Учебник Алгебра 7 класс Муравин Муравин Муравина

г, к. Муравин, К. С. Муравин, О. В. Муравина АЛГЕБРА Vf 32Sc г. к. Муравин, К. С. Муравин, О. В. Муравима АЛГЕБРА Москва ^ D р О ф а 2013 УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 М91 Муравин, Г. К. М91 Алгебра. 7 кл. : учеб, для общеобразоват. учреждений / Г. К. Муравин, К. С. Муравин, О. В. Муравина. — 9-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2013. — 285, [3] с. : ил. ISBN 978-5-358-11925-3 Учебник является частью учебно-методического комплекса по математике для 5—11 классов. Теоретический материал, как и в предыдущих изданиях, разбит на обязательный и дополнительный, четко сформулированы алгоритмы решения стандартных задач, система упражнений дифференцирована по уровню сложности. Дополнительные материалы: практикум по решению текстовых задач, исследовательские работы, домашние контрольные работы и др. — помогут организовать разнообразную деятельность учащихся на уроке и дома. Учебник (8-е издание) имеет новое художественное оформление. Учебник рекомендован Министерством образования и науки Российской Федерации, включен в Федеральный перечень учебников. УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 ISBN 978-5-358-11925-3 ООО «Дрофа», 1996 ООО «Дрофа», 2011, с изменениями —'Г ta \' Оглавление Глава 1. Математический язык § 1. Выражения................................. 7 1. Числовые выражения....................... 7 2. Сравнение чисел......................... 14 3. Выражения с переменными ................ 19 §2. Уравнения................................ 28 4. Математическая модель текстовой задачи. 28 5. Решение уравнений....................... 36 6. Уравнения с двумя переменными и их системы 44 Глава 2. Функция § 3. Функции и способы их задания............. 52 7. Понятие функции......................... 52 8. Таблица значений и график функции....... 56 § 4. Функция у = кх........................... 65 9. Пропорциональные переменные............. 65 10. График функции J/= fex................. 71 §5. Линейная функция......................... 76 11. Определение линейной функции........... 76 12. График линейной функции................ 79 13. График линейного уравнения с двумя переменными..................... 86 Глава 3. Степень с натуральным показателем § 6. Степень и ее свойства.................... 93 14. Тождества и тождественные преобразования . . 93 15. Определение степени с натуральным показателем............................. 98 16. Свойства степени...................... 103 О :^TV ^ § 7. Действия со степенями................... 108 17. Одночлены............................ 108 18. Сокращение дробей.................... 111 Глава 4. Многочлены §8. Произведение одночлена и многочлена...... 116 19. Понятие многочлена................... 116 20. Преобразование произведения одночлена и многочлена........................... 122 21. Вынесение общего множителя за скобки. 126 § 9. Произведение многочленов................ 131 22. Преобразование произведения двух многочленов............................ 131 23. Разложение на множители способом группировки............................ 135 § 10. Формулы сокращенного умножения......... 139 24. Квадраты суммы, разности и разность квадратов.............................. 139 25. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения.......... 150 Глава 5. Вероятность 26. Равновероятные возможности........... 155 27. Вероятность события.................. 158 28. Число вариантов...................... 163 Глава 6. Повторение 29. Выражения............................ 175 30. Функции и графики.................... 182 31. Тождества............................ 194 32. Уравнения и системы уравнений........ 199 Исследовательские работы..................... 210 Практикум по решению текстовых задач......... 214 Проверь себя! Домашние контрольные работы.... 228 Ответы....................................... 234 Советы и решения............................. 248 Справочные материалы......................... 277 Список дополнительной литературы............. 283 Предметный указатель......................... 285 цЧ --'L^ л-L Ck 1 1 ^ Уважаемые семиклассники! В этом году вы начинаете изучение школьного курса алгебры. Алгебра — наука, возникшая в глубокой древности в Вавилоне и Египте. Слово «алгебра» происходит от арабского слова «альджебр». «Альджебр альмукабала» — так назывался труд знаменитого среднеазиатского ученого Мухаммеда из Хорезма (IX в.), написанный на арабском языке. В этом труде ученый систематизировал знания о решении уравнений, накопленные к тому времени учеными Греции, Индии, Армении и Арабского Востока. Альджебр — это прием решения уравнений, основанный на переносе членов из одной части уравнения в другую с противоположными знаками. При изучении математики в 5 и 6 классах вам уже приходилось пользоваться этим приемом. Теперь вам предстоит изучить алгебру, знание которой необходимо в физике, технике и других областях человеческой деятельности. Алгебра — один из важнейших школьных предметов, и самое трудное в нем — научиться решать задачи. Авторы подготовили много интересных задач и постарались помочь вам научиться их решать. В решении задач, номера которых не имеют обозначений, вы не должны испытать затруднений. Значком «О» отмечены задания, в которых путь к ответу, как правило, связан с небольшими техническими сложностями. Задачи, над которыми следует подумать, имеют обозначение «“^^», и, наконец, символом «'■•» обозначены наиболее трудные задачи. Если у вас есть микрокалькулятор, то вы сможете выполнить специальные вычислительные задания, отмеченные значком «•». +1' » V -л, 5> zz^n* ^ i и 11 ^^4 ш V Кроме основного материала, изучение которого обязательно, в учебнике помещен и дополнительный материал, знакомство с которым желательно. Начало дополнительного материала обозначается значком « Т *, а конец — « V ». В разделах «Ответы», «Советы и решения» вы найдете ответы к большинству заданий, а к некоторым из них — советы и даже решения. Решив задачу, сравните свой ответ с ответом в учебнике. Прочитайте совет по решению задачи или посмотрите ее решение. Но даже если наши ответы совпали, все равно полезно сравнить свое решение с решением в учебнике. Каждый пункт учебника завершается контрольными вопросами и заданиями, а к каждой главе предлагается домашняя контрольная работа. Если вы можете ответить на все контрольные вопросы, справляетесь со всеми контрольными заданиями и выполнили домашнюю контрольную работу, значит, материал вами усвоен. Желаем вам успехов! Авторы t Y Глава 1 л I* л МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК о п п ■э § 1. Выражения 1. Числовые выражения Алгебра — основа языка математики. В 5 и б классах вы уже немного научились «говорить» на этом языке. В нем, как и в русском языке, слова записываются с помощью букв. Однако в математическом языке используются не только сами буквы (как правило, латинские), но и числа, и знаки арифметических действий, а также скобки. Из них составляются выражения — слова математического языка. Записи, составленные по некоторым правилам из чисел, знаков действий и скобок, называют числовыми выражениями. Правила, по которым составляются выражения, хорошо вам известны. Это в первую очередь правило порядка действий, по которому сначала выполняются действия в скобках, затем возведение в степень, умножение или деление и, наконец, сложение или вычитание. Запишем несколько числовых выражений: 1,42 + 3,6-0,8; 2-7- 5 (12,7- 10,2)(0,83 +3,37); 3-25; 80-0,4-52; 1,25-0,08 13,2 - 13,7 Если в любом из этих выражений выполнить указанные действия, то получится число, которое называют значением числового выражения. Найдем значения некоторых из записанных выражений. Пример 1. Вычислить (12,7 - 10,2)(0,83 + 3,37). Решение. Сначала выполняем действия в скобках: 1) 12,7 - 10,2 = 2,5; 2) 0,83 + 3,37 = 4,2. Затем перемножаем полученные числа: 3)2,5-4,2 = 10,5. О # 9/ • в' ■I- Примечание. Умножение на 2,5 удобно заменить двумя более простыми действиями: умножением на 10 и делением на 4, 10 так как 2,5 = — . 4 Чтобы прочитать выражение, нужно определить, какое действие при вычислении значения выражения выполняется последним. Если последнее действие сложение, то выражение называют суммой, если вычитание, то разностью, если умножение (деление, возведение в степень), то произведением {частным, степенью). В рассмотренном примере последним действием было умножение, значит, выражение (12,7 - 10,2)(0,83 -I- 3,37) можно прочитать так: произведение разности чисел 12,7 и 10,2 на сумму чисел 0,83 и 3,37. Пример 2. Найти значение выражения 80 - 0,4 • 5^. Решение. 1) 52 = 25; 2)0,4-25 = 10; 3)80- 10 = 70. Данное выражение является разностью числа 80 и произведения числа 0,4 на квадрат числа 5. 1^ Примечание. Часто оказывается удобным читать выражение не по правилам, а так, как оно записано, например, 80 - 0,4 • 52: восемьдесят минус нуль целых четыре десятых умножить на пять в квадрате. Пример 3. Вычислить -^I’s 7 ‘ Решение. Это выражение — частное произведения чисел 1,25 и 0,08 и разности чисел 13,2 и 13,7. 1,25-0,08 _ =-0 2 13,2-13,7 -0,5 Как вы знаете, деление на нуль невозможно, поэтому, на-100-5,8-16,5 пример, у дроби 9-8-72 нулю, нет значения. Говорят, что выражение знаменатель которой равен 100 - 5,8 - 16,5 9-8-72 не имеет смысла. К правилам, по которым составляются выражения, относится и запрет на использование подряд двух знаков арифме- I О; '-г I Кллькчлятор gm ^«ека Г Рис. 1 тических действий. Так, например, поскольку минус как знак действия и минус как знак числа записываются одинаково, то нельзя записать разность чисел 5 и -3 без скобок: 5 —3, а следует взять вычитаемое в скобки: 5-(-3). ■ Заметим, что при работе с микрокалькулятором, который используется для упрощения вычислений, различают знак числа и знак действия. Поэтому чтобы ввести число -3, сначала вводят 3, а затем нажимают клавишу перемены знака «-ь/-» (третья слева в нижнем ряду на рисунке 1^). Работая с калькулятором, следует помнить, что он выполняет вычисления по действиям и, в отличие от нас, «не знает» правила порядка действий. Если, например, вы нажмете кнопки в следующем порядке: «4 -ь 3 * 2 =», то на дисплее калькулятора появится число 14, а не значение выражения 4 -t- 3*2, равное 10. Программа вычисления на калькуляторе значения выражения 5,17 + 3,4 : 2,7 выглядит так: «3,4 / 2,7 -I- 5,17 =». Запись числа в этой программе означает, что число вводится в калькулятор. Выполнив программу, получим на индикаторе число 6,42925... = 6,43 (6,43 — значение выражения с точностью до 0,01). ■ Числовые выражения часто получаются в результате перевода на математический язык текстов некоторых задач. Пример 4. От пункта А по течению реки отправился плот. Через 2 ч из пункта В, расположенного в 20 км ниже по реке, в пункт А вышел катер. Через какое время катер встретит плот, если скорость катера в стоячей воде 8 км/ч, а скорость течения реки 4 км/ч? Решение. Поскольку скорость плота равна скорости течения реки (рис. 2), то к моменту отхода катера плот прошел 4 • 2 (км), и расстояние между ними стало 20-4*2 (км). Скорость сближения катера и плота равна плот Рис. 2 * Здесь и далее рассматривается калькулятор популярной операционной системы Windows. i— скорости катера в стоячей воде, т. е. 8 км/ч. Составим числовое выражение для определения времени сближения катера с плотом и найдем его значение: 20-4-2 12 1 к / ч ---8----- Ответ; катер встретит плот через полтора часа после своего выхода из пункта В. № Примечание. Обычно в решении текстовых задач вспомогательные рассуждения подробно не записывают и стараются как можно быстрее составить выражение. Упражнения т Прочитайте выражение и найдите устно его значение: 1) 6,5 • 100 -Ь 0,3 • 10; 5) 6,73 • (23,1 - 22,1); 2) (8-Ь 4,3): 100; 6) 5,6: 8-0; 3) 0-1,25-8; 7)0:52-427; 4) (0-4): 1,25; 8)10-0,25-4. (Устно.) Какие из следующих выражений не имеют смысла: 7,82-15,6 . ' 4,18-2,09-2’ 2) (13,2 • 3 - 39,6): (0,83 + 0,17); 3) 147:0,7- 252-0,6 . (6-ь 5)2-62-52 4) (283-1,42): (32 4- 42- 52)? Даны два числа 37,5 и -12,5. Запишите: 1) произведение суммы данных чисел и большего из них; 2) произведение разности данных чисел на меньшее из них; 3) сумму большего из данных чисел и их частного; 4) разность меньшего из данных чисел и их произведения; 5) частное суммы данных чисел и их разности; 6) квадрат частного данных чисел. Запишите в виде числового выражения: 5 1 1) произведение 0,12 и суммы чисел 5 и - ; 8 4 г- /г 5. 6’ 8" 19 8 2) частное 2,12 и разности чисел 2^ и 3 — ; 10 3) произведение суммы чисел 1^ и 2,5 на частное чисел 35 и 0,625; 2 2 4) частное суммы чисел 1 - и 1,2 и разности чисел 1,1 и - . Вычислите: 1)0,3-3,52-3,7; 2) I : 9 + (0,732 - 0,75): 0,009; 3)4 К-М)-3.75-2; 4)481,92: 12-25,16; 5)2^ -2± -(13,7-1,5-21,55); в)й+4)+!1-з.7- Вычисляя значение одного и того же числового выражения, два ученика получили в ответе разные числа. Может ли оказаться, что: 1) оба ответа верные; 2) оба ответа неверные; 3) один из ответов правильный; 4) по крайней мере, один из учеников ошибся; 5) по крайней мере, один из учеников не ошибся? 1) Вычислите наиболее простым способом: а) (0,72 + 0,54): 9 - 0,7 - 0,2; б) (| - I] - 6-(2,71 + 7,29)-0,3; в) 56,43 - 8,987 - (6,43 - 8,987); г) Д- - 0,25 - 121-40 - J; XI о д) 1,4-47-14-5,7; е) 246-0,37-ЫЗО-0,246. 2) Какими свойствами арифметических действий вы воспользовались при вычислениях? 1) Вычислите с помощью микрокалькулятора: а) 0,4455-(-0,123); б) -678,50586-165,57; О — 9" 10. 12. в) -173,4831 : (-12,33); г) 67,92 - 45,78 • 59,345 + 98,771; д) 27,342 + (4,2 • 6,8342 _ 728); е) 4,036 - (6,347 - 9,738)3 : 3,2. 2) Составьте программу вычислений. 1) Запишите числовое выражение по данной программе вычисления его значения: а) 3,673 *3,673- 1,81/ 13; б) 88,435 / 15 + 27,5 / 3,7 * 4,2; в) 56,12 + 34,79 * 3,52 - 5,236; г) ® 6,31 *= =*9,02 + 5,03/3,64. 2) Вычислите с помощью калькулятора значение этого выражения с точностью до сотых. Запишите какое-либо числовое выражение, при вычислении значения которого нужно последовательно выполнить действия: 1) деление, сложение и умножение; 2) умножение, вычитание и деление; 3) сложение, возведение в куб и вычитание; 4) умножение, возведение в квадрат и сложение. 1) Запишите, используя три цифры 3 и, если нужно, знаки действий и скобки, числовое выражение, значение которого равно: а) 0; в)3; д) 6; ж) 18; б) 2; г) 4; е)11; з) 30. 2) Какие еще числа вы можете получить? Составьте числовое выражение по условию задачи и найдите его значение. 1) Из двух городов, расстояние между которыми 60 км, одновременно навстречу друг другу выезжают два велосипедиста: один со скоростью 12 км/ч, другой со скоростью 10 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч? 2) Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода: один со скоростью 4,5 км/ч, другой со скоростью 5,5 км/ч. Через 3 ч после выхода им оставалось до встречи еще 8 км. Сколько километров между пунктами А и В? \©+ 13! rii 3) Один экскаватор за 4 ч вынимает 1000 грунта, а другой за 5 ч — 1200 м^. За сколько часов совместной работы оба экскаватора выроют котлован, если при этом понадобится вынуть 19 600 м^ грунта? 4) Один токарь изготавливает 105 деталей за 5 ч, а другой — 72 детали за 3 ч. Сколько деталей изготовят оба токаря за 8 ч? 5) Машинистка в первый день перепечатала 20% рукописи, а во второй день — 25% всей рукописи. Сколько страниц рукописи перепечатала машинистка в первый день, если после двух дней работы ей осталось отпечатать еще 220 страниц? 6) 0 Туристы 30% своего маршрута прошли пешком, 25% проплыли на байдарках, а остальной путь проехали в автобусе. Сколько километров туристы проехали в автобусе, если весь маршрут составил 600 км? 1) Какие из следующих утверждений верны: а) сумма двух любых натуральных чисел есть число натуральное; б) разность любых двух натуральных чисел есть число натуральное; в) произведение любых двух натуральных чисел есть число натуральное; г) частное любых двух натуральных чисел есть число натуральное; д) квадрат любого числа является положительным числом? 2) Если вы не согласны с каким-либо утверждением, приведите контрпример (пример, опровергающий это утверждение). 14? Ответьте на вопросы. Утвердительный ответ подтвердите примером. Отрицательный ответ объясните. 1) Может ли сумма двух дробных чисел быть целым числом? 2) Может ли произведение двух дробных чисел быть целым числом? 3) Может ли сумма целого и дробного чисел быть целым числом? V0 I-------- 15. *^ Сколько натуральных двузначных чисел можно соста- вить из цифр: 1) 2и0; 2)1 и 2; 3)1,2и3; 4) 5, 6 и О? 16. “ 1) В выражении 36 : 3 + 3 • 3 расставьте всеми возмож- ными способами две пары скобок. 2) Найдите значения полученных выражений. В каком выражении значение получилось наибольшее? 17. “^ Пифагору приписывается следующее открытие: «Вся- кое нечетное число, кроме единицы, есть разность двух квадратов натуральных чисел». Проверьте это утверждение для всех нечетных чисел от 3 до 15. П Контрольные вопросы и задания 1. Приведите пример числового выражения, не имеющего смысла. 2. Составьте программу вычисления значения выражения 3,892 + 901,34 - 5,97^ с помощью микрокалькулятора. 3 3. Прочитайте числовое выражение 17,1 : 0,2 - 2- • 3,5 и найдите его значение. 4. Составьте числовое выражение, содержащее действия: сложение, вычитание и умножение, так, чтобы последним надо было выполнять умножение. 2. Сравнение чисел в математическом языке, как и в русском языке, обычно составляют предложения. Как правило, математические предложения являются повествовательными. В каждом из них что-нибудь утверждается, например, что 2*2 = 4 или что 3 • 9 -I- 2 > 30. Первое из приведенных утверждений верно, или, как говорят математики, истинно, а второе — неверно, ложно. Знак равенства « = » и знаки неравенств «<,>,<,>» наиболее часто используются в формулировках математических утверждений. В зависимости от использованного знака и сами утверждения называют равенствами или неравенствами. Рис. 3 -3 Вы знаете, что если число а не равно числу Ь{аФ Ь), то оно либо больше Ь (а > Ь), либо меньше Ь(а < Ь). На координатной прямой, где числа изображаются точками, большее из чисел располагается правее. Из расположения чисел а и Ь на координатной прямой (рис. 3) можно сделать вывод о том, что число а больше, чем число Ь. Положительные числа на координатной прямой изображаются точками, расположенными справа, а отрицательные — слева от точки О, изображающей нуль. На рисунке 4 на координатной прямой показаны точки, изображающие числа -3 и 5. Первое из них находится слева от точки О на расстоянии 3 единицы, а второе — справа от точки О на расстоянии 5 единиц. Напомним определение модуля числа. 0 1 5 Рис. 4 Расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число Ь, до точки О называют модулем числа Ь и обозначают |б1. Л Значит, |-3| = 3, а |5| = 5. Вообще, модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа противоположен самому числу, а модуль нуля считают равным нулю. Упражнения 18. 1) Верны ли утверждения: а)45,74-| - 0-(-0,2) = 0; б)| -(-9)-(-5)<0; в) 13 15 > - 13 15’ г) |-7,43|<|7,43|; д) 2,5 • (8,3 - 1,9) = 2,57 • 8,3 - 2,5 • 1,9; 2) Какие из этих утверждений являются равенствами, а какие — неравенствами? 19. Сравните числа: 1) 0,6143 и 0,614; 2) 1,819 и 1,82; 04 15 15 ^>17 ”I9- 4)-23,47 И-23,6; кч 1 98 5) 1и^; йч 5 7 6) ^Hg; 7) 0,37 и Q4 13 17 9) 3,12и2^; 10) -4,87 и 0; 11) -^ и-0,01; 12) 2,3 и-4. 20Г^ Сравните значения выражений, не выполняя вычислений: 1) 2,52-0,63 и 2,52: 0,63; 2) 40,3-2,4 и 40,3 : 2,4; 3) 5,1-(-17)и-5,1*17; 4) 11,7-(-1,3)и11,7:(-1,3); 5) (-22,5) • (-256) и -22,5 : (-265); 6) -1,447 : (0,72) и -1,447 • (-0,72). 21. Запишите, используя знак равенства или знаки неравенств, что: 1) число -4,5 больше -5,4; 2) число -8,5 меньше 0; 3) модуль числа -7,4 равен 7,4; 4) модуль числа нуль равен нулю; 5) число 1,2 больше 1,1 и меньше 1,3; 6) число О больше -1 и меньше 1. 22. Найдите какое-нибудь число х, удовлетворяющее условию а < X < Ь: 1) а = 0,83, 5 = 0,84; 2) а = 0,241, 6 = 0,242; 3) а=Щ,Ь=Щ; 4) а=1,6=§; 5) а = -0,76, 6 = -0,7; 6) а = -1,23, 6 = 1,3; 74 13 .__13. 21’^ 22’ Q4 19 ь 19 23. 1) Запишите, используя знаки неравенств, что: а) сумма чисел 0,617 и -0,384 — положительное число; б) разность чисел -1,3 и -0,81 — отрицательное число; в) произведение чисел -0,65 и -0,72 — положительное число; г) частное чисел 129 и -0,075 — отрицательное число. 2) Проверьте, верные ли получились неравенства. . Г4^Г=:?'| Определите, какая из дробей больше: 89 74 1) YY2 ^ ^ > сравнивая их с единицей; о, 22 36 1 2) ^ ” ТО ’ сР^^нивая их с - ; 3) 7-15-48 и 8-81-59 25 - 49 - 24 59 - 45 - 16 , предварительно их сократив. 25г Запишите дроби в порядке убывания: П 26 36 . ^ 30 ’ 50 ’ 70 ’ И 23 29 ’ 32 ’ 44 ’ 56 2бР Сравните значения выражений: 14 1 3,5 1,1,1 '>2-4+б“з+7 + §' „,3.5 3 1.1,1 2'5+7-П"2+3-"4- 27* Используя микрокалькулятор, сравните значения выражений: 1) 17,45 • 1,526 и 19,87 : 0,7462; 2) 0,04938 • 619,3 и 2,2471 : 0,073481; 3) (0,7643 - 0,0831): 0,319 и (0,5968 + 0,7314) - 1,608; 4) (1,4395 + 0,71524) -108,3 и (58,45 + 91,435): 0,6425. 28. Как изменится площадь прямоугольника, если: 1) одно из его измерений увеличить в 6 раз; 2) одно из его измерений уменьшить в 2 раза; 3) ^ одно из его измерений увеличить в 9,6 раза, а другое уменьшить в 3 раза; 4) *^ оба измерения увеличить в 5 раз; 5) ^ оба измерения уменьшить в 5 раз? 29 О Как изменится: 1) площадь квадрата, если его сторону увеличить в 8 раз; 2) объем куба, если его ребро уменьшить в 4 раза; 3) длина окружности, если ее радиус уменьшить в 14 раз; 4) " длина окружности, если ее радиус увеличить на 7 см? ЗОЬ 1) Уменьшите число 20 на: а) 16%; б) 25%; в) 73%. 2) Увеличьте число 30 на: а) 5%; б) 17%; в) 75%. ЗП О Сравните: 1) | числа 60 и 23% числа 200; 2) ^ числа 108 и 28% числа 300. т п £t Ч- 32. ■ Ha координатной прямой (рис. 5) указаны числа а и ft. 1) Укажите точками на этой же координатной прямой числа: -а, -Ь, 2а, 2Ь, i а, \ ь. ^ А 2) Какое число больше: 2а или i а? О 3) Какое число имеет больший модуль — Ь или 26? Рис. 5 О с Рис. 6 33.~ На координатной прямой (рис. 6) указано положение точек с координатами cvik. 1) Укажите точки, координаты которых равны с 4- А и с - k. 2) Какое из чисел больше — с Л- k или с - А? 3) Какое из этих чисел имеет больший модуль? 34.* Можно ли установить, какое из чисел больше, если: 1) модуль одного числа больше, чем модуль другого; 2) модуль одного из двух отрицательных чисел больше, чем модуль другого? 35. Ответьте на вопросы. В случае утвердительного ответа на вопрос приведите пример. Отрицательный ответ объясните. 1) Может ли сумма двух чисел быть больше одного слагаемого, но меньше другого? 2) Может ли сумма двух чисел быть меньше каждого слагаемого? 3) Может ли произведение двух чисел быть меньше каждого множителя? 4) Может ли сумма двух чисел быть больше их произведения? 5) Может ли сумма двух чисел быть равной их произведению? 36. 1) К некоторому числу прибавили число 100. Можно ли утверждать, что его модуль увеличился? 2) Из некоторого числа вычли число 100. Можно ли утверждать, что его модуль уменьшился? 37. 1) Я задумал число. Прибавил к нему число 10 и заметил, что при этом модуль числа не изменился. Какое число я задумал? -7 riH: 3- Пёг 2) Я задумал число. Вычел из него 24 и получил число с тем же модулем, что и задуманное. Какое число я задумал? за: Где на координатной прямой может быть расположено число а, если: 1)|а|>|а + б|; 2)|a|<|a-7l? зэ;^ Выпишите все целые числа х, удовлетворяющие двойному неравенству (п, k,t, т — целые числа): 1) n Ь > 50). Какое расстояние будет между автомобилями через 2 ч, если: 1) автомобили выехали в противоположных направлениях, удаляясь друг от друга; 2) автомобили выехали навстречу друг другу; 3) автомобили выехали в одном направлении, причем: а) * автомобиль, выехавший из Л, направился в В; б) автомобиль, выехавший из В, направился в А? *Как изменятся выражения, если большая из скоростей автомобилей будет меньше 50 км/ч? Составьте выражения, которые будут давать верный ответ при любых скоростях автомобилей. 58) О 1) Сколько различных значений может принимать вы- 'а| ражение — ? Проведите исследование для положитель-а ных и отрицательных значений а. При каких значениях переменной а выражение имеет смысл? 2) Какие значения может принимать выражение |а| - а? Проведите исследование для положительных и отрицательных значений а. При каких значениях переменной а выражение имеет смысл? 59. 1) Составьте выражения для площадей фигур, изображенных на рисунке 7. к 1 t ^ 3 1 а) Рис. 7 б) -ф,. ^4-5:'^5> ^ i • 2) Выполните необходимые измерения и вычислите площади фигур. 60. Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству: 1) л: < 10, где х — натуральное число; 2) х> 93, где X — двузначное число; 3) -3 < л: < 4, где х — отрицательное целое число; 3 8 4)15- < л: < 232 , где л: — четное число; 5)*^ |л:| < 3, где х — целое число. 6i: Даны числа: 2а, а + 1, а - 2, а^, -За, 2а -Ь 1, -Ь а, ^. Какие из этих чисел: 1) положительны при любом отрицательном значении а; 2) четны при любом нечетном значении а; 3) нечетны при любом четном значении а; 4) четны, если а — целое число? 62? 1) Запишите выражение с переменной, значение которого находится по данной программе: a) 2 * л: -Ь 6 = MS 3 * л: - 4 / MR =; б) X * = MS 5 / л: - 2 4- MR =; b) 4/x = MSx* = = -63 -Ь MR =; г) X -Ь 3 = MS 2 * X - 7 * MR =. 2) Вычислите с помощью калькулятора по данной программе с точностью до сотых значение выражения при: а) X = 0,72; б) х = -1,23. 63* 1) Какое из выражений удобнее для вычисления его значения: ах + Ъх или (а + Ь)х? 2) Вычислите с помощью микрокалькулятора: а) 2,35-0,72 4-0,72-8,1; б) -7,3 • 2,8 - 28 • 0,94 - 89 • 0,28; в) 0,56 *2,9 4- 6,7-5,6-48-0,56. 64* Составьте программу для вычисления значения выражения и найдите его с точностью до 0,01: 1) (2х 4- 3)(4х - 2) при X = 3,81; 2) Зх 4- х^ - 7 при X = -1,032; 3) о I'] при х =-3,502; 7 4- 2,6х 4) 2х 4- 5 5х - 4 при X = 0,34. m'©/ 65. Для вычисления объема скирды (рис. 8) можно восполь abh зоваться формулой V ~ , где V — объем скирды (м®), а,Ь, h — размеры скирды (м), указанные на рисунке. Вычислите объем скирды при: а) а = 6,7, Ь = 12,5, h = 2,4; б) а = 4,8, Ь = 10,6, h = 2,5. 66. Для вычисления объема скирды, изображенной на рисун- п л. - (77 + h)ab ке 9, можно воспользоваться формулой V = ^— , где а, b,h, Н — размеры скирды (м), указанные на рисунке. Вычислите объем скирды при; а) а = 6,2, Ь = 18, h = 3,5, Н = 4,8; б) а = 5,5, 6 = 20, /г = 2,8, Н = 3,5. 67. Великий математик XVIII в. Леонард Эйлер^ обнаружил, что некоторые числа, полученные по формуле Р = + х + 41, являются простыми. Найдите Р при х, равном: 0, 1, ..., 9, 10. Можно ли сделать вывод о том, что при всех натуральных значениях переменной х по этой формуле будут получаться простые числа? Докажите, что по данной формуле можно получить составное число. 68. 1) Докажите, что (10а -Ь Ь) • 11 = 100а + 10(а + Ь) + Ь. 2) Объясните, как проведено вычисление: а) 26 *11 = 286; 6)87-11 = 957. 3) Вычислите: а) 29 • 11; 6)64-11; в) 76-11; г) 94-11. 1 Леонард Эйлер (1707—1783) — математик, по происхождению швейцарец, член Петербургской академии наук. Более четверти века работал в России, где им были созданы фундаментальные труды по математике, физике и другим наукам. О 11' llf'« Ш ft 1. Контрольные вопросы и задания Укажите допустимые значения переменной в выражении: 1) 5а + 45 2) д: + 4 2х-Ъ 2. 3. О-. Прочитайте выражение -г (а + 5). о Найдите значение выражения - бд: - 8 при х = -~ О 2. Уравнения 4. Математическая модель текстовой задачи Математика помогает в решении многих задач в различных видах деятельности. Обычно это происходит так. Сначала задача формулируется на обычном языке и переводится на математический язык — создается математическая модель задачи. Затем математическая модель исследуется, и, наконец, результаты исследования интерпретируются, т. е. снова переводятся на обычный язык. В школьном курсе математики с такой деятельностью мы встречаемся при решении текстовых задач, в условиях которых описываются более или менее реальные жизненные ситуации. В предыдущих пунктах перевод текста задачи на математический язык приводил к выражению, однако математические модели большинства текстовых задач являются уравнениями. Исследование модели сводится к решению уравнения, а интерпретация результатов — это, конечно, ответ на вопрос задачи. Наибольшие затруднения и в решении реальных, и в решении учебных текстовых задач вызывает первый этап — перевод условия на математический язык. В этом пункте мы рассмотрим некоторые часто встречающиеся в текстах задач сюжеты. 1. Задачи на выполнение плановых заданий Задача 1. Чтобы сдать в срок книгу в библиотеку, Саша должен был читать в день по 40 страниц. Однако ему удавалось прочитать в день на 15 страниц меньше, и чтение книги заняло у него на 6 дней больше. За сколько дней Саша планировал прочитать книгу? i ^ в этой задаче неизвестно число дней, за которые Саша планировал прочитать книгу, и число страниц в этой книге. Одну из этих неизвестных величин следует обозначить буквой, затем, используя условие задачи, выразить вторую неизвестную через первую двумя способами и уравнять полученные выражения. Решение 1. Обозначим буквой х число дней, за которые Саша планировал прочитать книгу, тогда число страниц в книге будет равно 40х. Поскольку фактически чтение заняло на 6 дней больше, т. е. (л: -I- 6) дней, и читал в день Саша на 15 страниц меньше, т. е. (40 - 15) страниц, число страниц в книге можно выразить как (л: + 6)(40 - 15). Приравнивая полученные выражения, ползтчаем уравнение 40х = (х + 6)(40- 15). Решение 2. Обозначим буквой х число страниц в книге, тогда число дней, за которые Саша планировал ее прочи- тать, равно — , а фактически он прочитал ее за дней. 40 ’ ^ ..... ......^ 40 - 15 Поскольку значение второго выражения на 6 больше, чем первого, уравнивая их, получаем 40 40- 15 Примечание. Во втором решении мы обозначили буквой X не ту величину, которую требовалось найти в задаче, поэтому после решения уравнения придется еще найти искомую величину, которую и указать в ответе. 2. Задачи на изменение количества Задача 2. В одной цистерне 58 т бензина, а в другой — 83 т. Из первой выкачивают в минуту по 0,3 т, а из второй — по 0,4 т бензина. Через сколько минут во второй цистерне окажется в полтора раза меньше бензина, чем в первой? Решение. Обозначим искомое число минут буквой х, тогда через д: минут в первой цистерне останется 58 - 0,3д:, а во второй 83 - 0,4дг т бензина. Поскольку значение второго выражения в 1,5 раза меньше, чем первого, уравнивая их, получим 58-0,3х= 1,5(83-0,4л:). V©; к - 3. Задачи на сплавы и смеси Задача 3. Сплав золота и серебра массой 36 г содержит 21,6 г золота. Сколько золота нужно добавить в сплав, чтобы содержание серебра в нем стало равным 18% ? Решение. Процентное содержание серебра в сплаве равно отношению массы серебра ко всей массе сплава, умноженному на 100 (%). Обозначим буквой х (г) искомую массу золота, которое нужно добавить в сплав. Тогда после этой добавки масса сплава станет 36 -I- х (г). Поскольку масса серебра равна 36 - 21,6 (г), получим уравнение 36 - 21,6 36 + X 100 = 18. 4. Задачи на движение Задача 4. Из пункта А в пункт В велосипедист ехал со скоростью 16 км/ч, а возвраш;ался по другой дороге, которая была на 8 км длиннее, со скоростью 18 км/ч. Обратный путь занял у велосипедиста на 7,5 мин больше, чем путь из А в В. Найти длину каждой дороги. Решение. Обозначим длину дороги, по которой велосипедист ехал в пункт В, буквой х(км). Тогда длина дороги, по которой велосипедист возвращался в А, равна х -I- 8 (км). Время, затраченное на путь в пункт В, равно — (ч), а обрат- 16 ныи путь у него занял (ч). Уравнивая значения полу- 18 ченных выражении для времени движения и учитывая, что 7,5 мин = 3 ч, получим уравнение О X Тб X -I- 8 1 8 18 После нахождения значения х из этого уравнения нужно еще будет вычислить длину второй дороги. Задача 5. Катер, скорость которого в стоячей воде равна 21 км/ч, прошел от причала А до причала В и вернулся обратно. За это же время плот, отправленный от причала А к В, прошел 8,75 км. Какое расстояние между причалами А и В, если скорость реки равна 3 км/ч? 0 г- Л / +L ' Cl 3- Решение. При движении по реке скорость катера по течению реки равна сумме скорости, которую развивает катер в стоячей воде, и скорости течения, т. е. 21 + 3 (км/ч), а скорость катера против течения равна разности этих скоростей, т. е. 21 - 3 (км/ч). Скорость плота равна скорости течения реки. Обозначим искомое расстояние буквой х (км), тогда путь X по течению занял у катера 21 + 3 (ч), а против течения катер шел 21-3 (ч). На весь путь у катера ушло 21 + 3 + + X 8 75 (ч). Поскольку 8,75 км плот прошел за (ч), по- 21-3 лучаем уравнение + д: _ 8,75 21 + 3 21-3 Ситуации, описанные в большинстве текстовых задач, условны. Так, например, трудно представить себе, что Саша каждый день читал одинаковое количество страниц взятой в библиотеке книги, скорость велосипедиста или пешехода обычно непостоянна, меняется на разных участках реки скорость ее течения, более того, она различна на середине реки и у берега. Расстояние между причалами может быть меньше, чем длина участка реки между ними, так как русло реки не обязательно прямолинейно. Однако при решении текстовых задач мы на эти расхождения с реальностью внимания не обращаем. Упражнения 69. Запишите несколькими способами в виде равенства, что: 1) число а в 3,5 раза больше числа Ъ\ 2) число k на 18 больше числа п; 3) разность чисел с и d в 5 раз больше их частного; 4) сумма чисел mnt в2 раза меньше их произведения; 5) разность чисел р и q составляет 24% от квадрата их суммы; 6) сумма чисел Ьис составляет 15% от суммы их квадратов. т г .. 71 “-ft' лк Щ'М- 5. Ci I и ч i V' 70. Переведите на математический язык условие задачи. 1) Одно из чисел на 17 меньше, чем другое, а их сумма равна 75. Найдите большее из этих чисел. 2) Первое число в 3 раза больше второго, а разность этих чисел равна 43. Найдите эти числа. 3) К задуманному числу прибавили 4, увеличили полученную сумму в 5 раз, из результата вычли 2 и получили на 9 больше, чем получили бы, сложив учетверенное задуманное число с 9. Какое число было задумано? 4) Из задуманного числа вычли 3, полученную разность уменьшили в 2 раза и получили на 11 больше, чем одна треть задуманного числа. Какое число задумано? Зная, что буквой у обозначено задуманное число, сформулируйте задачи, аналогичные задачам из предыдущего номера: 1) 4у-f 10 = J/-f 2; 3)5y-f 72 = -(2y-f 12); 2) 3j/-57 = 5i/-f 23; 4) 53 - 5y = 0,5i/. 72. К каждой задаче составлена математическая модель. Объясните, что приняли за х, какие величины уравняли. 1) В двух мешках было по 50 кг сахара. После того как из одного мешка взяли в 3 раза больше сахара, чем из другого, в первом осталось в 2 раза меньше сахара, чем во втором. Сколько сахара взяли из первого мешка? (50-л:) = (50-Зх)-2. 2) Два мотоциклиста двигались по шоссе навстречу друг другу. Через 8 мин после их встречи расстояние между ними стало равно 12 км. С какими скоростями ехали мотоциклисты, если скорость одного из них была на 100 м/мин больше скорости другого? (2х+ 100)-8= 12 000. 3) Хозяйка купила 300 г 70%-й пищевой уксусной кислоты. Сколько граммов воды нужно добавить, чтобы получился 9%-й раствор уксусной кислоты? (300 -f л:) • 9 = 70 • 300 или 300 -н д; 100 9 = 70 • 300 100 4) Автобус, проехав с некоторой скоростью часть пути, полчаса простоял из-за аварии. Чтобы на оставшихся 210 км пути наверстать потерянное время, водитель автобуса увеличил скорость на 10 км/ч. В конечный пункт 73. 74. 75? автобус прибыл по расписанию. Найдите, с какой скоростью проехал автобус первую часть пути. 210 210_________ X X + 10 1 2 ■ Составьте уравнения к задачам на изменение количества. Буквой X обозначьте величину, о которой спрашивается в задаче. 1) В одном баке 46 л машинного масла, в другом 72 л. Из первого бака ежедневно берут по 3 л масла, а из второго — по 5 л. Через сколько дней во втором баке останется в 1,5 раза больше масла, чем в первом? 2) На одном складе было 120 т угля, а на другом — 72 т. С первого склада ежедневно вывозили по 6 т угля, а со второго — по 2,4 т. Через сколько дней на первом складе останется в 1,5 раза больше угля, чем на втором? Переведите условия задач на выполнение плановых заданий на математический язык двумя способами: в первом — буквой X обозначьте все плановое задание, а во втором — плановую дневную норму. 1) Бригада должна была закончить сев за 15 дней. Однако ежедневно засевалось на 10 га больше, чем предполагалось, и за 3 дня до срока оставалось засеять 36 га. Сколько гектаров должна засеять бригада? 2) На строительстве дороги укладчики асфальта, перевыполняя дневную норму на 500 м^, уже за 4 дня до конца месяца сдали 200 м^ дороги сверх плана. Каково было месячное задание? (Месяц считать равным 30 дням.) Решите задачи на смеси сначала арифметическим способом, затем составьте уравнения. 1) Из двух сортов чая по цене 220 р. и 260 р. за килограмм требуется составить 4 кг смеси по цене 230 р. за килограмм. Сколько граммов чая каждого сорта нужно взять? 2) Смешав конфеты по 110 р. за килограмм и по 150 р. за килограмм, получили смесь по 120 р. за килограмм. Сколько граммов конфет того и другого сорта содержится в одном килограмме смеси? 76. Составьте уравнения к задачам на движение по реке. 1) За 5 ч по течению реки катер проходит такое же расстояние, как за 6 ч 15 мин против течения. Найдите ско- '0 “Ь, « «с 5> Й А' 11£>П й рость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2,4 км/ч. 2) Лодка может пройти по течению реки за 3 ч такое же расстояние, как за 3 ч 40 мин против течения. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде равна 5 км/ч. 77. Докажите, что: 1) собственная скорость лодки равна полусумме (половине суммы) скоростей движения лодки по течению и против течения реки; 2) скорость лодки по течению реки больше ее скорости против течения на удвоенную скорость течения. 78. К задаче «Из пункта А в пункт В, расстояние до которого 256 км, отправился товарный поезд со скоростью 66 км/ч, а спустя 20 мин через пункт В в направлении пункта А прошел скорый поезд со скоростью 90 км/ч. Через сколько времени после выхода товарный поезд встретится со скорым?» составлены уравнения: а) 66л: -fOO^x - = 256; б) 256-66-i =(66-ь90)' О в) 256 - X 66 90 г)256-90х = 66 (л:-Ь I]. 1) Объясните, что обозначено за х в каждом уравнении. 2) Какие величины уравнивались в каждом уравнении? 79. Задачи на движение двух объектов. Составьте разные математические модели. а) Два мальчика, проживающих в домах, расстояние между которыми 660 м, выбежали навстречу друг другу из своих домов и встретились через 2 мин. Скорость одного из них на 30 м/мин меньше, чем другого. С какими скоростями бежали мальчики? б) Два мотоциклиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов М hN, расстояние между которыми 96 км, и встречаются через час. С какой скоростью ехал каждый мотоциклист, если через 20 мин после встречи первому оставался путь до N, втрое меньший, чем второму до М? S .О; . i в) От станции к озеру вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 0,5 ч вслед за ним от этой же станции и по той же дороге отправился велосипедист со скоростью 12 км/ч. К озеру они прибыли одновременно. Сколько времени пешеход добирался до озера? г) Товарный поезд отошел от станции сразу вслед за пассажирским. Найдите скорость товарного поезда, если пассажирский поезд, двигаясь на 20 км/ч быстрее, прошел за 4 ч в 1,5 раза больший путь, чем товарный? 1) Назовите виды движений в каждой задаче. 2) В каких задачах можно говорить о скорости сближения, в каких — о скорости удаления? 80. Определите тип задачи. Переведите условие задачи на математический язык (если возникнут сложности, см. раздел «Практикум по решению текстовых задач»). 1) Турист предполагал пройти шестикилометровый маршрут с некоторой скоростью. Однако из-за погодных условий его скорость оказалась на 1 км/ч меньше, и турист прибыл в конечный пункт на 2 ч позже, чем рассчитывал. С какой скоростью прошел турист свой маршрут? 2) В зрительном зале клуба было 22 ряда. После того как число рядов увеличили на 2, а число мест в каждом ряду увеличили на 4, в зале стало на 128 мест больше, чем было первоначально. Сколько мест стало в зрительном зале? 3) Сколько граммов соли надо добавить к 200 г 10%-го раствора соли, чтобы получить 20% -й раствор? 4) В саду было 140 рядов фруктовых деревьев. При расширении сада число рядов довели до 300, а число деревьев в каждом ряду увеличили на 5, после чего число деревьев в саду увеличилось на 11 100. Сколько деревьев стало в саду? 5) В одном резервуаре 380 м® воды, а в другом — 1500 м^. В первый резервуар каждый час поступает 80 м® воды, а из второго каждый час откачивается 60 м^. Через сколько часов воды в резервуарах станет поровну? 6) За 9 ч по течению реки теплоход проходит такой же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч. '©7 ____/ < 1 > f Щ/ Контрольные вопросы и задания 1. 2. Переведите на математический язык условие задачи: ♦ Отцу 29 лет, а дочери 5 лет. Через сколько лет отец будет втрое старше дочери?» Какое из равенств: 1)?55-о,5- X X 200 2) +0,5 = X X -20’ 200 3) 200 200 х + 20 = 30; 200 200 20 ’ 4) - — = 30 д: + 20 является правильным переводом на математический язык условия задачи: «Найдите скорость легкового автомобиля, зная, что она на 20 км/ч больше скорости грузовика и что 200 км легковой автомобиль проезжает на 30 мин быстрее, чем грузовик»? Что обозначено буквой х1 Какие ошибки допущены в неверных вариантах перевода? 5. Решение уравнений Мы уже говорили о том, что в каждом математическом предложении что-то утверждается. Утверждения могут быть истинными, как, например, равенство 2 -I- 1 = 3, или ложными, например 5 -Н 1 = 3. С Истинные и ложные утверждения называют высказываниями. ) Однако, если утверждение содержит переменные, оно может быть истинно при одних и ложно при других значениях этих переменных. Так, например, равенство х -ь 1 = 3 верно при X = 2 и неверно при любом другом значении х. Неравенство аЬ > 0 верно, когда значения переменных а и 6 одного знака (оба положительны или оба отрицательны), и неверно во всех других случаях, т. е. когда хотя бы одно из значений равно нулю или когда значения различны по знаку. Таким образом, предложения с переменными не являются высказываниями. Если в предложение подставить значения содержащихся в нем переменных, оно обратится в высказывание. Чаще всего бывает нужно найти значения переменных, которые обращают предложение в истинное высказывание — множество истинности предложения. Так, например, множество истинности равенства х -ь 1 = 3 состоит из одного эле- 1 —7 /Г: i V / V 11 / i мента — числа 2, а множество истинности неравенства аЬ> О содержит все пары одинаковых по знаку чисел. С понятием множества истинности, не используя этого термина, вы уже неоднократно встречались. Так, например, задача «Найти множество истинности предложения X - 3 = 2» знакома вам в иной формулировке: «Решить уравнение X - 3 = 2». В математическом языке, как и в русском языке, одну и ту же мысль можно выразить по-разному. Например, соотношение X - 3 = 2 между числами х, 3 и 2 можно записать как X - 2 = 3 или X = 3 + 2. Понятно, что все три предложения имеют одно и то же множество истинности — число 5. Предложения с переменными, имеющие одно и то же множество истинности, называют равносильными. При решении уравнений исходное уравнение стараются упростить, заменяя его равносильным уравнением, т. е. уравнением, имеющим те же самые корни. Для этого используются знакомые вам свойства числовых равенств: 1) если к каждому из равных чисел прибавить одно и то же число, то получатся равные числа; 2) если каждое из равных чисел разделить (умножить) на отличное от нуля число, то получатся равные числа. Значит, прибавив к обеим частям уравнения одно и то же число (разделив или умножив обе части уравнения на одно и то же отличное от нуля число), мы получим уравнение, равносильное исходному. В пункте 4 перевод условия задачи 1 на математический язык привел к уравнению 40х = (х 6)(40 - 15). Для его решения мы сначала раскроем скобки: 40х = 25х + 150. Затем, прибавив к обеим частям уравнения число -25х (пока неизвестное), придем к равносильному уравнению 40х - 25х = = 25х 4- 150 - 25х. Выполним действия в обеих частях уравнения: 15х = 150 и, разделив обе части уравнения на 15, получим простейшее уравнение х = 10. Число 10 — единственный корень этого, а значит, и равносильного ему исходного уравнения. Теперь можно записать ответ к задаче 1: «Саша предполагал прочитать книгу за 10 дней». Вернемся к рассмотренному решению. Прибавив к обеим частям уравнения 40х = 25х 4-150 число -25х, мы фактиче- “-fl' i Cf 11 СКИ перенесли слагаемое 25x из правой части уравнения в левую, поменяв его знак на противоположный. Этот прием переноса члена из одной части равенства в другую с переменой знака впервые описал великий среднеазиатский ученый аль-Хорезми. Арабское название альджебр этого приема и дало название «Алгебра» разделу математики, который вы изучаете. При решении уравнений можно переносить слагаемые из одной части равенства в другую и делить (умножать) уравнение на число, отличное от нуля. ч. При этом всегда получается уравнение, равносильное исходному. Решим теперь уравнение —— 40 40- 15 - 6, к которому мы пришли, обозначив в задаче 1 буквой х число страниц взятой Сашей в библиотеке книги. Сначала выполним вычитание в знаменателе дроби: ^ ^ ^ ~ Теперь избавимся от дробей, умножив уравнение на обш;ее кратное (желательно наименьшее) знаменателей: НОК(40; 25) = 200, 5дг = 8л: - 1200. Перенесем 8л: в левую часть, не забыв изменить знак: 5л: — 8л: = = -1200, -Зл: = -1200. Осталось разделить уравнение на -3, что и приводит нас к простейшему уравнению л: = 400. Итак, в книге оказалось 400 страниц, однако в задаче-то спрашивалось число дней. Чтобы записать ответ, разделим число страниц книги на число страниц, которые Саша планировал читать в день: 400 : 40 = 10 (дней). Естественно, мы получили тот же ответ, что и в первом решении. Кроме рассмотренных приемов, при решении уравнений иногда используются и другие соображения. Пример 1. Решить уравнение (л - 2)(л' -I- 3) = 0. Решение. Чтобы найти корни этого уравнения, достаточно заметить, что произведение чисел равно нулю тогда и только тогда, когда среди множителей имеется нуль. Значит, либо л - 2 = о, либо л: -I- 3 = 0. Получаем два корня: х^ = 2, лГз = -3. Ясно, что при других значениях х множители отлич- -i-Zj * X X II НЫ от нуля и, следовательно, их произведение тоже отлично от нуля. Ответ: 2; -3. Пример 2. Найти положительные корни уравнения 18 , 18 X + X + 4 X 4- 7 14. Решение. Попробуем применить древнейший метод решения — подобрать корень данного уравнения. Будем искать такое натуральное значение х, чтобы все три дроби оказались целыми числами. Для этого числа х, х + 4их + 7 должны быть среди делителей числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Последовательно проверяя эти числа (подставляя их вместо х в уравнение), уже при х = 2 получим верное равенство, значит, число 2 — корень данного уравнения. Теперь следует убедиться, что других положительных корней уравнение не имеет, поскольку решить уравнение — значит найти все его корни. Для этого достаточно заметить, что знаменатели каждой из дробей, стоящих в левой части уравнения, при увеличении значения х увеличиваются, а при уменьшении — уменьшаются. Значит, сами дроби при увеличении значения х уменьшаются, а при уменьшении — увеличиваются (напомним, что мы рассматриваем только положительные значения дг). Отсюда следует, что если брать значение х, большее 2, то сумма дробей окажется меньше 14, а если положительное значение х меньше 2, то сумма дробей будет больше 14. Таким образом, число 2 — единственный положительный корень данного уравнения. Ответ; 2. Упражнения 81 Какие из следующих предложений являются высказываниями? Определите, истинны они или ложны: 1) 38-ь 29 = 66; 4)х-ь4>9; 2) 67+ 84 >150; 5) л: + 23 = 48 при х = 25; 3) X + 56 = 76; 6) X - 3 < 100 при х = 97. 82. Определите, истинными или ложными высказываниями становятся следующие предложения при указанных значениях переменных: 1) х{х - 5) = 14 при X, равном: а) 6; б) 7; 2) Зу > 138 при у, равном: а) 50,07; б) -100; 3) а® - 3 делится на 3 при а, равном: а) 9; б) 10; 4) 35х - 12у - 1 при: а) х = -1, у - -3; б) х = 1, I/ = 0; 5)^ |7х| = 2х - 5 при: а) х = -1; б) х = ^ 9 83. Для следующих предложений подберите, если возможно, два значения переменной так, чтобы при их подстановке в предложение одно из высказываний получилось истинным, а другое — ложным: 1) 2х-4 = 92; 6)х(х-6) = 8; 2) Зх-1 = -34; 7)|х|> х; 3) 38х>159; 8)|х| = -х; 4) 64х<-567; 9)|х| = 2х; 5) х(х-И)= 10; 10)* \х-¥1\ = 2х. 84. Найдите множество истинности предложений с переменными: 1) 2х-Ы4 = 48; 4) 0 • х = 0; 7)* а : 5 < 0; 2) а + Ъ = Ь + а; 5)х2 = 4; 8)*0:х = 1. 3) х2-1-1 = 0; 6) 2х-t-36 < 44; 85. 1) Равносильны ли уравнения: а) 2х -Ь 34 = о и 2х = -34; б)^х-ь2=^х-Зи2х-1-12 = Зх- 18; О ^ в) -хЗ - 2x2 -ь Зх - 6 = о и хЗ -ь 2x2 - Зх -f 6 = q. г) *^ Зх"* 4- 2x3 _ дл2 = Q JJ 3JJ-2 + 2х - 1 = 0; д) - -Ьх-7 = 0и2-1-х2-7х = 0; X е) х2 - 4 = 1их2-4 = х-1-2; X 4- 2 ж) -3x2 + бх - 9 = о и х2 - 2х 4- 3 = 0; з) 23 - х(2х - 3) = о и 23 - 2x2 -Ь Зх = о? 2) Какие преобразования привели к равносильным уравнениям? Какие преобразования привели к неравносильным уравнениям? Ф 86. Запишите два уравнения, равносильных уравнению: 1) д: + 35 = 36; 3) х • 4,7 = 5,64; 2) X-21 = 42; 4) х: 8,2 = 0,5. 87. Является ли корнем уравнения: 1) 1,35х = 10,8 число 8; 04 с 10 2 2) 5х = -5- число 5 ; О О 3) х^ - X = 30 число: -5; 5; 6; 4) + У = 90 число: 10; -10; 9; 5) |х1 - X = О число: 5,8; -6,2; 6) |х| + X = О число: -6,5; 7,3; 7) ’ хЗ + 0,83x2 _ 9,507х - 12,753 = О число: 1,5; -2,6; 11,55x2 - 20,11х + 86,688 = О число: 2,05; -3,2? 8)« хЗ 88. Расположите в порядке возрастания корни уравнений: 1 X - 1 = О, ;с+±=0, Зх+1 = 0, 6х-2 = 0, 102х = 0. 89. 1) Решите уравнение: а) 8х - 341 = 1 - х; б) 419-Зу = 4у-8; в) 1,782 - 1,2 = 2,482 + 2,44; г) 3,2 + 2,7х = 0,48 - 0,02х; Д)'^ Ж)0 2 - ^ ; з) О 7х — 3 1 - 2х + 4 6 * 3 ’ и) 7х(6х - 5) + 42х = Зх(5 + 14х) + 49; к) 27у(5у - 3) + 2у = 9у(15у - 7) + 6,4. 2)^ Приведите пример уравнения, у которого: а) один корень; б) бесконечное множество корней; в) нет корней. 90. 1) Решите уравнение: а) х(х - 1) = 0; б) (х + 3)(х - 2) = 0; з)(^2х- |](3х + 3) = 0; 'О; г) (л:-5)(х + 3)(2х-1) = 0; д) (X - 1,2)(х + 3,4)(1 + 2х) = 0; е) (1 - 4х)(3х + 2)(2 - 5х) = 0. 2)*^ Приведите пример уравнения, у которого: а) один корень; в) три корня; б) два корня; г) четыре корня. 91 ? Найдите натуральные корни уравнения: 12 , 16 , 16 , 16 1) — + ^ X х + 2 = 5; ' X л: + 8 + X — 4 = 7. 92.' Что общего у уравнений: х^ = 64, х^ + 7 = 71,\х\ = 8? 93? Имеет ли корни уравнение: 1) х2 = -1; 3)И = -3; 2) х^ = 0; 4)х + х = х’х7 94. Дайте ответы к задачам № 80 предыдущего пункта. 95. При каком значении переменной у: 1) значения выражений Зу - 57 и 5у + 33 равны; 2) значения выражений 5у + 72 и 2у + 12 противоположны; 3) значение выражения 6у - 35 равно утроенному значению выражения g У + 38; 4) значение выражения 7у - 23 равно удвоенному значению выражения \ у + 38; 5) значение выражения Ау - 47 на 10 меньше значения выражения у + 2; 6) значение выражения 6у - 19 равно половине значения выражения 12у - 1? 96. Решите задачу, составляя уравнение. 1) Бабушке 61 год, а внуку 17 лет. Сколько лет назад бабушка была в 5 раз старше внука? 2) Мама в 6 раз старше сына, а сын на 25 лет моложе мамы. Сколько лет маме? 3) Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно отправились пешеход и велосипедист. К моменту встречи велосипедист проехал в 4 раза больше, чем прошел пешеход. Найдите расстояние между пунктами, если известно, что до встречи велосипедист проехал на 20,7 км больше, чем прошел пешеход. 97. 4) * Отец старше сына на 25 лет. Возраст отца относится к возрасту сына как 9:4. Сколько лет отцу и сколько лет сыну? 5) В трех цехах завода работает 2740 человек. Во втором цехе на 140 человек больше, чем в первом, а в третьем цехе — в 2 раза больше, чем во втором. Сколько человек работает в каждом цехе? 6) Турист прошел маршрут длиной 110 км за три дня. Во второй день он прошел на 5 км меньше, чем в первый, а в третий день — - расстояния, пройденного за первые два дня. Сколько километров прошел турист за каждый из трех дней пути? 7) На ферме находятся кролики и куры. У них 3150 ног и 1000 голов. Сколько кроликов и сколько кур на ферме? 8) В 1 р. — 100 к. Как разменять 1 р. на монеты по 5 к. и по 3 к., чтобы оказалось всего 26 монет? 9) * В одной из двух одинаковых цистерн содержится 34 т, а в другой — 48 т нефти. Для полной заливки цистерн в одну добавили в 2 раза больше нефти, чем в другую. Сколько нефти добавили в каждую цистерну? 10) * На школьной олимпиаде было предложено 20 задач. За каждый правильный ответ участнику начислялось 12 очков, а за неправильный — списывалось 10 очков. Сколько правильных ответов дал участник, набравший 86 очков? 1) Найдите два последовательных натуральных числа, сумма которых равна 167. 2) ' Найдите три последовательных четных числа, сумма которых равна 402. 3) ' Найдите три последовательных нечетных числа, сумма которых равна 291. 98. Решите уравнение с модулем: 1) l2x-l| = 3; 2) Зх 4- 1х| = 11; 3) |2х| - Зх = 32; 4) '-- |7 - х| = |2х - 5|. 99. Найдите значение а, при котором: 1) число 2 является корнем уравнения (а - 2)х = а - 1; 2) число 1 является корнем уравнения (а^ + 6)х = а^ + 2а. 'О; ^— 100. Выразите х из равенства: 1) л: + а = 5; 2) х-Ь = 8; 3) сх= 15; 5) а - 2л: = 0; 6) &л: + а = 10; 7) Зх + Ь = 2х - с; 4)^=7; 8) 2(с - 2л:) = d- 2х. 101. Решите старинные задачи, составляя уравнения. 1) Летела стая гусей, навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» «Нас не сто гусей, — ответил ему вожак стаи, — если бы нас было столько, сколько теперь, да еще столько, да полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей». Сколько было гусей в стае? 2) У Пифагора однажды спросили, сколько у него учеников. «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны природы, седьмая часть упражняет силу духа. Добавьте еще к ним трех юношей, из коих Теон самый способный». Сколько было учеников у Пифагора? 1. Контрольные вопросы и задания Какие уравнения называют равносильными? Какие вы знаете приемы, с помощью которых получают уравнение, равносильное исходному? Решите уравнение: 1) 5(3х - 2) - 7(2х -I- 1) = 4(3л: - 5); 2) 2л: + 3 Зл: - 4 _ X 9 3 5’ 3. 3 5 Объясните, почему: 1) корнем уравнения 2(л: - 7) = 2л - 14 является любое число; 2) уравнение 2(х - 7) = 2л - 15 не имеет ни одного корня. 6. Уравнения с двумя переменными и их системы До сих пор, составляя уравнение по условию задачи, мы обозначали буквой одну из неизвестных величин. Однако часто удобнее обозначать сразу две неизвестных величины. Пример 1. Для размещения туристов на ночлег по двое в одну палатку не хватает трех палаток, а если разместить их по трое, одна палатка останется пустой. Найти число туристов и число палаток. Tl Решение. Обозначим число туристов буквой т, а число палаток буквой п. Тогда попытка разместить туристов по двое приводит к уравнению ^ = п + 3. А размещение по трое описывается уравнением ^ = п - 1. Искомые значения тип О должны одновременно удовлетворять обоим уравнениям, т. е. обращать оба уравнения в верные числовые равенства. В таких случаях говорят, что пара значений тип — реше- ние системы уравнений ^ = л-(-Зи^ = п-1. Решить систе- ^ О му — значит найти все ее решения. Систему уравнений записывают с помощью фигурной скобки следующим образом: „ -L Q - -п + 3. т 1 ^ -п-1. Избавимся от дробей, умножив первое уравнение системы на 2, а второе — на 3: ' m = 2п + 6, т = Зп - 3. Поскольку нас интересуют значения переменных тип, при которых оба равенства системы верные, мы можем вычесть из обеих частей второго равенства системы подобные члены, стоящие в левой и правой частях первого равенства. Получим равенство О = п - 9, из которого находим, что искомое значение п равно 9. Чтобы найти соответствующее значение т, подставим найденное значение п, например, в первое уравнение системы: m = 2 • 9 + 6 = 24. Теперь можно ответить на вопрос задачи. Ответ: у 24 туристов было 9 палаток. Проанализируем приведенное решение. Избавляясь от дробей, мы в левых частях обоих уравнений получили одно и то же число т. Это дало нам возможность, вычитая из второго уравнения системы ее первое уравнение, исключить переменную т и получить уравнение с одной переменной п. Затем это уравнение решалось, и, наконец, было вычислено значение второй переменной. Такой способ решения систем называют методом исключения переменной. Решим этим методом еще несколько систем. ш _ - „ „ Зд: + 21/ = -1, Пример 2. Решить систему уравнении ^ 35 Решение. Здесь удобнее исключать переменную у. Для этого первое уравнение нужно умножить на 2 и приба-[бл: + 4у = -2, вить ко второму: ‘|5x-4y = 35 Получаем Их = 33, х = 3. Значение у найдем из уравнения Зх + 2у = -1: 3*3 + 2у = -1, 2у = -10, у = -5. Ответ: решением системы уравнений является пара чисел (3; -5). Ий Замечание. Умножение уравнения системы на число и замена одного из уравнений системы его суммой или разностью с другим из уравнений приводят к равносильной системе. Так, исключив переменную у, мы на самом деле пришли не к уравнению „ „ f6x + 4i/ = -2, с одной переменной X, а к системе^ gg равносильной исходной. _ _ [6х 7г/ = 7, Пример 3. Решить систему - /^х = ЗА Решение. Перепишем систему, расположив одноимен- f 6х 4- 7i/ = 7, ные переменные друг под другом: + Ьу = 34. Будем исключать переменную х. Найдя, что 12 — наименьшее общее кратное чисел 6 и 4, на которые умножается переменная х в первом и втором уравнениях системы соответственно, умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы сделать коэффициенты при х (числа, на которые умножается х) противоположными друг другу: 12x4- 14г/ = 14, -12х-Ы51/ = 102. Заменим теперь второе уравнение системы его суммой с первым: J12X4- 14у= 14, I 29г/ = 116. О; Далее имеем: [6д:+ 7-4 = 7, 1У = 4, Мы получили простейшую систему, которую можно запи- 6л: = -21, У = 4, л: = -3,5, у = 4. сать в ответ. Ответ:= X = -3,5, А Примечание. Обычно при решении системы не делают пояснений и записывают решение как цепочку преобразований: j6x+7i/ = 7, I 6х + 7г/=7, J 12x+14i/=14, |5i/-4x = 34, |-4х + 5у = 34, [-12х + 15i/= 102. 29у = 116, у = 4. 6х + 7 • 4 = 7, X = -3,5. Ответ: (-3,5; 4). Во всех трех рассмотренных примерах мы с помощью умножения уравнений системы на число уравнивали коэффициенты при одной из переменных, а затем заменяли одно из уравнений системы его суммой или разностью с другим ее уравнением. Такой способ исключения переменной называют способом сложения. Упражнения 102. Является ли пара чисел х = -8, у = -6 решением уравнения: 1)2х-ЬЗу = -30; 3)0,2х-ь0,5у = 3; 2) Зх - 2у = -12; 4)ix-|y = 0? 10ЗР Выразите из уравнений одну из переменных через другую и найдите какие-нибудь два решения уравнения: 1)3х + 2у = 5; 4) 0,03х - 0,631/-Н 0,9 = 0; 2) 4х-3у = 11; 3) 2,3х 4-3,3у-ЫО = 0; еч 2 3 1 ^ 5) ^х- - у-1 = 0; СЧ 3 2,5 « 104. Может ли пара целых чисел быть решением уравнения: 1) 4х-1-4у = 7; 4)7x-f-9y = 0; 2) 13х-I-26у = 5; 5) 2х + Зу = 6; 3) 5х-Ь7у = 1; 6)4х+18у = 17? 3=:^ 11 Zn 105. ' Найдите два числа, которые при делении на 3 дают остаток 2, а при делении на 5 — остаток 3. 106V* Длины сторон прямоугольника — натуральные числа, а его периметр и площадь равны. Найдите такой прямоугольник. 107.^ Составьте уравнение с переменными х и у, решением которого будет пара чисел: 1)л: = -3, г/ = 9; 3) х = 1,7, г/=-2,3; 2)x=i,i/ = -6,5; 2 3 4)х=-,у = -~ 108. Является ли решением системы уравнений [7,5х - \\у = 1, 15л: - 8у = 3 пара значений переменных: l)x = -5,// = -3,5; 2) л: = 6, г/= 4? 109. Составьте систему уравнений, решением которой будет пара чисел: 1) л: = 10, г/= 3; 3) л = 1,3, г/=-2,7; 2) л: =-2, у = 5; л\ 2 3 А)х = -,у = -^. 110. Решите систему уравнений, складывая или вычитая ее уравнения: |-4л:-1-Зу = 8, j 5л: Ч-2у = 16, ^>]4л-ь5у=16 4^|-5л:-2у = 20; [Зл:-81/ = 22, [9лг-5и = 23, 2) |7x + 8y = 78; |9л: + 2у =-5; [5л:-Ь 7у = 26, fllx-7i/ = 0. ^Мбх-7у = 62; 6) 13х - 7у = 8. 111. Решите систему уравнений способом сложения: [5хЧ-Зу = 63, [5р + 6о = 1, 1)]15х-8у = 2; 4)]4р + 7у = 3; |35х- Зу = 5, |49х - 4у = 9; J4c-3d = 7, ]25х + 18у = 75, 3)l5c + 2d = 26; 135х Ч-38у = 105. ]ЗаЧ-56 = 51, 12а- 116= 18; 112. Упростите уравнения и решите систему уравнений: [5(х + 2у) - 3 = X Ч- 5, l)l4(x-3y)-50 = -y; ri ]5(л:-у)-26 = 2л:+ 1, ^П3(д:-6у) + 4 = 9г/ + 19; jl2 - 2{x - Зу) = X + у + 2, ^П1,2х + 0,7у+ 1,4 = 0. 113. Обозначив одно из чисел буквой х, а другое буквой у, составьте и решите систему уравнений. 1) Найдите два числа, если известно, что их сумма равна 31, а их разность равна 6. 2) Два числа в сумме дают 93. Найдите эти числа, если - одного числа составляют - другого. о 3) Задуманы два числа. Сумма этих чисел равна 59, а их разность — 35. Какие числа задуманы? 4) *^ Сумма двух чисел равна 2645. Одно из них составляет 15% другого. Найдите эти числа. 5) *^ Разность двух чисел равна 169. Одно из них составляет 35% другого. Найдите эти числа. 6) ■ Найдите два числа, сумма которых равна а, а разность равна Ь. 114. Метод исключения переменных для решения систем был известен уже в Древнем Китае. Задачи, решаемые этим способом, рассматривались в трактате «Арифметика в девяти книгах» (около II в, до н. э.). Решите, составляя систему уравнений, две задачи из этого трактата. 1) В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов. 2) Пять волов и два барана стоят 11 таэлов, а 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлов. Сколько стоят отдельно вол и баран? 115. 1) Для новогоднего вечера купили 38 кг конфет и печенья и уплатили 2080 р. Сколько конфет и сколько печенья было куплено, если цена килограмма печенья равна 50 р., а килограмма конфет — 60 р.? 2) Для детского сада купили 250 кг риса и пшена. Килограмм риса стоил 14 р., а килограмм пшена — 9 р. За рис заплатили на 50 р. больше, чем за пшено. Сколько килограммов риса и сколько пшена было куплено для детского сада? ,.И------ 116. Решите задачу, составляя уравнение или систему уравнений. 1) Основание прямоугольника в 2,5 раза больше высоты, а периметр равен 14 м. Найдите площадь прямоугольника. 2) Основание прямоугольника в 1,5 раза больше высоты, а высота на 16 м меньше основания. Найдите площадь прямоугольника. 117.1) Для проведения контрольной работы заготовили чистые листы бумаги. Если раздавать учащимся по 2 листа, то останется 20 листов, а чтобы раздать по 3 листа, понадобится еще 12 листов. Сколько учащихся в классе и сколько листов бумаги было заготовлено? 2) Если учащихся, пришедших на школьную математическую олимпиаду, рассаживать в классе по одному за каждый стол, то не хватит 8 столов. Если же рассаживать их по двое, то 7 столов останутся свободными. Сколько учащихся пришло на олимпиаду и сколько столов в классе? 118. Старинные задачи. 1) Некто имеет работников и деньги. Если он даст каждому работнику 5 монет, у него останется 30, а чтобы раздать по 7 монет, ему не хватает 30. Спрашивается, сколько у него работников. 2) Некто согласился работать с условием получить в конце года (12 месяцев) одежду и 10 флоринов; но по истечении 7 месяцев прекратил работу и при расчете получил одежду и 2 флорина. Сколько флоринов стоила одежда? 119. 1) Для изготовления 550 деталей двое рабочих затратили 5 ч, и, кроме того, один из них работал еще 1 ч. Если бы совместная работа продолжалась на 1 ч меньше, то другому рабочему для ее окончания потребовалось бы 3,5 ч. Сколько деталей изготовлял каждый рабочий за 1 ч? 2) Для наполнения ванны в течение 8 мин были открыты краны холодной и горячей воды, а затем кран холодной воды закрыли, и через 6 мин после этого в ванне оказалось 192 л воды. Если бы оба крана были открыты 5 мин, а затем еще 7 мин был открыт только кран горячей воды, то в ванне оказа- .О; лось бы 146 л воды. Сколько литров воды подается через каждый кран за 1 мин? 120р1) Если Ира внесет 40%, а Катя — 45% имеющихся у каждой денег, то общая сумма составит 21 р. 50 к. Если же Ира внесет 45% имеющихся у нее денег, а Катя — 40%, то общая сумма составит 21 р. Сколько денег у Иры и сколько у Кати? 2) Известно, что 30% числа а на 20 больще, чем 25% числа Ь, а 30% числа & на 8 больше, чем 20% числа о. Найдите числа аиЬ. 121Р Найдите число а, если: а) значение л: = 2; б) значение у = -1 входит в решение системы: |2дг-ау = 11, |x + 3i/ = -l; ]адс + Зу = 11, '^П5л:-2у = 12. 3. 4. Контрольные вопросы и задания Что называется решением системы уравнений с двумя переменными? В каких случаях говорят, что два уравнения образуют систему уравнений? Даны два уравнения: 2д;-1-у=15ид:-2у = 7. Найдите пару значений переменных хи у, которые: 1) удовлетворяют первому уравнению, но не удовлетворяют второму; 2) удовлетворяют второму уравнению, но не удовлетворяют первому; 3) удовлетворяют обоим уравнениям; 4) не удовлетворяют ни одному уравнению. [4x - 5у = 25, Решите систему уравнений '\ъх + 2у = 0,5. Решите старинную задачу. Некто сказал другу: «Дай мне 100 р., и я стану вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10 р., и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько денег было у каждого? ФУНКЦИЯ о § 3. Функции и способы их задания 7. Понятие функции Задача 1. В аквариум, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда (рис. 10), наливают воду. Сколько воды в аквариуме, если высота ее столба в нем равна h (см)? Решение. Пространство, заполненное водой, — прямоугольный параллелепипед с измерениями 60 см, 40 см и Л см. Объем его равен 60 • 40 • Л (см®). Обозначив объем воды в литрах буквой V и учитывая, что 1000 см® = 1 л, получим: ^=2400Лсм® = 2,4/гл. Эта формула выражает зависимость объема воды в аквариуме от высоты ее столба. Будем рассматривать теперь V и h в формуле V = 2,4Л как переменные. Допустимые значения переменной h — все положительные числа, не превышающие 50 (высота аквариума равна 50 см). Обратим внимание на то, что каждому допустимому значению переменной h соответствует единственное значение переменной V. Так,например: V = 2,4 • 20 = 48 при h = 20, V = 2,4 • 25 = 60 при h = 25. Рис. 10 Задача 2. Площадь прямоугольника равна 60 см®, а одно из его измерений а см. Каково второе измерение прямоугольника? 'О; у. Решение. Обозначим искомое измерение буквой Ь (см), . 60 тогда о = — . а Рассматривая в этой формуле Ь и а как переменные, заметим, что и в данном случае каждому допустимому значению переменной а (допустимы любые положительные значения) соответствует единственное значение переменной Ь. Напри- 60 мер, при а = 2 имеем Ъ = — = 30, при а = 12 соответствующее 60 значение Ь = — =5. X ш В рассмотренных задачах с изменением значения одной переменной изменяется и значение другой, причем каждому допустимому значению первой переменной соответствует единственное значение второй. Такие пары переменных встречаются довольно часто, и у них есть специальные названия. Переменную у называют функцией переменной х, если каждому допустимому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют аргументом функции у. Правило, по которому для каждого допустимого значения аргумента находят соответствующее ему значение функции, обычно обозначают какой-либо буквой. Чтобы указать, что значения функции у получают из значений аргумента х по правилу f, пишут: у = f{x). Читается: игрек равен эф от икс. Значение функции, соответствующее значению аргумента, равному, например, 5, обозначается: f{b). Читается: эф от пяти. Пример 1. Дана функция у = f(x), где f(x) Я5). х-3 . Найти Решение. Правило f задано с помощью формулы, но не сказано, какая задача к ней привела. Условились считать допустимыми все значения аргумента функции, при которых записанное в правой части формулы выражение имеет смысл. в данном случае допустимы все значения х, кроме х = 3. Найти /(5) — значит найти значение функции у, соответствующее значению аргумента х, равному 5. Подставим в формулу f(x) =---- вместо х его значение 5: X ~ О П5) 5-3 2,5. Ответ: /(5) = 2,5. Пример 2. При каком значении аргумента значение функции у = Ъ- Ах равно 3? Решение. Нужно найти значение х, при котором верно равенство 5 - 4х = 3. Имеем: -Ах = 3-5, -Ах — -2, х = 0,5. Ответ: прид: = 0,5. Упражнения т 122. По условию задачи составьте функцию у= f(x). а) Основание прямоугольника равно х (м), а высота на 5 м больше. Чему равна площадь у (м^) прямоугольника? (Xj = 11, Xg = 7.) б) Сторона квадрата равна х (м). Чему равна площадь у (м^) этого квадрата? (Xj = 15, Xg = 0,7.) в) -' В баке емкостью 400 л содержится 160 л воды. Каждую секунду в бак вливается 6 л воды. Сколько литров воды (у) будет в баке через х секунд? (xj = 2, Xg = 21.) г) В книге 280 страниц. Девочка ежедневно читает по 20 страниц. Сколько страниц (у) ей останется прочитать через X дней? (Xj = 7, Xg = 14.) Выполните задания и ответьте на вопросы. 1) Каковы допустимые значения переменной х? 2) Найдите значения переменной у, соответствующие значениям х, и х. 123. Функция у = fix) задана правилом. а) Правило f заключается в том, что для любого натурального двузначного числа находят сумму его цифр. б) Правило f заключается в том, что для любого четного двузначного числа находят сумму всех его делителей, отличных от самого числа. ^ \Ф/ 1) Укажите множество допустимых значений аргумента функции у. 2) Найдите: /(10), /(18), /(24), /(96). 124 Дана функция у = f{x)\ а) f(x) = ^ ; б) f(x) = 1) Укажите множество допустимых значений аргумента этой функции. 2) Найдите: /(0,25), /(0,5), /(2), /(4). 125. Дана функция у = ^(х): у = 1,6х + 4; у = 18 - ^ л:. 1) Укажите множество допустимых значений аргумента функции у = g(x). 2) Найдите: а)^(0); 6)^(4); в)^-6,4); г)^^| j. 3) Найдите значение аргумента, при котором значение функции равно: а) 8; б)-10,5; в) 0; г) |. 126. Найдите значение функции у = /(х): 1)/(х) = х(х-8) при X, равном: а)-10; 6)0; в) 1,2; г) |; 2) f(x) = х(б - х) при X, равном: а)-3; 6)0; в) 1,3; г) |. 127. При каком значении аргумента значение функции у = g(x) равно а: 1) g(x) = 4х - 2, о = 6,5; л 5х + 1 1 3) g(x) = —g—»« = 4; 2) ^(х) = 1,5х - 4, а = -1; 4) g(x) = ? 128. При каких значениях аргумента равны значения функций у = /(х) и у = ^(х): 1)/(х) = 3-2(х-5), я(л:) = 5 - 3(2х-I-7); 2х ^ ^ 7-3(2-Зх) ^ 2) /(X) = 129. 1) Запишите формулу для вычисления: а) площади круга S м^ по его радиусу г м; б) средней скорости v км/ч пешехода, прошедшего расстояние 15 км за t ч; в) объема прямоугольного параллелепипеда V м^, длина которого равна 5 м, ширина 3 м, а высота h м; tpig* г) угла а°, смежного с углом, величина которого равна л:°; д) натурального числа п, зная, что при делении на 7 в частном получается 3, а остаток равен г. 2) Укажите множество допустимых значений аргумента полученной функции. Контрольные вопросы и задания 1. 2. 3. в каком случае переменную у называют функцией переменной лг? Как при этом называют переменную х? Напишите формулу для вычисления длины окружности С (м) по ее радиусу г(м). Укажите множество допустимых значений г. 1) Для функции, заданной формулой f(x) = 2л:(3 - х), найдите: а)/(-2); б)/(4); в)/(6). 2) При каком значении х значение функции равно нулю? 8. Таблица значений и график функции в некоторых случаях правило, по которому для каждого допустимого значения аргумента находят соответствующее значение функции, можно задать, указав непосредственно все пары значений аргумента и функции. Пример 1. Таблица стоимости Р (р.) проезда в пригородном электропоезде в направлении Москва — Вязьма в 2003 г. в зависимости от номера п зоны. п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 р 7 7 11,4 15,2 19 22,8 26,6 30,4 34,2 38 С помощью этой таблицы для каждого значения переменной п можно указать единственное значение переменной Р, стоящее в том же столбце, например при п = 2 имеем Р = 7. Таким образом, эта таблица задает функцию Р = f(n). Пример 2, Таблица квадратов двузначных натуральных чисел (см. раздел «Справочные материалы») задает функцию у = х^, множество допустимых значений аргумента которой — двузначные числа. ш C помощью этой таблицы легко найти квадрат любого двузначного числа. Найдем, например, квадрат числа 37. ©В левом столбце (десятки) находим цифру 3. В верхней строке (единицы) находим цифру 7. ,3-'На пересечении строки «3» и столбца «7» читаем: 1369. 372 = 1369. Такие таблицы, как таблица квадратов, в которых значение функции находят на пересечении строки и столбца, называют таблицами с двумя входами. Пример 3. Обозначим время суток буквой х, а температуру воздуха в градусах буквой у. Множество допустимых значений аргумента функции у = f(x) бесконечно (все неотрицательные числа, не превосходящие 24). Очевидно, что непосредственно указать все пары соответствующих значений аргумента и функции невозможно. В таких случаях иногда составляют таблицу значений функции, соответствующих лишь некоторым из допустимых значений аргумента. X 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 у -2 -4 -3,5 -1,8 2 4 6 6,5 7 5 2,5 0 -3 Если брать значения х и у за абсциссу и ординату точки, то каждой паре значений аргумента и функции будет соответствовать единственная точка координатной плоскости (рис. 11). Если бы таблица была составлена с шагом, равным 1, мы получили бы больше точек координатной плоскости (рис. 12). У о CQ О* >> Н а а ф с: S ф н Q- I ' ! i г i ' : > i ' • ..... —... *. . ^ _ t 4 , 8 12 ; 16 20 ; 24дГ 1 4 Время суток, ч • 4 4 i’S 12 16 I 20 ’.2-й: Рис.11 J * Время сутой, ч_ 1 Рис. 12 '0 t if Ш V' Вообще, c уменьшением шага таблицы мы получаем на координатной плоскости все больше и больше точек, абсцисса каждой из которых является значением аргумента, а ордината — соответствующим ему значением функции (рис. 13). Можно заметить, что точки все гуще располагаются на некоторой плавной линии (рис. 14). Эту линию называют графиком температуры. Каждая ее точка имеет абсциссу, равную допустимому значению аргумента, и ординату, равную соответствующему значению функции. Заметим, что примерный график температуры можно было бы получить, соединив плавной линией точки, изображенные, например, на рисунке 13. Графиком функции называется множество точек координатной плоскости, абсциссы которых являются значениями аргумента, а ординаты — соответствующими им значениями функции. На практике для построения графика функции обычно составляют таблицу значений функции с большим или меньшим шагом в зависимости от требуемой точности, отмечают на координатной плоскости соответствующие точки и соединяют их плавной линией. График функции дает наглядное представление о характере изменения значений функции. Так, по графику температуры можно определить, когда температура повышалась, понижалась, была отрицательной, положительной, равной нулю и т. п. Мы видим (рис. 14), что от О ч до 2 ч и от 16 ч до 24 ч температура понижалась, в 12 ч температура воздуха была равна 6 °С, нулевая температура была в 7 ч и в 22 ч. Выше нуля температура была от 7 ч до 22 ч. 0; --bL' S a ' 1 f .4 ' 1 Графиками функций пользуются люди самых различных профессий: медики, экономисты, инженеры и техники, географы, химики и др. Упражнения 130. 1) Длине стопы I (см) соответствует размер обуви п. По таблице значений функции п = f(l) определите: а) размер обуви, который соответствует стопе длиной: 25 см; 27 см; б) длину стопы человека, который носит обувь: 35-го размера; 41-го размера. Z, см 22 23 23,5 24 25 25,5 26 26,5 27 27,5 28,5 29 п 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 2) Возрасту ребенка t (в годах) соответствует его рост h (см). По таблице значений функции h = g{f) определите: а) рост ребенка в 3 года, в 7 лет, в 10 лет; б) возраст ребенка, когда его рост был равен: 87 см, 113 см, 127 см,136 см. <, год 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Л, см 70 80 87 94 99 107 113 120 127 132 136 131. Какие пары чисел, указанные в таблице: X -5 -1 0 1 2 4 5 у -24 1 5 -1 1 1 3 4 являются соответствующими друг другу значениями аргумента и функции: Ъх-2 а)у = Зх-9; 2х + 3 в) у х + 2 ' б)у = . X + 2 , X - 2 ^ г)у= + -^? I' - V ^ / if ■V.r=, J » V i t 132o Заполните таблицу значений функции. 1) Числу сторон п выпуклого многоугольника соответствует число q его диагоналей (рис. 15). Функция q = f(n) может быть задана формулой 9 = ^ ~ 3). п 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 я D Рис. 15 Рис. 16 2) Число шаров т, расположенных в виде треугольника (рис. 16), соответствует числу шаров п в его стороне. Функция т = g(n) может быть задана формулой m = ^ п(п -ь 1). п 2 3 4 5 6 7 8 9 10 т 1339 1) Объему F (см®) воды в колбе соответствует высота Н (мм) столба воды. По графику функции Н = f(V) (рис. 17) найдите: ш 0; A-i Л’'# fc- • tt. Л- ^ I I L- -'.. ft а) высоту столба воды в колбе, если в нее налито: 200 см®, 500 см®, 800 см® воды; б) объем воды в колбе, когда высота столба воды равна: 40 мм, 70 мм, 110 мм; в) изменение высоты столба воды в колбе, когда объем воды в ней увеличился: от 100 до 200 см®, от 200 до 300 см®, от 300 до 400 см®, от 800 до 900 см®. 2) Объему V (л) воды в вазе соответствует высота Н (мм) столба воды. По графику функции Н = g(V) (рис. 18) определите: Н, мм ' 300 а) емкость вазы, высоту вазы; б) изменение уровня воды в вазе, если объем воды увеличился: от 0,5 до 1 л, от 1 до 1,5 л, от 1,5 до 2 л; в) объем воды в вазе, когда высота столба воды равна: 70 мм, 150 мм, 200 мм; г) * высоту столба воды в вазе, если в нее налито: 200 см®, 500 см®, 1500 см®, 1800 см® воды. 134.* На рисунке 19 изображены три сосуда и три графика, каждый из которых показывает, как зависит высота столба жидкости от объема V (см®) жидкости в сосуде. Определите, какому сосуду какой график соответствует. О X li/ I ЩГ Расстояние между опорами, м Рис. 20 135? 1) На рисунке 20 изображен график, показывающий, как зависит стрела провеса I (м) провода от расстояния d (м) между опорами линии электропередачи. Пользуясь графиком, заполните таблицу значений функции I = т\ d, м 40 60 80 100 120 140 Z, м 2) На рисунке 21 изображен график, показывающий, как зависит атмосферное давлениер (мм рт. ст.) от высоты Н (км) над уровнем моря (Мирового океана). Пользуясь графиком, заполните таблицу значений функции Р = Я(Я). Н, км 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 р, ММ рт. ст. Сколько процентов от нормального (760 мм рт. ст.) давления составляют атмосферное давление на вершине Эльбруса — высочайшей горы Кавказа, высота которой равна 5630 м; на вершине Эвереста — высочайшей горы мира, высота которой равна 8848 м? 136? 1) Измеряя через равные промежутки времени температуру воды в баке, составили таблицу. X, МИН 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 у, “С 14 28 41 54 66 76 85 93 98 100 100 100 5> РА 800 Чему равен шаг этой таблицы? Постройте примерный график функции у = f{x) (1 см на оси Ох соответствует 1 мин, 1 см на оси Оу соответствует 10 °С). Используя график, ответьте на вопросы. а) Какая температура воды была через: 4 мин; 5,5 мин; 9 мин; 10,5 мин после начала нагревания? б) Через сколько минут после начала нагревания температура воды в баке стала равной: 41, 60, 93,100°С? 2) В колбу с питательной средой поместили бактерии. Увеличение числа бактерий показано в таблице, где буквой t обозначено время (в ч), а буквой п — число бактерий в колбе (в тыс. шт.). t, ч 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 п, тыс. шт. 1,4 1,8 2,2 2,8 3,5 4,4 5,6 7 8,8 9,4 9,6 9,1 7,3 Чему равен шаг таблицы? Постройте примерный график функции п = g{t). Используя график, ответьте на вопросы. 3- 11 а) Сколько бактерий стало в колбе через: 2,7 ч; 3,8 ч; 4,2 ч; 5,7 ч? б) Через сколько часов число бактерий в колбе оказалось равным: 2,8 тыс. шт.; 6 тыс. шт.; 9 тыс. шт.; 8 тыс. шт.? 137. ^ 1) Составьте таблицу значений функции у от Xj до с шагом Л: а) г/ = Зх; = -2; Xg = 2; Л = 0,5; б) у = -Зл:; jCj = -3; Xg = 1; Л = 0,5; в) " у = i ; = 0,1; JC2 = 2; Л = 0,1; г) * у = -i ; Xj = -2; Х2 = -0,1; Л = 0,1. 2) Постройте график функции у. 138. '‘^1) Два автомобиля, расстояние между которыми 2100 м, движутся навстречу друг другу. Один из них идет со скоростью 20 м/с, а другой — со скоростью 15 м/с. Какое расстояние d (м) будет между автомобилями через t с? По данным задачи заполните таблицу. t, с 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 d, м Постройте график функции d = f{t) (1 см на оси Ot соответствует 10 с, а 1 см на оси Od соответствует 200 м). 2) Из пункта М в пункт N со скоростью 5 км/ч отправился пешеход, а через 2 ч вслед за ним из М в N выехал велосипедист, двигавшийся со скоростью 9 км/ч. Какое расстояние s (км) будет между ними через t ч после выезда велосипедиста? По данным задачи заполните таблицу значений функции S = f(t). t, ч 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 S, км Постройте график функции s = f(t) (1 см на оси Ot соответствует 0,5 ч, а 1 см на оси Os соответствует 2 км). .О; Т Г tif ft ? I 1 ,7;- 139Р Функция задана описанием: «Каждому натуральному числу, меньшему 10, ставится в соответствие остаток от деления этого числа на 5». 1) Каково множество допустимых значений аргумента этой функции? 2) Каково множество значений этой функции? 3) Задайте функцию таблицей. Контрольные вопросы и задания 1. 2. 3. Приведите пример задания функции таблицей. Что понимают под графиком функции? По графику функции Н = g(V) (рис. 22) составьте таблицу значений функции Н с шагом, равным 100. ю § 4. Функция у = kx 9. Пропорциональные переменные Рассмотрим несколько задач. Задача 1. Мотоциклист двигался со скоростью 16 м/с в течение t с. Сколько метров проехал он за это время? Решение. При равномерном движении пройденный путь S равен произведению скорости и времени движения: S = 16f. Полученная формула задает функцию s, значения которой получаются из соответствующих значений аргумента t умножением на число 16. По смыслу задачи переменная t может принимать только положительные значения. Задача 2. Найти массу m (г) алюминиевого провода, объем которого V (см^). Решение. Масса вещества равна произведению его плотности и объема. Найдя в таблице плотностей (см. раздел «Справочные материалы») плотность алюминия, равную 2,7 г/см^, получим: т = 2,7F. i t' Чтобы получить значение функции т, нужно соответствующее ему значение аргумента V умножить на число 2,7. И в этой задаче допустимы только положительные значения аргумента V. Задача 3. Купили п карандашей по 3 р. Сколько заплатили за покупку? Решение. Обозначим буквой Р стоимость покупки в рублях,тогда Р = 3п. Формула задает функцию Р, значения которой равны произведению соответствующих значений аргумента п на число 3. В этой задаче аргумент п может принимать только натуральные значения. Общим для рассмотренных задач является то, что значения функции в каждом случае получаются умножением соответствующих им значений аргумента на число, отличное от нуля. Обозначив это число буквой k, а аргумент и функцию, как это принято в математике, буквами хи у, получим общий вид рассмотренных формул: у = kx, где кФО. Правая часть этой формулы имеет смысл при всех значениях X, значит, она задает функцию, аргумент которой может принимать любые значения. Возьмем два отличных от нуля значения аргумента: Xj и Xg. Соответствующие им значения функции: у^ = кх^ и У\ У 2 у2 = кх2- Из ЭТИХ равенств получим — = к и — = к. Значит, Xi Х2 У1 У2 Любые две пары соответствующих друг другу значений х и у функции у = кх составляют пропорцию. Такие переменные называют пропорциональными. Число к в формуле у = кх называют коэффициентом пропорциональности. В рассмотренных задачах коэффициентами пропорциональности являлись соответственно числа 16, 2,7 и 3. ф/ S’** ^ ^x-—^ I I' fL 3- J l^P r^n в математике и физике иногда приходится заполнять таблицы значений двух пропорциональных переменных. Пример. Заполнить таблицу значений пропорциональных переменных х и у. X 0,6 1,2 2 у 5 12 15 Решение. Так как переменные х и у пропорциональны, то зависимость между ними выражается формулой у = = kx. В таблице приведена только одна пара соответствующих друг другу значений пропорциональных переменных. Подставив в формулу у = kx указанную пару соответствующих друг другу значений переменных х = 2, у = 5, получим 5 = /е • 2. Отсюда k - 2,5. С помощью формулы у = 2,5k найдем значения переменной у, соответствующие указанным в таблице значениям переменной х: у = 2,5 • 0,6 - 1,5; у = 2,5 • 1,2 = 3. Выразим из формулы у = 2,5k переменную х: х = илил: = 0,4г/. Найдем значения переменной х, соответствующие указанным в таблице значениям переменной у: х = 0,4-12 = 4,8; л: = 0,4-15 = 6. Ответ: X 0,6 1,2 2 4,8 6 у 1,5 3 5 12 15 Упражнения 140. Пропорциональны ли: 1) масса сахарного песка и его стоимость; 2) время движения с постоянной скоростью и пройденный путь; 3) масса медного провода и его длина; 4) площадь квадрата и длина его стороны; 5) периметр квадрата и длина его стороны; 6) масса аквариума с водой и объем воды в нем; 7) масса коробки с конфетами и число конфет в ней; 'Ф; гЗ 8) стоимость всех проданных на определенный сеанс в кинотеатр билетов и число зрителей, если: а) все билеты имеют одну и ту же цену; б) цена билета зависит от места; 9) рост человека и его возраст; 10) масса человека и его рост? 141 Решите задачу и запишите формулу зависимости между величинами в виде у = kx. 1) Вертикальный столб высотой 6,5 м отбрасывает тень длиной 10,5 м. Определите высоту ели, длина тени которой равна 42 м (рис. 23). 2) 2,7 м ткани стоят 91,8 р. Сколько стоят 14,5 м той же ткани? 3) 25,2 см^ поваренной соли имеют массу 55,44 г. Какова масса 125 см® поваренной соли? 4) Масса свинцовой пластины объемом 68 см® равна 768,4 г. Определите объем свинцового слитка массой 7,232 кг. 5) Велосипедист рассчитывал проехать 40 км не более чем за 3 ч 30 мин. Первые 15 км он проехал за 1 ч 15 мин. Уложится ли велосипедист в намеченный срок, если продолжит движение с той же скоростью? 6) ^ На покраску пола в 15-метровой комнате пошло 2,7 кг краски. Хватит ли 8 кг краски на 44-метровую комнату (расход краски на 1 м® считать постоянным)? 142. 1) Найдите плотность меди в таблице плотностей (см. раздел «Справочные материалы»), заполните таблицу зависимости массы медного слитка от его объема. V, см® 1 2 3 4 5 10 20 30 40 т, г 2) Автобус движется равномерно со скоростью 48 км/ч. Заполните таблицу зависимости пройденного автобусом пути S (км) от времени движения t (ч). t, ч 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 S, км 143. Заполните таблицу. 1) X 0 1,6 2 4 4,8 80 у = 2,Ьх 30 40 75 2) X -12 -9 -6 0 3 6 5 У = -^х 15 20 40 144. Найдите коэффициент пропорциональности k и заполните пустые клетки таблицы. 1) X 1.2 2 3,6 5 60 y = kx 6 2,4 3,6 12 2) X 1 2 -1 5 3 -9 y = kx 2 3 0 1 6 1 2 3) ' 4) < X -3,6 7 11,8 42,4 60 y = kx -1,5 8,75 17 33,75 X -5 -2 0 4 25 100 y = kx 12 15 21 145.* 1) Зависимость между переменными х и у выражена формулой у = 2,5х, а зависимость между переменными х и Z выражена формулой х = 6z. Пропорциональны ли переменные у и Z? 2) Зависимость между переменными у и х выражена формулой у = —0,5х, а зависимость между переменными у и Z выражена формулой у = -1,5г. Пропорциональны ли переменные х и 2? 146. 1) Латунь — сплав меди с цинком, причем цинк и медь входят в нее в отношении 2:3. Сколько меди и сколько цинка содержится в куске латуни, масса которого равна 70 кг? ш Ш V 11 2) Бронза — это сплав олова и меди. Сколько олова и сколько меди содержится в куске бронзы массой 160 кг, если олово и медь входят в нее в отношении 3:17? 147.1) На рисунке 24 изображена прямая, проходящая через начало координат. Пользуясь этим графиком, заполните таблицу значений функции у. X -3 -1 0 2 3 3,5 4 4,5 6 у * Можно ли зависимость между ординатами и абсциссами точек графика, указанными в таблице, записать в виде формулы у = kx? 2) Решите такую же задачу, воспользовавшись графиком, изображенным на рисунке 25 (значения х выберите сами). 1. 2. 3. .О; Контрольные вопросы и задания Какой формулой выражается зависимость между пропорциональными переменными? Приведите примеры пропорциональных переменных. Решите задачу. Масса 15,5 л керосина равна 12,4 кг. Какова масса 20 л керосина? ц-z. л Cl ” ■> 10. Г рафик функции у = kx Наглядное представление о характере изменения значений функции можно получить с помощью ее графика. Построим, например, график функции у = 0,5л:. Составим таблицу значений этой функции с шагом 1. X -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 у = 0,5л: -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1.5 2 2,5 3 Отметим на координатной плоскости точки, абсциссами которых служат значения л: из таблицы, а ординатами — соответствующие им значения у (рис. 26). Уменьшая шаг таблицы, мы получаем на координатной плоскости больше точек графика функции у = 0,5х (рис. 27). Можно заметить, что точки все гуще располагаются на некоторой прямой, проходящей через начало координат. Эта прямая (рис. 28) и является графиком функции У = 0,5. С Графиком функции у = kx, где k — некоторое число является прямая, проходящая через начало координат Зная, что график функции у = kx — прямая, мы можем его построить, не составляя подробной таблицы. Действительно, для построения прямой достаточно знать две ее точки. Одна из них — начало координат. Остается найти координаты еще одной точки, отметить ее на координатной плоскости и провести прямую через эту точку и начало координат. • 4 1 Н- -1-. 1 Рис.27 Рис. 28 :=)^TV ^ t tr Пример 1. Построить график функции г/ = - | л:. О Решение. (Т) Возьмем какое-нибудь отличное от нуля значение х и вычислим соответствующее ему значение у (в данном случае удобно взять значение х, кратное 3, тогда значение у будет целым числом): при х = 6 имеем у = -- • 6 = -4. О @ Отметим на координатной плоскости точку с координатами (6; -4). (З) Через эту точку и начало координат проведем прямую (рис. 29). Эта прямая — график функции у — - -х. На рисунке 30 изображены графики функций у = kx с различными к. \ yi \-б-- Рис. 30 Можно заметить, что при положительном к график функции у = кх расположен в I и III, а при отрицательном к — во II и IV координатных четвертях. Значения функции у = 0 • х {к = 0) при всех значениях х равны нулю, значит, график этой функции совпадает с осью абсцисс. От коэффициента к зависит угол, образованный в верхней полуплоскости графиком функции у = кх (обычно говорят: прямой у — кх) и полупрямой Ох. Коэффициент к называют угловым коэффициентом прямой у = кх. Из определения графика функции следует, что точка принадлежит графику функции в том и только в том случае, если ее координаты — соответствующие друг другу значения аргумента и функции. ш О; Пример 2. Принадлежит ли точка А(25; -10) графику функции у = -0,4х? Решение. Подставив координаты точки в формулу у = -0,4х, получим верное равенство, если точка принадлежит графику, и неверное равенство, если точка не принадлежит графику: -10 = -0,4 • 25. Это равенство верно, значит, точка А принадлежит графику функции у = -0,4л:. Пример 3. Прямая у = kx проходит через точку 5(3; 7,5). Определить, чему равно k. Решение. Координаты точки В должны удовлетворять уравнению у = kx, так как точка В принадлежит графику функции у = kx. Подставим координаты точки В в формулу у = kxH найдем k: 7,5 = k-3, k = 2,5. Угловой коэффициент прямой у = kx, проходящей через точку В, равен 2,5. Упражнения 148. 1) Постройте график функции, заданной формулой f(x) = 0,5л:. 2) Найдите по графику: а) Я5); А6,5);/(7); /(-4); /(-1); б) абсциссу точки графика, ордината которой равна: 2,5; 0; -4; -1,5; 0,7. 3) Проходит ли график через точку: А(6; 3); 5(-7; -3,5); С(12,5; 25); 5(-78; -39)? 149.1) Постройте график функции, заданной формулой fix) = -2х. 2) Найдите по графику: а) Д-2,5); /(-1); ДО); Д3,5); Д5); б) абсциссу точки графика, если ее ордината равна: -4; -3; 1; 8; 9; 51. 3) Проходит ли график через точку: А(-2; -4); 5(-3; 6); С(5; -10); 5(55; -100); 5(-60; 120)? 150.1) Постройте график функции у = ^х. О 2) Найдите по графику значение функции при л:, равном: 4; 6; 8; -4. 3) При каком значении х значение функции равно: 0; -3; -6? 4) * Назовите несколько пар целых чисел, больших 10, которые являются координатами точек этого графика. 5) ® Имеется ли на графике точка, абсцисса которой равна 100? Если имеется, то какая у нее ордината? 6) Проходит ли график через точку: А(10; 3,75); В(-20; -7,5); С(-0,42; 0,02)? 151 .Постройте график функции у — -^х. 1) Найдите по графику значение функции при х, равном: -3; -6; 9; 12. 2) При каком значении х точка графика имеет ординату, равную: 0; 2,5; -7,5? 3) * Назовите несколько пар целых чисел, являющихся координатами точек этого графика. 4) Принадлежит ли графику точка: А(-0,024; 0,02); В(240; -200); С(30; 25)? 152. *^ Определите угловой коэффициент прямой у = kx, про- ходящей через точку: 1)А(7;14); 2)В(-9;27). 153. * Прямая y = kx проходит через точку С(6; -4). Проходит ли эта прямая через точку В(-9; 6)? 154. ® График функции у = kx проходит через точку Я(-12; -15). Как, не вычисляя коэффициента к, определить, проходит ли этот график через точку В(8; 10)? 155. ® Функция у = kx при х = 1 при- нимает значение, равное коэффициенту пропорциональности k. Пользуясь этим свойством, определите угловые коэффициенты прямых, изображенных на рисунке 31. 156. ® Лыжник вышел из пункта М и за л: ч прошел у км. Зависимость пройденного пути от времени движения дана в таблице. ‘Ф; X, ч 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 у, км 0 4,2 8,1 12 15,9 20,2 24,2 28 32,1 Отметьте на координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице, и проведите прямую через них или как можно ближе к ним. Задайте формулой функцию, графиком которой является полученная прямая. 157.Из точек Л(0; 0), В(1;-5), С(5;-2), В(-0,02; 0,1), Е ; I j > 0,74), G(-10; -6) выберите те, которые принадлежат графику функции: 1)у = 0,2л:; 3)1/ = -^х; 2)у= ^х; 4)у = -Ъх. 158.* 1) Постройте график функции у = Зл:. Постройте прямую, симметричную прямой у = Зх относительно оси ординат, и запишите функцию, график которой получился. 2) Постройте прямую, симметричную прямой у = Зх относительно оси абсцисс. Запишите уравнение этой прямой. 3) Постройте прямую, симметричную прямой у = Зх относительно начала координат. Запишите уравнение этой прямой. Контрольные вопросы и задания 1. 2. Что представляет собой график функции у = kxl Как расположен график функции у = kx при: 1) положительном k\ 2) при отрицательном /е? Постройте график функции у^-~х. Проходит ли график этой О функции через точку А(70,4; -44)? о § 5. Линейная функция 11. Определение линейной функции Задача 1. При отправлении телеграммы в 2003 г. взималась плата 80 к. за каждое слово и дополнительно 3 р. 15 к. Сколько рублей (л) стоило отправление теле- граммы, содержащей т слов^ Решение. Так как за т слов отправитель должен уплатить 0,8т рублей, то стоимость Р отправления телеграммы в т слов равна (0,8т + 3,15) р.: Р = 0,8т -1- 3,15. Например, если т = 17, то Р = 16,75, если m = 27, то Р = 24,75. Каждому допустимому значению переменной т соответствует единственное значение переменной Р, следовательно, формулой Р = 0,8т -ь 3,15 задается функция. Задача 2. Велосипедист должен проехать 45 км. Сколько километров (s) ему останется проехать через t ч, если он будет двигаться со скоростью 10 км/ч? Решение. За^ч велосипедист проедет 10^ км, и ему останется проехать (45 - Юг) км: S = 45 - Юг. Так, при г = 1,5 получим s = 30; при t = 2,5 s = 20. В этой задаче также каждому допустимому значению t соответствует единственное значение переменной s, и формулой 8 = 45- юг задается функция. В обеих задачах мы встретились с функциями, заданными формулами вида у = kx + I, где k и I — некоторые числа, а х и г/ — переменные. В первой задаче к = 0,8 и Z = 3,15. Во второй задаче к = —10 и I = 45. С функция, заданная формулой вида у = кх + 1, где ки I — некоторые числа, называется линейной. 3 т Г' Рассмотренная ранее функция у = kx является частным случаем линейной функции, так как при 1 = 0 формула у = kx + I принимает вид у = kx. Упражнения 159.1) Заполните таблицу зависимости стоимости отправления телеграммы от числа слов в ней (задача 1). т — число слов 12 13 14 15 16 18 20 22 24 п — стоимость Пропорциональна ли стоимость отправления телеграммы числу слов в ней? 2) Заполните таблицу значений функции s = 45 - 10^ (задача 2). t, ч 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 S, км Пропорциональны ли переменные snt? 160. 1) Заполните таблицу, а) X -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 у = 1,5х -1- 6 б) X -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 у-~1х+6 в)* X -0,15 0 0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 0,9 у = 2,4х - 3 г)* X -1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2 у =-1,25л:-5 ■'0л 2) Возьмите из какой-нибудь таблицы два любых значения X (х^ и Xg) и соответствующие им значения у (г/i и i/g). Проверьте, что для функции вида у = kx + I У2-У1 имеет место соотношение Хо- X = к. 161.1) В бассейне находится 240 м^ воды. Каждую секунду из него откачивают по 0,1 м^ воды. Сколько кубометров воды (F) останется в бассейне через t с? Задайте зависимость V от: t формулой. Задает ли эта формула линейную функцию? Сколько кубометров воды останется в бассейне через: 17 с; 10 мин; 0,5 ч? Сколько понадобится времени, чтобы осушить бассейн? 2) В баке легкового автомобиля 18 л бензина. На каждый километр пути расходуется в среднем 0,08 л бензина. Сколько литров (V) бензина останется в баке после прохождения s километров? Задайте формулой функцию V. Является ли эта функция линейной? Сколько литров бензина останется в баке через 15 км, через 90 км? Сколько километров может пройти автомобиль без заправки горючим? 162.^ 1) В баке, емкость которого 8 м^, находится 2 м^ воды. Каждую минуту в бак поступает по 0,15 м^ воды. Сколько кубометров (F) воды будет в баке через t мин? Задайте функцию V формулой. Сколько воды будет в баке через: 20 мин; 24 мин; 30 мин; 35 мин? Через сколько минут в баке будет: 3,5 м^; 6,2 м^ воды? 2) В цилиндрическое ведро высотой 30 см до уровня 10 см налита вода. В это ведро из крана поступает 0,25 л воды в секунду. До какой высоты Н (см) поднимется вода в ведре через t с, если 1 л воды поднимает уровень на 2 см? Задайте функцию Н формулой. Каковы допустимые значения t? До какой высоты поднимется вода через: 5 с; 15 с; 25 с; 40 с? Через сколько секунд вода в ведре поднимется до: 16 см; 24 см; 28 см? 163. 1) Линейная функция задана формулой f{x) kx + 12,Ъ. Найдите к, если /'(-10) = 72,5. 2) Линейная функция задана формулой f{x) = 2,8лг -I- I. Найдите I, если /(5) = -16. 164. Задайте линейную функцию у = f{x) формулой, если известно, что: а) /(3) = 4, fib) = 0; б) Д-6) = 1, /(3) = 19. .О. 165. Найдите координаты точки пересечения графиков функций у = fix) иу = g(x), если: 1) fix) = 2,3л: + 0,5, gix) = 3,5 - 0,7л:; „V . 4л: - 5 . 24 + Зл: 2) fix) = —^ , gix) =---------5--- 166.* Температура по шкале Кельвина связана с температурой по шкале Цельсия формулой ^K = ^°C^- 273, а переход от температуры по Цельсию к температуре по Фаренгейту, принятой в Англии и США, выражается формулой f °F = l,8t °С -Ь 32. Запишите формулу перевода температуры по Кельвину в температуру по Фаренгейту. о- 32* Контрольные вопросы и задания 1. 2. Какая функция называется линейной? Приведите примеры линейных функций. 3. Зная, что fix) = -- х + 6, найдите: /(0); /(2); Ц-14). 12. Г рафик линейной функции Рассмотрим две функции: у = 0,5х + 2и у = 0,5л:. Графиком функции г/ = 0,5л: является прямая, проходящая через начало координат. При любом значении л: выражение 0,5л: -Ь 2 принимает значение большее, чем выражение 0,5л:, на 2 единицы. Поэтому каждой точке графика функции у = 0,5л: соответствует точка графика функции у = 0,5л: 2, имеющая ту же абсциссу, а ординату на 2 единицы большую. Значит, каждая точка графика функции у = = 0,5л: -Ь 2 получается сдвигом соответствующей точки графика функции у = = 0,5л: на 2 единицы вверх, т. е. график функции у = 0,5л: -I- 2 получается сдвигом прямой у = 0,5л: на 2 единицы вверх (рис. 32). Графиком функции у = 0,5л: + 2 является прямая, параллельная прямой у = 0,5х. ш t---------- •г — — График функции у = kx + l — прямая, параллельная прямой у = kx. График функции у = kx + I называют прямой у = kx + I. При k = 0 графиком функции у == kx + I является множество точек с ординатами, равными I: при I = О это ось абсцисс, при других I — прямые, параллельные оси абсцисс (рис. 33). Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух его точек, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую. ) У, 1/ = 6,5 ■ 1 •8; г = 6,5 у = 4 -6-4-2 ■2: ' ' *15 ^4 6^’^' y = -^il . ' = -2 Рис. 33 Пример 1. Построить график функции у = 1,5л: - 6. Решение. (7) Возьмем два каких-либо значения л: и вычислим соответствующие им значения у: при х = О, у = -6; при X = 6, у = 3. @ Отметим на координатной плоскости точки А(0; -6) и В(6; 3). (з) Проведем через эти точки прямую (рис. 34). Эта прямая и есть искомый график. При построении графика мы взяли за одну из точек искомой прямой точку ее пересечения с осью ординат (точку А). Заметим, что прямая у = kx + I пересекает ось ординат в точке с координатами (0; I). \Ф/ Пример 2. Задать формулой функцию, график которой изображен на рисунке 35. Решение. На рисунке изображена прямая. Она является графиком функции у = kx + I. Эта прямая пересекает ось ординат в точке с координатами (0; 3). Значит, 1 = 3. Для нахождения k (коэффициент k называют угловым коэффициентом прямой у = кх + I) определим координаты еще одной точки данной прямой, например Б(5; 0), и подставим их в формулу у = кх + 3: 0 = к 5 + 3;й = -|. D Значит, формула, задающая функцию, график которой у изображен на рисунке 35, имеет вид у = -р ^ + 3. Упражнения 167. Как расположен относительно прямой у = -Зл: график функции: 1)у = -Зх+1; 2)у = -Зх-47 168.1) Постройте график функции у = -2х -f 6. Используя построенный график, определите: а) какое значение принимает функция при х, равном: -1,5; 0; 2,5; 5; 6,5; б) при каком значении аргумента значение функции равно: -5; -1; 0; 3. 2) Постройте график функции у = | л: - 4. Используя по- строенный график, определите: а) какое значение принимает функция при х, равном: -3;-1;0;2,5; 5; 7,5; б) при каком значении аргумента значение функции равно: -6; -1; 0; 0,5. 169.1) Постройте график функции у = -^ х + 3. Найдите по графику: а) координаты точек его пересечения с осями координат; б) значение функции при х, равном: -3,5; 10,5; в) значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное: 1; 12. 'О; 3=311 r)* Есть ли на графике точки, обе координаты кото- рых — целые числа? Если есть, то сколько таких точек? О 2) Постройте график функции у = -:Х - 1. Найдите по графику: а) координаты его точек пересечения с координатными осями; б) значение функции при х, равном: -4; -6; 2; 8; в) значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное: 1; 2; 5. г) * Есть ли на графике точки, обе координаты которых — натуральные числа? Если есть, то сколько таких точек? 170г 1) Постройте прямую у = -Зх -I- 5. Пользуясь построенным графиком, определите, на сколько убывает значение функции, если значение аргумента возрастает на 1: а) от-2 до-1; в) от 2 до 3; д)от-1до0; б) от О до 1; г) от 4 до 5; е)от1до2. 2) Постройте прямую у = 2х- 7. Пользуясь построенным графиком, определите, на сколько возрастает значение функции, если значение аргумента возрастает на 1: а) от О до 1; в) от 2 до 3; б) от 1 до 2; г) от 3 до 4. 3) На сколько изменяется значение функции у = kx + I: а) при увеличении ее аргумента на 1; б) при уменьшении ее аргумента на 1? 171. Найдите k и I, если известно, что прямая у = kx + I параллельна прямой у = 0,3х и проходит через точку: 1)А(0;7); 2)В(0;8); 3)С(2;5); 4)П(-5;6). 172. Найдите knl, если известно, что прямая у = kx + I: 1) параллельна прямой у = 0,75х + Ни проходит через точку: a)ii:(8; 1); б)М(4; 9); 2) параллельна прямой у = х - 6 и проходит через точ- ку: а) Р(7; 4); б)Е(3;0). 173Т Изобразите, как примерно выглядит график функции у = kx + I, если: 1) fe>0,/>0 2) й < О, / > О 3) й > О, Z < О 4) й<0,/<0 5) й>0,/ = 0 6) й<0,/ = 0 7) й = 0, Z>0; 8) й = О, Z < 0; 9) й = 0, Z = 0. “Z-{ vm Э 174.* Определите знаки чисел k и I, если график функции у = kx + I расположен: 1) в1, II и III; 2) в1, II и IV; 3) в I, III и IV; 4) во II, III и IV координатных четвертях. 175.* Может ли график линейной функции располагаться только: 1) в I и II координатных четвертях; 2) во II и IV координатных четвертях; 3) в III и IV координатных четвертях; 4) в I и III координатных четвертях; 5) в I и IV координатных четвертях; 6) во II и III координатных четвертях? 176. ” Выясните с помощью графиков, содержат ли следующие таблицы значения линейных функций. Если содержат, то задайте линейные функции формулами. 1) X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 у -1,4 -0,6 0,2 1 1,8 2,6 3,4 4,2 5 2) X -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 У -9,6 -7,8 -6 -4,2 -2,4 -0,6 1,2 3 4,8 3) X -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 у 10 4,5 0 -3,5 -6 -7,5 -8 -10 -12 4)^ X -6 -5 -3,6 -2,4 0,4 6,4 8 10 у 5,5 6,25 7,3 8,2 9,7 5,2 4 2,5 177.* В результате взвешивания получили таблицу зависимости массы т (кг) бидона с керосином от объема керосина V (л) в нем. V, л 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 т, кг 1,12 1,52 1,92 2,33 2,72 3,11 3,53 3,92 ■'ф;' Покажите с помощью графика, что т является линейной функцией. Задайте эту функцию формулой. Найдите массу пустого бидона и массу 1 л керосина. 178? 1) В баллоне содержится 1,8 кг жидкого пропана. Сколько килограммов (д) пропана останется в баллоне через t ч работы газовой плитки, расходующей в час 0,15 кг пропана? Постройте график функции д (1 см на оси t соответствует 1 ч, а 1 см на оси д соответствует 0,1 кг). Найдите по графику: а) сколько килограммов пропана останется в баллоне через: 4 ч; 6 ч; 7 ч работы плитки; б) через сколько часов в баллоне останется пропана: 0,6 кг; 0,3 кг. 2) Турист выехал на мопеде из пункта А в пункт В, расстояние до которого по шоссе равно 120 км. Сколько километров (s) останется проехать туристу через t ч после отправления из А, если он будет двигаться равномерно со скоростью 24 км/ч? Постройте график функции s (1 см на оси t соответствует 0,5 ч, а 1 см на оси s соответствует 10 км). Найдите по графику: а) сколько километров останется проехать туристу че- рез: 3,5 ч; 4 ч; 4- ч после отправления из пункта А; б) через сколько часов после отправления из пункта А туристу останется проехать: 72 км; 36 км; 12 км. 179.' Пружина под действием силы тяжести подвешенного к ней груза удлиняется, причем удлинение пропорционально массе груза. На рисунке 36 показано, как удлиня- Масса, кг 2 3 Рис. 36 & р- * г ---у ется восьмисантиметровая пружина при некоторых нагрузках (массе в 1 кг соответствует сила тяжести, приближенно равная 10 Н). Постройте график функции I (длина пружины, см), аргумент которой т (масса груза, кг), считая предельную нагрузку равной 50 Н. 180. В коробке лежат гвозди, масса каждого из которых 4 г. Зная, что масса пустой коробки равна 50 г, определите массу коробки, в которой находится п гвоздей. Постройте график функции т = f(n) (т — масса коробки с гвоздями, г), 1 см на оси п соответствует 5 гвоздям, а 1 см на оси т соответствует 20 г. 181 Р 1) Определите, не выполняя построения графика функ- ции у = + 9: а) координаты точек пересечения графика с осями координат; б) принадлежат ли графику точки: Л(100; 84), В(-0,05; -7,9), С(-30; 30,5); в) * есть ли на графике точка, абсцисса которой равна ее ординате. 2) Определите, не выполняя построения графика функ- ции у = -^х - 8: а) координаты точек пересечения графика с координатными осями; б) принадлежат ли графику точки: А(50; 12), В(-0,05; -7,9), С(52; 28); в) “ есть ли на графике точка, абсцисса и ордината которой — противоположные числа. 182.^ 1) Прямая у = Зх + I проходит через точку А(17; 30). Найдите I и определите, проходит ли эта прямая через точку В(25; 54). 2) Прямая у = -2,5л: + I проходит через точку М(-20; 66). Найдите I и определите, проходит ли эта прямая через точку С(20; 7). 183. Пересекаются ли графики функций: 1) у = 2л: -Ь 3 и г/ = 2д: + 5; 3) I/ = -Зл: -Ь 5 и у = -Зх; 2) у = 2х-ьЗиу = х-2; 4) у = 4 - х и у = 4 - 2х? Если графики пересекаются, найдите точку пересечения. Контрольные вопросы и задания 1. 2. Что представляет собой график линейной функции? В чем особенность расположения графиков функции вида y^kx + l: а) при одном и том же fe и различных I; б) при одном и том же Z и различных ft? Найдите координаты точек, в которых график линейной функции у = 0,45х + 3,6 пересекает оси координат. 13. График линейного уравнения с двумя переменными Функцию y = kx + l называют линейной потому, что ее графиком является прямая линия. С другой стороны, уравнение у = kx + I, задающее линейную функцию, является частным случаем уравнения с двумя переменными ах + by = с. Если коэффициент Ь при у в этом уравнении отличен от нуля, то делением на Ь и переносом члена, содержащего х, в правую часть можно получить из уравнения ах + by = с равносильное ему уравнение у = - ^х + ^ . Как мы говорили, это уравнение задает на координатной плоскости прямую линию, а значит, эту же прямую задает и уравнение ах + by = с. Уравнение ах + by = с называют линейным уравнением с двумя переменными. Графиком уравнения называют множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения. Пример 1. Построить график уравнения Зх + 2у = 4. Решение 1. Перенесем Зх в правую часть, разделим уравнение на 2, в результате получим равносильное уравне-3 ние у = --Х -*г 2. Это уравнение задает линейную функцию, г —у 4-L й ^ графиком которой является прямая (рис. 37). Эта прямая и является графиком уравнения Зх + 2у = 4. Решение 2. Мы знаем, что графиком данного уравнения является прямая, а для построения прямой достаточно знать две ее точки. Найдем точки пересечения прямой с осями координат: 1) при л: = О имеем: 3 • О -Ь 2у = 4, у = 2; 2) при у = О имеем: Зл:-1-0-у = 4, х=^. О Отметим на координатной плоскости точки А(0; 2) и В^| ; О j и проведем через них прямую АВ, которая и являет- ся искомым графиком. Рассмотрим теперь случай, когда в уравнении ах + by = с коэффициент Ь равен нулю: ад: -ь О • у = с. Можно считать, что в этом случае мы имеем уравнение с одной переменной: ах = с. Если а не равно нулю, то у уравне- ния есть единственный корень х = График этого уравне- ния состоит из точек, абсциссы которых равны - , т. е. явля- ется пpямoй^, параллельной оси ординат (рис. 38) или (при с = О) совпадающей с ней. Аналогично, если в уравнении ах + by = с нулю равно а, а 6 =5* О, получим уравнение by = с, график которого является прямой у = - , параллельной оси абсцисс или совпадающей с этой осью. ^ Поэтому и уравнение ах = с тоже называют линейным. т n Мы рассмотрели случаи, когда в линейном уравнении хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. Графиком такого уравнения является прямая. Если же оба коэффициента при переменных х к у равны нулю, получаем уравнение О • л: + О • £/ = е. Если с¥=0, например 0*л: + 0*у = 1,тони при каких значениях переменных левая часть равенства не равна правой, а значит, график этого уравнения не содержит ни одной точки. Графиком уравнения О • х + О • у = О является вся координатная плоскость, так как при любых значениях переменных получается верное равенство 0 = 0. Умение строить графики линейных уравнений помогает при решении систем уравнений с двумя переменными. _ _ ^ ^ \2х + Зу = 12, Пример 2. Решить систему уравнении i 5^ - 4у = 2 Решение. Решением системы являются координаты общих точек графиков ее уравнений. Построим графики уравнений системы и определим координаты их общей точки. Прямая 2л: -f- Зу = 12 пересекает координатные оси в точках (0; 4) и (6; 0), а прямая 5х - 4у = 2 проходит через точки (-2; -3) и (2; 2) (рис. 39). Прямые пересекаются в точке С(хс ; Ус)’ “ 2,3, Ус ~ 2,5. Ответ; х = 2,3, у = 2,5. Замечание. При построении графиков всегда имеются некоторые погрешности, а значит, с помощью графиков решить систему уравнений можно только приближенно. Поэтому графический способ решения применяют в случаях, когда высокая точность не нужна. Особенно удобно с помощью графиков выяснять, сколько решений имеет система уравнений. \ах + by с. Графики уравнений системы + ду = f могут оказать- ся либо пересекающимися, либо параллельными прямыми a) 6) Рис. 40 в) (рис. 40, a, б), либо совпадать (рис. 40, в). В первом случае система имеет единственное решение, во втором — не имеет решений, а в третьем случае у системы бесконечное множество решений. Система, имеюш,ая бесконечное множество решений, состоит из двух равносильных друг другу уравнений, например X + 2у = 7, 2х + 4у = 14 видеть, что второе уравнение системы получено из первого умножением на 2. Каждое решение первого уравнения является и решением второго уравнения, а значит, является решением всей системы. Система оказалась равносильна уравнению х + 2у = 7, которое имеет бесконечно много решений. Возникает вопрос, как эти решения записать. Можно поступить так: выразить одну переменную через другую, например х через у, и указать, что у может принимать любое значение: х = 7 - 2у, где у — любое число. Упражнения 184. Замените данное уравнение равносильным ему уравнением вида у = kx + I: 1) 3x +2i/ = 48; 4) 7х-0,15г/ = -0,1; 2) 5л: - Зу = 60; 5) 3 - 2у = 0; 3)4д:-1- -£/ = 10; 6) Юл: - 1 = 0. 185. Какие из графиков линейных уравнений — параллельные прямые: 1) 2л;-7г/ = 3; 3) 4л: + 14t/=-1; 2) 2х + 7у = 5; 4) Юл: - 35t/= 19? ш >2. *^5^ =7^/г* ^ t V 11 186. Запишите уравнение прямой, которая получится в результате сдвига прямой: 1) у = 2л; на 2 единицы: а) вверх; б) вниз; 2) У = л: на 3 единицы: о в)* вправо; влево; а)вверх; б) вниз; в)* вправо; г)* влево. 187. Запишите уравнение прямой: 1) параллельной; 2) перпендикулярной прямой у = X, которая проходит через точку: а) (0; 2); б)(0;-2); в)®(2;0); т)^ (-2; 0). 188. Постройте прямую: 1) 3х-у = 8; 2) 4х -Ь у = 10; 3) -2л: + 5у = 15; 4) Зл; - 4у = -6; 5) о • л: - Зу = 9; 6) 5л:-+-0-у = 15. 189. 1) Постройте прямую, заданную уравнением: а)2л: + 3у = 12; б) Зл:-Ь 5у = 30. 2) Найдите по графику все пары целых неотрицательных значений переменных, которые являются решениями этого уравнения. 190. Составьте уравнение по условию задачи, постройте его график и, если возможно, найдите все решения задачи. 1) Ученик купил несколько тетрадей и карандашей, заплатив за покупку 23 р. Цена тетради 2 р., а цена карандаша 3 р. Сколько тетрадей и карандашей было куплено учеником? 2) Монету в 50 к. нужно разменять трехкопеечными и пятикопеечными монетами. Сколько для этого может понадобиться трехкопеечных и пятикопеечных монет? 191. Проходит ли график уравнения 6х - 7у = 19 через точку: а) А(16; 11); в)С(-26; -25); б) В(23;17); г)П(-55;7)? 192. 1) Прямая Ъх - Ту = с проходит через точку А(2,4; 1). Найдите с. 2) Прямая 6л: -Ь 5у = с проходит через точку А(-7; -5,6). Найдите с. 3) Прямая 6х -ь 5у = 71 проходит через точку В(23; 5). Найдите Ь. ч-z 3- lltn 4) Прямая ах - 1Ъу = 45 проходит через точку С(10; 13). Найдите а. 193.® 1) При каком значении Ь прямая Ах + by = 21 проходит через точку А(4; -1)? Проходит ли она в этом случае через точку: а) £(-14; 21); б) £(26; 7)? 2) При каком значении с прямая Здг -f 7г/ = с проходит через точку 5(-5; 4)? Проходит ли она в этом случае через точку: а) £(23; -8); б) М(-19; 10)? 194. Является ли точка А точкой пересечения прямых 2х - 3i/ = 8 и Зл: -Ь 2у = -1: а) А(-2;-4); в)А(-1;-1); б) А(2;-3,5); г)А(1;-2)? 195. Решите графически систему уравнений: .Л л:-1-1/ = 10, ^Пх-у = 3; \3х + 4у = 2, ^ПЪх-2у = -1\ 2) X - у = 8, х + у = -3; 6) 5х + 2у = -1, Юд: Ч- г/ = 1; \2х + Зу = -12, ^П4х-3у = 0; jo • д:-f 51/= 20, ^П-Зх + 2у = -1; \4х - Зу = о, 13д: + 2i/ = 17; 8) -Здс -f о • у = 15, 2х+ 71/= 2. 196. Имеет ли решение система уравнений: 1) [у - бдг = 0, |4х-у = -2; 4) 2)- |5д: + Зу = 24, jjc + 12у = 36; 5) 3)- |1,5х-4у = 1, 18у = Зд:-2; 6) 0,2х -ь 0,3«/ = о, д: -Н 1,Ъу = 4; ]2х= И-Зу, [Зу = 10 - 2х; Зд: = 1 - 2у, 2у = 16-Зд:? 197. Сколько решений имеет система: 12д: -Ь Зу = 5, 1)^2 ^3 , ]у = 2х + 3, ^)1у = -2д;-3; J3x-y-t- 2 = 0, ^ПЗх-у+ 4 = 0; [д: = Зу - 5, 4) if'4-L ' ^ i V 3 11 198P 1) Найдите координаты точки пересечения прямых 2х - Ту = \ VIX + 2у = -Ъ ш определите, проходит ли через эту точку прямая Зл: - 8t/ = -1. 2) Найдите координаты точки пересечения прямых д: + 21/ = 0иЗл:+71/ = 2и определите, проходит ли через эту точку прямая -2х + у = -10. 199* Имеет ли решение система трех линейных уравнений: х + у = 2, 1), 2л: + Зг/ = О, x-y= 10; х-у=\, 2)\х+2у= 13, 2х-у = 3? 200? Какими должны быть числа а, Ь я с, чтобы график уравнения ах + Ьу = с: 1) был параллелен оси ординат; 2) был параллелен оси абсцисс; 3) проходил через начало координат; 4) * располагался в I, II и III координатных четвертях; 5) ® располагался во II, III и IV координатных четвертях? 201. 1) Назовите линейные уравнения (ответ обоснуйте): у = 2х. о • X + 0‘ у = 3, j+i/-4. У - I =.^ 2 3’ х +у = 0, л: = о. о • X о • у = о. 1 х = -1^У, у - 5х + 4 = о, У ~ ~3, у^ + х = 2, 2х + 6 = о, ь-у = о. у = 0, у - х^ + 1 = о, 2) Что является графиком каждого из этих линейных уравнений? Какой из них не является графиком функции у = kx + 17 Контрольные вопросы и задания 1. 2. Как графически решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными? Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными? Приведите примеры. Решите графически систему уравнений ^=\ ^ ’ Ш 0/ ■ i / Л *■ -■ Глава 3 СТЕПЕНЬ C НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ О § 6. Степень и ее свойства 14. Тождества и тождественные преобразования Решая текстовые задачи, раскрывая скобки и сокращая дроби, вы получали различные равенства с переменными. Обычно при рассмотрении равенства двух выражений с переменными возникает вопрос о значениях переменных, при подстановке которых из равенства с переменными получается верное числовое равенство. Рассмотрим три равенства: 1)х + у = ху; 2) а(Ь + с) = аЬ + ас; 3) Ът^ = 5т. В первое равенство можно подставлять любые значения переменных хну. При этом получится либо верное, либо неверное числовое равенство. Так, например, при х = 2, у = 2 получим верное равенство 2 + 2 = 2 • 2, а при л: = 5, у = 3 — неверное равенство 5 4-3 = 5*3. Второе равенство, в отличие от первого, обращается в верное числовое равенство при любых значениях входящих в него переменных, так как оно — запись распределительного закона умножения, применимого к любым числам. Третье равенство становится верным числовым равенством при любом, отличном от нуля значении переменной т, т. е. при всех допустимых значениях этой переменной. С Равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных, называют тождеством D Согласно этому определению, равенства 2 и 3 — тождества. Они верны при всех допустимых значениях переменных. В отличие от них, равенство 1 тождеством не является, так как существуют допустимые значения входящих в него пе- ' 5> f 4/ ременных (например, л: = 5, г/ = 3), nj9u которых это равенство неверно. С Выражения, записанные в левой и правой частях тождества, называют тождественно равными. 3 к числу тождеств относятся все основные свойства арифметических действий, основное свойство дроби. С распределительным законом умножения вы в этом пункте уже встречались, напомним другие законы арифметических действий. Переместительный закон сложения а -ь 6 = Ь -ьа умножения аЬ = Ьа Сочетательный закон сложения умножения а{Ьс) = (аЬ)-h с а(Ьс) = (аЬ)с Свойство нуля а -I- О = а Свойство единицы а • 1 = а Правила знаков при умножении (-а)Ь = -аЬ, (-а)(-Ь) = аЬ Из известных тождеств можно вывести другие тождества, такие, как, например, правило раскрытия скобок, которым мы неоднократно пользовались и которое еще много раз будем применять при решении различных задач. Рассмотрим выражение а{Ъ -ь с - d). Запишем выражение, стоящее в скобках, в виде суммы двух выражений: a{b + c-d) = а((Ь + c)-i- (-d)). Применим распределительный закон: а{{Ь -i- с) -I- (-d)) = а(Ь -f с) -ь a(-d). Применим распределительный закон к выражению 0(6 + с): о(Ь + с) + o(-d) = об -ь ос -I- o(-d). К произведению a(-d) применим правило знаков: об -ь ос -ь a{-d) = аЬ -‘г ас - ad. О ■р --Х—/ 4-L 5 ^ =^ ^ 3- lien Все полученные равенства — тождества. Мы последовательно преобразовали выражение а(Ь + с - d) в тождественно равное ему выражение аЬ + ас - ad. Переход от одного выражения к другому, равному ему тождественно, называют тождественным преобразованием выражения. С помощью тождественных преобразований часто удается упростить исходное выражение, т. е. заменить его тождественно равным выражением, более удобным для решения поставленной задачи. Упражнения 202. Вычислите устно, применяя свойства арифметических действий: 1) 1,48-32,6 + 1,48-67,4; 2) 13,7-6,12 + 3,88-13,7; 3) 23,4-72,7-62,7-23,4; 4) 169-0,58-0,57-169; 5)° 1,4-47 + 14-5,3; 6) 0 0,77-39 + 0,61-77; 7) 0 12-0,37-32-0,12; 8) 0 246-0,37 + 130-0,246. 203. Как вы считаете, является ли тождеством равенство: 1) 5(0 + Ь) = 5о + 56; 6) (-2у) - (-Зс) = -бсу; 2) Зс - 3d = 3(с - d); 7) 2о + о = За; 3) (5 - 4i/) - 6 = 30 - 24г/; 8)46-36 = 6; 4) (4х + 8): 4 = X + 2; 9)с-с = 0; 5) 2х - 7г/= 2у - 7х; 10)-(о + 6) =-о - 6? 204. Докажите, что данное равенство не является тождеством: 1) о^ + о = о^; 2) 63 - 6 = 62; 6) |об1 = об; 7\U 1“1 = “ . О fe ъ' 3) 5о2 = (5а)2; 4) 0 (о + 1)2 = о2 + 1; 5) 0 (6 - 2)2 = 62-4; 8)+ ^ = -5; 9):-^=2; 10)» |а-3| _ а-3 = 1. 3:^1 205. Замените данное выражение тождественно равным выражением, не содержащим скобки; 5) 10(3а - 706 - 0,9с -Ь 0,07); 6) -0,45^б|сп + 206Й j; 1) 12(5а -Ь 76); 2) 0,45(8а-с); 3) 0,08(30х + 0,2г/); 4) -|(0,7a6-licd]; 7) 4х[^1,25д: - \ау- | j; 8) 2,4г/(^6 + 1,5с-0,05г/] 206. Приведите подобные члены в выражении: 1) 2с-ь 4,7с-3,4с-1,3; 2) 7р-5,5р-8,7р-1-9,1; 3) 2,6л: - 3,8г/ - 1,2у + 1,4л: + 5у; 4) 3,2/г -Н 4,3р - 1,8/е - 2,4* -Ь 1,7р; кч 2 5)з* ■У 12 20 У ;л:; яч 7 11 . 1 28 , ^ 1 . 5 18 20 45 15 12 207. Замените данное выражение тождественно равным, не содержащим скобки: 1) (;с-ь2) + (л:-3); 4) 4(у - 5) + 3(у + 7); 2) (у+ 5)-{у-2); 5)7(л-9)-5(п + 1); 3) 5(д: -Ь 4) - 3(л: - 2); 6) 11(а - 9) -Ь 8(а - 13). 208. Раскройте скобки и упростите выражение: 1) 5(а -Ь 26 - 3) - 4(6 - а - 4); 2) 7(2л: - г/ - 4) - 3(5л: - Зу - 9); 3) 11(* - Зп -ь 8) - 3(4* - 11п + 27); 4) 9(2р -4д-7) + 5(7д - 4р + 13); 5) 0 3(4 - х) - (2(х + 1) - 5(х - 7)); 6) 0 7{2у - X) - ((5у - Зх) - 4(х + у)). 20ЭР Докажите, что при всех значениях переменной выражение принимает одно и то же значение: 1) 2(3rt- 13)-3(2л-9); 2) 4(ЗсЧ-7)-ь6(7-2с); 3) 2(х - 1) -н 3(х + 5) - 5(х -Ь 2); 4) 7(1-у)-6(1-2у) + 5(11-у). г=- 210. Докажите, что равенство является тождеством: 1) аф + с) + Ъф - а) - сф + Ь) = 0; 2) х(1-у-г)-у(1-2-х) + г{1+х-у) = х-у + z; 3) аЬф + 1) + Ьсф + 1) - ас{2Ь - 1) = аЬ + Ьс + ас; 4) ху{1 -z)- 1/2(1 + д:) - хг{1 - 2у) = ху - yz - xz. 211 Р 1) Запишите формулу для вычисления площади фигуры, изображенной на рисунке 41, разбивая фигуру на прямоугольники: а) горизонтальными; б) вертикальными прямыми. Докажите с помощью преобразований, что полученные выражения тождественно равны. 2) Решите аналогичную задачу для фигуры, изображенной на рисунке 42. 212. Вставьте недостающие члены тождества: 1)а*0 = ...; 3)с-1-...=с; 5) а ■ 1; 2)1 Ъ; 4) а -Ь ... = 0; 6)« Контрольные вопросы и задания 1. 2. Какие выражения называют тождественно равными? Какие из следующих равенств являются тождествами; 1) -x-Zx = 2x; 2) -x-Zx = -4x; 3) ~(2х - Зу) = -2д: + Зу; 4) -(2х - Зу) = -2х - Зу; 5) |x| = |-x|; 6) |л:| = х1 Докажите, что данное равенство является тождеством: а(2Ь - с) -I- Ь{2с -а) + с(2а -Ь) = аЬ + ас + Ьс. 'О; \*ЧЬ X' +t II 15. Определение степени с натуральным показателем Мы уже неоднократно встречались со степенями чисел. С их помощью мы обозначали произведения одинаковых множителей. Так, например, при разложении числа 16 на простые множители получается: 2 • 2 • 2 • 2. Это выражение, состоящее из четырех одинаковых множителей, можно записать короче: 2“* (читается: два в четвертой степени)'. Произведение п множителей, каждый из которых равен а, обозначают а" (читается: а в энной степени). а"= а' а‘ а'... • а п множителей Здесь п может быть любым натуральным числом, кроме единицы, так как не бывает произведения с одним множителем. По этой причине выражение а' приходится определять отдельно: a^ = а С Выражение а" называют степенью, а — основанием степени, п — показателем степени. 3 При возведении в степень с натуральным показателем положительного числа получается положительное число (произведение положительных множителей положительно). При возведении в степень с натуральным показателем отрицательного числа знак результата зависит от четности или нечетности показателя степени. Если показатель степени отрицательного числа четный, значение степени положительно (произведение четного числа отрицательных множителей). Если же показатель степени отрицательного числа нечетный, то значение степени отрицательно (произведение нечетного числа отрицательных множителей). ' Обозначение степени неизвестного использовал Диофант в книге «Арифметика» в III в. Обозначения показателей степени, которыми мы сегодня пользуемся, ввел Р. Декарт в XVII в. Гz114n ■ Ha калькуляторе вычисление степени сводится к многократному умножению числа само на себя. Приведем для примера программу вычисления 2'^: 2* = = = = = =. В результате калькулятор покажет число 128, значит, 2^ = 128." Упражнения 213. Представьте произведение в виде степени: 1) аааа; 2) ссссссс; 3) (-0,2) *(-0,2) *(-0,2); .. 3 3 3 3 3 4) 44444’ 5) (-р) • (-р) • (-р) • (-р) • (-р) • (-р); 6) (2а) • (2а) • (2а) • (2а) • (2а). 214. 1) Запишите степень, основание которой равно: а) 10, а показатель степени равен 6; б) 6, а показатель степени равен 10; в) с, а показатель степени 5; г) а, а показатель равен т. 2) Представьте эту степень в виде произведения. 215. Запишите в виде степени: 1) квадрат числа -3,7; 2) куб числа |; 3) четвертую сте- 5 пень произведения а на с, 216. Представьте степень в виде произведения: 1) д:б; 4)0,43; 7)(ах)^; 2) .=; 5)(|)‘; 8,(-|б)’; 3) (-кУ; 6) (-3^5; 9) (~Ьу)^; 217. Найдите значение степени: 1)2«; 5)(|)‘; 6) 0,43; 7) 0,242; 8) (-0,3)^; 10) (a-t- 2)3; 11) (с-5)4; 12) (2< + 1)2. 9) (-3)3; 2) 35; 3) (-5)3; 4) (-10)4; 10) (-2)8; 11) -0,34; 12) -0,25. 'О. 218. Найдите значение выражения с переменной: 1) 3" + 2", если: а) п = 2; б) п = 1; 2) - а^, если: а) а = 5; б) а = . 219. Сравните значения выражений: 1) 34 и 43; 2) 210 и 102; 3) 0,2 и 0,23; 4) 1,2 и 1,22; 5) 0,32 и 0,33; 8) (-0,4)2 и 0,42. 220.* Расположите в порядке возрастания значения выражений: 7"; (-9)"; 3"; 0,5"; (-2,7)"; 0", если известно, что п: 1) четное; 2) нечетное число. 221.* Определите, если возможно, каким числом — четным или нечетным — является показатель степени л, если: 1) (-5)">(-3)"; 3) (-5)" < (-3)"; 5) (-5)" < 3"; 2) (-5)">3"; 4)5">3"; 222. “" Укажите на координатной прямой (рис. 43), где примерно расположена точка А(х). 223. ^ Расположите в порядке воз- растания числа: 1) (-0,5)7; (-0,5)4; (-0,5)3; 2) (-0,7)2; (-0,7)3; (-0,7)4. а) б) в) 6) 5" > (-3)". В(х^)0 С(х2) о С(х2) В(х^) о В(х^) С(,х^) Рис. 43 224. 1) Представьте в виде степени с основанием 10 число: а) 10 000 000; г) 100 000 000; б) 1 000 000; д) 100 000 000 000; в) 1 000 000 000; е) 10 000 000 000. 2) Запишите число 1 000 ... 000, в котором л нулей, в виде степени с основанием 10. 225. Используя степень числа 10, запишите, что: 1) в одном метре 1000 мм; 2) в одном килограмме 1 000 000 мг; 3) в одном километре 100 000 см; 4) в одной тонне 1 000 000 г. ---------\ 0 _j_ ^ r I k- r.i J i = - 226. Запишите в виде a • 10", где 1 < a < 10: 1) площадь поверхности Земли, равную 510 000 000 км^; 2) расстояние от Земли до Солнца, равное 150 000 000 км. 227. Разложите число на простые множители и представьте результат в виде произведения степеней: 1)54; 2)72; 3)540; 4)504. 228. Вычислите: 1) (|]' -0,49+ (0,1)3.210; 2) 23-33: 180; 3) 240 : - 50 : (-0,5)2; 4) (-0,3)3.0,52 + (-0,5)2.0,43. 229. Вычислите: 1)0,04 - 452; 3)0,25* (-8)3; 5) (4,52-23,5)3; 2)-i *6,32; 6) (9,53- 784)2. 230.^Представьте, если возможно, в виде степени с показате- лем 2 или 3: 1)8; 4)128; 7)-64; 2)» 64; 5) 125; 8)51; 3)81; 6)-27; 231 .Определите, положительным или отрицательным является число: 1) (-7)23; 3) (-2)57. (-3)21; 2) (-3)'‘4; 4) (-6)9 .(-8)10. 232.*Если утверждение неверно, приведите опровергающий его пример: 1) если квадраты двух чисел равны, то равны и сами числа; 2) если кубы двух чисел равны, то равны и сами числа; 3) если к отрицательному числу прибавить его квадрат, то получится положительное число; 4) если из отрицательного числа вычесть его квадрат, то получится отрицательное число. ш f V 233. * Верно ли утверждение: 1) квадрат натурального числа может оканчиваться любой цифрой; 2) куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой; 3) четвертая степень натурального числа может оканчиваться только одной из цифр: 0; 1; 5; 6; 4) '■ пятая степень натурального числа оканчивается той же цифрой, что и само число? 234. 1) Запишите значение выражения: а) 2 • 105 -ь 3 • 10'* + 4 • 103 4- 5 • iq2 + 6; б) 7 • 106 Ч-2-103-Ы; в) 104 + 102+10 4- 1; г) 9-104. 2) Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число: а) 3057; 6)14 003; в) 30 002; г) 203 004. 235. ^ Расположите в порядке возрастания числа, записан- ные с помощью трех двоек: 222, 222, 222^ 22^. 236. Проверьте равенство: 1) 13+ 23 = (1 + 2)2; 2) 13 + 23 + 33=(1 + 2 + 3)2; 3) 13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2. 237. * Многие известные математики искали формулу, по ко- торой можно было бы находить простые числа. Французский математик XVII в. П. Ферма предполагал, что числа вида а„ = 22" +1 — простые. Лишь в 1732 г. это утверждение было опровергнуто Л. Эйлером, доказавшим, что число Од = 22" + 1 не простое, так как делится на 641. Проверьте это утверждение с помощью калькулятора. 238. * Существует легенда о том, что где-то в глубине джунглей в буддийском храме находится пирамида из 64 золотых дисков, нанизанных на вертикальный стержень. День и ночь жрецы храма переносят золотые диски с одного стержня на два других, строго соблюдая два правила: г ■ __V Ш*Ь ti: 1 r Tf- (T) переносить только по одному диску; @ не класть больший диск на меньший. Предание гласит, что, как только жрецы перенесут всю пирамиду с исходного стержня на один из двух других, грянет гром, храм рассыплется в пыль и, вообще, наступит конец света. Математики подсчитали, что число р перемещений, которые нужно сделать для переноски пирамиды из п дисков, вычисляется по формуле /> = 2" - 1. 1) Проверьте эту формулу для я = 2 и /г = 3. 2) " Не вычисляя значения выражения 2®^ - 1, докажите, что оно кратно 5. 3) *Если предположить, что жрецы за 1 с переносят один диск, то сколько примерно лет им потребуется на всю работу (считайте, что в месяце 30 дней)? ИД Контрольные вопросы и задания 1. Что называется степенью с натуральным показателем? 2. Каким числом — положительным или отрицательным — является значение выражения: 1) (-11)^®; 2) (-78)**? 3. Запишите с помощью степени числа 10, что радиус (г) Земли приближенно равен 6 400 000 м. 16. Свойства степени После того как мы определили степень с натуральным показателем, к числу основных тождеств прибавилось еще одно а" = аса •... • а, позволяющее заменять произведения одинаковых множителей степенями. Пользуясь этим тождеством, можно вывести важные свойства степеней. 1. Произведение степеней с одинаковыми основаниями можно тождественно преобразовать в степень с тем же основанием. Например: а®*а® = (а*а*а*а*а)*(а'а"о) = а*а*а*а*а*а*а*а = _ + 3 = д8_ Вообще, если тип — любые натуральные числа, то а"* • a'^ = а"* '*■ ”. Это тождество называют основным свойством степени. Его можно распространить на любое число множителей. Для трех множителей, например, имеем: а''' a^‘ — {а"‘ • а") • а* = а"' • а* = o'” + " + Р^-ТГ. Выполняя преобразования, пользуются правилом. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают. а" п — /»т + п = а 2. Рассмотрим выражение (а®)®, являющееся пятой степенью третьей степени а. Можно ли это выражение преобразовать в степень с основанием а? По определению степени выражение (а^)^ — это произведе- 3. ние пяти множителей, каждый из которых равен а^: (а®)® = • а® • о® • а® = а® ® ® ^ ® ® Для любых натуральных чисел тип (а"*)” = а""*. При возведении степени в степень показатели перемножают. (^т)п = дтл 3. Выражение (аЬ)^ — пятая степень произведения множителей а и Ь. Используя определение степени, получим: (а6)^ = {аЬ){аЬ)(аЬ){аЬ){аЬ) = (aaaaa){bbbbb) = а^Ь^. При любом натуральном п {abY = а"6". Это свойство можно распространить на любое число множителей. Так, для трех множителей имеем {abcY = ({ab)cY = (abY(^" = a^b^c". Степень произведения равна произведению степеней множителей. {abY = a'^b’^ Упражнения 239. Представьте произведение степеней в виде степени: 1) д:3д:8; 2)yiV 3) 4) ^23^17; 5) а^а^а®; 6) п^п^п^; 7) с*с^с; 8) рр8р11. 9) к^кЧ; 10) 23.27.2; 11) 34.3.33; 12) 79.78.7. 240. Представьте степень в виде произведения двух степеней с тем же основанием: 1) x‘0; 3)67; 5)511. 2) г/3; 4)212; 6)Цб. 241. Представьте выражение в виде степени и найдите его значение: 1)25-23; 2)34-33; 3)32-3^; 4)25-25. 242Р Замените знак * степенью с основанием с так, чтобы получилось тождество: 1) с2-* = с5; З)сс2-* = с13; 2) * - р7 = с21; 4) * - с11 - с5 = сЗЧ. 243Р Представьте в виде степени числа 2 или числа 3 выражение: 1) 9-33; 3)81-35; 5)243-243; 2) 23-16; 4)64-24; 6)512-128. 244* Вычислите и запишите в виде а • 10", где 1 < а < 10 (множитель а округлите до десятых): 1) 3,7 • 102.1 2 - 103; 3) q^2 - 10^ - 2,7 - 102; 2) 3,5 -103 • 2,4 -104; 4) 7,5 • 104.3,3 . ю^. 245. Представьте выражение в виде степени переменной х: 1)(хЗ)2; 5) (л:5)4; 9)0 дс5(лг2)6. 2) (Х2)5; 6) (л:5)8; 10)0 д:8(х0)2; 3) (л:4)3; 7)0 x3(x2)4; 11)0 (х4)5(д:2)3. 4) (л:3)2; 8)0 (л:3)2х4; 12)0 (х9)4(л:8)3. 246. Укажите значение х, при котором верно равенство: 1) (35)^ = 310; 3) (5^)4 = 524; 2) 35-3^ = 310; 4)5^- 54 = 524. 247. ^ Представьте 220 в виде степени с основанием: 1)22; 2)24; 3) 25; 4) 2Ю. 248. Известно, что 3® = 6561. Найдите: 1) 3®; 2) ЗЮ; 3) З^. 24ЭР Представьте несколькими способами в виде степени с другим основанием: 1) а12; 4)513; 2) feOO; 5) 83; 3) 315; 6)8110. — 250!' Сравните значения выражений: 1) 38 и 273; 3)410 и 87; 2) 80 и 228; 4) 253 и 1252. 251!“ Вставьте пропущенные выражения так, чтобы получилось тождество: 1) (...)2.(...)3 = у7. 4)(...)3.(...)4 = а23; 2) (...)3. (...)4 = 610; 5) . (...)3 = _4а7. 3) (...)2 . (...)3 = с13; 6) (...)2 • (...)3 = -27611. 252. Представьте степень произведения в виде произведения степеней: 7) [labnf; 13)0 (_2а3с4)3; 2) (26)*; 8) ; 14)0 (-3„2у5)4. 9)0 (б2с)3; 15)0 (~lny^J; НИ'-’ 10)0 (a4i/3)2. 16)0 (-|fe2x7)'; 5) (-0,2а6)3; 11)0 (0,1рЗ)4. 17)0(-1,2аЗбЗ)9; 6) (-ЗаЬхУ; 12)0 (о,2/гЗ)3; 18)0(-5,6c7d8)8. . Запишите в виде а • 10", где 1 < а < 10: 1) (3-104)3; 3) (4,5-103)2; 2) (7-103)3; 4) (2-104)7. , Представьте выражение в виде степени произведения: 1) b'^x^; 5) -n7j/7. 9)0 27рЗ; 2)аЗуЗ; 6) -k^x^; 10)0 863; 3) 7)0 с4уб. 11)0 16(jj864; 4) п^х^у^; 8)0 бЮд:3; 12)0 9(^2^4(.6. 3) 43-2,53; 4) 0,23-503. 255. Найдите значение выражения: 1) 24-(-5)4; 2) (-0,25)7-(-4)7; 256. Изменится ли значение выражения: 1) 0"; 2) (-1)"; 3) (-1)2", если число п увеличить на 1? 257. Упростите выражение: 1) (&^0)4 • 613637; 3) (а!8)2 - 2) (.73 - (.89 . £.93; 4) ((^П)2 . (f2n + 1 n r 31- ^ -7? 258, Решите уравнение: 1)д:5 = 32; 3) (x2)3 : (-0,008) = (-5)3; 4) л:: (72.9)3 = 49-36; 5) 2jc2 . д;3 _ 6250 = 0; 6) 24-2* = 217. 259. Представьте в виде степени, показатель которой отличен от единицы, выражение: 1)-а®; 2)-Ь12; 3)-64с13; 4)0,0064*24. 260* Докажите, что: 1) 87 - 213 делится на 14; 2) 521 + 25 • (53)6 кратно 30; 3) 11 • 2"“ 1 Ч- 5"“2 + 2" + 5" кратно 13; 4) 3« + 2 _ 2« + 2 3л _ 2" делится на 10. 261Р 1) Укажите несколько делителей числа: а) 27; 6)311; в) 25.35; г) ЮЮ. 2) ’’* Сколько делителей имеет это число? 262Р Верно ли равенство: 1) 96 • 98 • 189 = 81 • 343 • 2б; 3) 252» • 0,00819 = q,25; 2) 1218 = 275.169; 4)4096.255= 1012? 263. 1) Верно ли равенство 102 -1-112+ 122 = 132 + 102 + 1x2 + 122 + 132 + 142 2) Вычислите 365 264. Среди делителей числа 1.2.3.....16.17 найдите наибольший, который является: 1) кубом натурального числа; 2) квадратом натурального числа. 265. Докажите, что: 1) 100 0024 > 99975. 2) 31П < 1714. 266* Ни одно из чисел а, Ь, с не равно нулю. Известно, что числа (-2)ЗаЗ&Зся-1 и (-3)9a2&5c«+i имеют одинаковые знаки. Определите знак числа а. Контрольные вопросы и задания 1. 2. Сформулируйте основное свойство степени. 1) Как можно возвести в степень произведение чисел, степень числа? 2) Запишите результат вычислений в виде а • 10", где 1 < а < 10: а) (5.104)3; б) (7. xq5)3 . (2.106)2. 3. Замените выражение (р^)® • (р^)® степенью с основанием р, указывая, какие свойства степени вы применяете. (ОЬ\2 . о8 Вычислите —Ц— . 6® О § 7. Действия со степенями 17. Одночлены в произведении 2^ • а^Ъх^ах • ЧЬ'^х^ множителями являются числа, переменные и их степени. Такие выражения называются одночленами. Одночлен 2^ • а^Ьх^ах • можно тождественно пре- образовать в одночлен, имеющий более простой вид: 2^ • а^Ьх^ах • ЧЬ'^х^ = (2^ • 1){а^а)фЬ^)(х^хх^) = 2Sa‘^b^x^^. Выполняя преобразование, мы (Т) записали впереди значение произведения числовых множителей — коэффициент одночлена', @ произведения степеней одинаковых переменных заменили их степенями. В результате одночлен был приведен к виду, который называют стандартным. У одночленов стандартного вида с^х и -ру^ числовой множитель не записан. Но поскольку с^х = 1 • с^х, -ру^ = = (-!)• ру^, то коэффициентами этих одночленов считают соответственно числа 1 и -1. С Числа, переменные и их степени также относятся к одночленам стандартного вида. J Произведение двух или нескольких одночленов можно привести к одночлену стандартного вида. Например: (-2,5а4&3;с2). (_i2afe2y) = (-2,5 • (-12)) • (а^а) • {ЬЧ^)х^у = = ZOa^b^x^y. В одночлен стандартного вида можно преобразовать и степень одночлена: (5&'*с)2 = 5^ • (Ь^)^ • с^ = \2ЪЬ^^с^. Здесь степенью одночлена мы назвали куб одночлена бМс. Однако слова «степень одночлена» употребляются и в ином ф - и смысле, обозначая сумму показателей степеней, входящих в одночлен переменных. Так, одночлен ЪЬ^с имеет пятую степень — переменная Ь входит в него в четвертой, а переменная с — в первой степени (с = с^). Числа считают одночленами нулевой степени. Одночлены стандартного вида: 2аЬ^, -7аЬ^ и 6,4Ь^а отличаются друг от друга только коэффициентами и знаками. С Одинаковые или отличающиеся только коэффициентами или знаками одночлены называют подобными одночленами. Сумму нескольких подобных одночленов можно преобразовать в одночлен: 2а&2 _ 7а&2 + б,4аб2 = (2 - 7 + 6,4)а&2 = 1,4аб2. Напомним, что такое преобразование называют приведением подобных членов. Упражнения 267. 1) Какие из данных выражений являются одночленами: а) 2аЬ; в) ^ ; д) ^ ; ж) -сЬ; и) г; 6)x-t-£/; г) а2&8; е)т^-п; з)-34; к) О? 2) Укажите коэффициенты одночленов и их степени. 268. Используя число 2 и переменные а и Ь, запишите несколько одночленов. 269. Приведите к стандартному виду одночлен и определите, какая у него степень: 1)бххЬххЬЬ•5хЬх; 2) 5 аааЬ'^ас • 1,6с2; О 3) -2,4р5.(_2,5)пр2; 4) l^axy"^' 5) 2^k^n- 6) -^с*у^‘0,9с^ху; 7) 2^a%c^^Щab^; 8) 0 -0,6х^р^ ’Ид Ш, 270. Преобразуйте в одночлен стандартного вида: 1) (-2алг2£/3)4. 2) (-0,3&5слгЗ)9; 3) (-3W-56y8; 4) (-4a2ft®) • (0,5аЬ^)^; 5) 0 2ixV] • (f ; 6) 0 ^ -3ife3p4j^ .(-0,3/г2р)3. 271.0 Представьте, если возможно, в виде квадрата или куба одночлена: 1) 160264; 3) Sc^x^; 5) 640^66; 2) 9х^у^; 4) -27а12бб; 6) -64аб6б. 272.^^ Замените букву М одночленом так, чтобы получилось тождество: 1) М • ба^б = 20а^б4с2; 4) (2ky^f • М = 72k^y^^; 2) -6c4fe5. М = 3bc^k^°; 5)® • 12x6 = i08x«; 3) М • (2лх®)2 = Ьп^х^^у, 6)* м2 • 56^г/4 = 80Ь^у^. 273Р Представьте несколькими способами в виде произведения двух одночленов ненулевой степени с натуральными коэффициентами: 1) аб; 3) (2х)б; 5) (аЗб)2; 2) 264; 4) (6г/)3; 6) (6х2уЗ)4. 274. 1) Представьте в виде произведения квадрата и куба одночленов с целыми коэффициентами одночлен: а) 4аб; б) 86^; в) 64x^4. р) 12х^у^. 2)^' Выполните пункты в) и г) как можно большим числом способов. 275. Приведите подобные члены: 1) 2,3X1/2 - 3,1ху2 - 1,2X1/2; 2) 0,276сЗ -Ь 0,46сЗ - 0,666сЗ; 3)0 0,8гаЗр - 1 ^ п^р -ь 9,2пЗр - 2 4)0 М бх;4 - I 6x4 4_ 1^26x4 -I- 6x4. 15 о 15 276. 1) Используя переменные а и с, составьте одночлены, у которых: а) коэффициенты равны, а буквенные части не равны; б) буквенные части равны, а коэффициенты не равны. 2) В каком случае получились подобные одночлены? г-гчг' i 277. Найдите значение одночлена: 1) 25n‘* при п = i ; D 2) -lOcd при с - -0,23, d = -0,2; 3) при X = 5,1/ = I; 4) 2300а''6 при а = -0,1, Ъ = -4,5. 1, 2. 3. 4. Контрольные вопросы и задания Объясните, как произведение любых одночленов преобразовать в одночлен стандартного вида. Приведите к одночлену стандартного вида, укажите коэффициент и степень одночлена: 1) -3afcc2 • 5аЗб(-0,6с); 2) -0,4a“fc3.0,25fec • (-lOafc^c^). Чему равна степень куба одночлена пятой степени? Преобразуйте в одночлен стандартного вида -(-9x1/3). 18. Сокращение дробей Выражение вида ^ . где а и & — числовые выражения о или выражения с переменными, называется алгебраической дробью. а называют числителем, Ь — знаменателем дроби. тт .г 2а&2 Дробь имеет смысл при всех значениях переменных. 6а кроме а = 0. Эту дробь можно сократить, разделив ее числитель и знаменатель на их общий множитель 2а: 2а&2 6а 3 ■ Полученное равенство является тождеством, так как оно верно при всех допустимых значениях переменных (а Ф 0). Это следует из основного свойства дроби: “ Ьк чФ; l^rjrL c Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на какое-нибудь отличное от нуля число то значение дроби не изменится. О Рассмотрим примеры сокращения дробей, числитель и знаменатель которых — степени одного и того же основания. Пример 1. Сократить дробь а' Решение. Показатель степени числителя больше показателя степени знаменателя. Используя основное свойство степени и основное свойство дроби, получим: ,11 7 а‘ ' а = Степень o'* имеет то же основание, что и степени и Ее показатель равен разности показателей числителя и знаменателя исходной дроби (4 = 11-7). Вообще, при любых натуральных тип, если т> пиаФО, то = пт-п = а а"* Если же т = п, то в левой части равенства — = а'^-п полу- чится 1, а в правой — выражение а®. Поэтому принято следующее определение степени с нулевым показателем и основанием, отличным от нуля. CZEIZ3 Теперь стало понятно, почему числа считают одночленами нулевой степени, например 5 = 5л:®. Для степеней с неравным нулю основанием получаем следующее важное свойство. Са^ Л -- = а"* ~ " при т'^п 1 J Часто, однако, больший показатель оказывается у степени, стоящей в знаменателе дроби. Пример 2. Сократить дробь ,15 ,25 • Решение. Показатель степени числителя меньше показателя степени знаменателя. а 15 а 15 1 ,25 ,15. „10 ,10 • И В ЭТОМ примере мы разделили числитель и знаменатель дроби на степень с наименьшим из показателей числителя и знаменателя. Рассмотрим более сложный случай сокрапдения дробей. Пример 3. Упростить выражение (2fc3c2)5 24аЗ^,9(.10 Решение. Приведем числитель данной дроби к одночлену стандартного вида: Чтобы сократить полученную дробь, разделим ее числитель и знаменатель: 1) на 8 (8 — наибольший общий делитель чисел 32 и 24); 2) на Ь® (9 — наименьший из показателей степеней переменной Ь в числителе и в знаменателе); 3) на — общий для числителя и знаменателя дроби множитель). Таким образом, мы сокращаем дробь на 8&®с^®: (26^с^)® _ 4&^ 24a3j)9cio ЗаЗ' Примечание. При использовании полученной дроби нужно будет исключать из рассмотрения равные нулю значения переменных бис. Упражнения 278. Сократите дробь: l)5fe. 15’ 4) • ’ 12рх ’ 71 26ау . ^ 39а2’ 10) f*"; ; ^ 24у ’ Е-ч Зас 15aft’ 04 63у2 , Збсу’ 11 ^ 14а®6 ^ 21a2fc3’ 25сх . 18ax’ «ч 54kp 45kp’ 9) • ’ бОху’ .04 26c^d9 ’ -39c8d® 27ЭР Представьте в виде степени с основанием а: 1) а" : а^; 5) а" • аЗ ’ 2) а"* + 1 : а""; 6) д2п . дЗ а” 3) а* + > : а*-1; 7) дЗп + 1 , д2-л д2п 4) д5р + 1 : д2р- 3; 8) (дЗп)2 . д5-2п (аЗ)« 280Р Представьте выражение в виде частного степеней разными способами: 1)д;2; 3) аб; 5)р"-2; 7)с2'"-1; 2)38; 4) у"; 6) 2"* - "; 8)1. 281. При каком значении п верно равенство: 1)2"-27 = 212; 3) 5": 2511 = 57; 2)321 : 3» = = 3"; 4)64 : 16 = 2"? 282. Сократите дробь: 1)^- „12 у18 ^ 8a8fc6 ’ , ^4 64а13Ь27 ^ 48a27fe27 ’ а 20 2)|го^ 04 36x121/36 96х36у96 ’ 114 125а31 . ^ 625д13 ’ f44 12п7р9 ^ 16л7р8’ J04 35d9ia73 ^ 49d83a69 • 283. Упростите выражение: 1) 5а^ 4) (-2а®Л^)® 48ai9feio ’ 2) 4-14 С‘*С 10с9 ’ 5) О 04 (~3а:^у5)4 Q (_ь2у8)5 ^ 54л:б1/17 ’ (_ь3у13)3’ 7) 8) 9) О (-2c5d®)'‘ (4c^d'*)® Р (.-9п^р*)* . {-Зп^р^У ’ О (10А9с)4 {-Ьк'^сУ 284р Замените букву М одночленом так, чтобы получилось тождество: 1) 2) М 5 . 3) М2 _ (2ft)2. 24a®fei3 6Ь ’ 20ai3fei8 5а ’ 48xi2fei6 8x2 4) 56х1®1/13 7x3 М 5 ’ М3 (2у)3‘ •#/ /«'Га 3 285. Найдите значение выражения; о 10 1)|f; 4)5^- ' 9‘ ?)• ’ 28-310’ 10)* Q2005 ол ^ 32003 ’ с:10 8)# ^ 156 ’ 11)* 3) 2®’ 6)^’ 9) Л- 129 ’ 38-86’ 12)* * 16®- 51S 2020 21® 95-70’ 1Q15 25^- 4®■ 286. *^ Вычислите: Я1)’-НЬ Ч-1Т 287. Решите уравнение: «(sT-sfj’ 288. ^ Найдите значение выражения: 4) j".(0,8)9; 81 04 (х1‘»)2-(х0)2 ^ -.о. 4) (X*) j^52 ф р^29 = 81. 1) (a^)0ft‘‘2 - при а = -0,7; Ь = 0,5; (а2)12(6б)1 o.(7c8f 312d43 l.w- 4 ‘ 75(с23)2 ^ 3’^ ?• 1. 2. Контрольные вопросы и задания в чем заключается основное свойство дроби? Приведите пример деления степеней с одним и тем же основанием (отличным от нуля) для случая, когда показатель делимого больше показателя делителя. 32хУг5 Сократите дробь 48д:®у®23 ’ 0'%"- МНОГОЧЛЕНЫ ю § 8. произведение одночлена и многочлена 19. Понятие многочлена Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений: 5а4 - 2аЗ -ь 0,3а2 - 4,6а -Ь 8; Х1/^ - Ъх^у + 9х^ - 7г/2 + 6х + 5у - 2; 865 _ 26.764 + 3&2 -8Ь + 0,256 • (-12)6 + 16. Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена. Так, например, членами многочлена 5а4 - 2а® + 0,3а® - 4,6а + 8 являются одночлены: 5д4, -2а®, 0,3а®, -4,6а и 8. Многочлен 86® - 26*764 + 36® - 86 -Ь 0,256 *(-12)6 + 16 можно упростить. (Т) Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида: 86® - 26 • 764 -Ь 36® - 86 + 0,256 • (-12)6 -Ь 16 = = 86® - 146® -Ь 36® - 86 - 36® -Ь 16. Приведем в полученном многочлене подобные члены: 86® - 146® + 36® - 86 - 36® -н 16 = -66® - 86 -н 16. Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида. Г' Hf. За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен 120^6 - 76 имеет третью степень, а трехчлен 26^ -76 + 6 — вторую. Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например: 5х - 18х® + 1 + - 18x^ + 5д: + 1. Сумму нескольких многочленов можно преобразовать в многочлен стандартного вида. Пример 1. Преобразовать в многочлен стандартного вида выражение (Зо2 - 5а + 7) + (-2а2 + 7а - 9) - {а^ + 8а - 5). Решение. Применяя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « + » или знак «-», и приводя подобные члены, получаем: (За2 - 5а + 7) + (-2а2 + 7а - 9) - (а2 + 8а - 5) = = За2 - 5а + 7 - 2а2 + 7а - 9 - а2 - 8а + 5 = -6а + 3. Пример 2. Разность двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, равна 36. Найти уменьшаемое, если сумма его цифр равна 10. Решение. Пусть х — число десятков, а у — число единиц в записи уменьшаемого, тогда в записи вычитаемого у — число десятков, ах — число единиц. Получаем: (л: • 10 + £/) - (у • 10 + д:) = 36, X + у = 10. Раскроем скобки, приведем подобные члены в левой части \9х - 9у = 36, первого уравнения системы и получим: i + у = ю Решив систему, найдем, что д; = 7, а г/ = 3. Ответ: 73. Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки — это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок. Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками. Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками. Например: - 5х^ + 7х -8 = - 5х^) + (7х - 8); х^ - 5х^ + + 7х-8 = (х^~ 5х^) - (8- 7л:). Упражнения 289. Представьте многочлен в стандартном виде и расположите его члены в порядке убывания степеней переменной: 1) 7х^ + Зл:'* - 5х - 8х* + 5х; 2) 2а^ -Ь - 1 - За^ + - а; 3) 12&2 _ ЬЗ _ Qf,2 + sb- 5fc2 + 2fc3; 4) 0,12j/2 - 1/3 _ e _ o,62i/2 - I9y3 + o,5y2 - 4; 5)0 I ^2 - 5c2 4- i c - 7 c® - 4,5c2 -t- i c; 6)0 0,45a4 + 7 a - 0,6a2 + 0,3a“ - I a^. 4 о 290. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: 1) 2а-(Ь-2а); 3) 6 - (а - (26 - а)); 2) с - (2а -ь (с -ь а)); 4)6 + (2с - (36 - (6 - Зс))). 291. Найдите значение многочлена: 1) л:2 - 0,3ху - г/2 при х = 5, у = -6; 2) 0,8а2 + 5а6 - 1562 д — _5^ 5 = _2; 3) 7х^ + 4х‘* + Зл:2 + 8л:2 + 7л: + 2 при х = 10; 4) 10 ОООп + 1000т + ЮОр + 10ft + 9 при п = 7, т = 6, р = 5, k = 9. 292. Используя степени числа 10, запишите: 1) двузначное число, в котором с десятков и d единиц; 2) трехзначное число, в котором р сотен, 4 десятка и п единиц; 3) четырехзначное число, в котором а тысяч, 6 сотен, с десятков и d единиц; 4) четырехзначное число, в котором п тысяч и т единиц. ^‘'4=^11 in 71 293. Запишите многочлен стандартного вида с одной переменной X, коэффициенты которого (коэффициенты его членов) — однозначные натуральные числа, если при д: = 10 значение многочлена равно: 1)47; 2)541; 3)8023; 4)9 500 501. 294. Выясните, сколько корней имеет уравнение: 1) 3(1 - 2х) - 2{3х - 4) = 3(5 - 4д:); 2) 5(2х - 3) - 7(x - 2) -Ь 7 = 3(3х - 5) -t- л:; 3) 2(7 - X) - 3(4х - 5) - 8 = 7(3 - 2х). 295. Решите уравнение: «1 (^0,9- l|xj +х = 10; о. 2х - 3 4 2)8( ^5- li*j =ЗЬ+ 14; .. Зх + 1 2 - 1 =х4- X -ь 5 + 2 X + 1 - X. 296. 1) В записи двузначного числа единиц в два раза больше, чем десятков. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами. Найдите это число. 2) В записи двузначного числа единиц на 5 больше, чем десятков. Если к этому числу прибавить другое двузначное число, записанное теми же цифрами, то получится 121. Найдите это число. 297. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида и определите его степень: 1) (1 -За) + (а2 + 2а); 2) (2x2 _ 5^) + + 14). 3) (у^ - 5у) + (-2у2 + 5у + 1); 4) (р2 + 2р -I- 7) - (р2 + Зр + 18); 5) (9йЗ + 13*2) _ (8 - 7* -I- 12*2); 6) (а2 + 15а + 14) - (а2 -ь 15а - 14). 298. *^ Найдите значение выражения: 1) (5,7а2* - 3,1аЬ + 8*2) - (6,9а& - 2,3а2б -ь 8*3) при а = 2, Ь = 5; 2) (5x2 _ + 7j^2) 4. _ 12x2) при ^ = -2, у = 4. 299. Докажите, что значение выражения не зависит от значения входящей в него переменной: 1) 3,7 - 11*2 _ (2 - 4*2) + (5,3 -f 7*2); 2) (11 - *2) - (36 - 2*2) + (10 + 3& - *2). •i u 3007* Какой многочлен нужно подставить вместо М, чтобы получилось тождество: 1) М + (13а2 - 8аЬ) = 7а^ + 9аЬ - Ь^; 2) М- (4аЬ - 18^2) = а2 - lab + 12^2? 301 Впишите пропущенные одночлены так, чтобы получилось тождество: 1) (5л:2 -1- ... - 7) 4- (... - 4х -Ь ...) = х2 -Ь 2х + 1; 2) (... - 6с -Ь 13) - (9с2 - ... -1- ...) = 2с2 4- Зс - 4. 302.' Какие из следующих высказываний верны: 1) сумма трех последовательных натуральных чисел кратна 3; 2) сумма четырех последовательных натуральных чисел кратна 4; 3) сумма четырех последовательных натуральных чисел — четное число; 4) сумма двух последовательных натуральных четных чисел кратна 4; 5) сумма двух неравных двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, кратна 11; 6) разность двух неравных двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, кратна 9? ЗОЗР Представьте многочлен в виде суммы двух многочленов так, чтобы один из многочленов не содержал переменной у: 1) - 9х^у + 2г/2 - 8x1/2 + _ ip; 2) х"* - х2у2 4- Sx^y - Зу‘* - 4ху - 6. 304Р Представьте многочлен в виде разности двух многочленов так, чтобы один из многочленов не содержал переменной Ь: 1) 7аЗ - 9аЧ + 2Ь^ - 8аЬ^ -9а+ 2; 2) а&2 + д2&2 _ 19аЗ + - 7а - 1. 305. Представьте многочлен в виде разности одночлена и трехчлена: 1) хЗ + 2х2-Зх-5; 3) 0,3р2-р4 _ 2р + 1; 2) -2t/4 - Зг/2 + 5у2 _ 4^ 7^4 4, 2аЗ 4- 0,5а2 - 4а. 306* Какой может оказаться степень многочлена, полученного в результате сложения: 1) многочлена третьей и четвертой степеней; 2) двух многочленов четвертой степени? Г-- 307. Представьте многочлен За® - 5a® + 7a - 8 в виде: 1) суммы двух многочленов, один из которых а® - 7а® + 5а - 9; 2) разности двух многочленов, один из которых а® + а® - 6. 308.^ Представьте трехчлен в виде суммы двух двучленов: 1) х® + 6л:+1; 3)г/®-Зу-7; 2) а®-а-2; 4) 26®+75-1. 309. * Представьте трехчлен в виде разности двух двучленов: 1) л;2 + 6х + 7; 3) а® - а + 3; 2) 2i/®-i/-l; 4)6®+ 6-10. 310. ^ Известно, что х = За® + 5а6 - 26®; у = 2а® - lab - 6®, Z = 5а^ - 9а6 + 36®. Подставьте эти многочлены в выражение: 1) х + у + г; 3)x-(y + z); 2) x + y-z; 4)x-(y-z). Преобразуйте полученное выражение в многочлен стандартного вида. 311.” Вставьте знаки действий между слагаемыми так, чтобы получилось тождество: 1) 2х Зу 7у 5х 4у л: = 6лг; 2) 2а6® За®6 5а6® 2а®6 1аЬ^ = аЧ. 312.* Расставьте скобки в левой части так, чтобы получилось верное равенство: 1) Зс - 2с - 2rf -Ь 2d = с + 4d; 2) 3с - 2с- 2d + 2d = с - 4d. 313. Составьте многочлен, в котором бы встречались: 1) число а и переменная х; 2) коэффициенты: 0,85; -2 и -5 ; О 3) показатели степени: 5, 2, 1; 4) одновременно выполнялись условия 1)—3). 314.* Даны одночлены: а®, 2а®6, 2а, а®6. С помощью знаков действий составьте из них: 1) выражение, тождественно равное нулю; 2) выражение, тождественно равное единице. ф. 3 II i t' 315.~ Сумма трех слагаемых равна Зс + 1. К первому слагаемому прибавили 2с - 4, а из второго вычли с - 2. Что надо вычесть из третьего слагаемого, чтобы сумма стала равной нулю? 316." Найдите число р, если известно, что данное равенство является тождеством: (ах^ + Ьх + с) + (Ьх^ + ах-7) + рх^ + сх + 3 = х^ - 2х - 5. 317. Найдите сумму значений многочлена х^ - 1,7х^ + 2,5 при x=19,1hjc = -19,1. Контрольные вопросы и задания 1. 2. 3. Какие выражения называют многочленами? Какие многочлены считают многочленами стандартного вида? Запишите какой-нибудь многочлен стандартного вида с одной переменной х, коэффициентами которого являются натуральные числа 3, 5, 7, 1, 8. Найдите его значение при х = 10. Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение За^Ь - 4аЬ^ + {Ь • 2аЬ • 3 - aba) - (Ьа^ - Ь^а). 20. ПреоЬразование произведения одночлена и многочлена с помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например: 9аЩ7а^ - оаЬ - 4Ь^) = 9аЧ ■ 7а^ + 9аЧ • (-5а6) + + 9аЧ • (-462) = бЗа“6 - - З&аЧ^. Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена. Этот результат обычно формулируют в виде правила. С Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена кить^ Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму. ____л u ^ 1 an Пример. Решить уравнение Злг + 1 х + 1 8 12 = 1. Решение. (Т) Приведем это уравнение к более простому виду, умножив обе его части на 24 (наименьшее общее кратное чисел 8 и 12): Зл: + 1 24 - • 24 = 1 • 24; 8 12 (3x-bl)-3-(x + 7)-2 = 24. (2) Умножим 3 на многочлен Здг -ь 1 и 2 на многочлен х + 7, приведем подобные и найдем корень уравнения: 9х -I- 3 - 2х - 14 = 24; 7х - 11 = 24, 1х = 35, х = 5. Ответ: 5. Упражнения 318. Преобразуйте в многочлен произведение: 1) 12а{а^ -9а+ 7); 2) 5с(3с2 -т 2ас - а^); 3) -ЗаЗ(2а2-0,5аб4-Ь2); 4) (£/2-2,4i/-8)* 1,5у; 5) 4af2(-2a2 + 0,45ас - 4с2); 6) -аб(3а2 - баЬ + 1262); 7) (-Х - 2x2 + зд-з _ 4д-4). 0,25x2; 8) (2Z/3 - 31/2 + 0,81/ - 16) • 319. Представьте выражение в стандартном для многочлена виде: 1) 4а2 - За(а - 5); 2) 562-46(0,756-1- 1); 3) 563- lbj^862-l|6-4j; 4) 12с* - 2,5с2(6с2 + 0,4с - 2); 5) 76(4с - 6) + 4с(с - 76); 6) 8а(6 - 0,5а) - 26(0,56 + За); 7) 2а(5а - 2) - 5(2а2 - а + 3); 8) 2п(п^ - Ъпр + Зр2) + Ър{2п^ - 1,2пр). Ф. 320. Найдите значение выражения: 1) Ау{у - 5л:) - 5х(л: - 4у) при л: = 0,6, у = 0,75; 2) Ь(Ь - а + 1) - а(а - & + 1) при а = |, Ь = -i ; О О 3) * л:(л:^ - 5ху - у^) - у(у^ - ху - Ьх^) при х = 0,27, 1/ = -0,34; 4) " 6(&2 + 56с - 2с2) + с(-5&2 + 2Ьс + с^) при Ь = -0,45, с = -0,86. 321. Упростите выражение: 1) 12- +15 5 ’ 2) 48- -10. 3) 24._48у.^; 4) 72р • - 60 • + 15р - 7 24 322. Решите уравнение: 1) 2) 3) 30 Зл: + 1 + л: = 23; 5) 5л: - 7 р . л: — 5 4 12 8 ’ 7х- 1 — л: = 3; 6) 4р- 11 + = 5 15 20 5у + 1 13 - у _ 3 7) 2у + 5 Зу- 11 _ 2 5 6 8 У-1 + Зу+ 1 - 6 8) л - 3 45-2* 25 + * _ 7 5 г,, Зл: + 41 10 9 - 2л: 15 2 5 6 = 0; 10) 32-1 5 2-2 2 = 0. 323. Решите систему уравнений: 1)^ 2)^ £ + Р = -1 3 2 ^ + ^ = 0-4 2 ’ f _ » = 1 4 5’ ^ =0-3 2 3) 4) х + у = 2х + 9 1 х-у = 10 2л: + 9 4’ 20 4’ X + у = 0,1, У -^~у=п1 5 2 ’ Г- ->1 'L^ ton Составляя уравнение или систему уравнений, решите задачи 324—327. 324. 1) Из города в село грузовая машина ехала 1 ч 15 мин. Возвращалась она со скоростью на 10 км/ч меньшей, поэтому на обратный путь ушло на 15 мин больше времени. Какое расстояние между городом и селом? 2) Из села на железнодорожную станцию велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч. Возвращался он со скоростью 15 км/ч и затратил на обратный путь на полчаса меньше. Сколько километров от села до станции? 325. 1) Катер проходит по течению реки за 5 ч такое же расстояние, как за 6 ч 15 мин против течения. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2,4 км/ч. 2) Лодка может пройти по течению реки за 3 ч такое же расстояние, как за 3 ч 40 мин против течения. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде равна 5 км/ч. 326. 1) Из пункта А в пункт В со скоростью 66 км/ч отправился товарный поезд, а спустя 20 мин через В в направлении А прошел скорый поезд со скоростью 90 км/ч. Через сколько времени после выхода из А товарный поезд встретится со скорым, если расстояние между станциями Аи В равно 256 км? 2) Из пункта А в пункт В со скоростью 4 км/ч вышел пешеход. Через 45 мин навстречу ему из В со скоростью 5 км/ч вышел другой пешеход. В пункты А и В пешеходы прибыли одновременно. Найдите расстояние между пунктами А и В. 327. 1) Из пункта М в пункт N со скоростью 60 км/ч отправился товарный поезд, а 10 мин спустя вслед за ним по соседнему пути прошел пассажирский поезд, скорость которого была 85 км/ч. Через сколько минут пассажирский поезд догонит товарный? 2) Из пункта А в пункт С со скоростью 15 км/ч выехал велосипедист, а через 16 мин вслед за ним выехал другой велосипедист со скоростью 18 км/ч. Оба велосипедиста прибыли в пункт С одновременно. Сколько километров между пунктами А и С? I L' 328. 1) Разгадайте арифметический фокус. Задумайте число, увеличьте его на 2, умножьте результат на задуманное число, прибавьте число 10, вычтите квадрат задуманного числа и удвоенное задуманное число. У вас получилось 10. 2) Придумайте свой арифметический фокус. 329. Задумали натуральное число, умножили его на следующее за ним число и из произведения вычли задуманное число. Как по полученному результату найти задуманное число? Контрольные вопросы и задания 1. 2. 3. Как умножить многочлен на одночлен? Упростите выражение 0Лх{х^ - 8д: - 5) - (0,8х - 4) • 0,Ъх^. Решите уравнение, объясняя каждый этап решения: х + I дг -I- 10 = 3. 21. Вынесение общего множителя за скобки При решении уравнений, при вычислениях, сокращениях дробей и в ряде других задач бывает полезно представлять многочлен в виде произведения двух или нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены). Такое тождественное преобразование называют разложением многочлена на множители. Один из наиболее часто встречающихся способов разложения на множители — вынесение общего множителя за скобки. Пример 1. Вынести за скобки общий множитель в многочлене Юад:^ - Решение. Члены этого двучлена имеют общий множитель 5х^. Обычно, если все коэффициенты многочлена — целые числа, то выносят за скобки множитель с коэффициентом, равным наибольшему общему делителю всех коэффициентов, взятому со знаком «плюс» или «минус», а переменные, входящие во все члены, выносят с наименьшими показателями степени, которые они имеют в данном многочлене. Юах^ - 5х^ = 5х^ • 2а - • х = 5хЦ2а - д:). цР г ■ « 4^ f в Пример 2. Разложить на множители многочлен 18а‘*Ь^ - 45а^Ь^ - бЗаб®. Решение. (3) Находим наибольший общий делитель всех коэффици- ентов многочлена: НОД(18; 45; 63) = 9. (2) Устанавливаем, что переменная а содержится во всех членах, и наименьший из ее показателей степени равен 1. Устанавливаем, что переменная Ь содержится во всех членах, причем наименьший из ее показателей степени равен 3. (3) Выносим за скобки множитель 9аЬ^, общий для всех членов. В скобках записываем алгебраическую сумму частных членов многочлена и вынесенного множителя: 18a*i.= - НаЧО - Siab> - 9аЬ=(Ц^^ - 1 “ V 9аЬ^ 9аЬ^ 9аЬ^ ) = 9абЗ(2аЗ - ЪаЪ^ - 1Ъ^). 1^ Примечание. Обычно частные членов многочлена и вынесенного множителя находят устно, поэтому принята краткая запись: 18а‘*6® - 45a^ft® - 63а&® = 9аЬ\2а^ - ЬаЬ^ - 7Ь^). Пример 3. Разложить на множители выражение а(х -у) + Ъ{у - х). Решение. Заметим, что выражение у - х тождественно равно выражению -(j: - у), значит: а{х -у) + Ь(у - х) = а(х -у)- Ь(х - у). Вынесем за скобки общий множитель (х - у): а{х -у)- Ь(х - г/) = (х - у)(а - Ь). Пример 4. Сократить дробь ^ . Решение. Чтобы выяснить, какой общий множитель имеют числитель и знаменатель дроби, разложим их на множители: -I- afe _ а(д + Ь) За -(- ЗЬ 3(а + Ь) ’ Двучлен a + b является общим множителем числителя и знаменателя. Сократим дробь на этот множитель: а(а + Ь) _ а 3(а + Ь) 3 ■ Пример 5. Решить уравнение 2х^ + 5х = 0. Решение. Разложим левую часть уравнения на множители: д:(2х + 5) = 0. Это произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: л: = О или 2л: -I- 5 = 0. Решив уравнение 2л: -f 5 = 0, получим х = -2,5. Следовательно, уравнение 2л:^ -Ь 5л: = 0 имеет два корня: о и -2,5. Пример 6. Найти значение многочлена л"^ + 5,6х^ - 6,2х -I- 12,4 при X = 0,6. Решение. Преобразуем данный многочлен к виду, удобному для вычислений: х^ + 5,6х‘^ - 6,2х + 12,4 = (л:^ + 5,6х - б,2)л: + 12,4 = = ((л: + 5,б)л: - б,2)л: -I- 12,4. При X = 0,6 имеем: ((0,6 -Ь 5,6)0,6 - 6,2)0,6 -Ь 12,4 = (6,2 • 0,6 - 6,2)0,6 -Ь 12,4 = = 6,2 • (-0,4) • 0,6 -f- 12,4 = 6,2(-0,24 + 2) = 6,2 • 1,76 = 10,912. Ответ: 10,912. Ci Примечание. На калькуляторе, конечно, вычисления выполняются быстрее, особенно если пользоваться клавишами MS и MR, первая из которых запоминает число, а вторая вызывает число из памяти. Программа вычисления данного выражения выглядит так: 0,6 MS -н 5,6 * MR - 6,2 * MR -ь 12,4 =. ш t/ 1 Упражнения 330. Вычислите рациональным способом: 1)34-3,4+ 6,6-34; 13 11 3) 8 . 11 + Н . 6 . ^ 7 13 13 7’ 2) 123-89-89-23; .. .. 3 13 17 ' 8 8 ' 17 ■ Какими свойствами арифметических действий вы воспользовались? 331. Вынесите за скобки общий множитель: 1) 4а + 46; 2) 12х - 6^; 3) 7ах - 35Ьх; 4) ЗО&у - 35&; 5) 9аЬ + 12а; 6) 0,3л: + 0,6л:2; 332. Разложите на множители: 1) + 2г/2; 2) Зл:^ - 5х^; 3) 81/3 _ 24уб; 4) 9а® - баЗ; 5) - х^; 6) - 2&Э; 5^ 25 8)а2 - 2а6; 9) лгу - 2 ху; 10) бОдЗ - Збсп; 11) 2166г/3-240б2у; 12) -252аЗл:4-84а''. 7) 5а1«- ЮаЗ; 8) 2468 + 8624; 9) 10а + 156-20а6; 10) 7л:- 141/ + 21л:г/2; 11) 4x3 4. Зд,2 _ 2х; 12) ЗаЗ + 15а2б-5аб2. 333. Представьте в виде произведения одночлена и многочлена: 1) р6_р8+р4. 2) 62 - 6^ + 69; 3) 12а2б - 180аб2 - ЗОабЗ; 334. Разложите на множители 1) 7(а + 6) + х(а + 6); 2) р{у-3)-3(у-3); 3) у{а + х) + 2(а + х); 4) 3(6 -у)- 6(6 - у); 5) 12с(с - у) - 6у(с - у); 6) (а + у)- 2а(а + у); 7) 2а - 36 + 6(2а - 36); 8) 6х(х - 2) + (х - 2)2; 4) 20x4 _ 25х2г/2 _ юОхЗ; 5) а^Ьс - аЬ^с - аЬс^; 6) с^ху + с^ху - сх^у^. выражение: 9) а{с - 6) + 6(6 - с); 10) х(у- 7)-у(7 -у); 11) 4а(2х-9) + 56(2х-9); 12) 7р(3п - р)- 5п(р - Зп); 13) (х-г/)2-3(у-х); 14) (2а-36)2-а(36-2а); 15) 3(а - 2)2 - а(2 - а); 16) 8(8-х)-3(х-8)2. 335. Сократите дробь: 1) 2) 3) 4) 336. Сократите дробь: За + 126 5а(6- 2). 5) За - 66 10(6-2) ’ 5а - 106 ’ -356(л: + 2у). 6) 8п - 12k . 14c(x + 2у) ’ 10а- 15fe’ 15а2(а - 6) . 7) 12х-4у. 20а6(6 - а) ’ Зу-9х ’ 72у(3у - с). 8) 15р - Юс 60с(с - Зу) ’ 200с - ЗООр 1) 2) баб - 6а За2 ’ 337. Сократите дробь: -.4 . ’ 2х-2у' 2) 6у - 12с . 24(1/-2с)2’ 3) 4) 3) 4) 5у2 5) ху - Зх ^ 8x1/2 _ 3j/2 ’ 6//-18’ 2аЧ 6) ас - 5с 4д2 - баб’ За - 15 ■ -а(6 - а)3 _ 5) 24а2 - 60а6. а6 - ап ’ 12а6 - 3062’ Ьс - 6) 27x2 - Збху -с(Ь - с)2 ’ 9ху- 12г/2 * 338. Найдите значение дроби: 1) 2) 5д2 - 10д2 (а-2)2 при а = 1,8; 6(6- 3)2 363 _ 9/,2 при 6 = 1,2; 04 2аЬс - ас2 ,2 L -L J- 4) дгг/ + 2xz У 6 ’ ^ 8 ■ 2 ^ о ”2 при X = - 1/2г + 2yz‘‘ 2 ЗЗЭР Докажите, что значение выражения: 1) 45® - 45® кратно 44; 2) 29® + 299 кратно 30; 3) 5^^ - 5^3 кратно 24; 4) 15^® - 15® кратно 224; 5) * 3® + 3“* кратно 90; 6) ® 7® + 7® кратно 350. 340. Решите уравнение: 1)х2 0; 2) у^-4у = 0; 3) 51/2-у = О; 4) 1022 + 72 = 0; 5) х(3х - 5) - 4(3х - 5) = 0; 6) 0 2у(9у - 6) + 5(6 - 9у) = 0. ф. ч Л' ! 341. Преобразуйте многочлен к виду, удобному для вычислений, и найдите значение: 1) + 83х + 43 при дс = 17; 2) х^ + 0,61л: + 2,22 при л: = 1,39; 3) х^ - 19х^ - 800л: + 80 при л: = 39; 4) л:^ + 1,57х^ -Ь 0,14л: - 0,23 при х = 0,43; 5) X* -I- 0,39л:^ - 0,61л:2 -Ь 2л- - 0,22 при х = 0,61; 6) x'^ - 24л^ - 180л:2 + 180л: 30 при х = 30. 342? Найдите значение выражения: 1) х^ - 3,5х^ -ь 2,5л: - 4 при х, равном: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 2) х^ + 3,2х^ - 2,4л: + 3 при л:, равном: -0,5; 0,5; 1,5; 2,5; 3) л:"* - 25л:^ -I- 45х^ - 8,5л: - 1,37 при л:, равном: -1,2;-0,6; 0,6; 1,2; 4) х'* - 32х^ - 18х^ + 13х + 5,02 при х, равном: -3,5; -2,5; -0,5; 0,5. 1. 2. 3. Контрольные вопросы и задания Укажите несколько множителей, общих для членов многочлена ISafe^c* - 24а^Ь®л^ + 42а^Ь*сх. Разложите на множители многочлен 72а^^ - 60а'®. 7х^ - 14л Сократите дробь 4ху - 8у О § 9. Произведение многочленов 22. Преобразование произведения двух многочленов На рисунке 44 изображен прямоугольник, длина которого — сумма отрезков а и Ь, а ширина — сумма отрезков end. Площадь этого прямоугольника равна произведению его длины и ширины (а + Ь)(с + d). Ту же площадь можно найти как сумму площадей четырех прямоугольников ас + Ьс + ad + bd. Мы выразили двумя способами одну и ту же площадь, значит, (а -ь 5)(с + d) = ас + Ьс л- ad + bd. Рис.44 i Проведенные рассуждения позволяют утверждать справедливость этого равенства только для положительных значений переменных а,Ь,си d. Докажем, что оно верно при любых значениях переменных. Умножим выражение а + Ьна сумму с + d: (а + Ь){с + d) = (а + Ь)с + (а -Ь b)d. Далее получим: (а + Ь)с + (а + b)d = ас + be + ad + bd. Следовательно, равенство (а + Ь)(с + d) = ас + Ьс + ad + bd является тождеством. Аналогично, для произведения двучлена и трехчлена: (а + Ь)(х + у + 2) = ах + Ьх + ai/ + bi/ + аг + bz. Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведений каждого члена одного многочлена и каждого члена другого. Обычно пользуются следующим правилом. Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения. Пример. Преобразовать в многочлен стандартного вида произведение многочленов - 5а -t- 6 и 7а - 9. Решение, (а^ - 5а -t- 6)(7а - 9) = а^' 7а — 5а ‘ 7а + 6'7а + а^ ‘ (—9) — 5а • (—9) + 6 • (-9) = 7аЗ - 35а2 -ь 42а - 9а^ -f 45а - 54 = 7а^ - 44а^ + 87а - 54. Упражнения 343. Представьте произведение в виде многочлена: 1) (а + 2)(Ь + k); 2) (у - 6)(х -р); 3) (а -Ь х){а - 1); 4) (6-2)(&-3); 7) (а2-7)(а + 4); 8) (с + 5с)(1 - 4с); 9) (1бх2- 7х)(0,5х-3); 10) (б2-0,85)(55-2); 5) (2с -Ь 7)(с - 4х); 6) (5р + к)(р + 8k); 11) (а-|](а2 + 35); 12) (i/-64|i,-|). ___л ^ А. I ~T'L^ 5 ^--' * *“ 344. Преобразуйте в многочлен стандартного вида; 1) {х^ - Ах){х + 1); 2) (8x3 _ Зд;2)(2д: _ 3); 3)(7у2 + бг/)(5г/-12); 6) (563 _ 7^,2)(5 _ 2); 8) (п2- |)(п-0,3); 4) (-0,63р - 0,37/?)(10р + 7); 9) (дЗ - 2а + 3)(а - 4); 5) (ЗаЗ + 4а)(а - 5); 10) (аЗ-7а-1)(а + 6). 345. Представьте в виде многочлена стандартного вида: 1) (2аЗ - ЪаЬ + Ь^){5а + 76); 2) (сЗ + Юсх - ЗхЗ)(5сЗ - 2сх); 3) *^ (5x3 4- _ 4у2)(2хЗ + ху - 2уЗ); 4) 0 (963 _ 5^ + 2)(863 + 36 - 12). 346.0 Квадрат двучлена представьте в виде произведения, а затем преобразуйте в многочлен стандартного вида: 1)(х + у)3; 2)(р-6)3; 3) (2а-7)3; 4) (5с + 3)3. 347. Докажите, что произведение тождественно равно двучлену: 3)0 (х - 1)(хЗ + хЗ -I- X -1- 1); 1) (а -ь 6)(аЗ - аЬ + 63); 2) (а - 6)(аЗ + аЬ + 63); 4)0 (у 4- 1)(1/3 _ у2 + у _ 1). 348. Преобразуйте в многочлен стандартного вида: 1) (X + 1)(х + 2)(х + 3); 3) (За - 1)(а + 5)(а - 7); 2) {у - 5)(у + 4)(у + 1); 4) (За - 1)(2а + 2)(а + 3). 349. Упростите выражение: 1) (х - 5)(х + 4) - х(х - 1); 2) (а + б)(а - 4) - а(а + 2); 3) (26 - 7)(6 + 3) - 6(26 - 4); 4) (6у - 1){2у - 8) - (Зу - 4){4у - 2); 5) хЗ - (хЗ - Зх)(х -I- 3); 6) 563 _ (д2 + 5Ь)(аб - 63); 7)0 (аЗ - 7)(а + 2)- (2а - 1)(а - 14); 8)0 (2 - 6)(1 -Ь 26) -Ь (1 6)(63 - 36). 350. Найдите значение выражения: ,10 1) (х - 5)(х - 3) - (х 4- 1)(х 4- 2) при ^ “2— ; 2) (а 4- 6)(а - 2) - (а - 7)(а 4- 1) при а = 0,51; / I фу “+I в 3) ° (a2 - ab + 2&2)(a - b) - (a2 + 2ab - b2)(a + 2b) npHa = -li,b = -li; 4) ^ (fl2 + i^ax + x'^)(a - 2x) - (a^ - bax - 2x^){a + x) при a =-1^ , X = 0,27. 351P Упростите выражение: 1) MN - PQ, где M = a - 3, N = - 8a + b, P = a - 8, Q = a2 - 3a + 5; 2) AB - CD, где A = x2 - 3x + 2, В = 2x + 5, C = 2x2 ^ + 17,B = x-4. 352* Докажите, что при всех натуральных значениях п значение выражения: 1) п{п -Ь 22) - (п - 2)(п + 12) делится на 12; 2) (л + 8)(л -Ь 9) - п{п - 7) делится на 24. 353Р Решите задачу, составляя уравнение или систему уравнений. 1) Найдите четыре последовательных натуральных числа, если известно, что разность произведения двух больших и произведения двух меньших из этих чисел равна 74. 2) Найдите три последовательных натуральных числа, зная, что если из произведения двух больших чисел вычесть квадрат меньшего числа, то получится 188. 3) Периметр прямоугольника равен 80 см. Если его длину увеличить на 4 см, а ширину уменьшить на 4 см, то его площадь уменьшится на 64 см2. Найдите длину и ширину прямоугольника. 4) Периметр прямоугольника равен 36 м. Если его длину увеличить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то получится прямоугольник, площадь которого больше площади первоначального прямоугольника на 30 м2. Найдите длину и ширину первоначального прямоугольника. Ь)~ Картина вставлена в рамку, имеющую ширину 1 дм и площадь 54 дм2. Чему равна площадь картины без рамки, если длина картины на 3 дм больше ширины? 6)* На участке, имеющем форму прямоугольника, одно из измерений которого на 17 м больше другого, разбит прямоугольный газон, отстоящий от ограды на 7 м. Найдите площадь участка, если известно, что она больше площади газона на 1414 м2. г 354. 1) Определите степень многочлена стандартного вида, к которому приводится выражение: а) (2л: + 5)(4 - Зх); б) (1 -ЗхЗ)(2 + х2); в) (х^ + 2х + 3) - (х"* + Зх + 1)(3 - х); г) (2х + 1)(х + 2) + (ЗхЗ - 2)(х - 1). 2) Найдите старший член многочлена — член, имеющий наибольшую степень. 3) Найдите свободный член многочлена — член, не содержащий переменной. Контрольные вопросы и задания 1. 2. 3, 4. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен. Какое наибольшее число членов может иметь многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению двучлена и трехчлена? Какую степень имеет многочлен, равный произведению многочленов 3-й и 5-й степеней? Упростите выражение (х^ - 2х - 3)(х - 1) - (х -I- 1)(х^ — 1). 23. Разложение на множители способом группировки Разложение многочлена на множители во многих случаях задача трудная или даже не имеющая решения. Мы ограничимся примерами разложения на множители, в которых результат достигается с помощью несложных приемов. С одним из них — вынесением за скобки общего множителя вы уже знакомы. Рассмотрим еще один способ. Пример 1. Разложить на множители многочлен хЗ - 5x2 + 2х - 10. Решение. Члены данного многочлена сгруппируем попарно — первый со вторым и третий с четвертым: х2 - 5x2 + 2х - 10 = (х2 - 5x2) 4- (2х - 10). В каждой из групп вынесем за скобки общий множитель: (х2 - 5x2) + (2х - 10) = х2(х - 5) -ь 2(х - 5). j+5:'5> 1 1 Мы получили сумму двух выражений, содержащих общий множитель (л: - 5). Вынесем этот общий множитель за скобки: х\х - 5) -Ь 2(х - 5) = (л: - 5)(х^ + 2). Следовательно, х^ - 5х^ + 2х - 10 = (х - 5)(х^ + 2). Пример 2. Разложить на множители многочлен За^ - 66с - 2аЬ + 9ас. Решение. Группируя, как и в предыдущем примере, члены попарно — первый со вторым и третий с четвертым, получим: За^ - 66с - 2а6 + 9ас = (За^ - 66с) (-2а6 -ь 9ас) = = 3(а2 - 26с) -ь а(9с - 26). У полученных нами слагаемых не оказалось общего множителя. Попробуем сгруппировать члены по-другому: За^ - 66с - 2аЬ -ь 9ас = (За^ - 2а6) 4- (9ас - 66с) = = а(3а - 26) + 3с(3а - 26). Вынося за скобки общий множитель За - 26, получим окончательно: За^ - 66с - 2а6 + 9ас = (За - 26)(а 4- Зс). Группировку следует производить так, чтобы после вынесения из каждой группы общего для ее членов множителя получить в скобках (если это возможно) одинаковые выраже- ния. Пример 3. Разложить на множители многочлен а^ 4- 86 - Зас 4- 2аЬ - 12с 4- 4а. Решение. Этот многочлен можно представить или в виде двух трехчленов, или в виде суммы трех двучленов, причем члены можно группировать различными способами: 1) а^ 4- 86 - Зас 4- 2а6 - 12с 4- 4а = = (а^ - Зас 4- 2а6) 4- (86 - 12с 4- 4а) = = а(а - Зс 4- 26) 4- 4(26 - Зс 4- а) = (а 4- 26 - Зс)(а 4- 4); 2) а^ - 86 - Зас 4- 2а6 - 12с 4- 4а = = (а2 -ь 4а) -Ь (2а6 -Ь 86) -ь (-Зас - 12с) = = а(а 4-4)4- 26(а 4- 4) - Зс(а 4- 4) = (а 4- 4)(а 4- 26 - Зс). I 0 Г' il'tL 11 '^n ri Упражнения 355. Разложите на множители выражение: 1) а{Ь + с) + 3(& + с); 2) у{а - с) + 5а - 5с; 3) k{-a + Ь)-2а + 26; 4) (с - /г) - с + /г; b)p-q +a{p-q)\ 6) с - 4р - п{с - 4р); 7) ху-х^ + 3(дг - г/); 8) q{n - с)- рп+ рс; 9) 0 {а - 6)2 - 7(а - 6); 10) 0 X - у + (X - у)^; 11) 0 6л: + 6у - (х + 1/)2; 12) 0 + 356. Представьте многочлен в виде произведения двух двучленов: 1) пх + пу + 10х + Юг/; 2) 9х + 9у + ах + ау; 3) 7а - 7Ь + ап - Ьп; 4) ас + Ьс - 2а - 26; 5) а2 - а6 - 8а + 86; 6) Их -Ь Иг/ - х2 - ху; 7) х2 -ь ах - аху - а^у; 8) а^п - апх -t- х2 - ах; 9) а^ - За2 -I- 2а - 6; 10) ЗхЗ-х2-Ы2х-4; 11) 0 + 10а2 - 66с - ЗаЬс^; 12) 0 Qxy^ - 24i/2 - 7аху + 21а. 357. Представьте многочлен в виде произведения двучлена и трехчлена: 1) ад2 - сп2 - ар + ар^ - ср - ср^; 2) ах2 + ау^ + 6x2 ^ _ д. 3) ас2 - ах - Ьс^ + сх + Ьх - 4) Х1/2 - бг/2 - ах + аЬ + у 2_, 358. Представьте многочлен в виде произведения двух трехчленов: 1) а(а -Н 6 -Ь с) -Ь 6(-а - 6 - с) - 2а - 26 - 2с; 2) х(х -I- 2 - г/) -I- у(г/ - X - 2) -Ь (х - г/ -I- г). 359? Найдите значение выражения, предварительно разложив его на множители: 1) 77,3 • 13 -Ь 8 • 37,3 - 77,3 • 8 - 13 • 37,3; 2) 56,2 • 29 + 60,3 • 41 + 43,8 • 29 Ч- 39,7 • 41. 360. Найдите значение выражения, предварительно разложив его на множители: 1) д2х - а- х + ах2 при a = -l5,x = -^; 8 8 13 2) 2a + ac^ - a^c - 2c при a = , c = -5^ ; 3) *^;2i/2 _ уЗ 4- длу _ д,з при j(. = 0,54, у = 0,75; 4) * 36® - 66®c® - 2с® + be при 6 = 3,2, с = 1,25. 361. Сократите дробь; 1) 2) 3) ах + ау - X - у _ 4) (4-6)2 у^ + ху а6 - 4а 4- 36 - 12 ’ Ьх - 5) 5а® - аЬ - 15а 4- 36 . X® - 6х - X 4- 6 ’ 5а6 - 6® 4- 15а - 36 ’ ху + 2у - 2х - 4 _ 6) Зху -у^-Зх + у (У-2)2 Зх® - ху + Зх - у ' 362. Решите уравнение, разложив левую часть на множители и используя условие равенства произведения нулю: 1) х(х - 7) -h л: - 7 = 0; 4)0 7у - 7 - (г/ - 1)® = 0; 2) у -Ь 4 - у{у -I- 4) = 0; 5) • х® - 5х® -f х - 5 = 0; 3) 0 (X - 6)2 - 2(х - 6) = 0; 6)® 1/4 _ 2уЗ -y2^2y = Q. 363. Впишите пропущенные одночлены так, чтобы получилось тождество: 1) 6а® - 15а2б - 14а6 -Ь ... = (2а - 56)(... - ...); 2) 12х® + 42х®г/ - ... - 35у® = (...- ...)(6х® - 5у®); 3) 24с4 - 18а® - 4а6® -Ь - ...)(... -...); 4) Збу® - 54i/4 4- \0у ...)(... -t- ...). 364. Составляя уравнение или систему уравнений, решите задачу. 1) Мотоциклист выехал из города М в город N. Если он будет ехать со скоростью 35 км/ч, то опоздает к намеченному сроку на 2 ч, если же он будет ехать со скоростью 50 км/ч, то приедет в iV на 1 ч раньше срока. Сколько километров должен проехать мотоциклист? 2) Турист на привале рассчитал, что если дальше пойдет со скоростью 5 км/ч, то опоздает на 1 ч. Поэтому он сел в попутную машину и прибыл в намеченный пункт на 45 мин раньше срока. Какое расстояние проехал турист на машине, если ее скорость 40 км/ч? 3) 0 Турист выехал на мопеде из пункта М в пункт N со скоростью 50 км/ч. Через 24 мин после отправления из М его скорость снизилась на 10 км/ч, так как дорога пошла в гору. В результате турист прибыл в N на 18 мин € ^L> Сколько километров проехал позже, чем предполагал, турист? 4)~ Турист вышел из поселка на железнодорожную станцию со скоростью 4 км/ч. Пройдя 5 км, он рассчитал, что при такой скорости опоздает к поезду на полчаса. Поэтому он увеличил скорость на 1 км/ч и пришел на станцию за 6 мин до отправления поезда. Сколько километров прошел турист от поселка до станции? 365. Разложите на множители: + 11; 2)х''-2х"-^-2х + 4. Контрольные вопросы и задания 2. 3. 1) Разложите на множители многочлен 12а^ - 8аЬ - 9ах -I- бЬх. 2) Сделайте проверку, приводя полученное произведение к многочлену стандартного вида. аЬ - 7а + 4Ь - 28 Сократите дробь 4аЬ - 28а Докажите, что 313^ - 313 • 299 делится на 7. §10. Формулы сокращенного умножения 24. Квадраты суммы, разности и разность квадратов с некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения (а + Ь)^, (а - Ъ)^ и - Ь^, т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, (а -I- Ъ)^ — это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и б. Однако квадрат суммы а и & встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и 6 в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения. Выражения (а + Ь)^, (а - Ь)^ нетрудно преобразовать в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов: (а + 6)^ = (а -ь Ь)(а + Ь) = а^ + аЬ + Ьа + = а^ + 2аЬ -ь Ь'^. Заменим в полученном тождестве (а + Ь)^ = + 2аЬ + букву Ь на -Ь: (а + (-6))2 = а2 + 2а(-Ь) + (-6)2 = - 2а6 + Ь^. Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки. (а -I- 6)2 = д2 -I- 62 + 2а6 Квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения. (а - 6)2 = д2 62 - 2аЬ Квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения. С третьим выражением связана задача разложения на множители, которая решается с помощью оригинальной группировки: - аЬ + аЬ - = а(а -Ь) + Ь(а - 6) = (а - Ь)(а -I- 6). Разность квадратов равна произведению разности на сумму. а2 - 62 = (а - 6)(а + 6) Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и 6. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения. Пример 1. Привести к многочлену стандартного вида выражение (Зс - d^)^. Решение. Данное выражение — квадрат разности Зс и значит, в формулу квадрата разности нужно подставить вместо а выражение Зс, а вместо 6 — выражение d^: (Зс - d3)2 = (Зс)2 + (^3)2 _ 2(3c)(rf3) = 9с2 + d^~ 6cd2. Пример 2. Упростить выражение: (а + 6)2 + 2(а -ь 6)(а -Ь) + (а- 6)2. м # if tL 3 f Решение. В данном выражении сразу видны фрагменты всех трех наших формул. Однако не будем спешить их применять и внимательно посмотрим на это выражение. Можно заметить, что оно состоит из суммы квадратов выражений а-ь&иа-би удвоенного произведения этих выражений. Но тогда это — правая часть формулы квадрата суммы! Получим: (а -Ь Ь)^ -f 2(а -I- Ь)(а - Ь) + (а - Ь)^ = ((о + Ь) + + (а- 6))2 = (2а)2 = 4а2. Приведение к многочленам стандартного вида с помощью рассмотренных тождеств сокращает время умножения многочлена на многочлен. Поэтому и сами тождества называют формулами сокращенного умножения. Пример 3. Разложить на простые множители число 391. Решение. Подбирать простые множители здесь долго, однако можно воспользоваться тем, что данное число на 9 меньше, чем число 400, которое является квадратом числа 20. Дальнейшее решение сложностей не представляет: 391 = 400 - 9 = 202 - 32 = (20 - 3)(20 -Ь 3) = 17 • 23. Числа 17 и 23 являются простыми. Пример 4. Решить уравнение 9лг2 - зол: -11 = 0. Решение. Заметив, что первый член является квадратом выражения Зл:, представим ЗОд: как удвоенное произведение: 30л: = 2 • Зх • 5. Чтобы получить правую часть формулы квадрата разности, нам не хватает 52. Значит, 9x2 _ = = (Зх - 5)2 - 52. С учетом этого имеем: 9х2-30х- 11 = 0, (Зх-5)2-52- 11 = 0, (Зх - 5)2 - 36 = о, (Зх - 5)2 = 36. Это равенство может выполняться в двух случаях, когда Зх - 5 = 6 или Зх - 5 = -6. г. 111 В первом случае получаем х = -5-, а во втором — х = - ^ . «5 о Ответ: 11 ^ Примечание. Преобразование 9x2 _ 30^ _ ц = = (Зх - 5)2 - 36 называют выделением полного квадрата двучлена. Cl Ч-. f ;,±? 1 1 - ' * Упражнения 366. Запишите выражение: 1) квадрат суммы х и у; 2) квадрат разности га и т; 3) разность квадратов а и Ь; 4) сумма квадратов 5 и 3 и удвоенного произведения этих чисел; 5) сумма квадратов 7 и 4 без их удвоенного произведения; 6) произведение разности чисел а и 8 и их суммы. 367. Прочитайте выражение: 1) (а - 6)2; 5) (2 - х)(2 + X); 2) c2-rf2. 6) а2 ч-62 _ 2а6; 3) х2 -I- у2; 7) у2 + + 2уг; 4) {к + га)2; 8) с2 + (3d)2 - 2c(3d). 368. Запишите удвоенное произведение: 1)34 и 12; 4) 25л: и-62; 2) -6 и -d; 3) За и 56; кч 1 3 5)-^аи--с; 7) к - 1 и к + 1; 8) 3< -Ь 2 и 2f- 1. 6) X + у и -г; 369. Представьте в виде удвоенного произведения: 1) 34; 4)1,5а2б; 2) -7; 5)сЧ; 3) бху; 6)1п*т^. О 370.* Выберите формулу, которая поможет вам ответить на вопрос. 1) Может ли квадрат суммы двух чисел оказаться меньше суммы их квадратов? 2) Может ли разность квадратов двух натуральных чисел оказаться простым числом? 3) Может ли квадрат разности двух чисел быть больше разности их квадратов? 4) Может ли сумма квадратов двух отличных от нуля чисел быть равной квадрату их суммы? 5) Может ли квадрат суммы двух неравных чисел быть меньше их удвоенного произведения? - Л *•4 tv 371 .* Может ли разность квадратов двух чисел быть больше суммы квадратов тех же чисел? 372* Выберите формулу, которая поможет вам найти: 1) сумму двух чисел, зная, что разность данных чисел равна 4, а разность их квадратов равна 104; 2) произведение двух чисел, зная, что квадрат их суммы равен 196, а сумма их квадратов равна 106; 3) разность двух чисел, зная, что их сумма равна 18, а разность их квадратов равна 72; 4) сумму квадратов двух чисел, зная, что квадрат разности данных чисел равен 16, а произведение равно 96. 373. Вычислите с помощью формул сокращенного умножения: 1)(100+ 1)2; 2) (80-1)2; 3) 10,012; 4) 9,982; 5) 372+ 2-37-63+ 632; 6) 832 + 332-83-66; 7) 19,32 + 2 -19,3 - 30,7 + 30,72; 8) 31,82 - 2 - 3,18 - 218 + 21,82; 9) 99-101; 10) 201-199; 11) 1262- 742; 12) 3562- 1442. 374.* Не выполняя вычислений, определите, является ли правильной дробь: (328 + 294)2 ’ 3282 + 2942 ’ 3) о, 5312 + 3782 _ (531 - 378)2’ 4) 8352 _ 5982 835 + 598 734 - 683 7342 _ 0832• 375. Можно ли рассматривать данное выражение как левую или правую часть одной из формул сокращенного умножения? Если да, то что в этом выражении стоит вместо а и 5? Запишите другую часть формулы: 1)(-р-2)2; 4)А+,2_9,^ 2) (2д: + 3)2; 3) д:2у2 _ 9; 5) л:2 + 12ЛГ + 36; 6) 49 + г/2 _ 14у; IV 3 7) (0Дс-5)(0,1с + 5); 8) |лг2 + 0,25у2+ ^ху, 9) 4а2 + 962- 12а6; 10) (0,16л:у-2г/2)2; 11) 1,21 -а2&4; 376. Впишите пропущенные одночлены так, чтобы получилось тождество: 1) (5х-Ь ...)2 = ... + 70хг/ + ...; 2) (9а- ...)2 = ...- ... + 100&2; 3) 16&2 + 64а)(... - 64а); 4) (... + 10а)2 = ... - бОап -Ь ...; 5) (c2-...)2 = ..._24c2i/+...; 6) ... - 0,09г/2 = (...- 0,3у)(0,3у + Зг); 7) (...-...)2 = 36а2-... + 49с2; 8) (... -Ь ...)2 = 25x2 -h 80ху -Н ... . 377. Приведите к многочлену стандартного вида выражение: 1) (-0,8а -f- 505)2; 2) (-2«2_о,1й)2; 3) (а -Ь х)(а - х); 4) [-l,2p + lq^-, 5) (9*4 _ 4пЗ)2. 6) (0,66с- 55)2; 7) (0,4рЗ -f 0,5pg2)2. 8) (^c2d-9] (9+|c2d]; 9) (0,2с2-п2)(0,2с2 + пЗ); 10) (-0,9а5-0,2а253)2; 11) (15а2-0,15)(0,15+ 15а2); 12) x3 + 2i/2j'. 378. Представьте, если возможно, в виде квадрата двучлена: 1) //2 + 25^2 - \0yz-, 2) 40 -Ь а2 + 14а; 3) 16а5 -Ь 52 + 64а2; 4) 4x2- 12х +9; 5) 25а2 - 80а5 -Ь 6452; 6) 10052 + 9(.2 _ 0оьс; 7) 9i/‘^ + Ъ&у^г + Az^\ 8) 72y<+ 81i/2 + 16^2; 9) ^ (a + 6)2 + 4a(a + 6) + 4a2; 10) * (X - i/)2 + 16j/2 - 8у(д; - уУ, !!)• (a + 3)2 + (3 - a)2 - 18 + 2a2; 12)* (42 - 1)2 - (42 - 1)(2 - 1) + (2 - 1)2. З79Р Поставьте вместо многоточия одночлен так, чтобы выражение можно было представить в виде квадрата двучлена: 1)62-1- 206 4- 2) г/2- 14у + ...; 3) 81с2 + 49i/2 - , 4) ® ... -40а2б + 2562; 5) * 64p2j/6 4. 9x2j/2 . 6) ® 16л:'* - 8х^у^ .... 380. Решите уравнение: 1) л:2-49 = 0; 2) л;2 + 9 + 6л: = 0; 3) 4x2 = 9; 4) 4x2 4- 40Д. = 0. 5) х2 -1 4х - 5 = 0; 6) 25x2- 144 = 0; 7) х2 - 10х - 24 = 0; 8) 16x2 = 32 + 56х. 381. Приведите к многочлену стандартного вида: 1) (х-3)2-х(х + 9); 2) (2а + 5)2 - 5(4а-Ь 5); 3) (а — 3)(а -Ь 3) 4- а(а 4- 4); 4) (4х 4- 5t/)2 - (4х - 5«/)2; 5) (6+ 7с)2-(7с-6)2; 6) 0(4-у)(4 4-1/)(16 + г/2); 7) 0 (р - 3)2(р + 3)2; 8) 0 (10 - с2)(10 4- с2)(100 4- c'^). 382. Если возможно, разложите на множители многочлен; 1) а2-25; 2) д2 4- 2ас 4- с2; 3) 1-4с-Ьс2; 5) 0,09-х2; 6) р2 - 2pq 4- дг2; 7) a2-t-36-bl2a; 8)c2-i^d2. 9) 0,04x2-Ь 1,2x4- 9; 10) 1/2 4- 2б2 - lOyz; 11) 0,64с2г/2_о,01; 12) 144^^-121^2; 13) а2б2-ь 1; 14) 49а2 4- 14а6 4- 462; 15) 100р2 4- 9x2 - 60x1/; 16) 811/2 4-16^2-72у^. 'Ф; 383. Сократите дробь: 1) 2) 3) 2а - 25 , 4) (9 + 7)2 _ 7) а^-Ь2’ (49 - у2)2 ’ (5а+ 55)2 5) с2 - 25 . 8) а2 + 2аЬ + 52 ’ (с + 5)2 ’ а2-100 6) с2 - 16 . 9) а2 - 20а + 100 ’ (С-4)2’ - 2xy + 1/2 (7.-7,)^’ {ax - bx)^ {ac + bc)2 {ax + bx)^ 384. Представьте выражение в виде произведения многочленов: 1) (л:+ 3)2-1; 4) x2 - (2д: - 1)2; 2) 64-(fe+l)2; 5)(i/-l)2-(5y-7)2; 3) (4а - 3)2 - 16; 6) (а - 1)2 - (а + 1)2. 385. Докажите, что выражение имеет одно и то же значение при любых значениях переменной: 1) (а + 8)2 - 2(а + 8)(а - 2) + (а - 2)2; 2) {у - 7)2 - 2{у - 7)(у - 9) + (у - 9)2. 386. Докажите, что: ,, (а+ 3)2 +(а-3)2 _ а2 + 9 2) (2х + 5)2 + (5х-2)2 ^ 29; ^2 + 1 Ь^-4 + {Ь + 2)2 Ь^ + 2Ь (2у-5)2-(2у+ 5)2 ^ _2q ’ (у2 - 5у) - (у2 _ Ту) 387. Сократите дробь: 1) 2) 52 - 125 + 36 . 3) (5-5)2-1 ’ (*-6)2-4 *2 - 16* + 64 ’ 4) 25с2 + 70с + 49 (6с + 7)2 - с2 9р2 - 12ру + 4у2 у2-(3р-3у)2 • 388. Разложите на простые множители число: 1)319; 2)851; 3)1431; 4)2419. 389. ^ Докажите, что при любом натуральном п значение вы- ражения: 1) (п + 7)2 - п2 делится на 7; 2) (4п + 5)2-9 делится на 8; 3) ‘ - п делится на 6. ш 390. Докажите тождество: 1) c2 + &2 = (Д + + (Д 2 b)^ 2) (2a + 6)2 + 62 = 2(fl2 + (a + 6)2); ^'(sf + 4) {kx - ky)^ = ft2(j; _ y)2 391. Одна из самых знаменитых теорем геометрии, теорема Пифагора, гласит, что сумма квадратов катетов любого прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы. 1) Докажите тождество (2тп)^ + {т^ - = (m2 + п^)^, которое позволяет получить бесконечно много прямоугольных треугольников, длины сторон которых являются натуральными числами. 2) Найдите несколько таких прямоугольных треугольников, придавая значения переменным тип. 392. Докажите тождество Л. Эйлера: (а2 + Ь^)(с^ + d^) = = (ас -t- 6d)2 -I- (ad - bc)'^. Это тождество показывает, что произведение чисел, каждое из которых является суммой квадратов натуральных чисел, также можно представить в виде суммы квадратов натуральных чисел. 393. * Сравните площади квадрата и прямоугольника, зная, что основание прямоугольника на 10 см больше, а высота на 10 см меньше стороны квадрата. 394. Решите уравнение, предварительно представив левую часть в виде произведения трех множителей, каждый из которых содержит переменную: 1) д;4_д.2 = 0; 4)^4-1 = 0; 2) д:3-4л: = 0; 5) л;2(л: - 1) - 25(jc - 1) = 0; 3) л:2-9x4 = 0; 6) х2(х - 3) - х-Ь 3 = 0. 395. *Преобразуйте выражение 2ху(х^ + у^) в многочлен стан- дартного вида с переменными а и 6, если х = 1 -ь - а6. 1 у=1- -^аЬ. 39бР Используя формулу квадрата суммы и правило умножения многочленов, преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение: 1)(а-Ьб)3; 2) (а-6)3; 3)(а 4-6)4; 4) (а-6)4. ш г--------- 397.* Докажите устно, что при любом значении переменной значение выражения — положительное число: 1) а2 + 5; 5)л:2+18х +90; 2) 7 + d2; 6)с2-22с+122; 3) (7-x)2+l; 7)р2 + 42р + 442; 4) (6-4)2 + 3; 8) г/2 _ ЗОг/+ 250. 398. Представьте в виде суммы квадратов двух выражений; 1) а2 + &2 _ ба + 9; 4) а2 - баЬ + 10&2; 2) д;2 + + Юг/ + 25; 5)* fe2 _ 2Ъс + 2с2 + 14с + 49; 3) 2jc2 + 2x1) + 1/2; б)* 5л2 + 4лг/ + у2 _ 8л + 16. 399“ ' Найдите такие значения М, при которых можно представить в виде квадрата двучлена выражение: 1) (Зл: - 5)2 + {4х + 12)2 + 2) (17х + 10)2 - (15х - 8)2 + Мх. 400. Впишите в скобки пропущенные члены так, чтобы при всех значениях х значение выражения было одним и тем же: 1) (4х - 7)2 + (Зл: + 6)2 -(...- ...)2; 2) (17л:-2)2-(15х-6)2-(. 401?^ Решите уравнение: 1) х2 + у2 = 0; 2) {х-у)^ + (1-х + г/)2 = 0. 402. “ Найдите целые решения уравнения х^ = 2(ху - у^ - у). 4037^ 1) С помощью рисунка 45 покажите, что для положительных значений переменных а, & и с верно равенство (а + Ь + с)2 = о2 + &2 -I- ^2 + + 2а6 + 2ас + 2Ьс. 2) Используя формулу квадрата суммы, докажите, что данное равенство является тождеством. 404."^ 1) Если из куба некоторого целого числа вычесть произведение трех последовательных целых чисел, среднее из которых равно данному числу, то получится 17. Найдите эти числа. 4с ас Ьс с2 I 16 аЬ 62 Ьс 1 а аЬ ас i ^ а ^ 6 с Рис. 45 2) Если к произведению трех последовательных натуральных чисел прибавить их удвоенную сумму и вычесть куб среднего из этих чисел, то получится 35. Найдите эти числа. 405Р Представьте в виде многочлена: 1) (а - 3)2(а + 3)2; 2) ф - d)Hb -I- d)2; 3) (X - 2)(х + 2)(х2 + 4); 4) (2 - у)(2 + у)(г^ -Ь у2). 5) (аЗ-(- 5)(аЗ - 5)(аб-ь 25); 6) (сЗ + &2)(сЗ - Ь'^)(с^ -ь Ь*); 7) (у-1){у + 1)(у^ + 1)(у^ + 1); 8) (а - Ь)(а + 6)(а2 -ь Ь^)(а^ М). 40бР Найдите значение выражения, предварительно упростив его: 1) (3-2)(3-ь 2)(32 + 22); 2) (171-169)4(321 +679)'»; 3) (3 - 1)(3 + 1)(32 -ь 1)(34 -t- 1)(33-1- 1) - 316; 4) (5 - 3)(5 -Ь 3)(52 -Ь 32)(54 -Ь 34)(58 4- 38)(516 -Ь 316) -- (532 -Н 332); 5) (73+ 1)(73- 1)(7б+ 1)-212; 6) (134 _ 1)(134 + 1)(138 + 1) _ 1316, 4071 *1) Найдите наименьшее значение, которое может принять выражение: а) а2 + 4а -Ь 4; б) {2Ь - 1){2Ь + 1) - 3(5 - 46). 2) Найдите наибольшее значение, которое может принять выражение: а) 46(5а - 6) - (5а - 3)(5а 4- 3); б) 2аЬ - - 2Ъ^ 4- 46. 3) При каких значениях переменных достигаются эти значения? Контрольные вопросы и задания 1. 2. Докажите тождество (а + 6)2 = + 2аЬ. Выполните сокращенное умножение: 1) (0,8а5-|б2^ (0,8а5+|б2^; 2) (2^ аб2 + 11 аЗ 9x2 б4у2 - 4Sxy Сократите дробь 9x2 _ 64t/4 25. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения Рассмотрим примеры разложения на множители, в которых способы вынесения за скобки, группировки и применения формул сокращенного умножения комбинируются. Пример 1. Разложить на множители двучлен а^х-9х^. Решение. Разложение на множители целесообразно начать с вынесения за скобки общего множителя х: а^х - 9х^ = х(а^ - 9х^). Выражение - 9х^ можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов: - 9х^ = (а - 3x)(a + Зх). Следовательно, двучлен а^х - 9х^ можно разложить на три множителя, каждый из которых содержит переменную: а^х - 9х® = х(а - Зх)(а -I- Зх). Пример 2. Разложить на множители выражение (с2 -ь 9)2 - 36с2. Решение. Данное выражение является разностью квадратов. По соответствующей формуле имеем: (с2 -Ь 9)2 - 36с2 = (с2 + 9 - 6с)(с2 -Ь 9 -Ь 6с). Полученные множители можно преобразовать в квадраты двучленов, так как каждый из них состоит из квадратов двух одночленов и их удвоенного произведения: с2 + 9 - 6с = (с - 3)2; с2 + 9 -Ь 6с = (с -Ь 3)2. Следовательно, (с2 -I- 9)2 - 36с2 = (с - 3)2(с + 3)2. Пример 3. Разложить на множители многочлен Ь^-ЗЬ + бу- 4у2. Решение. Попытаемся разложить этот многочлен на множители с помощью группировки его членов. Группируем первый со вторым и третий с четвертым: Ь^-ЗЬ + 6у- V = bib - 3) -Ь 2£/(3 - 2у). Мы получили в скобках два различных выражения: (6 - 3) и (3 - 2у), значит, такая группировка членов к цели не приводит. Группировка первого члена с третьим и второго с четвертым также не приводит к разложению многочлена на множители. Последняя возможность попарной группировки — сгруппировать первый и последний члены и два средних члена: Ь^-гЪ + Qy- V = - 4у2) _ (ЗЬ _ Qy) = = (6 - 2у)(Ь + 2у) - 3(6 - 2у) = {Ь- 2у)({Ь + 2у) - 3) = = (6 - 2у){Ъ + 21/ - 3). Нам удалось разложить многочлен на два множителя: двучлен и трехчлен. Пример 4. Разложить на множители многочлен 02-62+106-25. Решение. В этом примере уже никакая попарная группировка не приводит к разложению многочлена на множители, содержащие переменную. Однако, заметив, что -62 -h 106 - 25 = -(62 - 106 -ь 25) = -(6 - 5)2, мы можем выполнить разложение на множители так: о2 - 62 -I- 106 - 25 = о2 - (6 - 5)2 = (а - (6 - 5))(а -f- (6 - 5)) = = (а - 6 -Ь 5)(а -Ь 6 - 5). Упражнения 408. Докажите, что: 1) 2632 _ 1842 делится на 79; 2) 372 -ь 2 • 37 • 63 -Ь ез2 делится на 10“; 3) 21° - 2° • 3 + 32 делится на 292; 4) 111° - 11° -ь 11^ делится на 111. 409. Разложите на множители двучлен: 1) 20а2б - 456J/2; 4) 1446“ - 81б2с“; 2) 0,64р5 _ 0,36pV; 5) 108x7i/5 - 4800xV; 3) 0,Zx^y - 2,7xy^; 6) 1200аЗб“с5 - 147аб2с. 410. Разложите на множители выражение: 1) 20л:2 - lAOx^y + 245жг/2; 2) 1006“ - 120fe3„ + 36б2п2; /------- 3) (3a+ 4)2-(a - 12)2; 4) (5x-7)2-(5-3x)2; 5) 0 (a2 + 6ab + 1652)2 _ (баб + 20&2)2; 6) 0 (4 - 6y2 + 4y®)2 - (6^2 _ 5^6)2 411. Представьте в виде произведения многочленов: 1) а(х^ - у2) - 5(х + у); 5) - За - 9Ь - 9Ь^; 2) 7(а - 5) - 4(а - 5)2; 6) д;2 - 5л: - 10у - 4у2; 3) а2 + а + 5-52; 7> 252 - 55 - 5с - 2с2; 4) лг2 + л: - у2 _ у; S)^ 4а2 + 2а - 952 _ 3^ 412. Представьте выражение в виде разности квадратов и разложите на множители: 1) а2 + 2аЬ + 52 - с2; 2) л:2 - 2ху + у2 - z2; 3) а2-18а + 81 -452; 4) у2 + 20у + 100 - 9л:2; 413^ Разложите на множители: 1) + 2аЬ + 2cd; 2) л:2 - у2 + а2 - 52 + 2ал: - 2Ьу; 3) a^-b^-c^ + d^- 2ad - 25с; 4) а2б2 - а2с2 - 52^2 + с2(^2 4- 4abcd. 5) 52-с2- 14с-49; 6) а2 - х2 + Юл: - 25; 7) *^ а2л:2 - 2а5л: + 52 - с2; 8) ^ у2 4- fi2y2 ^ 2кру - х2. 414. Сократите дробь: а2 - fe2 1) a2-fe2_8a-85 2) 4л + 4у — у2 ^2 - г/2 3) 52 - 25 + 1 - с2 52 — с2 — 5 + с ’ 4) 5) 6) 100 + 2лу - X — 1г2 _ Юл + 10у + л2 - у2 ’ - аЬ - Ьс - с2 + 2ас - ’ 25 -о2- 2а5-52 а2 + а5 + 55 - 25 415. Вычислите: 5182 - 4822 1) 2) 360 228 • 13 3) 7642 _ 5302 ’ 522 _ 482 922 - 2 • 92 • 88 + 8g2 ’ 4) 5) 6) 236-222.24 23® - 236 256-254-4 58 - 5^ + 56 ’ 711 _ 710 _ 79 67 - 494 - 26 - 78 ■'> «■/ п: 416. Найдите значение выражения: Iba^d^ - lOd^ 1) 5d^+ lOd^a + 5a^d при о = -6, d = -2; - 6c + ac -b^ 2.3 1 2) -m.-------Г2 “ = -o>^=7’<^ = - = + be — ac — 3 4 5 417. Решите уравнение, раскладывая его левую часть на множители и используя условие равенства произведения нулю: 1) л:2 - ЮОх = 0; 2)^х^-х = 0; 5) ^ х‘* - х^ = 0; 6) °л:5-49x3 = 0; 3) 25г/2 -Ь 20j/ -I- 4 = 0; 4) 36x2 + 25 = бОх; ?)• хЗ + 2x2-9х-18 = 0; 8)*уЗ_Зу2_4у+ 12 = 0. 418. '" Докажите, что при любых натуральных значениях т и п, кроме т = п = \, число: 1) + Ап'^ — составное; 2) 4т'* + — составное. 419. ” 1) Постройте график функции: 16x2-9 _ 9x2 - 6х-I-1 а)у = 6)1/ 4х + 3 ’ ^ Зх - 1 2) Найдите координаты точек пересечения построенного графика с осями координат. 420.* Докажите, что равенство является тождеством: 1) (2х -Ь 9)2 - 4х2(х - 6)2 = 3(4х + 3)(2х - 3)2; 2) 64(5а -Ь 1)2 - (25а2 -t- 8)2 = 5а(8 - 5а)(5а 4)2. 421. Задачи из «Арифметики» Диофанта (III в. н. э.). 1) Докажите тождество: (ас + bd)^ + (ad - bc)^ = (о2 4- b^)(c^ - d^). 2) Воспользуйтесь тождеством Диофанта для разложения на множители многочлена: а) (Зс -ь 7d)2 -ь (3d - 7с)2; б) ^5а-1- + ^5а - . 422. Докажите тождество из книги Л. Эйлера «Универсальная арифметика» (1768): (а2 4- 6c2)(d2 4- 6^2) = (ad + bek)^ + b(ak - cd)^. г iipn M tf 423 1. 2. 3. * Софизм^. Доказательство того, что все числа равны между собой. Обозначим произвольные два числа буквами а и Ь. Пусть а > Ь, тогда существует такое положительное число с, что а = Ь + с. Умножим обе части этого равенства на а - 6 и преобразуем полученное равенство: а(а -Ь) = {Ь + с)(а - Ь), - аЬ = аЬ + ас - - Ьс, - аЬ - ас = аЬ - - Ьс, а{а - Ь - с) = Ь (а - Ь - с). Разделив обе части полученного равенства на (а - 6 - с), получим, что а = Ь. Найдите ошибку в приведенном доказательстве. Контрольные вопросы и задания Приведите пример многочлена, при разложении на множители которого нужно применить способ вынесения множителя за скобки и формулу разности квадратов. Разложите на множители: 1)б2-с2-7Й-7с; 2)а2-1-10а + 25-г/2. Сократите дробь уЗ _ 81у г/2+ 18у + 81 1 Софизм — ложное умозаключение (неверное доказательство), кажущееся правильным. т ‘ ’ "П /, ВЕРОЯТНОСТЬ # 26. Равновероятные возможности в XIV в. французский философ Жан Буридан придумал свой, ставший знаменитым, парадокс^ о голодном осле, оказавшемся на равном расстоянии от двух совершенно одинаковых охапок сена. История закончилась для буриданова осла трагически — он не смог сделать выбор, к какой из охапок направиться, и в конце концов умер от голода. Нам тоже случается попадать в ситуации, в которых нужно выбрать один из двух равноценных вариантов. На помощь часто приходит монетка, одна сторона которой называется орлом, а другая — решкой. Решив, что выберем первый из возможных вариантов, если выпадет орел, а второй — если решка, мы подбрасываем монету и смотрим, какой стороной вверх она упадет. Именно так, с помощью монеты, разыгрываются ворота перед началом футбольного матча. Понятно, что при этом есть всего две совершенно равноправные, или, как обычно говорят, равновероятные, возможности. Пример 1, В пенале у Пети лежат три шариковые ручки — одна с синей, вторая с зеленой, а третья с черной пастой. Петя наугад (не глядя в пенал) берет одну из ручек. Равновероятны ли при этом возможности: 1) достать синюю ручку и достать черную ручку; 2) достать черную ручку и достать ручку другого цвета? ^ Парадокс — логически правильное рассуждение, противоречащее здравому смыслу. J : i t } ^ Л Решение. В условии сказано, что ручки вынимаются наугад, значит, возможности достать любую из них равновероятны. Следовательно, возможности вытащить синюю и вытащить зеленую ручки равновероятны. Возможность же достать черную ручку явно менее вероятна, чем возможность достать одну из двух других. Часто имеющиеся возможности только выглядят равновероятными, а на самом деле таковыми не являются, т. е. какие-то из них более вероятны, а другие менее вероятны. Пример 2. Пете подарили три новые книги, но на дачу родители разрешили ему взять только одну из них. Петя взял две монеты и решил, что в случае выпадения двух орлов возьмет первую книгу, в случае двух решек — вторую, а если выпадут орел и решка, он возьмет с собой третью книгу. Являются ли перечисленные варианты (два орла, две решки, орел и решка) равновероятными? Если нет, то какой из них более вероятен? Решение. Легче всего разобраться в этой ситуации, взяв две монеты разного достоинства, например 1-рублевую и 2-рублевую. При их бросании возникают четыре равновероятные возможности: орел—орел, орел—решка, решка—орел и решка—решка. Мы видим, что вариант, когда выпадают орел и решка, имеет место в двух случаях из четырех, т. е. в половине всех возможных случаев, а каждый из двух других вариантов — в одном. Значит, варианты два орла, две решки и орел—решка не равновероятны — более вероятен вариант орел—решка. _ Замечание. Петя мог бы сделать варианты выбора книги равновероятными, использовав вместо монет, например, пенал с тремя ручками из примера 1. Упражнения 424. 1) Сколько вариантов выпадения очков возможно при бросании одной игральной кости (кубика идеальной кубической формы из однородного материала, на гранях которого нанесены точки от одной до шести)? 2) Равновероятны ли эти варианты? AJ V Г' “t-- . = 425. В колоде 36 карт. Из колоды наугад вытаскивают одну карту. 1) Сколько при этом имеется разных возможностей? 2) Равновероятны ли возможности: а) вытащить десятку бубен и вытащить пиковую даму; б) вытащить валета и вытащить короля; в) вытащить туза и вытащить какую-нибудь карту бубновой масти? Если нет, то какая из этих возможностей более вероятна? 426. Из коробки, в которой лежат 6 бильярдных шаров с номерами от 1 до 6, наугад вытаскивают один шар. 1) Сколько существует возможностей вытащить шар? 2) Равновероятны ли возможности вытащить черный и красный шары, если в коробке: а) 3 черных и 3 красных шара; б) 2 черных и 4 красных шара? Если нет, то какая из этих возможностей более вероятна? 427. Для праздничной школьной лотереи изготовили 100 билетов. На каждый из этих билетов может выпасть один из 55 выигрышей. 1) Сколько существует возможностей: а) купить какой-нибудь билет лотереи; б) купить билет, который выиграет; в) купить билет, который не выиграет? 2) Равновероятны ли возможности купить выигрышный и невыигрышный билеты? Если нет, то какая из возможностей менее вероятна? 428. Сколько очков в сумме может выпасть при двух бросаниях игральной кости? Являются ли все эти возможности равновероятными? 429. На рисунке 46 изображен квадрат для игры в «Морской бой» (обычно, правда, по горизонтали ставят не числа, а буквы). Каждый из игроков расставляет в своем квадрате 4 одноклеточных, 3 двухклеточных, 2 трехклеточных и один четырехклеточный корабль так, чтобы между соседними кораблями оставался промежуток. Затем игроки по 1 23456 78910 Рис. 46 # очереди делают «выстрелы» — называют координаты некоторой клетки. Если в указанной клетке оказался корабль противника, то эта клетка вычеркивается, и игрок делает следующий выстрел. Если в названной клетке корабля не оказывается, очередь стрелять переходит к противнику. Проигрывает тот из игроков, чьи корабли оказываются полностью вычеркнуты (потоплены). Саша и Петя начинают игру в «Морской бой», и Петя ходит первым. 1) Сколькими способами Петя может начать игру? 2) Сколько среди них возможностей: а) попасть в цель; б) промахнуться? П! Контрольные вопросы и задания 1. Приведите примеры равновероятных возможностей и возможностей, которые не являются равновероятными. 2. На десяти карточках записаны целые числа от О до 9. Наугад выбирают две карточки и находят сумму записанных на них чисел. Равновероятны ли возможности получить в сумме число 1 и число 9? Если нет, то какая сумма более вероятна? 27. Вероятность события Слова «более вероятен» или «менее вероятен» выражают только очень грубую сравнительную оценку вероятности разных событий. Во многих случаях такой информации недостаточно, поэтому вероятности выражают числами. Вероятность событий, которые обязательно произойдут (такие события называют достоверными), считают равной 1, а события, которые не могут произойти (так называемые невозможные события), имеют нулевую вероятность. С Вероятность достоверного события равна 1. Вероятность невозможного события равна нулю. Когда мы бросаем монету, достоверным событием является то, что монета обязательно упадет или орлом, или решкой вверх, а невозможным событием можно считать, например, что монета упадет на ребро. Вероятность достоверного собы- ТИЯ при бросании монеты поровну распределяется между выпадением орла и выпадением решки. В математике для обозначения вероятности события обычно используют букву РЧ Обозначим вероятность выпадения орла или решки как орел или решка’ вероятность выпадения орла как а вероят- ность выпадения решки — Ррешка- Тогда получаем: Р =Р + Р =1. орел или решка орел решка • Поскольку вероятности выпадения орла и выпадения решки равны, имеем: 1 Р =Р - -. орел решка £ Пример 1. Найти вероятность выпадения двух очков при бросании игральной кости. Решение. При бросании игральной кости достоверным событием является выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Все эти шесть исходов равновероятны, и никакие два из них не могут случиться одновременно, значит, вероятность достоверного события — 1 — поровну распределяется между ними. Поэтому вероятность каждого из них и, в частности, ве- 1 роятность выпадения двух очков равна ^ . В большинстве задач интересующее нас событие может произойти не в одном, а в нескольких из числа возможных исходов. Пример 2. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число очков, большее 4? Решение. Число очков, большее 4, — это 5 или 6. Значит, интересующее нас событие происходит, когда выпадает 5 или 6 очков, т. е. в двух из всех шести равновероятных исходов бросания игральной кости. Вероятность каждого из 1 этих вариантов равна - , значит, О р =р +р =1 + 1. = -= - ^5 или 6 -^5 ^6 6 6 6 3 1 Р — первая буква французского слова ргоЬаЫШё, которое в переводе означает «вероятность*. tif « V Заметим, что вероятность находится как сумма дробей с числителями, равными 1, знаменателями которых является число всех равновероятных вариантов, на которые распадается соответствующее достоверное событие. Однако сумму равных слагаемых обычно заменяют произведением. Это приводит нас к важному выводу. Вероятность события равна дроби, знаменатель которой — число всех равновероятных исходов, а числитель — число тех из них, при которых это событие происходит. Пример 3. В коробке лежат три черных и четыре белых бильярдных шара. Из нее наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар будет: а) черным; б) белым? Решение. Когда из коробки вынимают один шар, им с равной вероятностью может оказаться любой из семи находящихся в ней шаров. Значит, есть всего 7 равновероятных возможностей вынуть шар из коробки. В трех из них вынутый шар окажется черным, поскольку в коробке 3 черных шара. г, 3 шар черный Аналогично находим вероятность вытащить белый шар. г. 4 шар белый Упражнения 430. Как вы думаете, является ли невозможным событием: 1) получение всеми учениками вашего класса отличных оценок за очередную контрольную работу по математике; 2) получение всеми учениками вашего класса отличных оценок по математике за текущую четверть; 3) замена всех завтрашних уроков просмотром приключенческого фильма? Объясните свой ответ. 431. Приведите примеры событий, которые вы считаете: 1) достоверными; 2) невозможными. я-t-"-: О L^ ii 1 i 432. В колоде 36 карт. Из колоды наугад вынимается одна карта. Какое событие при этом является достоверным и из скольких равновероятных возможностей оно складывается? Чему равна вероятность осуществления каждой из этих возможностей? 433. В квадрате для игры в «Морской бой» ставится один одноклеточный корабль. Какова вероятность с первой попытки в него попасть? А 434. Для праздничной школьной лотереи изготовили 100 би- ... летов. На каждый из них ^ может выпасть один из 20 вы- "" игрышей. Какая вероятность выиграть, купив один билет этой лотереи? 435. В лотерее среди 1 млн билетов 300 тыс. выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным? 436. *Вычисляя вероятность выпадения хотя бы одной решки при бросании двух монет, Саша рассуждал так: «Выпадение хотя бы одной решки складывается из двух возможностей — выпадение решки на первой монете и выпадение решки на второй монете. Вероятность выпадения решки для любой из монет равна | | + | !• Значит, выпадение хотя бы одной решки — событие достоверное, т. е. как ни бросай две монеты, а хоть одна решка да выпадет! » 1) В каком месте своих рассуждений Саша допустил ошибку? 2) Как надо было рассуждать в данном случае и чему в действительности равна вероятность выпадения хотя бы одной решки? 437. Какова вероятность при игре в «Морской бой» первым же ходом попасть в один из кораблей противника? 4381"' Петя предложил Саше фору при игре в «Морской бой», сказав, что оставит себе единственный одноклеточный корабль, а другие его корабли Саша может считать затонувшими еще до сражения. ft' Ll^n Й I/ 1) Как вы думаете, увеличатся ли Сашины шансы на выигрыш, если он примет Петино предложение? 2) Попробуйте, сыграв несколько партий, проверить свою гипотезу. 439. В коробке лежат три красных, три желтых и четыре белых бильярдных шара. Найдите вероятность того, что взятый наугад шар окажется: 1) белым; 2) цветным. 440. В коробке находятся две карточки. Обе стороны одной из них белые, а другая с одной стороны белая, а с другой — черная. Из коробки наугад вынимают одну из карточек и кладут ее на стол так, что цвет нижней стороны не виден. Если верхняя сторона этой карточки будет белой, то какова вероятность, что ее нижняя сторона будет черной? 441. Подбрасывают три монеты разного достоинства. 1) Сколько при этом имеется равновероятных возможностей? 2) Найдите вероятность того, что выпадет: а) три решки; в) хотя бы одна решка; б) ни одной решки; г) одна решка и два орла. 442? На книжную полку ставят 3 книги, не обращая внимания на их названия. Учитывая, что на полку попали «Три мушкетера» А. Дюма и «Айвенго» В. Скотта, найдите вероятность следующих событий: 1) книга «Три мушкетера» стоит первой слева, а «Айвенго» — первой справа; 2) «Три мушкетера» — первая слева книга; 3) «Три мушкетера» и «Айвенго» стоят рядом, причем «Айвенго» — справа от «Трех мушкетеров»; 4) «Три мушкетера» и «Айвенго» стоят рядом. Контрольные вопросы и задания в портфеле лежат 4 книги: учебник математики, учебник истории, учебник английского языка и сборник зарубежной научной фантастики. Из портфеля наугад вынимают одну книгу. Из каких равновероятных возможностей складывается это событие? Какова вероятность вытащить какой-нибудь учебник? На десяти карточках записаны целые числа от О до 9. Наугад выбирают две карточки и находят сумму записанных на них чисел. Какова вероятность получить сумму, равную: 1) 1; 2) 2; 3)3; 4) 6; 5) 9? 28. Число вариантов в задачах на вычисление вероятности приходится находить как число всех возможностей, так и число тех из них, в которых интересующее нас событие произойдет. В несложных ситуациях, с которыми вы встретились в предыдущем пункте, все эти варианты можно было выписать и сосчитать. Часто, однако, такой подход оказывается слишком трудоемким. Так, например, когда бросают одну игральную кость, вариантов выпадения очков всего шесть, а если бросают две или три? Пример 1. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей выпадет в сумме 4 очка. Решение. Пусть одна из костей черная, а вторая белая. Будем искать число всех равновероятных возможностей. Выпишем их в виде таблицы с двумя входами. 1 2 3 4 5 6 1 1 — 1 1—2 1—3 1—4 1—5 1—6 2 2—1 2—2 2—3 2—4 2—5 2—6 3 3—1 3—2 3—3 3—4 3—5 3—6 4 4—1 4—2 4—3 4—4 4—5 4—6 5 5—1 5—2 5—3 5—4 5—5 5—6 6 6—1 6—2 6—3 6—4 6—5 6—6 В левом столбце таблицы указано число очков, которые могут выпасть на белой, а в верхней строке — на черной кости. В каждой внутренней клетке таблицы записан свой вариант выпадения очков. Число всех вариантов равно произведению числа вариантов выпадения очков на белой кости на число вариантов выпадения черной кости: 6-6 = 36. Отметим клетки таблицы, сумма очков в которых равна 4. Таких клеток три. Разделив это число на общее количество вариантов, получим искомую вероятность: 36 12 в I/ Каждый из вариантов, к которым может привести бросание двух костей, можно записать как двузначное число, первая цифра которого выбирается из шести возможных. Каждому из вариантов выбора первой цифры соответствует шесть возможностей выбрать вторую цифру числа, т. е. вторую цифру можно присоединить к первой шестью различными способами. Для вычисления общего числа вариантов пользуются правилом произведения. Чтобы найти число вариантов выбора пары элементов, число способов выбора первого элемента умножают на число способов, которыми к первому элементу можно присоединить второй. Правило произведения применяется и в тех случаях, когда выбор элементов осуществляется более двух раз. Пример 2. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Решение. Первой можно записать любую из данных пяти цифр. В каждом из этих пяти вариантов вторую цифру можно присоединить к первой четырьмя способами, так как одну из данных цифр уже использовали. По правилу произведения выбор первых двух цифр можно осуществить 5 • 4 способами. Каждому из них соответствует три варианта присоединения третьей цифры, значит, первые три цифры можно записать 5 • 4 • 3 способами. Четвертой цифрой может оказаться любая из двух оставшихся, т. е. первые четыре цифры можно выбрать 5 • 4 • 3 • 2 способами. Выбор последней, пятой цифры предопределен выбором предшествующих, — когда из пяти цифр выбрали четыре, осталась единственная цифра. Всего получилось разных пятизначных чисел 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = = 120. Заметим, что каждое из этих чисел получается, например, из числа 12345 перестановкой его цифр. Задачи, которые сводятся к перестановке элементов некоторого заданного набора, встречаются довольно часто. Комбинации, которые при этом получаются, так и называют перестановками. А число всех перестановок, состоящих из п различных элементов, обозначают Р„. I#' в нашей задаче В5=1'2*3*4*5 = 120. ( Р^ = 1-2-3-...»(^-1)-п ) i I Для произведения первых п натуральных чисел в математике введено специальное обозначение: 1 • 2 • 3 •• (п - 1) • п = л! (читается; эн факториал^). Отдельно определяется, что 1! = 1. С использованием факториала можно короче записать формулу числа перестановок из п элементов. С Р.. = п\ J Пример 3. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Решение. Будем рассуждать так же, как и в примере 2. Первой можно записать любую из данных семи цифр. Вторую цифру можно присоединить к первой шестью способами, так как после записи первой осталось шесть цифр. По правилу произведения выбор первых двух цифр можно осуществить 7 • 6 способами. Каждому из них соответствует пять вариантов присоединения третьей цифры, значит, первые три цифры можно записать 7 • 6 • 5 способами. Четвертой цифрой может оказаться любая из четырех оставшихся, т. е. первые четыре цифры можно выбрать 7* 6* 5-4 способами. Последнюю, пятую цифру выбираем из оставшихся трех. Всего разных пятизначных чисел получилось 7 • 6 • 5 • 4 • 3 = 2520. По сути дела, при записи пятизначного числа мы размещали по определенным местам 5 из 7 данных элементов. Полученные при этом комбинации элементов так и называют размещениями. Число всех размещений из 7 различных элементов по 5 обозначают : Af=7-6-5-4-3 = 7-6-5-4-3-(2- 1) _ 7! 2 • 1 (7-5)! * Слово «факториал» происходит от английского слова factor — «множитель». f ^ " |,=Э1 I .J Аналогично находят и число размещений из п по т. С I п (^п-ту. \ В Замечание. Размещение из п элементов по п является перестановкой этих п элементов, поэтому А" = Р„. Однако при т = п в знаменателе правой части формулы числа размещений получает- fT ^ ся выражение О! Чтобы равенство ^ оставалось верным и в случае т = п, придется считать, что О! = 1. Таким образом, определение факториала можно представить в виде системы. л! = 1 • 2 •• п. при п = 2, 3, 4, 1 при л = О и п. = 1 К решению задачи из примера 2 можно подойти иначе. Вместо того чтобы выбирать по одной цифре из 7, выберем сначала сразу все 5 цифр числа и будем затем их переставлять. Обозначим число вариантов, которыми можно выбрать 5 цифр из 7, как Cf. Тогда каждому из этих вариантов соответствует Pg перестановок выбранных цифр, а всего из данных 7 цифр можно будет составить Cf • Pg пятизначных чисел. Как мы видели в примере 2, должно получиться число размещений из 7 по 5: • Pg = Af. Отсюда получаем число ва- риантов выбора 5 элементов из 7: 7"6*5"4*3 _7*6 2 • 3 • 4 • 5 2~ = 21. Выбирая 5 цифр из 7 данных, мы обращали внимание не на порядок выбора, а только на сочетание цифр, т. е. на то, какие цифры выбирали. Результат такого выбора называют сочетанием. Формула числа С” сочетаний из п элементов по т Л ^ Ш' ^ '‘"*з=Г71 Подставив выражения для и Р^, получим /«/ I I I т!(п. — т)\ I Пример 4. На плоскости отмечено 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько супдест-вует треугольников с вершинами в этих точках? Решение. Любые три из данных пяти точек являются вершинами треугольника. Значит, нужно найти число вариантов выбора трех элементов из данных пяти. Поскольку порядок выбора не важен (например, А АВС и ABAC — это один и тот же треугольник), искомое число находим, как число сочетаний из 5 по 3: 5! СЗ = 3 3!-(5-3)! 5-4-3-2 3 • 2 • 2 = 5*2 = 10. Ответ: 10 треугольников. Пример 5. Точка может двигаться по границам клеток только направо и вверх. Сколько существует разных маршрутов из левой нижней в правую верхнюю вершину прямоугольника (рис. 47)? Решение. Будем обозначать сдвиг точки на одну клетку вправо буквой П, а на одну клетку вверх буквой В. Тогда каждый из возможных маршрутов можно записать с помощью пяти букв П и четырех букв В, так, например, на рисунке отмечен маршрут ППВПВВПВП. Любой из маршрутов можно определить, указав только, какие из 9 сдвигов точки являются, например, сдвигами вверх — остальные будут сдвигами вправо. Так, изображенный маршрут можно указать, сообщив номера сдвигов вверх: 3, 6, 5, 8. При этом важно не то, в каком порядке мы укажем номера сдвигов Рис. 47 \ ■-’Г" ^ - --- I ; - & вверх, а сами номера этих сдвигов. Значит, число разных маршрутов находится как число сочетаний: 9! 9-8-7-е f4 = 9 4!-(9-4)! 4-3-2 Ответ: 126 маршрутов. = 9* 2-7 = 126. Комбинаторика — раздел математики, рассматривающий вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов по тем или иным правилам. Комбинаторные задачи связаны с такими известными играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и др. Комбинаторика стала наукой в XVII в., когда возникла и теория вероятностей. Первые существенные щаги в разработке теории рещения комбинаторных задач сделали французские ученые Блез Паскаль и Пьер Ферма. Не случайно, что для числа перестановок, числа размещений и числа сочетаний выбраны первые буквы французских слов permutation (перестановка), arrangement (размещение) и combinaison (сочетание). Комбинаторику как самостоятельную ветвь математики стал рассматривать знаменитый немецкий математик Г. Лейбниц, опубликовавший в 1666 г. книгу «Об искусстве комбинаторики ». Мы познакомились с тремя основными формулами комбинаторики, позволяющими находить число перестановок, размещений и сочетаний. Чтобы правильно выбрать формулу, нужно понять, важен или нет порядок выбора элементов, т. е. изменится ли комбинация, если элементы выбирать в другом порядке. Если порядок выбора важен, то речь идет о размещениях, если нет, то о сочетаниях. Упражнения 443. Найдите вероятность того, что число выпавщих при бросании двух игральных костей очков: 1) равно 3; 4) больше 3; 2) равно 10; 5)четно; 3) меньше 4; 6) нечетно. 444.“ Выпадение какой суммы очков наиболее вероятно при бросании двух игральных костей? Найдите вероятность выпадения этой суммы. Т-J/ 445. В меню есть четыре разных салата, три вида супов, четыре вида вторых блюд и пять различных напитков. Сколько разных вариантов обеда, состоящего из салата, супа, второго блюда и напитка можно заказать? 446. Из пункта А в пункт В ведут три дороги, а из пункта В в пункт С — четыре дороги. Сколько различных маршрутов, проходящих через В, ведет из пункта А в пункт С? 447. 1) По правилу произведения найдите число членов в многочлене после раскрытия скобок, но до приведения подобных: а) (2х - Зх^ + 4х^)(х - 1); б) (12x5 - 5x3 + 7^2 _ 2х + 1)(3х2 - 2х -I- 4). 2) Не приводя к многочлену стандартного вида, найдите коэффициенты его старшего члена и члена, содержаще- го х"" 448. 1) Сколько натуральных делителей, считая само число, имеет: а) 8; 6)216; в) 1080; г) g = Г Ш где pj, Pg. .... Pm — различные простые числа, fej, feg* •••’ ..., — некоторые натуральные числа (число 1 и само число включаются в число делителей)? 2) Что можно сказать о числах, которые имеют только: а) 2; б) 3 натуральных делителя? 449. 1) Решите по правилу произведения задачи. а) Сколькими способами можно составить список учеников вашего класса? б) В забеге участвуют б спортсменов. Сколькими способами можно распределить их по шести беговым дорожкам стадиона? 2) Объясните, почему в данных задачах мы имеем дело с перестановками. 450. 1) Сколько различных четырехзначных чисел, цифры в которых не повторяются, можно составить из цифр 1,2, Зиб? 2)® Какова вероятность, что выбранное из этих четы- рехзначных чисел наугад число окажется: а) нечетным; в) кратным 4; б) кратным 3; г) кратным 5? 451. Сколько пятизначных чисел, цифры в которых не повторяются, можно составить из цифр О, 1, 2, 3, 4? 452. Сколькими способами могли сесть музыканты из басни Крылова «Квартет»: проказница Мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка? 453. Сколько стран могут использовать для своего государственного флага три горизонтальные полосы одинаковой ширины и разных цветов: белого, красного и синего? 454. Найдите значение выражения: 1) 5!; 2) ЗН-4!; 3) 51-41; 4) 2!-41; 5)|; 6) 7) 8) 100! . 98! ’ 6! 4! *2! ’ 50! 47! -3! 9) 0 10) 0 11)0 12)0 7! + 6! -I- 5! . 8! - 7! ’ 17! - 16- 16! - 15 • 15! 14! 9! -I- 2 • 9! + 3 • 9!. 10! ’ 10Ш00 + 100!101 1011-100! 455. Сравните значения выражений: 4) 5!-f 6! и 5! -8; 1) 4! и 1 *2-3-4; 2) 4! и 5; 3) 4!-3!и5-6; 456. Верно ли, что: 1) 100! = 100-99!; 2) 6! = 2! -3!; оч 456! . д. 999! 1000! . 998! ^ 999! ’ я, 500! 500! 6) И 498!-12 499!-3!' 4) 56! делится на 39; 5) 10! делится на 11; 6) 9! оканчивается нулем? 457. ' Делится ли 10! на: 1) 10^; 2)3'*; 3) 5^-72; 4)2®? 458. Сколькими нулями оканчивается число: 1) 19!; 2) 131!? (2п + 1)! 459. Сократите дробь: пч («-2)1. ’ п! ’ 3)0 04 (А+ 1)!. ^ (fe-1)!’ 4)0 (2л - 1)! ’ (3/п)! 2!(3л1 - 2)! ■ LJ * ^ iim 460. Найдите натуральные корни уравнения, где п — натуральное число, большее 1: 1) п! = 17(л- 1)!; 2) 0 (4п 4-10)! = 54(4л -Ь 9)1; 3) ^ (« + 2)! = 132п1; 4) * (п+ 1)! = 990(л - 2)1. 461. 1) Решите по правилу произведения задачи. а) Четверо учеников сдают экзамен по математике. Сколько есть вариантов установить очередность вызова первых трех из них к экзаменатору? б) Сколькими способами из 30 учеников класса можно выбрать старосту, ответственного за спорт и редактора стенгазеты, если это должны быть разные ученики? 2) Объясните, почему в данных задачах мы имеем дело с размещениями. 462. Сколько стран могут использовать для своего государственного флага три горизонтальные полосы одинаковой ширины и разных цветов: белого, красного, синего и желтого? 463. В списке учеников 7 класса 26 человек, из них 12 девочек, а остальные — мальчики. 1) Сколькими способами можно назначить трех дежурных: двух мальчиков и девочку? 2) Сколькими способами можно набрать в футбольную команду 11 мальчиков? 3) Решить задачу 2) при условии, что Петю Иванова обязательно следует включить в команду. 464. Из мешка для русского лото, в котором содержатся деревянные бочонки, помеченные числами от 1 до 99, вынимают по одному бочонку. 1) Сколько существует способов вытащить первый и второй бочонки так, чтобы сумма чисел на них оказалась равной 100? Какова вероятность этого события? 2) Какова вероятность, что на первом же вынутом бочонке будет простое число? 3) Какова вероятность, что число на первом же вынутом бочонке будет кратно 5? 465. 1) Решите задачи по формуле сочетаний. а) Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги из 7 предложенных? б) Сколько имеется вариантов назначения трех дежурных из 25 учеников класса? 2) Объясните, в чем особенность задач, которые решаются по формуле сочетаний. 466. 1) В шахматном турнире принимают участие 10 шахматистов. Сколько будет сыграно партий, если каждая пара участников играет между собой один раз? 2) На шахматном турнире, проводившемся в один круг (любые два участника встречались между собой один раз), было сыграно 10 партий. Сколько человек участвовало в турнире? 467. Вычислите: 1) Cfg; 2) 3) Cfg + Cf '50’ '12 '12’ r<4 r>4 4)^; 5) — . *^17 ^'19 468. Из 25 вопросов к экзамену Сергей выучил 20. Какова вероятность, что Сергей получит: 1) пятерку на экзамене, если в билете 3 вопроса; 2) четверку на экзамене, если четверку выставляют за 2 правильных ответа? 469. Решите уравнение: 1)С2 = 21; 2)СГ^ = 6; 3) * С^ = СЗ; 4) * С| = 19С2 470. Каждую секунду точка М передвигается по координат- ной плоскости на 1 единицу вправо или на 1 единицу вверх, причем оба направления равновероятны. Стартует точка М из начала координат. 1) Найдите вероятность того, что через 5 с точка М окажется в точке: а) А(0; 5); б) В(4; 1). 2) Где с наибольшей вероятностью окажется точка М через 5 с? Чему эта вероятность равна? 3) С какой вероятностью точка М через 7 с попадет в точку: а) ^Г(7;0); b)L(0;7); д)* F(5; 2); б) Л^(1;6); г)®£(2;5); е)* 7/(3; 4)? т>Л ^ V* / 11 471. в коробке лежат три черных и четыре белых бильярдных шара. Из нее наугад вынимают два шара. Какова вероятность, что: 1) оба шара окажутся черными; 2) оба шара окажутся белыми; 3)* шары будут разного цвета? 472. Коля, Саша, Алла и Маша должны сдавать зачет по математике. Учитель усаживает их по двое за первые две парты в левом ряду. 1) Найдите число возможных вариантов рассадки учеников. 2) С какой вероятностью Коля и Саша окажутся за одной партой? 473. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если в каждом номере: 1) нет повторяющихся цифр; 2) могут быть повторяющиеся цифры? 474. В пятницу в 7 «А» классе 6 уроков по 6 различным предметам. Сколькими способами можно составить расписание уроков пятницы, если возможны уроки по 11 изучаемым предметам? 475. Сколько существует: 1) двузначных чисел, записанных четными цифрами; 2) трехзначных чисел, кратных 5; 3) четырехзначных чисел, оканчивающихся нулем; 4)”^ пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево? 476. Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить непосредственно с любого из четырех языков — русского, английского, немецкого и французского — на любой другой из этих языков? 477. Сколько карточек игры «Лотто-миллион» нужно купить, чтобы на них оказались все комбинации по 6 номеров из 49 возможных? 478.* Сколько различных автомобильных номеров может быть выдано, если номер состоит из трех русских букв (начертание каждой из которых совпадает с начертанием любой из букв латинского алфавита) и 4 цифр? ш 479. Одна из клеток квадрата для игры в «Морской бой» окрашивается в красный, две — в зеленый и три — в синий цвета. Сколько при этом возможно комбинаций? 480. "Сколькими способами можно расставить два одноклеточных корабля в квадрате игры в «Морской бой»? Д Контрольные вопросы и задания 1. Как связаны между собой число сочетаний и число размещений из п элементов по т? 2. Из цифр 5, 6, 7 и о составлены все возможные трехзначные числа. 1) Сколько всего чисел составлено? 2) Сколько среди них четных чисел? 3) Какова вероятность, что в наугад выбранном числе все цифры будут разными? ПОВТОРЕНИЕ 29. Выражения Слово «арифметика» происходит от греческого arithmos, что значит «число». С арифметики, науки о числе начинается знакомство с математикой. Один из первых русских учебников арифметики, написанный Л. Ф. Магницким в 1703 г., начинался словами: «Арифметика, или числительница, есть художество честное, независимое и всем удобопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков, изобретенное и изложенное». Уже на заре цивилизации людям приходилось считать. Вначале для счета использовали пальцы рук. Это привело к тому, что число 10 получило особое значение по сравнению с другими числами и легло в основу десятичной системы счисления, применяемой и в настоящее время. В Древнем мире существовали и другие системы счисления, например шестидесятеричная система в Вавилоне (около 2000 лет до н. э.). Элементы этой системы сохранились и поныне: при измерении времени мы пользуемся часами, минутами и секундами, где 1 ч равен 60 мин, а 1 мин — 60 с. Шестидесятеричной системой мы пользуемся и при измерении углов в геометрии. С развитием производства и торговли понадобилось не только считать, но и записывать результаты счета и измерений. В Древнем Китае и Древнем Египте для обозначения чисел использовались специальные иероглифы, а в Греции и Риме — буквы алфавита. Римские числа записываются с помощью семи цифр: I, V, X, L, С, D, М, которые соответствуют числам 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, В начале нашей эры в Индии возникла значительно более удобная нумерация. Она была заимствована арабами и постепенно получила распространение благодаря сочинению знаменитого среднеазиатского ученого аль-Хорезми (IX в.), написавшего трактат «Книга об индийском счете», посвященный десятичной системе счисления. Аль-Хорезми подробно \ - I «/ i в разъяснил, как с помощью девяти цифр и маленького кружка, которым в то время обозначался нуль, записать любое число и как производить действия с числами, записанными по индийской системе. Книга аль-Хорезми в XII в. была переведена на латинский язык, что способствовало быстрому распространению в Западной Европе десятичной системы счисления, названной арабской нумерацией. Арабская нумерация является позиционной системой счисления. В ней значение цифры зависит от ее места в записи числа и меняется в 10 раз при перемещении на одно место. Например, в числе 2332 значения одинаковых цифр различны: 2332 = 2 • 10^ -ь 3 • 102 -Ь 3 • 10» -I- 2 • ю». В римской нумерации при записи чисел используется принцип сложения, если большая цифра стоит перед меньшей, или принцип вычитания, если меньшая цифра — перед большей. В этой нумерации затруднены и запись больших чисел, и выполнение арифметических действий. При делении целого на несколько равных долей, при измерении длины и в ряде других случаев потребовалось расширить понятие числа, ввести дроби. Уже в Древнем Египте использовали дроби вида i , где п — натуральное число, однако п только в Древней Греции стали рассматривать дроби вида — п и выполнять с ними арифметические действия. Десятичные дроби появились значительно позднее, чем обыкновенные. В XV в. знаменитый среднеазиатский ученый аль-Каши, долгое время работавший в Самарканде, широко использовал десятичные дроби в своих трудах по арифметике и астрономии. В Европе десятичные дроби впервые были введены в употребление нидерландским ученым Симоном Стевином в 1585 г., однако широкое распространение они получили только с начала XVII в. Отрицательные числа использовались учеными Индии при решении уравнений уже в VII в. В Европе эти числа стали рассматриваться как равноправные с положительными числами только после работ Рене Декарта (1596—1650), давшего геометрическое истолкование отрицательных чисел на координатной оси. Знаки действий «4-» и «-» встречаются впервые в «Арифметике» чешского математика Яна Видмана в 80-х гг. XV в., а знак «X» для умножения применил английский математик -Vi 'L^ Ti'l i/ n ri B. Оутред в начале XVII в. Точку для обозначения умножения и двоеточие для деления использовал в своих трудах знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716). Кроме двоеточия, в Англии и США до настоящего времени используется для обозначения деления знак «-^». Этот знак встречается и на некоторых калькуляторах. Круглые скобки появились в XVI в. в трудах немецкого математика М. Штифеля, но широкое применение получили в XVII—XVIII вв. благодаря трудам Г. В. Лейбница и Леонарда Эйлера (1707—1783). Упражнения 481. Найдите значение выражения: 1) 6,84:0,018-2,75-120; 2) 75,9 : 0,011 - 17,7-320; 3) (91,273 : 45,5 - 1,406): 0,12 - 4; 4) (11,065-89,664 : 12,8): 20,3-f 0,8. 482. Вычислите: ^ I 12 30 j 27 6’ Нг.-й)-{^-ГгУ’ 7)0.43 + 0,3. 9)(^ -0,24)-4,5-0,82; 10) 0 (|_1,3+3^:1,4+1; 11) 0,3 + 0,029 : -0,13); 12) 2,6-0,038 : -0,17^. 483. Упростите и вычислите: 28.38 1) 2) 68 ’ 15“* 3) 28. (7^)“* 3“*.52.25’ 14“* Hi Г- 484. Сравните значения выражений: 1, 3 ^ 7 1 1 2 25 15 “ ^18 27’ 04 1 3 5 1 ^3 5 3>2-4*6^2+4-6’ 04 7 , 7 .11 25. 24 32 ^45 36 ’ ., 3 5 7 3,5,7 ^2462 4 6 485.® Не выполняя вычислений (пользуясь только прикидкой результата), сравните значения выражений: 1) 0,685 • 1,24 и 0,685 : 1,24; 2) 2,475 • 0,105 и 2,475 : 0,105; 3) 1,285 • (-0,45) и 1,285 : (-0,45); 4) 31,4*(-2,15)и 31,4 : (-2,15); 5) 1,75 и 1,752; 6) 0,815 и 0,8152; 7) -0,325 и (-0,325)2; 8) -1,45 и (-1,45)2. 486.® Известно, что число а меньше числа Ь. Может ли быть верным утверждение: 1)1а|>|5|; 2)|а|>6; 3)а>|б|; 4)|о| = |б|? 487. Найдите значение выражения: 1) 1 -—- прип = --; Л ■“ 1 «5 2) а2 + 1 при а = 3,5; 3) aft - 1 (a + l)(ft + 1,6) при a -- -1,5, ft = 3,2; 4) (2c + 3x)c X - c - X при c = 1,2, л: = 1,3. 488. Найдите значение выражения: 1) 2aft ftc 1 I, 1 7 ГГГГс nPHO-5,6-g,c--j2; 2) P - fe(p + fe) 2p - k при p = 1,5, ft = 0,5; ОЧГ1 “ 4aft + 3ft2 q1 I, о -3a-2ft npHa--2g.6--3; 4)0 «=- 3»P+Sp^ Х--2.У- -0,2; 4^ 5)0 a® — ft® a® + ft(a + ft) 1 3 приа = -- , ft = --; 6)0 X® - y(jc - y) X® + г/® ПРИХ= -,y = -g. 489. 1) В России для определения нормы веса взрослого мужчины пользуются формулой: Р = Н - 100, где Р — вес в килограммах, Н — рост в сантиметрах. Какой вес является нормальным для мужчины ростом 170 см? 2)® В США норма веса взрослого мужчины находится по формуле: Р 11 — Н- 220, где Р — вес в фунтах, Н — рост в дюймах. (Таблица перевода фунтов и дюймов помещена в разделе «Справочные материалы».) Какой вес является нормальным для взрослого американца с ростом 170 см? Одинаковы ли нормы для жителей России и США? 490.■ Преобразуйте многочлен к виду, удобному для вычислений с помощью микрокалькулятора, и найдите его значение: 1) а® - 17а® + 31а - 915 при а = 23; 2) ft® + 14ft® - 89ft + 648 при ft = -19; 3) 0 л:"* - 7л:® - 26л:® + 130л: + 34 при л: = 8,4; 4) у* + 57i/® - 62i/® - 91у - 18 при у = 3,9. Гк 1! # 491 Составьте формулу для решения задачи. 1) Один рабочий изготовил п деталей за f ч, а другой — т деталей за Т ч. Сколько деталей (А) изготовят оба рабочих за л: ч совместной работы? 2) Через одну трубу в бассейн вливается V м^ воды за а ч, а через другую — W м'^ за Ь ч. За сколько часов (л:) обе трубы наполнят бассейн емкостью Q м^? 3) Один принтер (печатающее устройство компьютера) печатает п страниц в минуту, а другой — на 5 страниц больше. Сколько страниц можно напечатать с помощью этих двух принтеров за 1 ч? 4) Из пункта М в N со скоростью х км/ч выехал автомобиль. Спустя t ч навстречу автомобилю из N со скоростью у км/ч выехал мотоциклист. Мотоциклист встретил автомобиль на расстоянии d км от N. Найдите расстояние между пунктами М тл N. 5) * Пещеход отправился из пункта А со скоростью и км/ч, а спустя t ч вслед за ним со скоростью v км/ч отправился велосипедист. Через сколько часов (Т) велосипедист догонит пешехода? 6)* Из пунктов А и В, расстояние между которыми S (км), одновременно выехали навстречу друг другу два автомобиля со скоростями и км/ч и и км/ч. Через сколько часов (f) автомобили встретятся? Сколько километров (d) останется проехать второму автомобилю до пункта А, когда первый прибудет в пункт В (и > V)? 492? 1) Медный диск весит Р Н. Сколько весит диск из алюминия, имеющий такой же объем? (Плотность меди и алюминия найдите в разделе «Справочные материалы».) 2) Объем стальной болванки равен V м^. Чему равен объем алюминиевой болванки, имеющей такую же мас- су? (Воспользуйтесь таблицей плотностей в разделе «Справочные материалы».) 493. Запишите в виде равенства, что: 1) произведение чисел анЬ равно их удвоенной сумме; 2) частное чисел л: и у на 1 больше их разности; 0 '--о 3) квадрат разности чисел Ь и с на 42 меньше суммы их квадратов; 4) квадрат разности чисел х и г/ на 71 меньше их удвоенного произведения; 5) квадрат суммы чисел р и ^ на 96 больше суммы их квадратов; 6) разность квадратов чисел с и с? в 6 раз больше квадрата их разности; 7) 0 произведение трех последовательных натуральных чисел, большее из которых п, на 5 меньше суммы их квадратов; 8) 0 сумма четырех последовательных четных чисел в 5 раз больше меньшего из них, равного k. 494Р Даны дроби: X и 3 . Запишите, чему равна их: о а 1) сумма; 2) разность; 3) произведение; 4) частное. 495? Представьте число а + -, где а, Ь и с — натуральные числа, в виде обыкновенной дроби. 49б!’ 1) Сколько можно записать выражений, меняя порядок членов выражения: а) а + 6 -1- с; в) аЬс; б) -а + Ь - с; г) а{-Ь)с7 2) Равны ли значения полученных выражений? 497.~ Какой наибольший делитель у разности любых двух трехзначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, но в обратном порядке? 498. Четным или нечетным будет число: 1) (а + Ь)Ь; 2) а{а -I- Ь); 3) а -I- 26; 4) За -ь Ь, если: а) число а — четное, а число Ь — нечетное; б) числа а и 6 оба нечетные? 499.*На одной из египетских пирамид иероглифами написа- но наименьшее общее кратное всех целых чисел от 1 до 10. Найдите это число. 500. Великий русский математик П. Л. Чебышёв доказал, что между любым натуральным числом п (кроме 1) и удвоенным этим числом 2п всегда находится по меньшей r^ZZ. мере одно простое число. Например, между числами 2 и 4 находится простое число 3. Проверьте это свойство для всех натуральных чисел от 3 до 20. 501 . 1) Сколькими нулями оканчивается число 15!? 2) Найдите частное и остаток от деления числа 10! + 64 на 35. 30. функции и графики Идея координат возникла в древности. Уже в Древнем Египте при копировании изображений использовали прямоугольную сетку (палетку). Координатный метод был разработан независимо друг от друга выдающимися французскими математиками XVII в. Пьером Ферма и Рене Декартом. Он был впервые подробно изложен в труде Декарта «Геометрия» и стал основой одного из разделов математики, называемого аналитической геометрией. Термины «абсцисса», «ордината», «координаты» были введены в 80-х гг. XVII в. Г. В. Лейбницем. Идея функции возникла вместе с понятием переменной. Вначале понятие функции было тесно связано с геометрическими и физическими представлениями. Рассматривая х и у в уравнении как переменные, Р. Декарт исследовал изменение ординаты точки, описывающей некоторую линию, в зависимости от изменения абсциссы этой точки, т. е. рассматривал у как функцию х. Великий английский физик и математик Исаак Ньютон (1643—1727) изучал изменение различных физических величин в зависимости от времени. Понятие функции лежит в основе математического анализа — одного из важнейших разделов математики, начало которому положили труды П. Ферма, Г. Лейбница и И. Ньютона. До XIX в. в математике рассматривались только функции, заданные формулами. В XIX в. функцию стали считать заданной, если каждому допустимому значению х соответствует определенное значение у, причем не важно, каким способом: формулой, графиком или словесным описанием — задается это соответствие. Так понимал функцию знаменитый русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792— 1856). Термин «функция» от латинского слова functio, означающего «выполнение, осуществление», ввел в употребление Г. В. Лейбниц в конце XVII в. Современное обозначение f{x) ввел Л. Эйлер, объяснявший, что функция — это то, что можно «вычертить карандашом на листе бумаги ». Упражнения 502. На координатной прямой (рис. 48) отмечены точки A{k) и В(п), соответствующие числам кип. Какое из чисел больше — к или п? Какое из этих чисел имеет больший модуль? А(к) О В(п) А(к) В(п) О а) б) Рис. 48 503.*^ На координатной прямой (рис. 49, а) не указано начало отсчета. Можно ли установить: 1) какое из чисел больше — а или Ь; 2) какое из этих чисел имеет больший модуль? М(а) N(b) а) М(-4) О К(3) б) Рис. 49 504. Какие координаты будут иметь точки А(-5), В(-2), С(0), jD(4), Т(8), f(x), если начало отсчета перенести в точку: 1) К-, 2) М (рис. 49, 6)2 505. Начало отсчета на координатной прямой перенесли в точку А(10). 1) Как изменились при этом координаты всех точек этой прямой? 2) Как изменились при этом модули: а) отрицательных чисел; б) чисел, больших 10? 3) Существует ли число, модуль которого не изменился? 506. Рассмотрите рисунок 50 и сделайте вывод о знаках чисел рад. А{р) А(р) С(р + д) В(д) В{д) С{р + д) ^ а) б) С(р + д) В{д) А(р) в) Рис.50 507. 1) На рисунке 51 укажите примерное расположение точек: а) В{п^У, б) С(п^); в) i j. О 1 A(n) О A(n) 1 а) б) А{п) -1 Л(л) О в) г) Рис.51 2) На рисунке 52 укажите примерное расположение точек: а) С(1); j; в)£(п®). О Б(л2) А{п) О А{п) В(п^) а) б) А{п) О В(п2) А(п) О В(п2) в) г) Рис.52 50б9 1) Постройте треугольник АВС по координатам его вершин: А(-5; 3), В(1; 7), С(3; -1). Какие координаты имеют вершины треугольника AjBjCj, симметричного данному относительно: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) начала координат? т г -t-. 2) Постройте треугольник KMN no координатам его вершин: К(-6; 0), М(0; 4), N(2; 8). Какие координаты имеют вершины треугольника K^M^N^, симметричного данному относительно: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) начала координат? 509Р 1) Прямоугольник ABCD задан координатами трех вершин: А(-2; 9), В(8; 9), С(8; -3). Найдите координаты вершины D и площадь прямоугольника. 2) Квадрат ABCD задан координатами двух вершин А(-3; 1) и В(-3; 7). Найдите координаты остальных вершин квадрата. Сколько решений имеет задача? 510.” Сторона квадрата ABCD параллельна оси абсцисс и равна 5. Зная координаты вершины А(4; -2), укажите координаты трех других его вершин, если: 1) все вершины квадрата расположены в одной и той же четверти; 2) вершины квадрата находятся во всех координатных четвертях. 511Р 1) Через точку М(3; 0) проведите прямую, параллельную оси ординат. Найдите координаты нескольких точек этой прямой. В чем особенность координат этих точек? Есть ли хотя бы одна точка координатной плоскости, не принадлежащая этой прямой, обладающая тем же свойством? 2) Что представляет собой множество точек, имеющих: а) ординату, равную 4; б) абсциссу, равную 5; в) абсциссу, равную нулю; г) ординату, равную нулю; д) * положительные абсциссы; е) * отрицательные ординаты; ж) ^ отрицательные абсциссы и положительные ординаты; з)* равные абсциссы и ординаты? 512.* Что представляет собой множество точек координатной плоскости, у которых: 1) х>3; 3)|л:|>1; 5)|у|>2; 2) г/>-4; 4)М<1; 6) |г/| < 2? rr. n. IJ a и 2 .. 6/ 10.14 H-2K /, Время суток, ч Рис.54 была в Тамбове: 513. На рисунке 53 изображены графики температуры воздуха в течение одних и тех же суток в Тамбове и Костроме. Найдите по этим графикам: 1) какая температура воздуха в 2 ч; в 7 ч; в 13 ч; 2) какая температура воздуха в 3 ч; в 11 ч; в 17 ч; в Тамбове была в Костроме: была температура: в Костроме была температура: 3) в котором часу -1 °С; -ЬЗ °С; +7 °С; 4) в котором часу -3 °С; +1 °С; -ЬЗ °С; 5) в течение какого промежутка времени температура воздуха в Тамбове: а) повышалась; б) понижалась; в) была выше нуля; 6) в течение какого промежутка времени температура воздуха в Костроме: а) повышалась; б) понижалась; в) была ниже нуля; 7) какая температура воздуха была в Тамбове, когда в Костроме было -Ь2 °С; 8) какая температура воздуха была в Костроме, когда в Тамбове было +8 °С; 9) каков суточный ход температуры (разность наибольшей и наименьшей температур) в каждом городе; 10) каков промежуток времени, в течение которого температура воздуха в обоих городах была: а) выше нуля; б) выше -ь2 °С; в) ниже -Ь2 °С. 514. На рисунке 54 изображены графики температуры воздуха в течение одних и тех же суток в Москве и Архангельске. Найдите по графикам: 1) какая температура была в Москве (Архангельске): в 4 ч; в 15 ч; т- 2) в котором часу в Москве (Архангельске) было: -2 °С; +3 °С; +5 °С; 3) в течение какого промежутка времени температура повышалась: а) в Москве; б) в Архангельске; в) в обоих городах; 4) в течение какого промежутка времени температура в обоих городах была: а) выше нуля; б) выше +2 °С; 5) какая температура была в Москве, когда в Архангельске было -3 °С; 6) какая температура была в Архангельске, когда в Москве было +5 °С; 7) каков суточный ход температуры (разность наибольшей и наименьшей температур) в каждом из городов; 8) в какие моменты времени температура воздуха в обоих городах достигала своего наибольшего значения; 9) найдите среднюю температуру воздуха за сутки в каждом городе, определяя по графикам температуру через каждый час от О ч 30 мин до 23 ч 30 мин. 515. На рисунке 55 изображены графики зависимости высоты высаженных одновременно сосны и березы от их возраста. Определите: 1) какова была высота каждого дерева в возрасте: а) 20 лет; б) 45 лет; в) 70 лет; 2) в каком возрасте каждое из деревьев достигло высоты: а) 5 м; б) 12 м; в) 20 м; г) 25 м; 3) на сколько метров выросло каждое дерево: а) за первые 15 лет своей жизни; б) за следующие 15 лет; в) за период от 30 до 45 лет; г) за период от 45 до 60 лет; д) за период от 60 до 75 лет; е) за период от 75 до 90 лет; 4) в каком возрасте деревья имели одинаковую высоту; 5) в каком возрасте сосна имела ту же высоту, что и береза в 80 лет; 6) в каком возрасте береза имела ту же высоту, что и сосна в 35 лет; 7) на сколько метров выше березы была сосна в возрасте 90 лет; 8) в каком возрасте сосна была на 5 м выше березы. 50 70 90 110130 Возраст, лет Рис.55 516. Используя данные таблицы, постройте график зависимости высоты осины от ее возраста. Возраст, лет 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Высота, м 2 4 5,5 8,5 13 16 18 20 21,5 23 24,5 26 517. Для определения количества жидкости, находящейся в цистерне, размеры которой указаны на рисунке 56, достаточно измерить высоту столба жидкости (Л) и воспользоваться изображенным на рисунке графиком. Найдите, используя график: 1) сколько гектолитров жидкости в цистерне, если высота столба жидкости равна: а) 15 см; в) 40 см; д) 130 см; б) 25 см; г) 70 см; 2) какова будет высота столба жидкости в цистерне, если в нее налить: а) 80 гл; б) 140 гл. Являются ли переменные hut прямо пропорциональными? 518. Известно, что чем выше находится наблюдатель над поверхностью земли, тем больше видимое им расстояние (расстояние до горизонта). Зависимость между высотой h (м) точки над поверхностью земли и расстоянием до горизонта d (км) дана на графике (рис. 57). Определите по графику: 1) как далеко видно с высоты: а) 10 м; б) 50 м; в) 100 м; г) 200 м; м Г' .—'j V поверхностью земли, м Рис. 57 2) на какой высоте должен находиться наблюдатель, чтобы видимое расстояние равнялось: а) 20 км; б) 30 км; в) 40 км; г) 50 км. 3) Используя график, заполните таблицу. Л, м 10 20 30 50 80 100 120 160 200 220 d, км 519. Из пунктов А и В одновременно отправляются навстречу друг другу по шоссе пешеход и велосипедист. На рисунке 58 изображены графики движения велосипедиста (I) и пешехода (II). Найдите с помощью графиков: 1) сколько километров прошел пешеход: а) за первые полтора часа пути; б) за следующие полтора часа пути; 2) сколько километров проехал велосипедист: а) за полтора часа пути; б) за три часа, прошедшие после его отправления из пункта В; 3) сколько времени затратил на весь маршрут: а) пешеход; б) велосипедист; 4) на каком расстоянии от пункта А велосипедист: а) встретил пешехода; б) обогнал пешехода, возвращаясь в пункт В; 5) сколько километров осталось пешеходу до пункта В, когда велосипедист вернулся в пункт В. Расстояние до левого берега 3=^1 520. При постройке на реке мостов, плотин и других сооружений определяют профиль поперечного сечения реки. На рисунке 59 изображен такой профиль, полученный в результате промера глубины реки через каждый метр. Определите: 1) какую глубину имеет река на расстоянии: 5 м, 8 м, 11 м от левого берега; 2) какова наибольшая глубина реки в месте промера; 3) ® используя принцип палетки, какова площадь поперечного сечения реки. 521. Парусная лодка отошла от причала А и через некоторое время подошла к причалу В, находящемуся на другом берегу реки. На рисунке 60 показана траектория движения лодки и дан график зависимости расстояния лодки до причала А от времени ее движения. Найдите по графику: 1) на каком расстоянии от причала А находилась лодка через: а) 3 мин; в) 9 мин; б) 6 мин; г) 16 мин после отправления; 2) через сколько минут после отправления лодка находилась от А на расстоянии: а) 300 м; б) 600 м; в) 900 м; г) 1100 м; 3) каково было наибольшее расстояние от лодки до причала А; 4) на каком расстоянии от причала А находится причал В. 5) Означает ли горизонтальный участок графика, что лодка находилась на одном и том же месте? Щг- 522. От причала в учебный рейс по озеру отошла яхта, а через некоторое время от того же причала отправился катер. На рисунке 61 изображены графики зависимостей: а) между расстоянием от яхты до причала и временем ее движения; б) между расстоянием от катера до причала и временем его движения. Определите: 1) на каком расстоянии от причала была яхта через: 20 мин; 30 мин; 70 мин; 100 мин после отправления; 2) на каком расстоянии от причала находился катер через: 30 мин; 90 мин после своего отправления; 3) каковы промежутки времени, в которые расстояние от яхты (катера) до причала: а) увеличивалось; б) уменьшалось; в) оставалось неизменным; 4) через сколько минут после отправления катера он находился от пристани на том же расстоянии, что и яхта; 5) каково было наибольшее удаление яхты (катера) от причала; 6) на каком расстоянии от причала находилась яхта, когда катер от причала был на расстоянии: в 1 км; в 10 км; 7) сколько времени яхта находилась от причала далее чем в 7 км; 8) на каком расстоянии была яхта от причала, когда катер от него находился на наибольшем удалении; 9) “ можно ли по графикам установить: останавливались ли яхта и катер; каково было расстояние между яхтой и катером в какие-то моменты движения. 523Р На тренировке в 50-метровом бассейне два пловца стартовали одновременно на дистанции 200 м. Один плыл кролем, другой — брассом. На рисунке 62 даны графики движения пловцов. Определите: 1) сколько времени затратил каждый пловец на каждые 50 м и на всю дистанцию; 2) сколько раз и на каком расстоянии от стартовой стенки бассейна встречались пловцы; 3) с какой скоростью плыл каждый из спортсменов; 4) на сколько метров обогнал первый пловец второго к моменту своего финиша; 5) сколько секунд плыл второй спортсмен после того, как первый финишировал. 524. Составьте таблицы с шагом 0,5 значений функций, графики которых изображены на рисунке 63. 525. 1) Функция у = f{x) задана формулой f{x) = х^ Зх. Найдите: а)/(-4); б)Д1); в)/(0,5); г)/(-1,5). 2) Функция /(х) задана формулой /(х) = 5х - х^. Найдите: а)/(-2); б)/(1); в)/(0,1); г)/(-0,6). Рис.63 526. При каких значениях x значение функции: 1. 5х - 2 „ I) у = —=— равно 9; 2) у 7 73 - 4х 3)0 У = равно 1,5; равно 15; 4)0 у = равно 2,4? 527. Прямая у = kx + I пересекает оси координат в точках: 1) А(0; 8) и В(5; 0); 2) ^^(О; -6) и М(7; 0). Найдите и L 528? Прямая у = кх + I проходит через точки: 1) А(0; 2) и В(3; 5); 3)* С(4; 4) и В(-3; -3); 2) К(-2; 3) и М(-3; 2); 4) Р(5; 6) и Q(-4; 3). Найдите к и I. 529? Найдите ки I, зная, что прямая у = кх + I проходит через точку С(2; 1) и: 1) параллельна прямой у = Zx - 1', 2) перпендикулярна прямой у = Зл: - 1. 530. Определите к и I линейных функций у = кх + I, графики которых изображены на рисунке 64. 531 .Постройте график функции: 1) £/= i^:-4; 2)у = -^х + 6. 532.* 1) Постройте график функции: х^ - 9 а) у б) у = л: - 3 ’ 4х^ - 12л: -I- 9 2х-3 B)i/ = (x2- l)(^-|^j -л:; г)у = (х'^-2х+ +3. 2) Найдите координаты точек пересечения графика с осями координат. 533. Постройте график уравнения: а) г/ -t- 2л: - 3 = О; в)* (у - Зх - 1)(г/ + л: - 2) = 0; б) 2//-3лг + 3 = 0; г)* (г/+ X-Ь 2)(л:2 - 1) = 0. ш .2------ '/-JГ Ь^ ^ 11 534.* Имеет ли решения система уравнений: [2л: + Зу = 7, 1)]Зд: + 4у = -2; [5х - у = 8, ]10x-2y = 9? 535. Решите графически систему уравнений: 1)]х + 2у = 20; "^)^^]4х-у = 3; |-л: + Зу = 2, ]3х + 2у = 14, ^^|2x + y=10; |л: + у = 6. 31. Тождества Древневавилонские клинописные тексты свидетельствуют о том, что формулы сокращенного умножения были известны уже около 4000 лет назад. Вавилоняне запоминали их в словесном виде, а древние греки в геометрической форме. Ученые Древней Греции в VI в. до н. э. представляли числа отрезками. Вместо сложения двух чисел говорили о сложении отрезков, вместо слов «произведение а6» говорили «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и &», произведение трех чисел воспринималось как объем прямоугольного параллелепипеда. С того времени и используются термины «квадрат числа» (т. е. произведение величины на самое себя) и «куб числа». Таким образом, в Древней Греции в основном развивалась геометрическая алгебра. Алгебраические тождества истолковывались с помощью чертежей. Например, формулы сокращенного умножения (а + Ь)^ = + -Ь -ь 2аЬ и - Ь'^ = {а - Ь)(а + Ь) разъяснялись рисунками (рис. 65). д а^-Ь^ = {а - Ь)(а + Ь) (а -I- Ь)^ = + 2аЬ Г аЬ 62 ah Рис. 65 Ш.' I' ___yf _ *1- Отход от геометрической трактовки наметился у Диофанта Александрийского (III в.). В его книге «Арифметика» появились зачатки буквенной символики. В книге «Начала» Евклида еще содержатся некоторые тождества, доказанные геометрическим способом. Алгебру, работающую с отрезками, называли в XIX в. геометрической алгеброй. При различных преобразованиях многочлена пользуются скобками, но так было не всегда. Знаки, влияющие на порядок действий в выражениях, появились в XV в. Французский математик Никола Шюке в сочинении «Наука о числах в трех частях» (1484) вместо скобок использовал подчеркивание многочленов горизонтальной чертой. Круглые скобки появились в XVI в. в трудах Штифеля, Тартальи и др. Однако до конца XVII в. математики чаще использовали горизонтальную черту над выражением, которое мы бы сегодня заключили в скобки. Широкое применение круглые скобки получили благодаря Лейбницу и Эйлеру в первой половине XVIII в. Само название произошло от введенного Эйлером немецкого термина Ыаттег — «скобки». Упражнения 536. Представьте в виде одночлена стандартного вида: 1) (-5аЗ&2)3. о,04а&2; 3) {-Ах'^у)^ • {-0,\2Ъх^у^У, 2) 0 (-6a2jf2)2. ^-|а2д:2^ ; 4)0 {-Ak^n^Y. 537; Вставьте пропущенные одночлены так, чтобы получилось тождество: 1) (...)2(...)2 = -64x^y®z^; 2) (...)2(...)3 = -125а‘‘Ь9сИ; 3) (...)2(...)3= 1000й5ц8/п13; 4) (...)2(...)8 = -36с^п**р9. 538. Представьте выражение в стандартном для многочлена виде: 1) {х + 1)(;с -ь 2)(х + 3); 3) (а -ь 2)2(а - 4); 2) (у - 1)(у - 2)(у - 3); 4) (Ь - 6)2(26 - 3). 539Р Преобразуйте в многочлен стандартного вида: 1) (За - 2л:)2(4а -I- ж) - а(4(3а - xY - 1Ьах); 2) (5а + 36)2(4а - 6) - 6(96а2 - (36 - а)2); .у — 3^11 Ну 3) * (п + 5k)^(n - /е) + (га - 5/г)2(га + k)~ 2п(п + 4k)(n - 4k); 4) ^ (а + Зх)^а -х)-(а- Зх)^(а + х)~ 2х(2а + Зл:)(2а - Зх). 540. Разложите на множители: 1) 20а2-45&2; 2) 75&2 - 48с2; 3) 3x^1/ - 27X1/2; 4) 1024а2 + 64а; 5) - аЬ - 8а + 8Ь; 6) х^ - ах - а^у - аху; 7) 5а2 + 10а2 -6Ь- ЗаЬ; 8) 8ху^ - 24г/2 - 7ахг/ + 21а; 9) (7а-36)2- 1662; 10) 25x2 - (Зх + 8у)2; 11) 0 (а-1)2-(а-1)(За + 1); 12) 0 (X + 2)(х + 4) - (X + 2)3. 5411) Докажите, что (Юга + 5)2 = га • (га + 1) • 100 + 25. 2) ® На основании этого тождества сформулируйте правило возведения в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5. 3) Вычислите устно; а) 752; 5) 8952; gj 89952; pj 99952, 542. ^ Разложите на множители: 1) 3а2-а-6-3б2; 2) 5x2 + 2х + 21/ - 5i/2; 3) аЗ 4- а - 56 - 2562; 4) 4x2 -2х + Зу - 9г/2; 5) 4(6а - 56)2 _ збд2 + 2562; 6) (2х + Зг/)2 - 20x2-I-45г/2; 7) а2-н2а6-1-б2-81с2; 8) х2 - 2ху -Ь г/2 - 100^2; 9) (ах - 6«/)2 - (6х - ау)2; 10) а2(а - j/)2 - 62(6 - г/)2; 11) '^ 4{ау + 6х)2 - (а2 -Ь^ - х^ - у2)2; 12) '^ (с2 -b^ + d^- а2)2 - 4(а6 - cd)2. 543. * При каких значениях k можно преобразовать в квадрат двучлена выражение: 1) 9а2-ь 4962-ь баб; 2) 36x2 _ QQxy + б«/2; 3) (Зх + 8)2 -ь (6х - 1)2 -ь (2х + 4)2 + бх; 4) (4а - 7)2 + (За - 24)2 + ^i2a - 15)(12а -Ь 15) -I- ба? 544. Сократите дробь: .. 150^6^. ’ ЫаЧ*' 5) о. 132^:V. ’ 231x6(/5’ 6) 5-, 5а - 106 ^ а2-4б2 ’ 7) .. 9лг2 _ у2 9x-iy' 8) 545.* Сократите дробь: ^ а2 - 4а + 4 (а 5)2 - 49 ’ 4) о. 9-(6+ 2)2 . ’ 62 + 106 + 25 ’ 5) - Ъу + Ъх - _ л;2 + 5у — 5л: — J/2 ’ 6) (7a - 7fc)2 7a2- 762 ’ 1062- I0a2 (10c- 106)2’ - 9 ах - Зл + 2а - 6 ’ by + 4г/ - 56- - 20 - 25 + Ьс -62- ас , аЬ - + ас + ’ а2 - ас - б2 + 6с - 62 + 26с -С2 - 2уг - 2^ л2 + XZ -у^- - Уг 546.' Докажите, что: 1) если натуральное число не делится на 3, то разность его квадрата и единицы делится на 3; 2) разность квадратов двух нечетных чисел делится на 8; 3) произведение квадрата натурального числа и числа, предшествующего этому квадрату, делится на 12; 4) если п — простое число, большее, чем 3, то «2 _ j делится на 24; 5) сумма квадратов трех последовательных натуральных чисел не делится на 3; 6) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел делится на 5, но не делится на 20. 547. На языке геометрической алгебры говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках. Сделайте рисунок к данному утверждению. О какой формуле сокращенного умножения идет речь? 548. Задача из «Арифметики» таджикского ученого X— XI вв. Ибн Сины. Если число, будучи разделено на 9, дает в остатке 1 или 8, то квадрат этого числа, деленный на 9, дает в остатке 1. Докажите это свойство. f 549. Сергей предложил своему другу Алексею задумать четное число и умножить его на 3, половину полученного произведения умножить снова на 3. «Сколько девяток надо сложить, чтобы получить этот же результат?» — спросил Сергей. «Восемь девяток», — ответил Алексей. «Значит, задуманное число 16», — отгадал Сергей. Объясните способ отгадывания числа. 550. Объясните способ отгадывания числа. Задуманы четыре однозначных числа. Умножьте первое из них на 2 и прибавьте 5, результат умножьте на 5 и прибавьте 10 и второе число; полученный результат умножьте на 10 и прибавьте третье число; новый результат умножьте на 10 и прибавьте четвертое число. Из последнего результата нужно вычесть 3500, тогда полученная разность есть число, составленное из четырех цифр, обозначающих по порядку задуманные числа. 1) Проверьте данное утверждение на конкретных числах. 2) Докажите данное утверждение для произвольных однозначных чисел. 551.1) Даны три последовательных натуральных числа. Если к разности квадратов наибольшего и наименьшего из них прибавить среднее число, то получится 45. Найдите эти числа. 2) Даны два последовательных натуральных числа. Когда из удвоенной суммы их квадратов вычли квадрат их суммы и прибавили утроенное меньшее из чисел, то получилось 22. Найдите эти числа. 552.1) Определите степень многочлена: а) (5 - 7л;3)2; б) (х-Ь 2)2 - (х1)2(3-х)2; в) (2х+ 1)2-Ь (3x2-2)2; г) (х2 + 2)3 - (X - 2)2(3 - х)2 -t- (7 - 5х)(7 -Ь 5х). 2) Найдите коэффициент при старшем члене многочлена. 553. Для какого натурального значения р число - 1 простое? — t у * f I' v-t- iU 32. Уравнения и системы уравнений Решать линейные уравнения в Древнем Египте умели уже во II тысячелетии до н. э. Примерно в то же время решать системы уравнений с двумя неизвестными научились в Древнем Вавилоне. И в Вавилоне, и в Древнем Египте уже использовали для неизвестных специальные обозначения. Египтяне обозначали неизвестное в уравнении иероглифом, называвшимся «хау», что значит «куча» или «количество». В IX в. узбекский математик и астроном Мухаммед ал-Хо-резми в своем трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» («Краткая книга об исчислении алгебры и аль-мукабалы») в доступной форме изложил последовательность действий при решении линейных уравнений. Слово «аль-джебр» (восстановление), означающее перенос членов уравнения из одной части в другую с переменой знака, дало название новой науке, занимающейся вопросами решения уравнений. Отсутствие удобной символики тормозило развитие алгебры: выражения и формулы приходилось описывать словами. Значительный шаг к использованию букв был сделан только в XVI—XVII вв. Французский математик Франсуа Виет ввел буквенные обозначения для чисел, что позволило решать многие задачи в общем виде, записывая результат в виде формул. Другой французский математик, Рене Декарт, впервые в математике стал рассматривать буквы в уравнениях как переменные. В своей книге «Геометрия» (1637) Декарт обозначал переменные при помощи последних букв латинского алфавита х, у, г, а числа — начальными буквами а, Ъ, с. Предложенные Декартом символы скоро стали общеупотребительными. Декарту принадлежит и современная запись степени: х^, л:"* и т. д. Знак равенства впервые использовал английский математик Р. Рекорд в середине XVI в., однако широкое распространение он получил лишь в конце XVIII в. Почти на сто лет раньше знака равенства в математическую литературу вошли знаки неравенств «>» и «<». Таким образом, ко второй половине XVII в. в основном сформировалась система обозначений, которой мы сейчас пользуемся. «Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий», — писал Лейбниц. Успехи алгебры за прошедшие три с половиной века доказали удобство обозначений Декарта. 3=^11 #”3"' Упражнения 554. Решите уравнение: 1) (4у - 5){3у - 1) - (2у - 7)(6у + 7) + 54 = 0; 2) (Зу - 6)(4у - 2) - (2у - 9)(6у + 5) - 1 = 0; 3) (2х - 3)2 - (2х - 1){2х + 3) = 4; 4) (7 - Зу)2 - (5у + 1)(2у - 5) + у2 = 0; 5) 0 (х - 0,2)(л: + 0,2) + 2,04 + 24л;2 = (1 - 5д:)2; 6) 0 (Зл: + 1)2 - (х + 0,1)(л: - 0,1) = 8^2 - 2,02. 555. Решите уравнение: ,.6л: + 7 , 80 + 4j£t 30 - 2д; 1) ^5— +^= ---5-------5- „ч 5л: + 21 п 4 - Зл , 5л + 28 2) 5------------2л = :— + 3) ^ - 3 = 4 8 Зл - 1 5л + 1 4) + 1 _ 16 - у ^ 9у + 1 ^ 2 3 6 7 556. Используя разложение на множители, решите уравнение: 1) у2 + 20у = 0; 7)0,36 = 49у2; 2) л2-15л = 0; 8)0,04п2=1; 3) у2 = 0,5р; 9)(л-5)2-9 = 0; 4) 2у2 = -3у; 10) (у+5)2-4 = 0; 5) л2-121 = 0; 11)* 23-522+ 32- 15 = 0; 6) 9у2-36 = 0; 12)^ лЗ +2л2-9л-18 = 0. 557. Решите устно систему уравнений: ]3л + у = 36, ]л + у = 9, 1)1у = 3л; ^Пх-у = 11. 558. Решите систему уравнений: ]16л-27у = 160, |л + Зу = 10; ]5л-9у = 2, "^1]10л + Зу = -14; ]12л-11у = 18, |18л + 7у = -20; [(л + 1)2 + (у - 1)2 = л2 + у2 - 16, 4) Юл - Зу = 1; 559. Решите систему уравнений: 1)' ^ - 1 . ^х + у ^ . 7у - 1 2 9 12 ’ х + у 5у- X Зу- 1 2 6 5 х; 2)i Зл:+1 5х + 2у^у+1_^ 5 9 ~Т~ ’ 2у- X _ Зх- 2у Зу + 4 ^ 2 10 5 560. Имеет ли решение система уравнений (если имеет, найдите его): \2х-3у=1, (Зд:-Ь 2г/= 32, 1) J3jc-I-2j/ = 8, 2)<^х + 7у = 57, [5x-lly = 9; [4д:-9г/ = 31? 561. Решите систему уравнений, считая а и Ь числами, а XVI у — переменными: \х - у = Ъа- 36, \х + у = За - 56, 1) 2х + у = 4а - 66; 2) |х-1-г/ = 3 \у-х = а + 76. 562.® Решите систему уравнений: \х^ - у^= 184, 1) 2) г2 _ у2 = 800, \х^-ху = 1025, ^^\х-у = 25; \х^ + ху = 1080, ^Пх + у = 40. \х-у = 4; jx^ \х + у = 50; 563. “ Решите систему уравнений: \х + у + 2 = &, fjc-f 2у-Ь 32 = 9, l)Jx-j/-2 = -10, 2)\x-^y + 2z = l, - I/2 = 0; \2х-Ъу + Зг = 0. Решите задачи, составляя уравнения или системы уравнений. 564. 1) Туристы отправились в трехдневный поход. Расстояние, пройденное в первый день, было в 1,2 раза меньше расстояния, пройденного во второй день, а последний отрезок пути был равен 40% пути, пройденного за пер- ,гВ11 ZnV*' вые два дня. Определите, сколько километров проходили туристы за каждый из трех дней, если всего за три дня они прошли 77 км. 2) В трех цехах работает 4550 человек, причем в первом цехе работает в 1,5 раза больше, чем во втором, а в третьем — 30% от числа работающих в двух первых цехах. Сколько человек работает в каждом цехе завода? 565. 1) Отправляясь в турпоход, учащиеся приобрели крупу двух сортов: по 14 р. и по 9 р. за килограмм. Сколько крупы каждого сорта было куплено, если всего купили 19 кг крупы на сумму 196 р.? 2) За 23 кг конфет двух сортов уплатили 2040 р. Килограмм конфет одного сорта стоит 75 р., а килограмм конфет другого сорта — 96 р. Сколько килограммов конфет каждого сорта было куплено? 566. 1) Число коров в стаде возросло на 60 голов, а в связи с улучшением кормовой базы удой молока от одной коровы возрос в среднем с 12,8 л до 15 л в день. Сколько коров в стаде, если стали получать ежедневно на 1340 л больше молока, чем раньше? 2) Применение для перевозки зерна автопоезда (грузовика с прицепом) позволило за один рейс перевозить на 4,3 т больше зерна, чем раньше на одном грузовике. Сколько тонн зерна перевозит автопоезд за один рейс, если он за три рейса перевозит на 10,4 т больше зерна, чем один грузовик за 4 рейса? 567. 1) В овощной магазин завезли картофель и морковь. В первый день продали 40% картофеля и | моркови, что О составило 20 т. Во второй день продали - оставшегося О картофеля и всю оставшуюся морковь — всего 15 т. Сколько картофеля и сколько моркови было завезено в магазин? 2) В город отправляли арбузы и дыни. В первый день от- правили - всех арбузов и 60% всех дынь, что составило О 44 т. Во второй день отправили 46 т, в том числе 75% оставшихся арбузов и все оставшиеся дыни. Сколько тонн дынь было выделено для отправки в город? XT— у ^ . 1- ri ti 568. 1) Автомобиль «Волга» израсходовал на пробег 175 км на 7,7 л меньше бензина, чем джип «Чероки» на пробег 200 км. Сколько бензина расходует в среднем каждый автомобиль на 100 км пути, если «Чероки» расходует на каждый километр на 0,028 л бензина больше, чем «Волга»? 2) При испытании двух двигателей разной мощности первый израсходовал за 6 ч работы на 24 кг больше горючего, чем второй двигатель за 4 ч работы. Сколько горючего расходует каждый двигатель в час, если первый расходует в час на 2 кг больше горючего, чем второй? 569. 1) Бригада лесорубов должна была по плану за 10 дней заготовить некоторое количество леса. Перевыполняя дневную норму на 20 м^, бригада уже за 1 день до срока заготовила на 60 м^ больше леса, чем планировалось первоначально. Сколько кубометров леса намечалось заготовить? 2) Бригада трактористов должна была распахивать ежедневно по 28 га зяби. Перевыполняя план ежедневно на 4 га, бригада уже за 1 день до срока выполнила плановое задание. Сколько гектаров распахала бригада? 570. 1) При постройке гидроэлектростанции бригада экскаваторщиков должна была по плану вынимать ежедневно по 860 м^ грунта. Перевыполняя план на 20% в день, бригада закончила работу на 2 дня раньше намеченного срока. За сколько дней должна была закончить работу бригада по плану? 2) Два станкостроительных завода должны были по плану выпустить 90 станков за месяц. Первый из них перевыполнил месячный план на 20%, а второй — на 25%, поэтому оба завода выпустили к концу месяца на 20 станков больше, чем планировалось. Сколько станков выпустил каждый завод за месяц? 571.1) Одна из двух бригад добилась среднего урожая зерновых по 45 ц с 1 га, а другая, у которой под зерновыми было на 20 га меньше, чем у первой, — по 48 ц с 1 га, причем всего вторая бригада собрала на 300 ц зерна больше, чем первая. Сколько центнеров зерна было собрано каждой бригадой? ш 2) Одна из двух бригад убирала картофель с площади 90 га, а другая — с площади 100 га. По итогам уборки оказалось, что, хотя первая бригада и собрала на 150 ц меньше картофеля, чем вторая бригада, средний урожай с 1 га у нее оказался выше, чем у первой бригады, на 1 ц. Сколько картофеля было убрано каждой бригадой? 572. 1) В одной котельной было 25 т угля, а в другой — 20 т. Первая котельная расходовала в день на 75% больше угля, чем вторая, и через 30 дней в ней осталось в 2 раза меньше угля, чем во второй котельной. Сколько угля расходовала каждая котельная в день? 2) В одном овощехранилище было 38 т картофеля, а в другом — 70 т. В первое овощехранилище завозили ежедневно по 22 т, а во второе — по 14 т картофеля. Через сколько дней в первом овощехранилище стало в 1,4 раза больше картофеля, чем во втором? 573. ^ 1) Сплав меди и цинка содержал 82% меди. После до- бавления в сплав 18 кг цинка содержание меди в сплаве понизилось до 70%. Сколько меди и цинка было в сплаве первоначально? 2) Сплав олова и меди массой 16 кг содержал 55% олова. Сколько олова надо было добавить в сплав, чтобы содержание в нем меди составило 40% ? 3) При смешивании морской и пресной воды получили 60 м^ воды плотностью 1,01 т/м^. Сколько было взято кубометров морской воды и сколько пресной, если плотность морской воды 1,03 т/м^, а плотность пресной 1 т/м®? 574. ^ 1) Разделите число 850 на две части так, чтобы 4% пер- вой части были меньше 4,5% второй части на 2% всего числа. 2) Разделите число 750 на две части так, чтобы 8% первой части в сумме с 24% второй части составили 11,2% всего числа. 575. 1) Два трактора могут вспахать поле за 60 ч. После 12 ч совместной работы один трактор был переведен на другой участок, а другой трактор, проработав еще 80 ч, закончил вспашку поля. За сколько часов мог бы вспахать поле каждый трактор? 2) Для выполнения заказа мастер и его ученик работали совместно 4 ч, а затем мастер начал новую работу. --ч # h r. » и ученик, работая один, закончил выполнение заказа за 5 ч. За сколько часов мог бы выполнить заказ каждый из них, если ученику на выполнение заказа нужно в 1,5 раза больше времени, чем мастеру? 576. 1) Если сторону квадрата уменьшить на 4 м, то получится квадрат, площадь которого меньше площади первоначального квадрата на 96 м^. Найдите площадь квадрата. 2) Основание прямоугольника в 1,5 раза больше его высоты. Если основание уменьшить на 6 м, а высоту увеличить на 6 м, то получится прямоугольник, площадь которого на 84 м^ больше площади первоначального прямоугольника. Какова площадь прямоугольника? 577. 1) Из поселка в город по двум дорогам, одна из которых была на 2,75 км длиннее другой, одновременно выехали два велосипедиста. Один ехал по короткой дороге со скоростью 0,25 км/мин, другой — по длинной со скоростью 18 км/ч. Найдите длину каждой дороги, если известно, что первый велосипедист прибыл в город на 5 мин позже второго. 2) Велосипедист ехал по некоторому маршруту со скоростью 16 км/ч, а возвращался по другой дороге, длина которой была на 6 км больше, со скоростью 18 км/ч. На обратный путь он затратил на 7,5 мин больше времени. Найдите длины обеих дорог. 578. 1) Велосипедист ехал из пункта М в N по шоссе со скоростью 16 км/ч, а возвращался по проселочной дороге, которая была на 6 км длиннее, со скоростью 12 км/ч. Сколько километров проехал велосипедист по шоссе и сколько по проселочной дороге, если на весь путь он затратил 4 ч? 2) Лыжная трасса состоит из подъема и спуска, причем подъем на 8 км короче спуска. Лыжник спускался со скоростью 18 км/ч, а поднимался со скоростью 8 км/ч, затратив на подъем на 15 мин больше времени, чем на спуск. Найдите длину каждого из участков трассы. 579. 1) Поезд шел от станции А до станции В со скоростью 80 км/ч, а от станции В до станции С — со скоростью 90 км/ч. На весь путь от А до С поезду понадобилось 5 ч, считая 20-минутную остановку в В. Сколько километров между А и В и между В и С, если расстояние между станциями АиС равно 400 км? 11 "5 2) Турист ехал на мопеде сначала по грунтовой дороге со скоростью 18 км/ч, а затем по лесной тропинке — со скоростью 12 км/ч. Всего он находился в пути 5 ч и проехал 78 км. Сколько километров проехал турист по грунтовой дороге и сколько по тропинке? 580. 1) На маршруте АВ длиной 40 км турист первые 5 ч шел с одной скоростью, а затем после 40-минутного привала снизил скорость на 0,5 км/ч и прибыл в В, затратив на весь путь 9 ч. С какой скоростью шел турист после привала? 2) Спортсмен плыл 18 мин по течению реки, а затем ещ;е 6 мин против течения со скоростью на 20 м/мин меньшей. С какой скоростью плыл спортсмен против течения, если всего он проплыл 1080 м? 581. 1) Расстояние от М до К поезд проходит за 2 ч. Если скорость поезда увеличить на 25 км/ч, то уже через полтора часа после выхода из М ему останется пройти 10 км до К. Найдите расстояние от М до К. 2) Турист, выйдя из пункта С, рассчитал, что если будет идти к автобусной остановке со скоростью 4,5 км/ч, то опоздает на 20 мин. Поэтому он увеличил скорость на 1,5 км/ч и пришел на остановку точно к моменту отправления автобуса. Сколько километров от пункта С до автобусной остановки? 582У 1) В 8 ч от станции А в направлении станции В, расстояние до которой 480 км, был отправлен скорый поезд. Через 36 мин ему навстречу из В вышел товарный поезд. В котором часу и на каком расстоянии от станции В поезда встретились, если скорость товарного поезда 80 км/ч, а скорого — 96 км/ч? 2) В 9 ч из пункта М по маршруту MKL со скоростью 54 км/ч выехал мотоциклист. Через 45 мин из К в L со скоростью 16 км/ч выехал велосипедист. Определите, в котором часу мотоциклист догнал велосипедиста, если расстояние между пунктами М и К равно 69 км. 583. 1) Турист планировал ехать на мотороллере из пункта А в В со скоростью 60 км/ч. Однако через 25 мин после отправления из А ему пришлось снизить скорость на 10 км/ч, так как дорога пошла в гору. Из-за этого он приехал в пункт В на 13 мин позже, чем предполагал. Чему равно расстояние между пунктами А и В? I /'/ 2) Поезд должен был пройти расстояние между станциями ВС со скоростью 96 км/ч. Однако через полтора часа после выхода из В вследствие ремонта пути он был задержан на 30 мин и, чтобы прибыть в С по расписанию, должен был оставшееся расстояние идти со скоростью 108 км/ч. Сколько километров между станциями В и С? 584* 1) Два туриста отправились одновременно навстречу друг другу из пунктов М и N, между которыми 33 км. Через 3 ч 12 мин расстояние между туристами сократилось до 1 км, а еще через 2 ч 18 мин первому оставалось пройти до N втрое меньше, чем второму до М. Найдите скорость каждого туриста. 2) Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Спустя 1 ч 24 мин в том же направлении из А выехал велосипедист. Через час велосипедист был на расстоянии 1 км позади пешехода, а еще через час велосипедисту оставалось до В вдвое меньшее расстояние, чем пешеходу. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что расстояние между пунктами А и В равно 27 км. 585.” 1) Рычаг уравновешен двумя грузами весом 120 Н и 320 Н. Если вес меньшего груза увеличить на 40 Н, то больший груз придется удалить от точки опоры на 2 см. Найдите длины обоих плеч рычага. 2) Рычаг уравновешен двумя грузами весом 500 Н и 400 Н. Если вес большего груза уменьшить на 200 Н, то для сохранения равновесия точку опоры придется сдвинуть на 3 м. Найдите длины обоих плеч рычага. 3) Два мальчика качаются на доске, перекинутой через бревно (рис. 66). Один из них для равновесия сел на 1 м ближе к точке опоры, чем другой. Зная, что массы мальчиков соответственно равны 50 кг и 40 кг, определите, на каком расстоянии от точки опоры сидит каждый из них. Рис. 66 586. 1) Урок математики начался в 8 ч 30 мин. Через некоторое время ученик заметил, что стрелки на классных часах совпали. В котором часу это было? ■^4- f (г 2) Первый урок должен заканчиваться в 9 ч 15 мин, однако звонок раздался только тогда, когда стрелки часов образовали развернутый угол. На сколько секунд позже был дан звонок? 587.*Теплоход проходит расстояние между пристанями В и С по течению за 6 ч, а обратно против течения — за 8 ч. Сколько времени понадобится плоту, чтобы проплыть расстояние от пристани В до С? 588. В семье три брата: 30 лет, 20 лет и 6 лет. Через сколько лет возраст старшего брата будет равен сумме возрастов обоих младших братьев? 589. Отец обещал за каждую правильно решенную задачу давать сыну по Юр. За каждую неправильно решенную задачу сын должен возвращать отцу по 5 р. Решив 20 задач, сын заработал 80 р. Сколько задач сын решил неправильно и сколько правильно? 590. В аквариуме живут осьминоги и кальмары. У осьминогов по 8 ног, а у кальмаров — по 10. Всего у них 82 ноги. Сколько головоногих живет в аквариуме? 591. Задача из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Два почтальона А и В находятся друг от друга на расстоянии 59 миль. Утром они отправляются друг другу навстречу: А проходит в 2 ч 7 миль, В — в 3 ч 8 миль. Но В выходит на час позднее, чем А. Сколько миль пройдет почтальон А до встречи с В? 592. Задача из папируса Ахмеса (2000—1700 до н. э.). Най- дите число, если известно, что от прибавления к нему - О его и вычитания из полученной суммы ее трети получается число 10. 593. Решите задачу индийского математика Бхаскары. Один человек имеет 300 монет и 6 лошадей, а у другого 10 лошадей, но у него на 100 монет меньше. Какова цена лошади, если эти двое одинаково богаты? 594.-' Задача Метродора, которая является надгробной надписью, высеченной на могиле древнегреческого математика Диофанта Александрийского (III в. н. э.). ф, i t' i4n ft Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо. Сколь долог был век его жизни. Часть шестую его представляло счастливое детство. Двенадцатая часть протекла его жизни — Пухом покрылся его подбородок. Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Прошло пятилетье. Он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца- сына. Коему рок половину лишь жизни Дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой Старец земного удела конец воспринял. Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, сколько лет жизни достигнув, С ней расстался мудрец? Решите задачу арифметически (используя делимость) и составлением уравнения. Какой способ решения задачи прош;е? If ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ РАБОТЫ Работа 1 Исследование площади прямоугольника данного периметра Указания к работе 1. Периметр прямоугольника равен 24 см, а его основание X см. Задайте формулой зависимость площади S (см^) прямоугольника от X. Заполните таблицу. X, см 2 3 4 5 5,5 5,8 5,9 6 6,1 6,2 6,5 7 8 9 10 S, см^ 2. При каком значении х получился прямоугольник наибольшей площади? Каково наибольшее из полученных значений S? 3. Выберите сами два каких-либо значения х и вычислите соответствующие значения S. Удалось ли вам получить значение S большее, чем найденное ранее? 4. Какую гипотезу (гипотеза — научное предположение) можно высказать на основании проведенного исследования о форме прямоугольника наибольшей площади, имеющего данный периметр? Работа 2 Построение графика зависимости высоты столба жидкости от объема жидкости в сосуде Приборы и материалы: ведро стандартное (формы цилиндра или усеченного конуса), банка литровая, линейка. 1 Ф. '-у I 2^ ■' *' Указания к работе 1. Налейте в ведро 1 л воды. 2. Измерьте высоту столба жидкости, опустив в ведро линейку. 3. Запишите полученный результат в таблицу. Объем воды V, л 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Высота столба воды h, см 4. Доливая в ведро по 1 л воды и производя измерения высоты столба воды, заполните таблицу. 5. Постройте график зависимости Л от F (на оси Л 1 см соответствует 2 см высоты столба воды, на оси И1 см соответствует 1 л воды). 6. Какой график у вас получился — прямолинейный или криволинейный? Работа 3 Исследование некоторых простейших множеств точек координатной плоскости Указания к работе 1. Постройте на координатной плоскости несколько точек, у которых сумма абсцисс и ординат равна 10 (при выборе координат точек используйте и отрицательные числа). 2. В чем особенность расположения построенных точек? Как располагаются на плоскости все точки, у которых сумма координат равна 10? Выскажите гипотезу. 3. Возьмите несколько точек, у которых сумма абсциссы и ординаты: 1) больше 10; 2) меньше 10. 4. Выскажите гипотезу о расположении точек на плоскости для случаев 1) и 2). Работа 4 Г рафик расстояния от точки прямой до начала координат Указания к работе 1. Постройте на координатной плоскости прямую Зл:-1-4г/ = 12. 2. Найдите расстояние от точек данной прямой до начала координат с помощью измерительного циркуля и линейки. ш ГГ.О/ 11^ -It' 3. Данные занесите в таблицу, где х — абсцисса точки прямой Zx + Ау = 12, d — расстояние от этой точки до начала координат. X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 d 4. Постройте график зависимости d от х. Работа 5 График изменения расстояния Туристы отправились на байдарках по течению реки из пункта А в пункт В со скоростью 5 км/ч. После 3 ч пути они сделали остановку на 1 ч, а затем поплыли дальше со скоростью 6 км/ч. На рисунке 67 изображена схема маршрута туристов, на которой отмечены отрезки пути длиной 1 км. Приборы и материалы: схема маршрута туристов в масштабе 1 : 200 000, измерительный циркуль, линейка. Указания к работе 1. Определите на схеме точку, в которой находились туристы через 1 ч после отправления из А. 2. Найдите расстояние (по прямой) от этой точки до пункта А (первый вариант); до пункта В (второй вариант). 3. Запишите полученный результат в таблицу. Время t, ч 0,5 1 1,5 2 2,5 3 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 Расстояние d, км ИМ 4. Определите на схеме точки, в которых находились туристы через 2 ч, через 3 ч и т. д. после отправления из пункта А, и найдите соответствующие расстояния. Заполните таблицу- 5. Постройте график зависимости dor t. Работа 6 Исследование площади прямоугольника, вписанного в треугольник в в треугольник АВС, основание которого 10 см, а высота 8 см, вписано несколько прямоугольников различной высоты, каждый из которых имеет две вершины на основании, а две другие — на боковых сторонах треугольника (рис. 68). Учитывая, что можно построить сколько угодно вписанных таким образом прямоугольников, постройте самостоятельно прямоугольники с высотами, указанными в таблице, измерьте основание каждого прямоугольника и вычислите его площадь. Результаты запишите в таблицу. Рис.68 h — высота прямоугольника, см 0,5 1 2 3 3,5 4 4,5 5 6 7,5 а — основание прямоугольника, см S — площадь прямоугольника, см^ При каком значении h у вас получился прямоугольник наибольшей площади? Каково наибольшее из полученных значений S? Сравните высоту, основание и площадь этого прямоугольника соответственно с высотой, основанием и площадью треугольника АВС. Какую гипотезу можно высказать в результате проведенного исследования? ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ I. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Задачи на выполнение плановых заданий Задача 1 На строительстве плотины укладчики бетона, перевыполняя дневную норму на 180 м^, не только выполнили 10-дневное задание за один день до срока, но и уложили дополнительно 320 бетона. Какова была дневная норма укладки бетона? Обозначив дневную норму укладки бетона (в м^) буквой х, запишите: а) сколько кубометров бетона должно было быть уложено за 10 дней по плану; б) сколько кубометров бетона рабочие укладывали за 1 день; в) сколько кубометров бетона было уложено за 1 день до срока. Сравните количество бетона (в м^), уложенное за 1 день до срока, с количеством бетона (в м^), которое планировалось уложить за 10 дней, и запишите уравнение. Решите уравнение и запишите ответ задачи. 1. Дополнительные вопросы На сколько процентов перевыполнялась укладчиками дневная норма? (Ответ округлите до десятых долей процента.) \Ф/ «■>=? 11 in yrv 2. Сколько кубометров бетона будет уложено за 10 дней, если укладчики будут продолжать работать в том же темпе? Задача 2 Агрофирма планировала провести сев за 14 дней. Перевыполняя план, работники засевали в день на 30 га больше, чем планировалось, и уже за 4 дня до срока им оставалось засеять только 20 га. Сколько гектаров должна была засеять агрофирма? Обозначив дневную норму сева (в га) буквой х, запишите; а) сколько всего гектаров должна была засеять агрофирма; б) сколько гектаров засевалось за 1 день; в) сколько гектаров было засеяно за 4 дня до срока. Сравните число гектаров, засеянных за 4 дня до срока, с числом гектаров, которые планировала засеять агрофирма за 14 дней, и напишите уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи. 1. 2. Дополнительные вопросы На сколько процентов работники перевыполняли дневную норму? (Ответ округлите до десятых долей процента.) На сколько процентов был выполнен план сева за 4 дня до срока? Задача 3 Чтобы выполнить задание в срок, токарь должен был изготавливать каждый рабочий день по 24 детали. Однако, применив новый тип резца, он изготавливал за рабочий день на 15 деталей больше и уже за 6 дней до срока изготовил сверх плана 21 деталь. Сколько всего деталей изготовил токарь? Обозначив число дней, которые работал токарь, буквой х, выразите: а) количество деталей, которые изготовил токарь за время своей работы; б) количество дней, которые должен был бы работать токарь по плану; в) количество деталей, которые должен был изготовить токарь к сроку, если бы он работал резцом старого типа. Сравните число деталей, изготовленных токарем, и число деталей, которые он должен был изготовить по плану. Составьте уравнение, решите его и запишите ответ на вопрос задачи. 1. 2. Дополнительные вопросы Сколько деталей изготовит токарь к заданному сроку, используя резец нового типа? На сколько процентов при этом он перевыполнит плановое задание? (Ответ округлите до десятых долей процента.) Задачи на изменение количества Задача 4 В одном овощехранилище было 440 т картофеля, а в другом — 408 т. Из первого хранилища ежедневно вывозили по 60 т картофеля, а во второе ежедневно завозили по 48 т. Через сколько дней во втором овощехранилище окажется в три раза больше картофеля, чем в первом? Обозначив искомое число дней буквой х, выразите: а) количество тонн картофеля, вывезенного за х дней из первого овощехранилища; б) количество тонн картофеля, завезенное за х дней во второе овощехранилище; в) количество тонн картофеля, оставшееся через х дней в первом овощехранилище; г) количество тонн картофеля, оказавшееся через х дней во втором овощехранилище. Сравните количества картофеля, оказавшиеся через X дней в овощехранилищах, и запишите уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи. 1. 2. Дополнительные вопросы На сколько процентов больше было картофеля в первом овощехранилище, чем во втором? На сколько процентов больше оказалось картофеля во втором овощехранилище, чем в первом, через два дня? Задача 5 В одном баке 940 л воды, а в другом — 480 л. Из первого выливают за час в 3 раза больше воды, чем из второго. Через 5 ч в первом баке останется на 40 л меньше воды, чем во втором. Сколько литров воды выливается из каждого бака за 1 ч? Обозначив количество воды, выливаемой за 1 ч из второго бака, буквой х, выразите: а) количество воды, выливаемой за 1 ч из первого бака; б) количество воды, вылитой из второго бака за 5 ч; шг -—// ^ ■ ' * '■‘зГГЭХ'Т^^ = W b) количество воды, вылитой из первого бака за 5 ч; г) количество воды, оставшейся в каждом из баков через 5 ч. Сравните оставшиеся количества воды и запишите уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи. 1. 2. Дополнительные вопросы На сколько процентов объем воды в первом баке был больше, чем во втором? На сколько процентов объем воды во втором баке стал больше, чем в первом, через 5 ч? Задача 6 Один фермер заготовил в 1,5 раза больше сена, чем другой. Ежедневно первый расходовал по 0,5 т сена, а второй — по 0,3 т. Через 70 дней у первого фермера осталось на 12 т сена больше, чем у второго. Сколько сена заготовил каждый фермер? Обозначив количество сена, заготовленного вторым фермером, буквой X, запишите: а) сколько тонн сена заготовил первый фермер; б) сколько тонн сена израсходовал каждый фермер за 70 дней; в) сколько тонн сена осталось у каждого фермера через 70 дней. Сравните количество сена, которое осталось у фермеров, и запишите уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи. 1. Дополнительные вопросы На сколько процентов больше окажется сена у первого фермера, чем у второго, через 70 дней? 2. У кого из фермеров раньше иссякнет запас сена, если расход сена будет тем же? Задачи на сплавы и смеси Задача 7 Сплав меди и цинка содержал 82% меди. После добавления в сплав 18 кг цинка процентное содержание меди в сплаве понизилось до 70%. Сколько меди и сколько цинка было в сплаве первоначально? 'Ф; Г". 11^ I # ( Обозначив первоначальную массу сплава в килограммах буквой X, выразите: а) массу меди в сплаве; б) массу сплава после добавления цинка; в) отношение массы меди к новой массе сплава. Составьте уравнение, учитывая, что процент содержания меди в полученном сплаве известен. Решите уравнение и найдите массы меди и цинка в первоначальном сплаве. Дополнительные вопросы 1. Сколько цинка нужно было добавить в первоначальный сплав, чтобы его процентное содержание составило 50% ? 2. Можно ли, добавляя в первоначальный сплав равные массы меди и цинка, получить сплав, содержащий 50% цинка? Задача 8 Сплав олова и меди, масса которого 16 кг, содержит 55% олова. Сколько килограммов олова нужно добавить, чтобы повысить содержание олова в сплаве до 60% ? Обозначив искомую массу олова буквой х, выразите: а) сколько килограммов олова было в сплаве сначала; б) сколько килограммов олова стало в сплаве после добавления; в) массу полученного сплава; г) отношение массы олова к массе полученного сплава. Запишите уравнение, решите его и ответьте на вопрос задачи. Дополнительные вопросы 1. Какова масса меди, содержащейся в сплаве? 2. Сколько килограммов меди следовало бы добавить в первоначальный сплав, чтобы содержание меди составило 50% ? Задача 9 К 27 кг сплава свинца и олова, содержащего 40% свинца, добавили некоторое количество свинца, в результате чего содержание олова в сплаве понизилось на 6%. Сколько килограммов свинца было добавлено в сплав? Обозначив число килограммов свинца, добавленного в сплав, буквой X, выразите: а) массу свинца в первоначальном сплаве; 11 sn б) массу свинца в сплаве после добавления свинца; в) массу сплава после добавления в него свинца; г) отношение полученной массы свинца к массе сплава. Учитывая, что процентное содержание свинца возросло на 6%, составьте уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи. Дополнительные вопросы 1. Сколько свинца нужно было бы добавить в первоначальный сплав, чтобы его содержание в сплаве оказалось равным 50% ? 2. Как изменилось бы процентное содержание олова в сплаве, если в первоначальный сплав добавить 23 кг олова? Задачи на определение площади прямоугольника Задача 10 Длина прямоугольника на 18 м больше его ширины. Если длину прямоугольника уменьшить на 8 м, а ширину увеличить на 7 м, то его площадь увеличится на 40 м^. Найдите площадь данного прямоугольника. Обозначив ширину прямоугольника в метрах буквой х, выразите: а) длину прямоугольника в метрах; б) площадь прямоугольника в квадратных метрах; в) длину и ширину прямоугольника после изменения его измерений; г) площадь измененного прямоугольника в квадратных метрах. Сравните площади данного и измененного прямоугольников и запишите уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи. Дополнительные вопросы 1. Какой из прямоугольников, данный или измененный, имеет больший периметр? 2. На сколько процентов площадь данного прямоугольника меньше площади измененного прямоугольника? Задача 11 Длина прямоугольника в 2 раза больше его ширины. Если ширину прямоугольника увеличить на 8 дм, а длину умень- / V X'. I I ti> шить на 10 дм, то площадь прямоугольника увеличится на 220 дм^. Найдите площадь данного прямоугольника. Обозначив ширину данного прямоугольника в дециметрах буквой X, выразите: а) длину данного прямоугольника в дециметрах; б) площадь того же прямоугольника в квадратных дециметрах; в) длину и ширину измененного прямоугольника; г) площадь измененного прямоугольника. Сравните площади данного и измененного прямоугольников и запишите уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи. Дополнительные вопросы 1. Какой из прямоугольников, данный или измененный, имеет больший периметр и на сколько дециметров? 2. На сколько процентов площадь измененного прямоугольника больше площади данного? Задача 12 Периметр прямоугольника равен 60 см. Если длину прямоугольника увеличить на 10 см, а ширину уменьшить на 6 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 32 см^. Найдите площадь данного прямоугольника. Обозначив ширину прямоугольника в сантиметрах буквой X, выразите: а) длину прямоугольника, учитывая, что сумма длины и ширины равна половине периметра; б) площадь прямоугольника в квадратных сантиметрах; в) длину и ширину измененного прямоугольника; г) площадь измененного прямоугольника. Сравните площади данного и измененного прямоугольников и запишите уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи. 1. 2. Дополнительные вопросы На сколько изменится периметр прямоугольника после изменения длин его сторон? На сколько процентов при этом изменится площадь прямоугольника? Задачи на движение Задача 13 Из А в Б со скоростью 66 км/ч отправился товарный поезд, а спустя 20 мин от станции В в направлении станции А вышел скорый поезд, проходящий в час 90 км. На каком расстоянии от станции А встретятся поезда, если длина перегона АБ равна 256 км? Обозначив время движения (в часах) товарного поезда до встречи со скорым буквой х, выразите: а) время движения скорого поезда; б) путь, пройденный товарным поездом до встречи со скорым; в) путь, пройденный скорым поездом до встречи с товарным. Учитывая, что сумма путей, пройденных обоими поездами до их встречи, равна АБ, составьте уравнение. Решите уравнение и ответьте на вопрос задачи. 1. 2. Дополнительные вопросы Какой из поездов прошел до встречи больший путь? Какой из поездов прибыл раньше — товарный на станцию В или скорый на станцию А? Задача 14 Из М в N со скоростью 68 км/ч отправился пассажирский поезд, а спустя 6 мин вслед за ним вышел электропоезд, проходящий в час 85 км. На каком расстоянии от станции N электропоезд догонит пассажирский, если длина перегона MN равна 40 км? Обозначив время движения (в часах), за которое электропоезд догонит пассажирский, буквой х, выразите: а) время движения пассажирского поезда до его обгона электропоездом; б) путь, пройденный пассажирским поездом до его обгона; в) путь, пройденный электропоездом до обгона им пассажирского поезда. Учитывая, что поезда к моменту обгона пройдут одно и то же расстояние, составьте уравнение. Решите уравнение и ответьте на вопрос задачи. 'Ф; гг. 11 1. 2. Дополнительные вопросы Какое расстояние было между поездами в момент отправления электропоезда? На сколько минут раньше пассажирского электропоезд прибудет на станцию N1 (Вычислите, округлив до минут.) Задача 15 Из пункта М в пункт N со скоростью 15 км/ч выехал велосипедист, а через 16 мин вслед за ним выехал другой велосипедист, проезжавший в час 18 км. Чему равно расстояние, если второй велосипедист прибыл в пункт N одновременно с первым? Обозначив время движения второго велосипедиста (в часах) буквой X, выразите: а) время движения первого велосипедиста; б) путь, проделанный вторым велосипедистом; в) путь, проделанный первым велосипедистом. Учитывая, что велосипедисты проехали одно и то же расстояние, составьте уравнение. Решите уравнение и ответьте на вопрос задачи. 1. 2. Дополнительные вопросы Какое расстояние успел проехать первый велосипедист к моменту отправления второго? На сколько минут раньше первого возвратится второй велосипедист в М, если они отправятся в обратный путь одновременно и будут ехать с теми же скоростями, что и на пути из М? Задача 16 Из пункта М в пункт N велосипедист ехал по шоссе со скоростью 16 км/ч, а возвращался он со скоростью 12 км/ч по проселочной дороге, которая была на 6 км длиннее. Сколько километров проехал велосипедист по шоссе и сколько по проселочной дороге, если на весь путь он затратил 4 ч? Обозначив длину пути по шоссе (в километрах) буквой х, выразите: а) длину пути велосипедиста по проселочной дороге; б) время (в часах), затраченное велосипедистом на путь по шоссе; в) время (в часах), затраченное велосипедистом на путь по проселочной дороге. Учитывая, что время, затраченное на весь путь, известно, составьте уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи. imi ^ ^ V fl § 1» n Дополнительные вопросы 1. Какова средняя скорость велосипедиста на всем маршруте? 2. Сколько времени затратил бы велосипедист на весь путь, если бы по проселочной дороге он ехал на 3 км/ч быстрее, а по шоссе — на 4 км/ч медленнее? Задача 17 Лыжная трасса состоит из подъема и спуска, причем подъем на 8 км короче спуска. Лыжник, двигаясь на спуске со скоростью 18 км/ч, а на подъеме — со скоростью 8 км/ч, затратил на подъем на 15 мин больше, чем на спуск. Найдите длину каждого участка трассы. Обозначив длину спуска (в километрах) буквой х, выразите: а) длину подъема в километрах; б) время (в часах), затраченное на спуск; в) время (в часах), затраченное на подъем. Сравнив время, затраченное на спуск и на подъем, составьте уравнение. Решите уравнение и запишите ответ. Дополнительные вопросы 1. Какова средняя скорость лыжника на всей трассе? 2. Сколько времени затратит лыжник на обратный путь, если будет двигаться на подъеме со скоростью 8 км/ч, а на спуске — 18 км/ч? Задача 18 Из поселка на турбазу по двум дорогам, одна из которых на 2,75 км длиннее другой, одновременно выехали два велосипедиста. Первый велосипедист, который по короткой дороге двигался со скоростью 15 км/ч, приехал на турбазу на 5 мин позднее второго, скорость которого была 18 км/ч. Найдите длину каждой дороги. Обозначив длину короткой дороги в километрах буквой х, выразите: а) длину (в километрах) второй дороги; б) время (в часах), затраченное первым велосипедистом; в) время (в часах), затраченное вторым велосипедистом. Сравнив время, затраченное велосипедистами, составьте уравнение. Решите уравнение и запишите ответ. г .. 1ё/ 1. 2. Дополнительные вопросы На сколько метров отстал первый велосипедист от второго? На сколько минут раньше второго прибыл бы на турбазу первый велосипедист, если бы он ехал со скоростью 18 км/ч, а второй — со скоростью 15 км/ч? Задача 19 Лодка проплыла по течению реки на 11 км больше, чем против течения, затратив на весь путь 3 ч. Зная, что скорость лодки в стоячей воде равна 5 км/ч, а скорость течения — 2 км/ч, определите, сколько всего километров проплыла лодка. Обозначив расстояние (в километрах), пройденное лодкой против течения реки, буквой х, выразите: а) расстояние (в километрах), пройденное лодкой по течению реки; б) скорость лодки по течению и против течения реки; в) время движения лодки по течению и против течения реки. Учитывая, что на весь путь лодка затратила 3 ч, составьте уравнение. Решите уравнение и запишите ответ. 1. 2. Дополнительные вопросы Какова средняя скорость движения лодки на всем пути? Сколько времени потребовалось бы лодке, чтобы проплыть то же расстояние в стоячей воде? Задача 20 Моторная лодка прошла по реке 46 км за 3 ч, причем часть пути против течения, а часть — по течению реки. Зная, что скорость течения реки 1 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде — 15 км/ч, определите, сколько километров прошла лодка по течению и сколько против течения реки. Обозначив путь (в километрах), пройденный лодкой против течения реки, буквой х, выразите: а) путь, пройденный по течению реки; б) скорость лодки по течению и против течения; в) время движения по течению и против течения. Учитывая, что время, затраченное на весь путь, известно, составьте уравнение. Решите уравнение и ответьте на вопрос задачи. Г" 7 I п 1. 2. Дополнительные вопросы Какова средняя скорость лодки на всем пути? Сколько времени понадобилось бы лодке, чтобы пройти то же расстояние в стоячей воде? Задача 21 В стоячей воде турист на байдарке обычно развивал скорость 6,5 км/ч. Однажды он решил проплыть по реке расстояние АВ в оба конца за определенное время, но при этом не учел скорости течения, равной 1,5 км/ч, и затратил на весь маршрут на 27 мин больше, чем предполагал. Чему равно расстояние АВ? Обозначив расстояние АВ (в километрах) буквой х, выразите: а) время в часах, которое понадобилось туристу на путь по течению и против течения; б) время, которое затратил бы турист на путь АВ в оба конца в стоячей воде; в) время, затраченное туристом на путь АВ в оба конца. Сравнив время, которое затрачивает турист на путь АВА по реке и в стоячей воде, составьте уравнение. Решите уравнение и ответьте на вопрос задачи. 1. 2. Дополнительные вопросы С какой средней скоростью турист проплыл маршрут АВА? На сколько дольше плыл турист против течения, чем по течению? II. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Задача 22 В двух баках содержится разное количество керосина. Если из первого бака отлить 18 л, а из второго — 12 л керосина, то во втором баке останется керосина вдвое больше, чем в первом. Если же из первого отлить 8 л, а из второго — 16 л, то число литров керосина, оставшегося в первом баке, будет относиться к числу литров керосина, оставшегося во втором баке, как 7 : 8. Сколько керосина содержится в каждом из баков? Обозначив число литров керосина в первом баке буквой х, а число литров керосина во втором баке буквой у, запишите: IV ^ tv ^ а) сколько керосина останется в каждом из баков, если из них отлить соответственно 18 л и 12 л; б) сколько керосина останется в каждом из баков, если из них отлить соответственно 8 л и 16 л. Сравнив оставшееся количество керосина в первом и во втором случае, запишите соответствующие уравнения. Решите систему уравнений и ответьте на вопрос задачи. Дополнительные вопросы 1. На сколько процентов керосина во втором баке больше, чем в первом? 2. Как изменится процентное отношение, если в каждый из баков долить по 6 л керосина? Задача 23 На двух полках лежат книги. Если с первой полки взять 6 книг, а со второй 11 книг, то на первой полке книг станет в полтора раза больше, чем на второй. Если же с каждой полки взять по 3 книги, то число книг, оставшихся на первой полке, будет относиться к числу книг на второй полке, как 6:7. Сколько книг стоит на каждой полке? Обозначив число книг на первой полке буквой х, а на второй полке буквой у, выразите: а) сколько книг останется на каждой полке, если с первой снять 6 книг, а со второй — 11 книг; б) сколько книг останется на каждой полке, если и с первой, и со второй полки снять по 3 книги. Сравнив оставшееся в каждом случае количество книг на полках, составьте систему уравнений. Решите систему уравнений и ответьте на вопрос задачи. Дополнительные вопросы 1. На сколько процентов число книг на второй полке превышает число книг на первой полке? 2. Как изменится процентное отношение, если на каждую полку поставить еще по 10 книг? Задача 24 Для клуба решили приобрести 4 баяна и 3 аккордеона на сумму 66 000 р. Однако из-за повышения цен (баяны стали стоить дороже на 75%, а аккордеоны на 80%) клубу пришлось заплатить 117 300 р. Сколько стоили баян и аккордеон до повышения цен? ш I о 11, Обозначив первоначальную цену (в рублях) одного баяна буквой X, а аккордеона буквой у, выразите: а) стоимость 4 баянов и 3 аккордеонов до повышения цен; б) новую цену 1 баяна и 1 аккордеона; в) стоимость 4 баянов и 3 аккордеонов после повышения цен. Учитывая стоимость покупки до и после повышения цен, составьте два уравнения. Решите систему уравнений и запишите ответ на вопрос задачи. 1. 2. Дополнительные вопросы Каковы новые цены баяна и аккордеона? На сколько процентов больше придется уплатить за 1 баян и 1 аккордеон после повышения цен? ^ й i/ X II/ 1 1 ПРОВЕРЬ СЕБЯ! Домашние контрольные работы Работа 1 Тема «Выражения» 1. Вычислите; II + 2I • (|| - Ц). О тт •/ (а - Ь)а + 2Ь 5 2. Найдите значение выражения —т—------ при а = ^ , 0,11а 6 ^=-1- 3. Составьте выражение для решения задачи. Два туриста вышли одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу со скоростями и км/ч и V км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч, если расстояние между Аи В составляет 35 км? 4. Подберите значения переменных так, чтобы при их подстановке в предложение 5х - (Зх - 2у) = 2х-2у оно превратилось: 1) в истинное высказывание; 2) в ложное высказывание. 5. Может ли отрицательное число быть: 1) больше своего квадрата; 2) меньше своего куба? (В случае утвердительного ответа приведите пример, а в случае отрицательного ответа приведите обоснование.) Работа 2 Тема «Уравнения» 1. Решите уравнение х(х + 8)(х - 9) = 0. « р ^ \Ъх + гу = 29, 2. Решите систему уравнении ] 7^ + 4t/ = 41 @ ^ г- 3=^11 еп = 3. Составьте уравнение по условию задачи, обозначив длину прямоугольника буквой х. Периметр прямоугольника равен 30 см. Если длину прямоугольника увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 3 см, то его площадь уменьшится на 8 см^. Найдите длину и ширину прямоугольника. 4. Решите задачу составлением системы уравнений. Известно, что сумма двух положительных чисел в два раза больше их разности и что 40% одного числа на 17 больше, чем 35% другого. Найдите эти числа. 5. * Найдите двузначное число, квадрат первой цифры которого меньше квадрата второй его цифры на само число. Работа 3 Тема «Функция» 1. Для функции f{x) = Зх - 0,2х^ найдите: 1) Д-15); 2) /(0,2); 2. По графику функции у = f{x), изображенному на рисунке 69, найдите: 1) значение аргумента, при котором значение функции равно: а) -2; б) 7; 2) ординату точки графика функции, абсцисса которой равна: а) 3; б) -2; 3) координаты точек пересечения с осями. 3. ^ Существует ли такое значение аргумента X, при котором равны значения функ- ции: у ■■ Зл:- 5 и г/ = 5д: - 2 , 2 “ 3 ■ 4.^ В электросамоваре содержится 3 л воды. Каждую секунду из него вытекает 25 см® воды. Сколько воды останется в самоваре, если кран будет открыт t с? Обозначив искомую величину через V (л), задайте зависимость V от t формулой. Является ли переменная V функцией переменной t? (Если является, то укажите множество допустимых значений t.) #; г L' 5.® Постройте прямую, симметричную прямой у = -i х от- О носительно оси ординат, и запишите функцию, график которой получился. Работа 4 Тема «Линейная функция» 1. Проходит ли график функции I/ = 1 ^ лг через точку О 2. 1) Постройте график функции у = 0,8л: - 6. 2) Найдите: а) ординату точки графика функции, абсцисса которой равна: -2; 250; -0,05; б) абсциссу точки графика функции, ордината которой равна: 0; 22. 3. Прямая пересекает координатные оси в точках А(5; 0) и S(0; -2). Напишите какое-нибудь линейное уравнение, графиком которого является эта прямая. 4Р Пересекаются ли прямые, заданные уравнениями: 8л: + Зу = 73 и 4л: -1- 1,5у = 60? Если пересекаются, то найдите точку пересечения данных прямых. Работа 1 Тема «Степень и ее свойства» 1. Из чисел 2, 3, 5, 6 составьте выражение, для вычисления значения которого нужно выполнить действия в следующем порядке: сложение, умножение и возведение в степень. 2. Представьте в виде степени: \4 1) • a^^; 2)(68)>3; 3)(-4с2)3; 4) (-|d3j . 3. Сравните значения выражений: 1)2®-27 и 4®; 2) 2®-21® и 8®. 4. Запишите результат вычислений в виде а *10", где 1 < о < 10: 1) (4-10^)3; 2)(2-10®)®-(3-10^)2. ш d г- I ^ ft 8 Г fL 5.® Скорость грузового автомобиля на пути из деревни в город была на 20% меньше, и ушло на него на 45 мин больше, чем на обратный путь. Найдите время, затраченное грузовым автомобилем на обратный путь. Работа 6 Тема «Действия со степенями» 1. Приведите к одночлену стандартного вида выражение • (-i ах'^ 2. Сократите дробь: 168а^Ь® 1) 3. Решите уравнение: 2 2) «(1^) 2) (-лг)б ■ (-л:'‘)3 73 343 52д: 125 • 4" Известно, что число а больше своего квадрата. Распо- 1 2 ложите в порядке возрастания числа ~ и а^. 5.* Впишите в скобки пропущенные одночлены так, чтобы получилось тождество (...)^ • (...)^ = -4а*6®с**. Работа 7 Тема «Произведение одночлена и многочлена» 1. Приведите к стандартному виду многочлен 2а2 - й(2а - Ь) - а(2а - ЪЬ). 2. Представьте в виде разности двучлена и трехчлена многочлен o'* - За® -f 2аЗ -t- 5а - 9. 3. Разложите на множители: 1) 16с8 - 8с9; 2)'^ 8а(а - 63) - (а - 63)2. 4. Решите уравнение 7л:2 - 14л: = 0. 5. ■’ Докажите, что сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на среднее из них и кратна 5. 'Ш ■+1 • ^ Работа 8 Тема «Произведение многочленов» 1. Приведите к многочлену стандартного вида выражение (а - 6)(а + 5)(а - 1) - (а^ - 2а)(а + 1). 2. Разложите на множители: 1) 9л: - 15у + 20ху^ - 12х^у; 2) (За - 4)3 + а(3а - 4)2. 3. Решите задачу составлением уравнения или системы уравнений. Периметр прямоугольника равен 65 см. Если длину прямоугольника уменьшить на 6 см, а ширину увеличить на 2 см, то его площадь уменьшится на 27 см2. Найдите площадь прямоугольника. 4. ^ Решите уравнение, разложив его левую часть на мно- /3_ 2г/2 + Зу-б = 0. жители у^ 5.® Впишите пропущенные одночлены так, чтобы получи- + ...). лось тождество 20ас + 8Ьс + баЬ + ... = (За -Ь 4с)(. Работа 9 Тема «Формулы сокращенного умножения» 1. Упростите выражение, используя формулы сокращенного умножения: 1) (бх - 7)2 - (5х + 7)(5х - 7); 2) у(у + 6)2 ~(у + 1)(у - 6)2. 2. Представьте в виде квадрата двучлена: 1) 100 - 140а + 49а2; 2) х‘^ + 18x^y + 81у^. 3. Разложите на множители: 1)(д;2-4л;)2-16; 2) 9&2 - 25^2 - 35 + 5с. 4. Сократите дробь г/" (Л2 - ху)^ 5. Может ли при отличных от нуля значениях перемен- ных а и 6 быть верным равенство (а - 35)2 = д2 _ 9^,27 Работа 10 Тема «Вероятность» 1. При проведении 100 экспериментов событие А произошло в 98 случаях. Каким является событие А: вероятным, достоверным, невозможным, маловероятным? м г — L Г I Г4 П П 2. Какова вероятность того, что при подбрасывании игральной кости выпадет нечетное число очков? 3. Сколько существует четырехзначных чисел: 1) составленных из цифр 1, 4, 5, 7; 2) кратных 2; 3) кратных 5? 4. Вычислите: 1) 5. 1) 200! 2) 9Н- 81-1- 7! 71-6! 198! ’ 5. Упростите выражение: (fe-1)!. ____________ k\ ’ “■'ft! (ft-l-2)!' „.1 _ ft2 -f- ft Ту Работа " ■ Итоговая контрольная работа 1. Упростите выражение с(3с - 7)2 - (8с2 - (Зс - 1)(3с -Ь 1)с). 2. Сократите дробь а2 - 4at> + Зас - 12Ьс 16ft2 - fl2 3. Решите задачу. Расстояние между двумя станциями поезд проходит за 40 мин. Если скорость поезда увеличить на 10 км/ч, то он пройдет то же расстояние за 36 мин. Каково расстояние между станциями? 4. Решите графически систему уравнений j4x - 5у = -20, \х = -1,2у. 5. * Докажите, что если п — нечетное число, то значение выражения (л -Ь 2)2 - 1 делится на 8. I- ОТВЕТЫ Глава 1 Математический язык 5. 1)-0,025; 2)-1^; 3) -11,5; 4)15; 5)7; 6) 5^ • 6. Возможны \Z 15 случаи 2—5. 7. 1)а)0; в) 50; д)-14; е) 123. 8. 1) а)-0,0547965; б)-844,07586; в) 14,07; г)-2550,1231; д)-504,5030648; е)-8,149220. 9. 1) а) (3,673 • 3,673 - 1,81) : 13; в) (56,12 + 34,79) х X 3,52 - 5,236; г) (6,313 • 9,02 + 5,03) : 3,64. 11. 1) а) (3 - 3) • 3 или (3 - 3): 3; б) (3 + 3): 3 = 2 или 3 - (3 : 3) = 2; в) 3 • 3 : 3 = 3 или 3-3 + + 3 = 3; г) 3 + (3 : 3) = 4; д) 3-3 - 3 = 6; е)33 : 3 = 11; ж)(3 + 3)-3 = = 18; з) 33 - 3 = 30 или 3^ + 3 = 30. 12. 1) 16 км; 3) 40 ч; 5) 80 страниц; 6) 270 км. 13, Верные утверждения — а), в). Неверные утверж- дения — б), г), д). 14. 1) Может, например, ^ i =1.2) Может, на- 2 3 пример, 3*2 = 1. 3)Не может, так как при сложении целого и дробного числа получается смешанное число. 15.1) Два числа — 20 и 22. 2) Четыре числа — 12, 21, 11 и 22. 3) Девять чисел — 11, 22, 33, 12, 21, 13, 31, 23, 32. 4) Шесть чисел — 55, 66, 56, 65, 50 и 60. 16. 36 : ((3 + 3)*3) = 2; 36 : (3 + (3-3)) = 3; (36 : 3) + (3-3) = 21; ((36 : 3) + 3) • 3 = 45. 29. 1) Площадь увеличилась в 64 раза. 2) Объем уменьшился в 64 раза. 3) Длина уменьшится в 14 раз. 4) Длина окружности увеличится на 14я см. 30. 1) а) 16,8; б) 15; в) 5,4; 3 2) а) 31,5; б) 35,1; в) 52,5. 31. 1) ^ числа 60 меньше. 2) Числа рав- ны. 34. 1) Нет, например, |- 7| > [— 5|, - 7 < -5. 2) Можно, из двух отрицательных чисел то число больше, у которого модуль меньше. 35. 1) Может, например, -3 < -3 + 4 < 4. 2) Может, например, -3 + (-4) < -3 и -3 + (-4) < -4. 3) Может, например, -3 • 5 < -3 и -3 • 5 < 5. 4) Может, например, 1 + 2 > 1 • 2. 5) Может, например. ш 0 + 0 = 0*0 или 2 + 2 = 2*2. 36. 1)Нет, это не так, например, для числа -100. 2) Нет, это не так, например, для числа 0. 37. 1) Задумано число -5. 2) Задумано число 12. 38. Число а расположено слева от: 1) -3; 2) 3,5. 39. 1) п + 1; 2) А:; 3) f - 1, <, t + 1; 4)m, + 1, m + 2, m + 3. 40. 1) 2ft - 1; 2) 3n - 1. 45. 1)48; 4)-180; 7) 43; 8) 1,5. 46. 5) -6,9; 6) 4. 48. 1) 60a мин; 2) ^ мин; 3) 1000c m; 4) кг; 5) 10 000ft cm^; 6) м3. 49. a м/с. 51. 1)-a; 2) ^ 1000 .......... ’ 1000 ...... 18.....' b' 3)n + 1; 4)m + 1. 54.2) 0; 4)139; 6)-30; 7) = 0,27378; 8)19,64. 56 2)^^ p.; 4) (I - a)a m^; 6) (| + |)-Пл. 57. 1)200 + + 2(a + by, 2) 2(a + ft) - 200; 3) a) если a - b < 100, to 200 - 2(a - ft), если a - b > 100, to 2(a - ft) - 200; 6) 200 + 2(a - ft). При ft < a < 50 изменяется выражение 2), при этом получаем 200 - 2(а + ft), а в задании 3) а) второго случая быть не может. Поскольку все изменения выражаются лишь в порядке вычитания, результат которого должен быть положительным, можно объединить их с помощью знаков модуля: 2) l2(a + ft) - 200|; 3) а) |2(а - ft) - 200|. 58. 1) Два: 1 и -1. При а ¥= 0; 2) неотрицательные. При всех значениях а. 59. 1) а) c(2ft + а- 2с); б) аЬ + с(а - 2d). 60. 4) 16, 18, 20, 22; 5) -2, -1, о, 1, 2. 61. 1) а2, -За; 3) а + 1, 2а + 1. 62. 1) а) ; б) | - 2 + + в) л:® - 63 + - ; г) 2л: - 7(д; + 3). 64. 1) 2* л; + 3 = MS 4* jc - 2 = = *MR; 4) 5* л: MS - 4/MR = MS 2* л: + 5/3 - MR =. 65. a) V = = 100,5 м3; Q)V= 63,6 м3. 66. a) F » 463 м3; 6) F = 346 мЗ. 67. Нет. Число будет составным, например, при х = 40 или х = 41. 69.1) а : ft = = 3,5, или а = 3,5Ь, или Ь = а : 3,5; 6) ft3 + 100 t 15(ft3 + с2) IF’'’ loo ' b2 + c^= . 70. l)2x - 17= 75; 3)(x + 4)-5- 2 = 9 + 4x + 9. 15 73. 1)(46 - 3x)-l,5 = 72 - 5x; 2) 120 - 6x = 1,5(72 - 2,4x). 74.1) + 10j(15 - 3) + 36 = X или (x + 10)(15 - 3) + 36 = 15x. 75. 1) 3 КГ чая no цене 220 p. и 1 кг по цене 260 р.; 2) 750 г конфет по цене 110 р. за килограмм и 250 г по цене 150 р. 76. 1) 5(х + 2,4) = = 6,25(х - 2,4); 2)3(5 + х) = з|(5 - х). 79. б) [96 - |j-3 = = 96 - 5 (96 - X). 80. 1) - - = 2; 2) (22 + 2)(х + 4) = 22х + 128; X j • 100 = (200 + х) • 20. 81. Истинные высказывания: ---------------------------------------ф 3) ГЩ^ + ( 100 2) , 5), 6). Ложное высказывание: 1). 84. 7) Множество пар разных по знаку чисел; 8) множество истинности пусто — в нем нет ни одного числа. 85. Равносильны уравнения в заданиях а), б), в), д), ж), 3) . 86. 1) 36 - х = 35; 36 - 35 = х. 87. Корнем является число: 7) -2,6; 8) -3,2. 89. 1) а) 38; б) 61; в) -5,2; г) -1; д) нет корней; е) любое число; ж) I; з) ^ ; и) -6,125; к) -0,4. 90. 1)6) -3 и 2; г) -3, 0,5 и О 11 1 2 2 5; е) - , -g , g . 91.1) 4; 2) 8. 92. Эти уравнения имеют общие корни, следовательно, они равносильны. 93. Имеют корни уравнения 2) и 4) . 95. 5) 13; 6) нет таких значений у. 96. 1) 6 лет назад; 2) 30 лет; 3) 34,5 км; 4) 45 лет и 20 лет; 6) 41 км, 36 км, 33 км; 7) 425 кур и 575 кроликов; 8) 11 пятикопеечных монет и 15 трехкопеечных монет; 9) 14 т и 28 т; 10) 13 ответов. 97. 1) 83 и 84; 2) 132, 134, 136; 3) 95, 97 и 99. 98. 1)-1 и 2; 2)2,75; 3)-6,4; 4)-2 и 4. 99.1)3; 2)3. 100. 2)л: = 8-1-Ь;4) д:= 2;6)л:= ; 8)х = с- ^ . 101. 1)36гусей; 2) 28 учеников. 103. 4) л: = 21у - 30; 6)г/=1|д:-^. 104. Пара целых чисел может быть решением уравнений 3), 4), 5). 105. Например, 23 и 38. 106. Например, 3 и 6. 107. 4) Например, Ъх + Ъу = -1. 109.3) 2х + у = -0,1. 110. 2) (10; 1); 4) нет решения; 6) ^4; 6^^. 111. 2) а = 7, ft = 6; 4)р = -1; 9 = 1; 6) (3; 0). 112.2) А); 3) (0;-2). 113. 1) 18,5 и 12,5; 4) (345; 2300); 6) 114. 1) 23 фазана и 12 кроликов; 2) вол стоит 2 таэла, баран стоит 0,5 таэла. 115. 1) 20 кг печенья и 18 кг конфет; 2) 100 кг риса и 150 кг пшена. 116. 1) 10 м^; 2) 1536 м^. 117. 1) 32 ученика и 84 листа бумаги; 2) 30 учеников и 22 стола. 118. 1) 30 работников; 2) 9,2 флорина. 119. 1) 55 деталей и 44 детали; 2) 8 л и Юл. 120. 1) 20 р. и 30 р.; 2) 200и160. 121.1)а)7;б)7. Глава 2 Функция 122. а) J/ = x(jc + 5): 1) л: > 0; 2) у^ = 176, Уз ~ 84. в) у = 160 + + 6л:: 1) о < л: < 40; 2) г/, = 172, Уз = 286. 123. а) 1) 10, 11, 12, ..., 98, 99; 2) 1, 9, 6, 15. б) 1) 10, 12, ..., 96, 98; 2) 8, 21, 36, 156. 124. а) 1)л:=;^ 0; 2) 48, 24, 6, 3. б) 1) л: ^ 1; 2) -|, -3, 3, |. О О ф , г- t._ ИйГ 127. 1)2,125; 2)2; 3)0,1; 4) 128. 1)-7,25; 2)-!;^. 129. а) S = D о9 = пг^, г > 0; б) у = ^, i > 0; в) и = 15Л, Л > 0; г) а° = 180' - х°. 0° <а° < 180°; д) « = 21 + г, г = 0, 1, 2, ..., 5, 6. 134. Представим, что эти сосуды наполняются из крана водой под постоянным напором. Чем быстрее поднимается уровень жидкости в сосуде, тем круче вверх поднимается график. Сосуду цилиндрической формы соответствует прямолинейный график. Скорость подъема уровня воды в сосуде конической формы постепенно уменьшается — соответствующий график становится все более пологим. 135. 2) =49%, =32%. 139. 1) Натуральные числа, меньше 10; 2) целые числа от 0 до 4. 13 141. 1) I/ = ^д;, 26 м; 2) J/ = 34д:, 493 р.; 3) у = 2,2д:, 275 г; 10 4) у = —^ X, 640 см^; 6) у = 0,18д:, хватит. 145. 1) Зависимость меж- 1 1 О ду переменными у и z задается формулой у = 15z, значит, переменные у и Z пропорциональны. 2) Из равенства -0,5д: = -1,5г получаем X = Зг, значит, переменные д: и z пропорциональны. 146. 1) 42 г меди и 28 г цинка; 2) 136 кг меди и 24 кг олова. 147. Да. 1) у = -х; 2) у = 2х. 148. 3) Прямая проходит через все указанные точки, кроме точки С. 149. 3) Прямая проходит через все указанные точки, кроме точек А и Z). 150. 4) Например, (80; 30); 5) у = 37,5; 6) прямая проходит через точки А и В и не проходит через точку С. 152. 1) й = = 2; 2) й = -3. 153. й = -|, 6 = -| *(-9) верно, значит, прямая проходит через точку D. 158. 1) у = -Зд:; 2) у = -Зд:; 3) у = Здс. 161.1) И = 240 - 0,lt; 238,3 м»; 180 м»; 60 м^, 40 мин. 2) V = = 18 - 0,08s; 16,8 л; 10,8 л. Без заправки горючим автомобиль может пройти 225 км. 162. 1) У = 2 + 0,15^; 2) // = 10 -i- 0,5^. 163. 1)й = -6; 2) I = -30. 164. а) у = -2д: -ь 10. 165. 1) (1; 2,8); 2) (10,5; 18,5). 166. < К = |t°F-H 255? . 167. 1) Поднят на 1; 2) опу- У у щен на 4. 169. 1) г) Есть. Бесконечное множество точек, абсциссы которых делятся на 7. 2) г) Есть. Бесконечное множество точек, абсциссы которых кратны 4. 170. 3) а) На й; б) на -й. 171. 1) й = 0,3; / = 7; 3) й = 0,3; I - 4,4; 4) й = 0,3; i = 7,5. 172. 1) а) й = 0,75; / = -5; 2) а) й = -|; ( = 7. 174. 1) й > о, О 0; 2) й < о, / > 0; 3) й > о, ( < 0; 4) й < о, / < 0. 175. 1) Может: й = 0, ( > 0; 2) может: й < 0, ( = 0; 3) может: й = 0, ( < 0; 4) может: й > 0, ( = 0; 5), 6) не может, так как при любом й график функции у = kx + I пересекает ось ординат. 177. т = 0,8F -Н 0,72. 178. 1) п = 1,8 - 0,15<; 2) s = 120 - 24i. 181. 1) а) (0; 9); (-12; 0); б) принадлежит только точка А; в) да, это i^4-r ’^ f ь точка M(36; 36) пересечения графика данной функции с прямой у = X. 182. 1)1 — -21; прямая проходит через точку В-,2)1= 16; прямая не проходит через точку С. 183. 1) Нет; 2) да, (-5; -7); 3) нет; 4) да, (0; 4). 184. 3) у = -12х + 30; 4) у = 4б|д: |; 6) невозможно. О О 185. Прямая 1) параллельна прямой 4), а прямая 2) параллельна прямой 3). 186. 1) а) (/ = 2л: 2; б) I/ = 2х - 2; в) I/ = 2х - 4; г) J/ = = 2л: -Ь 4; 2) в) г/ = -i л: 1; г) г/ = —i л: - 1. 187. 2) Искомая прямая О О параллельна прямой у = -л:: в) у = -х + 2; г) у = -х - 2. 190. 1)2л:ч--1- Зу = 23. 1 тетрадь и 7 карандашей; 4 тетради и 5 карандашей; 7 тетрадей и 3 карандаша; 10 тетрадей и 1 карандаш; 2) Зх + 5у = = 50; 5 и 7; 10 и 4; 15 и 1 (на первом месте указано число трехкопеечных монет). 191. Проходит через точки А, В, С. 192. 1) с = 5; 2) с= -70; 3) Ь = -13,4; 4) а = 24. 195. 1) л: = 6,5, у = 3,5; 3) л: = -2, у = -2,5; 5) л: = 0; у = 0,5; 7) л: = 3, у = 4. 196. Имеет решение: 1), 2), 3) ; не имеет решений: 4), 5), 6). 197. 1) Имеет бесконечное множество решений; 2) не имеет решений; 3) имеет единственное решение; 4) имеет единственное решение. 198. 1) Точка пересечения прямых (-3; -1). Прямая Зх - 8у = -1 проходит через эту точку. 199. 1) Да, л: = 6, у = -4; 2) нет. 200. 1) а ^ 0, Ь = 0, с ^ 0; 2) а = 0, Ь 0, с 0; 3) с = о, хотя бы одно из чисел, а или Ь, отлично от нуля; 4) ^ > 0, о ^ < 0; 5) I 201. 2) Не являются графиками функции y = kx + l графики следующих уравнений: 0-л: + 0*у = 0, 0-л: -I--I- о • у = 3, л: = О, 2x -I- 6 = 0. Глава 3 Степень с натуральным показателем 203. 1), 2), 3), 7), 8), 9), 10) Да, применен распределительный закон умножения; 5) да, применен переместительный закон умножения. 205. 1) 60а + 845; 2) 3,6а - 0,45с; 3) 2,4л: + 0,016у; 4) -0,3а5 + + 0,5cd; 7) 5л:^ - 3,Ъаух - 3^ л:; 8) 0,48yft + 3,6су - 0,12у^. 206. 4)6р- Л; О 5) ^л: - 5у; 6)-life. 207. 2) 7; 4) 1у + 1; 6) 19а - 203. 208. 5)-25; 6) 13у. 212. 2) 5; 4) -а; 6) | • 213. 2) с^; 6) (2а)\ 220. 1) 0"; 0,5"; (-2,7)", 3", 7", (-9)"; 2) (-9)"; (-2,7)"; 0"; 0,5"; 3"; 7". 221.1) л — четное число; 2) л — четное число; 3) л — нечетное число; 4) л — любое натуральное число; 5) л — нечетное число; 6) л — любое натуральное число. 222. а) А(х) расположена левее В; б) А(х) расположена Ч V Т-- t *'/ г 7 I между точками О и С; в) А(лг) расположена правее точки С. 223. 2) (-0,7)3; (-0,7)4; (-0,7)2. 224. 2) 10". 225. 4) 1 т = г. 226. 2) 1,5 • 10». 227. 1) 2^ • 3»; 2) 2® • 3®; 3) 2® • 3® • 5'; 4) 2® • 3® • 7». 229. 2) -4,41; 3) -128; 4) -12,8; 5) -34,328125; 6) 5383,9. 230. 2) 8® или 4®; 6) (-3)®; 7) (-4)®; 8) j . 232. Верны утверждения 2) и 4). Контрпримером для задания 1) будет 2® = (-2)®, но 2 =/= -2. Контрпримером для задания 3) будет число -1 + (-1)® = 0, которое не является положительным. 233. Верны утверждения 3) и 4). 234. 1) а) 234 506; б) 7 002 001; в) 10 111; г) 90 000. 2) а) 3-10® -ь 5 • 10 + 7; б) 1 • 104 -Ь 4 • 10® + 3; в) 3 • 104 + 2; г) 2 • 10® 3 • 10® 4. 235. 22^ 222, 22®, 2®®. 239. 4) 8) р®». 243. 3) 3*>; 4) 5) З'». 244. 1) 4,4-10®; 2) 8,4-10^; 3) 1,7-Ю^; 4) 6,2-10*®. 245. 9) 10)x®o. 247. 1) (2®)10; 2) (24)®; 3) (2®)4; 4) (З*»)®. 249. 2) (5®)®®, (6*®)®, (5*®)4 и т. д.; 6) 9®®; 34®; (3®)®; (3*®)4 и т. д. 250. 4) Данные числа равны. 251.2) (5®)® - (5)4 = 5*®; 5) (±2а®)®(-а)® = -4а^ 252. 12) (0,2)®А*®; 16) 253. 2) 3,43-101^; 4) 1,28-10®°. 254. 11) (2а®5)4; 12) (За5®с®)®. 255. 3) 1000. 256. 1) Значение не изменится; 2) значение переменит знак; 3) значение не изменится. 257. 3) а**®; 4) d*" ^ *. 258. 2) 1; 4) 7«-3*®; 6) 13. 259. 2) (-fe4)3; 3) (-4с®)®; 4) (0,08**®)®. 261. 2) б) 1, 3, 3®, ..., 3**. Всего 12 делителей; в) 36 делителей; г) 121 делитель. 264. 1) 1440®; 2) 120 960®. 267. 1)а, г, ж, з, и, к. 2) г) коэффициент 1, степень 10; з) коэффициент -34, степень 0; и) коэффициент 1, степень 1; к) коэффициент 0, степень 0. 269.8) -^x*®j/®p^ — одночлен 26-й степени. 270.6) -**®р*®. О 271. 1) (4а5®)®; 5) (8а®5®)® или (4а®5®)®; 6) (-4а®5®)®. 272. 5) М = ±3л:; 6) М = ±45р®. 273. 4) 2i/-108(/®, 1/®-216(/, 6р - Збу® и др. 274. б) (5®)® - (25)®; г) 3® - (2дг®г/®)®; (Зх®)® - (2«/®)®, (Зх®р®)® - (2(/)®. 275.3) 6^л®р; 4) 1,45x4. 277. 3) -0,5; 4) -1,035. 278. 10) 279. 7) а®; 8) а®" - ®. 280. 2) ; 6) или . 281.3) /7 = 29; 284. 3) М = ±4а®5*®; 4) п = 2. 282. 9) \р-, 10) ^ . 283. 8) . 4) М = 4х4р®. 285. 7) I; 8) I; 9) 3; 10) ± . 286. 6) |. 287. 4) 9 и -9. 288.1)g;2)-|. Ш. V I ^ Глава 4 Многочлены 291. 3) 743 872; 4) 76 599. 292. 2) lOOp + 40 + ra; 4) 1000л + m. 293. 1) 4л: + 7; 2) 5x'^ + 4л: + 1. 294. 1) Нет корней; 2) один корень; 3) бесконечное множество корней. 295. 2) 2; 3) -4,1; 4) -1. 296. 1)48; 2) 83. 298. 1) 60; 2) 68. 300. 1) М = -ба^ + 17аЬ - Ь^\ 2)M = a2-3ab-6fe2. 301.2)(11с2-6с+ 13) - (9с2 - 9с + 17) = 2с^ + + Зс - 4. 302. Верны высказывания: 1), 3), 5), 6). 303. 2) (л:"* - 6) + 4- {Qx^y - х^у^ - Зу* - 4ху). 306. 1) Только четвертой степени; 2) четвертой, третьей, второй, первой и нулевой. 307. 1) За® - 5а® + 7а - 8 = = (а® - 7а® -ь 5а - 9) -I- (2а® -н 2а® + 2а + 1). 308. 4) 2й® 4- 7Ь - 1 = = (Ь® 4- 7Ь) -н (Ь® - 1). 309. 4) fc® 4- б - 10 = (ft® 4- 2ft) - (ft 4- 10). 312. 1) Зс - (2с - 2d) 4- 2d = с 4- 4d; 2) Зс - 2с - (2d 4- 2d) = с - 4d. 314. 1) а® • 2a®ft - 2а • a®ft = 0; 2) а® • 2a®ft : 2а : a®ft = 1 или (а® • 2a®ft): : (2a-a®ft)= 1. 315. 4с- 1. 316. р = 2. 317. 5. 318. 7) -л:® 4- 0,75л:®-- 0,5л:'* - 0,25л:®; 8) -Зр^ 4- 4,5р® - 1,2р® 4- 24^“. 319. 7) а - 15; 8) 2л®. 320. 1) 0,45; 2) -1 i ; 3) 0,058987; 4) -0,727181. 321. 2) 5ft® - 9ft 4- 4- 15; 3) 2у + 8; 4) р® 4- 14. 322. 5) л: = 17; 6) р = 23; 7) у = -7; 8) А = -10; 9) л: = -12; 10) 2 = -8. 323. 1) л: = -9, р = 4; 2) л; = 12, р = 10; 3) л: = ^, у = |; 4) л: = 4, р = 3. 324. 1) 75 км; 2) 30 км. 325.1) 21,6 км/ч; 2) 0,5 км/ч. 326. 1) 1 ч 50 мин; 2) 15 км. 327. 1) Через 24 мин; 2) 24 км. 331. 2) 6(2л: - у); 4) 5ft(6p - 7); б) 0,3л:(1 4- 2л:); 7)^(3- Юр); 12) -84а®(3л:'‘ 4- а). 332. 4) 3а®(3а® - 2); 9) 5(2а 4- 3ft - 4aft); 11) 2л:(2л:® 4- 4л: - 1); 12) а(3а® 4- 15aft - 5ft®). 333. 3) 6aft(2a - 30ft - 5ft®); 6)сл:р(с® 4- с - xy). 334.13) (д:-y)(x -y + 3); 14) 3(2a - 3ft)(a - ft); 15) 2(a - 2)(2a - 3); 16) (л: - 8)(16 - Зл:). 335. 7) -1; 8) . 336. 5) I; 6) 1.337. 4) ; 6) ^ . 338. 1) -81; 2) -2,5; 3) -5; 4) 24. 340. 5) л: = l|, л: = 4; 6) p = |, p = 2,5. 341.1) 1743; 2) 5; 3) -700; 4) 0,2; 5) 1; 6) 5430. 342. 1) -3,632; -3,496; -3,544; -3,728; 3) 118,9036; 25,4596; 4,4596; 12,1036. 344. 9) a® - 6a® 4- 11a - 12; 10) a® - a® - 43a - 6. 345. 3) Юл:'* 4-4- 17л:®р - 12л:®р® - 16л:р® 4- Зу*\ 4) 72ft" - 13ft® - 107ft® 4- 66ft - 24. 348. 1) л:® 4- 6л:® 4- 11л: 4- 6; 4) 6а® 4- 22а® 4- Юа - 6. 349. 7) а® 4-+ 22а - 28; 8) ft® - 4ft® + 2. 350. 1) 45; 2) 0,1; 3) 12; 4) 2. 351. 1) 25; 2) 78. 353. 1) 17, 18, 19, 20; 2) 62, 63, 64; 3) 26 см, 14 см; 4) 10 м, 8 м; 5) 154 дм®; 6) 3234 м®. 354. а) Вторая, -бл"®, 20; б) пятая, -Зл:®, 2; в) пятая, л:®, 0; г) четвертая, Зл:"*, 4. 355. 9) (а - Ь)(а - ft - 7); 10) (л: - р)(1 4- д: - р); 12) (р - k)(p - k - у). 356. 7) (л: 4- а)(х - ау); 8) (а - х)(ал - л:); 9) (а - 3)(а® 4- 2); 10) (Зх - 1)(л:® 4- 4); 11) (ас 4- 2) х 4г x(5a^ - 3fec); 12) (xy - 3)(8y^ - 7a). 357. 1) {a - c)(n^ - P + P^)\ 3) (c^ - x)(a - b - c); 4) (г/^ - a)(x - f) + 1). 358. 2)(x + 2 - y)(x - у + 1). 359. 1) 200; 2) 7000. 360. 1) 0; 2) 0; 3) -0,010314; 4) 2,39775. 361.3)^; 4)^; 5)" ;6) . 362. 5) л: = 5; 6) г/ = 0, j/ = 2, у-2’ ' a + 3’ ' b + 3’ ' x- 1 j/ = 1, j/ = -1. 363. 4) 36J/5 - 54y* + lOy - 15 = (2y - 3)(18i/* + 5). 364. 1) 350 km; 2) 10 km; 3) 80 km; 4) 17 km. 365. 1) (x - IK^r" + 1); 2)(x - 2)(x"-i - 2). 369. 4) 2-0,75a2b; 5) 2‘0,5c4; 6) 2 • i О 370. 2) Может; 4) не может. 371. Не может. 372. 1) 26; 2) 45; 3) 4; 4) 208. 374. 1) Неправильная; 2) неправильная; 3) неправильная; 4) правильная. 376. 7) (6а - 7с)^ = Зба^ - 84ас + 49с^; 8) (5л: + 8у)^ = = 25д:2 + 80ху + 64г/2. 377. 12) ^ + xV + 4^4_ 373. 2) Невозмож- но; 7) невозможно; 9) ((а -!-&)-(- 2а)^ или (За + Ь)^; 12) невозможно. 379. 4) 16а‘‘; 5) 48ру*х или -48ру‘*х. 380. 7) 12 и -2. 381. 7) р* - г2 ' -18р2 + 81; 8) 10 000 - с». 383. 3) ; 6) ; 9) 4 • 384. 6) -4а. - С - 4 а - 10 387. 4) ■ 388- 3) 1431 = 1600 - 169 = (40 - 13)(40 13) = = 27*53 = 33 • 53. 393. Площадь квадрата на 100 см^ больше площади прямоугольника. 394. 1) л: = 0, д: = 1, л: = -1; 5) д: = 1, д: = 5, д = -5. 395. 4 - i а*Ь*. 398. 1) + (а - 3)2; 5) (ft - с)2 + (с -(- 7)2; 6) (2л -f //)2 -I- (л - 4)2. 399. 1) 64 и -196; 2) -484 и -676. 400. 1) (5д -- 2)2; 2) (8д + 7)2. 401. 1) д = 0, р = 0; 2) нет решений. 402. (0; 0), (-2; -2), (0; -1), (-2; -1). 404. 1) 16, 17 и 18; 2) 6, 7 и 8. 407. 3) Наименьшее значение выражения пункта 1) при: а) а = —2; б) & = -|. 409. 6) 3afe2c(20abc2 - 7)(20а6с2 + 7). 410. 3) 8(а - 2)(а -i- 8); 5) (а - 2Ь)(а + 2Ь){а + 8Ь)Н 6) (2 - у^)(2 + у^)(2 - Зр3)2. 411.5) (а -I- ЗЬ) х х(а- ЗЬ - 3); 7) (Ь с)(2Ь - 2с - 5). 412.Ъ){Ь + с+ 7){Ь - с - 7); 7) (ах-Ь--с)(ах - Ь + с)\ 8) (р + ky - х)(р + ky + + д). 413. 2) (а -Ь д - fc - у){а + д -(- fe -I-+ уУ, 4) {аЬ + cd-ac+ bd){ab + cd + ас - 1 . -bd). 414. 2) ^ + 3) X + у Ь - с 5) а + с . 417_ 7);с = -2, с - Ь - а -а- 5 д = -3, д = 3; 8) г/ = -2, у = 2, у = 3. 419.1) Рис. 70. 2) а) (f ; о), (0; -3); б)(0; -1), с осью абсцисс график не имеет общих точек. Рис. 70 Глава Вероятность 424. 1) 6; 2) равновероятны, если игральная кость честная. 425. 1) 36 возможностей; 2) а) равновероятны; б) равновероятны; в) нет, более вероятно вытащить карту бубновой масти. 426. 1) 6 возможностей; 2) а) равновероятны; б) более вероятно вытащить красный шар. 427. 1) а) 100 возможностей; б) 55 возможностей; в) 45 возможностей. 2) Менее вероятна возможность купить невыигрышный билет. 428. От двух до 12 очков. Возможности не равновероятные. 429. 1) 100 способами; 2) а) 20 возможностей; б) 80 возможностей. 432. Из колоды вынули какую-либо карту. Из 36 возможностей. 433. 0,01. 434. 0,2. 435. 0,3. 436, |. 437. 0,2. 439. 1) 0,4; 2) 0,6. 440. i . 441. 1) РРР, РРО, POP, ОРР, РОО, ОРО, О OOP, ООО; 2) а) 3 ; б) 3 ; в) I; г) 1.442. Всего есть шесть равноверо- О О О О ятных возможностей расставить три книги на полке. 1) i ; 2) i; 3) I; 4) 1.443. 1) ± ; 2) ; 3) ^ ; 5) 0,5; 6) 0,5. 444. Наибольшая вероятность выпадения в сумме 7 очков. Она равна i. 445. 240. 446. 12 маршрутов. 447. 1) а) 6 членов; б) 12 членов; 2) а) 4; -7; 6)36; -40. 448. 1) а) 4 делителя; б) 16 делителей; в) 32 делителя; г) (/ei + l)(fe2 + l )..•(*„. + 1). 2) а) Простое число; б) квадрат простого числа. 449. 1) а) п\ способами, где п — число учеников вашего класса; б) 61 = 720 способами. 450. 1) 24 числа; 2) а) |; б) 1; в) |; г) 0. 451.96 чисел. 452. 24 способами. 453. 6 стран. 454. 8) 19 600; 9) |; 5001 500 >4^^-^56.Верно1),3), .ICC СЧ 999! ^ 1000! . д, 10) 15. 455. 5) ggg, < ggg, , б) ^ ^ 4), 6). 457. В заданиях 1), 2), 4) ответ «да». 458. 1) Тремя нулями. 459. 1) ^1 ; 2) k{k + 1); 3) 2п(2п -(- 1); 4) 3^(3т - 1) ^ ^ {п — 1)П л = 17; 2) л = 11; 3) л = 10; 4) л = 10. 461.1) а) 24 способа; б) 24 360 спо-собов. 462. 24 страны. 463. 1) Cj^ • 12 = 1092; 2) = 364; 3) = = 286. 464. 1) 98 способов; ^ = 0,01; 2) = 0,25; 3) ^ = 0,2. 99 465. 1) а) Cf = 35 способов; б) C|s = 2300. 466. 1) Cfo = 45 партий; ф ----------------------------------------------—. 2) 5 человек. 467. 1) 78; 2) 230300; 3) 715; 4) ^ ; 5) . 468. 1) ^ = 17 12 Cg5 5C|o -0,5; 2) = 0,4. 469. 1) л; = 7; 2) д: = 4; 3) x = 7; 4) д: = 59. ^25 470.1)a) jL;6) A; 2) A; 3)а) jij;6) jIj, ^ 21 35 C| C? 12 =^2)^=f;3)g=^.472.1)P,= Cif 24. 2) = I - 473. 1) AJo; 2) 107. 474. Afj. 475. 1)20 ll- чисел; 2) 180 чисел; 3) 900; 4) 900. 476. Af = 12 словарей. 477. C% = = 303 996.478. 113.10-*= 13 310 000. 479. lOOClg-480. 4608. Глава 6 Повторение 481. 1)50; 2) 1236; 3) 1; 4) 1.482. 1) 0,5; 2); 3) ^ ; 4)-2; 5)0,5; О 4 6) -0,13; 7) 0,72; 8) 0,25; 9) -1; 10) 0,25; 11) 1; 12) 0. 483. 2) 1; 4) 8 ' 486. 1) Может при а = -1, i> = 0; 2) может при а = -1, & = 0; 4) может при а = -1, ft = 1. 487. 1) 0,25; 2) -26,5; 3) 2 А ; 4) 75,6. 488. 1) 2i ; 1 ^ Ы 2) 0,2; 3) -4^; 4) 2,5; 5) 0,1; 6) 12. 489. 1) 70 кг; 2)-61 кг. 490. 1)2972; 2) 534; 3) (((д: - 7)д: - 26)д: + 130)д: + 34; 121,2256; 4) 2296,6071. 491. 1) А = ^ jx деталей; 2) д; = Q ; ^ j ч; 4)S = xft + -1 + d км; 5) Т = ч; 6) через —-— ч; d = s- и• - . I. !/ J V - и и + V и 496. 1) Шесть; 2) равны. 497. На 99. 498. 1) а) Нечетным; б) четным; 2) а) четным; б) четным; 3) а) четным; б) нечетным; 4) а) нечетным; б) четным. 499. 2520. 501. 1) Тремя нулями; 2) в частном получится 103 681, а в остатке 29. 502. а) п > k; |л| > |fe|; б) л > k; |ft| > |л|. 503. 1) 6 > а, так как точка Ь расположена правее. 2) Установить, какое из данных чисел имеет больший модуль, невозможно: если о расположен ближе к а, то |Ь| > |а|, если ближе к Ь, то |а| > |ft|, если на равном расстоянии от ап Ь, то |&| = |а|. 504. 1) Все координаты уменьшатся на 3; 2) все координаты увеличатся на 4. 505. 1) Уменьшились на 10; 2) а) увеличились на 10; б) уменьшились на 10; ЛГ. / V 3) да, число 5. 506. a) p > О, qf > 0; б) p < О, g > 0; в) p < О, g < 0. 508. 1) a) Ai(-5; -3), Bi(l; -7), Ci(3; 1); 6) Ai(5; 3), Bi(-1; 7), Ci(-3; -1); B) Ai(5; -3), Bi(-1; -7), C^(-3; 1); 2) a) K^(-6; 0), M^(0; -4), Ni(2; -8); 6) AT,(6; 0), MjCO; 4), N^{-2; 8); в) A:i(6; 0), Mi(0; -4), Ni(-2; -8). 509. 1) B{-2; -3), S^bcd = Ю • 12 = 120; 2) (3; 1), (3; 7) или (-9; 1), (-9; 7). 510. 1) (4; -7), (9; -7) и (9; -2); 2) (-1; -2), (-1; 3) и (4; 3). 511. 1) Все точки расположены в правой полуплоскости на расстоянии 3 от оси ординат; 2) а) прямую; б) прямую; в) ось ординат; г) ось абсцисс; д) правую координатную полуплоскость; е) нижнюю координатную полуплоскость; ж) вторую координатную четверть, биссектрису первого и третьего координатных углов. 512. 1) Полуплоскость, расположенную справа от прямой х = 3; 2) полуплоскость, расположенную сверху от прямой у = -4; 3) две полуплоскости, расположенные справа от прямой х = 1 и слева от прямой X = -1; 4) полоса между прямыми х = 1 и х = -1; 5) две полуплоскости, расположенные сверху от прямой у = 2 и снизу от прямой I/ = -2; 6) полоса между прямыми у = -2 и I/ = 2. 521.5) Необязательно. Лодка могла двигаться по окружности, центром которой является причал. 522. 9) Нет. Расстояние между яхтой и катером можно найти по графику только в первые 20 мин и последние 10 мин плавания яхты, так как в это время катер стоял у причала и расстояние до яхты практически отмерялось от него. 526. 2) -0,5; 4) 70. 527. 1) А: = -|, г = 8; 2) Л = I, / = -6. 528. 1) /е = 1, г = 2; 3)^=1,Z = 0; 4)А= i,i = 4i 529. 1)/г = 3, Z = -5;2)fe = -|,Z=|. 530. а) fe = -2, Z = -2; б) ft = ^ 5 / = -2; в) ft = 5 , ; = 4; г) ft = -1, i = 4. О 532. а) Рис. 71, а; б) рис. 71, б; в) рис. 71, в. 533. в) Рис. 72, а; г) рис. 72, б. 534. 1) Да; 2) нет. 536. 1) 2) 4ai°x8; 3) -32х^^у^; 4)x8ft®n’‘*. 538. 3) цЗ - 12а - 16; 4) 2Ь^ - 27Ь^ + 108ft - 108. 539. 2) ЮОаЗ; 3) 62nk^; 4) 2а^х. 540. 4) 64а(16а2 -ь 1); 8) (ху - 3)х X (8у2 - 7а); 10) 16(х - 4у)(х + у); 11) а(а - 1)(а - 5). 542. 6) 2(2х + Зу) х х(9у - 4х); 9) (а + Ь)(а - ft)(x -I- у)(х - у); 10) (а - ft)(a -ь ft - у)х X(а^- ау - by + Ь^У, 12) (а -t- ft -ь с + d){a - Ь + с - d){c + d - а - Ь)х х(с - d - а + Ь). 543. 3) При ft = 74 и ft = -178; 4) при ft = 720 и а 4-3 04 ft + 4 rzAtz 14 а-2 . „4 1-ft ft = -320. 544. 7) X 4 2 3) ^ о “^•■-5 ft4-e a 8) - ft (/ + 5 ' 545. 1) a 4- 12 2) ft 4- 5 ;6) .551.1)8, 9 и 10; 2) 7 и x4-y-5’ 'ft4-e’ 'a-ft4-c' ' x-y 8. 552. 1) a) Шестая; 6) четвертая; в) шестая; г) шестая; 2) а) 49; б) -1; в) 9; г) 1. 553. р = 2. 554. 1) у = -12; 2) у = -4; 3)х= 0,5; 5) X = -0,1; 6) X = -0,505. 555. 1) х = 0; 2) х = 12; 3) х = 7; 4) у = 10. Рис. 71 Рис. 72 556. 1) у = О, у = -20; 2) л: = О, л: = 15; 3) р = О, р = 0,5; 4) q = О, 9 = -1,5; 5)jc = -ll,x=ll;6)x = 2,x = -2; 7) р = А , у =-^ ; 8) л: = = 5, х = -5; 9) л: = 2, д: = 8; 11) г = 5; 12) х = -3, х = -2, х = 3. 558. 1) X = 10, р = 0; 2) X = -li , р = -^ ; 3) X = -|, р = -2; 4) X = 4, р = 13; 5) X = i , р = -3; 6) X = 2,3, р = g . 559. 1) х = 5, р = 7; 2) х = 8, р = 7. 560. 1) Нет; 2) да, х = 10, р = 1. 561. 1) х = За - ЗЬ, у — -2а; 2) X = а - 65, р = 2а + 5. 562. 1) х = 25, р = 21; 2) х = 33, р = 17; 3) X = 41, р = 16; 4) X = 27, р = 13. 563. 1) х = -2, р = 3, г = 5; 2) х = =-2, р = 1, 2 = 3. 564. 1) 25 км; 30 км; 22 км; 2) 2100 человек, 1400 человек, 1050 человек. 565. 1) 5 кг и 14 кг; 2) 8 кг и 15 кг. 566. 1) 260 коров; 2) 6,8 т. 567. 1) 25 т, 15 т; 2) 60 т, 40 т. 568. 1)8,4 л, 11,2 л; 2) 8 кг, 6 кг. 569. 1) 1200 м^; 2) 224 га. 570. 1) 12 дней; 2) 60 станков и 50 станков. 571. 1) 18 900 ц, 19 200 ц; чФ; п' 2) 2250 ц. 2400 ц. 572. 1) 0,7 т и 0,4 т; 2) 25 дней. 573. 1) 86,1 кг и 18,9 кг; 2) 2 кг; 3) 20 и 40 м^. 574. 1) 600 и 250. 575. 1) 150 ч и 100 ч; 2) за 10 ч и за 15 ч. 576. 1) 196 м^; 2) 2400 м^. 577. 1) 24 км и 21,25 км; 2) 30 км и 36 км. 578. 1) 24 км и 30 км; 2) 10 км и 18 км. 579. 1) 160 км и 240 км; 2) 54 км и 24 км. 580. 1) 4,5 км/ч; 2) 30 м/мин. 581. 1) 190 км; 2) 6 км. 582. 1) В 11 ч 24 мин, в 224 км от В; 2) в 10 ч 30 мин. 583. 1) 90 км; 2) 576 км. 584. 1) 4,5 км/ч, 5,5 км/ч; 2) 5 км/ч, 11 км/ч. 585. 1) 16 см, 6 см; 2) 10,5 м; 13,125 м; 3) 4 м, 5 м. 586. 1) 8 ч 43 мин 38 с; 2) на 1 мин 22 с. 587. 48 ч. 588. Через 4 года. 589. Верно решено 12 задач, а в 8 допущена ошибка. 590. Подбором находим, что в аквариуме живут 4 осьминога и 5 кальмаров. 591.35 миль. 592. 9. 593. Цена лошади 25 монет. 594. 84 года. Практикум по решению текстовых задач 1. 1300 м®. 2. 1120 га. 3. 429 деталей. 4. Через 4 дня. 5. 150 л и 50 л. 6. 78 т и 52 т. 7. 86,1 кг и 18,9 кг. 8. 2 кг. 9. 3 кг. 10. 1440 м^. 11.5000 дм^. 12. 221 см^. 13. 121 км. 14. 6 км. 15. 24 км. 16. 24 км и 30 км. 17.18 км и 10 км. 18.21,25 км и 24 км. 19.17 км. 20. 32 км и 14 км. 21.26 км. 22. 36 л и 48 л. 23. 15 книг и 17 книг. 24. 7500 р. и 12 000 р. Проверь себя! Домашние контрольные работы Работа 7.1.1. 2. 3^ . 3. 35 - 2(ц + и) км. О 5. 1) Нет; 2) да, например, -0,1 < (-0,1)^. Работа 2. А. х = -8, х = 0,х = 9.2. х=7,у = -2. 3. 8,5 см и 6,5 см. 4. 60 и 20. 5. 48. Работа 3. 1. 1)-90; 2)0,592; 3) 1^. 3. Да, л: = -11. Ъ.у=\х. 45 о Работа 4. 1. График проходит через точку Л. 4. Не пересекаются. Работа 5. 2. 1) 2) 3) _б4сб; 4) ^ 3. 1) 25.2^ = 4^; 01 2) 28 • 2« < 88. 4. 1) 6,4 • 1018; 2) 2,88 • Ю"”. 5. 225 мин. Работа 6. 1.4^ а'^х^*. 2. 1) ; 2) x‘^. 3. 1) л: = -|, х = |; 6 5а'^ о о 2) л; = 5. 4. а8 < а < - . --------\ г-■ Работа 7. 1. Заб + b^. 2. {a* + 2a^) - (3a® - 5a + 9). 4. л: = 0, д: = 2. Работа 8. 1. -a® - 27a + 30. 2. 1) (Зд: - 5i/)(3 — 4xy); 2) 4(3a - 4)2(a - 1). 3. 225 cm®. 4. у = 2. Работа 9. 1. 1) Идс® - 84дс + 98; 2) 23г/® + 12у - 36. 3. 1) (д: - 2)®(дс® - 4дс - 4). 4. ^ ^ ^ . 5. Да, например, а = 35. хНх - у) Работа 10.2. 3.1)256; 2)4500; 3)1800. 4.1)39 800; А Работа 11. Л. 18с®- 50с® + 48с. 3. 60 км. 4. х = -2,5, у = 2. СОВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Глава Математический язык 2. С о в е т. Достаточно найти значение делителя. 12. Р е ш е н и е. 1) 60 - (12 + 10) • 2 (км); 3)19600 ; 220 • 20 1200) . .. 5 ) 100-(20+ 25) страниц; (100-30-25)-600 6) ------ КМ. 100 13. Решение. Утверждение б) неверно потому, что разность двух одинаковых чисел равна нулю, а число нуль не натуральное. Утверждение г) неверно, потому что частное двух натуральных чисел может быть дробным, например 3:2 = = 1,5. Утверждение д) неверно, потому что квадрат нуля равен нулю, а число нуль не является положительным. 29. Р е ш е н и е. 1) Обозначим сторону квадрата буквой а. Если ее увеличить в 8 раз, то получим сторону нового квадрата, равную 8а. Запишем площадь старого и нового квадрата: Sj = а^, Sg = (8а)2 = 64а^. Видно, что площадь увеличилась в 64 раза. 2) Обозначим сторону куба буквой а, тогда его объем равен Fj = а^. Уменьшим сторону куба в 4 раза, она будет равна а : 4. Найдем объем нового куба: V2 == (а : 4)^ = а® : 64. Сравним а^ и а® : 64. Значит, при уменьшении стороны куба в 4 раза объем уменьшился в 64 раза. 3) Длина окружности равна Cj = 2лг, где г — радиус. Уменьшим радиус в 14 раз, получим г : 14. Подставим его • о 2яг значение в формулу длины окружности и получим: Cg = . Видно, что при уменьшении радиуса окружности в 14 раз ее длина уменьшится тоже в 14 раз. 37. Р е ш е н и е. 1) Чтобы модули чисел были равны, они должны находиться на одинаковом расстоянии от нуля. Расстояние между этими числами по условию задачи равно 10, а нуль находится в середине этого отрезка. 10:2 = 5, следовательно, одно число равно 5, а второе -5. Проверим: -5 -Ь 10 = = 5,1-5| = |5| = 5. Задумали число -5. 42. С о в е т. Полезно помнить, что многочлен имеет смысл при всех значениях входящих в него переменных, дробно-рациональные выражения имеют смысл, когда знаменатели отличны от нуля. 67. Совет. Подумайте, при каких значениях х число будет раскладываться на множители, следовательно, не будет простым. 75. Решение. 1) Стоимость 4 кг дорогого чая 1040р., а смеси — 920 р., т. е. на 120 р. дешевле. Замена одного килограмма дорогого чая на 1 кг дешевого уменьшает стоимость на 40 р. Значит, дешевого чая в смесь нужно положить 3 кг (120 : 40 = 3). Получаем уравнение: 220л: -Ь 260(4 - л:) = = 230-4. 2) Цена 1 г дорогих конфет составляет 0,15 р., а менее дорогих конфет — 0,11 р. Пусть взяли х г дорогих конфет, тогда дешевых 1000 - х. Теперь составим уравнение: 0,15л: -Ь + 0,11(1000-л:) = 120. 85. Решение. 1) д) Второе уравнение получено умножением первого на х. При этом мог появиться лишний корень л: = 0. Однако 0 не является корнем второго уравнения, значит, оно равносильно исходному, е) Второе уравнение получено умножением первого на л: -f 2. При этом появится лишний корень X = -2. Значит, уравнения не являются равносильными. 95. Совет. Решите уравнение: 5) 4г/ - 47 -f 10 = г/ Ч- 2; 6)2(6у- 19)= 12у- 1. 97. Совет. 2) Составьте уравнение, используя записи трех последовательных четных чисел 2п - 2, 2п, 2л 4- 2 и решите его. 3) Составьте уравнение, используя записи трех последовательных нечетных чисел 2п - 1, 2л -Ь 1, 2л ч- 3, и решите его. I и 98. C о в e T. Замените уравнение с модулем двумя уравнениями без модуля: 1) 2л: - 1 = 3 и 2д: - 1 = -3; 2) Зл: -I- л: = 11 и Зл:-л: = 11;4)7-л: = 2л:-5и7-л: = 5-2л:и решите их. 99. С о в е т. Подставьте корень в уравнение и решите его относительно переменной а. 101. С о в е т. 2) Решите уравнение X — число учеников Пифагора. Можно подобрать корень уравнения, зная, что оно натуральное и кратно числам 4 и 7. 104. Р е ш е н и е. 1)Не может, потому что левая часть уравнения при целых значениях переменных делится на 4, а правая нет. 2) Не может, потому что левая часть уравнения при целых значениях переменных делится на 13, а правая — нет. 3) Может, например, л: = -4, £/ = 3. 4) Может, х = у = 0 или л: = -9, у = 7. 5) Может, например, х = 3, у = 0. 6) Не может, потому что левая часть уравнения при целых значениях переменных делится на 2, а 17 не делится на 2. 118. Р е ш е н и е. 2) Пусть ежемесячный заработок равен [и 4- 10 = 12л:, X флоринов, а одежда стоит у флоринов. Тогда: iy + 2 = 7х ® -2,1/= 9,2. 5л: о 8 7 Ответ: 9,2 флорина. 119. С о в е т. 2) Необходимо решить систему уравнений 8(л: + у) + 6х = 192, ъ\х + у) + 7х= 1А& ^ ^ воды подает горячий кран за 1 мин, у л воды подает холодный кран за 1 мин. 120. Совет. 2) Необходимо решить систему уравнений 0,3а-0,255 = 20, 0,35 - 0,2а = 8, где а и 5 искомые числа. Глава 2 Функция 138. с о в е т. Для заполнения таблицы и построения гра- фика используйте функцию: 1) d = 2100 - 35t; 2) s = 10 - 4t. 145. Ре ш e н и e. 1) Известно, что зависимость между переменными х и у выражена формулой у — 2,5л:, а зависи- Ш- 'Гуг ^ • Сг- f t-. 8- I 1ёп мость между переменными х и г выражена формулой х = 6z. Подставим значение х в первую формулу и получим зависимость между переменными у и г; у = 2,5х = 2,5 • б2 = 15г. Пропорциональны. 146.Решение. 1) Если л: кг — масса цинка, тогда масса меди (70 - дс) кг. Так как известно, что масса цинка относится д: _ 2 3 ■ к массе меди как 2 : 3, можно составить уравнение 70 - д: По правилу пропорции находим, что Здс = 140 - 2х, 5х — 140, X = 28 (кг) — масса цинка, 70 - 28 = 42 (кг) — масса меди. Ответ: масса цинка 28 кг, масса меди 42 кг. 154. Решение. Составим равенство отношений одно- -12 -15 именных координат точек: . Равенство верное, значит, данная прямая проходит через точку Е. 164. Совет, а) Составьте и решите систему уравнений: 3k + l = 4, 5k+ 1 = 0. 165. Решение. 2) 4х - 5 24 -ь Зх , 12х - 15 = 48 -Ь 6х, 6х = 63, X = 10,5. /(10,5) = -- = 18,5. 166. Решение. Выразим из формулы ^ °F = l,8f°C -i--1-32 температуру по Цельсию l,8i°C = t°F - 32, t°C = С *7 = 2f°F-17g и подставим в формулу температуры по Кель-У у 5 2 вину, в результате получим t К = °F + 255- °. 171.Совет, k = 0,3, а значение I найдите, подставив в уравнение у = 0,3х + I координаты данной точки. 185. С о в е т. Выразите из уравнений у через х и сравните угловые коэффициенты прямых. 193. С о в е т. Можно либо найти координаты точки пересечения прямых, либо подставлять координаты данной точки в уравнения прямых. Глава 3 1 Степень с натуральным показателем 204. Решение. 1) Областью допустимых значений равенства + а = являются все числа, однако при а = 1 равенство 1^ -1- 1 = 1^ становится неверным, так как 2ф\. 7) Областью допустимых значений равенства = -5 являются все числа, кроме а = О, однако при а = -1 равенство 51-11 с к становится неверным; —^= -о, 5 # -о. 233. С о в е т. Последняя цифра степени находится по последней цифре натурального числа в основании степени. Переберите все цифры. 238. Р е ш е н и е. 1) Проверим формулу при п = 2. Пирамида состоит из двух дисков: большого (Б) и маленького (М). Перемещение 1: перенос М на вспомогательный стержень. Перемещение 2: перенос Б на нужный стержень. Перемещение 3: перенос М на нужный стержень. Для двух дисков понадобилось три перемещения. 3 = 2^ - 1. Проверим формулу при л = 3. Сначала за три перемещения перенесем на вспомогательный стержень два верхних диска. Затем перенесем на нужный стержень нижний, самый большой из дисков. Наконец, еще тремя перемещениями перенесем два диска со вспомогательного стержня на нужный. Итого нам потребовалось: 3-Ы + 3 = 7 = 23-1. Заметим, что 34-1-ЬЗ = 3*2-Ы=(22-1)-2 + 1 = 23-2-Ы = = 23 - 1 = 7. Аналогичные рассуждения для л = 4 приведут к выражению 7ч-1-ь7 = 7- 2-Ы = (23-1)-2-И = 2'*-2-И = = 2^* - 1 = 15 и т. д. 2) Р е ш е н и е. 1. 2<54 - i = (232)2 _ i = (232 _ 1)(2зг + i) = = ((216)2 _ 1)(232 + 1) = (216 _ 1)(21б + 1)(232 + i) = = ((28)2 _ 1)(21б + 1)(232 + 1) = (28 - 1)(28 + 1)(21б + 1)х X (232 + 1) = (24 _ 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) (232 + 1) = = 15(24 + 1)(28 _ 1)(21б + 1)(232 + 1), Поскольку один из множителей кратен 5, а другие являются натуральными числами, все произведение кратно 5. --— " / t Решение 2. При последовательном возведении 2 в степень с показателями 1, 2, 3, 4, 5, б, ... последней цифрой результата будут 2, 4, 8, 6, 2, 4, ... Цифры повторяются, причем на 4-м, 8-м, 12-м, ..., 60-м и 64-м месте оказывается 6. Значит, 2®'* оканчивается цифрой 6, а 2®“* - 1 оканчивается цифрой 5 и по известному признаку делимости кратно 5. 250. Решение. 4) Представим числа в виде степени с основанием 5: 25® = (5®)® = 5®, 125® = (5®)® = 5®. Данные числа равны, т. е. 25® = 125®. 260. Д О ка 3 ате л ь ст в о. а) 8'^ - 2i® = (2®)’’ - 2*® = = 2®^ - 2^® = 2i®(2® - 1) = 21® • 7. Видно, что число делится на 7 и на 2, значит, оно делится на 14. Что и требовалось доказать. 264. Решение. 1) (5 • 32 • 25)® = 1440®; 2) (27 • 33 • 5 • 7)® = 120 960®. 266. Доказательство, а) 100 002“* > 100 000“* = 10®® = = 10000® > 9997®; б) 31** < 32** = 2®® < 2®® = 16*^ < 17**. 266. Р е ш е н и е. Значения выражений (-2)®а®6®с" “ * и (—3)®а®6®с" * имеют разные знаки, так как (—2)® > 0, (-3)9 < < о, 5® И 6® одного знака, с" ~ * и с" ^ * одного знака, а® > 0. После умножения на а первое выражение должно свой знак изменить, следовательно, а < 0, 284. Р е ш е н и е. 4) Выразим М® из равенства: М® = 56д:*®У*®8уЗ ^ 64^12^18. м = 4х^у^ 285. Решение. 169.519 _ (24)9.519 10) 236.519 1 20®° (22-5)20 2*0.520 2*-5 80 287. Решение. 4) ^52 . д-29 (д;®)**д!:0(л:*) = 81, л:® = 81, л: = 9, л: = -9. ^.=81, г81 ,42 + 9 + 28 = 81, ,81 г 79 Глава 4 Многочлены 307. Решение. 2) За® - 5а® -ь7а-8 = С-а®-а®-1-6 или За® - 5а® -Ь 7а - 8 = а® + а® - 6 - В. С = За® - 5а® 4- 7а - 8 + а® 4- а® - 6, С = 4а® - 4а* 4- 7а - 14. 3 ЗаЗ - 5a2 + 7a - 8 = аЗ + a2 - 6 - в, в = аЗ + a2 - 6 - (ЗаЗ -- 5аЗ + 7а - 8), В = аЗ + аЗ - 6 - ЗаЗ + 5аЗ - 7а + 8, В = -2аЗ + баЗ - 7а + 2. 311.Решение. 2) 2а&з + ЗаЗЬ + 5а&з - 2аЧ - 7а&з = аЧ. 315. Решение. Прибавить к первому слагаемому — это значит прибавить к сумме. Произведем действия с суммой, указанные в задании: Зс+1 + 2с-4-с + 2 = 4с-1. Видно, что нужно вычесть 4с - 1. 316. Р е ш е н и е. Приведем левую часть равенства к многочлену стандартного вида относительно переменной х и будем приравнивать коэффициенты многочленов в обеих частях равенства. Сначала найдем с = -1. Затем а + Ь = -1 и, наконец, р = 2. 317. Р е ш е н и е. Составим указанную сумму: (19,1)3- 1,7.(19,1)3+ 2,5 + (-19,1)3 - 1,7• (-19,1)3 + 2,5 = = 2,5-f 2,5 = 5. Видно, что первый и четвертый члены уничтожатся, а также второй и пятый. 328. Ре ш е н и е. Обозначим задуманное число буквой х, тогда X + 2 — число, увеличенное на 2, (л: -f 2) • л: — произведение задуманного числа на результат сложения, (л:-1-2)*л:-1-4- 10 - л:3 - 2х = 10. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. л:3 Ч- 2л: -Ь 10 - л:3 - 2л: = 10. 339. Доказательство. 6) Чтобы доказать, что сумма 7® + 7® кратна 350, нужно разложить сумму на множители и среди этих множителей увидеть делители числа 350. Разложим число 350 на простые множители: 350 = 2-52-7. Разложим на множители сумму: 7® -Ь 7® = 7® *(72 -1- 1) = = 7® • 50 = 7® • 2 • 52. Видно, что сумма делится на 350. 352. Доказательство. 2) (п -Ь 8)(п 4- 9) - п(п - 7) = п2 4- 17п 4- 72 - п2 4- 7п = 24п 4-4- 72 = 24(п 4- 3) делится на 24. Что и требовалось доказать. 353. Р е ш е н и е. 5) Пусть длина меньшей стороны картины X дм (рис. 73). Тогда 2(л: 4- 2) • 1 4- 2(л: 4- 3) • 1 = 54, 4х = 44, л: = 11 (дм). Найдем площадь картины без рамки: (х 4- 3)х = (11 -h 3) • 11 = 154 (дм2). -л Г ' Рис. 73 Ответ: 154 дм^. 6) Пусть меньшая сторона участка равна х м (рис. 74). Тогда {х + 17)х - (х + 3)(л: - 14) = 1414, 28х = 1372, л: = 49 (м). Найдем площадь участка: (х + 17)л: = (49 + 17) • 49 = 3234 (м2). Ответ: 3234 м2. 362. Р е ш е н и е. 6) - 2у^ - + 2у = О, уНу - 2) - у{у - 2) = О, (у - 2)(уЗ - у) = О, у(у - 2)(у2 - 1) = О, У(У - 2)(у - 1)(у + 1) = О, у = О, у = 2, у = 1, у = -1. 363. Решение. 4) Чтобы заполнить пропуски в выражении Збу^ - 54у^ + 10у - ... = (... - ...)(... -f ...), нужно предварительно вынести общий множитель у первых двух членов Збу^ - 54у‘‘ = 18у‘*(2у - 3). У следующих двух членов тоже должен быть общий множитель 2у - 3. Вынесем этот общий множитель: 5(2у - 3). Раскрыв скобки, найдем четвертый член в левой части: 10у - 15. Теперь восстановим всю запись. Збу5 - 54у4 + 10у - 15 = (2у - 3)(18у'> + 5). 365. Решение. 1)л:" + '-л:'’-1-д:-1 = jc"(x - 1) -Ь (л: - 1) = = {х- l)(jc"-f 1); 2) x'^ - 2х" ~ ^ - 2х + 4 = X" ~ ^(х - 2) - 2(х - 2) = = (х-2)(х"-1-2). 370. Р е ш е н и е. 2) Запишем формулу разности квадра- тов двух натуральных чисел: а 2 _ -2 (а - с)(а -I- с). Чтобы число оказалось простым, нужно, чтобы а - с = 1. Ответ: может, например, разность квадратов двух натуральных чисел б и 5. 4) Запишем формулу квадрата суммы: (а -f- с)2 = 4- + + 2ас. Видно, что равенства (о с)2 = а2 + с2 быть не может. г IV I I f и так как в правой части не хватает удвоенного произведения данных чисел. 372. Решение. 1) Запишем условие задания: а - с = 4, д2 _ ^2 = 204. Выразим из формулы = {а- с){а + с) сум- му чисел: а -I- с = 104 = 26. а - с 4 380. Решение. 7) - 10х - 24 = 0, - IOjc 4- 25 - 25- - 24 = о, (х - 5)2 - 49 = о, (х - 5)2 = 49, х - 5 = 7 или л: - 5 = = -7, л: = 12 или X = -2. 381. Р е ш е н и е. 7){р - 3)2(р -ь 3)2 = ((р - 3)(р + 3))2 = = (р2 - 3)2 = - 6р2 + 9. 8) (10 - с2)(10 -ь с2)(100 -н с^)(100 - - с4)(100 -h с4) = 10 000 - с8. 384. Решение. 6) (а - 1)2 - (а 4- 1)2 = = (а - 1 - (а 4- 1))(а -14-а4-1) = (а-1-а-1)-2а = -4а. 393. Ре ш е н и е. Обозначим сторону квадрата через д:(см), тогда стороны прямоугольника равны х 4- 10 (см) и д: - 10 (см). Площадь квадрата равна х^ (см2), площадь прямоугольника равна (х - 10)(дг 4- 10) (см2). Ддя сравнения найдем разность площадей х^ - (х - 10)(x 4- 10) = ^2 - л;2 4- 100 = = 100 (см2). Следовательно, площадь квадрата на 100 см2 больше площади прямоугольника. 394. Решение. 1) х^(х - 1)(д: 4- 1) = 0, х = 0, дс = 1, дс = -1; 5) (д: - 1)(дд2 - 25) = 0, (д: - 1)(дс - 5)(д: 4- 5) = 0, дс = 1, дс = 5, X = -5. 395. Решение. 2ху(х^ + у^) = = 2 ^1 - I а2(>2 j ^1 4- а6 4- I а2(?2 4- 1 - а6 4- i а2&2 j = = 2 (l - i a2fe2 j J2 4- i = (2 “ | a^b^) (2 + | = 4-7 4 399. P e Ш e H и e. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 1) (Зх - 5)2 -ь (4х 4- 12)2 + мх = 9x2 _ зо^; + 25 + 16x2 + 4- 96х 4- 144 4- Мх = 25x2 ц. ^0g ц. + 169. Поскольку (5х + 13)2 - _ 25x2 ± 130х 4- 169, имеем: 66 4- М = ±130, М = 64 или М = -196. ш- f /i ="11 2) (17л: + 10)2 - (15л: - 8)2 + Мх = 289x2 + 349;^ + юо -- 225x2 + 240х - 64 = 64x2 + (580 + М)х + 36 = (8х ± 6)2, тогда 580 + М = ±96, М = -484 или М = -676. 401 .Решение. 2) (х - г/)2 + (1 - х ± у)^ = 0, х - у = 0 и 1-х±г/ = 0, х = г/и1-х±х = 0, 1 = 0, нет решений. 402. Р е ш е н и е. Раскроем скобки и перенесем все члены в одну часть равенства: х2 = 2(ху - у^ - у), х^ - 2ху + 2у^ + + 2у = 0, (х2 - 2ху + у'^) + у^ + 2у + 1 - 1 = о, (х - yf + (у + ± 1)2 = 1. Сумма двух целых неотрицательных чисел равна 1, [х - г/ = о, когда одно из них 0, а другое 1, значит, = j или J(x-y)2=l, J [у ± 1 = о, I У = х, |у±1 = 0, |у = ±1-1, или Получаем четыре пары решений: (0; 0), (-2; -2), (0; -1), (-2; -1). 404. Решение. 1) Обозначим данное число буквой х, тогда среднее число тоже равно х, а соседние с ним целые числа — х-1их±1. Составим уравнение х® - (х - 1)х(х ± 1) = = 17. Решим это уравнение: х^ - х(х2 - 1) = 17, х® - х^ ± х = 17, х = 17. Искомые числа: 16, 17 и 18. 2) Обозначим первое число через X - 1, тогда следующие числа будут х и х ± 1. Составим уравнение: х(х - 1)(х ± 1) ± 2(х -1±х±х±1)-х‘^ 35. х(х2 - 1) ± 2 • Зх - х2 = 35, х2 - X ± 6х - х2 = 35, 5х = 35, х = 7. Это числа: 6, 7 и 8. 407. Решение. 1) а) а2 -ь 4а ± 4 = (а ± 2)2. Квадрат (а + 2)2 принимает наименьшее значение в нуле, т. е. а ± 2 = = о, а = -2. Наименьшее значение нуль, б) {2Ь - 1)(2Ь ± 1) -- 3(5 - 45) = 462 - 1 - 15 + 125 = 452 + 125 - 16 = (26 ± 3)2 - 25. Наименьшее значение квадрата равно нулю, т. е. 26 ± 3 = 0 при 6 = -g, а наименьшее значение всего выражения равно -25. 413. Р е ш е н и е. 2) Сгруппируем члены, приведем к формуле разности квадратов: (а2 + 2ах + х2) — (Ь^ + 2Ьу + у^) — = (а ± х)2 - (6 ± у)2 = (а ± X - 6 - у)(а ± х ± 6 ± у). 4) Сгруппируем члены: (ц2б2 + 2abcd ± c^d^) - {а^с^ -- 2abcd ± b^d^). Применим формулы сокращенного умножения: (а6 + cd)'^ - (ас - 6d)2 = (аЬ + cd - ас + bd)(ab + cd + ас - -bd). ш fL i- ^ / If It/ СлП 418. Доказательство. 1) m"* + 4/г‘* + 4.т^п^ — 4т^п^ = {т^ + 2п^)^ — Ат^п^ = {тп^ + + 2п^ - 2тп)(т^ + 2п^ + 2тп) = {(т - п)^ + п^){т^ + 2п^ + + 2тп). Оба множителя при заданных тип больше 1, значит, их произведение — число составное. 420. Доказательство. 2) Разложим левую часть равенства по формуле разности квадратов: (8(5а -Ь 1) - 250^ -- 8)(8(5а + 1) -I- 25а2 8) = (40а + 8 - 250^ - 8)(40а + 8 + -ь 25а2 -ь 8) = 5а(8 - 5а)(25а2 +16 + 40а) = 5а(8 - 5а)(5а -ь 4)2. Что и требовалось доказать. 422. Доказательство. Раскроем скобки в равенстве: -t- ba^c^ + bc'^d^ -t- b^c^k^ = a^d^ -f b^c^k^ -H 2abcdk + -b ba^k^ + bc^d^ - 2abcdk. Приведем подобные члены, чем и завершим доказательство. Глава 5 Вероятность 425. Р е ш е н и е. 2) а) Есть только одна возможность вытащить любую конкретную карту, поэтому возможности вытащить десятку бубен и пиковую даму равновероятны. б) Поскольку в карточной колоде имеется четыре валета и четыре короля, есть четыре возможности вытащить валета и четыре возможности вытащить короля. Значит, возможности вытащить валета и короля равновероятны. в) В колоде четыре туза и девять карт бубновой масти. Таким образом, имеется четыре возможности вытащить туза и девять возможностей вытащить карту бубновой масти. Значит, возможность вытащить бубну более вероятна, чем возможность вытащить туза. 426. Решение. 2) а) Есть три возможности вытащить черный и столько же возможностей вытащить красный шар, значит, возможности вытащить черный и красный шары равновероятны. б) Возможностей вытащить черный шар меньше, чем возможностей вытащить красный, значит, вытаскивание красного шара более вероятно, чем черного. 428. Решение. В сумме может выпасть от 2 до 12 очков. Возможности не являются равновероятными. Так, например, есть только одна возможность того, что сумма очков будет равна 2: когда 1 выпадает и первый, и второй раз. Получить же сумму очков, равную 3, можно в двух случаях, когда —г * f t - — i I / первый раз выпадает 1, a второй — 2 и когда первый раз выпадет 2, а второй — 1. Значит, возможность получить в сумме 3 очка более вероятна, чем возможность получить 2 очка. 432. Р е ш е н и е. Достоверным событием является то, что будет вытащена карта. Такой картой может с равной вероятностью оказаться любая из 36 карт колоды. Это достоверное событие складывается из 36 возможностей, вероятность каждой из которых рав- ^ ■ 433. Решение. Квадрат для игры в «Морской бой» состоит из 100 клеток, в каждой из которых с равной вероятностью может оказаться корабль, значит, есть 100 равновероятных возможностей при угадывании нужной клетки. Только одна из них приведет к успеху. Вероятность угадать нужную 1 100 ■ 434. Р е ш е н и е. Покупка любого из билетов равновероятна, значит, всего есть 100 равновероятных возможностей купить билет. В 20 из них будет выигрыш, значит, вероят- 20 л о ность выиграть равна , или 0,2. 435. Решение. Считаем, что покупка любого из 1 млн билетов равновероятна, значит, есть 1 млн равновероятных возможностей купить билет лотереи. Из них имеется 300 тыс. возможностей купить билет, на который выпадет выигрыш. Вероятность купить такой билет равна 300 000 клетку первым же ходом равна 1 000 000 = 0,3. 436. Р е ш е н и е. Саша ошибся в самом начале своих рас-суждений. Он должен был найти общее число всех равновероятных возможностей, которые имеются при бросании двух монет. Таких возможностей четыре: 00, ОР, РО, РР. Решка выпадает в трех из них, значит, вероятность выпадения реш- 3 ки равна - . 437. Решение. При игре в «Морской бой» в квадрате 10 X 10 клеток ставятся 4 одноклеточных, 3 двухклеточных, 2 трехклеточных и 1 четырехклеточный корабль. Всего кораблями занято 4-1 -ьЗ*2-1-2-3-1- 1-4 = 20 клеток. Среди "i-,' i t/ 100 равновероятных возможностей назвать клетку есть 20, в которых будет попадание. Значит, искомая вероятность 20 по равна =0,2. 439. Решение. 2) Есть 10 равновероятных возможностей вынуть шар из коробки. Среди них четыре возможности вынуть белый шар и шесть — цветной. Значит, шар белый 10 чР шар цветной 10 440. Р е ш е н и е. Есть всего четыре равновероятных возможности вытащить карточку и положить ее на стол. В трех из них верхняя сторона карточки окажется белой. Только в одном из этих трех равновероятных случаев нижняя сторона карточки черная. Значит, искомая вероятность равна ^ . О 441 .Решение. 1) На каждой из трех монет с равной вероятностью может выпасть орел или решка. При бросании трех монет есть две равновероятные возможности: выпадет больше орлов, выпадет больше решек. 2) Имеем всего восемь равновероятных возможностей: РРР, РРО, POP, ОРР, РОО, ОРО, OOP, ООО. а) Одна из них РРР (три решки). Рррр = 5; О б) другая возможность ООО — ни одной решки, т. е. три орла: Pqoo ^ если не выпали три орла, то наверняка выпала я 8-17 хотя бы одна решка: = 3 . О О 442. Р е ш е н и е. Найдем число возможностей расставить на полке три книги. Обозначим книгу А. Дюма буквой Т, книгу В. Скотта буквой А, а третью книгу — буквой К. Имеем: АКТ, АТК, КАТ, КТА, ТАК, ТКА, всего шесть равновероятных возможностей. Возможности равновероятны, так как на названия книг внимания не обращают. 1) В единственной из этих возможностей ТКА «Три мушкетера» стоит первой слева, а «Айвенго» — первой справа. Вероятность этого равна |; 2) есть две таких возможности: ТАК, ТКА. Вероятность 2 1 равна - = 3 ; 3) КТА, ТАК — две возможности. Вероятность О о равна -; 4) ATK, KAT, KTA, ТАК — четыре возможности. Вероятность равна | i . о d 443. Р е ш е н и е. При бросании двух игральных костей каждая из них может выпасть шестью способами, значит, по правилу произведения имеется всего 6 • 6 = 36 равновероятных возможностей выпадения двух игральных костей. 1) Выпишем возможности, при которых сумма очков на костях равна 3: 1—2, 2—1. Оказалось, что есть всего две таких возможности, значит, вероятность выпадения такой сум-2 1 мы равна ^ = jg • 2) 10 очков в сумме выпадет в следующих трех случаях: 3 1 5—5, 4—6 и 6—4, значит, ^ ^12' 3) Выпишем возможности, при которых сумма очков на костях меньше 4: 1—1, 1—2, 2—1. Оказалось, что есть всего три таких возможности, значит, вероятность выпадения та-3 1 кои суммы равна тгб = та оО 12 5) Сумма выпавших очков будет четной, когда четность очков на каждой из костей будет одинакова, т. е. на обеих костях будет либо по четному, либо по нечетному числу очков. Каждой из трех возможностей выпадения на первой кости четного числа очков соответствуют три возможности выпадения четного числа очков на второй кости, значит, есть 3*3 = = 9 возможностей выпадения на обеих костях по четному числу очков. Аналогично, есть 9 возможностей выпадения на обеих костях по нечетному числу очков. Таким образом, есть 9-1-9=18 возможностей выпадения четной суммы очков. Ве- 18 1 роятность этого равна ^ ОО 2 6) в остальных 36 - 18 = 18 возможностях выпадения костей сумма очков будет нечетной. Понятно, что вероятность 1 этого также равна ^ . 444. Решение. Заполним таблицу. Сумма очков 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Число возможностей 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 i V 11 7 очков в сумме может выпасть в наибольшем числе случаев, значит, такая сумма наиболее вероятна. -Р? ^ ^ ^ ^ • 445. Решение. Каждой из четырех возможностей выбора вида салата соответствует три возможности выбора вида супа, четыре возможности выбора второго блюда и пять возможностей выбора напитка. По правилу произведения находим число различных вариантов заказа обеда: 4 • 3 • 4 • 5 = = 240. 446. Решение. Каждой из трех возможностей выбора дороги из А в В соответствует четыре возможности выбора дороги из В в С. По правилу произведения получаем: 3*4 = 12 (маршрутов). 447. Р ешение. 1) Каждый член многочлена является произведением одного из членов первой скобки на один из членов второй скобки. а) Член первой скобки можно выбрать тремя, а второй — двумя способами. По правилу произведения число членов многочлена равно 3*2 = 6. б) Член первой скобки можно выбрать четырьмя, а второй — тремя способами. По правилу произведения число членов многочлена равно 4*3 = 12. 2) Старший член многочлена получается при перемножении старших членов множителей, а) 4х^ * х = 4^:“*; б) 12д:“ * Зх^ = = 36x7. а) Член, содержащий х, можно получить двумя способами, умножая -Зх‘^ на X и умножая 4х^ на -1. После приведения подобных членов получим -7х^. б) Член, содержащий х^, можно получить, умножая -5х^ на 4, 7х^ на 2х и -2х на Зх^. После приведения подобных получим -12х^. 448. Р ешение. 1) а) 8 = 2^. Делителями этого числа являются степени числа 2 с показателями 1, 2 и 3, а также число 1. Таким образом, число 8 имеет четыре натуральных делителя. б) 216 = 6^ — 2'^ • З-^. Произведение любого из натуральных делителей числа 2^ на любой из делителей числа 3® является делителем числа 216, а других делителей число 216 не имеет. Делитель числа 2^ можно выбрать четырьмя способами, делитель числа 3® также можно выбрать четырьмя способами. -1- 11 ^ ‘ По правилу произведения число натуральных делителей числа 216 равно 4*4 = 16. в) 1080 = 2® • 3^ • 5. Число 5 имеет два натуральных делителя; 1 и 5. Рассуждая так же, как и в случае б), получаем: 4-4-2 = 32. г) Число р*'" имеет k^ + I натуральный делитель. Значит, число q имеет (ftj + l)(ft2 + 1) •1) натуральных делителей. 2) а) Любое натуральное число делится само на себя и на 1. У числа 1 эти делители равны, а если число других делителей не имеет, то оно простое, б) Пусть некоторое число кратно простому числу р. Но тогда у него уже есть два делителя: 1 и р. Третий делитель не должен делиться ни на какое натуральное число, кроме себя, 1 ир, значит, он равен 1 *р *р =р^. Следовательно, числа, имеющие три натуральных делителя, представляют собой квадраты простых чисел. 449. Решение. 1) а) п!, где п — число учащихся в вашем классе; б) 6! = 720. 2) В обеих задачах речь идет о числе способов, которыми можно переставить элементы, т. е. о числе перестановок. 450. Решение. 1) Запишем одно из таких чисел, например 1236. Все числа, о которых идет речь в задаче, получаются из него перестановками цифр этого числа. Значит, нужно найти Р4. Р4 = 4! = 24. 2) а) Четность и нечетность числа зависит от того, какой цифрой число заканчивается. Есть четыре равновероятные возможности выбора последней цифры. Две из этих цифр нечетные, их выбор даст нам нечетное число. Значит, вероятность выбрать нечетное число равна | = 0,5. б) Сумма цифр любого из полученных чисел равна 1 + 2 + -1-3-1-6 = 12. По признаку делимости на 3 все эти числа делятся на 3. Значит, выбор числа, кратного 3, является достоверным событием и его вероятность равна 1. в) Чтобы число было кратным 4, его последние две цифры должны составлять кратное 4 число, т. е. число должно заканчиваться на 12, 16, 32 или 36. В каждом из этих четырех случаев первые две цифры являются перестановками оставшихся двух цифр. Число чисел, кратных 4, находим по правилу произведения 4 • Pg ~ 8. Вероятность выбрать одно из та- 8 _ 1 3 ■ ких чисел равна ^ “4->: i If ■ J pn r) Ни одно из чисел не оканчивается ни нулем, ни пятеркой, а значит, не может быть кратным 5. Выбор числа, кратного 5, является невозможным событием, и его вероятность равна нулю. 451. Решение 1. Если бы можно было ставить О на первое место, то количество таких чисел оказалось бы равным Рд. Поскольку О не должен стоять на первом месте, следует «отбросить» все перестановки данных цифр, начинающиеся с нуля. В каждой из них О стоит на первом месте, а остальные четыре цифры можно переставлять как угодно. Значит, число перестановок, начинающихся с нуля, равно Р4. Таким образом, искомое количество чисел равно Рд - Р4 = 5! - 4! = 120 - 24 = 96. Решение 2. На первое место можно поставить любую из четырех отличных от нуля цифр. Остальные четыре места занимают оставшиеся после этого неиспользованными четыре цифры. Их можно произвольно переставить Р4 способами. По правилу произведения всего чисел получится 4-Р4 = 4-24 = 96. 452. Ре ш е н и е. Четверых музыкантов можно как угодно пересаживать, значит, получится число перестановок из четырех: Р4 = 24. 453. Р е ш е н и е. Полосы данных цветов можно менять местами. Всего возможно Р3 = 6 разных флагов. 461. Решение. 1) б) 30*29*28 = 24 360 способов. 2) В этих задачах речь идет о комбинациях, в которых важен порядок следования элементов, значит, это размещения. 462. Р е ш е н и е. Из четырех цветов выбирается три. При этом важен порядок следования цветов, значит, комбинации цветов флагов являются размещениями. Их число равно А| = = 4! = 24. Именно столько стран могут использовать такие флаги. 463. Р ешение. 1) Отдельно выбираются дежурные мальчики и дежурная девочка. Два мальчика выбираются из 14 кандидатов, причем не важно, в каком порядке, значит, это сочетание и выбрать их можно способами. Одну девочку из 12 кандидаток можно выбрать двенадцатью способами. По правилу произведения всех трех дежурных можно назначить С^4 • 12 = 1092 способами. 2) При выборе 11 футболистов из 14 кандидатов не важно, в каком порядке называются их 2J 41 «3112„ фамилии. Значит, речь идет о сочетаниях и их число С\\ = = 364; 3) Вопрос о футбольной карьере Пети Иванова решен, и осталось набрать 10 футболистов из оставшихся 13 кандида- тов: С}§ = 286. 464. Р ешение. 1)В условии задачи сказано, что бочонки вынимают по одному, значит, порядок, в котором вынимаются первые два бочонка, важен, и мы имеем дело с размещениями. Всего бочонков 99, два из них можно выбрать способами. Сумма 100 очков получается в следующих случаях: 1—99, 99—1, 2—98, 98—2, ..., 48—52, 52—48, 49—51, 51—49. Таким образом, есть 49 -ь 49 = 98 возможностей на первых двух бочонках получить сумму, равную 100. Иско- мая вероятность равна = J- = о 01 A|g 99 ’ • 2) Есть всего 99 возможностей вынуть бочонок. Среди них есть 25, когда на бочонке окажется простое число. Значит, 25 искомая вероятность равна — =0,25. УУ 3) Среди 99 возможностей вынуть бочонок есть 19, в которых на бочонке будет число, кратное 5. Значит, искомая ве- 19 роятность равна ^ = 0,2. 465. Решение. 1)а) = 35 способов; б) = 2300. 2) В этих задачах порядок, в котором выбираются элементы в комбинацию, роли не играет, т. е. от перемены мест элементов в комбинации сама комбинация не изменяется. 466. Решение. 1) Каждая партия — результат выбора двух шахматистов из 10. Не важно, кого назовут первым, а кого вторым. Значит, этот выбор приводит к сочетанию из 10 по 2. Число таких сочетаний: Cfo = 45. 2) Если в турнире участвуют п шахматистов, то число пар- „ „о п{п - 1) тии равно = —-. Поскольку партий было 10, получаем уравнение п{п - 1) _ = 10 и подбором находим его натуральный корень, равный 5. Ответ; 5 человек. 468. Решение. Выбрать три вопроса из 25 для включения в экзаменационный билет можно С|д способами. 1) Чтобы получить на экзамене пятерку, Сергей должен знать все три вопроса билета. Вопросы для таких билетов должны вы- #; бираться из выученных Сергеем двадцати, и их число равно C|q. Вероятность вытянуть такой билет на экзамене равна С.?, ~ ^0 = ' -Об Cfs 115 ’ • 2) Четверку Сергей получит, если в его билет войдут два вопроса из выученных им двадцати и один вопрос из пяти им не выученных. Выбрать два вопроса из двадцати можно C|q способами, а один вопрос из пяти — пятью способами. По правилу произведения находим число четверочных для Сер- 57 5С|о 19 гея билетов: C|q • 5. Вероятность этого равна ~ ~ ^25 469. Р е ш е н и е. 1) Подбираем натуральный корень урав- - 1 ) гг нения -i—2—- = 21. X = 7. 2) X'. = 6, х(д: - 1) = 12. В левой части уравнения (х - 2)!2! имеем произведение двух последовательных натуральных чисел. Представив 12 как 4 • 3, найдем, что х = 4. 3) 4) х\ X'. (х-3)! _ 4! о _ . (х-4)!4! (х-3)!3!’ (лг-4)! 3!’^ х! 19х! (X - 2)! _ 19 • 31 , X - 2 = 57, X = 59. (х-3)!3! (X - 2)!2! ’ (X - 3)! 21 470. Р е ш е н и е. 1) Каждую секунду точка М имеет две возможности выбора направления, значит, за 5 секунд число ее равновероятных маршрутов равно 2*2*2’2*2 = 2^ = 32. а) Только один из этих маршрутов приведет точку М в точку А(0; 5). Искомая вероятность Р{А) = ^ . б) Чтобы попасть в точку В(4; 1), точка М единственный раз из пяти (все равно какой) должна выбрать направление вверх. Выбрать один из пяти можно пятью способами, значит, есть 5 маршрутов, приводящих в точку В. Искомая веро- 5 ятность Р{В) = — . 2) Абсцисса конечной точки маршрута равна числу сдвигов вправо, а ордината полностью определяется абсциссой, поскольку число всех сдвигов равно 5. Так, например, если точка М три раза из пяти выбрала сдвиг вправо, то она окажется в точке с координатами х = 3, у = 2. Число маршрутов, которые ведут в эту точку, равно числу способов, которыми m/^3112,J m можно выбрать 3 из 5 сдвигов, т. е. С|, поскольку порядок выбора на координаты конечной точки не влияет. Аналогично, в точку (2; 3) ведут С| маршрутов. Чем большее число маршрутов ведет в точку, тем больше вероятность для точки М в ней оказаться. Таким образом, нам нужно сравнить числа С^, С\, С|, С|, С| и Cg, т. е. соответственно: 1, 5, 10, 10, 5 и 1. Наибольшее число маршрутов (по 10) ведут в точки (2; 3) и (3; 2). Вероятность оказаться в одной из этих точек 5 равна Yg . 3) Равновероятных маршрутов за 7 секунд будет 2^ = 128. Находя количество маршрутов, приводящих в точку с абс- циссой k, как С^, получим: а) Р(К) = 128 = ^;б) Р(А) = ^ = J_. Р(Е) = = ^. 128 128’ ’ ^ ’ 128 128’ Д)Р(Р) J28 128’^'^^'^^ 128 128’ 471 .Решение. Шары вынимают одновременно, значит, если вынутые шары поменять местами, случай будет тем же самым, и мы имеем дело с сочетаниями шаров. При вытаскивании двух шаров из семи имеется всего различных равновероятных возможностей. 1) Поскольку черных шаров всего три, есть С| возможности 1 вытащить два из них. Вероятность этого равна ргг ~ 7 ’ С| 2) Вероятность вытащить два белых шара равна ^ ^ 3) Есть три возможности вытащить черный шар, и каждой из них соответствуют четыре возможности вытащить белый шар. По правилу произведения получаем 3*4 = 12 возможностей вытащить шары разного цвета. Вероятность этого рав-12 _ 4 Cf Т 472. Решение. 1) Любой вариант рассадки учеников можно получить, пересадив их, значит, общее число вариантов равно Р4 = 24. 2) Парту, за которую могут сесть Коля и Саша, можно выбрать 2 способами. Сесть за эту парту мальчики могут —и г п х^-. П" 2 способами. За оставшуюся парту девочки могут сесть 2 способами. По правилу произведения имеем 2 • 2 • 2 = = 8 вариантов, в каждом из которых мальчики окажутся за 8 8 1 одной партой. Вероятность этого равна ^ ^ ^ ^ • 473. Р е ш е н и е. Будем считать, что телефонный номер может начинаться с любой цифры. 1) Поскольку, изменив порядок цифр, мы получим другой телефонный номер, номера являются размещениями 7 цифр из 10. Число этих размещений, т. е. телефонных номеров равно А\^. 2) В этих номерах можно несколько раз выбирать одну и ту же цифру, значит, известную нам формулу числа размещений использовать нельзя. Будем решать задачу с помощью правила произведения. Первую цифру можно выбрать десятью способами, каждому из них соответствует десять вариантов выбора второй цифры, десять вариантов выбора третьей, ..., десять вариантов выбора последней седьмой цифры номера. Имеем 10 • 10 • 10«... • 10 = 10'. Ответ: 10^телефонных номеров. 474. Решение. В расписании уроков важно, в каком порядке они записаны, значит, расписание уроков — это размещение шести уроков из возможных одиннадцати. Поскольку уроки в пятницу не повторяются, число вариантов расписания равно Afj. 475. Ре ш е н и е. 1) В двузначном числе на первое место можно поставить любую цифру из множества: 2, 4, 6, 8; на второе место можно поставить любую цифру из множества: 0, 2, 4, 6, 8. Таким образом, получаем, что на первое место можно поставить цифру 4 способами, а на второе — 5 способами, всего 5*4 = 20. 2) Последней цифрой трехзначного числа должен быть 0 или 5. Перед последней цифрой трехзначного числа записано двузначное число. Всего двузначных чисел 90. К каждому из них можно приписать третью цифру двумя способами (0 или 5). По правилу произведения получаем 90*2 = 180. Можно было рассуждать иначе. Есть всего 900 трехзначных чисел. Каждое пятое из них кратно пяти: 995, 990, 985, ..., 105, 100. Значит, число таких чисел в пять раз меньше числа всех трехзначных чисел: 900 : 5 = 180. 3) Приписав справа нуль к любому трехзначному числу, получим четырехзначное число, оканчивающееся нулем. Таких чисел столько же, сколько трехзначных чисел, т. е. 900, ш ~hL. — fl 4) Любое из таких пятизначных чисел можно получить, приписав к трехзначному числу справа сначала цифру разряда десятков, а затем цифру разряда сотен. Например, 374 —► 37473. Значит, таких пятизначных чисел столько же, сколько трехзначных чисел, т. е. 900. 476. Р е ш е н и е. Для любых двух языков нужны два словаря, например для перевода с русского на английский нужен русско-английский словарь, а для перевода с английского на русский понадобится англо-русский словарь. На первом месте в названии словаря указывается, с какого языка, а на втором — на какой язык выполняется перевод. Перемена этих названий местами приведет к другому словарю, значит, название словаря является размещением. Число названий, равное числу требуемых словарей, равно = 12. 477. Решение. В каком порядке на карточке указаны номера, роли не играет, главное, чтобы это сочетание номеров выпало при розыгрыше. Число сочетаний шести номеров из 49 равно С^д = 303 996. 478. Решение. Выпишем все такие буквы: А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, X, У. Пусть в номере сначала указываются буквы, а затем цифры. Тогда на первом месте может оказаться любая из 11 букв, на втором и третьем местах — также любые из 11 букв. Затем четыре раза выбирается по одной из 10 цифр. По правилу произведения имеем 11 • 11 • 11 • 10-10 • 10* 10 = ЦЗ-10-* = 13 310 000. 479. Решение. Есть 100 вариантов выбора красной клетки. После ее закрашивания для выбора двух зеленых останется 99 клеток. Какую из них будут закрашивать первой, роли не играет, значит, выбор этих двух клеток является сочетанием, число которых С|д. Осталось выбрать три синих клетки из 97 оставшихся после закрашивания зеленых. Выбрать их можно способами. По правилу произведения имеем 100С|д ■ ^97- 480. Р е ш е н и е. По правилам корабли нельзя ставить вплотную друг к другу, поэтому, поставив один одноклеточный корабль, мы исключаем для второго корабля не только ту клетку, в которую его поставили, но и соседние с ней. Если одноклеточный корабль ставится в один из четырех углов, для второго корабля остается 96 клеток, в любую из которых его можно поставить. По правилу произведения имеем 4 • 96 вариантов. Пусть первый корабль ставится не в угол, но Ш.' к границе квадрата, т. е. в одну из 8 • 4 = 32 клеток. В каждом из таких случаев для второго корабля остается на выбор любая из 94 клеток. По правилу произведения получаем 32 • 94 вариантов. Рассмотрим, наконец, ситуацию, когда первый корабль не ставится к границе квадрата, т. е. занимает любую из соответствующих 64 клеток. В каждом из таких случаев для второго корабля остается 91 клетка, а число соответствующих вариантов равно 64*91. Всего у нас получилось 4 • 96 -Ь 32 • 94 + 64 • 91 = 9216 вариантов поставить сначала один корабль, а затем второй. Однако одноклеточные корабли совершенно одинаковы, и каждую из полученных расстановок можно было получить, изобразив сначала второй корабль. Так, например, расстановку кораблей в клетки 1—3 и 5—4 мы рассмотрели и среди расстановок, когда первый корабль ставился и не ставился к границе. Таким образом, каждую из расстановок двух кораблей мы считали дважды, а значит, число расстановок в квадрате для игры в «Морской бой» двух одноклеточных кораблей равно 9216 : 2 = 4608. Глава 6 Повторение 497. Решение. Одно трехзначное число запишем так: 100а + 106 + с, в другом трехзначном числе цифры записаны в обратном порядке: 100с + 106 + а. Составив разность данных чисел, получим: 100а -f 106 -t- с - (100с + 106 -Ь а) = 99а - 99с = 99(а - с). Следовательно, разность трехзначных чисел делится на 99. 499. Р е ш е н и е. Это число составляется следующим образом: 9 • 8 • 7 • 5 = 2520. 501 .Решение. 2) Если 10! = 35 • (2 • 3 • 4 • 6 • 8 • 9 • 10) = = 35 • 103 680, 64 = 35 • 1 Ч- 29, то 10! -н 64 = 35 • 103 680 + -Ь 35 • 1 -1 29 = 35 • (103 680 -f 1) -Ь 29 = 35 • 103 681 + 29. Таким образом, в частном получится 103 681, в остатке 29. 520. Совет. 3) Возьмите сумму числа клеток, полностью вошедших в фигуру, площадь которой вы находите, и половину от числа клеток, которые частично входят в эту фигуру. 529. Р ешение. 1) Так как прямая у = kx + I проходит через точку С(2; 1), то ее координаты можно подставить в уравнение прямой: 1 = 2k + I. Так как прямая у = kx + I парал- ш 11^/; г* лельна прямой t/=3x-l, то/е = 3. Подставим значение k в первое уравнение и найдем значение /. 1 = 2 • 3 + /, / = -5. Ответ: k = 3,1 = -5. 2) Так как прямая у = kx + I перпендикулярна прямой 1 г/ = Зх - 1, то /г = . Подставим значение k в уравнение, ко- О торое было записано в задании 1): 1 = 2* j -Ь / = 11 Ответ: k = = О О 531 .Совет. Упростите выражение, задающее функцию. Точку прямой, абсцисса которой не входит в область определения, отметьте крестиком или кружком. 540. Решение. 4) 1024a^ + 64а = 64а(16а -ь 1); S)8xy^ - 2Ау^ - Чаху -I- 21а = 8у\ху - 3) - 7а{ху - 3) = = (ху-3)(8г/2-7а); 10) 25x2 _ (Зд. + 8у)2 = (5д. - Зх - 8г/)(5х + Зх + 8у) = = (2х - 8t/)(8x 8у) = 16(х - 4у)(х -I- у); 11) (а - 1)3 - (а - 1)(3а + 1) = (а - 1)((а - 1)2 - За - 1) = = (а - 1)(а2 - 2а ч- 1 - За - 1) = (а - 1)(а2 - 5а) = а(а - 1)(а - 5). 545. Решение. gj х2 - j/2 _ 2yz - г2 ^ х^-{у + г)2 ^ х2 -I- хг - у2 _ уг х2 - J/2 + 2(х - у) ^ (X - у - 2)(х + У + Z) ^ Х-у-2 (X - у)(х + у-ь г) х-у 546. Совет. 2) Одно нечетное число запишите в виде 2п - 1, второе нечетное число можно записать так: 2т - 1, где п, т — натуральные числа. 4) Всякое простое число, большее 3, можно представить в виде 6/е ± 1, где k — натуральное число. Доказательство. 1) Если натуральное число а не делится на 3, то его можно записать одним из двух способов: а = Зга - 1, а = Зга - 2, где га — натуральное число. Составим разность квадрата данного числа и числа 1: а2 - 1 = (Зга - 1)2 - 1 = 9га2 - 6га + 1 - 1 = 9га2 - 6га = = 3(3га2-2га). а2 - 1 = (Зга - 2)2 - 1 = 9га2 - 12га -f 4 - 1 = 9га2 - 12га + 3 = = 3(3га2-4га-ь 1). В обоих случаях получаем число, кратное 3. Что и требовалось доказать. ,z=3ild.n 4) - 1 = (n - l)(n + 1). Всякое простое число, большее 3, можно представить в виде 6/е ± 1, где k — натуральное число. Если л = б/г + 1, то получим 6ft(6/e + 2) = 12k{^k + 1). Если k четное, то на 24 делится 12ft, а если ft нечетное, то четной будет сумма 3ft + 1 и 12(3ft + 1) будет кратным 24. Аналогично рассматривается случай л = 6ft - 1. 548. До казательство. Любое из таких чисел можно представить в виде 9ft ± 1, где ft — целое число. Возведя в квадрат, получим: 81ft^ ± 2 • 18ft -Ь 1 = 9(9ft^ ± 4ft) -1-1 — число, дающее в остатке 1 при делении на 9. 553. Р е ш е н и е. Разложим число на множители - 1 = = (р - 1)(р -I- 1). Чтобы данное число было простым, нужно, чтобы меньший из множителей был равен единице, т. е. р-1 = 1,р = 2. При этом значении р получаем: - 1 = 3 — простое число. 556. Решение. 11) г® - Ъг^ -t- Зз - 15 = О, - bz^) + + (Зг - 15) = 0; z\z -5) + 3(z - 5) = 0, (2 - 5)(z^ + 3) = 0, 2 = 5. .л. lx + и = За - 5Ь, 561.Решение. Сложим и вычтем 562. Решение. 4) 1х^ + хи [д:-Ьр = д:(л: + р) = 1080, х + р = 40. уравнения и получим новую систему уравнений: 2p = 4a-f-26, jp = 2a + b, I 2л: = 2а-125, [л: = а-65. Ответ; х = а - 6Ь, у = 2а + Ь. ху=1080, 40, л: *40 =1080, X + у = 40. Из первого уравнения системы находим, что х = 27, из второго уравнения находим, что р = 13. л: -ь 2р + З2 = 9, X - Зу + 2z = 1, Сначала из первого 2х - 5у + 3z = 0. уравнения системы вычтем второе, затем сложим два первых уравнения и из результата вычтем третье. X -Ь 2р + З2 = 9, 5р -t- 2 = 8, 4у + 2z = 10. Третье уравнение системы разделим на 2. 563. Решение. 2) - .—/( П' д: + 2^ + 32 = 9, 5i/ + 2 = 8, 2у + 2 = 5. Лз второго уравнения вычтем третье, д: + 2у + 32 = 9, 5у + Z = 8, 3у = 3. Лз третьего уравнения находим, что у = 1, из второго уравнения находим, что 2 = 3, из первого уравнения х = -2. Ответ; х =-2, у = 1, 2 = 3. 565. Р е ш е н и е. 1) Пусть х кг крупы купили по 14 р. за килограмм, у кг — по 9 р. за килограмм, тогда ]х4-у=19, 114х -t- 9у = 196 систему, найдем ответ на вопрос за- дачи: 5 кг крупы по 14 р. за килограмм, 14 кг крупы по 9 р. за килограмм. 582. Р ешение. 1)К моменту выхода товарного поезда скорый поезд прошел 96 • - (км). Между поездами оставалось 5 480 - 96 • - (км). Скорость сближения поездов 80 + 96 (км/ч). 5 Товарный поезд шел до встречи со скорым поездом ^ 480 - 96 • I j : (80 -I- 96) = ^ (ч). За время ^ ч товарный по- Х4 3 езд прошел 80 • -— = 224 (км). Время встречи поездов 8 -ь - -ь 5 о 4- ^ = 111 (ч). Ответ: 11ч 24 мин, 224 км от пункта В. 5 5 583. 1) Решение 1. Пусть время, за которое турист рассчитывал доехать до В, равно х ч. Тогда за первые 25 мин он ос - ^13 25 проехал 25 км, а остальной путь у него занял ^ ^ “ go Уравнение: бОх = 25 -1- 50*^х-1-|^ ~fi)’ = 25 - 10, X = 1,5 (ч). Путь от А до В равен бОх = 60 • 1,5 = 90 (км). Ответ; 90км. Решение 2. Пусть АВ = х (км). Тогда за 25 мин, или 25 ^ ч, турист проехал 25 км. При скорости 50 км/ч на остав- ш ,=3! 1 Zn4*' шуюся часть пути турист затратил на ^ ч больше, чем если бы он продолжал движение со скоростью 60 км/ч. Значит, ^. Имеем 6(х - 25) - 5(х - 25) = 5 • 13, X - 25 = 65, д: = 90 (км). 2) За полтора часа, двигаясь со скоростью 96 км/ч, поезд прошел 144 км. Обозначим оставшийся ему до С путь буквой X, тогда ^ i . Чтобы освободиться от знаменате- 9о 108 2 лей, умножим равенство на их наименьшее общее кратное 12 • 8 • 9. 9л: - 8х = 6 • 8 • 9, л: = 432 (км). Теперь можно найти весь путь ВС. 144 + 432 = 576 (км). Ответ: 576 км. 584. Р ешение. 1) Пусть х км/ч — скорость первого пешехода, у км/ч — скорость второго пешехода, тогда (л: -I- у) км/ч — скорость их сближения. За 3 ч 12 мин, что составляет 3,2 ч, пешеходы прошли расстояние (л: -I- у)'2,2 = = 33-1. За (3,2 + 2,3) ч первый пешеход прошел расстояние 5,5л:, второй пешеход — 5,5у, первому осталось пройти (33 -- 5,5л:), второму — (33 - 5,5у). Известно, что второму пешеходу осталось пройти в 3 раза больше, чем первому. Составляем второе уравнение. 33 - 5,5у = 3(33 - 5,5х). Получили систему ](л: + £/)-3,2 = 32, уравнении с двумя неизвестными: jgg _ 5 5^ = g^gg _ 5 5^) Решив систему, находим о т в е т: 4,5 км/ч и 5,5 км/ч. 2) Пусть X км/ч — скорость пешехода, у км/ч — скорость велосипедиста. Через 1 ч 24 мин, что составляет 1,4 ч, пешеход прошел расстояние 1,4л: км, а еще через 1 ч расстояние между пешеходом и велосипедистом было равно 2,4х км. Велосипедист за 1 ч проехал у км. Расстояние между пешеходом и велосипедистом стало равным 2,4л: - у = 1. Расстояние, пройденное пешеходом за (1,4 -ь 1 -I- 1) ч, равно 3,4х, ему осталось пройти (27 - 3,4л:) км. Велосипедист за 2 ч пути проехал 2у км, ему осталось проехать (27 - 2у) км. Известно, что пешеходу осталось до В в 2 раза больше, чем велосипедисту, составим уравнение 27 - 3,4л: = 2(27 - 2у). Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными: 2,4л: - у =1, 27 - 3,4л: = 2(27-2у). Решив систему, найдем о т в е т: 5 км/ч и 11 км/ч. 585. Совет. Воспользуйтесь тем, что в случае равновесия произведения масс на соответствующие им плечи рычагов должны быть равными. Решение. 2) Пусть длина меньшего плеча рычага х м, а большего — г/ м. Тогда 500л: = 400i/. При уменьшении большего груза соответствующее ему плечо увеличивается на 3 м, а другое плечо на столько же уменьшается. Тогда (500 - 200)(л: + 3) = 400(г/ - 3). Получаем систему: |500х = 400£/, |5x-4i/ = 0, _ qi _ m к |300(л:-Ь 3) = 400(i/-3); \Zx-Ay = -21, - 21, jc- 10,5; 4у = 5 -10,5, у = 13,125. Ответ: 10,5 м; 13,125 м. 586. Решение. 1) Минутная стрелка за 60 мин поворачивается на угол 360°, следовательно, ее угловая скорость равна 360 : 60 = 6 (град/мин). Часовая стрелка за 12 ч поворачивается на 360°, следовательно, ее угловая скорость равна 360 : 12 = 30 град/ч = 0,5 град/мин. В 8 ч 30 мин угол между стрелками был равен 75°. Найдем время, за которое ми- 75 75 150 нутная стрелка догонит часовую: ~ “ 6 - 0,5 5,5 11 = 13^ (мин) = 13 мин 38 с. Ответ: в 8ч 43 мин 38 с. 2) В 9 ч 30 мин угол между стрелками на 7,5° меньше развернутого. За минуту угол между стрелками изменяется на 5,5°. Значит, на 7,5° угол между стрелками увеличится через 7,5 : 5,5 = ^ ^ (мин) =1:;^ (мин)= 1 мин 22 с. 55 11 11 587. Решение. Выберем единицу длины так, чтобы расстояние между пристанями стало равно 48 таким единицам. Тогда скорость теплохода по течению будет равна 48:6= = 8 (ед./ч), а против течения — 48 : 8 = 6 (ед./ч). Скорость теплохода по течению отличается от его скорости против течения реки на удвоенную скорость течения реки, значит, скорость течения равна (8 - 6) : 2 = 1 (ед./ч). Время, которое потребуется плоту, равно 48 : 1 = 48 (ч). Ответ: 48 ч. 594. Решение. Арифметический способ. Арифметический способ решения основан на делимости. Из условия следует, что возраст Диофанта (натуральное число) кратен 12 и 7. Наименьшее число 12*7 = 84, а следующее число 168 невероятно в качестве возраста. 'Ф; " з=3| • Znl'» Алгебраический способ. Обозначив буквой л: возраст Диофанта, переведем на математический язык надгробную над- пись: Решив уравнение, найдем л: = 84. Практикум по решению текстовых задач 1,2, 3. С о в е т. При сравнении чисел а и 6, если известно, что а больше Ь на с, то это условие можно записать в виде равенства а-Ъ — с. 4, 5, 6. С о в е т. При сравнении чисел а и 6, если известно, что а больше Ь в k раз, то это условие можно записать в виде равенства a = bk. 7, 8, 9. С о в е т. Чтобы определить, сколько процентов (р) составляет число а от числа Ь, нужно умножить частное а : Ь на 100%. р% = ^ о 100%, а_• f — -Ti~> о ’ —^ * И СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ Пропорции в пропорции I = ^ числа avid называют крайними члена- ми, бис — средними. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, т. е. ad = be. Действия со степенями {аЬУ = а"Ь’‘ а" (а'")" = o'"" UJ 6" д/п . дп = дт + п а" Формулы сокращенного умножения (а + 6)2 = а^ + + 2аЬ (а — Ь)^ = а^ + - 2аЬ а2 - 62 = (а _ ь){а + 6) Формулы комбинаторики в =1-2-3 (п-1)*п = п! 1! = О! = 1 = п{п - 1)(п - 2) •' {п - т + 1) = -—— (га - гаг)! га! А ^ Г'” = 1-2- = " Р т\{п - гаг)! Ф. -hZj 5 > Таблица простых чисел первой тысячи 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 ИЗ 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 ш Квадраты и кубы однозначных чисел а 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 9 16 25 36 49 64 81 1 8 27 64 125 216 343 512 729 Таблица квадратов двузначных чисел 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801 Латинский алфавит Аа вь Сс Dd Ее Ff Gg Hh И Jj Кк L1 Mm а бэ ЦЭ дэ е эф же аш и жи ка ЭЛ ЭМ Nn Оо Рр Qq Rr Ss Tt Uu Vv Ww Хх Yy Zz ЭН О пэ ку эр эс ТЭ У вэ дубль- вэ ИКС иг- рек зэт ш Законы арифметических действий Переместительный закон сложения а + Ь = Ь + а Переместительный закон умножения а’Ь = Ь' а Сочетательный закон сложения (а + ft) + с = а + (fc + с) Сочетательный закон умножения (а‘Ь)-с = а'{Ь' с) Распределительный закон умножения относительно сложения {а + Ь)‘С = а'с + Ь‘с Распределительный закон умножения относительно вычитания {а-Ь)’С = а'с-Ь'с Таблица плотностей ф Вещество кг/м^ г/см^ Вещество кг/м® г/см® Алмаз 3515 3,5 Бензин 710 0,71 Алюминий 2700 2,7 Вода морская 1030 1,03 Железо 7874 7,9 Керосин 805 0,805 Золото 19 320 19,3 Масло расти- 940 0,94 Кирпич 1500 1,5 тельное Латунь 8600 8,6 Серная кислота 1800 1,8 Медь 8960 8,9 (конц.) Олово 7300 7,3 Ртуть 13 600 13,6 Платина 21 450 21,4 Соляная кисло- 1100 1,1 Свинец 11 350 11,3 та (20% -я) Серебро 10 500 10,5 Стекло 2500 2,5 Цинк 7140 7,1 Чугун 7400 7,4 г ■ /р j“+L'IIСП Значения некоторых астрономических величин Пу) Радиус, м Масса, кг Среднее расстояние от Земли, м Земля 6,37-10® 5,97-102'* — Солнце 6,96-108 1,99-10™ 1,49-1011 Луна 1,74-106 7,35-1022 3,84-108 Схемы для задач на совместное движение 1. Встречное движение Скорость сближения ‘^сбл = f'l + Время сближения S t. сбл Ох + V2 2. Движение в противоположных направлениях 02 Скорость удаления = ^^l + 1^2- 3. Движение с отставанием Скорость удаления 4. Движение вдогонку ‘^2 1 Скорость сближения ^^cбя = - ^’2^ Время сближения S ^сбл Vi - V 1 ‘^2 X -- ш. Площади геометрических фигур 1. Треугольник S = - ah 2. Прямоугольник S = ab 3, Параллелограмм S = ah Теорема Пифагора 5 Л=Г7Г Ск • V 11. 3- список ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Алгебра. 7—9 класс (DVD-BOX). — М.; Просвещение-Медиа, 2003. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: словарь-справочник. — М.: ЛКИ, 2008. Балаян Э. Н. Готовимся к олимпиадам по математике. 5—11 классы. — М.: Феникс, 2009. Бегунц А. В., Бородин П.А., Сергеев И.Н. Олимпиада МГУ «Ломоносов» по математике. 2005—2008. Для 8—10 классов. — М.: МЦНМО, 2009. Виртуальный наставник: Алгебра. 7—9 классы (CD-ROM). — М.: Тригон; Новая школа, 2009. Голъдич Б. А. 3000 задач по гшгебре. 7—11 классы. — М.: Эксмо, 2008. ЗвавичЛ.И., Рязановский А. Р. Алгебра в таблицах. 7—11 классы. — М.: Дрофа, 2009. ЗвавичЛ.И., Рязановский А. Р. Геометрия в таблицах. 7—11 классы. — М.: Дрофа, 2009. Иллюстративный словарь: Математика. — М.: ACT; Астрель, 2007. Иллюстрированный энциклопедический атлас по математике. — М.: Олма-Пресс Экслибрис, 2004. Коликов А. Ф., Коликов А. В. Изобретательность в вычислениях. — М.: Дрофа, 2008. Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. — М.: Дрофа, 2009. Математика в формулах. 5—11 классы. — М.: Дрофа, 2009. Математика. 5—11 классы. Практикум (CD-ROM). — М.: Дрофа, 2008. Ж Г’- I Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С. Математическая шкатулка: пособие для учащихся. — М.: Дрофа, 2006. Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи на смекалку. — М.: Дрофа, 2006. Новейший полный справочник школьника. 5—11 классы: Математика. — М.: Эксмо, 2008. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. — М.: Дрофа, 2006. Перельман Я. И. Занимательная алгебра. — М.: Терра-Книжный клуб, 2008. Попов Г. Н. Сборник исторических задач по элементарной математике. — М.: ДомКнига, 2006. Попов Г.Н. Очерки по истории математики. — М.: Либро-ком,2009. Рубинштейн А. И. Связующая нить. Неизвестная математика. — М.: Дрофа, 2009. Слонимский Л. И. Алгебра. 7—9 классы (CD-ROM). — М.: ACT; Астрель, 2008. Толпыго А. К. Тысяча задач Международного математического турнира городов. — М.: МЦНМО, 2009. Тонких А. П. Математика. Районные олимпиады школьников. 8—11 классы. — М.: Дрофа, 2008. Фарков А. В. Математические олимпиады. — М.: Экзамен, 2009. Фенько Л. М. Метод интервалов в решении неравенств и исследовании функций. 8—11 классы. — М.: Дрофа, 2007. Шарыгин И. Ф. Математический винегрет. — М.: Мир, 2002. Шевкин А. В. Школьная олимпиада по математике. Задачи и решения. — М.: Илекса, 2008. Энциклопедический словарь юного математика. — М.: Педагогика, 1989. Интересная информация в Интернете на сайтах: https://www.edu.ru/moodle/ — Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов https://school-collection.edu.ru/ — Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов https://www.turgor.ru/ — Международный математический турнир городов https://math.rusolymp.ru/ — Всероссийская олимпиада школьников по математике https://www.kenguru.sp.ru/ — Российская страница международного математического конкурса «Кенгуру» j "+J:' z; ■ '*’ 114n ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Алгебра 5 Алгебраическая дробь 111 Аргумент функции 53 Арифметика 175 Вероятность события 158, 160 Выделение полного квадрата 141 Вынесение общего множителя за скобки 126 Выражение с переменной 20 — числовое 7 Выражения тождественно равные 94 Высказывание 36 График — уравнения 86 — функции 58 Действия со степенями 277 Допустимые значения — аргумента 53 — переменной 20 Законы арифметических действий 94, 280 Значение выражения 7 — функции 53 Квадрат разности 140 — суммы 140 Комбинаторика 168 Контрпример 13 Коэффициент — одночлена 108 — пропорциональности 66 Латинский алфавит 279 Линейная функция 76 Линейное уравнение 86, 199 Математическая модель 28 Метод исключения переменной 45 Микрокалькулятор 9 Многочлен 116 — стандартного вида 116 Множество истинности 37 Модуль числа 15 Неравенство 14 Одночлен 108 — стандартного вида 108 Основание степени 98 Основное свойство — дроби 111 — пропорции 277 — степени 103 Парадокс 155 Площади геометрических фигур 282 Ч V • ____/ f b I V 1 Подобные одночлены 109 Показатель степени 98 Правила раскрытия скобок 118 Правило произведения 164 Приведение подобных членов 109 Пропорциональные переменные 66 Равенство 14 Равновероятные возможности 155 Равносильные предложения 37 — системы 46 — уравнения 37 Разложение многочлена на множители 126, 135, 150 Разность квадратов 140 Решение уравнения 39 — системы уравнений 45 Свойства степени 103 Система уравнений 45 Событие достоверное 158 — невозможное 158 Сокращение дробей 111 Способ сложения 47 Стандартный вид — многочлена 116 — одночлена 108 Степень 98 — многочлена 117 — одночлена 108 Схемы движений 281 Таблица — квадратов двузначных чисел 279 — плотностей 280 — простых чисел 278 — с двумя входами 57 Теорема Пифагора 282 Тождество 93, 194 Тождественное преобразование 95 Угловой коэффициент прямой 72 Факториал 165, 166 Формула числа — перестановок 165 — размещений 166 — сочетаний 166, 167 Формулы — комбинаторики 277 — сокращенного умножения 139,140,194, 277 Функция 53, 182 — линейная 76 Число перестановок 165 — размещений 166 — сочетаний 166, 167 Член многочлена 116 Учебное издание Муравин Георгий Константинович Муравин Константин Соломонович Муравина Ольга Викторовна АЛГЕБРА 7 класс Учебник для общеобразовательных учреждений Зав. редакцией О. В. Муравина Редактор Т. С. Зельдман Художественный редактор А. В. Шувалова Технический редактор И. В. Грибкова Компьютерная верстка С. Л. Мамедова Корректор Г. И. Мосякина в соответствии с Федеральным законом от 29.12.2010 г. № 436*ФЗ знак информационной продукции на данное издание не ставится Сертификат соответствия № РОСС RU. АЕ51. Н 16238. Ш Подписано к печати 17.04.13. Формат 60 х 90 Бумага офсетная. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Уел. печ. л. 18,0. Тираж 1500 экз. Заказ № 2935. ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги просим направлять в редакцию общего образования издательства «Дрофа»: 127018, Москва, а/я 79. Тел.: (495) 795-05-41. E-mail: [email protected] По вопросам приобретения продукции издате.тьства «Дрофа» обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Тел.; (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52. Сайт ООО «Дрофа»: www.drofa.ru Электронная почта: [email protected] Тел.: 8-800-200-05-50 (звонок по России бесплатный) Отпечатано в ОАО «Можайский полиграфический комбинат» Ы3200, г. Можайск, ул. Мира, 93 wwTv.oaompk.ni, \смлу,ОАОммк,рф тел,: (495) 745-84-28, (49638) 20-685