всех t е М. тогда и только тогда, когда дискриминант квадратного трехчлена в его левой части отрицателен:
т. е.
(х-2)2-(?-(/)< О,
^<7-(х-2)2.
(5)
Условию (5) удовлетворяют все точки, лежащие под параболой у = 7-(х —2)2 с вершиной £(2;7), а фигура Ф —множество точек, указанных серым цветом на рис. 21, где /^(4; 3)— точка пересечения
параболы с прямой 1\, Л’(3;6) — точка пересечения параболы с прямой /3.
Если сг—площадь фигуры Ф, то а = о\ + 02 + где а\ — площадь треугольника ACF, 02 — площадь треугольника АКМ, где Л4(3;3) — точка пересечения AF и КС, <73 — площадь криволинейного треугольника KMF.
§3. уравнения и неравенства, содержащие параметры
293
Так как
<73
<7| = |4-3 = 6, (72 = |,
|4 13
^^^{-хи-4х)с1х={2х‘^-Щ=1 то a=f.
Ответ.
73 6 ■
Пример 11. Найти все значения параметра а, при которых множество решений системы неравенств
Г л:^ + х + (г/ - а)^ ^ 11,
I X + а + < О
содержит отрезок / с концами в точках Л(1;0) и В(1;1).
Д Пусть точка М[х\у) принадлежит отрезку /, тогда х = 1, < 1.
Поэтому задача сводится к нахождению значений а, при которых система неравенств
Г {у - af < 9,
у + G + 1 ^ О,
(6)
полученная из данной системы при х = 1, имеет решения при любом УЕ[0;1]. Система (6) равносильна системе
Г(/-3<а^г/ + 3, \ а < -г/^ - 1.
Если (/=1, то система (7) примет вид
-2^ а ^4, а < -2,
(7)
(8)
откуда следует, что а = —2.
Если у е [0; 1], то из системы (7) получаем
{
— 3 ^ а < 4, а < -1,
откуда следует, что —3 ^ а ^ — 1.
Так как -2е[-3;-1], то при а = -2 (и только при этом значении а) система (7) и равносильная ей система (6) имеют решение при всех уе[0-, 1].
Ответ, а = —2. А
294
Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
Пример 12. Найти все значения параметра а, при которых множество решений системы неравенств
— (а — 2)х — 2 — у ^0,
2х + у — а ^0
содержит отрезок [—1; 0] оси Ох.
Л Подставив в данную систему у = 0, получим
Г - (а - 2)х — 2^0, (9)
l2x-a^0. (10)
Множество решений неравенства (10) —луч х < а отрезок Д = [—1;0] принадлежит этому лучу тогда и только тогда, когда 1^0, т. е. при а'^0.
Множество решений неравенства (9) —отрезок Ai = [xi;x2], где х\ и Х2~абсциссы точек пересечения параболы
/(х) = х^ — {а — 2)х — 2 с осью Ох. Если А с А], то
/(-1)<0, /(0)<0, (11)
так как /(х) < О для всех х € А]. Обратно, если выполняются
условия (11), то —1 € А| и 0 е А|, откуда следует, что А с А].
Таким образом, условиям задачи удовлетворяют те и только те значения а ^ 0, для которых выполняются неравенства (11), т. е.
Я-1) = 1 + (й-2)-2^0, /(0) = -2^0,
откуда находим 0 ^ а ^ 3.
Ответ. 0<а<3. А
Задачи
1. Найти все значения параметра а, при которых найдется хотя бы одна пара действительных чисел (x;t/), удовлетворяющая уравнению
5x^ + аху + + 8ах + 8(/ + 20 = 0.
2. Найти все значения параметра а, при которых нет ни одной пары действительных чисел (х;), удовлетворяющей уравнению
2х^ - 4х + 2/ + + 10 - а = 0.
3. Найти все значения параметра а, при которых парабола
у = х^ — 8х ctg а + 5 cos 2а
касается прямой у = —7, а абсцисса точки касания отрицательна.
§3. Уравнения и неравенства, содержащие параметры
295
4. Найти все значения параметра а, при которых вершина параболы
«/ = + (2 sin а — \/Ъ)х + cos 4а
лежит на прямой у — —s/Zx, а парабола пересекает ось Оу в точке с положительной ординатой.
5. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
(х+,/у=\,
|а I 3-v/i/=i(o-x)2 имеет единственное решение.
6. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
{у = х^— 2х, х^ +у^ + а^ = 2х + 2ау имеет хотя бы одно решение.
7. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений / 2И + |{/| + |3х - 4{/i = 10,
имеет ровно два действительных решения
8. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
г log3(2-x-f/) + 2 = log3(17-8x- \0у),
\ (х — а)^ + X = «/ I а + 6 имеет ровно два решения.
9. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
\'/-М=о
имеет два решения.
10. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений х2 + у^ + Ь4- 16х + ^x2+i/2+36+ 12(/ = 10,
2 2 2 имеет единственное решение.
11. Найти все значения параметра t, при которых система уравнений
I (x+l-2^f + (y-^+5^f=4^^,
\(х + 2)2 4 («/-6)2=1 имеет единственное решение.
12. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
Г(^4-8-х2)(2х+М)=0,
1 2ах —«/ = 8 4-
имеет ровно два решения.
296
Глава XVIll. Уравнения и неравенства с двумя переменными
13. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
„2
■х^ = 2а~1,
j/ + у \/l — = 2а —
1) не имеет решений;
2) имеет конечное множество решений;
3) имеет бесконечное множество решений.
В случаях (2), (3) найти все решения.
14. Найти все значения параметра а, при которых нет ни одной пары действительных чисел {х\у), удовлетворяющей неравенству
+ бх + — 4^ ^ а.
15. Вершины B,C,D параллелограмма ABCD имеют соответственно координаты (—3;2), (2;3), (3; —4). Найти все значения параметра а. для которых координаты вершины А являются решением системы неравенств
f 2х — г/ — 2а < О,
\ 2х + 6у + 5а ^ 0.
16. Пусть С—множество точек плоскости с координатами {х\у) таких, что числа X, у и 6 — 2х являются длинами сторон некоторого треугольника Найти площадь фигуры С.
Фигура Ф состоит из точек множества G таких, что неравенство + 2tx + 4х — у> О
выполняется при всех значениях параметра /. Найти площадь фигуры Ф.
17. Найти все значения параметра а, при которых система неравенств
ix^-2xy-7y^^\^,
\ Зх^ — \0ху — 5у^ ^ —2
имеет решение.
18. Найти все значения параметра а, при которых множество решений системы неравенств
( х^ + {а + 4)х + 4а^у,
и
Зх + у — (2а + 4) ^ О
содержит отрезок АВ, где Л(—2;0), В(—1;0).
19. Найти все значения параметра а, при которых система неравенств
I х^ + 2о ^
[ + 2а ^ X
имеет единственное решение.
20. Найти все значения параметра а, при которых множество решений системы неравенств
— а)‘‘ + X + у‘‘ ^ 3,
\ X - о + У
^0
содержит отрезок с концами в точках (1;0) и (1; I).
§3. Уравнения и неравенства, содержащие параметры
297
Ответы
I. а ^ —2. а ^ 2. 2. а < 0. 3. а = — arctg2 + лп, п ё Z. 4. а =
= ±|arccos^—|^+лгг, «eZ. 5. а = —-1<а^5. 6. —2<а<|. 7. а = 2.
2500 121 •
a = 8. -5<а<2-5|1, 9. а =-л/2. -К о < 1. 10. -8 ^ а <-6,
24 „ 24 ,, , , . -29±6\/б
а = 0=-^, 6<о^8. П. / = —1, / =--gg ■
12. а = -4, а = -2,
—1 ^ а < 1. 13. 1) Если —2 - 2л/2 < а < О или а > 2\/2 — 2, то решений нет;
2) если а^—2 —2\/2 или 0<а^2\/2 —2, то система имеет два решения
(-<о;«/о) и {-хо;Уо)> гдехо = у^-^;-^^‘*, yo = {^-a^)yJ 3) если а = 0. то
система имеет бесконечное множество решений ^д:о; — ^/1 — , где — 1 ^ 1-
14. а < -13.
|с ' с' л <г 34
>5. 2 ^ ^ 5 •
16. 6 и
17. а >1. 18.
19. a = i 20. а = 2.
О
Глава XIX
ДЕЛИМОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ. ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
§ 1. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
Пусть а — целое число (а € Z), т — натуральное число (т е N). Говорят, что а делится на т, если существует целое число p{peZ) такое, что
а -- тр.
Число т называется делителем числа а, р — частным от деления а на т.
Два натуральных числа тип называют взаимно простыми и пишут (т, п) = 1, если единственным общим натуральным делителем этих чисел является число единица.
Например, числа 12 и 35 взаимно просты, так как натуральными делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, а натуральными делителями числа 35 являются числа 1, 5, 7.
Наибольшее натуральное число, являющееся натуральными делителем каждого из натуральных чисел тип, называют наибольшим обидим делителем этих чисел и обозначают НОД(т, п) или просто (т, п).
Например, если т — 36 и « = 84, то НОД(36, 84) = 12.
Перечислим свойства делимости суммы (разности) и произведения чисел, считая, что а € Z, 6 6 Z, m € N, « € N.
1. Если а делится на ш и & делится на т, то числа а + Ь и а — Ь также делятся на т.
2. Если а и Ь делятся на т, то при любых целых числах k и I число ak -h Ы также делится на т.
3. Если а делится на т, а 6 не делится на т, то числа а-\-Ь к а — Ь также не делятся на т.
4. Если а делится на т, а т делится на ^ G N, то число а также делится на к.
5. Если а делится на т, а Ь не делится на т, то число аЬ делится на т.
6. Если а делится на каждое из чисел тип, причем (т, п) = 1, то а делится на произведение тп.
7. Если а делится на т, то ак делится на тк при любом е N.
§1. Делимость чисел
299
8. Если аЬ делится на m и 6 взаимно просто с т, то а делится на т.
Ограничимся доказательством свойства 1.
О Если целые числа а w Ь делятся на т, то существуют числа р Е Z и q еЪ такие, что а = тр, Ь = qm. Отсюда следует, что а-\-Ь — рт qm — [р + q)m, а — Ь = рт — qm = {р — q)m. Так как числа p + q и p — q —целые, то числа а + Ь и а — Ь делятся на т. •
Пример 1. Известно, что натуральные числа Зп + 2 и 8п + 3 делятся на натуральное число р^1. Найти р.
Д Так как числа 3« + 2 и 8л + 3 делятся р, то и число 8 • (Зл + 2) - 3 • (8л+ 3) = 7 должно делиться на р. Но единственное натуральное число р ф на которое делится 7, равно 7. Значит р = 7. А
Целое число, делящееся на 2, называют четным, а целое число, не делящееся на 2, называют нечетным. Четное число а можно представить в виде a = 2k, а нечетное число а —в виде а = 2/г+1, где k — некоторое целое число.
Пример 2. Доказать, что квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа имеет вид 4р+1, где рЕЪ.
А а) Пусть а — четное число, тогда а = 2k, откуда находим a^ = 2Л•2^г = 4й^, где — натуральное число. Следовательно, делится на 4.
б) Пусть а —нечетное число, тогда а = 2^ + 1, откуда следует, что 0^ = {2k + 1) • {2k + 1) = 4й^ + 4/г + 1 = 4(fe^ + k) + \, где k"^ + k = p — целое число, т. е. = 4р + 1. А
Простые и составные числа. Натуральное число р называется простым, если р> 1 и р не имеет натуральных делителей, отличных от I и р.
Из определений легко следует, что если р и pi — простые числа и р делит pi, то р = р\. Кроме того, для любого натурального числа его наименьший отличный от единицы положительный делитель является простым числом.
Натуральное число п > 1 называется составным, если п имеет по крайней мере один натуральный делитель, отличный от 1 и п.
Число 1 не считается ни простым, ни составным.
Пример 3. Доказать, что число а =^4 • 16*^ — 2'*^’ делится на 33. Д Так как 4 ■ 1б'2 = 2^ • 2'*8 = 2^°, то
а = 2'^° - 2^° = 2'‘°(2'° - 1) = 2^®(2^ - 1)(2^ + 1) = 2^° • 31 • 33, откуда следует, что а делится на 33. А
300
Глава XIX. Делимость целых чисел
Пример 4. Доказать, что число а является составным при любом натуральном п :
1) а = 8^2 + Юп + 3; 2) а = 4 • IG'* + 3 • 9".
Л 1) Число а является составным при любом натуральном п, поскольку 8п2 + Юп + 3 = (2п + 1)(4л + 3), где числа 2п + 1 и 4« + 3 — натуральные, большие единицы.
2) Так как (см. пример 14 в §5 гл.П)
а = 4 • 42" + 3 ■ 32" = 42"+' + з2"+‘ =
2п+1
= (4 + 3)- (42"+'-*.3*-'
/t=i
то число а является составным, так как оно делится на 7. А
Теорема 1 {Евклида). Множество простых чисел бесконечно. О Предположим, что множество простых чисел конечно и состоит из чисел р\, р2,..., Рп- Рассмотрим число а = р\-р2-... -Рп + 1- Тогда либо натуральное число а, большее единицы, само является простым, либо оно разложимо в произведение положительных простых чисел и поэтому обладает хотя бы одним простым делителем р. По предположению а не может быть простым, так как оно не совпадает ни с одним из чисел р|, Р2,--., Рп- Если же а разложимо, то его делитель р должен быть отличен от чисел р\, рг,---, рп, так как в противном случае р делит р\ ■ Р2 -... ■ рп и а, а значит, делит и разность а — р\ ■ р2 -... -рп = 1, а это невозможно. Следовательно, множество простых чисел бесконечно. •
Простые числа, хотя их и бесконечно много, составляют небольшую часть всех натуральных чисел, что выражается следующей теоремой.
Теорема 2. Для любого целого числа k'^\ в натуральном ряду можно найти k составных чисел, непосредственно следуюи^их друг за другом.
О Возьмем число а = (^ -f 1)! и рассмотрим k следующих друг за другом чисел а\ — а + 2, а2 = а + 3, .... а,- = а -Ь (г 4- 1), ..., ah = a + {k + l). Каждое число в этом списке является составным, так как О) делится на 2, Q2 ~ на 3, аз — на 4, ..., а/; — на ft -1- 1. •
Теорема 3. Если произведение нескольких натуральных чисел делится на простое число, то на него делится хотя бы один из сомножителей.
Представление натурального числа п в виде произведения двух натуральных чисел аЬ называется разложением на множители.
§1. Делимость чисел
301
Представление числа в виде произведения простых чисел называется разложением на простые множители. Считается, что если п — простое число, то оно имеет разложение на простые множители, состоящее из одного числа п. Два разложения на множители называются одинаковыми, если они отличаются только порядком множителей. Например, разложения 70 = 2- 5- 7 и 70 = 7- 5- 2 считаются одинаковыми.
Теорема 4 {основная теорема арифметики). Для каждого натурального числа п > I существует единственное разложение на простые множители.
Это значит, что для любого натурального числа два разложения на простые множители могут отличаться только порядком этих множителей.
Каноническим разложением натурального числа п > 1 называется представление п в виде
где р],р2,.. .,ps — попарно различные простые числа, а k\,k2,- ■ .,ks — натуральные числа. Для отрицательных целых чисел п < —\ каноническим разложением считается представление в виде
Теорема 5. Пусть п — натуральное число и п—р\' ■р'2 ' ■.Ps’ “ его каноническое разложение на простые множители. Тогда каждый натуральный делитель d числа п может быть записан в виде d^^pf' -pg^ •... -pf% где m, — целые числа, удовлетворяющие условиям О ^ От) < ^1, ... ,0 ^ms ^ ks.
О Пусть d — какой-либо делитель натурального числа п. Так как каждый простой делитель числа d является делителем числа п, то в разложении d на простые множители могут встречаться только числа из множества {рь Р2> - • •, Ps}- Поэтому число d представимо в виде d = p'^' ■ Р2 ^ •... • p?^ •
Наибольшим общим делителем (НОД) чисел а\, а2, ... , называется наибольшее натуральное число, на которое делятся данные числа. Наименьшим общим кратным (НОК) — наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из этих чисел. Наибольший общий делитель чисел а\, а^, , а„ обозначают (оь а^,... , ап),
а наименьшее общее кратное — [а[, U2,..., а„]. В частности, (а, Ь) — НОД чисел а и Ь, а [а, Ь\ — НОК этих чисел.
Числа а\, аг> называются взаимно простыми, если
(ci, 02, ... , Ал) = 1, и попарно взаимно простыми, если любые два из них взаимно просты, т. е. (а/, оу) = 1 при i -ф /. Попарно
302
Глава XIX. Делимость целых чисел
взаимно простые числа являются взаимно простыми (простыми в совокупности). Обратное неверно, как показывает следующий пример: лг = 3, С) = 2 • 3, «2 = 2 • 5, а.3 = 5 • 3.
Теорема 6. Пусть даны два натуральных числа а и Ь, а р\,р2, ■■■ ,Ps — простые числа, входяш,ие в канонические разложения а и Ь. Представим числа а и Ь в виде а = р*‘ •... -р*'
и Ь = р^' • р^^ •... • pf% где mi ^ О, k/ ^ О — целые числа. Тогда
(а Ь) .рП11п(т2,*2) .
[д _pmax(mi,ft|) ^max(m2,ft2) . ^max(m»,fc)
Например, пусть a = 2^•3^•7, 6 = 2'*-3-5^ • И. Запишем их в виде й = 2-*-32-50-7* • 11*^, 6 = 2'*-3* -52 -7®- 11*. Тогда
(а, 6) = 2^ • 3* = 24, [а, 6] = 2'* • 3^ • 5^ • 7* И* = 277 200.
Пример 5. Найти (5160,16 920) и [5160,16 920].
Д Напишем канонические разложения чисел 5160 и 16 920:
129
5160 = 2 • 5 • 2 ■ 2 • 3*^ = 2^ • 3 • 5 • 43,
10 516
423
16 920 = 2-5-2-2-^^^^=2^-3*^-5-47.
10
1692
Тогда
(5160, 16 920) = 2^ . 3* ■ 5* • 43° • 47° = 120,
[5160, 16 920] = 2^ . 3^ • 5* • 43* • 47* = 727 560. ▲
Существует еще один способ нахождения НОД двух чисел, называемый алгоритмом Евклида. Он использует деление чисел с остатком.
Деление с остатком. Не всякое целое число а делится (нацело) на данное натуральное число т.
Деление числа а на число Ь с остатком есть отыскание наибольшего натурального числа q. Которое в произведении с делителем дает число, не превышающее делимого: а = 6р -f г, О < г < 6. Искомое число q называется неполным частным. Разность г между делимым и произведением делителя на неполное частное называется
§1. Делимость чисел
303
остатком. Если остаток равен нулю, то говорят, что а делится на Ь (без остатка) (или что число Ь —делитель числа а).
Теорема 7 (о делении с остатком). Для любого целого а и целого Ь > Q существуют и притом единственные целые q и г такие, что
а = bq i- г и 0 < Ь.
О Рассмотрим рациональное (не обязательно целое) число ос=~. Если а —целое, то возьмем q — a. Если же а не целое, то найдутся два соседних целых числа, в промежуток между которыми попадает
а. Меньшее из них обозначим q. Тогда q0 по условию), получим
bq <а + 1,
л -f 3 = О,
т. е. п е {—3, —1, О, 1, 2}.
304
Глава XIX. Делимость целых чисел
Убеждаемся, что при всех этих значениях дробь — целое
число. Следовательно, при п € {—3, число.
+1
•1, О, 1, 2} дробь а —целое
Алгоритм Евклида. Для нахождения НОД двух чисел делят большее число на меньшее, и если получается ненулевой остаток, то делят меньшее число на остаток; если снова получается ненулевой остаток, то делят первый остаток на второй. Так продолжают делить до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть НОД данных чисел:
Ь = аи\+г\ (О < Л] < а), а = П«2 + /'2 (0^Г2<п),
^П-1 — n^^n + l Т ^П+\ (о ^ ^П+\ ^n)i
— ^л41^^л+2-
(1)
Число Гл+1 является НОД чисел а и Ь.
Замечание. Для доказательства того, что r„+i является ИОД чисел а и Ь, нужно, поднимаясь по равенствам (1) снизу вверх, убедиться, что Гп+\ является делителем чисел а и й, а затем, взяв любой общий делитель d чисел а и Ь, опускаясь вниз по равенствам (1), убедиться, что d является делителем Тп+1-
Пример 7, Используя алгоритм Евклида, найти (5160,16 920). Д Используя алгоритм Евклида, получаем:
16920 = 3-5160 + 1440,
5 160 = 3 -1440 + 840,
1 440 = 1 • 840 + 600.
840 = 1 •600 + 240,
600 = 2 • 240 + 120,
240 = 2 • 120.
Следовательно, (5160, 16920) = 120 (см. пример 5). А
Использование алгоритма Евклида бывает удобнее метода разложения на простые множители в тех случаях, когда трудно получить канонические разложения чисел.
Пример 8. Известно, что дробь | несократима (а, Ь 6 N).
Доказать, что дробь также несократима.
§ 1. Делимость чисел
305
А Так как дробь | несократима, то (а, 6) = 1. Найдем наибольший
делитель d чисел 5а + и 2а + Ь. Используя алгоритм Евклида, получаем;
5а + ЪЬ — 2 • (2а -[■ Ь') а Ь,
Чо, Ь — I • (а + fc) + а, a + b= l- a + b.
Отсюда получаем, что d= (5а + 3^>, 2a + b) = {2a + b,a + b) = {a + b,a).
Далее по алгоритму Евклида задача сводится к нахождению наибольшего делителя чисел а и но по условию (а, Ь) = 1. Отсюда
следует, что d={a, Ь) = 1. В таком случае дробь несократима.
А
Пример 9. Найти наибольший общий делитель d чисел 27 и 96 и представить его в виде d = 27x + 96y, где х и —целые.
Л Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший делитель d чисел 27 и 96:
96 = 3-27 + 15,
27 = 1 ■ 15+12,
15 = 1 • 12 + 3,
12 = 4-3.
(2)
Отсюда получаем, что d = (27, 96) = 3.
Начиная с первого равенства алгоритма Евклида, спускаясь до предпоследнего, получаем:
15 = 96 - 3 • 27,
12 = 27 - 1 -15 = 27 - 1 - (96 - 3 - 27) = 4 - 27 - 1 - 96,
3 = 15 - 1 -12 = (96 - 3 - 27) - 1 - (4 - 27 - 1 - 96) = -7 - 27 + 2 - 96.
Это и есть искомое представление 3 = —7 • 27 + 2 - 96, т. е. х = —7,
У = 2. А
Замечание. Отметим, что найденное представление не является единственным (см. ниже теорему 1 в § 3 настоящей главы).
Задачи
1. Доказать, что число а является составным:
1) о = 6'’ + 3'‘ + 2"+‘+2 при любом натуральном п;
2) а = 25я^ + 9п^ + 1 при любом натуральном п;
3) а = л"* + 4 при любом натуральном л > 1.
2. Доказать, что число 555^^^ + 777^^^ делится на 37.
306
Глава XIX. Делимость целых чисел
3. Доказать, что
1) я® — п делится на 3; 2) + 5я делится на 3;
3) — п делится на 5; 4) «'* 4-6п^ + 11п^ + 6я делится на 4.
4. Доказать, что:
1) не существует простого числа, которое можно представить в виде суммы нескольких последовательных положительных нечетных чисел;
2) если к произведению четырех последовательных натуральных чисел прибавить единицу, то получится число, равное квадрату некоторого натурального числа.
5. Доказать, что
1) число 16^°+ 2^*’ делится на 17;
2) число 16^ + 31'' —2 делится на 15;
3) число Ю’® + 28^ — 2 делится на 9;
4) число 36^ + 19^ — 16 делится на 17.
6. Найти наибольший общий делитель чисел:
1) 6787 и 7194; 2) 2691 и 40572; 3) Ю™ - I и 10" - 1.
7. Найти наименьшее общее кратное чисел:
1) 420, 312 и 333333; 2) 1403, 1058 и 3266.
8. Найти наибольший общий делитель d чисел о и 6 и представить его в виде rf = ах + by, где х и у — целые:
1) 21 и 17; 2) 321 и 843; 3) 23520 и 75222.
9. Найти натуральные числа а и Ь, если (с, Ь) = 6, [а, Ь] = 90.
10. Известно, что дробь 7 несократима (о, Ь € N). о
1 \ II , + а6 + 6^
1) Доказать, что дробь --------—— также несократима.
а + Ь
2) На какие числа может сокращаться дробь: а)
И. Доказать, что несократима дробь: 2q2
За + 26 а + 46 ’
б)
а + 6
- об + 6^
1)
2а+ 1
при всех а е Z; 2)
+ а — I а^ + 2а
при всех а G N.
12. Найти все целые п, при которых дробь а = ” ^ ^ будет целым числом.
+1
Ответы
6. 1) 11; 2) 207; 3) 10'' - 1, где d = (т,я). 7. 1) 2^ ■ 3^ • 5 • 7 • 11 • 13 ■ 37;
2) 2 • 23^ • 61 • 71. 8. 1) d = 1 = 5 • 17 - 4 • 21; 2) d = 3 = 8 • 843 - 21 • 321;
3) d = 42 = 111-75222-355-23520. 9. 30 и 18 или 6 и 90. 10. 2) а) Дробь
может быть сокращена на 2 или 5, или 10, если на эти числа делится а + 46. Указание. (За + 26, а + 46) = (—106, а+ 46), а (6, а+ 46) = 1. б) Сокращение возможно лишь на 3, если а + 6 делится на 3. 12. —2; 0; 2.
§2. Сравнения
307
§2. СРАВНЕНИЯ
Пусть m — произвольное натуральное число, т>1. Каждое целое число при делении на т дает некоторый остаток, причем разных остатков ровно т. Это могут быть числа О, 1, 2, ... , от - 1.
Если числа а и Ь при делении на натуральное число от дают равные остатки, то говорят, что эти числа сравнимы по модулю от,
и пишут , , , .
а = о (mod от).
Иначе говоря, запись a = ft(modOT) означает, что разность чисел а — Ь делится на от. Например, 7 = 27 (mod 5), 40 = 14 (mod 13), 10 = —4 (mod 7).
Сравнения были введены в XIX в. немецким математиком К. Гауссом. Они обладают многими из тех свойств, которые справедливы для равенств.
Перечислим основные свойства сравнений.
1) Если а = Ь {mod т) и b = c{modm), то а = с(тобот).
2) Если а = 6(тобот) и с = d (mod т), то
a + c = b + d (modm), а - с = b - d (modm),
ас = bd (mod т), с* = 6^ (mod от), где /г е N,
т.е. сравнения можно складывать, вычитать и перемножать, как и верные равенства. В частности, можно обе части сравнения умножать на одно и тоже число.
3) Если a + b = c{modm), то а = с —Ь (modm).
4) Если ak = bk{modm), а числа кит взаимно просты, то a = b{modm), т.е. обе части сравнения можно сокращать на общий множитель, если этот множитель и модуль от — взаимно простые числа.
5) Если a = b{modm) и —делитель числа от, то c = 6(modd).
Ограничимся доказательством свойств 4 и 5.
О 1) По условию число ak — bk = k{a — b) делится на от. Так как к не делится на т (к и от —взаимно простые числа и от^^ 1), то число а — Ь делится на от, т.е. а = 6 (mod от).
2) Так как а = 6 (modот), то число а — Ь должно делиться на от, а значит, и на любой делитель d числа от, т.е. a = 6(modd). •
Пример 1. Найти остаток от деления числа а на от, если:
1) а = 2б36, т = 7] 2) а = 2007^^^^, от = 13;
3) а = 24^5.36" • 49*5, от = 11.
Д 1) Так как 26 = 5 (mod?), то по свойству сравнений 26^® = = 5^® (mod?). Учитывая то, что 5^® = (5^)^^ = 25*®, а 25 =
308
Глава XIX. Делимость целых чисел
= 4 (mod 7), получаем 5^® = 4’® (mod 7). Заметим теперь, что 4I8 _ (43^6 _ 046^ а 64 = 1 (mod 7), значит, 4*® = 1® (mod 7).
Так как 1® = 1, получаем, что остаток равен 1. Проведенные рассуждения можно представить в виде цепочки сравнений 2036 ^ 5З6 ^ 25'® = 4'® = 64® = 1® = 1 (mod 7).
2) Запишем цепочку сравнений;
20072ОО9 = 5^®®® = 5 ■ 5^®®® = 5 • (25)'®®"' =
= 5 • (-1)'®®'' = 5 • 1®®2 = 5 (mod 13).
Следовательно, остаток от деления числа 2007^®®® на 13 равен 5.
3) Числа 24, 36 и 49 не делятся на 11, поэтому
2425 = 225 = (2®)® = (-1)5 (mod 11),
36" = 3" = 32 ■ (3®)® = 9-5® = 9- 4 = 3 (mod 11),
49'® = 5‘® = (5®)® = 4® = 4 • (16)2 = 4.25 = 4 • 3 = 1 (mod 11).
Следовательно, по свойствам сравнений 242® . 30II . 4^15 ^ = (—1) • 3 • 1 = —3 = 8 (mod 11), т. е. остаток от деления числа а на 11 равен 8. А
Пример 2. Доказать, что число а делится на т, если
1) а = 96'®+ 32'®-8-73'®, m = 10;
2) а = (17'® + 15'7)'®'2, т = 32.
1) Пользуясь тем, что 96 = б (mod 10), и учитывая то, что при возведении числа 6 в любую степень G N получается число, оканчивающееся цифрой 6, имеем по свойству сравнений 96'® = б'® = 6 (mod 10). Так как
32'® = 2'® = 2• (2®)2 = 2-42 = 2- 6 = 2 (mod 10),
73'® = 3‘® = (32)« = (-!)« = 1 (mod 10), то а = 6 + 2 — 8 = О (mod 10), т. е. число а делится на 10.
2) Найдем сначала остаток от деления на 32 числа 17'® + 15'^. Так как
17'® = 17-17‘^ = 17-(172)^ = 17-(289)^ = 17-(l)' = 17(mod 32);
15'^ = 15-15'® = 15-(152)® = 15- (225)® = 15- (1)® = 15 (mod 32).
Следовательно, 17'® + 15'^ = 17 + 15 = 32 = О (mod 32), т. е. число 17'® -г 15'2 делится на 32, а значит, и число а делится на 32. А
§ 2. Сравнения
309
Пример 3. Доказать, что если целое число а не делится на 5, то число а'^ — 1 делится на 5.
А Пусть г —остаток от деления а на 5, тогда a = 5k + r, где k£Z, /• — одно из чисел 1, 2, 3, 4, так как а не делится на 5, По свойству сравнений, если a = r(mod5), то a^=H(mod5). Учитывая, что Н = 2'* = = 4^ = 1 (mod 5), т. е. И = 1 (mod 5) при г = 1, 2, 3, 4,
получаем а* = 1 (mod 5).
Это означает, что число o'* — 1 делится на 5. А
Данный пример является частным случаем малой теоремы Ферма, которая формулируется следующим образом.
Теорема (малая теорема Ферма). Если р — простое число и число а не делится на р, то — 1 делится на р (или а>^~^ = 1 (modp)).
О Поскольку а взаимно просто с р, то остатки от деления на р чисел а,2а,3с,. ..,(р—1)а —это с точностью до перестановки числа i,2,...,p- 1, т. е.
а • 2а • За •... ■ (р — 1)а = 1 ■ 2 • 3 •... ■ (р — 1) (mod р).
Отсюда аР-\р-\)\ = (р- I)! (modp).
Сократив обе части сравнения на (р —1)!, получим
аР~^ = 1 (mod р).
Теорема доказана. •
Замечание. Теорему Ферма часто записывают в форме, равносильной приведенной выше, а'’= а (modp). В этой записи предположение о том, что а не делится на р, становится излишним.
Докажем признак делимости на И. Пусть натуральное число а имеет вид
а = а^а^Г[777о^ао = 10"о„ + 10"~'а„_1 + ... + 10^а2 + lOaj +ао- (1)
Пример 4. Доказать, что натуральное число а, записанное в виде (1), делится на 11 тогда и только тогда, когда делится на 11 сумма ао — ai + аг — ... + (—1)"а„.
Д Так как 10 =—1 (mod 11), то
10^ = 10'* = ... = 10^* = 1 (mod 11) при любом б N,
10 — 10^ = ... = 10^*'*'* = —1 (mod 11) при любом /г G N.
По свойству сравнений получаем
10"ап + ... + 10^U2 + lOai + oq = ао - ai 4-аг - ... + (-l)”a„(mod 11), т. е. число а делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма его цифр, взятая с чередующимися знаками. А
310
Глава XIX. Делимость целых чисел
Пример 5. Найти остаток от деления числа а = (987654321)'' на 11.
Д Пусть fc —основание данной степени, тогда а = &'*. Сумма 1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 64-7-8 + 9, составленная из цифр числа Ь (с чередующимися знаками), равна 5. Поэтому fc = 5(modll), откуда следует, что й = 6^ = 5"'= (5^)^ = 9 (mod 11). Следовательно, искомый остаток равен 9. А
Аналогично признаку делимости на И можно доказать следующий общий признак, делимости чисел: для того чтобы число N делилось на d, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений цифр этого числа на остатки, получаемые от деления на d соответствующих степеней числа 10, делилась на d.
Действительно, пусть а — 10"й„ + ... + Ю'^а2 + Юй) + йо и 10” = dqn +Гп, ..., 10^^ = dq2 + гг. ^0 = + П- Тогда N делится
на d в том и только том случае, если на d делится сумма
М = йпГп + й„_|Г„_1 +... + а\Г\ + йо-
Решение сравнений. Рассмотрим сравнения вида
ах = Ь (mod т),
(2)
где числа а, Ь, т известны, а л: — неизвестное целое число. Возможны два случая.
1) Пусть (й, т) = 1, тогда найдутся такие числа х\ и у\ (см. пример 9 из § 1), что \ = ах\-\-ту\, откуда axi = -my\-\-\.
Ясно, что числа х\ н т взаимно просты, так как иначе их общий делитель являлся бы и делителем числа 1. Тогда
ах = Ь{тоАт) ах\Х = Ьх\{тойт).
Но ах\ = 1 (modm), поэтому множество решений сравнения (2) запишется в виде
X - foA;i(modm).
2) Пусть (й, т) = d > \. Тогда, чтобы существовало решение сравнения (2), необходимо, чтобы Ь делилось на d (см. свойство 5 для сравнений), иначе сравнение (2) невозможно ни при каком целом х. Положим в этом случае й = ^й1, b = db\, т = dm\. Тогда после сокращения на d исходное сравнение будет равносильно сравнению
aix ='6i(mod mi),
в котором уже (й], т\) = 1, и потому оно будет иметь решение по модулю mi-
§ 2. Сравнения
311
Пусть X] — наименьший неотрицательный вычет этого решения по модулю т\. Тогда все числа х, образующие это решение, найдутся в форме
X = x\{modmi). (3)
По модулю же т числа (3) образуют не одно решение, а столько решений, сколько чисел (3) найдется в множестве {О, 1, 2, ... , m — 1}. Сюда попадет всего d чисел Х[, х\+т\, XI +2mi, ... , xi + {d- l)m\, т. е. сравнение (2) будет иметь d решений;
x = х\, х = х\-{-т\, х = х\ + 2т\, ... , x = x\ + {d- \ )т\ (modm).
Пример 6. Решить сравнение:
1) 3x = 6(mod7); 2) 3A- = 6(mod9).
Д 1) Так как (3, 7) = 1, то найдем такие целые числа Х\ и у\. что 1 = 3^1 -f 7г/|. В данном случае х\ = —2, у\ = 1. Отсюда
3-(-2) = 1-7-1.
Умножая обе части решаемого сравнения на —2, получим 3 • (—2)х = 6 • (—2) (mod7) а: = 2 (mod 7).
2) Так как (3,9) = 3, то после сокращения на 3 исходное сравнение будет равносильно сравнению
х = 2 (mod 3).
Пусть х\ = 2 наименьший неотрицательный вычет этого решения по модулю 3. Тогда получаем три числа
xi = 2, АГ) 4- 3 = 5, a:i Ч- 2 • 3 = 8, которые дают три решения исходного сравнения:
л: = 2, а: = 5, jc = 8 (mod9). ▲
Существует еще один способ, который можно применять для рассмотренных и более сложных сравнений.
Пример 7. Решить сравнение:
1) За: = 5 (mod 8); 2) — 2а;-f-4 = О (mod 7);
3) х^ + х^ + х = 4 (mod 5).
Д 1) Построим таблицу остатков, которые дают целые числа при делении на 8 (в таблице k € Z).
Число X вида 8к 8^+1 8k+ 2 8ft+ 3 8ft+ 4 8ft+ 5 8k + 6 8ft+ 7
Остатки от деления на 8
X 0 1 2 3 4 5 6 7
Зх 0 3 6 1 4 7 2 5
312
Глава XIX. Делимость целых чисел
Следовательно, решением данного сравнения будут числа вида л: = 7 по модулю 8.
2) Исходное сравнение сводится к сравнению (х—1)^ = 4(mod7). Положим у = х — \ и решим сравнение = 4 (mod 7). Из таблицы остатков, которые дают целые числа при делении на 7 (в таблице k G Z), имеем:
Число у вида 7к 7k+ 1 1 7k+ 2 7k+ 3 7k+ 4 7k+ 5 7k+ &
Остатки от деления на 7
0 I 4 2 2 4 I
Решением сравнения y^ = 4(mod7) будут числа вида у = 2 и у = Ъ по модулю 7. Следовательно, решением исходного сравнения будут числа вида л: = 3 и л: = 6 по модулю 7.
3) Построим таблицу остатков, которые дают целые числа при делении на 5 (в таблице feeZ).
Число X вида 5k 5*+1 5k+ 2 5k+ 3 5 Д = a2aiaQ. Число а делится на 7 (или на И, или на 13) тогда и только тогда, когда Л =B(mod7) (соответственно mod II или mod 13).
4. Доказать, что а не может быть четвертой степенью натурального числа, если а — 5 делится на 9
§3. Решение уравнений в целых числах
313
5. Доказать, что числа следующего вида не могут быть квадратами целых чисел:
1) 12я + 5, где п е Z; 2) 7п + 3, где п е Z.
6. Найти наименьшее натуральное число, большее I и дающее при делении на 2, 3, 4. 5, 6 остаток, равный 1.
7. Доказать, что
1) квадрат простого числа, большего 3, дает остаток 1 при делении на 24;
2) квадрат простого числа, большего 5, при делении на 30 дает в остатке 1
или 19.
8. Доказать, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 5п единиц, делится на 41.
9. Доказать, что ни при каком натуральном п число 1 + 2 +... + п не может оканчиваться ни одной из цифр 2, 4, 7, 9.
10. Доказать, что число гИ — п делится на 42 при любом n€.Z.
11. Решить сравнения:
1) 2х + 3 = О (mod 6); 2) Зх + 5 = О (mod 7);
3) jc^ + X + 3 = О (mods); 4) + 1 = О (mod 13).
Ответы
1. 1) 1; 2) 3; 3) 8; 4) 3; 5) 5. 6. 61. 11. 1) Решений нет; 2) x = 3(mod7);
3) x=l(modS) или x = 3(mod5); 4) x = 5(modl3) или x = 8(modl3).
§3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
Любое уравнение, которое требуется решить в целых числах, называют диофантовым уравнением. Простейшими из них являются линейные диофантовы уравнения вида ах + Ьу = с, где а, b,cel>. Его решение (х, у) — пара целых чисел. При решении этого уравнения используется следующая теорема.
Теорема 1. Линейное диофантово уравнение ах + by = с, где а, Ь, с& Z, имеет решение тогда и только тогда, когда с делится на НОД чисел а и Ь. Если с/=НОД(а, Ь), a = a\d, b — b\d, c = c\d и (xq, уф] — некоторое решение уравнения ах + by = с, то все решения задаются формулами
x = xo + ftil, у = уо-а^1, (1)
где t — произвольное целое число.
О Пусть d = ИОД(а, Ь), т. е. существуют такие числа а\ и Ь\, что а = a\d, Ь = b\d. Тогда уравнение преобразуется к виду a\d■ X + b\d-у = с или d{а\х + Ь\у) = с.
Отсюда следует, что уравнение имеет решение в целых числах тогда и только тогда, когда с делится на d, т. е. c = c\d. Переписывая
уравнения в виде , ^
d (cjx + Ь\у) = c\d
314
Глава XIX. Делимость целых чисел
и сокращая на d, получим уравнение
й[Х + Ь[у = С1,
(2)
где (аь ^i) = 1, т. е. числа а\ и Ь\ взаимно просты.
Пусть теперь (л:о,уо) ~ некоторое решение этого уравнения. Рассмотрим пару чисел, заданных формулами (1), и покажем, что эта пара также является решением уравнения (2). Подставив их в уравнение (2). получим ai{xo + b\t) + Ь\{уо — a\t) = С\ или a\XQ + Ь\уо + a\b\t — b\a\t = С[, т. е. равенство верно при любом t.
у J у у
^ ■V' " V*" '
=С| =0
Пусть —также решение уравнения а\х + Ь\у — с\, т. е.
а\х* Ь\у* = с\. Вычитая из левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства aixo + &ii/o = ci, получим
Gi (л:* - хо) + Ь\ {у* - уо) = 0.
Заметим, что при й], Ь\ фО, если х* фхо, то и у*фуо, и наоборот. Так как {а\, й|) = 1, то
X*-Xo = kb[ и у*-yo = ta\, (3)
где /г, / е Z. Тогда имеем
кЬ\й\ + taibi = a[b\{k + i) = О,
т. е. k = —t. Отсюда из (3) получаем формулы (1).
Теорема доказана. •
Замечание. Теорема 1 утверждает, что если линейное диофантово уравнение имеет решения, то их все можно представить в виде (1), однако для этого нужно знать некоторое решение (хо,«/о)- Как правило, оно находится подбором.
Линейное диофантово уравнение ах + by = с, где а, Ь, с е Z и с Ф О, назовем неоднородным, а соответствующее ему уравнение ах + by = О — однородным. Пусть (xq, Уо) — частное решение неоднородного уравнения, а {bt, -at), где t€Z,— общее решение однородного уравнения.
Так же, как и при решении линейных дифференциальных уравнений, в случае (а, Ь) = 1 справедливо утверждение: общее решение линейного неоднородного диофантова уравнения равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения.
Пример 1. Решить уравнение 5х — 8г/ - 4 = 0.
Д Первый способ. НОД(5, 8) = 1. Найдем какое-нибудь решение (хо,г/о) данного уравнения 5х —8у —4 = 0. Выразим переменную, име-
§3. Решение уравнений в целых числах
315
ющую наименьший по модулю коэффициент; х — = // +1 + ^.
о О
Достаточно взять уо = 2, тогда jcq = 4. Запишем ответ;
х = 4 — 8i, у = 2 — 5t, / € Z. (4)
Второй способ. Выразим х: х= —у-\-\-\- ~^. Целые
О О
решения существуют, если Зу - I = Ьп {п £Z).
= п -
р-\
Аналогично у = ‘ = п + ‘, т. е. 2/г + 1 = Зр (р €
Отсюда « = -^^=р + - 2 возможно, если р = 2^ + 1 (f 6
. Последнее равенство в целых числах Z). Выражая х ч у через t, получим X = 4 “Ь 8^, р = 2 -f- 5^, t G Z.
Отметим, что полученный ответ совпадает с ответом (4), так как f —любое целое число. А
Пример 2. Найти все целые решения системы уравнений
Г 2х + Зр + 4г = 1,
^ Зх + 2р + 3z = 2.
А Преобразуем уравнения системы, умножив первое на 3, второе на 2;
J бх + 9р + \2г — 3, I 6х + 4р + 6z = 4.
Вычитая второе уравнение из первого, получим линейное дио-фантово уравнение 5р + 6z = — 1, решением которого будут пары целых чисел вида (р, г), гдер=1 + 6<, г — -l-5t (teZ).
Подставляя полученные числа в первое уравнение исходной системы, найдем
2х = 1 - Зр - 42 = 1 - 3(1+ 60 - 4(-1 - 50 = 2 + 2/ {t € Z).
Отсюда X = 1 + ^ {t е Z). Следовательно, решением данной в условии системы уравнений будут тройки целых чисел вида (х, р, г), где X = 1 + /, р = 1 + 6^, 2 = —1 — 5/ е Z). А
Диофантовы уравнения более высоких степеней. Рассмотрим на примере разные приемы решения уравнений в целых числах, степень которых превышает 1.
Пример 3. Решить уравнение Зхр — 6х^ = р — 2х + 4.
А Первый способ (разложение на множители). Перепишем уравнение в виде
Зх(р - 2х) — {у — 2х) = 4 (р - 2х)(3х — 1) = 4.
316
Глава XIX. Делимость целых чисел
Так как х GZ и у GZ, то {у — 2х) € Z и (Зх - 1) € Z. Поэтому для решения задачи достаточно рассмотреть все возможные варианты разложения числа 4 в произведение двух целых множителей. Всего существует четыре случая:
4 = 2-2 = (-2)-{-2) = 1-4 = ( 1)-(-4).
Соответственно, далее остается решить шесть систем линейных уравнений:
— 2х= —2,
-2;
1)
(у — 2х = 2, \ Зх - 1 = 2;
fi/-2x = 4, \3х - 1 = 1;
2)
j у — 2х = I Зх — 1 =
3)
5)
6)
Г w-2x= 1,
I Зх - 1 = 4;
Г г/-2х = -4, \3х - I = -1.
у — 2х— -1,
Зх-\ = -4;
Вторая, третья и четвертая системы не имеют решений в целых числах. Из первой получаем х=\^у — 4. Из пятой х = —\,у = —3 и из шестой х = 0, у = —4.
Второй способ {выражение одной неизвестной через другую). Заметим, что неизвестная у входит в уравнение в первой степени. Выразим ее через х:
Зху - г/= 6х^ - 2х + 4 t/=
Зх — 1
= 2х + — — Зх-|-
Решение в целых числах возможно только в случае, если число Зх — 1 является делителем 4. Существует шесть вариантов:
1) Зх - 1 = 2; 2) Зх - 1 = -2; 3) Зх - 1 4;
4) Зх - 1 = 1; 5) Зх - 1 = -4; 6) Зх - 1 = -1.
Второе, третье и четвертое уравнения не имеют решений в целых числах. Из остальных получаем х = 1, или х = -I, или х = 0. Подставляя их в выражение для у, получаем целые решения исходного уравнения, т. е. (1; 4), (—1; —3), (0; -4).
Третий способ {решение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных). Перепишем уравнение в виде 6х^ — (2 + Зу)х + (г/ + 4) = 0. Решим его относительно х:
(2 + 3i/)± J(2 + 3^)2-24((/ + 4) (2 + 3y)±w'(3f/-2)2-96
^’’2 i2 12 ■
(5)
Для суп1ествования целых решений необходимо, чтобы дискриминант уравнения был квадратом целого числа, т. е. {Ъу — 2)^ — 96 = /г^, где k G Z. Получаем {Зу — 2)^ — = 96. Следовательно,
{3y-2-k){3y-2-{-k) = 96 или IЗу_2— пг' ^ Щ—яъг
§3. Решение уравнений в целых числах
317
целых числа таких, что п\ ■ П2 — 96. Сложив уравнения системы, получим 6у — 4 = П\ + П2 или
У =
_ Я| +П2 Н- 4
(6)
Поскольку -96<«1, П2<96, п\ и «2 одного знака, то возможны варианты
96 = 1 • 96 = 2 ■ 48 = 3 • 32 = 4 • 24 = 6 • 16 = 8 • 12. Аналогично,
96 = (-!)• (-96) = (-2). (-48) = (-3) • (-32) =
= (-4) ■ (-24) = (-6) • (-16) = (-8). (-12).
Отсюда, учитывая условие (6), получаем возможные значения у: у = 9, у = 4, у = -4 н у = -3.
Подставляя полученные значения в (5), убеждаемся, что при у = 9 значение х не является целым. Для остальных случаев получаем следующие решения в целых числах исходного уравнения (1; 4), (0; -4), (-1; -3).
Ответ. (1; 4), (0; -4), (-1; -3). А
Великая теорема Ферма. Примерно в 1630 г. Пьером Ферма была сформулирована следующая теорема.
Теорема 2 (Ферма). Всякое уравнение х" +1/" = z" при п >2 не имеет решений в области натуральных чисел.
Доказательство этой теоремы состоит в большой серии утверждений, полученных многими математиками XV11-XX вв., завершение доказательства получено Эндрю Уайлсом лишь в 1994 г.
Пифагоровы тройки. При п = 2 уравнение =
вид
х^ Л-у"^ = 2^.
= 2" принимает
(7)
Оно имеет бесконечно много решений. Тройки целых чисел (х, г/, г), удовлетворяющие этому уравнению, называют пифагоровыми тройками.
Теорема 3. Пифагоровы тройки образуют числа следуюш,его вида: 99 99
(8)
а также
т^-п^
x — tmn, y = t---2—» 2 = /
2 ’
+ п^ 2 ’
(9)
где тип — нечетные взаимно простые натуральные числа (т > п), а t — произвольное натуральное число. Наоборот, любая тройка
318
Глава XIX. Делимость целых чисел
чисел {х, у, z), удовлетворяюш,ая формулам (8) или (9), является решением уравнения (7).
л: = 3, г/= 4, Z = 5;
л: = 5, (/ = 12, Z = 13;
х = 7, у = 24, z = 25;
л: = 15, г/ = 8, z = 17;
л: = 21, у = 20, Z = 29; и т. д.
Например, при / = 1 из
п= 1, т = 3 =i>
/г = 1, т = 5
п = \, т = 7
п = 3, т = 5
п = 3, т — 7 =>
Задачи
1. Найти все целые решения уравнений:
I) 6х + 9у = 2-, 2) 5jc + 9(/ = 2; 3) 15х + 78(/=12;
4) I3x + 9v= I; 5) 7х + 17у = 5.
2* Пусть А — множество целых чисел, имеющих при делении на 5 остаток 3. а В — множество целых чисел, имеющих при делении на 8 остаток 7. Найти все числа, которые входят одновременно в оба множества.
3. Найти все целые решения систем уравнений:
. f 3x + 3(/ + 5z= 1, j 2x + 3y + 5z = 8,
' ^ 4x + 5(/ — 2z = 4; ' j 5x — 6(/ + 8z = 9.
Решить уравнения в целых числах (4-6):
4. 1) 2ху - 6х^ = 9х — Зг/ + 6; 2) Зху — 9х^ = у — Зх + 8.
5. х^ + {х+ 1)^ + (х + 2f + (х + 3)^ = Юу.
6. I) х^ - 6x1/+ 13//2 = 100; 2) 2xV +1/^ - 6х^ - 12 = 0;
3) 2ху + X + (/ = 83.
7". Доказать, что следующие уравнения не имеют решений в целых числах:
1) х'^+у^ = \971; 2) 19x3-17(/3=:50; 3) 2х'^-Ъу'^ = ^.
в? Найти все рациональные решения уравнения: x^ + 3^/^ = l.
Ответы
1. 1) Нет решений; 2) х = 4 + 9/, (/ = -2-5/, /6Z; 3) х = -20 + 26/, (/ = 4-5/, / е Z; 4) X = 2 + 9/. (/ = -3 - 13/, / 6 Z; 5) х = 25 + 17/, (/ = -10 - 7/, / € Z.
2. Числа вида 23 + 40/, /€Z. Указание. Решить в целых числах уравнение
5х + 3 = 8^ + 7. 3. 1) X = -85 - 31/, у = 72 + 26/, 2 = 8 + 3/, / 6 Z; 2) нет
решений. 4. 1) (-2; -12), (-1; 3), (-3; -II), (0; 2); 2) (3; 10), (1; 7), (0; -8),
(-1; -5). 5. х = 5п + 1, (/ = 10rt^ + 10n + 3 (neZ). 6. I) (1, 3), (-1, -3), (17, 3), (-17, -3), (-6, -4), (6, 4). (-18, -4), (18, 4); 2) (2, 2), (-2, -2), (-2, 2), (2, -2); 3) (0, 83), (83, 0), (-1, -84), (-84, -1). 7. 1) Указание. Рассмотреть остатки суммы квадратов х и у при делении на 3. 2) Указание. Рассмотреть остатки левой и правой частей уравнения при делении на 9.
§4. Текстовые задачи с целочисленными неизвестными
319
3) Указание. Рассмотреть остатки левой и правой частей уравнения при
'11,2 _ I ои
делении на 5. S. х = ' У ~ | (* € Q); л:=1. г/ = 0. Указание.
Положить у = к(х — 1)
§4. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Пример 1. Даны два двузначных числа. Если большее число написать впереди меньшего и полученное четырехзначное число разделить на меньшее, то в частном получится 247, а в остатке 10. Если же меньшее число написать впереди большего и разделить полученное число на большее, то в частном получится 41, а в остатке
20. Найти сумму данных двузначных чисел.
^ Запишем меньшее число в виде ху, большее —в виде zt. Тогда, написав большее впереди меньшего, получим г/ху = lOOOz + 100/+ Юх +Запишем тот факт, что при делении полученного числа на ху = 10х + у в частном получится 247, а в остатке 10:
10002 + 100/ +Юх + у = 247(10;с + //) + 10.
Аналогично во втором случае:
ЮООх + 100^+ lOz + / = 41{10z + /) + 20.
Обозначив S — zt = lOz + /, и = 1су = 10х + у, получим систему уравнений
Г100з + ы = 247ы + 10,
^ lOOw Т 5 = 41s “Ь 20,
из которой получаем s — 37, и — 15.
Ответ. 37 и 15. А
Пример 2. Техническая реконструкция предприятия была проведена в четыре этапа. Каждый из этапов продолжался целое число месяцев и сопровождался падением производства. Ежемесячное падение производства составило на первом этапе 4%, на втором — 12,5%, на
третьем — ■^% и на четвертом — ^%. По окончании реконструкции
I О
первоначальный объем производства на предприятии сократился на 64%. Определить продолжительность периода реконструкции.
Д Пусть X, у, Z ч / — продолжительности соответственно первого, второго, третьего и четвертого этапов (в месяцах), где х, у, z ч t — натуральные числа. Если первоначально объем производства был равен V, то после реконструкции он будет равен
V-
0-
j_y.
100/
V 2 100У V 7-100/
•100/ \ 100/
320
Плава XIX. Делимость целых чисел
Сократив на V, получим . (I)*.
^ 23x~3y+z—t yc+z-t . ^-2x+t _ jy-г = 2^ -3^ • • 7^
Так как х, у, z \\ i — натуральные числа, а 2, 3, 5 и 7 —простые числа, то в силу единственности разложения натурального числа на простые множители получаем систему линейных уравнений
' Зх - Зу + Z — t = 0,
X + Z — t = 2,
—2х +1 — —2,
[.y-z = 0.
Решая ее, получаем х = 2, у = 2, z = 2 и t = 2. Следовательно, весь период реконструкции длился 8 месяцев.
Ответ. 8 месяцев. А
Иногда при решении задач на целые числа количества получающихся уравнений недостаточно для выбора однозначного ответа. Поэтому на одном из этапов решения приходится использовать перебор получающихся вариантов, чтобы отобрать решение, удовлетворяющее всем условиям задачи.
Пример 3. В финальном забеге соревнований по кроссу оказалось, что число спортсменов, выполнивших мастерский норматив,
от общего количества спортсменов.
меньше —, но больше
1о
16
закончивших дистанцию. Какое минимальное число спортсменов закончило дистанцию?
Д Пусть yV —число спортсменов, закончивших дистанцию, а п — число спортсменов, выполнивших мастерский норматив. Тогда, согласно условию, N \л п удовлетворяют неравенству ^ ^
16 /У 13
или —
7 п 6
16 13
<=> уП>Ы> Подберем такое наименьшее
значение п, чтобы в интервале содержалось хотя бы одно
целое число N. Перебором, начиная с /г = 1, получим, что при п = 4 такое N, удовлетворяющее неравенству 9^ > ЛУ > 8|, существует hW = 9.
Ответ. 9 спортсменов. А
Пример 4. Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами, причем девятиэтажных домов меньше, чем пятиэтажных.
§4 Текстовые задачи с целочисленными неизвестными
321
Если число девятиэтажных домов увеличить вдвое, то общее число домов станет более 24, а если увеличить вдвое число пятиэтажных домов, то общее число домов станет менее 27. Сколько построено пяти- и девятиэтажных домов?
Д Пусть построено х девятиэтажных и у пятиэтажных домов Из условия задачи получаем систему неравенств
х<у,
2х + у> 24, х + 2у < 27.
24
Из второго неравенства имеем х > Отсюда
из третьего х <27 — 2у.
24-у
<х<у,
^Л^<х<27-2у
(1)
или, освобождаясь от х,
24-у
<У,
\^<27-2у.
Следовательно, у удовлетворяет неравенствам
/8<у,
и<ю.
Поскольку (/GZ, то t/ = 9. Тогда из первого неравенства системы (1) имеем 7,5 <х < 9, т. е. х — 8.
Ответ. 9 пятиэтажных и 8 девятиэтажных домов А
Задачи
1. Найти двузначное число, которое меньше суммы квадратов цифр, составляющих его, на И, и больше их удвоенного произведения на 5.
2. Сумма цифр двузначного числа равна 12 Если к искомому числу прибавить
36. то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.
3. Результат деления двузначного числа на произведение его цифр равен 2. Найти это число.
4. На складе имелось несколько одинаковых ящиков, в каждом из которых было равное количество одинаковых заготовок. Заготовки используются следующим образом: сначала со склада в цех берут один ящик, заготовки из которого последовательно поступают в производство, а пустой ящик возвращается обратно на склад и берется следующий ящик и т. д. После
< 10
того как было израсходовано ровно — всех заготовок, оказалось, что на
1о
складе имеется ровно 7 пустых ящиков. Сколько ящиков с заготовками было первоначально на складе?
II -.3022
322
Глава XIX. Делимость целых чисел
5. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 4, а в остатке 3. Если же разделить его на произведение цифр, то получится в частном 3, а в остатке 5. Найти это число.
6. В первый день Маша собрала на 25% грибов меньше, чем Вася, а во второй день — на 20% больше, чем Вася. За два дня Маша собрала грибов на 10% больше, чем Вася. Какое наименьшее количество грибов они могли собрать вместе?
7. Сумма цифр искомого четного трехзначного числа равна 11 Если к искомому числу прибавить 594, то получится число, записанное теми цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.
8. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится Гав остатке 16. Найти это число.
9. Произведение двузначного числа на число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, равно 1008. Найдите это дву.значное число.
10. На стоянке находятся машины марок «Москвич» и «Волга». Общее число их менее 30. Если число «Волг» увеличить вдвое, а число «Москвичей» — на 27, то «Волг» станет больше. Если, не изменяя число «Волг», увеличить вдвое число «Москвичей», то «Москвичей» станет больше. Сколько «Москвичей» и сколько «Волг* находятся на стоянке^
11. Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами, причем девятиэтажных домов больше, чем пятиэтажных. Если число девятиэтажных домов увеличить вдвое, то общее число домов станет менее 32, а если увеличить вдвое число пятиэтажных домов, то общее число домов станет более 28. Сколько построено пятиэтажных и девятиэтажных домов?
12. При подведении итогов шахматного турнира оказалось, что на первое место претендуют сразу несколько спортсменов Их количество оказалось
7 5
больше —, но меньше — от общего числа участников соревнований. Какое
>51
минимальное количество шахматистов принимало участие в турнире?
13. После сдачи студентами факультета сессии оказалось, что количество
4 5
отличников меньше —, но больше ^ от общего числа студентов факультета.
«5«5 4^
Какое наименьшее число студентов может быть на факультете?
14. Все члены семьи выпили по чашке кофе с молоком, причем Катя выпила четвертую часть всего кофе и шестую часть всего молока Сколько человек в семье?
15. Химический завод имеет цеха трех типов В каждом цехе первого, второго и третьего типов работает соответственно 350, 80 и 30 рабочих, а также 91, 19 и 8 технологов. Всего в цехах завода работают 980 рабочих и 252 технолога. Найти число цехов каждого типа, если известно, что общее количество цехов не превосходит 15.
16. На какое целое положительное число надо разделить 180, чтобы остаток составлял 25% от частного?
17. Техническая реконструкция предприятия была проведена в четыре этапа Каждый из этапов продолжался целое число месяцев и сопровождался падением производства. Ежемесячное падение производства составило на
50
■ 10%, на третьем —— % и на четвертом ■
«5
первом этапе 4%, на втором ■
65%. По окончании реконструкции первоначальный объем производства на
§4. Текстовые задачи с целочисленными неизвестными
323
предприятии сократился на 93%. Определить продолжительность третьего этапа реконструкции.
Ответы
1. 15 и 95. 2. 48. 3. 36. 4. 10 яшиков. 5. 23. 6. 189. 7. 218. 8. 37,
48 или 79. 9. 24 или 42. 10. 19 «Волг» и 10 «Москвичей». И. 9 пятиэтажных,
11 девптиэтажных. 12. 45 первого и 20 второго. 13. 25. 14. 5. 15. Цехов
1-го и 2-го типов по 2, третьего 4. 16. 11, 17. 7 месяцев.
Глава XX
КОМБИНАТОРИКА
§1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМБИНАТОРИКИ
На практике часто приходится выбирать из данного множества объектов подмножества элементов, обладающих некоторыми свойствами, располагать элементы одного или нескольких множеств в определенном порядке и т. д. Поскольку в этих задачах речь идет о тех или иных комбинациях элементов, их называют комбинаторными задачами. Область математики, изучающая комбинаторные задачи, называют комбинаторикой. Она является частью теории конечных множеств —любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах.
Различают несколько уровней рещения комбинаторных задач. Начальным является поиск хотя бы одного расположения объектов, обладающего заданными свойствами (например, расположения восьми ферзей на шахматной доске, не бьющих друг друга). Если комбинаторная задача имеет несколько рещений, то возникает вопрос о подсчете числа таких решений, об описании всех решений задачи. И наконец, может возникнуть проблема поиска оптимального варианта решения в случае, если различные решения комбинаторной задачи отличаются друг от друга некоторыми параметрами. Для подсчета числа решений комбинаторных задач используются формулы, основанные на двух простых правилах, называемых правилами произведения и суммы.
Правилом суммы называют следующее утверждение. Если множества Х\, Х2,...,Хп попарно не имеют общих элементов, т. е. Xi Г\ Xj = 0 при i Ф /, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов в каждом из множеств |Xi UX2 и ... иХл| = |Xi| Ч- IX2I -Ь ... -Ь |Хп|.
При п = 2 правило суммы можно сформулировать так:
Если элемент х можно выбрать k способами, а элемент у можно выбрать т способами, причем любой выбор элемента х отличен от любого выбора элемента у, то выбор х или у можно сделать k-\-m способами.
Правилом произведения называют следующее утверждение. Если даны два множества X и Y, состоящие соответственно из k и т
§ I. Основные законы комбинаторики
325
элементов, то пару (х, у) такую, что xGX,y& К, можно составить km способами. Правило произведения можно переформулировать так:
Если элемент х можно выбрать k способами, а элемент у можно выбрать т способами, то пару (х, у) можно выбрать km способами.
Замечание. Правило обобщается на случай, когда выбирается не пара, а тройка, четверка элементов и т. д.: если элемент х\ можно выбрать к\ способами, элемент Х2 можно выбрать способами, ... элемент Хт можно выбрать km способами, то набор (х\,Х2, ■ ■ ■, Хт) можно выбрать k[ х ■ ■ ■ х km способами.
• •
Рис. 1
Пример 1. Бросают две игральные кости (с шестью гранями каждая) (рис. 1). Сколькими способами они могут упасть так, что либо на каждой кости выпадет четное число, либо на каждой кости выпадет нечетное очков?
Л Пусть fe —число способов выпадения на каждой кости четного числа очков, т — число способов выпадения на каждой кости нечетного числа очков. Тогда по правилу суммы искомое число равно k + т.
Пусть k] — число способов выпадения четного числа очков на первой кости, а /гг ~ число способов выпадения четного числа очков на второй кости. Тогда fei = /гд = 3 и по правилу произведения ^ = fei ■ ^2 = 9. Аналогично получаем, что т = 9. Следовательно, искомое число способов равно ^ + т = 9 + 9=18. А
Упорядоченный набор (xj, хг, ... , Хт), где х; € А,-, называется кортежем длины т, составленным из элементов множеств Х\, Х2, ..., Хт, и является элементом декартова произведения
X A"2 X ... X Хт- Элемент х,(1 < г ^ т) называют i-й компонентой или i-й координатой кортежа (xj, хг, ... , Хт)- Если все множества Xi равны А, то (х(, хг, ... , Хт) называется кортежем длины т, составленным из элементов множества X.
Два кортежа (х], Хг,..., х„) и (У1,У2, ■ ■■, Ук) считаются равными, если длина их одинакова, а их компоненты, имеющие одинаковые номера, равны.
Например, равны кортежи а=(2, -\/9, 3^) и /3=(\/4, 3, 9), так как 2 = \/4, \/9 = 3, 3^ = 9, и неравны кортежи (а, Ь, с) и {Ь, а, с), так как порядок их компонент различен.
Пример 2. Сколько различных кортежей длины k можно составить из элементов множества А= {х|, хг,..., х„}, если это множество не содержит одинаковых элементов?
Д Используя правило равенства кортежей, получаем, что два кортежа одинаковой длины различны, если они различаются порядком
326
Глава XX. Комбинаторика
следования элементов. Будем из элементов х\, Х2, х„ составлять различные кортежи.
Так на первую позицию можно поместить любой из п элементов ЛС], Х2, Хп на вторую уже любой из л — 1 элементов, а различных способов для заполнения первых двух позиций по правилу произведения получается л(л — 1). Далее аналогично, на третью — любой из л — 2 элементов, а различных способов для заполнения первых трех позиций получается л(л-1)(л —2), и т. д. Окончательно получаем, что общее число кортежей длины /г, формируемых из различных элементов л-элементного множества,
равно л • (л — 1) •... ■ (л — & -f 1) =
{n-k)l
Пример 3. Сколько различных кортежей длины k можно составить из элементов множества X = .^i иЛг U... иЛп> где каждое множество Xi состоит из k или более одинаковых элементов л/, причем все элементы Х[, Х2, ■■■, Хп различны?
Д По аналогии с предыдущим примером будем из элементов Х\, Х2, Хп составлять различные кортежи. Так как на первую позицию можно поместить любой из л элементов х\, Х2, ..., х„ и на вторую также любой из л элементов, то различных способов для заполнения первых двух позиций по правилу произведения получается л • л = л^. Далее аналогично, на третью —любой из л элементов, а различных способов для заполнения первых трех позиций получается л^, и т. д. Окончательно получаем, что общее число кортежей длины к в этой задаче равно п. ■ п ■... • п = п^. А
k раз
Задачи
1. Сколькими способами можно расставить на книжной полке подряд друг за другом книги десятитомного собрания сочинений?
2. В подземную пещеру ведут 6 путей. Сколько туристических маршрутов посещения можно составить, чтобы спуск и подъем происходили по различным путям?
3. 1) Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с вертикальными
полосами одинаковой ширины и различных цветов, если имеется материя 7 различных цветов?
2) Сколькими способами можно сделать флаг, содержащий 7 вертикальных полос одинаковой ширины красного, белого и синего цвета, причем любые две соседние полосы должны быть разных цветов?
4. В некотором государстве нет двух жителей с одинаковым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность этого государства? Напомним, что у человека может быть не более 32 зубов.
§2. Основные формулы комбинаторики
327
5. 1) Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 9.
чтобы каждая цифра входила в число не более одного раза? Найти сумму всех этих чисел.
2) Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр О, 2, 3, 4, 8, 9, если каждая цифра, входящая в число, может повторяться? Найти сумму всех этих чисел.
6. Сколько существует четырехзначных чисел, в которых две единицы стоят рядом, а остальные цифры различны и не равны 1? А пятизначных?
7. 1) Сколькими способами можно на шахматной доске расставить 8 ладей,
чтобы они не били друг друга, если: а) ладьи неразличимы; б) ладьи различимы (например, пронумерованы)?
2) Сколькими способами можно на шахматной доске расставить 7 ладей, чтобы они не били друг друга, если: а) ладьи неразличимы; б) ладьи различимы (например, пронумерованы)?
8. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево? А шестизначных?
9. Пусть pi, Рй,---, р* —различные простые числа. Сколько делителей имеет
число а = р"‘ -Р2^ •... -р^*, где — некоторые натуральные числа,
включая I и само число а?
10. Сколько диагоналей имеет выпуклый п-угольник?
1. 10! 2. 30. 3. I) 210;
39 999 600; 2) 1080; 6135 480.
Ответы
2) 3 •
6. 200
2® = 1848.
192. 4. 2
32
5. 1) 720;
б) (8!)'"; 2) а) 8! • 8=322 560; б) (7!) • 8!
9. («, + 1)(«2 + !)...(«* + 1). 10.
(81)2.
1) а) 8! = 40 320; 8. 900; 900.
§2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ
1. Размещения с повторениями
Кортежи длины k, составленные из элементов /г-элементного множества X, называют также размещениями с повторениями из п элементов по к. Их общее число обозначают Л* (Л — первая буква Франц, arrangemen/ —размещение). Из примера 3 предыдущего параграфа следует, что
= (1)
Пример 1. Имеется 5 различных стульев и 7 рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно выполнить обивку стульев?
Д Так как стулья различны, то их можно расположить в определенном порядке, и каждому способу обивки будет соответствовать кортеж длины 5, составленный из данного 7-элементного множества
цветов ткани. Их число найдем по формуле (1); Лу = 7^ = 16807. А
328
Глава XX. Комбинаторика
Пусть есть fe-элементное множество X и п-элементное множество Y. Для подсчета числа отображений / множества X в множество Y (f:X—^Y) используется формула числа размещений с повторениями из п элементов по k элементов. Число отображений k-элементного множества в п-элементное множество равно Л* = /г*.
Этот результат позволяет найти число подмножеств «-элементного множества X. Для этого возьмем числа О и 1. Каждому подмножеству А множества X соответствует отображение ср множества X в множество {0; 1}, при котором элементы из А отображаются в 1, а остальные —в 0. Число таких отображений равно 2", где « — число элементов множества X. Значит, число подмножеств п-элементного множества X равно 2".
Пример 2. Сколько существует способов размещения « различных предметов по т различным ящикам?
Д Каждый предмет может быть помещен в любой из т ящиков. Тогда по правилу произведения число размещений « различных предметов по т различным ящикам равно
т-т
т
т''=А1.
2. Размещения без повторений
Во многих случаях возникает задача нахождения числа кортежей длины k из элементов данного «-элементного множества, в которых нет повторяющихся элементов. Образование таких кортежей можно наглядно представить следующим образом.
Элементы множества Л”, помещенные в мешок, извлекаются из него один за другим без возвращения назад и записываются. После k извлечений запись представляет собой кортеж длины k, состоящий из элементов множества X (точнее говоря, из их названий), без повторов. Кортеж состоит из k различных элементов, расположенных в определенном порядке. Такие кортежи называют упорядоченными множествами. Их отличие от произвольного кортежа состоит в том, что в них нет двух одинаковых элементов.
Одно и то же множество можно упорядочить различными способами (например, множество школьников данного класса можно упорядочить по возрасту, росту, весу, алфавиту).
Если задано «-элементное множество X н k4^n, то можно составить различные упорядоченные fe-элементные множества, в которые входят лишь элементы множества X. Например, для множества {а, Ь, с, d} можно составить 12 упорядоченных подмножеств по два элемента в каждом: (а, Ь), {Ь, а), {а, с), (с, а), (а, d), (d,a), {b, с), (с, Ь), {Ь, d), {d, b), (с, d), {d, с).
§2. Основные формулы комбинаторики
329
Упорядоченные ^-элементные подмножества данного множества X, содержащего п элементов, называют размещениями без повторений из п элементов по k. Их число обозначают Л*. Из примера 2 предыдущего параграфа следует, что
A^„ = n-{n-\)-....{n-k + l). (2)
Формулу (2) можно записать в виде
(3)
дА; _ п\
пример 3. Сколькими способами из 40 учеников класса можно выделить актив в следующем составе; староста, физорг и редактор стенгазеты?
Л Требуется выделить упорядоченные трехэлементные подмножества множества, содержащего 40 элементов, т. е. найти число размещений без повторений из 40 элементов по 3. По формуле (2)
находим A^q = = 40 X 39 X 38 = 59 280. А
3. Перестановки без повторений
Пусть множество X содержит п элементов. Рассмотрим его различные упорядочивания Получаемые при этом упорядоченные множества (кортежи) отличаются друг от друга лишь порядком входящих в них элементов и называются перестановками без повторений из п элементов. Число перестановок без повторений обозначается Р„ (от фран. permutation — перестановка) или Р{п). Например, Р^ = 6, так как из элементов а, Ь, с можно составить шесть перестановок: (а, Ь, с), (а, с, Ь), {Ь, а, с), (Ь, с, а), (с, Ь, а), {с, а, Ь).
Чтобы найти выражение для заметим, что перестановка без повторений из п элементов — это то же самое, что размещение без повторений из п элементов по п. Поэтому для отыскания Рп по формуле (2) положим k — n:
Р„ = п • (« - 1) • (п - 2) •... • 2 • 1 = rt! (4)
Пример 4. Сколько существует пятизначных чисел, не кратных пяти и не содержащих одинаковых цифр, составленных из цифр I, 2, 3, 4, 5?
Л Из пяти различных цифр можно составить Р5 пятизначных чисел. Эти числа не должны быть кратны 5, т. е. не могут оканчиваться цифрой 5. Если же цифру 5 поставить на последнее место, то остальные могут распределиться по разрядам числа Р4 способами. Поэтому условию задачи удовлетворяет Р5 — Р4 = 5! — 4! = 120 — 24 = 96 чисел. А
330
Глава XX. Комбинаторика
4. Сочетания без повторений
Неупорядоченные подмножества, содержащие k элементов из данного «-элементного множества, называют сочетаниями без повторений из п элементов по k, а их число обозначают С* (от Франц, comfe/naiiort— сочетание). Отметим, что С^ = 1, т. е. каждое множество X имеет лишь одно подмножество, не содержащее элементов (пустое множество). Количества сочетаний и размещений связаны соотношением A„ = k\ - С*, так как упорядочить каждое сочетание (получив при этом размещение) можно k\ способами.
. /\к
Отсюда С„ = -jf. Используя формулу (3), получим
ci =
{п — Л)!Д:! ‘
(5)
Пример 5. Сколькими способами можно расставить на 32 черных полях шахматной доски 12 белых и 12 черных шашек?
Д Поля для белых шашек можно выбрать C3I способами. После
этого остается 20 полей, на которых можно способами выбрать поля для черных шашек. Следовательно, искомое количество способов равно С^|-С‘2. А
Пример 6. На плоскости проведены « прямых, среди которых нет ни одной пары параллельных прямых и ни одной тройки прямых, пересекающихся в одной точке. Найти:
1) число точек пересечения этих прямых;
2) число треугольников, образованных этими прямыми;
3) число треугольников, которые можно построить, взяв в качестве вершин точки пересечения этих прямых.
Д 1) Число точек пересечения прямых равно числу способов выбора неупорядоче}шой пары прямых, т. е. С^-
2) Аналогично, каждый треугольник определяется тройкой прямых, поэтому общее число треугольников равно С^.
3) При пересечении указанных « прямых образуется точек. Выбрав три точки из этого множества, треугольник можно построить в случае, если эти точки не лежат на одной прямой. Каждую из п прямых остальные прямые пересекают в «— 1 точке. Соответственно, на каждой прямой можно выбрать неупорядоченных троек точек, построение треугольника по которым невозможно.
Всего способов выбора трех точек из множества, содержащего точек, имеется С^, где т = С^. Исключая отсюда число
§2. Основные формулы комбинаторики
331
выборов троек точек, лежащих на одной прямой, получаем, что искомое число равно
где т = с1. А
Пример 7 {задача о книжной полке). На книжной полке стоят п книг. Сколькими способами можно выбрать из них k книг так, чтобы в их число не попали никакие две стоящие рядом?
Д Рассмотрим последовательности из k единиц и m = n — k нулей. Посчитаем количество таких последовательностей, в которых никакие две 1 не стоят рядом. Отметим, что каждой такой последовательности соответствует способ выбора книг на полке.
Для подсчета запищем сначала т нулей. Тогда у единиц получается т + 1 место, из которых два по краям и m — 1 мест в промежутках между нулями. На любое из них можно поставить одну из k единиц. Следовательно, это число способов равно
Г*
rfi
Значит, выбрать k книг так, чтобы в их число не попали никакие две стоящие рядом, можно С^_^+\ способами. Заметим, что задача разрешима, если 2fe