Учебник Алгебра 8 класс Мерзляк Полонский Якир

Алгоритм успеха ФГОС Москва Издательский центр «Вентана-Граф» 2013 ББК 22.141я721 М52 Учебник включён в федеральный перечень Мерзляк А.Г. М52 Алгебра : 8 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. — М. ; Вентана-Граф, 2013. — 256 с. : ил. ISBN 978-5-360-04345-4 Учебник предназначен для изучения алгебры в 8 классе общеобразовательных учреждений. В нём предусмотрена уровневая дифференциация, позволяющая формировать у школьников познавательный интерес к алгебре. Учебник входит в систему «Алгоритм успеха». Содержание учебника соответствует федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования (2010 г.). ББК 22.141я721 ISBN 978-5-360-043454 Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., 2013 Издательский центр «Вентана-Граф», 2013 От авторов Дорогие восьмиклассники! В этом учебном году вы продолжите изучение алгебры. Надеемся, что вы успели полюбить эту важную и красивую науку, а значит, с интересом будете овладевать новыми знаниями, и этому будет способствовать учебник, который вы держите в руках. Ознакомьтесь, пожалуйста, с его структурой. Учебник разделён на три главы, каждая из которых состоит из параграфов. В параграфах изложен теоретический материал. Жирным шрифтом напечатаны тексты определений, теорем, математические термины. Курсивом напечатаны отдельные слова или предложения, важные для понимания текста. Обычно изложение теоретического материала завершается примерами решения задач. Эти записи можно рассматривать как один из возможных образцов оформления решения. К каждому параграфу подобраны задачи для самостоятельного решения, к которым мы советуем приступать лишь после усвоения теоретического материала. Среди заданий есть как простые и средние по сложности упражнения, так и трудные задачи (особенно те, которые обозначены звёздочкой). Свои знания можно проверить, решая задачи в тестовой форме из рубрики «Проверьте себя». Каждый параграф завершает особая рубрика, которую мы назвали «Учимся делать нестандартные шаги». В ней собраны задачи, для решения которых нужны не специальные знания по алгебре, а лишь здравый смысл, изобретательность и смекалка. Они помогут вам научиться принимать неожиданные и нестандартные решения не только в математике, но и в жизни. Если после выполнения домашних заданий останется свободное время и вы захотите узнать больше, то рекомендуем обратиться к рубрике «Когда сделаны уроки». Материал, изложенный в ней, непростой. Но тем интереснее испытать свои силы! Дерзайте! Желаем успеха! Условные обозначения оо V Простые задачи TV Задачи среднего уровня сложности Сложные задачи Задачи высокой сложности Задачи, которые можно решать с помощью компьютера ◄ Окончание доказательства теоремы, решения задачи 340 Задания, рекомендованные для домашней работы 310 Задания для устной работы Глава 1. Рациональные выражения в этой главе вы познакомитесь с дробями, числитель и знаменатель которых — выражения с переменными; научитесь складывать, вычитать, умножать и делить такие дроби, познакомитесь с уравнениями, составленными с помощью этих дробей. Вы узнаете, с помощью каких правил можно заменить данное уравнение на более простое. Вы расширите свои представления о понятии «степень», научитесь возводить числа в степень с целым отрицательным показателем. Вы научитесь строить математические модели процессов, в которых увеличение (уменьшение) одной величины в несколько раз приводит к уменьшению (увеличению) другой величины в то же количество раз. S 1. Рациональные дроби Перед изучением этого параграфа рекомендуем повторить содержание п. 1 на с. 219 и п. 6 на с. 221-222. В курсе алгебры 7 класса были рассмотрены целые выражения, то есть выражения, которые составлены из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на отличное от нуля число. Вот примеры целых выражений: х - г/, ^ ^ ^+ 2т + п^, -4, 5 3 с , d к ^ ^ • 5, у, V. В 8 классе мы рассмотрим дробные выражения. Дробные вырг1жения отличаются от целых тем, что они содержат деление на выражение с переменными. ^ Приведём примеры дробных выражений: 2х + ^, (х-р) : (х + у), d Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями. Если в рациональном выражении заменить переменные числами, то получим числовое выражение. Однако эта замена возможна только тогда, когда она не приводит к делению на нуль. Например, выражение 2 + fl + 2 а-1 при а = 1 не имеет смысла, то есть числового значения этого выражения при = 1 не существует. При всех других значениях а это выражение имеет смысл. & Определение Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл. Например, в рассмотренном выше выражении допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 1. Допустимыми значениями переменных, входящих в целое выражение, являются все числа. Отдельным видом рационального выражения является рациональная дробь. Это дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены^ Так, рациональные выражения X х^ - 2ху 12 а + Ь 7 у » 9 к X + У а 5 являются примерами рациональных дробей. Отметим, что рациональная дробь может быть как целым выражением, так и дробным. Знаменатель рациональной дроби не может быть нулевым многочленом, то есть многочленом, тождественно равным нулю. Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональную дробь, являются все те значения переменных, при которых значение знаменателя дроби не равно нулю. Схема на рисунке 1 иллюстрирует связь между понятиями, которые рассматриваются в этом параграфе. Пример. Найдите допустимые значения переменной, входящей в вы- ражение —I------. X X - 5 Решение. Дробь — имеет смысл при всех значениях х, кроме х = О, 3 ^ а дробь ---g имеет смысл при всех значениях х, кроме х= 5. Следовательно, искомыми допустимыми значениями переменной являются все числа, отличные от О и 5. ◄ ^ Напомним, что числа и одночлены считают отдельными видами многочленов (см. п. 6 на с. 221-223). 3. Какие значения переменных называют допустимыми? 4. Какие дроби называют рациональными? 5. Отдельным видом каких выражений являются рациональные дроби? 6. Какой многочлен не может быть знаменателем рациональной дроби? Упражнения „ -6t +15 х-2 » ■эм —J-, -— 2t X + 2 тл „ $а^ 5х^ , X 8 Какие из выражении —,--------h —, --- ^ 46^ 4 7 6w +1 1 . 1 тп^-Ътп - тгтг, - 4) + “ » ------- являются: 1) целыми выражениями; 2) дробными выражениями; 3) рациональными дробями? Чему равно значение дроби ^ ^ ^ , если: 1)с = -3; 2)с = 0? ^171 “ Т1 Найдите значение выражения -------, если: ^ Ът + 2п 1) m = -1, гг = 1; 2) гтг = 4, гг = -5. Чему равно значение выражения: 1) -1 а-5 при а = -4; 2) X + 5 У X + 2 при X = -5, у = 5. Найдите допустимые значения переменной, входящей в выражение: 6. оо V. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 1) 2дг-5; 2) 15; т 3) X 5’ 4) 5) 6) лг-5 . 9 ’ 2 +j/ . 1+1/ ’ 1 + 4 7) 8) 9) -4 5 1д:| - 4 2 + Ъх 10) И) 12) д: - 2 д: + 1 При каких значениях переменной имеет смысл выражение: тп-1 кч 4 . 1 д: + 4 , д:(д: - 6) ’ X . 1д:1 +1 ’ (х - 3)(х + 5) ’ 2) X + 7 ^ X + 9 ’ 3) 4) - 9 ’ X IX 1-3’ 5) 6) Q + , . X - 8 X - 1 2х-3 (х + 2)(х-10) Запишите рациональную дробь, которая содержит переменную х и имеет смысл при всех значениях х, кроме: 1)х=7; 2)х = -1; 3)х=0их = 4. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную у, допустимыми значениями которой являются: 1) все числа, кроме 5; 3) все числа, кроме 3, -3 и 6; 2) все числа, кроме -2 и 0; 4) все числа. Автомобиль проехал по шоссе а км со скоростью 75 км/ч и по грунтовой дороге h км со скоростью 40 км/ч. За какое время автомобиль проехал весь путь? Составьте выражение и найдите его значение при а = 150, Ь = 20. Ученик купил тетради по 8 р., заплатив за них m р., и по 14 р., заплатив за них п р. Сколько тетрадей купил ученик? Составьте выражение и найдите его значение при т = 24, п = 56. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной х значение дроби: 1) ^ положительное; 2) х^ Х-^ +1 --------2 отрицательное. бх — 9 — X Докажите, что при всех допустимых значениях переменной х значение дроби: — Х^ 4- 4 т + 4 неотрицательное. 1) х^ -1-5 неположительное; 2) х^ - 2х -f 1 Известно, что 5х- 15^ = 1. Найдите значение выражения: 18^ - 6х 1) X- 3^; 8 2) 2х -6у ' 3) 4) 1 х^ - бху + 9у^ 14. Известно, что 4<2 + 86 = 10. Найдите значение выражения: 1) 2Ь + а\ 2) 3) + 4а6 + 4б^ <2 + 2б ’ 2а + 4б 15. Найдите область определения функции: У = 1 4-1 2) ^ = 1 1 X---- X 16. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: л: 10 . 1) 9 ’ X---- X 2) X Готовимся к изучению новой темы 17. Сократите дробь: 20. 21. 22. 23. 24. 1) 15 2) — • ^ 18 ’ 3) ^ 45’ 4)^ ^ 48 18. Приведите дробь: 1) ^ к знаменателю 14; 7 2) — к знаменателю 60. 15 19. Представьте в виде степени с основанием а вырг1жение: 4) {аУ : (й") 1) «V; 2) {a^f; 3) а" : Разложите на множители: 1) ба- 156; 5) 2) 2а + аЬ\ 6) \2т^п - Атп\ 3) lam + 1Ъп\ 7) 2j^ - 4%^ + Юл:"^; 4) - \2ху\ 8) Юй^б^ - 15<2^6 + 2ЪаЬ^, Представьте в виде произведения выражение: 1) аЬ - ас + bd - cd\ 3) л- л- 2а^ + 2; 2) Ът + Ъп- тх - пх, 4) Sa^b - 2<2^ - 46^ + 6. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена: 1) -д>а + 16; 3) АОху + 16.г^ + 2Ъу\ 2) 9д:^ + 6х + 1; 4) а^ - Аа% + 46^. Разложите на множители: 1) - 9; 4) с^Ь^ - 81; 2) 25-4^2; 100т®- 1; 2\8 3) 36т" - 49гг"; 6) а'® - 6®; 7) - d\ 8) + 8; 9) 27т® - г^. Разложите на множители: 1) 7^2-7; Ъ)2^^-2ху\ 2) 36^ - 36; 4) -8а® + 8а® ■ 2а; 5) X - 4^ + - 16^^; 6) ab^-ab^-b^ + b\ 9 25. Какое из равенств является тождеством: 1) Зд:^ - Ъ^ху + 108^^ = 3(д; - 6^)^; 2) 4т^ - 500?2® = 4(т - Ъп){п^ - Ътп + 25«^)? Повторите содержание п. 2 на с. 219-220. С11^ Учимся делать ^--- нестандартные шаги 26. Даны два числа: а - 44...4 , h = 33...3 . Можно ли подобрать такие т тп цифр п цифр и п, чтобы: 1) число а было делителем числа Ь\ 2) число Ь было делителем числа а? 6 2. Основное свойство рациональной дроби Равенство 3<2 - 1 + 2й + 5 = 5<2 + 4 является тождеством, так как оно выполняется при любых значениях а. Равенство За - 1 + 2й + 5 5а + 4 также естественно считать тожде- а + 1 а + 1 ством. Но оно выполняется не при любых значениях а. При а = -\ рациональные дроби, входящие в данное равенство, не имеют смысла. Уточним принятые в 7 классе определение тождественно равных выражений и определение тождества. @ Определение Выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными. @ Определение Равенство, которое выполняется при любых допустимых значениях входящих в него переменных, называют тождеством. Например, равенство а - 2 = 1 является тождеством, так как оно вы- а-2 полняется при всех допустимых значениях а, то есть при всех а, кроме а = 2. 10 в 7 классе рассматривались тождественные преобразования целых выражений. Теперь рассмотрим тождественные преобразования дробных выражений. Как вы знаете, основное свойство отношения выражается следующим равенством: (X7YI 1 •• Zx —Z. А л ~Ь ~ ~Ьт ’ ^ ^ ^ ~ некоторые числа, причем о Ф О и т к). Рациональные дроби обладают свойством, аналогичным основному свойству отношения. @ Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получим дробь, тождественно равную данной. Это свойство называют основным свойством рациональной дроби и записывают: Л АС — = ■ — , где А, В и С — многочлены, причём многочлены В и С В В • С ненулевые. В соответствии с этим свойством выражение Л АС ВС можно заме- нить на тождественно равную дробь —. Такое тождественное преобразование называют сокращением дроби на множитель С. п л ^ ?>х + \Ъу w^+4w + 4 Пример Сократите дробь: 1) 2) —; 3) ^ ^ ^ --- У +2г/ Решение. 1) Одночлены и 24^2'^^'* имеют общий множитель 2l4 ба^Ь^. Тогда можно записать: ба^Ь^ а ■ Ьа^Ь^ 24а^Ь‘^ 4b^ ■ Ьа^Ь^ 4b^ 2) Разложим числитель данной дроби на множители: Ъх + 15у _ Ъ(х -I- 5у) Sx Sx Следовательно, числитель и знаменатель данной дроби имеют общий множитель 3, сократив на который получаем: 3(х -I- 5у) _ X + 5у Зх X 3) Разложив предварительно числитель и знаменатель данной дроби на множители и сократив на общий множитель у + 2, получаем: у^ + 4у + 4 _ (у + 2f _ у + 2 ^ у^ +2у ~ у{у + 2) у ’ 11 Из основного свойства дроби следует, что А _-А -А _ А В -В ^ В -В' -А А Каждую из дробей и — можно записать в виде выражения В —В А В ’ то есть zA В -В л в Пример 2. Сократите дробь -----^. 5а - Решение. Имеем: 4а - 20 _ 4(а - 5) _ 4(а - 5) _ 5а - а^ а(5 - а) -а(а - 5) Пример 3. Приведите: 4 ----. ◄ а 1) дробь 2) дробь 3) дробь а ЪЬс^ а a + 2b а-Ь к знаменателю к знаменателю сА — 46^; к знаменателю ЪЬ - 2а. 2а - ЪЬ Решение. 1) Поскольку \ЪаЬ^с^ = ЪЬс^ • ЪаЬ^с^, то новый знаменатель отличается от знаменателя данной дроби множителем ЪаЬ^с^. Следовательно, числитель и знаменатель данной дроби надо умножить на дополнительный множитель ЪаЬ^с~. Имеем: а^ а^ • Sab^c^ Ъа^Ь'^с^ ЪЬс^ 2) Запишем: ЪЬс^ • ЪаЬ^с^ а(а-2Ь) а Ibab^c^ ^ - 2аЬ 3) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на число -1, получаем: а-Ь {а-Ь) - (-1) _ Ь-а 2а - ЪЬ (2а - ЪЬ) ■ (-1) ЪЬ-2а' Пример 4. Приведите к общему знаменателю дроби: 2т __ Ъп^ 1 1 0 4 4а^ 1) и 2) и а-^ Ь а-Ь 3) и а^ - 36 а:^ 6а Решение. 1) Можно принять за общий знаменатель данных дробей произведение их знаменателей, равное . Однако удобнее в качестве общего знаменателя взять одночлен , сконструированный таким об- разом: его коэффициент 18 является наименьшим общим кратным коэф- 12 фициентов 9 и 6 данных знаменателей, а каждая из переменных а тл Ь взята в степени с наибольшим показателем степени из тех, с которыми она входит в знаменатели данных дробей. Поскольку • 2<2^, то дополнительным множителем для дроби 2т 9а^Ь^ является одночлен 2а^. Учитывая, что ISa^h^ = по- ,4^3 лучаем, что дополнительным множителем для дроби ночлен Следовательно, 5п^ является од- 2т ■ 2а^ 2т ^^ 9а^Ь^ ~ 9аЧ^ -2(1^ ~ Ъп^ ^ Ъп^ ■ ЪЬ^ ^ \ЪЬ^п^ 2) Здесь за общий знаменатель удобно принять выражение, равное произведению знаменателей данных дробей. Имеем: 1 _ а-Ь _ а-Ь а + Ь {а + Ь){а - Ь) сР- - Ь^ 1 _ а + Ь _ а + Ь а-Ь {а - Ь)(а + Ь) (Р - Ь^ 3) Для нахождения общего знаменателя рациональных дробей полезно предварительно разложить их знаменатели на множители: - S6 = {а + 6){а - 6), + 6а = а{а + 6). Следовательно, общим знаменателем данных дробей может служить выражение а{а -I- 6)(<2 - 6). 4q2 4^2 АлЗ Тогда - 36 {а + 6)(а - 6) а(а + 6)(<2 - 6) \а-6 + 6а а{а -i- 6) Пример 5. Постройте график функции у = 4а-- Ъба ^ 6а - 36 fl(fl + 6)(fl-6) а^-Ъба 2-1 6(а - 6) X - \ Решение. Данная функция определена при всех значениях X, кроме 1. Имеем: л;2 -1 {х - 1)(л; + 1) X - I ■ = X + 1, то есть у = X + 1, л: -1 где X ^ I. Следовательно, искомым графиком являются все точки прямой ^ = х + 1, за исключением одной точки, абсцисса которой равна 1 (рис. 2). ◄ 13 L Для каждого значения а решите уравнение {а^ - 9)х = а + Ъ. Решение. Запишем данное уравнение в виде {а + S) {а - Ъ)х = а + 3 и рассмотрим три случая. 1) а = 3. Тогда получаем уравнение Ох = 6, которое не имеет корней. 2) а = -3. В этом случае получаем уравнение Ох = О, корнем которого является любое число. 3) а Ф 3 и а Ф -3. гг ^ <2 + 3 1 Тогда X =----------=-----. (а + 3)(а-3) а-3 Ответ: если а = 3, то уравнение не имеет корней; если а = -3, то корнем является любое число; если а Ф 3 а Ф -3, то X = —Ц-. < а-Ъ 1. Какие выражения называют тождественно равными? 2. Что называют тождеством? 3. Сформулируйте основное свойство рациональной дроби. 27. 28. Упражнения \--- Какому из приведённых выражений тождественно равна дробь : 1)Т’ 2)f; 3) \2а^ 48а 4) 12а^ Является ли тождеством равенство: ,ч Зт^ _ Зт 04 2b _ 8b ^ 7m “ 7 ’ ’ 5с^ “ 20с^ ’ 2) 4х^ _ £1. 4^ 8т^ 8т^ 9пт^ ' 29. Сократите дробь: 1) 2) 14а® 3) 5х 5) 4аЬс 7) 21а ’ 20х ’ 16аМ ’ 86®c^ 4) 24х^^^ 6) Ъбт^тР 8) 12^с® 32ху 42т^п^^ ’ Зр'^д^ -9p^q^ 30. Представьте частное в виде дроби и сократите полученную дробь: 1) 6я : (18й®); 2) 16^^ : (486'^); 31. Сократите дробь: 5с^ кч 16йМ 1) ’ Пу 2) 6л: 3) 4) 2т^ ГП'" 5) 6) 3) ЗЪа^Ь^ : (-49а^^®). 12а® 40а6^ бЗх^у^ 42х‘^у^ 14 7) 8) -42а2 ’ -13а-^6^ 26а^6® 32. Упростите выражение: 33. 36. 37. 38. 2) - -а з)-4 Восстановите равенства; _____________ 9(2''' 1) - = — ’ 3 6а 15^ -____-____ п 2п^ тппр 34. Приведите дробь: 1) ^ к знаменателю Ь^\ 2) — к знаменателю 27гг^; 9п 35. Приведите дробь: 1) к знаменателю i/\ 2) ^ к знаменателю ои Сократите дробь: а{х + 2) Ътп'^п^ 1) 2) 3) 4) Ь{х + 2) ’ (a-6f ’ с^(с - 4)^ с® (с - 4)^ 2а + 2b 1{а + Ь) ’ Сократите дробь; а-Ь 2{Ь - а) ’ 5х-6у Ау -2х ' Сократите дробь: Зт - Зп 1) 2) 3) 1т- In' 5а+ 256 2а^ +10а6’ 4:г - \&у 16г/ ’ 5) 6) 7) 8) 3) 4) 4) 5) 6) -6 ’ -~ь 3) 1х - 2\у Ъх - \Ъу ’ 4а - 206 . 12а6 6;>г + 12 . 6х а-ЪЬ . - ЪаЬ ’ - Ътп . 15и - Ът 1а!^ - а^Ь , b^-lab^ ' х^ -49 . 6л: + 42 ’ 12а^ - 6а . 3 - 6а ’ 96^-1 962 +66 + 1 1х^у Ък 6р" к знаменателю ЪЪо^у\ 9, 4) к знаменателю 24р^с. 3) 4) 9 к знаменателю \2п?г^\ Ат^п 11с 15б/® 9) 10) 11) 12) 5) 6) к знаменателю г/^-25. 10 + 2у ' д2 + 4а + 4 ^ 9а +18 ’ с2 - 6с + 9 с2-9 ’ +\ m2 - m + 1 лг2 -25 5л;2 - л:^ ’ г/2 - \2у + 36 7) 8) 9) 36-^2 Ь^-Ь^ Ь^-Ь^' 7т2 +1т + 1 64 - лг2 Зл;2 - 24jc ’ 15 39. 40. 41. 42. оо V Приведите дробь: а 1) 2) 3) 4) 5) а + 2 т тп-Ъп X 2х-у 5b 2а + ЗЬ X +1 Х^ + X + 1 к знаменателю 4а + 8; к знаменателю - 9п^; к знаменателю 7у - \4х; к знаменателю 4а^ + 12аЬ + 9Ь^; к знаменателю — 1. Представьте выражение х - 5у в виде дроби со знаменателем: 1)2; 2)хг, 3)V; 4)д^-25^^. Приведите дробь ^ ^ ^ к знаменателю: 1)5^-20; 2)12-36; 3) 6^ - 46; 4) 6^ - 16. Представьте данные дроби в виде дробей с одинаковыми знаменателями: 1 1Г-Г и 8аЬ Зх 1 5) 6) X X 2х + \ а-Ь Зх -2' а 7т^п^ II ■ Зт^п"^ За + Зб а + Ь 2 7) За 2а а-Ь ” а2 - 62 ’ 4а-4 5-5а' 3d 8р 8) 7а с т-п (т - п)2 6-3 " 9 -62 ' 2) 3) 4) 43. Приведите к общему знаменателю дроби: 1) 2) 3) 4) Ibx'^y^ с ва^^Ь^ X Юх^у d и 9аЬ^ Z 5) 6) X + \ х^ - ху 6а а - 26 у-\ и ХУ-У За 2 ’ У-5 у"^ -25' 1 + 7) ------ и а + 6 ’ с т + п - тп 2т - Зп 8) с2 - 16 4 - С ’ 2т+ 9 —т,------ и ---- + 5т + 25 т-5 т 44. Сократите дробь: (За + 36)2 2) а + 6 (6х - 18у)^ Х^ - 9^2 3) 4) ху + X - 5у - 5 ^ 4у + 4 д2 - а6 + 2б - 2а д2 - 4а + 4 16 45. 46. 47. 48. 49. Сократите дробь: 2т^ - 72w^ . (4т + 24и)^ ’ -8 ab-a-2b + 2' 3) + 2a^fe + ab^ - ab^ Найдите значение дроби, предварительно сократив её: ч \Ъа^ + \Qab и п л 1) ~г~1—':z7T~» если а = -2, о = 0,4; 2) ЪаЬ + 2b^ 9b^ - 4с^ I 1 ^ , если о = - , с = -6; 126^c - 8Ьс^ дч ЗбХ^ - \2ХУ + У^ т „ g 3) ---, если х = 1,2, г/ = -3; д® _ д® 4) —Z---^, если <2 =-0,1. + аг Найдите значение выражения: 16л:^ - 4^^ 1) щ 1) при X = 2,5, у - -2; 2) 49с2 - 9 8х-Ъу ■” ^'49с2+42с + 9 Приведите к общему знаменателю дроби: 2р 1 при с - -4. и 5р-15 р^-27' 8а+ 1 и g - 2 9g2 - 6g + 1 9g2 - Г g g + 3 и g^ -7a a^ - 14g + 49 ’ 2x 8x 2) 3) 4) 5) a^ -ab - ac + be' 2a- 2b 4a- 4c ‘ Запишите в виде дробей с одинаковыми знаменателями: Зд а а^ х^ - l' х^ -2х + 1 а^ х^ +2х + l' Ь аЬ 1) 2) Зд - 2 ’ 9д + 6 1 1 и 9а‘^Ь - 4Ь ’ 1 а-ЪЬ' д2 + 7яс а^ + 7ас - ЪаЬ - 8ЪЬс 50. Найдите значение выражения '^ху-у^ Ъху + х^ , если — = 2. У с- тт - 4а^ - аЬ а к 51. Найдите значение выражения —------, если т = 5. д6 + 14^2 Ь 52. Известно, что 2а - ЬЬ = 1. Найдите значение выражения: 1) 8 а-ЪЬ' 2) а^ - 9b^ 0,5д + 1,5б ■ 17 53. 54. 55. 56. 57. 60. 61. Найдите значение выражения > если 4т7г + Зтг = 8. 32т2 -18^2 Существует ли такое значение а, при котором дробь принимает отрицательное значение? Постройте график функции: х^-А „S . 10^ + 25 2х'^-Ах аг -а^ - а+ \ а? + а + \ 1) г/ = 2) у = X + 2 X - Ъ У = 4) у = х-Ъ 2 2 X + 4 3-х X + 4 Постройте график функции: . ^ х^ - 8х +16 о\ X \) у =--------; 2)у = х--\ Постройте график функции: 3) ^ = х^ - 7х _ 2х^ - 2 X х^ -1 1)у = '--, ^ X У = к1 58. Решите уравнение: 1) £±| = 1; X + 1 04 - 25 ^ х-5 59. Решите уравнение: 1) = X + 4 04 1x1-7 ’ х-7 ■ = 10; = 0. 3) X + 6 1x1 - 6 = 0. Для каждого значения а решите уравнение: 1) ах = 1; 3) {а - 6)х = - 12а + 36; 2) ах = а\ 4) {а^ - 4)х = а - 2. Для каждого значения а решите уравнение: 1) {а + 3)х = 3; 2) \а^ - 9а)х = - 18а + 81. C3l Упражнения для повторения 62. 63. Упростите выражение: 1) (х + 2)(х - 9) - 3х(3 - 2х); 2) (а + 5)(а-2) + (а + 4)(а-5); 3) (^-8)(2^+1)-(3^+1)(^-6); 4) (2х - Ъу){2х + Ъу) + (Зх + 2у){Ъх- 2у)\ 5) (х + 1)^ - (х - 3)(х + 3); 6) (у -Щу + 3) -(у- 6)^ Постройте график функции: 1)^ = 2; 2)у = 2х, Ъ)у = 2х-\. 18 64. 65. Какое наименьшее значение и при каких значениях а vi Ь принимает выражение {а - 2){а + 2) + 4:Ь{Ь - а)} Расстояние от села Вишнёвое до железнодорожной станции на 14 км меньше расстояния от села Яблоневое до той же станции. Время, за которое автобус преодолевает расстояние от села Вишнёвое до станции, составляет 45 мин, а время, за которое легковой автомобиль проезжает от села Яблоневое до станции, на 5 мин больше, причём скорость автомобиля на 12 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорость автобуса и скорость легкового автомобиля. Готовимся к изучению новой темы 66. Выполните действия: 67. 1)^-ьА. ' 18 18 ’ Мб 16 ’ 04 23 _ 15 ’ 32 32 4) 4-1 — ’ 11 Учимся делать \--- нестандартные шаги На сторонах квадрата записаны четыре натуральных числа. В каждой вершине квадрата записано число, равное произведению чисел, записанных на сторонах, для которых эта вершина является общей. Сумма чисел, записанных в вершинах, равна 55. Найдите сумму чисел, записанных на сторонах квадрата. 6 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями Вы знаете правила сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Их можно выразить такими равенствами: а _Ь _а-Ь с с с ' По таким же правилам складывают и вычитают рациональные дроби с одинаковыми знаменателями. а _1_ _ а + Ь с с с ^ Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же. Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же. 19 Пример 1. Выполните вычитание: 7х -5 Зх- 5 Решение. 1) 12У-25 2_ок „2 ______ «ч ^ 2а-3 8х^ ' -25 г/2 - 25 ’ 2а -1 1 - 2а 7х-5 Зх-5 7х-5-(Зх-5) 7д: - 5- Зл: + 5 4х _ J_ 8х^ 2х 8х^ 8х^ 8х^ 8х^ +2у _ \2у-2Ъ ^ у^ +2у- {\2у - 25) ^ у^ + 2у- \2у + 25 у^ -25 у^ - 25 у^ - 25 у'^ - 25 _ у-^ _у2-10у + 25_ {y-5f_________ у2_25 (у + 5)(^-5) у ^5' 4 2а - 3 4 2а - 3 3) 4 2а - 3 2а -1 1 - 2а 2а - 1 -(2а - 1) 2а - 1 2а - 1 4 + 2а - 3 2а + 1 2а-1 2а-1 171 Пример 2. Известно, что — = -3. Найдите значение выражения п 2т+ п т Решение. Представим данную дробь в виде суммы целого и дробного выражений: 2т+ п _ 2^ ^ IL - 2 + — т т т т‘ 2т+ п Если — = -3, то — = - X• Следовательно, п m3 т = 2-\-- = 2-\ = \\.< т 3 3 Пример 3. Найдите все натуральные значения п, при которых зна-2п2 + Зп -15 чение выражения -----^---- является целым числом. Решение. Представим данную дробь в виде разности целого и дробного выражений: 2и2 +Зп-\5 2п^ , Зп 15 ^ о 15 п п п п п Выражение 2w -н 3 принимает натуральные значения при любом нату- 15 ральном п. Поэтому выражение 2w -I- 3-принимает целые значения, 15 ^ если значения выражения — являются целыми числами. с?то возможно только при следующих натуральных значениях п\ 1,3, 5, 15. Ответ: п = \, или п = 3, или п = 5, или гг = 15. ◄ 20 68. 70. 71. 72. 1. Как сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями? 2. Как вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями? Упражнения Выполните действия: 1) X . У 4) 6с 2с 7) bc + Ad , 4J + 9c 6 + — ■ 6 ’ d d 7 cd cJ 2) а 6 5) т + п т-2п 8) 8m + 3 2m + 3 3 3 ’ 6 6 ’ 10m2 10m2 3) т . Ат 6) 2а-36 96-2а п + —; п баЬ 6а6 ’ 69. Представьте в виде дроби выражение: 1) 2) Ik___ 18р 18р ’ а-Ь а 2Ь 2Ь ’ 0 4 _ а - 12b а + 156 , ^ 27а 27а ’ Упростите выражение: 1) ^ 2) (т - 5)2 (т - 5)2 ’ Упростите выражение: 1) 81 a + 3 a + 3 ’ t 4 ^2 -16 ^2-16’ m2 25 С-9 fl2 С-9 ’ 36 {а - 6)2 {а - 6)2 ’ Выполните действия: 1) а 2) 3) с-7 Ът + 7-с ’ Ъп т-п п-т 2х - Ах -\Ау х-Ъу Ъу - X 4) 5) X 7у х-Ау ^ ху ху 10t2 + 66 бЬ-а Па^ Па^ х^ - ху ^ 2ху - 3^2 х^у х^у 4) 5) 6) 3) 4) 5:т + 9 4х + 8 л;2 -1 х^-1 ’ 20Ь + 100 Ь + 10 6 + 10 с2 14с - 49 с-7 с-7 З.У + 5 2х + 7 . х'^ - А х^ - а' у^ Ау-А ^-2 4)^ + 5) 6) 96 - а ^2 у-2 д2 а-9b' А 3^ - 6 6 - 3f ’ 1-2у У-^ 1-г/ 21 73. Упростите выражение: оо V 75. 76. 77. 79. 80. 81. 82. 83. 1) ч- ^ ; ^ у-\ 1-2/’ 3) о\ Зс 3d ^ ' c-d d-c’ 4) Зш + 2/2 _ т-8п 2тп - Зи 62 + Зп -2т' 49 26-14 14-26 74. Найдите значение выражения: 1) й2 -48 16 при а = 32; <2-8 а - 8 Найдите значение выражения: 1) 9 лг2 - 16 16 - J»:2 Упростите выражение: 5w - 1 7и - 8 8и + 7 5x + 3 , 6х - 1 . 1 ч-----;г при х=-4,1; 2) 2) с2 + Зс + 7 с + 3 -8 + а _ 7(2-9 «2 _ 9 й2 _ 9 при с = -3. при <2 = 7. 1) 2) 20/г 9w + 2 2072 772 -9 2072 ’ 1 - 7т72 3) 36 62 63-1 1_у^з 772 2-4 4- 7722 7Тг2-4 Упростите выражение: 1) 6<2 - 1 ^ 4(2-7 -2(2 - 2 16й-8 16а-8 8-16fl 2) 2q2 +12д 8q-9 fl2 -25 78. Представьте в виде дроби выражение: 1) 15-8(2 14-7а (а -1)2 (1-а)2 126 3) 7722 _ 25-«2 2т - 8п г2 + 14а - 16 а2 - 25 (772 - 2)(Т2 - 5) (2 - 7Т2)(5 - 72) 2^ ЗЬ^ +12 ' (Ь - (2 - *)’ ’ Упростите выражение: х2 - 16:г ^ 2л: + 49 . ^ (л: - 7)^ (7 - д:)4 ’ Докажите тождество: (а + 6)2 (а - 6)2 1) 4а6 4а6 = 1; 2) 2) + У + у+ 36 {у-6){у + 2) (6-у){2 + у) (а + 6)2 (а - 6) + 62 + + 62 = 2. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной х значе-12л: — 25 8х + 10 ние выражения ------- ч------не зависит от значения х. ^ 20л:-15 20Х-15 Докажите, что при всех допустимых значениях переменной г/ значе- выражения 172/+ 5 9 - 112/ не зависит от значения у. 21^-3 21^-3 Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выраже- ние а^ - 6 7а - 4 + За + 6 (а - 2f (а - 2У (а - 2f принимает положительные значения. 22 84. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выраже- 85. 86. 87. 88. 89. 90. 91. 92. 93. ние 1-ЪЬ ^7Ь- 20 — + ^принимает отрицательные значения. ф - ф - ф - 5)6 Представьте данную дробь в виде суммы или разности целого и дробного выражений: 1) X + 5 2) -2а-Ъ X а- 2 Представьте данную дробь в виде суммы или разности целого и дробного выражений: 4а- Ь +7Ь + 5 1) 2) Ь + 7 Известно, что ~ ~ Найдите значение выражения: 1)^; X 2) 2х -Ъу > У 3) лг2 + ху Известно, что ^ = -2. Найдите значение выражения; 1) а-Ь 2) 4й + 5б 3) «2 - 2аЬ + ^2 а Ь ' аЬ ' Найдите все натуральные значения п, при которых значение выражения является целым числом: 1) гг + 6 2) 3«2 -4/2-14 3) 4и -I- 7 п п ' 2п-Ъ Найдите все натуральные значения п, при которых значение выражения является целым числом: 1) 8и-9 2) ^2 + 2и - 8 3) 9п - 4 Зп - 5 Упражнения для повторения Из двух сёл, расстояние между которыми 9 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились через 20 мин. Если бы велосипедисты ехали в одном направлении, то один из них догнал бы другого через 3 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста. Решите уравнение: 1) 1 -4(х-Ы) = 1,8- 1,6х; 2) 3(0,5д-4) -ь8,5д:= 10х- 11. Докажите, что выражение {а + 4)(а - 8) + 4(2<2 + 9) при всех значениях а принимает неотрицательные значения. 23 СЛЗ Готовимся к изучению -------- новой темы 94. Вместо звёздочки запишите такой одночлен, чтобы выполнялось равенство: 1) а^Ь’* = 2) Ъху^ • * = lOxV; 3) • * = \Ьс^\ 95. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы выполнялось равенство: \) * ■ {а - Ь) = {а + Ь){а - Ь)^\ 2) {а + 10^) •* = а^ - \QQab^. 96. Приведите к общему знаменателю дроби: 1 2 3^ "Ть' 2) Ат и Зп p^q'^ 3) 4) т-п 6л; и и т + п У X -2у X + у 5) 6) У и 1 6у - 36 у"^ -Ьу' 1 1 “2—7 ^ ^----• J Учимся делать нестандартные шаги 97. Может ли чётное число иметь нечётных делителей больше, чем чётных? S 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями Применяя основное свойство рациональной дроби, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями сводятся к сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями. А С Пусть нужно сложить две рациональные дроби 'g ^ • Л AD С СВ Можно записать: - = ^ АС AD СВ AD + CB В^ D~ bd^Wb~ BD Здесь в качестве общего знаменателя выбрано выражение, равное произведению знаменателей данных дробей. Отметим, что произведение знаменателей данных дробей не всегда является наиболее удобным общим знаменателем. Напомним, что при нахождении общего знаменателя обыкновенных дробей мы находили наименьшее общее кратное знаменателей, раскладывая их на простые множители. Аналогично для нахождения общего знаме- 24 нателя рациональных дробей может оказаться удобным предварительно разложить знаменатели на множители. Пример 1. Упростите выражение: 2) аЬс тп 1т + 1п а^с п 1т - 1п 6 4) 5) 2а 1 25 - 10а + За -15 ’ X _ X + 2 X - 4: X - 2 ' QS lOw +14 „2_49 ^7-п’ Решение. 1) Общим знаменателем данных дробей является одночлен а^Ьс. Следовательно, Ь + 1 \а + 1 - а \ь аЬ + а + Ь -аЬ а + Ь аЬс а^с а^Ьс а^Ъс 2) Разложив предварительно знаменатели данных дробей на множители, получаем: т п т п \т+п 1т + 1п 1т- 1п 1{т + п) 1{т - п) _ т{т -п)- п{т + п) _ т^ -тп-тп- _ т^ - 2тп - 1{т + п){т-п) 1{т?--п^) 1{т^-п^) 3) Имеем: = \0n+JA-------^ - 49 1 -п {n-l){n-¥l) п-1 \л+7 10п -ь 14 - 6(п + 7) _ lOw -ь 14 - 6и - 42 _ (и-7)(и-1-7) {п-1){п + 1) 2а 1 2а Ап - 28 _ 4(w - 7) _ 4 (и-7)(и + 7) {п-1){п + 1) п + 1 4) - 25 - 10а -I- а2 6а — а + 5 5а -1- 5 1 2а \з 1 \а-5 За-15 (5-а)2 3(а - 5) (a-5f 3(а - 5) 3(а - 5)2 3(а - 5)^ ' 5) В качестве общего знаменателя данных дробей удобно взять произведение их знаменателей. Получаем: X _ X + ^ х{х -2)-{х + 2){х - 4) _ х-А х-2 {х - А){х - 2) х^ -2х - х^ л- Ах -2х + Ъ 8 (JT - А){х - 2) {х - А){х - 2) Пример 2. Представьте в виде дроби выражение 21с2 -Зс. 1с-2 Решение. Представив выражение Зс в виде дроби со знаменателем 1, получаем: 25 21с2 -Зс = 21с2 ^ 21с2-21с2+6с 6с 7с - 2 ““ 7с - 2 1 7с - 2 7с - 2 Заметим, что сумма и разность двух рациональных дробей являются рациональными дробями. с#)1 Как выполнить сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями? 2. Что является суммой и разностью двух рациональных дробей? Упоажнения 98. Выполните действия: .4 X 2х . ^43’ X у 7) -^ + -4- 62 а6^’ 04 56 6. 44 7’ г’\ тп , т ’ Ап 6п 81 • 5а 15аЬ ’ OV m п 8'б- с\ с d Ь-ЗА’ 9) "" + 4 ябс аЬт 99. Представьте в виде дроби выражение: 1) £_^ . 4 12 ’ Q4 m п п~т' 5) 4 + — ; С<2 Ср о\ 4й , а _ 4 4 ’ 4) ^ + 4г/ 8х’ 6а 9б ^ 35с^ 14с2 100. Упростите выражение: 4 1) Q ^ 2) 3) 4) 12 26-7с 6 Здг-2 д: 6р -I-1 9 ’ 36 +2с 15 3^-1. У 2р + 8 _ 5) 6) 7) Ът-п т-бп 14т X + 4 Их а + Ь ah + Ъп j/-3. 11^ ’ а-с 8) 4 + ас Р-1. Р 101. Р Зр Выполните сложение или вычитание дробей: 1) 2) 3) 9) 10) И) 12) 6 + 4 Зб - 4 9-56 7-5с . 4) т-п р-п 6 с тп пр 4^/ + 7 d-6 5) 6а + 2 2а + А 7б/ 6d ’ аЬ а^Ь 5-6 5р р +10 56 ’ 6) с2 -16 с® с-9 с^ 2в 6 62 > X - у у- - х2 ' х^ 9 ’ х^у , 2тп-Ъп Ъп - 2п т^п тп^ с •¥ d с2 -8d cd^ сз^з ' 1 1 + х2 8) х^ х^ 1 - <з6 1-ad аЬс acd 102. Выполните действия: 1) 2+3£^ X X + 1 9\ Ш- ^ П ТП + П 3) 4) 1 а а-Ъ с а + Ъ' Зс - 1 Зс + 1 ’ 103. Представьте в виде дроби выражение: а 1) а-Ь^ Ь' 9\ — - ^ X X + 2 5) 6) 3) X X 2г/ + 1 Ъу-2' а-Ь а-Ь 6 а + Ь' 6 2 6-2 Ь + 2' 104. Упростите выражение: 1 1 1) Ь{а - Ь) а{а - Ь) ’ 30 2) - + ’а й(а - 6) ’ 3) 2л:+ 2 л: - 2 л:(л: - 2) ’ 105. Выполните действия: 1) ; а{а + Ь) Ь{а + Ь) ’ 2) --------—• ’Ь Ь(Ь + 2)' 4) 5) 6) 3) 4) У У . 2{у + 3) Ъ{у + 3) ’ 5т + 3 7т + 4 . 2(т +1) 3(т +1) ’ с - а 1 с + 6 а{а + 6) 6(а + 6) * X X 5(х + 7) 6{х + 7) ’ 4п + 2 5и + 3 Цп -1) Цп -1)' 106. Выполните сложение или вычитание дробей: 1) 2) 3) 4) а а- 2 18 За +1 За-6 6 Ь' + ъь 2 с-1 с + 1 d-\ ■¥ с 2d-S - 4 ’ 107. Упростите выражение: Ь 46-1 1) 6-5 46 - 20 ’ 16 2) —- т + 8т 3) а-2 _ а-\ . 2а - 6 За - 9 ’ 5) 6) 7) 8) 4) 5) 6) m +1 т-\ Зт -15 2т -10 ’ т-2п т-Ъп бт + би 4т + 4и ’ а^ + 2 а + 4 , + 2а 2а + 4 ’ Ъх - Ау Ъу - X - 2ху ху - 2у^ а^ + + ь . 2(f + 2а6 а + 6’ 6 + 4 а + 4 а6 - 6^ а^ - аЬ ’ с-4 ^ 4с + 9 4с + 24 с^ + 6с 27 108. Выполните действия: 2) 3) X + S - 9' 2 а _ 64 а - 8 ’ 6Ь 1 9^2 _4 sb-2' 109. Упростите выражение: ^Х-у ^ 1 -у^ х-у 9)-»!_______2_. г/2 -81 г/+ 9’ 4) 5) 6) 3) 4) За + Ь , 1 . а^-Ъ^ а + 6’ т m2 т + 5 т^ + Ют + 25 6 62 а + Ь д2 + 62 + 2а6 * 10а 1 25а2 _ 9 5а + 3 ’ п «2 п-Ч и2 - 14п + 49 110. Представьте в виде дроби выражение: 36 +2а 1)| + 1; о\ X 2) --х; У 3) - + - + 2; W m 4) 4-- + 3; р2 р 5) 2- 6) %^-3; 6-2 7) 6т- 12т^ +1 2т 8) 2^_10б. 26-1 111. Выполните действия: оо V 1) а--; а 4) к- 6-5 2) - + ДГ-2; X 5) Зп о\ т 1 . 3) + п 6) 5 У-2 ■ 112. Упростите выражение: 1) 2) + 1 + <2 + 1 - 2а + 1 а - 1 ’ д2 + 62 _ а - 6 . д2 - 6^ а + 6 ’ 5) 6) а а + 4 а^ - 4а + 4 а^ - 4 ’ 2р ^ 2р^ 3)^+ 2®" с - 7 49 - с2 ’ 5а + 3 б - За 2д2 + 6а а^ - 9 р — 5 р + 5 25 — р^’ 1 У + 3 2 . у 16р_4’ 26-1 46 26 + 1 ^ 46 + 2 46^ -1 3-66 28 113. Упростите выражение: 1) - m + и +п^ т-п 2) ----- + 3) х-\-у 2ху + +у^ ' 2а_______g + 4 4<2^ - 1 2а^ + а ’ 4) 5) 6) Ь-2 9’ X -S 114. 115. + 6Ь + 9 л: - 6 л: л;2 + Злг л: + 3 У+2 у-2________ ^-2 у+ 2 у^ - А X 16 Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от значения переменной: 2л: + 1 ^ 2х -1 х + 1 2) 24 - 2а а 2л: - 4 6 - Зл: 6л: - 12 ’ - 16 Представьте в виде дроби выражение: + 2а - 8 а + 4 1) 1 - а + а^ -2. а + 2 ’ 116. 117. с^\ а^ -Ь^ , q 2) ----г + 3<2 - о; ' Ъа + Ь Упростите выражение: 146 3) 4) +9 с-3 4т - 3 - с - 3; - 2т - 1. 1) ^ + 7- 6 + 7’ 2) 5с - 10-29с + 10с^ ^ 2. 2с-5 Упростите выражение и найдите его значение: 14 7 12 3 1) ---7 —S---------г, если <3 = 5; 2) 3) 2а-4 2с + 3 2с^ - Зс ■ 2с2 + Зс 4с2 - 9 -4 а + 2 2с-3 16с , если с = -0,8; т ^ + 16п^ m + 4п 118. - 16?г^ 2тп - 8п Найдите значение выражения: 6 л:-5 , если т = Ъ, п = 0,5. 1) 2) 5л:-20 2г/-1 л:^ - 8л: + 16 2у 1 2у 2у-1 2у~ 4^2 119. Докажите тождество: 1) 2) 3) , если л: = 5; , если у = -2 — . а + Ь " 1 -0- а а-Ь а^ - аЬ а + 3 а +1 . 6 _ 2 . а +1 a-l'*' а^ - 1 а^ - 1 ’ 2а^ + 4 а- 2 а + 1 _ 1 а2-1 а +1 а - 1 а - 1' 29 120. Докажите тождество: 1) ___________^____________ ' 6а-АЬ 6а + АЬ аЬ^ - 9а^ За 2) с + 2 + Зс 1 -— = 0. Зс + 9 Зс 121. 122. 123. Sa-2b' 1 b^-6b Найдите разность дробей: 1) -----------1---. 2) _________ <2^-1 + а + 1 ’ Ь + $ 6^+27 Упростите выражение: , ч 9т^ - Зтп + _ 9т^ + Зтпп + п Зт-п Зтл-п Докажите тождество: Зй2 + 24 6 1 2 2) 1- 2Ь-1 2Ь 4^2-26 + 1 26 + 1 124. <3^+8 fl2 _ 2fl + 4 а+ 2 а+ 2 Упростите выражение: 4б а-Ь а + Ь 2) 3) 4) + + + + аЬ 1 X Ь^ -аЬ' . дг2 + 4 X + 2 х2 - 4 2 + 8х - 2х^’ 1 {а - 56)2 д2 _ 25^2 ^ 5^,^2 ’ х2 + 9х + 18 X + 5 125. ху -¥3у -2х -6 у - 2 Докажите тождество: 12 1) 2) а + 3 ^ а-3 ^ «2 - За Ь - А За + 9 9 - fl2 62 - 2б - 24 126. 127. 2fl - 1 2аЬ - А - Ь + 8а Докажите тождество: 1 1 а-3 _ За 2 2а-1 + 1 (а-Ь){а-с) (а-Ь){Ь-с) ' (с-а){с-Ь) Докажите тождество: Ьс . ас . аЬ + (а-Ь){а-с) {Ь-а)ф-с) {с - а){с - Ь) = 0. = 1, 128. Упростите выражение: 1 1 + 1 {а-\){а-2) (а-2){а-3) (а-3){а-А) 30 129. Упростите выражение: 1 1 1 (а-1)(й-3) (а-3)(а-5) (й-5)(а-7) 130. Докажите тождество: 2 . 4 . 8 . 16 + \-а \ +а 1 + а^ ' 1 + а^ 131. Докажите тождество: 3 . 3 . 6 . 12 + 32 \ + аг 1 + (2 16 \- а 32 1 - <2^ 1 + (2^ 1 + 1 + + 24 48 1 + (2 16 \-а 32 • а-сЬ-ас-Ь , а + Ь,Ь + с,а + с . 132. Докажите, что если , + —-f- = 1, то -Н-1-г = 4. Ь + с а + с + Ь Ь + с а + с а + Ь Упражнения для повторения 133. Найдите корень уравнения: 2) ^-4 х-1 _ g 134. Решите систему уравнений: 1) X + у = 8, Sx -2у = 9; 2) 2х + Ъу = 13, Ъх -Ъу = -13. 135. За первый день трёхдневной гонки велосипедисты проехали — все- 2 го маршрута, за второй день — — всего маршрута, а за третий — остав- 5 шиеся 90 км. Какое расстояние проехали велосипедисты за три дня? 136. {Из болгарского фольклора.) Пятеро братьев хотели разделить 20 овец так, чтобы каждый из них получил нечётное количество овец. Возможно ли это? 137. Верно ли утверждение, что при любом натуральном п значение выражения {Ъп -ь - (п - 1)^ делится нацело на 48? Готовимся к изучению новой темы 138. Укажите число, обратное числу: 1)^; ’ 8 2) 7; 3) -3f; 6 139. Найдите произведение: 1) 5,А. ^ 6 20 ’ 5) 0,12. 31 140. Выполните деление: 1) A:f_|5 ' 18 27 2)8:^; 3) : (-24); 141. Найдите значение степени: \5 / „ чЗ 2) Dli 3)1-2| 4) I -3| d_J Учимся делать нестандартные шаги 142. Два парома одновременно отплывают от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянные, но разные. Паромы встречаются на расстоянии 720 м от одного из берегов, после чего продолжают движение. Достигнув берегов, паромы сразу начинают двигаться обратно и через некоторое время встречаются на расстоянии 400 м от другого берега. Какова ширина реки? 32 Задание № 1 «Проверьте себя» в тестовой форме 1. Какое из данных выражений является целым? А) W + и Б) т + п В) т + п т-\ . W т 7 7т 2. При каком значении переменной не имеет смысла выражение За р 2й-10 ■ А) О Б) 10 В) 5 Г) 0; 5 3. При каких значениях аргумента функция у = ^ лена? А) -1; 1 Б) 1 21^6 4. Сократите дробь ^ . За^ „.3 3 В) -2; -1; 1 X + 2_ -1 Г) -2; 1 не опреде- За^ А) ^ 5. Какой из данных дробей тождественно равна дробь ^^ ? 0^-9 А) Ь-3 Б) Ь + 3 В) Ь-3 Г) ь + 3 6. Сократите дробь 12с^ - 4с Зс-1 А) 4с Б) -4с 7. Выполните вычитание: X + 2 В) ' 4с 5х Г) - 10 А) X -2 Б) X - 2 5х + 10 х-2 X - 2 В) 5 8. Выполните сложение: -—— + ——- т-3 3-т 1 - Зт А) m -1 т-3 Б) т-3 В) 3 9. Представьте в виде дроби выражение А) Зп п- А Б) Зп В) Зп^ и - б 18w и - 6 4с Г) -5 Г) -3 -Зп. Г) 18 6-п 33 10. Упростите выражение 1 2w + 1 +т-2 А) (3m - 2)2 Б) 3m - 2 9m2 - 12m + 4 1 m 3m-2 В) (3m - 2)2 a Г) m 3m-2 a-12a-4^ 11. Упростите выражение —^------+ ^ ^24.4^ a a + 4 B) я Г) a + 4 12. Ha каком рисунке изображён график функции у = А) ^ Б) ^ а - 4х + 4 X - 2 34 ^ 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень Вы знаете правила умножения и деления обыкновенных дробей. Их можно выразить следующими равенствами: 9. £. - 9£- 9. • £ - 9^ Ь d bd ' Ь ' d be' По аналогичным правилам выполняют умножение и деление рациональных дробей. Произведением двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей. Cij Частным двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителя делимого и знаменателя делителя, а знаменатель — произведению знаменателя делимого и числителя делителя. Пример 1. Выполните действия: -.4 21с® Ь^ ’ 6» ■ 14с4 ’ 2) (2г- 12) • ^——------; - 12х + 36 Решение. 1) Имеем: 21с® Ь^ 3) 4) +2аЬ - Ab^ <2 -f- 9 5с2 - 35с с + 2 За-1-27 ’ {с-1). 21с® • Ь^ Зс^ 2^® ' Ь^ 14с4 . 14с4 2) Представив многочлен 2х- 12 в виде дроби со знаменателем I, получаем: (2jc- 12) 4х 2х-12 4х 2(х - 6) ■ 4х 8х 3) 4) - 12х + 36 1 + 2аЬ . - Ab^ _ а{а + 2b) а+ 9 " За + 27 а+ 9 {а-2b) {а + 2b) - 12х + 36 3(а + 9) {X - 6)2 За X - 6 5с2 - 35с с + 2 : (с - 7) = 5с2 - 35с с - 7 с + 2 1 а-2b' 5с(с - 7) 1 ______ с+2 с-7 с+2 5с Правило умножения двух дробей можно обобщить для нахождения произведения трёх и более рациональных дробей. Например, для трёх дробей имеем: А С Р _ АС Р _ АСР в ' о ' Q В D ' Q B D Q' 35 Пример 2. Упростите выражение 2а^ 10^2 4fl2 Решение. Имеем: 10&2 4д2 156^ ' 7с^ ‘ 2 • 10 • 9 • _ Ъа^ 7с ■ 15^3 70^^ ■ 9бс^ ■ 2а^ 10^2 9бс^ 2а® • 10^2 . дбс® 15Z)® 7с^ 4fl2 15^,3.7^4 . 4д2 15 • 7 • 4 • fl2^3c4 Применяя правило умножения рациональных дробей, можно получить правило возведения рациональных дробей в степень. Для натурального п, /2 > 1, имеем: А В Л в л в п множителей п множителей АА-...А ВВ-...В ^ ' V п множителей Л” А\ А Для « = 1 договорились, что 1^1“^ Следовательно, А У Л” натуральное число. ^ Чтобы возвести рациональную дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель. Первый результат записать как числитель, а второй — как знаменатель дроби. Пример 3. Представьте в виде дроби выражение { ЪсР- t ( Ъа^ Решение. ^ 2bc^ J 2Ьс^ 3q2 2bc^ - = (2йс^)^ 27а® 8б^С^2 Е^1. Что является произведением двух рациональных дробей? 2. Что является частным двух рациональных дробей? 3. Как возвести рациональную дробь в степень? Упражнения 143. Какому из данных выражений равно произведение ----^ ? а® с® а*' 1) 2) 3) -V; 4) -Т- 36 144. Выполните умножение: ^ ■ с с ' ^ А. '' ft ■ 8а ’ 3)^-1^ 5) 14^9 15а^ 6) yz Ъх' ' ^12 145. Упростите выражение: 1т^ ' ft« 10а2’ 7) 8) 1) ^ ft6 а2 3)^-2а; 2) 4т^ fts 12 146. Упростите выражение: а - ft 3 2) 3) 3ft а -ft’ 2mn + 2m . 6m и la + lb a + ft ’ 6) 5) 6) m - 2 m + 7 4) 48aft 51ftc^ . 17c^ 40a^ ’ 21c^ 39p 13p2 28c2 ■ llx^ уЪ 33x^ ’ 7F 9mp bbk^p^ - 49 m - 2 ’ g 2a+ 8’ л; - 9 + 2x 4) 5) Bt 1) 32a g - 3 . 2^-9 8a ’ c + 6 c -1 c + 6 - 2c + 1 ’ 147. Выполните умножение: За + ft с 7) (a+ 4) 8) 9) 10) 4x + 8 X - 9 4a^ - 4a + 1 a + 1 3a + 3 g2 -25 2a-Г 4a^ 2) 4c 3a + ft ’ aft - ft^ 4a 8 ‘ft4 ’ 4a 5x - Ъу — 18ft ft^ —16 3ft - 5a x-y ft + 4 5) 6) rrp- - 9n^ 3c-9 (m - Ъп)\ 3c +1 О 1A 148. Какому из данных выражений равно частное ^ С^ с® я 1) 2)^; 3)4с*; 9с2 + 6с + 1 с - 3 ' 12 С' 4) 4с^ 149. Выполните деление: п ' п 2) у: 6; 04 7с^ . с ^ . За^ 5) - 5ft ■ 20ft2 ’ 9а 18а'^ 7) 24аЗ 12а^ ft^ ’ ft^ 8) ^:(4g2c). 37 150. Найдите частное: 1) JL.M. ’ 8 ■ 48 ’ 3) 4) 27 36 5) 49т^ : 21т уЪ {ЪОа^у^У, 6) 332^ 151. Упростите выражение: а-Ь а - Ь 1) 1а ■ 1Ь 6х + 6w 2 ----^ 3) с-5 гЪ с - 5 5) 6) -25 . д-5. а л-1 а •¥ 1 - 4д + 4 4) Bt 1) с‘^ - 4с 5с - 20 ’ X - у х^ - у ^ д+ 2 7) (р* - 16А^) : : (о - 2); р + 4k ху Зху ’ 152. Выполните деление: 5т - 2п 5т - 2п 2) 3) 10^ ■ loF р + 3 . /7 + 3 -2р 4/7 - 8 ’ -Ь^ а + Ь - аЬ . д^ - 2аЬ + ' ah а^ - 16 . д + 4 . д - 3 ‘ д - 3 ’ г/-9 . г/^ -81 2аЬ ' аЬ 153. Выполните возведение в степень: 8) 4) 5) 6) (д^ - 49^2) : у - % _ 20^ ^ 04 ’ . ^-7г/ X Dif 2)|f 4) ( 5д^ 63 , 5) - 6) Зт^ 2дЗ й’ 154. Представьте в виде дроби выражение: ^2 / 1) оо V 2) I- — ' 9пЗ 3) 7 У 155. Упростите выражение: Ьа^Ъ^ 146^ 5д^с® 2) 3) 35с^ д^сЗ 186^^ ЗЗт^ . 88т^ . 21т^ 34п® 5 In'* 16п^ ЗбдгЗ 24д:^ 7х^ 4) 5) ^ rrv*n ^ Юс З^^з тЮ„з 49^^з • 25^4 зоу ’ 6) ЗрЗ 54/7® 2дЗ 4 г 4дЗ t / J J 27x3 ^ 2 ( 8у^ 16г 9x^ 10х^ 552® 4) 2тп^п^ kp^ Л® 38 156. Упростите выражение: 1) 2) 10с^ Т1сР 9а^с^ ’ 7с® ^аЬ 3) 4) ( Ъа^ ^ л \ Ъх V ^ / ^,18 50^16 ’ ^ Зд:® г/* 2б^с^ 6^)® ' 14с^^ ’ 157. Замените переменную х таким выражением, чтобы получилось тождество: 4вМ" __ 6а Г2*М* „ А® 1) X = 6а 2) Зс : X = 12 158. Выполните умножение и деление дробей: 1) 2) 3) 4) 5) 4 - а 12а^ 8а® -16' 4с - d 2с2 - 2б/2 с2 + cd 4с2 - cd 62 - 66 -н 9 +27 , -ЗЬ +9 56 - 15 ’ а® - 16а 12аб2 ЗаЧ 4а +16 ’ а® + 6® 7а-76 -аЬ + Ь'^ ' 159. Упростите выражение: 7а^ Ъ - а _ 2) 3) а2 -25 а а® + 6® Ь - а а® - 6® Ь + а а^ -1 а 4) - а \ + ' - 8аЬ - аЬ 6) 7) 8) 9) 10) 5) 6) 7) 8) д:^ -9 Ъх + Ъу ^ х + у х^ ■ -Зх' т + 2п , + 4mw + 4^2 _ 2-Зт' 3m2 - 2m а® -1- 8 . а2 - 2а + 4. 16-а'^ ■ а2 + 4 д;2 - 12jc + 36 х2 - 49 . Зд: + 21 4дс - 24 ’ За+ 156 4а + 206 а2 - 8162 ■ а2 - 18а6 + 8 5т2 - 5^2 15и - 15т . m2 + «2 4т2 + 4^2 ’ т«2 - 36т . 2и + 12 . т® - 8 " 6т-12’ а^ -1 а -1 а2 - а + 1 а®+1’ 4д;2 -100 . 6х (2д:^ - 20х + 126 ‘ 24а 160. Упростите выражение и найдите его значение: а‘^ - 81 а - 9 1) 2) а^ - 8а - 64 X 1 18а -ь 27) : ^ , если а = 0,5; 4х^ - 4у^ 6х + 6у 3) (За^ .4 а® + а® . а® ^ (За - 3)2 ‘ 9а2 - 9а , если а - -4; , если X = 4,2, у = -2,8; а’ + от 4а , если а = 0,8. 39 161. Найдите значение выражения: 1) 2) 1 h с 1 L 3 + АаЬ + За + 6^ , если а = А, Ь = -5. 162. 163. 164. а2 - 9^2 ' 2а-&Ь Известно, что л; - — =9. Найдите значение выражения . X X Известно, что Ъх + — = -4. Найдите значение выражения 9д:^ Н—^ . 2 1G 4 Дано: лг + — =41. Найдите значение выражения х + — . 9 1 1 Дано: лг + — = 6. Найдите значение выражения х - — . Упростите выражение: д2 - 36 . д2 + а6 + 6а + . д2 + аЬ -Ьа-ЬЬ + 2аЬ + 2^ д2 + а-аЬ- Ь , - а-аЬ + Ь + а + аЬ + Ь - а + аЬ - Ь Упростите выражение: J ^ 25 - 5а + 56 - аЬ а6 - 5а - 5б + 25 . 2) 165. 166. 167. 25 + 5а - 5б - аЬ а6 + 5а + 56 + 25 ’ д2 - 2а6 + 62 д2 - а6 + 4а - 4б 168. 169. д2 - а6 - 4а + 4б Докажите тождество: 8д2 6а^ За д2 -16 = 1. а - 36 ' д2 - 962 ^ 12^ Докажите тождество: д2 + а 6а + 6 . + 18д2 + 9а _ j_ “ 6 2а - 12 2а + 12 д2 - 36 Упражнения для повторения Решите уравнение: 1) (2л: + 3)‘^ - 2л: (5 + 2л:) = 10; 2) (л: - 2)(л: - 3) - (л: - 6)(л: + 1) = 12. 2х + 1 X — А Докажите, что уравнение 170. 171. 172. л: + 5 не имеет корней. 3 2 6 Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 192 км, со скоростью 60 км/ч выехал мотоциклист. Через 30 мин навстречу ему 40 из пункта В со скоростью 75 км/ч выехал второй мотоциклист. Сколько времени ехал второй мотоциклист до встречи с первым? 173. В двух бидонах находится 80 л молока. Если из одного бидона перелить 20 % молока в другой бидон, то в обоих бидонах молока станет поровну. Сколько литров молока было в каждом бидоне первоначально? 174. {Из учебника «Арифметика»^ Л.Ф. Магницкого^.) Двенадцать людей несут 12 хлебов. Каждый мужчина несёт по 2 хлеба, женщина — по половине хлеба, а ребёнок — по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей? ^ I* I ^ i Д А! t ’Г X (Г Д’ , шш*г<дгил . С'р31ШХ» /Зшкчум я/тхиил г мао|дн<о г юмгм цзл’Ь/м . neif«^Tr>M« iummmitutufei ИХЮит Гле» НиИЯТО Ц?£ KSUKIOIW К"3^ вЧА^ЫАИЫА N МША к с-£аиа fWttiH : . IlfH ur^fSxniSuu vn. M.IHK&U1 Г Aft , н иямшч К>^ nf'rpoStf» у жикксмг ffixi *юиИ ri'nofi/u^iiauM ’лктнилп fjLxo anSfuulA xiln^juiaituft ^(яикл\^ OTjenan « MBiAiiavi ■ош Rie^ftfrj uijuN ндса^тх лк«Зс<Л»и aiftoi у n rifro C tcftwofliSA. Mf* yitttt у Ш fxTu M noiuon Ш UO» . tHAIKTi Л1 , juy UHUSfU . fii «*^4 Y t,9lw « AJnU i Учимся делать нестандартные шаги «Арифметика» Л.Ф. Магницкого 175. Вася и Петя по очереди заменяют в уравнении -I- ■+■ *л^ + *х+* = 0 один знак * на некоторое число. Первым замену делает Вася. Петя хочет получить уравнение, которое имеет корень. Может ли Вася ему помешать? ^ 6. Тождественные преобразования рациональных выражений Правила действий над рациональными дробями позволяют любое рациональное выражение преобразовать в рациональную дробь. Рассмотрим примеры. Пример 1. Упростите выражение За 6а а - 2 а^ - 4а + 4 а^ - 4 а - 4 2а^ + 8а а-2 Решение. Аналогично нахождению значения числового выражения, содержащего несколько арифметических действий, данное выражение ^ Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739) — выдающийся русский педагог-математик, автор знаменитого учебника «Арифметика» (1703), по которому училось несколько поколений. «Вратами своей учёности» считал «Арифметику» Магницкого М.В. Ломоносов. 41 можно упростить, выполняя действия в соответствии с порядком выполнения арифметических действий: сначала — вычитание выражений, стоящих в скобках, затем — деление и наконец — вычитание: 1) 2) 6а За____________ а- 2 а^ -4а + 4 За^ - 12а а-4 За \а-2 6а а-2 За^ -12а {а - 2f а^ -4 {а- 2f _______^ За^ -6а-6а ^ За^ - 12а {a-2f {a-2f {a-2f а^ - 4 _ За{а - 4) {а - 2){а -i- 2) _ а-4 ~ (a-2f а-4 _ За{а -ь 2) _ За^ -i- 6а . а-2 ~ а-2 ’ За^ + 6а _ 2а^ -ь 8а _ За^ + 6а- 2а^ - За _ а^ - 2а _ а{а - 2) _ ^ а-2 а-2 а-2 а-2 а-2 Ответ: а. < Преобразование рационального выражения можно выполнять не по отдельным действиям, а цепочкой. Проиллюстрируем сказанное на следующем примере. Пример 2. Докажите, что при всех допустимых значениях перемен- ной значение выражения За + а + 5 54а а — 3 18 - 6а 5а + а^ не зависит от значения а. Решение. Упростим данное выражение: За а-1-5 54а За + За За а-3 9 + 54а а + 5 ______ _ 18 - 6а 5а + а^ За-9 3{а - 3) = 3. а-З б(З-а) а(5-1-а) а-3 3- а а-3 а-3 а-3 а-3 Следовательно, при всех допустимых значениях а значение данного выражения равно 3. ◄ Пример 3. Докажите тождество а - 7 ц. <2 - 7 За-1 3a-l a-t-lj а^ - la a-fl Решение. Преобразуем левую часть доказываемого равенства. Здесь целесообразно раскрыть скобки, применяя распределительное свойство умножения: За-1 а-7 За-1 За-1 а - 7 ^ й “ 7 За-1 1 ^ За-1 а «(« +1) a-fl) ср- - la а -f 1 -f За — 1 а(а -f 1) Тождество доказано. ◄ За-1 а(а - 7) 4а _ 4 а(а -f 1) a-fl a-fl а(а - 7) 42 i.i.i Пример 4. Упростите выражение ^^ аЬ Ьс ас Решение. Записав данное выражение в виде частного от деления числителя на знаменатель, получим: а Ь с ^ fi + 1 + l ah be ас _ be + ас аЬ . с л- а + Ь ^аЬ Ьс ас J аЬс ’ аЬс Ьс + ас + ah аЬс Ьс + ас + аЬ аЬс с + а + Ь с + а + Ь Данное выражение можно упростить иным способом, используя основное свойство дроби, а именно: умножить её числитель и знаменатель на одночлен аЬс\ 1 1 1 — + т + -а Ь с 1 1 1 \ ^ — -н -г- -I- - 1 аЬс а Ь с i^ + ^-^ — \abc ab be ас \ab be ас be + ас + ah c + a + b Ответ: bc^ac^ab ^ c + a + b — ■ abc -I- ^ • abc + - • abc a________b_______c_______ \ • abc + ■ abc + — • abc ab be ac Упражнения 176. Упростите выражение 6 ^ ' 3 4 2) 3) a^b a-b ( a‘- i_l b a 2a 5) a^ - ab b + 1 b^ - I a b-l 6) 5 ^m-n 7) x-2 { x + 2 8) x^ + X , 4 b 9) 6c^ X - m + 9n m + n X - 2 10) \ / x^ X -1 , 4 X '' -bl \ c -1 . у X + у X-у x^ + xy X^ Л- y'^ 43 177. Упростите выражение: 1) Г ^ ^ / х + — у X X--- у а а" Ь)1- -Ь^ а + Ь 2) 3) 4) аЬ^ а а + Ь Л Ь а - Ь J т оо V т-1 а _ ^ Ь а -1 т тп-п АаЬ а-Ь' 6) 7) 8) 62 ’ Ь X - 8 84 7х X + 2 Зл: + 6 л:2 - 8л: а - 9а - 9 ^ - За а + 3 а 8 а+2 а+8 178. Выполните действия: 1) 2) 3) 4) 5) 6) а + 2 а^ - 2а+ \' За-3 а-2 62 + зЬ 1^6-3 6 + зу + 9b (^6 + 3 6 - 3 J ’ ( Зс + 1 Зс - 1 Y 2с . [ Зс - 1 Зс + 1 J ■ 6с + 2 ’ 1 1 fl2 - 4а6 + 462 <2-8________ fl2 - 10а + 25 2л: +1 462 _ д а а2 - 25 лг-2 2а а2 - 462 а-20 л;2 + 6х + 9 л:2 + Зх J - 9х (а-5)2 х2 + 6 179. Выполните действия: 6 + 4 62 -16 1) 2) 3) 62 - 66 + 9 ■ 26 - 6 6 - 4 ’ f т-1 _ m + 1 V 4ш I m + 1 т-1 ( т^ -1 2х х2 - 1 4) Уг 1) 2а-3 х2 + 2ху + а-1 у2 _л;2 ____ _ д2 - 2 д2 - 4а + 4 а^ -2а ] а^ -4^а 180. Упростите выражение: 15 .. 7-х 2) а- „ - X - 7 х-7 5а-16 а - 3 х2 - 16х + 64 ’ 2а 2а - а-3 3) 4) а + 3 д2 + 8а а - 4 аЬ ^2 - 62 6 -а’ а_____а_ _ д2 + 1 | _ д2 + <2 а-1 а + 1 1 - д2 I ■ (а - 1)2 5) 6) л; + X -2у 161/' X -2у х + 2у х^ - 4у'^ Sa-S + 1 4а - 28 - 2а + 4 а + 2 а^ + 8 4г/ . X + 2у' -4 181. Упростите выражение: 1) х^ + 14х + 49 X + 6 13 X + 6 -х + 6 2) + С + 8 -64 3) 36 X - 3 3 + X х^-9 х + 3 3-х1‘3-х’ 4) Дс 1) 2у-1 9у + 6 1 + -4— + у^ +2у + 4 у^ -S У - 2 182. Докажите тождество: аЬ Ь 2) 3) -Ь^ ^ 2Ь- 2а 8а а - 2 2Ь 1^-Ь^ 4-а^ а + 2 J а 3 1 а + 2 2 + 36 - с2 с2 - 12с + 36 183. Докажите тождество: Ь 2 а а-2 (с-6)2 г/^ -4 18 а-Ь ^ 4 ’ = -1; + Зс 1) 2) а^ - аЬ а-Ь -аЬ {а - yf ^ 2 с + 6 а^ - 4 = 2. 4аЬ а + Ь' а а + а {а - 6)2 62 - а2 а + 6 184. Зависит ли значение выражения от значения входящей в него переменной: а + 3 1 ^ За + 3 1) 2) а2 - 1 а2 + а а 1 а^ - а 7а а2 - 49 а + 1 J' а^ + 14а -*-49 а - 7 ' 185. Докажите, что значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной: 3x2 _ 27 бх -ь 1 ^ 6х - 1 2) 4x2 ^2 ^^х-3 х-1-3 3 8а^ - 18а { 2а 2а-3 4а2 + 9 _________________3 4а2 - 12а -I- 9 4а2 45 186. Упростите выражение: ,2 а - 1) а +1 . а - а 3) а - 2) а +1 6а-9 а 1- 1-5 а 4) l+i а 3-5 а 2а + Ь -1 За -1 187. Упростите выражение: 1) а - Ь ^ Ь а + Ь а а-Ь ' 2) а + Ь 1- 1 - а +1 TV 188. Упростите выражение: 1) 2) а-Ь 1 - аЬ^ а+ 2 ^ а + Ь _ Ь - а 6а^ ^ Ь - а а + Ь 2 - а 4а^ + 2а + 1 ^ 1 ^ 4а^ - 4а^ + а 1 - 8а^^ 2а^ + а I ’ I 1 - 2а \ /V 189. Упростите выражение: Sy-1 5-6у 8а-1 2а^ + а ’ (18г/2 -h Ъу Ьу + \ Л / Пу^-\ Яу‘‘+%у + \\ V 1- У 190. Докажите тождество: 1) 16 1 (0-2)“' ■ [(<2-2)2 2) а + \\ а + Ъ а + 9 \ а^ -81 2 +—L \ ^2 ___^ /'/7 _i_ а + 7 3^-1 8а (а-2) ^ ^ а + 3 = 1; а - 9 = 1. 191. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выраже- V ^ ■ whb ] *2+9 ,(Ь + 3 тельные значения. 192. Подставьте вместо х данное выражение и упростите полученное выражение: X - а аЬ а -Ьх ..а-Ь 1) X - Ь , если X - а + Ь' 2) Ь + ах , если X - а + Ь 46 C3i Упражнения для повторения 193. 194. 195. 196. 197. 198. 199. 200. Решите уравнение: 1) (Зх- 1)(4г + 5) - (2х + 3)(6х + 1) = 4; 2) 8х{2х + 7)-(4х + Sf = 15. Докажите, что значение выражения 2^“* - 2^^ - 2^^ делится нацело на 11. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения Зп+2 _ 2«+2 + 3” - 2” делится нацело на 10. На первом складе было картофеля в 3 раза больше, чем на втором. Когда с первого склада вывезли 400 кг картофеля, то на нём осталось картофеля в 2 раза меньше, чем было на втором. Сколько килограммов картофеля было на первом складе первоначально? Куртка стоила на 1 500 р. меньше, чем костюм. Во время сезонной распродажи куртка подешевела на 10 %, а костюм — на 20 %, после чего куртку и костюм вместе можно было приобрести за 8 000 р. Какова первоначальная цена куртки и какова — костюма? Из пункта Л в пункт В автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а возвращался из пункта В в пункт Л со скоростью 70 км/ч другой дорогой, которая на 15 км короче первой. На обратный путь автомобиль затратил на 30 мин меньше, чем на путь из пункта Л в пункт В. За какое время он доехал из пункта А в пункт В? Рабочий должен был изготовлять ежедневно 10 деталей. Однако он изготовлял ежедневно 12 деталей и уже за два дня до окончания срока работы ему осталось изготовить б деталей. Сколько деталей должен был изготовить рабочий? {Из русского фольклора.) За 30 монет купили 30 птиц. Сколько купили птиц каждого вида, если за трёх воробьёв платили одну монету, за двух голубей — тоже одну монету, а за одну горлицу — две монеты, при этом купили хотя бы одну птичку каждого вида? Готовимся к изучению новой темы 201. Решите уравнение: , ч 2х + 7 _ X + Ъ . ^ 4 ~ 3 ’ 2) + 6х = 0; 3) 0,21л:-0,7д^ = 0; 4) л:^ - 16 = 0; 5) 25л:^ - 36 = 0; 6) х^ + 4 = 0. 47 202. При каком значении переменной не имеет смысла выражение: 6 04 Х + 4 К4 X 1) 2) Зх - 9 ’ х^ +1, - 1 ’ 3) 4) Зл:2 + 12х ’ 8 4 + X + 7 X -2' 5) 6) д:2 - 10х + 25 ’ X + 2 (дг + 10)(лг-12) 203. При каком значении переменной значение дроби равно нулю: 1) д: - 8 2) л; - 2 3) 9 лг + 2 л: - 5 Повторите содержание п. 14, 15 на с. 224. cm Учимся делать нестандартные шаги 204. На доске написаны многочлены л: + 2 и 2л: + 1. Разрешается записать сумму, разность или произведение любых двух из уже написанных многочленов. Может ли на доске появиться многочлен 2л:^ + л: + 5? 48 Задание № 2 «Проверьте себя» в тестовой форме 1. Представьте в виде дроби выражение 1 Х.Ч 1 А) Б) Ът^п^ ’ Ът^г^ 2. Выполните умножение: {а + ЪЬ) В) 10 Збт^ 2«2 т^п Г) 4 «5 8 - 25/)2 ■ А) 8(я - ЪЬ) Б) 8(я + ЪЬ) В) 8 а + ЪЬ пгп Г) 8 а-ЬЬ 3. Упростите выражение -6Ь +9 Ь-7 Ь-7 А) 6 + 3 Б) 6-3 5дб 6-3’ В) 1 6-3 Г) 6 + 3 4. Выполните деление: : (10<2^6^) 0^ А) ^ 66 В) 2610 Г) 2610 *ь 9 X 5. Упростите выражение ^ A)i^ X Б) — ^ 12 -2х 4х - 8 В) 12 Т)х ^2 ___________27w 6. Представьте в виде дроби выражение -----г--:----г-------- ^ F _ 1 б4«2 + 16П + 1 А) Б) 8и +1 В) 8и-1 (8w - 1)(«2 + Зи + 9) (8w + 1)(«2 + Зи + 9) 8и + 1 Г) 8и-1 (8п - 1)(п2 - Зп + 9) (8w + l)(n2 -3/Z + 9) 7. Выполните возведение в степень: 2а^ 6^ У А1 ^ 6^2 Б) --уГ В) 16а» 6^2 Г) - 16а» 612 8. Упростите выражение 1 1 А) а + 6 Б) а - 6 а-6 а+б1 а+6 В) 6(й - 6) Г) 6(а + 6) 49 9. Какому числу при всех допустимых значениях а равно значение . 30а , 5 W За - 5 , V выражения | ———h ^ |; | ^-г -II? 9а^ - 25 ^ 5 - За J ’ I За + 5 Б) 2 В) 4 10. Чему равно значение выражения = 0,2(2д + Ь)} А) 4 Б) -4 В) 3 1 Г) -2 а^ - 4аЬ Г) -3 шие в Г) 35 если Ъа - ЪЬ = 11. Известно, что х + — = 6. Найдите значение выражения . А) 36 Б) 38 В) 34 12. Упростите выражение А) Б) а^-Ь^ 1 + -^ а а 1 а В) Г) а' + 62 аЬ^(а^ - 62) а6(а2 + 62) а2-62 50 ^ 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения Рассмотрим два уравнения: = 4 и |х| =2. Очевидно, что каждое из них имеет одни и те же корни: —2 и 2. В таких случаях говорят, что уравнения = 4 и |jc| = 2 равносильны. Приведём ещё примеры пар равносильных уравнений: = 0 и2г = 0; 2х=4и4д:-8 = 0; = 1 и (х- 1)(х+ 1) = 0. Рассмотрим уравнения = -5 и \х\ = -3. Каждое из этих уравнений не имеет корней. Такие уравнения также принято считать равносильными. @ Определение Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни или каждое из уравнений не имеет корней. Число 2 является корнем каждого из уравнений (д:-2)(х+1) = 0 и д: - 2 = 0. Однако эти уравнения не являются равносильными, так как корень -1 первого уравнения не является корнем второго уравнения. В 7 классе вы изучили свойства уравнений с одной переменной. Теперь, используя понятие «равносильные уравнения», эти свойства можно сформулировать следующим образом. Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному. Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному. Рассмотрим такую задачу. Автомобиль, проехав 180 км пути, увеличил скорость на 10 км/ч и оставшийся путь длиной 210 км проехал за то же время, что и первую часть пути. Найдите начальную скорость автомобиля. Пусть X км/ч — искомая скорость. Тогда скорость автомобиля на второй части пути равна {х + 10) км/ч. Автомобиль преодолел первую часть 180 210 пути за -- ч, а вторую — за - ч. X X -1-1 о 51 ^ 180 210 Уравнение — = ------- X л: +10 является математической моделью рассмот- ренной реальной ситуации. Обе части полученного уравнения являются рациональными выражениями. 0 Определение ^------------------- Уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями, называют рациональным. Из определения следует, что, решая задачу, мы получили рациональное уравнение. Отметим, что линейное уравнение с одной переменной, то есть уравнение вида ах = Ь, является рациональным. Рассмотрим рациональное уравнение вида "g = 0» где А и В — многочлены. Вы знаете, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому, что- бы решить уравнение вида ^ = 0, нужно потребовать одновременного вы- В полнения двух условий: А = 0 В ФО. Это значит, что при решении уравнений указанного вида следует руководствоваться таким алгоритмом: • решить уравнение А = 0; • проверить, какие из найденных корней удовлетворяют условию ВфО; • корни, удовлетворяющие условию В Ф 0, включить в ответ. Пример 1. Решите уравнение = 0. Решение. Приравняем числитель дроби, стоящей в левой части уравнения, к нулю. Имеем: {х - 1)(х -ь 1) = 0. Корнями этого уравнения являются числа -1 и 1. Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию - 4х + S Ф 0. При х = получаем, что - 4х -f 3 = 8 0. При х = I получаем, что - 4х -f- 3 = 0. Следовательно, число -1 является корнем заданного уравнения, а число 1 — нет. Ответ: -1. ◄ Как мы уже отмечали выше, решение уравнения вида ^ ^ сводится к решению уравнения Л = 0 и проверке условия Б 0. В таких случаях го-ворят, что уравнение ~ ^ равносильно системе 52 Например, уравнение - 4х + 3 = О равносильно системе: {х-1){х + \) = 0, х^ - 4х + 3 Ф 0. Как мы выяснили, решением этой системы является число -1. Завершим решение задачи об автомобиле. Имеем: 180 ^ 210 X д: + 10 ’ Переходим к равносильному уравнению 180 210 X л; +10 Отсюда = 0. 180(дг + 10) - 210д: х{х + 10) 1800 - ЗОд: = 0; = 0. х{х + 10) Последнее уравнение равносильно системе 1800-30д: = 0, х{х +10) ^ 0. Корнем уравнения, входящего в систему, является число 60; очевидно, что оно удовлетворяет условию х{х + 10) Ф 0. Ответ: 60 км/ч. ◄ Как известно, любое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби. Поэтому любое рациональное уравнение мож- но свести к уравнению вида Именно так мы и сделали, решая урав- нение 180 X 210 д; +10 Пример 2. Решите уравнение ^ ^ + 1 6х + 3 4х^ - 1 2д: - 1 ’ Чг + Решение. Имеем: —------ + 1 0/0 14 /о 14/0 Г = 0. Представив ле- 3(2дг + 1) (2л: - 1)(2дг +1) 2х-1 ^ вую часть этого уравнения в виде рациональной дроби, получим: 4д:-2 3(2д: - 1)(2д: + 1) = 0. 53 Полученное уравнение равносильно системе 4х - 2 = О, 3(2л:-1)(2л: + 1)^0. Перепишем эту систему так: 4х - 2 = О, хфО,Ь, X Ф -0,5. д: = 0,5, Отсюда ^ X Ф 0,5, X Ф -0,5. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет. ◄ _16 Пример 3. Решите уравнение -------------х = 0. Решение. Представим левую часть уравнения в виде дроби: 2х^ - 4х - 16 - х^ + 4х X - 4 x^ -16 X - 4 = 0; = 0. Полученное уравнение равносильно системе Гх2-16 = 0, X -А фО, откуда получаем: X = 4 или X = -4, X Ф Ai\ X = -4. Ответ: -4. ◄ Рассмотрим задачу, в которой рациональное уравнение является математической моделью реальной ситуации. Пример 4. Турист проплыл на лодке 3 км по течению реки и 2 км против течения за 30 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Решение. Пусть скорость лодки в стоячей воде равна х км/ч. Тогда её скорость по течению реки равна (х + 2) км/ч, а против течения — 3 (х - 2) км/ч. Турист проплыл 3 км по течению за ^ ^ ^ ч, а 2 км против 2 1 течения — за ——- ч. Поскольку весь путь был пройден за 30 мин = - ч, то 3^2^ 1 X •+• 2 X - 2 2 " 54 Решим полученное уравнение: 3 2 + X + 2 X - 2 I, 2’ Ъх -Ь + 2х + А 1_л х^-А 2" ’ 10х -А-х'^+А 2{х^ - А) 10х - = 0; = 0; 2(^2 - 4) [l0:t - =0, [2(д:2 - 4) 0; х(10 - х) = о, X Ф 2, X Ф -2; X = о или X = 10. Корень о не соответствует смыслу задачи. Следовательно, скорость лодки в стоячей воде равна 10 км/ч. Ответ: 10 км/ч. ◄ А 1. Какие два уравнения называют равносильными? 2. С помощью каких преобразований данного уравнения можно получить уравнение, ему равносильное? 3. Какое уравнение называют рациональным? 4. Сформулируйте условие равенства дроби нулю. 5. Опишите алгоритм решения уравнения вида -^ = 0, где А \л В — Б многочлены. Упражнения 205. Равносильны ли уравнения: 1) X -н 2 = 10 и Зх = 24; 2) -2х = - 6 и -^х= 1; 3 3) X - 5 = о и х(х - 5) = 0; 4) (Зх - 12)(х -ь 2) = о и (0,4 - 0,1х)(7х + 14) = 0; 5) — = о и х^ = -4; X 55 6)х+1 = 1+ хи +1 +1 = 1? 206. Составьте уравнение, равносильное данному: 1)2х-3 = 4; 2)|х| = 1; 3) х + 6 = х - 2. 207. Решите уравнение: 1) ^-^ = 0; 2) 3) X -4 X -2 х^ -4 х^ -4 X - 2 = 0; = 0; 4) ^-^ = 1; ^ дг-2 2дг^ + 18 + 9 5) 6) 7) 8) = 2; X + 2х -9 х-5 х-5 х-5 Ъх -1______ л: + 1 X + 1 2х + 16 1-Зх X + 5 X + 3 208. Решите уравнение: -и2 _ 1 = 0; = 0; = 0; 1) 2) 3) 4) 5) = 0; х^ -2х + 1 х^ -2х + 1 х^ -1 X + 7 _ 2х -3 X-7 X-7 10 - Зх 5.У + 6 _ д; + 8 х + 8 X-6 X - 8 = 0; = 0; X - 2 = 0; 9) 10) 11) 12) 13) 14) 1 X -1 3 X +1 4 = 0; X - 2 X X - 6 X - 4 X + 3 ’ = 2; 2х + 1 X - 3 2х-1’ X + 8 ® -С X X - 2 2х х^ + 15х х-5 х^ - 25 = 0; 2х^ — 5х 15) 3-^4—2^ = 0. х^ - Зх 6) V) 8) 9) 2х - 4 X X _ X + б х^ + 6х 2х^ + Зх + 1 Зх + 1 ^ X + 5 _ Q. X 36 = 0; 2х +1 4 4 X - 1 X + 1 - X = 1; = 1. 15 209. Какое число нужно вычесть из числителя и знаменателя дроби —, 2 чтобы получить дробь, равную — ? ^ 25 210. Какое число нужно прибавить к числителю и знаменателю дроби —, 5 ^ чтобы получить дробь, равную — ? 5в DO V 211. Составьте пару равносильных уравнений, каждое из которых: 1) имеет один корень; 2) имеет два корня; 212. Решите уравнение: 5 . гх 214. 215. 3) имеет бесконечно много корней; 4) не имеет корней. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) -4 2 + + 6х +1 6х + 14 х^ -9 X + 2 3 6х -1 7 = 2; + 30:г + 9 . 36^2 -1’ _____^ 6 + Зх X - 3 ’ 1-^2 2х-1 + 5 у + \ — + ~ ^-1 _____^ 2х + 1 2х + 1 2х -1 + у + 1' 4 1 - 4x2 ’ 4 (х + 2)(х-3) (х-3)2 2х - 1 Зх - 1 6х + 64 X + 4 2х-6 4-х X - 3 х2 -16 (X + 2)2 + 4; X -1 х2 - 36 х2 - 6х х2 + 6х = 0. 213. Решите уравнение: 1) 2) 3) X - 2 X +1 Зх +1 _ Зх -1 4 ^ 1 ^ 5 . X - 3 X X - 2 ’ х2 -ь27 х2 - 1 6 1-х Зх -1 Зх +1 1-9x2 4) 5) 6) 2x2 _ 2х х2 - 4 7 + X + 2 X +1 X + 2. х-2’ X + 4 х2 + 2х х2 - 2х х2 - 4 х2 - 9х + 50 х2 - 5х X + 1 ^ X - 5 X - 5 X Моторная лодка проплыла 8 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 54 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 18 км/ч. Теплоход прошёл 28 км против течения реки и вернулся обратно, потратив на обратный путь на 4 мин меньше. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч. 216. Лодка прошла 6 км против течения реки и 12 км по течению, потратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 3 км/ч. 57 TV 217. 218. TV 219. Решите уравнение: 2^ + 5 X -5 2) 3) x + 25 x^ - 5x 2x^ + lOx 2x'^ - 50 ’ 2 1 3 x^ -9 2x^ - I2x + 18 2x^ + 6x ’ 9дг +12 1 1 x^ -64 X - 4 ^ 4^ 15 Решите уравнение: 4y + 24 ^ y + 3 ^г/-3. ^ 5y^ - 45 5^2 _ 15^ y^ +Sy' j/ + 2 1 ^ y + 3 8^3+1 4^ + 2 Sy^ -4y + 2‘ 2) Для каждого значения a решите уравнение: 1) 2) 3) 4) (х - а){х - 6) X - а X - 7 X - а _ Q. 5) (х - 4)(х + 2) X + 5 X - а а{х-а) _ 6) X - а X - 3 (х - 4)(х + 2) 220. При каких значениях а уравнение 221. = 0; = 0. X + а х^ - 4 о не имеет корней? ^ {x-a){x-Sa) ^ При каких значениях а уравнение ----~ ^ имеет один корень? Упражнения для повторения 222. 223. 224. На конец года численность населения города составляла 72 100 жителей. Определите количество жителей в этом городе на начало года, если прирост населения за это время составил 3 %. Расстояние между двумя станциями электропоезд проходит за 45 мин. Если его скорость увеличить на 10 км/ч, то он пройдёт это расстояние за 40 мин. Чему равно расстояние между станциями? Докажите, что при любом значении переменной (переменных) выражение принимает неотрицательное значение: 1) {a-bf-2{a-5) + h 2) {а - Ь){а - 6 - 8) -ь 16. 58 225. Найдите значение функции f{x) = Ъх - 1 при; 1) х = -3; 2) х = 2^ О При каком значении аргумента значение функции равно 0,2? Готовимся к изучению новой темы 226. Найдите значение выражения: 1) 4^ + 3^ 3) 9 • - 2) 4) (2,8-3,!)' (-1 227. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений: 1) (-5,7)2 и 0; 3^ (-23)" и (-2)^ 2) о и (-6,9)^ 4) -8® и (-8)®. 228. Представьте в виде степени: 1) с основанием 2 числа 4; 8; 16; 32; 64; 2) с основанием 10 числа 100; 1 000; 10 000; 1 000 000. 229. Найдите значение выражения: 3) 16 + если Ь = -2; 4) (16 + ЬУ, если Ь = -2. Повторите содержание п. 3 на с. 220. 1) \8а^, если а = —; 6 2) (18^)2, если а = - — \ 6 Учимся делать нестандартные шаги 230. Существует ли натуральное число, которое при умножении на 2 становится квадратом натурального числа, а при умножении на 3 — кубом натурального числа? 6 8. Степень с целым отрицательным показателем Часто для записи больших чисел в компактном виде используют степень с натуральным показателем. Например: 129 140 163 = 3^^ 282 475 249 = 7^°. В науке и практике для короткой записи значений величин часто используют степень числа 10. 59 Например, расстояние от Земли до Полярной звезды приблизительно равно 4 470 000 000 000 000 км, или 4,47 • 10^^ км. Масса Солнца равна 1 990 000 000 000 000 000 000 000 000 000 кг, или 1,99 • 10^° кг. Это были примеры из макромира, то есть мира очень больших физических величин. Приведём примеры из микромира, то есть мира очень маленьких физических величин. Масса атома водорода равна 0,000000000000000000000000001661 кг. Радиус атома кислорода равен 0,0000000066 см. Для записи этих величин точно так же можно использовать степень числа 10. Например: 1,661 0,000000000000000000000000001661 кг = 0,0000000066 см = см. 10® 1027 кг, Однако если договориться обозначить и соответственно 10~27 и 10”®, то для рассмотренных величин получим «одноэтажную» форму записи: = 1,661 • 10’2^ = 6,6 . lo■^. 1027 10® 1 Аналогично можно договориться, что, например, -^ = 5 2, ^^ = (-3)-. ^ = (0.7)-. (3 Определение Для любого числа а, не равного нулю, и натурального числа п «- = А- а" Из определения следует, что, например, 2""^ ~ ^ ~ 8 ’ (-4)-2 = 1 (-4)' 16 2 ^ =16, (0,3)-1 =^ = ^. 0,3 Итак, мы можем возводить число в любую целую степень, кроме нуля. Заполним этот пробел. 0 Определение Для любого числа а, не равного нулю, а® = 1. Например, 5 =1, (-17) =1, | ~ ^ = 1, =1 60 Замечание. Выражение О” при целых п, меньших или равных нулю, не имеет смысла. Из данных определений следует, что при любом а^О w целом п чйс-ла бг” и а"” являются взаимно обратными. Поэтому равенство выполняется при любом целом п. Например, при гг = -2 имеем . fit ^ В справочной литературе вы можете найти следующую информацию: «Масса Венеры равна 4,9 • 10^^ кг. Масса Марса равна 6,423 • 10^^ кг. Площадь поверхности Луны равна 3,8 • 10^ км^». Числа, выражающие эти величины, записаны в так называемом стандартном виде. Определение Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения а ■ 10”, где 1<а<10ип — целое число. Число п называют порядком числа, записанного в стандартном виде. Например, порядок числа, выражающего массу Солнца в килограммах, равен 30, а порядок числа, выражающего массу атома водорода в килограммах, равен -27. В стандартном виде можно записать любое положительное число. Например, 171,25 = 1,7125 • 10^; 0,00958 = 9,58 • 10“'^. Однако на практике стандартный вид числа используют для записи больших и малых значений величин. При этом порядок числа даёт представление о величине. Например, авен 3, то есть т = а • 10^, то с учётом того, что если порядок числа т pai 1 < <2 < 10, получаем: 10^ < т < 10" Пример 1. Найдите значение выражения: 1) + 6~^ -S- 4,3®. -1 2) 1,2"^; 3) 3"^ . 15 -н -3 Решение. 1) - -1 -1 И вообще, если а Ф 0 а Ь 0, то 3) 3"^ . 15 -ь б‘2 • 8 - 4,3® = 4-15-н^-8-1 = ^-15-ь^-8-1 = 3^62 27 36 9 9 9 61 Пример 2. Представьте выражение {а - h) ^ ^ в виде рацио- нальной дроби. Решение. (а-Ь) V j= = 1 {Ь-а){Ь-\-а) Ь + а h + a Ф - af Ф - а) - а^Ь'^ Пример 3. Запишите в стандартном виде число: 1) 564 000 000; 2) 0,0036. Решение. 1) 564 000 000 = 5,64 • 100 000 000 = 5,64 -10^ 1 0^1 2) 0,0036 = 3,6 • 0,001 = 3,6 1. =3,6- -V =3,6- \о'\< 1000 10^ Чему равно а~” для любого отличного от нуля числа а и натурального числа п1 2. Чему равна нулевая степень любого отличного от нуля числа? 3. Что называют стандартным видом числа? 4. Как в записи числа в стандартном виде а • 10” называют число п1 Упражнения 231. Какому из выражений равно выражение аГ^: 1 1 1 1) 2) ; 3) ^ ; а® 232. Представьте степень в виде дроби: 1) 3'®; 3) a-^; 5) 12“^; 2) 5“®; 4) d-^ 6) 233. Замените степень дробью: 1) 14-"; 2) 3) {т + гг)"‘; 4) (4с - 234. Представьте дробь в виде степени с целым отрицательным показателем или в виде произведения степеней: <2° 7) (а - h)~^; 8) {2х-Зу)-\ 5) - • О) ^ , 74 {a + bf {c-df 9 4) 5; 6) У (X-yf х + у Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем или произведением степеней; 1) ; 2)^; ' 41 ’ 3) — ; У 4) гг к 4 {x-2yf 62 236. Представьте числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ^ ^^ ^ в виде 2 4 8 16 32 64 степени с основанием: 1) 2; 2) . 237. Представьте в виде степени однозначного натурального числа дробь: 49 ’ ^ 6^ ’ Ш ■ Представьте в виде степени с основанием 10 число: 1) 0,1; 2) 0,01; 3) 0,0001; 4) 0,000001. Представьте числа 1, 3, 9, 27, 81, ^ ^ ^ в виде степени с ос- 3 9 27 81 нованием: 1) 3; 2) ^ . 3 Вычислите: 1) 5"^ 3)(-9)-2; 5)Г^\ 2) Г^; 4) о,2"’; 6) (-1)"'® Найдите значение выражения: 238. 239. 240. 241. 242. 7) (-1) 8)|| 9)|| 10) -2 1) 20'^ 2) О.З"'; 3) (-6)-®; 4) if" 5)1-^ 6)|3i -3 -2 Вычислите значение выражения: 1)3'^-4"^ 4)9-0,Г^ 5) 0,5'^ • 4'^ 6) (2"^ - 8“* 2) 2'^^ -к 6"f -2. 243. 244. 245. 246. -1 3)1|1 +(-2,3)"-5-^ Чему равно значение выражения: 1) 2~^ + 2-\ 3) 0,ОзЧо,7®; 2) 3'^ - 6“^; 4) (9.3'^ - 12"')"^? Какое из данных чисел записано в стандартном виде: 16) -1 1) 12 • lOf 2) 1,2 • 10"; 3) 0,12 • 10"? Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа: 1) 3 400; 4) 0,000008; 7) 0,86 • 10^ 2) 15; 5) 0,73; 8) 0,23 • lOf 3) 0,0046; 6) 250 • 10^; 9) 9 300 • 10^ Запишите числовые значения величин в стандартном виде: 1) скорость света в вакууме равна 300 000 км/с; 2) длина реки Лена, самой протяжённой реки России, равна 4 400 км; 3) площадь озера Байкал составляет 32 000 км^; 63 оо V 4) расстояние от Земли до Солнца составляет 149,6 млн км; 5) атмосферное давление на высоте 100 км составляет 0,032 Па; 6) диаметр молекулы воды равен 0,00000028 мм, 247. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа: 1) 45 000; 3) 0,00024; 5) 0,059 • 10^ 2) 260; 4) 0,032; 6) 526 • 10^ 248. Запишите выражение в виде натурального числа или десятичной дроби: 1) 1,6 . 10^; 2) 5,7 ■ 10®; 3) 2,1 • Ю’^; 4) 1,1 • Ю'®. 249. Запишите выражение в виде натурального числа или десятичной дроби: 1) 2,4.10^; 2) 4,8 • 10®; 3) 1,4 • 10 -3. 4) 8,6 • 10"^. 250. Докажите, что 251. Найдите значение выражения: 1)1-5 -1 10"^ + 9^^ - (-2)^ + I I ,-2 (-1,5) -3. 2) (2.5)-^-(8Т+ I 1| )5ч0 + 0,1 -1 252. Расположите в порядке убывания: 1)|| Л» -1 -2 ,2 / J уЗ 2) ’(2 253. Расположите в порядке возрастания: 1) 7"^, 7^ Т\ 7®; 2) 1^1 254. Сравните значения выражений: 1) 12® и (-6)®; 4) 3■^ . Г’и 2Г^ 2) 0,2® и 0,2'®; 5) 5"^ - 7"^ и 2“^ 2) 4'\ 4^ 4^ 4 о л-2 3) 4® и 0,25 -6. 6) t) -1 255. Сравните значения выражений: i + i 3 2 и - - - -1 -2 2) 3"^ + 2"^ и 5’^ 256. Представьте в виде дроби выражение: 1) аЬ~^ + а~^Ь\ 4) {а + Ь)~^ • + h~^)\ 2) ЪаГ^ + аЬ~^\ 5) (с“^ - d~^) \ {с + d)\ 3) rr^r^im ®- w ^); -3s ^){рсу'^ '^у) -2. - ху + 64 257. Представьте в виде дроби выражение: 1) а~^ + а~^\ 3) (с~^ - d~^) • (с - d)~^\ 2) тп^ + т^п\ 4) (л:~^ + у~'^) • {р^ + Порядок некоторого натурального числа равен 4. Сколько цифр содержит десятичная запись этого числа? Десятичная запись некоторого натурального числа состоит из семи цифр. Чему равен порядок этого числа? Какое число больше: 1) 9,7 • 10“ или 1,2 • 10^^ 3) 2,34 • 10® или 0,23 • 10^ 2) 3,6 . 10“® или 4,8 . 10"®; 4) 42,7 Какое число меньше: 1) 6,1 • 10^^или 6,15 • 10^®; 2) 1,5 • 10■^или 0,9 • 10"”? В таблице приведены расстояния от Солнца до планет Солнечной системы. 258. 259. 260. 261. 262. Ю’^или 0,072 • 10'"? ,-7- л-8- Планета Расстояние, км Венера 1,082 10® Земля 1,495 10® Марс 2,280 10® Меркурий 5,790 10^ Нептун 4,497 10® Сатурн 1,427 10® Уран 2,871 10® Юпитер 7,781 10® 1) Какая планета находится на наименьшем расстоянии от Солнца, а какая — на наибольшем? 2) Какая из планет, Марс или Сатурн, находится дальше от Солнца? 3) Составьте таблицу, записав в левом столбце названия планет в порядке увеличения расстояния от них до Солнца, а в правом — расстояния от них до Солнца, выраженные в миллионах километров. 263. В таблице приведены массы атомов некоторых химических элементов. 1) Масса атома какого из данных элементов наименьшая, а какого — наибольшая? 2) Масса атома какого из элементов, меди или натрия, больше? 65 Элемент Масса атома, кг Элемент Масса атома, кг Азот 2,32 • 10"2® Золото 3,27 • Алюминий 4,48 • Медь 1,05 ■ 10-^® Водород 1,66 ■ 10■^^ Натрий 3,81 • 10"^® Гелий 6,64 • 10■^^ Олово 1,97 • 10-2® Железо 9,28 • 10'^® Уран 3,95 • 10-2® 3) Составьте таблицу, упорядочив элементы в порядке уменьшения массы их атомов. 264. В таблице приведены запасы некоторых веществ в минеральных ресурсах мира. Вещество Запасы, т Вещество Запасы,т Алюминий 1,1 • 10® Никель 6,8 • 10^ Вольфрам 1,3 ■ 10® Олово 4,76 • 10® Железо 8,8 • 10^° Ртуть 1,15 ■ 10® Золото 1,1 ■ 10"^ Фосфаты 1,98 • 10^® Марганец 6,35 • 10® Хром 4,4 • 10® Медь 2,8 • 10® Цинк 1,12 • 10® 1) Запасы какого из данных веществ наибольшие, а какого — наименьшие? 2) Запасы какого из веществ, никеля или цинка, больше? 3) Составьте таблицу минеральных ресурсов, разместив вещества в порядке уменьшения их запасов. Упражнения для повторения 265. Масса чугунной болванки 16 кг. Какое наименьшее количество болванок потребуется, чтобы отлить 41 деталь массой 12 кг каждая? 266. В некотором городе на сегодняшний день проживает 88 200 жителей. Сколько жителей было в этом городе 2 года назад, если ежегодный прирост населения составлял 5 %? 66 267. Дима ходит из дома на стадион пешком со скоростью 4 км/ч. Если он поедет на стадион на велосипеде со скоростью 12 км/ч, то приедет на 20 мин раньше, чем обычно. На каком расстоянии от дома Димы находится стадион? 268. Упростите выражение; 2fl2 +2 а + 1 ^ За - 3 -I <2-1 2а+ 2 269. Можно ли утверждать, что при любом натуральном п значение выражения (5п + 6,5)^ - {2п + 0,5)^ кратно 42? Готовимся к изучению новой темы 270. Представьте в виде степени с основанием а выражение: \) ■ с^\ 2) 271. Упростите выражение: 1) • Ът^п^\ 272. Найдите значение выражения: 310 .273 3) {a^f\ 2) (-2/TzV)^ 4) (<2^)® ■ ,16 3, .4 3) Ъху - -2 ^ 1) 2) 5 Повторите содержание п. 4 на с. 220-221. Учимся делать \--- нестандартные шаги 273. В некотором доме живут только супружеские пары с маленькими детьми, причём у каждого мальчика есть сестра и мальчиков больше, чем девочек. Может ли взрослых быть больше, чем детей? 6 9. Свойства степени с целым показателем в 7 классе вы изучали свойства степени с натуральным показателем. Они остаются справедливыми и для степени с любым целым показателем. @ Теорема 9.1 Для любого а о и любых целых тин выполняются равенства: а*” а” = (1) {а^У = а"*”. (2) 67 0 Теорема 9.2 Для любых аФ^^Ьф^)л любого целого п выполняется равенство: {аЬТ = а"Ь". (3) Равенство (1) выражает основное свойство степени. Докажем его. Для натуральных тип это равенство уже было доказано в курсе алгебры 7 класса. Рассмотрим теперь случай, когда тип — целые отрицательные числа. Если тип — целые отрицательные числа, то -т и-п — натуральные числа. Тогда = а^~^. 1 1 Имеем: = ■,-тп „-П „-т . = (Я'”-'”. а“"‘ а~" • a~'^ д-(^+”) Для завершения доказательства основного свойства степени следует также рассмотреть такие случаи: один из показателей степени т или п отрицательный, а другой — положительный; один или оба показателя равны нулю. Рассмотрите эти случаи самостоятельно. Равенства (2) и (3) доказывают аналогично. С помощью свойства (1) докажем следующую теорему. 0 Теорема 9.3 Для любого а 7^ о и любых целых тин выполняется равенство: . „п _ ^т-п а"' : а" = а’ (4) Доказательство тт_______ -п „т+(-п) „гп-п . Имеем: а . а = — = а -а =а -а .◄ _ п с помощью свойств (2) и (3) докажем следующую теорему. 0 Теорема 9.4 Для любых любого целого п выполняется равенство: Доказательство (5) Имеем: j = (а • 6 М” = • (6 О” = й” • 6 ” = ^. 68 Свойства (1)-(5) называют свойствами степени с целым показателем. Пример 1. Представьте в виде степени с основанием а выражение: 1) 2) аГ^ : 3) • а~^\ а^. Решение. 1) Применив основное свойство степени, получаем; 2) Используя равенство а!^ : о!^ = а"*"”, получаем: ^-5 . ^-9 _ ^-5-М) _ ^-5+9 _ ^4 а ' \ а '^ = а " ' = а = а . 3) Применив последовательно правила возведения степени в степень (свойство (2)), умножения и деления степеней с одинаковыми основания- ми (свойства (1) и (4)), получаем: ^-7. ^6 _ ^-4 . (-2) -7 . ■ а'-. d‘ = a' • а' ■. d’= d ■ а’’: d = d*'--’’'^ = а^. - Пример 2. Найдите значение выражения: 6-3 1) (5-^)-' : (5-’Г^ 2) 16~® . 8^2; 3) 18 -3 .-8 / \3 V® Решение. 1) Имеем: (б"^)"^ : (5‘^)"^ = 5^® : 5^^ = 5'^ = ^ . 2) Представив числа 16 и 8 в виде степеней с основанием 2, получаем: 16"®. 8^^ = (2^)■^ • (2^)^^ = 2"^® • 2'^^ = 2° = 1. 3) Используя правило возведения дроби в степень (свойство (5)), по- 1 лучаем: 18 ,-з >-з =3^ = 27. 6Г‘" (5-'-'^ 5 25 ,2 ^ Ч-15 5 5 Г Г5Т‘= 5 Пример 3. Упростите выражение: 2) {а~^ + 9)(<з'^ - 4) - {а~^ + 6){а~^ - 6). ,2 _-4ч /_-6 1) 0,6m^n~^ - тп^п^\ 3 Решение. 1) 0,б7тг^гг“® • \ пГ^п^ = (0,6 • • (ттг^ • rri^) • {гГ^ • п^) - 3 3 = 0,2т“^тг"^. 2) (<2 ^ -ь 9)(<2 - 4) - {а -н 6)(а -&) = а^ - 4а -ь 9а - 36 - а“^ -н 36 = -2 ,-2 -2 -2 ,-2 = 5а ◄ 69 Пример 4. Выполните умножение (3,4 • 10^“^) • (7 • 10 и результат запишите в стандартном виде. Решение. (3,4 • • (7 • 10"®) = (3,4 • 7) • (10^^ • 10"®) = 23,8 • 10® = = 2,38 • 10 • 10® = 2,38 • 101 ◄ Сформулируйте свойства степени с целым показателем. Упражнения 274. Представьте выражение в виде степени с основанием а или произведения степеней с разными основаниями: 1) я"® • 5) o’ : а\ 9) (я~®)"®; 2) я® • я"®; 6) я"® : я"^®; 10) (я^)"^ • (я"®)"^: (я"®)®; 3) я"® . я'® . я"'2; 7) я'2 . я-‘^® : я"®; 11) (я^Г'с®)"*®; 4) я ^ : я°; 8) (я-®)^ 12) (дЩ-^ Л c'°d~ -2 14 275. Представьте выражение в виде степени с основанием я или произведения степеней с разными основаниями: 1) я® • я"^®; 4) (я"^)®; 7) а 2) : я’; 5) (я"®^“^с’)"^; -^® я®:я"^: 8) (я-®)® : (я-^)^ . (я-^)-^ 3) я"® : я"®; 6) 276. Найдите значение выражения: 1)9®. 9"^; 4) 2 -9 0-12.0-22 : 2‘ 2) 10"® . 10^^; 3) 3"^® : 3"^^ Д2. 5) (17Т • (1'7~ ) g) 6-5.(6-3)4 6\-8. 7) 3 8) -■(I 14-5 -3 г-5 (6-7)2 . 0-3 ’ 277. Найдите значение выражения: 1) 6“® . 6®; 3) 5"^ : 5“® • 5®; 4-7 . (4-5)3 2) 7"^® : 7"'®; 18. 4) 5) 0,8"^ 11-2 li^ 4у -5\7 (4-^) 6) 22 -2 278. Упростите выражение: 1) Зя"® . 4я"^; 5) аЬс~^ • аЬ~^с\ 2) 10/?-4 15^-3 ’ 3) (2с-®)‘; kp" А) т^п • тп -2. 7) {c^dY\ 8) I . I а^Ь\ 9) 0,2с"®^/® • l,5c"V^ 10) 4дг® • (-3x"V)"^; 13m-^o 27w 11) 12) 12n 3 26m2 ’ 18p-^A;2 15^-2 70 279. Упростите выражение: 1) 2а^Ь^ • 4) 2) j ; S,6a^b 5) 25л: -3 У .-7 3) оо V у-^ Ъх~ 6) • (2с^/-^)-1 280. 282. 283. 284. Найдите значение выражения: 5) 25"^ : (0,2"")-2; (-36)-^ • 6» 1) 8'^ • 2^; 2) 2Г^ : 9"^; 3) 100"^ : 1 000"^ • 0,01 -5 4)1 2^ 6) 7) 8) 216-5 . (_0)18 6-^Q 81-2 . 10-3 ’ 145 • 2-'^ 28-2 .78 • 281. Найдите значение выражения: 1) 9-^ • 2) 32“^ : 64-^; 3) -7 VV^y 4) 8“^ : 0,5^ 5) 6) 22^ . 2“® 44-3 . ц9 ’ 10-2 ■ 15^ 30 -6 Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем: Ч-З 1) -гла^ъ^ • (-2«-'V"^)"‘^ 4) j • (-6fl269)-2; 2) (-lOx V")"' • (0Д^2-^)-'; Ъ) \^т~^п ■{\^т~'^гг^\ ; 5) 6) 7 7р-5 ^ ^ -1 Ък т* • 49m-®w'^; (16xV)'- Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем: 1) 3,бй-^^" • {-Ъа^Ь-у'-, 2) 1 х-^у^ • f 1 ^ х-^у-^ ^ 3) 4) ( ЪтгГ^ у 6п~^ 65 125777-^*^722. {а~^Ь)‘^. Вынесите за скобки степень с основанием а и наименьшим из данных показателей: \)а^~ 2а\ 2) - 2аУ 3) - 2а \ 71 285. Вынесите за скобки степень с основанием Ь и наименьшим из данных показателей: ,3 , Q и'2. 286. 287. 288. 289. 1) 2) Ь~^ + ЪЬ~\ 3) Ь-^ + Sb^. Представьте в виде произведения выражение: 1) а-^-4; 4) а~^ + 5) т~^ - 6т ^ + 9р 6) а~^ - 49а~^. ,-2. -14. 2) а-^Ь~^ - 1; 3) 25x“V^^ - 2’’^; Представьте в виде произведения выражение: 1) х-^- 25; 3) + Sa-^b~'^ + 166 ' 2) - 8п~^-, 4) а~^ - а~^. Докажите тождество: ^_8 _ ^-8 _ ^ ^ ^ ^-4у Упростите выражение: 1) {а~^ + 3){а~^ - S) - {а~^ + 2f; тп ^ -п -2 290. 2) -1. - т ^ + п Упростите выражение: 1) {х~^ - 1)^ - (х~^ - 4){х~^ + 4); 2) г-2 - \9агЧ-^ + 256-2 7-1 -56 -1 3) 4) 3) 4) 2л:-2 у 2 X * 3^-2 - Ъх~^у~^ х~^ - у-^ аг^ + 6-® . аГ^Ь -® + fl-® fl-® а~^ 5т"2 + W-2 т~^ 4т~® + 4m-^/2-2 т-2 + и-2 Ь~^ + Зс-^ Ьс ,-2 6 2с ^ + Зб 2 291. 292. 293. Порядок числа а равен -4. Определите порядок числа: 1) 10а; 2) 0,1а; 3) 100а; 4) 0,001а; 5) 10 000а; 6) 1 000 000а. Порядок числа Ь равен 3. Определите порядок числа: 1) 106; 2) 0,016; 3) 0,00016; 4) 1 0006. Выполните вычисления и результат запишите в стандартном виде: 1) (1,8 • 10^) • (6 • 10^); 2) (3 . 10") • (5,2 • 10"^); 3) 4) 9-10« 1,7-10-® 294. 3,4-10^ Выполните вычисления и результат запишите в стандартном виде: 7-10-^ 1) (1,6 • 10"^) • (4 . Ю’); 3) 2) (5 • 10"^) • (1,8 . 10'^); 4) 1.4- 10-®’ 6.4- 10^ 295. 8 -10-2 ‘ Расстояние от Земли до Солнца равно 1,5 • 10® км, а скорость света — 3-10® м/с. За сколько минут свет от Солнца дойдёт до Земли? Ответ округлите до единиц. 72 296. Плотность меди равна 8,9 • 10^ кг/м^. Найдите массу медной плитки, длина которой 2,5 • 10"^ м, ширина — 12 см, а высота — 0,02 м. 299. 300. 301. 297. Масса Земли равна 6 • 10"^^ кг, а Луны — 7,4 • 10 кг. Во сколько раз масса Луны меньше массы Земли? Ответ округлите до единиц. 298. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степень с отрицательным показателем: Ч-1 1) 2) 3) 4) а -1 а -1 -Ь -1 Л -1 + Ь Ь~^ -2 ь-^ Ъс~^ -1 а -1 6-4-4 6-2 1 -ьб -з_з -4 2с‘ 6-2-2’ 90 с~^ + 6с -3 т Зт-4 пг -4 т ^ - 8ш^ + 16 16 - m ® 8т' т -4 -7 - 4 Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степень с отрицательным показателем: 1) 2) а-2 +5 -25 -ба-^-1-9 -и -5 6-1- 5бг1_^б) 6-1 -7 26-1-ь 26 -1 \ -1 6-1-7 Порядок числа а равен -4, а порядок числа Ь равен 3. Каким может быть порядок значения выражения: \)аЬ\ 2)а + Ь; S) а + Ш; 4) 10я-ь 0,16? Порядок числа т равен 2, а порядок числа п равен 4. Каким может быть порядок значения выражения: 1) тп‘, 2) 0,01mw; 3) 100m + п\ 4) 0,01m -i- гг? Упражнения для повторения 302. 303. Среднее арифметическое двух натуральных чисел равно 18. При делении большего из этих чисел на меньшее получим неполное частное 3 и остаток 4. Найдите эти числа. Благодаря мероприятиям по экономии электроэнергии за первый месяц её расход был уменьшен на 20 %, за второй — на 10 % по сравнению с предыдущим, а за третий — на 5 % по сравнению с предыдущим. На сколько процентов в итоге был уменьшен расход электроэнергии? 73 304. Для откачивания воды из затопленного помещения были задействованы три насоса. Первый из них может выкачать всю воду за 12 ч, второй — за 15 ч, а третий — за 20 ч. Сначала в течение 3 ч работали первый и второй насосы, а затем подключили третий насос. За какое время была откачана вся вода? 305. Тетрадь стоит 19 р. У покупателя имеются монеты только по 5 р., а у продавца — только по 2 р. Может ли покупатель рассчитаться за тетрадь без дополнительного размена денег? В случае утвердительного ответа определите, какое наименьшее количество монет соответствующего достоинства должны иметь покупатель и продавец. Готовимся к изучению новой темы 14 306. Найдите значение функции У ~ ^сли; \)х=2\ 2)х = -\\ 307. Функция задана формулой у = 3)х=3,5; X + 2 X - 6 4) X = -6. Какова область определения данной функции? Заполните таблицу, вычислив соответствующие значения функции. X -3 -2 -1 0 1 2 3 у 308. Постройте график функции у = 2х - 1. Проходит ли этот график через точку: 1) А (30; 59); 2) В (-15; -29)? Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций у = 2,1х - 8 и ^ = \,2х -1- 7. Решите графически систему уравнений: 2х - у = Ъ, Ъх + у = 1. Повторите содержание п. 17-19 на с. 225-227. 309. 310. Учимся делать нестандартные шаги 311. По окончании теннисного турнира, который проводился по олимпийской системе (проигравший выбывает), оказалось, что только 32 участника выиграли больше встреч, чем проиграли. Сколько теннисистов принимало участие в турнире? 74 ^ 10. Функция у = - и её график X в б классе вы познакомились с функциональной зависимостью, которая характеризуется тем, что с увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Такую зависимость называют обратной пропорциональностью. Рассмотрим два примера. • Пусть имеется 500 р. Обозначим через х р. цену 1 кг товара, а через ^ кг — количество этого товара, которое можно приобрести за 500 р. Зависимость переменной у от переменной х является обратной пропорциональностью: увеличение цены х в несколько раз приводит к уменьшению количества товара у во столько же раз, и наоборот, уменьшение цены приводит к увеличению количества купленного товара. Этой функциональной зависимости соответствует функция, задан- ная формулой у - . • Рассмотрим прямоугольник, площадь которого равна 18 см^, а стороны — д: см и ^ см. Тогда 18 У = — • Увеличение (уменьшение) знаменателя х в несколько раз приводит к уменьшению (увеличению) величины у во столько же раз, то есть зависимость переменной у от переменной х является обратной пропорциональностью. В рассмотренных примерах математической моделью реальных k ситуаций является функция, которую можно задать формулой вида У - — . @ Определение Функцию, которую можно задать формулой вида у = —, X где называют обратной пропорциональностью. Поскольку в выражении — допустимыми значениями переменной х k являются все числа, кроме 0, то областью определения функции У ~ ~ также являются все числа, кроме 0. 0 Рассмотрим функцию ^ = — . В таблице приведены некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции. 75 X -6 -4 -3 -2 -1,5 -1 у ■' -1 -1,5 -2 -3 -4 -6 X 1 1,5 2 3 4 6 у 6 4 3 2 1,5 1 Отметим на координатной плоскости точки, координаты {х\ у) которых приведены в таблице (рис. 3). Чем больше точек, координаты которых удовлетворяют уравнению g у = — , нам удастся отметить, тем меньше полученная фигура (рис. 4) будет отличаться от графика функции У Среди отмеченных точек не может быть точек, абсциссы которых равны нулю, поскольку число О не принадлежит области определения дан- g ной функции. Поэтому график функции у = — не имеет обш;их точек с осью ординат. Кроме того, этот график не имеет общих точек и с осью абсцисс, то есть точек, ординаты которых равны нулю. Действительно, уравнение 76 — = о не имеет решений. Следовательно, число О не принадлежит области значений данной функции. 0 Если > О, то — > О , то есть ^ > 0; если jc < 0, то ^ < 0. Следовательно, точки графика данной функции могут находиться только в I и III координатных четвертях. Заметим, что с увеличением модуля абсциссы расстояния от точек графика функции ^ ^ до оси абсцисс уменьшаются и могут стать сколь угодно малыми, но никогда не будут равными нулю. Действительно, чем больше модуль аргумента, тем меньше модуль соответствующего значения функции. Аналогично можно установить, что с уменьшением модуля абсциссы расстояния от точек графика до оси ординат уменьшаются и могут стать сколь угодно малыми, но никогда не будут равными нулю. Если бы удалось отметить на координатной плоскости все точки, ко- ординаты которых удовлетворяют уравнению у = — ■, то мы получили бы фигуру, изображённую на рисунке 5. k Фигуру, являющуюся графиком функции У ~ ~ у где k Ф 0, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух частей — ветвей гиперболы. Заметим, что если верно равенство = —, то верно равенство k -у^ =----. Тогда можно сделать та- кой вывод: если точка А {х^, у^ принадлежит гиперболе у = — , то точка X В (-XqI -уо) также принадлежит этой гиперболе. Следовательно, гипербола является симметричной фигурой. Начало координат — центр симмет- рии гиперболы у = X На рисунке 5 изображена ги- пербола у = — X Если ^ > о, то ветви гиперболы расположены в I и III четвертях, а если ^ < 0 — то во II и IV четвертях. 77 На рисунке 6 изображён график функции у =-. Ветви гиперболы 6 ^ У ~ ~~ расположены во II и IV четвертях. все числа, кроме 0. В таб параграфе. В таблице приведены свойства функции У - изученные в этом Область определения Все числа, кроме 0 Область значений Все числа, кроме 0 График Гипербола Нуль функции (значение аргумента, при котором значение функции равно 0) Не существует Свойство графика Начало координат является центром симметрии гиперболы Покажем, как график функции У ~ ~ можно использовать при реше- нии уравнении. 78 Пример. Решите уравнение — = х + 3. 4 Решение. Рассмотрим функции У - ~ м у = х + Ъ. Построим в одной системе координат графики этих функций (рис. 7). Они пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны 1 и -4. В каждой из точек пересечения графиков функций значение функции У ~ ~ равно значению функции у = X + Ъ. Следовательно, при найденных абсциссах значения вы- 4 ражений — и X + 3 равны, то есть числа 1 и -4 являются корнями уравне- 4 4 ния — = X + 3. Проверка это подтверждает. Действительно, у = 1 + 3 и Л = -4 + 3. ◄ -4 Описанный метод решения уравнений называют графическим. В 7 классе вы ознакомились с графическим методом решения систем уравнений и знаете, что этот метод не всегда даёт точный результат. Поэтому проверка найденных корней является обязательным этапом решения уравнения. В дальнейшем (§ 21) вы научитесь решать такие уравнения, не используя графический метод. Объясните, какую зависимость между величинами называют обратной пропорциональностью. 2. Какую функцию называют обратной пропорциональностью? k 3. Что является областью определения функции У ~ ~ > где 4. Как называют фигуру, которая является графиком обратной пропорциональности? 5. Как называют части, из которых состоит гипербола? k 6. Что является областью значений функции У > где кф01 7. В каких координатных четвертях расположен график функции У = —. если ^ > О? если к <07 X 8. Объясните, в чём заключается графический метод решения уравнений. Упражнения 312. Автомобиль проезжает некоторое расстояние за 10 ч. За какое время он проедет это же расстояние, если его скорость: 1) увеличится в 2 раза; 2) уменьшится в 1,2 раза? 79 313. Длина прямоугольника равна 30 см. Какой станет его длина, если при той же самой площади ширину прямоугольника: 1) увеличить в 1,5 раза; 2) уменьшить в 3,2 раза? За некоторую сумму купили 40 м ткани. Сколько метров ткани купили бы за ту же сумму, если бы цена за 1 м: 1) уменьшилась в 2,6 раза; 2) увеличилась в 1,6 раза? Пешеход прошёл 12 км. Заполните таблицу, в первой строке которой указана скорость, а во второй — время движения. 314. 315. V, км/ч 5 2,4 3 4 Задайте формулой зависимость t от v. 316. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 48 см^. Заполните таблицу, в первой строке которой указана площадь его основания, а во второй — высота. S, см^ 16 240 h, см 8 4,8 Задайте формулой зависимость h от S. Бригада из семи рабочих с одинаковой производительностью труда может выполнить некоторое производственное задание за 12 дней. Сколько потребуется рабочих с такой же производительностью труда, чтобы выполнить это задание за 4 дня? Заготовленных кормов хватит для 24 лошадей на 18 дней. На сколько дней хватит этих кормов для 36 лошадей? 319. Среди данных функций укажите обратные пропорциональности: 317. 318. \) у = У = 320. 4)t/ = -i; 24 ЕЛ 0,8 5) 2/ = --; 6) 2/ = ^; 8) 2/ = т-- ^ Ъх Задана функция у = —. Найдите: 1) значение функции, если значение аргумента равно: -3; 6; 0,2; 2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 12; -6; 100. 80 оо V 36 321. Задана функция У ~ ~~ • Найдите: 1) значение функции, если значение аргумента равно; -4; 0,9; 18; 2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 6; -0,3; 8. g 322. Постройте график функции У ~ Пользуясь графиком, найдите: 1) значение функции, если значение аргумента равно: 4; -1; 2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 2; -8; 3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения. 323. Постройте график функции У ■ Пользуясь графиком, найдите: 1) значение функции, если значение аргумента равно: 2; -10; 2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 5; -2; 3) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения. 28 324. Не выполняя построения графика функции у = — , определите, проходит ли график через точку: 1) Л(-4;-7); 2) 5 (14;-2); 3) С (0,5; 14); 4) D (0,2; 140). 48 325. Не выполняя построения графика функции у =---------, определите, проходит ли график через точку; \)А (-6; -8); 2) В (12; -4); 3) С (0,3; -16); 4) D (0,4; -120). На рисунке 8 изображён график зависимости времени t движения из пункта А в пункт В от скорости V движения. Пользуясь графиком, определите: 1) за какое время можно добраться из пункта А в пункт В, если двигаться со скоростью 8 км/ч; 24 км/ч; 2) с какой скоростью нужно двигаться, чтобы добраться из пункта А в пункт В за 3 ч; за 4 ч; 3) чему равно расстояние между пунктами А VI В. 326. Рис. 8 81 327. 328. Проволочный реостат подключён к блоку питания (рис. 9). Сопротивление реостата R зависит от положения ползунка и может изменяться в пределах от О до 6 Ом. Пользуясь графиком зависимости силы тока / от сопротивления R (рис. 10), при условии, что напряжение на концах реостата остаётся неизменным, определите: 1) чему равна сила тока, если сопротивление равно 2 Ом; 2) при каком значении сопротивления сила тока равна 3 А; 3) сколько вольт составляет напряжение на концах реостата. Найдите значение k, при котором гра- , , k фик функции у ~ ~ проходит через точку: 1) v4 (-5; 4); 2) вГ1;-2 3) С (1,5; -8). 329. 330. 331. График функции У ~ ~ проходит через точку Л (10; 1,6). Проходит ли график этой функции через точку: 1)5 (-1;-16); 2) С (-2; 8)? Постройте в одной системе координат графики функций У - ~ vi у = х и определите координаты точек их пересечения. Решите графически уравнение: 1) — = 4 - х; X 2)х-2= -; X 332. Решите графически уравнение: 1 ч 8 п 1) — = 6 - х; X 2) 2х = -; X 3) 3) X •+■ 2 =----------- X 7 — = —X. X 333. Решите графически систему уравнений: ху = А, ^^\х-у = \. 1) Ау - х; 2) ху = 2. 82 334. 335. 336. Решите графически систему уравнений ху = Ь, у - X = 4. Определите графически количество решений системы уравнений: ,хи = -\, \ху = -\, \ху = &, 1) { . с г. \ х + Ъу = 0-, ' [х -Ъу = ' [Ъх -2у = 6. Определите графически количество решений системы уравнений ху = -8, 2х + Ъу = 6. ❖ 64 337. Найдите координаты всех точек графика функции у = —, у которых абсцисса и ордината равны. 338. Найдите координаты всех точек графика функции у = - — , у кото- рых абсцисса и ордината — противоположные числа. 339. 340. Постройте график функции У - —| • Постройте график функции: 341. ,, --, если X < -1, У = \ X X + если X > -1; Постройте график функции: 2) у = ^ -2х + 10, если X <2, 12 —, если 2 < л: < 4, X 3, если д: > 4. У = —, если X < -2, X 2, если - 2 < X < 2, —, если X > 2. X 342. 343. Постройте график функции: х^ - 2х Постройте график функции у X - Х-^ 10х^ -40 х^ - 4х Упражнения для повторения 344. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных, содержащихся в выражении, его значение не зависит от значений а и Ь: -Ь^ а + Ь a + Sb \ - 2аЬ -Ь^ ] а-Ь' 83 345. 346. 347. Решите уравнение: 3 1 + 348. 5х + 25 2х- 10 х^ -25' Цену шкафа снизили на 30 %, а спустя некоторое время повысили на 30 %. Как изменилась, увеличилась или уменьшилась, цена шкафа по сравнению с первоначальной и на сколько процентов? {Задача Сунъ-Цзы^.) Двое мужчин получили монеты, которые они должны были разделить между собой так, что если бы к монетам, которые получил первый из них, прибавить половину монет второго, или к монетам, которые получил второй, прибавить § монет пер- 3 вого, то в обоих случаях было бы 48 монет. Сколько монет получил каждый из мужчин? Если лыжник будет двигаться со скоростью 10 км/ч, то доберётся в пункт назначения на 1 ч позже запланированного времени прибытия, а если будет двигаться со скоростью 15 км/ч — то на 1 ч раньше. С какой скоростью он должен двигаться, чтобы прибыть в пункт назначения в запланированное время? С J Учимся делать нестандартные шаги 349. Каждый из трёх учеников написал 100 разных слов. После этого слова, которые встретились не менее двух раз, вычеркнули. В результате у одного ученика осталось 45 слов, у второго — 68, а у третьего — 78. Докажите, что по крайней мере одно слово записали все трое. ' Сунь-Цзы — китайский математик, который жил в III или IV в. 84 Задание № 3 «Проверьте себя» в тестовой форме -100 Решите уравнение ----rtr- = 0. А) -10; 10 дг-10 Б) 10 В) -10 X —10 2. Решите уравнение —z------= 0. х^ -100 А) -10; 10 Б) 10 В) -10 3. Какое из данных равенств верно? А) 10'^ = -1 000 -2 Г) корней нет Г) корней нет В) (-2)-» = - i Г) А = -49 4. Как записывают в стандартном виде число 42 000? А) 4,2 • 10^ Б) 4,2 • 10" В) 0,42 • 10“ Г) 42 • Ю'"’ 5. Как записывают в виде десятичной дроби число 6,3 • 10 ^? А) 0,63 Б) 0,063 В) 0,0063 Г) 0,00063 6. Представьте число — в виде степени с основанием 5. 25 А) 5'^ Б) 5^ В) 5-^ Г) 5^ 7. Чему равно значение выражения (1,7 • 10®) • (6 • 10“®)? Г) 1,02-10’ А) 1,02 • 10® Б) 1,02 • 10® 8. Найдите значение выражения В) 10,2 • 10" 9-2 .3-5 А) 81 Б) — ’ 81 81 • 27-3 • В) 27 Г) _1_ 27 9. Какая из данных функций не является обратной пропорциональностью? А) у = ^ X Б)у = -± R) У = 2х т-ч 5х Г) з/ = Y 10. На одном из рисунков изображён график функции у -----. Ука- жите этот рисунок. J’\ ‘ у* 1 IV 0 / X 0 5 £ X* 0 X Г 85 fV 11. При каком значении k график функции У = — точку Л (-3; 0,6)? А) -1,8 Б) -0,2 В) -2,4 Г) -3,6 2х -\ Зх + 1 4х^ + 8 проходит через 12. Решите уравнение А) 0; 4 X + 4 Б) - 4; о 4-х х2 - 16 ■ В) -4 Г) о Итоги главы 1 Рациональное выражение Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями. Допустимые значения переменных Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл. Тождественно равные выражения Выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными. Тождество Равенство, которое выполняется при любых допустимых значениях входящих в него переменных, называют тождеством. Основное свойство рациональной дроби Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получим дробь, тождественно равную данной. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же. 86 Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же. Умножение рациональных дробей Произведением двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей. Деление рациональных дробей Частным двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителя делимого и знаменателя делителя, а знаменатель — произведению знаменателя делимого и числителя делителя. Возведение рациональной дроби в степень Чтобы возвести рациональную дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель. Первый результат записать как числитель, а второй — как знаменатель дроби. Равносильные уравнения Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни или каждое из уравнений не имеет корней. Свойства уравнений Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному. Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному. Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному. Рациональное уравнение Уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями, называют рациональным. 87 Степень с целым отрицательным показателем Для любого числа а, не равного нулю, и натурального числа п А” = —. Степень с показателем, равным нулю Для любого числа а, не равного нулю, а" = 1. Стандартный вид числа Запись числа в виде произведения а • 10”, где 1 < а < 10 и л — целое число, называют стандартным видом числа. Свойства степени с целым показателем Для любых любых целых тип выполняют- ся равенства: а'” • а” = а"*^” (основное свойство степени); (а”*)" = а”*”; {аЬГ = а"Ь"; a”*-”; а Т а" Ъ I Ь” Функция обратная пропорциональность k Функцию, которую можно задать формулой вида У ~—ч где кф^^ называют обратной пропорциональностью. Свойства функции у Область определения: все числа, кроме 0. Область значений: все числа, кроме 0. График: гипербола. Нуль функции: не существует. Свойство графика: начало координат является центром симметрии гиперболы. 88 Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа Изучая материал этой главы, вы познакомитесь с функцией ^ и её свойствами. Узнаете о новом действии «извлечение квадратного корня». Вы убедитесь, что для изучения окружающего мира только рациональных чисел недостаточно. Вы изучите свойства нового математического понятия — арифметический квадратный корень. Научитесь упрощать выражения, содержащие квадратные корни. ^ 11. Функция у ^ и её график Обозначим через у площадь квадрата со стороной х. Тогда у = х^. С изменением стороны х квадрата будет изменяться и его площадь у. Понятно, что каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у. Следовательно, зависимость переменной у от переменной х является функциональной, а формула у - х^ задаёт функцию. Рассмотрим функцию у = хр-, областью определения которой являются все числа. В таблице приведены некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции. X -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 у 9 6,25 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 Отметим на координатной плоскости точки, координаты {х\ у) которых приведены в таблице (рис. 11). Чем больше точек, координаты которых удовлетворяют уравнению у = х^, будет отмечено, тем меньше полученная фигура (рис. 12) будет отличаться от графика функции у — Пара чисел (0; 0) является решением уравнения у = х^. Следовательно, график данной функции проходит через начало координат. Поскольку у = хР х^ > 0, то 89 ^ > о, то есть среди отмеченных точек не может быть точек с отрицательными ординатами. Область значений функции у ■= — все неотрицательные числа. Если бы удалось отметить на координатной плоскости все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению у = то получилась бы фигура — график функции у = которую называют параболой (рис. 13). Точка с координатами (0; 0) делит параболу на две равные части, каждую из которых называют ветвью параболы, а саму точку — вершиной параболы. Заметим, что если верно равенство у^ = х^, то и верно равенство у^ = (~Xq)^. Тогда можно сделать такой вывод: если точка А (х^; у^ принадлежит параболе у = х^, то точка В (-лГр; у^^ также принадлежит этой параболе. Следовательно, парабола является симметричной фигурой. Ось ординат является осью симметрии параболы у = х^. в таблице приведены свойства функции у = л;^, рассмотренные в этом параграфе. ,,Область определения Все числа Область значений Все неотрицательные числа График Парабола Нуль функции (значение аргумента, при котором значение функции равно 0) X = 0 Свойство графика Ось ординат является осью симметрии параболы 90 Пример. Решите графически уравнение = X + 2. Решение. В одной системе координат построим графики функций у = х^ иу = х +2 (рис. 14). Эти графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны 2 и -1. Следовательно, как при X =2, так и при X = -\ значения выражений х^ 1\ X + 2 равны, то есть числа 2 и -1 являются корнями уравнения х^ = = X 2, Проверка это подтверждает. Действительно, 2^ = 2 -н 2 и (-1)^ = -1 и- 2. ◄ Рис. 14 1. Что является областью определения функции у = 2. Что является областью значений функции у = х^1 3. При каком значении аргумента значение функции равно нулю? 4. Сравните значения функции у при противоположных значениях аргумента. 5. Какая фигура является графиком функции у - х^1 6. Какая прямая является осью симметрии параболы у = х^1 Упражнения 350. Функция задана формулой у = х^. Найдите: 1) значение функции, если значение аргумента равно: -6; 0,8; -1,2; 150; 2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 49; 0; 2 500; 0,04. 351. Не выполняя построения графика функции у - хр-, определите, проходит ли этот график через точку: 1) Л (-8; 64); 3) С (0,5; 2,5); 2) В (-9;-81); А) D (0,1; 0,01). 352. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций у = хР vi у = 4х — 4. Постройте графики данных функций и отметьте найденные точки. 353. Решите графически уравнение: \)х^ = х-\; 2)хР-2х-3 = 0; 354. Решите графически уравнение: 1) х^ = -4х - 3; 2) - Зл' -н 5 = 0; 3) -I- — = 0. 3) х2 = -. X X 91 355. Определите графически количество решений системы уравнений: 1) 2) 356. Определите графически количество решений системы уравнений: У = х^, 3) \у-х^ =0, у = 2; [д: - ^ + 6 = 0; У = х^, 4) \у-х^ = 0, У = -2; 12д: + 5у = 10. 1) у = х^. Ъх + 2у = -6; 2) у = х^, х-Ъу = -3. "❖V 4, если X < -2, 358. Дана функция f{x) = 357. Функция / задана следующим способом: f{x) = \х^, если -2 < д: < 1, 2х - 1, если д: > 1. 1) Найдите/(-3),/(-2),/(-1), /(1),/(3), /(0,5).' 2) Постройте график данной функции. 2дг + 3, если X < -1, х^, если —1 < д: < 2, 4, если д: > 2. 1) Найдите/(-4),/(-0,3)./(1,9),/(3),/(-1)./(2). 2) Постройте график данной функции. дг^, если д: < о, дг + 1, если д: > 0. 1) Найдите/(-7),/(0),/(2). 2) Постройте график данной функции. * ---, если X < -1, 360. Дана функция / (х) = < х 359. Дана функция f{x) = X если X > -1. 1) Найдите/(-12), /(-1), /(-0,9), /(3), /(0). 2) Постройте график данной функции. 361. Постройте график функции: 1) ^ = д: 4-1 2) г/ = х‘^ -х^ -4 J4 362. Постройте график функции у = —. 363. Найдите область определения, область значений и нули функции у = -дг^. Постройте график этой функции. 92 364. Постройте график уравнения: 1), 2) У-Х^ _ = 0. 365. 366. 367. у-х Постройте график уравнения: .2 _ = 0. X" У (д: + 2)2 +(г/-4)2 Задайте с помощью формул функцию, график которой изображён на рисунке 15. Задайте с помощью формул функцию, график которой изображён на рисунке 16. Рис. 16 Упражнения для повторения 368. Докажите тождество: 369. 370. {а + Ь)^ ( а I <2 а-Ь уа-Ь а + Ь Решите уравнение: 6 X -¥Ъ X -I- 6 = а + Ь. X -2 X х'^ -2х' Докажите, что значение выражения 27® - 9^ кратно 48. 93 371. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 30 км, одновременно навстречу друг другу вышли два туриста и встретились через 3 ч 45 мин. Если бы первый из них вышел на 2 ч раньше второго, то они встретились бы через 4,5 ч после выхода первого. Найдите скорость каждого туриста. Готовимся к изучению новой темы 372. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна: 1)25см^; 2) 1600 дм2; 3) 0,04 м2. 373. Решите уравнение: 1)х2 = 9; ^_о. 2)х^=|. 374. При каких значениях а уравнение л:2 = <2 не имеет корней? 375. Постройте графики функций у = ну = 1 и найдите координаты их общих точек. Учимся делать \--- нестандартные шаги 376. Натуральные числа х, у, z таковы, что значения выражений х + у, у + Z, X + Z — простые числа. Докажите, что среди чисел х, у, z есть по крайней мере два числа, равные 1. ^ 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень Рассмотрим квадрат, площадь которого равна 49 квадратным единицам. Пусть длина его стороны равна х см. Тогда уравнение х^ = 49 можно рассматривать как математическую модель задачи о нахождении стороны квадрата, площадь которого равна 49 квадратным единицам. Корнями этого уравнения являются числа 7 и -7. Говорят, что числа 7 и -7 являются квадратными корнями из числа 49. & Определение Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а. Приведём несколько примеров. Квадратными корнями из числа 9 являются числа 3 и —3. Действительно, 32 = 9, (-3)2 = 9. 94 25 5 5 Квадратными корнями из числа — являются числа 2 ~ 2 , 5 \ 25 вительно, I — I = — 5] ^ 25 2/ 4 ■ Квадратным корнем из числа О является только число 0. Действительно, существует лишь одно число, квадрат которого равен нулю, — это число 0. Поскольку не существует числа, квадрат которого равен отрицательному числу, то квадратного корня из отрицательного числа не существует. Положительный корень уравнения = 49, число 7, является ответом в задаче о нахождении стороны квадрата, площадь которого равна 49 квадратным единицам. Это число называют арифм[етическим квадратным корнем из числа 49. @ Определение Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а. Арифметический квадратный корень из числа а обозначают >/й. Знак \/~ называют знаком квадратного корня или радикалом (от лат. radix — «корень»). Запись у[а читают: «квадратный корень из а», опуская при чтении слово «арифметический». Выражение, стоящее под радикалом, называют подкоренным выражением. Например, в записи \lb-5 двучлен Ь - 5 является подкоренным выражением. Из определения арифметического квадратного корня следует, что подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения. Действие нахождения арифметического квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня. Рассмотрим несколько примеров: V9 = 3, так как 3 > 0 и 3^ = 9; 5 5 . ^ / 5 f 25 V 4 2 2 \ 2 / 4 у/6 = о, так как 0 > 0 и 0^ = 0. Вообще, равенство ^/a = Ь выполняется при условии, что Ь > Q п Ы = а. Этот вывод можно представить в другой форме: для любого неотрицательного числа а справедливо, что 4а > 0 и (4а) = а. 95 2 /2 i^—^— Например, >/4 > О и (V4) =4, V2 > О и (>/2) =2, 7^ > О и (Tsif = 5.2. Подчеркнём, что к понятию квадратного корня мы пришли, решая уравнение вида = а, где а>0. Корни этого уравнения — числа, каждое из которых является квадратным корнем из числа а. Поиск корней уравнения = а проиллюстрируем, решив графически уравнение = 4. В одной системе координат построим графики функций у = х^и у = 4 (рис. 17). Точки пересечения этих графиков имеют абсциссы 2 и -2, которые и являются корнями данного уравнения. Уравнение = а при <2 < О не имеет корней, что подтверждается графически: графики функций у = х^и у = а при а < О общих точек не имеют (рис. 18). Рис. 17 Рис. 18 При <3 = 0 уравнение = а имеет единственный корень х=0, что тоже подтверждается графически: графики функций ^ и ^ = 0 имеют только одну общую точку (рис. 18). Графический метод также позволяет сделать следующий вывод: если <3 > о, то уравнение = <з имеет два корня. Действительно, парабола у — и прямая у = а, где <з > 0, имеют две общие точки (рис. 18). При этом корнями уравнения = а являются числа и -7я. Действительно, (Та) = а. Например, уравнение х^ = 5 имеет два корня: Тб и -Тб. Пример 1. Найдите значение выражения (-8^Г. 96 Решение. Применив правило возведения произведения в степень и тождество Ш - а, получим: (-8ч/2 f = (-8)2 . (>/2 f = 64 • 2 = 128. ◄ Пример 2. Решите уравнение: 1) ^ 4х -3 = 0; 2) Vl + = 2. Решение. 1) Имеем: ^ у[х = 3; у[х = 6. Тогда х= х = 36. Ответ: 36. 2) Vl + 'Jx~^ = 2; 1 + yjx + 2 = 22; yjx + 2 = Ъ\ x + 2 = x =1. Ответ: 7. ◄ Пример 3. Решите уравнение {х - 5)2 =16. Решение, {х - 5)2 = 16; X - 5 = -4 или д: - 5 = 4; х = \ или х = 9. Ответ: 1; 9. ◄ Пример 4. Решите уравнение (Зд: - 1)2 = 2. Решение. (Зх - 1)2 = 2; Зх - 1 = -л/2 или Зх - 1 = >/2; Зх = 1 - >/2 или Зх = 1 + \/2; 1->/2 1 + л/2 X = --или X = --------. Ответ: . 1-л/2 . 1 + л/2 2) Пример 5. При каких значениях х имеет смысл выражение: 1) >/-5х; л/х - 2 Решение. 1) Выражение л/-5х имеет смысл, если подкоренное выражение —5х принимает неотрицательные значения. Подкоренное выражение является произведением двух множителей, один из которых — отрицательное число. Следовательно, это произведение будет принимать неотрицательные значения, если другой множитель х будет принимать неположительные значения. Ответ: при х < 0. 97 2) Данное выражение имеет смысл, если выполняются два условия: имеет смысл выражение 4х и знаменатель 4х - 2 отличен от нуля. Следовательно, должны одновременно выполняться два условия: л: > О и л/х - 2 0. Отсюда x>0vLX^^. Ответ: при x>0nxit 4. < Пример 6. Решите уравнение: 1) -к у/х-2 =2; 3) (д: -ь 2)yjx - 2 = 0. 2) yjx^ - 2х + у!х-2 = 0; Решение. 1) Левая часть данного уравнения имеет смысл, если подкоренные выражения -х и х -2 одновременно принимают неотрицательные значения. Имеем: -х > 0, тогда jc < 0. Понятно, что при х < 0 выражение д: - 2 принимает только отрицательные значения. Следовательно, левая часть данного уравнения не имеет смысла. Ответ: корней нет. 2) Левая часть данного уравнения является суммой двух слагаемых, каждое из которых может принимать только неотрицательные значения. Тогда их сумма равна нулю, если каждое из слагаемых равно нулю. Следовательно, одновременно должны выполняться два условия: л/д;^ - 2х = о и yjx - 2=0. Это означает, что надо найти общие корни полученных уравнений. В таких случаях говорят, что надо решить систему уравнений = о. Ух-2 =0. х{х - 2) = о, J д: = о или д: = 2, д: = 2; [х = 2. Решением последней системы, как и исходного уравнения, является число 2. Ответ: 2. 3) Используя условие равенства произведения нулю, получаем: л:-f 2 = о или у/х -2=0; х = -2 или д; = 2. Однако при х = -2 выражение yjx - 2 не имеет смысла. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень — число 2. Ответ: 2. ◄ Имеем: 1. Что называют квадратным корнем из числа а1 2. Что называют арифметическим квадратным корнем из числа я? 98 3. Как обозначают арифметический квадратный корень из числа а! 4. Как называют знак уГ ? 5. Как читают запись 4а ? 6. Как называют выражение, стоящее под радикалом? 7. Какие значения может принимать подкоренное выражение? 8. Как называют действие нахождения арифметического квадратного корня из числа? 2 9. Чему равно значение выражения {4а) для любого неотрицательного числа а! 10. Сколько корней имеет уравнение = а при а >01 Чему они равны? 11. Имеет ли корни уравнение = а при = 0? при <з < 0? 379. Упражнения \---- Чему равен квадратный корень из числа 16? из числа 1? из числа О? Чему равен арифметический квадратный корень из этих чисел? Верно ли равенство (ответ обоснуйте): 1) V25 = 5; 3) ТЗб = -6; 5) 4^ = 0,9; 2) Vo = 0; 4) VM = 0,2; 6) VTo = 100? Найдите значение арифметического квадратного корня: 1) V9; 2) V49; 3) VlOO; 5) V^; 6) 4Ш; 7) л/Ш; 4) 4^; 8) Vr%; 9) VioO; 10) Vs 600; 13) Jlyg; 15) Vo,0004; 16) V0,000025. 380. Найдите значение арифметического квадратного корня: 1) 736; 2) -764; 3) у/Ш; 4) ТоЖ; 5) 7М9; 6) ч/Гб9; 7) 8) ,/юООО; 10) ,/5^; 9) Ш-' \12Г 11) -70,0009; 12) Vo,0196. 381. Имеет ли смысл выражение: 1) л/2; 2) -л/2; 3) V=2; 4) 7^; 5) (л/^f ? 99 382. Найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен: 1)4; 2) 0; 3) 0,8; 4)2^; 5) 1,6; 6) -9. 383. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел, приведённой на форзаце, найдите: 1) V484; 4) 7^; 7) V68,89; 2) n/^; 5) 4^; 8) J67600; 3) 71156; 384. Найдите: 6) Vl4,44; 9) ^384 400 1) TsiT ; 3) 7Ш; 5) 772,25; 2) 71296; 4) 710,24; 6) f672 400 385. Пользуясь микрокалькулятором, найдите значение квадратного корня (результат округлите до сотых): 1) 2) sh; 3) ^/34; 4) VTS; 5) V2.439. 386. Пользуясь микрокалькулятором, найдите значение квадратного корня (результат округлите до сотых): 1) 2) 3) n/40; 4) ^12,56. 387. Найдите значение выражения: 1) (л/7) ; 2) (^2f; 3) (-VTTf; 4) -(-М) 5) (2^/зf; 6) 1 388. Вычислите: 1) (Vef; 2) 3) (Зл/2)'; 4) (-475^; 389. Найдите значение выражения: 1) л/16 -ь 9; 2) л/Тб-н л/9; 3) >/% - л/49; 4) V36 • V49; 5) 5л/4 - ^/^; 6) + 7) iVo09-2; О 8) -2/ОДб-кО,7; 100 7) 8) (|Vi4f; 9) (-0,34/2f. 5) (-ft 6) (i^J. 9) (Visf-3 (78f: 10) 11) 50.(-172); 12) V4-52 -62. оо \_ 390. Вычислите значение выражения: 1) л/з + л/%; 4) + 3 2) л/72-ч/б4; 5) (2>/б^ - 3) >/Тб • л/^; 6) л/Ю2 -4-32. 391. Найдите значение выражения: 1) л/12 + й, если а = 0,25; 2) V7 - Sb, если 5 = 2; 3) >/2fl - 5, если а = 34, 5 = 19. 392. Найдите значение выражения: 1) + т, если т = 54; 2) у1гп - Ъп, если m = 0,13, гг = - 0,04. 393. Решите уравнение: 1) n/x=9; 3)n/x-0,2 = 0; 2) yfx=^\ 4) >/х + 7 = 0. 394. Решите уравнение: l)Vj^=20; 2)Vx = -16; 395. Решите уравнение: 1) ^2 = 25; 3)х2 = 3; 2) = 0,49; 4) = -25. 396. Решите уравнение: 1) д:2=100; 3)д:2 = 7; 2) Jc2 = 0,81; 4) д;2^3 б. 397. Найдите значение выражения: 1) -0,06-710000 + -Щ-2,5 2) Тб4-763 + 72^+17; 3) ^^ + 3^-0,б7^; 2 4) (|>/^) +7262-242; 5) (37^)4(873f-2(7^f; 6) 7144 : 7^ - • 72500. 3) Д-| = 0. 101 398. Найдите значение выражения: 1) ОДбТЗбОО-0,187400+ (l0VO08f; 2) + +152; 14 V 169 3) -8^ + ^^ V12,25 :(0,1>Яз/. 399. При каких значениях х имеет смысл выражение; 1 1) л/^; 2) 3) 7^; 4) 7-^; 5) 7^^ - 8; 6) 78 - JC; 7) л/х2 + 8; 9) 10) 11) 7(^-8)^’ 1 7^ - 3 1 \/jc + 3 8) 7(-^ - 8)^ ; 12) yfx-^Fx; 400. При каких значениях у имеет смысл выражение: 3) у1?; 14) \l\x\; 15) 7^; 1) -Ду-, 5) 7^; 2) 7=%; 4) 401. Решите уравнение: 1) 7^-4 = 0; ■у^\ 6) у!у 16) 7) 8) 1 Ты 1 7^ + 1 2) V5X-4 = 0; 402. Решите уравнение: 1) ^7х-2 = 0; 3 3) yjbx-^ = 6; 4) ^ = 6; yjx 5) 18 yjx + S = 9; 6) Vx2 - 36 = 8. 3) >/л: - = 6; 2) V2x + 3 =11; 403. Решите уравнение: 1) (х+6)2 = 0; 2) (X + 6)2 = 9; 404. Решите уравнение: 1) (2х-3)2 = 25; 4) Vl30-x2 9_ 3) (х +6)2 = 3; 4) (7х+6)2 = 5. 2) (х-3)2 = 7; 3) (2х-3)2 = 7. 1) 7з + V2 + X = 4; 2) >/2 + 7з + 7х = 3; 3) ^4-7ю + \^ = 2. 405. Решите уравнение: 102 406. 407. 408. 409. 410. 411. Решите уравнение: 1) >/l7 +VV^-б = 5; 2) = 1. При каких значениях аи Ь имеет смысл выражение: 1) у[аЬ\ 2) у1-аЬ\ 3) yjab^\ 5) 4) yja^b^; Можно ли утверждать, что при любом значении х имеет смысл выражение: 1) -4х + 4; 2) у1х^ -4x4-5? Докажите, что не существует такого значения х, при котором имеет смысл выражение yj-x^ -ь бх - 12. Какое из данных выражений имеет смысл при любом значении х: 1) л1х^ +8Х + 15-, Решите уравнение: 1) yfx = -х; 2) л/х + Vx -1 = 0; 2) Vx2 -10x-h27? 4) Vx^ + 2x + yjx^ - 4 = 0; 5) (X - l)Vx -H 1 = 0; 6) (x + l)yjx -1 = 0. 3) yjx^ - 2x -I-1 + yjx^ -1 = 0; 3) yjx^ -X + Vx -1 = 0; Решите уравнение: 1) л/х -t- yPx = 0; 2) yfx + = 1; 4) (x - 2)Vx-3 = 0. При каком значении a уравнение x^ = a + 1: 1) имеет два корня; 2) имеет один корень; 3) не имеет корней? Постройте график функции: 1) у = V-x2; 8) у = {yfxf. 2) у = л/-х^ - 4х - 4 + 2; 415. Постройте график функции у = yj2x - 1 - х^ - 1. 412. 413. 414. 416. Для каждого значения а решите уравнение: 1) йл/х -1 = 0; 3) ayjx - 1 = а; 2) у1(а- 1)х = 0; 4) Vx - 2 = а. 417. При каких значениях а уравнение (Vx-1)(х-й) = о имеет только один корень? 103 Упражнения для повторения 418. 419. 420. Дома на улице пронумерованы подряд числами от 1 до 24. Сколько раз цифра 1 встречается в нумерации домов? Упростите выражение: ^ 28 - ^ ^ + <2 - 5 0^-25 5 - а а + 5 а + 5 Рабочий получил 4 700 р. аванса купюрами по 100 р. и по 500 р. Сколько было купюр каждого достоинства, если всего была 31 купюра? CIZJ Учимся делать нестандартные шаги 421. Найдите все трёхзначные натуральные числа п такие, что сумма цифр числа лг в 11 раз меньше самого числа п. ClZb Когда сделаны уроки ^-------- Растут ли в огороде радикалы? в Древней Греции действие извлечения корня отождествляли с поиском стороны квадрата по его площади, а сам квадратный корень называли стороной, В Древней Индии слово «мула» означало «начало», «основание», «корень дерева». Это же слово стали употреблять и по отношению к стороне квадрата исходя, возможно, из такой ассоциации: из стороны квадрата, как из корня, вырастает сам квадрат. Видимо, поэтому в латинском языке понятия «сторона» и «корень» выражаются одним и тем же словом — radix. От этого слова произошёл термин «радикал». Слово radix можно также перевести как «редис», то есть корнеплод — часть растения — видоизменённый корень, который может являться съедобным. В XIII-XV вв. европейские математики, сокращая слово radix, обозначали квадратный корень знаками R, R, R^. Например, запись >/? выглядела так: R^l. В XVI в. стали использовать знак J. Происхождение этого символа, по-видимому, связано с рукописным начертанием латинской буквы г. В XVII в. выдающийся французский математик Рене Декарт (1596-1650), соединив знак V с го- Рене Декарт 104 ризонтальной чёрточкой, получил символ >г. который мы и используем сегодня. ^ 13. Множество и его элементы Мы часто говорим: косяк рыб, стая птиц, рой пчёл, коллекция марок, собрание картин, набор ручек, букет цветов, компания друзей, парк машин, отара овец. Если в этих парах перемешать первые слова, то может получиться смешно. Например: букет овец, косяк картин, коллекция друзей и т. д. В то же время такие словосочетания, как коллекция рыб, коллекция картин, коллекция ручек, коллекция машин и т. д., вполне приемлемы. Дело в том, что слово «коллекция» достаточно универсальное. Однако в математике есть всеобъемлющее слово, которым можно заменить любое из первых слов в данных парах. Это слово множество. Приведём ещё несколько примеров множеств: • множество учеников вашего класса; • множество планет Солнечной системы; • множество двузначных чисел; • множество пар чисел [х] у), являющихся решениями уравнения + у^ = 1. Отдельным важнейшим множествам присвоены общепринятые названия и обозначения: • множество точек плоскости — геометрическая фигура; • множество точек, обладающих заданным свойством, — геометрическое место точек (ГМТ); • множество значений аргумента функции/— область определения функции /, которую обозначают D (f)\ • множество значений функции / — область значений функции /, которую обозначают Е (f)\ • множество натуральных чисел, которое обозначают буквой N. Как правило, множества обозначают прописными латинскими буквами: А, В, С, D тл т. д. Объекты, составляющие данное множество, называют элементами этого множества. Обычно элементы обозначают строчными латинскими буквами: а, Ь, с, d и т. д. Если элемент а принадлежит множеству Л, то пишут а е А (читают: «а принадлежит множеству А»). Если элемент Ь не принадлежит множеству А, то пишут Ь € А (читают: «Ь не принадлежит множеству А»). Например, 12 е N, -S i N, — ^ N. 3 105 Если множество А состоит, например, из трёх элементов а, Ь, с, то пишут А = {а, Ь, с}. Так, если М — множество натуральных делителей числа 6, то пишут М = {1, 2, 3, 6}. Множество делителей числа б, являющихся составными числами, выглядит так: {6}. Это пример одноэлементного множества. Задание множества с помощью фигурных скобок, в которых указан список его элементов, удобно в тех случаях, когда множество состоит из небольшого количества элементов. 0 Определение Два множества АмВ называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А принадлежит множеству В и наоборот — каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Если множества А и В равны, то пишут А = В. Из определения следует, что множество однозначно определяется своими элементами. Если множество записано с помощью фигурных скобок, то порядок, в котором выписаны его элементы, не имеет значения. Так, множество, состоящее из трёх элементов а, Ь, с, допускает шесть вариантов записи: {а, Ь, с), {а, с, Ь], {Ь, а, с}, {Ь, с, а], [с, а, Ь), {с, Ь, а]. Поскольку из определения равных множеств следует, что, например, [а, Ь, с} = {а, а, Ь, с), то в дальнейшем будем рассматривать множества, состоящие из разных элементов. Так, множество букв слова «космодром» имеет вид {к, о, с, м, д, р}. Заметим, что [а] Ф [[а]}. Действительно, множество [а] состоит из одного элемента а\ множество [{а)] состоит из одного элемента — множества {а}. Чаще всего множество задают одним из двух следующих способов. Первый способ состоит в том, что множество задают указанием (перечислением) всех его элементов. Мы уже использовали этот способ, записывая множество с помощью фигурных скобок, в которых указывали список его элементов. Ясно, что не всякое множество можно задать таким способом. Например, множество чётных чисел так задать невозможно. Второй способ состоит в том, что указывается характеристическое свойство элементов множества, то есть свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они. Например, свойство «натуральное число при делении на 2 даёт в остатке 1» задаёт множество нечётных чисел. Если задавать множество характеристическим свойством его элементов, то может оказаться, что ни один объект этим свойством не обладает. 106 Обратимся к примерам. • Множество треугольников, стороны которых пропорциональны числам 1, 2, 5. Из неравенства треугольника следует, что это множество не содержит ни одного элемента. • Обозначим через А множество учеников вашего класса, являющихся мастерами спорта по шахматам. Может оказаться, что множество А также не содержит ни одного элемента. • Рассматривая множество корней произвольного уравнения, следует предусмотреть ситуацию, когда уравнение корней не имеет. Приведённые примеры указывают на то, что удобно к совокупности множеств отнести ещё одно особенное множество, не содержащее ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают символом 0. Заметим, что множество {0} не является пустым. Оно содержит один элемент — пустое множество. 1. Как обозначают множество и его элементы? 2. Как обозначают множество натуральных чисел? 3. Как обозначают область определения и область значений функции? 4. Как записать, что элемент принадлежит (не принадлежит) множеству А? 5. Какие множества называют равными? 6. Какие существуют способы задания множеств? 7. Какое множество называют пустым? Как его обозначают? Упражнения 427. 428. Как называют множество точек угла, равноудалённых от его сторон? Как называют множество волков, подчиняющихся одному вожаку? Назовите какое-нибудь множество учеников вашей школы. Как называют множество учителей, работающих в одной школе? Поставьте вместо звёздочки знак е или ^ так, чтобы получилось верное утверждение: 1)5*N; 2)0*N; 3)-5 * N. Дана функция (х) = х^. Поставьте вместо звёздочки знак g или ^ так, чтобы получилось верное утверждение: 1)3 *D(/); 2)0*D(/); 3)0 *£(/); 4) Какие из следующих утверждений верны: 1) 1 G {1, 2, 3); 3) {1} G U, 2}; 5) 0 g {1, 2); 2) 1й{1); 4){1}е{{1}}; 6) 0 g (0)? 107 оо V 429. Запишите множество корней уравнения: 1) л:(х-1) = 0; 3)х=2; 2) (х - 2)(д^ - 4) = 0; 4)х^ + Ъ = 0. 430. Задайте с помощью перечисления элементов множество: 1) правильных дробей со знаменателем 7; 2) правильных дробей, знаменатель которых не больше 4; 3) букв слова «математика»; 4) цифр числа 5555. 431. 432. 433. Равны ли множества А и В, если: 1) Л = {1,2},Б={2. 1}; 3)Л = {1}.Б={{1}}? 2) Л = {(1; 0)},5= {(0; 1)}; Равны ли множества А и В, если: 1) Л — множество корней уравнения |х| = х, В — множество неотрицательных чисел; 2) Л — множество четырёхугольников, у которых противоположные стороны попарно равны; В — множество четырёхугольников, у которых диагонали точкой пересечения делятся пополам? Какие из следующих множеств равны пустому множеству: 1) множество треугольников, сумма углов которых равна 181°; 2) множество горных вершин высотой более 8 800 м; 3) множество остроугольных треугольников, медиана которых равна половине стороны, к которой она проведена; 4) множество функций, графиками которых являются окружности? - 4 Упражнения для повторения ^--------- 434. Упростите выражение: ,. 55 Ь + 6 90 . 5-к2 .__________ ^5-3 25-б’52-ьб5’ ^ 52-25-И ' 35-3 5-2‘ 435. Моторная лодка проплыла 36 км по течению реки за 3 ч и 36,8 км против течения за 4 ч. Какова скорость течения реки? 436. В коробке лежат 42 карандаша, из них 14 карандашей — красные, 16 карандашей — синие, а остальные — зелёные. Какова вероятность того, что наугад взятый карандаш не будет ни красным, ни синим? di Учимся делать нестандартные шаги 437. Петя и Коля ежедневно записывают по одному числу. В первый день каждый из мальчиков записал число 1. В каждый последующий день 108 Петя записывает число 1, а Коля — число, равное сумме чисел, записанных мальчиками за предыдущие дни. Может ли в какой-то день Коля записать число, оканчивающееся на 101? ^ 14. Подмножество. Операции над множествами Рассмотрим множество цифр десятичной системы счисления: Л = {0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9). Выделим из множества А его элементы, являющиеся чётными цифрами. Получим множество В = {0, 2, 4, 6, 8}, все элементы которого являются элементами множества А. 0 Определение Множество В называют подмножеством множества Л, если каждый элемент множества В является элементом множества А. Рис. 19 В Это записывают так: В cz А или А z> В (читают: «множество В — подмножество множества А» или «множество А содержит множество В»). Рассмотрим примеры: • множество учеников вашего класса является подмножеством множества учеников вашей школы; • множество млекопитающих является подмножеством множества позвоночных; • множество точек луча СВ является подмножеством множества точек прямой АВ (рис. 19); • множество прямоугольников является подмножеством множества параллелограммов; • {а} с [а, Ь). Для иллюстрации соотношений между множествами пользуются схемами, которые называют диаграммами Эйлера. На рисунке 20 изображены множество А (больший круг) и множество В (меньший круг, содержащийся в большем). Эта схема означает, что В (Z А (или А z> В). Если В а А, то с помощью рисунка 20 можно сделать такие выводы: 1) для того чтобы элемент х принадлежал множеству А, достаточно, чтобы он принадлежал множеству В\ 109 2) для того чтобы элемент х принадлежал множеству В, необходимо, чтобы он принадлежал множеству А. Например, если Л — множество натуральных чисел, кратных 5, г. В — множество натуральных чисел, кратных 10, то очевидно, что В а А. Поэтому для того, чтобы натуральное число п было кратным 5 (п е А), достаточно, чтобы оно было кратным 10 {п е В). Для того чтобы натуральное число п было кратным 10 {п е В), необходимо, чтобы оно было кратным 5 {п е Л). Из определений подмножества и равенства множеств следует, что если А (z В и В cz А, то А = В. Если в множестве В нет элемента, не принадлежащего множеству А, то множество В является подмножеством множества А. В силу этих соображений пустое множество считают подмножеством любого множества. Действительно, пустое множество не содержит ни одного элемента, следовательно, в нём нет элемента, который не принадлежит данному множеству А. Поэтому для любого множества А справедливо утверждение: 0 с Л. Любое множество Л является подмножеством самого себя, то есть Л с Л. Пример 1. Выпишите все подмножества множества А = [а, Ь, с]. Решение. Имеем: [а], {Ь}, {с}, [а, Ь], {Ь, с), {а, с}, {а, Ь, с}, 0. Всего получили восемь подмножеств. В старших классах будет доказано, что количество подмножеств ?г-элементного множества равно 2”. ◄ Пусть Л — множество решений уравнения х-\-у = 5, г.В — множество решений уравнения х - у = 3. Тогда множество С решений системы уравнений х-\- у = 5, X -у = 3 состоит из всех элементов, принадлежащих и множеству Л, и множеству В. В этом случае говорят, что множество С является пересечением множеств А и В. 0 Определение Пересечением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству Л, и множеству В. Пересечение множеств А и В обозначают так: Л П Б. 110 Легко убедиться, что решением рассмотренной системы уравнений является пара (4; 1). Тогда можно записать: Л П j5 = {(4; 1)}. Если множества Л и 5 не имеют общих элементов, то их пересечением является пустое множество, то есть Л П Л = 0. Также заметим, что для любого множества Л выполняется равенство Л П 0 = 0. Из определения пересечения двух множеств следует, что если А а. В, то Л П Л = Л, в частности, если 5 = Л, то Л П Л = Л. Пересечение множеств удобно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера. На рисунке 21 заштрихованная фигура изображает множество А (Л В. Для того чтобы решить уравнение - х){х^ - 1) = О, надо решить каждое из уравнений - лг = О и - 1 = 0. Имеем: Л = {0, 1} — множество корней первого уравнения, В = {-1, 1} — множество корней второго уравнения. Понятно, что множество С = {-1, 0, 1), каждый элемент которого принадлежит или множеству Л, или множеству В, является множеством корней исходного уравнения. Множество С называют объединением множеств А и В. & Определение Объединением множеств Аи В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: или множеству Л, или множеству В. Объединение множеств А и В обозначают так: А И В. Если требуется найти объединение множеств решений уравнений, то говорят, что требуется решить совокупность уравнений. Совокупность записывают с помощью квадратной скобки. Так, чтобы рещить уравнение (х^ - х){х^ - 1) = 0, нужно решить совокупность уравнений 111 - X = о, х2 -1 = 0. Все её решения образуют множество {-1, 0, 1}. Заметим, что для любого множества А выполняется равенство AU0 = A. Из определения объединения двух множеств следует, что если А а В, то Л и 5 = jB, в частности, если J3 = Л, то Л U Л = Л. Объединение множеств удобно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера. На рисунке 22 заштрихованная фигура изображает множество Лив. Часто приходится рассматривать пересечение и объединение трёх и более множеств. Пересечение множеств А, В и С — это множество всех элементов, которые принадлежат и множеству Л, и множеству jB, и множеству С (рис. 23). Объединение множеств А, В п С — это множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: или множеству Л, или множеству В, или множеству С (рис. 24). Например, объединение множеств остроугольных, тупоугольных и прямоугольных треугольников — это множество всех треугольников. 112 Пример 2. Найдите пересечение множеств Ап В, если: \) А — множество ромбов, В — множество прямоугольников; 2) А — множество чётных чисел, В — множество простых чисел. Решение. 1) Множество А С\ В состоит из всех четырёхугольников, которые одновременно являются и ромбами, и прямоугольниками. Следовательно, искомое множество — это множество квадратов. 2) Поскольку множество простых чисел содержит только одно чётное число (число 2), то Л П Л = {2}. ◄ Пример 3. Найдите объединение множеств А и В, если: 1) Л — множество нечётных натуральных чисел, В — множество чётных натуральных чисел; 2) Л — множество целых выражений, В — множество дробных выражений. Ответ. 1) Л и 5 — это множество натуральных чисел, то есть А^ В = JW. 2) А и В — это множество рациональных выражений. ◄ 1. Какое множество называют подмножеством данного множества? 2. Как наглядно иллюстрируют соотношение между множествами? 3. Какое множество является подмножеством любого множества? 4. Что называют пересечением двух множеств? 5. Что называют объединением двух множеств? 440. 441. 442. 443. Упражнения \---- Назовите несколько подмножеств учащихся вашего класса. Назовите какие-нибудь геометрические фигуры, которые являются подмножествами: 1) множества точек прямой; 2) множества точек круга. Пусть Л — множество букв слова «координата». Множество букв какого из слов является подмножеством множества Л: 1) нора; 4) крокодил; 7) дар; 10) дорога; 2) трактор; 5) нитки; 8) подарок; 11) корона; 3) картина; 6) корка; 9) ордината; 12) кардинал? Пусть Л — множество цифр числа 1958. Является ли множество цифр числа X подмножеством множества Л, если: 1) х = 98; 3)х = 519; 5) х= 195 888; 2) х = 9 510; 4)х=5 858; 6) х = 91 258? Пусть Л 5^ 0. Какие два разных подмножества всегда имеет множество Л? Найдите пересечение множеств цифр, используемых в записи чисел: 1) 555 288 и 82 223; 2) 470 713 и 400 007. 113 оо V 449. 450. 444. Пусть А — множество двузначных чисел, В — множество простых чисел. Принадлежит ли множеству А И В число: 5, 7, 11, 31, 57, 96? 445. Найдите множество общих делителей чисел 30 и 45. 446. Найдите объединение множеств цифр, используемых в записи чисел: 1) 27 288 и 56 383; 2) 55 555 и 777 777. 447. Запишите все подмножества множества {1, 2}. 448. Какие из следующих утверждений верны: 1) {а} е [а, Ь}\ 3) я с {а, Ь}’, 2) [а) с {<2, Ь)\ 4) {«, Ь] € {а, 6}? Докажите, что если А d В п В (Z С, то А cz С. Разместите данные множества в такой последовательности, чтобы каждое следующее множество было подмножеством предыдущего: \) А — множество прямоугольников, В — множество четырёхугольников, С — множество квадратов, D — множество параллелограммов; 2) А — множество млекопитающих, В — множество псовых, С — множество позвоночных, D — множество волков, Е — множество хищных млекопитающих. 451. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера соотношение между множествами: 1) Л — множество неотрицательных чисел; В = {0}; N — множество натуральных чисел; 2) N — множество натуральных чисел; А — множество натуральных чисел, кратных 6; J5 — множество натуральных чисел, кратных 3. 452. Какие из следующих утверждений верны: 1) {а, Ь) П {а} = а-, 3) {а, Ь} П {а} = {а}\ 2) {«, Ь) П [а] = [а, Ь}\ 4) [а, Ь) П {а} = {^}? 453. Найдите пересечение множеств Avl В, если: \) А — множество равнобедренных треугольников, В — множество равносторонних треугольников; 2) А — множество прямоугольных треугольников, В — множество равносторонних треугольников; 3) Л — множество двузначных чисел, В — множество натуральных чисел, кратных 19; 4) Л — множество однозначных чисел, В — множество простых чисел. 454. Какие фигуры могут быть пересечением двух лучей, лежащих на одной прямой? 455. Какие из следующих утверждений верны: 1) {а, Ь] и [Ь) = {а, ЬУ, 3) {а, Ь} U [а] = {а]\ 2) {а, Ь] и {6} = {ЬУ 4) {а, Ь) U [Ь] = {{6}}? 114 456. Найдите объединение множеств А и В, если: 1) Л — множество равнобедренных треугольников, В — множество равносторонних треугольников; 2) А — множество простых чисел, В — множество составных чисел; 3) А — множество простых чисел, В — множество нечётных чисел. 457. Какие фигуры могут быть объединением двух лучей, лежащих на одной прямой? 458. Опишите на языке «необходимо и достаточно» принадлежность элемента X множествам: \) Aw В (рис. 25, а)\ 2) А, В и С (рис. 25, б, в). 459. Вместо точек поставьте слово «необходимо» или «достаточно», чтобы образовалось верное утверждение: 1) для того чтобы треугольник был равносторонним, ... , чтобы два его угла были равны; 2) для того чтобы четырёхугольник был параллелограммом, ... , чтобы две его стороны были параллельны; 3) для того чтобы число делилось нацело на 3, ... , чтобы оно делилось нацело на 9; 4) для того чтобы последняя цифра десятичной записи числа была нулём, ... , чтобы число было кратным 5. ^ Упражнения для повторения 460. Упростите выражение: 1) 3(2"®^^ • 2) 4,8а^Ь~^ о, 6a^h~^ 461. В саду растёт более 80, но менее 100 деревьев. Каждое третье дерево — яблоня, а каждое восьмое — груша. Сколько деревьев растёт в саду? 462. Известно, что ^ = 3. Найдите значение выражения ——— . 115 Готовимся к изучению новой темы 463. 464. 465. Сравните: 1) 2,4578 и 2,4569; 2) -1,9806 и -1,981. Прочитайте периодическую дробь и назовите её период: 1) 0,(5); 2) 1,(32); 3) 8,4(65); 4) 3,424242... . Преобразуйте в десятичную дробь: 4) 2) -• ^ 8 ’ 3) — • ’ 16 ’ 80 5)12. ^ 15 466. Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и определите её период: 2) —; ’ 15 ’ 3) — • ^ И ’ 4)11. ^ 33 С--J Учимся делать нестандартные шаги 467. Попарно различные числа а, Ь, с удовлетворяют условию а^{Ь + с) = = Ь^{с + а). Докажите, что а^{Ь + с) = {а+ Ь). 6 15. Числовые множества Натуральные числа — это первые числа, которыми начали пользоваться люди. С ними вы познакомились в детстве, когда учились считать предметы. Все натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое, как вы знаете, обозначают буквой N. Практические потребности людей привели к возникновению дробных чисел. Позже появилась необходимость рассматривать величины, для характеристики которых положительных чисел оказалось недостаточно. Так возникли отрицательные числа. Все натуральные числа, противоположные им числа и число нуль образуют множество целых чисел, которое обозначают буквой Z. Например, -2 е Z, 0 g Z, 5 g Z. Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, то есть N с. Z. Целые и дробные (как положительные, так и отрицательные) числа образуют множество рациональных чисел, которое обозначают буквой Q. Например, § е Q, -0,2 g С?, 0 g Q, -3 g Q, 15 g Q. 3 lie Понятно, что Z (Z Q. Схема на рисунке 26 показывает, как соотносятся множества N, Z и Q. Каждое рациональное число можно пред- т ставить в виде отношения — , где т — целое чис- п 5 _з ло, а /г — натуральное. Например, ^ = у 5 ’ С возможностью такого представления связано название «рациональное число»: одним из значений латинского слова ratio является «отношение». В б классе вы узнали, что каждое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Для дроби — такое представление можно получить, выполнив деление числа т на число п уголком. Например, ^ = 0,625; = 0,454545.... 8 11 5 5 Число - записано в виде конечной десятичной дроби, а число — — 8 11 в виде бесконечной периодической десятичной дроби. В записи 0,454545... цифры 4 и 5 периодически повторяются. Повторяющуюся группу цифр называют периодом дроби и записывают в круглых скобках. В данном случае 5 5 период дроби равен 45, а дробь — записывают так: — = 0,(45). 11 11 Заметим, что любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Например, 0,625 = 0,6250000... = 0,625(0); 2 = 2,000... = 2,(0). Следовательно, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Справедливо и такое утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа. В 9 классе вы научитесь записывать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби. Сумма и произведение двух натуральных чисел являются натуральными числами. Однако разность натуральных чисел не всегда обладает таким свойством. Например, (5 - 7) <2 N. 117 Рис. 27 Сумма, разность, произведение двух целых чисел являются целыми числами. Однако частное целых чисел не всегда обладает таким свойством. 5 Например, у ^ Сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на ноль) двух рациональных чисел являются рациональными числами. Итак, действие вычитание натуральных чисел может вывести результат за пределы множества N, действие деление целых чисел — за пределы множества Z, однако выполнение любого из четырёх арифметических действий с рациональными числами не выводит результат за пределы множества Q. Вы познакомились с новым действием — извлечением квадратного корня. Возникает естественный вопрос: всегда ли квадратный корень из неотрицательного рационального числа является рациональным числом? Иными словами: может ли действие извлечение квадратного корня из рационального числа вывести результат за пределы множества Q? Рассмотрим уравнение = 2. Поскольку 2 > О, то это уравнение имеет два корня: V2 И -л/2 (рис. 27). Однако не существует рационального числа, квадрат которого равен 2 (доказательство этого факта вы можете найти в разделе «Когда сделаны уроки» в рассказе «Открытие иррациональности»), то есть числа V2 И -V2 не являются рациональными. Эти числа являются примерами иррациональных чисел (приставка «ир» означает отрицание). Следовательно, действие извлечения корня из рационального числа может вывести результат за пределы множества Q. Никакое иррациональное число не может быть представлено в виде дроби —, где т G Z, п & N, 2i следовательно, и в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Иррациональные числа могут быть представлены в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Например, с помощью специальной компьютерной программы можно установить, что V2 = 1,4142135623730950488016887242097... . 118 Числа л/2 и - V2 — ЭТО не первые иррациональные числа, с которыми вы встречаетесь. Число к, равное отношению длины окружности к диаметру, также является иррациональным: к = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937... . Иррациональные числа возникают не только в результате извлечения квадратных корней. Их можно конструировать, строя бесконечные непериодические десятичные дроби. Например, число 0,10100100010000100000... (после запятой записываются последовательно степени числа 10) является иррациональным. Если предположить, что у рассматриваемой десятичной дроби есть период, состоящий из п цифр, то с некоторого места этот период будет полностью состоять из нулей, то есть начиная с этого места в записи не должна встретиться ни одна единица, что противоречит конструкции числа. Объединение множеств иррациональных и рациональных чисел называют множеством действительных чисел. Его обозначают буквой R (первой буквой латинского слова realis — «реальный», «существующий в действительности»). Теперь «цепочку» N а Z cz Q можно продолжить: N /2 = 1,414 или л/2 » 1,415. Первое из них называют приближённым значением числа ^/2 по недостатку с точностью до 0,001, второе — приближённым значением числа л/2 по избытку с точностью до 0,001. Более подробно о приближённых значениях будет рассказано в 9 классе. 120 в заключение подчеркнём, что из любого неотрицательного действительного числа можно извлечь квадратный корень и в результате этого действия получить действительное число, то есть действие извлечения квадратного корня из неотрицательного действительного числа не выводит результат за пределы множества R, 1. Какие числа образуют множество целых чисел? 2. Какой буквой обозначают множество целых чисел? 3. Какие числа образуют множество рациональных чисел? 4. Какой буквой обозначают множество рациональных чисел? 5. В виде какого отношения можно представить каждое рациональное число? 6. Как связаны между собой рациональные числа и бесконечные периодические десятичные дроби? 7. Как называют числа, не являющиеся рациональными? 8. Объединение каких множеств образует множество действительных чисел? 9. Какой буквой обозначают множество действительных чисел? 10. Как взаимосвязаны числовые множества N, Z, 0\л R7 Упражнения 468. Какое из данных утверждений неверно: 1) -3 — действительное число; 2) -3 — рациональное число; 3) -3 — целое число; 4) -3 — натуральное число? 469. 470. Верно ли утверждение: л/7 й /?; 1) 1е Л^; 4) 1 Е R, 7) 2) 1 Е Z; 5)- 2,3 Е Л^; 8) 7Ш й R, 3) 1 Е а 6)- 2,3 Е R, 9) 5 Е /г? 3 Верно ли утверждение: 1) 0 Е N; 4) - 3 -7 ^ Q; 7) •J9 € Z; 2) Ой Z, 5) - -1* R; 8) л/9 е К? 471. 3) Ое R, 6) V9 Е а, Верно ли утверждение: 1) любое натуральное число является целым; 2) любое натуральное число является рациональным; 3) любое натуральное число является действительным; 121 472. 473. 474. 475. 476. оо V 477. 478. 479. 480. 481. 4) любое рациональное число является целым; 5) любое действительное число является рациональным; 6) любое рациональное число является действительным; 7) любое иррациональное число является действительным; 8) любое действительное число является рациональным или иррациональным? Какие из данных бесконечных дробей являются записями рациональных чисел, а какие — иррациональных: 1) 0.(3); 2) 0,4(32); 3) 0,20200200020... (количество нулей между соседними двойками последовательно увеличивается на 1)? Сравните: 1) 6,542... и 6,452... ; 2) -24,064... и -24,165... . Сравните: 1) 0,234... и 0,225... ; 2) -1,333... и -1,345... . С помощью микрокалькулятора найдите приближённое значение числа V3 С точностью до 0,01: 1) по недостатку; 2) по избытку. С помощью микрокалькулятора найдите приближённое значение числа с точностью до 0,01: 1) по недостатку; 2) по избытку. Укажите какое-нибудь значение а, при котором уравнение = а: 1) имеет два рациональных корня; 2) имеет два иррациональных корня; 3) не имеет корней. Сравните числа: 1) f и 6,12; 2) 3,(24) и 3,24; Сравните числа: 1) i и 0,2; 6 3) 71 И 3,(14); 4) -2,(36) и -2,36; 5) 7,(18) и 7,(17). 2) ^ и 0,77; 3) -1,(645) и-1,(643). 482. 483. Запищите в порядке убывания числа: 3,(16); к; -1,82... ; -0,08... ; 2,(136). Запишите в порядке возрастания числа: 1,57; 1,571...; —; 1,(56); 1,(572). Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел являются рациональными числами. Докажите, что сумма рационального и иррационального чисел является числом иррациональным. 122 484. Верно ли, что: 1) сумма любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным; 2) произведение любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным; 3) произведение любого иррационального числа и любого рационального числа является числом иррациональным? E!ZBi Упражнения для повторения 485. 486. В каждом подъезде на каждом этаже девятиэтажного дома по восемь квартир. В каком подъезде и на каком этаже находится квартира X» 186? Натуральные числа а п Ь таковы, что а — чётное число, а — нечётное. Значение какого из данных выражений не может быть натуральным числом: 4а 2) 3)^; 4) —? а 487. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения 3 4 - 4а -I- а‘^^ а^ - 4 (а-2)2- 2а-4 а + 2 488. не зависит от значения а. В ведре несколько литров воды. Если отлить половину воды, то в нём останется на 14 л воды меньше, чем помещается. Если долить 4 л, 2 то объём воды составит — того, что помещается в ведре. Сколько 3 литров воды помещается в ведре? Готовимся к изучению новой темы 489. Найдите значение выражения: 1) |-3,5| - 12,61; 2) |-9,6| - |-32|. 490. Модуль какого числа равен 6? 491. Для каких чисел выполняется равенство: 1) \а\ = а\ 3) \а\ = \-а\\ 2) |а| =-а\ 4) \а\ =-\а\} 492. Для каких чисел одновременно выполняются оба равенства \а\ = а VL \а\ = -а} 493. Найдите значение каждого из выражений а^, |<2|^при а = -д> и при а = 1. Сделайте вывод. 123 494. Известно, что <2 > О, с < 0. Сравните с нулём значение выражения: 1) а^с\ 2) ас^. Учимся делать \--- нестандартные шаги 495. В роте 100 солдат. Каждую ночь на дежурство выходят три солдата. Можно ли так организовать дежурство, чтобы через некоторое время каждый солдат побывал на дежурстве с каждым из остальных солдат ровно один раз? Когда сделаны уроки -------- Открытие иррациональности В § 15, решая графически уравнение = 2, мы установили, что длина каждого из отрезков ОА и ОВ равна (рис. 29). Покажем, что число >/2 — иррациональное. Предположим, что число \1% рациональное. Тогда его можно предста- т Рис. 29 \ / п 1 1 Л ' 1 Г/ ■ 1 ■ 1 : . —1—; ' к 1 \-)^о ж 1 , 1 вить в виде несократимой дроби —, где т VLTI — натуральные числа. Имеем: п ТогдаШ^ =(^J;2 = = Из последнего равенства следует, что число чётное. А это значит, что чётным является и число т. Тогда т = 2k, где k — некоторое натуральное число. Имеем: (2^)^ = 2п^\ = 2п\ = 2^‘^. Отсюда следует, что число п^, а следовательно, и число п — чётные. Таким образом, числитель и знаменатель дроби — — чётные числа. Следовательно, эта дробь является сократимой. Получили противоречие. Этот пример показывает, что существуют отрезки (в нашем случае это отрезки ОА и ОВ на рисунке 29), длины которых не выражаются рациональными числами, то есть для измерения отрезков рациональных чисел недостаточно. Этот факт был открыт в школе великого древнегреческого учёного Пифагора. 124 Пифагор около 570 — около 500 г. до н. э. Сначала пифагорейцы считали, что для любых отрезков ЛВ и CD всегда можно найти такой отрезок MN, который в каждом из них укладывается целое число раз. Отсюда следовало, что отношение длин любых двух отрезков выражается отношением целых чисел, то есть рациональным числом. Например, на рисунке 30 имеем: АВ = 5MN, ЛВ 5 CD = 2MN и - - . Отрезок MN называют общей мерой отрезков ЛВ и CD. Если для отрезков существует общая мера, то их называют соизмеримыми. Например, отрезки ЛВ и CD (см. рис. 30) являются соизмеримыми. Итак, древнегреческие учёные считали, что любые два отрезка являются соизмеримыми. А из этого следовало, что длину любого отрезка можно выразить рациональным числом. Действительно, пусть некоторый отрезок ЛВ выбран в качестве единичного. Тогда для отрезка ЛВ и любого другого отрезка CD существует отрезок длиной е, являющийся их общей мерой. Получаем АВ = пе, CD 7YIB тп CD = те, где mvin — некоторые натуральные числа. Отсюда = — = —. Поскольку ЛВ = 1, то CD = —. п Однако сами же пифагорейцы сделали вьщающееся открытие. Они доказали, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы, то есть доказали, что если сторону квадрата взять за единицу, то длину диагонали квадрата выразить рациональным числом нельзя. Для доказательства рассмотрим произвольный квадрат ABCD и примем его сторону за единицу длины. Тогда его площадь равна ЛВ^ = 1. На диагонали АС построим квадрат ACEF (рис. 31). Понятно, что площадь 125 квадрата ACEF в 2 раза больше площади квадрата ABCD. Отсюда АС^ = 2, то есть Л С = V2. Следовательно, длина диагонали АС не может быть выражена рациональным числом. Это открытие изменило один из фундаментальных постулатов древнегреческих учёных, заключавшийся в том, что отношение любых двух величин выражается отношением целых чисел. Существует легенда о том, что пифагорейцы держали открытие иррациональных чисел в строжайшей тайне, а человека, разгласившего этот факт, покарали боги: он погиб при кораблекрушении. 1. 2. Упражнения \---- Докажите, что число >/3 — иррациональное. Докажите, что если натуральное число п не является квадратом натурального числа, то число >/й — иррациональное. ^ 16. Свойства арифметического квадратного корня Легко проверить, что = 5, = 1.4. = О- Может показать- ся, что при любом значении а выполняется равенство = а. Однако это не так. Например, равенство = -5 является ошибочным, поскольку -5 < 0. На самом деле >/(-5)^ = 5. Также можно убедиться, что, например, .Jp7f=7, V(-2,8)2 = 2,8. Вообще, справедлива следующая теорема. & Теорема 16.1 Для любого действительного числа а выполняется равенство ,2 _ = <11. Доказательство Для того чтобы доказать равенство у/а = Ь, надо показать, что Ь > 0 = а. Имеем: |<г| > О при любом а. Также из определения модуля следует, что \а\ = а^. < Следующая теорема обобщает доказанный факт. 126 0 Теорема 1в.2 \----------------- (арифметический квадратный корень из степени) Для любого действительного числа а и любого натурального числа п выполняется равенство г2и _ Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 16.1. Проведите это доказательство самостоятельно. 0 Теорема 16.3 (арифметический квадратный корень из произведения) Для любых действительных чисел а )л Ь таких, что а > О и 6 > О, выполняется равенство = 4а 4Ь. Доказательство ^ Имеем: >/й > О и 4Ь > 0. Тогда 4а ■ 4Ь > 0. Кроме того, {4а-4ь) = = {4а) -{4Ь) = й/). Следовательно, выражение 4а • 4Ь принимает только неотрицательные значения, и его квадрат равен аЬ. ◄ Эту теорему можно обобщить для произведения трёх и более множителей. Например, если <з > 0, ^ > 0 и с > 0, то 4аЬс = л]{аЬ)с = 4аЬ -4с = 4а -4Ь ■ 4с. 0 Теорема 16.4 (арифметический квадратный корень из дроби) Для любых действительных чисел а ч Ь таких, что а > 0 ч Ь > о, выполняется равенство t _ Л ь 4ь‘ Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 16.3. Проведите это доказательство самостоятельно. Понятно, что из двух квадратов с площадями и (рис. 32) большую сторону имеет тот, у которого площадь больше, то есть если 5j > то > 1^3^. Это очевидное соображение иллюстрирует такое свойство арифметического квад- 127 ратного корня: для любых неотрицательных чисел и таких, что > а^, выполняется неравенство ^ja^ > Пример 1. Найдите значение выражения: 4) Л-- ^ V49 1) yl{-7,3f ; 2) 3) V0,81-225 ; Решение. 1) yJ{-7,Sf = |-7,3| =7,3. 2) 71^ = 1.22 = 1,44. 3) 70,81-225 = 7^ • 7^ = 0,9 • 15 = 13,5. [Ц_М_4 ^449 ^ Пример 2. Найдите значение выражения: 1) VTs • 72 ; 2) • Решение. 1) Заменив произведение корней корнем из произведения, получаем: Vl8 • 72 = л/18-2 = = 6. 2) Заменив частное корней корнем из дроби, получаем: 724 ^ ^ /а ^ 2 ^ ТТбО V150 V 25 5 ■ Пример 3. Упростите выражение: 1) 7^^; 3) \1т^п^, если т> 0, п < 0; 2) yj9a^ , если а <0; 4) 7й^. Решение. 1) По теореме об арифметическом квадратном корне из степени имеем: , если а> о, [-а^, если а < 0. 2) Имеем: = 3 • \а^\. Поскольку по условию а < 0, то < 0. Тогда 7^ = 3 • \а^\ =-ЗаЗ. 3) Имеем: \Jm^n^ = \т\ • \п\. Поскольку по условию m > 0, то \т \ =т. Поскольку а < о, то \п\ = -а. Следовательно, \т\ • |а| = аг • (-а) = -ага. =|аЧ = 4) Имеем: л/а*® = |а^^|. Поскольку а’^ > 0, то = |а^^| = а Пример 4. Найдите значение выражения: ,18 1) V372 -122; 2) >/8 • 648; 3) 716,9-0,4. 128 Решение. 1) Преобразовав подкоренное выражение по формуле разности квадратов, получаем: л/3?2 -122 = V(37-12)(37 + 12) = V25 • 49 = 5 • 7 = 35. 2) Представив подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел, получаем: л/8 • 648 = л/8-2-324 = V16-324 = 4 • 18 = 72. 3) Vl6,9 0,4 = Vl69-0,04 = 13.0,2 = 2,6. ◄ Пример 5. Постройте график функции = |х|, то ^ = ^ = vJi:2 -I- X. Решение. Поскольку = \х\ +х. Если дг>0, то у = X + х = 2х. Если X < о, то ^ = -л: + jf = 0. , 2х, если X > о. Следовательно, у = о, если X < 0. График функции изображён на рисунке 33. ◄ 1. Какому выражению тождественно равно выражение \[^7 2. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из степени. 3. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из произведения. 4. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из дроби. 5. Известно, что неотрицательные числа и «g таковы, что Сравните значения выражений и yja^. Упражнения 496. Чему равно значение выражения: 1) 4) 2) V(-l,8)2; 5) -J¥; 6) V(-2)‘“; 3) 2^(-15)2; 497. Найдите значение выражения 1) л/^, если а = 4,6; -18,6; 2) \[Ь^, если Ь = -3; 1,2; 7) 5^(-10)’; 8) 9) -ЮлУ^? 3) о, если с = —2; 5. 129 498. Вычислите значение выражения: 1) л/9-25; 7) 7б2 -3^ 13) 2) 716-2500; 8) 772-2»; 14) 3) 70,64 • 36; 9) 725 -64-0,36; 15) 4) 7400-1,44; 10) 70,01-0,81-2500; 16) 5) 70,09-0,04; п) [11 . ^ V100 ’ 6) 76,25-0,16; / 4Q 12) 7—; ^ V 256 13 36 ± 9ll 16 25 169 . 36-81 ’ 121•256 25 • 100 499. Чему равно значение выражения: 1) л/36-81; 5) 70,36-1,21; 9) 72,25-0,04-1600; 1—I 2) 7900-49; 6) 752.36 . 10) PI'. 3) 716-0,25; 7) 74^ - 32 ; 4) 79-1,69; 8) 72» - 52 ; 500. Найдите значение выражения: 1) 712-73; 4) 70,009-71000; 7) ^/^ф|; 2) ч/32-л/2; 5) 7^-7^; 3) 718 • 7^; 6) 713-л^-7^; 9) 72» - 3 - 72» • 3» 501. Найдите значение выражения: 5) 1)^-4$; 3) лЯо • ViiJ; 2) %/18-л^; 4) 705-7^; 6) 75 - 2» - 75» • 2» 1) Tie' 5) 750 7) 2) 72 4) vs, ' TS’ 6) ^ ■ ^ ТП7 ’ 8) ^/6 • л/з 4~ъ ^/з-n/iS 130 503. Найдите значение выражения: 1) %/48 2) у/ш л/б 3) Ум . Уо7 ’ 4) . 5) Уб -лЯ yi оо V 504. При каких значениях а выполняется равенство: 1) = а; 2) У^ =-й? 505. При каких значениях й и ^ выполняется равенство: 1) yj^ = yja-yjb; 2) У^ = У^ • У^; 3) У-й6 = Уй • У^? 506. Найдите значение выражения, представив предварительно подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел: 1) V18-32; 4) V75-48; 7) 72,7-1,2; 2) V8-98; 5) л/288 • 50; 8) л/80-45; 3) УЗ,6-14,4; 6) У4,5-72; 9) лУЗЗ ■ 297. 507. Найдите значение выражения: 1) V18-200; 3) yi4,4 0,9; 5) yi2,5-32; 2) ,/3,6-0,4; 4) У13-52; 6) V108-27. 508. Найдите значение выражения: 1) У4Н -402; 3) ,/8,52-7,52; 2) У1452 -1442; 4) У21,82 - 18,22; 6) ^ \98,5^ 509. Найдите значение выражения: 1 1) У6,82 -3,22; 2) УЭ8,52 -97,52; 3) / V2282 84 98 510. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня: 1) У^; 2) -0,4Ус2; 3) yja 6. 4) yjm^ 511. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня: 1) 1.24^-. 2) VF; 512. Упростите выражение: 1) yjm^, если т > 0; 2) У^, если й < 0; 3) Tie^. если р > 0; 4) yO,36F, если k < 0; 10 3) yjn 5) У^; 6) У025^, если Ь < 0; 7) если у > 0; 8) УоДЙй^, если й < о, А > 0; 131 9) -1,2хл/б4х^^, если х < 0; 3,3а^ ^24 11) л/,^, 9А . если <3 < 0; 10) -, если Ь < 0; 513. Упростите выражение: 1) л/9^; Р V 121^26 12) -0,5т^ л]\,96тЫ^, если т < 0. 2) VO.SW®, если d > 0; 3) -5л/4лг2, если х < 0; 4) -о, Wl 002*0, если 2 > 0; 5) если р > 0; 6) yj25m^n^^, если w < 0, Т2 < 0; 7) йЬ2лУй^6*®с22, если h > о, с < 0; о, /б25р0р^ л I. л 8) ----,/ , _ —, если т<0, k>0. 144m0 514. 515. 516. 517. ч____ 518. 519. Какие из данных равенств выполняются при всех действительных значениях <2: 1) 4^ = а; 2) \f^ = «2; 3) 4) лУ^ = а"*? При каких значениях а выполняется равенство: 1) 7^ = 3) \/^ = (лйЛ 2) 4) >/^ = ? Постройте график функции: 1) ^ = 7х^ - X, если X < 0; У = >/^ ' 7х; 2) у = 2х + л/jc^; 4) г/ ^ + 3. Постройте график функции: I) У = - 2х, если X > 0; У = 7^ • 7^. При каком значении х выполняется равенство: 1)Тх^ = л:-4; 2)7%^ = 6-х; 3)2Тх^ = х + 3? Решите уравнение: 1)Тх^ = х + 8; 2)7х2=6х-10. Упражнения для повторения 520. Найдите значение выражения «2 - 5а + 25 125 - а^ а2 -10а + 25 ' а2 -25 )■ 5 + а при а = 4,5. 132 521. 522. Тракторист должен был засеять поле за 8 дней. Однако из-за плохой погоды он засеивал ежедневно на 3 га меньше нормы и поэтому выполнил работу за 10 дней. Какова площадь поля? Число а — чётное, а число Ь — нечётное. Значением какого из данных выражений обязательно является чётное число: 1) {а + Ь)Ь\ ^ • ) 2 ’ 3) — ’ ^ 2 ’ 4) ^ 2 С" 3 Учимся делать нестандартные шаги 523. На доске записаны 102 последовательных натуральных числа. Можно ли разбить их на две группы так, чтобы сумма чисел в каждой группе была простым числом (в каждой группе должно быть не менее двух чисел)? ^ 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни Пользуясь теоремой об арифметическом квадратном корне из произведения, преобразуем выражение >/48. Имеем: Vis = V16-3 = Vie • >/з = 4>/з. Выражение >/48 мы представили в виде произведения рационального числа 4 и иррационального числа >/3. Такое преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня. В данном случае был вынесен из-под корня множитель 4. Рассмотрим выполненное преобразование в обратном порядке: 4>/3 = Vl6 • >/3 = V16-3 = V48. Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня. В данном случае был внесён под корень множитель 4. Пример 1. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) Vl50; 2) yj72a^; 3) >/^; 4) ; 5) yja^b^, если а < 0. Решение. 1) Представим число, стоящее под знаком корня, в виде произведения двух чисел, одно из которых является квадратом рациональ- ного числа: = V25-6 = 5>/б. 2) = V36«8.2 = ба^у/2. 133 3) Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то из условия следует, что Ь>0. Тогда 4^ = Vpift = WA-Jb = Ь'’’4ь. 4) Из условия следует, что Ь <0. Тогда 4^ = • (-6) = \ь'Л4^ = -ь"4^. 5) Из условия следует, что > 0. Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то получаем, что Ь >0. Тогда = yja^b^b = \а\ - \b\4h = -аЬ4Ь. < Пример 2. Внесите множитель под знак корня: 1) -2-TV; 2) Ял/7; 3) SbJ- ; 4) су/с^. V 3 Решение. 1) -2>/7 = -у/4 ■ л/7 = -у/28. 2) Если а >0, то a^Jl = 4^ ■ 4^ = 4т^; если а < 0, то а47 = = -4^ ■ 47 = -4т^. I ^ ___ I 3) Из условия следует, что Ь<0. Тогда 3bJ-—=-y/9b^ ■ = V 3 V 3 = -4^. 4) Из условия следует, что с > 0. Тогда с44^ = 4^ ■ 44^ = 4^• Пример 3. Упростите выражение; 1) 4ЬАа + ^24й - V600<2 ; 2) (3-н27з)(2-7з); 3) (7 - 3^2^ - (7Й)-н V5)(VlO - Vs). Решение. 1) Имеем: 4ЪАа + V24« - yj600a =yj9-6a + л/4 • 6а - VlOO • 6а = = Ъ44а -ь 244а -\044a = 44а{3 + 2-10) = 44а- (-5) = -Ь44а. 2) (3-ь27з)(2-7з) = 6-з73-ь4ч/3-2(7з)^ =6 + S~6 = 4b. 3) Применив формулы сокращённого умножения (квадрат двучлена и произведение суммы и разности двух выражений), получим: (7-3^/2f-(^/^0 + ^/5)(^/T0-75) = 7^-2•7■3^/2 + (з>/2 f --((4Tof-{45f) = 49 - 42V2 + 18 - (10 - 5) = 62 - 42V2. ◄ Пример 4. Разложите на множители выражение: 1) <2^ — 2; 2) 6 - 4, если ^ > 0; 3) 9с - б44с -ь 5; 4) а + 4а\ 5) 4ъ -н б; 6) 44ь - 44ъ. Решение. 1) Представив данное выражение в виде разности квадратов, получим: а^-2 = а^-{42) =(а-4^)[а +4^). 134 2) Поскольку по условию ^>0, то ^-4 = ( у/Ь) - 4 = (yjb - 2) (yjb + 2). 3) Применим формулу квадрата разности: 9с - + 5 = (з^/c f - 2 • sVc • Vs + (V5 f = (Зл/с - yfbf. 4) Имеем: a + yfa = {yfa) + yfa = yfa {yja +1). 5) Vs+6 = Vs+2-(V3f = V3(l + 2Vs). 6) V^-Vl5 = V5-V7-V5-V3 = V5(V7-V3).^ 2-5yj2 Пример 5. Сократите дробь: 1) /;-1 ;2) ;3) а-Ь , ес- V^ +1 ’ V2 'а- + Ь ли а > о, о > 0. Решение. 1) Разложив числитель данной дроби на множители, получаем: о h-\ ^ {yfb) -1 ^ (V^-l)(V^ + l) V^ + 1 V^-bi V^-bi 2-3^^ {yf^f-3yj2 V2(Vi-3)_/^ о ~ir ^2 ^ -V2-3. 3) Поскольку no условию а>0и^>0, TO числитель и знаменатель данной дроби можно разложить на множители, и полученную дробь сократить: а-Ь {yja - у/ь) {у/а + yfb) yja+yfb ^ а - 2у[^ + Ь (у[а - y[bY у/а -yfb Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби означает преобразовать дробь так, чтобы её знаменатель не содержал квадратного корня. Пример 6. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1) J^. 2) ——— ^ 2Vi’ ^ 5V^-r Решение. 1) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на Vs, получаем: 15 ^ 15Уз ^ 15Уз ^ 15Уз ^ 5^ 2V3 2V3-V3 2{yfsf ^ 2) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на выражение 5у/2 +1, получаем: 14 ^ 14(54/2 -Hi) ^ 14(54/2 -Hi) ^ 5V2-I (5V2-i)(5V2+i) (5л/2)^-1 _ 14(54/^ + !) 14(54/2-Hi) 2(54^-Hi) 10v^-h2 ^ 50-1 49 135 Пример 7. Докажите тождество ^ л/а ^ 4ь _ ^ л/а + "ч/^ "ч/й — у[Ь Ь — Q, ^ 4а , у[Ь у[а - у/аЬ + Ь Решение. + у/а + у/ь 24оЬ^ " yja + yfb y[a-y[b b-a — yfa, + 4b. yjab + ^ _ 4a{4a - yfb) + 4b{yja + 4b) + 2у[аЬ {yja + 4b) {yfa - 4b) yfa yfa - ^ j-yja yjb ^ _ yfb {yfa + 4b) ^ yfa + yfb _ a- 4ab + yfab + b2yfab ( _{a-^2yfab + b){4a - yfb) _ a-b a-b {4a + yfb) {yfa - yfb) мы, Пример 8. Упростите выражение Vl2 + 6ч/3. Решение. Представив подкоренное выражение в виде квадрата сум-получаем; V12 + 6V3 = ^/9 + 2•ЗVз + (^/зf = ^{Ъ + Sf =2> + S.< Упражнения 524. 525. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) VS; 4) VM; 7) 4^\ 2) 4П\ 5) 4Ш\ 8) VT08; 3) V32; 6) 4Ш\ 9) yfofn-. Упростите выражение: 3) 4) -0,0574400. 526. DfViS; 2) |^/Ш; Вынесите множитель из-под знака корня: 1) л/27; 4) 7) -2ч/0Д8; 10) 7048; 11) 4Ш\ 12) 7З6ЗОО. 2) 7^; 3) 10) |7^; 5) |7%; 8) ^ТбЗ; 11) 107^; О 9 6) 0,47^; 9) 0,871250; 12) 0,771000. 136 527. Внесите множитель под знак корня: 1) 7-Д; 4) -10>/l4; 7) i^/32; 10) -0,3>/l(S; 2) 3>/13; 5) 5>/8; 8) -|ч/54; 11) 3) -2ч/П; 6) Qyfa; 9) О 12) ' 9V28 528. Внесите множитель под знак корня: 1) 2V6; 3) -11ч/3; 5) -7>/Зс; 7)8j|; 2) 9Д; 4) 12>/б; 6) -10V0,7m; 8) 529. Упростите выражение: 3) 5л/с + 2>yfd — у/с + Syfd', 4) >/5 + 7>/5 - 4V5. 1) 4yja + Злй - ъ4а\ 2) ь4Ь + 24Ь- Syfb; 530, Упростите выражение: 1) Злй - 2nG; 2) Vc + 10^/c - 14л/с; 3) 9л/б - 2л/3 + 8л/3 - З7б. 531. Упростите вырг1жение: 3) 2л/0,04с -О.ЗлЯбс +^>/0.81с; 3 1) у1^ + уМа-4Ш\ 2) %/б4^-^л/^; 6 532. Упростите выражение: 1) 2>/4х + - лУб25х; 4) 0,4л/100т + - 1,2у/2,25т. 2) з7о;09^-0,6ч/Й4^ + ^^/^. 533. Упростите выражение: 1) 2) б7з - 3) V96 - Зл/б 4) 2у[Ш-8у1Ь; 5) 5V7 6) 2>/^-^л/45-0,б7ш. 3 534. Рациональным или иррациональным является значение выражения: 1) V48 - 6 - 4л/3; 2) >/Тб2 - 9л^ + >/27? 535. Упростите выражение: 1) 4у1ш - 27V7; 4) 5>/l2 - 7>/3; 2) у/75- 6>/3; 5) 3>/^ - 4>Д + 2V^; 3) 2%/^ - 8л/^; 6) + 3 9 137 536. Упростите выражение: 1) л/2(х/М + лЙ); 2) (^/3-^/T2)•^/3; 537. Упростите выражение: 1) ^/7(^/7-7Й); 2) (718 + ч/Й) ч/2; 538. Выполните умножение: 1) (2-^/з)(^/з + l); 2) i^ + JE)(2~j2-45); 3) {a + 4b)(a-4b)\ 4) {4b -4с)(4ь + 4с)\ 5) (4 + >/з)(4-ч/з); 539. Выполните умножение: 1) (n/7+3)(34/7-1); 2) (4л/2-ч/з)(2>У2+5л/з); 3) (4р-я)(4р + ч), 4) (б-ч/1з)(б + л/Тз); 540. Чему равно значение выражения: 1) (2 + >/7 f - 4^/7; 2) (^/6 - Vs f + 6^/2? 541. Найдите значение выражения: 542. 3) (Зл/5-47з)-V5; 4) 2V2|^3Vl8-^V2 + V^j. 3) (4V3-7^ + 4)-Зл/3; 4) (Veoo + 7б-V^)-V6. 6) (l/-V7)(^ + V7); 7) (4V2-2V3)(2V3 + 4V2); 8) (m + yfn) ; 9) {yfa-yjb) ; 10) (2-3V3^. 5) (V5-д:)(л/5+ x); 6) (Vl9+Vr7)(Vi9-Vr7); 7) (V6 + V2f; 8) (3-2Vl5f. 00 V 1) (з +Vsf - eVS; 2) (Vl2-2V2f + 8Ve. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 5) ^ • ^ h4h' 4)^; yjn 6) Vl5 бТз' Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: ’’ 4Г\' 5 3) Vio 5) • 1— > Vl5 6) 5yjx 544. Разложите на множители выражение: 1)а2-3; 2) 4^2-2; 138 3) 5 - 6с2; 4) <2 - 9, если <2 > 0; Ъ) т - п, если т>0,п>0\ 6) 16л: - 2Ъу, если л: > 0, ^ > 0; 7) <2 — 2л/я + 1; 8) Ат - 2%yfmn + 49гг, если m > 0, « > 0; 9) Ь+qS +9; 545. Разложите на множители выражение: 1) 15-л;2; 2) 49л;2 - 2; 3) Збр - 64<7, если р > 0, д > 0; 4) с - 100, если с > 0; 5) <2 - 8by/a + 16^‘'^; 546. Сократите дробь: 5yfa-7yfb 10) 3+ 2л/^ + с; 11) 2+ ^/2; 12) бТ7 - 7; 13) а - 4а\ 14) 4Ь + 7^; 15) 715-75. 6) т +2^тп + п, если m > 0, гг > 0; 7) а -47я + 4; 8) 5 + 75; 9) yj^-p; 10) 712 + 7^. 1) 2) 3) 4) -7 , Q, + 77 7з — ь ^ 3-62 ’ с-9 7^-3’ а - Ь у]а + 4Ь 547. Сократите дробь: л:-25 1) 2) 3) 4х - 5 7й + 2 а - 4 <2-3 5) 6) 7) 8) 4) 5) 6) 25а- 496 100а2 -96 10а + з7б 1 7б-7з ’ 7з5 + 71о 77 + 7й) + Vi. Vi 23-7^ . 7^ 7^- 7^ 7м - Тбз 9) 10) 11) 12) 7) - 8) 7i5-7б. 5-Tio 1з-71з TTi ’ а + 2Та6 + Ь , Та + 7б 462 - 4б7с + с 2b-4с 4а - 4ь . а - 27^ + 6 6-876 + 16 7б - 4 Та + 7з 548. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) 7з^, если а > 0; 3) 7l2a^ 2) 7562, если 6 < 0; 4) 7^. т4. 139 549. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) Vl8x«; 2) 550. Упростите выражение: 1) л/32; 2) 3n/8-ь >/Ш-|>Яб2; 4) у[Еа-2^1Ш + Ъ^Ш; 5) - — yja^b, если « > 0; 6) у/с^ + 4сVc^ - 5с^ у/с. 3) ylsia^ - ba^yla -ь - 3) 0,7^/Ш-7^ + |^Я08; 551. Упростите выражение: 1) 0,5лД2 - Зл/^ -н 0,4л/^; 2) %5у1Ш + |7б^ -10^0,07^; 3 552. Докажите, что: 1) у1п + 4у17 =у/7 +2; 553. Упростите выражение: 1) (2n/3-1)(n/^ + 2); 2) (л/5-2^ -(з + ^/5)^ 3) 554. Найдите значение выражения: 1) (з72-ы)(л/8-2); 3) (ю - 4>/б)(2-н >/ef; 2) (З - 2л/7 f -ь (З -h 2>/7 f; 4) (^9-472 -н ^|9 + 4^|2) . 555. Сократите дробь: 4а -I- 4>/5 2) ^|l4 + sS = Vs -f- n/6. 4) (7-H4N/3)(2-V3f; 5) (7б + 2л/5-V6-2V5) . 1) 2) 3) a2-5 ’ у!^-2у!^ . 6a - 21 ’ a -f 4>/^ -t- 46 a - 4^) 556. Сократите дробь: a-b , если <2 > о, 6 > 0; 4) 5) 6) - by by - Xsj24y yftt -b >/6 V^ -I- V^ m\/m - 27 V^ - 3 1) „4 2a 10л/2а6 -i- 25^? ^ ^ л a ^ л. 2) -----n и----------> <2 > о, о > 0; 6а - 75а 3) y/ilb-yflia' 2 + I0yj2ab Ьа-1Ъ а - 2у[а + 4 ау[а + 8 140 557. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: ч/2 15 .. 1 1) 2) Vi + r 4 3) 4) ^/^5-л/12 ’ 19 5) 6) у[а -4Ь + 1 V? + л/з ’ 2л/б - 1 ’ >/з - Г 558. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: V5 „ч 8 „ч 9 1) 2) Vs-2 ’ VIo - V2 ’ 559. Докажите равенство: 1 1 3) yfx +у[у ' 4) 2-V2 2 + у/2’ 1) 2) + 5 - 2V6 5 + 2V6 2 2 = 10; = -8; 3) = 4^/2. V2 -1 V2 + 1 3V2 + 4 3V2 - 4 560. Докажите, что значением выражения является рациональное число: 1) 3 + 2V3 3 - 2л/з ’ 561. Упростите выражение: а 4у[а - 4 4а - 2 у[а - 2 4т + 1 _ + 3 . 4т - 2 4т 1) 2) 3) 4) 5) 562. Упростите выражение: 4а - Ъ 4а -4 сч Vn+Ve Vn-Ve ^ Vn-V^ Vn + Ve' a + 4a b 6) 7) Vb 24a+2' 4c -5 c - 25 V^ 3c 4^+y X + 8) 4a 4a + 4 a a-16 ’ 9) a + ^ . 10) 4ab - b 4b -4a' Vfl - 4a + 1 . v^. ' a- I' 4a + 4b , 4b 4b 4a - 4b 4a ' 4h' 4x - 3 ^ \24x 4x +3 X - 9 4x + 3 X - ъ4х 1) 2) 3) 4a +1 4a 4a + 1 4b + 1 a - 4ab 4ab - b 4x . 4x . у - 2у1у - 6 ’ 4) 5) 6) 4m ( 4m + Vw , 4n 4m-4n 4n 4m - 4n ^ 4x + 1 _ 44x ^4x-i ^-1 Й-64 1 X + 4x 4x -1 4a + 8 4a +3 a + s4a a - ъ4а 141 563. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) 5) если у < 0‘, 6) л/б4^, если а > 0; 2) если <2 5^ 0; 3) у14х^у, если д: < 0; 4) у]тгРп^, если т < о, п < 0\ 8) если т > 0, п< 0. 7) \l242m^^b^^, если Ь < 0; 564. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) 4) yJPP; 2) если Ь ^ 0; 5) ^J27pp^, если у < 0; 3) р9а^Ь, если я < 0; 6) , если m > 0, w > 0. 565. Внесите множитель под знак корня: 1) <2>/3; 4) т4п, если m > 0; 7) 2) ЬуРЬ\ 5) ху"^ yjxy, если д: < 0; 8) > если а > 0. 3) Су/Р; 6) 2pj|; 566. Внесите множитель под знак корня: 1) тР, если m > 0; 4) x'^yyjx^y, если у <0\ 2) Згг>/б, если 72 < 0; 3) 567. Докажите тождество: ^ 8л/а 15л/й 5) 7ajf; 1) 2) р + 7 а + 14%/а + 49 6) 5abyj-^ , если а < 0, Ь > 0. 8у/а + 41 . 7р - 49 /Г ^7. :----—— + —р------= yja - й - 49 Р+ 7 ар + 27 р - Р р - 3 pi) - 9 8р + 9 ар + 27 = р. 568. Упростите выражение: 1) 2) 4Z-4b 1 2 Л а + рЬ а-Ь р + р / Га^4Ь-рр yja + \1Ь . р - Р ^ а + рЬ \ ^ ^ р - Р ^ р + р р 142 569. Упростите выражение: 1) Vs+ivi; 2) Vt + WI; 570. Упростите выражение: 1) 2) 715 + 6л/б; 571. Упростите выражение: 3) Vn+iVio. 1 + >/2 + 1 л/з + -4/2 "4/4 + у[ъ у[ь + yfi 572. Докажите, что: +... + 1 + +... + 1 3) V7 + 2V1O. 1 л/ш)+ ^/^ ’ V^-1 Тз+1 Тб+ч/з 7?+>/5 ... лУ^ + \/^ 573. Докажите, что: х/2 • Vi+^ • ^/2 +^/2 + ^/^ • ^2 - V2 + л/2 = 2. 574. Упростите выражение: 1) 2) >^2^6>/зТ^^^Ж CZ2) Упражнения для повторения 575. Рабочий должен был изготовлять ежедневно по 12 деталей. Однако он изготовлял ежедневно по 15 деталей, и уже за 5 дней до окончания срока работы ему осталось изготовить 30 деталей. Сколько деталей должен был изготовить рабочий? 576. При распродаже цену на товар снизили на 20 %. На сколько процентов нужно повысить цену на товар, чтобы она стала равна первоначальной? 577. Лодка проплыла 32 км по течению реки за 4 ч, а против течения — за 8 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки. 578. Федя и Оля ехали в одном поезде. Федя сел в двенадцатый вагон от головы поезда, а Оля — в шестой вагон от хвоста поезда. Оказалось, что они едут в одном вагоне. Сколько вагонов в поезде? 579. Число а — положительное, а число Ь — отрицательное. Какое из данных выражений принимает наибольшее значение: 1) a^h\ 2) -с^Ъ\ 3) -ah^\ 4) аЬ\ 5) -а^Ы 143 Учимся делать \--- нестандартные шаги 580. Известно, что в некотором классе без двоек учатся не менее 95,5 % и не более 96,5 % учеников этого класса. Какое наименьшее количество учеников может быть в этом классе? ^ 18. Функция у = у[х и её график Если площадь квадрата равна х, то его сторону у можно найти по формуле у = 4х. Изменение площади х квадрата приводит и к изменению его стороны у. Каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у. Следовательно, зависимость переменной у от переменной X является функциональной, а формула у = 4х задаёт функцию. Поскольку в выражении 4х допустимыми значениями переменной х являются все неотрицательные числа, то областью определения функции у = 4х является множество неотрицательных чисел. Выражение 4х не может принимать отрицательные значения, то есть ни одно отрицательное число не может принадлежать области значений рассматриваемой функции. Покажем, что функция у = 4х может принимать любые неотрицательные значения, например 7,2. Действительно, существует такое значение аргумента х, что у[х= 7,2. Это значение равно 7,2^. На этом примере мы видим, что для любого неотрицательного числа Ь всегда найдётся такое значение х, что 4х = Ь. Таким значением аргумента X является число Ь^. Теперь можно сделать такой вывод: областью значений функции у = 4х является множество неотрицательных чисел. Заметим, что если х = О, то ^ = 0. Учитывая область определения и область значений функции у = Vx, можно сделать вывод, что её график расположен в первой координатной четверти. В таблице приведены некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции у = 4х. X 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 у 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 144 Отметим на координатной плоскости точки, координаты (лг, у) которых указаны в таблице (рис. 34). Чем больше отметить точек, координаты которых удовлетворяют уравнению у = Jx, тем меньше полученная фигура будет отличаться от графика функции у = у[х (рис. 35). Рис. 34 Рис. 35 У‘ к ' ' 1 ! . 1 i : 1 ' 1 ! i ' 1 , i 1 i 1 ! 1 1 1 _ 1 -ill- _LL Ч L i* •• • t • 1 < Г * 1 1 1 -- 1 i ! 1 ! * '*r 1 1 1 1 1 ! X 0 1 . X п 1 1 1 , I I i i I 1 L 1 Если бы удалось на координатной плоскости отметить все такие точки, то получили бы фигуру, изображённую на рисунке 36. В старших классах будет доказано, что графиком функции у = 4х является фигура, равная ветви параболы у = х^. Пусть х^п х^ — два произвольных аргумента функции у = -4х такие, что x-^^ < х^. Тогда из свойства арифметического квадратного корня следует, что yjx^ < Это означает, что большему значению аргумента функции у = у[х соответствует большее значение функции. Верно и обратное утверждение: большему значению функции соответствует большее значение аргумента, то есть если < yj^, то Xj < х^ (рис. 37). Рис. 36 Рис. 37 145 в таблице приведены свойства функции у = у[х, изученные в этом параграфе. Область определения Множество неотрицательных чисел . Область значений Множество неотрицательных чисел График Ветвь параболы Нуль функции (значение аргумента, при котором значение функции равно 0) X = 0 Сравнение значений функции Р Большему значению аргумента соответствует большее значение функции Пример 1. Решите графически уравнение yfx = 6- X. Решение. В одной системе координат построим графики функций у = -Jx и у = 6 - х (рис. 38). Эти графики пересекаются в точке, абсцисса которой равна 4. Проверка подтверждает, что число 4 является корнем данного уравнения. ◄ Рис. 38 Пример 2. Сравните числа: 1) 6 и 2) Зл/7 и л/б5. Решение. 1) Поскольку 6 = и 36 > 31, то >/36 > то есть 6> V^. 2) Имеем: 3^/7 = 63 < 65, < у1^. Следовательно, Зл/7 < ^/^. < Пример 3. При каких значениях х выполняется неравенство у/х < 3 ? Решение. Запишем данное неравенство так: у/х < л/Э. Поскольку большее значение функции у = у/х соответствует большему значению аргумента, то можно сделать вывод, что х < 9. Учитывая, что выражение у/х имеет смысл только при X > О, получаем, что данное неравенство выполняется при всех X, удовлетворяющих неравенству О < х < 9. ◄ Пример 4. Упростите выражение 146 Решение. Так как у/ь > 2 и \/5<3, то yjb - 2 > О и >/5-3<0. Отсюда получаем: V(V5-2f +yJ(S-sf =|75-2| + |75-з| = 75-2 + 3-л/5 =1. Ответ: 1. ◄ с*) 1. Какова область определения функции у = 4x1 2. Какова область значений функции у = 4x1 3. Чему равен нуль функции у = 4x1 4. В какой координатной четверти находится график функции у = 4x1 5. Какая фигура является графиком функции у = 4x1 6. Неотрицательные числа а\л Ь таковы, что а> Ь. Сравните 4а и 4Ь. 7. Известно, что 4а < 4Ь. Сравните числа а\л Ь, 581. Упражнения \____ Функция задана формулой у = 4х. Заполните таблицу. X 0,01 4 1600 у 9 11 1,5 582. Функция задана формулой у = 4х. 1) Чему равно значение функции, если значение аргумента равно: 0,16; 64; 1,44; 3 600? 2) При каком значении аргумента значение функции равно: 0,2; 5; 120; -4? 583. Не выполняя построения, определите, через какие из данных точек проходит график функции у = 4х: А (36; 6), В (4; -2), С (0,81; 0,9), D (-1; 1), Е (42,25; 6,5). 584. Через какую из данных точек проходит график функции у = 4х: 1) Л (16; 4); 2) В (49; -7); 3) С (3,6; 0,6); 4) D (-36; 6)? 585. Сравните числа: 4) ^ и 1; 5) -7 и -л/48; 1) V86 и 4tS; 2) и 7Гб; 3) 5 и 4^-, 6) Зл/2 и 24s- 7) 751 и 24i0; 8) 0,6^ и 41, 9) 4Т5 и 4л/з. 147 586. Сравните числа: 2) 9 и ^/82; 3) л/^ и 6; 4) 3^/5 и V42; оо V 5) у1^ и 2>/7; 6) 7^ и |V20. 587. 588. 589. 590. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графика функции у = у/х и прямой: 1)^=1; 2)^ = 0,8; 3) ^ =-6; 4) ^ = 500. Запишите в порядке убывания числа: 8; 7,9; >/б5; 8,2. Запишите в порядке возрастания числа: л/^; 6,1; 6; V35; 5,9. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число: 1) л/2; 4) ч/7; 7) ч/59; 2) ч/З; 5) чЯЗ; 8) ->/П5; 3) ч/5; 6) 9) ->/76,19? 591. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число: 1) л/б; 3) 5) -V^; 2) Vl9; 4) >ЛбО; 6) ->/^? 592. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами: 1) 3 и n/68; 3) -Si и -2,3; 2) л/7 и ^|f7; 4) ->/42 и 2,8. 593. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами: 1) 73 и лДЗ; 2) >/Т0 и >/90; 3) ->/Й5 и ->/47. При каких значениях х выполняется неравенство: 1) Sc> 2; 2) >/jc < 4; 3) 6 < < 9? При каких значениях х выполняется неравенство: 1) S1\ 3)10<л/х<20? Решите графически уравнение: \) 4х = хг, Ъ) 4х = х+2\ 2) у[х = х\ 4) yfx = 0,5х + 0,5; Решите графически уравнение: 1) >/г = -х-1; 2) у[х=2-хг. 594. 595. 596. 597. Ъ) Sc =^; X 6) S= 1,5-0,5л:. 3) S = —. 148 598. Упростите выражение: 1) ; 599. 3) ; 2) 4) V('/3-2f +yj{5-Sf. Упростите выражение: 1) ^{S-4f; 2) yj{4S-sf TV 600. Решите уравнение yfx = -a^. 601. Дана функция /(x) = —, если л: < О, X ^1х, если X > 0. 1) Найдите:/(-8), /(0), /(9). 2) Постройте график данной функции. {х^, если X < 1, VX, если X > 1. 1) Найдите:/(-2), /(0), /(1), /(4). 2) Постройте график данной функции. 603. Найдите область определения, область значений и нули функции у = 4-^. Постройте график данной функции. 604. Постройте график функции у = —j= . Vx 605. Упростите выражение: 1) л/8^^2^; 3) 7i2-6V3; 2) yl5-2S; 4) 7з8-12л/2. 606. Упростите выражение: 1) V9-4V5; 2) >/7-2л/10; 3) ^37 - 20л/3. 607. Сколько корней имеет уравнение л/х = а — х в зависимости от значения а? 608. Упростите выражение ^/Gй -н 1) — 4л/д -ь ■^(— 2) -1- 8^й. 609. Упростите выражение >/(л/а-б) ч-24>/й -\j{\/a+6) -244а. 149 Упражнения для повторения 610. В одном контейнере было 90 кг яблок, а в другом — 75 кг. После того как из первого контейнера вз5ыи в 3 раза больше яблок, чем из второго, в первом осталось в 2 раза меньше яблок, чем во втором. Сколько килограммов яблок взяли из первого контейнера? 611. От пристани против течения реки отплыла моторная лодка, собственная скорость которой равна 12 км/ч. Через 40 мин после отправления лодки вышел из строя мотор, и лодку течением реки через 2 ч принесло к пристани. Какова скорость течения реки? 612. Докажите тождество: a + 2b ^ - 2аЬ 2Ь 613. { а-2b 2аЬ 2а 1 - 45^ 4а (25 -а) + 4а5 н- 45‘^ a^ ’ - 9 -9а = а. 1) 2) , а -1- 3 а^ + 6а + 9j а-ь1 ан-З Расстояние между двумя городами легковая машина проезжает за 2 ч, а грузовая — за 3 ч. Через какое время после начала движения они встретятся, если выедут одновременно навстречу друг другу из этих городов? Готовимся к изучению новой темы 614. Решите уравнение: 1) д/ = 0; 2) - 1 = 0; 3) х^ + 5х = 0; 4) -3^2 -ь 12 = 0; 5) 5х^ - бд: = 0; 6) 0,2д;2 -н 2 = 0; Учимся делать нестандартные шаги 7) -д/ - 5дг = 0; 6 8) д/ - 2jt -н 1 = 0; 9) 9д;2 -f ЗОд: -ь 25 = 0. 615. Натуральные числа от 1 до 37 записаны в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится нацело на следующее за ними число. Какое число записано на третьем месте, если на первом месте записано число 37, а на втором — 1? 150 Задание № 4 «Проверьте себя» в тестовой форме 1. Какое из данных утверждений неверно? А) -5 — целое число В) -5 — иррациональное число Б) -5 — рациональное число Г) -5 — действительное число 2. Какое из чисел является иррациональным? А) V4 Б) В) Г) 3. Графиком какой из функций является парабола? А) у = 2х Б) у = х^ В) i/ = 4 X Г) У = X 4. На каком из рисунков изображён график функции у = Vx? 6. Вычислите значение выражения yj7x - 3 при х = 4. А) 5 Б) -5 В) 25 Г) -25 7. Чему равно значение выражения ^36 • 0,81 ? Г) 0,54 А) 6,9 Б) 54 В) 5,4 8. Найдите значение выражения I А) 2 Б) 4 В) 2,5 Г) 0,4 151 9. Упростите выражение - л/16й + V64a. А) 15ч/й Б) 15а В) 7ч/а Г) 1а 12 10. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби А) >/2 Б) 4л/2 В) 6^2 Г) 10V2 11. Сократите дробь Vfl + V2 а-2 а - 2^/^ + 2 а + 2 Б) В) 1 Г) у/а - у/2 у/а - у/2 а-2 у/а + у/2 2 I— 12. Упростите выражение (2 +V5)(2->/5) + (V5 + l) -7^. А) 15 Б) 5 В) 10-75 Г) 10 + 575 Итоги главы 2 Свойства функции у ^ Область определения: R. Область значений: множество неотрицательных чисел. График: парабола. Нуль функции: л: = 0. Свойство графика: ось ординат является осью симметрии параболы. Квадратный корень Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а. Арифметический квадратный корень Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а. Равные множества Два множества Л ч В называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А принадлежит множеству В и наоборот — каждый элемент множества В принадлежит множеству А. 152 Подмножество Множество В называют подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А. Пересечение множеств Пересечением множеств А ^ В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В. Объединение множеств Объединением множеств А м В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: или множеству А, или множеству В. Целые числа Все натуральные числа, противоположные им числа и число О образуют множество целых чисел. Действительные числа Множеством действительных чисел называют объединение множеств рациональных и иррациональных чисел. Обозначения числовых множеств N— множество натуральных чисел; Z — множество целых чисел; Q — множество рациональных чисел; R — множество действительных чисел. Связь между числовыми множествами N CZ Z (Z Qcz R. Свойства арифметического квадратного корня Для любого действительного числа а выполняется равенство = \а\. Для любого действительного числа а и любого натурального числа п выполняется равенство = 1а”|. Для любых действительных чисел а Ь таких, что а > О и 6 > О, выполняется равенство yfab = yfa -\lb. 153 Для любых действительных чисел а и 6 таких, что а > О и 6 > О, выполняется равенство Л S' Для любых неотрицательных чисел и таких, что а, > а^, выполняется неравенство > ,Ja^. Свойства функции у = Jx Область определения: множество неотрицательных чисел. Область значений: множество неотрицательных чисел. График: ветвь параболы. Нуль функции: д: = 0. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. 154 Глава 3. Квадратные уравнения Изучив материал этой главы, вы научитесь решать уравнения вида ах^ -ь 6л: -н с = 0. Изучите теорему Виета для квадратного уравнения. Овладеете приёмами решения уравнений, сводящихся к квадратным. ^ 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений Вы умеете решать линейные уравнения, то есть уравнения вида ах = Ь, где х — переменная, а и Ь — некоторые числа. Если а Ф о, то уравнение ах = Ь называют уравнением первой степени. Например, каждое из линейных уравнений 2л: = 3, Зх = 0, -х = -7 яв- 3 ляется уравнением первой степени. А вот линейные уравнения Ох = 0, Ох = 2 уравнениями первой степени не являются. Числа а и Ь называют коэффициентами уравнения первой степени ах = Ь. То, что множество уравнений первой степени является подмножеством множества линейных уравнений, иллюстрирует схема на рисунке 39. Рис. 39 Вы также умеете решать некоторые уравнения, содержащие переменную во второй степени. Например, готовясь к изучению новой темы, вы решили уравнения х^ = 0, х^ - 1 = 0, х^ -н 5х = 0, х^ - 2х -I- 1 = 0 (упражнение № 614). Каждое из этих уравнений имеет вид ах^ + Ьх + с = 0. 155 о Определение \--------------------- Квадратным уравнением называют уравнение вида + bx + c = Qf где X — переменная, а^Ь^с — некоторые числа, причём аФО. Числа а, Ь и с называют коэффициентами квадратного уравнения. Число а называют первым или старшим коэффициентом, число Ь — вторым коэффициентом, число с — свободным членом. Например, квадратное уравнение -I- 5л: + 3 = О имеет следующие коэффициенты: а = -2, 6 = 5, с = 3. Левая часть квадратного уравнения является многочленом второй степени. Поэтому квадратное уравнение ещё называют уравнением второй степени. Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведённым. Например, + yj2x -1 = 0, .г^-4 = 0, д:^ + 3л; = 0 — это приведённые квадратные уравнения. Поскольку в квадратном уравнении ах^ + + с = 0 старший коэффи- циент не равен нулю, то неприведённое квадратное уравнение всегда можно преобразовать в приведённое, равносильное данному. Разделив обе части уравнения -+• с = 0 на число а, получим приведённое квадратное + ^ = а а Если в квадратном уравнении ахР^ + Ьх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов Ь или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Существует три вида неполных квадратных уравнений: 1) при 6 = с = о имеем: ахР^ = 0; 2) при с = Q W Ь Ф ^ имеем: ахР^ + Ьх = 3) при /? = о и с о имеем: -f- с = 0. Решим неполные квадратные уравнения каждого вида. 1. Поскольку <2 о, то уравнение ах^ = 0 имеет единственный корень д: = 0. 2. Уравнение л- Ьх = Q представим в виде х{ах + Ь) = 0. Это уравнение имеет два корня х^ и х^, один из которых равен нулю, а другой явля- ется корнем уравнения первой степени ах + Ь = 0. Отсюда Xj = О и Xg ~ 3. уравнение ах^ -t- с = 0 представим в виде х^ “ “ ^ • Поскольку сфО, то возможны два случая: — — < 0 или - — > 0. Очевидно, что в первом случае а а уравнение х 156 уравнение корней не имеет. Во втором случае уравнение имеет два корня: , с с X, = J— и х^ = -J— . а ^ \ а Результаты, полученные при решении неполных квадратных уравнений, оформим в виде таблицы. ■■ . . 1 i 1 ■ . ■ , ^ Коэффициенты уравнения ах^ + Ьх + с = 0 Неполное квадратное уравнение . ■ . .7- - .. .. . Корни - . - N - ■ Ь = с = 0 ах^ = 0 х = 0 ЬфО, с = 0 + Ьх=0 X, = 0, Хс, = — ^ ^ а ^ = 0, -- < 0 а ах^ -1- с = 0 Корней нет 6 = 0, -- > 0 а ах^ + с = 0 Пример. Решите уравнение х^ — j—j- = 0. Л Y Решение. При д: > 0 имеем: х^--= 0. Отсюда - 4 = 0: х = 2 или X X = -2. Но корень -2 не удовлетворяет условию х> 0. При д: < о имеем: д:^ + ^ = 0. Отсюда -I- 4 = 0. Последнее уравнение не имеет корней. Ответ: 2. < сЬ 1. Какое уравнение называют линейным? 2. Какое уравнение называют уравнением первой степени? 3. Приведите пример линейного уравнения, являющегося уравнением первой степени, и пример линейного уравнения, которое не является уравнением первой степени. 4. Какое уравнение называют квадратным? 5. Как называют коэффициенты квадратного уравнения ах^ + Ьх + с-= 0? 6. Какое квадратное уравнение называют приведённым? 7. Какое квадратное уравнение называют неполным? 8. Какие существуют виды неполных квадратных уравнений? Какие корни имеет уравнение каждого вида? 157 616. Укажите среди данных уравнений квадратные и назовите, чему равны старший коэффициент, второй коэффициент и свободный член каждого из них: 1) х=0; 5) д;2-4л:-ь2 = 0; 9) б - -н 4дг = 0; 2) х2 = 0; 6) - х2 + 6 = 0; 10) -х^ - 2х -h 3 = 0. 3) х2 -ь X = 0; 7) -2x2 + 7х-8 = 0; 4) х2 -н 1 = 0; 8) х^^ - X - 9 = 0; 617. Составьте квадратное уравнение, в котором: 1) старший коэффициент равен б, второй коэффициент равен 7, а свободный член равен 2; 2) старший коэффициент равен 1, второй коэффициент равен -8, а свободный член равен - ^; 3) старший коэффициент равен -0,5, второй коэффициент равен 0, а свободный член равен 2 у; 4) старший коэффициент равен 7,2, второй коэффициент равен -2, а свободный член равен 0, 618. Составьте квадратное уравнение, в котором: 1) старший коэффициент равен -1, второй коэффициент равен -2, а свободный член равен 1,6; 2) старший коэффициент и свободный член равны 2, а второй коэффициент равен 0. 619. Представьте данное уравнение в виде ах^ + Ьх + с = 0, укажите значения коэффициентов а, Ь и с: 1) 6х(3 -х) = 1 -Ьс^\ 3) (5х - 1)2 ={х+4){х- 2); 2) х(х -ь 1) = (х - 3)(7х -I- 2); 4) 4х(х -f- 8) - (х - б)(х -1- 6) = 0. 620. Представьте данное уравнение в виде ах^ + Ьх + с = 0, укажите значения коэффициентов а, Ь и с: \)х{х+ 10) = 8х -н 3; 2) (х -н 2)2 = 2x2 -f- ^ 621. Укажите, какие из данных уравнений являются приведёнными, и преобразуйте неприведённые уравнения в приведённые: 1) х2 - 5х -Ь 34 = 0; 3) х2 + X - 5 = 0; 5) -х2 -ь 8х - 7 = 0; 3 2) 2x2 -h бх + 8 = 0; 4) 16 - 6х -н х2 = 0; 6) -0,2x2 -ь 0,8х ч-1 = 0. 622. Преобразуйте данное квадратное уравнение в приведённое: 1) -х2-2х-3 = 0; 2)-4x2-ь 20х- 16 = 0; S)Sx^ + x+2 = 0. 158 623. 624. 625. 626. 627. 628. 629. 630. 631. Какие из чисел 1; 0; -3; 2; -10 являются корнями уравнения + 9х--10 = 0? Докажите, что: 1) число —1 не является корнем уравнения — 2х + 3 = 0\ 2) числа -- и -3 являются корнями уравнения Зх^ + Юл; + 3 = 0; 3 3) числа -yj2 и ^/2 являются корнями уравнения За^ -6 = 0. Докажите, что: 1) число -5 является корнем уравнения х^ + Зх - 10 = 0; 2) число 4 не является корнем уравнения ^х^ - 4х = 0. 5) 64лг2 -9 = 0; 6) лг2 + 10 0. 3) 3x2 - б = 0; 4) _8д;2 = 0. оо V Решите уравнение: 1) 5x2-45 = 0; 3) 2x2- 10 = 0; 2) х2 + 8х = 0; 4) 2x2 _ Юд; = О; Решите уравнение: 1)х2 + 7х=0; 2) 2x2- 11х = 0; Решите уравнение: 1) (Зх- 1)(х + 4) = -4; 2) (2х -1)2- 6(6 - х) = 2х; 3) (х + 2)(х - 3) - (х - 5)(х + 5) = х2 - X. Решите уравнение: 1) (Зх - 2)(3х + 2) + (4х - 5)2 = Юх + 21; 2) (2х- 1)(х + 8) - (х - 1)(х + 1) = 15х. Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых на 36 больше меньшего из них. Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых на 80 больше большего из них. 632. 633. 634. 635. Докажите, что числа 2 - л/З и 2 + у/З являются корнями уравнения х2 - 4х + 1 = 0. Решите уравнение: = 2) Решите уравнение: 1) = 0; 2) 7 3 х2 - 3 х2 - 1 +1 х‘2 + 2 = 2. = -1. 6 4 При каком значении т\ 1) число 2 является корнем уравнения х2 + тх -6 = 0; 2) число -3 является корнем уравнения 2x2 - 7х + m = 0; 3) число у является корнем уравнения т^х^ + 14х -3 = 0? 159 636. При каком значении п: 1) число б является корнем уравнения - ш: + 3 = 0; 2) число 0,5 является корнем уравнения пх^ - 8х + 10 = О? 637. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители способом группировки: 1)х2-6х+8 = 0; 2)х2+12х+20 = 0; 3) + 22х- 23 = 0. 638. Решите уравнение, вьщелив в его левой части квадрат двучлена: 1) х2 - 4х + 3 = 0; 2) х2 + 6х - 7 = 0; 3) х^ + 8х + 20 = 0. 639. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители: 1) х2 - 10х + 9 = 0; 3) х2 - X - 2 = 0; 2) х2 + 2х - 3 = 0; 4) х2 + бх + 5 = 0. 640. Сумма квадратов двух последовательных целых чисел на 17 больше, чем удвоенное большее из них. Найдите эти числа. 641. Найдите два последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 1. 642. При каком значении т не является квадратным уравнение: \) {т- 4)х2 -I- тх +7 = 0; 2) (ш2 + 8т)х2 + (т + 8)х +10 = 0; 3) (m2 - 81)х2 - бх + m = о? 643. Каким числом, положительным или отрицательным, является отличный от нуля корень неполного квадратного уравнения + Ьх — 0, если: 1) а > о, 6 > 0; 3) а > о, 6 < 0; 2) <2 < о, 6 > 0; 4) <2 < о, /? < о? 644. Имеет ли корни неполное квадратное уравнение ах^ + с = 0, если: 1) « > о, о 0; 3) <2 > о, с < 0; 2) <2 < о, с > 0; 4) <2 < о, с < о? 645. Каким многочленом можно заменить звёздочку в уравнении 3x2 _2х+4 + * = 0, чтобы получилось неполное квадратное уравнение, корнями которого являются числа: 1)0 и 4; 2)-1и1? 646. Каким многочленом можно заменить звёздочку в уравнении х2 + 5х— 1 + * = 0, чтобы получилось неполное квадратное уравнение, корнями которого являются числа: 1) 0; -7; 2) -4; 4? 647. Решите уравнение: 1) х2-31х| =0; 2) х2 + 1х| - 2х = 0; 3) х2 - = 0; X . ч о 2x2 4) х2 - у-р = 0. 1x1 160 648. Решите уравнение: 1) - 71х| = 0; 2) - 6|х1 + X = 0; Qy-2 3) 2x2 - ^ = 0. \х\ 649. При каком значении а уравнение {а - 2)х^ + {2а - l)x + «2_4 = o является: 1) линейным; 2) приведённым квадратным; 3) неполным неприведённым квадратным; 4) неполным приведённым квадратным? 650. Определите, при каком значении а один из корней квадратного уравнения равен о, и найдите второй корень уравнения: 1) х2 + ах + <2 - 4 = 0; 3) ах^ + {ал- 3)х л- а^ - Ъа = 0. 2) 4x2 л- {а - 8)х + «2 + ^ = 0; Упражнения для повторения 651. Выполните действия: 3 - 2а 1 - а2 1) 2а 2) + 3) 4) с -н 4 с2 - 4с с2 - 16 56а^ 62 5) С 4а2 - 1 10а -I- 5 ^ а2-9 ■ а-ьЗ ’ 36 ' 1465 ’ 652. Упростите выражение: 1) Юл/З - 5л/48 -н 2ч/^; 3) (б - >/2f; 2) (3>/5-V^)>/5; 4) (VIs - л/з) Vi-н 0,5V^. 653. Какой из графиков, представленных на рисунке 40, является графиком функции: 654. Ученик задумал двузначное число. Если каждую цифру этого числа увеличить на 2, то полученное число будет на 13 меньше удвоенного задуманного числа. Какое число было задумано? 161 CUl Учимся делать \---- нестандартные шаги 655. Печатный автомат получает на входе карточку с числами (а; Ь) и вы- дает на выходе карточку с числами а + Ь 1 1 h Можно ли с по- мощью этого автомата из карточки с числами (0,25; 1 000) получить карточку с числами (1,25; 250)? ^ 20. Формула корней квадратного уравнения Зная коэффициенты а и Ь уравнения первой степени ах = Ь, можно найти его корень по формуле ~ • Выведем формулу, позволяющую по коэффициентам а, h и с квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = 0 находить его корни. Имеем: ах^ + Ьх + с = 0. (1) Поскольку а Ф о, то, умножив обе части этого уравнения на 4а, получим уравнение, равносильное данному: 4а^х^ + 4аЬх -I- 4ас = 0. Выделим в левой части этого уравнения квадрат двучлена: 4а^х^ + 4аЬх + + 4ас = 0; (2лг -I- Ь)^ = - 4ас. (2) Существование корней уравнения (2) и их количество зависят от знака значения выражения - 4ас. Это значение называют дискриминантом квадратного уравнения ах^ + Ьх -t- с = 0 и обозначают буквой D, то есть D = Ь^ - 4ас. Термин «дискриминант» происходит от латинского слова discriminare, что означает «различать», «разделять». Теперь уравнение (2) можно записать так: {2ах -н 6)2 = D. (3) Возможны три случая: £) < 0, Z) = 0, D > 0. 1. Если D < о, то уравнение (3), а следовательно, и уравнение (1) корней не имеют. Действительно, при любом значении х выражение {2ах-\- 6)^ принимает только неотрицательные значения. Вывод: если Z) < 0, то квадратное уравнение корней не имеет. 2. Если Z) = о, то уравнение (3) принимает вид: {2ах -f- 6)2 = 0. 162 Отсюда 2ах + 6 = 0; х = - — . 2а Вывод; если D = 0, то квадратное уравнение имеет один ко- рень X = - — . ^ 2а X = 3. Если D > о, то уравнение (3) можно записать в виде {2ах + hf - (yfO) . Отсюда 2ах + Ь = -у[В или 2ах + 6 = \[D. Тогда х = — - 2а или 2а Вывод: если Z) > 0, то квадратное уравнение имеет два кор- ня Jtj и х^. X, = -ь-4в х^ -6 + >/d * 2а ’ 2а Применяют также краткую форму записи: X = -ь±4Ъ 2а Эту запись называют формулой корней квадратного уравнения ах^ + 6х + с = 0. Полученную формулу можно применять и в случае, когда D = 0. Имеем: ^ ^ -Ь±у[о ^__^ 2а 2а ‘ При решении квадратных уравнений удобно руководствоваться следующим алгоритмом: • найти дискриминант D квадратного уравнения; • если Z) < о, то в ответе записать, что корней нет; • если Z) > о, то воспользоваться формулой корней квадратного уравнения. Если второй коэффициент квадратного уравнения представить в виде 2k, то можно пользоваться другой формулой, которая во многих случаях облегчает вычисления. Рассмотрим квадратное уравнение + 2kx + с = 0. Найдём его дискриминант: D = 46^ - 4<2С = 4(6^ - ас). Обозначим выражение — ас через Dy Если > о, то по формуле корней квадратного уравнения получаем; ^_-2к±у1Щ _ -2k±2^ _ 2(-^±^) _ -k±^^ ^ 2а 2а 2а а ' 163 то есть X = _-k±J^ , где D^ = k^ - ас. = 196. Пример 1. Решите уравнение: 1) - 2х - 16 = 0; 3) + 5х - 3 = 0; 5) - 16д: + 3 = 0. 2) -0,5дг2 + 2л: - 2 = 0; 4) - 6л- + 11 = 0; Решение. 1) В данном уравнении а = 3, Ь = -2, с = -16. Дискриминант уравнения D = - 4ас = (-2)^ - 4 • 3 • (-16) = 4 + 192 = Следовательно, = -2, х^ = - = ^ = 21. о о о о д Ответ: -2; 21. 2) Имеем: D = 22 - 4 • (-0,5) • (-2) = 4-4 = 0. Следовательно, данное уравнение имеет один корень: -2±>/о X = -1 = 2. Заметим, что данное уравнение можно решить другим способом. Умножив обе части уравнения на -2, получаем: х^ — 4х + 4 = 0. Отсюда (дг - 2)^ = 0; х - 2 = 0; л: = 2. Ответ: 2. 3) D = 52 - 4.1 . (-3) = 25 -к 12 = 37. ,, -5 - VS7 -5-ь л/з7 Уравнение имеет два корня: х^ =--------, х^ =--------• -5 - ч/з7 -5 и- л/з7 либо Ответ можно записать одним из двух способов: -5± Т37 4) D = (-6)2 - 4 • Ы1 = 36 - 44 = -8 < 0. Следовательно, уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет. 5) Представим данное уравнение в виде 5x2 ^ ^ • (-8)х -н 3 = 0 и применим формулу корней для уравнения вида ах^ -I- 2kx -I- с = 0: D, = (-8)2 - 5 • 3 = 49; 8-7 1 _ 8+7_„ - 5 5 ’ ^2 5 Ответ: ^; 3. ◄ 5 164 Пример 2. Решите уравнение: 1) х2+6л/^^-16 = 0; 2) x2-10(V^f-24 = 0; 3) 9х^ - 8л: + = 1 + . X-1 X Решение. 1) Имеем: + б|х| -16 = 0. При jf > о получаем уравнение х^ + 6х - 16 = 0, которое имеет корни -8 и 2, однако корень -8 не удовлетворяет условию л: > 0. При X < о получаем уравнение х^ - 6х — 16 = 0, которое имеет корни -2 и 8, однако корень 8 не удовлетворяет условию д: < 0. Ответ: -2; 2. 2) Поскольку {yfx) = X при X> о, то искомые корни должны удовлетворять двум условиям одновременно: х^-10х-24 = 0их>0. В таком слу- Гх2-10х-24 = 0, чае говорят, что данное уравнение равносильно системе -j ^ ^ Уравнение х^ - 1 Ох - 24 = 0 имеет корни -2 и 12, но корень -2 не удовлетворяет условию X > 0. Ответ: 12. Г 9^2 - 8х = 1, 3) Данное уравнение равносильно системе \ , „ ’ Отсюда 9х‘^ - 8х -1 = о, X Ф\; X -1 0. 1 ^ = -9- X = 1 или X = - —, 9 X 1 Ответ: —. ◄ 9 Пример 3. При каком значении Ь имеет единственный корень уравнение: 1) Ьс^-Ьх+ 18 = 0; 2) {Ь -f- 6)х^ - {Ь - 2)х -ь 1 = о? Решение. 1) Данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Имеем: D = 62 - 4.2 • 18 = 62 - 144; 62 - 144 = 0; 6 = -12 или 6 = 12. Ответ: 6 = -12 или 6 = 12. 165 2) При 6 = -6 получаем линейное уравнение 8х + 1 = О, имеющее один корень. При Ь Ф -6 данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю: D = (6 - 2)2 - 4(6 4- 6) = 62 - 46 + 4 - 4Z? - 24 = 62 - 86 - 20. Имеем: 62 - 86 - 20 = 0, отсюда 6 = -2 или 6=10. Ответ: 6 = -2, или 6 = 10, или 6 = -6. ◄ 1. Значение какого выражения называют дискриминантом квадратного уравнения? 2. Как зависит количество корней квадратного уравнения от знака дискриминанта? 3. Запишите формулу корней квадратного уравнения. 4. Каким алгоритмом удобно пользоваться при решении квадратных уравнений? 656. 657. 658. 659. Упражнения Найдите дискриминант и определите количество корней уравнения: 1) х2 -к 2х - 4 = 0; 3) 2^2 - 6х - 3,5 = 0; 2) -Sx + 5 = 0; 4) 5х^ - 2х -н 0,2 = 0. Какое из данных уравнений имеет два корня: 1) ^2 -ь 4л: -ь 8 = 0; 3) 4лг2 - 12х -f 9 = 0; 2) Зл^ - 4л: - 1 = 0; 4) 2л:2 - 9х -t- 15 = 0? Какое из данных уравнений не имеет корней: 660. 1) д:2 - блг ч- 4 = 0; 2) 5x2 - Юх -ь 6 = 0; Решите уравнение: 1) х2 - 4х -I- 3 = 0; 2) х^ -ь 2х - 3 = 0; 3) х2 + Зх - 4 = 0; 4) х2 - 4г - 21 = 0; 5) х2 -н X - 56 = 0; 6) х2 - 6х - 7 = 0; 7) х2 - 8х-н 12 = 0; Решите уравнение: 1) х^ - Зх -I- 2 = 0; 2) х2-н 12х- 13 = 0; 3) х2 - 7х + 10 = 0; 4) х2 - X - 72 = 0; 3) 3x2 + 4х - 2 = 0; 4) 0,04x2 _ Q -1-1=0? 8) х2 -I- 7х 4- 6 = 0; 9) -х2 -h бх -к 55 = 0; 10) 2x2-Зх-2 = 0; 11) 2x2 - X - 6 = 0; 12) 3x2-4х-20 = 0; 13) 10x2-7х-3 = 0; 14) -5x2 -I- 7х - 2 = 0; 5) 2x2 - 5х -ь 2 = 0; 6) 2x2 - 7х - 4 = 0; 7) 4x2 - Зх - 1 = 0; 8) -2x2 -f- X -I- 15 = 0; 15) -6x2-7х-1=0 16) 3x2- 10х-нЗ = 0 17) -Зх2-ь7х+б = 0 18) х2 - 4х -н 1 = 0; 19) 2x2-X-4 = 0; 20) х2 - 8х -к 20 = 0. 9) 6x2 -ь 7х - 5 = 0; 10) 18x2-9х-5 = 0; 11) х2-6х-ь 11 =0; 12) -х2-8х-н12 = 0. 166 662. 663. оо V 661. При каких значениях переменной: 1) значения многочленов 6х^ - 2 и 5 - х равны; 2) значение двучлена у - 6 равно значению трёхчлена - 9у + 3; 3) трёхчлены + 4т + 2 и 2т^ + 10/?г + 8 принимают равные значения? При каких значениях переменной: 1) значение двучлена 4х + 4 равно значению трёхчлена Зд:^ -I- 5дг - 10; 2) значения трёхчленов 10р^ + Юр + 8 и Зр^ - Юр -1-11 равны? Найдите корни уравнения: 1) (2д:-5)(д:-ь2) = 18; 2) {4х - 3)2 -н (Зх - l)(3x -н 1) = 9; 3) (х-нЗ)2-(2д:-1)2 = 16; 4) {х - 6)2 - 2х{х -I- 3) = 30 - \2х-, 5) (х + 7)(х - 8) - (4х + 1)(х - 2) = -21х; 6) (2х - 1)(2х -н 1) - х(1 - х) = 2х(х -f- 1). 664. Решите уравнение: 1) (х - 4)2 = 4х - 11; 2) (X -ь 5)2 + (х - 7)(х -ь 7) = 6х - 19; 3) (Зх - 1)(х -ь 4) = (2х -н 3)(х +3)- 17. 665. Найдите натуральное число, квадрат которого на 42 больше данного числа. 666. Найдите периметр прямоугольника, площадь которого равна 70 см2, а одна из сторон на 9 см больше другой. 667. Произведение двух чисел равно 84. Найдите эти числа, если одно из них на 8 меньше другого. 668. Произведение двух последовательных натуральных чисел на 89 больше их суммы. Найдите эти числа. 669. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 365. Найдите эти числа. 670. 671. 672. 3) 4) д2 - 4 2х + 3 8 4x2 ф д. 3 х2 +17 = -1: 5х-1 Решите уравнение: 1) 2x2+х>/5-15 = 0; 2) х2 -х(>/б-1)-7б =0; Решите уравнение: 1) х2 + Зхл/2 -1-4 = 0; 2) х2 - X(n/з + 2) -I- 2>/3 = 0; При каких значениях а число ^ является корнем уравнения д2х2 + 4<2Х -5 = 0? 3) 2£l±£_£±3^^_j 167 673. При каком значении а число 2 является корнем уравнения - 0,Ъах -- Ъа^ = О? 674. От квадратного листа картона отрезали полоску в форме прямоугольника шириной 3 см и длиной, равной стороне квадрата. Площадь оставшейся части листа составляет 40 см^. Какой была длина стороны квадратного листа картона? 675. От прямоугольного листа бумаги, длина которого равна 18 см, отрезали квадрат, сторона которого равна ширине листа. Площадь оставшейся части прямоугольника составляет 72 см^. Какой была ширина листа бумаги? 676. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если один из них на 14 см меньше другого, а гипотенуза равна 34 см. 677. Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 31 см, а диагональ прямоугольника равна 41 см. 678. Найдите три последовательных нечётных натуральных числа, если квадрат первого из них на 33 больше, чем удвоенная сумма второго и третьего. 679. Найдите четыре последовательных чётных натуральных числа, если сумма первого и третьего чисел в 5 раз меньше, чем произведение второго и четвёртого чисел. 680. Докажите, что если старший коэффициент и свободный член квадратного уравнения имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня. 681. {Старинная индийская задача.) На две партии разбившись, Забавлялись обезьяны. Часть восьмсш их в квадрате В роще весело резвилась. А двенадцать по лианам Стали прыгать, повисая. Сколько было обезьянок. Ты скажи мне, в этой стае? 682. В футбольном турнире было сыграно 36 матчей. Сколько команд участвовало в турнире, если каждая команда сыграла по одному разу с каждой из остальных команд? 683. Сколько сторон у многоугольника, если в нём можно провести 90 диагоналей? 684. Решите уравнение: 1) \х^ + 1х - Ц = 4; 3) х\х\ -I- бд: - 5 = 0; 4 2) Ъх^ - 8 1д:| -н 3 = 0; 4) -f ^ -12 = 0; 1д:1 168 685. 686. 687. 688. 689. 690. 691. 692. 5) х2-8л/х2 +15 = 0; Решите уравнение: 1) |д^+ 10х-4| =20; 2) х\х\ + 12л: - 45 = 0; Решите уравнение: 1) х^+2х+ ^ ^ 6) ^2 + 4yfx^ -12 = 0. 3) ^-14х-15 = 0; \х\ 4) д;2 - -9 = 0. л - 8 X - 8 Решите уравнение: 1 , 1 + 80; 1) бх‘2 + 5л: - = 1- 2) x2+8(Vxf-33 = 0. 2) 5л:2-14(л/х)^-3 = 0. X + 1 ~ X + 1 ’ При каком значении Ь имеет единственный корень уравнение: 1) 2x2 +4х-6 = 0; 2) Зл^-6х+ 12 = 0? При каком значении Ь имеет единственный корень уравнение: 1) 6x2 - 18х + 6 = 0; 2) 8x2 + 6х + 2 = о? Докажите, что при любом значении р имеет два корня уравнение: 1) 4x2 _ _ 3 _ Q. 2) х^ + рх + р - 2 = 0. Докажите, что при любом значении т не имеет корней уравнение: 1) х2 + тх + m2 + 1 = 0; 2) х2 - 2тх + 2т^ + 9 = 0. Докажите, что при любом значении Ь уравнение х2 + 6х - 7 = 0 имеет два корня. 693. Для каждого значения а решите уравнение: 1) х2 + (За + 1)х + 2а2 + а = 0; 3) а^х^ - 24ах - 25 = 0; 2) х2 - (2а + 4)х + 8а = 0; 4) 3(2а - 1)х2 - 2(а + 1)х + 1 = 0. 694. Для каждого значения а решите уравнение: 1) х2 - (2а - 5)х - За2 + 5а = 0; 3) ох2 - (а + 1)х + 1 = 0. 2) х2 + (За - 4)х - 12а = 0; 695. При каком значении Ь имеет единственный корень уравнение: 1) 6x2 - 6х - 7 = 0; 3) (6 - 4)х2 + (26 - 8)х +15 = 0? 2) (6 + 5)л;2 - (6 + 6)х +3 = 0; 696. При каком значении 6 имеет единственный корень уравнение: 1) 6x2 + Х+ ^ = 0; 2) (6 + 3)х2 + (6 + 1)х - 2 = о? Упражнения для повторения 697. Упростите выражение: а + 6 4б ^<2 + 6 (а + Ь _ 4б 'l [ а а + Ь ) а а + Ь ] а - Ь (а~^ 1 698. Найдите значение выражения —~ при а = - 169 699. Расположите в порядке возрастания числа л/Г?, и 4. 700. Имеется лом сплавов двух сортов, которые содержат 5 % и 45 % никеля соответственно. Сколько металлолома каждого из этих сортов нужно взять, чтобы получить 120 т сплава с 30-процентным содержанием никеля? 701. В книге недостаёт нескольких листов. На левой странице разворота стоит номер страницы 24, а на правой — номер 53. Сколько листов недостаёт между этими страницами? Готовимся к изучению новой темы 702. Решите уравнение, найдите сумму и произведение его корней и срав- ните их со вторым коэффициентом и свободным членом уравнения: 1) д;2-4г- 12 = 0; 2)х^ + 9х+ 14 = 0. 703. Заполните таблицу, где а, Ь ис — коэффициенты квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = о, 2L х^и х^ — его корни. Уравнение _Ь а с а х^ х^ .... Х.^ + ^2 7х^ - -ь 1 = 0 6х^ + 13х - 15 = 0 Учимся делать \--- нестандартные шаги 704. Докажите, что из 101 кубика, которые окрашены в произвольные цвета, можно выбрать или 11 кубиков одного цвета, или 11 кубиков разных цветов. $ 21. Теорема Виета Готовясь к изучению этого параграфа, вы выполнили упражнения № 702, 703. Возможно, эти упражнения подсказали вам, каким образом сумма и произведение корней квадратного уравнения связаны с его коэффициентами. 170 Франсуа Виет (1540-1603) — французский математик, по профессии юрист. В 1591 г. ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений, благодаря чему стало возможным выражать свойства уравнений и их корни общими формулами. Среди своих открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. @ Теорема 21.1 (теорема Виета) Если и — корни квадратного уравнения ах^ + Ьх + -I- с = О, то Ь с ^1+^2=--5 ^1^2=7- Доказательство Условие теоремы предполагает, что данное квадратное уравнение имеет корни. Поэтому его дискриминант D не может быть отрицательным. Пусть D > 0. Применив формулу к^ней квадратного уравнения, запишем: -ь-4о_______-ь + уГо , Xj = 2а 2а Имеем: = = = ^ 2 2а 2а 2а а XjXg = _-b-yfP -b + y[p ^i-bf ~{4d) -D - Ш -^ac) 2a 2a 4«2 4a^ a' Пусть Z) = 0. В этом случае считают, что = Xg =------. Имеем: _ _ 4ас с Х,Хс = —т = —^ = -. ◄ 4а^ 4а^ 171 0 Следствие Если и — корни приведённого квадратного уравнения х^ + Ьх + с = О, то х^+х^ = -bj х^х^ = с. Другими словами, сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. 0 Теорема 21.2 (обратная теореме Виета) Если числа а и В таковы, что а + В= — иаВ= —,то эти а а числа являются корнями квадратного уравнения ах^ + 6л: + с = 0. Доказательство Рассмотрим квадратное уравнение ах^ + Ьх + с = ^. Преобразуем его в приведённое: + -X + - = 0. а а Согласно условию теоремы это уравнение можно записать так: - (а 4- р)х + ар = 0. (*) Подставим в левую часть этого уравнения вместо х сначала число а, затем число р. Получим: - (а + Р)а + ар = - аР + ар = 0; р2 - (а + р)р + ар = P^ - ар - Р^ + аР = 0. Таким образом, числа а и Р являются корнями уравнения (*), а следовательно, и корнями квадратного уравнения + Ьх + с = 0. < 0 Следствие Если числа аир таковы, что а + р = -6 и ар = с, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения х^ + Ьх + с = Это следствие позволяет решать некоторые квадратные уравнения устно, не используя формулу корней. Пример 1. Найдите сумму и произведение корней уравнения 3x2- 15х-ь2 = 0. 172 Решение. Выясним, имеет ли данное уравнение корни. Имеем: Z) = (-15)^ - 4 • 3 • 2 = 225 - 24 > 0. Следовательно, уравнение имеет два корня и х^. -15 2 Тогда по теореме Виета х, + х^ = —— = 5, х,х^ = - . < Пример 2. Найдите коэффициенты Ь и с уравнения х^ + Ьх + с = 0, если его корнями являются числа -7 и 4. Решение. По теореме Виета Ь - -(-7 -I- 4) = 3, с = -7 • 4 = -28. ^ Пример 3. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициен- 14. 5оч6->/7 6-1-л/7 тами, корни которого равны: 1) 4 и --\z) —^— и —^—. 5 Решение. 1) Пусть = 4 и ^2 = - у. Тогда х^+х^=А-^ = Ц, х^х^ =4-|^-|^=-у. По теореме, обратной теореме Виета, числа Xj и х^ являются корнями 23 20 уравнения - — х - — = 0. Умножив обе части этого уравнения на 7, получаем квадратное уравнение с целыми коэффициентами: 7x2 - 23х - 20 = 0. 2) Пусть X, = и . OQ Следовательно, х^ и х^ являются корнями уравнения х2 - бх -I- у = 0. Отсюда искомым является такое уравнение: 4x2 _ 24х + 29 = 0. ◄ Пример 4. Известно, что х^ и Х2 — корни уравнения 2x2 _ 3^^ _ 9 _ q Не решая уравнение, найдите значение выражения . ' 3 Q Решение. По теореме Виета Xj -I- Xg = — , x^Xg = - —. 1 , 1 Тогда имеем:-----1--= — X, + Х2 _ 3 2 _9 2 i 2 Ответ: —. ◄ 3 173 Пример 5, Число 4 является корнем уравнения - Юл: + п = 0. Найдите второй корень уравнения и значение п. Решение. Пусть х^их^ — корни данного уравнения, причём х^ = 4. По 10 10 2 и 8 теореме Виета = —. Тогда х^ = — - 4 = --. Имеем: - = х^х^ = ~ ^ ’ п = -8. 9 Ответ: х^ = п = -8. < Пример 6. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 4 больше соответствующих корней уравнения л:^ + блг - 14 = 0. Решение. Пусть х^и х^ — корни данного уравнения, х^ и х^ — корни искомого уравнения. По условию Х^ = Х-^+ 4i, JCg = ATg + 4. По теореме Виета х^ + х^ = -6, х-^х^ = -14. Тогда имеем: х^ + х^ = х.^ + 4 + х^ + 4 = (Xj 4-ЛГ2) + 8 = -б-1-8 = 2; х^х^ - (л:J + 4)(х2 -I- 4) = х^^2 + 4(Xj + Х2) -1-16 = -14 + 4 • (-6) -н 16 = -22. Следовательно, по теореме, обратной теореме Виета, искомым является уравнение - 2х - 22 = 0. Ответ: x^ - 2х - 22 = 0. ◄ 1. Сформулируйте теорему Виета. 2. Сформулируйте следствие из теоремы Виета. 3. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета. 4. Сформулируйте следствие из теоремы, обратной теореме Виета. Упражнения 705. Чему равна сумма корней уравнения х^ -f- 5х - 10 = 0: 1)5; 2)-5; 3)-10; 4)10? 706. Чему равно произведение корней уравнения х^- 14х-1- 12 = 0: 1) -14; 2) 14; 3) 12; 4) -12? 707. Не решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней: 1) х^ + 6х - 32 = 0; 3) 2x2 - бх -h 3 = q. 2) х2 - lOx -h 4 = 0; 4) lOx^ -h 42x -h 25 = 0. 708. He решая уравнение, найдите сумму и произведение его корней: 1) х2 - 12х - 18 = 0; 3) 3x2 + 7х + 2 = 0; 2) х2 -ь 2х - 9 = 0; 4) -4x2 _ 8х -ь 27 = 0. 709. Применяя теорему, обратную теореме Виета, определите, являются ли корнями уравнения: 1) х2 - 8х -1- 12 = о числа 2 и 6; 174 710. 711. 712. 713. 714. 2) + X - 56 = О числа -7 и 8; 3) - 13х + 42 = О числа 5 и 8; 4) - 20х - 99 = О числа 9 и 11. Применяя теорему, обратную теореме Виета, определите, являются ли корнями уравнения: \) + 2х - Ъ = Q числа 1 и -2; 2) + 5jc + 6 = О числа -2 и -3. Найдите коэффициенты Ь тл с уравнения + Ьх + с = 0, если его корнями являются числа: 1)-8и6; 2) 4 и 5. Найдите коэффициенты бис уравнения х^ + Ьх-^ с = 0, если его корнями являются числа: 1)-2 и 0,5; 2)-10 и-20. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны: 1) 2 и 5; 3)-0,2 и-10; 5) 0 и 6; 2) и 2; Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны: 1)-7и-8; 2) 5 и-0,4; 3) ^ и |; 4) 5 - >/1о и 5-ь Vio. 4) 2 - 73 и 2 -f- 73; 6) ->/7 и л/7. оо V 715. 716. 717. 718. 719. 720. 721. 722. Число -2 является корнем уравнения х^ - Sx + q = 0. Найдите значение q и второй корень уравнения. Число 7 является корнем уравнения х^ + рх - 42 = 0. Найдите значение р и второй корень уравнения. Число является корнем уравнения 6х^ - Ьх + 4 = 0. Найдите значение Ь и второй корень уравнения. Число -0,2 является корнем уравнения 4дг^ - 5,6х -I- т = 0. Найдите значение т и второй корень уравнения. Известно, что х^и х^ — корни уравнения 2х^ -1х - 13 = 0. Не решая уравнение, найдите значение выражения х^х^ - 4х^ - 4x2. Известно, что Xj и Xg — корни уравнения 5х^ -ь 4х - 13 = 0. Не решая уравнение, найдите значение выражения 3XjXg — х^ — Xg. При каком значении Ь корни уравнениях^-ьбх-17 = 0 являются противоположными числами? Найдите эти корни. Применяя теорему, обратную теореме Виета, решите уравнение: 1) х^-5х-ь4 = 0 2) х^ -н 5х -I- 4 = о 3) х2-4х-5 = 0 4) х^ -н 4х - 5 = 0; 5) х2 - 9х -н 20 = 0; 6) х^ - X - 2 = 0; 7) х^ -I- 2х - 8 = 0; 8) х^ - Зх - 18 = 0. 175 723. 724. 725. 726. 727. 728. 729. 730. 731. 732. 733. 734. 735. 736. Применяя теорему, обратную теореме Виета, решите уравнение: 1) - 10х + 24 = 0; 3) - 2д: - 8 = 0; 2) + 6л; + 8 = 0; 4) х^ + х - 12 = 0. Какие из данных уравнений имеют два положительных корня, какие — два отрицательных, а какие — корни разных знаков: 1) х2 - 12х -Ы4 = 0; 4) х2 -ь 16х -н 10 = 0; 2) х2 + 6х - 42 = 0; 5) х^ - 24х -ь 0,1 = 0; 3) х2 - 7х - 30 = 0; 6) х2 -t- 20х -к 3 = 0? Один из корней уравнения х^ - 10х+с = 0на8 меньше другого. Найдите значение с и корни уравнения. Корни уравнения х^ + 20х -н а = 0 относятся как 7 : 3. Найдите значение а и корни уравнения. Корни Xj и Xg уравнения х^ - 7х + m = 0 удовлетворяют условию 2Xj - SXg = 28. Найдите корни уравнения и значение т. Корни Xj и Xg уравнения х^ + 4х -н гг = 0 удовлетворяют условию 3Xj - Xg = 8. Найдите корни уравнения и значение п. Найдите, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, корни уравнения: 1) 2x2 - 5Х-1- 3 = 0; 3) ^бх^ - 23х-н 7 = 0; 2) 2x2 + 5х -ь 3 = 0; 4) _8л;2 - 19х ч- 27 = 0. Найдите, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, корни уравнения: 1) 7x2-ь 11^ _ 18 = 0; 2) 9x2-5х-4 = 0. Известно, что Xj и Х2 — корни уравнения х2 - 9х -I- 6 = 0. Не решая уравнение, найдите значение выражения: 2) х2 + х^; 3) (Xj - Х2)2; 4) xf -t- Х2^. Известно, что х^ и Х2 — корни уравнения х2 -ь 5х - 16 = 0. Не решая уравнение, найдите значение выражения: 1) Xj2x2 -I- Х22Хр 2) ^ ^ ; х„ 3) |Х2 -Xj. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 2 меньше соответствующих корней уравнения х2 -f 8х - 3 = 0. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 3 больше соответствующих корней уравнения х2 - 12х -ь 4 = 0. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 3 раза меньше соответствующих корней уравнения 2x2 _ \4х + 9 = 0. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 2 раза больше соответствующих корней уравнения 2x2 _ 15х -|- 4 = 0. 176 — 46 „ 737. Сумма квадратов корней уравнения + от - 7 = О равна —. Найдите значение а. 738. Корни и jfg уравнения - ах + S = О удовлетворяют условию X X ^ — + — = Найдите значение а. 2 739. Верно ли утверждение: 1) уравнение 7х^ -1-4л:-д^-1 = 0 имеет корни разных знаков при любом значении а\ 2) если уравнение х^ + ^х +а?-+ А = 0 имеет корни, то независимо от значения а они оба отрицательны? 740. Найдите все целые значения Ь, при которых имеет целые корни уравнение: \) х^ + Ьх + Ь = 2) х^ + Ьх - \2 = 0. 741. Найдите все целые значения Ь, при которых имеет целые корни уравнение: \) х^ + hx + S = 0\ 2) х^ + Ьх - 0. 742. Корни уравнения х^ + Ьх + с = 0 равны его коэффициентам Ь w с. Найдите Ь тл с. 743. При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х^ - Ах: + + а = о равна: 1) 12; 2) б? 744. При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х^ {а - 1 )х - 2<2 = о равна 9? Упражнения для повторения 745. Сократите дробь: Аа -16 1) 2) «2 -16 ’ \2Ь^ - 8^)2 2-ЪЬ 3) 4) с2 -н Юс + 25 5с+ 25 4-^2 ^ 2 - Ат + 4 ’ т 5) 6) - п rf -п 2-2x2 4x2 _ ^ 4 746. В саду посадили рядами 48 деревьев с одинаковым количеством деревьев в каждом ряду. Рядов оказалось на 8 меньше, чем деревьев в каждом из них. Сколько деревьев посадили в каждом ряду и сколько было рядов? 747. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций ^ = х2и^ = х+2. Начертите графики данных функций и отметьте найденные точки. 748. В саду 60 % деревьев составляют вишни и сливы, из них 30 % составляют сливы. Какой процент всех деревьев сада составляют сливы? 177 Готовимся к изучению новой темы 749. Пользуясь методом группировки, разложите на множители многочлен: 10; 3) «2 + 867 + 12; 2) ^2 + 3^ _ 4; 4) ^ _ 5 . .•■5»гвам III lliliii1iHT-im г ^^ Учимся делать \--- нестандартные шаги 750. Вася задумал три цифры: х, у, z. Петя называет три числа: а, Ь, с. Вася сообщает Пете значение выражения ах л-by л- cz. Какие числа должен назвать Петя, чтобы по полученной информации определить, какие цифры задумал Вася? 178 Задание № 5 «Проверьте себя» в тестовой форме 1. Какое из данных уравнений не является квадратным? А)д;2 = 0 Б)л‘^ + д:=0 В)л:^ + х= 0 Y) + х -2 = 0 2. Решите уравнение Ох - х^ = 0. А) -3; 0; 3 Б) 0; 3 В) -3; 3 Г) 0; 9 ОТ) х^-хх-2Ъ-х 3. Решите уравнение —^------— = —-—. А) 0; 5 Б) 5 В) V5 Г) -V5; л/б 4. Какое из данных уравнений не имеет корней? А)х2-5х-2 = 0 Ъ)х^-2х+5 = 0 Б) -5л:+ 2 = 0 Г)д^ + 2х-5 = 0 5. Сколько корней имеет уравнение 6х^ + 13х + 5 = 0? А) два В) ни одного Б) бесконечно много Г) один 6. Найдите корни уравнения + 4х - 21 = 0. А) 7; -3 Б) -7; 3 В) -7; -3 Г) 3; 7 7. Чему равна сумма корней уравнения х^ - 10х - 12 = 0? А) 10 Б) -10 В) -12 Г) 12 8. Чему равно произведение корней уравнения Зх^ - 1бх + 6 = 0? 16 А) б Б) 2 В) -16 Г) 9. При каких значениях переменной принимают равные значения выражения (Зх - 1)(х + 2) и (х - 12)(х - 4)? А) -12.5; 2 Б) 12,5; -2 В) -25; 4 Г) 25; -4 10. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 3 - л/2 и 3 + 72. А) х2 + 6х - 7 = о В) х2 + 6х + 7 = о Б) х^ - 6х - 7 = о Г) х^ - бх + 7 = о 11. Решите уравнение х|х| -9х- 10 = 0. А) -1; 10; . -9-741 . -9 + 741 Б) 10; 2 2 -9 - 741 -9 + 741 В) -1; -9-741 Г) -1; 10 2 2 12. Число -5 является корнем уравнения 2х^ + 9х + с = 0. Найдите второй корень уравнения и значение с. А) Х2 = 0,5, с = -5 В) Xg = 9,5, с = 22,5 Б) Х2 = -0,5, с = 5 Г) -^2 “ ^ “ -22,5 179 ^ 22. Квадратный трёхчлен & Определение Квадратным трёхчленом называют многочлен вида ах^ + Ьх + с, где х — переменная, а^Ъ ул с — некоторые числа, причём аф^. Приведём примеры многочленов, являющихся квадратными трёхчленами: -Ъх+Ъ\х^ + 1х\ ур- -Ъ\ Зх^. Заметим, что левая часть квадратного уравнения ах^ + hx + с = О является квадратным трёхчленом. 0 Определение \------------------- Корнем квадратного трёхчлена называют значение переменной, при котором значение квадратного трёхчлена равно нулю. Например, число 2 является корнем квадратного трёхчлена - 6л: -h 8. Чтобы найти корни квадратного трёхчлена ах^ + Ьх+ с, надо решить соответствующее квадратное уравнение + Ьх -ь с = 0. Число D = — 4ас называют дискриминантом квадратного трёх- члена С1Х^ + Ьх + с. Если Z) < о, то квадратный трёхчлен корней не имеет. Если D = 0, то квадратный трёхчлен имеет один корень, если Z) > 0 — то два корня. Рассмотрим квадратный трёхчлен х^ - Зх + 2. Разложим его на множители методом группировки. (Подобное упражнение, Л'9 749, вы выполняли во время подготовки к изучению этого параграфа.) Имеем: х^-Зх + 2= у^-х-2х+2 = х{х - 1) - 2(х - I) = (х- 1)(л - 2). О таком тождественном преобразовании говорят, что квадратный трёхчлен х^ - Зх + 2 разложили на линейные множители х - I и х - 2. Связь между корнями квадратного трёхчлена и линейными множителями, на которые он раскладывается, устанавливает следующая теорема. 0 Теорема 22.1 Если дискриминант квадратного трёхчлена ах^ + Ьх + с положительный, то данный трёхчлен можно разложить на линейные множители: €1х^ + Ьх + с = а(х - х^){х - х^), где x^и х^ — корни квадратного трёхчлена. 180 Доказательство Поскольку числа и являются корнями квадратного уравнения ах^ + + с = О, то по теореме Виета + -^2 “ ” ^ ’ ^1^2 “ ^ ■ Тогда а{х - х^{х - х^ = а{о^ - {х^ + х^)х + х^х^ = а^х^ + ^х + = - ах^ + Ьх + с. < Замечание. Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то считают, что квадратный трёхчлен имеет два равных корня, то есть х^ = х^. в этом случае разложение квадратного трёхчлена на линейные множители имеет следующий вид: ах^ + Ьх + с = а{х - х^)^. @ Теорема 22.2 Если дискриминант квадратного трёхчлена отрицательный, то данный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители. Доказательство Предположим, что квадратный трёхчлен ах^ + Ьх + с можно разложить на линейные множители. Тогда существуют такие числа k, тип, что выполняется равенство ах^ + Ьх + с = k{x — т){х — п). Отсюда получаем, что тип — корни данного квадратного трёхчлена. Следовательно, его дискриминант неотрицательный, что противоречит условию. ◄ Пример 1. Разложите на множители квадратный трёхчлен: 1) х2-14г-32; 2)-х^ + \1х - Ъ)Ъх^-1х+2. Решение. 1) Найдём корни данного трёхчлена: - \Ах - 32 = 0; Xj = -2, Xg = 16. Следовательно, х^ - 14х - 32 = (х -н 2)(х - 16). 2) Решим уравнение -х^ + 17х - 30 = 0. Имеем: х2- 17х + 30 = 0; Xj = 2, Xg = 15. Следовательно, -х^ + 17х - 30 = -(х - 2)(х - 15). 3) Решим уравнение Зx^ - 7х -ь 2 = 0. Имеем: 1^ 3 ^1 =-,Х2 = 2. Тогда Зх^ - 7х + 2 (х-2) = (Зх- 1)(х-2). ◄ 181 Пример 2. Сократите дробь ^ ^ ^ ^ • Решение. Разложим на множители квадратный трёхчлен, являющийся числителем данной дроби. Решив уравнение 6<2^ -<2-1=0, получаем: 6fl^ а, = - ^; «2 = ^ . Теперь можно записать -й -1 = -н ^ Тогда получаем: 6а^ - а - 1 ^ (Зд+ 1)(2а-1) ^ 2а - 1 9fl2-l (За-н1)(За-1) “ За-1 л 2а -1 Ответ: т---◄ За -1 Пример 3. При каком значении т разложение на множители трёхчлена 2д:^ + 9х + т содержит множитель (jc-f 5)? Решение. Поскольку разложение данного трёхчлена на множители должно содержать множитель (лс -f- 5), то один из корней этого трёхчлена равен -5. Тогда имеем: 2 • (-5)2 + 9 . (-5) + т = 0; т = -5. Ответ: т = -Ъ. < 1. Какой многочлен называют квадратным трёхчленом? 2. Что называют корнем квадратного трёхчлена? 3. Что называют дискриминантом квадратного трёхчлена? 4. В каком случае квадратный трёхчлен не имеет корней? Имеет один корень? Имеет два корня? 5. В каком случае квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители? 6. По какой формуле квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители? 7. В каком случае квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители? Упражнения --- 751. Найдите корни квадратного трёхчлена: \) - X - 4) 16л:2 - 24л: + 3; 2) х'^ + 2х- 35; 5) 4х^ + 2Sx + 49; 3) Злг2 _ 1бх -н 5; 6) 3x2 + 21х - 90. 182 752. Можно ли разложить на линейные множители квадратный трёхчлен: 1) JC-2- 12х + б; 3) 2бг2-8я + 8; 2) Зл:^ - 8д: + 6; 4) -6^2 + 6+12? 753. Разложите на линейные множители квадратный трёхчлен: 1) д:2-7х+12; 5)-х^ + х + 2; 9)lb^-^b + l; о о 2) х^ + 8х+ 15; 6) 6х^ - 5х - I; 10) -2^2 _ о,5х + 1,5; 3) х^-3х- 10; 7) 4x2 + Зд: - 22; И) 0,4x2 _ 2^ + 2,5; 4) -х2 -5х - 6; 8) -Зд2 + 8<з + 3; 12) -1,2^2 + 2,6w - 1. 754. Разложите на линейные множители квадратный трёхчлен: 1) х2-3х- 18; 2) х2 + 5х - 14; 3) -х2 + Зх + 4; 755. Сократите дробь: + X -6 4) 5x2 + _ 4- 5) 2«2 - Зй + 1; 6) 462- 116-3; 7) --^х2 - 2х - 3; 8) 0,3ш2 - Зт + 7,5; 9) х2 - 2х - 2. 1) 2) X + S X - 4 х^ - 10х + 24 ’ 756. Сократите дробь: 1) д-2 - 6х + 5 ОО V X 757. Сократите дробь: 4fl2-9 2) 2fl2 - 9а - 18 ’ 2b^ -76 + 3 462 - 4б + 1 ’ 758. Сократите дробь: 1) 2) TV 4x2 + X - S х2-1 ’ 2j/2 + Зу - 5 . -2у + 1 3) 4) 2) 3) 4) 3) 4) Зх-15 х2 - X - 20 ’ х2 - Зх + 2 . 6х - 6 2х +12 х‘ U Зх -18 С2 -5с-6 . С2 - 8с + 12 ’ т^ -1 m2 + 9т -10 «2 + 5<2 + 4 . «2 - а - 20 ’ 3 + 206 - 762 5) 6) х2 - 7х + 12 х2 - Зх х2 + 4х х2 + 2х - 8 * 762 _ 6^ - 1 3) 5) 6) х2 + 9х + 14 х2 + 7х Х2 - 16 32 - 4х - х2 ’ 4^2 -9/2 + 2 2 + 9п- 5^2 ’ 759. При каком значении 6 разложение на линейные множители трёхчлена: 1) 2x2 _ ^ ^ содержит множитель (х - 3); 2) -4x2 jf. Jjx + 2. содержит множитель (х + 1); 3) .3x2 _ 4^ + ^ содержит множитель (Зх - 2)? 183 760. При каком значении а разложение на линейные множители трёхчлена: 1) 2х^ -1х + а содержит множитель (х - 4); 2) 4х^ - ах+ % содержит множитель (2х + 1)? 761. Упростите выражение: 1) 2) 3) 4) - 4 - 5а + 2 За + 2 Ь-А ( Ь-\ а - 2 ^ а - 1 1-2а’ 1 ^ '62-1 - Ь 2^2 +36 + 1 ^ с + 2_______2с V с2 + Зс с2 - с - 6 с2 - 6с + 9 j ■ (2с - 6)2 ’ 3 2т ^ 4т - 6 ^ 4т т-4 т + 1 ш2-Зт-4 16 2т - 3 762. Докажите, что при всех допустимых значениях а значение выражения не зависит от значения переменной: 25а2 - 36 5а + 6 . 9а - 8 1) 2) __________. 5а + 6 ^ 9а 10а2-9а + 2 ■ 5а-2 1 - 2а ’ 2а , 1 4 V 2а+ 1 а + 3 + а + 3 а-1 а2+2а-3^ 763. Постройте график функции: У = л;2 - 6х + 5 X -1 У = 3^2 - Юд: + 3 x2 - 4 д: - 3 д: + 2 764. Постройте график функции: 1) ^ = дг2 - 2х - 8 X - 4 У = - X - 2 д:2 - д- - 30 X + 1 х + 5 765. Разложите на множители многочлен: 1) х2 - бху + 5^2. 3) 377^2 - Smn - 3«2; 2) «2 + 5аЬ - 36^2; 4) 4дг2 - Ьху + 766. Разложите на множители многочлен: 1) «2 - 14аЬ + 40^2; 2) 12^2 + Ьс - 6с^. 767. Для каждого значения а решите уравнение: 1) {а^ - а - 6)х = «2 - 9; 2) {а^ - 8а + 7)х = 2а^ - 13я - 7. 768. Для каждого значения а решите уравнение + 7а- 8)х = а^ + 16<2 + 64. Упражнения для повторения 769. Сократите дробь: 3 +Тз 1) 2n/3 2) 5-V5 Vio-5^^ ’ 3) 2-Уб. 7б-3 ’ 184 4) 4g - 2 5) 9a - 6) гл[а - 8 2yfa + yj2 ^ 9a + 6by[a + b^ ' a + 2^/й + 4 770. Какой из графиков, представленных на рисунке 41, является графиком движения пешехода, который шёл с постоянной скоростью? Определите скорость движения этого пешехода. 771. Смешали 2 л молока жирностью 8 % и 3 л молока жирностью 6 %. Какова жирность полученной смеси? Готовимся к изучению новой темы 772. Решите уравнение: 1) д:2 = 9; 3) (4л--н 1)2 = 9; 5) Vx = 9; 2) х2 = -9; 4) (X - 1)2 = 5; 6) Vx = -9 773. Решите уравнение: Ах X + Ъ 1) X -2 X - 2' „ч 5дг-3 4л: - 2 , ----—7Г = 1; „ч 2^2 _ 3^ _ 20 2) ^-----у = \\ у-А 4) X -ь 1 1 X + 2 1 у-Ъ у + А {у-Ъ){у + А) Учимся делать \--- нестандартные шаги 774. Рассматриваются все прямоугольники, длины сторон которых — натуральные числа. Каких прямоугольников больше: с периметром 1 000 или с периметром 1 002? 185 ^ 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям Пример 1. Решите уравнение - ISx^ + 36 = 0. Решение. Пусть = t. Тогда xf^ = Подставив в исходное уравнение вместо х^ соответственно t и получим квадратное уравнение с переменной t\ - Ш -t- 36 = 0. Решив это уравнение, находим: = 9. Поскольку ^ то ре- шение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений: Х^ = А VL х^ = 9. Отсюда = -2, х^ = 2, х^ = -3, х^ = 3. Ответ можно записать двумя способами: -2; 2; -3; 3 либо ±2; ±3. ◄ 8 Определение Уравнение вида ах^ + Ьх^ н- с = 0, где х — переменная, а, 6 и с — некоторые числа, причём называют би- квадратным уравнением. Заменой х^ = t биквадратное уравнение сводится к квадратному уравнению at^ + Ы + с = 9. Такой способ решения уравнений называют методом замены переменной. Метод замены переменной можно использовать не только при peuie-нии биквадратных уравнений. Пример 2. Решите уравнение (2д: - 1)“^ -I- {2х - 1)^ - 2 = 0. Решение. Выполним замену (2д: - 1)^ = f. Тогда исходное уравнение сводится к квадратному уравнению t^ + t-2 = 9. Отсюда = -2, ^2 = 1- Теперь надо решить следующие два уравнения: (2дг- 1)2 =-2 и (2д:- 1)2 = 1. Первое из них корней не имеет. Из второго уравнения получаем: 2д: - 1 = -1 или 2д: - 1 = 1. Отсюда ЛГJ = о, ДГ2 = 1. Ответ: 0; 1. ◄ Пример 3. Решите уравнение бд: -I- 5Vx + 1 = 0. Решение. Пусть у[х = t. Тогда х = Получаем: 6^2 + 5^ + 1 = 0. Отсюда . ^2 = • 186 Получаем два уравнения: 4-х = -\.Гх = -\. Поскольку л/х > о, то эти уравнения корней не имеют, а следовательно, и исходное уравнение корней не имеет. Ответ: корней нет. ◄ 5лг + 18 Пример 4. Решите уравнение -----— =------—. ОС о X лЭ \х^ +2х = Ьх +18, Решение. Данное уравнение равносильно системе < I 8 0. Отсюда: - Зд: -18 = о, [X Ф 6; [ X = -3 или X = б, [х Ф 6; X = -3. Ответ: -3. ◄ Пример 5. Решите уравнение Решение. Имеем: 1 x^ - 4х -1- 4 х^ - 4 X -I- 2 5 4 1 (х-2)^ (х-2)(х + 2) х-ь2 = 0; 5(х-1-2)-4(х-2)-(х-2)' = 0. (х - 2)^ (х + 2) Следовательно, данное уравнение равносильно системе 5(х + 2)- 4(х - 2) - (X - 2)2 = о, X Ф 2, X Ф -2. Отсюда: 5х -ь 10 - 4х -I- 8 - х‘2 -I- 4х - 4 = о, X Ф 2, X Ф -2; х2-5х-14 = 0, X 2, X Ф -2; 187 X = 1 или X = -2, X X ^ -2; х=1. Ответ: 7. ◄ Какое уравнение называют биквадратным? 775. 776. 777. Упражнения Решите уравнение: 1) + 4 = 0; 2) + б = 0; Решите уравнение: 1) jk^-29o^+ 100 = 0; 2) х^-9х^ + 20 = 0; Решите уравнение: +3х -4 _ Q, 778. 1) 2) 3) 4) 5) 6) Ре 1) 2) 3) 4) X + 1 х^ -6х -7 _ х-7 " ’ Зх^ - X -2 _ Q. 1-х X ■2 -8х X +10 х2 -14 20 х + 10 ’ 5х X + 2 X + 2 ’ х2 + 10х _ 12х 4- 48 X - 8 X - 8 3) - 8x2 - 9 = 0; 4) х^ + 14x2 _ 32 = 0; 3) х^ - 2x2 - 24 = 0; 4) х^ + 3x2 - 70 = 0; 5) 4х^ - 9x2 + 2 = 0; 6) Зх^ + 8x2 - 3 = 0. 5) 9х^ - 10x2 +1=0; 6) 2х^ - 5x2 + 2 = 0. х2 + 4х _ 9х + 50 _ Q. 8) X - 5 X - 5 х2 - 6х . 15 - 2х X - 3 + X - 3 = 0; _От' 9) ----2^ = 4; X - 4 10) 5х + 18 ^ ^ ^ х-2 11) х + 1 = -; X 12) 5-4 = И. х2 X х2 - 5х - 6 _ 5) х2 + 12х 5х - 12 £1 X - 6 X + 4 X + 4 4x2 _ 7д. _ 2 _ х-2 6) х2 - Зх с = 6; X + 6 2x2 + 6 _ 13х X + 8 X + 8 ’ 7) у-А х2 + 4х _ 5х + 56 , X + 7 X + 7 ’ 8) 39 у = 10. У 188 = 0; оо V 779. Решите уравнение: 1) (х+3)4-3(х+3)2-4 = 0; 2) {2x+iy- 10{2х + 1)2 + 9 = 0; 780. Решите уравнение: 1) (Зх - 1)^ - 20(3х - 1)2 + 64 = 0; 781. Решите уравнение: 1) X - Syfx +2 = 0; 2) X - Vx - 12 = 0; 782. Решите уравнение: 1) X - 6у/х + 8 = 0; 783. Решите уравнение: 3) (6х - Т)'^ + 4(6х - 7)2 + 3 = 0; 4) (х-4)-^ +2(х-4)2-8 = 0. 2) (2х + 3)4 - 24(2х + 3)2 - 25 = 0. 3) Зх - Юл/х +3 = 0; 4) Syfx + X + 7 = 0; 1) -9х + 18 2) Ре 1) Ре 1) х2 - 9 3x2 _ _ 5 = 0; 2) X - 5л/х - 50 = 0; х2 - 12х + 35 5) 6л/х - 27 + X = 0; 6) 8х - loVx + 3 = 0. 3) 2х - Зл/х + 1 = 0. = 0; 3x2 ^ ^ 784. Решите уравнение: х2 - 9х - 10 _ х'^ -1 785. Решите уравнение: 2г/ _ Зг/ + 3 . УУ Зх + 4 2х - 9 2) Нг 1) Нг 1) X - 3 X + 1 ’ 786. Найдите корни уравнения: 2х - 13 _ X + 6 . X - 6 X ’ 787. Найдите корни уравнения: -^ + - = 1; X + 2 X 3) 4) 2) 3) 4) 2) х2 - 10х + 25 х2 - 7х + 6 = 0; = 0. = 0. х2 + 2х - 3 х2 + 5х - 14 х2 - 6х + 8 5х + 2 _ 4х + 13 X - 1 X + 7 2x2 _ + 2 1 = Зх - 4. 3x2 -4Х-20 X + 2 = 2х - 5. 1 10 -------2--^ X х^ - 5х 2) 3) 48 48 14-х X -1 ^ X + 2 14 + X X = 1; 8 X - 2 X +1 х2 - 4’ 2х +18 4) ^ + х + 3 х-3 х2-9 еч 4х - 10 , X + 6 . 5) ----— +-----г = 4; X - 1 X + 1 7) 8) 9) 10) 4х 3 - X. х-5’ X - 2 х2 + 4х + 4 х2 + 2х X ’ 6 3 . х-12 + х2 - 36 х2 - бХ х2 + бх = 0; + X + 7 63 - 5х X + 7 ' X - 7 4 _________ х2 - 10х + 25 X + 5 х2 - 25 ' х2 - 49 1 10 189 788. Решите уравнение: 60 ^ 1_. 5 ’ 1)М_ X л: + 10 2) 3) X X + 2 9 X + 2 X - 2 14 16 X + S X - S х^ -4 М . X 4) 5) 6) 2у + 3 у+ 1 + 1 2у + 2 2у -2 у^ Ъх_________X - Ъ х^ - 10х + 25 х^ - Ъх 10 = 0; X 5 ■Г - 20 ^___________________________ х"^ + IOjc - 100 х^ - 10х = 0. 789. При каком значении переменной: 1) сумма дробей 24 и 16 X - 2 X + 2 равна 3; 2) значение дроби — на — больше значения дроби ^ X 4 X + 20 790. При каком значении переменной: 14 ^ 30 1 ^30 1) значение дроби ^ на - меньше значения дроби —; „ на „ X + 3 2 20 X 2) значение дроби — на 9 больше значения дроби 20 X +18 791. Решите уравнение: 4 5х-1 2х -10 х + 1 х^-х + 1 2) 6_____^ 5 - 2х х^ - 4х + 3 X -1 792. Решите уравнение: 3 X - 3 3) 4) X 1) Зх + 2 , х^ + 39 4х - 6 X + 2 X_______________ х^ - 4 х^ + X - 6 : х + 1 14 х + 1 х‘“^ + Зх + 2 ’ Зх-1 2 х^ + 2х + 4 х^ - 8 2) х^ + 5х + 6 8 х-1 х + 3 х^+2х-3 793. Решите уравнение методом замены переменной: 1) (х2 - 2)2 - 8(х2 - 2) + 7 = 0; 2) (лг2 + 5х)2 - 2(х2 + 5х) - 24 = 0; 3) (х2 - Зх + 1)(х2 - Зх + 3) = 3; 4) (х2 + 2х + 2)(х2 + 2х - 4) = -5. 794. Решите уравнение методом замены переменной: 6(2х -1) 1) X + 5 = 0; 04 Зх-1 ^ х + 1 _gl ^ X +1 Зх -1 3 795. Решите уравнение: 1) (х^ - 6х)^ + (х^ - 6х) - 56 = 0; 2) (х2 + 8х + 3)(х2 + 8х + 5) = 63; 3) 4) 4x2 (X - 2)2 X - 2 X + 4 _ X - 3 _ 3 X - 3 X + 4 2 -5 = 0; 190 796. Для каждого значения а решите уравнение: - (За + 2)X + 6а X - 6 а(х - а) 1) - 8л: + 7 ^ 3) = 0; X - а 2) X - а _ Q. 4) х'^ -Ъх + 1 = 0; л: + 3 = 0. 797. ^ При каких значениях а уравнение --------— = 0 имеет единствен- ный корень? Упражнения для повторения 798. 799. 800. Верно ли утверждение, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения -2а + \ ) а + \ является положительным числом? Каким числом, рациональным или иррациональным, является зна- л/б-1-2 76-2. ние выражения —р------р----? V6 - 2 V6 + 2 Постройте график функции: У = —, если X < -2, X если X > -2. C3I Учимся делать нестандартные шаги 801. На экране монитора компьютера записано число 1. Ежесекундно компьютер прибавляет к числу, находящемуся на экране, сумму его цифр. Может ли через некоторое время на экране появиться число 123 456 789? САа» Когда сделаны уроки Решение уравнений методом замены переменной В § 23 вы познакомились с решением уравнений методом замены переменной. Рассмотрим ещё несколько примеров, иллюстрирующих эффективность этого метода. 191 Пример 1. Решите уравнение - Зх - 6 х^ - Зх -6 8х X - Зх - б = -2. Решение. Пусть X = t. Тогда 8 зс 8 “2-------= -. Получаем урав- X ^Х ”0 ^ ,8 „„ Ji2+2£-8 = 0, нение t — — = -Z. сЗто уравнение равносильно системе ^ ^ Отсюда = -4, = 2. Теперь решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений: х^ - Зх - 6 _ 2) x^ - Зх - 6 X = 2. Решите эти уравнения самостоятельно. Ответ: -3; -1; 2; 6. < Пример 2. Решите уравнение {2х^ -f Зх - 1)^ - 10х^ - 15х -1-9 = 0. Решение. Преобразуем это уравнение: (2x2 + Зд; _ 1)2 _ 10д;2 _ I5x + 5 + 4 = 0; (2x2 + зд; _ 1)2 _ 5(2д;2 + Зх - 1) -н 4 = 0. Пусть 2x2 + Зх - 1 = ^. Тогда ^2 _ 5^ + 4 = 0. Отсюда = 1, ^2 = 4. Следовательно, 2x2 + Зх - 1 = 1 или 2x2 + Зх - 1 = 4. Решив эти два квадратных уравнения, получим ответ. Ответ:-2; 1-< Пример 3. Решите уравнение (2x2 _ Зх + 1)(2х2 -ь 5х -I- 1) = 9x2. Решение. Выполнив проверку, легко убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Тогда, разделив обе части данного уравнения на х2, перейдём к равносильному уравнению: 2x2 _ зд. + 1 2x2 + 5х + 1 = 9. Отсюда 2х - 3 н— X X 2х-ь5 + - 1=9. X Произведём замену: 2х -f- — — 3 = С Тогда 2x-i-5-i- — = ^-l-8. Получаем уравнение t{t -Н 8) = 9. Отсюда t^ = = -9. С учётом замены получаем два уравнения: 192 1) 2x + --S = \; X 2) 2x + - - 3 = -9. X Решите эти уравнения самостоятельно, ответ: Пример 4. Решите уравнение 7| д: + ^]-2[л:‘'^+ | = 9. Решение. Пусть х + — = t. Тогда | лг + — I = t^. Отсюда х^ + 2 + -^ = X X j х'^ х^ = - 2. х^ Такая замена позволяет переписать исходное уравнение следующим образом: 7^-2(^2-2) = 9; 2^2 - 7^ + 5 = 0. 5 Отсюда t^ = I, t^ = —• 1 15 Следовательно, х — = 1 или х -\— = — . X X 2 Решите эти уравнения самостоятельно. Ответ: ^; 2. ◄ Пример 5. Решите уравнение (х^ - 2х + 2)^ + Ъх{х^ - 2jt + 2) = \Qx^. Решение. С помощью проверки легко убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Тогда уравнение (лг2 - 2:г -I- 2 . .3 (лг2 - 2х + 2) X = 10, полученное в результате деления обеих частей исходного уравнения на х^, равносильно исходному. Замена X = t приводит к квадратному уравнению f + Ш -10 = 0. Завершите решение самостоятельно. Ответ: 2-^\ 2 + у12; -1; -2. ◄ Может возникнуть вопрос: почему при решении примеров 1-5 мы не пытались упростить уравнения с помощью тождественных преобразований? 193 Дело в том, что использование тождественных преобразований привело бы к необходимости решать уравнение вида -ь сх^ + dx + е = 0 (вы можете в этом убедиться самостоятельно). При а Ф О такое уравнение называют уравнением четвёртой степени, при а = 0иЬф0 — уравнением третьей степени. Частным случаем этого уравнения, когда Ь = О и d = О, является биквадратное уравнение. Его вы решать умеете. В общем случае для решения уравнений третьей и четвёртой степеней необходимо знать формулы нахождения их корней. С историей открытия этих формул вы можете ознакомиться в следующем рассказе. Упражнения Решите уравнение: - 9х 12 х^ - Sx = 3; 2) 8 = 1; (х-I-1) (д: + 2) (х - 1)(л:-I-4) 3) х{х + 3)(х -I- 5)(х -I- 8) = 100; 4) (д:-н2)(х-нЗ)(х-ь8)(д:-к 12) = 4л^; 5) 7(.r + i]-2 6) 2{х^ + х+ 1)2-7(x- 1)2= 13(д^- 1); 7) {х - б)'^ + {х- 4У = 82. Огеет: 1) -1; 1; 2; 4; 2) -3; 0; 3) ^ ± л/2Т; 4) -6; -4; 5) i;2; 6)2;4;-1; 7) 3; 7. Секретное оружие Сципиона дель Ферро Вы легко решите каждое из следующих уравнений третьей степени: д:^-8 = 0, дг^ч-л:2 = о, х^-д: = 0. Все они являются частными случаями уравнения вида ах^ + ЬхР- + сх-\-+ d = о, где X — переменная, а, Ь, с w d — некоторые числа, причём а Ф Q. Вывести формулу его корней — задача сложная. Недаром появление этой формулы считают выдающимся математическим открытием XVI в. Первым открыл способ решения уравнения вида х* -I- рх = q, где р и <7 — положительные числа, итальянский математик Сципион дель Ферро (1465-1526). Найденную формулу он хранил в секрете. Это было обусловлено тем, что карьера учёного того времени во многом зависела от его выступлений в публичных математических турнирах. Поэтому было выгодно 194 Никколо Тарталья Джироламо Кардано Нильс Хенрик Абель хранить открытия в тайне, рассчитывая использовать их в математических соревнованиях как «секретное оружие». После смерти дель Ферро его ученик Фиоре, владея секретной формулой, вызвал на математический поединок талантливого математика-самоучку Никколо Тарталья (1499-1557). За несколько дней до зурнира Тарталья сам вывел формулу корней уравнения третьей степени. Диспут, на котором Тарталья одержал убедительную победу, состоялся 20 февраля 1535 г. Впервые секретная формула была опубликована в книге известного итальянского учёного Джироламо Кардано (1501-1576) «Великое искусство». В этой работе также описан метод решения уравнения четвёртой степени, открытый Лудовико Феррари (1522-1565). В XVII-XVIII вв. усилия многих ведущих математиков были сосредоточены на поиске формулы для решения уравнений пятой степени. Получению результата способствовали работы итальянского математика Паоло Руффини (1765-1822) и норвежского математика Нильса Хенрика Абеля (1802-1829). Сам результат оказался абсолютно неожиданным: было доказано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения пятой степени и выше через коэффициенты уравнения, используя лишь четыре арифметических действия и действие извлечения корня. ^ 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций в § 7 вы уже познакомились с задачами, в которых рациональные уравнения служили математическими моделями реальных ситуаций. Теперь, когда вы научились решать квадратные уравнения, можно существенно расширить класс рассматриваемых задач. 195 Пример 1. Из пункта А выехал велосипедист, а через 45 мин после него в том же направлении выехал грузовик, догнавший велосипедиста на расстоянии 15 км от пункта Л. Найдите скорость велосипедиста и скорость грузовика, если скорость грузовика на 18 км/ч больше скорости велосипедиста. Решение. Пусть скорость велосипедиста равна х км/ч, тогда скорость 15 грузовика составляет (х+ 18) км/ч. Велосипедист проезжает 15 км за ч. а грузовик — за 15 х + \8 ч. Поскольку грузовик проехал 15 км на 45 мин. то есть на — ч, быстрее, чем велосипедист, то получаем уравнение 11 X 15 х + 18 4 Решим .это уравнение: 15 15 3 X X -1-18 4’ 5 5 1 X X -f-18 4’ 360 - 20х - х^ - 18х 4х (х -1-18) = 0; х^ ч- 18х - 360 = о, X Ф о, X Ф -18. Решив квадратное уравнение системы, получим х = \2 или х = -30. Корень -30 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 12 км/ч, а скорость грузовика составляет 12 -I- 18 = 30 (км/ч). Ответ: 12 км/ч, 30 км/ч. ◄ Пример 2. Одна бригада работала на ремонте дороги 7 ч, после чего к ней присоединилась вторая бригада. Через 2 ч их совместной работы ремонт был завершён. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно, если первой для этого требуется на 4 ч больше, чем второй? Решение. Пусть первая бригада может самостоятельно отремонтировать дорогу за X ч, тогда второй для этого нужно (х — 4) ч. За 1 ч первая бригада ремонтирует — часть дороги, а вторая X - 4 часть дороги. Пер- 196 вая бригада работала 9 ч и отремонтировала — дороги, а вторая бригада работала 2 ч и отремонтировала соответственно X - 4 дороги. Поскольку 9 2 в результате была отремонтирована вся дорога, то — + ——- = 1. Полученное уравнение имеет два корня = 12 и ^2 = 3 (убедитесь в этом самостоятельно). Второй корень не удовлетворяет условию задачи, поскольку тогда вторая бригада должна была бы отремонтировать дорогу за 3 - 4 = -1 (ч), что не имеет смысла. Следовательно, первая бригада может отремонтировать дорогу за 12 ч, а вторая — за 8 ч. Ответ: 12 ч, 8 ч. ◄ Пример 3. Водный раствор соли содержал 120 г воды. После того как в раствор добавили 10 г соли, его концентрация увеличилась на 5 %. Сколько граммов соли содержал раствор первоначально? Решение. Пусть исходный раствор содержал х г соли. Тогда его мае- са была равна (х + 120) г, а концентрация соли составляла ^ ^ . После того как к раствору добавили 10 г соли, её масса в растворе составила (х -f- 10) г, а масса раствора — (х -I- 130) г. Теперь концентрация соли со- X ставляет ^ , что на 5 %, то есть на ^, больше, чем получаем X -(-130 X -I-10 20 X -I-120 Отсюда X х + 130 X-ь 120 _1_ 20 Полученное уравнение имеет два корня: х^ = 30 и Х2 = -280 (убедитесь в этом самостоятельно), из которых второй корень не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, раствор содержал первоначально 30 г соли. Ответ: 30 г. ◄ Упражнения 802. Первые 150 км дороги из города Л в город В автомобиль проехал с некоторой скоростью, а остальные 240 км — со скоростью на 5 км/ч большей. Найдите первоначальную скорость автомобиля, если на весь путь из города А в город В он потратил 5 ч. 803. Первый мотоциклист проезжает 90 км на 18 мин быстрее второго, поскольку его скорость на 10 км/ч больше скорости второго мотоциклиста. Найдите скорость каждого мотоциклиста. 197 804. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно автобус и автомобиль. Автобус двигался со скоростью на 20 км/ч меньшей, чем автомобиль, и прибыл в пункт назначения на 1 ч позже автомобиля. Найдите скорость автомобиля и скорость автобуса. 805. Поезд опаздывал на 10 мин. Чтобы прибыть на станцию назначения вовремя, он за 80 км от этой станции увеличил свою скорость на 16 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда. 806. Из села Вишнёвое в село Яблоневое, расстояние между которыми равно 15 км, всадник проскакал с некоторой скоростью. Возвращался он со скоростью на 3 км/ч большей и потратил на обратный путь на 15 мин меньше, чем на путь из Вишнёвого в Яблоневое. Найдите первоначальную скорость всадника. 807. Наборщик должен был за некоторое время набрать 180 страниц. Однако он выполнил эту работу на 5 ч раньше срока, так как набирал на 3 страницы в час больше, чем планировал. Сколько страниц в час он набирал? 808. Первый насос перекачивает 90 м^ воды на 1 ч быстрее, чем второй 100 м'^. Сколько воды за 1 ч перекачивает каждый насос, если первый перекачивает за 1 ч на 5 воды больше, чем второй? 809. Рабочий должен был за определённое время изготовить 72 детали. Однако ежедневно он изготавливал на 4 детали больше, чем планировал, и закончил работу на 3 дня раньше срока. За сколько дней он выполнил работу? 810. Катер прошёл 16 км по течению реки и 30 км против течения, затратив на весь путь 1 ч 30 мин. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 1 км/ч. 811. Лодка проплыла 15 км по течению реки и вернулась, затратив на обратный путь на 1 ч больше. Найдите скорость лодки по течению реки, если скорость течения составляет 2 км/ч. 812. По течению реки от пристани отплыл плот. Через 4 ч от этой пристани в том же направлении отчалила лодка, догнавшая плот на расстоянии 15 км от пристани. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. 813. Катер прошёл 45 км по течению реки и 28 км против течения, потратив на весь путь 4 ч. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера составляет 18 км/ч. 5 814. Турист проплыл — всего пути на катере, а остальную часть проехал 8 на автомобиле. Скорость автомобиля на 20 км/ч больше скорости катера. На автомобиле он ехал на 1 ч 30 мин меньше, чем плыл на кате- 198 ре. Найдите скорость автомобиля и скорость катера, если всего турист преодолел 160 км. 815. Междугородный автобус должен был проехать 72 км. После того как он проехал 24 км, его задержали на железнодорожном переезде на 12 мин. Потом он увеличил скорость на 12 км/ч и прибыл в пункт назначения с опозданием на 4 мин. Найдите первоначальную скорость автобуса. 816. Группа школьников выехала на экскурсию из города А в город В на автобусе, а вернулась в город А по железной дороге, затратив на обратный путь на 30 мин больше, чем на путь в город В. Найдите скорость поезда, если она на 20 км/ч меньше скорости автобуса, длина шоссе между городами А и В составляет 160 км, а длина железной дороги — 150 км. 817. Турист проплыл на байдарке 4 км по озеру и 5 км по течению реки за то же время, за которое он проплыл бы 6 км против течения. С какой скоростью турист плыл по озеру, если скорость течения реки равна 2 км/ч? 818. Теплоход прошёл 16 км по озеру, а затем 18 км по реке, берущей начало из этого озера, за 1 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 4 км/ч. 819. Знаменатель обыкновенной дроби на 3 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 4, а знаменатель — на 8, то полученная дробь будет на ^ больше исходной. Найдите исходную дробь. 820. Числитель обыкновенной дроби на 5 меньше её знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 3, а знаменатель увеличить на 4, то полученная дробь будет на ^ меньше исходной. Найдите исходную дробь. 3 821. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 20 дней. За сколько дней может выполнить это задание каждый из них, работая самостоятельно, если одному из них нужно для этого на 9 дней больше, чем другому? 822. Одному маляру требуется на 5 ч больше, чем другому, чтобы покрасить фасад дома. Когда первый маляр проработал 3 ч, а потом его сменил второй маляр, проработавший 2 ч, то оказалось, что покрашено 40 % фасада. За какое время может покрасить фасад каждый маляр, работая самостоятельно? 823. В первый день тракторист пахал поле 6 ч. На следующий день к нему присоединился второй тракторист, и через 8 ч совместной работы они закончили вспашку. За какое время может вспахать это поле каждый тракторист, работая самостоятельно, если первому для этого надо на 3 ч меньше, чем второму? 199 826. 824. В раствор, содержащий 20 г соли, добавили 100 г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10 %. Сколько граммов воды содержал раствор первоначально? 825. Кусок сплава меди и цинка, содержавший 10 кг цинка, сплавили с 10 кг меди. Полученный сплав содержит на 5 % меди больше, чем исходный. Сколько килограммов меди содержал исходный кусок сплава? Через 2 ч 40 мин после отправления плота от пристани А по течению реки навстречу ему от пристани В отошёл катер. Найдите скорость течения реки, если плот и катер встретились на расстоянии 14 км от пристани А, скорость катера в стоячей воде равна 12 км/ч, а расстояние между пристанями А и В равно 32 км. 827. К бассейну подведены две трубы. Через одну трубу воду наливают в бассейн, а через другую сливают, причём на слив воды требуется на 1 ч больше, чем на его наполнение. Если же открыть обе трубы одновременно, то бассейн наполнится водой за 30 ч. За сколько часов можно наполнить пустой бассейн водой через первую трубу? 828. Для наполнения бассейна через первую трубу требуется столько же времени, сколько для наполнения через вторую и третью трубы одновременно. Через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч быстрее, чем через вторую, и на 8 ч быстрее, чем через третью. Сколько времени требуется для наполнения бассейна через каждую трубу? 829. Автобус должен был проехать расстояние между двумя городами, равное 400 км, с некоторой скоростью. Проехав 2 ч с запланированной скоростью, он остановился на 20 мин и, чтобы прибыть в пункт назначения вовремя, увеличил скорость движения на 10 км/ч. С какой скоростью автобус должен был проехать расстояние между городами? 830. Рабочий должен был за некоторое время изготовить 360 деталей. Первые 5 дней он ежедневно изготавливал запланированное количество деталей, а затем ежедневно изготавливал на 4 детали больше, и уже за день до срока изготовил 372 детали. Сколько деталей ежедневно должен был изготавливать рабочий по плану? 831. Чтобы выполнить некоторое производственное задание, одному рабочему требуется на 12 ч меньше, чем другому, и на 4 ч больше, чем обоим рабочим для совместного выполнения задания. За сколько часов может выполнить это задание первый рабочий? 200 Упражнения для повторения 832. Вычислите: 1) (27 • 3-4)2; 2) у-4 . '^-9 Т-12 3) (10^)2. 1 000-«. 833. Найдите значение выражения - 2>/5й + 2 при а = у/Е -S. 834. Постройте график функции у = -2х + 4. 1) Чему равен нуль данной функции? 2) Укажите значения х, при которых у > 0. 3) Проходит ли график функции через точку М (-36; 68)? 835. При каком значении k график функции У ~ ~ проходит через точку Л (-Vl2; >/з) ? Постройте этот график. 836. Какое из равенств верно: V(V3-2f =VS - 2 или = 2-ч/з? Ответ обоснуйте. 837. Упростите выражение: / л \-3 3) (0,2й-1^2)2.4^5^-4 1) у'; ( V- Учимся делать нестандартные шаги 838. На тарелке лежат 9 кусочков сыра разной массы. Докажите, что можно один из кусочков сыра разрезать на две части так, что полученные 10 кусочков можно будет разложить на две тарелки и при этом масса сыра на каждой из них будет одинаковой. 201 Задание № 6 «Проверьте себя» в тестовой форме 1. Найдите корни квадратного трёхчлена - х - 6. А) 2;-0,6 Б)-2; 0,6 В)1;-1,2 Г)-1; 1,2 2. Разложите на множители квадратный трёхчлен -х^ - 4х + 5. А) (л:-1)(х+5) В)-(х- 1)(х + 5) Б) (х+ 1)(х-5) Г) -(х+ 1)(х-5) 3. Сократите дробь ^ + 7л: + 12 А) X + 4 Б) л:^ + л: - 6 X - 4 В) X + 4 Г) X - 4 л: + 2 лг-2 л:-2 л: + 2 4. Решите уравнение Х^ + 7х^ - 18 = 0. А) -3; 3 Б) -л/2; В) -3; -V2; ^|2^, 3 Г) >/2; 3 5. Найдите корни уравнения (х^ - 4х)^ - 2(х^ - 4х) - 15 = 0. А) -1; 1; 3; 5 Б) -1; 5 В) 1; 3 Г) 1; 3; 5 6. Решите уравнение х - л/х -12 = 0. А) -3; 4 Б) -2; 2 В) 16 Г) 9; 16 х^ — 6 X 7. Решите уравнение А) -2 Б) 3 В) -2; 3 Г) -3; 2 8. Решите уравнение л: - 3 Б) 3 Зл:-1 X А)-|;2 Б)|;-2 В) -2; 3 4 ^ 10-9л: л: - 2 л:^ - 2х В) -- ^ 3 Г) 2 9. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 350 км, выехали одновременно грузовой и легковой автомобили. Скорость грузовика на 20 км/ч меньше скорости легкового автомобиля, в результате чего грузовик прибыл в пункт назначения на 2 ч позже легкового автомобиля. Пусть скорость грузового автомобиля равна х км/ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи? 350 g. 350 350 _ о ^ X+ 20 X Ач 350 А)------ X X 20 350 , 350 Ь)-------1------::гт X X + 20 = 9 Т) ^50 350 ^ л: л: - 20 = 2 202 10. Катер прошёл 30 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 3 ч 10 мин. Скорость течения реки равна 1 км/ч, Пусть собственная скорость катера составляет х км/ч. Какое из уравнений соответствует условию задачи? А) Б) 30 X + 1 30 30 X -1 30 = 3,1 = 3,1 В) Г) 30 ,30 „1 --------1---= о — X -I-1 X 6 30 -I- 30 о 1 X + 1 X - I X + 1 11. Рабочий должен был за некоторое время изготовить 96 деталей. Ежедневно он изготавливал на 2 детали больше, чем планировал, и закончил работу на 3 дня раньше срока. Пусть рабочий изготавливал ежедневно х деталей. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи? 96 „ 96 96 А) X X - 2 = 3 В) ' X X - S = 2 Б) 96 96^3 Г) 96 96 ^ 2 X - 3 X X - 2 X 12. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторое производственное задание за 10 ч, причём первый из них может выполнить это задание самостоятельно на 15 ч быстрее второго. Пусть первый рабочий может выполнить самостоятельно задание за X ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи? А) Б) 15 ^ 15 X 10-х = 1 15 15 X -10 = 1 В) 10+^ X X -I-15 ' X х-15 = 1 = 1 203 Итоги главы 3 Уравнение первой степени Уравнение вида ах = где х — переменная, а и Ь — некоторые числа, причём а О, называют уравнением первой степени. Квадратное уравнение Уравнение вида ах^ + Ьх + с = 0^ где х — переменная, а, Ь, с — некоторые числа, причём называют квадратным уравнением. Приведённое квадратное уравнение Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведённым. Неполное квадратное уравнение Если в квадратном уравнении ах^ + Ьх + c = (i хотя бы один из коэффициентов Ь или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Решение неполного квадратного уравнения Коэффициенты уравнения + 6л: + с = 0 Неполное квадратное уравнение Корни Ь = с = 0 ах^ = 0 X = 0 Ь ФО, с = 0 + 6л: = 0 л Ь X, = 0, = — ^ ^ а 6 = 0, --<0 а ах^ + с = 0 Корней нет 6 = 0, -->0 а ах^ + с = 0 / с / с X, = х^ = -^ \ а ^ \ а Дискриминант квадратного уравнения Для уравнения вида ах^ + + с = О, где а О, его дискри- минант D — это значение выражения - Аас. ■щдкчсаиЕЯг- 204 \______________________________ Решение квадратного уравнения Если D < О, то квадратное уравнение корней не имеет. Если Z> = О, то квадратное уравнение имеет один корень Ь X = - 2а Если Z> > О, то квадратное уравнение имеет два корня -Ь-4Ъ -6 + л/d и х^. х^ 2а х^ = 2а Теорема Виета Если x^vix^ — корни квадратного уравнения алг^ + Ьх + с = = О, то X. + х^ = х.х^ = ‘ ^ а ^ ^ а Теорема, обратная теореме Виета Ь с Если числа аир таковы, что а + В= — иаВ= —,то эти а а числа являются корнями квадратного уравнения ах^ + + Ьх + с = 0. Квадратный трёхчлен Многочлен вида ах^ + Ьх + где х — переменная, а, Ь и с — некоторые числа, причём а О, называют квадратным трёхчленом. Разложение квадратного трёхчлена на множители Если дискриминант квадратного трёхчлена ах^ + Ьх + с положительный, то данный трёхчлен можно разложить на линейные множители: ах^ + Ьх + с = а{х - - х^у где х^ и — корни квадратного трёхчлена. Биквадратное уравнение Уравнение вида ах^ + Ьх^ + с = О, где х — переменная, а, Ь и с — некоторые числа, причём а ф (Sy называют биквадратным уравнением. 205 Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса 839. Найдите значение выражения: Ътп-п . о 1) —- ^ , если т = -4, п = Ъ', 2) 2а , если а = -0,8. m + 2п 4(2 + 2 840. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: 1) 76-11; 2) X 3) 4) 5) 2-у т-3 7 3 +1 6) 7) 8) 9) 10) JC - 6 4 841. Сократить дробь: 1) 8) 2) 4а^с^ ’ 2Ътп^ 4) 2х X - I 5 . + 3 ’ д: - 2 ЫТ7 ’ 4 . дг2 - 25 ’ 3 Ы-5 ’ 60a^bc^d^ , 18а^б2с®б/ ’ 42х^у^ 11) 12) 13) 14) д: 8 + - дг 6-- X 1 (д: - 3)(д: - 4) ’ дг + 8 (д: + 8) (дг - З) ’ 75т^п' ' \4х^у^ 842. Представьте частное в виде дроби и сократите полученную дробь: 1) 4тп^р : (28т^ггр®); 3) - ^Зху^ : {-12щр). 2) -ЗОлгУ : (36л^^«); 1) 2) 8) 4) Зх-бу 5) дг^ - 9 9) 7т^ -7т+ 7, Зх д:^ + 6х + 9 ’ 14ти^ +14 За + 9Ь 6) Ь’^ +Ь\ 10) а^ +Ьс-Ь^ + ас ^ 4а +12^> ’ аЬ + + ас - ' - 49 , 7) + 64 . 11) 20тгР - 20т^п + 5т^ За + 21 ’ За + 12 ’ lOmn - 5т^ 12дг^ - 4дг . 8) хЬ - Ьу + ЪЬ - ху 12) х^ - уг л- xz-y^ 2-бд: ’ дг2 - 25 х^ -k- yz - XZ - у'^ 844. Найдите значение выражения: тР ___________хР ъР 1) —^ , ■■■, если X = -0,2, у = 0,5; х^у' 206 2) 3) 4) _ 36 5fl2 - 30a + 45 (3a + ?>bf , если <2 = 2; 1 и 1 , если я = - , о = - -; 6 За2 - 3^2 ’ 3 20^2 - 140л^ + 245^2 , если Ъс -1у = -0,5. 4х -14^ 845. Сократите дробь (гг — натуральное число): 100” о. ,.4 41-9” 1) 2) 22и+3 . ^2я+1’ 22п+1 . уи+1 3) 4) 2-5” 18” 5) gn+2 + дя * 0.28”’ з2я+2 . 2«+3’ 846. Для каждого значения а решите уравнение: \) {а + 2)х = 7; 3) (<2 +^)х = «2 + ба + 9; 2) (<2 + Ь)х = я + 6; 4) (<з2 - 4)х = а-2. 847. Представьте в виде дроби выражение: 7а 1 4а . 4) х + у X 7) 6а2 - 4а а2 + а 22 22 ’ 9р 9р ’ 15а 15а 8х Ъх . 5) а а- 6. 8) Х-У . х + У . Ъу Ъу' 8 8 8 ' 8 ’ 7х -2у \Ър Ъх + 7у ^ \Ър ’ 6) 7р-\7 Ък . 7-2р. 56 ’ 9) Юх-б X 4л:+ 11 X 3) 848. Упростите выражение: 1) 2) 3) 7у 14 5) ^2-4 г/^-4’ ~^У 25 7у-2Ъ ^ 25-р2’ 6) 9р + 5 Юр-12 9р-1 7) Зр + 6 Зр + 6 Ър 7x + 5 1 5х + 11 8) 3-х х-3 ’ (За-1)^ (а-3) 4а - 4 4) 849. Выполните действия: х2 - Зх (2 - xf 7 а-2 6а_______ 5 - а а - 5 4 - 4а X - 4 {x-2f 2 - а ’ 4а ^ У 2)^ + ^- ’ аЬ 3) 4) 24ху 18л^ ’ 562-8^+1 26-1 850. Выполните действия: 2а -1 За + 2 1) а - 4 2(а - 4) ’ а2б2 2) а^Ь X + 2 4-х Ззг + 9 5д: + 15 ’ 3) m + 1_ т + 2. m - 3 ш + 3 ’ 207 X 2г/^ У . хл-у т ^2-^2 X -у' Ът^ - Ътп Ът - 2п 9ш2 - 12т -1- 4и2 а -н 3 а - 2 а + 2 . 4) 5) 6) 851. Докажите тождество: 1 1 7) 3 а -1 Ъа 8) 2- 9) За - 3 2а^ - 4а + 2 ’ 14 W -2 2х +1 -т\ 8 2л:-1 + 1 - 6х + 9 - 9 + бдг + 9 = 0, 852. 853. 854. 855. 856. {Ь-с){с-а) (a-b){c-h) (а-с){Ь-а) Запишите дробь в виде суммы целого выражения и дроби: а-7 а^+2а-2 „ч д:^+Зд:-2 1) 2) а + 2 3) X -5 Известно, что — = 4. Найдите значение выражения: У 1) хл-у 2) Здг + \у X X Найдите все натуральные значения п, при которых является натуральным числом значение выражения: 12w^ - 5а + 33 гл\ - 6а‘^-I-54 о\ 10-4п 12 - Зи 1) 2) 3) п ' п‘- п Выразите переменную х через другие переменные, если: 4) 1) ^ + f = 1; Докажите тождество: 1) ' ■ 2 2) i + i = X а + 1 а\ а _Ь 144 а2-н12а + 36 36-а^ а^ - 12а-н 36 + -I- 857. 858. 859. 9) --— {a-h){a-c) {Ь - a){h - с) (с-а){с-Ь) Упростите выражение: 1.1.1. 1 (а2 - 36)2 ’ = 1. -I- ч- а(а-1-3) (а-t-3)(а-н 6) (а-i-6)(а н-9) (а + 9)(а + 12) а + h + c а-Ь + с Докажите, что если , а + Ь-с Выполните умножение: 9л: 04 16а‘^ 24:Х 1) — У 3) 2) т^п‘ 2Ы тт а-Ь-с 9/?2 2\Ь^ Юа'^ ’ 3^2 то 6 = О или с = 0. 5) ^-34w5; 4) 26m2 \Ът^ ’ 6) 16м^ 4дг^г/2 2\хЬ^ 2Ъа^у la^b \0у^а^ Ъх^Ь 208 860. Выполните умножение: 2ху -хр- 36 . ,4 ’ 1) 2) 9 г/’ - lab а^Ь + 2аЬ^ 3) 4) - 64 - 81 - 9т^ +Sm' 2х^ - 16д: + 32 + 8 861. + 2аЬ с? - 1а^Ъ ’ - бд: + 12 Представьте выражение в виде дроби: Г ( 10дг2^5 - 64 1) 2) - 3) - 862. 4г/ 4) Ът^ Выполните деление: д:^ - 10х + 25 . д: - 5 2) 3) 4) 3fl4p 2а^М 25дг^ 5д:^ д:^ - 100 'д:-10 а^ -1 . а^ + 2а + 1 _ а - 8 ’ а-8 ’ а6 + б2 , ah + сР . 86 2с-3 с-1 2а (2с-3); 5) 6) 7) 8) 4(2^ 6^^ х^ - 16у^ 25д:^ - 4^^ гР- - Ъп х^ + Ьху + 16^^ 25х‘^ + 29ху + ’ - 21п 49и^ - 1 49w^^ - 14и + 1 ’ тгР- - п 5т® + Ът^г^ + 863. 864. 865. 866. 2т^® - 8^*“* * Зт^ + ^гР ЪсР - 29аЬ . 30(а - 4б)^ 3fl2+62 9а^ - Полагая данные дроби несократимыми, замените х хл у такими одночленами, чтобы получилось тождество. 1) X у _ 6<2®С^ . 1аЧ^ ’ 4с “ Ь ’ 2) 2«4 у _ 2\п X ' 35р® 5тр® ■ Дано: Зд: - — = 8. Найдите значение выражения 9х^ + X Дано: 4д:^ + ^ = 6. Найдите значение выражения 2д: - . Х‘^ X Упростите выражение: 1) —^ где кип — целые числа; У У 2) 3) дк+5 . ^к+5 ^к+Ъ . ^к+2 .Зк+2 .2к+\ , где к — целое число; (д:” + 3w”)2 - 12д:"г/” х^” - 9у2« - :-----------^----------, где п — целое число. (д:” - З.у”)2 + 12xV X'- 867. з« + 27.v^” Упростите выражение: ^^Га + 4 а-4 а-4 а + 4 \ 16-fl2 J 32а® ’ 2) 7д: - 4дг д: - 3 14ДГ-50. Здг-9 ’ 209 3) 4) 5) 6) 7) 2а й + V 32 а-2 8 - 4й 1а+ 9с 2х 7с V 9с - 65 8с + 64 с2 - 16с + 64 J ■ с2 - 64 с - 8 .( а fl2 ^ а^ + ah + ^ ' у й - 6 а^ - ) 36 + 62 Ь У 66 + 62 36 - 62 6 - 6 j ■ (6 - 6)2 ’ 1-х + х^ - 2х + 1 . X - 1 ' X + 1 х^+1х^-х + 1 X-1J 4 868. Докажите, что при всех допустимых значениях а значение выражения ( 1______^ 1 ^. 4(2й^ - 9) 2й^ Ja-3)2 9-fl2 (й + 3)2 J‘ 819-й2 не зависит от значения а. 869. Упростите выражение: 25 й + 1) й +10 25 2) 1- - й 1- й 1 - 870. Решите уравнение: 2х + 6 1) X + 3 = 2; 3) 2х-9 ^ 1 й +1 Зх - 1в 2) ^----— = -8; X + 4 4) 2х + 5 Зх-2 5х^ +8 2х - 1 = 2; Зх -1 .2 16 X + 4 4-х 871. Для каждого значения а решите уравнение: 1) £±1 = 0; 2) = 0. X + й ' X - 1 872. Найдите значение выражения: 1) 2-3 + 4-2. 2) ('!']'+(-1,8)“-5-'; 3)lt -3 4) 2-3 - 6-’ + 3-2. 873. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с от-цательн Ъх~^У^2' рицательными и нулевыми показателями: 1) ^ nf-. . ; 2) 7й®6 ^с^ 2”^й 22 210 874. Представьте выражение в виде степени с основанием а или произведения степеней с разными основаниями: 1) а- 2) а 3) а 4) а 5) а -7 . «10; 9) («-12)-2; -0 • «3| 10) («-3)^ : («-2)3; («-1)-'^; 1’ • «-4 . «-11; 11) (ш-з«‘1/?'^)-^; .-2 : «3. 12) («-1/»-2)-3; 12 : «-4; 13) • (л-2^-3)3; е-7 : «-11; (“c-V ) = е-12 : «-10 . й'!; 7) а- 8) 875. Найдите значение выражения: 1) 11-23 . Ц25. 3) 4-16.4-12. 2) 3'7.3-1^; 4) 10-^-’ : 876. Найдите значение выражения: 1) 25-3.58. 3) IQ-10 . I 000-3 . (0,001)-3; (-27)-!2 . gs 10 -2. 5) (14-10)3 . (14-0)-8; 3-12 .(3-6)-3 6) (3-3)-4 •(3-^)2‘ 15^ • 5-^ 2) 64-3 : 32 4) 81 -4 . 0-7 5) 6) 45-3 . з9 ’ (о,125)-з • le-"^ 32 -2 877. Упростите выражение: xV ^ —3„5 . 5 „4,,_7 . 1) 2) 0,2я12^-о • бОя-ю^Ю; 3) -0,3«10^7 . ббг-з^-О; 4) 0,36а~^Ь^с^ • 1^-2^ ; 5) 2jc’ • (-Здг2г/3)3; 6) (а^Ь^)-^ • (-2я^^10); 878. Упростите выражение: 1) (я-з - 1)(а-з Н- 1) - (йЕ-з - 2)2; 7) {-Ьа~^Ь^с 2) 2. (0,1«2^ %) 8) ОДш-з^г'! • (0,01w-3tz)-2; 9) |^|«-2/i2 ^ ; 10) -(4а-4АЗ)-2.|^-1дЗ/,-зу. 2) ^ 2 _ X 2 X + у 11) 12) 3) 4) 19а -15 \\Ь -И 33/)-1'1 76«-1^ Ъу-^ (27х-2^4 fl-3 - 3/?-о + Зб~о а ^ - 2а 3/)-^ 12 -4 . «-4 ТП~^ 4- П а 6 _ ^-12 ,-Ю П -10 П -2 211 5) X 2 ^ Х"2 X" Х-2 - у-^ Х-2 - ^-2 6) х"^® - 4 1 X ^ -1- 2 х"^ X -5 ^_2 х"^ 7) ( 4с~^ 1 -1-1 с -12 ^ 2с-® -Ы 1 ■ -2 \ ±У V-2 4с~^ + 3 2с“® ,-12 -1 ,-6 + 1 879. 880. Выполните действия и результат представьте в стандартном виде: 1) 1,3 • 10^ + 1,8 • 10^ 3) 5,6 • 103 - 3,2 • 102; 2) 1,5 • 102 - 2,8 • 10-2; 4) 4 8 . + б • 10-^. Сократите дробь {п — целое число): дп-1 1) 2) 3) 32"-3 ’ уП+1 . 14” ’ 22п-1 . ^и+1 12^^ 4) 5) 6) А® -1- <2^ \ аг^ -1- а ’ 7) 5«+2 _ 5«-2 5” ’ а~^ + fl-2 -ь а~^, 8) 2-п ^ 1 -1- а2 -I- А 2" -t-1 ■ 6”^2 _ 35 24 881. Функция задана формулой У ~ ~~ • Найдите: 1) значение функции, если значение аргумента равно: -4; 8; 1,2; 2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 24; -18; 60. g 882. Постройте график функции У = ~ • Пользуясь графиком, найдите: 1) значение функции, если значение аргумента равно: 2; -1,5; 4; 2) значение аргумента, при котором значение функции равно: -2; 3; -4,5; 3) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения. ^ 883. Постройте график функции .^ - Щ • 4 884. Постройте в одной системе координат графики функций У ~ ~ VI у = X - Ъ п укажите координаты точек их пересечения. 885. Найдите значение р, если известно, что график функции У ~ ^ проходит через точку: 1) Л (-3; 2); 2) 3 ; С (-0,4; 1,6). 886. Постройте график функции: Зх - 1, если X < 2, 1) ^ = 12 ---, если X < -3, X 1-х, если X > -3; У = ' —, если 2 < X < 5, X X - 3, если X > 5. 212 887. Постройте график функции: У = 4дг + 12 2) г/ = 32 - +3х' ^ х^ - 16л: 888. Найдите значение выражения: 1) 0,4л/б^-jVl44; 2) Тб4 • + л/2^ + 9; 5) 5 17 3) 3^/^-772 + 242; 889. Найдите значение выражения: 1) iSf 2) (sVTsf -(l5N/3f; 3) 50-МТ?! - + (Зх/2)'; 4) 7^089-^|^^l; 5) |739,69-^л/59,29 + Мч/й|; -0,3n/^. 6) IV172 -152 + ГГ'' 2>| 890. Решите уравнение: 1) ч/х=2; 5) yfx+ 5 = 0; 9) 77л:-4 = 2; 2) 7^ = |; 3) 7х - 3 = 0; 6) ^7х + 5 = 0; 7) у1Ъс-А = 0; 10) Щ= = 1; у/х 11) 15 = 3; 4) 27х - 7 = 0; 8) 77л:-4 = 0; 891. Найдите значение корня: у/х + 4 12) 74 + 73 + л: = 5. 1) 79-100; 2) 70.49-16; 4) 70,64-0,25-121; 5) 7-^; ’ Vl96 7) 9 . 1024. V64 1089’ 8) J3II .4^ V 36 49 3) 7676-0,04; 6) 718^; 892. Найдите значение корня: 1) 775 -234; 2) 72 - 800; 893. Найдите значение выражения: 1) 7ш - 73; 3) ТТбО - 7^; 2) 7^-713; 4)7М-7^; 3) 71,6-12,1; 4) 72890-2,5. 5) 6) 7i ’ 7^ 70,225 ’ 213 894. Найдите значение выражения: 1) p7.lf: 4) -2,4,/^; 2) 5) ^/^F; 3) 6) ^(-23)"; 895. Упростите выражение: 1) если <7 > 0; 2) если t < 0', 3) yl49m^n^, если т> 0; 4) х/олТо^, если я > о, Ь < 0', 5) -xViOOj^, если х < 0; 5 yja^h^^c^ ^ ^ п ^ л 6) Г5-Т5—> если <2 > о, с < 0; 7) г \ ^17Г’ если V > о, X < 0; V 8) -0,1x2VL96xiy, если X < 0. 896. Упростите выражение: 7) -У2« • 7<; 8) V(-3)“ -2« 1) 7(10-ч/п)2; 2) 3) ^/оЛо^И>; 897. Упростите выражение: 1) ^|lS + 8лJ2; 2) ^38-1272; 4) >/(3-7б)^ + ^/(2-^/6)^; 5) -V(4S-4f. 4) 726 - б7Г7 - 7бб - 14л/Г7; 5) 746 + 107^ + 746-107^. 3) 7^6 + бТ7 + 72з”^^^~87^5 898. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) ч/24; 3) л/Ж; 2) ^/63; 4) ,/032; 5) уТШ; 6) -2,4^/б00; 7) -1,6%/50; 214 1) ^JlOa^, если а> 0; 2) Vi^, если Ь < 0; 899. Вынесите множитель из-под знака корня: 4) \136т^п, если ттг < 0; 5) если х > 0; 3) , если у ^ 0; 6) \j700a^b^^, если Ь < 0, 900. Внесите множитель под знак корня: 1) ЗТТО; 3) 0,373; 5) 2) 2>/ТЗ; 4) Q) -5^^7; 5 901. Внесите множитель под знак корня: 1) йл/5; 2) ЬуРЬ; 3) xyfx^; 902. Сравните числа: 1) 5л/б и бТб; 3) 0,ЗуЩ и 7^; 2) Sb и Зл/б; ил 3 1C 1 3 к 1 4) ^16- H-J5-. 7) -0,5л/^; 8) 4^й. 4) если и < 0. 903. Упростите выражение: 1) Тб4й-ь Via - Vl21a; 2) л/45 + 7^ - 7^; 3) 6>/125й - 2780й -ь зТГзОя. 904. Выполните умножение: 1) (7^-7^)Т5; 2) (27б + 7М-7%)7б; 3) (12-7I0)(3-h710); 4) (275-ь77)(277-Т5); 905. Сократите дробь: 5) (749-71з)(7Т9-ьТТз); 6) (47^ + 97«)(47w - 9ТЙ); 7) 8) (37n-27iof. 1) 2) -19 . X -ь 7i9 у[х - б 3) 4) т + sTm m - 64 29-729 5) 6) а - ^yfab -н 9h а-9b 11-7зз 7зз-з ’ , если д > О, 6 > 0; х-Зб ’ ■' ^29 906. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: б 1) Гь’ 3) 2 71з ’ 5) я -f- 9 , Vw + 9 ’ V) 2) 7 ау[а 4) 6 V5’ 6) 3 7i3-2’ 8) 7^ + 715 ’ 18 747-729 ’ 215 907. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1 2 1) 2) л/б+ л/2 + Г лЛо + Тб-л/з ’ 908. Найдите значение выражения: 5 5 4 - ЗТ2 4 + Зл/2 ’ 1 1 ^4 +ТГб +1 л/4 + ТГб -1 3) (V5-2V6 +Т5 + 2Тб) . 909. Упростите выражение: 1 \ yfx___-Г . о\ ^ Т^-3 ^-9’ 910. Упростите выражение: . у/Ь yfb - yjc у[с 4h - у[с + л/47 ’ 1) >/(Тх+sf -20Тх + V(Tx-4^ +1бТ^; 2) >/я"+2Тй^ПТ^ + -2л/йТЗ + 4. 911. Упростите выражение: ^ ^___-н, ^____L_ Тб + лЯ yJs + S ViT + Vs 912. Докажите, что: V2 +ТЗ • V2 + T2 + T3 • ^2 + ^2 + 72^71 • >/2^^2 + ^^Ж = 1. 913. Расположите в порядке возрастания числа: 13; Tl65; 12,7; Vl71; 13,4. 914. Постройте в одной системе координат графики функций у = Тх и ^ = Л" — 6 и определите координаты точки их пересечения. 915. Между какими двумя последовательными целыми числами находится число: 1) ТГ7; 2) Тб7; 3) лЯоЗ; 4) -Т51,25? 916. Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами: 1) 6 и 2) ТЙ и 3) и -4,9; 4) -ТЙ и 2,7? 917. Дана функция fix) = ' ---, если д: < О, X 3, если о < л: < 4, у[х, если X > 4. 1) Найдите /(-0,5), /(0), /(4), /(9). 2) Постройте график данной функции. 216 918. 919. Решите уравнение: 1) - 4х - 32 = 0; 2) д^-10х+21=0; 3) 6х^ - 5х + 1 = 0; 4) Sx^ + 2л: - 3 = 0; Решите уравнение: 1) {х - 4)(л: + 2) - 2(3х + 1)(х - 3) = х{х + 27); 2) (4г - 3)2 + (Зл: - 1)(3х+ 1) = 9; 3) {х+ 4)(л:2 + jf- 13) - (лг+ 7)(л:2 + 2л: - 5) = л: + 1; 2(лг2 _9^ л: + 1_л:-41 5) л:‘2 + 6л: - 15 = 0; 6) Зл:2 - л: - 5 = 0; 7) 4л;2 + 28л: + 49 = 0; 8) л-2 - 16л-+71 = 0. л2 + 5х 2 л + 3 4 ’ 2л;2 -2 920. 921. 922. 923. 924. 925. 926. 927. 928. 4) 3 2 8 ■ Для каждого значения а решите уравнение: 1) л2 + (5а - 1) л + 4«2 - а = 0; 3) а^х^ - Юал + 16 = 0. 2) л:^ - {2а + 3) + 6а = 0; Решите уравнение: 1) |л2-2л-6|=6; 3)л|л|+2л-15 = 0; 2) л2-6 |л| - 16 = 0; 4) ||л2-6л-4|-3| = 1. Решите уравнение: 1) л2 - 6л + - 8; л: - 2 д: - 2 2) (л/л-5)(15л2-7л-2) = 0; 3) (л2 + 6л)(л/л-4)(л2-8л-48) = 0. Решите уравнение: 1) л/л2 + Зл - 4 + \/л2 + 6л + 8 = 0; 2) л-2 _ 4дл 4 \х^ - + 2\ =0; 3) V25 - л2 + |л2 + 8л - 201 = 0. Не вычисляя дискриминант, найдите, при каком значении а уравнение: 1) л2 + 22л + а = 0; 2) л2 - ал + 81 = 0 имеет один корень. Найдите этот корень. При каком значении Ь корнями уравнения л2 + 6л - 23 = 0 являются противоположные числа? Найдите эти корни. Число является корнем уравнения 12л:2 - jyx -\- Ъ = 0. Найдите зна- 3 чение Ь и второй корень уравнения. Число 0,2 является корнем уравнения 8л2 - 3,2л + 6 = 0. Найдите значение k и второй корень уравнения. Корни л^ и х^ уравнения л2 - 6л + 20 = 0 удовлетворяют условию ЛJ = 5л2. Найдите значение 6 и корни уравнения. 217 929. 930. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 1 меньше соответствующих корней уравнения - Зх - 5 = 0. Решите уравнение: - 7х _ X + 1 Зх^ + 4х х^ -9 4-х х + 1' _ 3-4х х^ -9 2х -2 931. 1) 2) 3) 4) X + 1 д: - 6 Решите уравнение: 3 4х -3 1 X 1 7_ 12 5) 6) 7) 8) 63 2 _ 7. х^ + Зх х‘^ - Зх X ’ 2х 1 3 4х -2 X - 2 X -I- 4 (х + 4)(х - 2)’ 1 2 X + 4 х^ -1- 2х х‘^ - 4 ~ 5х (2 - X •)’ 2 1 3 х^ -2х + 1 х^ -I х^ + X + \ 1) д: - 1 д: + 5 Х‘‘ д: -ь 5 X - \ 04 дг^ - Здг -ь 6 д: 2дг - Зд: -I- 6 = 3; 932. 933. 3) 4) -т х^ +2х -8 х^ - 2ах + 3 4х {Зх -1)'“^ 24 Зх -1 -5 = 0; 15 х^ + 2х - 3 = 2. X - 2 = О имеет единствен- 934. 935. 936. 937. 938. При каких значениях а уравнение ный корень? Верно ли утверждение (ответ обоснуйте): 1) если число т является корнем квадратного уравнения ах^ + Ьх + •f с = О, то число -т является корнем уравнения ах^ - Ьх + с = 9\ 2) если число т является корнем квадратного уравнения ах^ + Ьх 4- -+- с = О, где с 9^: О, то число — является корнем уравнения сх^ + Ьх-\- а = Найдите все целые значения Ь, при которых имеет целые корни уравнение: 1) -ь /?х - 6 = 0; 2) х^ + Ьх +2\ = 0. Известно, что и Х2 — корни уравнения х^ - {2а - 5)х -н <2^ - 7 = 0. При каком значении а выполняется равенство 2Xj 4 2х^ = XjXg? При каком значении а произведение корней уравнения х^ 4 {а + 9)х -f 4 4 2а = {) равно 15? Автобус должен был проехать 255 км. Проехав — пути, он остановился на 1 ч, а затем продолжил движение со скоростью на 5 км/ч меньше начальной. Найдите начальную скорость автобуса, если в пункт назначения он прибыл через 9 ч после выезда. В слитке сплава меди и цинка содержится 20 кг цинка. К этому слитку добавили 3 кг меди и 4 кг цинка. Полученный сплав содержит на 5 % больше меди, чем исходный. Сколько меди содержал исходный сплав? 218 Сведения из курса алгебры 7 класса Целые выражения 1. Выражения с переменными. Целые рациональные выражения. Числовое значение выражения ^ Выражение, составленное из переменных, чисел, знаков арифметических действий и скобок, называют выражением с переменными (или с переменной, если она одна). ^ Если вместо переменных (переменной) подставить в выражение их значения, то получим числовое выражение, значение которого называют значением выражения с переменными при данных значениях переменных. ^ Числовые выражения и выражения с переменными называют алгебраическими выражениями. •/ Выражения с переменными, не содержащие деления на выражения с переменными, называют целыми выражениями. 2. Тождественно равные выражения. Тождества \/ Выражения, соответствующие значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными. ✓ Равенство, верное при любых значениях входящих в него переменных, называют тождеством. ✓ Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием. \/ Доказать тождество — значит доказать, что данное равенство является тождеством. Для доказательства тождеств используют следующие приёмы (методы): • тождественно преобразуют одну из частей данного равенства, получая другую часть; • тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства, получая одно и то же выражение; • показывают, что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю. 219 \/ Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно привести контрпример: указать такие значения переменных (переменной), при которых данное равенство не выполняется. 3. Степень с натуральным показателем Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, называют произведение п множителей, каждый из которых равен а. ^ Степень с основанием а и показателем п обозначают и читают: «а в гг-й степени». Степени с показателями 2 и 3 можно прочитать иначе: запись читают: «а в квадрате», запись о^\ «а в кубе». Степенью числа а с показателем 1 называют само это число. •/ При возведении неотрицательного числа в степень получаем неотрицательное число. При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное число, а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательное число. 4. Свойства степени с натуральным показателем ✓ Для любого числа а и любых натуральных чисел т vi п выполняется равенство ТО есть при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают, а основание оставляют тем же. ✓ Для любого числа а, отличного от нуля, и любых натуральных чисел mvin таких, что тп> п, выполняется равенство апг. то есть при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют тем же. ✓ Для любого числа а и любых натуральных чисел тип выполняется равенство (а"*)” = то есть при возведении степени в степень показатели перемножают, а основание оставляют тем же. 220 ^ Для любых чисел сг и и любого натурального числа п выполняется равенство {аЬу = то есть при возведении произведения в степень каждый множитель возводят в степень и полученные результаты перемножают. 5. Одночлены ^ Выражения, являющиеся произведениями чисел, переменных и их степеней, называют одночленами. \/ Одночлен, содержащий только один отличный от нуля числовой множитель, стоящий на первом месте, и у которого все остальные множители — степени с разными основаниями, называют стандартным видом одночлена. К одночленам стандартного вида также относят числа, отличные от нуля, переменные и их степени. %/ Число О, а также одночлены, тождественно равные нулю, называют нуль-одночленами. Их не относят к одночленам стандартного вида. \/ Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Одночлены, имеющие одинаковые буквенные части, называют подобными. \/ Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Степень одночлена, являющегося числом, отличным от нуля, принимают равной нулю. \/ Считают, что нуль-одночлен степени не имеет. \/ Произведением двух одночленов является одночлен. При возведении одночлена в степень получают также одночлен. 6. Многочлены \/ Выражение, являющееся суммой нескольких одночленов, называют многочленом. \/ Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. •/ Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, а состоящий из трёх членов — трёхчленом. Одночлен является частным случаем многочлена. Считают, что такой многочлен состоит из одного члена. 221 %/ Связь между многочленами, одночленами и их частным случаем — числами иллюстрирует схема на рисунке 42. \/ Если среди одночленов, из которых состоит многочлен, есть подобные, то их называют подобными членами многочлена. Многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида. ^ Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен составлен. ^ Чтобы сложить два многочлена, надо каждый из них заключить в скобки и поставить между ними знак «-1-», затем раскрыть скобки и привести подобные слагаемые (если таковые имеются). ^ Чтобы из одного многочлена вычесть другой, надо каждый из них заключить в скобки, поставить перед вычитаемым знак «-», затем раскрыть скобки и привести подобные слагаемые (если таковые имеются). Представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов называют разложением многочлена на множители. 7. Умножение одночлена на многочлен Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. 8. Умножение многочлена на многочлен ^ Чтобы умножить мноючлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить. ^ При умножении многочлена па многочлен всегда получается многочлен. 222 Формулы сокращённого умножения 9. Произведение разности и суммы двух выражений \/ Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений: {а - Ъ){а л- Ъ) = - Ъ^. 10. Разность квадратов двух выражений Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы: -Ъ^ - {а - Ь)(а + Ь). 11. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений у/ Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения: (<2 + + 2аЬ + Ь^. у/ Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения: (<2 - bf- - - 2аЬ -f- 12. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений ^ Формулы + ЧаЬ = {ал-- 2аЬ л-Ъ^ = {а - bY позволяют «свернуть» трёхчлен в квадрат двучлена. Трёхчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена, называют полным квадратом. 13. Сумма и разность кубов двух выражений у/ Многочлен - ah + называют неполным квадратом разности. у/ Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности: дЗ + ^3 _ ^ Ь){а^ - аЬ л- Ь^). 223 ✓ Многочлен л- ab л- называют неполным квадратом суммы. Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы: - Ь^ = {а - Ь){а^ л- аЬ л- Ь^). Уравнения 14. Корень уравнения Корнем уравнения называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. %/ Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что их не существует. ✓ При решении задач на составление уравнений удобно использовать такую схему: 1) по условию задачи составить уравнение (сконструировать математическую модель задачи); 2) решить полученное уравнение; 3) выяснить, соответствует ли найденный корень содержанию задачи, и дать ответ. 15. Свойства уравнений Если к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, имеющее те же корни,что и данное. ^ Если данное уравнение не имеет корней, то, прибавив к обеим его частям одно и то же число, получим уравнение, также не имеющее корней. Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное. ^ Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное. 224 16. Линейное уравнение с одной переменной ^ Уравнение вида ах = Ь, где х — переменная, avib — некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной. ^ Если а Ф Q, то, разделив обе части уравнения ах = Ь из. а, получим X = Следовательно, если а Ф И, то уравнение ах = Ь имеет един- ственныи корень, равный — . Если <2 = О, то линейное уравнение принимает следующий вид: Од: = Ь. Тогда возможны два случая: Ь = 0 или Ь Ф^. В первом случае получаем уравнение Ох = Ь. Отсюда, если а = О и ^ = = О, то уравнение ах = Ь имеет бесконечно много корней: любое число является его корнем. Во втором случае, если Ь Ф О, то при любом значении х имеем неверное равенство Ох = Ь. Отсюда, если <2 = 0и Ь Ф О, го уравнение ах = Ь корней не имеет. Значения а\л Ь аФО а = 0, Ь = 0 а = 0,Ьф0 Корни уравнения ах=Ь а X — любое число Корней нет Функции 17. Функция. Область определения и область значений функции Правило, с помощью которого для каждого значения независимой переменной можно найти единственное значение зависимой переменной, называют функцией, а соответствующую зависимость одной переменной от другой — функциональной. Обычно независимую переменную обозначают буквой х, зависимую — буквой у, функцию (правило) — буквой /. Если переменная у функционально зависит от переменной х, то этот факт обозначают так: у = /(х) (читают: «игрек равен эф от икс»). ^ Независимую переменную называют аргументом функции. •/ Значение зависимой переменной называют значением функции. Значение функции /, которое соответствует значению Xq аргумента х, обозначают /(х^). 225 \/ Все значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции. 18. Способы задания функции Функция считается заданной, если указана её область определения и правило, с помощью которого можно для каждого значения независимой переменной найти значение зависимой переменной. Поскольку функция — это правило, то её можно задать с помощью предложений какого-либо языка (русского и др.). Этот способ задания функции называют описательным. Самым распространённым способом задания функции является задание функции с помощью формулы. Если функция задана формулой, правая часть которой — целое выражение, и при этом не указана область её определения, то считают, что областью определения такой функции являются все числа. Ещё одним способом задания функции является табличный, при котором функцию задают таблицей, состоящей из двух строк. Все числа, записанные в первой строке таблицы, составляют область определения данной функции. Столбец таблицы представляет собой пару чисел; «независимая переменная — зависимая переменная». Этот способ удобно применять в тех случаях, когда область определения функции состоит из нескольких чисел. 19. График функции ✓ Графиком функции / называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции /. ✓ Если какая-либо фигура является графиком функции /, то выполняются два условия: 1) если дГр — некоторое значение аргумента, а f{x^ — соответствующее значение функции, то точка с координатами (х^; f{x^) обязательно принадлежит графику; 2) если (х^; — координаты произвольной точки графика, то х^ и — соответствующие значения независимой и зависимой переменных функции /, то есть = /(Xq). 226 Фигура может быть графиком некоторой функции, если любая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, имеет с этой фигурой не более одной общей точки. 20. Линейная функция, её график и свойства Функцию, которую можно задать формулой вида у = kx + Ь, где k независимая переменная, называют ли- VL Ь — некоторые числа, х нейной. Графиком линейной функции, область определения которой — все числа, является прямая. ^ Линейную функцию, заданную формулой у = kx, где k Ф О, называют прямой пропорциональностью. Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции (это иллюстрирует схема на рисунке 43). Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую-нибудь точку графика, отличную от начала координат, и провести прямую через эту точку и точку О (0; 0). Если в формуле у = kx + Ь положить ^ = 0, то получим у = Ь.^ этом случае значения функции будут оставаться неизменными при любых изменениях значений аргумента. График такой функции — прямая, параллельная оси абсцисс. Системы линейных уравнений с двумя переменными 21. Уравнение с двумя переменными Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными. Решить уравнение с двумя переменными — значит найти все его решения или показать, что оно не имеет решений. 227 ч/ Свойства уравнений с двумя переменными аналогичны свойствам уравнений с одной переменной (см. п. 15 на с. 225). Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, координаты которых (пары чисел) являются решениями данного уравнения. Когда какая-либо фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия: 1) все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих графику; 2) координаты любой точки, принадлежащей графику, — это пара чисел, являющаяся решением данного уравнения. 22. Линейное уравнение с двумя переменными и его график ✓ Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение ви-д,г. ах + by = с, где хну — переменные, а, Ь, с — некоторые числа. ✓ В каждом из случаев, когда Ь Ф О или Ь = О н а Ф (i, графиком уравнения ах + by = с является прямая. ^ Пусть <2 = 6 = О в линейном уравнении ах л- by = с. Имеем Ох + Оу = с. Если с ^ О, то это уравнение не имеет решений, а значит, на координатной плоскости не существует точек, которые могли бы служить графиком уравнения. Если с = О, то уравнение принимает вид Ох + Оу = 0. Люба пара чисел является его решением. Следовательно, в этом случае графиком уравнения является вся координатная плоскость. Следующая таблица подытоживает сказанное выше. Уравнение Значения а, Ь, с Г рафик ах + by = с Ь фО, а\л с — любые Невертикальная прямая ах ^ by = с Ь = 0, а Ф 0, с — любое Вертикальная прямая ах л- by - с а = Ь = с = 0 Вся координатная плоскость ах ^ by = с а = Ь = 0, сфО — 228 23. Системы уравнений с двумя переменными ✓ Если требуется найти все общие решения нескольких уравнений, то говорят, что надо решить систему уравнений. Систему уравнений записывают с помощью фигурной скобки. ✓ Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающих каждое уравнение в верное равенство. ✓ Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать, что решений не существует. 24. Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем: • построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему; • найти координаты всех точек пересечения построенных графиков; • полученные пары чисел и будут искомыми решениями. Графический метод эффективен тогда, когда требуется определить количество решений системы, ✓ Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнений, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости: • если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение; • если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений; • если прямые параллельны, то система решений не имеет. 25. Решение систем линейных уравнений методом подстановки ✓ Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует: 1) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую; 2) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге; 3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге; 229 4) подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге; 5) вычислить значение второй переменной; 6) записать ответ. 26. Решение систем линейных уравнений методом сложения ✓ Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует: 1) подобрав «выгодные» множители, преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами; 2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге; 3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге; 4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы; 5) вычислить значение второй переменной; 6) записать ответ. Модуль числа 27. Модуль числа ✓ Модулем числа а называют расстояние от начала отсчёта до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль числа а обозначают так: \а\ (читают: «модуль а»). ✓ Модуль неотрицательного числа равен этому числу, модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному. ^ С помощью фигурной скобки свойство модуля числа а можно записать так: а, если а> 0; -а, если А < 0. ✓ Модуль числа принимает только неотрицательные значения. ✓ Модули противоположных чисел равны: \а\ = \-а\. \а\ = 230 Координатная плоскость 28. Прямоугольная система координат ^ Проведём на плоскости две перпендикулярные координатные прямые так, чтобы их начала отсчёта совпадали (рис. 44). Эти прямые называют осями координат, а точку О их пересечения — началом координат. Горизонтальную ось называют осью абсцисс и обозначают буквой х, вертикальную ось называют осью ординат и обозначают буквой у. ✓' Ось абсцисс называют также осью х, а ось ординат — осью у, вместе они образуют прямоугольную систему координат. Такую систему координат называют декартовой. Плоскость, на которой задана прямоугольная система координат, называют координатной плоскостью. \/ Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями и нумеруют так, как показано на рисунке 45. |/ На координатной плоскости отметим точку М (рис. 46). Прямая, проходящая через точку М перпендикулярно оси абсцисс, пересекает её Рис. 44 1 h- стз 3- - d 2- О ■ -0 1- 111^ о Ось абсцисс 1 1 » 0 -3 -2 -1 ^ -1- 111^ 12 3^ -2- -3- Рис. 45 Рис. 46 У‘ У‘ 3- 3- II четверть 1 четверть 2- 2- 1- 1- 1 1 1 111^ 1 1 И * 0 -3 -2 -1 ^ 12 3-^ о -3 -2 -1 ^ 1 h—♦ ► 1 2 Ь ^ -1- -1- 1 III четверть IV четверть -2- В \м -3- -3- 231 в точке А, а прямая, перпендикулярная оси ординат, пересекает эту ось в точке В. Точка А на оси х имеет координату 3, а точка В на оси ^ — координату -2. Число 3 называют абсциссой точки М, число -2 — ординатой точки М. Числа 3 и -2 однозначно определяют место точки М на координатной плоскости. Поэтому их называют координатами точки М и записывают так: М {3; -2). ✓ Записывая координаты точки, абсциссу всегда ставят на первое место, а ординату — на второе. ✓ Если точка лежит на оси абсцисс, то её ордината равна нулю, а если точка лежит на оси ординат, то нулю равна её абсцисса. 232 Проектная работа Эта рубрика адресована прежде всего тем, кто хочет научиться приобретать знания самостоятельно, творчески мыслить, формировать, выражать и отстаивать свою точку зрения, выдвигать гипотезы, находить наиболее рациональные и нестандартные решения. Первым шагом, который может помочь в реализации этих целей, является участие в проектной работе. Проект — это самостоятельное исследование по выбранной теме, которое может выполняться как индивидуально, так и группой учащихся. Дадим несколько советов по организации работы над проектом и оформлению результатов исследования. 1. При выборе темы необходимо учитывать её актуальность, наличие источников информации в литературе и интернет-ресурсов. Здесь важно ваше желание проявить себя в качестве исследователя в работе именно над выбранной темой. 2. Работа начинается с составления предварительного плана, в котором отражается замысел и этапы реализации задуманного. После знакомства с основными источниками и литературой с помощью руководителя проекта составляется окончательный план. 3. Важно чётко сформулировать цели исследования. Они могут быть записаны в такой форме: изучить, описать, проанализировать, доказать, сравнить и т. п. 4. Работа завершается подведением итогов исследования, делаются выводы, намечаются перспективы дальнейшего изучения темы. 5. Примерный объём работы — 10-15 страниц. Дополнительно может прилагаться иллюстративный материал. 6. Работа может быть оформлена в виде реферата, доклада, компьютерной презентации. Ниже приводится рекомендуемый список тем, которые могут быть выбраны для проектной работы. 1. Российские женщииы-математики Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы Малинин В.В. Софья Ковалевская — женщина-математик. Её жизнь и учёная деятельность. — ЦИТ СГГА, 2004. Математики, механики. Биографический справочник. — М., 1983. Энциклопедия для детей. Математика. Том 11. — М. : АвантаЧ-, 2003. https://ru.wikipediaorg/wiki/ — Софья Ковалевская. https://sheider.livejournal.com/118540.html — женщины-математики. 233 https://www.nanometer.ru/2011/02/02/1296599338437_254124.html -женщины в науке. 2. Леонард Эйлер — великий математик Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы Белл Э.Т. Творцы математики. — М. : Просвещение, 1979. Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. — М. : МЦНМО, 2006. Делоне Б.Н. Леонард Эйлер // Квант. 1974. № 5. Полякова Т.С. Леонард Эйлер и математическое образование в России. — М. : КомКнига, 2007. Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука : сб. статей. — М. : Наука, 1988. Энциклопедия для детей. Математика. Том 11. — М. : Аванта+, 2003. https://school-collection.edu.ru/ — единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. https://www.math.ru/lib/ — электронная библиотека книг по математике. https://ru.wikipediaorg/wiki/ — Леонард Эйлер. 3. Математические термины и символы. История возникновения и развития Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы Глейзер Г.И. История математики в школе. IX-X кл. — М. : Просвещение, 1993. Энциклопедия для детей. Математика. Том 11. — М. : Аванта-Ь, 2003. https://www.math.ru/lib/ — электронная библиотека книг по математике. https://ru.wikipedia.org/wiki / — математика. 4. Алгоритм Евклида и линейные диофантовы уравнения Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы Вагутен В.Н. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики // Квант. 1972. № 6. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. — Челябинск : Взгляд, 2005. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. — М. : Наука, 1978. (Популярные лекции по математике). Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. — Киров : АСА, 1984. 234 Горбачёв Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. — М. : МЦНМО, 2004. Михайлов И. О диофантовом анализе // Квант. 1980. № 6. Факультативный курс по математике. 7-9 / сост. И.Л. Никольская. — М. : Просвещение, 1991. https://school-collection.edu.ru/ — единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. https://mmmf.msu.ru/ — малый мехмат МГУ. 5. Парадоксы теории множеств Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы Бурова И.Н. Парадоксы теории множеств и диалектика. — М., 1976. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? — М. : МЦНМО, 2001. Ященко И.В. Парадоксы теории множеств. — М. : МЦНМО, 2002. в. Малая теорема Ферма Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. — Челябинск : Взгляд, 2005. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. — Киров : АСА, 1984. Горбачёв Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. — М. : МЦНМО, 2004. https://www.kvant.info/ — научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант». https://school-collection.edu.ru/ — единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. https://mmmf.msu.ru/ — малый мехмат МГУ. 7. Поиск инварианта Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. — Киров : АСА, 1984. Горбачёв Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. — М. : МЦНМО, 2004. Курляндчик Л., Фомин Д. Этюды о полуинварианте // Приложение к ж-лу «Квант». Математический кружок. Вып. 2. — М. : Бюро Кван-тум, 1989. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии — М. : МСНМО, 2006. Толпыго А. Инварианты // Приложение к ж-лу «Квант». Математический кружок. Вып. 2. — М. : Бюро Квантум, 1998. 235 Фоминых Ю.Ф. Инварианты // Математика в школе. 1998. № 5. https://www.kvant.info/ — научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант». https://school-collection.edu.ru/ — единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. https://mmmf.msu.ru/ — малый мехмат МГУ. https://www.problems.ru/ — задачи из разных разделов математики. 8. Принцип крайнего Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. — Киров : АСА, 1984. Горбачёв Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. — М. : МЦНМО, 2004. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. — М. : МЦНМО, 2006. https://school-collection.edu.ru/ — единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. https://www.kvant.info/ — научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант». https://www.problems.ru/ — задачи из разных разделов математики. https://mmmf.msu.ru/archive/20062007/z9-10/21.html — принцип крайнего. 236 Дружим с компьютером в предыдущих классах вы уже использовали компьютер при изучении математики. Вы научились: • пользоваться калькулятором для вычислений; • набирать и оформлять несложные тексты в текстовом редакторе (например, Microsoft Word)', • составлять таблицы с помощью редактора таблиц (например, Microsoft Excel)', • рисовать с помощью графического редактора (например. Paint)', • пользоваться глобальной сетью Интернет и искать в ней информацию. Все эти умения вы будете совершенствовать и в дальнейшем. Если вы хотите в будущем стать математиком, программистом, инженером, то есть широко использовать математику в своей работе, то советуем вам осваивать специализированные математические пакеты, которые помогают школьникам и студентам выполнить техническую работу при решении задач. Это, например, MathLAB, MathCAD. Также полезно научиться пользоваться графическим редактором, с помощью которого можно работать с геометрическими фигурами и строить чертежи. Примерами таких редакторов могут служить CorelDraw, Visio и т. п. Если вы собираетесь выступить с докладом или интересным сообщением, то сделать его более наглядным помогут программы для построения презентаций (например, PowerPoint). Кроме этого, существует много других программ, созданных специально для школьников и предназначенных для помощи в изучении математики. Вот ссылки на некоторые из таких программ: https://www.pcmath.ru/ компьютерные программы по математике https://school-collection.edu.ru/ единая коллекция цифровых образовательных ресурсов Конечно же это далеко не всё, что есть на просторах Интернета. Ищите, интересуйтесь, общайтесь со своими сверстниками, и вы найдете много интересного. А может, став постарше, вы и сами разработаете полезные программы для изучения математики. Задания с элементами информатики в этом разделе приведены задания, которые вы сможете выполнять с помощью компьютера по мере изучения соответствующих тем. Большинство этих заданий — продолжение и развитие упражнений этого учебника, которые вы будете решать на уроках и дома (такие упражнения в тексте 237 учебника помечены значком « в этом разделе указан номер соответствующего задания. Задания, требующие использование калькулятора, выполняйте с помощью стандартной программы «калькулятор», которая есть на вашем компьютере. На уроках информатики вы будете изучать элементы программирования, создавать алгоритмы и программы, в которых будут использоваться полученные математические знания. Такие задания, содержащие элементы программирования, не являются обязательными. Они отмечены звёздочкой. Пока вы не изучили на нужном уровне какой-либо язык программирования, достаточно придумать алгоритм и записать его словами либо в виде блок-схемы. Заметим, что умение составлять алгоритмы (последовательности действий) пригодится вам не только в программировании, но и в других областях деятельности. К § 1 «Рациональные дроби» Научитесь вычислять значение дробного выражения с помощью калькулятора. В каких случаях невозможно вычислить значение дробного выражения? 2-4. Выполните какие-либо из этих примеров с помощью калькулятора либо специализированного математического пакета. К § 2 «Основное свойство рациональной дроби» 46, 47. Выберите какой-либо пример из этих заданий. Найдите значение выражения дважды: сначала записанного в условии выражения, затем — предварительно сократив его. Вычисления выполняйте с помо-ищю калькулятора либо специализированного математического пакета. Насколько сократилось количество действий после сокращения? Можно ли после сокращения выполнить вычисления устно? 63. Постройте график функции с помощью графического редактора. Какой инструмент нужен, чтобы из графика функции у = 2х построить график функции у = 2х - 1? К § 3 «Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями» 74, 75. Выберите какой-либо пример из этих заданий. Найдите значение выражения дважды; сначала записанного в условии выражения, затем — предварительно упростив его. Вычисления выполняйте с помощью калькулятора либо специализированного математического пакета. Насколько сократилось количество действий после упрощения выражения? Можно ли после упрощения выполнить вычисления устно? 238 К § 4 «Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями» 138. Выполните это задание также с помощью калькулятора. Всегда ли получится «удобный» результат? К § 5 «Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень» 160,161. Выполните какие-либо примеры из этих заданий с помощью калькулятора. К § 6 «Тождественные преобразования рациональных выражений» 194, 195. Докажите утверждение задачи № 194, выполнив вычисления с помощью калькулятора. Какой путь доказательства оказался нагляднее? Можно ли этим же способом доказать утверждение задачи № 195? К § 7 «Равносильные уравнения. Рациональные уравнения» 222. Решите эту задачу с помощью калькулятора. К § 8 «Степень с целым отрицательным показателем» Существует ли в калькуляторе и в других программах, которыми вы пользуетесь для вычислений, способ представления числа в стандартном виде? Освойте этот инструмент. 262-264. Выполните какое-либо из этих заданий, создав таблицу в табличном редакторе. Используйте средства автоматической сортировки. Постройте на основании полученной таблицы диаграмму. Насколько наглядной она получилась? 266. Решите эту задачу с помощью калькулятора. Чем эта задача похожа на задачу № 222 и чем отличается от неё? Какие общие элементы решения вы использовали для обеих задач? Постройте общий алгоритм для решения задач № 222 и 266. Предусмотрите возможность использования этого алгоритма для произвольного количества лет. К § 9 «Свойства степени с целым показателем» 276. Вычислите значения какого-либо выражения из примеров 5-8 этого задания, выполняя действия с помощью калькулятора в том порядке, в котором они записаны в примере (без предварительного упрощения). Получен ли тот же результат, что и при решении примера на бумаге? Почему результаты могут различаться? Какой вывод из этого можно сделать? 239 307. Постройте искомую таблицу с помощью табличного редактора. Сделайте так, чтобы значения функции вычислялись автоматически. k К § 10 «Функция у = — и её график» X 315, 316. Заполните искомую таблицу с помощью табличного редактора. Постройте с помощью средств табличного редактора график функции, которая является математической моделью задачи. Как надо усовершенствовать таблицу, чтобы график получился более точным? К § 11 «Функция ^ и её график» 357-360. Выберите какую-либо функцию из этих заданий и постройте её график двумя способами. Первый способ: определите, из каких геометрических фигур состоит этот график, и изобразите эти фигуры на координатной плоскости с помощью графического редактора. Второй способ: составьте таблицу, содержащую набор значений аргумента и соответствующих им значений функции, и постройте график на основании этой таблицы с помощью соответствующих инструментов автоматического построения графиков; для этого способа выберите внешний вид графика, в котором заданные точки соединяются отрезками. Какой график более точно изображает заданную функцию? Как надо учесть особенности этой функции при выборе набора аргументов для таблицы? К § 12 «Квадратные корни. Арифметический квадратный корень» Научитесь извлекать квадратный корень с помощью калькулятора и других программ, которыми вы пользуетесь для вычислений. 398. Выполните задание двумя способами: 1) упростив выражение на бумаге; 2) вычислив его значение с помощью калькулятора без предварительного упрощения. Сделайте выводы. 425. Запищите алгоритм для решения этой задачи методом перебора. К § 14 «Подмножество. Операции над множествами» Задайте какое-либо сочетание слов и выполните поиск в Интернете по этому сочетанию. Выполните поиск по каждому слову из этого сочетания отдельно. Заметьте количество выбранных результатов. Опишите характеристические свойства множеств, полученных в результате каждого поиска. Опишите в терминах операций над множествами, как соотносятся между собой результаты поиска в каждом из случаев. Сделайте выводы, насколько важно точно задавать условие поиска. 240 к § 15 «Числовые множества» Для каждого из числовых множеств введите в калькуляторе несколько элементов этого множества. Любое ли рациональное число вы можете ввести? Можно ли ввести иррациональное число? Насколько точно представляет калькулятор эти числа? Сделайте вывод. Как в калькуляторе можно задать число тс? 475, 476. Выполните задание с помощью калькулятора и/или других программ, которыми вы пользуетесь для вычислений. К § 16 «Свойства арифметического квадратного корня» 508. Выполните вычисления примера 6 с помощью калькулятора, не упрощая предварительно выражение. Какой способ решения оказался проще — на бумаге или с помощью калькулятора? 520. Выполните вычисления с помощью калькулятора, не упрощая предварительно выражение. Какой способ решения оказался проще — на бумаге или с помощью калькулятора? К § 17 «Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни» Вычислите значения выражений, приведённых в примерах 540, 541, 554 (2, 3, 4), с помощью калькулятора без предварительного упрощения выражений. Будет ли получен точный результат? К § 18 «Функция у = 4х и её график» С помощью табличного редактора постройте таблицу, содержащую набор аргументов и соответствующих им значений функции у = vx. Постройте график на основании этой таблицы. К § 19 «Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений» Запишите алгоритм для решения неполных квадратных уравнений в зависимости от их вида. 654. Запишите алгоритм для решения этой задачи методом «перебора». К § 20 «Формула корней квадратного уравнения» Запишите алгоритм, который по коэффициентам а, Ь w с квадратного уравнения сих^ + Ьх + с = О находит его корни. 241 X. 668, 669. Запишите алгоритмы для решения этих задач методом перебора. Какая информация в условиях этих задач позволяет сделать вывод, что можно применить метод перебора, в отличие от задач № 678 и 679? К § 21 «Теорема Виета» Придумайте два числа, десятичная запись каждого из которых содержит несколько цифр до и после запятой. Используя следствие из теоремы, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, для которого данные числа являются корнями. Для вычислений используйте калькулятор. К § 22 «Квадратный трёхчлен» Запишите алгоритм для разложения квадратного трёхчлена на линейные множители. 771. Создайте математическую модель для решения этой задачи в общем виде. 774. Запишите алгоритм для решения этой задачи методом перебора. К § 23 «Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям» Запишите алгоритм для решения биквадратных уравнений. Можно использовать в качестве подпрограммы алгоритм, составленный вами для решения квадратного уравнения (см. задание к § 20). К § 24 «Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций» Можно ли для различных задач из этого параграфа создать одну и ту же математическую модель? Попробуйте найти такие задачи и составить общий алгоритм для их решения. 242 Ответы и указания к упражнениям 50. 0,3- 51. 5. 53. — . 54. Нет. Указание. Представьте данную дробь 32 в виде . 58. 1) X — любое число, кроме -1; 2) корней нет; 3) корней +1 нет. 59. 1) Корней нет; 2) -7. 60. 1) Если а = О, то корней нет; если <2^0, то X = — ; 2) если « = 0, то х — любое число; если й 0, то х = 1; 3) если а <2 = 6, то X — любое число; если <2 6, то х = <2 - 6; 4) если а = -2, то корней 1 нет; если я = 2, то х — любое число; если а Ф —2 и а 2, то х а + 2 61. 1) Если а = -3, то корней нет; если а Ф -3, то х = я + 3 ; 2) если <2 = 0, то корней нет; если а = 9, то х — любое число; если аФ0иаФ9, то X = 64. -4 при а = 2Ь. 65. 48 км/ч, 60 км/ч. 76. 1) 2) ^ ; 3) 77. 1) -; 2) . 78. 1) 4 я + 5 1-я 1 ;2) Ь-2 ;3) т п-5 . 79. 1) т + 2 1 (х-7) г; 2) а-9 Я 1 1 ■ j/ + 6 У+ 2 ■ 87. 2) 5; 3) 4^ . 88. 2) -3; 3) -4,5. 89. 1) 1; 2; 3; 6; 2) 1; 2; 7; 14; 3) 1; 2; 8. 90. 1) 1; 3; 9; 2) 1; 2; 4; 8; 3) 2. 91. 15 км/ч, 12 км/ч. 92. 1) -2; 2) корней нет. 112. 6) р-5 ; 7) 16 16^ - У - Г’ 8 117. 1) /2) 2,5; 3) 0,1. 118. 1) 1,2; 2) 121. 2) ,, . 6 П - ?th + 9 122. 1) 128. 2w“ у ^2 L- 2) IQOh^ 116. 2) 4. 3 • 9'\ 2 2b ‘{ол 1 \ а Ф Ь ^ 1 . Q\ 9m2 - п2 ’ + Г аЬ ' ’ 2х' ^ («2 _ 25b^f ;4) 1 ^-2 . Указание. Представьте каждое из слагаемых в виде раз- 1 1 . 129. (я-1)(я-4) ности двух дробей. Например, ___ ^ ^ Р’ (я-1)(я-2) я-2 я-1 (я-7)(я-1) 132. Указание. К каждой из дробей, записанных в левой части равенства, прибавьте 1, а к правой части прибавьте 3. 135. 270 км. 160. 1) -5; 2) 0,9; 3) -5; 4) -3,2. 161. 1) Iy ; 2) ^ . 162. 83. 163. 10. 164. 7 или -7. 165. 2 или -2. 166. 1) 1; 2) 1. 167. 1) ; 2) 1. 170. 1) 0,5; 2) х - любое число. (я + 5/ 172. 1,2 ч. 173. 50 л, 30 л. 174. 5 мужчин, 1 женщина, 6 детей. 178. 1) ^ ; 1-я 243 2) b-Ъ ■ 3) • 4) ’ ^ Зс-1 1 a-2h ;5) (2 + 5 ;б) X - 3 X + |.179. 1) ^;2) -1;3)х + у; 4) f^:2) ^;3) |;4) 5) 2; 6) а - 2. 181. 1) 2) с - 5; 3) -2: 4) . 184. 1) Не зависит; 2) зависит. 186. 1) —; 2) й - 3; О а 3) а + I; 4) т2 а + Ь . 187. 1) + 62 62 ; 2) -я. 188. 1) - f 189.-^. 13 192. 1) Т5"; 2) 1.193. 1) -1 — ; 2) -V • 195. Указание. Представьте данное вы-6^ 3 4 ражение в виде 10 • 3” - 5 ■ 2”. 196. 480 кг. 197. 4 000 р., 5 500 р. 198. 2 ч. 199. 90 деталей. 200. 9 воробьёв, 10 голубей, 11 горлиц. 207. 2) Корней нет; 3) -2; 4) л: — любое число, кроме 2; 5) .г — любое число; 6) 3; 7) 0,5; 8) корней нет; 9) ; 10) 17; 11) 12; 12) 1^; КЗ) -4; 4; 14) 0; 15) 4. 208. 1) -1; 2) корней нет; 3) 10; 4) корней нет; 5) 4; 6) л: — любое число, кроме 0; 7) 6; 8) X — любое число, кроме -0,5; 9) -3; 3. 209. 7. 210. 10. 212. 1) ^; 2) корней нет; 3) 7; 4) 0; -2; 5) корней нет; 6) -17; 7) 0; 8) корней нет. 213. 1) 10; 2) -0,5; 3) -3; 4) -4; 4; 5) корней нет; 6) -5. 214. 2 км/ч. 215. 29 км/ч. 216. 9 км/ч. 217. 1) Корней нет; 2) 9; 3) 0. 218. 1) 0,6; 2) 0. 219. 1) Если а^\,то х=\‘, если = 1, то корней нет; 2) если а Ф -5, хо х = а\ если а - -5, то корней нет; 3) если <2 = 0, то д: — любое число, кроме 3; если аФ^'лаФЪ, то X = <2; если а = 3, то корней нет; 4) если а Ф 7, то х = а или х = 6; если <2 = 7, то X = 6; 5) если а Ф 4 п аФ -2, то х = 4 или х = -2; если <2 = 4, то х = -2; если а = -2, то х = 4; 6) если а Ф 4 и а Ф -2, то х = <2; если <2 = 4 или а = -2, то корней нет. 220. <2 = 2 или а = -2. 221. а = -9, или а = -3, или <2 = 0. 222. 70 000 жителей. 223. 60 км. 251. 1) 2,7; 2) 9^. 258. 5. 259. 6. 125 265. 31 болванка. 266. 80 000 жителей. 267. 2 км. 280.6) -|;7) |;8) 281. 5) 16; 6) 144. 291. 1) -3; 2) -5; 3) -2; 4) -7; 5) 0; 6) 2. 292. 1) 4; 2) 1; 3) -1; 4) 6. 295. 8 мин. 296. 5,34 кг. 297. В 81 раз. 298. 1) <2 + 6 ; 2) -АЬЬ 3) 15с5 + 5;4) --V.299. I) 7П’ Зй^ - 1 2й^ .2)1 б6 . 300. 1) -1 или 0; 2) 3 или 4; 4 ' 3 8; 6) X < 8; 9) X — любое число, отличное от 8; 10) х > 0 их ^9; 11) X > 0; 12) х = 0; 13) такого значения х не существует; 14) х — любое число; 15) X = 0; 16) х — любое число, отличное от 0. 400. 2) ^ < 0; 3) ^ > 0; 4) ^ < 0; 5) ^ = 0; 6) ^ > 0; 7) ^ > о и ^ 1. 401. 6) -10; 10. 402. 4) -7; 7. 405. 1) 167; 2) 2116; 3) корней нет. 406. 1) 4 900; 2) корней нет. 407. 1) Если аФОиЬ^О, го аиЬ— числа одного знака; если а = 0, то Ь — любое число; если Ь = о, то а — любое число; 3) если Ь ф9,то а>9\ если Ь = 9,то а — любое число; 5) если а Ф 9, то Ь < 9\ если а = 9, то Ь — любое число. 408. 2) Указание, х^ - 4х -I- 5 = (х - 2)^ -н 1. 409. Указание, -х^ + 6х - 12 = = -(х - 3)^ - 3. 410. Выражение 2. 411. 1) 0; 2) корней нет; 3) 1; 4) -2; 5) -1; 1; 6) 1. 412. 1) 0; 2) корней нет; 3) 1; 4) 3. 413. \) а > -1; 2) а = -1; 3) <2 < -1. 416. 1) Если <2 = О, то X > 1; если <2 0, то х = 1; 2) если <2 = 1, то X — любое число; если <2 1, то х = 0; 3) если <2 = 0, то х > 1; если <2 0, то X = 2; 4) если <2 < 0, то корней нет; если <2 > 0, то х = <2^ ч- 2. 417. а <9 или . 420. 27 купюр по 100 р., 4 купюры по 500 р. а = \. 418. 13. 419. <2 -Н 10 5 - <2 429. 2) {-2, 2}; 4) 0. 430. 4) {5}. 434. 1) Т ~ ; 2) \-h . 435. 1,4 км/ч. 436. у . 443. 2) {4, о, 7}. 453. 2) 0; 4) {2, 3, 5, 7). 456. 2) Множество всех натуральных чисел, кроме 1; 3) множество, состоящее из всех нечётных чисел и числа 2. 459. 3) Достаточно; 4) необходимо. 461. 96 деревьев. 462. 1. 482. Указание. Пусть — и — п q ма равна mq + пр nq данные рациональные числа. Тогда их сум- Z, t Е N. то есть является числом вида - , где s 483. Указание. Если предположить, что данная сумма — число рациональное, то из этого следует, что данное иррациональное число можно представить в виде разности двух рациональных чисел. 484. 1) Нет, например ^/3 + (-^/3) = 0; 2) нет, например л/з • л/з = (73)2 = 3 ; 3) нет, например л/З • о = 0. 485. В третьем подъезде на щестом этаже. 486. — . 488. 18 л. а 518. 1) Ни при каком значении х; 2) 3; 3) -1; 3. 519. 1) -4; 2) 2. 520. -4. 521. 120 га. 550. 1) 6^2; 2) ПлЯ; 3) 1073; 4) 9^^; 5) -а4аЬ\ 6) 0. 551. 1) -б73; 2) б7^; 3) \9а^у[а. 553. 1) 16-Нл/З; 2) -10V5-5; 3) 1; 4) 1; 5) 4. 554. 1) 10-4лУ2; 2) 74; 3) 4; 4) 32. 561. 1) >й-2; 2) -Ц=; 3) т - 2vm yjxy 245 4л/а . л/а + 7б ^/^ 4) 7^^—г; --------7т—; Ь) -^; 7) 16-й Vi 8) Vo-1; 9) r'^ г ’ 10) 'Тх. VC + 5 yja - yjb 562. 1) ^-= ; 2) --^; 3) 4= ; 4) ; 5) Vx; 6) ^ . 563. 1) т“ V=m; Й + V<2 yjah yjy V w 9 - <2 2) a^b^4b\ 3) -2x^yjy; 4) т^п^у/тп', 5) -^xy'^yfbx-, 6) Sab‘^4b\ 7) 8) mnp'^yf^. 564. 1) 2) а}'^Ы‘^4а\ 3) -la4b\ 4) a^b^4ab\ 5) -Зх’г/^'^ТЗх; 6) -Ът^п^р^ yj-2p. 565. 2) Поскольку из условия следует, что ^ < о, то Ь4^ = -^-Ь^; 3) л/с^; 5) -yjx^y^; 8) yja^b^. 566. 2) -л/мй^; 3) 6) -yj-5a^b. 568. 1) г- ; 2) V«. 569. 1) ^|2 + l^, 2) ^/з + 2; V<2 + yjb 3) л/б + >/5. 570. 1) л/7+l; 2) >/б + 3; 3) 7б + V2. 571. 9. 574. 1) 4 + 2) Зл/З+ 1. 575. 180 деталей. 576. На 25 %. 577. б км/ч, 2 км/ч. 578. 17 вагонов. 596. 1) 0; 1; 2) 0; 1; 3) корней нет; 4) 1; 5) 4; 6) 1. 598. 4) 5-2^/3. 599. 2) -у/2. 600. 0. Указание. Левая часть этого уравнения принимает только неотрицательные значения, а правая — только неположительные. 605. 1) >/7-1; 2) >/3->/2; 3) 3-73; 4) б - >/2. 606. 1) >/б-2; 2) >/5 - >/2; 3) 5- 2>/3. 607. Если а > О, то один корень; если й < 0, то корней нет. 608. 2у/а + 1 при й > 1; 3 при О < сг < 1. 609. 12 при а > 36; 2\fa при о < « < 36. 610. 63 кг. 611. 3 км/ч. 613. 1 ч 12 мин. 630. 6; 7. 631. 9; 10. 633. 1) 0; 14; 2) корней нет. 634. 1) 0; |; 2) -2^2; 2>/2. 640. -3; -2 или 3; 4. 3 641. -1 ; О или 0; 1. 642. 1) 4; 2) 0; -8; 3) —9; 9. 647. 1) 0; -3; 3; 2) 0; 1; 3) 1; 4) -2; 2. 648. 1) 0; 7; -7; 2) 0; 5; -7; 3) -1,5; 1,5. 649. 1) 2; 2) 3; 3) 0,5; -2; 4) такого значения не существует. 650. 1) а = 4, х^ = -4; 2) а = 0, х^ = 2 или а = -1, х.=^\Ъ)а = Ъ,х. = -2. 654. 35. 661. 1) 1; ; 2) 1; 9; 3) . 662. 1) 2; -/2)-3; / 663. 1) 4;-3,5; 2) 1; -^;3) 2; |;4) -3±ч/15;5) 3; 6: 6) ^ . 664. 1) 3; 9; 2) 2 ± Vl4 , корней нет. 665. 7. 666. 38 см. 6 2 667. 6 и 14 или -14 и -6. 668. 10; 11. 669. 13; 14. 670. 1) VS; \ 2) -1; V6; 3) 6; -|; 4) -1; . 671. 1) ->/2; -2^2; 2) 2; >/3; 3) 1; |. 672. -20; 4. 3 22 о 673. 1; - — . 674. 8 см. 675. 6 см или 12 см. 676. 16 см, 30 см. 677. 9 см, 40 см. 3 246 678. 9; 11; 13. 679. 4; 6; 8; 10. 681. 16 обезьян или 48 обезьян. 682. 9 команд. 683. 15 сторон. 684. 1) -8; -7; 0; 1; 2) -1; 1; 0,6; -0,6; 3) -3 + л/Й; 4) -2; 2; 5) 3; 5; -3; -5; 6) 2; -2. 685. 1) -12; 2; -2; -8; 2) 3; 3) 15; -7 ± л/Й; 4) 9; -9. 686. 1) -10; 2) 3. 687. 1) -; 2) 3. 688. \) Ь = -2; 2) Ь = -12 или 6 = 12. 6 689. \) Ь = 13,5; 2) 6 = -8 или 6 = 8. 693. 1) х = -2а - 1 или х = -а\ 2) х=2а 25 1 или X = 4; 3) если а Ф 0, то х = — или х = —; если <2 = 0, то корней нет; а а 4) если а =]- , то х = ^; если а , то X = -^ или х = —- . 694. 1) х = = 3(2-5 или X = - (2; 2) X = -Ъа или х = 4; 3) если <2 = 0, то х = 1; если то X = 1 или X = — . 695. 1)6 = 0 или 6 = - ^ ; 2) 6 = -5 или 6 = 2>/б или а 7 6 =-2>/б; Ъ) h = 19. 696. 1) 6 = 0 или 6 = -0,5 или 6 = 0,5; 2) 6 = -3 или 6 = -5. 697. 698. 9. 699. 4, л/Г7, 3^2. 700. 45 т, 75 т. 701. 14 листов. 715.х,= 10, а ^ q = -20. 716. Xg = -6, р = -1. 717. Xg = 2, 6 = 14. 718. Xg = 1,6, ттг = -1,28. 719. -20,5. 720. -7. 725. Xj = 1, Х2 = 9, с = 9. 726. Xj = -14, Xg = -6, й = 84. 727. Xj = 9, Xg = -2, m = -18. 728. x^ = 1, X2 = -5, n = -5. 731. 1) 1,5; 2) 69. Указание, xf + X2^ = (Xj + X2)^ - 2XjX2; 3) 57; 4) 567. 732. 1) 80; 2) -||; 3) л/89. Указание. \x^ - xJ = ^{x^ - . 733. x^ + 12x + 17 = 0. 734. x^ - 18r + + 49 = 0. 735. 6x2 - 14x + 3 = 0. 735. ^2 - 15x + 8 = 0. 737. й = 2 или й = -2. 738. й = 6 или й = -6. 740. 1) 7; -7; 5; -5; 2) -11; 11; -1; 1; -4; 4. 741. 1) -9; 9; -6; 6; 2) -17; 17; -7; 7; -3; 3. 742. 6 = с = 0 или 6 = 1, с = -2. 743. 1) й = 2; 2) такого значения а не существует. 744. а = 2. 746. 4 ряда по 1Q *7Л О 10 СУ/ 1 \ 2а 3 6 3 Q\ с "Ь 1 /7z2 "Ь Т72 "Ь 1 12 деревьев. 748. 18 %. 757. 1) ——2) 3) 4) (2-6 26-1 с - 2 m +10 2) -2; 3) 760. 1) -4; 2) -14. 761. 1) 1; 2) 3) -1; 4) 4. 765. 1) (х-^)(х- 5^); 2) (й + 96)(й - 46); 3) (Зт + й)(т - Зй); 4) (4х-^)(х- ^). 766. 1) (й - 4б)(й - 106); 2) (36 - 2с)(4б + Зс). 767. 1) Если й = 3, то х - любое число; если й = -2, то корней нет; если а Ф Ъ vl а Ф -2, то х = ^ ^ ; а + 2 2) если й = 7, то X — любое число; если й = 1, то корней нет; если а Ф 1 и й 1, то X = ^ . 768. Если й = -8, то х — любое число; если й = 1, то 247 корней нет; если п аФ\,то х = . 771. 6,8 %. 773. 1) Корней нет <3-1 ^ 2) -4; 3) 3; 4) ^ — любое действительное число, отличное от -4 и от 5 777. 1) -4; 1; 2) -1; 3) -|; 4) -2; 10; 5) 7; 6) -6; 7) -5; 10; 8) 5; 9) 2; 8; 10) -2 о 9; 11) -3; 2; 12) 4; -0,4. 778. 1) -1; 2) -0,25; 3) 0,5; 6; 4) 8; 5) -3; б) -3; 12 7) -1; |; 8) -3; 13. 783. 1) 6; 2) 5; 3) 7; 4) 6. 784. 1) 10; 2) -7. 785. 1) 3 ± л/Т8 2) -23; 1; 3) -27; -1; 4) 3. 786. 1) 4; 9; 2) 5. 787. 1) -1; 18; 2) -98; 2; 3) -1,5 4) -2; 5) -3; 4; 6) -3; 7) 2; 8) 9; 9) 1; 10) 9. 788. 1) -60; 50; 2) -3; 3) -9; 24 4) 2; 5) -20; 2; 6) 15. 789. 1) -|; 14; 2) -56; 60. 790. 1) -15; 12; 2) -20; 2. 3 791. 1) -5; 2) корней нет; 3) 3^; 4) 1. 792. 1) -15; 1; 2) 1,5. 793. 1) S\ 73; 3 -3; 3; 2) -6; -4; -1; 1; 3) 0; 3; 4) -1; -3; 1. 794. 1) ; 1; 2) 0,5. 795. 1) -1; 7; 3 2; 4; 2) -6; -2; -4 ± >/20; 3) -2; 1; 4) -|; 10. 796. 1) Если я = 1, то х = 7; 3 если <я = 7, то X = 1; если аФ\\\аф1,тох= \ или х = 7; 2) если а Ф \ 2 W а ф1 , то X = а\ если <з = 1 или <2 = 7, то корней нет; 3) если аФ2 и ^ ^ ^» 2 то X = 3<2 или X = 2; если а = 2 или а = -, то х = 2; 4) если <з = 0, то х — лю- 3 бое число, отличное от -3; если а = -3, то корней нет; если а Ф 0 и а Ф -3, то х = а. 797. а = 2>/5, или а = -2>/5, или <2 = 6. 802. 75 км/ч. 803. 50 км/ч, 60 км/ч. 804. 80 км/ч, 60 км/ч. 805. 80 км/ч. 806. 12 км/ч. 807. 9 страниц. 808. 30 м^, 25 м^. 809. 6 дней. 810. 31 км/ч. 811. 10 км/ч. 812. 3 км/ч. 813. 2 км/ч или 2,25 км/ч. 814. 60 км/ч, 40 км/ч. 815. 60 км/ч. 816. 60 км/ч. 817. 8 км/ч. 818. 32 км/ч. 819. -7. 820. . 821. 45 дней, 4 12 36 дней. 822. 15 ч, 10 ч. 823. 21 ч, 24 ч. 824. 80 г. 825. 30 кг. 826. 3 км/ч. 827. 5 ч. 828. 4 ч, 6 ч, 12 ч. 829. 80 км/ч. 830. 24 детали. 831. 12 ч. 833. 6. 848.3) |. 854. 4) 1.2, 3.857.^ ность левой и правой частей данного равенства. 911 5; -1; 1; 2) -10; 10; -22; 22. 935. <2= 1. 936. а = 3. . 858. Указание. Рассмотрите раз- . 934. 1) -5; 248 Ответы к заданиям «Проверьте себя» в тестовой Форме Задание № 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Б В А А Г А В Г В Г Б В Задание № 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Б Г Б Г А А В Б В Б В А Задание № 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 В Г В Б В А Б Б Г А А Г Задание № 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 В Б Б В В А В Г В В А Б Задание № 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 В Г г В А Б А Б А Г Б А 249 Задание № 6 1 2 3 4 5 6 ' » W ■ 7 8 9 10 11 12 г В А Б А В А В А Г Б В 250 Алфавитно-предметный указатель Вершина параболы 90 Ветви гиперболы 77 — параболы 90 Внесение множителя под знак корня 133 Вынесение множителя из-под знака корня 133 Выражения дробные 5 — рациональные 5 Гипербола 77 Графический метод решения уравнений 79 Дискриминант квадратного трёхчлена 180 ---уравнения 162 Допустимые значения переменных 6 Дробь бесконечная непериодическая десятичная 118 ---периодическая десятичная 117 — рациональная 6 Знак квадратного корня 95 Извлечение квадратного корня 95 Корень квадратного трёхчлена 180 — квадратный 94 ---арифметический 95 Метод замены переменной 186 Множество действительных чисел 119 — натуральных чисел 116 — рациональных чисел 116 — целых чисел 116 Обратная пропорциональность 75 Общая мера 125 Общий знаменатель 24 Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби 135 Основное свойство рациональной дроби 11 Парабола 90 Период дроби 117 Подкоренное выражение 95 Подмножество 109 Порядок числа 61 Радикал 95 Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители 180 Свойства арифметического квадратного корня 126 — степени с целым показателем 67 Соизмеримые отрезки 125 Сокращение дроби 11 Стандартный вид числа 61 Степень с нулевым показателем 60 ---целым отрицательным показателем 60 Теорема Виета 171 — обратная теореме Виета 172 Тождественно равные выражения 10 Тождество 10 Трёхчлен квадратный 180 Уравнение биквадратное 186 — квадратное 156 неполное 156 251 --приведённое 156 — линейное 155 — первой степени 155 — рациональное 52 — третьей степени 194 — четвёртой степени 194 Уравнения равносильные 51 Формула корней квадратного уравнения 163 Числа действительные 119 — иррациональные 118 — натуральные 116 — рациональные 116 — целые 116 Оглавление От авторов.................................................. 3 Глава 1. Раииональные выражения § 1. Рациональные дроби................................ 5 § 2. Основное свойство рациональной дроби............. 10 § 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями........................... 19 § 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями............................... 24 Задание № 1 «Проверьте себя^ в тестовой форме ........ 33 § 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень .............. 35 § 6. Тождественные преобразования рациональных выражений............................................. 41 Задание № 2 «Проверьте себя» в тестовой форме ........ 49 § 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения... 51 § 8. Степень с целым отрицательным показателем........ 59 § 9. Свойства степени с целым показателем............. 67 k § 10. Функция У ~ ~ и её график....................... 75 Задание № 3 «Проверьте себя» в тестовой форме ........ 85 Итоги главы 1 ........................................ 86 Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа § 11. Функция ^ и её график........................... 89 § 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень ... 94 Растут ли в огороде радикалы? .........................104 § 13. Множество и его элементы .......................105 § 14, Подмножество. Операции над множествами ..........109 § 15. Числовые множества ..............................116 Открытие иррациональности.............................124 § 16, Свойства арифметического квадратного корня.......126 § 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни.............133 § 18. Функция у = у[х и её график ....................144 Задание № 4 «Проверьте себя» в тестовой форме ........151 Итоги главы 2 .........................................152 253 Глава 3. Квадратные уравнения § 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений..................................155 § 20. Формула корней квадратного уравнения............162 § 21. Теорема Виета ..................................170 Задание № 5 «Проверьте себя» в тестовой форме ...........179 § 22. Квадратный трёхчлен.............................180 § 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям ...........................................186 Решение уравнений методом замены переменной...........191 Секретное оружие Сципиона делъ Ферро..................194 § 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций..............................195 Задание № 6 «Проверьте себя» в тестовой форме ...........202 Итоги главы 3 ........................................204 Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса . . ., .206 Сведения из курса алгебры 7 класса ................. 219 Проектная работа ................................... 233 Дружим с компьютером................................ 237 Ответы и указания к упражнениям .................... 243 Ответы к заданиям «Проверьте себя» в тестовой форме .. ... 249 Алфавитно-предметный указатель ..................... 251 Учебное издание Мерзляк Аркадий Григорьевич Полонский Виталий Борисович Якир Михаил Семёнович Алгебра 8 класс Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений Редактор Н.В. Самсонова Художественный редактор Е.В. Чайко Макет, внешнее оформление Е.В. Чайко Компьютерная вёрстка О.В. Поповой Технический редактор £■.Л. Урвачева Корректоры О.Ч. Кохановская, А.С. Цибулина Подписано в печать 26.04.13. Формат 70x90/16 Гарнитура NewBaskervilleC. Печать офсетная Бумага офсетная № 1. Печ. л. 16,0 Тираж 2000 экз. Заказ №892. ООО Издательский центр «Вентана-Граф» 127422, Москва, ул. Тимирязевская, д. 1, стр. 3 Тел./факс: (495) 611-15-74, 611-21-56 E-mail: [email protected], https://www.vgf.ru Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного оригинал-макета в ОАО «Издательско-полиграфическое предприятие „Правда Севера"» 163002, г. Архангельск, просп. Новгородский, 32 E-mail: [email protected], https://www.ippps.ru