^)=24.л
Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами у = х^, у-2х - х^ и осью Ох.
А Построим графики функций у = Х^, у = 2Х - Х^ VI найдем абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения х^ = 2х - х^. Корни этого уравнения = О, ДГ2= 1- Данная фигура представлена на рисунке 64. Из рисунка видно, что эта фигура состоит из двух криволинейных трапеций.
88
Следовательно, искомая площадь равна сумме площадей этих трапеций:
2
12 3
S = [ dx+\ {2x-x^‘)dx= —
3
1 f 3 \ 2 X 1
+ X
0 3 J
= 1. А
О 1
Задача 3. Найти площадь S фигуры, ограниченной отрезком
—; — оси Ох и графиком функции у = cos х на этом отрезке.
L2 2 J
А Заметим, что площадь данной фигуры равна площади фигуры, симметричной данной относительно оси Ох (рис. 65), т.е. площади фигуры, ограниченной отрез-
ком
к 151 L2 2 J
оси Ох и графиком функ-
ции у - -cos X на отрезке
л,
12
2
]■
На этом отрезке - cos х>0^и поэтому
2
2 _
S= J (-С08л:)^л: =(-8Шл:)
Вообще если f (х) < О на отрезке [а; Ь] (рис. 66), то площадь S криволинейной трапеции равна
S = J(-/(jc))dx
Задача 4. Найти площадь S фигуры, ограниченной параболой у = х^+1и прямойу = х + д.
А Построим графики функций у = х^ + 1иу = х + 3. Найдем абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения х^ + 1 = = jc -I- 3. Это уравнение имеет кор-ни = - 1, jCg = 2. Фигура, ограниченная графиками данных функций, изображена на рисунке 67. Из рисунка видно, что искомую площадь можно найти как разность площадей Sj и S2 двух
.У'
1 у = -cos X
0 /ЗП X
2 2
Рис. 65
У=/(х) Рис. 66
89
трапеций, опирающихся на отрезок [-1; 2], первая из которых ограничена сверху отрезком прямой i/ = л: -ь 3, а вторая — дугой пара-
2 2 2
6oл.ыy = x^■ + 1. Так как J {x + 2,)dx, Sg = J {х^ ^-\)dx, то
-1 -1
S = -«2 = J{x + ^)dx-]{x^‘ +l)dx.
-1 -1
Используя свойство первообразных, можно записать S в виде одного интеграла:
S= |((дг + 3)-(д:'+1))й* = / (x + 2-xbdx = ^^ + 2x-^j^^ = ^. А
Рассмотрим фигуру, ограниченную отрезками прямых х = а, х = Ь и графиками непрерывных функций у = f^{x)vL у = (дс), где
fz (^) ^ Л (^) ^ О (рис. 68).
Площадь S этой фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций оА^В^Ь и оА^В^Ъ.
Площади S2 и Sj этих трапеций соответственно равны:
ь Ь
S2=\f2(.x)dx и Sj =J/j(x)dA:.
а а
Следовательно,
ь ь
S = J /2 (^) - j /j (x) dx.
Рис. 68
Отсюда
S = ][f^(x)-fi(x)\dx.
(1)
Эта формула справедлива для любых непрерывных функций (д:) и /2 (^) (принимающих значения любых знаков), удовлетворяющих условию
Л(^)-
Задача 5. Найти площадь S фигуры, ограниченной параболами г/ = и у = 2х^ - 1.
А Построим данную фигуру (рис. 69) и найдем абсциссы точек пересечения парабол из уравнения х^‘ = - 1.
90
Это уравнение имеет корни: g = ±1* Воспользуемся формулой (1). Здесь (л:) = 2x^-1, (х) =
5= ]у ~(2х^-l))dx=](--x‘^ +-L)dx=\-^+xY=\- А
Упражнения
217. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой:
1) i/ = 4 - л:2; Ъ)у= х{2- х);
2) у = 1-х^\ &)у= -х{х + 3);
3) у = -х^ + Зл: - 2; 7) у = (лг + 2) (3 - х)\
4) Z/ = -х^ + 4л: - 3;
8)1/= (1-л:)(л: + 2).
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями (218-224).
218. 1) Параболой у = {х+ Vf, прямой г/ = 1 - л: и осью Ох\
2) параболой у= 4 - л:^, прямой у= л: + 2 и осью Ох;
3) параболой г/ = 4л: - л:^, осью Ох и прямой, проходящей через точки (4; 0) и (1; 3);
4) параболой у = Зл:^, осью Ох и прямой, проходящей через точки (-3; 0) и (-1; 3);
5) параболами у = бл:^, у= (л: - 3) (л: - 4) и осью Ох;
6) параболами у= 4- х^, у = (л: - 2)^ и осью Ох.
219. 1) Графиком функции у = sin л:, отрезком [0; д] оси Ох и пря-
мой, проходящей через точки (0; 0) и
2
0; -1
2J
осиОх;
2) графиками функций i/=sin л:, у=cos х и отрезком
3) графиками функций у=у[х, у = (х-2)^и осью Ох;
4) графиками функций у = х^, у = 2х - х^ и осью Ох.
220. 1) Параболой у = 9-х^, прямой у = 7-х и осью Ох;
2) параболой у= л: (4 - л:), прямой г/ = 3 и осью Ох;
3) параболами у= (х- 2)^, у= (х + 2)^, прямой у=1и осью Ох;
4) параболами у = (л; + 2)^, у - {х - 3)^, осью Ох и прямой, проходящей через точки (-1; 1) и (1; 4); ^
5) графиком функции у = sin х, прямой у = — и отрезком [0; л] оси Ох;
6) графиком функции у = cos х, прямой У~^ и отрезком
L 2 2
п
2.
оси Ох.
91
221. 1) Параболой y = x^+Sx и осью Ох;
2) параболой у= - 4л: + 3 и осью Ох;
Ttz 5т1
3) графиком функции 1/=sin л:, прямьшЕИ х =—, л: = -—иосьюОл:;
6 3
Зтг
4) графиком функции у = cos х, прямыми л: = —, л: = тг и осью Ох.
4
222. 1) Параболой 6х- х^ и прямой у = х +4;
2) параболой у = 4- х^ и прямой у = х + 2.
223. 1) Параболой у = х^ + 1 и прямой у = 3 - х;
2) параболой у = {х +2)^ и прямой у = х +2;
3) графиком функции у - у[х и параболой у = х^;
4) графиком функции у = у[х и прямой у = х;
5) параболой y-2x-x^vi прямыми х = О, х = 2, у = х + 2;
6) параболой у-(х - 1)^ и прямой г/ = 5 + л:;
7) параболой у = 2- х^тл прямой у = -х;
8) прямой у = 1, осью Оу и графиком функции у = sin х,
0<х<~.
2
224. 1) Параболой у - -х^ + 4л: - 3 и прямой, проходящей через точки (1; 0) и (0; -3);
2) параболой у = -х^ и прямой у =-2;
3) параболами у = 1 - х^ и у = х^ - 1;
4) графиком функции у = х^ и прямыми ^ = 1 и л: = -2;
5) прямой у = хи графиком функции у = х^,-Кх<0;
6) параболами у = х^ -2х и у = - х^.
§ 16*. Применение интегралов для решения физических задач
1. Задача о нахождении пути по заданной скорости. Пусть точка движется со скоростью и (t). Нужно найти путь s, пройденный точкой от момента t = а до момента t = Ь. Обозначим s (^) путь, пройденный точкой за время t от момента а. Тогда s' (0 = v (0» т.е. S (0 — первообразная для функции и (t). Поэтому по формуле
ь
Ньютона — Лейбница найдем s(b)- s(a) = jv(t) dt. Так как s (а) = 0,
то искомый путь равен:
s= J v(t) dt.
(1)
92
Например, если точка движется со скоростью v{t)=2t+l (м/с), то путь, пройденный точкой за первые 10 с, по формуле (1) равен
10
S = J (2^ + l)d^ = (r+0 о
10
= 110 (м).
2. Задача о вычислении работы переменной силы. Пусть тело, рассматриваемое как материальная точка, движется по оси Ох под действием силы F (д:), направленной вдоль оси Ох. Вычислим работу силы при перемещении тела из точки х = а в точку х = Ь.
Пусть А (дг) — работа данной силы при перемещении тела из точки а в точку х. При мгшом h силу F на отрезке можно считать постоянной и равной F (х). Поэтому А (х + Л) - А (х) = F (х)Л, т.е.
А(х+Л)-А(х)
h
Fix).
Устремляя h к нулю, получаем, что А' (х) = F(x), т.е. А (х) — первообразная для функции F (х). По формуле Ньютона — Лейб-
ь
ница получаем Аф) = |F(x) dx, так как А (а) = 0.
а
Итак, работа силы F (х) при перемещении тела из точки а в точку Ь равна
A = jF(x)dx.
(2)
Заметим, что если F выражается в ньютонах (Н), а путь — в метрах, то работа А — в джоулях (Дж).
Задача. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,08 м, если для ее сжатия на 0,01 м требуется сила 10 Н.
А По закону Гука сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т.е. F = kx, где х — величина растяжения или сжатия (в м), — постоянная. Из условия находим k. Так как при
X = 0,01 (м) сила Г = 10 Н, то
k = - = 1000.
X
Следовательно, F = kx = 1000 и по формуле (2), где F (х) = = ЮООх, получаем
0,08 2
А= [ ЮООх dx = 1000 — о 2
0,08
= 3,2(Дж). А
93
Упражнения
225. Тело движется прямолинейно со скоростью v (?) (м/с). Вычислить путь, пройденный телом за промежуток времени o’Tt = t^
дo^ = ^2:
1) y(f) = 3^2-hl, ij = 0, =
2) l^(^) = 2^2 + ^, t^ = l, t2 = 3;
S)v(t) = 6t + 4, t^ = 2, ^2 = 3;
4)v(t) = t^ - t + 3, fj = 0, ^2 = ^•
226. Скорость прямолинейно движущегося тела равна v (t) = 4t -t^. Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.
§ 17*. Простейшие дифференциальные уравнения
До сих пор мы рассматривали уравнения, в которых неизвестными являлись числа. Однако в математике и ее приложениях приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции.
Задача о нахождении пути s (t) по заданной скорости и (О сводится к решению уравнения s'(0 = и (t), где v (t) — заданная функция, а S (i) — искомая функция.
Это уравнение содержит производную неизвестной функции S (t). Такие уравнения называют дифференциальными.
Задача 1. Решить дифференциальное уравнение у' = х+1.
А Требуется найти функцию у (л:), производная которой равна X + 1, т.е. найти первообразную функции х + 1. По правилам нахождения первообразных получаем
где С — произвольная постоянная. А
Решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно с точностью до постоянной. Обычно к дифференциальному уравнению добавляется условие, из которого эта постоянная однозначно определяется.
Задача 2. Найти решение у (лг) дифференциального уравнения у' = cos X, удовлетворяющее условию г/ (0) = 1.
А Все решения этого уравнения записываются формулой у (д:) = sin дс: + С. Из условия ^ (0) = 1 находим sin 0 -ь С = 1, откуда С=1.
От в е т . I/= 1-Ь sin д:. А
94
Задача 3* (о размножении бактерий).
Экспериментально установлено, что при определенных условиях скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству.
Пусть т (t) — масса всех бактерий в момент времени t, тогда т' (t) — скорость их размножения.
По условию,
m'(t) = km(t), (1)
где k — заданная постоянная, зависящая от вида бактерий и внешних условий. Уравнение (1) является дифференциальным уравнением, описывающим закон размножения бактерий.
Покажем, что функции
т (t) = (2)
где С — постоянная, являются решениями уравнения (1). В самом деле, (Се^^У = Cke^* = k (Се*‘). Можно показать, что формула (2) содержит все решения уравнения (1).
Пусть известна масса бактерий в момент времени т.е.
т(г^) = т^. (3)
Тогда из равенств (2) и (3) получаем /Пд = , откуда С= и
m(t)= 1ще
дает искомое решение уравнения (1) при начальном условии (3). Задача 4* (о радиоактивном распаде).
Эксперименты показывают, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна имеющемуся количеству этого вещества.
Следовательно, если m(t) — масса вещества в момент времени t, то
m'(t) = -km(t), (4)
где k — положительная постоянная.
Знак «-» в уравнении (4) обусловлен тем, что m(t) > О, а m'(t) < О, так как с течением времени количество вещества уменьшается. Как и для уравнения (1), проверяется, что функции
т (t) = Се~^* (5)
являются решениями уравнения (4).
Если задано начальное условие
^ (^о) = ^0’
95
то из равенств (5) и (6) имеем С = . Следовательно, функция
= (7)
является решением дифференциального уравнения (4) при начальном условии (6).
Заметим, что на практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуется периодом полураспада, т.е. промежутком времени, в течение которого распадается половина исходного вещества.
Пусть Т — период полураспада, тогда из равенства (7) при t = = tQ + T находим , откуда = -, /гТ = In 2, k =
Подставляя найденное значение k в формулу (7), получаем
тЦ) = ще
- t + tQ
т
In 2
- f + (О
или m(t) = Mq2 ^
В частности, если tQ = О, то m(t) = .
Задача 5* {гармонические колебания).
В практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются, например колебательные движения маятника, струны, пружины и Т.Д.; процессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т.п. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциального уравнения
У" = -Ь^% (8)
где со — заданное положительное число.
Решениями уравнения (8) являются функции
у (л:) = Cj sin (сол: -f- Cg), (9)
где Ср Cg — постоянные, определяемые условиями конкретной задачи. Уравнение (8) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний, а равенство (9) называют уравнением гармонических колебаний.
Например, если у (i) — отклонение точки свободно колеблющейся струны от положения равновесия в момент времени t, то
1/(0= А sin (coi-Mp),
где А — амплитуда колебания, со — частота, ср — начальная фаза. Графиком гармонического колебания является синусоида.
96
Упражнения
Решить дифференциальное уравнение (227—228).
227. l)i/' = 3-4x; S)y' = 3e^^;
2) у'= 6х^ - 8х+1; 4) I/'= 4 cos 2л:.
228. 1) у' = 3 sin л:; 3) у' = 4л:® - 2 cos л:;
2) у' = cos X - sin л:; 4) у' = Зх^ - 4е®^.
229. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному условию:
1) 1/' = sin л:; i/(0) = 0; 4)у' = 2 + 2х-Зх^, у(-1) = 2;
2) i/' = 2cosx; 1/(тс)=1; 5)у' = е^, у(1)=1;
3) у'^Зх^ + 4х-1, 1/(1) =-2; 6)у' = е~\ у(0) = 2.
230. Показать, что функция у = С^ cos шдс + Cg sin сол: при любых значениях Cj и Cg является решением дифференциального уравнения у" + со®1/ = 0.
Упражнения к главе II
231. Для функции f (л:) найти первообразную, график которой проходит через точку М:
1) /(л:) = созл:, М(0;-2); 4)/(л:) = e^ М(0;2);
2) Пх) = 81пх, М{-п;0); 5)f(x) = 3x^ + l, М(1;-2);
1
S)f(x) = ^, М(4;5);
V
232. Вычислить интеграл:
2 2
6)/(л:) = 2-2;с, М(2;3).
3 1
1) j2dx; 2) j(3-x)dx; 3) j(х^ -2х)dx; 4) ]{2x-3x^)dx\
-1
8
-2
-1
Ь) \^dx\ 6)|^; 7)|8шд:йлг, 8) J cos X dx.
1 1-^0
2
233. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) y^sfxy х=1,х = 4,у = 0;
2) y^cosx,x = 0,x=^,y = 0;
3) у = х^, у = 2-х;
4) у = 2х^, у = 0,Ъх+1,Ъ;
5) у=^, х = -8,х = -1,у = 0;
6) 1/ = Л’ х = -3,х = -1,у = 0.
97
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
1. Показать, что F (л:) = - cos х является первообразной для функции f (х) = + Зл:^ + sin х на всей числовой пря-
мой.
2. Для функции f (х) = Зх^ + 2х - 3 найти первообразную, график которой проходит через точку М (1; -2).
П
2 3 4 2 7^
3. Вычислить: j Зл: dx; jjcosxdx; jsin2xdx.
1 2^0 I
2
4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х^ + -I- л: - 6 и осью Ох.
Вычислить интеграл (234—235).
234. 1) ](5x^-8x^)dx; о
8
2) ]{(ох^-bx)dx\
-1
4) jdx; 5) x + ldx\
3) j^/^i^3-^jdx;
6 ,_____
6) jyj2x-3dx.
235.1) [ -cos(x + -]dx;
o2 [4)
3) |3вш(3лг-6)с?л:;
2) [ -sinf л:- - ]dx; 5 3 I 3 '
4) |8со8(4л:-12)с?л:. 0
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (236—237).
236. 1)у= -,у = 4х,х = 1,у = 0;
3)у = х^+1, у = х+1;
2)у= ^,у = х,х = 2,у = 0;
4)у = х^ + 2, у = 2х+2.
237. 1)у = х^-6х + 9, у = х^ + 4х + 4, у = 0;
2) у = х^ + 1, y = 3-xh
3) 1/ = л:2, у= 2ур^;
4) у = ^, у = у14-Зх, у = 0.
238*. Найти площадь фигуры, ограниченной:
1) параболой ^ - 2л: + 2, касательной к ней, проходящей
через точку пересечения параболы с осью Оу, и прямой л: = 1;
98
2) гиперболой у =—, касательной к ней, проходящей через
X
точку с абсциссой д: = 2, и прямыми у = 0уХ = 6.
239*. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) y = x^-Sx^-9x+l, х = 0, у = 6, х = -1;
2) у = х"^-2x^ + 5, у = 1, л: = 0, х=1.
240*. При каком значении k площадь фигуры, ограниченной параболой у = х^+ рх, где р — заданное число, и прямой y = kx+l, наименьшая?
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Несмотря на то, что интегральное исчисление появилось в XVII в., его истоки можно обнаружить в глубокой древности. Так, в Московском папирусе, написанном около 40 веков тому назад, описывается алгоритм вычисления объема усеченной пирамиды с квадратными основаниями. Возникают проблемы нахождения общих приемов вычисления площадей криволинейных фигур и объемов различных тел.
В Древнем Египте математика носила прикладной характер и при вычислении площадей и объемов египтяне удовлетворялись приближенными значениями. Метод древнегреческого ученого Евдокса Книдского, жившего в IV в. до н. э., названный впоследствии методом исчерпывания, позволял достаточно точно вычислять площади любых фигур на основе неявного использования предельных переходов. Суть этого метода, например для вычисления площадей плоских фигур, заключается в следующем. В фигуру вписываются и вокруг нее описываются многоугольники, число сторон которых увеличивается. Находится предел, к которому стремятся площади этих многоугольников; его и принимают за площадь рассматриваемой фигуры. Сложность применения этого метода в том, что для каждой фигуры надо было искать свой способ вычисления предела. В древности этим методом пользовались Архимед и Евклид, но вплоть до XX в. в ряде учебников с помощью метода исчерпывания обосновывались выводы формул вычисления площадей и объемов геометрических фигур. В дальнейшем развитие методов, которые применяли древнегреческие ученые при вычислении площадей и объемов, привело к понятию интеграла.
В XVII в. немецкий математик и астроном И. Кеплер во время открытия законов движения планет одним из первых попытался возродить метод вычисления площадей и объемов, идущий от
99
Евдокса и развитый Архимедом. Кеплер вычислял площади плоских фигур и объемы тел, основываясь на идее разбиения фигур и тел на бесконечное число малых частей, которые он называл «тончайшими кружочками» или «частями крайне малой ширины». Затем суммировал площади (или объемы) полученных при разбиении фигур (тел).
В отличие от Кеплера, итальянский математик Б. Кавальеры (1598-1647) в книге «Геометрия неделимых», деля фигуру (тело) параллельными прямыми (плоскостями), считал эти линии (плоскости) лишенными всякой толщины, однако «складывал» их для нахождения площади фигуры (объема тела). Под понятием «все линии» Кавальери понимал то же, что мы сегодня понимаем под
\f{x)dx.
а
Труды Кеплера, Кавальери и других ученых послужили основой, на которой Ньютон и Лейбниц выстроили теорию интегрального исчисления. Развитие этой теории продолжили Эйлер и в России — П.Л. Чебышев (1821-1894). В частности, Чебышев разработал способы интегрирования отдельных классов иррациональных функций.
Определение интеграла как предела интегральных сумм принадлежит О. Коши. Символ jf{x)dx ввел Лейбниц. Термин «интеграл» (от лат. integer — целый) впервые был предложен И. Бернулли.
ГЛАВА III ] [ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 18. Определение комплексных чисел
Решение многих задач математики, физики и пргистики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов математики. Стремление сделать уравнения разрешимыми — одна из главных причин расширения понятия числа.
Так, для разрешимости уравнений вида х + а = Ь положительных чисел недостаточно. Например, уравнение л: -I- 5 = 2 не имеет положительных корней. Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль.
Для того чтобы уравнения вида ах = Ь (аФО) имели корни, целых чисел недостаточно. Например, уравнение 2л: = 3 не имеет целых корней. Поэтому приходится вводить дробные числа. Целые и дробные числа образуют множество рациональных чисел. Говорят, что множество рациональных чисел является расширением множества целых чисел.
На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида ах + Ь = 0(а^0). Однако алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такими являются уравнения л:^ = 2, л:^ = 5. Необходимость решения тгжих уравнений явилась одной из причин введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Множество действительных чисел является расширением множества рациональных чисел.
Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них — уравнение л:^ -ь 1 = 0. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.
Выясним предварительно, какой вид должны иметь комплексные числа. Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение л:^ -I-1 = 0 имеет корень. Обозначим этот корень буквой i. Таким образом, i — это комплексное число, такое, что = - 1.
Как и для действительных чисел, нужно ввести операции сложения и умножения комплексных чисел так, чтобы их сумма и
101
произведение были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел а и Ь выражение а + Ы должно быть комплексным числом. Если потребовать, чтобы операции сложения и умножения комплексных чисел обладали обычными свойствами: переместительным свойством, сочетательным и т.д., то выражение а + Ы можно считать записью комплексного числа в общем виде. Название «комплексное» происходит от слова «составное» — по виду выражения а + Ы.
Комплексными числами называют выражения вида а + Ь/, где а VI Ь — действительные числа, а i — некоторый символ такой, что
- 1.
Число а называется действительной частью комплексного числа а + Ы, а число Ь — его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.
Например, действительная часть комплексного числа 2 -h Зг равна 2, а мнимая — равна 3; для комплексного числа (-2) + (-З)г, которое также будем записывать в виде -2 - 3i, действительная часть равна -2, а мнимая часть равна -3.
Заметим, что для строгого определения комплексных чисел надо для этих чисел ввести понятие равенства и операции сложения и умножения.
Введем понятие равенства комплексных чисел.
Два комплексных числа а + Ы и с + di называются равными тогда и только тогда, когда а = с и Ь = d, т.е. когда равны их действительные и мнимые части.
Например, ~ + у[41 = - + 21^ так как - = >/4 = 2.
6 3 6 3
Задача. Найти действительные числа х и у из равенства (2х + y) + (x-y)i = 6- 2L
А По определению равенства комплексных чисел
{2х + у = 5,
[х-у = -2.
Решая систему, находим х-1,у-3. А
Упражнения
241. (Устно.) Назвать действительную и мнимую части комплексного числа:
1)6 + 5/; 2)^ + ^г; 3)>/2 + Уз/; 4)^-2/;
Z о
5)-л-6/; 6)-- + >/5/.
4
102
242. Записать комплексное число, у которого действительная и мнимая части соответственно равны:
3) л/З и 4) л/З и -2;
1)3 и 4;
94 1 3
2) - и
5) -0,5 и V5; 6)-| и -3.
243. Указать, какие из данных комплексных чисел равны:
-0,5 +/4 i, 3-2i,
л/9-41.
244. При каком значении лг действительная часть комплексного числа равна нулю:
1) (jc + 3)-f-4i; 3) (2д:-ь 4) + г;
2) (д: - 5) -к 2i; 4) (Зд: -9) + 5г?
245. Найти значение д:, при котором мнимая часть комплексного числа
равна нулю:
1) 2-f-(д:-2)i 3)-1+(2д:-1)1;
2) -4-ь(д: + 3)1; 4)1 + (Зх+1)и
246. Найти действительные числа хиу^ если:
1) бд:-н 3i/i = 4-ь 2i; 4) x-(x + y)i = S + 2i;
2) д:-3i/i=-5-V2/;
S)x-(4-y)i = +
5) (x + y) + (x-y)i = S + 2i;
6) (2д: -I- -I- (jc - y)i = 18 + Si.
§ 19. Сложение и умножение комплексных чисел
Операции сложения и умножения комплексных чисел определяются следующим образом:
Суммой двух комплексных чисел а + Ытл с + di называется комплексное число (а -I- с) + (Ь -ь /2-30.
251. Упростить выражение (а, Ь — действительные числа):
1) (а + 2Ы) + (а - ЗЫУ, 4) (2а + ЗЫ) (2а - ЗЫ);
2) (4а + 5Ь0 + (-За - 5Ь0; 5) (2а + ЗЫ) (ЗЬ + 2а0;
3) (а + Ы) (а - Ы); 6) (4Ь + 5а0 (5а + 4Ы),
252. Записать число, противоположное данному числу:
1)3 + 20 2)7-50 3)-2 + 0 4)-V3-20
253. Найти действительные числа хиу из равенства:
1) (л: + 3iy) + (2у - 3ix) =1 + 20 2) (х + 2iy) (у - 2ix) = 2-30
§ 20. Модуль комплексного числа
Пусть дано комплексное число z = а + Ы. Сопряженным с z называется комплексное число а - Ы, которое обозначается z , т.е.
Z =а + Ы = а- Ы.
Например, 3 + 4i = 3 - 40 -2 - 5i = -2 + 50 i = - О
Отметим, что а - Ы = а + Ы, поэтому для любого комплексного числа Z имеет место равенство
(Т) = 2.
Задача 1. Доказать, что равенство z = z справедливо тогда и только тогда, когда z — действительное число.
А Пусть Z = а + Ы. Тогда z = а - Ы и равенство а + Ы = а - Ы по определению равенства комплексных чисел справедливо тогда и только тогда, когда Ь = -Ь, т.е. Ь = 0. А это и означает, что z = а + + Ы = а+ 0i = а — действительное число. А
Модулем комплексного числа z = а + Ы называется число
V2 2 II
а +Ь и обозначается |2|,т.е.
\z\ = \a + bi\=^[cF^^.
106
Например, |3+4г| = ^3^+4^ =5, |l + i| =>/?+1^ = /2, \i\=yjo^+l^ =1.
Из формулы (1) следует, что \z\> О для любого комплексного числа 2, причем | 2 I = О тогда и только тогда, когда 2 = 0, т.е. когда а=0и?7=0. Докажем, что для любого комплексного числа 2 справедливы формулы:
U 1= I 2 |, (2)
21 = |2 К (3)
0 Пусть 2 = а + Ы. Тогда z =а- bin по определению модуля
\z\=\a-bi 1= yja^+(-b)^ = +b^ =\z\.
Найдем произведение: zz ={а + bi)(a - bi) = - (bi)^ = + b^ =
1 |2
= 1^1 . •
Упражнения
254. Записать комплексное число, сопряженное с данным числом: l)l + i; 2)2-f-3i; 3)-3-н4/; 4)-7-5г;
255. Найти модуль комплексного числа:
1)3-4г; 2)-8-6i; S)-l + i; 4) 1 - i;
6)4i;
7)
V5 + 2i; 8)l-^/Зi; 9) |-|i;
5)-3i;
256. Доказать равенство 12j 2g I = \z^\ 12g I
257. Разложить число z на комплексно-сопряженные множители (а и Ь — действительные числа):
1) 2 = а2 -н 4^2; 3) 2 = 8а2 -h 16bh
2) 2 = 9а2 -h 25^2; 4) 2 = 81а2 + 6Ь^.
§ 21. Вычитание и деление комплексных чисел
Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел 2^ и 2g существует, и притом только одно, число 2 такое, что
2 + 2^=2^, (1)
Т.е. уравнение (1) имеет только один корень.
107
о Прибавим к обеим частям равенства (1) число противоположное числу 22'.
2 + 22 + (“^2) = ^1 + откуда 2 = 2^ + (-^g). •
Число 2 = 2^ + (-22) обычно обозначают так: 2 = 2^- 22 — и называют разностью чисел 2^ и 22.
Если 2^ = а^ + b^i, ag-f-fegij то разность 2^ - 2g имеет следующий вид:
(а^ + b^i) - (ag -ь " ^2) + “ ^2)^- (2)
Формула (2) показывает, что разность комплексных чисел можно находить по правилам действий с многочленами:
(а^ -I- b-j^i) - (flg + fegi) = а^ + - ag - bgi = - ag -ь b^i - bgi =
= (ai-ag)-h (bj-bg)L
Задача 1. Найти разность (5 + 4i) - (-3 -1- 2i).
A (5 -ь 4i) - (-3 + 2i) = 5 + 4i + 3 - 2i = 8 + 2i. A Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел 2j и 2g О существует, и притом только одно, число 2 такое, что
22g = 2p (3)
т.е. уравнение (3) имеет только один корень. Это число 2 называется частным чисел 2^ и 2g и обозначается 2^ : 2g, или — , т.е. 2 =
“■^1 • ■^2“ •
Комплексное число нельзя делить на нуль.
Докажем, что уравнение (3) для любых комплексных чисел 2^ и 2g О имеет только один корень, и найдем этот корень.
О Умножив обе части уравнения (3) на 23 , получим 22g 2g =
= 2j 22 > т.е.
2 \2,
'2 •
(4)
Уравнение (4) равносильно уравнению (3), так как 2g О, и поэтому 22 0. Умножим обе части уравнения (4) на действительное
1_
12 (заметим, что \ 2у г ^ 0, так как 2„ 0), получим
число
2, 2,
2 =
1
I'
Итак, частное комплексных чисел 2^ и 2g 0 можно найти по формуле
2,2,
‘'I —
2о |2,
2 I
(5)
108
Если = Cj + b^i, 2^2 = Og + "ГО формулу (5) можно представить в виде
2i _ а, + 6,/ _ Ц + _ а, +6^ Ь, -а^Ъ^
2г + bl а\ + &2 «I + Ь\
Эту формулу можно не запоминать, достаточно помнить, что
она получается умножением числителя и знаменателя дроби
+bj,
а +ь^ число, сопряженное со знаменателем.
Например,
1 + 2/ (1 + 2i)(2+3i) 2+3/ + 4/+6/
2-3/ (2-3/)(2+3/)
4+9
-4+ 7/ _ 4 7_.
13 ~ 13 13 ‘
о о 15 (3-4/)(1-/) ^ 1
Задача 2. Вычислить
(3-4/)(1-/) , 1
Л ----------- + ~ =
^ 4+ 3/ /
4+3/ 3-3/-4/ + 4/"
-4+3/-28/ + 21/^ 16+9
- I =
4+3/ -25-25/
^ 1_(-1-7/)(4-3/) ^ (-/)
25
(4+ 3/)(4- 3/) /(-/)
- / =-1-/-/ = -1-2/. А
Задача 3. Вычислить
1 - /“ 1 - /^
А/3=/2/=-/, i^=0-
1-/^
1 - / 1 + /
(1-/)(1-/)
-2/
2
= /. А
Упражнения
258. Найти разность комплексных чисел:
1) (2 + 3/)-(3 + /);
2) (3-5/)-(2 + /);
3) (1 + 3/)-(-3 + /);
4) (4 + 3/)-(4-3/);
259. Вычислить:
1) (3-4/)-(2 + 3/) + (1-/);
2) (4 - 2/)-(1 + /) +(2-3/);
260. Решить уравнение:
1) (2 + 3/) + 2 = -4 + /;
2) (-1 + 2/) + г= 5-|/;
5) (4 + /)-(-5 + /);
6) (7+ 2/)-(3 + 2/);
7) (7з+72/)-(2л/з-з72/);
8) (2л/5-Зл/з/)-(л/5-4л/з/).
3) (5 + 7/) - (2 + 3/) - (4 + /); 4 (3-5/)-(2-/)-(!+ 4/).
3) (л/2+/)-2=4+V2/;
4) 6-/=2+(5-V2)/.
109
261. Найти частное двух комплексных чисел:
1+/ -1-/ 3-4/. 2+3/.
1-Г 2) -ЬГ 2+/ ’ 4) 2-3/’
1+2/. ь-м л \ • -7+2/ 8) -5-3/
3-2/’ -3+2/’ 5-4/ ’ -7-2/
5)
262. Вычислить:
(2-30(3-20
1)
4)
7)
1 + i 2-Si
(1-0 (3+0 1-i 1+i.
1+i ^1-i’
2)
5)
(3-0(1 + 30 2-i
+
l + 2i 2-i 2-3i 2+3i
3)
6)
3-4/
(1 +0(2-0 3 3
+
2-3/ 2 + 3/
263. Решить уравнение:
1) г (2 + 0 = 3-/;
2) 2(1-20 = 2 + 5/;
264. Вычислить:
1)(3 + 2/)2; 2)(2-/)3;
5) (2 + 3/)2 - (2 - 3/)2;
265. Доказать равенство
3) 2 (1 + 0-/ = 4;
4) 2(1-0 + 3 = /.
3)
1 + /
4)
1+/
1-/
6)(3 + 4i)2 + (3-4i)2.
266*. Доказать, что для любого комплексного числа 2 его действи-
2+2 2-2
тельная часть равна---, а мнимая часть равна .
2 2/
267. Доказать, что для любых комплексных чисел 2^ и 2^ справедливо равенство:
1)(2j+22) = 2j+22;
2)(2j-22) = 2j- 22.
§ 22. Геометрическая интерпретация комплексного числа
1. Комплексная плоскость
Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число а + Ы можно рассматривать как пару действительных чисел (а; Ь). Поэтому естественно комплексные числа изображать точками плоскости.
110
z = a+ bi
Рис. 70
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число 2 = а + Ы изображается точкой плоскости с координатами (а; Ь), и эта точка обозначается той же буквой z (рис. 70).
Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу а + Ы соответствует одна точка плоскости с координатами (а; Ь) и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами (а; Ь) соответствует одно комплексное число а + Ы. Поэтому слова ^комплексное число* и сточка плоскости* часто употребляются как синонимы. Так, вместо слов «точка, изображающая число 1 -I-1» говорят коротко: «точка 1 + i*. Можно, например, говорить: «Треугольник с вершинами в точках i,l + i,-i*.
При такой интерпретации действительные числа а, т.е. комплексные числа а + Oi, изображаются точками с координатами (а; 0), т.е. точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью. Чисто мнимые числа Ы = 0 + Ы изображаются точками с координатами (0; Ъ), т.е. точками оси ординат, поэтому ось ординат называют мнимой осью. При этом точка с координатами (0; Ь) обозначается Ы. Например, точка (0; 1) обозначается г, точка (0; -1) — это точка -i, точка (0; 2) — это точка 2i (рис. 71). Начало координат — это точка 0. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.
Отметим, что точки г w.-г симметричны относительно точки 0 (начала координат), а точки zviz симметричны относительно действительной оси (рис. 72).
о Пусть 2-а+Ы. Тогда -2 = -а - Ы, 2 =а - Ы. Точки 21л-г имеют координаты соответственно (а; Ъ) и (-а; -Ь)\ следовательно, они симметричны относительно начала координат. Точка г имеет координаты (а; -Ь); следовательно, она симметрична с точкой 2 относительно действительной оси (см. рис. 72), •
2. Геометрический смысл модуля комплексного числа
Выясним геометрический смысл 12 I.
Пусть 2 = а + Ы. Тогда, по определе-
нию
V2 2
а +Ь . Это означает, что 12 I — расстояние от точки О до точки 2 (рис. 72).
Например, равенство I2 | = 4 означает, что расстояние от точки О до точки г равно 4 (рис. 73). Поэтому множество всех точек 2, удовлетворяющих равенству I 2 I = 4, является окружностью с центром в точке О радиуса 4. Уравнение I2 1=i? называют уравнением окружности с центром в точке О радиуса R. Здесь R — заданное положительное число.
3. Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел
Выясним геометрический смысл \2^~ 2^ I
Пусть 2j = aj + b^i, 2^ - + b^i. Тогда | 2^ - 2g | = \ {а^- а^) +
+ (Ь^ -b^)i\ = д/(а^-a^f+ib^ -^2)^-
Из курса геометрии известно, что это число равно расстоянию между точками с координатами (а^; Ь^) и (Og; bg ).
Итак, 12^ - 2g I — расстояние между точками 2^ и 2g.
Например, расстояние между точками 1 и -3 + 3i равно
|1-(-3-н30| = |4-3^1 = л/42 + (-3)2 =5.
Покажем, что 12 - 2q \=R — уравнение окружности с центром в точке 2q радиуса 7?.
Здесь 2q — заданное комплексное число, R — заданное положительное число.
О Так как 12 - 2^ I — расстояние между точками 2 и 2^, то множество всех точек 2, удовлетворяющих уравнению 12 - 2q 1= Я, — это множество всех точек, расстояние от которых до точки 2q равно R. •
112
Например, \z + i\ = 2 — уравнение окружности с центром в точке -i радиуса 2, так как д£1нное уравнение можно записать в виде I 2 - (-0 I = 2 (рис. 74).
Задача 1. Пусть 2^, 2g — разные точки комплексной плоскости. Доказать, что | 2 - | = | г - Sg | — уравнение прямой, перпен-
дикулярной отрезку, соединяющему точки 2^, 2g, и проходящей через его середину.
А Так как 12 - 2^ | — расстояние от точки 2 до точки 2^, а 12 - 2g | — расстояние от точки z до точки 2g, то множество всех точек, удовлетворяющих уравнению \ z - z^\ = \ z - z^\, — это множество всех точек, равноудаленных от двух точек 2j и 2g. А
Например, \ z- 2i\ = \z - \ \ — уравнение прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки 2г и 1, и проходящей через его середину (рис. 75).
Рис. 75
Упражнения
268. На комплексной плоскости построить точки:
I) 2; 2)5; 3)-3; 4) 2г; 5) 5i;
6)-3г; 7)l+2i; S)3 + 2i; 9)-2-Hi; 10)-1-ь i;
II) -l-2i; 12)-3-i; 13) 1 - 3i; 14) 2 - 2i.
269. Построить окружность:
l)\z\=2; 2)\z\=4.
270. Решить уравнение:
l)z + 2z =S + i;
2)3z- z =-4 + 2i.
5 Колягин, I 1 КЛ.
113
§ 23. Тригонометрическая форма комплексного числа
Рассмотрим на комплексной плоскости точку Z = а + Ы, отличную от нуля (рис. 76). Пусть луч Oz получается в результате поворота положительного луча Ох оси абсцисс на угол ф радиан. Тогда а= икоеф, 6= |2|зшф.
Поэтому число Z можно записать так: Z= \z 1с08ф +i \z |зшф =
= \z I (cos Ф + i sin ф).
Обозначим I z 1 буквой r. Тогда получим
2 = г(созф + гзшф). (1)
Запись комплексного числа z Ф О в виде (1) называется тригонометрической формой комплексного числа.
В этой записи г = I z I — модуль комплексного числа. Число ф называют аргументом комплексного числа. Заметим, что аргумент определяется с точностью до слагаемого, кратного 2к.
Итак, любое комплексное число z ФО можно записать в тригонометрической форме. Для числа О понятия аргумента и тригонометрической формы не определяются.
Запись комплексного числа в виде а + Ы, где а и Ь — действительные числа, называется алгебраической формой этого числа.
Если Z - а-\-Ы,то г= \z\= yJa^ + b^ и равенство (1) можно записать в виде
а + Ы = у/а^ +Ь^ cosф-1-iVa^sin ф, откуда, приравнивая действительные и мнимые части, получаем
Ь
cos ф =
г, 31Пф =
(2)
Таким образом, если ф — аргумент комплексного числа а+ Ы, то справедливы равенства (2). Верно и обратное утверждение: если ф — такое число, что выполняются оба равенства (2), то ф — аргумент комплексного числа а Ы.
Например, для комплексного числа 1 + i имеем а = 1,Ь = 1и равенства (2) принимают вид 8Шф = -^, С08ф = -^. Этим двум ра-
v2 v2
венствам удовлетворяют числа (о = — + 2кк, kG Z , и только они.
4
Каждое из них является аргументом числа 1 + i (рис. 77). Число
114
/г 6 Z часто выбирается таким, чтобы аргумент ф был заключен в пределах от О до 2я. Таким аргументом числа 1 + i яв-л
ляется Ф =
Для нахождения аргумента обычно пользуются не формулами (2), а более простой формулой
tg/2-1-2 = 2, tgф = - = ^^ = l.
а -v2
115
Точка -V2-V2/ расположена в третьей четверти, поэтому угол ф также лежит в третьей четверти. Учитывая это, из равенства tg ф = = 1 находим:
Ф = —+ 2лДг, vpfikeZ.
4
„ Ъп . . Ъп
Ответ. 2 = 2 cos — + isin — у 4 4
Действительное число является частным случаем комплексного числа 2 = а + Ы при Ь = О, поэтому его также можно записать в тригонометрической форме. Например:
3 = 3 (cos О + i sin 0), -4 = 4 (cos я -t- i sin я).
Аналогично записываются в тригонометрической форме чисто мнимые числа. Например:
2г = 2 l^cos ^ + isin ^ j;
о- nf Зя . . Зя^
- Зг = 31 cos — -h ism — .
Отметим, что при записи комплексного числа в тригонометрической форме косинус и синус берутся от одного и того же угла ф, равного аргументу числа 2, а между косинусом и синусом стоит знак «-ь».
Упражнения
271. Записать в алгебраической форме комплексное число:
14 5я . . 5я
1) cos — -i-ism —;
6 6
п\ а( . . 7я I
2) 4| COS-—-i-isin— |;
г,. 13я . . 13я
3) 2 cos--------bisin------
6 6
.4 9я . . 9я
4) 6 cos — -bisin — 4 4
272. Найти все аргументы комплексного числа и записать это число в тригонометрической форме:
1)1; 2)2; 3)-1; 4)-3; 5) i; 6)3i; 7)-i;
8)-2i; 9)-l-i; 10) VS-i; 11)-Vs + i; 12)2-2i.
273. Записать в тригонометрической форме комплексное число:
14 Я . . Я
1) cos — isin—;
7 7
2) 31 sin- + icos-
5 5
о \ я . • я
3) -cos — isin
5 5
4) 2[ -cos-^-1-isin-^ |.
116
§ 24. Свойства модуля и аргумента комплексного числа
с помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.
Пусть Zj = Tj (cos -I- i sin ф^), (cos Ф2 -1- i sin Ф2). Тогда
21^2 = TjTg [cos ф^ cos Ф2 - sin ф^ sin Ф2 -b i (sin ф^ cos Ф2 +
+ cos ф^ sin Ф2)] = [cos (ф^ + Ф2) -I- i sin (ф^ + Ф2)].
Таким образом, произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле
21^2 = (cos ф^ + i sin ф^) Г2 (cos Ф2 + i sin Ф2) =
= [cos (ф^ -I- Ф2) + i sin (ф^ + Ф2)]. (1)
TT { n . . nV к .. к Л X..7t
Например, I cos — 4-1 sin — I cos — +1 sin — 1= cos - -1-1 sin — =
~ 2^^ 2'
Из формулы (1) следует, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Например, если ^ — аргумент числа 2^ — аргумент чис-
ла 22, то g +1 I- g — аргумент числа
Покажем, что частное двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле
i = i[cos «р. -,Рз)+
30 J
5 30 j
117
Заметим, что из формулы (1) следуют формулы
- [г (cos ф + г sin ф)]^ = (cos 2ф + i sin 2ф),
z^-z^z-1^ (cos 2ф + i sin 2ф) г (cos ф + / sin ф) = (cos Зф + i sin Зф).
Вообще для любого комплексного числа г = г (cos ф + i sin ф) О и любого натурального (и даже целого) числа п справедлива формула
2" = [г (cos ф + i sin ф)]" = г” (cos пф -ь i sin /гф), (3)
которую называют формулой Муавра.
Задача. Вычислить (7з -I- г)® •
Д Запишем число л/з + i в тригонометрической форме: yfs + i = 2 ^cos ^ -t- г sin ^ I
По формуле Муавра находим (>/з + i)® = 2® (cos д-1-isinк) = -64. А
Упражнения
Выполнить действия и записать результат в алгебраической форме (274-276).
274. 1) 4 f cos-ь г sin Y cos 4-i sin \
V 10 10 Д 20 20 /
04 о Г К . . л у 2л . . 2л ^
2) 3 cos--t-tsin - cos — -I-г sin— ;
Is 5 Л 15 15
3) (V3-fi)[^cos^-bisin^j;
275.1)
2)
4) (l + i)|^cos^ + isin^ jl^cos^-Kisin^
3)
cos ^-hi sin ^
____8________8_.
Зя , . . Зя ’ COS — -h I Sin —-8 8
7я . . 7я я . . я ’
COS--h г sin V
5 о
1 + i
cos--hisin-
4)
COS--hiSin-4 4
276.1) (1-0»; 3)(l-iV3)»; 4)(l + 0»(l-iV3)e.
277. Доказать, что если ф — аргумент числа z, то:
14 1
1) -ф — аргумент числа - ;
2) -ф — аргумент числа z .
118
278. Доказать равенство (л — натуральное число)
1+itga^ 1+itgna
1-itg а I 1-itg па
§ 25. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным
Рассмотрим уравнение 2^ = а, где а — заданное действительное число, 2 — неизвестное.
Это уравнение:
1) имеет один корень: 2 = 0, если а = 0;
2) имеет два действительных корня: 2j g = ±^/a, если а > 0;
3) не имеет действительных корней, если а < 0.
Например, уравнение
г2 = -1 (1)
не имеет действительных корней.
Покажем, что уравнение (1) имеет два комплексных корня, и найдем их.
О Подставляя в уравнение (1) вместо -1 число получаем 2^ = откуда 2^ - = 0.
Применяя формулу разности квадратов, разложим левую часть последнего уравнения на множители: (2 - i) (2 + i) = 0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, 2^ = 1,2^ = ~i-
Итак, уравнение (1) имеет два корня: 2^ g = - ®
Аналогично покажем, что уравнение
22 = а (2)
при а < о также имеет два комплексных корня, и найдем их.
О Запишем число а в виде a = (-l)(-a) = i2|a| =/2(д/[о])2. Тогда уравнение (2) запишется в виде 2^ - а |)2 = 0, т.е.
i2-i^|\a\)(2 + iy|\a\) = 0.
Следовательно, уравнение (2) имеет два корня: z^2~* Например, уравнение
22 = -25 (3)
имеет два корня: 2^ g = ±iVl “251 = ±5i.
По аналогии со случаем а > 0 корни уравнения (3) записывают в виде 2j 2 = ± V~25 . При этом считается, что л/-25 = i>/[-25] = 5i.
119
Вообще, если а < О, то л/а определяется формулой
Va =i д/М-
Например, ^Гл =i ^\-l\=i; V^ = iV4=2i.
Такое соглашение удобно тем, что для любого действительного а корни уравнения
z^ = a (4)
можно найти по формуле
■'1,2
= ±л/а.
(5)
Если а^О (а> О или а < 0), то уравнение (4) имеет два различных корня. При а = о уравнение (4) имеет один корень: 2 = 0; в этом случае говорят также, что уравнение имеет два равных корня: 2 = или один корень кратности два. Это удобно во многих
случаях, например для того, чтобы во всех случаях была справедлива теорема Виета.
Отметим, что теперь для любого действительного а справедливо равенство
(Va)2 =а.
(6)
Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами
az^ + bz + c = 0 (7)
по известной общей формуле
^1,2 “
-Ь±у[^-4ас
2а
(8)
Задача 1. Решить уравнение 2^ - 4г -(-13 = 0. Д По формуле (8) находим
4 ± Vl6 - 52 _ 4 ± ^4±iV^_4+6t
2 2 22’
Ответ . 2j = 2-t-3i, 22 = 2 - 3i. A
Итак, при любых действительных а, Ь, с, а ^ 0 корни уравнения (7) можно находить по формуле (8). При этом если дискриминант, т.е. подкоренное выражение в формуле (8) D = - 4ас, по-
ложителен, то уравнение (7) имеет два действительных различных корня. Если £) = о, то уравнение (7) имеет один корень (два равных). Если Z) < 0, то уравнение (8) имеет два различных (комплексных) корня.
120
Заметим, что в задаче 1 корни квадратного уравнения являются сопряженными.
Вообще корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом являются сопряженными.
О Если - 4ас < О, то -4ас = -4ас| и формулу (8) мож-
но записать в виде:
'1,2
— — I ^ ,
2а 2а
откуда . •
Свойства комплексных корней квадратного уравнения являются такими же, как и у действительных корней. Сформулируем основные из них.
Пусть 2j, 02 — корни квадратного ургшнения az^ + bz + c = 0, а^О. Тогда справедливы следующие свойства:
1. Теорема Виета:
21+22=--,
С1
г, 2^=-.
(9)
(10)
2. При всех комплексных z справедлива формула az^ + bz + с = а (z - z^) (z - z^.
Формулы (9), (10) доказываются так же, как и для случая действительных корней.
В случае приведенного квадратного уравнения 2^ + рг + g = 0, формулы (9), (10) имеют вид:
2i+22=-p, 2i02=g;
22+p2 + g = (2-2i)(2 -2з).
(11)
(12)
Задача 2. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее корень 2j = -1 - 2г.
А Второй корень: 2g = 2^ = -1 + 2г.
По формулам (11) находим р = -(z^ + 23) = 2, g = 2i z^ = 5. Искомое уравнение: z^ + 2z + 5 = 0. А
Задача 3. Разложить на множители квадратный трехчлен 22-62+10.
121
А Корнями квадратного уравнения 2^ - 62 + 10 = О являются числа 2j^ = 3 + /, 2д = 3 - г.
Следовательно, 2^ - 62 + 10 = (2 - 3 - i)( z - 3 + i). А
279. Решить уравнение:
1)22 = -81;
4) 922+125 = 0;
280. Вычислить:
Упражнения
2)22 = -3;
5) 22=-л/2;
3) 22 + 0,01 = 0; 6) 22+^ = 0.
ЭЫЧИ1; лить;
1) л/^; 2) V49; 3) лГзб; 4) лГ49; 5) лГз; 6)
Решить уравнение (281-282).
281. 1)22 - 22 + 2 = 0; 2)22 - 42 + 5 = 0; 3) 22 + 62 + 13 = 0;
4)22 + 42+13 = 0; 5)22 + 22 + 17 = 0; 6) 22 - 82 + 41 = 0.
282. 1) 922 + б2 + 10 = 0; 4) 16z^ - 322 + 17 = 0;
2) 422 + 42 + 5 = 0; 5)22 + 42 + 7 = 0;
3) 922- 122 + 5 = 0; 6)22-62 + 11=0.
283. Составить приведенное квадратное уравнение, имеющее корни:
1) 2j = 2 + 2i, 22 = 2 - 2i; 3) 2j = -4 + i, 2g = -4 - i;
2) 2j = 2 + 3i, 2g = 2 - 3i; 4) 2^ = -7 - 4/, 22 = -7 + 4i.
284. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее данный корень, и проверить ответ, решив полученное уравнение:
1)
04 11.
3) 2^ =л/2+гл/3;
4) 2j =V3-iV2.
Разложить на множители квадратный трехчлен (285-286).
285. 1)22 + 22 + 5; 3)422 + 82 + 5;
2)22-22 + 10; 4) 2522 + 502 + 26.
286. 1)22-62+14; 2
2) 22 + 82 + 18;
3) -22+ 2-1;
4) -22+102 -26.
§ 26*. Примеры решения алгебраических уравнений
Задача 1. Решить уравнение 2^ = 3 + 4г.
А Пусть 2 = л: + гг/, где х и у — неизвестные действительные числа. Тогда z^ = (х + iy)^ - х^ - у^ + 2xyi и данное уравнение запишется в виде х^ - у^ + 2xyi = 3 + 4г. Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:
122
[л:2-1/2=3,
[2ху = 4.
Найдем действительные решения этой системы. Для этого из второго уравнения выразим у через х по формуле г/ = и подставим в первое уравнение: л:2 - ^ = 3, откуда х"^ - Зх^ -4 = 0.
Решим это биквадратное уравнение: х'^ =
_3±У9 + 16 3 + 5
т.е.
2 2
д:2 = 4 или х^ = - 1. Так как х — действительное число, то уравнение л;2 = - 1 не имеет корней. Поэтому х^ = 4, откуда х^ = 2, Xg = -2.
2
Подставляя эти значения в формулу у = — , получаем у^ = 1, У2 = Следовательно, = 2 + i, Zg = Xg -ь ii/2 = ~2- i.
Ответ . Zj 2 = -(2 + 0- ^
Задача 2. Решитьургшнение z^ = -l.
Запишем число -1 в тригонометрической форме:
-1 = cos (71+ 2nk) + i sin (71 + 2nk)^ ke Z .
Будем искать z также в тригонометрической форме:
2 = г (cos ф + i sin ф).
Тогда 2^ = (cos Зф + i sin Зф) и данное уравнение запишется в виде
(cos Зф -h i sin Зф) = cos (тг + 2nk) + i sin (тс + 2nk), откуда г2=1, r= 1 и Зф = тс4-2л/г, Ф = ^4-^^, k & Z.
О О
^ f п 2кк Л к 2кк ^ „
Следовательно, z = cos|^—н—^ J+7Sin|^—+-^ J, ke Z .
тт I. л 1 о 1 .л/з - 1 .л/з
Полагая « = о, 1, 2, находим Zj=-+i-—, Z2=-l, 2^=--i—.
При остальных he Z получаются те же значения корней.
^ 1 .VI , 1 .VI .
Ответ. Z, 2^=-1, А
1 2 2 2 ’ 3 2 2
Задача 3. Решить уравнение z'* = 16.
А Запишем число 16 в тригонометрической форме:
16 = 16 (cos 2кк + i sin 2nk), ke Z .
Пусть z = г (cos Ф + i sin ф). Тогда данное уравнение примет вид (cos 4ф + i sin 4ф) = 16 (cos 2тс^ + i sin 2nk),
123
Tlk
откуда n= 16, г = 2, 4ф = 2nk, Следовательно, г -
( Tlrk Tzk \
- 2 cos —+isin— i k Е Z. При /г = О, 1, 2, 3 имеем = 2, z^- 2i,
1, 2 2
2g = -2, 2^ = -2i. При остальных k e Z получаются те же значения корней.
Ответ . ±2, ±2i. А
Вообще уравнение г” = а, где а — комплексное число (в частности, действительное), п — натуральное число, а^О, имеет п различных комплексных корней. Эти корни можно найти так же, как и в задачах 2, 3. Уравнение 2" = О, где п — натуральное, имеет один (л-кратный) корень: 2 = 0.
Замечательным является тот факт, что на множестве комплексных чисел любое алгебраическое уравнение, т.е. уравнение вида 2" -I- Cj2”~^ + -1- ... + С^_^2 -I- С„= о,
где Ср Cg, •••» — комплексные числа, имеет хотя бы один корень.
Это утверждение называют основной теоремой алгебры.
Доказательство этой теоремы не рассматривается в курсе школьной математики.
Упражнения
287. Решить уравнение:
l)22 = -3 + 4i; 2)22 = 8-h6i; 3)22 = 5-12i;
4)22 = -7 + 24г; 5)22 = -15 + 8i; 6)22 = 24-10i.
288. С помощью тригонометрической формы комплексного числа
решить уравнение: l)22 = -i; 2)z^‘ = i\
4)22 = -16г; 5) 22=-2-2iV3;
Решить уравнение (289-290).
289. 1) 22 = -4г; 2) 22 = 25i;
4)22 = -8 + 6i; 5)22 = -36i;
290. 1)23=1; 2) 23 =-8;
4)23 = -!; 5)24 = -!;
3)22 = 9г;
6) 22 =2-2iV3.
3)22 = -3-4i;
6) 22 = 49i.
3)23 = -64;
6) 2^ = 1.
Упражнения к главе III
291. При каком значении х действительная часть комплексного числа равна 1:
1) (х - 2)-ь Зг; 3) (Зх - 7) - 5i;
2) (2x + 5)-2i; 4)(x-bl) + i?
124
292. При каком значении х действительная часть комплексного чис-
л а равна его мнимой части: 1) 2х - Si; 3)0,5-(д:-1)/;
2) {х + 2) + i; 4) -1 + 5xi?
293. Выполнить действия:
l)3i-l + 2t(l-i); 3) (-2+^^Si){-2-^^Si);
2) 6 + (5-г)(1 + 0; 4) (7-V5/)(7+Vs/).
294. Найти модуль комплексного числа:
l)2-3i; 2)-5-7i; 3)-7 + /;
4)-5i; 5)7i; 6) 7з-2/.
295. Вычислить:
_ (/-l)(l+2i). 3+/ ’
(5-0(1+50. ^ -5-12i ’ 5) ^ 3+г 3-/
5,5. 3-5/ 3+5Г 4-5/ , 4+5/ 6) 4+/ 4-/ •
296. Решить уравнение:
l)(3-2/) + 2 = -2 + /; 3) (1-/)-2 = 2 + л/3/;
2) (-2 + 0 + 2 = 3 - 2/; 4) 5 + / = 2-(3 + V2)/.
297. Ha комплексной плоскости построить точку:
1)1; 2)7; 3)-3/; 4)5/; 5)-1 + 2/;
6) 1 - 2/; 7) -2 - Si; 8) 3 + 5/.
298. Записать в алгебраической форме комплексное число:
3 3 1) cos-л +/sin-тс; 4 4 2) 0,5fcos^ + /sin^\
299. Записать число в тригонометрической форме:
1)-2 + 2/; 2)-^^S-L
300. Решить уравнение:
1)22-62 + 10 = 0; 3) 22-22 + 5 = 0;
2) 22-102 + 26 = 0; 4) 22 - 42 + 8 = 0.
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
1. Выполнить действия:
1) (3 + /) + (5-2/); 3)(7 + /)(10-/);
2) (6-/)-(2 + 3/); 5-2/ 7+3/*
125
2. Записать комплексное число в алгебраической форме:
к .. к
2 = COS —+ г81П —.
4 4
3. Решить уравнение: 1)22+5 = 0;
2)22-102 + 34 = 0.
301. Найти действительные числа хи у из равенства:
1) (4л: + Зу) + (2х - y)i = 3- Hi;
2) (6х + у) + (2у - 7x)i = 12 + 5i.
302. Вычислить:
1)
i^ + 2
2)
4+i’
i^-l j ’ "M 3-i^
303. Построить окружность:
1) \z 1=1; 2) I2 1=3.
304. Сравнить модули чисел: и .
1—i J.+1
305. Составить приведенное квадратное уравнение с действительны-
ми коэффициентами, имеюш;ее данный корень:
1) z = l-yf2i; 2) 2 = л/3+л/2г.
306*. Решить уравнение:
1)22 = -24 +Юг; 2)22 = 15-8/; 3)22 = 16-8/;
4) 22 = -16+ 8/; 5)2“^ = /; 6)2"* = -/.
307*. Доказать, что для любых комплексных чисел 2^ и 2g справедливо равенство:
1) (2j22)=2j22;
2)
^ =5-, 22.^0.
2о 2о
308*. Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрической форме:
1) 4|^cos~ + /sin^ j-5^cos^ + /sin^ j;
2) 3(cos 100° + / sin 100°) • 2(cos 20° + / sin 20°).
309*. Вычислить:
1 \ S 9 1 7l . . 7I
1) 2^-2^+I при 2 = С08- + г8Ш-;
4 4
2) 22 + 2+I при 2 = COS —+ /sin—.
3 3
126
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
История развития числа уходит корнями в древние времена. Древнегреческие математики только натуральные числа считали «настоящими». В Древнем Египте и Древнем Вавилоне во втором тысячелетии до н.э. при решении практических задач использовались дроби. В III в. до н.э. китайские математики ввели понятие отрицательного числа, а в III в. н.э. Диофант уже пользовался правилами действий с отрицательными числами. В VII в. н.э. индийские математики придавгши наглядный образ отрицательным числам, сравнивая их с долгами. В VIII в. ученые знали, что у положительного числа существует два квадратных корня: один — положительное число, другой — отрицательное, но считали, что из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратный корень.
В XVI в. в связи с изучением решений кубических уравнений возникла необходимость извлечения квадратных корней из отрицательных чисел. В 1545 г. итальянский математик Дж. Кардано (1501-1576) опубликовал работу «Великое искусство», в которой привел формулу корней кубического уравнения + рх + q = 0. Для этой формулы понадобились числа новой природы, которые
он записал в общем виде: а ±4^ (Ь > 0). В этой же работе Кардано предложил установить действия над такими числами по правилам обычной алгебры, в частности для Ъ > 0 предложил считать
- = -Ъ. Числа вида 4^ (Ь > 0) автор называл «чисто отри-
цательными» или «софистически отрицательными» и считал их бесполезными.
Однако уже в 1572 г. в книге другого итальянского математика Р. Бомбелли (1530-1572) были изложены правила арифметических действий над комплексными числами практически в том виде, в каком они известны и нам. В те времена комплексные числа называли мнимыми. Такое название ввел в обиход Р. Декарт, а
обозначать мнимую единицу уРл буквой i (первой буквой франц. сл. imaginaire — мнимый) предложил в 1777 г. Л. Эйлер — великий математик, родившийся в Швейцарии, а живший и работавший в Петербурге. В математической литературе символ i широко стал использоваться после публикации в 1831 г. работы немецкого математика К. Гаусса (1777-1855) «Теория биквадратных остатков» . В этой работе Гаусс заменил название «мнимых чисел» на комплексные (впервые этот термин был введен в 1803 г. французом Л. Карно) и окончательно закрепил для науки геометрическую интерпретацию комплексного числа а + Ы как точки координатной плоскости с координатами (а; Ь). Позднее комплексные числа так-
127
же стали изображать с помощью векторов на координатной плоскости с началом в начале координат и концом в точке М(а; Ь).
Понятия «модуль» и «аргумент» комплексного числа ввел французский математик Д'Аламбер (1717-1783), а сами термины были введены в обиход после широкого их использования в своих работах швейцарским математиком Ж. Арганом (1768-1822) и французским математиком О. Коши.
В начале XVIII в. была построена теория корней /г-й степени из отрицательных и комплексных чисел, основанная на выведенной в 1707 г. английским математиком А. Муавром (1667-1754) формуле
(cos ф + i sin ф)” = cos лф -i- i sin лф.
С помощью этой формулы Л, Эйлер в 1748 г. вывел формулу = cos X + i sin х, которая связывает показательную функцию с тригонометрическими. С помощью этой формулы, получившей название формулы Эйлера, стгию возможным возводить число е в любую комплексную степень (напр., = -1), находить синусы, косинусы, логарифмы комплексных чисел. Таким образом была выстроена теория функций комплексной переменной. С помощью этой теории были решены многие задачи аэро- и гидродинамики, радиотехники, теории упругостей и пр.
Значительный вклад в развитие теории функций комплексной переменной внесли видные отечественные математики М.В. Келдыш (1911-1978), МЛ. Лаврентьев (1900-1980), Н.Н. Боголюбов (1909-1992) и др.
ГЛАВА IV I [ ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
§ 27. Комбинаторные задачи.
Правило умножения
Задача 1. Сколько различных двузначных чисел имеют в своей записи только цифры О, 1,2,3?
А В записи двузначного числа на первом месте может стоять любая из данных цифр, кроме нуля.
Запишем все двузначные числа, у которых на первом месте стоит цифра 1, на втором — цифры О, 1,2, 3. Таких чисел четыре:
10, 11, 12, 13.
Если на первом месте записать цифру 2, то получим числа: 20,21,22,23;
если же на первом месте стоит цифра 3, то получим числа:
30, 31,32, 33.
Ответ. Двенадцать. А
Эту задачу также можно решить с помош;ью следующего рассуждения.
А В записи двузначного числа, состоящего из данных цифр, на первом месте может стоять любая из трех цифр 1, 2, 3, а на втором — любая из четырех данных цифр. Поэтому с помощью этих цифр всего можно записать: 3-4 = 12 разных двузначных чисел. А
Задача 2. Сколько различных танцевальных пар (юноша, девушка) можно составить из пяти юношей и восьми девушек?
А Каждый из пяти юношей может пригласить любую из восьми девушек. Поэтому разных танцевальных пар можно составить 5 -8 = 40. А
Выполненные при решении этих задач рассуждения опираются на следующее утверждение.
Правило умножения. Пусть некоторое множество состоит из т различных элементов одного вида и п разных элементов другого вида. Тогда число различных пар, состоящих из одного элемента первого вида и одного элемента второго вида, равно тп.
Задача 3. На районную олимпиаду школа должна направить команду из трех участников: одного из трех лучших надо выбрать для участия в олимпиаде по химии, одного из четырех — по физике, одного из семи — по математике. Сколькими способами можно составить такую команду?
А По правилу умножения для участия в олимпиадах по химии и физике можно составить пару 3 - 4 = 12 способами. Для каждой
129
такой пары можно добавить участника по математике семью способами. По правилу умножения команду из трех участников можно составить 12-7 = 3- 4- 7 = 84 способами.
Ответ. 84 способами. ▲
Решение задачи 3 показывает, что правило умножения действует и тогда, когда множество состоит из трех (и более) видов его элементов.
При решении многих практических задач часто приходится имеющиеся предметы (элементы) соединять в разные наборы (комбинации). Таковы, например, парфюмерные наборы, конфет ассорти, наборы инструментов, делегации, спортивные команды. Задачи, в которых рассматриваются такие соединения и находится число различных соединений, называют комбинаторными. Раздел математики, в котором изучаются эти задачи и методы их решения, называют комбинаторикой.
В следующих параграфах будут рассмотрены основные виды соединений: перестановки, размещения и сочетания.
Упражнения
310. Сколько разных трехзначных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр: 1) 1, 2 иЗ; 2) 1, 2, Зи4?
311. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр: 1) 6, 7 и 8; 2) 6, 7, 8 и 9?
312. Сколько разных двузначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2, 3 и 4?
313. Путешественник может попасть из пункта А в пункт С, проехав через пункт В. Между пунктами А и В имеются три автодороги, а между В и С — железнодорожное и речное сообщения. Сколько существует различных маршрутов между пунктами А и С?
314. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам первенства страны по футболу, если число участвующих в первенстве команд равно 16?
315. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день из шести разных учебных предметов?
316. В одной из стран автомобильные номера из четырех цифр (нуль
может стоять и на первом месте) записываются на пластинках пяти различных цветов (каждый из пяти штатов этой страны имеет номера своего цвета). Сколько разных пластин с номерами может быть выдано автовладельцам в этой стране?
317. Десять участников конференции обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку другим участникам). Сколько всего карточек было роздано?
318. Десять участников конференции обменялись рукопожатиями, по-
жав руку каждому. Сколько всего рукопожатий было сделано?
130
319*. Сколько различных шифров можно набрать в автоматической камере хранения, если шифр составляется с помощью любой из тридцати букв русского алфавита с последующим трехзначным числовым кодом?
320*. Сколько имеется семизначных натуральных чисел, в которых все цифры, стоящие на нечетных местах, различны?
§ 28. Перестановки
Задача 1. Сколькими способами можно поставить на полке рядом пять разных книг?
А На первое место можно поставить любую из пяти книг, на второе — любую из четырех оставшихся, на третье место — любую из трех оставшихся, на четвертое — любую из двух оставшихся, на пятое место — последнюю книгу. Применяя последовательно правило умножения, получаем
5 4 3 21 = 20 3-21 = 60 21 = 120 1 = 120.
Ответ. 120. А
В этой задаче было найдено число различных соединений из пяти элементов, которые отличались друг от друга только порядком расположения этих элементов. Такие соединения называют перестановками.
I Определение. Перестановками из п разных элементов называются соединения, которые состоят из п элементов и отличаются друг от друга только порядком их расположения.
Число перестановок из п элементов обозначают {Р — первая буква Франц, сл. Permutation — перестановка) и читают так: «Пэ энное».
Последовательно применяя правило умножения, можно получить формулу числа перестановок из п элементов:
Р„ = л(л-1)(п-2) ... 3-2 - 1 =
= 1 2-3-...(п-2)(п-1)/г.
Произведение 1 • 2 • 3 ... • (/г - 1) /г обозначают п! (читается «эн факториал»). По определению 1! = 1.
Таким образом,
Рп-п\ (1)
Задача 2. Сколькими способами можно разместить 12 человек за столом, на котором поставлены 12 приборов?
А По формуле (1) находим
Р^2= 12! = 1 2 3 • ... 11 12 = 479001600. А
131
Упражнения
321. Чему равно: 1) Р^; 2) Р^; 3) Р^; 4) Рд?
322. Сколькими способами можно рассадить четверых детей на четырех стульях в столовой детского сада?
323. Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди семи учащихся группы в течение 7 дней?
324. Сколько пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы: 1) последней была цифра 4; 2) первой была цифра 2, а второй — цифра 3; 3) первыми были цифры 2 и 3, расположенные в любом порядке.
325. Упростить форму записи следующих выражений (k — натураль-
ное число, k > 5):
2)16 15!; 3)12! 13 14;
5)(k-l)\k; 6)ik-l)lkik + l);
1) 7! 8; 4)k\(k+l);
7) (k - 2)1 (k - 1) k; 326. Упростить:
8)(fe-5)! (k-lk+12).
1) 19!.
18!’
5)
■^n+2 .
2)
6)
Ш’
6! 4!.
“8Г’
7)
гтй{т+1)^ (m+2)\ ’
4)
8)
10! .
8! 3!’
(fe + 4)! (fe + 5) (fe + 6)!
если буквами k, m, n обозначены натуральные числа.
327. Решить уравнение относительно п:
1)
5^_1,
Рп.Х
3’
2)
^■^-2 - 1 10'
328. Имеется 10 книг, среди которых: 1) 8 книг различных авторов и двухтомник одного автора, которого не было среди предыдущих восьми; 2) 7 книг разных авторов и трехтомник восьмого автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?
§ 29. Размещения
Задача 1. Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждой записи нет одинаковых цифр?
А Перебором убедимся в том, что из четырех цифр 1, 2, 3, 4 можно составить 12 двузначных чисел, удовлетворяющих условию:
12, 13, 14,
21, 23, 24,
31, 32, 34,
41,42,43. А
132
Эту задачу также можно решить, используя правило умножения. А В записи двузначного числа на первом месте может стоять любая из данных четырех цифр, а на втором — любая из трех оставшихся. По правилу умножения таких двузначных чисел: 4-3 = 12. А При решении задачи из четырех данных элементов (цифр 1,2, 3, 4) были образованы всевозможные соединения по два элемента в каждом, причем любые два соединения отличались либо составом элементов (напр., 12 и 24), либо порядком их расположения (напр., 12 и 21).
Определение. Размещениями из т элементов по п элементов (л < т) называются такие соединения, каждое из которых содержит п элементов, взятых из данных т разных элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.
Число всевозможных размещений из т элементов по п элементов обозначают А!^ {А — первая буква франц. сл. Arrangement — размещение, приведение в порядок) и читают так: «А из эм по эн». Так, например, при решении задачи 1 было установлено, что
А| = 12.
Выведем формулу для вычисления — числа размещений из т элементов по п элементов.
О Пусть имеется т различных элементов. Тогда число размещений, состоящих из одного элемента, выбранного из имеющихся
т элементов, равно т, т.е. А^ = т.
Чтобы составить все размещения из т элементов по 2, к каждому из ранее образованных размещений из т элементов по 1 будем последовательно присоединять по одному из оставшихся т - 1 элементов. По правилу умножения число таких соединений равно
т(т - 1). Таким образом, А^ - т(т - 1).
Для составления всех размещений из m по 3 к каждому из ранее полученных размещений из т элементов по 2 присоединим по очереди по одному из оставшихся т - 2 элементов. По правилу умножения число таких соединений равно т{т - 1) (т - 2), т.е.
А^ = т{т - 1) (т - 2).
Последовательно применяя правило умножения, для любого л < тп получаем
= т{т - 1) (т - 2) • ... • ( лг - (л - 1)). •
(1)
Например, = 4 • 3 = 12; = 4 • 3 • 2 = 24; = 5 • 4 • 3 = 60.
l3 _
133
Отметим, что правая часть формулы (1) содержит произведение п последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых равно т.
Пусть в формуле {1)т = п. Тогда
=п(п-1)(/г-2). =
т.е. число размепдений из п элементов по п равно числу перестановок из этих элементов:
(2)
Задача 2. Сколькими способами можно обозначить вершины данного треугольника, используя буквы А, В, С, D, Е, F?
А Задача сводится к нахождению числа размещений из 6 элементов по 3 элемента в каждом. По формуле (1) находим
а1 = 6 5 4 = 120.
Ответ. 120 способами. А
Задача 3. Решить уравнение А^ = 42 относительно п.
А Заметим, что п>2. По формуле (1) = п{п - 1). По условию
Ап =42, поэтому
л(/г- 1) = 42,
2
откуда п - п - 42 = о, = 7, /ig = ~ 6.
Так как корнем уравнения должно быть натуральное число n>2,Tong = -6 — посторонний корень.
Ответ.л = 7. А
Преобразуем формулу для числа размещений А^ .
О Запишем формулу (1) так:
А^ = (т- п + 1)(т- п + 2) ... (т- 1)т.
Умножив обе части этого равенства на (т - л)! = 1 • 2 • 3 • ... х X (тл - л), получим (лг - л)! • А^ = 1 • 2 • 3 • ... • (лг - л) (лг - л + 1) х X (лг - л н- 2) • ... • (Л1 - 1)лг, откуда (лг - л)! • А^ = лг!,
лг!
(3)
(лг-л)!
Отметим, что формула (3) справедлива при т> п.
Для того чтобы формула (3) была справедлива и для т = п, определяют 0! = 1.
Задача 4. Вычислить
А^2
134
А По формуле (3), находим 1Z Ш
Лг+Л^г^ 71^ 6! ^Ш+^ = 8+7-8=64. А
-^12 71 6!
Упражнения
329. Вычислить:
1) 2) А|; 3) А|; 4) А?:
5) А|; 6) Aj; 7) Аё,; 8) Ак».
330. В классе изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в этот день должно быть 6 разных уроков?
331. Сколько существует способов для обозначения вершин данного четырехугольника с помощью букв А, В, С, D, Е, F7
332. В классе 30 чел. Сколькими способами могут быть выбраны из их состава староста и казначей?
333. В чемпионате по футболу участвуют 10 команд. Сколько суще-
ствует различных возможностей занять командам первые три места?
334. Найти значение выражения:
А12А7
1)
■^11 -^10
2)
335. Решить уравнение относительно т:
1)ALi=156; 2)А1=ША1_^.
336. Доказать, что А^*^ ={n-k)A^, где k < п, к, п — натуральные числа.
§ 30. Сочетания и их свойства
Задача 1.Из пяти шахматистов для участия в турнире нужно выбрать двоих. Сколькими способами это можно сделать?
А Из пяти шахматистов можно составить А^ пар, если в каждой паре учитывать не только состав, но и порядок расположения шахматистов. Но из этих пар надо выбрать только те, которые отличаются составом участников, но не их порядком. Таких пар в 2 раза меньше, т.е.
5А 2
Ответ. 10 способов.
^5
— = — = 10. 2 А
135
При решении задачи из пяти человек были образованы соединения по 2, которые отличались только составом.
Определение. Сочетаниями из т элементов по п элементов {п < т) называются такие соединения, каждое из которых содержит п элементов, взятых из данных т разных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.
Число всевозможных сочетаний из т элементов по п элементов обозначают (С — первая буква франц. сл. Combinasion — сочетание) и читают так: «Це из эм по эн». При решении задачи 1 было установлено, что С| = 10.
Выведем формулу для подсчета числа сочетаний из т различных элементов по п элементов в каждом.
О Образуем все соединения, содержаш;ие п элементов, выбранных из данных т разных элементов, без учета порядка их расположения. Число таких соединений равно .
Из каждого полученного соединения перестановками его элементов можно образовать = п! соединений, отличающихся друг от друга только порядком расположения элементов. Тем самым получились размещения из т элементов по п, число которых равно . С другой стороны, по правилу умножения, число таких соединений равно • Р^. Итак, С^ - Р^- А" , откуда
г<п _ -^т А
(1)
Например, С| = ^ = = 4.
Заметим, что если т = п, то
л'^ р
/~1П __ -^п _ -^п ____ 1
П - р - р - •
Учитывая, что
{т-п)\
= и Р„=п\,
формулу (1) можно представить в виде
ml
С" — --
у
(т - п)1 nV
(2)
Например, С| =
5! _12 3 4 5 2!3! 12123
= 10.
136
Задача 2. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 2 карты?
А Выбор двух карт из колоды без учета порядка их расположения является сочетанием. По формуле (1) находим
С|б =^ = ^^^ = 18-35 = 630. А
Докажем следующее свойство числа сочетаний:
СП _ - п
т — ♦
о По формуле (2) получаем
т\ _ т\
(3)
Ст-п _ m —'
— wm
(т-(т-п))\(т-п)\ п\(т-п)\
Это свойство иногда позволяет упрощать вычисления. Например,
= С^о = ^ = 20: С?о«о = СЙ.0 = = 50 99 = 4950.
Среди свойств числа сочетаний выделяют рекуррентное свойство числа сочетаний:
С In 1 + 1 _ /-т + 1
т + !•
О По формуле (1) находим
^ ^ _ т(т-1) ... (m-in-l)) ,
^п + 1 "•
т(т- !)•.. .• (т- (п-1))(т- п) _
(л+1)! “
_ т(т-1у... (т-(п-1))(п-\-1)-ьт(т-1у... (т-(п-1))(т-п) _
(п+1)\
_ m(m-iy... (m-(n-l))(/(-^l+m-/() _
_ (/п + 1) • m (т - 1) • • (т + 1 - п) _ . i ф
(п + 1)! ^
337. Найти:
1) Cf; 2) d;
7) С}§; 8) Сро;
Упражнения
3) d: 9) do;
4) d;
10) do;
5) d; 11)
6)d;
12) do-137
338. Сколькими способами можно делегировать троих студентов на меж-
вузовскую конференцию из 9 членов научного общества?
339. Сколько различных аккордов, содержащих 3 звука, можно взять на 13 клавишах одной октавы?
340. В помещении 20 ламп. Сколько существует разных вариантов освещения, при котором должны светиться только 18 ламп?
341. Имеется 15 точек на плоскости, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько различных отрезков можно построить, соединяя эти точки попарно?
342. На окружности отмечено 12 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
343. Сколькими способами можно составить из партии, содержащей п деталей, комплект из р деталей (р<п) для контроля за качеством продукции?
344. В школьном хоре 6 девочек и 4 мальчика. Сколькими способами можно выбрать из состава хора двух девочек и одного мальчика для участия в выступлении окружного хора?
345. Решить уравнение относительно т:
15
m + 2 ’
2) l2CZ:l=bbAl^,.
346. Найти значение выражения, предварительно упростив его:
1) C||+Ci|; 3)С21-С2о;
2) Cfi-i-Cfi; C'foi
347. В вазе лежат 5 разных яблок и 6 различных апельсинов. Сколькими способами из них можно выбрать 2 яблока и 2 апельсина?
348*. Колода карт содержит по 13 карт каждой из четырех мастей. Сколькими способами можно выбрать из колоды следующий набор: 3 карты пиковой масти, 4 карты — трефовой, 5 карт — червовой, 2 карты бубновой масти!
§ 31. Биномиальная формула Ньютона
2 2
^ Вы уже знакомы с (формулами ьсва^фата и куба суммы: (а-t-b) =-а +2аЬ+ Ь ; (а + Ь) = а"^ + За Ь + Зао + о. Теперь познакомимся с формулой /г-й степени двучлена а л-Ь (или бинома а -h Ъ). Последовательно запишем формулы степени бинома:
{a + bf=U
{a + bf = 1 ■ а +1 ■ Ь',
{a + bf=la^ + 2аЬ +1 ■ Ь^;
(a + bf = la^ + За% + ЗаЪ^ + 1Ь^\
138
(а + b)‘^ = (a + bf (a + b) = l ■ + 4a^b + 6a^b^ + 4ab^ + l b^',
{a + bf = {a + bf{a + b) = la^ + ЪаЬ + lOa^fe^ + 10a V + 5a&^+1 Можно показать, что коэффициенты разложения степени бинома можно найти по следующей схеме, которая называется треугольником Паскаля:
1
1 1
1 2 1 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1
В каждой строке этой схемы коэффициенты разложения степени бинома, кроме первого и последнего, получаются попарным сложением коэффициентов предыдущей строки. Например, шестая строка получается так:
1, 5 = 1 + 4, 10 = 4 + 6, 10 = 6 + 4, 5 = 4 + 1, 1.
Напомним, что = 1 и по определению = 1.
В основе построения треугольника Паскаля лежит свойство
сочетаний =С^ + С^^^, рассмотренное в предыдущем параграфе. Поэтому коэффициенты разложения степени бинома также можно записать с помощью числа сочетаний:
{a+bf=C^a+C[b\
(а+Ь)^ = С§а^ + С\аЬ+С^Ь^;
(a-hbf = Cia^ + Cla^+Clab^ + С|&^;
(а+= С2а^ + С1аЗ&++ Cfab^ +
Вообще справедлива следующая биномиальная формула Ньютона:
(а+Ь)"* = С“а"‘+С‘.а'"-‘б+с2а“^ V + ...+C-^a6“-^ +0'". (1) Формулу (1) часто для краткости называют бином Ньютона, а числа — биномиальными коэффициентами.
Заметим, что в разложении (1) степени числа а убывают от т до о, степени числа Ь возрастают от 0 до /п и биномиальные коэффициенты, равноотстоящие от начала и конца разложения, равны,
так как .
139
Задача 1. Найти разложение бинома:
l)(2a + lf; 2) (л:-if.
А По формуле (1) находим:
1) (2а + if = (2af + C|(2af + Ci(2af + C|(2af + C|(2a)^ + 1 = 32a^ + 80a^ + 80a^ + 40a^ + 10a + 1;
2) (x-lf = /+ Сб^/(-1)Ч C|x^-lf + C|/(-lf + Cix\-1)\ + C|x(-lf+ (-lf = /-6x4i5^:'‘-20jc4i5/-6x + 1. A
Задача 2. Доказать равенство
C»+Ci+c2+...+CS-4C = 2'".
A Это равенство получается из формулы (1) при а = Ь = 1. А
Упражнения
349. Записать разложение бинома:
1)(1 + л:)"; 2)(л:-2)^ 3)(2лг + 3)“;
5 6
4)(Зх-2)‘; 5)f2a-|'j; 6) f| + 2l .
350. Используя свойства числа сочетаний, найти сумму:
1) С5«+С^ + С|+С| + С5<+С|;
2) Cl+Ci + Ci+Ci + Cl
( 1
351*. Найти член разложения \ ^ 1 ,
„ 2
содержащий х .
352*. Найти член разложения | ^
16
„ 3
содержащий х .
353. Вычислить:
1)^-
5! ’
354. Упростить:
Упражнения к главе IV
60!
58! 48! ‘
1)
(п + 2)!
п\
2)
355. Найти значение выражения:
с1, q^R
1) ^ +
^4 11^6
п! (а + 1)! >а
2)
П1.
10 10
140
356. Решить уравнение относительно п:
1 _ 20
л-4 ^п-2
15 _ а л5 . сч W + 1 _ 8 ^
1)^ = 12;
4) а^1 = 2аЬ;
2)
3) =6л(п+1);
6)С„^=4С|_2.
357. Сколькими способами можно составить график очередности ухода в отпуск 8 сотрудников лаборатории?
358. Сколько существует способов делегирования на конференцию двоих человек из 8 сотрудников лаборатории?
359. Восемь сотрудников лаборатории участвовали в научном конкурсе, по результатам которого были присуждены одна первая и одна вторая премии. Сколькими способами могут быть присуждены рассматриваемые премии?
360. Сколькими разными способами можно рассадить троих учащихся, пришедших на факультативные занятия, на сорока имеющихся в классе стульях?
361. Сколькими способами можно назначить патруль из двух солдат и одного офицера, если в роте 80 солдат и 5 офицеров?
362. Сколько диагоналей имеет выпуклый пятиугольник? семиугольник? тг-угольник?
363. Найти значение выражения, предварительно упростив его:
1) С|з -I- Ci3; 2) cf4 + С14.
364. Используя свойства числа сочетаний, найти:
1) Cj+Cl + C|+C|+Cj; 2)Cf+Cf+C^ + d}.
365. Найти разложение бинома:
l)(jc+lf; 2)(л:-1)®; 3)(2 + а)^ 4)(о + 3)‘.
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
1. Найти:
2)^;
2. Упростить:
3) С|;
1)
(/1+1)!.
2)
(п-4)!
in-ir [п-2Г
3. Сколькими способами можно выбрать для подарка 3 предмета из 9 различных предметов?
4. В одном классе изучаются 10 разных предметов. В пятницу завуч должен поставить в расписание этого класса 4 различных предмета. Сколькими способами он может это сделать?
5. Сколькими разными способами можно разместить 6 групп школьников в шести классных комнатах (по одной группе в комнате)?
141
6. Сколько существует трехзначных цифровых кодов, в которых нет одинаковых цифр?
7. Записать разложение бинома: l)(x + yf-, 2)(l-of.
366. Имеются отличающиеся друг от друга 7 роз и 5 веток зелени. Нужно составить букет из трех роз и двух веток зелени. Сколькими способами это можно сделать?
367. В двоичной системе счисления, используемой в ЭВМ, информация записывается с помощью цифр О и 1. В некоторой ЭВМ каждое «машинное слово» записывается в ячейке памяти, содержащей 32 пронумерованных двоичных разряда. Сколько различных «слов» может быть записано в такой ячейке?
368. В одной стране номера автомобилей составляются из двух неодинаковых букв алфавита, который содержит 20 букв, и четырех цифр (с возможными повторами). Скольким машинам можно присвоить полученные таким образом номера?
369. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 5 членов, можно образовать из 10 преподавателей?
370. В чемпионате страны по футболу участвуют 18 команд, каждые две команды встречаются на футбольных полях 2 раза. Сколько матчей играется в сезоне?
371. Сколькими способами 2п разных элементов можно разбить на пары?
372. Каким числом способов можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в каждой из двух стопок было по 2 туза?
373. Используя свойства числа сочетаний, найти:
l)Cf2+(A) + P(A) = ^ + ^ = ^!i^ = ^ = l, п п п п
т.е.
Р{А)+Р{А) = 1.
(2)
Задача 1. Вероятность попадания в мишень стрелком равна 0,6. Какова вероятность того, что он, выстрелив по мишени, промахнется?
148
А Если событие А — попадание в мишень, то, по условию, Р(А) = 0,6. Промах — противоположное попадгшию событие, и его вероятность:
Р(А)= 1-Р(А)=1-0,6 = 0,4. А
Задача 2. В роте из 100 солдат двое имеют высшее образование. Какова вероятность того, что в случайным образом сформированном взводе из 30 солдат будет хотя бы один человек с высшим образованием?
А Пусть событие А — во взводе хотя бы один человек имеет
высшее образование, тогда событие А — ни один человек во взводе не имеет высшего образования. В данной ситуации проще вычислить Р(А), чем Р(А). Найдем Р(А).
Число способов составления взвода в 30 человек из 100 солдат роты равно С^. Число солдат, не имеющих высшего образования, равно 100 - 2 = 98. Из 98 человек составить взвод из 30 человек можно способами. Вероятность того, что среди отобранных 30 человек нет ни одного с высшим образованием:
98!
Cf _ 30!68! _ 98170! _ 69 70 _ 161 10а 68!10а 99100 330*
Р(А) =
за 70!
Отсюда находим
Р(А) = 1-Р(А) = 1-^ = ^ = 0,512. А 330 330
Упражнения
386. Что является событием, противоположным событию:
1) сегодня первый урок — физика;
2) экзамен сдан на «отлично»;
3) на игральной кости выпало меньше 5 очков;
4) хотя бы одна пуля при трех выстрелах попала в цель?
387. Вероятность выигрыша главного приза равна 10~^. Какова вероятность не выиграть главный приз?
388. Найти вероятность того, что наугад вынутая из полного набора домино (28 костей) одна кость домино не будет «дублем».
389. В ящике лежат 5 белых, 10 черных и 15 красных шаров. Какова вероятность того, что наугад вынутый шар не будет белым? (Решить задачу двумя способами.)
149
390. В студенческой группе 22 чел., среди которых 4 девушки. Какова вероятность того, что среди троих случайным образом выбранных из этой группы студентов окажется по крайней мере одна девушка?
§ 35. Условная вероятность
Произведением событий А и В называется событие АВ, состоящее в появлении и события А и события В.
Например, если событие А — попадание в мишень при первом выстреле, а событие В — попадание в мишень при втором выстреле, то событие АВ — попадание в мишень при обоих выстрелах. Если А — событие, состояш;ее в том, что из колоды карт наудачу вынимается карта красной масти, а событие В — вынимается туз, то событие АВ — из колоды карт вынут туз красной масти.
При совместном рассмотрении двух случайных событий возникает вопрос о влиянии наступления одного события на появление другого.
Пусть, например, один раз бросается игральная кость. Событие А — выпадание нечетного числа очков (1, 3 или 5), событие В — выпадание числа очков, меньшего четырех (т.е. 1, 2 или 3). Если считать, что наступило событие В (три элементарных исхода), то в нем событию А благоприятствуют два элементарных исхода (1 и 3). Тогда вероятность появления события А при условии
2
наступления события В равна - . Если бы не было известно о на-
О
ступлении события В, то вероятность наступления события А
^ ^ 1 гг. 2 1
была бы равна - . Так как - > - , то следует признать, что наступ-
Z и ^
ление события В увеличивает вероятность наступления события А.
Для количественной характеристики зависимости одного события от другого вводится понятие условной вероятности.
Если Аи В — два случайных события, которые могут произой-
ти в одном испытании, причем Р(В) то число
Р(АВ)
Р(В)
называ-
ют условной вероятностью события А при условии, что наступило событие В, или просто условной вероятностью события А. Вероятность события А при условии наступления события В обозначается Р{А/В). Таким образом, согласно определению
Р{АВ)
Р(А/В) =
Р(В)
(1)
Задача 1. Какова вероятность того, что наугад вынутая из полного набора кость домино окажется «дублем», если известно, что сумма очков на этой кости меньше, чем 5?
150
А В наборе домино 28 костей, из них 7 «дублей». На девяти костях сумма очков меньше, чем 5 (0-0, 0-1, 0-2, 0-3, 0-4, 1-1, 1-2, 1-3, 2-2).
Пусть событие В — сумма очков на вынутой кости — меньше пяти, а событие А — вынутая кость есть «дубль», тогда событие АВ — на вынутой кости, являющейся «дублем», сумма очков меньше пяти (таких костей 3: 0—0, 1—1, 2—2).
3
Р(А/В) =
Р(АВ)_^_1 Р(В)
28
Значение Р(А/В) можно было найти и при использовании классического определения вероятности: из тех 9 случаев, к кото-
3 1
рым сводится событие В, событию А благоприятствуют три: g ~ д-
Задача 2. В ящике лежат 3 белых и 2 черных шара. Из ящика 2 раза вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что: 1) первым был извлечен белый шар, а вторым — черный; 2) вторым был вынут черный шар при условии, что первым уже был извлечен белый.
А При решении задачи рассмотрим события:
А — первым вынут белый шар;
В — вторым вынут черный шар;
АВ — последовательно извлечены белый, затем черный шары; В/А — вторым вынут черный шар при условии, что первым был извлечен белый.
1) Число всех возможных вариантов извлечения двух шаров из ящика с пятью шарами (с учетом порядка их появления) равно
А| =5-4 = 20, т.е. п - 20. Благоприятствующими событию АВ будут все возможные упорядоченные пары белый шар, черный шар, составленные из имеющихся трех белых и двух черных шаров. Таких соединений, согласно правилу умножения, будет 3 • 2 = 6 (/п = 6). Таким образом,
р(ав)=А=А.
^ ^ 20 10
2) После извлечения из ящика первым белого шара (произошло событие А) там останутся 2 белых и 2 черных шара. Появлению черного шара вторым из четырех оставшихся (/г = 4) благоприятствуют два события (т = 2), поэтому
Р(ВМ)=|Л.
Значение Р(В/А) можно получить и по формуле (1)
Р(ЛВ)
Р(В/А) =
В(А)
151
Действительно, Р{А) = так как п = 5 (в ящике первоначально
5
находилось 5 шаров) и т = 3 (белых было 3). Подставив в формулу
(1) Р(АВ) = -- и Р(А) = ~, получим 10 5
На основании формулы (1) записывается так называемая теорема умножения:
Р(АВ) = Р{А/В) Р(Б) = Р{В/А) Р(А), (2)
так как события АВ и ВА — одно и то же событие.
Задача 3. В лаборатории 7 женщин и 3 мужчин. Случайным образом из числа этих сотрудников для научной конференции выбираются один докладчик и один содокладчик. Какова вероятность того, что докладчиком будет выбрана женщина, а содокладчиком — мужчина?
А Пусть событие А — докладчиком выбрана женщина, событие В — содокладчик — мужчина.
1- й способ решения. Вероятность того, что сначала выбирался основной докладчик и им оказалась женщина (наступило событие А), равна
p^a)=L.
Вероятность того, что вторым выбирался содокладчик и им оказался мужчина (произошло событие В), вычисляется при условии, что первой уже была выбрана женщина, т.е.
Р(ВМ)=|Л.
Согласно формуле (2) имеем
2- й способ решения. Вероятность того, что первым выбирался содокладчик и им оказался мужчина (произошло событие В), равна
3
Р(В) =
10
Вероятность того, что вторым выбирался докладчик и им оказалась женщина (событие А), вычисляется при условии, что первым уже выбран мужчина, т.е.
i>(A/B) = ^.
152
Применяя формулу (2), получаем
Р(ВА) = Р(В).ЛА/В)=А .| = ^. а
Сравнивая результаты двух способов решения задачи 2, убеждаемся в справедливости формулы (2).
Упражнения
391. На столе лежат 4 синих и 3 красных карандаша. Редактор дваж-
ды наугад берет по одному карандашу и обратно их не кладет. Найти вероятность того, что: 1) вторым был взят красный карандаш при условии, что первым был синий; 2) вторым взят синий карандаш при условии, что первым оказался синий;
3) вторым взят синий карандаш при условии, что первым был красный; 4) вторым взят красный карандаш при условии, что первым также оказался красный карандаш.
392. В барабане находится 10 лотерейных билетов, из них 2 выигрышных. Из барабана 2 раза вынимают по одному билету, не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что: 1) второй раз был извлечен билет без выигрыша при условии, что первым оказался выигрышный билет; 2) первый раз был вынут выигрышный билет, а второй раз — билет без выигрыша?
393. Из ящика, содержащего 4 белых и 5 красных шаров, 2 раза наугад извлекают по однозиу шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что: 1) вторым извлечен красный шар при условии, что первым также оказался красный шар; 2) оба раза извлекались красные шары.
394. Из колоды в 36 карт последовательно наугад вынимаются и не возвращаются 2 карты. Какова вероятность того, что: 1) оба раза извлекались карты красной масти; 2) первой была вынута карта красной масти, а второй — черной масти; 3) второй вынута карта черной масти при условии, что первой была карта красной мастик
395. В урне находится 10 белых и 10 черных шаров. Из нее последовательно вынимаются 2 шара и не возвращаются обратно. Какова вероятность того, что: 1) оба раза извлекались шары черного цвета; 2) первым вынут белый шар, а вторым — черный;
3) вторым извлечен черный шар при условии, что первым был вынут белый шар?
396. В цехе работают 10 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам последовательно наугад выбираются 2 человека для делегирования на профсоюзную конференцию. Какова вероятность
153
того, что: 1) выбранными окажутся две женщины; 2) выбранными окажутся двое мужчин; 3) первым выбран мужчина, а второй — женщина; 4) вторым выбран мужчина при условии, что первым также был мужчина?
397. Ученик, идя на экзамен, знал ответы на 25 билетов из 30, предлагаемых экзаменатором. На первый билет ученик не знал ответа и, не возвращая его экзаменатору, вытянул второй билет. Какова вероятность того, что: 1) вторым ему достался билет, на который он знал ответ; 2) вторым ему достался билет, на который он не знал ответа?
398. Студент, которому предстояло сдавать зачет, знал ответы на 70 вопросов из 90. Какова вероятность того, что он: 1) верно ответит на два вопроса; 2) ответит на второй вопрос при условии, что он не знал ответа на первый вопрос?
§ 36. Независимые события
События А VI В называются независимыми, если выполняется равенство
Р{АВ) = Р{А) - Р{В). (1)
Определение независимости событий согласуется с введенным в § 35 понятием условной вероятности.
Действительно, событие А является независимым от события В тогда и только тогда, когда наступление события В не влияет на вероятность наступления события А, т. е. когда
Р(В/А) = Р(А).
Задача 1. Найти вероятность того, что при первом бросании игральной кости появятся 6 очков, а при втором — нечетное число очков.
Л Событие А — появление 6 очков при первом бросании кости, событие В — появление четного числа очков при втором бросании — независимые события. Учитывая, что Р(А) = ~, Р(В) = - , по
О ^
формуле (1) найдем Р(АВ):
Р(АВ) = ^4 = А- ^ ^ ' 6 2 12
Задача 2. В изготовленной партии детских мячей вероятность появления бракованного мяча равна 0,004. В красный цвет
154
окрашены ~ всех мячей, а остальные — в синий. Какова вероятность
того, что наугад вынутый мяч будет небракованным и красным?
А Пусть событие А — появление бракованного мяча. По условию Р{А) = 0,004. Появление небракованного мяча — событие А и
Р{А) = 1 - Р(А) = 1 - 0,004 = 0,996.
Пусть событие В — появление красного мяча, тогда, согласно
3
условию, Р{В) = -.
4
Задача сводится к нахождению вероятности совместного появления независимых событий А и В, т.е. к нахождению вероятности событий А В. Согласно формуле (1) имеем
Р(АВ) = Р(А) Р(Б) = 0,996 • - = 0,747. А
4
Упражнения
399. Выяснить, являются ли независимыми события А и В, если:
1) игральная кость бросается дважды; событие А — при первом бросании выпало 2 очка, событие В — при втором бросании выпало 5 очков;
2) брошены две игральные кости; А — на первой кости появилось 6 очков, В — на второй кости также 6 очков;
3) из колоды карт дважды вынимают по одной карте, возвра-щ;ая вынутую карту в колоду; А — первой вынута дама пиКу В — второй также вынута дама пик;
4) из колоды карт дважды вынимают по одной карте, не возвращая их в колоду; событие А — первой вынута шестерка треф, событие В — вторым вынут король пик.
400. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на
обеих костях появятся по 2 очка?
401. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на
первой кости выпадет четное число очков, а на второй — нечетное?
402. Вероятность попадания в мишень равна 0,6. Какова вероятность
того, что стрелок попадет по мишени в каждом из двух последовательных выстрелов?
403. Вероятность поражения цели из первого орудия равна 0,7, а из
второго — 0,6. Найти вероятность поражения цели из обоих орудий, выстреливших независимо друг от друга.
155
404. В урне лежат 2 белых, 3 красных и 5 черных шаров. Дважды вынимают по одному шару и возвращают их обратно в урну. Какова вероятность того, что: 1) первым вынут красный шар, а вторым — черный; 2) первым вынут черный шар, а вторым — белый?
405. Дважды бросается игральная кость. Событие А — при первом бросании появилось 6 очков, событие В — в результате второго бросания появилось число очков, кратное трем. Найти вероятность события А В.
406. Дважды бросается игральная кость. Событие А — первый раз выпало четное число очков, событие В — второй раз выпало число очков меньше трех. Найти вероятность события А В .
407. Вероятность попадания в мишень равна 0,7. Какова вероятность того, что стрелок хотя бы однажды попадет по мишени в результате двух выстрелов?
408. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,2, а для второго — 0,3. Какова вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы одним выстрелом, если оба стрелка независимо друг от друга выстрелили по ней?
409. В выпущенной заводом партии деталей 2% брака и 0,3 от числа всех деталей окрашены в зеленый цвет. Какова вероятность того, что случайным образом вынутая из партии деталь окажется неокрашенной небракованной деталью?
Упражнения к главе V
410. Какова вероятность того, что при одном бросании игральной кости выпадет либо пять, либо шесть очков?
411. Из урны, содержащей 15 белых, 10 красных и 5 синих шаров, наугад извлекается один шар. Какова вероятность появления белого шара?
412. Одновременно бросают две игральные кости. Найти вероятность
того, что сумма выпавших очков равна 8.
413. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что не выпадут 3 очка?
414. Брошены монета и игральная кость. Какова вероятность того, что появится «герб» и появятся 6 очков?
415. По мишени стреляют 2 раза. Вероятность попадания в мишень
при первом выстреле равна 0,8, при втором выстреле — 0,9. Какова вероятность того, что мишень не будет поражена ни одним выстрелом?
416. Из колоды в 36 карт последовательно наугад вынимаются 2 карты и не возвращаются обратно. Найти вероятность того, что:
1) вынуты два туза; 2) сначала извлечен туз, а затем дама;
3) вынуты 2 карты бубновой масти; 4) вторым извлечен туз при условии, что первой была вынута дама.
156
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
1. Бросают 2 монеты. Какова вероятность того, что на обеих монетах выпадет «орел»?
2. Вероятность появления в партии бракованной детали равна 0,05. Какова вероятность того, что наугад извлеченная деталь окажется небракованной?
3. В ящике лежат 2 черных, 3 белых и 10 красных шаров. Какова вероятность того, что наугад вынутый один шар окажется или черного, или белого цвета?
4. В вазе лежат 3 апельсина и 5 яблок. Мальчик не глядя берет из вазы один плод, затем, не возвращая его, берет второй. Найти вероятность того, что первым был взят апельсин, а вторым — яблоко.
5. Вероятность попадания в мишень равна 0,8. Какова вероятность попадания для стрелка по мишени в каждом из двух произведенных выстрелах?
6. Ученик знал ответы на 15 вопросов из 20, которые предлагались к зачету. Ответа на первый попавшийся на зачете вопрос он не знал. Какова вероятность того, что ученик ответит на второй из предложенных ему вопросов?
7. Вероятность попадания по мишени для стрелка равна 0,9. Какова вероятность того, что после двух выстрелов в мишени окажется одна пуля?
417. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что 3 очка появятся хотя бы на одной из костей.
418. Игральная кость бросается 2 раза. Найти вероятность того, что
оба раза появится одинаковое число очков.
419*. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две стопки по 26 листов в каждой. Найти вероятность того, что в каждой стопке окажется по два туза.
420*. В розыгрыше первенства страны по волейболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников первенства имеется 5 команд высшего класса. Найти вероятность того, что все команды высшего класса попадут в одну и ту же группу.
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Теория вероятностей как наука зародилась в XVII в. из потребностей страхового дела, демографии и в связи с запросами распространившихся в Европе азартных игр. В азартных играх (картах, домино, костях и пр.) выигрыш в основном зависел не от искусств игрока, а от случайности. Слово «азарт» и произошло от французского
157
слова hasard, означающего «случай», «риск». Богатые люди, увлеченные азартными играми, порой прибегали к помощи математиков для решения проблем, возникающих во время игры. В связи с этим рождением теории вероятностей многие ученые считают 1654 г., в котором происходила переписка двух великих французских ученых Б. Паскаля и П. Ферма в связи с решением задачи, возникающей при игре в кости.
Ученые XVII в. начали использовать азартные игры как удобные и наглядные модели для исследования понятий теории вероятностей. Первая книга по теории вероятностей называлась «О расчетах в азартной игре» и была опубликована в 1657 г. Ее автор, голландский ученый X. Гюйгенс, писал: «...при внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы теории вероятностей глубокой и весьма интересной».
В 1713 г. была опубликована книга известного швейцарского математика Я. Бернулли «Искусство предположений», в которой автор изложил основы комбинаторики и аппарата вычисления вероятностей, а также доказал одну из замечательных теорем теории вероятностей, названную впоследствии теоремой Бернулли. На доказательство этой теоремы ученый потратил 20 лет жизни, а само доказательство заняло 12 страниц текста. Эта теорема — важный частный случай одного из основных законов теории вероятностей — «закона больших чисел», открытого в середине XIX в. русским ученым П. Л. Чебышевым. Закон больших чисел имеет широкое практическое применение в вопросах, связанных с определением вероятностей событий, для которых рассчитать точное значение вероятности (в ее классическом понимании) невозможно.
Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с работами французского математика и астронома П. Лапласа (1749—1827), немецкого математика К. Гаусса, российских математиков А А Маркова (1856—1920), А. М. Ляпунова (1857—1918) и др. Значительный вклад в теорию вероятностей внесли отечественные ученые нашего времени А Н. Колмогоров (1903—1987), А Я. Хинчин (1894— 1959), Б. В. Гнеденко (1912—1996) и др.
В настоящее время теория вероятностей продолжает развиваться и находит широкое применение в естествознании, экономике, в производстве и гуманитарных науках.
ГЛАВА
ДЕЛИМОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ. ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
§ 37. Понятие делимости.
Делимость суммы и произведения
Пусть а — целое число (а е Z), /тг — натуральное число (т € N). Тогда говорят, что а делится на т, если существует целое число р {р € Z) такое, что
а = тр.
Число т называют делителем числа а, р — частным от деления а на т.
Два натуральных числа тип называют взаимно простыми и пишут (т, л) = 1, если единственным общим натуральным делителем этих чисел является число единица.
Например, числа 10 и 51 взаимно просты, так как натуральными делителями числа 10 являются числа 1, 2, 5, 10, а натуральными делителями числа 51 являются числа 1, 3, 17, 51.
Наибольшее натуральное число, являющееся делителем каждого из натуральных чисел тип, называют наибольшим общим делителем этих чисел и обозначают НОД(т, п).
Например, если т = 80, п = 72, то НОД(т, п) = 8.
Перечислим свойства делимости суммы (разности) и произведения чисел, считая, что а € Z, Ь е Z, т е N, п € N.
1. Если а делится и& т и Ь делится на т, то числа а + Ь и а - Ь также делятся на т.
2. Если а и Ь делятся на тп, то при любых целых k и I число ka + lb делится на т.
3. Если а делится на /тг, а Ь не делится на т, то числа а + Ь и а - Ь не делятся на т.
4. Если а делится на т, а m делится на /г € ЛГ, то а делится на k.
5. Если а делится на w, а Ь не делится на п, то аЬ делится на тп.
6. Если а делится на каждое из чисел т, п, причем т, п — взаимно простые числа, то а делится на их произведение тп.
7. Если а делится на /п, то а* делится на т* для любого k е N.
Ограничимся доказательством свойства 1. Если целые числа а
и Ь делятся на m е ЛГ, то существуют числа р ^Z, q^Z такие, что а = тр, Ь = mq, откуда следует, что а + Ь = т(р + q), а - Ь = = т(р - q), т. е. числа а + Ь и а - Ь делятся на т.
159
Замечание 1. Условие (m, n) = 1 в свойстве 6 является существенным: число 24 делится на б и 8, но не делится на произведение б • 8 (числа б и 8 не являются взаимно простыми).
Задача 1. Доказать, что число а делится на т, если:
1) а = 555^ т = 37;
2) а = б® + 21б^ т = 37;
3) а = 47^ + 70^ -Ь 21, m = 23;
4) а = 10® + 10, /п = 11.
А 1) Так как число 111 делится на 37, то и число 555 делится на 37 (свойство 2), откуда следует, что число а делится на 37 (свойство 7).
2) Запишем число а в виде а = б® -f б® = б® (б^ + 1), где б^ + 1 = = 37. Следовательно, число а делится на 37.
3) Запишем число а в виде а = 47^ - 1 + 70^ - 1 + 23 и воспользуемся формулами - 1 = (д: - 1)(х^ -Ь д: + 1), - 1 =
= (д: - 1)(д: + 1)(х^ + 1). Тогда 47^ - 1 делится на 47 - 1 = 46, 70“* - 1 делится на 69. Отсюда следует, что каждое из чисел 47^ - 1, 70^ - 1 делится на 23 и по свойству 1 число а делится на 23.
4) Запишем число а в виде а = 10® - 1 + 11 и заметим, что Ь = 10® - 1 — шестизначное число, все цифры которого — девятки. Такое число делится на 99, а значит, и на 11. Следовательно, а = Ь + 11 делится на 11. А
о
Задача 2. Доказать, что при любом п € iV число а - п - п делится на 6.
А Если д = 1, то число а = 0 делится на 6. Пусть д > 1, тогда а = (д - 1)д(д + 1) — произведение трех последовательных натуральных чисел, из которых одно делится на 3 и, по крайней мере, одно делится на 2. Итак, а делится на 2 и 3. Так как эти числа являются взаимно простыми, то по свойству 6 число а делится на 6. А
Задача 3. Пусть а и & — такие целые числа, что число с = 4а -Ь ЗЬ делится на 17. Доказать, что и число d = 20а -Ь 49ft делится на 17.
А Воспользуемся равенством
d = 5(4а -f 3ft) + 34ft.
Так как 4а -Ь 3ft делится на 17, то 5(4а + 3ft) делится на 17 (свойство 2). По свойству 1 число d делится на 17 (34 делится на 17). А
Задача 4. Доказать, что при любых натуральных дг и д число а = (дг -f 5д + 3)®(3дг -f 7д + 2)^ делится на 16.
А Если числа тип либо оба четные, либо оба нечетные, то Здг + -Ь 7д + 2 — четное число, и поэтому (3/д + 7д -I- 2)^ делится на 16. Если одно из чисел дг, д четное, а другое нечетное, то т + 5п + 3 —
160
четное число, и поэтому (т + 5п + 3)® делится на 32. Следовательно, число а делится на 16 при любых т € N, п ^ N. к
Замечание 2. Принято считать, что целое число а является четным, если оно делится на 2, т. е. имеет вид а - 2k, где k ^ Z. Аналогично, целое число называют нечетным, если оно не делится на 2, т. е. имеет вид а = 2k - 1 или а = 2Л + 1, где fe € Z.
Задача 5. Доказать, что квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа имеет вид 4р + 1, где р ^ Z.
Д 1) Если а — четное число, то а = 2k, где fe € Z, откуда следует, что число а^ = 4k^ делится на 4.
2) Если а — нечетное число, то а = 2k - 1, где k е Z, откуда получаем а^ = 4(k^ - k) + 1 = 4р + 1, где р е Z. к
Задача 6. Пусть числа а = 10ц -Ь 3 и = 7/г -Ь 1, где п ^ N, делятся на т, где т е N, т ^ 1. Найти т.
Д Так как а и & делятся на т, то число с = 7а - 106 = 7(10ц + + 3) - 10(7п -t- 1) = 11 должно делиться на т.
Но единственное натуральное число, не равное единице, на которое делится 11, равно 11. Следовательно, m = 11. А
421.
422.
423.
425.
426.
427.
428.
429.
430.
Упражнения
Доказать, что число 2^® -I- 16^® делится на 17. Доказать, что число 39^ + 77^ + 36 делится на 19. Доказать, что число 444®® -I- 888^^ делится на 148. Доказать, что число 10^® -Ь 37® - 2 делится на 9. Доказать, что число 10^® -I- 10 делится на 11.
Доказать, что при любом п е N число гг -Ь 11п делится на 6.
Пусть а и 6 — такие целые числа, что число 5а + 36 делится на 19. Доказать, что число 35а + 596 делится на 19.
Доказать, что при любых натуральных тип число (Зт 4-+ п + 5)®(5/ц + 7п + 2)^ делится на 32.
Пусть числа 5ц 4- 1 и 8ц 4- 3, где пе N, делятся на т, где т & N, т ^ 1. Найти т.
§ 38. Деление с остатком. Признаки делимости
Не всякое целое число а делится на данное натуральное число т. Например, число 938 не делится на 3, так как 938 = 936 4- 2, где число 936 делится на 3, а число 2 не делится на 3.
161
Пусть а VI т — натуральные числа такие, что а > т, и пусть
а - km + г, (1)
где k € N, а г принимает одно из значений О, 1, т - 1. Тогда говорят, что k — частное, г — остаток от деления а на т, а равенство (1) называют формулой деления а на т.
Можно показать, что для любых натуральных чисел ант, где а > т, остаток г и частное k существуют и определяются однозначно.
Замечание. Иногда в качестве остатка от деления удобно брать отрицательное число. Например, если а = 120, т=11,тоа=11х х10-Ь10иа = 11 11-1, т. е. в качестве остатка от деления
можно взять либо 10, либо -1.
Для любого а € Z деление на натуральное число т определяется равенством (1), в котором k е Z, а г принимает одно из значений
о, 1, ..., т - 1.
Например, если а = -39, /п = 5, то -39 = 5(-8) + 1.
Задача 1. Найти остаток от деления числа 92^ на 7.
А Так как 92 = 7 13 -Ь 1, то остаток от деления 92 на 7 равен 1. Аналогично из равенства 92^ = (7 • 13 -Ь 1)^ = 7р -Ь 1 и 92^ = (7р -Ь + 1)(7 • 13 -Ь 1) = 7^ -Ь 1, где р е N, q £ N, следует, что 92^ = 7г + 1, где г ^ N. Следовательно, искомый остаток равен 1.
Вообще для любого п ^ N остаток от деления числа 92” на 13 равен 1. А
Задача 2. Найти остаток от деления числа а = 10 • 5^^ на 4. А Так как число 5'^^ оканчивается цифрой 5, то число а можно записать в виде а - Ь 50, где число Ъ делится на 100, а значит, делится на 4. Поэтому остаток от деления а на 4 равен остатку от деления числа 50 на 4, т. е. равен двум. А
Задача 3. Пусть натуральные числа а, Ъ н с не делятся на 3. Доказать, что число d - а^ + + с^‘ делится на 3.
А Если число а не делится на 3, то а = Зр ± 1, откуда = Зд -Ь 1, где q — целое число.
Отсюда следует, что d = 3s 4- 3, где s € Z, и поэтому d делится на 3. А
Задача 4. Найти остаток от деления на 10 числа а - 2 +
I g372 _|_ у258
А Задачу можно сформулировать так: найти последнюю цифру числа а. Найдем последние цифры чисел 2^®^, 3^^^, 7^^®. Выпишем последовательно степени двойки:
2^ = 2, 2^ = 4, 2^ = 8, 2^ = 16, 2^ = 32, 2® = 64 и т. д.
162
Отсюда следует, что последние цифры степеней двойки повторяются через четыре. Поэтому, если /г = 4р + г, где р е N, г — одно из чисел 1, 2, 3, 4, то последняя цифра числа 2* совпадает с последней цифрой числа 2'".
Так как 187 = + 3, где t е N,t. е. остаток от деления 187 на 4
равен 3, то последняя цифра числа 2^®^ совпадает с последней цифрой числа 2^ — это цифра 8.
Нетрудно проверить, что последние цифры степеней чисел 3 и 7 повторяются через четыре.
>372
та-
Так как 372 делится на 4, то последняя цифра числа 3^ кая же, как и у числа 3^ — это цифра 1.
Аналогично, пользуясь тем, что остаток от деления числа 258 на 4 равен двум и 7^ оканчивается цифрой 9, находим: последняя
рсо
цифра числа 7 — девятка.
Итак, слагаемые числа а имеют последние цифры 8, 1 и 9 соответственно. Поэтому остаток от деления а на 10 равен остатку от деления на 10 суммы 8 -Н 1 + 9, т. е. равен восьми. ▲
Задача 5. Найти все целые п, при которых дробь а = + Зп^ + Зп -I- 3
= ----+ I-------- является целым числом.
А Представим число а в виде суммы многочлена от п и дроби, числитель которой — многочлен первой степени. С этой целью запишем а в следуюш;ем виде:
дЗ(/г2 + 1) + 2п{п^ + 1) + « + 3
а =
+ 1
Произведя деление, получаем
а = + 2п +
п + 3 + 1’
Так как гг + 2п — целое число, то число а будет целым тогда и только тогда, когда дробь — целое число. Этому условию
удовлетворяют только целые числа -3, -1, 0, 1, 2. ▲
Обратимся к признакам делимости.
Напомним признаки делимости на 10, 5, 4, 3 и 9.
1) Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0.
2) Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.
3) Натуральное число а > 9 делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, полученное из данного отбрасыванием всех его цифр, кроме двух последних, делится на 4.
4) Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
163
5) Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Задача 6. Доказать признак делимости на 9.
А Пусть натуральное число а является п-значным. Тогда его можно записать в виде
а, = a,Q + 10^1 + 10^Й2 + ••• + 10^ где По, ai, a^-i — цифры соответствующих разрядов.
Пусть S = По + ai + ... + а„_ 1, т. е. S — сумма цифр числа а. Рассмотрим разность а - S = (oq + lOai + 10^а2 + ... + 10” “ -1) -
- (по + ai + ... + -1). Тогда а - S = 9ai + 99п2 + ... + (10”“^ -
- 1)а„_1.
Так как числа 9, 99, ..., 10” ^ - 1 составлены из одних девяток, то эти числа делятся на 9.
Поэтому из равенства а = S + 9k, где /г € Z, следует, что а делится на 9 тогда и только тогда, когда S делится на 9. А
Задача 7. Доказать, что число а = - п делится на 5 при
любом п £ N.
А Если ц = 1, то число а = 0 делится на 5.
Пусть п> 1, тогда а = п(п^ - + 1). Если п делится на 5, то а
делится на 5, а если п не делится на 5, то либо п = Ьр ± 1, либо п = 5q ± 2, где р £ Z, q £ Z. Пусть л = 5р ± 1, тогда - 1 делится на 5, а если л = 5^ ± 2, то л^ -Ь 1 делится на 5. Таким образом, число а делится на 5 при любом п £ N. к
Задача 8. Доказать, что число а = 6л^ -Ь 15л^ + 10л^ - л делится на 30 при любом п £ N.
А Нужно доказать, что число а делится на 2, 3 и 5.
а) Если л — четное число, то а делится на 2, а если л — нечетное число, то а также делится на 2, так как 6л^ + 10л^ делится на 2 и 15л“* - л делится на 2 (разность двух нечетных чисел).
6) Так как бл^ -I- 15л^ -Ь 9л^ = Ъ делится на 3, с = л^ - л делится на 3 (§ 37, задача 2), то число а = Ъ + с делится на 3.
в) Заметим, что число 5л^ Ч- 15л‘^ -f- 10л^ = d делится на 5, а число - п также делится на 5 (пример 7). Поэтому число а = d - п делится на 5 при любом п £ N.
Итак, число а делится на 2, 3 и 5. Так как эти числа не имеют общих делителей (кроме единицы), то число а делится на их произведение, т. е. делится на 30. А
Упражнения
431. Доказать, что число л^ -I- 20л -I- 10® + 2 делится на 3 при любом п £ N.
432. Найти остаток от деления на 10 числа 2®^ + 3^^ + 7®^.
164
433.
434.
435.
436.
437.
438.
439.
440.
441.
442.
443.
Доказать, что натуральные числа тип делятся на 3, если число делится на 3.
Доказать, что число 96^^ - 32^ - 48® делится на 10.
Доказать, что число 786^® + 567® делится на 3.
Доказать, что число + 1Ьп^ + Sn + S делится на 3 при любом п е N.
Доказать, что число 2/г® - 3/г^ + 7п делится на 6 при любом п е N.
Найти все целые числа, которые при делении иа т и п дают остатки, соответственно равные ri и г2, если:
1) т = 12, п = 33, Гх = 7, Г2 = 8;
2) m = 15, п = 24, = 8, Г2 = 9.
Пусть целые числа х и у не делятся на 3. Доказать, что число а делится на 3, если;
1) а = л:® - I/®; 2) а = + 4.
Выяснить, делится ли на 8 число а, если:
1) а = 257 431 608; 2) а = 6 443 127 900.
Найти все п е Z, при которых число а является целым, если:
1)а =
n'^ + 8
2)а =
n'^ + 7
+ 2 ’ + 2 *
Доказать, что при любом п е N, число а делится на 30, если:
1) а = Збп® + 15п^ + 40п^ - п; 2)а = 66п® + 4Ъп^ 10п^ - п.
Найти все такие целые числа х и у, чтобы при любом п е N, число а было бы целым, если:
,, _ + пх + у + п(х -1) + у
П2 + 1 ’ " П^ + 1
§ 39. Сравнения
Если целые числа а и Ь при делении на натуральное число т дают равные остатки, то говорят, что эти числа сравнимы по модулю т, и пишут
а = Ъ (mod т).
Иначе говоря, запись а = Ъ (mod т) означает, что разность а - Ъ делится на т. В частности, если а = 0 (mod т), то число а делится на т.
165
Например, 96 = 6 (mod 10), 42 = 3 (mod 13), 32 = -1 (mod 11), 90 = -2 (mod 23).
Перечислим основные свойства сравнений.
1. Если а = Ь (mod m) и Ь = с (mod т), то а = с (mod т).
2. Если а = Ь (mod т) и с = d (mod m), то
а + с = Ь + d (mod т), а - с ^ Ь - d (mod т), ас = bd (mod т),
т. е. сравнения можно складывать, вычитать и перемножать, как и верные числовые равенства. В частности, можно обе части сравнения умножать на одно и то же целое число и возводить в натуральную степень.
3. Если ak = bk (mod т), т ^ 1, а числа кит взаимно просты, то а = Ь (mod /п), т. е. обе части сравнения можно сокращать на их общий множитель, если он и модуль т — взаимно простые числа.
Ограничимся доказательством свойства 3.
О По условию число ак - bk = к(а - Ь) делится на т. Так как к не делится на т (к и т — взаимно простые числа, т ^ 1), то а - Ь делится на т, т. е. а = Ь (mod т). •
Задача 1. Доказать, что число а делится на /п, если:
1) а = 7021 -f 42^^ - 8 23^^ т = 10;
2) а = 78^5 + 551®, ^ = 7.
А 1) Так как 76 = 6 (mod 10), то 76^^ = 6^^ = 6 (mod 10).
Используя результат задачи 4 из § 38, получаем, 42^^ = 2^^ = = 2 (mod 10), 23I® = 3I® = 3^ = 1 (mod 10).
По свойствам сравнений a = 6-f2-8, т. е. а = 0 (mod 10). Это означает, что а делится на 10.
2) Пользуясь тем, что 78 = 1 (mod 7), 55 = -1 (mod 7), получаем 78^^ = 1 (mod 7), 55l^ = (-l)i® (mod 7), т. e. 55^® = -1 (mod 7). Следовательно, a = 1 - 1 (mod 7), t. e. a делится на 7. A
Задача 2. Найти остаток от деления числа а на т, если:
1) а = 23^^ • 3721 4925, m = 3;
2) а = 5 2^3 + 7 . 449^ ^ ^ 15^
А 1) Числа 23, 37 и 49 не делятся на 3. Поэтому их квадраты при делении на 3 дают в остатке единицу, т. е. 23^ = 37^ = 49^ = = 1 (mod 3), откуда следует, что 23^® = 37^® = 49^'* = 1 (mod 3).
По свойствам сравнений
а S 23 • 37 49 = 2 • 1 • 1, т. е. а = 2 (mod 3).
Следовательно, искомый остаток равен 2.
2) Так как 2^ = 1 (mod 15), а 44 = -1 (mod 15), то 2^^ = = 2 (2‘1)1® = 2 (mod 15), 44^ = -1 (mod 15). Следовательно, а = 5 • 2 -Н -I- 7 • (-1), т. е. а = 3 (mod 15).
Поэтому искомый остаток равен 3. А
166
Задача 3. Доказать, что натуральное число а = Uq + lOai + + 10^02 + ... + 10"а„ делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма
S = Uq - ai + U2 + ... + (-1)”а„.
А Так как 10 = -1 (mod 11), то
10^ = 10^ = ... = 10^* = 1 (mod 11) при любом k е N,
10 = 10^ = ... = 10^*“ ^ = -1 (mod 11) при любом k е N.
По свойствам сравнений
а ^ ао - ai + а2 + ... + (-1)”а„ (mod 11).
Отсюда следует, что число а делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма S, составленная из цифр соответствующих разрядов, взятых с чередующимися знаками. ▲
Задача 4. Найти все натуральные числа п, при которых число а - 24л + 9 делится на 13.
А Пользуясь свойствами сравнений, запишем цепочку соотношений:
24л -1-9 = 0 (mod 13), 8л -f- 3 = 0 (mod 13),
64л = -24 (mod 13), -л = -24 = -11 (mod 13), л = 11 (mod 13).
Таким образом, число а делится на 13 тогда и только тогда, когда л - 11 = ISk, где k ^ N, т. е. при п = 11 + ISk.
Ответ, л = 11 -f ISk, k е N.
Упражнения
Доказать, что число а делится на число т (444—445).
1) а = (51 40)^® -Ь (53 77)^^ т = 13;
2) а = 2 • 5^^ + 9 • т = 19.
444
445. 1) а = 5 • 7^^^ -Ь 16^^ + т = 10;
.52
,130
2) а = 3 • 5^^ + 4^ 9®, лг = 19.
Найти остаток от деления числа а на число т (446—447).
1) а = 5 • 4^^ + 7 • 18^^ т = 17;
2) а = 12^^®, т = 19.
446
447. 1)а = 8^^^ + 5 • 10^ лг = 3;
448.
449.
450.
2) а = 2^®^ -Ь 40, лг = 17.
Доказать, что число 28 • 10^® - 10 • 18^® делится на 19. Доказать, что число 100^® - 50 • 16® делится на 49. Доказать, что число 42^®® + 53^^^ делится на 5.
167
§ 40. Решение уравнений в целых числах
Обратимся к линейным уравнениям с двумя неизвестными, т. е. к уравнениям вида
ах + by = с. (1)
Предположим, что а, Ь, с — целые числа, и поставим задачу — найти целочисленные решения уравнения (1), т. е. все пары целых чисел X, у, при которых уравнение (1) обращается в верное числовое равенство, или показать, что таких чисел нет.
Будем считать, что коэффициенты а, Ь, с уравнения (1) не имеют общего делителя, отличного от единицы (в противном случае разделим обе части уравнения на этот общий делитель).
Пусть d — наибольший общий делитель чисел а, Ъ. Возможны два случая: d = d ф 1.
В первом случае уравнение (1) имеет целочисленные решения, во втором не имеет. Справедливы следующие утверждения.
1. Если коэффициенты а 1Л Ъ уравнения ах + by = с являются взаимно простыми числами {d - 1), то это уравнение имеет, по крайней мере, одно целочисленное решение.
2. Если d ^ 1, но уравнение ах + by - с ylq имеет целочисленных решений.
3. Если d = 1, то уравнение ах + by = с имеет бесконечное множество целочисленных решений, которые задаются формулами
X = а bt, у = ^ - at, (2)
где (а; (3) — некоторое целочисленное решение уравнения ах + by = с, at — произвольное целое число.
О Ограничимся доказательством утверждений 2 и 3.
а) Докажем утверждение 2. Пусть уравнение (1) имеет целочисленное решение. Тогда существуют целые числа х и у, которые обращают уравнение (1) в верное числовое равенство.
Так как d — наибольший общий делитель чисел а иЬ, причем d 1, то а = md, Ь = nd, где тип — целые числа, не имеющие общих натуральных делителей, отличных от единицы (тип — взаимно простые числа).
Тогда равенство (1) примет вид dmx + dny = с, или
d(mx + пу) = с.
(3)
По предположению числа а, Ь, с не имеют общего делителя, отличного от единицы. Но из равенства (3) следует, что с делится на d, где d Ф 1, т. е. а, Ь и с имеют общий делитель d ^ 1.
Полученное противоречие означает, что уравнение (1) при d ^ 1 не может иметь целочисленных решений.
168
б) Докажем утверждение 3, опираясь на утверждение 1. Пусть (а; Р) — целочисленное решение уравнения (1), тогда является верным равенство
аа + ьр = с. (4)
Если (х; у) — произвольное целочисленное решение уравне-
ния (1), то равенство (1) является верным. Вычитая почленно из равенства (1) равенство (4), получаем
а(х - а)-\- Ыу - р) = О,
откуда следует, что
= (5)
С2-
Число а — целое и, кроме того, а и Ь — взаимно простые числа. Поэтому число X, определяемое формулой (5), будет целым тогда и только тогда, когда Р - у делится на а. Обозначим
t = (6)
тогда t — целое число, и равенство (5) примет вид
х = а + Ы,
а из (6) следует, что
у = Р -
Таким образом, доказано, что если (а; Р) — какое-либо целочисленное решение уравнения (1), то все решения этого уравнения задаются формулами (2), где f 6 Z. •
Замечание. Если (лтх; у^) — целочисленное решение уравнения ал: -Ь 6у = 1, то (cxi, cyi) является целочисленным решением уравнения (1), так как из верного равенства ал:1 -I- Ьух = 1 следует верное равенство
а(сл:1) -f b(cyi) = с.
Это утверждение часто оказывается полезным при отыскании решения уравнения (1).
Задача 1. Доказать, что уравнение 32л: + 56у = 17 не имеет целочисленных решений.
Д Левая часть уравнения при любых целых л: и у является четным числом, а правая — нечетным. Поэтому уравнение не может иметь целочисленных решений. К этому же выводу можно прийти, применяя утверждение 2. А
Задача 2. Найти все целочисленные решения уравнения 7л: -Ь 11у = 4.
А Рассмотрим уравнение 7л: -1- 11у = 1. Оно имеет целочисленное решение (-3; 2). Поэтому (см. замечание к утверждениям 1-3) исходное уравнение имеет целочисленное решение (-12; 8), а все
169
целочисленные решения этого уравнения задаются формулами (2), т. е.
X = -12 + lit, у = S - 7t, t е Z.
Ответ. X = -12 + lit, у = 8 - It, t е Z. к
Задача 3. Найти все целочисленные решения уравнения = у^ + 11.
Д Запишем уравнение в виде (х - у)(х + у) = II.
Так как делителями правой части уравнения являются пары чисел 1, 11 и -1, -11, то совокупность всех целочисленных решений уравнения совпадает с множеством всех целочисленных решений следующих систем уравнений:
X - ^ = 1, |х - ^ = 11, |х - I/ = -1, \х - у = -11,
X + у = II; [х + I/ = 1; [х 4- I/ = -11; [х -ь ^ = -1.
Решив эти системы, найдем все целочисленные решения исходного уравнения.
Ответ. (6; 5), (6; -5), (-6; -5), (-6; 5). к
Замечание. Из уравнения следует, что если найдено одно его целочисленное решение, то остальные три решения можно получить из этого решения, используя равенство (-а)^ = а^.
Задача 4. Доказать, что уравнение х^ - у^ = 2006 не имеет целочисленных решений.
Д Запишем уравнение в виде (х - у){х + у) = 2006.
а) Если числа хну являются одновременно четными или нечетными, то числа х - у и х + у — четные, и поэтому левая часть уравнения в этом случае делится на 4. Но правая часть не делится на 4. Поэтому в рассматриваемом случае уравнение не имеет целочисленных решений.
б) Если одно из чисел х, у четное, а другое нечетное, то х -Ь ^ и X - у — нечетные числа, и поэтому левая часть уравнения — число нечетное, тогда как правая часть уравнения — четное число. Следовательно, и в этом случае уравнение не имеет целочисленных решений, к
Задача 5. Найти все целочисленные решения уравнения Зх^ + 8ху - 16у^ = 19.
Д Разложим левую часть уравнения на множители:
3x2 + _ iQy2 ^ 3^2 _ ^^у + 12X1/ - 161/2 =
= х(3х - 4у) -Ь 4i/(3x - 4у) = (Зх - 4г/)(х + 4у).
Тогда уравнение примет вид
(Зх - 4^)(х -Ь 4у) = 19.
170
Так как делителями числа 19 являются числа ±1, ±19, то искомое множество решений содержится в множестве всех целочисленных решений следующих систем уравнений:
Зд: - 4i/ = 19, jSjc - 4i/ = 1, iZx - Ay = -19, \Sx - 4y = -1, X + Ay = 1; \x + Ay = 19; [x + Ay = -1; \x + Ay = -19.
Первая и третья из этих систем имеют целочисленные решения (5; -1) и (-5; 1), остальные не имеют целочисленных решений.
Ответ. (5; -1), (-5; 1). А
Задача 6. Найти целочисленные решения уравнения 2х^у^ + Ч- = 14/ ± 25.
А Выражая из уравнения х^ через у^, запишем его в виде х^ = 18
= 7 +
2/ + Г
Если у = О, то х^ = 25, х = ±5. Если / = 1, то х^ = 13, а если / = 4, то = 9, л: = ±3. При других целых значениях у знамена-
тель дроби
18
2/ + 1
больше числителя. Итак, уравнение имеет
уравнении
шесть целочисленных решении:
(5; 0), (-5; 0), (3; 2), (-3; 2), (3; -2), (-3; -2). А Задача 7. Найти все целочисленные решения системы 17/ ч- Sxy ч- / = 2,
[/ ч- 1/^ - 2д: ч- 8г/ ч- 16 = 0.
А Запишем второе уравнение в виде: (jc - 1)^ + (у + А)^ = 1.
Из этого уравнения следует, что (дс - 1)^ < 1 или |д: - 1| < 1. Неравенству |дс: - 1| < 1 удовлетворяют целые числа Xi = 0, Х2 =
Хз = 2.
Если X = о, то из второго уравнения находим у = -А. Пара чисел (1; -4) не удовлетворяет первому уравнению системы.
Если х = 1, To|i/ + 4j = l, откуда находим yi = -5, у2 = -3. Обе пары чисел (1; -5) и (1; -3) удовлетворяют первому уравнению системы.
Наконец, если х = 2, то 1/ = -4. Пара чисел (2; -4) не удовлетворяет первому уравнению системы.
Ответ. (1; -5), (1; -3). А
Упражнения
Найти все целочисленные решения уравнения (451—453).
451. 1) 42х - IQy = 37; 2) Зх + 61/ = 17.
452. 1) 7х + \Ъу = 3; 2) Их + 16г/ = 5.
453. 1) 10х + 21у = 1; 2) 21х + 4г/ = 3.
171
454.
455.
456.
457.
458.
Доказать, что не имеет целочисленных решений уравнение (454—455).
1) г/2 = Зх + 5; 2) = 9г/ + 8.
1) = г/2 + 1998; 2) - 2у^ = 204.
Найти все целочисленные решения уравнения (456—457). 1) 5x2 + _ 4^2 ^ 17. 2) 5^2 _ - 4x2 = 17.
1) Зху + 16х -Ь 13у + 61 = 0;
2) Зху + 19х + 10у -Ь 55 = 0.
Найти все целочисленные решения системы уравнений:
х^ + ху - у^ = 4,
1)
2)
х2 -ь 1/2 - 4х - 2^ -f 4 = 0;
х2 + 8ху + Пу^ = 2,
х2 -ь г/2 + 8х - 2^ -ь 16 = 0.
Упражнения к главе VI
459. Доказать, что число а делится на т, если:
1) а = 10® + 28® - 2, /тг = 9;
2) а = 16® + 31^ - 17, m = 15.
460. Доказать, что число (3/г + т + 5)®(дг + 5т + 2)^ делится на 64 при любых п е N, т е N.
461. Доказать, что число 13/г® - 7п делится на 6 при любых neN.
462. Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.
463. Доказать, что число п? - п делится на 7 при любом п & N.
464. Найти остаток от деления числа а на т, если:
1) а = 17®^ • 31“ • 47^®, m = 3;
2) а = 2^®^ + 18®\ т = 17.
465. Доказать, что число а делится на т, если:
1) а = 42®®^ + 53®“, m = 5;
2) а = 71®®^ + 41^®^ m = 7.
Найти целочисленные решения уравнения (466—467).
466. 1) 5х + Зу = 4; 2) 5х + 7у = 2.
467. 1) Зху + 10х - 13у = 35;
2) Зху - 10х + 16у = 45.
172
468. Доказать, что не имеет решений в целых числах уравнение:
1) 2001x2 + 2002 = 2) 2002x2 + 2003 = у^.
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
1. Доказать, что число 47“* + 93^ + 21 делится на 23.
2. Найти остаток от деления на 10 числа 2®^ Ч- 3^® + 7^^.
3. Доказать, что при любом п € N число 7п^ - 13л делится на 6.
4. Найти остаток от деления на 3 числа 25^^ + 17^.
5. Найти целочисленные решения уравнения 7х + Sy = 2.
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Можно считать, что простые числа являются основой всех целых чисел, так как любое из них можно записать в виде произведения простых чисел. Особое место среди целых чисел занимает единица. Многие века число 1 считалось особым: некоторые древние математики вообш;е не считали единицу числом, многие же математики вплоть до VIII в. считали ее простым числом. Сегодня для выстраивания теории чисел число 1 считают особым числом, не относяш,имся ни к простым, ни к составным числам.
Основной задачей теории делимости считается задача выяснения делимости одних целых чисел на другие, нахождения остатков от деления этих чисел. В основе теории делимости лежит утверждение, доказанное французским ученым Б. Паскалем (1623—1662): «Пусть натуральное число п > 1 записано в д-ичной системе:
п = Ukq'" -Ь -Н ... + a^q -Ь oq.
Обозначим через остаток от деления д® на р > 1(8=1, 2, ..., к) и составим число
т = akVk + ak-irk-i + ... -f a^r + Gq, тогда числа тип имеют одинаковые остатки при делении на р».
Рассмотренную в главе теорию сравнений (которую также нгизы-вают арифметикой сравнений, арифметикой остатков или арифметикой вычетов) разработал немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777—1855). Отметим, что для Ферма и Эйлера попытки создания в свое время такой теории не увенчались успехом.
ГЛАВА
VII
11“
JLi
МНОГОЧЛЕНЫ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 41. Многочлены
и арифметические действия над ними
Многочленом {полиномом) от одной переменной х называется выражение вида
Р(х) = Uqx'^ + alX'^~^ + ... + + ... + а^- \Х + а^, (1)
где Uq, Ui, ..., Ufi — числовые коэффициенты, 0.
Число п называется степенью многочлена Р{х). Форма (1) называется канонической или стандартной записью многочлена n-vL степени. Слагаемое адх” называется старшим членом многочлена Р(х), ао — старшим коэффициентом, а а„ — его свободным членом. Многочлен Р(х) = Uq, где Oq ^ О — заданное число, называют многочленом нулевой степени. Многочлен Р{х) = О называют нулевым многочленом.
Коэффициенты многочлена могут быть как действительными, так и комплексными числами. В дальнейшем (если не оговорено противное) будем рассматривать только многочлены с действительными коэффициентами (чаще всего с целыми коэффициентами); вместо X будем подставлять действительные, а в некоторых случаях — комплексные числовые значения.
Пусть с — некоторое число (действительное или комплексное). Значением многочлена (1) при х = с называется число Р(с), которое получится, если в (1) вместо х подставить число с и произвести указанные действия. Например, многочлен Q(x) = х^ - 2x2 + Зх - 5 принимает при х = 2 значение 1, так как
Q(2) = 2^- 2 2^+ 3 2-5 = 1.
Отметим, что Р(0) = а„, Р(1) = Oq + ... + а* + ... + а„, т. е. значение произвольного многочлена Р(х) при х = О равно свободному члену этого многочлена, а значение многочлена при х = 1 равно сумме всех коэффициентов этого многочлена.
Выражения вида ах*, где а — действительное, а /г — неотрицательное целое число, называют одночленом. Одночлены одинаковой степени называют подобными.
Два многочлена считаются равными, если их каноническая запись одинакова, т. е. коэффициенты этих многочленов соответственно равны. Иными словами, если
Р(х) = аох" + aix"“^ + ... + а„, (2)
174
Q(^:) = bQx"^ + biX
m - 1
(3)
— два многочлена в канонической записи, то по определению равенство Р(х) = Q(x) имеет место в том и только в том случае, если т - п и коэффициенты многочленов соответственно равны, т. е. По = Ьо, ai = biH т. д.
Из этого определения следует, что если Р(х) и Q{x) — равные многочлены (т. е. многочлены, имеющие одинаковую каноническую запись), то для любого числа с значения этих многочленов при X = с совпадают, т. е. Р(с) = Q(c).
Справедливо и обратное утверждение: если для любого числа с выполняется равенство Р{с) = Q(c), то Р{х) = Q(x).
Можно доказать (об этом будет сказано в § 44), что справедлива следующая теорема, существенно усиливающая приведенное выше утверждение.
Теорема. Пусть Р(л:) и Q(x) — два многочлена, степень каждого из которых не превосходит п. Тогда, если значения многочленов Р{х) и Q(a!:) совпадают в (п -f 1) точках (эти точки различны), то Р{х) = Q(x).
Сумма, разность и произведение двух многочленов также являются многочленами. Пусть даны многочлены Р(х) и Q(j:), определяемые формулами (2) и (3).
Суммой этих многочленов называется многочлен, полученный сложением одночленов, составляющих многочлены Р{х) и Q(jc), и приведением подобных членов.
Произведением многочленов Р(х) и Q(x) называется многочлен, составленный из произведений всех членов многочлена Р(д:) на все члены многочлена Q(x).
Задача 1. Найти сумму и произведение многочленов Р(х) = = Зл:^ + 2х^ - X - 2 и Q(x) = х^ + х - 3.
А 1) Р(х) + Q(x) = Зх^ + 2х^-х-2 + х^ + х-3 = Зх^ +3x^-5,
2) P(x)Q(x) = (Зх^ + 2х^-х- 2)(лг2 + х - 3) = Зх^ + Зх^ - 9х^ + + 2х^ + 2х^ - 6х^ -х^-х^ + 3х-2х^-2х +6^ Зх^ + 5х^ - 8х^ -
- 9х^ + X + 6. А
Задача 2. Найти неизвестные коэффициенты а, Ь, с, при которых будет выполняться следующее равенство:
8x'^ - х^ - 5х^ + 4х + 1 ^ (2х -f 3)(ал:^ + Ьх^ + сх - 1) - 7х^ + 4.
Д Перемножая многочлены в правой части равенства и приводя подобные члены, получаем
8х^ - х^ - 5х^ + 4х + 1 =
= 2ах^ + 2Ьх^ + 2сх^ - 2х + Зах^ + ЗЬх^ + Зсх - 3 - 7х^ + 4 =
= 2ах^ -Ь (2Ь + За - 7)х^ -Ь (2с -Ь ЗЬ)х^ + (Зс - 2)х + 1.
175
Из определения равенства многочленов следует, что 2а = 8,
2Ь + За - 7 = -1,
2с + ЗЬ — —5,
Зс - 2 = 4.
Отсюда получаем а = 4, Ь = -3, с = 2. А
Вычесть из многочлена Р(л:) многочлен Т{х) — это значит найти такой многочлен что Р{х) = Q(x) + Т(х). Многочлен Q(x)
называют разностью многочленов Р(х) и Т(х). Для любых двух многочленов Р(х) и Т(х) существует и притом только один многочлен Q(x), являющийся их разностью. Он записывается в виде Q(x) = Р(х) - Т(х).
Замечание. Пусть Р(л:) и Q{x) — многочлены степени пит соответственно, ао и t>o — их старшие коэффициенты, Р(л:) + Q(x) = = 5(л:), Р{х) - Q(x) = Т{х), P{x)Q(x) = P(jc). Тогда степень каждого из многочленов S(x) и Т(х) не превосходит наибольшего из чисел пит, степень многочлена Щх) равна п + т, а. старший коэффициент многочлена R(x) равен ао^о-
Задача 3. Дан многочлен R(x) = (2х^ - Зх^ + 4х - 5)^(х^ -- X + 1)^. Найти:
1) свободный член многочлена R(x);
2) сумму коэффициентов многочлена Д(л:);
3) значение многочлена Р(л:) при х = 2.
А 1) Свободный член многочлена R(x) равен Я(0), где Я(0) = = (-5)^1^ = 25.
2) Сумма коэффициентов многочлена R{x) равна Я(1), где Я(1) = = {2-3 + 4- 5)2(1 - 1 -f 1)^ = 4.
3) Я(2) = (2 8- 34-Ь42 - 5)^(4 - 2 + 1)^ = 49 27 = 1323. А
Задача 4. Доказать, что при любых п ^ N, т ^ N верны равенства:
1) + ах'^~^ -ь + ... + а'^~^х + а”)(л: - а) = -
(4)
2) {х^'^ - ах^"^~ ^ -Ь а^х^'^~^ + ... + а^'”"^х^ - ~^х + а^'”)(л: +
+ а) = X
_ + 1
-I- а
2т + 1
(5)
А Доказательство формул (4) и (5) можно получить, выполнив действие умножения многочленов.
Приведем другое решение, используя формулу суммы п членов геометрической прогрессии:
.П+ 1
1 + t +
-h =
1 - С 1 - t
t + 1.
176
Отсюда, полагая t = —, получаем
JC
(6)
Умножив обе части равенства (6) на л:"''’ получим формулу (4).
Заменяя в равенстве (4) п на 2т, а на -а, получим формулу
(5). А
Упражнения
469. Найти сумму коэффициентов многочлена
Р(х) = (1 + 2х- 4x^f^^(l -5х + Зх^У^.
470. Найти свободный член многочлена
(2х^ - 5х + 6)(4jc^ - Зх^ - 2)®.
471. Найти коэффициент при х^ многочлена
(Зх^ -4х + 5)(л:^ - 2х^ + Зх - 1).
тт « РО) - Л-1)
472. Наити значение ----—, если
Р(х) = 1 + 2х + Зх^ + ... + 11х^^.
473. Найти числа а, Ь, с, при которых справедливо равенство Зх"^ + 7х^ + Зх^ + X + 2 = (ах^ + Ьх^ - х + с)(х + 1).
474. Найти значение многочлена Р(х) при jc = с, если
Р(х) = + 9х^ + 27х + 29, с = -3 -
§ 42. Деление многочленов. Схема Горнера
Особое место в теории многочленов занимает деление одного многочлена на другой.
Пусть заданы многочлен P(x) степени л > 1 и ненулевой многочлен Т(х). Если суп^ествует такой многочлен Q(jc), что для всех х выполняется равенство
Р(х) = Т(х) Q(x), (1)
то говорят, что многочлен Р(х) делится на многочлен Т{х) или Т{х) делит Р{х)у а формулу (1) называют формулой деления многочленов, многочлен Q(x) называют частным.
Простые примеры показывают, что один многочлен делится на другой не всегда. Например, многочлен -Ь 3 не делится на многочлен X + 1. Действительно, в противном случае имело бы место равенство -Ь 3 = (л: -Ь 1) • Q(x), где ^(л:) — некоторый многочлен. Но при X = -1 левая часть этого равенства принимает значение 4,
7 Колягин, 11 кл.
177
а правая — значение 0. Следовательно, написанное соотношение не может иметь места ни при каком Q(x).
Итак, в множестве многочленов деление осуш;ествимо не всегда. Однако имеет место более обш,ая операция, называемая делением с остатком.
Пусть заданы многочлен Р(х) степени п> 1 и ненулевой многочлен Т(х) степени т > 1, где m < л. Говорят, что многочлен Р(л:) делится на многочлен Т{х) с остатком, если найдутся такие многочлены Q(jc) и Щх), что для всех х выполняется равенство
Р(д:) = Т(х) • Q(x) + Щх),
(2)
где многочлен Q(x) — {неполное) частное, степень которого k = п -
- т; а Щх) — остаток, степень которого р < т.
Тождественное равенство (2) называют формулой деления многочленов с остатком.
Если остаток Щх) = 0, то говорят, что многочлен Р{х) делится нацело на многочлен Т{х).
Справедлива следующая теорема о делении многочленов с остатком.
Теорема. Для любых многочленов Р{х) и Т{х), где Т(х) -Ф- 0, существует пара многочленов Q(x) и i?(jc) таких, что выполняется равенство Р(х) = Т(х) • Q(j:) -I- Я(л:), причем степень многочлена В(х) меньше степени многочлена Т(х).
Пара многочленов, удовлетворяющих условиям теоремы, единственна.
Задача 1. Показать, что многочлен Р(х) = Зх^ - 8х^ + 5х - 2 делится на л: - 2 и найти частное.
А Преобразуем многочлен Р(х), выделяя слагаемые вида ах^(х -
- 2), Ьх(х - 2), с{х - 2). Получим Р{х) = Зх^{х - 2) - 2х{х - 2) -Ь X - 2, откуда Р(л:) = (д: - 2)(3х^ - 2д: -I- 1).
Таким образом, многочлен Р(д:) представлен в виде (1), где Т{х) = X - 2, Q(x) = Зх^ - 2х 1 — частное, к
Деление многочлена Р{х) можно выполнить, используя метод деления уголком. Данный метод состоит в следующем.
1) Первое слагаемое частного (Зд:^) получаем делением старшего члена делимого (Зд:^) на старший член делителя (д:).
2) Найденное первое слагаемое частного Зд:^ умножаем на делитель (д: - 2), результат умножения Зд:^ - бд:^ записываем под делимым и вычитаем столбиком из делимого; в результате получаем первый остаток -2д:^ -I- 5д: - 2.
3) Первый остаток делим на д: - 2 (делитель) и повторяем процедуру, описанную в п. 1) и 2).
178
х-2
Приведем запись деления.
_ Зд:^ - 8д:2 + 5д: - 2
Зх^ - 6х^______ Зх^-2х+1
-2д:2 + 5д: - 2 -2д:^ + 4х
х-2
х-2
О
Замечание. Для нахождения частного можно использовать метод неопределенных коэффициентов, полагая Q(x) = ах^ + Ьх + с.
Так как старший коэффициент многочлена Р(х) равен 3, то а = 3. Кроме того, свободный член многочлена Р(х) равен Р{0) = -2. Так как Р(0) = Q(0) Т(0) = с (-2), то с = 1.
Для нахождения Ь следует приравнять коэффициенты при х в равенстве
Зх^ -8х^ + 5х-2 = (х- 2)(3х^ + Ьх + 1).
Получим 5 = 1 - 2Ь, откуда Ь = -2.
Задача 2. Выполнить деление с остатком многочлена Р(д:) = - Зд:^ + 2х^ + х - Ь на многочлен Т(х) = х^ + 2х - 3.
А Используем метод деления уголком:
д:^ - Зд:3 -Ь 2дг2 -I- д: - 5 д:^ -Ь 2х^ - Зд:^
_ -5д:« + 5х^ + х-5 -5х^ - 10х^ + 15х
х^ + 2х-3
х^-5х + 15
_15д:2-14д:-5 15д;"-Ь30д:-45 -44д: + 40
Здесь частное равно дг^ - 5д: -f 15, а остаток равен -44д: + 40. Таким образом,
д:^ - Зд:^ -к 2д:^ + д:- 5 = (х^ + 2х - 3) - Ьх + 15) + (-44д -н 40). ▲
делимое
делитель
частное
Задача 3. Многочлен Р(д:) при делении на д: - 1 дает остаток 3, а при делении на д: - 2 — остаток 4. Найти остаток от деления Р(д:) на (д: - 1)(д: - 2).
А Пусть Р(д:) — искомый остаток. Тогда Р(д:) = ах + Ь, так как степень делителя равна двум. В этом случае формула (2) имеет вид Р(д:) = (х- 1)(х - 2)Т(х) + ах+ Ь. (3)
По условию
Р(х) = {х- 1)А{х) + 3, (4)
Р(д:) = (д: - 2)В(д:) -Ь 4. (5)
179
Подставляя л: = 1 в формулы (3) и (4), получаем
Р(1) = а + Ь = 3. (6)
Аналогично, из формул (3) и (5) при х = 2 находим
Р(2) = 2а + Ь = 4. (7)
Из уравнений (6) и (7) находим а = 1, Ь = 2. Следовательно, искомый остаток равен х 2. к
Деление многочлена на многочлен можно выполнить, используя так называемую схему Горнера.
Рассмотрим деление многочлена Р{х) = Uqx’^ + ... + +
+ ... + а„ (по О, п > 1) на двучлен х - с. Разделив с остатком, получим
Р(х) = (х- c)Q(x) + R, (8)
где неполное частное — многочлен
Q(j:) = -Ь bix'^-^ + Ьп-2Х + bn-i
степени п - 1, а остаток R — число.
Из равенства (8) следует, что
Р(х) = Uqx'^ + aix'^~^ + ... -Ь + ... + a^-iX + =
= (Ьол:”" ^ + bix'^~^ + ... + bn-2Х + bn-i)(x - с) + R =
= + (bi - cbo)x'^-^ + (bz - cbl)x'^-^ + ...
... -t- (bn-i - cbn-2)x + (R- cbn-i).
По определению равенства многочленов &о = Ло, bi = cbQ + Ui, ..., bn-i = cbfi-2 o,n-\y ^ + По-
такая цепочка для вычисления коэффициентов Ь^и R записывается в виде таблицы, заполняемой слева направо.
лиаффиДИВИТЬ! двлилш1и
«0 ... ... «п-1
1 1 1 Число с . Ар, = Ьо c6o + ai ... cbf^ -1 + л* ... СЪп-2 + (^п-1 сК-1 + Ч
= Ьх -к = К-х = R
Коэффициенты частного Q(jc) Остаток R
Эта таблица называется схемой Горнера.
В первой строке этой таблицы записываются последовательно коэффициенты Uq, ai, ..., а„ многочлена Р(л:). Слева во второй строке стоит число с, а далее в клетках строки последовательно идут коэффициенты многочлена-частного Q(x) и остаток R. Вторая строка заполняется по следующему правилу.
В первую клетку надо записать число Oq из первой клетки первой строки. Во вторую клетку надо записать число ах из вто-
180
рой клетки первой строки и прибавить к нему произведение числа с на предшествующий элемент (число Ьо = а^) второй строки. Каждая следующая клетка второй строки заполняется аналогичным образом: к стоящему над ней числу первой строки прибавляется произведение числа с на предшествующее число второй строки.
Задача 4. Найти частное и остаток от деления многочлена Р(х) = 2х^ - 5х^ - Sx + 2 на двучлен х - д.
А Воспользуемся для решения схемой Горнера. Заполним таблицу
Коэффициенты делимого Р(х)
2 0 -5 0 -8 2
3 2 2 3-Ь0 = б 3 6-5 = 13 3 13-1-0 = 39 3 39-8=109 3 • 109-1-2 = 329
^ ^ »
Коэффициенты частного Q(x)
Остаток R
Получаем частное Q(jc) = 2х^^ + 6х^ + ISx^ + 39л: -Ь 109 и остаток R = 329, т. е. Р(л:) = (2х^ -Ь блг^ + 13х^ -Ь 39л: -Н 109)(л: - 3) + 329. А
Отметим некоторые следствия из полученной выше схемы Горнера.
Следствие 1. Если По, ai, ..., а„ и с — рациональные числа, то Ьо, bi, ..., Ь„_1 и i? — также рациональные числа.
Следствие 2. Если По, ai, ..., и с — целые числа, то Ьо» bi, ..., Ь„_1 и /г — также целые числа.
Следствие 3. Многочлен Р(х) делится нацело на двучлен л: - лго тогда и только тогда, когда его значение при х = Xq равно нулю, т. е. Р(лго) = 0.
Упражнения
475. Разделить многочлен Р(л:) на многочлен Т(х), если:
1) Р(х) = х^ - 2х^ -5х + 6, Т(х) = х-1;
2) Р(х) = х^ - х^ -8х + 12, Т(х) = х-2.
Найти частное Q{x) и остаток Щх) от деления многочлена Р(х) на многочлен Т(х) (476—477).
476. 1) Р(л:) = 6х^ + 5л:2 - 4л: - 4, Т(х) = 2х + 3;
2) Р(х) = бл:^ - 4д;2 + 12л:, Т(л:) = Зл: - 2.
477. 1) Р(х) = 2х^ + х^ - х^ - Зх - 1, Т(х) = х^ + 2х + 2;
2) Р(х) = Sx^ - 4х^ - 16х^ - 4х + 9, Т(х) = 2х^ - х - 1.
478. Многочлен Р(х) при делении на двучлен Зл: - 2 дает в остатке 2, а при делении на двучлен л: -Н 2 дает в остатке -10.
Найти остаток В(х) от деления Р(л:) на (Зл: - 2)(л: + 2).
7* Колягин, II кл.
181
479. Не проводя деления, найти остаток R(x) от деления многочлена Р(х) = х^^ -Ь х^^ -f 4 на многочлен Т(х) = х^ - 1.
480. Остатки от деления многочлена Р{х) над:-1-1,л:-2,д:-3 равны соответственно 3, 1,-1. Найти остаток от деления многочлена Р(х) на многочлен
Т{х) = {х + 1)(х - 2){х - 3).
481. Применяя схему Горнера, найти частное Q(a:) и остаток R при делении многочлена Р(х) на двучлен х - с, если:
1) Р(х) = -9х'^ + 13д:4 +Ых- 4,с = -1;
2) Р(х) ^х^ + 9х^ -Ь 16х^ -10, с = 2.
§ 43. Алгебраическое уравнение и его корни. Теорема Безу
Число с называется корнем многочлена Р(х), если Р(с) = 0. Алгебраическим уравнением называется уравнение
Р{х) = о, (1)
где Р(х) — многочлен.
Если Р(х) — многочлен п-й степени, то уравнение (1) называют алгебраическим уравнением п-й степени.
При решении алгебраических уравнений часто применяется следуюпцая теорема, которую называют теоремой Безу.
Теорема 1 (Безу). Остаток R от деления многочлена Р{х) на X - с равен Р(с), т. е. равен значению этого многочлена при X = с.
О Воспользуемся формулой деления многочлена Р(х) на двучлен л: - с, т. е. формулой
Р(х) = Q(x)(x - с) + R(x),
где остаток й(л:), если он не равен нулю, является многочленом, степень которого меньше степени делителя х - а, т. е. равна нулю. Поэтому R(x) является числом, т. е. R(x) = R. Итак,
Р(х) = Q(x)(x - с)+ R. (2)
Подставляя в равенство (2) вместо х значение с, получаем
R = Р(с). •
Теорема 2 (следствие теоремы 1).
Число с является корнем многочлена Р(х) тогда и только тогда, когда многочлен Р(х) делится (нацело) на двучлен л: - с, т. е.
Р(х) = Qix)ix - с). (3)
О Пусть X = с — корень многочлена Р(х), т. е. Р(с) = 0. По теореме Безу Р(с) = R. Следовательно, Р = 0, и из формулы (2) следует
182
равенство (3). Это означает, что многочлен Р(х) делится на л: - с нацело.
Пусть i? = О, тогда из (2) следует, что справедливо равенство (3), из которого при X = с получаем Р(с) = О, т. е. с — корень многочлена Р(л:). А
Задача 1. Найти остаток от деления многочлена Р(х) на х - с, если:
1) Р(д:) = (2х^ -4х + 5)Н2х + 3)^ с = 1;
2) Р(Х) = (4Х^ - 3x2 + ^ ^ _1
Д 1) По теореме Безу R = Р(1) = 32 • 5^ = 1125.
2)R = Р(-1) = 2^ • 24 = 128. А
Задача 2. Выяснить, делится ли нацело многочлен Р(х) на многочлен Т(х), если:
1) Р(х) = х^~ 5x2 + _ 10^ Y’Cx) = X - 2.
2) Р(х) = х4 - х^ - л:2 - X - 2, Г(х) = х2 - х - 2.
Л 1) Так как Р(2) = 8 - 20 -Ь 22 - 10 = 0, то по теореме 2 многочлен Р(х) делится на X - 2.
2) Так как Т(х) = (х -I- 1)(х - 2), Р(-1) = 0, Р(2) = 0, то по теореме 2 многочлен Р(х) делится и на (х -f 1) и на (х - 2), а потому делится на Т(х). А
При нахождении целых корней алгебраического уравнения часто оказывается полезным следующее утверждение.
Теорема 3. Если все коэффициенты многочлена Р(х) = аох" -I- alx'^~^ 4- ... 4- a„_ix -Ь а„ являются целыми числами, то всякий целый корень этого многочлена является делителем свободного члена а„.
О В самом деле, пусть с — целый корень многочлена Р(х), т. е.
Р(с) = аос” 4- 4- ... 4- a„_ic 4- а„ = 0.
Тогда
йп = -с(аос"“1 -Ь aic'^-2 + + a„_i).
Так как число, стоящее в скобках, является целым (ибо все коэффициенты Uq, ai, ..., a„_i и число с — целые), то а„ делится на с. •
Задача 3. Решить уравнение
х4 _ хЗ - 7jc2 + 5х 4- 10 = 0.
Д Обозначим Р(х) левую часть уравнения.
Делителями свободного члена 10 многочлена Р(х) являются числа ±1, ±2, ±5, ±10.
Легко проверить, что Р(-1) = Р(2) = 0 и поэтому -1 и 2 — корни уравнения, а многочлен Р(х) делится нацело на многочлен Г(х) = (х ± 1)(х - 2) = х2 - л: - 2.
183
Разделив Р(х) на Т{х), например уголком, найдем частное Q(x) = х^-5.
Так как корнями многочлена Q(x) являются числа л/б и -V5, ТО множество корней уравнения состоит из чисел - 1, 2, Vs, -Vs.
Ответ. -1, 2, Vs, -Vs. А
Упражнения
482. Найти остаток от деления многочлена
4х^ - Зх^ + Sjc - 6 на X - 2.
483. Найти остаток от деления многочлена
(х^ - 2х^ + 5f(2x + if на х + 1.
484. Выяснить, делится ли многочлен
х'^ - 2х^ + 5х^ + 26л: - 11 на д: + 2.
485. Выяснить, делится ли многочлен
2л:^ - х^ + х^ - X - 1 на х^ ~ 1.
Решить уравнение (486—488).
486. х^ - 2х^ - X + 2 = 0.
487. + 2jc^ - Зл: - 6 = 0.
488. х^ - х^ -Ьх^ + Зх+ 2 = 0.
489. Один из корней уравнения х^ - Зл:^ + ал: - 6 = 0 равен 2. Найти а и два других корня этого уравнения.
490. Уравнение 2х^ + тх^ + пх + 12 = 0 имеет корни л:1 = 1, Х2 - -1. Найти третий корень этого уравнения.
§ 44. Разложение многочлена на множители
Обратимся к вопросу о разложении многочлена на множители и связанному с ним вопросу о числе корней алгебраического уравнения. Основной здесь является следующая теорема.
Теорема 1. Любой многочлен
Р(х) = аол:” -1- ахл:"“^ -f ... -f а„_1л: -f а„, где ао 5* о, п > 0, может быть представлен в виде
Р(д:) = ао(л: - Ci)(jc - Cg) ... (х - с„). (1)
Это разложение единственно (если не учитывать порядок расположения сомножителей).
Доказательство теоремы 1 основано на следующей теореме, которую называют основной теоремой алгебры.
184
Теорема 2. Любой многочлен Р{х)^ степень которого отлична от нуля, имеет, по крайней мере, один корень.
В этой теореме коэффициенты многочлена и его корни могут быть действительными или комплексными числами.
Из теоремы 1 следует, что если многочлен Р{х) представлен в виде (1), то числа Cj, Сз, ..., являются его корнями и других корней этот многочлен не имеет.
Среди чисел Cj, С2, ..., с„ могут быть и равные. Если среди них число с встречается k раз, а все остгшьные числа отличны от с, то с называют корнем многочлена Р(х) кратности k или /г-кратным корнем этого многочлена.
Если каждый корень многочлена Р{х) считать столько раз, какова его кратность, то теорему 2 можно сформулировать так: каждое алгебраическое уравнение степени п имеет ровно п корней.
Обратимся теперь к теореме, сформулированной в § 41, и докажем ее.
Пусть Р(х) и Q(x) — два многочлена, степень каждого из которых не превосходит п, и пусть выполнены соотношения P(Cl) = Q(Ci), Р(С2) = Q(C2), ..., Р(С„ +i) = Q(C„ +i), где Cl, C2, ..., Cn + i — различные числа. Тогда многочлен f(x) = = Р(х) - Q(x) обраш;ается в нуль в п + 1 точках Ci, С2, ..., с„ +i, т. е. имеет не меньше/г-1-1 корней. Заметим теперь, что степень многочлена f(x) не превосходит п. Если бы этот многочлен был отличен от нуля и имел степень k, то уравнение f(x) = О имело бы ровно k корней (считая их кратности), т. е. имело бы не большей корней. Но это противоречит сказанному ранее. Следовательно, многочлен f{x) = Р(х) - Q(x) равен нулю, т. е. Р{х) = Q(x).
В заключение рассмотрим вопрос о представлении многочлена п-й степени с действительными коэффициентами в виде произведения многочленов вида
(х - а)* и (х^ + рх + дУ, (2)
где а, р, д — действительные числа, р^ - Ад < О, k, I — натуральные числа.
Пусть Q(o:) = х^- рх + д — многочлен второй степени (квадратный трехчлен) с действительными коэффициентами и пусть £) = р2 _ 4^ < 0. Тогда корнями уравнения Q(a:) = 0 являются (см. § 25) комплексно сопряженные числа
= " 2 ^ " 4 =
и других корней многочлен Q(a:) не имеет.
Это утверждение остается в силе и для многочлена степени п > 2 с действительными коэффициентами, т. е. справедлива следующая теорема.
185
Теорема 3. Если Xq = сх + ф (Р 0) — комплексный корень многочлена Рп(х) степени л > 2 с действительными коэффициентами, то число ^ = а - ip также является корнем этого многочлена.
Для доказательства этого утверждения следует воспользоваться свойствами комплексно сопряженных чисел: Zi + Z2 = ^ -f ад = 2i •
Пусть х = а — действительный корень кратности k многочлена Рп(х) степени п > 2 с действительными коэффициентами. Тогда многочлен Рп(х) делится на (х - а)* и его можно представить в виде
Р„(х) = ао(х - afQ(x),
где Uq — старший коэффициент многочлена Рп(х), Q(^:) — многочлен с действительными коэффициентами, для которого число а не является корнем.
Пусть дго = а -Ь ip (Р 0) — комплексный корень многочлена Рп(х) с действительными коэффициентами. Тогда по теореме 3 число Хо также является корнем этого многочлена и поэтому многочлен Рп(х) делится (нацело) на многочлен q{x) = {х - Xq)(x - Хо) = (х - а - iP)(jc: - а + ф) = (х - а)^ + р^ =
= х^ + рх + q, где - 4q = -4р^ < 0.
Если ^ — корень этого многочлена кратности s, то многочлен Pfi(x) делится на многочлен (х^ + рх + qY. Зная все действительные и комплексные корни многочлена Рп(х), его можно представить в виде произведения множителей вида (х - а)^ и (л:^ + рх + д)®.
Задача 1. Разложить многочлен Р(х) на множители вида (2) с действительными коэффициентами, если
Р(х) = х^ - 2х^ + X - 2.
А Р{х) = х\х - 2) + {X - 2) = {х - 2)(jc2 -Ь 1). А
Задача 2. Разложить многочлен Р(х) на множители, если Р(л:) = х'^ - х^ - х^‘ - X - 2.
А Так как делителями числа -2 являются числа ±1, ±2, то целыми корнями уравнения Р(л:) = 0 могут быть только эти числа.
При л: = -1их = 2 многочлен Р(х) обраш,ается в нуль, и из теоремы 2 § 43 следует, что многочлен Р(х) делится на (х -f 1)(л: - 2) и представляется в виде
Р(х) ^{х^ - X - 2)Q(x).
Для нахождения Q(л:) можно либо разделить Р(х) на х^ - х - 2, либо преобразовать многочлен Р(л:), выделяя множители л: -Ь 1 и
д: - 2.
186
Так как Р{х) = - х - 2 = х\х + 1) - 2х\х + 1) +
+ х{х + 1) - 2{х + 1) = (дс + l)(x^ - 2х^ -\г X - 2), х^ - 2х^ Л- X - 2 = = х\х - 2) + (х - 2) = (х - 2)(х^ + 1), то
Р{х) = (х+ 1)(х - 2)(х^ + 1). А
Упражнения
Разложить многочлен на множители (491—492).
491. Р(х) = - 5x2 + б.
492. Р(х) = х^ + х^ - X - 1.
На множестве R разложить многочлен на множители (493—495).
493. Р(х) = х^ + 5x2 + б.
494. Р(х) = х^ + 4.
495. Р(х) = х^ + х2 + 2x2 + 4х - 8.
496. При каком условии многочлен х^ + рх + q имеет два равных корня?
§ 45. Многочлены от двух и трех переменных
Многочлен от переменных х и у — алгебраическая сумма одночленов вида ах'^у'^, где а — заданное число (действительное или комплексное), k, т — неотрицательные целые числа.
Аналогично, многочлен от переменных х, у, z — алгебраическая сумма одночленов вида ax^y'^z'^, где а — число, k, т, п — неотрицательные целые числа.
Примеры таких многочленов:
Р(х, у) = Зх2у + 4x1/ -Ь 71/ -Н 5,
Q(x, у, Z) = Ix^yz -Н 2xyz -f- 4.
Многочлен Р(х, у) называют однородным многочленом степени л, если
P{tx, ty) = f"P(x, у).
Например, многочлен Р(х, у) = Зх^ -Ь 2х^-у -f- 4у^ является однородным многочленом третьей степени.
Многочлен Р(х, у) называют симметрическим, если он не изменяется при замене х на I/, а i/ на х.
Например, многочлен Р(х, у) = х^ - 2ху -Ь у^ является симметрическим многочленом.
Многочлены х + у и ху являются простейшими симметрическими многочленами, а любой симметрический многочлен можно представить в виде многочлена от и и и, где
и = X + у, V = ху.
187
При решении систем вида
Р{х, у) = О,
[Q(x, у) = О,
где Р и Q — симметрические многочлены, часть приходится выражать через и и V многочлена вида + у'^, п е N, п > 2.
Суммы $2, S3, S4, S5 выражаются через u = x + ynv = xy формулами:
S2 - х^ + у^ = - 2и, (1)
Ss = х^ + у^ = - Suv, (2)
S4 = + 1/4 = _ 4ц2у + 2у2, (3)
= х^ + у^ = - 6u^v + buv^. (4)
Формулы (1), (2) можно доказать, используя равенства х^ + у^ = (х + yf - 2ху, х^ + у^ = (х + у)Цх -f у)^ - 2ху).
Задача 1. Доказать формулу
S„ = х" + I/" = uSa-I - vSn-2, п> 2.
А Воспользуемся равенством
_ 1 = (л: +. у){х^^ - 4 + I/” -1) = л:” + i/'^ + ху{х^ + у^^\
(5)
откуда следует формула (5), с помощью которой можно выразить через UVIV суммы S4, S5, Sq и т. д. А
Задача 2. Решить систему уравнений
^ ^2у2 + = 91,
[^2 - ху + у^ = 1.
А Это — симметрическая система. Полагая х-\-у = и, xy = vvi используя формулы (1), (3), запишем ее в виде
- Au^v -ь Зу2 = 91,
=1 + 3v.
Исключая из этой системы и^, получаем
(7 -f Svf - 4(7 -Ь 3v)v + 3v^ = 91
или 14у = 42, откуда v -3, = 16. Следовательно, исходная сис-
тема равносильна совокупности двух систем
\х + у = А, \х-\-у = -А, ху = 3; [ху = 3.
Ответ. (1; 3), (3; 1), (-1; -3), (-3; -1).
188
(6)
Задача 3. Найти действительные решения системы уравнений
= 7,
[х^у - ху^ = 2.
А В левых частях уравнений — однородные многочлены. Разложив их на множители, запишем систему в виде
\0с - у)(х^ + ху + у^) = 7,
[(х - у)ху = 2.
Разделив уравнения системы (6) почленно, получим уравнение
^ +1 + ^ = |.
У X 2^
которое вместе с первым уравнением исходной системы образует систему, равносильную исходной.
Полагая ^ = t, получаем 2t^ - 5^ -Ь 2 = О, откуда ti = 2, t2 =
X
1 X
= -, т. е. у = 2jc, у = —. Если у - 2х, то из первого уравнения
А ^
находим х^ = -\, откуда Xi = -1 (другие корни уравнения х^ = -1 не являются действительными) и поэтому ух = -2.
Аналогично, если у - то = 8, откуда х = 2, у = 1. Ответ. (-1; -2), (2; 1). А
Обратимся к симметрическим многочленам Р(х, у, г) с тремя переменными. Это многочлены, которые не меняются, если поменять местами любую пару из переменных х, I/, 2.
Простейшими симметрическими многочленами являются многочлены
и = X + у + 2, V = ху XZ + yz, W = xyz, а примером простейшей симметрической системы является система вида
X + у + Z = а,
ху + XZ + yz = Ь, (7)
[xyz = с.
Система (7) и кубическое уравнение
- at^ + Ы - с = 0 (8)
связаны следующим образом.
Если ti, ^2» h — корни уравнения (8), то система (7) имеет шесть решений: (fj; tz; h), (^i; h; tz), (tz; ti; ^з), (tz; ti), (^з; ^2;
189
^2)> получаемых всевозможными перестановками трех чисел t-S' Обратно, если (jcq, Уо, 2q) — решение системы (7), то
^0» УО’ ^0 — корни уравнения (8).
Доказательство этого утверждения основано на использовании формул Виета для корней уравнения (8):
+ ^2 ^3 ~ П,
^1^2 + ^2^3 + hU — Ь,
Для сведения к системам (7) систем симметрических уравнений вида
X + у + Z = А,
+ у^ + = В,
xyz = С;
X + у + Z = А, х^ + у^ + z^ = В, х^ + у^ + z^ = С;
х^ + у^ + z^ = А, ху + XZ + yz = В, xyz = С;
X + у + Z = А, ху + XZ + yz = В, х^ + у^ + z^ = С
можно использовать следующие тождества:
х^ + у^ + z^ = {х + у + z)^ - 2(ху + XZ + yz), (9)
(х + у + z)^ = х^ + у^ + z^ + 3(л: + у + z)(xy + xz + yz) - Sxyz, (10) {x + у + z)(x^ + y^ + z^ - xy - xz - yz) = x^ + y^ + z^ - Sxyz. (11)
Задача 4. Пусть x + у + z = и, ху + yz + zx = v, xyz = w. Выразить симметрический многочлен x^ + y^ + z^ через элементарные симметрические многочлены и, v, w.
Д Используя равенства
{х у + z)^ = ((л: ^ у) + zf = (х -Ь у)^ -Ь 3(л: + y)^z -Ь 3(д: -Ь y)z^ -(-
z^ = х^ + у^ + z^ + Sx^y + Sxy^ -I- Sx^z + 3y^z -f- Qxyz + 3xz^ +
-b 3yz^ = x^ + y^ + z^ + 3xy(x + у + z) + 3xz(x + у + z) +
-b 3yz(x + у + z) - 3xyz = x^ + y^ + z^ +
-b 3(л: + у + z)(xy + xz + yz) - 3xyz,
получаем
x^ + y^ + z^ ^ (x + у + z)^ - 3(x + у + z)(xy + xz + yz) + 3xyz,
T. e. x^ + y^ + z^ = - 3uv 3w. к
Задача 5. Решить систему уравнений
X + у + Z = 2, (12)
х^ + у^ + z^ = 6, (13)
х^ + у^ + z^ = 8. (14)
190
Д Используя уравнения (12), (13) и тождество (9), получаем ху XZ yz = -1. (15)
Применяя формулу (11) и учитывая равенства (13)—(15), находим хуг = -2.
Следовательно, исходная система равносильна системе вида (7), в которой а = 2,Ь = -1,с = -2,а уравнение (8) имеет вид
^ + 2 = 0.
Корни этого уравнения — числа 1, -1, 2. Поэтому система имеет шесть решений, получаемых перестановкой чисел 1, -1, 2.
Ответ. (1; -1; 2), (1; 2; -1), (-1; 1; 2), (-1; 2; 1), (2; 1; -1), (2; -1; 1).
Задача 6. Разложить на множители многочлен Р = х^ у^ + + 2® - 3x1/2 и доказать, что для всех неотрицательных и, v, w справедливо неравенство
и + V + W - о/--
----g--- ^ ^UVW,
связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое трех неотрицательных чисел.
А В задаче 4 было получено равенство, которое можно записать в виде
Р = Х^ -\- у^ + Z^ - Zxyz = {х Л- у + zf - 3(х + у + z){xy -h Х2 -Ь 1/2), откуда следует, что
Р = (х -h I/ -ь 2)((х -Ь I/ -Ь 2)2 - 3(Х1/ -Ь Х2 -Ь yz)), где (х -f г/ 4- 2)2 - 3(х1/ -Ь Х2 -I- yz) = х^ Л- у^ + z^ - ху - xz - yz =
= |((^ - yf + (г/ - + (г - х)\
Следовательно,
Х^ -ь 1/3 + 2^ - 3X1/2 = -|(х + Z/ 4- 2)((х - yf + (I/ - 2)2 -Ь (2 - х)2).
Если X > о, I/ > о, 2 > о, то
хЗ 4- 1/3 4- 2^ > 3X1/2.
Полагая х^ = и, у^ = v, z^ = w, получаем
Упражнения
497. Решить симметрическую систему уравнений:
1)
2(х + у) = 5ху, 8(хЗ -н у^) = 65;
2)
ху X + у : х^1/ 4- ху^ = 2.
191
498. Разложить на множители симметрический многочлен Р(л:, у), если:
1) Р{х, у) = х^у + ху^ + + X + у + 2ху;
2) Р(лг, у) = х^у + ху^ + л:^ + л: +1/^ + 1/ + Zxy.
499. Разложить на множители симметрический многочлен:
1) Х^-у + xy^‘ + x^z + xz^ + y^z + yz^ + 2xyz\
2) x^y + xy^ + x^z + xz^ + y^z + yz^ + Sxyz.
500. Решить симметрическую систему уравнений X + у + z = 1, ху + xz + yz = -4, х^ + у^ + z^ = 1.
501.
502.
503.
504.
505.
506.
507.
508.
509.
Упражнения к главе VII
Выяснить делится ли многочлен Р(х) на х - с, если:
1) Р(х) = х^ - 2х^ - 6х^ - 12х, с = 2;
2) Р(х) = 2x4 ^ з^з _ 2л:2 - 5, с = -3.
Найти остаток от деления многочлена Р(х) на х - с, если:
1) Р(х) = 7x20 + х^2 + с = -1;
2) Р(х) = 4x^1 - х20 + 3, с = 1.
Найти частное Q(x) и остаток i?(x) от деления многочлена Р(х) на многочлен Р(х), если:
1) Р(х) = 3x2 ^ 4^2^ = Зх + 2;
2) Р(х) = х2 - 3x2, ^ 2x2 + 5
При делении многочлена Р(х) на (х -ь 4) остаток равен 5, а при делении на (х - 5) остаток равен 14. Найти остаток от деления многочлена Р(х) на (х + 4)(х - 5).
При делении многочлена Р(х) на (х + 3) остаток равен 10, а при делении на (х + 5) остаток равен 14. Найти остаток от деления многочлена Р(х) на х2 -ь 8х -I- 15.
Доказать, что при любых п ^ N, т £ N многочлен Р(х) =
_ ^п + т _
х" - х'” + 1 делится на (х - l)^.
Доказать, что при любых т € N, п ^ N многочлен Р(х) = ^ + П + 1 + _ ^2^ + 1 _ 1 делится на х2 - 1.
Доказать, что при любом п е N многочлен Р(х) = х" 2 -- 2х" ^ + х" - х2 + 2х - 1 делится на (х - 1)2.
Доказать, что при любых п е N, т 6 N многочлен Р(х) = = - х"*^" - х'"^^ - х"-"^ + х” + х"* -f X -1 делится
на (X - 1)2.
192
510.
511.
512.
513.
Уравнение - 5л: + Ь = 0 имеет корни лгх = 1, дгг =
= -2. Найти а, Ь и третий корень этого уравнения.
Найти а и Ь, если известно, что многочлен ал:^ + Ьх^ + 1 делится на (л: - 1)^.
Число 1 + >/3 является корнем уравнения х'^ + ах^ + Ьх^ + 6х + 2 = 0.
Найти остальные корни этого уравнения, если известно, что а и Ь — рациональные числа.
Число 1 + V2 является корнем уравнения л:^ + ах^ + Ьх^ + 5х + 2 = 0.
Найти остальные корни этого уравнения, если известно, что а и Ь — рациональные числа.
Пусть ЛГ1, Х2, лгз — корни уравнения л:^ + рл: + g = 0. Доказать, что л:^ -I- л:| -Н л:| = Зл:1л:2л:з.
Доказать, что при Ь > 0, с > 0 многочлен х^ - ах^ - Ъх - с не может иметь двух положительных корней.
Доказать, что если лг1, лгз, лгз — корни уравнения х^ + ах^ + Ъх с = о, то имеют место следующие формулы:
Xi^- Х2 + Х2 = -а,
XiX2 -ь XiX2 -1- Х2Х2 = ь,
Х1Х2Х2 = -с
(формулы Виета для кубического уравнения).
517. Доказать, что при любом действительном с уравнение х^-х^ + х + с = 0 имеет только один действительный корень.
518. Доказать, что если х = с — целый корень многочлена
f(x) = л:" -Ь Охл:"” ^ + ... -f а„_ хл: -f
с целыми коэффициентами, то для любого целого числа т число f(m) делится на с - т.
519. Пусть многочлен А(л:) может быть представлен в виде суммы квадратов двух многочленов с действительными коэффициентами и тем же свойством обладает многочлен В(х). Доказать, что тогда и многочлен А(х)В(х) обладает этим свойством.
514.
515.
516.
193
520. Доказать, что если многочлен f(x) с действительными коэффициентами принимает при всех действительных х положительные значения, то он представляется в виде суммы квадратов двух многочленов с действительными коэффициентами.
ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
1. Разделить многочлен 2х"^ + х^ - Зх^ + 5дг - 2 на многочлен Х^ - X + 1.
2. Найти остаток от деления многочлена Зх^ - 2х^ + 5х -- 14 на двучлен х - 2.
3. Остатки от деления многочлена Р(х) нал:-1ил:-1-1 равны соответственно 1 и -7. Найти остаток от деления этого многочлена на - 1.
4. Решить уравнение х^ - 2х^ - 5х + 6 = 0.
5. Разложить многочлен + 2х^ -Ь 6л: - 9 на множители.
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Еш;е со времен вавилонян и древних индусов считается, что одной из основных целей алгебры является решение уравнений и их систем. В Древнем Вавилоне 4000 лет назад умели решать уравнения первой, второй и некоторые уравнения третьей степени. Древние греки предварительно придавали уравнениям геометрическую форму: числа отождествлялись с длинами отрезков, нахождение неизвестной для них означало построение искомого отрезка. Но обш;ей теории решения уравнений в те времена еш;е не было. Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в книге древнегреческого ученого Диофанта «Арифметика» (III век). Решение в радикалах уравнений 3-й и 4-й степеней было получено итальянскими учеными в XVI веке.
В развитии алгебры уравнений велика роль французского математика и юриста Ф. Виета (1540—1603). Им был использован метод неопределенных коэффициентов, благодаря которому Виет первым записал уравнение в обш;ем виде и выразил его решение формулой (до него удовлетворялись лишь решением примеров). Ему принадлежит применение единообразного приема решения уравнений степени п < 4, новый метод решения кубического уравнения. Особое значение имеет установление им зависимости между корнями и коэффициентами уравнений (формулы Виета).
194
Между алгебраическими уравнениями и многочленами имеется тесная связь. Найти корни многочлена Рп(х) = + ajx” ” ^ +
+ ... + а" означает решить уравнение Р„(л:) = 0.
Французский математик Э. Везу (1730—1783) сформулировал свою известную теорему о делении многочлена на линейный двучлен, позволяющую снизить степень алгебраического уравнения, зная один из его корней. Э. Везу занимался также исследованием систем алгебраических уравнений высших степеней и исключением неизвестных в таких системах.
Деление многочленов уголком можно обнаружить в работах И. Ньютона (1643—1727).
В «Универсальной арифметике» Л. Эйлера (1707—1783), по которой впоследствии составлялись учебники алгебры, приведено много задач, связанных с тождественными преобразованиями многочленов и алгебраических дробей. Таково, например, тождество:
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ИТОГОВОГО ПОВТОРЕНИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ
1. Числа и алгебраические преобразования (521-590).
2. Уравнения (591-642).
3. Неравенства (643-673).
4. Системы уравнений и неравенств (674—690).
5. Текстовые задачи (691-714).
6. Функции и графики (715—764).
7. Комбинаторика и теория вероятностей (765—778).
8. Комбинированные задания (779-793).
9. Задачи, предлагавшиеся на выпускных экзаменах (794-801).
1. Числа и алгебраические преобразования
521. Найти 2,5% от 3,2.
522. Найти число, если 42% его составляют 12,6.
523. Какой процент составляет 1,3 от 39?
524. Сколько процентов составляет 46,6 от 11,65?
525. Найти число, 175% которого составляют 78,75.
526. Найти 180% от 7,5.
527. Цена товара была снижена сначала на 24%, а затем на 50% от новой цены. Найти общий процент снижения цены товара.
528. В сплаве содержится 18 кг цинка, 6 кг олова и 36 кг меди. Каково процентное содержание составных частей сплава?
529. Стоимость товара и перевозки составляет 394 р. 20 к., причем расходы по перевозке товара составляют 8% стоимости самого товара. Какова стоимость товара без его перевозки?
530. Высота пирамиды 5 см, а площадь ее основания 4 см^. На сколь-
ко процентов увеличится объем этой пирамиды, если и площадь ее основания, и высоту увеличить на 10% ?
531. При делении некоторого числа на 72 получится остаток, равный 68. Каким будет остаток, если это же число разделить на 12?
532. Сумма двух чисел 1100. Найти наибольшее из них, если 6% одного числа равны 5% другого.
533. По срочному вкладу, вносимому на срок не менее года, сберкасса выплачивает 3% годовых. Вкладчик внес в сберегательную кассу срочный вклад в размере 600 р. Какую сумму денег он получит в конце третьего года со дня вклада?
534. По обычному вкладу сберкасса выплачивает 2% годовых. Вкладчик внес 500 р., а через месяц снял со счета 100 р. Какая сумма денег будет на его счету по истечении года со дня выдачи ему 100 р.?
196
Вычислить (535—536):
5,48+8,02
535. 1) (7,97+8,77):3,72’
3) 23,276 : 2,3 - 3,6 (17,2 0,125 + 0,005 : 0,1) + 6,25 3,2;
4) 9,25 1,04 - (6,372 : 0,6 + 1,125 0,8): 1,2 + 0,16 6,25.
20,88:18+45:0,36. 2) 19,59+11,95 ’
536. 1)
28 :1- + : 22 + 1- 9- +14:1-\ 3^
4 3______3 4______2 I 7
ioi-9i
2)
6? + 2-i+5i\ —-30: — 3 15 2 15
28.
5 i - - — 5 5 22
48^
3) I 0,645 : 0,3-1—^ ' 180
4 : 6,25-1:5+^ 1,96 j;
f--—1:(0,358-0,108).
12j
537. Найти неизвестный член пропорций:
4)1^-0,375 1:0,125+1
2) л;: 0,75 = 9^: 14^;
А 4
Вычислить (538—540):
3)f=4;
*
.. JC ^ 1,456 ^ 15 1,05 '
538. 1) 2)
625"“-75°’^-8,7°
1з
■+1
15 52
(125)
--2-72.494
J-V+452 81
539. 1)
Г
2V2
V8
2) (2'®)'^-2
4) (5'^*^)
/
-183л/5.
75-V3
-3
5)
27
3)
б))/(а
0016) 4 .5-1 256°*75.
197
540. 1) logo ^^2;
2) log
V2 32’
3) 52+log5 2.
4) 5) logg ^ + loge Ш; 6) iQOMog.io^i^
541. Какое из чисел больше:
1) Vs или 2
21og2 5 + logj 9
|<«3 ./2 + log f?] Г / ^ \
2) Vs или 9 ; 4) Vis или 1 - '
--- I logg 3 + log4 —
3) Vis или 4v Ui
lQg6 2--log^5
Упростить (542-543):
2^4 V2
542. 1) 4^; 2)
3) 3 I--- V^ + 3 4Ш-4
\9 2 V 4
4) ^__________3_______
Vis-Vs V5 + V2 V6-V2’
5) (m-/i)
A;
m^-2mn+n^
, m>n>0, k>0\
6) V&2 + 2??V2 + 2 + Vb2-2&V2 + 2, b>V2.
543. 1) Va^(9a2-6a+l); 2) Vb^(4b^ + 4^^ + l);
3) —4=-+—^4 при a>0, l-Va 1 + Va
4) при a>0, b>0, аФЬ. a^b - byja
544. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
а . .. Ь
5)
2^
V5’
6)
3)
7)
12
4)
8)
2V^’
8
^/3-^/2 Тб + >/5 VI6-V7 7n + V3
545. Освободиться от иррациональности в числителе дроби:
2V7
7 ’
V7-V5
■'4‘ 2) 10’ 3)
J.V Vs-Vs 3 ' 6)
19S
546. Записать в виде обыкновенной дроби число:
1)0,(4); 2) 2,(7); 3) 0,(21); 4) 1,(36); 5) 0,3(5); 6)0,21(3).
547. Записать в виде десятичной периодической дроби число:
2)2i;
3)|;
4) 5
11
548. Может ли быть рациональным числом:
1) сумма двух положительных иррациональных чисел;
2) произведение двух иррациональных чисел;
3) частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение?
549. Доказать, что если avib — натуральные числа, Vo6 — рацио-
нальное число, то J— также рациональное число, а если
\ Ь г—
yfab — иррациональное число, то и — иррациональное число.
550. Пусть а — рациональное, Ь — иррациональное числа, причем
аФО. Доказать, что а + Ь,аЬ, —, — — иррациональные числа.
о а
551. Имеют ли общие точки промежутки:
1) [1;Зл/2 + 2л/7] и [3л/3-ь4;15];
2) (0; л/^-Нл/б) и (л/48-1;10);
3) [2;2л/5-н2Тб] и (Зл/2+Т^;11);
/
2
4) [1; 1 + 4%] и
>/3-1
;4
552. Пусть о <а<Ь. Доказать, что на числовой оси:
1) точка —г--середина отрезка [а; о];
2) точка — середина отрезка [~Ь; а];
3) точка — середина отрезка [-а; Ь\\
4) точка —■ ^ — середина отрезка [-Ь; -а];
5) точка
ал-Ьс
1-1-с
, где О о, лежит внутри отрезка [а; Ь\.
553. Вычислить диаметр круга х, вписанного в равносторонний треугольник (рис. 79), если а ~ 6 см.
199
554. Вычислить угол а заготовки, изображенной на рисунке 80, если а = 4 см.
555. Вычислить ширину I ущелья по данным, указанным на рисунке 81.
556. Вычислить длину моста по данным, представленным на рисунке 82.
557. Найти числовые значения всех остальных тригонометрических функций по данному значению одной из них
0<а<^ 1:
1) cos а = 0,8; 2) sin а = —;
1о
3) tg а = 2,4; 4) ctg « =
1) arccos^cos^ j; 2) sin |^arcsinj;
559.
4) ctg(arctg2); Вычислить:
1, при tga=|;
ctga-tga 5
5) sin] 2arcsin^ |;
3) cosj^arcsin—J; 6) tg(2arctg3).
oxsma-cosa , 2
2)^-------- при tga = -;
sma + cosa 5
04 sina cosa . 3
3) ------------ при tg a = -;
sin^ a - cos^ a 4
4) sin a cos a, если sin a-f-cos a = —.
3
560. На комплексной плоскости построить точку:
1) 2 + 4i; 2)l + 3i; 3)-3 + 2/;
5)-4-Зг; 6)-2-i; 7)2-3i,
Выполнить действия (561-562).
561. 1) (4 + 50 (5 + 40 + (3 - 20 (2 - 30;
2) (9 + 150 (3 - 50 - (6 + 80 (3 - 40;
4)-l + 2i; 8) 3 - i.
3) (2 + (2 + /3)2;
4)(l+i0^(l+i9)2.
3-4i , 3+4i (2+i^'
3+4i 3-4i’ 3)
2+5i 2-50 1 ri+i“
2-5i 2+5i’ 4)
563. Записать в тригонометрической форме комплексное число:
1)3; 2)7i; 3)3 + 3i; 4)-2+2yfSi; 5)2-2i;
2 2
564. Записать в тригонометрической форме комплексное число:
б)-73-0 7)-6-6^/Зi;
Записать в тригономет 1)3-30 2)-l+i^fЗ;
^ 8к . . 8к 5) 1 + COS —+ isin—; 5 5
565. Вычислить:
. (i+if (-i+if. (-i-if ’
3) -cos —+ isin-; 4) sin — icos-;
7 7 5 5
6) 1 + Sin —+ ICOS—.
5 5
3)
-6
2)
(>/3 + i)^(-l + 0®.
2 2
4)(V3 + 0^(l-0®.
(1 + 0"
566. Найти модуль и аргумент комплексного числа:
l)г = (l-^^/3)2; 2) 2 = (l+iV3)2.
Найти модуль комплексного числа (567—568).
567.1) 2 = 1 sin--cos
j+i^sin-^; 2) 2 = fsin-J-cos
. Г~. ^
Зтс
568. 1) 2 = sin а -i(l + cosa), жа<—;
2) 2 = (sin а - cos а)- i-y/sin 2а, 0<а<^.
569. Упростить:
8 Колягин, 11 кл.
201
570. Доказать, что число ^-4 является действительным числом тог-
2+1
да и только тогда, когда z — чисто мнимое число, г ^ -i.
571. Доказать, что число является чисто мнимым тогда и толь-
2+1
ко тогда, когда | 21 = 1, 2 Ф-i.
572. Доказать, что для любых комплексных чисел 2^ и 2g справедливо равенство | 2^ + 2g |^ + | 2j - 2g р = 2| 2^р + 2| 2g 1^. Каков геометрический смысл этого равенства?
Упростить (573—580).
+ За + 2 10 - 2а
573. 1)
2)
574. 1)
2)
575. 1)
2)
3)
4)
576. 1)
2)
а"-25
а + 2
Ь^-1 2Ь+1 Ь+2
Ь^ + 2Ь-3 Ь + 1 6+3’
3)
4)
а + 2 а-2
2а^-а-3 2а-3
2.11:
а'^ + 5а + 6 а-2
/
26 + 1
^8бЧ86+2^
а +1
а +Л+1 а—1
За^ + 2а + 4 а" -1
1 - а
5 ^ а-36 ^ 1 ^ 17а-256
За-36 д2_^2 2а + 26 ба^-бб'
У^-4Ь
+ 2о6 + 6^
с + d ^ ~ ^ ^ 4d^
c-d c + d (f -с^
c + d 2d ’
a--
a+-
6 + g 1 + ab
b-a 1 + ab
: 1-
b + a 1 + a6
1 + o6
2a + 6 ^ 26-g ^ a^
g + 6 g-6 6^-g^
1 + 2/n
l + 2m 1
-------1---
1 + m m
86'^
26^ ^
a^+b^
a^-b^
1
/П
1 + m
26 a
a a^+g-1 a^-a-1
3)----+------------+
2a'
4)
a' - 1 a' - a' + a -1 a' + a' + a + 1 a^ -1 1 2a 12
-+-
a'+5a + 6 a'+4a + 3 (a + l)'+a + l ^ + 3
202
577. 1)
578. 1)
—^2)
4 + 4va 2-2а 4-4yfa
а +у[^ yjab + b^
^Ja^ + ab 4^ + ^ 2od
а4~2 + а- 4^ -1 а 4~2 - 2 - л/2 + 2а
2)(V^ + V6)-^ +
[а bj i4a+4bf
3)
r 1 1 ^ f 3 3 >
a-b a^-b^ Ж’ a~b a^-b^ 1
a4 + a2&4 ^,4 _ д4 ^ 1 1 a2 -&2 a-b ) 4^
579. 1)
2)
580. 1)
2)
ivf
4 3 1 2 2 1 3
a^ — a^b^ — a^b^ +a^b^
~ I 1~T ’
- 2a^b^ + a^b^
/ V2
\4
9a - 25a ^
1 U
3a2-5a“2
a + 7 + 10a 1 1 a2 + 2a 2
,-i
3^
+ ■
1
4b
-ib^ +lSb + Slf'^.
Разложить на множители (581-582).
581. 1) 1+ COS a + sin a; 3)3-4sin2a;
2) 1 - cos a - sin a; 4) 1 - 4 cos2 a.
582. l)sin a+2 sin 2a + sin 3a; 3) tg^^ + aj-tg^^-a
2) tg 3a - tg 2a - tg a; 4) 1 + cos a + sin a + tg a.
583. Доказать, что если a + (3 + у = л, то:
1) sina+ sin Р-sinу = 4sin^sin —cos^;
AAA
2) sin 2a + sin 2p + sin 2y = 4 sin a • sin P • sin y;
3) tg a + tg p + tg у = tg a tg p tg y.
203
Упростить выражение (584—585).
4)
585. 1)
2)
2sin|^^-a jsina; 2) 2tg| 3)
2ctg| 5) 6) sin 2a
l+cos2a ’
l+cos2a^ 2cosa
tga-sina ^ tga+sina ’ sing+sinp cosa+cosp
^ cos^ (a+P)-cos^ (ot-P)
^ ’
5)
6)
sin a+sin За+sin 5a cos a+cos 3a+cos 5a ’
2sin2a+sin4a 2sin2a-sin4a ’
Доказать тождество (586-590).
1) sin^^ + aj=^(sina + cosa);
2) cosf—+ aV^(cosa-sina);
{4 J 2
j 1-tga
4) sin^a + -^ j-sin|^a--^ VScosa;
5) cos|^^ + aj+cos|^^-aVScosa;
6) sin 2a cos a + cos 2a sin a = sin 3a.
587. 1)--------= sina;
.a , a
a
588. 1) (l+cosa)tg—= sina 2
2) l + sina = 2cos^[ —- — {4 2
589. 1) l-tg2a=5^: cos^a
2) ctga-tga^^os 2a.
ctga + tga
3) l-sina = 2sin^f^-^ ];
2sin[ -+a
4) V3 + tga=
2) 1-ctg^ a=-?
cos a -cos 2a
sm^a
590. 1 + cos a + cos 2a = 4 cos a cos I — + —) cos
\6 2/ \6 21
204
2. Уравнения
591. Решить уравнение: 1)^ = 2-®-^^
3)
12
15 ’
л: + б_д:+ 3^ "1 б“’
. к х_2х-Ь дс-4. З'“б“ ~Г’
^3 7 3
592. При каком значении а уравнение а(х - 3) + 8 = 13(лг + 2) имеет корень, ргшный О?
593. При каком значении Ь уравнение 1 - Ь (л: + 4) = 2(х - 8) имеет корень, равный 1?
Решить уравнение (594-602).
594. 1)л:(л:+1)-(л: + 2)(л: + 3) + 9= jc(jc + 4) - (л: + 5 (д: + 2);
2) 2 (д: + 3) (д: + 1) + 8 = (2л: + 1) (д: + 5).
4x^-1
595. 1) ^ + ^ = 4i
х+1 х-2
2) _?^_1-
3)
х+6
5
Зх+7 5д:+9’
596. 1) (а - Ь)х = а^ + (а + Ь) х;
597. 1)д:2-2д:-15 = 0;
2) Зд2 + 4д-4 = 0;
3) 7д:2 + 4jc = 0;
599. 1) д:-1 =
д:-1’
2)
600.1)
х^+12 7х
д-3 д-3’
Зд-1 7
7д2-28^ 18
4)
5)
-1 = ^4 2
4*2-16д:+7 2д:-1 2х-Т
_3_____2 _ 4 .
д+3 д-3 ^-9*
11
g\ 5 ^ 2 _________
д-2 д-4 x^-Gx+S
2) а2д = а + Ь + Л.
4) 12д^-4д = 0;
5) 2д2-д = 1;
6) 4д2 - 100 = 0.
3)(д-3)(д-2) = 6(д-3);
4) J?!--2 = ^. Зд+1 Зд+1
д+1 12
д+2 2+д х^-4 2“^’
2)
2-д
д+3 x^—Q 3—д
205
601. 1) + +
3jc+9
х-г 2х+д 2лг2-Зл:-9
=0;
2)
2л:-1
л:^-л:+1 ^+1 х^+1
602. 1) л:-4 + - = 0;
л:
2)
4л:"
10
+ 4 = 0.
л:+2 л:+2
Найти действительные корни уравнения (603—604).
603. 1)л:4-7л:2 + 12 = 0; 4) 2л;4 - бл:^ + 2 = 0;
2) л:^-11л:2 + 30 = 0; 6)х-2у1х=15;
3) л:4-13л:2 + 36 = 0; 6) 4^^x+х-5 = 0.
604. 1)л:3-3х2 + л: = 3;
2) л:3-Зл:2-4л:+12 = 0;
3) л:^ + л:^ - 6х^ - Ых^ - 11л: - 3 = 0;
4) х^-дх^~ 2л:2-6л:-8 = 0.
605. Пересекает ли график функции у = х^ - 6х^ + 11л: - 6 ось Ох в точках, абсциссы которых являются целыми числами? Найти действительные корни уравнения (606-607).
1ч2
606. 1) 2л:-2 + 4д:-1 + 3 = 0;
2)(л:2 -х)^ + 12 = 8(х^-х);
3)(^) -з(^Ьз = 0;
4) ---^-2 = 0.
(x-lf ^-1
607. 1) л:2-Зал:-ЬЧ^ = 0; 3)
4
2) х^ +ах-Ь^ +~ = 0; 4)
л 2л:
----+-------
х-Ь х + Ь 4(х^-ь^)
2х
5а2
2л - а 2л + а 4^2 _ д2
608. Не решая квадратного уравнения 4л^ - Зл - 10 = 0, вычислить: 1) л:^л:2 + л:1л:|; 2) л:?+ л:|; 3)-^ + ^; 4)^ + ^.
„2 „2 Xi Х2
„3 „3
Xi Х2
609. В квадратном уравнении (2k + 3)л^ - кх + Ь = 0 найти значение k, при котором:
1) корень уравнения равен 5;
2) сумма корней уравнения равна 2;
04 - 1
о) произведение корней уравнения равно — .
3
610. Сумма корней квадратного уравнения ах^ - (а^ + 2)х + 7 = 0 равна 3. Найти значение а.
611. При каком значении Ь произведение корней квадратного уравнения Ь^х^ + 8л + Ь + 4 = 0 равно 3?
206
612. При каком условии трехчлен ах^ + Ьх + с является квадратом двучлена?
613. Доказать, что корни уравнения ах^ + Ьх +а = 0 являются взаимно обратными числами, если а ^0.
Решить уравнение (614—615).
X 5
3)
= х-1;
2 4
4) 2д: - 7 = I д: - 4|.
3) I Зд: - 11-н I 4 - д:| = 5; х-1
х+1
= х-1.
614. 1)12д:-3| = 7;
2)|д:-к6| = 2д:;
615. 1)|б-2д:| = 3д:-ь1;
2)2|д:-2| = |;с1-1; 4)
616. Найти наименьший корень уравнения 1 д:^ - Зд: - б| = 2д:.
617. Найти наибольший рациональный корень уравнения
|д:2-8д:-н5| = 2д:.
Решить уравнение (618-627).
4) л/д:-1-2 + л/3-д: = 3;
5) ^I2x^-x + l0-x = 2.
618. 1) ^^2x^ = x+2;
2) x=2-yJ2x-6;
3) V2x+3-vGc+1 = 1;
619.1) л1л1х^+6х =2;
2) yhlx^-Sx =V^;
3) V3jc+2 = 3Vjc-V2;
4)
x-^Jx+1 _ 5 x + yjx + 1 11
620. l)ylx^-Sx + 5 + x^-3x = 7; 4) yfx + ‘\lx-^l-x =1;
2) дгЧИ-ьл/д:^4-11 = 42; 5) ^14:■''8-3*; yJX + 9
3) л/4д:-5-Ьл/2д:-9 =4; 2-д: _ /2-д: 2 •
621. 1) 3^-7 = 81; -i ^
2) 2^'-^^-^®’^=V2; 4)2»+4-2*=120.
622.1) 9^^ - 95^-1 = 8; 3) (0,2)'"-5^**"=fit;
2) =2^^^^; 4) 4^-4^-1-!-4^-2 = 52.
207
3-д:
623. 1) 5^^^^ =352^^''^®^
624. l)21go:-lg5 = 5 + 31g2;
2) 4
JC-l
16
= 208.
3) Ig I i + д: j=lg-^-lg x;
625.
626.
2) 1-lg 2 = i fig i + lg x+i Ig 3
Z [ О 2t
1) logs (2x - 18) + logg (X - 9) = 5;
2) Ig (x2 + 19)-lg (x + l) = l.
4) 21g x = -lg
1
6-x^
1) =
2) 25^°®3 ^ _ 4.5iog3 ^+1 = 125;
3) log^Cx + 3) - log^ (x - 1) = 2 - log^ 8;
4) x‘°^3^=9x;
5) xig^-l = 10(l-x-i^^);
6) =i^.
4) lgl0+^lg(271+3'2^) = 2.
О
627. l)lg(3^-2-2) = 0;
2) V5i^ = 10,
3) xig^=10;
628. Могут ли корни уравнения (х - m)(x - п) = быть чисто мнимыми, если т, nvLk — действительные числа?
629. Решить уравнение (2 — комплексное число):
1) 02 + 22 + 5 = 0; 5)22 + 42 + 19 = 0;
2) 22 - 62 + 10 = 0; 6)22 - 22 + 3 = 0;
3) 922-62+10 = 0; 7)202-2 + 2 = 0;
4) 402 + 162 + 17 = 0; 8) 302 + 22 + 1 = 0.
630. На множестве комплексных чисел решить уравнение:
1) 2^ + 522 - 36 = 0; 3)04-02-6 = 0;
2) 04-802 - 9 = 0; 4)04 + 202- 15 = 0.
Решить уравнение (631—642).
631. 1) sin 2х = 3 cos х;
2) sin 4х = cos4 X - sin4 х;
3) 2 cos2 л: = 1 + 4 sin 4х;
4) 2 cos 2х + 2 cos х sin2 х = cos х;
5) sin 2х + 2 sin х - 3 cos х = 3;
6) 2 cos X + cos 2х = 2 sin х.
632. I)sin2 х+cos2 л: = 0;
2) 2 sin2 X + sin2 2x = 2;
3) 8 sin X cos 2x cos x = Vs ;
4) 4 sin X cos X cos 2x = cos 4.x;
5) 2 sin2 jc + 3 sin2 2x = 0;
4 3x . 4 3x 1
6) COS----Sin ---= -pr.
^ 2 2 42
208
633. l)sin^ л:+cos^ д: = 0,5;
634.
635.
636.
637.
638.
639.
2) sin® X + cos® X = -sin^ 2дг,
4
3) sin® X cos X + cos® X sin л: = cos 2x\
4) cos® ХЛ-1 sin® л: = 8 cos x sin x\
5) 9 sin X cos л: + 5 sin® x=l\
6) 2 + cos® л: + 3 sin д: cos x = sin® x.
1) sin 5л: = sin Зд:; 3) sin Зд: + cos 7д: = 0;
2) cos 6jc + cos 2д: = 0; 4) sin x = cos 5дг.
ъ% Л
л 1 . л
х+— =2 sin —; 12 3
1) sin х + — +sin
I 12J
2) sin |^JC+-^j+cos ^д:+■^j=■y/^
3) sin X + sin 5д: = sin Зд:;
4) cos lx - cos Зд: = 3 sin 5д:.
1) Зsinд: + cosд: = l;
2) 3sinjc+V3cosjc=3;
3) cosjc +V3sinx = l;
1) sin X + cos X + cos 2д: = 0;
2) sin X - cos X = cos^ x - sin^ x\
3) sin^ x-cos^ д: = l^--^sin2д:;
4) sin® X + cos® X = sin x -i-cos x.
1) 5 + sin 2д: = 5 (sin x + cos д:);
2) sin 2д: = (V2 -1) (1 + sin x + cos д:);
3) 5 + sin д: + 2 sin x cos x = cos x;
4) 2 + 2 cos д: = 3 sin x cos д: + 2 sin x.
1) cos X cos Зд: = cos 5д: cos 7д:;
2) sin бд: cos 4д: = sin 7д: cos Зд:;
3) sin Зд: sin 2д: = cos 4д: cos Зд:;
4) 2 sin X sin Зд: = cos 2д:.
1) sin X + sin 2x + sin Зд: + sin 4д: = 0;
2) cos x + cos 2д: + cos Зд: + cos 4jc = 0.
4) 4 cos д: + sin д; = 4;
5) 3 sin д: + 4 cos д: = 5;
6) sinд: + Зcosд: = VlO.
640.
641. 1) tg® Зд: - 4 sin^ Зд; = 0;
4) 4 ctg® x = 5--
2) sin д: tg д: = cos jc + tg д:; 5) ctg x +
SUIAC
8шд:
= 2;
3) ctg X ctg x +
sinjc
642.
1) tg 2д: = 3 tg x;
2) ctg 2д: = 2 ctg x;
l + COSJC
= 1; 6) sin X ctg Зд: = cos 5x.
4) tg (2д: + 1) ctg (д: + 1) = 1.
209
3. Неравенства
Решить неравенство (643-644):
643. 1)л: + 8>4-Зл:;
2) Зл:+1-2(3 + л;)<4л:+1;
х+4 -
3)
.V 2х-5 4)—<...
644. 1)1,5jc + 3<4jc + 0,6;
2)
3)
6)
8 12 5л: - 7 л: + 2
>2.
645. При каких значениях х следующ;ая дробь положительна:
1)
5)
2л:-1 7 ’
5л:-4
2)
6)
2д:-1.
Зл:-2’
Зл:+10
3)
7)
21л:-5. 6-Зл: ’ л:+2
4)
8)
3-lljc 4 '
8-л: о
7л:+5’ ^ 40-х' ^ 5-4х' ^ 6+Зх'
646. При каких значениях х следующая дробь отрицательна:
1)
4)
11л;-23 7 ’
10-4л:. 9л:+2 ’
2)
5)
3-2л:.
Зл:-2’
6-5л:
3)
6)
647. Решить неравенство:
5л:+4
1)^<2;
4)
лг-1
2
2)
х-3
<4;
4л:+9.
2^’
18-7л: . -4л:^-1
3
<1;
л:-1 л:-4
3)
6)
2л:+3 3’
2 <4.
л:-4 л:-1 л:-4 л:+3
648. Решить квадратное неравенство:
1) л:2-Зл:-4>0; 6) Зл:^ - 2л: + 7 > 0;
2) л:2-6л:>8л:-45; 7) Зл:^ + 4л: - 4 > 0;
8) —х^ +л:-5>0;
di
649. 1)
3) л:2 - 8л: + 7 < 0;
4) 4л: + 21-л:2>0; 9) 8л;2 - 2л: - 1 < 0;
5) 26 - 11л: - л:2 < 0; 10) 5л:2 + уд; < о.
Решить неравенство (649—650).
л:^-9
л:^-4
<0;
2) (2л:2 + 3)(л: + 4)^ > 0.
210
650. 1) ^ <0; 2) >0; 3)
2л^+5д:-3 х2+5л:-14 6-2л:
4)^^<а, 5)^it5^±i<0: 6)^^±?^=®>о.
jr+4x+2 х^-5х-6 х^-2х-3
651. При каких значениях х выражение Ig {х^ + 8л: + 15) не имеет смысла?
652. При каком наименьшем целом значении т уравнение (т -1)л:^ --2(т+ 1)х + m - 3 = о имеет два различных действительных корня?
653. При каких целых значениях тп уравнение (т-7)х^ + 2(т- 7)х + + 3 = О не имеет действительных корней?
654. При каком наибольшем целом значении х выражение
W +3
л:' - 9л: + 14
принимает отрицательное значение?
_ л:^-л:-6
655. При каком наименьшем целом значении х выражение ^ ^2 принимает положительное значение?
Решить неравенство (656—669).
656. 1)|л:-31<б; 2)|л:-3,4|>0,6; 3)1
4) 2л:-3|<0,5; 5) 1 2л: - 3| < х\ 6)1
657. 1) 1 л:2 - 7л: + 12| < 6; 3)\2х^ -л:-1|>5;
2) л:2 - Зл: - 4| > 6; 4) 1 Зл:2 - X - 4| < 2.
658. 1) 4х<х; 3) V^>^x-1;
Г Vx + 3 < л/б-2х.
659. 1) >/2л:<4-л:; 3) л/Зх2-7х-6>-2
2) л1х^-2<3; 4) л1х^ +2<х + 2.
у1х^ + 2>х + 2; 2) л/^42<12х-2|.
661. 1) 2~^+^<-; Л 3) 4^'^^-12>1;
•х |.-1
662. 1) 2) з^^4з^-4ю.
2 663. 1) 22^-4^-483'' . 2- 452;
2) 2^+2 - 2^-"3 ^ 5Х-2 > 5ДС+1 ^ 2^+4^
211
664. 1) 3
1.
^9’
665. 1) logg (2 - x) < logg (2x + 5); 2)logi(/-2)>-l;
3
666. 1) 4^^0,25i^-2x) ^ 2;
2,lo^<0;
2) glog2(JC^-4x+3,5) ^
l0g2 X
4) M^>0.
l0g4X
3) Vi^0;
3) log^ (x + 27) - log^ (16 - 2x) < logj^ X.
Jo
668. 1) cos(-3x)>^;
2) cos^2дr-|]<-i;
3)2sin(|-|)cos(f + |):
^/2
669. 1) 2 cos^ X - 1 > 0; 2) 4 sin^ x + 4 sin x - 3 > 0.
670. C помощью графика решить неравенства:
1) sinx<—;
4
2) tg2x-3<0;
3) sinx>--;
4
4) cosx>-.
Доказать неравенство (671-673).
671. 1) ab<
, если a > 0 и 6 > 0;
2)
a^ + b^ (a + b\^
если а>0уЬ>0,аФЬ.
672. 1) (a + b) (ab + 1)> 4^ab, если a > 0 и b > 0;
2) > 4ab (a^ + b^), если аФЬ.
673. 1)- + - + ->3, еслиа>0, 6>0,c>0;
b с a
2) 2a^ + b^ + c^>2a (b + c);
S) + ab + b^ + 2a-2b+ 4>0;
4) 3(1 + ) > (1 + a + )^, если a > 0.
212
4. Системы уравнений и неравенств
Решить систему уравнений (674—675):
3) J3x-3i/-l=0, x+Sy-6=0;
674. 1) J3a:-2i/=5, [6х+2у=7;
2) i5x-7y=S, [6x+5i/=17;
4) /2л:-1/-13=0, x+2y+l=0.
675. 1)
2)
^ + ^ = 1 2 3 ’
x-i/ x+z/_in
3)
4)
9x-y
-2i/=3,
i%®»-ac=3;
3
2 3 ~
^-^ = 0 4 3
Найти действительные решения системы (676-680).
676. 1)\у + Ъ = х'^, 2) \ху = 1&, 3) fjc+i/ = 20,
л:^+21/2 =25;
4) \ху^1% \х+у=7\
- = 4;
[у
5) Jxy=-30, 1л:-1/=11;
\ху=9^
6) |х2 + 2у2=9б, \х = 2у.
677. 1) |лг2+л: + 1/ = 6, \у-х = 3;
2) p-i/2=i3. \х-1/ = 1;
678. 1) 1 Н- г/_ 3
X 2
1 к = 2(^
2) X _
X 3
= 8;
679. 1) \2х + у = 3х\ \х + 2у = 3у^;
2) |x2 + 3i/2=7,
\ху+у^ = 3;
3) \2х + у = 4,
|х2 + х + 1/ = 10;
4) 1х^-Зу = -5,
[7х + 3у = 23.
3) |х2=13х + 41/, [i/2=4x + 13i/;
4) |Зх2 + 1/2-4х = 40, |2х2 + 1/2+Зх = 52.
3) jx^+y^=7, х^у + ху^=-2;
4) J1/2-х2 =4х + 4, [х^ + у^ + 3ху = 4.
213
680. 1)
1ч-1Л
X у S' х^ + у^ = 16;
3)
х + у + ху = 6, х^-\-у^ + ху^7\
2)\1-\ = гху, [у'^ + х=Ъх^уЬ
4) — + ^ = 12,
у X
1 1 = 1
д: у 3'
Решить систему уравнений (681—684).
. у" .
681. 1)
2-4^ = ±,
'2Л^+У
2) |2" - » = 7, 1VF - З*' = -5;
3)
4)
^ ^х + у =0,5,
(х + у)-2У-^=16;
Г^^3х + у + 6=2, 23д^+=1024.
2) |3^+3^'=36,
+3^=12.
л:^«^'=1000, logj, х = 3;
х^У = Ш,
\gx+\gy = 3.
682. 1) J3 ^ _2 3^^^ =-5,25,
[16^+3^^ =1,25;
683. 1) fig j:+lgi/ = 5, 3)
[Ig jc-lgy = 3;
2) r31gx + 81gi/ = -2, 4)
l91gA:-61gi/ = 24;
684. 1) I log! (x + y) = l + logi X - log! y,
[log2 {x + y) = log2 X • log2 y;
2) jlog| л: + log2 у = log2 (л: +1/) +1,
\ log 2 л: • log 2 у = log 2 (x + y).
I 3 3 3
685. Решить систему уравнений (x, у — неизвестные комплексн числа):
1) \х^+3ху + у^ =6,
\х + у = 2\
2) |х2+//2=6,
[х + у = 4;
3) |х^-у^ =6,
[2х-у = 3;
4)
5)
6)
Зх^-2у^=7, Зх-2у = 1;
х^-у^=Ь, ху = 6;
х^-у^=8, ху = 3.
214
686. Решить систему неравенств:
4л:+ 3
1)
5(1-2х)>12-
2)
1 + х<
8-х 2-х
3 4
687. Решить систему неравенств:
х+1 х+2 ^ х-3 . л:-4 “5
х-2 ^ х-5
1) flog2(^:-l) + log2(3-J:)[2sinx = smy,
[ V2 cos л: = л/з cos у;
2) I cos л: sin 1/ = ^, [sin 2jc + sin 2y = 0.
5. Текстовые задачи
691. Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору за 3 мин, а по движугцемуся — за 45 с. За какое время эскалатор поднимает неподвижно стояш;его на нем пассажира?
692. Теплоход прошел расстояние между двумя пристанями по течению реки за 7 ч, а против течения за 9 ч. Определить расстояние между пристанями, если скорость течения реки 2 км/ч.
693. Пароход должен был пройти некоторое расстояние за 2,25 сут.,
но оказалось, что он проходил за каждый час на 2,5 км больше, чем предполагалось, а потому прошел намеченный путь за 2 сут. KeiKoe расстояние должен был пройти пароход?
694. Один рабочий выполняет некоторую работу за 24 дня, другой ту же работу может выполнить за 48 дней. За сколько дней будет выполнена эта работа, если оба рабочих будут работать вместе?
695. Бассейн наполняется двумя трубами за 7,5 ч. Одна труба наполняет бассейн на 8 ч быстрее, чем другая. За сколько часов первая труба, работая отдельно, может наполнить бассейн?
215
696. В хозяйстве было собрано 4556 ц яровой пшеницы с общей пло-
щади 174 га, причем на целинных землях собрано по 30 ц с одного гектара, а на остальной площади — по 22 ц. Сколько гектаров целинных земель было освоено?
697. Разность двух чисел относится к их произведению как 1:24, а сумма этих чисел в 5 раз больше их разности. Найти эти числа.
698. Три дроби имеют числители, равные единице. Сумма этих дро-
бей равна 1. Разность между первой и второй дробью равна третьей дроби. Сумма первых двух дробей в 5 раз больше третьей дроби. Найти эти дроби.
699. Бригада рабочих должна была к определенному сроку изготовить 360 деталей. Перевыполняя дневную норму на 9 деталей, бригада за день до срока перевыполнила плановое задание на 5%. Сколько деталей изготовит бригада к сроку, если будет продолжать работать с той же производительностью труда?
700. Катер направился от речного причала вниз по реке и, пройдя 36 км, догнал плот, отправленный от того же причала за 10 ч до начала движения катера. Если бы катер отправился одновременно с плотом, то, пройдя 30 км и повернув обратно, встретил бы плот на расстоянии 10 км от речного причала. Найти собственную скорость катера.
701. Две организации приобрели театральные билеты. Первая орга-
низация израсходовала на билеты 300 р., а вторая, купившая на 5 билетов меньше и заплатившая за каждый билет на 3 р. меньше первой организации, заплатила за билеты 180 р. Сколько театральных билетов купила каждая организация?
702. От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч 20мин
вслед за плотом с той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала его, пройдя 17 км. Какова скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки по течению больше скорости плота на 48 км/ч?
703. При уборке урожая с каждого из двух участков собрано по 210 ц
пшеницы. Площадь первого участка была на 0,5 га меньше площади второго участка. Сколько центнеров пшеницы собрано с одного гектара на каждом участке, если урожай пшеницы на первом участке был на 1 ц с гектара больше, чем на втором?
704. Расстояние от дома до школы 700 м. Сколько шагов делает уче-
ник, проходя путь от дома до школы, если его старший брат, шаг которого на 20 см длиннее, делает на 400 шагов меньше?
705. Друзья решили подарить одному из своих товарищей на день рождения магнитофон за 2400 р. Во время покупки двое отсутствовали и потому остальные, внося деньги поровну, должны были увеличить свой первоначальный взнос на 40 р. Сколько друзей участвовало в покупке?
216
706. При состязании конькобежцев в беге на 10 000 м победитель пришел к финишу за 18 мин, опередив другого на целый круг. Найти длину одного круга, если победитель проходил один круг на 1,8 с быстрее, чем отставший от него на целый круг конькобежец.
707. Два тела движутся навстречу друг другу из двух пунктов, находящихся на расстоянии 153 м. Первое проходит по 10 м/с, а второе в первую секунду прошло 3 м и в каждую следующую секунду проходит на 5 м больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд тела встретятся?
708. Поезд проходит перегон в 120 км по графику с одной и той же скоростью. В один из дней поезд остановили на 5 мин на середине перегона и, для того чтобы прийти вовремя, машинист увеличил скорость на 10 км/ч. На следующий день поезд опять был задержан на середине перегона на 9 мин. На сколько должен был увеличить машинист скорость, чтобы и на этот раз прибыть вовремя?
709. Найти четыре числа, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии, если третье число больше первого на 9, а второе больше четвертого на 18.
710. Найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если сумма первых трех ее членов равна нулю, а сумма четырех первых равна 1.
711. Найти четыре числа, зная, что первые три из них являются тре-
мя последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — арифметической прогрессии. Сумма первого и четвертого чисел равна 16, а второго и третьего — 12.
712. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый ее члены являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии. Найти первый член геометрической прогрессии.
713. Произведение пятого и шестого членов арифметической прогрессии в 33 раза больше произведения ее первого и второго членов. Во сколько раз пятый член прогрессии больше второго, если известно, что все члены прогрессии положительны?
714. В треугольнике, площадь которого 12 см^, середины сторон соединены отрезками. Во вновь полученном треугольнике точно так же образован новый треугольник и т.д. Найти сумму площадей всех получающихся таким построением треугольников.
217
6. функции и графики
715. График линейной функции у = --х + Ь проходит через точку
о
(-2; 3). Найти Ь.
716. График линейной функции у = kx + 3 проходит через точку (-1; 4). Найти к.
717. Найти коэффициенты киЬ линейной функции у = кх + Ь, если ее график проходит через точки А и В:
1) А (-1; -2), В (3; 2); 3) А (4; 2), В (-4; -3);
2) А (2; 1), В (1; 2); 4) А (-2; -2), В (3; -2).
718. Через точку А (-3; 2) проходит прямая, параллельная прямой, проходящей через точки В (-2; -2) и С (3; 0). Записать формулы, задающие линейные функции, графиками которых являются данные прямые.
719. Выяснить, принадлежит ли прямой х + — = 1 точкаА:
1) А(-1;4);
2) А(0; 3);
3)А(1;0);
4)
;;-1
720. Линейная функция задана формулой у = —jc -t- 2. Найти:
4
1) точки А и В пересечения ее графика с осями координат;
2) длинуотрезка АВ; ^
3) расстояние от начала координат до прямой у = — х + 2.
4
721. Найти значения х, при которых график функции у = Зх-1 рас-
положен: 1) выше оси Ох; 2) ниже оси Ох.
722. Найти значения х, при которых значения функции у = -2х + 1:
1) положительны; 2) отрицательны.
723. Найти значения х, при которых график функции у = 2х-1 лежит ниже графика функции у = 3х- 2.
724. Найти значения х, при которых график функции у = (>/з - 2)х -
- л/З лежит выше графика функции у = (1 + у[3)х + 2>/з.
725. Доказать, что функция у = 2х-3 возрастает.
726. Доказать, что функция у = - л/Зл: - 3 убывает.
727. Выяснить, пересекаются ли графики следующих функций:
1) г/ = Зд:-2и1/ = Зл:-1-1;
2) у = Зх-2иу = Ьх+1;
3) у = Зх - 2 и у = 6х - 4.
218
728. Построить график функции:
1)у = 2-\х\; 2) y = \2-x\',S)y = \2-x\ + \x-Z\.
Выяснить, пересекают ли графики каждой из данных функций прямую I/ = 3. В случае утвердительного ответа найти координаты точек пересечения.
729. Дана функция у = - 2х - 3.
1) Построить ее график и найти значения х, при которых у(х) < 0.
2) Доказать, что эта функция возрастает на промежутке [1; 4].
3) Найти значение х, при котором функция принимает наименьшее значение.
4) Найти значения х, при которых график функции у = х^-2х-3 лежит выше графика функции у = -2х -ь 1.
5) Записать уравнение касательной к параболе у = х^-2х~3в точке с абсциссой, равной 2.
730. Дана функция у = -2х^ + Зх + 2.
1) Построить ее график и найти значения х, при которых у(х) < 0.
2) Доказать, что функция у = -2х^ -\-3x-\-2 убывает на промежутке [1; 2].
3) Найти значение х, при котором функция принимает наибольшее значение.
4) Найти значения х, при которых график функции у = -2х^ + 4- Зх -f- 2 лежит ниже графика функции у = 3х +2.
5) Записать уравнения касательных к параболе у = -2х^ + Зх + 2 в точках с ординатой, равной 3.
731. Выяснить, пересекаются ли графики функций:
1) I/= х^ и I/= X-ь 6;
2)*/= “ и1/ = 4(х-Ы);
04 1 2 1
2)у = -х иу = -;
4) у = 2х-1 и у = ~.
732. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции у = ах^ + -\-bx- 4, если 1/(1) = О и у(4) = 0.
733. Найти точки пересечения с координатными осями графика квгщратичной функции:
1)1/ = 2х2-5х + 6; 2)у = 2х^ - 5х + 2; 3)у = 4х^ + 12х + 9.
734. Построить график функции у = ах^ + Ьх + если у(-2) = 15,
735. Построить график функции ^ = л/25-х^. Указать по графику промежутки монотонности функции. Доказать, что график данной функции симметричен относительно оси Оу,
g
736. Построить график функции у = —- . Доказать, что функция 5
у = —- убывает на промежутках х<2их>2.В какой точке 5
х-2
график функции у =
х-2
пересекает ось ординат?
219
737. Найти функцию, обратную данной. Построить на одном рисунке графики данной и обратной ей функции:
l)i/ = 3-2x; 2)у = х'^, х>0; 3) у-^;
4) у = \ X - 2\, если х<2; 5)у = х^-8х+ 16, если х>4.
738. Построить на одном рисунке графики данной функции и обратной ей функции:
1) 1/ = 2^-2; 3)у = 3^-1;
2) у = logg {х-2)\ А) у = 2 + log2 л:.
Найти область определения функции (739-742).
739. 1) = Ig (2 - л:) - arcsin —;
2
\х-3
2)y = lg (х^ + 2х- 15).
2) У = Jogs
2л:+1
х-6
741. 1) 7Х+11
l0g2(X-l) ’
2) arcsin
х-1
3-х'
742. 1) г/ = Ig (1 - Ig (л:^ - 5л: -I- 6)); 2) у = arccos
3-х
743. Найти значения х, при которых значения функции у = Ъ^ - 2 меньше 3.
744. При каких значениях аргумента значения функции у = log^ (х - 2) больше 2?
745. Записать уравнение касательной к графику функции
f{x) =
в точке его пересечения с осью Ох.
746. Записать уравнение касательной к графику функции
f (х) = -ь 1 в точке с абсциссой х = 4.
747. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = = х^ (2х - 3) - 12 (Зх - 2) на промежутке -3 < х < 6.
748. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (х) =
3
= 2 1п^ X - 9 1п^ X -ь 12 In X на промежутке < х<
749. На параболе у = х^ найти точку, расстояние от которой до точки А | 2; — ] является наименьшим.
I 2J
750. На координатной плоскости даны точки А (3; -1) и D (4; -1). Рассматриваются трапеции, у которых отрезок AD является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на дуге параболы у =1 - х^, выделяемой условием -1 < х < 1. Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
220
751. На координатной плоскости дана точка К (3; 6). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси Оу и лежат на дуге параболы у = 4л:^, выделяемой условием -1 < л; < 1, а точка К — середина одной из сторон. Среди этих треугольников выбргш тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
752. Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен Р, выбран цилиндр наибольшего объема. Найти этот объем.
753. Из всех цилиндров, которые можно поместить внутри сферы радиуса R, найти цилиндр наибольшего объема.
754. Консервная жестяная банка заданного объема должна иметь форму цилиндра. При каком соотношении между диаметром основания и высотой расход жести будет наименьшим?
755. Из всех правильных треугольных призм, которые вписаны в сферу радиуса Я, выбрана призма наибольшего объема. Найти высоту этой призмы.
756. Из всех конусов, вписанных в сферу радиуса Я, выбран конус наибольшего объема. Найти высоту этого конуса.
757. Из всех цилиндров, вписанных в конус с радиусом основания Я и высотой Ну найти цилиндр наибольшего объема.
758. Найти экстремумы функции:
\)f{x) = x^ + Zx^-Qx + 4:\ 2)f (х) = х^~ 2x^ + 5.
759. Исследовать с помощью производной функцию у = х^-3х + 2и построить ее график. Найти точки, в которых касательные к графику параллельны оси Ох.
760. Исследовать с помощью производной функцию у = х^~ 5х^ -х + 5 и построить ее график. Записать уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой, равной 4.
761. Исследовать с помощью производной функцию и построить ее график:
1) у^-— + х^у гдехе R; 4
2)у = х^-2х^-3.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (762— 764).
762. 1) у=^у г/=2, х=9;
2) у = 4х - х^у X = 1, X = 2у у = 0;
3) 1/ = 4-л:2, y = 2x^-S;
763. 1)у = 9-х^у y = (x-lf- 4;
2) у = (х-2)^ у = 4-х;
4) у = х^ + ду у= х + 5;
5) у = у[хуу = х^’у
6) у = 2у[ху6-у = 0уХ = 0.
3) у = х~^у у = ^-х^уХ>0;
4) y = x^y = ^^f^.
221
764. l)y = cosx; x--,y = 0;
4
3)y = cos x,y = x+l,y = 0;
2) y = sin~,y = yfx,x = n; 4)y = S^,x = -l,x=l,y = 0.
7. Комбинаторика и теория вероятностей
765. Сколько разных стартовых шестерок можно образовать из 10 волейболистов?
766. В одной арабской сказке речь идет о такой задаче. Вокруг костра сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит двух ближайших соседей. С целью укрытия награбленного необходимо выделить пятерых разбойников. Сколькими способами атаман может назначить этих пятерых так, чтобы между ними не было распрей?
767. На железнодорожной станции имеется т светофоров. Сколько может быть дано различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет три состояния: красный, желтый, зеленый‘?
768. Сколькими способами можно распределить 12 разных книг между четырьмя учаш;имися?
769. В классе 30 учеников. Ежедневно для дежурства выделяются 2 учащихся. Можно ли составить расписание дежурств так, чтобы никакая пара учеников не дежурила вместе дважды в течение учебного года?
770. Сколько получится различных параллелограммов при пересечении п параллельных прямых т другими параллельными прямыми?
771. Для проверки на всхожесть было посеяно 300 семян, 255 из которых проросли. Равной чему можно принять вероятность прорастания отдельного семени в этой партии? Сколько семян в среднем взойдет из 1000 посеянных?
772. Вероятность того, что размеры детали, выпускаемой станком-автоматом, окажутся в пределах заданных допусков, равна 0,96. Какое количество годных деталей в среднем будет содержаться в каждой партии объемом 400 шт.?
773. ОТК проверяет половину изделий некоторой партии и признает годной всю партию, если среди проверенных изделий не более 1 бракованного. Какова вероятность того, что партия из 20 изделий, в которой 2 бракованных, будет признана годной?
774. В ящике 10 деталей, 4 из которых окрашены. Сборщик наугад взял 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
222
775. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.
776. Завод в среднем дает 27% продукции высшего сорта и 70% — первого сорта. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие будет или высшего, или первого сорта.
777. При каждом включении двигатель начинает работать с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что для его запуска потребуется не более двух включений?
778. С первого станка на сборку поступает 40% всех изделий, со вто-
рого — 30%, с третьего — 30%. Вероятности изготовления бракованной детали для каждого станка соответственно равны 0,01; 0,03 и 0,05. Найти вероятность того, что наугад поступившая на сборку деталь бракованная.
8. Комбинированные задания
779. 1) Решить уравнение sin 2х -t- cos 2л: -ь 1 = 0.
2) Решить неравенство (0,5)^"^ <
3) Вычислить 5 •
4) Для функции / (л:) = — л:^ найти первообразную, график ко-
3
торой проходит через точку (1; -0,5). Вычислить значение первообразной в точке л: = 2.
5) При каком уменьшаемом разность будет наибольшей, если вычитаемое равно удвоенному квадрату уменьшаемого?
780. 1) Решить уравнение sin^ х + 0,5 sin 2л: = 1.
2) Решить неравенство (0,6)^^ > 1.
3) Вычислить 10+1^
4) Для функции f (x) = 2Vx найти первообразную, график которой проходит через точку (4; 10). Вычислить значение первообразной при х = ^9.
5) При каком значении первого множителя произведение будет наименьшим, если второй множитель на 3 единицы меньше второго?
781. 1) Решить уравнение sinл: = tg^.
С»
2) Решить неравенство logi л:-l-logl (л:-l-l)2 возрастает.
223
4) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у = -^x^■ - X - 1, х = -1 и у = -15.
5) Решить уравнение на множестве комплексных чисел 2^-22^+ 2-2 = 0.
X
782. 1) Решить уравнение sinx = ctg—.
С»
2) Решить неравенство
logg X + logg (2л: - 1) < logg (2л: + 2).
3) Доказать, что функция у = -2х^ + 4х - 7 при л: > 1 убывает.
4) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х^-4х + 8, х = -1, х = 4, у = 3.
5) Найти комплексные корни уравнения 2^ - 2г^ + 4г - 4 = 0.
783.1) Автомашина прошла 150 км по шоссе и 90 км по грунтовой
дороге, по которой скорость ее движения стала меньше на 20 км/ч. С какой скоростью двигалась автомашина по грунтовой дороге, если время движения по шоссе и по грунтовой дороге одно и то же?
cosa+cos'^ a-sin'^ а
2) Упростить выражение т---------------г—.
1+cos а+cos 2а+cos За
3) Решить уравнение
Ig Vx^ + Ig л/2л:-3 1 = Ig 30.
4) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 4 -х^, у = 2х -х^, х = 0.
5) Вычислить (л/з - i)^.
784.1) Моторная лодка прошла вниз по течению реки 91 км и после четырехчасовой остановки вернулась обратно, затратив на всю поездку сутки. Какова скорость течения реки, если собственная скорость лодки 10 км/ч?
sin^ 2а + 4 sin"* а
2) Упростить выражение ----------------.
4 - sin^ 2а - 4sin^ а
3) Решить уравнение 8^ + 18^ - 2 • 27^ = 0.
4) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х^ -4, у = х^-6х + 8 и л: = 0.
5) Вычислить (-1
(4-30(5+50 . ..2
785. 1) Вычислить
5г (1-0
+ (3-0^
2) Решить неравенство
logi
л:-1
i ^ + 2
< 1.
224
3) Решить систему уравнений
\х^ + у^=2Ъ, х + у = 4.
4) Решить уравнение sin 2х - sin х = cos х - ^ .
5) Найти промежутки возрастания и убывания функции
fix) = 2x^ + 3x^~ 1.
786. 1)Вычислить (8-60(3+30 о1 ^5i)
2
2) Решить неравенство logi (х - Зд: +1) < 0.
3
3) Решить систему уравнений
\х^ +ху + у^ =13,
[х + у = 4.
4) Решить уравнение 1 + sin х + cos д: + tg л: = 0.
5) Найти промежутки возрастания и убывания функции
f(x) = -x^ + 3x+ 1.
787.1) Решить систему неравенств
log2 (д:-3)<1,
/л\2х-1
1(-2) <«•
2) Найти четыре числа Ь^, Ь^, Ъ^, Ь^, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии, если
Ь^ + г>4 = 27, Ьг
3) Упростить выражение
а+
yfab
’2- Ьз = 72.
-1 / 1 1 -1\
а2+Ь2
1 •
1 ) /
а+Ь
4) Решить уравнение sin Здс + sin 2дс: = sin х.
5) В шахматном турнире было сыграно 210 партий, при этом каждый участник сыграл с каждым из остальных по одной партии. Сколько человек участвовгшо в турнире?
788. 1) Решить систему неравенств
logi(^:-|l>l.
3
31-2^
27'
225
2) В арифметической прогрессии = —«З’ ~ Сколько
надо взять первых членов этой прогрессии, чтобы их сумма была равной 30^ ?
3) Упростить выражение
4а - 9а ‘ ^ а - 4 + За ^
1 1 2а2 - За” 2
»2 _
4) Решить уравнение 3(1- sin д:) = 1 + cos 2х.
5) Сколькими способами можно составить команду из 6 чел., из 20 чел. претендентов?
789. 1) Записать уравнение касательной к графику функции у = х^~ -2х^-2х-1 в точке с абсциссой, равной 3.
2) Решить уравнение
Зх-7
J) V3,
3) Доказать тождество
. —=cos2a.
tg2a-tga
4) Решить неравенство Vх+2 > х.
5) В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что среди первых пяти наугад выбранных билетов два будут выигрышными?
790. 1) Записать уравнение касательной к графику функции у - х^ - Зл:^ - Зд: - 27 в точке с абсциссой, равной -2.
2) Решить уравнение f|]
3) Доказать тождество
cos 2а 1 + cos 2а
1 - tg^ а
4) Решить неравенство Vх+Ъ < 2х.
5) Ученик из 25 билетов выучил 20, предложенных к экзаменам. Какова вероятность того, что он знает 2 вопроса, предложенные экзаменатором?
791. 1) Найти область определения функции
У =
гх-2
2х-\ х^-1’
2) Найти действительные числа xw. у, если X (1 + Zi) + у (2 - i) = 5 + i.
226
3) Решить систему уравнений
\х^-^ху = &,
[у^ + ху = г.
4) Упростить выражение
2 + >/3 2->/3
V2 + V2 + V3 V2-V2-V3*
5) Решить графически уравнение
logi (х + 1) = х^ -2х-5.
2
792. 1) Найти область определения функции
y = ^J20-x-x^+-^.
2) Найти свободный член приведенного квадратного уравнения с действительными коэффициентами, если один из его
1+3/
корней равен
1—01
3) Решить систему уравнений
х^+у^=8,
2*
4) Упростить
у/Ь - yfa
21 12
yfa-sfb
7
(о6)б
5) Решить графически уравнение
logg (х - 1) = -х^ + 4х-2.
793. 1) Решить уравнение log^ (Зх - 4) - log^ (5 - х^) = 0,5.
2) Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 93. Если из первого ее члена вычесть 48, а остальные оставить без изменения, то получатся три последовательных члена арифметической прогрессии. Задать каждую из этих прогрессий.
3) Построить график функции у-1 -3^"^^.
4) Решить уравнение cos f ^ + 5х j+sin х = 2cos Зх.
227
5) В точках с абсциссами - ^ и ^ проведены касательные к
графику функции у = cos х. Найти координаты точки пересечения этих касательных.
9. Задачи, предлагавшиеся на выпускных экзаменах
(для общеобразовательных и профильных классов)
794-0. 1) Решить неравенство logi (Зл:-5)-1- 2> 0.
2) Найти промежутки возрастания функции у = х-7- л/ЗхТз.
3) Решить уравнение cos^ х + 0,5 л/з = sin^ х.
4) Найти все такие точки графика функции у =------, в ко-
1п4
торых касательная к этому графику параллельна прямой у = = 2х+Ь.
5) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = л1х + 3, у = 2-{х + 3)^иу = 3.
6) Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение I л: + 2 I = ах -I-1?
795-0. 1) Решить неравенство logi (5x-3)-i-l>0.
5
2) Найти промежутки убывания функции
y = 5-x + 2^|x + 2.
3) Решить уравнение sin х cos х cos 2х = -0,125л/^
9*-2-3^
4) Найти все такие точки графика функции у = ————, в ко-
1п9
торых касательная к этому графику параллельна прямой у = = 6х-5.
5) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у =л/4-х, 1/ = 2 + (х-4)Зи4/ = 3.
6) Сколько решений в зависимости от параметра Ъ имеет уравнение I X - 4 I = Ьх -ь 2?
796-0.1) Пусть f (х) = Зх - л/х -I- 7. Найти те значения х, при которых Г(х) = 1.
228
^J
2) Решить неравенство logs--о ^
X + и
3) Найти область определения, нули, промежутки монотонности и экстремумы функции у = х^~ Зх. Построить график функции.
4) Найти значение выражения cos 2а, если а удовлетворяет условию sin4a = —.
5) Найти наименьшее значение функции у = ^злг+2 ^4^2 _ отрезке [0,5; 1,5].
6) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y=yJx + l+2, у = 2(х-2)^ + 2 и у = 1-х.
797- 0. 1) Пусть f (х) = 2л[х -6х + 7. Найти те значения х, при кото-
рых f'(x) = 2.
JC “h 2
2) Решить неравенство logs--т ^ 2.
X ” X
3) Найти область определения, нули, промежутки монотонности и экстремумы функции у = 2х^ - Зх^. Построить график функции.
4) Найти значение выражения sin За, если а удовлетворяет
• а
условию Sin 6а =----.
5) Найти наибольшее значение функции у = (Зх^ -I- 4х) на отрезке [-2,5; -1,5].
6) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4-х,
у = -л1х + 2 иу = 2(х + 1)^-I-2.
798- п. 1) Решить уравнение sin х sin Зл: = 0,5.
2) Решить неравенство logg + log| {-х) < 2.
3) Решить систему уравнений
2^. 4^ =64, л[х +.у[у =3.
4) Нгшти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х^ - 4х-а касательной к этому графику в его точке с абсциссой 2.
5) Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = = 3cos X- 4 sin X -h 1 на отрезке j^“ j.
6) Сравнить без таблиц и микрокгшькулятора числа logg 3 и W.
229
799. 1) Решить уравнение cos х cos дх = -0,5.
2) Решить неравенство log4 + logf (~л:) > 6.
3) Решить систему уравнений
[9^ 3^=9,
[^Jy-yfx=l.
4) Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 9х-х^и касательной к этому графику в его точке с абсциссой 3.
5) Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 2-
4к^2к'
Т’Т
6) Сравнить без таблиц и микрокалькулятора числа logg 4 и ^2.
800. 1) Решить уравнение cos 4х + 5cos^ л: = 0,75.
2) Найти производную функции у = logg^^j (Зх + 7) в точке х = 1.
3) Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = 3cos 2х -н 3sin Зл: -i- 8, осью абсцисс и
я 5я
прямыми х = —, х =—.
3 3
4) Найти множество значений функции
- 3 sin X -I- 4 cos X на отрезке
801.
у = Зх+у/7-2х.
X |:d 49
5) Решить неравенство 4 -I- б • 2 > — и указать наименьшее
4
натуральное число, ему удовлетворяющее.
6) На прямой ^ = 2х - 1 найти все такие точки, что через каждую из них проходит ровно две касательные к графику функ-
о я
ции у - х“^ и угол между этими касательными равен —.
4
1) Решить уравнение cos 4х -I- 3sin^ х = 0,25.
2) Найти производную функции у = logg^^4 (7х - 4) в точке х = 2.
3) Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = 2cos Зх - 5sin 2х + 10, осью абсцисс и
Зя 5я
прямыми х =----, Х=---.
4 4
4) Найти множество значений функции
г/=л/бх-7 -2х.
5) Решить неравенство 9^^ +6-3^ ^ 11 и указать наименьшее натуральное число, ему удовлетворяющее.
6) На прямой I/ = 6х - 9 найти все такие точки, что через каждую из них проходят ровно две касательные к графику функ-
9 Я
ции у - х^-а угол между этими касательными равен —.
230
ЗАДАЧИ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ
1. Уравнения
Решить уравнение (802-811).
802. 1) V2jc + 8=V2x-4 + 2>/3jc-3;
2) Vl2-x =л/л:-2 +>/2л: + 6;
3) 2^lx^-2x+4-^lx^-2x+9 = l;
4) ^/^ = 1-л/х^.
3) 2 4^-3 10^-5 25^=0;
(\пх+0,5
803.1) =5 0,04^;
2) 4 3^-9 2^=5 32 22; 4) 4 9^+12^-3 16^ =0.
804. 1) Ig (6 5^ - 25 20^) - Ig 25 = x;
2) Ig (2^ + л: - 4) = л: - л: Ig 5.
805. 1) log2Jc:+log3^: = j^g;
806. l)21og4(4-^:) = 4-log2(-2-^:);
2) 21og2|5^+log2|^ = l;
2) logs X* + log2 +1.
4) 4^°^2(1-^) =2x^+2x-4.
3) logg (3^-8) = 2-д:;
807. 1) logg (2^ - 5) - logg (2^ - 2) = 2 - jc;
2) logi_^ (S-x) = logg_^ (1 - л:);
3) l+loge^ = llog^ (x-lf.
3 “
808. 1)д:*е9+9‘е^ = 6; 2)=Ю0Ш[
809. 1) logg (3 21+^ - 2-^ 52*+1) - л: = logg 13;
2) log,
1 ^
3-4 ^ +2 9 ^
+- = logfi 5.
810. 1) 2 22^ + 18 2-2^- 11 2^- 33 2-^ + 26 = 0;
2) 3^ +
3 - ж 2
= 315.
231
811.
812.
1) logg logg {2x+S) + log^ logi /^ = 1;
2) log2 (log2 x)=l+ logg (1 + log^ 16).
При каких значениях m равносильны уравнения:
1) Зх + 2 = 17 и тх + 7 = 12;
2) л:2 - 7л: + 10 = О и (л: - 2)(л: + т) = 0?
Решить уравнение (813—822).
813.
814.
815.
816.
817.
818.
819.
820.
1) sin
2) cos
к
х+—
3
к
х+—
4
sin I Х-— | = sin х;
3j
+COS I л:-—1 = — cos 2л:; 4 3
3) 2cos Х-— ] = (^f2-2 sin л:) sin х.
V ^ J
1) 4 sin Зл: + sin 5х - 2 sin х cos 2х = 0;
2) 6 cos 2л: sin л: + 7 sin 2х = 0;
3) sin 7л: + sin 5л: = 4 sin Зл:.
1) sin^ л: + sin^ 2л: = sin^ Зл:;
2) sin л: (1 - cos х)^ + cos л: (1 - sin х)^ = 2;
3) 2 cos 2л: = sin Зл: sin л: - sin^ Зл:.
1) 2 cos Зл: = 3 sin л: + cos л:;
2) cos Зх - cos 2х = sin Зх;
3) sin X + sin^ X + cos^ x = 0.
1) sin 2x + cos 2x = 2 tg X + 1;
2) sin 2x - cos 2x = tg x;
3) 5sinx+
= cos2x-3sin^ X.
1+tg^x 1) (1 + cos x) ctg X = sin 2x;
3)
cosx Sk ^
cos X-----
L 2,
1) tg X + ctg 2x = 2 ctg 4x;
0 4 sin3x cos3x o)----^ +
7л
= 4cos|----X
4
2) tg 2x + ctg X + 8 cos^ x;
cos2x sin2x sin3x*
1) sin X sin 2x sin 3x = ^sin 4x;
2) sin^ X + cos^ X = ^sin^ 2x;
3) cos^ X + cos^ 2x = sin^ 3x; 4) cos^ x + cos^ 2x + cos^ 3x =
232
821. 1) cos^ X + cos^ 2x = cos^ 3x + cos^ 4x;
2) sin® лг + cos® x = —;
4
3) tg д: + ctg x = 2 (sin 2x + cos 2д:);
4) --7----77^ = V 2 (sin X + cos дс).
Sin(x-^)
822.
823.
824.
825.
826.
827.
828.
829.
830.
831.
1) ctg 2x - ctg ДС = 2 ctg 4x; 3) sin x ■ sin 5д: • sin 9л: = 1;
2) cos^ л: = 2 - cos x cos 7л:; 4) sin x ■ cos 2л: • cos 4л: = 1.
1) При каких значениях а уравнение sin^ х + cos^ х = а имеет корни? Найти эти корни.
2) При каких значениях а уравнение 2а^ + cos^ л: = 1 + а sin х имеет корни? Найти эти корни.
1) При каких целых значениях т уравнение (т - 7) л:^ + 2(т -- 7) л: + 3 = о не имеет действительных корней?
2) При каком значении k уравнения х^ - 5х + k = 0, х^ - 7х + + 2k = 0 имеют только один общий корень?
1) Найти все действительные значения р, при которых корни квадратного уравнения (р- 3) х^- 2рх + 6р = 0 действительны и положительны.
2) Сумма квадратов корней уравнения х^ - 4рх + 7р^ = О равна 2. Найти р.
3) При каких значениях р сумма квадратов корней уравнения л:^-рл:+р-3 = 0 является наименьшей?
При всех значениях параметра а решить уравнение и определить, при каких значениях а уравнение имеет ровно два корня:
1) |д: + 3|-а|л:-1| = 4; 3) 3| х-2 | - а | 2л: +3 | = 10,5;
2) |х-2|-на|х-нЗ| = 5; 4)а|х + 3| + 2|х-н4| = 2.
Найти все значения параметра а, при которых уравнение
2+
15х
= а имеет единственное решение. Если таких значений несколько, записать их сумму.
Найти все корни уравнения sin^ х + 2sin х cos х = 1, принадле-
Г ЗТ1 1
жащие отрезку I—я1.
Найти все корни уравнения cos х -н (1 + cos х) tg^x -1 = 0, удовлетворяющие неравенству tg х > 0.
.4-4^ 25л
Наити все корни уравнения sin x-i-sin | х -i- — |=sm —
удовлетворяющие неравенству Ig(х-у/2х + 24) > 0.
Найти все значения параметра а, при которых уравнение а 25^-(2а-ьЗ) 5^-н6а=0 имеет четыре разных корня.
9 Колягин, 11 кл.
233
2. Системы уравнений
832. При каких значениях а система уравнений
Г(2-а) (x + i/) = 3a,
1(2-а) ху = 2а
имеет такие решения, что л: > О и ^ > О?
833. Найти действительные решения системы уравнений:
I) Ы^у^ + х^-гху-1 = 0,
\Юх^у^ + Зх^ - 20ху -3 = 0;
3) Ulx + y +л]х + у ~6, \л1х + у-у + х = 2;
2) j^8y-x+x = 2,
\^JЗy-x + x + y = 2;
5) \х^ +ху-2у^ +8х + 10у + 12 = 0,
+ Злг1/+ 2i/^ - дс +1/- 6 = 0;
6) \8х^ -2ху-у^ -30х-9у-8^0, [8х^ +6ху + у^ -2у-8 = 0;
4) \х+у = 4:+у1у^ + 2, \\gx-2\g2=\g(l+^
7)
log2 (х'^'у + 2ху^) - log 1 I ^ ^ 1= 4,
logs
6
= 0;
8)
logo| х+у 1 = 1.
\ + logi (l/ ]
у 3 \ /
= 2,
834. 1)
Решить систему уравнений (834—835). 1
sin л: cos 1/ = —, 1
sini/cosJ!: = -;
2) Isin^ X = cos X cos у, [cos^ X =sin X sin у;
3) J4 sin X sin y = 3,
Itg xtgy = 3;
4) ngx + tgy = 2,
I cos ДС cos y = -;
[ 2
5) f4sinj[:-2sini/ = 3, l2cosjt:-cosi/ = 0;
6) |6cosa: + 4cos i/ = 5; i3sinjc: + 2sinz/ = 0.
835. 1) |9cosA:cosz/-5sin;£:sinj/ = -6, 17 cos X cos I/ - 3 sin л: sin I/ = -4;
234
2) j3sinj£:cosi/-7cosxsini/ = 6,
[7 sin X cos у+ 6 cos x sin у =-2.
836. Найти все значения параметра а, при которых данная система имеет ровно одно решение:
Ux^ + y^ =^Iix+40f + (y-9f +41,
la 80
837. При каких значениях а система уравнений:
flogs (i/-3)-21og9^:=0,
\{х+а)^ -2у-5а = 0 имеет хотя бы одно решение?
3. Неравенства
Решить неравенство (838—844).
838. 1) S-x>Syll-x^; 4) л1Ьх-х^-5л14-х^; 5) ^lx^ + x-12<6-x.
3) у1х^-6x-24>x+2;
839. 1) 0,4^-2,5^+1 > 1,5; 4,(lJ-32(if-'<0;
2)25 0,042^ >0,2^ (3-x). 5) V4*^4l7-5>2^
3) -^-<4;
4^_3^
840. 1)31^-2!<9;
4) з1^+1|<9^;
2) logi logg^^<0;
2
2) 16;
5) 21^-21 >4|x+il.
3)3l^-ii>3^;
6) 5^“^ <251^1.
5) log^2_3(4^: + 7)>0;
6) log x-i (у1б-2х)<0;
Ьх-6
3) 2 log^ (д: + 2) - log^ (д: + 5) < 1; 7) log^ < 1;
4) logj (2 - 3-') < д: + 1 - log. 4; 8) logg ^ - logs < 1.
ЛГ + 2
^_2-lota
235
9 1
3) COS jc>-;
4
2) sin^
2 1
5) cos x<-;
8) tg2^>3.
2 1 3) cos x<~;
2 3
6) COS x>-;
842. 1) 4 sin л: cos л: < 1;
2) 3 sin jc> 2 cos^ jc; 4)tg^a:<3.
843. 1) sin^ x>^;
• 2 1
4) sin^ л:>-;
7) tg2^: 0; 4) 2 cos^ x + 3 cos д: - 2 > 0;
2) cos^ X - cos л: < 0; 5)2 cos^ л: + sin д: - 1 < 0;
3) 2 sin^ X - sin л: - 3 < 0; 6) 2 sin^ л: - 5 cos дс + 1 > 0.
845. Найти все значения а, при которых данное неравенство является верным при всех значениях х:
8х^ -4х+3 ^
1) —-------<а;
4х^ - 2 л: + 1
2)
Зд: -4JC + 8 9jc^-12x + 16
>а.
846.
847.
848.
Найти все значения а, при которых неравенство
logi (д:^ -f- ад: -I-1) < 1 выполняется для всех х из промежутка д: < 0.
2
При всех а решить неравенство j д: - 5а | < 4а - 3 и указать все значения а, при которых решения этого неравенства являются решениями неравенства
д:2-4д:-5<0.
Найти все значения параметра а, при которых данная система неравенств имеет единственное решение:
х^+ах + 256<0, ах^ +325х +а <0.
4. Преобразования
849. Определить знак выражения:
^ ^ . 7 л ^ Зк . к 1) sin — cos—-f-tg-;
4 J 4 4
2) sin5-—cosl-i-tg^. 2 3
Доказать тождество (850—851).
1 2
3
4
850. 1) sin“^ a + cos^ a = 1 -—sin^ 2a;
g
2) sin® a + cos® a = l — sin^ 2a;
236
3) 4 sin^ a-3=4 sin a+-
4) 1-cos^
sin I a-- l;
к I • 9
-+a I-sin 4
-a =sin 2a.
851. 1) = 2 ctg P;
sinpcosacx)s(a - (3)
sin a - sin 3a + sin 5a , „
2) ---------------— = tg 3a;
cos a - cos 3a + cos 5a
3) cos^ a + cos^ P - sin^ (a + P) = 2 cos a cos P cos (a + P).
852. 1) Доказать, что cos — cos — cos— = —.
7 7 7 8
2) Доказать, что значение выражения cos^ р + cos^ (а + р) -- 2 cos а cos Р cos (а + Р) не згшисит от р.
око тт sin За „ cos За
853. Доказать, что------= 2+-------.
sma
Вычислить (854-856).
854. 1) arcsin^sin^
2) arcsinl sin —
3) arcsinl cos —
855. 1) arccos^cos^
04 { 4тг
2) arccosi cos —
04 { 6^
3) arccos I cos —
.4 { 8n
4) arccos cos —
856. 1) arctgftg^ |;
cos a
2) arctg
tg
-f)i
3) arctg (tg (-1,5));
4) arctg (tg 0,3);
.4 . ( 4n
4) arcsinl cos —
5) arcsin (sin 6);
6) arcsin (sin 7).
_4 { . 3k
5) arccosi sin —
6) arccos ^sin^
7) arccos (cos 5);
8) arccos (cos 7).
5) arctgl tgy |;
6) arctg|^tgy |;
7) arctg (tg 4);
8) arctg (tg 6).
237
5. Функции и графики
857. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) 3 sin л: + 4 cos л:; 2) sin^ д:: + cos'* л:.
858. Найти область определения функции:
1) t/ = arcsin^;
859. Построить график функции:
^1
2) i/ = arccos
дг+1
l)i/ = -2";
2) У=-
3)1/ = 2!»1; 4)у = 3
860. Указать один промежуток, на котором данная функция обратима, и найти функцию, обратную данной на этом промежутке:
1) у = -(х-1)Ч2; 3)^ = |д:К1;
2) у = х^-5х + 6; 4)1/ = |л:-1|2.
861. Доказать, что при а о функция, обратная линейной функции у = ах+ Ь, также является линейной.
Построить график функции (862-871).
862. 2) у = 1 + ^-^.
863. 1) у = х^-\х\ + 2-. 3)у = \х-2\-х;
2) » = X ^ 4)у = \х^-7х+12\-1.
864. 2)1/ = |31-1-3|.
865. 1) J/ = logj \3-х\; 2) I/= 1 logg л: |.
866. 1)у = 2 sin 1 X |; 2)у = \ cos д: |.
867. 1)у = х^-4:Х^ + х + 6; 2)у = -^х^ +^х^-4х. о Z
868. 2)-/ = ^-1.
869. l)y = sin^x;
870. 1) У=г^-’ \og2X 2)y^yl\g sinx.
871. 1)у = \ cos 2х |; 3) i/ = ctg|;
2)г/=^; 4) у = arcsin (sin д:).
238
872. Доказать, что график функции y^tgx симметричен относительно:
1) точки (л; 0); 2) точки (-л:; 0).
873. Доказать, что график функции у = ctg х симметричен относительно: , ^ ,
2) точки Iо 1 .
874. Доказать, что график функции у = sin х симметричен относительно:
Зл
1) точки I —; о I;
1) прямой х = —;
2) прямой х = -—;
3) точки (к; 0);
4) точки (-л; 0).
875. Доказать, что график функции у = cos х симметричен относительно:
1) оси ординат;
2) прямой х = к\
3) прямой X = -л;
4) точки I —; о I;
5) точки 1 о 1;
6) точки 1 о I .
6. Комплексные числа
876. Построить окружность (г — комплексное число):
1) 1г-1-1| = 2; 3)\z + l + 2i\ = l;
2) l2 + 2-3i| = 3; 4)|2-2-н2г| = 3.
877. Построить прямую (г — комплексное число):
1) \z + i\ = \z + 2\; 3)\z + l + i\ = \z-l + 2i\;
2) 12 + 2i I = I г - 3 |; 4) 12 -i- 2 - 2i | = | 2 - 1 - Зг |.
878. Найти расстояние между двумя точками:
1) 2i и -3; 2) -Зг и 4; 3) Зг и 3 -г;
4)-Зг и 8-Зг; 5) 2-1-г и 3-г; 6)-3-н г и -3 - 2г.
879. Доказать, что множество точек, удовлетворяющих данному уравнению, является прямой; построить эту прямую:
1)2-1-2=-4; 2)z-z=-2L
Решить уравнение (880—881).
880. 1) 2 -ь 2 2 = 3 -ь г; 2) 32 - 2 = -4 -h 2г.
881. 1) 2^ -ь 1322 + 36 = 0; 2) 2^ - 6z^ + 25 = 0.
2“1
882. Доказать, что число-является чисто мнимым тогда и толь-
2+1
ко тогда, когда 12 I = 1, 2 -1.
239
883. Решить уравнение на множестве комплексных чисел:
1)2=2; 2)2+|2| = 0; ^)z^+\z\ = 0; 4) | г| - 2 = 1 + 2i.
884. Решить систему уравнений (на множестве комплексных чисел):
|2-2|=|2 + 2|,
\z-i\= \z + i\.
7. Производная и интеграл
885. Показать, что функция F (л:) является первообразной для функции f (л:) на заданном промежутке:
1) F (л:) = cos^ х, / (л:) =-sin 2л:, xeR;
1
(л:+1)^
2) f W=~, х<-1;
3) ^(л-) = —, /(л:)= 1п1л:|, х ^ 0;
л
4) F{x) = -Px, f{x) =--х<0.
2 s/-x
Найти первообразные для функции (886—887).
886. 1)
л:-3’
4) {х-1)4хП;
2)
5)
л:-1
л:^+л:-2 х + 1
3) ху/х + 2;
887. 1) cos^ л:; 2) sin Зл: cos Зл:;
4) sin X sin Зл:; 5) 2"^^;
Вычислить (888-889).
6) -
х^ -4
yJx + 2
3) sin Зл: cos 5л:;
6) 32^.
888. 1) Jsin^л:(iл:;
2) J sinл:cosл:^^л:;
о
889. 1) I-----------------dx;
4 (л:-3)(л:2_л[;_б)
3) ] -dx;
-3 ^
240
3) J(cos^ л:-зт^ л:)с/л:;
о
п
4) j(sin'* л:-t-cos^ x)dx. о
5) j 15хл/х-1 dx;
6)]^
dx.
890. Найти точку, в которой касательная к параболе ^ + Зл: + 5 параллельна прямой у=х,и написать уравнение этой касательной.
891. В точке с абсциссой а, где - < а < 2, построена касательная к
2
графику функции у = vGc.
Найти значение а, при котором площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью Ох и прямой х = 3, будет наименьшей, и вычислить эту наименьшую площадь.
892. Дана фигура, ограниченная кривой у = sin х и прямыми I/ = О,
х = —. Под каким углом к оси Ох нужно провести прямую че-2
рез точку (0; 0), чтобы эта прямая разбивала данную фигуру на две фигуры равной площади?
893. Дана криволинейная трапеция, ограниченная параболой у = х^ и прямыми у = о, X = 1, X = 2. В какой точке данной параболы следует провести касательную, чтобы она отсекгьпа от криволинейной трапеции обычную трапецию наибольшей площади?
894. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) y = Ayfx и у = 2х; 2) y = sJx и у = х^.
895. Найти площадь фигуры, ограниченную:
1) графиком функции у = cos х, отрезком оси Ох и
прямой, проходящей через точки (0; 1) и ; 0
I 2
2) графиком функции у = sin х, отрезком ^ j оси Ох и пря-
, 71 1
мои, проходящей через точки —; —
6 2)
3) графиком функции у = ху1х + 1 и осью Ох;
4) графиками функций у = у/х и у =
896. График функции y = f (х), где / (л:) = -2х^ - 8ах^ - 4а^х -ь 5, а < 0, и прямая I, заданная уравнением у = 4а^х -t- 5, имеют ровно две общие точки.
1) Найти а, если площадь фигуры, ограниченной графиком
27
функции у = f(x) и прямой I, равна —.
А
2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции у = f (х) в точке с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось Оу в точке с наименьшей ординатой. Найти эту ординату.
241
897. График функции i/ = /(x), где f {х) = х^ +2ах^‘ ■\--a^^x + l, а<0, и
4
а^х
прямая I, заданная уравнением у = —- +1, имеют ровно две об-
4
щие точки.
1) Найти а, если площадь фигуры, ограниченной графиком
27
функции у = f(x) и прямой I, равна —.
2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции у = f (х) в точке с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось Оу в точке с наибольшей ординатой. Найти эту ординату.
898. Графику функции у = -х^ -н ax^^ + Ъх + с принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой х = 2. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку (0; 2), а другая — через точку (0; 6). Найти значения а,Ьис.
899. Фигура М на плоскости (л:; у) ограничена графиками функций у = VI у -1Ъ - и имеет единственную общую точку с прямой I/ = -18л: -ь 9. Найти а и площадь фигуры М.
900. Фигура М на плоскости (л:; у) ограничена графиками функций у = 2е^^ и у = 7 - и имеет единственную общую точку с прямой у = 4х +2. Найти а и площадь фигуры М.
901. Найти решение у(х) дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному условию:
1) у' = 31/, 1/(0) = 1; 2)1/' = -у, у(0) = 2.
902. 1) Вычислить работу, которую надо затратить на сжатие пружины на 3 см, если сила 2 Н сжимает эту пружину на 1 см.
2) Вычислить работу, которую нужно затратить при растяжении пружины на 8 см, если сила в 3 Н растягивает пружину на 1 см.
903. Вычислить работу, которую необходимо совершить, чтобы выкачать воду из цилиндрической цистерны, заполненной водой. Радиус основания цистерны равен R, а высота h.
8. Прогрессии
904. Второй, первый и третий члены арифметической прогрессии, разность которой отлична от нуля, являются последовательными членами геометрической прогрессии. Найти ее знаменатель.
905. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии равна 4, а сумма кубов ее членов 192. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
242
906. Найти четыре числа, первые три из которых — последовательные члены арифметической прогрессии, а последние три — геометрической. Сумма крайних чисел равна 11, а сумма средних чисел 10.
907. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма первого и пятого членов которой равна 34, а произведение первого и девятого членов равно 4.
908. В геометрической прогрессии сумма первого и л-го членов равна 6, а сумма первых п членов 63. Найти л, если известно, что при умножении каждого члена прогрессии на номер этого члена получаются последовательные члены арифметической прогрессии.
909. Найти четыре числа, обладающие следующими свойствами: сумма первого и четвертого чисел равна 11, а сумма второго и третьего 2; первое, второе и третье числа — последовательные члены арифметической прогрессии; второе, третье и четвертое числа — последовательные члены геометрической прогрессии.
9. Задачи на составление уравнений
910. Два тела движутся с постоянными скоростями по окружности длиной 1,2 м. Если одно из них движется в том же направлении, что и другое, то оно настигает другое каждые 60 с; если же тела движутся в разных направлениях, то они встречаются каждые 15 с. Найти скорости движения тел.
911. Кусок материи стоит 35 р. Если бы в куске было на 4 м материи больше, а каждый метр стоил на 1 р. дешевле, то стоимость куска материи осталась бы прежней. Сколько метров материи было в куске?
912. Бассейн может наполняться водой из двух кранов. Если первый кран будет открыт в течение 10 мин, а второй — в течение 20 мин, то бассейн будет наполнен. Если первый кран будет
открыт в течение 5 мин, а второй — 15 мин, то заполнится -
5
бассейна. Определить, сколько времени надо для наполнения бассейна каждым краном в отдельности.
913. Бассейн был наполнен несколькими насосами одинаковой про-
изводительности, которые включались один за другим через равные промежутки времени. Последний насос перекачал v литров воды. Сколько воды перекачал первый насос, если известно, что при уменьшении производительности каждого насоса на 10% (при таких же промежутках между включениями) время наполнения увеличится на 10% ?
243
914. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Они встретились на расстоянии 4 км от В, и в момент прибытия мотоциклиста в В велосипедист находился на расстоянии 15 км от А. Определить расстояние от А до В (скорости мотоциклиста и велосипедиста постоянны).
915. Дорога проходит через пункты А и В. Велосипедист выехал из А по направлению к В. Одновременно с ним из пункта В вышли с равными скоростями два пешехода: первый — в пункт А, второй — в противоположном направлении. Велосипедист встретил первого пешехода через 0,3 ч после выезда из А, а второго догнал спустя час после момента проезда через В. Определить время движения велосипедиста от А до В (скорости велосипедиста и пешеходов постоянны).
916. Расстояние между пунктами А и В, расположенными на берегу
реки, равно 25 км. Из А и В одновременно отправились катер и лодка. Катер безостановочно курсирует между А и В. Через некоторое время из В в А отправилась вторая лодка, прибывшая в А одновременно с десятым выходом оттуда катера. При движении от А до В девятый раз катер встретил вторую лодку, пройдя 3 км, а первую догнал, пройдя 24 км от А. Определить расстояния, пройденные лодками до их встречи (скорости лодок и катера относительно воды, а также скорость реки, постоянны).
[ ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К главе I
1. 2) Нет; 4) да. 2. 2) Область определения — [-2; 5]; множество значений — [-3; 0); [2; 6]; 4) область определения — [-6; 3]; множество значений — (-3; 1]. 3. 2) Область определения — все действительные числа; множество значений — (-«>; 4]; 4) область определения — х ^ -1; множество значений — у 1. 5. 1) (1); 2) х = 3; 3)х= -1; 4) л: = -1; 5) (1); (2).
6. 2) а) Нет; б) нет; в) л: > 2, 0 < л: < 2; 4) а) да; б) да; в) все действительные числа. 7. 2) Нет. 9* 1) 0; 2) 1; 3) 6; 4) 0. 11. 2) 5; 4) 6л:-5. 12. 2) 4; 4) -7. 13. 2) 5.14.2) 3.15. 2) о(2) = 0,3; о(8) = 0,3.16.2) lOf. 17.2) 2,63.18. 2) 2х - 1;
4)-34х; 6)1,5л:2; 8)16х. 19. 2) Юл;+ 6; 4) 1 - 6л:; 6)-бл:^-ь 18; 8)-9л;2-ь + 4л: - 1. 20. 2) f '(0) = -2; f \2) = 10; 4) f '(0) = 1; / '(2) = 5. 21. 2) л: = 1,5;
4)л:1 = 1,л:2=6)л: = -0,5; 8)л: = -1. 22. 2) 5л:^ - 4л^ + Зх^ - 2л:; 4) 9л;2 - 6л:.
23.2)44.24.2)4х- 1, 1. 25. 2) 1; 4) 26.2) f(g(x))= IgV^; 4) /(g(x)) = x.
io
27. 2) X > 1, I/ > 0; 4) X e Д, 0 < I/ < 1. 28. 2) 2(x -h 3); 4) 3х^(3х - 2) (x - 1)2. 29. 2) X > 2; 4) X < 0, x>^; 6) -3 2. 31. x > 0,5.
У о
32. 2) f(g(x)) = I sin x|. 33. 2) 3(3x8 _ iq^7 + 49^.6 _ + 55 x^ - lOx^ - 33x2 -b
+ 20x + 12). 34. a > 3. 35. a < -12. 36. 2) lOx®; 4) 21x2 _ 21^:6. g)
8) 3*2-2 37. 2) 1 ; 4)
^ 5^ 2^ 2 ^4^
H----6) -
2x2
; 8) TtX
Я-1
38.2) = = 4) f(3) = i^,r(l) = 3. 39. 2) *, = 0, *2 = 1,
14л/з
Xg = -4, 4) X = 0; 6) Xj 2 = +1; 8) x^ = 0; Xg = 1; Xq 40. 2) 192; 4) 31,5. 41.*, = 3, *2 = -0.4, 42.2) 43.2)
11 2ых(х-1)‘‘ 7x'
4) -6x~i 6) + 8) ---44.2)|V^-----------
7^ 5x^ 3 2 2Vx
4) |x^------6) 1+1; 8) 45.2) (x-1)3(х+D^x
3 3x^ 2Vx 2xVx 3 3 ^
x(ll*-3): 4> 4(2*-3)^(10*^3) 2) 4) (^■b2)g*-*^-4)
34(2x+lf (2x+l)2 2xVx(2-x)2
47. 2) Xj = 0, Xg = -1; 4) X = 2; 6) X = 3. 48. 2) -1 < X < 0, X > 2; 4) X > 2; 6) X > 1.
245
49. 3,5 рад/с. 50. 902,5 Дж. 51. 2) 103 г/см. 52.
------------. 53.2)- +
2^(х-2)(х-3) X
+С08Д:; 4) е^-созл:; 6) ^;-^ + sin д:; 8)-^+е^. 54.2)-2sinдс;4) --^б)
24х
8) -3 cos д:. 55. 2) 24д;3- 9е^; 4) 2х^ + 3 cos д:; 6) -^ + 4sin д:; 8)
2х
56. 2) -^ + 16с^; 4)-6) 4^--; 8)---------^_5sinx.
2
хЩх 4:
2х^уИс
57. 2) бд:^^ 3 1_----+ А; 6) 16д:^-Зд:“^-^соб д:;
2^ 3?? Зд:^ д 3 ’
11 9
8)-|д~^+ 58.2) 1д-е^ + 2созд; 4) ^-A-lgin д; 6)3д2 + 8д +
2 4 2 X 3
2 1ч
+ 4 + - + 3 sin д; 8) 4д + 5 + - cos д. 59. 2) 7(д -4)®; 4) ——=; 6)-
X 2 фсТЪ (д^-1)4
8) -
6L 2) -
(д- 4)^д- 4 2
. 60. 2) 30(5д - 4)5; 4) -21(1 - Зд)®; 6) - 8)
(Зд-1)3 (4-Зд)б
15
^(2-8xf' 2V3^T2’ (4д + 1)74^’ (2-9д)^/2^*
62.2)-7sin7д;4)cos(д-2);6)-c-^;8)63.2)2. 4) J_. 6)_дт(д^ +1);
8) |cos^. 64 2) -Зsin(Зд-4); 4) -:?cosf2-^\ 6) ^sin^; 8) -cos^^.
5-2л:
4^1, 4/^3
65. 2) 5c5^-7. 4) _±_, 6) -|e 3 ; 8)--------. 66. 2) 4^ In 4; 4) In 7;
4д-3 3 2д+7
6)
1
; 8) —
х1п4 (д+3)1п10
. 67.2) x=±^ + 2nk,ke Z; 4) д: = -1; 6) д = 0; 8) корней
3
2-л
нет. 68. 2)------+ -i^: 4) -е"з” - icos^; 6)
2 V6(l - X) 2-5д 2 4
л-4
#2-д:)‘
. Д-2
+ sin ---;
-е 5 . 69.2) ^(l-2д)e-^;4)2eЗ-2^(sin(3-2д)-cos(3-2д)).
8) , ■ -е ” . \fij. £,f —
2(д+2)^(д+2)3 2Vд
7П 9) У3(1 + 3^)-2л Уз 3^1п3. 4^ 5^^(21п58шЗдн-141п5-Зсо83д) 2) —1—х
2V^(3^ + 1)2 ’ (8шЗд+7)2 д21п2
x^^д2^1n2-~-2^ + log2 -^5 4)sinд + cosд,tgд?^1.72.2)д = 4;4)д^ = l, Дз=4;
6) д = 8; 8) корней нет. 73. 2) д — любое действительное число; 4) д > 2;
п к г 6 ^
6) д > 3. 74. 2) ^ = 2 ^ ^ ^ “ 4 - arccos I I + 2дл,
п е Z. 75. 2) 2. 76. 2 + 2д. 77. 2) f (д) = 0 при д = е-^, f (д) > 0 при д > е'!, f {х)<0 при о < д < е~^; 4) Г (д) = 0 при д = 1, f (д) > 0 при д > 1, f (д) < 0
246
при о < л: < 1. 78. ^ ^ . 79. 2) у = Зл: + 7; 4) i/ = -2х + 2; 6)
“Г _ О О
х^-Ъх+Ь
8) y = 80. 2) Z/ = JC + 5; 4) г/ = -JC - 2; 6)у = ^х- 2>/3-5;
8) y = -^f3x + 4^^3-3. 81. 2) 4) 3; 6) 1. 82. 2) 4) 6)
8) arctg^. 83. f (л:) > О в точке А; f (д:) = О в точке В; f (х)<0 в точке С; Г(х)>ОвточкеО.М.2)у = -Пх+12;4) у = -х+ 4; 6)у = х+1;8)у = ^х + ^. 85. 2) г/ = -4:с + 2; 4) у=^+1; 6)у=1;8)у = х. 86. 2) 4) 6) 8)
87. 2) 4) |. 88. 2) J/ = 0; 4) I/ = 2jc; 6) у = ^х + 1. 89. 2) (1; 2); 4)
(-3; 6); 6) (1; 2); 8) (л + 2nk; л + 2лЛ), ke Z. 90. (4; 2), (0; -1) 91. (1; -1),
I/ = 2л: - 3; (1; 0), у = 2л: - 2. 92.1) I/ = 1 + л - л:; 2) I/ = 3 - 2л:. 93. 2) Возрастает при X > 0,3, убывает при х < 0,3; 4) возрастает при л: > 5, убывает при л: < 5; 6) возрастает при лг < -2 и при л: > 3, убывает при -2 < л: < 3. 94. 2) Возрастает при л: < 1; убывает при л: > 1; 4) возрастает при -1 < л: < 0 и при л: > 1, убывает при л: < -1 и при 0 < л: < 1. 95. 2) Убывает на интервалах л: < 0 и
л: > 0; 4) возрастает при л: > 5; 6) возрастает на интервалах
1 .1л 2лп 1 . 1 2лл „
--arcsin----!-—^<л:<-агс81П--1--^,пе Z, убывает на интервалах
^arcsm^+^^ 3,2; 4) возрастает на
промежутке л:<^ , убывает на промежутке х>^. 97. Возрастает на отрезке О о
-1 <х<3, убывает при -5<х<-1,3<х<5.98.2)а>1.100.2)х = 7; 4) Xj 2 = ±6;
6) X = 0; 8) X = лп, X = + 2лп, п е Z. 101. 2) х^ = 0; Xg g = ±—;
3 ’ 2
g
4) Xi = —, Xg = о, Xg = 3. 102. 2) X = -6 — точка минимума; 4) х = -8 — точка максимума, х = 8 — точка минимума; 6) х = 0 — точка максимума, х = -2
и X = 2 — точки минимума; 8) х = —+ 2лл, пе Z — точки максимума,
2
х = -^ + 2лп, ле Z — точки минимума. 103. 2) Точек экстремума нет;
А
4) точек экстремума нет; 6) х = -1 — точка максимума. 104. Возрастает при -6 < X < -4, о < X < 3; убывает при -7 < х < -6, -4 < х < 0; точка максимума — X = -4, точки минимума — х^ = -6, х^ = 0. 105. 2) х = 6^.
108. 2) См. рис. 83; 6) см. рис. 84. 111. 2) См. рис. 85. 114. Один. 115. 2) 91 и 3; 4) 9 и -2. 116. 2) 3,5 и 0; 4) 2 и -0,25. 117. 2) 1,5 и -3.
247
118. 2) 1; 4) -2. 119. 2) 4. 120. 50 = 25 + 25. 121. 625 = 25 25. 122. Квадрат
со стороной —. 123. Квадрат со стороной 3 см. 124. 2) 2 + In 7 и 1. 4
125.2) 2 + — и 1. 126.2) л/2 и 1. 127. 2) 1; 4) -1. 128. 2) -4л/2;
4) 1. 129. 2) 1; 4) 2; 6) 3. 130. 2) -7 и 8. 131. 4. 132. л: = а. 133. 134. Квад-
6
рат со стороной —. 135. Куб со стороной 136. -2. 137.
4 V3 л+4
138. 2) х(6 - х^) sin X + бл:^ cos х; 4) 12х^ - 18л:. 139. 2) Выпукла вниз на всей
числовой оси; 4) выпукла вверх на интервалах л:<-1,0<д:<1, выпукла
вниз на интервалах -1 < д: < 0, х > 1. 140. 2) х = 2; 4) х^ = 0, Xg g = ±~.
142. 2) Нет; 4) нет. 143. 2) -5х^ + бх^ - 6х; 4) 6) -21(4 - Sxf;
2
х^ 4?
8)------------; 10) -3sin Зх. 144. 2) -sinx-1; 4) 24х^ - 9е^;
(l-4x)Vr=^ X
6)-— + — . 145.2) 2^--; 4) 4cos^ + 3el-^. 146. 2)xMl + 3 In х);
2x X 3
4) sin 2x + 2x cos 2x; 6) (cos x - sin x). 147. 2) ^) ^ ^:+xlnx
(x3+l)2
X(l-X)2
148. 2)
4) -4 cos^x sin 2x. 149. 2) /' (x) = 0 при x = 0 и при X- — ,
2ху]Шх О при 0<
х = -3их = 1,2, /'(л:)>Оприх<-3, -3 <х< 1,2и х>4, /'(х)<0при 1,2<х<4;
4 4
/'(х)>0при 0<Х<--, /'(х) < о при X < о и при 4)/'(х) = о при X = 4,
9 9
6) fix) = о при X = 1, / '(л^) > о при X > 1, / '(J*^) ^ о при X < о и при О < х < 1.
7з 1 лл/з 6
и(4) = 7 м/с. 153. 2) Возрастает на промежутках х < -1 и х > 2, убывает на ин-
150.2) е;4)0,5. 151. 2)j/ = 30x-54; 4) у = х + ^ + ^. 152.s(4) = 22м.
тервале -1 < х < 2; 4) убывает на промежутках х < 3 и х > 3. 154. 2) Xj = О, 248
лг2з = ±0>5; 4)л: = лп, X=±^ + 2nn,n^Z. 155. 2)лг=1— точка минимума. 156. 2) д: = О — точка максимума, i/(0) = -3; д: = 2 — точка минимума, у(2)= -12,6. 159. 2) Наибольшее значение равно О, наименьшее значение
равно -4; 4) наибольшее значение равно 14, наименьшее равно -11.161. Равносторонний треугольник со стороной 162. Куб с ребром 10 см. 163. 2) д: > 1,
О
164. 2) -sinx; 4) Зд:^ cos 2д: - 2{х^ + 1) sin 2х; 6)
2 3^у1(х-1Г
+ 4х^¥^. 165. 2)------4) --------------. 166. 2) -(1 ч- 6д;2) sin (д: -н 2х^);
8x^4^ sin2x-l
4) -е^ sin е^; 6) -sin х 2*=®® ^ In 2.167. 2) f '(д:) = 0 при х = 0, f \х) > 0 при д: > 0,
f '(дс) < о при д: < 0; 4) / '(д:) > 0 при д: > _1; 6) f{x) = 0 при д: = 3, f\x) > 0
2
при д: > 3, f{x) < о при -1 < д: < 3. 168. а>3. 169. а < -12. 170. 2) а < 0;
4)а> 12.171.2)а>0; 4)а<0.172.2) 173.2) у = -\ х\п2 + ^ + \ \п2-,
4 о 1о 4
4)у = (1 + е-^)х; 6)у = 2ж(1- х). 174. 2) у = -^; 4) у = -7. 177. 2) д: = -1 -
4
точка минимума; 4) х = -3 — точка максимума, х = 4,5 — точка миниму-
Зл/^
ма. 179. 2) Наибольшее значение равно ----, наименьшее равно ——;
4) 3 и 1.180.2) -. 181.12.182. Катеты ^ и гипотенуза 183.2)(2; 14); 2 о V3 о
1Q
4) (-1; 1). 184. 9. 185. у=6х+^, у = 6х- 54. 186. 8 кв. ед. 187. 2k кв. ед.
188. 189. 2J—; 5J—. 190. х = -у[2 — точка максимума, д: = л/^ -
V15 V15
точка минимума. 192. arctg k.
К главе II
195.2) -^+С; 4) ^ J + C; 6)4 J+C. 196.2) |J-8. 197.2)д:« +
И 1 4 ? 2 2 3
+а 4) - 31nW + q 6) ЗдгЗ - 4д:2 + С; 8) 2д;3 + Зх+С. 198. 2) 2sin д: -
^ Х‘
- 5 cos д: -t- С; 4) Зе* + cos д: -ь С; 6) дг + Зе^ - 4 sin д: -ь С; 8) 8у/х -I- 3 In |д:|-
2
-2е^-нС. 199.2) hx-2)^+C; 4)-(дг + 3)з+С; 6)31n|д:-3|-^2cos(д:-l) + C.
6 7 4
200. 2) +С; 4) А(3д^_1)4+С; 6) 2л14х + 1+С; 8) --(2-Зх)3+С.
21,0 у 21 z' Л 1
201. 2) -8ш(Зд:-н4)-нС; 4) -|cos(3x-4)+q 6)4sm ~ + 5 j-t- q 8) -е^"Чс.
х^-1
249
X 1 ^
202.2) 4е^ -^cos2x + C; 4) 21sin^ + |e^‘2+С; 6) cos(4^: + 2) + C;
2 7 3 ^ V ^ у
8) |V3^: + l-|ln|2x-5|+C. 203.2) 4) + 5lnx + C;
7 4 ^31
6) x^-~x^+C; 8) 2л:3-|д:2-6х+С. 204.2) |д;3--x~^+C; 4) |д:2-6л:2+С. О 2 7 2 ^
205. 2) 2д:2 - д;; 4) 2ylx+3-3; 6) ^зтЗлг, 8) 1—206. 2) 12^; 4) 12|;
о дг+1 о 3
6) 6; 8) i 207. 2) 4; 4) 12; 6) 18; 8) 1 - In 2. 208. 2) 9; 4) 5; 6) |; 8) 2. 209. 2) 1;
2 о
4) 2; 6) 0. 210. 2) 11; 4) |; 6) 32; 8) 10. 211. 2) 25; 4) s|; 6) 2; 8) 1 +—.
о о 2
212. 2) 4) 5. 213. 2) 68; 4) 4л/3; 6) -3. 214. 2) 8. 215. 2) - е^; 4) |ln5.
12 о
216. 2) 0; 4) 217. 2) 1^; 4) 1^; 6) 4^; 8) 4|. 218. 2) 6^; 4) 6) 8.
219. 2) 2-V2; 4) —. 220. 2) 9^; 4) 8; 6) 2+J-Vs. 221. 2) Ц; 4) —.
222. 2) 4,5. 223. 2) i; 4) 6) 2о|; 8) |-1. 224. 2) 4) б|; 6) |.
225. 2) 2li 4) 44^ м.226.10| м. 227.2)y=2i^-4:^+x+C-,i)y=2^2x+C.
228. 2) I/ = sin д: + cos х + С;4)у = х^~ 2е^^+С. 229. 2) i/ = 2 sin д: + 1; 4) i/ = 2д: +
+ д;2 - д^ + 2; 6) I/ = 3 - 231. 2) -cos д: - 1; 4) + 1; 6) 2д: - д:2 + 3. 232. 2) 12;
4) -2; 6) |; 8) 2. 233. 2) 4) 1^; 6) |. 234. 2) 0; 4) -3; 6) в|.
235. 2) -А; 4) 2 sin 12. 236. 2) 1; 4) 1^ 237. 2) 2-; 4) 238. 1) А;
6 3 3 9 3
2) 4 In 3 - 2. 239.1) 1,75; 2) 3:^. 240. k=p.
15
К главе III
V2
246.2)д: = -5; г/ = —; 4) д; = 3, i/=-5; 6) д: = 7, г/= 4. 247. 2) 5 - 4г; 4) 0;
О
6) -i; 8) л/з +3i. 248. 2) 15 + Юг; 4) 2^; 6) 36+9л[ш. 249. 2) -2 - 2г; 4) 2 +3г;
6
6) 12 + 4г. 251. 2) а; 4) 40^ + 9&2; 6) (25а2 + 16b^)L 252. 2) -7 + 5г; 4) >/з+ 2г.
255. 2) 10; 4) ^I2; 6) 4; 8) 2; 10) —. 256. Указание: положить z^ = a^ + b^i,
3
^2 = а2 + ^ воспользоваться определением модуля. 258. 2) 1 - 6i; 4) 6i; 6) 4;
8) yfE + yfSL 259. 2)5-6г; 4)-8г.260.2) z = 6--i; 4) 2 = 6+(л/2-6)г. 261. 2)г;
М'’ 6) А|;
8) |. 263.2) г=-| + |г; 4)г = -2 - г. 264. 2) 2 - 11г; 4) 1; 6)-14. 270. 2) 2 = 2 + 5 0 0
250
+-i. 271.2) 2 + 2>/3i; 4) 3V2 + 3yf2i. 272. 2) cp = 2nk, 2 = 2 (cos 0 + i sin 0), e Z; 2
4)ф=7С + 2тсй, fte Z, 2 = 3 (cos n: + i sin тс); 6) ф = ^ + 2тсй, fteZ, 2=3|^cos^ + isin-|^
8) (p = — + 2nk, keZ, 2=2fcos-^ + isin3^^ 10) ф = —+ + 2тсЛ, k e Z,
2 у 2 2 J 6
2=2|^cos^^+isin^^^ 12) ф=^+2тсй, keZ, 2=2V2|^cos^+isin-^|
273.2) 3(^cos^+isin^^ 4) 2(^cos^ + isin^ j 274.2) |+^/; 4)-l + i.
275. 2) i; 4) — +—L 276. 2) 1 + i; 4) 1024. 278. Указание: левуюиправую
^ ^ л/™
части привести к виду: cos 2na + i sin 2na. 279. 2) 2^2= ±iV3; 4) 2j 2 = -“^^5
’ ’ о
6) 2i 2 =±i^- 280. 2) 7; 4) 7i; 6) S-Jsi. 281. 2) 2^ 2 = 2 ± i; 4) 2^ 2 = -2 ± 3i; 6)2i2 = 4±5t.282.2) 2i2 = -^±i; 4) 2i2=l±^i; 6) 2i2 = 3±iV2. 283.2)22--42 + 13 = 0; 4)22 + 142 + 65=0. 284. 2) г2 + 2+^ = 0; 4) -2у[Зг + 5=0.
OD
285. 2) (2 - 1 + 30 (2 - 1 - 30; 4) (2 + 1 - 0,20 (2 + 1 + 0,20- 286.2) (2+4+iV2)x X (2+4-iV2); 4) -(2 -5 + 0 (2 - 5 - 0- 287. 2) 2j 2 = ±(3 + 0; 4) 2^ 2 = ±(3 + 40;
6)2j2 =±(5 - 0.288.2) 2i2=±f^+^A 4) 2i,2=±(2V2-2V20; 6) 2i,2=±(V3-0.
289.2) 2i,2 = ±|^^ + i^j; 4)2^ 2= ±(1 + 30. 290. 2) 2^ = -2, 22,з = 1±1л/3;
4)2j= -1, 22,3=|±^0 6)2^ 2= ±1.234= ±i. 291. 2)x = -2;4)jc = 0.
292. 2) X = -1; 4) л: = -0,2. 293. 2) 12 + 4i; 4) 54. 294. 2) y/l4; 4) 5; 6) yff.
295. 2) -2; 4) 6) 1^. 296. 2) 2 = 5 - 3/; 4) 2 = 5 + (4+V2)i. 298. 2)
5 17 4
299.2) 2(cos|k+ isin |д). 300. 2)(5 + 0(5-0; 4)(2+ 20(2-20.301.2)x=l, y = Q. 302. 2) ^-2/. 304. Равны. 305. 2) z^-24iz+b = 0. 306. 4) 2j g =
^[2 2 [ 2 2
308. 2) 6(cos 120° + i sin 120°). 309. 2) 1 +Vsi.
К главе IV
310. 1) 6; 2) 24. 311. 1) 27; 2) 64. 312. 16. 313. 6. 314. 240. 315. 720. 316. 50 000. 317. 90. 318.45. 319. 30 000. 320.4 536 000. 321.1) 120; 2) 40 320; 3) 720; 4) 362 880. 322. 24. 323. 5040. 324.1) 24; 2) 6; 3) 12. 325.1) 81; 2) 16!;
251
3) 14!; 4) {k + 1)!; 5) kl, 6) {k + 1)1; 7) kV, 8) (fe - 3)!. 326. 1) 19; 2) 462; 3)
4) 15; 5) «2 + 3n + 2; 6) —; 7) 8) —. 327. 1) 3; 2) 11.
n^+5n+6 ^+2 ^+6
328.1) 725 760; 2) 241 920. 329. 1) 3; 2) 6; 3) 42; 4) 5040; 5) 336; 6) 1680;
7) 90; 8) 5040. 330. 60 480. 331. 360. 332. 870. 333. 720. 334. 1) 100; 2) 3. 335. 1) 12; 2) 9; 10. 337. 1) 15; 2) 56; 3) 28; 4) 56; 5) 9; 6) 9; 7) 1; 8) 1;
9) 120; 10) 120; 11) 4950; 12) 2415. 338. 84. 339. 286. 340. 190. 341. 105. 342. 220. 343. C^. 344. 60. 345. 1) 4; 8; 2) 8. 346. 1) 560; 2) 110; 3) 1140;
4) 4950. 347. 150. 348. Cfa Ci^s -Cia Cfg. 349. 1) 1 + 7д: + 21x2 + 35x^ + 35x^ + + 21x5 + 7x6 + Д.7. 2) - 8x3 + 24x2 - 32x +16; 3) 16x^ + 96x3 + 216x2 + 216x + 81;
4) 81x4 _ 21бд:3 + 216x2 - 96x + 16; 5) 32a5 - 40a4 + 20аЗ - 5a2 +
6) |^+ |a^+ ^аЧ20а^ + 60аЧ96а + 64. 350. 1) 32; 2) 62. 351. C^q x^.
352. Cfe x3. 353. 1) 330; 2) 1090. 354. 1) (n + l)(n + 2); 2) 355. 1) 47;
n+1
2) 10. 356. 1) 2; 2) 7; 3) 4; 4) 11; 5) 7; 6) 4; 9. 357. 40 320. 358. 28. 359. 56.
360. 59 280. 361.15 800. 362. 5; 14; 363.1) 364; 2) 455. 364.1) 16; 2) 64.
365.1) x6 + 6x5 +15^.4 + 20 x3 + 15x2 + 6x +1; 2) x5 - 5x^ + 10x3 - 10x2 + 5x - 1;
3) 16 + 32a + 48a2 + 8a3 + a'^; 4) a'^ + 12аЗ + 54a2 + 108a + 81. 366. 350. 367. 232.
368. 3 800 000. 369. 252. 370. 306. 371. n{2n - 1). 372. C| Cjf. 373.1) 1001; 2) 462; 3) 35; 4) 56; 5) 64; 6) 262. 374.1) 32a5 - ЗОа^ + 80аЗ - 40a2 + 10a - 1;
2) ^+|б+^&2 + 20ЬЗ+б0&^+96&5+б4^^; 3) 81x4 ^ 3g^3 + бд;2 + |х+^;
4) + 1351,-243 . 375.
К главе V
1 2
376. 1) Невозможное; 2) случайное; 3) достоверное. 377. -. 378.
О О J.
379. 380. 1) 1; 2) 3) А; 4) А; 5) 6) 1; 7) 1; 8)0. 381. 1) А;
1 1 1 19 29
2) А; 3) А. 382. 1) А; 2) 3) 383. 1) Являются; 2) не являются;
2 2
3) не являются; 4) являются. 384. -. 385. -. 386. 1) «Сегодня первый
О У
урок — не физика»; 2) «экзамен не сдан на отлично»; 3) «выпало больше четырех очков» или «выпало 5 или 6 очков»; 4) «ни одна пуля не попала
в цель». 387. 0,99999999. 388. -. 389. |. 390. 391. 1) 1; 2) А; 3) |;
4 о ооо 2 2 3
252
4) i.392.1) 2) 393.1) 2) A. 394.1) 2) 3) 395.1)
2) A; 3, 396.1) A; 2) 3) A; 4, S. 397.1) |; 2) A. 398.1)
70
2) —. 399. 1) Являются; 2) являются; 3) являются; 4) не являются.
400. 4. 401. 402. 0,36. 403. 0,42. 404. 1) 0,15; 2) 0,1. 405. 406. L
So 4 У о
407.0,91.408.0,44.409. 68,6%. 410. 411. -. 412. 413. |.
о 2 «о о
414. А. 415. 0,02. 416. 1) 2) 3) 4) А. 417. А. 418.
419.
^4 ^48 _ 325 _ 1
r-26
Ч2
833
34
К главе VI
430. m = 7. 432. 4. 438. 1), 2) Таких чисел нет. 440. 1) Да; 2) нет.
441.1) -2; -1; 0; 1; 2; 2) -3; 3. 443.1) л: = 1, г/ = 0; 2) х = 2,1/ = 0. 446.1) 4; 2) 7.
447.1) 1; 2) 1. 451.1), 2) Нет решений. 452.1) jc = -6 + 15t, y = 3-7t,te Z; 2)x = 15 + 16t, у = -10- Ilf, t e Z. 453. 1) д: = -2 + 21f, y=l- lOf, t e Z; 2)x = S + 4t,y = -15- 21f, tsZ. 456, 1) (3; -1); 2) (-1; -3). 457. 1) (-6; -7), (-4; 3), (4; -5); 2) (-5; -8), (-3; 2), (5; -6). 458.1) (2; 0), (2; 2); 2) (-3; 1), (-5; 1).
464.1) 1; 2) 10. 466.1) x = 8 + 3f, у = -12 - 5f; 2) д: = 6 + 7f, y = -4-5t,te Z.
467.1) (6; -5), (4; 5), (-4; -3); 2) (-7; 5), (-5; 5), (3; 3).
К главе VII
469. -1.470. -192.471.22.472.6.473. a = 3,6 = 4, с = 2.474.0.475.1) Частное д:^ - X - 6, остаток 0; 2) частное х^ + х - 6, остаток 0.476.1) Q(x) = Зх^ - 2х + + 1,R = -7; 2) Q(x) = 2x2 + 4, Д = g 477 = 2x2 - Зх + 1, = х - 3;
2) Q(x) = 4x2 _ 6^ = 2х + 3. 478. Д(х) = |х - 1. 479. Д(х) = х + 5.
480. Д(х) =
^_±у.2_ ±
X + 3. 481. 1) Q(x) = -9х® + 9x5 _ д^4 + 22x2 _ 22^2 +
+ 22х - 8, Д = 4; 2) Q(x) = х^ - 2х^ + ISx® - 26x2 + 68х - 136, Д = 262. 482. 24. 483. -8. 484. Делится. 485. Делится. 486. Xj = -1, Xg = 1, Хд = 2. 487. х^ = -2,
Хд = 73 , Хд = - >/3.488. Xj = 2, Хд = -1, Хд = ^ , X^ = ~ у/з . 489. а = 11,
Хд = 1, Хд = 3. 490. Хд = 3. 491. Р(х) = (х - >/з)(х + л/з)(х - >/2)(х + V2). 492. Д(х) = (X + 1)(х - 1)(х2 + X + 1). 493. Р(х) = (х2 -ь 3)(х2 -ь 2). 494. Д(х) =
= (х2 - ху/2 -ь 2)(х2 + Ху[2 + 2). 495. Р(х) = (х + 2)(х - 1)(х2 + 4).
496. 4рЗ + 27^2 ^ 0. 497. 1) [^2; || [^|; 2 j; 2) (1; 1), (-2; 1), (1; -2).
498.1) (х + уХх + 1)(1/ + 1); 2){х + у+ l)(xi/ -Ь х -t- ^). 499.1) (х -f- у)(у + z)(z + х);
253
2)(х + у + z){xy + yz + zx). 500. 1) (1; 2; -2), (2; 1; -2), (-2; 1; 2), (1; -2; 2), (2; -2; 1), (-2; 2; 1). 501. 1) Да; 2) нет. 502. 1) i? = 5; 2) i? = 6. 503. 1) Q{x) =
= + I д: - I; я(х) = I; 2) Q(x) = f - I; ^ ^
505. -2x + 4. 510. a = 1, & = 6, Xg = 3. 511. a = 3, 6 = -4. 512. x^ = l-X^-\ + 42, X^=\ - >j2. 513. Xg = 1 - >/2, Xg= 1, ЛГ4 = -1, Xg = -2.
к упражнениям для повторения
521. 0,08. 522. 30. 523. 3^%. 524. 400 %. 525. 45. 526. 13,5. 527. 62 %. 528. 30% цинка, 10% олова, 60% меди. 529. 365 р. 530. На 21%.531. 8.
99
532. 600. 533. 655,64 р. 534. 510,02 р. 535. 2)4; 4) 1,02. 536. 2) 4) 2.
85
537. 2) i; 4) 20,8. 538. 2) 1083. 539. 2) 64; 4) 25; 6) 8. 540. 2) -10; 4) 6) 160.
541. 2) Второе; 4) первое. 542. 2) 73; 4) 0; 6) 26. 543. 2) | 6 | • (26^ + 1);
4) 544. 2) 2V5; 4) 6) 3{4б-4Еу, 8) 4п-4з. 545. 2)
Va6 2а 2V5
4) А; 6) 546. 2) 4) в) 547. 2) 2,(1); 4) 5,(18).
548. 2) Да. 551. 2) Да; 4) не имеют. 553. «2л/з см. 554. ==59°. 555. =87 м.
12 12 24 . 24
556. =178м. 557.2)cosa = —, ctga = —; 4) tga = —, sina = —,
cosoc = ^. 558.2) i; 4) i; 6) 559.2) 4) 561. 2) 52; 4) 4-4i.
562. 2) 4) i. 563.2) 7fcos^+isin^\ 4) 2fcos^ + isin^l;
29’*' 25 25"Л 2" 2/*' ['"3 3^
6) 2|^cos^ + isin^ 8) cos^ + isin^. 564. 2) 2^^cos^ + isin^
4) cos(^-^j+isin(^-^j; 6) 2cos|^(^cos|^+isin|^j. 565. 2) 16л/з + 1Ш;
4) 128 566. 2) I 2 I = 4, ф=^. 567. 2) 1. 568. 2) 1. 569. 2) 2. 573. 2)
О O + O
4) 574. 2) a+ 6. 575. 2) 4) 576.2) ; 4)0.577.2)
26 ' 6-Г ' fl2+62 V2
578. 2) Д-; 4) r-^-^. 579. 2) lOa^. 580. 2) -6л/б. 581.2) 2V2sin^x
o6 Va+Vb 2
xsin|^^-^j; 4) 4sin^a + ^ j sin^^a-^ j . 582. 2) tg a • tg 2a ■ tg 3a;
254
2V2 cos^ ^ sinf a+—
4)-------------^i584. 2) sin a; 4) sin a; 6) tg a. 585. 2) tg^ —; 4) - sin 2a;
cos a 2
6) ctg2 a. 591. 2) ЛГ = 3; 4) л: = 8. 592. При a = -6. 593. При 6 = 3. 594. 2) д; = 3.
595. 2)д: = -1,25; 4) д: = -1; 6) д; = 5. 596. 2) х = — ириаФЬ. 597. 2) д:. = -2,
а-Ь
Х2=^‘, 4) = О, Х2=^; 6) дс^ = -5, Х2 = 5. 598. 2) дг^ = 2, д^з = Ю; 4) ^i=|»
дг2=|. 599. 2) д: = 4; 4) д: = 3. 600. 2) Не имеет корней. 601. 2) д: = 2.
602.2) 603.2) Xi,2=±V5, дгзд = ±л/б; 4) Д^1,2 = ±^2,
6) д:= 1. 604.1) д: = 3; 2) д:^ g = ±2, ДГд = 3; 3) х^ = -1, д:2= 3; 4) х^ = -1, дСд = 4,
дгд ^ = +iV2. 605. = 1, дгз = 2; дгд = 3. 606. 2) д:^ g = ±2, ДСд = -1, = 3; 4) х^ = 2,
X2=i. 607. 2) д:,2=-^±6; 4) д:. = а, х^=--а. 608. 2) 4)-0,387.
^4 2 ^ ^ 2 64
609. 2) 6 = -2. 610. = 2, ttg = 1. 611. = -1, 6^ = |. 612. а > О, &2 = 4ас.
11 5
614. 2) д; = 6; 4) Х=^. 615. 2)дг1 = 3, ^=3? 4) д; = 1. 616. д: = 3. 617. д: = 5. 618. 2) Не имеет корней; 4) д:^ = 2, jCg = -1. 619. 2) д: = 0; 4) дг = 8. 620. 2) д:^ g = = ±5; 4) х=^; 6)х^ = 0, 1,х^ = 2, ^ = 621. 2) = 3, дгз = 2; 4) дс = 3.
622. 2) х^ = -1, дгз = 3; 4) д: = 3. 623. 2) д: = 5. 624. 2) д: = 25л/3; 4) д: = л/з. 525. 2) дг1 = 9, Xg = 1. 626. 2) д: = 9; 4) д: = 18. 627. 2) х^ = 0,01, дгз = 100; 4) ^1 = ^» х^ = 9; 6) д:^ = 1, дСз = 4. 628. Нет. 629. 2) 2^ g = 3 ± i; 4) 2i 2=-2±A; 6) 2i2=l±iV2; 8) 630.2)2^ 3= ±8,234= ±
4)2^2=±V3, 2з4=±/л/5. 631. 2) = 7 + д: = (-1)"^ + |п, /г б Z;
4) х = ^ + 1п, neZ;6) х = ^ + кп, neZ. 632. 2) х = ~ + пп, x^j + ^n, nsZ;
4) дс = —+ -П, п е Z; 6) х=±^+^п, п е Z. 633. 2) д: = - + -п, п € Z; 16 4 12 3 4 2
4) д; =—н-лл, JC=arctg^ + K^, л е Z; 6) корней нет. 634. 2) д: = ^ + ^л, 4 « 4 2
Х=^ + ^П, neZ;4) л:=^ + 5л, д:=^ + 5л, лeZ.635.2) ^=| + 2лл, лeZ;
О 4 о о 2 'о
4) д:=^л, лeZ. 636.2) д; = -| + 2лл, д: = arctg(2+ ^/3)+2лл, ле Z;4) х = 2пп, 1 3 7Г
дс = 2arctg-+ 2лл, ле Z;6) дс = -агсет-р=+ - + 2лл, ле Z.637.2)дс=л+2лл, 4 VlO 2
дс = -^ + 2лл, дс = —+ ЛЛ, лeZ;4)д: = -л, дс = -- + лл, ле Z. 638.2)дд=л+2лл, 2 4 2 4
255
х^-^ + 2кп, х^- + 2кп, neZ; 4) х = к+2ш, х = - + 2кп, х = j + 2 4 2 ^
+ (-1)” arcsin + КП, п € Z. 639.2) ^ = х=±^+пп, п е Z;
4) х=^ + ^п, п е Z. 640. 2) х = -+пп, Х=^ + ^п, пе Z.
8 4 2 5 5
641. 2) = + п S Z; 4) л:=(-!)"+!arcsin^+ кп, п е Z;
О о
6) х = ~ + кп, Х=^ + ^п, п е Z. 642. 2) Корней нет; 4) х = пп, п е Z. 2 12 о
643. 2) д: > -2; 4) л: > 1. 644. 2) д: > 56; 4) д: < ОД; 6) д: > 5. 645. 2) При д: < 0,5
и Х>^; 4) при д:< —; 6) при -^^; 4) при л:<-- и х>-; 6) при Х<— . 647. 2) -16 < д: < 3; О 2 У 2 (
4)х<4,х>6;6)х<-3,х> -2,5. 648. 2) д: < 5, д: > 9; 4) -3 < х < 7; 6) д: — любое действительное число; 8) нет решений; 10) -1,4 < д: < 0. 649. 2) д: > -4.
650. 2)-7 < X < 2, д:> 5; 4) х<-2-^2, -2 + л/2<х<1; 6) х <-4, -1 < х < 2, X > 3. 651. При -5 < X < -3. 652. m = 2. 653. При т = 8и т-9. 654. При х = 6. 655. При X = -1. 656. 2) X < 2,8, х > 4; 4) 1,25 < х < 1,75; 6) х < 2.657.2) х < -2;
1<х<2,х>5;4) Ь^<х<-|, l/2<х<7П; 4) х >-0,5. 660. 2)-2 < х<0,25, х > 2. 661. 2) -К X < 5; 4) -1,5 < х < -0,9. 662. 2) х < 1. 663. 2) Нет решений.
664.2) х<1,х>3.665.2) -V5/2, y/22.666.2)Кх<2;
4)х> 3. 667. 2) -3<х<-л/б, л/б<х<3. 668. 2) ^-\-кк<х<^ + кк, к е Z.
2 о
669. 2) - + 2я/г<х< —+ 2тс/г, к е Z. 670. 2) -- + пк<х<- + пк, ke Z; 6 6 3 3
4) -агссоз-+2я/г < х < arccos^ + 2пк, к е Z. 674. 2) (2; 1); 4) (5; -3). 3 3
675. 2) (-1200; 500); 4) (7; 1). 676. 2) (-8; -2), (8; 2); 4) (3; 4), (4; 3); 6) (8; 4), (-8; -4). 577. 2) (7; 6); 4) (2; 3), [-9;28|| 678. 2) (3; 1), (-3; -1); 4) (3; 5), (3; -5), (4;2л/2), (4; -2V2). 679. 2) (2; 1), (-2; -1), (0,5; 1,5), (-0,5; -1,5); 4) (0; 2), (0; -2), (-2; 0). 680. 2) (0,5; V2), (0,5;-л/2); 4) (6; 6), -З+Зл/5 -3-3V5 ^ Г-З-зТб -З+Зл/5 ggj 2) (4; 2); 4) (3; 1). 682. 2) (2; 3).
683. 2) (100; 0,1); 4) (10; 100), (100; 10). 684. 2) J 6^5. 2) (2 + i;2-i), (2 - /; 2 + г); 4) (1 + 2г; 1 + 3/), (1 - 2i; 1 - Зг); 6) (3; 1), (-3; -1); (U -Si); (-г, Зг). 686. 2) х > 5. 687. 2) 1 < х < 2. 688. 2 и 12. 256
689.1) + n; I + nj, П6 Z;2) + | + ne Z.
690.1) |^^ + 27ш; ^ + 2K^j, ^-^ + 2jt«; -^ + 2Kfej, |^^ + 2jcn; ^ + 2яА:
-^ + 2яп; -^ + 2я/г| neZ,keZ;2) (-^+|(/i+2ft); ^ + |(л-2/г)),
|| + .|(п+/г); +^(ife_n)j, neZ,k€Z. 691.1 мин. 692.126 км. 693.1080 км.
694.16 дней. 695.12 ч. 696. 91 га. 697. 8 и 12. 698. 699. 432 дета-
ли. 700. 18 км/ч. 701. 25 и 20 билетов или 20 и 15 билетов. 702. 3 км/ч. 703. 21 ц; 20 ц. 704. 1400 шагов. 705. 10 чел. 706. 400 м. 707. Через 6 с. 708. На 20 км/ч. 709. 3, -6, 12, -24. 710. 27. 711. 1; 3; 9; 15 или 16; 8; 4; 0.
712. 2 или 12|. 713. В 3 раза. 714. 16 см^. 715. Ь = -2. 716. k = -1.
5
717. 2) /г = -1, Ь = 3; 4) Л = 0, 6 = -2. 718. 719. 2) Нет; 4) да.
О э
720.2) АВ=^. 721. 2) При х<\. 722. 2) При jc>^. 723. При х > 1.
О 3 2
724. При х<-л/з. 727. 2) Да. 728. 2) (-1; 3), (5; 3). 729. 4) х < -2, х > 2. 730. 4) При всех значениях х, кроме х = 0. 731. 2) Да; 4) да. 732. 2,25. 733. 2) (0; 2) (2; 0), (0,5; 0). 734. у = 2х^-5х- 3. 735. Полуокружность с центром в начале координат радиуса 5, лежгицая выше оси Ох. Возрастает на отрезке [-5; 0], убывает на отрезке [0; 5]. 736. Гипербола, пересекающая ось Оу в точке (0; -2,5). 737.2) у = Чх; 4)у = 2-х,х>0. 739.2) х < -5, X > 3. 740. 2) X < -7, X > 6.741.2) х < 2. 742.2) х < 1.743. При х < 1. 744. При X > 27. 745. ^ = X + 1. 746. у = Зх - 3. 747. Наибольшее значение 132, наименьшее значение равно -57. 748. Наибольшее значение 9, наименьшее
значение равно 4. 749. (1; 1). 750. 751. 2. 752. 753. Радиус осно-
Z1 216
вания равен
2Я
высота 754. Диаметр основания равен высоте.
755. 756. 757. Радиус основания высота равна 758.1)х = -3 —
VO о о о
точка максимума, х = 1 — точка минимума. 759. (1; 0), (-1; 4). 760. у =
= 7х - 43. 761. 2) Функция четная, х^ g = -1 — точка минимума, х = 0 — точка максимума. 762. 2) 4) 4,5; 6) 18. 763. 2) 4,5; 4)
О 12
764. 2) |ял/я-2; 4) 765. 210. 766. 36. 767. З'^. 768. 4^^. 769. 435.
^ 31п 3
770. . 771. 0,85; 850. 772. 480. 773. ||. 774. |. 775. 0,18.
4 о8 о
776. 0,97. 777. 0,96. 778. 0,028. 779. 2) х > 2; 4) = F{2)=-.
780. 2) -4 < X < 0; 4) ад=^х2-|, F(^) = 3^. 781. 2) х > 3; 4) 31,5.
3 3 о
257
782.2) ^<х<2; 4) 1б|. 783. 2) 4) -4. 784. 2) 4) 12.
2 3 ^cosa
785. 2) д: < -5, д: > 4; 4) JC=±|+ 271)^, л:=(-1)*| + я:^, k е Z. 786. 2) д: < О,
О о
х>3;А)х = к + 2кк, х = -- + кк, keZ. 787. 2) 3; 6; 12; 24 или 24; 12; 6; 3; 4
4)jc = Tcfe, x=±^ + 2izk, fee Z. 788. 2) 7 или 13; 4) x = - + 2nk, x={-l)^^ + nk,
a 2 О
fe 6 Z. 789. 2) д: = 1; 4) -2 < д: < 2. 790. 2) д: = 3; 4) д: > 1,25. 791. 2)х=1,у = 2; 4) V2. Указание: воспользоваться равенством л/2±л/3 - » 792. 2) 1;
4) "^7^. 793. 2) 3; 15; 75; ...; -45; 15; 75;... или 75; 15; 3; ...; 27; 15; 3;...;
ао
4)д:=|+|А;, x = -| + 7ife, fee Z.794.1) [l|;4|]; 2)д:>-1; 3) д: = ^(12п±5), 2
п е Z; 4) М(1; 0); 5) 8-; 6) если 0,5 < а < 1, то нет решений; если а < -1,
О
а = 0,5, а > 1, то одно решение; если -1 < а < 0,5, то два решения. 795. 1)0,6 < д: < 1,6; 2) убывает прид:>-1; 3) д: = —(3n + (-l)”+i), пе Z;
X ш
2
4) М(1; 0); 5) 8—; 6) если -К Ь < -0,5, то нет решений; если Ь < -1, Ъ = -0,5, 3
6 > 1, то одно решение; если -0,5 < & < 1, то два решения. 796. 1) х=^;
1о
2) -2 < д: < -1; 3) область определения — все действительные числа; при д:<-1 — возрастает; при -1 < д:< 1 — убывает; х>1 — возрастает; экстремумы -2 и 2, график на рисунке 86; 4) 5) -е^; 6) 7^.
2 2 2 2 о
797.1) 2)1<д:<2;3) область определения — все действительные чис-
ла; при дг < о — возрастает, при 0 < д: < 1 — убывает, при д: > 1 — возрастает;
Рис. 87
258
1 л А. о-г лч ^ ^ 1 1 кч 4 .
экстремумы -1 и О, график на рисунке 87; 4) 5) —J
2 2 2 2
6)25,5.798.1) x = - + -k,kG Z, х=±^ + тт, пе Z; 2)-3 < х <-h 3) (4; 1); 4 2 о “
4) 108; 5) 6; -4; 6) log23il2.
800. 1) х=±^ + кк, ke Z, x=±^arccos|^-^^+лл,п e Z; 2) 3) 16л;
4) 1/<10|; 5)х<-1, x>log2^^~ s 6) 801-1) + Z,
x = ±^arccosi + nn, n 6 Z; 2) 3) 20л; 4) y<-—; 5) x < -1,
2 4 olnlO 12
x>logg(V^-3), 1; 6) (1,15;-2,1).
К задачам для внеклассной работы
802. 2) X = 2; 4) Xj = 1, Xg = 2, Xg = 10. 803. 2) x = 4; 4) x = 1. 804. 2) x = 4.
805. 2) X = 3. 806. 2) X = -17; 4) x = -5. 807. 2) x = 2-V2. 808. 2) Xj = 10, Xg= 0,1. 809. 2) X = -1. 810. 2) X = 5. 811. 2) x = 16. 812. 2) m = -5.
813.2) x=±arccos|^-^ +2лп, ие Z. 814. 2) x = л/г, х=±агссо8^+2л/г, ne Z. 815. 2) х = -^ + л/г, х=-^ + (-1)"агс8Ш^^ + л/г, n e Z. 816. 2) x = 2лл, л:=-^ + 2л/г, х = --+л/г, х = ^ + (-1)"агс8ш^+л/г, гае Z. 817.2) x = 4 + ^»
2 4 4 4 4 2
ns Z. 818. 2) x=-^±^arccos|^-^j+л/г, n s Z. 819. 2) х = -| + л/1,
x = (-l)”^+^, /leZ. 820.2) = ^ + /г e Z; 4) x=| + ^, х=±|+л/г,
/г € Z. 821. 2) x = - + —, n e Z; 4) x = —+ л/г, x = (-l)”+i —+ -/г, /г e Z. 42 4 12 2
822.2) x=Ttre, л e Z; 4) x = - — + 2nn, ns Z. 823. 2)Есуш —1 1 один корень x = -3; при a = -1 корнями являются все числа луча х < -3; при а = 1 корнями являются все числа от-
резка-3< х<2;при-1<а<1двакорня:х^ = -3, 4) при а <-2 и при
259
а > 2 один корень х = -3; при а = -2 корнями являются все числа луча х > -3; при а = 2 корнями являются все числа отрезка -4 < л: < -3; при -2 < а < 2 два
корня: д;, = -3 и 827. 4; 4. 829. х='^ + {2п+1)я, neZ. 830. д: = пп,
^ а+2 3
х = -^ + пп, neZ.831. 3<д<3+3>/6 gg2. 1®<а<2. 833.2)(-1; 1);4)(5;0,5); 4 5 10 17
6) (0,5; -3), (2; -4), 8) (-3; 1). 834. 2) = ^ +
у = — + ~ + 2кк, п е Z, k £ Z; 4) д: = ^ + яп, у = --кп + 2кк, п е Z, k е Z; 4 2 4 4
3 1 Я 1
6) д:^ = arccos - + 2лл, y■^ = arccos ^ + 2пк, дгг = -arccos + 2ял, у2 = -arccos ^ +
4 8 4 о
+ 2кк, п £ Z, к £ Z. 835. 2) д: = -+ (-1)'^+'^ ^ +^ +кк, п £ Z, к £ Z;
4 12 2
u = _Z^ + (_l)n+iiL + Z^_^fe, Ti£Z,k£ Z. 836. а <-18, а > 18. 837. Г-?;б\ ^ 4 ' ^ 12 2 ’ L 3 J
838. 2) -Кд:<-^, ^<х<1;4) 839. 2) -2 < д: < 1;
4 4 2 2
4)-|<д:<2. 840. 2) д: <-3, д: > 1; 4)д:>1; 6) д: е Д. 841. 2) 3 < д: < 4,
д: > 6; 4)-logg 2 < д: < logg2 - 1, д:> logg2; 6) х< , ^<х<~; 8) д: < -4,
д:> 3,5. 842. 2) ^ + 2кк<х<~ + 2кк, к £ Z; 4) ~- + пк<х<~ + пк, k£Z. 6 6 3 3
843. 2) -^-\-Tik--; 2) а<-. 846. a—, тоа + 3<
4 4 4 4
< д: < 9а - 3. 848. -32; 40; 130. 849. 2) Меньше нуля. 854. 2) ; 4) - —;
5 14
6) 7 - 2я. 855. 2) 4) 6) у; 8) 7 - 2я. 856. 2) 4) 0,3; 6)
8) 6 - 2я. 857. 2) 1 и 0,5. 858. 2) -4 < д: < 2. 860. 2) На луче х < 2,5 обратная
функция у=^ на луче д: > 2,5 обратная функция у=
4) на луче д: < 1 обратная функция г/ = 1 --Jx, на луче д: > 1 обратная функция у = 1 + ^. 862. 2) См. рис. 88. 867. 2) См. рис. 89. 868. 2) См. рис. 90. 869. 2) См. рис. 91. 870. 2) Графиком является множество точек с координатами (^ + 2пк; 0\ к £ Z. 871. 2) См. рис. 92; 4) см. рис. 93. 878. 2) 5; 4) 8;
260
Рис. 88
Рис. 92
261
1.
6)3.880.2) z = -2+-i. 881.2) 2j 2 = 2±i, 2д4=-2±/. 883.2)2 — любоедействи-тельное неположительное число; 4) 2 = 1,5 - 2/. 884 2 = 0. 886. 2) 1п|л:+2|+С; 4) 1(Зх2-4с-7)ч/^+С; 6) -Sx-28)^J^+C. 887. 2) -^cos6x+C;
4) -sin2x--sin4A: + C. 888. 2) 0,5; 4) —. 889. 2) 1 + 3 In 2; 4) 3 + In 4; 4 8 4
6) 890. (-1; 3),y = x + 4. 891. a = 1, S = 4. 892. arctg4- 893.
о V 2 4
64
^^3 n
894.2) 895.2)1-^ + ^; 4) 896. a = -^, 897.a = -3,
2 12
12
71n6
=9. 898. a = 6,b^ -11, c = 6. 899. 2; 15 In 2 - 9. 900. 2; ^-^-5.
IllaX 2
901. 2) I/ = 2e-^. 902. 2) 0,96 Дж. 903. -jiR^gh^p. 904. -2.905. b^ = 6,q^ -0,5.
906. 2; 4; 6; 9 или 907. 64 или 908. 21. 909. 10; 4; -2; 1
4 ’ 4 ’ 4 ’ 4 3
или . 910. 3 м/мин. 911. 10 м. 912. ^ мин и 50 мин. 913. 2,5о
4 4 4 4 о
литров. 914. 20 км. 915. 0,5 ч. 916. 13,5 и 11,5 км.
Проверь себя!
Глава I
12(Зх-5)^;
1. 85. 2.-^ + ^-е^;
п о o r. - о ^
6 cos 2л: cos л: - 3 sin 2л: sin jc; -. 3. а=—.
+ 5f ^ 4
4. Рис. 94; 95. 5. Наибольшее i/(5) = 5-, наи-
D
меньшее у(2) = 4.6. По 2 м.
Глава II
2. F(x) = х^ + х^ - Зх - 1. 3. 11^; 1; -1.
4. 20^ кв. ед. о
Глава III
1. 1) 8 - i; 2) 4 - 4i; 3) 71 + 3i; 4) 2. 3.1) z^2=±'^i’ 2) 2i2=5±3i.
1-i
262
Глава IV
1.1) 5040; 2) 336; 3) 56; 4) |. 2.1) п{п + 1); 2) ^ - J --
7 (п-3)(п-2)
. 3. 84. 4. 5040.
5. 720. 6. 720. 7. 1) л:® + бх^у + Ibx^y"^ + 2бх^у^ + Ibx^y'^ + бху^ + i^®; 2) 1 - 5а + 10а^ - 10а® + 5а* - а®.
Глава V
1. 2.0,95.3. I. 4. 5.0,64. 6. 7.0,09.
4 3 5о 19
Глава VI
2.4. 4. 2. 5. л: = 8 + 3f, г/ = -18 - 7f, t е Z.
Глава VII
1. Частное 2л:® + Зл: - 2, остаток 0. 2. 12. 3. 4л: - 3. 4. л:^ = 1, лгз = 3, л:„ = -2. 5. (л: - 1)(д: +3)(л:2 + 3).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Производная и ее применения
§ 1. Предел функции. Непрерывные функции....................... 3
§ 2. Производная.............................................. 11
§ 3. Правила дифференцирования................................ 14
§ 4. Производная степенной функции ........................... 19
§ 5. Производные некоторых элементарных функций............... 23
§ 6. Геометрический смысл производной.......................... 28
§ 7. Возрастание и убывание функции...................... 36
§ 8. Экстремумы функции........................................ 40
§ 9. Применение производной к построению графиков функций .... 45
§ 10. Наибольшее и наименьшее значения функции ................ 50
§ 11*. Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба 57
Упражнения к главе 1........................................... 64
Историческая справка......................................... 70
Глава II. Интеграл
§ 12. Первообразная............................................ 73
§ 13. Правила нахождения первообразных......................... 76
§ 14. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление 80
§ 15. Вычисление площадей с помощью интегралов................. 88
§ 16*. Применение интегралов для решения физических задач ..... 92
§ 17*. Простейшие дифференциальные уравнения................... 94
Упражнения к главе II ......................................... 97
Историческая справка........................................... 99
Глава III. Комплексные числа
§18. Определение комплексных чисел....................... 101
§ 19. Сложение и умножение комплексных чисел ............ 103
263
§ 20. Модуль комплексного числа ........................... 106
§21. Вычитание и деление комплексных чисел ................ 107
§22. Геометрическая интерпретация комплексного числа ...... 110
§23. Тригонометрическая форма комплексного числа........... 114
§ 24*. Свойства модуля и аргумента комплексного числа...... 117
§25. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным ....... 119
§ 26*. Примеры решения алгебраических уравнений ........... 122
Упражнения к главе III .................................... 124
Историческая справка....................................... 127
Глава IV. Элементы комбинаторики
§ 27. Комбинаторные задачи. Правило умножения.............. 129
§28. Перестановки ......................................... 131
§ 29. Размещения .......................................... 132
§ 30. Сочетания и их свойства.............................. 135
§31. Биномиальная формула Ньютона.......................... 138
Упражнения к главе IV ..................................... 140
Историческая справка....................................... 142
Глава V . Знакомство с вероятностью
§ 32. Вероятность события.................................. 144
§ 33. Сложение вероятностей................................ 146
§ 34. Вероятность противоположного события................. 148
§ 35. Условная вероятность................................. 150
§ 36. Независимые события ................................. 154
Упражнения к главе V....................................... 156
Историческая справка....................................... 157
Глава VI. Делимость целых чисел.
Целочисленные решения уравнений
§ 37. Понятие делимости. Делимость суммы и произведения.... 159
§ 38. Деление с остатком. Признаки делимости .............. 161
§ 39. Сравнения............................................ 165
§ 40. Решение уравнений в целых числах..................... 168
Упражнения к главе VI ..................................... 172
Историческая справка....................................... 173
Глава VII. Многочлены и алгебраические уравнения
§ 41. Многочлены и арифметические действия над ними........ 174
§ 42. Деление многочленов. Схема Горнера................... 177
§ 43. Алгебраическое уравнение и его корни. Теорема Безу .. 182
§ 44. Разложение многочлена на множители .................. 184
§ 45. Многочлены от двух и трех переменных................. 187
Упражнения к главе VII .................................... 192
Историческая справка....................................... 194
Упражнения для итогового повторения курса алгебры ......... 196
Задачи для внеклассной работы.............................. 231
Ответы и указания.......................................... 245