Учебник Алгебра 8 класс Колягин Ткачёва

____э______ ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФГОС Алгебра xV '. - Учебник ДЛЯ общеЬбразрва'реЛьных организаций \ Рекомендовано ' \ Министерством образования и науки Российской Федерации Москва ♦Просвещение* 2013 УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 А45 Авторы: Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/589 от 14.10.2011) и Российской академии образования (№ 01-5/7д-340 от 17.10.2011) Алгебра. 8 класс: учеб, для общеобразоват. организа-А45 ций / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин]. — М. : Просвещение, 2013. — 336 с. : ил. — ISBN 978-5-09-028135-5. Данный учебник является второй частью комплекта учебников алгебры для 7—9 классов, отвечающих всем требованиям Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования. Изложение учебного материала ведётся на доступном уровне с учётом деятельностного подхода. Основными содержательными линиями курса являются: числовая, уравнений, неравенств, функциональная, алгебраических преобразований, стохастическая, логических высказываний, мировоззренческая. Учебник содержит материал, изложенный в форме занимательных диалогов, развивающий метгшредметные умения и личностные качества учащихся. УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 ISBN 978-5-09-028135-5 Издательство «Просвещение», 2012 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2012 Все права защищены Уважаемые восьмиклассники! в этом учебном году вы продолжите изучать алгебру по учебникам, созданным нашим авторским коллективом. Этот учебник имеет ту же структуру и те же рубрики, что и учебник 7 класса. Поэтому правила работы с учебником остаются прежними. Напомним основные из них. После изучения текста параграфа отвечайте на Устные вопросы: находите ответы на них в тексте, учите определения новых понятий, теоремы, алгоритмы. С помощью Вводных упражнений повторяйте ранее изученное, чтобы было легче усваивать новый материал и выполнять основные упражнения по теме. Читайте Диалоги об истории, чтобы расширить свой кругозор и понять, откуда и почему появилось в алгебре то или иное понятие, в какие века люди уже знали то, что вам только ещё предстоит узнать. Обращайте внимание на Диалоги о важном. В них вы найдёте ответы на часто задаваемые вопросы, узнаете каким образом изученные понятия применяются в других областях знаний и на практике. В разделах Это интересно вы найдёте любопытные сведения о происхождении и использовании полученных знаний. Изучайте материалы разделов Шаг вперёд — с их помощью вы сможете углубить и расширить свои знания по теме. Если в тексте учебника вы встретите забытый термин, то в Предметном указателе в конце учебника посмотрите номер страницы, на которой можно найти его определение. После изучения каждой главы проверяйте свои знания и умения с помощью задач рубрики Проверь себя! Эти задания разделены на три уровня сложности, как и основные упражнения учебника: обязательный, продвинутый и сложный. Интересующиеся математикой школьники найдут в конце учебника много непростых заданий в разделе Задачи повышенной сложности. После решения всех задач и упражнений сверяйте свои ответы с ответами, приведёнными в конце учебника. Внутри текста используются следующие обозначения: ►, < — начало и окончание решения задачи: •, О — начало и окончание обоснования утверждения или вывода формулы. Выделение основного материала, например: Вообще при возведении отрицательного числа в чётную степень получается положительное число. При возведении отрицательного числа в нечётную степень получается отрицательное число. Материал, который важно знать, например: В Рациональными числами называют числа вида —, где т п лое, п — натуральное число. Определение, например: Число а больше числа Ь, если разность а — Ь положительна. Число а меньше числа Ь, если разность а — Ь отрицательна. це- Порядок действий, алгоритм, например: Для решения неравенства с одним неизвестным, которое сводится к линейному, нужно: 1) перенести члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие неизвестное, в правую (свойство 1); 2) приведя подобные члены, разделить обе части неравенства на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю (свойство 2). Образец действий, например: Доказать, что 5а -1- 2& < О, если а < О и & < 0. Так как 5>0 и а<0, то по свойству 3 имеем, 5а<0. Аналогично 25 <0. По свойству 2 сумма двух отрицательных чисел отрицательна, поэтому 5а + 26 < 0. 17. — обязательные упражнения 43. — дополнительные более сложные упражнения 85.1 — трудные упражнения глявя >fl Неравенства ■ Г;.' Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т. д., обозначающие результаты сравнения однородных величин. Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит ббльшая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра. Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и < начали лишь в XVII—XVIII вв. Например, вместо фразы «число а больше числа Ь» стали писать: а>Ь. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), < (меньше), > (больше или равно), < (меньше или равно), стали называть неравенствами. С числовыми неравенствами вы встречались и в младших классах. Знаете, что неравенства могут быть верными, а могут быть и неверными. Например, ->i — верное числовое неравенство, 2 3 0,23 > 0,235 — неверное числовое неравенство. Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2л;-1-1>5 верное при дг = 3, а при л: =-3 — неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и реше- нию систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения. Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения. В этой главе вы узнаете свойства неравенств, научитесь решать неравенства. Полученные умения вам понадобятся при изучении материала следующей главы, для решения практических задач, а также задач физики и геометрии. □ Пол ржительные и отрицательные числа в прошлом году вы узнали, что алгебра своим рождением обязана арифметике, а под буквами в алгебраических выражениях «скрываются» числа. Поэтому действия с алгебраическими выражениями подчиняются тем же свойствам и правилам, что и арифметические действия с числами. В этом параграфе будет показано применение знакомых вам свойств при сравнении с нулём значений различных выражений. Будут обобщены все полученные вами знания о действиях с положительными и отрицательными рациональными числами. Нужно вспомнить: действия с числами с одинаковыми и разными знаками; правила сравнения обыкновенных дробей; правила сравнения десятичных дробей; изображение чисел точками на числовой оси; действия с многочленами и алгебраическими дробями; решение линейных уравнений с одним неизвестным. Рациональное число может быть положительным, отрицатель- ным или равным нулю. где Положительное рациональное число — это число вида —, 2 8 4 ^ кип — натуральные числа. Например, -, -, - — положительные рациональные числа. 3 5 8 k Отрицательное рациональное число — это число вида , где кип — натуральные числа. Например п — отрицатель- 2 _8 ‘з’ 5’ 8 ные рациональные числа. Отрицательное рациональное число мож- -k но записать в виде —. 2 -2 Например, -- = -у. Глава I. Неравенства о Рациональными числами называют числа вида —, где т — це- п лое, п — натуральное число. Если рациональное число можно представить в виде дроби, у которой знаменатель является натуральной степенью числа 10, то это рациональное число обычно записывают в виде десятичной = -32,4. дроби. Например: 257 -Z2A ---= 0,257; ---- 1000 ’ 10 Положительные числа называют большими нуля, а отрицательные — меньшими нуля. Для того чтобы коротко записать, что число больше или меньше нуля, используют знаки неравенства > (больше) и < (меньше). Так, запись а > 0 означает, что число а больше нуля, т. е. а — положительное число; запись Ь < 0 означает, что число Ь меньше нуля, т. е. Ь — отрицательное число. Например: 25 > о, -21 <0. Числа а и -а — противоположные числа. Если а > 0, то -а< 0; если а<0, то -а>0. Знаки > и < называют противоположными. Так, 5>0 и 7>0 — неравенства одинакового знака, а 3>0 и -2<0 — неравенства противоположных знаков. В дальнейшем будут использоваться следующие свойства чисел: Формулировка с помощью букв Словесная формулировка 1. Если о>0 и й>0, то а + Ь>0, аЬ>0, ^>0. О Сумма, произведение и частное двух положительных чисел — положительные числа. 2. Если а<0 и Ь<0, то а + &<0, аЬ>0, ^>0, h О ->0. а Сумма отрицательных чисел отрицательна, а произведение и частное двух отрицательных чисел положительны. 3. Если а>0 и Ь<0, то аЬ<0, %<0, -<0. Ь а Произведение и частное положительного и отрицательного чисел отрицательны. 4. Если аЬ>0, то или а>0 и Ь>0, или а<0 и Ь<0. Если — >0, то или а>0 и ь Ь>0, или а<0 и &<0. Если произведение или частное двух чисел положительно, то эти числа имеют одинаковые знаки (т. е. оба числа положительны или оба отрицательны). § 1. Положительные и отрицательные числа Продолжение Формулировка с помощью букв Словесная формулировка 5. Если аЬ<0, то или а>0 и Ь<0, или а<0 и Ь>0. Если — < О, то Ь или а>0 и г»<0, или о<0 и 6>0. Если произведение или частное двух чисел отрицательно, то эти числа имеют разные знаки (т. е. одно из них положительно, а другое отрицательно). 6. Если аЬ = 0, то или а = 0, Ь*0, или а*О, Ь = 0, или а = 0, Ь = 0. Если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из этих чисел равно нулю. 7. Если ^ = 0, то О а = 0, b^Q. Если дробь равна нулю, то её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. На числовой оси положительные числа изображаются точками, лежащими правее точки 0, а отрицательные числа — точками, лежащими левее точки 0 (рис. 1). Для краткости вместо слов «точка, изображающая число а* говорят —i—•—•—i—h просто «точка а*. Например, можно -2 0 сказать, что точка 3 лежит правее точки 0; точка -2 лежит левее точки 0. -•—м 3 Рис. Задача 1. Доказать, что если а<0, то а^>0 и а®<0. ► По условию а < 0. Так как = а • а, а произведение двух отрицательных чисел положительно, то а^>0. По свойству степени а® = • а, т. е. а® является произведением положительно- го числа и отрицательного числа а, поэтому а® < 0. <] Вообще при возведении отрицательного числа в чётную степень получается положительное число. При возведении отрицательного числа в нечётную степень получается отрицательное число. Например, (-2,8)® >0, (-1,2)® <0. Задача 2. Решить уравнение (2jc-i-1)(Здг-9) = 0. ► Данное произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. т. е. если 2х + 1 = 0 или Зд:-9 = 0. Ре- 8 Глава I. Неравенства шая уравнение 2л: + 1 = О, находим х = Зл:-9 = 0, находим х = 3. Ответ. = Х2 = 3. <] —; решая уравнение 2 Задача 3. Решить уравнение + 5х х‘^+25 = 0. ► Данная дробь равна нулю, если + 5х = О, а х^ + 25 ^ 0. Уравнение х^ + 5х = 0 можно записать так: х(л:-1-5) = 0. Это уравнение имеет корни Xi = 0, Х2 = -б. При х = 0 и х = -5 знаменатель х^ + 25 не равен нулю. Ответ. Xi = 0, Х2 = -5. <] Задача 4. Решить уравнение -25 X + 5 = 0. ► Данная дробь равна нулю, если х^-25 = 0, а х + 5^0. Уравнение х^-25 = 0 можно записать в виде (х-5)(х + 5) = 0, откуда Xj = 5, Х2 = -5. При х = 5 знаменатель х-1-5 5^0, а при х = -5 знаменатель х + 5 = 0. Следовательно, х = -5 не является корнем исходного уравнения. Ответ. х = 5. <] Устные вопросы и задания 1. Какие числа называют рациональными? 2. В каком виде можно записать отрицательное рациональное число? 3. Что означает запись: ft > 0; р < 0? 4. Привести пример неравенства одинакового знака; противоположных знаков. 5. Какими свойствами обладает сумма; произведение; частное рациональных чисел? 6. В каком случае произведение двух чисел равно нулю? 7. В каком случае частное двух чисел равно нулю? 8. Положительным или отрицательным числом будет результат возведения отрицательного числа в чётную степень; в нечётную степень? § 1. Положительные и отрицательные числа Вводные упражнения 1. На числовой оси отметить числа 0; -3,5; 4; —. 4 2. Из чисел -3; 4; 0; -4; 15; -11,3; 1,2; -13|; Ц- выбрать: о 2 6 1) натуральные числа; 2) целые числа; 3) положительные числа; 4) отрицательные числа. 3. Для каждого из чисел -1; 5; --; 2-; -if; а\ -i записать число: 5 7 3 Ъ 1) противоположное данному; 2) обратное данному. 4. С помощью знака неравенства записать результат сравнения С О с нулём числа -0,3; 5^; -3,1. 5. Вычислить: 1) -6,8+ (-2,2); 2) -4,3-1,7; 3) -7,2 : 0,9; 4) -35 • (-0,1). Упражнения | Вычислить устно (1—4). 1.1) 1,2-6; 2) |-(-2); 3) Ц 2. 1) 0,2-6-5; 4) 5 • (-0,2) - (-4); 3. 1) 36 : 3; 4) (-0,4): 8; 4. 1) 2 -(-15):3; 4) (-6) • (-12): (-8); 2) (-2) - 4 - 5; 5) (-6) • 0,4 • (-5); 2) (-36): 2; 5) (-80): (-16); 2) (-0,4) • (-5): 2; 5) (-45): 3 • (-2); 3) 4) (-3) 5. Найти числовое значение выражения: 1) при а = —1, Ь = -3, с = 2; 2) аЬ^с^ при а = -2, Ь = -1, с = -3; 3) 0,2 • (-5) • 6; 6) (-6) • (-4) • (-3). 3) 655 : (-5); 6) (-0,9): (-0,3). 3) 6 • (-8): (-12); 6) (-55):(-11) -(-3). при а = -2, & = -3, с = -1; 4) при а = 8, Ь = -1, с = -2. 10 Глава I. Неравенства 6. Используя знак > или <, записать утверждение: 1) -11,7 — отрицательное число; 2) 98,3 — положительное число; 3) X — отрицательное число; 4) у — положительное число. 7. Пусть а > О, & > 0. Доказать, что: 1) 2а(а + 36)>0; 2) (а + 6)(2а + &)>0. ^ Доказать, что Ъа + 2Ь< 0, если а < 0 и 6 < 0. Так как 5 > 0 и а < 0, то по свойству 3 имеем, 5а < 0. Анало-• гично 2Ь < 0. По свойству 2 сумма двух отрицательных чисел отрицательна, поэтому 5а + 2& < 0. 8. Пусть а < о, Ь < 0. Доказать, что: 1) За + 4&<0; 2) 2а(а + 6)>0. 9. Пусть а > о, & < 0. Доказать, что: 1) а-Ь>0; 2) &-а<0; 3) а^Ь + 6® < 0; 4) аЬ® + а^Ь < 0. 10. Не вычисляя, выяснить, положительно или отрицательно значение выражения: 1) (-17) • (-1,281)2; 2) (-2,23)2. (_о,54)2; 3) (-0,37)2-(-(-2,7)2; 4) (_з,21)2 - (-45,4)2. 11. Доказать, что при любом а значение выражения положительно: 1) 2- а^ + 1 2) а2 -f 1-а2. 1 + а2’ 3) (За -I- 2)2 - 6а(а -I- 2); 4) (2а - 3)2 - За(а - 4). 12. Доказать, что при любом а значение выражения отрицательно: 1) (-1,5)2-а2; 2) (-7)2-(1-а)^ 3) 2а(4а-3)-(За-1)2; 4) За (а+ 4)-(2а+ 3)2. 13. Пусть а < о, 6 > 0. Выяснить, положительно или отрицательно значение выражения: 1) а^Ь*-, 2) 3) (2а-5)(26-а); 4) § 1. Положительные и отрицательные числа 11 14. Выяснить, положительно или отрицательно число а, если; 1) -а<0; 2) -а > 0; 3) > 0; 4) а*а^ < 0; 5) 4>о; 6) а* п ^<0. о® Пусть а < 0. Выяснить, положительно ло Ь, если: 1) аЬ > 0; 2) аЪ < 0; 3) ^<0; О 4) ->0; а 5) аЬ = -1; 6) d о Решить уравнение (16—24). 16. 1) х(л: + 1) = 0; 2) х(х -2) = 0; 3) (х-2)(х + 3) = 0; 4) (х + 4)(х + 5) = 0. 17. 1) (Зх- 1)(х + 5) = 0; 2) (2х + 3)(х + 1) = 0; 3) (1 + 2х)(Зх- 2) = 0; 4) (5х -3)(2 + 3х) = 0. 18. 1) х" + х = 0; 2) х2-х = 0; 3) 5х-х2 = 0; 4) Зх2 + 4х = 0. 19. 1) х2-9 = 0; 2) 16-х" = 0; 3) 25-4x2 = 0; 4) 49x2-16 = 0. 20. 1) ^ = 0; 2) ^ = 0; 3) 4) ^ - 0. х-2 х + 2 Зх +1 2х - 5 21. 1) ^^ = 0; 1 2) ^^ = 0; 3) ^'-^^^-0; 4) х-2 х-1 X X 22. 1) + = 0; х + 1 04 X - ; ^ = 0; 3) -1)(х-2) . х + 3 (£1+3)(2£_4) ^ Q. 5) х + 2 gj х-г Х-\ - Х — \ Х^ + X + 1 23. 1) х + 2 = 0; 2) х^-49 х-1 = 0; 3) х-5 х+3 24.11) 3) X _ х-2 х-5 X-6 1 2 х-1 -1 = 0; = 0; 2) ^ + Ч^-^=0; х-2 х+3 4) 1 1 х-3 (х-2)(х-3) = 0. 12 Глава I. Неравенства 125.1 Доказать, что: 1 1 1) 3) л + 2 + 3 2 >0, если а>0; 2) ^ <0, если а >0; 4) ^ а - 2 а -1 3 + 2 л + X 26. Вычислить {п — натуральное число): (_1)2»^.(_1)2п^1 ’ (357 - 2,4)® + 1>0, если а>0; >0, если 0 5^-1. 1 - а 3 - 2а >0, если а<0; < о, если а<0. 1) (_1)6л _(_1)2« + 3 (_1)4п + 1 +(_1)6«-1 127.1 Доказать, что: 1) а-1 . 1 а + 1 ’ а* + 2а + 1 2) За^ + 4а + 1 а — (а + 1)^ а + Я Знаки неравенств Профессор, расскажите, пожалуйста, как и почему появились знаки неравенств. Охотно расскажу. В древности неравенства, как и равен-ства, описывались словесно, без использования привычных для нас символов и обозначений. Я уже говорил вам, что знак = изобрёл в середине XVI в. Роберт Рекорд (1510— 1587). Знаки > и < первым стал использовать в начале XVII в. английский учёный Томас Гарриот (1560—1621). Любопытен следующий факт. Хотя знаки неравенств были придуманы на полвека позже, чем знак равенства, в математическую литературу они вошли раньше. Произошло это в основном потому, что европейские типографии тех лет для напечатания знака неравенства могли использовать уже имеющиеся литеры с латинской буквой V, поворачивая её в нужную сторону. Литеры — это маленькие брусочки с выпуклыми зеркально отображёнными буквами? Да, эти брусочки делали из металла или дерева. Для , печати их рельефную часть — букву покрывали типографской краской и делали оттиск на бумаге. А само слово литера произошло от латинского littera — буква. § 1. Положительные и отрицательные числа 13 Чишовые неравенства Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. А в этом параграфе вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности. Нужно вспомнить: ■ правила сравнения обыкновенных дробей; ■ правила сравнения десятичных дробей; ■ понятие противоположного числа; ■ свойства действий с рациональными числами; ■ формулы сокращённого умножения; ■ действия с многочленами и алгебраическими дробями. Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства. А Q Сравним, например, числа — и —. Для этого найдём их разность: 5 4 4 5 3 4 16-15 20 J_ 20' /I Q 1 А Следовательно, - = — н--, т.е. - 5 4 20 5 получается прибавлением к числу — положительного числа -i-. Это 4 4 3 означает, что число — больше — 5 4 1 4Д на —. Таким образом, - > -, так 20 5 4 как их разность положительна. В Определение. Число а больше числа ft, если разность а-Ь положительна. Число а меньше числа Ь, если разность а-Ь отрицательна. 14 Глава I. Неравенства Если а больше ft, то пишут: а>Ь\ если а меньше ft, то пишут: а<Ъ. О Таким образом, неравенство а > ft означает, что разность а - ft положительна, т. е. а —ft>0. Неравенство а<Ь означает, что а - ft < 0. Задача 1. Доказать, что если а>Ъ, то Ь<а. ^ Неравенство а > ft означает, что а — Ъ — положительное число. Тогда Ь-а = -(а-Ь) — отрицательное число, т. е. Ь<а. О Для любых двух чисел а и ft из следующих трёх соотношений а>Ь, а = Ь, а<Ь только одно является верным. Например, для чисел -5 и -3 неравенство -5 < -3 является верным, а соотношения -5 = -3 и -5>-3 не являются верными. Сравнить числа а и ft — значит выяснить, какой из знаков >, = или < нужно поставить между этими числами, чтобы получить верное соотношение. Это можно сделать, определив знак разности а-ft. Задача 2. Сравнить числа 0,79 и -. ^ О ► Найдём их разность: 0,79-- =0,79-0,8 = -0,01. Так как 0,79-^<0, то 0,79<|. < 5 5 5 Геометрически неравенство а>Ь означает, что на числовой оси точка а лежит правее точки ft (рис. 2). 2,3 I ♦ ■ Рис. 2 4,4 4 5 Рис. 3 Например, точка - лежит правее точки 0,79, так как 4 >0,79; 5 5 точка 2,3 лежит левее точки 4,4, так как 2,3 <4,4 (рис. 3). Задача 3. Доказать, что > 2аЬ, если а^Ь. ► Докажем, что разность а^ + Ь^ - 2аЬ положительна. В самом деле, a^-t-ft^-2aft = (a-ft)^>0, так как a^ft. <3 Задача 4. Доказать, что а •+• i > 2, если а>0 и а^1. § 2. Числовые неравенства 15 ► Докажем, что разность а + --2 положительна. Действитель- а но, а + — - 2 = ° +1-2а_(а-1) а>0 и аф\. <] Задача 5. Доказать, что — < ” ^, если — — правильная дробь. m то +1 то ► Напомним, что дробь — называется правильной, если п<т то л +1 (п и т — натуральные числа). Разность - , ,,,,,, тото + 1 л(то + 1) - то(л + 1) л-то „ = —^^=----------------- меньше нуля, так как п- т<0, то(то + 1) то(то + 1) m > О, m + 1 > 0. Следовательно, — < <] то то +1 Устные вопросы и задания | 1. Привести пример сравнения числовых значений величин в практической деятельности человека. 2. В каком случае говорят, что: 1) число а больше числа Ь; 2) число а меньше числа ft? 3. Что означает неравенство т>п; т<п7 4. Что значит сравнить числа а и Ь? 5. Как на числовой оси изображаются числа р, q, если р<д; p>q7 6. Пояснить, почему а^-2а + 1>0 при а^1. Вводные упражнения 1. (Устно.) Сравнить числа: 2) - и ^ 3 5 3) - и ’ 7 8 4) 0,351 и 0,3501; 5) if и -if; 6) -5,409 и -5,709. 2. Какое из данных чисел расположено на числовой оси левее: 1) 1,25 или 1,26; 2) -3,78 или -3,08? 3. Объяснить, почему о^-(1-f 2а^)<0 при любом а. Упражнения 28. Используя определение числового неравенства, сравнить числа: 1) 0,3 и i; э 2) I и 0,3; 3) ^ и 0,35; 40 4) -| и -0,7. 16 Глава I. Неравенства 29. Сравнить числа а и Ь, если: 1) Ь-а = -1,3; 2) Ь-а = 0,01; 3) а-Ь = (-5У; 4) а-Ь = -Ъ\ 30. Доказать, что при любых значениях а верно неравенство: 1) > (а + 1)(а - 1); 2) (а + 2)(а + 4) > (а + 1)(а + 5). 31. Сравнить значения выражения (1 + af + ■ + - 1) при а = 235 и а = 785; 2) при а = -0,8 и а = -~. 6 32. Доказать, что при любых значениях а верно неравенство: 1) < (а + 1)(а^ - а + 1); 2) (а + 7)(а + 1) < (а + 2)(а + 6); 3) 1 + (За + 1)2>(1 + 2а)(1 + 4а); 4) (За - 2)(а + 2) < (1 + 2а)^ 33. Доказать, что при любых значениях а и 6 верно неравенство: 1) а(а + &)>аЬ-2; 2) 2ab-lab-3; 4) ЗаЬ-2<о(36 + а). 34. Два мальчика купили одинаковое число марок. Первый выбрал все марки по 50 р. Второй половину марок купил по 30 р., а остальные — по 60 р. Какой мальчик истратил денег больше? |35.| Доказать, что если а, Ь, с — положительные числа и а > Ь, то: 1) о + с о 2) а + с а |36.|Доказать, что если а>0, Ь>0 и а^Ь, то выполняется неравенство а* + Ь*> а^Ь + аЬ^. 137.[Доказать, что если а>-1 и а^1, то а®-I-1 >-I-а. Основные свойства числовых неравенств в предыдущем параграфе вы узнали, что для сравнения чисел а и & нужно определить знак разности этих чисел. А если уже известно, что а>Ь, обязательно ли для сравнения, например, чисел а-1-с и 6-1-с сравнивать с нулём их разность? Может быть, лучше доказать некоторые свойства неравенств и в дальнейшем ссылаться на них? Так и поступают в математике. В этом параграфе рассматриваются свойства числовых неравенств, которые обычно называют основными, так как они часто используются при доказательстве других свойств неравенств и при решении многих задач. § 3. Основные свойства числовых неравенств 17 Нужно вспомнить: ■ свойства числовых равенств; ■ свойства действий с числами с одинаковыми и разными знаками; ■ понятие числового неравенства. Основные свойства числовых неравенств сформулируем в виде теорем и следствий из них. ТЕОРЕМА 1 Если а>Ь и Ь>с, то а>с. • По условию а>Ъ и Ь>с. Это означает, что а-6>0 и Ь-оО. Складывая положительные числа а-Ь и Ь — с, получаем (а-Ь) + (Ь-с)>0, т. е. а-оО. Следовательно, а>с. О Геометрически теорема 1 означает, что если на числовой оси точка о лежит правее точки Ь и точка Ь лежит правее точки с, то точка а лежит правее точки с (рис. 4). Ь а Рис. 4 ТЕОРЕМА 2 Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. • Пусть а>Ь. Требуется доказать, что а + оЬ + с для любого числа с. Рассмотрим разность (a + c)-(b + c) = a + c-b-c = a-b. Эта разность положительна, так как по условию а>Ь. Следовательно, а + оЬ + с. О С л © д с т в и © Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный. • Пусть а>Ь + с. Прибавляя к обеим частям этого неравенства число -с, получаем а-оЬ + с-с, т. е. а-оЬ. О 18 Глава I. Неравенства ТЕОРЕМА 3 Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак нергшенства изменится на противоположный. • 1) Пусть а>Ь и с>0. Докажем, что аоЬс. По условию а-6>0 и оО. Поэтому (а-&)с>0, т. е. ас-ЬоО. Следовательно, аоЬс. 2) Пусть а>Ь и с<0. Докажем, что ас<Ьс. По условию а-Ь>0 и с<0. Поэтому {а-Ь)с <0, т. е. ас-Ьс<0. Следовательно, ас<Ьс. О Например, умножая обе части неравенства - < 0,21 на 3, по- 3 ^1 лучаем - < 0,63, а умножая обе части неравенства - < 0,21 на -4, получаем -|^>-0,84. ^ 1 Заметим, что если сфО, то числа с и - имеют один и тот же с 1 знак. Так как деление на с можно заменить умножением на -, то из теоремы 3 вытекает следующее утверждение: Следствие Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Например, разделив обе части неравенства 0,99 <1 на 3, получим 0,33 < ^, а разделив обе части неравенства 0,99 < 1 на -9, по- О лучим -0,11 >-i. Задача 1. Доказать, что если а>Ь, то -а<-Ь. ► Умножая обе части неравенства а>Ъ на отрицательное число -1, получаем -а<-Ъ. Например, из неравенства 1,9 <2,01 следует неравенство -1,9 > О О >-2,01; из неравенства 0,63 >- следует неравенство -0,63 <--. 5 5 Задача 2. Доказать, что — <-, если а>0, fe>0 и а>Ь. а Ь § 3. Основные свойства числовых неравенств 19 ► Разделив обе части неравенства Ь<а на положительное число аЬ, получаем: <] а Ь Отметим, что все свойства неравенств, рассмотренные в этом параграфе, доказаны для неравенства со знаком > (больше). Точно так же они доказываются и для неравенств со знаком < (меньше). Устные вопросы и задания I 1. Как с помощью точек числовой оси можно проиллюстрировать теорему 1? 2. Сравнить числа кит, если к < п и п < т. 3. Сформулировать теорему 2 и привести пример её использования. 4. Известно, что х>у. Изменится ли знак неравенства, если к обеим частям этого неравенства прибавить число -10? 5. Сформулировать следствие из теоремы 2. Привести пример его применения. 6. Изменится ли знак неравенства Ь<с, если обе его части: 1) умножить на 0,05; 2) умножить на -17,5; 3) разделить на -1; Вводные упражнения 4) разделить на А 1. Сравнить числа: 1) -1 и 0,7; 2) 1,9 и -0,9; 4) -3,45 и -3,46; 5) l| и l|; 2. Упростить: 1) (а - 2)^ - (а - 1)(а + 3); 3) -8,7 и -8,6; 6) I и I. 8 9 2) {b + 4)(b-2)-ib-lf. 3. К обеим частям уравнения 2х - 3 = 5 прибавить число: -3; 5; 3; -5. 4. Обе части уравнения ^х = 4 умножить на число: 3; -3; i. О ш 7 5. Выяснить, положительным или отрицательным является число а, если: 1) а + 1<0; 2) а-1>0. 6. Сравнить с нулём число а, если: 1) 1,5а>0; 2) 4,5а <0; 3)-7а>0; 4) -0,1а <0. 7. Выяснить, положительным или отрицательным является значение выражения: 1) а-5, если а>5; а<5; 2) 6-1-3, если Ь>-3; Ь<-3; 3) (а - 5)(6-и 3), если а >5, Ь>-3; а <5, Ь<-3. 20 Глава I. Неравенства Упражнения | 38. Доказать, что: 1) если а-2<Ь и Ь<0, то а-2 — отрицательное число; 2) если а^-5>а и а>1, то а^-5>1. 39. Выяснить, положительным или отрицательным является число а, если: 1)а>6и&>1; 2)а<&и Ь<-2; 3) а-1<Ь и 6<-1; 4) а + 1>Ь и 6>1. 40. Записать неравенство, которое получится, если к обеим частям неравенства -2 <4 прибавить число: 1) 5; 2) -7. 41. Записать неравенство, которое получится, если к обеим частям неравенства 2а + ЗЬ>а-2Ь прибавить число: 1) 26; 2) -а. 42. Записать неравенство, которое получится, если из обеих частей неравенства 3>1 вычесть число: 1) 1; 2) -5. 43. Записать неравенство, которое получится, если из обеих частей неравенства а-2Ь<За + Ь вычесть число: 1) а; 2) Ь. 44. Пусть а<Ь. Сравнить числа: 1)о-1-л:и6-1-л:; 2)а-5и6-5. 45. Доказать, что: 1) если 4а - 26 > За —6, то а>Ь; 2) если 26 - За < 36 - 4а, то а < 6; 3) если 6(2а-н 1)<а(26 + 1), то а>6; 4) если 6(1 - За) > а(1 - 36), то а <6. 46. Доказать, что: 1) если х(х + 2)<{х-2){х + 3), то д:<-6; 2) если л:(д: + 6) > (л:1)(х + 4), то х>4; 3) если (д:-3)^<х(л:-5), то л: > 9; 4) если х(3 + х)<(х + 2У, то х>-4. Умножить обе части данного неравенства на указанное число (47—48). 47. 1) 3,35 <4,5 на 4; 2) 3,8 >2,4 на 5; 3) |>| на -12; 4) ^<5 на -16. 4 8 § 3. Основные свойства числовых неравенств 21 48. 1) 2а > 1 на 0,5; 3) -4а<-3 на 0,25; 2) 4а <-1 на 0,25; 4) -2а >-4 на -0,5. Разделить обе части данного неравенства на указанное число (49—50). 2) 4,5>-10 на 5; 4) -20 <-12 на -4. 49. 1) -2 < 5 на 2; 3) -25 >-30 на -5; 50. 1) 1,2а <4,8 на 1,2; 3) --х<~- на --; ^34 3 2) 2,3а <-4,6 на 2,3; 4) --л:>- на --. ^43 4 51. Пусть а — положительное число и а<1. Доказать, что: 1) a^ < а; 2) а® < а^. 52. Пусть а <5. Сравнить числа: 1) -4,3а и -4,36; 2) 0,19а и 0,196; 3) f и 5) -2(а + 4) и -2(6 + 4); -I " -1^ 6) |(а-5,2) и |(6-5,2). 53. Доказать, что: 1) если 5а - 26 > 2а+ 6, то а >6; 2) если 4а - 6 < 2а + 6, то а < 6; 3) если 2а + 26 < 6а - 26, то а > 6; 4) если 4а - 56 > 7а - 86, то а < 6. 54. Доказать, что: 1) если (JC - 1)(х + 2) > (х + 1)(х - 2), то х>0; 2) если (х + 1)(х - 8) > (х + 2)(х - 4), то х<0; 3) если (х-3)^<(4 + х)(х-4), то х > ^; 6 4) если (х - 3)(3 + х) > (х + 2)^, то х<-^. 4 55.[Может ли разность а-6 быть: 1) больше суммы а + 6; 2) меньше суммы а + 6; 3) равна сумме а + 6; 4) больше а; 5) больше 6; 6) равна 6? Привести примеры. [56.[Доказать, что: 1) а + —<-2, если а<0 и а^*-1; а 22 Глава I. Неравенства 2) - + ->2, если аЬ>0 и а^Ь; Ь а 3) 4у + ->4, если у>0 и 4) 9х + —<-6, если х<0 и хФ-~. X о |57.| Пусть а>Ь. Доказать, что: 1) -0; а Ь 2) ->f, если аЬ<0. а Ь |58.| Верно ли, что: 1) если а<&, то ^<1; 2) если ^>1, то а>Ь; О о 3) если -<1, то — >1; 4) если а^<1, то а<1; о а 5) если а>Ь, то а^> Ь^; 6) если а<Ь, то аЬ^ < Профессор, упражнение 58 имеет необычную формули-ровку, и я не знаю, как искать ответ на вопрос «Вер-но ли, что...?». В упражнениях, начинающихся со слов «Доказать, что...», уже заложена подсказка — после слова что за-писано верное утверждение. А при вопросе «Верно ли, что...?» нужно либо доказать, что данное утверждение верно, либо показать, что оно неверно. Попробуем решить первое задание из этого упражнения. ► Рассмотрим разность —-1, где а <6, и сравним её с нулём. . ь Итак, — _ 1 = £--. Так как а<Ь, то числитель дроби отрица- Ь Ь телен. Так как знак числа Ь неизвестен, то при разных значе-а-Ъ ниях ЬфО дробь может быть как положительной, так и отрицательной. Поэтому утверждение о том, что — < 1 при а<Ь, Ь неверно (например, при а = -6 и Ь = -2 имеем — = 3>1). Одна- i -Ь ^ ^ ко можно сказать, что -—- < О, т. е. — < 1 при а<Ьи5>0. <| Ь Ь N § 3. Основные свойства числовых неравенств 23 4 Сл1 ение и умножение неравенств Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. В этом параграфе вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений. Нужно вспомнить: ■ свойства действий с рациональными числами; ■ понятия неравенств одного знака и противоположных знаков; ■ что означают неравенства а> Ь и а < Ь; ш основные свойства числовых неравенств; ■ формулы периметра и площади прямоугольника; ■ неравенства треугольника. При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй — более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см^. При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств: ТЕОРЕМА 1 При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а>Ь и od, то a + ob + d. • Рассмотрим разность (а + с) - {Ь + d) = а + с - Ь - d = (а - Ь) + (с - d). По условию а-Ь>0 и c-d>0. Так как сумма положительных чисел положительна, то (a-t-c)-(6 + d)>0, т. е. a + ob + d. О Примеры: 1) , 3>2,5 5>4 8 >6,5 2), 1,2 <1,3 ^ -3<-2 -1,8<-0,7 24 Глава I. Неравенства При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а>Ь, od и а, Ь, с, d — положительные числа, то ас> bd. • Рассмотрим разность ас - bd = ас - Ьс + Ьс - bd = с(а - Ь) + Ь(с - d). По условию а-Ь>0, c — d>0, Ь>0, оО. Поэтому c(a-b) + b(c-d)>0, т. е. ac-bd>0, откуда aobd. О Примеры: 1) ^3,2 >3,1 ^ 3>2 9,6 > 6,2 2) ^1,8<2,1 4<5 7,2 <10,5 Задача 1. Доказать, что если а, Ь — положительные числа и а >Ь, то а^>Ь^. ► Умножая неравенство а>Ь само на себя, получаем а^>Ь^. Аналогично можно доказать, что если а, Ь — положительные числа и а>Ь, то а">Ь" при любом натуральном п. Например, из неравенства 5 > 3 следуют неравенства 5® > 3®, 5^ > 3'^ и т. д. Задача 2. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин больше полупе-риметра этого треугольника. ► Рассмотрим рисунок 5. Пусть х, у, г — расстояния от внутренней точки М до вершин треугольника АВС. Из треугольников АМВ, АМС, ВМС по теореме о сумме длин двух сторон треугольника имеем: в § 4. Сложение и умножение неравенств 25 Устные вопросы и задания | 1. Сформулировать теорему о сложении неравенств одинакового знака; об умножении неравенств одинакового знака. 2. В каком виде следует записать неравенства а > 5 и 3 < 6, чтобы к ним можно было применить теоремы сложения и умножения неравенств? 3. Обосновать, почему а^<Ь^, если известно, что а<Ь, где а и Ь — положительные числа. Вводные упражнения | 1. Не производя вычислений, сравнить с 1 значение суммы: 1) 0,248-1-0,91; 2) 0,32 + 0,84. 2. Выяснить, положительным или отрицательным является число X, если: 1) x-2i/ = 3 и 2x + 2i/ = -l; 2) Зл: + г/ = -2 и -2x-i/ = 4. 3. Умножить обе части равенства: 1) 2а =7 на 2; 2) За = 2 на -2; 3) 4лг - 2 = 5 на —; 2 4) 6-1/ = о на |. Упражнения 59. (Устно.) Верно ли, что: 1) если х>7 и г/>4, то х + у>11; 2) если х>5 и у >8, то ху< 40; 3) если х<-7 и у <7, то x + ii/<0; 4) если х<2 и у <5, то ху<10? 60. Выполнить сложение неравенств: 1) 5>-8 и 8>5; 2) -8<2 и 3<5; 3) Зх +у <2х+1 и Зу-2х<\4-2а\ 4) Зх^ + 2у>4а-2 и Ъу -3х^>3- 4а. 61. Выполнить умножение неравенств: 1) 2|>li и 12 >6; 3 3 3) д:-2>1 и х + 2>4; 2) 6^<9| и 4 <6; 4 3 4) 4<2х+1 и 3<2х-1. 26 Глава I. Неравенства 62. Доказать, что если а > 2 и Ь > 5, то: 1) За + 2Ь > 16; 2) аЬ - 1 > 9; 3) а^ + Ь^> 29; 4) а^ + Ь^> 133; 5) (а + Ь)^ > 35; 6) (а + bf > 340. 63. Стороны треугольника меньше соответственно 73 см, 1 м 15 см и 1 м 11 см. Доказать, что его периметр меньше 3 м. 64. Куплены 4 тетради и 8 блокнотов. Цена тетради меньше 7 р., а блокнота меньше 40 р. Показать, что стоимость всей покупки меньше 350 р. 65. Пусть а <2, Ь>3. Доказать, что: 1) а + 3<Ы-2; 2)а-1<Ь-2; 3) 5-3>а-2; 4) 25>2а + 2. 66. Пусть а >2, Ь>3, о 1. Доказать, что: 1) а-f-5-1-о6; 2) аЬоб; 3) 2а5-f-За5с>30; 4)аЬс + 2ао10; 5) а + аЬ + аЬс^ > 13; 6) а^ + Ь^ +с’‘> 13. 67. Сторона прямоугольника больше 7 см, другая в 3 раза больше её. Доказать, что периметр прямоугольника больше 56 см. 68. Длина прямоугольного участка в 5 раз больше его ширины, а ширина больше 4 м. Доказать, что площадь участка больше 80 м^. 69. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри прямоугольника, до его вершин больше полупериме-тра прямоугольника. |70.| Доказать, что: 1) если х + у>5 и х<2, то у>3; 2) если х-у<-3 и х>4, то у >7; 3) если а-35 <5 и а>-4, то 5>-3; 4) если 2а-1-35>1 и а <2, то 5>-1. 171.[Пусть а>1. Доказать, что: 1) а^>а; 2) а®>а^. |72.|Пусть а<1 и а — положительное число. Доказать, что: 1) а^<а; 2) а®<а^. [73.[Пусть а>Ь и числа а, 5 отрицательные. Доказать, что: 1) а" > 5", если п — нечётное натуральное число; 2) а" < 5", если п — чётное натуральное число. [74.[ Пусть а к Ь — положительные числа и п — натуральное число. Доказать, что если а''>Ь", то а >5. § 4. Сложение и умножение неравенств 27 Приложение свойств неравенств Профессор, в начале параграфа было сказано, что дей-} ствия с неравенствами имеют большое практическое значение. А Вы можете привести такой пример? Пожалуйста. В торговле при перевозке товаров часто ре-шают задачу оптимального использования грузоподъёмности транспорта. К примеру, имея автомобиль грузоподъёмностью 5 т, поставщик товаров решает такую задачу: «Можно ли за один рейс на этой машине перевезти 7 ящиков, масса каждого из которых меньше 300 кг, и ещё 13 ящиков, масса каждого из которых меньше 200 кг?» Я попробую решить эту задачу. Во-первых, массы ^ всех ящиков я выражу в тоннах, чтобы сравнивать их с грузоподъёмностью машины: 300 кг = 0,3 т, 200 кг = 0,2 т. Пусть масса ящика первого вида т<0,3, а масса ящика второго вида п < 0,2. Тогда масса 7 ящиков первого вида 7 • т<7 • 0,3, т. е. 7т < 2,1. Масса 13 ящиков второго вида 13 • л < 13 ■ 0,2, т. е. 13п<2,6. Сложив почленно неравенства 7ш<2,1 и 13л<2,6, получим, что 7/л+13л<4,7, т. е. такой груз гарантированно можно перевезти на 5-тонной машине. Я бы поставщику товаров подсказал, что он может за этот 1^1^ j рейс перевезти ещё один ящик любого вида, так как мас-са груза всё равно в этом случае будет меньше 5 т. «.'■4; - -••.г— Оценка суммы В прошлом году, когда вы изучали алгебраические дро-би, Я показывал вам некоторые искусственные приёмы нахождения сумм большого числа слагаемых. Помните, 111 1 мы находили сумму ^72 2^ + • • • + 99 юо ^ показали, 99 ' что она равна Я помню, мы заменяли каждое слагаемое исходной суммы вида Л(Л + 1) разностью k k + 1 После этого 28 Глава I. Неравенства взаимно уничтожились все слагаемые, кроме первого и послед- 1 1 него, т. е. оставалось наити разность — - Сегодня я хочу воспользоваться приобретённым вами опытом и новыми знаниями о неравенствах для того, чтобы доказать, что при любом натуральном п выполняет- 111 1 1 ся неравенство ^ + ^ + ^ + - + Пока я не вижу, как здесь можно применить старые и 1^1 L^- новые знания. Попробуем сравнить каждое слагаемое суммы, стоящей t В левой части неравенства (обозначим её буквой S), т. е. дробь вида с некоторым «удобным» для нас числом или выражением А*. Оценим слагаемые таким образом, чтобы для каждого из них имелось неравенство вида -^< Af^. Тогда я смогу почленно сложить все полученные неравенства и получить неравенство вида S < А. В идеале я хочу получить А = \ — —, п т. е. выражение, стоящее в правой части исходного неравенства. Как можно применить новые знания, я уже понимаю. I А какие старые знания нам понадобятся? I Скажи, ты не будешь возражать против следующей оцен- -? о 1 ^ 1 ки каждого сл£1гаемого суммы S: *2 (к - 1)к Конечно, не буду, ведь к>к—1, значит, дробь в левой части неравенства имеет больщий знаменатель, чем дробь в правой части. Хорошо. Теперь, вспоминая наш прошлогодний опыт, за- --- на разность —^-------Таким образом, (к-1)к к-1 к меним 1 1 -----= —--—, где к = 2, 3, ..., п. Складывая почленно к‘‘ (к~1)к к-1 к 111 1 неравенства для каждого к, получим S<1 — — -н — - — +-- - 1111 223 л-2 -----I-----= 1--, что и требовалось доказать. л-1 л-1 л л § 4. Сложение и умножение неравенств 29 Строгие и нестрогие неравенства При разливе реки Невы вода в Санкт-Петербурге не поднималась выше отметки 423 см над уровнем Балтийского моря (такое страшное наводнение в городе, описанное в поэме А. С. Пушкина «Медный всадник», произошло в 1824 г). Что означают слова «не поднималась выше, чем...»? Это значит, что при разливах реки её уровень либо доходил до указанной отметки (был равен этому уровню), либо был ниже (меньше). В этой фразе идёт речь о новом для вас виде неравенства — нестрогом неравенстве. Данный параграф посвящён рассмотрению действий с нестрогими неравенствами. Нужно вспомнить: ■ основные свойства числовых равенств и неравенств; ■ теоремы сложения и умножения неравенств; ■ формулы сокращённого умножения. Неравенства со знаком > (больше) и < (меньше) называют стро- 5 13 гимн. Например, — — <1, а>Ь, c и < используются знаки ^ (больше или равно) и ^ (меньше или равно), которые называют знаками нестрогих неравенств. Неравенство а^Ь означает, что а<Ь или а = 6, т. е. а не больше Ь. Например, если число посадочных мест в самолёте 134, то число а пассажиров может быть меньшим или равным 134. В этом случае можно записать: а <134. Точно так же неравенство а^Ь означает, что число а больше или равно Ь, т. е. а не меньше Ь. Неравенства, содержащие знак ^ или знак <, называют нестрогими. Например, 18^12, 11 <12, 7^7, 4<4, а^6, c и <, то для нестрогих неравенств противоположными считаются знаки > и <. Например, теорема 2 из § 3 справедлива и для нестрогих неравенств: если а>Ь, то а + с'^Ь + с для любого числа с. В самом деле, для случая а>Ъ эта теорема доказана в § 3, а для случая а = Ь это утверждение выражает известное свойство равенств. 30 Глава I. Неравенства Задача. Доказать, что неравенство + 2аЬ верно при любых а и Ь. ► В задаче 3 из § 2 доказано, что при аФЬ выполняется строгое неравенство а^ + Ь^>2аЬ. При а = Ь неравенство превращается в очевидное равенство 2а^ = 2а^. Следовательно, неравенство а^ + Ь^> 2аЪ верно при любых а та. Ъ, причём знак равенства имеет место только при а = Ь. <] Устные вопросы и задания 1. Какое неравенство называют строгим; нестрогим? 2. Что означает неравенство а < Ь; а>Ь? 3. Перечислить свойства нестрогих неравенств. 4. Назвать противоположные знаки строгих и нестрогих неравенств. 5. Дано неравенство а>5. Объяснить, почему а-f-10^15 является верным неравенством. Является ли верным неравенство -5а ^-25? Вводные упражнения 1. К обеим частям неравенства 2а - 3 < 5 прибавить число -5; а; -а. 2. Обе части неравенства 46 <5 умножить на число i; 3; -2; -i. 3. Выполнить сложение неравенств: 1) а>3 и Ь>-2; 2) х<-4 и «/<4. 4. Выполнить умножение неравенств: 1) х>5 и у>3; 2) 1<2 и 0,5<2,5. 5. Микроавтобус рассчитан на 13 посадочных мест. Могут ли в этом автобусе ехать сидя 5 пассажиров; 10 пассажиров; 13 пассажиров; 15 пассажиров? Упражнения 75. Найти наибольшее целое число п, удовлетворяющее неравенству: 1) л<-2; 2) л^З; 3) п<4; 4) п<-5; 5) п<0,2; 6) л <-0,3. 76. Найти наименьшее целое число л, удовлетворяющее неравенству: 1) л^-3; 2) п> 6; 3) л >6; 4) л>-4; 5) л>-4,21; 6) л^3,24. § 5. Строгие и нестрогие неравенства 31 77. Найти наибольшее целое число X, удовлетворяющее неравенству: 1) -<1; ^ 6 2) -<-2. 4 78. Записать, используя знаки неравенства, утверждения: 1) сегодня в Москве 0°С, а в Санкт-Петербурге температура (f°C) не выше, чем в Москве; 2) вода поднялась на высоту (Л м), не меньшую 5 м; 3) температура (f°C) воды в жидком состоянии при нормальном давлении не меньше 0°С; не больше 100 °С; 4) скорость (о км/ч) движения автомобильного транспорта в городе не больше 60 км/ч. 79. Пусть а < 6. Верно ли неравенство: 1) а-3^6-3; 2) 5a^5fe; 3) а + 2,5<6 + 2,5; 80. Пусть а>Ь. Верно ли неравенство 1)-2а>-26; 2) -За^-ЗЬ; 3) ’ 12 12 4) а-4>Ь-4? 181.[Доказать, что: 1) если а-Ь>4а + 5Ь, то а<-2&; 2) если а-2Ь^5а + 4Ь, то 2а >-36; 3) если (х-ь2)(л:-3)^(л:-|-3)(х-2), то х>0; 4) если (х - 5)(x-н 1) > (л:-и 5)(jc - 1), то л:^0. [82.[Доказать, что при всех значениях х верно неравенство: 1) (л: - 1)(х-ь 3)^(л: + 1)^; 2) (х-I-2)^ >(д:-I-1)(д:-I-3). 83. Доказать, что: 1) 4x^+1 >4лг при любом х; 3) - + ->2, если а6>0; 6 а 5) — > если а > 6 и а6 < 0; а о 2) а + — > 2 при а > 0; а 4) i если а > 6 и а6 > 0; а Ь 6) a^-f-6^>i, если а+ 6=1. 32 Глава I. Неравенства Г2Т Знаки нестрогих неравенств CSI&I Профессор, Вы знаете, что я всегда интересуюсь историей возникновения новых символов и знаков. Расскажите, пожалуйста, когда и кем были изобретены знаки нестрогих неравенств. Первоначально знаки нестрогих неравенств записывались так: > (не меньше) и < (не больше). Эти символы были введены в 1734 г. французским физиком Пьером Бугерам (1698—1758) при написании работ по оптике. Позже эти знаки стали записывать так: ^ и <, т. е. так, как мы записываем их сегодня. Нестрогие неравенства, описанные словами, без специальных символов, встречаются у многих древних учёных, например в X книге «Начал» Евклида. Неравенство треугольника и полив огорода Профессор, Вы часто говорите о пользе тех или иных знаний для практики. Но я не могу представить, как знание, например, каких-то конкретных неравенств или их свойств может принести мне пользу в жизни. Давай я приведу тебе пример полезного использования, например, хорошо всем известного неравенства треугольника. Допустим, ты летом отдыхаешь у бабушки на даче (на рисунке а дачу обозначим буквой D). Тебе нужно ходить каждый день поливать любимое растение в бабушкином огороде (на рисунке огород обозначен буквой О). Для этого нужно подойти к ручью (к некоторюй точке В) и набрать в маленькую лейку воды. Конечно, ты захочешь, чтобы твой путь (т. е, сумма длин отрезков DB и ВО) был самым коротким. Где же с этой целью выбрать на берегу ручья точку В? Если лейка с водой лёгкая, то я бы пошла по самой короткой дороге к ручью, а от неё — по прямой к точке О. § 5. Строгие и нестрогие неравенства 33 я подскажу, как найти точку В, чтобы расстояние DB + ВО было наименьшим. А ты потом сравнишь найденное расстояние с длиной предложенного тобой маршрута. Построим точку Dy, симметричную точке D относительно линии берега ручья (рис. б). Очевидно, где бы мы ни взяли на берегу точку В, отрезки DB и D^B будут равными, и поэтому згшла-нированный путь DB + ВО будет таким же, как путь D^B + ВО. Рассматривая треугольник D^BO, мы с помощью неравенства треугольника б) /f делаем заключение: D^O < D^B + ВО. Значит, самый короткий путь и будет D. / / / ' V V / ' DBi + В^О, который равен D^O (точка Bi — точка пересечения отрезка DyO ' \ ' с линией берега ручья). Вг /Ву^ ^ в ручей Я предлагала маршрут DB2 + I J + В2О, а он явно длиннее, чем DyO. у' X / ✓ ш ам авенства с одним неизвестным Вы знаете, что для решения ряда прикладных задач приходится составлять математическую модель в виде уравнения или системы уравнений. В этом параграфе вы узнаете, что математическими моделями для решения многих задач являются неравенства с неизвестными. Будет введено понятие решения неравенства и показано, как проверить, является ли данное число решением конкретного неравенства. Нужно вспомнить: ■ понятия уравнения и корня уравнения; ■ что значит решить уравнение; ■ нахождение координат точек, построенных на координатной плоскости; ■ построение графика линейной функции. Задача. Из двух городов отправляются одновременно навстречу друг другу два поезда с одинаковыми постоянными скоростями. С какой скоростью должны двигаться поезда, чтобы 34 Глава I. Неравенства через 2 ч после начгша движения сумма расстояний, пройденных ими, была не менее 200 км? ► Пусть X километров в час — искомая скорость движения поездов. За 2 ч каждый из поездов пройдёт путь 2х километров. По условию задачи сумма расстояний, пройденных поездами за 2 ч, должна быть не меньше 200 км: 2х + 2х>200. Отсюда 4л: ^200, х>50. Ответ. Скорость движения каждого поезда должна быть не меньше 50 км/ч. <1 В неравенстве 4х > 200 буквой х обозначено неизвестное число. Это пример линейного неравенства с одним неизвестным. Неравенства вида ах>Ь, ах<Ь, ах>Ь, ах^Ь, в которых а и 5 — заданные числа, ах — неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным. Многие неравенства, например 4(3 - х) > 5 2х, 3 ^х-2 1 _ I < 3(х + 4), 2 3 сводятся к линейным неравенствам. Выражения, стоящие слева и справа от знака неравенства, называют соответственно левой и правой частями неравенства. Каждое слагаемое левой и правой частей неравенства называют членом неравенства. Например, в неравенстве 2х - 5 ^ 4 -f- Зх левая часть 2х - 5, правая часть 4 -I- Зх; 2х, -5, 4 и Зх — члены неравенства. Если в неравенство 2х + 2х> 200, полученное в задаче, подставить х = 50, х = 51, х = 60, то получатся верные числовые неравенства: 2 • 50 + 2 • 50 > 200; 2 • 51 2 • 51 ^ 200; 2 • 60-I-2 • 60 ^ 200. Каждое из чисел 50, 51, 60 называют решением неравенства 2x4-2x^200. В Определение. Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — это значит найти все его решения или установить, что их нет. § 6. Неравенства с одним неизвестным 35 Неизвестное число в неравенстве может быть обозначено любой буквой. Например, в неравенствах 3(1/-5)<2(4-у), 2t-l>4(t + 3), 5-I>£-4 2 3 неизвестные обозначены соответственно буквами у, t, г. Устные вопросы и задания [ 1. Какие неравенства называются линейными неравенствами с одним неизвестным? 2. Назвать все члены неравенства Зх-8^2, 3. Что называют решением неравенства с одним неизвестным? 4. Что значит решить неравенство? 5. Привести примеры чисел, являющихся решениями неравенства 2x^10. 6. Привести примеры целочисленных решений неравенства х<2,5. 7. Назвать наибольшее целое решение неравенства х<0,5. 8. Назвать наименьшее целое решение неравенства х>-6,4. 9. Решить уравнение Зх - 8 = 7. Проверить, является ли корень этого уравнения решением неравенства Зх-8>7; Зх-8<7; Зх-8^7; Зх-8<7. Вводные упражнения 1. Является ли число 0 корнем уравнения: 1) Зх-5 = 0; 2) 7х='-н2х = 0; 3) 4х^-х + 5 = 0. 2. Установить, какие из чисел -1; 0; 2 являются корнями уравнения: 1)х^-х-2 = 0; 2) х^ + х = 0. 3. Решить уравнение: 1) 5х-3 = 4хч-7; 2) х^-2х = 0; 3) х^-4 = 0\ 4) х2 + 4 = 0. 4. Построить график функции: 1) у = 3х; 2) у = -2х + 3. 5. Составить выражение для решения задачи: 1) Миша шёл до школы 0,5 ч. С какой скоростью шёл мальчик, если расстояние до школы 2 км? 2) Расстояние от дома до школы Саша прошёл со скоростью 4 км/ч за 0,3 ч. Каково расстояние от дома до школы? 36 Глава I. Неравенства Упражнения 84. Записать в виде неравенства утверждение: 1) сумма чисел jc и 17 больше 18; 2) разность чисел 13 и лс меньше 2; 3) произведение чисел 17 и jc не меньше 3; 4) удвоенная сумма чисел лс и -3 не больше 2; 5) полусумма чисел х и 3 не больше их произведения; 6) удвоенное произведение чисел х и -4 не меньше их разности. 85. Какие из чисел 10, 0, -1, -2, -5 являются решениями не- равенства: 1) Зх + 4>2; 3) ix-3^1-x; 2 2) Зх + 4 < х; 4) 3-x^ix? 2 86. При каких значениях у верно неравенство: 1)-2«/>0; 2)-Зу<0; 3)у^ + 1^0; 4)21/2 + 3^0; 5)(у-1)2^0; 6)(i/ + 2)2>0? 87. На рисунке 6 изображён график линейной функции y = kx + b. Записать, какие значения принимает у, если: 1) х^О; 2) х<0; 3) х>-5; 4) х^-5. 88. На рисунке 7 изображён график линейной функции y = kx + b. Записать, при каких значениях х значения функции: 1) положительны; 2) неотрицательны; 3) отрицательны; 4) меньше -4; 5) не меньше -4; 6) больше —4. 89. С помощью графика функции найти, при каких значениях х значения функции положительны, отрицательны, больше 1, меньше 1: 1) г/ = 2х + 4; 2) у = 3х-9; 3) у = -2х-8; 4) у = -3х + 6. Рис. 6 Рис. 7 § 6. Неравенства с одним неизвестным 37 в Pel 1ение неравенств Решение уравнений вы осуществляли путём приведения их к простейшим уравнениям. Аналогично при решении неравенств их стремятся с помощью свойств привести к виду простейщих неравенств. В этом параграфе рассматриваются свойства неравенств, упрощающие их решение, а также формулируется алгоритм решения неравенств, сводящихся к линейным. Нужно вспомнить: ■ алгоритм решения линейного уравнения с одним неизвестным; ■ свойства числовых неравенств; ■ изображение рациональных чисел точками на числовой оси; ■ понятие решения неравенства; ■ что значит решить неравенство. Решение неравенств с одним неизвестным, которые сводятся к линейным, основано на свойствах числовых неравенств, рассмотренных в § 3. Приведём примеры решения неравенств. Задача 1. Решить неравенство jc -t-1 > 7 - 2х. ► Предположим, что число Xq является решением данного неравенства, т. е. неравенство Хц -I-1 > 7 - 2xq является верным. Перенесём член -2xq из правой части неравенства в левую, изменив его знак на противоположный, а число -ь1 перенесём в правую часть с противоположным знаком. В результате получим верное неравенство х^ + 2xq>7-1. В обеих частях этого неравенства приведём подобные члены: 3xq> 6. Разделив обе части этого неравенства на 3, найдём Xq>2. Предположив, что Хд — решение исходного неравенства, мы получили, что Xq>2. Чтобы убедиться в том, что любое значение X, большее 2, является решением неравенства, достаточно провести все рассуждения в обратном порядке. Пусть х>2. Применяя свойства верных числовых неравенств, последовательно получаем: Зх>6, х-н2х>7-1, х-1-1>7-2х. Следовательно, любое число х, большее 2, является решением данного неравенства. Ответ. х>2. <1 38 Глава I. Неравенства При записи решения неравенства можно не давать подробных объяснений. Например, решение задачи 1 можно записать так: л: + 1 > 7 - 2х, Зх > 6, х>2. Итак, при решении неравенств используются следующие основные свойства: Свойство 1 Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого члена на противоположный; при этом знак неравенства не меняется. Свойство 2 Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю; если это число положительно, то знак неравенства не меняется, а если это число отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный . Эти свойства позволяют заменять данное неравенство другим, имеющим те же решения. Для решения неравенства с одним неизвестным, которое сводится к линейному, нужно: 1) перенести члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие неизвестное, в правую (свойство 1); 2) приведя подобные члены, разделить обе части неравенства на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю (свойство 2). Задача 2. Решить неравенство 3(х - 2)-4(д:-I-1) < 2(дс-3) - 2. ► Упростим левую и правую части неравенства. Раскроем скобки: Зх - б - 4х - 4 < 2д: - 6 - 2. Перенесём члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие неизвестное, в правую (свойство 1): Зх - 4х - 2х < б + 4 - б - 2. Приведём подобные члены: -Зх < 2 и разделим обе части на 2 -3 (свойство 2): х>--. Ответ. х>-|. < О § 7. Решение неравенств 39 г Рис. 8 Это решение коротко можно записать так: 3(х-2)-4(д: + 1)<2(л:-3)-2, Зх - 6 - 4х - 4 < 2х - 6 - 2, --- -X - 10 < 2х - 8, -Зх < 2, х>-2 ^ 3* Множество чисел х, удовлетворяющих 2 о --- неравенству х>--, на числовой оси изо- ^ 2 бражается лучом (рис. 8). Точка х = -- не принадлежит этому лучу, на рисунке 8 она изображена светлым кружком, а луч отмечен штриховкой. Множество чисел х, удовлетворяющих, например, неравенству х>2, называют лучом. Точка х = 2 принадлежит этому лучу. На рисунке 9 эта точка изобрг1жена тёмным кружком. Рис. 9 Задача 3. Решить неравенство . 6 2 3 ► Умножим обе части неравенства на 6: 6 . -I-6.1 ^ 6 • ^ - 6 • (х-5)-1-6^15х-2(х-3). Раскроем скобки и приведём подобные члены: X - 5 + 6 ^ 15х - 2х -I- б, X -I-1 ^ 13х -f- 6, 5 откуда -12x^5, Ответ. х<-—. <3 12 Множество решений этого неравенства, т. е. множество чисел К X ^ , изображено на рисунке 10. В рассмотренных примерах неравенства после упрощения сводились к линейным, у которых коэффициент при неизвестном -------- был не равен нулю. В некоторых случаях этот коэффициент может быть равен нулю. Приведём примеры таких неравенств. IX _5_ 12 Рис. 10 40 Глава I. Неравенства Задача 4. Решить неравенство 2(х + 1) + 5 > 3 - (1 - 2х). ► Упростим обе части неравенства: 2д: + 2 + 5>3-1 + 2х, 2х + 7> 2 + 2х, откуда 2д:-2д:>2-7, 0-л:>-5. Последнее неравенство является верным при любом значении X, так как его левая часть при любом х равна нулю, а 0>-5. Следовательно, любое значение х является решением дгшно-го неравенства. Ответ. X — любое число. Задача 5. Решить неравенство 3(2 - х) - 2 > 5 - Зх. ► Упростим левую часть неравенства: 6-Зх-2>5 - Зх, 4 - Зх > 5 - Зх, откуда -Зх + Зх > 5 - 4, О • х> 1. Последнее неравенство не имеет решений, так как левая часть неравенства при любом значении х равна нулю, а неравенство О >1 неверно. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений. Ответ. Решений нет. <1 Устные вопросы и задания 1. Сформулировать свойства неравенств, применяемые при их решении. 2. Привести пример применения к неравенству свойства 1. 3. Привести пример применения к неравенству свойства 2. 4. Сформулировать алгоритм решения неравенств. 5. Как называется множество чисел, удовлетворяющих неравенству х>а; х<:Ь (а и Ь — некоторые числа)? 6. Привести пример линейного неравенства с одним неизвестным, не имеющего решений. § 7. Решение неравенств 41 Вводные упражнения 1. Показать, что число -7 является решением неравенства: 1) |л:-2<-1; 2) -|i/ + 2^5. 2. Дано верное числовое неравенство 3 > ^ 2 1) Умножить обе части неравенства на число 2; 2) прибавить к обеим частям неравенства число -4; 1,5; 3) разделить обе части неравенства на число 3. 3. Установить, при каких значениях х верно неравенство: 1) 12x^0; 2) 9х>0; 3)-5х<0; 4)-6x^0; 5) 3x2 + 1 > 0; 6) 7x2 + 5 ^ 0; 7) (х - 8)2 > 0; 4. Решить уравнение: 1) Зх + 2 = -х; 2) 3(х + 2) = -2х. 5. На рисунке 11 изображён график функции y = Sx-l. С помощью рисунка решить неравенство: 1) Зх-1>0; 2) Зх-1^0. 8) (3-1-х)2^0. Упражнения Решить неравенство (90—91). 90. 1) х + 2^ 15; 2) х-6<8; 4) -4> 5 - у; 5) 22^2-7; Рис. 11 91. 1) 12х>-36; 4) -5<|; 2) -7х<5б; 5) 7,22 >-27; 3) г^у + 6; 6) 32^22 + 4. 3) ^^7; 6) -4,5х^9. Решить неравенство и изобразить множество его решений на числовой оси (92—93). 92. 1) 2х-16>0; 2) 18-Зх>0; 3)Зх-15<0; 4) 25-5х<0; 5) 9-Зх>0; 6) 2х-ь4^0. 93. 1) 3(х-1-1)<х-н5; 2) 4(х-1)> 5 4-х; 3) 2(х-3) + 4<х-2; 4) х-ь 2 < 3(х + 2)-4; сч X - 1 ^ 2х - 3 5) ——г—; дч Зх - 2 ^ 2х - 1 ----J-- ^ ---о---* 42 Глава I. Неравенства 94. Выяснить, при каких значениях х выражение принимает положительные значения: 1) |х.4; 4) 3(лг-5)-8л:; 2) |-4х; 5) 1-2(д;-ь4); 3) 2{х + 3) + Вх] 6) i-Six-5). 95. Выяснить, при каких значениях у выражение принимает от- рицательные значения: 1) 5-fi,; 2) |-2у; 3) г/-2 , 1. 3 ”^3’ 4) 0 О сч 3J/-5 у, ^ 2 2’ 6) 4-5у у 6 6 96. Найти наименьшее целое число, являющееся решением неравенства: 1)4{у-1)<2 + 1у; 2) 4у-9>3(1/-2); 3) 3(x-2)-2jc<4x-t-1; 4) бд:-I-1 > 2(ж - 1) - Зл:. 97. Найти наибольшее целое число, являющееся решением неравенства: 1) 5-2x>0; 3) 3(1-х)>2(2-ху, Решить неравенство (98—99). 2) бд: 4-5^0; 4) 4(2-jc)<5(l-x). f-|<4xt3; 2) £_5>i3 _ 5х 5 4 2’ 6; 4) о Зу-2 ^ у-1 5у + 4 4 ' 6 3 2 3 2’ 2) х-4 . а^Х х + 1. 3 ^^^^3 4 ’ 2х -1 2х ^ Зх - 2 X. 4) Зх + 1 X ^ 5х - 2 Зх 2 5 ' 5 4’ 4 2 ' 3 5 ■ 99. 1) 3) 1(Ю. 1) При каких а значение дроби ^ больше значения дроби О а +1, 2) При каких Ь значение дроби би ----? 5 3) При каких X значение дроби с - 6х -7 3 — Хп ности дробей ------ и -----? 15 9 Ь + 3 меньше значения дро- Зх-5 больше значения раз- § 7. Решение неравенств 43 Решить неравенство (101—104). 101.1) 3(x-2) + jc<4x+1; 2) 5(дс + 2)-х> 3(л:- 1) + л:; 4) д. Зх + 6 х^х + 2. ' 4 4 2’ 2х -1 . ^ Зх + 1 - 4 < X----— 5) 5х + 1^2(х-1) + Зх + 3; 6) 5 X + 4 -x^2-i. 102.1) 5(х + 2) + 2(х-3)<3(х-1) + 4х; 2) 3(2х- 1) + 3(х - 1) > 5(х + 2) + 2(2х- 3); 3) ^^;^-1^3х х-7 4) 2-^^2х-^. 103. 1) (х-1)2 + 7>(х + 4)2; 2) (1 + х)2 + 3x2 < (2х - 1)2 + 7; 3) (х + 3)(х-2)>(х + 2)(х-3); 4) (х+1)(х-4) + 4^(х + 2)(х-3)-х. 104. 1) 4) Зх + 6 -2,3 0,4х + 8 <0; <0; 2) 5) >0; 2х-4 -1,7 2,1 + 6,3х <0; 3) 6) -1.7 0,5х - 2 -3,8 3,2 - 6,4х >0; >0. 105. При каких х значения функции у = 2,5х-4: 1) положительны; 2) отрицательны; 3) больше 1; 4) меньше -4? 106. При каких X значения функции i/ = 3,5-0,5x: 1) положительны; 2) неотрицательны; 3) не больше 3,5; 4) не меньше 1? 107. Построить график функции у = 3- 2х. С помощью графика найти значения х, при которых точки графика лежат: 1) выше оси абсцисс; 2) выше прямой у = 2; 3) ниже оси абсцисс; 4) ниже прямой у = 4. Результаты проверить, составляя и решая соответствующие неравенства. 108. Сколько железнодорожных платформ потребуется для перевозки 183 контейнеров, если на одной платформе можно разместить не более 5 контейнеров? 109. Рабочий по плану должен изготовить 40 деталей. Сколько деталей он должен изготовить, чтобы перевыполнить план более чем на 7%? 44 Глава I. Неравенства 110. Одна сторона треугольника равна 8 см, а другая — 13 см. 1) Каким наименьшим целым числом сантиметров может быть длина третьей стороны? 2) Каким наибольшим целым числом сантиметров может быть длина третьей стороны? 111. Сумма нечётного числа с тремя последующими нечётными числами больше 49. Найти наименьшее нечётное число, удовлетворяющее этому условию. 112. Сумма чётного числа с утроенным последующим чётным числом меньше 69. Найти наибольшее чётное число, удовлетворяющее этому условию. 113.1 Из двух пунктов, находящихся на расстоянии 60 км, отправляются одновременно навстречу друг другу пешеход и велосипедист с постоянными скоростями. Скорость движения пешехода равна 4 км/ч. С какой скоростью должен двигаться велосипедист, чтобы его встреча с пешеходом произошла не позже чем через 3 ч после начала движения? |114.| На соревнованиях велосипедисты должны проехать 155 км. Велосипедисты стартуют поочерёдно с интервалом 5 мин, и каждый из них едет с постоянной скоростью. Скорость первого велосипедиста равна 30 км/ч. С какой скоростью должен двигаться третий велосипедист, чтобы прибыть к финишу раньше первого? 115.1 При каких значениях х точки графика функции z/ = 3jc + 4,5 лежат выше точек графика функции у = -2х+П 116.1 При каких значениях х точки графика функции у = Ъх-А лежат ниже точек графика функции у = 0,Ъх + Ъ1 |117.| На какое наименьшее целое число сантиметров нужно увеличить длину окружности, чтобы её радиус увеличился более чем на 10 см? (Длина с окружности радиуса R находится по формуле: c = 2nR, где л = 3,14... .) Неравенства с параметрами При знакомстве с системами линейных уравнений я рас-сказ£1л вам о задачах с параметрами и показал, как решаются уравнения с параметрами. Я могу привести пример уравнения с параметром: ах = 5, где X — неизвестное, а число а — параметр. Помню, что если стгшится задача решения уравнения с параметром. § 7. Решение неравенств 45 при а^О имеет один корень а при а = 0 уравнение не то нужно рассмотреть все случаи, когда уравнение имеет корни и когда не имеет корней. Уравнение, которое я придумала, а имеет корней. Бесконечно много корней это уравнение ни при каком а иметь не будет. А вот, например, для уравнения ах = 0 при а = 0 корнем будет любое число. Думаю, что решать линейные неравенства с параметра-ми ненамного труднее, чем уравнения... Вообще решать неравенства труднее, чем решать уравнения того же класса. Тем более неравенства с параметрами. Скажи, пожалуйста, как решить, например, неравенство ах > О? Рассуждаю так: параметр а может принимать разные значения и в зависимости от этого мне нужно находить х. Если а = 0, то неравенство не имеет решений, так как тогда при любом X произведение ах = 0. При а > 0 неизвестное х должно быть положительным, а при а < 0 — отрицательным. Верно? Ты абсолютно верно решил одно из самых простых нера-венств с параметром. Теперь я покажу вам решение более сложного неравенства 4 + Зах>12х + а с параметром а. ► Преобразуем это неравенство к удобному для анализа виду: Зах - 12х-I-4 - а > о, Зх(а-4)-(о-4)>0, (а-4)(3х-1)>0. 1) Если а - 4 = о, т. е. а = 4, неравенство примет вид 0 • (Зх - 1) > 0. Это неравенство не имеет решений. 2) Если а - 4 > о, то, разделив обе части неравенства на положительное число а - 4, получим неравенство того же знака, что и исходное, т. е. Зх - 1> 0, откуда -I- 3) Если а - 4 < о, то деление обеих частей неравенства на отрицательное число а - 4 даёт в результате неравенство противоположного знака, т. е. Зх-1<0, откуда i Ответ. Если а = 4, то неравенство не имеет рюшений; если а>4, то X > —; если а < 4, то х < —. <3 3 3 Теперь попробуйте самостоятельно решить относительно х следующие неравенства: 1) ох<4; 2) Зох>1; 3) 2ох-4>х; * 4) Зох -(- 3 < X + 5; 5) ох - о^ > х - 1; 6) ох -I- 9 ^ Зх + о^. Для самоконтроля дам ответ, например, к 5 заданию: если о> 1, ^ то X^0-1-1; если о< 1, то x^o-i-1; если о = 1, то х — любое число. 46 Глава I. Неравенства ШСит немз! емы неравенств с одним вестным. Числовые промежутки с понятием системы вы познакомились в 7 классе и научились решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными. В этом параграфе будут рассмотрены системы линейных неравенств с одним неизвестным. Множества решений систем неравенств могут записываться с помощью промежутков (интервалов, полуинтервалов, отрезков, лучей). С обозначениями числовых промежутков вы познакомитесь в этом параграфе. Нужно вспомнить: ■ свойства неравенств; ■ алгоритм решения линейных неравенств с одним неизвестным; ■ понятие решения неравенства; ■ понятия луча и отрезка; ■ гшгоритм построения графика линейной функции; ■ понятие системы уравнений. 1. Системы неравенств. Задача. В пустой бассейн вместимостью 4000 л начали наливать воду. Сколько литров воды в час нужно наливать в бассейн, чтобы через 4 ч было заполнено более половины всего бассейна и чтобы через 5 ч бассейн не переполнился? ► Пусть X литров — количество воды, поступающей в бассейн за 1 ч. По условию задачи 4х>2000, 5x^4000. Из первого неравенства получим х>500, а из второго х^800. Ответ. За час нужно вливать в бассейн больше 500 л воды, но не больше 800 л воды. В неравенствах 4х > 2000 и 5х < 4000 неизвестное число х одно и то же. Поэтому эти неравенства рассматривают совместно и говорят, что они образуют систему неравенств: 4х > 2000, 5х ^ 4000. (1) Фигурная скобка показывает, что нужно найти такие значения X, при которых оба неравенства системы (1) обращаются в верные числовые неравенства. Система (1) — пример системы линейных неравенств с одним неизвестным. § 8. Системы неравенств с одним неизвестным 47 Приведём ещё примеры систем неравенств с одним неизвестным, сводящихся к системе линейных неравенств: 3(д: -I-1) > 5, 4(л: - 1) > л: - 2; 2х -1> Зх, 5(л:-1)^8. в Решением системы неравенств с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства. Решить систему неравенств — это значит найти все решения этой системы или установить, что их нет. Например, х=1 является решением системы 2x^-4, 3x^9, ^ ^ так как при х=1 оба неравенства системы (2) верны: 2-1^-4, 31^9. Разделив обе части первого неравенства системы (2) на 2, а второго — на 3, получим: X ^ -2, х^З. Следовательно, решениями системы (2) являются все значения х, которые не меньше -2 и не больше 3. Неравенства х^-2 и х^З можно записать в виде двойного неравенства: -2<х^3. 2. Числовые промежутки. Решениями систем неравенств с одним неизвестным являются различные числовые множества. Эти множества имеют названия. Так, на числовой оси множество чисел х, таких, что -2^х<3, изображается отрезком с концами в точках —2 и 3 (рис. 12). Г” -2 а Рис. 12 Поэтому множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам —2<х^3, называют отрезком и обозначают [-2; 3]. |( Если а<Ь, то множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а^х^Ь, называется отрезком и обозначается [а; 6]. 48 Глава I. Неравенства г 3. -2 3 Рис. 13 -1 2 4 7 Рис. 14 Например, отрезок [4; 7] — это множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам 4 ^ л: ^ 7. Для множеств чисел, удовлетворяющих неравенствам вида 2<л:<7, -Кх<2, 4<х^7, также вводятся специальные названия. Если а<Ь, то множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а<х<Ь, называется интервалом и обозначается (а; Ь). Например, интервал (-2; 3) — это множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам -2<л:<3 (рис. 13). Множества чисел х, удовлетворяющих неравенствам вида х>а и х<а, также называют интервалами. Множества чисел х, удовлетворяющих неравенствам а^х<Ь или а<х<:Ь, называются полуинтервалами и обозначаются соответственно [а; Ь) и (а; ft]. Например, полуинтервал [-1; 2) — это множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам -1 < х: < 2; полуинтервал (4; 7] — множество чисел X, удовлетворяющих неравенствам 4<х^7 (рис. 14). I! Отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи называют числовыми промежутками. Таким образом, числовые промежутки можно задавать в виде неравенств. х>5 х>5 5 6 7 8 5 6 7 8 -2-10 1 2 3 4 § 8. Системы неравенств с одним неизвестным 49 Устные вопросы и задания | 1. Что называют решением системы неравенств с одним неизвестным? 2. Что значит решить систему неравенств? 3. Привести пример двойного неравенства и перечислить неравенства, записанные с его помощью. 4. Как называется множество чисел, удовлетворяющее неравенствам а^х<:Ь, где а<Ь7 Как обозначается такое множество? 5. Какое множество чисел называют интервалом; полуинтервалом? 6. Каким общим термином называют отрезки, интервалы, полуинтервалы, лучи? 7. Привести пример отрезка; интервала; полуинтервала; луча. Вводные упражнения | 1. Решить неравенство: 1) 5х - 7 > 2д;-1-1; 2) -8x-t-6<2x-1. 2. На числовой оси изобразить множество решений неравенства: 1)4jc-12<0; 2)3-2л:^0. 3. Не строя графика функции у = ^х -3, определить, при кбжих значениях х её значения положительны; не положительны. 4. Изобразить на числовой оси множество решений неравенства х>2; д:<4. Упражнения | 118. Какие из чисел -3; 10; 12 являются решениями системы неравенств: 1) 5-х^9, 2-Зх >-4; 2) |д:-2>1, 5-2х>-25? 119. Какие из чисел -2; 0; 1; 2 являются решениями системы неравенств: 1) 12л:-1<11, —3 — X ^ 0; 2) 4х -1>4- X, х + 6>2? 50 Глава I. Неравенства 120. Найти все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств: 1) х>2, 2) X ^ 3, 3) X < 2,7, 4) х<7; X >-1; х>0; X > -5,1, X < 5,1. 121. Множество чисел х, удовлетворяющих данному двойному неравенству, записать с помощью обозначений числового промежутка и изобразить его на числовой оси: 1) 1^д:^5; 2)-Кх^З; 3)-1<х<4; 4) 1<х<2; 5) -3^л:<1; 6) -4<х^-2. 122. Множество чисел х, принадлежащих данному числовому промежутку, записать в виде двойного неравенства и изобразить его на числовой оси: 1) [-4; 0]; 2) [-3; -1]; 3) (-4; -2); 4) (0; 3); 5) (-1; 4]; 6) [-2; 2). 123. Записать в виде двойного неравенства, а также с помощью обозначений числового промежутка множество чисел х, изображённое на рисунке 15. а) Л Л в) Л л -4 -1 б) Г Л г) Г л. -1 -4 о Рис. 15 124. Имеют ли общие точки отрезок [2; 3] и интервал (1; 4)? 125. Имеют ли общие точки отрезки [2; 4] и [3; 5]? 126. На одной координатной плоскости построить графики функций у = -2х-2 и у = 2-^. Отметить на оси абсцисс множество значений х, при которых значения обеих функций: 1) положительны; 2) отрицательны. 127. На одной координатной плоскости изображены графики двух линейных функций (рис. 16). Указать значения х (если они существуют), при которых значения обеих функций одновременно положительны; отрицательны. § 8. Системы неравенств с одним неизвестным 51 128.1 Решить неравенство: 1) (х-3)(2д:-3) + 6д:2^2(2л:-3)2; 2) (5 - 6л:)(1 + Зх) + (1 + 3xf <(1 + Зх)(1 - Зх); 3) (2x + l)(4x2-2x + l)-8x3^-2(x + 3); 4) (X - 2)(х^ + 2х + 4) < х(х" + 2) + 1. Линейные неравенства с двумя неизвестными и их системы Профессор, с решением неравенств, содержащих одно не-^*•1! известное, мы уже знакомы. А как решаются неравенства с двумя неизвестными? Что, например, будет решением неравенства х^у7 Вообще решением неравенства с двумя неизвестными называется пара чисел (х; у), обращающая данное не-равенство в верное числовое неравенство. Решить неравенство — это значит найти множество всех его решений. Так, решениями неравенства х>у будут, например, пары чисел (5; 3), (-1; -1), так как 5>3 и Но как найти множество всех решений неравенства х~^у « (ведь пар чисел, у которых первое число не меньше вто-рого, бесконечно много)? 52 Глава I. Неравенства Аналогично тому, как мы изображаем штриховкой на i координатной прямой множество всех решений неравенства с одним неизвестным, множество решений неравенства с двумя неизвестными можно тоже изобразить штриховкой, но уже на координатной плоскости. Неравенство х>у, которое можно записать и в виде у’^х, имеет в качестве решения множество пар чисел — координат точек плоскости, отмеченных на рисунке а в виде заштрихованной полуплоскости вместе с её границей (графиком функции у = х). Действительно, для любой точки A(Xi; i/j) этой полуплоскости (для точек её границы у = х). Для любой же точки В{Х2', у г)} не принадлежащей заштрихованной полуплоскости, У2>Х2, т. е. решениями неравенства являются только все точки заштрихованной полуплоскости рисунка а (с её границей). Покажите, пожалуйста, как решаются более сложные неравенства с двумя неизвестными. Решим вместе неравенство 2х-у<3. Запишем данное неравенство в виде у>2х-3. На рисунке б штриховой линией изображён график функции у = 2х-3, а штриховкой — решение неравенства у>2х-3 (полуплоскость над прямой у = 2х-3 без её границы). Наверное, теперь мы сможем решать системы неравенств -А- с двумя неизвестными? <$1д I Точнее, сможете изображать решения систем неравенств штриховкой на координатной плоскости. Определим сна-чала, что же называется решением системы неравенств с двумя неизвестными. Решением системы неравенств с двумя неизвестными называется пара чисел (х; у), обращающая каждое неравенство системы в верное числовое неравенство. [у>2х-3, \у^1-х. Решим систему неравенств § 8. Системы неравенств с одним неизвестным 53 Решение неравенства у>2х-3 изображено на рисунке б. Решение неравенства у ^ 1 - л: — на рисунке в. Все решения системы неравенств можно изобразить с помощью части координатной плоскости, в которой пересекаются штриховки (рис. г), изображающие решение каждого из неравенств системы в отдельности. Действительно, координаты точек (х; у) этой части плоскости являются парами чисел — решениями как первого, так и второго неравенства системы. Теперь самостоятельно изобразите на координатной плоскости решение системы неравенств: 1) у<2-х, у^Зх + 1; 2) 2х - у^З, 2х + Ау - 3^0. Pei 1ение систем неравенств Решать линейные неравенства с одним неизвестным вы уже научились. Знаете, что такое система неравенств и решение системы. Поэтому процесс решения систем неравенств с одним неизвестным не вызовет у вас затруднений. Нужно вспомнить: понятия системы неравенств и решения системы неравенств с одним неизвестным; изображение на числовой оси числовых промежутков и их обозначения; свойства неравенств; действия с многочленами и алгебраическими дробями. 54 Глава I. Неравенства Рассмотрим примеры решения систем неравенств. Задача 1. Решить систему неравенств 5л: - 1 > 3(л: + 1), 2(х + 4) > JC + 5. ► Решим первое неравенство: 5х-1>3дс + 3, 2л:>4, л:>2. Итак, первое неравенство выполняется при л: >2. Решим второе неравенство: 2л: + 8>л: + 5, л:>-3. ^-- Итак, второе неравенство системы —'--------- выполняется при д:>-3. ~3 2 Изобразим на числовой оси множе- Рис. 17 ства решений первого и второго неравенств системы. Решения первого неравенства — интервал л: > 2, решения второго неравенства — интервал х>-3 (рис. 17). Решениями системы являются такие значения х, которые одновременно принадлежат обоим интервалам. Из рисунка видно, что множество всех общих точек этих интервалов — интервал х>2. Ответ. л:>2. <1 Г Задача 2. Решить систему неравенств 3(л: - 1) ^ 2л:-I-4, 4х-3>13. ► Решим первое неравенство: Зх-3<2л: + 4, х<7. Решим второе неравенство системы: 4x5=16, х>4. Изобразим на числовой оси множества решений первого и второго неравенств системы. Решения первого неравенства — луч X < 7, решения второго неравенства — луч X ^ 4 (рис. 18). Из рисун- ---- — — ка видно, что множество общих /' \ _ точек этих лучей — отрезок [4; 7]. J Ответ. 4<х<7. О 7 Рис. 18 § 9. Решение систем неравенств 55 Задача 3. Решить систему неравенств 5х , 4 ^ х + 1 12 3 " 3 ’ О ^ 2 — X ► Решим первое неравенство системы: 5л:+16^4х + 4, д;^-12. Решим второе неравенство: 28-5х<14-7х, 2х<-14, х<-1. Изобразим на числовой оси промежутки х>-\2 и х<-1 (рис. 19). Из рисунка видно, что множество обпцих точек этих промежутков — полуинтервал [-12; -7). Ответ. -12<х<-7. < С -12 ///, -7 Рис. 19 Задача 4. Показать, что система неравенств имеет решений. ► Решим первое неравенство: 2-2л:<4-Зл:, х<2. Решим второе неравенство системы: -Зл:<-9, л:>3. Изобразим на числовой оси интерва- — лы х<2 и д:>3 (рис. 20). Из рисун- ____ ка видно, что эти интервалы не имеют общих точек. Следовательно, система не имеет решений. <] 2(1 - х)<4- Зх, 10-Зх<1 не Рис. 20 Устные вопросы и задания 1. Решением какой из систем х>3, X > 4 и X > 3, X ^ 4 является луч х^4? 2. Привести пример системы, содержащей неравенство х<5 и имеющей решением: 1) отрезок; 2) интервал; 3) полуинтервал; 4) луч. 3. Привести пример системы неравенств, не имеющей решений, если одно из неравенств системы х^-2. 56 Глава I. Неравенства Вводные упражнения 1. Решить неравенство: 1) Зл: + 5>1-х; 2) 5-2x=^4x-1. 2. Изобразить на числовой оси множество решений неравенства: 1) 1^3-х; 2) 2-2х>7. 3. Записать с помощью обозначений числовых промежутков и изобразить на числовой оси множество чисел х, удовлетворяющих двойному неравенству: 1) 0^х<2; 2)-3<х^1; 3)-1<х<4; 4)-2^х^2. 4. Найти наименьшее целое решение системы неравенств: 1) X < 7, 2) х^3,5. 3) X > -1, 4) X > -1; X > 1; х>2; X < 3, х^-2. 5. Найти наибольшее целое решение системы неравенств: X > -4, х<1,3. 1) X ^ 5,3, 2) X < 4,1, 3) х^-3. 4) X < 1; х<7; X < 2,5; Упражнения | Записать множество решений системы неравенств одним неравенством и изобразить его на числовой оси (129—130). х^-2, X ^ -4. X < 1, х<0. 129. 1) X > 2, X > 5; 2) X > 0, X > -1; 3) X > 2, X ^ -3; 4) 130. 1) X ^ 1, X < 5; 2) X < 0, X < -1; 3) X < -2, X < -5; 4) Записать множество решений системы неравенств двойным неравенством и изобразить его на числовой оси (131—132). 131. 1) X > 2, 2) X > 3, 3) X < 0, 4) X < 5; X < 6; х^-2; Решить систему неравенств (133—137). 133. 1) 3) Зх-18>0, 4х>12; 2х -I- 5 > О, Зх -(- 6 ^ 0; 2) 4) 7х-14^0, 2x^8; 2х + 7^0, 5х-|-15>0. х^О, -I- 132. 1) х<-2, 2) X < 1,5, 3) х>0,8, 4) X ^ -7,5; X > -1,5; X < 2,2; X < 7,5, X ^ -0,5. § 9. Решение систем неравенств 57 134. 1) 3-2х>0, 2) 2х + 4 ^ 0, 3) 2х + 3 < 0, 4) 4х + 8 < 0; 4 - Зх > 0; Зх + 9 ^ 0; 2х - 9 < о, 12>3х. 135. 1) 3) 136. 1) 3) 137. 1) 3) 7 - 2д: ^ О, 5л: - 20 < 0; 6 - 2л: > о, Зх + 6 > 0; 2) 4) 2х + 5 ^ о, 9л: + 18 < 0; 10-2л:^0, 4л: - 8 ^ 0. Зл: + 3 < 2л: + 1, 2) Зх - 2 ^ 4л: + 2; 5(х + 1)-х>2х + 2, 4) 4(х + 1) - 2 ^ 2(2х + 1) - х; 5(х + 1)<3(х + 3) + 1, 2) 2х 4х + 2 > 5х + 3, 2 - Зх < 7 - 2х; 2(х - 1) - 3 < 5(2х - 1) - 7х, 3(х + 1)-2<6(1-х) + 7. 2(2х + 1) + X > 3(х - 1) + 4, 2х -1 Зх - 2 X - 5 Зх -1 х + 3. 6 х + 2 4) X + 3 ^ 2х + 7 х-2 2 2х-3 Решить систему неравенств (138—140). 138. 1) 3) 3-2х х — 2 X 15 " 3 5’ 1 - Зх > 5х-1 12 6х-5 7х 4 ’ 3 8х + 1 0,6, 11 , 4х + 3 4<Ф^0,1; 2) 4) 5х + 7 6 1-Зх Зх Их-7 4 12 ’ 1 - 4х ^ X , 8х +1 ^ 4х + 9 3 5х-2 2 2х + 13 х-1 3 ’ х + 2 139. 1) 2(4х-1)-Зх<5(х + 2) + 7, х-2 ^ X-3 — ~ ' 1 2) 3(х^-1) _13х^£~1,5. X - 3 ^ X + 5 140. 1) 3) 3(х + 8)> 4(7 - X), 2) (х + 2)(х - 5) > (х + 3)(х - 4); (х + 3)(х - 6) ^ (х + 2)(х + 1) + 4, 4) 2(6х-1)^7(2х-4); Зх + 2 > X - 2, X + 15 > 6 — 2х, 5х + 11 < X + 23; Зх - 4 < 8х + 6, 2х - 1 > 5х - 4, Их - 9 < 5х + 3. 58 Глава I. Неравенства 141. Найти все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств: 1) 0,2х>-1, 2) 1 - 0,5д: ^ 0, 3) х-1<х, 4) 1 5 ^ О 2 ^5’ х-1 !> 5’ х + 4. 142. Указать значения х (если они существуют), при которых значения функций у = 0,5х + 2 и у = 3-3х одновременно: 1) положительны; 2) отрицательны; 3) больше 3; 4) меньше 3. Ответ проиллюстрировать с помощью графиков данных функций, построенных на одной координатной плоскости. 143. При каких х значения функций у = х-2 и у = 0,5х+1 одновременно: 1) неотрицательны; 2) неположительны; 3) не меньше 4; 4) не больше 4? Ответ проиллюстрировать с помощью графиков данных функций, построенных на одной координатной плоскости. 144. Одна сторона треугольника равна 5 м, а другая — 8 м. Какой может быть третья сторона, если периметр треугольника: 1) меньше 22 м; 2) больше 17 м? 3 1 145. Если из - целого числа вычесть — его, то получится чис- 2 3 1 ло, большее 29, а если из - этого же числа вычесть — его, ^ О то получится число, меньшее 29. Найти это целое число. 146. Если к удвоенному целому числу прибавить его половину, то получится число, меньшее 92, а если из удвоенного этого же целого числа вычесть его половину, то получится число, большее 53. Найти это целое число. 147.1 В раствор объёмом 8 л, содержащий 60% кислоты, начали вливать раствор, содержащий 20% кислоты. Сколько можно влить второго раствора в первый, чтобы смесь содержала кислоты не больше 40%, но не меньше 30% ? 148.1 Для получения крахмала берут рис и ячмень, причём ячменя берут в 4 раза больше, чем риса. Сколько килограммов риса и ячменя нужно взять, чтобы получить больше 63 кг, но не больше 126 кг крахмала, если рис содержит 75% крахмала, а ячмень — 60%? § 9. Решение систем неравенств 59 Решение двойного неравенства Смогли бы вы решить, например, такое двойное нера-i венство: -4$ 2л:-3=^3? Я знаю, что с помощью двойного неравенства записывают фактически два неравенства, образующие систему. В данном случае двойное неравенство можно записать в виде системы |2х-3^-4, \2д: - 3 < 3 и решать её как обычную систему неравенств. Ты прав. Но, зная свойства неравенств, оформление ре-• шения подобного двойного неравенства можно записать короче. В нашем случае поступим так: ко всем частям неравенств прибавим 3, а затем все части неравенств разделим на 2: -4 ^ 2л: - 3 < 3, -4 + 3<2л:-3 + 3^3 + 3, -1<2лг$6, |:2 1 ^ 2х ^ 6 2" 2 "2’ -0,5 < л: €3. Ответ. -0,5<л:<3. i А если бы при решении двойного неравенства пришлось выполнять деление всех частей на отрицательное число? Как тогда нужно было бы записывать результат? Посмотрите, например, на возможное оформление реше-ния неравенства -1<5-Зл:<10. Вам всё станет понятно. -1<5-Зл:<10, -1-5<5-Зл;-5^10-5, -6<-Зл:<5, |:(-3) 2>х^-|. Ответ. —^х<2. 3 60 Глава I. Неравенства ха I одуль числа. Уравнения неравенства, содержащие модуль С нахождением модуля положительных чисел, отрицательных чисел и нуля вы знакомились в младших классах. В этом параграфе будет уточнён геометрический смысл модуля числа и дано строгое определение этого понятия. Вы научитесь решать простейшие уравнения и неравенства, содержащие неизвестное число под знаком модуля. Нужно вспомнить: ■ свойства уравнений; ■ свойства неравенств; ■ понятие решения системы линейных неравенств с одним неизвестным; ■ записи числовых промежутков; ■ изображение числовых промежутков на числовой оси. 1. Модуль числа. Напомним понятие модуля числа. 1) Модуль положительного числа равен самому числу. Например, |3| = 3, = |, |2,4| = 2,4. ' 2) Модуль отрицательного числа равен противоположному ему ^ислу. ^ f ^ & I О Например, |-2| = -(-2) = 2, = -|-| =§’ |-1,5| = -(-1,5) = 1,5. В 3) Модуль нуля равен нулю: 10| = 0 Определение. |а| = а, если а^О, \а\ = -а, если а<0. Это определение коротко записывают формулой: |а| = а, если а > О, -а, если а < О. Рассмотрим геометрический смысл модуля числа. Изобразим на числовой оси, например, точки 3 и -2. § 10. Модуль числа. Уравнения и неравенства содержащие модуль 61 1-21 -2 J3I. -I---н 3 Рис. 21 Из рисунка 21 видно, что |3| = 3 есть расстояние от точки О до точки 3, |-2| = 2 есть расстояние от точки О до точки -2. Итак, геометрически \а\ есть расстояние от точки О до точки, изображающей число а. 2. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля. Задача 1. Решить уравнение \х\ = 1. ^ 1) Пусть Тогда по определению модуля |x| = jc, и урав- нение принимает вид: л: = 7, т. е. х = 1 — корень исходного уравнения. 2) Пусть д:<0. Тогда по определению модуля 1л:1 = -х, и уравнение принимает вид: -х = 7, откуда х = -7 — корень исходного уравнения. Ответ. х, = 7, Х2 = -1. О Задача 2. Решить уравнение |Зх-1-2| = 1. ► 1) Пусть Зх + 2^0. Тогда Зх + 2 = 1, 3jc = -1, ^ = -4* О 2) Пусть Зх4-2<0. Тогда Зх + 2 = -1, 3д: = -3, х = -1. Ответ. Xj=-|, Х2 = -1. <\ 3. Неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля. Рассмотрим неравенство |дг|<а, где а>0. Этому неравенству удовлетворяют все точки X, находящиеся на расстоянии, не большем а, от точки О, т. е. точки отрезка [-а; а] (рис. 22). Отрезок [-а; а] — это множество чисел X, удовлетворяющих двойно- 22 му неравенству -а^дс^а. Неравенство |x|0, означает то же самое, что и двойное неравенство -а ^ д; ^ а. Например, неравенство |дс|<2,5 означает, что -2,5<дс<2,5; неравенство |д:|<3 означает, что -3<х<3. -а о а \х\<.а 62 Глава I. Неравенства Задача 3. Решить неравенство |5-Зл:|<8. ► Запишем данное неравенство в виде -8 < 5 - Зл: < 8. Это двойное неравенство означает то же самое, что и система неравенств: 5-Зл:<8, 5 - Зх > -8. Решая эту систему, находим -1<х<4^ (рис. 23). Ответ. -1<х<4|. < Рассмотрим неравенство jx\^a, где а>0. Этому неравенству удовлетворяют все точки х, находящиеся от точки О на расстоянии, не меньшем а, т. е. точки двух лучей х>а и х<-а (рис. 24). Г' т - -1 IX 4 Рис. 23 -а О I д:| >а Рис. 24 Задача 4. Решить неравенство \х-1\>2. ► 1) Пусть х-1>0. Тогда л: - 1 ^ 2. Получим систему неравенств jx — 1>0, \х-1>2. Решая систему, находим х^З. 2) Пусть X - 1 < 0. Тогда -{х-1)>2, или л:-1<-2. Получим систему неравенств д: - 1 < о, х-1^-2. / Л -1 3 Рис. 25 Решая эту систему, находим дс<-1. Итак, неравенство |д:-1|^2 выполняется, во-первых, при х>3, а во-вторых, при х^-1. Ответ. х<-1, д:^3. < Решения неравенства |д:-1|^2 изображены на рисунке 25. § 10. Модуль числа. Уравнения и неравенства содержащие модуль 63 Отметим, что если в нергшенстве |х|<а число о равно нулю, то неравенство имеет единственное решение х = 0, а если а<0, то это неравенство не имеет решений. Если в неравенстве |х|^а число а меньше или равно нулю, то любое число является его решением. Устные вопросы и задания 1. Сформулировать определение модуля числа. 2. В чём заключается геометрический смысл модуля числа? 3. Сколько корней имеет уравнение |дг| = а, если а>0; а = 0? 4. Решить уравнение |х| = -7. 5. Что является решениями неравенств |х|<а и \х\>а, если а>0? 6. Решить неравенство |дг|^а, если а = 0; а<0. 7. Решить неравенство |х|^а, если а<0. 8. Привести пример неравенства, которому удовлетворяет множество чисел, изображённых на числовой оси (рис. 26, 27). а) -2 б) г л Рис. 26 а) б) -5 -С -4 Рис. 27 Вводные упражнения [ 1. На каком расстоянии от точки О на числовой оси расположено число 3,75; -5,12; 0; -1^? О 2. Назвать целые числа, принадлежащие отрезку [-2; 2]. Каждое из них сравнить с модулем числа -2. 3. Назвать число, соответствующее середине отрезка [-7; 7]. 4. Назвать самое большое целое отрицательное число, модуль которого больше чем 6. 64 Глава I. Неравенства 5. Назвать самое маленькое натуральное число, модуль которого больше чем 3. Упражнения [ 149. (Устно.) Найти модуль числа: 2. 1) 23; 2) 4,7; 3) 7’ 4) -47; 5) -2,1; 6) ^ 8 Решить уравнение (150—153). 150. 1) |д:| = 2,5; 2)|л:| = 1,5; 151. 1) |л: + 4| = 0; 152. 1) |Зх-5| = 5; 3) 3 6 2) |л:-2| = 0; 2) |4х + 3| = 2; 4) 3) |х-1| = 2; 3) |2x-3| = 0; 4) |х + 3| = 3. 4) |3-4х| = 0. 4 2 153. 1) |-лг| = 3,4; 4) |3-д:| = 8; 2) |-л:1 = 2,1; 3) |5-д:| = 5; 5) |4-5х| = 5; 6) |3-4х| = 3. 154. Изобразить на числовой оси множество решений неравенства: 1) |л:1<5; 2) 1x^4; 3) |х|^3; 4) |х|>2. 155. Записать неравенство с модулем в виде двойного неравенства: 1) |х|^3; 2) |х|<2. 156. Двойное неравенство записать в виде одного неравенства с модулем: 1)-3,1<х<3,1; 2) -0,3<х^0,3. Решить неравенство (157—160). 157. 1) |1 + х|<0,3; 2) |2-1-х|<0,2; 4) 11-х|<|; 158. 1) |Зх-4|<5; 4) |5-4х|^1; 159. 1) |х-1-1|>1,3; 5) |3-х|^|; 2) |2х-1-3|<3; 5) |2-Зх|^2; 3) |х-1-0,51 <1,5; 6) I- «2. 3) |2х-1-1|<-3; 6) |3x-f7|^-2. 2)|х-2|^1,1; 3)|1-х|>|; 4)|3-х|>|. § 10. Модуль числа. Уравнения и неравенства содержащие модуль 65 160. 1) |4x-3|^3; 2)|Зл: + 2|>1; 3) |3x-2|>4; 4) \4-5x\>4. 161. Найти все целые значения х, при которых выполняется неравенство: 1) |5х-2|<8; 2) |5х + 3|<7; 3)|5-3д:|<1; 4) |3-4х|^3. 162. Решить неравенство: 1) |2х-3|>5; 2)|Зх-1|<4; 3)ll-3x|^l; 4) |3-2л:|>3; 5) |0,3- 1,3д:|<2,3; 6) |1,2-0,8д;|^2,8. 163. Решить двойное неравенство, записав его в виде системы двух неравенств: 1) -3 < 2х - 9 ^ 1; 2) 3 < Зд: -I-1 < 5; 3) -4^ 1 -0,2д:^1,2; 4) -3^2 + 1,5х<-2,5. 164. При каких значениях х выполняется равенство: 1) |х-1-31 = X-1-3; 2)|х-2| = 2-х? 165. Пусть а < 0. Выяснить, положительно или отрицательно значение выражения: 1) а-|а|; 2) |-а|-а; 3) а^|а|; 4) 166. Выяснить, положительно или отрицательно число о, если: 1) а®|а|<0; 2) а|ар>0; 3) |^>0; 4) i^<0. а 167 3) 168, Доказать, что: 1) |а • 5| = |а| • |Ь| при любых а и Ь; 2) |а"| = |а|" при любом а и любом натуральном п; Д = liSi при любом а и любом Ь^О; Ь |Ь| 4) |а"| = о" при любом а, если п — чётное натургшьное число; 5) 1а'*| = -а'’, если а<0 и п — нечётное натуральное число. Доказать, что число \а-Ь\ равно расстоянию между точками а VI Ь числовой оси. 169.1 Доказать, что ||а|-|5Ц<|а-1-5|<1а|-1-|Ь| для любых чисел а и Ь. 66 Глава I. Неравенства Два неизвестных под знаками модулей Профессор, Вы нас знакомили с решением неравенств с двумя неизвестными. Наверное, если в неравенстве неизвестные будут под знаками модулей, то найти решение такого неравенства будет очень сложно? Я как раз хотел предложить вам неравенство с модулями, решение которого очень просто найти, если знаешь теорию. Решим неравенство |3х—l|-t-|5-2у|^0. Сумма модулей не больше нуля... Ты близка к решению. Может ли модуль числа быть отрицательным? Какое наименьшее значение может принимать модуль выражения с неизвестным? Я понял. Сумма двух неотрицательных чисел должна быть неотрицательной. Это возможно, только когда оба слагаемых — нули. Значит, наше неравенство имеет решение, когда Здс - 1 = о и 5 - 2г/ = о, т. е. при д: = ^ и у = 2^. 3 2 Молодец. Решил непростое на первый взгляд неравенство. ■ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I Решить уравнение (170—171). 170. 1) х(2х + 5) = 0\ 3) (x-5)(3x + l) = 0; 2) х(Зх-4) = 0; 4) (д:-1-4)(2д:-1) = 0. 04 {2х + 1){х + 2) х-3 2) ^^ = 0; 2х + о (д; - 3)(2д: + 4) _ Q х + 1 172. На числовой оси точка а лежит левее точки Ь. Положительно или отрицательно число: 1) 6-а; 2) 2-1-6-а; 3)а-6; 4) а-3-6? Упражнения к главе I 67 173. Доказать, что: 1) 9л:^ + 1^6л: при любом х; 3) £ + 5^-|^ при л;<0; .. (2л: - 1)(2х +1) 1 о 4) ' >---- при х>3. 2) + при л:>0; 16л: 2 л:-3 3 - л: 174. Доказать, что: 1) если ЗЬ - а< а - Ь, то а>2Ь; 2) если 2Ь + а>2а-Ь, то а < 36; о\ л d Ь 3) если------> — + —, то а < 6; 3 6 3 6 4) если 1,246 - 0,37а < 2,63а - 1,766, то а >6. 175. Доказать, что: 1) если л: <1,2 и у <5, то л:+ ^<6,2; 2) если и г/>2, то ху>^. 176. Доказать, что если х>-3 и г/>1, то: 1) -х + -у>-~; ^3 7^ 7 2) |x + |i/>-l; 3) 2,7л: + l,li/>-7; 4) 1,1л: + 2,7i/>-0,7. 177. Пусть а>6>0. Доказать, что: 1) а^>6®; 2) а^>аЬ^; 3) а*>а^Ь^; 4) а^Ь^>Ь\ 178. Решить неравенство: 1) л: + 9>8-4л:; 2) 3(у+ 4)5:4-(1-Зу); 3) 5(0,2 + г/)- 1,8>4,3 + 5i/; 4) 3(л:-5) + 9> 15. 179. Решить систему неравенств: 0,5(л: + 3) - 0,8 < 0,4(л: + 2) - 0,3, 0,7(2 -х) + 1,3 < 0,6(1 - л:) + 2,2; 1) 2) 3) 1,5(л: - 2) - 2,1 < 1,3(л: -1) + 2,5, 1,3(л: + 3) + 1,7 > 1,6(л: + 2) + 1,8. 3,4(л: + 1) + 0,4 ^ 1,9(л: - 2) + 1,6, 2,8(л: + 3) - л: ^ 2,2(л: + 4) - 1,2. 68 Глава I. Неравенства 180. Множество чисел х, изображённое на рисунке 28, записать в виде двойного неравенства и неравенства, содержащего знак модуля. 181. Множество чисел х, изображённое на рисунке 29, записать в виде неравенства, содержащего знак модуля. а) а) -5 0 5 ► б) / , Л -3 0 3 в) / 0 4 г) г 0 4 д) г -4 -2 е) Г Л -6 -2 Рис. 28 -5 # 1— -3 0 б) ^ 1 3 Г" —► -2 0 2 в) 1 3 г) Г 2 4 д) -4 -2 е) __щА -3 Рис. 29 182. Решить уравнение: 1) |х-1| = 3,4; 2) |1-л:| = 2,4; 3) |1-2х| = 5; 4)|3x-2|=l. 183. Решить неравенство: 1) |л:-1|<3,4; 2) |x-1|^3,4; 4) |2x+l|^3; 5)|5х+1|<3; 3) |x-ll<3,4; 6) |4л:-0,8|^2. Упражнения к главе I 69 184. Пусть а < 26. Доказать, что: 1) 4а-26<а + 46; 2) За-2Ь<а + 2Ь; 3) а + 26>За-26; 4) а + 6>4а-56. 185. Одна сторона треугольника больше 4 см, вторая в 1,5 раза больше первой, третья в 1,5 раза больше второй. Доказать, что периметр треугольника больше 19 см. 186. Указать значения х (если они существуют), при которых значения функций у = -х+1 и у = х + 2 одновременно: 1) положительны; 2) отрицательны; 3) больше 1; 4) больше 2. Ответ проиллюстрировать с помощью графиков данных функций, построенных на одной координатной плоскости. 187. Решить систему неравенств: 1) 2) 3) 4) 0,4(л: + 3) - 1,7 ^ 0,3(х - 5) + 0,7х, 0,4(х - 1) + 0,5х > 0,3(х + 5) - 0,9; дг + 4 ^ 2л: - 3 7 6х-8 5 ’ 3 + 5дг 3 7-х -3< 4 ’ 3 + 4л: ^ + 5(4 - д:) > 2(4 - д:)-1-13; О 0,4x-f-|<|A:-l,2, 2д: + 9 ^ 5х - 3 188. Сумма чётного числа с утроенным последующим чётным числом больше 134, а сумма этого же чётного числа с удвоенным предыдущим чётным числом меньше 104. Найти это число. 189. Сумма нечётного числа с удвоенным последующим нечётным числом меньше 151, а сумма этого же нечётного числа с утроенным предыдущим нечётным числом больше 174. Найти это число. 190.1 Бригада рабочих за 5 дней изготовила меньше 300 деталей, а за 10 дней — больше 500 детешей. Сколько деталей в день изготовил каждый рабочий, если в бригаде 8 человек и производительность труда рабочих одинакова? 70 Глава I. Неравенства 191.1 За 8 рейсов автобус перевёз больше 185 пассажиров, а за 15 рейсов — меньше 370 пассажиров. Сколько мест в автобусе, если в каждом рейсе автобус перевозил ровно столько пассажиров, сколько мест в автобусе? 192.1 Доказать, что: 1) 2Ь-а<За-2Ь тогда и только тогда, когда а>Ь; 2) а + 2Ь>4а-Ь тогда и только тогда, когда а<Ь; 3) а - 26 > За + 25 тогда и только тогда, когда а -н 26 < 0; 4) 6-2а<4а+ 36 тогда и только тогда, когда За + 6>0. 193.1 Скорость течения реки равна а километрам в час. С какой постоянной скоростью относительно воды должен двигаться катер, чтобы путь между пристанями он прошёл вниз по течению реки по крайней мере в 3 раза быстрее, чем тот же путь вверх по течению реки? 194.1 В раствор объёмом 5 л, содержащий 30% кислоты, начали вливать раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько нужно влить второго раствора в первый, чтобы их смесь содержала не менее 60% кислоты? 195.1 Доказать, что если |д:-а| = |д:-б|, где а <6, то х — середина отрезка [а; 6], т. е. х=- 196.1 Решить уравнение: 1) |д:-1| = |х-2|; 2) |х-5| = |д:-8|; 3) \х+1\ = \х-2\; 4) |д: + 3| = 1л:-5|; 5) |л: + 3| = lx + 7|; 6) |x + б| = |x + 10|. ПРАКТИЧЕСКИЕ и ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 1. Волосы на голове человека растут со скоростью примерно 0,4 мм в сутки. Определить наибольший промежуток времени между двумя посещениями парикмахерской мальчиком, который хочет носить волосы длиной не короче 3 см, но и не длиннее 5 см. 2. Для того чтобы температуру С, выраженную в градусах по шкале Цельсия, перевести в температуру F, выраженную в градусах К по шкале Фаренгейта, пользуются формулой F = ^ С + 32. Опреде- лить: 1) F, если 10^0^25; 2) С, если 5 < F < 32. Практические и прикладные задачи 71 3. в некотором городе оплата за услуги телефонной связи определяется следующим образом. Каждый абонент платит ежемесячно 400 р. плюс 0,2 р. за каждую минуту разговора. Какое наибольшее время разговоров по телефону может позволить себе абонент в месяц, если не хочет, чтобы ежемесячная оплата услуг телефонной связи превысила 700 р.? 4. По закону Гука при малых деформациях сила упругости пря- мо пропорциональна величине деформации. При растяжении и сжатии пружины модуль силы упругости (выраженный в ньютонах) находится по формуле Fy„p = /e • |x|, где k — коэффициент упругости пружины (выраженный в ньютонах на метр), X — удлинение пружины (выраженное в метрах). Определить силу упругости Т^упр для пружины, имеющей k = 200, если 0,1 ^д:^0,5. 5. Оценить кинетическую энергию £(Дж) тела массой т(кг), движущегося со скоростью V (м/с), если: 1) 2^т^3, 1^у<2; ,2 2) 3 2,8. Можно ли оставлять на зиму сеголетков карпа массой 25 г и длиной 9,5 см? 8. На экзамене по математике студенту предлагают решить 12 задач. За каждую решённую задачу начисляют 8 баллов, за каждую нерешённую снимают 2 балла. Для того чтобы получить положительную оценку, необходимо набрать не менее 56 баллов. Сколько задач нужно решить, чтобы получить положительную оценку? 9. Центростремительное ускорение а„ (м/с^) тела, равномерно движущегося по окружности, находится по формуле о,^^= где R V (м/с) — линейная скорость движения тела, R (м) — радиус обращения. Оценить величину центростремительного ускорения, если 0,5^Ж 1, 2^и<6. 72 Глава I. Неравенства в этой главе вы узнали, Г что такое: — числовое неравенство; — строгое и нестрогое неравенство; — линейное неравенство с одним неизвестным; — решение неравенства с одним неизвестным; — решение системы неравенств с одним неизвестным; — числовые промежутки (луч, отрезок, интервгш, полуинтервал); — модуль числа; как: — сравнивать числа; — доказывать неравенства; — применять основные свойства неравенств, теоремы сложения и умножения в действиях с неравенствами; — решать неравенства и системы неравенств с одним неизвестным; — решать уравнения и неравенства, содержащие модуль. 2. Решить неравенство: а) 12-5х>0; б) Зх-7<4(x +2); в) 2+ —<2. 3. Решить систему неравенств: а) (Зх - 13 >О, б) 14х -13>3х-10, l25-4x>0; 1и-4х^12-3д:; в) 5д: + 3 < Зл: - 7, 1 - 2х > X + 4. Практические и прикладные задачи 73 ш 5. 6. Доказать, что при любых значениях а верно неравенство (а - 2)(а^ -f а -I- 4) < а®. Пусть а>5, Ь>1, оЗ. Доказать, что 2а-1-ЗЬс>15. Решить неравенство: а) т=^>0; б) Зл: - 8 ' ’ ' 2 4 Решить систему неравенств: а) б) 8. 9дс -I- 5 < 7х - 4, 15 - 2д: > Зх -I-1; Решить неравенство: а) |х-2|<8; б)|4х-1-1|>5 |0,6х-1,2 <1,1х-1-2,1, 2,3 + 1,7х < 1,5х -f 3. 9. Пусть а<Ь и числа а и Ь — отрицательные. Доказать, что а*>Ь*. Доказать, что —-f-^2, если аЬ>0. Ь а I 10. 11. При каких значениях х точки графика функции I/ = - 8 лежат ниже точек графика функции У = _|х-н5? 12. Решить двойное неравенство -1 <5-0,2x^3. 13. Решить неравенство 14х - 31 < Зх -I-1. ■■ ТЕМЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ 1. Решение с помощью графиков неравенств, содержащих неизвестное под знаком модуля. 2. Методы доказательства неравенств. 3. Неравенства в геометрии. 4. Решение неравенств с параметрами. 5. Неравенства в «Началах» Евклида. Приближённые вычисления №. ^ древних времён люди занимались подсчётом предметов и измерением различных величин. Однако при подсчётах большого количества предметов и при громоздких вычислениях редко удавалось получать точные результаты. Измерения величин тоже давали приближённые значения, так как не существует абсолютно точных измерительных инструментов. А измерение одной и той же величины разными способами или разными приборами даёт похожие, но всё же разные результаты. При решении практических задач людям приходится иметь дело в основном с приближёнными значениями величин. Например, при геодезических и астрономических измерениях, какими бы совершенными приборами и как бы тщательно они ни производились, результаты выражаются приближёнными числами. Каждый понимает, что при покупке 1 кг сахара он приобретает, скорее всего, на несколько граммов продукта больше или меньше. Слушая по радио информацию о том, что на выборах за какого-то кандидата в регионе проголосовало 31,28% избирателей, I мы мысленно прикидываем; даже от 1 млн избирателей I данное число процентов составляет 312 800 человек. И понимаем, что число проголосовавших в действительности на несколько десятков человек больше или меньше (чис-|ло 312 800 — результат округления истинного значения проголосовавших до сотен человек). Округлять числа вы научились в младших классах и знаете, например, как округлять числа до десятых долей: 3,48 « 3,5; 3,45 = 3,5; 3,43 » 3,4 (если в разряде сотых стоит число не меньше 5, то округляем с избытком, если меньше —с недостатком). Округлением чисел, записью приближённых значений величин люди занимаются постоянно: при составлении планов развития отраслей народного хозяйства (на государственном уровне) и при планировании бюджета семьи; при измерении больших и малых величин и т. д. Важно только знать, с какой точностью следует выполнять то или иное вычисление или измерение. Например, все понимают, что расстояние от Земли I до Луны с точностью до метра измерить сложно и вряд ли нужно. С теорией приближённых вычислений, важной для I любой деятельности, вы познакомитесь в этой главе. :й риближённые значения величин, огрешность приближения При подсчёте большого количества предметов (например, деревьев в лесу), при измерениях различных величин (например, длины отрезка, массы тела, температуры воздуха), при округлении чисел, при вычислениях на микрокалькуляторе и т. д. обычно получают приближённые значения величин, чисел. При этом в разных случаях получают и разные погрешности результатов действий. В этом параграфе вы познакомитесь с понятием абсолютной погрешности — одной из характеристик приближения. Нужно вспомнить: ■ понятие модуля числа; ■ единицы длины; ■ единицы величины угла; ■ теорему о сумме углов треугольника. При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями различных величин. Рассмотрим несколько примеров: 1) в классе 36 учеников; 2) в рабочем посёлке 10 000 жителей; 3) железнодорожный рельс имеет длину 25 м; 4) рабочий получил в кассе 12 576 р.; 5) в самолёте Як-42 имеется 120 пассажирских мест; 6) расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом 650 км; 7) в килограмме пшеницы содержится 30 000 зёрен; 8) расстояние от Земли до Солнца 1,5-10® км. В примерах 1, 4, 5 значения величин точные, а в остальных — приближённые. Задача 1. Один из школьников на вопрос о том, сколько учащихся учится в школе, ответил: «приблизительно 1000*, а другой на тот же вопрос ответил: «приблизительно 950». Чей ответ точнее, если в школе учится 986 учащихся? ► Первый школьник ошибся на 14, а второй — на 36. Следовательно, более точным был ответ первого учащегося. <1 76 Глава II. Приближённые вычисления Разность между точным и приближённым значениями числа учащихся в первом случае отрицательна: 986 -1000 = -14, а во втором случае положительна: 986-950 = 36. Практически важно знать отклонение приближённого значения от точного в ту или иную сторону, т. е. модуль (абсолютную величину) разности между точным значением и приближённым. Модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением называется абсолютной погрешностью приближения. Таким образом, если а — приближённое значение величины, точное значение которой равно х, то абсолютная погрешность приближения равна [л:-а|. Абсолютную погрешность приближения часто называют просто погреш ностью. Задача 2. При нахождении суммы углов треугольника с помощью транспортира получили результат 182°. Какова абсолютная погрешность этого приближения? ► Точное значение суммы углов треугольника равно 180°, приближённое значение равно 182°. Поэтому абсолютная погрешность равна 2°, так как 1180-182| = |-2| = 2. <] О Задача 3. Найти погрешность приближения числа - десятичной дробью 0,43. - - 0,43 3 43 300-301 1 7 7 100 700 700 1 700 ■ Устные вопросы и задания 1. Что называют абсолютной погрешностью приближения? 2. Как найти абсолютную погрешность приближения, если с — приближённое значение числа у? Вводные упражнения | 1. Найти модуль числа -7; 0,2; 0. 2. Найти модуль разности чисел: 1) 5 и 12; 2) -3 и -8; 3) -4 и 12; 3. Найти /.А треугольника АВС, если: 1) Z5 = 15°, ZC = 65°; 2) Z5 = 120°, ZC = 23°. 4) 3 и -9. § 11. Приближённые значения величин 77 4. Выразить в сантиметрах 5 м; 1,2 дм; 27 мм; 4 мм. 5. Выразить в метрах 263 см; 39 см; 56 мм; 491 мм. Упражнения 197. Высказать предположение, какие из приведённых в примерах чисел являются точными значениями величин, а какие приближёнными: 1) в зрительном зале 660 мест; 2) тетрадь имеет толщину 3 мм; 3) за год автомобильным заводом было выпущено 600 тыс. автомобилей. 198. При измерении ширины обложки книги с помощью линейки получен результат в промежутке от 14,2 до 14,3 см. 1) Можно ли назвать точное значение ширины книги? 2) Указать несколько приближённых значений ширины книги. 4 199. Найти абсолютную погрешность приближения числа — чис- лом: 1) А; 2) i; 3) 0,3; 4) 0,44. 1о 200. Найти погрешность приближения: 1) числа 0,1975 числом 0,198; 2) числа -3,254 числом -3,25; 8 1 3) числа----числом —; 17 2 4) числа 22 числом 3,14. 201. Пусть а — приближённое значение числа х. Найти погрешность приближения, если: 1) л: = 5,346, 0 = 5,3; 2) х = 4,82, о = 4,9; 3) х = 15,9, 0 = 16; 4) л: = 25,08, о = 25. 202. Известно, что сумма внутренних углов четырёхугольника равна 360°. При нахождении суммы внутренних углов четырёхугольника с помощью транспортира получили результат 363°. Чему равна погрешность приближения? 203. С помощью графиков функций у = 7х + 9 и у=1 получили, что эти графики пересекаются в точке с абсциссой, равной -1. Чему равна погрешность этого приближения? 78 Глава II. Приближённые вычисления 204. Верно ли, что десятичная дробь 0,33 является приближённым значением числа ^ с абсолютной погрешностью, меньшей 0,01? ® 205.1 Приближённое значение числа х равно 2,4, абсолютная погрешность меньше 0,1. Найти промежуток, в котором заключено точное значение х. 20в.| Пусть 7,43 — приближённое значение числа х, а абсолютная погрешность приближения меньше 0,01. В каком промежутке заключено точное значение числа х1 В Графический способ как приближённый способ решения уравнений Я поверил авторам учебника, что построенные ими гра-А* * фики функций у = 7д:-1-9 и у = 1 в упражнении 203 пересеклись в точке с абсциссой, примерно равной -1. За- у = 7х + 9. тем решил систему уравнении У = 1. Решал я такую систему потому, что в задаче речь идёт о точке пересечения графиков данных функций, т. е. об общей их точке. Я нашёл абсциссу такой точки: х = -1^. Затем определил погрешность приближения числа -1-i числом -1: 7 -lf-(-l) 1^4 Что ж, ты решал задачу верно. Только можно было решать не систему, а сразу уравнение 7д:-н9=1, так как точка пересечения графиков данных функций имеет общую для них ординату у=1. То есть в упражнении 203 графически решалось уравнение 7х + 9=\ и находилось приближённое значение его корня? Верно. Попробуйте теперь самостоятельно решить графическим способом уравнение —-1 = |ж|-2. 3 ■f § 11. Приближённые значения величин 79 А затем сравните найденные абсциссы точек пересечения графиков функций у = ^-1 иу = |л:|-2с точными значениями кор-ней исходного уравнения. Наверно, не всегда легко найти точные значения корней некоторых уравнений... Действительно, существует много видов уравнений, точ-! ные значения корней которых найти очень сложно. А графически или с помощью других способов можно найти их приближённые значения. Ещё древние китайские, арабские и среднеазиатские учёные разрабатывали такие способы. В Европе приближёнными способами (методами) находили корни алгебраических уравнений Ф. Виет и И. Ньютон. Общие же методы графического решения уравнений впервые изложил в своей книге «Геометрия* Р. Декарт. Сегодня методы численного (приближённого) решения уравнений применяются во многих областях науки и техники. ► •' :W •'-i; л R.HWWf.r'W ценка погрешности При решении практической задачи не всегда удаётся определить точное значение измеряемой величины. Но оценить погрешность измерения и определить диапазон, которому принадлежит точное значение величины, — задача реальная. Решению таких задач вы и научитесь при изучении данного параграфа. Нужно вспомнить: ■ понятие абсолютной погрешности приближения; ■ понятие двойного неравенства; в решение неравенства вида 1л:|^с; |д: —а|^с; ■ единицы длины, массы. Во многих случаях точное значение величины неизвестно, и тогда абсолютную погрешность приближения найти нельзя. Тем не менее часто удаётся дать оценку абсолютной погрешности, если известны приближения с избытком и с недостатком. 80 Глава II. Приближённые вычисления Задача 1. В комнатном термометре верхний конец столбика жидкости находится между отметками 21 и 22 °С. В качестве приближённого значения температуры взяли величину 21,5°С. Оценить абсолютную погрешность приближения указанного измерения. ► Точное значение температуры t неизвестно, однако можно утверждать, что 21^i^22. Чтобы получить оценку разности между точным значением температуры и приближённым, т. е. разности <-21,5, вычтем из каждой части этого двойного неравенства число 21,5. Получим -0,5^<-21,5^0,5, т. е. |<-21,5|^0,5. Таким образом, абсолютная погрешность не больше 0,5. В этом случае говорят также, что температура измерена с точностью до 0,5, и записывают: < = 21,5 ±0,5. О Если а — приближённое значение числа х и | х - а | ^ Л, то говорят, что число X равно числу а с точностью до h, и пишут: x = a±h. (1) При этом h называют границей абсолютной погрешности. Напомним, что неравенство |х-а|<Л означает то же самое, что и двойное неравенство а-Л<х^а±Л. (2) Например, запись х = 2,43 ±0,01 означает, что значение х равно 2,43 с точностью до 0,01, т. е. 2,43-0,01 ^х<2,43 ±0,01, или 2,42<х^2,44. Числа 2,42 и 2,44 являются приближёнными значениями числа X с недостатком и с избытком. Практически при измерении, рассмотренном в задаче 1, в качестве приближённого значения берут 21 или 22 °С. В этом случае абсолютная погрешность каждого из этих приближений не превосходит 1 °С. Поэтому обычно считают, что измерение температуры с помощью термометра, на котором деления нанесены через 1 °С, проводится с точностью до 1 °С. Аналогично и для других измерительных приборов точность измерения обычно устанавливается по наименьшему делению прибора. Например, микрометром измеряют длину с точностью до 0,01 мм; медицинским термометром измеряют температуру с точностью до 0,1 °С; будильник показывает время с точностью до 1 мин; наручные часы с секундной стрелкой показывают врюмя с точностью до 1 с. § 12. Оценка погрешности 81 Таким образом, погрешность измерения зависит от того, каким прибором ведётся это измерение. Чем меньше погрешность приближения, тем точнее измерительный прибор. Приближёнными значениями часто пользуются при замене обыкновенных дробей десятичными. Задача 2. Доказать, что число 0,43 является приближённым зна- 13 чением дроби — с точностью до 0,01. oU ► Требуется доказать, что ^0,01. Вычислим разность 13_o^43^13_J3.^ 130-129^^ 3^ 30 30 100 300 300 - 0.43 30 1 300 ■ Так как -— < 0,01, то 300 ^0,01. < Устные вопросы и задания 1. Что означает запись x = a±h, где а — приближённое значение числа X? Как в этой записи называют Л? 2. Как с помощью двойного неравенства записывается неравенство |х-а|<Л? 3. Как установить точность измерительного прибора? 4. Как доказать, что число 0,7 является приближённым значени- 2 ем дроби - с точностью до 0,1? Вводные упражнения 1. Решить неравенство: 1) 1х1>5; 2) |х|^-5; 3) 1x1^2; 2. Записать в виде двойного неравенства: 1)|х|<12; 2) |х|<8; 3) |х-9|^3; 3. Решить неравенство: l)|x-l-5l>4; 2)|х-10|^3; 3)|х-1|^7; _£ 75 записаны в виде конечной десятичной дроби? -о .. й 11 3 24 7 5. Записать в виде десятичной дроби: —; ——; —; OU 1^5 ^эи 2 5 3 6. Записать в виде десятичной периодической дроби: -. 3 О 7 4. Какие из дробей |, i, А, 4) |д:|<-2. 4) |х + 41<1. 4) |x-f-3l<2. —^ не могут быть 125 82 Глава II. Приближённые вычисления Упражнения 207. Что означает запись: 1) x = 3,9±0,2; 2) х = 0,4±0Д5; в) ^: = -2i±i? 3) г = 3,7±0Д; 6) у = т±п. 4) л: = 0,73±0,01; 5)x = -135±l; 208. Записать в виде двойного неравенства: l)jc = ll±0,5; 2)/п = 142±1; 4) у = 900±5; 5) x = a±h; 209. Найти приближённые значения числа х с недостатком и с избытком, если известно, что: 1) х = 4±0,1; 2) л: = 2,7±0,1; 3) д: = -0,6±0,12; 4) х = -5,9±0,2. 210. Пусть х = 5,8 ±0,2. Может ли точное значение оказаться равным: 1) 5,9; 2) 6,001; 3) 6; 4) 5,81? 211. Пусть х = 8,7±0,4. Может ли число х быть равным: 1) 8,222; 2) 8,4; 3) 9; 4) 9,5? 212. Указать приближённое значение числа х, равное среднему арифметическому приближений с недостатком и с избытком: 1) 20Кх<22; 2) 5^х^6; 3) 4,5<х<4,8; 4) 3,7^х<4,1; 5) 2,81 2,83; 6) 0,55^х^0,б. 213. Доказать, что: 1) 2,7 есть приближённое значение 2,7356 с точностью до 0,5; 2) число 0,27 является приближённым значением дроби — с точностью до 0,01. 214. Является ли число 4 приближённым значением дроби 4,3 с точностью до 0,5? до 0,1? 215. Согласно оптическим и радиолокационным измерениям диаметр Меркурия равен (4880 ± 2) км, а радиус Венеры равен (6050 ± 5) км. Записать результат измерения в виде двойного неравенства. 216. Для измерения диаметра цилиндра рабочий пользуется калиброметром, в котором имеются отверстия диаметром 10,00; 10,04; 10,08; 10,56 мм. Какова точность измерения? 217. В отделе технического контроля завода измеряется диаметр вала с точностью до 0,1 мм. По таблице допусков диаметр d вала должен быть в промежутке 167,8 < 168,2. Забракуют ли вал, если его диаметр равен 168,1 мм? § 12. Оценка погрешности 83 218, Высота собора Петропавловской крепости в Санкт-Петербурге 122 м. Экскурсовод сказал, что высота собора приближённо равна 120 м. Какова погрешность такого приближения? 219, При взвешивании тела на вторую чашку весов положили 4 гири, массы которых соответственно равны 100 г, 2 г, 100 мг, 10 мг, после чего весы уравновесились. Чему равна масса тела (в мг)? Оценить точность измерения. г аво машинисту электрички отставать от расписания или немного опережать его? На сколько минут или секунд он может отстать от расписания? Конкретно в этой ситуации право машинисту никто не ji даёт. Он должен ехать по расписанию. Но абсолютно точно следовать расписанию невозможно. Большое число поездок 84 Глава II. Приближённые вычисления на электропоезде само определяет границу абсолютной погрешности прибытия поезда на нужную станцию в срок. На формирование этой погрешности влияет много факторов: погодные условия, ремонтные работы, человеческий фактор и т. д. В каждой житейской ситуации величина абсолютной погрешности приближения определяется конкретными условиями или требованиями. Приведите, пожалуйста, примеры понятных нам жизнен-ных ситуаций, в которых известно, с какой погрешно-' стью выполнено приближение. Хорошо, приведу несколько примеров. Отклонение на 15 с в ту или иную сторону от времени отправления поезда по расписанию не считается нарушением графика движения. Норма высева семян в сельском хозяйстве определяется с точностью 3—5 кг на гектар площади посева. При определении времени движения лыжников при скоростном спуске на спортивных соревнованиях учитывают сотые доли секунды. При измерении диаметра трубы газопровода допускается погрешность до 1 мм. В астрономии при наблюдении за движением небесных тел момент прохождения светила через меридиан определяется с точностью до тысячных долей секунды. С'кругление чисел в этом параграфе вы встретитесь с понятием округления чисел и научитесь округлять числа с наперёд заданной точностью. Нужно вспомнить: названия разрядов записи числа в десятичной системе счисления; запись обыкновенной дроби в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби; единицы измерения длины, площади, массы, времени, скорости; понятие модуля числа. § 13. Округление чисел 85 Округление чисел используется при действиях с приближёнными значениями различных величин во многих практических задачах математики, физики, техники. Например, ускорение свободного падения на уровне моря и широте 45° равно 9,80665 м/с^. Обычно это число округляют до десятых: 9,8. При этом пишут: ^ = 9,8 (читается *g приближённо равно 9,8*). О Запись х~а означает, что число а является приближённым значением числа х. Задача 1. Площадь земельного участка прямоугольной формы равна 25 м^, его длина равна 8 м. Найти ширину участка. ► Пусть ширина участка равна I метров, тогда / = 25:8 = 3,125. Ответ. 3,125 м. < Полученную ширину участка на практике округлили бы до десятых, т. е. полагали бы, что Z = 3,l. Рассмотрим правило округления чисел на следующем примере. Пусть требуется округлить число 3,647 до сотых. Для округления с недостатком отбросим последнюю цифру 7, в результате получим 3,64. Для округления с избытком отбросим последнюю цифру 7, а предпоследнюю увеличим на единицу. В результате получим 3,65. В первом случае абсолютная погрешность округления равна 13,647 - 3,641 = 0,007. Во втором случае абсолютная погрешность равна 13,647 - 3,651 = 0,003. Во втором случае погрешность приближения меньше, чем в первом случае. Следовательно, в рассматриваемом примере наилучшим является округление с избытком. Чтобы абсолютная погрешность приближения при округлении положительных чисел была наименьшей, пользуются правилом: Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то нужно округлять с недостатком, а если эта цифра больше или равна 5, то нужно округлять с избытком. Например, при округлении до десятых получаем: 3,647 ~ 3,6, 2,658 = 2,7; при округлении до сотых получаем: 0,6532 = 0,65, 9,0374 = 9,04. О Задача 2. Заменить число — десятичной дробью, равной этому числу с точностью до 0,01. ► Запишем результат деления 2 на 7 в виде десятичной дро- 2 би с тремя знаками после запятой: - = 0,285— Округляя это 2 * число до сотых, получаем - = 0,29. <0 86 Глава II. Приближённые вычисления Чтобы получить значение с точностью до 0,01, было найдено зна- О чение - с тремя знаками после запятой. Если бы потребовалось най- 2 ти приближённое значение числа - с точностью до 0,001, то надо было бы найти четыре десятичных знака. Устные вопросы и задания 1. Что называют абсолютной погрешностью округления? 2. Что означает запись у~Ь7 3. Сформулировать правило округления положительных чисел. Вводные упражнения 7 15 1. Записать в виде десятичной дроби: ; 8 40 16 о л 2. Записать в виде периодической дроби: —; —. 1о 1 I 3. Выразить данную скорость в метрах в секунду: 1) 120 м/мин; 2) 600 км/с; 3) 60 км/ч; 4. Решить уравнение: 1) |л:-3| = 15; 2) |7-х| = 3. 5. Решить неравенство: 1)|л:|^1,2; 2) |х|^-5; 3) |д:|<-4; 5)|x-l|<6; 6)|2-л:|^3; 7)|5-л:|^10; 80' 4) 1200 км/ч. 4) |:е|>2,6; 8) |х + 8|>1. Упражнения [ 220. Округлить числа последовательно до тысячных, сотых, десятых долей, единиц, десятков, сотен, тысяч: 3285,05384; 6377,00753; 1234,5336. 221. Округлить числа 15,75 и 317,25 до единиц с недостатком и с избытком. Найти абсолютную погрешность каждого округления. 222. Представить в виде десятичной дроби с точностью до 0,1 число: 1) f; 3. 7’ 2) Щ 25 о\ 39 . ^ 129’ 4) il-^ 3 ’ 5. 6) 1®. ' 11 в виде десятичной дроби с ТОЧНОСТЬЮ ДО 0,01 2) —; ' 99 fi’ 4) 1|; 5) гА; 11 § 13. Округление чисел 87 224. Представить в виде десятичной дрюби с точностью до 0,001 число: 1) 3) 2А; 225. 1) Средняя скорость движения молекулы водорода при 0 °С равна 1693 м/с. Один ученик округлил это число до 1690 м/с, а другой — до 1700 м/с. Найти абсолютную погрешность каждого округления. В каком случае погрешность приближения меньше? 2) Скорость движения пассажирского поезда равна 81,37 км/ч. Машинист округлил это число до 81 км/ч, а пассажир — до 82 км/ч. Найти абсолютную погрешность каждого приближения. У кого из них погрешность приближения оказалась меньше? 226.1 Олень движется со скоростью 13,8 м/с. Выразить эту скорость в километрах в час и округлить с точностью до 1 км/ч. 227.1 Число л ~ 3,141592654 есть отношение длины окружности к её диаметру. 1) Округлить это число до миллионных, тысячных, сотых. 2) С какой точностью проведено округление, если в записи оставлено 5 цифр после запятой? Оценка точности измерений и вычислений в древности Профессор, а как давно людям понадобились приближённые вычисления? Наверное, когда люди стали делать запасы продовольствия и вынуждены были прикидывать, сколько и какой еды нужно запасти, чтобы дожить, например, до весны... Интересно, а все ли люди раньше отличали приближённые величины от точных? А как ты думаешь, все ли взрослые люди понимают, J($1^1 что, отвечая на вопрос «Каков ваш возраст?», они чаще всего дают неточный ответ? Они называют либо полное число прожитых лет, округляя с недостатком свои годы. Либо говорят: «Мне скоро будет столько-то лет», округляя тем самым количество прожитых лет до ближайшего целого числа с избытком. Всё ясно. Думаю, что в повседневной жизни люди всегда понимают, когда они встречаются с точными, а когда с приближёнными значениями величин. Приведите, пожалуйста, ещё примеры того, как и когда в древности люди стгшкивались с неточными значениями величин. 88 Глава II. Приближённые вычисления Раньше люди по солнечным ча-сам только приблизительно определяли время дня. С давних времён люди изобретали мерные ёмкости для жидкостей и сыпучих веществ, затем с их помощью приближённо измеряли объёмы больших ёмкостей. Округляя с избытком, определяли количество шкур животных, необходимых для изготовления одежды, и т. д. С относительная погрешность Для сравнения точности разных приближений одной и той же величины используется абсолютная погрешность. Если же сравниваются точности приближения различных величин, то абсолютной погрешности недостаточно. Допустим, масса арбуза равна (3255 ± 1) г, а масса слитка золота равна (43 ± 1) г. Абсолютные погрешности взвешиваний одинаковы, но очевидно, что арбуз взвешен намного точнее, чем слиток (хотя неточность при взвешивании арбуза менее значима, чем неточность при взвешивании слитка золота). Как находить и сравнивать точности приближений разных величин, вы научитесь в этом параграфе. Нужно вспомнить: ■ понятие абсолютной погрешности; ■ понятие процента; ■ нахождение процентов от числа; ■ выражение в процентах отношения двух чисел; ■ запись числа в виде а • 10", где Ка<10 и п — натуральное число; ■ правило округления чисел. Рассмотрим пример. Расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга равно (65011) км, длина карандаша равна (21,3 ±0,1) см. Абсолютная погрешность в первом случае не больше 1 км, а во втором — § 14. Относительная погрешность 89 не больше 1 мм. Означает ли это, что длина карандаша измерена точнее, чем расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга? При измерении расстояния от Москвы до Санкт-Петербурга абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что состав- ляет • 100% « 0,15% измеряемой величины. При измерении длины карандаша абсолютная погрешность не превышает 0,1 см на 21,3 см, что составляет • 100% ~ 0,47% измеряемой величины. Таким образом, расстояние между городами измерено точнее, чем длина карандаша. Для оценки качества приближения вводится относительная погрешность. О Определение. Относительной погрешностью называют частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения величины. Итак, если а — приближённое значение числа х, то абсолютная U-g| |а| ■ погрешность равна \х-а\, а относительная погрешность равна Относительную погрешность обычно выражают в процентах. Задача. Приближённое значение массы Земли равно (5,98 ± 0,01) х X кг. Масса пули охотничьего ружья равна (9 ± 1) г. Какое измерение является более точным? ► Оценим относительную погрешность каждого измерения: 1) 100%~0.2%; 5,98 • 10^^ Ответ. Масса Земли измерена точнее. О 2) - ■ 100%» 11%. 9 Устные вопросы и задания 1. Что называют относительной погрешностью приближения? 2. Знание каких погрешностей даёт возможность сравнивать точности приближения одной и той же величины; разных величин? Вводные упражнения 1. Округлить число 20,548 до сотых; десятых; единиц; десятков. 2. Известно, что х=15,9±1. Найти приближённое значение х с недостатком; с избытком. 90 Глава II. Приближённые вычисления 0(\ 3. Представить — в виде десятичной дроби с точностью до 0,1. 4. Записать число 20 000; 3100; 8150; 72 560 в виде а • 10", где 1^а<10 и п — натургшьное число. Упражнения 228. Округлить число до единиц и найти абсолютную и относительную погрешность округления: 1) 3,45; 2) 10,59; 3) 23,263; 4) 0,892. 229. Найти относительную погрешность приближения: 1) числа - числом 0,33; О 2) числа - числом 0,14. 230. Какое измерение точнее: 1) а = (750±1)м или 6 = (1,25±0,01) м; 2) р = (10,6±0,1) с или д = (1,25±0,01) с? 231. 232. 233. 234. 235, 236. Одновременно различными приборами измерили температуру пара и получили в первом случае f = (104±l) °С, во втором ^ = (103,8 ±0,1) °С, в третьем < = (103,86 ± 0,01) °С. Оценить относительную погрешность каждого измерения. Двое учащихся, выполняя практическую работу на измерение длин отрезков, в результате получили (203 ± 1) мм и (120 ± 1) см. Какой из учащихся выполнил работу качественнее? 1) Приближённое значение числа х равно а. Относительная погрешность этого приближения равна 0,01. Найти абсолютную погрешность, если а = 2,71. 2) Приближённое значение числа х равно Ь. Относительная погрешность этого приближения равна 0,001. Найти абсолютную погрешность, если 5 = 0,398. Масса Солнца (2 ± 0,1) • 10®® г. Масса детского мяча (2,5 ± ±0,1)-10® г. Какое измерение более точное? Выполняя лабораторную работу по физике, связанную с определением удельной теплоёмкости алюминия, ученик получил 922 Дж/кг°С. Какова относительная погрешность приближения, если за точное принять табличное значение удельной теплоёмкости, равное 920 Дж/кг °С? Приближённое значение массы Останкинской телевизионной башни (5,5 ± 0,1) • 10^ кг. Масса трактора К-700 равна (1,1 ± ± 0,1) • Ю"* кг. Какое измерение более точное? § 14. Относительная погрешность 91 Бесконечные суммы цЦ^ Профессор, скажите, пожалуйста, есть ли ещё какие-ни-будь методы или приёмы приближённых вычислений, ^ кроме уже знакомых нам? Конечно есть, например, в XVII в. европейские матема-тики обосновали теорию рядов (бесконечных сумм), с по-iL'^ мощью которой, в частности, стало возможно определять значения многих приближённых величин с любой наперёд заданной степенью точности. В 1682 г. Лейбниц показал, что число ^ представимо в виде 4 бесконечной суммы 1-^4-^-^ + — - — + Если этот ряд «обо- 3 57 9 11 рвать* после третьего числа, то куда п- 52 15 3 5 15 15' 3,47. Попробую «оборвать* ряд после четвёртого слагаемого. Найду новое приближение числа к и сравню его с тем значением, которое мне показывает микрокалькулятор: 3,1415927. Интересно, сколько членов ряда нужно взять, чтобы относительная погрешность приближения стала меньше 1%? Если захочешь, сам ответишь на этот вопрос. Только учти, что микрокалькулятор тоже показывает прибли-жённое значение числа л, но с большой точностью. “Л л; Практические приёмы приближённых вычислений По записи приближённого числа в стандартном виде легко судить о том, каким цифрам числа можно «доверять». В этом параграфе будет дано обобщённое определение стандартного вида числа. Вы научитесь выполнять действия с приближёнными значениями и оценивать точность результатов. Нужно вспомнить: свойства степени; правило округления чисел; понятия абсолютной и относительной погрешностей; действия почленного сложения и умножения неравенств. 92 Глава II. Приближённые вычисления 1. Стандартный вид числа. В алгебре приняты следующие обозначения: 10“= 1, 10*=—, 10-2 = J:-=4x. 10 1Q2 100 10 -3 _ 1 =___i_ lO"" = 10“ 1000’ 10"’ где n — натуральное число. С помощью этих обозначений можно одну и ту же положительную десятичную дробь представить по-разному. Например: 0,0023 = 0,023 • — = 0,023 • Ю'*; 10 0,0023 = 0,23 • = 0,23 • 10-“; 100 0,0023 = 2,3 • -1- = 2,3 • 10-“. 1000 В Определение. Пусть с — натуральное число или положительная конечная десятичная дробь, тогда представление этого числа в виде с = а-10*, (1) где К а < 10, k — целое число, называют записью числа с в стандартном виде. При этом число k называют порядком числа с. Например, порядок числа 324 = 3,24-10“ равен 2; порядок числа 0,0073 = 7,3- 10"“ равен -3; порядок числа 6,8 = 6,8-10° равен 0. При решении многих теоретических и практических задач (особенно при оценке, сравнении результатов вычислений и измерений) важно знать порядок используемых чисел. 2. Верные и сомнительные цифры. Результаты вычислений и измерений (которые являются приближёнными значениями) обычно записывают в виде десятичных дробей. Цифру какого-либо разряда в записи приближённого значения называют верной, если граница абсолютной погрешности не превосходит единицы этого разряда. В противном случае цифру называют сомнительной. Если граница абсолютной погрешности не превосходит половины единицы разряда, следующего за разрядом рассматриваемой цифры, то эту цифру в записи приближённого значения числа называют строго верной. Отсюда следует, что если цифра в записи числа является строго верной, то она является и верной. § 15. Практические приёмы приближённых вычислений 93 Например, если х = 4,056 ± 0,0005, то все цифры в записи приближённого значения 4,056 будут строго верными, так как граница абсолютной погрешности (т. е. число 0,0005) не превосходит половины единицы последнего разряда числа 4,056, т. е. не превосходит 0,001. Так как 0,0005 < 0,001, то можно записать, что д: = 4,056 ± 0,001. В этой записи число 0,001 — граница абсолютной погрешности, при этом в приближённом значении 4,056 все цифры верные. Задача 1. Пусть х = 5,43 ±0,02. Найти верные и сомнительные цифры приближённого значения 5,43. ► Так как 0,02 >0,01, где 0,01 — единица последнего разряда приближённого значения 5,43, то цифра 3 сомнительная. Но уже 0,02^0,1 и 0,02^1, поэтому цифры 4 и 5 верные. <] Приближённые значения принято записывать таким образом, чтобы в их записи все цифры были верными. Заметим, что сформулированное в § 13 правило округления чисел даёт запись приближённых значений, все цифры которых строго верные. Запись вида х~а после применения правил округления говорит о том, что в приближённом значении а числа х все цифры строго верные (а значит, и просто верные). Например, запись х~5,6 означает, что х = 5,6 ±0,05; запись x«5,60 означает, что х = 5,60 ±0,005; запись х~560 означает, что X = 560 ± 0,5. Приближённое равенство х ~ 560 (т. е. х = 560 ± 1) можно записать в виде дс~5,60-10^, чтобы подчеркнуть, что последняя цифра о в приближённом значении верная. Если же дг = 560± 10, то верными являются только цифры 5 и 6, а последняя цифра 0 сомнительная. Поэтому в данном случае приближённое значение 560 записывают в стандартном виде так: 5,6-102. 3. Сложение и вычитание приближённых значений. ТГТГРЕМА Границы абсолютных погрешностей суммы и разности приближённых значений ргшны сумме границ абсолютных погрешностей каждого из приближений. • Пусть x = a±hi, y = b±h^, (2) где /ij и ^2 — границы абсолютных погрешностей чисел а и Ь соответственно. Записи (2) означают, что справедливы двойные неравенства: -hi^x-a^hi, (3) 94 Глава II. Приближённые вычисления Складывая эти неравенства, получаем -(fti + + y)-ia + b)^h^ + Л2, откуда x + y = {a + b)±{hi + h2). (4) Запись (4) означает, что /ij + Л2 — граница абсолютной погрешности суммы приближённых значений. Для оценки разности приближённых значений второе из неравенств (3) умножим на -1 и сложим с первым из неравенств, т. е, сложим неравенства -h^ ^ jc - а ^ Л, и -Л2 ^b-y0. Поэтому МК не может вычислить значение у', если г/<0. Например, если на МК набрать программу для вычисления степени (-2)"*, то на табло появится сигнал ошибки — буква «Е». /-/ 4 = Е. Теперь посмотрите, как с помощью клавиши 1/х на МК вычисляется число, обратное данному. Задача 2. Вычислить: 1) 2) 3) с точностью до 0,001; 50 625 27 4) —^ с точностью до 0,1. 0,13 ► 1) 50 1/х 0,02; 2) 625 1/х 1,6 - 10 ®; 3) 27 0,037037-0,037; 4) 0,13 - 7,6923076 « -7,7. < Так как после нажатия клавиши 1/х на табло сразу появляется число, обратное данному (без нажатия клавиши [^), то с этим числом можно выполнить и другие операции. Задача 3. Вычислить: 1) :;^-н0,58; 14 2) 0,21--i-; 1,5 3) — + 17 21 4) (0,34) 2- ► 1) 14 [iTx] [Т] 0,58 0 0,6514285; 2) 0,21 0 1,5 Q -0,4566666; 3) 17 1^ 21 [3 0,1064425; 4) 0,34 |1/х| 0 2 0 8,650519. <1 Вычисление значений выражения х® можно выполнять с помощью клавиш и X® (в некоторых моделях МК не требуется перед клавишей нажимать клавишу перехода режима | F |)- 112 Глава II. Приближённые вычисления Задача 4. Вычислить: 1) (3,78)^; 2) (1,58)^ + ► 1) 3,78 [g g] 14,2884; 2) 1,58 000 0>57 0 4,2507859. < Устные вопросы и задания 0,57 1. Перечислить последовательность действий для нахождения значения 2,3^ с помощью МК. 2. Как с помощью МК найти число, обратное числу -240? Вводные упражнения | 1. Перечислить порядок выполнения действий для нахождения значения выражения: ^ 1) (2 - 3,7 5 f 2) 12- 3,5+ 7,8 -25 2. Возвести в степень выражение: . \4 1) (а^Ь*Г; 2) .,12 3) 3. Найти приближённое значение х • у, если: 1) л: «0,285, у» 3,2; 2) л: «4,208, у «0,26; 4) {2а^ + ЗЬУ. 3) л: «0,39, у = х. Упражнения | Записать показания табло микрокалькулятора после выполнения действий (273—276). 273. 1) (17,2)2; 2) (23,4)^; 3) 453^; 4) 159^; 5) (0,0141)2. 274. 1) —; 2) -J-; 3) -—; 4) —5) —6) . 2Г ^ 23’ ’ 14’ ^ 8,12 ^ 0,013 ' 0,081 275. 1)212; 2) (1,48)2; 3)(3,71)*; 4)(0,082)«; 5)^;^:^; 6) ^ 4) i +0,281, 2) 0,37 1 . 16’ 3) 1 1 . 5) 1 . 1 . 6) 0,17 0,23’ 3,4’ 6,3’ (0,15)2 71 63’ 1 1 (0,42) ,2 • 0,28 0,43 277. Найти площадь квадратного участка земли, если длина его стороны равна 1915 м. 278. Вычислить: 1) (3,2 • Ю^)®; 2) (9,23 • 10-")2. § 18. Вычисление на микрокалькуляторе степени и числа... 113 279. Упростить выражение и найти его числовое значение с точностью до 0,01: при а = 0,0478; при & = 0,1385. 1) 9а^ -16 а^ - 6а + 9 (За + 4)(а - 3)2 За® - 4а2 2) 4А^ - 2А + 1 . 8Ь® +1 (2А + 1)А® ■ 4fe3 +4Ь^ +b 280.1 Дана функция у = х^. Найти с точностью до 0,01 значения функции при jc = -l,ll; -3,111; 1,21; 2,31. Исследуем возможности микрокалькулятора при возведе- Вы научились пользоваться клавишей НИИ чисел в натуральные степени. А не пытались по-пробовать с помощью этой же клавиши возвести число в какую-нибудь дробную степень? В 9 классе вы будете под- робно изучать возведение чисел в степень —, где т — целое, п п — натуральное число (будете знакомиться со степенью с рациональным показателем). А сейчас попробуйте, например, с помощью клавиши найти значения 5“® и Увидите, что в первом случае будет получено число меньше, чем 5‘, а во втором — больше. Действительно получилось, что 5®* «4,3, 5^■^«5,9. сделать расчеты Предлагаю с помощью клавиши к следующим задачам гидротехники. 1. Расход воды Q (количество воды в метрах кубических, протекающее черюз поперечное сечение за 1 с) небольшого оросительного канала можно определить с помощью водослива (поперечной перегородки с отверстием специальной формы) по формуле Q=l,4-/i^®, где А — высота слоя воды (м) перед водосливом (А называют напором воды). Найти расход воды, если А = 0,75 м. Ответ. Q«0,68 м®. 2. В результате фильтрации в грунт расход воды в канале уменьшается. Если в данном месте канала расход воды Q м®, то в километре от этого места (по течению) он будет меньше на t%, 19 где t (для суглинистого грунта) находится по формуле t = Найти с точностью до сотых расход воды в километре от места, в котором Q = 26 м®. Ответ. 25,87 м*. 114 Глава II. Приближённые вычисления I оследовательное выполнение пераций на микрокалькуляторе Большинство прикладных задач математики, физики, астрономии и других отраслей знаний решаются с приближёнными значениями величин. При многократных вычислениях по одной и той же формуле, содержащей несколько действий, бывает удобно предварительно составить программу вычислений на микрокалькуляторе. С процессом составления таких программ, а также с решением практических и прикладных задач с помощью МК вы познакомитесь в этом параграфе. Нужно вспомнить: ■ порядок выполнения арифметических действий; ■ вычисление с помощью МК суммы двух чисел; разности; произведения; частного; степени; числа, обратного данному; ■ нахождение приближённого значения выражения с заданной точностью. Задача 1. Вычислить высоту, на которую поднимается камень, брошенный вертикально вверх со скоростью у, используя фор- мулу Л = —, где v~25 м/с, g~9,8 м/с^. ► Вычисления можно провести по программе 25 Q 2 13 9,8 0 31,887755. 25 Ответ. Л»32 м. < Отметим, что при нажатии очередной клавиши операции на табло высвечивается результат всех предыдущих вычислений. Задача 2. Определить сопротивление участка электрической цепи, состоящей из двух последовательно соединённых сопротивлений, если величина первого из них i?i»5,15 Ом, а на втором падение напряжения С/ ~ 12,5 В происходит при силе тока /«2,1 А. ► Сопротивление R на данном участке цепи можно найти по формуле R = Y + Ri’ Получаем 12,5 3 2,1 |3 5,15 З 11,102381. Ответ. /г«11,10м. 398 - 9,348 ^ 14,25 2) (16,87 + 35,67): 254; 3) 34 -23 44; 4) 1^ + 46 54 247. 283. Найти периметр и площадь прямоугольника со сторонами а и Ь, если а~4,8 см, 6 — 14,5 см. 284. Какой должна быть ширина прямоугольного участка земли, чтобы при длине 164 м он имел площадь 8,6 - 10^ м^? 285. Вычислить: 1) 256^ + 3212; 2) 5242-4992; 286. Вычислить с точностью до 0,001: 3) 1862 + 2712-3282. 1) 1 2,1 8,3 7,1’ 2) + 3,4 6,8 1,2 287. Вычислить с точностью до 0,01: 1 1) 1 . 2) (0,34)2 ’ 4) 1 ( 1 1 2 ; 5) (0,17)2 ^o,23j 0,57 3) 0,28 -(3,21)2; 0,26 6) (1,47)2 ^ (0,43)2 ’ 1 (3,4) 2 • 288. Вычислить с точностью до 0,1: 1) (5,1)2+ (4,3)2; 2) (3,7)2-(2,3)2; 3) (3,2)2-(1,3)2 + 0,15’ 4) (7,8)^+ (3,8)2- 0,24 289.1 Электрическая плитка работала t = 5 ч при напряжении С/—127 В и силе тока 7 — 3,5 А. Рассчитать стоимость (в условных единицах) затраченной электрической энергии А (кВт - ч) при тарифе 1 у. е. за 1 кВт - ч (А = Ult). 290.| Чтобы найти диаметр проволоки, её намотали на стержень, укладывая витки рядом друг с другом. Оказалось, что 22 витка заняли 9 мм по длине стержня. Найти диаметр проволоки. § 19. Последовательное выполнение операций на микрокалькуляторе 117 291.1 Вычислить силу тока на участке цепи, если его сопротивление Д«0,75 Ом и падение напряжения на этом участке С/«10,2 В. 292.1 Рассчитать сопротивление участка цепи, падение напряжения на котором С/«3,45 В, при силе тока в цепи /«2,1 А. 293.1 В цепь с напряжением U « 220 В включён электрический утюг мощностью тока Р « 0,35 кВт. Определить силу тока / в цепи (Р = Ш). щг Проверим древнюю формулу Профессор, а есть ли какие-нибудь интересные задачи, которые в древности решались очень долго, а мы сегодня благодаря калькулятору можем решить быстро? Таких задач было немало во все времена до изобретения вычислительной техники. Предложу вам одну формулу, которую вывели для п < 10 математики Древнего Вавилона. Проверка её справедливости занимала много времени. А вы проверьте её с помощью МК для п = 10; п = 14. V + + + ... + п^= \\ + ^п 3 3 (1 + 2 + 3 + ... + Л-). Гг ■ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II Записать показания МК после выполнения действий (294—298). 294. 1) -6,502 • 10^ - 4,987 • 10«; 3) 3,128-10®-!-5,24- 10^; 295. 1) 123 456 • 4,598 • 10®; 3) (5,8 • 1013): (3,4 • Ю^®); 296. 1) 5897 + 6453-282-384; 3) 4,58-3,57: 1,2-4,57; 2) 1,23456-10^3 + 9,87601 - 10^3; 4) -8,76 54 -1031 - 1,2345 - Юзз. 2) 3,874-1011-98 765; 4) (7,1-103"): (5,6-103^). 2) 7654-2835 + 351-405; 4) 45,28:2,3 -357:132. 297. 1) 4,4 -6,5-1,5-247: 13-1188-44; 2) 2,4 - 2,5 - 60,2 : 14 - 76,8 - 3,5 : 48. 118 Глава II. Приближённые вычисления 298. 1) 87-43 68 + 25 :83; 2) 125-51 234 -4,35 -2,8. 299. Вычислить сопротивление R медного стержня, длина которого /~0,25 м, площадь поперечного сечения S~ 1,2 -10^ мм^, если удельное сопротивление меди р~ 0,017 Ом - мм^/м (Л = ^). О 300. Вычислить кинетическую энергию тела по формуле ,,2 = mv‘ если т~1,& кг, и «4,2 м/с. 301. Вычислить по формуле Q = PRt количество тепла Q, выделяемое проводником за f = 15 с, если его сопротивление Д«34 Ом и по нему проходит ток силой /=17 А. 302.1 В городе с населением 5,70 - Ю"* человек было проведено медицинское обследование населения с целью выявления частоты встречающихся групп крови. Выяснили, что людей с группой крови I приблизительно 32,9%, с группой крови II — 35,8%, с группой III — 23,2% и с группой IV — 8,1%. Сколько приблизительно человек с каждой из групп крови проживает в городе? 303.1 Упростить выражение и найти его числовое значение с точностью до 0,0001: + 12 а + 2 д2_4 "Р** 0 = 4,31-10®; 2) а + Ь + ■ а + 2Ь \a-2b о® -45® при 0 = 3,78-10^ 5 = 4,23-10^ 304. Дана функция v = 2,l + -^^. Найти с точностью до 0,1 значе- X ния функции при х = 0,471; 1,551; 3,483; 10,48. 305.1 Калорийность суточного рациона питания для детей 11— 15 лет составляет примерно 3000 ккал. Найти калорийность предложенного ниже суточного меню для подростков оздоровительного лагеря. Завтрак Творог 125 г Сыр голландский 50 г Хлеб пшеничный 30 г Масло сливочное 25 г Кофе натуральный 200 г со сгущённым молоком Калорийность (ккал на 100 г продукта) 86 380 236 661 310 Упражнения к главе II 119 Обед Калорийность (ккал на 100 г продукта) Суп из говядины 150 г 187 Курица отварная 125 г 241 Макароны 100 г 332 Салат из помидоров 100 г 19 Компот из сухофруктов 200 г 223 Хлеб ржаной 50 г 190 Ужин Сосиски 150 г 324 Картофель 100 г 83 Каша манная 100 г 326 Хлеб пшеничный 30 г 236 Чай 200 г — ПРАКТИЧЕСКИЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 1 1. Количество сухого вещества в молоке С (в процентах) определяется по формуле С= l,225p-l-250(d-1)-1-0,5, где р — жирность (в процентах), d — плотность молока (в долях от плотности воды). Найти процентное содержание сухого вещества в молоке, у которого р~3,6, d~ 1,032. 2. Для того чтобы поднять ведро из колодца, нужно ручку вала повернуть 10 раз. Чему равна наименьшая глубина колодца Л (с точностью до 0,1 м), если известно, что диаметр вала колодца равен 30 см? 3. Найти линейную скорость v движения точки на экваторе при вращении Земли вокруг своей оси, если радиус Земли Д~6400 км. 4. Определить с точностью до часа период обращения Т спутника из серии «Космос» вокруг Земли, если высота орбиты Н ~36 200 км, скорость движения по орбите и = 3 км/с, радиус Земли i? = 6400 км. 5. Мощность электрического тока Р (в ваттах) находится по фор- тт2 мулам: Р = IU = PR = —, где I — сила тока (в амперах), R — R сопротивление (в Омах), U если: 1) 12 А, и-202 В; 3) и-121 В, /г» 5,1 Ом. напряжение (в вольтах). Найти Р, 2) I- 1,3 А, Д~0,3 Ом; 120 Глава II. Приближённые вычисления 6. Объяснить, что означает запись: 1) на рулоне обоев: L = (15± ±0,25) м; 2) на электрообогревателе: Р = (850±10) Вт. 7. Определить, с какой точностью записаны значения величин: 1) диаметр молекулы воды d ~ 2,8 • 10“^ мм; 2) территория России S~ 1,27-10^ км^. 8. Световой год — это расстояние, которое проходит луч света за год (365 дней). Найти величину светового года, если скорость света Ус ~ 3,00-10® км/с. 9. Туманность Андромеды удалена от Земли на расстояние s~2,3- 10® световых лет. Выразить расстояние s в километрах. 10. При измерении температуры воды для купания ребёнка оказалось, что она находится между 36,8 °С и 36,9 °С. Чему равна абсолютная погрешность такого измерения? 11. Назвать абсолютную погрешность приближения данных, указанных в справочнике: 1) время оборота Земли вокруг своей оси (звёздные сутки) — 23 ч 56 мин 4,09 с; 2) период обращения Земли вокруг Солнца (тропический год) — 365,25 суток; 3) наибольшая температура воздуха 56,7 °С на Земле наблюдалась в долине Смерти (в Калифорнии); 4) наиболее низкая температура воздуха -88,3 °С наблюдалась в Антарктиде на станции «Восток»; 5) наибольшая глубина Тихого океана (в Марианской впадине)— 11,022-10® м; 6) численность населения Земли в середине 2009 г. — 6,80 ■10® человек; 7) площадь всех азиатских островов — 2,00 • 10® кв. км; 8) площадь шлейфовых ледников Антарктиды — 1,582 х X 10® кв. км. 12. Некоторым прибором выполняют измерения с относительной погрешностью 5%. В каких границах лежит точное значение величины, если результат её измерения данным прибором показал число 326? 13. Перед настилом напольного покрытия были сделаны замеры длины L и ширины Н комнаты в сантиметрах 5200 и 6^ = 36. Приведём другие примеры: V0=0, ^ = |. 7049=0,7. В случаях, когда ясно, что речь идёт об арифметическом квадратном корне, говорят: «Корень квадратный». Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня. Возводить в квадрат можно любые числа, но извлекать квадратный корень можно не из любого числа. Например, нельзя извлечь квадратный корень из числа -4, так как нет такого числа, квадрат которого равен -4. Итак, выражение -Ja имеет смысл только при а^О. Определение квадратного корня можно кратко записать так: yja>0, (у1а)^ = а. Равенство = а справедливо при а>0. Задача 3. Вычислить 5yJS2^ - . ► 5732 • 2 - 37^ = 5Тб4 - Syjie = 5 • 8 - 3 • 4 = 28. < Устные вопросы и задания I 1. Какое число называют квадратным корнем из числа а? 2. Сколько существует квадратных корней из положительного числа 6? 3. Какое число называют арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа с? 4. Назвать подкоренное выражение в записи: ^Jx -2; -Jx-2\ 2T0i04; 370^-5. ____ _________ 5. Прочитать запись: 7^; yj5-a; yj2(x +1); 1^. 6. Как называют действие нахождения квадратного корня из числа? 7. Записать символами определение квадратного корня из числа а. 126 Глава III. Квадратные корни Вводные упражнения 1. Вычислить: 1) 10^; 0,1^; -ч 2. Сравнить: 1) 27^ и 27,1*; 2) 2) 10 + 4-(-7); -3-15-8. 2 И 8 3) if и 3. Найти положительное число, квадрат которого равен: 49; 0,04. 4. Найти отрицательное число, квадрат которого равен: 64; 0,16. 5. Найти положительный корень уравнения: 1) (x-2)(x + 3) = 0; 2) (д:-7)(д: + 7) = 0. 6. При каких значениях х значение выражения 2л:-3 является: 1) положительным числом; 2) неотрицательным числом? Упражнения А V 36 2 4) - мм‘. 306. Найти сторону квадрата, если его площадь равна: 1) 16 м*; 2) 100 дм*; 3) 0,64 км*; 307. Вычислить арифметический квадратный корень из числа: 81; 64; 100; 0,16; 0,09; 0,25; 1,44; 4900; 6400. 308. Верно ли равенство: 1) ^ = 4; 2) у1Ш = 10; 3) ^ = -Ь; 4) ^ = 01 3) /Tf. V12 ’ Вычислить (309—311). 309. 1) (Vi)*; 2) (V9)*; 310. 1) 7-V^; 2) Vl6-9; 4) i-VW; 5) 0,25-VO^- О 311. 1) 2* + 5Vl6; 2) зТт-2^Д44; 4) V2' + 3-7; 5) + 4*; 312. Найти значение выражения: 1) 3VlO - 2a при a = -3, a = 3, a = 5; 4) 3) 4-Vo^; 3) 2V3-27 -6V2-18; 6) V17*-15*. 2) - 2 при x = \, д: = |^, x = 3. 313. При каких значениях a имеет смысл выражение: 1) V^; 2) V^; 3) V2-a; 4) yjS + a? § 20. Арифметический квадратный корень 127 314. Решить уравнение: 1) yjx = 2; 2) 7^ = 10. 315. Сравнить числа: 1) и 1;^; 2) J0,04 и J0,09. \25 \16 ' ' КЛ------------------------------------------------------------ Возникновение знака квадратного корня Профессор, Вы рассказывали, что в древности многие действия с числами описывались словами, а в Средние века стали придумывать специальные символы, сопровождающие эти записи. А когда был придуман знак арифметического квадратного корня? Лишь в XIII в. европейские математики сделали попытку более коротко записывать операцию извлечения корня. Пе-ред числом, из которого извлекался корень, стали писать слово Radix (корень) или сокращённо одну букву R. Так, в работах французского математика Н. Шюке встречается запись Л^12, что означает .j\2. Немецкие математики XV—XVI вв. стали обозначать квадратный корень точкой, стоящей впереди числа. При быстром письме точки заменялись чёрточками, которые постепенно перешли в символ V. Из этого символа образовался знак v, уже близкий к современному знаку корня. Затем долгое время вместо корня из числа а математики писали va. И только в 1637 г. Р. Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой над числом, что и привело к принятому по сей день знаку . Однако всеми математиками знак квадратного корня, предложенный Декартом, стал использоваться лишь в начале XVIII в. 5 еиствительные числа в этом параграфе вы узнаете, что не любое число можно пред- ставить в виде —, где т — целое, ап — натуральное число. п Например, числа ^/2,^/з,^/5 и др. не могут быть записаны в виде —, т. е. не являются рациональными числами. С «нега рациональными» — иррациональными числами вы познакомитесь в этом параграфе. При этом поймёте, что с одним из иррациональных чисел — числом л вы знакомы давно. 128 Глава III. Квадратные корни Нужно вспомнить: ■ понятия натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел; ■ правила округления чисел; ■ понятие точности записи приближённых значений; ■ правила сравнения обыкновенных дробей; десятичных дробей; ■ изображение чисел точками на числовой оси. 1. Рациональные числа. Появление новых чисел в математике связано с необходимостью выполнения тех или иных действий. При сложении и умножении натуральных чисел всегда получаются натуральные числа. Однако при вычитании двух натуральных чисел не всегда получается натуральное число. Например, разность 2 - 5 не является натуральным числом. Чтобы вычитание было всегда выполнимо, были введены отрицательные числа и число О. Множество натуральных чисел расширилось до множества целых чисел: ..., —3, —2, —1, О, 1, 2, 3, ... . При сложении, умножении, вычитании целых чисел всегда получаются целые числа. Однако при делении двух целых чисел не всегда получается целое число. Например, частное 2 : 5 не является целым числом. Чтобы деление было всегда выполнимо, были т введены рациональные числа, т. е. числа вида где т — целое число, п — натуральное число. Множество целых чисел расширилось до множества рациональных чисел. При выполнении четырёх арифметических действий (кроме деления на нуль) над рациональными числами всегда получаются рациональные числа. , Рациональное число можно записать в виде десятичной дроби, = конечной или бесконечной. 2 3 Например, числа - и — можно записать в виде конечных де-5 4 2 3 15 сятичных дробей: - = 0,4; - = 0,75. Числа - и — после деления 5 4 3 11 ♦уголком» можно записать в виде бесконечных десятичных дро- бей: i =0,333...; А =0,454545... . О 11 в записи бесконечной десятичной дроби 0,333... повторяется цифра 3. Цифру 3 называют периодом этой дроби; саму дробь называют периодической с периодом 3, записывают в виде 0,(3) и читают: ♦ Нуль целых и три в периоде». В записи дроби 0,454545... повторяется группа из двух цифр: 45; эту дробь называют периодической с периодом 45 и записывают в виде 0,(45). § 21. Действительные числа 129 Приведём ещё примеры бесконечных периодических дробей: =-0,2333... = -0,2(3); 27^ = 27,0393939... = 27,0(39). oU 330 Любое рациональное число можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби. И наоборот, любую бесконечную периодическую или конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби, т. е. в виде —, где т — целое, л — натуральное число. ” 27 Задача 1. Представить число — в виде бесконечной десятичной дроби. ► Воспользуемся бшгоритмом деления «уголком». Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 45. Имеем || = 2,4545... = 2,(45). Ответ. 2,(45). <] 27 _50 М _60 _50 М _60 М 5 11 2,4545... Задача 2. Представить в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь: 1) 1,(7); 2) 0,2(18). ► 1) Пусть д: = 1,(7)= 1,777..., тогда 10х = 17,(7)= 17,777... . Вычитая из второго равенства первое, получаем 9х=1б, откуда x = 2) Пусть х = 0,2(18) = 0,2181818..., тогда 10х = 2,(18) = 2,181818..., 1000х = 218,(18) = 218,181818... . Вычитая из третьего равенства второе, получаем 990х = 216, 216 12 откуда ^ = ^ = Ответ. 1) 1,(7) = lj; 2) 0,2(18) = Ц. < 9 00 2. Иррациональные числа. Действительные числа. Наряду с бесконечными периодическими десятичными дробями в математике рассматриваются также и бесконечные десятичные непериодические дроби. Например, дробь 0,1010010001..., в которой после первой цифры 1 стоит один нуль, после второй цифры 1 — два нуля и т. д.. 130 Глава ill. Квадратные корни Действительные числа Рациональные числа Иррациональные числа | Рис. 30 является непериодической. Непериодической является также дробь 0,123456..., в которой после запятой записаны подряд все натуральные числа. в Бесконечные десятичные непериодические дроби называют иррациональными числами. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел (рис. 30). Арифметические действия и правила сравнения для действительных чисел определяются так, что свойства этих действий, а также свойства равенств и неравенств оказываются такими же, как и для рациональных чисел. Обратимся к действию извлечения корня. В курсе высшей математики доказывается, что из любого неотрицательного действительного числа можно извлечь квадратный корень. В результате извлечения квадратного корня может получиться как рациональное, так и иррациональное число. Например, ^1,21 = 1,1 — рациональное число, а 73 =1,7320508... — иррациональное число. Иррациональными являются также числа 7^» -у/б, 7б, 7?, 7s и т. д., т. е. квадратные корни из натуральных чисел, которые не являются квадратами натуральных чисел. Заметим, что иррациональные числа получаются не только при извлечении квадратных корней. Например, число л, равное отношению длины окружности к её диаметру, является иррациональным числом; отметим, что число л не может быть получено извлечением корня из рационального числа. На практике для нахождения приближённых значений квадратных корней с требуемой точностью используются таблицы, микрокалькуляторы и другие вычислительные средства. Задача 3. Вычислить на МК приближённое значение фл с точностью до 0,001. ► 14 3,7416573. Ответ. 3,742. < Задача 4. Вычислить на МК с точностью до 0,1: 23 • у]34 + 7^. § 21. Действительные числа 131 ► Запишем данное выражение в виде (^34 + ■ 23 и вычис- лим его значение по программе 34 0 26 [3 Е] Ш 0 23 И 143,81718. Ответ. 143,8. <] Задача 5. Вычислить на МК с точностью до 0,01: ^2 -I- yjs -t- -Jb . ► Запишем данное выражение в виде •^■^3 -I- -у/б + 2 и вычислим его по программе 3[±]5[3|3|302[30 2,0708079. Ответ. 2,07. < Итак, практические действия над иррациональными числами заменяются действиями над их десятичны-^ ми приближениями. и,5оо 1 2 Геометрически действительные Рис 31 изображаются точками число- вой оси (рис. 31). Каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой оси, и каждой точке числовой оси соответствует единственное действительное число. -V2 ---(—I—I---1 I I Устные вопросы и задания [ 1. Назвать причины расширения понятия числа от натурального до целого; от целого до рационального. 2. Привести пример десятичной конечной дроби; бесконечной периодической дроби. 3. Какие несократимые обыкновенные дроби нельзя записать в виде конечных десятичных дробей? 4. Что называют иррациональным числом? 5. Какие числа называются действительными? Вводные упражнения з4 1. Вычислить: 1) 2,8:^; 2) 1,8-2§; 3) 15 3 ^ 2. Выполнить деление с точностью до 0,01: 1)25:9; 2) 335:3; 3) 7,3 : 0,7; 0,6; 4) (-0,8)2: 0,4. 4) 0,5 : 0,06. 132 Глава ill. Квадратные корни 3. Вычислить арифметический квадратный корень из числа: 1) 0,49; 2) 2500; 3) 160 000; 4) 0,0001; 5) |; 6) ^ 4. Решить уравнение: 1) 7^ = 0; 2) 4^ = 1; 3) 7^ = 100; 4) 7^ = 25. Упражнения I 316. Прочитать дробь: 1) 0,(2); 2) 2,(21); 3) 15,3(53); 4) -2,77(3). 317. Записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби: г 2) jIj; 3) |; 4) 5) -|; 6) -3f 318. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь: 1) 0,(6); 2) 0,(7); 3) 4,1(25); 4) 2,3(81). 319. Сравнить числа: 1) 0,35 и 0,(35); 2) 1,03 и 1,0(3); 3) 3,7(2) и 3,72. 320. Даны числа: -8; -^Дб; -0,3; --; 12; 0; J-; 1. Выпи- сать те из них, которые являются: натуральными; целыми; рациональными. 321. (Устно.) Какие из указанных чисел являются иррациональными: -2; 1; 0; yfll; -1,7; фЛ; -7^? 322. Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,001: 1) 78; 2) 3) 7м; 4) 7^3; 5) 7^; 6) 7^- 323. Площадь квадрата равна 12 м^. Найти длину его стороны с точностью до 1 см. 324. Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,1: 1) T^-f-T^-T^; 2) 7^-^-i-7l7; 3) у]б87 + ; 4) ^801-7^ ; 5) 7^85604-7^; 6) 7^ 88 . 871 77^-7^’ ' yji^TT^ § 21. Действительные числа 133 325. Вычислить с точностью до ОД на микрокалькуляторе: 3) 7132^ + 153='; 1) ^ + ii- ^ V5 ч/з’ 94 86 23 . ^ V2 7з’ 4) Vl89" - 65^; 5) ^33^ + 18^ - 23^; 6) 34 V282 -1?2 ’ 326.1 Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01: 1) ^5 + 7з + ч/2 ; 2) ^^8 + ч/2-1; 3) 7бч/5-71з. Г2Т ьЯИ в виде Неразумные числа Профессор, почему Вы уверены, что ^2 — иррациональное число? Может быть, его всё же можно представить —, где тип очень большие натуральные числа? п Хочу похвалить тебя за то, что не принимаешь на веру математические высказывания. Постараюсь в доступной ^ форме доказать тебе, что ^J2 не является рациональным числом. Доказательство этого факта проведу методом от противного. Предположим, что ^2 = —, где — — несократимая дробь (т. е. п п т и п не имеют общих натуральных делителей, отличных от 1). m2 Тогда должно выполняться равенство —5- = 2, откуда т^ = 2п*. п^ То есть т^, а значит, и т — чётные числа. Итак, т = 2fe, где k — натуральное число. Подставив это выражение в равенство т^ = 2п*, получим = 2л* и л* = 2А*. Таким образом, л*, а значит, ил — чётные числа, т. е. л = 2р, где р — натуральное число. Итак, тип имеют общий делитель 2, что противоречит нашему предположению о несократимости дроби — . Остаётся сде- л лать вывод: нет рационального числа, квадрат которого равен 2. Таким образом, число ^ (а значит, и такие числа, как >/5, ^7 и др.) — число другой природы, нежели рациональные числа. Ответил я на твой вопрос, Светлана? Ответили, я всё поняла. Спасибо. Мне очень нравится метод доказательства от противного. В геометрии мы этим методом доказывали признаки параллельности прямых. У меня есть ещё вопрос. Как и когда люди впервые столкнулись с непериодическими десятичными дробями? 134 Глава III. Квадратные корни Чтобы понять мой следующий исторический рассказ, я должен ввести понятия соизмеримости и несоизмери-мости отрезков. Вы помните, что измерить отрезок — это значит сравнить его с другим отрезком, принятым за единицу измерения (вам известны общепринятые единицы измерения длин отрезков: миллиметр, сантиметр, метр и др.). Вообще за единицу измерения можно принять любой отрезок в зависимости от цели измерения. Обычно отрезок, который укладывается целое число раз в других отрезках, называют их мерой. Если отрезки имеют общую меру, то их называют соизмеримыми. Если такой общей меры (дгкже очень маленькой) для двух отрезков не существует, то отрезки называют несоизмеримыми. Профессор, тогда приведите, пожалуйста, пример несоизмеримых отрезков. ___ Известно, что в середине V в. до н. э. учёные пифаго- рейской школы доказали несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали. Согласно легенде, несоизмеримость открыл сам Пифагор и был так потрясён, что запретил своим ученикам разглашать эту тайну, так как девизом пифагорейцев была фраза «Всё может быть измерено*. До распада своего союза пифагорейцы изучали «неразумные числа», которые мы сегодня называем иррациональными (от лат. irrationalis — неразумный). А один из последователей пифагорейцев, античный знаток пропорций Архит Тарентский (ок. 428—365 гг. до н. э.), разработал метод нахождения приближённых значений иррациональных чисел. вадратный корень из степени в этом параграфе вы научитесь извлекать квадратный корень из чётной степени любого числа. Познакомитесь с одним из важнейших математических понятий — тождеством. Поймёте, что с некоторыми тождествами вы уже знакомы. Нужно вспомнить: ■ определение арифметического квадратного корня; I понятие числа, противоположного данному; I определение модуля числа; ■ свойство возведения степени в степень; § 22. Квадратный корень из степени 135 ■ формулы сокращённого умножения; ■ решение линейных неравенств; ■ способы сравнения чисел; ■ теорему о почленном умножении неравенств одного знака с положительными левой и правой частями; ■ свойство возведения обеих частей неравенства с положительными левой и правой частями в одну и ту же степень. Вычислим значение выражения при а = 3 и а = -3. По определению квадратного корня yf^ = 3. При а = -3 находим = = 3. Так как число 3 является противоположным числу -3, то можно записать: yJ(-3Y — -(-3) или yJ{-3)^ = |-3|. ТЕОРЕМА 1 Для любого числа а справедливо равенство а‘ = а . • Рассмотрим два случая: О и а <0. 1) При а^О по определению арифметического корня у[а^ = а. 2) Если а<0, то (-а)>0, и поэтому yfa^ = \](-а)^ = -а. Таким _ /-Г [а, если а ^ О, ГГ I I ^ образом, у1а^=\ г. т. е. \1а^ =\а\. О ' 1^-а, если а < О, Например, yji-S)^ = |-8l = 8. Вместо того чтобы говорить, что равенство yfa^ = |а| выполняется при любых значениях входящих в него букв, говорят, что это равенство выполняется тождественно. В Определение. Равенства, справедливые при любых значениях входящих в них букв, называют тождествами. Приведём примеры тождеств: (а -1- ЬУ = а^ + 2аЬ -н Ь'^, а^-Ь^ = {а- 6)(а -1- ft). Задача 1. Упростить: 1) у[а^; 2) >/о®. ► 1) yf^ = у[(а^ = \а*\. Так как а*>0 при любом а, то |а''| = а‘‘, и поэтому yja^ = а*. 2) yfa^ = yJiaFf =\а^\. Если а^О, то а®^0, и поэтому |а®| = а®. Если а < О, то а®<0, и поэтому |а^| = -а®. Итак, в этом случае знак модуля следует оставить: = 136 Глава III. Квадратные корни ТЕОРЕМА 2 Если а>Ь>0, то ^>yjb. • В самом деле, если допустить, что yja то, возведя обе части неравенства в квадрат, получим а^Ь, что противоречит условию а>Ь. О Например, ^256 > >/225, так как 256 >225; 3 < yJlO < 4, так как 9 <10 <16. Задача 2, Упростить выражение yj{ylS-3)^. ► Используя тождество yfa^ = \а\, получаем: = l-v/S -3|. Так как 8 <9, то по теореме 2 получаем ^<3. Поэтому у[8-3<0 и |78-3| = -(78-3) = 3-78. Ответ. 3-yj8. <] Задача 3. Решить уравнение yj(x - 7Y = х-7. ► Так как >J(x - 7)^ = |jc - ?|, то исходное равенство принимает вид: \х-1\ = х-1. Это равенство справедливо только при х-Т^О, т. е. х'^1. Ответ, х'^1. <\ Задача 4. Упростить выражение ^-4^3. ► Заметим, что 7 - 4.уЗ = 4 - 4^3 + 3 = (2 - ^З)^. Поэтому yj7-4yf3= 7(2 - = |2 - 7з| = 2 - ^3, 2 = 74, 74>7з. <1 так как Устные вопросы и задания | 1. Сформулировать теорему о квадратном корне из квадрата числа. 2. Объяснить, почему при а<0 верно равенство -Ja^ =-а. 3. Обосновать верность равенства yjiyfs - 3)* = 3 - yfs. 4. Какое равенство называют тождеством? 5. Сформулировать теорему, которая позволяет сравнивать значе- ния корней. § 22. Квадратный корень из степени 137 Вводные упражнения 1. Назвать число, противоположное числу -3; 12; 0; yJE; yJE-l. 2. Сравнить: 1) .Д и 2; 2) Д и 2; 3) 3 и Д; 4) ДО и 3. 3. Найти модуль числа -8; 15; Д; Д -1; 2-Д. 4. Представить всеми возможными способами в виде квадрата целого числа 196; 225; 5“'; 4®. 5. Найти два последовательных целых числа, между которыми за- if ключено число (4,7)^; 1^ ; (0,3)^. Упражнения 327. Верно ли равенство: 1) ^f¥ = 5; 2) Д1^ = 5; 3) Д-5)2 =-5; 4) Д-5)=* =|-5|? 328. Найти значение выражения при: l)x=l; 2) х = 2; 3) х = 0; 4) л: = -2. 329. Вычислить: 1) Д®; 2) Д® ; 3) Д^; 4) Д1^; 5) Д^; 6) 330. Упростить: 1) Д®; 2) Д^; 3) 7^» ^>0; 4) Д®. 331. Найти значение выражения у]х^ -2х + 1 при: 1) х = 5\ 2) х=1; 3) х = 0; 4) х = -5. 332. Сравнить числа: 1) 4 и Дб; 2) 2,7 и Д; 3) Д^ и 1,8; 4) ДМ9 и 4,3. 333. Показать, что: 1) 4<Д7<5; 2) 3<Д0<4; 3) 3,1<До<3,2. 334. Найти два последовательных целых числа, между которыми заключено число: 1) ДЭ; 2) yjl60; 3) -ДЭ; 4) Дд. 335. Упростить: 1) 7(4 - Д)"; 2) 7(Д - 2)'; 3) 7( Д - 2)'; 4) 7(Дб - 4)®. 138 Глава III. Квадратные корни 336. 337. 338. 339. l«d Упростить вырг1жение: 1) у](х - 5)^ при л: >5; 2) у1(а + 3)^ при а<-3; 3) yjl + 4k + при /е^-0,5; 4) - бай + 9Ь^ при а <36. Доказать, что: 1) а + 5 - yj(a - 5У = 2а, если а ^5; 2) х + у + ^(х-уУ = 2х, если х> у, 2у, если х< у. Решить уравнение: 1) yjix -2Y =х-2; 2) у1(х -2)^ = 2-х. Упростив, вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01: 1) 7з - 2^2; 2) ^9-475. Приближённые значения иррациональных чисел Продолжу рассказ о том, как в древние времена мате-матики находили приближённые значения квадратных корней из различных целых чисел. Например, из найденных археологами клинописных табличек учёным удалось восстановить способ приближённого извлечения квадратного корня, которым пользовались в Вавилоне. С использованием современных обозначений этот способ может быть описан следующим образом. Пусть нужно найти ^Jx. Число X представляется в виде суммы а* -t- Ь, где а — ближайший к числу X точный квадрат натурального числа а {а^^х), после чего используется формула +Ь ~а + —. 2а (*) Извлечём, например, с её помощью корень квадратный из числа 28: 7^ = « 5 + ;^ = 5,3. и и 2-5 а Ь Результат извлечения квадратного корня из 28 с помощью микрокалькулятора равен 5,2915026, что незначительно отличается от результата, полученного с помощью формулы (*). Интересно, а с помощью рациональных чисел древние учёные не записывали приближённые значения каких-нибудь часто используемых иррациональных чисел? Например, yjz или числа л? § 22. Квадратный корень из степени 139 Конечно, записывЕши. В геометрических расчётах при-ближёнными значениями числа л пользовались часто. Использовали такие приближения: л~3, л ~ 3,14. Архимед, не зная десятичных дробей, нашёл очень хорошее приближение 22 числа л обыкновенной дробью: л ~ —• Действительно, если разделить 22 на 7, то с точностью до сотых получается 3,14. А значение ^ в Древней Индии вычисляли так: 1 1 + -3 у[2=>1 + 1 + - 3-4 3•4.34 Его значение примерно равно 1,4142156. Микрокалькулятор с точностью до десятитысячных показывает такое же число. вадратный корень из произведения Зная определение квадратного корня из числа и свойства степеней, можно найти значение выражения у]25 • 49. Действительно. 725^ = ^/52^ = ^/(5^ = 5•7. Но 5-7 = ^-Т49. Случайно ли получилось, что yj25 • 49 = ■ 749 ? В этом па- раграфе вы убедитесь, что корень из произведения любых неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел. Познакомитесь с действиями, упрощающими преобразования выражений с квадратными корнями: с вынесением числа из-под знака корня; с внесением числа под знак корня. Нужно вспомнить: ■ определение арифметического квадратного корня; ■ разложение числа на простые множители; ■ свойства степеней; ■ формулы сокращённого умножения; ■ теорему о квадратном корне из степени; ■ теорему о сравнении значений корней. Задача 1. Показать, что = 7^ ’ 7^- ► 716 • 25 = 7400 = 20; 7^6 • 7^ = 4 • 5 = 20. < 140 Глава ill. Квадратные корни Tf ОРЕМА Если а^О, Ь>0, то yjab = ,Ja • yjb, т. е. корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. • Для того чтобы доказать, что -Ja • yjb есть арифметический квадратный корень из аЬ, надо доказать, что: 1) yja-yfb^O; 2) {4^-4bf=ab. По определению квадратного корня yja>0, л/ь ^ О, поэтому у[а • \[ь > 0. По свойству степени произведения и определению квадратного корня ф-у1ьГ = фуфГ=аЬ. О Например, ^2304 = yJS6 • 64 = • ,/б4 = 6 • 8 = 48. 1^ По доказанной теореме при умножении корней можно перемно-I' жить подкоренные выражения и из результата извлечь корюнь: I j yja • \fb = Например, yjs • yjl2 = yjs • 12 = yj^ = 6. Отметим, что теорема справедлива для любого числа неотрицательных множителей. Например: yjabc = yja ■ yjb • yfc, если a>0, b^O, c>0. Определение. Число yjab называют средним геометрическим положительных чисел а и Ь. В Задача 2. Найти среднее геометрическое чисел 54 и 24. ► ^54 • 24 = ^9 • 6 • 6 • 4 = ^9 • 36 • 4 = 79 • yf^ • 7^ = 3 • 6 • 2 = 36. < Пусть дано выражение yja^b. Если а>0 и 6^0, то по теореме о корне из произведения можно записать: yja^ = yja^ . yfb = Uy/b. Такое преобразование называется вынесением множителя из-под знака корня. Задача 3. Упростить выражение 2у{^ + yjl2. ► 27^ + 712 = 27^ + 7^ = 673-1-273 = 873. < § 23. Квадратный корень из произведения 141 в некоторых случаях полезно вносить множители под знак корня, т. е. выполнять преобразование вида a^Jb = ^ja^b, где а ^ О, 6^0, Задача 4. Упростить выражение За^-26^, где а>0, Ь>0. ► Внося положительные множители а к Ь под знак корня, получаем: За^ - 2Ь^ = ^ - 2^Ь^ ■ | = Зу/аЬ - 2yjab = yfab. < Устные вопросы и задания 1. Сформулировать теорему о корне из произведения двух неотрицательных чисел. 2. Сформулировать теорему о корне из произведения нескольких неотрицательных чисел. 3. Можно ли произведение корней из неотрицательных чисел заменить корнем из произведения этих чисел? 4. Привести числовой пример: 1) вынесения множителя из-под знака корня; 2) внесения множителя под знак корня. 5. Какое преобразование можно выполнить, чтобы сравнить значения выражений: 1) 5-у/б и 3yj7; 2) 2yjl8 и 3^8? Вводные упражнения 1. Вычислить: 1) 5-.у/49; 2) - 10 • ; 3) - 7 • yj{-2)*; 4) yj3-27. 2. Записать всеми возможными способами в виде квадрата числа следующие числа: 25; 121; 1,69; 22 500. 3. Представить в виде произведения квадратов двух натуральных чисел произведение 45-5; 7 • 63; 3 • 48. 4. Выполнить умножение: 1) а^-—; а 2) 4&2.^; о 3) ■ Зх. 5. При каких значениях а верно равенство у[а^ = -а; yfa^ = а? Упражнения Вычислить (340—341). 340. 1) 749-25; 2) 70,01-169; 3) 7625-9-36; 4) 7256-0,25-81. 142 Глава III. Квадратные корни 341. Найти среднее геометрическое чисел: 1) 8 и 50; 2) 32 и 50; 3) 108 и 27; 4) 27 и 12. 342. Вычислить с помощью разложения подкоренного выражения на множители: 1) V3136; 2) ^6084; 3) V4356; 4) ^1764. Вычислить (343—346). 343. 1)^2-2)710-7^; 3) yfs ■ yjl ■ 4,72.7^.7П; 344. 1) 71132-1122; 2) 7S22 -182 . 3) ^552 - 632; 4) ^313^-312^ 345. 1) 75" • 32; 2) 77^ • 2«; 3) 7(~5)® • (0,1)2. 4) ^132.34. 346. 1) (7s + 72)2; 2) (77 - 7^)2; 3) (77 + 7б)(Т7 - 7б); 4) (572 + 275)(5T2 - 275). Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа) (347—348). 347.1) 7i6x; 2) 7^; 3) 7^; 4) 7^- 348. 1) 7%; 2) 7^; 3) 7^; 4) 750а®. 349. Упростить выражение: 1) з7^-75; 2) \yli8 + 2yj2; 3) 27^-^; О 4) 27^-2745-t-i^; 5) 3748 - 7^-I-171^' 350. Внести множитель под знак корня: 1) 272; 2) ЗТЗ; 3) 2^-b|T^; 4) юТООЗ. 351. Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа): 1) аТ^; 2) аТ2; 3) аЛ; 4) ^7^- V а л:*" 352. Сравнить: 1) 2у/3 и ЗТ2; 2) 2740 и 4TlO; 3) 2у[45 и 47^. § 23. Квадратный корень из произведения 143 353. Упростить: 1) + а>0. Ь>0; 2) + 6xjj - х>0. 354. Вычислить: 1) (V5-V45)==-(Vl3 + 7n)(Vn-Vl3); 2) (Vn-77)(V7 + 7n)-(^-VЗ)^ 355. Упростить выражение: 1) ^7^^ + 3^/2 + 2V^; 2) 3^45-Vi^ + n/^; 3) +173^ + 573; 4) 278 + 0,57^-1718. 3 5 U 356. Упростить выражение (буквами обозначены положительные числа): 1) + ^у[^ - Xyjx + Ху[х^; О Z 2) 37^04^-27025^ + 467^0^. 357. Разложить на множители по образцу (о ^ 0, 6^0) 9 - о = (3 - yja)i3 + 7«): 1) 25-о; 2)6-16; 3)0,01-о; 358. Сократить дробь (о ^ 0, 6 2* 0): 4) 6- 49 1) 25-а. 5 + yJa 2) 6-16 4 + Тб’ 3) 0,49 - а. То + 0,7’ 4) 0,81-6 0,9 + Тб‘ 359.1 Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,1: 1) 7^-7^; 2) yfl^-yf63; 3) yjl3 - yjll • yjl9; 4) Tie-7^; 5) 73•75•^/8•^ДЗ; 6) yj2 - yfs - у[б ■ yf7. 360.1 Доказать равенство >/2o + 27^^ - 6 = + yjb + yja - yjb, если a>yjb, 6^0. 361.1 Построить график функции: 1) y = J^; 2) у = у1(х- If . 144 Глава III. Квадратные корни Суммы корней научились сравнивать значения двух корней. Hart <§•&> пример, ^2011 < -J2012, так как 2011 <2012. А сможе-^ ' те ли вы сравнить значения выражений А к В, если А = V201I + V20I4 и 5 = ^2012-1-72013? Подкоренные выражения — четыре последовательных на-• туральных числа, а сравнить нужно сумму корней из ^ наибольшего и наименьшего чисел с суммой корней из двух средних... Кажется, что А<В. А как это проверить или доказать, я пока не знаю. Давайте рассмотрим общую задачу сравнения чисел С = 7^ + -^п + З и D = yjn + 1 + yjn + 2. Сравним с нулём разность чисел С и D. Запишем её в удобном виде: С- D = (yfn + yjn + 3)-(7га + 1 + Тга^Гз) = = (7га + 3 - 7га + 2) - (7га + 1 - 7га). Теперь умножим и разделим каждое выражение в скобках на сопряжённое с ним число: (7га + 3 - 7га -f 2) • (7га + 3 + yJn + 2) (7га -ь 1 - 7га) • (yjn -ь 1 -н 7га) _ 7га -t- 3 -t- 7га + 2 7га~+™1 + 7^ _ (yjn + 3f -(yjn + 2f _ (7га+ 1)^ -(Уга)^ _ 7га + 3 ■+• 7га -t- 2 7га + 1 4- п + З-п-2_________п -н 1 - га __1______ 1 yJn + 3 + 7га -ь 2 7га~+~1 + >/га 7га -t- 3 -1- 7га •+• 2 7га + 1 -ь 7^ Очевидно, что знаменатель дроби уменьшаемого больше знаменателя дроби вычитаемого, значит, первая дробь меньше второй (числители у них одинаковые). Таким образом, С-1)<0, т. е. С < О, значит, и 72011 72014 < 72012 -и 72013, Поговорим об истории. Арабские учёные в Средние века изучали и комментировали X книгу «Начал» Евклида, в которой на геометрической основе изложено учение о квадратной иррациональности. Например, в трактате Мохаммеда ал Багдада (жившего в XI в.) можно найти такие примеры применения формул Евклида: 7^0 ±-j8 = ^/l8±”^^20, ^6±7^ = yj5±l. Эти равенства у Багдади были записаны без знаков ариф-метического корня? •ч»яв*да* § 23. Квадратный корень из произведения 145 Тогда они были описаны словами. Словесно были опи-саны и выведенные арабскими учёными любопытные фор-мулы: 1 yl^TyJb yf^±yfb~ a-b yjatyjb = + J. (где д ^ 7& и ?0). С первой формулой всё понятно — числитель и знаме-натель дроби ^—— умножили на yja+-jb. А как по- > ± Vb лучили вторую формулу — не знаю, но хочу проверить её хотя бы для некоторых чисел и, например, для знака « + *. Пусть д = 5, Ь = 9, тогда в левой части получим yj5 + -J9 = yj8 = 2^2. I5 + V52-9 |5-V5^-9 /бП В правой части получим ^^------------+ у-----^J + .г ~ ^ = — + — = = 2^12. Действительно, левая и правая ча- V 2 72 V2 72 ^ сти равны. Не доказала, конечно, что формула верна для всех д и б, но поверила. Может быть, кто-то сможет её доказать? вадратный корень из дроби Вы познакомитесь с теоремой, которая в ряде случаев помогает упрощать выражения, содержащие дроби под знаком арифметического квадратного корня. Познакомитесь с важным соотношением между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, которое имеет широкое применение в задачах геометрии, физики и техники. Нужно вспомнить: I определение арифметического квадратного корня из числа; тождество \1а‘ = |а|; теорему о корне из произведения; формулы сокращённого умножения; понятие числового неравенства. 146 Глава III. Квадратные корни Задача 1. Показать, что .[Щ = V 36 7зб / \2 5 _ 5 у/25 _ ^ ej ~ 6’ 7^ “ 6' ТЕОРЕМА а Если а^О, Ь>0, то т. е. корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя. • Требуется доказать, что: 1) ^^0; 2) о Ь' Так как yja> О и yjb > О, то ^>0. По свойству возведения дроби в степень и определению квадратного корня получаем: yja ~ФГ~ь- ° Например, М = Щ = V225 .Щъ 15 j По доказанной теореме при делении корней можно разделить подкоренные выражения и из результата извлечь корень: Ф _ (а ф-^ь- Например, = 6. В некоторых задачах полезно избавиться от иррациональных выражений в знаменателе дроби. Пусть дано выражение -i, где Ь>0, Умножая числитель и Ф знаменатель дроби на ф, получаем °' Ф = °' Ф Ф ф-ф Ь Например: ф - ^ = ф - § 24. Квадратный корень из дроби 147 Задача 2. Исключить иррациональность в знаменателе: V5 +Уз Если умножить разность Уб - Уз на сумму Уб + Уз, то получится выражение, не содержащее корней. Поэтому Уб + Уз (Уб + Уз)(Уб + Уз) (Уб + Уз)2 _ б + зуГб + з _ ^ пт ^ У5-Уз”(У5-УЗ)(Уб + УЗ)“ 5-3 - 2 + Задача 3. Доказать, что среднее арифметическое двух положительных чисел а и 6 не меньше среднего геометрического этих чисел: а + Ь yjab. ► Требуется доказать, что ° ^ ^ - yjab ^ 0. Преобразуя левую часть этого неравенства, получаем: а + Ь _ _ a + b-2yjab _ (yfa - (1) ^0. < 2 '' 2 2 Заметим, что в соотношении (1) знак равенства имеет место только при а = Ь. Задача 4. Продавец взвешивает яблоки на рычажных весах. Покупатель попросил взвесить ему 1 кг яблок, а затем ещё 1 кг, но поменяв местами при втором взвешивании гирю и яблоки. Кто понёс убытки, если весы не отрегулированы? ► Пусть а 1/1 Ь — плечи весов (рис. 32). При первом взвешивании покупатель приобрёл х килограммов яблок. Из курса физики известно, что х •Ь= \ • а, откуда х = ^. При втором взвешива- О НИИ покупатель приобрёл у килограммов яблок. Из условия равновесия у • а = 1 - Ь находим у = —• Итак, было куплено Q. Ь ^ — + — килограммов яблок. Ис-Ь а пользуя неравенство для среднего арифметического и геометри-а Ь ческого чисел — и —, получаем а^Ь ________ “ ~—— ^, откуда — + — >2. 2 \ Ь а Ь а 1кг хкг Ответ. Убыток понес продавец, если аФЬ. <\ Рис. 32 148 Глава III. Квадратные корни Устные вопросы и задания 1. Сформулировать теорему о корне из дроби. 2. Какое свойство степени с натуральным показателем применяется при доказательстве теоремы о корне из дроби? 3. Можно ли отношение квадратных корней из положительных чисел заменить квадратным корнем из отношения этих чисел? 5 4. Как избавиться от иррациональности в знаменателе: -;=‘, -^=1 V7 2-7? 5 О у 3 + 77’ >/3 + 7? 5. Сравнить среднее арифметическое и среднее геометрическое положительных чисел тип. Вводные упражнения | 1. Вычислить: 1) yjl6-yj9; 2) yJE • ^Jl25; 2. Найти значение выражения: 1) 2) -р=; 2 725 3) ш-ё- 7i^ 7^ 3. Упростить выражение: 1) 718-72; 2) 7i2-7^; 4) (78 + 72)2; 5) (7Ш)^; Упражнения 3) ф-1)ф + 1); 6) Tio Вычислить (362—365). 362. 1) JlOO’ 2) , /100. V 49 ’ 3) ^3 4) fl- 363. 1) ёФ 2) £ /49 . 1144’ 4) 364. 1) 7^. 7§’ 2) у/128 78 ’ 3) 4740 4) 365. 1) Гб4Ц^. 2) Jsi-llli; 3) JlT. ’ \196-324’ V 9 25 Ml6 4 36 81'169 20718 572 • § 24. Квадратный корень из дроби 149 366. Исключить иррациональность из знаменателя: I) 5) V7-#’ 2) n/6 6) 3) 75 + V2’ 2-V3’ n/5-77. 75 + 77’ 4) 7) 8) 3 +V2’ 710 + 73 TIo-Ts’ 367. На микрокалькуляторе вычислить с точностью до 0,01 разность между средним арифметическим и средним геометрическим чисел: 1) 17 и 39; 2) 71 и 86; 3) 134,2 и 243,1; 4) 150,3 и 210,4. 368. Площадь одного квадрата 72 см^, а площадь другого квадрата 2 см^. Во сколько раз сторона первого квадрата больше стороны второго квадрата? 369. Извлечь корень: »^|W’ 3)^. гдеа>0; 4)^. гдеа<0. 370. Упростить выражение: 1) (x-3) f^ ^ при: а) x>3; б) х<3; \ - бд: + 9 2) (2-а) -4а + 4 при: а) а >2; б) а <2. 371. Вычислить: 1) + 2) ^^. + _ 3) ^ 2 + Тб 2-у/б’ 4) -^+ 2 3-^ з + 7П’ VTT-3 ^ДТ-2’ 5) 3 + 7б 2 + Тб’ 77-2 77+3 -277. 372. Доказать с помощью неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, что для любых положительных чисел а и Ь выполняется неравенство ^ > 2. 373. Упростить выражение: 1) а-Ь yja -у/ь -yjb; 2) 2(7^ + 7^) --,5—3) V3C + л/у + у4у Х-у[^ + у 150 Глава III. Квадратные корни 374.1 Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01: 375. Доказать, что для любых положительных чисел а и Ь справедливо неравенство: 2 . 1) 7^; 1 1’ а'^ Ь 376.1 Построить график функции: 1) у = ^х^-2х + и 2) у = ^х^ -6х + 9. Ь ? Математические узоры Профессор, почему нам учитель часто говорит: «Повторим..., нужно вспомнить...»? Разве без повторения старого я не смогу решить, например, задачу на действия с квадратными корнями? В математике многие темы связаны друг с другом. Помнишь наше сравнение математических рассуждений с вязанием красивых узоров? Давайте ещё раз в этом убедимся с помощью конкретной задачи. Попробуйте, например, доказать, что для любых неотрицательных чисел а, Ь и с справедливо неравенство а + Ь + с> -Jab + ^Jac + -Jbc. Если вы забыли ранее пройденный материал, то решение этой интересной задачи окажется вам не под силу. Для доказательства данного неравенства нужно хорошо знать свойства неравенств, уметь выполнять определённые действия с неравенствами, помнить формулы сокращённого умножения. Да, формулы сокращённого умножения мы использовали при изучении этого параграфа в задаче 3. Может быть, как раз формула ° ^ нам поможет при доказа- 2 тельстве неравенства? Молодец, Тёма. У тебя хорошая интуиция. Действительно, если сложить почленно три неравенства а + Ь • yjab. а + с yjac. Ь + с ■ 7^, § 24. Квадратный корень из дроби 151 справедливые для неотрицательных чисел а, Ь тл с, то получим неравенство а + Ь + -Jab + yjac + ,Jbc, которое и хотели доказать. Попробуйте теперь самостоятельно доказать, что для любых неотрицательных чисел а, Ь я с справедливо неравенство (а и- б) (а -и с) (Ь + с)^ 8аЬс. Подсказка: понадобится знание формул параграфа. Вот ещё задача, в которой нужно применить знания, полученные в этом параграфе, а также идеи, с которыми я вас знакомил в прюшлом году: ♦ У простите выражение —=Д— -t- -р——= -I-... + , ^—== ». V2 + 1 V3 + V2 + ^ Н УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III 377. Вычислить: 1) (^/3)2; 2) 3) 378. Что больше: 1) л/17 или ^/82; 2) у/О^ или _^/o;3; 3) 3 или у/10; 4) 5 или yj^7 Вычислить (379—382). 4) if з4 . 379.1) ^21-6-7-8; 380. 1) yjl -у[бЗ; 381. 1) W' 2) 383. Упростить: 2) yj72-6 •45-15; 3) ^900• 25 • 1,69. y[S-yl^; 3) у[^-у[3; 4) Tio-Tio. 2у1бЗ 3) 2^; л/80 4) 3) 4) ; 5) V(-3)®; 6) yj(-7r. -^/63; 4) (7yf8-14yjl8 + 0,7y[l2):i7yf2y, 5.6. 1+^ 3+7б’ 6) yj2-yj3 yfz + yjs' 152 Глава III. Квадратные корни 384. Сократить дробь: 1) 5а^ - 35 2) -Зх о\ - 5-у/З, .. 4-у/а + -у/ь , 7^’ ^ 3-^2 ’ ^ й-16а ’ дч 9-2V3 ^ зТе-з^з’ a-yjl ' х + 385. Решить уравнение: 1) Vx-1 = 4; 2) yJx + 9=5; 3) ^2(0:-1) = 2; 4) 72jc-7 = 1. 386. При каких значениях jc справедливо равенство: 1) |л:-2| = л:-2; 2) |3-x| = x-3; 3) ylijT+W = X + 3; 4) 7(5 - 2л:)=* = 2х - 5? 387.1 Упростить выражение: 1) г/= 7^с^~-2хТТ + при: а) л:<1; б) 1<х^3; в) х> 3. 2) I/ = 7^^ -4а + 4 + 7^^ - 10а + 25 при: а) а < 2; б) 2<а^5; в) а > 5. 388. Найти значение выражения 2дг^ - бах + 2а^ при х = >J6 + yJE и а = 7б-75. 389. Упростить выражение: 1) 3) аЬ а^Ь . а-Ь’ 7^-------ГГ а + ^Jab c-yjd _ c + yjd _ 2cyfd ^ c + yjd c - yjd c + yjd' 2) а + ф ^a-yjb a-y[b a-yfb a + yjb 4) (2 + T&) + b 2______2 2b T& + 2 2-Tb ^ 4-b 390. Сумма двух чисел равна .Д4, а их разность -^До. Доказать, что произведение этих чисел равно 1. 391. Упростить: 1) 7^-f-7^-2j^- [у \х \ху) , где х>0, у>0; 2) « /1 _1/£_ь/Ь ’.yjab, где а>0, 6>0. bVab by Ь \а ^ 392. Исключить иррациональность из знаменателя: 1) Тз-72’ 2) ДТ-Тз’ 3) Д+7б 7^’ 4) 5-4у/з 573-9* Упражнения к главе 153 393. Доказать, что если а>О, 6>О, то а - -Jab + Ь> yfab. 394. Вычислить на микрокалькуляторе приближённое значение корня с точностью до 0,01: 1) 7^6; 2) 7^; 3) 7зД48; 4) 713,69. 395.1 На микрокалькуляторе вычислить с точностью до 0,001 значение выражения yja + ^-2 при: 1) 0 = 1,1; 2) 0 = 1,19; 3) 0 = 0,81; 4) 0 = 0,9. 396. Вычислить значение выражения + 8л: - 9 с точностью до 0,1, если: 1) х = 3; 2) х = 4; 3) х = 5,5; 4) х = 6,3; 5) х = -25; 6) д: = -31. 397. Доказать, что если о > О и 6 > О, то (а + Ь) И >4. 398.1 Доказать, что для любых чисел о и Ь справедливо неравен-а + Ь ^ \а} ство 399.| Упростить выражение: 1) у = 7^с^ - 8л: + 16 -1- ^jx^ - \2х + 36 при: а) л: <4; б) 4<х^6; в) лоб; 2) у = 74^^^-4хТТ-ь 79ic^^-6xTT при: а) лг<^; б) в) д:>5. 400.1 Сравнить -Ja + b и ,Ja + -Jb, где о^О и Ь>0. т ПРАКТИЧЕСКИЕ и ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 1. В испытании металлов на твёрдость по методу вдавливания Бринелля в качестве наконечника давящего инструмента используется стальной шарик диаметром D, а результат оценивается при измерении силы вдавливания шарика F и диаметра d основания полученного отпечатка (рис. 33). Формула 154 Глава III. Квадратные корни твёрдости металла Т, рассчитанная по этому методу, имеет вид Т = 2F nD(D - yjD^ -d^) Вычислить с точностью до 1 Н/мм^ твёрдость металла, если: 1) ^’=1000 Н, Z)=10 мм, d = 3 мм; 2) F=1000 Н, £)=10 мм, d = 4 мм. 2. Наибольшее расстояние .5 (км) от передающей антенны, на котором можно принять телепередачу, находится по формуле S = 4,12(7я + где Н — высота (м), на которой находится передающая антенна, Л — высота (м), на которой находится приёмная антенна. Вычислить расстояние S с точностью до 0,1 км, если Н = 380 м, Л = 30 м. 3. Время t половинного слива наполненной водой горизонтально расположенной цилиндрической цистерны диаметром D и длиной I через круглое отверстие диаметром d в дне цистерны (рис. 34) находится по формуле t = где g — ускорение 3nmd^yjg свободного падения, т — коэффициент расхода отверстия. Найти с точностью до 1 с время половинного слива цистерны (приняв т = 0,6, ^=10 м/с^), если: 1) D=1 м, d = 0,05 м, ^ = 1,5 м; 2) D = 2 м, d = 0,l м, 1 = 5 м. 4. На практике при малых значениях положительного числа а приближённые значения выражений yjl + а и yjl-а находят по формулам yjl + а ~ 1 + ^ и yjl-a » 1 - ^ соответственно. Используя эти формулы, найти: 1) ^Jl,004:; 2) д/0,992 и сравнить полученное число со значением заданного выражения, найденным с точностью до 0,001 при помощи микрокалькулятора. 5. Период колебания маятника (рис. 35) Г находится по формуле T = 2n^j—, где Практические и прикладные задачи 155 I — длина маятника (длина нити от места подвеса до центра тяжести грузика, выраженная в метрах), g — ускорение свободного падения. Выразить из данной формулы длину маятника и найти её значение, если Т=1,1 с; Т = 2,2 с. В расчётах принять: ^ = 9,8 м/с^, л = 3,14. Объём V конуса находится по формуле V = ^kR^H, где Н — высота конуса, R — О радиус основания (рис. 36). Выразить из этой формулы радиус основания конуса. Рис. 36 7. Первую космическую скорость v (скорость вывода спутника на круговую орбиту) можно найти по формуле и = , где R — радиус Земли, g — ускорение свободного падения. Высоту полёта спутника считают много меньше R. С помощью микрокалькулятора найти первую космическую скорость, приняв i? = 6400 км, ^ = 9,8 м/с^. 8. Начальная масса тела то при движении со скоростью v меняется и достигает величины т, которую можно найти по фор- На сколько процен- му ле т = —— f?’ где с — скорость света. тов увеличится масса тела при движении со скоростью: 1) 2) 10® км/с? Принять скорость света с = 3-10® км/с. В этой главе вы узнали, что такое: — квадратный корень из числа; — арифметический квадратный корень из числа; — иррациональное число; — действительное число; — тождество; как: — записывать рациональное число в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби; — представлять бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби; 156 Глава III. Квадратные корни — сравнивать действительные числа и выполнять арифметические действия с ними; — извлекать квадратный корень из степени; произведения; дроби; — сравнивать значения корней из разных чисел; — вносить множитель под знак корня; — выносить множитель из-под знака корня; — избавляться от иррациональности в знаменателе дроби; — сравнивать среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел. ПРОВЕРЬ СЕБЯ! 1. Сравнить: а) 7 и yf48; б) 2^3 и З^З. 2. Вычислить: а) ^81-49; б) у10,3-120; в) г) Д) е) 3. Упростить выражение: а) 378-1-72-3718; б) в) + 4. Вынести множитель из-под знака корня: у]8а^, а>0. х^-3 б) 7^-нТу х+у1з’ х-у 6. Исключить иррациональность из знаменателя: ч 5 . 1 а) 2 + у[з' ^ 7. Сравнить: а) 4,6 и 7^5 б) 2^^; и 5yj6. 8. Упростить выражение: а) ^7^ 7^6. ^/5-l б) (7^-ь^ + 5)(1-7з); в) г) при х<у. — 9. Внести множитель под знак квадратного корня: ху^ 1-^, если х>Оу у>0. 10. Сократить дробь 1 - 2у[х -I- X х-1 если х>1. /2 + 1 11. Исключить иррациональность из знаменателя: ^------. 72-1 Практические и прикладные задачи 157 12. Найти наименьшее целое число, большее чем ^Jl7. 13. Извлечь корень из произведения: ^2х -Ъу ‘Ъх- 20у. 14. Упростить выражение: а) у1Ф-у1в)\ 73-2 ’ б) ______________________. X-у х4у - Уу[х yjy у[х + 4у 15. Исключить иррациональность из знаменателя: х-1 . 2 а) Jx+ 2 - З' б) ^ + ^6 + 4^2 16. Решить уравнение у](3х - 8)^ = 8 - Зх. 1>',лА 2UA ■■I ТЕМЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ 1. Среднее арифметическое и среднее геометрическое в алгебре и геометрии. 2. История появления иррациональных чисел. 3. Решение задач на доказательство неравенств, содержащих квадратные корни. 4. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. 5. Алгоритмы извлечения квадратного корня из многозначного числа. 6. Каких чисел больше, рациональных или иррациональных? 135 2л-1^ 7. Доказательство справедливости неравенства 2'4'6 ' ’'' * 2п ^ < I ^ для любого натурального п. •J2n +1 8. Итерационный метод Герона нахождения приближённого значения квадратного корня из положительного числа. Квадратные уравнения Ш, ■3 7 классе вы научились решать уравнения первой степени с одним неизвестным. Убедились в том, что уравнение вида ах = Ь является моделью многих физических, математических и бытовых явлений. В природе, технике и науке существует немало процессов, описываемых с помощью уравнений, в которых неизвестное число встречается не только в первой, но и во второй степени. Потребность решать уравнения такого вида возникла ещё в древности, когда появились задачи нахождения площадей земельных участков, разнообразные астрономические и математические задачи. Современные учёные установили, что уравнения, в которых неизвестная встречается во второй степени, умели решать ещё в Древнем Вавилоне. Правда, они ещё не знали отрицательных чисел, поэтому, например, решая уравнение х^ = 9, они находили лишь его положительный корень х = 3. Вы уже понимаете, что х = -3 также является корнем уравнения х^ = 9, т. е. ваши знания в чём-то превосходят знания древних учёных. Однако они могли найти положительный корень, например, уравнения х^ + х = ^. 4 Это уравнение встретилось археологам в древних клинописных текстах. Большинство из вас вряд ли пока сможет его решить. Изучив эту главу, вы сможете решать уравнения вида ах'‘ + Ьх + с = 0, где а, Ь, с — заданные числа, аФО. Научитесь решать практические и прикладные задачи, математической моделью которых является уравнение данного вида. -' Жш вадратное уравнение и его корни в этом параграфе будет введено понятие квадратного уравнения. На примере решения геометрической задачи будет продемонстрирована важность умения решать квадратные уравнения. Способ нахождения корней простейшего квадратного уравнения вида x^ = d в параграфе обоснован с помощью хорошо знакомых вам формул, правил и определений. Нужно вспомнить: ■ понятия уравнения и его корня; ■ что значит решить уравнение; ■ свойства уравнений; ■ разложение многочлена на множители способом группировки; с помощью формулы разности квадратов; ■ понятие квадратного корня из числа; ■ определение арифметического квадратного корня; я правила извлечения квадратного корня из произведения и дроби. Задача 1. Основание прямоугольника больше высоты на 10 см, а его площадь равна 24 см^. Найти высоту прямоугольника. ► Пусть X сантиметров — высота прямоугольника, тогда его основание равно (jc +10) сантиметров. Площадь этого прямоугольника равна jc(x+10) см^. По условию задачи дс(х-1-10) = 24. Раскрывая скобки и перенося число 24 с противоположным знаком в левую часть уравнения, получаем: х'^ + 10х-24 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки: л:2+10х-24 = = + 12х - 2х - 24 = = х(х + 12)-2(х + 12) = = (х + 12)(х-2). Следовательно, уравнение можно записать так: (х + 12)(х-2) = 0. Это уравнение имеет корни Xi=-12, Хг = 2. Так как длина отрезка не может быть отрицательным числом, то искомая высота равна 2 см. 160 Глава IV. Квадратные уравнения При решении задачи было получено уравнение + Юх - 24 = О, которое называют квадратным. В Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах^ + Ьх + с = 0, (1) где а, Ь, с — заданные числа, аФО, х — неизвестное. Коэффициенты а, Ь, с квадратного уравнения обычно называют так: а — первым или старшим коэффициентом, Ъ — вторым коэффициентом, с — свободным членом. Например, в уравнении Зх^-х + 2 = 0 старший коэффициент 3, второй коэффициент -1, свободный член 2. Решение многих задач математики, физики, техники сводится к решению квадратных уравнений. Приведём ещё примеры квадратных уравнений: 2х^ + х-1 = 0, 5^2-l0^ + 3 = 0, х^-25 = 0, 2x^ = 0. При решении многих задач получаются уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований сводятся к квадратным. Например, уравнение 2х^ + Зх = х^ + 2х + 2 после перенесения всех его членов в левую часть и приведения подобных членов сводится к квадратному уравнению х^ + х-2 = 0. Задача 2. Решить уравнение л:^ = б4. ► Перенесём 64 в левую часть, получим квадратное уравнение jc2-64 = 0. Разложим левую часть на множители: (х-8)(л:-(-8) = 0. Значит, уравнение имеет два корня: Xj = 8, Х2 = -8. <3 Заметим, что первый корень уравнения х^ = 64 является арифметическим корнем из числа 64, а второй — противоположным ему числом: Xi = .y/64, Xz = ~^J^. Эти две формулы обычно объединяют в одну: л:, 2 = ±7^‘ Ответ к задаче 2 можно записать так: Xj 2 = ±8. Уравнение х^ = 64 является частным случаем уравнения вида x^ = d. ТЕОРЕМА Уравнение x^ = d, где d>0, имеет два корня: Xi = yjd, X2 = -yJd. § 25. Квадратное уравнение и его корни 161 • Перенесём d в левую часть уравнения: x^-d = 0. Так как d > О, то по определению арифметического квадратного корня d = (yjdy. Поэтому уравнение можно записать так: - фу = 0. Разложим левую часть этого уравнения на множители, получим: (x-yjd)ix + yld) = 0, откуда Xi = yjd, X2 = -yJd. О Например, уравнение х^=- имеет корни Xi2 = ±J4=±f; урав- 9 ’ V 9 3 нение = 3 имеет корни aCj 2 = ± уЗ; уравнение х^ = 8 имеет корни Xi_2 = ±>/8 = ±2-у/2. Если в уравнении x^ = d правая часть равна нулю, то уравнение х^ = 0 имеет один корень jc = 0. Так как уравнение х^ = 0 можно записать в виде х ■ х = 0, то иногда говорят, что уравнение = О имеет два равных корня: Xj 2 = 0. Если d<0, то уравнение x^ = d не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным числом. Например, уравнение х^ = -25 не имеет действительных корней. Устные вопросы и задания 1. Обосновать каждый этап решения уравнения х(х-(-10) = 24 в задаче 1 текста параграфа. 2. Уравнение какого вида называют квадратным? Как называется каждый из коэффициентов этого уравнения? 3. Привести пример квадратного уравнения и назвать его коэффициенты. 4. Сколько корней имеет уравнение x^ = d, если d>0; d = 0; d<07 5. Назвать корни уравнения x^ = d при d>0. 6. Привести пример квадратного уравнения 1) не имеющего действительных корней; 2) имеющего один корень; 3) имеющего два различных корня. Вводные упражнения 1. Установить, является ли число -2 корнем уравнения: 1)х-1=-3; 2) (х-2)(х-1-3) = 0; 3) 7^ = 2; 4) 1x1 = 2. 162 Глава IV. Квадратные уравнения 2. Вычислить: (>/7)^; -^(-5)^; л/^6 • 64. 3. Разложить на множители: 1)л;2-81; 2)Зл:=*-75; 3)jc2-2; 4) 2х^-10; 5) x^-6x + 9; 6) х^ + 8х. 4. Решить уравнение: 1) Зл:-7 = 0; 2) 2л:-8 = Зх + 2; 3) (X + 12){х - 4) = 0; 4) (jc - 6)(2x + 1) = 0. Упражнения 401. (Устно.) Какие из данных уравнений являются квадратными: 1) 5x2-14x + 17 = 0; 2) -^2 + 4 = 0; 3 3) -7x2-13x4-8 = 0; 4) 17х + 24 = 0; 5)-13х"-1-26 = 0; 6) х2-х = 0? 402. (Устно.) Назвать коэффициенты и свободный член квадратного уравнения: 1) 5x2-14х-н 17 = 0; 2) ^х2 + 4 = 0; 3) -x2-t-x + ^ = 0; 3 3 4)-7x2-13x4-8 = 0; 5)х2 + 25х = 0; 6)-х2-х = 0. 403. Записать квадратное уравнение ах^ 4- Ьх 4- с = 0, если известны его коэффициенты: 1) а = 2, 6 = 3, с = 4; 2) а = -1, 6 = 0, с = 9; 3) а=1, 6 = -5, с = 0; 4) а = 1, 6 = 0, с = 0. 404. Привести данное уравнение к виду квадратного: 1) х(х-3) = 4; 2) (х-3)(х-1)=12; 3) Зх(х-5) = х(х4-1)-х2; 4) 7(х2- 1) = 2(х + 2)(х-2). 405. Какие из чисел -3, -2, 0, -1, 1, 2, 3 являются корнями уравнения: 1) х2-9 = 0; 2) х2 + х-6 = 0; 3) (х-1)(х4-2) = 0; 4) х2 - X = 0; 5) х2 - 5х -н 6 = 0; 6) (х 4- 1)(х - 3) = х? 406. (Устно.) Сколько корней имеет уравнение х2 = 36? Найти их. Какой из них является арифметическим корнем из 36? § 25. Квадратное уравнение и его корни 163 407. (Устно.) Решить уравнение: 1)х2=1; 2) х2 = 9; 4)х2 = 25; 5)х2 = 100; 408. Найти корни уравнения: 1) = 2) х^=^; 16 4) = 4 49 5) х^ = 5; 3) х2 = 1б; 6) х2 = 0. 3) x^ = ih 6) х^=13. 409. Решить уравнение: 1) х2-49 = 0; 2) х"-121 = 0; .-2 4) :^ = 0; 5) х2 + 9 = 0; 3) 1x^ = 0; 6) х^ + 12 = 0. 410. Решить квадратное уравнение, разложив его левую часть на множители: 1) х2-х = 0; 2) х2 + 2х = 0; 3)3х^ + 5х = 0; 4) 5х2-3х = 0; 5) х2-4х + 4 = 0; 6) х2 + 6х + 9 = 0. 411. Вычислить приближённо с помощью микрокалькулятора корни уравнения: 1)х2 = 7,12; 2) х2 = 31; 3) х" = 0,4624; 4) х2 = 675; 5) х2-9735 = 0; 6) х^-0,021 = 0. 412. Решить уравнение: 1) (X - 2)(х2 -I- 2х -I- 4) - х^(х - 18) = 0; 2) (х-Ь 1)(х^-х-1-1)-х^(х-1-4) = 0. 413. Показать, что уравнения х^ = 4 и |х1 = 2 имеют одни и те же корни. 414.1 Найти такое положительное число Ь, чтобы левая часть уравнения оказалась квадратом суммы или разности, и решить полученное уравнение: 1) х^-I-6х-I-4 = 0; 2) х^ - Ьх-ь 9 = 0; 3) х^ - 8х -I- Ь = 0; 4) + ^х + Ь = 0. 415.1 Решить уравнение: 1) х^ -ь 4х + 3 = 0; 2) х^ + Зх + 2 = 0. 416.1 Доказать, что если число Xq — корень уравнения ах^ + Ьх + с = = о, где с о, то число —--------корень уравнения сх^ + Ьх + а = 0. Хо 164 Глава IV. Квадратные уравнения r-B-1 Квадратные уравнения в древности Прюфессор, в каких странах, кроме Вавилона, в древние врюмена учёные умели решать квадратные уравнения? Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, пытались решать во многих странах. Вот задача из китайского трактата «Математика в девяти книгах», написанного во II в. до н. э.: «Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера. В центре каждой стороны находятся ворю-та. На расстоянии 20 бу (1 бу=1,6 м) от северных ворот (вне го- В рода) стоит столб. Если пройти от южных ворот 14 бу на юг, затем повернуть на запад и пройти ещё 1775 бу, то можно увидеть столб. Какова сторюна границы города?» В трактате приводится план местности, похожий на тот, который изображён на рисунке. На нём город показан квадратом, столб отмечен точкой В, северные ворота — точкой D, а южные — точкой F. После построений по условию задачи рассматриваются прямоугольные треугольники BED и ВАС. Из курса геометрии вы скоро узнаете, что такие треугольники называются подобными и для них сохраняется отношение длин сторон, лежащих против равных углов: BD ED BD ED ---=----, i— ВС АС ницы города через х, то это соотношение запишется так: ----20---_ 0,5х откуда получаем х^ + 34х - 71 000 = 0. 20 + Х + 14 1775 Корень этого уравнения д: = 250 (бу). Отрицательные корни квадратного уравнения китайские математики не рассматривали. А я увлекаюсь историей Древней Греции. Интересно, в какие века там начали решать квадратные уравнения? Древние греки более двух тысяч лет назад, исследуя истоки гармонии в зрительных образах, поняли, что если отношение длин двух отрезков совпадает с так называемым золотым сечением (близким к числу 1,6), то одновременное восприятие этих отрезков производит на человека особое эстетическое воздействие. Нахождение числового значения этого отношения не обошлось без решения квадратного уравнения, об этом я расскажу позже. - = -Г77- Если обозначить сторону гра-BD + DF + FC А.С § 25. Квадратное уравнение и его корни 165 еполные квадратные уравнения в этом параграфе вы познакомитесь с частными случаями квадратного уравнения — неполными квадратными уравнениями. Решение таких уравнений сводится к решению знакомых вам линейных уравнений после применения метода разложения многочлена на множители. Нужно вспомнить: ■ свойство равенства нулю произведения; ■ определение квадратного уравнения; ■ теорему о корнях уравнения вида x^ = d, где d>0; ш способы разложения многочлена на множители вынесением общего множителя за скобки; с помощью формулы разности квадратов; ■ свойства уравнений. Квадратное уравнение ах^ + Ьх + с = 0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов Ь или с равен нулю. Таким образом, неполное квадратное уравнение есть уравнение одного из следующих видов: ах^ = О, ах^ + с = 0, с^О, ах^ -н Ьд: = О, Ь О. Заметим, что в этих уравнениях коэффициент а не равен нулю. Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения. Задача 1. Решить уравнение 5jc^ = 0. ► Разделив обе части этого уравнения на 5, получим: х^ = 0, откуда д: = 0. <] Задача 2. Решить уравнение Здс^-27 = 0. ► Разделим обе части уравнения на 3, получим дг^-9 = 0. Это уравнение можно записать так: х^ = 9, откуда Xj 2 = ±3. Ответ. д:1=3, Х2 = -3. <3 Задача 3. Решить уравнение 2д;^ -1-7 = 0. ► Уравнение можно записать так: ж^ = -3,5. Это уравнение действительных корней не имеет, так как х^>0 для любого действительного числа X. <3 166 Глава IV. Квадратные уравнения Задача 4. Решить уравнение -2х^ + 5д: = 0. ► Разложив левую часть уравнения на множители, получим: х(-2х + 5) = 0, откуда = Х2 = 2,Ъ. Ответ. Xi = 0, Х2 = 2,5. <\ Устные вопросы и задания 1. Какое квадратное уравнение называется неполным? 2. Привести пример квадратного уравнения, у которого равен нулю: 1) второй коэффициент; 2) свободный член. 3. Какие свойства уравнений применялись при решении уравнения в задаче 2? 4. Почему не имеет корней уравнение в задаче 3? 5. На чём основана идея решения уравнения в задаче 4? Вводные упражнения 1. Назвать коэффициенты и свободный член квадратного уравнения: 1) Зл;2-5д:-1-6 = 0; 2) Зл:=*-5л: = 0; 3) Зл:2 + 6 = 0. 2. Какое из чисел -1, —у/2, 0 является корнем уравнения: О 1) д;2-1 = 0; 2) х^ = 2-. 3) x^-4 = 0; 4) х^-х = 0? 3. Решить уравнение: 1) х^ = 49; 2) х^ = -100; 3) х^ = 0; 4)х^ = 17; 5)х(х-2) = 0. Упражнения Решить уравнение (417—421). 417. 1) х^ = 0; 5) 4x^-б4 = 0; 418. 1) х^-7х = 0; 4) 4x2 = 0,16x; 419. 1) 4x2-169 = 0; 4) 3x2=15; х2-1 2) 3x2 = 0; 6) х2-27 = 0; 2) х2 -I- 5х = 0; 5) 9x2-х = 0; 2) 25-16x2 = 0; 3) 5x2=125; 7) 4x2 = 81; 3) 5x2 = 3х; 6) 9x2-(-1 = 0. 4) 9x2 = 81; 8) 0,01x2 = 4. 420. 1) = 5; 5) 2x2 = |; 2) ^^ = 1; 3) 2x2-16 = 0; 6) 3x2=5-. 3 3) 4 = х2 -5 4) 3 = 9x2-4 § 26. Неполные квадратные уравнения 167 421. 422. 423. 1) 3x^ + 6x = 8x^-15x; 3) \0х + 1х^ = 2х^ + Ъх-, При каких значениях 2) \1х^-Ъх=Ых^ + 1х\ 4) 15л: + 9д:^ = 7д:^ + Юл:. значения данных дробей равны: 1) - Зл и х^ + 5х 2) Зл^+7л 7х^-5х. и 424. 425. 426 Решить уравнение: 1) л:(л:-15) = 3(108-5х); 2) (л: - 7)(х + 3) + (х - 1)(х + 5) = 102; 3) (2х + 1)(х - 3) - (1 - х)(х - 5) = 29 - Их; 4) (Зх- 8)2 - (4х - 6)2 + (5х - 2)(5х + 2) = 96. Найти число, квадрат которого равен удвоенному этому числу. Сколько решений имеет задача? Найти число, квадрат которого, уменьшенный на 4, равен нулю. Сколько решений имеет задача? Площадь круга вычисляется по формуле S = nR^ (где S — площадь, R — радиус круга). На микрокалькуляторе вычислить с точностью до 0,1 м диаметр цирковой арены, если её площадь составляет 2000 м2. 427. Решить уравнение: .2_9 1) х-3 = 0; 2) 2^±^ = 0. х + 2 Хитрости Диофанта Скажите, какое из квадратных уравнений легче решить: у2-20у + 96 = 0 или х2-4 = 0? Конечно, второе. Очевидно, что его корнями будут числа 2 и -2. А первое уравнение устно я решить не могу. Но почему Вы задали этот вопрос? При создании математических моделей реальных явлений все люди стараются создавать наиболее прюстые и удобные для рассмотрения модели (уравнения, неравенства и др.). Разве первое и второе уравнения описывают одно и то же явление? Пока я этого не говорил, но специально обозначил в этих уравнениях неизвестные разными буквами. Хочу, чтобы вы узнали, как от выбора неизвестного (но не от его i (Side 168 Глава IV. Квадратные уравнения обозначения) зависит вид созданной модели. Расскажу вам о том, как Диофант умело выбирал неизвестные. Вот одна из решённых им задач: найти два числа, если их сумма равна 20, а произведение равно 96. Совсем простая задача. Может быть, я не решу составленное уравнение, но запишу его быстро. Смотрите: если у — первое число, то 20-у — второе число. Вот уравнение: у(20- у) = 96. После преобразований оно примет вид J/2-201/+ 96 = 0. Как раз первое из данных Вами уравнений. Теперь послушайте, как рассуждал Диофант при реше-НИИ этой задачи. Очевидно, искомые числа не равны меж-ду собой (в противном случае если их сумма 20, то произведение должно было быть равным 100). Значит, одно из чисел на х больше половины их суммы, а другое — на х меньше половины. То есть одно число равно 10+ х, а другое равно 10-х. Тогда (10 + х)(10-х) = 96, откуда 100-х^ = 96, или х^ = 4. После этого Диофант легко находил х = 2 (отрицательных чисел греки тогда не знали), затем определял искомые числа: 12 и 8. Кстати, можешь проверить — эти числа являются также корнями уравнения, которое ты составила. Да, оба уравнения приводят к решению задачи. Теперь я буду пытаться создавать разные модели решения задачи и выбирать из них наиболее красивую или простую. 1етод выделения полного квадрата Метод решения квадратных уравнений, с которыми вы познакомитесь в этом параграфе, имеет большое значение для изучения многих тем курса. С его помощью будут выведены формулы корней квадратного уравнения. В ряде случаев метод выделения полного квадрата облегчит исследование квадратичной функции и поможет при решении квадратных неравенств. Нужно вспомнить: разложение многочленов на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности двух чисел; решение уравнений вида x^ = d. § 27. Метод выделения полного квадрата 169 Для решения квадратных уравнений применяется метод выделения полного квадрата. Поясним этот метод на примерах. Задача 1. Решить квадратное уравнение -I- 2х - 3 = 0. ► Преобразуем это уравнение так: х^ + 2х = 3, х^ + 2х + 1 = 3 + 1, (х-н1)2 = 4. Следовательно, х-1-1 = 2 или х-1-1=-2, откуда Xi = l, Х2 = -3. <] Решая уравнение + 2х - 3 = 0, мы преобразовали его так, что в левой части получился квадрат двучлена (х -I-1)^, а правая часть не содержит неизвестное. Задача 2. Решить уравнение х^ч-6х-7 = 0. ^ Преобразуем это уравнение так, чтобы в левой части получился квадрат двучлена: х^ + 6х = 7, х^ + 2-Зх = 7, х^ + 2-Зх + 3^ = 7 + 3\ (хч-3)2=16. Поясним эти преобразования. В выражении х^-ьбх первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение X и 3. Поэтому для получения в левой части уравнения квадрата двучлена нужно прибавить к обеим частям уравнения 3^. Решая уравнение (х + 3)^=16, получаем х + 3 = 4 или х + 3=-4, откуда Xi = l, Хг = -7. <0 Задача 3. Решить уравнение 4х^-8х + 3 = 0. ► 4х2-8х = -3, (2х)2-2-2-2х = -3, (2х)2-2-2-2х-1-4 = -3-1-4, (2х-2)2 = 1, 2х-2 = 1 или 2х-2 = -1, х, = -, Х2 = ^. <] 2 2 Задача 4. Решить уравнение х*-1-5х-14 = 0. ► х^ + 5х=Ы, х^ + 2-^х + ^ = Ы + ^, -I 81 5.9 X, = 1-1 = 2, Х2 = -|-| = -7. * 2 2 2 2 Ответ. Xi=2, Х2 = -7. < 170 Глава IV. Квадратные уравнения Устные вопросы и задания 1. Обосновать этапы преобразования уравнения х^ + 2дг-3 = 0 к виду (х+1)^ = 4 в задаче 1. 2. Пояснить цель второго этапа преобразования уравнения в задаче 2. 3. Пояснить цель третьего этапа преобразования уравнения в задаче 3. Вводные упражнения 1. Представить в виде многочлена; 1)(х-ьЗ)2; 2) (2-х)^ 3)(Зх-1)2; 2. Найти неизвестный множитель х, если: 1) Ы = 2х; 2) 7 = 2лг; 3) 1 = 2х; 4) |х-| 4) 1 = 2лг. 3. Представить в виде квадрата двучлена: 1) х^ + 4х + 4; 2) х^-6х + 9; 3) 4^:^- 12л:4-9; 4)^ + х + х^. Упражнения 428. Найти такое положительное число т, чтобы данное выражение было квадратом суммы или разности: 1) х^ + 4х + т; 2) х^-6х + т; 3) х^-14х + т; 4) л:^ + 16л:-н т; 5) х^ + тх + 4\ 6) х^-тх + 9. 429. Методом выделения полного квадрата решить уравнение: 1) д:2-4л:-5 = 0; 2) д;2 + 4л:-12 = 0; 3) л;2-|-2л:-15 = 0; 4) л;2-Юл;-1-16 = 0; 5) л:^ - 6л:-I-3 = 0; 6) л;2 + 8л:-7 = 0. Решить уравнение (430—432). 430. 1) 9л;2 + 6л:-8 = 0; 2) 25л:"- 10х-3 = 0. 431.1 1) л:"-5л:-f4 = 0; 432. 1) 2л:"-^Зл:-5 = 0; 2) х"-Зл:-10 = 0. 2) 5л:" - 7л: - 6 = 0. § 27. Метод выделения полного квадрата 171 та?" |Л (Я1д ; Метод выделения полного квадрата у ал-Хорезми Вы помните, что слово алгебра произошло от «ал-джебр*, входящего в заголовок знаменитой книги ал-Хорезми? В этой книге рассмотрены приёмы решения уравнений: ал-джебр {восстановление — перенос слагаемых) и вал-мукабала {приведение — отбрасывание слагаемых). С помощью этих приёмов ал-Хорезми решал линейные и квадратные уравнения. Значит, мы учим сегодня то, что учёные знали ещё в Средние века? Ничего удивительного. Каждый человек в своём развитии и образовании проходит весь путь развития человечества. Итак, ал-Хорезми в начале IX в. в своём алгебраическом трактате дал подробное описание решений шести видов уравнений: 1) ах^ = Ьх; 2) ах^ = с; 3) ах = с; 4) ax^-t-bx = c; 5) ax^-t-c = bx; 6) bx-¥c = ax^. Ал-Хорезми не употреблял отрицательных чисел, поэтому рассматривал в уравнениях только действия сложения. Любое линейное или квадратное уравнение он приводил к одному из шести видов, а затем решал своими методами. Например, уравнение 12д;-40 = 2х-1 ал-Хорезми решил бы следующим образом: 1) применил бы «ал-джебр» (перенёс «вычитание» из одной части уравнения в другую) и получил бы 12л:-ь 1 = 2jc-t-40; 2) применил бы «вал-мукабала» (отбрасывая из каждой части уравнения 1 и 2х) и получил 10л: = 39. При решении уравнения 10х = 39 в своём трактате «Ки- таб ал-джебр вал-мукабала» ал-Хорезми приводит фактически геометрическую иллюстрацию вывода формулы корней квадратного уравнения методом выделения полного квадрата. Ал-Хорезми рассуждал так: площадь большого квадрата равна (дс + 5)^. Эта площадь складывается из площади закрашенной фигуры, равной дг^ + + Юх (что соответствует левой части уравнения) и площади четырёх квад- 5 ратов со сторонами —, равной 25. Значит, (х 5)^ = 39 + 25, откуда х + 5 = 8 (значение х + 5 = -8 не лось) и, значит, х = 3. рассматрива- 172 Глава IV. Квадратные уравнения ешение квадратных уравнении Ранее были рассмотрены примеры решений квадратных уравнений методом выделения полного квадрата. С помощью этого метода будет выведена формула корней квадратного уравнения общего вида и показано её применение. Нужно вспомнить: ■ формулы квадрата суммы и квадрата разности; ■ решение уравнений вида x^ = d; ■ свойства уравнений; ■ понятие квадратного корня из числа; ■ тождество 4^=\х\. Рассмотрим квадратное уравнение общего вида: ах^ + Ьх + с = 0, где аФО. Разделив обе части уравнения на а, получим; х^ + —X + - = 0. а а Преобразуем это уравнение так, чтобы в левой части получился квадрат двучлена: 2 Ь с х^ +-х = —, х^ + 2—-х + 2а / . \2 / ь = -^ + 2а а [ 2а 4а^ (1) Если ft^-4ac^0, то ь 2 - 4ас то Х + 1Г-2а 2а Ь . Jb^-Лас X + — = ±-------. 2а 2а Xt 2 — ТГ 2а , откуда Ь yjb^ - 4ас 2а или (2) _ —Ь ± — 4ас Формулу (2) называют формулой корней квадратного уравне ния общего вида. § 28. Решение квадратных уравнений 173 ^1,2 — ■ Задача 1. Решить уравнение 6х^ + х-2 = 0. ► Здесь а = 6, Ь=1, с = -2. По формуле (2) находим: _ -1± - 4-6(-2) -l±yf49 _-1±7 2-6 “ 12 “ 12 ’ откуда X, = лг2 = ^^ = -|. Ответ. = *2 = -|- < Задача 2. Решить уравнение 4х^-4х+1 = 0. ► Здесь а = 4, Ь = -4, с=1. По формуле (2) находим: _4±У4^-4-4-1_4±0_1 2-4 “ 8 “2* Ответ. x = i. <] А Если в равенстве (1) правая часть отрицательна, т. е. &^-4ас<0, то равенство (1) не может быть верным ни при каком действительном X, так как его левая часть неотрицательна. ^ Уравнение ах^ + Ьх + с = 0 не имеет действительных корней, если I — 4ас < О. Выражение - 4ас называют дискриминантом и обо- I значают буквой D, т. е. D = b^-4ac. Задача 3. Доказать, что уравнение x*-4x-i-5 = 0 не имеет действительных корней. ► Здесь а = 1, Ь = -4, с = 5, П = &2_4ас = (-4)2-4 • 1 • 5 = -4<0. Значит, данное уравнение не имеет действительных корней. <] Задача 4. Решить уравнение 2х^ -I- Зх -I- 4 = 0. ► По формуле (2) имеем: Xi 2= ^ ^ 4-24 Чцсло, стоящее под знаком корня, отрицательно: П = 9-4-2-4 = 9-32<0. Ответ. Уравнение не имеет действительных корней. <3 Неполные квадратные уравнения также можно решать по формуле (2), однако при их решении удобнее пользоваться приёмами, рассмотренными в § 26. Задача 5. Доказать, что корни квадратного уравнения ах^ + 2тх -t- с = 0, где а^О, т^-ас^О, можно находить по формуле _ ± у]т^ -1 *1.2 — ас а (3) 174 Глава IV. Квадратные уравнения ► Здесь b = 2m. По общей формуле корней квадратного уравнения (2) получаем: —2т ± yj4m^ — 4ас _ -2т ± 2-Jm^ - ас _ -т ± у]т^ - ас 2а 2а а ■^1,2 ~ < Задача 6. Решить уравнение - 4дг -t-1 = 0. ► Здесь & = -4 = 2-(-2), т. е. т = -2. По формуле (3) находим: 2 ± J4 -3 2±1 , 1 ^ Х,,2 =-^Xi = l, Х2 = ~. < Устные вопросы и задания 1. Обосновать верность равенства — = 2 • —. а 2а 2. С помощью свойств уравнений обосновать этапы преобразования уравнения ах’^ + Ьх + с = 0 (а^^О) к виду (1). 3. Прочитать формулу х^ 2 = _ -Ь± yjb^ — 4ас 2а 4. Как называется выражение - 4ас, где а и 6 — коэффициенты, с — свободный член квадратного уравнения ах'^ + Ъх + с = 01 Как обозначают это выражение? 5. При каких условиях квадратное уравнение не имеет действительных корней; имеет один корень; имеет два корня? 6. Обосновать вывод формулы корней квадратного уравнения, у которого второй коэффициент представим в виде 2т, где т — целое число. Вводные упражнения | 1. Решить уравнение: 1)л:2-81 = 0; 2) 15x = 0; 3)(х-2)2 = 0; 4) (x-l-1)^-1 = 0. 2. Назвать коэффициенты и свободный член квадратного уравнения: 1) 2х2-3х+1 = 0; 2) -х2-2х + 3 = 0; 3) -5x2 _ 12л: = О; 4) -13 = 0. 3. Найти значение выражения - 4ас, если: 1) а = 1, Ь = 3, с = -5; 2) а = 6, Ь = -2, с = 1; 3) а = -1, Ь = 4, с = -2; 4) а = -2, Ъ = -Ь, с = -1. 4. Представить в виде квадрата одночлена стандартного вида выражение: 1) 4а2; 2) 3) 2а«; 4) -2-5*. ' 25 § 28. Решение квадратных уравнений 175 Упражнения 433. Найти значение выражения yjb^ - 4ас при: 1) а = 3, 6=1, с = -4; 2)а = 3, 6 = -0,2, с = -0,01; 3) а = 7, Ь = -6, с = -45; 4) а = -1, 6 = 5, с=1800. 434. Решить квадратное уравнение: 1) 2х^ + Зх+1 = 0; 2) 2х^-Зх + 1 = 0; 3) 2х^ + 5х + 2 = 0; 4) 2л:2-7х + 3 = 0; 5) Зд:2+11л: + 6 = 0; 6) 4^:^- 11л: + 6 = 0. 435. Найти все значения л:, при которых значение выражения равно нулю: 1) 2x2-1-5х-3; 2) 2х2-7х-4; 3)Зх^ + х-4; 4)3x2-f2x-l; 5) х2-ь4х-3; 6) Зх^-Ы2х + 10; 7) -2x2 + Х + 1-, 8) -3x2 _х + 4. Решить квадратное уравнение (436—437). 436. 1) 9х2-бх + 1 = 0; 2) 16х2-8х-(-1 = 0; 3) 49x2 + 28х + 4 = 0; 4) 36x2 + i2x + 1 = 0. 437. 1) 2x2 -I- X + 1 = 0; 2) 3x2 - х + 2 = 0; 3) 5x2 + 2x-f3 = 0; 4) х2-2х +10 = 0. 438. Не решая уравнения, определить, сколько корней оно имеет: 1) 2х2-ь5х-7 = 0; 2) 3x2-7х-8 = 0; 3) 4x2 +4х-1-1 = 0; 4) 9х2-6х + 2 = 0. Решить уравнение (439—441). 439. 1) 7x2 - 6х + 2 = Q. 2) 3x2 - 5х + 4 = Q; 3) + 12х + 4 = 0; 4) 4x2 - 20х + 25 = 0; 5) 4x2 + i2x + 9 = 0; 6) х2 - Зх - 4 = 0. 440. 1) 6х2 = 5х+1; 2) 5х2+1 = 6х; 3) х(х - 1) = 72; 4) х(х + 1) = 56; 5) 2х(х + 2) = 8х + 3; 6) Зх(х-2)- 1 = х-0,5(8 + х2). х2 + Зх X + 7 441. 1) 3) 2 4 2x2 + X 2 - Зх х2 - 6 2) 4) х2 - Зх + X = 11; х2 + X 3 - 7х = 0,3. 3 4 6 ' 4 20 442. Найти все значения а, при которых уравнение ах^ + Зх + 2 = 0, где a?t0: 1) имеет два различных корня; 2) не имеет корней; 3) имеет один корень. 176 Глава IV. Квадратные уравнения 443. Найти все значения q, при которых уравнение x^-2x + q = 0: 1) имеет два различных корня; 2) имеет один корень. 444. Решить уравнение, используя формулу (3): 1) 5х^-8х-4 = 0; 2) 4х^ + 4х-3 = 0; 3) 26х + 5 = 0. 445.1 С помощью микрокалькулятора решить уравнение: 1) 2,5х^ - 30,75х + 93,8 = 0; 2) 1,2х^ + 5,76л: + 6,324 = 0; 3) 17д:‘'-918л:-125 307 = 0; 4) ХЗл:"-702х-82 251 = 0. 446.1 Записать формулу корней квадратного уравнения х^ + 2тх + + с = 0, решить с помощью этой формулы уравнение: 1) л:2 - 12х + 20 = 0; 2) + Юл: + 24 = 0; 3) л:2 + 10х - 24 = 0; 4) л:^ - 50л: +49 = 0. 447.1 С помощью микрокалькулятора найти приближённые значения корней уравнения с точностью до 0,01: 1) 1,3x2-)-5,7л:+ 5,1 = 0; g) 2,3x2-30,1х +89 = 0; 3) х2 + 19х - 68 = 0; 4) х2 - 23х -51 = 0. 448.] Доказать, что уравнение х2 +рх - 1 = 0 при любом р имеет два различных корня. 449.1 Доказать, что уравнение ах2 + бх - а = 0 при а 0 и любом Ь имеет два различных корня. Nra О формулах корней не только квадратных уравнений | Профессор, кто первым нашёл формулы корней квадрат- i ных уравнений? | Один из первых трудов, в котором выводятся эти форму-лы, принадлежит индийскому математику Брахмагупте (ок. 598—660). Он предложил формулу корней квадратного уравнения вида ах2 + Ьх = с, где а > 0, практически совпадающую с той, которой мы пользуемся сегодня. В Европе формулы корней квадратных уравнений (аналогичные тем, которыми пользовался ал-Хорезми) впервые появились в «Книге абака» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) (ок. 1170—1250) в 1202 г. Современный вид формулы корней квадратного уравнения приобрели в XVII в. благодаря работам Р. Декарта и И. Ньютона. Помните, в 7 классе Вы нам рассказывали интересные и поучительные истории из жизни учёных? Расскажите, пожалуйста, о жизни какого-нибудь математика, занимавшегося изучением квадратных уравнений. § 28. Решение квадратных уравнений 177 Омар Хайям Расскажу вам о выдающемся математике, астрономе, фи-лософе и поэте Омаре Хайяме (ок. 1048—1122), кото-^ рый внёс большой вклад в теорию решения уравнений. Родился Омар Хайям на севере Ирана, а жил и работал во многих городах Средней Азии — Самарканде, Бухаре и др. В те времена на Востоке часто шли войны. Хайям испытывал нужду, зарабатывал на жизнь чем мог, и для спокойных занятий наукой у него оставалось очень мало времени. Был период, когда ему покровительствовали знатные вельможи. В те годы он писал замечательный трактат «О доказательствах задач алгебры и вал-мукабалы», проводил астрономические наблюдения, создавал солнечный календарь, развивал теорию кубических уравнений. Кубические... Это уравнения с неизвестным в третьей степени? Общий вид кубического уравнения такой: ах^ + Ьх^ + сх + + d = 0, где а*0. Омар Хайям решал геометрическим методом частные случаи этого уравнения. Пытался найти формулу корней любого кубического уравнения алгебраически, но не смог. В XVI в. итальянские математики Сципион дель Ферро (1465—1526) и Никколо Тарталья (1499—1557) нашли формулы для решения кубических уравнений, а опубликовал их в 1545 г. Джероламо Кардано (1501—1576) (его имя и носят эти формулы). Профессор, но Вы не рассказали, когда и какие стихи писал Омар Хайям, раз Вы назвали его и поэтом. Да, Омар Хайям вошёл в историю и своими замечатель-^ ными четверостишиями, воспевающими свободу, любовь ♦ и мудрость. Эти стихи (рубаи), наполненные глубоким философским смыслом, в XIX—XX вв. были переведены почти на все языки мира. Приведу только два из любимых мною четверостиший Омара Хайяма. Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало. Два важных правила запомни для начала. Ты лучше голодай, чем что попало есть, И лучше будь один, чем вместе с кем попало. Не смотри, что иной выше всех по уму, А смотри, верен слову ли он своему: Если он своих слов не бросает на ветер — Нет цены, как ты сам понимаешь, ему. 178 Глава IV. Квадратные уравнения риведённое квадратное уравнение, орема Виета в этом параграфе вы познакомитесь с замечательными теоремами, названными именем уже знакомого вам французского математика Ф. Виета. Эти теоремы в ряде случаев позволяют решать квадратные уравнения устно, находить второй корень квадратного уравнения, если один его корень известен. Познакомитесь с новым способом разложения многочлена вида ах^ + Ьх + с на множители в случае, когда известны корни соответствующего ему квадратного уравнения. Нужно вспомнить: понятие квадратного уравнения; формулы корней квадратного уравнения; правила сложения и умножения многочленов; разложение многочлена на множители способом группировки; основное свойство дроби и его применение при сокращении алгебраических дробей. О Определение. Квадратное уравнение вида + рд: + g = О называется приведённым. (1) II В этом уравнении старший коэффициент равен единице. Например, уравнение х^-Зх-4 = 0 является приведённым квадратным уравнением. Всякое квадратное уравнение ах^ + Ьх + с = 0 может быть приведено к виду (1) делением обеих частей уравнения на афО. Например, уравнение 4х^ -г 4x - 3 = О делением на 4 приводится О к виду х^ + X---= 0. 4 Найдём корни приведённого квадратного уравнения (1). Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения общего вида ах^ + Ьх + с = 0, т. е. формулой ^1.2 — (2) _ -Ь± yjb^ - 4ас 2о ■ Приведённое уравнение х^ +px + q = 0 есть частный случай уравнения общего вида, в котором а=1, Ь=р, c = q. Поэтому для приведённого квадратного уравнения формула (2) принимает вид: § 29. Приведённое квадратное уравнение 179 Xj 2 — -p±^p^ -4q ИЛИ (3) Формулу (3) называют формулой корней приведённого квадратного уравнения. Формулой (3) особенно удобно пользоваться, когда р — чётное число. Задача 1. Решить уравнение х^-14х-15 = 0. ► По формуле (3) находим: х, 2 = 7 ± ^49 + 15 = 7 ± 8. Ответ. Xi = 15, Х2 = -1. <1 Для приведённого квадратного уравнения справедлива следующая теорема: ТЕОРЕМА ВИЕТА Если Xi и Хг — корни уравнения + рх + q = 0, то справедливы формулы Х, + Х2 = -р, Xi-X2 = q, т. е. сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. По формуле (3) имеем: ^1 = --Х + -9. Складывая эти равенства, получаем: х,-1-Х2 = -р. Перемножая эти равенства, по формуле разности квадратов получаем: / I - \2 \2 Хо = / \ р 2 [ ( > р 2 ( \ р 2 { Л р 2 V 2 - Я 2 2 + q = q. О Например, уравнение x^-13x-f30 = 0 имеет корни Xi = 10, Х2 = 3; сумма его корней Xi-l-X2=13, а их произведение XjX2 = 30. Отметим, что теорема Виета справедлива и в случае, когда квадратное уравнение имеет два равных корня: х, = Х2 = 180 Глава IV. Квадратные уравнения Например, уравнение jc^ - блг + 9 = О имеет равные корни: Xi = X2 = S; их сумма Xi + X2 = 6, произведение XiJC2 = 9. Задача 2. Один из корней уравнения х^ + рх-12 = 0 равен Xi = 4. Найти коэффициент р и второй корень Х2 этого уравнения. ► По теореме Виета Xi • Х2 = -12, Xi + Х2 = -р. Так как Xi = 4, то 4^2 = -12, откуда дг2 = ~3, Р = -(дс1 + д:2) = -(4-3) = -1. Ответ. ЛГ2 = -3, р = -1. <] Задача 3. Составить приведённое квадратное уравнение, корни которого Xi = 3, ^2 = 4. ► Так как Xi = 3, Х2 = 4 — корни уравнения x^+px + q = 0, то по теореме Виета P = -(j:j + X2) = -7, q = XiX2=12. Ответ, 7x-i-12 = 0. <] Задача 4. Один из корней уравнения Зх^ -f- 8х - 4 = 0 положителен. Не решая уравнения, определить знак второго корня. ► Разделив обе части уравнения на 3, получим: х^-(--л:-- = 0. 4 3 3 По теореме Виета XiJC2 = -x<0- По условию Xi>0, следовательно, X2<0. При решении некоторых задач применяется следующая теорема, обратная теореме Виета: ТЕОРЕМА Если числа р, q, Xj, Х2 таковы, что Xi + X2 = -p, Xi'X2 = q, то Xi и Х2 — корни уравнения х^ +px + q = 0. (4) • Подставим в левую часть х^ +px + q вместо р выражение -(Xi-t-X2), а вместо q произведение Xy-Xz- Получим: Х^ + рх + q = Х^ - (Ху + Х2) X + ХуХ2 = Х^ - ХуХ - Х2Х + ХуХ2 = = х(х-Ху)~ Хг(х - Ху)=(х - Ху)(х - Хг). Таким образом, если числа р, q, Xj и Х2 связаны соотношениями (4), то при всех х выполняется равенство x^ + px + q = (x-xy)x х(х - Х2), из которого следует, что Ху и Х2 — корни уравнения x^+px + q = 0. О С помощью теоремы, обратной теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения. § 29. Приведённое квадратное уравнение 181 Задача 5. Подбором найти корни уравнения л:^-5х + 6 = 0. ► Здесь р = -5, 9 = 6. Подберём два числа ДС) и так, чтобы Xi + X2 = 5j XiX2 = 6. Заметив, что 6 = 2*3, а 2 + 3 = 5, по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что х^ = 2, ^2 = 3 — корни уравнения х^-5х + 6 = 0. <3 Задача 6. Упростить дробь х^-х-12 х + 2 ► Разложим числитель дроби на множители: X* - д: - 12 = - 4х + Зх - 12 = х(х - 4) + 3(х- 4) = (х - 4)(х + 3). Следовательно, ^ ~ ~ = х - 4. <3 II Многочлен ах^ + 6х + с, где а^О, называют квадратным трёх-11 членом. При решении згщачи 6 квадратный трёхчлен х^-х-12 был разложен на множители способом группировки. Его можно было также разложить на множители, используя теорему о разложении квадратного трёхчлена на множители: ТЕОРЕМА Если Xj и Хг — корни квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = 0, то при всех х справедливо равенство ах^ + Ьх + с = а(х - Xi)(x - Ха). (5) Преобразуем выражение, стоящее в правой части равенства (5): а(х~ Xi)(x - Х2) = ах^- ох • Xi - ах • Х2 + 0X1X2 = = ах^ - а (xi + Х2) X + 0X1X2. (6) Так как Xi и Х2 — корни уравнения ох^ + Ьх + с = О, т. е. уравнения х^ + —х + —= 0, то по теореме Виета а а Ь с Xi + X2 =-, XiX2 = -, а а откуда o(xi + X2) = -&, 0X1X2 = с. Подставляя эти выражения в равенство (6), получаем формулу (5). О Задача 7. Упростить выражение +5х-3 х2 - х-12 182 Глава IV. Квадратные уравнения ► Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. 1) Уравнение 2х^ + 5х-3 = 0 имеет корни л:, = ^, Х2 = -3. По доказанной теореме 2х^ + 5х-3 = 2 х- ^|(л: + 3) = (2л: - 1)(л: + 3). 2) Уравнение л^-л:-12 = 0 имеет корни Xi=-3, Х2 = 4. По доказанной теореме х^ - х - 12 = (х+ 3){х - 4). Таким образом, 2л^ + 5л - 3 (2л - 1)(л + 3) 2л - 1 л^-л-12 (л + 3)(л-4) л-4 . < Устные вопросы и задания 1. Какое квадратное уравнение называют приведённым? 2. Преобразовать уравнение Зл^ - 6л -f- 7 = О к виду приведённого квадратного уравнения. 3. Привести формулу корней квадратного уравнения вида х^ + рх + д = 0. 4. Сформулировать теорему Виета. 5. Сформулировать теорему Виета для случая х^ = Лг. 6. Сформулировать теорему, обратную теореме Виета. 7. Известно, что один из корней квадратного уравнения: 1)л^-1- ч-рл-Ь 10 = 0; 2) л^ ч-рл-7 = о — отрицателен. Определить знак второго корня. 8. Каким методом разложен на множители числитель дроби в задаче б? 9. Разложить на множители квадратный трёхчлен ky^ + 1у + т, если 1/| и У2 — корни уравнения ky^ + 1у + т = 0. Вводные упражнения 1. Решить уравнение: 1) л2-0,09 = 0; 2) л2 + 1л = 0; 3) л^ч-4л4-4 = 0; 4) (лч-2)2-4 = 0. 2. Выполнить деление обеих частей уравнения на первый коэффициент: 1) 2л2-Зл + 5 = 0; 2) |л2 + 2л-| = 0. О О 3. Найти сумму и произведение выражений: 1) л ч- yjx^ - у и x-yjx^ - у; 2) -x + ^Jy + х^ и -х - у]у + х^. § 29. Приведённое квадратное уравнение 183 4. Сократить дробь: 1) . (3 + х)2х 2) (1 - Зд:)(л: + 2) (X - 3)(3л; - 1) 5. Найти произведение корней уравнения - 5д: + 6 = О и сравнить его со свободным членом уравнения. 6. Найти сумму корней уравнения - 5х + 6 = О и сравнить её со вторым коэффициентом уравнения. Упражнения 450. Решить приведённое квадратное уравнение: 1)х2 + 4х-5 = 0; 2)х^-6х-7 = 0; 3)х2-8х-9 = 0; 4) х^ + 6х-40 = 0; 5) х^ + х-6 = 0; 6)х^-х-2 = 0. 451. (Устно.) Найти сумму и произведение корней приведённого квадратного уравнения, имеющего корни: 1)х2-х-2 = 0; 2) х2-5х-6 = 0; 3)х2 + Зх + 2 = 0; 4) х^ + Зх-4 = 0; 5) х^-7х + 5 = 0; 6) х^ + 9х-6 = 0. 452. (Устно.) Один из корней уравнения х^-19х + 18 = 0 равен 1. Найти его второй корень. 453. (Устно.) Один из корней уравнения 28х^ + 23х-5 = 0 равен -1. Найти его второй корень. 454. (Устно.) Не решая уравнения, имеющего корни, определить знаки его корней: 1)х^ + 4х-5 = 0; 2)х^ + 5х + 3 = 0; 3)х2-5х + 3 = 0; 4)х2-8х-7 = 0. 455. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни X, и Хо 1) Xi = 3, Х2 = -1; 3) Xi = -4, Х2 = -5; 2) Xj = 2, Х2 = 3; 4) Xi =-3, Х2 = 6. 456. Подбором найти корни уравнения: 1) х2 + 5х + 6 = 0; 2) х2 - 7х + 12 = 0; 4) х^ + 8х + 7 = 0; 5) х^ - 8х + 15 = 0; 3) х^ - бх + 5 = 0; 6) х2 + 2х-15 = 0. 457. Квадратный трёхчлен разложить на множители: 1) х^-5х + 6; 2) х^ + 4х-5; 3) х^ + 5х-24; 4) х^ + х-42; 5) 2х^-х-1; 6) 8х^+10х + 3; 7) -6х^ + 7х - 2; 8) -4х^ - 7х + 2. 184 Глава IV. Квадратные уравнения 458. Сократить дробь: + X -2 1) 4) х-1 х — 8 2) 5) х^ + 4х - 12 ^ х-2 2х^-Зх-2, 3) 6) д: + 3 д;2 -6д:-27’ Зл:^ + 8х - 3 х^-х-56 4x^-1 9x^-1 459. Решить приведённое квадратное уравнение: 1) -2у13х-1 = 0; 2) - 2Sx + l = 0; 3) х^ + >j2x-4 = 0; 4) - 4Т7д; + 4 = 0. 460. Разложить на множители: 1) х^-3х^ + 2х; 2) х^ + 4х^-21х; 3) х^ + 5х^-24х", 4) х^-9х^-22х. 461. Сократить дробь: 1) х^ +6х-7, х^-7х + б’ 2) 462. Упростить: 1 1) 3) д:2-7д: + 12 д:-3’ 7____________5 . 5д:^ + Зд: - 2 5д: - 2 ’ д:^ -8д:-9. х^ + 9д: + 8 ’ 2) 3) д:^ -8ДГ + 15. -х^ + 5х - б’ 3 1 4) 36 + 5д: - х^ х’^-х-20' 4) д:^ + бд: + 9 д: + 3 ’ 5д: + 1 5дг^ + X х^ +9Х-10 х^ -2х + 1 463. Пусть уравнение х^ + рх + q = 0 имеет два действительных корня Xi и Х2- Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни -JCi и -ДГ2. 464.1 Корни Xi и ДГ2 квадратного уравнения д:^ -и бд: -1- g = 0 удовлетворяют условию jc2 = 2xj. Найти q, х^, ДГг- 465.1 Корни дгх и JC2 квадратного уравнения д:^ и-рдс + 3 = 0 удовлетворяют условию д:2 = 3дс1. Найти р, х^, Х2- 466.1 Не вычисляя корней х^ и дс2 уравнения 3x^-8x- 15 = 0, найти: 2) ^ + 4) х1 + х1. X\ Х2 Х2 Xi 467.1 С помощью микрокалькулятора найти корни уравнения; по теореме Виета выяснить, являются найденные значения точными или приближёнными значениями корней уравнения: 1) д;2 + 2д:-1=0; 2) - 2д:- 2 = 0; 3) х2 + 1,8х - 28,35 = 0; 4) - 39х - 1026 = 0. § 29. Приведённое квадратное уравнение 185 Поиск целых корней Вы убедились в том, что если числа Xi и Х2 — корни приведённого квадратного уравнения х^ + рх + q = 0, то ~ Xi‘ X2 = q. Поэтому если я попрошу вас найти целые кор- ни уравнения x^-i-SOx —81 =0, то вы будете их искать среди делителей свободного члена, т. е. среди чисел ±1, ±3, ±9, ±27, ±81. Убедившись в том, что число 1 является корнем уравнения, вы легко найдёте второй корень, разделив свободный член на обнаруженный корень. Можно доказать, что если уравнение любой степени с целочисленными коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена. Например, если вам скажут, что уравнение - Ъх^ - 4дс -ь 3 = 0 имеет целые корни, то вы будете их искать среди делителей числа 3, т. е. среди чисел ±1, ±3. Я проверил подстановкой числа 1 и -1. Обнаружил, что -1 является корнем данного уравнения. Теперь нужно проверять числа ±3? Можно проверять и их, может быть, есть ещё целые корни. А можно разделить многочлен, стоящий в левой части уравнения, на х-х^, где — целочисленный корень уравнения. В нашем случае разделим многочлен на Jc+1: cm. Х-1- 1 2х^ - 7х + 3 _2д:®-5л:2-4x4-3 2х^ 4- 2х^_____ _-7х^-4х -7х^- 7х _3х + 3 Зх 4- 3 о Таким образом, 2х® - 5х^ - 4х 4- 3 = (х 4- 1)(2х^ - 7х 4- 3). Теперь нужно найти корни уравнения 2х^ - 7х 4- 3 = 0. Я уже вычислил корни этого квадратного уравнения по 1 формуле корней — это числа 3 и к Скажи, а по аналогии с формулой (5) из текста параграфа не можешь ли ты разложить заданный мной че-тырёхчлен на множители? Могу: 2х®-5х^-4х4-3 = 2(х4-1)(х-3) *4 Сделаю про- верку: после выполнения действии умножения в правой части равенства я получил многочлен 2х®-5х^-4х + 3. 186 Глава IV. Квадратные уравнения равнения, сводящиеся к квадратным Существует немало уравнений, которые после преобразований приводятся к виду квадратного уравнения. Некоторые уравнения удаётся привести к виду: «произведение равно нулю». Если среди множителей оказывается одночлен, двучлен или квадратный трёхчлен, то решение уравнения существенно упрощается. В этом параграфе будут рассмотрены примеры различных уравнений, сводящихся к квадратным. Нужно шспомиить: ■ свойство возведения степени в степень; ■ нахождение общего знаменателя алгебраических дробей; ■ разложение многочленов на множители; ■ условие равенства нулю произведения, дроби; ■ область допустимых значений выражения; ■ понятие корня уравнения; ■ свойства уравнений; ■ понятие квадратного уравнения; ■ формулы корней квадратных уравнений; ш разложение квадратного трёхчлена на множители. Задача 1. Решить уравнение л:"* - 7л:^ + 12 = 0. ► Обозначим x^ = t, тогда уравнение примет вид: t^-7t+12 = 0. Решая это квадратное уравнение, получаем: = 4, <2 = 3. Так как t = x^, то решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений: х^ = 4, x^ = 3, откуда д:,_2 = ±2, Xg_ 4 = ± \/3. Ответ. jCi_2 = ±2, лГз_4 = ±7з. < В Уравнение аж"* + + с = 0, где а^О, называют биквадратным. Заменой x^ = t это уравнение сводится к квадратному. Задача 2. Решить биквадратное уравнение 9ж‘* + 5х^-4 = 0. ► Обозначим х^ = ^. Тогда данное уравнение примет вид: 9^2 +5<-4 = 0. Решая это квадратное уравнение, находим: = t2 = -l. Уравнение имеет корни JCi 2 = ±f, а уравнение ж^ = -1 У о не имеет действительных корней. Ответ. Ж1_2 = ±|. <3 О § 30. уравнения, сводящиеся к квадратным 187 Задача 3. Решить уравнение = 3. х+2 х-3 ► Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, равен {х + 2) (л:-3). Если х + 2=it0 и л:-3?ь0, то, умножая обе части уравнения на (х + 2)(х-3), получаем: 3(х-3)-4{х + 2) = 3(х + 2)(х- 3). Преобразуем это уравнение: Зх - 9 - 4х - 8 = 3(х^ - X - 6), -x-17 = 3x2-3x-18, Зх2-2х-1 = 0. Решая полученное квадратное уравнение, находим его корни: X, = 1, Хо = --. Так как при х=1 и x = -i знаменатели дробей исходного уравнения не обращаются в нуль, то числа 1 и -- являются корнями исходного уравнения. О Ответ. Xi = l, Хг = -^. <] Задача 4. Решить уравнение 3-х (1) (х-1)(х-2) х-1 х-2 ► По условию (х-1)(х-2)5*0. Умножая обе части уравнения на (х-1)(х-2), получаем: 1 + 3(х - 2) = (3 - х)(х - 1). Преобразуем это уравнение: 1 -I- Зх - 6 = -х^ + 4х - 3, х2-х-2 = 0. (2) Решая полученное квадратное уравнение, находим его корни: Xi=-1, Хг = 2. При х = -1 знаменатели исходного уравнения не обращаются в нуль, следовательно, число -1 — корень исходного уравнения. При х = 2 знаменатели двух дробей исходного уравнения равны нулю, поэтому число 2 не является корнем исходного уравнения. Ответ. х = -1. <3 В задаче 4 исходное уравнение (1) было сведено к квадратному уравнению (2), имеющему два корня. Один из них Xi = -1 является корнем уравнения (1). Другой корень Хг = 2 не является корнем уравнения (1), в этом случае его называют посторонним корнем. Таким образом, при умножении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут появиться посторонние корни. Поэтому при решении уравнения, содержащего неизвестное в знаменателе дроби, необходима проверка. 188 Глава IV. Квадратные уравнения Задача 5. Решить уравнение х + 7 + ■ 1 х + 4 х + 3 х^+7х+12 = 0. ► Разложим квадратный трёхчлен + 7х +12 на множители. Решая уравнение + 7jc + 12 = О, находим его корни Xi = -3, Х2 = -4. Поэтому + 7л: + 12 = (jc +3)(х + 4). Умножим обе части данного уравнения на общий знаменатель дробей, т. е. на (х-I-3)(л:-ь4). Получим: (х-н 7)(х-1-3)-(х-1-4) +1 = 0. Преобразуем это уравнение: x2+10x-t-21-x-4 + l = 0, х2 + 9х + 18 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: х, = -3, Х2 = -6. Проверим эти корни. При х = -3 знаменатели второй и третьей дробей исходного уравнения обращаются в нуль, поэтому Xi=-3 — посторонний корень. При х = -6 знаменатели дробей исходного уравнения не равны нулю. Подстановкой х = -6 в исходное уравнение можно убедиться, что это число является корнем уравнения. Ответ. х = -6. <] Устные вопросы и задания 1. Какое уравнение называют биквадратным? Привести пример биквадратного уравнения. 2. Какую замену неизвестного нужно выполнить, чтобы уравнение ax'* -I- Ьх^ -I- с = о (а 5* 0) привести к виду квадратного? 3. Сколько действительных корней может иметь биквадратное уравнение? 4. Какое выражение является общим знаменателем дробей: 1) X - 5 и X + 6 2) X - 4 и х^ -16 5. Почему при решении уравнения, содержащего неизвестное в знаменателе дроби, необходима проверка? Вводные упражнения 1. Решить уравнение: 1) х2 = 25; 2)х2 = 5; 3) х^ = -5; 4) х^ = 0. 2. Представить в виде квадрата одночлена: 1) lex-*; 2) 81^ 3) xV; 4) 0,01x^‘'l/^2 § 30. Уравнения, сводящиеся к квадратным 189 3. Найти допустимые значения букв, входящих в выражение: 1) х-5 д: + 3 2) 5 х(д; + 1) дс-2 4. Подбором найти корни уравнения: 1) jc2-5x + 4 = 0; 2) х^-х-2 = 0; 3) + 9л: + 18 = 0; 4) д:^ - 7л: + 12 = 0. 5. Убедившись в том, что дг = -1 является корнем уравнения, найти второй его корень: 1) д:^-I-7дс + 6 = 0; 2) д:^ - 8д: - 9 = 0. 6. Разложить на множители трёхчлен: 1)д;2-6д:-7; 2) 2д:2-5д:-I-3. Упражнения Решить уравнение (468—471). 468. 1) д:"-10д:2 + 9 = 0; 2) д:" - бд:^-I-4 = 0; 3) х-* - 13x2 + 36 = 0; 4) х“ - бОх^ + 49 = 0. 469. 1) х"-3x2-4 = 0; 3) х"-1-х2-20 = 0; 2) х" + Зх2-4 = 0; 4) х“-4х2-б = 0. 470. 1) ^-8 = 1; х-3 X 4) ___40 = 1. ^ х-20 X 2) ^ + И = 3; х-Ь X 3) ^ 5) 1 1 х-3 X + 3 8’ X х + 3 20’ 6) ^ + ^ = 1.5. х-2 х-1-2 471. 1) Зх + 4 х-2 х-6 4х + 3 1 3) + х + 2 (х + 1)(х + 2) X +1 ’ 0\ + 2 х-2 _ 13. х-2 х + 2 6 ’ 4) + ^ = 5) х + 3 -3-х х + З’ 6) (х-3)(х-1) х-3 х2 2х х-1 1-х х-1 472. Имеет ли действительные корни уравнение: 1) х^ - 6x2 + 7 = 0; 2) х^ + 3x2 + 2 = о? 473. При каких значениях х равны значения выражений: 1) 2 Х2 - I I - X И 2- х + 4. х+1’ 2) х+2 х-2 и 4-х2 -Hi? 190 Глава IV. Квадратные уравнения ,474.1 Решить уравнение: 1) (х-1)"-5(х-1)2 + 4 = 0; 2) (д: + б)-* + 8(х + б)^-9 = 0. !475.| С помощью микрокалькулятора решить уравнение: 1) д:" + Зд:2-7 = 0; 2) д:" + бд:^- б = 0; 3) + 19x2-47 = 0; 4) 6x^+18x2-111 = 0. Замена неизвестных Вы познакомились с применением замены x^ = t для пред-ставления биквадратного уравнения в виде квадратного. В 7 классе методом замены неизвестных вы пользовались при решении систем уравнений, сводящихся к линейным. Например, систему • = 3, 10 х + у 7 х-у 6 = 2 после замены 1 х + у 1 х + у х-у = V обращали в систему линей- ных уравнении: 0. Это возможно при афО. Теперь попробую решить уравнение (2). Итак, при а = 0 уравнение ал:^-(а +1)л:+1 =0 обращается в линейное -д:-(-1 = 0, корнем которого является число 1. При аФО имеем квадратное уравнение с дискриминантом D - (-(а + 1)У - 4 ■ а • 1 = + 2а + 1 - 4а = а^ - 2а + 1=(а- 1)*. Найдём его корни: _ а + 1 ±у1(а -1)^ _ а + 1 ±|а - l| 2а 2а Если а>1, то (по определению модуля) |а-1| = а-1; если а<0, то |а-1| = -(а-1). Поэтому корни уравнения при афО можно найти по формулам а + 1 ±(а -1) ^1.2 — ■ 2а Значит, o:j = l, ^2 = —? Для афО корни действительно такие. Полностью ответ ( к выполненному заданию можно записать так: «Если а = 0, то х=1; если а^О, то лг1=1, Х2 = — *- а Попробуйте теперь самостоятельно ответить на вопрос: «При каких значениях а уравнение (a-i-8)x^ —8лг —а = 0 имеет единственный корень?» 192 Глава IV. Квадратные уравнения ешение задач помощью квадратных уравнений Вы уже умеете решать задачи с помощью уравнений первой степени. В этом параграфе будут рассмотрены задачи, математической моделью которых является квадратное уравнение. Будет показана важность одного из этапов решения таких задач — этапа проверки найденных корней на соответствие условию задачи. Нужно вспомнить: ■ формулы корней квадратных уравнений; ■ решение уравнений, содержащих неизвестное в знаменателе дроби; ■ понятие процента; ■ формулы скоростей равномерного прямолинейного движения; движения по течению и против течения реки; формулу работы; ■ формулы периметра и площади: треугольника; прямоугольника; ■ основные этапы решения текстовой задачи. Решим несколько задач с помощью квадратных уравнений. Задача 1. В шахту брошен камень, и звук от его удара был услышан спустя 9 с. Определить глубину шахты, считая скорость звука равной 320 м/с, а ускорение свободного падения g равным 10 м/с^. Для нахождения глубины шахты достаточно определить время t падения камня, так как глубина шахты согласно зако- ну свободного падения равна метрам. По условию ^=10 м/с^, поэтому глубина шахты равна 5t^ метрам. С другой стороны, глубину шахты можно найти, умножив скорость звука 320 м/с на время его распространения от момента удара камня до момента, когда был услышан звук, т. е. на (9 - i) секунд. Следовательно, глубина шахты равна 320(9-0 метрам. Приравнивая два найденных выражения для глубины шахты, получаем уравнение = 320(9 - ^). Решим это уравнение: 0 = 64(9-0, O + 64f-64-9 = 0. § 31. Решение задач с помощью квадратных уравнений 193 Решим полученное квадратное уравнение: = -32 ±^/322 + 64-9 = -32 ±732(32 + 18) = = -32 ±732 • 50 = -32 ±716 • 100 = -32 ± 40, ij = 8, ^2 = -72. Так как время падения камня положительно, то f = 8 с. Следовательно, глубина шахты равна 5^2 = 5• 8^ = 320 (м). Ответ. 320 м. <] Задача 2. Автобус-экспресс отправился от автовокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 40 км. Через 10 мин вслед за автобусом выехал пассажир на такси. Скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найти скорость такси и автобуса, если в аэропорт они прибыли одновременно. ► Пусть X километров в час — скорость автобуса, тогда скорость такси равна (х + 20) километров в час. Время движения автобуса равно — часам, а время движе- X 40 тт ния такси равно ------- часам. По условию задачи разница JC + 20 между временем движения автобуса и такси равна 10 мин, т. е. ч. Следовательно, 1 6 40 X 40 х + 20 1. 6’ (1) Решим полученное уравнение. Умножая обе части уравнения на 6х(х + 20), получаем: 40 • 6 • (х + 20) - 40 • 6х = х(х + 20), 240х + 4800 - 240л: = л:^ + 20х, д:^ + 20х - 4800 = 0. Корни этого уравнения: Xi = 60, дг2 = -80. При этих значениях X знаменатели дробей, входящих в уравнение (1), не равны нулю, поэтому Xj = 60 и jc2 = -80 являются корнями уравнения (1). Так как скорость автобуса положительна, то условию задачи удовлетворяет только один корень: д: = б0. Поэтому скорость такси 80 км/ч. Ответ. Скорость автобуса 60 км/ч, скорость такси 80 км/ч. 194 Глава IV. Квадратные уравнения Задача 3. На набор рукописи первый оператор, работая один, потратил бы на 3 ч меньше, чем второй. Работая одновременно, они закончили набор всей рукописи за 6 ч 40 мин. Сколько времени потребовалось бы каждому из них на набор всей рукописи? ► Примем работу по набору всей рукописи за единицу. Пусть первый оператор затратит на набор рукописи х часов, тогда второму на эту работу потребуется (х + 3) часов. Первый опе- X -I- 3 ратор за час выполняет — часть работы, а второй ^ ^ 11 Работая вместе, они выполняют за час — +--г всей рабо- ты, а за 6 ч 40 мин, т. е. за 6^ ч, они выполняют всю ра- О боту. Поэтому 6| 1 1+ , X X + 3 = 1. Это уравнение можно записать так: 1 _ 3 20" X ^ X + 3 (2) Умножая обе его части на 20х(х + 3), получаем: 20(х + 3) -I- 20х = Зх(х + 3), 40х -I- 60 = Зх^ + 9х, 3х^-31х-60 = 0. Корни этого уравнения: Xi = 12, ^2 = -|- При этих значениях х знаменатели дробей, входящих в уравнение (2), не равны нулю, поэтому Xi = 12 и Х2 = -~ — кор- 3 ни уравнения (2). Так как по смыслу задачи х>0, то х=12. Следовательно, первый оператор затрачивает на работу 12 ч, второй 12 4-t-3 4 = 15 ч. Ответ. 12 ч и 15 ч. Устные вопросы и задания | 1. Назвать этапы решения задачи 1. 2. По какой формуле находится расстояние s, пройденное телом при свободном падении за время ^, если его начальная скорость равна о? § 31. Решение задач с помощью квадратных уравнений 195 3. Как называется выражение 6л:(л: + 20) для дробей, входящих в уравнение (1)? 4. Какое свойство уравнений используется для получения уравне- ния (2) из уравнения 6^ О 1 ^ 1 X X + 3 = 1? 5. Почему в задаче 2 только один из корней уравнения (1) удовлетворяет условию задачи? Вводные упражнения 1. В прямоугольном равнобедренном треугольнике катет равен X см, а гипотенуза на 8 см больше катета. Записать выражения для нахождения периметра и площади этого треугольника. 2. Тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью 50 км/ч. Записать выражение для нахождения времени, за которое это тело преодолеет расстояние s. 3. Лодка движется: 1) по течению реки; 2) против течения реки с собственной скоростью 7 км/ч. Записать выражение для нахождения времени, за которое лодка преодолеет расстояние s, если скорость течения реки х км/ч (известно, что х < 7). 4. Рабочий может выполнить весь объём работы за х ч, а его ученик — за у ч. Записать выражение для нахождения времени, за которое весь объём работы выполнят рабочий и его ученик, если будут работать совместно. 5. Клиент положил на новый счёт в банке х р. под 5% годовых. Какую максимальную сумму он сможет снять с этого счёта через год? 6. Найти подбором положительный корень уравнения: 1) х2-1-6х-16 = 0; 2) х2-7х-30 = 0. х-2 7. Решить уравнение: 1) -4 _о = 0; 2) ^^ = 0. X + 3 Упражнения | 476. Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно: 1) 156; 2) 210. 477. Найти два последовательных нечётных натуральных числа, если их произведение равно: 1) 255; 2) 399. 478. Периметр прямоугольника равен 1 м, а площадь — 4 дм^. Найти его стороны. 196 Глава IV. Квадратные уравнения 479. Сад площадью 2,45 га обнесён изгородью длиной 630 м. Найти длину и ширину сада, если он имеет прямоугольную форму. 480. Расстояние 400 км скорый поезд прошёл на час быстрее товарного. Какова скорость каждого поезда, если скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше, чем скорого? 481. Прогулочный теплоход отправился вниз по течению реки от пристани А и причгилил к пристани В. После получасовой стоянки теплоход отправился обратно и через 8 ч после отплытия из А вернулся на эту же пристань. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если расстояние между пристанями Л и В равно 36 км, а скорость течения реки 2 км/ч? 482. Две бригады, работая вместе, закончили заготовку леса за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной из бригад для этого требуется на 5 дней меньше, чем другой? 483. От квадратного листа отрезали полоску шириной 6 см. Площадь оставшейся части равна 135 см^. Определить первоначальные размеры листа. 484. Площадь прямоугольного треугольника равна 180 см^. Найти катеты этого треугольника, если один больше другого на 31 см. 485. Расстояние 30 км один из двух лыжников прошёл на 20 мин быстрее другого. Скорость первого лыжника была на 3 км/ч больше скорости второго. Какова скорость каждого лыжника? 486. Две бригады строителей, работая вместе, построили кошару для овец за 12 дней. Сколько дней потребовалось бы на строительство такой же кошары каждой бригаде отдельно, если первой бригаде нужно было работать на 10 дней больше, чем второй? 487. Члены школьного кружка натуралистов отправились на катере для сбора лекарственных трав. Проплыв вниз по течению реки 35 км, они сделали трёхчасовую стоянку, после чего вернулись назад. Определить скорость катера в стоячей воде, если на всё путешествие ушло 7 ч, а скорость течения реки 3 км/ч. 488.1 На середине пути между станциями А и В поезд был задержан на 10 мин. Чтобы прибыть в В по расписанию, машинисту пришлось первоначальную скорость поезда увеличить на 12 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда, если известно, что расстояние между станциями равно 120 км. § 31. Решение задач с помощью квадратных уравнений 197 489. За 4 дня совместной работы двух тракторов различной мощ- 2 ности было вспахано - поля. За сколько дней можно было О бы вспахать всё поле каждым трактором отдельно, если первым трактором можно вспахать всё поле на 5 дней быстрее, чем вторым? 490. Рабочий положил на хранение в сберегательный банк 50 000 р. По истечении года к его вкладу были причислены процентные деньги, и в то же время он увеличил свой вклад ещё на 50 000 р., а по истечении ещё одного года попросил выдать ему накопленные процентные деньги. Сколько процентов в год начисляет Сбербанк, если рабочий получил 12 320 р. процентных денег, оставив вклад в 100 000 р. на новый срок? 491.1 Два раствора, из которых первый содержит 0,8 кг, а второй — 0,6 кг безводной серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Найти массу первого и второго растворов в смеси, если известно, что безводной серной кислоты в первом растворе было на 10% больше, чем во втором. Золотое сечение я обещал рассказать вам о замечательном отношении величин, названном ещё в древности золотым сечением. Вы говорили, что для нахождения этого отношения нужно уметь решать квадратные уравнения. Вы научились их решать, поэтому мы вместе с древними греками пройдём путь от постановки задачи определения золотого сечения до нахождения его значения. Греки поняли, что золотое сечение появляется тогда, когда дли на всего отрезка (а + Ь) относится к длине его большей части а I ■ ——I------------- так же, как а относится к Ь: “ " а + Ь а Ь‘ (1) Найдём значение отношения длин отрезков а и Ь, образующих золотое сечение. Из равенства (1) получаем (а + Ь)Ь = а^, или аЬ + Ь^ = а^. Разделив обе части последнего равенства на Ь^, имеем + 1 = (2) 198 Глава IV. Квадратные уравнения Если искомое отношение — обозначить буквой х, то равенство о (2) можно записать в виде: х + 1 = д:^, откуда х^-х-1 = 0 и х = m 2 Так как х не может быть отрицательным числом (как отношение длин отрезков), то х= ^ ^ ~ 1,618. 2 Итак, —«1,6. Но иногда полезно помнить, что —«0,6. Ь а Золотое сечение и числовой ряд Фибоначчи Профессор, я в Интернете посмотрел фотографии кра-• I сивых архитектурных сооружений, построенных с соблюдением пропорций золотого сечения. На одном сайте сказано, что существует несколько способов нахождения приближённого значения этого замечательного отношения. Вы их знаете? Способов действительно немало, но на практике удобнее всего аЛ использовать числовой ряд Фибоначчи (названный по прозвищу выдающегося итальянского математика Средневековья Леонардо Пизанского): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . В этой последовательности первое и второе числа равны 1, а каждое следующее число получено путём сложения двух предыдущих. Например, 13 = 8-1-5, 55 = 34-1-21. Так вот, отношение двух последовательных чисел из ряда Фибоначчи даёт хорошее приближение к величине золотого сечения: 5 : 3 ~ 1,667; 8 : 5=1,6; 13 : 8=1,625; 21 : 13«1,615; 34 : 21« 1,619, и далее получаем всё бо- l + ^/5 2 ■ лее точные приближения числа f.. § 31. Решение задач с помощью квадратных уравнений 199 Решение простейших систем, Содержащих уравнение второй степени Для решения систем уравнений, содержащих уравнение второй степени, применяются те же способы, что и для решения систем линейных уравнений — способы подстановки и алгебраического сложения. Для облегчения записи решения таких систем иногда применяют замену неизвестных. В этом параграфе рассмотрены системы уравнений, для решения которых требуется знание не только формул корней квадратного уравнения, но и знание теоремы, обратной теореме Виета. Нужно вспомнить: ■ понятие решения системы уравнений с двумя неизвестными; ■ свойства уравнений; ■ решения систем линейных уравнений подстановкой и сложением; ■ формулы корней квадратного уравнения; ■ теоремы Виета; ■ формулы сокращённого умножения. Задача 1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его площадь 30 см^. Найти катеты. ► Пусть катеты равны х и у сантиметрам. Используя теорему Пифагора и формулу площади прямоугольного треугольника, условие задачи запишем так: = 169, ijcj/ = 30. 12 ^ Прибавляя к первому уравнению системы второе, умноженное на 4, получаем: х^ + у^ + 2ху = 289, откуда (x + yY = 289, или х + у = ±17. Так как х и у — положительные числа, то хл-у = П. Из этого уравнения выразим у через X и подставим в одно из уравнений системы (1), например во второе: у=П-х, ^л:(17 - л:) = 30. Решим полученное уравнение: 17x-jc^ = 60, - 17л: + 60 = 0, х^ = 5, Х2=12. Подставляя эти значения в формулу у = 17 — х, находим 200 Глава IV. Квадратные уравнения i/i = 12, j/2 = 5. B обоих случаях один из катетов равен 5 см, другой 12 см. Ответ. 5 см, 12 см. <] Задача 2. Решить систему уравнений ► По теореме, обратной теореме Виета, числа х и у являются корнями квадратного уравнения 2^ - 3z - 10 = 0. Решая это уравнение, получаем 2j = 5, 22 =-2. Следовательно, решениями системы являются следующие две пары чисел: Xj = 5, Ух = -2 и Х2 = -2, Уг = 5. Ответ. (5; -2), (-2; 5). <] Задача 3. Решить систему уравнений х^ + 4ху - 2у^ = -29, |зд:-1/-6 = 0. ► Решим эту систему способом подстановки; у = 3х-6, х^ + 4х (Зх - 6) - 2 (Зх - 6)2 = -29. Упростив это уравнение, получим 5х^ - 48х-I-43 = 0, откуда Xi = l, Х2 = 8,6. Подставляя значения х в формулу у = 3х-6, находим j/i=-3, У2=19»8. Ответ. (1; -3), (8,6; 19,8). <\ Задача 4. Решить систему уравнений х2 -1/2 = 16, |х-у = 2. ► Запишем первое уравнение системы так: (х - у)(х-f-у)= 16. Подставляя сюда значение х-у = 2 из второго уравнения системы, получаем x + y = S. Итак, fx-i-г/ = 8, \х-у = 2. Решая эту систему способом сложения, находим х = 5, у = 3. Ответ. (5; 3). < Устные вопросы и задания [ 1. На основании каких свойств уравнений и способов решения систем уравнений можно решить систему: 1) + J/2 = 13, ху = -6; 2) - у^ = \\, Х + у = -1-, 3) /х-у = 3, \ху = 88? 2. Указать два способа решения системы уравнений х + у = 4, ху= -12. § 32. Решение простейших систем... 201 Вводные упражнения | 1. Какая из пар чисел (1; 4), (-2; 3), (-1; -3) обращает в верное числовое равенство уравнение: 1) Ъх + 2у = -А\ 2) 15x-4i/ = -3; 2. Решить систему уравнений способом подстановки: 1) [х = 2у, 2) \х-у = 2, 3) j{x + у)(х - у) = 55, \3х-2у = 4-, \(х + у)(х - у) = 4; 3. Решить систему уравнений способом сложения: 3) 7х-^у = 5? Нх + у)(х -\л: +1/ = 11. 1) 1х-у = 14, jjc + y = 10; 2) 2х + у = 7, Зх + у = 12. 4. Записать приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна 4, а произведение -21. Упражнения | 492. Решить систему уравнений первой степени с двумя неизвестными: 1) {2х-у = 3, \2у + х = 14; 2) \х + 5у = 9, Зу - 2х = -5; 4) j2x-3y + 8 = 0, 4х - 2у + 4 = 0. Решить систему уравнений (493—497). 3) Здг + у + 4 = о, 4у + 8у-4 = 0; 493. 1) 3) 494. 1) 3) 495. 1) 496. 1) 3) у = х + 6, х^-4у = -3; х + 2у = 1, х + у^ =4; х^ + ху = 2, у-3х = 7; х + у = 1, х^ + у^ = 5; х + у = 5, ху = 6; х-у = 7, х^ — у^ = 14; х^ - у^ = 24, х + у = 4; 2) 4) 2) 4) х = 2-у, у^ + х = 32; у -Зх = 2, х^-2у = 3. х^ -ху-у^ = 19, х-у = 7; х^ + у^ = 17, х-у = 3. 2) \ху = 7, \х + у = 8; 3) \х + у = 12, |х1/ = 11; 2) 4) х + у = 3, х^ - у^ = 15; х^ -у^ = 8, х-у = 2. 4) (х + у = -7, 1л:1/ = 10. 202 Глава IV. Квадратные уравнения 497. 1) \х^ + у^ = 17, 2) \xy = lO, ху = 4; jc^ + у* = 29; 3) \xy = Z, 4) \ху = 5, + у^ = 10; х^ + у^ = 26. 498. Сумма двух чисел равна 18, а их произведение 65. Найти эти числа. 499. Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а их среднее геометрическое 12. Найти эти числа. 500. Решить систему уравнений: 1) \x = 2y-Z, 2) (х + у = 6, у^-2х = 3; \ху = -7; Решить систему уравнений (501—503). 501. 1) \х-у = 2, [ху = 3; 4) 502. 1) 3) (х - yf = 4, л: + г/ = 6; х + ху + у = -1, x-xy + y = Z\ х^ -у + 2 = 0, х^ + у^ - А = 0\ 2) 5) х-у = 3, лгу = 4; х^ -у^ = О, 4 + ху = 0; 3) 3) 6) 2) 4) х^-у^ = 21, х + у = 7. 2х^ - у^ = 46, ху = 10; лг + у = 4, i + i = х-ху-у = -7, х + ху-у = 1; д:2 -Зху+ у2 = 11, ху = Ъ. 503. 1) yjx + у1у = 8, х-у = 16; 2) yjx -у[у =1, х-у = 5. 504. Участок прямоугольной формы нужно огородить забором длиной 1 км. Каковы должны быть длина и ширина участка, если его площадь равна 6 га? 505.1 При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 6, а в остатке 4. При делении этого же числа на произведение его цифр в частном получается 2, а в остатке 16. Найти это число. 506.1 Решить систему уравнений: х-|-у = 5, 2) \х^ + у^ = 1Ъ2, х^ + у^ = 35; 1) х^ - ху + у^ = 19. 507.1 Расстояние от А до В по течению реки катер проходит в 1,5 раза медленнее, чем теплоход, причём за каждый час катер отстаёт от теплохода на 8 км. Против течения реки путь от В до А теплоход проходит в 2 раза быстрее катера. Найти скорости теплохода и катера в стоячей воде. § 32. Решение простейших систем... 203 азличные способы решения ^стем уравнений в этом параграфе вы познакомитесь с новыми способами решения систем уравнений. Узнаете, что при определённых условиях уравнения можно не только складывать, но и делить. Убедитесь в том, что замена неизвестных в ряде случаев существенно упрощает решения уравнений и систем уравнений. Нужно вспомнить: ■ формулы корней квадратного уравнения; ■ способы решения систем уравнений; ■ теоремы Виета; ■ формулы сокращённого умножения. Различные подходы к решению систем уравнений рассмотрим на конкретных примерах. « \х + у + 2ху = 10, Задача 1. Решить систему уравнении 2ху = -2 ► Складывая почленно уравнения системы, получаем 2х + 2у = 8, откуда у = 4-х. Подставляя это выражение у в любое из уравнений системы, например, во второе, получаем х + 4- X- 2х(4 - х) = -2, 4-8х + 2х^ = -2, 2л:'*-8х + 6 = 0, х^-4х + 3 = 0, Xj = l, Х2 = 3. По формуле у = 4-х находим У\ = 3, г/2 = 1. Ответ. (1; 3), (3; 1). < х-у^ = 3. Задача 2. Решить систему уравнений XJ/2 =28. > Выразим у^ из первого уравнения системы: у^ = х-3. Подставим это выражение во второе уравнение системы: х(х-3) = 28, х^-Зх-28 = 0, откуда Xj = 7, Х2 = -4. Пользуясь формулой у^ = х-3, находим значения у: 1) если х=7, то у^ = 7-3, у^ = 4, откуда у = 2 или у = -2; 2) если X =-4, то = -4 - 3 = -7 < 0, значит, действительных корней нет. Ответ. (7; 2), (7; -2). < 204 Глава IV. Квадратные уравнения Заметим, что замена х через у из первого уравнения и подстановка найденного выражения во второе уравнение привели бы к решению биквадратного уравнения. х + у = 12, Задача 3. Решить систему уравнений i + i = X у 8 Если (х; у) шем второе уравнение системы так: решение этой системы, то д: 5^ О и уФО. Запи- х + у _ 3 ху 8‘ Подставляя значение х + у = 12 в полученное уравнение, на-12 3 ходим — = -, откуда ху = 32. ху 8 Решение данной системы свелось к решению системы х + у = 12, ху = 32. По теореме, обратной теореме Виета, получаем, что Xi = 4, у, = 8; Хг = 8, 1/2 = 4. Ответ. (4; 8), (8; 4). < Задача 4. Решить систему уравнений х^-у^=7. х^у - ху^ = 2. ► Преобразуем второе уравнение системы: ху(х - у) = 2. Очевидно, что хфО, уфО и х-уфО, тогда разделим первое уравнение системы на второе и выполним преобразования: х^ -у^ 7 (X - у)(х^ + ху + у^) _ 7 х^у-ху^~2' ху(х-у) 2’ 2{х^ + ху-\-у^) = 1ху, 2х^-Ъху + 2у^ = 0. Рассматривая полученное уравнение как квадратное относительно X, находим его корни: ‘-1,2 ■ _ Ъу ± ^J25y^ - 16у^ _Ъу±8у •^1,2- л ’ откуда х^ = 2у или = Подставив найденные выражения х через у во второе уравнение системы, получим: 1) если х = 2у, то 4у^-2у^ = 2, откуда у®=1, у=1 и х = 2; 3 3 2) если х = ^, то “—^ = 2, откуда г/® = -8, у = -2 и х = -1. 2 4 2 Ответ. (2; 1), (-1; -2). < § 33. Различные способы решения систем уравнений 205 Задача 5. Решить систему уравнений - 2ху + 4р2 = 7, X® + 8i/® =35. ► Применяя формулу суммы кубов, записываем второе уравнение системы в виде (х -I- 2у)(х^ - 2ху + 4р^) = 35. Разделив это уравнение на первое уравнение системы, найдём х + 2у = Ъ. Выразим из этого уравнения 2у через х {2у = 5 - х) и подставим найденное выражение во второе уравнение системы: X® + (5 - х)3 = 35, хз -I-125 - 75х -I- 15х^ - х^ = 35, 15х^-75х-1-90 = О, x^-5x-f-6 = 0, х, = 3, Хг = 2. Найдём соответствующие значения у: 1) 2у = 5-3, откуда у^ = \, 2) 2у = 5-2, откуда У2 = 2' Ответ. (3; 1), 2* — 2 . < Задача 6. Решить систему уравнений х-у = Ъ, ► Обозначим J— = t, тогда J^=j, t>0. Второе уравнение си- 1 ч стемы запишется так: = t 6 Умножив обе части уравнения на t, получим = ,______ 6 5 откуда 2 = — i л + 1 = — i^1 = 1» t2 = --. ^ 1.2 J2 Vl44 12 12’ * 2’ 2 g- Так как t> I у 3 jc 9 9 0, TO - = или — = -, откуда x = —y. Подставку 2 у A 4 ляя это выражение х в первое уравнение системы, получа- 9 5 ем -у-у = 5, -у = 5, г/= 4, поэтому х = 9. 4 4 Ответ. (9; 4). <] Задача 7. Решить систему уравнений ху = 2, XZ = 3, + у^ = 5. ► Найдём сначала значения хну, пользуясь первым и третьим уравнениями данной системы. Сложив третье уравнение с удвоенным первым, получим (х + уУ = 9, откуда х + у = 3 или х + у = -3. 206 Глава IV. Квадратные уравнения Подставляя значения х = 3-у и х = -3-у в первое уравнение системы, получаем: 1) (3-у)у = 2, у^-Зу + 2 = 0, У1 = 1, Уз = 2; 2) (-3-у)у = 2, у^ + Зу + 2 = 0, Уз = -2, У4 = “1-Соответствующие значения х таковы: Xi = 2, Xz=l, Хз = -1, х^ = -2. тт 3 Из второго уравнения системы находим г = —, откуда Zi = —, 22 = 3, 2з=—3, 24 = — — . Ответ. 2‘ !• — , (1; 2; 3), (-1; -2; -3), -2- -1 • --’ ’ 2 . < Устные вопросы и задания 1. Каким способом решается задача: 1; 2; 6? 2. Как следует преобразовать уравнения системы в задаче 2, чтобы её можно было решить с помощью теоремы, обратной теореме Виета? 3. Какое условие должно выполняться, чтобы можно было выполнить деление одного уравнения на другое? Вводные упражнения [ 1. Выразить у через х: 1) Зх + 5у = 4; 2) 2ху=1. 2. Сложить почленно уравнения системы: 1) jx + 2y-5xy = 4, \2x-iry + Ъху = 8; 2) JC - 2у -I- Зху = -16, 2х - у - Зху = 4. 3. Разделить уравнение -I- = 8 на уравнение 4х + у = 2. 4. Известно, что — = t. Выразить через t отношение У X Упражнения I Решить систему уравнений (508—519). 508. 1) 509. 1) ху - X + у = 7, ху + X - у = 13; f(x-l)(y-l) = 2, х + у = 5; 2) \ху -2(х + у) = 2, [ху + X + у = 29. 2) {х-2)(у + 1) = 1, х-у = 3. § 33. Различные способы решения систем уравнений 207 510. 1) 2х + Зг/ = 3, 4x2 - = 27; 2) X -у[х У = 5, ->Уу =1- 511. 1) х2 + 1/2 = 34, ху = 15; 2) х2 + у2 = 25, ху = 12. 512. 1) 2x-3t/ = l, 2x2 — ху - 3l/2 = 2) 3; х2 + у2 = 133, X + у = 7; 3) 2x2 _ 2ху + X = 2у -Зх = 1; -9, 4) х2 + бху + 8у2 = 91 X + Зу - 10 = 0. 513. 1) х2 + J/2 _ ху = 3; 2) Х2 ху -ху+ у2 = 19, = 15; 3) х2 + 4ху + J/2 = 94, 4) ху = 15; х2 ху - бху + у2 = 8, = 7. 514. 1) 1+1=1, 2) л: У х + у = 4; х + у _ 3 х-у 2’ ху = 80; 3) х-у = 3, 1-1 = -0,3; У 515. 1) х^-у = 7, х2у =18; 2) 2x2 ^ у _ 3^ х2у - 1 = 0; 3) х2 - у2 = 12, х2 + у2 = 20; 4) х2 - у2 = 21, х2 + у2 = 29. 516. 1) х2 + у2 = 28, ху2 + х2у = 12; 2) ху2 + ху2 = 10, X + ху = 10. 517. 1) х2 + 27у2 = 54, х2 - Зху + 9у2 = 2) = 9; х2 - ху + у2 = 19, х2 + ху + у2 = 49; 3) х2 - у2 = 72, х-у = 6; 4) х2 + 5ху + у2 = 25, 5х + у = 8. 518. 1) х + у = 41, , [у _41. \у Vx 20’ 2) X + у = 10, 4х + у1у =4; 3) X + у = 5, ■Jx + у[у = 3; 4) X - У = 13, -^/y = 1. 519. 1) уг = 15, XZ = 10, y2+z2=34; 2) XZ + уг = 16, xy + yz = 15, Х2 + ху = 7. 4) х + у = 9, i + i = 0,5. 1л: у 208 Глава IV. Квадратные уравнения Однородное уравнение второй степени в системе уравнений Хочу рассмотреть с вами решение системы уравнений 1ЙЧ.‘ \Ъх^ - ху-2у^ =0, для которой ни один из ранее рас- У^-х^= 5, смотренных способов решения применить не получится. Но сначала ответьте мне на вопрос: «Может ли, например, пара чисел (л:; у), где у = 0, быть решением данной системы?» Конечно, нет. Если такое допустить, то второе уравнение системы не имеет решений, так как х^Ф-Ъ. Ты прав. Значит, если у ^ О, то я могу разделить обе части первого уравнения на у^. Получу следующее уравнение: Х^ X X 3—2------2 = 0. Если теперь сделать замену и = —, то урав- (Яд I У нение примет вид - и - 2 = 0. Его корни Uj = 1, ug = • 'Го ®оть X X 2 ^ — = 1 или — = —. Таким образом, нам осталось по очереди выра- У г/ 3 3 жения у = х и у = -—х подставить во второе уравнение системы 2 вместо у и решить его относительно х. Я решил второе уравнение системы. Подстановка у = х не даёт корней (так как его левая часть обращается в 0, 3 а правая равна 5), а подстановка у = —х даёт х^ = 2, 2 Х2 = -2. Соответствующие значения у будут: i/i=-3, у2 = 3. То есть решениями системы будут пары чисел (2; -3) и (-2; 3)? 'Гы правильно завершил решение системы. Нам удалось , её решить потому, что первое уравнение системы мы смогли представить в виде квадратного уравнения относительно —. Это оказалось возможным только потому, что все У члены уравнения в левой его части оказались одночленами второй степени. В правой же части уравнения стоял нуль. Уравнения такого вида называют однородными уравнениями второй степени. Например, уравнение 1х^ - х^у+ Zxy'^-Ьу^ = 0 — однородное уравнение третьей степени. Если разделить обе его части на у® Ф о, то получится уравнение третьей степени относи-^3 / \2 , тельно —: 7 У + 3 -6 = 0. Для самостоятельной работы я предложу вам системы, в которых присутствует однородное уравнение второй степени: 1) 2х^ + 5ху - Зу^ = о, х^ + у^= 5; 2) 3x2-4j/2 = 8, 4х^ - 7ху-2у^ =0. § 33. Различные способы решения систем уравнений 209 ешение задач помощью систем уравнений Математическими моделями для решения задач этого параграфа будут системы уравнений, в которых присутствует уравнение второй степени или уравнение, сводящееся к уравнению второй степени. С методами решения таких систем вы познакомились при изучении предыдущих параграфов. Нужно вспомнить: ■ формулы корней квадратных уравнений; ■ этапы решения текстовой задачи; ■ способы решения систем уравнений; ■ формулы для нахождения: скорости равномерного прямолинейного движения; площадей и периметров многоугольников; стоимости покупки; производительности труда; ■ представление натурального числа в виде суммы разрядных слагаемых. Задача 1. Если к произведению двух чисел прибавить меньшее из них, то получится 54. Если к тому же произведению прибавить большее число, то получится 56. Найти эти числа. ► Обозначим искомые числа через х и у (х<у). По условию задачи получаем два уравнения, составляющие систему ху + х = 54, ху + у = 56. Вычитая из второго уравнения первое, получаем у-х = 2, откуда у = х + 2. Подставляя в первое уравнение системы вместо у выражение х + 2, имеем: х(х + 2) + х = 54, х^ + Зх - 54 = 0, откуда Xi = 6, Хг = -9. Пользуясь формулой у = х + 2, получаем J/j = 8, 1/2 =-7. Ответ. Искомые числа 6 и 8 или -9 и -7. <] Задача 2. Произведение цифр искомого двузначного натурального числа в три раза меньше самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число. 210 Глава IV. Квадратные уравнения ► Обозначив через х число десятков искомого числа, а через у число его единиц, запишем искомое число в виде Юд: + у. Используя условия задачи, составляем систему уравнений: Zxy = IOjc + у, 10л: + {/ + 18 = Юу + X. Преобразуем эту систему: \l0x + y-Zxy = 0, |Юл: + у -Зху = о, |9дс - 9у + 18 = 0; [л:-у + 2 = 0. Решим эту систему способом подстановки: х = у-2, 10у - 20+ у - Зу^ + 6у = о, Зу^ - 17у + 20 = 0, 171^289-240 1717 У1.2- g " 6 ’ !/i = 4, «/2 = |- Так как х и у — цифры искомого числа, то делаем вывод, что у = 4, откуда л: = 2. Итак, искомое число — это число 24. Действительно, произведение его цифр 2 • 4 = 8 в три раза меньше самого числа. Прибавляя к 24 число 18, получаем число 42, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Ответ. 24. < Задача 3. Два шофёра, работая вместе, должны были перевезти груз за 6 ч. Так как второй опоздал к началу работы, то О к его приезду первый перевёз уже - всего груза. Остальную 5 часть груза перевозил только второй шофёр, и потому перевозка груза заняла 12 ч. За какое время этот груз мог перевезти каждый шофёр, работая отдельно? ► Обозначим время, которое затратил бы на перевозку всего груза первый шофёр, через л: ч, а время, которое затратил бы второй шофёр, если бы они работгши раздельно, через у ч. Тогда за один час первый шофёр перевёз бы — часть 1 ^ всего груза, а второй----часть всего груза. i + i л: У часть Работая вместе, за один час они перевозили бы груза и по условию задачи перевезли бы весь груз за 6 ч. Потому --bi|-6 = l. § 34. Решение задач с помощью систем уравнений 211 Но в действительности первый шофёр, перевезя - всего груза, 3 ® затратил на это - своего времени, а остальную часть груза пе- ^ 2 ревёз второй шофёр, затратив на это - своего времени. О Так как в этом случае на перевозку груза было затрачено всего 12 ч, то получаем второе уравнение: -х + -у = 12. 5 5^ Решение этой задачи свелось к решению системы уравнений 6 = 1, i + i У Упростим эту систему: становки. Имеем бх + 6п = ху, Зх + 2у = 60. Зх = 60-2г/, 120-4y + 6i/ = откуда у^-27у+ 180 = 0, 20--у Решим её способом под- у, 60 + у = 10у-^у^, 2 Пользуясь формулой X = 20 - -у, получаем Xi = 10, ^2 = 12. О Ответ. 10 ч и 15 ч; 12 ч и 12 ч. <] Устные вопросы и задания I 1. Каким способом решается система уравнений в задаче 1? Пояснить суть этого способа. 2. Каким способом решается система уравнений в задаче 2? Пояснить суть этого способа. 3. Что означает в задаче 3 выражение ? X у Вводные упражнения [ Записать в виде равенства взаимосвязь данных величин (1—4): 1. Произведение чисел у и л: на 5 больше их суммы. 2. Двузначное число, содержащее х десятков и у единиц, на 36 больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке. 212 Глава IV. Квадратные уравнения 3. Первая труба может наполнить весь бассейн за л: ч, а вторая — за I/ ч; работая вместе, эти трубы заполняют бассейн за 7 ч. 4. Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 20 км, выехгши одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость первого х км/ч, скорость второго у км/ч, встреча произошла через 1,5 ч. Упражнения 520. Произведение двух чисел равно 135, а их разность 6. Найти эти числа. 521. 522. 523. 524. 525. 526. Разность двух чисел равна 18. Сумма этих чисел, сложенная с частным от деления большего на меньшее, равна 34. Найти эти числа. Периметр прямоугольника равен 14 см, а площадь — 12 см^. Каковы стороны прямоугольника? Площадь прямоугольного треугольника равна 90 см^. Сумма площадей квадратов, построенных на его катетах, равна 369 см^. Каковы катеты этого треугольника? Два восьмых класса одной школы приобрели билеты в театр. Первый класс израсходовал на билеты 4900 р. Второй класс купил на 15 билетов меньше, но заплатил за каждый билет на 30 р. больше и истратил на билеты 3400 р. Сколько билетов и по какой цене куплено каждым классом? Двое специалистов, работая вместе, закончили порученную им работу за 12 ч. Если бы сначала один из них выполнил половину всей работы, а другой — остальную часть, то на выполнение всей работы понадобилось бы 25 ч. За какое время каждый из них закончил бы эту работу, работая один? Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала первый кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бассейна только через один второй кран. Затем, наоборот, второй кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бассейна через 13 один первый кран. После этого оказалось, что наполнены — 18 бассейна. Оба крана, работая вместе, наполняют бассейн за 3 ч 36 мин. Сколько времени нужно для наполнения бассейна каждым краном в отдельности? § 34. Решение задач с помощью систем уравнений 213 527. Три коневодческие фермы сделали равные запасы овса, необходимого для подкормки лошадей. Первой ферме этого запаса овса хватает на 105 дней. Второй ферме, имеющей на 10 лошадей больше первой, запаса овса хватит на 100 дней, если дневную норму овса для каждой лошади уменьшить на 1 кг. На столько же дней хватит овса третьей ферме, где лошадей на 10 меньше, чем на первой, но дневная норма овса на 3 кг больше, чем на первой. Сколько лошадей на каждой ферме и какова суточная норма овса для каждой из них? 528. В зрительном зале клуба было 320 мест. После ремонта число мест в каждом ряду увеличили на 4 и, кроме того, в зале добавили ещё один ряд. Сколько стало рядов в этом зале, если после ремонта стало 420 мест? Симметрические системы уравнений Существуют уравнения с двумя неизвестными, обозна-ченными, например, х к у, которые остаются неизмен-ными после замены х на г/, а у на х. Например, такими являются уравнения х + у—1=0, дг^-Зху + у^ + 5 = 0. Эти уравнения называют симметрическими, т. е. обладающими симметрией. Но если в первом Вашем уравнении выполнить указанную замену, то оно примет вид у + х — 1 = 0, он отличен от вида исходного уравнения. Согласись, с точностью до порядка слагаемых будет получено то же уравнение. • i \о — начальная скорость, t — время падения, g — ускорение свободного падения.) 5. Футболист подбросил мяч вертикально вверх со скоростью Uo=12 м/с. Через какое время t мяч будет находиться на высоте 4 м? (Высота Н, на которую поднимается вертикально брошенное тело, находится по формуле Н = Vot - где Vq — начальная скорость, t — время полёта, g — ускорение свободного падения.) 6. Сосуд наполнен жидкостью А. Из него отлили 6 л, добавили 6 л жидкости В, перемешали и отлили 15 л смеси. Затем долили ещё 15 л жидкости В и получили смесь, содержащую 40% (по объёму) жидкости А. Каков объём сосуда? 7. Даны точки А, В и С, расстояния между которыми указаны на рисунке 37. Найти: 1) отрезок AD — проекцию АС на АВ; 2) расстояние Л от точки С до прямой, проходящей через точки А и В. 100 см D В Рис. 37 В этой главе вы узнали, что такое: — квадратное уравнение; — неполное квадратное уравнение; — метод выделения полного квадрата; — приведённое квадратное уравнение; — биквадратное уравнение; — теорема Виета; теорема, обратная теореме Виета; — метод введения нового неизвестного; Практические и прикладные задачи 221 как: — решать неполные квадратные уравнения; — применять для решения ургшнений общую формулу корней квадратного уравнения; формулу корней уравнения с чётным вторым коэффициентом; формулу корней приведённого квадратного уравнения; — решать биквадратные уравнения; — решать уравнения с неизвестным в знаменателе дроби; — решать системы уравнений, содержащие уравнение второй степени, способом подстановки; сложения; деления; введения нового неизвестного; — решать текстовые задачи с помощью составления квадратного уравнения; системы уравнений, содержащей уравнение второй степени. ПРОВЕРЬ СЕБЯ! б) (х+1)(х-1) = 0; г) Зх^ = 5х; е) х^ - 16л: - 17 = 0; з) - 4л: -I- 5 = 0. 1. Решить уравнение: а) 3x^ = 0; в) 4х^ -1 = 0; д) 4х^ - 4х + 1 = 0; ж) 0,3х^ -f 5х = 2; 2. Разложить на множители: а) х^ + х-6; б) 2x^-x-3. 3. Расстояние между сёлами 36 км один велосипедист преодолевает на 1 ч быстрее другого. Найти скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного на 3 км/ч больше скорости другого. -2 _ у2 ^ 72, 4. Решить систему уравнений х^ х + !/ = 9. 5. Решить уравнение X ^ 3 _ 24-Юл л - 2 л л^ - 2л 6. Упростить выражение Зл - л2 Юл ■ 4лМ л^ - 6л + 9 4л^ - 25 (2х" - х-15). 7. Расстояние 48 км катер шёл на 1 ч дольше, чем теплоход. Найти скорости катера и теплохода, если одна больше другой на 4 км/ч. 222 Глава IV. Квадратные уравнения 8, Решить систему уравнений: а) -ху-¥у^ = 63, х-у = -3; б) х’^ + у^ + X + у = 2, 2х^ - у^ +2х - у = А. 9. 10. 11. 12. При каких значениях а уравнение ах’^ - 2ах - а + 2 = 0 имеет один корень? Корнями квадратного уравнения х^+рх + д = 0 являются числа JCj и Х2. Составить уравнение, корнями кото- рого являются числа *2 И Х,+ 1 Решить уравнение —5-------- = х^ + 2х + 4. + 2х + 3 При делении двузначного числа на произведение его цифр в частном получится 2, а в остатке — 5. При делении числа, записанного теми же цифргши, но в обратном порядке, на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке — 3. Найти это число. 13. Решить систему уравнений £ у _ 25 у X 12’ 4х^ + 9у^ = 5. ■■ ТЕМЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ 1. Решение квадратных уравнений в Древнем Вавилоне. 2. Квадратные уравнения в трудах Диофанта. 3. Квадратные уравнения в индийских трактатах. 4. Квадратные уравнения в трудах ал-Хорезми. 5. Исторические задачи на составление и решение квадратных уравнений. 6. Теорема Виета для уравнений третьей и четвёртой степеней. 7. Квадратные уравнения в задачах физики и геометрии. 8. Различные методы решения систем уравнений. 9. Уравнения и системы уравнений в задачах экономики. Темы исследовательских работ 223 f. fmy Квадратичная функция vs 7 классе вы познакомились с одним из основных понятий математики — понятием функции. Узнали историю его возникновения, убедились в том, что задолго до его появления люди изучали взаимосвязанные величины: составляли таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел, строили графики зависимостей физических, геометрических, астрономических и других величин. Вы подробно изучали свойства и график линейной функции. Узнали историю создания метода координат, познакомились с кусочно-заданными функциями. В этой главе вам предстоит изучить квадратичную функцию, которая задаётся формулой у = ах^ + Ьх + с, где аФО. С простейшими квадратичными функциями вы уже встречались и знаете, например, что ещё математики Древнего Вавилона установили зависимость площади круга от его радиуса. Приближённо вычисляя площадь круга по формуле S = 3R^, они тем самым находили значения квадратичной функции S{R) = 3R^. В предыдущей главе вы решали задачи, связанные с движением тела, брошенного вертикально вверх. Высота Н полёта тела зависит от времени полёта t и находится по формуле где Vq— начальная скорость движения, g — ускорение свободного падения. Тогда Я = Я(г) — квадратичная функция от независимой переменной t. Графиком квадратичной функции является парабола. Модель параболы вы могли наблюдать в реальной действительности: по параболической траектории движется мяч, брошенный баскетболистом в корзину; невертикальные струи воды в фонтане «рисуют» в воздухе параболы и т. д. В этой главе вы научитесь строить параболу по определённым точкам и узнаете, как умение решать квадратное уравнение помогает при исследовании квадратичной функции. с определение квадратичной функции в прошлом году вы познакомились с понятиями зависимой и независимой переменных. Научились на координатной плоскости строить график линейной функции y = kx-\-b. Узнали, что линейная функция является математической моделью многих реальных процессов. Познакомились с различными способами задания функции: формулой, таблицей, графиком, с помощью описания. В этом параграфе будут введены понятия квадратичной функции и нулей функции, а также показано прикладное значение квадратичной функции. Нужно вспомнить: ■ понятия функции (зависимой переменной) и аргумента (независимой переменной); ■ способы задания функции; ■ алгоритм нахождения значения функции, заданной формулой, по заданному значению аргумента; в алгоритм нахождения значения аргумента по заданному значению функции, если функция задана формулой; ■ формулы корней квадратного уравнения. В различных областях науки и техники часто встречаются функции, которые называют квадратичными. Приведём примеры. 1) Площадь у квадрата со стороной х вычисляется по формуле у = х^. 2) Если тело брошено вверх со скоростью v, то расстояние s от него до поверхности земли в момент времени t определяется st^ формулой S = 4- + Sq, где Sq — расстояние от тела до поверх- ности земли в момент времени f = 0. § 35. Определение квадратичной функции 225 в этих примерах рассмотрены функции вида у = ах^ + Ьх + с. В первом примере а = 1, Ь = с = 0, а переменными являются х к у. а Во втором примере а = -^. b = v, c = Sq, а переменные обозначены буквами t W. S. ^ О Определение. Функция вида у = ах^ л-Ъх-^с, где а, & и е — заданные действительные числа, а^О, х — действительная переменная, называется квадратичной функцией. Например, квадратичными являются функции: у = х^, у = -2х^, у-х^-х, у = х^-Ьх + &, у = -3х'^ + 0,5х. Задача 1. Найти значение функции у(х) = х^ - 5х + 6 при х = -2, х = 0. ► 1/(-2) = (-2)2-5-(-2)-1-6 = 20; у(0) = 02- 5 • О-I-6 = 6. < Задача 2. При каких значениях х квадратичная функция у = х^ + 4х-5 принимает значение, равное: 1) 7; 2) -9; 3) О? ► 1) По условию -I-4д: - 5 = 7^_^ешая это уравнение, получаем: х^4-4х-12 = 0, Xi 2 =-2± 74ТТ2 =-2±4, Xi = 2, Х2 = -6. 2) По условию х^ + 4х-5 = -9, откуда -I-4х + 4 = О, (х-1-2)^ = 0, х = -2. 3) По условию х^ + 4х-5 = 0, откуда Xi = l, Х2 = -5. <] В задании 3) были найдены значения х, при которых функция у = х^ + 4х-5 принимает значение, равное 0, т. е. j/(l) = 0 и у(-5) = 0. Такие значения х называют нулями квадратичной функции. Задача 3. Найти нули функции у = х^-3х. ► Решая уравнение х^-3х = 0, находим Xi = 0, Х2 = 3. <] Устные вопросы и задания 1. Сформулировать определение квадратичной функции. 2. Привести примеры квадратичных зависимостей. 3. Как найти значение функции у = 2х^ - х -и 3 при х = 98? 4. Как найти значения аргумента х функции i/ = 2x^-x + 3, при которых у = 67 226 Глава V. Квадратичная функция 5. Что называют нулём квадратичной функции? 6. Любая ли квадратичная функция имеет нули? Вводные упражнения 1. Функция задана таблицей: X -10 -8 -4 0 2 5 7 9 V -7 -3 1 -3 1 4 -7 10 ! 1) Найти значение у, если х равен -8; 0; 5; 9; 2) найти значения х, если у равен -7; -3; 1. 2. Функция задана формулой y{x) = -Zx + b. Найти: 1) у(0); 1/(3); 1/(-2); 2) значение лс, если j/(x) = 0; 1/(д:) = -1; у{х) = 2. 3. При каких значениях х квадратный трёхчлен 6х^ -х-1 принимает значение, равное 0? Упражнения 578. (Устно.) Является ли квадратичной функция: 1) у = 2х^ + х + 3; 2) z/ = 3x^-1; 3) у = 5х + 1 4) у = х^ + 7х-и 5) у = 4х^; 6) у = -3х^ + 2х7 579. При каких действительных значениях х квадратичная функция у = х^-х-3 принимает значение, равное: 13. 1) -1; 2) -3; 3) 4) -5? 580. При каких действительных значениях х квадратичная функция у = -Ах^ + Зх-\ принимает значение, равное: 1) -2; 2) -8; 3) -0,5; 4) -1? 581. Определить, какие из чисел -2; --у/З; -1; -0,2; 0; 1; -/з являются нулями квадратичной функции: \)у = х'^ + 2х\ 2)у = х^ + х; 3) у = х^-3; 4) у = 5х^-4х-1. 582. Найти нули квадратичной функции: 1) у = х^-х; 2)у = х^ + 3; 3) у = -6х^ + 7х-2; 4) у = Зх^ - 5х -ь 8; 5) у = 2х^ -7х + 9\ 6) у = 8х^ + 8х + 2; 7) y = ix^-x + ^; 8) у = 2х^ + х-1; 9) у = Зх^ + 5х-2. § 35. Определение квадратичной функции 227 583. Найти коэффициенты р и q квадратичной функции у = +рх + q, если известны нули л:, и Х2 этой функции: 1) Xi = 2, X2 = S; 2) Xi=-4, X2=U 3) Xi=-1, X2 = -2; 4) = 5, X2 = -3. 584. Найти значения x, при которых функции у = х^ + 2х - 3 и у = 2х+1 принимают равные значения. 585.1 Найти координаты точек пересечения графиков функций: 1) у = 4х^ + 4х+\, у = 2х+1\ 2) у = х^-8х+15, у = ^х-2; О 3) у = х^ - 3yj2x + 4, у = ^х-1; 4) у = yJSx^ + 3х, у = ^х + 1. ; Квадратичная функция в опытах Галилея Профессор, почему Вы несколько раз приводили примеры зависимости от времени высоты подъёма брошенного вертикально вверх тела и пути, пройденного свободно падающим телом? Потому что эти зависимости — одни из самых наглядных квадратичных зависимостей. Открыл эти зависимости в конце XVI в. Галилео Галилей (1564—1642). Галилей ставил опыты, которые описаны во многих школьных учебниках физики. Он многократно бросал с Пизанской башни разные предметы и доказал, что скорость движения не зависит от массы падающего тела. Экспериментально Галилей вывел и закон зависимости пути, пройденного свободно падающим телом, от времени падения. Коротко опишу опыт, который проделывали и после Галилея другие исследователи. С большой высоты много раз бросали металлический шарик и через каждую секунду фиксировали его местоположение (см. рис.) — расстояние от точки О (начала движения). Результат заносили в таблицу. Г. Галилей t, с 0 1 2 3 4 S, м 0 5 20 45 80 Очевидно, что функция s(t) — не линейная. Было сделано предположение, что данная зависимость — квадратичная. С помощью информации из первых трёх столбцов таблицы были найдены ко- 228 Глава V. Квадратичная функция о г 10 - 20 30 40 50 ■■ 60 - 80 S, м| Ос 1 с О 2с (» Зс эффициенты а, Ь и с квадратичной функции s = at^ + bt + c. При < = о и 8 = 0 получили 0 = а- 0 + Ь- 0 + с, откуда с = 0. Значения t = 1, 8 = 5 и t = 2, 8 = 20 позволили составить систему уравнений 5 = а-1^+Ь1, \5 = а + Ь, 20 = а-22+5.2, [20 = 40 + 25. Решением полученной системы линейных уравнений являются а = 5 и 5 = 0. Затем проверялись другие пары чисел из таблицы подстановкой в равенство 8 = 5 • <2 + о • < + о, т. е. в равенство 8 = 5t^. Оказалось, что все получаемые равенства верные: 45 = 5 • З^, 80 = 5 • 4^. Это означало, что закон падения шарика действительно задаётся формулой s = 5t^. Было понятно, что равенство это приближённое, так как и Галилей, и повторявшие эти опыты другие исследователи не могли точно замерять время и расстояние. В курсе физики сегодня обосновывается точное задание формулой рассматриваемой функции: 8 = ^^, где ^ — ускорение свобод- 70 ного падения, ^=9,8 м/с^. В практических расчётах часто принимают ^=10 м/с^, и тог- gQ________^ 4(. да расстояние 8, пройденное свободно падающим телом, находят по формуле 8 = 5f2. Таким образом, Галилей с помощью наблюдений и опытов сумел математическим языком описать закон движения свободно падающего тела! Почему именно в те годы учёные заинтересовались подобными зависимостями? Вы уже знаете, что развитие математики всегда стиму-; лировали задачи практики и смежных с ней разделов ^ науки. До XVI в. астрономы и математики имели дело в основном с кажущимися им неподвижными объектами. Но после открытия Николаем Коперником (1473—1543) движения Земли и других планет вокруг Солнца математикам понадобились совершенно новые методы и модели, позволяющие описывать движущийся и меняющийся мир. Одним из первых задачи новых видов движения стал формулировать Галилео Галилей. Многие из изучавшихся Галилеем процессов описывались, как мы сегодня уже знаем, с помощью квадратичной функции. § 35. Определение квадратичной функции 229 - v>2 ункция y = X‘ в этом параграфе вы познакомитесь с самой простой из всех квадратичных функций: у = х^. Построите по точкам её график — параболу, изучите основные свойства этой функции и рассмотрите их приложения в практике. Нужно вспомнить: ■ понятия зависимой и независимой переменных; ■ понятие квадратичной функции; ■ нахождение значений функции по значению аргумента; ■ нахождение нулей квадратичной функции; ■ построение точек с заданными координатами на координатной плоскости; ■ теоремы Виета; ■ формулы корней квадратного уравнения; ■ понятие системы уравнений и способы решения систем; ■ понятие симметрии относительно прямой. Рассмотрим функцию у = х^, т. е. квадратичную функцию у = ах^ + Ьх + с при 0=1, Ь = с = 0. Для построения графика этой функции составим таблицу некоторых её значений: X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 у = х^ 16 9 4 1 0 1 4 9 16 Построив точки с координатами, указанными в таблице, и соединив их плавной кривой, получим график функции у = х^ (рис. 38). Кривая, являющаяся графиком функции у = х^, называется параболой. Рассмотрим свойства функции у = х^. 1) Значение функции у = х^ положительно при х^О и равно нулю при х = 0. Следовательно, парабола у = х^ проходит через начало координат, а остальные точки параболы лежат выше оси абсцисс. Говорят, что парабола у = х^ касается оси абсцисс в точке (0; 0). 2) График функции у = х^ симметричен относительно оси ординат, так как (-х)^ = х^. Например, у(-3) = у(3) = 9. Таким образом, ось ординат является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с её осью симметрии называют вершиной параболы. Для параболы у = х^ вершиной является начало координат. 230 Глава V. Квадратичная функция 3) При х^О большему значению jc соответствует большее значение г/. Например, 1/(3)>г/(2). Говорят, что функция у = х^ возрастает на промежутке х^О. В частности, это означает, что функция у = х^ возрастает на любом промежутке, принадлежащем промежутку х>0. Например, она возрастает на промежутках [1; 2] и (3; 7). При большему значению х со- ответствует меньшее значение у. Например, у(-2)<у(-4). Говорят, что функция у = х^ убывает на промежутке О. В частности, это означает, что функция у = х^ убывает на любом промежутке, принадлежащем промежутку д:^0. Например, она убывает на промежутках [-6; 0) и (-5; -4]. Задача. Найти координаты точек пересечения параболы у = х^ и прямой у = х + 6. ► Координаты точки пересечения являются решением системы уравнений У = х^, у = х + &. Решая эту систему способом подстановки, получаем х^ = х + Ь, х^-х-6 = 0, откуда JCi = 3, Х2 = -2. Подставляя значения х^ и д:2 в одно из уравнений системы, находим i/i = 9, у2 = 4. Ответ. (3; 9), (-2; 4). < Парабола обладает многими интересными свойствами, которые широко используются в технике. Например, на оси симметрии параболы есть точка F, которую называют фокусом параболы (рис. 39). Если в этой точке находится источник света, то все отражённые от параболы лучи идут параллельно. Это свойство используется при изготовлении прожекторов, локаторов и других приборов. Фокусом параболы у = х^ является точ- ка «^1 § 36. Функция у=х® 231 Устные вопросы и задания | 1. Как называется график функции у = х^7 2. При каких значениях х функция у = х^ принимает положительные значения? 3. В какой точке парабола у = х^ касается оси абсцисс? 4. Почему график функции у = х^ симметричен относительно оси ординат? 5. Какую точку называют вершиной параболы? 6. При каких значениях х функция у = х^ возрастает; убывает? Ответ обосновать. 7. Что такое фокус параболы? Вводные упражнения 1. Построить точки, симметричные точкам А, В, С, D, Е и О относительно оси ординат (рис. 40). 2. Среди точек А(-1; 3), В(1; 5), С(2; -4), П(1; 3), £(-1; 5) найти пары, симметричные относительно оси Оу. 3. Найти значение функции у = х^ при x = 0,l; x = -l|; x = 0; л: = -|- 4. Найти нули функции y = x^-Zx-A. 5. По графику функции y = f{x) (рис. 41) найти: 1) нули функции; 2) значения х, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения; 3) координаты точек, симметричных точкам А, В и С относительно оси ординат. 232 Глава V. Квадратичная функция 6. Сравнить 1) абсциссы точек; 2) ординаты точек: А, и Лг; Аз и А^; Aj и Ag (рис. 42). 586. На миллиметровой бумаге построить график функции у = х^. По графику приближённо найти: 1) значение у при лг = 0,8; х=1,5; л:=1,9; х = -2,3; х = -1,5; 2) значения х, если у = 2; у = 3; у = 4,5; у = 6,5. 587. Не строя графика функции у = х^, определить, какие точки принадлежат ему: А(2; 6), В(-1; 1), С(12; 144), В(-3; -9). 588. (Устно.) Найти координаты точек, симметричных точкам А(3; 9), В(-5; 25), С(4; 15), D(.j3;3) относительно оси ординат. Принадлежат ли все эти точки графику функции у = х^7 589. (Устно.) Сравнить значения функции у = х^ при: 1) х = 2,5 и х = 3i; 3) л: = -0,2 и л: = -0,1; 2) дг = 0,4 и л: = 0,3; 4) л: = 4,1 и дс = -5,2. 590. Найти координаты точек пересечения параболы у = х^ и прямой: 1) г/= 25; 2) у = 5; 3) у = -х; 4) у = 2х; 5) у = 3-2х. 591. Является ли точка А точкой пересечения параболы у = х^ и прямой: 1) у = -х-6, А(-3; 9); 2) у = 5х-6, А(2; 4)? § 36. Функция у=х^ 233 592. 593. 594, С помощью графика убедиться в том, что функция у = х^ возрастает: 1) на отрезке [1; 4]; 2) на промежутке (2; 5); 3) на промежутке д: > 3; 4) на промежутке [3; 4). На одной координатной плоскости построить параболу у = х^ и прямую у = 3. При каких значениях х точки параболы лежат выше прямой? ниже прямой? При каких X значения функции у = х^: 1) больше 9; 2) не больше 25; 3) не меньше 16; 4) меньше 36? -ттг!----------------------------------------------- Конические сечения, фокус параболы и легенда об Архимеде Хочу сказать, что и в вопросах изучения квадратичной j функции не обошлось без математиков Древней Греции. ♦ Именно они открыли параболу, когда занимались пространственной геометрией. А какое отношение плоская парабола имеет к объёмным телам? Вам, наверное, знакома такая фигу-Р®» конус (см. рис.). Её можно ; получить вращением прямоугольного треугольника AOS (угол О — прямой) вокруг своего катета SO. Тогда гипотенуза AS опишет так называемую коническую поверхность. При этом отрезок AS называют образующей конуса. Так вот если конус рассечь плоскостью, параллельной его образующей, то по границе сечения получится линия, являющаяся параболой. Греки рассекали конус плоскостью под разными углами к образующей и изучали получающиеся конические сечения, давали им названия: эллипс, парабола, гипербола. Вот пример из жизни. Когда мы с мамой резали морковь в салат (морковь по форме была похожа на конус), мама мне показывала, как нужно ставить нож, чтобы по границе сечения получалась окружность; эллипс; парабола... Молодец твоя мама — не упускает слу- чая рассказать дочери что-нибудь полезное. Я тоже хотел ♦ вам сегодня рассказать интересную и поучительную исто- 234 Глава V. Квадратичная функция рию, связанную с оптическим свойством параболы (кстати, все конические сечения имеют свои оптические свойства). По дошедшей до нас легенде Архимед построил вогнутые зеркала и с их помощью сжёг римские корабли. Многие учёные опровергают эту историю, потому что такие зеркала должны были иметь очень большие размеры, что было невозможно создать при том уровне техники. Расчёты Архимеда были основаны на утверждении, обратном тому, которое сформулировано в учебнике: любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от её поверхности проходит через фокус F параболы. Поэтому если направить параболическое зеркало на Солнце (оно очень далеко, и солнечные лучи, попадающие на Землю, можно считать параллельными друг другу), то все отражённые лучи пройдут через одну точку — фокус параболы, И температура в этой точке будет настолько высокой, что там можно будет не только вскипятить воду, поджечь доску, но и расплавить свинец. Кстати, слово фокус на латинском языке означает очаг, огонь. Раз слово «фокус» из латинского языка, значит, его придумал не Архимед? Как называл Архимед эту замечательную точку параболы, я не знаю. История этого термина идёт от арабов, которые саму параболу называли зажигательным зеркалом, а её фокус — «местом зажигания». Европейцы этим термином стали пользоваться после публикации работы Иоганна Кеплера (1571—1630) «Оптическая астрономия» в 1604 г., где впервые встретилось слово «фокус». — av2 ункция у=ах Зная свойства функции у = х^ \л вид её графика, не составит труда исследовать функцию у = ах^ при а>0 и а<0. Для построения графика этой функции при различных значениях а будут использованы приёмы сжатия или растяжения графика функции у = х^ вдоль оси Оу, а также симметрия относительно оси Ох. § 37. Функция у=ах^ 235 Нужно вспомнить: вид и название графика функции у = х^; расположение оси симметрии параболы; координаты вершины параболы у = что означает возрастание функции у = х^ на промежутке х^О; убывание функции у = х^ на промежутке х^О; понятие фокуса параболы; координаты фокуса параболы у = х^. Задача 1. Построить график функции у = 2х^. Составим таблицу значений функции у = 2х^: X -3 -2 -1 0 1 2 3 у = 2х^ 18 8 2 0 2 8 18 Построим найденные точки и проведём через них плавную кривую. О Сравним графики функций у = 2х^ и у = х^ (рис. 43). При одном и том же х значение функции у = 2х^ в 2 раза больше значения функции у = х^. Это значит, что каждую точку графика у = 2х^ можно получить из точки графика функции у = х^ с той же абсциссой увеличением её ординаты в 2 раза. Говорят, что график функции у = 2х^ получается растяжением графика функции у = х^ от оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза. Задача 2. Построить график функции у = ^х^. ► Составим таблицу значений функции у = ^х^\ X -3 -2 -1 0 1 2 3 4.5 2 0,5 0 0.5 2 4.5 Построив найденные точки, проведём через них плавную кривую (рис. 44). <3 236 Глава V. Квадратичная функция Сравним графики функций у = и у = х^. Каждую точку графика у = ^х^ можно получить из точки графика функции у = х^ с той же абсциссой уменьшением её ординаты в 2 раза. Говорят, что график функции получается сжатием графика функции у = х^ к оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза. Задача 3. Построить график функции у = -х^. ► Сравним функции у = -х^ и у = х^. При одном и том же х значения этих функций равны по модулю и противоположны по знаку. Следовательно, график функции у = -х^ можно получить симметрией относительно оси Ох графика функции у = х^ (рис. 45). У = --х^ ^ 2 и Q Графики функций 1 2 у = -х‘‘ симметричны относительно оси Ох (рис. 46). График функции у = ах^ при любом а^О также называют параболой. При а > О ветви параболы направлены вверх, а при а < О — вниз. Заметим, что фокус параболы у = ах^ находится в точке 0; ^ 4а Перечислим основные свойства функции у = ах^, где а^О. 1) Если а>0, то функция у = ах^ принимает положительные значения при лг^ьО; если а<0, то функция у = ах^ принимает отрицательные значения при л: 9^0; значение функции у = ах^ равно о только при л: = 0. § 37. Функция у=а)& 237 2) Парабола у = ах^ симметрична относительно оси ординат. 3) Если а > О, то функция у = ах^ возрастает при л:^0 и убывает при х<0; если а<0, то функция у = ах^ убывает при х>0 и возрастает при х^О. Все эти свойства (рис. 47, 48). видны на графиках Задача 4. На одной координатной плоскости построить графики функций у = 2х^ и у = 8. С помощью этих графиков решить неравенство 2х^>8. ► Построим графики функций (рис. 49). Для того чтобы решить неравенство 2х^ > 8, нужно найти те значения х, при которых точки параболы у = 2х^ лежат выше прямой у = 8. Из рисунка 49 видно, что неравенство 2х^>8 верно при х<-2, а также при х>2. <3 Задача 5. Найти значение а, при котором одна из точек пересечения параболы у = ах^ и прямой у = 2х + А имеет абсциссу х = 2. ► Из уравнения прямой у = 2х + 4 находим ординату точки пересечения: у = 2-2 + 4 = 8. Подставляя х = 2, у = 8 в уравнение параболы у = ах^, получаем 8 = а-2^, откуда а = 2. <] Устные вопросы и задания 1. Привести пример функции, график которой получается растяжением графика функции у = х^ от оси Ох вдоль оси Оу. 2. Привести пример функции, график которой получается сжатием графика функции у = х^ к оси Ох вдоль оси Оу. 3. Как называют график функции у = ах^, где а^О? Рис. 48 238 Глава V. Квадратичная функция 4. Привести пример функции, графиком которой является парабола вида у = ах^, ветви которой направлены вверх; вниз. 5. Перечислить основные свойства функции у = ах^, если а>0; а<0. 6. Как с помощью графиков функций можно решить: 1) уравнение Зх^ = 27; 2) неравенство Зх^<27? Вводные упражнения 1. Сравнить значения функции у = х^ при заданных значениях jCj и Х2, если: 1) Xi = -10, Х2 = -15; 2) Xi = 213, ^2 = 217; 4) ЛГ1 = -3,28, дг2 = -3,29. 3) Х, = 1^, ДГ2 = 1|; 2. Для каждой из заданных точек назвать симметричную ей от- (1 11 носительно оси Оу: А(-2; 8); В(3; 18); С ■ 3. Сравнить значения выражения 5х^: ' 1) при д: = 6 и л: = 7; 2) при л:=-3 и х=-4; 3) при х=-2 и х = 2. 2’ 8 ; £>(-3; -9). Упражнения 595. На миллиметровой бумаге построить график функции у = Зх^. По графику приближённо найти: 1) значения у при л: = -2,8; -1,2; 1,5; 2,5; 2) значения х, если у = 9; 6; 2; 8; 1,3. 596. (Устно.) Определить направление ветвей параболы: 1) у = 3х^; 2) У = 3) г/ = -4лг2; 4) У = -\х^- 597. На одной координатной плоскости построить графики функций и, используя графики, выяснить, какие из этих функций возрастают на промежутке х^О. 1) у = х^ и у = 3х^\ 2) у = -х^ и у = -3х^\ 3) у = 3х^ и у = -3х^; 4) У = ^х^ и у = ~х^. 598. Найти а, если парабола у = ах^ проходит через точку: 1) А(-1; 1); 2) В(2; 1); 3) С(1; 1); 4) D(3; -1). 599. С помощью графика функции у = -2х^ решить неравенство: 1)-2хЫ-8; 2)-2х2>-18; 3)-2х2^1; 4) -2х^>-32. 600. При каких X значения функции у = 3х^: 1) больше 12; 2) не больше 27; 3) не меньше 3; 4) меньше 75? § 37. Функция у=ах* 239 601. Найти координаты точек пересечения графиков функций: 602. 603. 604. 605. \) у = 2х^ и у = Здг + 2; 2) у = ~х^ и i/ = |x-3. Найти значение а, при котором одна из точек пересечения параболы у = ах^ и прямой у = Ъх-2 имеет абсциссу х = 2. Найти значение к, при котором парабола у = -Ъх^ и прямая у = кх + 6 пересекаются в точке с абсциссой х = 2. Имеются ли другие точки пересечения графиков? Является ли убывающей на промежутке д:^0 функция: 1) у = 4х‘^; 2) у = \х^; 3) у = -5х^; = -1x^7 4) У = -%х Выяснить, является ли функция у = —2х^ возрастающей или убывающей: 1) на отрезке [-4; -2]; 2) на интервале (3; 5); 3) на полуинтервале [-5; 0); 4) на полуинтервале (-3; -2]. 606.1 Путь, пройденный телом при равноускоренном движении, вы- , at^ числяется по формуле s = ——, где s — путь в метрах, а — ускорение в м/с^, t — время в секундах. Найти ускорение а, если за 8 с тело прошло путь, равный 96 м. Пусть парабола у = ах^ и прямая у = кх + Ь имеют только одну общую точку и абсцисса этой точки равна Хц. Доказать, что 607 эта прямая проходит через точку f-o Парабола безопасности в начале изучения главы Вы говорили о том, что мно-гие явления в природе и технике описываются с помо-щью квадратичных функций. Я как раз хотел рассказать вам о любопытном свойстве парабол, известном всем артиллеристам. Траекторией движения снарядов интересовались в разные годы многие военные, техники и учёные. Особенно этот интерес возрос в XIII в., когда изобрели порох и снаряды стали летать дальше. Сперва военные применяли лишь настильный огонь (т. е. стреляли почти параллельно земле), а затем догадались применять навесной огонь, позволяющий стрелять даже из-за укрытия. Тогда же учёные доказали, что снаряды движутся по параболическим траекториям. 240 Глава V. Квадратичная функция Всегда по параболическим? Независимо от того, под каким углом к горизонту (отличным от угла 90°) выпущен снаряд? Да, изменяется лишь фор-, ма параболы. Если при SL^ заданной начальной скорости снаряда Vq менять в одной вертикальной плоскости угол наклона а ствола пушки (находящейся в точке О), то при различных значениях этого угла получаются различные параболы. Все эти параболы касаются одной и той же параболы, называемой параболой безопасности. Я понял, если точка А находится вне области, ограниченной параболой безопасности, то при начальной скорости Vg снаряд не попадёт в эту область ни при каком угле наклона пушки. К примеру, самолёты могут во время боевых действий безопасно летать над такой параболой. ункция у = ax^ + Ьх +с в этом параграфе вы убедитесь в том, что графиком любой функции вида i/ = ax^ + bx + c (а^О) является парабола. Построение графика функции у = ах^ + Ьх + с будет выполняться с помощью сдвигов параболы у = ах^ вдоль координатных осей. Будут найдены координаты вершины параболы, являющейся графиком квадратичной функции у = ах'^ + Ьх + с. Нужно вспомнить: ■ вид графика функции у = ах^ при различных значениях а; ■ понятия вершины и оси параболы; ■ метод выделения полного квадрата; ■ понятие нулей функции; ■ формулы корней квадратного уравнения; ■ нахождение значения функции при заданном значении аргумента. Задача 1. Построить график функции у = х^-2х + ^ и сравнить его с графиком функции у = х^. § 38. Функция у = ах^ + Ьх + с 241 ► Составим таблицу значений функции y = x^-2x + Z: X -3 -2 -1 0 1 2 ■ 1 3 у = х^-2х + 3 18 11 6 3 2 3 6 I Построим найденные точки и проведём через них плавную кривую (рис. 50). Для сравнения графиков преобразуем формулу у = х^-2х + 2, используя метод выделения полного квадрата: у = х^ - 2х + + 1 + 2, y = {x-lY + 2. Сравним графики функций у = х^ г/ = (дг-1)^. Заметим, что если (х^; у{) — точка параболы у = т. е. У1 = х\, то точка (Xi + 1; г/i) принадлежит графику функции у = (х-1У, так как ((Xi+1)-= = j/i. Следовательно, гра- фиком функции у = (х-1)^ является парабола, полученная из параболы у = х^ сдвигом (паргшлельным переносом) вправо и ^1 ^1+1 Рис. 51 i/ = (x-l)42 у^+2 ^ / Рис. 52 242 Глава V. Квадратичная функция на единицу (рис. 51). Теперь сравним графики функций у = {х-\У и у = (х-1)^ + 2. При каждом х значение функции г/ = (х-1)^ + 2 больше значения функции y = {x-Vf на 2. Следовательно, графиком функции у = (х-1)^-|-2 является парабола, полученная сдвигом параболы г/ = (х- 1)^ вверх на две единицы (рис. 52). Итак, графиком функции y = x^-2x + Z является парабола, получаемая сдвигом параболы у = х^ на единицу вправо и на две единицы вверх (рис. 53). Осью симметрии параболы y = x^-2x + Z является прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы— точку (1; 2). <] Аналогично доказывается, что графиком функции у = а(х- Xq)^ + у^ является парабола, получаемая сдвигом параболы у = ах^: • вдоль оси абсцисс вправо на Хц, если Xq > О, влево на |хо|, если Xq < 0; • вдоль оси ординат вверх на Уо, если Уа>0, вниз на |i/ol> если Уо<0. Любую квадратичную функцию у = ах^-¥Ъх-\гс с помощью выделения полного квадрата можно записать в виде у = а Ь ) - 4ас ^ 2а 4а ’ т. е. в виде у = а(х-Хо)^ + Уо, где = Уо = У(^о) = - - 4ас 4а В Таким образом, графиком функции у = ах^ + Ьх + с является парабола, получаемая сдвигом параболы у = ах^ вдоль координатных осей. Равенство у = ах^ + Ьх + с называют уравнением параболы. Координаты (Хо; Уо) вершины параболы у = ах^ + Ьх + с можно найти по формулам Хо = -^, Уо = у(Хо) = ах1 + Ьхо + с. Ось симметрии параболы у = ах^ + Ьх +с — прямая, параллельная оси ординат и проходящая через вершину параболы. Ветви параболы у = ах'^ + Ьх + с направлены вверх, если а>0, и направлены вниз, если а < 0. § 38. Функция у=а}^ + Ьх + с 243 Задача 2. Найти координаты вершины параболы у = 2х^ - х -3. ► Абсцисса вершины параболы Xq = --^ = j. Ордината вершины параболы “ Уо = ах1 +Ьхо + с = 2-^-^-3 = -3|. Ответ. 1; -3i 4 8 . < Задача 3. Записать уравнение параболы, если известно, что она проходит через точку (-2; 5), а её вершиной является точка (-1; 2). ^ Так как вершиной параболы является точка (-1; 2), то уравнение параболы можно записать в виде у = а(х+1)^ + 2. По условию точка (-2; 5) принадлежит параболе, и, следовательно, 5 = а(-2-н 1)^ + 2, откуда а = 3. Таким образом, парабола задаётся уравнением у = 3(х + ly + 2, или у = 3х'^ + 6х + 5. <] Устные вопросы и задания 1. Пусть точка A(Xi; у,) принадлежит графику функции у = х^. Определить, какая из точек: 1) B(Xi-3; j/i) или C(x,+ 3; j/j) принадлежит графику функции у = (х + 3)^; 2) B{Xi; Ух-5) или С{Хх‘, Ух + Ь) принадлежит графику функции у = х^ + 5. 2. Сравнить значения функций y = f(x) и y = g(x) при одном и том же значении аргумента, если: 1) Пх) = (х + 2)\ g(x) = {x + 2f-4; 2) Пх) = (х-1)\ g(x) = {x-1)^ + 3. 3. Какие сдвиги параболы у = х^ приводят к построению графика функции: 1. 2’ l)y = {x + 7Y-, 2) y = ix-0,6f; 3) у = х^ 4)у = х^ + 1^; 5) у = (х-5)^ + 4; 6)y = (x + 4f-57 О 4. С помощью каких формул можно найти координаты вершины параболы? 5. Назвать координаты точки пересечения оси симметрии параболы у = ах’^ + Ьх + с с осью абсцисс. 6. Что называют уравнением параболы? 244 Глава V. Квадратичная функция Вводные упражнения | 1. Заполнить пропуски: 1) л2 +10x4-25 = 2) x^-6x + ... = (x-3f; 3) x^-... + 49 = (x-7f; 4) 4-... 4-0,25 = (х 4-О.б)^; 5) (х4-...)^ = х^4-... 4-64; 6) (х-...)^ = х^-... 4-16. 2. Выделить полный квадрат: 1) х2 - 4х 4- 7; 2) х2 + Зх 4- 2; 3) 4х^ 4- 4х - 5; 4) Эх"* - 6х - 4. 3. Определить для функции у = -5х® и у = —х^: 1) направление ветвей параболы; ® 2) промежутки возрастания и убывания функции; 3) координаты вершины параболы. 4. Точка Л(3; i/j) принадлежит графику функции у = х^. Установить, принадлежит ли точка Б(4; i/i) графику функции: 1)у = (х-1У; 2)у = (х+1)\ Упражнения [ Найти координаты вершины параболы (608—610). 608. (Устно.) 1) у = (х-ЗГ-2; 3) у = 5(х + 2Г-7; 609. 1) у = х’^ + 4х+1; 3) j/ = 2x2-6x4- 11; 2) у = (х + 4Г + 3; 4) у = -4(х - 1)^ 4- 5. 2) у = х^-6х-7; 4) у = -Зх2-ь18х-7. 610. 1) у = х^4-2; 2) у = -х^-5; 3) у = 3х^-2х; 4) у = -4х^4-х. 611. Найти на оси Ох точку, через которую проходит ось симметрии параболы: 1)у = х2 + 3; 2)у = (х + 2)2; 3) у = -3(х-ь 2)=* 4-2; 4) у = (х-2)2-|-2; 5)у = х^ + х+и 6) у = 2х^-Зх +5. 612. Проходит ли ось симметрии параболы у = х^-10х через точку: 1) (5; 10); 2) (3; -8); 3) (5; 0); 4) (-5; 1)? 613. Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат: 1) У = х^-Зх4-2; 2) у = -2х^4-Зх-1; 3) у = 3х^-7x4-12; 4) у = 3х^-4х. 614. Написать уравнение параболы, если известно, что парабола проходит через точку (-1; 6), а её вершиной является точка (1; 2). § 38. Функция у = а)^ + Ьх + с 245 615. (Устно.) Принадлежит ли параболе у =-Зх* + 4л: - 7 точка (1; -б)? 616. Найти значение к, если точка (-1; 2) принадлежит параболе: 1) у = кх^Zx - А', 2) у = -2х^ + кх -6. 617.1 С помощью шаблона параболы у = х^ построить график функции: 1)у = (х + 2У; 2) y = (x-Zf; Z)y = x^-2; 4)у = -х^ + 1; 5) у = -(х-1)2-3; 6)у = (х + 2Г+1. 618.1 Записать уравнение параболы, полученной из параболы у = 2х^: 1) сдвигом вдоль оси Ох на 3 единицы вправо; 2) сдвигом вдоль оси Оу на 4 единицы вверх; 3) сдвигом вдоль оси Ох на 2 единицы влево и последующим сдвигом вдоль оси Оу на единицу вниз; 4) сдвигом вдоль оси Ох на 1,5 единицы вправо и последующим сдвигом вдоль оси Оу на 3,5 единицы вверх. 619.1 Построить график функции: 1) у = 1х^-2|; 2) у = \1-х^\; 3) у = |2-(х-1)2|; 4) у = \х^-5х + б\. 620.1 Записать уравнение параболы, пересекающей ось абсцисс в точках х = -1 и х = 3, а ось ординат в точке у = 2. График функции у = | ах^ -ь Ьх -н с | Профессор, я не уверена, что правильно выполнила построение графиков в упражнении 619. В 7 классе Вы нам показывали, как строить графики функций у = \х\ и у = |х + а|. Можно ли и здесь применять те же идеи? Давайте сначала поговорим о том, чем отличается гра-фик функции y = f{x) от графика функции y = \f{x)\. Вы хорошо помните определение модуля числа? Конечно. Модуль числа равен самому числу, если оно неотрицательно, и числу, ему противоположному, если оно отрицательно, т. е. I I _ |а, если а > О, ~ \-а, если а < 0. ___ Замечательно. Допустим, график функции y = f(x) изо- бражён на рисунке а). При х$-3 и -1<х< 5 значения “ функции у = f(x) неотрицательны, поэтому для этих значений X график функции у = |/(х)| будет таким же, как и график функции y = f(x). При -35 значения f(x) от- 246 Глава V. Квадратичная функция рицательны, поэтому при этих значениях аргумента |/(х)| = = —f{x). Значит, на промежутках -3Ъ график функции y = \f(x)\ может быть получен из графика функции y = f(.x) зеркальным отражением от оси Ох (рис. б)). Думаю, что теперь вы вспомнили, как из графика функции у = х получали график функции у = y = x + Z — график функции у = \х + Ъ х\, а из графика функции Наверное, вспомнили, что о движении графика функции я вам тоже рассказывал. Я поняла, что нерационально (по точкам) выполняла по- строение графиков в упражнении 619. Давайте вместе построим график, например, такой функции: j/ = |-x* + 6x-5|. Только сначала преобразуем выражение под знаком модуля к виду, удобному для построения с помощью сдвигов: + 6х - 5 =-(л;2 - 2 ■ Зх-I-3* - 3*-и 5) =-(лг - 3)2-I-4. Рекомендую вам при построении графика с помощью сдвигов параболы у = х^ использовать шаблон параболы, изготовленный, например, из картона. Только не забудьте, что исходной для построения вашего графика будет парабола у = -х^, а не парабола у = х^. Я буду на рисунке в) нумеровать этапы построения графика функции 1/ = I - (х - 3)2 -I- 41. § 38. Функция у=ео^ + Ьх + с 247 остроение графика квадратичной ункции Построение графика квадратичной функции с помощью сдвигов параболы вдоль координатных осей вы освоили в предыдущем параграфе. В этом параграфе будет сформулирован алгоритм построения графика с помощью нескольких опорных точек. Будет рассмотрено решение задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения квадратичной функции — задачи, имеющей большое прикладное значение. Нужно вспомнить: ■ формулы координат вершины параболы; ■ построение оси симметрии параболы; ■ определение направления ветвей параболы у = ах^ + + с в зависимости от знака коэффициента а; ■ понятие нулей функции; л формулы корней квадратного уравнения; и понятие возрастания (убывания) функции на промежутке; ■ формулы площадей прямоугольника и треугольника. Задача 1. Построить график функции t/ = x^-4x + 3. ► 1. Вычислим координаты вершины параболы: д:о = -:^ = 2, Ро = 2^-4-2 + 3 = -1. Построим точку (2; -1). 2. Проведём через точку (2; -1) прямую, параллельную оси ординат, — ось симметрии параболы (рис. 54, а). 3. Решая уравнение х^-4х + 3 = 0, найдём нули функции: Xi = l, Х2 = 3. Построим точки (1; 0) и (3; 0) (рис. 54, б). 4. Возьмём две точки на оси Ох, симметричные относительно точки х = 2, например точки л: = 0 и х = 4. Вычислим значение й)У 248 Глава V. Квадратичная функция функции в этих точках: i/(0) = y(4) = 3. Построим точки (0; 3) и (4; 3). 5. Проведём параболу через построенные точки (рис. 54, в). <1 По такой же схеме можно построить график любой квадратичной функции у = ах^ + Ьх + с: 1. Построить вершину параболы (х^; у^), вычислив Xq, по фор-ft мулам лго = “ 2а Уо = У(ч)- 2. Провести через вершину параболы прямую, параллельную оси ординат, — ось симметрии параболы. 3. Найти нули функции, если они есть, и построить на оси абсцисс соответствующие точки параболы. 4. Построить две какие-нибудь точки параболы, симметричные относительно её оси. Для этого надо взять две точки на оси Ох, симметричные относительно точки Хд, и вычислить соответствующие значения функции (эти значения одинаковы). Например, можно построить точки параболы с абсциссами л: = 0 и x = 2xq, если лго^бО (ординаты этих точек равны с). 5. Провести через построенные точки параболу. Заметим, что для более точного построения графика полезно найти ещё несколько точек параболы. Задача 2. Построить график функции у = -2х^ + 12х-19. ► 1. Вычислим координаты вершины параболы: Хо = -^ = 3, —4 Уо = -2-32-1-12-3-19 = -1. Построим точку (3; -1) — вершину параболы (рис. 55). 2. Проведём через точку (3; -1) ось симметрии параболы (рис. 55). 3. Решая уравнение 12д:-19 = 0, убеждаемся, что действительных корней нет, и поэтому парабола не пересекает ось Ох. 4. Возьмём две точки на оси Ох, симметричные относительно точки х = 3, например точки х = 2 и х = 4. Вычислим значение функции в этих точках: у(2) = = у(4) = -3. Построим точки (2; -3) и (4; -3) (рис. 56). Рис. 56 Рис. 55 0 —1— ! : 1—н- } 4 1 / / “3 “ 1 \ § 39. Построение графика квадратичной функции 249 5. Проведём параболу через построенные точки. <] Задача 3. Построить график функции у = -х^ + х + 6 и выяснить, какими свойствами обладает эта функция. ► Для построения графика найдём нули функции: -Jc^ + x + 6 = 0, откуда Xi=-2, Х2 = 3. Координаты вершины параболы можно найти так: Хп = Уо = У Х1 + Х2 -2 + 3 = 0,5, = -^ + 1 + 6 = 6,25. Так как а = -1<0, то ветви параболы направлены вниз. Найдём ещё несколько точек параболы: г/(-1) = 4, г/(0) = 6, 1/(1) = 6, у(2) = 4. Строим параболу (рис. 57). С помощью графика получим следующие свойства функции у = -х^ + х + в: 1) При любых значениях х значения функции меньше или равны 6,25. 2) Значения функции положительны при -2<л:<3, отрицательны при х<-2 и при х>3, равны нулю при х = -2 и х = 3. 3) Функция возрастает на промежутке х^0,5, убывает на промежутке х>0,5. 4) При д: = 0,5 функция принимает наибольшее значение, равное 6,25. 5) График функции симметричен относительно прямой х = 0,5. <] О Отметим, что функция у = ах^ + Ьх + с принимает наименьшее или наибольшее значение в точке Хо = -—, которая является абсциссой вершины параболы. Значение функции в точке х^ можно найти по формуле Уо = У(Хо). Если а > о, то функция имеет наименьшее значение, а если а<0, то функция имеет наибольшее значение. 250 Глава V. Квадратичная функция Например, функция i/ = - 4х + 3 при х = 2 принимает наимень- шее значение, равное -1 (рис. 54, в); функция у = -2х^+12х-9 при х = 3 принимает наибольшее значение, равное 9. Задача 4. Сумма двух положительных чисел равна 6. Найти эти числа, если сумма их квадратов наименьшая. Каково наименьшее значение суммы квадратов этих чисел? ► Обозначим первое число буквой х, тогда второе число равно 6-л:, а сумма их квадратов равна x^-l-(6-Jc)^. Преобразуем это выражение: -и (6 - xf = х^ + 86-12х + х^ = 2х^-12х + 36. Задача свелась к нахождению наименьшего значения функции у = - 12л: + 36. Найдём координаты вершины пара- болы: ^о = -£ = -^ = 3, 1/о = У(3) = 2-9-12-3 + 36 = 18. Итак, при л: = 3 функция принимает наименьшее значение, равное 18. Таким образом, первое число равно 3, второе также равно 6-3 = 3. Значение суммы квадратов этих чисел равно 18. Ответ. 3 и 3; 18. <] Устные вопросы и задания | 1. Сформулировать алгоритм построения графика квадратичной функции по опорным точкам. 2. Перечислить свойства квадратичной функции, график которой изображён: 1) на рисунке 54, в; 2) на рисунке 56. 3. Наибольшее или наименьшее значение принимает функция 1/ = ах^ + Ьх + с в точке Xq = --^, если а<0; а>0? 4. Как найти наибольшее (наименьшее) значение функции у = ах^ + + Ьх + с1 Вводные упражнения 1. Дана функция у(х) = 2х^ + Ъх-3. Найти: i/(0); у(1); i/(-3); у 2. Через какую точку оси абсцисс проходит ось симметрии графика функции: 1) у = Зх^-Ъх-7\ 2) у = 5х^-х; 3) у = х^-1; 4) у = 2,5x^7 § 39. Построение графика квадратичной функции 251 3. Найти нули функции: 1) у = 1Ъх^-Ъх', 2) у = 16л:^-100; 3) 1/ = -6х^-х+1; 4) у = 2х^ + Зх-7. 4. С помощью графика квадратичной функции, изображённого на рисунке 58, ответить на вопросы: 1) при каких значениях х функция принимает положительные значения; отрицательные значения; 2) на каком промежутке функция возрастает; убывает; 3) в каких точках график функции пересекает оси координат? 5. Записать: 1) квадрат суммы чисел а и 6; 2) сумму квадратов чисел а и Ь; 3) произведение разности чисел а и 5 на их сумму; 4) частное разности квадратов чисел а и Ь и суммы кубов этих чисел. Упражнения [ 621. Найти координаты вершины параболы: 1) у = х^-4х-5; 2) у = х^ + 3х +5; 3) у = -х^-2х + 5’, 4) у = -х^ + 5х-1. 622. Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат: 1) у = х^-Зх + 5; 2) у = -2х’^-8х+10; 3) у = -2х^ + 6; 4) у = 7х^+14. 623. По данному графику квадратичной функции (рис. 59) выяснить её свойства. Построить график функции и по графику: 1) найти значения х, при которых значения функции положительны; отрицательны; 2) найти промежутки возрастания и убывания функции; 3) выяснить, при каком значении х функция принимает наибольшее или наименьшее значение; найти его (624—625). 624. 1) у = х^-7х + 10; 2) у = -х^ + х + 2; 3) у = -х^ + 6х-9; 4) у = х^ + 4х + 5. 82Ъ. \) у = 4х‘^ + 4х-3-, 2) у = -Зх^-2х-\-\\ 3) у = -2х^ + Зх + 2\ 4) у = Зх^-8х + 4-, 252 Глава V. Квадратичная функция Рис. 59 626. 627. 628. 629. 630. 631 632 633 5) у = 4:Х^ + \2х + 9', 6) у =-Ах^ + 4.x- 7) у = 2х^-4х + Ъ\ 8) y = -2x^-Qx-4. Число 15 представить в виде суммы двух чисел так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим. Сумма двух чисел равна 10. Найти эти числа, если сумма их кубов является наименьшей. Участок прямоугольной формы, примыкающий к стене дома, требуется огородить с трёх сторон забором длиной 12 м. Какими должны быть размеры участка, чтобы площадь его была наибольшей? В треугольнике сумма основания и высоты, опущенной на это основание, равна 14 см. Может ли такой треугольник иметь площадь, равную 25 см^? Не строя график, определить, при каком значении х квадратичная функция имеет наибольшее (наименьшее) значение; найти это значение: 1) у = х^-2х-4‘, 2) y = -x'^ + 4x + Z‘, Z) y = Zx^-&х+1. Определить знаки коэффициентов уравнения параболы у = ах^ + + Ьх + с, если: 1) ветви параболы направлены вверх, абсцисса её вершины отрицательна, а ордината положительна; 2) ветви параболы направлены вниз, абсцисса и ордината её вершины отрицательны. Построить график функции: 1) у = \2х^-х-1\; 2) у = х^-5\х\-6. С высоты 5 м вертикально вверх из лука выпущена стрела с начальной скоростью 50 м/с. Высота h метров, на которой находится стрела через t секунд, вычисляется по формуле § 39. Построение графика квадратичной функции 253 л = 5 + 50f - ^ 2 Через сколько секунд стрела: 1) достигнет наибольшей высоты и какой; 2) упадёт на землю? Значение g принять равным 10 м/с^. У = Функции, заданные на промежутках Профессор, я снова обращаюсь за помощью. При выполнении упражнения 632(1) у меня не возникло никаких проблем, так как уже научилась строить график функции у = \ах^ + Ьх + с\. Но нет уверенности, что я правильно построила график функции у = х^ — Ь\х\ — 6. Главное — понять, что на промежутках х < 0 и х~^0 формулы, задающие функцию, будут разными. Можно нашу функцию задать так: х^ -Ъх- 6, если х^О, х^ + 5х - 6, если л: < 0. Значит, я в тетради верно построила график заданной функции. Так как х^ = \х\^, нашу функцию можно записать в виде 1/ = |хр-5|х|-6. Отсюда становится очевидно, что при любом Xq<0 соответствующее ему значение функции будет таким же, как и при положительном значении аргумента, равном -Хд. При Хо = 0 значение функции у = -6. Поэтому график данной функции можно получить так: построить его часть для х>0 (т. е. график функции у = х^ — 5х- 6 при х> 0) и отразить полученную часть параболы симметрично относительно оси Оу. Потренируйтесь в применении этого способа для построения графиков функций: 1/ = х*-н4|х|-5; у = х^-4|х|-нЗ. 254 Глава V. Квадратичная функция Профессор, приведите, пожалуйста, ещё пример функции, заданной на разных промежутках различными формулами, но не содержащую аргумент под знаком модуля. Я приведу тебе пример, ^ '^Ь1, пожалуйста, сам сконструируй функции, заданные на промежутках, и построй их графики. Вот мой пример: У = 1, если X < -2, (х + 1)^, если -2 < л: < 1, 5 - л:, если д: ^ 1. График этой функции изображён на рисунке щтв^щттттттщтттттттт УПРАЖНЕНИЯ к ГЛАВЕ V 634. Найти значения х, при которых квадратичная функция у = - 5jc -I- 3 принимает значение, равное: 1) 0; 2) 1; 3) 10; 4) -1. 635. Найти координаты точек пересечения графиков функций: 1) у = х^-А и у = 2х-А\ 2) у = х^-2х-Ъ и у = 2х'^ 2х + \\ 2) у = х^ ТА у = Zx-2-, А) у = х^ + х-2 ТА г/= (д:-I-3)(д: - 4). 636. Решить неравенство: 1) 2) д:^>36. 637. Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат: 1) у = х^ + х-12\ 2) y = -x^ + Zx+\0\ 4) 1/= 7дг^-ь4д:-11; 5) у = бх’^ + х - 1; 7) у = 4х^-11х + 6; 8) г/ = Зд:2+13д:-10. 638. Найти координаты вершины параболы: 1) у = х^-4х-5; 2) у = -х^-2х-^3; 3) у = -8х^-2х + 1; 6) у = 5х“ + Зх-2; 4) у = х^ + х+^; 5) у = -2х(х + 2); 3) у = х^ - 6х + 10; 6) 1/ = (л:-2)(ж-(-3). 639. Построить график функции и по графику выяснить её свойства: 1) у = х^-5х + 6; 2) у = -ь Юдс-I-30; 3) ^ = -л:^-6дг-8; 4) у = 2х^ - 5х + 2; 5) y = -3x^ - Зх + 1; 6) у = -2х^ - Зх - 3. § 39. Построение графика квадратичной функции 255 640. 641. 642. 643. 644. 645. 646 647 Не строя график функции, найти её наибольшее или наименьшее значение: 1) у = х^ + 2х + Ъ\ 2) y = -x‘^ + 2x + Z\ 2) у = -2х^+ 1х-. А) у = 2х'^ + 4:Х + Ъ. Периметр прямоугольника 600 м. Какими должны быть его стороны, чтобы плош;адь прямоугольника была наибольшей? Прямоугольник разбит на 3 части двумя отрезками, концы которых лежат на противоположных сторонах прямоугольника, и параллельными одной из его сторон. Сумма периметра прямоугольника и длин отрезков равна 1600 м. Найти стороны прямоугольника, если его площадь наибольшая. Найти коэффициенты р тл q функции у = х^+ рх + q, если эта функция: 1) при д: = 0 принимает значение 2, а при х=1 —значение 3; 2) при л: = 0 принимает значение 0, а при х = 2 — значение 6. Найти р и q, если парабола y = x^ + px + q: 1) пересекает ось абсцисс в точках х = 2 и л: = 3; 2) пересекает ось абсцисс в точке х=\ и ось ординат в точке у = 3; 3) касается оси абсцисс в точке л: = 2. При каких значениях х равны значения функций: 1) у = х^ + 2х + 2 и у = \Ч-х\\ 2) у = 3л:2-6х + 3 и 1/ = |Зх-3|? Построить параболу у = ах^ + Ьх + с, если известно, что: 1) парабола проходит через точки с координатами (0; 0), (2; 0), (3; 3); 2) точка (1; 3) является вершиной параболы, а точка (-1; 7) принадлежит параболе; 3) нулями функции у = ах^ + Ъх + с являются числа JCi = 1 и ^2 = 3, а наибольшее значение равно 2. Найти значение k, при котором прямая y = kx и парабола у = х^ + 4х+1 имеют только одну общую точку. 648. Пусть прямая проходит через точку {х^, уд) параболы у = ах^ и точку К ^ ) общую точку с параболой у = ах^. о . Доказать, что эта прямая имеет только одну 256 Глава V. Квадратичная функция Н ПРАКТИЧЕСКИЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 1. В высшей математике параболу определяют как линию, состоящую из всех точек N плоскости, расстояние от каждой из которых до точки F (фокуса параболы) равно расстоянию до заданной прямой /, называемой директрисой параболы (рис. 60). Это определение позволяет сконструировать прибор, способный вычерчивать параболу. Предлагаем изготовить его в соответствии со следующим описанием. На листе картона (рис. 61) закрепите линейку (её верхний край будет директрисой будущей параболы). В точке F булавкой зафиксируйте конец нити. Другой конец этой нити закрепите в вершине А острого угла чертёжного угольника. Длина нити должна быть равна длине катета АС. Перемещая катет ВС вдоль линейки и прижимая нить грифелем карандаша к катету АС угольника, вы получите кривую, точки которой находятся на равных расстояниях от точки F и от края линейки, т. е. получите параболу. 2. Для орошения земель строят каналы различных форм и размеров. Пусть проектируется канал, сечение которого имеет прямоугольную форму (рис. 62), а смачивающийся периметр (AB + BC + CD) равен 20 м. Какими должны быть стороны сечения, чтобы пропускная способность канала была наибольшей? 3. Каким уравнением при проектировании должна быть задана мостовая арка, имеющая форму параболы (рис. 63), если пролёт арки О А должен быть равен 48 м, а высота ВС — 8 м? Рис. 63 Практические и прикладные задачи 257 4. Кольцо имеет радиус внешнего круга 3 см, а радиус внутреннего — X см. Записать формулу, выражающую зависимость площади кольца S от радиуса внутреннего круга. Построить график зависимости S от х, приняв л = 3, если 1<д;<2. 5. Три бригады должны выполнить работу по изготовлению одинаковых деталей. Первая бригада в день делает 200 деталей. Вторая бригада делает в день на х деталей меньше, чем первая (0 < X < 200), а третья бригада делает в день на 5х деталей больше, чем первая. Сначала первая и вторая бригады, работая вместе, выполнили ^ часть всей работы, а затем все три бри- гады, работая вместе, выполнили оставшуюся часть работы. Найти такое значение х, при котором вся работа была бы выполнена указанным способом как можно быстрее. Решение. Из условия следует, что вторая бригада делает в день (200 - х) деталей, а третья (200 + 5х) деталей. Пусть А — количество всех деталей, которое нужно сделать, тогда А 5 6. ti — 400-х 4А t, = - — время совместной работы первой и второй бригад. — время совместной работы всех трёх бригад. 600 + 4х Время работы указанным способом равно А 4А У___ ~5~ _ А 600 + 4х + 4(400 - х) _ о - X 600 + 4х ~ 5 ' (400 - х)(600 + 4х) А 2200 . 110 ti + t^ = 5 -4x2 юООх + 240 000 -х2 + 250X-I-60 000 Очевидно, что значение + tz будет минимальным, когда знаменатель дроби -х2-I-250х60000 примет своё наибольшее значение. Это произойдёт при х=125. Первая труба наливает в бассейн 30 м® воды в час. Вторая труба наливает в час на 2d м® меньше, чем первая (01. У = 10. Записать уравнение параболы, если координаты её вершины (2; 4) и она проходит через точку (-1; -5). На рисунке изображён эскиз графика функции у = ах^ + + Ьх + с. Определить знаки чисел а, Ь и с. Построить график функции: а) у = \х^-4х + 3\; б) у = х^-\х\-2. 11 12 ТЕМЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ 1. Квадратичная функция в физике. 2. Квадратичная функция в астрономии. 3. Квадратичная функция в строительстве и архитектуре. 4. Оптимизационные задачи, решаемые с помощью исследования квадратичной функции. 5. Построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля. 6. Г. Галилей и его вклад в математическое моделирование законов динамики. 7. Конические сечения и их оптические свойства. 8. Компьютерные программы для исследования квадратичной функции. 9. Компьютерное моделирование процессов, протекающих по законам квадратичной зависимости. Квадратные неравенства При изучении линейных неравенств мы говорили о том, что в практической деятельности, в экспериментальных и теоретических исследованиях задачи решения неравенств встречаются не реже, чем задачи решения I уравнений. К решению различных неравенств часто приводят практические и прикладные задачи. Моделями многих практических, теоретических и прикладных задач являются различные неравенства. Рассмотрим два примера. При разведении животных в заповеднике планируют прирост численности изолированной популяции N, который определяется формулой N = к^п-к2п^, где п — исходное количество членов популяции, коэффициент fti описывает рост популяции за счёт преобладания рождаемости над смертностью, а коэффициент к^ учитывает так называемый эффект тесности и ограниченность ресурсов среды обитания. При этом важным оказывается поддержание численности популяции на определённом уровне, поэтому приходится решать неравенство fejrt - ^2^^ < ЛАд, (1) где Nq — запланированный прирост. Для артиллеристов задача определения времени t, за которое выпущенный со скоростью Vq снаряд будет находиться в заданном по высоте коридоре (Aj; Л2), в годы войны была распространённой. Для этого решались неравенства Vfd - —— > к, 2 и Ogt - < Л (2) Неравенства видов (1) и (2) называют квадратными неравенствами. В неравенстве (1) неизвестным является л, а в неравенствах (2) — число t. В этой главе вы познакомитесь с различными способами решения квадратных неравенств. Научитесь также решать неравенства, в левой части которых находится произведение линейных множителей, а в правой части — нуль. Решение таких неравенств будет осуществляться с помощью метода интервалов. •40 вадратное неравенство ^ его решение в начале этого учебного года вы научились решать линейные неравенства с одним неизвестным и их системы. Недавно овладели приёмами решения квадратных уравнений. В этом параграфе будет введено понятие квадратного неравенства и рассмотрены примеры решения неравенств, для которых соответствующее квадратное уравнение ах^ + Ьх + с = 0 имеет два корня. В таком случае решение квадратного неравенства сводится к решению систем линейных неравенств. Нужно вспомнить: ■ разложение квадратного трёхчлена на множители; ■ решение линейных неравенств и их систем; ■ условие равенства произведения двух множителей положительному числу; отрицательному числу; • формулы корней квадратного уравнения; ■ свойства деления обеих частей неравенства на одно и то же число. Задача 1. Стороны прямоугольника равны 2 и 3 дм. Каждую сторону увеличили на одинаковое число дециметров так, что площадь прямоугольника стала больше 12 дм^. Как изменилась каждая сторона? ► Пусть каждая сторона прямоугольника увеличена на х дециметров. Тогда стороны нового прямоугольника равны (2 + х) и (3-)-д:) дециметрам, а его площадь равна (2-1-х)(3-1-х) квадратным дециметрам. По условию задачи (2-I-х)(3-I-х) > 12, откуда х^-г 5х-ь6> 12, или х^-1-5х-6>0. Разложим левую часть этого неравенства на множители: (хч-6)(х- 1)>0. Так как по условию задачи х>0, то х-г6>0. Поделив обе части неравенства на положительное число х -I- 6, получим X — 1 > О, т. е. X > 1. Ответ. Каждую сторону прямоугольника увеличили больше чем на 1 дм. <3 В неравенстве х^ -I- 5х — 6 > О буквой х обозначено неизвестное число. Это пример квадратного неравенства. 262 Глава VI. Квадратные неравенства Если в левой части неравенства стоит квадратный трёхчлен, а в правой — нуль, то такое неравенство называют квадратным. Например, неравенства 2х^ -Зх + 1>0, -Зх^ + 4х + 5 <0 являются квадратными. Напомним, что решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или установить, что их нет. Задача 2. Решить неравенство д:^-5л: + 6>0. ► Квадратное уравнение х^ - 5х + 6 = О имеет два различных корня Xi = 2, Х2 = 3. Следовательно, квадратный трёхчлен х^- 5х +6 можно разложить на множители: х^-5х + 6 = (х-2)(х-3). Поэтому неравенство можно записать так: (дс - 2)(л; - 3) > 0. Произведение двух множителей положительно, если они имеют одинаковые знаки. 1) Рассмотрим случай, когда оба множителя положительны, т. е. лг-2>0 и х-3>0. Эти неравенства образуют систему: |х-2>0, (х>2, - Решая систему, получаем ^>3 откуда x>3. 2) Рассмотрим случай, когда оба множителя отрицательны, т. е. х-2<0 и л:-3<0. Эти неравенства образуют систему: fx-2<0, „ (х<2, Решая систему, получаем ^<3 откуда х<2. Таким образом, решениями неравенства (jc - 2)(jc - 3) > 0, а значит, и исходного неравенства - 5х -I- 6 > 0 являются числа х<2, а также числа х>3. Ответ. х<2, х>3. < Вообще если квадратное уравнение ах^ + Ьх + с = 0 имеет два различных корня, то решение квадратных неравенств ах^ + Ьх + оО и ах^ + Ьх + с<0 можно свести к решению системы неравенств первой степени, разложив левую часть квадратного неравенства на множители. Задача 3. Решить неравенство -Зх^ - 5х-1-2 > 0. ► Чтобы удобнее проводить вычисления, представим данное неравенство в виде квадратного неравенства с положительным первым коэффициентом. Для этого умножим обе его части на -1: Зх2 + 5х-2<0. § 40. Квадратное неравенство и его решение 263 Найдём корни уравнения Зх^ + 5х-2 = 0: -5 ±725+ 24 -5 ±7 1 „ Xi.2 =-^^‘^3’ ^2 = -2. Разложив квадратный трёхчлен на множители, получим: 3U-|)(x + 2)<0. Отсюда получаем две системы: Первую систему можно записать так: что она не имеет решений. х-|>0. [x-i<0. и 3 [х + 2 > 0. 1 3’ откуда 1 Решая вторую систему, находим: U-2, 3 Отсюда следует, что решениями неравенства 1 ^-3 (± + 2) < О, т. е. неравенства -Зх^ - 5х + 2>0, являются все числа интервала -2" — ’ 3 Ответ. -20; 2) -2х, если х>0; 3) -х+1, если х<0. 3. Обе части неравенства умножить (разделить) на число а: 1) х>-2, а = 3; 2) х> 2, а = -3; 3) х<3, а = -3; 4) х<-3, а = 3. 4. Решить неравенство: 1) 2л:+1>-5; 2) 3-4х<7. 5. Решить систему неравенств: х<4. 1), X < 1, 2) , X > 3, 3) fx>3. 4) . X < -1; X > -3; |х<2; 6. Определить знак произведения, если л: > 0: 1) (X + 1)(д: + 3); 2) (-х-1)(х + 2). Упражнения | 649. (Устно.) Указать, какие из следующих неравенств являются квадратными: 1) х^-4>0; 2) х2-Зл:-5^0; 3)Зх + 4>0; 4) 4х-5<0; 5) 6) л:‘‘-1б>0. 650. Свести к квадратным следующие неравенства: 1) х^<Зх + 4; 2) 3x^-1 >д:; 3) Зх^<х^-5х + 6; 4) 2х(х + 1)<х + 5. 651. (Устно.) Какие из чисел 0; -1; 2 являются решениями неравенства: 1) х2 + Зх-1-2>0; 2)-х2-1-3,5х + 2^0; 3) х2-х-2<0; 4) -х^ +х-|-^<0? Решить неравенство (652—654). 652. 1) (х-2)(х-н4)>0; 2) (х-11)(х-3)<0; 3) (х-3)(х-ь5)<0; 4) (х-1-7)(х+1)>0. 653. 1) х^-4<0; 2) х^-9>0; 3) х^-|-Зх<0; 4) х2-2х>0. 654. 1)х^-Зх + 2<0; 2) х^-1-х-2<0; 3) х^-2х —3>0; 4) х^ -I- 2х - 3 > 0; 5) 2х^ -I- Зх - 2 > 0; 6) Зх^ + 2х - 1 > 0. 655. Решить неравенство: 2) 7-[|-х]%0; 4) (х-1)(х + 3)>5. 1) 2.|x-|J >0; 3) 3х="-3<х2-х; § 40. Квадратное неравенство и его решение 265 656. Построить график функции: 1) у=^2х^-, 2) у = -(х+1,5)Н 3) у = 2х^-х + 2; 4) у = -Зх^-х-2. По графику найти все значения х, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения; значения, равные нулю. 657.1 Известно, что числа Xi и Хз, где Xj < Xj, являются нулями функции у = ах^ + Ьх + с. Доказать, что если число Хц заключено между X, и Хг, т. е. Xi < Xq < Хг, то выполняется неравенство а (ахо -1- Ьхо + с) < 0. 658.1 Из трёх последовательных натуральных чисел произведение первых двух меньше 72, а произведение последних двух не меньше 72. Найти эти числа. Дробно-линейные неравенства Вы только что научились решать квадратные неравен-ства сведением их к решению систем линейных неравенств. Теперь решение дробно-линейных неравенств вам покажется совсем простым. А какие неравенства называются дробно-линейными? Дробно-линейными неравенствами называют такие нера-I венства, в которых слева от одного из знаков >, <, < а\Х + 6, , стоит выражение вида —------- (где х — неизвестное; а^, Ogx + bz 02. и Й2 — действительные числа), а справа — нуль. Попробую привести примеры дробно-линейных нера- 9 венств: <0, 1^0, <0. 5-х Зх-8 14-17Х Хорошие примеры привела. Надеюсь, вы сами сформу-, лируете алгоритм решения подобных неравенств, поняв, что оценка знака частного двух чисел аналогична оценке знака произведения двух множителей. Думаю, что решение каждого из таких неравенств сведётся к решению двух систем линейных неравенств. Эти системы будут составлены с учётом того, что частное двух чисел положительно, когда делимое и делитель одного знака, и отрицательно, когда они имеют разные знаки. Ты прав. А в случае решения нестрогого неравенства , нужно рассмотреть и случай, при котором числитель дроби обратится в нуль. Ъ 266 Глава VI. Квадратные неравенства Решим те неравенства, которые придумала Света в качестве примеров дробно-линейных неравенств. Решу первое неравенство 2х < 0. Дробь отрицательна. 5-х когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Значит, нужно решить две системы: ^.f2x<0, fx<0, „ f2x>0, U>0, _ U<5, откуда »>5. Ответ. x<0, x>5. 7x — 1 A решение второго неравенства ------> 0 можно заме- •ж* J нить решением таких систем: Зх-8 7л;-1^0, |7л:-1<0, Зл:-8>0 “ |Зд:-8<0? Можно. Думаю, что решить их не составит труда. Ре- ^ > шение же последнего неравенства:--^---<0 — легко вы- . 14-17л; полнить устно: дробь с положительным числителем будет отрицательной, если отрицателен её знаменатель. То есть решениями исходного неравенства будут числа, удовлетворяющие неравенству 14-17л: <0. Системы неравенств с одним неизвестным, содержащие линейное и квадратное неравенства Вы уже умеете решать линейные и квадратные неравен-ства, системы линейных неравенств. Попробуем решить систему, в которой одно неравенство линейное, а дру-х’^ - 5х + 6 >0, Зх + 4>0. равенства, как было установлено в задаче 2 текста параграфа, являются все числа промежутков л: < 2 и х > 3. Решениями второго неравенства будут числа промежутка х^ -1—. Изобразим на од- 3 ной числовой оси множества решений как первого, так и второго неравенств. Очевидно, что одновременно обоим неравенствам системы удовлетворяют числа из промежутков -1^^л<2 и л:>3. 3 гое — квадратное: Решениями первого не- т Г -l| 2 3 * Эти числа и являются решениями исходной системы. Думаю, теперь вы самостоятельно сможете решить такие системы: Зх^ -ь 5дс - 2 < о, 4л: -I- 9 > 0; Зх^ + 5л: - 2 $ о, 2л + 7<0. t ь § 40. Квадратное неравенство и его решение 267 ешение квадратного неравенства помощью графика квадратичной ункции С идеей решения неравенств с помощью графиков вы уже знакомы. В своё время иллюстрировали на координатной плоскости решения линейных неравенств, в § 37 с помощью графиков решили неравенство 2л:^>8. Квадратичная функция задаётся формулой у = ах^-^Ьх-\^с, где а^О. Поэтому решение, например, квадратного неравенства ах’^ + Ъх + оО можно свести к отысканию нулей квадратичной функции, а затем промежутков, на которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные значения. Нужно вспомнить: ■ понятие нулей квадратичной функции; ■ зависимость от коэффициента а направления ветвей параболы у = ах^ + Ьх + с\ ш названия числовых промежутков, их символическую запись и изображение на числовой оси; ■ формулы корней квадратного уравнения; ■ расположение точки графика функции по отношению к оси абсцисс в зависимости от знака её ординаты. Задача 1. Решить с помощью графика неравенство 2л:^-х-1^0. ► График квадратичной функции у = 2х^-х-1 — парабола, ветви которой направлены вверх. Выясним, имеет ли эта парабола точки пересечения с осью Ох, для чего решим квадратное уравнение 2х^ - х - 1 = 0: _1±7ГТ8 1±3. 1 *1,2— , Xj —i, ^2— . Значит, парабола пересекает ось Ох в точках х = -- и х = 1. Нера-2 венству 2х^ - х - 1 < 0 удовлетворяют те значения х, при которых значения функции равны нулю или отрицательны, т. е. те значения X, при которых точки параболы лежат на оси Ох или ниже. Из 268 Глава VI. Квадратные неравенства рисунка 64 ВИДНО, что этими значениями являются все числа из отрезка Ответ. 2 График этой функции можно использовать и при решении других неравенств, которые отличаются от данного только знаком неравенства. Из рисунка 64 видно, что: 1) решениями неравенства 2х^ -х-1 <0 являются числа интервала -^<дг<1; 2) решениями неравенства 2х^ - х - 1 > О являются все числа про- X <-- и X > 1; и межутков 3) решениями неравенства 2х^ - х - 1 ^ О являются все числа промежутков х^—I и х^1. А Задача 2. Решить неравенство 4х^-t-4х-Ь 1 > 0. ► Построим эскиз графика функции j/= 4х^-t-4х-f-1. Ветви этой параболы направлены вверх. Уравнение 4х^ -ь 4х -I-1 = 0 имеет один корень X = поэтому парабола касается оси Ох в точ- f 1 1 ^ ке о . График этой функции изображён на рисунке 65. Для решения данного неравенства нужно установить, при каких значениях х значения функции положительны. Таким образом, неравенству 4х^ -ь 4х + 1 > 0 удовлетворяют те значения X, при которых точки параболы лежат выше оси Ох. Из рисунка 65 видно, что такими являются все действительные числа X, кроме х = -0,5. Ответ. х;^:-0,5. <] Из рисунка 65 видно также, что: 1) решениями неравенства 4х^ -н 4х -ь 1 ^ о являются все действительные числа; 2) неравенство 4х^ -н 4х -н 1 ^ 0 имеет ^ 2’ одно решение 3) неравенство 4х^ -I- 4х -ь 1 < 0 не имеет решений. Так как 4х^-1-4х +1 = (2х+1)^, то эти неравенства можно решить устно. § 41. Решение квадратного неравенства с помощью графика... 269 Рис. 66 Задача 3. Решить неравенство -х^ + х-1<0. ► Изобразим эскиз графика функции у = -х^ + х-1. Ветви этой параболы направлены вниз. Уравнение -х^ -I- л: - 1 = О не имеет действительных корней, поэтому парабола не пересекает ось Ох. Следовательно, эта парабола расположена ниже оси Ох (рис. 66). Это означает, что значения квадратичной функции при всех х отрицательны, т. е. неравенство -х^ + х - 1 <0 выполняется при всех действительных значениях х. <] Из рисунка 66 видно также, что решениями неравенства -х^ -I- д: - 1 < о являются все действительные значения х, а неравенства -х^ -I- X - 1 > о и -х^ -I- X - 1 ^ о не имеют решений. Итак, для решения квадратного неравенства с помощью графика нужно: 1) определить направление ветвей параболы по знаку первого коэффициента квадратичной функции; 2) найти действительные корни соответствующего квадратного уравнения или установить, что их нет; 3) изобразить эскиз графика квадратичной функции, используя точки пересечения (или касания) с осью Ох, если они есть; 4) по графику определить промежутки, на которых функция принимает нужные значения. Устные вопросы и задания | 1. Как называются абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох? 2. Установить, какие из указанных точек расположены на координатной плоскости выше оси абсцисс: (0; 5); (-3; -2); (4; -4); (6; 0); (-10; 1). 3. Установить, какие из указанных точек расположены на координатной плоскости ниже оси абсцисс: (0; -3); (-8; 5); (-7; 0); (6; 4); (-9; -12). 4. Сколько общих точек с осью абсцисс имеет парабола: 1) у = х2 + 2х -I-1; 2) у = х^ - 2х - 3; 3) у = -2х^ + х + 5; 4) у = -4х^ + 4х-1? 5. Установить, имеет ли общие точки с осью Ох парабола: 1) у = х^- Зх - 5; 2) у = х^-х + -г 3) у = -х^ + 2х + 4. 270 Глава Vi. Квадратные неравенства 6. в какой полуплоскости относительно оси Ох должна быть расположена парабола у = ах^ -\-Ьх + с, чтобы не имело решений неравенство: 1) ajc^ + fex-hoO; 2) + бд:-i-с < О? 7. В какой полуплоскости (относительно оси Ох) должна быть расположена парабола у = ах^ + Ьх + с, чтобы любое действительное число было решением неравенства: 1) ах^ + Ьх + с <0\ 2) ах^ + Ьх + с>0? 8. Сформулировать алгоритм решения квадратного неравенства с помощью графика. Вводные упражнения 1. Найти нули функции: 1) у = 2) y = 4 5) 1/ = -х^-4х-4; 3) j/ = Зх^ - 5х; 6) у = х^-Зх-4. 4) 1/ = х^-6х + 9; 2. Определить направление ветвей параболы: 1) у = Зх^ + х-1; 2) у =-2х^ + 6х - 5; 3) у = -1 + 6х^; 4) у = х-2х^. 3. Не используя график квадратичной функции, решить неравенство: 1) (х-7)(х + 8)>0; 2) (х-(-6)(х-4)<0; 3) х2-9<0; 4) х2>25. Упражнения 659. Построить график функции у = х^ + х-6. Определить по графику значения х, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения. Решить квадратное неравенство (660—664). 660. 1) х2-3х-ь2^0; 3) -х2 + Зх-2<0; 661. 1) 2х^ + 7х-4<0; 3) -2х=* + X + 1 ^ 0; 662. 1) х^ - 6х -и 9 > 0; 4) 4х2-20х + 25<0; 663. 1) х2-4х + 6>0; 4) х2-ьЗх + 5<0; 2) х2-Зх-4^0; 4) -х^ -f- Зх -ь 4 > 0. 2) Зх^-5х-2>0; 4) -4х^ + Зх + 1 < 0. 2) х2-14х-(-49^0; 5) -9x2 _ 6л: - 1 < 0; 2) х2 -I- 6х + 10 < 0; 5) 2x2 - Зх-и 7 < 0; 3) 4x2 - 4х-f-1 ^ 0; 6) -2x2-(-6х-4,5^0. 3) х2 + X + 2 > 0; 6) 4х2-8х + 9>0. § 41. Решение квадратного неравенства с помощью графика... 271 664. 1) 5-х^^О; 4) -х^ + 7< 0; 2) -2,1x2 ^ 1о,5х < 0; 3) -3,6x2 _ у 2х < 0; 5) -6x2 - X + 12 > 0; 6) -3x2 _ бх + 45 < 0; 8) -х2 - Зх - 2 > 0. 7) -^х2 + 4,5х-4>0; А 665. (Устно.) Используя график функции г/ = ах^ + Ьх + с (рис. 67), указать, при каких значениях х эта функция принимает положительные значения; отрицательные значения; значение, равное нулю. 666. (Устно.) Решить неравенство: 1)х2-|-10>0; 2) х2 + 9<0; 4) (X + 5)2 -и 3 < 0; 5) -(х -I-1)2 - 2 < 0; 3) (х-1)2+1>0; 6) -(X-2)2-4>0; 7) 0,5х2 + 8^0; 8) \x-j\ +21>0, Решить неравенство (667—669). 667. 1) 4x2-9>0; 2) 9x2-25>0; 3) х2 - Зх -1- 2 > 0; 4) х2 - Зх - 4 < 0; 5) 2x2 - 4х9 ^ 0; gj 3x22х ч-4 ^ 0; 7) |х2-4х^-8; 8) ^х2 + 2х^-3. 3 272 Глава VI. Квадратные неравенства 668. 1) 8x^-8; 2) + 12x^-36; 3) Qx^ + 25< 30x; 4) 16x2 +l>8x; 5) 2x2-x^0; 6) Зх^ + х^О. 669. 1) x(x + l)<2(l-2x-x2); 2) x= + 2 < 3x - 0,125x2; 3) 6x2+ 1^5x-0,25x2; 4) 2x(x-1)<3(x + 1); 5) |x-|x2^x + l; 6)|x2 + |^x-l. 670. Найти все значения x, при которых функция принимает значения, не большие нуля: 1) 1/ = -х2 + 6х-9; 2) j/ = x2-2x+1; 3) у = -1x2 - Зх - 41; 4) у = - 4х -12. 671.1 Показать, что при д>1 решениями неравенства х2-2х + qr>О являются все действительные значения х. 672.1 Найти все значения г, для которых при всех действительных значениях х выполняется неравенство х2-(2 + г)х + 4>0. 673.1 Найти все значения г, для которых при всех действительных значениях х выполняется неравенство (г2-1)х2 + 2(г-1)х + 2>0. Неравенства с параметрами Вы научились изображать эскиз параболы у = ах^ + Ьх + с (по отношению к оси Ох) в зависимости от знаков коэффициента а и дискриминанта D соответствующего квадратного уравнения. А бывает, что нужно строить более точный эскиз параболы, например учитывающий её расположение по отношению к оси Оу? Конечно, бывает. Для решения некоторых задач полезно определять местоположение оси параболы или, например, точки её пересечения с осью Оу. Хорошо бы рассмотреть конкретную задачу, в которой нужно как можно точнее определить положение параболы на координатной плоскости. Тогда предлагаю решить следующую задачу: «При каких значениях параметра а решениями неравенства (а-3)х2-2ах + 3а-6>0 являются все точки отрезка, правый конец которого — отрицательное число?» § 41. Решение квадратного неравенства с помощью графика... 273 Во-первых, сразу замечу, что аФЪ. Иначе пришлось бы иметь дело с неравенством бх-З^О, а его решения — не отрезок, а луч х^0,5. Значит, графиком функции у = (а-3)х^~ 2ах + За - 6 является парабола, пересекающая ось абсцисс в двух точках, а её ветви направлены вниз (иначе решениями исходного неравенства был бы не отрезок, а два луча). Отсюда следует, что первый коэффициент а —3 отрицателен. Раз второй коэффициент трёхчлена имеет вид чётного числа, то положительным должен быть не только дискриминант D, но и — соответствующе- 4 го квадратного уравнения. Отлично рассуждаешь. Но подумай, каким условием за-дачи ты ещё не воспользовался. Твои выводы пока не дают возможности однозначно определить положение параболы по отношению к оси Оу. Если X = О, то I/ = За - 6, т. е. парабола пересечёт ось Оу в точке с ординатой За —6. А если добавить условие, что свободный член За - 6 должен быть отрицательным, тем самым мы опишем уже все условия, которые задают параболу, пер>есекающую ось Ох в двух точках таким образом, что правая точка имеет отрицательную абсциссу (рис. а). Ты не прав, по твоим рассуждениям парабола ЭЮ# у = (а-3)хх^-2ах + 3а-6 ' может иметь и другое расположение (см. рис. б). Ещё чего-то не хватает для определения местоположения параболы, имеющей правую точку пересечения с осью Ох в левой полуплоскости. Но ведь абсцисса точки пересечения оси параболы с осью Ох тоже должна быть отрицательной, т. е. а-3 Молодец. Теперь положение параболы определилось одно-значно (рис. а). Соберём вместе все требования, которые определяют такое её расположение: а — 3 < о. За - 6 < о, а (*) а-3 <0. а) У ^ / \ 7 / / б) у, \ \ / —L 0 \ 0 1 7^^ 274 Глава VI. Квадратные неравенства Можно сразу упростить эту систему. Если а - 3 < О, то из последнего неравенства системы следует, что а>0. Из третьего неравенства вытекает, что а <2. Итак, должны одновременно выполняться неравенства а<3, а>0 и а<2. Это возможно, только когда 0<а<2. Решу неравенство: — > 0. Итак, — = - (а - 3) (За - 6) = - 4 4 ** * =-2а* + 15а- 18. Таким образом, -2а^ + 15а- 18>0, если 1,5<а<6. Значит, решением системы (*) будет промежуток 1,5<а<2. Это ответ к задаче. Вот мы вместе и решили непростую задачу. Для самостоятельной работы предлагаю ещё две задачи с параметрами. • Найдите значения а, при которых решением неравенства (а - 3)х^ + 2зг -I- За - 11 ^ о является единственное число. 2 (Ответ. а = 2-, а = 4.) 3 • Найдите значения а, при которых решениями неравенства 2х^ - 4а^х -I-1 - а^ ^ о являются все числа отрезка, левый конец которого — положительное число. (Ответ. -1<а<-—, ^<а<1.) етод интервалов в этом параграфе вы познакомитесь с универсальным методом решения неравенств, в левой части которых записано произведение (или частное) линейных множителей, а в правой — нуль. С помощью этого метода — метода интервалов — решаются и квадратные неравенства, если удаётся разложить на линейные множители трёхчлен, стоящий в его левой части. Нужно вспомнить: формулы корней квадратного уравнения; формулу разложения квадратного трёхчлена на множители; решение линейных неравенств; изображение точки с заданной координатой на числовой оси; записи числовых промежутков с помощью знаков неравенств; определение знака произведения двух и более множителей; формулы разности квадратов и квадрата суммы (разности) двух чисел; § 42. Метод интервалов 275 определение - 4ас < 0. знака квадратного трёхчлена ах^ -\-Ьх + с, если При решении неравенств часто применяется метод интервалов. Поясним этот метод на примерах. Задача 1. Выяснить, при каких значениях х квадратный трёхчлен х^ — 4х + 3 принимает положительные значения, а при каких — отрицательные. ► Найдём корни уравнения х^-4х + 3 = 0: Xi = l, Х2 = 3. Поэтому x2-4x + 3 = (x-1)(x-3). Точки х = 1 и дс = 3 (рис. 68) разбивают числовую ось на три промежутка: х<1, 1<х<3 и л:>3. Двигаясь вдоль числовой оси справа налево, видим, что на интервале л: > 3 трёхчлен х^ - 4х + 3 = (х - 1)(х - 3) принимает положительные значения, так как в этом случае оба множителя х-1 и х-3 положительны. На следующем интервале 1 < л: < 3 этот трёхчлен принимает отрицательные значения и, таким образом, при переходе через точку х = 3 меняет знак. Это происходит потому, что в произведении (д:-1)(д:-3) при переходе через точку х = 3 первый множитель х-1 не меняет знак, а второй х-3 меняет знак. При переходе через точку х = 1 трёхчлен снова меняет знак, так как в произведении (л:-1)(л:-3) первый множитель д:-1 меняет знак, а второй х-3 не меняет. Итак, при движении по числовой оси справа налево от одного интервала к соседнему знаки произведения (х-1)х X (х - 3) чередуются. Таким образом, задачу о знаке квадратного трёхчлена х^ - 4х -I- 3 можно решить следующим способом. Отмечаем на числовой оси корни уравнения х^ - 4х -I- 3 = 0 — точки Xi = l, Хг = 3. Они разбивают числовую ось (рис. 68) на три интервала. Заметив, что при х > 3 значения трёхчлена х^ - 4х -ь 3 положительны, расставляем его знаки на остальных интервалах в порядке чередования (рис. 69). Из рисунка 69 видно, что х^-4х-(-3>0 при х<1 и х>3, а х^-4х-1-3<0 при 1<х<3. <] —I— —I— Рис. 68 Рис. 69 276 Глава VI. Квадратные неравенства -1 -н 0 1 Рис. 70 Рис. 71 Рассмотренный способ называют методом интервалов. Этот метод используется при решении квадратных и некоторых других неравенств. Например, решая задачу 1, мы практически решили методом интервалов неравенства х^-4х + 3>0 и - 4х -I- 3 < 0. Задача 2. Решить неравенство x®-x<0. ► Разложим многочлен х^ — х на множители: х^-х = х(х^- 1) = х(х- l)(x-l-1). Значит, неравенство можно записать так: (д:-1-1)х(дс-1)<0. Отметим на числовой оси точки -1, 0 и 1. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала (рис. 70): д:<-1, -1<л:<0, 0<х<1 и х>1. При х>1 все множители произведения (x-i-l)x(jc-l) положительны, и поэтому (х-1-1)х(х-1)>0 на интервале х>1. Учитывая смену знака произведения при переходе к соседнему интервалу, найдём для каждого интервала знак произведения (х-1-1)х(х-1) (рис. 71). Таким образом, решениями неравенства являются все значения X из интервгшов х<-1 и 0<х<1. Ответ. х<-1, 0<х<1. < Задача 3. Решить неравенство (х^-9)(х-1-3)(х-2)>0. ► Данное неравенство можно записать в виде (х + 3)2(х-2)(х-3)>0. (1) Так как (х + 3)^>0 при всех x?t-3, то при х;*-3 множества решений неравенства (1) и неравенства (х-2)(х-3)>0 (2) совпадают. Значение х = -3 не является решением неравенства (1), так как при х = -3 левая часть неравенства равна 0. Решая неравенство (2) методом интервалов § 42. Метод интервалов 277 (рис. 72), получаем х<2, х>3. Учитывая, что х = -3 не является решением исходного неравенства, окончательно получаем: Ответ. л:<-3, -3<х<2, х>3. < Задача 4. Решить неравенство х^ + 2х-3 х^-Зх-4 ^0. ► Разложив числитель и знаменатель дроби на множители, получим: (дг + 3)(х -1) ^ Q (3) (х + 1)(х-4) Отметим на числовой оси точки -3; -1; 1; 4, в которых числитель или знаменатель дроби обращается в нуль. Эти точки разбивают числовую прямую на пять интервалов. При д: > 4 все множители числителя и знаменателя дроби положительны, и поэтому дробь положительна. При переходе от одного интервала к следующему дробь меняет знак, поэтому можно расставить знаки дроби так, как это показано на рисунке 73. Значения л: = -3 и дс = 1 удовлетворяют неравенству (3), а при дг = -1 и д: = 4 дробь не имеет смысла. Таким образом, исходное неравенство имеет следующие решения: Ответ. х^-З, -1<х^1, х>4. <] Устные вопросы и задания 1. На какие интервалы разбивают числовую ось: точки х = -1 и х = 5; точки х = -2; х = 0 и х = 3? 2. Сформулировать алгоритм расстановки знаков значений выражения х^+рх + д на интервалах числовой оси, на которые её разбивают числа Xi и Хг — корни уравнения х^+рх + д = 0, если Xi ^ Х2* 3. С какой целью при решении задачи 2 левую часть неравенства разложили на линейные множители? 4. Почему в задаче 3 при х = -3 множества решений неравенств (1) и (2) не совпадают? 5. Почему в задаче 4 значения х = -1 и х = 4 не являются решениями неравенства (3)? 278 Глава VI. Квадратные неравенства Вводные упражнения | 1. Разложить на множители: 1) 5х^-7х; 2) 1^2-49; 3) 4) Зх^ + 2х^-х. 2. При х = -2 определить знак выражения х-1; Jc-3; (х-l)(x-3). 3. Известно, что х принадлежит промежутку (2; 3). Определить знак выражения х-2; jc-3; (х-2)(х-3). 4. Определить знак выражения: 1) X-5 при х>5; при х<5; 2) х + 4 при х>-4; х<-4. Упражнения 674. (Устно.) Показать, что значение х = 5 является решением неравенства: 1) (х-1)(л:-2)>0; 2) (х-н 2)(д:-I-5) > 0; 3) (X-7)(х- 10) > 0; 4) {х + l)(x - 4) > 0. Решить методом интервалов неравенство (675—686). 675. 1) (х + 2)(х-7)>0; 2) (х + 5)(x-8)<0; 3) (х-2) <0; 4) (л:+ 5) х-3± >0. 676. 1) х^ + 5х>0; 4) л:^-1-Зл:<0; 677. 1) д:3-16л:<0; 3) (д;2-1)(л: + 3)<0; 678. 1) (х-5)Нх^-2Ь)>0; 3)(х-3)(л:2-9)<0; 5) (х-8)(х-1)(л:2-1)>0; 2) х^-9х>0; 3) 2х^-х<0; 5) х^ + х-12<0; 6) х2-2х-3>0. 2) 4х^-х>0; 4) (х^-4)(х-5)>0. 2) (х+7)2(х2-49)<0; 4) (х-4)(х2-16)>0; 6) (х-5)(х-1-2)(х2-4)<0. 679. 1) ^^>0; х + о 2) ^^<0; X -I- 3 3) 3 + л: 4) 3,5-ь X ^ Q X - 7 680. 1) (2^jtl)(fL+2) < 0; х-3 2) (^ - 3)(2х + 4) ^ Q х + 1 681. 1) х^ - 2х -ь 3 (х - 2)2 3) х^ - 4 <0; 2) (х + 4)2 2x2 _ Зд. + 1 >0; § 42. Метод интервалов 279 682. 1) (x2-5x + 6)(x2-l)>0; 2) (х + 2)(х2 + д:-12)>0. 683. 1) (л:2-7л:+12)(л:2-д: + 2)^0; 2) (ж2-Зд:_4)(х2-2х-15)<0. 684. 1) - X -12 х-1 >0; 685. 1) ^0; + X - 2 6^ 1) -^ + -> ^ 3) 5) х-2 X х-2’ х2 - 64 5^2 _3jj_2 ^ 2) 2) 2) х-2 - Зх - 4 X* + X - 6 ^0. х^ , 2-х ^ 5-х. х^ + Зх X + 3 4) ii±Ji±i°>0; в) X* -4 х^ -16 2x2 +5Х-12 >0. Уравнения и неравенства с модулями Идея рассмотрения знаков выражения на различных интервалах применяется и при решении уравнений (неравенств), содержащих неизвестное под знаками модулей. Зачем нужно рассматривать знаки выражений, например при решении уравнения |3-2х| = |х-9|? Действительно, все корни уравнения вида |/(x)| = |g(x)| легче получить, рассматривая уравнения /(х)=^(х) и /(х) = -^(х). Так, в предложенном тобой уравнении 3-2х = х-9 или 3-2х = -(х-9), откуда Xj = 4, Х2=-6. Но при решении, например, уравнения |х-l|-2|x-2|-i-3|x-3| = 4 проще воспользоваться раскрытием модулей на интервалах. Покажите, пожалуйста, как решить предложенное Вами уравнение. Мне кажется, что придётся рассматривать очень много вариантов значений х. Хорошо. Ответьте мне на такой вопрос: «При переходе через какую точку меняет знак выражение, стоящее под знаком первого модуля; второго модуля; третьего модуля?» При переходе через точку х = 1 меняется знак у выражения X—1. Выражение, стоящее под вторым модулем, меняет знак при переходе через точку х = 2. Выражение, записанное под третьим знаком модуля, — при переходе через х = 3. ic^'f 280 Глава VI. Квадратные неравенства Верно. Сделаем схему знаков выражений х-\, х-2 и I — 3 на каждом из четырёх образовавшихся интервалов. Теперь ясно, как раскроется каждый модуль на указанных в схеме интервалах. х< 1 1<х<2 2 < X <3 X > 3 х-1 - + -1- -1- х-2 - - 4- + х-3 - - - Каждую из точек, разбивающих числовую ось на интервалы, будем присоединять к одному из соседних интервалов. Таким образом, корни исходного уравнения будут совпадать со всеми решениями четырёх систем: 1) |л:<1, \-(х -1) + 2(х - 2) - 3(x - 3) = 4; 3) |2$л:<3, \х-\-2{х-2)-3(д: - 3) = 4; 2) 4) 1^х<2, х-1 + 2(х-2)~ 3(х - 3) = 4; х>3, х-1-2(л:-2) + 3(л:-3) = 4. Решим уравнения в полученных системах: 1) 4) X >3, X = 5. х<1, 2) |1^х<2, 3) |2<х<3, х = 1; |х-любое число; 1л: = 2; Очевидно, первая система не имеет решений, для второй рюше-нием будет любое число из промежутка [1; 2), для третьей — х = 2, для четвёртой — х=5. Можно записать ответ: 1^х<2 и х = 5. Для самостоятельного решения предлагаю вам следующие уравнения и неравенства: 1) |х| + |х-7|+2|х-4| = 2; 2) |Зх-8|-|Зх-2| = 6; 3) |5х+1|-|2х-4|^3; 4) |х +2|-|х-1| + |х-3|<4. Приведу ответы к этим заданиям: 1) нет решений; 2) х^^; 4) -4<х<0, 2<х<4. чл ^ 8 .^6 3) Упражнения к главе VI 281 ■■ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI Решить неравенство (687—691). 687. 1) (х-5,7)(л:-7,2)>0; 2) (х-3)(л:-4)>0; 3) (х-2,5)(3-л:)<0; 4) (х - 3)(4 -х) < 0; 5) 6) х2>36; 7) 4>х^; 8) ’ 16 688. 1) -9x2+1^0; 4) -Зх2 + х^0; 7) 4x2 + Зх - 1 < 0; 689. 1) 6х2 + х-1>0; 4) х2+10х + 25>0; 690. 1) х2-Зх + 8>0; 4) 3x2 _ 4х + 5 ^ 0; 691. 1) (х-2)(х2-9)>0; х-1 4) (4 - х)(2х +1) >0; 2) -4x2+1^0; 5) -2x2 + 4х + 30 < 0; 8) 2х2 + Зх-2<0. 2) 5х2-9х + 4>0; 5) -х2 + 6х - 9 < 0; 2) х2-5х+10<0; 5) -х2 + 2х + 4 ^ 0; 2) (х2 - 1)(х + 4) < 0; 3) + 3)(^^5) ^ q. 5) 4x^-4;-3^q. 3) -5x2-х^О; 6) -2x2 + 9х - 4 > 0; 3) х2-2х+1^0; 6) -4х2-12х-9<0. 3) 2х2-Зх + 5>0; 6) -4х2 + 7х-5>0. X + 3 6) Решить неравенство (692—696). 692. 1) х2>2-х; 2) х2-5<4х; 4) х2 ^ 10 - Зх; 5) 10х - 12 < 2x2; 693. 1) х2 + 4<х; 2) х2 + 3>2х; 4) -х2-5х^8; 5) Зх2-5>2х; Г7Ч х2 , о^7х. о\ 2х^Зх-10 х-З 3) х + 8<Зх2-9; 6) 3-7х^6х2. 3) -х2 + Зх ^ 4; б) 2x2 + 1 < зд.. 694. 1) |х-|х2^1-х; 3) х(1 - х) > 1,5 - х; 5) х| J - 1| < х2 + X + 1; 695. 1) 696. 1) X- yj2 X + 72 ’ 3x2 _ 5д; _ 8 2х^ - 5х - 3 >0; 2) 2) 2) ix(x+l)^(x-l)2; 4) |х-|^х(х-1); 6) 2х-2,5>х(х-1). >/з ^ 2 . 04 3 3-х2 ТЗ-л:’ 4x2 ^ X -3 5x2 ^дх-2 <0; 3) 3) _1<_3_ х2-1 2 2х-2‘ 2 + 9х - 5x2 ^ 3x2 - 2х -1 0. 697. Катер должен не более чем за 4 ч пройти по течению реки 22,5 км и вернуться обратно. С какой скоростью относительно воды должен идти катер, если скорость течения реки равна 3 км/ч? 282 Глава VI. Квадратные неравенства 698. В одной системе координат построить графики функций и выяснить, при каких х значения одной функции больше (меньше) значений другой, результат проверить, решив соот-ветствуюш;ее неравенство: 1) y = 2л:^ у = 2-гх; 3) у = х^ -Ъх + А, у = 7-3х; 5) у = х^-2х, у = -х^ + х + 5; 2) у = х^~ 2, у = 1-2х; 4) у = Зх^-2х + 5, у = 5х + 3; 6) у = 2х^-Зх + 5, у = х^ + 4х-5. 699. Решить неравенство: 1) + X-2 2) 3) Х^ + ОХ + О X* -2x^-8 X* -2x^-3 >0. 700.1 Найти четыре последовательных целых числа, такие, что куб второго из них больше произведения трёх остальных. ПРАКТИЧЕСКИЕ и ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 1. С палубы корабля (11 м над уровнем моря) бросили под углом к горизонту спасательный круг со скоростью 6 м/с. Высота Л (м) нахождения круга над уровнем моря в зависимости от t (с) времени полёта описывается формулой Л = 11 -I- б< - 5t^. Через какое время круг окажется к воде ближе чем на 3 м? 2. Известно, что средний рост сосен Л (м) в сосняках Московской .9 области находится по формуле Л = , ГЛ6 0,0242t^ + 0,0737t -t- 0,2129 ’ t — возраст сосен, выраженный в десятках лет. Определить возраст сосняка, если средняя высота деревьев в нём не превысила: 1) 13,8 м; 2) 21,1 м. Может ли в Московской области вырасти сосняк высотой не менее: 3) 40 м; 4) 41,5 м? В этой главе вы узнали, что такое: — квадратное неравенство; — метод интервалов; как: — решать квадратное неравенство сведением его к систе- • ме линейных неравенств (в том случае, когда соответствующее квадратное уравнение имеет два корня); — решать квадратное неравенство с помощью графика ква- I дратичной функции; i — решать неравенства методом интервалов. i Практические и прикладные задачи 283 ПРОВЕРЬ СЕБЯ! 1. Решить неравенство: а) 0,04^0; б) 0,01л:2-9>0; в) - Зх - 4 < 0; г) Зх^ - 4х + 8 > 0; д) -х^ + Зх - 5 > 0; е) х^ + 20х + 100 ^ 0. 2. Решить методом интервалов неравенство: х(х-1)(х + 2)5=0. 3. Решить неравенство: а) ^<0; 5-х в) х(2х-5) + 4^х(7-Зх); б) 2х(х-3) +16^3х(5-х); г) —- 3 2 Зх -10 ^ 2х 4. Решить методом интервалов неравенство: х^ -2Х-15 х2 + 6х 5. Решить неравенство: а) 2(х-7)2-18^0; б) (х + 5)2^16. 2x2 + X _ 15 > о, 7х + 30 ^ 0. <0. I 6. Решить систему неравенств I I ^ -Г V. 7. При каких значениях q решениями неравенства х2 + + 4х + д>0 являются все действительные числа? „ т-1 (.X- 5)(^ + 3)® ^ п 8. Решить методом интервалов неравенство —^— ----------—^1). X + “Ь А 9. Для каждого значения а решить неравенство х2-2ах> > 2а- 2а2- 1. ■ '.'Л'с'я 1Н ТЕМЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ 1. Задачи физики, биологии, астрономии, архитектуры и др., приводящие к решению квадратных неравенств. 2. Решение неравенств, содержащих неизвестное под знаком модуля. 3. Неравенства с параметрами. 4. Решение систем неравенств второй степени с одним неизвестным. 5. Исследование квадратичной функции у = ах^ + Ьх + с в зависимости от дискриминанта и коэффициентов а, 6 и с. 284 Глава VI. Квадратные неравенства У|^ражнения для повторения \шщрса алгебры VIII класса 701. Вычислить: .. 27 8 72. ’ 32 *162'69’ 2) 38 91 65 . ’ 147 152 *264’ (-+-1 3^ - 2-^1; 4) f| + |l (8 I2J 58 58 J ' [4 9j 3) 5) 34,17:1,7 + 24 + 0,15|:^-2з|; 2— — Ч— !• ^56 ^56 6) 5,86-3|-^ + ^:4|; ' 6 23 28 7 7) 12i.3f-4A.4i 3 7 8) 5i.5i + 5^.3i 10—:1— 13 26 702. Решить уравнение: 1) (x-9)(2-x) = 0; 4) Зх^ + 5л: = 0; 7) = 2) (д: + 4)(3-х) = 0; 5) 1-4л:2 = 0; 8) 3^ = 0. 3) 2x2-х = 0; 6) 9х2-4 = 0; 703. 704. 705. 706. Доказать, что если х>0,5 и г/>4, то: 1) 4х + 3у>14; 2) 2хг/-3>1; 3)х2у>1; 4)х2 + 1/2>16. (Устно.) Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству: 1) п^-7; 2) л<-3,6; 3) л^4,8; 4) л<-5,6. (Устно.) Найти наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству: 1) л>-12; 2) л ^-5,2; 3) л^8,1; 4) л^-8,1. Решить неравенство: 1) х + 4>3-2х; 3) 2(0,4 + X)-2,8^ 2,3+ 3х; 5) ^ + f>7; 2) Ыу + 2)>8-(2-Зу); 4) 7(х + 5) + 10>17; fl\ ^ ^ ~ ^ ^ К 707. Какие целые значения может принимать х, если: 1) 0<х<7,2; 3) 4 2л: - 6; 3) |12х - 3(х + 2) ^ 7х - 5, 4) |l3x + 6 ^ (х - 5) • 2 + 3; 7(х + 1) - 2х > 9 - 4х, 3(5-2х)-1>4-5х; 4х - 5 Зх - 8 < 7 6-х -1< 4 ’ 14Х-3 710. Найти целые числа, являющиеся решениями системы неравенств: 1) 2х-5 „^3-х --:-^ ^ —“—1 2) 5х + 1 ^ 4 - X. Z ^ . 1 10х-1 _ 2-5х ^ 5 - Зх 6 2х + 1 ^ 3 + 7х 5 + 4х ----- ^ ----- — -----. 711. 712. Решить уравнение: 1) |х-2| = 3,4; 2) |3-х| = 5,1; 4)|1-2х| = 7; 5) |Зх + 2| = 5; Решить неравенство: 1) |х-2|^5,4; 2) 1х-2|^5,4; 4) |Зх-1-2|^5; 5) |2х-ьЗ|<5; 3) 12х + 1| = 5; 6) |7х-3| = 3. 3) |2-х|<5,4; 6) |3х-2,8|^3. 713. Найти погрешность приближения: 1) числа 0,2781 числом 0,278; 2) числа —2,154 числом —2,15; 7 1 3) числа числом 18 3 4) числа — числом 0,272. 714. Доказать, что число 3,5 есть приближённое значение числа 3,5478 с точностью до 0,05. 286 Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 715. Найти относительную погрешность приближения числа — числом 0,777. 716. Представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной: 1)0,(7); 2) 1,(3); 3) 2,(31); 4) 0,(52); 5) 1,1(3); 6) 2,3(7). 717. Сравнить числа: 1)7^ и 5; 2)3,1 и VlO; 3) 70,0361 и 0,19; 4) 7^ и 2,7. 718. При каких значениях а верно равенство: 1) 7а + 1 = 2; 2) 73 - 2а = 5; 3) 2^а -2 = 1; 4) |77а -4=0? V О о 719. Вычислить: 1) (у/2 - 2)(у/2 + 2); 2) (ЗТб-I-1)(1 - зТб). 720. Разложить на множители по образцу -7 = (а- yj7)(a + 77): 1)а==-13; 2)15-62; 3) x^-SO; 4)if-x2. 41 721. Вычислить: 1) TIo-Tieo; 2) 3) Тз-ТП-Тзэ; 4) 77-7^-ТЗ; 5) (3712-ь27з)2; 6) (272 - з7^)2. 722. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если высота его 71^ см, ширина 7^ см, длина ^Дo см. 723. Площадь одного квадрата равна 7,68 м^, площадь другого 300 дм2. Во сколько раз сторона первого квадрата больше стороны второго квадрата? 724. Вынести множитель из-под знака корня: 1) 716xi/2, где х>0, у<0; 2) yj45x^y^, где х<0, у<0. 725. Упростить: 1) у/З+ ^y[l2; 2) -|7^ + 4То^^ - 272. 726. Вычислить^___ 1) ^ + ^l^ + iyl^-yl^ + 3yJl^):2yfE; 2) 75 + 27б • 75 - 2Тб - 727. Упростить выражение: 1)2718-1-378 + 37^-7^; 2) 37^-745 + 3718+ 7^-780; 3) 57а - зТ4а + 27^, где а>0; 4) 7^ + ^736л:® - ^7^> где х>0. Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 287 728. Упростить выражение: 1) 3) У-^ а _ J& Ь а у + х аЪ . а — Ь’ (X + yf. 2x2 ’ 2) а — 1 _1_ а +1 4) (а + 6) i-i •(а2-1); -&2 Решить уравнение (729—731). 729. 1) 3(х+1)(х + 2)-(Зх-4)(х + 2) = 36; 2) 2(3х- 1)(2х + 5) - 6(2х - 1)(х + 2) = 48; 3) 5у -4 _ 16у + 1. 5) £±<^ = 11; 4) 6) 19 + Зх 1-9х 8 5 2х - (3 - х) о 3 2 ~^8' = 0; 730. I)x2 = 7; 2)х2=11; 4)х2 + 5х = 0; 5) х2 = 8х; 731. 1) 1,5х-4х2 = б,3х-х2; 3) Зх(х + 2) = 2х(х-2); /2-5 3) х2 + 6х = 0; 6) х2=12х. 2) 11у-15 = (у + 5Ну-3); х-3. 4) 1(3x2 + !)- 4 о 12 5) 15-j/2 _ у2_4 5 3 ’ 6) 2x2-1 1 + 1,5x2 732. Прямоугольник, одна сторона которого на 2 см больше другой, имеет площадь, равную площади квадрата со стороной, на 4 см меньшей периметра прямоугольника. Найти стороны прямоугольника. 733. Прямоугольник, одна сторона которого на 8 см меньше стороны квадрата, а другая вдвое больше стороны квадрата, имеет площадь, равную площади этого квадрата. Найти стороны прямоугольника. Решить уравнение (734—737). 734. 1) х2 + 6х-I-5 = 0; 2) х2 + 3,5х-2 = 0; 4) 2х2 + Зх-2 = 0; 5) 4х2-х-14 = 0; 735. 1) 2х2 + х-3 = 0; 2) 20-I-8х-х2 = 0; 3) 2х2-9х = 35; 4) (х-1-5)(х-3) = 2х-7; 5) 2(х-2)(х-1-2) = (х-1-1,5)2 + 4 6) (х-3)(х-2) = 7х- 1. 3) х2-1,8х-3,6 = 0; 6) х2 - X3,5 = 0. 736. 1) = 3) = 2) £х2-х + £ = 0; 288 Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 737, 1) x2 + 3x + 70 = 0; 3) +20л:+ 100 = 0; 5) л:(л:-15) = 3(108-5х); 6) (л:-3)2 + (х + 4)2-(л:-5)2=17х + 24; 2) л:^-12л:+ 11 = 0; 4) х2+18х-208 = 0; Ъх^+9 4л:^-9 д. 8) ^(^^-3)-11 = -д. 738. Найти коэффициенты р w. q, если известно, что числа 10 и -15 являются корнями уравнения л:^ + рл: + д = 0, 739. Записать квадратное уравнение, корни которого отличались бы от корней данного уравнения только знаками: 1) лг^-8лс+15 = 0; 2) л:^ + 5лс + с = 0. Решить уравнение (740—743). 740. 1) 4л:"-17л;2 + 4 = 0; 3) х^-7л:2+12 = 0; 741. 1) x* + x^-2 = Q-, 3) л:^ + Зх^ + 2 = 0; 2) 4л:"-37л:2 + 9 = 0; 4) л:"-11л:2 + 18 = 0. 2) л:“'-л:2-12 = 0; 4) л:^ + 5л:2 + 6 = 0. 742. 1) х + 2 = 4 + 3) 1 + л:-1’ _________ бд: + 2 . д: + 1 (jc + 1)^ ’ 5х 5) Зл: 1 _ 4 . л: + 2 л:-2 л:2-4’ 743. 1) 3)3 + х-3 х^-5х + 6 2-х’ 5 2 . л: + 2 2) л: + 1 = 3 + 4) 2+ ^ 6) Зл:-1’ 12-д: х + 2 (х +2)^’ 2х 1 6 2) д:-3 3 х + 3 х^-9 3 1-д: 4) 5 + х-3 х^-7х + 12 2 17 х-4’ х-2 х+3 744. Разложить на множители квадратный трёхчлен: 1) л:2-12х + 35; 2)л:2-5х-36; 3) 2д:2 + х-3; 4) 2л:2-Зх-5; 5) -5х^+11д:-2; 7) -|х* + 8л: + 27; 745. Сократить дробь: - 4 8) ^x^ + x-10. 5 1) 4) а + 2 ’ 2а^ - 5а - 3. 4а^ - 6а - 4 ’ 2) 5) а + 2 а^-7а-18 — 2а^ + За + 2_ 2а^ + 5а + 2 ’ 3) 6) 6) -4л:^- Юл:+ 6; а^ + 7а + 12. а^ + 6а + 8 ’ -5а^ + 13а + 6 5а^ - 8а - 4 Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 289 746. Разложить на множители: 1) а*-Ь* + Ь^-а^; 3) т^ + т^- т^- т*; 5) 16х^ + 8ху-3у^; 7) Ь-*-1362+ 36; 2) т^п-п +тп^ — т; 4) х*-х^-х + х^; 6) 4 + а‘* - 5а2; 8) Зх^ ~6хт-9т^. 747. 748. 749. 750. 751. 752. 753. 754. Для приготовления бронзы берётся 17 частей меди, 2 части цинка и одна часть олова. Сколько нужно взять каждого металла отдельно, чтобы получить 400 кг бронзы? Инспектор рыбнадзора, исследуя свой участок, проплыл на катере по течению реки за 4 ч расстояние, в 3 раза боль-niee, чем за 2 ч против течения реки. Какое расстояние преодолел инспектор, если скорость течения реки 3 км/ч? Бригада формовщиков должна была в определённый срок изготовить 48 пресс-форм для отливки деталей. Предложенная бригадой новая технология формовки позволила изготовлять на 4 пресс-формы больше в месяц, поэтому всё задание они выполнили за месяц до срока. Сколько пресс-форм выпускала бригада за месяц? С одного участка собрали 450 т картофеля, а с другого, площадь которого на 5 га меньше, 400 т. Определить урожайность картофеля с каждого участка, если на втором участке она была на 2 т выше, чем на первом. Числитель некоторой обыкновенной дроби на 11 больше знаменателя. Если к числителю дроби прибавить 5, а к знаменателю 12, то получится дробь, втрое меньшая исходной. Найти эту дробь. Двумя комбайнами можно убрать урожай с некоторого поля за 12 дней. Если бы уборку производили на каждом комбайне отдельно, то первому потребовалось бы на 10 дней больше, чем второму. За сколько дней на каждом из комбайнов отдельно можно выполнить эту работу? Две бригады монтажников затратили на сборку агрегата б ч 40 мин. Сколько времени потребуется на сборку такого же агрегата каждой бригаде отдельно, если одной из них потребуется на эту работу на 3 ч больше, чем другой? Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению реки за то же время, которое ему понадобилось для прохождения 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч? 290 Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 755. 756. 757. 758. 759. Построить графики функций и найти координаты точек их пересечения: I) у = 2х VI у = Ъ\ 2) у = х-1 и у = 0; 3) у = 3х и у = -2х + 1; 4) у = 2х-1 и у = -х + 3. Дана функция у = 2,5х- 5. Найти: 1) значение х, при котором значение функции равно нулю; 2) координаты точек пересечения графика функции с осями координат. Дана функция у = -Зх + 1. 1) Вычислить: у(0), j/(l), у(-1), у(-4). 2) Найти значения х, при которых 1/(л:)=1, у(х) = -1, у(х) = -3. 3) Найти значения х, при которых i/(x)>0, у(х)<0, у{х) = 0. Найти координаты вершины параболы и точки пересечения параболы с осями координат: 1)у = {х-4Г + 4; 2) y = (x + 4f-4; 4) у = х^-х; 5) у = х^-4х + 3; 7) у = 2х^-Зх-2; 8) у = 3 + 5х + 2х\ Построить график функции: 1) у = х’‘ + 6х + 9; 3) у = х^~ 12л:+ 4; 5) у = х^ + х-. 3) у = х^ + х; 6) у = х^ + 6х + 8\ 2) У = х~2' 4) у = х^ + Зх - 1; 7) у = (л:-2)(л: + 5); 6) у = х^-х; 8) !/ = U + 5 (х + 4). 760. 761. 762. (Устно.) Используя график функции у = ах^ + Ьх + с (рис. 74), установить её свойства. Построить график функции и установить её свойства: 1) у = -2х^-8х-8; 2) у = 3х^+12х+16; 3) у = 2х^ - 12х +19; 4) у = 3 + 2х- х^; 5) у = -4х^-4х\ 6) у = \2х-4х‘^-9. На одной координатной плоскости построить графики функций: а) У1 -4 / \ \ \. /-3 0 V ^ 1) У = ^х^ у = ~-х^\ V 3 и у = 2) у^Зх"^ и у = Зх^-2; 3) У = ~х^ и y = -^(x + 3f-. 4) у = 2х^ и у = 2(х-ЪУ + 3. Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 291 Решить неравенство (763—767). 763. 1) (х - 5)(д: + 3) > 0; 2) (х + 15)(x + 4) < 0; 3) (д:-7)(л: +11)^0; 4) (л: - 12)(x - 13) ^ 0. 764. 1)д:2 + 3х>0; 2) х^-х^<0; 3)x"*-16^0; 4) х2-3>0. 765. 1) х2-8х + 7>0; 4) + 9,5л: - 1 < 0; 766. 1) л:2-6х + 9>0; 4) |х2 + 4л:+12^0; 767. 1) л:2-10д: + 30<0; 4) 2х2-4х + 13>0; 2) л;2 + Зл:-54<0; 3) |х2 + 0,5х-1 >0; 5) -л:2 - Зл: + 4 > 0; 6) -Зл:" + 17л: - 2 ^ 0. 2) х^ + 24л: +144^0; 3) ^ л:^ - 4л: + 8 < 0; 5) 4х^-4д: + 1 >0; 6) 5х^ + 2х + -< 0. 5 2)-л:2 + л:-1<0; 3) л:" + 4л: + 5<0; 5) 4л:^ - 9л: + 7 < 0; 6) -11+8л:-2х2<0. Решить неравенство методом интервалов (768—770). 768. 1) (х + 3)(х-4)>0; 2) 3) (х-2,3)(х + 3,7)<0; 769. 1) (х + 2)(х-1)^0; 3) (х + 2)(х- 1)2>0; 770. 1) |^>0; 3) (£лШ^±2)<0; 4) (х + 0,7) < 0; 4) (х + 2)(х-1)^0. 2) (х + 2)(х-1)=*<0; 4) (2-х)(х + Зх^)^0. 2) Q>^ + ^<0; х-2 2х (3 + х)(1 - X) <0. 771. Делая утреннюю зарядку, мальчик ежедневно пробегал от дома до леса 600 м. До леса он бежал одну треть пути со скоростью 2 м/с, а оставшееся расстояние — со скоростью 3 м/с. Возвращаясь к дому, первую треть пути он пробегал со скоростью 3 м/с, а оставшееся расстояние — со скоростью 2 м/с. На какой пробег мальчик тратил времени больше: от дома до леса или от леса до дома? 17 772. На руднике за день добыли 2000 т руды, содержащей — же- 25 леза от общей массы руды. На соседнем руднике добыли за пер- О вую половину дня 1200 т руды, содержащей - железа, а за 5 к вторую половину дня 1000 т руды, содержащей — железа. На О каком руднике добыли за день больше чистого железа? 292 Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 773. 774. 775. 776. 777. 778. На спортивных соревнованиях семиклассник пробежал дистанцию 60 м за 9 с, а десятиклассник — дистанцию 100 м за 14,8 с. Считая, что ученики бежали с постоянными скоростями, выяснить, кто бежал быстрее. Доказать, что: 1) если {у-ЗУ>{3 + у)(у-3), то у<3; 2) если (За -I- ЬУ < (За - 6)^, то аЬ < 0. Если X < зать. а + Ь У< а + с 2 < Ь + с то х + у + 2<а + Ь + с. Дока- 779 Высота прямоугольного параллелепипеда больше 15 см, ширина больше 2 см, а длина больше 0,3 м. Доказать, что его объём больше 0,9 дм®. Масштаб физической карты России в учебнике географии 1 : 20 000 000. На карте расстояние: 1) от Москвы до Орла больше 2 см; 2) от Москвы до Рязани меньше 2 см. Каковы эти расстояния в действительности? Груз массой не более 1,6 кг подняли на высоту 8-го этажа (не большую 25 м). Какую при этом совершили работу? Доказать, что на нагревание не менее 2 кг воды в латунном стакане массой не меньше 1 кг от 20 до 70 °С потребуется не менее 438 кДж теплоты. Удельная теплоёмкость воды 4,19 кДж/(кг-°С), латуни 0,38 кДж/(кг-°С). 780 781. Решить систему неравенств Доказать, что при любых а и Ь + 4Ь^ - 2а- 12Ь + 10^0. выполняется неравенство 1) 3) 4) 5) 5х - 4^ X -3, -2х -I-11 > л: + 1, 12 - Зх > 4 - 5х; 2) Зх < 5 - бх, -Зх + 1 ^ 4х - 1, 7 - 2х > 2х + 9; Зх - 2 > 2(х - 3) -н 5х, 2х® (5 + х)2 > 3(х - 5)(х -t- 5); 8х(х + 2)(х - 2) < (2х - 3)(4х® + 6х -н 9) - 5х, ±х + 2\>-3; fix + 2|2-ixl- 3-ix] U Д 4 J 4 J 2 X-X + 3 -j(x + 3) > 2х(х + 3), Зх + 4 Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 293 6) Зд:^ (2-х) + ^(х + 1) > 3(3 - х)(3 + х)-1, iy 2 - (2ж + 3)2 + (3 + 2jc)(2x - 3) < -2|(9 + х) + ^. 782. Одна сторона прямоугольника больше другой на 3 см. Какой может быть длина меньшей стороны прямоугольника, если периметр его больше 14 см, но меньше 18 см? 783. За 1 ч улитка проползла меньше 5 м, а за следуюп^ие 45 мин, двигаясь с той же скоростью, не менее 3 м. Какова скорость улитки? 784. Если часы в Варшаве (первый часовой пояс) показывают время между 10 и 11 часами, то какое время показывают в этот момент часы во Владивостоке (девятый часовой пояс)? 785. Решить неравенство: 1) |2x-i-3l^7; 2) \5 - Зх\> 4. 786. Упростить выражение: 1) 0-^40 - 2a^J— + , где а>0; \ d о 2) - 6abyjab^ + 0,4Ь^, где а^О, Ь^О. 787. Вычислить 1) + ^ + ^/з^^] ; 2) (^13 -ь 5yj4j + ; 3) ^252 - 242 (21,52-14,52’ 788. Упростить выражение: 4) 232 - 222 V132 -122 1) 2) 3) 4) а + 1 •у/а -1 - ^Ja + l 1 1 yja + ,Ja + l yja -yJa + 1 1 Ja + 1 ■v/l - a2 -1 a +1 , 1 a S-nS a +1 294 Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 789. Упростить выражение: 1) 3) а + Ь . f « 1 ] ; 2) Ь Ьс 4&2 а + 2Ь’ а-2Ъ ' — 4Ь^ Ь-с Ь^—с^ - 2Ьс + ’ - 2аЬ 2аЬ - 4Ь^ а + 2Ь 4) 2аЬ - 9Ь^ а-ЗЬ а} + ЗаЬ 790. 791. 792. 793. Доказать, что при любом у положительно значение выражения: 1) (у-3)(у-1)-ь5; 2) {у-А)(у-&) + г. Найти множество значений k, при которых уравнение 4j/^ - Зу-ь ft = О не имеет действительных корней. При каких значениях k число -2 является корнем уравнения {k-2)x‘^-lx-2k^ = 01 Решить уравнение: 1) Зл:2 + 8х-1-5 = 0; 2) Ъх^ + 4х-\2 = 0\ 794. 3) 6 X _ 5 . 4) 5 , Зх-3 2x^+3, 4x^-1 2х-1 2х + 1’ х-1^ 2х + 2~ х^-1' 5) 30 13 7-H18JC. 6) 2 1 2л: -1 х^-\ + Х + 1 JC® -1 ’ х^ - х + 1 л: + 1 ' х^ + 1 Упростить выражение: 1) 2х^ + х \8х 9 9 10 . 2х-9 4х^ -1 ' 2х^ -11л:+ 5 5 + 9л:-2л:2 х-5’ 2) 2у + 13, \ 2у 8 3 2у-5 ■ 2у^+Зу-20 у^-16 2у^ -\Зу + 20 795. 796. 797. Из пункта А выходит пешеход со скоростью 4 км/ч, через 45 мин из пункта А в том же направлении выезжает велосипедист со скоростью 8 км/ч. На каком расстоянии от пункта А велосипедист догонит пешехода? С туристской базы вышла группа лыжников. Через 20 мин вслед за ней вышел опоздавший лыжник, который после 40 мин ходьбы догнал группу. С какой скоростью двигался опоздавший лыжник, если его скорость была больше скорости группы на 5 км/ч? Из пункта А в пункт В выезжает грузовой автомобиль со скоростью 50 км/ч. Через 24 мин вслед за ним выезжает автобус со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между пунктами А и В, если грузовой автомобиль и автобус прибыли в пункт В одновременно? Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 295 798. 799. 800 801 802 Скорость моторной лодки по течению реки равна 23 км/ч, а против течения 17 км/ч. Найти скорость течения и собственную скорость лодки. Ученик за 3 блокнота и 2 тетради уплатил 400 р., другой ученик за 2 таких же блокнота и 4 тетради уплатил 320 р. Сколько стоил блокнот и сколько стоила тетрадь? Для отправки груза было подано несколько вагонов. Если грузить по 15,5 т в вагон, то 4 т груза останутся непогруженными; если же грузить по 16,5 т в вагон, то для полной загрузки не хватит 8 т груза. Сколько было подано вагонов и сколько было тонн груза? В техникуме для проведения вступительного экзамена было заготовлено 750 листов бумаги. Но так как поступающих оказалось на 45 человек больше, чем предполагалось, то, хотя и добавили ещё 30 листов, каждый получил на один лист меньше. Сколько листов было заготовлено на каждого поступающего первоначально? При испытании двух двигателей было установлено, что расход бензина при работе первого двигателя составил 450 г, а при работе второго — 288 г, причём второй двигатель работал на 3 ч меньше и расходовал бензина в час на 6 г меньше. Сколько граммов бензина расходует в час каждый двигатель? Индусская задача «Стая обезьян»: На две партии разбившись. Забавлялись обезьяны. Часть восьмая их в квадрате В роще весело резвилась. Криком радости двенадцать Воздух свежий оглашали. Вместе сколько, ты мне скажешь. Обезьян там было в стае? 804. Решить неравенство: 1) (X + 2Y < (2х - 3)2 - 8(х - 5); 2) - X < - (4 - л:)2; 9 3 д. (2х-3)(х + 2) (х-7) (x-6f ^ 12 3 4’ А\ . (3-1-5х)2 ^ 8-2х (х + ЗКх + 7) ^■^25 2 805. Площадь трапеции больше 19,22 см^. Средняя линия её вдвое больше высоты. Найти среднюю линию и высоту трапеции. 803, 296 Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 806. 807. 808. С самолёта, находящегося на высоте, большей 320 м, геологам был сброшен груз. За какое время груз долетит до земли? Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с^. Сторона параллелограмма на 2 см больше высоты, опущенной на эту сторону. Найти длину этой стороны, если площадь параллелограмма больше 15 см^. Решить методом интервалов неравенство: 1) (х -f- 2)(х -I- 5)(л: - 1)(лг -I- 4) > 0; 2) (X + 1)(3х^ -t- 2)(х - 2)(х + 7)<0; 1-Зх о \ Зх — 1 X — 3 л о)-------1----^2; Зх + 1 л: + 3 4) 12 1 + Зх Зх — 1 1 - 9х^ ’ 809. Найти коэффициенты р w. q квадратного трёхчлена x^+px + q, если этот трёхчлен при х = 0 принимает значение, равное -14, а при х = -2 принимает значение -20. 810. Найти р и q, если парабола y = x^+px + q: 1) пересекает ось абсцисс в точках x = -i и 2) касается оси абсцисс в точке х = -7; ""“3’ 811. 812. 3) пересекает ось абсцисс в точке х = 2 и ось ординат в точке у = -1. Записать уравнение параболы, если известно, что она пересекает ось абсцисс в точке 5, а её вершиной является точ- ка 2|; loi Зеркало отражателя телескопа (рефлектора) имеет в осевом сечении вид параболы (рис. 75). Написать уравнение этой параболы. у1 h 0 1 ^ X Рис. 75 813. Найти коэффициенты квадратичной функции у = ах^ + Ьх + с, если её график: 1) проходит через точки А(-1; 0), В(3; 0) и С(0; -6); 2) проходит через точки К(-2; 0), L(l; 0) и М(0; 2). 814.1 Доказать, что для любых неотрицательных чисел а к Ь справедливо неравенство: 1) а^ + ЬЫ(а + ЬУ; 2) a^ + b^^(a + bf; 3) + Ь^> а^Ь + аЬ^; 4) (а+ 6)^ <4 (а®+ 5^). Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 297 815.1 Доказать, что для любых положительных чисел а, Ь, с справедливо неравенство: 1) ^ + - + ->3; 2) Ъ с а 3) а® + 6® + с® V, а + Ь + с. 4) а2 + ь^+с^' 3 ’ Ь с Ь ^3 Ъ + с с + а а + Ь 2 816.1 Построить график функции: 1) у = 2) у = \х-1[, 3) y = yjx^ -бх + 9; 4) у = - 1)^ + + 1)2; 5) у = ^х^ - 4л:-1-4 -I-1л:-1-21. 817. Найти действительные корни уравнения: 1) х^-\х\-2 = 0; 2) х^-4:\х\ + 3 = 0; 3)\х^-х\ = 2; 4) |х=*-1-д:| = 1; 5) |д:2-2| = 2; 6) |x2-26| = 10. 818.1 Доказать, что квадратное уравнение ах^ + Ьх + с = 0 имеет два действительных корня разных знаков при любом Ь, если ас < 0. 819.1 Корни дГл и Х2 квадратного уравнения х^-2гх-7г^ = 0 удовлетворяют условию xj + X2=18. Найти г. 820.1 Пусть Xj и ^2 — корни уравнения х^-5х + 3 = 0. Составить ква- дратное уравнение с корнями х{ и х\, не решая данное. 821.1 Не вычисляя корни и Хз квадратного уравнения 2х^ + + 7х-8 = 0, найти: 1) + Xi Х2 2) Х2 Xi 3) Х*Х2 + Х2Х1; 4) Xi + xj. 822.1 Найти все такие значения г, при которых квадратное уравнение х^-I-(г-1)х - 2(г-1) = о имеет действительные корни Xi и Хз, удовлетворяющие условию |xi-X2| = 3. 823.1 Доказать, что если коэффициенты квадратных уравнений х^ + PiX -I- = о и х^+ Р2Х -ь = о связаны равенством PiP2 = ^(Qi + Яг)> то по крайней мере одно из этих уравнений имеет действительные корни. 824. Квадратичная функция у = х’^ + рх + q принимает при х = 1 наименьшее значение, равное -4. Найти i/(0). 825. Квадратичная функция у = -х^ + Ьх + с принимает при х=1 наибольшее значение, равное -4. Найти у(-1). 298 Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 826. Найти коэффициенты а, Ь, с квадратичной функции у = ах^ + Ьх + с, если она при х=1 принимает наибольшее значение, равное 3, а i/(0) = 0. 827.1 Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью По = 6 м/с. Определить, через сколько секунд после начала движения тело достигает наибольшей высоты, если высоту можно найти по формуле h = Vot - (ускорение свободного падения считать равным 10 м/с^). 828.1 Разложить многочлен на множители: 1) а"-2а2-3; 2) а*-5а^ + 4. 829.1 Сократить дробь: а^+аЬ- 6Ь2 1) -аЬ- 2Ь^ ’ 2) 2д} + ЬаЬ - ЗЬ^ . 4о^ + 4аЬ - ЗЬ^ ’ 3) 8а^ + 27 2а^ +аЬ-ЗЬ^' 830.1 Найти скорость и длину поезда, зная, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя за 7 с и с той же скоростью за 25 с мимо платформы длиной 378 м. 831.1 Пассажир метро спускается вниз по движущемуся эскгшато-ру за 24 с. Если пассажир идёт с той же скоростью, но по неподвижному эскгшатору, то он спускается за 42 с. За сколько секунд он спустится, стоя на ступеньке движущегося эскалатора? 832.1 Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с постоянными скоростями в одном направлении, оказываются рядом через каждые 56 мин. При движении с теми же скоростями в противоположных направлениях автомобили встречаются через каждые 8 мин. За какое время проедет всю кольцевую трассу каждый автомобиль? 833.1 Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке; скорость каждого постоянна, и на пробег всей дорожки один тратит на 5 с меньше другого. Если они начнут пробег с общего старта одновременно и в одном направлении, то окажутся рядом через 30 с. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях? 834.1 Пешеход и велосипедист отправляются из пункта А в пункт В одновременно. Прибыв в пункт В, велосипедист поворачивает обратно и встречает пешехода через 20 мин после начала движения. Не останавливаясь, велосипедист доезжает до Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 299 пункта А, поворачивает обратно и догоняет пешехода через 10 мин после первой встречи. За какое время пешеход пройдёт путь от А до В? 835.1 Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист, и одновременно навстречу ему из пункта В в пункт А выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в пункт В через 2 ч после встречи с велосипедистом, а велосипедист прибыл в пункт А через 4,5 ч после встречи с мотоциклистом. Сколько часов были в пути мотоциклист и велосипедист? 836. Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,1: 1) 48,3+17,83-16,94 8604-48.4 8,367 ^ 7651 3) 5,31-(3,57-4,28-7,04); 4) 1,34 375 -1-37,6 837. Вычислить на микрокалькуляторе приближённо с точностью до 0,01: 1) 34,3^ - 23,12 -I-17,82; 2) 7,622 -i- 3,562 _ g 932. 3) 0,54 0,32 4) 1 1 + 1 0,87’ 0,17 0,38 ' 0,87' 838, Вычислить на микрокалькуляторе приближённо с точностью до 0,01: 1) 27,3-1,28-(-(43,4-39,8)-2,34; 2) (257 - 189): 2,31 - (354 - 487): 3,14. Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,1 (839— 842). 839. 1) ^ДO-^73; 2) 77130-78; 3) 31,4 + yj820 - 7104; 4) 87,3-7563-1-7231 840. 1) ^2 + yjs + yjE; 2) ^30 - 72 -b 7з; 3) yjsf^ + + -Js; 4) 7273-t-475. 841. 1) Vl4,22 + 89,32. 2) 730,22 _ 4 732. 123 251. 426 43 о) •jn 7^’ 4) 75 73* 842 1) V^-7i3. 2) 7^-^Дз >/5 + Тб ’ 7^-7з' 300 Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 843. С помощью микрокалькулятора найти корни уравнения: 1) - 62х - 7503 = 0; 2) + 181х + 5412 = 0; 3) 9,7x4-21,42 = 0; 4) х^-ь 1,5х-62,85 = 0. 844.1 С помощью микрокалькулятора решить уравнение: 1) х“ - 14,9x2 + 50,8369 = 0; 2) х“ - 8,01x2 + j2,96 = 0. СТАРИННЫЕ ЗАДАЧИ 845. (Задача Пифагора) Доказать, что сумма любого числа последовательных нечётных чисел, начиная с единицы, есть точный квадрат. 846. (Задача Архимеда) Доказать равенство l2-t-22-i-32-i-...-|-п2 = = \п{п + 1)(2п + 1). 6 847. (Задача Диофанта) Катет прямоугольного треугольника равен кубу числа, другой катет равен разности между кубом числа и самим числом, а гипотенуза равна сумме куба числа и самого числа. Найти это число. (Задача Диофанта) Требуется число 100 разделить два раза так, чтобы большая его часть от первого деления была вдвое более меньшей части от второго деления и чтобы большая часть от второго деления была втрое более меньшей части от первого деления. (Индийская задача) Показать, что 848. 849. 850. 851. 852. 853. = V2-Н х/з + Vs. (Задача О. Хайяма) Решить уравнение ^-f-2 • i = 1^. х2 X 4 (Задача ал-Караджи) Найти число, которое от умножения на S + yJE даёт 1. (Задача Л. Эйлера) Две крестьянки принесли на рынок 100 яиц, одна больше, нежели другая; обе выручили одинаковые суммы. Первая сказала второй: «Будь у меня твои яйца, я выручила бы 15 крейцеров*. Вторая ответила: 2 «А будь твои яйца у меня, я выручила бы за них 6- крейцера*. Сколько яиц было у каждой? (Задача Э. Безу) Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он потерял столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается: за какую сумму он её купил? Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса 301 дачи повышенной трудности 854. Доказать, что если из трёхзначного числа вычесть трёхзначное число, записанное теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, то модуль полученной разности будет делиться на 9 и 11. 855. Если между цифрами двузначного числа х вписать это же число, то полученное четырёхзначное число будет в 66 раз больше первоначального двузначного. Найти х. 856. Доказать, что сумма 333®*® + 555®®® делится на 37. 857. Доказать, что сумма 11“ + 12^®-t-13*® делится на 10. 858. Какой цифрой оканчивается степень 1982*®®®? 859. Сколькими нулями оканчивается число, полученное при перемножении всех натургильных чисел от 1 до 100? 860. Доказать, что сумма 10*®+ 10*^-74 делится на 9. 861. Доказать, что значение выражения п®-(-11л делится на 6 при любом натуральном п. 862. Доказать, что значение выражения п® + Зп® + 5п -1- 3 делится на 3 при любом натуральном п. 863. Доказать, что при любом целом п значение выражения л® - п делится на 30. 864. Доказать, что при любом целом п значение выражения л®-5л®-1-4п делится на 120. 865. Найти пятизначное число, если известно, что при умножении этого числа на 9 получается пятизначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. 866. Доказать, что разность между трёхзначным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, не может равняться квадрату натурального числа. 867. Доказать, что если х и у — целые числа, такие, что число Зх + 8у делится на 17, то 35х + 65у также делится на 17. 868. Доказать, что сумма квадратов двух нечётных чисел не может быть квадратом натурального числа. 869. Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является квадратом натурального числа. 302 Задачи для внеклассной работы 870. 871. 872. 873. 874. 875. 876. 877. 878. Доказать, что ни при каком целом п значение выражения п^ + 5п + 16 не делится на 169. Доказать, что если сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3, то и каждое из этих чисел делится на 3. Доказать, что ни одно из чисел вида га®-3, где п — натуральное число, не делится на 7. Доказать, что если р — простое число, большее трёх, то значение выражения р^~1 делится на 24. Найти все простые числа п такие, что п^ + 8 — простое число. Доказать, что если р — простое число и р^Ъ, то остаток от деления на 12 равен 1. Доказать, что если п — натуральное число и л>1, то га^ + 4 — составное число. Найти целые числа х w. у, удовлетворяющие уравнению х-\-у = ху. Доказать равенство: 2 5 3 ^-yj3'^yj3 + 2yl2~yl8-yj5' >/7 + Тз 73-7п -Jn-yJl' 1 + 1 V2+V3 1 1 ■ + ■ 1 = ^/^-l; 3 879. 880. 881. 2) 3) 4) а(а + 1) (а + 1)(а + 2) (а + 2)(а + 3) а(а + 3) 5) л (л -1- 1)(л + 2)(п + 3) 1 = (л2 -1- Зл + 1)^ Доказать, что 1980 • 1981 • 1982 • 1983 + 1 является квадратом некоторого натурального числа х, и найти х. Доказать равенство: П a^ic-b) + b^(a-c) + c^ib-a) _ , и , а^(с -Ь) + Ь^(а ~с) + с^(Ь - а) 2) а(Ь^ - с^) + Ь(с’^~ а^) + с(а^~ Ъ^) = {а-Ь){Ь- с)(с - а); 3) (а + 6 + с)® - а® - 6® - = 3 (а + Ь) {Ь + с) {с + а); 4) а^ + Ь^ + с^~ ЗаЬс = {а + Ь + с) (а^ + - аЬ - Ьс - са); 5) (а + Ь + с)^-(а + Ь-с)^-{Ь + с-а)^-(с + а- Ь)^ = 24а6с; 6) (6 - с)з + (с- а)® + (а - &)з = 3 (а - Ь)(а - с)(с - 6). 1 Доказать, что из равенства i -i- - -i- i = 1 1 1 1 ab с a+b+c CTBO -з+Тз+-з=-з------To--3- a® ft® c® a® + fe® + c® следует равен- Задачи для внеклассной работы 303 882. Доказать, что выражение а^{с — Ь) + У^{а-с) + с^(Ь — а) не равно нулю, если а, Ь, с — попарно не равные между собой числа. - Ьс 883. Если а^Ь и - ас . 1 1 1 тт ^ = —-------, то а + Ь + с = - + - + ~. Доказать. а(1-Ьс) Ь{1-ас) а Ь с 884. Пусть х + у = а, ху = Ь. Доказать, что: 1) X® -I- у® = а® - Заб; 2) х* + у* = а*- 4а^Ь -t- 26®; 3) X® + у® = а® - 5а®6 + 5а6®; 4) х® ч- у® = а® - 6а^6 9а®6® - 26®. 885. Упростить выражение 1) 1 + х'* 1 + X® а® — Ьс 1 + х 1-х’ 6® - ас с® - аЬ 2) —^—-ь------------------, (а + 6)(а + с) (6 + с)(а + 6) (а + с)(6 + с) 3) ^х + 2yjx - 1 + yjx - 2^х - Г, если Кх<2; .. Jm + X + Jm - X 2тп ^ п. 4) \ , , если X = —5-, где т>0, 0<п<1. у]т + X - yjm - X ' л® + 1 886. Решить уравнение: 1) х®-2|х-1| = 2; 2) (хч-1)|х-2| = 2; 3) ||х-1|-3| = 2; 4) |х®-9|-1-|х®-4| = 5; 1 18 6) 5) х®ч-Зх-|- 18 2 - Зх - х' = 1; X® + 6х + 5 X® + бх + 10 X® + 6х + 9 7) х®-н4-5х--^-ь8 = 0; X® X 887. Решить систему уравнений: 1) 3) 5) 8) х(х®-1)(х-1-2) + 1 = 0. 7) X® и- ху = 10, 2) [(х-1)(у-1) = 6. у® -н ху = 15; [(х + 2)(у-н2) = 30; х-ьу-1-ху = 11, 4) X® + у® -h X -1- у = 18 X® + у® + ху = 19; X® - у® -1- X - у = 6; i + i = ^ X у 2’ X® у® 4’ 6) х" -1- у" = 17(х + у)® ху = 2(х-ьу); 2у® -4ху+ 3х® =17, 8) X® - ху + у® = 21, у2 - у® - 2ху -I- 15 = 0. 304 Задачи для внеклассной работы 888. Найти действительные решения системы уравнений: 1) 3) 5) 7) ху(х + у) = &, 2) х=> + уЗ = 9; X® + 4у = уЗ + 16х, 4) 1 + уЗ = 5(1 + хЗ); 2(х + у) = 5ху, 6) 8(хЗ + уЗ) = 65; (х + у)(хЗ - уЗ) = 9, 8) (х - у)(хЗ + уЗ) = 5; (х-у)(хЗ-уЗ) = 7, (х + у)(хЗ + уЗ) = 175; хЗ + уЗ + jf3y + хуЗ = 5, х‘‘уЗ + х^у* = 20; хЗ-уЗ = 19(х-у), хЗ + уЗ = 7(х + у); ху+ 24 = ^^, У ху 6 = С 889. 890. 891. 892. Найти все значения г, при которых уравнение хЗ + гх + 2г-3 = 0 имеет: 1) равные корни; 2) действительные корни, модули которых равны, а знаки противоположны. Доказать, что если х, и Xg — корни квадратного уравнения х3-гх-г = 0, где г>0, то выполняется неравенство X? + х| + (XjXg)® > 0. Доказать, что если (а + 6)3 > сЗ и (а - ЬУ < с^, то квадратное уравнение а^х^ + {Ь^ + а^-с^)х + Ь^ = 0 не имеет действительных корней. Доказать, что если уравнение хЗ + рх + у = О имеет действительные корни, то уравнение хЗ + |г -I- i|px -ь q г-Ц =0 г 893. 894. 895. также имеет действительные корни при любом r;tO. Доказать, что если квадратное уравнение х3+рх + у = 0, где р и у — целые числа, имеет рациональные корни, то эти корни — целые числа. Каким условиям удовлетворяют числа а и Ь, если биквадратное уравнение х‘*-(а + Ь)х^ + аЬ = 0 имеет четыре различных действительных корня? Доказать, что если г<0, то квадратное уравнение x3-2(r-l)x-f-2r-i-l = 0 имеет действительные корни. При каких значениях г (г<0) оба корня этого уравнения отрицательны? Задачи для внеклассной работы 305 896. 897. 898. 899. 900. 901. 902. 903. 904. 905. Найти все значения г, для которых при всех действительных значениях х выполняется неравенство (г^-1)х^ + 2(г-1)х+1>0. Доказать, что при всех действительных значениях х спра- 1. <£^-ДГ + 1 3 ' ведливо неравенство х^ + х + 1 <3. Найти все значения а, при которых уравнения + ах -1-1 = О и х^ + х + а-0 имеют хотя бы один обп](ий действительный корень. Пусть а, Ь, с — различные числа, причём с^О. Доказать, что если уравнения х^ -I- ах + Ьс = О и х^ + Ьх + ca = Q имеют ровно один общий корень, то другие корни этих уравнений являются корнями уравнения х^-¥сх + аЬ = 0. Найти все значения г, при которых корни квадратного уравнения (г-4)х^-2(г-3)хч-г = О положительны. Доказать, что корни уравнения x^+px + q = 0 действительные и отрицательные только тогда, когда р^-4д^0, р>0, q>Q. Найти все значения г, при которых корни уравнения 2гх^--(r-f-l)x-f-l = 0 действительны и оба по модулю меньше единицы. Известно, что корни квадратного уравнения х^ ■¥рх + q = Q по модулю больше единицы и имеют разные знаки. Доказать, что р + д-1-1<0, qr-p-t-l<0. Известно, что квадратный трёхчлен ах^ + Ьх + с не имеет действительных корней. Определить знак числа с, если: l)a-i-b-fc>0; 2)a-ft-i-c<0. Пусть X, и Xj — корни квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = 0 и пусть s„ = Xi + Х2, где т — натуральное число, т>2. Доказать, что as„ + bs^-i + cs„.2 = 0. 906. Доказать, что выражение 3 - 8 У a^ О [fc а -I-10 принимает неотрицательные значения при любых значениях а и Ь, не равных нулю. 907. Доказать, что при любых действительных значениях хну справедливо неравенство х^ + 5у^-4ху + 2х-6у + 3>0. 908. Найти все значения а, при которых вершины двух парабол у = х^ - 2(а-f 1)х-ь 1 и у = ах^-х + а лежат по разные стороны 3 от прямой у = -. 306 Задачи для внеклассной работы 909. 910. 911. 912. Найти все значения а, при которых вершины двух парабол у = 4х^ + 8ах-а и у = 4ах^-8х + а-2 лежат по одну сторону от прямой у = -5. Разложить на множители: 1) х^-6х^-х + 30; 2) {х^ + х + 1)(х^ + х + 2)-12\ 3) X* - х^- 1х^ + X + 6; 4) (х^ + 4х + 8)^ + 8х(х^ + 4х + 8) + 2х^. Разложить многочлен х^ + х + 1 на два множителя с целыми коэффициентами. Сократить дробь: + х* -х^ -1 1) 4) х^ + х^ + х + 1 ’ х^ + Ъх^ + 7х + 3 . 2х^ +5х^ + 4х + 1’ 2) 5) - 4д; - 4. х^-Зх-2 ’ д:^-16 3) X* - 2х^ + X-2 , х^-Зх^ + ЗХ-2’ X* - 4х^ + 8х^ - 16д: + 16 ■ 913. Построить график функции: 1) у = \х’‘-2х\; 2) у = \х^ + х\; 3) у = |л:2-5дс + б1; 5) у = х^-\х\; 7) у = \х^-3\х\-4\; 4) у = \х^ - X - 2\; 6) у = д:=^-2|д:|-3; 8) у = \х^-6\х\ + 5\. 914. Решить неравенство: 1) J-“' <4; Зх^ -X-4 3) £-li^i^>0; дс** +1 5) |д;2-5х|^б; 7) |д;2 + 4х + 3|>|д: + 3|; 2) 19-33л: 7д:2 -11х + 4 >3; 4) дс“ -1 6) |2д: + 3|>14д:-3|; 8) |х2-л: + 1|^|л;2_Зх + 4|. 915. 916. 917. Доказать, что для любых чисел а и Ь справедливо неравенство: 1) а2-|-&2^2(а + 6-1); 2) 2а^ + ЪЬ^^ 2аЬ\ 3) + аЬ + а-\-b-1\ 4) + аЬ + > 0\ 5) а"-I-Ь" ^ а^Ы-6) (а^-I-Ь*) (д4 + ^,4) ^ (дЗ ^,3)2 Доказать, что для любых положительных чисел а и & справедливо неравенство: 2) 1 . а Ь yja yjb .Jab 1) a + - + 6-i-^^2Ja5-|--;2=; a b ^ Доказать, что для любых чисел а, Ь, с выполняется неравенство: 1) аЬ + Ьс + ас, 2) (а + Ъ+ cY<,3(a'^+ 4-с^). Задачи для внеклассной работы 307 IQj>aTKoe содержание курса алгебры VII класса 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ Числовое выражение образуется из чисел с помощью знаков действий и скобок. Например, 1,2 • (-3) —9 : (0,5 + 1,5) — числовое выражение. Порядок выполнения действий. Действия первой ступени — сложение и вычитание. Действия второй ступени — умножение и деление. Действия третьей ступени — возведение в степень. 1) Если выражение не содержит скобок, то сначала выполняют действия третьей ступени, затем действия второй ступени и, наконец, действия первой ступени; при этом действия одной и той же ступени выполняют в том порядке, в котором они записаны. 2) Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют все действия над числами, заключёнными в скобках, а затем все остальные действия; при этом выполнение действий над числами в скобках и вне скобок производится в порядке, указанном в п. 1. 3) Если вычисляется значение дробного выражения, то сначала выполняются отдельно действия в числителе дроби и в знаменателе, а затем первый результат делится на второй. 4) Если выражение содержит скобки, заключённые внутри других скобок, то сначала выполняются действия во внутренних скобках. Алгебраическое выражение образуется из чисел и букв с помощью знаков действий и скобок. Примеры алгебраических выражений: 2{т + п); За + 2а&-1; (а-ЬУ; • О Числовое значение алгебраического выражения — число, полученное в результате вычислений после замены в этом выражении букв числами. Например, числовое значение выражения За -I- 2аЬ - 1 при а = 2 и 6 = 3 равно 3-2-t-2-2-3-l = 17. Алгебраическая сумма — запись, состоящая из нескольких алгебраических выражений, соединённых знаками ♦-)-» или 308 Краткое содержание курса алгебры VII класса Пр авила раскрытия скобок. 1) Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма, заключённая в скобки, то скобки и знак «4-» перед скобками можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы. Нгшример, 14 (7 - 23 -I- 21) = 14 -f- 7 - 23 + 21, а -I- (& - с - d) = а -I- 6 - с - d. 2) Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма, заключённая в скобки, то скобки и знак *-* перед скобками можно опустить, изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный. Например, 14 - (7 - 23 -I- 21) = 14 - 7 -I- 23 - 21, а - (ft - с - d) = а - fc -1- с + d. 2. УРАВНЕНИЕ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С одним НЕИЗВЕСТНЫМ ШШШШШШШШя, Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Пример уравнения: 2х + 3 = 3х + 2, где х — неизвестное число, которое нужно найти. Корень уравнения—значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, число 3 является корнем уравнения х + 1 = 7 - х, так как 3 + 1 = 7 - 3. Решить уравнение — это значит найти все его корни или установить, что их нет. Линейное уравнение — уравнение вида ах = Ь, где а и Ь — заданные числа, х — неизвестное. Основные свойства уравнений. 1. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. 2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. 3. ОДНОЧЛЕНЫ и многочлены Степень числа а с натуральным показателем п, большим единицы, — прюизведение п множителей (п ^ 2), равных а, т. е. а" = а- а -а. Первая степень числа а — само это число. п раз Например, 2^ = 2-2-2, = т • т • т • т • т. В записи степени а" число а — основание степени, л — показатель степени. Например, в записи степени 2^ число 2 — основание степени, число 3 — показатель степени. Краткое содержание курса алгебры VII класса 309 Основные свойства степени. 1) При умножении степеней с равными основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней складываются: а" • = 2) При делении степеней с равными основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней вычитаются: а" : а"' = 3) При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются: (дЛ)т _ длт_ 4) При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель: (а • Ь)" = а" • Ь". 5) При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель: а" Ь" Стандартный вид числа, большего 10, — запись числа в виде а • 10", где 1^а<10 и л — натуральное число. Например, 358 = 3,58-102; 4084,5 = 4,0845-10». Одночлен — произведение числовых и буквенных множителей. Примеры одночленов: ЗаЬ, -ЗаЬ^с», а», а, 0,6ху5у^, -t*. Например, числовыми множителями одночлена За»(0,4) - 5 - (-5)с» являются: 3; 0,4; -5, а буквенными — а», Ь, с». Одночлен стандартного вида — одночлен, который содержит только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и степени с различными буквенными основаниями. Чтобы записать одночлен в стандартном виде, нужно перемножить все его числовые множители и результат поставить на первое место, затем произведения степеней с одинаковыми буквенными основаниями записать в виде степеней. Коэффициент одночлена — числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде. Например, коэффициент од- о О ночлена -аЬс» равен -, коэффициент одночлена -7а»5 равен -7, 4 4 коэффициент одночлена агЬс равен 1, коэффициент одночлена -аЬ^ равен -1. Много член—алгебраическая сумма нескольких одночленов. Примеры многочленов: 4аЬ»с» — одночлен; 2аЬ - ЗЬс — двучлен; 4а& + Зас -Ьс — трёхчлен. 310 Краткое содержание курса алгебры VII класса Члены многочленов — одночлены, из которых состоит многочлен. Например, членами многочлена 2аЬ^ - да^с + 7Ьс - 4Ьс являются одночлены 2аЬ^, -За^с, 7Ьс, -46с. Подобные члены — одночлены, которые после приведения многочлена к стандартному виду отличаются только коэффициентами, или одинаковые одночлены. Например, в многочлене 2аЬ - 36а + + с^Ь + с^Ь подобными членами являются 2аЬ и -ЗЬа, с^Ь и с^Ь. Приведение подобных членов — упрощение многочлена, при котором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется одним одночленом. Например, 2аЬ - 4Ьс + ас + ЗаЬ + Ьс = 5аЬ-- 36с -I- ас. ^андартный вид многочлена —запись многочлена, в которой все члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных. Действия над одночленами и многочленами. 1) Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида, нужно раскрыть скобки и привести подобные члены. Например, (20^6 - 36с) -I- (а^б -I- 56с) - (За^б - 6с)= = 2а^Ь - 36с -t- а^Ь + 5Ьс - ЗагЬ + Ьс = 36с. 2) Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить. Например, (2а6 - 36с) (4ас) = (2а6) (4ас) + (-36с) (4ас) = 8а^6с - 12аЬс^. 3) Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Например, (5а - 26)(3а -ь 46) = (5а)(3а) + (5а)(46) + + (-26)(3а) -1- (-26)(46) = 15а2 + 14а6 - 86^ 4) Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить. Например, (4а®б2 - 12aV): (2а6) = (4aV): (2а6) -ь (-12а^Ь^): (2а6) = 2а^Ь - 6аЬ\ Шт 4. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Ш^^ Формулы сокра щённого умножен и я (а -I- 6)^ = а^ + 2аЬ + 6^, а^ + Ь^ = (а + Ь)(а^ -аЬ + 6^), (а - 6)^ = а^ - 2а6 -I- 6^, а® - 6® = (а - 6)(а^ -I- а6 + 6^), а^ - 6^ = (а -ь 6) (а - 6). Краткое содержание курса алгебры VII класса 311 Разложение многочлена на множители — представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов. При разложении многочлена на множители используются следующие способы. 1) Вынесение общего множителя за скобку. Например, Зах + бау = 3а(х + 2у). 2) Способ группировки. Например, а® - 2а^ -2а + 4 = (а^~ 2а^) - (2а - 4) = = а^(а - 2) - 2(а - 2) = (а - 2)(а^ - 2). 3) Применение формул сокращённого умножения. На- пример, 9х^ - —у^ = \3х - iy 16^ 4^ Зх-Н^у|, 27х^ 8у® = (Зх -1- 2у^)(9х^ - бху^ + 41/“*), - 14z + 49 = (z- 7)^. Н 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ Алгебраическая дробь—дробь, числитель и знаменатель которой — гшгебраические выражения. Примеры алгебраических дробей: ° . Предполагается, что буквы, употребляемые с а + 1 в записи алгебраической дроби, могут принимать только такие значения, при которых знаменатель этой дроби не равен нулю. Основное свойство дроби: при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же алгебраическое выражение по- лучается равная ей дробь. Например, а-Ь _ (а - Ъ)(а - Ь) _ (а - Ъу а + Ь (а + Ь)(а -Ъ) Используя основное свойство дроби, можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель числителя и знаменателя. Например, -I _ (X- 1)(х + 1) _ X + 1 X® - 1 (х- 1)(х^ + Х + 1) х^ + х + 1 Сложение и вычитание алгебраических дробей проводятся по тем же правилам, которые применяются для обыкновенных дробей. Для нахождения алгебраической суммы двух или нескольких дробей эти дроби приводят к общему знаменателю и используют правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Например, общий знаменатель дробей и равен а^Ь^, 11 1, I, . ^ Ь аг 1 1 Ь ^ а о+а поэтому -^-1- 312 Краткое содержание курса алгебры VII класса Умножение и деление алгебраических дробей проводятся по тем же правилам, которые применяются для обыкновенных дробей. Например, 2аЬ^ ЗЬ ' 4а _ Ifj -у^ . х + у _ -у^)-4х ^ 2(х - у) 36 • 4а б ’ 2ху 4х 2ху{х + у) У 6. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ и ЕЁ ГРАФИК Прямоугольная система координат на плоскости — две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей длины. Эти прямые называются осями координат; прямая, изобр£1жае-мая горизонтально, — осью абсцисс, а прямая, изображаемая вертикально, — осью ординат. Начало координат обозначается буквой О, ось абсцисс — Ох, ось ординат — Оу. Координатная плоскость—плоскость, на которой выбрана система координат. Функция. Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие по некоторому правилу число у, то говорят, что на этом множестве определена функция. При этом X называют независимой переменной, а у{х) — зависимой переменной или функцией. Линейная функция—функция вида y = kx + b, где k и Ь — заданные числа. График функции у(х) — множество всех точек координатной плоскости с координатами {х; у{х)). Например, график функции у (х) = 2х+\ — множество всех точек плоскости с координатами (х; 2х+1). График линейной функции y = kx + b — прямая. При 6 = 0 функция принимает вид: у = кх, её график проходит через начало координат. Прямая пропорциональная зависимость: y = kx, где k>Q, х>0, k — коэффициент пропорциональности. Например, в формуле s = vt путь S прямо пропорционален времени t при постоянной скорости V. Обратная пропорциональная зависимость: у = —, где X к>0, х>0, к — коэффициент обратной пропорциональности. Например, в формуле V = — объём газа V обратно пропорционален Р плотности р при постоянной массе т. Краткое содержание курса алгебры VII класса 313 ■■ 7. СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ Общий вид системы линейных уравнений с двумя неизвестными: aiX + biy = Ci, UzX + bzy = С2, где а,, &1, Cj, 02, 62» ^2 — заданные числа, X, у — неизвестные числа. Решение системы—пара чисел х, у, которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство. Например, решением системы является пара чисел х=1, у = 2. [Ьх + у-7 Решить систему —это значит найти все её решения или установить, что их нет. При решении систем уравнений применяются следующие способы. 1) Способ подстановки. Из какого-нибудь уравнения одно из неизвестных выражают через другое и подставляют в другое уравнение системы. 2) Способ алгебраического сложения. Уравняв модули коэффициентов при одном из неизвестных, почленным сложением или вычитанием уравнений системы исключают это неизвестное. 3) Графический способ. В одной системе координат строят графики уравнений системы; по взаимному расположению прямых определяют число решений системы; находят координаты общих точек графиков (если они имеются). 1Н 8. КОМБИНАТОРИКА Правило произведения. Если существует п вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть т вариантов выбора второго элемента, то всего существует п ■ т различных пар с выбранными первым и вторым элементами. Например, с помощью букв а, 6 и с можно составить 3-3 = 9 различных двухбуквенных кодов, в которых буквы могут повторяться, и 3-2 = 6 различных двухбуквенных кодов, в которых буквы должны быть различными. 314 Краткое содержание курса алгебры VII класса веты Глава I. 5. 2) 18; 4) -2. 16. 2) х^ = 0, Х2 = 2; 4) x^=-4, Х2 = -б. 17. 2) лг1=-1,5, ^2 = -!; 4) ^1 = |. ^2 = -|- 18. 2) Xj = 0, Х2=1; 4) Xi = 0, дг2 = -|. 19. 2) xi = 4, Х2 = -4; 4) Х2 = -|. 20. 2) x=h 4) ^ = "|- 21. 2) х = -1; 4) х = —. 22. 2) Xi = 0, Хг = 2; 4) Xj=-3, Хз = 2; 6) х = 3. 23. 2) Xi = 7, Х2 = -7; Xi = 0, Хг = -. 24. 1) х=10; 2) х = -^; 3) корней нет; 4) корней нет. 25. 1) Указание. Левую часть неравенства представить в виде дроби. 26. 1) -1; 2) 0. 28. 2) —> 0,3; 4) -—>-0,7. 29. 2) Ь>а; 3 85 4) а<Ь. 31. 2) При а = -0,8 меньше, чем при а = —. 34. Первый. 6 36. Указание. Доказать равенство а* + Ь*~ а^Ь - аЪ^ = (а - bY + аЬ + Ь^). 39. 2) а<0; 4)а>0. 40. 2)-9<-3. 41. 2) а + ЗЬ >-2Ь. 42. 2) 8 > 6. 43. 2) а-ЗЬ<За. 44. 2) а - 5 < fc - 5. 47. 2) 19 > 12; 4) -12 >-14. 48. 2) а <-0,25; 4) а <2. 49. 2) 0,9 >-2; 4) 5>3. 50. 2) а<-2; 4) х<-~. 52. 2) 0,19а <0,196; 4) 6) |(а - 5,2) < |(6 - 5,2). 55. 1) Да, при 6 О 3 3 6<0; 2) да, при 6>0; 3) да, при 6 = 0; 4) да, при 6<0; 5) да, при а >26; 6) да, при а = 26. 58. 1) Нет, верно только при 6>0; 2) нет, верно только при 6>0; 3) нет, верно только при а6>0; 4) верно. 60. 2) -5 <7; 4) 7у>1. 61. 2) 25<58; 4) 12<4х2-1. 75. 2) л = 3; 4) п = -6; 6) л = -1. 76. 2) л = 6; 4) л=-3; 6) л = 4. 77. 2) х = -9. 78. 2) Л ^ 5; 4) и <60. 79. 2) Верно; 4) неверно. 80. 2) Верно; 4) неверно. 84. 2) 13-х<2; 4) 2(х-3)<2; 6) 2х(-4)>х-(-4). 85. 2) -2; -5; 4) 0; -1; -2; -5. 86. 2) у>0‘, 4) при любом у; 6) уФ-2. 87. 2) у<2\ 4) у<0. 88. 2) х<-3; 4) х>0; 6) х<0. 90. 2)х<14; 4) у >9; 6) 2 < 4. 91. 2) х >-8; 4) 2 >-15; 6) х<-2. 92. 2) х<6; 4) х > 5; 6)х<-2. 93. 2) х > 3; 4) х>0; 6) хй2. 94. 2) д:<|; 4) х<-3; 6) х<5|. 95. 2) i/>|; 4) i/<|; 6) у>~. 96. 2) у = 4-, 4) х = 0. 97. 2) х = -1; 4) х = -4. 98. 2) х>2,5; 4) у>-4. 99. 2) 4) х>—. 100. 2) 6<-5-. 101. 2) х — любое чис- 3 11 3 ло; 4) X — любое число; 6) х — любое число. 102, 2) Решений нет; 4) ре-шений нет. 103. 2) л:<1^; 4) х<6. 104. 2) х>2; 4) х>-20; 6) х>0,5. 105. 2) х<1,6; 4) х<0. 106. 2) х<7; 4) х<5. 107. 2) х<0,5; 4) х>-0,5. 108. Не менее 37 платформ. 109. Не менее 43 деталей. 110. 2) 20 см. 111. 11. 112. 14. 113. Не менее 16 км/ч. 114. Больше 31 км/ч. 115. х>-0,7. 116. х<2. 117. На 63 см. 118. 2) 10; 12. 119. 2) 1; 2. 120. 2) 0; 1; 2; 3; 4) -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5. 121. 2) [-1; 3]; Ответы 315 4) (1; 2); 6) (-4; -2]. 122. 2) -3 ^ д: ^-1; 4)0<дг<3; 6)-2^x<2. 123. б) -1<х<2, (-1; 2); г)-4<х^0, (-4; 0]. 124. Да. 125. Да. 127. б)-3<лс<1; таких значений х не существует; г)-5<х<0; таких значений х не существует. 128. 1) х^0,6; 2) 3) дг^-3,5; 4) Jc^-4,5. 129. 2) д:>0; 4) х^-2. 130. 2) д;<-1; 4) х^О. 131. 2) 3<х<6; 4) 0^х<-. 2 132. 2) -1,5^х<1,5; 4) -0,5^х<7,5. 133. 2) х5»4; 4) х>-3. 134. 2) х<-2; 4) х<4. 135. 2) -2,5; 4)2^х^5. 136. 2) -5<х<-1; 4)0<х<|. 137. 2) -0,5<х<2; 4) х > 0. 138. 2) 2,1 < х ^ 3,5; 4) 4,5 <х <6,5. 139. 2) х>-17. 140. 2) -2^х<3; 4)-2<х<1. 141.2)1; 2; 4)4; 5. 142. 2) Таких значений х не существует; 4) 0<х<2. 143. 2) х< <-2; 4) х^б. 144. 2) Больше 4 м, но меньше 13 м. 145. 24. 146. 36. 147. Не меньше 8 л, но не больше 24 л. 148. Риса больше 20 кг, но не больше 40 кг; ячменя больше 80 кг, но не больше 160 кг. 150. 2) X,, 2 = ±1,5; 4)х, = 0, Х2 = -6. 151. 2) х = 2; 4)х = |. 152. 2) Xi=-0,25, Х2=-1,25; 4) х, = 1, Хг = ^. 153. 2) х,.2 = ±2,1; 4) х,=-5, Х2 = 11; 6)х, = 0, Х2=1,5. 155. 2) -2 <х< 2. 156. 2) |х| < 0,3. 157. 2) -2,2 <х<-1,8; 4)i3-. 160. 2) х<-1, х>-~; 4) х<0, 3 - 3 х>1,6. 161. 2) -1; 0; 4) О; 1. 162. 2) -Kx«l|; 4) х^О, х>3; 6) х<-2, х^5. 163. 2) — ^x0; 4) а<0. 170. 2) Xj = О, Х2 = 1-^; 4) х,=-4, Х2 = 0,5. 171. 2) х = 0,5; 4) х, = 3, Х2 = -2. 172. 2) 2 + Ь-а>0; 4) а-3-5<0. 178. 2) у — любое число; 4) х > 7. 179. 2) х<2. 180. б)-3<х<3, |х|<3; г) 0<х<4, |х-2|<2; е) -6<х<-2, |х + 4|<2. 181. б) |х|>2; г) |х-3|>1; е) |х + 4|>1. 182. 2) х, = 3,4, Хг = -1,4; 4) Xi = l, Х2 = -. 183. 2) х<-2,4, х>4,4; 4) х^-2, х>1; 6) х<-0,3, х>0,7. 3 5 - 186. 2), 4) Таких значений не существует. 187. 2) х = 4—; 4) решений нет. 188. 34. 189. 47. 190. 7 деталей. 191. 24 места. 193. Больше а км/ч, но не больше 2а км/ч. 194. Не менее 15 л. 196. 1) х=1,5; 2) х = 6,5; 3) х = 0,5; 4) х=1; 5) х = -5; 6) х = -8. Глава II. 199. 2) 4) 200. 2) 0,004; 4) 201. 2) 0,08; 4) 0,08. 4 1о 22о t>oU 202. 3°. 203. А. 204. Верно. 205. 2,3<х<2,5. 206. 7,42 <х< 7,44. 7 208. 2) 1413,72. 46 см. 324. 4) 28,0; 6) 12,4. 2) 1,44; 3) 3,13. 327. 2) Вер- 315. 2) yl0,04^7; 4) ^18,49 =4,3. 334. 2) 12<^/1б0<13; 4) 22,5. 75-47а 72 2 г- 387. 2) а) 7-2а; б) 3; в) 2а - 7. 388. 39. 389. 2) —4) -27ь. 391. 2) -^. 392. 2) 4) 394. 2) 1,46; 4) 3,7. а 4 6 395. 2) 0,173; 4) 0,105. 396. 2) 8,4; 4) 12,7; 6) 51,2. 399. 2) а) 2-5л:; б) х; в) 5;с-2. 400. ,Ja + Ь ^ -Ja + ^Jb. Глава IV. 403. 2) -x^ + 9 = 0; 4) х^ = 0. 404. 2) х^-4х-9 = 0; 4) 5х^ + 1 = 0. 405. 1) -3; 3; 2) -3; 2; 3) -2; 1; 4) 0; 1; 5) 2; 3; 6) -1; 3. 408. 2) Xi.2 = ±|; 4) Xi_2 = ±1.5; 6) a:j,2 = ±713. 409. 2) o:i_2 = ±ll; 4) дг = 0; 6) действительных корней нет. 410. 2) х, = О, Х2 = -2; 4) Xj = О, Хг = 0,6; 6) х = -3. 411. 2) Xi.2~±5,57; 4) Xi,2 = ±25,98; 6) Xi.2~±0,14. 412. 2) Xi,2 = ±-. 2 414.1)5 = 4, x = -2; 2)5 = 6, x = 3; 3)5=16, x = 4; 4)5 = i, x = -~. 9 3 415. 1) лг1 = -1, д:2 = -3; 2) Xi=-1, Хг = -2. 417. 2) д: = 0; 4) Xi,2 = ±3; 6) Хх,2 = ±зТЗ; 8) Xj 2 = ±20. 418. 2) Xj = 0, X2 = -5; 4) Xi = 0, X2 = 0,04; 6) корней нет. 419. 2) Xi_2 = ±l-: 4) Xi,2 = ±75; 6) Xi.2 = ±l^- 1 421. 2) Xj = 0, X2 = 4; 4) Xj = 0, X2 = -2,5. 420. 2) Xj 2 = ±2; 4) Xi,2 = ±lg- 422. 2) Xi = 0, ^2 = 2^. 423. 2) Xi.2 = ±8; 4) x,.2 = ±2. 424. 0 и 2. 425. ±2. 426. 50,4 M. 427. 1) x = -3; 2) x = 0. 428. 2) m = 9; 4) oi = 64; 6) m = 6. 429. 2) Xi = 2, X2 = -6; 4) Xi = 8, X2 = 2; 6) x,.2 = -4±7^. 430. 2) л:, = |, X2 = -|. 431. l)x, = l, X2 = 4; 2) Xi = 5, X2=-2. 432. l)Xi = l, X2 = -2,5; 2) Xi = 2, X2 = --. 433. 2) 0,4; 4) 85. 434. 2) x, = l, X2 = 0,5; 4) Xj = 3, 5 318 Ответы дг2 = 0,5; 6) Xi = 2, X2 = j. 435. 2) Xi = 4, X2 = -0,5; 4) Xi=-1, = 6) 8) д:, = 1. X2 = -|. 436. 2) д: = ^; 4) x = -|. 437. 1), 2), 3), 4) действительных корней нет. 438. 2) Два; 4) ни одного. 439. 2) Действительных корней нет; 4) x = 2,5; 6) Xj = 4, X2 = -l. 440. 2) Xi = l, ^2 = 0,2; 4) X, = 7, X2 = -8; 6) X, 2 = -^^. 441. 2) Xi = 7, X2 = -ll; 4) Xi = 0,6, X2 = -3. 442. 2) o>li. 443. 2) q=l. 444. 2) Xi = 0,5, X2 = -l,5; 3) x, = 5, X2 = i. 8 ____5 445. 2) x,=-3,l, X2 = -1,7; 4) Xi=-57, X2=lll. 446. x = -m ± -c. 2) Xi = -4, X2 = -6; 4) Xi = 49, X2=l. 447. 1) Xi=-3,13, X2~-l,25; 2)Xi«4,51, X2~8,57; 3)Xj~-22,08, X2~3,08; 4)Xi«-2,04, X2~ 25,04. 450. 2) Xi = 7, X2 = -l; 4) Xj = 4, X2 = -10; 6) Xi = 2, X2=—1. 455. 2) x*-5x + + 6 = 0; 4) x^-3x-18 = 0. 456. 2) Xi = 3, X2 = 4; 4) Xi=-1, X2=-7; 6) x, = 3, X2 = -5. 457. 2) (x-l)(x + 5); 4) (x + 7)(x-6); 6) (2x+l)(4x + 3); 8) (x + 2)x x(l-4x). 458. 2) x + 6; 4) -i-; 6) 459. 2) Xi2 = >/5±2; 4) x, 2 = i— ,— X + 7 3x + 1 j- Q Q v = 2(V7± V6). 460. 2)x(x + 7)(x-3); 4)x(x-ll)(x + 2). 461. 2)--; 4)--. V x-1 x+ox-5 462. 2) - 4) x(x+10)' 463. x^ — px + q = 0. 464. q = 8, x^= —2, 8 X2 = -4. 465. p =-4, Xi = l, X2 = 3 или p = 4, Xi=-1, X2=-3. 466. 1) -:rr; 1 IQ 9fi 2) 17^; 3) -3^; 4) 58|y. 467. 1) x, =-2,414, X2 = 0,414; 2) Xj =-0,732, X2~ 2,732; 3) Xj = -6,3, X2 = 4,5; 4) Xi = -18, X2 = 57. 468. 2) Xi_2 = ±l. '•3.4 = ±2; 4) Xi.2 = ±l, 3 4 —±7. 469. 2) Xj_2 —il* 4) Xj_2— 470. 2)Xi = 7, Х2 = з|; 4) Xj = 40, X2 =-20; 6) x, = 6, X2 = -|. 471. 2) Xi 2 = ±10; 4) корней нет; 6) x = -3. 472. 2) Нет. 473. 2) x = 0. 474. 1) Xi = 2, X2 = 0, Хз = 3, x^ = -l; 2) Xj=-4, Хг = -6. 475. 1) Xj 2~±1.24; 2) Xj, 2 “±0,924; 3) Xi.2“±l,28; 4) Xj, 2“±1,8. 476. 2) 14 и 15. 477. 2) 19 и 21. 478. 10 см, 40 см. 479. 140 м, 175 м. 480. 100 км/ч, 80 км/ч. 481. 10 км/ч. 482. 10 дней, 15 дней. 483. Сторона квадрата равна 15 см. 484. 9 см, 40 см. 485. 18 км/ч, 15 км/ч. 486. 30 дней, 20 дней. 487. 18 км/ч. 488. 60 км/ч. 489. 10 дней, 15 дней. 490. 8%. 491. 4 кг, 6 кг. 492. 2)(4; 1); 4)(0,5; 3). 493. 2)(7; -5), (-4; 6); 4)(-1; -1), (7; 23). 494. 2) (4; -3), (17; 10); 4) (4; 1), (-1; -4). 495. 2)(1; 7), (7; 1); 4) (-2; -5), (-5; -2). 496. 2) (4; -1); 4)(3; 1). 497. 2) (2; 5), (5; 2), (-2; -5), (-5; -2); 4) (1; 5), (5; 1), (-1; -5), (-5; -1). 498. 5 и 13. 499. 4 и 36. 500. 2) (7; -1), (-1; 7). 501. 2) (4; 1), (-1; -4); 4) (2; 4), (4; 2); 6) (2; 2). 502. 2)(1; 4), (-4; -1); 4)(1; 5), (5; 1), (-1; -5), (-5; -1). 503. 2) (9; 4). 504. 300 м, 200 м. 505. 64. 506. 1) (2; 3), (3; 2); 2) (3; 5), (5; 3). 507. 20 км/ч, 12 км/ч. 508. 2) (4; 5), (5; 4). 509. 2) (3; 0), (1; -2). 510. 2) (9; 4). 511. 2) (4; 3), (-4; -3), (3; 4), (-3; -4). 512. 2) (2; 5), (5; 2); 4) (1; 3), (19; -3). 513. 2) (3; 5), (5; 3), (-3; -5), (-5; -3); 4) (7; 1), (-7; -1), (1; 7), (-1; -7). 514. 2) (20; 4), (-20; -4); 4) (6; 3), (3; 6). 515. 1)(3; 2), (-3; -2); Ответы 319 4) (5; 2), (-5; -2), (5; -2), (-5; 2). 516. 2) (5; 1). 517. 2) (5; 3); (-5; -3); (3; 5); (-3; -5); 4)(1; 3), (39; -187). 518. 2) (9; 1), (1; 9); 4) (49; 36). 519. 2)(1; 3; 4), (-1; -3; -4). 520. 15 и 9, -9 и -15. 521. 24 и 6, 19| и 1—. 522. 4 см и 3 см. 523. 12 см и 15 см. 524. 35 билетов по 140 р. 2 и 20 билетов по 170 р. 525. 30 дней и 20 дней. 526. 9 ч и 6 ч. 527. 80 лошадей, норма овса 15 кг, 25 лошадей, норма 4 кг. 528. 21 ряд, 5 рядов. 529. 2) aci 2 = ±б72; 4)х^ = 0, ^2 = 7,5. 530. 2)х, = 13, jc2 = -4; 4)Xi = 3,6, X2 = -7. 531. 2) X 4) 532. 2) Два; 4) один. ® ^ 5л: 4.1 533. 2) (д:-8) (X-2); 4) (x - 2)(2д:-t-1). 534. 2) д:(х-ь 2); 4)^^=^. - 3 535. 2) д:1.2 = ±3, X3,^ = ±yj2; 4) д:l.2 = ±^/з, JCs,4 = ±^. 536. 2) д:l.2 = ±^/5; С 2 2 5 4) 1/=1. 537. 1 и 2. 538. £ и - или и 539. 12 м, 7 м. 540. 15 см, ' ^ зззз 45 см. 541. 20 км/ч. 542. 15 км/ч. 543. 3 дня, 5 дней. 544. 12 и 8. 545. 2)(1; 3), 9- i ’ 3 ; 4) (-3; -4), (-4; -3); 6) (5; 4); 8) (2; -1), (1; -2). 546. 2) Xj = 0, ^2 = -2. 547. 2) х = 0,5; 4) х^ = 7, Х2 = -13. 548. 2) д:1 = 0, Х2 = -5; 4) Xj 2 = ±4. 549. 2) Xi = 9, jc2 = -12; 4) х^=3, Х2 = -6. 550. 2) Ни одного; 4) два. 551. 2) л: = -4; 4) д: = 3. 552. 2) д:-4. 553. 2) Xi = 3, X2=IA-554. За 36 дней. 555. 1 ч 40 мин и 1 ч 20 мин или 2 ч и 1 ч 40 мин. 556. 12 ч, 6 ч. 557. 50 км/ч. 558. 44 км/ч. 559. 19 рядов или 4 ряда. 1. _з' 2’ 2 1 5 560. 100 р. и 150 р. 561. 1) (1; 0), 9. 10 ’ 3 ; 4) (-2; 5), -7i-3^ ”2’ ^8 3) (1; 2; 3), (-1; -2; -3), 2- !• — ’ ’ 2 ; 2) (17; 10), (4; -3); 3) (-9; -4), . 562. 1) (3; 5), (-5; -3); 2) (3; 0), 3 -2; -1; - ; 4) (2; 5; 1), 10 ■ 3 ’ 3 3 1. 13 3' 3 563. 6 и 8. 564. 60 км/ч, 40 км/ч. 565. 2) х^-5х + 6 = 0; 4) х^-4д:-5 = 0. 566. ДГ2 = 0,6. 567. 2) 91; 4) 7399. 568. а = ~, Х2 = —. 569. q=l. 570. р = 2 3 19 или р=-2. 571. 2) ДГ1 = 9, Х2 = -4. 572. 8 школьников. 573. 22 шахматиста. 574. 12 команд. 575. 6 спортсменов. 576. 7 человек. 577. 2) 10; 4) 2,75. Глава V. 579. 2) х, =0, х,= 1; 4) нет таких действительных значений х, 3 при которых значение данной функции равно -5. 580. 2) Xi = l—, д:2=-1; 4) JCj = 0, Х2 = —. 581. 2) -1; 0; 4) -0,2; 1. 582. 2) Нулей нет; 4) Xi = 3’ 6) нулей нет; 8) х=1. 583. 2) р = 3, q = -4; 4) р = -2, 9 = -15. ^ fl7 1б1 „ ^ „ [5>/2 3 584. дг,,2 = ±2. 585. 1) (0; 1), (-0,5; 0); 2) о., оч Ф;0У, 4) 11. 10 3 ’ 9 , (3; 0); 3) 2 ’ 2 , (-73;0). 587. В и С. 590. 2) ф;5), (-л/5;5); 320 Ответы 4) (0; 0). (2; 4). 591. 2) Да. 592. 2) Да; 4) нет. 594. 1) х<-3, х>3; 2)-5^х^5; 3) х<-4, х>4; 4)-6<х<6. 598. 2) а = ^; 4)а = -|. 599. 2) -3 < X < 3; 4) -4 « х < 4. 600. 2) -3 « х < 3; 4) -5 < х < 5. 601. 2) (-3; -4,5), (2; -2). 602. а = 2. 603. fe=-13; да, точка (0,6; -1,8). 604. 2) Да; 4) нет. 605. 1) Возрастающая; 2) убывающая; 3) возрастающая; 4) не является ни возрастающей, ни убывающей. 606. 3 м/с^. fl 1 ' 609. 2) (3; -16); 4) (3; 20). 610. 2) (0; -5); 4) ^ ^ 8 16 . 611. 2) х = -2; 0,5; 0), (0; -1); 4) х = 2; 6) х = ^. 612. 2) Нет; 4) нет. 613. 2) (1; 0), {а f 4 614. у = х^-2х + 3. 616. 2) А = -10. 618. 1) y = 2{x-3f\ 4) (0; 0), 2) у = 2x^ + 4; 3 y = 2(x + 2f-U 4) у = 2(х-1,5)"-нЗ,5. &20.у = -±х^ + + fx+2. 621.2) О 3. 11 2’ 4 4) 622. 2) (1; 0), (-5; 0), (0; 10); 5. ^ I2’ 4 , 4) (0; 14). 626. 7,5 + 7,5. 627. 5 и 5. 628. Сторона, параллельная стене, равна 6 м; другие стороны по 3 м. 629. Нет. 630. 1) При х=1 наименьшее значение у = -5; 3) при х=1 наименьшее значение у = -2. 631. 1) а>0, &>0, с>0; 2) а<0, Ь<0, с<0. 633. 1) Через 5 с наибольшая высота равна 130 м; 2) (5 + yJ^) с. 634. 2) Xj = 2, Х2 = 0,5; 4) ни при каких действительных X. 635. 2) (1; 1), (2; 4); 4) (-5; 18). 636. 2) х<-6, х>6. 637. 2) (5; 0), (-2; 0), (0; 10); 4) (1; 0), 4) 6) 1. fil -2’ -®4 -f.O , (0; -11). 638. 2) (-1; 4); 640. 2) Наибольшее значение равно 4; 4) на- именьшее значение равно 3—. 641. 150 м и 150 м. 642. 200 м и 400 м. 643. 2) р=1, д = 0. 644. 2) р=-4, q = 3. 645. 1) Xi = l, Хг=-5; 2) х, = 0, ^2=1, хз = 2. 646. 1)а=1, Ь = -2, с = 0; 2)а=1, Ь = -2, с = 4; 3) а = -2, 5 = 8, с = -6. 647. *1 = 6, *2 = 2. Глава VI. 650. 2) Зх2-х-1>0; 4) 2x^-hx-5<0. 652. 2) 3<х<11; 4) х<-7, х>-1. 653. 2) х<-3, х>3; 4) х<0, х>2. 654. 2) -2<х<1; 4) х<-3, х>1; 6) х<-1, 655. 2) х = —; 4) х<-4, х>2. 658. 7, 8, 9. 659. Положи- 3 6 п п тельные значения на промежутках х<-3, х>2; отрицательные — на интервале -3<х<2. 660. 2) х<-1, х>4; 4) -1<х<4. 661. 2) х>2; 4) х^-0,25, х>1. 662. 2) х=7; 4) решений нет; 6) х — любое действительное число. 663. 2) Решений нет; 4) решений нет; 6) х — любое действительное число. 664. 3) х<-2, х>0; 4) x<-yj7, x>yjl; 6) х<-5, х>3; 8)-2<х<-1. 667. 2) х<-—, х>—; 4)-1<х<4; 6) х — любое действительное число; 8) х = -3. 668. 2) х — любое действительное число; 4) 1 4 6) -i^x<0. 669. 2) Решений нет; 4) -0,5<х<3; 6) х — любое действительное число. 670. 2) х=1; 4) х — любое действительное число. 672. -6< Ответы 321 l. 675. 2) -53~. 676. 2) x<0, 2 л:>9; 4) -33. 677. 2) -1<л:<0, x>h 4) -25. 678. 2) -7<л;<7; 4) -44; 6) x = -2, 2^x^5. 679. 2) -3< 3. 681. 2) д:<0,5, x>l; 4) л:<-|, 0-. 682. 2) -43. 683. 2) -3«x<-l; 4 4. 686. 2) -^/l5< x<-3, 02; 5) -l4. 687. 2)x<3, x>4; 4)x<3, О 2 x>4; 6) x<-6, x>6; 8) 688.2) 4) x^O, x>^; 4 4 2 2 3 6) il; 4)x;t-5; 6)x;t-|. 2 2 5 2 690. 2) Решений нет; 4) решений нет; 6) решений нет. 691. 2)х<-4, -1 < X < 1; 4) X < -i, 4<х^7; 6)х< -i, 2 < х < 3. 692. 2) -1 < х < 5; 2 О 1 2 4) -5 3; 4) х = —; 6) решений нет. 695. 2) x<--j3, /З 2 3 ~^<х<^; 3) х<-4, -1<х<1, х>1. 696. 2) -2<х<-1, ^<х<|; 2 5 5 3) 1 2. 700. О; 1; 2; 3 или -1; 0; 1; 2. 22 Упражнения для повторения курса алгебры VIII класса. 701. 2) —; 35 4) 6) 3,485; 8) 4,5. 702. 2) Xj = 3, Хг = -4; 4)Xi = 0, X2 = -l|; ® 2 1 1 ^ 6) ЛГ1.2 = ±|; 8) х = -^. 706. 2) у>-2; 4) х>-4; 6) 707. 2) -5; -4; -3; -2; -1; 0; 4) 4. 708. 2) (2; 1); 4) (-13,5; -27,5); 6) (6; 6); 8) (1; 2). 709. 2) |<х^10; 4) х>7,2. 710. 2) -15; -14; ...; -1; 0. 711. 2) Xi = 8,l, Xj = -2,1; 4)Xj = 4, Х2 = -3; 6)Xi = 0, Х2 = у. 712. 2) х<-3,4, х>7,4; 4) x<-2i, х>1; 6) х<--^, 713. 2) 0,004; 4) 715. «0,1%. 3 15 15 * 1о/о 716. 2) li; 4) ||; 6) 2—. 717. 2) 3,1 4) 7^ >2,7. 718. 2) а = -11; 3 99 45 4) а = |. 719. 2) -44. 720. 2) (^Is - Ь)(^ + 5); 4) [3V2 - д: [Зл/2 + X 721. 2) 1; 4) 21; 6) 200. 722. 25 см®. 723. В 1,6 раза. 724. 2) -3xy^yJE^. 5 322 Ответы 725. 2) -4,2^/2. 726. 2) 8. 727. 2) 15^^-^/5; 4) 2x7^. 728. 2) 3-а=*; 4) -аЪ. 729. 2) х = 5-; 4) х = -1; 6) х = 3-. 730. 2) х, 2 = ±>/П; 4) дг1 = 0, 4 4 jc2 = -5; 6) Xi = 0, Х2 = 12. 731. 2) i/i = 0, 1/2 = ^; 4) Xj = 0, ^2 = 9; 6) arj 2 = ±1.5. 732. ^ см, 2^ см. 733. 8 см, 32 см. 734. 2) х^=-4, ^2 = 0,5; 4) Xi = 0,5, Х2 = -2; 6) нет корней. 735. 2) Xj = 10, Х2 =-2; 4) Xj ^ = ±2^; 6) Xj ^ = 6 ± ,/29. 736. 2) xi = |, лг2 = ^: 3) Xi.2 = ±5. 737. 6) Xj = 8, Хг = -3; 8) Xi = 7, Х2 = -11. 738. р = 5, g = -150. 739. 2) х^ - fex + с = 0. 740. 2) х,. 2 = ±3, Хз,4 = ±|; А 4) ^i.2 = i3, Хз_4 = ±72. 741. 2) Xj 2 = ±2; 4) нет корней. 742. 2) х = -—; 4) Xi = —, Х2 = -4; 6) ^ = 743. 2) х = -2; 4) нет корней. 744. 2) (х-9)х х(х + 4)(4)(х+1И2х-5); 6) 2(х + 3)(1 - 2х); 8) i(x - 5)(х + 10). 745.2) 4) - _ 0-3 3-0 «5' ^ - д_9 6) 746. 1) (о-Ь)(о + й)(о2 + г>2-1); 2) (т + п)(тп-1); 2(0-2)’ ' 0-2' 3) т^(т-1)(т^+1); 4) х(х-1)(х^+1); 5) (4x-y)(4x + 3i/); 6) (о-1)(о + 1)х х(о-2)(о + 2); 7) (b-2)(b + 2)(b-3)(b + 3); 8) 3(x + m)(x-3m). 747. 340 кг, 40 кг, 20 кг. 748. 96 км. 749. 16 пресс-форм. 750. 18 т с га, 20 т с га. 751. Y' 752. 30 дней, 20 дней. 753. 15 ч, 12 ч. 754. 27 км/ч. I . 75^ 2) (2; О), (0; -5). 757. 2) х = 0, х = |, х = |. О О I ^ о и 758. 2) (-4; -4), (-2; 0), (-6; 0), (О; 12); 4) ^ ^ 755. 2) (1; 0); 4) 6) (-3; -1), (-2; 0), (-4; 0), (0; 8); 8) 5 ■4’ ^ . (0; О), (1; О); , (-1; 0), (-1,5; 0), (0; 3). 763, 2) -15<х<-4; 4) х^12; х>13. 764. 2) 0<х<7б; 4) x<-yj3, x>yj3. 765. 2) -92. 766. 2) х = -12; 4) х — лю- 8 бое действительное число; 6) решений нет. 767, 2) х — любое действительное число; 4) X — любое действительное число; 6) х — любое действительное число. 768. 2) -0,7 < х < ^; 4) -2 <х< 1. 769. 2) х$-2, х= 1; 4) х < -i, " 3 0^х<2. 770. 2) -0,5<х<2; 4) -3<х<0, х>1. 771. От леса до дома. 772. На первом руднике. 773. Десятиклассник. 777. 2) Меньше 400 км. 778. Не более 400 Дж. 781. 2) Решений нет; 4) 1 < х < 4; 6) х > 4^. 782. Больше 2 см, но меньше 3 см. 783. Не меньше 4 м/ч, но меньше 5 м/ч. 784. Между 18 и 19 часами. 785. 2) х<—, х>3. 786. 2) -4,Qab^yjab. 3 787. 2)42; 4)3. 788. 2) 2^/а-1; 4) -^3. 789. 2) ; 4) 791. 4(&-|-с) Ь 16 792. *1 = 3, *2 = -1- 793. 2) Xi = l,2, Хг=-2; 4) х = 3; 6) х = 2. 794. 2) у+ 4. 795. 6 км. 796. 15 км/ч. 797, 120 км. 798. 3 км/ч, 20 км/ч. 799. 120 р.. Ответы 323 20 р. 800. 12 вагонов, 190 т. 801. 5 листов. 802. 30 г, 24 г. 803. 16 или 48 обезьян. 804. 2) 2—^х^7; 4) х<—1—, х>-1. 805. Высота больше 9 65 3,1см, средняя линия больше 6,2 см. 806. Больше 8 с. 807. Больше 5 см. 808. 2) х<-7, -1<л:<2: 4)-Кл;<-|, х>к 809. р= 5, q- = -14. 810. 2) р=14, д = 49. 811. i/ = -2x^ + Их-5. 812. у = \х^. 813. 2) а = -1, г Ь = -1, с = 2. 815. Указания. 1) Обозначая — = А^, — = В®, — = С® и учи- Ь с а тывая равенство АВС — 1, записать данное неравенство в виде Л** + В"* + + С®>ЗАВС, которое преобразовать к виду {А + В + С){А^ + В'^ + С^-АВ — - АС-ВС)>0. Неравенство А^ + В^ + АВ + АС + ВС получается сложением неравенств А^ + В^^2АВ, А^ + С^^2АС, В^ + С^^2ВС', 2) сложить неравенства для среднего арифметического и среднего геометрического: — + — ^2с, — + — ~^2а, — + — >2i>; 3) вычесть из левой части неравенст- а Ь Ь с с а ва пргшую и числитель полученной дроби записать в виде (а + Ь)(а — ЬУ + + {Ь + с)(Ь-сУ + (а + с){а-с)^; 4) см. указание к 815(3). 817. 1) х, 2 = ±2; 2) ^1,2~ 2 ^ ^2,3~ — 6) х, 2=±4, Хз.4 = ±6. 819. г, 2 = ±1. 820. х^-343х-1-81 = 0. 821. 1)’’ 2) -5—; 3) 339,5; 4) 378—. 822. г, = 2, Г2 = -8. 824.-3. 825.-8. 826. а = -3, 5 = 6, с = 0. 827. Через 0,6 с. 828. 1) (а - + ^){а^ +1); 2) (а-1)(а-И)(а-2)(а-1-2). 829. 1) 2) 3) “ баЬ-и 9б" 8’ a-f-5’ '2а+ 35’ ' а- Ь 830. 21 м/с, 147 м. 831. 56 с. 832. 14 мин, 18 мин 40 с. 833. 6 с. 834. 1 ч. 835. 5 ч, 7,5 ч. 836. 1) 84,4; 2) 13,4; 3) 43,8; 4) 80,2. 837. 1) 959,72; 2) 22,02; 3) 6,13; 4) 4,4. 838. 1) 43,37; 2) 71,79. 839. 1) 4,9; 2) 2,9; 3) 59,9; 4) 63,3. 840. 1) 2,1; 2) 5,3; 3) 2,0; 4) 3,5. 841. 1) 90,4; 2) 29,8; 3) -32,5; 4) 165,7. 842. 1) 1,1; 2) 0,8. 843. 1) Xi=-61, Хг=123; 2) х^-«-143, Х2~-38; 3) Xj = 6,3, Хг = 3,4; 4)Xi«-8,7; Х2=7,2. 844. 1) Xj 2 = = ±2,3, Xg 4 = ±3,1; 2) Xj 2 = ±1.5, Xg 4 = ±2,4. М5. Доказать, что 1 + 3 +5 + ...+ + (2л+1) = (/г+1)^ 847! л = 2. 848. 100 = 80 + 20, 100 = 40 + 60. 849. У к а- 2 зание. Возвести обе части равенства в квадрат. 850. Xj = 2, xg = —. 3-Vs 5 851. 4 -. 852. 40 яиц и 60 яиц. 853. 60 или 40 пистолей. 855. 18. 858.9. 859.24. 865.10 989. 874.3. 877. Xj = у, = 0, Х2 = Уг = 2. 879. 3 926 341. 885. 1) —2) 0; 3) 2; 4) 886. 1) Xi = 2, X2 = -l-^/5; 1-х л 2) Xj=0, Xg=l, — ■ число, такое, что 2<|х|^3; 5) Xj=-4, Х2 = — ; 3) Xj=-4, Х2 = 0, Хд = 2, Х4 = 6; 4)х — любое 3 + Vs ^/5-3 2 ’ ^3-—^. ^>^4 = 1; 324 Ответы 6) Xi~—6, X2 — —3 —-^8, ДГ3 — —3 + yjSf x^ — 0; 7) Xj = - 8) xi = -1 +Vs ^2 = - 1 +Vs -V^ ^ I _ 3+v^. — , X2 1, X3- 2 > 887. 1) (2; 3). (-2; -3); 2) (3; 4), (4; 3); 2 ' 2 3) (2; 3), (3; 2); 4) (-4; -3), (-4; 2), (3; -3). (3; 2); 5) (1; 2), (2; 1); 6) (0; 0), (6; 3), (3; 6), (-2; 1), (1; -2); 7) (-3; -S), (3; S). S. 3’ 13 ‘ 3 5. 3’ 3 8) (-4; -S), (4; S), (-3V3; (SjS; VS). 888. 1) (1; 2), (2; 1); 2) (4; 3), (3; 4); 3) (0; 2), (0; -2), (1; -3), (-1; 3); 4) (2; -1), (-1; 2); 5) |2; |J, i; 2 ; 6) (0; 0), V?), (-V7; -yjl), (Vl9; -лДЭ), (-Vl9; ^Дэ), (2; 3), (-2; -3); (3; 2), (-3; -2); 7) (2; 1), (-1; -2); 8) (-4; -2), (4; 2). 889. 1) r, = 6, Гз = 2; 2) r=0. 894. a>0, b>0, афЬ. 895. -0,5!. 898. a = -2. 900. r<0. 4^r<4,5. 902. /-<-|, r>3 + 2yl2. 904. 1) oO; 2) c<0. 908. -il. 909. a<-4, -^^- 3’ 2) --L95лет; 4) не может. Ответы 325 Задания «Проверь себя!» Глава I. 2. а) дс<2,4; б) х>-15; в) х<5. 3. а) 4^<л:<6-^; б) х^З; 9 3 4 в) х<-5. 6. а) х<2~; б) х>13. 7. а) д:^-4,5; б) -6,6<х^3,5. 8. а) -6< <л:<10; б) х<~, х^1. 11, При л:<6,5. 12. 10<л:<30. 13. |<л:<4. Глава II. 1. 0,(4). 2. 4,4301 • 10*; 4,83 • Ю'*; -2,5-10-*. 3. «2664,89. 4. «0,429. 5. 7,458-10^ 2,6 • Ю’®; 3,056. 7. «2,3. 8. «3,3. 9. «0,909. 10. 5,63 •10-^ 8,0208. 11. «8,5. 12. 1) « 73,2; 2) «0,0761. 13. « 7,28. Глава III. 1. 7>V48; 2yj3<3yj2; 2. 63; 6; 5; |; 17; 27. 3. -2^; 5V7. 7-2710; 1.4. 2аТ^. 5. x-yj3; ^-•Jy . 6. 2-Тз. 7. а) 4,6 <7^; 7^-1 1. 2 1. 2] 4 3 4. З] 2’ 3 2’ 3 > 5’ 5 5’ 5 б) 2Т37<57б; 8. б) -10; в) -73; г) -2. 9. 7^- Ю- р • И- 3 + 2yj2. yJX -j- L 12. 5. 13. 40\ху\. 14. б) - ^ . 15. а) 7лг+2 + 3; б) 72-1- 16. х<2-. х{у1х + у1у) 3 Глава IV. 1. а) х = 0; б) Xi = -1, ^2 = 2; в) д:12 = ±^; г) д:, = 0, Х2 = 1^; Д) ^1.2 = ^; е) Xi = 17, д:2=-1; ж) Xj=-2, Х2 = ^; з) нет корней. 2. 1) (д:-2)(д: + -1-3); 2) (х-(-1)(2х-3). 3. 9 км/ч; 12 км/ч. 4. (8,5; 0,5). 5. д: = -15. 6. -Идс. 7. 12 км/ч, 16 км/ч. 8. а) (6; 9), (-9;-6). 9. а = 1. 10. qx^+p(q + l)x + -1-(7 + 1)2 = 0. 11. х = -1. 12.25. 13. Глава V. 1. -4. 2. д;1 = 0, Х2 = 2. 3. у >0 при -1<х<1; у<0 при д:<-1; х>1. 4. х>0; х<0. 5. (3; 0). 6. д:о = ~2.5, у = -6. 7. Функция убывает при х<-—, возрастает при х>~— (рис. 76). 8. (/ = 6^. 9. Рис. 77. 2 2 8 10. у = -х^ + 4х. 11. о > о, б < о, с<0. 12. а) Рис. 78; б) рис. 79. Глава VI. 1. а) -0,230; в) -1<х<4; г) х —любое действительное число; д) нет решений; е) х = -10. 2. х^1, -2<х<0. 3. а) x5; б) х<1, х>3,2; в) 0,4<х<2; г) нет решений. 4. -6< <х<-3, 0<х<5. 5. а) 4<х<10; б) х<-9, х^-1. 6. -4^<х<-3, х>2^. I м 7. q>4. 8. -3<х<-1, -1<х<5. 9. Если а = 1, то х<1, х>1; если аФ1, то X — любое действительное число. i'll У1 \ / -2\ 0 11 X \ / -24 Рис. 76 Рис. 77 Рис. 79 326 Ответы Указания к решению задач повышенной трудности 856. Воспользоваться равенством 111 = 3-37, откуда 333 = 9-37 и 555 = = 15-37. 857. Число 11" оканчивается цифрой 1. Число 12^^ оканчивается цифрой 6, так как число 12'* оканчивается цифрой 6 (проверить умножением), 12*^ = (12^)®; а произведение чисел, оканчивающихся цифрой 6, также оканчивается цифрой 6. Число 13*® оканчивается цифрой 3, так как число 13'' оканчивается цифрой 1 (проверить умножением), поэтому число 13*® = (13®)® также оканчивается цифрой 1, а число 13*®=13*®х X 13 — цифрой 3. Данное число оканчивается нулём, так кгпс l-f6-f3 = 10. 858. Данное число оканчивается цифрой 4, так как 1982*®*® = (1982'')‘'®'‘х X1982® и в этом произведении первое число оканчивается цифрой 6 (см. указание к задаче 857), а второе — цифрой 4. 859. Произведение двух натуральных чисел оканчивается нулём только в двух случаях: 1) когда хотя бы одно из этих чисел оканчивается нулём; 2) одно из этих чисел оканчивается цифрой 5, а другое — чётное число. Выяснить, сколькими нулями окгшчивается произведение чисел от 1 до 10, затем от 11 до 20 и т. д., обратив особое внимание на произведение от 41 до 50 и от 91 до 100. 860. Известно, что при делении степени числа 10 с любым натуральным показателем на 9 остаток равен 1. Поэтому при делении числа 10®®-fl0*® на 9 остаток равен 2. 861. При решении таких задач полезно использовать следующее свойство делимости чисел: если натуральные числа пит делятся на натуральное число k, то числа п + т и п-т (при п>т) также делятся на число к. Произведение (п-1)х X л(л-ь 1) = л®-л, где натуральное число п>2, трёх последовательных натуральных чисел делится на 6, так как одно из них делится на 3 и хотя бы одно из них является чётным. Вычтем из данного числа га®-н11 и число л® - л (с целью уничтожения л®) и прибавим это же число л® + -I-11л-(л®-л)-t-(л®-л) = 12ли-(л®-л). Так как 12л делится на 6 и л®-л делится на 6, то их сумма, т. е. данное число, также делится на 6. 862. См. указание к задаче 861. 863. Из разложения данного числа на множители л®-л = (л-1)л(л-t-1)(л®-ь 1) следует, что это число делится на 6 (см. указание к задаче 861). Если ни одно из чисел л-1, л, п+1 не делится на 5, то п = 5т + 2 или п = 5т + 3, где т — целое число. Показать, что в обоих этих случаях число л® 1 делится на 5. 864. Показать, что л®-5л®-ь 4л = (л- 2)(л - 1)л(л1)(л-ь 2). 865. Запишем искомое пятизначное число д: в виде суммы разрядных слагаемых д:=10 000а-1--н 10005100с-I-lOd И-1, где а, Ь, с, d, t — цифры, причём аФО. По условию задачи второе число у = 9д:= 10 000<-f lOOOd-i-ЮОс-н 105-(-а. Заметим, что если а>1, то число 9х шестизначное. Следовательно, а = 1, поэтому ^ = 9 и равенство у = 9х таково: 90 000-t-90005-i-900c-i-90(i-(-81 = 90 000-i--t-lOOOd и-100с-(-106-и 1, откуда 899680с8 = 91d. Из этого равенства следует, что 6 = 0, так как при 6^1 левая часть равенства больше 899, а правая часть меньше или равна 91-9 = 819. Из равенства 80c-f8 = 91d сле- Ответы 327 дует, что d^O ч d делится на 8, т. е. d = 8, и поэтому с = 9. 866. Если первое трёхзначное число х = 100а + lOfe + с, где а, Ь, с — цифры и а*0, то второе число I/= 100с + 10Ь + а и с*0. Разность х-у = 99(а-с). Предположим, что 99 (а - с) = л*, где п — натуральное число. Тогда л делится на 3, т. е. л = ЗЛ, и поэтому 11(а-с) = А^. Из этого равенства должно следовать, что k делится на 11, но тогда разность а-с должна делиться на 11, а этого не может быть, так как а и с — цифры. 867. Воспользоваться равенством 35х + 65р = 6(3x + 8i/) + 17(х + р). 868. Показать, что сумма квадратов двух нечётных чисел является чётным числом, не делящимся на 4, и что такое число не может быть квадратом натурального числа. 869. Сумму S квадратов пяти последовательных натуральных чисел можно записать так: S = (л - 2)^ + (л - 1)^ + л^-н (л-I-1)^ + (л + 2)^ = 5 х х(л* + 2), где натуральное число л^З. Если предположить, что 5(л^ + 2) = А^, где k — натуральное число, то число k должно делиться на 5, и поэтому число л^ + 2 также должно делиться на 5. Однако покажем, что число л*+ 2 не делится на 5 ни при каком натуральном л. При делении натурального числа л на число 5 остаток г может быть равен одному из чисел о, 1, 2, 3, 4, т. е. n = 5k + r, где k — неотрицательное целое число. Тогда л^ +2 = 5(5ft^ +2Дгг) + г*+2. Для того чтобы это число делилось на 5, нужно, чтобы число г^ + 2 делилось на 5. Однако при г, равном 0, 1, 2, 3, 4, значения г^+2 равны соответственно 2, 3, 6, 11, 18. 870. Данное число а = л*-1-5л-1-16 можно записать так: а = (л-4)* + 13л. Если это число делится на 169=13-13, то число (л-4)^ и число л-4 делятся на 13, т. е. л = 4-ь13А, где k — неотрицательное целое число. Но тогда a=169ft^ + 13(4 + 13ft)= 169(ft^ +fe)+13 • 4, a это число не делится на 169. 871. Нужно доказать, что если хотя бы одно из натуральных чисел л, т не делится на 3, то и число it‘ + не делится на 3. Пусть число л не де- лится на 3, т. е. или л = ЗА+1, или n = 3k + 2, где k — неотрицательное целое число. Тогда или л* = 3(ЗЛ* +2fe)-b 1, или H* = 3(3fe^-t-4ft-i-1)+1. В обоих случаях при делении числа л^ на 3 остаток равен 1. Поэтому при делении числа л* + л1* на 3 остаток равен 1, если число т делится на 3, или остаток равен 2, если число т не делится на 3, т. е. число л^ + не делится на 3. 872. Показать, что если п = 7т + г, где т — неотрицательное целое число, а г — остаток от деления числа л на 7, то л* — 3 = 7А + г® — 3, где k — целое неотрицательное число. Осталось проверить, что при каждом значении г, равном 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, число г® - 3 не делится на 7. 873. Так как р — простое число, то оно нечётное: p = 2k+l, где k — натуральное число, А>2. Поэтому число р®—1 = 4А(А+1) делится на 8. Так как число р не делится на 3, то р = 3/п-н1 или р = Зт + 2, где т — натуральное число. В первом случае число р®—1 = 3(3л1® +2л1) делится на 3, во втором случае число р® — 1 = 3(9лг®-н-4л1-I-1) также делится на 3. 874. При л = 3 значение л®-1-8 =17 — простое число. Ек;ли л>3, л — простое число, то число л® -ь 8 не является простым, так как л®-I-8 = (л® — 1) и-9 делится на 3 (см. указание к задаче 873). 875. Так же 328 Ответы как и в задаче 873, показать, что при делении на 4 и на 3 остаток равен 1. Пусть г — остаток от деления числа на 12, т. е. р^=12п + г, где п — натуральное число, а г — целое число, 0^г<11. Так как 12 делится на 4 и на 3, то при делении числа 12п + г на 4 получается такой же остаток, какой и при делении числа г на 4. Аналогично при делении числа \2п + г на 3 получается такой же остаток, какой и при делении числа г на 3. Итак, при делении числа г на 4 и на 3 остаток равен 1. Проверкой показать, что среди чисел г, рав- ных О, 1, 2, ..., 11, только г=1 удовлетворяет этому условию. 876. Воспользоваться равенством н-4 = + 2)^ - 4га* = (л* + 2 + 2л)(п* + 2 - 2га). 877. Записать уравнение в виде (дг-1)(у-1)= 1. 878. 1)—3) Избавиться 1 >/a-Vb от иррациональностей в знаменателях с помощью формул -7=-^ =----—, 1 + ... . .. _ + , где а>0, Ь>0, афЬ. 4) Воспользоваться равенством ^ ^5) Выражения левой и правой частей ^Ja -^Jb а-Ь _______1______________________ (а и-га)(а + га + 1) а + п a-i-ra + l' равенства представить в виде многочленов стандартного вида и сравнить их. 879. Воспользоваться равенством задачи 878(5). 881. Преобразовать исходное равенство к виду (а + fe)(5 + с)(с + а) = 0. 882. Показать, что данное выражение равно (а-6)(<)-с)(с-а). 883. Преобразовать исходное равенство к виду аЬ(а-Ь) + с(а*-6*) = аЬс(а*-5*) + аЬс^(а-Ь). Делением обеих частей этого равенства на (а-5) получается равенство о5 + 6с + са = = аЬс(а + Ь + с), откуда делением на аЬс получается равенство, которое нужно доказать. 884. Полезно ввести обозначение = x" + у", где га — нату- ральное число. По условию Si=x + y = a, ху = Ь. Поэтому S2 = x^ + y^ = (x + + yY — 2ху = а* - 26. Показать, что при л > 3 справедлива формула S„ = aS„.j-6S„_2. По этой формуле поочерёдно выразить S3, S4, S5, Sg через а и 6. 885. 1) Сначала сложить третью и четвёртую дроби данного выражения, к результату прибавить вторую дробь и к последнему результату прибавить первую дробь. 2) Привести дроби к общему знаменателю и упростить числитель полученной дроби. 3) Показать, что при 1 < X < 2 справедливы равенства ^х + 2yjx -1 = ^(1 + = 1 + -Jx -1, yjx - 2y[x -1 = ^(1 - = |l - -1| = 1 - yJx-1. 4) Сначала показать, что при данных условиях подкоренные выражения данного выражения положительны и его знаменатель не равен нулю, затем исключить иррациональность в знаменателе умножением числителя и знаменателя на (у]т + X + -Jm - х). При дальнейших преобразованиях воспользоваться равенством - If = 1 - га" при 0<га<1. 886. 1)—4) Используя определение модуля числа, рассмотреть различные случаи значения модуля выражения, содержащего неизвестное. 5) Для краткости записи удобно ввести обозначение, например х* + Зх = t. 6) Удобно ввести обозначение, напри- Ответы 329 мер x^ + 6x + 5 = t. 7) Ввести обозначение x + — = t, тогда x^ + -^ = t^-2. X X 8) Данное уравнение можно записать так: д:(л:+1)(х-1)(х + 2)+1 =0, или, перемножая х на (л:+1) и (дс-1) на (х + 2), так: (х^ + х)(х^ + х — 2)+1 = 0, поэтому удобно ввести обозначение x^ + x = t. 887. 1) Складывая уравнения системы, получаем {х -н yY = 25, откуда х + у = ±5; далее применить способ подстановки. 2) Вычитая из второго уравнения первое, получаем х + у=7\ далее применить способ подстановки. 3) Складывая уравнения системы, получаем (дг +1/)^(х-(-у) - 30 = 0, откуда х + у = 5 или х + у = -6; далее применить способ подстановки. 4) Складывая уравнения системы, получаем х^ + x-\2 = Q, откуда д: = 3 или х = -4. Подставляя эти значения X в одно (любое) из уравнений системы, находим соответствующие значения у. 5) Вычитая из второго уравнения первое, возведённое в квадрат, получаем ху = 2\ далее применить способ подстановки. 6) Обозначая х + у = и, xy = v и используя равенство задачи 884(2), получаем систему двух уравнений - 4и*о-t-2ы^ - 17ы* = 0, v = 2u, которую можно решить способом подстановки. 7) Вычитая из первого уравнения второе, получаем (у -2х)^ = 1, откуда у = 2х+1 или у = 2х-1. 8) Прибавляя к первому уравнению, умноженному на 5, второе, умноженное на 7, получаем уравнение 12у^ - 19ху = о, решая которое как квадратное относительно у, находим у = — или у = —. 888. 1) Разделив второе уравнение на первое, 4 3 получим уравнение 2у’‘ - 5ху + 2х^ = 0, решая которое как квадратное относительно у, находим у = 2х или у = —х. 2) Разделив второе уравнение 2 4 ^ на первое, получим 121/^-25дсг/+12х^ = 0, откуда у = —х или у = —х. 3 4 3) Из второго уравнения получаем у^ = 5x^ + 4. Подставляя это значение у^ в первое уравнение системы, получаем 16х = 0, откуда или дс = 0, или х^-5x1/=16. При х = 0 по формуле у’‘= 5x^ + 4 находим i/ = ±l. Во втором случае получается система двух уравнений х* - 5ху = 16, 5х^ ~У^ = = -4. Разделив первое уравнение на второе, получаем 4i/*-t-5x{/-21x* = 0, 7х откуда у = -3х или у = —. 4) Обозначая х + у = и, xy = v и используя ра- 4 венство x^ + y^ = u^-2v, получаем систему двух уравнений u(u^-2o) = 5, i»^(u^-2o) = 20. Разделив первое уравнение на второе, находим u = —v^. 4 Подставляя это значение и в одно из уравнений системы, получаем уравнение о*-32и*-320 = 0, квадратное относительно о®, откуда и = -2 и тогда и= 1, или и = 2ф и тогда и = Возвращаясь к неизвестным х и г/, получаем две системы х + у=1, ху = -2; х + у = ху = 2^. Первая из них имеет два действительных решения (2; -1) и (-1; 2), а вторая не имеет действительных решений. 5) Обозначая х + у = и, xy = v и исполь- 5 зуя равенство задачи 884(1), получаем систему двух уравнений u = —v, 8(u®-3uo) = 65. Подставляя значение и из первого уравнения во второе. 330 Ответы получаем уравнение 125и®-60о^-65 = 0, которое с помощью разложения его левой части на множители можно записать так: (о-l)(125o^ + 65o + + 65) = О, откуда 0=1, так как уравнение 125о® + б5о + 65 = О не имеет действительных корней. 6) Сначала рассмотреть случаи у = ±х. При уф±х, разделив первое уравнение на х — у, а второе — на х + у, получаем систему двух уравнений х^ + ху + у^=19, х^-ху + у^=7. Вычитая из первого уравнения этой системы второе уравнение, получаем 2д:р=12, откуда у = —. X 7) Разделив первое уравнение на второе, получаем 2у^ - Ъху + 2х^ = О, откуда у = 2х или у = —х. 8) Перемножая уравнения, получаем ху = 8, от- Q ^ куда у = —. 889. 1) С помощью формулы корней квадратного уравнения X ах^ + Ьх + с = 0, где ач^О, показать, что это уравнение имеет равные корни (т. е. один корень) только тогда, когда D = b^-4ac = 0. В данном случае D= =г^-4(2г-3). 2) Если корни квадратного уравнения действительные, то из теоремы Виета следует, что они являются противоположными числами только при 5 = 0, т. е. в данном случае Ь = г = 0. Осталось показать, что при г=0 корни данного уравнения действительные. 890. Показать, что при г>0 корни данного квадратного уравнения действительные, поэтому Xi + X2 = r, XiX2 = -r. Используя эти равенства и равенства задачи 884(1), показать, что xf + + (JCiJC2)® = Зг^. 891. Доказать, что в данном случае D = {(а + ЬУ - с^)Ца - Ь)^ — с^). 892. Доказать равенство (р^ - 4д). 893. Пусть рациональное число д: = —, где т — целое число, п — натуральное число, — — несократи-п ^ п мая дробь, является корнем данного уравнения, т. е. ^^+ р— + а = 0. То-2 гГ п гда — = - рт -дп — целое число, поэтому л = 1. 894. Данное биквадратное п уравнение имеет четыре различных действительных корня только тогда, когда уравнение t^-(a + b)t + ab = 0 имеет два действительных различных положительных корня, т. е. когда, во-первых, (а + bf - 4аЬ = (о - ЬУ > О, откуда ач^Ь, и, во-вторых, по теореме Виета а + Ь>0 и аЬ>0, откуда а>О, 5 > 0. 895. Корни данного уравнения действительные, так как 4(г-1)^-4(2г+1) = 4г^-16г>0 при г<0. По теореме Виета оба корня отрицательны только тогда, когда г-1<0 и 2г+1>0. 896. Снача- ла рассмотреть случаи, когда первый коэффициент г^—1=0, т. е. г = ±1. При г^±1 данное неравенство является квадратным. Так как оно должно выполняться при всех действительных значениях х, то уравнение (г^ — 1)х^ + 2(г—1)х + 1 = 0 не должно иметь действительных корней, т, е. должно выполняться условие 4(г-1)^-4(г^-1)<О, откуда г>1. Таким образом, если г>1, то квадратичная функция у(х) = (г^-1)х^ + 2(г-1)х+1 при всех действительных значениях х принимает значения одного зна- l] г + - р^-4д [-41 = 4р^ + [--1 г г j '•J Ответы 331 ка: или только положительные, или только отрицательные. Осталось заметить, что 1/(0)= 1>0. 897. Сначала показать, что х^-ьх-ь1>0 при всех значениях х. Поэтому, умножая исходное двойное неравенство на х^ + х+1, получаем — (х* + х+1)<х* — х+1<3(х^-их + 1). В этом двойном неравенстве 3 первое неравенство преобразовать к виду (x-l)^^O, а второе — к виду (х+1)^>0. 898. Пусть X — общий действительный корень данных уравнений, т. е. х^ + ах+1=0 и х^ + х + а = 0 — верные равенства. Вычитая из первого равенства второе, получаем (а- 1)(х—1) = 0. Если а=1, то исходные уравнения одинаковы и не имеют действительных корней. Следовательно, общим корнем может быть только х = 1. Подставляя х = 1 в первое уравнение, находим а = -2. Проверка показывает, что при а = -2 оба уравнения имеют общий корень х=1. 899. Пусть Xj—общий корень данных уравнений, Хг — второй корень первого уравнения, Xg — второй корень второго уравнения. Вычитая из равенства xf + axi + bc = 0 равенство Xj^-I-bxj + ас = о, получаем (a-b)(Xj-с) = 0. Так как а^Ь, то Xi=c. Подставляя х = с в первое уравнение, получаем с(а+ Ь + с) = 0. Так как с^О, то а-1-Ь + с = 0. По теореме Виета находим Хг = Ь, Xj = a. Осталось проверить, что если а + Ь + с = 0, то Xj = с, х^ = Ъ — корни первого уравнения, Xj = с, Xg = а — корни второго уравнения, Xg = Ь, Xg = а — корни третьего уравнения. 900. Сначала рассмотреть случай г =4. При г* А данное уравнение является квадратным. Показать, что корни уравнения х^ + рх + q = 0 положительны только тогда, когда - Aq^O, р<0, q>0. Поэтому при г^А задача сводится к решению системы трёх неравенств: 9—2г>0, 3-г <0, > 0. 901. Воспользоваться формулой корней квадратного г-4 ' г-4 уравнения и теоремой Виета. 902. Сначала рассмотреть случай г = 0. При г*0 данное уравнение имеет действительные корни только при условии (г-t-1)^-8г>0, откуда г^З-2^/2 или r^3 + 2yj2. Пусть г>0. Тогда графиком функции у = у(х) = 2гх^-{г+1)х+1 является парабола, ветви которой направлены вверх. С помощью эскиза графика показать, что нули Xj, Xg этой функции принадлежат интервалу -1<х<1 только тогда, когда абсцисса Хц = ^ ^ ^ вершины параболы также принадлежит этому ин-4г тервалу и у(-1)>0, у(1)>0. Получается системы трёх неравенств: 2г-1-(г-(-!)-(-1 >0, 2г-(г-ь 1)-|-1 >0. Решая эту систему, полу-4г чаем r>i. Далее показать, что 3-2yj2 < — <3 +2yj2. Следовательно, 3 3 r^3 + 2yj2. Аналогично рассмотреть случай г<0. 903. С помощью эскиза графика функции y = x'^ + px + q показать, что j/(-l)<0, у(1)<0. 904. 1) Так как график функции у = ах^ + Ьх + с не имеет общих точек с осью абсцисс и i/(l) = a + b + c>0, то весь график расположен выше оси абсцисс, в частности i/(0) = c>0. 2) Аналогично, как и в предыдущем 332 Ответы случае, использовать условие с/-р + 1 = j/(-l)<О. 905. Сначала доказать равенство S„. = (jci+X2)S„._,-Xi3:2S„.2- Поэтому aS„ + feS„.j+cS„_2 = (a(xi + +jC2) + b)S„,_i+(-ax,X2 + c)S„_2 = 0, так как по теореме Виета Xi + Х2 = -—, х,Х2 = —. 906. Пусть — + — = t. Тогда ^ + ^ = t^-2 и данное выражение у а Ь а таково: р = Зг - 8< + 4 = 3 ‘-I (t - 2). Если аЬ<О, то t<0 и у = 3t^-+ и у = 3 + 4 > 0. Если aft > О, то t = ^ + 2^2 аЬ аЬ 907. Доказать равенство х^ + 5у^ - 4ху + 2х - бу + 3 = (х - 2р + 1)^ + (р - 1)^ + 1. 908. Показать, что ордината вершины первой параболы равна -а^ — 2а, а ордината вершины второй параболы равна дится к решению неравенства _а^_2а- — 4а -1 4а [40==-1 \ 3 [ 4a 4 Поэтому задача сво- < О, которое мож- но решить методом интервалов. 909. Показать, что задача сводится (как и в задаче 908) к решению неравенства (_4а" - а + 5)(а - 2 - - + 5 >0. 910. 1) x^-6x^-x + 30 = x^ + 2x*-(8x^-32)-x-2. 2) Обозначая x^ + x+l = ^, показать, что данное выражение равно (t + 4)(t-3). 3) х*-х^ — 7х^ + х + 6 = = x^-x»-(7x^-7) + (x-l) = (x-l)(x3-7x-7+l) = (x-l)(x^+l-7(x+l)) = (x-l)x х(х+1)(х^-х+1-7). 4) Обозначая х^ + 4x + 3 = t, показать, что данное выражение равно (x+t)(2x+t). 911. х^ + X + 1 = х^ + X* - X* + х^ - х^ + х^ - х^ + + х + 1=х^ + х* + х^ + х^ + х+1~ (х* + X® + х^) = х®(х^ + X + 1) + (х^ + Х + 1)- -х^(х^ + х+1). 912. 1) Числитель равен (х^+1)^(х-1)(х+1), знаменатель равен (х^+1)(х+1). 2) Числитель равен (х+1)(х + 2)(х —2), знаменатель равен (х-н 1)^(х-2). 3) Числитель равен х®(х-2) + (х-2) = (х+1)(х-2)х х(х*-х+1), знаменатель равен х*-х^ + х-2х^ + 2х-2 = (х-2)(х^-х+1). 914. 1)—4) Воспользоваться методом интервалов. 5) Показать, что |х^-5х| = х^-5х при х<0 и при х^5, |х^-5х| = -(х^-5х) при 0<х<5. О О О о 6) Рассмотреть случаи х<--, --$х<—, х>—. 7) Показать, что данное 2 2 4 4 неравенство таково: |x+l||x + 3|>|x-i-3|. Поэтому нужно решить неравенство |х+1|>1 при условии x?t-3. 8) Показать, что х^-х+1>0 и х^-3х + + 4 > о при всех значениях х. Поэтому данное неравенство таково: х^ — х + + 1^х® —Зх + 4. 915. Преобразовать в неравенство: 1) (а —l)* + (ft-1)^>0; 2) (a-ft)2 + a2 + 4ft2>0; 3) (a-ft)2 + (a-l)^ + (ft-D^^O; 4) 5) (a - ft)^ 2 ^ ^3ft^ [1 2 4 / ' 1. a,-b + fb's0: 4 CTBo: 1) (yja - yjbf + >0; 6) a^ft^(a-ft)^^0. 916. Преобразовать в неравен- \2 ^Z / \2 / \2 1______^ >0; 2) J_____^ yfa yjb fa -1 ^-1 Гь >0. Ответы 333 едметныи указатель Абсолютная погрешность 77 Арифметический квадратный корень 125 Ьиквадратное уравнение 187 Нершина параболы 230 График квадратичной функции 249 /1войное неравенство 48 Действительное число 131 Иррациональное число 131 Квадратный корень 125 Квадратное неравенство 263 Квадратный трёхчлен 182 Квадратное уравнение 161 Квадратичная функция 226 Метод выделения полного квадрата 169 — интервалов 276 Микрокалькулятор 100 Модуль числа 61 Неполное квадратное уравнение 166 Неравенство с одним неизвестным 35 Нестрогое неравенство 30 Округление чисел 86 Основные свойства неравенств 39 Относительная погрешность 90 Парабола 230 Периодическая дробь 129 Посторонний корень 188 Практические приёмы приближённых вычислений 92 Приближённое значение величины 76 Приведённое квадратное уравнение 179 Растяжение графика функции 236 Рациональное число 7 Решение неравенства 35 — системы неравенств 48 — —, содержащей уравнение второй степени 200, 205 Свойства числовых неравенств 18 Сдвиг графика функции 242 Сжатие графика функции 237 Система неравенств с одним неизвестным 47 Сложение неравенств 24 Стандартный вид числа 93 Строгое неравенство 30 Теорема Виета 180 —, обратная теореме Виета 181 — о квадратном корне из дроби 147 — о квадратном корне из произведения 141 — о квадратном корне из степени 136 — о разложении квадратного трёхчлена на множители 182 Тождество 136 Точность измерения 81 Умножение неравенств 25 Уравнение параболы 243 Фокус параболы 231 Формула корней квадратного уравнения 173 Числовое неравенство 14 Числовой промежуток 49 334 Предметный указатель ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА I. НЕРАВЕНСТВА............................ 5 § 1. Положительные и отрицательные числа............... 6 § 2. Числовые неравенства............................. 14 § 3. Основные свойства числовых неравенств............ 17 § 4. Сложение и умножение неравенств.................. 24 § 5. Строгие и нестрогие неравенства.................. 30 § 6. Неравенства с одним неизвестным.................. 34 § 7. Решение неравенств............................... 38 § 8. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки....................................... 47 § 9. Решение систем неравенств........................ 54 § 10. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль........................................... 61 Упражнения к главе 1............................. 67 ГЛАВА II. ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ................ 75 § 11. Приближённые значения величин. Погрешность приближения...................................... 76 § 12. Оценка погрешности............................... 80 § 13. Округление чисел................................. 85 § 14. Относительная погрешность........................ 89 § 15. Практические приёмы приближённых вычислений .... 92 § 16. Простейшие вычисления на микрокалькуляторе...... 100 § 17. Действия с числами, записанными в стандартном виде . 106 § 18. Вычисления на микрокалькуляторе степени и числа, обратного данному............................... 111 § 19. Последовательное выполнение операций на микрокалькуляторе............................... 115 Упражнения к главе II........................... 118 ГЛАВА III. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ..................... 124 § 20. Арифметический квадратный корень................ 125 § 21. Действительные числа............................ 128 § 22. Квадратный корень из степени.................... 135 § 23. Квадратный корюнь из произведения............... 140 § 24. Квадратный корень из дроби...................... 146 Упражнения к главе III.......................... 152 Оглавление 335 ГЛАВА IV. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ...................159 § 25. Квадратное уравнение и его корни................160 § 26. Неполные квадратные уравнения................166 § 27. Метод выделения полного квадрата................169 § 28. Решение квадратных уравнений.................172 § 29. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета.179 § 30. Уравнения, сводящиеся к квадратным..............187 § 31. Решение задач с помощью квадратных уравнений....193 § 32. Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени................................200 § 33. Различные способы решения систем уравнений......205 § 34. Решение задач с помощью систем уравнений.....210 Упражнения к главе IV.........................215 ГЛАВА V. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ.................224 § 35. Определение квадратичной функции.............225 § 36. Функция у = х^ ..............................230 § 37. Функция у = ах^..............................235 § 38. Функция у = ах^ + Ьх + с.....................241 § 39. Построение графика квадратичной функции......248 Упражнения к главе V..........................255 ГЛАВА VI. КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА..............261 § 40. Квадратное неравенство и его решение.........262 § 41. Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции..........................268 § 42. Метод интервалов.............................275 Упражнения к главе VI.........................281 УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ VIII КЛАССА........................................285 ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ........................302 КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ VII КЛАССА .. . 308 ОТВЕТЫ.............................................315 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ...............................334 336 Оглавление Учебное издание Колягин Юрий Михайлович Ткачёва Мария Владимировна Фёдорова Надежда Евгеньевна Шабунин Михаил Иванович АЛГЕБРА 8 класс Учебник для общеобразовательных организаций Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Н. Н. Сорокина Младшие редакторы Е. А. Андреенкова, Е. В. Трошко Художественный редактор О. П. Богомолова Технический редактор и верстальщик Т. М. Якутович Корректоры Н. А. Юсупова, Т. А. Лебедева Компьютерная графика А. Г. Вьюниковская, И. В. Губина Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с оригинал-макета 11.12.12. Формат 70x90 Vie- Бумага офсетная. Гарнитура NewtonC SP. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 17,11+0,51 форз. Доп. тираж 10 000 экз. Заказ № 34776 (п-гз>. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в филиале «Смоленский полиграфический комбинат» ОАО «Издательство «Высшая школа» 214020, Смоленск, ул. Смольянинова, 1 Тел.: +7(481^31-11-96. Факс: +7(4812)31-31-70 E-mail: [email protected] https://www.smolpk.ru Квадратичная функция у = ах^ + Ъх с, а ^ О у = ах^ Ъх + с = а (х - х^У + у^ h ^0 2а у = ах^ +Ъх + с Наименьшее значение функции Уо = У У\ < а<0 Уч ^о\ - 0 \ ^ Наибольшее значение функции Уо=У Квадратные корни если а ^ О, то \[а ^ О, I а = \а\ если а ^ О, Ь ^ О, то Vab — \[а'\1ь если 0,Ь > О, то 1/-^ = S Ь \Jb Формулы Виета + рх + g = о Л^! + ЛГ2 = ~Р ах^ + Ьл: + с = О Ь ^1+^2=--^ х,х^ = — 1 2 а