Учебник Алгебра 11 класс Кузнецова Муравьева

Учебное пособие для 11 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения Под редакцией профессора Л. Б. Шнепермана Допущено Министерством образования Республики Беларусь 3-е издание, исправленное и дополненное Минск «Народная асвета» 2013 Правообладатель Народная асвета УДК 512(075.3=161.1) ББК 22.14я721 А45 Авторы: Е. П. Кузнецова, Г Л. Муравьева, Л. Б. Шнеперман, Б. Ю. Ящин Рецензент кафедра высшей математики учреждения образования «Белорусский государственный аграрный технический университет» (канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой А. А. Тиунчик) Алгебра : учеб. пособие для 11-го кл. учреждений общ. А45 сред. образования с рус. яз. обучения / Е. П. Кузнецова [и др.] ; под ред. проф. Л. Б. Шнепермана. — 3-е изд., испр. и доп. — Минск : Нар. асвета, 2013. — 287 с. : ил. ISBN 978-985-03-1982-1. УДК 512(075.3 = 161.1) ББК 22.14я721 ISBN 978-985-03-1982-1 © Оформление. УП «Народная асвета», 2013 Правообладатель Народная асвета ОТ АВТОРОВ В 11-м классе мы снова встретимся с иррациональными числами, научимся преобразовывать выражения с корнями п-й степени, обобщим знания о степенях с разными показателями и о степенных функциях, познакомимся с показательной и логарифмической функциями и их свойствами, продолжим совершенствовать навыки решения уравнений и неравенств и их систем. Упражнения в учебном пособии нумеруются по главам. Число перед точкой обозначает номер главы, число после точки — номер упражнения в этой главе. Например, 2.47 — это 47-е упражнение из 2-й главы. Аналогично нумеруются и пункты с теоретическим материалом. Пункт 1.6 обозначает 6-й пункт из 1-й главы. Среди упражнений встречаются номера с кружочком (например, 1.36°), номера со звездочкой (например, 1.173*) и номера без всяких обозначений (например, 2.54). Кружочком выделены упражнения, которые должен уметь решать каждый учащийся, претендующий на отметки от 3 до 6 баллов по 10-балльной шкале. Все остальные номера адресованы желающим углубить свои знания и достигнуть более высоких результатов. Наиболее трудные из них отмечены звездочкой. Светлый квадрат с диагоналями S обозначает конец доказательства теоретического утверждения. Материал, отмеченный треугольником А, предназначен тем, кто серьезно интересуется математикой, он не является обязательным для изучения. Особенности теории, на которые надо обратить внимание, отмечены восклицательным знаком Весы нарисованы там, где есть возможность сравнить варианты решения или доказательства. Пояснения к преобразованиям заключаются между двумя вертикальными стрелками | ^ t или | направление стрелок показывает, какое именно преобразование поясняется. При записи решения в тетради эти пояснения указывать не нужно. Материал для повторения отмечен знаком Исторические сведения, которые встречаются в книге, выделены знаком А Под знаком после каждого пункта теории предложены вопросы и задания. Они помогут повторить новый материал и выделить в нем главное. Правообладатель Народная асвета Глава 1 Степень с рациональным показателем. Степенная функция о 1.1. Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем. Для любого действительного числа а полагаем а1 = а; an = aa...a (n > 2, n e N). n Для любого действительного числа а ф 0 полагаем а0 = 1; = J_ (n > 1, n e N). Свойства действий над степенями с целыми показателями сформулированы в следующей теореме. Теорема 1. Для любых значений а ф 0 и b ф 0 при любых целых l и m верны равенства: (1) а1 • ат = а1+т; а1 = al - m . am ~ . (al)m = alm; (ab)m = ambm; (2) (3) (4) (5) Сформулируем также теорему о возведении в степень обеих частей неравенства. Теорема 2. Пусть а и b натуральное число. Тогда: 1) если a < b, то an < bn; 2) если an < bn, то a < b. неотрицательные числа, n Правообладатель Народная асвета - n a a m a m b 5 Доказательство. 1) Это свойство было доказано в учебном пособии 8-го класса. 2) Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что неравенство a < b неверное. Тогда верно одно из двух соотношений: a = b или a > b. Если a = b, то an = bn. Это противоречит условию. Если a > b, то согласно первой части этой теоремы a'n > b"'. Опять получили противоречие с условием. Значит, a < b. 0 Пример 1. Сравнить числа V79 и 9. Решение. Поскольку 9 = ^/8T и верно неравенство 79 < 81, т. е. {479)2<{48л)2, то по теореме 2 будет верным и неравенство 479 <48а, т. е. 479 < 9. Ответ: 479 < 9. Пр имер 2. Известно, что т2 > k. Верно ли неравенство m > k2? Решение. Если k > 0, то из верного неравенства т2 > k следует, что верно и неравенство т4 > k2. Если k < 0, то гарантировать, что, когда верно неравенство т2 > k, будет верным и неравенство т4 > k2, нельзя. Например, неравенство 22 > -5 верное, а неравенство 24 > (-5)2 неверное. Следствие. Пусть a и b — числа одного знака, n — натуральное число. Тогда, если an = bn, то a = b. Доказательство. Проведем его методом от противного. Допустим, что a Ф b, например a < b. Если a и b — положительные числа, то согласно теореме 2 верно неравенство an < bn. Получили противоречие с условием. Значит, a = b. Если a и b — отрицательные числа, то -a и -b — положительные числа, и если (-a)n = (-b)n, то, как только что было доказано, -a = -b, а значит, a = b. 0 Заметим, что при использовании этого следствия необходимо проверять совпадение знаков a и b при четном n, а при нечетном n такой необходимости нет. Правообладатель Народная асвета 6 Пр имер 3. Верно ли, что a = b, если: а) а4 = b4; б) а5 = b5? Решение. а) Верно, если а и b — числа одного знака, и неверно, если они разных знаков. Например, 24 = (-2)4 — верное числовое равенство, но равенство 2 = -2 — неверное. б) Поскольку число и его нечетная степень всегда имеют один и 55 тот же знак, то из того, что а = b — верное числовое равенство, следует равенство чисел а и b. Пример 4. Выполнить действия: а) 28^ . 2т + 1 : 22m - 9; б) (2х3 • x-5y)‘4. Решение. а ) 28m , 2^ + 1 : 22m - 9 = 28m + (m + 1) - (2m - 9) = 28m + m + 1 - 2m + 9 = 2^m + 10 б) (2x3 • x-5y)4 = (2x3+(-5)y)4 = (2x-2y)4 = 16x-8y4. 1.1° 1.2° 1. Как определяется n-я степень числа а, если: а) n = 1; б) n е N, n > 1? 2. Как определяется степень: а) а-п (а Ф 0, n е N); б) а0 (а Ф 0)? 3. Сформулируйте теорему о свойствах действий над степенями с целыми показателями: а) об умножении степеней с одинаковыми основаниями; б) о делении степеней с одинаковыми основаниями; в) о возведении степени в степень; г) о возведении в степень произведения; д) о возведении в степень частного (дроби). Упражнения Вычислите: 1) 23 + (-3)3 - (-2)2 + (-1)7; 2) (-7)2 - 34 - (-4)3 - (-1)2; 3) 13 • 23 - 9 • 23 + 15 • 23 - (-2)3 - 5(-2)3 + 6(-2)3; 4) 8 • 32 - 7 • 32 - 10 • 32 - (-3)2 + 6(-3)4 + 5(-3)3. Сравните число с нулем: 1) 210; 2) (--1 )0; 3) -(-16)0 4) -100 Правообладатель Народная асвета 5) (-8)0 6) -130 7) (-2)0 8) Представьте в виде степени произведение (1.3—1.4). 1.3° 1.4° 1.5° 1) 6 • 62 • 65; 3) (-5)4(-5)16(-5); 5) 23" • 26n • 2n • 16; 1) a8a4a; 3) (-m)2(-m)3(-m)4; 5) (4y)8(4y)3(4y)5; 2) 0,43 • 0,45 • 0,4; 4) (-3)8(-3)6(-3)2; 6) 38m . 35m . 81. 2) a4aa5; 4) (-m)9(-m)2(-m)"; 6) (6/)2(6/)3(6/)4(6/)5. Представьте степень в виде произведения двух степеней с одинаковыми основаниями: 3) а5; 7) 133a; 11) (-Р)20; 1) 48; 5) 43 + ^; 9) (7Р)19; 2) 157; 6) 7b + ‘; 10) (3Р)13; 4) b6; 8) 102a; 12)(-^)". 1.6°. Представьте в виде степени частное: 1) 126 : 124; 3) X40 : х2‘; 5) а8 : а; 7) 194m : 193m; 9) (-1,5)4t+2 : (-1,5)2t - ‘; 2) 38 : 35; 4) X10 : X2; 6) а5 : а; 8) 175n - 1 : 173n; 10) (-0,8)3t - 5 : (-0,8)' \2t + 1 1.7. Представьте степень в виде частного двух степеней с одинаковыми основаниями: \15 1.8° 1) 46; 2) 34; 3) (-,2) 5) at; 6) (-Х)14; Возведите степень в степень: 15 )2; 7) I ^2b ‘ 4) . 8) (-0,1с)9. 1) ((-3)7)4; 3) (51 )2 )-5; 5) ((-8)-6)-7; 7) ((-2)3)b; 2)(52) 23 \-^2 4) ((^Г 6) ((-5)-8)-2; 8) ((-3)4)p. 1.9. Определите, верно ли равенство (ответ обоснуйте): 1) ((-3)4)5 = (-34)5; 2) ((-2)8)11 = (-28)11. Правообладатель Народная асвета 7 1 1 0 2 8 Выполните действия (1.10—1.11). 1) (3x)4; 2) y)5; 3) (-7b)4; 4) (-8a)3; 5) (4x3y4)2; 6) (10x2y5)3 ‘) (ix )*; 2) (-^ )3; 3)( ^ )2; 4) (t3)2; 5)( ay )7 6)i Ув). Замените степень дробью: 1) 10-2; 2) 6-5; 3) (-4)-6; 4) (-8)-13; 5) x-20; 6) y-‘2; 7) (-2x)-9; 8) (-4y)-16; 9) (-5b)-8. Вычислите: 1) 2-3; 2) 12-2; 3) (1 ’ \2) 4) (1) ; 5) (-4)-3; 6) (-5)- 7) -(-15)-1; 8) -(-10)-2; 9) (-6)0 10) -60; 11) ((-14)2)0: 12) ((-: Л\2 1.14°. Замените дробь степенью с отрицательным показателем: 1) 43 . 1 . 2) 21 12 3) -1 5) ^ ’ 13 6) —; ’ 19’ 7) 4) (-а) 27 1000 8) —. ’ 64 Упростите выражение (1.15—1.16). 1.15. 1) (2^3X6у12 : (xy)4) • (-1^x7y10 : x6y8 ^ 2) (3(7(xy)9 : x^y^) • J-2^1 x‘^y^ : x^y^^; 3) (-xy • (oxy^)2): (-^ax^y^ :(xy2)2); 4) (-11 a®c®: (a2bc^ )2 j^-2(abc)2 • a(bc)0 j. 1.16. 1) (-5,1a* - 2b3 - kck): (1,7a2bkc2 - k); 2) (8,4a* - 3b4 - *ck) : (-2,1a3b* - 4c3 - *); 3) 4a-3^kb3 + 2^\-2 (a*" *b^ - * )-2 4) -3 (x'-*yk+')-4 Правообладатель Народная асвета 1 x 1.17. Упростите выражение: 1 2) .-2 a^2 - 2 2а~2 5 - а^^ -2 -2 -2 а 2 + 2 2a~2 а^2 + 5 и найдите его значение при а = (-0,25)2; и найдите его значение при а = (-0,5)-4. 1.18. Упростите выражение: 1) 2) ----^^ и найдите его значение, если , , Эа^2 - 2b--2 \Ь-^ а^^' = 15-1; а 2 + ЭЬ 2 2а^2 + ЭЬ и найдите его значение, если —^ = , 2 \ ^. 1 / ,-и-1 2) л/200 и 15; 4) -28 и -У780; 6) W7 и л/97; 8) i^/72 и IV50. 6 5 1.19. Сравните числа: 1) VIQ3 и 10; Э) -17 и -,/290; 5) W3 и л/74; 7) -^VSG и ^44 1.20. Известно, что а3 < Ь2. Верно ли неравенство: 1) а9 < Ь6; 2) а21 < Ь14; 3) а^3 > Ь^2; 4) а-15 > Ь-10; 5) а2 • (а3)2 ^ (Ь4)2 • (Ь3)2 , а 3 • (а 2)2 6) (а5)3 • (а7)2 ^ 6) (а6)2: а4 ^ (Ь2)3 • Ь^2 ’ (Ь3)3 • (Ь2)5 (Ь5)4 • (Ь6 )-2 • Ь-3 1.21. Известно, что а4 > Ь. Верно ли неравенство: 1) (а2)3 • а2 > (Ь3)2 : (Ь2)2; 2) (а2 • а3)2 • (а • а2)2 > (Ь • Ь5)3 : (Ь3 • Ь4)2; 3) < 4т; а8 Ь2 4) а : (а3)7 < ((Ь2)5 : Ь5)-1? 1.22. Верно ли, что m = n, если: 1) m7 = n7; 3) m 3 (-m)2 m 1 Z-5 n10n-2n-3 (-n)2 2) m26 = n26; 4) (-m) 3 • m 4 (-m) -6 (-n2)3 • n5 (-n3)4 ; Правообладатель Народная асвета 9 10 г \ -2 1 - m -3 2 - n 5) m------------г = n 3 1 - m 6) m 1 - 2n- -2 5 4 + m n? 8n 2 + 1? 1 + 4 m -1 8 + n 2 1.23. Найдите значение выражения: 1) jab-^ - g-^b)-1-2(g---2 + fc-2) ^ри ^ = 2, b = 10; (b-2 - a-2 )-1 2) a2 - a 'b - + b2 a^3 + b^3 . ^g+^^2 при a = 6, b = 2. 1.2. Корень n-й степени В 8-м классе изучались квадратные корни из действительных чисел (их называют также корнями 2-й степени). Перейдем к изучению корней степени n для произвольного натурального числа n > 2. Определение. Пусть п > 2 и п е N. Корнем n-й степени из числа a называется такое число t, n-я степень которого равна а. Таким образом, утверждение «t — корень n-й степени из а» означает, что tn = а. Корень 3-й степени называется также кубическим. Например, кубический корень из числа 125 — это число 5, так как 53 = 125. Кубический корень из числа -125 — это число -5, так как (-5)3 = -125. Корень 7-й степени из числа 128 — это число 2, так как 27 = 128. Корень 7-й степени из числа -128 — это число -2, так как (-2)7 = -128. Корень 7-й степени из числа 0 — это 0, так как 07 = 0. ш Во множестве действительных чисел существует единственный корень нечетной степени n из любого числа a. Этот корень обозначается Например, ^125 = 5, 7-128 = -2, -^0 = 0. Правообладатель Народная асвета ш _________________________________________________________11 Утверждение о существовании корня нечетной степени из любого числа мы принимаем без доказательства. Согласно определению, когда n нечетное, то при любом значении а верно равенство -\П a) = a. Например, (^92 )7 = 92, (7l23 )7 = 123, (^ -123 )7 =-123. Заметим, что 0 — это единственное число, n-я степень которого равна 0. Поэтому jr ^ 11 при любом натуральном га > 2 существует единственный I • I корень га-й степени из 0 — это число 0, т. е. VO = 0. Примерами корней четной степени могут служить квадратные корни: -7 и 7 — квадратные корни из 49, а -15 и 15 — из 225. Рассмотрим еще несколько примеров. Корни 4-й степени из числа 81 — это числа 3 и -3, так как 34 = 81 и (-3)4 = 81. Корни 6-й степени из числа 64 — это числа 2 и -2, так как 26 = 64 и (-2)6 = 64. ш Во множестве действительных чисел существует ровно два корня четной степени n из любого положительного числа а, их модули равны, а знаки противоположны. Положительный корень обозначается Например, -VsT = 3, ^64 = 2. m Утверждение о существовании корня четной степени из любого положительного числа мы принимаем без доказательства. Согласно определению, когда п четное, то при любом положительном значении а верно равенство , щ j = a. Например, (^5T)4 = 51, (^87 )4 = 87. Не существует такого числа, 4-я степень которого равна -81. Поэтому корня 4-й степени из числа -81 не существует. И вообще, поскольку не существует такого числа, четная степень которого была бы отрицательной, то Правообладатель Народная асвета 12 mi не существует корня четной степени из отрицательного числа. Определение. Неотрицательный корень n-й степени из числа a называется арифметическим корнем n-й степени из а. ш При четном n символом обозначается только арифметический корень n-й степени из числа а (при чтении записи ^а слово «арифметический» обычно пропускают). Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением. Извлечь корень n-й степени из числа а — это значит найти значение выражения ^а. Так как корня четной степени из отрицательного числа не существует, то выражение ^а при четном n и отрицательном а не имеет смысла. Например, не имеют смысла выражения ^-81 и 6-64. ш Как мы установили, при любом значении а, при котором выражение ^а имеет смысл, верно равенство (^а) = а. (1) Поэтому равенство (1) является тождеством. В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке внес усовершенствования в алгебраическую символику. В частности, знаком корня служил символ Rx (от латинского слова гай1х — корень). Так, выражение ^24 + sI3f в символике Шюке имело вид RX424pRX, 3f. Знак корня \Г в современном виде был предложен в 1525 г. чешским математиком К. Рудольфом. Его учебник алгебры переиздавался до 1615 г., и по нему учился знаменитый математик Л. Эйлер. Знак \Г еще называют радикалом. Правообладатель Народная асвета 13 Пр имер 1. Верно ли, что: а) ^(-2)^ = -2; б) = -2? Решение. а) По определению арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a (n — четное число) является неотрицательным числом, n-я степень которого равна подкоренному выражению а. Поскольку -2 < 0, то равенство ^(-2)4 = -2 неверное. Верно равенство -^(-2)4 = 2. б) По определению корень n-й степени из числа а (n — нечетное число) является числом, n-я степень которого равна подкоренному выражению а. Поскольку (-2)7= -27 — верное равенство, то равенство ^(-2)7 = -2 верное. Пример 2. Решить уравнение: а) X3 = 7; б) X4 = 5. Решение. а) Решением этого уравнения является такое значение X, 3-я степень которого равна 7, т. е. по определению кубического корня имеем: X = ^7. б) Решением этого уравнения является такое значение X, 4-я степень которого равна 5, т. е. (по определению) X — это корень 4-й степени из числа 5. Но из положительного числа 5 существуют два корня четвертой степени, которые равны по модулю и имеют противоположные знаки. Поскольку положительный корень обозначают ^5, то второй корень равен - -УБ, т. е. X = ± ^5. Ответ: а) ^7; б) ±-^5. В тетради решение уравнения б) (аналогично и а)) можно записать так: Решение: X4 = 5 « x = ±^5. Ответ: ± ^5. Пример 3. Решить уравнение: б) (^^Х)13 = X. а) (8Xj = х; Правообладатель Народная асвета 14 Решение. а) Число 8 — четное, значит, данное равенство является тождеством при х > 0, поэтому каждое неотрицательное значение X является решением (корнем) уравнения (^х f = x. б) Число 13 — нечетное, значит, данное равенство является тождеством при любом значении х, поэтому решением уравнения {13Х )13 ’ = х является любое действительное число, а R — множество всех его корней. Ответ: а) [0; +^); б) R. Пример 4. Решить уравнение Ц2 - 63х6 - 64 = 0. Решение. Обозначим х6 = t, тогда получим уравнение t2 - 63t - 64 = 0. Корни этого уравнения t1 = 64, t2 = -1. Таким образом, имеем X6 = 64 или X6 = -1, откуда X = ±2 (поясните, почему уравнение х6 = -1 не имеет корней). Ответ: ±2. 1. Какое число называется корнем n-й степени из числа а? 2. Сколько существует корней четной степени n из положительного числа а? 3. Корень какой степени существует из любого числа а? 4. Какой корень n-й степени из числа а называется арифметическим? 5. При каких значениях а верно равенство () = а, если: а) n — нечетное число; б) n — четное число? Упражнения ’. Используя определение арифметического корня n-й степени, докажите, что: 1) ^256 = 4; 2) ^01024 = 2; 3) ^729 = 3; 4) ^6561 = 3; 5) ^24096 = 2; 6) ^14 641 = 11. 1.24 Правообладатель Народная асвета 15 1.25°. Верно ли, что: 1) число -4 является корнем четвертой степени из числа 256; 2) число -0,3 является корнем четвертой степени из числа -0,0081? 1.26°. Верно ли, что: 1) 3-1728 = -12; 3) 5-16 807 = 7; 2) 3-3375 = 15; 4) 3-7776 = -6? 1.27°. Найдите арифметический квадратный корень из числа: 1) 16; 5) 0,81; 9) -36' ) 169 ; 2) 49; 6) 0,25; 10) ^; ’ 289’ 3) 0; 7) 2,25; 11) ^; ’ 100’ 4) 1; 8) 1,21; 12) ’ 256 1.28°. Найдите кубический корень из числа: 1) 1; 2) 0; 3) 343; 5) 27 ’ 6) 0,027; 7) 0,001; 4) 8; 8) 64 125 . 1.29°. Найдите арифметический корень четвертой степени из числа: 1) 0; 2) 1; 3) 16; 4) 0,0016; 5)16; 6) ^56; 7) 0,0001; 8) 0,1296. Вычислите (1.30—1.42). 1.30°. 1) 39, 316^/23^/49^У81, 3100; 2) 79,16^/0,09^/0^^/0^^0,0025^0,0001; 3) 327, ЗВ4 , 3-125 , 30,008 , 30,000216, 7-1000000; 4) 416, 7625, 710 000, 40,0081, 40,00000016, 42401; 5 ) 732, 51024, 7243, 30,03125, 3Jl00o00, 30,00001; 6 ) 764 , 3729 , 715 625, 64096, 30,046656, 71000000. 1.31°. 1) 3-1000; 2) ^^-1; 3)7-64; 4) Т-1024; 5) ; 6) 7-343; 7) ^^; 8) 7-3123; 9) 3-0,00032. Правообладатель Народная асвета 16 1.32. 1) (^-3)3; 4) (^У-ГБ j11: 1.33. 1) (3/-2гГ 2) (^-Г4)Б; 3) (V-30)7; 5) (-^6)9; 6) )15. 2) (9 -3 1.34. 1) (35)6; 2) (36,1 )12; 3) ( 9ГГ)'" 4) 5)( )2'; 6) 1.35. 1) (^/3 )10; 2) (476)“; 3) (1^77 у20; 4) (376)'2; 5) (^Яб Г; 6) (4712 У36. 1.36°. 1) ^/Г0 )2; 2) (36)3; 3) (-ЗГ2 )4; 4) -3Г23; 5) (-38)5; 6) (332 )3; 7) (-434)4; 8) (-ЗГ5)7; 9) -БЗБ^; 10) (-33 )6; 11) (-232 )9; 12) -348. 1.37°. 1) 5^2 + ^-8; 3) 12 - 6^0,125; 5) 34Гб - 43^7; 7) ^8 -^64; 1.38°. 1) л/9 W4; 3) 7о,8Г + 30,001; 5) 5 -3256; 7) 3-32 + ЗГ6; 1.39°. 1) (1 W2)(1 W2); 3) (^/3 + 4)(^/3 - 4); 5) ^/Ш W6)U6 WrC); 2) 3625 - 3-125; 4) 1 +1030,0081; 6) ^-^ W2^; 8) ЗГ6 - 364. 2 ) 336 -416; 4) 30,027 ^/0,04; 6) 7 + 38; 8) 3-27 + 38Г. 2) U/3 -2)^/3 + 2); 4) (^/5 - 2)(3УБ + 2); 6) U7 W8)^/3 ^/7). Правообладатель Народная асвета 17 1.40. 1) зД2 /244 •15 -1 2^ 382 - 232 ’ 2) J58 + 442 - 262 35 3) ; 4)^i/Z|3pf 1.41. 1) 2) 3) 4) 1.42. 1) (74a^ )7 2) iMa[ )3 1.9^:9 ()5’ 3) (2^ ()3 • (7ib7 )7 )2 • (-1^ (^la5 )5 • )"); 4) 3^7(54а^)5. (91^)9. (-2^(4а7)7 • )13 )2. Найдите естественную область определения выражения (1.43—1.44). 1.43. 1) л/х + 4; 3) 1°5х^ - 6х; 5) ^х + 3; 7) 7х^ - 4; 1.44. 1) 121 3) 8 5) 4 х - 1 2--Л . 9 - 5 х ’ 2 + х 2) 4-9 + 2х; 4) 1^8х - 4 х^ ; 6) 4х - 7; 8) 42х^ - 32. 2) 14 -4 34 - 2(8 - 6х) ’ 4) 6, 6) 8 х - 3 ’ 3 WTq , 16 - 7 х ’ 12-6х 7) 4 2(х - 2) - 5(1 - 3х) - 2 8) 28 52 - 7х + (3х - 1) • 2 ’ 3(х + 4) - 6(2 - х) + 9 Правообладатель Народная асвета 2 -х 4 х 18 1.45. Найдите длину ребра куба, если его объем равен: 1) 27 см3; 2) 64 мм3; 3) 0,125 дм3; 4) 0,216 м3. Решите уравнение (1.46 i—1.54). 1.46°. 1) X2 = 0,49; 2) X2 = 121; 3) X3 = 0,008; 4) X3 = 1000; 5) X3 = -64 000; 6) X3 = 216; 7) X4 = 0,0625; 8) X4 = -16. 1.47. 1) X3 = -27; 2) x5 = - з2; 3) X7 = -1 4) X9 = -512; 5) X3 = -0,027; 6) X11 = 0 1.48°. 1) X2 = 11; 2) X4 = 19; 3) X8 = 27; 4) X3 = 25; 5) X7 = 38; 6) X9 = -2; 7) X15 = -6; 8) X17 = 4; 9) x13 = -13. 1.49. 1) X2 = 25 600; 3) X2 + 1 = 1,0016; 5) X2 + 25 = 0; 7) X2 • 4 = 0; 9) 11 X2 - 12 = 0; ’ 3 ’ 1.50. 1) 4x3 + ^ = 0; ’ 125 ’ 3) -0,1x4 = -0,00001; 5) 1X5 + 16 = 0; 1.51. 1) X4 + V2 = 7; 3) X6 -47 = 19; 1.52. 1) (X + 1)4 = 16; 3) (2x + 1)3 = 27; 1.53. 1) X10 - 31x5 - 32 = 0; 3) X4 - 12x2 + 27 = 0; 5) X8 - 82x4 + 81 = 0; 2) X2 = 0,0196; 4) 5X2 - 20 = 0; 6) X2 + 17 = 0; 8) -6X2 = 0; 10) 1X2 - 1 = 0. 2) 8X3 + 27 = 0; 4) 16x4 - 81 = 0; 6) ^X6 - 2 = 0. 2) X5 - Va = 30; 4) X3 + л/5 = 5. 2) (x - 2)6 = 64; 4) (3x - 1)5 = 32. 2) X8 - 15x4 - 16 = 0; 4) X6 - 7X3 - 8 = 0; 6) X4 + 2X2 - 15 = 0. Правообладатель Народная асвета 19 1.54. 1)° ()6 = х; 2)° )10 = = X; 3)° (3XX )3 = х; 4)° ()5 = х; 5) (4X -1 = X -1; 6) )12 = 7) (У= 8) X - 2 Г= X - 2 1.3. Тождества с корнями, содержащие одну переменную Корни n-й степени определяются только для натурального числа n > 2. Поэтому в формулировках теорем о свойствах корня n-й степени это условие обычно опускается. Теорема 1. Пусть n — нечетное число. Тогда при любом значении а верны равенства: nan = a, I-a = a. (1) (2) Доказательство. Равенства (1) и (2), как и другие равенства в теоремах этого пункта, очевидно, верны при а = 0. Поэтому доказательства проводятся для а Ф 0. Рассмотрим равенство (1). Возведя его левую и правую части в n- ю степень, получим n Согласно тождеству (1) из п. 1.2 это верное числовое равенство при любом значении а Ф 0. По следствию из п. 1.1 верно и равенство Равенство (2) доказывается аналогично: устанавливается, что n-е степени его левой и правой частей равны, и на основании следствия из п. 1.1 делается вывод об истинности равенства (2) при любом значении а. Аналогичными рассуждениями можно обосновать и остальные равенства в теоремах этого пункта. Заметим, что каждое из этих равенств является тождеством, поскольку оно обращается в верное числовое равенство при любом значении переменной, при котором входящие в это равенство выражения имеют смысл. Правообладатель Народная асвета 1 20 Теорема 2. Пусть n — четное число. Тогда при любом значении а верно равенство (3) Теорема 3. Пусть n и k — натуральные числа. Тогда при любом неотрицательном значении а верны равенства: a = nkak = nnka. (4) (5) Заметим, что, когда оба числа n и k нечетные, равенства (4) и (5) верны для любых значений а, а не только для неотрицательных. [г щ I Равенство (5) означает, что при извлечении корня из I Ф I корня подкоренное выражение остается прежним, а показатели корней перемножаются. Теорема 4. Пусть k — целое число. Тогда при любом положительном значении а верно равенство fa )k= (6) Пример 1. Найти значение при: а) b = -1; б) b = 2. Решение. а) = |b^ = |(-1)^ = | -1 = 1. б) ^tf2 = \b^ = |2^ = 8. Ответ: а) 1; б) 8. Пример 2. Сравнить числа и -^2. Решение. = °2^; ^2 = 4 = ^^В. Поскольку верно неравенство 12 > 8, то будет верным и неравенство > °^8. Следовательно, ^2/3 > -^2. Ответ: ^2/3 > ^2. Пример 3. Решить уравнение: а) = -2; б) 5x + 7 = 3. Правообладатель Народная асвета 21 Решение. а) По определению корня n-й степени имеем, что данное уравнение равносильно уравнению х = (-2)3, т. е. х = -8. б) х + 7 = 35, откуда х = 243 - 7, т. е. х = 236. Ответ: а) -8; б) 236. Пример 4. Решить уравнение ^х - 9^х + 14 = 0. Решение. Обозначим ^х = t, тогда ^х = ^х^ = (^х f = , и получим уравнение t2 - 9t + 14 = 0. Корни этого уравнения t1 = 2, t2 = 7. Таким образом, имеем: ^х = 2 или ^х = 7. Решив эти уравнения, найдем: х = 26 или х = 76, т. е. х = 64 или х = 117 649. Ответ: 64; 117 649. 1. Сформулируйте теорему о тождествах с корнями нечетной степени. 2. Сформулируйте теорему о тождествах с корнями четной степени. 3. Сформулируйте теорему: а) об умножении показателя корня на натуральное число k > 1; б) об извлечении корня из корня; в) о возведении корня в степень k. 4*. Докажите каждое из тождеств (1)—(6). Упражн ения Извлеките корень (1.55- -1.58). 1.55°. 1) Vm^, m > 0; 2) y/y^, y < 0; 3) \fm2, m < 0; 4) •Jy7, y > 0; 5) 0,Wt^, t > 0; 6) -^y/h3, h > 0; 7) t < 0; 8) - :^y/9^, h < 0 1.56°. 1) ^a3; 2) ; 3) ^32t® ; 4) 5) 6) 2f- Правообладатель Народная асвета 22 1.57°. 1) 4о4 , a < 0; 2) 6a® , a > 0; 3) b > 0; 4) ^^b*^, b < 0. 1.58°. 1) 4a2; 2) 416a^ ; 3) ^/^ 4) 40,36a^; 5) 4a2; 6) 4a6; 7) 4(a - b)2 ; 8) 4(a - b)4 . 1.59. Пусть t e |-25; - 9; - 5^3; 0; 532; 9; 2^. значения t найдите значение выражения: 1) 44t^; 2)2 - ^t6; 3) -6 • 4t^; 4) -1. 1.60. Вычислите: 1)V(-2)^ ^/(-3)^; 2)V(-5)^ W42; 3) ^(-8)4 + 4П3 ^(-2)6 ; 4) ^(-3)8 W6^ - 44^. 1.61. Найдите значение выражения: 1) 7(-4-1 )7 -(2^5)-5 : ^0^ + 4(“0,2)6 • 4(-1,4)9); 2) (-10^2 )12 :^({fj8 : (40^ + 4(-0,3)7 • 1^(1,6)'°). 1.62. Упростите выражение: 1) \la^ + 2ax + ; 2) - 4xy + 4; 3) 49 + - 6m; 4) ^[p2^'2Ъ + ~[0p. 1.63. Упростите выражение: 1) 4(x + 1)4 , если: а) x < -1; б) x > -1; 2) 4(x - 2)8 , если: а) x > 2; б) x < 2. 1.64. Верно ли, что: 1) t + 5 - 10(t - 5)10 = 2t при t < 5; 2) 6t - 3 - 1^(3 - 6t)12 = 0 при t > i? 1.65. Решите уравнение: 1) 4x^ = 5; 2) 4x4 = 1,5; Правообладатель Народная асвета 23 3) vx^ = -3; 5) 5(x - 4)5 =-1; 7) + 6 = 0; 1.66°. Вычислите: 1) ^36^; 4) 822 54 ; 7) i(W; 4) yjx^ = -7; 6) ^(2 + x)3 = 6; 8) ^x6 + 1 = 0. 2) 1^642; 5) 1^2^; 8) ^a1^. 3) ^(i)2; 6) 4(-3)12; Упростите выражение (1.67—1.68). 1.67°. 1) 4x^ ; 2) a® ; 3) 8a^ ; 4) ^n3; 5) 64m^; 6) ^27x^y'2 7) 4625m®; 8) J243a15b1° . 8)5 ^2m5 ; 9) J64a3b'2 ) 3 125 c21 . 1.68. 1)6 6У7 - 2)3; 2) 6(1 ^/2)2 ? 3) 6^/3 -У5)3; 4) Us - 4)2 5 5) 6Us - 2)4; 6) 6(1 ^/2 )2 1.69°. Вычислите: 1) ^Ig^; 2) ^a12; 3) 6(-4)24; 4) 6(-2,5)12; 5) 4(-0,5)12; 6) 4(-0,8)16 ; 7) ; 8)4 (-iI )"; 9)!4(-i^. 1.70. Упростите выражение: 1) V^B; 4) 6^^; 2) V^S; 5) ^75; 3) 4ViO; 6) 66-243 ; 7) Ui^; 10) б^Ж; 8) ^/49; 11) \/Ж2; 9) ^/63; 12) 666613. 1.71. Вычислите: 1) V^64; 2) ^УТ29; 3) VV256; 4) ^1024 Правообладатель Народная асвета 24 1.72. Сравните числа: 1) ^5 и ^24; 2) 6^ и 3) 44 и б8; 4) 64 и 98; 5) 19б и ^292; 6) 3I2J7 и 98. 1.73. Как надо изменить длину ребра куба объемом 3 м3, чтобы получился куб объемом, равным: 1) 6 м3; 2) 9 м3; 3)15 м3; 4) 27 м3? Решите уравнение (1.74—1.75). 1.74°. 1) 94 = -2; 2) 94 = 2; 4) + 4 = 0; 5) 9у - 1 = -2; 3) 4х = 3; 6)99 + 3 = 4. 1.75. 1) 94 - 594 = 0; 3) 94 - 594 + 6 = 0; 5) 94 - 3194 + 2 = 0; 2) 94 + 494 = 0; 4) 94 + 394 - 4 = 0; 6) 94 + 3194 - 10 = 0. 1.4. Действия с корнями нечетной степени Теорема. Пусть п > 1 — нечетное число. Тогда: 1) при любых значениях а и b верно равенство 9а9ь = 9аЬ; 2) при любых значениях а и b Ф 0 верно равенство Пъ \ b 3) при любых значениях а и b верно равенство 9anb = a9b. (1) (2) (3) А Доказательство. Легко убедиться, что выражения, входящие в равенства (1)—(3), имеют смысл. Эти равенства, очевидно, верны при а = 0, а равенства (1) и (3) — и при b = 0. Поэтому доказательства проводятся при а Ф 0 и b Ф 0. Докажем утверждение 1). Возведем левую и правую части равенства (1) в п-ю степень: Правообладатель Народная асвета 25 (nanb )n = (na)" (nb )"= аь; (^а^) = аЬ (поясните каждое равенство). Тогда (ПаПЬ У = (^аЬ) и согласно следствию из п. 1.1 имеем = ^аЬ. S Тождества (2) и (3) из утверждений 2), 3) теоремы доказываются аналогично (докажите их самостоятельно). А Утверждение 1) теоремы можно сформулировать и так: т I Пусть п> \ — нечетное число. Корень п-й степени из \ ф I произведения двух чисел равен произведению корней п-й степени из этих чисел. Такая же теорема верна при любом числе перемножаемых корней (доказывается она совершенно аналогично). Пусть п > 1 — нечетное число. Корень п-й степени из произведения нескольких чисел равен произведению корней п-й степени из этих чисел. Таким образом, при любых значениях aj, а2, ..., ak верно равенство ^«102 ... а^ = ^а!^02 ... ^02. (4) В частности, полагая в этом равенстве 01 = 02 = ... = а^ = а, получим =(=па )* (5) Утверждение 2) теоремы можно сформулировать так: ш Пусть п > 1 — нечетное число. Корень п-й степени из дроби равен частному от деления корня п-й степени из числителя на корень п-й степени из знаменателя. Преобразование выражения ^«"Ь к виду а^Ь (в утверждении 3) теоремы) называется вынесением множителя из-под знака корня нечетной степени. Преобразование выражения «"Ь к виду "а"Ь называется внесением множителя под знак корня нечетной степени. Правообладатель Народная асвета 26 Заметим, что каждое из равенств (1)—(5) является тождеством. Пример 1. Найти значение выражения ljl3 W4l • ljl3 W4l. Решение. ^13 Wil • ljl3 ^41 = ^(l3 W4l)(l3 ^41) = = ^132 - ^/4l)2 = ^169 - 4l = ^l28 = = 2. Пр имер 2. Вынести множитель из-под знака корня: а) ; б) ^ b______^ у8 у14 Решение. а) = у2 ^уг. Гб ^ ^ JЬу^ - a 7Ьу^- а б) /Нг = \ГТ-Г = 7——2— \у у цу у у \ у у Пример 3. Внести множитель под знак корня: а) 5уТ1Ш- Решение. б) -iX9. 2 ^ 7 у а) 5у112аау = у542ау = ^53 • 2ау8 = /l25 • 2ау8 = /250ау8 22 • 7 б) - 2^ = Jf_ 2^\8 /_ 7^\ = Л -25х5(-7)у3 = 5____________ б) у "Уз х9 5 (у ) i 8 х9 ) 5 у523 х9 5 X4 у2 = 5 28 4 2 X у Пример 4. Освободиться от иррациональности в знаменателе: а) ^; б) iHr; в)* — Решение. 1 = 1 • = 322 = 34 Зб + 34 ■ а) ' • 2 б) -T3L = JiL = 13 • 33 = 1333 ) 381 ^3^ • 33 3 . А в) ^ Зб + 34 Правообладатель Народная асвета 27 используем формулу а3 + 63 = (а + Ь)(а^ - аЬ + b2); домножим чис- литель и знаменатель на неполный квадрат разности выражении 3^ , ^^ Q Г~Г / Q Г"Г\2 и ■ ^6 и ^4, т. е. на выражение (^6) - -^В • -^4 + (з[А) : 51^36 - 324 + ^Гб ) (36 + ^4)(- ^б^4 + 342 5^4 (^9 - ^б + (^9 - ^^б + 10 2 1. Сформулируйте теорему о корне нечетной степени из произведения двух чисел. 2. Сформулируйте теорему о корне нечетной степени п из произведения апЬ. 3. Сформулируйте теорему о корне нечетной степени из дроби. 4. Какое преобразование называется: а) вынесением множителя из-под знака корня нечетной степени; б) внесением множителя под знак корня нечетной степени? 5*. Докажите каждое из тождеств (1)—(5). Упражнения 1.76. Вычислите: 1) ^2^500; 3) ^3^9; 5) 3^Э6^-6; 7) 3Г08^50^40; 9) 5^7^36^256. Упростите выражение (1.77—1.78). 1.77. 1) ^10 + ^/Г7 ^10 - ^/Г7; 2) ^12 + W5 ^12 - W5 ; 3) ^7 W22 ^7 W22 ; 4) ^17 ^/46 ^17 W46. 2) ^45^; 4) ^-84^565-126; 6) J-IJI- ) 3 9 V3; 8) ^343^98516; Правообладатель Народная асвета 28 1.78. 1) 1 (23Г35 - 535 -10^40)325; 2) 4(39 - 73т2 + 631125)3^1; 3) ^4 {6зЦ -5318+9з1И) 4) 1 (б34 - 3332 + 1,8^ /500 \3f 27 Найдите значение выражения (1.79—1.80). 1.79. 1) 31б : 32; 3) i(8T. 3) 3з . 5) 2з/1 : iaf3^; ’ V 5 и 625 1.80. 1) (З1 - 316) : 32; 2) ^-0,1 • ^0,08; 4) 5-128, 4) 3=4 ; 6) 3 3384 : 3af^. 2 V16 2) (3729 + ) :ЗЭ; 3) (334 + 63-32 -153-108 4) (33^ - 73-18 + 4а|^ -^) :23/2. Упростите выражение (1.81 —1.83). 1.81. 1) ^ .3/331 a ' Л .. Л \ 4 8а . 2) 53/^а334а5 255X2 ’ ''9 ■0333331.0155 *3 а 63 8 ^а3 3) — J-30._1_3 3- ) а23 X2 а2 X3V а4 4) 33Jb34 аа 5) 6) ^(2633 ("Si)-'372 n® 7) аЗО^Ь3ab^30^30b4a з!3- 8) Ьз/—а^ЗО^ЬЗаЬЗО^Ь7ЗО^Ь7 V Ь Правообладатель Народная асвета 29 1.82. ; 2) ^io2 : ^20^; 3) ^Bio2 : ^-2a; 4) 5-27a^ : ^-ja3; 5)^^ :f8 8 81a3 6)^- 25 : J8a o2 : ■ 1.83. 1) (^2ab3-m^ - m^—b j : 3-bm; 2) (^n^m+ m) : ; 3) (3a2 - 3b2)(3a + 3b"); 4) (^a^b - 232ab2 + b^4)(- 32b). 1.84. Выполните действия: 1)(332 )2; 2)( 3a2 )3; 3)(-23—2)5; 4) (-23-2)4; 5) (ЗЛх2)2; 6) (-a)4; 7) (ax^323^2^; 8) ) . 1.85. В прямоугольном треугольнике ABC (Z C = 90°) найдите длину высоты CD, если: 1) AD = 34, BD = 316; 2) AD = 38, BD = 716. Вынесите множитель из-под знака корня (1.86—1.87). 1) З375; 2 ) 324; 3) 3 - -54; 4) 3-686; 5) 3-96; 6) 5300 000; 7) 5-972; 8) 7-384. 1) Зх^Ь; 2) ^16x23 ’a® ; 3) 3:12^ 4) |354х^; 5) 38L^6^^; 6) a 5I 243x1037 6) х 5 1024a15 7)3 m^3 -1; 8) b . x10 ; 9) ^3^- i^. Правообладатель Народная асвета 30 1.88. Внесите множитель под знак корня: 1) 2X\j3oX ’ 2) 4Xy’ 3) ^ 4)2ш“ n^ 2Шn’ 5) -^32W’ 6) -^ 7) 3а3 - а4 ’ 7) а ’ 8) 3ш5+1 Освободитесь от иррациональности в знаменателе (1.89—1.91). 1.89. 1)з1г; 5) 1.9°. 1) Ifb ^ 2) 6) I8' 3) 3-3 ’ 4) ^=2’ 4) t4 -1 3з6’ 2) 5) 3 2 ^ш2 2 - X 1.91*. 1) k 3 k2 + Щк + Г 3(2 - X) 2) 7\ 1^ Я\ 24 7) ^Тб’ 8) ^зГ. 3) 6) 4+X . 5(4 + X)4 ' - 2^к + 4 ’ 3) -т^—; 3ш2 - 3 5) 7) 4) ш ; ) 3Ш + 5’ 15 ^4 + + ^9 ^ 1 6) 8) 18 - 320 + ^le ’ 1 4^4 - 832 + 1^ 939 + 33 • 33 + 81 Решите уравнение (1.92—1.93). 1.92°. 1) 34X + 1 = -4’ 3) 53 - 3X = 1’ 5) 66 + X = -2’ 7) 3x" + 14X -16 = -4’ 2) 32X + 3 = -3’ 4) 32X + 13 = 2’ 6) 83X - 2 = -1’ 8) З4X - 50 + X^ = 3. 1.93. 1) 35X + 1 = З2 X +10’ 3) 33X + 2 = 32X - 5 ’ 5) 33X + 8 = 3X^ - 2 ’ 2) 34 + X = 32X + 12 ’ 4) 37X + 1 = 23X + 4 ’ 6) 3X + 2 • 34X - 5 = 3-3. Правообладатель Народная асвета ш k 31 1.5. Действия с корнями четной степени Теорема. Пусть п — четное число. Тогда: 1) при любых неотрицательных значениях а и b верно равенство = ^аЬ; (1) 2) при любых неотрицательных значениях а и положительных значениях b верно равенство ^ ■ <2) 3) при любых значениях а и неотрицательных значениях b верно равенство 40^ = \^Пь. (3) А Доказательство. Легко убедиться, что выражения, входящие в равенства (1)—(3), имеют смысл. Эти равенства, очевидно, верны при а = 0, а равенства (1) и (3) — и при b = 0. Поэтому доказательства проводятся при а > 0 и b > 0. Докажем утверждение 3). При любых значениях а и значениях b > 0 числа na"b и |а|^Ъ неотрицательные (объясните почему). Возведя левую и правую части равенства (3) в п-ю степень, получим anb = I а n b. Это верное числовое равенство, поскольку п — четное число, и поэтому an = |а|”. Согласно следствию из п. 1.1 верно и равенство = |а|пЪ. S Утверждения 1), 2) доказываются аналогично. Докажите равенства (1) и (2) самостоятельно. А Утверждение 1) теоремы можно сформулировать и так: Пусть п — четное число. Корень п-й степени из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней п-й степени из этих чисел. Такая же теорема верна при любом числе перемножаемых корней. Правообладатель Народная асвета 32 Пусть п — четное число. Корень п-й степени из произведения нескольких неотрицательных чисел равен произведению корней п-й степени из этих чисел. Таким образом, для любых неотрицательных чисел а^, а2, ..., ak верно равенство nai02 ... ak = ... ^a^. (4) В частности, полагая в этом тождестве ai = а2 = ... = ak = а, получим 40^ = (5) Утверждение 2) теоремы можно сформулировать и так: ш Пусть п — четное число. Корень п-й степени из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления корня п-й степени из числителя на корень п-й степени из знаменателя. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству равенства (3). Преобразование выражения na1b к виду |a \4ь ( в утверждении 3) теоремы) называется вынесением множителя из-под знака корня четной степени. Преобразование выражения |a|Vb к виду называется внесением множителя под знак корня четной степени. Заметим, что каждое из равенств (1)—(5), рассматриваемых в этом пункте, является тождеством. Пример 1. Вынести множитель из-под знака корня: а) б) el256] в) 4 8 64 n' „12 Решение. а) sjmx14 = I б) 6^ = .6 ^12 У 61^ = У У2 У Правообладатель Народная асвета У 33 в) 4 = ^2®«8 „12 „12 2n2 42^ = Пр имер 2. Преобразовать в произведение корней выражение \fab при а < 0 и b < 0. Решение. -Jab = = -J-^J—b. tr - t Можно было бы, например, записать и так: ^JOb ^l(-2a)(-b2) W-2aJ-2b. Или так: '^ab ^Pf^\Fi^b и т. д. Пример 3. Внести множитель под знак корня: а) р^7 при р < 0; б) p^7 при р > 0. Решение. а) Так как р < 0, то p< 0, значит, p= -(-p)688 = -6j(-p)® . 7 = -6^. б) Так как р > 0, то p®7 > 0, значит, p ti = 6iTp6. Пр имер 4. Упростить выражение: а) ^7 -4333 • ^7 W33 ; б)* ^17 -1^/2, Решение. а) ^7^/з3 • ^7 WS3 = ^(7 ^У33)(7 WS3) = 472 - ^/33 )2 = 449 - 33 = = 2, б) 417 -1^/2 = = 4((l W2 )2)2 = |l W2 I W2 -1, Пр имер 5. Упростить выражение 'i[Г2 - 3)= • Ь/2 - 3)', Решение, 10Ь/2 - 3)2 • 10^2 - 3)' = 10^2 - 3)10 Н ^ - 3 = 3 Правообладатель Народная асвета X X 34 А Пример 6. Освободиться от иррациональности в знаменателе: ^ . ..Ч 8 а) ■ , , f/Г^з Решение. а) б) ^500 -^ 1 ^/7 W3 _ _ = р7 W3 = ЖЖЖЖ • ^77w3 ^4 = ^l7 W3 = V2 • $l7 W3 = ^4^/7 W3) V2 чЯ72 2 8 8 8 б) 65oo - 32 ^5^T00 - 32 ^5. ^lO2-32 32(35 • ^5^-1) 8^/5 + T) = 2^/5 + T) = 2^У5 + T). 322 = ^ + T4 ^ 32^/5 - l)^5 + l) 32 32 • 322 Пример 7. Решить уравнение: а) ^2X - 7 = -1; б) 44x + 19 = 2. Решение. а) Уравнение 42x - 7 =-1 не имеет решений, так как арифметический корень четной степени не может быть отрицательным числом. б) По определению арифметического корня четвертой степени получим, что уравнение 44x +19 = 2 равносильно уравнению 4х + 19 = 24, откуда х = -0,75. Ответ: а) решений нет; б) -0,75. 1. Сформулируйте теорему о корне четной степени из произведения двух неотрицательных чисел (нескольких неотрицательных чисел). 2. Сформулируйте теорему о корне четной степени п из произведения апЬ. 3. Сформулируйте теорему о корне четной степени из дроби с не- отрицательным числителем и положительным знаменателем. 4. Какое преобразование называется: а) вынесением множителя из-под знака корня четной степени; б) внесением множителя под знак корня четной степени? 5*. Докажите каждое из тождеств (1)—(5). Правообладатель Народная асвета 35 Упражнения Найдите значение выражения (1.94—1.95). 1.94°. 1) ,J4 • 81; 2) ^36 • 625; 4) ,yi8 • 32; 5) 4J16 • 625; 7) ^48^27; 8) ^3^3 • Ь2. 1.95°. 1) ,^25 • 16 • 100; 2) ^64 • 81 • 225; 3) ^256 • 0,0016 • 625; 4) ^И4 • 38; 5) ,^1,54 • 48 • 0,014; 1.96°. Упростите выражение: 1) Va^; 2) V7^; 4) ^6^; 5) х/25а^ 7) 412966^; 8) 664с'2 10) 4а'®; 3) V75^27; 6) ^16 • 0,0001; 6) \0 (4) 3) 6) V49 X : Т2" 11) 481x®у'2 ; 1.97. Упростите выражение (т е Z): 1) ^6-L а' с*m ; 2) ^1ii а *- 3)4lFm‘ 9) 12) ^729X®y'2 . /16 8 —^ 16 . ' - а b ; 81 ’ Вынесите множитель из-под знака корня (1.98—1.99). 4) 44/Ц1 а'2b®- 1.98°. 1) VS; 4) л/^; 7) 61458; 2) б48; 5) 6243; 8) 6320; 3) 6175; 6) 41250; 9) ,P°; ' V49 10) -/Тй,; 11) ' '' 120 12) 4l1§. 1) 4X3; 2) бах® ; 4) ^^l6; 5) 16^iг. 7) 3 4 32а5Ь6 . ^ 4а 4243 X4у7’ 8) 68^ 3) ,4 ^; 81 6) ^432X5у8; Правообладатель Народная асвета 36 1.100°. Внесите множитель под знак корня: 1) ^/5; 2) ^/6; 3) 2^^; 5) 2a 0; 6) 2 xy у2 7) 8) ab 4) ;3^6; где у > 0; n10 1.101. Вынесите множитель из-под знака корня: I) 4-i^; 2) 3) 4Ш^П^; 4) 5) \/l6m2n, где т < 0; 6) VS4m2n3 , где т > 0; 7) Vm^n*^, где n > 0; 8) ^Slm®n^ , где n < 0; 9) Vm^n^; 10) ^m°n®; II) 4m6n8 , где m < 0; 12) 'jm^n2t, где m > 0, n < 0. 1.102*. Внесите множитель под знак корня: 1) m л/5, где т < 0; 2) щ/-m; 3) m4m - 2; 4) m4n, где m < 0; 5) m45, где m < 0; 6) m43, где m > 0; 7) (m + 4)44/—i--; 8) (m - 4X/-^2-• 1.103°. Вычислите: 1) 494; 2) 1^27^; 3) 416^; 4) 41,694; 5) 1^12964; 6) ; 7)1^(^;7)^; 8)^(^8-f; 9)84( 10000 \2 256 / 1.104. Выполните действия: 1) {\2 -T 2) (4 3) i\6l 4)( i 11 2 4 X у 16 a2b3 1.105*. Найдите значение выражения: 1) 49 ^/65 • 49 W65; 2) x/a^/s ^3 WS ; Правообладатель Народная асвета 37 3) Vl0 - 2421; 4) 46—йъ ; 5) 417 + 1^/2 ; 6) ^28 -1^/3. Освободитесь от иррациональности в знаменателе (1.106—1.109). 1.106. 1) 2 ; V6 4) 7) 1.107. 1) 4) 5 6125’ 6 . 5432 ; - b ’ 2 ц2 а - b 6(а + b)5 9 2) ir; 5) ^Г2; 8) 2) 5)* 4бб4 ’ а + b 4(а + b)3 . а2 + b2 1 3) 48; 6) - 9) 3 243 ’ 3 7бзТ' 3) 2 ц2 а - b 4 а - b 6)* 4 ц4 а - b 8(а2 - 2оЬ + b2)3 1.108. 1) 1 , 1W5; 2) 3) 43 , 4) 43 - 5; 5) Ы5 , 6) 45 —Тэ; 7) 243 , 8) (46 W7 )4 1 9) 26 , 10) 2 - 43; 1.109*. 1) 33 , 2) 43 W3 + 2 ; 3) 42 , 4) 43 W3 W3’ 5) 4 , 6) 2 ^f2 ^J6 W3; 7) 1 , 8) 2 W3 + 4^; 1 We ’ 7 , б7 - 7; W2 , ч/7 Wa; 16 , ^7 W6 )4; 9 43 —72. 36 , 42-43 + 2; 47 W6 , 47 W3; 10 41о W15 W21 ’ ______1_________ 2 + 42 + 42 + 43. 1.110*. При каких значениях t верно равенство: 1) = -1; 2) ^t4 = t; 3) = |t|; 4) t^5 = ^5t^; 5) t^16 • 0,0001 = -0,2Vt4; 6) t^4 = -^it4? Правообладатель Народная асвета 1 38 1.111*. При каких значениях k верно равенство: 1) 10(k - 4)2 = 5k - 4; 2) ^(2 - 3k)4 W2 - 3k; 3) Vk - 2 ^k + 1 ^(k - 2)(k + 1); 4) Jk + 4 = 4-k - 4 ? k - 2 42 - k Решите уравнение (1.112—1.115). 1.112°. 1) V4x + 1 = 0; 2) 42x + 3 = 0; 3) ^4x + 1 = -4; 4) 42x + 3 = -3; 5) V4x + 1 = 4; 6) 42x + 3 = 3; 7) V4x^ + 5x - 2 = 2; 8) 43x - 5x^ + 23 = 3. 1.113. 1) ^x^ - 36 = 42x -1; 2) 88-5x = 8x" -16; 3) 44x + 1 ='-! x^ + 3x -1; 4) 42x + 3 = \lx^ + x - 5) V1 + '-1 x + 38 = 3; 6) ^J7 -^x + 1 = 2. 1.114. 1) 4x - 34x = 10; 2) -Jx - 4-4x = 5; 3) 42 x - 3 + 6 = 542x - 3; 4) 43x + 4 - 83x + 4 - 2 = 0. 1.115. 1) Vx + 2 W3 = 43; 2) ^|^f5 -2x = 45; 3) ^2x -1 + б46 = ^^/6; 4) \l x - 1 - 2/3 ^ л/3 - 5) Vx - 5 - 2sfT0 =s[5 ^Я; 6) - 3x =sl7 W2. 1.6. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Определение. Геометрическая прогрессия со знаменателем q, удовлетворяющим условию |q| < 1, называется бесконечно убывающей. Правообладатель Народная асвета 39 Приведем примеры бесконечно убывающих геометрических прогрессий. Пример 1. Последовательность 2 2 2 2 2 2’ 3’ 32 ’ 33 ’ ...’ 3"-1 ’... является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом bj = 2 и знаменателем q = 1. Пример 2. Последовательность -4 2 -1 - j- - 1 ^ 2^ ' (-2)" является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом b1 = -4 и знаменателем q = -■- (здесь к1 = |--I 6. _2_ 2 < 0,01 и 2 35 243 3" -1 Изобразим 6 первых членов геометрической прогрессии из примера 2 на координатной прямой (рис. 2). —I--3 —н -2 h h h + + -4 -1 Рис. 2 -1 01 4 8 И в этом примере мы видим, что чем больше номер члена прогрессии, тем ближе этот член к нулю, т. е. тем меньше его модуль, и с увеличением п этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа. Правообладатель Народная асвета 40 Например, если мы зададим число 0,001, то (-2)" 1 1024 < 0,001 и (-2)" < 0,001 при любом п > 13. ш Ш1 Такую же картину, как и в этих двух примерах, мы наблюдаем в любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии (b„): чем больше номер п члена прогрессии (b"), тем меньше |b„ |, и с увеличением п этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа. Это утверждение формулируется ещ^е и так: стремится к нулю при п, стремящемся к бесконеч- f II '' ности. Заметим, что если |^| < 1, то \я" \ стремится к нулю при п, стремящемся к бесконечности. Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом b1 и знаменателем q. Запишем формулу суммы первых п членов этой прогрессии и преобразуем это выражение: S" = Обозначим b1(1 - q") _ b1 - b^q" b 1 - q 1-q 1 - q 1 - q 1 • q". S = b1 1-q Тогда получим IS - S I = b1 / b1 b1 . „п \ b1 1 - q \1 - q 1 - q q ) 1 - q Так как | q | < 1, то 1 - q q стремится к нулю при п, стре- мящемся к бесконечности. Значит, | S - S" | стремится к нулю при п, стремящемся к бесконечности, т. е. чем больше число п (чем больше слагаемых в сумме S„), тем меньше разница между S и S". Поэтому число S называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Правообладатель Народная асвета 1 41 Пр имер 3. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 2 1 я) 2 — — а) 2- 3- 32- б) -4, 2, -1, Решение. h а) S = 3 n - 1 ’ 1 (-2)n б) S = 1 - q bi 1 - q 1 -1 2 3 -4 1 -,_ 1 = — = 3 2 3. 3 -4 3 “ 2 -4 • 2 = _8 = -2 — 3 3 2 3. Ответ: а) S = 3; б) S = -2 —. 1. Какая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей? 2. Как понимать утверждение «bn стремится к нулю при п, стремящемся к бесконечности»? 3. Как найти сумму бесконечно убывающей геометрической про- грессии? ? Упражнения 1.116. Докажите, что данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: 1) 1, 1, ^, ...; 3) -81, -27, -9; ...; 5) 1, -1, 1, ...; ’ 2 4 8 ’ 2) 1, 1, ^, ...; 4) -125, -25, -5, ...; 6) -1, —, - — , ... . ' Г 1^ 64’ 1.117. Является ли геометрическая прогрессия (bn) бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если: 1) b[ = 80 и b[Q = -40; 3) b5 = 30 и b4 = 15; 5) b3 = 0,01 и b8 = -10; 7) b20 = ^9 и bj9 = ^; 2) b7 = 24 и b„ = ^3; 4) b6 = -9 и b12 = -27; 6) b9 = -0,04 и bj3 = -0,64; 8) b22 = - и b21 = ^1? Правообладатель Народная асвета 42 Найдите сумму S бесконечно убывающей геометрической прогрессии (1.118—1.119). 2) 5; 1; -1; ...; 4) -8; -1; - .1; ...; 6) -1; ^;-ik; ... . 1.118. 1) 1; 1; ^; ...; 3) -49; -7; -1; ...; 5) !• -X- • ’ 3' ^ 27’ ■■■’ 1.119. 1) ^/2; л/2; ^|^; ...; 2) ; ^1; t^/!- - 3) 4) Тз +1 , 43 -1 4) V3 -1; 1; 43 +1; ... . 1.120. Найдите сумму S бесконечно убывающей геометрической прогрессии (bn), если: 1) b3 = -1’ q = ^; 3) b7 = 11Г’ q=^; 5) b1 = 43' q = S; 6) b‘ ■ ''2’ q ~ 72 . 1.121. Найдите сумму S бесконечно убывающей геометрической прогрессии (bn)’ если: 2) b5 = ^1’ q = ^; 4) b6 = - :1’ q = - ^; 6) b1 = V2’ q = - 1) bn = 3) bn = -6-1 ' n 2П -1 2) bn = 4) bn = 1 2 (-1) 3n -1 1.122. Число 150 является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии (bn). Задайте прогрессию формулой га-го члена’ если: 1) q = lГ- 2)q = -1 3) b1 = 75; 4) by = 50. 1.123*. Числовая последовательность (bn) задана рекуррентной формулой. Верно ли’ что (bn) является бесконечно убывающей геометрической прогрессией’ если: 1) bn + 1 = ^ Ьп; - 3-*Ь ' n - ^ ^ n - 3) bn - 1 = 3-1bn - 2; 2) bn = 4 Ьп-,; 4) bn - 2 = 7bn - 3? Правообладатель Народная асвета 1 43 1.124*. Найдите сумму: 1) 2+2т+ 5 52 5' ^ + А + 3 + 54 + ' 2) 3 + 1 + А ’ 7 49 1 + + 1 + . 3 243 9 1.125. 1) Дан квадрат с диагональю, равной а. Сторона квадрата является диагональю второго квадрата, сторона второго квадрата — диагональю нового квадрата и т. д. Найдите сумму площадей всех квадратов. 2) В круг, радиус которого равен R, вписан квадрат, в квадрат вписан круг, в этот круг вписан второй квадрат и т. д. Найдите сумму площадей всех кругов и сумму площадей всех квадратов. 1.7. Периодические дроби Каждое рациональное число является действительным числом, а поэтому может быть записано в виде десятичной дроби — конечной или бесконечной. Хорошо известно, как это делается, когда k — n несократимая дробь (к е Z, n е N), знаменатель которой не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5; в этом случае числитель делят на знаменатель и получают конечную десятичную дробь. Например, 1 = 0,25; -371 = 2,968; ^ = 0,0875. Применим теперь этот метод обращения обыкновенной дроби в десятичную к числу ^у. Для этого разделим 19,000... на 11: 19 11 11 1,7272... 80 77 30 22 80 77 J30 22 8 Правообладатель Народная асвета 44 Таким образом, 19 = 1,7272... . Бесконечная дробь, стоящая в правой части этого равенства, содержит периодически повторяющуюся группу цифр 72. Эта группа цифр называется периодом дроби, а сама дробь — периодической. При записи таких дробей период заключают в скобки и пишут один раз: -Ц = 1,(72). (Читается: «Одна целая семьдесят два в периоде».) Еще один пример: 19 = 0,86363... = 0,8(63). (Читается: «Нуль целых восемь десятых шестьдесят три в периоде».) Приписывая к конечной десятичной дроби бесконечно много нулей, мы получаем бесконечную десятичную дробь. Поэтому конечные десятичные дроби тоже считаются периодическими с периодом 0. (При делении двух натуральных чисел не могут получиться дроби с числом 9 в периоде, поэтому в школьном курсе алгебры их не рассматривают.) Приведенные примеры дают возможность догадаться, что Ш1 каждое рациональное число записывается в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Чтобы в этом убедиться, заметим, что для обращения обыкно- „ , -9 венной дроби YY в десятичную мы на каждом шаге остаток от деления (он был равен либо 8, либо 3) умножали на 10 и делили на --. Но при делении на -- вообще возможны лишь -- различных остатков. Значит, на каком-то шаге остаток обязательно повторится (в нашем примере это случилось на третьем шаге), и поэтому в результате деления должна получиться периодическая дробь. Ш1 Наоборот, каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число. Каждую периодическую десятичную дробь можно рассматривать либо как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, либо как сумму конечной десятичной дроби и сумму бес- Правообладатель Народная асвета 45 конечно убывающей геометрической прогрессии. Это позволяет представлять периодические десятичные дроби в виде обыкновенных дробей. Пр имер 1. Обратить в обыкновенную дробь число: а) 0,(7); б) 3,4(12). Решение. а) 0,(7) = 0,7777... = 0,7 + 0,07 + 0,007 + 0,0007 + ... = = 0,7 + 0,7 • 0,1 + 0,7 • 0,01 + 0,7 • 0,001 + ... = = 0,7 + 0,7 • 0,1 + 0,7 • 0,12 + 0,7 • 0,13 + ... . Таким образом, число 0,(7) есть S — сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (bn), где bj = 0,7, q = 0,1 ^ q| < 1j. Значит, 0,(7) = S = 0,7 0,7 0,9 1 - 0,1 б) 3,4(12) = 3,41212121212... = = 3,4 + 0,012 + 0,00012 + 0,0000012 + 0,000000012 + ... = = 3,4 + (0,012 + 0,012 • 0,01 + 0,012 • 0,012 + 0,012 • 0,013 + ...). Сумму, стоящую в скобках, обозначим буквой S. Тогда S = 0,0(12) есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом bj = 0,012 и знаменателем q = 0,01. Значит, 0,012 = 0,012 = 12 = = 990 S = 0,0(12) = 1 - 0,01 0,99 4 330 2 165 ' Таким образом, 3,4(12) = 3,4 + 0,0(12) = 3,4 + = 3 + -| + ^ = 68 = 3 + 2'33 + 2'1 = 3 + -68 = 3- , 165 165 165 Ответ: а) 0,(7) = 7; б) 3,4(12) = ^6^. г л г 9^ ^ \ г 165 Изучением периодических дробей занимался великий немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777—1855). Уже в детстве он делил единицу на все подряд простые числа р из первой тысячи. При этом Гаусс подметил, что, начиная с какого-то места, десятичные знаки начинают повторяться, т. е. получаются периодические десятичные дроби. А периоды некоторых дробей достигали нескольких со- Правообладатель Народная асвета 46 тен десятичных знаков. Рассматривая эти примеры, Гаусс установил, что число цифр в периоде всегда является делителем числа р - 1. Пример 2. Найти значение выражения: а) 3,(7) + 4,(3); 3,4(12) - 3,4(11) б) 1,(12) Решение. Обратив каждое из чисел в обыкновенную дробь (см. пример 1), получим: а) 3,(7) + 4,(3) = 37 + 43 = 710 = 81; / л / л / 9 9 9 9. 3,4(12) - 3,4(11) 3,4 + - 3,4 - -11990 990 1 + ^ 99 1 990 111 99 1 • 99 990 • 111 б) 1 1110. Ответ: а) 81; б) —1—. ’ ^ ’ 1110 1. Какое число называют рациональным? 2. Как обыкновенную дробь переводят в десятичную? 3. Что называется периодом в записи периодической десятичной дроби? 4. Как связаны периодическая десятичная дробь и бесконечно убывающая геометрическая прогрессия? 1.126° 1.127° Упражнения Найдите сотую цифру после запятой в десятичной числа: 1)^; 4) ^7; 2) ^; 3) 5) т3; 6) 4 . 9 ; 9 11' Разделите «уголком» число 1 на: 1) 9; 2) 99; 3) 999; 4) 9999; 5) 99 999; 6) 999 999. Правообладатель Народная асвета 47 1.128*. Докажите, что: 1 199...9 n раз = 0,(00...01). n - 1 раз 1.129°. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной: 1ь9; 4) ^99; 2) 5; ’ 9 ’ 3) ii; ’ 99 ’ 5) 55555 6) 444444 99999 999999 1.130. Представьте число в виде обыкновенной дроби: 1) 6,(11); 2) 3,(24); 3) 0,(423); 4) 0,(451); 5) 17,4(7); 6) 31,5(4); 7) 9,12(47); 8) 8,23(41). Выполните действия (1.131 —1.132). 1.131. 1) 0,(23) + 0,(43); 2) 2,2(7) - 0,47(2); 3) 5,0(8) - 4,1(6); 4) 0,42(6) + 0,12(3). 1.132. 1) 0,8(3) - 0,4(6) , 1,8(3) 2) (10,(6) - 5,(3)) : 3,(3); (0,(6) + 0,(3)): 0,25 , 3) 4) 0,12(3): 0,0925 ’ (1,25:0,(18) - 1,25: 0,(8)): 0,3(8) 5,(3) + 0,291(6) ' 1.133*. Докажите, что сумма (произведение, разность) двух периодических десятичных дробей также является периодической десятичной дробью. 1.8. Степень с рациональным показателем Напомним, что каждое рациональное число можно записать в виде дроби , где знаменатель n — натуральное число, а числитель к — целое число. Правообладатель Народная асвета 48 Определение. Пусть k — целое число, n — натуральное число, не равное 1. Степенью положительного чис- k ла а с рациональным показателем ^k (обозначается a’n ) называется положительный корень п-й степени из k числа а'‘. Таким образом, к ______ an = Степень с рациональным показателем определяется и для основания, равного нулю (а = 0), но только тогда, когда показатель положительный. k Для — > 0 полагаем 0n = 0. Приведем несколько примеров преобразования степеней с рациональными показателями: а) 2435 = ^2433 = ^(35)3 = ^З15 = 33 = 27; б) 2437 = ^2433 = -^31^ = ^(32)7 • 3 = 9^3; в) 243- 4 = ^243-3 = V3-15 = = 4I М э'5 V э'6 у (34)4 43 = 43 81 i 32 Выражения (-2)3, (-243)5, (-16)3 не имеют смысла, так как по определению основание степени с рациональным показателем может быть только неотрицательным. Поскольку рациональное число представимо в виде дроби неоднозначно, то возникает вопрос: не зависит ли определение степени с рациональным показателем от вида этой дроби? Например, верно ли равенство 2 -14 5 3 = 5 21? На этот вопрос отвечает следующая теорема. Правообладатель Народная асвета 3 49 Теорема 1. Для любого положительного значения a при любом натуральном l верно равенство Доказательство. Преобразуем правую часть этого равенства, используя определение степени с рациональным показателем, а также свойства степеней и корней: ^l = nak = a~n ani =^^ = nlj{ak )l Возникает вопрос: если, например, вычислить 25, пользуясь оп- ределением степени с целым показателем, и вычислить 23 , пользуясь определением степени с рациональным показателем, то получим ли мы одно и то же число? На этот вопрос отвечает следующая теорема. Теорема 2. Для любого положительного значения a при любом натуральном p > 1 и целом k верно равенство kp aP = ak. Доказательство. Преобразуем левую часть этого равенства, пользуясь определением степени с рациональным показателем, а также свойствами степеней и корней: kp a Р = 40^Р = P(ak)p = ak. S 1. Сформулируйте определение степени с рациональным показателем. 2*. Почему нельзя определить степень с рациональным показателем для отрицательного основания? Упражнения 1.134°. Запишите корни в виде степени с рациональным показателем: 1) 2) ^ ; 3) ^Ib2; 4) Правообладатель Народная асвета 50 5) 3a ^ ; 8) 5a--3b ; 11) \la^ + ; 6) 4xy^ ; 7) 4a'"b ^ ; 9) ^J(a+~b)^^; 10) ^(m - n) 12) 7a^ - b^ . 1.135°. Замените степень с рациональным показателем корнем: 1) x6, у7, (3a)3, (2b)4, 5t 2, 8d 9; 2) 2a^°’^, 4a^’®, a^°’3, a^3’6, (9 a) ^^3’3, (5 a)-1,5; 1 3 - 5 - 2 3) (m + n)5, (m^ + n^)4, (m3 + n3)4, (m + 2n) 3, -1 -i -(m + n) 2, 6(m + n) 5; 4) (c^ - d^)4,7, (c^ + d2)5,4, (c - d)-0,7, (c3 - d3)-0,9, -(c + 3d)-6-2, -(c - 2d)-7,3. 1.136°. Вычислите: 13 3 5 1 4 1) 42, 642, 814, 164, -273, -1253; 2) (2#- -(3;!-(2|7 I-3. (64)-2. (7f2 _ 1 _ 1 _1 _1 2 3) 1,44 2, 0,81 2, 0,00001 5, 0,0016 4, -0,0273, _ 1 -0,0625 4; 4) 16-0,25, 10 000-0,75, 169 1.137°. Имеет ли смысл выражение: ,-0,5 n-1,5 9- 1024' 0,6 625' 0,75 1) 74; 3 4) 04; 7) (-64) 3; Вычислите (1.138—1.141). 2) (-27)3; _ 4 5) 0 5; - 3 8) (-81) 4; 1.138°. 1) ( 25 1 2 + ( 36 2Л - 3 8 3) 21 2; -1 6) (-16) 4; 3 9) -6254 ? 2) 13(8- (if I-2; 3) 0,640,5 • 0,0273; 4) 81-0,75 : 1024 -0,6 . Правообладатель Народная асвета 12 2 5 1 2 2 3 4 2 51 1 5) 83 :2_1; 2 6) 4-1 • 83; 1 7) (-3)_2 • 814; 8) 64 3 •(i) . ’ Vg/ 1.139°. 1) ^4-(^г)-1; 2 2) 273 + 9-1; 3) 4) (2f)-2 •( 16)■ 5) (125-1 • ^Г^)-3; 6) 0,01-1 : 100-2. -0,5 2 11 1.140°. 1) 83 - 2568 + 273; 113 2) 252 - 273 + 814; 3) 16°-5 + (т1б )-0-75 - (-.1 )-6; -11 _ 3 4) 9-0'5 - 8 3 + 0,25 2; 2 11 5) °,°625-0,75 - (1 ®1)3 + 0,027 3; 6) 160-5 -(тк)-0-75Г(-,1 )-4, 1 1 1.141°. 1) 2т + 3т2n2 при m = 49, n = 16; 2) [т‘ - З5Г2 -0,^ .,0,4 4 при т = -—; 3) t^"'5 + р"'" при p = 32, t = 49; 2 4) 2(t^ - р^1)3 при р = !, t = 4. 1.142°. Верно ли, что: 1) 3,8717 = 3,8785; 3) 9,56-1,45 = 9,56-13,05; 1353 5) 7,32 11 = 7,32123; _ 396 7) 4,16 33 = 4,16-12; -_29 -174 2) 19,24 36 = 19,24 216; 4) 20,087,8 = 20,0885,8; 360 6) 5,01 5 = 5,0172; 406 8) 11,4^ 29 = U,44-14? Правообладатель Народная асвета 13 65 52 Найдите естественную область определения выражения (1.1431.147). 1.143°. 1) a2; 5) ; 9) a3; 1 1.144°. 1) (a + 1)4; _ з_ 4) (3a) 4; _ 2 7) (1 - 3a) 3 1 10) (a + 2)5; 3) a 2; - 5 7) a 2; 4 2) \fa - 2 6) a 5; 10) a-3; 11) a7 1 2) (a + 3)3; 5) (a -10)0; 3 ; 8) (2a + 6)5; 11) (a - 3)8; 4) a3; 8) a2 ; 3) (6a)5; - 3 6) (2a + 1) 2; - 2 9) (4 - 8a) 7; 12) (3a -15) 7. 15 1.145. 1) (a^ - 4) 16 21 1.146*. 1) 2) 3) (a^ - 5a)24 5) (a^ - 6a + 8) 4°; - _5_ 7) (3a^ + 4a - 4) 15 - 30 9) (6 - a - 7a^) 10 6 - 7 a + a2 15 2) (9 - a^)20; _ _6_ 4) (a^ + 2a^48; - _4_ 6) (a^ - 3a - 10) 24; -16 8) (3a^ - 8a - 3) 8 ; - .21 10) (3 -2a - 5a^) 6 . a - 1 3 - 2a - a2 a + 3 20 04 I a2 - 7a - 8 (a - 8) 122 . ) ' ° ^ ’ (a + 2)2I ’ 1 2 4) 5 - a 2 2 a2 + a - 3 a - 1 2 a + 3 + 1) 4. 1.147*. 1) (sinX - 1)4; 1 3) (1 - tgX)5; 1 5) (-2 - cosx)8; 2) (ctgX -1)3; 1 4) (-1 - cosx)6; j_ 6) (sinX - 2)10; Правообладатель Народная асвета 2 4 53 7) (-1 - sinx)6 ; 9) (2sinxcosx)i2; 8) (cosx -1)4; 10) (cos2 x - sin2 x)8, 1.148*. Сравните с единицей число: 1) (;8 )' 2) (^7 )5; 3) 77 4) (9 3 ^ - 5 1.9. Действия со степенями с рациональными показателями Для положительных оснований все действия со степенями с рациональными показателями обладают теми же свойствами, что и действия со степенями с целыми показателями. Теорема. Для любых положительных значений а и b при любых рациональных s и t верны равенства: а'^а -- = а' +t; (1) 0s = а а' -t; (2) {а )t = ast; (3) (аЬ)s = а'Ь'; (4) /.. \s -•vS (ib) а bs . (5) А Доказательство. Пусть s = p, t = k, где q e N, n e N, -7 h -7 q n p e Z, k e Z. Докажем равенство (1). Преобразуем его левую часть: P к = aq • ап = I по теореме 1 из п. 1.8 получим | np kq = а^ • а^ = I по определению степени с рациональным показателем имеем | =п^апр • п^а^^ = Правообладатель Народная асвета 54 I по теоремам из п. 1.4, 1.5 имеем | = ^?lanp • akq = I по свойству степеней с целыми показателями получим | = n^anp += I по определению степени с рациональным показателем имеем | nP + k4 np + kq p + k = a nq = anq nq = aq n = as + ‘. S Доказательство остальных равенств аналогично доказательству равенства (1). А ш Замечание 1. Согласно теореме 2 из п. 1.8 доказанные в этом пункте утверждения верны и в случае, когда одно из чисел s или t целое. Замечание 2. Равенства (1)—(5) являются тождествами, поскольку каждое из них превращается в верное числовое равенство при любых значениях переменных, при которых входящие в это равенство выражения имеют смысл. Следствие. Для любых положительных значений а и b при любом рациональном t верны равенства: a - t / и \t ^ / b ^ А Докажите эти равенства самостоятельно, используя равенства (2) и (5). А Пример 1. Найти значение выражения 2 2,5 a2 • a ’ lal4 при а = 2,25. Решение. Выполним преобразования: -1 3 • 7 ,14 „0,5 + 2,5 li = a1,5 - 3 = a-1,5. Правообладатель Народная асвета a 3 55 При a = 2,25 = = — получим ’ 100 4 a-',5 = ( 9 Ответ: —. 27 -1,5 -U3 2 = 1412 = 9/ 2 = (2 Г = J4 3' 27 ' Пример 2. Пусть а > 0, b > 0. Разложить выражение a - b на множители как разность: а) квадратов; б)* кубов; в) четвертых степеней. Решение. а) a - b = [a^ j - ^b2 j = ^a2 - b2)(a2 + b2). Аб) a - b = ^a3 j - yb3 j = ^a3 = (a3 - b3 )(a3 + (ab)3 + b3). A b3 )((a3 ^ + a3 • b3 + (b3 4^ + lb4 / 1\4 / 1\4 в) a - b = (a4 1 - (b4 1 = lla = la2 + b2 ) (a4 - b4 ) (a4 + b4 A Пример 3. Сократить дробь 1 2 25 + 5m 3 + m 3 125 - m 1 \2 - (b4 Решение. 12 12 25 + 5m 3 + m3 25 + 5m 3 + m 3 125 - m 1 2 25 + 5m 3 + m 3 53 - (m 3 1 \3 5 - m3 )( 52 + 5m3 + (m3 12 1 5 - m 3 Ответ: 1 1 5 - m 3 Пример 4. Найти значение выражения 3 -144 )(3 + 144 ) : (9 + (72 - 22 ^ Правообладатель Народная асвета 56 Решение. 3 -144 )(з + 144 ]~L i\2 9 + (72 -22 З2 - 144 1 \2 i\2 / i\2 1 1 9 + Ц72 ) + (22 ) -2• 72 • 22 9 -142 9 -142 1 1 9 + 7 + 2 - 2 • 142 18 - 2 • 142 Ответ: 1. 2 1. Сформулируйте теорему о действиях над степенями с рациональными показателями. 2. Как перемножить две степени с одинаковыми основаниями? 3. Чему равно частное двух степеней с одинаковыми основаниями? 4. Как возвести степень с рациональным показателем в рациональную степень? 5. Как возвести в рациональную степень произведение положи -тельных чисел? 6. Как возвести в рациональную степень положительную дробь? Упражнения Представьте в виде степени с рациональным показателем (1.149—1.154). 1 1 -1 1 2 1 1) a2 a3; 1 2) a 2a3; 3) a3a9; 1 Л 1 1 4) a®a3; 5) a^’^a^'a”’®; 14 1 6) a6a3a2; 3 -1 5 - i 1 7) a8a24a 3; 8) a°,8a-5a7,2; 9) a9a 18a4. 1 3 5 1 1 1 1) b2 :b2; 0 1 2) b6 :b2; 1 3) b5 :b 2; 1 2 1 4) b5 : b10; 1 5) b 3 : b^; 1 6) b°'6 : b^; 3 1 5 5 1 7) b-°,4 : b-°,8; 8) b4 : b5 : b 6; 9) b6 : b >2 : b2 1.151°. 1) ^^2 )3; - _5_ 4) (t4) >2; 2) (t3)^; 5) (t3i8; 3) (t 2)5; 6) (t^'4) 0,^-2,5 Правообладатель Народная асвета 57 _ 3 1 1.152°. 1) (t4) 4 • 3) 4 j 2 .^t 2 j 4 : t 2; 1.153. 1) la3b5)(a4b3); 3) (a12 b6 ):(a3b4 ); 2 / 1 5 1.154. 1) (a2b18 I -la-1'5b6 3) (a7b^14 • (a“-^b“-2)-2'5; I 1\ -3'5 ,3 2) It7 ) • (t-1'25)5; 4) ^t /53 2^— / — \2-6 |1^ I t18 2) (a3b”-625^^ t 2 2) (a2 b5 )(a3b4 ); 4) (a15b3):(a5b6). a 3b4 I; / 2 1\-1'^ / 5_____5\5 4) (a3b3 1 • (a6b 12 '5 Вычислите (1.155—1.158). 4 Д 1.155°. 1) 35 • 35 ; -1 - 2 3) 3 3 :9 3; 1 2 5) 102 • 100'1 • 105; 7) 2• 40'4 • V2; 9) ^9 • 3-2 • 30'5; 2 5 2) 27 • 27; 4) 5-1'3 :5-0'7 :25-0'8 1 12 -1 6) 253 • 53 • 125 9; -1 1 8) 125 3 •253 • ^5; 10) ^l6 • 2-0'6 • 21'8. 1.156°. 1) (8• 27)3; 4) (f )^; 2) 5) - ) 64 125/ 363 \i6. 1252 3) )-2; 4 \144/ ’ 6) (■ 1.157. 1)^3^)2 :Г32)0'1; 4 V24^ V243/ 2) ier 4) 4 2 -U8 ^ N 2 6 J1 r 3 64/ 2 ^ ^ 327/ ’ 6) 1253 + (у3; 2 8) 53 • 33 , 5 3 Правообладатель Народная асвета 58 9) 100'6 • 2 5 5->-4 10) -0,8 145 п-2,2 82 • 39 1.158. 1) 8 9 82 • Зэ-1 3) А)-То .( 25 \- 2 1^ У36/ 2\ -1 1 /4\-^\ 2 -1 2) 4) 813 • 349 ^33' 7-1,6 (^)-8 ■( 27)-3 ^ з-5 64- 1 \-7 11 -0,5 -16 ,1,25 1.159. Найдите х, если: 5 - 2 23 • 4 3 6б4 1) 2) 3) 4) (32)2 -1 2 9 3 •2433 39 • 3 1 ^ ^ 3/ 3243 ^ -1 1 4 2 • 163 (ЗТ6)2 V4 • X (316)' 1252 • 0,23 (З^)3 (325)3 • (X - 1) 252 ' 1.160. Представьте в виде суммы: 1) X3 (4 - X3 I; 1 /1 1 о2,5 2) X2 (2 + X2 I; 2 2/4 4 4) a3b3 \a3 - b3 I. 3) a2 b^-5 ^a2 + b2 j; Вынесите общий множитель за скобки (1.161 —1.162). 1.161°. 1) a2 + a; 7 4) a9 - a; 2 1 7) a3 - a6 ; 2) a - a3; 1 1 5) a2 + a4; 3 2 8) a5 - a5 + a; 3) a + a6 ; 1 3 6) a5 - a5 ; 2 5 9) a - a9 + a6 , Правообладатель Народная асвета 3 4 X 5 59 1 1 1.162°. 1) (ab)3 + (ac)3; 1 1 3) 12ab2 - 3a2 b; 11 11 5) 24a2 b4 + 8a4 b2; 3 5 2) (ab)4 - (ac)8 ; 15 12 4) 5a3c3 +15a6c3 ; 12 1 i 1 6) 26 a5 b - 22 a10 b3, 1.163. Докажите тождество: 1) iyO2 + b2 j iyO2 - b2 j = a - b; 2) * ^a3 + b3 j^a3 - a3b3 + b3 j = a + b; 3) * (a3 - b3 j^a3 + a3b3 + b3 j = a - b. 1.164°. Возведите в квадрат выражение: 1 1 1) 22 - 43; 3 3 3) a2 + b2; 1 1 5) 2m2 - 3n2; 2) 3 2 +9 3; 5 _ 1 4) m2 - n 4; 3 5 6) 4t2 + 5 d3. 1.165. Упростите выражение: 1)° la -b2 lla + b2 I; 3)° la2 - c 1 ll c 1 + a2 5) ^4a5 + t 4](4a5 -t 4 / 2 _ 5 w 2 _ 5 6) (3t3 + d 6 )(3t3 - d 6 7) 4a3 - ^2a3 + 3b3 j^2a3 - 3b3 j; 8) 9b5 - (3b3 - 2a3)(3b3 + 2a3); 2 /1 1\2 9) 25b5 + 16c - ^5b5 + 4c2 j ; 2 /1 1\2 10) 9a3 - 25b - 13a3 - 5b2 I . c + t4 )fc -14 2)° 4)° lb4 - d-^)(d"^ + b4 I; Правообладатель Народная асвета 1 60 1.166. Вычислите: 1) (l6- 4 - 3-2 2) (si-4 + 7-2 /1 1\2 3) (s2 - 32 +16 -0,25 - (.ir)0'25); 2 + 154 ) (2 -154 4) 52 -214 Ifs2 + 214 W7 )2. Разложите на множители, используя формулу разности квадратов (1.167—1.168). 1.167°. 1) a -121; 4) 5 -12; 1 1 1.168. 1) a2 - b2; 2) 49 - m; 5) 7 -b^; 4) 4 - n2; 2 7) X3 - 3; -1 10) x^^ - a 4 Сократите дробь (1.169—1.170). 1.169. 1) 1 1 2) a3 - b3; 1 1 5) 4a2 - 25b2; 2 8) 6 - X5; _ 1 11) m2 - n 2; 3) n2 -13; 6) (d6 -10. 3) a3 -1; 1 1 6) 0,01m6 - 0,09n2; 9) X 2 - y 4; 1 12) m - n5. 4) 7)* 1.170. 1) 3)* 1 1 4 4 m - n 2) p2 + t2 ; 3) a5 - b5 , 1 1 ; p -1 ’ 2 2 ; m 2 - n 2 a 5 - b 5 1 1 2 4 2 1 m 2 - n 2 5) a7 - 25b7 , 6) a3 - 9b2 1 1 ; 1 2 ; 1 1 m 4 + n 4 2a 7 - 10bb 4a3 +12b4 . a - ^b^ ; 8)* ^[a + b4b , 9)* 27 - a 3a - 4b ’ ■da + db ’ 1 r. . 0 .3 . . 2 1 13 a 3 b 2 - a 2 b 2 1 1 ab 2 + a 2b 2 a1,sb0,s + b2 ab0'5 - a0'56 + b1'5 2)* 4) a 1 3 - a 3 b 2 1 12’ a + a 3 b 3 + a 3 b 3 -0,5 - 2a-0,25 b-0,25 + b -0,5 a-0'5 - b-°,5 Правообладатель Народная асвета 2 61 5)* а + а0-2560-75 a°.5 + а0-25^0-25’ 6) b - a0’5b0-5 b0-75 + a0.25b0-5 Упростите выражение (1.171 —1.174). 3 3 -1 4 1.171. 1) Va2b"2 - 6a4b 3 + 9b3; -21 3 2 11 2) \la 2 - — a4b3 + — a^b 3 4 '' 3 9 1.172. 1) 3) 5) 7) 8) 1.173*. 1) a - b a - b 2) m 2 - n 2 m2 - n2 ’ 1 1 1 1 ’ 1 1 1 1 ’ a 2 - b 2 a 2 + b 2 m 4 - n 4 m 4 + n 4 4X0'5 -16 + X0'5 ’ 4) a - b a1-5 - b1-5’ X -16 X0’5 + 4’ 1 1 1 1 a 2 - b 2 a - b ’ a - b a2 - b2 ’ 6) a + b a - b 3 11 a 4 + a 2 b 4 1 1 ’ a 4 + b 4 1 1 a 3 + b 3 1 1 a 3 - b 3 1 1 a2 + b2 a + b \ab 1 ’ 1 3 1 1 ab2 + a2 a2 + b2 , / ' a2 - b2 a - b a )- 3 1 1 1 V b' ,a 2 + ab2 a2 + b2 , 1 8a + 1 1 + 4 a3 - 2 • 3a ^ / 1 2) 2 a 27------ a 3 + 9 + 3 • Wa 1+ a3 \ 1 a - a 3) -----^ I 1 + 1 4) 1.174*. 1) 2) 1 - a 3 ' a3 - 1 1 1 2 1 - a 3 1 , a + a3 1 . 1 - a 3 1 a3 + 1 1 1 \ - 2 • 3[a + 2 ■ ■2 b - a2 b 2 a +-1—T V a2 + b 2 a 2 a 0-5 11 11 a 2 b 2 + b a 2 b 2 - a a - a0-5b0-5 + b 0-5 - .0-5 a0-5 - b' a1-5 + b1-5 a0-5 - b0-5 a + b \ a 2 b 2 / 0-^0-5 . : 4a3-2 6' Правообладатель Народная асвета 62 3) 4) а1-5 + 61-5 а0-5 + b0-5 - а -.0,5,0,5 '■(а - b) + ■ 2 b 0,5 ,0,5 а0-5 + b0,5 а05 - b05 а0,5 - b05 а0,5 + b 0,5 а0,5 + 1 а + + b0,5 ’ 0,5 - 1 ,0,5 - 1 а0,5 + 1 а -1 1.10. Сравнение степеней с рациональными показателями Теорема 1. Пусть а > 1. Тогда: 1) если r — положительное рациональное число, то а' > 1; 2) если S и r — рациональные числа и s > r, то > аг. Доказательство. Докажем утверждение 1). Положительное рациональное число r можно представить в виде r = —, где k и l — натуральные числа. По условию а > 1, значит, согласно свойству степеней с натуральными показателями получим а'^ > 1k, т. е. а'^ > 1. Последнее неравенство можно переписать так: k\l \ ti [а1 j > 1l. Еще раз воспользовавшись свойством степеней с натуральными показателями, получим к_ а1 > 1, т. е. а'^ > 1. S Утверждение 2) доказывается аналогично. Теорема 2. Пусть 0 < а < 1. Тогда: 1) если r — положительное рациональное число, то аr < 1; 2) если s и r — рациональные числа и s > r, то < аr. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. Пример 1. Сравнить значения выражений: 5 4 а) ()4 " (If) б) 0,8-‘° и 0,8-6'9; ^-11 -3,7 в) (Г" " Правообладатель Народная асвета 63 Решение. а) Основание степеней (—)4 и (—)5 — число — — положительно и меньше 1, при этом показатель -5 больше показателя -4. В этом случае большему значению показателя соответствует меньшее значение степени. Поэтому имеем ^)4 <( ^ б) Для основания степеней и их показателей соответственно верны неравенства 0 < 0,8 < 1 и -10 < -6,9. В этом случае большему значению показателя соответствует меньшее значение степени. Поэтому имеем 0,8-10 > 0,8-6,9. в) Для основания степеней и их показателей соответственно верны неравенства 5 > 1 и -11 < -3,7. В этом случае большему значению показателя соответствует большее значение степени. Поэтому имеем 5 \-" <( 5 31 \3 -3,7 Пр имер 2. Сравнить k (k > 0) с единицей, если известно, что верно неравенство: 2 1 а) k7 < k7; б) kr-3’^ > k^^’1; в) k° < . Решение. а) Поскольку для показателей степеней верно неравенство -2 > 1 и по условию большему значению показателя степе - ни соответствует меньшее значение степени, то основание степени k удовлетворяет неравенству 0 < k < 1. б) Поскольку для показателей степени верно неравенство -3,4 < -2,1 и по условию большему значению показателя соответствует меньшее значение степени, то основание степени k удовлетворяет неравенству 0 < k < 1. в) Поскольку для показателей степеней верно неравенство 0 < 5,7 и по условию большему значению показателя соответствует Правообладатель Народная асвета 64 большее значение степени, то основание степени k удовлетворяет неравенству k > 1. Ответ: а) 0 < k < 1; б) 0 < k < 1; в) k > 1. 1. Сформулируйте теорему о сравнении степеней с основанием больше единицы. 2. Сформулируйте теорему о сравнении степеней с положительным основанием меньше единицы. Упражнения Сравните числа (1.175—1.180). _ 1 _1 1.175°. 1) 2 2 и 2 4 2 0,7 3) (^4)7 и 1^4) 5) 0,001-1,3 и 0,001-1,5; 1 7) )4 и (1 )0,251: 8 3 9) ()3 и (^8)8; 1.176°. 1) 0,2-7'8 и 56,4; 2 3) 1,23 и 1,20; 5 5) 1 и 0,74; 7) ^Э)3'5 и 1; 9) 2'5^g;4 и 0'4^2,5; 3 3 .3°>5 1.177. 1) 3 ^^3 и 313 • 30'5 ; 6435 ; 5 3 2) 238 и 238; 4) (3и (7)-6; 6) 0,999-2,1 и 0,999 8) (2)"'32 и (;!)”'3; 2 10) (^^L)0,8 и 0,97. ,-1,8. 13 -2,5 . 2) 86 и 0,125 3 4) 1,60 и 1,62; 4 6) 0,815 и 1; 8) 1 и ^^9; 10) 13 • и 73. ^0^. 2) (3 • ^б-2 и (1У4 • ; 2 4 3 3) (1|Г2-Сз) и(:|)-4 .(^З)9; 4) (^)-i .i52)'" и ^2|6)-3-(^З)3. Правообладатель Народная асвета 65 А А 1.178. 1) (i7)n и (^3)11; 3) (^2)3 и (3sl2)3 -1 -1 2) 0,357 3 и 0,3571 3; 2 2 4) (sl2iy7 и (^/5f7. 1.179. 1) 7(1 -1 1 1 и 7 (4 2)5(1j -1?)4 "5111 -11 1 -11) 4 6 7/ 3) fl1 -i1^ -1^))‘6 - (11 -^))2* 4) ^(>А-3# и 1.180. 1) 2/5 -1 и 6^/5; 2) 77 -1 и 9 - ^/7; 3) 4) ^ и 3 ^11 5 1.181. Расположите числа в порядке убывания: 1) ; (^ )0'2; 1 (^ 2 2) ) 3 4 ; (f)3 3) (^)5; (^)-8; (75 2 4) (4)5; ’ \3/ ’ -3 (16)- 5) 70,3; 0,3; У/5 -1)2; 6) ^/^:7; 1,7; (3 16 1 49/ 1 256 6 81 1.182. Сравните с единицей число: 10) 5; 2) (^ )-5; 3) (^ I1; -2 4 5) (I)3; 6) 7 (^ Г3; 13 44; 1 8) (п-1)3; 9) (^7)3; 'п- 3 11) [43 -1)2; 12) [45 - 2)8 Правообладатель Народная асвета 66 1.183. Зная, что 0 < m < 1, сравните: 1) m7,1 и m8-3; 2) m 0,13 и m8-18; 3) m-83,5 и m-30 ; 4) m -40 и m-51,4 5) m0,74 и m0,9 ; 6) 1 m 0,63 и m0,62 3 2 3 _4 7) m2 и m3 ; 8) m 4 и m 3; 9) m и m ; 1 г\\ -4,14 -4,04 10) m 4 и m 4 . 1.184. Зная, что a > 1, сравните: 1) a и a ®; 3) а“-2^' и a^-'^1; _1 _2 5) a 3 и a 5; 5 2 7) a2 и a5; 9) a^'^6 и a^'6; 2) a^18 и a^17,99; 4) a1,63 и a1,82; _ 7 _8 6) a 10 и a 9; _ 4 _ 5 8) a 5 и a 4; 10) a8-8 и a8-881. Сравните числа а и b, если известно, что верно неравенство (1.185—1.186). 1.185. 1) 3a > 3b; ^a / О \ b >( 12); 1.186. 1)^5)a <^/5)b; 3) ; 2) 1,4a < 1,4b; 5) (17) > (17); Шa / о \b < (-1 ; \з) ’ <(Ц .7 ) W7, 5) na < nb; 7) 21 >( 3 6) (13) 2) ^3)a >^3)*; 4)tir )a <{^t); 1 \b. 6) (r >(in 8)6(71 >u41. Сравните число m (m > 0) с единицей, если известно, что верно неравенство (1.187—1.188). 2 3 3) m5 < m5; 1 2 4) m3 > m3; 1.187. 1) m8 > m8; 7) m9 < m8’6; 2) < m8; 5) m^8 > m8; _ 1 8) m^8’8 > m 4 6) m 88 < m 10; Правообладатель Народная асвета 4 67 3 \2 1.188. 1) \m4 Vm^ < \m 5 \3 ,____ 6 ) • 3) 4) lol зГ^ m \lmsm 7 6 > бГ^^^Т \jmlm m 4 -3 5 2 53i .-i 4J3m7 15; 5— 5 -l vm ^m 6Г^8 6) VVm ЛУm ^ ..-3 m 3 ^/m l2 4— 6 -5 1.11. Степенная функция (показатель положительный) В предыдущих классах мы изучали функции у = х, у = x2, у = х3, у = \fx. Каждая из них является частным случаем функции у = xr, где r > О — постоянная. Такая функция называется степенной. Рассмотрим степенные функции с различными положительными показателями. 1. Функция у = , где r = 2k, k е N Естественная область определения 2k Г\ и выражения х — множество R всех действительных чисел. Оно и является областью определения функции у = xr, где r = 2k, k е N. Назовем свойства функции у = xr, где r = 2k, k е N. Они те же, что и у функ- 2 ции у = х , и устанавливаются так же, как свойства этой функции. Для сравнения графики функций у = х2 и у = х4 изображены на рисунке 3. Рис. 3 Правообладатель Народная асвета 4 m 3 7 3 68 Теорема (о свойствах функции у = X, где r = 2k, k е N) 1. Областью определения функции является множество R всех действительных чисел. 2. Множеством (областью) значений функции является промежуток [0; +^). 3. Значение функции, равное нулю (у = 0), является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет. 4. График функции имеет с осями координат единственную точку пересечения (0; 0) — начало координат. 5. Значение аргумента, равное нулю (х = 0), является нулем функции. 6. Функция принимает положительные значения (у > 0) на множестве (-^; 0) U (0; +^), т. е. все точки графика, кроме начала координат, лежат выше оси Ox, в I и II координатных углах. 7. Функция четная; график функции симметричен относительно оси ординат. 8. Функция убывающая на промежутке (-^; 0] и возрастающая на промежутке [0; +^). 9. Функция не является периодической. Убедитесь в справедливости этих свойств, используя схематичное изображение графика функции у = х'', где r = 2k, k е N, на рисунке 4. Замечание. Если r = 0, то функция у = xr имеет вид у = х0. Естественная область определения выражения х0 — множество (-га; 0) и (0; +^), т. е. все значения переменной х, кроме нуля (х Ф 0). На этой области определения функция у = х0 имеет постоянное значение, равное 1. Изображение графика этой функции дано на рисунке 5. 2. Функция у = , где r = 2k + 1, k е N Естественная область определения выражения x2k + 1 — множество R Правообладатель Народная асвета 69 У 1 О у = х'', г = 0 X Рис. 5 Рис. 6 всех действительных чисел. Оно и является областью определения функции У = х', где г = 2k + 1, k е N. Назовем свойства функции у = Х, где г = 2k + 1, k е N. Они те же, что и у функ- 3 ции у = х , и устанавливаются так же, как свойства этой функции. Для сравнения графики функций у = х3 и у = х5 изображены на рисунке 6. Теорема (о свойствах функции у = хг, где г = 2k + 1, k е N) 1. Областью определения функции является множество R всех действительных чисел. 2. Множеством (областью) значений функции является множество R всех действительных чисел. 3. Функция наименьшего и наибольшего значений не имеет. 4. График функции пересекает оси координат в единственной точке (0; 0) — начале координат. 5. Значение аргумента, равное нулю (х = 0), является нулем функции. 6. Функция принимает отрицательные значения (у < 0) на промежутке (-^; 0) и положительные значения (у > 0) на про- Правообладатель Народная асвета 70 межутке (0; +^), т. е. график функции расположен в I и III координатных углах. 7. Функция нечетная; график функции симметричен относительно начала координат. 8. Функция возрастающая на области определения. 9. Функция не является периодической. Убедитесь в справедливости этих свойств, используя схематичное изображение графика функции у = xr, где r = 2k + I, k e N, на рисунке 7. Пример 1. Сравнив схематичные изображения графиков функций у = xr, где r = 2k, k e N, и у = xr, где r = 2k + I, k e N (см. рис. 4, 7), указать, на каком из множеств обе функции: а) возрастают; б) имеют значения разных знаков; в) убывают; г) принимают неотрицательные значения; д) принимают положительные значения; е) принимают равные значения. Ответ: а) [0; +^); б) (-^; 0); в) нет такого промежутка; г) [0; +^); д) (0; +“); е) {0; I}. Замечание. Если r = I, то функция у = xr совпадает с функцией у = х, график которой изображен на рисунке 8. Правообладатель Народная асвета 71 Рис. 9 3. Функция у = xr, где r — рациональное нецелое число больше 1, т. е. r е Q, r г Z, r > 1 Область определения этой функции — промежуток [0; +^), т. е. эта функция рассматривается только на множестве всех неотрицательных действительных чисел. Назовем свойства этой функции. Для сравнения графики функ- 4 3 5 ций у = x3 , у = x2 и у = x2 изображены на рисунке 9. Теорема (о свойствах функции у = xr, где r е Q, r г Z, r > 1) 1. Областью определения функции является множество [0; +“). 2. Множеством (областью) значений функции является множество [0; +^). 3. Значение функции, равное нулю (у = 0), является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет. 4. График функции имеет с осями координат единственную общую точку (0; 0) — начало координат. Правообладатель Народная асвета 72 5. Значение аргумента, равное нулю (х = 0), является нулем функции. 6. Функция принимает положительные значения (у > 0) на промежутке (0; +^), т. е. график функции расположен в I координатном угле. 7. Функция не является ни четной, ни нечетной. 8. Функция возрастающая на области определения. 9. Функция не является периодической. Убедитесь в справедливости этих свойств, используя схематичное изображение графика функции у = xr, где r е Q, r г Z, r > 1, на рисунке 10. 4. Функция у = х’’, где r — рациональное положительное число меньше 1, т. е. r е Q, 0 < r < 1 Область определения этой функции — промежуток [0; +^), т. е. эта функция рассматривается только на множестве всех неотрицательных действительных чисел. 12 1 Для сравнения графики функций у = х2, у = х3, у = х5 изоб- ражены на рисунке (рис. 11). Рис. 11 Правообладатель Народная асвета 73 Свойства функции у = x, где r е Q, 0 < r < 1, те же, что и у функции у = x2. (Сформулируй- те эти свойства, пользуясь рисунком 12.) Ш Подчеркнем, что функция у = X, где r — положительное рациональное, но не натуральное число, рассматривается только на множестве всех неотрицательных действительных чисел. Пр имер 2. Изобразить (схематично) график функции: 13 а) у = x 4 ; б) у = x^"374 -1,5. Решение. а) На рисунке 13, а схематично изображен график 13 функции у = x4 . у = x б) На рисунке 13, б схематично изображен график функции 0,374 - 1,5. 1. Сформулируйте свойства функции у = xr, где r = 2k, k е N. 2. Сформулируйте свойства функции у = xr, где r = 2k + 1, k е N. 3. Сформулируйте свойства функции у = xr, где r е Q, если: а) r г Z, r > 1; б) 0 < r < 1. 4. Изобразите схематично график функции у = xr, где r е Q, если: а) r г Z, r > 1; б) 0 < r < 1. Правообладатель Народная асвета 74 1.189° 1.190° 1.191° 5. Что можно сказать об особенностях графика: а) четной функции; б) нечетной функции; в) периодической функции? 6. Что можно сказать об особенностях области определения: а) четной функции; б) нечетной функции; в) периодической функции? Упражнения Является ли степенной функция: 1) У = 3х; 2) у = (sin x)x; 4) у = (х + 3)2; 5) у = х--3; 7) у = xsin 0-5п; 8) у = (^Х)2; 3) у = х6; 6) у = п5-4; 1 9)у = ("Х)" ? Известно, что 0 < r < 1, r е Q. Сравните: 1) 0,13r и 0,17r; 2) 0,23r и 0,34r; 3) 2,78r и 3,1r; 4) 4,52r и 6,9r; 5) (2sin-|)r и (tg^J'J; 6) (ctg^lJr и (2cos Известно, что r > 1, r е Q. Сравните: 1) 0,47r и 0,51r; 2) 0,39r и 0,42r; 3) 3,14r и 4,73r; 4) 9,2r и 11,38r; 5) (cos-|)r и (tg 0)r; 6) (sin^^)r и (cos _J \r 3, 3 п ”2” 1.192. Найдите значение функции f(x) в точке х0: 5 1) f (х) = 4х3, х0 = 8; 2) f (х) = (16х)4, х0 = 16; 1 (х2 )5 3) f (х) = , х0 = 32; х 5 1 ( х5 )3 4) f (х) = ^, х0 = 4; Правообладатель Народная асвета 3 х 75 )0’5 • (x3 )5 5) f (x) = ( ^ 5Г^- ^ , Xo = 3; (x5 )°’25 • (x3 ) 3 6) f (x) = (x ) x ) , Xo = 2. 1.193. Найдите наибольшее целое значение х, принадлежащее области определения функции: 1) f (x) = (4 - x)20; 2) f (x) = (12 - x)4 ; _L 12 3) f (x) = (40 - x^ - 3x)23; 4) f (x) = (9x - x^ -14)7 . 1.194. Укажите естественную область определения выражения: '7 - 3 x у. 2 + x 1) (3x-i;x )2; 2) 3) (i92x-+5l-) ‘; 4) 8 5) ((9 - x^)(x + 2))5; 6) 3 7) ( x + 12 - x^29 . 7) 1 x2 - 9 ) ; 8) \7x+21/ 2 33 4 - 3x - x2 \i0 x2 + 4 x 1.195°. Функция задана формулой y = xn. Найдите n, если известно, что график функции проходит через точку: 1) Л(7; 49); 2) 5(13; 169); 3) С(144; 12); 4) 5(81; 9); 5) М(-64; -4); 6) ^(-216; -6); 7) 5(625; 5); 8) 5(1024; 4); 9) 7’(-243; -3). 1.196°. Укажите промежутки возрастания и убывания функции: 1) У = x9; 34 4) У = x11 13 - V 3 • 2) У = x2015; 3) У = x 9 2 5) У = x14; 6) У = x7. 1.197. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 2 f (x) = -5 x3 на промежутке: 1) [0; 8]; 2) [1; 27]; 3) [0,001; 125]; 4) [0,008; 1000]. Правообладатель Народная асвета 9 4 76 1.198. Укажите координаты точек пересечения графиков функций: 1) у = 4 X и у = x4 _______ 4 3) у = 9X + 1 и у = (х + 1)9 2) у = 7X и у = X7 ; 4) у = 9X - 2 и у = X3 1.199. Докажите, что функция/является нечетной: 1) /(X) = X5 + X7; 2) /(X) = X9 - X3; 3) /(X) = (X3 - 3X)13; 4) /(X) = (5X11 + 0,1x)99. 1.200. Докажите, что функция/является четной: 1) /(X) = X6 - 13X12; 2) /(X) = 0,7x4 + X2; 3) /(X) = (X22 - 4)10; 4) /(X) = (х66 + 8)100; 5) /(x) = ^X + X^ )0,25; 6) /(x) = ( X^ -1 + X9 j’ Изобразите (схематично) график функции (1.201 —1.205). 1.201. 1 1) у = X3; 2) у ■ = X0,3; 3) у = = X4; 8 5 4) у = X100; 5) у = X5; 6) у - = X 8. sin — cos — tg -П 1.202. 1) у = X 3; 2) у = X 4; 3) у = X 6; 5 п cos — ctg/^ sin^Sn 4) у = X 3 ; 5) у = X 3 ; 6) у = X 6 . 2 1 15 1.203. 1) у = X5 + 2; 2) у = X2 -1; 3) у = X2 - 3; 4) у = X1,2 + 1; 5) у = X9 - 2; 6) у = X20 + 3. 19 33 1.204. 1) у = (X -1)3; 2) у = (X + 1)7 ; 3) у = (х + 2)17 _5_ 22 4) у = (X - 2)26; 5) у = (X + 3)14; 6) у = (X - 3)23 1.205. 1) у = (X + 2)12 - 1; о 2) у = (X - 3)19 + 1; п 2 3) у = (X + 1)3 + 2; 4) у = (X - ■2)22 - 2; 29 35 5) у = (X + 3)7 - 3; 6) у = (X - ■1)11 + 3. 1.206. Используя изображение графика функции в каждом из упражнений 1.201 — 1.205, укажите для нее: Правообладатель Народная асвета 3 4 2 77 а) область определения; б) множество (область) значений; в) при каких значениях х значения у положительны (отрицательны); г) координаты точек пересечения графика с осями координат. 1.207*. Изобразите (схематично) график функции и укажите для нее: а) область определения; б) множество (область) значений; в) промежутки возрастания и убывания: 1 3 5 1) у = X 3; 2) у = X 13 ; 3) у = X 4 ; 18 12 24 4) у = X7; 5) у = |x - 117 ; 6) у = X + 129 31 34 7) у = x + 2 3 ; 8) у = X - 2 7 9) у = |1 - х| 10 + 2; 10) у = |3 - х|20 - 2; , ,10 , ,25 11) у = |1 + X 7 + 4; 12) у = |2 + X 9 - 4. Решите уравнение (1.208—1.210). 19 12 1.208. 1) X5 • X5 - 7X3 • X3 + 12 = 0; _1 11 _2 J_ 2) X10 • X10 - 11X10 • X10 + 30 = 0; 1 23 3) X12 • X12 - ЦX^ - 24 = 0; X 19 / 8\| 4) X13 • X13 + 4(x7 ) - 5 = 0; X _5_ 5) ^X3}4 + 3X12 • X12 + 2 = 0; / i\4"5 _1 11 6) (X9 ) + 9X17 • X17 + 18 = 0. 2 1 1.209°. 1) X3 • X3 = 5; 5 4 3) X9 • X9 = 0; 4 3 2) X7 • X7 = 4; X 4 4) X11 • X11 = -3; Правообладатель Народная асвета 78 / i\57 / 1 \72 5) (х19 j = 27; 6) (х24 ) = 64; / ^\42 7) iх17 j = 9; 8) (х21) = 100; / 1 \35 / 1\18 9) (х7) = 243; 10) (х2) = 512. 1 1) (х - 3)2 = 4; 1 2) (х + 2)3 = 3; 6 7 3) (х -1)5 =-2; 4) (х + 4)6 = -4; 5) (х2 - 2х + 1)3,5 = 1; 6) (х2 + 6х + 9)5,5 = 0; 7) (х2 - 2х + 3)0,9 = -1; 8) (х2 - 5х + 6)9,7 = -2 1.211*. Решите неравенство: 1) (х7) < 8; 3) (х5) < 9; 5) (х22) < 27; i\13 2) \х13 j < 9; 4) (х19) > 4; 6) (х34 ) > 64. 1.12. Степенная функция (показатель отрицательный) В предыдущих классах мы изучали функцию у = (или у = х^1). Эта функция является частным случаем степенной функции у = хг, где r е Z, r < 0. Рассмотрим еще несколько случаев степенной функции с отрицательным показателем. 1. Функция у = X', где r = -2k + 1, k е N Естественная область определения выражения х^2* + 1 — множество всех действительных чисел, кроме нуля, т. е. х Ф 0. Другими словами, областью определения функции у = хг, где r = -2k + 1, k е N, будет множество (-^; 0) U (0; +^). Назовем свойства функции у = хг, где r = -2k + 1, k е N. Они те же, что и у функции у = х^1, и устанавливаются так же, как свойства этой функции. Для сравнения графики функций у = х^1 и у = х^3 изображены на рисунке (рис. 14). Правообладатель Народная асвета Рис. 14 Теорема (о свойствах функции у = X, где r = -2k + 1, k е N) 1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме нуля, т. е. x Ф 0. 2. Множеством (областью) значений функции является множество всех действительных чисел, кроме нуля, т. е. у Ф 0. 3. Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет. 4. График функции не пересекает координатных осей. 5. Функция не имеет нулей. 6. Функция принимает отрицательные значения (у < 0) на промежутке (-^; 0) и принимает положительные значения (у > 0) на промежутке (0; +^); т. е. график функции расположен в I и III координатных углах. Правообладатель Народная асвета 80 7. Функция нечетная; график функции симметричен относительно начала координат. 8. Функция является убывающей на промежутке (-^; 0) и убывающей на промежутке (0; +^). 9. Функция не является периодической. В справедливости этих свойств убедитесь, используя схематичное изображение графика функции у = Х', где r = -2k + 1, k е N, на рисунке 15. ш Заметим, что утверждение функция у = Х, где r = -2k + 1, k е N, убывает на всей области определения — неверно (поясните почему). Рис. 15 2. Функция у = X', где r = -2k, k е N Естественная область определения выражения x^2k — множество всех действительных чисел, кроме нуля, т. е. х Ф 0. Другими словами, областью определения функции у = X, где r = -2k, k е N, будет множество (-^; 0) U (0; +^). Назовем свойства функции у = xr, где r= -2k, k е N. Они устанавливаются так же, как свойства функции у = х^2, т. е. у = -Х-. х Для сравнения графики функций у = х^2 и у = х^4 изображены на рисунке 16. Теорема (о свойствах функции у = хг, где r = -2k, k е N) 1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме нуля, т. е. х Ф 0. 2. Множеством (областью) значений функции является промежуток (0; +^). 3. Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет. 4. График функции не пересекает координатных осей. 5. Функция не имеет нулей. 6. Функция принимает положительные значения (у > 0) на всей области определения (-^; 0) U (0; +^), т. е. график функции расположен в I и II координатных углах. Правообладатель Народная асвета Рис. 16 7. Функция четная; график функции симметричен относительно оси ординат. 8. Функция возрастающая на промежутке (-^; 0) и убывающая на промежутке (0; +^). 9. Функция не является периодической. свойств, используя схематично бражение графика функции у = X, где r = -2k, k е N, на рисунке 17. Пр имер. Сравнив изображения графиков функций у = X, где r = -2k + 1, k е N, и у = X, где r = -2k, k е N (см. рис. 15, 17), указать, на каком из множеств обе функции: а) возрастают; б) имеют значения разных знаков; в) убывают; г) принимают положительные значения; д) принимают равные значения. Ответ: а) нет таких промежутков; б) (-^; 0); в) (0; +^); г) (0; +^); д) {!). Правообладатель Народная асвета 3. Функция y = x’’, где r — отрицательное рациональное нецелое число, т. е. r < 0, r е Q, r g Z Область определения этой функции — промежуток (0; +^), т. е. эта функция рассматривается только на множестве всех положительных действительных чисел. 2 з з Для сравнения графики функций у = x 3, у = x 4 и у = x 2 изображены на рисунке 18. Свойства функции у = х’’, где r < 0, r е Q, r g Z, те же, что и свойства функции у = х"', где n е Z, n < 0, рассматриваемой на промежутке (0; +^). (Сформулируйте эти свойства, пользуясь рисунком 19.) 1. Сформулируйте свойства функции у = xr, где r = -2k + 1, k е N. 2. Почему нельзя утверждать, что функция у = xr, где r = -2k + 1, k е N, убывает на всей области определения? 3. Сформулируйте свойства функции у = xr, где r = -2k, k е N. 4. Сформулируйте свойства функции у = xr, где r < 0, r е Q, r g Z. 5. Изобразите схематично график функции у = xr, где r е Q, если: а) r = -7; б) r = -8; в) r = -0,7; г) r = -5,4. Правообладатель Народная асвета 83 Упражнения 1.212°. Известно, что r < 0, r е Q. Сравните: 1) 0,15r и 0,34r; 2) 0,17r и 0,23r; 3) 3,1r и 4,52r; 4) 2,78r и 6,9r; 5) (tg^l)r и (sin2 70 + cos2 70)r; 6) (tgf3ctgf3J и (2sin^nJ. 1.213°. Известно, что 0 < x < 1. Сравните: 1) x-2 и x-8; 2) x^4 и x^8; 3) x-5,3 и x-3,4; 4) x^6,7 и x^4,1; 5) x-°,58 и x-5,8; 6) x^0,49 и x^4,9: - 2 3 5 - 4 7) x 3 и x 2; 8) x 4 и x 5, Известно, что x > 1. Сравните: 1) x-3 и x-6; 2) x-12 и x-10; 3) x-4,3 и x-3,9; 4) x-6,1 и x-3,8; 5) x-0,34 и x-3,8; 6) x-0,12 и x-4,5: - 2 - 7 - 3 - 4 7) x 7 и x 2; 8) x 4 и x 9, 1.215. Найдите значение функции /(x) в точке х0 1) /(x) = 32x 2, x0 = 2; _ 5 2) / (x) = (64 x^4, X0 = 4; _ 1 (x2)- 5 3) /(x) = 4) /(x) = 2 ’ ^^0 x 5 _ 1 7)- 3 5 , x0 ^3 x0 = 243; (x7) x0 = 27; ^X-f ■ (x-0,25)2 5) / (x) = ^---------------^, x0 = 125; x 6 1 \2 6) / (x) = , x0 = 64. x 3 Правообладатель Народная асвета 84 1.216. Найдите наименьшее целое значение х, принадлежащее области определения функции: _ 7 _ 13 1) fix) = (x + 5)-3; 2) f(x) = (x - 7)- 3) f (x) = (10x - x^ - 9) _6_ '23 4) f (x) = (6x - x^ + 7) 1.217. Укажите естественную область определения выражения: 1) (0,1x - 4)-6; 3) ^ x(x - 2)(x - 6) j-Y. 5) ((x2 + x - 6)(x + 2)) 2) (2x + 0,4) -13. 4) x(x - 2)(x - 5) ( 11 2 x - 16 21 6) ((x^ - 4x + 4)(2x - 8)) 17 . 7) 8) 4 x - 3 - x2 14 2 \-21 10 + 3 x - x2 \ 4 2 x + x 1.218°. Функция задана формулой y = xn. Найдите n, если известно, что график функции проходит через точку: 1) Л(4; 0,5); 2) 5(16; 0,25); 3) с(27; ^1); 4) 5(81; ^); 5) м(-64; -^4); 6) N(216; ^); 7) K(625; ^); 8) я(1024; ^); 9) T(243; ^). 1.219°. Укажите промежутки возрастания и убывания функции: 1) У = x ^^; - 30 4) У = x 7 2) У = x -24 - и 3) У = x 4 ; -18 = x 25 5) У = x 15; 6) У = x 1.220. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции - 3 f (x) = -x 4 на промежутке: 1) [1; 16]; 2) [16; 81]; 3) [0,0016; 10 000]; 4) [0,0081; 625]. Правообладатель Народная асвета 8 3 85 1.221. Укажите координаты точек пересечения графиков функций: 1) у = 4X1 и у = x 4; 2) у = 7X 1 и у = X 3) у = 9(x - 1)-2 и у = (X + 1) ,----------- -2 4) у = 3(x + 3)-4 и у = X 3. 9 . 1.222. Докажите, что функция /является нечетной: 1) /(X) = X-9 + 5X-13; 2) /(X) = 3X-19 - 8X-3; 3) /(X) = X-5 - 6X-13; 4) /(X) = 6X-11 + 0,3x-9. 1.223. Докажите, что функция /является четной: 1) /(X) = 1,5x-6 - 2X-12; 2) /(X) = 12X-4 + 8X-22; 3) /(X) = (X-26 - 9)-100; 4) /(X) = (16X-6 + 81)-10; 5) /(x) = (15X + X^^^ )0,45; 6) /(X) = (19X^^ -1^ + X^18 )8 \8,25 Изобразите (схематично) график функции (1.224—1.228). 1.224. 1) у = = X-2; 2) у = X-8; 3) у = X-5; 8 5 4) у = = X-13; 5) у = X 5 . ч 6) у =X 8 1.225. 1) у sin— = X 6; 2) у 4 п cos — = X 3 ; 3) у = X“"4^ ; 7 п cos — ctg^T sin13": 4) у = X 6 ; 5) у = X 4 ; 6) у = X 2 . 1.226. 1) у = X-9 - 2; 2) у = X-27 + 1; 3) у = = X-20 + 3; 4) у = X-12 - 1; 5) у = X-°,9 + 2; 6) у = = X-2,5 - 3. 25 22 1.227*. 1) у = (X + 1^ 3 : 1 2) у = (X -1)- 7 ч 3) у = = (X - 2)-11; 4) у = (X + 2)-31; 5) у = = (X - 3)-14; 6) у = (X + 3)-24. Правообладатель Народная асвета 3 4 4 86 1) у = (х - 2)-102 + 1; 2) у = (х + 3)-15 - 2 9 3) у = (х -1) 3 - 3; 4) у = (х + 2Р2 2 5 5) у = (х - 3^7 - 2; 6) у = (х -1^7 1.229*. Используя изображение графика функции в каждом из упражнений 1.224—1.228, укажите для нее: а) область определения; б) множество (область) значений; в) при каких значениях х значения у положительны (отрицательны); г) координаты точек пересечения графика с осями координат. 1.230*. Изобразите (схематично) график функции и укажите для нее: а) область определения; б) множество (область) значений; в) промежутки возрастания и убывания: 1 1) у = 3; 3 2) у = 19; 3) у = х; -23 4) у = |х ; 5) у = х -1-12; с\ 1 л |-62 6) у = |х + 1 ; 25 21 7) у = |х + 21- 3 ; 8) у = х - 2 - 5 ; 7 17 9) у = 1 - х 10 + 2; 10) у = |3 - хf 20 - 2 1 14 11) у = 1 + х 23 + 4; Решите уравнение: 12) у = 2 + х 9 - 4 -1 4 3 1) х 3 • х 3 = 9; 2) /7 • /7 = -12; 5 13 _ 15 3) /9 • / 9 = 4; 4) х 11 • х 11 = 25; / ^\57 / 1 \-45 5) \х 19) = -27; 6)( х15) =-115; / 1 \105 7) [х22) = ^1г; 8) (/21) =-32; / 1\72 9) [х9 j = 256. Правообладатель Народная асвета 87 1.232*. Решите неравенство: 1) (х"5) < 10; 2) (х^12) < 5; 4) (х^7) > 25; 5) (х^16) < 125; 3) \х^3) > 9; 6) (х^14) > 27. 1.13. Иррациональные уравнения В этом пункте мы будем рассматривать уравнения, содержащие переменную (неизвестное) под знаком корня (радикала). Такие уравнения называют иррациональными. Напомним на примерах два из возможных подходов к решению иррациональных уравнений (другие подходы будут рассмотрены в п. 1.14). Первый подход состоит в замене исходного уравнения равносильным ему уравнением (системой или совокупностью уравнений и неравенств). Поскольку все равносильные уравнения имеют одни и те же решения, то при этом подходе проверка полученных значений переменной по условию исходного уравнения не является необходимой частью решения. Например, при решении иррациональных уравнений часто пользуются следующими утверждениями о равносильности: [f (х) = (х), [g(х) > 0; [ f (х) = g (х), If (х) > 0 (вместо неравенства f(х) > 0 можно записать g (х) > 0). Второй подход состоит в замене исходного уравнения его следствием. Поскольку решений в уравнении-следствии (системе или совокупности) может быть больше, чем в исходном уравнении, то необходимой частью процесса решения является проверка полученных значений переменной по условию исходного уравнения. Переход к следствию из данного уравнения при оформлении записи решения можно обозначать символом «^». Пример 1. Решить уравнение: а) 4х^ + х^ - х - 6 = х; б) 3х^ - х3 - х - 6 = -х. 1) x/f (х) = g(х) ^ 2) 4f (х) ='^g(х) ^ Правообладатель Народная асвета 88 Решение. Способ 1 {сохранение равносильности). (х > 0, i) 4х^ + х^ - х - 6 = х ^ х > 0, 4 2 п 4 х + х - х - 6 = х х = 3. [{х = -2 или х = 3) б) 4х^ - х^ - х - 6 = -х ^ х^ - х^ - х - 6 = -х^ ^ ^ (х = -2 или х = 3). Ответ: а) 3; б) -2; 3. Для уравнения а) покажем решение способом 2 {использование уравнения-следствия): 4I 4 2 г> 4 2 п 4 ^х + х - х - 6 = х ^ х + х - х - 6 = х ^ ^ (х = -2 или х = 3). Проверка: при х = -2 получим 416 + 4 + 2 - 6 =-2, т. е. 4Т6 = -2 — неверное числовое равенство, значит, число -2 не является корнем уравнения а); при х = 3 получим 481 + 9 - 3 - 6 = 3, т. е. ^^ВТ = 3 — верное числовое равенство, значит, число 3 — корень уравнения а). Пример 2. Решить уравнение %/6 - х -\/х - 1 = 1. Решение. Способ 1 (сохранение равносильности). л/6 - х -^х - 1 = 1 ^ 1 + sjх -1 = \16 - х ^ при любых допустимых значениях х обе части уравнения неотрицательны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное '' уравнение ^ (1 + \1 х -1 )2 = [\]6 - х )2 ^ 4х - 1 = 3 - х ^ Гх - 1 = (3 - х)2, [х2 - 7х + 10 = 0, [3 - х > 0 [х < 3 ((х = 2 или х = 5), ^ ^ х = 2. [х < 3 Ответ: 2. Правообладатель Народная асвета 89 Способ 2 (использование уравнения-следствия). \/б - X - \Jx - 1 = 1 1 + yjx -1 = sj<6 - X ^ (l + \1 x - 1 f = [\]6 - x f ^ Vx - 1 = 3 - x => ^ [\1 x -1) = (3 - x)2 ^ x -1 = 9 + x^ - 6x ^ x^ - 7x + 10 = 0 ^ « (x = 2 или x = 5). Проверка: x = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а x = 5 не удовлетворяет (убедитесь в этом). 61 2 31 2 Пример 3. Решить уравнение Vx - x - 2 • 3x - 5x = 0. Решение. Способ 1 (сохранение равносильности). 6x^ - x - 2 • 3x^ - 5x = 0 ^ (x^ - x - 2 = 0 или | ’ ^. \ [x^ - x - 2 > 0/ Решив это уравнение и систему, получим x1 = -1, x2 = 2, x3 = 5. Ответ: -1; 2; 5. Способ 2 (использование уравнения-следствия). Зх^ - X - 2 • Зх^ - 5х = о ^ ^ (x^ - x - 2 = 0 или x^ - 5x = 0) ^ « (x = -1 или x = 2 или x = 0 или x = 5). Проверка по условию исходного уравнения показывает, что 0 не является его корнем, так как при x = 0 выражение 6x - x - 2 равно Ц-2 и не имеет смысла. А числа -1; 2; 5 — являются корнями заданного в условии уравнения. А Пр имер 4. Решить уравнение с неизвестным x; \fa-x = a - x. Решение. Имеем (объясните почему): у/а - x = a - x a - x = (a - x)2 ^ (x = a или x = a - 1). Ответ: при любом значении a имеем x1 = a - 1, x2 = a. Пр имер 5. Решить уравнение Vx = ax относительно x. Правообладатель Народная асвета 90 Решение. Очевидно, что х = 0 — корень уравнения \fx = ах при любом значении а. При х > 0 уравнение л/х = ах равносильно уравнению ^[х. = 1. Если а < 0, то это уравнение решений не име- ет, а если а > 0, то х ^ а Ответ: если а < 0, то х = 0; если а > 0, то х1 = 0, х2 = ^^. А 1. Что значит решить уравнение с одной переменной? 2. Какие уравнения называются равносильными? 3. Какое уравнение называется следствием данного уравнения? Упражнения Решите уравнение (1.233—1.246). 1.233°. 1) V12 - х + 5 = 0; 3) л/х -1 х + 1 = 0; 5) Тх^ТГ = -1; 7) 415 + 6х = -6; 1) 4х^ + х^ + 5х -14 = х; 2) 4х^ + х^ - 4х -12 = х; 3) 3-х^ + х^ + 8х - 9 = -х; 4) 3-х3 + х2 + 2х -15 = -х; 5) 3-32х® - х^ - 2х + 24 = -2х; 6) 3-243х® - х^ + 5х + 24 = -3х 2) ч/б + х + 1 = 0; 4) ч/3 - 2х х + 4 = 0; 6) 7х^ + 25 = -4; 8) 421 - 3х = -4. 1.234° 1.235°. 1) ч/5 + 2х = 3; 3) \1х^ + 19 = 10; 5) 46х + 1 = -5; 7) 3х^ - 32 = 2; 1.236°. 1) 44х^ + 5х + 4 = 2; 3) 3х^ + 4х - 50 = 3; 2) 43х + 7 = 4; 4) 4S1 - х^ = 5; 6) 3х - 3 = -2; 8) 4х^ - 44 = 3. 2) ч/и - 5х^ + 3х = 3; 4) 3х^ + 14х -16 = -4. Правообладатель Народная асвета 91 1.237. 1) Vl1 - 3x + 7 = 3; 2) 85 + 3x + 3 = 3; 3) 324 + 5 = 3; 4) 818 - 3x + 10 = 4; 5) \/l + + 4x + 6 = 2; 6) 35 + 3x^ + 14x -16 = 1.238. 1) yjx + 2 =y/2x - 5; 2) 85x -1 = у/3x + 19; 3) Vx - 4 = \Jx^ - 5x + 1; 4) \/x -1 = \lx^ - 4x + 5; 5) 8x^ - 36 = 82x -1; 6) 10x^ -16 = ^08 - 5x. 1.239. 1) Vx+2 = x; 3) \\x + 6 = -x; 5) 87 - x = x -1; 2) y/x + 6 = x; 4) y/x + 2 = -x; 6) 85x + 1 = 1 - x; 7) 84 + 2x - x^ = x - 2; 8) 86 - 4x - x^ = x + 4. 1.240. 1) sjx^ - x -14 = x + 2; 2) 84x^ + 7x + 2 = 2x -1; 3) 8x^ - 9x^ + 28x - 27 = x -: 4) 3x^ + 6x^ - 4x + 8 = x + 2. 3; 1.241. 1) \]x^ +\/x + 2 = x + 1; 2) \jx^ +\/5x + 19 = x + 3; 3) 3x^ - 6x^ + Wx + 14 = x - 2; 4) 3x^ + 3x^ -\l5 -10x = x + 1. 1.242. 1) 82x + 5 Wx -1 = 8; 2) y/x + 3 3x - 2 = 7; 3) 3\/x + \/ 11x - 2 = 6; 5) \/x + 2 = \l3 - x + 3; 4) ^3x + 2 6x = 2; 6) y/x -13 8 + x - 3. 1.243. 1) (x^ + 5xb/x - 3 = 0; 2) (x^ + x) \lx -1 = 0; 3) (x^ - 4^x + 1 = 0; 4) (x^ -16^2 - x = 0; Правообладатель Народная асвета 92 5) (x^ - llx + 24Ь/ - 7 x + 10 = 0; 6) (x^ - 2x - 3) \lx^ + x - 6 = 0. 1.244. 1) 4x^ - x -12 • ^x^ + 2x = 0; 2) 8x^ - 7x -18 • ^43x2 + 18x = 0; 3) ^14 - x^ - 5x • 9x^ - 2x + 1 = 0; 4) 940^x4’-3x •13x^ - 4x + 16 = 0; 5) 3- 6x + 8 • 4+ 6x - 27 = 0; 6) 4x^ - x -12 •29x2 - 25 = 0. 1.245. 1) (x + 1)Vx2 - 6x + 17 = 3x + 3; 2) (x + 1^x2 + x - 2 = 2x + 2; 3) (x -1)9x2 - x - 6 = 6x - 6; 4) (x + 2)4x2 + 2x - 6 = 3x + 6. 1.246. 1) sfx - 3 = 2^x; 2) Vx + " - 6 = 0; 3) + ^x - 2 = 0; 4)9 - 8^x - ^x = 0; 5) 2^x + 5^x = 18; 6) 2^x = 3 - ^x. 1.247*. При каких значениях а имеет единственное решение уравнение: 1) 4x + a =4 4 - x; 3) 4x + 4 = a - 2; 5) 4x - a = 1 - x; 7) ^=a-- = 2 ^[4; six - 2 2) 4a - x =47 + 2x; 4) 48 - x = a + 1; 6) 4a - x = 1 + x; 8) ^/x - 5 = 5 + s[x ? 1.248*. Решите уравнение с неизвестным х: 1) 4x - 4 = a; 2) 4x + 1 = -a; 3) a4x + 2 = 0; 4) (x - a)4x - 3 = 0; 5) (x + \)sfx—a = 0; 6) 4x4 x - a = 0; 7) sjx - 2 = 0; 8) = 0. ^x + a Правообладатель Народная асвета a 93 1.14. Решение иррациональных уравнений с использованием свойств функций Уточним определение уравнения с одной переменной, данное в предыдущих классах. Пусть / и g — функции от переменной х, D — множество всех значений переменной х, при которых определены обе эти функции. Равенство /(х) = g(x) называется уравнением с переменной х, а множество D — областью определения этого уравнения (или областью допустимых значений переменной). Переменную в уравнении называют также неизвестным. Корнем или решением уравнения /(х) = g(x) называется такое число с е D, при котором /(с) = g(c) — верное числовое равенство. Теорема. Уравнение /(х) = g(x), (1) где / — возрастающая и g — убывающая функции, определенные на одном и том же множестве, имеет не более одного корня, т. е. либо вообще не имеет корней, либо имеет единственный корень. (Действительно, на рисунке 20, а, б видно, что графики возрастающей функции / и убывающей функции g пересекаются на области определения не более чем в одной точке.) Правообладатель Народная асвета 94 А Доказательство. Пусть х0 — корень уравнения (1), т. е. f( Хо) = g(xo) — верное числовое равенство. Если х < х0, то по определению возрастающей и убывающей функций имеем f(х) х0 не является корнем уравнения (1). S А Замечание. Эта теорема справедлива и тогда, когда одна функция возрастающая (убывающая), а другая постоянная. Приведем несколько примеров, где при решении иррациональных уравнений используются свойства возрастания и убывания функций. Пр имер 1. Решить уравнение %/2х - 1 = 4 - 3х. Решение. Способ 1. Подбором находим, что х = 1 является корнем данного уравнения. Действительно, ,,J2 • 1 -1 = 4 - 3 • 1 — верное числовое равенство. Так как функция f (х) = \]2х - 1 возрастающая, а функция g(х) = 4 - 3х убывающая, то согласно теореме х = 1 — единственный корень данного уравнения. Ответ: 1. Способ 2. Возможно и другое решение: л/2х -1 = 4 - 3х ^ V2х -1 + 3х = 4. Так как функция h(х) = + 3х возрастающая, то (см. за- мечание) уравнение h(x) = 4 имеет не более одного решения. Подбором находим корень х = 1. Пример 2. Решить уравнение 1°9 - 4х = ^^2х - 3. Решение. Подбором находим, что число 2 — корень данного уравнения, поскольку 1°9-^""^"2 = ^2 • 2 - 3, т. е. 1 = 1 — верное числовое равенство. Других корней уравнение не имеет, так как функция f (х) = 1°9 - 4х является убывающей, а функция g(х) = lj2х - 3 — возрастающей. Ответ: 2. Правообладатель Народная асвета 95 А Иногда при решении иррациональных (и других) уравнений бывает полезно предварительно найти область определения уравнения. Пример 3. Решить уравнение: а) (х + 7)^1 x + 5 = (5 - 2x)(x + 7); (2) б) (х + 7)\/5 - х = (9 - 2х)(х + 7). (3) Решение. а) Значение х = -7 не принадлежит области определения уравнения (2), поскольку при этом значении выражение \/х + 5 не имеет смысла. Поэтому х + 7 ^ 0, и уравнение (2) равносильно уравнению \/х + 5 = 5 - 2х. (4) Решим это уравнение, переходя к уравнению-следствию: х + 5 = (5 - 2х)2, 5 л хг = J, х2 = 4. Проверка показывает, что корнем уравнения (4) (а значит, и уравнения (2)) является значение х = -4. б) Очевидно, что значение х = -7 обращает уравнение (3) в верное числовое равенство и принадлежит области определения уравнения (3) — множеству D = (-^; 5]. Значит, х = -7 — корень уравнения (3). При х ^ -7 уравнение (3) равносильно уравнению \/5 - х = 9 - 2х. Решая это уравнение, получаем: (5) л/5 - х = 9 - 2 х ^ |5 - х = (9 - 2 х)2, [9 - 2 х > 0 I ^х = 4 или х = 4-4j, ^ х = 4. [х < 4,5 Ответ: а) 1,25; б) -7; 4. Решение уравнения (3) с помовцью знаков равносильности можно записать так: Правообладатель Народная асвета 96 (x + 1)45 - x = (9 - 2x)(x + 7) ^ Ц x + 7 = 0, 15 - x > 0 или 45 - x = 9 - 2 ^ ^ fx = -7, [5 - x = (9 - 2x)2 ! или < lx < 5 [9 -2x > 0 I ^x = 4 или x = 4-3j, ^ I x = -7 или |x < 4,5 « (x = -7 или x = 4). Пример 4. Решить уравнение: а) 1 -4x^ - 16 = ^8x - 2x^ + 3x; б) 12 + 4x^ - 16 = 1°8x - 2x2 + 3x. Решение. а) Поскольку функция f (x) = 1 -\[x2 -16 определена для значений x, удовлетворяющих неравенству x2 - 16 > 0, а функция g(x) = 68x - 2x^ + 3x определена для значений x, удовлетворяющих неравенству 8x - 2x2 > 0, то область определения данного уравнения совпадает со множеством решений системы неравенств fx^ - 16 > 0, [8x - 2x^ > 0. Решая эту систему, получаем равносильную ей систему: fx^ > 16, [2x(x - 4) < 0, откуда имеем о 4 Рис. 21 X f(x < - 4 или x > 4), |0 < x < 4. На рисунке 21 видно, что решением этой системы является только значение x = 4. Значит, область определения уравнения состоит из единственного числа 4, т. е. D = (4). Правообладатель Народная асвета 97 Осталось проверить, является ли число 4 корнем данного уравнения. Подставив X = 4 в исходное уравнение, получим 1 W42 -16 = ^8 • 4 - 2 • 16 + 3 • 4, т. е. 1 = 12 — неверное числовое равенство, значит, 4 не является корнем данного уравнения. б) Решение этого примера аналогично решению примера а). Выполните его самостоятельно. Ответ: а) нет корней; б) 4. Пример 5. Решить уравнение s/x - 7 - 41 - 2X = 3X - 8. Решение. Область определения данного уравнения совпадает со множеством решений системы неравенств: X - 7 > 0, \х ^ 7, « i _ 1 « X е 0. 1 - 2 X > 0 IX < ^, Поскольку система не имеет решений, то область определения не содержит ни одного числа. Значит, данное уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Иногда при решении уравнений бывает полезно обратить внимание на наибольшее или наименьшее значения входящих в них функций. Пример 6. Решить уравнение n/36 W4 - X^ = 11. Решение. Область определения уравнения совпадает со множеством решений неравенства 4 - X2 > 0, т. е. D = [-2; 2]. Очевидно, что функция f (x) = 736 W4 - X^ имеет наибольшее значение л/38 при X = 0. Таким образом, при любых значениях X е [-2; 2] верно неравенство f (x) ^yfSS, а 438 < 11, поэтому данное уравнение решений не имеет. Ответ: нет решений. А Правообладатель Народная асвета 98 1. Какое множество D называют областью определения уравнения f( x) = g(x)? 2. В каком случае уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного Решите 1.249. корня? 3*. Верно ли, что число х0 является корнем уравнения f(x) = g(x), определенного на множестве D, если: а) Хо г D; б) Хо е D; в) f( Xo) = g(xo)? Упражнения уравнение (1.249—1.257). 1) \/3x + 7 = 7 - x; 2) л/5 + 2x = 5 - x; 3) Vx + 1 = 11 - x; 5) V2 - x = 4x - 3; 4) Vx + 3 = 17 - x; 6) л/3 - x = 2x - 3. 2) ^9x -17 = ^7 - 3x; 4) 85x -19 = ‘115 - X; 1.250*. 1) ^03x - 5 = 817 - 8x; 3) 813 - 4x = 84x -11; 5) 83 - x = 7-x^ + 7x -12; 6) 42x + 3 = 5-2x^ - 7x - 6; 7) 12x^ + 3x -10 = 84 - x^ ; 8) 12x^ + 2x - 8 = . 1.251*. 1) 82 x^ - 3 x - 77 •4x3'-x = 0; 2) 83x2 - 7x - 20 • 3x^ - x - 2 = 0; 3) 88x + 2 (x - 4) • 4x^ - 27x = 0; 4) i-1|x + 4\4x+b • 8x6"-3^ = 0; 5) 8x^ -3x^ + 3x -1 • = 0; 6) 138x^ - 36x^ + 54x - 27 • ^^82 - 3x • (x + 5) = 0. 1.252*. 1) ^/x -1 Wx + 3 = 3 - x; 2) 2^Jx Wx - 3 = 9 - x; 3) 82 x + 3 -44-x =4 7 - x; 4) 87 + 3x 5 - 4x = 1 - 24x + 2. Правообладатель Народная асвета 99 1.253*. 1) (x + 4У2x - 4 = (x + 4)(x -1); 2) (3x - 36h/7 - x = (x -1)(3x - 36); 3) (2x - 30h/8 - x = (4 - 2x)(x -15); 4) (3x + 18^x - 3 = (x - 9)(3x + 18); 5) (x - 4\/|x - 2 + 5 = (1 - x)(x - 4); 6) (x + 4^3 -1 x + 3 = (x + 4)(x + 2). 1.254*. 1) (x + 3)( Vx +4x) = 2 x + 6; 2) (x - 5)(+ 2^x) = 3x -15. 1.255*. 1) 5 Wx^ - 25 = ^15x - 3x^ + x; 2) 8 - 8x^ - 4 = 4-2x - x^ - 4x; 3) 8x^ - 49 + x = 87x - x^ + 7; 4) л/3x - x^ - 2x + 6 = 8x^ - 9; 5) -28 - 449 - x^ = 8-63 -16x - x^ + 4x; 6) 4 ~8x^ - 64 = 68 + 7x - x^ + 0,5x. 1.256*. 1) 3 - 1°|x + 4 - 6 = ^3 -12x -1 + 1,5x; 2) 5 - ^1 x + 2 - 4 = ^01 - |x -1 + 2,5x; 3) 8 - 4|2x - 3 - 5 = x - 5 -1 + 2x; 4) 12 - ^8 -13x + 1 = ^6 - |x + 9 - 4x. 1.257*. 1) 6x - 4 + ^3 - x = x + 9; 2) ^0x - 9 - 86 - 2x = 5x - 2; 3) Vx - 6 - 83x - x^ = 4x -16; 4) 85x - 20 + 4x - x^ = 6x + 1. Правообладатель Народная асвета 100 1.15. Иррациональные неравенства В этом пункте мы будем рассматривать неравенства, содержащие переменную (неизвестное) под знаком корня. Такие неравенства называются иррациональными. При решении иррациональных неравенств часто используют подход, который мы уже применяли, решая иррациональные уравнения. Он состоит в замене исходного неравенства равносильным ему неравенством (системой или совокупностью неравенств). Пример 1. Решить неравенство: а) ^2X - 5 > - 1; б) ^3x + 8 > - 6. Решение. а) Учитывая свойства корня нечетной степени, получаем: lj2X - 5 > - 1 « 2X - 5 > (-1)7 « X > 2. б) По определению корня четной степени значения выражения 43 X + 8 неотрицательны при всех значениях х, при которых это выражение имеет смысл, т. е. когда значения подкоренного выражения неотрицательны. Таким образом, имеем: 43 X + 8 > - 6 « 3 X + 8 > 0 « X > -2—. Ответ: а) (2; +^); б) [-22; +^). Пример 2. Решить неравенство: а) ^011 - 4X < 0; б) ^21 - 2X < 1. Решение. а) По определению корня четной степени значения вы- ражения 10П - 4X отрицательными быть не могут. Поэтому имеем: ^^11 - 4X < 0 « ^^11 - 4X = 0 « 11 - 4X = 0 « X = И. б) Поскольку обе части неравенства ^21 - 2X < 1 неотрицательны при всех значениях х, при которых его левая часть имеет смысл, то имеем: ,______ Г21 - 2x > 0, ^21 - 2 X < 1 « ^ ^ [21 - 2 X < 16 Ответ: а) x = 23; б) [10; 10,5]. X < 21, X > 20 « 10 < X < 10,5. Правообладатель Народная асвета 101 При решении иррациональных неравенств часто используется также метод интервалов. Пример 3. Решить неравенство л/2х + 3 < 3 - 2х. Решение. Обозначим f (х) = \12х + 3 + 2х - 3. Найдем область определения функции f: 2х + 3 > 0 « х > -1,5. Таким образом, D (f) = [-1,5; + ^). Найдем нули функции f, т. е. корни уравнения f (х) = 0: f (х) = 0 « V2 х + 3 + 2 х - 3 = 0 « л/2х + 3 = 3 - 2 х « « 2х + 3 = (3 - 2х)2 « 2х2 - 7х + 3 = 0 « (х = 0,5 или х = 3). Проверка: f (0,5) = у]2 • 0,5 + 3 + 2 • 0,5 - 3 = 0; f (3) ^2 • 3 + 3 + 2 • 3 - 3 = 6. Значит, 0,5 — единственный нуль функции f. Отметим нуль функции f на области определения D(f) (рис. 22). Определим знаки значений функции f на образовавшихся интервалах, для чего вычислим: D{f) -1,5 + X + ч- 0 0,5 1 Рис. 22 X f (0) = sf3 - 3 < 0; f (1) = 45 -1 > 0. Используя рисунок 22, запишем решение неравенства f (х) < 0: X е [-1,5; 0,5]. Ответ: [-1,5; 0,5]. Пр имер 4. Решить неравенство 42х + 3 > 3 - 2х. Решение. Решение этого примера аналогично решению примера 3. Используя рисунок 22, записываем решение неравенства f (х) > 0: х е (0,5; +^). Ответ: (0,5; +^). А При решении иррациональных неравенств часто используются следующие утверждения о равносильности неравенств и систем неравенств: 2 f (х) < g (х), 4f (х) < g(х) « < f (х) > 0, g(х) > 0; (1) Правообладатель Народная асвета 102 (\gix) > 0- jg(x) < 0,^ " g(x) ° Hf (x) > g=(x) I/(x) . 0 ^ Решим пример 3, используя равносильность (1): (2) л/2x + 3 < 3 - 2x « I 2x + 3 > 0, 3 - 2 x > 0 2x + 3 < (3 - 2x)2 2x^ - 7x + 3 > 0, « I x > -1,5, x < 1,5 '2(x - 0,5)(x - 3) > 0, « I x > -1,5, x < 1,5 x < 0,5 или x > 3, « I x > -1,5, « x < 1,5 « -1,5 < x < 0,5. Ответ: [-1,5; 0,5]. Решим пример 4, используя равносильность (2): V2 x + 3 > 3 - 2 x [3 - 2x > 0, 12x + 3 > (3 - 2x) 3 - 2x < 0, или I 2 '2 x + 3 > 0 fx < 1,5, x > 1,5, « ^ ^ „ или I I « 12x2 - 7x + 3 < 0 I x > -1,5/ / fx < 1,5, \ « I или x > 1,5 « x > 0,5. Ц0,5 < x < 3 ) Ответ: (0,5; +^). Для решения заданий такого типа, как, например, в 1.265, можно использовать следующие утверждения о равносильности: [f (x) < g(x). [f (x) > 0; ff (x) > g(x), Ig(x) > 0. Аналогичные утверждения можно записать и для неравенств Vf(x) ^g(x), TfCx) >yjg(x). A л/f (x) g(x) « Vf (x) 5/g(x) « (3) (4) Правообладатель Народная асвета 103 1. Какие неравенства называются иррациональными? 2. Опишите подходы к решению неравенств вида: а) 4f (x) > 5; б) (x) < 2; в) (x) < -3. 3*. Запишите утверждения о равносильности для неравенств: а) ^Jf (x) < g(xy^ б) .JJ(x) > g(x); в) 47(x) ^g(x); г) TfCx) >yjg(x). Упражнения Решите неравенство (1.258— 1.258°. 1) Vx -1 > 2; 3) Vx -1 < 2; 5) Vx -1 > -2; 7) Vx -1 < -2; 1.259°. 1) Vx^ - 9 < -1; 3) Vx^ - 8 < 0; 5) yfx2 > 0; 8) -Jx2 > 9; 1.260°. 1) yjx^ + x - 2 < 2; 3) V11 + 6x - 5x2 > 1.261°. 1) V2 -^fx > 1; 3) < 3; 1.266). 2) Vx + 2 > 3; 4) Vx + 2 < -3; 6) Vx + 2 > -3; 8) Vx + 2 < 3. 2) Vx^ -16 < -5; 4) Vx^ - 32 < 0; 6) л/x^ < 0; 9) yfx2 > 0; 2) Vx^ - 5x + 4 < 2; -1; 4) V-x2 - 3x + 4 > -2 2) Va^Zx > 2; 4) < 1. 7) slx^ < 4; 10) -Jx2 < 0. 1.262. 1) < 0; 4) sjx + 2 2 ^Jx 7 < 0; 7) ^ 0; 7 ^v/ x 1.263. 1) (x - 1b/x < 0; 3) (x - l)yfx > 0; 2) 5) 8) \fx + 5 y/x - 1 yfx - 10 2 ^ \/~x yfx + 4 \[x > 0; < 0; < 0. 3) > 0; 6) 6 -yfx y/x + 2 3 - y/x > 0; 2) (x - 2)sfx < 0; 4) (x - 2^fx > 0; Правообладатель Народная асвета 104 5) (x - 1)\fx < 0; 7) (x - l)y[x > 0; 6) (x - 2)\fx < 0; 8) (x - 2)yfx > 0. 1.264. 1) (x + 10Ь/x - 4 < 0; 3) (x - 12Ь/x - 3 < 0; 5)* (x2 - 4)yfx-l < 0; 7) * (x + 2^(4 - x)(5 - x) > 0; 8) (x + 1)^(x + 4)(x + 7) < 0. 2) (x + 8^/x-2 < 0; 4) (x - 6^x -1 < 0; 6)* (x^ - 9Ь/x - 3 < 0; 1.265*. 1) Vx + 2 >slx -1; 3) Vx + 3 > V1 - x; 5) V3 - 7x > V6x - 8; 7) V5 - x x + 1; 1.266*. 1) Vx - 3 < x - 2; 3) \/12 + x > x; 5) V5x - x^ > x - 2; 7) \/10 - x^ > 3x; 2) л/x - 2 > V3 - x; 4) V5x + 7 2 - 3x; 6) л/5 - 2x ^y3x - 9; 8) л/8 - x > Vx + 2. 2) Vx - 2 > x; 4) л/x + 6 > x; 6) ^5x - x^ < x - 2; 8) yjx^ + 5x + 7 < 3 - x. Правообладатель Народная асвета Глава 2 Показательная и логарифмическая функции 2.1. Степень с действительным показателем Мы уже знаем, что такое степень с рациональным показателем. Теперь определим степень с иррациональным показателем при основании a > 0. Сделаем это сначала для основания a > 1. Пусть S — иррациональное число. Возьмем такие рациональные числа r и t, что r < s < t. Тогда по свойству степени с рациональным показателем а'' < аК Будет естественно определить степень as так, чтобы это число удовлетворяло неравенству а'' < а" < а. Именно так мы и поступим. Определение. Пусть a > 1. Степенью числа a с иррациональным показателем s называется такое число b, что < b < a при любых рациональных значениях г и t, удовлетворяющих неравенству г < s < t. Это число b обозначается as. Ш1 Утверждение о существовании и единственности такого числа b мы примем без доказательства. Аналогично для положительного числа а < 1. Определение. Пусть 0 < a < 1. Степенью числа a с иррациональным показателем s называется такое число b, что ^ ^ / г at < b < ar при любых рациональных значениях г и t, удовлетворяющих неравенству г < s < t. Это число b обозначается as. Правообладатель Народная асвета 106 It ^ 11 Утверждение о существовании и единственности такого ^ » I числа Ь мы примем без доказательства. Наконец определим степень с основанием 1. Определение. Д^я любого иррационального числа s = 1. Таким образом, при положительном основании понятие степени определено для любого рационального и для любого иррационального показателя, т. е. для любого действительного показателя. При этом все действия со степенями с произвольными действительными показателями обладают теми же свойствами, что и действия со степенями с рациональными показателями. Эти свойства мы сформулируем в следующей теореме, которую примем без доказательства. Теорема. Для любых значений a > 0 и b > 0 при любых действительных s и t верны равенства: (1) (2) a (a" )t = as; (3) (ab)^ = asbs; (4) a'd = a"+t; ^ = as -1; (5) Пр имер 1. Расположить в порядке убывания числа: п а) 0,633 ; 0,633,5; 0,63/**; б) И,?1,4; И,?1,7; 11,72. Решение. а) Сравним числа 3; 3,5 и VTT. Поскольку 3 = , 3,5 = ^ 12,25, а V9 ^/TT ^ 12,25 , то 3 ^/TT < 3,5. Значит, по определению степени с иррациональным показателем при основании 0,63 получим верное неравенство 0,633,5 < 0,63^TT < 0,633. Правообладатель Народная асвета s b 107 б) Сравним числа 1,4; 1,7 и . Поскольку = 1,57, то 1,4 < < 1,7. Значит, по определению степени с иррациональным показателем при основании 11,7 получим верное неравенство 1,7 П,714 < 11,72 < 11,7 П_ Ответ: а) 0,633; 0,63^‘‘; 0,633,5; б) П,71,7; U,72 ; 11,71,4. Пример 2. Пользуясь определением степени с иррациональным показателем, записать по три верных двойных неравенства для степени as, если: а) a = 4; s ^УГЭ; б) a = -7-; s = п. Решение. а) Запишем три верных двойных неравенства сначала для показателя s = 713: 79 ^Я3 ^16, т. е. 3 ^/13 < 4; 712,25 ^/13 ^ 13,69, т. е. 3,5 ^/13 < 3,7; 712,96 ^/13 ^ 13,69, т. е. 3,6 ^/13 < 3,7. По определению степени с иррациональным показателем при основании 4 > 1 будут верны и неравенства 43 < 4/^ < 44; 43.5 < ^ 43,7; 43.6 < < 43,7. б) Запишем три верных двойных неравенства сначала для показателя s = п. Так как п « 3,1415, то имеем 3 < п < 4; 3,1 < п < 3,2; 3,14 < п < 3,15. По определению степени с иррациональным показателем при 5 основании 0 < — < 1 будут верными и неравенства ^ )4 <( f )п <( ^ ^ )3'2 <( 7 )■ <( 513'1; 5у3,15 < (А7п < (5у3,14 Правообладатель Народная асвета я 108 1. Сформулируйте определение степени числа a с иррациональным показателем s, если: а) а > 1; б) 0 < а < 1; в) а = 1. 2. Сформулируйте определение степени положительного числа a для случаев, когда показатель: а) натуральное число больше 1; б) 1; в) 0; г) отрицательное число; д) рациональное число вида , m е Z, n е N, n > 2; е) любое иррациональное число. 3. Сформулируйте теорему о действиях над степенями с произвольными действительными показателями. Упражнения 2.1°. Расположите в порядке возрастания числа: 1) 0,71,5; 0,72; 1 0,7^ ; 0,70,2; 2) 3,42,7; З,^5 ; 3,4 3; 3,42,2; 3) 4,12,2; 4,Г^^ ; 4,1 3,5; 4,13; 4) 0,21,7; 0,^3 ; 0,2 3,9; 0,21,5; 1 2 ч/3 5) (:г)-3 ; 2-0,5; 43; 86 ; 1 1 6) W5)- 2; 53; 25^ 6; (тк 2.2°. Пользуясь определением степени с иррациональным показателем, запишите по три верных двойных неравенства для as, если: 1) а = 3; s = л/2; 2) а = 0,7; s = Т3; 3) а = 0,1; s = ; 5) а = arcsin-T; s = л/Б; 4) а = 5; s = ; с. \ V2 6) а = arccos — Сравните числа: П sin— [К 1) 2 3 и 2^3; t П 2) 4 3 и 4^; - ctg — 3) 3,5 6 и 1; - tg - 4) 1 и 0,8 6; tg — sin — 5) 3g4 и 3 4; ПП si^ — cos — 6) 7 4 и 7 6; ctg — 7) 0,1^2 и 0,11tg 0; ctg — ( 8) 0,17 4 и 0,17 Правообладатель Народная асвета ctgi 109 Упростите (2.4—2.9). 2.4 1) 43^'^ +1^2 • 9^^ ; 2) 45^^ +1^2 • 25^^ 3) ((^ r )^"; 4) ((3)^" f; 5) (Wa f; 6) (W2 f f; 7) 2^^ +1^2 • 4^. 8) 3^3 - 1)2 :(1J^^3. sin2 .П cos2 i / tg n \ctg "T- 1) 2 5 • 2 5; 2) (S"7) 7; 1 / 2sin — \cos 1 2tg n\1-tg2^ 3) (4 12) 12; 4) (0,5 8) 8; 2 П * 2 П co^^ — sin — 5) 5 6 :5 6; cos — 6)0,09 • 0,09 3 7) 0,04 : 0,04cos120°; cos 1 8)0,13 13 • 0,13 9) 49cos230°: 49sin230°. 10) |^162cos15°jsin15° 2.6. 1) 2) 3) 4) 2.7. 1) 3) 4) 5) 6) . 1 -J3 arcsi^ — arccos - can-oiii — --- i /л / i \ 4 2.4 2 . 4arctg0; 4arccos(-i). i . ^/з 7 2.7 2 . yarctg 1 . yarcsin 1 + n . a 0,2 0,64arcsin(-2 )j " + (o,6arcctg(-l) )3n, ^arccos(-2)jn + (o,96arctg(-l) fn; 4 8 m - n + 1; [m^2 - n^2 )2 m2^8 - m-^8 - m8; m^8 n3^18 + n^18 ■ n^18 m^3 - n^3 2) 1 - + n ^ )2 m2'^ - n^3 ’ + n^/3 + 2^3 n/3 m^^ - n^5 + n^5 - 2m/5 m3 + n'^3 m - n Правообладатель Народная асвета 110 2.8*.1) 3) 5) 2.9. 1) 2) 3) 4) 5) 6) m2^6 + m-^6 n'^ + n^6 •J3 sf3 m + n 243 43 43 243 ’ 3 -; „,'12 1 - m' 342 3 n 3 + n 3 . m'^^^ + m2'^ ; m^43 + mJ2 + 1 ; a'^ + 2 + - 2 - 2 + 16 + 2 a2^2 - 4 - 4 + + 4 64 + 4 - 4 a^7 - 16 2) 4) 6) mWIo + nWIo m^10 - m10^10 + n2^10 m^5 - nJ~5 243 43 43 243 ’ m 3 + m 3 n 3 + n 3 m^^ + 27 . m2-^ - 3m^ + 9 „■J7 ^7 - m^7 11 - a 42] a2^2 -1 a'^2 - 1Г - 3 a 42 +1 1 [2a-^ +1)2 1 - 4a 243 6 a 43 +1 _ -1 „4Ю J10 - 1 +40^ o' 3 +1 1 + 20^' )2 2, i J3 1 V a- ^3У*’ {^10 , \^J33 + ^10 ,'J3 - 21. 2.2. Показательная функция Рассмотрим выражение ax, где a — постоянная, a > 0, a Ф 1, а x — переменная. Это выражение имеет смысл при любом действительном значении х, поэтому его естественной областью определения является множество всех действительных чисел. Определение. Показательной функцией называется функция вида у = ax, где a — постоянная, a > 0, a ф 1. Область определения показательной функции — это естественная область определения выражения ax, т. е. множество всех действительных чисел. Графики некоторых показательных функций при a > 1 изображены на рисунке 23, при 0 < a < 1 — на рисунке 24. Как получаются изображения таких графиков? Правообладатель Народная асвета Рис. 24 Правообладатель Народная асвета 112 Например, чтобы изобразить график функции у = ^—j , придадим несколько значений аргументу, вычислим соответствующие значения функции и внесем их в таблицу: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 у 16 8 4 2 1 3 9 27 81 81 27 9 3 2 4 8 16 Вычислив приближенные значения у с точностью до 0,1, получим следующую таблицу: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 у 0,2 0,3 0,4 0,7 1 1,5 2,3 3,4 5 Отметим точки (x; у) с указанными координатами на координатной плоскости Oxy (рис. 25) и соединим эти точки плавной непрерывной линией. V О л о 1 1 о о ( ► 1 1 ‘ ► 1 \ 5 4 3 2 1 о 1 2 3 4 5 ; ; Рис. 25 Полученную кривую можно рассматривать как изображение гра- ( Ъ\ X фика функции у = (1 (рис. 26). График функции у = ^-2-j расположен над осью Ox и пересекает ось Оу в точке (0; 1). Заметим еще, что когда значения аргумента x уменьшаются, то график этой функции «прижимается» к оси Ox, а Правообладатель Народная асвета когда значения аргумента x увеличиваются, то график «круто поднимается» вверх. Аналогично для любой функции у = ax при a > 1 (рис. 27). Изобразим теперь график функции у = ^-3j . Для этого придадим несколько значений аргументу, вычислим соответствующие значения функции и внесем их в таблицу: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 у 81 27 9 3 1 2 4 8 16 16 8 4 2 3 9 27 81 Вычислив приближенные значения у с точностью до 0,1, получим следующую таблицу: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 у 5 3,4 2,3 1,5 1 0,7 0,4 0,3 0,2 Отметим точки (x; у) с указанными координатами на координатной плоскости Oxy (рис. 28) и соединим эти точки плавной непрерывной линией. Правообладатель Народная асвета 114 Полученную кривую можно рассматривать как изображение графика функции у = ^-3j (рис. 29). График функции у = ^-2-j расположен над осью Ox и пересекает ось Оу в точке (0; 1). Заметим еще, что когда значения аргумента x увеличиваются, то график этой функции «прижимается» к оси Ox, а когда значения аргумента x уменьшаются, то график «круто поднимается» вверх. Аналогично для любой функции у = ax при 0 < a < 1 (рис. 30). Правообладатель Народная асвета 115 Теорема (о свойствах показательной функции у = ax; a > 0, a Ф 1) 1. Областью определения показательной функции является множество R всех действительных чисел. 2. Множеством (областью) значений показательной функции является интервал (0; +^). 3. Показательная функция наименьшего и наибольшего значений не имеет. 4. График показательной функции пересекается с осью ординат в точке (0; 1) и не пересекается с осью абсцисс. 5. Показательная функция не имеет нулей. 6. Показательная функция принимает положительные значения на всей области определения; все точки ее графика лежат выше оси Ox в I и II координатных углах. 7. Показательная функция не является ни четной, ни нечетной. 8. При a > 1 показательная функция возрастает на всей области определения. При 0 < a < 1 показательная функция убывает на всей области определения. 9. Показательная функция не является периодической. Свойства, указанные в этой теореме, мы примем без доказательства. Изображение графика показательной функции позволяет наглядно представить эти свойства. Множество (область) значений показательной функции — это проекция ее графика на ось Oy, а на рисунках 27 и 30 видно, что эта проекция есть интервал (0; +^) на оси Oy. Это значит, что для любой точки у1, принадлежащей этому интервалу, найдется такая точка х1 на оси Ox, что у1 = aXl (свойство 2). Множество (область) значений показательной функции — это интервал (0; +^), а в этом интервале нет ни наименьшего числа, ни наибольшего (свойство 3). График показательной функции проходит через точку (0; 1) и лежит в верхней полуплоскости (свойства 4, 5, 6). График показательной функции не симметричен относительно оси ординат, поэтому она не является четной; график показательной Правообладатель Народная асвета 116 функции не симметричен относительно начала координат, поэтому она не является нечетной (свойство 7). На рисунке 27 видно, что при a > 1 показательная функция возрастает, а на рисунке 30 видно, что при 0 < a < 1 показательная функция убывает (свойство 8). На графике показательной функции нет точек с одинаковыми ординатами, поэтому она не является периодической (свойство 9). А К графику показательной функции у = ax можно провести невертикальную касательную в любой его точке, в том числе и в точке (0; 1) (напомним, что это означает наличие производной функции в этой точке). Если а > 1, то угол а, который образует такая касательная с осью Ох, острый. Например, если а = 2, то а « 38° < 45° (рис. 31, а), а если а = 3, то а « 47° > 45° (рис. 31, б). Существует основание 2 < а < 3 такой единственной показательной функции, что касательная, проведенная к ее графику в точке (0; 1), образует с осью Ох угол а = 45° (рис. 31, в). Рис. 31 0 Основанием показательной функции с таким свойством является число, которое было открыто еще в XVII в. Джоном Непером (его портрет — на обложке) и названо неперовым числом; оно приближенно равно 2,7182818284. С XVIII в. неперово число стали обозначать буквой е в честь великого Леонарда Эйлера. В 1766 г. Ламбертом (с помощью приема Эйлера) было доказано, что число е, как Правообладатель Народная асвета 117 и число п, иррационально. Числа е и п очень важны для математики, они входят в большое число формул. В российских гимназиях для запоминания приближенного значения числа е использовали такое двустишие: «Помнить е — закон простой: Два, семь, дважды Лев Толстой», поскольку 1828 — год рождения великого русского писателя Л. Н. Толстого. А Пр имер. Указать наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют): а) У = 3" б) У = • 0,7s Решение. а) Поскольку 3 — положительное число больше 1, то большему значению показателя "2 соответствует и большее значение степени 3" . Но выражение х2 при х = 0 имеет наименьшее значение, а наибольшего значения не имеет. Значит, при любых значениях х верно неравенство 3"2 > 30, т. е. 3х > 1. б) Поскольку 0,7 — положительное число меньше 1, то большему значению показателя sin х соответствует меньшее значение степени 0,7sin ". Значения выражения sin х при любых значениях х удовлетворяют неравенству -1 < sin х < 1. Таким образом, при любых значениях х верно неравенство 0,71 < 0,7sin х < 0,7-1. Значит, верно и неравенство • 0,7 < • 0,7sinх < • 0,7-1, т. е. X < 1.0,7sinх < 4°. 30 21 наи- Ответ: а) 1 — наименьшее значение функции У = 3х большего значения нет; б) -30 — наименьшее значение, а -201 — наибольшее значение функции У = • 0,7s‘nх. Правообладатель Народная асвета 118 1. Сформулируйте определение показательной функции. 2. Сформулируйте теорему о свойствах показательной функции у = ax (a > 0, a Ф 1). 3. Как можно убедиться, что показательная функция с основанием 0 < a < 1: а) не принимает наибольшего значения; б) не принимает наименьшего значения; в) не является четной; г) не является нечетной; д) не является периодической? 4. Пусть f — показательная функция. Докажите, не пользуясь изображением ее графика , что : а) функция f не является четной; б) функция f не является нечетной. 5*. Что вы знаете о числе е? Упражнения 2.10°. Является ли показательной функция: 1) у = 3х; 2) у = x2; 3) у = (-3)x; 4) у = 43Х; 5) у = х; 6) у = (х - 2)5; 7) у = пх; 8) у = 5-х; 9) у = ()2х ? 2.11°. Используя изображение графика функции у = ^ -3- j (см. рис. 26), укажите приближенно с точностью до 0,1 значения функции при X, равном: 1) 1,5; 2) -1,5; 3) -2,5; 4) 2,5; 5) -0,5; 6) -1,3; 7) 2,8; 8) 3,5. Изобразите схематично график функции (2.12—2.13). 2.12°. 1) у = 4х; 4) у = 2,5х; 2.13°. 1) у = ^/с;?) 4)у Ч[T9 7)у=(1; 2) у=(:Г )х; 5) у=()■; 2) у=ТГ); 5) у = пх; 8) у = 0,2017х; 3) у = 3,5х; 6) у = (3 )х. 3) у = 43; 6)у=(^ )х; 9) у = 2016,2015х. Правообладатель Народная асвета 119 2.14. При каком значении а график функции у = ax проходит через точку: 1) Л(1; 2); 2) В(2; 9); 3) С(2; 16); 4) D(-2; 4); 5) K(-3; ); 6) )? 2.15. 1) Найдите значение т, если точка A(sin30°; m) принадлежит графику функции у = 25х. 2) Найдите значение k, если точка D(cos60°; k) принадлежит графику функции у = 16х. 2.16. 1) Найдите значение р, если точка р; 16cos^nj принадлежит графику функции у = 2х. 2) Найдите значение t, если точка M^t; 32sin7nj принадлежит графику функции у = 2х. 2.17. Укажите координаты точки пересечения графиков функции: 1) у = 2х и у = 8; 2) у = 3х и у = ^; 3)у = и у = 9; 4) у = (^4) и у = eJr. 2.18. Имеет ли график функции у = 2х общие точки с прямой: 1) у = 12; 2) у = -3; 3) у = 0; 4) у = 0,0001? 2.19. Имеет ли график функции у = 2х - 1 общие точки с прямой: 1) у = 6; 2) у = -1; 3) у = 0; 4) у = -1,004? 2.20. Имеет ли график функции у = 2х + 2 общие точки с прямой: 1) у = 7; 2) у = 1; 3) у = 2; 4) у = 2,05? 2.21°. Сравните: 1) 1,80 и 1; 2) 1 и 0,42; 3) 4,31,5 и 4,31,6; 4) 0,3-3 и 0,3-2; 5) (^7Г2 " 6) 3П и 33,14; 7) (^ f и (^)3; 4 п 8) (и ()5; 9) V3si"^ и ()2П)-iW5. 10) ^g;5c0"'6 и (^1 Ю^6 2.22. Является ли возрастающей (убывающей) функция: 1) у = 4х; 2) у = 0,5х; 3) у = (sin j ; Правообладатель Народная асвета 120 4) у = (cos^nJ ; 5) у = (tg ) ; 6) у = 7) у = 0,2-x; 8) у = 1,4-x; 9) у = 10) у = (13)-3x; x 11) у = 67 2; 12) у- \-2 ^ 2.23. На рисунке 32 изображен график функции, заданной формулой у = ax на множестве D. Укажите для нее: а) значение а; б) область определения; в) множество (область) значений; г) промежутки возрастания (убывания); д) координаты точки пересечения графика с осью Оу; е) значение в точках х1 = -1 и х2 = 1; ж) наибольшее и наименьшее значения. 4) V Л 4 о о ! о / 1 1 о 1 > д : Рис. 32 Правообладатель Народная асвета x 121 Укажите (при a > 0) естественную область определения выражения, (2.24 —2.25). 2.24. 1) а^’^; 2) ; 3) ; 6 2 4 4) а^-’2 ; 5) а’2 +16; 6) а’2 - 9; 7) О^16-’2 ; 8) -64; 9) ^’-6-’2 2.25. 1) а*‘“ ’; 2) a=°s ’ + 1; 1 3) а "‘“2 ’ ; 4) а’ ; 5) a*g ’; 6) a=*g ’; 7) а’-1; 8) а ’ +1; 9) . Укажите наименьшее и наибольшее значения выражения (если они существуют) (2.26—2.28). 2.26. 1) 2’; 2) )’; 3)4'^; 4)i51;r 2.27*. 1) 5- 2sin ’; 2) 6 • 2cos ’; 3) 0,3sin2 ’ • 0,3cos2 ’; 4) 4,5sin2’ • 4,5cos2’; 5) 11sin2’ : 11ctg2’ ; 6) 7,4cos2’ : 7,4tg2"; 7) 6sin2 ’ • 6; 8) 4.4cos2 ’. 2.28*.1) 4’2-’-6; 2) 6’2-’-2; 3) 25’-6-’2; 4) 510-’2-3’ Решите неравенство (2.29— 2.30). 2.29. 1) 6’ > 0; 2) 6’ < 0; 3) 6’ > -2; 4) 6’ < -6. 2.30. 1) 3’ > 1; 2) 3’ < 1; 3) (:4)' < 1; 4)(:!)' > 1; 5) (‘gif)' >1; 6) (ctg^)’ < 1. Правообладатель Народная асвета 122 Изобразите схематично график функции (2.31 — 2.32). 2.31. 1) y = 3x - 2; 2) y = (.2 )■ + 3; 3) y = 2x + 1; 4) y = 3х - 2; 5)y=(I f- x; 6) y = (^ )* -х; 7) y = 2x 3 + 1; 8) y = 3х + 1 - 2. 2.32. 1) y = -3x; 2) y = -0,5х; 3) y = -0,1-2x + 1; 4) y = -2-2х - 2; 5) y = 2 - 3x; 6) y = 3 - 2х. 2.33*. Пусть 0 < а < 1 . Изобразите схематично график функции и укажите ее свойства: 1) y = ax; 2) y = ах - 1; 3) y = ах + 1; 4) y = ax + 1; 5) y = ах - 1; 6) y = ах + 1 - 1; 7) y = ax - 1 + 1; 8) y = ах - 1 - 1; 9) y = ах + 1 + 1; 10) y = -ax; 11) y = -ах + 2; 12) y = -ах+2. 2.34*. Изобразите схематично график функции из упражнения 2.33 при а > 1 и укажите ее свойства. Изобразите схематично график функции (2.35— 2.38). 2.35*.1) y = 2х ; 2) y = 4'х'; 3) y = |3-х |; 4) y = 5-'х'; 5) y = - 0,5-х ; 6) y = -0,2'х1; 7) y = |3'х'|; 8) y = - 4'х1|. 2.36*.1) y = 3х -1 ; 2) y = 0,5х - 2 ч 3) y = 0,2х +1 - 2 ' ; 4) y = 2х-1 -1. 2.37*.1) y = 3'х' + х; 2) y = 3'х1-х; 3) y = 3'х-2' + 'х +11 ; 4) y = 3|х- 1' + 'х +2|; 5) y = 3'х + 1|-'х-2| ; 6) y = 3|х + 3'-'х- 4|. 2.38*.1) y = 4х■ 4; / и 2х - 2 2) y = 9х-9-2) y 3х + 3; 3) y = 42 ^ + 4x 4x + 4 0 ’ 4) y = 32 x - 3x 3x - 30 Правообладатель Народная асвета 123 2.3. Показательные уравнения Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например: 3^ = 81; 8 • 2^ - 12^ + 5 • 2^+2 = 92; 9х + 5 • 6х + 64х = 0. Уравнения такого вида принято называть показательными. При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции. Следствие. Пусть a > 0, a Ф 1. Если степени с основанием a равны, то их показатели равны, т. е. если as = a‘, то s = t. Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунках 27, 30 видно, что каждому значению показательной функции у = as соответствует единственный показатель s. Доказательство этого следствия опирается на теорему из п. 2.2. Пример 1. Решить уравнение 32 х2 - 3 х + 5 = 3Х2 + 2 х - 1 Решение. Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению 2х2 - 3х + 5 = х2 + 2х - 1, откуда х1 = 2; х2 = 3. Ответ: 2; 3. Пример 2. Решить уравнение: 3 а) 27^/э)2х-4 = 812^; б) 4^2^ = 0,25х' +5х. Решение. а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению 6 3х +1 = 3х. Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели: х + 1 = ^. х Решив это уравнение, получим х1 = -3, х2 = 2. Правообладатель Народная асвета 124 б) ^32^ = 0,25x2 +5x ^ 2 4 = 2-2(x2 +5x) ^ ^4^ = -2-10x ^ ^ 8x^ + 45x = 0 ^ x(8x + 45) = 0 ^ ^ ^x = 0 или x = -^45j. Ответ: а) -3; 2; б) 0; - ^45. [г А I При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе I i I части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней. Пример 3. Решить уравнение: а) 8 • 23x -1 - 23x + 5 • 23x+2 = 92; б) 3x = 5x. Решение. а) Данное уравнение равносильно уравнению 23x -1 ^8 - 23x -(3x -1) + 5,2Зx + 2 -(3x -1) ^ = 92 Решая его, получаем: 23x - 1(8 - 2 + 5 • 23) = 92; 23x - 1 • 46 = 92; 23x - 1 = 2. Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. 3x - 1 = 1, откуда находим x = -3. б) Разделив обе части уравнения на 5х > 0, получим уравнение ^j = 1, равносильное данному. Решив его, получим ^j ^, т. е. х = 0. Ответ: а) -2-; б) 0. При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной. Пример 4. Решить уравнение 9x - 12 • 3x + 27 = 0. Решение. Обозначим 3x = t, тогда 9x = t2. Таким образом, из данного уравнения получаем t2 - 12t + 27 = 0, откуда находим: t = 3 или t = 9. Итак, с учетом обозначения имеем: Правообладатель Народная асвета 125 ш 3^ = 3 или 3^ = 9; X = 1 или X = 2. Ответ: 1; 2. При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной. Пример 5. Решить уравнение 32 + 2х = 16 - 3х. Решение. Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14). Ответ: 2. Пример 6. Решить уравнение 6х - 81 • 2х - 8 • 3х + 648 = 0. Решение. 3х • 2х - 81 • 2х - 8 • 3х + 648 = 0 « « 2х(3х - 81) - 8(3х - 81) = 0 « « (3х - 81)(2х - 8) = 0 « « (3х - 81 = 0 или 2х - 8 = 0) « « (3х = 34 или 2х = 23) « « (х = 4 или х = 3). корнем уравнения Ответ: 3; 4. Пример 7. При каком значении а 31 + х - х = 3а - 8 является число, равное 2? Решение. Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство 31 + 2 - 22 = 3а - 8, т. е. 3-1 = 3а - 8. Решив это уравнение, найдем а = 7. Ответ: при а = 7. 1. Сформулируйте следствие из равенства степеней с положительными отличными от 1 основаниями. 2. Приведите примеры показательных уравнений. 3. Опишите способ решения уравнения вида а > 0, а Ф 1. 4. Опишите способ решения уравнения вида 216 • 6^(х) = (^3^^^(х) а!(х) = а^(х) при Правообладатель Народная асвета х 126 5. Опишите способ решения уравнения вида 13 • 6^^х^ = 7 • 6^<х) + 1 - 6^(x) + 2 + 42. 6. Опишите способ решения уравнения вида 5 • 49^<х) - 34 • 7f 1. Если > а\ то s > t. Пусть 0 < а < 1. Если а“ > а‘, то s < t. Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0 < а < 1 большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. При решении показательных неравенств, так же как и при решении показательных уравнений, приходится использовать представление обеих частей неравенства в виде степеней с одним и тем же основанием, разложение одной из частей неравенства на множители, введение новой переменной. Пример 1. Решить неравенство 73^ -^ < 7^ +3^. Решение. Поскольку из двух степеней с основанием 7 больше та, показатель которой больше, то данное неравенство равносильно неравенству 3X - X < X + 3X. Решим его: 2X2 - 4X < 0, 2X(x - 2) < 0, 0 < X < 2. Ответ: (0; 2). Пример 2. Решить неравенство 0,52X-3 > 0,2s1 -х. Решение. Данное неравенство равносильно неравенству 0,52х-3 > 0,52(1 -х). Поскольку из двух степеней с одинаковым основанием 0,5 больше та, показатель которой меньше, то имеем 2X - 3 < 2(1 - х), 4X < 5, X < 5. Ответ: (-^; 1,25]. Правообладатель Народная асвета 132 Пример 3. Решить неравенство 50’3^ + 2 • 50’3^ +2 < 10,2. Решение. Данное неравенство равносильно неравенству 50,3"2 (1 + 2 • 52) < 10,2, откуда 2 50,3" • 51 < 10,2, 50,3"2 < -1, 50,3"2 < 5-1. Поскольку из двух степеней с основанием 5 больше та, показатель которой больше, то данное неравенство равносильно неравенству 0,3х2 < -1. Решений нет, так как 0,3х2 > 0 при любых значениях х. Ответ: нет решений. Пример 4. Решить неравенство 7 • 4х +1 + 5 • 22х < 14 • 22х +1 + 40. Решение. 7 • 4х +1 + 5 • 22х -14 • 22х +1 < 40 ^ 22х (7 • 4 + 5 -14 • 2) < 40 ^ ^ 22х < 8 ^ 22х < 23 ^ х < 1,5. Ответ: (-^; 1,5]. 2 Пример 5. Решить неравенство 0,09 < 0,3х < 1. Решение. Данное неравенство перепишем в виде 0,32 < 0,3х2 < 0,30. Поскольку из двух степеней с основанием 0,3 больше та, показатель которой меньше, то имеем: 2 > х2 > 0, 0 < х2 < 2, 0 < |х W2, -'J2 < X < 0 или 0 < X < \/2. Ответ: [^2; 0) U (0; s[2]. Пример 6. Решить неравенство 5 • 495х1- 3 - 34 • 75х1- 3 - 7 < 0. Правообладатель Народная асвета 133 Решение. Пусть 75-3 = t, тогда 495^3 = Использовав эти обозначения для данного неравенства, получим 5t^ - 34t - 7 < 0. Решив это неравенство, получим: -| < t < 7, т. е. ^ -5, 5 [t < 7. Поскольку t = 753 > 0, то t > —5 при любых значениях х. Остается решить второе неравенство системы: Получим: 75х1- 3 ^ 7. 51Х — 3 < 1 ^ 51Х < 4 ^ |Х < I ^— I < х < ^. Ответ: [-^: :|]. А Пример 7. При каких значениях т любое значение х из промежутка [9; 10] является решением неравенства 32х - m < 81? Решение. 3 2 х - m < 81 ^ 3- 2 х - m < 34 ^ 2 х - m < 4 ^ х < 4 + m Чтобы решением неравенства 32х - m < 81 являлось любое значение х из промежутка [9; 10], необходимо, чтобы промежуток [9; 10] входил во множество решений данного неравенства, т. е. в промежуток (-^; ^^2^) (рис. 33). Итак, имеем: 10 < ^ 20 < 4 + m ^ m > 16. Ответ: при m > 16. А У/////////////Ш, 10 А+т X Рис. 33 1. Приведите примеры показательных неравенств. 2. Опишите способ решения неравенств вида: а) 0,375f(х) < 0,375®(х); б) 3,75f(х) < 3,75g(х). 3. Опишите способ решения неравенства вида 5.49f(х) - 34.7f(х) - 7 > 0. Правообладатель Народная асвета 134 4. Опишите способ решения неравенства вида 13 • + 7 • 6f(x) + 1 < 6f(x) + 2 + 114. 5. Опишите способ решения неравенства вида 343 • 7g(x) > (47)8f(x). Упражнения Решите неравенство (2.72—2.86). 1) 3x > 9; 2) 6x < 36; 3) (ik)' < ik; 4) (1 )x > ) Uz 4; 5) (^)' ^ 2; 6) 4x < ^; 7) 23- < -i-; 8) 52x ^ iTs. 1) 5- - <-155;, 2) 7-x W7; x 3) > ^Гг; 4) (^)-* > ^^; 5)9-5 x ^ 2 x 6) 25-3 ■■ ^ 115; 4 x 7) 7 > 0,1; 8) 0,01 5 < 1000. 1) 2-2 - 4 > 1; 2) 5x2-16 < 1; 3) 0,7-2-27 < 0,79; 4) 0,6x2 > 0,362; 5) 0,25--2 +3x < 256; 6) 0,5-x2-2x > 8; / 7\2x2 - 3x 9 7)( 9) > 7; 8) (if )■'- 3"' ^ 1. 1)3x* >(^)2■■-3; x2 2) 54 x+3 <( IS-)2; 3) (7912; 83 ; 5) 8 • 2x2-3x < (0,5)-‘; 6) 9 • 3x2-4x > 3-1. 3 x2 -4 x ‘)‘25•(IT)_ <( 19) 5x ; 2) 4 •11) 3) л/Э2 • 2-4x2 > 83x; 4) V27 • 3-' 1 -3 x 5) 25 • 0,042x > 0,2x(3-x); 6) 4 • 0,5x(x +3) < 0,252x. Правообладатель Народная асвета 135 2.77. 1) 52-3х -1> 0; 2) / ^2 - 4х (^2) -1 < 0; х - 3 х + 5 2 3) пх +1 < 1; 4) / п\ х2 - 9 ^ 1; ^ 1; х2 - 4 х2 - 16 5) () х- 1 > 1; 6) (1Т)х *3 «1. 1 - ^ 1 * 1 2.78. 1) (0,5) х > 8 • (0,5)х; 2) 2 х > 0,5 • 2х; х + 2 2 х - 3 3 3) (0,3)х-1 < (0,3)х-1; 4) (0,1)х*1 > 10х*1 3 х - 1 3 х - 4 5) (0,4) х +1 < (2,5)х +1; 6) (0,5) х-2 < 2х-2 х2 - 4 х2 - 3 7) (0,5) х > 8; 8) (0,2) х < 25. 2.79. 1)5х+2 > 625; 2) 9х-^ < 81; 3)(^ 1х+3 .(3)-■ ; 4) (.1)'х-9.(^4)--; 5) 2I2х + 3 ^ 24х-1 • 6) 10I2х * 5 < 10I7 - х1 3)( ^3, < 1; 5) 2,6tg" < 1; 7) 0,13ctg" > 1; 2.80. 1) < 125; 3) з/-^2-3^ +4 ^ 9; 2.81*.1) 3'13‘+4 > J-; 3) J1 ух2 + x-12 ^ 5х; 2.82*. 1) 5cosх > 1; 2) > 64; 4) 7'1х2 + х +1 < 7. 2) ^24 - 5 х ^ 2 х . 4) б^7 +3 х ^ 6х ■ 2) 6sinх < 1; 4)(тт) ^1; 6) 0,54ctgх < 1; 8) 9,68tgх > 1. 2.83*.1) 0,7sinх < 1^3; 3) 6,2cosх > 6-т; 5) 4,5tgх < -|; 7) 0,24ctgх > ^6,; 2) 0,4cosх > ^3; 4) 7,4sinх < ^; 6) 0,65ctgх > ,2|; 8) 3,6tgх < т58. Правообладатель Народная асвета sin х 136 2.84° . 1) 3"+2 + 3"-1< 28; 2) 2" - 1 + 2" + 3 > 17; 3) 32" +2 - 32" -1 > 78; 4) 53" +1 - 53"-3 ^ 624; 5) 22" -1 + 22" - 2 + 22" - 3 > 448; 6) 32" - 2 + 32" -1 - 32" - 4 < 315; 7) 2" - о —" - 1 —" - 2 + 83 - 42 2 < 10; 2(" - 2) 8) 4" . - 22"-2 + 8 3 > 52; 9) 2" - 1 + 2" - 2 - 3 • 2"- 3 > 3 • 4' 10) 3" +3 + 3" +2 - 2 • 3- " +1< 10' 2.85. 1) 22" - 3 • 2" + 2 < 0; 3) 9" - - 3" - 6 > 0; 5) 52" +1 + 4 • 5" -1 < 0; 7) 32" +2 - 3" +4 > 3" - 9; 2.86. 1) 0,04 < 5" < 125; 3) ^7 <^/з)" < 81 • 5^9; 5) 0,125 < 5"2 < 5; 7) 0,16 < 0,42"-1 < 1; 2.87. Решите систему неравенств: 1 I 62" ' 36 ’ 2) 32" - 4 • 3" + 3 < 0; 4) 4" - 2" < 12; 6) 32" +1 + 11 • 3" > 4; 8) 9" +1 - 3" +3 > 3" - 3. 2) ^6 < 6" < 36; 4) з2 )" < 64 • ^4; 6) 0,0081 < 0,3"2 < 1; 8) 0,00032 < 0,24"-2 < 1. 2) 4) 5) * 6) * "2 + " - 2 > 0; 52 - 3" -1 > 0, "2 - " - 6 < 0; [3" - 7 > 2, [" + 8 < 3 или 2" + 4 > 5; f4" -10 < 6, 4" -1 < - 5 или 2" + 3 > 5. |33 - " > 9, ["2 - 2" - 3 > 0; "+3 -Т) - 2 > «• "2 - " - 20 < 0; Правообладатель Народная асвета 2 137 2.88. Найдите естественную область определения выражения: ~1 I , 1 1) бв1 ^/3^; 3) 19 \ x + 3 12 x - 4 ’ 2) ^2^- 32X ; 4) 1 2X + 3 2X +1 + 1 2.89*. Докажите, что при любых значениях х верно неравенство: 1) 0 09s‘“2 x +cos2 x -1 > ^1 ■ 2 о / ■^ \ 1 + cos X - 2cos2 — 2) 7,3s‘“ x-3 <1 -I 2 Л \ l - 2sin2 — - cos x 2 c ^ 2 ^ /1 c:cos x - 5 . > 4,5c' 3) (;l) 4) 0 07cos2 x - sin2 x - cos 2 x ^ ^ 1 1 jx 2.90*.1) При каких значениях а любое значение х, большее -1, является решением неравенства 5x+a > 125? 2) При каких значениях а любое значение х, меньшее 1, является решением неравенства 4x+a < 16? 2.5. Логарифмы Множеством (областью) значений показательной функции у = ax (a > 0, a Ф 1) является множество всех положительных чисел. Значит, для любого положительного числа b найдется такое значение аргумента с, что ac = b. Такое значение аргумента единственное, так как если b = ac и b = ad, то по следствию из п. 2.3 верно равенство с = d. Это единственное значение аргумента с называют логарифмом числа b по основанию a и обозначают loga b, т. е. с = loga b. Таким образом, равенство с = loga b означает, что b = ac. Сформулируем определение логарифма еще раз. Определение. Пусть a > 0, a ф 1, b > 0. Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b. Правообладатель Народная асвета 4 138 Приведем несколько примеров: а) logg 125 = 3, так как 125 = 53; так как = 5 б) l0g5 = -3 в) logi^1r = 4, так как t1! =()4; г) log71 = 0, так как 1 = 70; д) logg (-9) не имеет смысла, так как значение выражения 9^ при любом значении х положительно и не может быть равно -9; е) по определению логарифма не имеют смысла и такие выражения, как log-2 4, log0 1, log1 3, log1 1, поскольку основанием логарифма должно быть положительное число, отличное от единицы. Нахождение логарифма числа называется логарифмированием. Обозначим log^ b = s. Тогда, согласно определению логарифма, верно равенство as = b, т. е. a'“g = b. Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Согласно этому тождеству, например, имеем: 5iog5125 = 125; 5^5125 =^ log^^ ^ 1log1l11 125 ’ — 3 3 = 7log71 = 1 81 ш Основное логарифмическое тождество позволяет данное число b представить в виде степени с любым положительным основанием. Например: 17 = 3log317 = 0,11log01117 = () log 2 17 3 Логарифмы были изобретены в 1614 г. шотландским математиком Д. Непером (1550—1617) и независимо от него на 6 лет позднее швейцарским механиком и математиком И. Бюрги (1552 — 1632). Оба исследователя хотели найти новое удобное средство арифметических вычислений, но их определения логарифма различны и у обоих не похожи на современные. Понимание логарифма как показателя степени с данным основанием впервые появилось в XVIII в. в работах английского математика В. Гардинера (1742). Широкому распространению этого определения логарифма более других Правообладатель Народная асвета 139 содействовал Л. Эйлер, который впервые применил в этой связи и термин «основание». Термин «логарифм» принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов логос — отношение и арит-мос — число. Слово «логарифм», таким образом, означало «число отношения». Пример 1. а) Записать число л/3 в виде логарифмов по основанию 3; V7. б) Записать число -5 в виде логарифмов по основанию ^4 и X (х > 0; x ^ 1). Решение. а) По определению логарифма имеем: n/3 = 1сез3/3, V3 = 1og3 (^2) 3\J3 43 = io^7 [47 f. б) По определению логарифма имеем: -5 = 1ogi (^4) ®= 1ogi45 = 1ogi1024; 4 4 4 -5 = 1ogX X^® = 1ogX 31^. Пр имер 2. Между какими целыми числами находится число 1og2 17? Решение. Пусть 1og2 17 = p, тогда верно равенство 2р = 17. Поскольку 24 = 16 < 17 = 2р и 2р = 17 < 32 = 25, то 24 < 2р < 25. По свойствам показательной функции с основанием 2 имеем 4 < р < 5. Значит, 1og2 17 находится между числами 4 и 5. Ответ: 4 < 1og2 17 < 5. Пример 3. Решить уравнение: а) 3х = 2; б) 3х = 2х - 1. Решение. а) Поскольку 3х = 2, то по определению логарифма X = 1og3 2. имеем б) 3х = 2х-1 ^ 3х = ^ ^ (^3) = 2 ^ X = 1og2 2. Ответ: а) 1og3 2; б) 1og2 2. 3 Правообладатель Народная асвета 140 m Логарифмы по основанию 10 имеют особое название — десятичные логарифмы. Десятичный логарифм числа b обозначается Ig b. Таким образом, Ig b = log10 b. A Особое обозначение и название имеют не только десятичные логарифмы, но и логарифмы, основанием которых является число е: loge b = In b. Такие логарифмы называются натуральными. Логарифмы по основанию е позволяют выражать математическую зависимость, которая характеризует многие биологические, химические, физические, социальные и другие процессы. По-видимому, этим объясняется и название «натуральные логарифмы», т. е. естественные (этот термин ввел в 1659 г. итальянский математик П. Менголи). Натуральные и десятичные логарифмы имели большое значение для облегчения вычислений в XVII—XX вв. до создания мощных современных вычислительных средств. Натуральные логарифмы имеют и большое теоретическое значение. А 2.91 1. Сформулируйте определение логарифма. 2. Сформулируйте основное логарифмическое тождество. 3. Как обозначаются и называются логарифмы по основанию 10? 4. Докажите, что при любом a > 1: а) loga1 = 3; б) logaa = 1. Упражнени я . В какую степень нужно возвести число 10, чтобы число: 1) 100; 2) 10 000; 3) 1000; 4) 10; 5) 1; 6) 0,1; 7) 0,001; 8) 10000; 9)тт-; 10) ТГС; 11)flf; 12) 7100' Правообладатель Народная асвета 141 2.92°. Запишите равенство с помощью логарифма по образцу 7-2 = :49’ т. е. -2 = log7:49: 1) 23 = 8; 2) 34 = 81; 1 3) 103 = 1000; 1 4) 643 = 4; 5) 31 = 3; 6) 60 = 1; 7) 0,112 = 0,0121; 8) 2,12 = 4,41; 9) (IF )-4=16; 10) )-3=27; 11) (13 )-1=13; 12) (10 )-1= 2.93°. Представьте числа 0; -1; 1;-2; 2; -0,3; 0,3; -42; 42 в виде логарифма по основанию: 1) 7; 2) 5; 3) :4; 4) '' 6’ 5) 0,11; 6) 0,2; 7) 2,5; 8) 1,3. Представьте в виде логарифмов с основаниями 0, (х > 0; x ^ 1); х - 2 (х > 2; х ^ 3); т2 (т Ф 0; ^ ^ 1) -2; 2) -3; 3) -1; 4) -1; 5) 3; 9) .2; 6) 2; 10) з^; 7) 7) 3; 11) 0; 8) 1; 12) 10. Найдите логарифм числа по основанию 3: 1) 9; 2) 1; 3) ^; 4) —; '' 81’ 5) ir; 6) 43; 7) ¥9; 8) 3^. Найдите число, логарифм которого по основанию 1) 0; 2) 1; 3) -1; 4) -3; 5) 2; 6) 3; 7) 7) 2; 8) ^. Найдите а, если log 1 а 16 равен: 1) 1; 2) 2; 3) 4; 4) -4; 5) -1; 6) -2; 7) -7) 2; 8) ^. Правообладатель Народная асвета 142 Вычислите (2.98—2.105). 2.98°. 1) log216; 4) log2l; 7) log2^14; 2.99°. 1) log3 81; 4) log3l; 7) log3 243; 2.100°. 1) log^4; 2 4) logi:2; 2 2 7) logi 128; 2.101. 1)log6sin-|; 2) log2 2; 5) log2:1; 8) log2 5^; 2) log3 27; 5) l°g3i1; 8) log3^k; 2) log11; 2 5) log1 ^2; 8) log1^2; 3) log2 64; 6) log2^1; 9) log2 (2^2). 3) log3:1; 6) log3 3; 9) log3 (3^^). 3) log10,125; 2 6) log132; 2 1 9) log1 1 22Г2- 2) log4sin-|; 3) log0.25Cos;|; 5) log1tg^43n; 3 7) log3ctg(-150°); 4) log1cos^n; 8 6) log0,5 ctg^4^; 8) log1tg(-120°). 2.102. 1) log,^2tg34n_ 8cosin; 2) lo^^V^^+^n^; 3) log^6sin^6n + 2cos^3^; 4) log^4sin1|n- 2cos^6n 2.103°. 1) 3‘°gз18; 2) 5^°g510; 3) 10^°glo1 ; 4) 4l°g48; 5) 2^°g21; 6) 12^°gl2100 • , ^^°gl6 / Ч ^‘°g3 IT 7) 7^°g77; 8) (:r) ‘ ; 9)(t6 ) 16 2.104. 1) (2^°g25)2; 2) (6^°g62 )4; 3) 25^°g53; Правообладатель Народная асвета 2 3 143 4) 4l°g26; 7) 27- l°g32; 2.105. 1) 22 + ‘°g25; 4) 251 - '°g2s15- 5) 3-‘°g33; 8) (1 )‘0g2^-Ms/ ’ 6) 4- 10g416 ; 9) 1 \log510 125/ 2) 32 + iog310- 5) 5 • 3‘°g34-1; 8) (8)‘“g25 *1; 7) 27l°g36 -1 • 2.106. Найдите значение выражения: 1) log1 (log3 27); 3 3) log2 (logs8^); 5) log3(3log2 8); 3) 52-log510; 6) 4 • 5log510 - 2; 9) -2 100/ 1 2) log3 (log1 ^); 4) log4 (log^s/s!) 7) log6(3log2 4)3; 2.107. Вычислите: 1) 2log525 + 3log2 64; 3) 2log2^4 _ 3log127; 6) log3(3log3 27); 8) lg(5lg100)2. 2) 4log6 216 _ 2log0,5 8; 4) 5log1 625 + 8log41; 5) log4log16 256 + log4 2; 7) I •(log381 + 16log23 )l°g8525; 8) 1 •( lg10 + 9log37 )l°g5°3; 9) 3log2:4 + log35; 10) 9log92 + log5215. Решите уравнение (2.108—2.110). 2.108 6) log2log4 16 + log12; 2 1) log3 ^ = 3; 2) IgX = 1; 3) log5 X = 1; 4) IgX = 0; 5) log4 X = 2; 6) log7 X = _2; 7) IgX = _1; 8) log0,1 X = _2; 9) log8 X = _,3, 1) log X16 = 2; 2) logX 5 = _1; 3) logX 81 = _4; 4) log X {2s[2) = ^2; 5) logX 64 = 6; 6) log X 36 = _2; 7) log X ^ = _3; 8) log X = )2; 9) logX 1 = 2; 10) logX 16 = 4; 11) log X1 = _3; 12) log X ^ = _1 Правообладатель Народная асвета 5 144 2.110. 1) 4X = 5; 2) 6X = 2; 3) 5 4) (^1)'+1 = 6; 5) 7X +1 = 3X; 6) 8 7) (i1)'-1 = 5X; 8) 2X -' = (i5)X; 9) 3' X - 1 - 2 = 8; = 10X; / о \ X + 1 2.111. Имеет ли смысл выражение: 1) log2 (3 - ^/2); 2) log4 (5 - ^/2); 3) log2^/б4; 4) log3-Л^8; 5) log. п (п-1); 6) logcos2 п (4 -п); sin — 2 7) Vlog2 0,6; 8) 7log4 0,9? 2.112. Между какими целыми числами находится число: 1) log3l5; 2) log6 200; 3) logo,5l000; 4) log1 10; 5) log5:1; 6) log1Tl? 4 2.6. Основные свойства логарифмов Теорема 1. При любых положительных значениях b и c верно равенство: logа (bc) = logab + logaC; loga 7 = loga b - loga C. (1) (2) Доказательство. Докажем утверждение (1). По основному логарифмическому тождеству а‘°gа(bc) = bc = a‘°gab. a‘°gac = I по свойствам степени | log ab + log ac =a Таким образом, имеем: a loga (bc) = a *°gab + *°gac Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (1). Докажем утверждение (2). Преобразуем левую часть равенства (2): loga -c = loga -c + loga c - loga c = Правообладатель Народная асвета 3 145 I используя равенство (1), получим | = log a (^ • c) - log a c = loga b - log „ C. S Заметим, что равенство (2) можно доказать тем же способом, что и равенство (1), — сделайте это самостоятельно. Равенство (1) означает, что логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел. Равенство (2) означает, что логарифм дроби с положительными числителем и знаменателем равен разности логарифмов числителя и знаменателя. ш Замечание. Равенства, доказанные в теореме 1 (как и другие равенства этого пункта), являются тождествами. Действительно, каждое из них превращается в верное числовое равенство при любых значениях а, b и с, для которых входящие в равенство выражения имеют смысл. Теорема 2. При любых значениях s и положительных значениях b верно равенство log ab = s log ab. (3) Доказательство. По основному логарифмическому тождеству a‘°gabs = b^ = (a‘°gab f = I по свойствам степени | Таким образом, имеем = as logab. a‘°gabs = as logab. Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (3). S Следствие 1. Если числа и и v одного знака, то имеет место равенство log a (UV) = log + log \V . (4) Следствие 2. При любом целом k и и Ф 0 имеет место равенство logaU = 2k loga I U |. (5) Докажите эти равенства самостоятельно. Правообладатель Народная асвета 146 Пример 1. Найти значение выражения: а) log2 60 - logglS; б) lg125 + lg8; Решение. в) logs 243. а) log2 60 - log215 = log2 ^60 = log2 4 = 2; б) lg125 + lg8 = lg (125 • 8) = lg1000 = 3; в) log3 243 = log3 35 = 5log3 3 = 5. Ответ: а) 2; б) 3; в) 5. Теорема 3. При любых значениях a > 0, a Ф 1, b > 0, b Ф 1 и c > 0 верно равенство logb c = loggc loga b ' (6) Доказательство. Способ 1. По основному логарифмическому тождеству имеем b‘°gbc = c. Прологарифмировав левую и правую части этого тождества по основанию a, получим loga (b‘°gbc ) = logac. Применив тождество (3), имеем logb c • loga b = loga c. Так как b Ф 1, то loga b Ф 0. Поэтому левую и правую части этого равенства можно разделить на loga b. В результате получим тождество (6). S Способ 2. Пусть logj,c = x, тогда с = Ь^. Логарифмируя обе части этого равенства по основанию a, получаем logac = logabX , т. е. logac = X loga b. Откуда имеем Итак, logb c = x = loga c loga c loga b ' "b loga b ■ Тождество (6) называется формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию. Правообладатель Народная асвета 147 Обычно в таблицах, калькуляторах даются значения логарифмов по основанию 10, а когда нужно найти значение логарифма по другому основанию, пользуются формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию. Следствием из тождества (6) при основании а = c является формула 1 (7) (убедитесь в этом самостоятельно). Пример 2. Найти значение выражения, если log3 p = m: а) log/3 - logi p + log^Jp; 4 3 б) log/3 p - log4l3 • logi3 4 + 1. Решение. а) log^ p^ - log1 p + log^/p = 3 I согласно тождеству (6) имеем | = log3 p2 log3 p + log^Jp = log^/a log3-3 log39 I используя тождество (3), получим | = 2log3 p log3 p + 2log3 p = -1 = 4log3 p + log3 p + ^1log3 p = I используя тождество (1), имеем | = i1log3 p = I с учетом условия log3 p = m получим | = 5,25m. б) log/3 p^ - log413 • log13 4 + 1 = I на основании тождеств (6) и (7) получим | log3 p4 -1 + 1 = log^/Э I по тождеству (3) и с учетом условия имеем | 4log3 p Ответ: а) 5,25m; б) 8m. = 8m. Правообладатель Народная асвета 148 Следствие 3. Имеют место тождества: а) logaq bP = -plogab; (8) б) a^°gcb = b'°gca. (9) Тождества (8) и (9) можно доказать, используя уже доказанные тождества из этого пункта. 1 Пр имер 3. Упростить выражение А = 3 - log2 -82 9 Решение. Используя определение логарифма, представим числа 1 и 3 в виде логарифмов по основанию 2: 1 log2 2 A = 3 - log2 log2 8 - log2 -9 I по свойству (2) логарифмов имеем | log2 2 log2 2 log2 8 • 9 log2 9 8 I воспользовавшись формулой (7), получим | = log9 2. Ответ: А = log9 2. Развитие науки, прежде всего астрономии, уже в XVI в. привело к необходимости громоздких вычислений при умножении и делении многозначных чисел. Эти вычислительные проблемы были в некоторой степени решены с открытием логарифмов и созданием таблиц логарифмов. 1. Сформулируйте теорему о логарифме: а) произведения; б) частного (дроби); в) степени. 2. Докажите теорему о логарифме: а) произведения; б) частного (дроби); в) степени. 3. Запишите и обоснуйте формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию. 4*.Докажите формулу: а) log^6 • log^a = 1; б) log , 6^ = log^b; в) a‘og^b = 6‘og^a. Правообладатель Народная асвета 149 Упражнения Вычислите (2.113—2.115). 2.113° 2.114° 2.115° 1) lg5 + lg2; 3) logi2 2 + logi2 72; 5) lg25 + lg4; 1) log2l5 - log2Yf; 3) logi54 - logi2; 5) log33e84 - logg6l4; 2) lg8 + lg125; 4) log3 6 + log3l,5; 6) log6l8 + log6 2. 2) logs 75 - log5 3; 4) log8i16- log832; 6) log49 84 - log49l2. 1) log8l2 - log8l5 + log8 20; 2) log9l5 + log9l8-log9l0; 3) log2 39 - log213 - log2 24; 4) log6 34 - log6l7 + log6l8; 5) log4 91 - log413 - log4 3,5; 6) l°g5^1 - log5 + log52,5. 2.116°. Упростите выражение: 1) log315 75; 3) log218 5 2) log 20 4 15 . 12 . ,20 4) log516 11 24 Вычислите (2.117—2.119). 2.117° 2.118° 2.119° 1) log!77^89; 3) logY^625; 5) log6ffif; 1) log4 32; 4) log4YY8; 7) log^/2 64 ; 1) log3 8 + 3log3-|; 3) logo,3 9 - 2logo,3 10; 5) log^/3 + :2log2(|; 7) log/2 12 - log2 9; 2) log9^656Y; 4) logY^343; 6) log4 61024 . 2) log3216; 5) log9 243; 8) log1 ^/2; 3) log! 8; 4 6) log^2 8; 9) ^°®25i;YF. 2) lg5 + -Ylg40 000; 4) log7196 - 2log72; 6) 3lg5 + sYlg64; 8) lo^312 - log27 1 63; Правообладатель Народная асвета 8 150 9) 36 - log714 - 3log7 ^/^T; 10) 2logT 6 - -2log1 400 + 3logT ^45. Вычислите (2.120—2.122). log3 8 , 2.120°. 1) 4) 2.121. 1) 3) 5) log3 16 ’ log0,2 36 ; 1; log0,2 -T 6 log5 27 ; log5 9 ; lg(W3) lg1 3 7) log5 36 - log5 12 ; log5 9 ; lg81 + lg64 ^ 2lg3 + 3lg2 ; log2 4 + log^,/T0 log2 20 + 3log2 2 ; log2 24 - ■Tlog2 72 log3 18 - -;3log3 72 2) 4) 6) 8) lg5 . lg25; log9 1 _____^ log^/e ■ log7 8 3) 6) log715 - log7 30 ’ lg27 + l^/S ; lg2 + 2lg3 ; log714 - ^Tlog7 56 log6 30 - ■Tlog6l50 3log7 2 - -2log7 64 4log5 2 + :3log5 27 2.122. 2 9 П 8~ 1) lo^3 (2tg^8n) - lo^311 - tg 2) log9(2tg195°) - log9(1 - tg2195°); 3) logj sin375° + logj cos375°; 1 1 4) log8sin795° + log8cos795°; 5) log^(2cos 15° + 2sin 15°) + log^(cos 15° - sin 15°); 6) iog/2 (2cos -П- 2sin ) + log/2 (cos in+sin in! Найдите значение выражения (2.123—2.124). 2.123*. 1) lo^2 -1 ^/2 + 1); 3) log^/2 + 3 (3 - )' 5) log/3 +1 (4 + ); 2.124*. 1) ^ + ^; logs 6 log4 6 2) logy3 + 2 (2 ); 4) l°g7- ^12 (7 + ^Z12) 6) log5 + We + '-^). 2log2 3 log27 8. 2) log4 9 log3 4 Правообладатель Народная асвета 151 3) ()2; ^ \lg34 + lg0.2/ 5) (log 4) / log625 + 2l°g62 y*. ) \ log6 30,000125 + log6^5 ) . 72 + iog!57 2.125. Упростите выражение: 1 1) 1 + log2 3 . 2 )lg7; 6) (log е: 2) ,34 + —1— 13 log25 13 )lg13. 3) log^ -1 5 4) log4 5 - 1 1 - log2 ^7 2.126. Верно ли равенство: 1) 3iog115 _ 5iog113. 3) logg74 = 2log3 7; 5) 7 = log7 97; 6) 8 = log3 83; log2 3 2) 7*°gП4 = 4i°gП 7; 4) log1315 235 = ^3log,3 2; 7) = log2 3 - log2 5; log2 5 8) log3 7 • log3 2 = log3 7 + log3 2; 9) 5‘°g5513 = 13; 11) 4l°g5l2 _ 12*°g54 ; Вычислите (2.127—2.132). 2.127. 1)logs10 • lg5; 3) log2 10 • lg32; 5) log3 25 • log5 81; 7) log3 128 • log2^7; 10) 2‘°g27 = 7; 12) 2*°g56 = 5*°g26 ? 2) log3 18 • log18 3; 4) log4 6 • log/g 16; 6) log2 27 • log3 64; 8) logs 49 • log7^^' 2 128* 1) 7*°g87 + 3'°g52 — 2^°g53. 3) 3iog827 — 5iog6i0 + 10*°g6 2) 4‘g6 + 12‘°g5‘2 — 6‘g4; 1 4) 9iog48i — 8*°g75 + 5log78. 5) 9iog2i2 — 12*°g29 + ll4logl6ll. 1 6) 143'°g125i4 + 15iog325 — 25*°g3 15 Правообладатель Народная асвета 2 152 2.129. 1) V25‘°g65 + 49‘°g87 2) V9‘°g153 + 169‘°g2' 3) \j273l°gi63 + 6 l°g36 + 4l°g84 • 1 + ; 4) \j83l°g92 + 3 2'°g43 + 1 2.130. 1) log63 + log672 + log47 • log^2 + 5‘°g53; 2) log5 35 - log5 7 + log3125 • lo^^ 9 - 6log6 2 • - logo 53 • logi4 + 2,5 3) 81 3 ; 4) 64 - log0,25 9 ' log 1 2 + 1,5 2.131*. 1) log2 3 • log3 4 • log4 5 •... • log15 16; 2) logs 4 • log6 5 • log7 6 •... • log16 15; 3) log15 20 • log16 15 • log1716 • log18 17 • log1918 • log2o 19; 4) log1 • log1■ log1■ log1 ^ ■ log1 ^ ■ log118. 2 3 4 5 6 7 2 132 1) 2*°g4 - 2^ + 5l°g25 З/3 + 2f • 2) 6l°g36 - 3)2 + 7l°g49 Ы5 + 3)2 • 3) 5^°g'l5+ 3iog9 (^/3-4)2 • 4) 2lo^^5/5 + ^/2 + 4log16 (W2 - 5)2 2.133. Выразите через m и n, если log7 2 = m и log7 3 = n: 1) log7 6; 2) log7 1,5; 3) log7 72; 4) log7 42; 5) log7 12; 6) log7 84. 2.134. Известно, что log3 5 = m. Выразите через m: 1) log9 15; 2) log5 45; 3) log1875 375. 2.135*. Известно, что log21 14 = m и log28 24 = n. Выразите через m и n: 1) log2 3; 2)log2 7; 3) log2 21. 2.136. Найдите значение выражения: 1) lg(Юа^ • ) при lg a = 2; lg b = 3; 2) lg(TOo a" • ) при lg a = 4; lg b = 5; Правообладатель Народная асвета 153 3) Ig(l00a • ^0^) при Ig a = -2; , /3l0U10 000 \ , , , 4) Ig^—-------j при Ig b = -1; 5) I при Ig a = 1; Ig b = -1; 6) ig 0,1b W1000 • 12ab3 1^fa2b 1002 a4 • 4a5b 0,00h/ab5 при ig a = -2; ig b = -1. Найдите значение x (2.137—2.138). 2.137. 1) log5 X = 2log53 + 4log25 2; 2) log3 X = 9log27 8 - 3log3 4; 3) igX = 3lg2 + ,1lg64 - ^lg8; 4) igX = 2lg6 + ^lg25 - :1lg125; 5) igX = ig(36log65 + 102-lg4 + 4log4 49 ); 6) igX = ig(0,36iog°,64 + 42-iog42 - 3iog316) 2.138*. 1) ig X = ig( 2) igX = 3) igX = 4) igX = ig( ' iog2 10 + iog2 10 • iog2 5 - 2 iog2 5 iog2 10 + 2 iog2 5 ig25 - 2ig5 • ig2 - 3ig22 2ig5 - 6ig2 iog215 - iog2 3 + 2iog5 15 + 2iog5 3 iog5 15 + iog5 3 iog2 18 - 4 iog2 3 + 3 iog2 18 + 6 iog2 3 iog2 18 + 2 iog2 3 5) igX = ig(4iog23 • S1”®22 - 9 • 2iog32 + 2iog49) 6) lgX = ig(z^^ • z10®78 Wa • 8log78 + 7) lgX = lg((loga 6 + log6 81 + 4)(log3 6 - - log54 36)log6 3 - loga 6); 8) lgX = lg((loga 2 + log2 81 + 4)(1о®з 2 - - 2log18 2)log2 3 - loga2). Правообладатель Народная асвета 154 2.7. Логарифмическая функция Рассмотрим выражение loga х, где х — переменная, a — постоянная, a > 0, a Ф 1. Это выражение имеет смысл при любом значении х > 0 и не имеет смысла при любом значении х < 0. Таким образом, естественной областью определения выражения loga х (а > 0, a Ф 1) является множество всех положительных действительных чисел, т. е. промежуток (0; +^). Определение. Логарифмической функцией называется функция вида у = log^ x, где a — постоянная, a > 0, a ф 1. Область определения логарифмической функции — это естественная область определения выражения loga х, т. е. множество (0; +^). Графики некоторых логарифмических функций изображены на рисунке 34. Эти изображения (как и для графиков других функций) можно было получить, строя их по точкам. Отметим некоторые особенности изображенных графиков. График функции у = log2 х расположен справа от оси Oy и пересекает ось Ох в точке (1; 0). Когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» опускается вниз. А когда значения аргумента х увели- Правообладатель Народная асвета 155 чиваются, то график «медленно» поднимается вверх (см. рис. 34). Аналогично для любой функции у = log^ х при a > 1 (рис. 35). График функции у = log1 х расположен справа от оси Оу и пе- 2 ресекает ось Ох в точке (1; 0) (см. рис. 34). Заметим, что когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» поднимается вверх. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» опускается вниз. Аналогично для любой функции у = loga х при 0 < a < 1 (рис. 36). Теорема (о свойствах логарифмической функции у = loga х; a > 0, a ф 1) 1. Областью определения логарифмической функции является интервал (0; +^). 2. Множеством (областью) значений логарифмической функции является множество R всех действительных чисел. 3. Логарифмическая функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений. 4. График логарифмической функции пересекается с осью абсцисс в точке (1; 0) и не пересекается с осью ординат. 5. Значение аргумента х = 1 является нулем логарифмической функции. 6. При a > 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале (0; 1) и принимает положительные значения на интервале (1; +^). Правообладатель Народная асвета 156 При 0 < a < 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале (1; +^) и принимает положительные значения на интервале (0; 1). 7. Логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной. 8. При a > 1 логарифмическая функция возрастает на всей области определения. При 0 < a < 1 логарифмическая функция убывает на всей области определения. 9. Логарифмическая функция не является периодической. Изображение графика логарифмической функции позволяет наглядно представить эти свойства. Множество (область) значений логарифмической функции — проекция ее графика на ось Oy, а на рисунках 35 и 36 видно, что эта проекция есть ось Oy. Это значит, что для любой точки y1, лежащей на оси Oy, найдется такая точка х1, принадлежащая интервалу (0; +^), что у1 = loga х1 (свойство 2). Множество (область) значений логарифмической функции — это множество всех действительных чисел, а в нем нет ни наименьшего числа, ни наибольшего (свойство 3). График логарифмической функции проходит через точку (1; 0) и лежит в правой полуплоскости (свойства 4, 5). При a > 1 график логарифмической функции лежит в IV координатном угле, когда х е (0; 1), и лежит в I координатном угле, когда X е (1; +^ ). При 0 < a < 1 график логарифмической функции лежит в I координатном угле, когда х е (0; 1), и лежит в IV координатном угле, когда х е (1; +^) (свойство 6). Область определения логарифмической функции — интервал (0; +^), поэтому логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической (свойства 7, 9). На рисунке 35 видно, что при a > 1 логарифмическая функция возрастает на области определения, а на рисунке 36 видно, что при 0 < a < 1 логарифмическая функция убывает на области определения (свойство 8). Пусть точка M(p; q) лежит на графике функции у = loga х. Это значит, что верно числовое равенство q = loga p, следовательно, со- Правообладатель Народная асвета гласно определению логарифма верно числовое равенство p = aq. В свою очередь, последнее равенство означает, что точка N(q; p) лежит на графике функции у = ax. Заметим, что точки M(p; q) и N(q;p) симметричны относительно прямой у = X. Таким образом, каждой точке M на графике функции у = loga X соответствует симметричная ей относительно этой прямой точка N на графике функции у = ax, и наоборот. Следовательно, графики функций у = loga X и у = ax симметричны относительно прямой у = X (рис. 37). Последнее утверждение дает возможность, зная график функции у = ax, изобразить график функции у = loga x (не используя построение по точкам). А Симметричность графиков функций у = loga x и у = ax относительно прямой у = х означает, что эти функции взаимно обратны. Функции у = /(х) и у = g(x) называются взаимно обратными, если для любого х е D(f) верно равенство g(f{х)) = х и для любого X е D(g) верно равенство /(g(x)) = х. Покажем, что показательная и логарифмическая функции с одним и тем же основанием a взаимно обратны. Пусть/(х) = aX, g(X) = loga X. Тогда D(/) = R, D(g) = (0; +^). Для любого X е R g (/(x)) = g (aX) = log a aX = X loga a = x. Для любого X е (0; +^) / (g (X)) = / (log aX) = a‘“gaX = X. Покажем, что графики взаимно обратных функций / и g симметричны относительно прямой у = х. Правообладатель Народная асвета 158 Пусть точка M(p; q) лежит на графике функции у = f(x). Это означает, что верно числовое равенство q = f(p). Тогда по определению взаимно обратных функций g(q) = g(f(p)) = p. А равенство g(q) = p означает, что точка N(q; p) лежит на графике функции у = g(x). Таким образом, каждой точке M на графике функции у = /{х) соответствует симметричная относительно прямой у = х точка N на графике функции у = g(x), и наоборот. Следовательно, графики функций /и g симметричны относительно прямой у = х. А 1. Сформулируйте определение логарифмической функции. 2. Сформулируйте теорему о свойствах логарифмической функции. 3*. Обоснуйте основные свойства логарифмической функции: а) при a > 0; б) при 0 < a < 1. Упражнения Укажите естественную область определения выражения (2.139— 2.145). 2.139°. 1) Igх; 3) log2(x -1); 5) log3(3 - х); 7) log5(-2х); 2.140. 1) lg(2х^ - 9х + 4); 3) log4 (2 - 2х^ + 3х); 2) logi х; 5 4) lg(x + 6); 6) lg(6 - х); 8) logo,2 (- ). 5) log2 (4х^ + 20х + 25); 7) log5(8х -16х^ -1); 2) lg(2х^ - 5х + 2); 4) logo,1(3 + 5х - 2х^); 6) log8(9х2 - 6х + 1); 8) log3 (28х - 4х2 - 49). 5 2.141. 1) logs |х|; 3) log6 х2; 6 х - 5 , 2.142. 1) log 3) lg 4 4 х + 1 ’ х + 4 х(3 - х) ’ 2) log1,4 |х - 2|; 4) log2 х^. 2) 'og2^27+3f; 4) Ig Правообладатель Народная асвета 159 5) Ig (2X - 3)(6 + 3x) ; 7 - 4 X ^ X - 1 7) l0g14 (IX - ^); 2.143. 1) Ig^X + X -1); 3) Ig^x^ + 5x| - 6j; 5)* Ig0X + |x + 3 - 5) 6) lg"(4x + 12)(6 - x)’ 8) log3 (^x - ^4 )• 2) ig(15 - 2x -1); 4) ig(Ix^ - x - 2); 6)* IgHx - 2 + |x + 2 - 4). 2.144. 1) ig 4) ig x + 2 ; |x - 2; 3 x + 5 . lx2 - 25 ; 2) ig 5) ig x + 4 , |x - 5; x - 1 x2 - 2 x - 8 3) ig 6) ig x2 - 9 2 x - 5 ’ x2 + 6 x - 7 x + 4| ' 2.145. 1) lg(1 - sinx); 3) Tigcosx; 5) lg(arcsin x); 2) lg(1 + cosx); 4) ^lgsin x; 6) lg(arccos x). 2.146° 1) Среди точек Л(8; 3), ^4; 1|, c(16; 2), -64-; -Э) укажите те, которые принадлежат графику функции У = log4 x. 2) Среди точек К(5; - 1), -2^, N(^X; 1^, Р(-5; 1) укажите те, которые принадлежат графику функции У = logs x. 2.147. На рисунке 38 изображен график функции, заданной формулой У = loga x на множестве D. Укажите для нее: а) значение а; б) область определения; в) множество (область) значений; г) промежутки возрастания (убывания); д) координаты точки пересечения графика с осью Ох; е) промежутки, на которых функция принимает положительные значения; ж) промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения. Правообладатель Народная асвета 3) 7/| 1 тг \ о ( м : 4) 7/| О 1 < > ^ : 1 Рис. 38 2.148. Определите значение а и изобразите график функции У = loga зная, что он проходит через точку: 1) Л(4; 2); 2) 5(9; -2); 3) С(4; -2); 4) М(9; 2). 2.149. Укажите несколько точек, координаты которых удовлетворяют уравнению, задающему функцию, и изобразите график функции: 1) У = log2 ^; 2) У = logi х; 2 4) У = log4 х; 5) У = log2(-х); 2.150. Для функции (см. упр. 2.149) укажите: а) область определения; б) множество (область) значений; в) промежуток убывания; г) промежуток возрастания; д) значения х, при которых у > 0; е) значения х, при которых у < 0; ж) нули функции. Сравните с нулем число (2.151—2.152). 2.151°. 1) log3 8; 2)log2 2,5; 3) logi ^l; 2 3) У = log1 х; 4 6) У = log1(-х). 2 Правообладатель Народная асвета 161 4) lg3,8; 5) lg0,45; 7) logo,3 0,35; 8)logi_4 0,8; 2.152. 1)log6^4 - iog6-|; 3) -log2i; 5) log3 8 -1; 7) 8 - lgioi; 9) lg (:4 )-26; Сравните числа (2.153—2.155). 2.153°. 1) log315 и log3 20; 3) log^l и logi8; 2 2 5) log2 3 и log21; 7) log4 7 и log5 7; 6) log0,2 2,5; 9) log0,i10. 2) logi10 - logi7; 4) - log3 8; 6) 1 - log4 9; 8) lg90 - 2; -10 10) lgit) 2.154. 1) l^0^ и lg^^L; 3) lg20,3 и lg0,32; 5) lg(sin45°) и lg(tg45°); 2) log4 0,5 и log4 0,4; 4) log0,2 1,7 и log0,2 1,8; 6) log11 и log!-2; 2 2 9 8) logi 10 и logi 10. 2 3 2) l^/5 и lg3,5; 4) log0,10,62 и log0,10,6; 6) lg(cos30°) и lg(tg30°). 2.155. 1) lg4 + 3log711 и lg3 + 11l°g73; 2) lg0,2 + 7log311 и lg0,5 + U1”®37; 3) log2 3 + log3 2 и 2; 4) 4 и log2 5 + log3 3. 2.156. Является ли убывающей функция: 1) y = log8 ^; 2) y = log1 x; 3) y = log/3 x; 4) y = lgx; 5) y = logП x; 6) y = log0,7 x; 7) y = igsx; 8) y = log5(x + 10); 9) y = log3(3 - x); 10) y = log1 (8 - x)? 2.157. Является ли возрастающей функция: 1) y = 1 logs x ’ 2) y = 4 3) y = logtg „ x; log1 x ’ 6 4) y = logsin30°x; Правообладатель Народная асвета 2 162 6) y = logetg30° If; 8) y = logctg260°- 1)? 5) y = log , П (2f); sin — 3 7) y = logi0sin60°(4 + f); 2.158. При каких значениях а верно равенство: 1) log3 a = 8,1; 2) log2 a = -2,5; 3) log1 a = -2,9; 4) log1 a = 6,7; 1 5 5) loga 8 = 2,7; 6) loga 10 = 0,3; 7) loga 0,14 = 5,3; 8) loga 9 =-7? 2.159. Сравните числа t и p, если верно равенство: 1) log61 < log6 p; 2) log91 > log9 p; 3) log11 > log1 p; 4) log0 8 t < log0 8 p. 5 5 2.160. Определите знак произведения lg a • lg b, если: 1) a > 1, b > 1; 2) 0 < a < 1, b > 1; 3) 0 < a < 1, 0 < b < 1; 4) a > 1, 0 < b < 1. 2.161. Определите знак произведения log01 a • log01 b, используя условие упражнения 2.160. 2.162. Изобразите схематично график функции: I) У = log2(f - 2); 3) У = log2 f + 2; 5) У = log!(x + 3); 2 7) У = log1 f - 3; 9) У = log2(2 - f); II) У = 1 + log3(f -1); 2) У = log2(f + 2); 4) У = log2 f - 2; 6) У = log!(x - 3); 2 8) У = log1 X + 3; 2 10) У = log1(1 - x); 12) У = log2 (x + 1) - 1. 2.163*. Для функции (см. упр. 2.162) укажите: а) область определения; б) множество (область) значений; в) промежуток возрастания; г) промежуток убывания; д) значения х, при которых у > 0; е) значения х, при которых у < 0; Правообладатель Народная асвета 3 163 ж) координаты точки пересечения графика с осью Ох; з) координаты точки пересечения графика с осью Оу. 2.164*. Изобразите схематично график функции, зная, что a > 1: 1) У = log a x -1; 2) y = log a x + 2; 3) y = loga (x + 1); 4) У = log a (x - 2); 5) У = loga (x - 1) + 1; 6) У = log a (x + 2) - 1; 7) У = -1 - loga x; 8) У = 1 - loga x. 2.165*. Изобразите схематично график функции (см. упр. 2.164), если 0 < a < 1. Изобразите схематично график функции (2.166—2.167). 2.166*. 1) У = log2 |x|; 3) У = |log2 x|; 5) У = log2 ^x - 2) 7) У = |log2(x + 1)| 9) У = |log2 ixi; 2.167*. 1) У = logx 1; 3) У = 5‘og5x; 2) У = logo,5 |x|; 4) У = |logo,5 x|; 6) У = logo,5 0x -1); 8) У = |logo,5(x - 2)|; 10) У = -|logo,5 |x||. 2) У = logx x; 4) У = 1o‘°gx 1o , 5) У = log2 (x2 - 4) - log2 (x - 2); 6) У = log2 (x2 + 2x + 1) - log2 (x + 1); 7) У = lgtgx + lgctgx; 8) У = lg(sin2 x) + lg(cos2 x). 2.168. Определите число корней уравнения, используя изображения графиков функций: 1) 1 - x = log3 x; 3) x2 + 2 = log2 x; 5) 2x = log1 x; 2 7) log2 ix = -0,5|x|; 2) log1 x = 2x - 2; 2 4) x2 - 4 = log4 x; 6) (Г=log3x; 8) logo,2 ix = x^. Правообладатель Народная асвета 164 1) V У с) 1 0 1 д : / / 4) V У_ Cj 0 1 1 0 1 д : ■fi \\ ~ Т\ X) \ Рис. 39 2.169*. На каком из рисунков (рис. 39) изображены графики взаимно обратных функций? 2.170*. На рисунке 40 изображен график функции у = f(x); перечертив его в тетрадь, изобразите график функции, обратной данной. Рис. 40 Правообладатель Народная асвета 165 2.8. Логарифмические уравнения В этом пункте рассмотрим некоторые уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится под знаком логарифма. Уравнения такого вида принято называть логарифмическими. При решении логарифмических уравнений часто будет использоваться следующее утверждение. Следствие. Пусть a > 0, a Ф 1, и > 0, v > 0. Если loga и = loga v, то U = V. Доказательство. Воспользовавшись данными условия и основным логарифмическим тождеством, получим: ш 1) log a f (x) = loga h (x) ^ U = a ‘°gau = a ‘°gav = V. При решении уравнений часто используются утверждения, вытекающие из доказанного следствия: f f (x) = h (x), If (x) > 0; 6 = c, 2)* logf(x) b = logf(x) c ^ < f (x) > 0, .f (x) Ф 1. 2 Пр имер 1. Решить уравнение log_y3(7x + 2) = 4. Решение. По определению логарифма имеем равносильное данному уравнение 7 x^ + 2 = ^3 )4. Решим это уравнение: 7x2 = 9 - 2, x2 = 1, x1 = -1, x2 = 1. Ответ: -1; 1. Пр имер 2. Решить уравнение log5(2x) + log5 x = log5 8. Решение. Данное уравнение равносильно системе fx > 0, [log5(2 x2) = log5 8. (1) (2) Правообладатель Народная асвета 166 Уравнение (2) равносильно уравнению 2х2 = 8 (поясните почему). Решая его, получаем: x = -2 или x = 2. С учетом неравенства (1) оставляем x = 2. Ответ: 2. Пример 3. Решить уравнение log2 (x - 1) - 5log2 (x - 1) - 6 = 0. Решение. Обозначив log2 (x - 1) = t, получим уравнение t2 - 5t - 6 = 0, откуда t = -1 или t = 6. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: log2 (x - 1) = -1 (3) или log2 (x - 1) = 6. (4) Решая уравнение (3), получаем x - 1 = 2-1, откуда x = 1,5. Решая уравнение (4), получаем x - 1 = 26, откуда x = 65. Ответ: 1,5; 65. Пр имер 4. Решить уравнение log2 x + log8 x = -4. Решение. Используя формулу перехода к логарифму с другим основанием, получаем равносильное данному уравнение Решим его: log x + = -4 log2 x + log28 = 4. log2 x + log32 x =-4 « 4log2 x = -12 « « log2 x = -3 « x = 2-3 « x = -1. Ответ: -8. Пример 5. Решить уравнение 2x + 1 = 3x - 2. Решение. Поскольку 2x + 1 > 0 и 3x - 2 > 0 при любых значениях x, то можно прологарифмировать обе части данного уравнения, например, по основанию 10; в результате получим: 2x + 1 = 3x - 2 « (x + 1)lg2 = (x - 2)lg3 « « (lg3 - lg2)x = 2lg3 + lg2 « Правообладатель Народная асвета 167 2lg3 + lg2 lg(32 • 2) I ^ ^ “ lg3 - lg2 ^ ^ “ lg1,5 ^ ^ “ logl,518- Ответ: log1,5 18. В примере 5 уравнение можно прологарифмировать и по другому основанию, например по основанию 2 (сделайте это). А можно решить его и так: 2" +1 = 3" - 2 ^ (3= 18 ^ X = log1518. Пример 6. Решить уравнение log7(x + 1) - log7(12 - 2x) = log7(3 - x). Решение. Способ 1 (сохранение равносильности). log7 (x + 1) = log7 (12 - 2x) + log7 (3 - x) « (5) X + 1 = (12 - 2x)(3 - x), X + 1 > 0, 12 - 2x > 0, 3 - x > 0 Ответ: 2,5. I ^x = 7 или x = -|), 1-1 -1, x < 6, x < 3 ^ x = 2,5. Способ 2 (использование уравнения-следствия). Из данного уравнения следует, что x +1 Откуда получим: 12 - 2x = 3 - x. 2x2 - 19x + 35 = 0, x1 = 7, x2 = 2,5. Проверка полученных значений по исходному уравнению (5) показывает, что число 7 не является его корнем. Действительно, при этом значении x выражения log7 (12 - 2x) и log7 (3 - x) не имеют смысла. Значение x2 = 2,5 — корень (убедитесь в этом). Пример 7. Решить уравнение: а) logx 16 = 2; б) logx 1 = 5; в) logx 1 = 0. Правообладатель Народная асвета 168 Решение. а) По определению логарифма для уравнения logx 16 = 2 имеем: x > 0, x ^ 1 и х2 = 16. Решая последнее уравнение, находим х = -4 или х = 4, а поскольку х > 0, то получаем х = 4. б) Уравнение 1с£х 1 = 5 равносильно системе х > 0, < х Ф 1, ^ х® = 1, которая не имеет решений. Можно рассуждать иначе. Так как при х > 0, х ^ 1 верно равенство 1с£х 1 = 0, то уравнение 1с£х 1 = 5 не имеет решений. в) Любое положительное и отличное от 1 число х является корнем уравнения 1с£х 1 = 0 (поясните почему). Ответ: а) 4; б) нет решений; в) (0; 1) U (1; +^). Пр имер 8. Решить уравнение 1с£х (5х + 6) = 2. Решение: 1ogх (5х + 6) = 2 ^ х2 = 5х + 6, ^ < х > 0, х Ф 1 (х = -1 или х = 6), « <х > 0, х Ф 1 ^ х = 6. Ответ: 6. А Пр имер 9. Решить уравнение с неизвестным х: а) 1ogaX = 3; б) 1og2x = а. Решение. а) Если а < 0 или а = 1, то выражение 1ogax не имеет смысла. Если а > 0 и а ф 1, то уравнение имеет единственное решение 3 х = а . б) При любом действительном значении а уравнение 1og2x = а имеет единственное решение х = 2а. Ответ: а) х = а3 при а е (0; 1) U (1; + ^); нет решений при а е (-“; 0] U {1}; б) х = 2а при любом а е R. А Правообладатель Народная асвета 169 Решите 2.171°. 1. Сформулируйте теорему о равенстве логарифмов с одинаковыми основаниями. 2. Опишите способ решения уравнения вида: а) loga Ах) = Ь\ б) log„ Ах) = loga g(x). 3*. Опишите способы решения уравнения вида loga /(х) = loga g(x) + loga h(x). 4*. Опишите способы решения уравнения вида ri l°ga /(Х) + r2 l°ga /(Х) + r3 = О- 5*. Опишите способы решения уравнения вида logx/( х) = т. 6*. Опишите способы решения уравнения вида a/(x) = bg(x) (a > О, b > 0). Упражнения уравнение (2.171—2.196). 1) lg(4x + 1) = lgx; 2) lg(x - 4) = lg(3x); 3) log6(5x + 3) = log6(7x + 5); 4) log2 (6x + 8) = log2(3x -1); 5) logi(2x -1) = logi(x^ + x - 3); 6) logi(3x - 5) = logi(x^ - 3). 2.172°. 1) log6x = 3; 3) log8 x = --3-; 5) logo,1x = 0; 7) log2(-x) = -5; 2.173°. 1) log1(2x -1) = 1; 3) log1(4x + 5) = -1; 3 5) log4(x2 - 6x) = 2; 2.174. 1) lgx2 = 0; 3) log4x2 = 3; 5) log3x3 = 0; 7)* lnx2 = 1; 2) logsx = 1; 4) log27 x = T^; 6) lgx = 0; 8) log1(-x) = -1. 2) log1(3x - 5) = -1; 2 4) log4(6x - 1) = 1; 6) log3(x2 - 8x) = 2. 2) lgx2 = 2; 4) log6x2 = 0; 6) log4x3 = 6; 8)* lnx7 = -1. Правообладатель Народная асвета 2 170 2) log5(x2 + 1) = 1; 4) logo,2(6 - x2) = -1; 6) logo,o4(x - 2)2 = -1; 8) log3[4x + l) = 1. 2) log5log4log3 x = 0; 4) lglglog5 x = 0. 2.175. 1) log3(x2 - 1) = 1; 3) logo,5(3 - x2) = -1; 5) logg(x - 1)2 = 1; 7) log2(4x - 2) = 1; 2.176. 1) log7log2log13 x = 0; 3) log2015log3log2 x = 0; 2.177. 1) log1(5 - log3 x) = -2; 2 2) log^(3 - log3(x - 2)) = 0; 2 3) log^(1 + log2(x - 5)) = -1; 3 4) log^(2 + log^(3 + x)) = 0. 5 3 2.178. 1) lg(3x - 17) = lg(x + 1); 2) lg(4x + 5) = lg(5x + 2); 3) lg(2x2 + 3x) - lg(6x + 2) = 0; 4) log3(x2 - 4x - 5) - log3(7 - 3x) = 0; 5) lg(5x2) - lg(x3 + 6x) = 0; 6) lg(x3 + 6x2) - lg(2x2 + 12x) = 0. 2.179. 1) 2lg(x - 1) = lg(5x + 1); 2) log0,5(6 - x) = 2log0,5x; 3) lg(4x - 3) = 2lgx; 4) 2log0,2 x = log0,2 (5x2 - x); 5) 2lg(x - 1) = lg(1,5x + 1); 6) lg(12x - x2 - 19) = 2lg(x - 1). 2.180. 1) lg(x + 1) + lg(x - 1) = lg3; 2) log2 (x - 5) + log2 (x + 3) = log2 9; 3) log3 (x - 2) + log3 (x + 6) = 2; 4) lg(x - 1) + lg(x + 1) = 0; 5) logs x + logs (x - 4) = 1; 6) log2 x + log2 (x - 3) = 2. 2.181. 1) lg(x - 1) = lg2 + lg(2x - 11); 2) lg(3x - 1) = lg5 + lg(x + 5); 3) log7 x + log7 (x - 2) = log7 (2x2 - 7x + 6); 4) log3 (x2 - x) = log3 3 + log3 x; Правообладатель Народная асвета 171 5) lg(5x) + lg2- = ,1lg(x2 + x - 5); 6) lg(8x) - lg(4x) = ilg(x2 - 4x -1). 2.182. 1) log5 x - log0,2 x = 1; 2) log2 x + logs x = 8; 3) log2 x - 2log1 x = 9; 4) log4 x - log16 x = s1; 5) log9 x^ + log)3 x = 3; 6) log5 x - lo^g x = 1. 2.183. 1) log2 x - log5 x = 2; 2) log2 x - 2log3 x - 3 = 3) lg2x - 3lgx - 4 = 0; 5) log2 4 • log2 x - log3 x = 0; 6) log3 9 • log4 x + log4 x = 0. 4) lg2x - 3lgx + 2 = 0; 2.184. 1) 2lgx2 - lg2(-x) = 4; 2) 3lgx2 - lg2(-x) = 9; 3) 4log4(-x) + 2log4 x^ =-1; 4) 5log22(-x) = 1 + 2log32 x2. 2.185. 1) 2log5(lgx) = log5(10 - 9lgx); 2) 2logo,i(lgx) = logo,i(3 - 2lgx); 3) lg2x = Ig(lOOx); 4) 2log26 x = logi6(16x); 5) Ig2 x + Ig^x + ig^x _ 4 = 0; 6) ig2x + ig2;5 + ig^x-5 = 0; 7) lg2(10x) + igx = 5; 8) logl^x + logl^x = 1- 2.186. 1) 5log4 x + 3logx 4 = 8; 2) logs x - logx 5 = 1,5; 3) log4 x + logx = 1; 4) log3 x + logx 9 = 3; 5) 4log25 (x - 1) - log3 27 + 2logx - 1 5 = 1; 6) log2 (1 - 3x) + log3 27 + 16log1 - 3x 2 = 5. 2.187. 1) logx 4 = 2; 2) logx 16 = 4; Правообладатель Народная асвета 172 3) log, 1 = 6; 5) log, 1 = 3; 7) log, + 1 16 = 4; 4) log, 1 = 2; 6) log, 1 = 5; 8) log, - 1 4 = 2. 2.188*. 1) log,+2 (3,2 - 12) = 2; 2) log2, - 1 (3,5,2 - 2,5,) = 2; 3) log, + 1 (3,2 + 2, - 1) = 2; 4) log, - 2 (2,2 - 13, + 18) = 1; 5) log^(2+ 6, - 4) = -2; , + 2 6) log 1 (2,^ - 3, -1) = -2; 1 - , 7) log^/,75 (3,^ + 16, + 5) = 4; 8) log (3,2 - 28, + 64) = 4. 2.189. 1)° 3l°gз, = 6; 3)° 8log8,2 = 49; 5) 6log6l,+1' = 10; 7) 5log2, + ,‘°g25 = 10; 9) 2lg" = 16 - ,‘g2; 2.190*. 1) 5, = 7,; 3) 3, - 1 = 10, - 1; 5) 3, = 2 • 3, - 1; 7) 8^,^-2 = 6','-2; 9) 8i^-1i-5 = 14I1-,l-5- 2)° 7log 7, = 4; 4)° 11log11,2 = 25; 6) 5log5l,-1l = 18; 8) 5lg‘ = 50 - ,‘g5; 10) 7lg‘ + ,‘g7 - 98 = 0. 2) 13, = 9,; 4) 4, + 1 = 7, + 1; 6) 3, + 1 = 3 • 7,; 8) 31"1-4 = 21"1-4; 10) 0,17,2-1 = 4,2,2-1. 2.191*. 1) 2, - 1 = 5, -1; 2) 3"+2 _ 7" - 4, 5 3) 0,19 - ,2 23, + 3 5 4) 6,725-,2 _ 0,24 2.192. 1) 2, = 3; 2) 3, _ 18; 3) 10, _ 20; 4) 10, = 1. ■ 5; 5) 2,+1 _ 0,2; 6) 2, - ’ ' _ 0,1 2.193*. 1) ,lg, - 3 = 0,01; 2) ,log3 , - 3 _ 1 ; 9 ’ 3) ,‘°g5 , - 3 1 , _ 25; 4) ,^g, - 1 _ 100; 5) ,lg, = :100,; 6) ,^g, _ 1000,2; 7) ,log3 ,2 = 3,; 8) ,2lg, - 10, _ 0. Правообладатель Народная асвета 173 2.194*. 1) 4^ = 5x+7; 4) 10x - 1 = 2x; 2) 6x = 11x - 1; 5) 3x - 2 = 2x + 1; 2.195*. 1) log5((x + 19)cos x) = log5 x +19 cos x x - 8 3) 3x - 1 = 5x; 6) 7x - 1 = 5x+2. 2) log4((x - 8)sinx) = log4 3) log3 (2sinx sin2x)+ log1 (5cosx + 4sin2x) = 0; 3 4) log6(sin2x) + log1 (^cos4 — - sin4 —j = 0; 6 5) log2(3cosx - sinx) + log2sinx = 0; 6) log2(3sinx - cosx) + log2 cosx = 0. 2.196*. 1) I log53 • log3x^ -2logxx^ I = 2logx25; 2) I 3log7 2 • log2 x^ - 3logx x^ I = -24 logx 49. 2.197*. Решите уравнение с неизвестным х: 1) log «x = 2; 2) log a (x + 1) = 4; 3) lgx = a; 4) log4(x - 1) = a. 2.198*. Определите, при каких значениях а уравнение имеет два решения: 1) log2(4x - a) = x; 3) x + log1 (4x + a ) = 0; 2 2) log3(9x + 9a^) = x; 4) x + log1 (9x - 2a) = 0. 3 2.199. Решите систему уравнений: [ x ‘g y = 100, [log yx = 2; \x ‘°g2y = 4, 1) 2) 3) 4) [log xy = ^; f2'og2(3x - 4) = 8 [log9(x2 - y2) - log9(x + y) = 0,5; f3log3(2 x - 9) = 9 Ilg(x2 - y^) - lg(x - y) = 1. Правообладатель Народная асвета 174 2.9. Логарифмические неравенства В этом пункте рассмотрим некоторые неравенства, в которых переменная (неизвестное) находится под знаком логарифма. Неравенства такого вида принято называть логарифмическими. При решении логарифмических неравенств часто будет использоваться утверждение, которое следует из свойств логарифмической функции. Следствие. Пусть a > 1, и > 0, v > 0. Если logau > logav, то и > V. Пусть 0 < a < 1, и > 0, V > 0. Если logau > logav, то и < V. Доказательство. Пусть a > 1. Поскольку по условию logau > logav, то, воспользовавшись основным логарифмическим тождеством и следствием из пункта 2.4, имеем и = a‘°gau > a‘°gav = V. Доказательство утверждения при 0 < a < 1 аналогично доказательству при a > 1. Проведите его самостоятельно. S ш При решении неравенств часто используются утверждения, вытекающие из доказанного следствия: 1) Пусть a > 1, тогда ff (x) > g(x), loga f (x) > loga g(x) ^ 2) Пусть 0 < a < 1, тогда log a f (x) > log a g (x) ^ A 3) logf (x) g(x) > logf (x) h(x) ^ f (x) > 1, g(x) > 0. f (x) < g(x), f (x) > 0. 0 < f (x) < 1,N ^ I \ g(x) > h(x), или \ g(x) < h(x), h(x) > 0 Пример 1. Решить неравенство: а) log0,2g(7x^ + 2) > log0,2g9; g(x) > 0 Правообладатель Народная асвета 175 б) log5,7(3x - 4) < log5,7(4 - x); в) log^(7x^ + 2) < -4; .13 г) log 1 (7x + 2) > -4. S Решение. а) Заметим, что в неравенстве log0,29(7x + 2) ^ log0,29 9 выражение 7x2 + 2 принимает положительные значения при любых значениях переменной x. Поскольку из двух логарифмов с одинаковым основанием 0,29 больше тот, который берется от меньшего числа, то получим неравенство 7x2 + 2 < 9, равносильное данному. Решая его, имеем x2 < 1, т. е. -1 < x < 1. б) Поскольку из двух логарифмов с одинаковым основанием 5,7 меньше тот, который берется от меньшего числа, то из неравенства log5,7(3x - 4) < log5,7(4 - x) следует неравенство 3x - 4 < 4 - x. Кроме того, должны выполняться неравенства 3x - 4 > 0 и 4 - x > 0 (объясните, почему неравенство 4 - x > 0 можно и не записывать). Таким образом, данное неравенство равносильно системе [3x - 4 < 4 - x, |3x - 4 > 0. Решив эту систему, получим 11 < x < 2. Решение системы проиллюстрировано на рисунке 41. il 2 Рис. 41 X Правообладатель Народная асвета 176 Решение этого примера можно оформить так: log5_7(3x - 4) < log5,7(4 - x) « 3x - 4 < 4 - x, 3x - 4 > 0 [x < 2, [x > 11 ^ 11 < x < 2. Сравните решения примеров а) и б). Почему в примере а) достаточно решить одно неравенство 7x2 + 2 < 9, а не систему неравенств, как в примере б)? в) Отметим, что для любых значений x выполняется неравенство 7x2 + 2 > 0. Поскольку из двух логарифмов с одинаковым основанием 0 < a < 1 больше тот, который берется от меньшего числа, то получим неравенство 7x^ + 2 ^-4 которое равносильно данному. Решим его: x2 > 1, I x I > 1, x < -1 или x > 1. г) Неравенство log 1 (7x + 2) > -4 равносильно неравенству S log^(7x + 2) > log^ \ V3 'Js s Так как 0 < ^ < 1, то lx + 2 < , и, учитывая область опре- деления логарифмической функции, имеем равносильную данному неравенству систему [7x + 2 ^ 9 [7x + 2 > 0. Решив ее, получим -■2- < x < 1. Ответ: а) (-1; 1); б) (bi; 2); в) (-^; -1) и (1; +га); г) (-^2; 1). Правообладатель Народная асвета 177 Пример 2. Решить неравенство log5(2x) + logs x > logs 8. Решение. logs (2x) + logs x > logs 8 « logs 2 + logs x + logs x > 3logs 2 « « 2logs x > 3logs2 - logs 2 « « 2logs x > 2logs2 « x > 2. Ответ: [2; +^). Пример 3. Решить неравенство log2,s(x - 1) - slogo,s(x - 1) - 6 < 0. Решение. Способ 1. Пусть log0,s (x - 1) = t, тогда имеем t2 - st - 6 < 0, откуда находим -1 < t < 6. Таким образом, с учетом обозначения имеем: -1 < log0,s (x - 1) < 6, logo,s 0,s-1 < log0,s (x - 1) < log0,s 0,s6. Поскольку из двух логарифмов с основанием 0,6 больше тот, который берется от меньшего числа, то получим: I)-1 > x -1 > d)6 «4 < x - 1 < 2 < x < 3. 64 64 Ответ: [1714;3]- Способ 2 (метод интервалов). Пусть левая часть неравенства обозначена f(x). Найдем промежутки, где функция /(х) = logs s(x - 1) - Slogs s(x - 1) - 6 принимает неположительные значения. Для этого в области определения функции D(f) = (1; +^) найдем ее нули: х1 = 1-614, х2 = 3 (убедитесь в правильности вычислений самостоятельно). Затем на каждом из промежутков (^1; 1-6Lj и (1-64:; 3) определим знаки значений функции /(x), например, в точках 1118 и 2: f (1^^) = 49 - 3S - 6 = 8 > 0, /(2) = 0 - S • 0 - 6 = -6 < 0. Правообладатель Народная асвета 178 Пример 4. Решить неравенство log 2 л: + log 8 X > -4. Решение. Данное неравенство равносильно неравенству Решим его: log X + log2X > _4 l0g2 X + log28 ^ 4. log2X + iog32X > _4 ^ 4log2X > _12 « « log2 X > _3 « log2 X > log2 2_3. Поскольку из двух логарифмов с основанием 2 больше тот, который берется от большего числа, то X > -8. Ответ: ^ -1; +^j. А Пр имер 5. Решить неравенство logX(2 + x) < 1. Решение. Способ 1. X > 1, logX (2 + x) < logX X « I < 2 + X < X, или 2 + X > 0 0 < X < 1, 2 + X > X fX ^ 1, [0 < X < 1, « I ^2 < 0, или < I «X e (0; 1). Ответ: (0; 1). Способ 2. logx (2 + x) < 1 « iog^is + x) _ 1 ^ 0« log2(2 + X) _ log2X < 0« ^ log2 л: log2 л: так как функция у = log 2 x возрастающая, то числитель дроби в левой части последнего неравенства принимает только положительные значения, значит, знаменатель этой дроби должен быть отрицательным « log 2 X < 0 « 0 < X < 1. Способ 3. logX (2 + X) < 1 « iog2(2 + x) _ 1 ^ 0 « log2(2 + x) _ log2X < 0. 10g2 X 10g2 X Решим последнее неравенство методом интервалов. Пусть r(x) = logg(2 + x) _ log2 X log2 X ' Правообладатель Народная асвета 179 2 + X > 0, Найдем D{f): < x > 0, ^ x e (0; 1) U (1; +^). X ^ 1 Итак, D(f) = (0; 1) U (1; +^). Найдем нули функции f. Так как при любом значении х верно неравенство log2 (2 + x) - log2 x > 0 (поясните почему), то функция нулей не имеет. Определим и отметим над координатной прямой (рис. 42) знаки значений функции f на ее области определения. А D if) 1 ^ c + О X 1 Рис. 42 1. Как сравнить значения логарифмов с одинаковыми основаниями? 2. Опишите способы решения неравенства вида: а) log 5 f( x) < log 5 g(x); б) log 0,2 f( x) > log 0,2 g(x). Упражнения Решите неравенство (2.200—2.217). 2.200°. 1) log 2 x < 1; 2) log 3 x < 2; 4) log1 x < 0; 5) log0,3x < 0; 7) log 3x > 4; 8) log0,4 x > 0; 1) log1 (2x + 5) < 0; 3) log1(3 - 4x) > -1; 2.201° 5) log1e(4x + 3) > ^; 3) log2 x < ,2; 6) log0,9x < 2; 9) log 0,5 x > 0. 2) log2 (3x - 1; 4) log1(6 - 2x) > -2; 7) lg(12 - 5x) < 0; 2.202. 1) log4 (x2 - 6x + 10) > 0,5; 3) log0,2 (x2 - 2x - 3) > -1; 5) log2 (x2 + 3x) < 2; 7) log!(x^ - 2x) > -1; 3 6) log27(3x - 4) < ^; 8) lg(8 - 2x) > 0. 2) logs (x2 + 2x - 3) < 1; 4) log1 (x^ - 4x + 3) < -1; 6) log0,2 (x2 + 4x) > -1; 8) log2 (x2 + x) < 1. Правообладатель Народная асвета 180 2.203. 1) lg(x^ + 2x + 2) < ; 2) 1с£з(х^ + 7x -15) > cos(2016n); 3) 1og1(x^ - 5x + 7) > cos-2017”' 4) 1g(x^ - 8x + 13) < cig 2 11171 2 ■ 2.204. 1)1og32^x^x > -1; 3) iog1^2x-:7 < -1; 2 5) 1g3x^+17 < 0; ' ^ x + 1 2.205. 1) 1og/271og1 (2 + x) > 0; 2 3) 1og2 1og^5(x -1) < 1; 5) 1og11og/5(x - 4) > -1; 7) 1og6 1og, 2 x + 4 < 0; о \ 1 35 x ^ 1 2) 1og1-^ ^ -i2; 4 4) 1ogз-;x+-l5 <1; 6) 1og13x:=24 > 1. 2 2) 1og811og1(x - 2) < 0; 4 4) 1og4 1og^(2 - x) < 0,5; 6) 1og4 1og 1 (x + 1) > 0,5; Г2 8) 1og1 1og3 > 0. 2.206*. 1) 0,41o^^1gx > 1; 3) 0,91°g/21g(-x) > 1; 2) 40 4) 0,1 log0,1l°g5 ( - -x ) < 1; lglog22 x < 1. 2.207. 1) log2(3 - 2x) < log213; 2) log1(1 - 3x) > log14; 3) log0,7(2x - 7) > log0,75; 4) log2,7(3x + 8) < log2,j5; 5) log2 (4 - ^x) - log2 8 < 0; 6) log0,25 (2 - lx) - log0,25 2 > °; 7) logsin2(x" + x - 2) > logsin2(6 - x); 8) logcosi,5(x" - x - 2) < logcos1,5(6 + x). 2.208. 1) log1(2x - 1) + log112 > log110 + log1 6; Правообладатель Народная асвета 5 2 x x 6 181 2) log4 (x + 6) - log4 9 < log4 2 - log4 6; 3 3 3 3 3) lg(x -12) + 2lg4 < lg24 + lg2; 4) logi (2x + 8) + logi 8 > logi 12 + 2logi 2. 6 6 6 6 2.209. 1) logs (x + 13) < logs (x + 3) + logs (x - 5); 2) log4(x + 32) > log4(1 - x) + log4(8 - x); 3) lg(x - 3) + lgx < lg(^2x + 4); 4) log9(x + 1) - log9(S - x) > log9(2x - 3). 2.210. 1) lg(x + 2) + log 1 (x + 2) > -1; ^|io 2) log2(x - 1) + log^(x - 1) > -2; V2 3) 2log1(x - 2) + 3logs(x - 2) < 1; s 4) 2log2(x + 1) + logo,s(x + 1) < 2; s) log4(x -1) + log/2 (x -1) > 2,s; 6) log4(x - 3) + log2(x - 3) < 1,s. 2.211. 1) log0,2(x -1) > 4; 2) log1(x - 3) > 1; 3) log2(4 - x) < 1; 2.212. 1) log2 x - log3 x - 6 < 0; 2) log2 x - 3log2 x - 4 > 0; 3) log3 x - 2log3 x < 3; 4) log0,2 x - slogo,2 x < -6; s) log2 x + 3log2 x > 4; 6) lg2 x - 3lgx > 4; 7) lg2(-x) + lgx^ < 3; 8) 3lg2(-x) - slgx^ + 3 > 0. 4) log2(s - x) < 4. Правообладатель Народная асвета 182 2.213. 1) log2(5 - x) - 61о£з(Б - x) + 5 < 0; 2) log2 (4 - x) - 10log1(4 - x) + 9 > 0; 3 3 3) log2(x - x^ + 2) + 3log05(x - x^ + 2) > -2; 4) log25(3x - x2 + 4) - 6log2(3x - x2 + 4) < -8. 2.214. 1) log3 x - logx 3 > ^3; 3) logi x > logx 3 - -|; 3 2.215*. 1) logx(x + 2) < logx(3 - x); 2) log2 x - logx 2 < -|; 4) log3 x + logx 9 < 2. 2) logx-1 (2x - 1) > logx-1 (x + 6); x - 1 3) log 4) logx + 4 x + 3 x + 2 x - 2 x + 3 2; x + 3 2 < log < log x+42; 5) log4-x(x - x - 2) < log4-x(x + 6); 6) log10-x (x^ + x - 2) < log10-x(7x - 7). 2.216*. 1) logx-58 > 3; 3) logx +1(5 - x) > 1; 5) logx (2x - 3) < 1; 2.217*. 1) logx+1(Ux^ + 8x - 3) > 2; 3) log2x (x^ - 5x + 6) < 1; 5) log|x-2|(2x^- 3x + 1) < 0; 7) log 2(9 - 8x) < 9lgcos32n; 2) logx-5^ < 3; 4) logx-2(2x - 7) < 1; 6) logx-1(4 - x) > 1. 2) log2+x(7x^ + Hx - 6) < 2; 4) log4+2x (x^ + x - 2) > 1; 6) log|x-2|(2x^ + 3x + 1) > 0; 8) log 2(l - 7x) > 12lgsin2-5n. Найдите естественную область определения выражения (2.218— 2.223). 2.218. 1) Ig 3) lg x - 6 x + 8 ; x2 - 9x + 20 ; x - 5 x2 - 10x + 24 - 3 x + 5; 2) lg 4) lg x-5 x2 - 10 x + 24' x2 - 4 x2 - x - 2 3 x - 6. Правообладатель Народная асвета 183 2.219. 1) ^lg(x2 - lx + 13); 3) ^^logo,5(3x^ - 2x); 5) 6log2(l - x) - 1; V 3 7) ^|log0 x - 1 "°,3 x + 5’ 2.220. 1) logx-i(l - x); 3) logx (x^ + 3x + 2); ,2 2) Vlg(x^ - 5x + 7); 4) ^logi(x^ + ^3x); 6) ^1 + logo,5(2 - x); 8) 1^log° x + 1 =°.1 x-4 ■ 5) Vlogs-x(x2 - 9); 2.221. 1) 3) 5) 5-x x2 + 4 x - 5 . lg(x + 2) ; ^3 + 2x - x2 ; log2 x - 1 ’ 1 - log3(x2 - 2x), 2) logx+2(5 - x); 4) log-x (x^ + 6x - 16); 6) д/log!-x(x2 - 16). yj2x - 3 2) 4) 6) 20 - x2 - x ; lg(x + 4) ; log2(x + 2) 1 + log°,5(x2 + x) 1^/2 x + 1 2.222. 1) ^(log1 7 - log1 7) • log3(x -15); 2) ^(log16 - log1 6) • log3(x + 12); 3) 4) 1 log3 log17 3 7 4^ _ 5 log2 log5143 2.223. 1) i-;.1—T wx^^; lg(6 - x) 3) lg(x^ - x) + ; 4-x 2) , 1 ^ W3 - 21x; ’ lg(5x + 4) ’ 4) lg(x^ + x) - ; 9 - x 5) ^ + ^x"-^ + lg(6 - x); 6) X1 - x - ^x"+i + lg(x +8). Правообладатель Народная асвета 184 2.224*. Решите систему неравенств: flogo,5(2x - 4) < logo,5(x + 1), 1^x^ - 4x + 3 < 0; [logo,i(x + 1) > logo,i(5 - x), ix^ - 2x - 3 < 0; 1) 2) 3) flogo,3(x2 + 4) > 0, 3x^ -16x + 21 > o; 2logo,5 x ^ 3 5) i x2 + x - 12 2 ^ o; x2 - 6 x + 8 7) |lg(x -1) > o, |x^ + lx -1 + 3 > o; 4) flog2(x^ + 8) < o, -x^ + 1ox -16 < o; '5log5log2(x+2) ^ 3 6) i x2 - 13x + 4o ^ o- x2 - x - 6 8) |lg(x + 1) < o, I x^ + |2x - 41 + 3 < o. 2.225*. Решите неравенство: 1) log2sin^x < - 1; 3) log1 cos2x > 1; 2 5) lgtg2x > o; 2.226*. Докажите неравенство: 1) log5(2 - cos2 x) > 0; 3) logo,3(1 + sin6 x) < 0; 2) log2cos^x > - 1; 4) log1 sin2x < 1; 2 6) log3ctg^x < 0. 2) log3(1 + cos4 x) > 0; 4) log2 (3 - sin4 x) < 1. 7 2.227*. Докажите, что при любых значениях х, входящих в естественную область определения выражений, верно неравенство: 1) log74 ^2cos2-x - cosxj > log4(4 - sin2 x); 2) logo,13(1 - sin4 x) > log1,3(2sin2 -| + cosx); 3) log06(2sin2 x + cos2x) > log28(1 - cos6 x); 4) log41(3 - cos2 x) > log 3 (sin2 x + cos2 x). ’ l7 Правообладатель Народная асвета П риложен и я Материалы для повторения теоретических вопросов арифметики и алгебры курса математики 5—11-х классов ЧИСЛА Натуральные и целые числа Числа 1, 2, 3, 4, 5, возникающие при счете, называют натуральными или целыми положительными. Множество натуральных чисел обозначается буквой N. Пусть a и b — натуральные числа. Говорят, что a делится на b (нацело), если существует такое натуральное число s, что a = bs. Число b называется делителем числа а; число a называется кратным числа b; число s называется частным чисел а и b. Натуральное число, большее 1, которое не имеет делителей, кроме 1 и самого себя, называется простым. Натуральное число, которое имеет еще хотя бы один делитель, кроме 1 и самого себя, называется составным. Составное число можно разложить на простые множители, т. е. представить в виде произведения различных его простых делителей, взятых в соответствующих степенях. Наибольшим общим делителем (НОД) двух натуральных чисел a и b называется наибольшее натуральное число, на которое делятся а и b. Если НОД(а, b) = 1, то а и b называются взаимно простыми. Наименьшим общим кратным (НОК) двух натуральных чисел а и b называется наименьшее натуральное число, которое делится на а и на b. Натуральные числа называют также положительными целыми числами. Числа вида (-m), где m — натуральное число, называют отрицательными целыми числами. Множество, состоящее из всех натуральных чисел, противоположных им отрицательных чисел и нуля, называется множеством целых чисел и обозначается буквой Z. Разделить целое число a на натуральное число b с остатком — это значит представить а в виде Правообладатель Народная асвета 186 a = bs + r, где s и r — целые, 0 < r < b. Для любого целого числа a и натурального числа b деление с остатком возможно, и причем однозначно. Дроби. Рациональные числа Пусть n > 1 — натуральное число; n-я часть единицы обозначается —. Эта часть, взятая k раз (k — натуральное число), обозна- чается и называется положительной дробью. Дробь — называют еще обыкновенной. Если k < n, то дробь — n n называется правильной, а если k > n, то — неправильной. Всякое натуральное число можно считать дробью со знаменателем 1. Дробь , где m е Z, m > 0, записанная в виде a0, a1 a2 a3 _ a„i, где a0 — целое неотрицательное число, а a1, a2, a3, _, am — цифры, называется конечной десятичной дробью. Дроби со знаком «минус», т. е. числа вида -k-, где k и n — на- n туральные числа, называются отрицательными дробями. Множество, состоящее из всех положительных дробей, нуля и всех отрицательных дробей, называется множеством рациональных чисел и обозначается буквой Q. Определение равенства дробей: — = c, если ad = bc. b d ’ Основное свойство дроби: a = ka (k ^ 0). b kb ^ ’ Дробь — называется несократимой, если числа a и b взаимно просты. Правила действий над дробями: a + c = ad +bc a_____c b d bd b d ad - bc a ^ c bd ’ b d ac a . c_ bd’ b ■ d ad bc ' Каждое рациональное число можно представить в виде дроби т, где т — целое число, а n — натуральное число. Если при этом n т — положительное, то рациональное число называется положи- Правообладатель Народная асвета k n 187 тельным, а если m — отрицательное, то рациональное число называется отрицательным. Бесконечная десятичная дробь, которая содержит, начиная с некоторого места после запятой, периодически повторяющуюся группу цифр, называется периодической, а эта группа цифр называется периодом. Количество цифр в периоде называется длиной периода. Действительные числа Для нужд математики рациональных чисел недостаточно и вводятся новые числа — иррациональные. Каждое иррациональное число можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Множество, состоящее из всех рациональных и всех иррациональных чисел, называется множеством действительных чисел и обозначается буквой R. Основные свойства сложения и умножения действительных чисел Переместительный закон: a + b = b + a, ab = ba. Сочетательный закон: (a + b) + c = a + (b + c), (ab) c = a (bc). Существуют числа 0 и 1 такие, что для любого числа a имеют место равенства: a + 0 = a, a • 1 = a. Для любого числа a существует противоположное ему число -a и для любого числа a Ф 0 существует обратное ему число a^' = — такие, что имеют место равенства: a a + (-a) = 0, a • a^' = 1. Сравнение действительных чисел. Действительное число может быть либо положительным, либо отрицательным, либо нулем. Правообладатель Народная асвета 188 Число a больше числа b (a > b), если разность a - b положительное число; число a меньше числа b (a < b), если разность a - b отрицательное число. Свойства числовых неравенств (сформулированы в основном для строгих неравенств, но верны и для нестрогих): 1) если a < b, то b > a; если b > a, то a < b; 2) если a < b и b < c, то a < c; 3) если a < b, то a + c < b + c; 4) если a < b и c < d, то a + c < b + d; 5) если a < b и c > 0, то ac < bc; 6) если a < b и c < 0, то ac > bc; 7) если 0 < a < b и 0 < c < d, то ac < bd; 8) если 0 < a < b и n — натуральное число, то a" < bn; 9) если 0 < a < b, то 1 > ^; a b 10) если 0 < a < b, то ; 11) если a > 0 и b > 0, то ^ \fab (среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического); 12) Id - bl < la + b\ < Id + lb|. Двойное неравенство — это неравенство вида a < c < b. Оно означает, что c > a и c < b; это можно записать и так: c > a, c < b. Двойные неравенства читаются, как правило, начиная со средней части. Например, неравенство a < c < b читается «c больше a и меньше b». Множество всех чисел х, удовлетворяющих одному из неравенств X < a, х > a, a < х < b, х < a, х > a, a < х < b, a < х < b, a < х < b, называется числовым промежутком. В следующей таблице приводятся обозначения различных числовых промежутков. Правообладатель Народная асвета 189 Условие, которому удовлетворяет число X Обозначение множества всех чисел, удовлетворяющих этому условию Изображение этого множества на координатной прямой a < X < b (a; b) a < X < b [a; b) a < X < b (a; b] a < X < b [a; b] X < a (-^; a) a X < a (-^■; a] a X > a (a; +^) a X > a [a; +^) a Промежутки (a; b), (-^; a), (a; +^) называются интервалами; промежуток [a; b] называется отрезком. Каждой точке на координатной прямой соответствует определенное действительное число — координата этой точки. Наоборот, каждому действительному числу a соответствует определенная точка на координатной прямой — точка с координатой a. Модуль действительного числа a (обозначается р| ) определяется так: a = a, если a > 0, и р| = - a, если a < 0. Действительные числа приближаются конечными десятичными дробями с точностью до 10-" с недостатком и с избытком. Например, приближение числа п = 3,14159^ с точностью до 10-2 с недостатком 3,14, с избытком — 3,15, т. е. 3,14 < п < 3,15. Правообладатель Народная асвета 190 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ Пропорция Частное — чисел a и b называется отношением этих чисел. b Равенство — = c двух отношений — и c называется пропорцией. Пропорцию можно записать и так: a : b = c : d. Числа a и d называются крайними членами пропорции, b и c — средними членами пропорции a : b = c : d. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов, т. е. ad = bc. Проценты Процентом называют одну сотую: 1% ^j^. Нахождение числа х, которое равно p % числа A: x = A • p % = A • 100 Ap Too. Нахождение числа x, если p % его равны B (т. е. х • р % = В): Х = B : p % = B ::^ = ^ ' 100 100 B Алгебраические выражения. Равенства и тождества Выражение, составленное из чисел или букв, знаков действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения арифметического корня, а также скобок, указывающих на порядок выполнения этих действий, называется алгебраическим. Алгебраические выражения бывают целыми, рациональными, иррациональными. Если в алгебраическом выражении встречаются деление на нуль, извлечение корня четной степени из отрицательного числа или возведение нуля в нулевую или отрицательную степень, то говорят, что такое выражение не имеет смысла. Если в алгебраическом выражении встречаются буквы, которые могут принимать различные значения, то эти буквы называются переменными. Наборы значений, которые могут принимать Правообладатель Народная асвета ______________________________________________________191 переменные, образуют область определения выражения. В область определения выражения могут входить только такие наборы значений переменных, при которых выражение имеет смысл. Все такие наборы значений образуют естественную область определения выражения (или, другими словами, область допустимых значений переменных, входящих в выражение). Если в выражение вместо переменных подставить какой-либо набор их значений из области определения и выполнить все указанные в этом выражении действия, то полученное в результате число называется значением выражения при этом наборе переменных. Если два выражения A и B соединить знаком « = », то получится запись A = B, называемая равенством. Выражение A называют левой частью, а выражение B — правой частью равенства. Когда обе части равенства обозначают числа, то оно называется числовым. Верное числовое равенство — это такое равенство, в котором обе части обозначают одно и то же число. Свойства верного числового равенства 1. Если к обеим частям верного числового равенства прибавить одно и то же число, то получится верное числовое равенство. 2. Если в верном числовом равенстве перенести слагаемое из одной части в другую с противоположным знаком, то получится верное числовое равенство. 3. Если обе части верного числового равенства умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится верное числовое равенство. Пусть A и B — выражения. Равенство A = B называется тождеством, если оно превращается в верное числовое равенство при любых значениях переменных, для которых оба выражения A и B определены, т. е. имеют смысл. Верное числовое равенство также является тождеством. Если A = B — тождество, то выражения A и B называются тождественно равными. Правообладатель Народная асвета 192 Неравенства Если два выражения A и B соединить одним из знаков «>» или «<», то полученную запись A > B или A < B называют неравенством. Выражение A называют левой частью неравенства, а выражение B — правой частью. Неравенства A < B и C < D (A > B и C > D) называют неравенствами одного знака, а неравенства A < B и C > D называют неравенствами разных знаков. Знаки неравенств «<» и «>» называют противоположными. Когда обе части неравенства обозначают числа, оно называется числовым. Числовое неравенство A < B называют верным, если его левая часть обозначает число, меньшее, чем правая. Неравенства со знаками «<» и «>» называются строгими. Нестрогие неравенства образуются, если выражения A и B соединяются одним из знаков «<» или «>». Знак «<» читается «меньше или равно» или «не больше», а знак «>» читается «больше или равно» или «не меньше». СТЕПЕНИ И КОРНИ Степень с целым показателем Определение степени. Пусть n — натуральное число, a — действительное число. Тогда an = а-а-a a при n > 2; a' = a. ''---V---^ п раз Пусть n < 0 — целое число, a Ф 0 — действительное число. Тогда a° = 1; an = -^^ при n < 0. Выражение an называется n-й степенью числа а, число a — основанием степени, число n — показателем степени. Свойства степеней. Для любых действительных a ф 0, b Ф 0 и любых целых m и n имеют место тождества: 1) am • an = am +n 2) = am-n; an 3) (am)n = am■n; Правообладатель Народная асвета 193 4) {ab)n = anbn; 5) (or) = in Корень n-й степени (см. п. 1.2). Степень с рациональным показателем (см. п. 1.8). Действия над степенями с рациональными показателями (см. п. 1.9); сравнение степеней с рациональными показателями (см. п. 1.10). Степень с иррациональным показателем, степень с действительным показателем (см. п. 2.1). Логарифмы (см. п. 2.5); основные свойства логарифмов (см. п. 2.6). Многочлены Одночленом называется произведение чисел и степеней переменных. Число 0 (нуль) называется нулевым одночленом. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех переменных, которые он содержит. Если нулевой одночлен не содержит переменных, то его степенью считается число 0. Степень нулевого одночлена не определена. Многочленом называется сумма одночленов. Одночлен также считается многочленом. Одночлены, из которых составлен многочлен, называются его членами. Алгебраическое выражение, составленное из многочленов, соединенных знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым. Алгебраическое выражение, где, кроме того, использовано и деление многочлена на многочлен, называется рациональным. Формулы сокращенного умножения (а + b)2 = a^ + 2ab + b^; (a - b)2 = a2 - 2ab + b2; a^ - b^ = (a - b)(a + b); A (a + b)3 = a^ + 3a^b + 3ab^ + b^; (a - b)3 = a^ - 3a^b + 3ab^ - b^; a^ + b^ = (a + b) (a^ - ab + b^); a^ - b^ = (a - b) (a^ + ab + b^). A Правообладатель Народная асвета 194 Алгебраические (рациональные) дроби Алгебраической (рациональной) дробью называется выражение вида —, где A и B — многочлены, B Ф 0. B Всякий многочлен является алгебраической (рациональной) дробью. Равенство алгебраических (рациональных) дробей, основное свойство дроби, правила действий над алгебраическими (рациональными) дробями определяются так же, как для обыкновенных дробей. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Уравнения с одной переменной Равенство, содержащее одну переменную, называется уравнением с одной переменной (одним неизвестным). Значение переменной (неизвестного), при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называется корнем (решением) уравнения. Решить уравнение — это значит найти все его корни (решения) или доказать, что их нет. Два уравнения называются равносильными, если каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. Равносильными считаются и уравнения, которые не имеют решений. Свойства уравнений: 1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному; 2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному. Линейное уравнение Уравнение вида ax = b, где a и b — числа, x — неизвестное, называется линейным. Если a Ф 0, то уравнение имеет единственное решение x = b. Если a = b = 0, то корнем уравнения является любое число. Если a = 0, b Ф 0, то уравнение не имеет корней. Правообладатель Народная асвета 195 Квадратное уравнение Уравнение ax^ + bx + c = 0, где a, b, c — числа, a Ф 0, x — переменная (неизвестное), называется квадратным. Число a называется старшим коэффициентом, b — средним коэффициентом, c — свободным членом квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения D = b^ - 4ac. Если D > 0, то уравнение имеет два корня - b ±-ГБ X1, 2 = ■ 2a Если D = 0, то уравнение имеет единственный корень b X, = х2 = — . 1 2 2a Если D < 0, то уравнение не имеет корней. Квадратное уравнение со старшим коэффициентом, равным 1, называется приведенным. Квадратный трехчлен — это левая часть квадратного уравнения ax^ + bx + c = 0. Корни этого уравнения называются корнями квадратного трехчлена, а дискриминант — дискриминантом квадратного трехчлена. Квадратный трехчлен ax2 + bx + c c дискриминантом D > 0 разлагается на линейные множители: ax2 + bx + c = a(x - x,)(x - x2), где x,, x2 — корни этого трехчлена, причем если D > 0, то x, Ф x2, если D = 0, то x, = x2. Когда ax2 + bx + c = a(x - x, )2, тогда x, называется кратным корнем квадратного трехчлена ax2 + bx + c (кратным корнем квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0). В следующей теореме, говоря о сумме и произведении корней квадратного уравнения, учитывают и случай кратного корня, когда квадратный трехчлен имеет кратный корень, тогда этот корень берут дважды. Теорема Виета Если x, и x2 — корни приведенного квадратного уравнения x^ + px + q = 0, то x, + x2 = -p, x,x2 = q. Наоборот, если для чисел x, и x2 верны равенства x, + x2 = - p, корни приведенного квадратного уравнения x, x2 = q, то x, и x2 x ^ + px + q = 0. Правообладатель Народная асвета 196 Рациональные уравнения Уравнение вида — = 0, где A и B — многочлены от одной и той B же переменной, называется рациональным. Рациональное уравне- [ A = 0, ние равносильно системе ^ Уравнение с двумя переменными Равенство, содержащее две переменные, называется уравнением с двумя переменными. Переменные в уравнении называются также неизвестными. Упорядоченная пара значений переменных, при которых уравнение превращается в верное числовое равенство, называется решением уравнения с двумя переменными. Два уравнения с двумя переменными называются равносильными, если каждое решение одного уравнения является решением другого, и наоборот, т. е. когда они имеют одни и те же решения. Равносильными считаются и уравнения, которые не имеют решений. При решении уравнений с двумя переменными используются те же свойства, что и при решении уравнений с одной переменной. Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения. Формула расстояния между точками A(x1; y1) и B(x2; y2): AB = yj(xi - X2)2 + (yi - У2)2. Уравнение окружности с центром в точке M(a; b) и радиусом R\ (x - a)2 + (y - b)2 = R2. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными Когда зависимость между двумя переменными x и у записывается при помощи двух уравнений а1 x + b1 у = c1 и a2x + b2у = c2, то говорят о системе двух линейных уравнений с двумя переменными (неизвестными). Обычно система записывается в виде [а1 x + b1 у = c1, [а2> x + b2 у = C2. Правообладатель Народная асвета 197 Аналогично определяется и записывается система двух произвольных уравнений с двумя переменными. Упорядоченная пара значений переменных, которая обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство, называется решением системы уравнений. Две системы уравнений называются равносильными, если каждое решение одной системы является решением другой, и наоборот, т. е. когда они имеют одни и те же решения. Равносильными считаются и системы, которые не имеют решений. Число решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными: 1) система имеет единственное решение, если ^ 2) система ai _ bi _ ci , а-2 имеет бесконечно много решений, если 02 c2 ci 3) система не имеет решений, если 01 = ^ °2 b2 c2 Неравенства с одной переменной Неравенство, содержащее одну переменную, называется неравенством с одной переменной или неравенством с одним неизвестным. Решением неравенства с одной переменной называется такое значение переменной (неизвестного), при котором это неравенство превращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — это значит найти все его решения или доказать, что их нет. Два неравенства называются равносильными, если каждое решение одного неравенства является решением другого, и наоборот, т. е. когда они имеют одни и те же решения. Равносильными считаются и неравенства, которые не имеют решений. Свойства неравенства: 1) если в неравенстве перенести слагаемое из одной части в другую с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному; 2) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному; Правообладатель Народная асвета 2 198 3) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному. Линейным неравенством с одним неизвестным называется неравенство вида ax > b (ax > b, ax < b, ax < b), где a и b — числа, x — неизвестное. Квадратным неравенством с одним неизвестным или неравенством второй степени называется неравенство вида ax^ + bx + c > 0 (ax^ + bx + c > 0, ax^ + bx + c < 0, ax^ + bx + c < 0), где a Ф 0, b, c — числа, x — неизвестное. Рациональным неравенством называется неравенство вида — > 0 (A > 0, A < 0, A < 0), где A и B — многочлены от одной и B \В B B ' той же переменной. ФУНКЦИИ Функцией, заданной на числовом множестве D, называется закон, по которому каждому значению x из множества D ставится в соответствие одно определенное число у. При этом x называется независимой переменной или аргументом, у — зависимой переменной или функцией от х, а множество D — областью определения функции. В алгебре основным способом задания функции является формула, левая часть которой — это зависимая переменная, а правая — выражение с независимой переменной. Функция может быть задана также таблицей, графиком, описанием. Обычно функция обозначается какой-нибудь буквой, например f, тогда ее значение в точке x обозначается f(x), а тот факт, что у является функцией от x, записывается так: у = f(x). Область определения функции f обозначается D(/). Если функция задана формулой у = f(x), а ее область определения не указана, то считается, что область определения состоит из всех тех значений x, при которых выражение f(x) имеет смысл. Множество всех значений, которые может принимать функция f, называется множеством (областью) значений этой функции; оно обозначается E(f). Правообладатель Народная асвета 199 Графиком функции f называется множество всех точек (х; f(x)) координатной плоскости, где x е D{f). Нулем функции f называется то значение х, при котором верно равенство f(x) = 0. Интервал, на котором значения функции имеют постоянный знак (они либо только положительны, либо только отрицательны), называется интервалом знакопостоянства функции. Функция f называется возрастающей в некотором промежутке, если в этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. если х2 > х1, то f (Х2) > f (xi). Функция f называется убывающей в некотором промежутке, если в этом промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т. е. если х2 > х1, то f (Х2) < f (xi). Функция f называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x е D (f) верно равенство f (-x) = - f (x) . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Функция f называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x е D(f) верно равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси Oy координатной плоскости. Функция f называется периодической с периодом T Ф 0, если для любого значения x из области определения функции числа x + T и x - T также принадлежат области определения, и при этом верно равенство f (x + T) = f (x). Если число T — период функции f, то периодом функции f является число kT при любом целом k Ф 0. Если у = f (x) — периодическая функция с периодом T, то у = f (px) — периодическая функция с периодом Правообладатель Народная асвета T 200 Прямая пропорциональность Прямой пропорциональностью называется функция вида у = kx, где k Ф 0. Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат и образующая с осью Ox угол а такой, что tg а = k (рис. 43). Прямая пропорциональность является частным случаем линей-ной функции. Свойства прямой пропорциональности — функции, заданной формулой у = kx, где k ф 0. 1. Областью определения функции является множество действительных чисел R. 2. Множеством (областью) значений функции является множество действительных чисел R. 3. Функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значений. 4. График функции имеет с осями координат единственную точку пересечения (0; 0) — начало координат. 5. Значение x = 0 является нулем функции. 6. При k > 0: если x е (0; +^), то у > 0; если x е (-^; 0), то у < 0. При k < 0: если x е (0; +^), то у < 0; если x е (-^; 0), то у > 0. Таким образом, (-^; 0) и (0; +^) — промежутки знакопостоянства функции. 7. Функция является нечетной. 8. При k > 0 функция возрастающая в области определения. При k < 0 функция убывающая в области определения. 9. Функция не является периодической. Правообладатель Народная асвета 201 Линейная функция Линейной функцией называется функция вида у = kx + b, где k и b — числа. Графиком линейной функции у = kx + b при k Ф 0 является прямая, проходящая через точки ^-—; oj и (0; b) (рис. 44). Графиком линейной функции у = kx + b при k = 0 является прямая у = b, проходящая через точку (0; b) и параллельная оси Ox. При b = 0 график функции совпадает с осью Ox (рис. 45). Любая прямая, не параллельная оси Oy, является графиком линейной функции. Коэффициент k в уравнении прямой у = kx + b называется угловым коэффициентом прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (xq; Уо): у - у0 = k(x - x0). Формула углового коэффициента прямой, проходящей через две данные точки (x1; у1) и (x2; у2): k = у2 - у1 x2 - x1 Правообладатель Народная асвета 202 Свойства линейной функции у = kx + b 1. Областью определения функции является множество действительных чисел R. 2. Множеством (областью) значений функции при k Ф 0 является множество R. При k = 0 множество значений функции состоит из одного числа b. 3. При k Ф 0 функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значений; при k = 0 значение у = b — единственное. 4. При k Ф 0 график функции пересекает оси Ox и Оу в точках (-b; 0) и (0; b); при k = 0 есть только точка пересечения с осью Оу (при b Ф 0) — (0; b); при k = b = 0 график совпадает с осью Ox. 5. При k Ф 0 значение x = -b является нулем функции. При k = 0 и b Ф 0 функция нулей не имеет. При k = 0 и b = 0 каждое действительное число является нулем функции. 6. При k Ф 0 промежутками знакопостоянства являются ^-то; - bj, ^-b; +^j. При k = 0 и b Ф 0 промежутком знакопостоянства является (-^; +^). 7. При kф 0 и Ьф 0 функция не является ни четной, ни нечетной. При k = 0 и b Ф 0 функция четная. При k = 0 и b = 0 функция одновременно четная и нечетная. 8. При k > 0 функция возрастающая в области определения. При k < 0 функция убывающая в области определения. При k = 0 функция постоянная в области определения. 9. При k Ф 0 функция не является периодической. При k = 0 функция у = b периодическая с любым периодом TФ 0. Функция у = 1x1 График функции у = XI состоит из части прямой у = x при x > 0 и из части прямой у = -x при x < 0. Он изображен на рисунке 46. Свойства функции у = |х| 1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел R. Рис. 46 У > 1 1 У = щ О X Правообладатель Народная асвета 203 2. Множеством (областью) значений функции является промежуток [0; +^). 3. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, — оно равно нулю. Наибольшего значения функции не существует. 4. График функции имеет с осями координат единственную точку пересечения (0; 0) — начало координат. 5. Нулем функции является значение х = 0. 6. Все точки графика функции, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс; значит, (-^; 0) и (0; +^) — промежутки знакопостоянства. 7. Функция четная. 8. На промежутке [0; +^) функция возрастает. На промежутке (-То; 0] функция убывает. 9. Функция не является периодической. Функция у = х'^, где r = 2k, k е N (см. п. 1.11). Функция у = х'^, где r = 2k + 1, k е N (см. п. 1.11). Функция у = х'^, где r е Q, r i Z, r > 1 (см. п. 1.11). Функция у = х’^, где r е Q, 0 < r < 1 (см. п. 1.11). Функция у = х’, где r = -2k + 1, k е N (см. п. 1.12). Функция у = х’, где r = -2k, k е N (см. п. 1.12). Функция у = х’, где r < 0, r е Q, r i Z (см. п. 1.12). Обратная пропорциональность Обратной пропорциональностью называется функция вида у = k, где k Ф 0. х График обратной пропорциональности называется гиперболой (рис. 47). Правообладатель Народная асвета 204 Свойства обратной пропорциональности у = , где k ф 0 1. Областью определения функции является (-^; 0) U (0; +^). 2. Множеством (областью) значений функции является вся числовая прямая, кроме точки у = 0, т. е. (-^; 0) U (0; +^). 3. Наибольшего и наименьшего значений функции не существует. 4. При любом значении аргумента х значение функции у ф 0, т. е. гипербола не пересекает ось абсцисс. 5. Нулей функция не имеет. 6. Если k > 0, то ветви гиперболы располагаются в I и III координатных углах, если k < 0, то ветви гиперболы располагаются во II и IV координатных углах. Таким образом, (-^; 0) и (0; +^) — промежутки знакопостоянства. 7. Функция нечетная. 8. При k > 0 функция убывающая на промежутке (-^; 0) и убывающая на промежутке (0; +^). При k < 0 функция возрастающая на промежутке (-^; 0) и возрастающая на промежутке (0; +^). 9. Функция не является периодической. Квадратная (квадратичная) функция Квадратной (квадратичной) функцией называется функция вида у = ах^ + Ьх + с, где а, b, c — числа, a ф 0. График квадратной функции называется параболой. Графиком функции является парабола с осью симметрии х = ——, вершиной в точке с координатами х0 = Ь . 2а ' у0 = 4 ас - b 2 4а и ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0. Свойства квадратной функции у = ax^ + bx + c (a ф 0) 1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел R. 2. Если а > 0, то множество (область) значений функции — промежуток 4ас - Ь 4а 2 + ТО если а < 0, то множество (область) значений функции — про- межуток 4ас - Ь 4а Правообладатель Народная асвета 205 3. Если a > 0, то при х = функция принимает свое наи- меньшее значение ун 4ac — b2 4a b если a < 0, то при х = —-^ функция принимает свое наиболь-4ac — b2 шее значение Унаиб = 4a ■ 4. График функции имеет единственную точку пересечения с осью Оу — (0; c). Если D = b^ — 4ac > 0, то парабола пересекает ось Ох в двух точ- ках (; °) " (—b^+a'D-; °); D=°- точка (—’ °) “ единственная точка пересечения с осью Ох; если D < 0, то точек пересечения параболы с осью Ох нет. —b ±4о 5. При D > 0 нулями функции являются значения х; 2 = b 2a при D = 0 нулем функции является значение х =——; при D < 0 функция не имеет нулей. 6. Если D > 0, то промежутки (—^; х;), (х;; х2), (х2; +^) являются промежутками знакопостоянства. Если D < 0, то промежутком знакопостоянства является вся область определения R. Правообладатель Народная асвета 206 7. Если Ьф 0, то функция не является ни четной, ни нечетной. Если Ь = 0, то функция четная. 8. Если a > 0, то функция убывает на промежутке [-^; - — I и [ь \ ^ 2а ^ —^; +^j. Если а < 0, то функция убывает на промежутке Ь; +^) и возрастает на промежутке (-^; - -Ьj. 9. Функция не является периодической. Показательная функция — функция вида у = ax, где а — постоянная, а > 0, а ф 1 (см. п. 2.2). Логарифмическая функция — функция вида у = logax, а > 0, а ф 1 (см. п. 2.7). ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Пусть согласно некоторому закону каждому натуральному числу n ставится в соответствие определенное действительное число ап. Тогда говорят, что задана числовая последовательность ау, а2, _, ап, _; ее обозначают (ап). Число ап называется n-м членом последовательности (ап). Числовая последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел с областью значений, содержащейся во множестве действительных чисел. Арифметическая прогрессия с разностью d — это такая числовая последовательность (ап), что ап + у = а^ + d для любого натурального п. Формула n-го члена арифметической прогрессии: ап = а1 + (п - 1)d. Формулы суммы первых n членов арифметической про- грессии: ^ = ау + ап •п; Sn = 2а; + (п -1)d 2 ’ п 2 Геометрическая прогрессия со знаменателем q — это такая последовательность отличных от нуля чисел (Ьп), что Ь^ + j = b^q для любого натурального п. Формула n-го члена геометрической прогрессии: Ь. = ЬJqn -1. Правообладатель Народная асвета 207 Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии: , если q Ф 1; Sn = nb^, если q = 1. q — 1 Геометрическая прогрессия со знаменателем q < 1 называется бесконечно убывающей. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии S = ■ i^. 1 - q' ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ Угол как мера поворота. Радианная мера углов и дуг Пусть дана плоскость и на ней луч с началом в точке O, который вращается от начального положения — луча OA — до конечного положения — луча OB. Величину поворота, совершенного этим лучом, измеряют величиной угла, который образуют лучи OA и OB в конце вращения. Например, на рисунке 48, а изображен поворот луча на угол 1097°, а на рисунке 48, б изображен поворот луча на угол -748°. (Если поворот луча совершен против часовой стрелки, то угол поворота принято считать положительным, а если по ходу часовой стрелки — отрицательным.) Радианом называется величина центрального угла, соответствующего дуге окружности длиной в один радиус (обозначается 1 рад). Соответственно дуга величиной один радиан — это дуга, длина которой равна радиусу: 1 рад = (180)°, 1° = _|_ рад. Правообладатель Народная асвета 208 Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла. Соотношения между ними Рассмотрим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Такую окружность будем называть единичной или тригонометрической окружностью, а круг, который она ограничивает, — тригонометрическим кругом. Положительную полуось абсцисс примем за начало отсчета для любого угла а. Точку ее пересечения с единичной полуокружностью обозначим A0, а точку пересечения с единичной окружностью луча, определяющего Рис. 49 угол а, обозначим Аа (рис. 49). Пусть а — произвольный угол. Синусом угла а называется ордината точки Аа, т. е. sin а = уа. Косинусом угла а называется абсцисса точки Аа, т. е. cos а = ха. Пусть а ^ ^ + пп, n е Z. Тангенсом угла а называется отно- шение sin а к cos а: 1£а =--. cos а Пусть а Ф пп, п е Z. Котангенсом угла а называется отно- cos а шение cos а к sin а: с1^а =-. sin а Основное тригонометрическое тождество 5!п2а + со52а = 1 и следствия из него: 1 + ctg2 а = 1 + tg2 а = Арксинусом числа b (b е [-1; 1]) называется число из промежутка ^-^; ^], синус которого равен b: sin (arcsin b) = b. Арккосинусом числа b (b е [-1; 1]) называется число из промежутка [0; п], косинус которого равен b: cos (arccos b) = b. Арктангенсом числа b (b е R) называется число из промежутка {^-п; ^j, тангенс которого равен b: tg (arctg b) = b. Правообладатель Народная асвета sin2 а cos2 а 209 Арккотангенсом числа b (b е R) называется число из промежутка (0; п), котангенс которого равен b: ctg (arcdg b) = b. arcsin b arccos b A 2 A 2 b 0 ^/3 3 1 V3 arctg b 0 п 6 п 4 п 3 arcctg b п ~2 п ¥ п т п 6 Имеют место тождества: arcsin (-b) = -arcsin b, arccos (-b) = п -arccos b, arctg (-b) = -arctg b, arcctg (-b) = п -arcctg b. Формулы приведения Тригонометрическое выражение sin в cos в tg в ctg в Величина угла в п а 2 cos а sin а ctg а tg а — + а 2 cos а -sin а -ctg а -tg а п - а sin а -cos а -tg а -ctg а п + а -sin а -cos а tg а ctg а 3п а 2 -cos а -sin а ctg а tg а 3п , + а 2 -cos а sin а -ctg а -tg а 2п - а -sin а cos а -tg а -ctg а Правообладатель Народная асвета b 0 0 210 Правила формул приведения 1) Правило знака: в правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии, что угол а принадлежит I четверти. 2) Правило названий: когда в левой части формулы угол равен ^ ± а или 3^ ± а, то синус меняется на косинус, тангенс на котангенс, а когда угол равен п ± а или 2п - а, то название выражения сохраняется. Формулы сложения sin (а ± в) = sin а cos в + sin в cos а, cos (а ± в) = cos а cos в + sin а sin в, (е(а±в) = * ‘g в 1 + tg а tg в Следствия из формул сложения Формулы двойного угла sin2а = 2sin а cos а, cos2а = cos2 а - sin2 а, J Q 2 tg ^ J Q ctg а 1 tg2а =----S—, ctg2а =---------. ^ 1 - tg2 ^ 2ctg а Преобразование произведения в сумму (разность) sin а cos в = ■1(sin(а + в) + sin(а - в)), cos а cos в = ■1(cos(а + в) + cos(а - в)), sin а sin в = -1(cos(а - в) - cos(а + в)). Преобразование суммы (разности) в произведение „ . X + у x - у sinX + sin у = 2sin--cos---, ^ 2 2 ’ „ . X - у X + у sin X - sin у = 2sin-cos---, ^ 2 2 ’ о X + у X - у cosX + cos у = 2cos--:^cos--, ^ 2 2 ’ о . X + ^ . X - у cosX - cos у = -2sin-:^sin--, ^ 2 2’ Правообладатель Народная асвета 211 tg a + tg e = sin(a ± P) cosa cosP ’ i _L i Q sin(P ± a) ctg a + ctg e = . . e , sin a sinp 1 + cos a = 2cos2 a, 1 - cos a = 2sin2 —. 2 Простейшие тригонометрические уравнения Если а е [-1; 1], то: sin X = a ^ x = (-1)* arcsin a + nk, k е Z, cos X = a ^ X = +arccos a + 2nk, k е Z. Если а е R, то: tg X = a ^ X = arctg a + nk, k е Z, ctg X = a ^ X = arcctg a + nk, k е Z. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Функция y = sin x Каждому действительному числу X поставим в соответствие угол, радианной мерой которого является это число, а этому углу поставим в соответствие его синус. Тем самым каждому действительному числу X ставится в соответствие определенное число sin X, т. е. на множестве R определяется функция у = sin X. График функции у = sin X (рис. 50) называется синусоидой. Правообладатель Народная асвета 212 Свойства функции у = sin x 1. Область определения функции у = sin х — множество R. 2. Множество (область) значений функции у = sin х — [-1; 1]. 3. Функция у = sin х периодическая с периодом 2п. 4. Наименьшее значение у = -1 функция у = sin х принимает в точках х = + 2nk, k е Z. Наибольшее значение у = 1 функция у = sin х принимает в точках х = — + 2nk, k е Z. 5. График функции проходит через точку (0; 0) — начало координат и пересекается с осью Ох в точках (nk; 0), k е Z. 6. Нулями функции у = sin х являются значения аргумента х = nk, k е Z. 7. Функция у = sin х принимает отрицательные значения на каждом из промежутков (п + 2nk; 2п + 2nk), k е Z, и положительные значения на каждом из промежутков (2nk; п + 2nk), k е Z. 8. Функция у = sin х нечетная. 9. Функция у = sin х возрастает на каждом из промежутков , k е Z, и убывает на каждом из промежутков -” + 2nk; ^ + 2nk 2 ’2 — + 2nk; + 2nk 2 ’2 - k е Z. Функция у = cos x Функция у = cos х определяется аналогично функции у = sin х. График функции у = cos х (рис. 51) называется косинусоидой. Свойства функции у = cos x 1. Область определения функции у = cos х — множество R. 2. Множество (область) значений функции у = cos х — [-1; 1]. Правообладатель Народная асвета 213 3. Функция y = cos X периодическая с периодом 2п. 4. Наименьшее значение у = -1 функция у = cosx принимает в точках X = п + 2пп, n е Z. Наибольшее значение у = 1 функция у = cosx принимает в точках X = 2пп, п е Z. 5. График функции пересекает ось Оу в единственной точке (0; 1), а с осью Ox пересекается в точках ^+ пп; 0j, п е Z. 6. Нулями функции у = cos X являются значения аргумента X = — + пп, п е Z. 7. Функция у = cosX принимает отрицательные значения на каж- дом из промежутков ^^ + 2пп; -3^ + 2пп^, п е Z, и положительные значения на каждом из промежутков + 2пп; ^ + 2пп^, п е Z. 8. Функция у = cos X четная. 9. Функция косинус убывает на каждом из промежутков [2пп; п + 2пп], п е Z, и возрастает на каждом из промежутков [п + 2пп; 2п + 2пп], п е Z. Функция у = tg x Функция у = tg X определяется аналогично функции у = sin X. График функции у = tg X (рис. 52) называется тангенсоидой. Свойства функции у = tg x 1. Область определения функции у = tg X — множество действительных чисел X ^ п + пп, п е Z. Правообладатель Народная асвета 214 2. Множество (область) значений функции у = tg х — множество R. 3. Функция у = tg х периодическая с периодом п. 4. Наибольшего и наименьшего значений функция у = tg х не имеет. 5. График функции проходит через точку (0; 0) — начало координат и пересекается с осью Ох в точках (пп; 0), п е Z. 6. Нулями функции у = tg х являются значения аргумента х = пп, n е Z. 7. Функция у = tg х принимает отрицательные значения на каждом из промежутков ^-^ + пп; nnj, п е Z, и положительные значения на каждом из промежутков ^пп; ^ + пп^, п е Z. 8. Функция у = tg х нечетная. 9. Функция тангенс возрастает на каждом из промежутков вида (-^ + пп; ^ + пп^, п е Z. Функция у = ctg x Функция у = сtg х определяется аналогично функции у = sin х. График функции у = сtg х (рис. 53) называется котангенсоидой. Свойства функции у = ctg x 1. Область определения функции у = сtg х — множество действительных чисел х Ф пк, k е Z. 2. Множество (область) значений функции у = сtg х — множество R. Правообладатель Народная асвета 215 3. Функция y = ctg x периодическая с периодом п. 4. Наибольшего и наименьшего значений функция у = ctg x не имеет. 5. График функции не имеет общих точек с осью Oy, а с осью Ox пересекается в точках ^+ nk; 0j, k е Z. 6. Нулями функции у = ctg x являются значения аргумента x = — + nk, k е Z. 7. Функция у = ctg x принимает отрицательные значения на каждом из промежутков ^+ nk; п + nk'j, k е Z, и положительные значения на каждом из промежутков [%k; ^ + nkj, k е Z. 8. Функция у = ctg x нечетная. 9. Функция у = ctg x убывает на каждом из промежутков вида (nk; п + nk), k е Z. ПРОИЗВОДНАЯ Приращение функции Окрестностью точки x0 называется любой интервал, содержащий эту точку. Пусть у = f(x) — некоторая функция, x0 — фиксированная точка из области определения этой функции, x — произвольная точка из некоторой окрестности точки x0, x Ф x0. Разность Аx = x - x0 называется приращением аргумента в точке x0. Разность Ау = f(x) -f(x0) называется приращением функции f в точке х0. Производная функции Производной функции у = f(x) в точке x0 называется число, к Ау А которому стремится отношение при Ax, стремящемся к нулю. Производная в точке x0 обозначается f '(x0). Пусть функция у = f(x) имеет производную в каждой точке x из некоторого промежутка. Поставив в соответствие каждому числу x из этого промежутка число f '(x), мы получим новую функцию, которая называется производной функции f и обозначается f' или у'. Правообладатель Народная асвета 216 Механический смысл производной Пусть точка движется прямолинейно, s(t) — путь, пройденный точкой за время t, v(t) — скорость точки в момент времени t. Тогда v (t) = s '(t), т. е. скорость есть производная от пройденного пути по времени. Геометрический смысл производной Пусть у = f(x) — функция, P(x0; у0) — точка на ее графике, ф — угол наклона к оси абцисс касательной в точке P(x0; у0) к графику функции у = f(x). Тогда tgф = f'(x0), т. е. угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x0 равен производной этой функции в точке x0 (рис. 54). Уравнение касательной к графику функции у = f (x) в точке (xo; f (xo)): у = f (xo)(x - xo) + f (xo). Правила вычисления производной c' = o, c — const, (cf (x))' = cf'(x), c — const, (f (x) + g (x))' = f' (x) + g' (x), (f (x) g (x))' = f' (x) g (x) + f (x) g' (x), ' f (x)\'= f '(x)g(x) - f (x)g'(x) ■ g (x)l (g (x))2 Для любого целого k верна формула: (xk)' = kxk -1. Правообладатель Народная асвета 217 Применение производных при исследовании функций Возрастание и убывание функции Если в каждой точке x некоторого промежутка f '(x) > 0, то функция f возрастает на этом промежутке. Если в каждой точке x некоторого промежутка f '(x) < 0, то функция f убывает на этом промежутке. Максимумы и минимумы функции Функция f имеет в точке x0 максимум, если существует такая окрестность точки x0, что для любого x из этой окрестности верно неравенство f (x) < f (x0). При этом точка x0 называется точкой максимума функции f. Функция f имеет в точке x0 минимум, если существует такая окрестность точки x0, что для любого x из этой окрестности верно неравенство f (x) > f (x0). При этом точка x0 называется точкой минимума функции f. Функция может иметь одну, несколько, а может вообще не иметь точек максимума (минимума). Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. Точка x0 называется внутренней точкой множества D, если существует такая окрестность точки x0, которая содержится во множестве D . Необходимое условие экстремума для внутренней точки x0 области определения функции f: Если точка x0 является точкой экстремума функции f и в точке x0 существует производная, то f '(x0 ) = 0. Достаточное условие экстремума для внутренней точки x0 области определения функции f: если f '(x0) = 0 и при переходе через точку x0 значения производной меняют знак с « + » на « — », то x0 является точкой максимума; если f '(x0) = 0 и при переходе через точку x0 значения производной меняют знак с « — » на « + », то x0 является точкой минимума. Правообладатель Народная асвета Упражнения для повторения арифметического и алгебраического материала курса математики 5—11-х классов Упражнения для повторения распределены по тринадцати тематическим разделам: «Действительные числа», «Пропорции. Проценты», «Арифметическая и геометрическая прогрессии», «Алгебраические выражения», «Тригонометрические выраже- ния», «Логарифмические выражения», «Рациональные уравнения и системы уравнений. Рациональные неравенства», «Текстовые задачи», «Иррациональные уравнения и системы уравнений. Иррациональные неравенства», «Тригонометрические уравнения», «Показательные и логарифмические уравнения и системы уравнений. Показательные и логарифмические неравенства», «Производная», «Функции» — и разбиты по сложности на две группы: I и II (в группе II — более трудные задания). Надеемся, что работа над этим материалом поможет повторить, обобщить и закрепить изученное. Желаем успехов! 1. Действительные числа I Найдите значение выражения (1—2). 1. 1) (6,72:33 + . o,gJ .1,21 - 2) 3,075:1,5 - (215 + 3,2б) -1,025. 2. 1) 0,7562 - 0,241 • 0,756 - 0,415 • 0,756; 2) 23 • 17,8 - 3 • 7,2 + 23 • 7,2 -17,8 • 3; ох 9562- 442 382- 172 3) ---— + ■ - 4) 456 622 - 322 92 - 22 ’ 712 - 232 + 94 • 42 3. 1) Докажите, что произведение трех последовательных четных чисел делится на 24. 2) Докажите, что сумма двузначного числа и числа, полученного из него перестановкой его цифр, кратна 11. Правообладатель Народная асвета 219 4. 1) Докажите, что при любом нечетном значении а разность а2 - 1 делится на 8. 2) Докажите, что при любом натуральном значении n число n5 - 5n3 + 4n делится на 120. 5. 1) Докажите, что значение выражения (yj 10 + Ws +410 - Ws '2 является рациональным числом. 2) Докажите, что значение выражения /17 + ^4 -49 + Л. является иррациональным числом. 6. Упростите выражение: 1) ^/75 + 0,W4s - 0,^/300; 2) (W8 - ^4Ш - 2418) : (.^^/2). 7. Упростите выражение: 1) 3 + у/2 3 - у/2 ; ) 3^/2 3W2; 8. Упростите выражение: 2) ^/7o V35 ^/15 ' 1) 3/12 + W5 • 3/12 - W5; 2) ^4 - ^/3 • 3/1 W3 • ^4. 9. Упростите выражение: -0,75. 1) 1000-3 + l-1)^3 - 625 2) (0,001)-3 - 2-2 • 64-| - 8-3 + (50)4 • 5. II 10. Докажите, что: 1) нечетная натуральная степень числа 11, увеличенная на 13, кратна 12; 2) четная натуральная степень числа 9, уменьшенная на 1, кратна 40. Правообладатель Народная асвета 220 11. Докажите, что при четном натуральном n: 1) 7" - 5п делится на 24; 2) 5" - 3" делится на 16. 12. Упростите выражение: 1) 2‘°g26 + 2Jl2,5 + 2sll WT4 2) ^f4~5 - + 3‘°g35. 2sf5 ^/l0 13. Вычислите: 1) (W3 ^/2 У50 W384; 2) (yfS -у1\7W20 W204. 14. Вычислите: 1) (a2 W2)2 -(43 - 3^2); 1) I ; 323 - 316 15. Вычислите: 1 2) 50,5 150,5 - 3 50,5 - 30,5 a - 2 • 150 ) ^^5 - 2,5)2 - i(1,5 ^/5)» )= ^Tfsinif!; 2) 2-''5 ■ cos>4:+ (^(1УЯ)“ -- 2)* При а = 8 найдите значение выражения 7 7 -v/a i4a 4° _1 4° + ij (2_40)[4a+1) II Разложите на множители (59—60). 59. 1) a^ + 2ab + _ 2cd _ d^; 2) _ 2mn + + 2pq _ q^. 60*. 1) (2a _ 3)3 + 1; Сократите дробь (61—63). 2) (3a _ 2)3 _ 27. 61*.1) 62*.1) 63. 1) a3 _ 3a2b + 3ab2 _ b3 a2 + b2 _ 2ab (a2 _ b2)(a2 + ab + b2); 2a2 + 4ab + 2b2 ’ _5X _ 2X2 _ 3 2) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a2 _ b2)(a2 _ ab + b2) 2) - Ц )\u. - U.U -Г i. 5a2 _ 10ab + 5b2 2 + X _ 3 X' 2 X2 + 3 X Упростите выражение (64—66). 64*.1) 2) 9X2 _ 4 m _ 3 + 18 _ 6m . 5(3 _ m)2 . m _ 3m + 9 27 + m" 54 + 2m 2) 65. 1) m + 1 1 m + 2 + m2 m3 _ 1 m2 + m + 1 1 _ W m3 _ 1 [ + б4я + 5 a + 6^a _ 1 + 4 ; 4a + 1 4a—Г + 1 Правообладатель Народная асвета 227 2) ; + &4а + 8 а + Ц/а - 2 + 6 ■у/а + 4 -у/а - 2 + 4 66. 1) 2) а - 1 |(а2 + а + 2)(а + 1)а ^ а3 - 1 - I а - 1 ’ а + 1 |(а2 + а + 1)(а2 - а + 1) 67. 1) Зная, что = -I, ' а - 2b 3 , найдите значение выражения 2а2 + 5аЬ + 3b2 аЬ - b 2 2) Зная, что —2--—= -5, найдите значение выражения 2а + 5b b - 7 а ' 68*. 1) Зная, что а + — =-4, найдите значение выражения + 2а^ + + -8^. а а 2) Зная, что m - — = 3, найдите значение выражения 2ш^ + 3т^ + - -^. 69. 1) При каких целых n значение выражения 2п + 9n + 13 n + 2 является натуральным числом? 0 4 гг 3n2 + 5n + 3 2) При каких целых n значение выражения -------- являет- ся натуральным числом? n+2 5. Тригонометрические выражения I 70. 1) Известно, что sin а = -и -35—^ < а < . Найдите cos а, tg а, ctg а. 21 2) Известно, что cos а = 2^ и 9п < а < 10п. Найдите sin а, tg а, ctg а. 71. 1) Известно, что tg а = -ц и cos а < 0. Найдите cos а, sin а. 12 2) Известно, что ctg а = и sin а < 0. Найдите cos а, sin а. Правообладатель Народная асвета 228 2 tg a 72. 1) Известно, что sin a = и ctg a > 0. Вычислите ^---------- ^ ^ ^ 1 - cos 0 3 ctg a 2) Известно, что cos a = и ctg a < 0. Вычислите -—— ' ^ ^ 1 + Sin 0 73. 1) Найдите sin a cos a, если sin a + cos a = 1-3. 2) Найдите sin a + cos a, если sin a cos a = З3. Упростите выражение (74 — 77). cos a 74. 1) -j--^— + tg a; ^1 + sin a ^ 2) ctg a + 1 75. 1) sin a + cos a cos 3a sin 3a sin a cos a 2) sin3 4a cos 4a - cos3 4a sin 4a. 76. 1) cos2^-38^ + aj - sin2^-38^ - aj; 2) sin2(lf-a) - cos2(ll + a). 77. 1) cos2 a + cos2 в - cos (a + P)cos (a - P); 2) sin2 a + sin2 P + cos (a + P)cos (a - P). Докажите тождество (78—81). 78. 1) -v/Ssina- cosa = 2sin^a- -g-j; 2) sin a - cos a = ^/2 cos|a + 4I. 79. 1) sin 3a = 3sina-4 sin3 a; 2) cos 3a = 4 cos3a - 3 cosa. 80. 1) у/Э + 2cosa = 4cos+ a)cos(1!2 --o' 2) 1 —\/2sin a = ^/2sin( ir--0- 12 cos In + 01. 14 sin4 a + sin9 a- sin a , 81. 1) ------------1------7^ = tg 4 a; cos a + cos4a + cos9a cos15 a + cos7 a + cos a , ry 2) ^-----^-TE— = ctg7a. sin7 a- sin a + sin15a Правообладатель Народная асвета 229 II Вычислите (82—85). V3. 82. 1) sin3 a- cos3 a, если sin a- cos a =—2; J2 2) cos 2a • tg 4a, если sin a + cos a = ^^2_. 3a 2 —, если cos a = у 2) sin a sin 3a, если cos 2a = -^l. 83. 1) cos -2 cos , если cos a= -7 0/1 1 \ cos 2 a + 3 j Q 84. 1) 7-^—7--7, если ctg a = 3; ^ 2sin 2a -1 ^ ’ o\ 5 - 4cos a j a 1 2) -i------2—^, если tg 12 = -2. sin a- 2co^ — 85. 1) sin41L + sin4 ^[1 + sin4 ^ + sin4 ; 2) cos4 -2 + cos4 + cos4 + cos4 . Упростите выражение (86—88). 86. 1) 4cosa . tg2 a - ctg2 ^2’ 87. 1) cos(arccos x + arccos y); 2) sin(arccos x + arcsin y). 88. 1) cos(2arctg x); o\ sin2 a- sin a cos a 2) ^^^------- cos a. sin a - sin a ctg a 2) sin(2arcctg x). Докажите тождество (89—92). 89. 1) ctg (^ + 1) = 1 - sin ( cos a a 2) tg2 (^-“) = 90. 1) cos 2 a 1sin2 2a; ctg2 a - tg2 a 4 2) cos a + sin a tg 2 a + cos-12 a. cos a - sin a 91. 1) sin a + cos(2p - a) 1 1 + sin 2p ; cos a - sin(2p - a) cos 2p ; 2) sin(P + 2 a) 2 cos(a + P) = sin e sin a ' ^ sin a 92. 1) sinarccos x ) ^ - - x, 2 ; 2) cos ( -i-arccos 1 - sin 2a 1 + sin 2a ' Правообладатель Народная асвета 230 Вычислите (93—94). 93. 1) tg^arccos-3j; 2) sin^2arcsin-|j. 94. 1) sin(arctgY5- - arcsin-8); 17 2) cos(^2arctg^1 + arccos-|j. 95. Верно ли, что: 1) arctg^3 + arctgi = ; 2) arcsin4 + arcsin-5- + arcsin16 = 5 13 = П ? 65 2 ' 6. Логарифмические выражения I Найдите значение выражения (96— -102). 96. 1) log2 25; 2) log464; 3) log39; 4) log0,5 32. 97. 1) Vlog2 16; 2) •7lg10 000; 3) ^log2 256; 4) ^(-2log6 3'6 ) 98. 1) (6log634 )3 • 2) (3log376 )7 ; 3) 2log8 125 ; 4) glogv/^ 99. 1) (6log2 6 )log6 2 ; 2) (5log16 7 )log5 4 ; 3) 1 25log35; 4) 4 3log7 9 100. 1) Vlog25 5 + log25 60 - log25 12; 2) Vlogi8 54 + log18 2- log186 101. 1) log0,5sinTf - log2013 tg^; 2) logo,75 cos25n + log sin47n 201^^^ 2 ■ Правообладатель Народная асвета 231 102. 1) logo,5log36 6 - 8‘og68; 2) logo,25log256 4 -25log35. Упростите выражение (103—105). 103. 1) (1); 2) 3-log9(^2-16^ +64). Pjl1log5 (^2 - 10^ + 25) ^ 5, 104 1) 4/l°g45 — 5/l°g54 • 2) 7/log78 — 8/l°g87 105. 1) ^log/2 (2sin^nJ + log^ c°s n); 2) 3lo^2 ic°st + sint j + lo^2 (cos-| - sin^n) 106. 1) Найдите значение lg112, если lg2 = m, lg7 = n. 2) Найдите значение lg24, если lg2 = m, lg3 = n. II Упростите выражение (107—111). , , l°g1 m , М3 + 4I + 4l°g4 m \ . 6 ^°gm 6 ; ,81/ / , , l°g1m , 1 ^ 5 + 21 + 3^°g2 ml . 8 ^°gm8 .125/ / 108*. 1) log8 (1W3 + 26) + log4 (7 - W3); 2) logg (^/2 + 3) + log27 (W2 - 7). log! 14 + log214 • log2 7 - 2 log! 7 . 109. 1) log214 + 2log2 7 2) log212 + 2log312 + 4log32 - 4log22 ) 3log312 + 6log3 2 . 110. 1) 3^°g53 • 3‘°g24 - 5 • 4^°gз4 + lg0,1; 2) 22‘og52 • 5‘°g^2 ^/5 • 2‘og52 - (1) l°gз 25 Правообладатель Народная асвета 232 111. 1) (log3 4 + 9log4 3 + 6)(log3 4 - 3logi08 4)log4 3 - log3 4; 2) (log7 3 + log3 7 + 2)(log7 3 - log2i 3)log3 7 - log^ 3. 112. 1) Упростите выражение log^^^^^ + logb + loga и найдите его значение, если logab = 2. 2) Упростите выражение log^^ -3^ - ■ найдите его значение, если logb а = 2. log^ab i4b 2log^yb и 7. Рациональные уравнения и системы уравнений. Рациональные неравенства I Решите уравнение (113—119). 113. 1) 49 - 16х2 = 0; 114. 1) ,7X + 49х^ = 0; 2) X2 - 27 = 0. 2) у- - 64y = 0. 2) X2 + fx + 25 = °; 115. 1) X2 - 10x + 9 = 0; 3) x^ + 4X Wa + 1 = 0; 4) x^ + 2(1 Ws)x + 8/2 = 0. 116. 1) X2 + (x + 3)(x - 2) = 2(x^ - 4); 2) 3(x^ -1) = 2x^ + (x + 2)(x -1). 2 117. 1) x^ + 12x| + 35 = 0; 3) X^ - 2/X + 3 f - 8 = 0; 2X2 - 5X + 3 2) x^ + (4x) - 20 = 0; 4) x^ - 4X .lx + 2 = 0. X - 10 118. 1) 10x - 3 = 0; 2) ' X2 - 4 = 0. 119. 1) ^ , X2 - 16 X + 4 x + = 0; 1 ■+ 12 2) X2 - 16 ■ (x + 4)2 (x - 4)2 = 0. 120. Найдите корни уравнения ^ = 5, удовлетворяющие X — 3 3 — X условию ^J47 < X < 5. Правообладатель Народная асвета 233 Решите уравнение (121 —124). 121. 1) |х2 -4х| = 5; 3) 13х^ - 5X + 6 = 4; 122. 1) |х -2 = 1X + 3|; 3) х^ -2х| -3 = 0; 2) |2х - X21 + 9 = 0; 4) |7х2 - 3х -2 = -11. 2) |х^ -1 = |х + 5|; 4) 2х^ +1 х I - 3х = 0. 123. 1) (х^ - 7х + 12Ь/х - 4 = 0; 2) (4х^ - 3х - 2)у/2х = 0; 3) (х2 -л12х - 4^/5х + 10 = 0; 4) (х^ - х - 3 + yf3'yj6 + 3х = 0. 124. 1) = 0: 2) 2 х2 + х - 1 у1х - 1 .^х + 2 Решите систему уравнений (125—127). = 0. 125. 1) 3) 126. 1) 127. 1) 2) ху = 8, х + у = 6; 4) ^[3х - 4у = -6, "[бх - у^ = 3. 2) [ х ^ + ху = 15, 1у^ + ху = 10. ху = 6, [х + у = 5; ^3х - 2у = 6, [х^ - 4у = 4; [ х^ + у^ = 17, [х^ - у^ = 15; ^4х^ - 20ху + 25у^ = 64, [16х^ + 24ху + 9у^ = 100; " [9х^ - 6ху + у^ = 256. 128. 1) Укажите корень уравнения х2 - 7х - 8 = 0, удовлетворяющий неравенству 3х - 14 > 0. 2) Укажите корень уравнения -х2 + 7х - 10 = 0, удовлетворяющий неравенству 10 - 3х > 0. Решите неравенство (129—139). 2) х^ + 6ху + 9у^ = 4, 1 on t \ 3 х + 7 2 х + ^^7 - х <29. 1) ; 130. 1) 31- 7 х - 12 6 х > 0; 0 4 2х + 5 6х - 1 ^ , 2) - -т- > х + 1. 2) 0,6х + 1 ^ 0 2) 5 х + ^°. Правообладатель Народная асвета 234 131. 1) - X - 2 < 0; 132. 1)-Х > 3; 133. 1)зх^-т > 7; 134. T)iX < 27; 135. т)^х-<°; 136. 1) 27 х +1 < 1; X2 + 4 X + 3 2X + ^2 /12 - ^2 2) 2х^ - 7X + 3 > 0. 2) 3 < 1. X4 2) 4 <т 2) X + ^5. 2) 36 ^ X ) ~ ^ 4. 2)т°2-х - ;x > °. 2) 5 X + 3 > 1. X2 + X - 2 2) 3X - ^2 /8 - < 0. 137. 1)(2X^^)- (T24£) > °; ^ ^ 5 138. 1) x^(x - 4)3(x + 2) > 0; 2) x^(x + 1)2(3x -15) < 0. 139. 1) |4 + 2x| < 5; 2) |3 -2x| > 4. 140. Решите систему неравенств: 1) 3) 2x - 23 > 0, 3x - 40 < 0; X^ - 4x - 5 < 0, X > 6; 2) 4) II Решите уравнение (141 —143). 141. 1)|x - 6 = X - 6; 3) |x -1 + 1X + 1 = 8; 142. 1) 3x^ - X - 8 3x2 - X = 2; 3x + 2 > 0, 2 - 5X < 0; X^ - 3X -10 < 0, X > 0. 2) Vx^ - 10x + 25 = 5 - x; 4) |x + 5| - |X - 3 = 8. 2) 7—3—^ = 3 - X - X ^. 1 + X + X2 143. 1) (x^ - 5x + 2)(x^ - 5x -1) = 28; 2) (x^ + X - 2)(x^ + x) = 24; 3) (x - 4)(x - 5)(X - 6)(X - 7) = 1680; 4) (x - 1)(x - 7)(x - 4)(x + 2) = 40. Правообладатель Народная асвета 235 Решите систему уравнений (144—146). 144. 1) 3) 4) 145. 1) 3) 146. 1) < ) X3 + у3 = 9, 2) X3 + xy^ = 2, [ x^ у + xy^ = 6; [у^ + x^ у = 2; j4x^ - 2xy + x - у = 33, [2xy - 4x^ + 3x + 5у = -37; [x^ - 4у^ - xy + 5у = 1, I x2 + 3у2 - xy - 4у = -1. [у^ - xy - 6x^ = 0, 1^3x^ - 2xy = 7; [у^ + 2xy -15x^ = 0, [у^ + 3xy = 10; + 3 x = 27, x - у x + у ' x - у - 5x = -11; 2) 4) 2) [ [у^ + 3xy - 4x^ = 0, [4xy - x^ = 3; [у^ - 3xy + 2x^ = 0, [5xy - 2у^ = 18. x - у = 11 + 2у, + 8у = -29. x + у x - у x + у 147. При каких значениях а уравнение (а - 3)х2 + 8х - 2 = 0 имеет: 1) два корня; 2) один корень; 3) не имеет корней? 148. При каких значениях а уравнение (а + 5)х^ - 4х + 3 = 0 имеет: 1) два корня; 2) один корень; 3) не имеет корней? 149. При каких значениях а данное уравнение имеет один корень: 1) 3х2 - 6х + 2а = 0; 2) 2х2 - 12х + 3а = 0? 150. При каких значениях а модуль разности корней уравнения х2 - 5ах + 4а2 = 0 равен 6? 151. При каком значении а корни уравнения (а + 2)х2 - ах - а = 0 симметричны относительно х = 1? Правообладатель Народная асвета 236 152. При каких значениях а сумма квадратов корней уравнения X2 - 3ах + а2 = 0 равна 7? Решите уравнение относительно х (153—155). 153. 1) (6 - а)x =-4; 2) (a + 7)x =-7; 3) 3x + a = 2a - 3; 4) a - 4x = 3a + 1. 154. 1) x^ + 10^x + = 0; 2) x^ + (2k - 3)x - 6k = 0; 3) x2 - (3k - 2)x + 2k^ - k - 3 = 0; 4) x2 - 4kx + 3k^ - 4k - 4 = 0. 155. 1) 2ax^ - (a + 1)x + -1 a = 0; 2) ax^ - (3 - 2a)x + 2a = 0. 156. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение: I ax - 2a^y = a, 2a^x + 3a®y = 2a, [a^ x + 3ay = a^; [-5a® x + 8a^ y = 7a^; \^ax + (a - 4)y = 3 - 6a, [(5a + 2)x - 8y = 19 - a, [6x - 2y = a - 4; ^ |(2a + 11)x + 7y = a + 13. 157. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений не имеет решений: \ax - 10y = 16, [3x + 4y = 18; \^ax + 7y = a - 3, [5x - 2ay = a + 3; Решите неравенство (158—159). 158. 1) (x^ - 3x -1)2 < (x^ + 7x + 1)2; 2) (x^ + 2x - 2)2 > (x^ - 5x + 2)2. 1) 3) 1) 3) 2) 4) 3x + 2ay = 11, 5x -10y = 23; 11x - 4ay = 19, 12ax + 7y = 15. 159. 1) —7x 28)(x 8) > 0; ^ (x + 2)2(5 - x) 2) (x2 + 5x - 24)(x + 2)5 ^ 0 ) (x - 5)4(12 - 6x) ^ . Правообладатель Народная асвета 237 8. Текстовые задачи I 160. Если числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель дроби увеличить на 1, то получится дробь, равная -I, а если числитель дроби уменьшить на 5, а знаменатель дроби увеличить на 5, то получится дробь Найдите дробь. 161. Числитель дроби на 3 меньше ее знаменателя. Сумма дроби и обратной ей дроби в 7,25 раза больше исходной. Найдите исходную дробь. 162. Сумма цифр двузначного числа равна 7. Если цифру десятков увеличить на 3, а цифру единиц уменьшить на 3, то полученное число будет записано теми же цифрами, что и исходное. Найдите исходное число. 163. В разряде десятков двузначного числа стоит цифра, которая на 3 больше цифры, стоящей в разряде единиц. Сумма квадратов цифр числа, сложенная с квадратом самого числа, равна 2733. Найдите число. 164. Моторная лодка прошла по течению реки 14 км, а затем 9 км против течения, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость течения реки, если скорость моторной лодки в стоячей воде равна 5 км/ч. 165. Юра и Игорь, одновременно выехавшие на велосипедах навстречу друг другу из деревень Золотухино и Жуки, сближаются со скоростью 40 км/ч. Если они увеличат скорость сближения на 10 км/ч, то встретятся на 18 мин раньше. Каково расстояние между деревнями Золотухино и Жуки? 166. Мотоциклист Костя едет из деревни Онуфрино со скоростью 60 км/ч. Если он уменьшит скорость движения в два раза, то приедет в поселок Ананичи на 4 ч позже намеченного. Какой путь надо проехать Косте от Онуфрино до Ананичей? 167. Бригада строителей сдала в эксплуатацию объект на 4 дня быстрее, чем другая бригада, работающая на таком же объек- Правообладатель Народная асвета 238 те. За сколько дней каждая бригада может построить объект, если, работая до этого совместно, за 24 дня они построили 5 таких объектов? 168. В бассейн проведены две трубы. Через первую трубу он наполняется на 12 ч быстрее, чем через вторую. После того как первая труба действовала 10 ч, ее закрыли и открыли вторую, через которую бассейн наполнился за 16 ч. За сколько часов через каждую трубу отдельно можно наполнить пустой бассейн? 169. Теплоход загружается подъемными кранами. Сначала работали краны одинаковой мощности. Через 2 ч погрузки к ним присоединились краны меньшей мощности, и после этого погрузка теплохода была окончена через 3 ч. Если бы все краны начали работать одновременно, то погрузка была бы окончена через 4 ч 30 мин. За сколько часов краны каждой мощности выполнили бы всю погрузку, работая отдельно? 170. Двое рабочих, из которых второй начинает работать на 1-1 дня позже первого, могут выполнить работу за 7 дней. Если бы эту работу выполнял каждый отдельно, то первому потребовалось бы на 3 дня больше, чем второму. Сколько дней нужно каждому рабочему, чтобы выполнить работу отдельно? 171. На машиностроительном заводе разработали новый тип детали для генераторов. Из 875 кг металла стали делать на 3 детали больше, чем делали деталей старого типа из 900 кг. Определите массы деталей нового и старого типов, если две детали нового типа легче одной детали старого типа на 0,1 т. 172. Для промывания фотографических негативов служит ванна, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда размером 20 X 90 X 25 см. Для постоянного обновления вода поступает в ванну через один кран и одновременно вытекает через другой. Чтобы полностью опорожнить ванну посредством второго крана, требуется на 5 мин меньше времени, чем для наполнения ее через первый кран при закрытом втором. Если же открыть оба крана, то полная ванна опорожнится за 1 ч. Найдите количество воды, пропускаемое каждым краном за 1 мин. Правообладатель Народная асвета 239 173. 20 % возраста бабушки Веры Александровны на 12 лет больше 30 % возраста внучки Анны, а 10 % возраста бабушки на 3 года меньше 60 % возраста Анны. Сколько лет Вере Александровне и сколько лет Анне? 174. 40 % числа самостоятельно сделанных Антоном домашних заданий по алгебре на 11 больше 20 % числа списанных заданий, а 10 % числа самостоятельно сделанных заданий на 6 меньше 40 % числа списанных. Найдите число домашних заданий по алгебре, выполненных Антоном самостоятельно, и число списанных. 175. Имеются 15-процентный и 35-процентный растворы соли. Сколько надо взять каждого раствора, чтобы получить 600 г 30-процентного раствора? 176. В одном сплаве содержится 60 % олова, а в другом — 80 %. Сколько надо взять каждого сплава, чтобы получить из них 170 кг нового сплава, в котором олово составляет 65 %? 177. Имеется 600 г серебра 835-й пробы. Сколько чистого серебра надо добавить к этим 600 г, чтобы получить серебро 875-й пробы? 178. На первой полке было на 15 книг больше, чем на второй. После того как на первой полке книг стало больше на 10 %, а на второй — на 20 %, число книг на первой полке составило ■21 числа книг на обеих полках. Сколько книг стало на каждой полке? II 179. Два двузначных числа поочередно приписывают друг к другу. Разность получившихся четырехзначных чисел равна 2178. Найдите эти двузначные числа, если их сумма равна 68. 180. Сумма цифр четырехзначного числа равна 15. Отношение двузначного числа, записанного первыми двумя цифрами, к числу, записанному последними двумя цифрами, равно Ц. Найдите четырехзначное число. 181. При делении третьего числа на первое в частном получилось 2, а в остатке 3. При делении второго числа на первое в частном Правообладатель Народная асвета 240 получилось 1, а в остатке 2. Найдите эти три числа, если сумма второго и третьего на 1 больше квадрата первого числа. 182. Заработная плата повысилась на 5 %, а цены на товар снизились на 16 %. На сколько процентов повысилась покупательская способность потребителей? 183. Через три крана цистерна может быть освобождена от содержащейся в ней жидкости за 4 ч 48 мин. Чтобы освободить цистерну только с помощью первого и второго кранов, понадобится в 1,5 раза больше времени, чем с помощью третьего крана. С помощью второго и третьего кранов цистерна будет освобождена от содержимого в 6,5 раза быстрее, чем с помощью только первого крана. За какое время цистерна может быть освобождена от содержимого с помощью каждого крана отдельно? 184. Бак наполняется водой из двух кранов, причем первый кран открыли на 5 ч раньше второго. Если бы первый кран был открыт столько времени, сколько был открыт второй, а второй — столько, сколько был открыт первый, то из первого крана в бак попало бы вдвое меньше воды, чем из второго. Если открыть оба крана одновременно, то бак наполнится за 17 ч. Сколько времени был открыт второй кран? 185. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист с постоянной скоростью 20 км/ч. Когда он проехал 8:1 км, его догнал автомобиль, который выехал из А через 15 мин после велосипедиста. После этого велосипедист, проехав еще 25 км, встретил автомобиль, который, доехав до пункта В и отдохнув 0,5 ч, развернулся и поехал в пункт А. Найдите расстояние между пунктами А и В, если скорость автомобиля постоянна. 186. Два поезда выехали из города А в город В с интервалом 5 ч и одновременно прибыли в город В. Когда первый поезд находился в середине пути, второй отставал от него на 225 км, а за час до прибытия расстояние между поездами было равно 30 км. Найдите скорости поездов и расстояние между городами. Правообладатель Народная асвета 241 187. Пункт С расположен в 12 км от пункта В вниз по течению реки. Рыбак отправился на лодке в пункт С из пункта А, расположенного выше пункта В. Через 2,5 ч он прибыл в пункт С. На обратный путь было затрачено 5 ч. Поставив на лодку двигатель, рыбак увеличил собственную скорость лодки в 3 раза и приплыл из пункта А в пункт В за 24 мин. Найдите скорость течения реки. 9. Иррациональные уравнения и системы уравнений. Иррациональные неравенства I Решите уравнение (188—192). 188. 1) Vl6x^ + 16х + 29 = 5; 3) 45х^ + 23x + 246 = 4; 189. 1)9зХ+{7 = 1^ 190. 1) V5x + 1 =у/7х-9; 2) л/4х - 7 = у/3х - 4; 3) л/-х^ -13х - 9 = yj-7x - 9; 4) V-x^ -16x - 3 = y/-8x - 3. 191. 1) yfx + у/25 - x = 5; 3) Vx + 2 -^fX—6 = 2; 192. 1) ^2x -1 = 1 - 3x -1; 3) 9x^ + 4x • 6x - 3 = 0; 5) ,[x lx + 5 + 4 l~+~ у x + 5 = 4; Решите неравенство (193—194). 193. 1) ,/0,4x + 1 < 3; 3) 32x + 5 >3; 2) 39x^ -12x + 85 = 9; 4) 37x^ - 52x + 102 = 3. 2)/5 x + 2 f 5 x + 22 = -1. 2) s/x + 316 - x = 4; 4) 3x + 1 -3x - 7 = 2. 2) 313 - x - 322 + x =-1; 4) 3x" -1 • 42x + 1 = 0; 6)3x3 - 3^ = 1. 2) 31 - 0,1x < 5; 4) 3x + 5 > -2. Правообладатель Народная асвета 242 194. 1) Wx - 4x > 1; 2) \U[x - 4 x > 6; 3) y/x + 7 > ^-1 -x; 4) 45x + 4 < ^2 + 9x. Решите систему уравнений (195—196). ^/X = 6, x + y = 26; yjx^ + 5x - 6 = y, yjy^ + 5y - 6 = x; 195. 1) 196. 1) 2) 2) \yfx +y[y = 7, [x + y = 25. \yjx^ + 4x -7 = y, [yjy^ + 4y - 7 = x. II Решите уравнение (197—200). 197. 1) ^7 - x - 32 + x = -1; 198. 1) yj x +1 - 39 - x =y[2X—Л2; 2) 2y[X—Л -yjx + 2 ^v/5x -10; 3) 32x + 1 + y[X—3 = 2yfx; 4) 3x + 2 2x - 3 4x - 7. 199. 1) 3x + 2^x2 = 3; 3) Vx^Ts^ - 23x^ + 32 = 3; yjx + 4 - 2 ^x - 4 = 7 , 2) 3x -1 + 3x - 2 = 5. 2) 3x - 3 + 6 = 53x - 3; 4) x^ + 11 Wx^TTT = 42. 200. 1) 3) yjx + 4 3 ’ (x2 + 3x - 10yjx + 6 0. 2) з/#3+3 + 3/5x±2 = 21 4) 5 x + ^ x + 3 (x2 - 6x - 27^/20-2x = 1- 6; 4 x + 20 201. Решите неравенство: 1) -J2x^ -15x + 28 < x -2; 2) yJ-x^ -5x -4 < x + 4; 3) (x^ -8x + 12^-2x^ + 11x -15 < 0; 4) (x^ - 7x + 6^4 - 3x^ - 4x < 0. 18 - 2 x = 0. Правообладатель Народная асвета 243 Решите систему уравнений (202—206). 202. 1) \.Jy - x + 1 = 5, [■sj-y - x -15 = 2y - 3; I Wx + 12 Wx = 32, 203*.1) [Sy/y + 6 ^Jy = 32; 204*.1) 205*.1) 206*.1) ) ^x - = 2, [ xy = 27; 12x ^Jxy + 9y = 71, [2x + .Jxy - 9y = 73; l^y^ - 4x^ = 0, 2) 2) 2) 2) 2) \-yj2y - x + 3 = 1, [.^-2y - x + 6 = 3y - 2. [^Wx + 27^/x = 351, [27^/y + 9^Jy = 37S. [ ^x + ^y = 3, [xy = S. 5x ^Jxy + 4y = 79, 5x + yjxy - 4y = S1. \^->J4x^ -y^ = 0, [x + y ^y^ - 4x^ = 5; [x - y ^4x^ - y^ = 1. 207. Решите уравнение с неизвестным х: 1) yjx - 4 = a; 2) Vx + 1 = -a; 3) ^x - 4 +^fx = 0; 4) Vx - 6 + a^ | x | = 0; 5) Vx + a + x - 1 = 3; 6) Vx - a - у/x + 1 = 4. 10. Тригонометрические уравнения I Решите уравнение (208—214). 208. 1) cos2x ^\/2sinx = 1; 3) 6cos2 x - 5sinx + 5 = 0; 209. 1) sin3 x = 2sin2x; 2) tgx - 5tg{x - = 6sin1|n. 2)3 + cos2 x + ^/2 cos x = 0; 4) sin2(n + x) - sinx - 2 = 0. 210. 1) - 4tg x + 2 = 0; 2) cos 2 x + 1 1 + ctg2 x = 0; Правообладатель Народная асвета cos2 x 244 3)7 + 4sin X cos X + cos(270° + 2x) = 0; 4) 2 - 3sin X + cos(2x + n) = 0 6X2 - nx - П2 211. 1)sin3x - sin X = 0; 3) tg2X - tg4X = 0; 212. 1) cos4x + sin4X = V2; 3) -^23sinX + -2-cosX = -1; 2) cos^X - = cosx; 4) tg3X = tg(90°- 4x). 2) sin-l + cos-l = 1; 4) ^/3sin 2x = cos 2x + 2. 213. 1) sin X + cos X = sin 2 X + cos 2 x; 2) -\/3(cos X - sin 3x) = cos 3x - sin x; 3) 2sin 2X cos 3X + sin x + cos 2x = 0; 4) 2cos 5X cos8 x - cos 13x = 0; 5) 2sin X sin 8X = cos 7x; 6) 2sin X cos 2X = sin 3x - ^^2r; 7) sin4 X - cos4 X = 0,5; 8) sin4 X + cos4 X = -8. 214. 1)tg X + ctg X = j=; 2) tgX + ctgX = + 2sin 2x; 3) ctgX - tgX = 4 + 2^^^ 4) ctg2 X - tg2 X - 8ctg22x = 0; 5) sin2x + tgX = 0; 6) 2sin2 X + tg2 X = 2. 215. Решите систему уравнений: 1) 3) ^ X - y = - -|, cos X + sin y = 1; sin X cos y = -^4, 3 2) 4) cos X sin y = 4; ) X + y = П, [sin X + sin y = ^/3; n X cos y = ^, [cos 2 X + cos y = 0. Правообладатель Народная асвета 245 II Решите уравнение (216—220). 216. 1) sin3 X + cos3 X = cos2x; 2) sin3 X - cos3 X = sin2 X - cos2 X. 217. 1 ) sin6 X - cos6 X + 1 = 2(sin4 X + cos4 x); 2) sin6 X + cos6 X = 1-|(sin4 X + cos4 x). 218. 1) 4lsinX-1 = 16; 2) 5 X - 2|sinX _ ^-^5 ^x| sin x| 219. 1) lg(3sinX - cosx) + IgcosX = 0; 2) lg(2sinX - 1 + 10sin2 x) = lg(12 - sinx); 3) log^cos2 X = log^V^ - tg X; 3 4) logsinX 2 • logsin2 X 3 = 1. 220. 1 ) cos(arccos(4x - 9)) = x^ - 5x + 5; 2) sin(arcsin(x -1)) = x^ - 4x + 5; 3) arccos X = П + (x^ -1)2; 4) -2arcsin X = n + (x + 1)2; 5) 2(arcsin x)2 + n2 = 3n arcsin x; 6) 9(arccos2x)2 - 3n arccos 2x - 2n2 = 0; 7) 2arcsin 2x = arccos 7x; 8) 4arctg(x 3XX+-1)=n. 221. Решите уравнение относительно x: 1) sin X = a; 2) sin^^^ - x'j = a + 1; 3) sin X - cos X = a; 4) sin x + cos x = a. 222*. Решите систему уравнений: 1) cos 2 yyJ sin X = 0, 14sin2 X + cos 2y = 3; 2) .^sin X - cos y = cos I sin X + cos y = sin X. Правообладатель Народная асвета 246 223*. Решите систему уравнений с двумя переменными х и у. 1) I sin X cos у = a , I cos X sin у = a; 2) I sin2 X - sin2 у = a, |x + у = . 11. Показательные и логарифмические уравнения и системы уравнений. Показательные и логарифмические неравенства I Решите уравнение (224—225). 224. 1) 16х-0,5 - 5 • 4х-1 + 2 = 0; 2) 25X+1,5 - 9 • 5X + 1 = С 3) 2,5cos х -^/10 )2cos х = 250,5; 4) 36sinX • 4sinX = 144-0,5; 5) л/б45 - 3х = ^168+х; 6) V279 - 5x = -^97+X; 7) 22х+1 - 7 • 2х = 22х + 8; 8) 62X+1 - 3 • 6X = 2 • 62X 225. 1)(287Г •(4)"1=|1i5; 2) /9Vх./ 8 ух+1 lg64. 2) U/ \2^ lg16; 3) lg(x + 3) = -lg(2x + 5); 4) lg(x + 8) = -lg(3x + 22); 5) 3lg2 (3x + 79) = 14lg(3x + 79) -16; 6) 3lg2(5x + 89) + 20 = 16lg(5x + 89). Решите систему уравнений (226— 226. 1)^2‘ '1 ■ 3У'2 = 2, IX - у = 2; |3х • 7у = 63, 3) ^ [3х + 7у = 16; 227. 1)|lg Х (lg Х + lg у) = 2, [lgX - lgy = 3; -227). foX+^ оу-3 о 2) I3 2 5= 3, [x - у = -5; |3X • 25у = 5625, 4) [ [5х • 9у = 2025. 2) I^log2(x2 + у2) = 5, [log2 X = 4 - log2 у. Правообладатель Народная асвета 247 Решите неравенство (228—230). 228. 1) (l)2’5-0’5^2 > ’ U/ 16’ 3) 23"-2 + 23"-1 > 6; 5) 2 • 3" - 9" + 3 > 0; 9х - 81 7) х2 + 10х + 21 > 0; 229. 1) log4 х + log4(x -12) > 3; 3) lg9x=+2f <0; 5) log0,1 > 0; 2) ()3-0’5х2 < 27; 4) 43х-2 + 43х-1 < 80; 6) 24х-2 - 5 • 4х-1 + 1 < 0; 11х - 121 8) < 0. х2 + 14х + 45 2) log3 х + logз(x - 24) > 4; 4) lg7x=+^ <0; 6) log0,2 ^ <0. 230. 1)log8(1 + ^х) + log, (1 - (х)< 1; 8 2) log3(1 + хх) + log1 (1 - ^х)> 1; 3) (х + 4)(8 - х) lg(x -1) < 0; 4) (х + 8)(6 - х) log0 ;(х -1) > 0. II Решите уравнение (231—235). 231. 1) 27х - 3 • 18х - 12х + 3 • 23х = 0; 2) 8х - 2 • 20х + 3 • 50х - 6 • 53х = 0; 3) 7х + 24х = 25х; 4) 12х + 5х = 13х. 232. 1) 3х • 8х+1 = 36; 3) x2^°g4х = 4т; х2 233. 1) log х-1 (х -1) = 2; |2 х - 3| 2) log х-2 (х - 2) = 2; 2 х-5 3) logз(5x + 1) + log5x+13 = 4’25; 4) log4(3x + 1) + logзx+14 = 3,1. х 2) Гх • 8х-1 = 100: 4) x2^°gl6х = 64 4х Правообладатель Народная асвета 248 234. 1) log20i^16 - 5x = log20i4(2x - 5); 2) log2013 ''J11x — 18 = log2013(2X — 9)- 235*. 1) logsin(2n—x)(cos2 x + 0,5sin2x + 1) = 0; 2) logcos(2n—x)(cos2x + sinx) = 0236. 1) При каких значениях а уравнение 4x — (a + 1) • 2x + 2a — 2 = 0 имеет один корень? 2) При каких значениях а уравнение 4(a — 1) x2 + 2(a+3) x+a = 1 = Те имеет один корень? 237. Решите уравнение относительно х: 1) lg(x — 3) = lg(2x + a); 2) log0,25(x^ — 7x — a) = log0,5(x + 3). Решите систему уравнений (238—239). 0,5logxg + 2log^x = 2, 54x ^Jy = 4; 3x • 2y = 1152, Jog/g(y — x) = 2; Решите неравенство (240—242). 238. 1) 239. 1) 2) 2) pog xy + log yx = 2,5, [3^fx — yfy = 2. f3x • 2y = 576, po^2(y — x) = 4. 240 1) (log25) (log25) ^ 0' ■ (log2 5)-x + x log2x 5 ’ 241. 1) (2 W3)x — 3(2 W3)x + 2 < 0; x — 1 2) (2 WS)x—1 > ^/5 — 2)"^. 2) (log3 2)x — (log3 2)2 ^ 0 ) (log3 2)—x + x log3x 2 . 242*.1) 39 x2—2 — 6 > 3; 2) 24 x2 —5 — 9 < 7. Правообладатель Народная асвета 249 12. Производная I 243. Найдите производную функции f: 1) f (x) = 4- 20x2 + 25x - 6; 2) f (x) = 2x^ - 12x2 + i6x + 45; 3) f (x) = (x - 2)(x2 + 5x - ^65); 4) f (x) = (x + 1)(x2 - 4x + j7J; 5) f(x) = 6) f (x) = x4 - x2 + 4 ; x2 - Ws + 2 ’ x4 - 4x2 + 1 ^ -1 244. Тело движется по закону s{t) (t — время в секундах, s — путь в метрах). Найдите скорость движения в момент времени t = 4 с, если: 1) s(t) = 2t^ - 6t2 + t + 3; 2) s(t) = -|t3 - t2 - t - 4. 245. Движение точки происходит по закону s(t) = t^ - 2t - 5. В какой момент времени скорость движения равна: 1) 12; 2) 0? 246. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам s1(t) и s2(t) (t — время в секундах, s — путь в метрах). В какой момент времени их скорости равны, если: 1) s1(t) = 7,5t2 - 8t - 7 и s2(t) = 2,5t2 + 2t - 9; 2) s1(t) = 12,5t2 - 10t и s2(t) = 4,5t2 + 6t + 11? 247. Найдите тангенс угла наклона а к оси Ох касательной к гра- фику функции f (x) = -2; -1; 2; 3. в точке с абсциссой х0, равной: 248. Запишите уравнение касательной к графику функции f (x) = x +1 в точке графика (х0; у0), если: 1) х0 = 4; 2) х0 = -2; 3) у0 = -5; 4) у0 = 1. Правообладатель Народная асвета x2 + 1 x 250 249. Найдите промежутки возрастания и убывания функции /(х) и ее точки экстремума, если: 1) /(x) = 3x5 - 5x3; 2) /(x) = 2x4 - x3; 3) /(x) = x^(2x -1) - 9; 4) /(x) = x^(2x - 3) - 7. 250. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции /(х) на отрезке I = [0,1; 1], если: 1) / (x) = 16 x - 4 x2 - 3. 5 x2 ’ 2) / (x) = 18x - 2x2- 3 5x2 II 251. 252. 253. 254. 255. В какой точке касательная, проведенная к графику функции у = /(x), наклонена к оси абсцисс под углом а: 1) /(x) = -2x3 - 12x^ - 23x - 8 , а = 45°; 2) /(x) = 3x3 + 18x^ + 37x - 2, a = n? Касательная к кривой у = g(x) параллельна прямой у = /(x). Найдите координаты точки касания и напишите уравнение этой касательной, если: 1) /(x) = -5x и g(x) = x3 - 6x^ + 7x + 4; 2) /(x) = 6x и g(x) = x3 + 3x^ + 9x - 9. Найдите угол наклона к оси Ох касательной к графику функции у = /(x), проходящей через точку Р, если: 1) /(x) = x^ + 2x - 0,5, Р(1; 2); 2) /(x) = -|x^ - 4x + 6, Р(2; 4). Прямоугольный участок земли площадью 8 га огораживается забором. Каковы должны быть размеры участка, чтобы длина забора была наименьшей, если участок огораживают: 1) с трех сторон; 2) со всех сторон? 1) Число 28 разложили на 2 слагаемых так, чтобы сумма кубов была наименьшей. Найдите эти числа. 2) Число 49 представили в виде произведения двух положительных сомножителей так, чтобы сумма их была наименьшей. Найдите эти числа. Правообладатель Народная асвета 251 256. При каких значениях а функция f имеет единственную критическую точку: 1) f (x) = - 3ax2 + 27x - 5; 2) f (x) = x^ + 3ax^ + 75x -13? 257. 1) При каких значениях а функция f (x) = 2ax^ + 5ax возрастает на области определения? 2) При каких значениях а функция f (x) = 8ax^ + 3ax убывает на области определения? 13. Функции I 258. Укажите область определения функции f: 1) f (x) = у1 16 - x^; 2) f (x) = ^lx^ - x - 2; 3) f(x) = 5) f(x) = 4) f(x) = 6) f (x) = x3 - 4x ’ •Jx - 1 / -/ V / ^x2 - 16 259. Укажите область определения функции f: 1) f (x) = lg(53 - 3x); 2) f (x) = lg2(27 + 4x); 3) f (x) = lg3(-3x -15); 5)f (x) = ' 4) f (x) = log2(4x - 3 - x2); 6) f (x) = lglg x. lg(36 - 5x) ’ 260. Укажите область определения функции f: 1) f (x) = ; 2) f (x) = 2^/25x-4; 3) f (x) = (13 - x)-0’5; 4) f (x) = (2x + 21)0-5. 261. Найдите координаты вершины параболы: 1) у = 5(x - 8)2 + 2; 2) у = -2(x + 3)2 - 5; 3) у = x^ - x - 1; 4) у = -x^ + 2x + 3. 262. Докажите, что число 3^ является периодом функции f: 1) f (x) = sin (- 2); 2) f (x) = cos 4x +15 3 . Правообладатель Народная асвета 1 252 263. Докажите, что число п является периодом функции f: 1) f (x) = tg x + log2 32; 2) f (x) = ctgx - lg5T0O. 264. Докажите, что функцияfявляется четной: 1) f (x) = x^ + cos5x; 2) f (x) = tg2 4x + x sin 2x; 3) f(x) = x^cos-; 4) f(x) = yfx^ + 6 + + Igx®. x x 265. Докажите, что функция f является нечетной: 1) f (x) = x3 - ctg2x; 2) f (x) = -g-x + xcos 6x; 3) f (x) = x®lg(x^ + 16); 4) f (x) = sinx(1 - cosx). 266. Укажите множество значений функции, заданной формулой у = f( x), если: 1) f (x) = ; 2) f(x) = x -| x |; 3) f(x) = |x| + 4; 4) f(x) ^^25 -1x -6|. 267. Укажите множество значений функции f: 1) f (x) = x^ -12x + 29; 2) f (x) = x^ - 2x + 5; 3) f(x) = 2 5 3; x - 2x - 3 4) f(x) = 4-x2+6x—9; 6) f (x) = 0,1x -432 + 42 5) f (x) = -пx + 2; 268. Найдите наибольшее (наименьшее) значение функции, заданной формулой: 1)f(x) = 7 - x^; 2) f(x) = 1 Wx; 3) f (x) = 9 -1 x I; 4) f (x) = 110 - x |. 269. Укажите промежутки, на которых принимает положительные (отрицательные) значения функция, заданная формулой: 1) f (x) = 0,25x - 5; 3) f(x) = + 5; 5) f (x) = -5x^ + 13x + 6; 7) f (x) = log0,2(x - 5) + 2; 9) f(x) = - 6; 2) f (x) = 12 - 0,3x; 4) f (x) = - 6^ -3; 6) f (x) = 3x^ - 13x + 12; 8) f (x) = lo-3(x + 20) - 3; 3x 1°) f (x) = 45 - 31.. Правообладатель Народная асвета x 253 270. Докажите, что на промежутке (0; +^) является убывающей функция: 1) у =-4х^; 2) у =-4х; 3) у = 2 - 3х; 5) у =-\х I; 6) у = 1 - х^. 4)у=^З; 271. При каких значениях х график функции у = 2х2 - 10х + 9 лежит не ниже графика функции у = х - 3? 272. При каких значениях р графику функции у = 3(х + р')^ - 43 принадлежит точка А: 1) А(-3; 5); 2) А(2; -16)? II 273. Известно, что функция задана формулой у = /{х), где: I) f (х) = 2х - 1; 3) f(х) = ;х; 5) f (х) = х^; 7) f(х) = 4х; 9) f(х) = 2х; II) f (х) = log2 х; 2) f (х) = 4 - х; 4) f (х) = -зх; 6) f (х) = х^; 8) f(х) = I х |; 10) f(x) = [^) ; 12) f (х) = logo,5 х. Изобразите график функции, заданной формулой: а) у = f (х - 1) + 2; б) у = f (2х - 2) -1; в) у = 3f (х - 2) + 2; г) у = -3f (х - 2) - 2. 274. Известно, что функция задана формулой у = f(х), где: 1) f (х) = sinх; 2) f(x) = cosх; 3) f(х) = tgх; 4) f(x) = ctgх. Изобразите график функции, заданной формулой: а) у = 2f(х); б) у = 2f (х + i^j; в) у = 2f(х + inj - 2; г) у =-2f(х + + 2. 275. Укажите область определения функции: 1) f (х) = lg(2x + 12) W-2х -10; 2) f (х) = lg(4x + 12) + W-х -1; Правообладатель Народная асвета 254 3) f(x) = yj-x + x + 1 lg(2 + x) ^ 4) f (x) = - sin x. .^3,5 - x 276. Изобразите график функции y = ax^ + bx - 4, если корнями уравнения ax^ + bx - 4 = 0 являются числа 1 и 4. 277. Изобразите график функции у = ax^ + bx + c, если этому графику принадлежат точки Л(0; 0), В(3; 0), С(-2; 15). 278. Изобразите график функции у = x^ - 8x + a, если ее наименьшее значение равно 2. 279. Изобразите график функции у = x^ + ax + a + 2, если корни уравнения x^ + ax + a + 2 = 0 относятся как 1 : 2. 280. Изобразите график функции у = x^ - 2x + c, если корни уравнения x^ - 2x + c = 0 удовлетворяют равенству 7x2 -- 4xj = 47 и xj < x2. Правообладатель Народная асвета ОТВЕТЫ Глава 1 1) -24; 3) 152. 2) (-1 > 0; 4) -1О0 < 0; 6) -130 < 0; 8) ^ > 0. V ^ 20 1) 68; 3) (-5)21; 5) 210" + 4. 2) а10; 4) (-ш)22; 6) (61)14. Например, 1) 28 • 28; 3) а2 ■ а3; 5) 43 • 48; 7) 13а • 132а; 9) (7р)9 • (7p)10; 11) (-p)10 • (-p)10. 2) 33; 4) X8; 6) а4; 8) 172n - '; 10) (-0,8)^ - 6. П'6, 1.7. Например, 1) 48 : 44; 3) ^-: ^-^j; 5) a3t : a2t; 7) b 1.8, 1.9, .10. .11. .12. .13. .14. .15. .16. .17. 2) 56; 4) ; 6) (-5)16; 8) (-3)4p. 1) Нет. 2) ik y5; 4) -512а3; 6) 1000x6y‘5. 4 4 ^ ox X . 4; 3) 6 ’ i\X . Q\X . а b 1) -t; 3) -r; 5) y y 25c 8 ■ .18. 2) 2) ^r; 4) —^pr; 6) -1^; 8) -------^-r^. 65 ' (-8)13 ' y12 ' (-4У)16 1) i; 3) 16; 5) ^^; 7) X; 9) 1; 11) 1. 64 15 2) 21-12; 4) (-а)-27; 6) 19-1; 8) 4-3. 1) 27 x6y16; 3) 4 а3y2. 2) -4а* - 6b8 - 2kc2k - 3; 4) 1 x-6y-‘8. 1) -2048. 67 131 .19. 1) 4/103 > 10; 3) -17 > ^290; 5) ^/74; 7) 4л/80 <|4/45. .20. 2) Да; 4) не всегда; 6) да. .21. 1) Не всегда; 3) не всегда. .22. 2) Не всегда; 4) да; 6) не всегда. .23. 1) 0,05. .25. 1) Да. .26. 2) Нет; 4) да. .27. 1) 4; 3) 0; 5) 0,9; 7) 1,5; 9) X; ц) 13. .28. 2) 0; 4) 2; 6) 0,3; 8) 0,8. 13 10 .29. 1) 0; 3) 2; 5) 2; 7) 0,1. Правообладатель Народная асвета 256 1) -10; 3) -4; 5) -7) -1; 9) -0,2. 1.30. 2) 0,4; 0,3; 0,1; 0,2; 0,05; 0,01; 4) 2; 5; 10; 0,3; 0,02; 7; 6) 2; 7; 5; 4; 0,6; 10. 1.31. 1.32. 2) -14; 4) -15; 6) -99. 1.33. 1.34. 1.35. 1) 314. 5 2) 0,001; 4) 1219; 6) i6. 27 81 1) 3; 3) 49; 5) 10. .36. 2) 5; 4) -12; 6) 54; 8) -15; 10) 3; 12) -4. .37. 1) 0; 3) 9; 5) -6; 7) -2. .38. 2) 4; 4) 0,1; 6) 9; 8) 0. .39. 1) -1; 3) -4; 5) 4. .40. 2) 8; 4) 0,75. 72 1.41. 1) -8 119 3) 1,5. .42. 2) а-6; 4) 56 а12635. 3 .43. 1) [-4; +^); 3) (-^; 0] и [1,2; +^); 5) R; 7) R. .44. 2) (-^; 0,375); 3) (1,8; +^); 5) (-^; 1) и (1; +^); 7) ^-^; i1! .45. 1) 3 см; 3) 0,5 дм. .46. 2) ±11; 4) 10; 6) 6; 8) нет корней. .47. 1) -3; 3) -1; 5) -0,3. .48. 2) ±419; 4) 325; 6) -32; 8) ^^I. .49. 1) ±160; 3) ±0,04; 5) нет корней; 7) 0; 9) ±3. .50. 2) -1,5; 4) ±1,5; 6) ±2. .51. 1) ±47^Ж; 3) ±319 W7. .52. 2) 0; 4; 4) 1. .53. 1) -1; 2; 3) W3; ±3; 5) ±1; ±3. .54. 2) [0; +^); 4) R; 6) [-2; +^); 8) (-^; 2) и (2; +^). .55. 1) т; 3) -m; 5) 0,31; 7) t. .56. 2)p; 4) -k; 6) -b. .57. 1) -a; 3) b. .58. 2) 4a|; 4) 0,6|a|; 6) |a|; 8) |a - b|. .59. 1) 100; 36; 222; 0; 222; 36; 100; 3) 150; 54; 34; 0; -34; -54; -150. 33 .60. 2) 9; 4) 5. .61. 1) 11,92. .62. 2) |x - 2y |; 4) |p + 5|. .63. 1) a) -X - 1; б) X + 1. Правообладатель Народная асвета 257 1.64. 2) Да. 1.65. 1) 5; 3) нет корней; 5) 3; 7) нет корней. 1.66. 2) 2; 4) 15; 6) 27; 8) 27. 1.67. 1) Jx\; 3) Ja\; 5) ^2m\n^; 7) 5m2|n|; 9) 1.68. 2) Vn/2 - 1; 4) ^4^Ж; 6) ^/2 - 1. 1.69. 1) 100; 3) 216; 5) 0,125; 7) i; 9) 4. 4a^ 4 5c 7 .70. 2) ^8; 4) '^-O; 6) 9-243; 8) '^O; 10) 3°6; 12) '913. .71. 1) 2; 3) 4. .72. 2) 92 < ‘910; 4) 64 = 98; 6) > 98. .73. 1) Увеличить в 92 раз; 3) увеличить в 98 раз. .74. 2) 8; 4) -64; 6) 1. .75. 1) 0; 625; 3) 16; 81; 5) 1; 1024. .76. 2) 2; 4) 84; 6) -2; 8) 14. .77. 1) 2; 3) 3. .78. 2) 68; 4) 2. .79. 1) 2; 3) 3; 5) 15. .80. 2) 22; 4) 15,5. 3 .81. 1) ; 3) - О-27-; 5) -950xy^; 7) a^b^^b2. 23 x2 Ml a7x3 .82. 2) 32a2; 4) 39a; 6) M. 2a .83. 1) 2a9b2m - 3m2; 3) a - b + 3а2Ь - 9ab2. .84. 2) a9a; 4 ) 3292; 6) a69a2x4; 8) -■298/-8г. .85. 1) 2. a ^a .86. 2 ) 298; 4) -792; 6) 1098; 8) -293. .87 1) x^9b-; 3) ; 5) 9X2; 7) ' by\ b y 2 n 88. 2) 9l024x6y5; 4) Ц-12m5n2; 6) s/^; 8) 3^ +1. V a3 V m3 89. 1) 929; 3) - 99; 5) 99; 7) 652. 5 3 3 90. 2) ; 4) (/2 - 1)^(t27r)2; 6) 5x + 4. 9) 3 -VУr. x^ x2y2 1.91. 1) -1); 3) m(m9m 2+ 3^m + 9); 5) з/99 - 94\; 7) 2+^ k -1 ^ m2 - 2^ ^ ^ 40 Правообладатель Народная асвета 258 1.92. 1.93. 1.94. 1.95. 1.96. 1.97. 1.98. .99. 1.100. 1.101. 2) -15; 4) 57,5; 6) нет корней; 8) -11; 7. 1) 3; 3) -2,36; 5) -2; 5. 2) 150; 4) 24; 6) 0,2; 8) 1,5. 1) 200; 3) 4; 5) 0,24. 2) 49; 4) 36; 6) 7х2; 8) 2с2; 10) а4| с |; 12) 3 х|^2. 1) 21 а3 |с2”; 3) 2а2”64. ' 2^ ’ 3 2) W3; 4) ^/2; 6) 5^2; 8) 2^5; 10) 1|^||; 12) |4з. 1) Wx; 3) а4а; 5) 2а; 7) -|^J2ab2. ^ \2 ’ 2 х|^ 4 3y3 2) ^/54; 4) ^i|; 6) ^В^Х^У4; 8) 4а4^. I) -иП; 3) ш2я1/я; 5) -4mjn; 7) m2n^fm; 9) шя- II) -mn^yj-m. 1.102. 1.103. 1.104. 1.105. 1.106. 1.107. 1.108. 1.109. .110. .111. .112. .113. .114. .115. 2) W-m3; 4) -^m^n; 6) ^Om6; 8) -|2(m 4) V 1 - m 5 1) 3; 3) 4; 5) 6; 7) 5; 9) 2,5. 2) 4) 4 x y la2b3 1) 2; 3) ^/7 ^/3; 5) ^/2 + 1. 2) W3; 4) 6125; 6) -^^^; 8) 948. 1) yja b ; 3) (a + b)4(a - b)3; 5) 4(a2 + b2)3. a - b ’ 2) ^/6^+1; 4) -6) ^/^ ^/6; 8) 16^/7 ^/o)4; 10) -9(43 W2)(2 W3). 3^/3 W5 -2)УУГЗ -2^^ ^loУУ5 ^/3 ^Уз) ) 2 ; ) 2 ; 5) -4^/2 + 1)^/3 W2); 7) (2 W3 - ^/ilK7 - W3). 2) t > 0; 4) t > 0; 6) t < 0. 1) k > 4; 3) k > 2. 2) -1,5; 4) нет корней; 6) 3; 8) -1,4; 2. 1) 7; 3) 2; 5) 26. 2) 625; 4) 84. 1) -2; 3) 0,5; 5) 12. Правообладатель Народная асвета 259 1.117. 1.118. 1.119. 1.120. 1.121. 1.122. 1.123. 1.124. 1.125. 1.126. 1.127. 1.129. 1.130. 1.131. 1.132. 1.134. 1.135. 1) Да; 3) нет; 5) нет; 7) да. 2) 25; 4) -^^; 6) --. ' ^ ' 7 ’ 7 9/2. 2 ; 9/5 4 . 2) 13,5; 4) 2|; 6) 9/2 -2. \n-1 4) bn =50^3 1) 2; 3) 12. 2) bn = 200 (1) Нет; 3) да. 2) 1,5. 1) а2. 2) 3; 4) 5; 6) 1. 1) 0,(1); 3) 0,(001); 5) 0,(00001). 1) 0,(7); 3) 0,(4); 5) 0,(5). 2) 9^; 4) 451; 6) 3149; 8) 81159. 39 99^ 99 4950 1) 0,(66); 3) 0,9(2). 2) 1,6; 4) 2,5. 4 -3 1 3 - 3 4 - 2 4 2) X5; 4) с 7; 6) х4 у4; 8) a 5 b5; 10) (m - n) 3; 12) (a4 - b3)7. 1) 6x, ^^, 432b5 , W^^1, 83d"2; 3) 5m + n, 4(m2 + n2)3 , 4(m3 + n3)-5 , ^(m + 2n)-2 , 4~(m + n)-1 , 65(m + n)-4 . 2) 11, 9^, -4, -3, -^, 3; 4) 0,5, 1000, ^, ^, 64, 125. 9 19 9 4 129 ^ 19 27 1.136 1.137. 1) Да; 3) да; 5) нет; 7) нет; 9) да 1.138 1.139 1.140 2) -^^; 4) 240; 6) 1; 8) —. ^ 229 ^ 2^^ ^ 32 1) -^4; 3) 1,8; 5) 15. 2) 29; 4) 84|; 6) 12. .141. .142. .143. .144. 1) 182; 3) ^. 2) Да; 4) нет; 6) да; 8) да. 1) [0; +ТО); 3) (0; +^); 5) R; 7) (0; +^); 9) R; 11) [0; +^). 2) [-3; +^); 4) (0; +^); 6) (-1; +“); 8) [-3; +^); 10) [-2; +^); 12) (5; +^). Правообладатель Народная асвета 260 1.145. 1.146. 1.147. 1.148. 1) (-то; -2] и [2; +^); 3) (-^; 0] и [5; +^); 5) (-^; 2) и (4; +^); 7) (-^; -2) и (i3; +то); 9) (-1; .7). 2) (-то; 1); 4) (-то; -1,5) U (1; +то). 1) J + 2пп, n е Z; 3) пп; —+пп . 4 . , п е Z; 5) не существует; 7) --^ + 2пп, п е Z; 9) [2пп; п + 2пп], п е Z. 3 3 2) (^8)5 > 1; 4) (89)-5 < 1. 5 7 1) a 6; 3) a9; 5) a 0,2; 7) a4 ; 9) a4 . .149. .150. .151. .152. 2) t-4; 4) t 7 . 1 jI A -49 2) b3 ; 4) b10 ; 6) b15 ; 8) b >2 . 1 -11 1) t6; 3) t 5; 5) 14. 31 17 ^ - A A 1) a12 b15 ; 3) a 12 b12 . 2) b3,25; 4) b-1. 1) 27; 3) 3; 5) 10; 7) 4; 9) 1. 2) 20; 4) 2; 6) 22. 1) 4; 3) 77; 5) JL; 7) 1; 9) 25. A 2A 1A 6 2) 147; 4) 847. 1) 1; 3) 16. 1 2 2 2) 2x2 + x; 4) a2b 3 - a3 b2. 1) a2 (a2 + 1); 3) a6 (a6 + 1); 5) a4 (a4 + 1); 7) a6 (a2 - 1j; 2/ 7 11 \ 9) a9 (a9 + a18 - 1j. 5/13 5\ 1 2/ 1 \ 1 A 1/ A 2 1\ 2) a8 (a8b4 - c8 j; 4) 5a6c3 (a6c + 3j; 6) 26 a10 b3 (a10 b3 - 23 j. - 7 - 4 -1 5 -1 2) 3-' + 2 • 3 6 + 3 3; 4) m5 + п 2 - 2m2 п 4; ^ 35 6) 16t3 + 25d 3 + 40t2 d3. 4 -1 11 1.165. 1) a2 - b; 3) a - c^2; 5) 16a5 - t 2; 7) 9b; 9) -40b5 c 2. .153. .154. .155. .156. .157. .158. .159. .160. .161. .162. .164. Правообладатель Народная асвета 3 261 .166. 2) —; 4) i. ^6^ ^2 .167. 1) (a2 - 1l)(a2 + 1l); 3) [n - уЦ){n Wl3); 5) - 62 )^/7 + b2). .168. 2) (a6 - b6)(a6 + b6); 4) (2 - n4 )(2 + n4 ); I — 1V — M 11 6) (0.1m12 - 0,Зп4 j(0.1m12 + 0.3n4 j; 8) ^Уб - x5 ){yJ6 + x5 ); 10) (x 2 - a 8 )(x 2 + a 8 ); 12) (m 2 - n10 )(m 2 + n10 1 2 a 7 + 5b7 ' 2 11 2 2 .169. 1) m2 + n2 ; 3) a5 + b5; 5) 1 9) 3 - a3. 1 1 -0,25 i,-0,25 nor; n or; .170. 2) a3 - b3; 4) a^, - b; 6) b0,25 - a0,25. ; 7) 3a2 + 3a4b Wb; a-0,25 + b-0,25 1.171. 1) la4 b^1 - 3b 3|. 3 21 -1 1 2h2 11 11 .172. 2) 2n4; 4) b 1 ; 6) -6a3b3; 8) a2 - b2. a 2 + b 2 1 .173. 1) 23a + 1; 3) a3 + 1. 1.174. 2) 1 ; 4) 4ab 2yfa (a - b) (a - b)2 1 1 2 .175. 1) 2-2 < 2-4; 3) (5)7 <(5)0,7; 5) 0,001-1,3 < 0,001-1,5; 7)( I)1 >( 1 )0'25'; 9) (8 )3 <( 9 )3. 13 34 .176. 2) 8 6 < 0,125-2,5; 4) 1,60 < 1,62 ; 6) 0,815 < 1; 8) 1 > 139; ^ r/i 2 ^ S, f -1 ,1 3 3 . 30,5 3 3 . 30,5 .177. 1) 3 . J3 < 3 3 10) з81! < 33 Зз5 ; 3) (1I5)-3 •i73 )4 <( 4-c33 )9 -1 -1 -2 -2 .178. 2) 0,357 3 > 0,3571 3; 4) U/H) 7 < (W3) 7. ■'79' ■) 7(1 -1)2" ; 3) f(‘- (‘6- D)'6" '!(■- (‘1-!)) 2‘ ■ Правообладатель Народная асвета 262 1.180. 2) ч/7 - 1 > 9 - 3sp7\ 4) j2 > 1.181.1) (^4)0'2. 3 )6, Г' 3) 35)-4, (D1, (t)-1; 5) ^/5 - l)2, -ТоЗз, 0,3. 2) (1 )-5 > 1; 4) (53)-3 > 1; 6) ( '7' v3, 7 )-3 10) (^3 ^ L 1 3 > 1; 12) b/5 2) 1 8 < 1. 1) m7,1 > m9,3; 3) m^23,5 < m^30; 5) m0, 9) m-2,8 > m^0,28. 2) a-18 < a 17,99; 4) a1,63 < a1,82; 6) a 10) a5,3 > a5,001. 1) a > b; 3) a > b; 5) a > b. ^ > m0,9; 7) m2 < m3 ; -4 ^5 8) a 5 > a 4; 1.186. 2) a > b; 4) a > b; 6) a < b; 8) a > b. 1.187. 1) m < 1; 3) m > 1; 5) m < 1; 7) m > 1. 1.188. 2) m > 1; 4) m > 1; 6) m < 1. 1.189. 1) Нет; 3) да; 5) да; 7) да; 9) нет. 1.190. 2) 0,23" < 0,34"; 4) 4,52" < 6,9"; 6) ^ctg= ^2cos. 1.191. 1) 0,47" < 0,51"; 3) 3,14" < 4,73"; 5) (cos> (tg0)". 1.192. 2) 64; 4) 4; 6) 2. 1.193. 1) 4; 3) 5. 1.194. 2) (-^; -2) U (-2; +^); 4) (-^; - 3) U ^j|-; +^j; 6) (-^; -4] U [-2; 2]; 8) (0; 1]. 13 1.195. 1) 2; 3) i; 5) i; 7) i; 9) i. 1.196. 2) [0; +^); 4) [0; +^); 6) [0; +^). 1.197. 1) 0 — наибольшее значение; -20 — наименьшее значение; 3) -0,05 — наибольшее значение; -125 — наименьшее значение. 1.198. 2) (0; 0), (1; 1); 4) не пересекаются. 1.206. К 1.201. 1) а) [0; +“); б) [0; +“); в) у > 0 при х > 0, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 0); 3) а) R; б) [0; +^); в) у > 0 при х ф 0, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 0); 5) а) [0; +^); б) [0; +^); в) у > 0 при х > 0, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 0). К 1.202. 2) а) [0; +^); б) [0; +^); в) у > 0 при х > 0, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 0); 4) а) [0; +“); б) [0; +“); в) у > 0 при х > 0, у не Правообладатель Народная асвета 263 принимает отрицательных значений; г) (0; 0); 6) а) [0; +^); б) [0; +^); в) у > 0 при X > 0, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 0). К 1.203. 1) а) [0; +“); б) [2; +“); в) у > 0 при x е [0; +“), у не принимает отрицательных значений; г) (0; 2); 3) а) [0; +^); б) [-3; +^); в) у > 0 при X > 159, у < 0 при X е [0; ); г) (0; -3), (159; 0); 5) а) R; б) R; в) у > 0 при X > 92, у < 0 при X < 92; г) (0; -2), (92; 0). К 1.204. 2) а) [1; +“); б) [0; +“); в) у > 0 при X > 1, у не принимает отрицательных значений; г) (1; 0); 4) а) R; б) [0; +^); в) у > 0 при X ^ 2, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 226), (2; 0); б) а) [3; +^); б) [0; +^); в) у > 0 при X > 3, у не принимает отрицательных значений; г) (3; 0). К 1.205. 1) а) R; б) [-1; +“); в) у > 0 при X е (-“; -3) и (-1; +^), у < 0 при X е (-3; -1); г) (0; 212 - 1), (-3; 0); (-1; 0); 3) а) [-1; +^); б) [2; +^); в) у > 0 при X ^ -1, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 3); 7 5) а) [-3; +“); б) [-3; +“); в) у > 0 при X > - 3 + 329 , у < 0 при X е [-3; -3 + 329 ); г) (0; 3~ - 3), (-3 + 329 ; 0). 1.208. 2) 5; 6; 4) 1; 6) нет корней. 1.209. 1) 5; 3) 0; 5) 3; 7) 3; 9) 3. 1.210. 2) 25; 4) нет корней; 6) -3; 8) нет корней. 1.211. 1) [0; 8); 3) [0; 3]; 5) [0; 3). 1.212. 2) 0,17" > 0,23"; 4) 2,78" > 6,9"; 6) ctgj^-j" >^2sin 2 3 1.213. 1) X-2 < X-8; 3) X-5,3 > X-3,4; 5) X-0,58 < X-5,8; 7) X 3 < X 2. 1.214. 2) X-12 < X-'0; 4) X^6,' < X-3,8; 6) X^0,'2 > X-4,5; 8) X 4 < X 9. 1.215. 1) ^/2; 3) ^; 5) ^. 8Г 25 1.216. 2) 8; 4) 0. 1.217. 1) X ^ 40; 3) (0; 2) U (6; 7); 5) (-3; -2) U (2; +^); 7) (-^; 0) U (1; 3). 1.218. 2) -^2; 4) -^; 6) -^; 8) -^. 1.219. 1) Промежутков возрастания нет, промежутки убывания (-^; 0), (0; +^); 3) промежутков возрастания нет; (0; +^) — промежуток убывания; 5) промежутков возрастания нет; (0; +^) — промежуток убывания. 1.220. 2) -1 — наименьшее значение, —^ — наибольшее значение; 3 8 27 4) -3^^ 3 27 наименьшее значение, - 1 125 наибольшее значение. Правообладатель Народная асвета 264 1.221. 1) (1; 1); 3) (0; 1). 1.229. К 1.224. 2) а) (-^; 0) U (0; +^); б) (0; +^); в) у > 0 при х ^ 0, у не принимает отрицательных значений; г) нет; 4) а) (-^; 0) U (0; +^); б) (-“; 0) и (0; +“); в) у > 0 при х > 0, у < 0 при х < 0; г) нет; 6) а) (0; +“); б) (0; +^); в) у > 0 при х > 0, у не принимает отрицательных значений. К 1.225. 1) а) [0; +“); б) [0; +“); в) у > 0 при х > 0, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 0); 3) а) (-“; 0) и (0; +“); б) (-“; 0) и (0; +“); в) у > 0 при х > 0, у < 0 при х < 0; г) нет; 5) а) R; б) R; в) у > 0 при х > 0, у < 0 при х < 0; г) (0; 0). К 1.226. 2) а) (-“; 0) и (0; +“); б) (-“; 1) и (1; +^); в) у > 0 при х е (-“; -1) и (0; +“), у < 0 при х е (-1; 0); г) (-1; 0); 4) а) (-“; 0) и (0; +“); б) (-1; +“); в) у > 0 при х е (-1; 0) и (0; 1), у < 0 при х е (-^; -1) и (1; +то); г) (-1; 0), (1; 0); 6) а) (0; +^); б) (-3; +^); в) у > 0 при х е (0^^^х27), у < 0 при х е +“); г) 0^. К 1.227. 1) а) (-1; +“); б) (0; +“); в) у > 0 при х > -1, у не принимает отрицательных значений; г) (0; 1); 3) а) (-“; 2) и (2; +“); б) у > 0 при х > 2, у < 0 при х < 2; в) (0; (-2)-"); 5) а) (-“; 3) и (3; +“); б) у > 0 при х > 3, у < 0 при х < 3; г) (0; (-3)-14). К 1.228. 2) а) (-^; -3) U (-3; +^); б) (-1; +^); в) у > 0 при х е (-3; -2), у < 0 при х е (-^; -3) U (-2; +^); г) (-2; 0); 4) а) (-2; +^); б) (3; +^); в) у > 0 при х > -2, у не принимает отрицательных значений; г) (^0; 3 + 2 2 j; б) а) (1; +^); б) (2; +^); в) у > 0 при х > 1, у не принимает отрицательных значений; г) нет. 1.230. 2) а) (-“; 0) и (0; +“); б) (0; +“); в) промежуток возрастания (-“; 0), промежуток убывания (0; +“); 4) а) (-“; 0) и (0; +“); б) (0; +“); в) промежуток возрастания (-^; 0), промежуток убывания (0; +^); б) а) (-“; -1) и (-1; +^); б) (0; +^), в) промежуток возрастания (-^; -1), промежуток убывания (-1; +“); 8) а) (-“; 2) и (2; +“); б) (0; +“); в) промежуток возрастания (-^; 2), промежуток убывания (2; +^); 10) а) (-“; 3) и (3; +“); б) (-2; +“); в) промежуток возрастания (-“; 3); промежуток убывания (3; +“); 12) а) (-“; -2) и (-2; +“); б) (-4; +“); в) промежуток возрастания (-^; -2); промежуток убывания (-2; +^). 1.231. 1) ^; 3) i; 5) -i; 7) ±3; 9) ±2. Правообладатель Народная асвета 265 .232. .233. .234. .235. .236. .237. .238. .239. .240. .241. .242. .243. .244. .245. .246. .247. .248. .249 .250 .251 .252 .253 .254 .255 .256 .257 .258 .259 .260 .261, .262. .263 2,. > i; 4) (о; 5); 6> (о; J.). 5 1) Нет корней; 3) нет корней; 5) нет корней; 7) нет корней. 2) 6; 4) -5; 3; 6) -3; 8. 1) 2; 3) ±9; 5) -21; 7) 4. 2) --; 1; 4) -8; -6. 5 1) 1; 3) ±2; 5) -7; 3. 2) 1о; 4) 2; 3; 6; -8. 1) 2; 3) -2; 5) 3; 7) 3. 2) Нет корней; 4) о. 1) ^4; 3) 2. 2) 6; 4) |; 6) 17. 1) 3; 3) -1; 2; 5) 2; 5; 8. 2) -6; 9; 4) -8; 5; 6) ±5. 1) -1; 2; 4; 3) -6; 7. 2) 16; 4) 1; 6) 1. 1) a > -4; 3) a > 2; 5) a < 1; 7) a < 2. 2) X = a2 - 1, если a < 0; нет корней, если a > 0; 4) х = 3, х = a, если a > 3; X = 3, если a < 0; 6) х = 0, если a < 0; х = a, если a > 0; 8) х = 2, если a > -2; нет корней, если a < -2. 1) 3; 3) 8; 5) 1. 2) 2; 4) 4; 6) -1,5; 8) 2. 1) -1; 0; 1; 3) -2; 4; 5) -3; 5. 2) 4; 4) -1. 1) Нет корней; 3) -1; 5) -2; 4. 2) 1. 1) 5; 3) 7; 5) -7. 2) 2; 4) -3. 1) Нет корней; 3) нет корней. 2) х > 7; 4) нет решений; 6) х > -2; 8) 2) -2 < х < 7. 1) Нет решений; 3) ±W2; 5) х ^ 0; 7) -2 < х < 2; 9) R. 2) 0 < х < 1; 4 < х < 5; 4) -4 < х < 1. 1) 0 < х < 1; 3) 0 < х < 25. 2) х > 1; 4) х > 4; 6) 0 < х < 9; 8) нет решений. 1) 0 < х < 1; 3) х > 1, х = 0; 5) 0 < х < 1; 7) х > 1. Правообладатель Народная асвета 266 1.264. 1.265. 1.266. 2.1. 2) 2; 4) 1 < X < 6; 6) 3; 8) х < -7; -4 < х < -1. 1) X > 1; 3) -1 < X < 1; 5) нет решений; 7) 2 < х < 5. , 2) Нет решений; 4) [-6; 3); 6) (4; 5]; 8) ^-^; 21 Гл а в а 2 1) 0,72; 0.71-5; 0,7^; 0,70-2; 3) 4,12'2; 4,13; 4,1'°; 4,13-5; 5) 2-0-5; S 2 8 6 ; 43. 2.2. Например, 2) 0,72 < 0,т/3 < 0,7*; 0,718 < 0,т/3 < 0,717; т1,74 < 0,7^ < 0,7173; 4) 51 < 52 < 52; 515 < 52 < 516; 5157 < 52 < 5 0,7 , ' -J2\ arcco^2 j /^\2,7 arcco^:^ I <|arccos 1,58. C-. I -l2\3 Л 2 ■v/^'l2 6) ^arcco^2j < ^arcco^2J < ^arcco^2J ; V^\2,65 ^ — < l^arcco^^l2j ^ ^/^^2,6 1 < I arcco^ ^ 1 : 2 22 . I ^/^v^ ^ ( ^f64 < larcco^^j < ^arcco^2j . 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. 2.19. 2.20. я _ 1 Я' j я . я 1 Я' Sl^^ ^ -ct^— Sl^— ctg— J. П 1) 2 3 < 2'3; 3) 3,5 6 < 1; 5) 34 > 3 4;7) 0,11 2 = 0,11tg0 2) 25; 4) 27; 6) 8; 8) 81. 1) 2; 3) 2; 5) ^/5; 7) 0,008; 9) 7. 7n 2) 7->2; 4) 1. 1) 2m л/2 m'^ - ; 3) -1; 5) m^'^ - n^'^. S V5 2) + n^10; 4) m 3 - n 3 ; 6) (m+ 3)(1 - m'). 1) 4; 3) -IS1----; 5) 4a^2^ a'' + 1 2) Нет; 4) да; 6) нет; 8) да. 1) 1,8; 3) 0,3; 5) 0,8; 7) 3,1. 2) 3; 4) 0,5; 6) 2. 1) 5. 2) 5. 1) (3; 8); 3) (-2; 9). 2) Нет; 4) да. 1) Да; 3) да. 2) Нет; 4) да. Правообладатель Народная асвета 267 2.21. 1) 1,80 = 1; 3) 4.31'5 < 4.31'6; 5) >(i)'’6; 7) i^lY3 3 2.22. 2.23. 9) ^/3si"^ > (tpJsiWs. 2) Убывающая; 4) убывающая; 6) убывающая; 8) убывающая; 10) убывающая; 12) возрастающая. 1) а) 3; б) [-2; 1]; в) ^ -i-; 3j; г) возрастает на промежутке [-2; 1], промежутков убывания нет; д) (0; 1); е) у\ = -1-; У2 = 3; ж) наибольшее значение 3, наименьшее значение 1; 3) а) 1; б) [-2; -1]; в) [2; 4]; г) промежутков возрастания нет, убывает на промежутке [-2; -1]; д) нет; е) у\ = 2, У2 нет; ж) наибольшее значение 4, наименьшее значение 2. 2) [0; +^); 4) (-^; -2) и (-2; 2) и (2; +^); 6) (-^; -3) и (-3; 3) и (3; +^); 8) (-то; -8] и [8; +то). 2.25. 1) R; 3) x фП1, n е Z; 5) x фП + ^п, n е Z; 7) x фП + 2пп, n е Z; 2.24. 9) [пп; ■!+’ п е Z. 2.26. 2.27. 2.28. 2.29. 2.30. 2.39. 2.40. 2.41. 2.42. 2.43. 2.44. 2.45. 2.46. 2.47. 2.48. 2.49. 2.50. 2.51. 2) Нет; 4) наибольшее значение 1, наименьшего значения нет. 1) Наименьшее значение 2,5; наибольшее значение 10; 3) оба значения рав- ны 0,3; 5) оба значения равны 11; 7) наименьшее значение 6, наибольшее значение 36. 9 2) Наименьшее значение 6 4 , наибольшего значения нет; 4) наименьшего значения нет, наибольшее значение 512,25. 1) R; 3) R. 2) x < 0; 4) x < 0; 6) x > 0. 1) 3; 3) 4; 5) -3; 7) -1; 9) нет корней. 2) -1,6; 4) -1; 0; 6) -5; 5; 8) -2; 2; 8. 1) 3; 3) 3,5; 5) -1,5; 7) 3; 9) нет корней. 2) 2,6; 4) -7; 6) 0; 0,5. 1) 1; 3) 1; 5) 0. 2) 2,5; 4) 9; 6) -1. 1) -0,2; 3) -4; 5) 26,5; 7) 6. 2) 2,5; 4) 6,5; 6) 2; 8) 45. 1) -2; 4; 3) -2; 5. 2) 5; 4) 35. 1) 2; 3) 3; 5) 2. 2) 1; 5; 4) ±2. 1) 3; 3) 4; 5) 0; 7) 2. Правообладатель Народная асвета 268 2.52. 2.53. 2.54. 2.55. 2.56. 2.57. 2.58. 2.59. 2.60. 2.61. 2.62. 2.63. 2.64. 2.65. 2.66. 2.67. 2.68. 2.69. 2.70. 2.71. 2.72. 2.73. 2.74. 2.75. 2.76. 2.77. 2.78. 2.79. 2.80. 2.81. 2.82. 2) 2; 4) 2; 6) -5. 1) 0; 3) 2; 5) 0; 1; 7) 1. 2) -1; 1; 4) 3. 1) 1; 3) 1; 5) 2. 2) -1; 4; 4) 1; 2; 6) 2; 8) ±1. 1) 1; 3) 2. 2) 6. 1) 2. 2) -2. 1) 0; 4; 3) ±^^^; 5) -4; 0. 2) -1; 4) -0,6. 1) 1; 3) -3. 2) -п. 1) п + пп, n е Z; 3) ±п + пп, n е Z. '2 4 о\_1_^1 '7. /1\ / 1\П+1 п пп ^. Г'\ / 1\П+15п 5пп /у 2) ±3 + пп, п е Z; 4) (-1) + “^, п е Z; 6) (-1) + ^^, п е Z. 1) 8 + 3-, п е Z; 3) (-1) 36 + зп, п е Z. 2) 7. 1) ±3 + 2пп, п е Z. 2) -2 < a < j2, a = 7; 4) 0 < а < 1, a ^ ^. 1) (3; 3), (4; 2), (5; 1), (7; -1); 3) (4; 1). 2) (-^; 2); 4) (-^; 1); 6) (-^; -0,5]; 8) [-1; +^). 1) (-0,5; +^); 3) (j2; +^); 5) [^0; +^); 7) (-^; 3,5]. 2) [-4; 4]; 4) (-2; 2); 6) (-^; -3) и (1; +то); 8) [1; 2]. 1) (-то; -3) и (1; +ТО); 3) (-^; -7,5) U (-0,5 +^); 5) [1; 2]. 2) [-2; 0,2]; 4) (-то; -3j U (i; +то^; 6) (-^; -1) U (2; +^). 1) (-“; 3] 3) (-“; 3); 5) [-2; 1) и [2; +^). 2) (-^; -2] и (0; 4]; 4) (-1; 0); 6) (-^; 0) и (1; 2); 8) (-3; 0) и (1; +то). 1) (-“; -6) и (2; +“); 3) нет решений; 5) (-■1; 2| 2) (2,5; +^); 4) (-1; 0). 1) [-1; +ТО); 3) (-^; -4]. 2) (-п + 2пп; 2пп), п е Z; 4) (3 + 2пп; + 2пnj, n е Z; Правообладатель Народная асвета 269 6) (nn; п + nnj, n e Z; 8) ^nn; n + nnj, n e Z. 2.83. 1) X ^ + 2nn, n e Z; 3) х = 2nn, n e Z; 5) ^-+ nn; - ^^ + nnj, n e Z; 7) + nn; П + nnj, n e Z. 2.84. 2) (1; +^); 4) (-^; 1]; 6) (-^; 3]; 8) (3; +^); 10) (-^; -2] U (0; 1]. 2.85. 1) [0; 1]; 3) (1; +^); 5) (-^; -1]; 7) (-^; -2) U (2; +^). 2.86. 2) (-2; 2); 4) (-10; 13); 6) (-2; 0) U (0; 2); 8) (0,5; 1,75). 2.87. 1) (-^; -2); 3) (-2; -|j; 5) (2; +to). 2.88. 2) [^10; 0) U ^/Tg; +to); 4) [1; +^). 2.90. 2) a < 1. 2.91. 1) 2; 3) 3; 5) 0; 7) -3; 9) -7; 11) -0,2. 2.92. 2) 4 = log|81; 4) ^ = log644; 6) 0 = log6l; 8) 2 = log2,i4,41; 10) -3 = logi27; 12) -1 = log^^G. 3 20 9 2.93. 1)0 = log7l, -1 = log7i, 1 = log7 7, -2 = log74L, 2 = log749; -0,3 = log7 7-0,3, 0,3 = log7 70,3, ^/2 = log7 7^^, ^/2 = log7 W2; 3)0 = logil, -1 = logi4, 1 = logT^4, -2 = logTl6, 2 = logii^, -0,3 = logl40,|, 0,3 = log^-T■|, ^/2 = logi4^, ^/2 = log^^; 4 4' 1 /9 ’ 5) 0 = logo,ii1, -1 = logo,iiTTG1G, 1 = logo,ii0,11, -2 = logo,ii0,11-2, 2 = log0110,112, -0,3 = log0,110,11-0,|, 0,3 = log0,110,110,|, W2 = logo,ii0,11-'^, ^/2 = logo,ii0,ir/2; 7) 0 = log2,5l, -1 = log2,5 0,4, 1 = log2 5 2,5, -2 = log2 5 0,16, 2 = log2 5 6,25, -0,3 = log2 5 2,5-0,3, 0,3 = log252,50,|, ^2 = log252,5^^, >/2 = log252,5^. 2.94. 2) -3 = logoilOOO, -3 = log20,125, -3 = logi 27, -3 = log Xx3’ -3 = logx-^—^:я, -3 = log„2 ^Te; 4) -1 = l°go,n/To; -2 = log^J9, •(X - 2)3 -1 = log^/|, -1 = log^^TX ’ ~ 2 = log X-%/X-2 ’ 2 = logm2U; Правообладатель Народная асвета 4 3 270 6) 2 = logo,i0.01. 2 = log2 4. 2 = logi1, 2 = iog^x2, 2 = log^_2(x - 2)2, 3 9 2 = log 2 m4; 8) 1 = logoi0,1, 1 = log22, 1 = logi i, 1 = logxX, m 3 3 1 = logx-2(x - 2), 1 = logm2 m2; 10) 11 = log0,130,T, -З = log232, 11 = l0gi зTз, 1 = logx 3X, 1 = logx - 23 X - 2’ 3 = logm2 V™2; 12)10 = log010,110, 10 = log21024, 10 = log^^, 10 = logXx10, ’ 3 3 10 = logx-2(x - 2)10, 10 = log 2 m20. 2.95. 1) 2; 3) -3; 5) -0,5; 7) 0,4. 2.96. 2) 3; 4) ^y; 6) 27; 8) 43. 2.97. 1) -1; 3) 3; 5) 16; 7) 256. 16 2 2.98. 2) 1; 4) 0; 6) -3; 8) -9. 2.99. 1) 4; 3) -1; 5) -2; 7) 5; 9) 1,2. 2.100. 2) 0; 4) 1; 6) 5; 8) -0,125. 2.101. 1) 0; 3) 0,25; 5) -0,5; 7) 0,5. 2.102. 2) 1; 4) 0,75. 2.103. 1) 18; 3) 1; 5) 1; 7) 7; 9) 3,6. 2.104. 2) 16; 4) 36; 6) -V; 8) 27. 16 2.105. 1) 20; 3) 2,5; 5) 6^3; 7) 8; 9) 40 000. 2.106. 2) 1; 4) 0,5; 6) 2; 8) 2. 2.107. 1) 22; 3) 5; 5) 1; 7) 10; 9) |. 2.108. 2) 10; 4) 1; 6) 4T9; 8) 100. 2.109. 1) 4; 3) 1; 5) 2; 7) 5; 9) нет корней; 11) нет корней. 2.110. 2) log62; 4) -log212; 6) log0,864; 8) lg2. 2.111. 1) Да; 3) нет; 5) нет; 7) нет. 2.112. 2) 2 и 3; 4) -3 и -2; 6) 0 и 1. 2.113. 1) 1; 3) 2; 5) 2. 2.114. 2) 2; 4) -3; 6) 0,5. ,1. 2.115. 1) 13; 3) -3; 5) 0,5. 2.116. 2) 44log74; 4) ^3log511. 2.117. 1) 2; 3) -3; 5) -0,375. Правообладатель Народная асвета 271 2.118. 2) 0,8; 4) -3,5; 6) 2; 8) -0,5. 2.119. 1) 6; 3) 2; 5) 1; 7) 4; 9) -2. 2.120. 2) 1,5; 4) -2; 6) -2. 2.121. 1) 0,5; 3) 2; 5) 0,5; 7) 1,125. 2.122. 2) -0,25; 4) -2; 6) 1. 2.123. 1) -1; 3) -1; 5) 2. 2.124. 2) 1,5; 4) -1; 6) 2. 2.125. 1) log62; 3) log^9. 15 2.126. 2) Да; 4) да; 6) нет; 8) нет; 10) да; 12) нет. 2.127. 1) 1; 3) 5; 5) 8; 7) -21. 2.128. 2) 5; 4) 2; 6) 5. 2.129. 1) 10; 3) 6. 2.130. 2) 11; 4) 8. 2.131. 1) 4; 3) 1. 2.132. 2) 6; 4) 10. 2.133. 1) m + n; 3) 3m + 2n; 5) 2m + n. 2.134. 2) m+2. 2.135. 2.136. 2.137. 2.138. 2.139. 2.140. 2.141. 2.142. 2.143. 2.144. 2.145. 2.146. 2.147. 4 - n mn + m - 1' 1) 2mn - 3m - n + 3. 3) mn + m- 1 ’ 2) 33,75; 4) 2^2; 6) -0,25. 1) 36; 3) 32; 5) 99. 2) 0,5; 4) 4; 6) 3; 8) 2. 1) (0; +TO); 3) (1; +^); 5) (-^; 3); 7) (-^; 0). 2) (-to; 0,5) U (2; +^); 4) (-0,5; 3); 6) (-to; 1 ju (i; +то^; 8) нет. 1) (-то; 0) и (0; +^); 3) (-^; 0) и (0; +^). 2) (-15; I); 4) (-“; -5) и (0; 2); 6) (-^; -3) и (1; 6); 8) (0; 16). 1) (-^; -2) и (0; +^); 3) (-^; -6) и (-3; -2 ) и (1; +то); 5) (-то; -4) и (1; +ТО). 2) (-4; 5) и (5; +^); 4) (--|; 5^ и (5; +^); 6) (-^; -7) и (1; +то). 1) X Ф ^^ + 2nn, n е Z; 3) 2nn, n е Z; 5) (0; 1]. 2) Точка М. 1) а) 4; б) [0,5; 4]; в) [-0,5; 1]; г) промежуток возрастания [0,5; 4], промежутков убывания нет; д) (1; 0); е) (1; 4]; ж) [0,5; 1); 3) а) -I; б) (■1; 9j; Правообладатель Народная асвета 272 в) [-2; 1]; г) промежутков возрастания нет, промежуток убывания ^ -1; 9j; д) (1; 0); е) fl); ж) (1; 9]. 2.148. 2) i; 4) 3. 2.149. Например, 1) (2; 1), (4; 2), (8; 3); 3) (1; 0), (4; -1), (16; -2); 5) (-1; 0), (-2; 1), (-4; 2). 2.150. 2) а) (0; +^); б) R; в) (0; +^); г) нет; д) (0; 1); е) (1; +^); ж) 1; 4) а) (0; +“); б) R; в) нет; г) (0; +“); д) (1; +“); е) (0; 1); ж) 1; 6) а) (-“; 0); б) R; в) нет; г) (-“; 0); д) (-1; 0); е) (-“; -1); ж) -1. 2.151. 2.152. 2.153. 2.154. 2.155. 2.156. 2.157. 2.158. 2.159. 2.160. 2.161. 2.163. 2.168. 2.169. 2.171. 1) log3 8 > 0; 3) log11 > 0; 5) Ig 0,45 < 0; 7) log0,3 0,35 > 0; 9) log0,1 10 < 0. 2 2) log110 - log1 7 < 0; 4) -log3 8 < 0; 6) 1 - log4 9 < 0; 8) lg 90 - 2 < 0; 5 5 10) lg(|)-10 < 0. 1) log3 15 < log3 20; 3) log16 > log18; 5) log2 3 > log2 1; 7) log4 7 > log5 7. 2 2 2) l^/S < lg3,5; 4) log 01 0,62 > logo,1 0,6; 6) lg (cos 30°) > lg (tg 30°). 1) lg 4 + 3‘og 7 11 > lg 3 + 11‘og 7 3; 3) log23 + log32 > 2. 2) Да; 4) нет; 6) да; 8) нет; 10) нет. 1) Нет; 3) да; 5) нет; 7) да. 2) ^; 4) 5-6,7; 6) 1000|T0; 8) ^. 8 V9 1) t < p; 3) t < p. 2) Минус; 4) минус. 1) Плюс; 3) плюс. 1) а) (2; +^); б) R; в) (2; +^); г) нет; д) (3; +^); е) (2; 3); ж) (3; 0); 3) нет; 3) а) (0; +“); б) R; в) (0; +“); г) нет; д) (0,25; +“); е) (0; 0,25); ж) (0,25; 0); з) нет; 5) а) (-3; +“); б) R; в) нет; г) (-3; +“); д) (-3; -2); е) (-2; +“); ж) (-2; 0); з) (0; log21); 7) а) (0; +^); б) R; в) нет; г) (0; +^); д) (0; 0,125); е) (0,125; +“); ж) (0,125; 0); з) нет; 9) а) (-“; 2); б) R; в) нет; г) (-“; 2); д) (-^; 1); е) (1; 2); ж) (1; 0); з) (0; 1); 11) а) (1; +^); б) R; в) (1; +^); г) нет; д) ^^3; +^j; е) (^1; ■lj; ж) ^-|; 0^; з) нет. 2) 1; 4) 2; 6) 1; 8) 2. 1), 4). 1) Нет корней; 3) нет корней; 5) 2. Правообладатель Народная асвета 273 2.172. 2) 5; 4) 3; 6) 1; 8) -2. 2.173. 1) 0,625; 3) -0,5; 5) -2; 8. 2.174. 2) ±10; 4) ±1; 6) 16; 8) .7^. 7 e 2.175. 1) ±2; 3) ±1; 5) -2; 4; 7) 16. 2.176. 2) 81; 4) 510. 2.177. 1) 3; 3) 9. 2.178. 2) 3; 4) -3; 6) 2. 2.179. 1) 7; 3) 1; 3; 5) 3,5. 2.180. 2) 6; 4) >/2; 6) 4. 2.181. 1) 7; 3) 3; 5) 2. 2.182. 2) 64; 4) 4; 6) 0,2. 2.183. 1) 0,2; 25; 3) 0,1; 10 000; 5) 1; Vs. 2.184. 2) 1000; 4) -0,5; -32. 2.185. 1) 10; 3) 0,1; 100; 5) 0,1; 1000; 7) 0,0001; 10. 2.186. 2) Ф; 25; 4) 3; 9; 6) -5. 5 2.187. 1) 2; 3) нет корней; 5) нет корней; 7) 1. 2.188. 2) 2; 4) 5; 6) -1; 8) 6. 2.189. 1) 6; 3) ±7; 5) -11; 9; 7) 2; 9) 1000. 2.190. 2) 0; 4) -1; 6) 0; 8) ±4; 10) ±1. 2.191. 1) 1; log22,5; 3) -3; lg23000. 2.192. 2) log318; 4) -lg5; 6) -log25. 1) 10; 100; 3) 5; 25; 5) 0,1; 100; 7) ^33; 3. 2.193 2.194. 2) logii11; 4) log510; 6) logi,4175. 2.195. 1) 2nn, n e Z; 3) --^ + 2nn, n e Z; 5) n + 2nk, k e Z; arcctg2 + 2nn, n e Z. 1 2.196. 2.197. 1) a2, a > 0, a Ф 1; 3) 10a, a — любое. 2) 49. 2.198. 2) -1 < a < 3, a Ф 0; 4) 0,125 < a < 0. 6 6 2.199. 1) (0,01; 0,1); (100; 10); 3) (4; 1). 2.200. 2) (0; 9); 4) (1; +^); 6) [0,81; +^); 8) (0; 1). 2.201. 1) (-2; +^); 3) [-0,25; 0,75); 5) (0,25; +^); 7) [2,2; 2,4). 2.202. 2) [-4; -3) U (1; 2]; 4) (-^; -1] U [5; +^); 6) (-5; -4) U (0; 1); 8) (-2; -1) U (0; 1). Правообладатель Народная асвета 6 274 2.203. 1) (-4; 2); 3) (2; 3). 2) [1153; 35); 4, (1|;+»); 6, [ь1.1!), 1) (-2; -1,5); 3) (2; 6); 5) (5; 9); 7) (-^; -8). 2.204 2.205 2.206 2) (-0,2; 0); 4) (0; 1]. 2.207. 1) (-5; 1,5); 3) (3,5; 6); 5) (-8; 8); 7) [-4; -2) и (1; 2]. 2.208. 2.209. 2.210. 2.211. 2.212. 2.213. 2.214. 2.215. 2.216. 2.217. 2.218. 2.219. 2.220. 2.221. 2.222. 2.223. 2.224. 2.225. 2) (-6; -3); 4) (-4; -2,5]. 1) (7; +^); 3) (3; 8). 2) (1; 5]; 4) (-1; 3); 6) (3; 5]. 1) (1; 1,04) и (26; +^); 3) (1; 3|| 2) (0; 0,5) и (16; +^); 4) (0,008; 0,04); 6) (0; 0,1) и (10 000; +^); 8) (-^; -1000) и (-310; 0). 1) (-238; 2); 3) (-1; 0) и (1; 2). 2) (0; ^324(1; 8]; 4) (0; 1). 1) [0,5; 1); 3) (-3; -2) и (1; +то); 5) (2; 3) U [-2; -1). 2) (5; 5,5) и (6; +^); 4) (3,5; 5); 6) (2; 2,5). 1) (0,4; +^); 3) (0; 0,5) и [1; 2) U (3; 6]; 5) [0; 0,5) и [1,5; 2) и (2; 3); 7) (-то; -9] и (-1; 0) U (0; 1) U (1; 1,125). 2) (4; 5) и (6; +то); 4) (-то; -2) и (-1; 2) U (2; +то). 1) (-^; 3] и [4; +ТО); 3) [-1^; 0) и (j!; 1]; 5) [611; 7); 7) (1; +то). 2) (-2; -1) и (-1; 5); 4) (-то; -8); 6) (-то; -4). 1) (-2; -1) и [1; +ТО); 3) (0; 2) U (2; 3]; 5) (2; 3]. 2) (-12; -11]; 4) (3,75; 4,5]. 1) [1; 5) и (5; 6); 3) (-1; 0) и (1; 2) и (2; +то); 5) [0; 2) и (2; 6). 2) (-1; 2); 4) нет решений; 6) (3; 5]; 8) нет решений. 1) {Апк; + 4%kj и + 4пя; 2п + 4nnj, k е Z, n е Z; 3) ^-(4 + nk; - 44 + nkj 0^4^ + nn; 44 + nnj, k е Z, n е Z; r. /п , nn П , nn\ rj 5) i^ + lT;4П + 1т], n е Z. Правообладатель Народная асвета 275 Ответы к упражнениям для повторения арифметического и ^гебраического материала курса математики 5—11-х классов 1) 1-; 2) 0,2. 1 2 6. 1) W3; 2) 12 ^У- 7 8. 1) 4; 2) 2. 9. 1) 81,002; 2) -1 1) 0,0756; 2) 500; 3) 2015; 4) 1. 1) 2) V2; 11 48 12. 1) 1К/2; 2) 7У2. 13. 1) 46; 2) -14. 14. 1) 9; 2) 1. 15. 1) 2; 2) 0. 16. 1) 49; 2) 64. 17. 1) 2,61; 2) 16,5. 18. 1) —; 2) 24. 19. 1) 10°, 20°, 150°; 2) 22 мм, 24 мм, 26 мм. 20. 1) 210; 140; 84; 2) 18; 100,8; 54. 21. 1) 163,2; 2) 29. 22. 1) 25 %; 2) 80 %. 23. 1) 43,75 кг; 2) 345 кг. 24. 1) 62,5 %; 2) увеличится на 100 %. 25. 1) 2; 2) —. 3 10 9 26. 1) —; 2) 9 кг золота, 10 кг серебра. 35 27. 1) 170 кг; 2) 220 кг. 28. 1) 2 л; 2) 36 л. 29. 4,8; 24; 43,2. 30. 17; 29; 41. 31. 40. 32. а\ = 2, d = 3. 33. b\ = 1, q = 2 или b\ = 4, q = 1. 34. 5. 2 35. 2. 36. 14; 28. Правообладатель Народная асвета 276 37. 1; 5; 9. 38. 3. 39. 1) -45; 2) -95. 40. 43 725. 41. 10. 42. 26. 43. (-1)n п + nn, n у ’ 3 ’ 44. nn rj , n G Z. 2 45. 1) 1; 2) -2. 46. 1 2. 47. 34n + 2 - 8 • 32n 8 • 32n 48. 1 < m + n < 1. ■ + 2n. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 1) (k + m)(4n - 9t); 2) (x - y )(7a - 8b); 3) 12(a -1)(a + 1); 4) 7a (a - 1)(a + 1); 5) (a - 3b)(a + 3b + 1); 6) (a - 1)k2(k - 1)(k + 1); 7) (m - n + k)(m + n - k); 8) (2m2 - n - 1)(2m2 + n - 1). 1) 4ab(a + b)(b - a); 2) 2a(a2 + 3b2)(a - b)2(a + b)2; 3) (a - 3)2(a + 3)2; 4) (a2 + 5)2. 1) -a - b; 2) -^. a 1) 7 + с. 2) c(4c + 3) ) 7 - с ’ ) 4c - 3 . 1) OZI; 2) a - 8 p - 9 1) a - m; 2) 3a + 3m. 5(m + n - 1)^,^ 3(n - m -1) 1) / iV; 2) 4(a - b + 1) 2(a + b + 1) 1) a; 2) ^. 1) 1 2) 6. a + 1 ’ 1) 20; 2) -12. 1) (a + b + c + d)(a + b - c - d); 2) (m - n -p + q)(m - n + p - q). 1) 2(a - 1)(4a2 - 14a + 13); 2) (3a - 5)(9a2 - 3a + 7). 61. 1) a - b; 2) (a + b)2 a - b Правообладатель Народная асвета 277 62. 1) а3 - 63 2(a + b) ; 2) a3 + b3 5(a - b) 1 - X x + 1 63. 1) -; 2) . ^ ^ ’ 3 X - 2 64. 1) 0,4; 2) 2. 65. 1) yfa - ^a -1; 2) yfa - yja - 2. 66. 1) Если а < 1, то -а(а + 1); если а > 1, то а2 + а + 2; 2) если а <-1, то 2 2 a — a + 1 a + a + 1 -; если а > -1, то 1 -a 67. 1) ^^; 2) -0,55. 68. 1) -16; 2) 105. 69. 1) -1; 1; 2) -1; 3. 8 a +1 15 8 20. 20. 70. 1) cos а = —; tg а =---------; ctg а = —-; 2) sin а =-------; tg а =-------; 17 ctg а = - -21. ^ 20 8 15 29 21 12 12 5 5 12 71. 1) cos а =-; sin а =—; 2) sin а =-; cos а =-. ^ 1Х 1^^ 1Х 13 72. 1) 3(^/5 - 5); 2) 4(7 - ^7) 10 21 73. 1) —; 2) + I5. ' 1^^ \3 74. —^; 2) -1 75. 1) -2; 2) - 1sin16а. 76. 1) ^!^^2cos2а; 2) ^cos2а. ^2 ^2 77. 1) 1; 2) 1. 82. 1) -; 2) -1,5. ; 16 ’ ^ ’ 83. 1) -27; 2) 2. ^ 9Х ^9 84. 1) 19; 2) - 85. 1) 1,75; 2) 1,5. 86. 1) -sin2 а; 2) sin а - cos а. 87. 1) xy-,!(1 - x2)(1 - y2); 2) xy + y](1 - x2)(1 - y2). 88. 1) Xy 1-X 2 1+X ; 2) 2X 1+X 2 Правообладатель Народная асвета 278 93. 1) ^2; 2) 94. 1) 0; 2) 13 _24 25' 85 95. 1) Да; 2) да. 96. 1) 4; 2) 27; 3) 16; 4) 25. 97. 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) 2. 98. 1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 10. 99. 1) 6; 2) VZ; 3) 9; 4) 49. 100. 1) 1; 2) 1. 101. 1) i; 2) '2 ’2 102. 1) -5; 2) -8. 1 103. 1) ; 2) :-8|' |x - 5| 104. 1) 0; 2) 0. 105. 1) -1; 2) 106. 1) 4ш + п; 2) 3т + п. 107. 1) 5т5; 2) 3т4. 108. 1) 0; 2) 0. 109. 1) 1; 2) 1. 110. 1) -1; 2) -0,04. 111. 1) 3; 2) 1. 112. 1) 2; 2) 0,3. 113. 1) ±1,75; 2) ±3,/3' 114. 1) ——; 0; 2) -8; 0; 8. ^ 343 ’ _______ 115. 1) 1; 9; 2) -0,6; -0,2; 3) -2 ^3 W3; 4) -W2; -2. 116. 1) -2; 2) -1. 117. 1) Нет корней; 2) 4; 3) 1 ~ 3^; 4) -2 ^2. 118. 1) 1; 1,5; 2) -3; 0. 119. 1) 2; 2) 2; 62. 120. -6. 2 121. 1) -1; 5; 2) нет корней; 3) —; 1; 4) нет корней. 122. 1) -0,5; 2) -2; 3; 3) ±3; 4) 0; 1. 123. 1) 4; 2) 0; 3 ; 3) -2; ^2; W2; 4) -2; 1 ^3; V3. 124. 1) ^/2; 2) -1; Правообладатель Народная асвета 279 125. 126. 127. 128. 129. 130. 131. 132. 133. 134. 135. 136. 137. 138. 1) (2; 3), (3; 2); 2) (2; 4), (4; 2); 3) (2; 0), (4; 3); 4) (2; 3), ^42; sj. 1) (-4; -1), (-4; 1), (4; -1) (4; 1); 2) (-3; -2), (3; 2). 1) (-213; 163), (-1; -2), (1; 2), (2|1; - 1б3); 2) (-5; 1), (-4,6; 2,2), (4,6; -2,2), (5; -1). 1) 8; 2) 2. 1) X < 1; 2) X < 0,5. 1) 1 < X < ^; 2) -5 < X < -2. 6 ^ 3 5 1) -1 < X < 2; 2) X < 0,5, x > 3. 1) 0 < X < 3; 2) X < 0, X > 12. 1) 1 < X < 15; 2) X < -3, X > 17. 1) -9 < X < 0, X > 9; 2) X < -12, 0 < x < 12. 1) X < 0, ^ < X < 6; 2) X < 0; 70 < x < 10. ; ,7,1 .9 1) X < -3; -1 < X < 1, X > 2; 2) -2 < x < -1, 1 < x < 5. 1) X < -14,4, X > 0; 2) -j7 < x < 3. 1) X < -2, X > 4; 2) X < 5, x Ф -1, x Ф 0. 139. 1) -9 < X < 7; 2) X < - 7, X > 7. ^2 2^ 22 1) -23 < X < 40; 2) X > 2; 3) нет решений; 4) 0 < x < 5. 140 141. 1) X > 6; 2) X < 5; 3) ±4; 4) x > 3 142 4 143, 144, 145, 146. 147. 1) -1; -; 2) -2; -1; 0; 1. 3 1) 2; 3; 577^; 2) -3; 2; 3) -1; 12; 4) 2; 3; . 1) (1; 2), (2; 1); 2) (1; 1); 3) (--|; ii), (2; -3); 4) (0; 1), (1; 1). 1) (-1; 2), (1; -2); 2) (-1; -1), (1; 1); 3) (-1; 5), (1; -5), (^3[; ^/5J, ; V5); 4) (-3; -6), (3; 6), (-У6; W6), ^/6; V6). 1) (7; 5); 2) (8; -4). 1) a > -5, a Ф 3; 2) a = -5, a = 3; 3) a < -5. 148. 1) a < - 32, a Ф -5; 2) a = 32, a = -5; 3) a > 32. 149. 150. 151. 152. 1) 1,5; 2) 6. ±2. -4. ±1. Правообладатель Народная асвета 280 153 154. 155. 156. 157. 158. 159. 160. 161. 2 162. 163. 164. 165. 166. 167. 168. 169. 170. 171. 172. 173. 174. 175. 176. 177. 178. 179. 180. 181. 182. 183. 184. 4 7 1) X =------, если а ф 6; нет корней, если а = 6; 2) х =-----, если а ф -7; a - 6 нет корней, если a = -7; 3) х = a - 3 ; 4) х = -2^+ 1. 1) -k; -9k; 2) -2k; 3; 3) k + 1; 2k - 3; 4) k - 2; 3k + 2. a+7 1) a + 1 + yj2a + 1 ; 2) -2a + 3 ±\1 -12a + 9 1) 4 ; 2) . 4a a 1) a ф 0; 2) a ф 0; 3) a ф 3; 4) a ф -2. 1) a = -7,5; a = -3; 3) нет таких значений а; 4) нет таких значений а. 1) -2 < X < -0,2; X > 0; 2) 0 < х < 4; х > 3. 1) -1 < х < 5; х = 8; 2) х < -8; -2 < х < 2; 3 < х < 5; х > 5. 17 31. 2 5. 25. 52. 2 км/ч. 60 км. 240 км. 8 ч, 12 ч. 20 ч, 32 ч. 6 ч, 1 8 ч. 14 дн., 11 дн. 175 кг, 450 кг. Вытекает 3000 см3 в минуту, поступает 2250 см3 в минуту. 90 лет, 20 лет. Выполнено 40 заданий, списано 25 заданий. 150 г 15-процентного раствора, 450 г — 35-процентного. 127,5 кг сплава, который содержит 60 % олова, 42,5 кг сплава, который содержит 80 % олова. 192 г. 66 книг и 54 книги. 45 и 23. 2463. 4; 6; 11. На 25 %. 36 ч, 18 ч, 8 ч. 15 ч. Правообладатель Народная асвета 281 185. 186. 187. 188. 189. 190. 191. 39— км. 12 60 км/ч, 90 км/ч, 900 км. 2 км/ч. 1) -0,5; 2) 2; 3) -5; 0,4; 4) 3; 1) -5; 2) -4. 1) 5; 2) 3; 3) -6; 4) -8. 1) 0; 25; 2) 0; 16; 3) 7; 4) 8. 7. 1) 1; 2) 5; 3) 3; 4) - ^1; 1; 5) ^5; 6) 2,5. 192. 193. 1) [-2,5; 20); 2) [-240; 10]; 3) [11; +^); 4) (-37; +^). 194. 1) 195. 1) (1; 25), (25; 1); 2) (9; 16), (16; 9). 196. ^; 1 .16 . ; 2) —; 4 .16 . ; 3) (-4; -1]; 4) (0,5; +^). ■)(|; 5); 2) (4; 4 197. 198. 199. 200. 201. 202. 203. 204. 205. 1) 6; 2) 10. 1) 7; 8; 2) 2; 3) 4; 4) 2. 1) -27; 1; 2) 19; 84; 3) ±7; 4) ±5. 1) 5; 2) ^^; 5; 3) -6; 2; 4) -3; 10. 127 1) [3; 3,5] и [4; 8]; 2) {-4} и [-2,5; -1]; 3) [2,5; 3]; 4) нет решений. 1) (-21,5; 2,5); 2) (31; ,| J. 1) (1; 4); 2) (9; 4). 1) (-1; -27); (27; 1); 2) (1; 8); (8; 1). И(36; 9); 2) (16; |). ,) (-5; ЮХ (|; il); 2) (-1; -2), (i; -1). 206. 207. 1) Нет корней, если а < 0; х = а2 + 4, если а > 0; 2) нет корней, если а > 0; X = а2 - 1, если а < 0; 3) х = 0, если а = 0; нет корней, если а ^0; 4) х = 6, если а = 0; нет корней, если а ф 0; 5) х = 6) X = а2 + 34а + 225 64 ' а - 16а + 100 36 ' если -10 < а < 8; если а < -17. 208. 1) пк, k е Z; (-1)" П + пя, n е Z; 2) ±3-^ + 2пя, n е Z; 3) п + 2пя, n е Z; 4) -— + 2пя, я е Z. ’ 2 209. 1) пк, к е Z; ±arccos^/5 - 2) + 2 пя, я е Z; 2)-п + пк, к е Z; arctg5 + пя, я е Z. Правообладатель Народная асвета 282 210. 1) - + %k, k e Z; arctg3 + nn, n e Z; 2) - + nn, n e Z; 3) (-1)"+^^ + ^”, n e Z; 4) (-1)k - + %k, k e Z; - + 2nn, n e Z, n Ф 0. . ; V ; ^ . ’2 211. 1) nk, k e Z; n + nn, n e Z; 2) n + nn, n e Z; 3) , n e Z; 4) , ’4^ '2 14 7 n e Z. 212. 1) -n + nn, n e Z; 2) --+ (-1)n- + 2nn, n e Z; 3) --+ (-1)n - + nn, ’22 ’66 n e Z; 4) — + nn, n e Z. ’ 3 213. 1) 2nk, k e Z; - + , n e Z; 2) — + %k, k e Z; n + nn, n e Z; ; ’ ’ e ^ ^1^ 8 2 3) — +---, k e Z; — +--, n e Z; 4) — + —, k e Z; 5) — + —, n e Z; ^2 ^ 14 1 ^ e ^ M8 9 C>\ I 1 \П П "7 \ I П . ^7 Q \ I П nn '7 6) (-1) —\---, n e Z; 7) ±—+ nn, n e Z; 8) ±—\-, n e Z. 214. 1) n + nk, k e Z; n + nn, n e Z; 2) (-1)n ^ , n e Z; 3) n , n e Z; 4) ± — + nk, k e Z; ± — + nn, n e Z; 5) nn, n e Z; 6) — + , n e Z. 215. 1) (±- + 2nn; +- + - + 2nn], n e Z; 2) [(-1)n- + nn; n + (-1)n+‘ - - m\ \3 3^ / \3 3/ n e Z; 3) (-1)----+--------n; (-1) — ^ —+-----n , k e Z, n e Z; 12 4 2 12 4 2 4) ((-1)k n + nk; ±n + 2nnj, k e Z, n e Z 216. 1) -— + nk, k e Z; -— + 2nn, n e Z; 2nm, m e Z; 2) — + nk, k e Z; — + 2nn, n e Z; 2nm, m e Z. 217. 1) - + nk, k e Z; n + nm, m e Z; 2) ±^ + nn, n e Z ’2 4 ^ ^ 12 2 218. 1) -— + 2nn, n e Z; 2) nn, n e Z; 4. ’ 2 ^ 3 219. 1) n + nk, k e Z; arctg 2 + nn, n e Z; 2) n + 2nn, n e Z; 3) -arctg3 + nk, k e Z; arctg 2 + nn, n e Z; 4) (-1)narcsini2 -4log^/3 j + nn, n e Z. 220. 1) 2; 2) 2; 3) -1; 4) -1; 5) 1; 6) -7) i; 8) -2; 4. 221. 1) (-1)n arcsin a + nn, n e Z, если I a I < 1; нет корней, если I a I > 1; 2) ± arccos (a + 1) + 2nn, n e Z, если -2 < a < 0; нет корней, если a < -2 или a > 0; 3) ± 1(n - arccos a) + nn, n e Z, если I a I < 1; нет корней, если I a I > 1; 4) ± 1arccos(4a - 3) + ПП, n e Z, если ^ < a < 1; нет корней, если a < 1 или a > 1. Правообладатель Народная асвета 283 222. 1) ^(-1)* П + пк\ n + nnk e Z, n e Z; 2) ^n + 2nk; ±arccos^-1 j + 2%^ k e Z, n e Z. 223. 1) ^ 1 ^(-1)k arcsin(a2 + a) + (-1)n arcsin(a2 - a) + nk + nn'j; 1 ^(-1)k arcsin(a2 + a) + (-1)n +1 arcsin(a2 - a) + %k - j, k e Z, n e Z; 2) ■1arccos(-a) + nn; ■З^ — 3^^ arccos(-a) - nn |, n e Z. 224. 1) Нет корней; 2) нет корней; 3) + 2nn, n e Z; 4) (-1)n — + nn, n e Z; 3 6 5) i3; 6) 53; 7) 3; 8) 1. ; 31 ^49’ ’ ' ’ 8 10 225. 1) 3; 2) -4; 3) -2; 4) -7; 5) 7; 103 - 79; 6) i1; 103 - 89. 3 5 5 226. 1) (0; -2); 2) (-2; 3); 3) (2; 1), (logs 7; log7 9); 4) (2; 2). 227. 1) (10 2; 10 2), (100; 0,1); 2) (4; 4). 228. 1) (-^; -1) U (1; +^); 2) [-3; 3]; 3) [1; +^); 4) ^-^; 4j; 5) (-^; 1); 6) [0; 1]; 7) (-7; -3) U (2; +^); 8) (-^; -9) U (-5; 2). 229. 1) [16; +^); 2) [27; +^); 3) (^3; ,| J; 4) [1; -З); 5) (-^; -4); 6) (-^; -9). 230. 1) (-^; -9) U ^-|; 3^; 2) ^0; ■|j U (2; 4); 3) (1; 2) U (8; +^); 4) (1; 2) U (6; +^). 231. 1) 0; logi,5 3; 2) log0,4 2; 3) 2; 4) 2. 232. 1) 2; -log3 6; 2)-2; log5 10; 3) 4; 2; 4) -1; 8. 8 16 233. 1) 5; 2; 2) 9; 3; 3) 43 - 1; 16; 4) 34 - 1; 21. 234. 1) 3; 2) 9. 235. 1) -n + 2nn, n e Z; 2) n + 2nn, n e Z. ’4 ’6 236. 1) a < 1, a = 3; 2) a = -2,2, a = 1. 237. 1) X = -a - 3, если a < -6; нет решений, если a > -6; 2) x = - a9, если a < 30; нет корней, если a > 30. 238. 1) (16; 256); 2) (4; 16). 239. 1) (2; 7); 2) (2; 6). 240. 1) (2; +^); 2) x < 2. 241. 1) X < 0; 2) -2 < x < -1, x > 1. 242'1) {-ib'; TT) " - 3) " (l; +“); 2) <-15; " wi:5; 1,5). Правообладатель Народная асвета 284 243. 1) f (х) = 12х2 - 40х + 25; 2) f (х) = 6х2 - 24х + 16; 3) f (х) = х2 + 5х - 25 + (х - 2)(2х + 5); 4) f (х) = х2 - 4х + 7 + (х + 1)(2х - 4); 7 5) f '(x) = 6) f '(x) = ^ ^ 3 (4x3 - 2x)(x2 - W5 + 2) - (2x -•J5)(x4 - x2 + 4); (x2 - W5 + 2)2 ; (4x3 - 8x)(x2 + W2 - 1) - (2x W2)(x4 - 4x2 + 1) (x2 + Ws - 1)2 244. 1) 49 м/с; 2) 23 м/с. 245. 1) 7; 2) 1. 246. 1) 1 с; 2) 1 с. 33 247. Если хо = 2, то tgа = —; если хо = -1, то tg а = 0; если хо = 2, то tgа = —; о - 8 если хо = 3, то tg а . 248. 1) ^ x + ^i; 2) y = -4x - 13; 3) y = -4x - 13; 4) y = -x + 2. 249. 1) Промежутки возрастания (-^; -1], [1; +^), промежуток убывания [-1; 1], точки экстремума ±1; 2) промежуток возрастания ^3; +то^, промежуток убывания ^-^; 3j, точка экстремума 3; 3) промежутки возрастания (-то; 0], ^-1; +^j, промежуток убывания ^0; -1 j, точки экстремума 0 и 3; 4) промежутки возрастания (-^; 0], [1; +^), промежуток убывания [0; 1], точки экстремума 0 и 1. 7 250. 1) Наибольшее значение 3—, наименьшее значение -28,8; 2) наибольшее 15 значение 5, наименьшее значение -24,4. 251. 1) (-2; 6); 2) (-2; -28). 252. 1) (2; 2), у = -5x + 12; 2) (-1; -16), у = 6x - 10. 253. 1) arctg 3; 2) arctg 2. 254. 1) 200 м, 200 м, 400 м; 2) 20^/2 м, 20^/2 м. 255. 1) 28 = 14 + 14; 2) 49 = 7 • 7. 256. 1) а = ±3; 2) а = ±5. 257. 1) а > 0; 2) а < 0. 258. 1) [-4; 4]; 2) (-^; -1] и [2; +^); 3) x ^ -1, x ^ 0, x ^ 1; 4) x ^ -2; x ^ 0; x ^ 2; 5) (1; +^); 6) (-^; -4) и (4; +^). 259. 1) ^-^; 17|j; 2) (-6,75; +^); 3) (-^; -5); 4) (1; 3); 5) (-^; 7) и (7; 7,2); 6) (1; +“). 260. 1) (-^; 2]; 2) [0,16; +^); 3) (-^; 13); 4) (-10,5; +^). Правообладатель Народная асвета 285 261. 1) (8; 2); 2) (-3; -5); 3) (0,5; -1,25); 4) (1; 4). 266. 1) {-1; 1}; 2) (-^; 0]; 3) [4; +^); 4) [0; 5]. 267. 1) [-7; +^); 2) [4; +^); 3) [-1,25; 0) и (0; +^); 4) 0; 5) (-^; 2); 6) (-5; +^). 268. 1) Наибольшее значение 7, наименьшего значения нет; 2) наибольшего значения нет, наименьшее значение 1; 3) наибольшее значение 9, наименьшего значения нет; 4) наибольшего значения нет, наименьшее значение 0. 269. 1) Положительные значения на промежутке (20; +^), отрицательные значения на промежутке (-^; 20); 2) положительные значения на промежутке (-то; 40), отрицательные значения на промежутке (40; +^); 3) положительные значения на промежутках (-^; 1,8), (2; +^), отрицательные значения на промежутке (1,8; 2); 4) положительные значения на промежутке ^6; 7-1 j, отрицательные значения на промежутках (-^; 6), (7-1; +^j 5) положительные значения на промежутке (-0,4; 3), отрицательные значения на промежутках (-то; -0,4), (3; +^); 6) положительные значения на промежутках (-^; ь1 j, (3; +^), отрицательные значения на промежутке (ь^; 3^; 7) положительные значения на промежутке (5; 30), отрицательные значения на промежутке (30; +^); 8) положительные значения на промежутке (7; +^), отрицательные значения на промежутке (-20; 7); 9) положительные значения на промежутке (6; +^), отрицательные значения на промежутке (-^; 6); 10) положительные значения на промежутке (; +^), отрицательные значения на промежутке 9 271. 1,5 < X < 4. 272. 1) p = -1, p = 7; 2) p = -5, p = 1. 275. 1) (-6; -5]; 2) (-3; -1]; 3) (-2; -1) и (-1; 0]; 4) (1; 3,5). Правообладатель Народная асвета 286 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Корень ге-й степени 12 — — арифметический 10 Логарифм 137 — десятичный 140 — натуральный 140 Логарифмирование 138 Неравенство иррациональное 100 — логарифмическое 174 — показательное 131 Прогрессия бесконечно убывающая геометрическая 38 Степень с действительным показателем 106 — иррациональным показателем 105 рациональным показате- Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 40 Тождество основное логарифмическое 138 Уравнение иррациональное 87 — логарифмическое 165 — показательное 123 — с переменной х 93 Формула перехода 146 Функции взаимно обратные 157 Функция логарифмическая 154 — показательная 110 — степенная 67, 78 Число е 116 лем 48 Правообладатель Народная асвета СОДЕРЖАНИЕ 287 От авторов........................................................... 3 Глава 1 Степень с рациональным показателем. Степенная функция 1.1. Степень с целым показателем............................... 4 1.2. Корень я-й степени.......................................... 10 1.3. Тождества с корнями, содержащие одну переменную............. 19 1.4. Действия с корнями нечетной степени......................... 24 1.5. Действия с корнями четной степени........................... 31 1.6. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.............. 38 1.7. Периодические дроби ........................................ 43 1.8. Степень с рациональным показателем.......................... 47 1.9. Действия со степенями с рациональными показателями ......... 53 1.10. Сравнение степеней с рациональными показателями............. 62 1.11. Степенная функция (показатель положительный)................ 67 1.12. Степенная функция (показатель отрицательный)................ 78 1.13. Иррациональные уравнения.................................... 87 1.14. Решение иррациональных уравнений с использованием свойств функций 93 1.15. Иррациональные неравенства................................. 100 Глава 2 Показательная и логарифмическая функции 2.1. Степень с действительным показателем ...................... 105 2.2. Показательная функция...................................... 110 2.3. Показательные уравнения ................................... 123 2.4. Показательные неравенства.................................. 130 2.5. Логарифмы.................................................. 137 2.6. Основные свойства логарифмов............................... 144 2.7. Логарифмическая функция.................................... 154 2.8. Логарифмические уравнения.................................. 165 2.9. Логарифмические неравенства ............................... 174 П риложен и я Материалы для повторения теоретических вопросов арифметики и алгебры курса математики 5—11-х классов.............................. 185 Упражнения для повторения арифметического и алгебраического материала курса математики 5—11-х классов ............................. 218 Ответы............................................................. 255 Предметный указатель............................................... 286 Правообладатель Народная асвета (Название и номер учреждения образования) Учебный год Имя и фамилия учащегося Состояние учебного пособия при получении Оценка учащемуся за пользование учебным пособием 20 / 20 / 20 / 20 / 20 / Учебное издание Кузнецова Елена Павловна Муравьева Галина Леонидовна Шнеперман Лев Борисович Ящин Борис Юрьевич АЛГЕБРА Учебное пособие для 11 класса учреждений общего среднего образования с русским языком обучения 3-е издание, исправленное и дополненное Зав. редакцией В. Г. Бехтина. Редактор Н. М. Алганова. Оформление Е. Э. Агуно-вич. Художественный редактор А. А. Волотович. Технический редактор М. И. Чеп-ловодская. Корректоры Е. И. Даниленко, А. В. Алешко, В. С. Бабеня, Д. Р. Лосик. Подписано в печать 14.01.2013. Формат 60 х 901/i6. Бумага офсетная. Гарнитура литературная. Офсетная печать. Усл. печ. л. 18 + 0,25 форз. Уч.-изд. л. 11,03 + 0,17 форз. Тираж 104 906 экз. Заказ . Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная асвета» Министерства информации Республики Беларусь. ЛИ № 02330/0494083 от 03.02.2009. Пр. Победителей, 11, 220004, Минск. ОАО «Полиграфкомбинат им. Я. Коласа». ЛП № 02330/0150496 от 11.03.2009. Ул. Корженевского, 20, 220024, Минск. Правообладатель Народная асвета