Учебник Математика Алгебра 10 класс Шабунин Прокофьев

О, sin — = 2sin — cos ^ < 0, ’ 9 9 9 9 9 TO точка 2 лежит в четвертой четверти, а ее аргумент заключен между у и 2д. Имеем 2 = 2cos 5л 5л ( 9 V 5л . • • 5л COS — +1 sin — 9 9 )■ где COS у < О, и поэтому полученная запись не является тригонометрической формой. Преобразуем; 2 = —2 cos ^ (— cos ^ — i sin —^ = 9 \ 9 9 J = -2cos^ (cos (д+ у) +/sin , т. е. 2 = -2 cos у (cos iy + i sin ^ 5тг , -)■ Так как —2 cos у > О, то эта запись является тригонометрической формой комплексного числа 2. А Замечание. Для двух комплексных чисел 2| = г\(cos ф{ Ч- isin ф]), Z2 = ггСеоз (р2 + < sin ^), записанных в тригонометрической форме, равенство z\ = 22 имеет место тогда и только тогда, когда Г| = гг и ф\ = ср2 + где k — некоторое целое число. 266 Глава VI. Комплексные числа 3. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Формула Муавра Пусть комплексные числа zi и Z2 записаны в тригонометрической форме: 2] =/-((cosipi + isin ipi), Z2 = r2(cos(f2 + isin ip2)- (5) Вычислим произведение этих чисел. Из равенств (5) получаем: 2(22 = ri(cos ф| + isin ф|) • Л2(со5<Р2 + г sin fp2) = = rir2fcos ф| cos ф2 “ sin ф| sin f2 + ^sin 0. Равенство (6) означает, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Более точная формулировка такова: Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения. Вычислим частное считая, что 22 ^ 0. Используя правило ^2 деления комплексных чисел, получаем: £|^ _ Г|(со5<у| -г isin (pi) _ Г| (cos(р\ 1 sin ipi)(cos «2 ~ 2)-l-«sin(9i -Ф2)]. '"2 T. e. = -!-[cos((jJ| -(p2) + «sin(^| -ф2)1- ^2 '"2 (7) Из формулы (7) следует, что Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного. Из формулы (6) следует, что (cos (р + i sin (р)^ = cos 2(р + i sin 2(р, (cos ср + i sin rp)^ = cos 3(p -|- i sin 3(p. §4. Тригонометрическая форма комплексного числа 267 Вообще для любого «GN (и далее для neZ) справедлива формула (cos ф + i sin ф)" = cos п<р + i sin п(р, (8) которую называют формулой Муавра. Для доказательства равенства (8) следует использовать метод математической индукции. Из равенства (8) получаем формулу возведения в целую степень п комплексного числа а, записанного в тригонометрической форме (4): z” = /‘(cosпср + isin пгр), п eZ. (9) Пример 3. Представить комплексное число (1 — 0® в алгебраической форме, т. е. в виде а -Ь Ы. Д Модуль комплексного числа 1 — г равен \/2, а аргумент равен Следовательно, по формуле (9) имеем (1 — о® = (\/2)®(cos 14 л-р / sin 14 л) = 16. А Пример 4. Вычислить 1* I (1-0® Д Так как 1 -\- /\/3 = 2 ^cos f + 5) > \ — i=\/2 j^cos ^ sin > то, применяя формулу (9), находим (1-ь/\/3)® = 2®(соьЗл-(-/ь1пЗл) = = -2^, (1 - /)8 = (у^)8(со5(-2л) + /51п(-2л)) = 2“. Следовательно, (1+/ч/3)9 -2» (1-0® 24 = -32. Пример 5. Записать в тригонометрической форме комплексное (1 + 0^ число 2 = (I - «Ч/З)® ■ Д Так как I +i = ^2 ^cos ^ + *sin , I — tVS = 2 ^cos + ТО (I 4- /)® = (V^)^ ^cos ^ -f / sin = (^/2)^ ^cos | + /sin , (1 — /\/3)® = 2® |cos(—2л) -I- /sin(—2л)] = 2®. Следовательно, 2‘'\^fcos j т (Sin ,/o / _ 2=--------^-----------^ = ^ (cos^-l-/sin ^ ) . A 26 4 \ 4 4/ 268 Глава VI. Комплексные числа Задачи 1. Найти все аргументы комплексного числа: I) 4; 2) -5; 3) 2/; 4) -5<; 5) 6) -2 + 2/. 2. Записать в тригонометрической форме комплексное число: 1) sin /cos 2) — cos^4 /sin f; ' 5 5 7 7 3) 1Ч-/. 1-/’ 4гг. 4) -2 I 2t\/3; 5) I - cos ^ Ч/sin6) 3. Записать в алгебраической форме комплексное число г: (I 1 /)9 I) а = (I <) т 2) Z-(l .|./)«(|-/\/3)«; 3) г: ^/'^Н n/3 /О^ 4) z = (2<У 4 У ■ (-v^ | (Ч/2)®' 4. Записать в тригонометрической форме комплексное число г: ( 7Г . . ТТЛ /1 . .\/3\ 1) г-(\/3-/)'"®; 2)2 = 3) ^ - Л 'f) ¥ + '■(' 5. Найти число с наименьшим положительным аргументом среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию: 1)|2+1-/1 = 1; 2) [2 / 3 - n/3/К Уз. „ „ /| 4(Igof\ I I itena 6. Доказать равенство I ----------) = ----------. \ I — / tga/ I — (tgmar где rt € N. а У ^ Ч hn. па / I Ч fert, * € Z. Ответы 1. I) 2*д;2) (2/г+1)д, ifeeZ; 3) ^+2кк. keZ,'i) -^+2kn. keZ\ 5) ^-+2кк,ке1у, I zb 6) ^ + 2Лл. к^Ъ. 2. 1) cos^^^ I О и не имеет действительных корней при а <0. Однако уравнение z^ = — l, не имея действительных корней, имеет два комплексных корня z\ — i, Z2 — —i, так как уравнение 2^ = —1 можно записать в виде z^ — й = 0. Аналогично, уравнение т? — а, где а < О, записанное в виде z^ — i^\a\ = {z — i\/\a\){z + с\/\а\) = О, имеет два корня z\ = iy/\a\ и 22 = -/х/Й- Условимся один из этих корней (например, z\=i^/\a\) обозначать символом ^/a, тогда второй корень равен —л/а. При таком соглашении для любого а G М корни уравнения z“^ = а (2) можно находить по формуле 212 = ±\/а- (3) 2) Пусть Ьу^О. Покажем, что и в этом случае уравнение (1) имеет два корня, которые являются взаимно противоположными числами. Пусть z = u + iv, где и G К, ие М. Тогда (ы + iv)^ — а + Ы, откуда — а, 2uv - Ь. (4) Найдем действительные решения системы (4). Из второго уравнения Ь этой системы находим v= — и подставляем найденное значение v 2и в первое уравнение. Получаем биквадратное уравнение 4и'* - 4аи^ - = О, имеющее лишь два действительных корня Ы| = \/а^ I Ч о И U2 ^ Ч- + а Если и = и\, то V ■■ 2“' \/2(v/q2 + <^+'^ Ь / \/а i6iV 2 ч- _ а 270 Глава VI. Комплексные числа 'Г Ь ‘ ' и I \/Ч" ^ — о Так как ^^signo, то 0| = sign о • у^-----. Если и = U2 = —U\, то V = V2 = —v\. Таким образом, уравнение (1) при Ь^О имеет два различных корня Из формулы (5) следует, что если 6>0, то ^1,2 = ± + а если Ь < О, то ^1,2 - ± 'Уа'^ I I а _ / У— а (5) (6) (7) Пример 1. Решить уравнение 2^ = 12 —5/. Л По формуле (7), в которой о =12, 6 = —5, находим •\/a^ + = 13, х/а^ + 6^ + а = 25. у/а^ + — а = I, т. е. л, = ^(5-А, Z2 = ±h5 + i). 2. Квадратные уравнения общего вида Рассмотрим уравнение a2^ + te + с = О, а 0. (8) Пусть а, Ь, с — действительные числа и D = b^ — 4ас > 0. Тогда корни квадратного уравнения (8) определяются формулами -6± У IP’ - Аас ^1,2 = 2а ДЛЯ получения которых уравнение (8) представляется в виде Ь iP — 4ас 4а^ (9) (10) Если О<0, то правую часть формулы (10) можно записать в виде ,2 - . г.---- §5. Квадратные уравнения с комплексными коэффициентами 271 а корни уравнения (8), как и корни уравнения = а, где а < О, можно находить по формуле (11) 2а 2а ^ ' или по формуле (9). Из формулы (И) следует, что в случае, когда коэффициенты квадратного уравнения являются действительными числами, его корни комплексно сопряжены. Если а^О, а, Ь, с —комплексные числа, то и в этом случае для решения уравнения (8) можно пользоваться формулами (9), так как уравнение (8) при любых комплексных а, Ь, с {афО) представляется в виде (10). При этом для нахождения значений выражения \/Ь^ — 4ас следует применять формулу (5). Заметим еще, что для квадратного уравнения (8) с комплексными коэффициентами справедлива теорема Виета: если z\ и Z2 —корни квадратного уравнения (8), то (12) ■2|+2'2 =----, Z]Z2 а Верна также теорема, обратная теореме Виета: если z\, 22 —такие комплексные числа, что справедливы равенства (12), то эти числа являются корнями квадратного уравнения (8). Пример 2. Решить уравнение z^ + 62 + 58 = 0. Д По формуле (9) находим 2 = —3±л/9 — 58 = —3±-\/—49 = —3±7/, т. е. 2| = —3 + 71, 22 = -3 — 7i. А Пример 3. Решить уравнение 2^ — (5 + i)z + 8 + г = 0. Л Применяя формулу (9), получаем _ 5 + <• dr ^(5 -f 0^ - 4(8 +7) _ 5+ <•±■/-8 + 6» 1,2 2 2 ■ По формуле (6) находим один из корней уравнения ау^ = —8 + 6/: Следовательно, 2| 2 = ^ откуда 2| = 3 + 2/, 22 = 2 — г. 272 Глава VI. Комплексные числа Пример 4. Составить приведенное квадратное уравнение с дей-ствитедьиыми коэффициентами, имеющее корень Z| = —2 + 5/. А Так как коэффициенты уравнения действительны, то второй корень г<1 этого уравнения равен Z2 = —2 —5/. По теореме, обратной теореме Виета, корни 2|, z п и bj = 0 при j > т. Если произведение двух многочленов равно нулю, то хотя бы один из этих многочленов равен нулю. Непосредственной проверкой легко убедиться, что операции сложения и умножения многочленов обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, т. е. Р{Х) 4- Q{x) = Q(x) 4- Р{Х), {P{x) + Q{x))+R{x) = P{x) + (Q(x) 4- R{x)), P{x) • Q{x) = Q{x) ■ P{x), {P{x) ■ Q{x)) R{x)=P{x) • {Q{x) ■ R{x)), P{x) • (Q(x) 4-Л(л;)) = P{x) ■ Q{x) + P{x) • R(x). 278 Г;1ава VII. Многочлены от одной переменной Пример 1. Найти неизвестные коэффициенты, при которых будет выполняться следующее равенство: ex'* — х^ — 5х^ + 4je + 1 = (2х + 3){ах^ + Ьх^ + сх—\) — 7х^ + 4. Д Перемножая многочлены в правой части равенства и приводя подобные, получим 8х''-х^-5x“^ + 4x+\ = = 2ах'^ + 2Ьх^ + 2сх^ — 2х + Зах^ + ЗЬх^ + Зсх — 3 — 7х^ + 4 — — 2ах^ + (2Ь + За — 7)х^ + (2с + 36)x^ + (Зс - 2)л: + I. Из определения равенства многочленов следует ('2а-8, 2Ь + За-7 = -1, 2сл-ЗЬ = -5, Зс - 2 = 4. Отсюда получаем а = 4, 6 = —3, с = 2. А Вычесть из многочлена Р{х) многочлен 7(х) —это значит найти такой многочлен Q{x), что Р{х) = Q{x) + Т(х). Многочлен Q(x) называют разностью многочленов Р{х) и ^(л:). Для любых двух многочленов Р(х) и ^(л:) существует и притом только один многочлен Q{x), являющийся их разностью. Он записывается в виде Q(x) = Р(х) - Т{х). Особое место в теории многочленов занимает деление одного многочлена на другой. Пусть заданы многочлен Р(х) степени 1 и ненулевой многочлен Т{х). Если существует такой многочлен Q(x:), что для всех х выполняется равенство P{x)=T{x)Q{x), (2) то говорят, что многочлен Р{х) делится на многочлен Т{х) или Т(х) делит Р{х), а формулу (2) называют формулой деления многочленов, многочлен Q{x) называют частным. Простые примеры показывают, что один многочлен делится на другой нс всегда. Например, многочлен х^ + 2 не делится на многочлен x-f 1. Действительно, в противном случае имело бы место равенство х^ + 2 = (х + 1) ■ Q(x), где Q(x) — некоторый многочлен. Но при X = — 1 левая часть этого равенства принимает значение 3, а правая — значение 0. Следовательно, написанное соотнощение не может иметь места ни при каком Q(x). Итак, в множестве многочленов деление осуществимо не всегда. Однако имеет место более общая операция, называемая деление с остатком. § 1. Основные определения 279 Пусть заданы многочлен Р(х) степени и ненулевой многочлен Т(х) степени т'^ I, где т^п. Говорят, что многочлен Р(х) делится на многочлен Т(х) с остатком, если найдутся такие многочлены Q(x) и /?(х), что для всех х выполняется равенство P{x) = T{x)Q(x)+R{x), (3) где многочлен Q(x) — (неполное) частное, степень которого k = n — m\ а R(x) — остаток, степень которого р < т. Тождественное равенство (3) называют формулой деления многочленов с остатком. Если остаток R(x) — О, то говорят, что многочлен Р(х) делится нацело на многочлен Т(х). Пример 2. Разделить многочлен Я(л:) = 9л: — 5 — 17х^ + ex'* + на многочлен Т(х) = 4jc — 5 + Зх^. Д Приведем многочлены Р(х) и Т(х) к стандартному виду: Р(х) = 6х‘* + 5х® — 17х^ + 9х — 5 и 7'(х) = Зх^ + 4х — 5. Старший член многочлена Я(х) есть бх**, а старший член полинома Т(х) есть Зх^, следовательно, старший член частного равен ex'* 2х^. Тогда Р(х) — 2x^7’(x) = —Зх^ — 7х^ + 9х — 5 = Л4(х). Степень Л4(х) больше степени Т’(х), поэтому продолжим процесс деления. Деля старший член многочлена Л4(х) на старший член полинома Т'(х), получим —х. Вычитая из М(х) многочлен (—х)Т’(х), получим М(х) - (-х)Т’(х) = = (—Зх^ — 7х^ 4- 9х — 5) - (—Зх^ — 4х^ + 5х) — —Зx^ + 4х — 5 = 5{х). Степень многочлена S(x) равна степени многочлена Т'(х), деля старший член многочлена S(x) на старший член полинома Т'(х), получим —1. Далее: 5(х) - (-1)Г(х) = (-3x2 ^ 4^. _ 5) _ (_ I )(3д;2 + 4х - 5) = 8х - 10 = /?(х). Степень многочлена R(x) меньше степени многочлена Т(х). Значит этот многочлен — остаток от деления многочлена Р(х) на многочлен Т(х). В данном примере получаем, что частное Q(x) = 2х^ — х — 1, остаток R(x) = 8х — 10 и ex'* -Г 5х^ — 17x2 -Ь 9х — 5 = (3x2 — 5)(2х2 _ 4. ^3^. _ jqj д 280 Глава VII. Многочлены от одной переменной Для деления многочлена Р(х) на многочлен Т(х) с остатком можно применять следующий алгоритм; 1) расположить делимое и делитель по убывающим степеням х; 2) разделить старший член делимого на старший член делителя и полученный одночлен сделать первым членом частного; 3) первый член частного умножить на делитель, результат вычесть из делимого; полученная разность является первым остатком; 4) чтобы получить следующий член частного, нужно с первым остатком поступить так, как поступали с делимым в пунктах 2 и 3. Эту процедуру следует продолжать до тех пор, пока не будет получен остаток, равный нулю, или остаток, степень которого меньше степени делителя. Сформулируем и докажем две теоремы о делении многочленов с остатком. Теорема I. Для любых многочленов Р{х) и Т{х), где Т{х) ф О, существует пара многочленов Q(jc) и Р(х) таких, что выполняется равенство Р{х) = Т{х) ■ Q{x) + R{x), причем либо степень многочлена R{x) меньше степени многочлена Т{х), либо R{x) — 0. О Возможны несколько случаев. 1) Многочлен Р(х) = 0 и ^{х) —любой отличный от нуля многочлен. Тогда многочлены Q(jc) = 0 и R(x) = 0 удовлетворяют условиям теоремы. 2) Р(х)фО и степень многочлена Т(х) больше степени многочлена Р(х). Тогда многочлены Q{x) = О и R(x) = Р(х) удовлетворяют условиям теоремы. 3) Р(х)фО и Т(х) = с, где с —константа, отличная от нуля. Тогда многочлены Q{x) — и R{x) = О удовлетворяют условиям теоремы. ^ 4) Пусть, наконец, Р{х) имеет степень я, где п^1, а Т{х) имеет степень т, где 1 ^ /и ^ п. Тогда Рп{х) = аох" + а\х"~^ -f ... +а„_|л:-|-ап, Тт(х) = Ьох"‘ -{-Ь\Х'"~' + ... +Ьт^\Х-\-Ьт, где аофО, ЬофО. Найдем многочлены Q{x) и R(x), удовлетворяющие условиям теоремы. Для этого построим вспомогательную последовательность многочленов Qn^{x) следующим образом. Положим „ Qn,{x) = P„{x)-^x"-'”Tm{x). § I. Основные определения 281 Тогда либо Qm W=0, либо Рл|(х)=ац^л:"'+а|’^х”'“’+.. причем О и степень П] многочлена Q^ix) меньше п. Если п\<т или QniW = 0, то многочлены Q(jc) = — л;”"'" и /?(л:) = Q„,(х) удовлетворяют условиям теоремы. Если же щ > т, то делаем следующий шаг, т. е. берем а<'> Qn,ix) = Qrn{x)-^x"'-'"T^{x). Ьо Тогда либо Qniix) = О, либо п > п\ > П2 и + арл:"2“' + ... + причем ^ 0. Если П2 < т или QnAx) = 0, то многочлены Q(jc) = а<’> Н—и R{x) = Q„.^{x) удовлетворяют условиям "0 *0 теоремы. Если же П2 ^ т, то делаем следующий шаг. Поскольку на каждом шаге степень многочлена Qn*W уменьшается: п > п\ > П2 > ..., то на некотором к-м шаге число пд. станет меньше т или Qn,,{x) = 0 и процесс закончится. В результате получим f[0 ^п-т Рп(х) ( ^ л:”"™ + ^ -Ь ... + ) V *0 *0 *0 / Tm{x) + Q„^{x). Тогда многочлены Q{x) — —x'^~'^ *0 -р _о_ jc"'-"' -Ь ... + --2_____ Ьо *0 и R{x) = Qrn{x) удовлетворяют условиям теоремы. Теорема 2. Пара многочленов Q(x) и R(x), удовлетворяющих условиям теоремы /, единственна. О Предположим, что существует две пары многочленов Q(x), R(x) и q{x),r{x) таких, что выполняются равенства P{x) = T(x) Q{x) + R{x) и Р{х) — Т(х) • q{x) -Ь г(х), причем степени многочленов R(x) и г{х) меньше степени многочлена Т{х). Из равенства многочленов в левых частях равенств следует, что Т{х) ■ Q{x) + R{x) — Т(х) ■ q(x) + r{x) или Т(х) ■ iQ(x) - q(x)) = r(x) - R{x). (4) Если правая часть последнего равенства тождественно равна нулю, т. е. г{х) — R{x) = О, то и Q{x) — q{x) = О, так как по условию теоремы Т{х) ф 0. Следовательно, имеет место единственность. Предположим, что л(х) — R{x) ф 0. Так как степень многочлена г(х) — /?(х) не выше степени каждого из них, то она меньше 282 Глава VII. Многочлены от одной переменной степени многочлена Т{х). С другой стороны, степень многочлена Т{х) ■ (Q{x) — q{x)) либо больше, либо равна степени многочлена Т{х). Следовательно, степени многочленов в левой и правой частях равенства (4) нс совпадают, что противоречит определению равенства многочленов. Получили противоречие. Значит, г(х) — R{x) — О, а в этом случае единственность уже доказана. • Кроме приведенного выше алгоритма для определения коэффициентов многочленов Q{x) и R{x) на практике обычно используют один из следующих методов: метод неопределенных коэффициентов или способ деления многочленов «уголком». 3. Метод неопределенных коэффициентов Суть метода неопределенных коэффициентов заключается в следующем. Пусть требуется поделить многочлен Р„{х) = aQx'^ + а\х" '-Г...-1-а„_1л:-Ьап на многочлен Тт{х) = box'" + Ь\Х"'' ' 4- . . . Ч- 6„,_|Х Ч- 6т, где п'^ т, uq, qj, ..., а„ и bQ, Ь\,..., Ь„ — известные числа, причем Uq Ф 0. Представим частное Q{x) и остаток R{x) в виде: Q(jc)=cox" "’+с\х" 'ч-.. .Ч-с„_т и/?(х)=^ох'" 'ч-rfiJc'" ^Ч-. ..Ч-dm-b где коэффициенты с,- и dj пока не определены и софО. Потребуем, чтобы выполнялось равенство Pn{x) = TM)Q{x)-i-R{x). (5) Перемножая и складывая многочлены в правой части равенства (5) и приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях X в левой и правой частях (5), получим п + I равенство, для определения нЧ-1 коэффициента со, ci, ... , ... , dm-\- Пример 3. Пусть Р{х) — ex'* ч- 5х^ — Пx^ Ч- 9х — 5, а Т(х) = = Зx^ Ч- 4х — 5. Найти многочлены Q(x) и /?(х) такие, что Р(х) = = Т(х) ■ Q(x) Ч- R(x) и степень многочлена R(x) меньше степени многочлена Т’(х). Л Положим Q(x) = Cqx^ Ч- cix Ч- Сг и R(x) = dgx + d\. Запишем равенство 6х''ч-5х^ — Пx^-l-9x —5={3x^ Ч-4х — 5) • (cqx^ Ч- С|ХЧ- сг) + Ф)-Раскрывая скобки и приводя подобные, получим: бх'* Ч- 5х^ — Пх^ Ч- 9х — 5 = Зсох'' Ч- (4cq Ч- Зс|) х^ Ч- Ч- (~5со Ч- 4с| Ч- ЗС2) ^ -Ь (~5с| Ч" 4с2 Ч- do) х -Р (—5с2 -{- i/i). §1. Основные определения 283 По определению равенства многочленов получаем систему уравнений 'Зсо = 6, Acq + 3ci = 5, — 5cq + 4с| + Зс2 — — II, — 5с| + 4с2 + d-Q = 9, — Ьс2 d\ = —5. Отсюда находим cq = 2, С| = —I, С2 = 1, cIq = 0, d\—0. Следовательно, Q{x) = — х + I и R{x) = 0. А 4. Метод деления многочленов «уголком» Теоретическим обоснованием и фактически изложением способа деления многочленов «уголком» является доказательство теоремы 1. Рассмотрим этот метод на примере. Пример 4. Разделить «уголком» многочлен Р{х) = ex'* + 5х^ — 17x^ + 9х — 5 на многочлен Т’(х) = Зх^ + 4х — 5. Д Условие данного примера совпадает с условием примера 2, только многочлены даны в стандартном виде. Описанная в доказательстве теоремы 1 процедура деления многочлена Р(х) на многочлен Т{х) (см. также пример 2) может быть реализована в виде деления многочленов «уголком». Зх^ -Ь 4х — 5 2x2 1 - Делитель - Частное Делимое—» ex'* + 5х® — 17x2 ^ _ 5 "ex'* + 8х^ - 10x2________ — Зх^ - 7x2 д^ - Зх^ - 4x2 ^ 5^ — 3x2 _|_ 4д. _ 5 — 3x2 _ 5 8х — 1 о <— Остаток В данном примере получаем Q(x) = 2x2 — х — 1, т?(х)=;8х —10 и ex'* -1- 5х^ — 17x2 gj|, _ 5 _ ^3jj.2 4.4jf _ 5)(2х2 _ j» _ i) -р (gx — 10). A 5. Свойства делимости многочленов 1° Если многочлен Р(х) делится (нацело) на многочлен Т{х), а многочлен Т'(х) делится (нацело) на многочлен Л4(х), то многочлен Я(х) делится на многочлен М(х). 284 Плава VII. Многочлены от одной переменной Например, многочлен 256л:'* —81 делится на многочлен 16л:^ —9, а многочлен 16л:^ —9 делится па многочлен 4л:+ 3, поэтому многочлен 256л:'’ — 81 делится на многочлен 4х + 3. 2” Если многочлены Р{х) и Т{х) делятся на многочлен М{х), то многочлены Р{х) + ^(л:) и Р{х) — Т(х) делятся на многочлен М(х), а многочлен Р(х) ■ Т(х) делится на многочлен М^(х). Например, каждый из многочленов jk^ + 1 и л:^ —л: —2 делится на многочлен л:+1, поэтому многочлен л:'^ + л:^ — л: — 1 делится па л:+1, многочлен (л:^-f l)(л:^ — л: — 2) = х’’— лг"* — 2л:^+л:^ — л: — 2 делится на многочлен (л + 1)^ = + 2л: + 1. Пример 5. Не проводя деления многочленов, найти остаток от деления многочлена Р(х) = л:’’® + + 4 на многочлен Т{х) — х^ — \. Д Используя теорему о делении многочленов, запишем Pr^nix) = Q48(-*^) • + Р\(х), где R\{x) — ах+Ь. Из равенства л:’’® + 4 = — \)-\-ax-\-b найдем а и 6, подставив значения л:, равные I и —1. Получим систему уравнений Г+ 125 + 4 = . (j2 _ I) + д ^ \(_1)Г)0 + 4 ^ . ((_,)2 _ 1) _ а + ь (а I ь I б = а + fc, |4 = —а + Ь. Отсюда получаем а =1,6 = 5. Значит, искомый остаток равен л: + 5. А Многочлен вида ах + Ь, где а^О, называется линейным двучленом. Пример 6. Некоторый мнг>гочлен при делении на двучлен Зл —2 дает в остатке 2, а при делении на двучлен л: + 2 дает в остатке — 10. Найти остаток от деления этого многочлена на (Зл: — 2)(л + 2). Д Пусть многочлен Р{х) удовлетворяет условиям задачи. Тогда запишем равенства (6) (7) 2)(х + 2) будет (8) Р(л:) = (3(л:)(Зл:-2) + 2, P(x) = SW(jc + 2)-10. Соответственно при делении Р(л:) на ^(л:) = (Зх иметь место равенство Р{х) = М{х) ■ ((За: - 2)(х + 2)) + R(x), где R{x) = ах + Ь. Найдем значения а и 6. Из равенства (6) при л: = | получаем Р = Q | ~ или Р 0^ = 2. Из равенства (7) при х = —2 получаем Р(-2) = = S(—2) • (—2 + 2) — 10 или Р(—2) = —10. Соответственно, подставляя § 1. Основные определения 285 в соотношение (8) значения х = - и х = —2, получаем систему «5 уравнений для нахождения а и Ь: Wi) = i“ + '’=2, (Я(-2) = -2а + 6 = -10. Отсюда находим, что а = 4,5, /> = —1, т.е. остаток /?(х) = 4,5х— 1. А 6. Алгоритм Евклида Наибольшим общим делителем двух многочленов Р{х) и Т{х) называется многочлен наибольшей степени среди многочленов, делящих нацело Р{х) и Т{х). Наибольший общий делитель двух многочленов Р{х) и Т{х) обозначают НОД (Р{х), Т{х)). Отметим, что наибольший общий делитель двух многочленов определяется с точностью до числового множителя. Находят наибольший общий делитель двух многочленов тем же способом, который используется для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, —алгоритмом Евклида: P(x) = T(x)Qdx) + Ri{x), Т{х) = Ri(x) ■ Q2(x) + /?г(х), Ri W = R2M ■ QsM + R3M, Rk-2M = ^k-iM ■ Q/iM + Rk(x), R/i-iM = R/tMQkiiM- Здесь индекс у многочленов означает их порядковый номер, а не их степень. На каждом шаге степень многочлена, являющегося остатком, меньше степени делителя. Последний отличный от нуля остаток Rji(x) и будет искомым наибольшим общим делителем многочленов Р(х) и Т(х). Два многочлена называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме констант. В этом случае пишут НОД(Я(х), Т{х)) = 1. Наименьшее общее кратное многочленов Р{х) и Т{х) — многочлен наименьшей степени, который делится нацело на многочлены Р{х) и Т{х). Наименьшее общее кратное двух многочленов Р{х) и Т(х) обозначают НОК(Я(х), Т{х)). Отметим, что наименьшее общее кратное двух многочленов определяется с точностью до числового множителя. 286 Глава VII. Многочлены от одной переменной Для многочленов Р(х) и Т(х) их наибольший делитель НОД (Р(х), Т(х)) и наименьшее общее кратное НОК (Р(х), Т{х)) удовлетворяют равенству Я(а:)-(3(л:) = Л-НОД(Я(а:), 7(х)) • НОК (Р(х), Т{х)), где число Л^^О. Пример 7. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное многочленов Т{х) — х^ + 6л:^ + 5х — 12 и Р{х) = х^ + 2х^ — 5х^ — 4л: -f 6. Л Используя алгоритм Евклида, получим: х^ + 2х^~ 5л;2- 4л:-Г 6 л:'* + бл:^ + 5л:^ — 12л: — 4л:^ — Юл:^-Ь 8л:-Ь 6 — 4л:^ — 24л:^ — 20л: + 48 л:^-Ь бл:^-1-5л: - 12 л: — 4 (9) 14л:2 + 28х - 42 Следовательно, Р{х) = (л: - 4)7’(л:) -ЬИл:^ -Г 28л: - 42. Теперь делим ^(л:) на первый остаток 14л:^ -Г 28л: — 42 : л:^ + бл:^ -Ь 5л: - 12 14л:^ + 28х — 42 х^ + 2х^ -Зх -тл: -Ь I _____________________ 14 7 _4л:2 + 8х- 12 “4л:2-Ь 8х - 12 О Следовательно, Т{х) = + I) (14л:2 -ь 28х - 42). Вынося в частном в (Ю) общий множитель 14, получаем НОД(Я(х), 7’(х))-л:2-|-2л:-3. Тогда Т{х) = (л: -f 4)(л:^ Ч- 2х — 3), Р(х) = (л:^ — 8л: -|- 30)(л^ -f 2л - 3) и НОД (л -f 4, - 8л -1- 30) = 1. Следовательно, НОК (Я(л), Г(л)) = (л + 4) (л^ - 8л + 30) (л^ -1- 2л - 3). ▲ (10) Задачи 1. Найти значение выpaжetlия Р{\)-Р{-\) 1) Р(х) = \+2х + Зх^ + ...+ \\х 10 10. если 2) Р(л) = 3 + 5л-|-7л2 + ... + 27л'2. § 1. Основные определения 287 2. Для данных многочленов Р{х) и Q{x) найти значение выражения — Р{х) при X — xq, если; 1) Р(х) = х** - 6х^ 4- 9, Q(x) = (х'’ - 9)2, хо = 0,5; 2) Р(х) = х'’ + 4x2 + 4, Q(x) (х‘' - 4)2, xq = - 0,5. 3. Представить многочлен Р(х) в каноническом виде: 1) Р{х) = (1+3х t 2х2)4(1+4х 1 2x2) , 2x2)+ (1 + 17x4-2x2); 2) Р{х) = (2 4-Зх -|-х2)4-(2 1 5х 1-х2) + (2 + 7х-h х2) 4-... 4-(2 1-27х4-х2); 3) Р{х) = 74-бЁ^* + 5Е^*4-...4 Ех*; *=0 к О А=0 4) Р(х)= Ех*- Е ( х)"-. А=0 т=0 4. Доказать тождества; 1) х"- 1 1 = (х- 1)(х" ' 4 х" 2 ^ , ... 1x4 1); 2) х2пт 1 4 1 = (х4 1)(х2" - х2''“* 1 х2"-2_. 3) х2«_ 2п\ a2" = (jc 1 а) Е .2и-1-АдА. 4) х2" + * о. . 4 a2"+l=(x + a). Е ( 1)*'х2"-*а*. А=0 5. Найти числа а, Ь и с, при которых справедливы следующие равенства: 1) Зх"* 4- 7х^ 4- 3x2 + ^ + 2 = (х f 1 ){ах^ 4- Ьх^ — х 4- с); 2) 2х^ 4- 5х'* 4- 5х^ I 7x2 - х I 6 = (х2 + х I- 2)(2х^ 4- ах^ 4- Ьх f с). 6. * Найти значение многочлена Р(х) при х = хр, если: 1) Р(х) = х2 4- 6x2 ^2x Ь 19, Хо = -2 - v^; 2) Р(х) =х^ 4- 9x2 ^ 27х 4- 29, х„ = -3- v^. 7Г В многочлене Р(х) = ах^ 4 Ьх'' I- сх^ 1- rfx2 4- ex 4- / коэффициенты а, Ь, с, d, е, f могут принимать значения О или 1. Найти числа а, 6, с, d, е, /, при которых: 1) Р(2) = 40; 2) Р(2) = 42. 8. Используя метод неопределенных коэффициентов, найти частное и остаток при делении многочлена Р(х) на многочлен Г(х): 1) Р(х) = 6х^ 4-5x2 — 4х — 4, 7’(х) == 2х 4-3; 2) Р(х) = 6х^ -4x2 4-12х, т(х) = Зх-2\ 3) Р(х) = 2х'’4-х^-х2-Зх-1, Т’(х) = х2 + 2х-Ь 2; 4) Р(х) = ex'* - 4x2 - 16x2 _ + 9^ f(x) = 2>?-х-\. 9. Используя способ деления «уголком*, найти частное и остаток при делении многочлена Р(х) на многочлен Т’(х): 1) Р(х) = х'* - 2x2 ^ 4^2 _ бх 4 8, Т{х) = X - 1; 2) Р(х) = Зх® 4х'' - 19x2 _ _ 10 =х-2\ 3) Р(х) = х'’4 3х2-5х2 4бх 4 7, 7(х) = х2 - х-1-3; 4) Р(х) = х'’4 3x2 4 5x2 4 4х 4 7, T’(jc) = ^;2 ^ 2х 4 5. 288 Глава VII. Многочлены от одной переменной 10. Найти наибольший общий делитель многочленов /(х) и g(x): 1) fix) = + X - 2. g(x) = х^ - 2х^ - X - 6; 2) /(х) = 'lx'* — 2х^ — 16х^ ^ 5х f 9, g(x) = 2х^ — x^ — 5х + 4; 3) fix) — х^ + Зх'' 4- х^ + х^ + Зх + I, g(x) — х'* + 2х^ + х + 2. 11. I) Некоторый многочлен при делении на двучлен х—I дает в остатке 3, а 1гри делении на двучлен х Г2 дает в остатке -7. Найти остаток от деления этого многочлена на (х— 1)(х + 2). 2) Некоторый многочлен при делении на двучлен 2х—1 дает в остатке 4. а при делении на двучлен х I-1 дает в остатке -5. Найти остаток от деления .этого многочлена на (2х 1)(х+1). 12. Найти многочлен наименьшей степени, дающий в остатке: 1) 2х при делении на (х—1) и Зх при делении на (х - 2) ; 2) х^ f X I I при делении на x'^ 2х'^ -2х^ + 10х —7 и 2x^-| 2 при делении на .х'' 2х'^ 5x^ t 13х 10. 13. Найти наименьшее общее кратное многочленов х^ + 4х^ | 4х + 3 и х^ - х^ - X — 2. Ответы I. 1) 6; 2) 18. 2. 1) 3; 2) 2. 3. I) ЗОх^ 4 150х 4- 15; 2) 13х^ 4 195х 4- 36; 3) X® I 2x^ 4 6х‘’4-10х-'’4 ISx’'^ 4 21x4-28; 4) -х*^-х‘’+ хЧ 1. 5. I) а = 3,6-4, с — 2; 2) 0 = 3, Ь — -2, с — 3. 6. I) 0. Указание. Я(х) = (х 4- 2)'* 4-11; 2) 0. 7. I) о = 1. Ь = О, с = 1. d — О, е — О, f = 0. Указание. Из условия Я(2) = 40 или 32о 4 I6fo | 8с 4- 4rf 4- 2е 4- / = 40 следует, что / — четно, т. е. равно О и т. д.; 2) о — 1, Ь ~ О, с = I, d = 0. с = I. f = О 8. 1) Q(x) = 3x^-2x4-1. Я = -7; 2) Q(x)=2x^4-4,/? = 8; 3) Q(x) = 2х^ - Зх4 I /?(х)^х-3;4) Q(x) = 4x^-6,/?(х)-2х4 3. 9. 1) Q(x)=x^-x^43x-3,/? = 5 2) Qix) - Зх'* 4 7х^ 5х^ - 10х - 33, R = -76; 3) Q(x) = х^ 4 4х - 4 Я(х) = -2х 4 19; 4) Qix) = х^ 4 х - 2. /?(х) = Зх 4 17. 10. 1) х^ 4 х 4 2 2) 1; 3) х^ 4 1. II. I) уХ- i; 2) 6x4 I. 12. I) 4х'* - 27х^ 4 66х^ - 65х 2) i(x‘'-2x^4-x2 4l3x-4). <5 13 .(,3 4- 4х^^ 4 4х 4- 3 )-(х-2). §2. СХЕМА ГОРНЕРА 1. Схема Горнера Рассмотрим деление многочлена P{x)=aQx"+... 4-а*х"“*4-. • • +cin (ар 7^ 0. л ^ 1) на двучлен х — с. Разделив с остатком, получим Pix) = (x-c)Q(x) + R, (1) где неполное частное — многочлен ^п—\ I L ..Я—2 С?(х) = box" 4-Ь\Х" + Ьп-2Х + й„_1 степени л —1, а остаток /? —число. §2. Схема Горнера 289 Из равенства (1) следует P(x)=aox"+G|A:"~’ +... .. +а„_[Х+ап= = (bQx'^~^ + Ь\х"~^ + ... +bn_2X+b„_\)(x-c)+R= =bQx''-\-{b\-cbQ)x"~^ + ib2-cbi)x"~^+... .. .+(fe„-i +cbn^2)x+(R~cbn-\). По определению равенства многочленов ^0~^0i b\=cbQ + a\, &П-1 = + Gn_i, /? = cfen_i+Go- Такая цепочка для вычисления коэффициентов bi и R записывается в виде таблицы, заполняемой слева направо. Коэффициенты делимого Р{х) Go щ «А “n-l an Число с ао =6о сЬо + а\ =б| cbk-\+Ok —bk cb„_2+On-{ ' V ' Cfen-l-fGp =R Остаток R Коэффициенты частного Q(x) Эта таблица называется схемой Горнера. В первой строке этой таблицы записываются последовательно коэффициенты gq, gj, , g„ многочлена Р{х). Слева во второй строке стоит число с, а далее в клетках строки последовательно идут коэффициенты многочлена-частного Q{x) и остаток R. Вторая строка заполняется по следующему правилу: В первую клетку надо записать число gq из первой клетки первой строки. Во вторую клетку надо записать число а\ из второй клетки первой строки и прибавить к нему произведение числа с на предшествующий элемент (число Ьо = gq) второй строки. Каждая следующая клетка второй строки заполняется аналогичным образом: к стоящему над ней числу первой строки прибавляется произведение числа с на предшествующее число второй строки. Прим[ер 1. Найти частное и остаток от деления многочлена Р{х) = 2х^ — — 8х -t- 2 на двучлен л: — 3. А Воспользуемся для решения схемой Горнера. Заполним таблицу Коэффициенты делимого Р(х) 2 0 -5 0 -8 2 3 2 2-34-0 = 6 3-6-5 = 13 3-13+0 = 39 3-39-8=109 3-109 + 2 = 329 с 10—2549 Коэффициенты частного Q(x) Остаток R 290 Глава VII. Многочлены от одной переменной Получаем частное Q(je) = 2х^ + + 13х^ + 39л: + 109 и остаток R = 329, т. е. Р{х) = {2х'^ + 6х^ + 13л;2 + 39х + 109) (х - 3) + 329. А Отмстим некоторые следствия из полученной выше схемы. Следствие 1. Если ч с —рациональные числа, то Ьо, Ь|,... Ь„_| и /? —также рациональные числа. Следствие 2. Если qq. с —целые числа, то Ьо, Ьп \ и /? —также целые. Следствие 3. Многочлен Р{х) делится нацело на двучлен х—л:о тогда и только тогда, когда его значение при х = xq равно нулю, т. е. P{xq) = 0. 2. Разложение многочлена по степеням двучлена Для любого многочлена P(x)^aQx'^+.. .+о^х”~*+.. .+а„ {ао^О, 1) и любого числа с можно написать разложение Р{х) по степеням двучлена {х — с): Р{х) = й^(х — с)" + ... -Г dk(x - с)""* +... + d„. Для формулировки алгоритма нахождения коэффициентов d.Q, di,..., dn этого разложения выпишем следующую цепочку равенств: Р{х) = {х — с) Qn-\(x) = {х-с) Qn-2ix) ^ (х - с) do(x — с)'' ’ + ... + d„_i do(x -сГ-2 + .. • + d-n-2 Qn-2(x) do(x ■ + dn-z + + ^Л^1 Qn-зМ + Рл-2), Q2ix) = {x-c) QM Q\{x)^ix-c) do +@, Оо(л) QoW = §2. Схема Горнера 291 Тогда алгоритм нахождения коэффициентов d,i, dn-\,..-, d\, d^ состоит в следующем: 1) разделить с остатком Р(х) на двучлен х —с; в остатке получится dn, а в частном многочлен Q„_i(x); 2) разделить с остатком Q„_i(x) на двучлен х — с\ в остатке получится rfn_i, а в частном многочлен С?п-2(-^); 3) далее выполняем деление до тех пор, пока в частном не получится число; полученный на последнем шаге остаток будет равен d\, а частное даст do — Все вычисления в этом алгоритме удобно проводить по схеме Горнера. Пример 2. Разложить по степеням двучлена х + 2 многочлен Р{х) = Зх^ - 5x3 _ 8х + 2. Д Воспользуемся для решения схемой Горнера. Заполним таблицу 3 -5 0 -8 2 -2 3 (-2)-3-5=-П (-2)-(-11)4 0=22 (-2)-22-8=-52 (-2)(-52)4-2=106 3 (-2)-3-П=-17 (-2).(-17)4-22=56 (-2)-56-52=-164 3 (-2)-3-17=-23 (-2)(-23)-р56=102 3 (-2)3-23=-29 3 В итоге получаем Р(х) = 3(х + 2)^ - 29(х -I- 2)3 + 102(х + 2)2 - 1б4(х + 2) + 106. А Задачи 1. Применяя схему Горнера, найти частное Q{x) и остаток R при делении многочлена Р(х) на двучлен х — xq : 1) Р(х) = х'* + 19х^ - 30, хо = -2; 2) Р(х) = 14х - 4 ь ISx^ - Эх’’, хо = -1; 3) Р(х) = X® + Эх'' -I 16x2 _ ,0 _ 2 2. Применяя схему Горнера, убедиться, что и числа 1 и —2 являются корнями многочлена Р(х): 1) Р(х) = 2х'' -)■ 7x3 _2х^_ 13д. + 6; 2) Р(х) = (х2 + х)2 + 4(х2 + 1) - 12; 3) Р(х) = (х2 + X + 1)(х2 + X + 2) - 12. 3. Применяя схему Горнера, убедиться, многочлен ^(х): что многочлен Р(х) делится на 1) Р(х) = X® - ex'» + 16x3 - 32x2 ^ 48^ _ 32 = (х - 3)3; 2) Р(х) = (х2 + 4х + 3)(х2 + 12х + 35) + 15, Т'(х) = (х + 2)(х + 6). 292 Глава VII. Многочлены от одной переменной 4. Разложить многочлен /(х) по степеням двучлена jc —2 и найти его значение в точке 2: 1) f(x) =х“- 8х^ + 24х^ - 50х h 90; 2) /(х) = х^~ 4х^ + 6л:^ - 8х + 10. Ответы 1. 1) Q(a:) = - 2л:* + 23jc - 46. /? = 62; 2) Q(jc) = -9л:® + 9.:с® - 9л:'* } 22х^ - 22JC* + 22х - 8. /? = 4; 3) С?(л:) =: л:® - 2х'' + - 26х* 1 68х - 136, R = 262. 4. I) fix) = (х - 2)'' - 18(х - 2) -|- 38. /(2) = 38; 2) f(x) - = (х- 2)® ■+ 10(х - 2)'' + 38(л: 2)® -I- 62(л: - 2)* -I- 48(л: - 2) + 18, /(2) = 18. §3. ТЕОРЕМА БЕЗУ. КОРНИ МНОГОЧЛЕНА 1. Теорема Безу Пример 1. Дан многочлен Р(х) = 2л:® — 5л:® — 8л; — 8. Найти Я(-1), Я(1). Р(0),Я(2). Л Я(-1) = 2(-1)®-5(-1)®-8(-1)-8 = -2 + 5 + 8-8, т.е. Я{-1) = 3; аналогично, Я(1) = 2 — 5 - 8 — 8 = —19, Я(0) =-8, Я(2) = 0. А Число X, при котором многочлен Р(х) обращается в нуль, называется корнем этого многочлена. Например, число 2 —корень многочлена Я(л:) = 2x® — 5л:® — 8л; — 8. так как Я(2) 0. Отметим, что число х^ называется корнем многочлена Р{х), если оно является решением уравнения Р{х) = 0, т. е. верно равенство <^0-^0 + • • ■ + * + • • • + Qn = 0. При мер 2. Разделить многочлен Я(л) = 2л:® — 5л;® — 8л: — 8 на двучлен л: + 1. А Воспользуемся для решения схемой Горнера. Заполним таблицу: 2 0 -5 0 -8 -8 -1 2 - 2 -3 3 -II 3 Следовательно, Р{х) = (х + 1)(2х'* — 2х® — Зx^ + Зх — 11) + 3. А Сравнивая результаты примеров 1 и 2, замечаем, что остаток от деления многочлена Я(х) на двучлен х + 1 равен значению .этого многочлена при х = —1, т.е. Я = Я(—1) = 3. Этот факт не случаен и является следствием теоремы Безу. Теорема 1 (Безу). Если хо — произвольное число, то при делении многочлена Я(х) на двучлен (х — xq) получается остаток, равный значению многочлена при x = xq, т.е. R = P(xq). §3. Теорема Бсзу. Корни многочлена 293 О Разделив с остатком многочлен Р(х) на двучлен х — xq, получим равенство Р{х) = Q{x) ■ (х — xq) -Ь Р, где остаток R — число. Подставив в это равенство вместо х значение хр, получим P{xq) = Q{xq) ■ (xq - Xq) + R. Отсюда следует, что R — P{xq). • Замечание. Отметим, что при делении многочлена Р{х) на двучлен ах + Ь получается остаток, равный значению этого многочлена при х=—т.е. ’’-’’И) Из теоремы Безу вытекает следующее важное утверждение. Теорема 2. Число Xq является корнем многочлена Р(х) тогда и только тогда, когда многочлен Р(х) делится нацело на двучлен X — Xq. О Если хр —корень многочлена Я(х), то по теореме Безу R — P{xq) — Q, т. е. Я(х) — 0(х) • (х —хр), а это значит, что многочлен Р(х) делится на х — хр нацело. Пусть теперь /? = О, т. с. Р(х) = С?(х) • (х-хр). (1) Подставляя в равенство (1) х = хр, получаем Р(хр) = О, т. е. хр — корень многочлена Р(х). • 2. Многочлены с комплексными коэффициентами Рассмотрим многочлен Р{г) степени п с комплексными коэффициентами: Р(г) = apz" + a|z"~* 4-... + ... +a„^\z + a„, etp ф 0. Отметим, что теорема Безу справедлива и для многочлена с комплексными коэффициентами. Справедлива также следующая теорема, которую мы примем без доказательства. Теорема 3 {основная теорема алгебры). Всякий многочлен степени п'^\ с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень. Следствие 1. Любой многочлен P(z) степени /г^1 с комплексными коэффициентами раскладывается в произведение п линейных множителей: apz"-baiz"“' -I-... 4-a*z"“*-|-... -|-o„-|Z-l-a„ = ap(z-Z|)-... -(z-Zn), где Qp,..., a„, z\,.z,i — комплексные числа. О Для доказательства воспользуемся методом математической индукции. 294 Глава VII. Многочлены от одной переменной При п = 1 многочлен является линейным. Предположим, что при n = k утверждение справедливо. Пусть теперь многочлен P{z) степени п=/г+1 имеет корень ^обС. Тогда по теореме Безу Р(г) представляется в виде P(z) = (z —Zo)P*(2), где P*(z) — многочлен степени /г, который по предположению индукции раскладывается в произведение k линейных множителей: Pfe(z)=:ao2* + 6|Z*~'-I-... +Ьи \z + bk = aQ(z-z\)-... -(z-z/,). Следовательно, P(z) = ao(z — zq) ■ (z — z\) ■... ■ (z - Zk). • Следствие 2. Любой многочлен P(z) степени п ^ 1 с комплексными коэффициентами имеет в множестве комплексных чисел ровно п корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность. О Действительно, согласно следствию 1, P(z) = Co(z - Z|) • (z - Z2) •... • (z - z„), (2) где zi, Z2,..., z„ — корни многочлена P(z). Объединяя в последнем соотношении равные сомножители в степени, получим P{z)^ao{z-z^f'-{z-z^t‘-...-{z-z^t\ (3) где Z|, Z2,..., Zm — различные корни, а k\, k2,..., кщ — их кратности. Поскольку степени многочленов в левой и правой частях равенства одинаковы, то п — к\ к2 . "Ь кщ. ♦ Корни кратности I называются простыми корнями, кратности 2 — двойными, или двукратными, и т. д. Кратный корень — корень кратности к ^2. Из доказанного вытекает следующее утверждение. Следствие 3. Всякий многочлен степени п>1 имеет ровно п (действительных или комплексных) корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. 3. Многочлены с действительными коэффициентами Теорема 4. Пусть P(z) — многочлен с действительными коэффициентами. Тогда если zq — комплексный корень многочлена P(z), то Zq — также его корень. О Пусть P(z) — многочлен с действительными коэффициентами Тогда P(z) = aoz" -I-Giz"' где ао,..., е М. -Ь... + Ofez” *-Г ...-|-|z”-t-an, §3. Теорема Базу. Корни многочлена 295 Пусть го — комплексный корень многочлена P(z), т. е. ^(^о) = ^0^0 ^1^0 ' + • • • + ^n-i^O + ^п —0. Используя свойство сопряженных чисел, получим, что Р(г) = oqz" + aiz"~^ + ... + + ... + a„-iz" + a„ = = aoz'^ + alZ'^-^ + ... + a„^[Z" + a„ = = oq -^"+ “1 уП-l + ... + a„_i ■z"+ a„ = =ao =Ol =a„ = Go • (2)" + a, ■ (z)"-' + ...+ a„-i • z + c„ = P(z). Так как P(z) = P(z), to при zq получаем P(zq) = 0 = P(zo). Следовательно, ^ —также корень многочлена P(z). • Следствие. Любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами. О Действительному корню xq многочлена с действительными коэффициентами отвечает линейный множитель x — xq. Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень z\ = a + i^ (а, jSgM), то число Z2 = Z| =а —/jS —также корень этого многочлена. Перемножая в разложении многочлена на множители два соответствующих множителя, получим квадратичный многочлен с действительными коэффициентами (х — zi){x -z\) — 2ax-f (ct^ -\-px-\-q, (4) где p — -2a, q = +[?. Ф Разложение на множители многочлена Рп(х) с действительными коэффициентами. Пусть xq = а — действительный корень кратности к многочлена Р„{х) степени п с действительными коэффициентами. Тогда выполняется равенство Pn(x)^{x-afQn_k(.x), где Q„_k(x) — многочлен степени n — k с действительными коэффициентами, для которого число XQ = a не является корнем. Пусть Х] = а-t-i/3—комплексный корень (jS^O) многочлена Рп(х). Тогда по теореме 4 число х\ = а — ф также является корнем этого многочлена. Таким образом, многочлен Рп(х) в этом случае делится без остатка на квадратный трехчлен х^ + рх + q с действительными коэффициентами, дискриминант которого отрицателен. 296 Глава VII. Многочлены от одной переменной т. е. — Aq < 0. Это означает, что существует такой многочлен Qn-2M с действительными коэффициентами, что Р„(х) = (A:^ + px + q)- Qn-гМ- Если xi = a+i/3, где ^3^0, является корнем многочлена Рп(х) кратности т, то число X] =а — ф также является корнем этого многочлена кратности т, и поэтому многочлен Рп{х) можно в соответствии с формулами (2) и (4) представить в виде Р„(х) = (Х-Х\Г (Х- X,)'" • Q„_2mW. или „ Рп(х) = {х^ + рх + дГ ■ Qn-2mix), где р, q — действительные числа, р^ — Aq<0, а Qn-2mi^) ~ многочлен степени п-2т с действительными коэффициентами, для которого числа XI и Х[ не являются его корнями, т. е. Qn—2m(x\)^0, Qfi-2/n(-*^l) ^ О- Пусть а\, Cm — все действительные корни многочлена Рп{х), а их кратности соответственно равны Л), k2,..., km- Тогда равенство (2) можно записать в виде Р(х) = (X - а, )*' • (X - 02)*^ •... ■ (X - Х^)*-” • Р(х), m где /?(х) — многочлен степени t = п — Yl,ki с действительными (=1 коэффициентами, не имеющий действительных корней. Если Р(х) — многочлен ненулевой степени, то каждой паре комплексно-сопряженных корней ху и ху кратности sy многочлена Я„(х) в формуле (2) соответствует множитель х^ -f pjX -f <уу, где Ру — 4<7у < 0. Поэтому P(x) = aQ-{x-a{)'^'■...■{x-Xmf"'Лх^+Р\х+ q\f{х'^+ргХ Л-qrY', (5) т г где n — Ylki + 2-Y^ sy-(=1 /^1 Таким образом, зная все корни многочлена Я/,(х) с действительными коэффициентами, можно этот многочлен разложить на множители, т. е. представить в виде (5), где все числа являются действительными. Разложение на множители многочлена третьей степени. В качестве примера рассмотрим многочлен третьей степени с действительными коэффициентами Рз(х) = cqx^ -f fl|X^ -I- 02X + аз, где cq ф 0. §3. Теорема Безу. Корни многочлена 297 Данный многочлен имеет три корня с учетом их кратностей или от одного до трех различных корней. Так как комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами — пары комплексно-сопряженных чисел X] и Х|, то получаем, что многочлен третьей степени с действительными коэффициентами должен иметь по крайней мере один действительный корень xq и можно записать Ря(х) = {х - хо) ■ Q2{x). Многочлен Q2W может иметь два различных действительных корня, один действительный корень кратности два или два различных комплексных корня. Следовательно, возможны следующие случаи разложения многочлена Яз(х) на множители. 1) Все корни Рз(х) действительные. Возможны три варианта; а) если многочлен Рз(х) имеет один действительный корень Xq кратности три, то Рз(л:) = ао(->^ - б) если многочлен Рз{х) имеет два различных действительных корня xqh х\, где один из них, например xq, имеет кратность два, то о Рг{х) = ао(х - xofix - Х|); в) если многочлен Яз(л:) имеет три различных действительных корня хо, х\ и Х2, то Рг(х) = ао(х - xq){x - х\)(х - Х2). 2) Многочлен Яз(х) имеет один действительный корень xq и пару комплексно-сопряженных корней х\ и Х|. В этом случае Яз(х) = aQ-ix- Xq) • {х^+рх -t- q), где р, —действительные числа, —4<7<0. Использование метода неопределенных коэффициентов. В случаях, когда разложение на множители многочлена с действительными коэффициентами Рп(х) не удается провести простейшими средствами, можно использовать метод неопределенных коэффициентов. Пример 3. Разложить на множители и найти корни многочлена Р{х) = х'* — 4х^ — 10х^ + 37х — 14. Д Предположим, что данный многочлен раскладывается на множители второй степени с целыми коэффициентами. Обозначим один из них через x^-f-рх-|-р, другой через x^-|-лx-^-s. Задача сводится к нахождению коэффициентов р, q, г ц s. Тогда х^ - 4х® — 10x^ + 37х - 14 = (x^ -Ьрх 4- р)(х^ 4- гх 4- s). 298 Глава VII. Многочлены от одной переменной После раскрытия скобок и приведения подобных членов, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях многочленов левой и правой частей уравнения, получим систему: 'р + г = -4, s + q + pr=-\0, ps-i- qr = 37, qs =-14. Исходя из последнего уравнения системы, можно попробовать взять q — 2, s = —7 или q = —2, s = 7. В первом случае получаем peuicuHC системы р = —5, <7 = 2. г=1, s = —7. Таким образом. 4х^ - 10x2 + 37^ _ J4 ^ 2)(^2 + х-7). Корнями уравнения - 5х + 2 = 0 являются числа xj 2 = а уравнения х 5 jVT? ‘'2 + л:-7 = 0 — числа Х34 = - * • Следовательно, числа 5±ч/17 -1±\/29 — четыре различных А корня данного многочлена Р(х). Теорема 5. Пусть Р(х) и Q(x) — два многочлена, степени которых не превосходят п. Тогда если значения многочленов Р(х) и Q(x) совпадают в п + I точке, то Р{х) = Q{x). О Пусть X], Х2,..., х„) 1 — различные числа и Р(х,) = Q(x;), 1. Рассмотрим многочлен Р(х) = Р(х) — Q(x). Если Р(х) нс является нулевым многочленом, то его степень не превосходит л, а числа Х|,Х2,.. ■,х„4.\ — его корни. Однако это противоречит теореме о числе корней многочлена. Следовательно, Р(х) — нулевой многочлен и P(x) = Q(x). • 4. Обобщенная теорема Виета Пример 4. Составить многочлен третьей степени, корнями которого являются числа Х|, Х2, Х3. А Найдем коэффициенты многочлена Рз(х) = oqx^ + а\х^ + а^х + 03, где oq -фО. Так как Рз(х) имеет три корня х\, х^, Х3, то запишем его разложение на множители Сох^ + Qix2 + 02Х + 03 = ао{х — Х])(х — Х2)(х — Х3). (6) Перемножив выражения в скобках и собрав члены с одинаковыми степенями, получим в правой части тождества (6) многочлен, тождественно равный многочлену, стоящему слева Рз(х) = OqX^ - ао(-^1 +-*^2 + +-*^1-^3 + §3. Теорема Безу. Корни многочлена 299 Отсюда следует, что коэффициенты многочлена Рз{х) определяются с точностью до множителя qq. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях соотношения (6), получим, что коэффициенты многочлена Рз(х) и его корни х\, Х2, хз связаны формулами {-ао(х\+Х2 + хз) = а\, ао(х\Х2 + х\хз + Х2Х3) = 02. -аоХ|Х2Хз = оз или ^ Х\ +Х2+Х^ = — “о Х]Х2 + Х1Хз+Х2Хз = "О Х\Х2Хз = -f3 “o' Рассмотренный пример представляет собой частный случай общей теоремы. Теорема 6 {обобщенная теорема Виета). Если старший коэффициент Од многочлена Рп{х) отличен от нуля, т. е. Р„{х) = oqx" + oix" ' + ... + о*х" * + ... + 0„_lJC + On, о числа Х{, Х2, х„ — его корни, то справедливы равенства: Х\ Х2 + ■. ■ х„ — — —, «о Х\Х2 + Х1Х3 + . . . + Х2Х3 + Х2Х4 + . . . + Х„^\Хп — Х\Х2Хз + . . . + ^2X3X4 + . .. + Х„._2Х„_|Х„ = 1 “о 02 1 “О (7) Х|Х2Хз...Х„ = {-1)"-^. Сами равенства системы (7) называются формулами Виета. О Поскольку по следствию 1 теоремы 3 любой многочлен может быть представлен в виде произведения аох" + а|х”“' + ... +0;^х"“* + ... +о„_|Х + о„ = oo{x-xi)• (х-х„), то, перемножив выражения в скобках и собрав члены с одинаковыми степенями, получим в правой части тождества многочлен, тождественно равный многочлену, стоящему слева. Отсюда следует справедливость доказываемых равенств. • Замечание. Формулы (7) справедливы и в случае, когда часть корней X], Х2, ..., хп — комплексные числа. Пример 5. Построить многочлен наименьшей степени, корнями которого являются числа —2, 1 и 3. Д Так как по условию многочлен имеет не менее трех корней, то наименьшая степень искомого многочлена должна равняться трем. 300 Глава VII. Многочлены от одной переменной и он имеет вид Р(х) — oqx^ + а\х^ + 02Х + а^. Пусть х\ = —2, Х2 — \, хз = 3. Используя для определения неизвестных коэффициентов ао, О]. «2, аз обобщенную теорему Виета, получаем систему уравнений; 'х| +л:2 +л:з = «о Х]Х2 + л:|;сз f Х2Х3 Х\Х2Х^ = —^ = £2 <^0 ’ или 2 = “о «о’ -5 = ^, "о «о Отсюда а| = —2ао, 02 = —5ао, 03 = 600- Тогда многочлен имеет вид Р{х) — oqx^ — 2aQX^ — Ьа^х^ + боо = Оо {х^ — 2х^ — 5л: + б) , т. е. многочлен определен с точностью до числового множителя Оо- Беря, например, оо = I, получим многочлен Р(х) = = л:^ - 2л:^ - 5х -Ь 6. А Задачи 1. Найти остаток от деления многочлена Р{х) на двучлен Q(x) = ах + Ь, нс выполняя деления: 1) Р{х) = х^ -6х^ + 5х + 2, Q{x) = 2x-\ 1; 2) Р{х) = х^ —х^ -\-2х— I, Q[x) = 3 — 2х. 2. Определить кратность корня л:о многочлена f{x): 1) f{x) =х^ - 5л:'’ + 7х^ — 2з^ 4 4л: — 8, xq = 2; 2) f(x) = л® 4 7л'* 4- 16л^ 4- — 16л: — 16, Xq = —2; 3) Дл) = 3л^ |-4л'’4л^-Юл-8, ло = -1: 4) Дл)=л^-6л'’4 2л^4 36л2-27л-54, ло = 3. 3. Доказать, что если многочлен 3-й степени с рациональными коэффициентами имеет кратный корень, то все его корни рациональны. 4. Построить многочлен степени 4 со старшим коэффициентом I. имеющий корни: 1) I, 2, —3, —4; 2) двукратный корень 3 и простые корни —2 и —4. б. 1) Сумма двух корней уравнения 2л* —,л^ - 7л 4 А = О равна 1. Найти Л. 2) Определить А так, чтобы один из корней уравнения л* — 7л 4 А = О равнялся удвоенному другому. §3. Теорема Бсзу. Корни многочлена 301 Вычислить сумму квадратов корней уравнения, не решая его: 1) + 2х - 3 = 0; 2) + 4x^ - х-6 — 0; 3) х^ + рх^ + (/х + г = 0. 7. Дано уравнение ах'^ + Ьх^ I сх^ + dx -{■ е = 0, где ае ^ 0, с корнями х\, Х2, хз, х/\. Составить уравнение 4-й степени, корнями которого были бы следующие числа: 1) -х\, -Х2, -;сз, -Xi, 2) х^', х~\ х^'. 8t Доказать, что являются рациональными числа: 9Г Многочлен Р{х) = Cqx" I-... I * -Ь... + Од, имеет корни х\, Х2, ...,Хп. Определить, какие корни имеет многочлен Q(x): 1) Q(x) = Оох" — a|x'^~^ Ьа2х” ^ — f(-l)"art; 2) Q(x) = a„x" +а„_,х"~' I а„ 2х"~‘^Т... -Юо («п ^ 0); 3) Q(jr) - а„л:"I а„_2Х 4) Q(x) = 2"ао>с"-f 2" ' оп-2„_п-2 "-2-... -(-(-1)% (сп#0); 5) QW = опх"-2а„_1х" '-t-22а„_2-<^"^ ~ • • • + (-1)"2"ао (сп^О). 10. Найти многочлен наименьшей степени по данной таблице его значений: 1) /{-1) = 19, ДО) = 5. Д1) = 3, Д2)-19, Д3) = 107; 2) Л-1) = 5, Д0)=1, /{1) = 1, /(2) = 11, Д3) = 61. и* Найти соотношение между коэффициентами многочлена Р(х) ■- х‘* i ах^ -I- Ьх^ + cx + d. при котором: 1) сумма двух корней равна сумме других двух корней; 2) произведение двух корней равно произведению двух других корней. 12Г Найти общие, включая и комплексные, корни многочленов /(х) и g(x): 1) f{x)=x^+x^ + 2x^"\ x^ + 2x^ + x+\,g(x)=x^ — x^ + 2x^—x^ + 3x^ — 2x+2] 2) f(x) =x^ + 2x^ + Зх'* + 2x'’ + 3x2 ^ 2x | 2, g(x) =x"^ + 3x^ 6x2 -ь 6x 4- 4. Ответы t.l)R = P (-1) = |; 2) /? = Я (I) = l|i. 2. 1) 3; 2) 4; 3) -1 не корень; 4) 3. 4. I) x"* -f 4x^ - 7x2 - 22x 4- 24; 2) x"* - 19x2 4- 6x 4- 72. 5. I) 4; 2) -3. 6. 1) 10; Указание, xf 4-Х2 4-Хз = (х|-fX2 4-Хз)2 —2(х|Х2-Ьх1Хз4-Х2Хз); 2) 18; 3) — 2p. 7. 1) ax’ — bx^ 4- cx'^ —dx + e = 0; 2) ex’ 4- dx^ 4- cx‘‘ + bx + a = 0. 8. 1) Указание. Обозначить -3 4-3 = X и возвести обе части равенства в куб. Показать, что полученный многочлен имеет единственный действительный корень. 9. 1) —Х), —Х2, ..., —Хд. Указание. Если п —четное число, то Q(x) = Р(—х); если л —нечетное число, то Q(x) = -P(-x);2) xj^'.x"',...,х;г';3) -х,"',-х~',...,-х^';4) 302 Глава VII. Многочлены от одной переменной 5) , Х\ Х2 Хп 10. I) /(х) = 2/ - Зл:^ + - 5.t + 5; 2) f{x) 2с = х^ -х^+х^ —х+1. II. I) + Указание. Представить многочлен в виде произведения (л^ + рл:Н a)(jc^+px-|-]8): 2) • 12. I) Xi2= * ^2^ ■ Указание. Использовать алгоритм Евклида для нахождения НОД(/(х), g(x)); 2) х,.2 = -1±«^. §4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Алгебраическим уравнением называют уравнение вида Р«(а:)-0, (1) где Pn(jc) — многочлен степени гг^1. Степенью алгебраического уравнения называют степень п многочлена Рп{х). При п = 2 алгебраическое уравнение называют квадратным, при п = 3 — кубическим. Каждый корень уравнения (I) является также корнем многочлена Рп{х). I. Теоремы о рациональных и целых корнях многочлена Теорема 1 (о нахождении рациональных корней многочлена). Если многочлен Р{х) = uqx" -f... -+- + ...+а„, uq^O, с целыми коэффициентами имеет рациональный корень xq = - (причем эта дробь несократима), то р —делитель свободного члена ап, а q — делитель старшего коэффициента ар. О Пусть рациональное число xq = - — корень многочлена Р{х) и ^ — я я несократимая дробь. Тогда т. е. ""“(О + ••• +«п-1 (^)+«" = 0- Умножив обе части уравнения на q", получим; Uqp" + a\qp"~^ -Ь a2q^p’'~'^ -I-... -Ь an_\pq’'~^ +a„q" = 0. Все слагаемые в левой части — целые числа. Начиная со второго, все слагаемые делятся на q: аор'' -1- (aiqp"~' + a2(fp"~^ -1-... Ч- a„^^pq'^~' + a„q") = 0. (2) делятся на q §4. Алгебраические уравнения 303 Так как числа р и q взаимно просты, то по свойствам делимости целых чисел для выполнения равенства (2) необходимо, чтобы q делило Go- Аналогично, доказывается, что р делит а„, так как 0. • qqp" + a\qp'^- + «2 1) — целые числа и корень xq этого многочлена — также целое число, то Xq — делитель свободного члена многочлена. Следствие 1. Целыми корнями многочлена с целыми коэффициентами могут быть только делители свободного члена. Следствие 2. Если многочлен Р{х) = х" + а\х"~' + ... -t- а^х"~'^ + а^-хх + а„ с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, имеет рациональный корень, то этот корень —целое число. Пример 1. Найти корни многочлена Р{х)— 2х^ Ц-х^— Sx-\-2. Д Делителями свободного члена являются числа —2, —1, 1, 2. Убеждаемся, что Я(-2) = 2(-2)3 +(-2)2-5(-2)-1-2 = -16-1-4-1-10-1-2 = 0. т. е. число —2 — корень. Для нахождения частного при делении многочлена Р{х) на двучлен л:-1-2 воспользуемся схемой Горнера. Для этого заполним таблицу: -2 1 -5 1 Следовательно, Р{х) = {х + 2){2х^ — Зх + 1). В свою очередь многочлен 2л;2 _ -р ] имеет два корня л: = 1 и х = ^, которые являются корнями многочлена Р(х). Ответ. —2; 1. А 2. Формула Кардано Ж. Лагранж, П. Руффини и Н. Абель показали, что нет общей формулы для нахождения корней уравнения степени п ^ 5. Э. Галуа нашел метод, позволяющий для любого многочлена определить, выражаются ли его корни через коэффициенты с помощью радикалов. Для решения уравнения второй степени используется известная вам формула корней квадратного уравнения. Для нахождения корней 304 Глава VII. Многочлены от одной переменной кубического уравнения используют формулы Кардано, а для решения уравнения четвертой степени применяют метод Феррари. Рассмотрим кубическое уравнение ао-*^ + + 02Х 4- аз = 0, Oq ^ 0. Его корни находят следующим образом. Разделив левую часть уравнения на первый коэффициент, приводят его к виду + b|X^ + b2X + йз = О, где 6, = а, „ 2 ад Qg Од Далее заменой i/ = x + — (выделением полного куба) —к уравие- 3 нию +py + q = Q, корни которого находятся по формуле Кардано: При использовании формулы (3) для каждого из трех комплексных значений корня а = \ -i корня а = + ^ (з) '•'О значение для которого выполняется условие Тогда корни исходного уравнения выражаются через корни приведенного следующим образом: х\ Ь\ bt -«2 = '/2- j. b\ ^з = ^/з-у. Задачи 1. Найти все рациональные корни уравнения: 1) а;3 + 6а;2-х-30 = 0; 2) З/- + 5а: - 18 = 0; 3) 4а:^ + а: - 1 = 0; 4) а:^ - 4а:® - 19х* + 106а: - 120 = 0; 5) 8а:‘'+6а:®-13х2-а: + 3 = 0. 2. Найти все корни уравнения: 1) 4х‘*+8а:®-17х + 5 = 0; 2) 8х‘'-I-6х® - 13х^ - х + 3 = 0; 3) х® + 4х®+6х + 3 = 0; 4) гх**-х® - 9х® + 13х- 5 = 0. 3* Найти действительные корни уравнения, используя формулу Кардано: 1)х®-6х + 6 = 0; 2) х® + Зх®+5 = 0; 3) х® - 12х+ 9 = 0. 4. Разложить данный многочлен на множители: I) х'*-5x^ + 6; 2) х'* ) х®—X—1; 3) х'*+5x2+6; 4) х'' +4. §4. Алгебраические уравнения 305 5!' Используя метод неопределенных коэффициентов, найти все корни уравнения: I) х^-4х^ + 5х^-2х-6 = 0\ 2) 2x^4-10x4-25 = 0; 3) х‘'4-2х^н-Зх2 f 2х-3 = 0. 6. Найти кратные корни многочленов: 1) X® - 10х^ - 20х^ - 15х - 4; 2) х® - 2х® - х'* - 2х^ 4- 5x^ 4-4х 4- 4; 3) х^ - ex'* - 4х^ 4- 9х'^ 12х 4 4. 7Г Составить уравнение наименьшей степени с целыми коэффициентами, множество корней которого содержит числа: I) 1, 2, ^/2; 2)-1, 34\/2; 3)v^4-\/3; 4)\/24-1. 8. Найти все А, при которых многочлены /(х) и g{x) имеют общий корень (действительный или комплексный): 1) /(х) = х^ - Ах 4- 2, g{x) = х^ I Ах 4- 2; 2) /(х) = х^ 4- Ах^ - 9, g{x) = х^ I Ах - 3. 9. Найти все а, при которых многочлен /(х) имеет кратный корень: 1) /(х) = X® — Зх 4- а\ 2) fix) = х'* — 4х 4- а. Ответы I. 1) 2. -3. -5; 2) 2; 3) i; 4) -5, 2. 3, 4; 5) -i;|. 2. 1) 1, -l-f 2) -i. 3) -1. 4) I, -2,5. 3. 1) ^ 2) -1 f ^-4 4- \/i5 - ^4 4- \/l5. Указание. Положить х 4-3). 6. 1) -1; 2) 2; 3) -1 и 2. 7. Указание. Если число А 4-—корень, то добавить в множество корней число а — у/Ъ. 1) х"* - Зх® 4- 6х - 4 = 0; 2) х^ - 5х^ 4- х 4- 7 = 0; 3) х** - 10х=^ 4-1=0; 4) х2-2х-1=0. 8. 1) 3, ±i\ 2) ±iy/2, ±2iV3. 9. 1) ±2; 2) 3. Глава VIII СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ §1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМАМИ УРАВНЕНИЙ 1. Решение системы, равносильность и следствие, совокупность систем В этой главе мы рассмотрим системы с двумя и тремя неизвестными (переменными). Систему двух уравнений с двумя неизвестными хну можно записать в виде {{ (I) ^f\{x,y)=g\{x,y), [f2{x,y)=g2{x,y). Многочленом от переменных хну называется алгебраическая сумма, содержащая слагаемые вида af,xPy'^, где р, —целые неотрицательные числа. Если левые и правые части уравнений системы (1) являются многочленами от х н у или представляются в виде отношения многочленов, то систему (1) называют алгебраической. Решением системы (1) называется пара чисел xq, г/щ при подстановке которых соответственно вместо хну каждое уравнение системы (1) становится верным числовым равенством. Множество решений системы может быть, в частности, пустым. В этом случае говорят, что система не имеет решений {несовместна). Решить систему — значит [1айти все ее решения или установить, что система не имеет решений. Процесс решения системы обычно состоит в последовательном переходе с помощью некоторых преобразований от данной системы уравнений к другим, более простым, которые мы умеем решать. При этом нужно внимательно следить за тем, чтобы не потерять решения. Что касается посторонних для данной системы решений, которые могут появиться при преобразованиях системы, то их обычно отсеивают с помощью проверки. Если в результа’^е преобразований системы (1) получена система ГЛ1(х,у) = ipi(x,y), \h2{x,y) = <Р2{х,у) такая, что каждое решение системы (1) является решением системы (2), то система (2) называется следствием системы (1). (2) §1. Основные понятия, связанные с системами уравнений 307 Аналогично, уравнение , F(x,t/) = G(x,i/) tiaabiBaioT следствием системы (1), если равенство Р(хо,Уо)^С(хо,уо) является верным для каждой пары чисел xq, у^, образующих решение системы (1). Если система (2) является следствием системы (1), а система (1) также является следствием системы (2), то эти системы называют равносильными. Иначе говоря, системы называют равносильными, если множества их решений совпадают. В частности, две системы, не имеющие решений, являются равносильными. Используя определение равносильности и следствия, можно утверждать, что; 1) если в системе уравнений заменить какое-либо уравнение на равносильное ему, а остальные уравнения оставить без изменения, то полученная при этом система будет равносильна исходной; 2) если к данной системе присоединить уравнение, являющееся следствием этой системы, то полученная система будет равносильна исходной; 3) если какое-либо уравнение данной системы заменить его следствием, а остальные уравнения оставить без изменения, то полученная система будет следствием исходной. При решении систем уравнений нередко приходится применять такие преобразования систем, как умножение обеих частей уравнения па одно и то же число (или одну и ту же функцию), почленное сложение, вычитание, умножение и деление уравнений системы, возведение обеих частей уравнения в п-ю степень. Сформулируем утверждения, связанные с этими преобразованиями, опустив в записи системы неизвестные. 1° Система Г/| +f2=g\+g2, 1/| -/2=gl -g2. полученная почленным сложением и стемы (1), равносильна системе (1). 2° Система ^. /1 =gb /2 12 4 вычитанием уравнении си- (3) является следствием системы (1). В случае когда функции /г и g2 принимают неотрицательные значения в области определения системы (1), т. е. на множестве, где определены функции /2 и g2, система (3) равносильна системе (1). 308 Глава VIII. Системы алгебраических уравнений 3°. Система f/l [hf2-g\g2 (4) является следствием системы (1). Если же не существует таких пар чисел х, у, при которых обе функции /[ и gi одновременно обращаются в нуль, то система (4) равносильна системе (I). 4° Если для всех пар чисел х, у обе функции /2 и g2 одновременно не обращаются в нуль, то система \h=g\, ] ^! = «I W2 в2 является следствием системы (I). При дополнительном требовании, что одновременно не обращаются в нуль функции f\ и g\, система (5) равносильна системе (1). Эти свойства преобразований систем, доказательство которых читатель может легко получить самостоятельно, получат широкое применение при решении систем с двумя и тремя переменными в §§3 и 4. Обратимся теперь к таким часто применяемым при решении систем методам, как метод разложения на множители (приведение данной системы к совокупности двух или большего числа систем), метод подстановки, метод замены неизвестных. Введем еще одно понятие, играющее важную роль при решении систем уравнений. Пусть система уравнений имеет вид r/i=o, 1/2 = 0. (6) Будем систем говорить, что система (6) равносильна совокупности ig\=0, 1я2 = 0 г ф1 = о, \ф2 = 0, (7) (8) если каждое решение системы (6) является решением хотя бы одной из систем (7), (8) и всякое решение каждой из систем (7), (8) есть решение системы (6). Это означает, что множество решений системы (6) совпадает с объединением множеств решений систем (7) и (8). Поэтому вместо слов «система (6) равносильна совокупности систем (7) и (8)» говорят, что «система (6) распадается на системы (7) и (8)». §1. Основные понятия, связанные с системами уравнений 309 Обычно это понятие применяется в случае, когда левую часть одного из уравнений системы (6) удается разложить на множители. Пусть, например, fi = fg, где / и g —многочлены (или функции, которые определены на одном и том же множестве). Тогда система r/g = o, 1/2 = 0 равносильна совокупности систем Г/ = о, 1^ = 0, 1/2 = 0 1/2=0. Пример 1. Решить систему уравнений — 4у^ ■ О, Л Так как х совокупности двух систем (хг/ + = 6. 2 _ 4^2 — 2у)(х + 2у), то система равносильна (х — 2у = 0, (х + 2у = 0, \xy + Jt^ = 6 \л:г/+ = 6. Решим первую систему. Подставляя х = 2у во второе уравнение этой системы, получаем Ьу^ = 6, откуда у\ = 1, У2 = —1. х\ — 2, Х2 = —2. Следовательно, первая система имеет два решения, которые будем записывать так: (2;1), (-2; —1). Аналогично, решив вторую систему, найдем еще два решения (-2л/3;\/3) и (2\/3;—\/3) исходной системы. Ответ. (2;1), (-2;-1), (-2у/3; \/3), (2л/3;-у/3). ▲ При решении систем для обозначения равносильности, следствия и совокупности систем исполь.зуются соответственно знаки 2. Методы решения систем При решении систем уравнений часто применяется метод подстановки (метод исключения неизвестного), с помощью которого решение системы с двумя неизвестными сводится к решению уравнения с одним неизвестным. В основе этого метода лежит следующее утверждение. Система уравнений (х = гр{у), lF(x,i/) = 0 (9) 310 Глава VIII. Системы алгебраических уравнений равносильна системе (x = rpiy), \F{Viy),y) = 0- (10) Пример 2. Решить систему уравнений + \ —х — 0. { у^+у^ = ху. Д Так как первое уравнение системы равносильно уравнению х — у‘^-\-\, то, заменяя во втором уравнении х на получаем уравнение у‘^—у — 0, имеющее корни у\=0, |/2 = 1- Тогда из равенства х = у^ + \ находим Х| = 1, Х2 = 2. Ответ. (1;0), (2; 1). А Одним из эффективных методов решения систем уравнений является метод замены переменных, который состоит в следующем. Пусть левые части уравнений системы \Ых,у) = о (И) записываются в виде F\{x,y) = f\{u,v), р2(х,у) = /гСм.и), где и = (р\{х,у), V — (р2(х,у). Тогда система (И) примет вид 7i («,!') = О, 1/2(н,и) = 0. (12) Если {uk,Vk), k=l, 2.......n —все решения системы (12), то, решив п систем уравнений ((p]{x,y) = Uk, \n(^,y) = Vk и объединив эти решения, найдем все решения системы (II). Пример 3. Решить систему уравнений 3 2’ I 1 3 <'1-1 л у §1. Основные понятия, связанные с системами уравнений 311 А Введем новые неизвестные и = ~, v = ~. Тогда система примет X ц Г - -3 (и V ^ Ь2_„2^_3 V 4 Эта система равносильна системе и — v = 2’. имеющей единственное решение « = t^ = —1-Следовательно, х = - = 2, u = i = —1. и V Ответ. (2; —I). Задачи 1. Доказать, что система уравнений равносильна каждой из следующих систем: ffl(x,i/) = 0, ffi(x,!/) = 0, Ul(-«>'/) + /2(-K.i/)-0; ' \«fi(x,y)+/3f2(x,t/) = 0, где /З^^О (а —любое). 2. Доказать, что система уравнений fx^-i/^ = a(x-i/), [х^ + / = Ь(х+!/) равносильна совокупности следующих систем: I) 3) 3. Рассмотрим систему уравнений ffl(x,t/) = a, \к(х,у) = Ь, х-у = 0, 2) (х-у = 0. х + у = 0; \х'^-ху + у^-Ь = 0; х^ + ху + у^ — а = 0, 4) (х'^ + ху + у^ — а = 0, х + у = 0; - ху + у^ - Ь = 0. где аЬ ф 0. Доказать, что: 1) каждая из систем уравнений \U(.x^y)=a, \ f](x,y) _ £. Ч2(.х.У) Ь' равносильна исходной системе; \f\{x,y) = a, \.h(x,y)-f2(x,y)=ab. 312 Глава VIII. Системы алгебраических уравнений f\{X,y) _ £ * ной системы. 4. Решить систему уравнений; fx2-t/2 = 5, 2) = 1) 5) .. J3(x + 2 назовем элементами этого определителя. В первом и втором столбцах определителя (6) расположены соответственно коэффициенты при неизвестном х и неизвестном у системы (1). Диагональ, на которой расположены элементы а\ и Й2, (6) 314 Глава VIII. Системы алгебраических уравнений называют главной, а диагональ, на которой стоят элементы С2 и Ь\ определителя (6), называют побочной. Из равенства а\ Ь\ «2 t>2 (7) следует, что определитель Д равен разности произведений элементов, стоящих па главной и побочной диагоналях. Обозначим числители в формулах (5) через Д^; и Д^, соответственно. Тогда, пользуясь правилом (7), получаем С1 Ь\ сг Ь2 ’ Ax^C\b2-C2b[ = Д„ --- Q|C2 — 02C| а\ с\ 0^2 ^2 Следовательно, при условии (4) равенства (5) можно записать так; Г| Дх _ h д “1 Ь\ 0,2 *2 0| С| Ау _ 02 С2 д “1 Ь\ «2 *2 (8) (9) Заметим, что определители Д;^ и Ау можно получить из определителя Д заменой столбца из коэффициентов соответственно при хну системы (1) столбцом свободных членов этой системы. Определители Д, Д^, Ау, имеющие две строки и два столбца, называют определителями второго порядка. Формулы (8)-(9) выражают правило Крамера для нахождения решения системы (1) в том случае, когда определитель этой системы АфО. Пример 1. Пользуясь правилом Крамера, решить систему уравнений Г Зх - 2г/ = 8, А Здесь А Ау = ^3-2 5 7 = -31. 5х и- Ту = 3. = 3 • 7 - (-2) -5-31, Д^ = По формулам (8)-(9) находим х (10) 8 -2 3 7 62, ^ = 2, Д 1. Следовательно, система (10) имеет единственное решение Ответ. (2;—1). А Заметим, что каждое уравнение системы (1) геометрически представляет прямую на координатной плоскости. Если Д^О и (а;)3) — решение системы (1), то это означает, что прямые а\х-\-Ь\у = с\ и а2Х + Ь2у = С2 пересекаются в точке с координатами х — а, у = р. На рис. 1 дана геометрическая интерпретация системы (10). Отметим, что если определитель системы (1) равен нулю, то эта система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений. Так, система ГЗл: + 4 - 5, \3x + 4 - 12 не имеет решений. Этой системе соответствует пара параллельных прямых (см. рис. 2), не имеющих общих точек. Система Гх-«/ = -1, (Зл: - 3^ = —3 имеет бесконечное множество решений. Этой системе соответствует пара совпадающих прямых (см. рис. 3). Можно показать, что если хотя бы один из коэффициентов при неизвестных в системе (1) отличен от нуля, то эта система: не имеет решений, если ее определитель А = 0, а хотя бы один из определителей Ах, Ау не равен нулю; имеет бесконечное множество решений, если Д = Д V = Д„ = 0. 316 Глава VIII. Системы алгебраических уравнений Пример 2. Найти все пары значений а, Ь, для каждой из которых система уравнений Г (а + Ь)х + 26г/ = 2, \8л: + (а^ -аЬ + Ь'^)у - 4 имеет бесконечное множество решений. Л Система имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда оба ее уравнения являются уравнением одной и той же прямой. Умножая обе части первого уравнения на 2 и приравнивая коэффициенты при х и у полученного уравнения и второго уравнения исходной системы, имеем 2{а + ^?) = 8, 52-а2^а6 + б2, или а + Ь = 4, (а+ 6)^ —Зяб = 52, откуда аЬ = —\2. Решив систему а f /? = 4, ай = -12. { Для нахождения находим два ее решения Я) = —2, Ь\ = 6 и Я2 = 6, 62 = ~2. Ответ. (—2;6), (6;—2). А 2. Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Определители третьего порядка Рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными Я|л; г Ь\у + C]Z — d\, й2Х + Ь2У + C2Z = d2, (11) ^а^х + Ьзу + c^z = dz- решения системы (И) воспользуемся тем же приемом, который был применен к системе двух уравнений с двумя неизвестными. Умножим уравнения системы на некоторые множители и сложим. Эти множители будем выбирать так, чтобы в полученном уравнении коэффициенты при двух неизвестных были равны нулю. Можно показать, что в результате получим А] Ао Ао /ш\ х= — , У= — , Z = -^, (12 д ^ д д Д = й1^2^3 + + o,^C2b\ — а^Ь2С\ — 63С2Я1 — a2b\C'^. (13) Формулы (12) записаны в предположении, что Д 7^ 0. Число Д называется определителем (третьего порядка), составленным из коэффициентов при неизвестных системы (11), и обозначается так: Я] Ь{ с\ Д= Я2 Ь2 С2 . (14) «3 ^3 Сз §2. Системы линейных уравнений 317 а\ 6| С| \ 02 Ь2 02 \ 03 6з Сз 0| &| С| / 02 <>2 / 03 &3 03 Q| Ь\ С\ а\ Ь\ с\ V ^ “2 Ь2 / С2 «2 / Й2 02 \ К «3 /?3 Сз ^3 ^3 ^3 б в Рис. 4 а\ Ь\ С| 0| *1 Cl 02 \ Й2 02 02 62 \ 02 Л / йз 63 Сз ^3 сз б в Рис. 5 Укажем правило получения выражения (13). Первое слагаемое в правой части (13) представляет собой произведение элементов а\, бг- 03 определителя (14), стоящих на главной диагонали (рис. 4,а). Второе слагаемое есть произведение трех элементов, два из которых 02 и 6з стоят на неполной диагонали, параллельной главной диагонали, а третий элемент cj — в противоположном углу (рис. 4,6). Аналогично, третье слагаемое суммы (13) есть произведение элементов С2 и 6|, находящихся на неполной диагонали, параллельной главной, а также элемента 03 (рис. 4, в). Следующие три слагаемых правой части (13), взятые со знаком минус, можно получить аналогичным способом (рис. 5), если вместо главной диагонали определителя рассмотреть побочную диагональ, на которой стоят элементы 03, 62- ^\- Обратимся теперь к формулам (12). В этих формулах А^, Дг — определители, получаемые из определителя А заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов этого определителя столбцом свободных членов системы (И), т. е. (15) Итак, рещение системы (11) записывается формулами (12), где А, Ajo ^у, Дг выражаются формулами (14), (15), при условии, что А 7^0. Изложенный способ решения систем трех линейных уравнений называют правилом Крамера. d\ Ь\ с\ 0| dx с\ а\ bx d\ ^2 h 02 , Ау — й2 d2 02 , A^ = «2 b2 d2 ^3 Ьз Оз аз d3 03 Ьз d3 318 Глава VIH. Системы алгебраических уравнений Пример 3. Пользуясь правилом Крамера, решить систему уравнений '2x-y + 3z= 14, < 4х + 5у — 2z = —3, X — 6у + Z = 11. Л Вычислим определитель системы Д, а также определители Ах, Ау, Аг- Имеем: = 2 • 5 • 1 -Ь 4(-6) • 3 + (-2)(-1) • 1 - 1 • 5-3- 2 -1 Д = 4 5 -2 1 -6 1 -(-6)(-2) -2-4(-1) - 1 10-72-г2-15-24-1-4 = -95. Аналогично, получаем 14 -1 3 Д,-_3 5 _2 =70-1-22 4-54-165-168-3 = -190, Д,= Дг = -3 5 -2 11 -6 1 2 14 3 4 -3 -2 1 И 1 2-1 14 4 5-3 1 -6 И = -6 - 28 -Н32 + 9 4- 44 - 56 = 95, = 110 4-3-336-70-36 4-44 = -285. По формулам (12) находим решение: -*^ = —^ = 2, = “■У?) ”“УО -285 -95 = 3, которое записывают так: (2;—1;3). Ответ. (2;-1;3). ▲ Рассмотрим еще один способ вычисления определителя третьего порядка. Обратимся к формуле (13). Сгруппируем слагаемые, объединяя вместе произведения, содержащие один и тот же элемент первой строки. Получим: Д = G1 (62С3 - 62С3) - ^1 («2^3 - 03^2) + С] (02^3 - 03^2)- Выражения в скобках можно записать в виде определителей второго порядка: ^2^3 - Ь^С2 = Ь2 С2 h сз Следовательно, а\ Ь\ С| 02 &2 ^2 «3 ^3 ^3 Й2^3~“3^2 = «2 ^2 ^3 ^3 0263-03^2 = 0-2 h аз h = а\ 62 С2 ^3 Сз -Ь\ «2 ^2 аз сз + 0 02 ^2 аз Ьз (16) §2. Системы линейных уравнений 319 0| @ С| Я2 i 2 ‘-З 03 ф 03 б Рис. 6 -О)—От- 02 &2 0 2 03 бз С г Определители второго порядка в равенстве (16) можно получить из определителя Д, вычеркивая в нем строку и столбец, на пересечении которых стоят элементы О], Ь[, с\ соответственно (рис. 6). Запись определителя Л в виде (16) называют разложением его по элементам первой строки. Аналогично, можно вычислить определитель третьего порядка с помощью разложения его по элементам любой строки или столбца. Например, разложение определителя по элементам второй строки имеет вид а\ Ь[ с\ = -02 Ь\ h с\ сз + *2 0| «3 Cl сз -С2 оз Ь\ h (17) 02 ^2 С2 03 Ьз Сз Укажем правило выбора знака, с которым входят в разложение определителя элементы той строки (столбца), по которой записывается разложение. Если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент, четная, то этот элемент входит в разложение со знаком плюс, а если нечетная — со знаком минус. Например, в разложение (17) элементы и С2 входят со знаком минус, так как они стоят во второй строке и первом и третьем столбцах соответственно, а элемент &2 входит со знаком плюс, так как он стоит во второй строке и втором столбце. . 2 3 Пример 4. Вычислить определитель разложения его по элементам: а) второй строки; б) третьей строки. Д По формуле (17) находим -1 3 4 1 с помощью а) 2 3 0 -14 5 3 1 6 —( -О- 3 0 1 6 б) 2 3 0 -14 5 3 1 6 = 3- 3 0 4 5 -1- -I-4. -Ьб- -5- 2 3 3 1 = 18-1-48-1-35=101; 2 -1 = 45-10-1-66 = 101. Ответ. 101. 320 Глава Vlll. Системы алгебраических уравнений (18) (19) 3. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Пример б. Решить систему уравнений Х\ — 2x2 + ->^3 ~ 3x4 = 6) 2x1—5x2 —Зхз+ Х4 = —И, 5х| — 8x2 + 6x3 — 4x4 = 24, ^Зх| - Х2+ Хз+12х4 = -4. Д Умножим первое уравнение системы (18) на -2 и сложим полученное уравнение со вторым. Затем умножим первое уравнение на -5 и сложим с третьим. Наконец, умножим первое уравнение на —3 и полученное уравнение сложим с четвертым. Тогда система (18) примет вид ' Х| — 2x2 + -х^з — 3x4 = 6, —Х2 - 5хз + 7x4 = —23, 2X2 + Хз + 11X4 = -6, 5x2 — 2хз + 21x4 = —22. Эти преобразования проводились с целью получить систему, которая не содержит неизвестное xi во всех уравнениях, кроме первого. Далее преобразуем последние три уравнения системы (19) так, чтобы третье и четвертое уравнения новой системы не содержали неизвестное Х2- С этой целью умножим второе уравнение системы (19) на 2 и сложим с третьим уравнением, а затем умножим второе уравнение на 5 и сложим с четвертым. В результате получим следующую систему: ' Х\ — 2x2 -Г Хз - 3x4 = 6, —Х2 — 5хз -f 7x4 = -23, —9хз -f 25x4 = -52, —27хз Ч- 56x4 = —137. Умножим третье уравнение системы (20) на —3 и полученное уравнение сложим с четвертым. Тогда система примет вид ' Х| — 2x2 + ^3 - 3X4 = 6) —Х2 - 5хз + 7x4 = -23, -9хз + 25x4 = -52, —19x4 = 19. Из последнего уравнения системы (21) находим Х4 = -1, затем из третьего уравнения получаем хз = 3, из второго имеем Х2 = 1 и, наконец, из первого находим Х| = 2. Итак, система (21) имеет следующее решение: х; = 2, Х2 = 1, хз = 3, Х4 = -1. (20) (21) §2. Системы линейных уравнений 321 Заметим, что если одно из уравнений системы (18) заменить уравнением, которое получено почленным сложением этого уравнения и любого другого уравнения, умноженного на некоторое число, а остальные уравнения оставить без изменения, то новая система имеет то же множество решений, что и первоначальная система (равносильна системе (18)). Отсюда следует, что каждая из систем (19), (20), (21) равносильна системе (18). Таким образом, система (18) имеет единственное решение xi—2, Х2 = и Хз = 3, Х4 = —I. Ответ. (2;1;3;-1). А В процессе решения система (18) была преобразована к треугольному виду (21) методом Гаусса. Пример 6. Решить методом Гаусса систему уравнений х\ — 2x2 + Зл:з = 5, 2х\ — 3x2 -f ^хз = 7, Здс] — 7x2 + I '-*^3 = 21. (22) А Умножим первое уравнение системы (22) на —2 и прибавим ко второму уравнению. Затем умножим первое уравнение на —3 и прибавим к третьему уравнению. Тогда получим систему ' х\ - 2x2 + = 5, Х2 - 2л:з - -3, (23) -Х2 -Ь 2x3 = 6, равносильную системе (22). Система (23) нс имеет решений. В самом деле, третье уравнение можно записать так; Х2 — 2хз — —6. С другой стороны, в силу второго уравнения, Х2 - 2хз = -3. Эти равенства не могут одновременно быть верными. Итак, система (23) несовместна, а поэтому несовместной является и система (22). Легко проверить, что определитель системы (22) равен нулю. А I. Вычислить определитель: 1) Задачи 3 4 -1 2 ; 2) 2 -3 -5 4 ; 3) 1 8 2 0 ; 4) 0,1 -0,5 2 -10 11—2549 322 Глава VIII. Системы алгебраических уравнений 2. Доказать следующие свойства определителя: 1) 2) 3) а\ Ь] 02 /ео| kl>t 02 Ь<2 0| I /го2 а-2 = (-1) = 1г 02 &2 0| 6| 0| Й| 0-2 /^2 I Л/?2| _ \а\ 1)2 ~ 02 = (-!) 02 Пользуясь правилом Крамера, решить систему уравис»1ий: ГЗх 4//= 7, ' \2х 1 Бу- 3; Г6х \ Ту - 9, ' \5х у- 13; {с:: Г 7 5 , ( ^ 1 ГЗх 5^/- 8. ’ \7х-4у/=-2; г.) '■ '13 4 , Is" 9'/= |1// = I, 7у-2-, h 2, 4. Лока;!ать, что при любом значении о данная система имеет единственное ретенио, и найти это решение: I) f3.v I ay —а. [ах 2у — а^ \ А\ 2) fox I- Ay — о, [ X I 5оу/ — I. 5. Майти нес значения о и h, при которых система уравнений ГЗх - Ау = 12, \Ях ау = Ь 1) нс имеет решений; 2) имеет бесконечно много решений; 3) имеет единственное решение. 6. Найти все значения о, при которых не имеет решений система уравнений: 1) fox I Зу = + \, [(Зо+И)х К (о I 8)(/ = 5о^Ч 5; 7. Пычис.лить определитель: 2) {- 2ох + г 2)(у н 2л: - 3) = 0. Следовательно, исходная система равносильна совокупности четырех систем: 3) (/ + 2л: + 2 = о, ^ + л: + 2 = 0; + 6 = 0, + 2 = 0; \y-x- \у + х- 2) 4) (у + 2х + 2 = 0, [^ + 2л: — 3 = 0; [г/-л: + 6 = 0, [у + 2х — 3 = 0. Первая, третья и четвертая системы имеют соответственно решения (0; -2), (2; -4), (3; -3), вторая система несовместна. Ответ. (0;-2), (2;-4), (3;-3). А Пример 11. Найти действительные решения системы уравнений (х^ + 4л:'' + 5у^ — о, - -^ = ху-у ■ Д Второе уравнение исходной системы при х 0 равносильно каждому из уравнений (14) (х^-у) =0- Заметим, что если у — 0, то из второго уравнения исходной системы следует, что х = 0, а при х = 0 второе уравнение теряет смысл. Из уравнения (14) получаем: либо х^ — у, либо х+^ = 0. а) Если х^ = у, то из первого уравнения исходной системы находим х(/^ + 9г/^ = 0, откуда х = —9, так как у фО. Тогда у = х^ = 81. Пара чисел (—9; 81) — решение исходной системы. 2 б) Если х+^ = 0, то х^ + у^ = 0. Из первого уравнения системы находим х^ + 4х'* — 5х^ = о или x^ + 4х — 5 = о (х 7^ 0), откуда XI = -5, Х2 = 1. Пусть X = —5, тогда у^ = 125, откуда у = ±5\/5. Пусть х = 1, тогда у’^ = — \. Это уравнение не имеет действительных корней. 332 Глава VIII. Системы алгебраических уравнений Таким образом, система имеет три действительных решения. Ответ. (-9;81), (-5;5ч/5), (-5;-5\/5). А 4. Системы иррациональных уравнений с двумя неизвестными Пример 12. Решить систему уравнений [х + у-ху= 1. л Первое уравнение подстановкой = t преобразуется к виду 4Г - 7/ - 2 = 0. Это уравнение имеет корни t\—2 и — Если 1 — 2, то х = Лу и из второго уравнения следует, что 4у^ —5у+1=0, откуда находим у\ = \, 1/2 = Подстановкой в исходную систему убеждаемся, что пара чисел (4;1) является ее решением, а пара (1;4) не удовлетворяет первому уравнению. Ответ. (4; 1). А Пример 13. Решить систему уравнений Г \Jlx-y + yj2x-y = 5, \ (15) (16) \)Л-х-\-у = \. Д Умножая обе части уравнения (15) на выражение у/1х — у — sj2x — у, сопряженное левой части этого уравнения, получаем 5х = Ъ{\/1х — у— yj2x — у), или \/Тх — у — \/2х — у + X. Из уравнений (17) и (16) следует, что |у'2л:-у = \ -y-x, \у/7х-у = 1-у. Складывая почленно уравнения (18) и (19), получаем \/7х — у + \/2х — у = 2 — 2у — X. Но тогда из (20) и (15) находим 2 — 2у — х = Ъ, откуда X = —2у - 3. (17) (18) (19) (20) (21) §3. Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными 333 Каждое из уравнений (17)-{21) является следствием системы (15), (16). Исключая х из системы (19). (21), получаем - 6 = 4 + {/, откуда + 13г/-|-22 = 0, ^| = — И, 1/2 = -2. Соответствующие значения х находим по формуле (21): XI = 19, Х2 = 1. Проверка показывает, что пара чисел (xi;r/|) не является решением системы, а пара чисел (1;—2) образует решение системы. Ответ. (1;-2). А Замечание. Легко убедиться в том, что «лобовое» решение, основанное на избавлении от корней в исходной системе с помоигью возведения в квадрат, связано с преодолением немалых трудностей. Пример 14. Решить систему уравнений j \/х + у + у/л: + 2у = 10, 1 +У + 2х + у = 16. Д Пусть и = ^/х + у, V = yjx + 2у, тогда х + у х + 2у — v^, откуда X = 2и - V , у = v — и‘‘. Поэтому исходная система примет вид fu + V = 10, \w + Зи^ - = 16, откуда 2ы^-Ь 21ы — 116 = о, Ы| =“2 = 4. Так как ы ^ 0. то и = 4, т. е. t/x +у = 4, v= \/х + 2у — 6, откуда JC +«/ = 16, X + 2у = 36. х = -4, у = 20. Ответ. (—4;20). Пример 15. Решить систему уравнений '2 + 6у = ^- у/х-2у. лА /х + у/х — 2у х + Зу — 2. Д Область определения системы — множество таких точек, что х^2у, уф о, хЛ- yj х — 2у'^0. (22) 334 Глава Vlll. Системы алгебраических уравнений Преобразуем первое уравнение системы так: 2у + 6у^ = х- уу/х-2у. (v'Jc-2г/)^ - yyjx-2y - б/ = О, {yjx-2y- Зу){\/х-2у + 2у) = 0. 1) Если л/х — 2у — 3у = 0, то х — 2у = Ъу, у~^ 0. (23) Из (23) и второго уравнения системы получаем \/х-\-2>у = (х + Ъу)-2, или {у/х + Зу-2){у/х + Зу+\) = 0, откуда у/х + 3у = 2, так как у/х + Зг/ + I > 0. Тогда х + 3(/ = 4, X = —Зу + 4. Отсюда и из (23) находим уУА-5у = Зу, 9i/ + 5у-4 = 0, у\=-\, У2 = \- Так как у^О, то у = ^ и Jc = |. У о Пара чисел ^|; удовлетворяет условиям (22). 2) Если \/х — 2у — —2у, то у^О и х — 2у = Ау'^, а из второго уравнения находим \/х — 2у = X + Зу — 2. Поэтому jc-1-Зг/ —2 = -2у, х = 2 — Ьу, 2 — 7у = 4у^, У\ = ^ (не годится), г/2 = —2, х^ = 12. Пара чисел (12;—2) — решение исходной системы. Ответ. (12;-2). А Пример 16. Решить систему уравнений 'х+ yjx^-y^ Х-у^Х^-у^ _ 17 x+yjx- ^х(х + у)+ \/х2Тх^Т4 = 52. Л Освобождаясь в первом уравнении от иррациональности в зна- 4х^ - 2у^ _ 17 Т’ менателях, получаем 5 5 откуда х = ~у W х = —~у. Полагая во втором уравнении t = у/х^ + ху + 4, имеем -Ь / - 56 = о, откуда t\—7, t2 = -8. Отбрасывая корень/2<0. получаем х'^+ху = 45. §3. Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными 335 Решив две системы уравнений \х^ + ху — 45; ^ = -4I/-х^ +ху = 45, найдем четыре решения, которые, как показывает проверка, удовлетворяют и исходной системе. Ответ. (5;4), (-5;-4), (15;-12), (-15; 12). А Задачи I. Найти действительные решения системы уравнений; „2 , „2 „ , .. 1) rx4xV+y^ = l7. \х -Ь ху 1- у — 5; 2) 3) f 2(х + у)~ 5ху, \8(хЧ(/^) = 65; ^) ■ + yf + у= I, ■ 31 2. Найти действительные решения еиетемы уравнений: ,.3 1) f 2х^ +ху - 3 . ,.2 -уху------к- +х , У ху^ - + х^у"^ + 4(/^ = 0. • X ^(1-2у) = 4х + 2«/, ^2х^ + ху=х+у^\ 336 Глава VIII. Системы алгебраических уравнений f 8л:^ — 2ху - If - 30.1С — 9г/— 8 = О, [8х^+6ху+у^ -2у-8 = 0; 6. Решить систему уравнений; ^х + у + ху = 9; (sjx I у I У2Г+уТ2 = 7, \3j: 4 yz у 2г^ = 0. 17. 2//2 +- + 3 = 0, X х(/ + 1 - 2 = О, Х2 4— У2- У :0. §4. Нелинейные системы с тремя неизвестными 349 f3(x + !/) = z, fx^+ 2/ + г^ + 2xi/z + 22-0, 18. Ь(х2+г/^) = 5г, 19. < 2x^ — 2(/^ — z^+ xyz + 2 = 0, + «/^) = 7г. -x^ -z^ + xyz - 13 = 0. f 2x^ + 1/^ + = 9 +i/z, (x^ + 2yz=\. 20. < + 2^/^ + г^ = 6 ) xz, 21. ^/ + 2гл: = 2, [x^ + 2z^ -3+xp. \z^ + 2xy = 1. Ответы I. (2;3;1). (-2;-3;-1). 2. (0;0;0), (3;2;1). (-3;-2;-1), (3;-2;-1). (-3;2;-1). 3. (3;4;5), (-3;-4;-5). 4. (1;2;4). ( -1;-2;-4). 5. (1;2;3), (-1;-2;-3). 6. (2;-1;4). 7. (-2;3;1). 8. (3;2;1), (-3;-2;-1). (3;-2;-1). (-3;2;-1). 9.(0;U 1).(3;-1;5).(|,|;2). 10. И. ‘2. (0;0;0). (3;2;1). 13. (1;2;-2), (2;1;-2). (-2;1;2), (1;-2;2). (2; 2;1), (-2;2;1). 14. (1;2;-1), (1;-1;2), (-1;1;2). (-1;2;1). (2;1;-1), (2;-1;1). 15. (3;2;-1), (3;-1;2), ^1; i±^; . 10. (-П4Л). 17. (3;2;-l). 18. (0;0;0). (2;-l;3), 20. (0;0;0), (-1;2;3). 19. (-2^;-3;2^), (2;-l;3). (-1;2;3). 21. (1;0;1), (^й)- H-l-D Глава IX ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ § 1. ТОЧНЫЕ ГРАНИ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ. ОПЕРАЦИИ НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ 1. Верхняя и нижняя грани числовых множеств В гл.II (§2) было рассмотрено понятие действительного числа и на множестве М действительных чисел введено правило сравнения. Множество X действительных чисел {X с К) называется ограниченным сверху, если существует действительное число С такое, что все элементы множества X не превосходят С. Используя логические символы, запишем определение ограниченного сверху множества X в следующем виде: ЗСеК; (I) Это означает (см. рис. 1), что все элементы множества X расположены на числовой прямой левее точки С (эта точка может принадлежать множеству X). X С X Рис. 1 Всякое действительное число С, обладающее свойством, указанным в определении (1), называют верхней гранью числового множества. Аналогично, множество X С М называется ограниченным снизу, если существует действительное число С такое, что все элементы множества X удовлетворяют условию х ^ С, т. е. располагаются на числовой прямой (рис. 2) правее точки С (точка С может принадлежать множеству X). X Рис. 2 Определение ограниченного снизу множества X с записать так: ЗС'е К: Vx е Xл: > (Г. можно (2) Пусть числовое множество X ограничено как сверху, так и снизу Тогда его называют ограниченным. Это означает, что ЗС'еК 3CgM:VxgX-+C' ос. Рис. 4 иллюстрирует определение 1. а м X Рис. 4 Наличие индекса а в записи элемента Ха множества X указывает на то, что этот элемент, вообще говоря, зависит от числа а € К. Точная верхняя грань числового множества X обозначается supX (читается «супремум»). Таким образом, {М = sup А"} {Vx G Х —> X < М} Л (Va < М 3x« G X: х« > а}. Замечание I. Число УИ = supA" может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X. Например, если Х —множество чисел х таких, что 2 ^ X < 3, то supX = 3, а 3 ^ X. Замечание 2. Из определения I следует, что если у числового множестваX существует точная верхняя грань At, то она единственна. 352 Глава IX. Предел и непрерывность функции Введем понятие точной нижней грани. Если числовое множество X ограничено снизу, то выполняется условие (2), а число С' является его нижней гранью. Любое число, меньшее С', также является нижней гранью числового множества X, ограниченного снизу, а наибольшую из нижних граней называют точной нижней гранью числового множества X. Речь идет о числе т, обладающем следующими свойствами; т — нижняя грань множества Х\ любое число /3, большее т, не является нижней гранью множества X. Сформулируем определение точной нижней грани, используя логические символы. Определение 2. Число т называется точной нижней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия; Ух Е X X ^ т; У[3> т Зхр е X: хр < (3. т Рис. 5 Рис. 5 иллюстрирует определение 2. Точная нижняя грань обозначается inf2f (читается «инфимум»). Таким образом, (т - inf2f} «=> {Vx € —> л: > m} Л {V/3 > т Зхр еХ: хр< (3). 3. Существование точных граней Теорема 1. Если непустое множество действительных чисел X ограничено сверху, то суи^ествует его точная верхняя грань supX; если непустое множество действительных чисел X ограничено снизу, то существует его точная нижняя грань in Г А’. Доказательство теоремы I обычно приводится в курсе математического анализа, изучаемого в вузах. Эта теорема служит основой при определении операций над действительными числами, а также для доказательства многих теорем, связанных с понятиями предела и непрерывности функции. Следствие. Если А и У — непустые множества действительных чисел такие, что для любого л: € А и любого у € Y справедливо неравенство х < у, то существуют sup А и inf У, причем Vx € А Vy е У —> X < sup А ^ inf У < у. Это утверждение называют теоремой об отделимости числовых множеств. §1. Точные грани числовых множеств 353 4. Операции над действительными числами Сложение и вычитание действительных чисел. Операции сложения и умножения действительных чисел вводятся с помощью приближения действительных чисел рациональными и, в частности, десятичными приближениями этих чисел. Суммой двух действительных чисел а и /3 называется такое действительное число что для любых рациональных чисел r,sy,s', удовлетворяющих условиям (3) выполняется неравенство r + /^^^s + s'. Сумма чисел а и /3 обозначается а + /3. Теорема 2. Для любых действительных чисел а и ^ их сумма существует и единственна. Для доказательства существования суммы можно воспользоваться следствием из теоремы 1, взяв в качестве й число sup£, где Е — множество чисел вида г f /. Единственность суммы можно доказать, используя следующее утверждение: пусть й € IR, й' € К и пусть существуют такие последовательности рациональных чисел {хп} и {уп\, всех п € N справедливы неравенства ^ й ^ й' < уп—Хп^ Тогда Й = Й'. Заметим, что неравенства (3) будут выполняться, если в качестве г и / (s ч s') взять (/г+1)-е десятичное приближение с недостатком (с избытком) соответственно для чисел а и ]б, т. е. Понятие разности двух рациональных чисел, как и понятие их частного, было рассмотрено в §2 гл. П. Аналогично эти операции вводятся и на множестве IR. Умножение и деление действительных чисел. Произведением двух положительных действительных чисел а ч j3 называют такое действительное число й, что для любых рациональных чисел г, 8,^,8', удовлетворяющих условиям О < г ^ 8, 00 или а > О, /3<0, то ар= —\а\Щ. Операция деления вещественных чисел вводится по аналогии с операцией деления рациональных чисел. Можно доказать, что если а G М, /3 € М и то частное ^ существует и единственно. ' Некоторые свойства действительных чисел. Напомним тс свойства действительных чисел, в которых используется понятие модуля: |-а1 = |«|. И = И • |^1, |a-f 6| < |ц| + |6|, \а-Ь\'^\\а\-\Ь\\. Отмстим также, что если а, й —заданные действительные числа, причем й > О, то неравенство |х - о| < Й (4) равносильно двойному неравенству а —й, т. е. множество решений (рис. 6) неравенства (4) —интервал (а —й,с 4-й). а-Ь а Рис. 6 (х + Ь Аналогично, неравенство |х - а| > й, Й > О, (5) выполняется при х < а — й и при х > а -t- й (рис. 7), т. е. множество решений неравенства (5) — объединение бесконечных интервалов (—оо,а —й) и (а-Ь й,-|-оо). а—Ь а а+8 х Рис. 7 Если а<Ь и а,/3—произвольные точки отрезка \a\b\, т. е. или а 2; 2) х\ = а, Х2 = Ь, Хп = л е N, л ^ 3; здесь а,6,с —заданные числа. Пример 1. 1) Выписать несколько первых членов последовательностей {'og(«+2)("+•)}• 2) Написать формулу общего члена последовательностей /1111 \ и (-1 2 1 -5 \ 13’9’27’81’"7 I 2’3’ 4’5’ 6’"7‘ 356 Глава IX. Предел и иепрерывтсть функции 3) Выписать несколько первых членов последовательности {х:„}, заданной рекуррентно; xi = l, ^2 = 3, Хп+\=2хп — А \\ 1 М 2" / 12’ 4 ’ 8 ’ 16’ 32’'"J’ {sin y} ~ f?г,sin y,sin 2д,sin у,.. .| = = {1,0,-1,0,1,0,-1,0,...}; {•og(„+2)('^ + 0} = {log3 2,log4 3, logs 4, logs 5,...}. l-i 2 _3 4 _5 I I 2’3’ 4’5’ 6’'■7 I' ' n \ \ J ■ 3) Имеем: X] = 1, X2 = 3, x^ = 2x2 — x? = 2 ■ 3 — 1 = 5. -23. A X4 = 2x3 — Xg = 2 • 5 — 3^ = 1, xs = 2x4 — x| = 2 • 1 — 5 Xfi = 2x5 - x2 = 2 • (-23) - l2 = -47. Последовательность {x„} ограничена снизу, если существует число С| такое, что для всех п е N верно неравенство х„ > С|. Например, последовательность, в которой Xn = rfi, ограничена снизу числом 1. Последовательность {хп} ограничена сверху, если существует число С2 такое, что для всех п е N верно неравенство х„ < С2. Например, последовательность {—п + 3} ограничена сверху числом 2. Последовательность {х„} ограничена, если существуют числа С\ и С2 такие, что для всех п е Н верны неравенства С| < х„ < С^. Например, последовательность {2“") ограничена, так как при всех л е N имеем 0 < 2“" < Это определение равносильно следующему: последовательность {х„} ограничена, если существует число С>0 такое, что для всех л 6 N верно неравенство \х„\ ^ С, или, короче, ЗС>0:УлеН-^|х„|<С. Последовательность {х„} является неограниченной, если для любого С>0 найдется номер пс такой, что jxn^l > С. Последовательность {хп} называют: возрастающей, если для любого л G N верно неравенство -*^«+1 ^ Хп', неубывающей, если для любого лбН верно неравенство х„+\ ^х„. Последовательность {хп} называют: убывающей, если для любого лбН верно неравенство x„+i <х„; невозрастающей, если для любого л € N верно неравенство Хп-\-\ ^ Хп- §2. Предел последовательности 357 Возрастающие (неубывающие), а также убывающие (невозрастающие) последовательности называют строго монотонными (монотонными). Так, последовательность {Зп-1-2} — возрастающая, а последовательность j-g-!—| —убывающая. Точную верхнюю (нижнюю) грань множества значений последовательности {хп} называют точной верхней (соответственно точной нижней) гранью последовательности и обозначают sup{x„} (соответственно inf{jc„}). Последовательность {х„\ можно изображать точками (п\Хп), neN, на плоскости или точками х„, п € N, на числовой оси. 2. Определение предела последовательности Предваряя определение предела последовательности, рассмотрим две числовые последовательности {х„} и {уп}, где Уп = 2"’ Выпищем несколько первых членов каждой последовательности: {хп}- О,: 2 5 4 7 6 9 8 3’ 1 4’ 1 5’ 6’ 7’ 8’ 9’” 1 1 1 4’ 8’ 16’ 32’ 64’'” ■ Изобразим члены этих последовательностей точками на числовой прямой (рис. 9, 10). ^3'^5 1 Рис. 9 У2 о Уя У\ Рис. 10 Заметим, что члены последовательности {x„} как бы «сгущаются» около точки 1 (рис. 9), располагаясь правее точки 1 при четных п и левее точки 1 при нечетных п. С увеличением п расстояние от точки Хп до точки 1 уменьшается (стремится к нулю). Поэтому число I называют пределом последовательности {л:„} при « ^ оо и пишут: Мгп Хп = 1. «—>оо Аналогично, члены последовательности {уп} с ростом п «приближаются» к точке О (рис. 10), и поэтому lim Уп = 0. Л—>оо 358 Глава IX. Предел и непрерывность функции Сформулируем определение предела последовательности. Определение. Число а называется пределом последовательности {хп}. если для каждого е > О существует такой номер Ng, что для всех n'^N^ выполняется неравенство |л:п —а|<£. Если а — предел последовательности, то пишут lim х„ = а или п—*оо Хп —* а при « оо. Замечание. Запись Ne ука.зывает на то, что номер, начиная с которого все члены последовательности удовлетворяют условию \хп — aj < е, зависит, вообще говоря, от е. Если х„=а для всех neN (такую последовательность называют стационарной), то lim х„=а. п - ♦ОО Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся. Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют расходящейся; иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом. Обратимся еще раз к определению предела. Согласно определению, число а является пределом последовательности {хп}, если при всех п'^ Ng выполняется неравенство \х„ — а| < е, которое можно записать в виде а — е<Хп<а-^-е. Другими словами, для каждого е > О найдется номер Ng, начиная с которого все члены последовательности {дсп} принадлежит интервалу (а — е;а + е). Этот интервал называют е-окрестностью точки а (рис. П) и обозначают Ug{a). а — е а Рис. II а + е Итак, число а — предел последовательности {x^}, если для каждой е-окрестности точки а найдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат е-окрестности точки а, так что вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо содержится лишь конечное число членов. Пример 2. Используя определение предела, показать, что по следовательность {x„} имеет предел, равный а, если Ь 1) л:„ = —; а = 1; п 3) Xn-q"; к|<1; а = 0; 2) х„ = -^, ЬеШ, meN; а = 0; 4) х„ = \/^Г+Д —Vn+2; а = 0; I 5) |?|<ь 6) = Ё а = - Аг=1 §2. Предел последовательности 359 А 1) Так как дс„ = 1 + ^, то \хп — 1| = ^. Возьмем произвольное число е > 0. Неравенство — 1| < е будет выполняться, Выберем в качестве Ne какое- если - < е, т. е. при п> п е нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию Л^е>-, например число Ne= - + 1, где |л:] — целая часть числа х, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее х. Тогда для всех п ^ Л/g будет выполняться неравенство По определению предела это означает, что lim х„ — lim AiJ. — i. п—юо п-*оо п Замечание. Аналогичным образом можно показать, что Игл = 1 для любого й € К. п—юо п 2) Пусть Так как |хп| = ^, а неравенство ^<е. где е>0, равносильно каждому из неравенств то при всех п ^ Ne, где Ne = неравенство \х„\ < е. Следовательно, lim Л = lim — 0. п -юо П Замечание. Положив т=\, получаем, что lim - = 0. л—юо п 3) Если q = 0, то х„ = 0 для всех л G N, и поэтому lim х„ = 0. п—ЮО Пусть qy^O. Обозначим тогда г>1, так как 1<71<1. Поэтому г = 1 + а, где а > 0, откуда Здесь использовано неравенство Бернулли (гл. II, §6, пример 8). Следовательно, \xn\ = \q\"< ап (I) 360 Глава IX. Предел и непрерывность функции И для всех n'^Nc, где Мс= + 1, выполняются неравенства 1х:„| < — ^ 4г < ап oNe Это означает, что lim х„ = 0, т. е. lim 9” = О, если |9|<1. /I ->оо п—»оо 4) Умножив и разделив х„ на л/л + 3 + \/п + 2, получим ^ _ (^/n^-3)^ - (у/п Ь2)^ _______j______ " л/п + 3 + л/п -h 2 \/п Ч- 3 + \/п + 2’ откуда |х„| < 2^- Неравенство < с будет выполняться, + 1, тогда если \/п > т. е. при л > Пусть Ne = полня |х„1 < 2е’ ■' ■ ' 4г для всех п'^ Ne выполняются неравенства 4е^ < ‘ < Е Это означает, что lim х„ = 0, т. е. lim (\/л + 3 — \/л + 2) - 0. п—*оо п—*оо 5) Используя формулу для суммы геометрической прогрессии, . _ 1-4" _ 1 <т" Ля----:-----г----------- получаем l-q \-q \-q откуда В силу (1) следует, что неравенства _ l4l" Хп \-q 1 (l-q)an <е, где е>0, ВЫПОЛНЯЮТСЯ для всех n'^Ne, где I к1 -1, т. е. lim Хп = —. Л—юо 1 — q 6) Так как I iky\)(k + 2) k+\ ky2 , то X =i-l + l-l+ I ' ’ I ' " 2 3^3 4^'”^я я+1^п + 1 пН 2 я + 2 Поэтому 1 I Хп — - 2 я + 2 следует, что lim х„ = ^ Л—►оо 2 < е при Ne = -2 + 1, откуда А §2. Предел последовательности 361 Замечание. Пусть геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, тогда ее знаменатель (/ удовлетворяет условию |^| < 1. Если и\ — первый член прогрессии, то сумма первых п членов этой прогрессии равна П — 1 Sn = П| ^ к-О Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число S = lim Sn. Так как я-1 lim ' fl >сю ^^ *=0 \-q (пример 2(5)), то S= Пример 3. Пусть ^ О при всех п € N и пусть существует lim х„ = а, где а ^ 0. Доказать, что последовательность s — [ п -ЮО } ограничена. Д Так как а О, то |а| > 0. Из определения предела последова-тельиости следует, что по заданному числу можно наити номер т такой, что при всех п т выполняется неравенство \хп - а| < Отсюда, используя неравенство |а| — |х„| < \х„ — а|. получаем |а| — |x„| < Тогда |х„| > и поэтому для всех п'^ т. Пусть С—наибольшее из чисел 1°1 = J-:п| |а| ^. Тогда при всех hi 1“1 neN справедливо неравенство ^ С, т.е. последовательность I — > Хц {.Хп ) ограничена. к 3. Свойства сходящихся последовательностей 1° Числовая последовательность может иметь только один предел. О Предположим, что последовательность {х,,} имеет два различных предела а и Ь, причем а < Ь (рис. 12). Выберем е > 0 таким. иЛа) ЧЛЬ) 4- 4- 4- а — е а+е Ь—с Рис. 12 Ь + е чтобы е-окрестиости точек а и 6 не пересекались (не имели общих точек). Возьмем, например, е = Так как число а —предел 14 - 2549 362 Глава IX. Предел и непрерывность функции последовательности {лгп}, то по заданному е>0 можно найти номер N такой, что х„€ Ug(a) для всех n^N. Поэтому вне интервала Uda) может оказаться лишь конечное число членов последовательности. В частности, интервал Ue{b) может содержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что 6 —предел последовательности (любая окрестность точки Ь должна содержать бесконечное число членов последовательности). Полученное противоречие показывает, что последовательность не может иметь два различных предела. Итак, сходящаяся последовательность имеет только один предел. • 2° Если последовательность имеет предел, то она ограничена. О Пусть последовательность {jt„} имеет предел, равный а. По определению предела для е = I найдем номер т такой, что при всех п^т имеет место неравенство |х„—а|<1. Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то кп| = \х,1 - а Н- а| ^ - а| + |а|. Поэтому при всех п~^ т выполняется неравенство |х„| < 1 -Ь |а|. Пусть С—наибольшее из чисел I-I-|а|, |x||,..., тогда |х„| ^ С при всех л € N, т. е. последовательность {х,,} ограничена. • Замечание. Из ограниченности последовательности не следует ее сходимость. Например, последовательность {(-!)"} ограничена, но не является сходящейся. 3° Если последовательности {х„}, {уп}, {zn} таковы, что Хп ^ Уп ^ для всех п > Nq, (2) lim Хп = lim — а, П->00 л—>00 то последовательность {уп\ сходится и lim уп=а. п—*оо о По определению предела для любого е > О найдутся номера N] = N\{e) и N2 = N2(e) такие, что Хц & U^{a) при всех n~^ N\ и ZneUeia) при всех Отсюда и из условия (2) следует (рис. 13), что при всех п'^ N, где N^Tnax{No,NuN2), выполняется условие у„ Е Uc{a). Это означает, что существует lim уп = о.. • Хп Уп а Рис. 13 а + е §2. Предел последовательности 363 Пример 4. Пусть а„>—1 при всех neN и lim а„ = 0. Доказать, что lim yi + а„ = I, ^eN. П—+0О (3) (4) Л Докажем сначала, что 1 - |of„| ^ v/l + a„ < I + |о!п|, пеП, й е N. В самом деле, если а„ > О, то 1 ^ УI + а„ < (\/1 + Оя)*= 1 + а„ = 1 + |а„|, а если -1 ^ Of,, < О, то 1 ^ \/1 + а„ > (v/l +f^)*=I + of„ = 1- |of„|, откуда следуют неравенства (4). Применяя свойство 3°, получаем утверждение (3). А Замечание. Если х„ — + а„, где а > О, а + «п ^ О для всех п € N и lim «п = О, то Л—юо Хп (5) (6) и из равенства (3) следует, что lim уН’+Ол = Уа. Л—*оо Пример 5. Доказать, что если а > 1, то lim = Я—+00 Д Если а > 1, то 1. Обозначая {/а-1 = ап, получаем -Уа = 1 + «п, где of„ > О, откуда G = (I 4" ^ ^ в силу неравенства Бернулли. Так как а„ > О, то из (6) следует, что О < се„ < ^, т. е. О < О Зт: а:„! > а - е. (8) 364 Глава IX. Предел и непрерывность функции Заметим, что номер т зависит, вообще говоря, от е. Теорема 1. Если последовательность {хп} является возрастающей (неубывающей) и ограничена сверху, то существует lim Хп = $ир{л:п}. п >00 Если последовательность {х,,} является убывающей (невозрастающей) и ограничена снизу, то существует Игл Хп = 1пГ(л;„}. п >сх> о Приведем доказательство теоремы для случая ограниченной сверху и возрастающей последовательности. Если последовательность {х„) ограничена сверху, т. е. множество чисел Х{,Х2, ■ ■ ■ ,х„, ■ ■. ограничено сверху, то по теореме о существовании верхней грани (§ 1, теорема I) существует точная верхняя грань этой последовательности, определяемая условиями (7), (8). Так как {x:,j} — возрастающая последовательность, то * ^ ^п- (9) Из (7)-(9) следует, что Ve > О Зт:Уп'^ т а — е < Хт ^ Хп'^а, т. е. Хп € Ug(a). Это означает, согласно определению предела, что lim = а = sup{jc„}. • Пример 6. Доказать, что если х„ = —, где а > О, то lim Хп = 0. п! п—*оо А Так как •^п+1 « +1 Хп, (Ю) то х„+\ ^Хп при всех h'^hq, где /го = |а], т. е. {х„} — убывающая при п ^ По последовательность. Кроме того, х„ > О при всех п G N, т. е. последовательность ограничена снизу. По теореме 1 последовательность {л:„} сходится. Пусть lim Хп = Ь. Тогда, переходя п—»оо к пределу в равенстве (10), получаем Ь = О Ь, т. е. 6 = 0. Итак, л" lim — п- >оо п\ 0. (11) А Замечание. При переходе к пределу в соотношении (10) использовалось свойство сходящихся последовательностей lim (хпуп) — [ lim Хп) • ( lim уп], п—*оо \п -*оо / \п—*оо / см. ниже теорему 2; а также то, что lim - = 0 (см. замечание к примеру 2(2)). я—юо п § 2. Предел последовательности 365 Пример 7. Последовательность {х„} задается рекуррентной формулой ^п+\ = ^ -Ь , (12) где Х| > О, а > 0. Доказать, что lim х„ — s/a. (13) п ->оо Д Докажем сначала методом индукции, что ykeN^Xk>0. (14) В самом деле, из формулы (12) и условий Х| > О, а>0 следует, что Х2 > 0. Предполагая, что х„ > О, из равенства (12) получаем JCfl ii >0. Утверждение (14) доказано. Далее, применяя неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического, из (12) получаем -tn+i = 5 + ^ ^х^^=х/а при neN, т. е. Vn > 2-> л:„ > v/o- (15) Итак, последовательность {jc„} ограничена снизу. Докажем, что она является невозрастающей. Запишем равенство (12) в виде ^п+\ — 2х„ ’ откуда в силу (14) и (15) получаем Vn ^2 > Xfj^ 1 ^ Xfi, т. е. последовательность является невозрастающей при п > 2. По теореме 1 существует lim Хп = а, где с(> \/а>0 в силу условия (15). Л—+00 Переходя в равенстве (12) к пределу, получаем откуда о? = а, а = \/а, т. е. справедливо утверждение (13). А Замечание. При переходе к пределу в соотношении (12) использовалось то, что для сходящихся последовательностей {хп} и {уп} \'т {рхп + ЯУп) = р ■ lim Xn + q- lim у„, p,оо п—*оо л—*00 а также что lim — = ---- при условиях: Хп ФО, п € N, и lim Хп О П-ЮО Хп lim Хп п—*оо л—»оо (см. ниже теорему 2). 366 Глава IX. Предел и непрерывность функции 5. Число е Рассмотрим последовательность {хп}, где jr„ = (l + i) , и покажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная сверху. Используя формулу бинома Ньютона, получаем = I + +... + + ... + ^ = 1 + где k\ k = \,... ,п. Подставляя выражение для С* в формулу разложения для х„, запишем х„ в следующем виде: к~ \ (16) тогда J = » + (| А:=1 (17) Все слагаемые в суммах (16) и (17) положительны, причем каждое слагаемое суммы (16) меньню соответствующего слагаемого суммы (17), так как т п п + I /п = 1,..., п — 1, а число слагаемых в сумме (17) на одно больше, чем в сумме (16) Поэтому Хп < х„+] для всех п е N, т. е. {х„} — возрастающая последовательность. Кроме того, учитывая, что 0<1 —— <1 т = \,...,п—1, п из равенства (16) получаем П Так как ^ при /г е N, то, используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем < 1 + 1 *=| = 1 + or (О 3- 2«- -1 • §2. Предел последовательности 367 Следовательно, + <3, т. е. {хл} — ограниченная сверху последовательность. По теореме 1 существует lim х„. Этот предел П—¥00 обозначается буквой е. Таким образом, lim fl + lV=e. (18) п ^оо \ п) Заметим, что число е иррационально и е и 2,718281828459045. 6. Бесконечно малые последовательности. Арифметические операции над сходящимися последовательностями Последовательность {«„} называется бесконечно малой, если lim а,1 = о, т. е. для любого е > 0 найдется номер Ne такой, что п—>оо для всех п Ne выполняется неравенство |a„ — 0| = |ог„| < е. Из определения предела последовательности и определения бесконечно малой последовательности следует, что последовательность {х„} имеет предел, равный а, тогда и только тогда, когда последовательность {хп — а} имеет предел, равный нулю, т. е. является бесконечно малой. Бесконечно малые последовательности обладают следующими свойствами: 1° Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. 2° Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью. Замечание. Так как бесконечно малая последовательность ограничена (свойство 2° сходящихся последовательностей), то произведение двух или нескольких бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Доказательство этих свойств можно получить, используя неравенства, связанные с понятием модуля (см. конец §1), и определения бесконечно малой и ограниченной последовательностей. Теорема 2. Пусть \\т Хп= а, lim г/„ = 6. Тогда П—^ОО rt—»оо lim {хп ± уп) — а:кЬ-, Я—►ОО lim {хпУп) =аЬ\ Я—»сх> lim ^ = - при условии, что Упт^О («6N), bj^O. (19) П—»0О Уп Ь 368 Глава IX. Предел и непрерывность функции О Ограничимся доказательством утверждения (19). Нужно показать, что J - I — бесконечно малая последова- (Уп Ь] тельиость. Так как х„=а + а„, уп = Ь + (3„, где {а,,} и {)3л} — бесконечно малые последовательности, то а _ (aj- а„)Ь - {Ь + fi„)a Ь ~ Xfj Уп Ьуп Последовательность «« — ^Вп является бесконечно малой (по Ь' свойству 1° бесконечно малых последовательностей), а последовательность | —I является ограниченной (пример 3). Так как произведение бееконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой (свойство 2° бесконечно малых последовательностей), то справедливо утверждение (19). • Пример 8. Найти предел последовательности если |\ _ ЗпЗ+ 4/1-1 . 04 „ _ + 4/1^ + 3. ^ " " 5/13 + 2/12 + 4' ^ --------п ’ 3) +„ = \/л2 -Ь 2п -Ь 3 - \/л2 — 2л + 5. 3+ ^ ' А 1) Так как х„ =------^^—, а Jim -^ = О, /г е N, се 5 + ^ + Л п то по теореме 2 получаем lim х„ — п -»оо л" 3 2) Так как х„ = v^^l -Г - + то используя результат примера 4, получаем lim х„ = v^. дующем виде: 4/1-2 ■- —^запишем ч/5+4/б’ х„ в еле 4-2 п 2 5 Так как числитель и знаменатель полученной дроби имеют пределы, равные соответственно 4 и 2, то lim х„—2. А 1 ” Пример 9. Найти lim где Хп — ^У] k^. /1-00 §2. Предел последовательности 369 Д Воспользуемся формулой П Ь 1)(2п+ I) k I ^ (гл. I, § 3, пример 13). Тогда ~ ^ , откуда находим игл Хп = 5- Л—>00 о Пример 10. Доказать, что последовательность {хп}, где Хп = + ' +...+ ' \/п^ + I I 2 \/rfi + п' сходится, и найти ее предел. А В сумме Хп каждое слагаемое меньше предыдущего, и поэтому " < JCn < " или \/п2"^Н7 I <Хп< \/л2 + 1 ’ I Используя свойство 3° сходящихся последовательностей, теорему 2 и результат примера 4, получаем, что lim = 1. ▲ Задачи I. Доказать, что последовательность {лл} является ограниченной, если: \) Хп= sin ^/n■, 2) Хп /1 + 1 . «2 + 1’ —7 i~ | ’ Vn2 + I *=| ” + 2. Доказать, что последовательность {хп) не является ограниченной, если: 1\ КП о\ Пу/п 1) xn—nsm-^\ 2) ^J; 3) л:„ = л + (-1)"п; 4) х„ = ч/л^ + Зп2 + 4 - у/п^ + 2п^ + 2. 3. Найти предел последовательности {хп}, если: 1) л:л Зл + 2, 2п+Т’ 04 .. _ (л+1)3-(л-1)^ ' " 7?Т'\ ’ 4. Найти lim Хп, если: 2) Хп 4) Хп = 4п^ + Зл + I. Зп'* + п2 + 4 ’ 1 f 2 + ... Я Зп2 + 4 ■ 1) Хп = \/2rfi + 5п. Л "Ь I 2) Хп = У 8лЗ + Зп + I. 3) jtn = \/л2 + л + 3 — \/л2 — л + 5; 4) Хп = \/9л2 + л + 6 — Зл. 370 Глава IX. Предел и непрерывность функции 5. Найти lim Хп, если: п—*оо l^ . _ * . I . . * 2-4 4-62п-(2п+ 2)’ 2) Хп ■ + ■ 1 ..-Г I -) v/f+v^ v/3+v/5 ■ n/2^^+v^^TT, 6. Последовательность {лгп} сходится, а последовательность {(/«} является расходящейся. Доказать, что последовательность {хпЛ-уп} является расходящейся. 7. Пусть {ап}—арифметическая прогрессия, все члены и разность d которой отличны от нуля. Найти lim где Хп =—^ ^^—Г--.Н----------^—. п- >сх> 0)02 а2“3 ОлОпЧ I 8. Найти lim [ai? {2^/п — \/п -Г 1 — v^n — I)]. 9. Используя теорему о пределе монотонной последовательности, доказат1>, что последовательность {хп} сходится, если: 1\ _ I , I . .1 2) Хп — —о* 2^ 3^ tfi 10. Последовательность {хп} задается при п ^ 2 рекуррентной формулой Хп = -Г х„_| и условием Х| = \/2. Доказать, что lim Хп — 2. Ответы 3. I) 2) 1; 3) 6; 4) i. 4. I) s/2\ 2) ^/2\ 3) I; 4) i. a\d' 8. 5. I) 1; 2) §3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 1. Определение предела функции Важную роль в курсе математического анализа играет понятие предела, связанное с поведением функции в окрестности данной точки. Напомним, что й-окрестностью точки а называется интервал длины 2Й с центром в точке а, т. е. множество {У^(а) = {х: |х — а|<Й} = {х:о — 5<л:<а + й}. Проколотой 8-окрестностыо точки а будем называть множество Ufiia) = {Уй{а)\(а} = {х: О < |х - а| < й}, т. е. й-окрестность точки а с исключенной из нее точкой а. Предваряя определение предела функции, рассмотрим два примера. Пример 1. Исследуем функцию f{x) = х-1 в окрестности точки х—1. А Функция / определена при всех х G М, кроме х — причем /(л:) = л:-|-1 при хф\. График этой функции изображен на рис. 14. §3. Предел функции 371 Из этого рисунка видно, что значения близки к 1 (л: ^ 1). Придадим этому утверждению точный смысл. Пусть задано любое число е > О и требуется найти число 8 > О такое, что для всех х из проколотой 5-окрестности точки х=\ значения функции f{x) отличаются от числа 2 по абсолютной величине меньше, чем на е. Иначе говоря, нужно найти число 5>0 такое, чтобы для всех хе Ufj{a) соответствующие точки графика функции у = f{x) лежали в горизонтальной полосе, ограниченной прямыми у —2-е и у = 2 + е (см. рис. 14), т. е. чтобы выполнялось условие f{x)eUg{2). В данном примере можно взять 5 = е. В этом случае говорят, что функция f(x) стремится к двум при х, стремящемся к единице, а число 2 называют пределом функции f{x) 1 и пишут lirn /(х) = 2 или f(x) при X Пример 2. Исследуем функцию 2 при X ^ 1. П-х, если X < 0, fix)=\0. если X = 0, 1 1 - х2, если X > 0, в окрестности точки х = 0. Д Из графика этой функции (рис. 15) ^ = видно, что для любого £ > О можно найти 5 > О такое, что для ----------------- всех X 6 и^(0) выполняется условие /(х) е Ue{\). в самом деле, прямые у — \-\-е и у=\ — е пересекают график функции у = /(х) в точках, абсциссы которых равны Х] = —е, Х2 = i/i. Пусть 5 —наименьшее из чисел |х|| и Х2, т. е. 5 = min(£, v/e). Тогда если |х| < 5 и X 7^ О, то 1/(х) - 1| < е, т. е. для всех X е 11^(0) выполняется условие fix) е t/e(l). В этом случае говорят, что функция /(х) стремится к единице при х, стремящемся к нулю, и пишут lim fix) = 1. А дс—*0 В первом примере функция не определена в точке х=1, а во втором функция определена в точке х = О, но значение функции в точке X = О не совпадает с ее пределом при х ^ 0. -2 -3 Рис. 15 «/=1- 372 Глава IX. Предел и непрерывность функции Определение 1. Число А называется пределом функции f{x) в точке а, если эта функция определена в некоторой окрестности точки а, за исключением, может быть, самой точки а, и для каждого е>0 найдется число й>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию |x —а1<й, х^а, выполняется неравенство \j{x)- А\<е. В этом случае пишут Игл/(л:) = Л или f{x)А при х^а. С помощью логических символов это определение можно записать так: {Игл/(д')=Л} <=> Ve>0 ЗЙ>0: Vx: 0<|д:-бг|<й-^|/(А:)-Л|<б:, X - ИЛИ, используя понятие окрестности, в виде {Мт/(л:) = Л} Х->0 Ve>0 3d>0:WxeUfi{a)-^f{x)eUe(A). Таким образом, число А есть предел функции f(x) в точке а. если для любой е-окрестности числа А можно найти такую проколотую Й-окрестность точки а, что для всех х, принадлежащих этой й-окрестности, соответствующие значения функции содержатся в е-окрестности числа А. Замечание. Отметим, что число Й, фигурирующее в определении предела, зависит, вообще говоря, от е, т. е. й=й{е). Определение 1 называют определением предела функции по Коши. Наряду с этим определением используется определение предела по Гейне. Определение 2. Число А называется пределом функции f{x) в точке а, если эта функция определена в некоторой проколотой окрестности точки а, т. е. Зйо > 0: i)f^{a) с D(/), и для любой последовательности {х„}, сходящейся к а и такой, что XnEU^{a) для всех neN, соответствующая последовательность значений функции схо- дится к числу А. Пример 3. Пользуясь определением предела по Гейне, доказать, что функция /(x:) = sini не имеет предела в точке л: = 0. А Достаточно показать, что существуют последовательности {хп} и {jc„} с отличными от нуля членами, сходящиеся к нулю и такие, что lim !(хп)Ф Игл f(xn)- Возьмем ^ 3-2тш) , Хл = (л:и)”', neN, п—*оо п—*оо \2 / §3. Предел функции 373 тогда lim jc„ = lim х„ — О, f(x„) — 1, f(x„) = О для всех п € N. п—>сх> п-*оо и поэтому lim f(xn) = 1, lim f(x„) — 0. Следовательно, функция Л—>00 л—+ОС sin ^ не имеет предела в точке х = 0. А Ниже приводится без доказательства теорема, устанавливающая связь между определениями 1 и 2. Теорема 1. Определения предела по Коши и Гейне эквивалентны. Теорема 1 позволяет получать доказательство свойств пределов функций, пользуясь либо определением по Коши, либо по Гейне. 2. Различные типы пределов Односторонние конечные пределы. Число А\ называют пределом слева функции f{x) в точке а и обозначают lim f{x) или г/ л:—»а—о да — 0), если Ve>0 ЗЙ>0; Vx€(a-S,a) ^ 1/(х)-Л|| <е. Аналогично, число Лг называют пределом справа функции f(x) в точке а и обозначают lim f(x) или /(а + 0), если JT—>а+0 Ve>0 3й>0: Vxe (а,а + й) Числа Л| и Л2 характеризуют поведение функции соответственно в левой и правой полуокрестностях точки а, поэтому пределы слева и справа называют односторонними пределами. Если а = 0, то предел слева функции /(х) обозначают lim f{x) или /(—0), ЛГ-.-0 а предел справа обозначают lim f{x) х-^+0 или /(З-О). |/(х)-Л2|<£. У> 1 1 (/ = signx X -1 Рис. 16 f(x)-- = sign X , где -1, если X < 0, 0, если X == 0, 1, если X > 0, график которой изображен на рис. 16, lim /(х) = /(-0) =-!, lim /(х) =/(3-0) = 1. л:-»-0 JC-.+0 Бесконечные пределы в конечной точке. Говорят, что функция /(х), определенная в некоторой проколотой окрестности точки а. 374 Глава IX. Предел и непрерывность функции имеет в этой точке бесконечный предел, и пишут lim Нх) = оо, если X—»а Ve>0 ЗЙ>0: УхеУй(а)^|/(х)|>е. (1) В этом случае функцию f(x) называют бесконечно большой при JC —ю. Согласно условию (1), график функции y=f{x) для всех хе 0)^(a) лежит вне горизонтальной полосы \у\ < е. Введем обозначение (/е(оо) = {у: 1^1 > е} = (-00, -е) U (е, +оо) и назовем это множество е-окрестностью бесконечности. Тогда запись lirn f{x) = оо означает, что для любой е-окрестности беско- X— нечности Ue{cx>) найдется такая проколотая й-окрестность точки а, что для всех х е выполняется условие /(х) G t/e(oo). Например, если /(х) = I то lim/(х) = схэ, так как условие (1) X >0 выполняется при й = - (рис. 17). Аналогично, говорят, что функция /(х), определенная в некоторой проколотой окрестности точки а, имеет в этой точке предел, равный +00, и пишут lim /(х) = +оо, если X— Ve>0 36>0:\/xeUfi(a)^f{x)>e, т. е. f{x) е Uei+oo), где множество U^i+oo) = (е\+оо) называют е-окрестностью символа +оо. Если Ve>0 36>0:\/xeUfi(a)-^fix)<-e, т. е. /(х)е Ue{-oo), где Ui:(—oo)-{-oo,—e), то говорят, что функция /(х) имеет в точке а предел, равный —оо, и пишут lim /(х) = —оо, х—*а а множество Ug(—oo) называют е-окрестностыо символа —оо. Например, если /(х) = —(рис. 18), то lim/(х) = —оо, а если |х| X—>0 fM — -4 (рис. 19), то lim /(х) -- -Ьоо. §3. Предел функции 375 Предел в бесконечности. Если Ve > О Эй > О: Vjc е Щ{+сх>) -v f(x) е Ue(A), то говорят, что число А есть предел функции f(x) при х, стремящемся к плюс бесконечности, и пишут lim f{x) = A. х—*+оо Например, если Пх) = 3-2х х+1 (см. рис. 20), то lim f(x) =—2. В самом деле, /(л:) = —2н---- Х—' I оо X + 1 и если л; > О, то л: + I > л: > 0. Поэтому < р откуда следует, что неравенство [/(л:) + 2| < ^ < е для любого е>0 выполняется при любом JC > й, где й=-, т. е. при любом x^U^{-\-oo). Если Ve > О Эй > 0; Vx € U^{—oo) —> —^f(x)EUs(A),r.e. неравенство \f{x) — A\ О Эй > О: Vx € Щ{оо) /(х) € Ue(A), то говорят, что число А есть предел функции /(х) при х, стремящемся к бесконечности, и пишут lim f{x) = A. Например, если fix) х—*оо 3-2х х+1 ’ то lim /(х) = —2. х—*оо Точно так же вводится понятие бесконечного предела в бесконечности. Например, запись lim /(х) = —оо означает, что X—^^-oo Ve > о Эй > О: Vx 6 U/^(-hcx,) ^ f(x) Е U^(-oo). Аналогично определяются бесконечные пределы при х-^оо и х—оо. 376 Глава IX. Предел и непрерывность функции 3. Свойства пределов функций В рассматриваемых ниже свойствах речь идет о конечном пределе функции в заданной точке. Под точкой понимается либо число а, либо один из символов а —О, а + 0, —оо, +оо, со. Для определенности будем формулировать свойства пределов, предполагая, что а —число, а функция определена в проколотой окрестности точки а. 1° Если функция f{x) имеет предел А в точке а, то существует такая проколотая окрестность точки а, в которой эта функция ограничена. 2° Если lim f{x)=A, причем Л ^0, то найдется такая проколотая X >а окрестность точки а, в которой значения функции f{x) имеют тот же знак, что и число А. 3°. Если Пт/{дс)=Л, причем А^О, то существует число й>0 такое, что функция ограничена на множестве 4° Если существует число й > 0 такое, что для всех X е L/f^(a) выполняются неравенства g{x) < f{x) ^ h{x), и если Игл g(x) = lim/г(л:) — Л, то существует 1!т/(л:) = Л. X—»а х-~>а х—*а Для доказательства свойств 1”-3° можно воспользоваться определением I предела, взяв а для доказательства свойства 4° удобно использовать свойство 3° для трех последовательностей (§2, разд. 3) и определение предела функции по Гейне. 4. Бесконечно малые функции. Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел Функцию а(х) называют бесконечно малой при х—*а, если lim а{х) = 0. Бесконечно малые функции обладают следующими свойствами: 1° Сумма конечного числа бесконечно малых при x—^a функций есть бесконечно малая функция при х а. 2° Произведение бесконечно малой при л: —> а функции на ограниченную в проколотой окрестности точки а функцию есть бесконечно малая при л: —> а функция. Эти свойства легко доказать, используя определения бесконечно малой и ограниченной функций, либо с помощью определения предела функции по Гейне и свойств бесконечно малых последовательностей. §3. Предел функции 377 Так как бесконечно малая функция ограничена, то произведение двух (или нескольких) бесконечно малых при х-*а функций есть бесконечно малая функция при х—у а. Например, функции Зх, 4х^ являются бесконечно малыми при л: —»0. Если л: —> о и л: > о, то ^/x О, т. е. у/х — бесконечно малая функция при л:—*+0. Аналогично, -^—>0 при х уД бесконечно малая функция при х +оо. оо, то - —» о, ^ + о, т. е. - +00, т. е. 4= у/х X оо. — бесконечно малые Если X функции при X Замечание. Из оп1)елелсний предела функции и бесконечно малой функции следует, что число А является пределом функции f{x) при х а тогда и только тогда, когда f{x) = A t а(х), где а(х) - »0 при х—>а, т. е. а{х)~ бесконечно малая функция при х у а. Пример 4. Пусть 6>0 и lima(jc) = 0. Доказать, что lim yJb-\- о:(х) = у/Ь. Л Обозначим (р(х) = yjb Л- а(х) — \/Ъ. Нужно доказать, что <р(х) — бесконечно малая функция при х-уа, т. е. что lim (р{х) = 0. Умножив и разделив гр(х) на \/Ь+ а(х) + \/Ь, получим т{х) = у/Ь + а(х) -Г у/ь где Ь + а{х) > 0 в некоторой проколотой окрестности точки а, так как lima(x) = 0. Тогда \ф{х)\ = и поэтому limip(x) = 0. |«(х)| у/ь + а(х) + у/Ь у/ь ' < Теорема 2. Пусть функции f{x) и g(x) имеют конечные пределы в точке а, причем Пт/(л:) = /1, lim g(jc) = Д. Тогда 1нл (/(х) + gf(x)) = А+В, lim(/(x)g(x)) = ЛД, М lim csp. ^ при условии, что x-^a g(x) В ^ Ду^О. (2) (3) (4) Для доказательства равенств (2)-{4) достаточно воспользоваться определением предела функции по Гейне и свойствами пределов последовательностей (§2, теорема 2). Другой способ доказательства — 378 Глава IX. Предел и непрерывность функции использование замечания перед примером 4 и свойств бесконечно малых функций. Отметим частный случай утверждения (3): lim (С/(х)) = С lim /(х), х—^а х—*а т. е. ПОСТОЯННЫЙ множитель можно вынести за знак предела. Пример 5. Вычислить; 5 + х \ 4х^ . 1) lim х-*0 1 Ь 2д: + ’ Зх^ -I 4х ( 5. 2) lim ч/х— 1 — I 3) lim Х-+00 2х^ — X + I ' 4) lim х-‘ 4-00 2 х-2 ’ v/2x2 -h 4х 4- 3 Д 1) Так как Сх*-', где С—постоянная, ft € N, является бесконечно малой функцией при х —» О, то предел числителя равен 5, а предел знаменателя равен 1. Поэтому искомый предел равен 5. 2) Умножив числитель и знаменатель дроби на \/х — 1 + 1, получим ч/х^- 1 ^________х^-2_______^ I х-2 (х-2)(ч/1 + (х-2) 4 I) ч/1 + (х - 2) -4-1 при ху^2, где \/1 + (х — 2) —> 1 при х—>2 (пример 4). Используя утверждение (4), находим, что искомый предел равен 3) Разделив числитель и знаменатель дроби на х^, запишем ее в виде 3 + 4 + 4 2-4 + 4 Так как 4 —>0 при х—>оо (С — постоянная. ft е N), то искомый предел равен 4) Последовательно преобразуем данную функцию: \/2х2 + 4х -I 4J3 ^ ^2х^ 4- 4х -I- 3 _ Отсюда следует (пример 4), что искомый предел равен \/2. Пример 6. Пусть lim а{х) = 0, ft > О, ft е N. Показать, что х—^а lim v/ft + а(х) = Vb. х—>а Д Введем обозначения Тогда /3(х) —» О при х^ а. (5) §3. Предел функции 379 Как и в примере 4 (§2, разд. 3), можно показать, что 1 - |/3(х)К угтда ^ 1 + I/3WI. Применив свойство 4° пределов функций, подучаем lim Ub + а{х) = Vb lim U1 + В{х) = v^. A x—*a X ~*a Пример 7. Найти lim л: .0 Д Пусть (f)(x) = V^8-X -2 = 2^ - g - , gU) = Тогда limg(x) = 1 (пример 6). Применив формулу a — b = x; '0 a'^ +ab + b^ получим g(x)-l= 1_£_1 (g(x))^ + g(x) + I = (gMf + gM + 1 —» 3 при л: —» 0. Если X ^ О, то У8^-2 Следовательно, lim X—>0 хЛ(х) 4/г(х) ____ 12" 12 при X —> 0. 5. Пределы монотонных функций Сформулируем без доказательства теорему о пределах для монотонной функции. Теорема 3. Если функция f определена и является монотонной на отрезке [а, Ь\, то в каждой точке xq 6 (а, Ь) эта функция имеет конечные пределы слева и справа, а в точках а и Ь — соответственно правый и левый пределы. Следствие. Если функция / определена и возрастает на отрезке [а,Ь\, XQ е (а,Ь), то f(xQ - 0) ^ /(хо) < /(хо + 0). 380 Глава IX. Предел и непрерывность функции 6. Замена переменного при вычислении пределов Теорема 4. Если существуют \\т(р{х)=^Ь, \\mJ{y) = A, х->а у причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки а выполняется условие (р{х) ф Ь, то в точке а существует предел сложной функции f{(p(x)) и справедливо равенство lim f{(p(x)) = lim f(y). X ->a у >b Для доказательства теоремы 4 можно воспользоваться определением предела функции по Гейне. Задачи Вычислить предел функции (1-18): 1. lim . х—2 — Ьх +6 3. х—3 х^ - 8.V + 5 5. lim Х-.00 2х^ -х^ + 5 7. lim + х-*1\1-хЗ x-iy /х -f- 8 — 3 9. lim , x—l X- I ____ |.^ v/x -f 13 — 2\/x + I X-.3 11. 13. lim t->-2 3/ x^-9 x3 + 8 2. lim x^ — 6x -(- 5 x2 - 25 4. lim f-' . Л_| 2x2-X- I _ 4x^-t-x2-l 6. lim —=----------. x-*oo 3x“ - X 4- 2 8. lim x-»oo 4x^ + x + 3 10. lim *_4 фи-2 12. lim 14. v/2x -b 3 - 3 3 фх^-\ ■ lim yr+wr^ 15 lim .►oo ' x->o фТТх - фГ .. 16. lim (\/x2 + 3x + 5 — \/x2 — 3x f 7). x—*+no (n/x2 Ч- 4 - \/x2 + I). 17. lim x(\/x2 + 2x — 2фх^ + x + x). 18. lim (-^x^-l-x-l-1— ^x^ — x^-l-l). ‘+00 ' ' x-»oo' ' Ответы 1. -4. 3.-i. 4,|, 5. 2. 6. 4 3' 7. 1. 8. 6. »• -w 12. 2 3' 13. -r^. 14. 144 3 2‘ 15. 0. 16. 3. 17. 4 18. 3' 10. §4. Непрерывность функции 381 §4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 1. Понятие непрерывности функции Определение. Функция, определенная в некоторой окрестности точки а, называется непрерывной в точке а, если \\т f(x) = f(a). (1) х~^а Таким образом, функция / непрерывна в точке а, если выполнены следующие условия; функция / определена в некоторой окрестности точки а, т. е. существует число йо > О такое, что U^^(a)cD{f); существует lim f{x) = А\ х-*а А=т. Определение непрерывности функции f{x) в точке а, выраженное условием (1), можно сформулировать с помощью неравенств (на языке е—й), с помощью окрестностей и в терминах последовательностей соответственно в виде Ve 3S > 0: Vx: |х — а| < й ^ \f{x) — /(а)[ < е, Ve ЭЙ > 0: Vx € Ufiia) ^ /(х) € f/e(/(a)), V{x„}; lim Хп—а—* lim f{Xn) — f{a). п~*оо n~*oo Подчеркнем, что в определении непрерывности, в отличие от определения предела, рассматривается полная, а не проколотая окрестность точки а, и пределом функции является значение этой функции в точке а. Назовем разность х — а приращением аргумента и обозначим ее через Дх, а разность /(х) — f{a) — приращением функции, соответствующим данному приращению Дх аргумента, и обозначим ее через Дг/. Таким образом, Дх = X - а, Дг/ = /(х) - /(а) = /(а + Дх) — f(a). При этих обозначениях равенство (1) примет вид lim Да = 0. Д;с-.0 Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Пример 1. Доказать, что функция /(х) непрерывна в точке а, если 1) /(х) = х^, а = 1; 2) /(х) = а ^ 0; 382 Глава IX. Предел и непрерывность функции 3) fix) г- л г/ \ fxsin-, ^ = фс, а > О; 4) f(x) = < х ' а — О. 10, л: = О, Л 1) Если X—» 1. то по свойствам пределов (§3, разд. 3) получаем х^ -+ 1, т. е. для функции f(x) в точке х= 1 выполняется условие (1). Поэтому функция непрерывна в точке х=1. 2) Если X —> а, где ау^О, то, используя свойства пределов (§3, разд. 3), получаем II II т. е. функция непрерывна в точке х = а (а^О). 3) Так как \у/х — у/а\ = , то отсюда получаем Следовательно, ф — ф —» О при х —у а. Это означает, что функция ф непрерывна в точке а, где а > 0. 4) Функция / определена на множестве iR, и при любом х G М выполняется неравенство О ^ \fix) - /(0)1 = |/(х)| = |х| • I sin 1| ^ |х|, так как sm - <1 при X ^ 0. Следовательно, lim /(х) = X X ~>0 = /(0) = О, т. е. функция / непрерывна в точке х = 0. А По аналогии с понятием предела слева (справа) вводится понятие непрерывности слева (справа). Если функция / определена на полуинтервале (а —Й, а] и lim /(х) =/(а), т. с. f{a - 0) = f(a), х-*о-0 то эту функцию называют непрерывной слева в точке а. Аналогично, если функция определена на полуинтервале [а,аЧ-й), и /(а + 0) = /(й), то эту функцию называют непрерывной справа в точке а. Например, функция /(х) = [х] непрерывна справа в точке х=1 и не является непрерывной слева в этой точке, так как /(1-0) = О, /(1+0) = /(!) = !. Очевидно, функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке. 2. Точки разрыва В этом разделе будем предполагать, что функция / определена в некоторой проколотой окрестности точки о. §4. Непрерывность функции 383 Точку а назовем точкой разрыва функции /, если эта функция либо не определена в точке о, либо определена, но не является непрерывной в точке а. Следовательно, а — точка разрыва функции f, если не выполняется по крайней мере одно из следующих условий: а 6 D(/); существует конечный Пт/(х) = Л; X *а А=Па). Если а — точка разрыва функции /. причем в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, т. е. lim f(x) = f{a — 0) х->а-0 и lim f(x)=f(a + 0), то точку а называют точкой разрыва первого рода. Замечание. Если д: = а —точка разрыва первого рода функции f(x), то разность /(а -t- 0) — /(а — 0) называют скачком функции в точке а. В случае когда f(a + 0) = /(а — 0), точку а называют точкой устранимого разрыва. Полагая f(a) = f(a + 0) = f(a -0) — А, получим функцию Пх) {[(х), если X фа, А, если х = а, непрерывную в точке а и совпадающую с f{x) при хфа. В этом случае говорят, что функция доопределена по непрерывности в точке а. Пусть л: = а —точка разрыва функции /, не являющаяся точкой разрыва первого рода. Тогда ее называют точкой разрыва второго рода функции [. В такой точке хотя бы один из односторонних пределов либо не существует, либо бесконечен. Например, для функции /(x) = jcsin- точка л: = 0 —точка разрыва первого рода. Доопределив эту функцию по непрерывности, получим функцию . I ~ , (jcsin-!- если хФО, I о, если л: = о, непрерывную в точке jc = 0, так как limA:sin- = 0. х -*0 X Для функций sin- и точка х = О —точка разрыва второго рода. ^ Теорема. Если функция f определена на отрезке \а,Ь] и монотонна, то она может иметь внутри этого отрезка точки разрыва только первого рода. 384 Г;1ава IX. Предел и непрерывность функции О Пусть .«о ~ произвольная точка интервала (а,Ь). По теореме 3 § 3 функция f имеет в точке xq конечные пределы слева и справа. Если, например, / — возрастающая функция, то /(хо - 0) < /(хо) < /(хо + 0), где /(хо — 0) и /(х'о + 0) — соответственно пределы функции / слева и справа в точке Xq. В том случае, когда /(хо-0)^/(хо + 0), точка xq является точкой разрыва первого рода функции /; если же /(xq —0)=/(хо + 0), то точка Хо есть точка непрерывности функции /. Аналогичное утверждение справедливо и для убывающей функции. • 3. Свойства функций, непрерывных в точке 1° Если функция / непрерывна в точке а, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки. 2" Если функция / непрерывна в точке а, причем /(а) ф 0, то в некоторой окрестности точки а знак функции / совпадает со знаком числа /(а). Для доказательства свойств 1" и 2" можно использовать свойства пределов функций (§3, разд. 3). 3° Если функции /(х) и g(x) непрерывны в точке а, то функции f(x) + g{x) и f(x)g{x) непрерывны в точке а, а при дополнительном условии g{a) ф О функция f--- непрерывна в точке а. Для доказательства свойства 3° следует использовать определение непрерывности и свойства пределов функций (§3, разд. 4, теорема 2). 4° (Непрерывность сложной функции.) Если функция г = f(y) непрерывна в точке уо, а функция у — (р{х) непрерывна в точке xq, причем уо = то в некоторой окрестности точки xq определена сложная функция f{(p{x)), и эта функция непрерывна в точке xq. 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке Функцию /(х) называют непрерывной на отрезке [а,й], если она непрерывна в каждой точке интервала (а,Ь) и, кроме того, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ь. Сформулируем без доказательства основные теоремы для функций, непрерывных на отрезке. Теорема 1 (Вейерштрасса). Если функция /(х) непрерывна на отрезке (а, Ь], то она ограничена на нем, и достигает своих точных верхней (М= sup f(x)) и нижней (т= inf f{x)) граней, т.е. хб|о,г>| ^е[а,б] 3с1 G \а,Ь] -. f(c\)=M, Эс2 G [а, Ь\: /(сг) = т. §4. Непрерывность функции 385 Теорема 2 (о нулях непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а,Ь] и принимает в его концах значения разных знаков, т. е. f{a)f(b) < 0. то на отрезке [а, Ь] имеется хотя бы один нуль функции f, т. е. Зс€ [а, /(с) = 0. Замечание. Теорема 2 утверждает, что график функции y = f{x), непрерывной на отрезке (а,/;| и принимающей в его концах значения разных знаков, пересекает ось Ох (рис. 21) хотя бы в одной точке отрезка \а,Ь\. Теорема 3 (Коши). Если функция f непрерывна на отрезке \а,Ь] и f(a)^f(b), то для каждого значения С, заключенного между f(a) и f(b), найдется точка ^ е |а, Ь] такая, что /(^ = С. Следствие. Если функция / непрерывна на отрезке [а,Ь\, т= inf /(.х), М= sup fix), то множество значений, принимаемых функцией на отрезке [а,Ь], есть отрезок \т,М\. О Для всех х^{а,Ь\ выполняется неравенство m^f(x)^M, причем, согласно теореме 1, функция / принимает на отрезке [а,ft] значения, равные т и М. Все значения из отрезка [т,М] функция принимает по теореме 3. Отрезок \т,М\ вырождается в точку, если /(л:) = const на отрезке [а,Ь\. • Теорема 4 (об обратной функции). Если функция у = f(x) непрерывна и возрастает на отрезке [а,Ь], то на отрезке [f(a),f(b)\ определена функция x = f(y), обратная к f, непрерывная и возрастающая. Пример 2. Найти такие числа Ь и с, при которых функция f(x) = непрерывна в точке х ■■ Л Так как /(2) = Ь, 2. /(2-0)= lim/(;c)=4, JC—2 х<2 /(2 + 0) = lim f(x) = 2 + с, х—2 х>2 386 Плава IX. Предел и непрерывность функции ТО функция f(x) будет непрерывной в точке х — 2 тогда и только тогда. когда /(2 - 0) = /(2 + 0) = /(2), т. е. при выполнении условий 4 = 2 + с = Ь, откуда находим Ь = 4, с = 2. А Пример 3. Выяснить, является ли функция Г хЗ-8 f(x)=< х-2' 8, л: = 2 хф2. непрерывной в точке х-=2. А Если л:^2, то f{x) = х^ 4-2х + 4, откуда находим lim/(х) = 12. ж—>2 Так как f(2) — 8, а lim Дх) /(2), то функция Дх) не является X—*2 непрерывной в точке х = 2. А Пример 4. Показать, что уравнение х^ — 4x^ + 3 имеет корень на отрезке |—1;0). Л Функция Дх) = х^ — 4x^ + 3 непрерывна на отрезке |-1;01, Д—1) = —2, ДО) = 3. По теореме 2 на интервале (-1;0) найдется точка с такая, что Дс) = 0, т. е. данное уравнение имеет корень на отрезке [—1;0]. А Задачи 1. Выяснить, является ли непрерывной в точке х = а функция Дх), если 1) а=1, Дх) = 4x2 -х + Зх+ I „2 2) а = -2, Дх) = хЗ + 8. х + 2 ’ 3) а = 2, Дх) = (^^ + ^. ^<2. I, х + 6, X ^ 2. 2. Найти такие значения а и Ь. чтобы функция Дх) была непрерывна на своей области определения, если: Гх —1<х<1 1)Дх) = Г^ 2)Дх)={ ах + ь, 0<х<1, Хх'^ + ах + Ь, |х|>1; | 3. Пусть функция Дх) непрерывна в точке а. Доказать, что функция |Дх)| также непрерывна в точке а. 4. Показать, что уравнение 4х^-3х^ + 2х- 1 = 0 имеет корень на отрезке |0,1|. 5. Найти точки разрыва функции Дх), если 1) [М ■■ х + 3 хЗ _ 2д 2 _ X + 2 2) Дх) = 1 1. I) Да; 2) нет; 3) да. 2) 1,-2. х^-Зх + 2' Ответы 2. 1) 0 = 1, ft = -l; 2) 0 = 2, 6 = •1. 5. I) -1,1,2; §5. Вычисление пределов функций 387 §5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ При вычислении пределов функций вида при х —* а, где /(х) и g(x) — бесконечно малые функции при х-* а, т. е. lim Ях) = lim g(x) = О, преобразуют дробь, выделяя в ее числителе х-*а х—*а и знаменателе множитель вида (х —а)*, /е б N. Если в некоторой окрестности точки а функции /(х) и g(x) представляются в виде fix) = (х - a)'7i (х), g(x) = (х - a)*g, (х), где ^ € N, а функции /(х) и g(x) непрерывны в точке а, то fM _ hM е(х) откуда следует, что Пх) lim х-ла g(x) g\(x) ш В\(а) ' Пример 1. Найти предел функции: х^-х‘^ + х + 3 при X ^ а, если gi(a)7^0. 1) lim х^-Зх + 2 2) lim -----------=-------- дс—>1 х^ — 2х^ + х + 4 Д 1) Пусть /(х) = х^ X—>— I х^ — 2х^ + х + 4 ' х^ + х + 3, g(x) = х^ — 2x^+ х 4-4. Так как х = —1 —корень многочленов /(х) и g{x) ifi—l)—gi—\) = 0), то при разложении этих многочленов на множители можно выделить множитель х+1-Имеем fix) = х^ + x^ — 2x^ + X + 3 = х^(х + I) — 2х(х + 1) + 3(х + 1) = = (х+ l)(x^-2x + 3), gix) = х^ + x^ — Зх(х + 1) + 4(х + 1) = (х + 1)(х^ — Зх + 4). Следовательно, х^-2х + 3 lim fЩ = lim — jc—х-¥-\ ~Зх-\-4 4 2) Пусть/(х) = х^ —Зх + 2, g(x)=x'* —4х + 3. Тогда /(!)=g(I) = 0, fix) = х^ — X- 2(х - 1) = (х — 1)(х^ + х — 2) = (х — l)^(x^-2), gix) = х'' — X — 3(х — I) = (х — 1)(х^ + х^ + X — 3) = = (х — 1)(х^ - 1 + x^ + X — 2) = (х — l)^(x^ + 2х + 3). Следовательно, lim М = lim + ^ =5 = 1. А X •! g(x) ♦ 1х2-1-2х + 3 6 388 Глава IX. Предел и непрерывность функции В некоторых случаях при вычислении пределов вида lim где f(x) и g(x) — бесконечно малые функции при х—ю, можно использовать замену переменного (§ 4, п. 6). Пример 2. Найти предел функции; ,, ^1 f са-1 .. ^32-\-x-2 1) lim --------, а^О; 2) lim---------------; л:->0 X x->0 X 3) lim X >0 ^'ТТЗх- ^/ТТ^ Д 1) Пусть ^1 + ссх = t, тогда X — <3-1 а <- I ^1 Т оис — I lim------------= alim ,, X / .1 <3- I = alim x--*0 X 2) Пусть ^32 + X = /, тогда <—| /^ + / + 1 x = l^- 32, ^/32Тх-2 t-2 I I lim ----------— lim ------— lim ------=---=-------— — X .0 X < ->2 <3-32 <-.2 <'*+2<3 + 4<2 + 8<+I6 80 3) Прибавляя и вычитая единицу в числителе дроби, представим эту дробь в виде fix) — g{x), где f, , §/ТТ^-1 , . ^TT2l-l fix) =---------, gix) =---------- Так как lim fix) = lim ~—!— = 3 lim —*—U x->o' ' <-*0l(,5_|) . « И a. ,3 a./2 <-►0 <“’ + <3 + <3 + < + I 5 ’ a lim g(x) = - (пример 2(1)), то искомый предел равен X >0 3 Чт(/(л:)-^(х)) = X -*0 о _1_ 15' Пример 3. Найти предел функции; lim (^х^ + Зх"^ + I — \/х^ —2х + 3). X—»+оо' ' л Представим данную функцию в виде fix)—gix), где fix) = ^х^ -\- 3x2 1 _ _ \Jx^ — 2х + 3 — X. Пусть ___________ hix) = у х^ + Зх^ + 1, §5. Вычисление пределов функций 389 тогда /W h^(x) - fl^(x)+xh(x) + x^ ’ где /г^(д:)—л:^ = 3x^^-1. Разделив числитель и знаменатель полученной дроби на x^ и учитывая, что lim .у I X х- ■* i оо у (§ 3, пример 6), находим, что lim Jt—♦+00 1 + 5 + 4 = 1 X lim f{x)^ = 1. ж—*Т оо I + I I 1 Найдем lim g(x), используя равенство х—>+оо gix) откуда получаем -2х I 3 \/х2 2jc I 3 + X -2 1-2 X 1-4 + ' lim gU) = -^ = -l- X »+оо / Следовательно, искомый предел равен lim {f{x)-g(x)) = 1 -f I =2. JC—*-l-oo Задачи Вычислить пределы функций (1-10): 1. lim 3 х^-3х +2 i _ д;I ■ 3 VTTi-Vr 5. lim _ 2лг^ — -I-AC — I 2. lim -^5------=----------. ДГ— I x'^ —x^ + 3x — 3 4. lim I —+ -Я—I------------------ дг->2 \ 2ac - jc^ JC^ — 3jc -b 2 )■ x->o i/Г+л- W+x + x + 7 6. lim Л—3 \/x^-2x + 6- x/^2 H- 2x - 6 -4AC-I-3 7. lim ,, ---- JC--8 ^\Ъ + 2х+ I 9. lim (■^jc^ -P 3x2 4x — ^x^ — Зл;2 + 4) x-*oo' ' 10. lim x^f^{\/x -t- 2 — 2\/x -y I + v/ac). X—* f oo ^ 8. lim (ч/ас-* + 2jc2 - I _ _ 2x« - I). 1. 2. 3. 1. 4. 5. Ответы 3 2‘ 6. 7. 2. 8. 2. 9. 2. 10. - Глава X СТЕПЕННАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ §1. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ Знакомые вам функции у — х, у = х^, у = и у = - являются частными случаями степенной функции, т. е. функции вида у = х<’, где р —заданное действительное число. Свойства степенной функции существенно зависят от свойств степени с действительным показателем и, в частности, от того, при каких значениях х и р имеет смысл степень хР. Рассмотрим свойства степенной функции в зависимости от показателя степени р. 1. Степенные функции с натуральным показателем степени у = хР, где р G N Степенная функция у = хР (р € N) обладает следующими свойствами. Область определения: все действительные числа, т. е. множество М. Множество значений: Е при р нечетном, у ^ О при р четном. Четность, нечетность: при р нечетном, т. е. при натуральном значении р = 2п—\, функция нечетная, так как (— при р четном, т. е. при р = 2п, функция четная, так как (—= Нули функции: у = 0 при jc = О для любого р € N. Промежутки знакопостоянства: если р четное, то у > О при всех X если р нечетное, то у > О при х > О, у < О при х < 0. Промежутки монотонности: при р нечетном функция возрастает на всей области определения; при р четном функция возрастает при X ^ о, убывает при х < 0. О Пусть р —нечетное число, т. е. р=2л—I (neN). Если 0^xi0, справедливо § 1. Степенная функция 391 Пусть теперь р —четное число, т. е. р = 2п («еМ). При всех Х|, Х2 таких, что 0^xi0. Поэтому функция у = хР, где peN, является непрерывной на К как произведение р непрерывных функций. А Пример 2. Доказать, что функция у = х^ не является ограниченной. Д Предположим противное, т. е. допустим, что существует число С>0 такое, что для любого xgD(/) = R справедливо неравенство |/(х)| < С. Возьмем число Хс = \/Ж. Тогда [ixc) = {V^f = 2C> С, что противоречит предположению. Следовательно, функция у = х^ не является ограниченной. А Пример 3. Построить график функции р = —х^-Ь 6x^ — 12x-f-9. Д Заметим, что D(/) = R и р =-х^-Ь 6х^ — 12х Ч-9 = —(х —2)®-f 1. Следовательно, график данной функции получается из графика функции у—х^ симметрией относительно оси абсцисс, сдвигом вдоль оси абсцисс на 2 единицы вправо и вдоль оси ординат на 1 единицу вверх. График изображен на рис. 2. А Рис. 2 392 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции 2. Степенные функции с целым отрицательным показателем степени у = х~Р, где р 6 N X Р = -^, те peN, обладает следующими Степенная функция у свойствами. Область определения: множество М, кроме дс = 0. Мноз1сество значений: множество М, кроме у=0 при р нечетном, у > О при р четном. Четность, нечетность: при р нечетном, т. е. при натуральном I 1 . значении р = 2п — 1, функция нечетная, так как (-Х) 2л-1 „2П I ' при р четном, т. е. при р — 2п, функция четная, так как i-xf” х"^"' Нули функции: нет. Промежутки знакопостоянства: если р нечетное число, то г/>0 при дс>0, у<0 при JC < 0; если р четное, то р>0 при всех х^О. Промежутки монотонности: при р нечетном функция убывает при х < о и jt > 0; при р четном функция возрастает при дс < 0, убывает при дс > 0. О Это следует из свойств функции у = хР, где р е N. • Ограниченность: при р нечетном функция не является ограниченной ни сверху, ни снизу; при р четном функция ограничена снизу, так как /(дс) = x~^'^ > О при всех действительных значениях х ^0, однако функция не принимает наименьшего значения. График функции у = где р = 2« — 1 (дг € N) имеет такой х’’ же вид, как графики функций у = - и У ~представленные на рис. 3,а. -1 .1 ■I _р = 2 ...р = 4 Рис. 3 § 1. Степенная функция 393 График функции у как графики функций у -р, где р — 2п («gN), имеет такой же вид, ^ Q л и у = представленные на рис. 3,6. Прямая у = О (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой, а прямая jc = О (ось ординат) является вертикальной асимптотой графика функции у — х~Р, где р 6 N. О Это следует из свойств функции у — где р € N. • 3. Степенные функции вида у = -(/х, где я G N, л ^ 2 Степенная функция вида у = ^ (я € N, я ^ 2) обладает следующими свойствами. Область определения: 0(/) = [0;+оо) при я четном; D(f) — R при я нечетном. О Если п = 2т (т е N)— четное число, то корень степени 2т определен лишь для неотрицательных чисел и значение функции равно арифметическому корню из неотрицательного числа х, т. е. у= 2;Ух (х ^ 0). Если же я = 2яг + 1 (яг € N) — нечетное число, то корень степени 2яг + 1 определен для всех действительных чисел. При этом для х^О он является арифметическим корнем, а для х<0 его можно выразить через арифметический корень следующим образом Значение функции в этом случае определяется так: у=^->^{х^0) и г/ = -^"'^/Й(x<0). • Множество значений: [0;+оо) при я четном; М при я нечетном Четность, нечетность: при я нечетном функция нечетная; при я четном функция есть функция общего вида. Нули функции: у = 0 при х = 0. Промежутки знакопостоянства: если я четное, то г/ > 0 при X > 0; если я нечетное, то у > 0 при х > 0, у <0 при х < 0. Отметим, что если я = 2т (яг G N) — четное число, то функция у = является обратной к функции у = x^'" на промежутке [0;+оо); если же я = 2яг+1 (яг € N) — нечетное число, то функция у — ^"■'v/x является обратной к функции г/ = х^'”+' на промежутке (-оо;+оо). Отсюда можно получить следующие свойства функции у= ■i/x (я eN, я ^ 2). Непрерывность: функция у=фс (я€N, я^2) является непрерывной на всей области определения. 15 -254У 394 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции Промежутки монотонности: функция вида у= \/х {ncN, п'^2) является возрастающей на всей области определения. Ограниченность: если п = 2т + 1 (т G N) —нечетное число, то функция у = не является ограниченной ни сверху, ни снизу; если же п — 2т (m€N) —четное число, то функция у= ограничена снизу, так как f{x) — '^у/х > О при всех действительных значениях ху^О и принимает наименьшее значение «/min=/(0) = 0- Экстремумы: нет. График функции вида у—^ (д G N, п>2) может быть получен симметрией относительно прямой у = х соответствующего графика функции у = х" (п cN, п ^ 2). При этом для п = 2т I 1 (т е N) график функции у = х" берется на всей числовой прямой, а для п = 2т (т G N) берется только часть графика функции у = х" на промежутке [0;+оо). График функции у= (т е N) имеет такой же вид, как графики функций у =^ У = представленные на рис. 4, а. График функции у= (meN) имеет такой же вид, как графики функций у—у/х и у—^, представленные на рис. 4,6. 4. Степенная функция вида у = х', где г С Q Дадим определение степенной функции л:'’ с рациональным то положим показателем г. Если г=—, т eZ, пС П х' = (л:")'", Jc > 0. (I) Функция хп непрерывна и возрастает. Функция t"^ непрерывна при t > О, возрастает, если m > О, и убывает, если m < 0. Поэтому функция jc'’ непрерывна при х> 0, возрастает, если г>0, и убывает, если г < 0. График функции у — х'' (rsQ) имеет такой же вид, как, например, графики, представленные на рис. 5. § 1. Степенная функция 395 Рис. 5 Перечислим некоторые свойства степеней действительных чисел с рациональным показателем: I, (2) (3) (4) (5) (6) (ап)"‘ = {а’”)п, а > О, а''> I при reQ,a>l и г>0, а'’'а'^2 = а'’'при о > О, Г] G Q, Г2 £ Q, (а''|)^2 = при а>0, п е Q, r2GQ, а'' > а''2 при а > 1, Г| е Q, гд 6 Q, г\ > Гг- Свойства (2)-(6) легко проверяются, если воспользоваться свойствами целых степеней и тем, что при а > О, 6 > О из равенства а" — b'^, пС N, следует а = Ь. Задачи 1. В одной системе координат постройте графики функций: 1) а) у = )?\ 6) у = х^\ й) у = х^\ у) у=х^\ 2) а) у = х 6) у-X в) у = х~'*; г) у = х~ 114 3 3) а) у = х^\ б) у = х^; в) у = х^; г) // = х5; _ I _ г 4 _з 4) а) у = х 3; б) у = х 2; в) ^ = х" 3; г) у = Х 5. 2. Используя свойства степенной функции, сравнить числа: 1) (0,33)® и (-4,2)®; 2) и (-^)^ ^-4. 3) И (v/3-l)^ 7) (2^)-®-'' и 4) (v/3-l-l)'® и {v^-l-2)'®; 6) 3,2-®-^ и 3,3"®'®; 3. Показать, что функция у = х‘‘ не является ограниченной сверху на промежутке (0;-1-оо). 4. Доказать, что функция у=х^ является убывающей на промежутке (—оо;0] и возрастающей на промежутке (0;+оо). 396 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции 5. Построить график функции и с его помощью исследовать функцию, т. е. указать область определения и множество значений, участки знакопосто-янства и монотонности, нули функции, а также проверить на четность и нечетность: I) /W Г х^, есл если \х\ ^ 2, если |х| > 2; ' ' I. 128х“‘‘, если |je| < 2. 6. Построить график функции и найти ее область определения, множество значений, промежутки возрастания и убывания; выяснить, является ли функция ограниченной; имеет ли наибольшее и наименьшее значения: 1)//=W5 + 1; 2)r/ = 3-W^ 3)// = иЗ-|; 4) //= (2х) 2-4. 7. Начальная масса тела то при движении этого тела со скоростью v меняется и достигает значения т, вычисляемого по формуле т = ■ Ото -, где с — скорость света, cw3-10''* км/с. Какова должна быть скорость тела, чтобы его масса: I) увеличилась в два раза; 2) увеличилась в три раза? 8. Массу тела на высоте h от поверхности Земли можно найти по формуле (п \ 2 лТл) ■'”0. где mft —масса тела па расстоянии h км над поверхностью Земли, /? —радиус Земли (принять равным 6400 км), то — масса тела на уровне моря, h — расстояние от поверхности Земли. 1) Изобразить схематически график изменения массы тела человека при подъеме на расстояние, равное О, R, 2R, 3R, ..., если его масса на уровне моря равна 75 кг. 2) На какой высоте над поверхностью Земли масса тела станет равной 25 кг? Ответы 5. 1) D(f) = R, E(f) = (0; 16); у > О при всех X / 0; функция возрастает на промежутках (-оо;—2] и [0;2], убывает на промежутках [—2;0| и [2;+оо), х = 0; функция четная; 2) D(/) = К\{0}, £(/) = (-оо;8] U [8;+оо); (/>0 при х>0 и у<0 при X < 0; функция возрастает на промежутках (-оо;-2| и [2;+оо), убывает на промежутках [-2;0] и [0;2); нулей нет; функция нечетная. 6. 1) D(y) = R, £■(«/) = (1;+оо); функция убывает на (—оо;0], возрастает на [0;+оо); функция ограничена сни.зу, (/найм = (/(0) = 1; 2) D(y) = R, Е{у) = = (—оо;—3); убывает на [0;+оо); возрастает на (—оо;0), ограничена сверху, (/„аиб =1/(0) = —3; 3) 0{у) = Ш, £■(//) = [1;+оо1; убывает на (-оо;0], во.зрастает на [0;+оо), ограничена снизу, упаим = у(0) —-У, 4) D(y) = R\{0}, £(«/) = (-4;+оо1. убывает на (0;+оо), возрастает на (-оо;0), ограничена снизу, наибольшего и наименьшего значения не принимает. 2V2, 7. 1) v=^c-. :259807 км/с; 2) и = -с « 282843 км/с. 8. 2) /г w 4685 км. §2. Показательная функция 397 §2. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ Рассмотрим функцию а’’, где а > 1, reQ. Ранее было доказано (гл. IX, §2, пример 5), что если о> 1, то I Отсюда следует, что Заметим, что соотношения (1) и (2) справедливы и в случае, когда О < а < 1. Утверждение 1. Пусть {г„} — произвольная последовательность рациональных чисел такая, что lim Гп = 0. Тогда п~*оо (3) lim а" -- 1. п -»оо (1) lim а " = 1. г *оо (2) lim o'"" = 1. п—^оо о Из (1) и (2) следует, что для любого е>0 найдется номер &о такой, что для любого k> ko будут справедливы неравенства _1 1 \ - е < а »<а*<1+Е. Так как lim г„ — 0, то для любого найдется номер uq такой, п—юо что при всех п > По будут справедливы неравенетва \г„\ < * . «о + • В силу монотонности функции o'" при г € Q из этого следует, что __|_ I будут выполняться неравенства а *о+' <а''"<а*о+>. Тогда для всех п> По будут справедливы неравенства ___|_ I I - е <а *0+' < а''" < о*о+' < 1 + е. Отсюда следует, что lim а''" — I. • ц—юо Утверждение 2. Пусть {р„} и {уп} — две монотонные последовательности рациональных чисел таких, что lim рп — lirn уп = хо, где хо G К. Тогда последовательности Л—юо п—юо {а^"} и {а‘1"} сходятся и имеют равные пределы. О Пусть {рп} — монотонная последовательность рациональных чисел и lim рп = хп. Из монотонности и сходимости {/?„} следует, что существуют числа a,]3eQ такие, что при всех и € N. Тогда последовательность {аР"} будет монотонна и ограничена (а® < < а^). Следовательно, {а^"} имеет предел lim аР" = Ь\. Л—+00 Кроме того, так как а® < аР” ^ аР, то 6| ^ а® > 0. Аналогично доказывается, что и {o'?"} имеет предел lim a.P"—b2. 398 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции Докажем, что &|=&2- Для этого рассмотрим последовательность Так как {аР’') и сходятся и lim а^" — b2 ^ О, то (аР" \ |. аР" n'-ir последовательность г также сходится и lim ^ lirti аР" •*оо Игл п—*оо = с другой стороны, а так как lim (/?„ — о„) = 02 п—юо — lim рп — lim Qn = xq — xq = О, lim aP"~P" = 1. Следовательно, Л—юо л—юо ^ = 1 или Ь] = Ьо. Ь2 ^ Утверждение 3. Пусть {г„} —произвольная последовательность рациональных чисел, такая, что lim г„ — xq, xq € R. Л“*00 Тогда последовательность имеет предел. О Пусть (р„} — некоторая монотонная последовательность рациональных чисел такая, что lim р„ = lim г„ = xq (например, после- Л VCX) Л—»оо довательность десятичных приближений числа xq). Рассмотрим последовательность (а'’" — аР"}. Покажем, что эта последовательность сходится и ее предел равен 0. Для этого представим ее в следующем виде: дг„ _ др„ ^ аР"{а''"~Р'' - 1). Так как Гп — рп 0 при п-^сх>, то —> 1 при /г—>оо, а значит а'^-Р" — \о, т. е. является бесконечно малой. А так как {а^"} сходится, поэтому ограничена, то а'"" — а^" — бесконечно малая при л —V оо, т. е. lim (а'"" — аР") = 0. Л—юо Следовательно, {а''"} сходится и lim а'’" = lim аР". • Определение показательной функции. Пусть х — произвольная точка числовой прямой и пусть {гп} — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к х, т. е. lim Гп—х. Предполагая, что а>0, положим по определению lim а'". п—>оо (4) Если а> 1, то предел (4) существует в силу утверждения 3. Если о < о < 1, то а’’" = где Ь = ^, откуда следует, что предел (4) существует и при ае(0;1), так как lim Ь''" = . При Л—*оо л = 1 предел (4) существует и равен 1, так как 1'’ = ! для любого reQ. Определение. Функцию, заданную формулой у = а^, где а — фиксированное число, а > 0, а ^ 1, называют показательной функцией с основанием а. §2. Показательная функция 399 Замечание. Определение показательной функции является корректным, т. е. предел (4) не зависит от выбора последовательности рациональных чисел, сходящейся к х. Действительно, если {гп} и {рп} —последовательности рациональных чисел, сходящихся к х, т. е. Пт Гп = х и Пт рп = х, то rt—»оо п—»оо ‘ lim (гп — рп) = 0 и Пт а'"~^"— \, Пт а'^" = Пт а^". п »оо п—*оо п - *оо п—»оо Свойства функции у = а^, в > 1. 1° Для любых действительных чисел х\ и Х2 выполняется равенство • а'* = а-ч+^2 (5) Из формулы (5), в частности, следует, что для любого х € М выполняется равенство -X _ I а 2° Функция у — а^, где а > 1, строго возрастает па К. 3° Функция у = а^, где а > 1, непрерывна на М. 4° Для любых действительных чисел х\ и х^ выполняется равенство (а'^> = qX| хг 5° Если а> 1, то =+оо, (7) А—»+00 lim а’^ = 0. (8) X—*— оо Докажем свойства 1° и 3°. О Свойство 1°. Пусть {гп} и {р,,} — последовательности рациональных чисел такие, что lim г„ = Х), lim рп = Х2- Тогда п—*оо л—юо lim (г„-П Рп) = а:|-t-JC2 и существуют пределы: Л—>оо lim а'’'=а^\ lim аР" = а’‘‘^, lim . п—юо п »оо л—юо Так как по свойству степени с рациональным показателем дГп+рп _ то, переходя в последнем равенстве к пределу при п —> оо, получаем равенство (5). Свойство 3°. Пусть хо — произвольная точка множества К, Аг/ = а^о+Ах _ дХо _ ^хо^^Дх _ Нужно доказать, что —» 1 при Ах ^ о или lima^^l. (9) X- >0 Пусть {х„} — произвольная последовательность действительных чисел такая, что lim jc„ = 0. В силу свойств действительных чисел п—*оо найдутся последовательности рациональных чисел {г„} и {рп}, удовлетворяющие при п € N условию Хп-< г„ < х„ < р„ < Хп -I-откуда в силу свойства 2° получаем I а^"а я < o'"" < а^" < а^" < а’‘"ап. (10) 400 Глава X Степенная, показательная, логарифмическая функции Так как р„ —* О и г„ —» О при п —> оо, то в силу того, что lim ап =1, заключаем, что lim а''" = lim аР" = ], Отсюда, используя п—>оо п—юо п~>оо неравенство (10), получаем lim а*'' = I. Утверждение (9) доказано, п->оо откуда следует, что существует lim равный т q Ах >0 функция у = непрерывна в точке xq. Так как xq ~ произвольная точка множества R, то функция непрерывна на К, • Итак, показательная функция у = а'‘, где а> 1, обладает следующими свойствами: Область определения: 0(а'^) = М, т. е. множество всех действительных чисел К. Множество значений: £'(а'^) = множество всех положительных действительных чисел R |. Четность, нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной. Нули функции: нулей нет. Промежутки знакопостоянства: у > О при всех л: € R. Промежутки монотонности: функция строго возрастает на всей области определения. Ограниченность: функция ограничена снизу, так как lim а-*-' = 0, —ОО функция возрастает и а-^ > О при всех д: е R. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения. Замечание. Для показательной функции у = а“, где 0<а<1, остаются в силе свойства 1°, 3°, 4°. Однако в отличие от функции у = а^, где о > I, которая является строго возрастающей, функция у = а^, где 0<а< I. строго убывает, поскольку = Ь^' где 6 = - > 1. а Из (7) И (8) следует, что если О <а < 1, то lim O'* = О, lim а^ —+оо. X ->-|-со (И) х^—оо На рис. 6 изображены графики показательной функции у — а^ для случаев а > 1 и О < а < 1. В качестве основания показательной функции часто используют число е (см. гл. IX, §2), а функцию у = е^ называют экспоненциальной и обозначают ехрл:. Применение показательного закона в физике. Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов. Так, например, по законам показательной функции протекают следующие явления. §2. Показательная функция 401 1) Радиоактивный распад вещества задается формулой m(t) = = mo(^)^, где т(1) и то — масса радиоактивного вещества соответственно в момент времени I и в начальный момент времени / = 0; Т — период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшится вдвое). 2) Количество бактерий N(t) в определенной среде за время I вычисляется по формуле N{i) = Noa'‘‘, где Л/q — начальное количество бактерий, а и ^ — некоторые постоянные. 3) Изменение атмосферного давления р в зависимости от высоты h над уровнем моря описывается формулой р(Н)=р^а!\ где Ро ~ атмосферное давление над уровнем моря, а —некоторая постоянная. Гиперболические функции. Функции, заданные формулами сЬх=^—^—, shA: = 2 ’ 2 ’ называют соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом. Эти функции определены и непрерывны на Е, причем chjc — четная функция, а shл: — нечетная функция. Графики функций y—chx и y = shx изображены на рис. 7. Из определения гиперболических функций сЬл: и shx: следует. что ch л:-Ь sh л: = сН^л: — sh^x — 1, ch 2х = 1 sh^ X, sh 2х = 2shxchx. ^ " sh^x= 1. -х\2 (12) (13) (14) (15) Пример 1. Доказать формулу сЬ^ х Д ch^x-sh2x=(^l±^)^-(?l^)'' = е _ 4 _ J 4 402 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции //- \ i/ = cthx __1 '^1 / -1 1 i X. 1 Функции, залаиные формулами СП X sll X называют гиперболическим тангенсом и гиперболическим котангенсом соответственно. Функция thx определена и непрерывна на 1R, а функция cthx определена и непрерывна на множестве К\{0}; обе функции нечетные, их графики представлены на рис. 8. Задачи 1. Построить на одном чертеже графики функций: 1) у = 2'; 2) = 3) «/ = 0,5'; 4) !/ = 0.2\ 2. Как по графику функции у —к -а' определить основание а и коэффициент к? 3. Для функций вида у = а“, графики которых представлены на рис. 1. расставг возрастания числа С|, С2, аз, а^. 4. Найти область определения функции: \ [\J которых порялке у- = ai-K ... 1) У = о\ 1 . 1 -* " 1 -I с 1 > 2) ^ , , Vb/ -2'" - 1.4 3) //= 4) г/--. ' . Ух' ' 4'^-2'-2 Рис. 9 5. Найти множество значений функции: 1) //=10- 2) у = I 3) г/ = 2-*^+‘‘-'+^ 4) ^ I -2-'’ 6. Выяснить, какие из функций являются четными, какие нечетными и какие являются функциями общего вида: I) (/ = л:2~^; V-2- 2) (/= 10^ + 10"*; Ъ) у = 4) У - 2“ + 2-* ’ 5) // = (1+2^)2 J_ 3^ I 2* §3. Логарифмическая функция 403 7. Доказать ограниченность функции: l)i/=IO-W; 2)у^2~^; 3)^/ = 0Д 8. Доказать неограниченность функции: I) .V = 0,4*, л:бК; 2) //= 3*, д: е R. 9. Исследовать на монотонность функцию: l)j/-(!)-; 2) у = 2'-^ 2^-'. 10. Построить график функции: 1) а) у = 3’‘; б) у-3~’‘; г) // = 2-3*; д) // = 0,5-3>*1; 2) а) // = 0,5*; г) // = 0,5' 11. Доказать равенства: 1) shU + z/) = shjc chx + ch;c shjc; 3) sh(x —//) = sh jc сНл: — ch>: sh д:; 5) + c2x-]. 6) // = 0,SW; n) У = 12-0,5*1 в) . 2) ch(x+ //) = ch д: ch JC +shjc shjc; 4) ch(x —//) = ch jc chx — shjc shjc; с11(дг + //) + сЬ(д: - у). 2 ’ 6) сНд: ch //: 12. Докажите, что для любой показательной функции f(x) = fe • а* и любой геометрической прогрессии {Ь„} с положительными членами найдется такая арифметическая прогрессия [хп), что для всех п будет справедливо равенство f(xn) = bn- Ответы 2. fe =//(0), а = ^^. 3. аз < а4 < в2 < а|. 4. I) R; 2) (-оо;0) U (0;0,25) U и(0,25;+оо); 3) (-оо;-4| U {0;4]; 4) (-оо; 1) U (1;+оо). 5. I) ^(у) = (0; 1]; 2) Е(у) = (-оо;0) и (1;+оо); 3) Е(у) = (0;512]; 4) Е(у) = (-оо;0) U (0;+оо). 6. 1) общего вида; 2) четная; 3) нечетная; 4) нечетная; 5) четная. §3. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ По теореме об обратной функции на промежутке (0;+оо) определена функция, обратная к функции у = а*, а > О, а ф Эта функция называется логарифмической функцией с основанием а и обозначается формулой y — \ogfjX. Таким образом, логарифмическая функция y = \ogi^x и показательная функция у = а^, где а>0, аф\, взаимно обратны. О Решая уравнение y = \og^x относительно х, получаем х = а^-, меняя местами хну, получаем у — а^. • Логарифмическая функция обладает следующими свойствами. Область определения: множество всех положительных действительных чисел К |_, т. е. D(logQx) = M+. 404 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции Область значений: множество всех действительных чисел R, т. е. E{\og^x) = R. Промежутки монотонности: на всей области определения возрастает, если а > 1, и убывает, если О < а < 1. Отмстим, что справедливы и два следующих утверждения; если а> \ и logo^i > hgaX2, ^де х\ >0, Х2> О, то х\ >'х2\ если же О < а < 1 и log„ х\ > log^ Х2, где х\ >0, Х2> О, то Х2>х\. Промежутки знакопостоянства: если а> 1, то у>0 при х>\, у <0 при О < л: < 1. Если же 0<а<1, то у>0 при О < л: < 1, у <0 при л: > 1. Непрерывность: функция является непрерывной на промежутке (0; -f оо). На рис. 10 изображены графики логарифмической функции у = log„Jc для случаев а> \ и О < а < 1. Отметим, что график любой логарифмической функции y — \oggX проходит через точку (1;0). Для того чтобы по графику логарифмической функции оценить значение основания, достаточно найти абсциссу точки пересечения графика y = \og^x с прямой у = I (см. рис. 11). При решении уравнений часто используется следующая теорема. Теорема. Если log„xi = logQjC2, где а > О, а ^ 1, лг1 > О, ^2 > О, то х\ = Х2- О Предположим, что х\^Х2, например Х2>х\. Если а > 1, то из неравенства Х2>х\ следует, что log„A:2>log^A:!; если же 0<а<1, то из неравенства Х2>х\ следует, что log^x:| >log^j;2- ^ обоих случаях получилось противоречие с условием log^xj =logQA:2. Следовательно, Xl=X2- • §3. Логарифмическая функция 405 Пример 1. Является ли функция у = log2(j:: + \/l +х^) четной или нечетной? Д Область определения данной функции состоит из всех х таких, что X + у/iT^ > 0. Этому неравенству удовлетворяет любое действительное число х. В самом деле, перепишем неравенство в виде \/\+х^ > -X. Очевидно, что при любом х > О последнее неравенство верно. Если же х ^ О, то его обе части можно возвести в квадрат, после чего получим 1 ^-x^ > х^ 1 > 0. Таким образом, область определения данной функции симметрична относительно начала координат. Далее, для любого х справедлива следующая цепочка равенств: у{-х) - log2 ^-х + \/1 + (-х)2^ = log2 ^-х + Vl + х2^ = = log2 (-Х т V1 -I- х2) (л: f \/1 +х2) _ X + \/1 + - I0g2 = -у(.х). I0g2 1 X + \/Г+х2 Так как область определения данной функции симметрична относительно начала координат и у{—х) — —у{х), то функция является нечетной. А Пример 2, Найти, какой формулой задается функция /(х) при х<0, и решить уравнение /(х) = 4, если известно, что /(х) — нечетная функция и при X > О определена формулой /(х) = log3 |. •5 А Так как функция /(х) — нечетная и определена для всех х > О, то она определена для всех х < О, т. е. область определения /(х) симметрична относительно начала координат, и для всех х е D{f) выполняется равенство /(-х) = —/(х). Если х < О, то справедлива запись х = —|х|. Тогда /(—|х|) = —/(|х|) или, освобождаясь от модуля, получаем при х<0 формулу f{x) —— \og^ Решая уравнение /(х) = 4, получаем: logs f = 4 при X > О, откуда | = S'* или х = 243; О О -4 1 или х = ——. 27 О log3 = 4 при X < О, откуда - ^ = 3 твет. /(x) = -log3 ,х<0; х = -^, х = 243. 406 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функиии Рис. 12 Пример 3. Построить график функции i/= Iog2 |1 + х| + 1. График данной функции подучается из графика функции y — \og2X по следующей схеме; loga^H (на рис. 12 а 1-> б I log2 |х1 Н-* log2 |л: + 1| Н-» iog2 |x + 1| + 1 *в1->г соответственно). Степенные функции вида y = xf^ с произвольным действительным показателем. В § 1 была рассмотрена степенная функция вида у=х'^, где reQ. Степенная функция с действительным показателем а при X > О определяется формулой (1) Функция непрерывна при л: > О как суперпозиция показательной функции и функции t = a\nx, которые являются непрерывными. Из равенства (1) и свойств показательной и логарифмической функций следует, что функция jc“ строго возрастает при а>0 и строго убывает при а<0 на промежутке (0;+оо). Из формулы (1) и равенства \ne^ = l следует, что 1пл:“ = а1пл:, абМ, х > 0. Замечание. Если aeQ. то функция л:“ может иметь смысл и при х<0. Например, функции ^ определены на R, а функции -1у, -J— определены при всех xeR, кроме х = 0. Если число а>0, то принято считать, что 0“ = 0; если а<0, то выражение 0“ не имеет смысла; если показатель а = 0, то по определению степени х° = 1 для всех действительных значений х, кроме 0. §3. Логарифмическая функция 407 Рис. 13 Итак, пусть показатель степени а — положительное действительное нецелое число. В этом случае степенная функция i/ = x°‘ (а>0) обладает следующими свойствами. Область определения: D{f) — [0; -foo). Множество значений: Е{[) = [0; |-оо). Четность, нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной. Нули функции: у = 0 при х = 0. Промежутки знакопостоянства: у > 0 при х > 0. Промежутки монотонности: функция возрастает на всей области определения, т. е. на промежутке х > 0. Ограниченность: функция ограничена снизу, так как /(х) = х“>0 при всех х^О и принимает наименьшее значение t/min = ДО) = 0. Экстремумы: нет. График функции у=х°‘ (а>0) имеет такой же вид, как, например, графики, представленные на рис. 13, а. Пусть теперь показатель степени « — отрицательное действительное нецелое число. В этом случае степенная функция t/ = x“ («<0) обладает следующими свойствами. Область определения: D(/) = (0;-Ьоо). Множество значений: E{f) — {0\+оо). Четность, нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной. Нули функции: нулей нет. Промежутки знакопостоянства: у>0 при х > 0. Промежутки монотонности: функция убывает при х > 0. Ограниченность: функция ограничена снизу, так как Дх)=х“>0 при всех X > о, но не принимает своего наименьшего значения. Экстремумы: нет. 408 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции График функции у=х“ (а<0) имеет такой же вид, как, например, графики, представленные на рис. 13,6. Прямая у = О (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой, а прямая х = О (ось ординат) является вертикальной асимптотой графика функции у — (а е R, а<0). Пример 4. Сравнить числа: 1) (2,7)'* '' и (2,9)'* 2) (0,95) и (0,99)°-^. Д 1) Так как 3< л<4, то о<4 - л:< I. функция= возрастает на промежутке х ^ 0. Поэтому (2,9)'*“''> (2,7)'’ 2) Рассмотрим функции /|(л:) = х и /2(^) = Заметим, что /|(1) — /2(1) = 1, но /| — убывающая функция и (0,95) > 1, а /2 — возрастающая и (0,99)®**^ < I. Следовательно, (0,95) > (0,99)°’®. А Зада'ш 1. На одном чертеже построить графики функций: I) y-\og^x-. 2) //^log^x; 3) г/^ logs а:; 4) (/.=. logi д:. 2. Построить график функции: I) y=log2ДC^; 2) (/ = log,,x; 3) I, yv> 1; 3) а>1, 0 1; 4) о < о < 1, о < W < 1. 5. Сравнить выражения log„W н log^ если: 1) e>l,yV>l; 2) 0<а<1,Л/>1; 3) о>1,0<Л/<1; 4) 0<а<1,0<Л/<1. 6. Найти область определения функций: О (/ = logo5(3-T4ji:-4:2); 2) у - \/х^ - 16 log2(x’'-7x-8)’ 3) ^/ = logзu■(^ 7. Найти область определения и множество значений функций: I) i/ = log2(A:^-l-2>:-l-3); 2) у= log^ 5(-х^-1-4х-(-5); 3) (/ = logfl(3-|A:|). 8. Определить, какая из функций является четной, нечетной или функцией общего вида: 1) |П^|; 2) t/ = log3(\/l +а;2-д:); 3) /(х) = log2 ^ • (х - logg |^). §3. Логарифмическая функция 409 9. Найти, какой формулой определяется функция f(x) при х < О, и решить уравнение f(x) = 3, если известно, что: О /(Jf) — нечетная и при д: > О определена формулой f(x) = log^^ 2) Дх) —четная и при jc > О определена формулой /(jc) = log3 ^; 3) f(x) — нечетная и при лг > О определена формулой f(x) = log2(2;c); 10. Выяснить, является ли ограниченной функция: •) log2(-^^+1); 2) (/-^logi(3 4хух'^); 3) , = 3), = 3«зО-А. 11. Найти промежутки монотонности функции: 1) «/ = log! \4х^ 4х\\ 2) // - log2 ||д:| - 1|. 5 12. Построить график функций: 1) а) i^^loggA:; б) 2log3A:; в) y=log3(-x); г) (/=log3M; д) i/--log3;t; о) // log3 jjc 3[; ж) i/=4lng3(A: + 2)-2. I) а) (/=logo,5J:; б) y-logo.5(2x); в) у-logo^5(x+2); г) (/= |logonsд:|; д) i/ = 2logo5x; е) (/ = logo3(3x 2); ж) (/=^logo_5(l-дс). 13. Построить график функции у - log(|jc| 2) 12 - | д: 11. 14. Изобразить схематически график функции и найти ее область определения и множество значений; выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей); является ли функция ограниченной: 1)у-х1-1-, 2) у={х 1)'^; .3) ^/=(х+1)-'^; 4) у=[-{х+2гк Ответы 3. «3 < «4 < й2 < 0|. 4. 1) log„ N > logj N] 2) log^N < log^ Л/; 3) log„N < a a < log I N; 4) \og^N > log I N. 5. 1) log^yV > log„ ^;a > 1, Af > 1; 2) log„A/ < Д « < logo 3) log,yV < log„ 1; 4) log„W > log„ 1 6. 1) (2 - V7;2 + %/7); 2) (-oo;-4|U^8;Z-t^)u(^'^±^;.|-oo);3) (-3;-2)U(-2;-l)U(l;+oo). 7. I) D({/)-M,£( О, а^1. Это уравнение при h^O корней не имеет, а при Ь>0 имеет единетвенный корень x = loga6. Рассмотрим основные методы решения показательных уравнений. 1. Решение показательного уравнения часто сводится к решению простейших. Для этого применяют различные методы решения уравнений; разложение на множители, замена переменной и т. д. Пример 1. Решить уравнение 4-*'' f 4-'"'^ = 40. Д 4-^''+4-''^=40<^=>4•'^''(1 I 4)=40<^4-*''^:=8'i=>2^^'^ = 2^. Функция у = 2’‘ возрастающая, каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Отсюда 2х + 2 = 3 или х = 0,5. Ответ. 0,5. А 2. Многие показательные уравнения решаются приведением обеих частей к одному основанию и использованием свойства монотонности показательной функции. Так, при а > О, ау^\, имеем •<=> /(х) = g(x). / с \ 2л: (3 Пример 2. Решить уравнение =1. Ответ. —3. А 3. Применение основного логарифмического тождества; = gr(A:) fix) = g(x). Замечание. При этом преобразовании могут появиться лишние корни. 4. Если уравнение имеет вид f(a^) = О, то заменой I = а^ оно сводится к уравнению /(/) = О, а далее к решению совокупности уравнений где tk — nce корни уравнения /(0 = 0. Частный случай — о(?норо(?ные показательные уравнения, т. е. уравнения вида ki ■ + k2 ■ 4- = 0, где k\, k2, &3 —числа. Общий метод решения уравнений такого вида состоит в делении обеих его частей на выражение ф О (или §4. Показзтельные уравнения 411 на или на и последующей замене переменной, сводящей его к квадратному уравнегжю. Пример 3. Решить уравнение З +5-6-* = Д Запишем уравнение в виде 6-2^-*^ + 5-2^-3-* —6-3^^ = 0. Разделим уравнение на З^^О: 6-^^ (I) Положим 0^ =t. О 9 'i Получим уравнение бг + 5/— 6 = 0. Числа /] = - и t2 ----------его /о\а: 3 3 2 корни. Уравнение ( - 1 — — - решений не имеет, решением уравнения =- является jc=l. \з/ 3 Ответ. 1. А 5. Если уравнение содержит члены вида то можно воспользоваться тем, что по определению при этом обе функции f(x) и g{x) определены и f(x) > 0. Замечание. Степенно-показательное выражение определено, если: 1) f{x) > о и (р(х) существует; 2) f{x) = 0, а (j>(jt)>0 (в этом случае /(л:)^''^=0 по определению степени с рациональным или иррациональным показателем). При решении показательных и логарифмических уравнений часто применяются следующие преобразования: потенцирование — перехоа от уравнения Iog^(j^)/(x) = log^(j^)g(A:) к уравнению f{x)=g{x) : 'og^(x) fM = six) => fix) = gix); логарифмирование - переход от уравнения fix)=g{x) к уравнению >og 0, получим \у-р\ =4 Первая система имеет решение при р>—4. Вторая — при р > 4. Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение, если имеет решение только первая система совокупности. Ответ. —4 <р < 4. А Пример 6. Для каждого значения параметра а решить уравнение 3 • 4^-2 + 27 = а + а • 4^~^. Д Произведя замену у — 4^~'^, где ^>0, получим линейное уравнение Зу + 27 — а{1+у) или (а — 3)у — 27 — а. При а = 3 это уравнение не имеет решений. Если а ^ 3, то ■fp-p> 0, ■Г4 + р>р, \y = 4i-p. у = р + 4, tp + 4>0, Г у - р < 0, Гр - 4 < р, {у = р-4, Цу>0 Др — 4 > 0 У 27- Из условия у>0 следует неравенство 27-0 ------------------------------------- > о, которое справедливо при ае(3;27). При этих значениях а из уравнения 4^-2 _ 27-0 0-3 находим X = log4 ——^ + 2. Ответ. Если ае(3;27), то x = log4 27-0 о ■ + 2; если а ^ (3;27), то решении нет. §4. Показательные уравнения 413 Задачи Решить уравнения (1-38): I. 25''-2^1 = S'* 3. 7 • 3^+' - 5^+^ = 5. 9^-12-3*+ 27 = 0. J jx+6 ^ 0Х-Ьб _ уЗх ^ ^Зх 9. 27* + 3*+“ = 82 • 9^ 11. (1)*“® = з2*.2''*. 13. 2* + 10 = 36 -22-*. 15. 4*+® - 10 • 2*+2 - 24 = 0. 17. 9* +6* = 22*+'. 19. 4-16* =7-9*-3-12*. х+5 )г+|7 21. 32^^ =0,25 -128^. 23. jc'"K3* = 81x2. 25. 3* = 2*^. -2 2^ ^у/х\-\ ^^v^x+1 —I _ j|^ 4. 2* + 3*-2 = 3*-2*+'. 6. 4*- Ю -2*-' -24 = 0. 8. 13*+'' • 5*+^ = 5^* -13^*. 10. 9*^-' -36-3*^-2+ 3 = 0. 12. 22‘ " 1-2х 14. 0,2*+°'5 ~7Г -Зх 0,04^ 25 • 16. 4*-3-2*+3\/2 = 2. 18. 32*+“' + 45 • 6* - 9 • 22*+2 = 0. 20. 5-36*-3-25* = 2-30*. -12 ^ С 27 N3 Vl2S; 22. (0,6)* • 24. x'^ = Vjc*. 26. з'®*52<-2-') = б'оегЗ 27. 2l*"2l _2l*l = i/2. 28. 2l*+2| _ j 2*+'- 11 = 2*+'. 29f (Уз + т/8)*+(^3-т/8)'' = 6. 30. (\/7+x/^)*+(\/7-т/48)"' = 14. 31 з2л:2—6х+3 ^ —3*-fl _ -6xf3 g2 _ 2 3*2+JC-b6 ^ 22(jc+6) _ q 33. 52*^+^ - 3 ■ 5<^+0(«-t-2) _ IQ . 56x^1 ^ Q 34 . 22*^-2 + 7.2(*+2)(-*-0 _8.2'2<*-') =0. 35. 8 (4*+ 4"*)-54 (2*-I 2"*) +101=0. 36. 3* + 4* = 25. J2 , 81 37. 6*-4*= 152. 38Г 3 " =-6-6л:-х‘ Найти значения параметра а, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение (39-43): 39. 21*1+“-21* 1=5. 40. 2* + 22-*=а. 41. |2*-а| = 3. 42. (а + 1)-4*+4-2*+а-2 = 0. 43. (о-1)-4*-4-6* + (а + 2)-9* = 0. 44. Найти все значения параметра р, при которых не имеют решения уравнения: 1) (р-4)-9* + (р+1)-3*+2р-1 = 0; 2) (10-р)-52*+'-2-5*+' + 6-р=0. 45. При каком значении параметра р уравнение р • 2* + 2~* = 5 имеет единственное решение? 46. При всех допустимых значениях параметра а решить уравнения: 1) fl2 _ 9^-»1 - 8 • 3* • а = 0; 2) 1441*1 - 2 • 121*1 + а = 0; 3) 3-4*-2 4-27 = 0 +а-4*-2. 17 1. 5 2. 0. 3. -I. 5 10. ±V^,±1. 11. |. 17. 0. 18. -2. 19. 0. 4. 3. 1 Ответы 5. 1; 2. 6. 3. 7. 3. 12.;. 13.3. 14.-1. 15.-5. 16. |,log2(3-v^). 21. 10. 22. 3; -2,5. 23. i; 81. 24. 1; 4. 5’ 20. 0. 8. 2. 2 2’ 9. 0; 4. 414 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции 25. 0; log2 3. 26. -2,5. 27. 0,5. 28. -2. 29. ±3. Указание. Так как v/iWS- ^3- \/8^ I, ТО можно сделать замену (^3+\/8)'‘ =/. 30. ±2. 31. 1; 2, 32. -2; 3. 33. 1; 2. 34. 1; 5. 35. ±2; ±1. 36. 2. 37. 3. 38. —3. Указание. Воспользоваться ограниченностью левой и правой частей уравнения. 39. О < а ^ logg 6. 40. а ^4. 41. а>—3. 42. -2^а<2. 43. —2 < а ^ 2. 44. I) /? £ (- оо; у) U |4; +оо); 2) р 6 (—оо;5) U |10; +оо). 25 45. р^О, 46. I) Пели а=0, то решений нет; если а<0, TOX = log3(-a); если а > О, то JC = loggC — 2; 2) если а ^ О, то ДГ|_2 = ± logi2(* + \/1 — а); если О < а < 1, то Х\ 2 = ±log|2(l Т \/1 — а), ^3^4 =±log|2(l - \/1 - а); если а= I, то х = 0; если а>1, то решений нет; 3) если а е (-оо;3] U |27;+оо), то решений д _ пу нет; если 3 < а < 27, то л: = 2 I logj .^5-. ' 3 — а §5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1. Простейшие логарифмические уравнения — уравнения двух видов: \og^x = b, где а>0>,аф\. Уравнение имеет единственный корень л: = а*. В общем случае \og^f{x) = Ьf(x) — а!’ (а>0,ау^1); \og^A = В, где А > 0. Уравнение при А ^ \, В ф О имеет единственный корень л: = Ля; при А = 1, В = 0 имеет решением любое отличное от единицы положительное число; при А = I и В ^0 решений не имеет. 2. Решение уравнений вида /(logoх) = 0,а > 0,а 7^ 1, с помощью замены t = log^ х сводится к решению совокупности следующих уравнений log^x^ ... , logg л: = где /,• (/= 1, ... , а) — все корни уравнения f{i) — 0. При решении уравнений вида /(logjjA) = 0, А > О, используется замена I = log^ А . 3. При решении уравнений вида log^^x) = loggg(x), а>0, o^l, используется любая из приведенных ниже схем: loga fix) = log„ g{x) loga fix) - log,, gix) о Аналогично, для уравнения logp^.)A = log^^^)A, A>0: (gix) > 0, log/W = 'og^w A ^ gix) Ф 1, 4ix)=gix) §5. Логарифмические уравнения 415 илч г/(х) > О, •og/(jc) ^ = logg(^) А ^ i \{х) ф 1, WW=gW- Пример 1. Решить уравнение log2(jc + 2) = log2(A:^ + •*: — 7). Л Из равенства логарифмов следует равенство выражений, стоящих под знаком логарифма; x + 2 = jc^ + x —7. Отсюда jt^ = 9, т. е. л: = —3 или л: = 3. Проверка: при х = —3 левая часть исходного уравнения не имеет смысла; х = 3 является его решением. Ответ. х = 3. А 4. При решении логарифмических уравнений иногда применяется формула где а>0, аф 1,/(х) > 0,g{x) > 0. 5. Часто используется формула перехода к другому основанию; f{x) = , где ф(х) > о, (р(х) ф I, f(x) > о, fix) ф 1. Замечание. Формальное применение этой формулы может привести как к появлению посторонних корней, так и к потере. 6. Имеют место эквивалентности: 'g(x) > о, или •og/(x)gW = log/(x)Mjc)<^ < •og/(x) gM = log/(x) /г(х) fix) > о, /W Ф 1, ,g(x) = hix) {hix) > 0, fix) > 0, fix) Ф 1, = hix). Пример 2. Решить уравнение logj|._g(x — 4) = 2. A Область определения данного уравнения: х > б, х — б ^ 1. Для этих значений х уравнение равносильно следующему: (х —б)^=х —4. Его корни Х| = 8 и Х2 = 5. С учетом ограничений получим х = 8. Ответ. 8. А Пример 3. Решить уравнение Iog3(0,5 + х) = logg 0,5 — log3X. Л Преобразуем уравнение Iog3(0,5 + х) + log3 х = log3 0,5. Полученное уравнение равносильно системе (х>0, (х>0, (х>0, ^0,5 + х>0, <=> [ Iog3(0,5x + х2) = log3 0,5 Ответ. 0,5. 2х^ + х- 1 416 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции Пример 4. Решить уравнение 10 • log4^ а: + 21 • log|6;, а: - 3 • log. = 0. Д Переходя к логарифмам по основанию 2, получим: 3 log2 IQIog2A ^ 2Мой2А _ \og2^x log2 16а '0g2 (5) = о Ф» (: 10 21 2 + log2 А 4 I IOg2A log2A = 0, 10 , 21 log2 —) log2X = Oo 6 = 0. . 2 ^ log2 A 4 4 log2 A log2 A - 1 Рстенисм первого уравнения является а: = 1. Для решения второго уравнения сделаем замену / = log2A:. Получим 25/^ -I- 15/ - 130 (2 ) /)(4 1 /)(/-!) = 0 '5/2+ 3^-26 = о, Д2 + /)(4 + 0(/-1)у^О 4=> 7-2, I - -2,6. Выполняя обратную замену, получим log2A: = 2 или log2A: = -2,6, т. е. а: = 4 или jc = 2^2,6_ 4. ^ Ответ. 4. т 1; 4. Пример 5. Решить уравнение (а: + '^ = 100(а: + 1). А Первый способ (логарифмирование обеих частей уравнения) Область определения уравнения а: + 1 > 0, т.е. а:> -1. Для х> -1 обе части уравнения положительны. Логарифмируя их по основанию 10, получим lg(A: + 1) • lg(A: + 1) = Ig 100 + lg(A: + 1). Пусть lg(A+l)=/. Полученное уравнение примет вид — t — 2 = 0. Его корни /1 = —1 и /2 = 2. Отсюда lg(A: + 1) =-1, а: =-0,9 или lg(x + 1) — 2, а: = 99. Второй способ (применение основного логарифмического тождества). Область определения уравнения а: > -1, поэтому в силу основного логарифмического тождества (а:-|-1) = 'К Тогда (l0lg(A+D) = io2 . loig(A H) ioig"(A+l) ^ jQ2+lg(A+i) Отсюда Ig2(x 4- 1) = 2 -f lg(A: 4- 1). Решениями этого уравнения являются X = —0,9 и А = 99. Ответ. —0,9; 99. А §5. Логарифмические уравнения 417 Задачи Решить уравнения (1-40): 1. = 1. 3- logs — logs I log., 3 ■ 2 — X 5. logslog4 logsX^O. 7. logs(3+4/3T^ 9- log,+ |2 = 2. II. log2 X ■ log2 2x — log2 16дг. 13. log^{3x2 - a: - 3) 2. 15. 2 logs ^(x + 1) = logs x(6 2x). 17. 0,5 logs^ .4 9 = log^2_2.v 3. 2. log2(l+31og2A:) = 2. 4. logs(A:-l) = log5^. 6. log|6 JC -f log4 X f log2 x-7. I log56 2-« -3. 8- log2, (f - 16^) = 10. log2^_, 13= 10. 12. I I 2logO,25(3.5-Ar) _ I log2(l+Jf) log2(l+JC) 14. 21og^_,(jc-3) = l. 16. log^4.|(AC - 0.5) = log^_0,5(A: + 1). 18. logs^A: = log9,A:3. 19. lg(3A:^ + I2x + 19) - lg(3A: f ^) = I. 20. Ig(35-jt3) = 3. Ig(5 - x) 22. log^(/l*-6)-log^(2*-2) = 2. 24. log^2 16 -I log2j,. 64 = 3. 26. log|2(4^^ 4- 3a: — 9) = Зд: — AC log|2 27. 28. 3-49'“'^^^-140-7''^' 2-1 = 7. . 3''^^ + A:'°e3>t = i62. 30 32. lg^A:Hlg^x2 = l. 21. log7(6 I 7 '*) = 1 -f-AC. 23. log4(x M2) log^.2=l. 25. logs,,^4 log,^x=l. 27. 29. 5'R^ = 50-a:'s^^ 31. lg''(x-l)2 + lg='(l-Ac)-'* = 25. 33. lg|2x-3|-lg|3AT-2| = I. 34. |log2(3A:-l)-log2 3| = |log2(5-2x)-l|. 35. 2 logjj 3 + logsjt 3 4 3 logg^ 3 = 0. 36. log^ 2 • log , 2 = log , 2. _________ * ТВ Cl 37. yiog~v^-log2 AC =—1. 38. \/5x = — logj( 5. 39. !og2(5'' — 2) • Iog(5Jc__2)(25^ ~|- 4) = log2(^^ — 2) Ч- log2(^^ “b 3). 40. log2,+|(5 I 8x - 4x^) 4 logs_2,(l 4 4x4-4ac^) = 4. 41. Найти все значения параметра а, для которых уравнение logs X 4 logo X 4 log4 X = I имеет решение. 42. При каких значениях параметра р имеет единственное решение уравнение lg(x^ 4 2рх) = lg(8x — 6р — 3)? 43. Решить уравнение logo х 4 | а 4 log„ х | • log^ а = а ■ log^. а. 44. Решить уравнение ^^logs cos ях = 5х — 4 - х^. 45. Решить уравнение costdc-log3(l 4х^)= 1. 2. 2.2. 3. %/3-1. 14 Ш 4. Ответы (I I у^) 9. V2-L 10 16. 1. 17. 4. 11. 1;4. 18. -L, 1. 19. -1;7. V3 . 5. 625. 12. 3; -0,5. 20. 2; 3. 6. 16. 7. 6. 8. 13. 1,5. 14. 5. 15. I. 21. 0. 22. 2. 23. 4. 418 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции 25 31. -9: 0,9. 32. 36. 4; 8. 37. 4‘ а/ 42. 26. 3. 27. 10~2;100. 28. 2. 29. 100. 30. i;9. -1 ±v455 оо 23. 17 о- . 32’28- 17. II ' 12’ 6 • 35. 1 . 1 3^ 38. l + log5 2. 40.0,5: 1. 41. а > С 1,а#4-з. - 43. 0“’' ^ при 0 < а < 1; пет 1 или а > I. 44. 4. 45. 0. §6. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА При решении показательных и логарифмических неравенств применяются те же методы, что и при решении рациональных и иррациональных неравенств. Часто в неравенствах удастся все выражения свести к одному основанию. В этом случае можно использовать следующие схемы. а > 1 0 < а < 1 ^ ^ f(x) ^ g(x) ^ «■ f(x) ^ (>(х) log„/W ^ log„gW 0 log„ f(x) < log„g(x) <=> 2 . з^ -! 3 _ Пример 1. Решить неравенство „ „„—„ „„ < 1. 5 ■ 3^ - 3 ■ 5* Л Преобразуем исходное неравенство: 2-3-'’-3^ -5З -5* 5 ■ 3^' - 3 • 5* <1 5. (54.(1) -125) 5-(5.(|)‘-э) Выполнив замену /= , получим 54 <1 <=!> •Ш' 125 <1. 54/-125 <1^49/-122 <о_ре^„^ Ы-3 5/-3 последнее неравенство методом интервалов. Функция f{t) = 49/- 122 5/-3 определена для всех t, кроме ^=51 непрерывна на области определения и равна нулю в точке —. Точки g и — разбивают числовую прямую на три промежутка, в каждом из которых функция / О lOO имеет знак, указанный на рис. 15. Итак, f{t)<0 при Теперь решим неравенства ^ < (-) < Функция {-) убывающая, 5 \Ь/ 49 \5/ 3 /3\'*' 122 /122\ поэтому-< npHx logs ^—j . Значит. все X € (logs ( являются решениями исходного неравенства. §6. Показательные и логарифмические неравенства 419 + 122 Рис. 15 Ответ. (log3^;iy /1\ logslogi Пример 2. Решить неравенство 1-1 ® > 1. А Так как функция убывающая и 1 = , то получим /|\ logs log , , , / 2 4\ А (2 j > 1 logs logi - 5 j < О- Функция log3/ возрастающая с областью определения и 0 = log3l. Поэтому последнее неравенство равносильно системе: -“-и. , о < л;2 - I < 1 ^ О { > 1, х2<|. О Далее, х2 > 1 -фф^ |x| > 1 и < | -фф |л:| < ^. Решением исходного неравенства будет пересечение множеств (—оо;—1) U (1;-|-оо) " У™’ что \/5 < 3 и, значит, ^ > I, а < -1. Ответ. Замечание. При решении неравенств вида log^jj)a<6, где а и Ь — заданные числа, иногда удобнее перейти к неравенству |д^ чем рассматривать два случая: О < f{x) < I и f(x) > 1. Пример 3. Для каждого значения параметра а решить неравенство г- 3^ > 2". А Перейдем в неравенстве к одному основанию 2: З'^ = поэтому 2'°егЗ'^ > 2“. Далее логарифмируя, получаем Га<0, \х>0, log2 З'^ > а ФФ \/х log2 3 > а -ФФ у/х > ^ <=> log2 3 (а^О, > a^ logs 2. 420 Глава X. Степенная, показательная, логарифмическая функции Ответ. Если а > О, то х е (a^log|2;+оо); если а < О, то X € [0; +оо). А Пример 4. Для каждого значения параметра а решить неравенство log„(A;-2) + logoA:> 1. А В соответствии с определением логарифмической функции, а > 0,а I, X > 2. Следовательно, при этих условиях а > 1, >oga(^:-2)-Hog„x>l Ф» logoX(x-2)> I х^ — 2х > а, х>2, О < а < 1, х^ — 2х < а, х> 2. Ответ. Если а < О, а = I, то решений ист; если О < а < I, то X G (2; 1 -|- \/1 -Ь а); если а > 1, то х G (1 + \/1 -Г а; -|-оо). А Задачи Решить неравенства (1-58): I. 15\л:+7 / ц;\jc^ —Зх f 2 '■ iw >{Н) 5. 5•‘■+^-l-5'‘+' ^6. 7. 9* - 2^ > 2' '. 9. log2(x+1) >-log2 3. 13. log6(x-3x/x-l-2) < 1. 15. log2i^ >0. 17. log3(3x — 1) + log! (5х — 4) > 0. 3 19. -----1----- ^ 1. 21. IOg2 X + 3 log2 X ^ 5 log2 v^. 23. log^ 169 - logj, 13 - 3 ^ 0. 25. 16''-2 12^<з2''^'. 27. 3^+^-2*“2-'^ 20. 29. 3-' > 1^. 2. 27^ ^3"5. yX+l i-j( 4. 5 X I 2 6. 5^ > 25. -Й) <4,8. 8. 9 - 3^-" + 3 • 3^*+' - 9^ < 89. 10. log^(x + 4) < log2 Q) •2. logs ^ >log6(4-x). TS ^ I x^-4x + 3..„ . 2 + 3x f, ‘6. Iogo.3 < 0. 18. 2 logi (x — 2) 4 log2(x^ — X 4 2) ^ 1. 20 I < 1 log2(5-x2)"2- 22 1 4- 1 > 1. Igx l-Igx 24. log^ 9 4-2 logj, 3 — 6 ^ 0. 26. 4^ - 2 ■ 52* - 10^ > 0. 28. I2^"2 < 3ЗХ _26j:_ 30. 4? -5-4г <0. §6. Показательные и логарифмические неравенства 421 31. 81^' f >84. 33. 2'+''>В.-»-' + 2‘-''’Вз^ ^5. 35. 4* - 101 • (g)"" + 4 ■ 25'--' > 0. 37. ■ 2-'+2 - 12х^ ■ 3* + 3*+' > 2\ 39. 3*^2*\ 41. |2*-1|+х^х-2*. \og2x-2 32. log2j( 5 > log3.,+, 5. 34. 7^^-33- (^^-14 -5'-^ 36. 0,64 ^ y/Q,8x(x-3)_ Зх-А 38. 4^ -5 Jf-3 ^ 10. 40. jc'®* > 10000. <0. 42. 43 log2 Jt - I ^ I. log2 x-A 45. log|,j.^| |_3 5 < 1. 47. log^ X — I log2 >: I — 2 < 0. 5 log2 X — 5 44. log|.j.^3|_4< . 46. |lOg2(f)| > |log2X|. ^1. 6 > 1. 49. ^logi(l-2x)^0. 51. log2 a: > \/9^^бГ+х2. 53. logo.i log2 ‘ 48 50 ^log3 < 1- \-x > - logo,5 (-■*:) <0. <0. y/2-6x 52. log3(log2(2 - log4 x) - 1) < 1. 54. log2(2'^ + l) log,(2*+'+2)>-2. 56. ||2^+jc-2|-l|>2''-x-l. X-l 55. !ogi(2^-7) /5 + 2)"'”'^ (\/5 +2)^ 59. Опреде.пить. при каких значениях параметра а имеет решение неравенство: 1) с? —2- 4^'*'* — а ■ 2^‘1'' > 0; 2) ^ 4. 60. Определить, при каких значениях параметра а имеет решение неравенство: I) loga(4--^) > log^2(l +Ас); 2) logo+ 2л:+ 2) < 0. 61. Найти значения параметра а, при которых неравенство выполняется при всех X 6 IR: 1) а • 9^ + 4(а - 1)3* + а > 1; 2) 4** + 2(2а + l)2*^ + 40^ - 3 > 0. 62. Найти значения параметра а, при которых неравенство выполняется при всех X € М: 1) log„(x^ + 2) > 1; 2) log„,o,,)(|x| + 4)> 1; 3) log^(x^ + 2) > 1; 4) log,^2_|)(o^A:2 + 2ax + 4) > 1. 63. Для каждого значения параметра а решить данные неравенства: 1) а*^~* > 1; 2) logo(l +х) > 1; 3) logo(x^ + 2х) > 0; 4) log„(x42x) 1, то jce(-oo;0)U(l;+oo); 2) если а^О или а = 1, то решений нет; если О<а< I, то л:е(—1;а — I); если а> I, то лс>а — I; 3) если а^0 или а — 1, то решений нет; если 0<о<1,тол:е(—1 — v^;—2)и(0;-1 + \/2); если а > 1, то j: е (—оо; -1 — \/2) U(-l I у/2\ -|-оо); 4) если а ^ О или а= I, то решений нет; если О < а < I, то х G (—оо; —1 — \/1 4- а) U (-1 + \/1 -I- а; Гоо); если а > 1, то JC € (-1 — VI + а; —2) U (0; -I + VI +о)- ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Глава I. Элементы математической логики............................. 5 §1. Высказывания и операции над ними. .............................. 5 §2. Неопределенные высказывания. Знаки общности и существования..... 13 §3, Некоторые приемы дока.зательства................................. 23 Глава И. Числовые множества.......................................... 35 §1. Множества. Операции над множествами............................. 35 §2. Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа......... 48 §3. Степени и корни . . ... .................................... 62 §4. Логарифмы....... 71 §5. Суммирование................................................... 80 §6. Числовые неравенства 95 Глава III. Функции ............................................... 107 §1. Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции................ 107 §2. Основные понятия, относящиеся к числовым функциям............... 120 §3. Свойства функций, 126 §4. Обратная функция. ...............................................143 §5. Графики функций . 147 Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства.....................159 §1. Уравнение и его корни. Преобразование уравнений................. 159 §2. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним......................... 164 §3. Иррациональные уравнения. Уравнения, содержащие знак модуля......168 §4, Алгебраические неравенства ... 174 Глава V. Тригонометрические формулы................................. 198 §1. Тригонометрическая окружность Градусная и радианная меры измерения угловых величин ... 198 §2, Координаты точек тригонометрической окружности...................202 §3. Синус, косинус, тангенс и котангенс..............................206 §4. Преобразование тригонометрических выражений. Доказательство тождеств. 212 §5. Формулы сложения . . ................219 §6. Формулы приведения............................................. 226 §7. Формулы кратных углов . . ................................229 §8. Формулы половинных углов.........................................234 §9. Формулы преобразования произведений в суммы .....................237 §10. Формулы преобразования сумм в произведение..................... 241 §11. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа..........247 424 Оглавление Глава VI. Комплексные числа. . .............. .25,'? §1. Определение комплексных чисел. Операции сложения и умножения....25.4 §2. Комплексно-сопряженные числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и деления комплексных чисел . . ....... ... . . 257 §3. Геометрическое изображение комплексных чисел. . . 260 §4. Тригонометрическая форма комплексного числа. . .......... . . 263 §5. Квадратные ураппения с комплексными коэффициентами..............269 §6. Изплечепие корпя из комплексного числа........... ... 273 Глава VII. Многочлены от одной переменной .276 §1. Осноппые определения ............... . . 276 § 2. Схема Горнера. . .... ... . 288 §3. Теорема Везу. Корни многочлена. . . ...... . . 292 §4. Алгебраические уравнения...... .... 302 Глава VIII. Системы алгебраических уравнений................3(х; §1. Основные [юпятия. связанные с системами уравнений...............306 §2. Системы линейных уравнений...................................... 312 §3. Иелннсйные системы уравнений с двумя неизвестными . . .......... 323 §4. Нелинейные системы с тремя неизвестными 337 Глава IX. Предел и непрерывность функции............................350 §1. Точные грани числовых множеств. Операции над действительными числамиЗ,50 2. Предел последовательности . .............. . 355 3. Предел функции................................................. 370 1. Непрерывность функции ... . 381 5. Вычисление пределов функций . ...............387 §2. §3. §5. Глава X. Степенная, показательная и логарифмическая функции......................................................... 390 §1. Степенная функция........ .......................... ... 390 §2. Пока.зательная функция. ..... 397 §3. Логарифмическая функция......................................... 403 §4. Показательные уравнения ...... ... . ................. 410 §5. Логарифмические уравнения....................................... 414 §6. Показательные и логарифмичс-ские неравенства.....................418 Эют учебник явлиг^тся частью учт'Оно-мт?тодичнч. кого комплекта дли пропи/шеания математики в старших ктитссах физико-математического и естественно-научных профилей Комплект включает в себя: • учебник для 10 класса • учебник для 11 класса • методическое пособие и дидактические материалы для 10 класса • методическое пособие и дидактические материалы для 11 класса • задачник для 10-11 классов Шйбунт'н Михаил Иванови-г — доктор педагогических наук, профессор кафедры ■ ' высшей математики МФТИ, автор свыше двухсот ■ Z К научных и учебно-методических работ, один *' || из авторов учебников алгебры для 7-11 классов - j' I * средней школы, учебников и сборников задач ^ по математическому анализу и теории функций комплексного переменного для студентов вузов, автор многих пособий для абитуриентов. Заслуженный работник высшей школы РФ, лауреат премии Правительства Российской Федерации в области образования за 2002 год, член Научно-методического Совета по математике Министерства образования и науки РФ, заслуженный профессор МФТИ. Прокофьев Александр Александрович — ’ доктор педагогических наук, доцент, профессор \ кафедры высшей математики МИЭТ, преподаватель ’ математики Физико-математического лицея №1557 ' ч — с, ■ Зеленоградского округа г. Москвы, учитель высшей ’•I категории. Автор более 40 книг, в том числе монографий, учебных и методических пособий по математике для * ш школьников и студентов. Область научных интересов связана с разноуровневыми и вариативными моделями математического образования в средней и высшей школе. ISBN 978-5-94774-452-1 91785947 74452 1