Учебник Алгебра 11 класс Пратусевич

О, л € N, которую и называют формулой Муавра. Рассмотрим записанное в тригонометрической форме число 2 = р (cos ф + i sin ф) и запишем в тригонометрической форме обратное число, т. е. число -j. Поскольку 1 = cosO-н isinO, по правилу деления чисел, записанных в тригонометрической форме, получим — = — (соа(-ф) + / sin(-ф)). Если Z р теперь обе части этого равенства возвести в натуральную степень л и применить формулу Муавра, то получим -^= —(сов(-лф)-1-/ вш(-лф)). По- 2" р" лученное равенство можно перюписать в виде 2“" = р“" (cos (-лф) + i sin (-лф). Это означает, что для возведения комплексного числа, записанного в тригонометрической форме, в отрицательную целую степень достаточно возвести в эту степень модуль и умножить на эту степень аргумент, чтобы получить соответственно модуль и аргумент искомого числа. Приведённые вычисления показывают, что формула Муавра верна не только для натуральных, но и для целых показателей степени (для нулевого показателя формула очевидна, если по определению считать, что 2° = 1). Таким образом, выполняется равенство (р(со8ф + /81пф))'’ = р'’(со8Пф + /з1ппф), где р > о, л eZ. ^Мы подразумеваем, что если ф — один из аргументов числа 2, то -ф — один из аргументов числа i. ^Абрахам де Муавр (1667—1754) — французский математик и механик, один из создателей теории вероятностей. Поскольку Муавр был гугенотом, то с 1688 г. жил в Англии, где сблизился с И. Ньютоном. В теории вероятностей известны предельные теоремы Муавра — Лапласа. Vtd Глава XI. Комплексные числа 12010 Ч с 1 + v3ij' □ Запишем число 1 + -JSi в тригонометрической форме. 1 С08Ф = 11 + -JSi I = 2, откуда можно принять Ф = — 81Пф = 2’ S 2 ’ Теперь по формуле Муавра получаем П2010 ^ _ 22010 / / С08- 2010л + i 81П ■ 2010л 1 = = 22010 (cos 670л + i sin 670л) = 22ою. ц Пример 37. Выразим cos 10а через cos а и sin а. □ Воспользуемся равенством cos 10а = Re (cos 10а + isin 10а) = Re (cos а + i sina)'o. По формуле бинома Ньютона + Cjocos*a (cos а + isina)^o = cos^0a + CJoCosOa • sin а • i + i + ... + Cfocosa sin^a • r + I 10 sin'Oa Заметим, что слагаемые, где i возводится в нечётную степень, будут чисто мнимыми, а слагаемые, где i возводится в чётную степень, — вещественными. Так как для решения задачи нужно вычислить вещественную часть данного выражения, получаем (учитывая, что j2 = -1, а t"* = 1 и т. д.) cos 10а = cos^°a - Cfncos^a sin2 а + CiqCos^ а cos2a sin® а - sin*°a. sin'* a - Cfocos^a sini’a -b Ш Используя основное тригонометрическое тождество, в правой части последнего равенства можно получить многочлен относительно cos а, причём его старший коэффициент будет равен fiO , fi2 1^10 ^ i-^io + Cfo -l-Ci° = 29. Аналогичный результат верен для произвольной степени п: cos па = Р„ (cos а), где P„(t) — многочлен степени п, старший коэффициент которого равен 2" ~ *. Эти многочлены носят название многочленов Чебышёва и обладают многими уникальными свойствами. Таким же образом можно получить аналогичное утверждение для синусов кратных углов. Сформулируйте и докажите его самостоятельно. Пример 38. Найдём все комплексные числа 2, пятая степень которых является вещественным числом. □ 1. Очевидно, число 2 = 0 удовлетворяет условию. 2. Запишем г ^ Ов тригонометрической форме: 2 = р(со8ф -I- 1зшф). Тогда 2® = р®(соз5ф -I- гзшбф). 8Д71 §70. Геометрическое представление и тригонометрическая форма записи комплексных чисел Ненулевые вещественные числа (и только они) имеют аргумент 0 (если они положительны) или я (если они отрицательны). Поэтому, чтобы ненулевое комплексное число было вещественным, необходимо и достаточно, чтобы его аргумент с точностью до 2кк, к & Z был равен о или я. Итак, получим условие: .... _ 2яА 5ф = 2яй, кв Z, 5(р = я -г 2я/, I е Z Ф = Ф = 5 л -I- 2п1 , кв Z, J I в Z, Обе полученные серии можно объединить в одну: ф = т в Z. 5 Поскольку значения аргумента, отличающиеся на целое кратное 2я, соответствуют (при заданном значении модуля) одному и тому же комплексному числу, достаточно взять лишь произвольные 10 подряд идущих значений т, поскольку при всех остальных целых т полученные значения будут отличаться от одного из взятых на целое кратное 2я. Таким образом, получаем ответ: 0 и все числа вида р(созф -f- /зшф), гдер > 0,ф = т в {-5; -4; -1; 0; 1; 4}. Множество соответст- 5 вующих точек плоскости изображено на рисунке 11.26. В Пример 39. При каких значениях р среди комплексных чисел г, таких, что 12 - 1 -f- 1л/з I < р, найдётся ровно одно такое, что в R1 □ Аналогично предыдущему примеру получаем, что множество чисел 2, таких, что 2<6 Д, СОСТОИТ из о и всех чисел вида р(созф ■¥ гз1пф), где р > о, ф = m в {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. На плоскости соответствующее множество точек является объединением четырёх прямых (рис. 11.27). Множество чисел 2, таких, что |2 - 1 -I- /л/3| ^ р, является непустым лишь при р> 0. При р = о оно состоит из одной точки 1 - iVs, не лежащей ни на одной из изображённых прямых, а при р > о это множество представляет собой круг радиуса р с центром в точке 1 - iV3. Таким образом, нам нужно найти, при каком радиусе соответствующий круг коснётся одной из прямых. На рисунке 11.27 изображён случай касания (касание будет с прямой О А, поскольку ZAOK < ZKOB {ZAOK = 15°, ZKOB = 30°)). Осталось найти радиус окружности, касающейся прямой ОА. Рис. 11.27 248| Глава XI. Комплексные числа Из прямоугольного треугольника OLK получаем LK = ОК sin ZLOK. ОК = \1- iS\=2, ZLOK =15°, sin 15°= sin(45° - 30°) = ^^!^, откуда LK = Ответ: p= g] 2 2 ©71. Корень П-Й степени из комплексного числа 1. Корень п-й степени из комплексного числа Как и в случае с вещественными числами, корнем п-й степени при натуральном л > 1 из комплексного числа z будем называть такое комплексное число W, которое при возведении в степень п даёт z, т. е. W" = Z. Выясним, из любого ли числа можно извлечь корень п-й степени и сколько существует корней степени п из данного комплексного числа. □ Если 2 = 0, то уравнение ы;" = 0 имеет единственный корень w = 0. Если Z Ф о, запишем его в тригонометрической форме: 2 = 121 (cos а -f- i sin а). Поскольку число о при возведении в степень п не будет равно ненулевому числу, о не является корнем степени л из ненулевого числа 2. Поэтому корни степени л из числа 2 можно искать, записав их в тригонометрической форме: U) = р(со8ф-I-isincp). Тогда = р" (cos лф-I-i sin лф), откуда с учётом равенства w" = z и условия равенства двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, получаем Р = а 2nk keZ [р" = \z\, [лф = а -h 2nk, k е Z ф = (где !^1\Т\ — арифметический корень л-й степени из вещественного числа |2|). Придавая k различные целые значения, мы будем получать значения ю. Ясно, что если два различных значения k отличаются на л, то соответствующие им значения ф отличаются на 2л, т. е. соответствуют одному и тому же значению w. Поэтому для получения всех возможных различных значений w достаточно взять все k е {0; 1; л - 1}. й Итак, доказано следующее утверждение: Утверждение ' 1 Существуют ровно п корней степени л (л е W, л > 2) из ненулевого числа Z = 121 (cos а + / sin а). Все эти корни могут быть заданы форму- п лои W ^ — I ^ I ^ I ОМ I ы./. + / sin —-I-п , где ке {O', 1; ...; л - 1}. При этом символ л/г при ненулевом 2 служит обозначением не числа, а множества из л чисел. В отличие от случая вещественного SM9I §71. Корень п-й степени из комплексного числа подкоренного выражения не существует разумного способа предпочесть один из корней п-й степени оставшимся. Пример 40. Найдём все корни четвёртой степени из -1. □ Запишем -1 в тригонометрической форме: —1 = cosjr-f isinn. Тогда корнями четвёртой степени из —1 будут числа Зл . . Зл и»! = cos — + I sin - w, л , . . л = cos — -i-1 sin—, ”44 5л . . 5л U>o = cos--- -I- I sin-. 2 4 4 4 7л 7л Шо = cos-+ I sin ■ ^4 4 (нижний индекс корня соответствует тому значению к, при подстановке которого в формулу корней получается данный корень). Полученные корни можно записать в алгебраической форме: IV = ±-^ ± -^1. ® V2 V2 Поскольку все корни степени п из данного числа имеют один и тот же модуль, они располагаются на окружности с центром в начале коор- гг. „2л динат. Так как аргументы корней различаются на —, то корни рас- п полагаются в вершинах правильного п-угольника (рис. 11.28). Из этого следует, например, что сумма всех корней степени п из данного комплексного числа равна О, так как сумма векторов, идущих в вершины правильного много- угольника из его центра, равна 0. С другой стороны, корни степени п из комплексного числа w являются корнями уравнения - w - 0, а тогда по теореме Виета сумма корней этого уравнения равна о. Следовательно, сумма векторов, идущих в вершины правильного многоугольника из его центра, рав- на о (обратите внимание, из рассмотрений комплексных чисел получен геометрический факт). Рассмотрим корни степени п из 1. Одним из этих корней является само число 1. Остальные корни являются корнями уравнения г" - 1 = 0, не равными 1, т. е. корнями уравнения г"~ ^ z’’+ ... + z + 1 =0. На- пример, корни из 1 третьей степени, отличные от 1, являются корнями 1 л/з уравнения z^ + z + l = 0n равны ± i. В соответствии с общей формулой корней степени п корни из 1 за- 2тс^ ^Tzk даются формулой е* = cos-^ -i- isin-^, где к е (0; 1; ...; п - 1}. 2501 Глава XI. Комплексные числа Отметим следующие свойства корней степени п из 1. 1. 8q = 1. 2. Ef, ‘ El = ^ I- Здесь при k + l>n за + , принимается е^, где г — остаток от деления k + I на п. 3. e^=en.k- Геометрически свойство 3 означает, что вещественная ось является осью симметрии многоугольника, вершинами которого являются корни степени п из 1. 2. Арифметические действия с корнями степени л Пусть и — один из корней степени п из 2,, w — один из корней степени п из 22. Равенство {uwY = = z^Zz показывает, что uw является одним из корней степени п из 2j22. Пусть теперь числа 2^ и 22 отличны от нуля. Если зафиксировать и и заставить w пробежать все п различных значений корня степени п из 2g, то произведение uw пробежит все п различных значений корня степени п из 2122. Действительно, если uwi = UW2, то u(Wi — W2) — О, откуда - W2 = 0 (так как и О), а тогда = icg. Таким образом, различным значениям w соответствуют различные значения uw. Поскольку мы брали п различных значений w, то мы получили п различных значений uw, каждое из которых является корнем степени п из 2j22. Поскольку корней степени п из 2j22 ровно л, то мы получили все корни степени п из 2,22. Равенство = <^[z^ следует понимать как равенство двух множеств. В правой части равенства стоит множество корней степени п из 2,22, ^ ^ левой — и е w е Аналогично следует понимать равенство ■ё Рассмотрим квадратное уравнение az^ + bz + с = О {а фО) с комплексными коэффициентами. Так же как в случае уравнения с вещественными коэффициентами, можно выделить полный квадрат, получив равносильное уравнение - 4ас 4а^ Число 2а явля- ется корнем второй степени из числа 4а^ (одним из двух). Поэтому - 4ас все корни второй степени из числа----г— получаются, если каждый 40“^ корень второй степени из - 4ас разделить на 2а. Тогда можно за , Ь писать Z + — = 2а Jb^ - \ас Ь -— -----(эта запись означает, что число 2 н-----может 2а ^ 2а 251 § 71. Корень п-й степени из комплексного числа быть равно любому из двух чисел ■Jb^—4ac 2а , откуда Z = -Ь + - 4ас 2а (обратите внимание, что перед корнем нет привычного знака ±, поскольку символ - 4ас уже означает множество из двух комплексных чисел). Итак, с точностью до знака формула корней квадратного уравнения с комплексными коэффициентами будет такой же, как и для уравнения с вещественными коэффициентами. ______ Остановимся подробнее на равенстве Ф1г = При г ^ О в правой части равенства стоит множество из nk корней степени nk из г. Для каждого из k значений корня степени k из z (обозначим его а) существует ровно п значений корня степени п из а. Таким образом, получились nk чисел, составляющих множество, записанное в левой части равенства. Поэтому равенство ф/г = "^2 следует понимать как равенство двух указанных множеств. Q72. Применения комплексных чисел 1. Доказательство равенств .. .... тэ 2л: , 4л , 6л Пример 41. Вычислим значение выражения cos — -г-cos — + cos —. □ Заметим, что искомая сумма является вещественной частью суммы трёх корней седьмой степени из 1. Добавим недостающие слагаемые так, чтобы получилась вещественная часть суммы всех корней седьмой степени из 1, равная: , 2 л 4л 6 л 8 л Юл 12л 1 -I- cos — -I- cos — + cos — -I- cos — + cos-+ cos ——. 7 7 7 7 7 7 „ 2л 12л 4л Юл 6л 8л Но cos— = cos-----, cos— = cos----, cos— = cos—, поэтому 7 7 7 7 7 7 , 2л , 4л 6л 8л Юл , 12л 1 + cos — -f- cos — + cos -t- cos -— + cos----+ cos —— = 7 7 7 7 7 7 = 1-1-2 2л , 4л , 6л cos — + cos — + cos — 7 7 7 Поскольку сумма всех корней седьмой степени из 1 равна О, то и , 2л 4л 6л 8л Юл 12л „ 1 -t- cos — + cos — + cos — + cos — + cos ——- + cos —— = 0. 7 7 7 7 7 7 A тогда искомая сумма равна ® Пример 42. Найдём формулу суммы синусов аргументов, образующих арифметическую прогрессию, т. е. sina -f- sin(a + d) -t- sin(a -f- 2d) + ... + sin(a + (n - l)d), где d e R. Глава XI. Комплексные числа □ Заметим, что sin а + sin (а + d) + sin (а + 2d) + ... + sin (а + (п - l)d) = = Im((cosa + isina) + (cos(a + d) + isin(a + d)) + ... + + (cos(a + (n - l)d) + isin(a + {n - l)d))). Рассмотрим число cos (a + kd) + isin(a + kd) = (cos a + isina) (cos fed + / sin Ad), k e {0; 1; ...; n - 1}. Обозначим 2q = cosa + isina, = cosd + isind. Тогда cos Ad+ + i sin Ad = g*, откуда cos (a + Ad) + isin(a + Ad) = По формуле суммы геометрической прогрессии для q* 1 (если 9 = 1, то можно считать d = 2лА, А eZ, а тогда суммируются п одинаковых слагаемых, равных sin а) искомая сумма равна Im(2o -I- 2о9 -1- 2од2 -t- ... + 2о9" "‘) = Im Рассмотрим множитель: 9" — 1 cos nd — \ + i sin nd „ . ,nd . nd nd -2 sim — + i2 sm-cos— 9-1 cos d - 1 -f- i sin d nd -2 sin^ — + i2 sin — • cos— 2 2 2 sin- ( . nd . nd\ sin------icos — I 2 2 J . d ( . d sin— sin— 21 2 icos- Запишем число sin ф - i cos ф в тригонометрической форме: sinф - /со8ф = cos j ~ * sin ~ ~ = cos I ф - 11 + i sin ф - -| Имеем . nd ( . nd nd\ nd (nd я 'i . . (nd я 'j sin--sin-----icos— sin— cos-------+ isin-------- 2 [ 2_______^ _ 2 [2 2) 1^2 2) _ sin d ( . d . — • sm-I cos — 2^2 2) . d sin — 2 cos (d я') . . (d я'! U 2) U 2) sin- nd . d sin— 2 cos (n l)d . . (n —----h I Sin ^— l)d 3531 § 72. Применения комплексных чисел Таким образом, получим д" - 1 q - 1 sin- nd = (cos а + i sin a) • „„„ (n - l)d cos--------+ I sin-------- sin- nd / cos a + sui — 2 (n - l)d • d sin— V 2 откуда искомая сумма равна f . nd sin — 2 + i sin a + (n - l)d Im / • d sin— V 2 cos a + (n — l)d + i sin a + (n - l)d . nd . ( (n - l)d ^ sin----sin a +----------- 2 I 2 j ^ d sin — 2 Конечно, вычисления, которые пришлось произвести, несколько громоздки, но основная идея — увидеть в записи мнимую часть суммы комплексных чисел — весьма естественна. В 10 классе мы находили похожую сумму с помощью искусственного приёма (глава VI, пример 30), а в данном решении все вычисления естественны. Вот более сложный пример доказательства тождества. „ „ тт . п . 2л . пл у12п + 1 Пример 43. Докажем, что sin-------sin------... • sin----= -------. 2n + 1 2л -H 2п -I-1 2" □ Рассмотрим уравнение 2^" + + ... + z + 1 = 0. Его корнями являются отличные от 1 корни степени 2п -I- 1 из 1, поэтому + Z + 1 = (z - £i)(2 - £2) • ... • (2 - £г„). Эти корни разбиваются на пары сопряжённых: корню 2^" + 2 2лк , . . 2лк , МО о 1 £fc = COS::---г + isin::---К е {1; 2; ...; 2л} 2л + 1 2л -I- 1 2л (2л -I- 1 - /г) соответствует корень £2n + i-ft = cos 2л + 1 -I- i sin 2л (2л + 1 - fe) 2л -I- 1 Перемножив (2 - £^^) • (2 - £2„ + i _ *), получаем (2 - £*) • (2 - £а„ + 1 _ а) = 22 - 22 cos 2лк 2л + 1 -I-1. Таким образом, 2л 22" + Z^"~^ + + Z + 1 = = 22 - 22 COS- 2л + 2z cos —-f-1 2л +1 z^■ - 2z cos 2лл 2л+1 -1-1 254 Глава XI. Комплексные числа Подставим в полученное равенство 2=1: 2п + \- 2- 2 cos 2л V 2п + -1 ■ f2- 2cos 1 •... ■[2 - 2cos 1. 2n + lJ 2n + \) a Преобразуем правую часть по формуле 2-2 cos а = 4 sin^ — 2n + 1 = 4 sin^ ^ • 4 sin^ . ^ •... • 4 sin^ a тогда 2л + 1 2л + 1 sin^ sin^ 2л 2л+1 2л+ 1 откуда следует требуемое тождество. В! sin^ лл 2л +1 2л + 1’ 2л +1 4" ’ 2. Комплексные числа и геометрические преобразования Рассмотрим умножение произвольного комплексного числа на вещественное положительное. При этом модуль комплексного числа умножается на данное вещественное, а аргумент не изменяется. Таким образом, умножение комплексного числа г на вещественное положительное число k соответствует применению гомотетии с центром в О и коэффициентом h к точке, изображающей г (рис. 11.29). Рассмотрим умножение произвольного комплексного числа z на комплексное число с модулем 1, т. е. умножение на число вида cos а -f- i sin а. При таком умножении 121 не изменяется, а к аргументу 2 прибавляется а (рис. 11.30). Таким образом, умножение комплексного числа 2 на число cos а -f- i sin а соответствует повороту изображающей число 2 точки на угол а вокруг начала координат. Итак, умножение на любое ненулевое комплексное число р (cos а + i sin а) (р > 0) сводится к умножению на р, т. е. к гомотетии с коэффициентом р, а затем к умножению на cos а -I- г sin а, т. е. к повороту на угол а. Прибавление комплексного числа соответствует параллельному переносу на вектор, изображающий это число. Приведём примеры использования этих соображений. Пример 44. Дано множество М = {г е С: |2 - 1| ^ 1}, построим множество: а) М; б) К = {iz + 1: 2 е М). □ а) Множество М представляет собой множество точек, удалённых от 1 на рас- §72. Применения комплексных чисел стояние, не превосходящее 1, т. е. круг с центром в точке (1; 0) и радиусом 1 (рис. 11.31, а). б) Элементы множества К получаются из элементов М сначала умножением на i, что соответствует повороту на а затем прибавлением 1, что соответствует переносу на горизонтальный вектор единичной длины. Результат изображён на рисунке 11.31, б. И Вот пример более сложной задачи. Пример 45. Докажем, что центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма во внешнюю сторону, являются вершинами квадрата (рис. 11.32). □ Поместим параллелограмм ABCD на комплексную плоскость так, чтобы его центр совпал с началом координат. Рассмотрим векторы ОО, и ОО2. Докажем, что OOj J. ОО2 и |OOi| = IOO2I. Для этого достаточно показать, что эти векторы получаются один из другого поворотом на Повороту вектора на ^ соот- ветствует умножение соответствующего комплексного числа на I. Итак, докажем, что Zz = iz^ (число Zz соответствует вектору OOz, а число Zi — вектору 00{). Выразим число z^ через числа а и Ь, соответствующие вершинам А VI В параллелограмма. Для этого запишем векторное равенство OOi = OD + DOy. Вектор DO^ составляет с вектором DA угол — и имеет длину, в ^/2 раз меньшую, нежели длина вектора DA. Поэтому комплексное число, соответствующее вектору DO^, получается из комплексного числа, соответствующего вектору DA, умножением на чис- 1 л 11. ло с модулем —j= и аргументом-, т. е. на число х ~ xi* ^2 ^ 2 2 Глава XI. Комплексные числа Число, соответствующее вектору DA = О А - OD, есть разность чисел, соответствующих векторам О А и OD, т. е. чисел а и -Ь. Итак, число, соответствующее вектору DA, есть а + Ь,а тогда число, соответствующее вектору DOi, есть (а + fc)[ - - ^ t ]. Таким образом, число Zj, соответст- вующее вектору OOj = OD -f- DO у, равно сумме чисел, соответствующих векторам-слагаемым, т. е. Zi= |il. откуда 2, = а - b а + •I. 2 2 Аналогично получаем выражение для Z2 (можно в уже полученном выражении заменить -Ь на а, а а заменить на 6): 2, = Ь + а а-Ь. Н-----1, 2 2 Теперь видно, что действительно ^2 ~ • Итак, мы доказали, что OOj ± ОО2 и iGOj = IOO2I. Аналогично доказываем, что ОО2 1 ОО3 и IOO2I = IOO3I. Это значит, что точки Oj, О и О3 лежат на одной прямой, причём О — середина отрезка OjOg. Аналогично О — середина отрезка 0^0^, поэтому четырёхугольник О1О3О2О4 — параллелограмм. При этом 0^0^ 1 О2О4 и 0^0^ = О2О4, поэтому О1О2О3О4 является ромбом и прямоугольником, т. е. квадратом. 11 ------: Геометрические приложения комплексных чисел многообразны. Многие задачи планиметрии, в том числе и весьма трудные, можно решить с помощью комплексных чисел. Комплексные числа и функции комплексных переменных широко используются в технике. Например, расчёт крыла самолёта осуществляется с помощью функции /’И = 2 2 -I- называемой функцией Жуковского. Поэтому тем, кто хочет в дальнейшем специализироваться в естественно-технических областях, важно заранее познакомиться с комплексными числами. 72. Применения комплексных чисел торическии комментарии Ещё до Д. Кардано (1501—1576) метод решения кубических уравнений был известен итальянскому математику Сципиону дель Ферро, а также был вновь открыт в 1535 г. талантливым самоучкой Н. Фонтане по прозвищу Тар-талья (заика), которому на математическом турнире ученик дель Ферро болонец Марио Фиоре дал тридцать задач, сводящихся к кубическим уравнениям. Тарталья сумел придумать метод решения кубического уравнения и победил на турнире. Упоминавшийся выше Д. Кардано, готовя к изданию книгу «Великое искусство», выведал этот метод у Тартальи под обещание не печатать его в книге. Однако через некоторое время он познакомился с бумагами дель Ферро, где этот метод был опубликован, после чего счёл себя свободным от обещаний, данных Тарталье, и опубликовал этот метод, обогатив его решением «неприводимого» случая. Так правило решения кубических уравнений, а вместе с ним и комплексные числа стали известны. В книге Р. Бомбелли «Алгебра» (1572 г.) были даны основные правила действий с числами вида а + b-J^, которые достаточно долго называли мнимыми числами. В течение двух веков мнимые числа числами не считались (например, И. Ньютоном). Однако с этими числами работали, поскольку их применение приносило хорошие результаты. И если в конце XVII в. Г. Лейбниц писал: «Мнимые числа — прекрасное и чудесное убежище божественного духа, практически амфибия бытия с небытием», то в конце XVIII в. Ж. Лагранж написал; «Одним из важнейших результатов, полученных анализом за последнее время, я считаю то, что его более не затрудняют мнимые величины, вычисления с которыми производятся так же, как с вещественными». Символ / предложил Л. Эйлер в работе, написанной в 1777 г. и опубликованной в 1794 г. Термин «комплексное число» ввёл в 1803 г. французский учёный Л. Карно. Геометрическая интерпретация комплексного числа появилась в работе датского землемера К. Бесселя в 1799 г. Однако работа на датском языке не была замечена, поэтому открытие было повторено в 1806 и 1814 гг. швейцарским учёным Ж. Арганом. Поэтому изображение комплексного числа называют иногда «диаграмма Аргана». Изложенная в данной главе теория комплексных чисел как пар вещественных была построена знаменитым английским (точнее, ирландским) учёным У. Гамильтоном в 1837 г. Кстати, Гамильтон разработал также правила действий с векторами, а также продвинул далеко вперёд линейную алгебру, теорию векторных полей и многие другие разделы математики. В частности, он открыл пространственное обобщение комплексных чисел — кватернионы, т. е. упорядоченные четвёрки вещественных чисел. Можно показать, что построение множества с действиями сложения и умножения, содержащего С в качестве подмножества, возможно лишь в случае отказа от какого-либо из свойств действий (например, умножение кватернионов некоммутативно). 2581 Глава XI. Комплексные числа В Задачи и упражнения Определение комплексных чисел. Сложение и вычитание, равенство комплексных чисел Группа А XI.1. Чему равны мнимая и вещественная части комплексного числа; а) 2 = 5 + 2i; б) 2 = -3 + t; в) 2 = -i; г) 2 = -2 - 3/; д) 2 = 0; е) 2 = л - г? XI.2. Вычислите сумму и разность чисел 2j и 22, если: а) 2j = 3 + 5i, 22 = 7 - 2i; б) 2^ = 7 - 2i, 22 = 4 - 2i; в) 2i = 11 + 7i, 22 = 11 - 3/; г) 2, = 2 - i, = -4i; д) 2j = 0, 22 = -8 - 9/; e) 2j = -4i, 22 = -5 + 4t. Какие из полученных чисел являются чисто мнимыми? комплексными? вещественными? XI.3. Приведите к алгебраической форме число 2 = 2j - 22 -I- 23, если; а) 2х = 2 -f /, 22 = 3 - 2г, 2з = 4 + 3i; б) 2j = 3 - 22 = -3 -I- 5i, 23 = 5 - 3i; в) 2i = i, 22 = 5, 2з = 5 - 4/; г) Zj = -4 + 6i, 22 = -5 - i, 23 = 7 - 7t. В каждом случае укажите Im2. XI.4. При каких значениях вещественного параметра а мнимая и вещественная части числа z равны: а) 2 = -5 -f- (а^ - 7а - 5) i; б) z — - За + (а^ - 3) /; в) Z = а^ - ёа + 7 + (~2а^ — 8а) 17 XI.5. При каких вещественных значениях параметров хну числа 2х и 2g равны, если: а) z^ = + xyi - 5 + i, Z2 — xi - у^ + yi; б) Zi = х^ - 3 - i - 5xi, 22 = у - yi7 xi.e. Найдите все вещественные значения х, при каждом из которых верно равенство sinjc + icosx = cosx + isin2jc. Умножение и деление комплексных чисел. Сопряжённые комплексные числа г руппа А XI.7. Запишите в алгебраической форме число: а) i(i + 3); б) i(5-3i); г) (5i-l)(2i-H); д) (1-ь 3i)2(i - 1); XI.8. Напишите число, сопряжённое данному: а) -5 - 3i; б) у[з - i-j2; в) -0,5 -I- i; г) 10 + 0,3i; д) 5; е) -4; ж) 3/; з) -i; и) 0. Х1.9. Приведите к алгебраической форме записи число: а) (/ + 1)(г - 1); б) (2t -1- 3)(2i - 3); в) (-2 - 7/) (2 - 7i); г) (-t - 5) (-5 -l- i). в) (i-2)(4i-f-3); e) (1 + i)^ (1 - 3i). Задачи и упражнения XI. 10. XI.11. Вычислите: а) + / з) Вычислите: 3 + 2/ 16; и) I б) а) т; I б) 208 /207 1 ;1006. в) г; г) д) е) i + /20® + /20®; к) /220 + /®б®; л) / ж) /2008. ;1564 + / 1566 1 + / в) 5 + 2/. 5-2/’ г) 2/-1. 2/+1’ Д) 1+ / ]Г7’ е) 2/-1. 3/+1’ ж) з) 7-2/ Х1.12. Вычислите: 3-4/ 24+/ ‘ 1 + 3/ а) ,1001_ ;2008 г) ——^Ь^ + / 1- 347 1-3/ 1+5/ ... „..о . /13_/14 з7"1Тз7' 777 + 0 + 2.)=; в) + , 10. XI.13 XI.14 J ^ /2009 Найдите z из условия {г + /)(1 + 2/) + (1 + г/)(3— 4/) =1 + 7/. При каких вещественных значениях х vi у равны числа и 23, если 2j = х2 • (1 + /) - Зл:, 2g = • (/ - 1) — /? Х1.15. При каких вещественных значениях х ку числа 2j и 2а являются сопряжёнными, если: а) 2j = 2дс2 — 3/ - 1 + г//; 2а = у + x^i - 3 - 2/; б) Zi = (х - /)2 + 1/2, 2а = 12 + у/ + /? XI.16. При каких вещественных значениях д: и у числа 2j и 2а противоположны (т. е. 2i = -2а), если: а) Zi = X + y^i — 4/ + 4; 2а = у + д:2/ _ g _ 4/; xyi + у2 - 9д;2 _ 29 р ^ 1 ~ / ’2-2 + 5/ XI.17. При каких значениях параметра а е R число (1 - а/)2 - (2 + а/)2 является: а) вещественным; б) чисто мнимым? Найдите все 2, такие, что: а) / + Ке2 = /2; б) i(z + 1) + 2Re2 = z^. Найдите все комплексные числа 2, удовлетворяющие условию 22 + 2(2 + 2) + 4 = 0. XI.20. Решите систему уравнений: . f 5д: + (3 + /)у = 20 + 5/, _ а) 1о,.. \... _ , .гч: х,уеС; Х1.18. XI.19. б) 15д: + (3 + /)у = 20 + 5/ [Six - 4у = -15 +10/, J(l + /)jc-5у = -11 + 16/, l6/jc + (/-f + 1)у = -!-/, XI.21. Найдите пару комплексных чисел z и w, для которых выполнено |32 - 2w = 4 + 18/, 1 22 + Sw = 7 + /. Х1.22. XI.23. XI.24. Докажите, что 2 = 2 тогда и только тогда, когда 2 - вещественное число. Докажите, что: а) (г")= (2)"; б) | - 1 I' Найдите все комплексные числа, сопряжённые: а) своему квадрату; б) своему кубу. Глава XI. Комплексные числа XI.25. XI.26. Найдите все комплексные числа, квадрат которых равен: а) /; б) -i. Для каких чисел г е С выполняется равенство: а) 22= б) 22 = 3 + 4i; в) 22 = -8 - 6i? V3 + i XI.27. Найдите все комплексные числа, удовлетворяющие условиям: а) 22 = -7 + 24/ и Re2 < 0; б) 22 = 8 - 6/ и Imz > О. XI.28. Решите уравнение: а) 22 + 2г + 1 = 0; б) 22 - 4Re2 + 4 = 0. Группа В XI.29. Запишите в алгебраической форме число: а) (/ + 1)‘6; б) (/ - 1)20; в) + 1)2008. J.) (/ - 1)2009. XI.30. Запишите в алгебраической форме число: б) (-3-/л/Го)^^®(з-/лЯо) XI.31. а) (1 + 3/)10(1 - 3/)10; (3 + 4/)^0(з _ 4j)50 598 ’ Вычислите: (3 + 4/)(-1+ 3Q. 6-8/ 239 г) (2- 5/)®вб(-2- 5/)506 (2/ - 5)566(5 + 2/)ббб а) (1 + /)' XI.32. XI.33. XI.34. XI.35. XI.36. XI.37. 5/ - 2 . 8/ - 3 б) ---+ i +--- ^ 3i + 1 2-i ”>(5 0-0*^^' Найдите вещественную часть числа г, если: , яч (1 + 0® ^ 1 а) 2 = -—: ; б) 2 = Ч—— + 1 - / 1- / ,10 ' Вычислите: а) (2 + ly + (2 - 1У; б) (1 + 2/)^ + (1 - 2/)®. Вычислите при п е N: а) (1 + О" (1 - ; б) (1- i)" • /'■-^ (1 + /) п - 2 Найдите все комплексные числа, для которых выполняется условие —^ = 2(1 + 2/). Re 2 Im 2 Пусть 2i и 22 — комплексные числа, причём 2х • 22 = 0. Докажите, что 2i = О или 22 = 0. Докажите, что если комплексные числа 2j и 22 не являются ве- + Zo^ R, щественными — ' ‘ 1^1+ ^ ’ ’’О {г,.,— *> 22 е R mm Задачи и упражнения 3-i4 + ;2008. *■ » Группа С XI.38. Вычислите: а) i + + ... + Р в) i - 2j2 + 3i3 - 4/4 + ... + 2009/2009; г) / + 2/2 + З/з + 4/4 + ... + 2009/20ОЭ; д) / + 4/4 + 7f + ... + 2008/2008; е) i - 4i'^ + 7/^ - ... - 2008/2оов. ,-2008. gj j _ ^2 ^ Решение квадратных уравнений Группа А XI.39. Найдите все комплексные числа, квадрат которых равен числу: а) 4; б) -4; в) 0; г) 1; д) -1; е) 11; ж) -33. XI.40. Решите квадратное уравнение в комплексных числах: а) х2 + 36 = 0; б) д;2+7 = 0; в) л;2 + 6л: + 34 = 0; г) jc2 4-4jc + 29 = 0; д) jc2-lOx-f 26 = 0; е) л:2_бд;4. i3 = Q; ж) jc2-4jc + 7 = 0; з) + 2л/2х + 9 = 0. XI.41. Составьте квадратное уравнение с вещественными коэффициентами, если один из его корней равен: а)/; 6)1 + 3; в) 5-/; г) 3-2/. Группа В XI.42. Разложите на множители: а) х^ + 1; б) лг2 + 101; г) х^ - 6х + 25; д) ц2 -f о2; в) х^ - 2х + 2; п2 е) — н-----. ' 4 9 Комплексные числа и многочлены. Решение уравнений в комплексных числах г руппа А XI.43. Вычислите f(u) -I- /(ы), если: а) f(z) = -22® - 2^2 -I- З2 - 4 и U = 1 ■+ 2/; б) f{z) = z‘^ - 2z^ + 2^2 -4z-f4HU=2-/. XI.44. Делится ли многочлен х'^ + 2х^ + 4(1 + i) на х - i + 1? XI.45. Приведите пример многочлена третьей степени с вещественными коэффициентами, у которого есть корни: а) 1 и 4 - 7/; б) 2 и 2 - /; в) докажите, что в пунктах а и б многочлена второй степени с вещественными коэффициентами и указанными корнями не существует. XI.46. Решите уравнение: а) дг4 + 4л:2 -5 = 0; б) л:4 _ 5д;2 - 36 = 0; в) JC® + х2 + д: - 3 = 0; г) х^ - 5х^ + 7д: + 13 = 0. XI.47. а) При каких значениях параметра а е R число корнем уравнения 2z^ - a^z^ + 2a^z - а - 2 = 0? б) При каких значениях параметра а е R число 1 + i 1- / 1 - / 1 + / является является корнем уравнения 122® + 2a^z^ + Sa^z - 4а + 16 = 0? Найдите остешьные корни данных уравнений при найденных а. 262; Глава XI. Комплексные числа XI.48. Найдите остаток от деления многочлена f(z)= -5z^ - 2z^ +z-l на: a) z - i; 6) z + i. XI.49. Пусть P — многочлен c вещественными коэффициентами, при- i’(-5 - О чём P(t - 5) = 7 + i, P(2i + 7) = 3 + 4i. Найдите P(7 - 20 Группа В XI.50. Решите уравнение: а) 23 + 0,5г2 + 0,5г - 0,5г = 0; б) 42'* - 1723 + 122^ - 172 + 4 = 0; в) 2З — 42^ - 42 - 5 = 0; г) 2^ - 423 ^ - 42 - 15 = 0; д) 2® + 822 ^ 152 + 18 = 0. XI.51. Упростите выражение (л: - 1 - г)(л: - 1 + 0(-*^ + 1 + + 1 - !)• XI.52. При каких значениях параметров аи Ь многочлен 2® + 2az^ + 62 +1 делится на 2® + 1? XI.53. Остаток от деления многочлена Р на 2 - i равен i, а от деления на 2 + i равен 2. Найдите остаток от деления многочлена Р на 2® +1. XI.54. Известно, что число 1 + i является корнем уравнения д:® - аде® + + (2а - 2)д: - 4 = о, где а — вещественное число. Найдите а и остальные корни уравнения. XI.55. Известно, что уравнение д:® - д:® + (а + 3)дг - 4а = 0, где а — вещественное число, имеет чисто мнимый корень. Найдите а и корни уравнения. XI.56. Известно, что уравнение д:® -I- 4д: -f а = 0 (где а е R) имеет одним из своих корней такое число и, что Re и = 2 Im а. Найдите возможные значения а и при каждом из найденных значений решите уравнение. XI.57. При каких вещественных значениях параметра а уравнение (а - 1)д:^ - 4х® -f а + 2 = 0 имеет только чисто мнимые корни? XI.58. Докажите, что (1 - 2i)• (1 — 23) •... • (1 - 2„) = п -ь 1, если 2j, 23, ..., 2„ — корни уравнения 2" + ^ - 1 = 0, не равные 1. группа С XI.59. Докажите, что если многочлен с вещественными коэффициентами не имеет вещественных корней, то он представим в виде суммы квадратов двух многочленов с вещественными коэффициентами. Изображение комплексных чисел на координатной плоскости. Модуль комплексного числа Группа А XI.60. Отметьте на комплексной плоскости число, укажите его модуль: л/З 1 а) U = t; б) U = —— i -I- в) а = -i - 5; г) и = 3; д) а = 3 - 4i. 263 Задачи и упражнения XI.61. Изобразите множество чисел на комплексной плоскости, таких, что: а) Re2 = -1; б) Imz + Re2 = 0; в) Im(2 + i) = 3; г) Re2z + lmz = 2; д) Re£2 = 1; е) Im(2jt-2 + i)> 1; ж) Im(2(2 +/))> 0; з) 2 • 2 < 1; и) {z-z)^^z-z. XI.62. Изобразите множество чисел на комплексной плоскости, таких, что: а) Re2^ = l; б) 1т-^ = 1; в) z ■ z + 2z + 2z = 0; г) 2^ = д) Im > 1. ■J3+ i 2-1 XI.63. Пусть множество А задаётся уравнением Re2 = -Im2. Изобразите множество чисел и, таких, что: а) и = Z - i; б) и = -z; в) и = z - 1 - i; г) и = z, где z е А. XI.64. Пусть множество А задаётся неравенством 2 • 2 < 4. Изобразите множество чисел и, таких, что: а) U = 2 -I- 2; б) и = Z - 2 + 2i; в) и = z; г) и = 2z, где z е А. XI.65. Найдите расстояние между точками А (и) и В (v) на комплексной плоскости, соответствующими комплексным числам: а) и = 7 - 2i и V = 6 + i; б) u = 3-4inv = -4; в) и = i и V = -i; г) и = 0 и v = -3 + 2i. XI.66. Является ли треугольник А (и), B(v), С(u^) равнобедренным, если: а) U = 3 -I- 2/, п = 5 -I- 2i, ш = 4 -I- 6i; б) и = 2 - i, V = -2 + 2i; IV = -1 - 3i? XI.67. Лежат ли на одной прямой точки, соответствующие числам: а) 0,2 + /, 6 -I- 3i; б) -4 - 3i, -1 -I- 3t, 2 -I- 9i? XI.68. Три последовательных вершины параллелограмма суть числа: а) 0; 1 t; 1 + 2i; б) -i; 2 -l- i; -1 -l- 2i; в) Zii 23; 23. Какому комплексному числу может соответствовать четвёртая вершина? XI.69. Треугольник АВС равносторонний. Точке А соответствует число и, точке В соответствует число и. Какое число может соответствовать точке С, если: а) u = -i; v = i; б) и = 0; v = i + 1; в) и = 2 - 3i; V = 3 - 2i; г) и = 0; v = 3 + 4i? XI.70. Концы отрезка заданы точками, соответствующими комплексным числам и и V. Найдите комплексное число, соответствующее: а) середине отрезка; б) точке отрезка, делящей его в отношении 2 : 3, считая от и. XI.71. Даны комплексные числа и и и. Найдите комплексное число 2, такое, что и есть середина отрезка с концами в 2 и и. XI.72. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию: а) \z\ = 2; б) |2|^1; в) |2 + 2i|=l; г) |u-f-2i-l-l| = V5; д) |2| = |2-1|; е) |2-1| = |2 + 1|. Глава XI. Комплексные числа XI.73. Из всех чисел z, удовлетворяющих условию |г - г - 1| = 1, найдите такие, что: а) |2| принимает минимальное значение; б) число с наибольшим модулем; в) число с вещественной частью, равной 2; г) число с вещественной частью, равной V2. XI.74. Найдите все комплексные числа 2, для которых выполняется равенство 121 = 4i (2 - 3). XI.75. Множество К комплексных чисел задано условием 2 |2 -t- 3/| = |2|. Найдите все комплексные числа а, такие, что Vaj, |2, - а| = I2, - а|. Группа В XI.76. Изобразите множества А vi В, если А = |а е С: 2 • 2 + = о|, В = {г е С: az + аг = 2^|2}, а = ^{1 - i). Найдите комплексные числа, изображаемые общими точками множеств А и В. XI.77. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетво- ,|z-b2i| „ - (1 1|^ 1 .\z-2\ 1 ряющих условию: а) ^---г ^2; б) Im---— \ > 1; в) --f \z - i\ 1^2 Z ) |2+1| 2 XI.78. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих данному неравенству: а) 3 < |3i21 - t| < 9; б) V2 < |(1 - г)^ - i| < 2>/2; в) |2i-l-2| |2|. XI.79. Пересекаются ли множества, заданные условиями: а) |2 - 2t| = 1 и |2 - 2| = 2; б) \z - 2i - 3\ = 3 и\z+ 2-3i\ = 2; в) \z - i - 1\ = 4 и \ z - 2\ = 2; г) |2-/-1|^1и12-2|<1? XI.80. Среди всех чисел, удовлетворяющих данному соотношению, найдите число с наименьшим и наибольшим модулем: а) |2 - 2i| = 1; б) |2-3-4i| = 2; B)|2-l-i| = |2-l-Hi|; t)\z - 2\ = \z + 4i\. XI.8I. Найдите наименьший модуль комплексного числа 2, удовлетворяющего условию: а) |2-i| = |24-V3|; б) \z - i\ = \z + у1з\. XI.82. Найдите число с наибольшим модулем среди чисел 2, таких, что \zi-3i + 4\ = \l-iS\. XI.83. Даны два комплексных числа 2j = 4 3i, 22 = 3 + 4i. Изобразите множество точек z на комплексной плоскости, таких, что: а) \ziZ - ZiZ2\ = \z22 - ZiZzl; б) \iz - iZi\ = \2z - 2z2\. XI.84. a) Из всех чисел z, удовлетворяющих условию — (z)^ = 16i, найдите такие, что 12 - 51 -l-12 - 5t | принимает минималт^ое значение. б) Из всех чисел 2, удовлетворяющих условию 2*2 = 25, найдите такие, что |2-7|-l-|2-7i| принимает минимальное значение. Задачи и упражнения XI.85. Известно, что комплексные числа г и 2г - 1 + i имеют одинаковый модуль. В каких границах может изменяться величина этого модуля? Х1.86. Известно, что для комплексного числа г выполняются равенства 12 + 10| = у/б5 и IZ - 2/1 = Vl3. Найдите все значения, которые может принимать Imz. XI.87. Комплексное число z удовлетворяет условиям |z-13|=13, ]г -I- 3/| = 9л/2. Найдите возможные значения: а) Re2; б) |z - 13 -I- 3i\. XI.88. Какую фигуру задаёт уравнение аг + аг = Ь, если а е С, be R? XI.89. Найдите все значения вещественного параметра а, при каждом из которых векторы, изображающие корни уравнения 2^ - 2z -I- а = О, были перпендикулярны. XI.90. При каких значениях 2 треугольник с вершинами в точках О, 2, 2^ является равносторонним? XI.91. Изобразите множество чисел 2, таких, что треугольник с вершинами в точках I, 2 - 2 + t является равнобедренным. XI.92. Докажите, что для любых комплексных чисел и и v выполняется неравенство |u-o|^|u|-|o|. Какой геометрический смысл данного неравенства? Когда данное неравенство обращается в равенство? XI.93. Пусть и и V — различные комплексные числа h|u-u| = |u-(-i;|. Докажите, что четырёхугольник, вершины которого находятся в точках плоскости, соответствующих числам О, и, и, и + и, является прямоугольником. XI.94. Докажите, что для любых комплексных чисел ии v выполняется равенство 2(\uf -f- |о|2) = |u -f- up + |u - up. Данное равенство называется тождеством параллелограмма. Как вы думаете почему? Группа С XI.95. При каких значениях параметра aeR существует единственное число 2, такое, что |2-г[^0 и |2-За|< 2а? XI.96. Найдите все действительные числа 6, такие, что система нера- J|2 - г| < 2, венств < ' имеет ровно одно решение на множестве [|2 - 4fc| ^ -ЗЬ комплексных чисел. XI.97. При каких значениях параметра а е Rue имеет решений система: |г - а| = 1, б) а) ||2 - а| = 1, ||2 - i| = 2а? 266 Главах!. Комплексные числа XI.98. При каких значениях параметра а & R существует хотя бы одно комплексное число г, такое, что \ г - ai \ = а + 4 и \ г - 2\ < 27 XI.99. Изобразите на комплексной плоскости множество всех таких точек 2о, что для каждой из них для любого решения г уравнения: а) |г - 3/| = |2 - 2о| выполняется условие Ф Н для любого положительного t е R; б) \z + 4\ = \z-Zo\ выполняется условие 2^ Ф ti для любого отрицательного t е R. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Группа А XI.100. Отметьте на комплексной плоскости число, укажите его мо- ч • «ч 1 . 7з , 1 . , ч/з дуль и аргумент: а) и = —ц б) и = ~—i—в) г) U = -I - 1; д) и = 3i + 4; е) и = -2 + i. XI.101. Изобразите множество точек z на плоскости, для которых: а) arg2 = г) arg(2 -f- i) = ж) о < arg2 ^ О б) arg 2 = 0; д) arg2/ = 4 . 2к - ^ тс з) < arg2 ^ в) arg 2 = е) arg-7 = I 4 V / "Ь 1 и) arg------= -п. Представьте число в тригонометрической форме (XI. 102, XI. ЮЗ). XI.102. а) 1 -I- г; б) -1 -I- iл/З; в) 16 - 16л/3г; г) -б7з - 6/; д) ^ + § i; е) 0. Ы XI.103. а) -i; б) -7; в) i; г) (V3-4)i. XI.104. Вычислите: а) cos 11п 12 -I- I sin - llTt 12 п . . я cos — -I-1 sin — 12 12 б) 3 cos я,.. xV ^ — + I sin — cos — + I sin — ; 6 6 3 3 J . I 2я , . . 2л в) I cos -^ + 1 sin О О 5л . . 5л I,. -. cos— + I sin |0 + 1); r) cos XI.105. Из всех чисел 2, удовлетворяющих условию |2 - i - 11 = 1, найдите: а) число с наименьшим аргументом; б) число с наиболь- ч шим аргументом; в) число с аргументом О Задачи и упражнения XI.106. Пусть \z \ = argz = Найдите модуль и один из аргументов числа 322“* + 2-JSi. XI.107. Пусть |2| = 2, arg2 = —. Найдите модуль и один из аргументов 3 числа 2® - 8/. группа В XI.108. Изобразите множество точек 2 на плоскости, для которого: V i + 1 2 п а) arg----= -л; б) arg- I + л/3 XI.109. Приведите к тригонометрической форме число: а) 3 + i; б) -1 + 2i; в) -2 - Зг; г) 3 - 4L XI.110. Приведите к тригонометрической форме число: а) sin 52° + i cos 52°; б) - (sin 52° + i cos 52°); в) (cos 48° - i sin 48°); r) -cos 48° + i sin 48°. XI.lll. Приведите к тригонометрической форме число: а) sin42° + icos 148°; б) -(sin 148° + icos42°); в) sin 20° + г cos 70°; г) -----------. ' к .. n cos— + I sin — 11 11 XI.112. Приведите к тригонометрической форме число (sin 26° + i cos 154°) (sin 27° + i cos 153°) sin 17° + cos 17° X1.113. Среди таких комплексных чисел 2, что (2 + 2)(2 - 2) = 4iV3, .. л найдите числа, аргумент которых равен —. О XI.114. При каких значениях параметра р среди 2, таких, что |2 - 1 + 1л/3| < р, найдётся число с аргументом — ? 4 XI.115. Множество точек комплексной плоскости определяется условием |2-ь4-3/|<1. в каких пределах изменяется Re2 : Im2? XI.116. Известно, что |2-3-4/|^1. Какие значения может принимать 1ш2 : Re 2? XI.117. Пусть К ={z G С: |1 - (г -I- l)z\ = \(z + l)t + 3|}. а) Найти все х е К, расстояние от которых до вещественной оси равно 3. б) Какие значения принимает модуль чисел из К? в) Найти множество аргументов чисел из К, принадлежащих промежутку [0; 2л]. 268j Глава XI. Комплексные числа Группа С XI.118. Запишите в тригонометрической форме число: 2п а) sin — + I 5 в) • Л .г, л 'l in— + I 1 - cos — 7 t 7) . 2л , , 2л'l б) sin — + 11 1 + cos — I; 1 + i XL 119. Запишите в тригонометрической форме в зависимости от параметра Р € [-л; л) число: а) 1 -t- cos Р - i sin Р; б) (1 + sin р + i cos р)'®; в) 1 - t tg Р; г) 2 ctg Р - 2i. XI.120. Изобразите на комплексной плоскости все такие числа с, что для каждого из них среди решений уравнения 2^ - сг = О най- Зл дется решение 2,, аргумент которого равен —. 4 Формула Муавра Группа А XI.121. Вычислите: а) (V3 - i) ; б) (1 -f- Щ ; в) (-1 + Si) ; г) (1 -XI.122. Выразите через cos а и sin а: а) sin 10а; б) cos 12а. группа В XI.123. Известно, что 2 + — = 2cos0. Докажите, что 2" = 2cosn0. tgna XI.124. Докажите, что справедлива формула I ] = iJli 1 - i tga ) 1 - i tgna XI.125. Найдите все вещественные значения параметра а, при каждом из которых данное число и является корнем данного уравнения, и решите данное уравнение при найденном значении а. а) ы = [ sin ^ - i cos | ; г* - + (а^ - 3) 2^ -I- С2 - 3 = 0; б) и= l^sin^-tcos^j : l^cos-^-tsin^j ; z^ + (a^-8)z + 2a + l = 0; в) u = г) u = nrf . Зл . Зл V2 sin— + icos— V 20 20 J j z^ - (a + 3)2^ -f 60^2 + = 5‘, 32 V2 - cos-----+ I sin---- ' 12 12 ; 2® - (a + 6) 2^ + 80^2 -t- = 7. ДЙ91 Задачи и упражнения XI.126. а) Пусть г — корень уравнения 2 + ^ = 1. Найдите 2^®®. корень уравнения г J = 1. Найдите 2^®®. б) Пусть 2 Группа С XI.127. Докажите, что cosl° — иррациональное число. XI.128. При каких значениях натурального параметра п многочлен (cos а + jcsina)" - cos па - xsinna делится на + 1? XI.129. Докажите, что х" • sina - sinna • х + sin(n - 1)а делится на х^ - 2 cos а + 1 при п ^ 2, п е N. XI.I30. Докажите, что х" • sin а — X"" ^ sin па • х + sin(n - 1)а делится на х^ - 2?Lxcosa -ь п е N. XI.131. При каких значениях натурального параметра п многочлен х2п ^ 1 делится на многочлен + х + 1? + cos у + cos 2 = 0, -I- sin у sin 2 = 0. Докажите, что sin3x = sinSy = sin32. XI.132. Известно, что {COSX sinx Корень л-й степени из комплексного числа Группа А XI. 133. Найдите: а) все корни третьей степени из числа -27г; б) все корни третьей степени из 1; в) все корни третьей степени из (-1); г) все корни четвёртой степени из числа -8 - 8л/з/. XI.134. Решите уравнение: а) 2® = 32; б) 2® = -1. XI.135. Найдите сумму всех таких чисел 2, что 2'* = 1 - i-js. Укажите одно из этих чисел. XI.136. Найдите все комплексные числа 2, удовлетворяющие равен-ству • а) ii)* = (з-iSy; б) (2)3 ^ (yfs + iSy. группа В XI.137. Пусть и — корень п-й степени из 1. Вычислите: а) l-1-n-f-+ + ... + и''~ б*) 1 + 2и + Зи^ + ... + пи"~ Г руппа С XI.138. Вычислите произведение всех корней степени п из 1. XI. 139. Вычислите cos- 2ft -f 1 -f- cos - Зл 2ft -ь 1 + cos (2ft - 1)л 2ft + 1 XI.140. Докажите, что: a) при n ^ 4 все корни уравнения (2 - 1)" = (2 -l-1)" располагаются на одной прямой; б) при 5 все корни уравнения (2г - 2)" = (2 + 1)" располагаются на одной окружности. 270 Глава XI. Комплексные числа Комплексные числа и геометрические преобразования группа А XI.141. В какое множество переходит множество, задаваемое уравнением 12 — i I = 1 при отображении ф комплексной плоскости: а) ф(2) = 2; б) ф(г) = 2 ч-i-I-1; в) ф(2) = -/2; г) ф(2) = (1-I-i)2. Группа В XI.142. Даны два множества Mj = Iz: \iz + -J2 \ = - h Mg = {iz: z e Mj}. Найдите расстояние между множествами Mj и Mg. XI.143. Пусть множество М точек комплексной плоскости, соответствующих числам 2, представляет собой окружность с центром в точке (0; 1) и радиусом 1. Изобразите на комплексной плоскости множество Mj, состоящее из всех точек, соответствующих числам 2j, таким, что 2^ = Z — I Х1.144. Множество М содержит все числа вида 2 = cos фt sin ф, о ^ Ф ^ л. Изобразите множество М], содержащее все числа - l-3i вида (0 = 2 -----, 2 е М. 1 -t- 2i XI.145. Множество К содержит все комплексные числа z вида z = созф + -I- i sin ф, где < ф < л. Изобразите множество комплексных 1 4 ч- 2/ — « чисел V, таких, что v ---------, где z пробегает множество К. г 3 - i Применения комплексных чисел Группа А Х1.146. Пусть множество А задаётся уравнением 12 - 1 - i | = 1. Изобразите множество чисел: а) 2; б) -2; в) iz\ г) 2^, где 2 е Л. Группа В XI. 147. Найдите все вещественные значения а, такие, что всякое комплексное число, удовлетворяющее неравенству |2-l|^|2-a-(a4-l)i|, удовлетворяет и неравенству | 2 - 1 | > 1. |2- 4| XI. 148. Решите систему уравнений |2- 2| к-2| \z-i\ = 1, 1 VI' 8У1! Задачи и упражнения XI.149. Даны точки A(i —1), В(2/- 1), C(2-3i) и множества S = {2l|2|=l} и В = {2||22- iHl}. а) Докажите, что VP € 0. а) При а = 1 найдите все корни уравнения f(z)=f{z)=^, принадлежащие М. б) Пусть Z2 е М VL е R. При каких значениях а выполняется равенство {z^, Z2) = {/(2j); в) При а = 1 нарисуйте множество всевозможных чисел вида f{z), где Z е М. г) Какие значения может принимать arg f{z) при всевозможных а к Z & М? Рассмотрим два комплексных числа Zj = 7i - 1, Z2 = 5 -l- 2,5i. Пусть К и A соответственно точки, изображающие эти числа на комплексной плоскости. а) Найдите все числа z, такие, что изображающая их точка М лежит на прямой АК, причём 2 | АМ| = \КМ\. б) Рассмотрим множество Т комплексных чисел z, таких, что XI. 168. Z — Z, Z - Zo ^ 2. Найдите наименьшее значение |z| для z е Т. в) Пусть f{x) = UZ, и е С. Изобразите на комплексной плоскости множество чисел и, для которых 3z е Т: Ref(z) < 0. г) При каких положительных значениях а е R для того, чтобы \z - За - i\ < а, необходимо, чтобы z е Т7 XI.169. Отображение f ставит в соответствие комплексному числу г число f(z) = UZ + (1 - и) а, где и ^ 0 и а — некоторые фиксированные комплексные числа. а) Известно, что arg и = Изобразите на плоскости множество всех значений а, при которых / ^1 — = 1 -t- i-js. б) Изобразите на плоскости множество всех значений а, для которых найдётся такое значение и, что соответствующее отображение f переводит точки полуплоскости Im z ^ 0 в точки полуплоскости Rez ^ 0. XI.170. Комплексное число z = а + Ы называют гауссовым, если аиЬ — целые числа. Говорят, что гауссово число г кратно числу ш, если Z = WU, где W и и — гауссовы числа. Пусть К — множество всех гауссовых чисел, кратных \ + 2i. а) Докажите, что если z е ЛГ и argz = —, то z кратно 3 - i. ^ U- к б) Существуют ли числа и, v & К, такие, что arg — = — ? V 8 в) Докажите, что для всякого гауссова числа z найдётся число W е К, такое, что |г - lal ^ 1. I — теории вероятностей Q73. Случайные события. Классическое определение вероятности 1. Виды событий Вокруг нас (а также внутри нас) происходит огромное число всевозможных событий'. О большинстве этих событий мы и не знаем (например, вряд ли вы часто задумываетесь о том, что в данный момент времени многие тысячи клеток вашего организма делятся, а другие тысячи умирают), другие события нам не интересны, однако есть те, которые нас живо интересуют, а главное — интересует то, чем эти события закончатся, каков будет их итог. Например, мы можем интересоваться итогом футбольного матча, а также результатом химического опыта, вам наверняка небезразличен итог выпускного экзамена и т. п. Итак, событие — это исход некоторого «опыта» в широком смысле слова (футбольного матча, выпускного экзамена, химического эксперимента и т. д.). События бывают достоверными, невозможными и случайными. Достоверное событие — это событие, всегда наступающее в результате данного опыта при выполнении одного и того же комплекса условий. Например, подброшенный нами на поверхности Земли камень всегда упадёт вниз (если, конечно, вверху его кто-то или что-то не задержит). Положенное на поверхность воды бревно будет некоторое время плавать. В результате реакции щёлочи с кислотой получится соль и вода. Примеры таких событий можно неограниченно множить. Наличие таких событий очень важно, поскольку позволяет предсказывать последствия тех или иных опытов. Вся наша повседневная жизнь построена на использовании того, что результаты тех или иных опытов достоверны! Люди строят огром- 'Здесь мы не будем давать строгого определения события. Для наших це лей вполне достаточно обыденного понимания. 10* 27б| Глава XII. Элементы теории вероятностей ную фабрику или электростанцию, заранее и точно зная, что будет происходить после её постройки. Большая часть происходящих при этом событий достоверны в силу законов физики, химии и других наук. Невозможные события — это фактически отрицания достоверных. Если подброшенный камень падает вниз на поверхность Земли, то не упасть он не может. Значит, событие «при подбрасывании вверх камень не упал» является невозможным (разумеется, при разумных естественных предположениях). Нас же будут интересовать случайные события, т. е. такие, которые в результате одного и того же опыта при одних и тех же условиях могут как произойти, так и не произойти. Например, если вы будете бросать монетку, то событие «выпал герб» может как произойти, так и не произойти. При встрече на футбольном поле двух равных по силе команд результат встречи непредсказуем (наверное, именно за это люди так любят футбол). На первый взгляд об исходе случайного события ничего сказать нельзя: монетка может упасть любой стороной, футбольные команды могут сыграть как угодно и т. п. Однако вряд ли кто-либо станет слишком надеяться на то, что при бросании монетки 1000 раз монета все 1000 раз упадёт гербом вверх! Мы разумно полагаем, что выпавших гербов будет около 500 — возможно, чуть больше, возможно, чуть меньше... Если гербов выпадет «слишком много», можно заподозрить, что «монетка неправильная» или «игрок жульничает». Таким образом, про результат одного бросания монетки мы не можем сказать ничего определённого, зато про результат 1000 бросаний уже можно кое-что сказать. Выяснением такого рода закономерностей, в частности, и занимается теория вероятностей. 2. Пространство элементарных событий Рассмотрим некоторый опыт (например, результат сдачи ЕГЭ по математике или измерение длины ползущей гусеницы) и различные исходы этого опыта. События, наступившие в результате эксперимента, могут быть разными и включать в себя другие события. Например, событие «При сдаче ЕГЭ по математике ученик набрал больше 50 баллов» включает в себя событие «При сдаче ЕГЭ по математике ученик набрал 67 баллов», а также событие «При сдаче ЕГЭ по математике ученик набрал от 60 до 70 баллов». Событие «При измерении длины гусеницы её длина больше 5 см» включает в себя событие «При измерении длины гусеницы её длина составляет от 6 до 8 см», но не включает событие «При измерении длины гусеницы её длина равна 4,7 см». Рассмотренные примеры показывают, что некоторые события «составлены» из более «простых» событий, а «простые» события не включают в себя других событий (кроме невозможного). Например, событие «При сдаче ЕГЭ по математике ученик набрал 67 баллов» не включает в себя никаких других событий. Таким же образом событие «При изме- g|7l §73. Случайные события. Классическое определение вероятности рении длины гусеницы её длина составила ровно 4 см» не включает в себя других событий (здесь мы пренебрегаем тем, что абсолютно точного измерения длины добиться невозможно, хотя именно размышления о погрешностях измерений привели к важным открытиям в теории вероятностей). Здесь мы наблюдаем аналогию между понятиями «множество» и «событие». А именно: есть множество некоторых «элементарных событий», из которых составляются другие события так же, как множество составляется из своих элементов. При этом разумно потребовать, чтобы при объединении, пересечении или вычитании нескольких событий снова получалось событие. Например, объединение событий описывается фразой «Произошло хотя бы одно из событий», о пересечении событий можно сказать «Одновременно произошли оба события», а о разности событий А и В — «Событие А произошло, а событие В не произошло». Пока мы ограничимся рассмотрением опыта с конечным числом исходов, как, например, бросание кубика или сдача ЕГЭ по математике. ______ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Множество, состоящее из конечного числа исходов данного опыта, называется пространством элементарных событий, если выполняются два условия: 1) опыт может закончиться лишь одним из перечисленных исходов: 2) опыт не может закончиться никаким другим исходом, кроме перечисленных. Событием будем называть некоторое подмножество пространства элементарных событий. Элемент пространства элементарных событий (т. е. один из возможных исходов) будем называть элементарным событием, хотя в отличие от события он не является подмножеством пространства элементарных событий, а является его элементом. Элементарные события, составляющие данное событие, называют также благоприятствующими данному событию. Достоверным событием называется событие, совпадающее с пространством элементарных событий. Иначе говоря, достоверному событию благоприятствует любое элементарное событие. Невозможным событием называется пустое подмножество пространства элементарных событий. Иначе говоря, невозможному событию не благоприятствует ни одно элементарное событие. Поскольку события — это подмножества пространства элементарных событий, то с ними можно производить те же операции, что и с множествами: объединять, пересекать, брать разности и дополнения. В теории вероятностей имеется своя традиционная терминология. Например, непересекающиеся события называются несовместными. 278i Глава^^Элементы теории вероятностей В более общем случае мы можем дать несколько другое определение: ОПРЕДЕЛЕНИЕ - .............. Пусть Q — некоторое множество, называемое пространством элементарных событий. Некоторое множество I, состоящее из подмножеств £2, называется множеством событий (а его элементы — событиями), если выполнены условия: 1) если Л е Г, Б € I, то Л П в е I, .Д и Б € Z, А\В е Г; 2) £2 € I, 0 6 I. В случае конечного множества Q чаще всего в качестве множества событий 1 мы будем рассматривать множество всех подмножеств} £2, не оговаривая это отдельно. _____ Пример 1. Опыт состоит в бросании кубика. Тогда пространством элементарных событий можно считать множество {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Событие «На верхней грани выпало чётное число* — это множество А = {2; 4; 6}, событие «На верхней грани выпало число, большее 3» — это множество В = {4; 5; 6}, событие «На верхней грани выпало чётное число, большее трёх» — это А П Б = {4; 6}, а событие «На верхней грани выпало нечётное число, меньшее 4» — это {1; 3}. С другой стороны, если в условиях решаемой нами задачи нас интересует не само число, выпавшее на верхней грани кубика, а только его чётность, то можно считать пространством элементарных событий множество из двух элементов {ч; н}, соответствующих выпадению чётного или нечётного числа на верхней грани. IS Таким образом, одному и тому же опыту можно ставить в соответствие разные пространства элементарных событий. Пример 2. Опыт состоит в измерении длины ползущей гусеницы. Будем считать, что длина гусеницы заведомо лежит в границах от 3 до 6 см. Тогда £2 = [3; 6], элементами £2 являются числа, а элементами множества событий Z могут служить всевозможные числовые отрезки и интервалы, лежащие в [3; 6], а также всевозможные множества, получаемые объединениями и пересечениями отрезков и интервалов, а также дополнениями этих множеств до [3; 6]. И 3. Определение вероятности ОПРЕДЕЛЕНИЕ ------------------------ Конечным вероятностным пространством называется пространство элементарных событий, состоящее из конечного числа элементов, вместе с заданной на нём функцией р (называемой вероятностью), ставящей в соответствие каждому элементу пространства элементарных событий неотрицательное число так, что сумма значений этой функции по всем элементам равна 1. 8J9i§ 73. Случайные события. Классическое определение вероятности Символически: если Q = {Xi; Х2', XJ — пространство элементарных событий и р: Q ^ [0; 1] — данная функция, то p(Xi) + p(X2)+...+p(X„) = l. Пример 3. Пусть опыт состоит в бросании кубика, а пространство элементарных событий есть множество П = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Можно поставить в соответствие каждому элементу множества Q число —. Полу- 6 ченная вероятность соответствует опыту, в котором бросают идеально симметричный кубик. Можно поставить в соответствие всем элементам, кроме 5 и 6, число -, р(5) = о, р(6) = —. Полученная вероятность соответствует, напри-6 3 мер, опыту, в котором бросают кубик, где грани с 5 очками нет, а вместо неё есть две грани с 6 очками. IS ОПРЕДЕЛЕНИЕ ............—--------------------- ---------- Пусть задано конечное вероятностное пространство. Вероятностью события называется сумма вероятностей составляющих это событие элементов пространства элементарных событий. Вероятность события, не содержащего элементарных исходов (невозможного события), по определению равна 0. Обозначение: р(А) — вepoятнocть^ события А. Пример 4. В цехе работает 3 станка, причём в течение часа первый отказывает с вероятностью 0,1, второй — с вероятностью 0,2, а третий — с вероятностью 0,3. Никакие два станка не могут отказать вместе в течение часа. Найдём вероятность того, что в течение часа все станки будут работать. □ В данном случае пространство элементарных событий состоит из четырёх элементов: соответствует отказу первого станка, p(aj) = 0,1, аналогично определяются события ^2 и а^, причём /7(02) = 0,2 и р(аз) = 0,3. Оставшийся элемент соответствует случаю, когда ни один станок не отказал. Поскольку р (а^) + р(а2) + р(аз) + р(«4) = 1, получаем pia^) = 0,4. В ^ Отметим, что это обозначение вступает в противоречие с тем, что А — множество элементов, значит, р( А) должно быть образом множества, т. е. множеством, а в нашем случаер(А) — число, равное сумме значений функции р на элементах множества А. Тем не менее такое обозначение общепринято и мотивировано тем, что в случае абстрактных вероятностных пространств (необязательно состоящих из конечного числа элементов) аргументами функции вероятности являются не элементарные события, а все возможные события, т. е. вероятность есть функция, заданная на множестве всевозможных событий. 280] Глава XII. Элементы теории^верс^тностей Значения вероятностей берутся из соображений, возникающих при постановке задачи, т. е. до того, как в дело вступает теория вероятностей. Например, считая, что монетка симметричная, мы говорим, что вероятность каждого исхода (герба или решки) равна -j. Считая, что колода состоит из 36 игральных карт, мы полагаем вероятность вытащить каждую карту равной —. А вероятность того, что вытащен- 36 1 ная карта окажется тузом, равна сумме 4 слагаемых по — каждое, 36 т. е. — (поскольку событие «вытащен туз» состоит из 4 элементарных событий «вытащен туз пик», «вытащен туз бубен», «вытащен туз червей», «вытащен туз треф»). Значения вероятностей событий могут возникнуть из опыта, обработки долгосрочных наблюдений и множества других соображений. Например, получение с той или иной степенью точности вероятностей событий из результатов наблюдений входит в круг вопросов, которыми занимается математическая статистика. Подчеркнём: то, откуда берутся значения вероятностей элементарных событий, не забота теории вероятностей. 4. Свойства вероятности Непосредственно из определения следуют свойства вероятности, которые мы объединим в теорему. ТЕОРЕМА (свойства вероятности)... Пусть задано вероятностное пространство Q с функцией вероятности р, тогда: 1. p(Q)= 1, р(0) = О. 2. Если события /4 и В не пересекаются, то p{A\J В) = р{А) + р (В). 3. Для любого события А и его дополнения А выполнено равенство р{А) = ^ - р {А). 4. Для любых событий А и В выполнено равенство р (А U В) = = р(А)+р(В)-р(АПВ). 5. Если А с В, то р (А) < р (В). 6. Вероятность любого события не превосходит 1. □ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. СВОЙСТВО 1 следует из определения вероятности и определения события. Докажем свойство 2. Пусть А = {ai, Og, ...» а^}, В = {fej, ..., 6,}, где Дц Д2, ..., а*, 6], ..., bj — элементы пространства элементарных событий. Тогда, поскольку события А и В не пересекаются, никакой элемент множества А не совпадает ни с каким элементом множества В. 2811 §73. Случайные события. Классическое определение вероятности Поэтому A\J В - {oi, .... а*, Ь^, .... 6,}, а тогда по определению вероятности события р{А и В)= p(ai) -I-... -I- р(а^) + рф^) + ... + р(6,)= р(А) + р(В). Р(Л) р(В) Свойство 3 следует из свойства 2, прил^нённого к событиям А и А. Действительно, так как события А и А не пересекаются, то р(А и А) = р(А) + р(А). Осталось заметить, что А U А = О, а потому p(AUA)=l. Итак, 1=р(А)+р(А), откуда и получается требуемое равенство. Свойство 4 получается из формулы А U В = А U (В\А), верной для произвольных множеств А и В. Поскольку множества А и В\А не пересекаются, имеем р(А UB) = p(A)Up(B\A)=p(A)+p(B\A). (*) В свою очередь, поскольку В = (В\А) U (В П А), причём множества (В\А) и (В П А) не пересекаются, по свойству 2 имеем р{В) = р(В\А) + + р{В П А), откуда р(В\А) = р{В) - р(В П А). Подставив полученное выражение в равенство (*), получаем требуемое равенство. Свойство 5 следует из того, что В = А U (В\А), а тогда по свойству 2 (поскольку А П (В\А) = 0) получим р(В) = р(А) + р(В\А) > р(А), так как Р(В\А) ^ 0. Свойство 6 следует из свойств 1 и 5, поскольку любое событие содержится в П. В IF"---- В случае произвольного пространства событий каждому событию ставится в соответствие некоторое значение вероятности. Таким образом, вероятность — это функция р, заданная на множестве Z и принимающая значения в отрезке [0; 1]. Эта функция должна удовлетворять двум условиям: 1) р(П) = 1,р(0) = О; 2) если А П В = 0, то р(А и В) = р(А) + р(В). Часть свойств вероятности, сформулированных в теореме для конечного вероятностного пространства, здесь уже дана в определении. Свойства 3, 4 и 5 могут быть доказаны так же, как это сделано в доказательстве теоремы. ______ Каков же практический смысл понятия вероятности? Предположим, мы производим один и тот же опыт очень много раз и смотрим, сколько раз произошло интересующее нас событие. Естественно рассмотреть долю (частоту наступления события), которую составляют исходы, благоприятствующие событию, среди всех исходов. Например, если при 1000 бросаний монетки герб выпал 587 раз, 587 то частота выпадения герба равна - = 0,587. Если же мы 1000 раз бросаем игральный кубик и из них 186 раз выпала шестёрка и 124 раза 2821 Глава XII. Элементы теории вероятностей выпала пятёрка, то доля исходов, благоприятствующих событию «чис- - . 186 + 124 „ ло выпавших очков больше 4», равна---——— = 0,31. 1000 Если всё увеличивать и увеличивать число опытов, то частота может стремиться к некоторому предельному значению. Это значение равно вероятности данного события (так называемый «закон больших чисел»). Однако не всегда можно произвести достаточно много опытов, чтобы с нужной точностью выяснить частоту наступления интересующего нас события (например, не играть же 1000 матчей между двумя командами, чтобы выяснить частоту наступления победы одной из них). Поэтому важно уметь предсказать теоретически эту частоту. В частности, это один из вопросов теории вероятностей. Если мы хотим применять результаты теории вероятностей на практике, значения вероятностей элементарных событий должны быть не просто «взяты с потолка», но соответствовать потребностям практики. 5. Классическое определение вероятности Наиболее распространённым является определение вероятности, называемое классическим. При этом пространство элементарных событий состоит из конечного числа исходов, каждому из которых приписывается одна и та же вероятность. Пусть пространство элементарных событий состоит из п элементов. Тогда вероятность наступления каждого из этих событий равна Если данному событию удовлетворяют т исходов, то вероятность события т равна Итак, сформулируем классическое определение вероятности. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ............................................ Вероятность события равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу возможных исходов. Вероятностное пространство с классическим определением вероятности является частным случаем конечного вероятностного пространства. Если вспомнить, что количество элементов множества А обозначается |А|, то формула классического определения вероятности выглядит так: Ещё раз подчеркнём, что эта формула верна лишь в случае классического определения вероятности, когда возможные исходы равнове- а8з1 § 74. Условная вероятность. Независимые события роятны. Обычно о том, какие исходы равновероятны, в задаче говорится прямо или подразумевается интуитивно ясным. Полезно перед решением задачи выяснить вопрос о том, применимо ли в данной задаче классическое определение вероятности и если применимо, то какие именно исходы считаются равновероятными. Пример 5. Найдём вероятность того, что при случайном выборе двух различных чисел от 1 до 50 их сумма будет равна 40. □ Интуитивно ясно, что равновероятными будут такие исходы, как всевозможные пары выбранных чисел. Таким образом, пространство элементарных событий составится из пар различных чисел. Таких пар (без учёта порядка чисел в паре) будет = 25 • 49. Пар, благоприятствующих исследуемому событию, без учёта порядка чисел в паре, будет 19. Это пары {1; 39}; {2; 38}; {3; 37}; {4; 36}; ...; {19; 21}. 19 Таким образом, искомая вероятность будет равна -——. Если же считать исходами пары чисел с учётом порядка, то и числитель, и знаменатель дроби увеличатся в два раза, отчего сама дробь не изменится. ® Примере. В кармане лежат одинаковые на ощупь монеты двух видов. Монет I вида 16, а монет II вида 20. Из кармана вытаскивают две монеты. Оказалось, что монета, вытащенная второй, II вида. Найдём вероятность того, что монета, вытащенная первой, была I вида. □ Пространство элементарных событий состоит из всевозможных упорядоченных пар монет, где вторая монета — монета II вида. Нет оснований полагать, что вероятность вытащить какую-либо пару отличается от вероятности вытащить другую пару. Таким образом, можно считать, что все исходы равновероятны. Всего исходов 35 • 20 (вторую монету можно выбрать 20 способами, а для каждого выбора второй монеты существуют 35 способов выбрать первую монету). Исходы, благоприятствующие нашему событию, — это пары, где первая монета — монета I вида. Таких пар 16 • 20. Таким об- 16 и разом, искомая вероятность равна —. Ш ©74. Условная вероятность. Независимые события 1. Условная вероятность Пусть имеются события А и В — подмножества конечного пространства элементарных событий П. Пусть имеет место классическое определение вероятности, т. е. вероятность каждого элементарного события равна —, где п — количество элементарных событий. п ГлаваJ(ll. Элементы теории вероятностей Пусть известно, что произошло событие В. Какова вероятность того, что произошло событие АЧ Итак, событие В произошло, а это значит, что рассматриваются лишь исходы, благоприятствующие событию Б. Таким образом, произошло сужение пространства элементарных событий до события В. Если событие В произошло, то событие А может произойти, когда исходы, ему благоприятствующие, будут также благоприятствовать событию В. Таким образом, если произошло событие Б, то событие А происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А Г\ В. Тогда вероятность события А, если событие Б произошло, равна отношению количества исходов, благоприятствующих событию А П В, ' А П В| О Рис. 12.1 к количеству исходов, благоприятствующих событию Б, т. е. |Б| получаем искомую вероят- Разделив числитель и знаменатель на | Q р(А П В) . 10 14 ность как -------(рис. 12.1), Р(В) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В, называется число Р(>Чв) = Н^^. О) Обозначение: р(А\В) (читается: вероятность А при условии Б). Замечания. 1) Формула (1) не определяет условную вероятность события А при условии, что произошло событие Б, имеющее нулевую вероятность, С житейской точки зрения это естественно: что можно предсказывать, если брать во внимание события, имеющие вероятность, равную нулю! Таким образом, если вероятность события В равна О, то условная вероятность события А при условии, что В произошло, не определена. 2) Формулу (1) полезно также записать в виде р(АПВ) = р(А\В)р(В). (2) Пример 7. Нерадивый ученик выучил один из семи экзаменационных билетов. Сравним вероятности того, что он сдаст экзамен, если он идёт сдавать первым или вторым. □ Пусть событие А — ученик сдал экзамен. Оно эквивалентно тому, что ученик вытащил тот билет, который он знает. Если он идёт 285: § 74. Условная вероятность. Независимые события первым, то возможных билетов для вытаскивания всего 7, поэтому ве- 1 роятность сдать экзамен равна —. Если же нерадивый ученик идёт вторым, то он может сдать экзамен лишь в случае, когда выученный им билет не вынут учеником, шедшим первым. Если событие В — «выученный билет не вытащен первым учеником», то нас интересует р(А П В) = р(А\В) • р(В) (поскольку в этом случае А а В, но А = А С\ В). Вероятность того, что «счастливый» билет не вытащен первым 6 6 учеником, равна у, т. е. р(В) = Перед нерадивым учеником лежит только 6 билетов. Вероятность вытащить «счастливый» билет теперь равна -i, т. е. р{А\В)= Таким образом, интересующая нас вероят-6 6 6 11 ность по формуле (2) равна р(А П JB) = — • - = —. Значит, вероятность 7 6 7 I сдать экзамен, идя первым и идя вторым, одинакова и равна Н Пример 8. В ящике лежат 8 белых и 12 чёрных шаров. Подряд вытаскивают 2 шара. Найдём вероятность того, что оба извлечённых из ящика шара будут белыми. □ СПОСОБ 1. Пусть событие А — «первый извлечённый шар белый», событие В— «второй извлечённый шар белый». Мы должны найти р(Л П В). Воспользуемся формулой (2). Для этого найдём р(А) = А, р,в| Л) = X. Тогда р(Л П В) = X. X = М. СПОСОБ 2. Рассмотрим В качестве пространства элементарных событий все возможные пары шаров (с учётом порядка). Этих пар будет 20 • 19. Пар белых шаров, благоприятствующих нашему событию, бу- 20 • 19 95 дет 8 • 7. Тогда искомая вероятность равна 2. Независимые события ОПРЕДЕЛЕНИЕ - - - - -—-------------------------— I Событие А называется независимым от события В, если р{А\В) = Р{А). Это определение согласуется с житейским представлением: всё равно, произошло событие В или нет, вероятность события А от этого не зависит. Докажем следующее утверждение. Утверждение ' - ...... . Если событие А независимо от события В, то событие В независимо от события А. Глава XII. Элементы теории вероятностей □ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определбнию независимости события А от р(А П В) события В: р(А)= р{А\В) = Р{В) Тогда р{А П Б) = р(А) р(В). От- сюда р(В)= = р(В\А). Полученное равенство р(В) = р(В\А) Р(А) и означает по определению, что событие В независимо от события А. 11 Доказанное утверждение позволяет говорить о двух независимых событиях А и Б, не выделяя, какое именно из них не зависит от другого. в Не путайте несовместные события с независимыми! Если одно из несовместных событий произошло, то другое заведомо не произойдёт, т. е. наступление одного из несовместных событий существенно зависит от наступления другого. Можно пояснить это и по определению независимости. Естественно, что условная вероятность одного из несовместных событий при условии, что произошло другое, равна 0. Поэтому если вероятность одного из несовместных событий не равна 0, то оно не будет независимым от другого. При доказательстве утверждения была получена формула*, для независимых событий А и Б: р(А П Б) = р{А) ■ р{В). Эта формула является основой для практического использования знаний о независимости событий. Часто при решении задач информация о независимости событий берётся из практических соображений, а не из анализа формул. Например, если двое стрелков, не знающие о существовании друг друга, стреляют по одной мишени, то события «попадание первого стрелка в мишень» и «попадание второго стрелка в мишень» будут независимыми. Другим примером, где важна независимость событий, может служить розыгрыш футбольного первенства. Чтобы команды не знали о результатах друг друга и не «расхолаживались», если от их игры уже ничего не зависит, матчи проводят в одно и то же время. А если возникают подозрения, что команда играла не в полную силу, так как знала результат интересующих её матчей, назначают специальное расследование. Пример 9. Найдём вероятность того, что при бросании двух игральных костей произведение выпавших на них чисел будет нечётным. □ Произведение целых чисел нечётно тогда и только тогда, когда каждый сомножитель — нечётное число. Поэтому событие «произведение чисел на двух кубиках нечётно» можно представить в виде А Г\ В, *В некоторых учебниках эта формула принимается за определение независимости событий. Достоинство этого подхода в том, что он позволяет определить понятие независимости в том числе и для тех событий, вероятность которых равна 0. В то же время выбранное нами определение ближе к интуитивному представлению о независимости событий. mj 74. Условная вероятность. Независимые события где А — «на первом кубике выпало нечётное число», В — «на втором кубике выпало нечётное число». Эти два события, очевидно, независимы (вот использование интуитивного представления о независимости), поэтому р{А Г\ В) = р(А) • р{В). Поскольку р(А) = р(В) = 0,5, то искомая вероятность равна 0,25. IS Пример 10. В приборе имеются ровно две ненадёжные детали. Вероятность выхода из строя первой детали равна 0,8, вероятность выхода из строя второй детали равна 0,7. Прибор портится, если выходит из строя хотя бы одна деталь. Найдём вероятность того, что прибор испортится, если детали выходят из строя независимо друг от друга. □ СПОСОБ 1. Пусть событие А — «вышла из строя первая деталь», событие В — «вышла из строя вторая деталь». Тогда событие «прибор вышел из строя» — это событие А В. По свойству 4 вероятности р(А и В) = р{А) + р(В) — р (А Г\ В). Поскольку события А и В независимы, то р(А П В) = р{А) • р(В). Осталось подставить заданные числовые значения: р(А U В) = 0,8 + 0,7 - 0,7 • 0,8 = 0,94. СПОСОБ 2. Вычислим вероятность противоположного события, т. е. того, что прибор не выйдет из строя. В обозначениях первого способа это событие А С\ В. Поскольку события Аи В независимы (объясните почему), то р(АПВ) = р(Л)-р(В) = (1-р(А))-(1-р(В)) = 0,2.0,3 = 0,06. Тогда искомая вероятность равна 1 - 0,06 = 0,94. IS Пример 11. Три охотника стреляют в кабана. Первый попадёт в кабана с вероятностью 0,4, второй — с вероятностью 0,5, третий — с вероятностью 0,6. Попадание хотя бы одной пули убивает кабана. Кабан оказался убит одной пулей. Найдём вероятность того, что он был убит первым охотником. □ Пусть событие А — «кабан убит одной пулей». Событие Bj — «попал первый охотник», событие В2 — «попал второй охотник», событие Вз — «попал третий охотник». Нам нужно найти p(Bj|A). , p(ADBi) По определению p(Bj | А) =------. Событие А П Bj — это собы- Р(А) тие «первый охотник попал, а остальные двое не попали». Поскольку попадание каждого охотника не зависит от результата выстрела других охотников, вероятность этого события равна произведению вероятности попадания первого охотника на вероятность того, что второй и третий не попали: р{А П Bi) = p(Bj) • piBz)- р(В^) = = р(В,) • (1 -р(Вз)) . (1 - р(Вз)) = 0,4 • 0,5 • 0,4 = 0,08. Теперь вычислим вероятность события А: p(A)=p^i) ■ р(Вз) - р(Вз)+ p(Bi) • р(Вг) • р(Вз) + -Н p(Bi) • р(Вг) . р(Вз) = р(В,) • (1 - р(Вз)) . (1 - р(Вз)) -Ь (1 -р(В,)) .р(Вз) • (1 -р(Вз)) -Ь (1 -p(Bi)) ■ (1 -р(Вз)) .р(Вз). 288: Глава XII. Элементы теории вероятностей Подставив числовые значения, получим р(А) = 0,38. Тогда искомая вероятность равна Аналогично можно 0,38 19 найти вероятность того, что кабан был убит вторым охотником: 0,12 6 0,38 19' Наконец, вероятность того, что кабан был убит третьим охотником, равна 1! 19 Замечание. Найденные значения вероятностей могут иметь следующее практическое применение. Если охотники стреляли одинаковыми пулями и попала только одна из пуль, то нелегко выяснить, кому должен достаться кабан. В этом случае разумно поделить кабана пропорционально вероятностям попадания. То есть можно разделить кабана на 19 одинаковых частей, 4 из которых отдать первому охотнику, 6 — второму и 9 — третьему. 3. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли Пусть в результате некоторого опыта событие А происходит с вероятностью р и не происходит с вероятностью q = 1 - р. Пусть, далее, наступление события А в одном из таких опытов не зависит от наступления или ненаступления события А в другом таком же опыте. Примером такого опыта является подбрасывание монетки. Выпадение герба или решки при одном подбрасывании никак не связано с выпадением герба или решки в другом подбрасывании. Произведём п одинаковых опытов подряд и выясним, какова вероятность того, что событие А в этих опытах произойдёт ровно k раз. Получившееся в таких предположениях вероятностное пространство называют схемой Бернулли. Каким образом событие А может произойти k раз? Например, событие А происходит в первых k опытах и не происходит в оставшихся п — k опытах. Вероятность этого равна “ * (поскольку все события независимы и требуется найти вероятность совместного наступления п событий). Также событие А может произойти в последних k опытах и не произойти в первых п - k опытах. Вероятность этого также равна р^д’’ ~ *. При этом два описанных события (наступление события А в первых k опытах и наступление события А в последних k опытах) несовместны. Поэтому вероятность наступления хотя бы одного из этих двух событий равна сумме их вероятностей, т. е. Но есть и ещё возможности событию А произойти k раз. Всего таких возможностей С* (количество способов выбрать k номеров опытов, заканчивающихся наступлением события А), и вероятность реализации каждой из таких возможностей равна р^д" ~ *. Таким образом, вероятность наступления события А ровно в каких-то k испытаниях равна Ю9| § 74. Условная вероятность. Независимые события Другой способ вычисления этой вероятности состоит в рассмотрении пространства элементарных событий в виде последовательностей О и 1, где О соответствует ненаступлению события А, а 1 — наступлению события А. Вероятность каждой последовательности из k единиц и п - k нулей равна p'^q" ~ *. Событие А состоит из всех таких последовательностей, число которых равно С*. Отсюда также получаем, что вероятность наступления события А ровно в k опытах из п равна Полученная формула вероятности наступления события А ровно k раз в п независимых одинаковых опытах называется формулой Бернулли. Пример 12. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9. Найдём: а) вероятность того, что стрелок попадёт в мишень ровно 2 раза из 10 выстрелов; б) наиболее вероятное число попаданий в мишень из 10 выстрелов. □ а) По формуле Бернулли указанная вероятность равна Cfo ■ (0,9)2 . (0,1)8 = 0,0000003645. б) Нужно выяснить, при каком k выражение р^ = С*о • (0,9)* х X (0,1)*°"* будет наибольшим. Для этого выясним характер монотонности последовательности р^. Прош;е всего поделить р^на р^ + i. Если полученное частное будет больше 1, то Pk> Pk+i> ^ иначе Р/,^ Pk+i' Итак, Рк Рк+1 Cfo (0,9)* • (0,1)'°-* k-i-1 -,*+1 "10 Сравним выражение (0,9)*^' k-i-1 10- k М 0,9 fe -н 1 90 - 9fe' 90- 9k (0,1)°-* с 1. Перенесём 1 в левую часть и приведём к общему знаменателю. Итак, необходимо сравнить lOfe - 89 с 0. С учё- 90- 9k том того что k < 10, получим, что данное выражение меньше 0 при fe < 9 и больше о при k = 9. Значит, Ро < pj, Pi < Рг, Рг < Рз» Рз < Рд и при этом Рд > piQ. Таким образом, наибольшим р^, будет при k = 9. Итак, наиболее вероятно попасть в мишень 9 раз. Вероятность попасть 9 раз составляет Cfo • (0,9)° • (0,1)1 = 0,3874204891. щ 1 Конечно, такой точности в расчётах вероятности на практике не требуется. Ведь знание вероятности попадания стрелка в мишень, по-видимому, возникло из практики, а значит, подсчитано с некоторой точностью. Чтобы получить эту вероятность из опыта с точностью до девятого знака, нужно произвести порядка 10'° опытов, т. е. выстрелов, что наверняка не было проделано. Точность вычисления найденной вероятности не может быть выше, чем точность определения вероятности попадания стрелка в мишень. 290i Глава XII. Элементы теории ве^эоятностей Q75. Формула полной вероятности 1. Вывод формулы полной вероятности Пусть имеются п попарно несовместных событий Bj, дающих в объединении всё пространство элементарных событий (иначе говоря, эти события сами могут считаться элементарными). Такая система событий иногда называется полной системой событий. Поскольку для любого события А имеют место равенства А = Л П П = А П (Bi и Вз и ... и В„) = (Л П В,) и (А П Bg) U ... U (А П В„), причём объединяются попарно несовместные события, то р(А) = р(А П Bi) -fp(A n Bg) -f- ... +p(A n B„). Применив к каждому слагаемому формулу (2), получаем р(А) = р(А IВ,) • Р(В,) р(АIВг) • р(В^) +...+р(А\В,) ■ р(В„) (3) Полученная формула называется формулой полной вероятности.^ 2. Примеры применения формулы полной вероятности Пример 13. В одной из двух одинаковых коробок лежат 8 белых и 12 чёрных шаров, а в другой коробке — 11 белых и 13 чёрных шаров. Найдём вероятность того, что, при выборе коробки наугад и случайном извлечении из выбранной коробки шара, извлечённый шар окажется белым. □ Пусть событие Bj — «выбрана первая коробка», событие В2 — «выбрана вторая коробка». Пусть событие А — «извлечён белый шар». Тогда p(Bi) =р(В2) = 0,5, p(A|Bi) = ^, р(А|В2) = ^. Отсюда 20 24 P(A)=p(A|B,)-p(Bi)+p(A|B2) -р(В2) = 0,5 -|- + 0,5 20 И 24 103 240' ш Пример 14. В телеграфной линии передают сигналы «точка» и «тире». Из-за помех на линии четверть всех сигналов «точка» доходит как сигнал «тире», а треть всех сигналов «тире» доходит как сигнал «точка». При этом количество посылаемых точек в 6 раз больше количества посылаемых тире. Найдём вероятность принять сигнал «точка». □ Пусть событие Ai — «послан сигнал ,,точка“», событие А2 — «послан сигнал ,,тире“». Событие В — «принят сигнал „точка"». Поскольку система событий Ах и А2 полная, по формуле полной вероятности имеем: P(B) = p(B|Ai)-p(Ai)+p(B|A2)-p(A2). (*) ^Впервые в явном виде формулу полной вероятности записал П. С. Ла- плас. @1L§ 75. Формула полной вероятности Так как по условию количество посылаемых точек в 6 раз больше 6 1 количества передаваемых тире, получаем p(Aj)=y; р{А2)——. Теперь по условию р(Б| Ai)= - (четверть сигналов искажается, а три четверти доходят нормально), р(Б|А2)=-|- (треть всех сигналов «тире» доходят как сигнал «точка»). Подставим найденное значение в формулу (*) 29 и получим р(В) = Условие задачи предполагает, что сигналы не пропадают по пути, поэтому если не пришёл сигнал «точка», то пришёл сигнал «тире». Итак, вероятность принятия сигнала «тире» равна 1 - р(В) = ® Рассмотрим более сложный пример на применение формулы полной вероятности. Пример 15. Двое игроков играют в игру без ничьих. Изначально у одного из них а рублей, у другого в наличии Ь рублей. В каждой партии проигравший игрок отдаёт выигравшему 1 рубль. Игра заканчивается, когда у одного из игроков заканчиваются деньги. Какова вероятность выигрыша каждого игрока, если в каждой партии первый игрок выигрывает с вероятностью р, а проигрывает с вероятностью 1 - р = д? □ Обозначим вероятность выиграть первому игроку, если у него имеется п рублей. Очевидно, что Ро = О, Рд + j, = 1. Пусть у первого игрока перед очередной партией п рублей. Вероятность выиграть первому игроку с этой суммой равна р„. Рассмотрим результат очередной партии. По формуле полной вероятности р„ = р„ _ + р„ + iP (ведь вероят- ность выигрыша всей игры после проигрыша партии равна р„ _ и а вероятность проигрыша партии равна д, вероятность выигрыша всей игры после выигрыша партии равна p„ + i, а вероятность выигрыша партии равна р). Осталось вывести формулу р„ на основании полученной формулы и условий Ро = О, Ро + й = 1. Рассмотрим формулу р„ = р„ - \д + р„ + iP. Запишем её в виде: др„ - др„ _ i = рр„ + j - рр„ (здесь мы используем то, что р + д=1). Итак, д(р„ -р„ _ i) = р(р„ + 1 -р„). Обозначим = р„ - р„ _ j. Тогда формула приобретёт вид gs„ = ps„ + j. Иначе говоря, s„ + j = — . Та- P КИМ образом, последовательность {s„} является геометрической прогрес- сией со знаменателем —. Р Имеет место формула Рп = Ро + + + S. 292 Глава XII. Элементы теории вероятностей Осталось применить формулу суммы геометрической прогрессии, не забыв рассмотреть отдельно случай знаменателя прогрессии, равного 1, для которого эта формула неприменима (напомним, что рц = 0). 1) Итак, если р = q, то все члены последовательности {s„} равны s. Члены последовательности {s„} можно найти, исходя из формулы (**) и условий Ро = 0, Ра+ 6=1. Из формулы (**) p„ = ns, откуда Ра + (,= = (а + b)s, и значит, s = -. Нас интересует р„ — вероятность победы а + о первого игрока, имеющего а рублей: р^ = а + Ь казать, что вероятность выигрыша второго игрока равна Аналогично можно по-Ь а + Ь Из полученных результатов можно сделать два вывода. а) Сумма вероятностей выигрыша первого и второго игроков равна 1. Это означает, что игра закончится с вероятностью 1, несмотря на то что можно легко представить себе бесконечную игру, например, если каждую партию выигрывает не тот, кто выиграл предыдущую. Тем не менее вероятность такой бесконечной игры равна 0. б) При одинаковом мастерстве игроков вероятность выигрыша пропорциональна их начальному капиталу. 2) Пусть теперь р ^ q. Тогда Si -I- ... -I- s„ = Si £ УР - 1 i-1 Подставив Я ^ вместо л число а + Ь, получим Si - 1 ^-1 = 1, откуда Si = Таким образом, = а+ Ь -1 а + Ь -. Подставив п = а, получим р^ = ^ -1 ^ -1 (f)“ ■1 Аналогично можно найти вероятность выигрыша второго игрока (сделайте это самостоятельно), ffl -----^ 3. Формула Байеса Пусть имеется полная система событий В,, Вг, ..., В„ и вероятности этих событий известны. Событие А таково, что известны условные вероятности p(A\Bi), ^(AlBg), ..., р(А\В„). Согласно формуле полной вероятности вероятность события А равна р(А) =p(A|Bi) • p(Bi) -Ь р(А|В2) - р(Вг) + ... -ь р(А |В„) • р(В„). Я931 §75. Формула полной вероятности Часто представляет интерес нахождение вероятностей событий В^, Вг» •••» если известно, что событие А произошло. Например, если орудие стреляет по противнику и вдруг на стороне противника произошёл сильный взрыв, то весьма велика вероятность того, что взрыв произошёл, например, из-за попадания в склад боеприпасов. Здесь событие А — «произошёл сильный взрыв», событие — «произошло попадание», событие — *не произошло попадание». Сами по себе вероятности событий В, и Bg могут быть, например, равны по 0,5 (если стрельба ведётся наугад), однако знание того, что произошло событие А, резко повышает уверенность в том, что произошло именно событие Bj. Таким образом, речь идёт о необходимости вычисления условных вероятностей p(BjA), pCBglA), ..., р{В„\А). Поскольку p{Bf]A) = р(В*ЛА) р(А|В*)-р(В*) -, то, подставив вы- р(А) р(А) ражение р(А) (по формуле полной вероятности), приходим к следующей формуле: .д I .. _________________р(А|В,)-р(В,)_________________ p(A|B,)-P(5i)+P(A|B2)-p(B2)+...+ p(A|B„)-p(B„)' Эта формула носит название формула Байеса. торинескии комментарии Томас Байес (1702—1761) родился в Лондоне. Обучался дома, затем поступил в Эдинбургский университет. Байес помогал отцу-священнику проводить службу, а вскоре, в 30-х гг. XVIII в., сам стал священником в пресвитерианской церкви. В 1752 г. он вышел в отставку. Т. Байес много занимался наукой и в 1742 г. стал членом Лондонского Королевского общества. Работа, содержавшая рассуждения, которые можно интерпретировать как формулу Байеса, была напечатана уже после его смерти. Именно Т. Байес ввёл термин «несовместные события». Пример 16. Имеются две коробки с шариками. В одной из них 20 белых и 3 чёрных шарика, а в другой — 7 белых и 16 чёрных шариков. Наугад выбирается коробка, а из нее наугад выбран шарик, который оказался белым. Найдём вероятность того, что шарик был выбран из первой коробки. □ Пусть событие А — «выбран белый шарик». Событие Bi — «шарик выбран из первой коробки». Событие В2 — «шарик выбран из второй коробки». Тогда р(А\В,)=Щ, р(А\В2)=^, р(В,) = piB^) = 23 294! Глава XII. Элементы теории вероятностей По формуле Байеса p(Bj А) = 23 23 1 Т_ 2 23 27 Ответ: вероятность того, что белый шарик был выбран из первой коробки, равна ® Полученный ответ вполне согласуется со здравым смыслом. Если большая часть белых шариков находится в первой коробке, то появление белого шарика с большой долей уверенности означает, что шарик был взят именно из первой коробки. ^76. Геометрическая вероятность 1. Определение геометрической вероятности Зачастую многие задачи практики приводят к необходимости рассмотрения событий, множество исходов которых может интерпретироваться как некоторое множество точек прямой, плоскости или пространства. Пример 17. а) Упоминавшееся в § 73 измерение длины гусеницы является событием, множеством исходов которого служит отрезок [3; 6]. б) Стрелок стреляет в мишень. Множеством исходов служит множество точек мишени (если считать, что стрелок наверняка попадает в мишень, и пренебречь размерами пули). в) Опытом является определение местоположения отмеченной молекулы в сосуде. Множеством исходов является множество точек сосуда, если размерами молекулы можно пренебречь. В ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть множество П точек на прямой, плоскости или в пространстве, имеющее меру (т. е. соответственно длину, площадь или объём), может быть интерпретировано как множество всех исходов некоторого опыта. Рассматриваются события, являющиеся подмножествами Q, имеющими меру. Если вероятность наступления события пропорциональна его мере (т. е. длине, площади или объёму), то говорят, что на Q задана геометрическая вероятность. Например, если наугад бросать точку на отрезок АВ длины 2, то геометрическая вероятность попадания точки на отрезок CD длины 1 не зависит от того, где именно на отрезке АВ находится отрезок CD. Более того, эта вероятность равна вероятности попадания точки в про- ДУ51 § 76. геометрическая вероятность извольное множество, состоящее из непересекающихся отрезков суммарной длины 14 лежащих на отрезке АВ. Чтобы каждый раз не писать «длина, площадь или объём» применительно к мере множества (т. е. не рассматривать три формулы геометрической вероятности для различных размерностей множества Q), условимся обозначать mes А соответствующую меру множества А (от французского «mesure» — мера). Если А — подмножество прямой (или какой-либо кривой), имеющее длину, то mes А — это длина линии А. Если А — плоская фигура, имеющая площадь, то mes А — это площадь фигуры А. Если же А — множество точек пространства, имеющее объём, то mes А — это объём фигуры А. По определению геометрической вероятности р(А) =/г mes А, где k — коэффициент пропорциональности, не зависящий от события А. Чтобы найти к, используем естественное соображение о том, что p(Q) = 1. Имеем 1 = ftmesfl, откуда к =--. mes Q Таким образом, имеет место формула геометрической вероятности: mes А р(А) = mes Q Пример 18. В круг радиуса 1 вписан квадрат. Наудачу в круг кидают точку. Найдём вероятность того, что она попала в квадрат. □ В данном случае множеством Q является круг и mesQ = л. Множеством А является квадрат и mes А = 2. Тогда искомая вероятность - mes А 2 т будет равна----— = —. й1 mes i2 п Пример 19. Палку длины 1 наугад распиливают на три части. Найдём вероятность того, что из этих частей можно составить треугольник. □ Пусть событие А — «из полученных частей можно сложить треугольник». *Как и в случае определения вероятности событий с конечным числом исходов, далеко не всегда вероятность события, интерпретируемого как множество точек, пропорциональна мере этого события. Например, вероятность нахождения какого-либо полезного ископаемого в почве вовсе не пропорциональна объёму переработанной почвы. На величину этой вероятности влияет множество факторов, в том числе наличие тех или иных сопутствующих пород. Фактически некоторые геологические заключения можно интерпретировать так: «Если в породе встретился минерал А, то вероятность в этой же породе найти минерал В существенно выше, нежели в противном случае». Точно так же найти монетку гораздо вероятнее на тех частях суши, где обитают люди, т. е. вероятность найти монетку на данном участке земной поверхности существенно зависит не только от его размеров, но и от его местонахождения. Однако изучение таких вероятностей выходит далеко за рамки нашего учебника. 296' Глава XII. Элементы теории вероятностей ... ... . —; Л»г ■ --— 1-х-у плоскости системой неравенств СПОСОБ 1. Пусть две части (например, содержащие края отрезка) имеют длины х Рис. 12.2 и у (рис. 12.2). Тогда третья часть имеет длину 1 - X — у. Тем самым указание длин первых двух частей однозначно задаёт длину третьей части, полностью задавая исход опыта. Таким образом, исход опыта можно интерпретировать как точку на координатной плоскости с координатами (х; у). Нарисуем множество всех возможных исходов. Ясно, что обе величины X и у неотрицательны и их сумма должна не превосходить длины отрезка. С другой стороны, любые два неотрицательных числа, сумма которых не превосходит 1, могут служить длинами двух данных частей исходного отрезка, разбитого на три части. Поэтому каждой точке множества П, заданного на координатной х^ О, ^ О, соответствует способ разломать х + у<:1, единичный отрезок на три части. В то же время каждому способу разломать единичный отрезок на три части соответствует точка множества Q. Поэтому можно говорить о том, что результаты нашего опыта изображаются (интерпретируются) множеством D (рис. 12.3). Теперь рассмотрим, каким множеством изображается событие А. Как известно из курса планиметрии, из трёх отрезков можно сложить треугольник тогда и только тогда, когда любой из отрезков меньше суммы двух оставшихся. Запишем эти условия в виде сис-X < у + 1- X- у, темы неравенств: -)1/<л:-1-1-л:-гу. Эта сис-1-х-у<х + у. X <0,5, У < 0,5, л: -t-1/ > 0,5. Множество точек, координаты которых удовлетворяют данной системе, показано на рисунке 12.4. Искомая вероятность будет равна отношению площади треугольника, изображающего А, к площади треугольника, изображающего Q, т. е. 0,25. Ответ: вероятность получения треугольника равна 0,25. тема равносильна следующей т\§ 76. Геометрическая вероятность СПОСОБ 2. Пусть хну — расстояния от , , точек распила до левого края отрезка (рис. 12.5). Тогда пара чисел О ^ jc ^ 1 и ^ 0 < у ^ 1 однозначно задаёт исход опыта. Рис. 12.5 и, наоборот, каждому исходу опыта можно поставить в соответствие единственную пару чисел, каждое из которых лежит в отрезке [0; 1]. Интерпретируя пару чисел как координаты точки на плоскости, можно изобразить множество возможных исходов Q в виде единичного квадрата. Длины полученных частей отрезка будут равны min (л:; у), |л: - z/|, 1 - max(jc; у). Чтобы из отрезков с такими длинами можно было сложить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы любой из отрезков был меньше суммы двух других. Пусть X <: у. Тогда отрезки, на которые разбит исходный отрезок, будут равны X, у - X и 1 - у. Чтобы из этих отрезков можно было составить треугольник, необходимо и достаточно выполнения системы не-ix <1- у + у - X, равенств • у - х < х + 1 - у, т. е. системы . 1-у<х + у-х, 0,5 0,5 X Рис. 12.6 \х < 0,5, ,у < х + 0,5, [у > 0,5. Аналогично в случае у ^ х для возможности построения треугольника необходимо и достаточно выполнения системы неравенств X > 0,5, ■ у > X - 0,5, У < 0,5. Таким образом, множество точек, изображающих событие А, — это объединение двух прямоугольных равнобедренных треугольников, взятых без границы (рис. 12.6). Суммарная площадь таких треугольников равна 0,25, а площадь квадрата, изображающего П, равна 1. Поэтому искомая вероятность равна 0,25. ® Отметим, что в обоих решениях мы считали интуитивно ясным, что вероятность можно вычислять как геометрическую, т. е. что вероятность события пропорциональна мере изображающего его множества. Никаких доказательных соображений на эту тему приведено не было! 29в| Глава XII. Элементы теории вероятностей 2. Парадокс Бертрана «Интуитивный» подход к геометрической вероятности может привести к парадоксальным следствиям. Пример 20 (парадокс Бертрана). Наугад берётся хорда окружности. Найдём вероятность того, что длина этой хорды больше длины стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность. □ Обозначим за А событие, состоящее в том, что хорда оказалась длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность. СПОСОБ 1. Длина хорды окружности данного радиуса зависит от расстояния от центра окружности до данной хорды. Расстояние от центра окружности радиуса R до хорды может быть равным любому числу от О до В. Очевидно, что расстояние от центра окружности до стороны равно- R стороннего треугольника, вписанного в данную окружность, равно —. 2 Если расстояние от центра до хорды больше то хорда будет короче стороны вписанного правильного треугольника, а если меньше, то хорда будет длиннее. Таким образом исходом опыта является число, равное расстоянию от центра окружности до хорды, множество возможных исходов изображается отрез- а ком длины R, а событие А — отрезком длины —, Д „ 1 ^ а потому искомая вероятность равна ^ ~ 2’ СПОСОБ 2. Можно заранее закрепить один из концов хорды на окружности. Тогда хорда CD будет длиннее стороны вписанного правильного треугольника, если другой её конец попадает на дугу ABj отмеченную на рисунке 12.7. Положение хорды полностью определяется положением точки D, поэтому множество всех возможных исходов изображается данной окружностью, а событие А — дугой АВ. Искомая вероятность равна отношению длины дуги АВ к длине окружности, т. е. —. 3 СПОСОБ 3. Длина хорды определяется положением её середины. Чтобы хорда была длиннее стороны вписанного правильного треугольника, необходимо и достаточно, чтобы середина хорды R находилась в круге радиуса , концентрическом /и с данной окружностью (рис. 12.8). Таким образом, множество возможных исходов изображается кру- Рис. 12.7 76. Геометрическая вероятность гом, ограниченным исходной окружностью, а событие А — кругом вдвое меньшего радиуса. Тогда искомая вероятность равна отношению 1 площадей этих кругов, т. е. 4 В чём же причина таких результатов? Причина в неопределённо-сти понятия «наугад» в формулировке задачи. В самом деле, в первом решении под словом «наугад» подразумевается «наугад может быть выбрано любое расстояние до центра окружности, причём вероятность выбора расстояния из данного отрезка пропорциональна длине отрезка». Во втором решении под словом «наугад» подразумевалось «наугад может быть выбрана любая точка на окружности, причём вероятность выбора точки на дуге пропорциональна длине дуги». А в третьем решении «наугад» означает «наугад может быть выбрана любая точка внутри круга, причём вероятность выбора точки в данной фигуре пропорциональна площади фигуры». Ясно, что на самом деле в каждом из решений речь шла о своей задаче. S ормческми комментарии Жозеф Луи Франсуа Бертран (1822—1900) — известный французский математик, экономист и историк науки. Ж. Бертран прослушал курс Политехнической школы в качестве вольнослушателя, затем стал победителем конкурса по математике, проводимого в Политехнической школе. Его основные работы относятся к математической теории электричества, теории вероятностей и теории чисел. В частности, Ж. Бертран в 1845 г. впервые высказал гипотезу о том, что между числами п и 2п - 2 (при л > 3) лежит хотя бы одно простое число. Это утверждение получило название постулата Бертрана, но в 1850 г. было доказано великим русским математиком П. Л. Чебышёвым. Однако название «постулат Бертрана» в литературе сохраняется до сих пор. Рассмотренный выше парадокс Ж. Бертран приводил как обоснование того, что в событиях с бесконечным множеством исходов нельзя дать объективного определения вероятности. Об истории развития теории вероятностей в течение достаточно долгого времени изучение случайных явлений сводилось к рассмотрению азартных игр, особенно игры в кости. В X—XI вв. было определено количество исходов при бросании трёх кубиков. В знаменитой книге Л. Пачоли (1445—1514) «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» приведено несколько задач о разделе ставки при прекращении игры до её окончания. К этим же задачам обращается и Н. Тарталья в книге «Трактат о мере и числе». 30qJ Глава XII. Элементы теории вероятностей Следующим этапом была «Книга об игре в кости» знаменитого итальянского учёного Д. Кардано (1501—1575). В этой книге в некоторых частных случаях Д. Кардано ввёл то, что мы назвали классическим определением вероятности. Интересными являются также результаты, сформулированные в книге «О выпадении очков при игре в кости» Г. Галилея (1564—1642), вышедшей почти через 100 лет после его смерти. Существует легенда, что Г. Галилей решил так называемую «задачу ландскнехта» (XIH2). В другой своей книге «Диалог о двух главнейших системах мира» Галилей также впервые исследовал вопрос об обработке результатов наблюдений, чем заложил основы современной статистики. Основы теории вероятностей в современном виде заложили великие французские учёные Б. Паскаль (1623—1662) и П. Ферма (1601 — 1665). В их переписке впервые верно решена задача о разделе ставки. Следующий толчок развитию теории вероятностей дал великий голландский учёный X. Гюйгенс (1629—1695). В своей работе «О расчётах в азартных играх» и других статьях X. Гюйгенс ввёл важные понятия, относящиеся к теории случайных величин. Само классическое определение вероятности дано в знаменитой книге Я. Бернулли (1654—1705) «Искусство предположений». Там же предложены и подходы к статистическому определению вероятности как предельной частоте исходов, благоприятствующих данному событию, а также дана формулировка закона больших чисел. Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с именем английского математика А. де Муавра (1667—1754), известного нам своей формулой возведения в степень и извлечения корня из комплексных чисел. Муавр впервые сформулировал классическое определение вероятности в современном виде, а также доказал предельную теорему Муавра — Лапласа, призванную давать приближённое значение вероятностей, вычисленных по формуле Я. Бернулли при большом числе независимых испытаний. Классической книгой, не утратившей своего значения и сегодня, является «Аналитическая теория вероятностей» П. Лапласа (1749—1827), с именем которого мы уже встречались ранее. По иронии судьбы сам П. Лаплас считал, что если известны скорости всех тел и силы, на них действующие в данный момент времени, то принципиально возможно полностью рассчитать состояние Вселенной в любой другой момент времени. Таким образом, теория вероятностей нужна, по мнению П. Лапласа, лишь постольку, поскольку в распоряжении исследователя нет достаточных вычислительных мощностей, чтобы, к примеру, определить средствами механики, какой гранью упадёт подброшенный кубик. Большую роль в развитии теории вероятностей сыграл выдающийся русский учёный П. Л. Чебышёв (1821—1894), в 1867 г. сформулировавший закон больших чисел в формулировке, существенно уточнённой по сравнению с формулировкой Я. Бернулли. Понятие случайной величины стало формироваться в связи с анализом ошибок при измерениях величин. С теми или иными разновидно- 5Ю11 Задачи и упражнения стями случайных величин, не выделяя этого понятия отдельно, оперировали Я. Бернулли, П. Лаплас, К. Гаусс и многие другие математики. По-видимому, первым выделил случайную величину как отдельное понятие французский физик и математик С. Пуассон (1781—1840). Сами слова «случайная величина» впервые встречаются в работах ученика П. Л. Чебышёва, российского математика А. М. Ляпунова (1857—1918). Основополагающая роль в развитии теории вероятностей, сравнимая с ролью Евклида в развитии геометрии, принадлежит нашему соотечественнику, великому математику А. Н. Колмогорову (1903—1987), который в своей знаменитой работе «Основные понятия теории вероятностей», опубликованной в 1933 г., сформулировал аксиомы теории вероятностей, которые поставили её в один ряд с остальными разделами математики. Тем самым А. Н. Колмогоров избавил теорию вероятностей от некоторого налета «сомнительности», сопровождавшего её до появления указанной работы. Исследования в области квантовой механики показали, что понятие вероятности лежит в основе строения мира, а все существующие закономерности являются, по большому счету, вероятностными. Эти исследования радикально изменили взгляд на теорию вероятностей, и сегодня никому не придёт в голову заявлять о какой-либо «второ-сортности» теории вероятностей. В развитии теории вероятностей сыграли свою роль многие российские учёные, в том числе А. Я. Хинчин (1894—1959), Ю. В. Линник (1915—1972), Б. В. Гнеденко (1912—1995), Ю. В. Прохоров (род. 1929) и многие другие. Н Задачи и упражнения Виды событий группа А ХИЛ. Приведите по три примера: а) достоверных событий; б) невозможных событий; в) случайных событий. XII.2. Будет ли достоверным событием: а) выпадение на двух игральных кубиках в сумме 6 очков; б) выпадение на двух игральных кубиках в сумме от 2 до 12 очков? ХП.З. Является ли невозможным событием: а) выпадение на трёх игральных кубиках в сумме 18 очков; б) выпадение на трёх игральных кубиках в сумме 2 очков? Пространство элементарных событий Группа А XII.4. Опишите пространство элементарных событий для следующих опытов: а) бросание двух игральных кубиков; б) вытаскивание двух игральных карт подряд из колоды в 36 карт; в) извлечение одной кости домино; г) 4 раза подбрасывают монетку. 3021 Глава XII. Элементы теории вероятностей XII.5. XII.6. XII.7. XII.8. Укажите все возможные исходы следующего опыта: а) шахматная партия; б) волейбольный матч. Образуют ли пространство элементарных событий совокупность следующих исходов при двух выстрелах в мишень: а) «два раза 10», «один раз 10», «ни одного раза 10»; б) «два раза 10», «один раз 10», «один раз 9»; в) «два раза 10», «один раз 10», «два раза 9»; в) «два раза 10», «один раз 9», «один раз 8», «два раза меньше 8»? Рассматриваются 4 станка, каждый из которых может либо работать, либо не работать. а) Перечислите все элементы какого-либо пространства элементарных событий Q. б) Приведите пример двух событий А и В, объединение которых даёт П, а пересечение содержит только один элемент Q. в) Пусть событие А — «работают ровно три станка», событие В — «работает хотя бы один станок». Сформулируйте словесно события А и 5, В\А. Двое шахматистов играют партию. Событие А — «выиграл первый шахматист», событие В — «выиграл второй шахматист». Какие события нужно добавить к событиям А к В, чтобы получилось пространство элементарных событий? Определение и свойства вероятности г РУп п а А XII.9. Жулик испортил игральный кубик так, что вероятность выпадения шести очков втрое меньше, чем вероятности выпадения любой из остальных граней. Найдите вероятность выпадения: а) каждой грани; б) чётного числа очков; в) больше трёх очков. XII. 10. Жулик испортил кубик так, что вероятность выпадения числа обратно пропорциональна этому числу. Найдите вероятность выпадения: а) каждой грани; б) чётного числа очков; в) больше трёх очков. Классическое определение вероятности Группа А Xll.ll. 18 команд разбились на две группы по 9 команд в каждой. Найдите вероятность события: а) «две заданные команды попали в одну группу»; б) «три заданные команды не попали в одну группу». ХП.12. (Задача ландскнехта.) Бросаются три игральные кости. Что вероятнее: получить в сумме выпавших очков 11 или 12? XII.13. (Задача кавалера де Мере.) Что вероятнее: при бросании 4 кубиков хотя бы на одном получить шесть очков или при 24 бросаниях двух костей хотя бы один раз получить два раза по шесть очков? адачи и упражнения ХП.14. Собрание сочинений в 6 томах стоит на полке в произвольном порядке. Какова вероятность того, что оно стоит в правильном порядке слева направо? XII.15. Из колоды в 36 карт вынуты наудачу три карты. Какова вероятность того, что среди вынутых карт: а) будет ровно один туз; б) будет ровно два туза; в) будет три туза; г) ответьте на те же вопросы, если три карты вынимаются одна за другой и каждый раз возвращаются в колоду. XII.16. Деревянный куб, все грани которого окрашены, распилили на 1000 одинаковых кубиков, которые сложили в мешок. Какова вероятность наугад вытащить из мешка: а) кубик ровно с одной окрашенной гранью; б) кубик ровно с двумя окрашенными гранями; в) кубик ровно с тремя окрашенными гранями? XII.17. Из колоды подряд извлекаются две карты. Какова вероятность того, что обе карты будут одной масти? ХП.18. Какова вероятность при последовательном извлечении трёх карт из колоды вытащить: а) тройку, семерку, туза в любом порядке; б) именно в таком порядке? ХП.19. Колоду в 36 карт делят на две части по 18 карт. Какова вероятность того, что в обеих частях окажется поровну карт с красными и чёрными мастями? XII.20. Из полного набора костей домино извлекают случайным образом пять костей. Какова вероятность того, что среди этих костей будет хотя бы одна с шестью очками, если: а) кости извлекаются и не возвращаются; б) кости извлекаются с возвращениями? XII.21. Имеются пять отрезков, длины которых равны 1, 2, 3, 4, 5. Какова вероятность того, что: а) из трёх наугад выбранных отрезков можно составить треугольник; б) из четырёх наугад выбранных отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник? ХП.22. Наугад последовательно выбираются четыре карточки, которые выкладываются слева направо. Какова вероятность, что получится чётное число, если карточки выбираются из: а) девяти карточек, ровно на одной из которых написана каждая из цифр 1, 2, 3, ..., 9; б) неограниченного количества карточек с каждой цифрой от 1 до 9; в) набора из 18 карточек, содержащего по 2 карточки с каждой из цифр от 1 до 9? XII.23. В наборе содержатся по одной карточке с цифрами от 1 до 8 и некоторое количество карточек с цифрой 9. Наугад последовательно вытаскиваются три карточки, которые выкладываются слева направо, образуя запись трёхзначного числа. а) Сколько в наборе карточек с цифрой 9, если вероятность получить чётное число равна 0,25? б) Может ли вероятность получить нечётное число быть равной 0,4? Глава XII. Элементы теории вероятностей XII.24. В ящике лежат 100 одинаковых деталей, 10 из которых бракованные. Какова вероятность того, что среди вынутых наугад 10 деталей не будет ни одной бракованной? Сравните полученную вероятность с числом 0,5. XII.25. Некто забыл номер телефона, состоящий из 7 цифр. 1) Какова вероятность того, что он вспомнит номер с первой попытки, если: а) помнит все цифры (и все цифры в номере телефона разные), но не помнит их порядок; б) помнит все цифры, кроме одной, и знает, что все они различны, но не помнит порядка цифр; в) помнит, что в номер не входили никакие цифры, большие 6, но не помнит, повторялись ли цифры или нет? 2*) Ответьте на те же вопросы, если на вспоминание номера даётся 10 попыток. Группа В XII.26. Двое игроков А и В играют в игру «камень-ножницы-бумага». Каждый показывает одну из этих фигур, причём фигуры показываются одновременно. Показавший «ножницы» выигрывает у показавшего «бумага», показавший «камень» выигрывает у показавшего «ножницы», показавший «бумага» выигрывает у показавшего «камень». Все остальные результаты считаются ничейными. а) Постройте пространство элементарных событий для описанной игры, к которому было бы разумно применить классическое определение вероятности. б) Какова вероятность того, что игра закончится не с ничейным результатом? в) Какова вероятность того, что игру выиграет игрок А7 XII.27. В классе 5 девочек и 16 мальчиков. Случайным образом выбирают трёх учеников этого класса. Найдите вероятность того, что среди выбранных учеников будут: а) одни мальчики; б) одна девочка и два мальчика; в) один мальчик и две девочки; г) одни девочки; д) дети обоих полов; е) дети одного пола; ж) хотя бы одна девочка; з) хотя бы два мальчика. Группа С XII.28. Ученик знает ответы не на все из 16 вопросов зачёта. а) Сколько вопросов он выучил, если вероятность того, что он сможет ответить на оба из случайно выбранных им вопросов, не 7 „ меньше — ? 8 б) Сколько вопросов он выучил, если вероятность того, что он сможет ответить только на один из случайно выбранных им сразу двух вопросов, равна 0,5? Задачи и упражнения в) В каком случае вероятность того, что он сможет ответить на один случайно выбранный им вопрос, больше, чем вероятность того, что ему удастся ответить на два (по его выбору) из случайно выбранных им трёх вопросов? г) Учитель распределил вопросы случайным образом по восьми билетам (по два вопроса в каждом). Какова вероятность того, что ученик в состоянии ответить хотя бы на один вопрос каждого из билетов, если известно, что он подготовил ответы на десять вопросов? XII.29. Двое по очереди выбирают числа, по два натуральных числа от 1 до п (уже выбранное число выбирать нельзя). а) Какова вероятность того, что среди чисел, выбранных первым, будет 1, а среди чисел, выбранных вторым, будет 2? б) С какой вероятностью оба числа первого будут меньше обоих чисел второго? в) При п = 8 найдите вероятность того, что сумма чисел, выбранных первым, будет меньше суммы чисел, выбранных вторым. г) Пусть — вероятность того, что сумма квадратов чисел, выбранных первым, меньше п^. Найдите lim р„. Условная вероятность Группа А ХП.ЗО. Чему равна р{А\А)1 Чему равна р(Л|Л)? При каком условии невозможно вычислить эти вероятности? XII.31. В ящике 10 белых и 12 чёрных шариков. Наугад: а) одновременно; б) последовательно вынимают два шарика. Какова вероятность, что эти шарики будут разных цветов? XII.32. В ящике 10 белых и 12 чёрных шариков. Наугад вынимают шарик и кладут обратно в ящик. После этого снова вынимают шарик. Какова вероятность, что оба вынутых шарика будут чёрными? хп.ЗЗ. Вероятность попадания стрелка в первую мишень равна 0,6. Если он попал в первую мишень, то получает право стрелять во вторую мишень, в которую попадает с вероятностью 0,5. Какова вероятность попасть во вторую мишень (до того, как стрелок стреляет в первую мишень)? XII.34. Пусть А и В два события с ненулевыми вероятностями. Пусть р(А\В)> р(А). Докажите, что р(В\А)> р(В). Пусть р(А) = а, р(В) = Ь. Докажите, что р(А | В) ^ —1 ХП.35. XII.36. Некто забыл последнюю цифру номера телефона и набирает её наугад. Какова вероятность того, что ему понадобится сделать не более двух звонков? 11*“Пратусе»ич, 11 кл. Mod Глава XII. Элементы теории вероятностей XII.37. В ящике имеются белый и чёрный шары. Наугад извлекается шар. Если извлечённый шар белый, его возвращают в ящик и добавляют туда ещё два белых шара. Какова вероятность извлечь чёрный шар: а) во второй раз; б) в четвёртый раз? Группа В XII.38. Два стрелка стреляют по мишени до тех пор, пока один из них не попадёт. Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,3, а второй — с вероятностью 0,4. Какова вероятность того, что первый стрелок сделает больше выстрелов, чем второй? XII.39. Двое игроков играют в игру «камень-ножницы-бумага» (см. XII.26) две партии подряд. а) Найдите вероятность выигрыша игрока А в обеих партиях, если он выиграл первую партию. б) Найдите вероятность выигрыша одной партии каждым игроком, если первую партию выиграл игрок В. в) Найдите вероятность того, что игроки выиграют одинаковое число партий. Независимые события Группа А XII.40. Пусть А и в — н^авис^ы^события. Докажите независимость событий: а) А и В; б) А и В. XII.41. В ящике лежат один белый, один чёрный, один красный шары, а также один шар, в окраске которого присутствуют полоски всех трёх цветов. Наугад вытаскивают один шар. Событие А — «вытащен шар, на котором есть белый цвет». Событие В — «вытащен шар, на котором есть чёрный цвет», событие С — «вытащен шар, на котором есть красный цвет». а) Найдите вероятности событий А, Б, С. б) Независимы ли события А и Б, В и С, А и С? в) Независимы ли события А и В Г) С? г) Независимы ли события Б и А U С? д) Независимы ли события С и А П Б П С? XII.42. Автомобильный номер состоит из трёх цифр и может повторяться сколько угодно раз. Какова вероятность того, что из номеров трёх подряд встреченных автомобилей: а) все три номера будут кратны трём; б) хотя бы два номера будут кратны трём; в) два номера будут состоять из одних и тех же цифр? XII.43. При прохождении рентгеновского контроля вероятность обнаружения брака в детали равна 0,8. Какое наименьшее число раз деталь должна пройти контроль, чтобы обнаруживать брак с вероятностью, не меньшей 0,99? XII.44. Детали изготавливают на двух станках. Вероятность того, что деталь, изготовленная на первом станке, будет первосортной. Я071 Задачи и упражнения равна 0,7, а на втором — 0,9. На первом станке изготовили три детали, а на втором — две детали. Какова вероятность того: а) что все пять деталей первосортные; б) четыре детали первосортные, а одна — второсортная; в) ровно две детали второсортные; г) не более трёх деталей первосортные? ХП.45. Двое по очереди бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше появился герб. а) Найдите вероятности выигрыша для каждого из игроков. б) Решите ту же задачу, если игроков трое. XII.46. Среди выпускников российских школ 24% не сдали ЕГЭ по математике, 12% не сдали ЕГЭ по русскому языку, а а% не сдали оба этих экзамена. а) При а = 3 являются ли независимыми события «случайно взятый ученик не сдал ЕГЭ по математике» и «случайно взятый ученик не сдал ЕГЭ по русскому языку»? б) Существует ли значение а, при котором события пункта а) являются независимыми? При утвердительном ответе найдите все такие значения а. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли Группа А ХП.47. Двое играют в игру, вероятность выигрыша в каждой партии которой для каждого из них равна 0,5. Что вероятнее: а) выиграть три партии из четырёх или пять партий из восьми; б) не менее трёх партий из четырёх или не менее пяти партий из восьми? XII.48. Определите наиболее вероятное число появлений события А в десяти независимых испытаниях, если в каждом из них собы-. 1 тие А происходит с вероятностью —. О XII.49. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попадания первого при каждом броске равна 0,7, а второго — 0,8. Найдите вероятность того, что: а) у них будет поровну попаданий; б) первый попадёт больше раз, чем второй. XII.50. Вероятность попадания стрелком в десятку равна 0,8, а в девятку — 0,2. а) Найдите вероятность того, что при трёх выстрелах стрелок наберет не менее 28 очков. б) Какое наименьшее число раз нужно выстрелить, чтобы хотя бы один раз попасть в девятку с вероятностью, не меньшей 0,9? Формула полной вероятности Группа А XII.51. (Задача о разделе ставки.) Вероятность выигрыша партии в запрещённой игре двух игроков равна 0,5 для каждого из них. Игра состоит из определённого числа партий, но была прервана 11* 3081 Г лава XI]. Элементы теории вероятностей до окончания. При этом первому для выигрыша игры осталось выиграть три партии, а второму — две партии. Как разделить ставку в игре? XII.52. Из полного набора костей домино извлекаются две кости. Какова вероятность того, что их можно приставить одну к другой? XII.53. В одном ящике лежат 6 белых и 13 чёрных шаров, а в другом ящике — 8 белых и 11 чёрных шаров. Наугад берётся шар из первого ящика и перекладывается во второй, а затем наугад из второго ящика вытаскивается шар. Какова вероятность вытащить белый шар? XII.54. В тире имеются три ружья, вероятности попадания из которых равны 0,4; 0,5; 0,6. Найдите вероятность попадания, если ружьё берётся наугад. XII.55. В правом кармане находятся 3 монеты первого вида и 4 монеты второго вида, а в левом — 6 монет первого вида и 5 монет второго вида. Наугад переложили 5 монет из левого кармана в правый, а затем из правого кармана извлекли монету. Какова вероятность того, что извлечённая монета будет первого вида, если монеты обоих видов одинаковы на ощупь? Группа В XI1.56. В вершине А куба АВСВА^В^С^Ву сидит муха, а в вершине находится капля клея. Если муха попала в клей, она остаётся там навсегда. Муха ползёт по ребрам куба, поворачивая в вершине на каждое из выходящих из вершины рёбер с вероятностью —. а) Какова вероятность того, что муха побывает в вершине С за первые четыре хода? б) Какова вероятность того, что за первые десять ходов муха не прилипнет? в*) Пусть р{Х) — вероятность, выйдя из вершины X, когда-нибудь попасть в вершину Ci. Докажите, что если X — произвольная вершина куба, то р{Х) = 1. XII.57. Некоторое устройство может находиться в одном из трёх состояний а, Ь, с. Из каждого состояния устройство через секунду переходит в одно из оставшихся состояний с вероятностью 0,5. Пусть р„ (лс) (где х е {а, Ь, с}) — вероятность того, что через п секунд устройство находится в состоянии х, если в начальный момент оно находится в состоянии а. а) Вычислите Рз(а), Рз(Ь) и Рз(с). б) Может ли при некотором натуральном п вероятность р„(х) (где X е {а, Ь, с}) быть равной —? в) Докажите, что limp„(jc) = г*) Докажите, что lim Л -♦ОС J- у с* = - on ^ п о • Агг 2(mod3) ЯР91 Задачи и упражнения XII.58. Найдите вероятность того, что при п бросаниях монеты герб появится нечётное число раз, если: а) монета правильная; б) монета искривлённая и герб выпадает в два раза чаще, чем решка. Формула Байеса Группа А XII.59. В группе экзаменуемых 10 человек. Список экзаменационных вопросов состоит из 20 вопросов, каждому экзаменуемому предлагается ответить на 2 случайно выбранных вопроса. Известно, что 5 учеников знают ответы на все вопросы (отличники), 3 ученика знают ответы на 10 вопросов (троечники), а остальные двое знают ответы на 5 вопросов (двоечники). а) Ученик, вошедший первым, ответил на оба вопроса. К какой из трёх групп он принадлежит с наибольшей вероятностью? б) Ученик, вошедший первым, ответил только на один вопрос. Какова вероятность того, что он двоечник? в) Первый вошедший ученик ответил на 2 вопроса, а второй — на один вопрос. Какова вероятность того, что они оба хорошисты? Какова вероятность того, что эти ученики были отличник и двоечник? XII.60. Три охотника стреляют по кабану. Вероятности попадания охотников равны 0,5; 0,4; 0,6. а) Кабан убит двумя пулями. Какова вероятность, что это были пули первого и второго охотников? б) В каких долях нужно разделить кабана, убитого двумя пулями, если не удаётся определить, чьи это пули? XII.61. На станке изготовлены 5 изделий. При проверке одного изделия, взятого наугад, оно оказалось бракованным. Какое число бракованных изделий среди изготовленных наиболее вероятно? XII.62. В ящике имеются 10 шаров, причём каждый из них может быть белым или чёрным с вероятностью 0,5 независимо от другого. Наугад извлекли 5 шаров, причём каждый извлечённый шар возвращался в ящик. Какова вероятность того, что в ящике нет белых шаров, если все извлечённые шары — чёрные? Геометрическая вероятность Группа А XII.63. в круг вписан равносторонний треугольник. Какова вероятность того, что наугад брошенная в круг точка попадёт в треугольник? XII.64. В шар вписана правильная пирамида с прямыми плоскими углами при вершине. Какова вероятность того, что наугад брошенная в шар точка попадёт в пирамиду? 3^1 Глава XII. Элементы теории вероятностей ХП.65. Найдите вероятность того, что квадратное уравнение + рх-\-+ g = О имеет два различных вещественных корня, если коэффициенты р и q наугад берутся из отрезка [-1; 1]. XII.66. Какова вероятность, взяв наугад три точки на окружности, получить: а) тупоугольный треугольник; б) равнобедренный треугольник? XII.67. Наугад берутся два числа из отрезка [0; 1]. Какова вероятность того, что их сумма будет больше 1, а произведение — меньше -? 9 XII.68. В квадрате ABCD с единичной стороной закрашен треугольник АВС. Закрасьте какую-либо фигуру так, чтобы события «попадание в треугольник АВС^> и «попадание в закрашенную фигуру» были: а) независимы; б) равновероятны; в) равновероятны и независимы. XII.69. Наудачу выбирается число х из отрезка [0; 2] и число у из отрезка [0; 1]. Найдите вероятность того, что их произведение л:г/ > -? XII.70. Наудачу берут числа х е [0; 1]; у е [2; 3]. а) Какова вероятность того, что у - х < 1,5? б) Найдите число с, если известно, что вероятность того, что 2 1 у < х^ + с, равна —. в) Найдите вероятность того, что дсг/ < 0,5. Группа В XII.71. Двое условились встретиться в одном и том же месте следующим образом. Они независимо друг от друга приходят на место встречи в промежутке от полудня до часу дня и ожидают в течение 20 минут, после чего уходят. Какова вероятность встречи? ХП.72. Постройте график у = р(а), где р(а) — вероятность того, что: а) квадратное уравнение х^' + рх + q = 0 имеет два различных вещественных корня, если коэффициенты р и g наугад берутся из отрезка [-а; а]; б) квадратное уравнение -I- рл: -f g = 0 имеет два различных положительных корня, если коэффициенты р и g наугад берутся из отрезка [-а; а]; в) квадратное уравнение + рл: -I- g = 0 имеет два вещественных корня разных знаков, если коэффициенты р и g наугад берутся из отрезка [-а; а]. XII.73*. На плоскости проведено семейство параллельных прямых, расстояние между любыми двумя соседними равно I. На плоскость наугад бросают иглу длины а < I. Какова вероятность того, что игла пересечёт одну из прямых? и неравенства ,;'@77 . Некоторые способы решения уравнений / 1. Разложение на множители Один из наиболее эффективных и часто используемых подходов — приведение уравнения к виду fi(x) • /г(^) • ••• • f„(x) = 0. При этом действует основное правило: Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные имеют при этом смысл. Пример 1. Решим уравнение {х^ - 4)VjcTT = 0. □ «Кандидатами в корни» будут числа -2, 2 и -1. Но х = -2 корнем не является, поскольку при этом значении не имеет смысла второй множитель у1х + 1. Ответ: {2; -1}. ® Правило для произведения применимо и в случае приведения Пх) уравнения к виду g(x) дение выражений f(x) и = 0. В левой части этого уравнения — произве-1 ^(лг) Возникает дополнительное ограничение: второй множитель не имеет смысла при ^(х) = 0. Можно сформулировать основное правило так: Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель имеет смысл и не равен нулю. Пример 2. Решим уравнение (х2 +3х- 4)(лг2 +2х-3) = 0. ■^9 - - X - 2) □ Корни числителя — числа -4, -3 и 1. Но при х = -3 знаменатель обращается в нуль, а при х = -4 выражение ^9 - х^ теряет смысл. Таким образом, остаётся единственный корень х= 1. Ответ: {1}. Н I Глава XIII. Уравнения и неравенства 2. Замена переменной Если в задаче несколько раз встречается какое-то фиксированное выражение с переменной х, то имеет смысл обозначить его какой-либо новой буквой*. Вот некоторые примеры уравнений, которые с помощью замены сводятся к квадратным. Самое известное из них — это биквадратное уравнение из курса основной школы. Пример 3. Решим уравнение х* — - 12 = 0. □ Введём замену х^ = t. Уравнение сводится к квадратному уравнению - t - 12 = 0. Его корни t = 4 или t = -3. Поскольку t = х^ 0, то нас устраивает только корень t = 4. Возвращаясь к старой переменной, получаем уравнение х^ = 4, корнями которого будут числа -2 и 2. Ответ: {-2; 2}. ® Пример 4. Решим уравнение {х - !)■* - -н 2л: - 73 = 0. □ Воспользовавшись тем, что (л: - 1)^ = л:^ - 2л: -ь 1, перепишем уравнение в виде (х^ - 2х + 1)2 - (л:2 - 2л:) - 73 = 0. Дальше у нас есть две возможности. Если мы введём замену t = х^ - 2х, уравнение приобретёт вид (t + 1)^ - t - 73 = 0. Решить его не составит труда. А можно использовать замену f = л:^ - 2л: -I- 1. Тогда уравнение примет вид - (t - 1)-- 73 = о, откуда - t - 72 = 0. Значит t = 9 или t = -8. Возвращаясь к переменной л:, получим (л: - 1)^ = 9, откуда л: = 4 или л: = -2. Уравнение (л: - 1)2 = -8 вещественных корней не имеет. Ответ: {-2; 4}. Й1 Рекомендации по введению новых обозначений: 1) после введённого обозначения старая переменная должна исчезнуть; 2) вместе с обозначением полезно описывать его свойства. Например, если л:2 = t, то можно заранее учесть, что t > 0. Это позволит упростить отбор корней (а иногда даже подсказать единственное решение). Пример 5. Решим уравнение 2л:- 1 = 3^/2л: — 1. □ Замена очевидна: t = -J2x - 1, причём полезно учесть, что t> 0. Уравнение приобретёт вид = 3t, откуда t{t-3) = 0. Получим корни уравнения t = 0 или t = 3. Возвращаясь к переменной х, имеем 2л: - 1 = о или 2л: - 1 = 9, откуда х = — или х = 5. Ответ: 5L ® Пример 6. Решим уравнение дг - 14 = 3-Jx - 4. □ Здесь замена не бросается в глаза, как в предыдущем примере, но можно попробовать похожий вариант: пусть t = тогда t > 0. Выразим X через t: X = + 4. *В замечательной книге В. А. Уфнаровского «Математический аквариум» этот подход сформулирован в виде «принципа бяки»: «Увидел бяку — обозначь*. 8ЙЗ! §78. Целые рациональные и дробно-рациональные уравнения Теперь уравнение примет вид: + 4 _ 14 = 3^, откуда - 3< - 10 = 0. Это уравнение имеет только один неотрицательный корень t = Ъ. Возвращаясь к старой переменной: -^х - 4 = 5, откуда д: = 29. Ответ: {29}. IB 3. Подбор корней Не стоит отказываться и от метода подбора, особенно когда не получается решение другим методом. Заметим, что в решении не нужно объяснять, как мы угадали этот корень: достаточно просто показать, что он удовлетворяет уравнению. Но при этом будет необходимо доказать, что других корней, кроме предъявленных, уравнение не имеет. Обычно для доказательства используются соображения монотонности и ограниченности функций. Для ряда задач это оказывается единственным путём решения. Пример 7. Решим уравнение = 4 - Зл:. □ В левой части уравнения — возрастающая на всей вещественной оси функция, а в правой части — убывающая на всей вещественной оси функция. Значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим корень лг = 1. Ответ: {1}. Н _ Пример 8. Решим уравнение 7 - х^ - х = >Jx - 1. □ ООУ задаётся неравенством х> 1. На ООУ левая часть убывает, а правая возрастает. Таким образом, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим х = 2. Ответ: (2). S1 Пример 9. Решим уравнение 1 □ Очевидно, левая часть 1 - ^ 1)^ а правая не меньше 1 причём обе части равны 1 х^ = уравнения / не превосходит 1 поскольку х^ -t-лишь при JC = 0. Ответ: д: = 0. ® (так как 1 078. Целые рациональные и дробно-рациональные уравнения 1. Целые рациональные уравнения высших степеней ОПРЕДЕЛЕНИЕ - ' ' ......... Уравнение вида Р(х) = 0(х), где Р и О — некоторые многочлены от X с вещественными коэффициентами, называется целым рациональным. Можно также считать стандартным видом такого уравнения запись вида Р(х) = о, где Р — некоторый многочлен от х. Очевидно, любое уравнение вида Р(х) = Q(x) может быть представлено в виде R(x) - 0. 3141 Глава XIII. Уравнения и не[увенства Тогда вопрос о корнях такого уравнения сводится к вопросу о корнях многочлена. Для многочленов с целыми коэффициентами вопрос о наличии рациональных корней рассматривался в курсе 10 класса (глава III). Формула корней квадратного уравнения известна вам с 8 класса, а формул для корней уравнений высших степеней мы не знаем*. При решении конкретных практических задач вычислительная техника и методы вычислительной математики позволяют находить корни любых уравнений с любой наперёд заданной точностью. Для нас основным способом решения уравнений степени выше двух будет угадывание (подбор) некоторых корней и последующее разложение многочлена на множители. Этот способ основан на следствии из теоремы Безу: если число а есть корень многочлена Р, имеющего степень п, то многочлен Р делится на двучлен (л: — а) без остатка, т. е. многочлен можно представить в виде Р(л:) = (л: - а) • Q(^:), где Q — некоторый многочлен степени п - 1. Таким образом, если угадать хотя бы один корень а уравнения Р(х) = о (где degP = л), то можно свести задачу к решению уравнения степени на единицу меньше: Q(jc) = 0, где degQ = п - 1. Понятно, что начинать приходится с угадывания корня, и встаёт вопрос: из каких соображений его искать? В § 17 главы III («Многочлены») был разобран вопрос о рациональных и целых корнях многочлена с целыми коэффициентами. Напомним результаты, полученные в этом параграфе. Утверждения 2. 1. Если многочлен с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице Р(х) = х" + а„_ + ... + Sq имеет целый корень а, то этот корень является делителем свободного члена, т. е. Эд : а. Если многочлен с целыми коэффициентами Р (х) = а„х" + + а„_ ix"” * + ... + 3q, а_ о имеет рациональный корень - (где Q ^ — несократимая дробь), то р является делителем свободного члена, ар — делителем старшего коэффициента, т. е. ао : р и а„ • р. *Для нахождения корней кубического уравнения тоже существует формула (формула Кардано), а для уравнения четвёртой степени — способ, при помощи которого его решение сводится к решению некоторого кубического уравнения (метод Феррари). Но они в наше время не представляют практической ценности и их сфера применения ограничена (для знатоков и тех, кто решил найти формулу Кардано в энциклопедии: попробуйте решить уравнение дг® - Зх -г 1 = 0). А вот для уравнения пятой степени, как доказал выдающийся норвежский математик Н. X. Абель (1802—1829), вообще не существует формулы, выражающей его корни через коэффициенты уравнения с помощью знаков радикала и арифметических действий. т\§ 78. Целые рациональные и дробно-рациональные уравнения Естественно начать поиск корней многочлена с целыми коэффициентами с проверки наличия у него целых корней, которые следует искать среди делителей свободного члена. Если старший коэффициент равен 1, то, как следует из утверждения, все рациональные корни должны оказаться целыми числами, так как рациональные корни такого многочлена должны иметь знаменатель, равный 1. Таким образом, все вещественные корни этого многочлена либо целые, либо иррациональные числа. Если ни один из делителей свободного члена такого многочлена корнем не является, то целых корней (а стало быть, и рациональных) у него нет. Если старший коэффициент — целое число, не равное ±1, то, начав с поиска целых корней, мы переходим к перебору всех несократимых дробей вида где р является делителем свободного члена, ад — делителем старшего коэффициента. Если в конце концов выяснится, что рациональных корней многочлен не имеет, то придётся искать какие-то другие подходы к задаче. Пример 10. Решим уравнение х'^ - + 2х^ - 5дс + 3 = 0. □ Поскольку коэффициенты уравнения — целые числа, попробуем найти какой-нибудь целый корень. (Все прочие вещественные корни, если они есть, заведомо будут иррациональными, так как старший коэффициент равен 1.) Ищем целый корень среди делителей 3: это 1, -1, 3 и -3. Подстановка показывает, что корень среди этих чисел только один: jc = 1. Делим многочлен Р(х) = х* - х^ + 2х^ - 5х + 3 на двучлен (jc - 1) (например, уголком или по схеме Горнера). По следствию из теоремы Везу он разделится нацело. Уравнение приобретёт вид (л: - l)(jc^ -I- 2л: - 3) = 0. Теперь найдём корни многочлена Fi (л:) = л:^ -I- 2л: - 3. Их мы ищем среди делителей числа -3, т. е. того же набора чисел: 1, -1, 3 и -3. Вычислять значения Pj (л:) в точках -1, 3 и -3 не нужно, поскольку они не являются корнями исходного уравнения, а значит, и корнями Pi(x). А вот Pi(l) = о, т. е. число 1 является корнем Pi (л:). Повторяя операцию деления, получим Р^ (х) = (х- 1)(х^ -I- л: -I- 3). Тогда исходное уравнение можно переписать в виде (л: - 1)^(х^ + л: -I- 3) = 0. Поскольку множитель л:^ -I- л: -I- 3 не имеет вещественных корней, единственным корнем уравнения будет л: = 1. Ответ: {1}. ® Пример 11. Решим уравнение 8jc® - 16х^ + 8х - 1 = 0. □ Уравнение не имеет целых корней (кандидаты на эту роль — делители свободного члена 1 и -1 — корнями не являются). Остаётся на- ,1 ,1 ^1 дежда на поиск рациональных корней среди чисел +-, ±-, ±-. 2 4 8 Подстановкой убеждаемся, что х = - является корнем. Таким об- ^ 1 разом, после деления (делить удобнее не на л:-, а на 2х - 1) получим 2 3id Глава XIII. Уравнения и неравенства 1, —-М1и««мя»аммпм4ВПмтМШМЬ*^Ъа (2х - 1)(4jc^ - 6jc + 1) = 0. Решив квадратное уравнение 4х^ - бх + 1 = О, 1. 3 + Уб. 3 - Уб] 2’ 4 ’ 4 получаем ответ: . т Замечание. В примере 11 можно упростить решение, обозначив t = 2х. Получим уравнение - 4t'^ + 4t - 1 = 0. Для этого уравнения нужно подбирать только целые корни, а возможных «кандидатов» в целые корни только два: числа 1 или -1. 2. Замены в целых рациональных уравнениях Уравнения, сводящиеся к квадратным Пример 12. Решим уравнение (д: + 1)(д: + 2)(л: + 3)(д: + 4) = 24. □ Группируя в левой части первый множитель с последним, а второй с третьим, получим (х^ + 5х + 4)(х^ + 5х + 6) = 24. Теперь замена становится очевидной. Можно, например, положить t = х^ + 5х + 4. Тогда уравнение примет вид t{t + 2) = 24. Корни этого уравнения f = 4 или t = -6. Возвращаясь к старой переменной, получим: 1) -I- 5jc -I- 4 = 4; -I- 5х = 0; л: = о или х = -5; 2) х^ + 5х + 4 = -6; дг^ -I- 5дс -f- 10 = 0; уравнение не имеет вещественных корней (D < 0). Ответ: {-5; 0}. ® Замечание. Продемонстрированный приём применим к уравнениям вида (д: -f а)(д: + Ь)(х + с)(х + d) - А, если а + d = Ь + с. Например, совершенно аналогично решается уравнение (д: - 1)(д: - 2)(дг - 3) х X (дс - 4) = 24. Следующее уравнение весьма напоминает уравнение из примера 12, но решается с помощью другого приёма. Пример 13. Решим уравнение (х^ - 7х + 6)(jc^ - 5д: -I- 6) = 15х^. □ Поскольку дс = о не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на дс^ (каждую из скобок делим на дс): Х + --7 X д:-f-- - 5 I = 15. X Теперь очевидна замена t = ^ Уравнение примет вид (t -7)(t -5) = 15. Находим корни t = 2 или t = 10. Возвращаемся к старой переменной, для чего решаем уравнения x + -j = 2и X + — = 10. Первое из этих уравнений вещественных корней не имеет, а второе имеет два корня дс = 5 ± -\^. Ответ: {5 - -Jl9; 5 •+• ® 3171 § 78. Целые рациональные и дробно-рациональные уравнения Возвратные уравнения Уравнение вида а„х" + а„_ + ... -I- Oq = О, с веществен- ными коэффициентами называется возвратным, если а^ = а„_ при ft = О, 1, ..., п (т. е. коэффициенты, «одинаково удалённые от начала и от конца», равны между собой). Например, + 1х^ + 7х + 2 = О (Дз = До = 2, Дз = Дз = 7) или дс"* - 7дг® + 14х^ — 7x -I- 1 = О (Д4 = Дд = 1, «3 = «1 = -7). Чаще всего мы будем встречаться с возвратными уравнениями третьей и четвёртой степеней. Их общий вид соответственно будет дд:^ Ьх^ + Ьх + а = О, а ^ О и ax'^ + Ъх^ + сх^ + Ьх а = О (д О). Рассмотрим подробнее способы решения таких уравнений. Уравнение ах^ -I- Ьх^ + Ьх + а — О (д„ Ф 0) всегда имеет корень х = -1 (как и любое возвратное уравнение нечётной степени!). Осталось разделить обе части уравнения на х -I- 1 и решить полученное квадратное уравнение. Возвратное уравнение 4-й степени имеет вид дх^ + Ьх® + сх® + Ьх -ь д = о, д 0. Поскольку д 0, то х = 0 не является корнем уравнения, а тогда можно обе части уравнения поделить на х® и получить уравнение вида дх® + — -нЬх-Ь i] + с = 0. 1 Введём замену t = х + Если обе части этого равенства возвести в квадрат, то получится = х® -I- ^ + 2, откуда х® -ь -^ = — 2. Таким х^ X® образом, исходное уравнение оказывается квадратным относительно новой переменной t. Дальше, как обычно, находим его корни и, возвращаясь к старой переменной, решаем уравнения вида х -I- ^ = t. Пример 14. Решим уравнение х^ — 7х® + 14х® - 7х + 1 = 0. □ Поделив обе части уравнения на х® и перегруппировав слагаемые в левой части , получим |^х® + j — 7 |^х -н j -t-14 = 0. Положим # = х -I- -i. тогда = х^ + — + 2 и X® ч- — = - 2. Получим - 2 - 7^ -I- 14 = 0; X® X® - 7t + 12 = о, откуда t = 3 или t = 4. Возвращаемся к переменной х: 1) X-I- — = 3; X® - Зх + 1 = 0; х = ^ X 2) X-I- — = 4; X — 4x-fl = 0; х=2±^fз. Ответ З+л/б 3-V5 2 + л/З; 2-7з|. Ш 3181 Глава XIII. Уравнения и неравенства Однородные уравнения Напомним, что многочлен от двух переменных Р{х, у) называется однородным порядка k, если все слагаемые многочлена Р{х, у) являются одночленами одной и той же степени k. Например, многочлен Р{х, у) - Зл:^ - 2ху^ является однородным, а многочлен Ру (х, у) = Здг® ОПРЕДЕЛЕНИЕ _______ 2JCI/2 -ь 1, уже нет. Уравнение вида Р (х, у) = О, где Р (х, у) — однородный многочлен, называется однородным. Основной способ решения однородных уравнений — деление обеих частей уравнения на старшую степень одной из переменных (при этом нужно отдельно оговорить, что будет в случае, когда эта переменная равна нулю). Решая однородное уравнение от двух переменных, мы выражаем одну переменную через другую. Второе уравнение, связывающее переменные, либо задаётся непосредственно (в этом случае мы говорим об однородной системе уравнений), либо задано по умолчанию самим выбором переменных. Пример 15. Рассмотрим уравнение 2х^ + ху - у"^ = 0. □ Если I/ = О, то X = 0. Пусть теперь у ^ 0. Разделим обе части урав- \2 нения на у^. Получим 2 н---1 = 0. Это квадратное уравнение от- У J У X 1 носительно t = —. Решив уравнение 2t^ + t — 1 = 0, найдём, что t = -У 2 или t = —1. Возвращаясь к старым переменным, получим совокупность X 1 Перепишем её в виде у = 2х, 1У = -X. У 2’ i^=-l. У Заметим, что последней совокупности удовлетворяет и пара (0; 0). Объединяя эти два случая, можно переписать уравнение в виде (2х - I/) (х -I- у) = о (этот же результат можно было получить, решив исходное уравнение как квадратное относительно переменной у с параметром х). Добавим к этому уравнению ещё одно условие, связывающее эти неизвестные. Например, это может быть второе уравнение. Получим систему 12x2 +ху - у^ = о, |х2 + у^ = 5. i19l §78. Целые рациональные и дробно-рациональные уравнения Эту систему мы можем решить, выражая из однородного уравнения одну переменную через другую и подставляя результат во второе уравнение. Получим (у = 2х, \у = -х, |д;2 + = Ъ + у^ = 5. Ответ: |о; 2), (-1; -2), (-J], J]|. S Систему, в которой одно из уравнений является однородным, часто называют однородной системой. Связь между неизвестными может быть задана и иначе. Пример 16. Рассмотрим несколько уравнений, сводимых к однородному уравнению 2и^ + uv — = 0. □ а) Положим и = х^, у = Здс -I- 4. Получится уравнение 2х^ -I- х^{2х + 4) - (Зл: + 4)^ = 0. Здесь и и V уже не будут независимыми переменными! Ранее (при рассмотрении уравнения 2х^ + ху - у^ = 0 в приме- 1СЧ Ги=2и, ре 15) мы уже получили результат в виде совокупности _ Возвращаясь к переменной х, получим 3jc -I- 4 = 2х^ или Зл: -I- 4 = -х^. „ 3-V41 З + л/41 Первое уравнение имеет корни х = ----или х = -, а второе ве- щественных корней не имеет (D < 0). Ответ 3-V41 З + л/П Если раскрыть скобки, то полученное уравнение 4-й степени не решается подбором корней, так как все его корни иррациональные, б) Если взять U = 2* и и = 3*, то получится уравнение 2-4*-|- + 2* • 3^ - 9^ = 0. Мы уже знаем, что - = — или - = -1. Переменные и V 2 V и V не будут независимыми, они связаны между собой, например, мы полу- и 2^ 2 , гг равенством ~ ^ ~ I 3 I • Тогда, решая уравнение lY-1 3J 2’ чим корень л: = log2 - = - log2 2. Уравнение - 2 3 ^ (!)■=- 1 решений не име- ет. Ответ : |-log2 2|. в) Теперь положим ц = log2л:, о = log2(2л: - 1). У нас получится уравнение 21og|л: -I- log2л: • log2(2A: - 1) - log2(2л: - 1) = 0. Зар| Глава XIII. Уравнения и неравенства Из уравнения 2и^ + uv - = О мы уже получили совокупность v= 2и, ^ _ Как и в предыдущем случае, переменные и и и не являются независимыми (хотя мы и не будем искать связь между ними в явном виде). Подставим выражения для и и v в совокупность, и получим logg (2х - 1) = 21og2 X, loga (2х - 1) = -log2 дс. Единственный корень первого уравнения системы л: = 1, он же будет единственным корнем второго уравнения. Ответ: {1}. г) Положим u = sinx, у = cos л:. Получится так называемое однородное тригонометрическое уравнение 2зт2л: -I- sin л: • cosx - cos^a: = 0. Очевидно, - = £“L£ - tg дс. Ранее мы получили - = ^ или - = -1. Таким V cos X V 2 V образом, tgjc = ^ или tgAT = -1, Ответ: arctg|^ -I- пп: пе Z Так же рассматривается однородное уравнение большей степени. 3. Дробно-рациональные уравнения Р(х) Уравнение вида Q(x) = о, где Р и Q — многочлены с вещественны- ми коэффициентами, называется дробно-рациональным. Любое дробно-рациональное уравнение сводится к решению целого рационального уравнения Р(х) = 0, которое является его следстви- ем тт - п /Р(дг)=0, . Действительно, уравнение ^ = 0 равносильно системе 1 ^ q Первое уравнение системы решается, а нижнее неравенство проверяется (решать его обычно не нужно, достаточно просто проверить, что корни верхнего уравнения удовлетворяют условию Q(x) Ф 0). Однако такой прямолинейный подход не всегда приводит непосредственно к ответу. 12х 12х Пример 17. Решим уравнение----------- ----д: + 2 2 x^ + X + 2 + 5. □ Убедившись, что д: = 0 не является корнем, и считая в дальнейшем X ^ о, разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на х. Получим TJ IV -1-5. 12 12 2 3 X +--------- д: 2 д: + —hi д: 3211 §79. Системы алгебраических уравнений и неравенств 2 12 Введя замену t= л: + —, переходим к уравнению -- X о 12 + 5, откуда 24 2t - 3 t--2 12 5 2 ----+ 5, а тогда i = 3 или t = —. Уравнение л: + — = 3 t + 1 2 JC 1 о .25 имеет корни л:=1ил: = 2,а уравнение л: + — = — не имеет веществен- X 2 ных корней. Ответ: {1; 2}. Ш Ещё один специальный приём, который пригоден только для уравнений особого вида, — это выделение полного квадрата. х2 Пример 18. Решим уравнение Н--------= 3. (X + 1)2 □ В левой части уравнения находится сумма квадратов. Попробуем превратить её в квадрат суммы или квадрат разности (смотря, что окажется удобнее). Для этого прибавим и вычтем в левой части удвоенное д: произведение слагаемых х и д: + 1 , получим 2 2д:2 , ДГ2----------г + ДС + 1 (х + 1)2 X + 1 откуда X - X -(- 1 2x2 -3=0, т. е. х^ X -I- 1 + ----3=0. Теперь X -г 1 х + 1 очевидна замена t = ——. Получим квадратное уравнение: t^ + 2t-3 = 0. х + 1 откуда f = 1 или t - -3. Осталось решить уравнения х + 1 = 1 и х+1 = -3. В первом урав- 1 ± Vs нении х= —-—, а второе уравнение не имеет вещественных корней. Ответ: Ш 079. Системы алгебраических уравнений и неравенств Система — это предикат, записанный в виде конъюнкции предикатов. Решить систему — значит найти множество истинности этого предиката. Таким образом, решениями системы могут быть только такие значения переменной (пары, тройки, наборы значений переменных), которые удовлетворяют сразу всем условиям системы. Решить систему — означает найти все её решения или доказать, что их нет. ГламХ1И^ уравнения и Hej^aBeHCTea Если система не имеет решений, она называется несовместной (поскольку её условия не могут быть выполнены одновременно ни для какого набора переменных). Q f ^ Q о и i ’ 1/2 > о [у = X. □ Графически первая система задаёт всю плоскость, а вот вторая — прямую у = X. Ясно, что и ответы, записанные в аналитической форме, будут различны. Для первой системы ответом будет множество всех пар вида {(jc; у): х е R, у е R), а ответ во второй системе может быть записан в виде {(л:; лг): х е Д}. й 1. Понятия равносильности и следования систем Определения равносильности и следования для систем даются в точности так же, как для уравнений или неравенств. Это естественно, поскольку определения равносильности и следования формулируются в терминах соотношений между множествами истинности предикатов. Итак, пусть даны две системы уравнений или неравенств (1) и (2) с одинаковым набором неизвестных и с множествами решений Mj и соответственно. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Системы называются равносильными, если множества их решений совпадают, т. е. М, = М2. Заметим, что, как и в случае уравнений, любые две несовместные системы с одинаковым набором неизвестных будут равносильны. ОПРЕДЕЛЕНИЕ — Система (2) называется следствием системы (1), если М, е М2, т. е. каждое решение системы (1) является также решением системы (2). Следствием системы может быть также уравнение или неравенство с теми же переменными, если каждое решение системы является решением этого уравнения (неравенства). Пример 20. Следствием системы |л:2 + у2 _ \ху = 1 1, является уравнение х^ + у^ = ху. Отметим, что это уравнение имеет своим решением лишь пару чисел (0; 0), которая не является решением исходной системы. ® Равносильными преобразованиями систем мы будем называть такие преобразования, которые приводят к получению равносильной системы (т. е. не изменяют множества решений). 3231 §79. Системы алгебраических уравнений и неравенств В дальнейшем в этом разделе мы будем рассматривать системы с двумя неизвестными. Если в системе одно уравнение или неравенство заменить равносильным ему набором условий, а все остальные условия системы оставить без изменения, то получится система, равносильная исходной. Отсюда следует, в частности, что система уравнений у) - §1 (л;, у) = О, IА (л:, у) = у) = = §1 (х, у), §2 (Х, у) равносильна системе j Л (х, i 1А (х. и общим видом системы у) - §2 (X, у) = о, двух уравнений с двумя неизвестными мы можем считать систему ^i(x, у) = О, ^2 (х, у) = 0. Если из одного уравнения системы можно выразить одну переменную через остальные и подставить это выражение в любые другие уравнения (неравенства) системы, то получится система, равносильная исходной. В этом заключается суть метода подстановки, одного из наиболее распространённых методов решения систем. Пример 21. Решим систему \х + 4 = у^, - у® = 8. □ Выразим из первого уравнения системы х через у и подставим во второе уравнение. При этом получится система, равносильная исходной: и = У® 1(у»-4 -4, 4)2 - у® = 8 <=> /х = у®-4, (х=-3, 1у® = 1 "^1у = 1. Ответ: {(-3; 1)}. Н Важность условия подстановки именно в другие уравнения системы иллюстрирует следующий пример. \х^+у^ = 2, \х + у = -1. Пример 22. Рассмотрим систему □ Исходная система равносильна системе Г(д:-ьу)3 = -1, [дс® + у® = 2. ^Глава ХШ^Уравнения и неравенства Раскроем скобки в первом уравнении I дс® + 1/^ + Зл [jc® +^3 = 2. Zxy {х + у)= -1, Подставив вместо х + у и вместо х^ + у^ их значения, взятые из исходной системы, придём к системе [ху = \, [дгз +уЗ = 2. Решением этой системы является пара (1; 1), которая не является решением исходной системы! Причина этого парадокса в том, что мы подставили первое уравнение системы «само в себя» (сравните с исходной системой). 1Э Если к уравнению системы прибавить другое уравнение этой системы, предварительно умноженное на произвольное число, а все остальные условия оставить без изменений, то получится система, равносильная исходной. Такой способ действий принято называть методом алгебраического сложения уравнений в системе. Заметим, что, конечно же, сюда входит и вычитание одного уравнения из другого, а также переход одновременно к сумме и разности двух уравнении: системы и равносильны. \A-fz=gl-g2 ^ \x-\-y = а, \х-у = Ь IА — ё\> \f2~ ёг Например, система а-\- Ъ X = что сразу даёт равносильна системе 2х = а Ь, 2у = а - Ъ, У = 2 а - Ь Замечание. Сложение неравенств в системе может не привести к равносильной системе! Таким образом мы можем получить только следствие исходной системы, в чём легко убедиться на следующем \х> О, .. . „ примере: система задает на плоскости первую четверть (первый [у ^ О квадрант), неравенство х у > О задаёт часть плоскости выше прямой [х -I- у > О, у = -X, а система i ^ — часть верхней полуплоскости выше aisl §79. Системы алгебраических уравнений и неравенств прямой у = -X (рис. 13.1). Видно, что в множестве, задаваемом последней системой, содержатся точки, координаты которых не удовлетворяют исходной системе. Если к утверждениям системы добавить утверждения её следствий (в том числе следствие одного из её условий), то получится система, равносильная исходной. Это утверждение используется, как правило, при решении сложных систем уравнений, где оно позволяет упростить отбор решений, а иногда подсказывает единственно возможное решение. Пример 23. Решим систему ху + уг = 8, ух + гх= 9, ZX + ху = 5. □ Обозначим ху = а, yz = Ь, zx = с, тогда а + Ь = 8, Ь + с = 9, с + а = 5. система Сложив все три уравнения, получим 2а + 2Ь + 2с = 22. Если добавить это уравнение к предыдущей системе, получится равносильная а + Ь = 8, Ь + с = 9, с + а = 5, а + Ь с = 11, \ху = 2, yz = 6, XZ = 3. из которой получим а = 2, 6 = 6, и, после возвраще-с= 3 ния к старым переменным. Глава ХИ1. Уравнения илеравенства Перемножив три уравнения, получим следствие: = 36, отку- да хуг = 6 или хуг = -6. Таким образом, исходная система равносиль- хуг = -6, ху = 2, yz = 6, хг = 3. л: = 1, ху = 2, xyz = 6, на системе ■ yz = 6, или совокупности систем ■ XZ — tjf ху = 2, я ^ yz = 6, x^y^z^ = 36 X2 = 3 Из первой системы: у = 2, а из второй: Z = 3, Ответ: {(1; 2; 3); (-1; -2; -3)}. 11 X = -1, У = -2, 2 = -3. сильную систему {x^+y = 2Q, \х авн< [х^ -у“^ -{х-у) = 0, Ux- у){х + у \х + у^ = 20 \х + у^=20. несильна совокупи [х = у, \х \х + у^ = 20 ^ [дс Пример 24. Решим систему , „ - + у^ = 20. □ Вычитая из первого уравнения системы второе, получим равно-^2 - 1/2 - (дг - у) = о, _ \(х- у)(х + у - 1) = о, -I- у2 = 20 Эта система равносильна совокупности систем ч- г/ - 1 = о, ч- р2 = 20. Решим первую из систем. Подставим л: = у во второе уравнение: 'у = 4, _У = -5. у^+у-20=0 Таким образом, или U = 4 [у = -5. Решая вторую систему, получим \х=1-у, |х = 1-у, [д: -и у2 = 20 ^ [{/2 _ у _ 19 = о х=1-у. У = У = 2 X = У = X - У = 2 ’ 1-У^ 2 ’ \-4ff 2 ’ 1 + V77 Ответ: s(4; 4); (-5; -5); 1 + V^ 1 + л/т7 -. ш SB7I §79. Системы алгебраических уравнений и неравенств 2. Однородные и приводящиеся к однородным системы Напомним, что если хотя бы одно из уравнений системы является однородным, то эта система уравнений называется однородной. В такой системе сначала решается однородное уравнение, в результате чего одна переменная выражается через другую в явном виде, после чего для завершения решения используется метод подстановки. Чаще мы имеем дело с системами, которые тем или иным способом могут быть сведены к однородным. В частности, если система уравнений {fix, у)-а, ,, V . V имеет вид < \-и ^ — однородные многочлены У § (х^ у) — Of одного порядка (т. е. все их слагаемые являются одночленами одной степени), аа и Ь — числа, то система приводится к однородной. Достаточно из второго уравнения, умноженного на а, вычесть первое уравнение, умноженное на число Ь. Тот же подход применим, если в правой части вместо чисел а и Ь стоят подобные одночлены а(х, у) и Ь(х, у). „ {х^ - ху + у^ = 3, Пример 25. Решим систему „ о „ [2х^ - ху - у^ = о. □ Вычтем из второго уравнения системы, умноженного на 3, первое уравнение, умноженное на 5 (чтобы уничтожить свободные слагаемые X 2 _ ху + у^ = 3, В правой части). Получится однородная система ^ „ г, о ^ [х^ + 2ху - 8у^ = 0. Решая однородное уравнение х^ -I- 2ху - 8у^ = 0, найдём, что х = 2у или X = -4у. Исходная система равносильна совокупности систем х^ - ху + у^ = 3, ^ \х^ - ху + у^ = 3, х=2у \х= -4у. Из первой системы подстановкой получаем (2; 1) и (-2; -1). Из второй системы получаем 4 V7’ J. V7 —= и —=; -= . Ответ >/7’л/7 Пример 26. Решим систему \y^ = h \х= 2у, 2 1 х=-4у. ЧТО дает решения что дает решения 4 1 \[7’^ .S -I- [х^у + = 1, + 2ху^+у^ = 2. □ Вычитая из второго уравнения удвоенное первое, получим однородное уравнение -2х^ -I- х^у + 2ху^ - у^ = 0. Таким образом, исходная система равносильна системе +у [2х^ - = 1, х^у - 2ху^ + у^ = 0. 3281 Глава XIII. Уравнения и неравенства Поскольку у = О не доставляет решения системы, делим обе части второго уравнения на и приходим к уравнению \3 / \2 XI I X I о X 21 - .у У 2-+ 1 = 0. У Полагая —=t, решаем уравнение 2t^ - - 2t + 1 = О, откуда: У {2t - l)(f2- 1) = 0; t= -1, t = 1. Возвращаясь к старым переменным, получаем, что исходная система равносильна совокупности трёх систем: -У, {х = у, х^+у^=1, \х^+У^ = 1. Решая эти системы методом подстановки (вторая система решений, очевидно, не имеет), получаем ответ: \ [ ^ ]; [ ^ ® lvV9 V9J 3. Симметрические системы. Замена переменных о симметрических многочленах мы уже говорили ранее, в главе III учебника 10 класса. Если все уравнения системы имеют вид Р{х,у, = о, где левая часть есть симметрический многочлен, то система называется симметрической. Общий вид симметрической системы с двумя переменными: I/(л:, у) о, f(x, у) и g{x, у) — симметрические многочлены от двух переменных. Простейшая из таких систем имеет вид ^ ^ ’ и сводится по теореме Виета к решению уравнения — at + Ь = 0. Если уравнение не имеет корней, то система не имеет решений; если же уравнение имеет корни ty и ^2» то решениями системы являются пары /х = ty, \х= ^2, \y=h " Ь = Ранее было отмечено, что все симметрические многочлены выражаются через элементарные симметрические многочлены. В случае двух переменных это как раз Oi = х + ^ и О2 = ху. Как правило, при такой замене мы получаем более простую систему уравнений, решая которую находим значения Oj и О2, в результате чего для нахождения х {х + у = а, и у получаем все те же системы вида s . [ху = Ъ. 1291 §79. Системы алгебраических уравнений и неравенств По той же схеме можно решать симметрические системы от трёх (и более) переменных. Для трёх переменных элементарными симметрическими многочленами (через которые выражаются все остальные) будут = X + у + г, 02 = ху уг л- гх, о^ = хуг. Решая новую систему. получившуюся в результате такой замены, X + у + Z = а, и приходим к системе мы находим Oj, О2, О3 ху + yz + ZX = Ь, решения которой по теореме xyz = с, Виета получаем как корни кубического уравнения — at^ + bt - с = О, Для удобства применения этого подхода полезно заранее научиться выражать через элементарные симметрические многочлены так называемые степенные суммы — выражения вида = дс" -I- у" для двух переменных и S„ = х" + у'^ + z" для трёх переменных. Результат для наиболее употребительных случаев представлен в таблице. Симметрические многочлены от двух переменных х, у Симметрические многочлены от трёх переменных х, у, z о, = X -н у, 02 = ху 0, = X + у + Z, О2 = ху -Н yz + ZX, 03 = xyz S, =х -(- у = о, $2 = х^ -1- у^ = о2 - 202 53 = Х^ -г у^ = - Зо,02 54 = х'* -г у”* = oj* - 40^02 -t- 2g| S, =x + y-i-z = o, 82 = = - 2^2 S2 = X^ + y^ + Z^= of - 3o,02 + З03 Формулы других степеней выводятся по мере надобности. Например, для двух переменных нетрудно получить формулу = х^ + у^ = = Oi - SOjOg + SOjal, умножая S4 на Sj и пользуясь результатами, уже представленными в таблице. Аналогично получаются формулы степенных сумм для трёх переменных. г2+у2 = 17^ + ху + у = 9. □ Система симметрическая, поэтому выражаем все симметрические многочлены через элементарные (Oj = х + у, 02 = ху): - 2о2 = 17, -f- О2 = 9. Решая эту систему стандартным методом подстановки, получим Пример 27. Решим систему /с, = 5, ]( [02 = 4 [( = -7, = 16. 330| Глава XIII. Уравнения и неравенютва Возвращаемся к старым переменным: У = 5, 4 jx + y = 5, jx + y = -7, \ или \ [ху = 4 [ху = 16. Решения первой системы находятся как решения квадратного уравнения - 5t + 4 = 0. Таким образом. X = \, У = 4 или л: = 4, у = 1. Вторая система решений не имеет, поскольку уравнение t^ + 7t-\-+ 16 = О не имеет вещественных корней. Ответ: {(1; 4); (4; 1)}. ® Замечание. Симметрические системы оказываются полезными при решении некоторых уравнений высших степеней и иррациональных уравнений. Например, решая уравнение (х — 2)® -ь (4 - л:)® = 64, удобно ввести замену х - 2 = и, 4 - х = v и перейти к системе IU® -1- у® = 64, [ U у = 2, которую можно решить стандартным способом. Другой пример: иррациональное уравнение Цх -f- 8 + MS - х = 2 имеет смысл решать с использованием замены Мх + 8 = и, MS- х = о. Ju + v= 2, Для уравнения вида ^а- f (л:) -I- !^Ь + f(x) = с удобно использовать замену и = - f(x), v = + fix). Тогда u и у находятся из симметри- ческой системы JI/ -f у = с, у" = а -I- Ь. Заметим, что уравнения в системе можно также почленно умножать или делить, но делать это следует с осторожностью, поскольку такая операция может изменить множество решений: есть опасность как потери решений, так и приобретения посторонних решений. Пример 28. Решим систему = 32, = 128. □ Если уравнения в системе умножить и разделить одно на другое, \{хуУ^ = 2‘2, \2 получится система 1 4' Но эта система не равносильна исходной! Легко видеть, что в последней системе могут быть всевозможные сочетания знаков х и у. 3311 §79. Системы алгебраических уравнений и неравенств а в исходной системе х и у должны быть одного знака! Поэтому ху > О, \ху = 2, S „из которой л: = 2, [X = 2у, у=1 или X = -2, у = -1. Ответ: {(2; 1); (-2; -1)}. И ^ > О, и тогда можно перейти к системе 4. Метод «оценки» Иногда удобно сначала показать, что решения системы, если они есть, должны удовлетворять каким-то жёстким ограничениям, а затем проверить, какие из наборов неизвестных, удовлетворяющих этим ограничениям, действительно являются решениями системы. Чаще всего следствия из исходной системы представляются в виде неравенств. Для получения этих неравенств используются, как правило, выделение полного квадрата или классические неравенства (например, неравенство Коши). Пример 29. Решим систему - 2х + у^ = О, 4х + 3 + у^ = 0. □ Заметим, что у ^ О, и представим систему в виде (х^ у ^ (ху)^ - 2ху •- + [-] = У [у J У^ 2(JC- 1)2 = -1- J/3 2(л:- 1)2 = -1- 1/3 1-1-уЗ^ О Ь^-1 ^ Получили единственно возможное значение у = —1. Отсюда л: = 1 и остаётся проверить, что пара (1; -1) является решением исходной системы. Ответ: {(1; -1)}. ® Обратите внимание, что в данном решении следствием системы уравнений от двух переменных выступает система неравенств от одной переменной. J ylixyf (2 - (xyf) = у^ + х^(1- X), Пример 30. Решим систему s ,----------- [.^1 + (л: -Ь у)2 ■+■ (2i/3 -и ^ 0. J рЗ + л:2 - л:3 = у1(ху)^ (2 - (ху)^), □ Перепишем систему в виде < ---------- [2у^х + х^^ -yjl + {х + 1/)2 . Если сложить уравнение и неравенство, то в левой части неравенства будет полный квадрат: (г/З + х)^ ^ 4^хуУ (2 - (xyY) - -Jl + ix + yf. 332! 1~ лава^ Оценим слагаемые в правой части. Заметим, что {ху)^(2-{ху)^)<:1 (в этом легко убедиться, обозначив (xy)^ = t), и, значит. у1(хуП2-(ху)^)<1. В то же время + (х + yY > 1. Таким образом, ^1(ху)^ (2-{xyf) - ^1 + {х + yf ^ О, а тогда и {у^ + < О, откуда + дс = О, и оба радикала в правой части неравенства равны 1. Итак, система может иметь решение только в том случае, когда выполнены три условия: 1/3 + л: = О, 1 + (jc + 1/)3 = 1, Отсюда ixyf {2-{xyf)= 1. X + г/З = О, х + у = Q, {xyf = 1. Первым двум уравнениям удовлетворяют только три пары чисел: (0; 0), (1; -1) и (-1; 1). Пара (0; 0) отбрасывается, поскольку не удовлетворяет последнему равенству. Осталось проверить (это обязательно!), являются ли решениями исходной системы оставшиеся две пары. Подходит только пара (1; -1). Ответ: {(1; -1)}. Н ево. Уравнения и неравенства с параметром. Аналитическое исследование Пусть дан предикат с двумя переменными A(x; а) (например, уравнение f(x’, а) = 0), из которых х считается переменной, а а — параметром. Если выбрать и зафиксировать какое-то конкретное значение а и подставить его в предикат, то получится просто предикат с одной переменной х, причём вид этого предиката и его множество истинности существенно зависят от выбора конкретного значения параметра а. Таким образом, например, уравнение с параметром — это целое семейство уравнений, получаемых при подстановке конкретных значений а. При решении задач с параметром мы считаем переменную а постоянным (но неизвестным) числом, через которое должно быть най дено значение переменной в уравнении. Параметров может быть и несколько! 1. Уравнения с параметром Решить уравнение с параметром означает выяснить, при каких значениях параметра решения вообш,е существуют, сколько их, и в случае их существования дать формулы решения, т. е. выразить X через параметры. §80. Уравнения и неравенства с параметром. Аналитическое исследование Это напоминает составление некоторой программы (алгоритма) для вычислительной машины (или неопытного пользователя, не желающего вникать в смысл задачи): если мы берём какое-то конкретное значение параметра, то для получения решения уравнения пользуемся такой-то формулой, а если взять другое значение параметра, то решение получится уже по другим формулам, а вот при таком значении параметра решений нет вовсе и т. д. Пользователь, «вводя» любое значение параметра, должен получить полную информацию о решении уравнения в этих условиях. Отсюда особая форма записи ответа, по которой можно было бы сразу прочитать, какое будет решение для каждого значения параметра. Рассмотрим несколько примеров, где продемонстрируем некоторые простейшие приёмы работы с параметром. Пример 31. Решим уравнение ах = 3. g □ На первый взгляд всё очевидно: х = —. Но на самом деле это верно, только если а 0, и вовсе не потому, что «на нуль делить нельзя». Если а = о, то получается уравнение 0 = 3, не имеющее корней. g Ответ: если а ^ 0, то х = —•, а если а = о, то л: е 0. И О В ответе должны быть перечислены все (!) вещественные значения параметра а (иначе задача не будет считаться решенной полностью) и соответствующие этим значениям параметра решения уравнения. Пример 32. Решим уравнение ах = За. □ При аФ о сразу получаем л: = 3, а вот при а = О обе части уравнения обращаются в нуль, т. е. решением будет любое вещественное число. Ответ: если а 0, то л: = 3; если а = о, то л: е К. ® Пример 33. Решим уравнение (а^ — а)х — За. □ Ясно, что в случае линейного уравнения нужно обратить внимание на коэффициент при переменной х. Если он отличен от нуля, можно делить обе части уравнения на этот коэффициент. Но вот если он равен нулю, то это вовсе не означает, что уравнение не имеет решения. Нужно подставить соответствующие значения а в исходное уравнение и решить получившиеся уравнения. Коэффициент равен нулю при а = 0 или а = 1. Подставляя в уравнение а = 1, мы получим уравнение 0 = 3, не имеющее решений; а если подставим а = 0, то получим уравнение 0 = 0, корнем которого является любое число. 2 Ответ: если а € {0; 1}, то л: =-; ,4 .г, а - 1 если а = о, то jc е Л; если а = 1, то решений нет. И Глава XIII. Уравнения и неравенства Пример 34. Решим уравнение ——— = 0. 2х - 1 □ Сформулированное в § 77 правило «дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля», приобре- (х = а, тает здесь особый вес. Уравнение равносильно системе s i Тогда запишем ответ: если а ^ то jc = а; 2 если а = —, то решении нет. т Пример 35. Решим уравнение ах + \ = 0. х^ - А □ Заменим уравнение равносильной системой fax -I-1 |х2 - 4 = о, 4?е0. Разобьём решение на два этапа. На первом этапе (его можно назвать «грубым решением») решим уравнение ах 1 = 0. Если а 0, то X = если а = 0, то решений нет. На втором этапе (произведём «чистку решения»); по «запрещённым» значениям переменной х найдём значения параметра а, при которых найденное значение х будет обращать знаменатель в нуль. Для этого значения х = 2 и х = -2, при которых знаменатель дроби обращается в нуль, подставим в уравнение ах -I- 1 = 0. Получима = -^иа = ^ соответственно. Ответ: если а € если а G ТО X = —; а то решений нет. @ Пример 36. Решим уравнение ах^ = х + а. □ Начнём с определения вида уравнения (с этого всегда нужно начинать!). Это уравнение вовсе не при всех значениях а будет квадратным! При а = о наше уравнение превращается в линейное, имеющее корень X = 0. А вот если аф 0, уравнение действительно будет квадратным. Тогда количество его корней зависит от знака дискриминанта. Перепишем уравнение в стандартном виде ах^ - х — а = 0. Дискриминант D = 1 + 4а^ всегда положителен, т. е. уравнение имеет два 1- Jl -I- 4а2 различных корня Xj = - 2а Ответ: если а = 0, то х = 0; и Хо = 1+^1 + 4д2 2а если аФ о, то х е 1 - + 4а2 _ 1 + -I- 4а2 2а 2а II § 80. Уравнения и неравенства с параметром. Аналитическое исследование 2. Неравенства с параметром Решение неравенств с параметром обычно существенно сложнее решения уравнений. Пример 37. Сравним числа -а и За. □ Если а < о, то -а > За; если а = 0, то -а = За; если а > 0, то -а < За. 11 Чтобы подчеркнуть сходство и различие в подходах к решению уравнений и неравенств с параметром, мы будем частично использовать уже рассмотренные уравнения с параметром, поменяв знак равенства на какой-либо из знаков неравенства. Пример 38. Решим неравенство ал: > 3. □ Решение зависит от знака коэффициента при х (а не только от равенства или неравенства этого коэффициента нулю). Действительно, если мы разделим (умножим) обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный. Ответ: если а > 0, то л: > -; а если а = о, то л: € 0; 3 если а < о, то л: < -. Н а Пример 39. Решим неравенство ах ^ За. □ Здесь в ответе тоже будут три случая: если а > о, то л: < 3; если а = о, то л: € JFf; если а < о, то л: ^ 3. В Пример 40. Решим неравенство (а^ - а)х > За. □ Для решения этого неравенства, как и в предыдущих примерах, рассмотрим знаки коэффициента - а. В каждом из пяти случаев: а<0, а = 0, 0<а<1,а = 1,а>1, выражение - а либо обращается в нуль, либо имеет постоянный знак. 3 Ответ: если а < 0 или а > 1, то л: > если а = о, то л: е 0; если а = 1, то л: G 0; если о < а < 1, то л: < Пример 41. Решим неравенство а - 1 X — а а- 1’ В ^ 0. 2л - 1 □ Это уже не линейное неравенство. Воспользуемся методом интервалов. Единственный корень числителя — это х = а, корень знаменателя X = -. Чтобы расположить эти корни на числовой прямой ЯНЮ! Глава XIII. Уравнения и неравенства (рис. 13.2), выясним, как они расположены относительно друг друга, т. е. рассмотрим по отдельности случаи а>-, а<-иа=^. 2 2 2 Ответ: если а > то л: е aj; если а = —, то лс е 0; 2 Рис. 13.2 если а < -, то JC е 2 h i]- Пример 42. Решим неравенство т gJC + 1 х^ — 4 > 0. □ Решим неравенство методом интервалов. Корень числителя ^ (рассматриваем случай а 0; при а = 0 этого корня нет). Корни знаменателя X = -2 и д: = 2. Нужно расставить эти корни на числовой прямой. Две точки JC = -2 и X = 2 жёстко закреплены, а точка ^ * бе- гает» по прямой. Три основных случая взаимного расположения этих точек изображены на рисунке 13.3: в первом случае точка х = находится слева от точки х = -2, во втором случае она между корнями знаменателя, в третьем — справа от точки х = 2. Итак, первый случай: —^ < —2, что равносильно неравенству 2а - 1 п Гп -----< о, из которого а € I б; - I* 1о ^ 2а + 1_ В случае — >2 мы аналогично получим-------<0 иае —;0. а а \ 2 J В третьем случае -2 < -^<2, откуда а 1 а -2 2 -2 _i а 2 -2 2 а -i<-2 -2<-i<2 -i>2 а Рис. 13.3 337) §80. Уравнения и неравенства с параметром. Аналитическое исследование ае(0;|] a€(i;+oo] ае(-оо;-|) ае[-|;0) Рис. 13.4 — 4 > о, не забывая учесть знак са- Расставляем знаки дроби мого числа а (рис. 13.4). Теперь необходимо отдельно рассмотреть ещё неучтённые случаи nil а = о, а = -- и а = -. 2 2 Пусть а — 0. Исходное неравенство приобретает вид —— > 0; х^- 4 отсюда X е (-оо; -2) U (2; +оо). - 2) 1 2 1 Пусть а = —. Получим --------> 0, откуда ---- < 0, что даёт 2 х^ - 4 X + 2 X е (-оо; -2). .. -(х + 2) 1 2 Пусть а = —. Аналогично получаем —--> 0 и л: е (2; +оо). 2 х^- 4 Теперь «собираем» все эти случаи для получения ответа: если л > ^> то хе ^-2; —^ j U (2; +оо); если а = ^, то л: € (2; +оо); и если 0<а<^, то х е +о°); если а = о, то X е (-оо; —2) U (2; +оо); если < а < о, то х е (-оо; -2) U I 2; ^ |; 12~Пратусевич, 11 кл. laoi Глава Xjll. Ур^нения и неравенства если а = то л: е (-оо; —2); если а < то JC G (-оо; -2) U I 2 |. й Такое решение и правильность полученного ответа трудно прове- рить. ев1. Множества на плоскости, задаваемые уравнениями и неравенствами Уравнение с двумя переменными f(x, у) = О (или неравенство f(x, у) > 0) задаёт на координатной плоскости множество, состоящее из всех точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению (или неравенству). ОПРЕДЕЛЕНИЕ Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению (неравенству), называется графиком этого уравнения (неравенства). В частности, график уравнения у = f(x) — это график функции f. Заметим, что понятие «график уравнения» шире, чем «график функции»: график функции f является графиком уравнения y = f(x), но график уравнения вовсе не обязан быть графиком функции. Пример 43. Построим график уравнения (2х + у)(у - х) - 0. □ Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю (а второй при этом имеет смысл). Поэтому график уравнения будут составлять те и только те точки, координаты которых 2х + у = 0, у - х=0. Значит, искомое множество есть объединение двух прямых у = хи у = -2х (рис. 13.5). й удовлетворяют совокупности Пример 44. Построим график уравнения (2х -ь у)(у - jtr) = 0. □ Уравнение (2х + у)(у-х) х-2 = о равносильно системе, в которой к сово- У = -2х, х-2 купности предыдущего примера добавлено условие х - 2 фО: У = X, хф2. В результате получаем (рис. 13.6) две прямые с двумя выколотыми точками (которые высекает на них вертикальная прямая х = 2). й !,Э39| §81. Множества на плоскости, задаваемые уравнениями и неравенствами Рис. 13.5 Рис. 13.6 Рис. 13.7 подход фактически оперирует системами неравенств вида Пример 45. Построим множество, заданное неравенством {2х + у)(у - х)>0. □ Понятно, что знак левой части зависит от знаков множителей 2х + у иу - X. Выше прямой у = -2х множитель 2х + у положителен, ниже — отрицателен. Аналогично выше прямой у = х множитель у - х положителен, ниже этой прямой множитель у - х отрицателен. Такой 2х + у > О, [у - х> О (всего четыре системы с разными комбинациями знаков множителей) (рис. 13.7). B Более удобным представляется следующий подход: прямые 2х + у = О и у - X = О разбивают координатную плоскость на четыре области, в каждой из которых оба множителя имеют постоянные знаки. Действительно, знак множителя может измениться лишь при переходе из области в область через граничную прямую (на которой этот множитель обращается в нуль). Проверить знаки множителей в каждой области можно, взяв там контрольную точку (только не на границе области). А можно просто следить за изменением знаков множителей при переходе из области в смежную область. Приведённое рассуждение практически является аналогом метода интервалов. Назовём этот вариант «методом областей»: здесь вместо координатной прямой мы используем координатную плоскость, а вместо точек, разбивающих прямую на интервалы, — линии, разбивающие плоскость на области. Отметим, что мы приняли без доказательства то, что знак функции двух переменных изменяется лишь при переходе через границу области. Более того, мы не даём описание тех функций, при определении знака которых применим «метод областей». Это связано с тем. 12* 3401 Глава XIII. Уравнения и н^а^енства что понятие непрерывности функции двух переменных выходит за рамки нашего курса. Однако метод областей настолько интуитивно ясен, а преимущества его применения столь широки, что мы можем смириться с этой нестрогостью. _______ Итак, для использования «метода областей» сначала строим область определения левой части неравенства (включая «вырезанные» прямые и кривые, ограничивающие эту область) и все прямые и кривые, на которых какой-либо из множителей обращается в нуль. Эти линии разбивают координатную плоскость на области, в каждой из которых выражение в левой части неравенства имеет постоянный знак, который можно определить, например, при помощи контрольной точки, взятой из внутренней части области. Пример 46. Построим множество, заданное неравенством (2х + у) (у - х) х-2 > 0. □ Запишем уравнения граничных прямых, разбивающие плоскость на области: у = -2х, у = х, х = 2. Важно не забыть, что штриховую прямую X = 2 мы, с одной стороны, вырезаем из области определения, поскольку во всех её точках знаменатель дроби обращается в ноль, а с другой — знаменатель х-2 имеет разные знаки по разные стороны от этой прямой, так что выражение в левой части меняет свой знак при переходе через неё. Далее выбираем контрольные точки в каждой из семи областей, на которые разбили плоскость указанные три прямые (рис. 13.8) (или выясняем знак в одной области и затем отслеживаем изменения знака дроби при переходе из данной области в смежную с ней). S1 Такими методами удобно пользоваться и при задании множеств уравнениями и неравенствами с модулем. В качестве граничных линий, разбивающих плоскость на области, добавляются линии, на которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль. Пример 47. Построим график уравнения |д:-у-ь1|-1-|л: - 2у\ = х. □ Прямые у = х-^\пу = — разбивают плоскость на четыре области. Выясним знаки выражений х — у + 1 и х — 2у. Выбрав контрольную X д -.44 (х - у + 1> о, точку (например, А(1; 1)), получим < о ^ « [JC — 2г/ $ и. 3411 §81. Множества на плоскости, задаваемые уравнениями и неравенствами Заметим, что эти неравенства задают область как пересечение полуплоскостей. Будем это кратко записывать так: с* D • + О’ 1;с-2у^0. Тогда уравнение в этой области приобретает вид х - у + \ + + 2у - X = X, а после упрощения у = х - 1. Аналогично область Dz задаётся системой D2'. + О, |дг - 2i/ < 0. Здесь, раскрыв модули, получим у = х + -. Эта прямая не имеет О общих точек с областью, поэтому в области Z>2 не будет точек графика исходного уравнения. Область Z>3 задаётся системой D^. о ^ этой области исходное уравнение превращается в у = -х - 1, которое задаёт прямую, не имеющую общих точек с рассматриваемой областью. тт + Наконец, в области D^: s о о рассматриваемое уравнение ^ \ X — CilJ ^ О X + 1 ^ примет вид у =-----. 3 Таким образом, графиком исходного уравнения является объединение двух лучей с общим началом (рис. 13.9). В Пример 48. Построим множество, задаваемое неравенством |л: - I/ -t- 1| -Ь |дг - 2i/| < л:. □ Возьмём уже построенный график уравнения |л: — г/-|-1| + 1х:-2{/| = лг. Он разбивает плоскость на два множества Mj и М2 (внутренняя и внеш- Sjtt! г лава XIII. Уравнения и неравенства няя области угла) (рис. 13.10). В соответствии с «методом областей» проверяем выполнение неравенства в этих областях при помощи контрольных точек (т. е. выясняем знак выражения IJC - I/ -I-11 •+• IX - 2г/1 - х). Для ответа нам подходит множество вместе с границей, поскольку неравенство было нестрогим. 18 Замечание. При работе с неравенством, когда график уравнения уже построен, нам вовсе не нужны области Z>i, Z>2, П3, П4, которые мы использовали при построении графика уравнения! При выборе ответа в неравенстве речь идёт уже о совсем других областях Ml и М2, на которые разбил плоскость график уравнения. Таким образом, речь идёт о двукратном применении «метода областей» — сначала для построения графика уравнения (границы неравенства), а потом для выбора ответа в неравенстве. ев2. Графический метод решения уравнений и неравенств с параметрами в плоскости (х; а) Расширим арсенал приёмов решения задач с параметрами. Этому послужат графические методы. Можно выделить два основных графических приёма: первый — интерпретация задачи в плоскости (х; у), второй — в плоскости (х; а). Начнем с координатной плоскости (х; а), которая определяет один из наиболее наглядных и эффективных методов решения задач с параметрами. В § 80 мы рассматривали параметр как постоянное (но неизвестное) число. Между тем формально параметр — это тоже переменная, причём равноправная с другими переменными, о которых идёт речь в задаче. При таком взгляде, например, f(x; а) — это функция двух переменных, а /(х; а) = 0 — уравнение с двумя переменными. Кроме того, поскольку параметр «уравнивается в правах» с переменной, имеет смысл завести для него отдельную координатную ось. Так естественным образом появляется координатная плоскость (х; а). А графики уравнений с двумя переменными и множества, задаваемые неравенствами, мы как раз и учились строить в § 81! Дадим более подробную схему разбора такой задачи. 1. В плоскости (х; а) строим график уравнения /(х; а) = 0. Заметим, что всегда решение начинается именно с построения графика уравнения, даже если в задаче речь идёт о неравенстве! Рекомендация: можно попробовать выразить из уравнения /(х; а) = 0 параметр а как функцию от х, т. е. а = g(x). 3431 § 82. Графический метод решения уравнений и неравенств с параметрами в плоскости(х; а) 2. Мысленно проводим всевозможные прямые вида а = const. Количество точек пересечения такой прямой с графиком уравнения даёт количество корней при данном значении а. 3. Если нужно решить уравнение (выписать решения, зависящие от а), то на каждой ветке графика уравнения по отдельности выражаем X через а («переименовываем ветви»): х = ф(а). Иногда для этой операции приходится дополнительно разбивать ось Ох на промежутки. Эти действия обусловлены тем, что решениями уравнения f{x; а) = О при данном а являются абсциссы точек пересечения прямой а = const с графиком уравнения. Мы как раз и получаем эти корни в виде X = ф(а). Теперь можно выписать ответ в уравнении. 4. Если в задаче идёт речь о решении неравенства, то выбираем и заштриховываем части плоскости, где неравенство выполняется («метод областей»). Решениями неравенства при данном значении а являются абсциссы тех участков прямой а = const, которые попали в заштрихованные области. Границами соответствующих промежутков будут корни уравнения, найденные на третьем этапе. Продемонстрируем применение описанного метода на примерах. Пример 49. Найдём в зависимости от а количество решений уравнения (а+1-|л:-1|)(а- 2х^ + 4jc) = 0. птх fa-f-l-|jc-l| = 0, □ Исходное уравнение равносильно совокупности „ „ \_а - 2х^ -I- 4л: = 0. В первом уравнении а = |л:-1|-1,аво втором а = 2х^ - 4 л:. График уравнения представляет собой объединение «уголка» и параболы (рис. 13.11). Проводим всевозможные прямые а = const. Прямая а = -2 имеет с графиком одну общую точку. При -2 < а < -1 и при а = 0 прямые пересекают график в двух точках; при -1 < а < 0 и при а > 0 — в четырёх различных точках. Прямая а = -1 имеет с графиком три общие точки. Таким образом, ответ читается по рисунку 13.11: если а < -2, то решений нет; если а = -2, то решение одно; если —2 < а < -1, то решений два; если а = -1, то решений три; если -1 < а < о, то решений четыре; если а = о, то решений два; если а > о, то решений четыре. И Пример 50. Решим уравнение I л: -f- 11 = ах. □ Выразим из уравнения а как . |л: + 1| функцию от л:, получим а = ■—-— Деление обеих частей уравнения на X не изменит множества его корней 3441 Г лава XIIL равнения и ^^авенстаа вид а = 1 + -, откуда л: = а - 1 ни при каких значениях а, поскольку при любом значении а значение л: = О не является корнем уравнения (это можно увидеть, подставив л: = О в исходное уравнение). Построим график этой функции на плоскости (jc; а). На рисунке 13.12 видно, что при а ^ — 1 уравнение имеет один корень; при -1 < а < О — два корня; при а = О — один корень; при О < а ^ 1 корней нет; при а > 1 снова один корень. На каждой ветке графика выражаем д: через а. Справа от прямой д: = -1 уравнение имеет Слева от прямой jc = -1 график пред- 1 1 ставлен частью гиперболы а = -1 — —, откуда дг = -Ответ: если а ^ —1, то дс = ——; а + 1 если -1 < а < О, то Д£Г, =--, а + 1 если а = О, то JC = -1; если О < а < 1, то корней нет; , 1 если а > 1, то дс = Хо = а- 1 а - 1 № Пример 51. Решим неравенство |дг -t- 11 ^ ах. □ В предыдущем примере был построен график уравнения I д: + 11 = ах. Он разбивает плоскость на три области Mj, М2 и М3. Проверяем выполнение неравенства в этих областях с помощью контрольных точек. Неравенству удовлетворяют координаты точек из областей Mj и Мд (рис. 13.13). Напомним, что решением неравенства при данном значении а будут абсциссы тех участков прямой а = const, которые попали в эти области. 345i §82. Графический метод решения уравнений и неравенств с параметрами в плоскости(х; а) 1 Ответ: если а ^ —1, то л: е |^-с>о; если -1 < а < О, то д: € а - 1 1 а+ 1 а-1 если а = О, то д: = -1; если О < а ^ 1, то решений нет; 1 если а > 1, то д: € с - 1 ; +00 . И Попробуйте для сравнения решить эту задачу аналитически. Будет поучительно сравнить результат и затраченные усилия. Обратимся теперь к примеру 42 из § 80, в котором мы столкнулись с определёнными сложностями. Пример 52. Решим неравенство ^ - > 0. - 4 □ Построим график уравнения ] = 0, которое равносильно сис- - 4 теме X Ф -2, X Ф 2. Обратите внимание, что мы изображаем здесь не только выколотые точки на гиперболе, но целые «вырезанные» из плоскости прямые д: = -2 и д: = 2. Это принципиально: знак знаменателя зависит от того, по какую сторону от каждой из этих прямых находится точка; поэтому сами эти прямые участвуют в разбиении плоскости на области — подобно тому, как границами интервалов на прямой были корни знаменателя дроби при решении рациональных неравенств методом интервалов. Не забудем, что график функции а = тоже должен быть выполнен штриховой линией, поскольку мы решаем строгое неравенство. Всего на рисунке 13.14 у нас получилось семь областей, из которых нам подходят Di, Х>з, и D-J. Записываем ответ: а 1 ' 1 I ^5 ' ! ^ / 1 * I.L 1 : J-2 0 ^ 21 1 1 1 1 1 2 Z>7 1 1 1 ^ ^ I / • /a=const' 1 1 1 1 Рис. 13.14 / 'Г>2 » i>3 1 1 1 • 1 если а < —, то X е (-оо; -2) U 2 ю); О < а < ~, то X е U (2; +оо); если а = , то л: G (-оо; -2); если -i < а < О, то ас G (-оо; -2) U если а = О, то дс G (-оо; -2) U (2; +оо); если если а = -, то дс G (2; +оо); 4Ы если а > ^, то дс G 1^-2; -ij U (2; +оо). Упомянутая в § 80 симметрия ответа объясняется тем, что график неравенства центрально-симметричен относительно начала координат. ® А теперь воспользуемся некоторыми примерами § 81, В примере 47 § 81 мы строили график уравнения \ х - у + 1|-1-|дс-21/| = дс, ав примере 48 — множество, задаваемое неравенством |дс-у + 11-1-|дс-21/|<дс. Пример 53. Решим уравнение |дс-а-ь 1|-1-|дс-2а| = дс. □ Воспользуемся уже построенным графиком уравнения (рис. 13.15), поменяв лишь название вертикальной оси. На каждом из лучей выразим дс через а, у нас получится дс = а + 1 для одного луча и дс = За - 1 для другого. Ответ: если а < 1, то нет решений; если а = 1, то д; = 2; если а > 1, то ccj = а -I- 1, ДС2 = За - 1. ® 347 §83. Графический метод решения уравнений и неравенств с параметрами в плоскости (х; у) Пример 54. Решим неравенство |л:-а + l| + |jc-2a|=$x:. □ Графический образ неравенства построен в примере 48 § 81 (рис. 13.16). Осталось «прочитать» ответ: если а < 1, то нет решений; если а = 1, то х: = 2; если а > 1, то л: € [а + 1; За — 1]. HI Пример 55. Выясним, при каких значениях параметра а имеет решение система неравенств f адг -г 1 < О, [л: -г а > 0. а) a = -ii / У X \ ч \ N Ч Ч ч ч X 0 / f 0 ч • ч ч ч ax-t-KO 1 t 1 1 X + а>0 ч ч а=-х ч в) А" ч I fa-t-jc>0 lax-f-l<0 Рис. 13.17 □ Ответ читается по рисунку 13.17, в. Ответ: а е (-оо; -1) U (1; -гсхз), И QS3. Графический метод решения уравнений и неравенств с параметрами в плоскости (х; у) Пример 56. Найдём наибольшее и наименьшее значения функции у = (х - а)2 на отрезке [0; 1] в зависимости от параметра а. □ Графическая интерпретация здесь очевидна. Всё зависит от того, принадлежит ли абсцисса Xq = а вершины параболы у = (х - а)^ отрез- Глава XIII. Уравнения и неравенства ку [0; 1], и если принадлежит, то к какому из концов отрезка она ближе (рис. 13.18). Ответ: если а ^ 0, то min f{x) = /(0) = а^, max f{x) = /(1) = (1 - [0: 1] [0; 1] если 0 0. Графики семейства у = ах-1 — это прямые, проходящие через точку А(0; -1) с угловым коэффициентом а. Такая прямая имеет с полуокружностью ровно одну общую точку, либо если она касается её (в точке М на рисунке 13.20), либо если она проходит во внутренней области угла ZBAC, либо если это сама прямая АС. Легко найти, что угловые коэффициенты прямых АВ и АС соответственно равны ^ и D О Угловой коэффициент касательной AM определим из условия, что уравнение (ад: - 1)2 = 8д: - д:2 - 15 должно иметь совпадающие корни при условии ах > 1 (т. е. дискриминант g этого квадратного уравнения должен быть равен нулю!). Отсюда а = —. 15 Ответ: — ^ а < - или а = —. ® 5 3 15 Пример система 59. Сколько \ + \у\ = а, Пх [д:2 ^ + у^ = 1 решении имеет в зависимости от параметра а? □ Сразу заметим, что при а ^ 0 решений нет. Уравнение х^ + у^=1 задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом 1, а вот уравнение I д: I -(-11/1 = а — множество «раздувающихся» квадратов (рис. 13.21). Глава XIII. Уравнения и неравенства Если квадрат находится внутри окружности, решений нет. С ростом а квадрат «раздувается» (его вершины имеют координаты (а; 0), (0; а), (-а; 0), (0; -а)). Решения в системе появятся при а = 1, когда квадрат окажется вписанным в окружность, причём их будет четыре. Дальше с ростом а решений станет восемь (окружность пересекает каждую сторону квадрата в двух точках). При а = V2 стороны квадрата будут касаться окружности, и решений снова будет четыре. При а > yf2 система решений не имеет. Ответ: если а < 1 или а > V2, то решений нет; если а = 1 или а = ^^2, то решений четыре; если 1 < а < V2, то решений восемь. ® ев4. Иррациональные уравнения и системы Напомним, что иррациональным уравнением мы условно называем уравнение, содержащее радикалы, под которыми находятся выргокения от переменной х (чаще всего многочлены или алгебраические дроби). 1. Избавление от иррациональности Утверждение Уравнение (f{x))’' = (р(х))" при п е N является следствием уравнения f(x) = д (х). Символически: f(x) = g(x) => (/(х))" = (g’(x:))". □ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, если число а есть корень первого уравнения, то f(a) = g(a), но тогда (Да))" = (я(а))", т. е. а является одновременно корнем второго уравнения. SI Легко заметить, что для чётной степени п обратного следствия нет: например, из уравнения = 4 не следует х = 2. Замечания. 1) Для чётной степени п = 2k (f= (g(х))^'‘=i> |/(л^)| = 1ё’(л^)|* Таким образом, имеет место следующая равносильность уравнений: (/(д:))^* = (g’(x))2* <=> |/(л:)| = |g’(x)|. 2) Операция возведения уравнения в нечётную степень п = 2k + 1 есть равносильное преобразование: f(x) = ^(дс) <=> (/(х))^** * = (^(х))2* + *. Для нас главное то, что операция возведения обеих частей уравнения в натуральную степень заведомо не приводит к потере корней, но в случае возведения в чётную степень может привести к появлению посторонних корней. В примерах при рассмотрении различных методов и подходов (включая отбор корней и стандартные виды замен) мы будем, как правило, ограничиваться уравнениями с квадратными радикалами (поскольку при работе с радикалами других чётных степеней никаких 3511 § 84. Иррациональные уравнения и системы принципиальных отличий нет) и кубическими радикалами (как типичным случаем уравнения с радикалами нечётной степени). Итак, начинаем с уравнений, содержащих квадратные радикалы. Выясним вопросы, связанные с ООУ: насколько это понятие здесь полезно и нужно ли начинать решение такого уравнения с поиска ООУ. Поскольку при возведении в квадрат корни заведомо не теряются, можно возводить уравнение в квадрат столько раз, сколько понадобится, чтобы полностью избавиться от иррациональности (это будет цепочка следствий), а потом полученные корни проверить прямой подстановкой (если такая подстановка не представляет значительных вычислительных трудностей). Напомним, что в таком решении проверка является обязательной частью решения. Пример 60. Решим уравнение -I- Зл:- 3 = 2х- 3. □ Возведём обе части уравнения в квадрат: у]х^ -I- Зл: - 3 = 2л: - 3 => лг^ + Злг - 3 = 4х^ - 12х + 9; после упрощения получим л:^ - 5л: + 4 = О, откуда л: = 1, X = 4. Проверка: л" = 1 — посторонний корень (при подстановке правая часть уравнения отрицательна!), корень х = 4 подходит. Ответ: {4}. 11 Заметим, что л: = 1 будет корнем уравнения -,Jx^ Зл: - 3 = 3 - 2л:, а л: = 4 оказывается в этом случае посторонним корнем. Кстати, на примере решённого уравнения хорошо видно, что в данном случае при возведении в квадрат корни уравнения-следствия попадают в ООУ: область определения исходного уравнения определялась неравенством л:^ -ь Зл: — 3 ^ О, но поскольку при возведении в квадрат мы получаем л:^ + Зл: - 3 = (2л: - 3)^, то требуемое неравенство заведомо выполнено для решений полученного уравнения. Наличие постороннего корня здесь связано вовсе не с ООУ, а со знаками правой и левой частей уравнения: необходимо, чтобы эти знаки совпадали! Более подробно мы обсудим это позже. Если в уравнении присутствует несколько радикалов, уравнение приходится возводить в квадрат неоднократно. Для удобства обычно один из радикалов оставляют в одной из частей уравнения, а все остальные выражения переносятся в другую часть уравнения (таким образом, уравнение приводится к виду -Jfix) = S’(л:)). Такой приём называется уединением радикала. Пример 61. Решим уравнение д/х + 2 - -у/2х - 3 = 1. □ Перепишем уравнение в виде ^2х - 3 = -Jx + 2 - 1 (т. е. уединим радикал yj2x - 3); теперь обе части возведём в квадрат: 2х-3=х-|-2 - 2л/х + 2 + 1. 3521 Глава XIII. Уравнения и неравенства Уединим радикал и возведём обе части в квадрат: 2л1х + 2 = 6 - дс; 4(л: + 2) = 36 - 12л: + л:^ - 16л: + 28 = О, откуда л: = 2 или л: = 14. Проверка: л: = 2 подходит, л: = 14 — посторонний корень. Ответ: {2}. 1! Однако проверку не всегда легко осуществить прямой подстановкой, например, если корни получившегося уравнения-следствия будут содержать выражения с радикалами. В этом случае можно воспользоваться следующими очевидными утверждениями: Утверждения 1. Уравнение вида -Jf{x) = д{х) равносильно системе |f(x) = (р(х))2, |д(х) > 0. 2. Уравнение вида ^/f(x) = -у]д(х) равносильно любой из систем |Пх) = д(х),^^^ jf(x)=g(x), \д(х)^0 \f{x)^Q. Пример 62. Запишем решение уравнения из примера 60, используя переход к равносильным системам: :-3=(2л:-3)2, jл:^ - 5л:-I-4 = О, 3>0 fx^ - : 12л:- <=> л: = 1, л: = 4, <=> л: = 4. и 2л: - 3 ^ о Отметим, что никаких преимуществ по сравнению с цепочкой следствий и проверкой не появилось. Однако следующий пример показывает, что переход к равносильной системе бывает оправдан. Пример 63. Решим уравнение -^2х + 5 = 4 - л:. □ При решении уравнения появятся два корня х= 5- ^|T4 и л: = 5 + л/Й. Проверять, получилось ли верное числовое равенство, прямой подстановкой таких корней затруднительно. Поступим иначе: [т---- [2л:-Ь 5 = (4 — л:)2, [л:2-10л:-1- ^2х + Ъ = А-х<^\ ' '' [4-л:5'0 [4-х^О 11 = о. <=> л:= 5-л/Й, х=Ъ + л/Й, <=> л: = 5 - -Я4. Ш 4— х> о Если в квадрат придётся возводить не один раз, то при каждом возведении в квадрат добавляются новые ограничения. 353; § 84. Иррациональные уравнения и системы Пример 64. Запишем решение уравнения примера 61, используя переход к равносильным системам: □ = 1 <=> = .^/хТ2 - 1 <=> 2yjx + 2 = 6- X, \Jx + 2-l > О <=> hx-3=x+2 - 2-Jx + \у1х + 2 - 1 0 Цх + 2) = (б-л:)2. <=> л1х + 2 - 1 > 0, 6 - X > 0 <=> л:2 - 16л: + 28 = О, ■yjx + 2 ^ 1, л: ^ 6. Неравенства в системе в данном случае решать необязательно (равно как и выяснять, какое из них сильнее); достаточно решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли его корни всем этим неравенствам. Получим л: = 2, л: = 14, у/х +2 - 1 > О, 6 - л: ^ О <=> л: 2. Ш Замечания. 1) Обычно выписывать на каждом шаге в процессе решения всё увеличивающиеся системы не слишком удобно. Для облегчения процесса решения примера и записи этого решения полезно понимать, что, во-первых, зачастую неравенства в этих системах решать не нужно! Уравнения решаются, а неравенства только проверяются (туда подставляются корни уравнения). Во-вторых, чаще всего этот подход используется либо в совсем незамысловатых уравнениях (там это легко сделать), либо в задачах с параметрами (особенно при использовании графических методов, при построении множеств на плоскости), либо в случае получения «плохих» корней, с которыми сложно проводить арифметические операции. 2) Встречаются уравнения, где ответом является целый промежуток, а не конечное множество чисел (т. е. уравнение на самом деле представляет собой тождество на некотором множестве). В этом случае проверка, конечно же, невозможна, а значит, здесь как раз необходимо накладывать дополнительные условия на корни в виде неравенств; тогда в ответе появляются множества, задаваемые этими неравенствами. Соответствующие примеры мы рассмотрим позже. О Предостережём от стандартной ошибки, которая часто встречается при решении уравнений: умножение радикалов, т. е. переход от выражения yjfix) • y]g(x) к корню из произведения ^Jf{x)- g(x), не есть равносильное преобразование! Область определения второго выражения шире {f(x) и g(x) должны быть одного знака, но необязательно не- г лава XIII. Уравнения и неравенства отрицательными), поэтому при таком преобразовании могут появиться посторонние корни. Обратный же переход может выглядеть следующим образом: л/7^ = I V7 • л[§ при / ^ О, ^ ^ О, при f ^ О, g ^ 0. Эти соображения могут понадобиться при вынесении множителя из-под знака радикала или внесении множителя под знак радикала. jx + 1 ----г = 2. х-2 - 2)^^ = t. Тогда = (х - 2)(х -I- 1) и исходное ''t = 2, □ Обозначим (д: уравнение приобретёт вид - t - 2 = О, откуда ^ = -1. т. е. (х-2)^ 1^+1 = 2, Jx-2 (1) (х-2) 1x^1^ 1. х-2 (2) Решим (1): -X-2 = 4, <=> X = 3. X - 2 > О Неравенство дг > 2 в системе возникло как необходимое и достаточное условие того, что обе части возводимого в квадрат уравнения имеют одинаковый знак. Решим (2): , 1х+1 , f(jc-2),/^^l =1, (х^-х-2=1, 1-Лз /y-2j г: |з; - Ответ: JC - 2 < О При распространённом неверном решении этого уравнения множитель (д: - 2) вносится под корень без рассмотрения его знака, в результате чего второй корень данного уравнения будет потерян. IS Вернёмся ещё раз к вопросам, связанным с ООУ. Как видно из всех разобранных примеров, как правило, можно обойтись вообще без нахождения ООУ. Уравнение может быть правильно решено даже при отсут- 3551 § 84. Иррациональные уравнения и системы ствии упоминания об ООУ. Более того, верно найденная ООУ и отбор корней по ней не гарантируют появления посторонних корней, и сама задача нахождения ООУ оказывается сложной, ненужной, а в некоторых случаях даже неразрешимой, как показано в следующих примерах. Пример 66. Решим уравнение yjx^ - х + 1 = yjl- х м ^ \х^ - х + 1 > О, □ ООУ задается системой < [1- х^ О, ство мы решать не умеем. В то же время исходное уравнение равносиль- — 1 — X но системе ' ’ в которой первое неравен- |л:3-л:-|-1= 1 |l - X > О, которая решается устно. Ответ: {0}. В! Пример 67. Рассмотрим уравнение д/хЗ + 4х - 1 - 8^х^ - X = _ 1 + 2у[^. □ Нахождение ООУ весьма затруднительно. Замена уравнения равносильной системой тоже не привлекает. А цепочкой следствий получим: хЗ -ь 4х - 1 - 8 yjx'^ - X = хЗ - 1 -1- 4.^x3 - 1 • Vx -I- 4х => у]х^ -1 • л/х = 0, откуда X = о или х = 1. Проверкой убеждаемся, что х = 0 — посторонний корень. Ответ: {1}. ® Впрочем, иногда нахождение ООУ даёт единственный ключ к задаче или существенно облегчает решение. Пример 68. Рассмотрим уравнение -Jx^ - х + V2- х- х^ = л[х - 1. □ ООУ состоит из двух чисел: {0; 1}. Проверкой убеждаемся, что корнем уравнения является только значение х = 1. Ответ: {1}. ® Вывод: универсальных рекомендаций и рецептов, вообще говоря, нет. Например, нахождение ООУ, как правило, не нужно, но может оказаться полезным. Иногда удобнее пользоваться равносильными системами, иногда удобнее использовать следствия и проверку. 2. Возведение уравнения в нечётную степень Возведение уравнения в нечётную степень есть равносильное преобразование: fix) = g(x) <=> (/(хр+ 1 = (g’(x))2* + ’. Однако есть свои особенности, позволяющие упростить техническую сторону задачи. Имеет смысл обратить на них внимание. Пример 69. Решим уравнение л/б + х + ^4- х = 3. □ Возведём обе части уравнения в куб, воспользовавшись формулой (а + Ь)^ = + ЗаЬ(а + Ь). Получим равносильное уравнение 3561 Г лава XIII. Уравнения и неравенства 9 + 3 ^(5 + л:)(4 - х)(^5 + х + ^4 - л:) = 27. Мы воспользовались несколько непривычной формой записи куба суммы, чтобы стало заметным существенное упрощение: если х является корнем уравнения, то ^л/5 + л: + д: = 3 по условию задачи. Однако при этом становится необходимой проверка! Такая подстановка приводит к уравнению-следствию, причём обратного следствия нет! Итак, ___________ _______________________ 9 + 9 ^(5 + д:)(4 — х) = 27 => у20 - х - = 2 => =>20-д:-л:2 = 8=>л:2 + д£г-12 = 0=>дг=3 или х = -4. Проверка показывает, что оба корня подходят. Ответ: {-4; 3}. В Пример 70. Решим уравнение Их + 3 + Иб- х = -V4. □ Возведя обе части уравнения в куб, получим 8 + 3 ^/(х + ЗН5^ ■ (^хТз + ^5^) = -4. Если X — корень уравнения, то Их + 3 + ИЪ- х = -V4. Тогда 3 И(х + 3)(5-х) • (-Vi) = -12 « И^(х + 3)(д: - 5) = -4 => => 4(л: + 3)(дг - 5) = -64 =>л-2-2д:+1 = 0=>д:=1. Но проверка показывает, что х = 1 не является корнем уравнения! Ответ: 0. ® Однако проверку не всегда легко осуществить (например, если полученные корни содержат громоздкие выражения с радикалами). Тогда можно воспользоваться следующим соображением: при способе решения, продемонстрированном в предыдущих примерах, происходит замена уравнения вида А + В = С на уравнение вида + ЗАВС = С^. По- скольку АЗ + БЗ_ сз + 3аБС = - (а + б - С)((а - Bf + (Б + С)3 + (А + Cf) 2 (проверьте это самостоятельно), то АЗ + БЗ + ЗАБС = СЗ « А + Б = С, А = В = -С. Таким образом, если при выполнении равенства АЗ + БЗ + ЗАВС = не выполняется равенство А = В = -С, то выполняется равенство А + В = С. Тем самым проверку полученного корня можно осуществлять не подстановкой в исходное уравнение, а проверкой невыполнения равенства А = Б = -С. Пример 71. Решим уравнение Их+ 1 + Их - 1 = у[Ьх. □ Возведя обе части уравнения в куб, получим 2х + 3 ^(х + 1)(х — 1)(Их + 1 + Их — l) = 5х. 357 § 84. Иррациональные уравнения и системы Если X — корень уравнения, то + 1 + ^х - 1 = ^/Ех. Тогда X = ^х^ - 1 • ^/Кх => х^ - 5х(х^ - 1) => Ах^ - 5х = О => х{Ах^ - 5) = 0. Из последнего уравнения х = 0 или х = ± Первый корень л: = 0 проверяется легко, а вот с подстановкой двух других возникают проблемы. Тогда просто убедимся, что эти числа не являются корнями уравнений Мх -Ь 1 — ^х — 1 = —%!Ъх или л:+1 = д: — 1 = -5х, что очевид- но. Ответ ^ -#= !}• и 3. Замена переменной Введение новой переменной встречается постоянно среди методов решения задач любого типа. Рассмотрим лишь некоторые характерные для иррациональных уравнений случаи замен. Воспринимайте все разобранные варианты замен не как рецепты для заучивания, а как намёки, которыми можно воспользоваться в сходных ситуациях*. Пример 72. Решим уравнение ху/З — х - 5д: = 1 -I- V3 — х. □ Введём замену t = V3 - х; тогда t > 0 (вместе с введением новой переменной полезно описывать некоторые её очевидные свойства) и x = 3-t^ (старая переменная должна оказаться выраженной через 0- Получим (3 - - 5(3 - = 1 + t, откуда - 5t^ - -ь 16 = 0. Среди делите- лей числа 16 находим корень уравнения t = 2 и раскладываем левую часть на множители: (t - 2)(^^ - - 8) = 0. Таким образом, все корни , 3 + V41, .. этого уравнения = 2, =-----------, Ц = —--. С учетом ограничения ^ ^ о остаются только ti = 2 и fg = 19 + Зл/41 3 + Vil Отсюда находим х. = -1 и X, = — Ш Пример 73. Решим уравнение 6х^ -I- 7xVl + х = 24(1 + х). □ Если, как в предыдущем примере, ввести новую переменную t = л/l + X, где t > о, то окажется, что через неё неудобно выразить х. Тем не менее посмотрим, что получилось: 6х^ -I- 7tx - 24t^ = 0 — уравнение, однородное относительно х и t. Решаем его стандартным образом (делим на t^, предварительно убедившись, что f = 0 не доставля- * Здесь уместно напомнить высказывание замечательного математика и автора прекрасной трилогии по математике для школьников Д. Пойа: «Метод — это приём, которым вы воспользовались дважды». Глава XIII. Уравнения и неравенства 3 8 3 I--- ет решения) и получаем х= - t или х= -~t. Теперь х= -у11 + х или 8 I--- 2 3 2 X = --л/1 + л:. Возводя в квадрат обе части первого уравнения, получим Xi = 3, Х2 = Проверка показывает, что JCg = “7 — посторонний ко- ^ ^8 рень. Аналогично поступаем со вторым уравнением: х^ = х^ = 8, но ЛГ4 = 8 — посторонний корень. Ответ: |з; ® Пример 74. Решим уравнение МЗ + х -I- iJS - х = 2. □ Обозначим Ms + X = и, MS - х = и. Тогда -! ^ ^ при условии = 16 U ^ О, v> 0. Получилась симметрическая система. Используя симметрические многочлены Oj = и у, Og = uv, получим [ Oi = 2, 2, J Oj = 2, 16 - 16ag + 2al = 16 <^2 8O0 = 0. и + V = 2, которая не имеет решении. [Oi - 4ofo2 + 2а| = 16 Отсюда Og = 8 или Og = 0. Для Og = 8 имеем систему . i/О у Случай Og = о доставляет пару решений и = 2, у = 0 или и = 0, у = 2. Соответственно jc = 8 или х = -8. Ответ: {-8; 8}. SI Пример 75. Решим уравнение -^х + 2л[х - 1 + yjx - 2-Jx - 1 = 2. □ Введём замену t=Mx-l, где t > 0, тогда х = + 1. Получим yjt^ -f-1 + 2f -I- + \- 2t = 2, откуда -l- - 1)^ = 2, a значит, If-l- ll-i-U- 1| = 2. Учитывая, что можно записать: <-(-l-(-|f-l| = 2. Решением этого уравнения является отрезок [0; 1]. Таким образом, Мх — \ С 1, откуда о ^ л: - 1 ^ 1. Ответ: х е [1; 2]. S! Пример 76. Решим уравнение Мх-1 -ь Мх + 3 + 2М(х - 1)(л: -I- 3) = 4 - 2х. □ Приведём различные способы решения.____ СПОСОБ 1. Введём замену Мх-1 = и, Мх + 3 = у. Отсюда (обратите внимание, не из уравнения!) = 2х + 2 и правая часть уравнения записывается в виде 4 - 2jc = 6 — — у^. Уравнение приобретёт вид U -I- у -I- 2uv = 6 - — у2, тогда (и -1- у)^ + (ы + у) - 6 = 0. Обозначим U -f у = г, получим уравнение z^-bz-6 = 0c корнями =-3, 2g = 2. Корень Zj = -3 является посторонним, поскольку z = и -I- у ^ 0. Значит, Мх-1 + Мх + 3 = 2. Решаем последнее уравнение стандартным способом (уединение радикала и возведение в квадрат). После проверки остаётся единственный корень л: = 1. Ответ: {!}. 359! § 84. Иррациональные уравнения и системы СПОСОБ 2. В процессе решения первым способом было получено соотношение г = и + v = 2. Далее, для явного нахождения и или v можно воспользоваться системой (и + V = 2, I _ ц2 _ ив второе (и + V = 2, (и = О, < - откуда < „ [V - и = 2, [у = 2. (второе уравнение следу- ет из определения и и у). Разделив второе уравнение на первое, получаем систему-следствие -j о откуда Дальнейшее решение очевидно. СПОСОБ 3. При анализе первого решения можно было заметить более содержательную замену г = у/х- 1 + у/х + 3 (фактически мы к ней и так пришли, но в два этапа). Значит, этот путь естественно сократить. Действительно, в этом случае 2^ = 2х -1- 2 -I- 2у/(х - 1)(л: -f- 3), и уравнение сразу приводится к виду + г — 6 = 0. Дальше всё, как в решении первым способом. Это весьма распространённый ход в уравнениях, содержащих конструкцию вида и + v + -Juv. СПОСОБ 4. Наиболее рациональным в данном случае будет решение, связанное со свойствами выражений, составляющих это уравнение. Областью определения уравнения служит отрезок [1; 2]. На этом отрезке подкоренное выражение (jc - l)(jc -I- 3) является возрастающей функцией, а значит, и всё слагаемое -^(х - 1) (х 3) тоже. Таким образом, левая часть уравнения возрастает на ООУ как сумма трёх возрастающих функций yjx - 1, -Jx + 3 и у1(х — 1)(д: + 3), а правая часть уравнения 4 - 2л: строго убывает. Значит, уравнение заведомо имеет не более одного корня. Таковым оказывается л: = 1. 1Э Заметим, что последнее решение выглядит очень компактно и привлекательно, но нам помогает то, что корень «хороший». В противном случае, даже зная, что корень только один, мы не смогли бы его угадать. Хотя такой предварительный анализ уравнения полезен в принципе, а некоторые уравнения решаются исключительно этим способом. Об этом следующий пункт. 4. Оценка количества корней. Применение свойств функций Применение соображений монотонности Пример 77. Решим уравнение ЩТх- 6 + V5X + 17 = 5. □ Возведение в куб в данном случае — громоздкая вычислительная процедура, в то время как сразу видно, что левая часть уравнения 360j Глава XIII. Уравнения и неравенства есть строго возрастающая функция (как сумма двух возрастающих функций), а правая — константа. Таким образом, уравнение имеет не более одного корня, который можно угадать: д: = 2. И Пример 78. Решим уравнение (jc - 4){х- 6) {^х - 2 + -\/3 - д:) = 3(2х - 5). □ Избавиться от радикалов в данном случае затруднительно. Найдём ООУ: х е [2; 3]. Умножим обе части на выражение ■yjx-2 - -yjs- X (предварительно убедившись, что корень этого выражения не является корнем исходного уравнения). Получим х^ - 10х + 24.= 3 (yjx — 2 — л/З - х). На отрезке [2; 3] правая часть уравнения является возрастающей, а левая — убывающей функцией. Значит, уравнение имеет не более одного корня. Им оказывается х = 3. II Применение ограниченности функций Пример 79. Решим уравнение -Jx^ - 4х + 5 + ^2х^ - 8х-I-17 = 4. □ Применим соображения ограниченности. Действительно, первое подкоренное выражение х^ - 4х -1- 5 = (х - 2)^ + 1 > 1, стало быть, и д/х^ - 4х -н 5 ^ 1. Аналогично со вторым слагаемым: 2х^ - 8х ■+• 17 > 9 и yj2x^ - 8х + 17 > 3. Таким образом, правая часть уравнения не меньше 4, а знак равенства возможен только в случае одновременного вы- 4х-1-5= 1, полнения условии Гх^ - 4 12x2- 8X-I-17 = 9. Получаем ответ: х = 2. й Заметим, что этот подход здесь не единственный, и вполне можно было сделать замену t = х^ - 4х. Полезными могут оказаться и такие приёмы, как умножение на сопряжённое выражение, и другие приёмы, подсказанные самой структурой уравнения. Пример 80. Решим уравнение -Jx^ -f- 5х -i- 3 - yjx^ -l- Зх + 2 = 2x + l. □ Умножив на выражение, сопряжённое левой части (не обращающееся в нуль на ООУ), получим уравнение 2х -и 1 = (2х -I-1) (7x2 + 5д: + 3 + + Зх + 2) => => (2х + 1) (7x2 4- 5лс + 3 + 7x2 +Sx + 2 - l) = 0. Один корень очевиден: х = -—, второй найдём из уравнения 2 7x2 5jc + 3 + 7x2 + Sx + 2 = 1. Это уравнение можно решить стандартно, а можно сложить с исходным уравнением -Jx^ -и 5х -I- 3 - -^х^ + Зх + 2 = 3611 §84. Иррациональные уравнения и системы = 2л: + 1, что даст нам как следствие + 5jc + 3 = л: + 1. Решив последнее уравнение и не забыв про проверку, мы получим л: = Ответ: О _ 1. _2| 2’ 3J ■ II 5. Системы иррациональных уравнений Поскольку среди преобразований систем иррациональных уравнений чаще всего встречается операция возведения в квадрат обеих частей уравнения, мы не останавливаемся подробно на этом вопросе, ограничившись напоминанием. f/j^2 _ 3l/^ — JC 1 у у у > х-у = \. □ Возведя первое уравнение системы в квадрат, получим следствие из исходной системы: I д/л:2 -ь Аху - Зу^ = л: -I-1, \х^+4^ху- [л:-г/=1 1'Т=1/ + 1 - 3i/2 = л:^ + 2л: + 1, 14л:у - Зг/2 - 2л: - 1 = О, |Ау^ + Ау [д:=1/-1-1 [л:=1/-(-1 -31/2-21/-2-1 = 0, I у2 + 2у - 3 = о, X = у + \. Отсюда I ^ или у _ f’ Проверка (она обязательна) показывает, что пара (-2; -3) не является решением. Ответ: {(2; 1)]. ® При решении последнего примера можно было воспользоваться равносильными преобразованиями, если при возведении первого уравнения в квадрат добавить условие л: + 1 ^ 0 (тогда проверка, конечно, не нужна!), т. е. jc2 + Аху - 3j/2 = л:2 -t- 2л: -I-1, х = у + 1, х + \> Q. А можно было не переписывать систему, а сразу, воспользовавшись подстановкой х = у + 1, получить вместо первого уравнения иррациональное уравнение с одной переменной, решить его, а потом вернуться к системе. нениях и перепишем систему в виде и возведем J"naBa XIII. Уравнения и неравенства \ л/х + у[у = 3, Пример 82. Решим систему \ ------ -------- [■^х + 5 + у]у + 3 = 5. □ Подстановка громоздка, поэтому сразу уединим радикалы в урав- '^^x = 3 - •Jx + 5 = 5- у1у + 3 оба уравнения системы в квадрат: \х = у-е^ + 9, \х = у-6^ + 9, |д: + 5 = 25 — 10-^у + 3 + у + 3 — у — Ю-^у + 3 + 23. Отсюда получаем у - 6-Jy +9=у - Ю^у + 3 + 23 => 5-^Jy + 3 = 3-Jy + 7. После возведения в квадрат это уравнение приобретает вид 25у + 75 = 9у + 42д/у + 49 => 8г/ - 21-Jy + 13 = 0. Решая это уравнение относительно .Jy, находим у[у = 1 или yfy = О 169 Таким образом, w = 1 или у =-. Возвращаясь к системе (точнее, под- 64 становке х = у — 6-Jy + 9), находим соответствующие значения х. У нас получилось две пары чисел, которые теперь необходимо проверить подстановкой в исходную систему, так как решение представляет собой цепочку следствий. Проверкой убеждаемся, что обе пары являются решениями системы. Ответ: |(4; 1); ® Среди систем иррациональных уравнений также встречаются сводящиеся (обычно посредством удачной замены) к однородным и симметрическим системам. _ „ \yl5 - X = 2у - 6, Пример 83. Решим систему уравнении \ f- \2х= А-^у. □ Введём замену: у/5- х = и, -Jy = v (заметим сразу, что таким образом и> о и v> 0). Тогда х = 5 - и^, у = v^. Система приобретает вид = 2у2 - б, 2ц2 - 6. Теперь симметрия налицо, и можно воспользоваться стандартными приёмами. Вычитая из первого уравнения второе, получим и - V = 2у2 _ 2ц2 => (ц - v)(2u + 2у + 1) = 0. Учитывая, что в силу условия W ^ о, v> о второй множитель в нуль не обращается, получаем ' и = V, UV/XTX Ы- XX f» л. VX f-K [u = 2y2 _ б, 110 - 2u2 = 4- y^|o = и = V и соответственно систему V = 2ц2 - б. 363! §85. Иррациональные неравенства Тогда 2ц2 - U - б = О, отсюда (с учётом того, что ы ^ 0) ц = 2. f U = 2, Таким образом, s _ Возвращаясь к старым переменным, имеем I У — \^|5-x = 2, l^|y^2 <=> Где = 1, Ь = 4. Ответ: {(1; 4)}. В) Qes. Иррациональные неравенства в большинстве случаев решение неравенств может быть сведено к решению уравнений, поскольку в нашем распоряжении имеется метод интервалов. С помощью метода интервалов решение любого неравенства сводится к нахождению области определения неравенства (которая ничем не отличается от области определения уравнения!), корней уравнения, расстановке их на области определения неравенства (далее ООН) и выборе соответствующих промежутков. Тем не менее рассмотрим некоторые очевидные утверждения, помогающие избавиться от иррациональности. Как и в случае уравнений, их применение оправдано при работе с несложными неравенствами и в задачах с параметрами. |ё'(дс) > о, 1Ал:)>(^(д:))2, Гё'(дс) < о, [fix) > 0; f(x)< ig(x))^, fix) > о, g-(j:) > 0; |/(л:) > Six), [^(дг) ^ 0. Замечания. 1) Понятно, что в первом случае при gix) < 0 неравенство выполнено везде на ООН, которая задаётся условием fix) 0. Если же gix) > о, то можно смело возводить в квадрат. Первое условие равносильности может быть записано в более про- |^(Д1:) < о, \fix)> о, (в самом деле, среди решений Jix)> (ё‘(л:))2 неравенства fix) > igix)Y могут содержаться те дс, при которых §'(д[:) < 0, но эти значения х, очевидно, являются решениями первой системы, так что удаление условия ^'(л:) ^ 0 не может породить «лишних» решений). 1) ^fix) > gix) <=> 2) ^Jfix) < gix) <=> 3) yjfix) > yjgix) <= CTOM виде: л]fix) > gix) <=> "лава XIII. Уравн^ия и неравв|утва 2) Понятно, что при g(.x) ^ О второе неравенство не имеет решений, а условие f{x)> О нужно потому, что два других неравенства не обеспечивают автоматического попадания их решений в ООН. Пример 84. Решим неравенство Зл/б + х - х^ > 4х — 2. □ Неравенство равносильно совокупности двух систем: : 4л: - 2 < О, (если правая часть отрицательна, то Q + X — х^ > О, неравенство верно для всех х из ООН) ’4х-2> О, ^9(6 + л: — х^) > {4х - 2)2. Решим первую систему: <=> 1 < 2» [4л:- 2< О, [G + x-x^>0 [(S - х)(х + 2) > О Решим вторую систему: |4дг - 2 > О, [9(6 -I- л: - лг2) > (4х - 2) <=> <=> 1 1л: < 2» -2 < л: < 3 <=> л: G 11- <=> ■ 2)2 х2-х-2<0 1 Л 2 <=> X G -1 < X < 2 .2 ) х> 2 <=> (х-2)(л:-)-1)<0 Объединяем полученные результаты в ответ: х е [-2; 2). Й1 Пример 85. Решим неравенство Зл/б + л: - л:^ < 4л:- 2. □ Исходное неравенство равносильно системе 9(6 -f л: - л:2) < (4л: - 2)^, 6 + X - х^ > О, 4х - 2 > 0. Преобразовав неравенства системы, получим л:2 - X - 2 > О, (3-х)(х + 2)>0, ^ 1 X > X G (-оо; -1) и (2; -Юо), -2 ^х^З, ^ ^ е (2; 3]. X > Ответ: (2; 3]. HI Пример 86. Решим неравенство Vl + л: — х® > Vl — х® . □ Vl + X - X® > Vl - хЗ ^ ^ ^ ’ <=> <=> X е (0; 1]. [1 - х^ ^ о [х^ ^ 1 Ответ: (0; 1]. 11 365! § 85. Иррациональные неравенства Если бы мы стали искать ООН в последнем примере и начали с решения неравенства 1 + х - л:® > О, решение бы вызвало затруднения. Другое дело, что можно было решить систему (l + x—x^> О, [1-х^> О, которая. собственно, и задаёт ООН. Но приведённое решение явно самое короткое и очевидное. Такое решение явно выигрывает в сравнении с применением метода интервалов. Опять возникает вопрос, что лучше: равносильные системы или метод интервалов? Метод интервалов — это главный подход. Иногда его использование осложняется техническими (вычислительными) сложностями. Поэтому в простейших неравенствах или в неравенствах, где нахождение области определения затруднено (и порой в неравенствах с параметрами), имеет смысл не забывать о равносильных системах. Всё же, как правило, даже в несложных задачах стремление непременно использовать равносильные системы ведёт к ненужным техническим усложнениям, в которых легко запутаться. Сравним два способа решения на следующем примере. Пример 87. Решим неравенство Vx + 3 < -Jx - 1 + -Jx - 2. I--I------7 I----ix + 3<2x-3+ 2Jx- 1 • Jx - 2, Jx + 3 О, но оно выполняется автоматически, если это выражение определено, а это обеспечивается наличием множителей Jx-1 и Jx - 2 в первом неравенстве. Зато если мы захотим их перемножить, нам придётся накладывать дополнительное условие, чтобы сохранить ООН: х-(-3<2х-3 + 2д/(х- 1)(х- 2), X -I- 3 ^ О, 2yjx^ - Зх +2 > 6 - X, X - 1 ^ О, [х - 2 ^ 0. X- 2^ о Первое неравенство равносильно совокупности двух систем. Решим его отдельно. СПОСОБ 1. 2jx^-3x + 2 > 6 - X <=> f б - X < о, |(х- 1)(х-(4(х^ - Зх [ 6 - X ^ 0. 2)^ о, - Зх 2) > (6 - х)2. В первой системе ответ х е (6; -1-оо). Во второй — объединение двух (рис. 13.22). промежутков -2.J^j U 6 Глава XIII. Уравнения и неравенства •Л неравенство х выполняется Рис. 13.23 Рис. 13.22 Рис. 13.24 Таким образом, вся совокупность равносильна следующей: * < -ф 2^<*<в, +00 М8 J [ \3' X > 6 Возвращаясь к исходной системе и учитывая условие х - 2 ^ О, получаем ответ: (2,!^; +оо СПОСОБ 2. ООН исходного неравенства [2; +оо). Решим соответствующее уравнение у/х + 3 = у/х- 1 + у/х - 2. Его единственный корень (не забудьте про проверку!) х = 2^. Таким образом, вся область определения оказывается разбита на два промежутка (рис. 13.23). Выбираем контрольные точки в каждом из них и проверяем выполнение неравенства. При этом в левом промежутке можно в качестве контрольной точки взять X = 2 (легче подставлять). Ответ: ■4 -1-00 Последнее решение можно было оформить ещё и следующим образом. Рассмотрим функцию f(x) = у/х + 3 - -Jx - 1 - у/х - 2. Её область определения D(f) = [2; -Юо). Найдём корни функции f(x), решив уравнение у/х + 3 - у/х - 1 - у1х- 2 = О. Единственный корень ^’4 Теперь на D(f) расставим знаки функ- ции и выберем множество точек, где значения функции отрицательны (рис. 13.24). S1 3671 § 86. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами Q86. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами Пример 88. Найдём, при каких значениях параметра а уравнение ■Jx + a = X имеет два корня. (В задачах, связанных с определением количества корней, равные корни считаем, как правило, за один.) □ СПОСОБ 1 (аналитический). Перейдём к системе {х + а = х^, х> О, рав- носильной исходному уравнению. Квадратное уравнение х^ - х — а = О имеет два различных корня при D = 1 -I- 4а > О, т. е. а > —. Система 4 будет иметь два решения, если при этом меньший корень (а значит. оба) неотрицателен: 1 а > 4 |i-vr^,0 Из второго неравенства Jl + 4а ^ 1, откуда ^ а ^ 0. С учётом ^ 4 1 ^ п первого неравенства ответ: — < а < 0. 4 СПОСОБ 2 (графический, в плоскости (д:; у)). Построим в плоскости (л:; у) прямую у = х и семейство кривых у = -Jx + а (рис. 13.25). Все кривые получаются из графика функции у = -Jx сдвигом на -а единиц вдоль оси Ох. Нам нужно определить те значения параметра, при которых прямая пересекает кривую ровно в двух точках. При а = 0 решений два. Очевидно, если мы будем сдвигать кривую влево (т. е. при а > 0), решение будет только одно. Теперь двигаем кривую вправо. Найдём, при каком а прямая у = х касается кривой g(x) = -Jx + а. ig(x) = x, \^х + а = X, Это будет при \ ^ ' 1, е. при si , [g- (х) = 1, , = 1. Отсюда 4х + а = X, 1 « 1 ^ “ 2’ “ 4‘ 2у[х -ь а Из рисунка 13.25 видно, что при дальнейшем движении вправо а < —7 корней не будет вовсе. В итоге уравнение имеет ровно два ' 1 корня при — < а ^ 0. 4 3681 Глава XIII. Уравнения и неравенства Заметим, что точку касания можно найти немного иначе (например, найти, при каких значениях а прямая х = у является касательной к графику функции х= у^-а при у > 0; можно сделать, используя условие равенства нулю дискриминанта уравнения у^ - а = у). СПОСОБ 3 (графический, в плоскости (л:; а)). Снова запишем систе- \ X (X ^ му, равносильную исходному уравнению: ^ „ ’но перепишем её в виде — х^ - X, ja — х^ [л: > 0. В таком виде ясно, что система задаёт просто часть параболы. Проводим горизонтальные прямые вида а = const. Количество точек пересечения такой прямой с кривой (рис. 13.26) равно количеству корней уравнения при данном значении параметра а. Ответ: --<а< 0. 1Я 4 Последнее решение, наверное, оставляет самое приятное впечатление. Жаль только, что не ко всем задачам такие методы удобно применять. Иногда строить график уравнения — слишком сложная и не оправдывающая затраченных усилий задача. Тогда нужно искать другие методы. Но начинать всегда стоит именно с графических методов; это позволяет увидеть задачу «в целом». Пример 89. Решим уравнение -Jx + а = х. □ Воспользуемся уже построенным в примере 88 графиком уравнения. Выразим X через а на ветках параболы стандартным образом. На левой ветви (слева от оси симметрии параболы, задаваемой уравнением 1 ^ 2 X = 1 - VI + 4а , а на правой х = l + Vl+4a . Ответ можно «прочи- тать» по рисунку 13.27. 369! § 86. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами Ответ: если а < , то решений нет; 4 1 1 если а = —, то л: = -; 4 2 1 4 если — < а О, то JC =-----------или х = _ 1 - Vl + 4а 2 1 + VI + 4а 2 если 1 + JT+~4a а > О, то л: = -^-----. IS Пример 90. Решим неравенство yjx + а > х. □ Построим область определения неравенства. Она задаётся условием д; + а > О или а -X. Теперь решим уравнение -Jx + а = jc и построим его график. I----- (х + а = х^, \а = х^-х, у1х + а = X \ \ [л: > О \х> 0. Часть параболы, задаваемая последней системой, разбивает ООН на две области, в одной из которых неравенство выполняется (на рис. 13.28 закрашена), а в другой нет. (Выбор областей был проведён с помощью контрольных точек.) Осталось записать ответ. Для этого выражаем на каждой ветке параболы х через а, решив для этого уравнение - лс - а = О относительно х. Теперь ответ читается по рисунку 13.28. Ответ: если а < --i, то решений нет; 1 1 если а = —, то JC = -; 4 2 если — < а ^ О, то JC е 4 1 - Vl + 4а _ 1 + Vl + 4а если а > О, то х е -а; 1 + Vl 4а . 13 13-Пратусевич, И кл. Глава XIII. Уравнения и неравшн^ства Q37. Показательные уравнения и неравенства 1. Показательные уравнения Простейшим из показательных уравнений является уравнение а* = Ь, где а > О, а 5* 1. Если Ь ^ О, то это уравнение не имеет решений. При Ь > О уравнение имеет единственное решение, которое мы назвали логарифмом Ъ по основанию а и обозначили х = log^ Ь. Далее мы будем рассматривать уравнения вида В осно- ве решения таких уравнений лежит утверждение. Утверждение . . -i — — ...... “I Если а>0, 1, то уравнение а'*** = а®’** равносильно уравне- нию f{x) = д(х). Это утверждение, очевидно, следует из свойств показательной функции (а именно из её строгой монотонности на JR). Назовём это утверждение основной теоремой о показательных уравнениях. г2. Пример 91. Решим уравнение 5 + дг _ = 51- □ По основной теореме о показательных уравнениях это уравнение равносильно уравнению х^- + х = 1 - х^, откуда jc = -1 или х = Ответ IS Уравнения вида /(а-^) = О или = О решаются с помощью замены t = а^ (или соответственно t = Полезно сразу заметить, что f > О (это сокращает запись решения). Решая уравнение f(t) = О, мы находим его положительные корни fj. и приходим к совокуп- ности уравнении а* = t 1» откуда а* = t fc» дг = log„fi, .........* • 9 X = log„ t^. Пример 92. Решим уравнение 2^^*^ + 3 • 2-' - 1 = 0. □ Введём замену t = 2*, где t > 0, тогда 2^* + 2 = 4. (2^)2 = 4^2 Получим квадратное уравнение 4t^ -f- 3< - 1 = 0, откуда ^ = -1 или t = -. По- 4 скольку # > о, нам подходит t = —. Вернёмся к исходной переменной: 4 2* = — <=> 2* = 2"^ <=> л: = -2. Ответ: {-2}. 1В Рассмотрим примеры более сложных показательных уравнений, решаемых с помощью замены. 3711 §87. Показательные уравнения и неравенства Пример 93. Решим уравнение = 3. □ Показатели степени в этом уравнении связаны основным тригонометрическим тождеством: sin^jc + cos^x = 1. Если положить сое^дс = у, то sin^jc = 1-1/. Мы получим уравнение + 2^ ~ = 3, где -1 ^ у ^ 1. 2 Переписав уравнение в виде 2*^ -t- — = 3, заметим, что теперь имеет 2 смысл использовать замену t = 2у. Уравнение приобретёт вид t + - = 3. Откуда найдём f = 1 или t = 2. Перейдём к уравнениям 2*^ = 1 и З*' = 2, откуда у = О или у = 1. Возвращаясь к переменной х, получим два уравнения: cos^jc = О и сов^дг = 1, решая которые приходим к ответу: 1^, nezj. а Пример 94. Решим уравнение ^-^9- 4л/5 {^9 -I- 4-У5 )* = 18. □ Заметим, что (9 - 4-\/5) (9 + 4>/5) = 1. Тогда (д/9 + 4л/б)* Введём замену t = (Jd + 4-У5 Получим уравнение “ + ^ = 18* решая которое мы найдём f = 9 + 4у[5 или t = 9 - 4-JE. В первом случае, возвращаясь к старой переменной, получим (^9 + 4-^5)*= 9 -I- 4у[б, откуда дс = 2. Во втором случае (^9 -ь 4л/б ) * = 9 - 4л/б, или (■j9 + 4Sy= откуда дс = -2. Ответ: {-2; 2}. а С заменами специального вида мы встречаемся также в случае однородного показательного уравнения. Пример 95. Решим уравнение 4^ - 2 • 6^ = 3 • 9*. □ Перепишем уравнение в виде (2^)^ - 2 • 2* • 3^ - 3 • (3*)^ = 0. Мы получили уравнение, однородное относительно переменных и = 2' и V = 3*. Как и обычно, основной приём — деление на старшую степень одной из переменных. Получим квадратное уравнение - 2t - 3 = 9 от- носительно переменной t = — V Отсюда f = -1 или t = 3, но поскольку ^ > 0, то f = 3. Возвращаясь 2 к старой переменной, получим = 3 » дс= log2 3. Ответ 3 :{log|3}. а 13* 372| Глава XIII. Уравнения и неравенства Конечно, не всегда такой вид замены сразу бросается в глаза! Например, в уравнении 3^*^ + бх-9 ^ + зх-5 — 3.52*2 + вл:-9 g,j.Q заметно не сразу, тем не менее это уравнение является однородным относительно и = 3** + зж-5 и о = 5^^ + sx-b Проверьте это и доведите решение до конца самостоятельно. О Уделим особое внимание уравнениям вида Посколь- ку два положительных числа равны тогда и только тогда, когда равны их логарифмы (по произвольному основанию), мы можем прологарифмировать обе части и получить равносильное уравнение, например, вида fix) • Ina = ^(д:) • Infe, откуда f(x) = g(x) ■ log„fe. К этому же результату приводит такое рассуждение: общее решение уравнения = В имеет вид f(x) = log^B, В данном случае в качестве В фигурирует В = Пример 96. Решим уравнение _ 21. □ Уравнение приводится к виду 3*■^. Это уравнение равно- сильно следующему: д:^ - 1 = (дс - 1) ■ log7 3 <=> (дг - 1) (д: -t-1 - logj 3) = О <=> д: = 1, д: = logy 3-1. Ответ l0g7-k Ш Встречаются показательные уравнения, решение которых связано с использованием свойств функций (чаще всего монотонности и ограниченности). Пример 97. Решим уравнение 3* + 4* = 5*. □ Поделив обе части уравнения на 4*, получим уравнение -1-1 ■й1‘ в левой части которого стоит убывающая функция, а в правой — возрастающая. Значит, уравнение имеет не более одного корня. Проверка показывает, что д: = 2 корень этого уравнения. Ответ: {2}. IS Пример 98. Решим уравнение ^ = (лЯв)*. □ Заметим, что это уравнение очень напоминает уравнение из примера 94, но это сходство кажущееся, и методы решения различны. Поделив обе части уравнения на (^9 + 4л/5 получим уравнение Число 9-4V5 9-4^5 9 + 4л/б -1-1 = 18 9 +4л/5 меньше 1, а это означает, что функция 9 + 4л/5 убывает, и вместе с ней вся левая часть уравнения является убываю- 9-4V5V 9 + 4л/5 j 3731 § 87. Показательные уравнения и неравенства щей функцией, В правой части уравнения стоит возрастающая функ-^ 18 ( 18 1 ция ------— поскольку--------> 1 . Значит, уравнение имеет не V9 + 4V5J I, 9+4л/5 ) более одного корня. Этот единственный корень легко угадывается: X = 2. Ответ: {2}. S Пример 99. Решим уравнение 2^^ + 2~^^ = 1 + cosx. 2 1 Выражение в левой части уравнения 2* + можно представить в виде ^ где t > 1, а t + ^ > 2 для t > 0. Таким образом, левая часть не меньше 2. В то же время правая часть не больше 2 (поскольку совд: <1, то 1 + cos л: ^ 2). Равенство возможно только в том случае, когда обе части уравнения равны 2. В левой части это значение достигается только при л: = 0. Проверкой убеждаемся в том, что правая часть тоже равна 2 при л: = 0. Ответ: {0}. ® 2. Показательные неравенства При решении показательных неравенств используется утверждение. Утверждение — 1 Если а> 1, то неравенство а^‘**>а®‘** равносильно неравенству f{x)>g{x); если 0<а< 1, то неравенство равносильно неравен- ству f{x) 1 показательная функция у = а строго возрастает на R (а вместе с ней и обратная к ней функция), а при о < а < 1 показательная функция у = а^ строго убывает на R. Оговорим отдельно вопрос о том, как записывать обоснование перехода от неравенства для показательных функций к неравенству для показателей в случае решения неравенств вида (Это обос- нование есть необходимая часть в решении показательного неравенства!) Например, что нужно писать при решении неравенства 5^*^ + ^ > 5? Нужно понимать, что в основной теореме речь идёт о монотонности внешней функции а', которая зависит только от того, что а > 1 или о < а < 1 (в данном случае это функция у = 50. Поэтому краткая запись выглядит следующим образом: 52*2 + X 5, 5 2х^ -t- д: > 1 <=> (2л: - 1)(д; -f-1) > 0 <=> л: е (-оо; -1) U -(-оо j. глава XIII. Уравнения и неравенства Пример 100. Решим неравенство 2^* + ^ + 3 • 2*^ - 1 > 0. □ Введём замену t = 2*, где ^ > 0, тогда 2^* + 2 _ 4 . ^2*)2 = 4f2_ Получим квадратичное неравенство -I- — 1 > О, откуда t е (-оо; -1) и С учётом того что f > О, получаем f > -. 4 Возвращаясь к старой переменной, получим 2^ > 2 в силу возрастания функции I/ = 2* получаем х > -2 (что можно записать так: 2* > 2“2 ^ л: > -2). Ответ: (-2; -1-оо), И Пример 101. Решим неравенство лс • 2* > 8. □ При X < О неравенство не выполняется. Пусть х > 0. Перепишем g неравенство в виде 2* > —. На луче (0; -Юо) функция «/ = 2* строго воз- 8 8 растает, а функция У = — строго убывает. Значит, уравнение 2* = — имеет единственный корень, который легко угадывается: х = 2. А при g X > 2 выполняется неравенство 2* > 4 > —. Ответ: (2; -(-оо). S1 Рассмотрим примеры показательных уравнений и неравенств с параметром. Пример 102. Решим неравенство + ^ - 8а • 3^ > 0. □ Введём замену f = 3^, f > 0, тогда неравенство можно переписать в виде (а + t)(a — 9^) > 0. Построим график уравнения (а + t) (а - 9t) = 0 и образ неравенства (а-I-- 90 > 0 в плоскости (х; а) (рис. 13.29). Получим, «I ; / a—9t то что если а > о, то i € ^0; ^ j; если а = 0, решений нет; если а < 0, то f е (0; -а). Вернёмся к переменной х: при а > 0 имеем 3"^ < - ^ X < log, -. Аналогично 9 ^9 3*t при а < о имеем 3^ < -а <=> х < logg(-a). a=-t Рис. 13.29 Ответ: если а > 0, то х е |^-оо; logg -J; если а = о, то решений нет; если а < о, то X G (-оо; logg (-а)). Н 3751 §88. Логарифмические уравнения и неравенства Пример 103. Выясним, при каких значениях параметра а уравнение 5 • 25* - (5а + 2) • 10* + 2а • 4* = 0 имеет единственное решение. □ Введём замену t f > о, получим - (5а + 2) t + 2а = 0. Таким образом, достаточно выяснить, при каких значениях параметра а уравнение 5t^ - (5а + 2) t + 2а = 0 имеет ровно один положительный корень. Это происходит, если произведение корней уравнения • <2 < о или один корень равен нулю, а второй положителен (t^ = 0, ^2 > 0) или, наконец, оба корня совпадают и положительны. В первом случае согласно теореме Виета имеем — < 0 а < 0. Во втором слу- 5 чае а = о |^при этом один корень = 0, а второй ^2 = g J* Наконец, корни совпадают при условии Л = 0. В этом уравнении Z) = (5а-1-2)2 - 40а = 2 = (5а - 2)2, значит, D = 0 при а = —. Проверкой убеждаемся, что при 5 этом t ~ Ответ; а е (-оо; 0] U 5 {!}■ т QBB. Логарифмические уравнения и неравенства 1. Логарифмические уравнения Логарифмическим уравнением мы называем уравнение, содержащее неизвестное (переменную) под знаком логарифма. Простейшее из таких уравнений — это log^ х = Ь, где а>0, аф1. Его решением является х = а*. В 10 классе была сформулирована теорема: если логарифмы по одному и тому же основанию от двух чисел равны, то сами числа равны. Изменив формулировку, мы получим утверждение, которое назовём основной теоремой о логарифмических уравнениях. Утверждение .........■■■■■.— Если а > о, a?t 1, то уравнение logaf(x) = logag(x) равносильно системе ^{х) = д(х), f(x) > о, д(х) > 0. Понятно, что на самом деле в системе одно из неравенств является лишним (оно следует из второго неравенства и уравнения), и можно использовать любую из систем: J /(х:) = Six), \f(x)= g(x), U(x)>0 1^(л:)>0. Глава XIII. Уравнения и неравенства jc) = 1 + log3(2x - 1). Пример 104. Решим уравнение loga(2x + 1) + log3(3 2л: + 1 > о, □ Определим ООУ: ■ 3 - л: > О, 2л; - 1 > 0. Эту систему несложно решить, но мы этого не делаем принципиально (поскольку иногда решение системы неравенств может оказаться сложной задачей, а проверить для любого конкретного числа выполнение этих неравенств обычно несложно). Пользуясь тем, что 1 = loga3, и складывая логарифмы в обеих частях уравнения, получаем logз((2л: -I- 1)(3 - л:)) = logз(6л: - 3). Отсюда (2jc 1)(3 - х) = 6л- - 3 => 2х^ -I- х - 6 = 0 X = - или X = -2. 2 Проверка: ^ = g является решением уравнения (входит в ООУ), а X = —2 не является решением (не входит в ООУ). Ответ ш Заметим, что с использованием цепочки равносильных преобразований решение этой задачи могло быть записано следующим образом: □ logg(2x -ь 1) log3(3 - х) = 1 logg(2x -!)<=> [ (2х -I-1) (3 - х) = (6х - 3), I logg ((2х + [2х-(-1 > о 2х^ -I- X — 6 = о. -f-1)(3 - х)) = logg (6х - 3), 2х + 1 > о, 6х - 3 > о <=> <=> 1 X > 2 <=> X = -. ® 2 Такая запись ничем не лучше приведённого выше решения, а при решении более сложных уравнений может оказаться просто неудобной. При решении последнего примера мы воспользовались тем, что 1 = logg3. Обратим внимание на то, что любое число можно представить в виде логарифма с произвольным основанием. Действительно, для любого числа Ь и положительного числа а Ф 1 имеют место равенства 1 = log„ а и Ь = logo а**. Например: как записать число 3 в виде логарифма по основанию 2? Ответ: 3 = logg 2® = logg 8. В частности, нуль можно записать как логарифм единицы по любому основанию: 0 = log„ 1, где а > 0, а Ф 1. X 3 Пример 105. Решим уравнение Ig((х — 1)(х + 3))-I-Ig-= 0. X - 1 □ Здесь нерационально «разбирать уравнение на слагаемые», пользуясь формулами логарифма произведения и частного. Воспользуемся формулой суммы логарифмов. 377i § 88. Логарифмические уравнения и неравенства Получим lg(ar + 3)2 = О, откуда (дс + 3)2 = 1 => д: = -2 или х = -4. Учитывая ООУ: {х - 1)(дс + 3) > О, получим, что только jc = -4 будет корнем исходного уравнения. Ответ: {-4}. SI Рассмотрим важный приём, который также имеет «подводные камни»: переход к новому основанию логарифма. Пример 106. Решим уравнение log2;c+1 ^ + □ На первый взгляд естественным представляется поменять местами основание и аргумент логарифма в данном уравнении (т. е. перейти к логарифмам по основанию дс). Получим------------------------. Ре- logJ2x+l) log^Jc2+l) шая это уравнение, найдём его единственный корень дг = 2. Но исходное уравнение, очевидно, имеет ещё корень jc = 1. При переходе к новому основанию мы потеряли этот корень за счёт сужения области определения: во втором уравнении дс 1. Применение формулы log„,_, f(x) = ^ «слева направо» мо- ' logф(,,)g(дг) жет привести к потере корней, при которых ф(л:) < О или ф(дс) = 1 за счёт того, что правая и левая части в формуле определены на разных множествах. Использование формулы «справа налево» может привести к появлению посторонних корней по этой же причине. В этой ситуации есть выход: переход к логарифму по любому фиксированному основанию есть равносильное преобразование! Если в нашей задаче перейти, например, к логарифмам по основанию 2 или к натуральным логарифмам, то корень не потеряется. Действительно, , , In д: In лг log2:.+ lJ: = log^^j <=> 1пдс 1 In (2 д: + 1) In (х^ + 1) 1 1п(2дс + 1) 1п(д[:^-(- 1) = 0. Отсюда получится, что jc = 1 или дс = 2. Ответ: {1; 2}. 11 в Лучше всегда работать с логарифмами по фиксированному основанию. Пример 107. Решим уравнение log3JC= 41ogg^ дс. □ Перейдём в правой части уравнения к логарифмам по основанию 3. log| д: = 41og^ д: <=> log| х = log| х = ^ log3(9x^) l + loggX 2t Теперь очевидной становится замена t = loggX. Получим ^ ^ ^. Отсюда t = О, или t = 1, или t = -2. Возвращаясь к старой переменной I г лава Xllj. Уравнения и неравенс jBg и решая совокупность уравнении ка здесь не требуется) lOgg X = О, logg д: = 1, получим ответ (провер-logg л: = -2, Ш Однако встречаются ситуации, где переход к фиксированному основанию создаёт технические сложности и не позволяет увидеть подходящую замену. В этом случае преобразования следует производить, тщательно отслеживая изменение области определения на каждом шаге, чтобы не потерять и не приобрести корни. Пример 108. Решим уравнение logi _ 2jt(6jc2 - 5jc 1) - logi _дд.(4д:2 - 4x + 1) = 2. □ Раскладывая выражения под знаком логарифма на множители, получаем logj _ 2а;((2л: - 1)(3лс- 1)) - logj _д^(2лс - 1)^ = 2. А теперь за- 1 - 2jc> О, метим, что ООУ задаётся условиями: 1-2хф1, 1 - 3jc > О, 1 - 3JC 1. Нам это важно по двум причинам: зная знаки этих выражений, мы сможем аккуратно применить формулы логарифмирования; кроме 1 X К, — того, мы сразу же получаем ООУ: З’ д: 0. Следствием исходного уравнения является уравнение logi_2x|2x - 1| -)-logi_2;cl3x - 1| -21og,_3^|2x-1| =2. Снимая модули и учитывая ООУ, получим 12jc - 11 = 1 - 2х, | Зд: - 11 = = 1 - Здг, и соответственно 1 -I- logj _ 2*(1 - Зд:) - 2 log^ _ g,.(l - 2д:) = 2. 2 Введём замену t = logj _ 2i(l - Зд:). Получим уравнение 1 + t - j = 2, корни которого t = —1 или t = 2. Возвращаемся к старой переменной: logi _ 2дг(1 - Зд:) =-1 или logi _2jc(1 - Зд:) = 2. Решим первое уравнение logi_2jc(1 - Зд:) = -1 1 - Зд: = -— 2д’ откуда д: = о или д: = -, но оба этих значения не принадлежат ООУ, 6 т. е. корнями уравнения не являются. 3791 §88. Логарифмические уравнения и неравенства Решим второе уравнение logj _ 2*(1 - Зл:) = 2=> 1-3jc = (1- 2х)^, откуда л: = О или jc= Первое число не входит в ООУ, поэтому корнем не является. Ответ ш Обратимся к уравнениям вида ф (л:/Основной метод работы с таким уравнением уже был рассмотрен: это логарифмирование обеих частей уравнения по любому фиксированному основанию, которое покажется нам удобным в данной задаче. Будем считать, что область определения такого уравнения задаётся неравенством ф(дс) > О, поскольку речь идёт о возведении в степень с вещественным показателем. В некоторых учебных пособиях можно встретить отдельный перебор случаев, когда ф(л:) = О (в этом случае равенство будет выполнено, если только f(x) > О и g{x) > 0) или когда функция ф принимает целые отрицательные значения, а функции f и g — целые значения (подробнее по этому поводу см. с. 247, 248 учебника 10 класса). Мы не рассматриваем эти случаи и всегда считаем, что ф(дс) > 0. Пример 109. Решим уравнение = 4х. □ ООУ задаётся условием л: > 0. Обе части уравнения положительны, поэтому мы можем рассмотреть равенство логарифмов обеих частей, например, по основанию 2, т. е. loggCJC*®®^*) = (log2 4jc). Преобразовав обе части этого уравнения, получим log| х= 2 + log2 д:. Введём замену t = log2 х. Корнями уравнения = 2 + t являются числа 2 и -1. Решив уравнения log2 л: = 2 и log2 jc = -1, получим ответ 4^ Ш Замечание. Выбор основания, по которому производилось логарифмирование, был продиктован наличием в показателе степени выражения log2X. Можно логарифмировать по любому основанию, но неудачный выбор основания может привести к ненужным техническим сложностям, связанным с преобразованиями. Заметим, что приём логарифмирования имеет более широкую сферу применения. Весьма часто им приходится пользоваться для сравнения двух чисел или двух выражений, представленных в виде сложных степеней: вместо самих чисел сравнивают их логарифмы. Например, в уравнении + д:'®* = 20 нет никакого смысла логарифмировать обе части уравнения. Но идея здесь состоит в том, что слагаемые в левой части оказываются равны; чтобы доказать это, достаточно прологарифмировать их по основанию 10. После этого мы сможем переписать уравнение в виде 10'8^* = 10, которое решается без труда. Напомним об использовании свойств функций (как всегда при решении любых типов уравнений). Если решение сразу не «видно», имеет смысл воспользоваться свойствами функций, входящих в уравнение; может быть, даже попробовать изобразить их графики. Чаще всего в таких задачах используются соображения монотонности и ограниченности функций. 3801 Глава XIII. Уравнения и неравенства Пример 110. Решим уравнение log2(3 + дс) + л/дс- 1 = 2. □ ООУ задаётся условием х > 1. При этом левая часть уравнения строго возрастает на [1; +схэ) и, стало быть, принимает значение 2 не более чем в одной точке. Значение дс = 1 удовлетворяет уравнению. Ответ: {1}. ® Пример 111. Решим уравнение log|(3 + д:) + -Jx- 1 = 2. □ Левая часть уравнения строго возрастает на [1; +с>о), и уравнение имеет не более одного корня, А вот как его подобрать, если это вообще возможно? Оценим наименьшее значение функции в левой части уравнения. Оно достигается при дс = 1 и равно 4, Тогда для всех дс е [1; -f-oo) левая часть уравнения не меньше 4, и уравнение корней не имеет. Ответ: 0. ® 2. Логарифмические неравенства При решении логарифмических неравенств используется следующее основное утверждение. Утверждение ' ........... ■ i ...| Если а > 1, то неравенство logaf(x) > logag(x) равносильно сис- ff(x) > g(x), теме < , ' ^ \д{х) > 0; если 0<а<1, то неравенство lopg> lOQa9М равносильно \f(x) < д(х), системе-^, ; ' \f(x)>0. Это утверждение мы назовём основной теоремой о логарифмических неравенствах. Оно следует из того, что при а > 1 логарифмическая функция y-\og^x строго возрастает на открытом луче (0; -юо) (а вместе с ней и обратная к ней функция), а при 0 < а < 1 функция у = logo дс строго убывает на (0; -(-оо). Договоримся о формальной записи обоснования перехода от логарифмического неравенства к неравенству для функций, стоящих под знаком логарифма. Напомним, что мы используем при этом утверждение о монотонности композиции и ссылаемся на характер монотонности внешней функции. Ещё раз подчеркнём, что если функция ф строго возрастает, то из неравенства ф(а) > ф(6) следует, что а > Ь (в частности, из ф(/(дд)) > ф(^(дс)) следует / (дс) > g(A:)). Если же функция ф строго убывает, то из неравенства ф (а) > ц>(Ь) следует, что а < Ь,т. е. знак неравенства меняется на противоположный (в частности, из ф(/(дс)) > ф(^(дс)) следует / (дс) < g(x:)). Например, краткая запись части решения неравенства log2(:c^ - 2х) > log2 3 может выглядеть так: log2 IOg2 (дс^ - 2дс) > log2 3 => дс^ - 2дс > 3. 3811 §88. Логарифмические уравнения и неравенства А краткая запись части решения неравенства log i (х^ - 2х) > log i 3 может выглядеть так: , 2 г log^ log, (х^ - 2х) > log 1 3 => - 2д: < 3. 2 2 Также можно просто перейти заранее к логарифмам по основанию больше 1, если позволяет задача, тогда не придётся задумываться об изменении знака неравенства. Пример 112. Решим неравенство logg{х^ - 1) + logi (л: + 7) ^ —1. □ ООН задаётся системой I - 1 > О, |л: + 7 > О, решая которую мы получим X G (-7; -1) и (1; +оо). Далее запишем неравенство в виде logg(x2 - 1) + 1 < loggCJC + 7) <=> logs /Т <=> 10gg3(x2 - 1) ^ logg(jr + 7) => Z(x^ - 1) ^ х + 7. Решая последнее неравенство, получим, что х е [-1^ ^]- Теперь пересечём это множество с ООН (рис. 13.30). По- лучим, что ^рис. ±«5.<5U;. 110- XG -ij и (1; 2]. -7 5. -1 3 Ответ: -1 I и (1; 2]. Ш Рис. 13.30 уиг, 108, («•-*) з] logj^ (1 2 <=> <=> 2 2 - -г < 1 Пример 113. Решим неравенство slog,Iog,(.3_i) (l)'i 'og,2t ( -1 >1 log7logl|^л:2--J<0 «^00 в общем виде. Если а > 1, то функция logaД£: строго возрастает, и отсюда jc > 1. Если а < 1, то функция log„JC строго убывает, и тогда л: < 1 (на самом деле О < дс < 1). Можно сказать это иначе: выражения (а—1)и(дг-1) имеют одинаковые знаки, что, в свою очередь, можно записать в виде неравенства Глава XIII. ^^внения и неравенства log„ лг > О <=> log„ л: ^ О <=^ ■ logo fix) ^ О <=> (а - 1) (л: - 1) > О. Та же ситуация возникает при рассмотрении неравенства log„JC < О, но там выражения (а-1) и (л:-1) имеют разные знаки, что можно записать в виде неравенства (а - l)(jc - 1) < 0. О logajc и выражение (а - 1)(х— 1) имеют одинаковые знаки! Теперь, вспомнив про ООН, получим равносильную систему: [(а - l)(x- 1)> о, л: > о, а > 0. Для нестрогого неравенства нужно будет ещё не забыть условие а Ф 1: (а - l)(jc - 1) > о, а > о, а X > 0. Мы будем пользоваться этой записью в следующей форме: ia-l)if(x)-l)>0, а > о, а Ф 1, fix) > 0. Аналогично для неравенства вида logo^jc) > logag(jc) получим равносильную систему: ia-l)ifix)- gix))> о, о > о, а Ф 1, fix) > о, gix) > 0. Заметим, что все условия кроме первого неравенства задают область определения неравенства. Эти системы удобно использовать, если в неравенстве фигурируют логарифмы с переменным основанием а = <р (дс) и при решении логарифмических неравенств с параметрами. Пример 114. Решим неравенство log^.^2('*^^ — 2) > 2. □ Перепишем неравенство в виде log^. + 2(^^~2) > log^. + 2(-^ + 2)^ и перейдём к равносильной системе ix + l)ix^-2-ix + 2)^)> о, л: + 2 > о, X + 2ф1, л:2 - 2 > о, (х 2)2 > 0. log„/(x)^ log„g(x) <=> 3831 § 88. Логарифмические уравнения и неравенства Преобразуем первое неравенство к виду (JC+1)(-4л: - 6) > О и, решив его методом интервалов. а) получим X е [-1^ -4 -2 Пересече- -^/2 42 ние множеств решении оставшихся неравенств, образующих систему jc2 - 2 > О, изображённое на ри- ле + 2 > О, дг -I- 2 1, (х -I- 2)2 > О, сунке 13.31, а, есть область определения исходного неравенства. Пересекая множество решений первого неравенства с ООН (рис. 13.31, б), 3 получаем ответ: Ш Пример 115. Решим неравенство log^. +2(2л: + а) < 1. □ Неравенство можно переписать в виде log^ + 2 + а)< log,. + 2 + 2). f (лс -I- l)(jc + а - 2) < О, Оно равносильно системе s лс + 2 > О, [ 2лс -t- а > 0. Условие лг + 2 ^ 1 можно не включать в систему, так как первое неравенство строгое. Обратите внимание: на первом же шаге мы избавились от логарифмов и получили обычную алгебраическую систему с параметром. Далее строим график неравенства (лс -I- 1)(л: + а - 2) < 0 (график уравнения (лс + 1)(лс + а-2) = 0с последующим выбором областей, рис. 13.32, а). С учётом неравенств лс-1-2>0и2лс-+-а>0 получаем графический образ системы (рис. 13.32, б) и на каждой ветви выражаем лс через а. Ответ читается по рисунку 13.32, б. а) ч '' а=2-х ---^---- Рис. 13.32 msL Глава Х111.^^|^внения и не^^енства Ответ: если а < 2, то л: е (-1=2-4 (и похожие системы для если 2 ^ а < 3, то л: е (-1; 2 - а); если а = 3, то решений нет; если 3 < а < 4, то л: е (2 - а; -1); если а ^ 4, то л: е (-2; -1). 18 В заключение ещё несколько слов о неравенствах вида ф(л:)^<*'> >ф(дг)®<*). Напомним, что мы считаем здесь ф(л:) > 0. Как и в случае соответствующих уравнений, основным методом является логарифмирование обеих частей неравенства по любому фиксированному основанию (рекомендуем сразу брать основание больше 1, чтобы не менялся знак неравенства). Иногда из тех же соображений, что и для логарифмических неравенств с переменным основанием, выводят следующие соотношения: [ (Ф (х) - 1) (/ (х) - g (х)) > о, (ф(х) > о других знаков неравенства). Мы считаем излишним отдельное запоминание этих формул. Обсудим ситуацию, возникающую с неравенствами вида ф(д:)^>§(х) и ф(л:)^<=*^) < g(x). При решении неравенства ф(л:)^<*> > g{x) имеет смысл рассмотреть два случая: 1) если g(x) > о, то логарифмируем обе части неравенства по фиксированному основанию а > 1; 2) если g{x) ^ о, то неравенство выполнено везде на области определения (поскольку левая часть положительна). Рассмотрим неравенство ф(л:)^<*) < S’(л:): 1) если S'(л:) > 0, то логарифмируем обе части неравенства по фиксированному основанию а (удобно взять а > 1); 2) если g'(x) ^ о, то решений нет, поскольку в левой части неравенства стоит заведомо положительное выражение. Пример 116. Решим неравенство > х. □ ООН: дс 0. Рассмотрим два случая: 1) JC < 0. В этом случае левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна, т. е. неравенство выполнено. 2) JC > 0. Поскольку обе части неравенства положительны, можно его прологарифмировать по основанию 2, получим logg >logg х. После преобразования получим logg х^ ■ logg х^ > logg дс 4 logg х > logg х. Введём замену t = loggjc. Получим 4f^ - i > 0 => t(4t — 1) > 0, откуда f > - или f < 0. > -^, то возвращаясь к переменной х, имеем > - или 4 Если t loggJC 1 > — 4 loggjc > logg2r logj Art <=> X 1 27. 385| §88. Логарифмические уравнения и неравенства logj х1 Если f < о, то \0g2X < о <=> logoJC < log, 1 <=> О < л: < 1. х> о Объединяя все случаи, получаем ответ: (-оо; 0) U (0; 1) U (V2; +оо), ® 3. Системы логарифмических и показательных уравнений и неравенств При решении систем логарифмических и показательных уравнений и неравенств также следует постоянно помнить о том, что в процессе преобразований и применения формул может меняться множество решений. Пример 117. Решим систему уравнений |lg(л:2 +у^)= 2 - lg5, [lg(A:-i-i/) + lg(Ar-1/)= lgl2. Область определения системы задается системой двух неравенств: {х + у > о, \х - у > 0. Преобразовав уравнения исходной системы, получим: \\g{x^ +y^)=\g20, fx2 + i/2 = 20, |л:2 = 16, |lg(j£:2 - 1/2) = lgl2 ^ [x^ - 1/2 = 12 ^ [^2 _ 4_ Четыре получившиеся пары чисел (4; 2), (-4; 2), (4; -2), (-4; —2) нужно проверить на принадлежность области определения системы. Пары (4; 2) и (4; -2) удовлетворяют системе i ^ ^ ^ ^ л’ ^ Д®в другие нет. [X ^ > и, Ответ: {(4; 2); (4; -2)}. Н Пример 118. Решим систему I - 1 _ 5^ [хУ^*^ = 125. □ Из условия очевидно, что л: > 0 и д: 9^ 1. Логарифмируем оба уравнения по основанию 5, получим [(21/2-1) logs1, [(j/2 + 2) logs д: = 3. Поскольку X Ф 1, делим первое уравнение системы на второе и по-2(/2 — 1 1 лучаем ------= — => 6у^ - 3=y^+2=t>y^ = l. Отсюда сразу находим у + 2 3 logs д: = 1; JC = 5. Дальнейшее очевидно. Ответ: {(5; 1); (5; -1)}. ® agsi Глава XIII. Уравнения и неравенства Q89- Тригонометрические уравнения и неравенства в курсе 10 класса уже были рассмотрены элементарные тригонометрические уравнения (cos jc = а, sin л: = а, tgx = а, ctgx = а). Фактически решение тригонометрического уравнения в общем случае состоит в том, что оно приводится к совокупности элементарных тригонометрических уравнений. Для этого у нас имеются два основных метода — разложение на множители и замена переменной. Иногда оказывается полезным и другой взгляд на тригонометрические уравнения — как на специальный случай систем алгебраических уравнений. Действительно, если принять во внимание основное тригонометрическое тождество, то уравнение /(sin л:, cosa:) = 0 можно заменить равносильной системой fiu, V) = о, = 1, где и = cos X, V = sin х. Но чаще для решения уравнений и систем применяют тригонометрические подстановки. Поэтому в этом параграфе мы будем рассматривать «чисто тригонометрические» решения. Проведём краткий обзор основных видов тригонометрических уравнений, рассмотренных ранее. 1. Замена переменной. Разложение на множители Рассмотрим уравнения вида f(t) = 0, где t представляет собой какую-либо тригонометрическую функцию. Пример 119. Решим уравнение cos 2 л: + cos л: = 0. □ По формуле cos 2л: = 2 cos^ л: - 1 сводим уравнение к такому: 2соз2л: -I- cos л: -1 = 0. Получилось уравнение, квадратное относительно t = cos л:. Отсюда cos л: = -1 или cos л: = —. 2 Ответ: + 2пп; п -I- 2тш: п е Zj. ® Заметим, что при решении элементарных тригонометрических уравнений полезно использовать тригонометрическую окружность. Часто это позволяет упростить отбор корней или подсказывает, как записать ответ в более компактной форме. Так, изобразив обе серии решений на тригонометрической окружности (рис. 13.33), мы видим, что они объеди- 3871 § 89. Тригонометрические уравнения и неравенства к , 2nk , „ няются в одну: х= + «eZ, или, что то n(2k+ 1) , _ же самое, х =--------, к е Z. 3 Пример 120. Решим уравнение sin^ X + sin^ 2х = sin^ Зас. □ Перепишем уравнение в виде 1 - cos2jc + 2sin2 2jc = 1 - созбл:. Далее, 2 sin^ 2jc = cos 2х — cos 6л: <=> <=> 2sin2 2л: = 2 sin 4л: • sin 2л: <=> <=> sin 2л: (sin 4л" - sin 2л:) = 0 <=> <=> 2 sin 2л: • sin л: • cos3a: = 0. Последнее уравнение равносильно совокупности 'х = юг, nk ~2 sin л: = о, sin 2л: = о, откуда cos Зл: — о. X - где п, k, I Z. п п1 ^ = тг + -;г. 6 3 Если расставить эти точки на тригонометрической окружности (рис. 13.34), станет видно, что окончательный ответ можно записать п пп „ в виде двух серии: л: = — + — или х - юг, п s Z. 6 3 Ответ; I — + —; юг: пе z\. 1б 3 ’ 1 Ш Рассмотрим уравнения вида cos Дл:) = сов^(л:) (или sin Дл:) = sing■(л:), tg Дл:) = tg^(o[:)). Чтобы упростить запись, будем говорить об уравнении cos А = cos В. Конечно, можно решить его с использованием формулы разности косинусов: cos А - cos В = о <=> 2 sin А + В sin- В-А = о А + В = 2юг, В - А = 2nk, 2 2 где п, k е Z. Но к результату можно прийти иным путем. Напомним, что общее решение уравнения cos х = а выглядело так: л: = ±ф -I- 2юг, п е Z, где ф — это какое-то частное решение данного уравнения. В частности, решение уравнения cosx = cos а можно записать в виде л: = ±а -f 2юг, п е Z (поскольку л: = а, очевидно, есть одно из решений этого уравнения). Тогда условие cos А = cos В можно переписать в виде А = ±В + 2юг, п е Z, а решение уравнения cos Дл:) = со8^(л:) соответственно получается как f(x)= g(x) + 2nn. ответ следующей совокупности уравнении: f(x)=-g(x) + 2nk. где n,ksZ. Глава XIII. Уравнения и неравенства Аналогично общее решение уравнения sin х = а представляет собой Глг = ф + 2лп, • и • D „ , п, й 6 Z; условие sin А = sin В X = л - ф + 2nk, объединение двух серий равносильно тому, что п, k е Z, а решение уравнения где п, к eZ. А = В + 2пп, А - п - В + 2пк, sin/'(A:) = sing'(a!:) получается из совокупности ' f(x) = g(x) + 2nn, f(x) = п - g(x) + 2лк. Казалось бы, аналогично можно записать, что уравнение tgf(x) = = tgg(x) равносильно уравнению f(x) = g(x) + пп, п е Z, но это не так, поскольку область определения второго уравнения может оказаться шире: например, в первом уравнении должно быть выполнено условие f(x)yt^ + nn, п е Z, А а во втором это условие отсутствует. Уравнение tg/(x) = tgg’(x) равносильно системе f(x) = g(x)+ лп. f(x)p^ - + rtft. где п, к & Z. Пример 121. Решим уравнение tg3jc = tg5jc. □ Уравнение равносильно системе Зх = 5х -I- лп, 2 Из первого уравнения получаем х = —. Далее расставляем эти точки на тригонометрической окружности (рис. 13.35), на ней же выкалываем точки серии X = ^ + —, к е Z, и получаем ответ: х = лп, п € Z. ® 6 3 ________ Рис. 13.35 2. Некоторые тригонометрические замены Первая из стандартных замен — «универсальная тригонометрическая подстановка» — уже обсуждалась в 10 классе (VI глава). Соответствующие формулы используются обычно в двух вариантах: 1. Если f = tgx, то sin2x = cos2x = ^tg2x= 1 + Н 1 + f2 1-f2 X 2t 2. Если t= tg—, TO sin x =------cos x = 2 1 + f2 ’ 1 + f2 , tg X = 2t 1-f2 389| § 89. Тригонометрические уравнения и неравенства Это весьма опасная, хотя порой и удобная подстановка. Дело в том, что, во-первых, во всех этих формулах левая и правая части определены на разных множествах (например, sin 2л: определён при всех значениях X, а tgл: только при х Ф ^ + кк, к € Z), и при их применении может л Я произойти потеря корней (вида лг= —+пк, к е Z, если t= tgл:). Во-вто- рых, достаточно часто применение универсальной подстановки приводит к появлению сложных алгебраических уравнений высоких степеней. По этим причинам такой подстановки лучше избегать, но если использовать, то с максимальной осторожностью. g Пример 122. Решим уравнение tg2л:-l- sin2л: = -ctgл:. О □ Введём подстановку f = tgл• и рассмотрим два случая: 1) X = ^ + лк, к е Z. ~В этом случае tga: не существует, но уравне- и ние превращается в верное равенство! Таким образом, эта серия входит в множество решений уравнения. 2) Пусть теперь х ^ ^ + лк, к е Z. С помощью подстановки урав- - 2t 2t 8 нение преобразуется в равенство -—— + - = —, которое сводится к биквадратному уравнению 2t* -f- 3t^ -2 = 0 или (2t^ - -f 2) = 0. Отсюда t = ±-p=. yf2 Возвращаясь к переменной л:, получим: л: = iarctg -= -I- лк, к е Z. \л 1 Объединяя результаты 1) и 2), получим ответ: {—\-лк, ±arctg-I-лА:: 1 12 V2 keZ}.m Заметим, что, если бы мы выразили все функции в этом уравнении через sin л: и cosat, решение оказалось бы не более громоздким, но более безопасным. Сходная ситуация возникает и при применении некоторых формул тригонометрических преобразований (а именно тех, где в правой части стоят не всюду определённые функции тангенс или котангенс). Приведём соответствующий пример. Пример 123. Решим уравнение tg |^л: -f- j = ctgx - 1. □ Если в левой части уравнения воспользоваться формулой танген- 1+tgx , 1-1-tgx 1 , са суммы, то мы получим -—— = ctgл:- 1, т. е. ^-------= ------1. 1 - tgx 1 - tg X tg X Отсюда находим, что tgx = i => х = arctg^ -l- лп, п е Z. О О Глава XIII. Уравнения и неравенства При этом решении мы потеряли очевидный корень х = — (и, следо- 2 вательно, всю серию х = ^ + кп). На каком этапе? Очевидно, при при- А менении формулы tgfx-i- V 4J l-tg>: : в точках — + кп, п Z, левая 2 часть существует и равна -1, а правая не существует. Таким образом, применив эту формулу, мы изменили область определения уравнения, что привело к потере корней. Значит, нужно было разбирать отдельно два случая: 1) х=^^-кп, п е Z (проверка подстановкой); 2) хФ — + кп, 2 2 п е Z, когда мы действительно имеем право использовать формулу тангенса суммы. Ответ: jarctg^ + кп, -I- кп: га е z|. Ш 3 ’ 2 Часто оказывается весьма удобной замена t = sinjc -l- cos л:. Пример 124. Решим уравнение sin 2л: = cos л: + sin л:. □ Пусть t = sin л: + cos л:. Тогда = 1 + 2 sin л: • cos л: = 1 -ь sin 2л:, откуда sin 2л: = - 1. Исходное уравнение преобразуется к виду - t - 1 = О, откуда 1 + S . 1-л/5 „ --- Возвращаясь к старой переменной, решаем t = или t = два уравнения: 1) sin л:-I-cos л: = i+Vs с помощью вспомогательного аргумента пре- образуем уравнение к виду л/2 cos ~ ^ j = 1+л/б или cos X которое решений не имеет, так как > 1 (проверка обязательна). 2л/2 2) sin jc-I-cos л: =Отсюда получаем cos^л:- —1= ^ , 1^2 \ 4) 2^2 X----= iarccos------7=- + 2кп, n&Z. 4 2V2 1+V5 4j" 2л/2 ’ ельна). i-Vs Ответ 1 - л/б arccos —+ 2лга: га е Z !>. ® 2л/2 3. Применение свойств функций при решении тригонометрических уравнений Начнём с соображений ограниченности функций, наиболее часто используемых при решении тригонометрических уравнений. Первое, что следует принять во внимание, — это оценки множеств значений функций синус и косинус: Ух 6 Д -1 ^ sinor < 1 и -1 ^ cos л: ^ 1. 3911 § 89. Тригонометрические уравнения и неравенства Пример 125. Решим уравнение 2cos4л: - sin3x = 3. □ Можно, конечно, пробовать преобразовать уравнение. Но заведомо проще оценить выражение в левой части уравнения: 2cos4x^2 и -sin3x^ 1. Тогда левая часть уравнения не превосходит 3, т. е. 2 cos 4л: - sinЗл: ^ 3, причём равенство возможно только в том случае, когда одновременно соз4л:=1 и sin3jc = -l. Уравнение равносильно системе решением которой является серия — -1- 2пп, п е Z [cos 4л: = 1, [sin3AT= -1, ^ 2 (решаем уравнение по отдельности и производим отбор общих корней на тригонометрической окружности). Ответ: -I- 2лп: п е . Ш Заметим, что если в предыдущем примере вместо 4л: взять, например, бл:, а вместо Зл: взять 5л:, то получится уравнение 2 cos бдг -- sin 5л: = 3, которое затруднительно преобразовать традиционными способами! Однако приведённые соображения остаются в силе. Соображения ограниченности используются и при решении следующей задачи: Пример 126. Решим уравнение соз'^л: - з1п^л: = 1. □ Поскольку I cos л: I < 1 и | sin л: | ^ 1, получаем cos'^ х ^ cos^ л: и -зш'^л: < еш^л:. Таким образом сое'^л- - sin'^Ar ^ cos^x -I- sin^x = 1, причём равенство возможно только в случае, когда одновременно cos^ х = cos^ х и -sin'^x = sin^x, {COS^ X — COS^ X . т .о’ ре- -В1Ш х= sm^x, 7t шением которой являются две серии: х = 2лп и х=-—-l-2nfe, п, k eZ А (систему решаем, нанося точки, изображающие корни каждого из уравнений, на тригонометрическую окружность). Ответ 2лп, ----|-2лп: neZ 2 }■ Ш Пример 127. Решим уравнение cos3x • cos5x = 1. □ Уравнение равносильно совокупности двух систем: Jcos3x=l, fcos3x=-l, [cos5x=l |cos5x=-l. ___2nk [cos3x= 1, I cos 5x = 1 Рассмотрим первую из них: х = х = 3 2пп где k, п в Z. Отби- рая решения на тригонометрической окружности, получим x = 2nk, keZ. SE Глава XIII. Уравнения и неравенства Аналогично решение второй системы совЗлг = -1, cos 5л: = -1 доставляется серией X = к + 2nk, k g Z. Две полученные серии корней можно записать в виде одной. Ответ: {nk: fe е Z}. ® В следующих примерах также используется идея ограниченности, но нелегко догадаться о её использовании. Пример 128. Решим уравнение Ssinjc 4- 4 sin 5л: • cos л: - 5sinЗл:= 10. □ Заметим, что сумму За!пл: -I- 4 sin 5л: • cos л: можно рассматривать как выражение вида а sin л: + &cosл:, где а = 3 и Ь = 4 sin 5л:. Но в соответствии с методом вспомогательного аргумента а sin X + Ь cos л: = • sin (х -f- ф) < . В нашем случае 3 sin X + 4 sin 5х • cos х < -у/Э + 16sin^ 5х ^ V9 + 16 = 5. Слагаемое -5sin3x ^ 5. Таким образом, левая часть не превосходит 10, и равенство возможно, только если рассмотренные выражения одновременно равны 5. Для этого необходимо, чтобы одновременно выполнялись равенства Hsi [sir sin 5х| = 1, sin3x = -1. Это происходит при X = — + 2пп, п G Z. Кажется, мы уже получили ответ. Но это не так! В данном случае система не равносильна исходному уравнению: для того чтобы выполнялось равенство 3sinx -i- 4sin5x • cosx = 5, условие |sin5x| = 1 необходимо, но не является достаточным. При ^ ~ ^ это равенство не выполняется (таким образом, на самом деле при всех х выполнено неравенство 3sinx-и 4sin5x • cosx < 5), а стало быть, уравнение не имеет корней. Ответ: 0. ® Пример 129. Решим уравнение 4cos^x - 4cos^3x • cosx-I-cos^3x = 0. □ Сначала попробуем определить вид уравнения. Для этого введём обозначения и = cosx, u = cos3x. Получим 4и^ - 4uv^ + = 0. Сразу видно, что однородным уравнение не является. Зато можно попробовать рассмотреть это уравнение как квадратное относительно переменной и = COSX. Это уравнение имеет корни, если — ^ 0, где — = 4cos‘‘3x - 4 4 - 4cos^3x = 4 cos^ Зх (cos^ Зх — 1). Но 4cos^3x(cos2 3x - 1) ^ 0, поэтому уравнение имеет корни только при — = 0, т. е. cos Зх = 0 или cos^ Зх = 1. 4 Рассмотрим два случая. 3931 § 89. Тригонометрические уравнения и неравенства 1) Если совЗд: = О, то уравнение приобретёт вид 4cos^JC = О, т. е. J cos Зл: = О, [cos л: = О, решением которой является серия мы получим систему X = — + пп, п в Z. 2 2) Если cos^3jc=1, то уравнение приобретёт вид 4 cos^ л: - 4 cos л:+ J fcos^ 3jc = 1, + 1 = 0, откуда cos л: = Нам осталось решить систему \ i 2 COSX = I 2 Её решения записываются серией х= ±— + 2кп, п в Z. 3 Ответ: {I + лп; ±—h 2пп 3 : пв z|. II Основные приёмы работы с тригонометрическими уравнениями очень хорошо видны в сюжетах выпускных экзаменов Санкт-Петербургского математического общества. Приведём здесь один из таких сюжетов (экзаменационная работа 1991 г.) в несколько изменённом виде. Пример 130. Дана функция /(х) = cos2x + cosx - 4cos^^. а) Найдём множество значений функции f. б) Найдём количество корней уравнения /(х) = а на отрезке [0; к в) Найдём количество корней уравнения f(x) = a на отрезке |^0; ^ □ а) Поскольку cos2x = 2cos^x - 1 и cos^-^ = можно при- вести функцию к виду /(х) = 2 cos^ X — cos X - 3. Введём замену t = cos х и рассмотрим функцию g, заданную на отрезке [-1; 1]: g(t) = 2t^-t-3. Множества значений функций fug совпадают. График функции g показан на рисунке 13.36. Из рассмотрения графика очевидно, что max g(t) = g(-l) = о. (е min g{t)=g «И 1:11 - 41 8 Искомое множество значений совпадает с множеством значений E(g) = oj. Ответ: E(f)= 0 . б) Если X в [0; л], то / е [-1; 1] (i пробегает все значения от -1 до 1). Разобьём решение на два этапа: сначала выясним. Рис. 13.36 Глава XIII. Уравнен1^я и нера^нства Рис. 13.37 один корень на сколько корней имеет уравнение cos х = 1{в зависимости от /), а затем — сколько корней имеет уравнение g{t) — а (в зависимости от а). В нашем случае уравнение cos х = t имеет единственное решение при любом <е[-1; 1] (на рис. 13.37, а любая вертикальная прямая пересекает выделенную дугу ровно в одной точке). Поэтому количество корней уравнения f{x) = а на отрезке [0; л] совпадает с количеством корней уравнения g{t) = а, которое находится по рисунку 13.37, а стандартным образом (количество точек пересечения прямой у = а с графиком функции g). Ответ: если а < -3^, то корней нет; О о 1 если а = -3-, то корень один; 1 ® если -3 - < а ^ -2, то корней два; О если -2 < а ^ о, то корень один; если а > о, то корней нет. в) По сравнению с пунктом б) существенно изменилось только одно: количество решений уравнения С08л: = /. На рисунке 13.37,6 видно, что при о < f ^ 1 это уравнение имеет h f ]• при -1 < ^ < о — два корня, при t = -1 — снова один корень. Значит, при рассмотрении графика функции g(t) придётся найти не только количество корней уравнения g{t) = а, но и определить, какие это корни (нас интересует расположение этих корней относительно 0 и -1, поскольку в зависимости от этого каждому t соответствует разное количество значений л:). Видно, что при а = -3 — уравнение g(t) = а имеет один положитель- 8 ный корень, а вместе с ним и уравнение f(x) = а имеет один корень. При -3 - < а < -3 уравнение g(t) = а имеет два положительных О корня; тогда уравнение f(x) = а имеет тоже два корня. Но при а = -3 один из корней уравнения g(t) = а равен 0 (ему соответствуют два кор-ня — и уравнения cosx = 0» а второй корень положителен (ему со- А ^ ответствует один корень уравнения cosjc = t). Таким образом, при [Зк" 3951 § 89. Тригонометрические уравнения и неравенства Далее, при -3 < а ^ -2 уравнение g{t) = а имеет два корня и #2» причём -1 < < О (ему соответствуют два значения jc), а О < ^ 1 (одно значение х). При -2 < а < О уравнение §■(#) = а имеет один корень, причём -1 < f < О (два значения л:). А вот при а = О единственным корнем уравнения g(t) = а оказывается t =-1, которому соответствует единственное значение jc, а именно X = к. Ответ: если а < -3^, то корней нет; О о 1 если а = -3-, то уравнение имеет один корень; 8 если -3 — < а < -3, то уравнение имеет два корня; 8 если -3 < а < -2, то уравнение имеет три корня; если -2 < а < О, то уравнение имеет два корня; если а = О, то уравнение имеет один корень; если а > О, то корней нет. IS 4. Системы тригонометрических уравнений Решение систем тригонометрических уравнений, по сути, ничем не отличается от решения любых других систем. Обычно решение системы сводится к решению набора тригонометрических уравнений. И здесь важно понимать, что целочисленные параметры в записи каждого из решений этих уравнений должны быть разными/ Это связано с тем, что решение уравнения — множество чисел, обозначенных с помощью целочисленного параметра. Ясно, что это множество не зависит от того, какой буквой назван этот параметр. Решение системы заключается в нахождении пересечения множеств чисел. Пример 131. Решим систему уравнений sin(x- = 1, |si [сс cos (х + у) = 0. □ Из первого уравнения системы получаем х - у — — + 2nk, k е Z, а из второго X + у = — + яп, п & Z. Таким образом, исходная система л равносильна X - у = — + 2nk, где к, п е Z \ ". I. , х + у = - + пп. у = пп где к, п е Z. - пк. Последняя система может быть приведена и в качестве ответа. ® Глава XIII. Уравнения и неравенства Обратим внимание, что, если бы целочисленные параметры были 71 . Злп обозначены одинаковыми буквами, итоговая система вала бы неверный ответ (например, пара чисел |о; является решением исходной системы, но не является решением последней системы). 2 2 пп да- s. Тригонометрические неравенства. Метод интервалов на тригонометрической окружности Напомним некоторые основные принципы решения элементарных тригонометрических неравенств. Прежде всего, все элементарные неравенства вида sin Л" > а, sin л: < а, cos л: > а, cos л: < а (и соответствующие нестрогие неравенства) мы будем решать только на тригонометрической окружности. Ранее в 10 классе (VI глава, пример 8) было рассмотрено неравенство cosjc > —. В ответе мы получали объединение интервалов вида -~ + 2кк; - + 2nk 3 3 , кв Z. Не имея тригонометрической окружности пе- ред глазами и не задумываясь над смыслом решения, можно решить, что, как и для уравнения cosjc = а (с решением в виде iarccosa -f 2лА, к е Z), мы получили универсальную формулу, но это не так. Поменяем знак неравенства на противоположный и решим неравенство cos л: < -. На тригонометрической окружности (рис. 13.38) видно, что нас интересуют точки, абсциссы которых меньше -. На окружности имеются ровно две точки, абсциссы которых равны А причём одной соответствует серия аргументов вида -I- 2пк, а другой -I- 2пк, однако О о было бы грубой ошибкой записать в ответе (-1 + 2кк; — -f 2пк )■ к в Z (как мы уже виде- ли, это решение неравенства cos л: > - Дело в том, что речь идёт о двух разных дугах, на которые окружность разбивается этими точками. Чтобы получить верный результат, нужно сначала взять решение не- 3971 § 89. Тригонометрические уравнения и неравенства равенства в пределах одного периода (см. рис. 13.38), а это будет дуга 3’ Т . Выбирая дугу, полезно отметить её стрелкой в положитель- ном направлении обхода окружности: тогда станет ясно, что в качестве правой границы интервала нужно взять из серии корней -^ + 2nk не О а ^ (т. е. корень, соответствующий этой же точке, но больший на 2л, который будет следующим непосредственно за ^ решением уравне- О ния). Тогда ответ записывается в виде объединения всех таких интервалов: д 5д ^-ь 2лА;-н 2л/г |, где k е Z. Заметим, что с равным успе-О 3 хом мы можем записать его и в виде Ответ: f ^ + 2nk\ ^ -I- 2лА: |, ke. Z. —— -I-2лк; -— + 2nk I, где k е Z. 3 3 Обратите ещё внимание на то, что целый параметр п в записи ответа обязан быть одним и тем же (разными буквами пользоваться нельзя), поскольку речь идёт об интервалах фиксированной длины, повторяющихся через 2л. _______ Пример 132. Решим неравенство sin л: ^ -. 3 □ Двум точкам на тригонометрической окружности, имеющим ординату i, соответствуют серии х = arcsin^ + 2лп и д: = л - arcsin^ + 2лп, 3 3 3 п е Z, причём точке в первой четверти — первая серия, а точке во второй четверти — вторая серия. Отмечаем нужную дугу стрелкой в положительном направлении (рис. 13.39). Если в качестве левого конца отрезка взять число л — arcsin то на правом конце должно стоять число 2л -I- arcsin—. Если же в ка-3 честве правого конца отрезка . 1 взять число arcsin-, то левым концом отрезка должно служить • 1 число - л — arcsin -. В ответ запи-3 сываем объединение всех таких отрезков. iДВ^ Глава XIII. Уравнения и неравенства Ответ: л - arcsin - + 2пп; 2л + arcsin — + 2лп L 3 3 j, п € Z. а Пример 133. Решим неравенство tgx > 2. □ Неравенство можно решить на тригонометрической окружности (рис. 13.40), если кроме корней уравнения учитывать область определения тангенса, но проще воспользоваться графиком функции у = tgx (рис. 13.41). В пределах одного интервала (-1= I] решением является интер- вал I arctg 2; — |, а на всей оси в силу периодичности тангенса с перио- дом л объединение интервалов | arctg 2 + лп; — -I- лп arctg 2 + лп; — -I- лп j, п е Z. j, п е Z. Ответ: а Теперь разберём более общий подход, который можно назвать «метод интервалов на тригонометрическом круге». Пример 134. Решим неравенство cos л: • cos2x > 0. □ Найдём корни левой части. Они являются решениями совокупно- COS X = о, cos 2х = 0. сти уравнении Решением первого из этих уравнений является серия х = — + nk, k в Z; решением второго уравнения — серия дг = — -I- п в Z. 4 2 Расставим точки, соответствующие этим числам, на тригонометрической окружности. Для этого в первой серии достаточно рассмотреть 399! § 89. Тригонометрические уравнения и неравенства k — О и k = 1 (мы попадаем в одну из л Зл уже отмеченных точек — или — при 2 2 всех прочих целых к). Вторая серия окажется представленной точками, л Зл 5л соответствующими числам —, —,—, 4 4 4 —. Эти точки разбивают тригономет-4 рическую окружность на интервалы, в каждом из которых произведение cos X • cos 2х имеет постоянный знак; его можно определить так же, как и в обычном методе интервалов, при помощи контрольной точки, взятой внутри интервала. Осталось выбрать интервалы положительного знака и выписать ответ (рис. 13.42). Но можно и упростить процесс определения знаков выражения на интервале. Заметим, что при переходе через каждую точку (если двигаться по окружности в положительном направлении) меняется знак ровно одного из двух множителей, а значит, и знак произведения. Тогда достаточно определить знак в каком-либо интервале, а дальше знаки будут чередоваться (там, где знак произведения положителен, кривая рисуется вне круга, а там, где произведение отрицательно, — внутри круга). После этого выберем те участки, которые соответствуют нашему неравенству (в данном случае интервалы положительного знака, где кривая находится вне круга), и отметим их стрелками в положительном направлении (это позволит нам не забыть, что мы двигаемся от меньшего числа к большему, и не включить случайно в ответ несущест- вующий интервал положении точек он может Г 7л л ( п п' [“Г’ 1} [ 7’ 7 шах одного круг ( л лУ./'л ЗлУ.^Зл выглядеть так: -J и — J U ; Запишем ответ в пределах одного круга. С учётом замечания о рас- Зл ~2 В силу периодичности вместе с каждым интервалом (а; Ь) мы включаем в ответ все интервалы вида (а + 2пк; Ь + 2пк). Тогда запишем ответ: и| |-1-2лй; ^-1-2л/г|и| —-l-2rtfe; ^+2пк], keZ.m -— + 2nk; — + 2nk 4 4 ; (^ + 2кк;^-{4 2 О Во всех скобках стоит один и тот же параметр к (используется обязательно одна и та же буква, а не разные!). Теперь покажем, что следует делать в случае, если главный период функции оказывается равным не 2л, а, например, произвольному числу 4001 Г лава XIII. Уравнения и неравенства Т > 0. Во-первых, можно просто взять отрезок длиной Т (например, отрезок [0; Т]) на числовой прямой, решить неравенство на этом отрезке, а затем прибавить ко всем числам в полученных интервалах Тп, п € Z. А во-вторых, можно использовать удобную замену, как в следующем примере. Пример 135. Решим неравенство cos — • cos > 0. □ Функция в левой части неравенства периодична с периодом Т=12ж. Используем замену t = тогда неравенство приобретёт вид 6 cos3f ■ cos2f > о, и мы можем решить его стандартным способом. Из сово- COS = о, купности уравнений cos 2t = о полу- чаем t = п пп 4”*' пк Т’ п, k е Z. Расставляем соответствующие точки на тригонометрической окружности в пределах одного круга (рис. 13.43). При t = о левая часть положительна, и далее, при обходе окружности в положительном направлении, знак меняется в каждой из отмеченных точек. Тогда t е ---I-2nk; ^ + 2пЛ и (--I-2жк\ - + 2nk] U ( — -ь2жк; — -I-2пк] U 6 6 ;14 2 6 ) ] ^ 2лй; ^ + 2л/еj, — + 2пк; — + 2кк 6 4 к е Z. Умножением на 6 получаем интервалы для значений х. Ответ: 9л ( Зл (-Л + \2жк\ л -bl2nfe)U —+ 12лй; Зл -\-\2nk U -—+ 12лй; 5л +12пк U и 7л -н12лй; ^^- + \2пк I U 9л + \2пк\ -f- 12лА: к sz.m в приведённых примерах решения уравнений давали на окружности несовпадающие точки, и знак левой части менялся в каждой из таких точек. В общем случае это не так. Можно, конечно, как мы уже говорили, выяснять знак левой части в каждом из получившихся интервалов, вычисляя значения в контрольных точках на каждом интервале, но это достаточно трудно, особенно при большом количестве интервалов. 401j_§ 89. Тригонометрические уравнения и неравенства Поэтому лучше всего смотреть, корнем какого именно множителя является соответствующее данной точке число и меняет ли этот множитель знак при переходе через эту точку (например, 2л является корнем функции cos л: - 1, однако при переходе через соответствующую точку знак этой функции не меняется). В соответствии с числом перемен знака множителей в данной точке можно сделать вывод об изменении или сохранении знака всего произведения. Всё сказанное выше в равной степени относится и к точкам разрыва функции, стоящей в левой части неравенства. Очень важно выявить все точки разрыва функции f. Некоторые из них могут оказаться «спрятанными»: например, если в неравенстве присутствует tgj; гг как часть какого-то выражения, то серия х = — + пп, п е Z, участвует В определении знака функции f наравне со всеми прочими. Пример 136. Решим неравенство sin 3jc • (tg X - -Уз) ^ 0. □ Определим точки, в которых левая часть неравенства равна 0 или sin Зх - о, tg л: = л/з, (послед- не существует: х^ - + к1. няя серия в совокупности — значения, при которых tg X не определён). пп Т’ Получим X = X = —h nk, п, k, I е Z. 3 х = - + nl. При расстановке точек, соответствующих этим значениям, на три- л 4л гонометрическои окружности оказывается, что точки — и — встреча- 3 3 ются в двух сериях, каждый множитель меняет в этих точках знак, таким образом, знак выражения sin Зл: • (tg л: - л/з) в этих точках меняться не будет. Остальное видно на рисунке 13.44. Ответ: + 2лп| U -I- 2лп; ^ + 2пп U л -I- 2лп; ^ -I- 2лnj U и 1^^ -I- 2лп; 2л -I- 2лnj, п е Z. Ш 14“Пратусевич, 11 кл. ТпяваХШ. Уравнения и неравенства Вот более сложный пример решения тригонометрического неравенства. _ „ соз2лг + 3cos ж + 2 „ Пример 137. Решим неравенство----------------------^ 0. (sin X - 1)з1п(д: + 3) □ Преобразовав числитель и разложив его на множители, перепи- (2cos JC + l)(cosx + 1) шем неравенство в виде ^ 0. (sin X - l)sin(jc + 3) Заметим, что в числителе есть множитель, который обращается в нуль, но не меняет своего знака: cos х+1>0 для всех х. В знаменателе схожая картина, только здесь множитель неположителен: sin д: — К 0 для всех X. В связи с этим неравенство удобнее (2cosx + l)(cosa: + 1) переписать в виде (1 - sin д:) sin (jc + 3) Найдём корни числителя: < 0. cos X =----, 2 cos JC = -1 , 2n . г, X = ±— + 2юг, „ 3 ne Z X = n + 2nn, (при переходе через точку jc = л -i- 2лп, п е Z, знак дроби не меняется!). [sin JC = 1, sin (jc -I- 3) = о „ „ I ------ л: = — -h 2лп, „ Найдем корни знаменателя: | , оч _ п ^ 2 п е Z. X = -S+ пп. Расставляя соответствующие точки в пределах одного круга (поскольку период дроби равен 2л) и применяя метод интервалов (рис. 13.45), получаем результат: jc е о л 1,, ( л 2л л - 3; — и —; — 2 J 12 3 и {л} и I 2л - 3; ^ . (Заме- тим, что здесь появилась одна выколотая точка и одна изолированная.) Ответ: л - 3 -I- 2лп; — -I- 2лп 2 и ^ -I- 2лп; — + 2лп 2 3 и {л -1- 2лл} и 4л 2л - 3 + 2лп; — -I- 2лп 3 п е z.m Как известно, ответ в тригонометрическом уравнении может быть записан по-разному, в зависимости от способа решения. Это может создать определённые сложности при решении неравенств на тригонометрической окружности: иногда практически невозможно догадаться, что два разных числовых выражения являются разными формами записи одного и того же числа (являющегося, например, одновременно корнем числителя и знаменателя, как в примере ниже). 403| § 89. Тригонометрические уравнения и неравенства Пример 138. Решим неравенство 3 sin 2х + 4eos 2х + 3 sin X + Л > 0. □ Найдём корни числителя. Если воспользоваться методом вспомогательного аргумента (что кажется наиболее естественным в данном слу- чае), мы получим 3 sin 2л: + 4 cos 2л: = -3 51 - sin 2л: + ^ cos 2х 5 о => sin(2л: + <р) = где ф = arctg ^ 5 3 или, например, arcsin-|. Далее, 2л: + ф = -arcsin - -I- 2лп, 5 3 2л: + ф = л -I- arcsin — -f- 2кк, 5 1 .31 ^ 4 , л: = — arcsin-arctg — + пп, 2 5 2 3 л 1 .31^4. л: = — + — arcsin-arctg — + л«, 22 52^3 где п, k S Z где п, k е Z. Найдём корни знаменателя: sinx=-^ А л: = — + 2лп, 4 л: = — -f- 2кк, 4 где п, к е Z. Выясним, где именно по отношению к корням знаменателя располагаются корни числителя. Оказывается, число является 4 корнем и числителя, и знаменателя! Но увидеть непосредственно, что одна из серий корней числителя как раз и содержит все числа вида ТС ----h лп, п е Z, трудно. Для этого представим корни числителя в более 4 простом виде. тт л , 1 . 3 1 . 4 Например, число — + - arcsin - - - arctg - лежит в интервале А ^ э А «5 (0; л). В этом интервале число однозначно определяется, например, своим тангенсом. Поэтому рассмотрим тангенс этого числа: ^|Л,1 .31 ,4) ^(1 .31 .4, ^S\ 7^ + 2 s^'csin g ~ 2 о I = “Ctg I - arcsin 7 - - arctg - | = 1+ tgl [|.rcs.n|j.tg[|arctei) tg[iarctg|J - tg[iarcain|J 14* 404| Глава XIII. Уравнения и неравенства „ , . а 1 - cos а По формуле tg — =--------- 2 sin а получим tg 1 . 3 — arcsin — 2 5 1 - cos arcsin ■t) sin . 3 arcsin — 5 tg 1 * 4 jarctg- 1 - COS sin I arctg-3 1-i 5 3 5 1-3 ___5 4 5 1 3 1 2 (как вычислять выражения вида cos |^arctg -j, подробно разбиралось в § 37 учебника 10 класса). Таким образом, получаем ^ . (п , 1 .3 1 ,4'1 ^'*’з’2 „ tg 1^- + J arcsm - - - arctg - J = = 7. 2 3 Итак, одна из серий корней числителя имеет вид х - arctg 7 + пп, п е Z. Аналогичные вычисления для первой серии корней числителя дают тангенс, равный -1, откуда уже легко догадаться, что сам корень равен - — + л/г, п е Z. 4 Кстати, нахождение именно тангенса выражения, а не его косинуса мотивировано тем, что применение формул суммы приведёт к необходимости нахождения функций половинного аргумента, а формулы для тангенса половинного аргумента наиболее просты. Кроме того, если при решении соответствующего уравнения запи-,43 сать ф не как arctg—, а как arccos-, то один из полученных корней числителя окажется равным 1.31 3 — arcsin — - arccos -2 5 2 5 = 4^ arcsin - -f arccos - -1 5 j 4’ поскольку сумма арксинуса и арккосинуса одного аргумента равна — (см. пример 44 § 37 учебника 10 класса). Попробуем другой подход к нахождению корней числителя, а именно сведём соответствующее уравнение к однородному: 3 sin 2х + 4 cos 2д: = -3 => => 6 sin X • cos X + 4 cos^ х - 4 sin^ х + 3 (sin^ х -н cos^ дг) = 0 =» =» sin^ X - 6 sin X • cos x - 7 cos^ jc = 0; очевидно, совд: = 0 решения не доставляет; переходим к уравнению - 6t - 7 - о, где t = tgx. 405! § 89. Тригонометрические уравнения и неравенства Отсюда igx= -1, tgx=7 ^ X = — + кп, 4 д: = arctg 7 + nk. где п, k е Z. Вот теперь действительно легко расставить точки на тригонометрическом круге и воспользоваться методом интервалов (рис. 13.46). Ответ: | - — + 2пп; arctg 7 + 2лп и — + 2лп; — + 2кп I и 4 4 7л л + arctg 7 -I- 2лп; — + 2пп I, п е Z.M 6. Отбор решений в тригонометрических уравнениях и неравенствах Как и в других уравнениях, при решении тригонометрических уравнений возникает проблема отбора корней (например, в уравнениях, содержащих дроби с переменной в знаменателе, или в смешанных уравнениях, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала или логарифма). Пример 139. Решим уравнение совЗд: cos (t-) = 0. Уравнение равносильно системе cos 3jc = о. cos Решая первое уравнение системы, на- ХОДИМ Зд:=—I-7гп<=> д:= , neZ. Из 2 6 3 5тс второго уравнения х^----1- nk, keZ. Поскольку левая часть исходного 6 уравнения имеет период 2л, можно провести отбор решений в пределах одного обхода тригонометрической окружности. Глава XIII. Уравнения и неравенства Расставляя точки первой серии на окружности и исключая из них точки второй серии (рис. 13.47), получаем ответ в виде объединения двух серий jc= — + 7шид:= — + nk, п, k е Z. 2 6 Ответ: + пп, ^ + izk: п, k е Z}. Ш Замечание. Ответ можно записать также в виде |л:= -^ + ^: n^3fe + 2, /5gz|. Порой отбор на окружности (вообще говоря, наиболее надёжный и предпочтительный способ) оказывается громоздким, и тогда легче свести его к решению линейных уравнений в целых числах, как это будет показано в следующем примере. Зх Пример 140. Решим уравнение cos2х + cos—= 2. 4 Зх □ Поскольку cos 2х ^ 1 и cos — ^1, равенство возможно, только если 4 cos 2х = 1, Зх , cos— = 1. 4 Теперь достаточно взять те решения первого уравнения системы, которые одновременно являются корнями второго. 3 JC Проблема состоит в том, что период функции cos — (а вместе с ней 4 и всей левой части исходного уравнения) равен 4л, а значит, отобрать корни в пределах одного круга не получится. Эту ситуацию можно обойти, введя замену t = — (тогда мы будем иметь дело с системой 4 оба слагаемых в левой части одновременно равны 1, т. е. I cosSt = 1, в которой период левой части равен 2л; мы уже пользова- [cos 3^ = 1, лись этим приёмом при решении неравенств, см. пример 135). Но гораздо проще в данном случае выглядит алгебраическое решение. X = nk, 8пп где k, п е Z. Найдём общие Т"’ Решив систему, получим 8кп X — элементы двух серий: nk = 3k = 8 л. Поскольку числа 3 и 8 вза- имно просты, k должно быть кратно 8, т. е. k = 81, где I е Z. При таких k корни верхней серии удовлетворяют второму уравнению. Окончательно имеем X = 8л/, I е Z. Заметим, что тот же результат мы получим, если, учитывая, что л • 3, подставим в нижнюю строку л = Зт, т е Z.M 4071 § 89. Тригонометрические уравнения и неравенства к равносильной системе * Рассмотрим несколько более сложный пример того же типа, обращая особое внимание именно на алгебраическое решение уравнений в целых числах в процессе отбора корней. Пример 141. Решим уравнение —-----------—. sin X sin 2х sin 4л: □ Приведя обе части уравнения к общему знаменателю, переходим sin 2х • sin 4х - sin х • sin 4л: = sin х ■ sin 2х, sin X ^ о, sin 2х ^ о, sin4Af Ф 0. Понятно, что из трёх неравенств достаточно оставить sin 4л: Ф 0, поскольку все корни уравнений sin л: = 0 и sin 2д: = 0 содержатся среди корней уравнения sin 4л: = 0. Таким образом, достаточно решить первое уравнение системы и выкинуть из множества его решений корни, удовлетворяющие условию sin4л: = 0. Решим уравнение: sin 2л ■ sin 4л - sin л • sin 4л = sin л • sin 2л <=> <=> sin 2л • sin 4л = sin л (sin 2л + sin 4л) <=> <=> sin 2л • sin 4л = sin л • 2 sin Зл • cos л «■ sin 2л • sin 4л = sin 2л • sin Зл <=> <=> sin 2л (sin 4л - sin Зл) = 0. Поскольку одно из условий системы sin 2л Ф 0, достаточно решить уравнение sin 4л = sin Зл. л = 2лп, Пук ^ Z sin 4л = sinЗл <=> 4л = Зл -I- 2лл, 4л = 71 - Зл -I- 2пк X = 71 (2ft +1) n,keZ. Очевидно, первая серия не является решением системы. Сложнее разобраться со второй. Можно расставить все точки этой серии на ок- Tzk ружности, вычеркнуть из них все точки вида — и записать ответ: 4 + 2пп; ±— + 2пп; ±— + 2пп: пе Z 7 7 }■ Решим в целых числах уравнение где ft, п е Z. Получаем целочисленное уравнение А можно поступить иначе. 7t (2п + 1) _ 7^ 7 ~ 4 Отсюда 7ft = 8п-f-4. Поскольку правая часть уравнения 7 4 кратна 4, то и левая должна делиться на 4, а поскольку числа 7 и 4 взаимно просты, то ft должно быть кратно 4, т. е. к = 41, I е Z. Подставив это значение в уравнение и разделив обе части на 4, получим 71 = 2п + 1. В правой части этого уравнения стоит нечётное число, а значит, I тоже должно быть нечётно: I = 2т + 1, т е Z. Отсюда 14т + 7 = 2п-1-1<=>2п = 14т + 6 <=> п = 7т +3, т е Z. адй. Глава XIII. Уравнения и неравенства ^ л (2« +1) _ Тогда ответ записывается в виде х =-------------, где п е Z, п Ф 7т + 3, m 6 Z. (Заметим также, что последнее условие можно записать в виде п ^ 3 (mod 7).) 11 ------ Перейдём к смешанным уравнениям, в которых возникают ограничения в виде неравенств. Пример 142. Решим уравнение ^/2^1п2л + 2sinjc = 0. □ Уединим радикал: ^/2sin2x = -2зшд:, а затем перейдём к равно- сильной системе {2 sin 2х = 4 sin^ х, sin JC < 0. Решая первое уравнение системы, получим 4 sin X • cos X = 4 sin^ х <=> sin л: = о. <=> sino:(sinxr — cosjc) = 0 <=> tgx = 1. Отбирая корни на окружности (рис. 13.48) (корни первого уравнения заведомо удовлетворяют условию sinjc^O), получим ответ: + 2лп: п € zk 1! / 5л |лп; — Пример 143. Решим уравнение logg cos2jt: +-^ j-I-logi l^sinjc + cos-^j = 0. □ Перепишем уравнение в виде X logg cos 2х + cos- j = loga j^si sm X + cos — 2 что, в свою очередь, равносильно системе cos 2х + cos — = sin X + cos 2 2 sin X + cos — > 0. 2 Решая первое уравнение системы, получим cos 2х = sin х <=>1-2 sin^ X = sin д: <=> sinA: = -1, sinjc = —. 2 Откуда л: =-----h 2лп, 2 л: = — -f- 2nk, п, k, I е Z. 6 д: = — + 2л/, 6 4091 § 89. Тригонометрические уравнения и неравенства Теперь решим неравенство sin х + cos > 0. Чтобы воспользовать- X . ся методом интервалов на окружности, введем замену — = tm рассмот- рим неравенство sin 2t + cos t > 0 (теперь левая часть имеет период 2л). Решим неравенство cos t (2 sin f + 1) > 0 стандартным образом на окружности (рис. 13.49). Получим t е + 2пп; ^ + 2лп j U -I- 2лп; ^ + 2лп j, neZ. Чтобы произвести отбор корней в пределах одного периода, разумно переписать множество решений первого уравнения в виде t - + пп, 4 t - -^ + nk, п, k, I е Z. ^ 5л , t =---У ш, 12 Отбор корней на тригонометрической окружности показан на рисунке 13.50. Таким образом, после отбора остаются серии t=----1-2лп, 12 f = —+nk, 12 n,k&Z. Воз- вращаясь к переменной х, получаем ответ: ■! — -I- 4лп; — + 2лп: п е Z к И (6 6 J Глава XIII. Уравнения и неравенства Отметим, что, поскольку отбираемые корни имеют достаточно простой вид, можно было производить отбор, непосредственно под- X ставляя их в условие sinjc cos — > 0. Вот ещё один пример, связанный с отбором корней. В этом примере условие, накладываемое на область определения, не является «чисто тригонометрическим». Пример 144. Решите неравенство logg^_(cos2jc - sinJc) ^ 0. (2x-x^ - l)(cos 2jc-i- sinjc-1)^ 0, □ Неравенство равносильно системе ООН задаётся условиями: cos 2х -ь sin X > о, 2х- х^ > о, 2х - х^ 1. cos 2х + sin д: > о, 2х- х^ > о, 2х- х^ ^ 1. Решив неравенство 2х - д:^ > 0, получим д: 6 (0; 2). Из последней строки х ^ 1. Решим неравенство cos2дс-I- sinдс> 0. Получим 1 - 2sin^x + sinx > о <=> <=> (2sinx 1)(1 - sinx) > 0. Учитывая, что второй множитель неотрицателен, т. е. 1 - sinA; ^ 0 для всех д;, заменяем неравенство системой sinx > sin дг Ф 1. Решение системы изображено на рисунке 13.51. Но с учётом того что д: е (0; 2), вполне можно было ограничиться и решением на числовой прямой. Окончательно ООН задаётся условием о < JC < 1, — < X < 2. ^ 2 Теперь рассмотрим неравенство (2х-х^- l)(cos2x + вшдс - 1) ^ о. 411! § 89- Тригонометрические уравнения и неравенства которое перепишем в виде (2х - - l)(-2sin2j: + sin л:) > О <=> <=> {х^ - 2х + l)(2sin2jc - sina:) ^ О <=> (jc - 1)2 • sinjc(2sinx - 1) ^ 0. Последнее неравенство можно решать как на тригонометрическом круге (рис. 13.52), так и на числовой прямой (рис. 13.53). (С учётом ООН достаточно рассмотреть круг в границах X е [0; 2л).) Пересекая полученное множество с ООН, получаем ответ: 1; f)u(f;2].B -;1 6 и 7. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции Этот тип задач также может быть условно отнесён к нестандартным. Некоторые примеры уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, были рассмотрены в 10 классе (VI глава). Здесь мы напомним основные приёмы работы с подобными уравнениями. Во-первых, это применение определения в уравнениях, которые могут быть приведены к виду агсз1п/(л:) = §'(дг) (в левой части может стоять любая из аркфункций), причём особое внимание следует уделять областям определения и множествам значений аркфункций. Во-вторых, поскольку такое уравнение, как правило, говорит о равенстве некоторых аргументов («углов»), то имеет смысл рассмотреть тригонометрические функции этих аргументов. Напомним, что если аргументы равны, то равны и тригонометрические функции от них. Обратное неверно, поэтому, взяв, например, синус обеих частей уравнения, мы получим только следствие исходного уравнения (скорее всего, приобретя при этом посторонние корни). Далее посторонние корни отсеиваются непосредственной проверкой (подстановкой в исходное уравнение); при этом начинать проверку разумно с принадлежности корней областям определения входящих в уравнение функций и сравнения знаков обеих частей уравнения. Пример 145. Решим уравнение arccos— = 2arctg(jc- 1). □ СПОСОБ 1. Возьмём косинус от обеих частей уравнения: cos I arccos= cos(2arctg(jc - 1)). (1) Полученное уравнение является следствием исходного, но не равносильно ему1 Глава XIII. Уравнения и неравенства Займёмся преобразованием правой части уравнения. Введём заме- {tgy = х-\, ну I/ = arctg(jc - 1). По определению это означает, что s л л ^ <У < 2‘ После замены переменных в правой части уравнения (1) имеем cos2u, а по формуле («универсальная тригонометрическая подстанов- ^^ IJ 1 ” ~ X)^ ка») cos2y = ---получим cos2u =-------------- ^ l+tg2y 1 + (л:-1)2 Таким образом, исходное уравнение преобразуется к виду X “ х^ г~ — = —— ------, откуда д: = О или х = +V2. Теперь необходимо провести ^ Х^ ” “t" ^ проверку. Подставим л: = О в исходное уравнение: arccosO К равенство неверно, поскольку arctg(-l) ^ . Подставим л: = -л/2 в исходное уравнение: 2arctg(-l). Это arccos = 2arctg(-V2 - l). arccos = 2 arctg (V2 - 1). Это равенство неверно, поскольку его левая часть, будучи арккосинусом отрицательного числа, лежит в интервале д j, а правая, будучи удвоенным арктангенсом отрицательного числа, лежит в интервале (-л; О). Наконец, подставим х = yf2 в исходное уравнение. Получим Ж" 2 , Это равенство является верным, поскольку косинусы обеих частей этого равенства равны (оно было получено из решения соответствующего уравнения!) и оба числа лежат в промежутке (0; д), а из равенства косинусов двух чисел на этом промежутке следует равенство самих чисел. Ответ: {V2}. СПОСОБ 2. Можно было воспользоваться другой тригонометрической функцией, в данном случае взять тангенс обеих частей уравнения (выбор функции, естественно, зависит от самого уравнения). Однако при таком подходе мы можем потерять решения, при которых обе части уравнения равны Таким образом, кроме получившегося уравне- X п arccos-= -, 2arctg(ji;-l)= шения не имеет. Но без этого исследования решение будет неполным! Как видно, способ 1 оказался удобнее. ния-следствия, придется решать систему • которая ре- 4131 Задачи и упражнения СПОСОБ 3. Заметим, что функция /(дг)= arccos-^ является убываю- А щей, в то время как функция g{x) = 2arctg(o; - 1) является возрастающей. Поэтому уравнение f(x) = g(jc) не может иметь более одного решения. Если угадать корень этого уравнения, задача будет решена. SI Одним из наиболее часто встречающихся подходов при решении неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, является применение соображений монотонности обратных тригонометрических функций на их области определения. Но в более сложных неравенствах этими соображениями пользоваться затруднительно, поэтому, как и обычно, рекомендация заключается в решении соответствующего уравнения и использования метода интервалов на области определения неравенства. X Пример 146. Решим неравенство arccos— > 2arctg(jc- 1). 2 □ Областью определения неравенства служит отрезок [-2; 2] (поскольку есть _£ единственное ограничение:-К1). 13.54 А Единственным корнем соответствующего уравнения является, как мы выяснили выше, х = л/2. Эта точка разбивает отрезок [-2; 2] на два множества, в которых мы проверяем выполнение неравенства, воспользовавшись контрольными точками (рис. 13.54) (в качестве таковых мы можем для удобства взять дс = -2 и л: = 2). Ответ: |^-2; Тз). 11 В Задачи и упражнения Уравнения высших степеней Группа А Х1П.1. Найдите целые корни уравнения: а) х^ — 5х + 4 = 0; б) 2х^ + х^ - 13х 4-6 = 0; в) x'^ + 2х^ — 4дг^ - 8дг = 0; г) 4х“* - 11х^ + 9х - 2 = 0; д) х^ + 4х'^ - Юх® - 65х^ - 86х - 24 = 0; е) + Зд:”* - 9х^ - 21х^ - Юд: - 24 = 0. XIII.2. Найдите рациональные корни уравнения: а) X® - Зх^ 4-2 = 0; б) в) бх"* - 7х^ - 6х^ 4-2х 4-1 = 0; г) Х1П.З. Решите уравнение: а) х^ - 7х - 6 = 0; б) в) X® - 5х^ 4- Зх 4- 1 = 0; г) д) 4х^ 4- Зх - 2 = 0; е) ж) 6x5 + 7Д.4 _ 18x3 - 16x2 + д: 4- 2 = 0. 2х® - 3x2 - 3jc -I- 2 = 0; Зх-* - 8x3 _ 2x2 4- 7х - 2 = 0. хЗ-|-9х2 4- Их-21 = 0; хЗ 4- 7x2 4- 4х - 2 = 0; бх'* - 11x3 4- 9x2 - Их 4- 3 = 0; Глава XIII. Уравнения и неравенства XIII.4. Решите неравенство: а) - 7jc - 6 > 0; в) 4х^ + 3х- 2^ 0; д) х^ - 4х^ + 5х - 2 ^ 0; б) JC® + 9х^ + Их - 21 < 0; г) бл:^ - Ил:^ + 9х^ - 11л: + 3 ^ 0; е) х^ - 5х^ + 8х - 4 ^ 0. Замены в целых рациональных уравнениях Группа А XIII.5. Решите уравнение с использованием подходящей замены: а) Зл:"* - - 2 = 0; б) 2jc® - 11л:® - 40 = 0; в) л:® + 2л: + 2|л: + 11 = 7; г) 4л:®-12л:-5|2х-3|+15 = 0; д) (л: - 1)4 - л:® + 2л:-73 = 0; е) (л: + 2)“ + 2л:® + 8л: - 16 = 0; ж) (л:® - 2л:)® - Зл:® + бл: - 4 = 0; з) (л:® - 5л: + 7)® - (х - 3)(х - 2) - 1 = 0; и) (2л:® + Зл: - 1)® - Юл:® - 15л: + 9 = 0; к) 4л:® - 212дс - 11 = 34 + 4х; л) л:4 + л:® + 4|л:® - л:| = 2л:® + 12; м) л:4 + 4л:® = 30 - 7|х® + 2л:| - 4л:®; н) (л: + 1)®(л:® + 2л:) = 12; о) (л: - 2)(лг - 3)®(л: - 4) = 20; п) л:(х + 4) (л: + 5)(л: + 9) + 96 = 0; р) (X - 3)(л: - 4)(л: - 5)(x - 6) = 1680; с) (2л: - 1)(2л: + 3)(3л: - 2)(3л: - 8) + 25 = 0. Решите уравнение (хш.б, хш.7). XIII.6. а) 7 в) 2л:4 + л:® - 11л:® + д: + 2 = 0; д) 2д;4 + дсЗ - 9дс2 - 2л: + 8 = 0; ж) д;4 + 2л:® - 9л:® - 6л: + 9 = 0; ХШ.7. а) (л:® + 2л:)® - (л: + 2) (2л: - л:®) = 6 - (2л: - 1)®; б) 2(л:® + л: + 1)® - 7(л: - 1)® = 13(л:® - 1); в) 2л:4 + л:®(х + 2) - 3(л: + 2)® = 0; б) 4 л:® + 12л: + — + 4- = 47; д: х‘‘ г) 4л:4 + Зл:® - 14х® + Зл: + 4 = 0; е) л:4 - 4х® + 7л:® - 8л: + 4 = 0; з) 9дс4 - 6л:® - 18дс® - 2х + 1 = 0; г) Д) 20 е) 5 д: + 1 л: - 1 л: - 2 - 4^^ + 3 X - 1 X + + 48 х-2 х + 1 + 12 л:® - 4 л:® - 1 2 ж) (^л:-1^ \^jc+5j х^ = 44 2л:® + 2х = 0; л:® - 4 ’ л:® - 1 v2 = 0; л: + 2 Г ® + 4л: - 5 415! Задачи и упражнения Дробно-рациональные уравнения группа А XIII.8. Решите уравнение: .л: + 2 JC + 6 ж + 10 а а) ——г + ——= 6; в) д) X +1 х^ +6 х^ - 4 >-2 X + 3 2 X + 5 2 2-х = 2; X JC+1 X + 2 26 б) ---+-----+-----=—; JC + 1 X + 2 X 6 - Л£г2 + 1 Х^ + 2 п e)3(.*±]-7(lH.i) = 0. Решите уравнение, используя подходящую замену (хш.9—хш.13). XIII.9. а) в) д) + X - 5 Зх х^ + X - 5 + 4=0; х^ + 1 б) -------+ = 2; х^ + 4 х^ + 5 х2 - X х^ - X + 2 х^-х+1 х^-х-2 = 1; , х^+ 2х + 1 х^+ 2х + 2 * х^ + 2х + 2 ^ х^ + 2х + 3 8 7 6’ г) е) з) X 1 х^ + 1 1 хЗ + 2 хЗ + 3 24 5 2’ J_. ‘ 12’ 15 хЗ + 2х-8 хЗ + 2х-3 1________1_ ^ J_ х(х + 2) (х + 1)3 12 = 2; и) хЗ - х^ - XI1I.10. а) б) в) г) хЗ - 4х + 1 2 хЗ - хЗ - хЗ = 3 - 4х; 2 хЗ - 2х + 2 хЗ - 2х + 3 6 8 (X + 1)(х +2) (X - 1)(х + 4) 16 5 хЗ- 2х + 4’ = 1; хЗ + 3x3 _ дл + 5 длЗ ^ зд,2 _ д. + 2 , хЗ - 2х _ 16х - 12 д) ------^ + 5 = 4х - 3 2х е) = 1; 4х - 5 Зх + 2 Зх + 2 5 - 4х = 4 ж) хЗ - 2х + 3 5х= — - 16. X Xlll.ll. а) Зх хЗ-10х+15 ^, хЗ-6х+15 хЗ-8х+15’ 2х б) хЗ + 5х+ 4 хЗ - X + 4 13 _ хЗ-7х+4 хЗ + х+ 4^ 3 ’ , 2x3+8 в) -----+ Д) X хЗ + Зх + 4 8x3 + 8 10х + 11 = 0; г) (хЗ - 6х - 9)3 = х(хЗ - 4х - 9); хЗ + Зх + 6 хЗ — 10х +1 хЗ + 1 + 7 = 0; е) хЗ + 5х + 6 = 15- хЗ + X 41id Глава XIII. Уравнения и неравенства XIII.12. а) х^ + 9х^ (х-3)^ = 7; б) х^ + 25х^ (л:+ 5)2 = 11; в) , 2 . 81д;2 .. , 1 , 1 г) л:2 + = 40; д) -г + (9 + лг)2 (х + 2)2 ip 9 ■ —T + f^V=90; r+lj Группа В XIII. 13. а) (х^ -5х + 1)(л:2 - 4) = 6 (л: - 1)2; в) X® + -^ + х2 + -^ + д: + — = 6; х'* х^ X 5 - X f ,5-х^ „ б) X------х +------ = 6; X+ll^ X+lJ г) (х + 3)4 + (X + 5)4 = 16. Уравнения и неравенства с параметрами Группа А Решите уравнение с параметром а е R (xiii.i4, xiii.15). ХШ.14. а) (с2-а)х = 3; б) (а2-9)х = а-3; в) (За2 + 2а - 1)х = 1 - а2; г) х2 = а; д) 4x2 + а = 0; е) ах2 = 1. ХШ.15. а) а = i ' в) а а(х - 1) X 2а + X 6) Н2±«£=3(д^ + Ц + 1; а а 16а2 2а + X X - 2а 4а2 - х2 ’ г) XIII.16. Решите неравенство с параметром а е R: а) _ 2 < 2х- 1; б) —^ <----------, ' а - 1 3 х-2(а- 3)(х - 2) X - За _ 2а + 3 _ а - 5 х2-9 х + 3 х-3 2а + 1 в) 2х - 1______ а + 1 2(а — 1) а - 1 ’ X + 1 2х - 3 > г) ах а-2 X - 1 2х + 3 ^^—; . 2х+1 а + 5 3 Д) 7---77------Г > (а - 1) X а - 1 X . ах + 1 4а - X а2 е) ------+--------< — 3 2 6 XIII.17. При каких значениях а неравенство (а2 + 2а - 3)х + За2 - а -- 14 < о выполнено для всех х < О? XIII.18. При каких значениях а неравенство (а - 2) х + 2а - 16 < О выполнено для всех X, таких, что |х| ^ 5? XIII.19. Решите неравенство с параметром а е R: а) х2 - 2(а + 1)х + 4а < 0; б) (а2 - 1)х2 - 2ах + 1 < 0; в) ах2 + (2а + 1) + а + 2 > 0; г) (а + 1)х2 + ах + а < 0. Множества на плоскости, задаваемые уравнениями и неравенствами Группа А XIII.20. Постройте график уравнения: а) (х2 - Зх)(у + 2х - 1) = 0; б) ~ - D ^ х2 - 4 4171 Задачи и упражнения в) 4у2 = х^', д) (л:2 + i/2)(i/ - jc- 1) = 0; ж) (2у+«-1)(«-!<-2) ^ 0; 2х + У - У г) = 0; е) (у - xf +iy- x^f = 0; 3^ (2у+х - 1)(д: - у-2) ^ Q у^ - х^ XIII.21. Постройте множество, задаваемое неравенством: а) у >-; б)ху>1; в) х >-; г) —< 1; д) х//(х + I/- 1) ^ 0; X у ху . (2у + X - 1)(х -у-2) _ . х2+1/2-9 _ е) < 0; ж) —— ------—--------- > 0; з) —^ 0; х^ - 1 2х + у - \ ху - I и) X ^ i/2; к) 2у + X ^ у^ + 2у ^ 2х + у, л) ^[y ^ -yj2x - х^. Группа В XIII.22. Постройте график уравнения: а) |х + у| = 1х| + I/; б) |х + J/1 = X + |j/|; в) |х + -г/ + |х-г/|; д) |х + у + 1| + |х - 2j/| ^ 4. г) |х2 + J/I < г/ + 1; Группа С XIIL24. Постройте график уравнения: а) тах(х; у) = min(|x|; |i/|); б) max(x; у) = min(x2; у^); в) тах(х; = min(j/; х^); г) тах(|х|; i/+1) = min(x2; 2х + у). Графические методы решения уравнений и неравенств с параметрами Группа А XIII.25. При каких значениях а уравнение | х^ - 1 [ = 2х - х^ + а имеет единственный корень? XI1I.26. При каких значениях а уравнение (а + 4х - х^ - 1)(а + 1 - |х - 2|) = о имеет ровно три корня? XIII.27. При каких значениях а уравнение (х^ - а)^ - 6х^ + 4х + 2а = 0 имеет ровно три корня? XIII.28. При каких значениях а уравнение х^ + 4х — 2|х-а| + 2- а = 0 имеет ровно два различных корня? 4|8| Глава XIII. Уравнения и неравенства группа В XIII.29. При каких значениях а система неравенств ет решений? XIII.30. При каких значениях а система неравенств решение? ХШ.31. При каких значениях а система имеет хотя бы одно решение? ХШ.32. При каких значениях а система имеет хотя бы одно решение? (ах - 1 < О, [х > 4а J ах + 1 < О, |х + а > О |х^ - (За + 1)х |х + а^ = О (х^+ (5а + 2)х [х^ + а^ = 4 не име- имеет + 2а^ + 2а < О, + 4a^ + 2а < О, Х1П.ЗЗ. Найдите все значения параметра а, при которых система нера- 4х + 3 < О, удовлетворяется лишь при одном х. ^ ^ и венств I с: OVC7 0X10.' f х^ + а + ^ [2а - X + ХП1.34. Найдите все значения параметра а, при которых система нера-f х^ - 4х + а < О, венств i , „ „ „ удовлетворяется лишь при одном х. [х^ + 2х- За < О XIII.35. Найдите все значения а, при которых неравенство (х - За) х X (х - а - 3) < О выполняется для всех х из отрезка [1; 3]. ХП1.36. При каких значениях а множество решений неравенства (х - а^)(х - а - 4) ^ О содержит не более четырёх целых значений X? XIII.37. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства (х^ - а)(а - 2х - 8) > О не содержит ни одного решения неравенства х^ < 4, XIII.38. Найдите все значения параметра а, при которых отрезок [3; 4] < 1. Группа С XII1.39. При каких значениях а все решения неравенства х2-)-2|х-а|<5 положительны ? XIII.40. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых ре- f х^ -I- 6х - 7 а ^ О, _ шения системы неравенств i . образуют на чи- х2 -f- 4х -I- 7 < 4а X + а - 2а-- 2 еловой оси отрезок длиной 1. 4191 Задачи и упражнения XIII.41. Найдите все значения параметра а, при которых наименьшее значение функции у = + 2х - 1 + \ х - а \ больше 2. ХШ.42. Решите уравнение |л: + 3|-а|л: - 1( = 4. XIII.43. Решите неравенство 2х^ + дг:-а-8^|л:2 4.2л:-2а-4|. XIII.44. Решите систему неравенств: jx^+4x + 3 + a<0, (х^ - X - 2 + а < О, ^ |2jc + a + 6>0; [jc^ - 2д:- 3 + 2а > 0. „ [|2л:-а| + |х + а|< 6, XIII.45. При каких значениях а система неравенств s' „ „ ' ^ [Зх^ + 2х - 4а > 0: а) имеет решение; б) имеет единственное решение; в) имеет только отрицательные решения; г) имеет только положительные решения; д) имеет только решения, удовлетворяющие условию \х\> 1; е) имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию | jc| < ^; ч Til] ж) имеет решения, содержащие отрезок -1; — ; L 4J з) имеет решения, содержащие не более трёх целых чисел? и) Решите эту систему для всех значений параметра а. Системы уравнений и неравенств группа А XIII.46. Решите систему уравнений: /л:2 - 5л: + 6 = о. х-у = 2, ху = 1, logg X = -1. XIII.47. Следует ли из системы I соотношение: 1/2= ^2 а) А + /г = + ё'г; б) = g^; в) fi- f2 = Si- S2l г) h ёг Д) А • ^2 = /г • ^1? ^ f Л ^ ё\^ XIII.48. Следует ли из системы i / ^ соотношение: 1А ^ ёг а) А + А ^ S'! + ё2у г) /i • /г ^ • Яг; б) А - /г ^ Ях - Яг; в) А “ Яг ^ А “ ёй Д) f > f-? /2 Яг 420 Глава XIII. Уравнения и неравенства ХШ.49. Верен ли переход: а) 7 =>f= h; [f=g, \g=h \f> g, \g^ f Л ^ 0, _ j / ^ 0, + l^h fi ^ git ^ ^ g2t ^ fl + f2^ gl + g2 IA “ 1 ^ ~ ^2* Х1П.50. Решите систему неравенств, опираясь на графическую интерпретацию: \у - 2> + 4л:, ||6х- у - 1| ^ 2; |у - 10 ^ х2 - 6х, || 2л: -I- {/ - 5| ^ 1. Сложение и вычитание уравнений. Метод подстановки Группа А Решите систему уравнений (XIII.51—XIII.53). 111 XIII.51. а) 4x2 + 7^2 = I4g^ 3x2 -у2 = 11; '> {S; д) Х1П.52. а) в) XIII.53. а) - ху = -12, ху - 28; х^ +у^ = 7, х^у + ху^ = -2. :| -f-Зг/ = 7, 2х + 2jy - 1| = 3; б) г) у - 1 у + 1 х’ г/2 - JC - 5 = 0; - х2 = 9, XJ/2 = 6; I _ д;3 [х2у - Л Пх [2л |у2 = 4х- 3, |х2 = 4у - 3; |у“ -|-Ху2 - [х + у = 6; [х + у = х2 - у2; - 2x2 = о. г) б) У = х2 - 2х + 2, X = у2 - 2у + 2. 2 - у2 + Зу = о, 2 4- Зху -I- 2у2 -I- 2х 4- 4у = 0. Однородные и приводящиеся к однородным системы уравнений Группа А XIII.54. Решите систему уравнений: 13x2 _ + {/2 _ о, J 3x2 _ 4х2у 4- ху2 = О, |х2 4- 2у2 = 19; а) б) 13x2 _ 4х2у Н [х2 4-у2 = 2; 4211 Задачи и упражнения в) ■ ^2 + 1/2 _ 5 ху ~ 2’ л;2 — J/2 = 3; г){ лгЗ + уЗ = 2, 2лгу2 - х2у = 1; д) • л:2 + 4«/2 = 8, е){ лг2 + 3 = 2ху, л:2 - Зху = -2; 6x2 _ \\у2 = 10; fx3 + j/3 = 28л:, ^ ^ [2jc2 -ху + у^ = 8. Симметрические системы уравнений Г руппа А XIII.55. Решите систему уравнений: а)^ д:2 - ху + у^ = 7, 6){ X + у + ху = 7, х + у = 5; х2 + у2 + лгу = 13; в)- [л:2+у2 = 17, г)| х2 - ху + у2 = 19, д: + лгу + у = 9; X- ху + у = 7; д) дс2 + у2 + 2дс + 2у = 30, в)| X-у = 2, х2 + у^ + ху = 27; хЗ _ уЗ - 8; ж) (ху(х + у)= 30, 3) j (X- у)(х2 - у2) = 16, [л:2 + у2 = 35; (х + у)(х2 +у2)= 40; и) Гл:® + л;2уЗ + уЗ _ 12, [л: + лгу + у = 0; К) • д-2 ц2 — + ^ = 6, у X у 3 Замена переменных в системах Группа А Решите систему уравнений (хш.56—хт.60). 1- i = — X у б) XIII.56. а) Г руппа В XIII.57. а) в) [ху^ - х^у = 324; \х^ + х^у^ + у^ = 17, [х + ху + у = 5; 1 о 21 —+ 2ху = —, 5 1.2.2 21 (X- у){х^ +у^)= 447, ху(х - у)= 210. б) г) + бх^у^ + у* = 136, + ху^ = 30; [х^у ху(х^ + у^)= 300, ху + х^ + у^ = 37; Глава ХИ1. Уравнения и неравенства д) ж) XIII.58. а) в) XIII.59. а) в) jci/ + — + - + ^ = 13, ху у X ху-—-- + ^ = 12; ху у X 12х^ - ху - = 5, \2(у - X) = {2х + yf + 1; (х^-у^ = 19(х-у), 4. „3 = + уЗ = 7{х + у); {х^ = = Ъх +у, х + 5у; Sx + - = Зг/2, У у + -= Зх^; X .2 -I + У) = 12, Д) ^ {xyf + ху = 6; ху + -=^ 2(х^ + у^), У ху о -- гг = Х^ + у2; е) [(х2+1)((/2+1)=10, [{х + у)(ху - 1) = 3; {х^ + 2ху + 4=0, ^ 1к + у| = 4-у2, б) К=Зх + 1/, ' \j/2 = х + Зу; г) б) г) |(jc2 + «/2)= 6, |(Х2- у2)= 1. I (д: + г/)(дг + 2у)(х + Зу) = 60, \(у + х)(у + 2х)(у + Здс) = 105; X л:2 _ —•■ “ + Т - 14. У у^ jr х + у = 3-, |х + у+2 = 4, ’ [2ху- 2^ =16. группа С ХШ.60. = {х-ЗуГ, 4ху^ = -2х - 9; в) лгЗ + ^3 = х*+у* = 1. Иррациональные уравнения Г руппа А Решите уравнение (XIII.61, ХШ.69). ХШ.61. а) + 1)(2д: + 3) = л: + 3; в) л: + д/Зх + 7 = 7; д) д/х2 - 36 = д/2х - 1; б) л/х + 1 • V2x + 3 = X + 3; г) ^(Зх - 1)(4х + 3) +1 = Зх; е) д/Зх - 5 = f : ~ ; д/х - 2 4231 Задачи и упражнения ж) , ^ ^ ; з) л; = 5- ^2х2^^Т4х+ТЗ; V2 - X + 4 4 и) ^2х + 3 + д/2д: + 5 = к) (2л: - 1)-у/л:2 - л: - 20 = 12л: - 6; ^2л + б’ л) у]7х+1 ~у12х+7 =^Зх- 18; M)ylx + 15-y]x-l = yJx + 6-y]x-6; н) л/л: + 1 - 1 = -Jx-Jx + 8; о) л/л: - 3 + х = 3 + д/б - 2х; п) л/х + X = 3 - р) yjl + x + x^ + д/l - X + х^ =4; с) -^х^ - 6х + 9 + X = 7^- 12л: + 4х^. б) У7х- 6 + ^5х + 17 = 5; г) ^х- 2 + Vx + 3 = ^2х + 1; XIII.62. а) Vs + x + Vs - X = 1; в) Va; + 34 - Va: - 3 = 1; д) VS + x - 2V5- X = V25 - х2 ХШ.63. а) 9- ^81- 7x3 = б) 2 1 ^Х+ 1 /х- 1 _ 3_ . X о /х+ 1 _ о. х-1 \х+1~2’ х + 1 \ X ~ ’ г) ^х^ - 4х + 5 + д/х^ - 4х + 13 = -х^ + 4х; д) ^х^ + 2х +1 + -у/4х2 + 8х + 13 = -^Зх^ + 6х + 12; е) д/5ас2 - 20х + 21 + УЗх^ - 12х -Г^ = 8х - 2x2 - 3; ж) (х - 3)2 + Зх - 22 = ^х2 - Зх + 7; з) д/х + 3 - 4л/ас - 1 + д/х + 8 - 6л/х - 1 = 1; и) д/х + -Уёх - 9 + д/х - -^бх - 9 = л/б; к) д/х + 2л/х - 1 + д/х - 2л/х - 1 = X - 1, XIII.64. а) х2 + X + ^х® + X - 2 = 12; б) ^(3 - х)2 + У(6 + х)2 - У(3- х)(6 + х) = 3; в) ^(х - 2)2 - ^1 + Va: - 2(Va: - 2 - l) = 1. XIII.65. а) л/л: + 5 + д/2х + 8 = 7; б) л/х + = 2; в) (л/л: + 1 + л/х)^ + (л/л: + 1 + л/х)^ = 2; г) л/х + л/х + 3 = 6 - л/л: + 8; д) V7x - 6 + V6x - 5 = 2. Группа В XIII.66. а) ^|x + ^fx - д/х - л/х = I I ^ ; ^ V X + л/х б) X + Jx® +16 = . ; ■Jx^+16 424' Задачи и упражнения в) л: + = 2; г) -J^j6^ + T-2x = 1 - х; д) + -)1-х - л[х^1 = 1. XIII.67. а) 4х^ + 12xVl - X = 27 (1 + д:); б) - 2 = в) V£±l±v^ = ,+v;n:i6-e: 2(1+ Vi+ ху' г) ■^2х + 3 + -\Jx + l = Зд: + 2 X + 1; б) У(х + 2) (х - 5) < 8 - х; в) У3х2 + 13х + 4 ^ X - 2; г) S-J-x^ + х + 6 > -2(2х - 1); д) У2х + 3 < 1 - -\/х + 2. 4251 Задачи и упражнения ^ Jx + 2 , XIII.71. а) -------< 1; б) Зх - 1 2-х - З) (V5 + 4х + л: - 4) ^ 0; >1; в) (л/З + х г) -\1х + 2 + у13- X < 3; д) Vl + + y/l- X > 1; е) -yJx + 3 - -Jl - х > yj2x - 8; ж) ^ 2 “ X Vs - 2л: - л:2 ^ ^8 - 2х - х^ л: + 10 и) к) 2л: + 9 ijl2 - X- х^ ^ ill2 - X- х2 ---------------- ^ ---------------- л: + 1 д: ХП1.72. а) ^-9х^ + 6х < Зле; б) {-9х^ + 6л:)з < Зх; в) ^х^ - л: > -л:^2; г) (л:^ - х)з > -л: • 2з. ХШ.73. а) ^ 3; б) у/х + 1 + л/х + 13 ^ 6; в) х-4<------- + -Jl + xj Группа В ___________ __________ _____________ XIII.74. а) -JX + ^ - -ylx- -Jx >- I—^Ц=; 2 \ X + л/х б) -^2х - 1 + ^Зл: - 2 < V4jc - 3 + д/бл: - 4; в) - 8л: + 15 + д/л:^ + 2л: - 15 > -^4х^ - 18л: + 18. ХШ.75. а) I 2 - ^Jx + 2 > X - 2; б) -Jx + л/ж+Т + 2yjx^ + 7jc < 35- 2ж; (8 - л:)д/8 - ж + (5 + ж)д/5 + ж ^ 7 , (8 - ж)д/5 + ж + (5 + ж)д/8 - ж 6 82 3 ’ г) (12 - ж) + (ж - 2) \ X - 2 \12 - X д) (35 - ж)л/35 - ж + (ж - 9)л/ж - 9 > х + у1х-9У; е*) ж + -^—-д/ж^ - 2ж + 9 < —-^д/ж^ + 2ж + 9. 4 » 4 ХШ.76. а) ж^^ ^ ^ > -1; б*) д/4ж^ + 6ж + 2 - д/4ж^ + 4ж > 2ж + 2. 426 Задачи и упражнения Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами Группа А Аналитический способ XIII.77. а) При каких значениях а и 6 множество решений неравенства ■^х - а > yj2x - Ь есть полуинтервал [1; 5)? б) Решите неравенство ——- > а. \ а - 1 в) Решите неравенство -^5х^ + ^ -Зх. Графический способ (плоскость (jc; у)) XIII.78. а) При каких значениях а уравнение -Jx- 3 = а - |л:| имеет решение? б) При каких значениях а уравнение л1б- х + yJx + 3 = ах имеет решение? в) При каких значениях а уравнение ах + VlO- 6л: = О имеет решение на отрезке [-1; 1]? XIII.79. а) При каких значениях а неравенство ■^х^ + 4ах + 4а^ + л1х - а < 4 не имеет решений? б) При каких значениях а неравенство л/Г-Пс^ > а - х имеет решения? в) Для каждого значения а < О решите неравенство 2х -I- - х^ > 0. Графический способ (плоскость (д:; а)) ХШ.80. а) Решите уравнение л/х - а = а. б) Решите уравнение -J2x - а = х. в) Найдите число решений уравнения yj2\x \ - х^ = а в зависимости от параметра а. г) При каких значениях а уравнение + 2а^ (х^ - (а - 1)дг - а) = 0 имеет два различных корня? XIII.81. а) Решите неравенство yj4x + а > х. б) Решите неравенство Vl - х^ ^ -(х- а) при а = 0 и убедитесь, 3 что множество его решений есть отрезок. При каких значени- „ 9„ ях а множество решении неравенства есть отрезок длиной —? 5 427i Задачи и упражнения в) При каких значениях а множество решений неравенства х-/х - ayfx 4: ах - есть отрезок длиной меньше 1? г) При каких значениях а множество решений неравенства X + ^х^ - 2ах > 1 содержит отрезок ij? Применение свойств функции XIII.82. а) Решите уравнение -Ja - х - -Ja + х = х. б) Решите уравнение ifx + л1х - а — %[а. в) Найдите количество корней уравнения -JSx- 5 = а - ,j3x + ll в зависимости от параметра а. _______ __________ г) Найдите количество корней уравнения yj2x + 8 - а = -^2х + 3 в зависимости от параметра а. ____ д) При а > 3 решите уравнение л/2а - 3vjc = ^х- 2. е) Решите уравнение л1а + х - Ма - х = ж) Решите уравнение Ifx - Ща — х = %[а. Разные методы XIII.83. а) При каких значениях а уравнение ^Jx^ - 4л: + 3 = ^Здг + а имеет единственное решение? б) Решите неравенство (л[х - а ) (у1х - 1 - 2а) > 0. в) Решите неравенство yjx- а > 2х + 1. г) Решите неравенство -Jx + а < а - 4х. д) При каких значениях а множество решений неравенства ■J2ax - х^ > а - X содержит отрезок длиной 2 + у[21 е) При каких значениях а множество решений неравенства д/а^ - х^ ^ 2х есть отрезок длиной 4? Системы иррациональных уравнений Группа А Решите систему (xiii.84—Х1П.8б) ■Jx - 5 • д/4- у = о, [Х^ - у2 = 9; ■JSx + у = X - 2, л: + у = 1; д/х^ + 4ху - Зу^ = X + 1, х-у = 1; б) г) е) ■Jx - у • д/у2 - 1 = о, х2 = 4у; ■Jx + y +1 = у, 2х- у = 1; 2(у - 1) = д/Юх2 - ху - 2у2, 2х + у = 2. Глава XIII. Уравнения и неравенства yfx + ^|y = ^ х + у = 13; - у[у = 1, 5х^ -8х^-у1у +2у = 2; [ ^ + ^ = 3, [ху = 8; [ х^ + х^ху^ = 80, IJ/2 +у^ух^ = 5; 12ДГ-1 JS. + 2 _ 2, е) ■ X + д) У У+ 2 у2х - 1 1х х + у = 12; 1\з- + у2 + ^Jx^ - у2 _ 5+ л/7 ж) ^Х^+ у2 - yjx^- у2 5- л/7’ л;3 + 2уЗ = 118; з){ |х + 1| +у1~у^ +4у- -3 = 3, х^ + 2х - у^ + 4у = 7. Группа В Х1П.86. а) 1 л;2 +2jcy + 4у2 = 21 f б) 4у/х X - у]2ху +2у = -7 • ху - в) - -4Jx + у = — + х. г) ■ [х2 - Xyjl ху + у2 = 2у - х; у^ = х + 2у; Системы иррациональных уравнений с параметрами Группа В XIII.87. При каких значениях параметра а е R система уравнений {у = Vx-^, [л: = yjy- а имеет единственное решение? XIII.88. При каких значениях параметра а е R система неравенств I у ^ л1х- а, < I------- имеет единственное решение? [х^ yjy-a XIII.89. При каких значениях параметра а е R система уравнений \у + л[х - о, имеет ровно два решения? [а(х- 1) = у+ 1 4291 Задачи и упражнения Показательные уравнения Группа А Решите уравнение (xiil.90, хш.95). ХШ.90. а) 4^ = 8“3; в) 16-‘ • л/б4^ = 2'; д) 4* • 5^-1 = 0,2 • 2Q3-2*; ж) 3'- 52*-з = 45; и) 4i*“Ч = 8; л) 3^ - 2 • 3* - 2 = 7; ХШ.91. а) 9* - 4 • 3* = 45; в) 4^-1 - 17 • 2*-з +1 = 0; д) 9*”2 +3^-1= 3 + 3‘-*. XIII.92. а) X • 3*-^ + 3 ■ 3>^^ = 3* + х- З'^^; б) л;2.4'!^ + 42+* = 16-2^'!^ + х^ • 22*; в) х2 -6-* +6'^ + 2 = Д.2.6V^ ^.02-ж. г) 4*- 2-6*= 9*^2; д) 3 • 4* + 2 • 25* = 5 • 10*; б) 1. V33*-i = 81 4; г) 2^- = 16jf 1 е) 2* . 3* + » = 81; 3) 2* • 3*-1 • 52*+1 = 250; к) 4 • 2<=°«* = л/8; м) 4 • 3*-1 + 3* + 1 = 117. б) 2* - 8 • 2-* = 7; г) 2 • 4* + 1 - 17 • 2* = 2-*- 10; е) 5*^2 -Qx= 32Х-2 _ 5 ж) 4-* - 3'*'2 = 32- 2-2*-ь з) 3-4-* + --92-*= 6-4‘-*-i-91-*; 3 2 и) 2* + 2* + 1 + 2* + 2 + 2* + 3 = 3* + 3* + * + 3* + 2 + 3* + 3; i i i к) 9- 4* + 5- б* = 4- 9*. Г руппа В XI1I.93. а) 2^°^2я-^ 3-2‘^°^'^-4; б) (л/4 +л/15)% (j4-4lEy= 8; в) (3-2л/2)* + (з + 2л/2)''= 34; г) 10<* + + 4) _ 9 . ]^0(* +!)(* + 2) _ 10^“ *“ *^. XIII.94. а) 5*^" *+^ - 2-3* = 3*+‘; JC- 1 в) 5* • 8 * = 500; б) 7*" + *+1 _ 4. з*+1 = з*+2. г) 2*-5‘”* = 8. 430| Задачи и упражнения XIII.95. а) 2^ - 32 = 1; б) 2 • 3* = 7 - х; в) 12* + (л/б)^* = 13*; г) 2* + 3* + 4* = 9*; д) (у15-2у1зУ+ (л/5 + 2л/з)*= (Vio)^; j = -2x2 бд; _ g. е) ж) 4* - 2*"^' + 5 = 4cos2 и) 3“*^ • COSX = 1; л) 2*' = ^2 • 3* - 32*; з) 2* + 22^* = 4sin—; 2 к) 4~*^ • sin - 2х I = 1; «2 яд: ,ал я*п2 тч2 Я± I------------------ М) 4®‘" 4 + 4 = Vl3 + 6x- 3x2. Показательные неравенства Группа А Решите неравенство (Xlii.96—xill.ioo). xm.96. а) [i]% -i; в) 82*; д) 25 • 0,042*> 0,2*<2-*); ж) 0,9'*+Ч ^ 0,92; х+5 и) 6*"-» > 1; 3*2 + 2 л) 3-9 * -2?2^>0; 16-(0.5). XIII.97. а) 4* + 2*+2 > 20; в) 92*2_ 5д, ^ д2*2- 5*+1 _ 4 > 0; д) 5^*“^ < (VH)""'• 52-2j^ + 24; ж) 0,4* - 2,5*+1 > 1,5; б) <9*+2; »“>КГ>(±1* е) 3 х-2 52 *-1 ’ 3) i ^212*-10|+*; к) (l0^"-3jf+2^5-x ^ J. м) -4 < 3*^-2х-1 -5^4; о) Х-» -2*+1 < —. X б) 3*+ 5 3*+1-1’ г) 9>/^+ 3< *+1 е) 9 2 + 32-*<2-2?1-*; 11-3*->- 31 3) 4-9*- 11- 3*-‘- 5 ^ 5. Глава XIII. Уравнения и неравенства ХШ.98. а) 5*-3^ + 1 > 2 • (5*-1 - 3*-2); б) 3*^ + 2 _ 5*2-1 > 5*2 + 1 ^ 3,2_1. в) 2* + 3 _ ;^.з . 2* ^ 16 - 2л:3; г) л:“ + 3^ +^ л:“ • 3* + 81; д) 10 • 5* + 2* ^ 2 + 5 • 10^; е) 24 • 3* + 2^+ ^ > 8 + 6* + Ч Группа В XIII.99. а) .^9^ + 24 - 2 > 3*+ б) д/8 + 2'^^‘-4'^ +2'^+‘>5; в) (V2 + l)^< (V2-l)'*; г) (S + 2y~'> (S-2)~^; д) 2(V2-l)'^-(з + 2л/2)'*^-1; е) 4(2- л/з)"'- (7 + 4л/з)*> 1. ХШ.100. а) З^’^ + з+ 3*2 ^ + б) 3-2'-4^**^3. Показательные уравнения и неравенства с параметрами Г руппа А XII1.101. При каких значениях параметра а е R уравнение 2-4* + i + + а2 = 2 - 5 • 2* имеет решение? а е R значениях параметра уравнение XIII. 102. При каких 32* -------;----= а имеет ровно одно решение? 9*_3*+1+2 XIII.103. Решите неравенство - 16^^^ * - 15а • 4* < 0. XIII.104. При каких значениях параметра а е R неравенство 16-92^ + + 91 - * _ 2 • (4 • 32^ + 3^ “ ^ а выполнено для всех л: ^ 0? Логарифмические уравнения Группа А Решите уравнение (хш.105—ХШ.108). XIII.105. а) lg(3 + ^:)+2ig7^ = 1; б) log2(2 + jc) + 21og4jc = 3; в) log4 (л: + 2) - log4 (д: - 2) = 2 - log4 8; г) 2 logg X + log/2 X + log 1 ДС = 9; д) lg(3c3 - 1) = lg(x - 1)3 + lg|2 - x\. XIII.106. a) log2(26 - 2*) = jc; 6) 2x(l - lg5) = lg(42^ + 2x - 6); B) lg2 + lg(4-*-i + 9) = 1 + lg(2-*-i + 1); r) log2(92^"3 + 7) = 2 + log2(3*“3 + 1). 4321 Задачи и упражнения ХШ.107. а) 21од|(8шдг)= log4(4sin2jc); б) logcos,(2cosjc + sin л) = 1; в) 1 + log^ cos X = log2 (3-3 sin л:); г) logs (■'/2 sin л:) = log25 (2 + cos д:). XIII.108. a) log3logglog2(x + 9) = logg2 - 1; 6) log8(21og3(l + log2(l + 31og2x))) = |; b) log2(log3x) + loggCloggJc) = 1; r) logg_ (2x^ - 8л: - 2) = 1 + logg_ „ 2; Д) log* + 2log2log»- + 3(ll^:^ + 46л: + 48) = 0. ХШ.109. Решите уравнение, используя замену: а) log| X + log2Л:2 = -1; в) log4 л:2 - 21og| (-Х) = -1; Д) 10+ ^ б) log4 (9л:2) + log2 (Зл:) = 2; 41og25 Л - 1 6 logs X - 5 е) .^og7(9jc^^ = logg ж) 3 • у/log2 X - logg (8л:) + 1 = 0; з) y/iog^ + y/iog^ = г) log| (4л:) + logg 2 = 0; и) 2 logg л:^ - 2 log,. 3 = 3; к) 3 + log,.^. 19 = log ,3 (л: + 1); л) log,,(л: - 6)^ + logб_д:Л:‘‘= 6; м) log^2 + 4л: + 4) = log., (л: + 2). XIII.110. Решите уравнение, используя переход к новому основанию и подходящие замены: а) logз,л:3 = logg,л:^; б) logg^A:^ = log4,л:2; в) log2,л: =-log4,л:; г) logg,x =-logg,л:; д) 6 loggia: • log4,д: = log2,л:; е) log,(9л:2) • log| л: = 4; ж) log4, 2 • log, 2 = log_, 2; 4 16 з) 1 + log, ^ = (ig 4 - 1) • log, 10. Решите уравнение (XlII.lll, xill.112). XIII.lll. a) д:‘°ез(з*) = g- 6) x^^^ = 100л:; г) д;1г’х-51вдс^ 0,0001; в) = 400; д) = е) (tgx)"»*'"»'» i. А 433j Задачи и упражнения ХШ.И2. а) (2л;-1К + 4ДС = (2jc-б) л:‘кз + 3ig* = 54; в) = (хг + 3)ig2. г) gigv^ = (д;2 _ 3^:)ig3. д) (sin X + cos л:) '*^ = (sin л: + cos jc)"' + е) (sin л:)®*" ^ = (sin *. ХП1.113. Решите уравнение, используя свойства функций: а) л: = 6 + logi л:; 2 в) у/х^ - X - 2 = logg (1 - х‘*); д) log2 - х^ - 2) - 21 21 _ группа В Решите уравнение (хш.114, xili.115). XII1.114. а) logi + х(2х^ + 2л;2 - Зх + 1) = 3; б) logz f,~ \ = 3 + log 16 - log4 (х - 3)2. б) Iog2X + X = 3; г) xloga (х + 1) = logi X + 7; 3 4х + 3 XIII.115. а) y/log2 (2x2) • Iog4 (16х^ = Iog4 (х2); б) logg X • ^/log^8-log^(2x)- 2 + 1 = 0; в) log, +1 (х2 - 9х + 8) • log, _ 1 (х + 1) = 3; г) log_,(x + 12)2 + log,^ 12х“ = 6; д) logs, 4 7(4x2 + 12х + 9) + log2, + 3(6x2 + 23х + 21) = 4; е) V21g(-x-l) = Igyjix + lf; ж) logi х +log 5х = 1. XIII.116. Решите уравнение, используя свойства функций: а) (л/х)* + xloggX = 24; б) х2 + (х - 3)log2X = 4х - 3; в) log| X + (х - l)log2X = 6 - 2х. XIII.117. Решите уравнение: а) 10<®‘°8х10)®-1з . д.1ед: = I; б) з^‘08в4д:-| _ 2Vlog2 3. в) |(л:+4) log2 (X +1) - (х - 4) log2 (х -1) = | (log2 (х +1) + log2 (X -1)); г) log2X + loggX = log2X • loggx; 1 3 „ x2 1 /— e) Igx- lg(x- 12) = Ig x2 - 12x 10 ■ 15—Пратусевич, 11 кл. Глава XIII. Уравнения и нер^ен^ства Логарифмические неравенства Группа А Решите неравенство (xili.lis—хпмзо). ХШ.118. а) log3(4x - х^) >1; б) log7(x2 + 6х) ^ 1; в) logi (х^ - Зл:) > 0; г) logi (4jc + х^)^ -1; д) lg(3 + 2х - х^) 4: lg(l + X); е) lg(a; - 3)^ ^ lg(4jc - х^ - 3), XIII.119. а) log2JC + log2(x + 2) > 2; б) logg (х^ - 1) + logi (лг + 3) ^ -1; 3 в) log2(x + 1) ^ log4(2x2 + Зх); г) loga----— < 3. JC - 6 XII1.120. а) logg logi л: ^ -1; 2 в) logi ^ 0; д) lg(j: - 1)2 < logi - 1)2; XIII.121. а) logj.2>-l; в) log^3< logi Д) log,_^5> log^^ij^lj; 6) logj^ (loga x + l)> -2; Г) l„g,^l-logj[^)] log^^. j4; e) log,3< -loga_j,3; ж) log2|^4j < 61ogg^2; и) log^3 • logg, 9 > 1; ХШ.122. a) log,5 + log25Jc ^ b) yllogs X - 21ogg ^ Д) log, л: + log, — > 0; 1о§2(4"'+> + 2) - 1 ХШ.123. a) —=—7---------------> 2; b) 1 +ЛГ 3-loga(4^+8) 1-л: 3) loggj^-J <-logg,9; K) logg_2*3> log2_*3. 2- X 6) log, 9 - log§ (3jc) < -2; r) logaf^l^j ^ 31ogi6,4; e) log4, (2дг) • log2 4 < log, (V^). 6) ^ -l; ^ 2; r) X x-1 logg (9 - 3-) - 3 < 1. 4351 Задачи и упражнения XIII.124. а) • logg^.^: < 0; б) \og^^x • logs;, л: > 0; в) log^^(10j£: + 3) • logiox(3jc + 10) > 0; г) logg;, (6л: + 7) • logs;, I Зх + XIII.125. а) log2_^:(3 + л:) ^ 1; в) log* + 2(^^ - 5) > 0; д) log;, (л: + 1) < log+ 5); (2 - 1оеЛЗл - 2)) |)<0, б) logi_;,(5 + л:) > 1; г) log. log. X ж) > 0; е) log;,(ar + 2) + 21og;, + 2-* > 3; з) log 2 [^ -• *М|л-2|) 2 log;,(x-l) XIII.126. а) ^ Юх: б) л/л:*®'^ < 10; в) Vjc*°g2'^ > 2; г) > 10; д) лг^"'-8 > л:'^; е) (4л;2 + 2л: + 1)*^“ * > 1. ХП1.127. а) logзл: + л:>4; б) л: • logзЛ: ^ 18; в) log7(3'^ + 4*) < л:. группа В ^ X ХШ.128. а) log,„g^ , logi ж > 0; б) logiog. log, л: < 0; в) log|,; + 6i2 • log2(л:2-л:-2)^ 1; Д) 2 log^2 “ 7] ^ 1о^2 - :г (2 + X). ХШ.129. а) (3^ + 3-*)8>g*- lg(2Jt^ + 3*) < 1; в) (log;,3)'°g3(*-i) ^ 1; г) |log2(л: + 3)-2|^log4x; logj_(16*< - д:3 + 1) , б) л:-3 » > г) (log,,,2)'°^^(3)'"^ 24*°^"; 4 б) '1 -X I > X* ^ ‘ \4 в) [И Zlogjjc Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами Г руппа А XIII.131. При каких а е R уравнение log^2 _ ^ (х + а) = 1 не имеет решений? XIII.132. При каких а е R уравнение - Зх + 2) = 2 log„„_ 6 (л:2 + 2х - 4) имеет единственное решение? 15* Глава XIII. Уравнения и неравенства XIII.133. При каких а е R неравенство log2;c(3JC + а) < 1 не имеет решений? XIII. 134. При каких а е R неравенство log2_^.(3x + а) < 1 не имеет решений? XIII.135. При каких а е R для всех д: е + ал:) ^ 2? XIII.136. Решите уравнение log • log^. 2- ^ ’ 2, ( п2 выполняется неравенство 0^-4 = 1. 2а - X б) Iog2;, + a(^ + 2) > 1; XIII.137. Решите неравенство: а) log^ (2л/аТх) ^ в) log^ + 2(^:^ - 2х-f-а) > 2; г) log„_;, +1(0^ - 2ал:) ^ 2; Д) 1- Системы логарифмических и показательных уравнений и неравенств Группа А Решите систему уравнений (xill.138—xiii.142). XIII. 138. а) в) Д) ух^-7х^12 = х +у = 6; хУ = 243, и- (2х + 2У = -1, [7-2;'-20д:= 146; ^ f JC -I- у = 6, .139. а) „ [log2л:-l-log2г/ = 3; I 3*' • ^ = 36, [5У-^!/И2 = 200; хУ = 256, б) ’ 2 • = Зл:; 13^ -I- 3J^ = 28, |з*+!/ = 27. |4х2-«/2 = 2, [log2 (2дс + у) - log2 (2х - у) = и ^21og2л:- 3" = 15, ^ [3*'• Iog2л:-21og2л: = 3^'^^; ^ \log2л:- log2i/ = 2; г) |log,A: + log^J/ = 2|, \ху = 27; -Jy + 2lgx = 3, е) группа В XIII. 140. а) {х-*у у^-У, |д:^ у- [х^у = 1; [х^ = у^\ [у - 31go:2 = 1. в) 1^*' = \х^=уУ. 4371 Задачи и упражнения [у • * = JC^ yfx. ХШ.141. а) б) [log4j/-logj^(i/- Зл:)= 1; \ух'°«»^=хК log4 у • logj, {у-Zx)= 1; ® [21og5|a:i/| •log|^J,,(д; + i/)= 1; X - у = 2-Уз, г) д) [(l + 21og|^j^|2)-log,^ ^л:у| = 1; log^_2(xy - X - 2у + 2) + |logj,_i(jf2 - 4ж + 4) = 3, log*+i0/ + ^:-2)-logj, + 2(^:^ + ‘/^)= “I- Группа С ХШ.Ы2. а) = [lg2a; + lg2 г/ = 8; г* = л:, 2У = у, уУ = X. Тригонометрические уравнения и неравенства Группа А Решите уравнение (xiii.i43—xiii.iso). ХШ.143. а) cos2jc + cosд: = 0; б) tgx + 3ctgAC = 4; в) Isin —-cos—I = smA:; r) 1 - cos (л - д:) + sin = 0; д) sin^x • cos3x + sin3x • cos^x = е) 2sin2 2x - llsin^x + 3cos^x = 1. XIII.144. a) cos4x + 2cos^x = 0; 6) sinx + cosx = 1 + sin2x; b) cos X - cos 2x = sin 3x; r) cos 2x - cos 8x + cos 6x = 1; д) sin^x + sin2 2x = sin^Sx; е) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0; ж) sin5x + sinx + 2sin2x = 1. ХШ.145. a) sinx= sin—; 6) cos3x = cos —; 10 7 7C b) cos 5x - sin — = 0; r) tg О tg2x; msL Глава XIII. Уравнения и неравенства 1 - tgo: д) = ctg2x; . cos X + sm X , е) -------^---= ctgx; 1 + tg д: cos X - sin x ж) 2sin2j: +V3sin2jc—1 = 2cosjc. XIII.146. a) sin® л: + sin'*^: • соз^д: = • со8®д: + sinx • со8®д:; б) sin X - cos X - 4 cos^ x • sin д: = 4 sin® x; b) sin^a; - cos'* д: = sin2д:; г) ----= 4sinjc + 6cosjc. cos X XIII.147. a) 2 sin X • sin 2дс + cos Зд: = 0; б) cos 7x • cos Зд: = cos 4д:; в) cos X • cos 3x = cos 5x • cos 7x; , cos® Д-sin® 2 Д r) 4cos® X = sin f д: + —1 • sin (x - -^1. I 6j I 6j XIII. 148. a) sinx + sin2jc + sin3x = cosa: + cos2x + cos3x; 6) sin 2a: • sin a: + cos® a: = sin 5a: • sin 4a: + cos® 4a:. XIII.149. a) sin a: - -JScosx = V3; 6) -Js sin a: - cos a: = 2cos2ac; b) 3 sin X + 4 cos X = 5; r) 3 sin a: + 4 cos jc = 5 sin 5a:. XIII.150. a) |sinx + cosa:| = 1 + sin2A:; 6) I cos AC - sin a: I = 1 + 2sin2AC; b) sin 2x + -Js (sin x - cos a:) - ^ = 0. a Решите неравенства (xill.isi, Xlil.152). л/З 1 XIII.151. a) 8ш(Зяа:)<^; 6) со8яд:<-. A ^ XIII.152. a) tgAC ^ 1; b) tg ^ - A:j < -л/З; д) 2tgx - ctgA: < 1; 6) ctgAC < -p; V3 r) 1 + ctg 2x + -\>0; 3 ' e) tg 2a: + tg a: 0. XIII.153. Постройте график неравенства: a) sin (a: - j/) > 0; 6) cos a: • cos у > 0; . sin X „ b) p— < 0; V cos X « r) — > 0; sin у cos у д) arcsin (a: + у) < 0; e) arcsin(A:i/) > 0. Решите неравенство (Xiii.l54—xill.l56). ] XIII. 154. a) sm X cos X - cos 2д + — 6 ( л/з' cos2a sin X + — ^ 0; 6) -----------^ < 0; sin X (v2 - 2 cos x) 439| Задачи и упражнения в) sin — sin 2д: < 0; 2 . 2 sin X - cos JC ^ л Д) —------—:------^ 0; , 2х . X ^ f. г) cos — sin — > 0; 3 2 ж) и) cos X + sin X sin X • cos Зд: 2cos^ X - cos л: - 1 i- 1 sin X + II tg X------ >0; J_ л/З (sin д: + 1) I cos ^ “ 2 e) 3) > 0; k) < 0; cos X — sin X 2 cos X + sin X cos X • вшЗд: 1 — sin д: - 2 sin^ д: s cos X - - (ctgo: <0; + 1) < 0. (cos X ХШ.155. a) 2sin^ jc + sinjc > 0; b) сов4д: + 2сов2д: > 0; д) cos X - cos 2д: > sin Зд:; б) 2cos^Jc + cosjc < 0; г) sinA: + cosjc ^ 1 + sin2jc; e) cos2x - cos 8л: + cos6jc < 1. XII,.156. a) ?££i£±i S 0; сов2д: в) cos ^ > sinx; д) sin 5jc > sin jc; 6) ~ ^ ^ 0; Решите ХШ.157. sin X ж) 2cos2x + sin2jc > tgjc. уравнение (xill.157—xill.159). = 0; 6) sin д: X X г) cos — ^ sin—; 2 3 2 sin д: - cos x cos X - 1 e) >0; a) r) ж) з) cos X 1 + sin 2д: 1 + cos 2д: cos2jtr cos д; - sin д: = 0; cos X + sin X д) tg3x = tgx; = 0; . cos 2д: „ в) -—:— = 0; 1 + tgjir e) tgx = tgSjc; 71 sin д:-------+ cos 1 . . д; I 6 —-------cos X - sin д: • tg — = — IS"* X 2 cos X 1 2 - sin д: - cos x (t-4 ^ X 1 - sin X \ sin4x „ cos5x „ , sin4j!: „ v cos5j: „ XIII.158. a) ------— = 0; 6) ---------— = 0; в) ------------= 0; г) ^—:— = 0. Г руппа XIII.159. В а) совЗд: 1 созЗд: + sinЗд• 1 sin 4д: cos X cos X • cos 2д: sin д: cos 2д; ■ cos Здг ’ б) cos«(tgx + tg3jc) = 4sin3jc • зш4д:; в) cos Зд: • tg 5д: = sin 7д:; г) tgA: - ctg3x + ctg4x = 0; д*) tg5д: - tg3jc = tg2x; e*) tg5д; + tg3jc = tgSjc. 4<ю1 Глава ХШ^У^^авнения и^неравенства Решите уравнение, используя свойства тригонометрических функций (XIII.160, ХШ.161). XIII.160. а) cos X + cos 5х = 2; б) sin 7х + cos 2х = -2; в) sinjc • sin 5л: = 1; г) cos 2л: • sin 5л = 1, ХШ.161. а) sin (cos л) = cos (sin л); б) tg (4 sin л) =-\/3; в) ctg(3cosx) = 1. Решите уравнение (хш.162, хш.163). XIII. 162. а) sin л + cos 4л • cos л = -^^2; б) cos л - л/з cos Зл • sin л = 2; в) вш^л - sin л • вшЗл = —; 4 г) сов^л + 2совл • со84л =-1. XIII.163. а) |sinЗл| = sin^л- на отрезке б) cos л - 2 sin 2л - cos Зл = 11 - 2 sin л - cos 2л |; в) |sinл + 2 sin 2л + sinЗл| = 1 + 2 cos л + cos 2л. XIII.164. Решите неравенство: а) (1д^2л + 4)|со8 2л| < 4; б) (ctg^2л + 4)|sin 2л| < 4. Решите уравнение (хш.165, хш.166). ht]= Xlll.ies. а) (1 + 2sinje) Jcos + ^j = 0; в) л/зшл + cos л = 0; д) ^fcosx = л/2 sin б) (1 + 2cosл)^sin^л += 0; г) y/cosx + sin л = 0; е) yj-cosx = л/2 cos IU ж) + sin л = - sin Зл; з) - cos л = + cos Зл; и) y]-cosx = y]2siT^x^^; л) Vsin л + cos л = cos 2л; м) л/зшл + С08Л = sin л - cos л. к) -Jl - cos 2л = sin 2л; хш.166. а) -v/l + sin л - -Jl + cos л = 1; б) yjl + sin 2л = >/2со8 3л; в) .^л cos 2л + sin л = 7соз2л + л81пл; г) yjx^ sin л + cos л = yjx^ cos л + sin л. XIII. 167. Решите неравенство: б) л/Г а) л/sin л < л/1 + cos л; б) Vl - sin л > л/cos л; в) cos л > yjbcos^ л - 1; г) sin л ^ ^4cos^ л — 1; д) sin л < V2cos^cTT; е) cos л ^ у/2 вшл + 1. 441] Задачи и упражнения Решите уравнение (хш.168, XIII. 169). XIII.168. а) logg^ (- cos X - cos 3jc) = logg^_ ^2 (- cos 2x); 11 11 6) logg^ ^2(sinJC + cosJc)= log2^_^2(l +sin2A!:); b) log2(3sinx - cosjc) + loggcosx = 0; r) 3 log| (sin x) + log2 (1 - cos 2x) = 2; Д) logs f cos f + 3 tg ДГ - —j + logj^ [ f + = 0. XIII. 169. a) cos3x = 1 - tgjc • tg2A;; 6) sin3x = 1 - tgjc • ctg4x; b) cosx + sin ^2x - ^ j = 3 - л/з sin л:; г) cos X - sin ^2x + ^j = З+л/з sin x; д) sin^ ^ j + sin 3jc = cos 3x - ^f2; е) i 11 - cos^ [ 2л: + — 11 + -^ sin 6л: = cos 6л: - 1. 2l 12JI V2 V2 Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями Группа А Решите уравнение (xili.170, xill.171). 11л XIII.170. а) 2 arccos л: + arcsin л: = в) arcsin^ X + arccos^ л: = 6 5л^ 36 б) arctg4л: - aгcctg4л: = —; О 5л^ г) агссов^л: + 2 arcsin л: • arccos л: = ——; 36 д) arcsin6л: + arcsinбл/Зл: ~ у е) arcsin (Зл: - 1) + 2arctg4л: = arccos (1 - Зл:); ж) arcsin л: + arccos (л: - 1) = л; з) arcsin л: = 2arctgл:; и) arcsin л: = arcctgл:; к) arctg(x + 1) - arctg(л: - 1) = arctg2; л) arcsin л: + arcsin (хл/з) = м) arcsin + arcsin = arcsinх; н) 2 arccos = arccos (х + 3); о) 2 arcsin х = arcsin (х-Уз); Глава XIII. Уравнения и неравенства п) 2 arccos X — arcsin {2x^1 - ); р) 2 arccos л: = arccos (2л;2 - 1); с) arccosJC =—arcsin2jc; 3 у) cos (4 arccos д:) = - ^; X*) cos (2 arccos x) = arcsin (cos jc); Ц*) arccos arccos jcj = arcsinarcsine: |. ХШ.171. a) 2 arcsin ж • arccos д: = 3 arcsin• arccos-^; yjx -Jx V 3 д: t) arccos X = - arccos —; Ф) sin(3arccosx) = -; Ct ■ X Л 6) arcsin -^ = g b) arcsin (1 + I sin x |) = arccos 1 + cos 10 J XIII. 172. Решите неравенство: a) arcsinx<—; 3 b) arctgx > —g-; д) arccos----^ \ - X 2 ж) arcsin X < arcsin (1 - x); и) arcsin X > arccos x; л) 2 arcsin X > arctgx; 6) arccos X < —; 4 г) arcctgx > -g-; e)arccos^j. 3) arccos X > arccos (x^); k) arctgx > arcctgx; m) 2 arcsin x ^ arccos 3x. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами Группа А XIII.173. При каких значениях параметра а уравнения sin 2х (sin 2х -1) = 0 и (а + 3)sin2 2х - sin 2х • cos4x - (а + 4) sin 2х = 0 равносильны? XIII.174. При каких значениях параметра а уравнения sinx = 2sin2x и sin3x = (а + l)sinx - 2(а - l)sin^x равносильны? XIII.175. При каких значениях параметра а уравнения 4 cos^ х - cos Зх = = а cos X - (а - 4) (1 + cos 2х) и 2 cos х • cos 2х = 1 + cos 2х + cos Зх равносильны? XIII. 176. При каких значениях параметра а множества решений уравнений 4 cos^ х = а^-6и 1- cos 2х = ^ совпадают? ХШ.177. При каких значениях параметра а число к является периодом функции /(х)= ——? а - cos X 4431 Задачи и упражнения XIII. 178. При каких значениях параметра а число — является периодом функции fix) = За + sin 2х XIII.179. Найдите все пары чисел (а, Ь), при которых равенство sin (аде + Ь) = asinjc + Ь выполнено при всех вещественных х. XIII.180. Найдите все пары чисел (а, Ь), при которых равенство a(cosx - 1) + = cos (ах + &^) - 1 выполнено при всех вещест- венных X. XIII. 181. Для всех значений параметра а решите уравнение aCsin^x - Scos^x) = cosx-^За^ + Sa^tg^x. ХШ.182. Найдите количество корней уравнения cosx • ctgx - sinx = = acos2x на отрезке [0; л]. „ f (tgx-л/з)(х-а)= о, XIII. 183. При каких значениях параметра а система < ' [1^ X <2 имеет единственное решение? X1II.184. При каких значениях параметра а уравнение sin(2-a)x-l--I- sin(2 -I- а)х = 2 имеет решение на отрезке [0; л]? ХШ.185. Решите уравнение (1 -I- 2sin2x)tgx + а = 2acos^^- xj • sin|^^-f-xj. Решите уравнение sin2х(sinx -l- cosx) = a(sin®x -I- cos^x). Решите уравнение tg^x 2atgx • cos4x -l- = 0. ХШ.186. XIII.187. TT - - 3cos X + 1 XIII.188. Найдите количество корней уравнения ———= а на отрез- ке cos X - 1 Гл. ^ [2’ 2 ХШ.189. Найдите количество корней уравнения 2cos^x - cosx - а = 0 [л л1 XIII. 190. Найдите количество решений уравнения 2sin^x - sinx -l- а = 0 Го 5л 1 на отрезке 0; • ХШ.191. Найдите количество решений уравнения tgx- l = a(sinx-cosx) в зависимости от положительного параметра а > 0 на отрезке [0; 2л]. XIII. 192. При каких значениях параметра а уравнение cos - х^ ) = 1 имеет ровно восемь решений? Глава XIII. Уравнения и неравенства XIII. 193. При каких значениях параметра а уравнение sin х = = sin X имеет решение? XIII. 194. При каких значениях параметра а > О неравенство ьшх-- ^ а выполняется для всех выполняется для всех X е 1^0; 1 1 sinx- - — — 3 3 < а XIII. 195. При каких значениях параметра а неравенство 2л "з". XIII.196. Для всех значений параметра а решите уравнение sin л: + + 2 cos ах = 3. XIII.197. При каких значениях параметра а неравенство 5a-5 + sin2x + + а (3 - cos > о выполняется для всех х е R1 ХШ.198. а) Решите уравнение cosx- ^ = .^cos4x - cosx + 1. б) Выясните, при каких значениях параметра а уравнение cosX- - = yJcoT^x^^cos^r+li имеет решение. 2 ХШ.199. а) Решите уравнение Vsinx + cosx - 1 = ^sin2x - б) Выясните, при каких значениях параметра а уравнение Vsin X + cos X - а = ^sin 2х - ^ имеет решение. XIII.200. При каких значениях параметра а уравнение ^2(а - sinх)(а - cosх) = -sinx - cosx + 1 имеет решение? XIII.201. Решите уравнение л/a^iiTxTco^ = Vacosx + sinx для всех значений параметра ае. R. Системы тригонометрических уравнений и неравенств Группа А Решите систему уравнений (XIII.202—xill.205). sinx + sini/ = 1, sin X XIII.202. a) b) sin у = 1; J 7 sinx + 5( \2y = x + 1; cos (4y — 2) = 6, 6) r) ftgx- jctgx f sin3 W - + igy = 2, + 2ctgy = 3; 3x - sin у + 2 sin x = 0, 6X1/ + 5x^ = 0; 44S! Задачи и упражнения Д) ж) и) X - у = —, у з’ sin"^ X + sin‘‘ у = —; у 2 ^Jsinx ■ cos у = О, 2 sin^ X - cos 2у - 2 = 0; sin 2х + sin 2г/ = О, е) з) 5л { cos (2х + у) + cos у = 0; I tg лл: + tg лг/ = 1 - tg лх • \ sin X • cos у = sin у • cos л:. sin'=x+ sin'll/ = -y/cos 2x • cos у = 0, 2 sin^A: - cos j = 0; tg ny. xiir.203. a) b) XIII.204. a) b) r) Группа В XIII.205. a) sinx • Sint/ = —, ^ 4 3 cos л: • cosy = —; ^ 4 sinjc • sinw = —, » 4 3ctgA; = -tgy; 1 6) r) sin л: + sinjc • cost/ 1 cosy = 2, = 2; л/3 sin л: • cost/ = —, V3 cos д: • sin у = —; cos {x + y)= 2 cos (ДС - y). cos ж ■ cosy = I sinx+ tgy = 0, I sin^ X + tg2 i/ = 1; (2л/з cos jc + 6 sin у = 3 + 12 sin^ x, 4-\/Зсо8д: + 2sini/ = 7; sin^ (л: + i/) + sin (x + i/) = 2, 2cos(x - t/)- 1 _ _ 1, Д) cos(x - y)+ 2 2’ cos X + cos у = h X у ^2 ^ cos — + cos - =----h 1. 2 2 2 sinx- sin2t/ = л/3 cosx + cos2i/ = {2sinx = -sin//, 2cosx = -JScosy; fsinx = siny, \cosx = sin 2t/; V2 sinx = siny. r) V2 cos X = Vs cos y; Глава XIII. Уравнения и неравенства д) ж) и) к) л) Н) J tg ДС + si \2sini/ • sin2j/ = sin 2л:, cos (х- у) = sin х\ е) tgл:- tgy = 1, COSX • cosy = —; if 2 J4tg3i/= Зtg2л:, ^ctgл: + sin2i/= sin2л:, \ 2 sin X • cos {x- y)= sin y; [2 sin у • sin (x + y) = cos л:; f sinjc • cos (л: + y)+ sin (л: + y)= Зcos(л; + y), |4sinл;= 5ctg(л: + i/); sin^ (л: + i/) + sin (x + y)= cos^ (x + y) + cos (x + y), + cos (x- y)= 2 sin^ (2x + y); {COSX + 3sinx = 2 cos г/, cosy + 3siny = 2cosx; sinx = sin2i/, COSX = siny, 0 ^ X < n, 0 < у ^ Л; {Г m) o) j2cos(2x + y) = cosy, [2cos(x + 2y) = cosx; tg X • tg г = 3, tgy • tgz = 6, x + у + Z = K. ^ ^ f sin (x + u) = 0, XIII.206. При каких значениях параметра а е R система <, , . . l|x| + |i/| = a имеет не меньше десяти решений? lil ПоетВр^ение Материал этой главы состоит из задач, решение которых призвано напомнить, систематизировать и обобщить знания, приобретённые в ходе изучения курса. Сюжетные задания взяты из экзаменов Санкт-Петербургского математического общества (позднее — профильно-элитарный экзамен в Санкт-Петербурге), составлявшихся под руководством профессора СПбГУ О. А. Иванова. И Задачи и упражнения Сюжетные задачи XIV.1. Дана функция у = 8* - 3 • 2^. а) Решите уравнение у =-2. б) Найдите наименьшее значение функции у. в) Решите неравенство у ^ 4*^2. г) Сколько на графике функции у пар точек, симметричных друг другу относительно начала координат? X1V.2. Дана функция г/ = 27* - 4 • 3*^ а) Решите уравнение у = -9. б) Найдите наименьшее значение функции у. в) Решите неравенство у ^ 0. г) Сколько на графике функции у пар точек, симметричных друг другу относительно начала координат? XIV.3. Дана функция у = соз2д: + cos д: - 4cos^ а) Выразите у как функцию от cos л:. б) Решите уравнение у = -3. в) Докажите, что при всех х & R выполнено неравенство у < 0. г) Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение у = а аа отрезке [0; л]? XIV.4. Дана функция у = 4sin2x + cos4jc. а) Выразите у как функцию от сов2д:. б) Решите уравнение у = 1. в) Найдите область значений функции у. г лава XIV. Повторе^^ г) Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение у = а на отрезке “^1 XIV.5. Дана функция у = н точка Б(3; 5). а) Найдите координаты точек касания с графиком данной функции касательных, проходящих через точку В. б) Пусть А — точка касания с меньшей абсциссой, а С — точка касания с абсциссой ж = 3. Найти площадь S треугольника АВС. в) Обозначим через s площадь криволинейного треугольника, ограниченного отрезками ВС, АВ и дугой АС графика данной функции. Покажите, что s = О г) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для произвольной точки В подграфика данной функции. XIV.6. Дана функция f(x) = log2JC- 31og|jc. а) Решите неравенство f{x) > 0. б) Решите уравнение f{x) = -4. в) Выясните, при каких а неравенство /(х) < aloggX выполняется при X 6 [2; 4л/2]. г) Выясните, сколько корней в зависимости от а имеет уравнение f{x) = а. XIV.7. Дана функция f(x) = logg х — 51og| х + 8 logg х. а) Решите неравенство f(x) < 0. б) Решите уравнение f{x) = 4. в) Выясните, при каких а неравенство /(х) > а logg х выполняется при X е [27; -1-оо). г) Выясните, сколько корней в зависимости от а имеет уравнение f(x) - а. XIV.8. Дана функция f(x) = sinx • sin3x. а) Решите уравнение /(х) = 0,5. б) Найдите наименьшее положительное решение системы |/^(х)= о, [cos5x = 1. в) Найдите область значений функции f. г) Пусть g{t) — наименьшее значение функции f на отрезке Найдите наибольшее значение функции g на R. t; -I XIV.9. Дана функция f(x) = cosx • cos3x. а) Решите уравнение /(х) = -0,5. б) Найдите наименьшее положительное о, [sin 5х = 1. решение системы 44?! Задачи и упражнения в) Найдите область значений функции f. г) Пусть g(t) - наибольшее значение функции f на отрезке ^ Найдите наименьшее значение функции g на R. XIV.10. Дана функция f(x)=-Jx. Точки пересечения прямой х = т с графиком функции / и осью абсцисс обозначим соответственно через А(т) и В{т), касательную к графику f в точке А(т) обозначим 1{т). а) Докажите, что площадь фигуры, ограниченной графиком f, осью абсцисс и прямой х = т, равна--- 3 б) Пусть С — точка пересечения прямой 1(т) с осью абсцисс. Найдите отношение площадей криволинейного треугольника АОС и прямолинейного АВС (О — точка (0; 0)). в) Пусть М и N — точки графика функции f, такие, что MN 11 (т). Докажите, что площадь фигуры, ограниченной прямой MN, осью абсцисс и перпендикулярами к ней из точек М и N, не превосходит 32. г) Пусть g — непрерывная неотрицательная функция, определённая на [0; +схз), такая, что g(4) = 2, и при любом т> 0 площадь фигуры, ограниченной графиком f, осями координат и прямой X = т, равна — Докажите, что g{x) = -Jx. Xiv.ll. Последовательность {л;„} задана рекуррентно: л:, = а, х„ * , = д:2 - + 1 х„ - 3. XIV а) Докажите, что при целых а х„ — нечётное число при п> 2. б) Выясните, при каких а последовательность {л:„} неограни-чена. в) Выясните, при каких а последовательность {х„} есть геометрическая прогрессия. г) Пусть 0 = 4. Докажите, что последовательность {jc„} не имеет предела. .12. Дана функция f(x) = logg л: • logo.s j • log4 j- a) Решите неравенство f(x) ^ 0. J. X 6) Решите уравнение fix) — f b) При каких о уравнение fix) = а имеет ровно два различных вещественных корня? г) Пусть Ь ^ 6 > О, nib) — число различных корней уравне- ния fix) = fibx). Постройте график функции п(6). глава Х1\МТовторение XIV.13 . Дана функция f(x) = Ig j • Ig (Ю^дс) • Ig а) Решите неравенство f(x) ^ 0. [ 103 б) Решите уравнение f(x)= f\ — в) При каких значениях параметра а уравнение f(x) = а имеет ровно два различных корня? г) Пусть Ь ^1, Ь> о, п{Ь) — число различных корней уравнения f{x) = f{px). Постройте график функции п. XIV.14. Даны функции f(x) = sin л:, g(x) = cos2x. а) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками дан- , „ 7л ных функции и прямыми X = п, X = —. 6 б) Пусть А(т), В(т) — точки пересечения прямой х = т с графиками f и g. При каких значениях т длина отрезка с концами в этих точках равна 1? в) Существует ли отрезок, концы которого лежат на графике функции f, а середина совпадает с точкой М [ 12 г) Изобразите на координатной плоскости множество точек, являющихся серединами отрезков, концы которых лежат на графике функции f. XIV.15. Даны функции f(x) = cosx, g(x) = cos2jc. а) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками дан- , „ л л ных функции и прямыми X = —, X = о ^ б) Пусть А (т), В (т) — точки пересечения прямой х = т с графиками f и g. При каких значениях т длина отрезка с концами в этих точках равна 1? в) Существует ли отрезок, концы которого лежат на графике функции f, а середина совпадает с точкой М (7п 3\ г) Изобразите на координатной плоскости множество точек, являющихся серединами отрезков, концы которых лежат на графике функции f. XIV.16. Дана функция loga + 2*(^^ - !)• а) При а = о решите уравнение f(x)= 1. б) При а = -1 решите неравенство f(x) > -1. в) Изобразите на плоскости множество таких пар (д:; а), что f(x) — 1. При каких а это уравнение имеет решения? г) Найдите все такие положительные а, при которых уравнение fix) = п имеет решение для всех натуральных п. 4511 Задачи и упражнения XIV.17. Дана функция \oga + 2xi^^ ~ 2д^). а) При а = -2 решите уравнение f(x)= 1, б) При а = -3 решите неравенство f(x) ^ -1. в) Изобразите на плоскости множество таких пар (л; а), f{x) = 1. При каких а это уравнение имеет решения? г) Найдите все такие а > -2, при которых уравнение f(x) = п имеет решение для всех натуральных п. что XIV.18. Дана функция f(x)= 8шл: + C0S2J£! X е 0; Зя ~2 промежутка монотонности а) Решите уравнение f(x) = 0,5. б) Найдите длину наибольшего функции /. в) Сколько решений в зависимости от а имеет уравнение fix) = а? г) Рассмотрите тело, ограниченное поверхностью, полученной при вращении графика данной функции относительно лежащей в плоскости Оху прямой у = т, и плоскостями л: = 0, X = 1,5д. При каком т объём этого тела является наибольшим? COS XIV.19. Дана функция f(x)= cos л:----—, л: 6 h= !]• промежутка монотонности а) Решите уравнение fix) = -1. б) Найдите длину наибольшего функции f. в) Сколько решений в зависимости от а имеет уравнение fix) = а? г) Рассмотрите тело, ограниченное поверхностью, полученной при вращении графика данной функции относительно лежащей в плоскости Оху прямой у = т, и плоскостями х = -л, х = 0,5л. При каком т объём этого тела является наименьшим? XIV.20. Дана функция fix) = д:® + Зд:^. а) Докажите, что фигуры, ограниченные отрезками горизонтальных касательных графика этой функции и дугами этого графика между точками пересечения касательных с графиком, имеют равные площади. б) Докажите, что график функции f симметричен относительно точки А(-1; 2). в) Докажите, что если некоторая прямая касается графика функции / в точке с абсциссой Xq ixQ^-1), то она пересекает график в точке с абсциссой -3 - 2xq. г) Докажите, что всякая прямая, пересекающая график функции f в трёх точках, одна из которых является серединой отрезка между двумя другими, проходит через точку А. XIV.21. Пусть а, Ь, с — длины некоторых отрезков. а) Докажите, что если а = %l2, Ь = с = V?, то из этих отрезков можно составить остроугольный треугольник. Глава XIV. Повторение б) Выясните, существует ли треугольник со сторонами а = 19^^, Ь = 2Q21, с = 2121? в) Докажите, что если для любого натурального п существует треугольник со сторонами а", с", то все эти треугольни- ки — равнобедренные. г) Пусть ф„ — угол треугольника со сторонами 1, v2, Щ, лежащий против средней из них. Докажите, что последовательность Фп монотонна и имеет предел. XIV.22. Дана функция f (х) = .y/loggjc. а) Решите уравнение f (2х^ -f- 0,5) + /1 1 = Л 4л: -I- -^ |. б) Решите неравенство f ( 4-1 + л2 ^ Л3,5- л). в) Решите для всех а е R уравнение /(2jc“) = /(4л:). г) Числа а, Ь, с образуют возрастающую геометрическую про- V2 г грессию (а ^ 1). Докажите, что---- f(x)dx ^ /(&). с — а XIV.23. Дана функция /(л:) = iJloggX. а) Решите уравнение /^2д:— — j -t- ~ ~ б) Решите неравенство /| ^ ~ ^ 7 {2 + х^ ) 14^ в) Решите для всех а е R уравнение f(^^JЗx^^^ = /" ~ • г) Числа а, Ь, с образуют возрастающую геометрическую про- J с грессию (а ^ 1). Докажите, что----[ f(x)dx < f(b). с - а •' а XIV.24. Дана функция / (дс) = —-—I----. cos X sin X а) При а = 1, & = V3 решите уравнение f(x) = 4. б) При тех же а и Ь решите неравенство /(л:) ^ 0. в) При а = 1 найти все Ь, при которых функция убывает на интервал |^0; -^j. г) Пусть а > о, Ь > 0. Докажите, что уравнение f(x) = 1 имеет ровно три решения на отрезке [0; 2л] тогда и только тогда, 2 2 когда а® + = 1. XIV.25. Дана функция f(x) = —---------. cos X sin X а) При 6 = 1, а = л/З решите уравнение f(x) = 4. б) При тех же а и Ь решите неравенство f (x) ^ 0. 4531 Задачи и упражнения в) При а = 3 найдите все Ь, при которых функция убывает на интервал 5л г) Пусть а > О, & > 0. Докажите, что уравнение f(x) = 8 имеет ровно три решения на отрезке [0; 2л] тогда и только тогда, 2 2 когда +Ь^ = А. XIV. 26. Дана последовательность {а„}, где a„^i = J2- J4- al , aj = с > 0. I— а) Докажите, что при всех натуральных п выполнено v2 ^^ 2. °п + 1 б) Докажите, что последовательность убывает, и вычислите её предел. в) Пусть с = 1. Докажите, что все числа а„, п ^ 2, иррациональны. г) Пусть с = 2. Докажите, что lim 2"а„ = 2л. П —»• СО XIV.27. Дана функция f{x) = 4 + ах - х^, прямая I, заданная уравнением t/ = 2л: 4- 8, и точка А(0; 4). а) Найдите все а, при которых прямая I касается графика f. б) Пусть Р и Q — точки касания прямой I с графиками f (при найденных выше). Вычислите площадь криволинейного треугольника, ограниченного отрезком PQ и дугами АР и AQ этих графиков. в) Пусть а = 2. Найдите точку графика /, ближайшую к точке М(-3; 1,5). г) Найдите наименьшее значение площадей сегментов, ограниченных графиком функции f и осью абсцисс. 4* — а • 2* XIV.28. Дана функция /(д:)= — --;—. 2^ — 1 а) Пусть а = -2. Решите уравнение f(x+ 1) = fix). б) Пусть а = 3,5. Решите неравенство fix) -I- fi~x) < 0. в) Найдите все значения а, при каждом из которых функция f монотонна на луче (-сю; 0). г) Найдите все значения а, при каждом из которых существует Ь, такое, что уравнение fix) = Ь не имеет решений. XIV.29. Дана функция fix) = ^7-^-^. 4* — 5 а) Пусть а = Решите уравнение fix - 1) = fix). О 21 б) Пусть а =---. Решите неравенство fix) + fi~x) ^ 0. 4 в) Найдите все значения а, при каждом из которых функция f монотонна на луче (0; -юо). г) Найдите все значения а, при каждом из которых существует Ь, такое, что уравнение fix) = Ь не имеет решений. Глава Х1\Л Повторение XIV.30. Пусть /„ (л:) = cos пх, где п е N. а) Найдите все х е [1; 2], для которых f^ix) > faix). б) Решите уравнение /5(л:) + 2f^{x) = 0. в) Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение /з(^) = /з(®) имеет ровно два решения на отрезке г) Суш;ествует ли многочлен q такой, что \/xeR 9(sinA:)= /2009 XIV.31. Пусть f„ (jc) = sin пх, где п е N. а) Найдите все х е [1; 2], для которых /5(л:) ^ faix). б) Решите уравнение f^ix) = 2fg(x). в) Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение faix) = /з(а) имеет ровно два решения на отрезке [0; л]. г) Существует ли многочлен q такой, что \/х е R g(sina:)= /гоозС^)? XIV.32. Дана функция f(x) = .Jx^ + х + 7 - - д; + 1. а) Решите неравенство f{x) ^ 1. б) Найдите множество значений функции f. в) Докажите неравенство f—^dx+ \f(x)dx< 3. Ь Ь г) Найдите все такие k е Z, что f{k) е Q. XIV.33. Пусть р„(х) = 1 + X + + ... + X", где п е N. а) Докажите, что уравнение р„ (х) = 0 имеет вещественные корни тогда и только тогда, когда число п нечётно. б) Пусть Zi, Z2, ..., 2„ — все корни (в том числе и комплексные) уравнения р„ (х) = 0. Докажите, что (1 - 2i)(l - Z2) • ... • (1 - 2„) = п + 1. в) Найдите все значения п, при каждом из которых р„(х) • х®-1-1. г) Докажите, что р^(х) = 2'< р„( А=0 V У XIV.34. Дана функция f(x) = log|x -1- log,.4. а) Решите уравнение /(х) = 3. б) Решите неравенство /(х) > -1. в) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение f(x) = f(a) имеет единственное решение. г) Определите число корней уравнения f(x) = f(2x). XIV.35. Дана функция f(x) = log| 3 -I- logi (Зх^). g а) Решите уравнение f(x) = 2. б) Решите неравенство f(x) > -2. в) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение fix) = f(a) имеет три решения. г) Определите число корней уравнения f (х) = 0. б) Докажите, что если с > 1, то эта последовательность монотонна. в) Найдите все непостоянные конечные арифметические прогрессии, образованные последовательными членами последовательности {д:„}. г) Докажите, что существуют последовательности данного вида, имеющие сколь угодно большой период. XIV.39. Дана функция f(x) = logj^+1(ал:). а) Известно, что jc = 1 - корень уравнения f(x) = 3. Найдите а и остальные корни этого уравнения. в, Пус.ь а = 4.5. Решите неравенство т > /(i в) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение f(x) = 8 имеет единственное решение. г) Докажите, что если уравнение f(x) = п + \ {п е N) имеет положительный корень, то а > пе. Глава XIV. Повторение XIV.40. Дана функция f(x)= logi_j^ —. 1 ^ а) Известно, что = g — корень уравнения f{x) = 2. Найдите а и остальные корни этого уравнения. б) Пусть а = Решите неравенство f{x)> f 16 в) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение f(x) = 2 имеет единственное решение. г) Докажите, что если уравнение f(x) = п, где п е N, имеет положительный корень, то па < е"^ XIV.41. Дана функция f{x) = cos ал: • cos л:. \ тт о /(Зл:) а) При а = 2 решите уравнение —- = 1. / (•^) П б) Найдите все значения о, при каждом из которых J f(x)dx^O. о в) Пусть Ха — ближайший к корень уравнения f{x) = sin л:. Найдите наименьшее значение л ^0-2 Ух G г) Найдите все значения а, при каждом из которых [л л1 . 1 XIV.42. Дана функция /(л:) = sin аде • sin л:. /(2л) а) При а = 3 решите уравнение ^— = -2. fix) п б) Найдите все значения а, при каждом из которых | f(x)dx>0. о в) Пусть Ха — наименьший положительный корень уравнения fix) — cos л. Найдите наименьшее значение Лд. г) Найдите все значения а, при каждом из которых Ух е [л л 4’ 2. т > 2- XIV.43. Даны многочлены р (л) = ал*®®®-t-& и ^(л) = сл*®*'* + d (а 0). а) Найдите наибольшее возможное число вещественных корней уравнения р(л) = q(x). б) Решите уравнениер(х) — д(х) при а= 71, Ь = 3, с = 74, d = 0. в) Пусть 6 = 0, с = 1. Найдите все целые значения а и d, при которых число р(п) делится на число д(п) при всех натуральных значениях п. г) Пусть d = 0. Найдите все целые значения а, Ь, с, при которых число р(п) - д(п) делится на (п - 1)^ при всех натуральных значениях п, больших 1. 4571 Задачи и упражнения XIV.44. Каждая из граней куба закрашивается целиком белым или чёрным цветом. Раскраски двух кубов называются одинаковыми, если эти кубы невозможно различить (при этом их можно перемещать и вращать в пространстве). а) Найдите вероятность того, что при случайном раскрашивании куба все его противоположные грани имеют различные цвета. б) Сколько существует различных раскрасок куба? в) Двое по очереди раскрашивают по одной грани куба. Раскрасив один куб, они принимаются за следующий. Докажите, что, независимо от количества имеющихся кубов, второй из них сможет добиться, чтобы все кубы оказались одинаково раскрашенными. г*) Найдите вероятность того, что при случайном раскрашивании двух кубов их раскраски оказались одинаковыми. XIV.45. Дана функция f(x) = 2^ - ах. а) Решите неравенство f(3x) > f(2x) -t- f(x). б) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение f(2x) = f(x) + f(x + 1) имеет единственное решение. в) Пусть а = 0,5. Решите уравнение ^jf{x) + л: = 0. г) При а = 1 найдите с точностью до 0,03 положительный корень уравнения f(x) = 1024. XIV.46. Дана функция f{x) = ах - 3*. а) Решите неравенство f(3x) > f(2x) + f(x). б) Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение f(2x) = f{x) + /'(д: -f- 1) имеет единственное решение. в) Пусть а = -. Решите уравнение y]-f(x) = -х. О г) При 0=1 найдите с точностью до 0,01 положительный корень уравнения f(x) = -729. XI V.47. Дана функция f(x) = cos^ х-а cos^ х • sin х + Ь cos х • sin^ д: - sin^ л:. . ТТ W , и Зк а) Найдите о и Ь, если известно, что числа — и — являются 4 4 корнями функции f. б) Пусть а = Ь = -1. Решите неравенство f(x) > 0. в) При о = -3 решите уравнение f{x) = sin3^. г) Найдите все пары чисел (о; Ь), для каждой из которых период функции f равен —. О XIV.48. Дана функция f (д:) = cos^ д: -I- о cos^ д: • sin х + Ь cos х • sin^ д: -t- sin® д:. V « 1 я тс а) Найдите а и если известно, что числа — и —- являются 4 4 корнями функции f. б) Пусть о = 6 = -1. Решите неравенство f(x) ^ 0. 4581 Г лава XIV. Повторение в) При Ь = -3 решите уравнение f{x) = совЗл:. г) Найдите все пары чисел (а; Ь), для каждой из которых период функции / равен О X1V.49. Пусть р„ — многочлен степени п. а) Известно, что числа 3 и 7 являются корнями многочлена и р'(3) = 11. Найдите р'(1). б) Известно, что числа 1 и 2 являются корнями многочлена рд. Пусть Рд(1) = k, Pg(2) = I, причём kl > 0. Докажите, что число, делящее отрезок [1; 2] в отношении k \ I, является третьим корнем этого многочлена. в) Пусть Рз(х) = - Зх^ - 1. Найдите все значения а, при ка- ждом из которых уравнение рд (х) + ад: = 0 имеет ровно два вещественных корня. г) ПустьPioooW = л:(л: - 2)(д: - 4) • ... • (д: - 1998). Найдите все а > о, при каждом из которых уравнение Рюоо(^) = о имеет 1000 различных вещественных корней. XIV.50. Дана функция f(x) = log2(2* + а). а) При каком значении а прямая у = функции f? б) Докажите, что /(0)< 1п2 в) Пусть а = 0,5. Сколько решений в зависимости от Ъ имеет уравнение fix) = + Ь? 4U д: ч- 1 касается графика г) Пусть а > о и ? > 0. Докажите, что XIV.51. Дана функция fix) = logg(3^ + а). а) При каком значении а прямая у = функции /? г J fix)dx~ — < 4а. д: + 1 касается графика б) Докажите, что /(0) ^--. 2 в) Пусть а = —. Сколько решений в зависимости от Ь имеет О уравнение fix) = ^ + Ь7 О г) Пусть а > о и i > 0. Докажите, что г J fix)dx- — < а. XIV.52. Дана система уравнений [4со8д:- cosy = а, [4sinx -I- sinp = b. а) Решите систему при а = 6 = 0. б) Решите систему при а = 4, 6 = -1. 459) Задачи и упражнения в) Найдите наибольшее значение площади четырёхугольника, длины последовательных сторон которого равны 3, 1, 3 и 4. г) Изобразите на плоскости множество всех точек М(а; Ь), для каждой из которых система имеет решение. XIV.53. Дана система уравнений „ J 4 cos лг - 3 cos у = а, 4 sin дс + 3 sin у = Ь. а) Решите систему при а = 6 = 0. б) Решите систему при а = 3, & = 4. в) Найдите наибольшее значение площади четырёхугольника, длины последовательных сторон которого равны 1, 3, 1 и 4. г) Изобразите на плоскости множество всех точек М(а; Ь), для каждой из которых система имеет решение. XIV.54. Рассмотрим всевозможные последовательности {д:„}, для которых л:„ = --. а) Пусть jfQ = —. Найдите Лгооэ* 2 б) Докажите, что если лго < 1, то последовательность {jc„} монотонна. в) Найдите множество Cq всех чисел, которые не могут являться начальными членами бесконечных последовательностей {«„}. г) Найдите множество начальных членов монотонных бесконечных последовательностей {д:„}. XIV.55. Даны функции f(x) = log^ + j ж и g(x) = / [ — I • а) Решите неравенство f(x) < g(x). ^ б) Найдите все значения х, такие, что f(x) и ^(jc) одновременно являются целыми числами. в) Найдите все числа с, такие, что уравнение f(x) + g(x) = с имеет решения. г) Пусть х„ — такое число, что f(x„) = -п, где п — натуральное число, п ^ 2. Докажите, что х„ <---. XIV.56. Даны функции f(x) = logj^(x + 1) и g (х) = (i) -1. f а) Решите неравенство f(x) -I- g(x) > 0. б) Найдите все значения х, такие, что f(x) и g(x) одновременно являются целыми числами. в) Найдите все положительные числа d, такие, что уравнение f(x) - g’(jc) = d не имеет решения. г) Пусть х„ — такое число, что f{x^)= —, где п — натураль- ное число, п ^ 2. Докажите, что д:„ < п 2 Inn ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Асимптота вертикальная 37 — горизонтальная 38 — наклонная 38 Вероятность 278, 279 — геометрическая 294 — классическое определение 282 — условная 284 Дифференциал 83 Длина кривой 201 Интеграл неопределённый 97 — определённый 180, 184, 185 — с переменным верхним пределом 188 Интегрирование подстановкой 193 — по частям 105 Касательная 74 Комплексная плоскость 232 Комплексное число 217 — — алгебраическая форма 218 — — аргумент 239 — — вещественная часть 217 — — мнимая часть 217 — — модуль 234 — — тригонометрическая форма 239 Комплексные числа — — деление 223, 243 — — разность 219 — — умножение 219, 243 — — сопряжённые 222 Конечное вероятностное пространство 278 Корень п-й степени из комплексного числа 248 Критерий нестрогой монотонности функции 112 Неравенство иррациональное 363 — Йенсена 131 — Коши 132 — логарифмическое 380 — показательное 373 — с параметром 385 — тригонометрическое 396 Парадокс Бертрана 298 Первообразная 93 Площадь криволинейной трапеции 170, 172 Порядок малости 22 Предел «замечательный» sino: 1ш1 -г- 15 i — — lim(l+x)^ 16 о log (1 + х) -----Пт-^-------- 18 х—О * -----lim 18 -----Ит<1±4!^18 JC-* о Предел функции 3 — — бесконечный 8 — — левосторонний 8 — — по Гейне 5 — — по Коши 3 — — правосторонний 8 Производная 57 — вторая 123 — композиции 87 — односторонняя 60, 66 — произведения 84 — частного 86 Символ 0(f) 22 Система однородная 327 — равносильная 322 — симметрическая 328 Событие 275 — достоверное 275, 277 — невозможное 276, 277 — независимое 285 — случайное 276 Сумма Дарбу 185 — Римана 175 Схема Бернулли 288 Теорема Барроу 188 — Больцано — Коши (первая) 32 — Больцано — Коши (вторая) 33 — Вейерштрасса (первая) 35 — Вейерштрасса (вторая) 35 — Дарбу 111 4611 Предметный указатель — Лагранжа 108 — основная алгебры 229 — Ролля 107 — Ферма 106 Точка критическая 117 — перегиба 130 Угол между графиками функций 78 Уравнение возвратное 317 — дробно-рациональное 320 — иррациональное 350 — логарифмическое 375 — однородное 318 — показательное 370 — с параметром 332 — тригонометрическое 386 — целое рациональное 313 Формула Байеса 293 — Муавра 245 — Ньютона — Лейбница 180 — полной вероятности 290 Функции эквивалентные 21 Функция бесконечно большая 20 — — малая 20 — вогнутая 124 — выпуклая 124, 126 — гладкая 63 — дифференцируемая 82 — интегрируемая 186 — локально ограниченная 11 — непрерывная 24, 25 — Римана 28 Частота наступления события 281 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава VIII. Предел и непрерывность функции..................... 3 § 44. Понятие предела функции ............................ — § 45. Некоторые свойства пределов функции................. 10 § 46. Вычисление предела функции в точке.................. 13 § 47. Классификация бесконечно малых функций.............. 20 § 48. Непрерывность функций .............................. 24 § 49. Непрерывность функций на промежутке................. 30 § 50. Свойства функций, непрерывных на отрезке............ 32 § 51. Существование и непрерывность обратной функции...... 37 § 52. Асимптоты графика функции........................... — Задачи и упражнения....................................... 41 Глава IX. Производная и её применения.......................... 56 § 53. Определение производной............................... — § 54. Производные некоторых элементарных функций .......... 69 § 55. Задача о касательной. Уравнение касательной.......... 73 § 56. Приближение функции линейной функцией. Дифференциал 80 § 57. Производная произведения, частного, композиции функций 84 § 58. Таблица производных. Первообразная................... 91 § 59. Неопределённый интеграл ............................. 97 § 60. «Французские» теоремы................................106 § 61. Исследование функции с помощью производной...........112 § 62. Вторая производная. Выпуклые функции.................123 § 63. Построение эскизов графиков с помощью производной. Решение задач с помощью производной....................133 Задачи и упражнения........................................142 Глава X. Определённый интеграл..................................170 § 64. Площадь криволинейной трапеции........................ — § 65. Определённый интеграл ...............................180 § 66. Свойства определённого интеграла ....................189 § 67. Применения определённого интеграла...................199 Задачи и упражнения........................................204 Глава XI. Комплексные числа.....................................216 § 68. Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма записи и арифметические действия над комплексными числами................................ — § 69. Комплексные числа и многочлены. Основная теорема алгебры 228 § 70. Геометрическое представление и тригонометрическая форма записи комплексных чисел...............................232 463' Оглавление § 71. Корень л-й степени из комплексного числа............248 § 72. Применения комплексных чисел........................251 Задачи и упражнения........................................258 Глава XII. Элементы теории вероятностей.........................275 § 73. Случайные события. Классическое определение вероятности — § 74. Условная вероятность. Независимые события...........283 § 75. Формула полной вероятности ..........................290 § 76. Геометрическая вероятность...........................294 Задачи и упражнения........................................301 Глава XIII. Уравнения и неравенства.............................311 § 77. Некоторые способы решения уравнений................... — § 78. Целые рациональные и дробно-рациональные уравнения .... 313 § 79. Системы алгебраических уравнений и неравенств........321 § 80. Уравнения и неравенства с параметром. Аналитическое исследование.............................332 §81. Множества на плоскости, задаваемые уравнениями и неравенствами........................................338 § 82. Графический метод решения уравнений и неравенств с параметрами в плоскости {х\ а).......................342 § 83. Графический метод решения уравнений и неравенств с параметрами в плоскости (х’, у)......................347 § 84. Иррациональные уравнения и системы...................350 § 85. Иррациональные неравенства...........................363 § 86. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами .... 367 § 87. Показательные уравнения и неравенства................370 § 88. Логарифмические уравнения и неравенства..............375 § 89. Тригонометрические уравнения и неравенства...........386 Задачи и упражнения........................................413 Глава XIV. Повторение...........................................447 Задачи и упражнения......................................... — Предметный указатель............................................460 Учебное издание Пратусевич Максим Яковлевич Столбов Константин Михайлович Головин Алексей Николаевич АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 11 класс Учебник для общеобразовательных учреждений Профильный уровень Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор П. А. Бессарабова Младший редактор Е. А. Андреенкова Художник О. П. Богомолова Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика А. Г. Вьюниковской, О. Ю. Тупикиной Технический редактор и верстальщик А. Г. Хуторовская Корректоры И. П. Ткаченко, А. К. Райхчин Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93 — 953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 15.12.09. Формат 70x90Vie- Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 27,9 -ь форз. 0,5. Тираж 5000 экз. ^каз № 24159 ш-Га). Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Открытое акционерное общество «Смоленский полиграфический комбинат». 214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1. ' т ’ * -у I* Аr*i;' к. ГАУСС (1777- 1855) П. Л. ЧЕБЫШЕВ (1821 -1894) Ж. ДАРБУ (1842-1917) Б. РИМАН (1826-1866) А. М.ЛЯПУНОВ (1857- 1918) СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ь ъ ь 5(/(х) + g{x))dx = \f{x)dx + ^g{x)dx а а а о о \{hf{x))dx = k\f{x)dx а 1C Ь Ь ^f(x)dx + '^f(x)dx = ^f(x)dx а а )f{x)dx = -)f{x)dx А. Н. КОЛМОГОРОВ (1903 - 1987) И. М. ВИНОГРАДОВ (1891 - 1983) ПРОФИЛЬНЫМ УРОВЕНЬ Учебно-методический комплект по алгебре и началам математического анализа для 10 - 11 классов содержит: J УЧЕБНИКИ для 10 и 11 классов (авторы М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) 3 ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ для 10 и 11 классов (авторы В. Н. Соломин, К. М. Столбов, М. Я. Пратусевич) 3 КНИГИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ для 10 и 11 классов (авторы М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин) I ISBN 978-5-09-017190-8 785090 171908 ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО