Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!
<Вернуться> | <Пояснение: Как скачать?>
. Затем в новом окне сверху справа - СТРЕЛКА ВНИЗ 
. Для чтения - просто листай колесиком страницы вверх и вниз.
г. к. Муравин, О. В. Муравима
D р о ф а
г. к. Муравин, О. В. Муравина
АЛГЕБРА
И начала математического анализа
\
Москва
^врофа
2013
Учебник
для общеобразовательных учреждений
Рекомендовано Миниаерством образования и науки
Российской Федерации
б-е издание, стереотипное
УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72 М91
Муравин, Г. К.
М91 Алгебра и начала математического анализа. 11 кл.: учеб, для общеобразоват. учреждений / Г. К. Муравин, О. В. Му-равина. — 6-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2013. — 253, [3] с. : ил.
ISBN 978-5-358-12780-7
Учебник по курсу алгебры и началам математического анализа соответствует программе по математике для общеобразовательной школы.
Теоретический материал разделен на обязательный и дополнительный. Каждый пункт главы содержит упражнения, контрольные вопросы и задания.
Упражнения и домашние контрольные работы дифференцированы по уровню сложности. В книге имеется раздел ♦ Ответы. Советы. Решения ♦, в котором автор рассматривает решение наиболее трудных задач.
УДК 373.167.1:51 ББК 22.1я72
ISBN 978-5-358-12780-7
© ООО «Дрофа», 2004 © ООО «Дрофа», 2010, с изменениями
Оглавление
ГЛАВА
i
Непрерывность и пределы функций
1. Непрерывность функций....................... 7
2. Предел функции............................. 17
3. Асимптоты графиков функций................. 24
ГЛАВА
т
Производная функции
4. Касательная к графику функции................. 34
5. Производная и дифференциал функции............ 39
6. Точки возрастания, убывания и экстремума функции. 49
ГЛАВА
т
Техника дифференцирования
7. Производная суммы, произведения и частного.. 60
8. Сложная функция............................. 68
9. Формулы производных основных функций........ 73
10. Наибольшее и наименьшее значения функции.. 84
11. Вторая производная......................... 91
ГЛАВА
т
Интеграл и первообразная
12. Площадь криволинейной трапеции..... 99
13. Первообразная......................106
ГЛАВА
т
Уравнения, неравенства и их системы
14. Уравнения...................................118
15. Системы уравнений...........................126
16. Задания с параметрами.......................136
ГЛАВА
i
Комплексные числа
17. Формула корней кубического уравнения..........150
18. Комплексные числа.............................153
19. Геометрическое представление комплексных чисел ..158
20. Тригонометрическая форма комплексного числа..161
Домашние контрольные работы.......................170
Ответы............................................177
Советы............................................192
Решения...........................................200
Основные формулы..................................249
Предметный указатель..............................253
Уважаемые одиннадцатиклассники]
В этом году вы завершаете изучение школьного курса математики. Авторы постарались помочь вам как в изучении нового материала, так и в повторении изученного ранее. Знать математику — это значит уметь решать задачи. Именно задачи вам предстоит решать на ЕГЭ. Задач в учебнике много, и они разной степени трудности.
В задачах, номера которых не имеют обозначений, вы не должны испытать затруднений.
Значком отмечены задания, в которых путь к ответу, как правило, связан с некоторыми техническими сложностями.
Задачи, над которыми следует подумать, имеют обозначение «*». План решения таких задач полезно обсудить в классе с учителем.
Символом обозначены самые трудные задачи.
Значком «■» отмечены несколько задач, которые не следует решать без калькулятора.
Кроме основного материала, изучение которого обязательно, в учебнике помещен и дополнительный материал, знакомство с которым желательно. Начало дополнительного материала обозначается « ▼ 1>, а конец — « А ».
В разделе «Основные формулы» в конце учебника вы можете найти нужную формулу.
Решив задачу, сравните свой ответ с ответом в учебнике.
Если задача не получается — ее решение или полезный совет вы найдете в разделах «Советы» и «Решения».
Каждый пункт учебника завершается контрольными вопросами и заданиями, а к каждой главе предлагается домашняя контрольная работа с указанием примерного времени, на которое рассчитано ее выполнение.
Задания каждой из домашних контрольных работ разбиты на 3 уровня, которые можно трактовать как удовлетворительный, хороший и отличный. Так что вы сами сможете оценить свои математические достижения.
Авторы желают вам успехов!
ГЛАВА
i
НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
В первом пункте этой главы речь пойдет о различии между описательно-интуитивными и строгими математическими определениями, во втором пункте вы познакомитесь с важнейшим математическим понятием предела функции, а в третьем пункте вычисление пределов позволит более точно строить графики функций.
1. Непрерывность функций
В 10 классе вы познакомились с терминами «непрерывность функции», «промежуток непрерывности функции» и «точка разрыва функции». На рисунке 1 изображен график
непрерывной функции у = х^.
1 при дс: > о.
Кусочно-заданная функция у =•{ 0 при д: = 0,
-1 при д: < о
(рис. 2),
%
- у = signx
i. X-
i ; I
Рис. 2
известная в математике как функция у = sign имеет разрыв в точке X = 0.
Первый из графиков можно изобразить, не отрывая карандаш от бумаги, а при изображении второго карандаш придется оторвать. Именно на этом основывалось начальное представление о непрерывности функций, которым вы пользовались в 10 классе. Teik, в частности, свойство сохранять знак, которым обладает непрерывная функция, не обращаюш;аяся в нуль на промежутке, позволяло решать неравенства методом интервалов.
Пример 1. Решить неравенство
3jc -4
<0.
log2(2jj 4- 3) - 3
Решение.
(1) Найдем границы промежутков знакопостоянства функ-
ции, заданной левой частью неравенства. К этим границам относятся нули числителя, нуль знаменателя, и, конечно, сами промежутки должны входить в ОДЗ неравенства (область допустимых значений переменной х). ОДЗ: log2(2x + 3) - 3 0,
2л: + 3 > о, (л: >-1,5,
2:с + 3 8; \хФ 2,5. числителя: х^ - Зх - 4 = 0,
Xi = -1, Xg = 4. Нуль знаменателя: х = 2,5.
(2) Отметим найденные границы с учетом нестрогости данного неравенства (рис. 3, а).
(3) Определим знаки функции на отмеченных промежутках и проведем кривую знаков.
На самом правом промежутке положителен и числитель, и знаменатель дроби, а при переходе через точки 4, 2,5 и -1 или числитель, или знаменатель свой знак изменяют, что влечет изменение знака функции (рис. 3, б).
Ответ. -1,5 < X <-1; 2,5 < X < 4. Образных представлений о непрерывности было вполне достаточно для решения различных задач, пока речь шла об элементарных
ОДЗ
I
^1^5,-1-2,5 4
^ Функция сигнум (sign — сокращение латинского слова signum — знак) была введена немецким математиком, иностранным членом-корреспондентом Петербургской академии наук Л. Кронекером в 1878 г.
8
функциях^. Однако переход к более сложным числовым функциям заставил математиков задуматься над проблемой строгости своей науки, и, в частности, сформулировать определения на математическом языке. Так, как сформулировано, например, определение возрастающей функции:
функция у = f{x) называется возрастающей на множестве S, если для любых двух чисел и лгз» принадлежащих этому множеству^ из х-^ < Х2 следует f{x^ < f(X2).
В отличие от этого определения, основанного на простом сравнении чисел, говоря о непрерывности, мы оперируем неким описательным понятием возможности изображения карандашом. Однако здравый смысл подсказывает, что уже первый из упомянутых в этом пункте графиков, график функции у = х^^ изобразить карандашом нельзя, поскольку он бесконечен, а изображаем мы лишь его часть. Но если график вообще нельзя изобразить, то вопрос о том, как именно его нельзя изобразить, отрывая или не отрывая карандаш от бумаги, звучит несколько странно.
Попробуем обойти проблему бесконечности, рассматривая графики функций на небольших участках, т. е. в ближайших окрестностях точек графика.
В точке jCq функция у = f{x) может оказаться непрерывной (рис. 4) или иметь в ней разрыв (рис. 5).
На рисунке 4 точка М{х\ у), изображающая острие грифеля карандаша, двигаясь по графику функции, может оказаться как угодно близко к точке Mq{Xq\ у^). При этом все меньше и меньше будут отличаться друг от друга, как абсцис-
^ Напомним, что к элементарным относятся функции, задаваемые формулами, содержащими степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, а также дроби и арифметические знаки действий.
сы точек М и Mq, так и их ординаты. Заметим, что абсциссы точек М и Mq отличаются на.\х - Xq\, а их ординаты на.\у - уд\ (модули здесь поставлены, чтобы учесть возможность приближения к точке Mq с другой стороны, чем изображено на рисунке). Изменяя абсциссу точки М, мы можем так уменьшить значение \х - jcq|, что соответствующее значение \у - t/o| станет как угодно малым, т. е. меньшим, чем любое заранее заданное положительное число. На этом и основывается строгое математическое определение непрерывности функции в точке;
функция у — f{x) называется непрерывной в точке Xq, если для любого числа е > О существует такое число б > О, что \х- Xq\ < б =» \ f{x) - /(JCo)l < е^.
Это определение было предложено знаменитым французским математиком Огюстеном Луи Коши^ в 20-е годы XIX в.
Пример 2. Доказать, что функция у = 2х -\- Z непрерывна в любой точке Xq.
Доказательство. Для произвольного положительного числа е нам нужно найти такое число 5, чтобы из неравенства \х - XqI < 5 следовало неравенство |2jc Ч- 3 - (2xq + 3)| < е.
Преобразуем последнее неравенство:
\2х + 3 - {2xq + 3)1 < е <=> \2х - 2х^\ < е « 2\х - jcq| < е <=>
\Х- Хг
<\-
С I i
Для любого е > о при 5 = g » из неравенства |д: - jcqI < б следует неравенство 12д: + 3 - {2xq + 3)| < е, что и означает, согласно определению, непрерывность функции i/ = 2л: + 3 в точ-
ке х
Примерно по такой же схеме доказывается факт непрерывности любой из элементарных функций в любой точке области ее определения, который мы приняли без доказательства.
Т Пример 3. Доказать непрерывность функции у = х^
в точке Xq = 1.
^ Знак следования «=>» использован здесь в том же смысле, что и в 10 классе, когда шла речь о следовании и равносильности. А вообще, А => В значит в точности то же, что и знакомая конструкция теорем: «Если верно утверждение Л, то верно и утверждение В».
^ О. Коши опубликовал это определение в 1823 г., однако на шесть лет раньше его сформулировал чешский математик Б. Больцано, чьи труды стали известны значительно позже работ Коши.
10
Доказательство. Нужно найти, каким следует брать число 6, чтобы для любого Xf такого, что \х - 1| < 6, выполнялось неравенство - i| < е.
|д;2 - 11 < е <=> |(д: - 1)(л: + 1)1 < е <=> Iд: - 11 |л: + 11 < е. Можно сразу ограничиться рассмотрением значений х из единичной окрестности точки aCq = 1:0<^:<2. Для любого из таких значений |д: + 1| < 3. С учетом этого, для любого е > О,
взяв S = 3» получим: |д: - 1| < 5
=> Iд: - 111JC + 11 < 36 |х^ - 11 < е. Л
\х - 1\\х + 1| < 6|х + 1|
Замечание. Определение непрерывности функции в точке неприменимо, когда речь идет о границах отрезка, являющегося областью определения функции. Действительно, при д < а и при х > Ь (рис. 6) неравенство |/(д) - Ддо)1 ■0(/) = [о; fr], теряет смысл, так как не определена сама функция у = f(x).
В таких точках можно говорить только об односторонней непрерывности, убирая в определении непрерывности модуль из неравенства |д - Дд1 S. При этом соответствующая часть определения будет выглядеть так: 0<д-а<б=> | Дд) - /(а)| < е (непрерывность справа) или так: 0<Ь-х<Ь=> |Дд) - f{b)\ < е (непрерывность слева).
С учетом сделанного замечания будем считать, что функция, непрерывная во всех точках промежутка, является на этом промежутке непрерывной.
На рисунке 5 легко видеть, что в точке х^ функция не является непрерывной — как бы близко слева от этой точки мы ни брали X, разность Дд) - Дхд) останется больше некоторого положительного числа, большего 1.
Поскольку элементарные функции непрерывны на любом промежутке, входяш;ем в область определения, они могут иметь разрывы только в точках, ограничиваюш;их область определения. Вернемся к рисунку 5, на котором график функции у = /(д) имеет разрыв при х = Xq. Функция совершает скачок в точке До* Как бы близко слева от этой точки мы ни брали значение д, значение |Ддо) - Дд)| останется больше некоторого положительного числа. Это значит, что для точки Xq не выполняется определение непрерывности функции.
На рисунках 7 и 8 показаны графики функций, имеюгцие разрыв в точке Xq, которая не входит в область определения. Однако при этом в некоторой окрестности слева и справа от точки Xq функции определены.
11
Точку лгд, входящую в область определения функции, называют точкой разрыва функции, если функция в ней не является непрерывной.
Точку Xq, не входящую в область определения функции, называют точкой разрыва функции, если и слева, и справа от нее как угодно близко к точке Xq есть точки, в которых функция определена.
На рисунке 7 хорошо вам известная гипербола у = - , а на
- 1
рисунке 8 вы видите график функции у = , который при
всех X, кроме х = 1, совпадает с графиком линейной функции у = X -\- 1. Подумайте, почему в отличие от бесконечного раз-
1 — 1 рыва функции у = - в точке Д^о ~ ^ разрыв функции у = ^ - 1
в точке ~ 1 называют устранимым.
л< “ 3 ^J'x 2
Пример 4. Устранить разрыв функции у —------х ------*
Решение. Данная функция имеет разрыв в точке х= 1. Устранить разрыв — это значит найти непрерывную функцию, которая совпадает с данной функцией во всех точках, кроме точки разрыва.
Преобразуем дробь, задающую функцию, рассматривая ее числитель как квадратный трехчлен относительно Jx :
X - ъ4х + 2 _ {4х - \){Jx - 2) _ Jx -2 {Jx-l){Jx + l) Jx + l’
I^__2 X_^X -*f- 2
Функция у = —---- совпадает с функцией у = ----^----
jjx + 1 XI
при всех значениях аргумента, кроме х = 1, и является элементарной, а значит, непрерывной во всех точках своей области определения, в частности в точке х = 1.
(Л 4х -2
Ответ: у =
Jx + \
12
Упражнения
1. Среди указанных функций назовите функции, имеющие разрывы. Укажите точки разрыва:
a) I/ = + 7;
b) у = Ъх+^;
Д) г/ = tg х\
в) 1/ = 73Т -
д: + 2’
г) I/ = 3^ + Ig х\ ж) i/ = ;
е) z/ = ^
- при д: < О,
О при д: = О, 2д: при д: > О;
з) I/ = sin д: - cos^ х;
JC + 2 при д: < -1, тя) у = ' x^■ при -1 < д: < 2,
5-х при д: > 2.
2. Сформулируйте условие, достаточное для того, чтобы непрерывная функция имела нуль на отрезке [а; Ь].
• Используйте это условие для составления плана поиска приближенного значения корня уравнения х^ - 2х^ - 8дг - 12 = О на отрезке [4; 5].
■ Действуя по составленному плану, найдите с помощью калькулятора корень с точностью до 0,01.
3. Решите методом интервалов неравенства: а) (х^ - 4)(х^ - 9) > 0;
^ Зд2 - 2д - 1 ^ ^
в) ^ ^ о_____я > 0;
4 + Зд - д:^
g) < 0.
2д - 1 ’ ' д + 3
4. Приведите примеры функций, непрерывных:
а) на множестве действительных чисел;
б) при всех значениях х, кроме д = 4;
в) при всех значениях д, кроме д, равных 1; 2 и 3.
5°. В результате каких преобразований из графика функции у = /(д) получится график функции:
в) у = f{kx + Ь)\ в){/ = -/(д); д)1/ = /(|д|);
5) у = kf{x) Л-Ъ', г) 1/= |Дд + а)|; е) i/= |Я|д|)1?
6. Постройте графики следующих функций:
а) I/ = 2д2 - 1; г)* у =\2 cos д| + 1;
6) * г/= |2^-2|; д)* ^ = |log2|д - 2||;
B)i/ = sin (^2д+^ е)* 1/ = {|д|-2)2.
7. На рисунке 9, а—з изображены графики функций.
1) Какие из этих функций:
а) имеют разрывы; б) имеют устранимые разрывы?
13
i:\jy] t-Д з- .:i ^
i\l_ г—Р 1 i J: :£j y'i гг yj.
-г—
i . I
f - i t •
ж)
e)
3514 Ч-
---4
1
Рис. 9
3)
2)* Найдите для каждого графика соответствующую ему
I jc|
функцию из следующего списка: f/ = (|x| + l)2, i/ = sin ^ ^ »
У =
X -
у =
1 - при \х\ < 1,
х\ при \х\ >
X + 2х^ - х^
1^1, 1 ,---------------------
2 ^ у ^ 1 У 1 V ^ 1 »
у = log2 к|, У =
»v
[л: при х>0,
8 . Вы знаете определение модуля: |д:1 = ]-л: при л: < О Есть ли отличия у функций у — \х\ и у = X* sign X? Можно ли задать функцию сигнум так: sign jc = ^ ?
14
9. Как называется |х - jcqI, если Xq — приближенное значение л:?
10^. Укажите самый большой числовой интервал, все точки которого удовлетворяют неравенству:
3
а)
б)
*-7
и
< 0,01; в) |jc - 1| < 5;
г) \х - дго!
< 0,001; д)# \х-п\< 0,00001.
11. Запишите в виде |jc - Xq| < 6 двойное неравенство:
а) -1<д:<1; в)-2 < д: < 0; д)-2<л:<1.
б) о < JC < 2; г) 1 < л: < 3;
12. Используя геометрическую интерпретацию модуля разности на координатной прямой, решите систему нера-
|л: - 2| > 0,6,
д:-1 <0,7;
венств:
f 1л: - 21 < 0,6, <0,7; в)
f 1л: + 2| б) U 1| <0,7, < 0,6; г)
|л: -Ь 2| < 0,6,
л: + 1 > 0,7.
13*. Докажите, что линейная функция:
а) I/ = 2 - 5л:; б) у = kx + I непрерывна в любой точке Xq.
14*. Докажите, что функция г/ = Зл: + |л:| непрерывна: а) в точке лго = 0; б) в любой точке Xq.
15*. Докажите, используя определение непрерывности, что функция г/ = Vjc непрерывна справа в точке л: = 0.
16. Устраните разрыв функции:
а) у =
б) г/ =
.4 _
Зл:^ -I- 4лг2
Х2
+ X - 6
X - 2
^ + X - 2)(х + 3).
х^ + 2х-3
д) I/ =
в)0 г/ =
Зх^ - л: -I- 3 3- л:
е)0 г/ =
7^-Г 64 - лг2
2- *
17. Найдите область определения и точки разрыва функции:
Si)y =
2 л: -h 6
9 ’
б)у =
х^ - 2х^ - 8л: ’
15
в) I/ = tg X +
cos X
P)y = e) I/
X - ^ .
3 - л/х ’ 1- X
1-x’ " 1 - Vi ■
• Есть ли среди разрывов: а) бесконечные; б) устранимые?
18*. Задайте формулой функцию, совпадающую с функцией ^ = 3-^ во всех точках, кроме х = 2.
19*. Докажите, что функция Дирихле^ у =
1 при X е Q,
0 при хе I,
где Q — множество рациональных чисел, / — множество иррациональных чисел, разрывна в каждой точке.
1 Р - при л: = - ,
Я Я
20*. Докажите, что функция Римана^ у =
О при хе I,
где р е Zy q е N и дробь - несократима, разрывна в любой
Я
рациональной точке и непрерывна в любой иррациональной точке (Z — множество целых, а iV — множество натуральных чисел).
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте известные вам свойства функций, связанные с их непрерывностью.
2. Изобразите график функции, имеющей в точке jCq = 1:
а) бесконечный разрыв; б) устранимый разрыв. Задайте аналитически какую-нибудь функцию, имеющую устргшимый разрыв в этой точке, и функцию, которая получится после устранения этого разрыва.
о 2x2 + Зл: - 5 ^ л
3. Решите неравенство - х - 2 ^
^ Петер Дирихле (1805—1859) — немецкий математик, основные труды которого посвящены механике и математической физике. В нашем курсе используется его определение понятия функции.
2 Бернард Риман (1826—1866) — немецкий математик, учился, а с 1857 г. и преподавал в Гёттингенском университете. В 33 года Риман стал профессором этого университета, в 40 лет умер от туберкулеза. Полное собрание его трудов составило около 500 страниц, которые легли в основу курсов математической физики, электричества и магнетизма, а также математики. Заметим, что Риман слушал лекции Дирихле в Берлинском университете в 1847—1849 гг.
16
2. Предел функции
Функции, графики которых изображены на рисунках 10 и 11, отличаются только значением или отсутствием значения в точке Xq. Точка М(х; у), двигаясь по любому из графиков, может оказаться как угодно близко к точке Mq{xq\ у^). Независимо от того, принадлежит ли точка Mq графику функции (как на рис. 10) или нет (как на рис. 11), при приближении абсциссы точки М к Xq ее ордината f(x) становится как угодно близка к Уо- Можно сказать, что, когда х стремится к Xq, f{x) стремится к Pq.
Слово «стремится» в русском языке обычно означает процесс приближения к некоторой цели, но не само ее достижение. Точно так же «л: стремится к Xq* означает, что х принимает значения как угодно близкие, но не равные Хц. Правда, по отношению к f{x) такого ограничения нет — в процессе своего стремления f(x) может принимать значения, равные Pq.
В ситуации, когда при стремлении л: к А^) стремится к f/g, математики обычно говорят о пределе и пишут:
Пт fix) = Pq
(читается: ^Предел f{x) при л:, стремяш,емся к лгд, равен
Условие существования предела функции в точке х^ отличается от условия непрерывности дополнительным ограничением на значения д:, которые, как мы отмечали, не могут равняться Xq, т. е. значения \х - дго| должны быть строго больше
Рис. 10
^ Обозначение Ит — сокращение латинского слова limes, которое в переводе означает граница, предел. Слово limes для обозначения предела впервые применил И. Ньютон, символ же Ит ввел французский ученый С. Люилье в 1786 г.
17
нуля. Кроме того, ордината точки Mq может и не быть значением функции в точке Xq (см. рис. 11).
С учетом этого определение предела выглядит так^: функция у = f{x) имеет в точке Xq предел^ равный i/q, если для любого е > О существует такое 5 > О, что
О < |л: - < б =i- |/(л:) - у^\ < е.
Из схожести определений предела и непрерывности следует, что предел в точке Xq имеют только функции, которые в этой точке или непрерывны, или имеют устранимый разрыв. Заметим, что если функция у = f{x) непрерывна в точке лгр»
то 1/о = Длго) и Ит f{x) — Kxq) (cm. рис. 10). Верно и обратное
X-^Xq
утверждение: если Ит f{x) = Kxq), то функция у = f{x) непре-
ДГ-^Хо
рывна в точке Xq.
Если же в точке Xq функция имеет устранимый разрыв (см. рис. 11), то при вычислении предела в этой точке его сначала устраняют, т. е. заменяют функцию у = f{x) функцией у = ф(х), непрерывной в точке лгд» ® ® других точках совпадающей с у = f{x). После чего находят yQ ~ ср(л:о)*
Пример 1. Найти Ит ^ ^ .
^ ^ ^.к sin X
в
^ ^ к , cos 2л: + 1
Решение. В точке g элементарная функция у = ——
определена и, значит, непрерывна:
Ит
х-»4
cos 2л: + 1 sin X
cos
(-1)
+ 1
. я sing
0,5+1
0,5
= 3.
Пример 2. Найти Ит
х^2
2х^-Зх-2 х'^ - 4
Решение. Число 2 не входит в область определения 2л:2 — Зх — 2
функции у = —^2 - 4— » значении х в нуль обраща-
ются и знаменатель, и числитель дроби. Преобразуем эту дробь:
2л:2 - Зд: - 2 2(л: - 2)(л: + 0,5) _ 2(х + 0,5)
х^-4 (х-2)(х + 2) х + 2 •
^ Такое определение предела на «языке £, 5» встречается уже в 1880 г. у немецкого математика К. Вейерштрасса.
18
_ 2(х + 0,5)
Функция у ----—5— непрерывна в точке д: = 2, а во всех
X \ и
других точках своей области определения совпадает с функ-
„ 2х^ - Зх - 2 ^
циеи у = —х^'-4:— * Значит:
Ит =. lim 2(х + 0 5) ^2(2 + 05)^
х-^2 ^ 4 х-^2 дг + 2 2 + 2
П римечание. Обычно решение оформляется так:
5
4 '
,, 2х2-Зд:-2 2(х - 2)(х + 0,5) 2(х + 0,5)
lim ----5—-— = lim -7------„V. - о л = lim —7-75^ =
х—*2 ^ 4 х—>2 2)(дс + 2) х—>2 X + 2
2(2 +0,5) 2+2
Рассматривая непрерывность функций в точках, ограничивающих ее область определения, мы ввели понятие односторонней непрерывности. По тем же соображениям следует говорить об одностороннем^ правом пределе^ например, функции у = Jx при X, стремящемся к нулю (рис. 12).
▼ Как и в случае с односторонней непрерывностью, разница в определениях предела и одностороннего предела заключается в наличии или отсутствии модуля, например:
функция у = f{x) имеет в точке Xq правый предел^ равный Pq, если для любого е > 0 существует такое б > 0, что
0 о 3S > о, такое, что 0 < Xq — х < 6=> |Дл:)-1/о1 < е — это условие, определяющее существование левого предела в
Упражнения
21. С помощью графика функции у = f{x) (рис. 14) найдите:
а) lim f{x)\
x-»-l
б) liin f{x)\
X —>3|5
в) lim f{,x)\
x^O
r) lim f{x).
X->1
В каждой ли точке области определения данная функция имеет предел?
точке Xq. л
^ В конце XIX в. независимо друг от друга американский математик Ч. Пирс и немецкий математик Ф. Фриге ввели понятие квантора.
20
22*. Используя определение предела, докажите, что:
а) lim (Зх - 1) = 5;
х->2
б) lim (0,5д: + 2) = 4.
дс->4
Какое свойство элементарных функций позволяет быстро находить такие пределы?
23. Вычислите пределы:
а) lim {х^ - 1);
х-^-1
б) lim (х^ - 6jc Ч- 9);
х-*3
16
г) lim —5-
х-*-4 ^
д) lim (cos^ jc - 2 tg x);
^ T + 1
в) lim '
x-^O ^ ^
^ 3 - 2x
e) lim ^
'___ 1 6л: + 1
24. 1) Какая из функций, графики которых изображены на рисунке 15 (а—е), имеет предел при л: —> 2?
2) Если функция имеет предел, то чему он равен?
3) Какие из функций: не имеют разрывов, имеют разрывы, имеют устранимый разрыв?
25®. Вычислите пределы: л:2 + 2л:- 15
а) lim
х^З
х^-9
v3 й
б) lim -тт------о ;
’ х^-2 л:2 + X - 2 ’
21
х2 + Зд: + 2 ’ - 2д:2
Д) Ит
sin X ^ о tg д: ’
г) lim -----
х->0 ^
е) Ит —
cos Зх - cos X
о sin Зх + sin X *
26. Имеют ли в точке а пределы следующие функции:
а) I/ = J , а = 0;
2
б) «/= а = 3;
I/ = |х: - 1|, а = 1;
г)* г/ = ^, а = О?
27. Изобразите график какой-нибудь функции i/ = f(x), если:
а) Ит f(x) = 1;
б) Ит f(x) = -2;
Х-40
в) Ит f(x) = 3;
х->2
г) Ит/(х) = -|.
28*. Какие из следующих утверждений верны:
а) непрерывная функция имеет предел в каждой точке области определения;
б) непрерывная функция может не иметь предела в некоторой точке области определения;
в) функция непрерывна в точке Xq тогда и только тогда,
когда Ит f(x) — f(xQ);
X-4Xq
г) разрывная функция не имеет предела в точке разрыва;
д) разрывная функция может иметь предел в точке разрыва;
е) разрывная функция имеет предел в точке разрыва, только когда он устранимый?
29. С помощью графиков функций (рис. 16, а—е) ответьте на следующие вопросы.
а) Какие функции имеют двусторонние пределы в точке Xq — 2?
б) В каких точках функция имеет односторонние пределы?
в) Найдите предел функции в точке Xq= 2, если он существует.
30*. Найдите односторонние пределы функций:
f -2х + 3 при X ^ 1,
^)f(^) = \3x-5npnx>l прих->1;
б) f(x) = ^3^ при X ^ 1,
22
Vi
2
1
i
+
t
-X-
e)
31*. Запишите c помощью кванторов определение функции, непрерывной:
а) в точке Xq;
б) справа в точке Xq;
в) слева в точке Xq.
32*. Функция у = f{x) называется ограниченной сверху^ если За \/л: е D(/), f{x) < а.
1) Запишите с помощью кванторов определение функции ограниченной снизу у т. е. такой функции, все значения которой больше некоторого числа.
2) Будет ли условие За Vjce D{f), f{x) < а по-прежнему определять функцию, ограниченную сверху, если кванторы в нем поменять местами:
а) \/л: G D{f) За, f{x) < а;
б) Va Зх G D{f)y f{x) < а?
3) Сформулируйте определение функции, которая не является ограниченной сверху.
33*. Имеет ли предел при Ху стремящемся к by функция
у = f{x)y если lim g{x)
x^h
lim q{x) и 'iXy g{x) < f{x) < q(,x)l
x-^b
23
Контрольные вопросы и задания
1. Чем отличаются определения непрерывности и предела функции в точке?
2. Можно ли утверждать, что если функция f{x) имеет левый и правый пределы в точке Ь, то существует lim f(x)7
x^b
3. Какие из функций, графики которых изображены на рисунке 9 пункта 1:
а) имеют предел в каждой точке; б) имеют односторонний предел в каждой точке?
4. Найдите предел, если он существует:
( -JC + 3, л: < 1,
- 1
6)g(x) =
II
при л: ^ -1.
3. Асимптоты графиков функций
Функция у = sin - (рис. 17) как элементарная является непрерывной во всех точках, кроме нуля. Однако, чем ближе к нулю, тем чаще она пробегает все свои значения, т. е. числа от -1 до 1. Значит, в нуле у этой функции нет ни двустороннего, ни односторонних пределов. Действительно, какое бы число мы ни предложили на роль из определения предела, при е = 0,5 в любой, как угодно малой, 6-окрестности нуля найдется значение sin ^ , равное либо 1, либо -1, которое не будет
удовлетворять неравенству
sin - - I/O
<0,5.
Примерно такие же рассуждения позволяют доказать, что функция не может иметь двух разных двусторонних пределов при X стремящемся к Xq.
24
▼ Докажем это методом «от противного». Пусть при стремлении х к Xq функция у = f(x) имеет два различных предела а и
\а - 6|
Ь. Возьмем е равным
Тогда можно
подобрать такое значение 5, что f(x) окажется одновременно на расстоянии, меньшем е и от а, и от 6. Однако при указанном выборе £ это невозможно, так как f(x) не может быть ближе и к а, и к & одновременно (рис. 18).
Мы пришли к противоречию, означающему, что предположение о существовании двух пределов неверно. Л Можно, и даже не очень сложно, доказать, что:
1) lim (fix) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)\
X-*Xq ^-*Xq X-*Xq
2) lim (Дд:)‘^(х)) = lim f(x) • lim g(x);
X^Xn X-*Xn X~*Xn
3) lim ^
g(x)
lim fix) lim g(x)
X-^Xn
Должны, конечно, существовать пределы в правых частях равенств, а в третьем равенстве, кроме того, должен отличаться от нуля предел, стоящий в знаменателе.
В дальнейшем эти три формулы будут нужны, поэтому полезно запомнить краткие формулировки соответствующих правил:
предел суммы [произведения^ частного) равен сумме [произведению^ частному) пределов.
Вернемся к функции у = sin ^. При неограниченном
удалении точек графика от оси ординат они приближаюся к оси абсцисс, график как бы сливается с осью абсцисс, которая является его горизонтальной асимптотой. Говорят, что функ-
ция
. 1
у = sin- имеет предел
стремящемся к бесконечности:
кванторов это можно выразить так: Ve > О За такое, что \х\ > а . 1
sin - < е
X
равный нулю, при х,
lim sin - = 0. С помощью
х-»°о X
25
в математике обозначение предела иногда используют и в ситуациях, когда функция никакого предела не имеет. Тгпс,
lim - = оо означает, что при х, стремящемся к нулю, зна-
д:->0 ^
чения - неограниченно возрастают по модулю, т. е., что
такое, что IjcI < 5
становится (и остается) больше любого заданного числа: Vb35 - >Ъ. Подобно этому, запись lim = +оо
X д._,0О
говорит о неограниченном возрастании значений выражения при Ху стремящемся к бесконечности^: \/ЬЗа такое, что \х\> а => х^ > Ь. Введенное обозначение позволяет записать условие существования вертикальной асимптоты х = а: lim f(x) =
х-*а
= оо,
„ ^ тт о 2х^ - 5дг + 3
Пример 1. Наити^ип
Решение. При х, стремящемся к бесконечности, и числитель, и знаменатель дроби неограниченно возрастают. Вообще говоря, эта ситуация неопределенная. Однако, разделив числитель и знаменатель на х^у мы получим тождественно
равное выражение
2 _ _5 _3
X х^ ^ х^
поведение которого при стрем-
3 + - - 4
лении X к бесконечности вполне понятно: каждая из трех дробей в числителе при неограниченном увеличении модуля ее знаменателя стремится к нулю, значит, и весь числитель стремится к нулю (предел суммы равен сумме пределов). По аналогичным соображениям, знаменатель стремится к числу 3. Понятно, что вся дробь при этом стремится к нулю (предел частного равен частному пределов):
lim
2х^-5х + 3 Зх^ + 4х^ - 2х
2 _ А + А
= lim
= 0.
Пример 2. Найти lim
2х^
3 Н-----2
X х^
5х + 3
+ 4х^ — 2х
^ Символ бесконечности (°о) впервые использовал английский математик Джон Валлис в 1665 г. в работе «Арифметика бесконечного». Существует мнение, что знак бесконечности противопоставлялся автором нулю и представлял собой два связанных между собой нуля.
26
_ 2х^ - 5х + Z
Решение, lim -л- о . . о—?г- = lim
2-1 + 1
гх^ + 4х^-2х ^_,оо з^4_А
X х^
2
3 •
Полученный ответ позволяет сделать вывод о том, что
2х^ — 5х + 3
функция у = зд.3 -f 4д:2 _ 2х горизонтальную асимптоту
2
У‘Ъ-
По аналогии с горизонтальной асимптотой можно ввести и понятие наклонной асимптоты — прямой у = kx + Ь., с которой при неограниченном увеличении х сливается график функции у = fix):
прямая у = kxЬ {кФО) называется наклонной асимптотой графика функции у = /(jc), если
lim ifix) - ikx + b)) = 0.
Пример 3. Нгшти асимптоты графика функции у =
X + \ '
Решение. Поскольку lim ——г = то вертикальной
х-*-1 X ~г 1
асимптотой графика этой функции является прямая х = -1. Для решения вопроса о горизонтальной асимптоте устре-
2 X
МИМ X к бесконечности: lim -—гг = Ит ------7 = Предела
л: + 1
1 + -
X
не существует, значит, у функции нет горизонтальных асимптот.
Нахождение наклонных асимптот несколько сложнее.
Преобразуем сначала выражение
х^ - 1
1 + 1
л: + 1 * л: + 1
л: + 1
х + 1 х + 1 ' ^ . Первое слагаемое задает ли-
нейную функцию, а второе при стремлении х к бесконечности стремится к нулю.
f х^ \ 1
Имеем: lim I —^ - (х - 1) = Иш = 0, значит,
дг—»00 \ ■^ ' / jf —>оо X ~г X
Х^
функция у = х + 1 наклонную асимптоту у = х - 1.
Информация об асимптотах позволяет более точно изобразить график функции (рис. 19).
27
Заметим, что на промежутке (-1; +оо) значения функции неотрицательны, поэтому в точке х = О функция принимает свое наименьшее на этом промежутке нулевое значение.
Нельзя, правда, пока определить координаты точки А, абсцисса которой разделяет промежутки возрастания и убывания функции — этому вы научитесь в следующих главах нашего учебника.
Замечание. Графики некоторых функций могут иметь две наклонных асимптоты. Например, прямые у = х и у = -х — наклонные асимптоты графика функции у =\х\+^ (рис. 20).
Здесь Ит (|л:|+--дг|=0 и lim [ |лс|-I-- - (-jc) ] = 0.
д:-»+оо\ ^ / л;-^-оо\ X )
ТПример 4. Найти наклонные асимптоты графика
, - 7x2 + 4д. _ 3
функции у -----^2 - 4х - 5-•
Решение. Попытаемся, как и в предыдущем примере, выделить из данной дроби линейный двучлен. Здесь, однако, формулы сокращенного умножения нам помочь не смогут — придется делить числитель дроби на ее знаменатель в столбик. Алгоритм деления многочлена на многочлен очень похож на хорошо известное деление уголком одного натурального числа на другое:
_Чх^-1х^ + 4л: - 3 2х^ - 8л:2 - 10х
х2 + 14х - 3 х^ - 4х - 5
л:2 - 4х - 5
2х + 1
18х + 2
Сначала мы подобрали одночлен 2х так, чтобы, умножив его на старший член делителя, получить старший член дели-
28
мого 2х^. Затем под делимым подписали произведение делителя на этот одночлен и вычли из делимого это произведение. После вычитания от делимого остался трехчлен + 14х - 3, для которого как для делимого мы повторили описанную процедуру: нашли одночлен 1, умножили на него делитель, подписали под делимым и вычли. В остатке получился двучлен 18х + 2. На этом деление закончилось, так как нет одночлена, который в произведении с х^ дал бы 18jc.
Итак, при делении 2х^ - 7х^ ■+• 4л: - 3 на - 4дс - 5 в частном получилось 2л: + 1, а в остатке 18л: + 2, значит.
2лЗ - 7х^ + 4х-3 - 4х - 5
= 2х+1 +
18л + 2 л^ - 4л - 5 '
Прямая г/ = 2х + 1 — наклонная асимптота графика функ-2л^ - 7л^ -Ь 4л - 3
ции у = --^2-4д.-5---» так как
Иш
Х-^СО V
{ 2х^ - 7л2 -ь 4л - 3
4л - 5
-(2х+1)у
= lim
Х->оо
18л + 2
~9—^? = Вт л2 - 4л - 5
1S ^
X л2
1_4.А
^ л л2
= 0. л
Упражнения
2
34. Известно, что lim /(л) = -2, lim g{x) = « • Найдите
а) lim 0,3/(л);
х-»1
б) lim ;
ДС-)1 ^
в) lim {fix) + g(x));
х-^\
г) lim (Дл) • ^(л)); е) Ит(/(л))3.
х->\
35*^. 1) Докажите, что вблизи указанной точки значения функции неограниченно возрастают по модулю:
а)!/ = при л ^ 3;
в) */= прил^ 1;
б) г/ = ^ при л -> 0;
. л2 -Ь 2л - 3 „
^ ^ (X + 3)2 ^
2) Запишите уравнения вертикальных асимптот графиков указанных функций.
29
36. Выберите условие, при котором:
1) Ит f(x) = Ь; 2) lira. f{x) = оо; 3) Цщ f{x) = -оо;
д-_,оо д;-»-ос д:->+оо
а) V63a такое, что х < а=> |/(д:)1 > Ь;
б) Ve > 03а такое, что х < а ^ I/W-&I < е;
в) \/ЬЗа такое, что х> а=> f(x) < Ь;
г) Ve > 03а такое, что 1л:| > а =❖ |/(jc) - Ь| < £.
37. Запишите с помощью кванторов, что:
а) Ига fix) = -ОО; б) Ига fix) = а.
х—^й Jf—ОО
38. Приведите пример функции у = fix) такой, что:
а) Ига fix) = -ОО; б) Ига fix)= а.
х—>а
39. Докажите, что Ига fix) = оо, если:
Х^Хп
а) fix) = (5лс - 2) 1, = g ;
б) fix) = i2x + 3)"^, Xq = -1,5;
в)* fix) =
г)* fix) =
- 2>х + 16 (ДГ-4)^
,^0 = 4;
х^ - Zx^ + Зх - 1 (:>с-1)5
, Xq 1.
40. 1) Найдите предел функции у при Ху стремящемся к бесконечности:
Зл:2 - 2л: + 5 . 2д:2 + Зл:-1’
б)г/> ^_i; ,, Jx^ - 2 г) J/= ^ .
2) Запишите уравнения горизонтальных асимптот графи-
ков данных функций.
41. Найдите наклонные асимптоты графика функции:
, Зл:3 + 2л;2 + 1 а) ^ = ^2 ; 4л:2 - х^ 2 в) оо, д: —> +сю, х —> -°о?
43°. Графики каких функций имеют: 1) вертикальную;
2) горизонтальную; 3) наклонную асимптоты:
, -hi
a)i/ =
б) 1/ =
в) i/ =
д: + 1 ’
X
Х2 - 1 ’
3
r)f/= — Д)*!/ =
2х
х-3’
х^ - 2х^ + 4 Х^ -h X - 2
х*-5^
х + З’
Запишите уравнения асимптот графиков функций.
44*. 1) Может ли график функции иметь горизонтальную асимптоту при х +°о и наклонную асимптоту при х -> -оо?
2) Может ли график функции иметь:
а) две вертикальных и две наклонных асимптоты;
б) одну горизонтальную и две наклонных асимптоты;
в) три наклонные асимптоты?
Если может, сделайте его эскиз.
45. Закончите предложение:
а) Если Ит f{x) = оо, то график функции имеет ...
х-^а
б) Если Ит f{x) = а, то график функции имеет ...
х->оо
в) Если Ит (fix) - {kx + b)) = О, то график функции
х-»оо
имеет ...
46. Згшишите с помощью обозначения предела, что:
1) прямая I/ = 1 является горизонтальной асимптотой графика функции у = g(x) в левой полуплоскости;
31
2) прямая у = 1 является горизонтальной асимптотой графика в левой и в правой полуплоскостях;
3) прямая x = S является вертикальной асимптотой графика;
4) прямая у = Зх - 1 является наклонной асимптотой графика функции у = g{x) в верхней и в нижней полуплоскостях?
47^. Изобразите график какой-нибудь функции, для которой выполняется условие;
а) lim f{x) = оо;
х-^З
б) lim fix) = -оо;
х-»-1
в) lim fix) = 2;
г) lim fix) = 3;
Х~*-оо
д) lim ifix) - i2x - 3)) = 0;
е) lim (/(x) + (2 - x)) = 0.
X-*-°0
48*. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке; 1) 22, а; 2) 22, б.
Рис. 22
49*. Запишите с помопдью обозначения предела;
1) Ve > о За такое, что х> а=> \ fix) - Ь\<г;
2) Ve > о За такое, что х < а => \fix)-b\ а=> fix) > Ь;
4) Vb За такое, что х < а => fix) > Ь;
5) Vb ЗМ такое, что |х| > М => |/(х)| > Ь.
50*. Что можно сказать о последовательности а^, Og,
^3^ ***9 ***? 0СЛ1^«
1) Ук, 71 е N, тг> к а^> af^;
32
2) Ve > о 3/г G iV V/г e N, n > k ^ \a^ - fo| < e;
3) \/b3k G N такое, что > b;
4) Wb3k € N \/n e N, n> ^.;s=> a„ > bl
Укажите какую-нибудь последовательность, для которой одновременно выполняются условия 1 и 2.
Контрольные вопросы и задания
1. Приведите примеры использования обозначения предела, когда предел не существует.
2. Может ли график функции иметь и горизонтальную, и наклонную асимптоты?
3. Докажите, что прямая у = + 2 является наклонной
асимптотой графика функции
Зд;3+ 5л:2-Зл:-1
+ X + 1
ГЛАВА
1
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Эта глава познакомит вас с возможностями, которые предоставляет для исследования функции знание углового коэффициента касательной к ее графику. В пункте 4 вы научитесь проводить касательные к графикам функций и записывать их уравнения. В пункте 5 угловой коэффициент касательной получит свое классическое название — производная, и станет понятно, почему производную называют скоростью изменения функции. В пункте 6 производная поможет находить промежутки возрастания и убывания функций.
4. Касательная к графику функции
На рисунке 23 к полуокружности радиуса 2 с центром в начале координат, представляющей собой график функции
у = л/4 - , проведена касательная. В курсе геометрии каса-
тельная к окружности обычно определяется как прямая^ имеющая с окружностью единственную общую точку. Однако для полуокружности такое определение касательной уже не подходит. Действительно, через точку Mq можно провести бесконечно много прямых, имеющих с ней единственную общую точку (рис. 24).
34
б)
Рис. 25
в)
Рис. 26
Сформулируем определение касательной так, чтобы оно годилось не только для окружности и полуокружности, но и вообще для произвольной кривой.
Последовательно увеличивая масштаб изображения (рис. 25, а—в), мы видим, что вблизи своей точки Mq график функции как бы спрямляется, сливается с касательной. Значит, с касательной сливается и секущая MqM в знакомом вам из предыдущей главы процессе сближения точки М(х; у) с точкой Mq (рис. 26).
Касательная к кривой в ее точке Mq — это предельное положение секущей MqM, когда М стремится к Mq.
Понятно, что касательная к кривой не существует в точках ее разрыва, так как точка М не стремится к точке Mq при X —> Xq (рис. 27). Отсюда, в частности, следует, что если касательная к графику функции у = f{x) в точке Mq{Xq\ z/q) существует, то функция непрерывна в точке Xq. Однако обратное утверждение неверно. На рисунке 28 изображен график функции, непрерывной в точке Xq, но не имеющий касательной в точке Mq — предельное положение секущей при стремлении точки М к Mq слева и справа оказывается различным.
Все же в подавляющем большинстве точек графики элементарных функций имеют касательные и благополучно спрямляются вблизи них.
Рис. 28
35
Работать с прямыми значительно легче, ведь они являются графиками самых простых — линейных — функций. Возможность заменять на маленьких промежутках произвольные функции линейными независимо друг от друга открыли в середине XVII в. И. Ньютон и Г. В. Лейбниц. Эта возможность легла в основу нового раздела математики — «Математического анализа»^.
Рассмотрим, как получить уравнение касательной к графику функции.
На рисунке 29 изображен график некоторой функции у = f{x)y имеющий в точке Mq{Xq\ i/q) касательную MqK. В соответствии с определением, при стремлении точки М к точке Mq секущая MMq» поворачиваясь вокруг точки Mq, стремится слиться с касательной М^К.
Стремление точки М к Mq обеспечивается стремлением ее абсциссы х к Xq^ абсциссе точки Mq.
Чтобы получить уравнение прямой MqK: у = k(x - Xq) + i/q, нужно найти ее угловой коэффициент k, равный тангенсу угла а наклона этой прямой^. К этому углу стремится — угол наклона секущей MMqI lim = а.
Тангенс угла наклона секущей можно выразить из прямоугольного треугольника MqCM, в котором
MqC = x-XqH МС = у-уо‘у tg а* = .
Таким образом, k — tg а = lim tg = lim
У-Уо
X- Xo
Пример 1. Найти уравнение касательной к графику функции у = х^ в его точке с абсциссой Xq= 1.
^ Статья Г. В. Лейбница «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не являются препятствием дробные и иррациональные количества, и особый для этого род исчисления», опубликованная в математическом журнале в 1684 г., состояла всего лишь из шести страниц и была первой работой по изложению метода исчисления бесконечно малых. Основным понятием у Лейбница, как и в нашем учебнике, являлось понятие касательной.
2 Это не относится к касательным, которые перпендикулярны оси абсцисс. Они не являются графиками линейных функций у = kx + I, а задаются уравнениями вида х = а.
36
Решение.
(D Найдем ординату точки касания: у^ = 1^ = 1. @ Найдем разность у - у - у^ = - 1,
Найдем угловой коэффициент касательной:
k = lim -—— = lim -—^ = lim (л: + 1) = 1 + 1
х-^Хо X- Хо Х-1
2.
Напишем уравнение касательной: у = 2(х - 1) + 1.
Раскрыв скобки и приведя подобные, получим ответ: у = 2х - 1.
Замечание. Эту задачу можно решить и более привычным способом, заметив, что касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку (рис. 30). Тогда коэффициент k вычисляется как значение fe, при котором квадратное уравнение = k{x — - 1) + 1 имеет единственный корень, т. е. при котором его дискриминант равен нулю. Имеем:
х^ = k{x - х^ - kx {k ~ 1) = 0.
D = 0: - 4()!г - 1) = о, )fe2 - -ь 4 = 0, {k - 2)2 = 0, А: = 2.
Пример 2. Найти уравнение касательной к графику функции у = 4х в точке Xq = 0.
Решение. Поскольку Xq является левой границей области определения, точка М может приближаться к точке Mq только справа (рис. 31), а значит, искать нужно правый предел:
lim
= lim = lim ^ = lim ^
jc->0*
л: - о
Jx
= оо.
Рис. 30
37
Рис. 32
Предел не существует, однако ясно, что угол наклона секущей MMq стремится к 90°. При этом касательная или параллельна оси ординат, или, как в нашем случае, совпадает с ней.
Ответ: уравнение касательной л: = 0.
Упражнения
51. Найдите приближенно тангенс угла наклона касательной к графику функции в отмеченных точках (рис. 32).
52. В каких точках касательные к графику функции (рис. 33) параллельны: а) оси абсцисс; б) прямой у = х; в) прямой у = -X?
53. В каких точках не существует касательной к графику функции (рис. 34)?
54. Постройте график функции у = х^.
1) Отметьте на графике точки Мд, Mj, Mg, Mg с абсциссами Xq = -1, ATj = о, ЛГд = 1, Xq = 2.
2) Найдите угловые коэффициенты секущих:
а) MgMg; б) MgMg; в) МдМ^.
3) Найдите угловой коэффициент касательной в точке Мд как предел.
55. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f{x) в его точке с абсциссой лгд:
а) fix) = х^ + I, Xq== -1; б) fix) = х^ - 2х + 1у Xq = 1.
56. 1) Напишите уравнение касательной к графику функции у = х^ в его точке с абсциссой: а) JCg = 0; б) л:д = -1; в) Xq = 2.
38
2)^ Составьте уравнение касательной к графику функции у = 2х^ - 3 в точке с ординатой: а) у^ — 0; б) yQ= 1; в) у^ = -3.
57. Напишите уравнение касательной к графику функции у = 2х^ - л: + 3, проходящей через его точку:
а)А(-1;6); б) D(0; 3).
58*^. Найдите координаты точки графика функции у, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен k:
а) у — х^ - Их + 1у k = 1; б) у = х^ + 5х - 6^ k = -1.
59*. Найдите угол между касательными, проведенными к графикам функций у = 2х^ - S и у — 2х^ - л: + 3 в точке их пересечения.
60*. Составьте уравнение касательной к графику функции у = 2х^-х + 3:
а) проходящей параллельно оси абсцисс;
б) проходящей параллельно прямой у = х + 2;
в) проходящей параллельно прямой у = -2х + 5.
61*. Составьте уравнение касательной к графику функции у = х^ + 2х + 1, перпендикулярной прямой:
а) 2^ + л: - 3 = 0; б)бу - х И = 0.
62*. Найдите геометрическое место таких точек М, из которых можно провести к параболе у — х^ две взаимно перпендикулярные касательные.
Контрольные вопросы и задания
1. Докажите, что функция непрерывна в точке, где к ее графику проведена касательная.
2. Верно ли, что в любой точке, где функция непрерывна, к ее графику можно провести касательную?
3. Постройте график функции у = sin х. Сколько существует касательных к этому графику, параллельных оси абсцисс? Укажите абсциссы точек, в которых касательные к этому графику имеют положительные угловые коэффициенты.
5. Производная и дифференциал функции
Выражение lim
У-Уо
позволяет находить угловой коэф-
фициент касательной к графику функции у = f{x) в произвольной точке Xq. Обычно используется специальное обозна-
39
чение: х - Xq = Ах (читается: дельта икс). В русском языке для величины, на которую изменилось начальное количество, используется слово «прирост». Поскольку Ах показывает, на сколько изменилось начальное значение аргумента XqI х = = jCq + Ах, Ах называют приращением аргумента.
Прирапдению аргумента соответствует приращение функции, которое также обозначается с помощью заглавной греческой буквы
^У = у-Уо = f(^) - А^о) = f(^o + ^)~ fi^o) = А/.
С новыми обозначениями получаем:
у- Уо ^ ^ ^ /(дгр + Ах) - fixp) л: - Хр Дл: Ах
На рисунке 35 касательная делит отрезок СМ на две части. Одну из них, СК, которая показывает, как изменилась ордината точки касательной, т. е. приращение соответствующей линейной функции называют дифференциалом.
Говорят, что дифференциал функции у = f{x) — это линейная часть ее приращения и обозначают его dy или df.
Вблизи точки касания график функции сливается с касательной, а значит, приращение функции практически не отличается от ее дифференциала, т. е. относительная погрешность замены Ау на dy близка к нулю. Это позволяет достаточно точно вычислять приращения функции, соответствующие малым приращениям аргумента: Ау ~ dy = = kAx, где k — угловой коэффициент касательной MqK.
Касательная к графику функции у = х совпадает с графиком самой функции, значит, для нее
Дх = dx.
Поскольку дифференциалы функции и аргумента представляют катеты прямоугольного треугольника MqCK (см. рис. 35), можно через них выразить угловой коэффициент ка-
„ , du
сательнои: k = ^ .
dx
Рис. 35
^ Букву «А» для обозначения приращений переменных в середине XVIII в. стал использовать Л. Эйлер.
40
с другой стороны, с учетом того, что при л:, стремящемся к Xq, их разность Ajc стремится к нулю, k можно найти как предел;
А = lim ^ = lim
Длг-»0 ^ Дх^О
/(Хр + Ад:) - f{Xo) Ад:
С этого предела и началась в XVII в. новая эпоха в развитии математики.
Предел частного приращений функции и аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, называется производной функции.
Производная функции у обозначается у' (читается: «игрек штриха). Так, значение производной функции у = f{x) в точке Xq записывается, как
А/ /(Хр + Ад:) -/(Хр)
f (д:д) = 1ш1 — = hm --------т--------.
^ дх^о ах дд:-^о Дл:
▼ Если Xq является левой или правой границей области определения функции, говорят соответственно о правой или левой производной. Так, в левой границе Ах стремится к нулю справа, а значит, производная равна правому пре-
Af
делу: f(xQ)
f\xQ)= lim
Дх-»0
lim . . дх-»о* Ах
Аналогично, левая производная;
м.
Ах
. Специального обозначения для односторон-
них производных нет, просто следует помнить, что на границе области определения функция может иметь только одностороннюю производную (но может и не иметь, как рассмотренная в примере 2 предыдущего пункта функция у = Jx),/A Производная у' = f{x) функции у = f{x) в ее произвольной точке X (теперь можно отказаться от использования обозначе-
^ Приращение абсциссы, «бесконечно малую» разность Х2 — х^, Лейбниц обозначил через dx {d — первая буква в латинском слове diferentia — разность), соответствующее приращение функции У2~ У\ — через dy. Для производной он специального обозначения не ввел и записывал ее как частное дифференциалов. Обозначения у' и f'(x) для производной ввел Лагранж. Сам термин «производная» (перевод французского слова derivee) впервые встретился у француза Луи Арбогаста в его книге «Вычисление производных», опубликованной в Париже в 1800 г.
41
ния Xq) г/' = f'(x) = lim ^ = lim
' “ Ax-^0
fix + Да:) - f(x) Ал:
сама являет-
Ax->0
ся функцией аргумента х.
Поскольку f'(x) = ~, отношение дифференциалов также
иногда используют для обозначения производной. Сам процесс нахождения производной называют дифференцированием, а функцию, которая имеет производную в любой точке области определения, называют дифференцируемой.
Пример 1. Найти производную функции у = х^ - ^x + Z. Решение.
(D Ai/ = ((х + Ajc)^ - 3(jc + Ал:) + 3) - {х^ - Зл: + 3) =
= ((х + Ал:)^ - л:^) - ЗАл: =
= (л: + Ал: - л:)((л: + Ал:)^ + (л: + Ал:)л; + х^) - ЗАх =
= Ах(3х^ + ЗхАх + (Ал:)^) - ЗАл: = Ал:(3л:2 + Ал:(3л: + Ал:) - 3);
Дл:(3л:^ + Дл:(3л: + Ал:) - 3) _
Ах
lim
Дл;->0
= lim (Зл:^ + Ал:(3л: + Ал:) - 3) = Зл:^ - 3.
Дх^О
Ответ: у' = Зх^ - 3.
Используя обозначение производной, можно записать уравнение касательной к графику функции у — f(x) в его точке с абсциссой л:о:
У = f'iXQ)(x - Xq) + fiXo).
Пример 2. Найти уравнение касательной к графику функции Ял:) = л:^ - Зл: + 3 в точке его пересечения с осью ординат.
Решение. Абсцисса указанной точки графика: л:д = 0. В уравнение касательной входят еще /(л:о) — ордината точки касания и /'(Xq) — значение, которое принимает производная в точке XqI fixo) = ДО) = 3; f'{x) = Зх^ - 3; f'(xQ) = /'(0) = -3.
Теперь можно записать уравнение искомой касательной: у — -Зх + 3.
Ответ: у = -Зх + 3.
Пример 3. Найти приближенное значение функции Дл:) = л:^ - Зл: + 3 при х = 1,99.
Решение. Из того, что Дл:о + Ал:) = Дл:о) + А/ и А/ » d/ = == fix) • Ал:, получаем:
Дхо + Ах) = Дхо) + А/ « Дхо) + fix^) Ах.
Представим 1,99 как 2 - 0,01 и подставим в полученную формулу Xq = 2 и Ах = -0,01:
42
/(1,99) = /(2 - 0,01) - /(2) + Г(2) • (-0,01).
/(2) = 23 - 3 • 2 + 3 = 5; f'{2) = 3 • 2^ - 3 = 9.
/(1,99) = 5 + 9 • (-0,01) = 5 - 0,09 = 4,91.
Ответ: 4,91.
П римечание. Чем меньше Ад:, тем точнее приближение. В этом примере точное значение /(1,99) равно 4,910599.
К понятию производной мы пришли, решая задачу составления уравнения касательной к графику функции. Однако есть и другой путь к производной.
Рассмотрим движение материальной точки М по прямой с выбранным на ней началом отсчета — точкой О. Расстояние от начала отсчета до точки М в каждый момент времени t обозначим буквой s.
Тогда движение точки М будет описываться функцией S = s(^) (рис. 36).
Найдем v{t) — скорость точки М в момент времени ^. Мгновенная скорость, как вы знаете из курса физики, прибли-
Рис. 36
женно равна средней скорости точки за очень маленький вре-
менной интервал, т. е. v{t) =
+ At) - s{t) At
. Погрешность этого
приближения стремится к нулю при неограниченном уменьшении продолжительности рассматриваемого временного интервала, значит, u(t)
li„ = lim ^.
At л<->о
At-^O At-
Мы снова пришли к производной s'(t). Скорость изменения расстояния оказалась равна его производной.
Перенося физический смысл производной расстояния на произвольные функции, часто говорят, что производная есть скорость изменения функции^.
^ Знаменитый английский ученый И. Ньютон (1643—1727) пришел к понятию производной от задач механики, поэтому для него основным понятием была скорость, а не касательная, как у Лейбница. Свои результаты в этой области он изложил в трактате «Метод флюксий и бесконечных рядов», который был опубликован уже после его смерти, в 1736 г. Однако открыл свой метод флюксий, тех же самых производных, Ньютон еще в середине 60-х годов XVII в., когда 20-летний Лейбниц был студентом юридического факультета и математикой еще не занимался. Два ученых из разных стран независимо друг от друга пришли к понятию производной, Ньютон, решая задачи физики, Лейбниц — задачи геометрии.
43
Пример 4. Через сколько секунд после начала движения по прямой материальная точка остановится, если расстояние от нее до некоторой точки этой прямой изменяется по закону а = - 8^ + 10 (м), где t — время движения в се-
кундах?
Решение. В момент остановки скорость точки становится равной нулю. Значит, нужно найти скорость как производную функции s(i) и приравнять ее нулю.
(D Да = s{t + Д^) - s{t) =
= {t + At)^ - 8(t + At) + 10 - (t^ -8t+ 10) = At(2t - 8 + Д^); u(t) = lim ^ = lim д'5 ^ (2^ - 8 + At) =
At-^O Д<->0 Д^-»0
= 2f-8.
(D v(t) = 0: 2^-8 = 0, f = 4.
Ответ: точка остановится через 4 с после начала движения. Упражнения
63. В каких точках производная функции, график которой изображен: 1) на рисунке 37; 2) на рисунке 38; 3) на рисунке 39; 4) на рисунке 40:
а) не суш;ествует, б) принимает значение, равное нулю?
Рис. 37
44
На каких промежутках ее значения положительны, а на каких отрицательны?
64. Функция у = g(x) задана своим графиком (рис. 41).
Сравните значения производной:
а) ^'(1,5)ия'(-2);
б) ^'(-2)и^'(-1);
в)
r)g'i-l)Hg'iO).
65. По графикам функций (рис. 42, а—г) определите:
1) на каких промежутках производная функции:
а) положительна; б) отрицательна;
2) производная какой из этих функций обращается в нуль и в какой точке.
66. Используя графические соображения, найдите:
а) производную постоянной (у = С); б) производную линейной функции (у = kx + Ь).
Рис. 41
45
б)
Рис. 43
67®. Верно ли утверждение: «Если f(x) — дифференцируемая функция, график которой имеет горизонтальную асимптоту в левой и правой полуплоскостях, то существует lim /'(л:)»?
х->оо
68*. Скопируйте в свою тетрадь график функции, изображенный: 1) на рисунке 43, а; 2) на рисунке 43, б. В той же системе координат изобразите схематически график производной этой функции.
69*. Докажите, что:
а) производная четной дифференцируемой функции является нечетной функцией;
б) нечетная дифференцируемая функция имеет четную производную.
70. Найдите Ау и ^ для функции:
1) у = если: а) х = 2, Ах = 0,1; 6) х = 2,5, Ах = 1,5;
2) t/ = ~ » если: а) л: = 3, Ах = 0,01; б) х = 2, Ах = -0,1.
71°. Пользуясь определением, найдите производные следующих функций:
а)у = х^; в)у=^; Р)* У = ^
б) t/ = х^;
т)* у = Jx;
е)* у
_1_
Jx
72°. Докажите, что функция f{x) является производной функции g{x)\
а) fix) = 2л: - 4, g{x) = - 4л: + 6;
б) * fix) = бл:^ - бХу gix) = 2л:^ - Зд:^ + 2.
46
При решении упражнения 73—84 используйте результаты упражнений 71 и 72.
73. При каких значениях х выполняется условие:
а) f'{x) < I, если f(x) = х^ ~ 4х + 6;
б) f'(x) > 5, если f{x) = 2х^ - Зх^ + 2?
74. Найдите значение производной функции f{x) и запишите уравнение касательной к графику этой функции в его точке с абсциссой XqI
1) fix) = х^ - 4х + 6: а) Xq = 1; б) Xq = -1; в) х^ = 2;
2) fix) = 2х^ - Зх^ + 2: а) Xq = 1; б) Xq = -1; в) Xq = 2.
75. Напишите уравнение касательной к графику функции у = fix), которая проходит через точку А, если:
а) у = х^ - 4х Л- А(2; 2);
B)y=^,Ai-l;-l); г)у= Jx,Ai4; 2).
6)1/ = 2л:3-Зл:2 + 2,А(1; 1);
76. Составьте уравнение касательной к графику функции:
1) I/ = - 4л: + 6: а) параллельной оси абсцисс; б) в точке
его пересечения с осью ординат;
2) у = 2х^ - Зх^ + 2: а) параллельной прямой г/ = 12л: + 1; б) в точке пересечения с осью ординат.
77. Напишите уравнение касательной к графику функции
:/ = - 4л: + 6, перпендикулярной прямой:
а) X = 5; б) I/ = х; в) I/ = -х; г)*^ г/ = 2х + 3.
78. Найдите приближенное значение функции:
а) fix) — х^ при X = 2,01;
в) fix) = - при X = 1,97;
г) fix) = Jx при X = 4,03.
б) fix) = х^ при X = 2,83;
79. Тело движется по закону sit) = - 4t + 6. Найдите:
1) среднюю скорость движения тела j в проме-
жутке времени:
а)[0;1]; б) [2; 5]; в) fg];
2) мгновенную скорость движения тела = s'it)) при:
a)f = l; б) f = 5; в) t = ^Q;
3)* ускорение тела ^ = у'(^) j-
47
80. Тело движется по прямой так, что расстояние s до не-
го от некоторой точки этой прямой изменяется по закону S = - 4t + 6 (м), где t — время движения в секундах. Найдите:
1) скорость тела через 3 с после начала движения;
2) в какой момент скорость тела равна 16 м/с;
3) в какой момент расстояние от тела до точки отсчета будет наименьшим;
4) в к£псой момент тело остановится (и = 0).
81. Количество электричества (в кулонах), протекаюш;ее
через некоторый проводник, задается формулой q = - 4t + 6^
где t — время, с. Найдите силу тока (/ = q'(t)) в момент времени t = 2 с.
82*. Тело движется по прямой так, что расстояние s от начала отсчета изменяется по закону s = - St + 3 (м), где t —
время движения в секундах. Найдите:
1) через сколько секунд после начала движения тело остановится;
2) в какой момент скорость тела станет равной 9 м/с;
3) каково наименьшее расстояние от тела до точки отсчета;
4) в какой момент ускорение тела станет равным 18 м/с^.
83*. Закон изменения температуры Т (в °С) тела в зависимости от времени t задан уравнением Т = 0,2t^. С какой скоростью нагревается это тело в момент времени f = 10 с?
84*. Сила тока I (А) изменяется в зависимости от времени t (с) по закону I = 0,4t2. Найдите скорость изменения силы тока в конце 8-й секунды.
85*. Вычислите приближенно площадь S круглой пластинки, радиус 3 см которой после ее охлаждения уменьшился на 0,02 см.
86*. Тело, масса которого m = 0,5 кг, движется прямолинейно по закону s(t) = - 2t + S (м), где t — время движения в
секундах. Найдите кинетическую энергию тела через 7 с после начала движения.
Контрольные вопросы и задания
1. Объясните, почему равенство приращения аргумента функции у = хиее дифференциала является точным.
2. Почему производную функции называют скоростью ее изменения?
3. Изобразите график какой-нибудь непрерывной функции, которая не имеет производной в точке х = 1.
4. Найдите по определению производную функции
f(x) = Sx^ - 2х.
48
6. Точки возрастания, убывания и экстремума функции
Угловой коэффициент k = /'(Xq) касательной к графику функции у = f{x) позволяет сделать вывод о том, как ведет себя функция вблизи точки касания Mq(Xq; i/q).
На рисунке 44 (а—г) схематически изображены случаи, соответствующие положительному значению f'(xQ). На рисунке 45 (а—г) значение f'(xQ) отрицательно.
Поскольку график функции в ближайшей окрестности точки касания сливается с касательной, можно заметить, что для точек этой окрестности:
1) при f'ixo) > О (рис. 44) точки графика слева от точки касания расположены ниже, а справа — выше этой точки;
2) при /'(Xq) < О (рис. 45) точки графика слева от точки касания расположены выше, а справа — ниже этой точки.
Рис. 44
Рис. 45
Если слева от точки Xq значения функции меньше, а справа — больше, чем значение функции в самой точке Xq, то Xq называют точкой возрастания. Если слева от точки Xq значения функции больше, а справа — меньше, чем значение функции в самой точке лгд» то Xq называют точкой убывания.
Когда Xq — точка возрастания, в некоторой ее окрестности разности X - XqU f(x) - /(jCq) одинаковы по знаку.
▼ Используя кванторы, это можно записать так: 35 > О
такое, что О < |д: - jCqI < 5 =>
fix) - fixo) Af
X - Xq
убывания Xq соответственно: 35 > О такое, что О < |л: - Xq| < 5 =>
= ^ > 0. Для точки
У к у=х+х^>
/
fix) - fiXo) ^ ^ Q
X — Хп Ах
л
Замечание. Когда речь идет об элементарных функциях, то точка возрастания принадлежит некоторому промежутку возрастания функции, а вот у произвольной функции такого промежутка может и не оказаться. Так, например, д: = о — точка возрастания функ-
Рис. 46
49
ции у =
_ \ х + sin - при х^Оу
О, при х = Оу
которая при стремлении ее аргумен-
та к нулю бесконечно колеблется между функциями у = х-х^иу = = X + х^ (рис. 46). Однако как угодно близко к нулю есть промежутки, на которых функция убывает.
Вы неоднократно встречались с промежутками возрастания или убывания функций, которые еще называют промежутками монотонности. Понятно, что любая внутренняя точка промежутка возрастания [убывания] является точкой возрастания [убывания] функции.
Отысканию промежутков монотонности помогает условие возрастания [убывания] функции: если во всех точках некоторого промежутка производная функции положительна [отрицательна], то на этом промежутке функция возрастает [убывает].
Это утверждение является достаточным^ условием возрастания [убывания] функции.
Доказать его можно с помощью теоремы Лагранжа^:
если функция у = f{x) непрерывна на отрезке [а; Ь] и имеет производную в каждой его внутренней точке, то на интервале (а; Ь) существует точка jcq такая, что
fib)-На)
Г ь-а •
Графически теорема Лагранжа очевидна (рис. 47).
Касательная к графику функции в точке М(ч, наиболее удаленной от секу-
щей АВ, параллельна НЬ) - На)
а I.
Ь - а
секущей.
этой секущей, — это угловой коэффициент
^ Условие не является необходимым, так как функция может возрастать на промежутке, и, например, не иметь производной в некоторых его точках.
2 Жозеф Лагранж (1736—1813) — знаменитый французский математик, внесший большой вклад в развитие математического анализа. Родился в семье обедневшего чиновника. Математику изучал самостоятельно, и уже в 19 лет стал профессором математики в Артиллерийской школе Турина. Позднее он стал преемником Эйлера в Берлинской академии. Как уже отмечалось раньше, именно он предложил использовать штрих для обозначения производной.
50
Если, как сказано в условии возрастания функции, ее производная положительна во всех точках некоторого промежутка, то для любых двух неравных значений аргумента и Х2
f(Xi) - fixz)
из этого промежутка
> 0. Значит, большему зна-
Рис. 48
Xi - Х2
чению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. функция возрастает. Аналогично доказывается убывание функции на промежутке, где производная отрицательна.
Рассмотрим теперь, как выглядит график функции вблизи точки, в которой касательная к нему параллельна оси абсцисс.
На рисунке 48, а значения функции слева от Xq меньше, а справа — больше, чем /(Xq).
Значит, Xq — точка возрастания.
На рисунке 48, б Xq — точка убывания.
На рисунке 48, в и слева и справа от Xq значения функции не больше, чем Длтд), а на рисунке 48, г — не меньше, чем fixo).
Точка Xq называется точкой максимума [минимума\ функции у = /(х), если существует окрестность точки лтд, для всех X из которой f{x) < Kxq) [/(л:) > /(jCq)]-
Т Условие максимума [минимума] функции f{x) можно записать с помош;ью кванторов:
36 > о, |х - л:о| < 6 => f{x) < f{XQ) [/(л:) > /{Xq)]. Л
Значение функции в точке минимума называют миниму-мому а значение в точке максимума — максимумом функции и обозначают и соответственно.
Максимум и минимум функции объединяются термином экстремум. Функция имеет экстремум в точке^ если в этой точке у нее максимум или минимум.
Точка экстремума не является ни точкой возрастания, ни точкой убывания, значит, в ней производная функции не может принимать ни положительного, ни отрицательного значения, т. е. в этой точке производная либо равна нулю, либо не существует.
Внутренняя точка области определения функции^ в которой производная равна нулю или не существует^ называется критической.
▼ Когда производная равна нулю, график функции вблизи точки касания сливается с графиком постоянной функции
51
у = f{x^y поэтому критические точки, в которых производная обращается в нуль, иногда называют стационарными (от латинского stationaris — неподвижный). Л
Понятно, что если слева от точки экстремума функция возрастает, а справа убывает, то в этой точке функция имеет максимум (см. рис. 48, в), если же при переходе через эту точку убывание сменяется на возрастание (см. рис. 48, г), то экстремум является минимумом.
Основываясь на достаточном условии возрастания [убывания], получим достаточные условия максимума и минимума функции:
если при переходе через критическую точку производная непрерывной функции изменяет знак с плюса на минус [с минуса на плюс], то это точка максимума [минимума].
Т Достаточно, конечно, говорить о непрерывности функции в самой критической точке. А вот разрыв функции в критической точке не позволяет гарантировать наличие в ней экстремума (рис. 49). Л
Пример 1. Найти точки экстремума и промежутки монотонности функции fix) = - Зд: + 3.
Решение. Производная f'(x) = Sx^ - 3 данной функции была найдена в примере 1 предыдущего пункта.
Найдем точки, в которых f(x) = О, f'(x) > О и f'(x) < 0.
f'(x) = 0: Зх^ - 3 = Оу х^ - \ = Оу х^ = или Х2=^^ (рис. 50).
На интервалах (-оо; -1) и (1; +сю) производная функции положительна, а на интервале (-1; 1) отрицательна.
При переходе через критическую точку х = -\ производная меняет знак с плюса на минус, значит, в силу непрерывности функции, х = -1 — точка максимума.
При переходе через критическую точку х = 1 производная меняет знак с минуса на плюс, значит, х = 1 — точка минимума.
На интервалах (-°о; -1) и (1; +о°) функция возрастает, так как на них ее производная положительна, /(-1) — наибольшее значение функции на промежутке (-оо; -1], во внутренних
52
точках которого функция возрастает, значит, она возрастает на всем этом промежутке.
Поскольку /(1) — наименьшее значение функции на промежутке [1; +00), то функция и на этом промежутке возрастает.
Аналогичным образом, присоединяя точки -1 и 1 к интервалу убывания (-1; 1), получаем промежуток убывания функции [-1; 1].
Ответ: точки экстремума функции: х
'^min
Функция возрастает на промежутках (-°о; -1] и [1; +оо), а убывает на отрезке [-1; 1].
Информация о промежутках монотонности и точках экстремума помогает при изображении графика функции.
Пример 2. Построить схематический график функции у = - Sx + S.
Решение. В предыдущем примере были найдены промежутки монотонности и точки экстремума данной функции. Однако для построения даже схематического графика нужно знать не только абсциссы, но и ординаты некоторых его точек.
Необходимо найти значения функции в точках экстремума, т. е. сами экстремумы функции.
Максимум: у^^ = (-1)^ - 3(-1) + 3 = 5;
минимум: у^^^ = 1^- 3*1 + 3 = 1.
Полезно найти координаты еще некоторых точек графика. Проще всего найти точку пересечения графика с осью ординат: (0; 3). Найдем, кроме того, значения функции в точках -2 и 2. у{-2) = (-2)3 - 3(-2) + 3=1, у{2) = 23-3*2 + 3 = 5.
При заполнении таблиц будем использовать следующие условные обозначения для характера изменения функции.
X (-00;-1] -1 [-1; 1] 1 [1; +00) 0 -2 2
Характер изменения и значения f{x) 5 1 3 1 5
— функция возрастает, ^ — функция убывает,
Г\ — функция имеет максимум, — функция имеет минимум в данной точке.
Для построения графика следует еще выяснить, как ведет себя функция при л: ^ со:
lim f{x) = -оо, lim f{x) = +оо,
дг->+оо
асимптот нет.
53
Отметив на координатной плоскости найденные точки графика, проводим через них кривую, учитывая характер изменения функции на различных промежутках (рис. 51).
Пример 3. Изобразить график какой-нибудь функции У = f{x)y зная, что:
а) функция определена на интервале (-4; 3);
б) значения функции составляют промежуток [-3; 4);
в) f\x) < О для любого X из интервала (~4; 0), f\x) > 0 для любого X из интервалов (0; 2) и (2; 3), f'(x) = 0 при л: = 0 и при X = 2;
г) нули функции X = -1 и X = 2.
Решение. Заметим, что функция непрерывна, так как имеет производную в каждой точке своей области определения. На интервале (-4; 0) функция убывает, а на интервалах (0; 2) и (2; 3) — возрастает.
При переходе через точку л: = 0 производная меняет знак с минуса на плюс, значит, функция имеет в этой точке минимум. При переходе через точку х = 2 производная свой знак не изменяет — график функции в окрестности этой точки выглядит так, как на рисунке 48, а.
Поскольку непрерывная функция у = f{x) имеет единственный экстремум — минимум, он совпадает с min f{x) — наименьшим значением функции.
Как следует из данной в условии области значений, min f{x) = = /(0) = -3.
Занесем данную в условии информацию в таблицу.
X (-4; 0) 0 (0; 2) 2 (2; 3) -1
Характер изменения и значения f{x) -3 0 г-> 0
При построении графика нужно учесть, во-первых, что в точке х = 2 касательная к графику совпадает с осью абсцисс, во-вторых, поскольку значения функции могут быть как угодно близкими к числу 4, то либо lim /(л:),
либо lim f{x), либо оба эти предела
лс—>3"
должны быть равны 4. Один из возможных графиков изображен на рисунке 52.
54
Упражнения
87. Какой знак имеет производная функции t/ = f(x)
(рис. 53) в точках с абсциссами а, Ь, с, d?
88. Функция у = f(x) задана своим графиком (рис. 54—56).
Определите по графику:
1) является ли точкой возрастания или точкой убывания:
а) х = -1; в) л: = 1;
б) л: = 0; г) л: = 1,5;
2) промежутки, на которых производная положительна;
3) промежутки, на которых производная отрицательна;
4) точки, в которых производная равна нулю;
5) точки, в которых производная не существует.
89. На рисунке 57 к указанным точкам графика проведены касательные. Предложите какой-нибудь возможный вариант графика.
ГНТ: ‘ ■*ТП
1: Д . ; ^ . .1 ; ^ /j ^ \ ' • :--S • J;-
;:г:г|Д^;г! j . up. . 1 г-г,-'
Рис. 54
55
90. На рисунке 58 изображен график функции у = f{x).
В каких точках эта функция имеет максимумы, в каких — минимумы?
91*. На рисунке 59 изображен график функции у = р\х).
1) На каком промежутке функция у = р(х): а) возрастает; б) убывает; в) постоянна? '
2) Изобразите схематически график функции у = р(х), зная, что он проходит через начало координат.
92. Функция у = f(x) задана своим графиком (рис. 60, а—в). Укажите:
а) область определения функции;
б) множество значений функции;
б)
Рис. 60
56
в) нули функции;
г) точки графика, в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс;
д) точки максимума и минимума;
е) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
ж) значения аргумента при которых f{x) < 1;
з) точки пересечения с осями координат.
93. Используя таблицы, постройте график функции.
а)
X (-00; -2) -2 (-2; 2) 2 (2; +00) 0 3
fix) 7 -2 -1,5 0
б)
X (_00; -4) -4 (-4; -1) -1 (-1; 1) 1 (1; +о°)
fix) 2 не сущ. 2
94®. Четыре ученика выполнили построение графика функции (рис. 61) по следующей таблице:
X (-00; -1) -1 (-1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; +00)
Пх) - 0 + 0 - 0 +
fix) -2 -1 -2
1) Могли ли у них получиться разные графики?
2) Какие графики построены правильно? Объясните, какие ошибки допустили ученики при построении других графиков.
Рис. 61
57
95. Изобразите график непрерывной функции у = /(лс), зная, что:
1) а) область определения функции есть промежуток [-2; 5];
б) значения функции составляют промежуток [-5; 3];
в) производная функции положительна на (2; 5], отрицательна на [-2; -1) и на (-1; 2);
г) f\x) = О в точках с абсциссами -1 и 2;
д) нули функции: О и 3;
2) а) область определения функции есть промежуток [-4; 4,5];
б) значения функции составляют промежуток [-3; 5,5];
в) f\x) > О для любого X из промежутков [~4; 1) и (3; 4,5] и f\x) < О для любого X из промежутка (1; 3);
г) значения функции отрицательны только на промежутке [-4; -3);
Д)/тш = ЯЗ) = 1,= Л1) = 5,5;
3) * а) область определения функции — промежуток [-5; 4);
б) значения функции составляют промежуток [-5; 4];
в) fix) О для любого X из пром!еясутка (1; 3], "f О для любого X из промежутков (-5; -1) и (2; 4), fix) = О при х = 2\
г) нули функции: -3 и 2.
В упражнениях 96—98 используйте результаты упражнений 71, 72 предыдущего пункта.
96. Найдите промежутки монотонности функции:
а) г/
б) I/ =
в)// =
v)y=Jx\
Д) */ = -F 5
ух
е) г/= —
X - 1'
97. Найдите критические точки и промежутки монотонности функции:
а) fix) - д:2 _ 4^ + 6; б) fix) = 2х^ - Злс^ + 2.
98®. Постройте схематически график функции у = 2х^ - Зл:^ + 2.
99®. Приведите пример функции у = /(д:), которая обладает следующим свойством:
\/д:1, д:2 € 1>(Л, = fix^) <=> = ДГг-
100®. Верно ли утверждение:
а) четная функция может иметь единственную точку м21ксимума;
58
б) нечетная функция может иметь единственную точку экстремума;
в) периодическая функция может иметь единственную точку экстремума;
г) монотонная функция может иметь точку экстремума?
101*. 1) Может ли иметь нечетное число экстремумов:
а) нечетная функция; б) четная функция?
2) Может ли четная функция иметь четное натуральное число экстремумов? Если может, то при каком условии?
Контрольные вопросы и задания
1. Является ли точка возрастания внутренней точкой области определения?
2. В каком случае функция, возрастающая на каждом из двух непересекающихся промежутков, возрастает и на их объединении?
3. Запишите для функции у = cos х общий вид: а) точек максимума; б) точек минимума; в) промежутков возрастания.
ГЛАВА
Ш
ТЕХНИКА
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Как вы видели в предыдущей главе, производная является мощным средством для исследования функций. Однако процесс ее нахождения, связанный с вычислением предела, даже в простых случаях довольно трудоемок. В этой главе вы познакомитесь с возможностями существенного упрощения нахождения производных.
7. Производная суммы, произведения и частного
Многие функции можно представить как сумму, произведение или частное более простых функций. Пусть этими более простыми функциями будут дифференцируемые функции и и V с аргументом х.
1. Производная суммы функций
Поскольку приращение суммы функций складывается из приращений каждого слагаемого, то, заменяя предел суммы суммой пределов, получим:
(u + v) = hm —Т-— = hm . ■ =
ЛХ Ддг—>0
Ах-уО
Аи
Av
= lim — + lim —=u' + v'.
Ах-уО Ах-уО Д^
(и ± v)' = и' ± v'.
Производная суммы [разности] равна сумме [разности] производных.
60
2. Производная произведения функций
Заменяя предел суммы суммой пределов, а пределы произведений произведениями пределов, получим:
. A(uv) {и + Au)(v + Av) - UV
(uv) = hm = hm --------^----------- =
Лг—^0 ^X
Ax-*0
= lim
Дд;->0
Дд:->0
uAv + vAu + AuAv
= lim + lim
Дх—>0 Ддг-)0
Ax
vAu
Ax
+ lim
Дя:-^0
AuAv Дл;
= lim u* lim ^ + lim v lim 7^ + lim ^
Ддг—>0 Дд:-»0 Ax Ax^O Ax-*0 AX Ax^O AX
lim Av.
Ax^O
Заметим, что и — это функция аргумента дг, а не Дд:, поэтому, когда Ад: стремится к нулю, значение и не меняется, т. е. lim и = и. Аналогично, lim и = v.
Ах—>0 Ддг—>0
Функция V непрерывна, поскольку имеет производную, а приращение непрерывной функции стремится к нулю, когда к нулю стремится приращение ее аргумента: lim Av = 0. Таким образом:
Дх-^О
lim и • lim ^ + lim v • lim ^ + lim ^
Ддс-^О Ддг->0 Дх-»0 Дх->0 Даг-^О
lim Av =
Даг-»0
= uv' + u'v + и' *0 = uv' + u'v.
(uv)' = u'v + uv'.
Производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную второй.
Часто один из множителей является числовым. Поскольку производная постоянной равна нулю, имеем:
(kv)' = kv'.
Числовой множитель можно вынести за знак производной.
Пример 1. Найти значение производной многочлена Р(дг) = 2д:‘^ - Зд:^ + 5дг^ - 7д: + 2 при х = -1.
Решение. Используя формулу производной суммы и вынося за знаки производных числовые множители, получим:
Р'(х) = (2д:4 - Зд;3 -t- 5д:2 - 7д: + 2)' =
= 2(д:4)' - З(д:3)' -Ь 5(д:2)' - 1х' + (2)'.
Как уже говорилось выше, производная числа (постоянной) равна нулю.
61
Касательные к графику функции у = х в любых его точках с ним совпадают, значит, их угловые коэффициенты равны 1. Нетрудно найти производную этой функции и по определе-
/ 1. 1 • нию: у = lim = lim т-
Ддг-^О ^Х ^x-^0 ^Х Дх->0
lim 1 = 1. Значит, лс' = 1.
Менее приятно находить по определению производную функции у = х^. Однако у нас есть формула производной произведения:
{х^У = (х * хУ = х'*х + х*х' = х + х = 2х.
Аналогично находим производные функций у = х^ иу =
= (х^ • х)' = {х^^У • х + х^* х' = 2х» х + х^*1 = 2х^ + = 3^:2.
(х^У = (х^ • хУ = (х^У ‘х + х^*х' = Зх^ *х + х^*1 = 3jc^ + = 4х^.
Теперь можно завершить нахождение производной данного многочлена:
2(хУ - Six^y + 5(д;2)' - 7х' + (2)' = 8х^ - 9х^ + Юл: - 7.
При л: = -1 имеем: Р'(~1) = -8-9-10-7 = -34.
Ответ: Р'(-1) =-34.
Находить производные более высоких степеней х нам в этой задаче было не нужно, однако можно показать, что {х^У = 5л:^, {х^У = бл:^, и, вообще, при любом натуральном п\
(х^У = пх^ ~
Формула (л:")' = пх^ ~ ^ верна не только для натуральных, но и для произвольных значений п. Мы докажем это в пункте 9, но использовать формулу начнем уже сейчас.
Пример 2. Найти производную функции у =
Решение. Данная функция определена на = (0; +оо). Для положительных значений х выражение можно заме-
нить степенью с дробным показателем: -= = х
1/^3
Применяя формулу производной степени, получим:
3
(**)=-!*
Ответ: у =----= .
^хМх^
3 , 7
-4-1 ^_3 -4 3
62
3. производная частного функций
Найдем сначала производную функции -. Понятно, что точки, в которых функция V обращается в нуль, не входят в область определения функции ^ .
ГМ= lim
it-.0
+ Av
Ах
= lim
V - (у + Ai>)
дд;_)0 {V + Av)vAx
= lim
Дх-)0
im
V ^x)
lim ■
дх->о (у + ^v)v
—
Теперь производную частного можно найти по формуле
1
производной произведения, заменив в ней i; на - :
г й ] = г„. 11 _ н: + „г 1 ] = == “V;
\V J у у J у \v J У y^ у
- uy
2
и V
uv
Формулировка правила нахождения производной частного довольно громоздка, поэтому проще запомнить саму формулу.
Пример 3. Найти промежутки монотонности, экстремумы и построить график функции у = ^ .
Решение. Данная функция определена и непрерывна при всех X. Найдем ее производную:
х\х^ + 1) ~ х{х^ + 1)' х^ + 1 - X • 2х 1 - х^
(га)-
(Х^ + 1)2
(Х^ + 1)2
(Х^ 4- 1)2 ’
у' = О при д: = ±1.
Изобразим кривую знаков производной (рис. 62).
Функция возрастает на отрезке [-1; 1], убывает на промежутках (-00; -1] и [1; +СО).
-1 — точка минимума, 1 — точка максимума функции.
= = 1 ^ 1 i^min 1-1-1 2 ’ 1 И- 1 2 ‘
Ось абсцисс — горизонтальная асимптота графика функ-
1
ции: lim
х^ + 1
= lim
1 + ^
Г=?=0-
63
I-г"ГГ"'
'f ■
Рис. 62
Рис. 63
График функции проходит через начало координат.
X (-оо; -1] -1 [-1; 1] 1 [1; +°°) 0 -2 2
Характер изменения и значения f(x) -0,5 0,5 0 -0,4 0,4
Изобразим график функции у =
(рис. 63).
х^ + 1
Примечание. Заметив, что данная функция нечетная, можно было рассматривать только неотрицательные значения аргумента, а затем выполнить симметрию относительно начала координат.
Упражнения
102. Пользуясь результатами № 71, 72 из пункта 5, найдите производные следующих функций:
Bi) у = х^\ г) I/ = хЦх^ - 4х + 6);
б) у = х^ - х^; д) У — - Sx^ + 2)Jx;
в) у = х^ + Jx; е) I/ = (2х^ - Зх^ + 2) (х^ - 4х + 6).
103. Используя формулу производной степенной функции, найдите:
а)
б) (x^'^Y;
д) (зс’];
е) (Jj;
ж)
3) (*2.7)'; И) [x-i]'-,
юИу.
в) {x-^Yi
г) (ж-1")';
104. Найдите производные функций, определенных на
(0; +00):
а) у = Jx;
б)у= 7^;
в) у = ;
г) г/ == ;
Д)у= —2^
е) I/ =
■ 5 »
ж) У = ~1=; л/л:
64
105. Функция у определена на (0; +оо). Найдите ее производную.
й) у = 2 л/х (S - 5х); в) у = 0,Ьх^{л/8х^ + 0,25д:‘^);
б) у = л/^ (Зл: + 1);
г)1/= ^(V64^’ -0,2д:5).
106. Приведите пример какой-нибудь функции, производная у' которой равна:
а) 2; в) Зл:^ - 2д: + 4; д) 9д:^ + бд: + 1; ж)
б) 2д:; г) 4х - 3; е) 0,5дг~®*®; з)*---^7= .
4x\Jx^
107. Найдите производную функции в точке л: = 1:
а.) у = Зх^ - бх + 7; в) t/ = УЗх^;
б)у = бд:^ - 2х^ + Зд: - 5; г) у
+ 5.
108. Составьте уравнение касательной к графику функции
У = fix):
а) fix) = + 4 в точке с абсциссой дгд = 1;
б) fix) = д:^ + д:^ - 12д: - 1 в точках с ординатой i/q = -1;
в) fix) = 2х^ - 1 Од: - 3, перпендикулярной оси ординат;
г) ° fix) = 2х^ - х^ + 1, параллельной прямой у — 4х - 3.
109. В какой точке графика функции у = Jx касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45°?
110*. На рисунке 64 не изображена ось абсцисс. Определите, какие знаки должны иметь /тах(^) и /min(^)’ чтобы уравнение fix) = О имело: а) один корень; б) два корня; в) три корня.
111*. Найдите число корней уравнения:
а) д:^ + д:^ - X + 5 = 0; б) + х® - б = 0; в) х^ - 7х + 6 = 0.
112*. При каких значениях а уравнение бх^ - 2х + а = 0 имеет: а) один корень; б) два корня; в) три корня?
113. 1) Докажите, что между двумя нулями дифференцируемой функции есть хотя бы один нуль ее производной.
2) Докажите, что между двумя минимумами непрерывная функция обязательно имеет максимум.
Рис. 64
65
114. Камень, брошенный вертикально вверх, движется по закону h(t) = Hq + VqI —^ , где h(t) — высота в м через t с после начала движения, Hq — начальная высота в м, — начальная
скорость в м/с, g — ускорение свободного падения в м/с^. Найдите:
1) скорость камня через 2 с;
2) на какой высоте скорость камня будет равна нулю, если hQ = 6 Vq = 8 м/с, g~ 10 м/с^.
115*^. Количество электричества, протекающее через проводник, выражается формулой q(t) = + 2t + 1. Найдите
формулу зависимости силы тока I от времени и силу тока в проводнике через 3 с после начала отсчета.
116. Найдите производную функции:
Bi) у = - 8х){х^ - х^У, в) г/= J - 7д:^;
б) Z/ = 4х{\[х^ + хУ, г) у = (Зл: - 9)^.
117. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = в его точке с абсциссой Xq=1.
118*^. Проверьте, является ли функция f{x) производной функции g{x):
а) fix) = - ^^2 » Six) = ;
\ л/ ч 6 + бдс - 2х^ , . х'^ + 2х
в) fix) = Го42- » six) =
г) fix) =
(Х2 + 3)2 1
4х{4х +1)'
, gix) =
л:2 + 3 Jx 1
л/х + 1
119*^. Запишите уравнение касательной к графику функ-X — 4
ции у = В точке с абсциссой, равной 1.
л/х + 1
120*. Док£1жите, что график функции у = прямую у = 2х 1 под равными углами^.
X + 1
пересекает
^ Угол, под которым график пересекает прямую, — это угол между касательной к графику в точке его пересечения с прямой и самой прямой.
66
121. Количество электричества q, протекающего через
3
проводник за время t, задается формулой: а) q{t) = t + - ;
б) q(t) = 2t + Ji + 3. В какой момент сила тока в цепи равна нулю?
122. Найдите скорость изменения стоимости q товара при увеличении объема его производства, если стоимость в рублях изготовления х изделий находится по формуле q(x) = 10 +
+ 22л:+
. Какова стоимость изготовления одного изделия
1200
в серии из 120 штук?
123. Лифт после включения движется по закону s(i) =
= + 2t + 12 (м), где t — время движения лифта в с. Най-
дите формулу скорости движения лифта и скорость лифта в конце второй секунды.
124. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и:
а) перпендикулярной;
б) параллельной касательной к графику функции у = в его точке с абсциссой, равной -1.
У
125*^. Найдите координаты точки А графика функции на рисунке 19 (с. 28).
д: + 1
126. Найдите промежутки монотонности, экстремумы и постройте график функции:
а)у = х^ - Зл:^ + Зл: + 4;
Зд:2
г)* у = ГГ-:
б) !/ = -|- +2дг=‘-Зх-4; д)» у = .
в) у = хЦх - 2)2;
127*. Найдите угол между касательными, проведенными из точки (0; 2) к параболе у — -Злс^.
“Ь 2
128. Найдите точки графика функции у = —^, в кото-
рых касательные к нему образуют с осью абсцисс угол
Зл
129*. Выведите формулу производной произведения трех функций: {uvw)',
67
Контрольные вопросы и задания
1. Верно ли, что приращение произведения двух функций равно произведению их приращений?
2. Найдите производную функции
у = - Зх + 1)(д:^ + Зх - 2):
а) используя правило нахождения производной произведения;
б) предварительно раскрыв скобки и приведя подобные члены.
3. Найдите уравнение касательной к графику функции у = х^ - 2х + 3, которая:
а) проходит через точку пересечения графика с осью ординат;
б) параллельна прямой у = 4х - 3.
8. Сложная функция
в 10 классе, еще не зная ни производной, ни возможностей ее использования для нахождения промежутков монотонности, вы использовали в различных задачах свойства основных элементарных функций. Тг1к, например, чтобы доказать возрастание функции у = logg ^ + 5) достаточно заметить, что большему значению х соответствует большее значение выражения 2л: - 1; большему значению 2л: - 1 соответствует большее значение выражения 3^^“ большему значению 3^^" ^ соответствует большее значение выражения З^^"^ + 5, и, наконец, большему значению 3^^ “ ^ + 5 соответствует большее значение выражения loggCS^^"^ + 5), т. е. самой функции I/. Эти выводы основаны на том, что линейная функция ^ = 2л: - 1, показательная функция S = 3*, линейная функция и = s + 5 и логарифмическая функция V = log2 и являются возрастающими. То есть при увеличении значений их аргументов увеличиваются и значения самих функций. Таким образом, функция у = \og2(3^^~^ -I- 5) оказывается подобно русской матрешке сложена из других, более прюстых функций
у = у(а(а(Цл:)))).
Можно сказать, что эта сложная функция у составлена из функций V, и, S и t.
Рассмотрим сложную функцию у = u(v(x))f где функция v имеет производную в точке л:, а функция и имеет производную
68
в точке v(x). Функцию и иногда называют внешней, а функцию V — внутренней. Заметим, что приращению Ал: соответствует приращение Аи которому как приращению аргумента функции u{v), в свою очередь, соответствует приращение Aw. Тогда:
Аи • Аи У
= lim ^ = Ит = lim
Дх—>0 Ал Дх—>0 Ал Дх—>0 Ал • Ау
Ац
,. O.U ,. Ау
= lim т— • lim —.
Дх-^О АУ Дх-^0 Ал
По условию, функция V дифференцируема в точке л, а значит, ее приращение Ап стремится к нулю при Ал ^ 0. Имеем:
Аи
lim —
Дх^О Ау
Аи
lim
Ау
lim 7^ = lim . ixxn .
дх^о Ал ду_,о Ау дх^о Ал
= и • V
I» 1
(нижние индексы показывают, по какому аргументу находится производная).
ТЛ'гя хс
{u(v(x))y =
Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней.
▼ В выводе этой формулы есть небольшая тонкость — функция у(л) не должна в окрестности точки л представлять собой постоянную. В противном случае приращение Ау в этой
^ Аи
окрестности будет тождественно равно нулю, и выражение ^
лишится смысла. Л
Пример 1. Найти значение производной функции
у = (2л^ - 5л^ + 4л - 3)^ при л = 1.
Решение. Функция у сложная. Она составлена из двух функций: внутренней v = 2л^ - 5л^ + 4л - 3 и внешней и = и^. Применим формулу производной сложной функции:
(и(у(л)))' = u'^*v'^ = (у^)' • (2л^ - 5л^ + 4л - 3)' =
= 5у4(6л2 - Юл + 4) = 5(2лЗ - бл^ + 4л - ЗУ(6х^ - Юл + 4).
Найдем у'{1): у'{1) = 5(2 - 5 + 4 - 3)^(6 - 10 + 4) = 0.
Ответ: у'{1) = 0.
Т Пример 2. Найти уравнение касательной к кривой, заданной уравнением у^х + ух^ = 6, в ее точке М(2; -3).
Решение. Переменная у задана уравнением у^'Х + ух^ --6 = 0 неявно. Однако ее можно выразить из этого уравне-
69
ния, если рассмотреть его как квадрат-
-х^ ± л/л:^ + 24х ное относительно у: у -----^-------.
Данная кривая состоит из графиков двух функций, соответствующих знакам «+» или «-» формулы (рис. 65).
График, которому принадлежит точка М, соответствует знаку «-»:
— v2
У =
■х^ -Jx* + 24х
2х
Теперь, используя правила и формулы дифференцирования, можно найти у\х), вычислить у'{2) и подставить это значение в уравнение касательной.
Однако намного проще решить эту задачу иначе.
В некоторой окрестности точки М переменная у является функцией переменной х. Используя формулу производной сложной функции, найдем производные от обеих частей данного в условии уравнения:
{у^х + ух^У = (6)', iy^Yx + у^х' + у'х^ + у • (х^У = О,
2уу' -х + у^ + у'х^ + у2х = 0.
Подставим в полученное уравнение координаты точки М и найдем значение у'(2):
2 • (-3)у'(2) -2 + 9 + 4у'(2) + (-3) *4 = 0,
-8у'(2)-3 = 0, у'(2) = -|.
Остается подставить найденный угловой коэффициент ка-
3
сательной в ее уравнение у = k{x - 2) - 3, у = --^{х - 2) - 3.
3 1 °
Ответ: ^ = -gjtr-2^.A
Упражнения
130. Составьте сложную функцию у = f{x):
а) t/ = ^ = 2х + 3; г) i/ = 2”, п = cos m, щ = л: + 3;
б) у = sin ky k х^ + 1; д) у = - у Z — d^y d = Ьх -
в) г/ = In с, с = ;
е)у = h^yh = {p + 6)'2, р = Ig л:.
70
131. Выделите в сложной функции внутреннюю и внешнюю функцию:
а) у = log 2-^; в) у = 2^ ^ Д) г/ = (cos х + sin х)^;
б) у = tg Jx; г)у= Vsin х^ ; е) у = 3 jg •
132*. Дана функция у = Цдс - 2[ - 3|.
1) Рассматривая функцию у как сложную функцию у = /(u(i;(s(x)))), запишите функции s(a:), n(s), u(v) и f(u).
2) С каким преобразованием графика связан переход от каждой внутренней функции к внешней для нее?
3) Постройте график функции у ис помош;ью графика:
а) решите уравнение ||л:-2|-3| = 1;
б) найдите значение а, при котором уравнение Цл: - 2| - 3| = а имеет ровно три корня.
133*. Пусть функция f{x) имеет производную f'(x). Напишите выражение для производной функции:
a)y^JKx)\ 6)y^f{Jx).
134. Найдите производные функций:
а) ^ = {х^ + - 2х- 9)^; а)у = J(x - 3)(д: + 3);
2
(гдг+з)’
т)у=[Л--].
135. Какая из функций: у = Jx^ -Н 2д: + б , у —
(л:2 - Зл:)2 ’
у = (2л: - 12)Цх^ + 1) имеет самую большую производную в точке д: = 1?
136*. При каком значении а число 2 является:
1) точкой минимума; 2) точкой максимума функции:
а) ^ = (2дг - а)® (х + а)^; г) г/ = (2д: - а)^ {х + а)^;
б) ^ = (д: - а)® (д: - 1)^; Д) У (5х - а)® (д: + а)®?
в) у = (х- а)3 (д: - 1)®;
137®. В какой из двух точек — дг^ или Х2 — производная функции у больше:
, (Зд-Ы)2
У = ■ д.2 + 1 , ЛГ1 = 1, = 0;
&)у = Vx^ - 2х + 9 , дг^ = 1, дгз = -1?
138*. Найдите угловой коэффициент общей касательной к графикам функций у = х^ и у = 3 - 2{х - б)^.
71
Найдите экстремумы функции у\ а) I/ = {2х^ - Зл:2 _ 12л: - 2)^; в)* у =
1 + л/2 sin ^л: + ^ j
б)1/ =
X + \
+ ^;
г)* 1/ = -
J2x^ - X - 1
140*. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой в точке А:
а) ух + + 4 = О, А(2; -4);
б) i/2x = 9, А(1;3);
в) у^-ух-6 = 0, А(-1; -2);
г) у^х + 2л:2 -5 = 0, А^-4; j.
141°. Найдите уравнение касательной к кривой:
а) у = {х^ + 2д:)2 в точке с абсциссой, равной -2;
б) I/ = Цх + 2)® - 1)2 в точке ее пересечения с осью ординат;
в) у = л/4 + 4х + л:2 в точке с абсциссой, равной 2;
г) * [/(л:2 + 2л:) = 18 в точке с абсциссой, равной 2;
д) * ^(л:2 - 2ух) = 3 в точке М(3; 1);
е) * х^у - JCI/2 = 6 в точке F{2\ 1).
142. Докажите, что функция у = ^х + Ъ - Jx - 3 убывающая и решите уравнение Jx + 5 - л/х - 3 =2.
143*. Исследуйте функцию и постройте ее график:
ч (л: -2)2
а) I/ = —"2---;
б)1/ =
л: - 1
в) у = VI - дс2 ; л:2 + 2
л:2 - 2л: -Ь 2 ’
г) 1/ =
дс2 - 4 '
Контрольные вопросы и задания
1. Возрастающей или убывающей является сложная функция, если:
а) и внешняя, и внутренняя функции возрастают;
б) внешняя функция возрастает, а внутренняя убывает;
в) и внешняя, и внутренняя функции убывают;
г) внешняя функция убывает, а внутренняя возрастает?
72
2. Из каких функций составлена сложная функция
у = gVlgsin дг - Ig 0,5 ^
Найдите область ее определения, промежутки монотонности и точки экстремума.
3. Найдите касательную к кривой из примера 2 в ее точке
^(2; 1).
9. Формулы производных основных функций
к основным, знакомым вам элементарным функциям относятся линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Производные первых трех из этого списка вы находить научились (формулу производной степенной функции, правда, еще предстоит вывести).
Чтобы получить формулу производной показательной функции у = {а > о, а ^ 1), воспользуемся графическими соображениями.
Рассмотрим графики показательных функций при а > 1 и проведем к ним в их общей точке М(0; 1) касательные (рис. 66). Угловой коэффициент касательной в зависимости от а может быть равен любому положительному числу. На рисунке 66 выделен график, касательная к которому имеет угловой коэффициент 1, т. е. параллельна прямой У = х.
Обозначим буквой е основание показательной функции, касательная к графику которой в точке с абсциссой 1 имеет угловой коэффициент, равный Р.
Из рисунка видно, что 2 < ^ < 3.
Однако это довольно грубое приближение. Познакомившись в 10 классе с числом е как основа-
^ Обозначение *е* было выбрано в честь великого математика Леонарда Эйлера (1707—1783) и является первой буквой его фамилии Euler. В последней главе учебника вы увидите знаменитые формулы Эйлера, в которых это число фигурирует.
73
нием натуральных логарифмов (log^jc = In х), вы использовали более точное приближение е « 2,7i.
Т С числом е математики познакомились не как с основанием соответствующей показательной функции, а как с преде-
лом
последовательности: е = lim f 1 + - 1 .
rt-»oo Ч ^ /
■ Доказательство существования этого предела довольно трудоемко, но с помощью калькулятора его можно достаточно точно вычислить. Для этого будем Н£1ходить значения выра-
жения
увеличивая значения п:
J0
(1 + 1)1 = 2, ^1 + ±У”=2,59,
X ■« чЮО . -I .1000
(1 + ш) (1 + 1ш)
, 1 ч 10 000
(1 + 1ош) “2,7181,
Ч100 000
1 +
100 000
)
« 2,7183 и т. д. Л
Число е является иррациональным и не может быть выражено в виде конечной десятичной дроби, однако можно найти его приближение с любой точностью, например, е-2,718281828459045.
Равенство единице углового коэффициента касательной к графику функции у = в точке л: = 0 означает, что в этой точ-
gAx - 1
ке значение производной равно 1: у'{0) = lim —т— = 1.
Д;С_>0
Используя значение производной в нуле, найдем производную функции у = в произвольной точке х:
(е^) = lim ---т---- = lim —г-------^ =
Дх-40 Длс-+0
(gAJC _ 14
= lim • lim —г-— = е*
Дд;-+0
\=
Дл-»0
(е^у =
Получить формулу производной показательной функции с произвольным основанием а (о > 0, а 1) нам поможет формула производной сложной функции.
Поскольку а^ = а^ имеем:
(а^У = {е^ In ау = In а, In а)' = а^ In а.
(а^У = а* In а.
74
Рис. 67
Рис. 68
Похожим способом, находя сначала угловой коэффициент касательной к графику функции у = sin х в точке л: = О, можно получить формулы производных тригонометрических функций.
В 10 классе говорилось, что графики функций у = sin х и у = ig X вблизи начала координат сливаются с прямой у = х (рис. 67).
Значит, lim = i и Цщ == 1.
дг-^О ^ X—»0 ^
▼ Можно было воспользоваться тригонометрическим кругом. Поскольку ось тангенсов касается тригонометрического
т/гктгт'а (тптяп fTr» lim = 1
1= lim
х-^О
х-»0 X
1, sin X = lim — lim sin де
д:^0 JCCOS де x->0 де
,. sin X . lim • 1 = lim sin X
x-»0 X x-»0 X
lim
,0 cos X
. Л
Найдем теперь производную функции у = sin х в произвольной точке х:
(sin х)' = lim
Дх—>0
sin (л: + Ах) - sin х
Ах
= lim
Дх—>0
- f Ajc .Ах 2cosl л: + ^ I • sin
Ах
= lim
Дх^О
COS^JC
Ал:\
■J'
+ )Sin
Ах
Т
Ад:
2
= lim cos (х+ ^ V
Дх-»0 \ ^ / Дх-»0
Sin
Аде
Аде
2
= cos JC • 1 = cos X. (sin х)' = cos X.
75
Правила нахождения производных, тригонометрические формулы и формула производной сложной функции помогают получить производные косинуса, тангенса и котангенса.
(cos хУ = l^sin j = cos =
= -cos^^ - х^= -sin X.
,, /sin X Y (sin x)'cos X - sin x(cos х)'
J ---------
cos^x 4- sin^x cos^x
1
cos^x
1
cos^x
(CtgA:)'= (tg (g -*))'= • (1 -*) =
-1
COS'
(I-)
COS
(I-)
sin-^x
(cos x)' = -sin x; (tg хУ =
cos“x
’
(ctg xy = -
sin-^x
Из основных элементарных функций остались логарифмическая и обратные тригонометрические функции. Выведем формулы их производных.
По определению логарифма при а > О, а ^ 1 имеем: у = log^ X <=> X = аУ. Последнее равенство задает функцию у неявно, что, однако, не мешает найти производные от обеих его частей: х' = {аУ)\ 1 = a^lna* у'.
Заменяя аУ на. х и выражая у\ получим: 1 = х1па*у\
у' = ♦ Конечно, следует помнить, что D{y') = (0; +оо), так
как Z)(log) =
= ;лЬ'
Для натурального логарифма из этой формулы получим:
(In *)' = i.
Аналогичным способом выведем формулы обратных тригонометрических функций.
По определению арксинуса при х е [-1; 1], у € имеем: у = arcsin х <=> sin у = х.
76
Находим производные от обеих частей последнего равенст-
значе-
ва: (sin у)' = х\ cos уу'=1. Поскольку при у € |
ния косинуса неотрицательны, cos у = лД-sin^ = .
Следовательно, у' = , ^ .
VI -
1
(arcsin х)' =
VI -
Аналогично получаются формулы:
(arccos д:)' = —j==; (arctg хУ = YTl^ ’
(arcctg хУ = - ^ "—2 •
Нам осталось выполнить данное в пункте 7 обещание и вывести формулу производной степенной функции у = х'', где г — любое действительное число.
Рассмотрим функцию у = х’’ при х > 0. Прологарифмируем равенство у = х''и найдем производные от обеих частей:
\пу = Нп X, (In уУ = (rln х)\ ^ у' .
гх'
X
= гх^~^
Заменим у его выражением через х\ у'
•V
(х^У = гх^ ~
Примечание. При х < 0 показатель степени функции у = х'' может быть только целым числом. Пользуясь свойством четности степенной функции с четным показателем, формулой производной сложной функции и свойством нечетности степени с нечетным показателем, имеем при х<0и г = 2п(п — целое):
(хО' = ((-х)2«)' = 2п(-х)2'*-1(-х)' =
= -2п(-х)2" ■ 1 = 2пх2" ~ ^ = гх'' ~ ^.
Если же показатель степени нечетный: г = 2п + 1 {п — целое), то при X < о имеем:
(хО' = (-(-х)2" + 1)' = -(2л + 1)(-х)2«(-х)' =
= (2л + 1)(-х)2« = (2л + 1)х2« = гх'--1.
Таким образом, формула производной степени распространяется и на промежуток (-сю; 0).
При X = о производная функции у = х’’ существует только при
г>1.
77
▼ Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х. Этим фактом можно воспользоваться при выводе формулы производной обратной функции.
Сравним угловые коэффициенты симметричных касательных ki = tg ai и k2 = tg ag к графикам взаимно обратных функций f{x) и g{x) в их точках (х; f(x)) и {fix); g{f{x))) соответственно
(рис. 69). В силу упомянутой симметрии ctj = | - ttg и, следова-, 1
тельно, tg .
Это означает, что угловые коэффициенты рассматриваемых касательных взаимно обратны. Поскольку tg = f'ix), а tg ttg = g'ifix))^ получаем формулу производной обратной функции:
вЧПх)) ■
в этой формуле g'ifix)) не производная сложной функции, а значение производной функции g в точке fix).
Пусть теперь fix) = log^jc, а g{t) = аК Зная производную
функции g{t): gfit) = {а^У = а' In а, из формулы производной обратной функции получим при значении t = fix) = log^A::
(log^x)' = ^ ^ "
•ok..*-
In a
Упражнения
144°. Вычислите пределы:
-. ... sin 4x 1) a) lim
дг->0
xln a ’
sin 2x
6) lim
дг^О
2) a) lim
x-»0
6) lim
дг-^О
4x ’ sin 3x lx ’
tg 2x , 2jc ’ tg 3x ^ 4x ’
b) lim . о »
Vl “ cos 2x г)" lim -----------;
дс-»0* X
sin 9лг
г) lim -—5— ; X—»o tg 3x
д) lim X ctg 4x.
x-»0
tg 4jc
b)^ lim / ■ A - ; x^o tg 2x
78
3)* а) lim f 1 + М ; в) lim Г1 + — 1 .
r_»+co V ^ / г—)+оо V •* /
б) lim (1 + X) ;
х-^О^
145. Функция f(x) имеет производную f\x), напишите выражение для производной функции у:
а) у = в) у = \п f(x);
б) I/ = г) i/ = sin fix).
146. Найдите производную функции:
Si) У
б)у = €
_ - Ъх.
в)
т) у — х^ • 5^^.
147*. Найдите скорость радиоактивного распада цезия-135, зная, что период его полураспада 31 год.
148. Сила тока изменяется в зависимости от времени по закону / = 2^ ■ ^ где t — время в секундах. Найдите скорость изменения силы тока в конце четвертой секунды.
149*. Укажите интервалы возрастания, убывания и точки экстремума функции:
а.) у = хе~^^; в) у = х^ - In х^;
б)«/ = ;
г) I/ == 2 In (дс - 2) - + 4л: + 1.
150. Исследовав с помопдью производной функцию f(t) = log^(t + 1) на монотонность:
1) * сравните числа logg 10 и Ig 11;
2) * решите уравнение logg _ ^ logg х = logy _ ^ logg 2дс.
151. Найдите производную функции:
а) у = 4 sin X - cos х;
б) у = cos (2л: - 4);
в) у = cos X sin х;
г) I/ = tg л:^;
о =
а)^ У
1 ,
tgJC’
е)° у = 2 arctg - ;
ж)*^ у = arcsin
1 -
1 -ь
3)0 I/ = 2 arcctg ^ .
79
152. Найдите все значения дс, при каждом из которых производная функции у равна нулю:
а) ^ = 5 + 8 cos ^2х + ^ (/ = 4л: - sin 2х + cos х\
б) I/ = 1 + 4 sin ^5л: + ^ у = Ьх-\- sin 2л: - 4 л/З sin х.
153. Найдите скорость точки, движущейся прямолинейно
тс
по закону 3 = 2-2 cos 2t, в момент времени t = q-
154. Составьте уравнение касательной к графику функции у в точке Xq\
о ЗтС ч i. 9 ^
^6 у. ^ ---- в) I/= л:, лгд = ^ ;
а) г/ = sin^ л:, лго = ;
б) г/ = cos^x,Xq=^;
г) I/ = Vctg л:, Xq = 2-
155*. Исследуйте с помощью производной следующие функции и постройте их графики:
а) у = sin X + cos х; в) у = х + 2 sin х;
б) у = х + sinх; г) I/ = 2^cos х.
156. Докажите, что функция:
а) у = 2х - sin X является возрастающей;
б) * у = X - cos X является возрастающей;
1
в)^
л: + 2
убывает на промежутке (-2; +оо);
г)* у = tg X - X на промежутке |^0; ^ j возрастает.
157*. Найдите, при каких значениях а функция fix) = sin X - ах убывает на всей числовой прямой.
158. Под каким углом пересекает ось абсцисс:
а) синусоида у = sin х\
б) тангенсоида у = ig х1
159. К графику функции у = 2 sin л: + 3 cos х проведены
к Зтг _
касательные в точках х-у = ^ и Х2 — • Параллельны ли эти
касательные между собой?
160. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x) = 6 sin х - cos х в его точке с
абсциссой X = ^.
80
161*. Определите, имеет ли функция у максимум или минимум:
а) Z/ = sin*^ X - cos"^ х\ в) г/ = 2"^^;
б) ^ = cos^ X + cos^ ^ г) ^ = (д: +
162*. Запишите какую-нибудь пару взаимно обратных функций f{x) и g{x), если:
а) f\x) = 3; в) fix) =
б)Г(.)=^^;
г)/'(*) =
1
х\п а'
163*. Найдите промежутки возрастания и убьшания функции:
а) у = 2х - \п х; в)у = lg^ (Х + 2);
г) i/ = ^ ;
Р) У = -
42х^ - д: - 1 ’ е) г/= logo.5 (2л:2 - Зд: - 2).
164. Напишите уравнение касательной к графику функции у = f{x) в точке с абсциссой jCq, если:
а) fix) = In X, дго = 1;
б) 0 fix) = 3^ + 3-2^, дго = 1;
в) 0 fix) = а/4 - 2д: - д;2 , дг^ = 0.
165*. Найдите угол между касательными к кривой у = \пх в точках с абсциссами | и дгз = 1.
166*. В каких точках график функции у = х Vsin х имеет вертикальные касательные?
1670. Составьте уравнение касательной к графику функ-2д + 1
ции у
в точке ее максимума.
2х
168*. Докажите, что функция у = arcsin ^ ^2 2 arctg х
постоянная при всех д: g [1; -i-00).
169. Найдите приближенно:
а) (0,998)4; б) Vi;003 ; в) Ig 102.
17QO. Исследуйте функцию у = хРе~^ на монотонность и постройте ее график прир = 2.
81
171*. 1) Докажите, что при любом неотрицательном значении X верно неравенство:
а) > 1 + дг;
б) > 1 + д: + Y J
уЗ
в) > 1 + X Л- +
2) Выявите закономерность составления этих неравенств и запишите следующее неравенство.
172. Докажите, что для любого неотрицательного значения X верно неравенство 1п(1 Л- х)> - .
173*. Составьте уравнения касательных к графику функции /(д:), каждая из которых вместе с осями координат ограничивает треугольник площадью S:
а) т = , S = 2;
б) f(x) = 71 - 2х^
174*. Найдите все точки графика функции г/= ^х^-2х^- 22х - 28,
в каждой из которых касательная к нему отсекает от положительных координатных полуосей равные отрезки.
175“^. Найдите абсциссу точки графика функции г/ = f(x), в которой угловой коэффициент касательной к нему равен k, если:
а) /(д:) = 10-е4-о,1дг^/г = 0,1;
б) f(x) = ^ ^ = I;
-f- 14
в) f(x) = , k =-1;
г) f(x) = л/З cos 2д: - sin 2х + 2л/3 - 3, k — 0.
176. Найдите корни уравнения f'(x) = О, принадлежащие отрезку L, если:
а) f(x) = cos^ X + sin д: - 5, L = [0; 2];
б) f(x) = sin^ X - cos Д + 4, L = ^ j.
177*. Найдите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = р(х) образует в верхней координатной
82
полуплоскости острый угол с положительным направлением оси абсцисс, если:
а) p(jc) = х‘^ - х^; в) р(х) = J2x - 3 ;
б) р{х) = tg JC - 2х; г) р{х) = л: + In (-д:).
178*. Найдите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = р{х) образует в верхней координатной полуплоскости тупой угол с положительным направлением оси абсцисс, если:
jp2
а) р{х) = x\nx-Zx\ в)р{х) = ;
б) р{х) = -4 cos X + 2х\ г) р{х) = х^е^.
179*. При каких значениях х:
а) f\x) = g'{x)y если f{x) = sin ^2х “ ^ Six) = 2х + 8;
б) f'{x) < g\x), если fix) = 7^ , g(x) = - ^ ;
в) f'(x) < g'(x), если fix) = Зд: + 81, gix) = tg x;
г) f'ix) > g\x)y если fix) = cos + 2д: j, g(-^) = 8 - xj22
180*. 1) Найдите производную бесконечно колеблющейся
^ I д: + д:^ sin - при д: 0, „ ^
функции У \ ^ упомянутой в пункте 6:
1 о при д: = о,
а)*^ при хфО; б)* при д: = 0.
2)* Докажите, что эта функция не является монотонной ни на одном из промежутков, содержащих точку д: = 0.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие свойства и формулы использованы в примечании при выводе производной степенной функции с нечетным показателем степени для отрицательных значений х?
2. Что можно сказать о значении сложной функции, внешняя и внутренняя функции которой взаимно обратны?
3. Докажите, что функции: f/ = -; I/ = tg х; г/ = х® + х + 5;
1 ^ у — не имеют экстремумов.
4. Выведите формулу производной функции у — arctg х.
83
10. Наибольшее и наименьшее значения функции
Решение многих задач приводит к необходимости нахождения наибольшего или наименьшего значений того или иного выражения. Некоторые из таких задач можно решить без привлечения методов математического анализа. Так, например, вы знаете, что квадратный трехчлен ах^ -\-Ьх + с, где а < 0
принимает свое наибольшее значение при ^ (абсцисса
вершины соответствующей параболы), а сумма положительных значений обратно пропорциональных переменных минимальна при их равенстве.
Задачи на максимум и минимум всегда привлекали внимание математиков. Знаменитые Аполлоний, Архимед и Евклид уже в Древней Греции находили наибольшие площади и объемы. Однако только в XVII в. П. Ферма^, И. Кеплер^ и, наконец, Г. Лейбниц и И. Ньютон разработали общий подход к нахождению наибольших и наименьших значений функции. Этот подход связан с применением производной. Ему, в основном, и посвящен этот пункт.
Если функция у = f{x) рассматривается на отрезке, то свое наибольшее или наименьшее значение на нем она может принимать либо в его концах, либо в критических точках. Действительно, поскольку ни в точке убывания (где у' < 0), ни в точке возрастания (где у' > 0) значение функции не является ни наибольшим, ни наименьшим, остаются только концы отрезка и критические точки.
^ Пьер Ферма (1601—1665), работая советником парламента в Тулузе, прославился как великий математик, которого заслуженно считают предвестником математического анализа. Он участвовал в создании общих методов решения задач на максимум и минимум, разработал приемы построения касательных к кривым, вычисления площадей криволинейных фигур и длин кривых. Открытия Ферма становились известными из его переписки с другими математиками.
2 Иоган Кеплер (1571—1630) известен как немецкий астроном, открывший законы движения планет, и математик, разработавший теорию использования логарифмов для вычислений и составивший таблицы логарифмов, а также предложивший интересный способ определения объемов тел.
84
На рисунке 70 наибольшее значение функция принимает в точке Х2, а наименьшее — в точке 6, правом конце отрезка.
Это можно записать так: max f(x) = f{x^, min f{x) = f{b).
[a; 6] [a; b]
Замечание. Непрерывная на отрезке функция обязательно принимает на нем и свое наибольшее, и свое наименьшее (для этого отрезка) значения. А вот разрывная функция может не иметь на отрезке ни наибольшего, ни наименьшего значений (рис. 71).
1 i max t{x)
LimH
Рис. 70
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее из значений, которые принимает функция f(x) = - Зл: + 3 на отрезке
[-2; 3].
Решение.
(l) Найдем критические точки функции на отрезке [-2; 3]: f'(x) = Sx^ - 3; f'(x) = 0: X = -1 или х = 1.
@ Найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
А-2) = 1, Л-1) = 5, f(l) = 1, f(3) = 21.
Сравним найденные значения функции:
А-2) = /(!)< Л-1) <ЛЗ).
Ответ: max f(x) = f(S) = 21, min Л^) = Л~2) = Л1) = 1-
[-2; 3] [-2; 3]
Примечание. Заметим, что отрезок, концами которого являются наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции, представляет собой ее область значений.
Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения часто приводят к рассмотрению функции на промежутке (конечном или бесконечном), где у нее есть единственная критическая точка.
85
д:
2х
Рис. 72
Рис. 73
Если в единственной критической точке непрерывная функция имеет максимум^ то он является наибольшим^ а если минимум^ то наименьшим ее значением.
Пример 2. Из квадратного листа картона 1 х 1 м вырезают по углам квадраты и, как показано на рисунке 72, сгибают коробку. Какие стороны должны иметь отрезанные квадраты, чтобы объем полученной коробки был наибольшим?
Решение.
(D Обозначим искомую сторону буквой х и выразим объем коробки как функцию с аргументом х: V{x) = (1 - 2х)^х.
Понятно, что коробка, а вместе с ней и ее объем могут су-ш,ествовать только, когда О < д: < 0,5. Значит, D(F) = (0; 0,5).
Найдем наибольшее значение функции V(x).
V' = ((1 - 2х)^хУ = (х- 4х^ + 4х^У = 1 - Sx + 12х^;
V' = 0: 12х^ - 8д: + 1 = о, ^ , ^2 5 (рис. 73).
В области определения оказгшась единственная критическая точка — точка максимума х = ^. Значит, в этой точке функция V{x) принимает свое наибольшее значение.
Ответ: г о
м.
Упражнения
181. На рисунке 74 изображены графики функций. Какие из этих функций имеют наибольшие (наименьшие) значения
а)
б)
в)
Рис. 74
г)
86
182. Найдите наименьшее и наибольшее из значений, которые принимает функция f(x) на отрезке L, если:
а) fix) = Sx^ -12x + l,L = [1; 4];
б) fix) = I + 48л:, L = [0; 9];
в) fix) = - 8jc2 + 3, L = [1; 2];
г) fix) = д: - 2 In л:, L = 1^1; ej;
д) fix) = 2 sin X + sin 2д:, L = j^O;
е) fix) = ix- 3)^^ L = [1; 4];
fix) = л/5 - 4 sin X, I/ = [0; д];
3) fix) = (д: - 2)V^2 ^ L = [-1; 1].
183*^. Найдите область значений функции у = " .
184*. Пересекает ли прямая i/=l,3 график функции
JC + 1 „
- 2л: + 3
185*. Найдите:
а) наименьшее значение функции у = 2^ + 2“^;
б) область значений функции у = cos^ х + cos д: + 3.
186. При каких значениях а имеет решение уравнение л/Зд: - 3 + Jb - X = а?
187. Найдите положительное число, которое даст:
а) наименьшую сумму с обратным ему числом;
б) наибольшую разность со своим кубом;
в) наибольшую разность со своим квадратом.
188. 1) Сумма двух положительных чисел равна 10. Найдите эти числа, если сумма квадрата первого из них с кубом второго принимает наименьшее из всех возможных значений.
2) Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и второго, возведенного в четвертую степень, было наибольшим.
3) Число 147 разбейте на два положительных слагаемых так, чтобы произведение одного из них на квадратный корень из другого было наибольшим.
4) Число е представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба первого слагаемого и утроенного второго слагаемого оказалась наименьшей.
87
189*. В какой точке нужно провести касательную к графику функции у = {х - 2)2, чтобы площадь треугольника, ограниченного этой касательной и положительными полуосями координат, была наибольшей?
190*. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 3) и отсекающей от первого координатного угла треугольник с наименьшей площадью.
191. Из всех прямоугольников данного периметра найдите тот, у которого диагональ наименьшая.
192. Прямоугольный лист жести имеет длину 64 см и ширину 40 см. Из этого листа требуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом к основанию. Какими следует взять стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки (объем прямоугольного параллелепипеда) оказалась максимальной.
193*. Докажите, что из всех треугольников, вписанных в данный круг, наибольшая площадь у равностороннего треугольника.
194. При каких размерах прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием и площадью полной поверхности о, значит функция у вогнута. По теореме Лагранжа полу-
чаем: = у\а) и = уШ, где а -
некоторое число из интервала (1; 1,05), а 6 — из интервала (1,35; 1,4). В силу возрастания производной у\а) < У\Ъ), т. е.
у{\) - 1/(1,05) ^ 1/(1,35) - г/(1,4) „ .-.ч,,/-,
“0 05 ^ —0 05 ^^/(1) i/(l»05) >• 1/(1,о5) ^(1,4).
Отсюда cos® 1 + cos® 1,4 > cos® 1,05 + cos® 1,35. Л
В окрестности точки экстремума функция обычно или выпукла (максимум) или вогнута (минимум), поэтому вторую производную можно использовать при поиске экстремумов: если в критической точке вторая производная положительна [отрицательна], то функция в этой точке имеет минимум [максимум].
Пример 3. Найти наименьшее значение функции у = л:1п X - д:1п 5 на отрезке [1; 5].
Решение. Найдем критические точки данной функции, принадлежащие отрезку [1; 5].1/' = 1пл: + 1 - In 5.
= О; In д: = In 5 — 1, д; = - .
^ е
5
Поскольку 1 < - < 5, критическая точка принадлежит отрезку [1; 5]. Выясним, какой знак в найденной точке у второй производной: у'" = (In д: + 1 - In 5)" = ^^ В ^
5
Оказалось, что х = - — точка минимума. Поскольку это
93
единственная точка экстремума, то непрерывная функция у — х\пх-х\пЪ принимает в ней свое наименьшее значение:
min W = - In - - - In 5 = - (In 5 - 1 - In 5) = .
[i;5] ^ ^ ^ e ' ' e
Ответ: —.
e
Нельзя обойти вниманием физический смысл второй производной. Пусть точка М движется по прямой с выбранным на ней началом отсчета — точкой О. Расстояние от начала отсчета до точки М в каждый момент времени t обозначим буквой S. Тогда движение точки М будет описываться функцией S = s(t). Первая производная функции s, как вы знаете, выражает скорость движения а вторая производная (скорость изменения скорости) является ускорением:
e"(t) = v\t) = a{t).
Пример 4. Найти ускорение тела, движущегося прямолинейно по закону s{t) = - In (м), где t с — время
движения, через 2 с после начала движения.
Решение. Ускорение равно второй производной:
a{t) = - In t^)" = “ 7 ) 6 ^ »
a(2) = 6 + I = 6,5.
Ответ: 6,5 м/с^.
Рассмотрим теперь колебания груза, прикрепленного к пружине (рис. 79).
Груз скользит по стержню под действием силы сжатия пружины, которая пропорциональна (с учетом знака) отклонению y(t) от положения равновесия (силой трения в этой задаче пренебрегаем):
F=^-ky.
О
а)
F\
^ Г 00000№(ГОШП?ШЛ>
е) Ц
Рис. 79
94
с другой стороны по закону Ньютона сила равна произведению массы на ускорение:
F = та = ту".
Имеем:
ту" = -ky.
В этом уравнении неизвестным является сама функция y{t). Поскольку она выражается через свои производные, уравнение называют дифференциальным.
Решению дифференциальных уравнений посвящен целый раздел математики — с ним вы познакомитесь в вузе. Что касается данного уравнения, его решением является функция
у = А cos (cot + ф),
где
Говорят, что тело, движение которого описывается такой функцией, совершает гармонические колебания. Число А показывает предельное отклонение от положения равновесия — его называют амплитудой. Число (О называют частотой, через него легко выразить период гармонических колебаний
2?t
г = — . Число ф зависит от выбора начального момента отсчета — его называют начальной фазой.
Упражнения
217. Найдите вторую производную функции f{x) и вычислите ее значения:
а) f{x) = х^\пх + cos 2х,
б) fw = sin| +ln;c2, r(3),r(g).
218. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции:
а) у = х^; г) у = х + ;
б) у = (х + 1)^; р) у = х + 2 cos х.
в) у = Зх^ - х^;
219. Узнайте, выпукла или вогнута функция у = х^ - Ьх^ + + Зл: - 1 в точках: а) jc = 1; б) л: = 2?
220^. Постройте графики функций, проведя исследование с помощью первой и второй производных:
95
-г2
а) I/ = Jl + лг2; в)у=е
б) у = X + sin х; г) у = In (1 + х^).
221®. Исследуйте на вьшукл<х;ть функции у = и
у = . Используйте полученные результаты для сравнения
чисел:
3100 +2^®° а)-----5--- и
(ъ
[2) ’
2004уО;3 + 2004/оД б) ----------о--------- и
2004
Vo;5.
222®. Ср£1вните значения выражений
sin^ 0,1 + sin^ 0,5 и sin® 0,2 + sin® 0,4.
223. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке L:
а) I/ = 2л:® - Зх^ - 12jc - 2, L = [-2; 1];
2
^ + |,Х = [0;2,5];
вГ у =
1 + л/2 sin -f
г)® 1/ = -
,L = [2;3].
L:
V2x2- X - 1
224®. Найдите наименьшее значение функции у на отрезке а) I/ = 2jc In д: - д: In 49, L = [1; 4];
б)у= 2 л: In д: - д: In 2, L = [0,5; 2]. 225®. Докажите, что функция у =
д: + д:® sin - при д: ть 0,
о при д: = о
не имеет второй производной в точке д: = 0.
226. Найдите скорость и ускорение тела, движущегося прямолинейно по закону s(t) в указанные моменты времени
а) s(0 = 2^® - 3^ + 4 (м), t = 2с;
Ttt
б) s{t) = 3 cos (м), t = 1 с.
2270. Тело движется по закону s(t) = 0,5t^ - 5t® + 12^® - 1. В какие моменты времени ускорение тела равно нулю?
228. Тело движется прямолинейно по закону s{t) = .
Докажите, что его ускорение обратно пропорционально квадрату пройденного расстояния.
96
229*^. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам и Sg = 2t^ - - ll^ + 7. Найдите
ускорение точек в момент, когда равны их скорости (расстояние измеряется в метрах, время в секундах).
230. Пуля, попав в твердое тело, движется в нем по закону
S = ^ In (1 + kv^t), где Vq — скорость, с которой пуля входит в
тело, k — постоянная положительная величина. Найдите закон изменения ускорения движения пули.
231. Тело массы т движется прямолинейно по закону S = at^ + bt + с, где а,Ь и с — постоянные величины. Докажите, что сила, действующая на это тело, постоянна.
232. Найдите скорость и ускорение, которые имеет точка, движущаяся по закону:
а) а = sin б) s = 1 - cos j,
в момент времени t = 1.
233. Найдите силу F, действующую на тело массы т, которое движется прямолинейно по закону, заданному уравнением s(t) в момент времени t:
а) s{t) = sin 2^, ^ = g ;
б) s{t) = t = 0.
234. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону S = А cos (со^ + а), где А — амплитуда, ю — частота, а — начальная фаза колебания. Составьте формулы скорости и ускорения движения точки.
235. Определите силу, под действием которой тело массы т совершает гармонические колебания по закону
s(0 = А cos (wf + а).
23бЧ Постройте график гармонического колебания, заданного формулой:
а) s(t) = ^ sin {2t
б) s(^) = -3 sin ^ j*
237. Докажите, что функция у является решением дифференциального уравнения гармонического колебания:
а) I/ = -4 sin {2х + 3), у" -f 4г/ = 0;
б) I/ = 3,8 cos (0,6л: - 10), у" + 0,36i/ = 0.
97
238*. Постройте графики функций, определяя их асимптоты, экстремумы и точки перегиба:
а) 1/ =
б) 1/ =
л:2 - 1 ’ 1
2 ’
в) I/ =
- 5х + 6 х-1
х^ -9
Контрольные вопросы и задания
1. Покажите на графике убывающей дифференцируемой вогнутой функции, что угловые коэффициенты касательных к нему увеличиваются при увеличении абсциссы точки касания.
2. Сделайте эскиз графика какой-нибудь функции, производная которой в точке перегиба: а) равна нулю; б) положительна; в) отрицательна; г) не существует.
3. Исследуйте на монотонность, выпуклость и вогнутость
функцию у = + 1 и постройте ее график.
4. Докажите, что если точка движется прямолинейно по закону s(t) = ае^ + Ье~К то ее ускорение равно пройденному пути.
ГЛАВА
Ш
ИНТЕГРАЛ И ПЕРВООБРАЗНАЯ
В предыдущих двух главах вы находили производные различных функций. В этой главе рассматривается обратная задача — вы научитесь по данной производной находить функцию, от которой она была взята, и познакомитесь с некоторыми ситуациями, в которых применяется это умение. В пункте 12 речь пойдет о задачах, которые приводят к интегралам как суммам бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых, а пункт 13 научит вас вычислять некоторые из этих интегралов.
12. Площадь криволинейной трапеции
Фигура ABCD на рисунке 80 снизу ограничена осью абсцисс, сверху — графиком функции у = f{x)y а слева и справа — параллельными прямыми х = атлх^Ь. Параллельность сторон AD и ВС вызывает ассоциации с трапецией, отличие лишь в стороне DC: у трапеции это отрезок, а у фигуры на рисунке — часть графика функции у = f{x).
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная линиями: у = 0^х = а, х = Ьиу = f(x), где f{x) — функция, непрерывная на отрезке [а; Ь] и принимающая на нем только неотрицательные значения.
Рисунки 81—82 иллюстрируют способ приближенного вычисления площади криволинейной трапеции: разбиение на несколько криволинейных трапеций, замена их прямоугольниками, нахождение высот, а затем и площадей этих прямоугольников.
Рис. 81 Рис. 82
Так, для разбиения на рисунке 82, используя для равных оснований прямоугольников обозначение Ад:, получим:
+ /(дгд) • ^x + f{x^) • Ад: + f{x^) • ^x.
При увеличении числа частей п, на которые разбивается трапеция, по-Рис. 83 грешность приближения уменьша-
ется, и ее можно сделать как угодно малой, взяв п достаточно большим.
Поскольку при увеличении п значение Ад: = стремится к
нулю, можно записать:
^ABCD = + A^i) Ал: + /(Xg) Ад: + ... + f{x^_ j) Ад:).
Дд:-»0
Сумму, стоящую под знаком предела, называют интегральной, концы отрезка [а; Ь] — границами (или пределами) интегрирования, а сам предел называют интегралом и обозначают
ъ
J f{x) dx (читается: интеграл от а до Ь эф от икс дэ иксУ.
Таким образом.
'ABCD
= ] fix) dx.
^ Знак интеграла, представляющий собой удлиненную букву S, был введен Лейбницем в 1686 г. Термин «интеграл» от латинского слова integer — целый (с помощью интеграла находится площадь целой фигуры) предложил И. Бернулли, сотрудник Лейбница. Определение интеграла как предела суммы принадлежит Б. Риману, поэтому интегральную сумму иногда называют римановой.
100
Пример 1. Выразить через интегралы площадь заштрихованной на рисунке 84 фигуры.
Решение. Разрежем данную фигуру на три части, и ту часть, которая расположена под осью абсцисс, отобразим симметрично этой оси в верхнюю полуплоскость (рис. 85). Искомая площадь равна сумме площадей трех криволинейных трапеций:
iS = 0
+ Ajc + nf'{x2) Ад: + ... +
b
+ ^x) = \nf^{x) dx.
a
b
ЫНх) dx.
a
Упражнения
239. Какие из фигур на рисунке 88 являются криволинейными трапециями?
240*. В каких случаях полученная в результате преобразования фигура по-прежнему будет криволинейной трапецией, если криволинейная трапеция:
102
1) сдвигается:
а) влево; б) вправо; в) вниз; г) вверх;
2) растягивается в k раз:
а) от оси абсцисс; б) от оси ординат?
Изменится ли ее площадь?
241*. Выразите площадь Ъ. Для этого, правда, нужно уметь находить первообразные. Нахождение первообразных называют интегрированием. Мы рассмотрим наиболее простые случаи интегрирования, непосредственно вытекающие из формул и правил дифференцирования.
В примерах 1 и 2 вы уже видели, как из известных формул производных получают первообразные. Так же получены все первообразные, которые называют табличными.
Доказать, что одна функция является первообразной по отношению к другой, проще всего с помощью дифференцирования предполагаемой первообразной.
1 X
Пример 3. Доказать, что Fix) = - arctg - — первообразная для функции fix) = ^-^-2.
Доказательство. Вынося числовой множитель за знак производной и используя формулы производной арктангенса и сложной функции, получаем:
F (х) = arctg 5 ] = - ■ Н “ о* ■ о2 +
-(f)
1 Исаак Ньютон (1643—1727) — великий английский физик и математик, создавший теоретические основы механики, астрономии и математики. В 1665 г. Ньютон окончил Кембриджский университет. Разразившаяся в Англии эпидемия чумы заставила его в течение двух лет после университета жить на ферме. Эти «чумные» каникулы оказались для Ньютона очень плодотворными — за эти два года он сделал почти все свои основные открытия.
Мы уже писали о Готфриде Вильгельме Лейбнице (1646—1716) как отце математического анализа, однако кроме математики он занимался физикой, инженерным делом (изобрел арифмометр), языкознанием, историей. Именно Лейбниц ввел в употребление знак умножения « ♦ ».
109
Для любого X из промежутка (-оо; +оо) F'(x) = f(x), значит, F(x) — первообразная функции f(x), что и требовалось доказать.
Вместе с первообразными, приведенными в таблице, будем использовать три правила интегрирования, в справедливости которых легко убедиться с помощью дифференцирования.
первообразные функций f(x) и g(x) со-
Пусть F(x) и G(x) ответственно.
1. Функция F(x) ± G(x) — f(x) ± g(x),
2. Функция G(x) = kF(x) — g(x) = kf(x).
первообразная функции первообразная функции
3. Функция G(x) = -^F{kx + 6) — первообразная функции
g{x) = f{kx + b).
Таблица первообразных
№ п/п
Функция f{x)
Первообразная F(jc) функции f{x)
х^
г-Ы
In X или In (-д:)
_ In а
log^ X или log^ (-д:)
д; In а
sin X
-cos X
cos X
sin X
1
соз^д:
tg д:
зш^д:
-ctg X
10
д;2 -I-
\ X X X
- arctg - или — arcctg -а а а а
11
- х^
X X
arcsin - или -arccos -а а
Примечание. Область определения первообразной — промежуток. Об этом надо помнить, обращаясь к 1, 2, 5, 8 и 9 строкам таблицы.
110
Пример 4. Найти все первообразные функции
f{x) = 3 cos X + JZx - 2 .
Решение. Применяя правила и таблицу первообразных, получим:
Fix) = 3 sin^: + I • + C = 3 sin д: + I 7(3д: - 2)3 + C,
где C — любое число.
Интегрирование — процесс обратный дифференцированию. Каждая строчка в таблице первообразных получена из соответствующей формулы производной, однако нахождение первообразных во многих случаях оказывается значительно сложнее, чем дифференцирование. Так, например, нет правила, позволяющего выражать первообразную частного через первообразные числителя и знаменателя, а правило интегрирования сложной функции ограничено случаем, когда внутренняя функция является линейной: у = kx + Ь. Заметим, что первообразная элементарной функции не всегда является элементарной, так, например, первообразную функции у =
нельзя записать как комбинацию конечного числа основных элементарных функций.
Упражнения
250. Проверьте, является ли функция F{x) первообразной для функции fix):
а) Fix) = -cos 2х - 5, fix) = | sin 2х\
б) ^’(д:) = д: (In д: - 1), fix) = In х\
в) Fix) = 2 tg Зд: + 4д:2 + 2, fix) = + 8д:; '
г) Fix) -е^^-х +7, fix) = - 2е2^ - 1;
5ух
д) Fix) = 32^ - sin 4д; + - - 1, Яд:) = 2 • 32^ In 3 - 4 cos 4д: - ^ ;
е) ^(д:) = logg 2х + Ji-2, fix) = ^ .
111
251. Для какой из функций р{х), g(x), q(x) функция F{x) является первообразной:
а) р{х) = 6(х^ - 1), g(x) = 6х^ - бдс + 1, д(х) = 6х{х - 1),
Fix) = 2х^ -3x^ + 1;
б) р(х) = -2х + Зх^у g(x) = -ЗдсГ I + л:\ q(x) = Зх^ - 4л:,
Fix) = 3 - 2д;2 + д:3; ^ ^
в) pix) = -4sin X cos Ху gix) = 4sin x cos Xy qix) = -sin 2xy Fix) = -cos 2x7
252*. Найдите функцию fix), первообразной которой явля-[ О при л: = О,
ется функция F(x) = | + - при л: 9^0 Докажите, что
lim fix) не существует.
х-*0
253*. По графику первообразной функции Fix) (рис. 100, а—г) постройте график функции fix).
Рис. 100
в) г)
Рис. 101
254*. По графику функции fix) (рис. 101, а—г) постройте график ее первообразной Fix), который проходит через начало координат.
255. Найдите первообразную функции fix), график которой проходит через точку А:
а) fix) = sin 2ху ; 2 г) fix) = sin х - cos х, ; 1
б) fix) = Jx у А(4; 6); д)* fix) = | ^ А(-1; 4);
в) fix) = е 3^, A^ln 2; ^ j; е)* fix) = д^^^гзд.» ^(12 ’
112
256. Вычислите интеграл:
а) J(x + 2)^dx; о
6)1
dx
I (х + 1)^* 27 Ну
в)1
3
д) 1 (х^ + х~^) dx;
Зп/2
е) 1 sin (1,5л + 0,5л:) djc;
к/4
ж) 1 (sin 2х - cos 2д:)2 dx.
г) 12sin^ I dx; о ^
257. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и линиями:
а) у = S - 2х - х^, X = -3, X — 0;
. л Зл
б) у = sin X, X = , X = ;
,111
^)y^~2^x=-z,x=^;
т)у = а)* у
1 + X
, X = 2, X = 1;
4\х\ + 5, л: = -2, X = 4;
= х^ -
е)^ у = 1 + J\x\, х = -\, х = 4.
258'^. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций f{x) и g(x):
а) f(x) = 6х- х^, g{x) = х + 4;
б) Ал:) = х^, g(x) = Jx ;
в) fix) = sin дс, где < л: < О, g(x) = ^ у
г) fix) = |sin х\, gix) = О, где -п< х <п.
259*. Напищите выражение для первообразных функции fix) = |д:|.
260*. Каждая из первообразных, о которых идет речь в этом задании, определена на множестве всех действительных чисел. Верно ли, что:
а) любая первообразная нечетной непрерывной функции является четной функцией;
113
б) любая первообразная четной непрерывной функции является нечетной функцией;
в) у любой четной непрерывной функции существует нечетная первообразная?
261. Найдите все первообразные функции:
а) f(x) = Зх^ + х^; в)® f(x) = ^
cos^ Зл: ’
б)*^ fix) = х~^ + cos 2х;
г)* fix) = cos^ X.
262. Найдите какую-нибудь первообразную функции fix), принимающую отрицательное значение в точке х = т:
а) fix) = 4х^ - х^ + 2, т = 1;
б) 0 fix) = + 1 - 1, m = -4.
263*. Сравните с примером 1 этого пункта и решите задачу: найти все функции fix), имеющие производную f'ix) =
= - ^ , графики которых проходят через точку М(-1; 4).
264*. Найдите все функции fix), графики которых проходят через точку В, если:
а) fix) = 4х^ - 9JC-2, Б(3; -2);
б) fW-f-4а: + i,B(2;l).
2650. Найдите первообразную для функции fix), график которой касается прямой gix):
а) fix) = х + 3, gix) = 0;
б) fix) = 2х^, gix) = 2х + 1.
266*. Прямая у = ах + Ь касается каждой из парабол fix) и gix):
1) f(x) = 5 - (д: + 1)2 и gix) = S- ix - 2)2;
2) fix) = x^ + 5x + 7 и gix) = x2 - jc - 5.
Найдите:
а) значения аиЬ;
б) координаты точек касания;
в) площадь фигуры, ограниченной этими параболами и касающейся их прямой.
267^. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой:
а) I/ = х2 -Ь 1 и касательными к ней в точках с абсциссами О и 2;
114
б)* I/ = лг2 - 4л: и касательными к ней, проходящими через
точку А -6^.
268°. Найдите площадь каждой из фигур, на которые прямая у = X Ъ делит фигуру, ограниченную линиями у ~ 2х^ и у = 8.
269*. При каком значении k площадь фигуры, ограниченной параболой у = х^ + 2х - 3 и прямой у = kx + 1, будет наименьшей?
270*. Найдите наименьшее и наибольшее значения интеграла:
“л “
а) J sin р dx, а> 0; б) j л:(л: - 2) dx, а > 0.
о ^ о
271°. Найдите пары чисел а и 6, при которых функция
fix) = а sin пх + Ь удовлетворяет условиям:
Г(2) = 3, ]f(x)dx = 4.
о
272. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью v(t) = sin 2t cos 2t. Найдите уравнение дви-
жения точки, если при t = ее расстояние от начала координат равно 2.
273*. Два тела начали движение одновременно из одной точки: а) в одном направлении; б) в противоположных направлениях.
Первое тело движется со скоростью + 2t (м/с),
второе — со скоростью V2(t) = 4^ + 5 (м/с). На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?
274. Найдите импульс тела массой 2 кг, движущегося с ускорением а = - 2t + 2, через 3 с после начала движения,
если его начальная скорость равна 1м/с.
275. Используя формулу для нахождения среднего значе-
1 ^
ния |i функции fix), ц = т—- ffix) dx, найдите:
о а ^
а) среднюю теплоемкость бензина для температур, лежащих в интервале от = 116 °С до ig ~ 218 °С, если при посто-
115
ЯННОМ давлении теплоемкость бензина в зависимости от температуры t выражается формулой C{t) = 0,2237 + 0,00102f;
б) среднее значение силы переменного тока, изменяющегося по закону I{t) = k sin f, где k — постоянная, t e [0; л].
276. Найдите объем тел, образованных вращением вокруг оси X фигур, ограниченных линиями:
а) I/ = 2л:, г/ = о, д: = 4; т)^ у = Jx , у == 0, х = 4:',
б) I/ = д: + 2, I/ = о, л: = 4; д,)* у^ = х, у = х^;
вр у = х^, у = 0, х = 4; е)* у^ = 8х, у = х^.
277*. Выведите формулу объема прямого кругового конуса с радиусом основания В и высотой Н.
4
278*. Докажите, что объем шара радиуса В равен
279*^. Найдите наибольший объем, который может иметь коническая воронка с образующей, равной I.
280*. Найдите размеры прямого кругового конуса наибольшего объема, который вписан в шар радиуса В.
281*. Какой наибольший объем может быть у тела, образованного вращением равнобедренного треугольника с периметром 2р вокруг своего основания?
282*^. Найдите отношение высоты конуса к радиусу его основания, зная, что у него самый большой объем из возможных при его площади боковой поверхности.
283. Скорость поезда, идущего под уклон, изменялась по закону v(t) = 15 + 0,2t м/с. Вычислите длину уклона, зная, что поезд прошел его за 20 с.
284*. Найдите давление воды на плотину, имеющую форму треугольника, обращенного вершиной вниз, если основание треугольника 18 м, а его высота 10 м.
285*. Пирамида Хеопса представляет собой правильную четырехугольную пирамиду высотой 147 м, в основании которой лежит квадрат со стороной 232 м. Найдите работу (в джоулях), затраченную при строительстве пирамиды, если плотность составляющих ее блоков равна а кг/м^. (Наличием в пирамиде Хеопса внутренних помещений пренебречь)
116
Контрольные вопросы и задания
1. Какую функцию называют первообразной для функции у = /(л:)? Чем может являться область определения первообразной?
2. Как убедиться в том, что функция F{x) — первообразная для функции /? Является ли функция F{x) = In |д:| первообразной функции f{x) = ^ на промежутке (-о°; 0)?
3. Найдите по формуле Ньютона—Лейбница интеграл
-1
|(1 - х^) dx.
ГЛАВА
i
УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И ИХ СИСТЕМЫ
Свое умение решать уравнения, неравенства и системы вы неоднократно демонстрировали в предшествующем курсе. В учебнике для 10 класса подробно рассматривались иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения. В этой главе будет немного повторения, но главное — это знакомство с некоторыми специальными приемами, которые помогают при решении более трудных задач.
14. Уравнения
Вам знакомы линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения. Для каждого из перечисленных типов вы знаете либо алгоритм решения, либо стандартные приемы, связанные с использованием тех или иных формул и правил. Так, корни квадратного уравнения всегда можно найти по формуле корней, а иррациональное уравнение обычно возводят в степень, чтобы избавиться от радикалов.
К решению уравнений часто сводится и решение неравенств. Особенно ярко это проявляется при решении неравенств методом интервалов.
Пример 1. Решить неравенство (tg Sx - l)(2sin 2л: - 1) > 0.
Решение. Найдем границы интервалов знакопостоян-ства — точки, в которых выражение (tg Зл: - l)(2sin 2л: - 1)
обращается в нуль: при tg Зл: = 1, sin 2л: = | или теряет
смысл: при Зл: — 2 + izk.
tg Зл: = 1, Зл: = ^ + л/г, х =
п
12
^ 3
118
sin 2x = i f 2x = ^ + 2nk или 2x = ^ + 2nk, 2 6 6
^ , i.
12
или
+Ttk;
3x = ^ + л/г, x=^ + ^k(ks Z).
Заметив, что число n является периодом функции у = = (tg 2х - l)(2sin 2х - 1), выпишем те из границ, которые попадают в промежуток [0; л), л
12 3 ’ 12’
л , л , л б 3 6
_7^ Л_^ Л 2л _ Зл ^
12 3 ~ 12 ’ 12 3 “ 4 ’
12 + л/г . 12 ,
5л , .5л
12 12’
Л Л—Л л 2л _ 5л б“^3~2’ 6^3 “6'
Отметим их на координатной прямой, гт л 5л
При переходе через точки ^2 ^ 12 изменяют сразу
обе скобки, и поэтому их произведение знак сохраняет. При
Зл -
переходе через точку -j- знак меняет только первая скобка,
а вместе с ней и произведение. При переходе через точки л» л 5 л ®
и tg Зл: меняет знак своей бесконечности, а значит, меняет
знак и разность tg Зд: - 1. Найдем знак произведения, например при д: = о, и проведем линию знаков (рис. 102).
3rtVz-
^ II
Рис. 102
С учетом упомянутой выше периодичности запишем ответ: [nk; ^ + Tik^ и + л/г; | + nk^ ^ X
и + л/г; л + лА:^ {k е Z).
Примечание. Объединение промежутков \jik; ^ -ь л/гj U и ^ + ^/^^ можно «склеить»: + л/г; ^ -Ь л(/г + 1)^
(k е Z) или {кк - ^ ; л/г -Ь ^ ^ (/г е Z).
119
При решении многих уравнений приходится проводить довольно сложные преобразования и вычисления. Однако трудоемкость решения часто удается суш;ественно снизить с по-мош;ью универсального для всех типов^ уравнений приема — введения новой переменной. Эта новая переменная заменяет собой какую-то, как правило, повторяющуюся часть исходного уравнения. Труднее всего при замене переменной бывает увидеть выражение, которое собственно и нужно заменить.
Пример 2. Решить уравнение
(х - 1)(х - 2)(х - S)(x - 4) = 15.
Решение. После раскрытия скобок получится уравнение четвертой степени и придется либо искать его целые корни, либо пытаться найти какое-то разложение на множители — перспективы не очень радостные. Однако у этого уравнения есть важная особенность: если попарно перемножить внешние скобки произведения и внутренние его скобки, то получится ур£1внение, в котором кандидат на роль новой переменной очевиден:
(х^ - 5х + 4){х^ - 5л: + 6) = 15.
Обозначив выражение л:^ - 5л: + 4 буквой у, получаем квадратное уравнение у (у + 2) = 15. Найдя его корни г/^ = -5 и 1/2 = 3, возвращаемся к исходной переменной х:
х^
5л: + 4 = -5 или л:^
-2 _
5л: + 4 = 3,
5 ± л/21
5л: + 9 = О или х^ - 5х + 1 = О, х^ 2^
Примечание. Можно было обратить внимание на другую особенность данного уравнения, а именно на то, что нули произведения, точки 1, 2, 3 и 4 симметричны относительно точки 2,5. Обозначив буквой Z разность л - 2,5, получим:
(2 + 1,5)(2 + 0,5)(2 - 0,5)(2 - 1,5) = 15, (02 - 2,25)(з2 - 0,25) = 15.
Раскрыв скобки, придем к биквадратному уравнению, однако проще сделать еще одну замену: у = - 2,25, и получить уже знако-
мое уравнение у{у + 2) = 15.
Пример 3. Решить уравнение
л/х -Ь 7 -f- 2л/л:2 + 7х = 35 — 2л:.
Решение. Ив этом случае стандартный подход, связанный с освобождением от радикалов, не внушает оптимизма.
^ Универсальность понимается в смысле применимости к любому типу уравнения, но не к любому уравнению.
120
Однако практически с первого взгляда в левой части уравнения можно заметить сумму и удвоенное произведение радикалов Jx и Jx 1. Это наводит на мысль о квадрате суммы этих
радикалов: (л/^ -Ь ^Jx + 1 )^ = 2л: + 7 -I- 2jx^~^-~7x — вот и для 2х из правой части исходного уравнения нашлось место:
Jx + Jx + 7 + 2х + 7 + 2jx^T~7x =35 + 7,
Jx + JxT~7 + (Jx + Jx + 7 )2 = 42.
Теперь стала видна требуемая замена: у = Jx + Jx + 7 .
После решения квадратного уравнения + у - 42 = О, конечно, придется решить еще иррациональное уравнение относительно Xj однако трудностей на этом пути не предвидится.
Как видно из рассмотренных примеров, замена переменной может потребовать некоторой наблюдательности.
Пример 4. Решить уравнение 2х‘^ - дх^ - л:^ - Зл; + 2 = 0.
Решение. Особенностью этого целого рационального уравнения является равенство коэффициентов его левой части, равноудаленных от ее концов. Такие уравнения называют возвратными.
Поскольку о не является корнем данного уравнения, делением на х"^ получаем равносильное уравнение:
2л;2 - Зд: - 1 - - + ^ = о, зГл:^ + ^ 1 - зГд: + - 1 - 1 = 0.
ОС ос V ос J V ос J
Введем новую переменную г/ = л: + ^ , тогда у^ = +2
и д:2 + ^ = у^ - 2. Получаем квадратное уравнение
2(1/2 - 2) - 3^ - 1 = о, 21/2 - Зг/ - 5 = о, 1/1 = = 2,5.
Остается вернуться к переменной х и найти корни исходного уравнения.
Примечание. Вьшолняя замену переменной, полезно подумать о значениях, которые она может (или не может) принимать. Так, поскольку 1у| = д: + ~ ^2, можно не рассматривать корень у^ = -1.
Не менее универсален, чем замена переменной, самый древний способ решения уравнений — подбор корней. Подбор целых корней среди делителей свободного члена — основной способ решения целых уравнений высоких степеней. Однако мало подобрать корни — нужно ведь еще убедиться, что дру-
121
гих корней нет. Здесь на помощь часто приходят свойства монотонности функций.
Пример 5. Решить уравнение
л/19 - X - + 6 = logg (8л: + 3) - 2.
Решение. Попробуем подобрать х так, чтобы извлекались корни в левой части уравнения: при л: = 3 имеем л/19 - х =
= л/Гб = 4, л/х + 6 = л/9 = 3. При этом значении х и правая, и левая часть равенства принимают одно и то же значение, следовательно, число 3 — корень данного уравнения. Поскольку левая часть уравнения задает убывающую, а правая — возрастающую функции, других корней данное уравнение не имеет.
Ответ: 3.
Рассмотрим еще одну идею подбора корня, связанную со свойствами функций.
Пример 6. Решить уравнение
+
49
16
sin кх + cos кх = 2
Решение. Наибольшее значение, которое может принять сумма синуса и косинуса одного и того же угла, равно
л/2 , так как sin а + cos а = л/2 sin ^ | + а j < л/2 .
Правая часть равенства в силу возрастания функций и= л[и ,
t = logo и и у = 2^ принимает свое наименьшее значение при X f X 49
л: = ^ (абсцисса вершины параболы v — х^ - 16 ’
расположенной в верхней полуплоскости ввиду отрицательности дискриминЁШта соответствующего квадратного трехчлена j. Найдем это значение:
16 ^ ^ 2^ _Т2 .
Оказалось, что наименьшее значение правой части уравнения совпадает с наибольшим значением его левой части. Остается проверить, происходит ли это при одном и том же значении х. Найдем значение левой части уравнения при
л: = I: sin ^ + cos ^ J2 . Значит, | — корень данного уравнения.
Поскольку при всех других значениях х значения правой части уравнения больше, чем значения его левой части, то других корней нет.
Ответ: 7.
4
122
Упражнения
286. Решите тригонометрические неравенства:
а) cos (-0,5л:) < sin тс;
б) tg ^ + sin (^2л: - ^ j > I;
в) sin X cos X > - ^ ;
г) 4 sin (х - 2тс) • cos (-х - тс) < 1;
д) 0 72 (sin X - cos х) < 73;
е) *^ sin^ х>
ж) *^ tg^x > 1;
з) ^ cos X (tg 2х - 1) < 0;
и) * cos^ X - cos X < 0;
к) ® 2 sin^ X + sin X - 1 < 0;
л) ® (ctg Зх - 1)(2 cos 2х - 1) > 0;
м) ® (tg 2х - 1)(2 sin Зх - 1) > 0.
287°. Какую особенность уравнения можно использовать в решении? Решите уравнение:
а) (х - 3)(х - 2)х(х + 1) = 10;
б) (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) = 120;
в) (х^ - 2х + 3)(2х^ - Зх + 6) = бх^;
г) (х - 6)(2х - 1)(х + 2)(2х + 3) = 21x2;
.•1.2,3 6
Д)’
+
+
х-1 ' X - 2 X - 3 х + 6’
е) 35*3^" -35*52^-х-3^^ +х-52^ = 0;
ж) cos 9х - cos 7х + cos Зх - cos х = 0;
з) cos X + sin X + cos Зх + sin Зх == 0.
288. Введите, если нужно, новую переменную и решите уравнение:
а) 4^- 10*2^-1 = 24;
б) 3 cos 2х + sin2 X + sin 2х = 1;
в) ° 2x2 - бх + 7л:2 _ 4- б +2 = 0;
г) 9*4"^-13«6^ + 4»9х = 0;
д) 3 log^ 4 + 2 log4^ 4 + 3 logi6^ 4 = 0;
е) ® Jx + S - 4jx - 1 + Jx + S - b^x - 1 = 1;
ж) ® cos 2^-2 tg2 2^ " 1 + 2 = 0;
123
3)0 78*3^ + 2-23 = 2-3^+1; H)*logg^^ +log2^: = i;
к) * + 2л: - 3 = 3|л: + 1|;
л) * л:2 - 4л: - 4 = 2|л: - 2|. 2890. Решите неравенство;
2 + X
> 5
«ег г.-
б) 52^+1 > 5^ + 4;
в) 2 logg X - log^ 125 < 1;
г) logioo л:2 + lg2j: < 2.
290*. Решите уравнение, подбирая корень:
а) 2л:3 - Зл:^ - 32л: -15 = 0;
б) Зл:^ - 7х^ + 6л:2 + 23л: - 6 = 0;
в) 2л:2 = -18 - х;
г) л:^ + 4л: = -40;
д) 2^ + 1 + л: = -|;
е) 2^ = -2 - л:;
ж) 3^ + 4^ = 5^;
з) 8 - 2л: = Jx + 1;
и) logg (2^ - 7) = 3 - х;
к) logg (б~^ + 5) = 1 + л:.
291. Решите уравнение, используя ограниченность функций;
а) sin 5л: - 2 cos 2л: = 3;
б) sin х = х^ + X + 1;
в) * 2 cos I = 2^ + 2"^;
г) sin ^ = л:2 - 2л: + 2;
д) * 3 sin л: + 4 cos Зл: cos л: + 2 sin 5х = 7;
е) * 4 cos2 л: - 4 cos^ Зл: cos х + cos^ Зл: = 0.
292. Решите неравенство, используя ограниченность функций;
1
а) cos л: < л:2 + 1;
б) cos л: < 1 + |л:|;
г) cos л: < 1 +
- sin^x ’
2
д)* arcsin —I- Jx - 1 > 1;
в) cos X > 1 + 2^; е)* Jig sin х < х - 12,5тс.
293. Н£1Йдите идею решения уравнения и постарайтесь ее реализовать:
а) (2x2 + 3^)2 _ 7(2;с2 + Зх) + 10 = 0;
б) х2 + 2х + Jx^ + 2х + 8 -12 = 0;
124
в) 9^+ 12*-2-16^ = 0;
г) 4-^ - 9« 2^ -1 + 2 = 0;
д) * (4+Л5)* + (4-Л5)* = 8;
е) * 8(4* + 4-*) - 54(2* + 2"*) + 101 = 0;
ж) 2 sin^ 2х = (cos X 4- sin х)^;
з) ^ 5 sin^ X - cos^ X = sin^ 2х.
294. Составьте план решения уравнения и постарайтесь его выполнить:
Зл:- 1
2-х
а) |sin х\ {2х + 1) = |д: + 0,5|;
б) 91*-2| sin X — 3x|sin х\.
в) * log^ (?■* 4- 6) = 1 4- jc;
Ig X + 5
r)OjC 3 =10lg^ + l;
д)* 22*'*'^ - 1 = 2^*'^^;
e)0 43^^ + ^ -8 = 2*8
2 + ±
x^ +
3 .
ж) log^(2x) = J\og^{2x^);
з) 0 log2A:*log^(^| Jx^=l.
295*. Решите уравнение:
а) Jx - 2jx - 1 4- Jx + 3 - 4jx - 1 = 1;
б) Jx - 2 4- J4- X = x^ - блг 4-11;
в) Jx + Jx + 3 4- JxTb = 6; r) logg (2x - x^ + 15) = - 2x 4- 5;
д) logg (8д: - л:3 4- 9) = - 8jc 4- 18;
е) logs ((л^ - 15) cos x) = logg
x-15 cos X
ж) cos 3x • cos 2л: = -1;
з) cos 2л: 4- cos — 2 = 0;
и) sin X • sin Зл: = -1;
к) * cos X * cos 3x = cos 0,3 • cos 0,9;
Л)* 8л:(2л:2 - l)(8x^ - 8л;2 + 1) = 1; m) (2д:2 - Зл: 4- 1)(2л:2 4- 5л: 4- 1) = 9л:2;
н) л:^ - 2л:3 - л:^ - 2л: 4- 1 = 0.
296. Докажите, что уравнение logg (2 - л:) log^^ 2 = 2 не имеет корней.
125
Контрольные вопросы и задания
1. Какие два уравнения называют равносильными? В каком случае одно уравнение является следствием другого?
2. Можно ли поставить знак переходя от одного уравнения к другому, вводя новую переменную?
3. Решите уравнение >j2x + 3 + Jx Л- 1 = л/43 - бд:.
15. Системы уравнений
Большинство уравнений, которые вам довелось решать, были уравнениями с одной переменной. В отличие от них уравнение с двумя переменными, как правило, имеет бесконечно много решений, хотя и из этого правила бывают исключения. Пример 1. Решить уравнение 1п^ х + + 1 = 2у.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде:
In^x + (у - 1)^ = 0.
Оба слагаемых должны одновременно быть равны нулю, что достигается только при х = у = 1.
Ответ: х = 1, у = 1.
При решении уравнения мы встретились с требованием одновременного выполнения условий In^x = 0и(«/-1)2 = 0,
1п^ X = о,
т. е. с системой
(^/- 1)2 = 0.
Введение новой переменной, помогавшее решать уравнения предыдущего пункта, по сути дела тоже заменяло уравнение системой. Например, замена 2^"^ = у при решении урав-
1 (У = 2^.
нения 4^ - 10 • 2^ “ ^ = 24 приводит к системе | ^2 _ 5^ _ 24 = о
Заметим, что хотя нас по-прежнему интересуют только значения переменной х, знак равносильности при переходе от уравнения к этой системе ставить нельзя, так как ее решением является не число X, а пара (х; у).
Вы знакомы с двумя основными подходами к решению систем — методами сложения и подстановки. Оба эти метода сводят решение системы уравнений с несколькими переменными к решению уравнения с одной переменной. При этом используется возможность:
1) умножать или делить уравнение системы на отличное от нуля число;
126
2) заменять уравнение его суммой или разностью с другим уравнением этой системы,
3) заменять в уравнении переменную ее выражением, полученным из другого уравнения системы^.
Пример 2. Решить систему уравнений sin^ X + sin I/ = 1, cos^ X + cos I/ = 1.
Решение. Заменим одно из уравнений системы его суммой с другим ее уравнением:
sin^ X + cos^ X + sin у + cos у = 2, J sin у + cos у — 1, cos^ X + cos у = 1; I cos^ x + cos у = 1.
В первом уравнении системы осталось одна переменная. Решим его, вводя вспомогательный угол.
sin г/ + cos I/ = 1, sin ^ j = Y »
^ ^ ^ + 2nk или У + J ^ + 2д/г (k е Z),
у = 2nk или I/ = I + 2nk {k € Z).
Теперь можно найти значения cos у и подставить их во второе уравнение:
у = 2nk, cos^ л: + 1 = 1
или
I/ = 2 + 2nk, cos^ л: + о = 1;
у = 2nk, cos X = 0
или
у = 2кк,
^ ^ или
X = 2 ~г 7Ш
У 2 + 2тсй, ^ ^
X = пп
Ответ: + дп; 2nk^, ^п\ ^ + 2nk^, где к, пе Z.
Примечание 1. Запись ответа в виде пар применяется для переменных х и у. Если переменные обозначены другими буквами, лучше либо записывать ответ в виде простейших систем, либо использовать буквы с индексами, например:
JCi = I + Дп, = 2жк; Х2 = ‘яп, У2=^ + 2дЛ {к, п е Z),
^ Результатом перечисленных преобразований будет система, равносильная исходной.
127
п римечание 2. Различные буквы л и Л в записи ответа говорят о независимости их замены целыми числами — можно, например, взять « = О, а = 3.
Пример 3. Решить систему уравнений j + 2ху = 2,
I Зх^у^ - 2у^ + Sxy = 1.
Решение. Умножим первое уравнение на -2 и прибавим
f х^у^ - у^ + 2ху = 2, его ко второму уравнению системы: + 4^.^ -ь 3 = 0.
Второе уравнение полученной системы является квадратным относительно произведения ху. Решая его, находим, что ху = -1 или ху = -3.
Подставляя эти значения ху ъ первое уравнение системы,
(1 - 1/2 - 2 = 2, f 9 - J/2 - 6 = 2, получаем: \ху = -1 \ху — -3 Первая из этих
систем не имеет решений, а у второй — два решения: (3; -1) и (-3; 1).
Ответ: (3;-1), (-3; 1).
Кроме сложения и вычитания уравнений системы, их иногда бывает удобно перемножать или делить друг на друга. При этом следует, конечно, обратить внимание на возможность обращения в нуль выражений, на которые умножаем или делим.
Пример 4. Решить систему уравнений
(дг2 - ху + у^){х -у)=1-у^,
(лс2 + ху + у^){Х + у)=1+у^.
Решение. В левых частях обоих уравнений можно заметить выражения, дополняющие друг друга до формул суммы и разности кубов х и у^ что наводит на мысль перемножить уравнения системы. Однако сначала решим вопрос с нулями. Обе части второго уравнения обращаются в нуль при х = 1, у = -1. Эти значения не удовлетворяют первому уравнению системы, а значит, не являются ее решением. Заменим теперь первое уравнение системы произведением ее уравнений:
(л:2 - z/3)(jc3 + = (1 - уЗ)(1 4.
(х^ + ху + у^)(х + у) = 1+у^;
хб-у&=1-
{х^ + ху + у^)(х + у) = 1 + у^;
X = 1,
(1 + У + у^){1 + //) = 1 + г/3
или
X = -1,
(1-у + у^)(-1 + у) = 1+у^.
128
Решая второе уравнение первой системы, получим у — -1 или I/ = О, а второе уравнение второй системы корней не имеет. Пара (1; -1), как уже отмечалось, не является решением системы.
О т в е т: (1; 0).
Как и при решении уравнений, при решении систем иногда используются свойства монотонных функций.
logo,7 у
Пример 5. Решить систему уравнений
у - Jx =6.
Решение. С учетом положительности искомых значений переменных, которая следует из второго уравнения, пере-
\\ogQjX- x = \ogQrjy-y,
пишем систему в виде < ^
[у - ^х =6.
Левая и правая части первого уравнения системы представляют собой значения убываюш;ей функции z = logo 7 ^ соответственно, при ^ = х и при f = I/. Из их равенства следует,
что X = у. Получаем систему i у - ^ = q второе уравнение
которой является квадратным относительно л/у . Решив его и найдя у = 9, получаем ответ.
Ответ: (9; 9).
Как и при решении уравнений, при решении систем часто используется замена переменных.
Пример 6. Решить систему уравнений i
У 2’
15 4 •
Решение. Обозначив -р = и и - = и, получим:
Jx У
и + v =
ц2 _ l;2 =
5
2 ’
15
4
(и - v){u + i^) = ^;
W + у = 2’
и - V =
2 ’
U = 2,
1
2-
Возвращаемся к переменным х vl у: * Ответ: ; 2 j.
л/х 1^1 У 2
= 2,
129
Иногда замена переменных может даже увеличить их число.
Пример 7. Решить систему уравнений J V4- Зл: - 1 = Jby - гх,
1 Vl “ + Jby - Sx = 5.
Решение. Обозначим J4 - Sx = и, jKy-Sx = 0 и
Jl - 5у = 2, где Uy и и 2 могут принимать только неотрицательные значения. Тогда - 2^ = 3^ и мы получаем систе-
му трех уравнений с тремя переменными:
и - 1 == V, [i? = u-l,
■{ 2 + V = \ 2 — ^ - и.
f2 — 7 >2 — уу2
г2 = 3;
'2 - (и - 1)2 - (6 - и)2 = 3.
- 14w + 40 = О, а = 4 или и = 10,
W = 4,
0 = 3, или 2 = 2
гг = 10,
0 = 9, Заметим сразу, что вторая из полу-2 = -4.
ченных систем не удовлетворяет условию введения переменной 2 (2 > 0).
Возвраш,аясь к переменным хи у^ получим:
V4 - Зх = 4, дс = -4; 71 “ 5г/ = 2, г/ = -г .
Понятно, что при этом о = Jby-^x — 7“3 + 12 = 3.
Ответ: ^-4; -| j.
Пример 8. Решить систему уравнений J л:2 - 2д:г/ - 5г/2 = 1,
I Зл:2 + 4д.^ ^ 2^2 =11.
Решение. Данная система уравнений называется однородной, так как левые части ее уравнений — однородные многочлены второй степени (каждый член данного многочлена имеет вторую степень). Умножим первое уравнение на 11 и вычтем его
[ х^ - 2ху - 5г/2 = 1,
из второго уравнения системы: < 4. 2Qxy + 57г/2 = 0.
Получилась система, второе уравнение которой является однородным уравнением второй степени относительно х и у. Поскольку г/ = О не удовлетворяет системе, делением на -у^
130
приводим его к уравнению, являющемуся квадратным отно-
сительно -: У
Sf- t - 2бГ- 1 - 57 = О, - = -| или - = \У ) \У) у 2 у
19
4
Таким образом, исходная система свелась к совокупности двух незатейливо решаемых методом подстановки систем: 3 г 19
2 ИЛИ 4 ^
-2 — 9v>»/ — ?4f/2
X = -■
- 2ху - Ьу^ = 1
х^ - 2ху - Ъу^ = 1.
Рассмотрим еще один тип систем, уравнения которых являются целыми и симметричны относительно переменных, т. е. не изменяются при замене х на у^ а. у яа х. Многочлены, стоящие в левых частях уравнений, называют симметрическими, как и сами системы таких уравнений. Решения одной
из простейших симметрических систем
х + у=р, xy = q 2 _
МОЖНО
найти, как корни квадратного уравнения - pz + q = О, а в более сложных случаях может помочь введение новых переменных: и = X + у, V = ху.
л \х^ + у^ = 10,
Пример 9. Решить систему уравнений 1 ^ ^ ^
Решение. Обозначим х Л- у = и, ху = v, тогда х^‘ Л- у^ = {х + у)^ - 2ху = - 2v. Получаем:
2 - 2у = 10, f (13 - Зц)2 - 2и = 10,
U + Зи = 13; [w = 13-3i;.
9ц2 - 80о + 159 = о, = 3, V2 = ^ , и^ = А, U2 = .
Возвращаемся к переменным хну: х + у = 4, \х = 3, \х=1.
1)
ху = 3, \у = 1
или
у = 3;
2)
л. 14
x + y = ~Y,
53
14
Z“^ + Z +
53
о.
3 9
92г2 + 42z + 53 = о, нет решений.
Ответ: (3; 1), (1; 3).
131
Переход к системе помогает иногда и при решении иррациональных уравнений.
Пример 10. Решить уравнение ^3 - х + V4 + х = 1.
Решение. Обозначим УЗ - х = т, У4 + х = п. Тогда = 3 - JC, = 4 + л: и = 7. Получаем симметрическую
f m + л = 1,
систему \ ^ J С учетом того, что m + л = 1, преобразу-
ем левую часть второго уравнения:
= {т + п)((т + п)^ - 3/лл) = 1 - Зтл. Далее имеем:
т + л = 1, - ^
_ _2 ^ ~ Z ~ 2 = Of — ~1, ^2 “ 2f л^ 1, Л£ 2. По-
нятно, что записывать значения т излишне.
Возвраш;аясь к переменной х, получаем:
1) ViT^ =-1,х = -5; 2) У4 + JC = 2, д: = 4.
Подставив найденные значения х в исходное уравнение, убеждаемся, что они действительно являются его корнями. Ответ: 4; -5.
Упражнения
297. Решите систему уравнений методом подстановки: X + 2у = 4f ^ f + 1/2 = 41,
а)
у-3х = 7;
в)
х + у = 9;
2ж - г/ = о, ^>\Zx + iy=lV,
I 2д: + I/ = Зд:2, I д: + 2i/ = Зг/2.
В чем особенность систем уравнений, которые решаются методом подстановки?
298. Решите систему уравнений методом сложения:
д: -Ь 3i/ + 2z = 1,
\3х + 2у = 13, а) I Зд: - 2г/ = 5;
б)
в)^
5д: + 3t/ = 9,
1х + Зу = 15;
д: + 2i/ + Зг = 8, Зх + у Z = о, 2д: + Z/ + 22 = 6;
г)0
Д)
е)
2jc + 3^ - 2 = 11,
Зх - 2у Л- 2z = -7;
X - у + ху = Ъ,
X - у - ху = -7;
х^ + ху = 28, у^ + ху = -12.
132
в чем особенность систем уравнений, которые решаются методом сложения?
299*. Критическими точками функции Р{х) = -\г ах’^ + Ьх + с
являются х^ = Х2 = Найдите Р(3), если Р(1) = 4.
300'^. Решите систему тригонометрических уравнений:
а)
sin {хЛ- у) = О, sin {х- у) = 0;
б)
sin {2х + Ъу) = О, cos (3jc - 2у) = 1.
301. Решите систему уравнений, используя метод сложения: а) ^
б)
^ ® = 2 Х + У X - у ’ д) • \ Jx + у + Jx - у
1 + * =1. X + у X - у 4 ’ [ Jx + у - Jx - у
® 1 ^ -3 X - 2у 2х + у ’ е) ^ [ 2jx - sjy =-б.
^ ^ =2-х-2у 2х +у [2jx + Sjy = 18;
sin2^: + cosy= 1, I cos^ X + sin у = 1;
sin2 д: - cos I/= 1,
I cos^ X - sin у = 1;
ж)*
x^ + y^= 152, x^y + y^x = 120.
302*^. Решите систему, перемножая ее уравнения или деля одно уравнение на другое:
Лх- у)ху = 30, (д: + у)ху = 120;
х^у^ - х^у^ = 4,
х^у^ + х^у^ = 12;
X sin^ х = у cos^ у, у sin^ у = X cos^ х;
cos X
sin (х + у) ^ ’
cos у _ ^ ^ sin (х + у) 3 ’
б)
в) *
J8-=10^/,
Д)|2^ = 5г/;
j2^-9i/=24, *4^ = 54.
303^. Решите систему уравнений, используя замену переменных:
133
а)
б)
в)
г)
Д)
^2х _ 21/ = 77,
3^- =7;
2^ + ЗУ=- 17,
е) 1 2^-2 _ 31/ + 1 = 5-
2 log^S + 3i/ = 24, у - 2 (log, I ) = 8;
51og2* = log2l/^-log2 4.
2 log41/ = 8 - logg 4л:;
J sin л: + cos у = 0,
[ sin^ л: + cos^ 1/ = 0,5;
tg д: + tg 1/ = 4,
ctg* + ctgj/ = 5; I 67(^ + _ y)2 = 8.
304°. Решите систему уравнений как однородную:
ж)
з)
^ ^ \fxT~y - \Jx - у = 2,
I + у - Jx-y = 8;
^ , Jx + у + Ux - у = 6,
J Зд:^ - 9i/2 + Зху = 26, д:2 - 8i/2 - 7д:^ = 52;
б)
cos^ г/ + 3 sin д: sin i/ = 0, 21 cos 2д: - cos 2у = 10.
305. Решите симметрическую систему уравнений:
а)
б)
в) н
х^ + у^ = 25, х^-у = 1\
х^у + у^х — 20,
11^5.
X у 4 ’
- + - = 5,
X у
^ i = 13;
г)1
Д)
е)
\ Jx + Jy = 5,
I = 6;
2(Jx + Jy)^Sjxyy x + y = 5;
4(x-i/)2-i=
5^ + i'= 125.
306*. Решите иррациональное уравнение, при необходимости сводя его к системе:
а) Jx + 10 + Jx - 2 = 6;
б) JA- X + Jx - Ъ = 2;
в) J2y - 5 = 1 + л/г/ - 3 ;
г) л/4г/ + 1 = л/г/ - 2 + 3;
д) V20 + д: + -8 = 2;
е) 4jl+~Jx + Vl “ л/jc = 2;
ж) Vo - д: + V7 + д: = 4;
з) V41 - + V41 + дс = 4.
134
307*. Найдите идею решения и решите систему уравнений:
а)
б)
в)
г)
Д)
3*-2» = у-х = 2; 3,| 2х + Зу - Z = 23, 2л: + 3^ + 2г = 20, 4х - Зу + Z = -11;
16^+ 1б^/ = б8, 16^ + i' = 256; и) * x + y + z-\-t = ly X + 2у 3z - t = 2, Зх + 5у + 5z - 3t = 6;
logg (х +i/) = 3, ig 1 - logo,! f = 1; к)' 6 sin X + 7 logy 3 = -10 2 log^ 3-5 sin л: = 0,5;
Xg^x^- \g^y = 5, \gx-Xgy = l\ л) , X ^ + у ^ = 6y \og^x + log^y = -3;
loggCJC^-H f/2) = 7, 2 Xog^x^- Xog^y = 6; м) 1 sin 2 - sin 1 = - i/, i 2x^ - xy + 5y 6;
л/2 sin X = sin y, J2 cos x= aJS cos y; Н)- x-y ^ ® Inj/’ y- Jx -3 =9;
f cos X + cos у = 0,5, 1 sin^ X + cos^ У ~ \ 0)| 5 sin 2x*ig у = 12, 5 sin 2^ • tgл: = 6.
ж)
5ain x + igy — J ^
308*. Найдите все решения системы "j Ysin^x + ==
удовлетворяющие условиям 0<л:<тс, 0<г/<л.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие две системы называют равносильными? Какие преобразования системы заведомо переводят ее в равносильную?
2. Можно ли использовать знаки следования или равносильности при переходе к системе с новыми переменными?
3. Решите систему уравнений
2^ + 2У^ 12, л: + // = 5.
135
16. Задания с параметрами
в большинстве уравнений и неравенств буквами обозначены переменные. Однако бывают случаи, когда буквами заменяют конкретные числа и решают уравнение или неравенство в общем виде. Так, например, решение квадратного уравнения в общем виде привело к формуле корней. В записи общего вида квадратного уравнения ах^ + Ьд: + с = О, буквами а, 6 и с заменены все числовые коэффициенты и свободный член квадратного трехчлена, но возможна и замена отдельных чисел.
Буквы^ заменяющие в уравнении или неравенстве конкретные числовые данные^ называют параметрами.
Со времен Декарта переменные обычно обозначают последними (х, г/, 2), а параметры — первыми (а, Ъ, с) буквами латинского алфавита. Это позволяет во многих случаях не указывать, какой буквой обозначен параметр, а какой — переменная.
Решая уравнение или неравенство с параметрами, для любых допустимых значений параметров указывают, какими будут его решения.
П р и м е р 1. Решить неравенство ах^ - 2х + 1 < 0.
Решение. В этом неравенстве один параметр а, который может принимать любые значения.
Если а = о, имеем линейное неравенство -2х + 1 < 0, решение которого: X > 0,5.
Если аФО — неравенство квадратное.
Его дискриминант 1 - а положителен при а < 1, равен нулю при а = 1 и отрицателен при а > 1.
При решении квадратных неравенств важен знак старшего коэффициента квадратного трехчлена. Поэтому случай а < 1 нужно разбить наа<0и0<а<1.
1. Если а < о, то решениями неравенства являются все числа, меньшие меньшего, и все числа, большие большего корня квадратного трехчлена ах^ - 2х 4- 1:
X <
1 + Л-а
или X >
1 - 7Г
2. Е}сли о < а < 1, то решения неравенства расположены меж-
ду корнями:
1 - Л- а
< X <
1 + Л-а
а а
3. Если а = 1 — неравенство не имеет решений.
4. Если а > 1 — неравенство не имеет решений.
136
в ответе указываются все рассмотренные случаи. Ответ: а = 0: д: > 0,5;
^ ^ ^ 1 + л/1 - а ^ 1 - Ji- а
а < 0: д: <------- или х >---------;
о < а < 1:
а
1 - 7Г
а 1 + Jl - а
— < X <
быть положительными:
а < -2.
а а
а > 1: нет решений.
▼ При выполнении заданий с параметрами на помош;ь часто приходят различные графические соображения. Так, умение строить график квадратного трехчлена используется в следуюш;ем примере, где работа ведется уже с двумя квадратными неравенствами.
Пример 2. Решить систему неравенств д:^ - 2д: + 3 + а < о, д:^ - 4д: - 3 + а < 0.
Решение. Рассмотрим два квадратных трехчлена f(x) = х^-2х + 3 + аи g(x) = х^ - 4:Х - S + а. Значения х, являющиеся решениями данной системы, одновременно находятся и между корнями трехчлена f, и между корнями трехчлена gt а значит, дискриминанты этих трехчленов должны
-2 - а > о,
7 - а > 0;
Сами корни легко получить по формуле корней, однако решение системы неравенств зависит от взаимного расположения корней трехчленов на числовой прямой.
Поскольку старшие коэффициенты квадратных трехчленов равны, параболы, являющиеся их графиками, получаются одна из другой с помощью параллельного переноса. Оказывается, что для выяснения порядка расположения корней таких трехчленов достаточно знать:
1) в какой полуплоскости, верхней или нижней, расположена точка пересечения парабол;
2) как в этой точке расположены касательные к параболам.
Найдем абсциссу Xq и ординату Ддго) точки пересечения парабол.
f(x) = g(x): д:^ - 2д: + 3 + а = д:^ - 4д: - 3 + а, дго = -3; fixo) = /(~3) = 9 + 6-ЬЗ + а = 18 + а.
Найдем значения производных /'й g' в точке д:д = -3:
Г(х) = 2дг - 2, Г(-3) = 2(-3) - 2 = -8; g'(x) = 2х-4, g'i-S) = 2(-3) - 4 = -10.
137
Рис. 103
Рис. 104
При /(jCq) > о окрестность точки пересечения парабол схематически выглядит так, как показано на рисунке 103. Изображенные на этом рисунке части парабол легко продолжить (рис. 104). Параболы пересекают ось абсцисс в ее точках а^, ttg и р2» W oci и Pi меньшие, а «2 и р2 большие корни квадратных трехчленов fug соответственно. Решением системы в этом случае является интервал (aj; ttg)*
При Д^о) < о получаем соответственно рисунки 105 и 106. Решением системы в этом случае является интервал (Pj; ag).
Случаю /(лго) ~ о (рис. 107) соответствует равенство корней tti = pj. Решением будет интервал (aj; «2)’ ^ ® случае
Длго) > 0.
Остается выразить результаты нашего исследования через параметр а и записать ответ.
Д^о) ^ 118 + а > о, 18 < а < 2;
f а < -2,
Д^о) ^ I 18 + а < о, ^ ^
«1 = 1- л/-2 - а ,«2=1+ V-2 - а ;
Pi = 2 - Jl - а , р2 = 2 + Jl - а.
Ответ: а < -18: (2 - J7 - а; 1 + J-2 - а); -18 < а < -2: (1 - J-2 - а; 1 + J-2 - а); а > -2: нет решений. Л
б
Рис. 105
138
Во многих задачах с параметрами требуется указать не сами решения, а их количество или найти значения параметра, при которых выполняется некоторое заданное условие.
Пример 3. Найти все значения параметра а, при которых уравнение - 2 = х + а имеет единственный корень.
Решение 1. Обозначим JZx - 2 = у, тогда Sx - 2 = у^ и X = g {у^ + 2). Получаем:
У = ^{у^ + 2) + а, у^ - Зу + 2 + За = 0.
Исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда уравнение у^ - Зу + 2 + За = О имеет единственный неотрицательный корень. Это возможно в трех случаях: 1) когда единственный корень уравнения неотрицателен; 2) когда корни имеют разные знаки; 3) когда один корень равен нулю, а второй отрицателен. Рассмотрим эти случаи.
1. Единственный корень (D = 0): 9 - 4(2 + За) = 0,
а = • При этом значении а единственный корень уравнения
равен I (положителен).
2
2. Корни разных знаков: 2 + За<0, а<-д.
2
3. Один из корней равен нулю: 2 + За = 0, а = -д. При этом
значении а второй корень равен 3 (положителен). Значит, в этом случае уравнение имеет два корня, что не соответствует заданию.
Решение 2. График функции у = J3x - 2 получается из графика функции у = Jx сдвигом вправо на 2 с последующим сжатием к оси ординат в 3 раза.
Графиком функции i/ = х + а, при любом а является прямая, параллельная прямой у = X (рис. 108).
Из рисунка видно, что графики имеют единственную общую точку при а = а^ (касание графиков) и при а < ag.
Значение ag, очевидно, равно “3 > а для
нахождения а^ можно приравнять нулю дискриминант уравнения, которое получится после возведения в квадрат обеих частей исходного уравнения:
139
Зх - 2 = (х + а)2, х^ + х{2а - 3) + + 2 = 0;
12 *
D = 0: (2а - 3)2 - 4(а2 + 2) = 0, а =
л 12
Ответ: а = ^2»^'^“з*
Пример 4. При каких значениях а уравнение
д:2 - а = 2\х\
имеет четыре корня?
Решение 1. Перепишем данное уравнение: jc2 - 2\х\ + 1 = а + 1, (|л:| - 1)2 = а + 1.
Левая часть уравнения задает функцию, график которой получается из параболы у = х^ сдвигом на 1 вправо и симметрией точек графика, расположенных в правой полуплоскости относительно оси ординат. Правой части уравнения соответствует прямая, перпендикулярная оси ординат и пересекаюш;ая
ее в точке а + 1.
Уп
о 1
На рисунке 109 видно, что графики имеют четыре общие точки, если прямая у = а + 1 пересекает ось ординат между о и 1.
yj= а + 1 Значит, 0<а + 1<1,-1<а<0.
Решение 2. Обозначим \х\ = у. Искомые значения а соответствуют случаю двух положительных корней урав-/2 _
нения у^ - 2у - а = 0. Значит, меньший
Рис. 109
корень этого уравнения должен быть больше нуля:
1 - УГТа > о, JTTa < 1, о < 1 + а < 1, -1 < а < 0. Ответ: -1 < а < 0.
Пример 5. Найти все значения параметра а, при которых решением неравенства - х + Jx^ - 2ах + < 2 явля-
ется отрезок.
Решение. Перепишем неравенство, попутно упростив
его: |л: - а| < 2 - J5 - х. Выражение, стоящее в правой части неравенства, задает функцию, график которой получается из
графика функции у = Jx в результате сдвига на 5 влево, симметрии относительно начала координат и сдвига на 2 вверх:
Jx —^ ^х + Ъ -J-X + 5 2 - aJ-x + 5 .
140
Левой части неравенства соответствует график функции у = |л:|, который сдвигается на а вдоль оси абсцисс (рис. 110).
Ответом к задаче будут два промежутка: < а < «2 и «3 < а < 04.
Вычислений требует только значение а^, соответствующее случаю касания, а остальные три значения а легко устанавливаются по рисунку: aj = 1, ag = 3, = 7.
Найдем а^. Угловой коэффициент касательной равен 1, значит, абсцисса точки касания находится из уравнения
(2 - J5 - X)' = 1, =1, Ь - X = ;^»лго = 4^. При этом
значении х ординаты точек кривой и касательной совпадут,
Рис. 110
значит, 4 т - а = 2 4
44,a = 3j.
Ответ: 1<а<3, Зт<а<7.
4
При решении некоторых уравнений и неравенств оказывается удобным временно поменять ролями параметр и переменную, т. е. считать параметр переменной, а переменную параметром.
Пример 6. Решить неравенство
4л:^ + 4ах^ + 32х + + 8а > 0
при всех положительных значениях а.
Решение. Левая часть неравенства является многочленом четвертой степени относительно х и всего лишь второй степени относительно а. Попытаемся поэтому разложить левую часть на множители как квадратный трехчлен + (4х^ + 8)а + + 4х^ + 32л:.
D
= (2x2 + 4)2 _ 4^4 _ ^2х = 16x2 - 32х + 16 = 16(х - 1)2;
п, 2
= -2х2-4±4(х- 1);
а2 4- (4x2 4- з)д + 4^4 + ^2х = (а + 2x2 - 4х + 8)(а + 2x2 ^
Вернем теперь х звание переменной и, рассматривая выражения в скобках как квадратные трехчлены относительно х, решим неравенство: (2x2 - 4х + 8 + а){2х^ + 4х + а) > 0.
При а > о значения трехчлена в первой скобке положительны. Трехчлен во второй скобке имеет два корня при а < 2,
141
один корень при а = 2 и не имеет корней при а > 2. Найдя корни по формуле корней, записываем ответ.
-2-41
Ответ: 0<а<2:д:<
2а -2 а/4 - 2а
— или л: > -
2 ' 2
а = 2\ хФ -1; а> 2: любое число.
Пример 7. Найти все значения а, при которых решением неравенства \2х^ Л- х - а - х^ 2х - 2а - А является отрезок.
Решение. Данное неравенство равносильно системе
2х^ 4- д: - а - 8 < + 2л: - 2а - 4,
2д;2 + д: - а - 8 > -х^ - 2д: + 2а + 4.
Упрош;ая, получим:
а < -х^ + д: + 4, а < д:^ + д: - 4.
Будем рассматривать параметр а как переменную и отметим на координатной плоскости д:Оа множество точек, координаты которых удовлетворяют полученной системе. Эти точки одновременно находятся под обеими параболами а = -х^ + д: + 4иа = х^ + х- 4 (рис. 111). Приравнивая друг другу правые части этих уравнений, находим координаты точек пересечения парабол: (-2; -2) и (2; 2).
На рисунке видно, что некоторые прямые, параллельные оси абсцисс, имеют с закрашенной областью общий отрезок. Наша задача — указать ординаты точек этих прямых. Это, во-первых, ординаты вершины параболы а = д:^ + д: - 4 (дго = = -0,5; ад = -4,25) и точек, расположенных ниже нее. Во-вторых, это точки интервала (-2; 2).
Ответ: при а < -4,25 и \а\ < 2. Рассмотрим еще два примера, в которых ключевым является требование единственности решения.
Пример 8. При каких значениях параметра а уравнение cos ад: = 2 - cos х имеет единственный корень?
Решение. При всех значениях а данное уравнение имеет корень JC = 0. Чтобы этот корень оказался единственным, cos ад: и cos х не должны одновременно принимать значение 1
ни при каком другом значении х. Отсюда Ф 2пп (т, пе Z,
тФОу пфО). Имеем а Ф
т
142
Дробью ^ можно залисать любое рациональное число, т
значит, неравенство аФ — говорит о том, что а не является рациональным числом.
Ответ: при любых иррациональных значениях а. Пример 9. Найти значения параметров а и 6, при кото-xyz + 2 = а,
рых система \ xyz^ + z = Ь, имеет единственное решение. х^ + у^ + z^ = 4:
Решение. Заметим, что система не изменится, если одновременно поменять знаки у х и у, т. е. если тройка чисел (а; (3; у) является решением системы, то и тройка (-а; -(3; у) тоже ее решение. Эти решения в силу требования единственности должны совпадать, что может произойти только при х = у = 0. Но
Z = а.
тогда система принимает вид
Z = by откуда Ь = а = ±2. 2-2 = 4,
Единственное решение система может иметь только при этих значениях параметров, а вот имеет ли — следует проверить.
Проверка.
1.а = Ь = 2:
xzy + г = 2,
xyz^ + 2 = 2, Вычтем из второго уравне-х^ + у^ + z^ — 4.
Jxyz + z = 2, xy{z^ - z) = О,
+ 1/2 + z^ = 4.
Второе равенство системы выполняется, когда хотя бы один из множителей произведения xyz{z - 1) обращается в нуль. Подстановка в систему значения д: = О приводит к решению (0; 0; 2). К этому же решению приводит и подстановка у = 0. Значение z = 0 не удовлетворяет первому уравнению
\ху = 1у
системы, а при z = 1 получаем систему ix^ + y^ = S
имеет ненулевые решения. Значит, при а = д = 2 система имеет несколько решений, что не соответствует заданию.
[ xyz + Z = -2, [ xyz + z = -2,
2. а = b = -2: j xyz^ + z = -2, \ xyz (z - 1) = 0,
1 д:2 + ^2 + z2 = 4, \ x^" + y^ + z^ — 4.
143
Подставляя, как и в первом слз^чае, значение х = О, получаем решение (0; 0; -2). К этому же решению приводит и подстановка у = 0. Значение а = 0 не удовлетворяет системе, а при
f ху = -3,
г=1 получаем систему i ^2 л. „2 — о которая не имеет решений.
* у Оу
Значит, при а = Ь = -2 система имеет единственное решение.
Ответ: система имеет единственное решение при а = Ь = -2.
Упражнения
309. Найдите все значения параметра а, при которых не имеет корней уравнение:
а) ах 2х б) х = 2ах + 2,
310*. Решите уравнение относительно переменной х:
а) (а^ + а - 12)л: = - 2а - 3;
б) (а^ - 4а + 3)х = а^ - ба + 5.
311. 1) При каком значении параметра Ь корень уравнения Зх{Ъ + 4) = 6Ь + 35в2 раза больше корня уравнения 2{х + 1) = = 3{х - 2)?
2) При каком значении параметра а корень уравнения а{2х -1)-1 = 4а-д:в4 раза меньше корня уравнения х-1 = = 3(3 - xYi
312*. Стороны треугольника а, & и с. Какую наибольшую плош;адь может иметь этот треугольник в зависимости от d, если а<4, Ь<5ис<с??
313*. Найдите все значения а, при которых число 2:
1) является корнем уравнения:
а) |л: + 2а| • л: + 1 - а = 0; в) + 2х^ - ^ах + 1 = 0;
б) |л: - а| • л: + а - 3 = 0; г) л/2 • 2^ - а = х^ Л- а;
2) не является решением неравенства -2 < |д: + За| -
314. Найдите значения параметра а, при которых:
1) число нуль является корнем уравнения
Jacos 2х - 3sin 2х = cos х;
2) число является корнем уравнения
V2sin 2х - acos 2х = -sin х.
Для найденных значений а решите данное уравнение.
144
315. Найдите все значения параметра а, при которых урав-
/л о\г 2а + 3
нение (0,2F = -=---:
' ' 5 - а
а) не имеет корней; имеет отрицательные корни.
316. Линейным или квадратным является уравнение 6Ь(Ь - 2)х^ + (5Ь - 2)х -16 = 0 относительно х при:
а) 6=1; 6)6 = 2; в) 6 = 0,4; г) 6 = 0?
317. Определите вид уравнения 2ах(х - 1) + х(ах - 12) = = Здг + 8 относительно х при:
а)а = 1; б) а =-6; в) а =-2; г) а = 0.
318. При каких значениях параметра а уравнение ах(ах + 3) + 6 = х(ах - 6) является:
а) квадратным; б) неполным квадратным; в) линейным?
319. Решите относительно х уравнение:
а) х^ - 2х + с = 0; в) тх^ - бд: + 1 = 0;
б) х^ - ах = 0; г) 12дг2 _|. = 0.
320. Решите уравнение:
а) (т - 1)х^ + 2{т - 1)х + m + 3 = 0;
Ътх - Ъ . Зттг-И 2д + 7
б) '^ 7—-—Г , +
{т - 1)(д: + 3) т - 1
X + 3
321^. Найдите значения параметра а, при которых сумма квадратов корней квадратного трехчлена х^- - ах + а - 1 является наименьшей.
322. Для всех допустимых значений параметра а решите неравенство:
а)
X
а + 2
> 2х- а\
б)
а - 4
> Zx- 2а.
323. При каких значениях параметра а система уравнений: \ 4х + ау = 2,
а) 1 ^ у = ^ имеет бесконечное множество решений;
\ 4х + ау = 4,
ад: + «/ = 3 имеет решений?
324. Найдите все значения параметра о, при которых не имеет корней уравнение:
а) ах^ + 2ад: + д: = 1; б) а^х = а(д: + 2) - 2.
145
325. При каких значениях а параболы у = х^‘ + ах - а ж у = 2х^ - JC + а не имеют общих точек?
326'^. Найдите все значения а, для которых уравнение:
а) х^ ~ 2(а - 1)х + (2а + 1) = О имеет два положительных корня;
б) х^ - 2(а - 2)х + а = О имеет один корень;
в) х^ + (а - 3)х + а = О имеет единственный положительный корень.
327. При каких значениях параметра уравнение:
1) (b-l)x^-2bx + b+ 1=0;
2) х^ - (2а + 1)х + а2-Ьа-б = 0
имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) единственный корень; г) корни разных знаков?
328*. Определите, при каких значениях параметра а уравнение:
а) logg (4^ - а) = X + 1 имеет два корня;
б) lOgg (9^ + а) = JC имеет единственный корень.
329®. Найдите число корней уравнения:
а)
2x^ + 3 + 1
= а;
б)
6х^ + 7 х^ + 2
= а.
330*. Найдите все значения при которых уравнение х^ + X + Ь = О будет иметь:
а) два корня, большие, чем Ь;
б) один из корней больше, а другой меньше, чем Ь,
331*. Найдите все значения параметра d, при которых неравенство бл: - 7 - dx^ > О имеет решения, причем все они меньше 1.
332*. При каких значениях параметра:
а) оба корня квадратного уравнения х^ - 2Ьх - 1 = О не превосходят по модулю 2;
б) уравнение Jx - 1 (4х^ - а^х - За) = О имеет два корня?
333*. Найдите все значения параметра t, при которых каждое число на отрезке [1; 2] является решением неравенства + 1 < 0.
334*. При каких значениях с на отрезке [-1; 1] содержится только один корень уравнения сх^ + (2с - 1)х - 1 = 07
146
335*. Найдите все значения параметра а, при которых:
а) оба корня уравнения - ах + 2 = О принадлежат отрезку [1; 3];
б) все нули функции f{x) — {а - 2)х^ -1- 2ах + а + 3 лежат внутри интервала (-2; 1).
336*. При каких значениях а уравнения х^ + -х - 2а = О,
х^ + ^х - а = О имеют по два корня и между двумя корнями
одного уравнения находится ровно один корень другого уравнения?
337. При каких значениях параметра а система 2х^ - Зах - 9 > О, х^ + ах - 2 <0
не имеет решений?
338*. Найдите все значения параметра т, при которых квадратный трехчлен х^ + тх + + 6т отрицателен при всех значе-
ниях переменной х, удовлетворяющих неравенству 1 <х <2.
339. При каких значениях параметра а уравнение:
а) ^ ^ -Ь ^ _-g- = 2 имеет единственный корень;
б) * х^ - 4х - 2\х -а\ + 2 + а = 0 имеет ровно два корня;
в) * \х^ - Ъх + б\ — ах имеет ровно три корня?
340. С помощью производной найдите значения а, при которых ровно два корня имеет уравнение:
а) 2х^ - Зх"^ - Збх -Ь а - 3 = 0;
б) 2х^ + Зх^ - Збх - а + 2 = 0.
341*^. Решите уравнение, раскладывая на множители его левую часть:
а) 2х^ - (а -Ь 2)х^ - ах +
б) х^ х^ - Зах^ - 2ах -f 2а^ = 0.
342*. Введите параметр а == л/2 и решите уравнение:
а) x'^-2j2x^-x-\-2-j2 =0;
б) x^-{j2 +1)х^ + 2 = 0;
в) 2х^ + X + J2 =0.
147
343*. При каких значениях параметра система неравенств: f ал: - 1 < О,
^Чх-4а>0 решение;
_ J(^ + jP)^ > 16,
б) i + 4)< р единственное решение;
\х^ -^Ьх - 2Ь^ > О,
в) 1 ^2^2 + - 4 < О имеет решений;
f 2л: + ai/ = а + 2,
*■) I (а + 1)х + 2ау = 2а + 4 бесконечно много реше-
ний?
344*. Выясните, при каких значениях параметра а система уравнений:
( 2л: + (9а^ - 2)у = За,
X + у = 1 имеет решений;
\ у = х^ + ах + а,
i X = у^ + ау + а единственное решение.
345*^. Найдите значения параметра а, при которых система 1 1
уравнении
-I-
= 1,
log,2 logy2 ' имеет единственное решение.
у = а(х- 3)
346*. Найдите число решений системы уравнений в зависимости от значений параметра;
[ л: + г/ = а - 1, \ х^ - ху + у^ = а.
а)
I л:^ = За - 8;
б)
х + у = а.
347*. Решите уравнение относительно х:
а) 3 cos л: = 4с + 1;
б) (Ь^ - 9) sin л: = ft + 3;
в) sin^ л: — 2а sin х + 2а^ — 2а + 1 = 0;
г) cos 2л: - а cos л: + а^ + 1 = 0.
348*. Найдите все значения параметра а, при которых область значений функции у = а sin л: - 3 |cos х\ содержит отрезок [-6; 5].
148
349*. При каких значениях параметра а уравнение 2cos^ X + (2а + 1) sinjc - а - 2 = О имеет на интервале (О; тс) ровно: а) один; б) два; в) три; г) четыре корня?
350'^. При каких значениях параметра а имеет единственное решение уравнение:
а) J\x\ = ах + 2; в)* z\z + 2а| + 1 - а = 0;
б) J2{\x\ - х) = ах + 2\ г)* 1 + {лс} = cos^ах2
351'^. При каких значениях параметров имеет единственное решение система уравнений:
2xyz + у = ay а) \ 2xy^z + у = Ьу 4(1 - х^) = z^ + у^;
б)
xyz + JC = а, x^yz + х = by 4(1 - х^) = z^ + у^7
Контрольные вопросы и задания
1. Что значит решить уравнение с параметром?
2. Какие условия должны выполняться, чтобы оба корня квадратного трехчлена ах^ - 2а^х - 2 были больше 1? Найдите соответствующие значения а.
3. Решите неравенство log^x > 2.
ГЛАВА
s
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Первыми числами, с которыми вы познакомились, были натуральные. Затем появились целые, рациональные и действительные числа. Каждое новое множество чисел содержало предшествующее и расширяло вычислительные возможности. Так переход от натуральных чисел к целым позволил вычитать из меньшего числа большее, переход к рациональным числам снял ограничения с деления (кроме деления на нуль), а действительные числа дали возможность вычислять корни. Однако вычисление корней четных степеней из отрицательных чисел остается невозможным и на множестве действительных чисел. Снять это ограничение должна последняя глава нашего учебника, которая познакомит вас с самым широким числовым множеством — множеством комплексных чисел.
17. Формула корней кубического уравнения
К концу XIV в. европейские математики познакомились с основными достижениями античной, арабской и индийской науки, однако сами еще не внесли существенного вклада в развитие математики. В частности, в вопросе решения уравнений знания ограничивались квадратными уравнениями и системами уравнений, приводившими к решению квадратных уравнений. Из кубических и других уравнений высших степеней удавалось решить лишь некоторые. Сложилось мнение, что все значительные результаты в математике уже достигнуты. Поэтому открытие итальянскими математиками XVI в. способа решения любых кубических уравнений произвело огромное впечатление на ученых того времени. Убедившись, что труды древних далеко не исчерпали возможностей науки, европейские математики стали активно заниматься научными исследованиями.
150
Первым способ решения кубических уравнений нашел Сципион дель Ферро^ — профессор из Болоньи. Узнав об этом, венецианский математик Никколо Тарталья^, готовясь в 1535 г. к математическому поединку с одним из учеников дель Ферро, самостоятельно вывел формулу корней кубического уравнения. Как и его предшественник, Тарталья не стал сообщать о своем открытии — владение «секретом» позволяло добиваться побед в конкурсах на занятие профессорских должностей.
Впервые формулу корней
X =
-ь
для уравнений вида х^ + рх + q = О опубликовал в 1545 г. миланский врач и математик Джеронимо Кардано в своем большом математическом труде «Великое искусство». И хотя Кардано узнал формулу от Тартальи, ее стали называть формулой Кардано. Эта формула известна всем математикам, однако воистину знаменитым имя Кардано сделал изобретенный им карданный вал.
Может показаться, что формула Кардано относится только к частному случаю кубических уравнений, у которых коэффициент при х^ равен нулю. Однако любое кубическое уравнение можно легко привести к такому виду простой заменой переменной.
Пример 1. Решить уравнение - Sy^ + 9г/ - 14 = 0.
Решение. Сначала с помощью замены у яа х + I избавимся от члена, содержащего вторую степень переменной:
у^ - Зу^ + 9у - 14 = (х + 1)^ - 3(д: + 1)^ + 9(л: 4-1) - 14 =
= х^ + Зх^ -I- Зх -I- 1 - Зх^ - бл: - 3 + 9jc + 9 - 14 = + 6л: - 7.
Мы получили уравнение д:^ -Ь 6л: - 7 = 0, к которому и применим теперь формулу Кардано:
- СТШ * fiHfW -
-I
49 , о ^ 7 /49 Г _ ГТ 9 ^ ГТ 9 _ „ . .
4+^+А/2 J 4 У 2 У 2 2 ^ ^
^ Сципион дель Ферро (1465—1526) — итальянский математик. С его именем связано открытие правила решения в радикалах одного типа кубических уравнений.
2 Никколо Тарталья (1499—1557) — итальянский ученый. Основные труды по математике, механике, баллистике, геодезии, фортификации.
151
Конечно, этот корень намного легче получить, заметив, что сумма коэффициентов многочлена + бл: - 7 равна нулю.
Найдя один корень, мы можем с помощью деления уголком на д: - 1 или с помощью схемы Горнера разложить многочлен + бд: - 7 на множители: д:^ + бд: - 7 = (д: - + х + 1).
Поскольку второй множитель в нуль не обращается, можно сделать вывод о единственности найденного корня. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень у = 2.
При использовании формулы Кардано математики встретились с неожиданным препятствием. Применим формулу Кардано к уравнению - бд: - 4 = 0:
X = V2+ 74^ + V2- 74^ = V2 + 7^ + ^2-7^.
Формула «выдала» выражение, которое не имеет смысла, — не существует действительного числа, квадрат которого равен -4. Однако само уравнение, конечно, имеет корни, причем нетрудно, построив, например, схематический график функции I/ = х^ - бх - 4, убедиться в том, что у этого уравнения их три (рис. 112). Можно также среди делителей свободного члена отыскать число -2, которое является корнем этого уравнения и, разложив левую часть на множители:
х^ - бх - 4 = (х + 2)(х^ - 2х - 2),
найти еще два его корня: 1 + 73 и 1- 7з.
Упражнения
352. Используя формулу Кардано, решите кубическое уравнение:
а) х^ + бх + 2 = 0; в) х^ + 15х - 124 = 0;
б) х^ + 12х -12 = 0; г) X® + 5х - 84 = 0.
353. Приведите к виду х^ + рх + g = 0 уравнение:
а) х^ + 9х^ - 15х + 36 = 0;
б) 2x3 - 12x2+ 54х-36 = 0.
354. Найдите кратчайшее расстояние от точки А(4; 0) до параболы у = х^.
152
Контрольные вопросы
1. С каким затруднением встретились математики при использовании формулы Кардано?
2. Как вы думаете, почему проблема нехватки чисел возникла при использовании формулы корней кубических уравнений, а не квадратных, в которых дискриминант может оказаться отрицательным числом?
18. Комплексные числа
Проблема, возникшая в связи с использованием формулы Кардано, требовала расширения понятия числа за счет введения новых чисел и правил действий с ними. Однашо Кардано этого сделать не удалось. Успех пришел к другому итальянскому математику и инженеру Рафаэлю Бомбелли. В книге «Алгебра» (1572) он подробно рассмотрел различные случаи, которые встречаются при решении кубических уравнений. Идея Бомбелли была гениально проста: действовать с корнями из отрицательных чисел по тем же правилам., что и с действительными числами.
Знакомство с этими новыми числами, получившими, в конце концов, название комплексных^, мы начнем с решения квадратных уравнений. Ведь именно при их решении впервые встретился квадратный корень из отрицательного числа.
Используем формулу корней для решения квадратного уравнения - 4д: 4-13 = 0:
1,2
= 2± 74 - 13 =2± 7^.
До сих пор мы считали, что такие выражения не имеют смысла. Действительно, ни среди рациональных, ни среди иррациональных чисел нет числа, квадрат которого равен числу -9, а следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.
Попробуем теперь рассматривать выражения, содержащие квадратные корни из отрицательных чисел, применяя к ним, как Р. Бомбелли, те же правила действий, что и к действительным числам.
^ Термин «комплексные», от латинского слова complexus — соединение, ввел Карл Гаусс в 1831 г.
153
Прежде всего заметим, что квадратный корень из отрицательного числа можно представить в виде произведения действительного числа и квадратного корня из числа -1, например:
= 79*(-1) = 79 • .
Выражение 7^ по предложению Л. Эйлера стали обозначать буквой i (первой буквой латинского слова imaginarius — мнимый) и называть мнимой единицей.
Мнимая единица — это число, квадрат которого равен -1:
£2 = -1.
Используя это обозначение, можно записать, что 2 ~ 2 ± 7^ = 2 ± Зг.
Каждое из выражений 2 -Ь 3/ и 2 - 3i состоит из двух частей: действительной (число 2) и мнимой (соответственно 3i и -3/).
Выражение вида а Ч- Ы, где аиЬ — действительные числа, а i — мнимая единица, называют комплексным числом.
Если коэффициент Ь мнимой части комплексного числа равен нулю, то получается действительное число а. При а = О комплексное число а-\- Ы называют чисто мнимым.
Равенство двух комплексных чисел означает равенства их действительных частей и коэффициентов их мнимых частей:
а = с,
Ь = d.
а Ы = с ■¥ di
Проверим теперь, что число 2 - Si действительно является корнем уравнения - 4х -h 13 = 0,т.е. что (2-30^-4(2-30+ 13 = 0.
Раскроем скобки в левой части равенства:
(2 - 30^ - 4(2 - 30 + 13 = 4 - 12i + 9£2 - 8 + 12/ + 13.
Заменим /2 числом -1 и приведем подобные члены:
4 - 12/ + 9/2 - 8 + 12/ + 13 = 4 - 12/ - 9 - 8 + 12/ + 13 = 0.
Аналогично можно убедиться и в том, что мнимое число
2-1-3/ тоже является корнем этого уравнения.
Введение комплексных чисел сняло ограничение с дискриминанта квадратного уравнения — каждое квадратное уравнение имеет комплексный корень.
Вообще, любое целое рациональное уравнение имеет комплексный корень.
154
Это утверждение — основная теорема алгебры^. Из нее, в частности, следует, что многочлен степени п с комплексным переменным z можно представить в виде произведения п линейных множителей:
PrS.^) = V" + + ... + а„_ jz + а„ =
= а^{г - Zi)(2 - Zg) •... • (2 - _ i)(z - z„),
где Zj, Zg, ...» z„— комплексные корни многочлена, причем необязательно различные.
▼ Доказать это можно с помощью теоремы Безу^, по которой и на множестве комплексных чисел РДг) = (z -где Pjliz) и _ j(z) — многочлены степени я и /г - 1 соответственно, а 2^— корень многочлена Р„(2). Л
Покажем на примере квадратного уравнения - 4л: + 13 = О, что в случае мнимых корней верны формулы Виета. Сумма корней данного уравнения должна быть равна числу 4:
(2 — Si) + (2 + Зг) = 2 ~ 3i + 2 + 3i = 4, а произведение — числу 13:
(2 - 30(2 + 30 = 22 - (30^ = 4 - 9/2 = 4 + 9 = 13.
Во всех рассмотренных примерах с комплексными числами производились арифметические действия®.
Результат арифметических действий с комплексными числами можно представить в виде комплексного числа X + yif где х и у — действительные числа:
1) (а + Ы) + (с + di) = а + Ыс + di = {ас) Л- {Ъ + d)i;
2) (а + Ы) - (с + di) = а + Ы - с - di = {а - с) + ib - d)i;
^ Основная теорема алгебры была сформулирована в XVII в., но первое строгое доказательство было дано в конце XVIII в. К. Гауссом. С тех пор были опубликованы десятки различных доказательств. Чисто алгебраического способа доказательства этой теоремы не существует — приходится использовать методы математического анализа, что говорит о неразрывности математической науки в целом.
2 Этьен Везу (1730—1783) — французский математик, член Парижской академии наук. Основные его работы выполнены в области алгебры. В частности, им разработаны методы решения систем уравнений методом исключения переменных. Теорема Безу опубликована в работе «Общая теория алгебраических уравнений* в Париже в 1779 г.
® Мы уже отмечали, что в 1572 г. вышла книга итальянского математика Р. Бомбелли, в котором были установлены первые правила арифметических операций над комплексными числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.
155
3) (а + Ы){с + di) = ас + bci + adi + bdi^- = ас + bci + adi -bd = = (ac - bd) + (be + ad)i;
a + bi {a + Ы){с - di) ac + bci - adi - bdi^
4)
c + di (c + bi){c - di)
c^ + d^
ac + bd , be + ad . - ,
(.2 -I- ^2 '(,2 -I- ^2 хотя бы одно из чисел с или d должно
быть отлично от нуля.
в последнем случае, чтобы получить в знаменателе действительное число, мы умножили числитель и знаменатель на комплексное число с - di, отличающееся от знаменателя с + di только знаком коэффициента мнимой части.
Комплексные числа z = c + diuz = c-di называют сопряженными.
Прием умножения дроби на сопряженное знаменателю число часто используется в преобразованиях выражений с комплексными числами.
2i
Пример 1. Упростить выра!жение
Решение.
2i _ 2i(3 + i)
3- i*
2(3i + i2) 2(-l 4-3i)
3-i (3-i)(3 + i)
3- i2
3 + 1
-_1 ^ 3 . 2 2
Пример 2. Найти все действительные значения х ж у,
ОС
2-т -2jc + 4iH3-+— ^xi равны между
при которых числа у собой.
Решение. Приведем оба данных числа к виду а + &i, где аиЬ действительные числа:
1/2 - т - 2л: + 4i = 1/2 - ^ - 2jc + 4i =
= у^ + xi - 2х + 4i = (i/2 - 2х) + (х + 4)i,
3 - ^— 3^ri = 3 + i/2i - 3^:i = 3 + (i/2 - Sx)i.
Приравняв действительные части и коэффициенты при мнимых частях этих чисел, получим и решим систему:
y^-2x = S, 11/2 = 2л: + 3, \ ~ ^ \ у = ±^ у
л: + 4 = 1/2 - Зл:, |л: + 4 = 2л: + 3- Зл:, 1 л: = - ^ , i 1
2 •
О т в е
т: х = -\,у= J2
или х = --^уУ
-J2.
156
Упражнения
355. Решите квадратное уравнение:
а) + Юл: + 26 = 0; в) - 6л: + 5 = 0;
б) л:^ - 14л: + 74 = 0; г) 2х^‘ - 5л: + 4 = 0.
356*. Подберите целый корень и, разложив левую часть на множители, найдите все корни уравнения:
а) л:^ + л:^ + л: - 3 = 0; г) 2л:^ - 1х^ + 11л: - 10 = 0;
б) л:3 - 2л:2 + 2л: + 5 = 0; д) 4л:^ - 2х^‘ - 27л: - 9 = 0.
в) х^ - 6л:2 + 12л: -7 = 0;
357. С помош;ью формул Виета составьте квадратное уравнение, корнями которого являются мнимые числа: а) 1 + i и 1 - i; б) -3 + 4i и -3 - 4г.
358. Приведите к виду х + г/г, где л: и г/ — действительные числа, выражение:
а) (3 - 2г)(г - 3);
б) (5 - 2г)(4 + 2г);
д)
'■>3-4Г е)
2 - 5г
1 + г ’
3-4г 1 - ЗГ
359. При каком условии: а) сумма; б) разность; в) произведение; г) частное двух комплексных чисел является действительным числом?
360®. Найдите значение выражения: а) - 4^2 + 28-г при 2 = 2- ЪЦ в) ^
1 + г
, 10-6г . г) +
1 - г ’ 10 + 6г
б) 2^ + 7^2-Ь 16z при 2 =-3 + г; 1-Зг ' 1 + Зг ‘
361®. Найдите действительные числа а и Ь, если:
а) (1 + 4г)(а + Ы) = 14 + 5г; в)* 2i-\- аЬ- аЫ = - ЬЧ - 3.
32 - г ^
б) , . . = 2-2ц ' а + Ьг
362. При каких действительных значениях а и Ь равны комплексные числа и 2g:
а) 2, = — + 4 - Ьг; = Зг - - + 26;
б) = (2 + Si)a - 8г; 2g = 7 - (2 - 3i)(a + Ы)7
363. При каких действительных значениях х и у комплексные числа 2j и 2g являются сопряженными:
а) = л:2 + ^г - 5 - J и 22 = -у - хН - 4г;
б) ® 2^ = 9i/2 - 4 - lOxyi^ и ^2 = 8г/2 + 20Я^?
157
364°. Докажите, что: а) 1 + i + = 0;
6Г i + F + i^ + + + i
;100
0.
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое мнимая единица? При каком условии комплексное число является действительным?
2. Сформулируйте правила сложения и вычитания комплексных чисел.
3. Может ли частное двух сопряженных мнимых чисел оказаться действительным числом? При каком условии?
4. Представьте комплексное число (1 + i)^ в виде а + Ыу где атл.Ь — действительные числа.
19. Геометрическое представление комплексных чисел
Сам термин «мнимые числа» отражает отношение к ним математиков XVI—XVIII вв. Это отношение изменилось лишь в XIX в. после работ Бесселя, Аргана и Гаусса^, которые на-
1 Каспар Вёссель (1745—1818) — датский математик. В его работе «Об аналитическом представлении направлений» (1799), посвященной векторам, впервые дано геометрическое представление комплексных чисел. В течение столетия это сочинение оставалось неизвестным, и его результаты открывались вновь.
Жан Роберт Арган (1768—1822) — швейцарский математик, который дал геометрическую интерпретацию комплексных чисел на плоскости (1806), ввел термин «модуль комплексного числа» (1814—1815).
Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) — родился в бедной крестьянской семье. Способности к математике у него проявились очень рано, по этому поводу он сам шутя говорил, что складывать научился раньше, чем говорить. Увлекаясь и филологией, и математикой, в 19 лет Гаусс выбрал математику, где им было уже сделано открытие — построение циркулем и линейкой правильного семнадцатиугольника. Спонсорство его учителя начальных классов, которого Карл поразил, почти мгновенно вычислив сумму натуральных чисел от 1 до 100, дало возможность Гауссу окончить Гёттингенский университет. В этом университете он всю жизнь и проработал профессором и директором обсерватории. Работы Гаусса оказали огромное влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории тяготения, теории электричества и магнетизма, геодезии и др. После смерти Гаусса издано 12 томов его сочинений, но до сих пор многие исследования не опубликованы.
158
Рис. 113
шли комплексным числам и действиям с ними простое геометрическое истолкование.
Комплексное число z = х + yi можно изобразить на координатной плоскости в виде вектора ОМ (рис. 113). Координаты хну вектора ОМ являются, соответственно, действительной частью и коэффициентом мнимой части комплексного числа г. При этом каждому комплексному числу соответствует некоторый вектор, а различным комплексным числам соответствуют различные векторы.
С другой стороны, координаты любого вектора можно рассматривать как действительную часть и коэффициент мнимой части некоторого комплексного числа.
При такой интерпретации сумма двух комплексных чисел изображается вектором, равным сумме векторов (рис. 114), а разность двух комплексных чисел — вектором, равным разности соответствующих векторов (рис. 115).
Длину вектора ОМ (см. рис. 113), равную Jx^ + у^ , называют модулем комплексного числа г = х + yi:
\z\ = + 1/2.
Пример 1. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству 3 < |2 + 4 - 3/] < 4, где г = X + yi.
Решение. Под знаком модуля стоит разность комплексных чисел: z - (-4 + Заданное в условии неравенство показывает, что конец вектора z должен находиться от конца вектора (-4 + Si) более, чем в трех единицах длины, но не дальше, чем в четырех. Другими словами, конец вектора Z должен быть одновременно внутри круга радиуса 4 с центром в точке (-4; 3)
и вне круга с тем же центром и радиусом 3, т. е. в кольце (рис. 116).
Пример 2. Решить уравнение \z\- iz = 1 - 2i. Решение. Запишем z как х + yij тогда \z\ = :
+ 1/2 - i(^x + yi) = 1 - 2i,
Jx^ + + у — xi — 1 + 2i = 0.
Приравняв к нулю отдельно действительную часть и коэффициент при мнимой части комплексного числа Jx’^ + +у~
- xi - 1 + 2iy получим систему:
' л/22 -ь 1/2 = 1
Jx^+y^ + у - 1=0у -JC + 2 = О,
4 + 1/2 = 1 + 1/2 - 2г/, х = 2,
Ответ: г = 2- |г.
Упражнения
365. Представьте изображенные на рисунке 117 комплексные числа в виде х +yin найдите их модули.
366. Изобразите на координатной плоскости комплексное число:
а) 5;
б) -2i;
в) -1;
д) 2 + 2i\
е) 2 - 2i;
ж) -3 - 3/;
г) lOi; 3)-3 + 3i;
, 1 iV3. и) 2 + 2 ’
-I- Li/l . к; 2 ^ 2 ’
л) 1 - / а/З ;
м) -л/З - i.
367*^. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:
а) |г - 11 = |г: + 1|;
б) 1-г + 1 - ij = |2 - 1 + i|;
в) |2|2 + Зг - Зг = 0;
368*. Докажите, что
(с2 -Н ^2 ^ 0).
160
г) (1 - i)z = (1 + i)z;
д) * jz + б1 = 2|z|;
е) *3|z-10| = |z + 2|.
l2i|
= jj-j, где Zj = a + Ьг, Zg = с + di.
369*^. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:
а) |г - 1| > |г + 1|; б)®
2-1
2 + i
< 1; в)0<|г+1 + 2г|<2.
370Ч Решите систему уравнений \г + 1 - i\ = \3 - z - i\ = \z + i\.
371*. Среди комплексных чисел, удовлетворяюш;их условию \z + 1 + i| < 1, найдите число с наибольшим модулем.
372*. Найдите число с наименьшим модулем среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию:
а)|2 + 1 + г|>3; 6)|2 + l-t|l.
«««• тт ^ \\z + l-i\= J2 у
373 . Докажите, что система уравнении т i i _ „
не имеет решений. 11^1“^
Контрольные вопросы и задания
1. Как называются комплексные числа, которые изображаются векторами, симметричными относительно оси абсцисс?
2. Что можно сказать о комплексных числах, которые изображаются сонаправленными ненулевыми векторами?
3. Есть ли среди комплексных чисел 2, удовлетворяюш;их условию |z - 3 + i| = 5, сопряженные?
20. Тригонометрическая форма комплексного числа
Если начала всех векторов, имеюш,их модуль, равный г, поместить в точку 0(0; 0), то их концы образуют окружность радиуса г с центром в начале координат (рис. 118). Каждый из этих векторов, например ОМ (рис. 119), может быть получен
161
в результате поворота вектора О А вокруг начала координат на угол ф, который называют аргументом комплексного числа Z и обозначают arg z (заметим, что таких углов бесконечно много и они отличаются друг от друга на 2тс^г, k е Z), Тогда X = г cos ц>, у — г sin ф, и, следовательно:
Z = X + yi = г cos ф + (г sin ф)/ = r(cos ф + i sin ф).
Выражение r(cos ф + i sin ф) называют тригонометрической формой комплексного числа.
В тригонометрической форме с комплексными числами намного удобнее выполнять умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.
Пусть даны два комплексных числа:
а = 6 (cos 30° + i sin 30°) и v = 2 (cos 15° + i sin 15°).
Найдем произведение этих чисел:
uv = (6 (cos 30° + i sin 30°))(2 (cos 15° + i sin 15°)) =
= 6*2 (cos 30° cos 15° -f i sin 30° cos 15° +
+ i cos 30° sin 15° + sin 30° sin 15°) =
= 6*2 ((cos 30° cos 15° - sin 30° sin 15°) +
+ i (sin 30° cos 15° + cos 30° sin 15°)) =
= 6*2 (cos (30° + 15°) + i sin (30° + 15°)) =
= 6*2 (cos 45° + i sin 45°) = 6 л/2 + 6i л/2 .
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Вспомним теперь, что разделить число и на число и — значит найти такое число z, что zv = и. Пусть модуль числа z равен г, а его аргумент равен ф. Тогда г* 2 = б и ф + 15° = 30°.
Отсюда ^ = 3иф = 30° - 15° = 15°, т. е. 2 = 3 (cos 15° +
+ isin 15°).
При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
При умножении и делении комплексных чисел их аргументы ведут себя так же, как показатели степеней с одинаковыми основаниями: а^' аУ = а^'^ у, а^: аУ = а^~У. Это сходство
162
навело Л. Эйлера^ на мысль записать комплексное число в виде степени в так называемой показательной форме z =
Так появилось тождество Эйлера
= cos ф + i sin ф.
Это тождество и легко получаемые из него формулы
-|_ g-гф gi
——.—-—.—----------------^--------------------------.
п множителей
— r'‘(cos па + isin па).
^ Леонард Эйлер (1707—1783) родился в Швейцарии в семье пастора. В 1720 г. поступил в университет, где уже в 17 лет был удостоен степени магистра искусств за речь, посвященную сравнению философии Р. Декарта и И. Ньютона. В 19 лет опубликовал в журнале свою первую научную работу. С 1727 г. и до конца жизни работал в Петербургской Академии Наук. Л. Эйлер — великий ученый, сделавший открытия во всех известных в его время разделах математики и механики, теории упругости, математической физике, оптике, теории музыки, теории машин и др. Эйлер одним из первых написал учебники по математическому анализу. Математический аппарат он разрабатывал для решения проблем естествознания, поэтому около 60% работ Эйлера относятся к математике, остальные — преимущественно к ее приложениям. В последние 13 лет своей жизни, потеряв зрение, он диктовал свои работы ученикам. Опубликовано 70 томов собраний сочинений Эйлера, сроки завершения работы над архивами трудно предсказать. Каждая страна—участница этого международного проекта получает один экземпляр каждого тома, издание выходит малым тиражом и является раритетным.
В 1837 г. Петербургская Академия Наук воздвигла памятник на могиле Эйлера, в 1956 г. его прах был перенесен в Ленинградский некрополь.
163
Формула возведения комплексного числа в степень была выведена А. Муавром^ в начале XVIII в. и носит его имя.
При возведении комплексного числа в степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Умение возводить в степень комплексные числа помогает в тригонометрии при вычислении значений кратных углов.
4 тс
Пример 1. Найти cos 5а, если sin а = v. -^ < а<п.
Решение. Попробуем выразить cos 5 а через тригонометрические функции угла а. В этом нам поможет формула Муавра. При п = 5 из нее получаем:
(cos а + /sin а)^ = cos 5а + isin 5а.
Раскрываем скобки:
(cos а + isin а)^ = cos^ а + 5cos'* а • isin а + lOcos^ а • (isin а)^ +
+ lOcos^ а • (isin а)® + 5cos а • (isin а)^ + (isin а)^ =
= cos^ а + 5icos^ а sin а - 10 cos® а sin® а - lOicos® а sin® а +
+ 5cos а sin'^ а + isin^ а = (cos® а - lOcos® а sin® а +
+ 5cos а sin^ а) + i(5cos'* а sin а - lOcos® а sin® а + sin® а)
и приравниваем действительные части правой и левой частей равенства:
cos 5а = cos® а — lOcos® а sin® а + 5cos asin'^a.
тт ^ ft 16 3
Найдем cos а: cos ^ подставим значения
sin а и cos а в полученную формулу:
cos5a=(-|/-10(-|/(|)45(-|)(|y =
-243 + 4320 - 3840 237
55 3125 *
Ответ:
237
3125*
Нам осталось разобрать, как извлекать корень из комплексного числа. Извлечем, например, кубический корень из числа U = 27 (cos 135° + isin 135°).
^ Абрахам де Муавр (1667—1754) — английский математик, член Лондонского королевского общества, член Парижской и Берлинской академий наук. Муавр вывел правило возведения в п-ю степень и извлечения корня п-й степени для комплексных чисел в 1707 г.
164
Пусть модуль комплексного числа z = равен г, а его аргумент ф, тогда, поскольку = а, получим: = 27,
а Зф = 135°. Отсюда г = = 3 и ф = —^ = 45°, т. е.
г = 3 (cos 45° + isin 45°).
При извлечении корня из комплексного числа извлекается корень из его модуля^ а аргумент делится на показатель степени корня.
”^r(cos ф + isin ф) = "Jr l^cos ^ + isin ^ j.
Казалось бы, все просто. Вспомним однако, что у комплексного числа имеется бесконечно много аргументов, отличающихся на 360° • ky поэтому корень из комплексного числа оказывается не единственным. Так, в рассмотренном примере мы могли в качестве аргумента числа и взять угол 135° + 360°, 135°+ 360°
и получить Ф2 = ---g---- = 165 .
т. -.0^0 . о 135°+ 2-360°
Если же взять 135° + 2-360 , то фд = ------g----- =
= 45°+ 2-120° = 285°.
Заметим, что аргумент кубического корня из числа и каждый раз увеличивается на 120°, а модуль не изменяется. Геометрически это означает, что соответствующий вектор поворачивается на 120° вокруг начала координат.
Может показаться, что, продолжая прибавлять к аргументу и по 360°, мы будем получать все новые и новые кубические
135° + 2 • 360°
корни. Проверим это предположение: Ф4 = -------g----- =
= 45° + 3 • 120°. Мы действительно нашли новый угол, однако, поскольку cos (45° + 360°) = cos 45° и sin (45° + 360°) = sin 45°, то у нас получился уже найденный корень 2^ = 3 (cos 45° + + isin 45°).
Векторы = 3 (cos 45° + isin 45°), 23 = 3 (cos 165° + + isin 165°) и 2g = 3 (cos 285° + isin 285°) получаются один из другого поворотом на 120° по (или против) часовой стрелке вокруг начала координат. Поскольку именно к такому повороту и приводит увеличение (уменьшение) аргумента числа и на угол 360°, понятно, что новых значений кубического корня мы не получим.
Мы встретились с удивительной ситуацией, когда выражение \ju имеет три разных значения, а не одно, как мы привыкли при вычислениях с действительными числами.
165
Аналогично можно показать, что существует четыре различных корня четвертой степени из комплексного числа, причем концы соответствующих им векторов расположены в вершинах квадрата. Вообще,
существует п различных корней п-й степени из комплексного числа, отличного от нуля.
Теперь становится понятным, как по формуле Кардано найти все три корня рассмотренного в пункте 1 кубического уравнения - 6х - 4 = 0:
X = V2 + 74^ + V2- = V2 + + ^2-7^ =
= V2TT/ -h V2^^i =
= Va/8(cos 45° + isin 45°) +
+ VT8(cos (-45°) + i sin (-45°)) =
= л/2(^со8 45° + i sin 45® + Vcos (-45°) + i sin (-45°)).
Каждый из двух кубических корней, в сумме дающих корень кубического уравнения, имеет три значения. Чтобы получить действительные корни уравнения, из них следует выбрать пары сопряженных комплексных чисел:
jCj = л/2 (cos 15° + г sin 15° + cos (-15°) + i sin (-15°)) =
= 2 Vicos 15°;
X2= (cos 135° + i sin 135° + cos (-135°) 4- i sin (-135°)) =
= 272 cos 135°;
Xg = 72 (cos 255° + i sin 255° + cos (-255°) + i sin (-255°)) =
= 2 72 cos 255°.
Преобразовав полученные выражения, получим уже знакомые нам из примера 1 пункта 17 числа:
2 72 cos 15° = 4 ~ cos 15° = 4 cos 45° cos 15° =
= 2 (cos 60° + cos 30°) = 1 + 73 ,
272 cos 135° = 272 =
2 72 cos 255° = 4 • ^ (-sin 15°) = -4 sin 45° sin 15° =
= -2 (cos 30° - cos 60°) = 1 - 73 .
166
Упражнения
374. Представьте комплексные числа, указанные в 366 предыдущего пункта, в тригонометрической форме.
375*. Представьте изображенные на рисунке 117 предыдущего пункта комплексные числа в тригонометрической форме.
376*^. Найдите аргументы чисел:
а) 1 + 2/; б) -3 - 5i; в) 3 + 2/; г) 4 - 3i.
377. Запишите в виде х + yi следующие числа:
а) 2(cos 30° + i sin 30°);
б) Л (cos (-45°) + i sin (-45°));
в) Л (cos 120° + i sin 120°);
г) * 3^cos arctg (^~| j ^ sin arctg (^“|
378. Найдите произведение комплексных чисел и и у, если:
а) и = 3(cos 16° + i sin 16°), v = 2(cos 74° + i sin 74°);
б) u = 5(cos 25° + i sin 25°), v = 0,2(cos 5° + i sin 5°).
379. Найдите: a) (1 + i)^^;
380*. Найдите:
a) sin 5a; 6) cos 4a; в) tg 3a, если cos a = -0,6 и 7i< a <
381. Найдите частное ^, если:
а) u = 6(cos 16° + i sin 16°), v = 3(cos (61°) + i sin (61°));
б) u = 5(cos (-14°) + i sin (-14°)),
V = 0,2(cos 44° + i sin 44°).
382. Докажите, что: a) • l^gl; б)
383*. Какой наименьший модуль может иметь выражение
2+-7 г
384. Найдите все значения з, удовлетворяющие уравнению 2^ + l^l = 0.
167
Зл 2 *
385. Найдите все комплексные значения выражения: а) л/1 + i; б) V-Уз - i; в) У-1 - i; г) VI; д) •
386*. Найдите все комплексные числа z такие, что: а) (z)^ = 2 - 2iJS;
б) (2)® = -^ -
Л
2
£
2 •
387*. Решите по формуле Кардано уравнение:
а) дс® - 2л: + 4 = 0; б)* - 2х - 12 = 0.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие арифметические действия удобно выполнять с комплексными числами в тригонометрической форме? Что такое показательная форма комплексного числа?
2. Запишите формулу Муавра для комплексного числа с модулем, равным 1.
3. Представьте в виде а + Ы корни шестой степени из 1.
Вскоре после открытия формулы корней кубического уравнения ученик Кардано Людовико Феррари нашел способ решения произвольных уравнений четвертой степени. Однако для уравнения пятой степени отыскать такой способ никому не удавалось. Точку в этих поисках поставил Нильс Абель^, доказав невозможность существования общих формул корней для уравнений пятой и более высоких степеней.
За время обучения в школе ваши представления о числах прошли большой путь: от натуральных чисел к рациональ-
^ Нильс Абель (1802—1829) — норвежский математик. Работа об уравнениях пятой степени — лишь одно из его великих достижений. Этими уравнениями он занимался еще в школе, и ему показалось, что он вывел формулу для их решения. Никто в Норвегии не мог проверить доказательство, в котором Нильс сам затем нашел ошибку. В 16 лет Абель по совету своего учителя начал читать труды Ньютона, Эйлера и Лагранжа, а через несколько лет открытия стал совершать он сам. Родившись в многодетной семье пастора, он всю свою короткую жизнь прожил в бедности и умер от туберкулеза в возрасте 27 лет. В математике Нильс Абель оставил видный след, его именем названы интегралы, группы. В королевском парке в столице Норвегии г. Осло стоит скульптура сказочного юноши, попирающего двух поверженных чудовищ, которые символизируют уравнения 5-й степени. По цоколю идет надпись «ABEL».
168
ным, затем к действительным и, наконец, к комплексным. У человечества этот путь растянулся почти на всю его историю.
Каждый раз при расширении понятия числа приобретались новые более широкие возможности, но были и некоторые потери. Так, например, работая с натуральными числами, мы могли для каждого числа указать следующее, а перейдя к рациональным, обнаружили, что следующего числа нет, так как между любыми двумя рациональными числами есть третье. На множестве комплексных чисел мы потеряли существенно больше, а именно возможность сравнивать числа, так как нельзя установить, какое из комплексных чисел больше, или, как говорят математики, — нельзя упорядочить множество комплексных чисел.
Однако для комплексных чисел сохранились основные законы арифметических действий, с которыми вы познакомились еще в начальной школе: переместительный, сочетательный и распределительный законы, свойства нуля при сложении и единицы при умножении.
Оказалось, что дальнейшее расширение понятия числа без отказа от некоторых из этих законов невозможно. Этот факт установил в XIX в. Карл Гаусс.
На этом наш курс алгебры и начал анализа завершен.
Авторы желают вам новых встреч с математикой в аудиториях выбранных вами вузов.
Домашние контрольные работы
Контрольная работа № 1 (90 мин)
/ уровень
1. На рисунке 120 изображены графики некоторых функций.
1) Какие из этих функций являются непрерывными?
2) Укажите точки разрыва разрывных функций.
3) Запишите для каждой функции ее промежутки возрастания и убывания.
2. Найдите предел функции:
ГГ » б) •
1 д:->2 ^ ^
а) Иш
3. Какие из графиков следующих функций имеют: а) вертикальные; б) горизонтальные асимптоты? Запишите уравнения этих асимптот.
X
1) ^ = 2х^ - - 5х + 3;
2) y = tg х;
3) 1/ 1+Д-2»
4) у = arcctg X.
Рис. 120
170
4. Найдите уравнение наклонной асимптоты графика
+ 1
функции у = —-— и изобразите сам график.
5. Решите уравнение 3^^ - 2 • 3^ - 3 = 0.
II уровень
6. Докажите непрерывность функции у = 2х - 1 в точке aTq — 3.
7. Задайте аналитически функции, графики которых изображены на рисунке 120.
8. Найдите область значений функции у = ~~ •
9. Решите неравенство (In^jc - 1)(4jc2 - 5x + 1) > 0.
III уровень
10. 1) Найдите уравнение наклонной асимптоты графика
, бд:^ - 5х^ -Ь д: - 1
функции у - 2х^-Зх + 1 ■
2) Определите, есть ли у этого графика вертикальные асимптоты, и изобразите сам график.
11. Решите тригонометрическое уравнение
sin** X -Ь cos^ X = sin 2х - 0,5.
Контрольная работа № 2 (90 мин)
/ уровень
1. На рисунке 121 изображен график функции у = f{x).
1) В каких точках графика касательная к нему: а) не существует; б) параллельна оси абсцисс; в) наклонена к положительному направлению оси абсцисс под острым углом; г) имеет отрицательный угловой коэффициент?
2) Укажите: а) критические точки; б) точки максимума; в) точки минимума функции.
3) В каких точках функция принимает: а) наибольшее значение; б) наименьшее значение?
Чему они равны?
171
2. Составьте уравнение касательной к графику функции у = в его точке с абсциссой jCq = -3.
3. Решите уравнение sin^ х + 2cos^ 2х = -g.
II уровень
4. Решите неравенство {2х + Z)jAx - Зх^ - 1 < 0.
5. Дана функция у = х^ - Sx.
1) Найдите по определению производную функции.
2) Напишите уравнение касательной к графику функции: а) параллельной; б) перпендикулярной прямой у = 2х.
3) Определите промежутки монотонности и точки экстремума функции.
III уровень
4) Найдите с помощью производной приближенное значение функции при д: = 0,98.
5) Используя калькулятор, найдите абсолютную и относительную погрешности полученного приближения.
6) Постройте график данной функции.
6. Докажите, что функция у = Jx^ - 9 • - sin х) нечетная.
7. В равнобедренный треугольник, основание которого на 7 м больше высоты, вписан квадрат так, что две его вершины лежат на боковых сторонах треугольника, а две другие — на его основании. Выразите площадь треугольника S как функцию длины X стороны квадрата. Найдите площадь треугольника, если известно, что сторона вписанного квадрата равна 12 см.
Контрольная работа № 3 (120 мин)
I уровень
1. Напишите уравнение касательной к графику функции у = \]х^ - 1 в точке Xq = 3.
2. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону s{t) = t + sin^ t (м), где to, — время движения.
1) Какую скорость будет иметь тело в момент времени ^ ^ ?
2) Найдите силу, которая действует на тело.
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
^ X + 2
172
на отрезке [1; 5].
4. Исследуйте с помощью производной функцию
у — + Зх^ + 2 и постройте ее график.
5. Решите неравенство log£ (х - 1) + logg х <1.
II уровень
6. Найдите два положительных числа, сумма которых равна трем, если известно, что произведение первого числа на квадратный корень из второго максимально.
7. Решите уравнение Ssin^ х - 2sin х cos х - cos^ х = 0.
III уровень
] х2 sin ^ при
8. Дана функция У — \ ^
I о при X = 0.
1) Найдите производную этой функции.
2) Существует ли предел: а) Иш у\ б) Ит у'1
дс—>0 х->0
9. Найдите уравнение касательной к кривой, заданной уравнением i/^x - ух^ + 6 = 0, в точке К{Ъ; 2).
10. Используя первую и вторую производную, исследуйте
д;2
функцию у = ^ постройте ее график.
Контрольная работа № 4 (120 мин)
I уровень
1. Запишите в виде интеграла площади фигур, ограниченных графиками функций у = f{x)vL у = g(x) (рис. 122).
а)
173
2. Какая из функций:
a) F{x) = cos 2x - In л: + 2; б) F(x) = sin 2x - X In X + 5;
b) F{x) = sin 2x - X - \n X является первообразной для
fix) = 2cos 2x-^ - 1?
функции
функции
Рис. 123
3. Найдите первообразную
у = (2jc - 1)^ ’ которой проходит че-
рез точку А(1; 0).
4. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 123.
5. Решите неравенство (х - \)Jx^ - х - 2 > 0.
II уровень
6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=1,у = 2,х = 2.
7. Тело стартует из точки, принятой за начало отсчета, и движется прямолинейно со скоростью, которая изменяется по
закону L>(t) = ^ + y2t + 1 (м/с).
1) Найдите путь, пройденный телом за первые 13 с движения.
2) Чему равно стартовое ускорение тела?
8. Решите уравнение logg ^ ~ (х - 2) = 3.
III уровень
9. Зная, что кривые на рисунке 122 — параболы, задайте их аналитически и вычислите площади заштриховЕшных фигур-
10. Найдите объем тела, полученного вращением фигуры,
ограниченной линиями у = Jx п у = х, вокруг оси абсцисс.
11. Вычислите, используя геометрическую интерпрета-
6
цию
•Д
о
X - 1
+
3-
^dx.
174
Контрольная работа № 5 (120 мин)
/ уровень
1. Решите уравнение:
а) log2 л: + 2 logg Jx - 2 = 0; б) + 2л: - 12 = 2.
2. Решите систему уравнений
- 1/2 = 16,
л: + ^ = 8.
3. Найдите все значения параметра а, при которых график функции у = 2ах + За2 - 2а пересекает ось ординат в ее отрицательной части.
4. При каких значениях параметра а уравнение х^ + 4х — а имеет единственный положительный корень?
II уровень
5. Решите неравенство sin х - sin Зх < 0.
6. При всех значениях параметра Ь решите уравнение
logg (4^ - Ь) = X.
7. При каких значениях а функция у = х^ + 2х^ + ах - 5 не имеет критических точек?
III уровень
8. При каком значении параметра а система уравнений л;2 + 1/2 = 2,
X + у + Z = а единственное решение? Найдите это ре-
шение.
Контрольная работа № 6 (90 мин)
/ уровень
1. Решите уравнение
2. Выполните действия
- 2z + 2 = 0. (1-0(3 +о _ 2 + /
2- i
175
3. Изобразите на плоскости хОу множество точек, удовлетворяющих условию:
а) |0 + 3| = 1; б) \z - 2-{■ i\ — \z - i + 2|, где z = x + yi.
4. Докажите тождество (1 + tg a)(l + ctg ot) - == 2.
II уровень
5. Найдите все значения выражения Vl ~ i ■
6. Решите уравнение - (2 + 3i)2 + 4i - 2 = 0.
( - 7
7. Решите неравенство 25^ (0,2) ‘ .
III уровень
8. Решите уравнение |z| - 2z = 2i - 1.
л/З
А I I
9. Найдите все комплексные числа z такие, что ^ 2^ ~ 2
Ответы
П. 1
1. Непрерывные функции — а, г, ж, з; разрывы имеют функции — б, в, д, е, и. Точки разрыва: О) х = Q\ ъ) = 1 и
Х2 = -2; д) х = ^ + 7Ш, п е Z; е) х = 0; и) х = 2. 2. f(a) • f(b) < 0;
4,42. 3. а) (-оо; -3) и (-2; 2) U (3; +оо); б) (-оо; -2) U ; l];
в) 1^-1; ”1 j и (1; 4). 7. 1) а) а, б, в, г, ж, з; б) а, б. 10. д) (я -- 0,00001; к + 0,00001). 11. д) |д: + 0,5| < 1,5.
П. 2
23. а)-2; 6)0; в)-|; г) 0; д)-|. 24. 1) а, д, е, 25. а) |;
б)-4; в)-4; г)-2; д) 1; е)0. 26. Имеют а, в. 28. а, в, д, е.
30. а) Ит f(x) = 1, lim f(x) = -2; б) lim f(x) = -2, lim f(x) = 2.
д:->Р
31. a) Ve > 0 35 > 0 такое, что \x — Xq\ < 5 => \f{x) - < e;
б) Ve > 0 35 > 0 такое, что lA^:) ~ < e;
в) Ve > 0 35 > 0 такое, что 0<д:о-л^<5^ \f{x) - Kxq)] < e.
32. 1) За Vjc G D{f), f{x) > a; 2) a) нет; 6) нет; 3) Va Зд: e D(f), f{x) > a.
П. 3
35. 2) a) д: = 3; 6) д: = 0; b) X = 1; r) д: = -3. 40.1) в) 1,5; г) 1 при X -» +00 и -1 при X —> -оо. 41. а) ^ = Зх + 2; б) I/ = 2х + 8; в) I/ = = 4х - 1; г) [/ = X. 43. 1) а, б, в, г, д, е; 2) б, в, г, е; 3) а, д. а) х =
= -1,1/ = X - 1; г) X = 3, I/ = 2; д) X = 1,1/ = х; е) X = ±ijs , z/ = -1. 44. 1) Да; 2) а) да, б) нет; в) нет. 45. а) Вертикальную асимптоту; б) горизонтальную асимптоту у = а;в) наклонную асимптоту у = = kx + Ь. 46.1) lim g{x) = 1; 2) lim ^х) = 1; 3) lim ^х) = оо;
Х-*-оо Х-*<Х1
4) lim (^х)-3х+1) = 0; lim j^x) = oo. 48. а) у =
х^°0
х-*оо
X
; б) г/ =
= . 49. 1) lim f(x) = b; 2) lim f(x) = b; 5) lim f(x) = oo.
д:-^оо
177
П. 4
54. 2) а) 1; б) 0; в) -1; 3) -2. 55. а) /е = -2; б) ft = 0. 57. а) - 5л: + 1; б) I/ = -л: + 3. 58. а) (6; -29); б) (-3; -12).
59. arctg . 60. di) у = \ 6) у = X + 2,5; ъ) у = -2х + 2^.
61. а) I/ = 2лг + 1; б) г/ = -бдс - 15. 62. Прямая
П. 5
67. Необязательно, кривая может, например, касаться то кривой I/ = ^ , то оси абсцисс и при этом иметь как угодно далеко
от начала координат касательные с угловыми коэффициентами 1 и -1. 69. Это следует из симметрии соответствующих касательных относительно: а) оси ординат (tg = -tg ttg); б) начала координат (tg tti = tg 02). 71. а) у' = 2х\ б) у' = 3x2; g) _ J_ . г) =
2хГх
75. а) I/ = 2; б) I/ = 1 И
_Qr-t-1 7
у = —g—; в) у = -X - 2\ т) у = 0,25х + 1. 76. 1) б) г/ = -4х + 6;
2) а) у = 12х - 1S и у = 12х + 9; б) у = 2. 77. а) у = 2; б) у =
= -X + 3,75; в)у = х- 0,25; г) t/ = -^ х + 2 ^ . 82. 1) 1 с; 2) 2 с;
3) 1 м; 4) 3 с. 85. 8,88л = 27,9 (см2), ge, 35
П. 6
96. а) Убывает на (-оо; 0], возрастает на [0; +сю); б) возрастает на +°о); в) убывает на (-оо; 0) и на (0; +00); г) возрастает на [0; +оо);
д) убывает на (0; +оо); е) убывает на (-°о; 1) ина(1; +00). 98. См. рисунок 124. 99. Любая
монотонная функция, например у = Jx. 1(Ю. а) Да; б) нет; в) нет; г) нет. 101. 1) а) Нет; б) да; 2) может, достаточно, чтобы функция имела конечное число положительных точек экстремума и не имела экстремума в нуле, как
I I 1
например, функция t/ = |х| + г-г.
П. 7
102. г) 5x4 _ 16^3 + 18Д.2. е) Юх^ - 44хЗ + 72x2 - 32х -8.
о _1 о _12 «V __
103. г) -10х"4^; е) =х”; з) 2,7х^-'’'; к) -=х 104. б) у' =
178
г) г/ = е) I/ = --^; 3) у = -—7=. 105. б) у = +
бух ^ ЗУх^ J2x
37^; г) у' = . 106. б) у' = jc^j р) у" = 2х^ - Злг;
е)г/' = = ;с».5;з)1/'=^^.107.в)^; г)-^. 108. а) (/= | ж + + 4 j; в) I/ = -11, у = 5; г) J/ = 4л: - 2; I/ = 4л: + 2р . 109. (0,25;
4 4
0,5). 111. а) Один; б)два; в) три. 112. а)|а|> 5; б)|а| = 5;
в) \а\ < д. 113. 1) По теореме Лагранжа при /(а) = f{b) = О
имеем: f'(c)
fib) - /(g) b - а
= О, где с € (а; &). 114. \)v = - gt\
а)
б)
I-: - : Ц\ :Ж
; ^ ' j
[- ! i f' ЖГг- : i ^ ! 4.. !
t . . . j . -pi i ; * I ' :
д)
Рис. 125
179
-12 м/с. 115.7(0 = 6^ + 2; 20 А. 116. а) у' = 5х^ - 16х^ + 9х^;
б)у'= ^^Jx + \Jx\b) -бл:-4; г) у' = 18л: - 54. 117. k = -3. 118. а) Да; б) да; в) да; г) да. 124. а) f/= 0,2л:; Ь)у = -Ъх.
125. А(-1,5; -4). 126. См. рисунок 125. 127. ^-2arctgV^ или примерно 23°. 128. (0; -1) и (4; 3). 129. у = u'vw + uv'w + + uviv'.
П. 8
o(s) = |s|, u{v) = и - 3, f(u) = |w|; 3) а) 6, -2, 4, 0; б) а = 3.
134. г) 9(Ti - !/ + ^ ) 135. Третья, у'(1) = |, j/'(l) = ,
у\1) — 120. 136.1) а) а = -2; а = 4; 2) в)—д) — ни при каких значениях а; г) а = -14. 137. а) Во второй точке. 138. Дг = 8 ± 2jl4. 139. а) = 18^ у^ = -9®; б) у^ = -2,5; у^ = 1,5. 140. а) 0;
б) “I: ~Ш • 1^1- S' “ I®®"' + д) 1/ = I* - 3;
11 1 Q
е)у = —^ л: + -у . 142. л: = 4.143. См. рисунок 126.
Рис. 126
180
П. 9
144. 1)а)1; б)|; в)|; г) -72; 2)а)1; 6)j; в) 2; г) 3;
д) 0,25. 3) а) «2; б) е; в) а". 145. а) е'М • f'(x); б) f(e*) • е<: в)
г) f'(^) * cos f(x). 147.
^pln 2 ^ 31
31 ‘
, «минус» перед выражением
показывает, что масса уменьшается, время t измеряется в годах. 148. -|ln2. 149. а) Функция возрастает на |J; функция убывает на л: = | — точка максимума;
б) функция возрастает на ^0; убывает на +ooj
2
и (-00; 0], X = о — точка минимума, х = — точка максиму-
ма; в) функция возрастает на [-1; 0) и [1; +оо)^ убывает (-°о; -1] и (0;1], х = -1их = 1 — точки минимума, г) функция возрастает на (2; 3], убывает на [3; +со), х = 3 — точка максимума.
150. I)log9l0 > logjoll; 2) 4. 151. в) cos 2х;
е)
9 +
; ж)-
2х
. ^__- 152 о\ X = — — + -п
|х| • (х2 + 1) ’ х2 -I- 1п2х * 14 2
пе Z; 6)x=g^^ + дц j, пе Z; в) (-1)"^ + дл, ns Z; г) +
о уш
+ 2дд, п S Z. 154. r)i/ = -gX + l+ g. 155. См. рисунок 127.
157. При а > 1. 158. ^. 161. Имеет максимум: а, б, в, г; имеет
минимум: а, б, г. 162. а) f(x) = Зх и g(x) = |; б) f(x) = Jx w.
g(x) = x2; в) f{x) = и g(x) = ^ In x; r) f(x) = log^ x и g(x) = a^. 163. 6) (0; 1) и (1; e\ — промежутки убывания, [e\ +oo) — промежуток возрастания; г) убывает на (-°о;
возрастает на |^0; j; е) (-о°; -0,5) — интервал возрастания,
(2; +00) — интервал убывания. 164. в) I/ = - | х + 2.165. arctg |.
181
.i-и
a)
Рис. 127
166. x = kn, k& Z. 167. y = l. 168. При x> 1: у' = 0. 170. При X e (0; p] — функция возрастает, при x&[p\ +oo) убывает
(рис. 128). 171. 2)€^>l + x+ y + ^ + |^. 173. a) I/ = I + л/2;
у = ^ - J2 \ Q)y = -J2x J2 \ у = J2x + J2. 174. (-3; 11).
177.6) л: e ^ ^ + лп; ^ + лл j, ne Z;r) (-oo; -1). 178. a) 0 < ДС < r) -2 < ЛГ < 0. 179. ^
Л G Z; b) ^arccos ^ + nn; | + лп j, ^ + лп; Л - arccos ^ + лп^, n E Z;
ПЕ Z. 180.1) a) y' = 2x sin ^ - 5cos ^ + 1; 6) 1.
182
П. 10
Зл/З
182. б) 80 и 0; в) -4 и -13; г) в - 2 и 2(1 - In 2); д) и -2;
ж) 1 и V5; з) о и -3. 183.
4- 5 4^-Ъ
]. 184. Нет.
Л
2 ’ 2
185. а)2;б)г/„^б = 5. = 2,75. 187, а) 1; б) в) 0,5.
188. 2)1 и 4; 3)98 и 49; 4) 1 ие - 1. 189. (^|; У =
= -1,5л: + 6. 191. Квадрат. 192. 8 см. 195. 2 дм^. 196. 12 см, зТз см. 197. Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом а. 198. 8 см2. 199.10 см2. 200.^, |. 201.
202. а) min t/ = О, max ^ = 21 + 3 In 2; б) min у = у(-3) = -3, max у = г/^-| ] = ~| • 203. а> Ь. 204. а) ; б) ^; в) л/2. 205. 2,4. 206. а) 1с; б) 7 м/с. 207. ^. 208. R = г.
209. 0,25а, 0,5а. 210. Высота равна радиусу основания. 211. Ра-
й fS очо dj2 пчп Ь
диус донышка банки /— м. 212. и —^. 213.-----------------Ь
V67C 2 2 cos а
+ '•да “ = ^*8 214. ЛТ м = 6,4 м. 215.
216. Через ^ ч наименьшее расстояние будет равно | км.
П. 11
217. а) f"(x) = 2 In л: + 3 - 4 cos 2лг; f"(l) = 3 - 4 cos 2,
-2 1 . л: 2 1 .
- - sin -: f (3) = --Z - '
-8 1
/"(тс) = 2 In к - 1; б) Г(х) = ^ - I sin I; /"(3) = ^ sin 1;
/"(I ] ^ ^ ~ Вьшукла на [1; +оо), вогнута на (-оо; 1],
точка перегиба (1; 2); г) выпукла на (-о°; 0], вогнута на [0; +°о), точка перегиба (0; 0); д) выпукла на + 2кп; | + 2n/ij,
вогнута на 1^1 + 2пп; ^ + 2xaJ, абсциссы точек перегиба
183
2 + ппу где Z. 219. а) Выпукла;
б) вогнута. 220. в) См. рис. 129 и г) рис. 130. 221. а) Функция у =
„ 3100 + 2100
= 51вляется вогнутой.
,100
-2 -1 о
Рис. 129
5)
< 2004^075 .
200V^ + 2004^/оТ7
>
<
223. а) = -15; = 5; б) = 1,5; = 2;
2 3 “ 3
в) 7= и 1; г) наименьшее: —т=, наибольшее: —7=.
1 + V2 Л Лл
224. а) -у; б) 226. а) 21 м/с и 24 м/с2. 227. 1 и 4. 229. =
., \
\
0 1,2 S' ^ /
-4 / 1 / л 1
в)
Рис. 131
184
= 14 м/с^, ag = 18 м/с^. 232. б) v = , а = ^ . 233. а) -2 л/2 т\
б) 4т. 238. См. рисунок 131.
П. 12
239. Только а) и в). 240. 1) а, б; площадь не изменится;
ь
2) а, б; площадь увеличится в k раз. 241. S = \{f{x) - g{x)) dx.
а
0 4 2
242. а) J (4 - (JC + 1)2) dx\ г) J {Ъх -х'^- ^)dx, 244. а) J (2^ -2хЛ-
-3 _ 1 о .
+ x^)dxj б) 2 Jx*Jx - 1 dx\ в) j (4 + 2л: - 2x^)dx. 245. а) \{х +
1 -1 -1 0.5тс 2 / Й г2 \ 1
+ 1)с^л: + J cos X dx; б) 2| [ ^ \dx; в) 2|(1 - x^)dx.
1 -1 1 2
246. а) 2 J (1 - x^)dx; б) j (х^ - l)dx + J (1 - л:2)^л: + J (л:2 - l)dx;
о -3-11
2 _____ 0,5it 4
г) |(лУ18 - X - 2^) dx. 247. 1) а) | Tcsin2 xdx; б) jnxdx --1 0 0
^ кx‘^ ^ ^ ^
- j dx; 2) а) jn arcsin2 i/di/; б) j Snx dx - j nx'^ dx.
248. |(Р„ + + ржж)^^^т-^
0 0
dx, где Pq ~ 10^ Па — атмосферное давление, p = 1000 кг/м^ плотность воды, g ~ 9,8 м/с2 ускоре-
я g
ние свободного падения. 249. f j^x^dx.
о ^
П. 13
250. б, в, г, д является на D(F). 251. а) Для q; б) для q;
[ 1 при л: = о,
в) для g. 252. f(x) = l + 2: