Учебник Алгебра 11 класс Задачник Мордкович часть 2 профильный уровень

ii ■ '.1', и НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 11 класс в двух частях Часть 2 Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) Под редакцией А. Г. Мордковича Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 6-е издание,стереотипное Москва 2012 УДК 373.167.1:[512+517] ББК 22.14я721+22.161я721.6 А45 На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 2-10106-5215/1419 от 25.10.2006) и Российской академии образования (№ 01-179/5/7Д от 19.07.2006) Авторы: А. Г. Мордкович. Л. О. Денищева, Л. И. Звавич, Т. А. Корешкова, Т. Н. Мишустина. А. Р. Рязановскнй, П. В. Семенов Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. А45 В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. — 6-е изд., стер. — М. : Мнемо-зива, 2012. — 264 с. : ил. ISBN 978-5-346-02091-2 Задачник является второй частью комплекта из двух книг, предназначенных для изучения курса алгебры и начал математического анализа в 11-м классе с профильной подготовкой по математике (первая часть — учебник). УДК 373.167.1:1512-Ь5171 ББК 22.14я721+22.161я721.в Учебное издание Мордкович Александр Григорьевич, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович и др. АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 11 класс В двух частях Часть 2 3/^ЧНИК для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) Формат 60x90Vii. Бумага офсетная № 1. Гарынтура «Школьная*. Печать офсетная. Уел. печ. л. 16,5. Тираж 40 000 акз. Заказ № 1205360. Издательство «Мнемознна». 105043. Москва, ул. 6-я Парковая. 29 6. Тел.; 8(499)367 5418, 367 5627,367 6781; факс: 8(499) 165 9218. E-mail: [email protected] www.mnemozina.ru Магазин «Мнемознна* (розничная и мелкооптовая продаяса книг, «КНИГА — ПОЧТОЙ*, ИНТЕРНЕТ-магазин). 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 6. Тел./факс; 8 (495) 783 8284; тел.: 8 (495) 783 8285. www.shop.mafazin.ru E-mail; [email protected] Торговый дом «Мнемозина» (оптовая продаяса книг). Тел./факс; 8(495)665 6031 (многоканальный). E-mail: [email protected] Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного электронного оригинал-макета в ОАО «Ярославский полиграфкомбинат» 150049. Ярославль, ул. Свободы, 97 ф «Мнемозина», 2007 О «Мнемозина», 2012 ISBN 978-5-346-02091-2(4.2) £> Оформление. «Мнемозина», 2012 ISBN 978-5-346-02089-9 (общ.) Все права защищены arvato ЯПК Предисловие для учителя Издательство «Мнемозина» подготовило учебно-методический комплект для изучения в 11-м классе профильной школы курса алгебры и начал математического анализа: Программы. Математика. 5—6 классы. Алгебра. 7—9 классы. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы / авт.-сост. И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович; А. Г. Мордкович. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник; А. Г. Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник; A. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Методическое пособие для учителя; B. И. Глизбург. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Контрольные работы / Под ред. А. Г. Мордковича. У вас в руках вторая книга комплекта — задачник. Наличие отдельного задачника позволило авторам выстроить в нем полноценную как по объему, так и по содержанию систему упражнений, достаточную для работы в классе, дома, а также для организации повторения (без привлечения других источников). В каждом параграфе представлены упражнения трех уровней сложности: простые, средние (слева от номера такого упражнения помещен значок о) и трудные (слева от номера такого упражнения помещен значок •). Нумерация упражнений своя в каждом параграфе. Ко всем средним и трудным заданиям в конце книги приведены ответы. Число заданий в каждом номере — одно, два (а) и б)) или четыре (а)—г)). Все они в пределах конкретного номера однотипны, поэтому советуем вам разбир>ать в классе пункт а) (или пункты а) и б)), а на дом задавать пункт б) (или, соответственно, пункты в) и г)). Количество упражнений в данном задачнике таково, что его должно хватить при работе с учащимися профильных классов различной математической направленности: при четырех, пяти или щести часах в неделю на изучение курса алгебры и начал анализа. В раздел «Дополнительные задачи» включены задания с нестандартными формулировками, идеи которых навеяны материалами Единого государственного экзамена по математике. Нумерация заданий в этом дополнительном разделе двойная: первые цифры указывают, к какому параграфу относится задание, а вторые — продолжают нумерацию упомянутого параграфа. Авторы Задачи на повторение п.1. Определите знак выражения: „ч . ге 2я 7л . 8л а) sm — cos — cos — sin —; 7 5 4 5 *ч 27л . 32л 50л . 22л о) cos----sin-----cos-----sin-----; 5 11 9 7 4л . Зл . 9л „ч . л 4л Зл . 9л в) sm — cos — cos — sm —; 6 7 5 5 . 35л 21л 18л 17л г) sm-----cos--sm------sm-----. 3 8 5 7 П.2. Запишите числа в порядке возрастания: a) sin-^; 3 sin^; 5 sin^: 5 sin-^; 7 6) cos-^; 4 cos^; 7 cos^; 5 cos^; 8 b) cos-^^ ; cos-^; cos^; ; cos 8 \ о;„2л. „■13л. „;„4л. 12л г) sm —; sm-----; sin —; sm------. 5 8 7 11 П.З. Найдите значения cos t, tg t, ctg t, если: a)sinl=A, 6) sin( =--, t e I ; — I; 25 I 2 2 ' B)sinf = -^. te ; 41 1 2 2 ' Г) sinf = 1 6 37 I 2 п.4. Найдите значения sin t, cos t, ctg t, если: fl. i2’ 2 j’ 6)tgt te г) tg t = t e (0; л). П.5. Вычислите: а) sint + cost, если sinf cost = 0,22; б) sint • cost, если sint + cost = 0,4. П.6. Упростите выражение: cos[.5IL_,] Li_____ 4i-'} C08(n + f) cus(90’ + a) tg(270* + a) _ coe(180° - a) sin(90° - a)' sintlSO' + a) sin(270“ - a) coe(90" + a) sin(n + 0 ^ j ctg (270° + a); ( Зл 3 — I 2 + t tg(л - 0 П.7. Найдите значение выражения: a) (cos 35° + cos85°Xcos275° + cos 325°) + + (cos5° + cosl25°Kcos355“ - cos415°); 6) sin 6° + cos 6° ■ tg42°; b) tg23° ■ tg293° + sin 52° • sin 128° - sin 322° • sin 142°; (1 - 2 sin* 13°) • cos 64° 2oos*19°-l сова - 2co8 11.8. Упростите выражение (i-“) П.9. Докажите тождество 2 sin 1 + cosa + “ j “ -v/Ssina (l - сова)* •J2tga. 2 sin a П.10. Преобразуйте выражение ~ sin3a П.11. Вычислите: a) sin^arccosO - aгctg^fЗ - arcsin^-i jj; 6) cos|arccos(-l) + arcsin|--^ j+ arcctgVs j; b) tg|arcctg(-l) - arccos|—^j + arcsin-^]; r) sin(arccos (-1) - arcsinl + arcctgO). Решите уравнение: П.12, a) 2sinx cosjc - 2sinx - cos* + 1 = 0; 6) 2sin* - •Jstgx - 2\/3cos* + 3 = 0; b) 2cosx - ctg* - 2sinx + 1 = 0; r) 2sin* cos* + у/2совх - >/2sin* -1 = 0. П.13. a) Зсоз'* X - 3cosx + 1 = 0; 6) 4sin2:5^ + 8cos- -7 = 0; 2 2 b) 4sin* * - 2cos^ X - sin* = 0; r) 2sin^ 3* - 7sin3* -4 = 0. б) f(x) = 4соз2д: - ctgi, в) f(x) = 2sin-|- + cosSx, Ло = г) /(X) Зх» - 1 + —x^ Ло = -2 , П.21. Известно, что значение производной функции у = /’(х) в точке X = 2 равно 27, а значение производной функции у = в точке X = 2 равно -1. Найдите f'(2). П.22. Решите уравнение f’(x) + f{x) = О, если f(x) = 2х^ + Зх + + 2. П.23. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства f(x) - f'(x) < О, если ^(х) = Зх^ + 18х + 8. П.24. Докажите, что любая касательная к графику функции у = ^ ^ - 12 образует тупой угол с осью абсцисс. П.25. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = х^ + Хх"‘- - Зх - 1 образует тупой угол с положительным направлением оси х. П.26. В какой точке графика функции у = х’‘ + 5х^ + 6х -I- 8 касательная образует с осью х угол, равный 135°? П.27. Составьте уравнение касательной к графику функции у = /(х) в точке Xq, если: а) /(X) = 3x2 _ 5х + 12, х„ = 1; х“ + X б) /(X) = X* - 1 , Хо = 2; в) fix) = = _2; Jf* 2 г) f(x) = 3----sinnx - vx, Хо = 1. 2 JT “ X п.28. На графике функции у = -------- найдите точки, касатель- 2х + 1 ные в которых параллельны прямой ^ = 4х -ь 5. П.29. Напишите уравнение касательной к графику функции у = 2x2, которая параллельна секущей, проходящей через точки графика с абсциссами х = -1 и х = 2. П.ЗО. При каком значении а прямая у = ах - 7 касается параболы у = 2x2 - 5х -н 1? П.31. Докажите, что функция у = —----возрастает на любом промежутке области определения. П.32. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции у = х^ + 5x2 _ 8х + 4. П.ЗЗ. Исследуйте функцию и постройте ее график: Зх - X» л) У = X' - Зх -f 4 ’ б) J, = (X -t- 1)*(х -н 2). I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ § 1. Многочлены от одной переменной 1.1. По данному стандартному виду многочлена f(x) определите его степень, выпишите набор всех его коэффициентов и найдите значение многочлена в данных точках: ^)f(x) = Зх* - 2х‘ -I- X - 10 в точках -2; -1; 0; 6)f(x) = -х^ + Зх^ - х’ -ь X в точках -1; 1; 2. 1.2. Запишите в стандартном виде произвольный многочлен степени л, если: а) л = 0; в) л = 1; б) л = 3; г) л = 4. 1.3. Запишите в стандартном виде произвольный приведенный многочлен степени л, если: а) л = 0; в) л = 1; б) л = 2; г) л = 3. Запишите многочлен в стандартном виде: 1.4. а) (X -ь 1)(х - 1Кл: - 2); б) (X -н 1)2(х - 2) - (X + 1Кх - 2)^ в) (2х -ь 1)(2х - 1)'“; г) (2х + 1К2х - If -ь (1 - 2xf. 01.5. а) (х^* - Зх + 2f - (х'* - xf; б) (х -I- 1)(х’ - X® -ь ... - х^ -(■ X - 1); в) (2 - xf -I- (х - If, г) (х^ - х“ + х^ - х‘ + X - IKJC® -t- х^ -I- X® -t- X* X + 1). 10 Запишите многочлен в стандартном виде: 1.6. а) (х2 - Зх + IMx’^ - Зх - 3); б) (х® + 2х - ЗКх:® - 2х + 3); в) (X® - Зх - 7)(х^ + 7х - 1); г) {X* - 3x2 - Зх + 3)(х® + х2 - X). 01.7. а) (1 + X + х2 + х®)2; б) (1 - х + х^ - х® + х^ f. 1.8. Какие из следующих утверждений верны: а) сумма многочленов степени п есть многочлен степени не выше л; б) разность многочленов степени л есть многочлен степени л; в) произведение многочленов степени л есть многочлен степени не выше л; г) произведение двух многочленов степени л есть многочлен степени 2л? 01.9. Пусть fix) = X* - X -н 1 и ф(х) = 2х -н 1; найдите: a)f(x); 6)f(x): в)Паг) - (р®(х); r)i2f(x) - хф(х))2. 01.10. При каких значениях параметра а: а) коэффициент при х^ в стандартном виде многочлена (х2 - Зх + а)(х2 - ах + 2) равен 0; б) коэффициент при х® в стандартном виде многочлена (х2 - (а - 1)х + а)(х^ + а^х -у 2а) равен 7? 01.11. В многочлене р(х) выполнили замену переменной х = у + а и получили многочлен р, (р) = р(у + а). При каких значениях параметра а многочлен p,(i/) не содержит члена степени л, если: а) р(х) = 2x2 + 3;с - 6, л = 1; б) р(х) = 2х® + 3x2 _ д; + 1, л = 2; в) р(х) = (7 - 4хХЗх - 5), л = 1; г) р(х) = (2x2 + „ = 2? 01.12. а) Докажите, что свободный член многочлена р(х) равен значению этого многочлена в точке х = 0. б) Докажите, что сумма всех коэффициентов стандартного вида многочлена р(х) равна р(1). 11 •1.13. Определите степень, старший коэффициент и свободный член многочлена р(х): а) р(х) = (Зх^ - X + 1)'^ + (х^ + 5х + 1)“; б) р(х) = (х« - 2х + 64)3 _ (j(.9 + X» - 512)3; в) Р(Х) = (81Х< - 36X3 + 4)5 _ _ 2)10 +(х - 1)13; г) р(х) = (хЗ - X + 1)(хЗ + X + IXx'' - хЗ + 1)(х* - х< - 1) + + (X - 1Г. 01.14 Заполните таблицу, считая, что f(x) и g(x) многочлены: Степень Дх) Степень g{x) Степень Дх) + ^(х) Степень Дх) g{x) Степень f(x) 5 3 7 21 4 7 2 9 4 14 01.15. Докажите, что: а) сумма всех коэффициентов при четных степенях многочлена f(x), записанного в стандартном виде, равна 0,5(А1) + /(-!)): б) сумма всех коэффициентов при нечетных степенях многочлена /(х), записанного в стандартном виде, равна 0,5(/-(1) - /(-!)). 01.16. Для многочлена р(х) найдите степень, свободный член, старший коэффициент, сумму всех коэффициентов, сумму всех коэффициентов при четных степенях переменной, сумму всех коэффициентов при нечетных степенях переменной: а) р(х) = (X + 1)>з - (X - 1)13; б) р(х) = (хЗ X - 2)“(хЗ- Зх - 4)'з - (X - 1)3(х^ + Х + 2)“. 01.17. При каких значениях параметра а многочлен (цз - 4)хз - 2x3 + (2а - 1)х - 4 будет: а) приведенным многочленом; б) многочленом четвертой степени; в) многочленом третьей степени; г) принимать одинаковые значения в точках х = 1 и х = -1? 12 01.18. Найдите все значения параметров а пЬ, при которых многочлены р(х) и q{x) тождественно равны: а) р(х) = 2ах - (а + Ь), q(x) = 4х + (За - Ь - 8); б) р(х) = 2x3 д. _ (д + + 2Ь - а, q(x) = -ах + + 2(хЗ - 6) + (1 - Ь)(х^ + 2х). 01.19. Найдите все значения параметра о, при которых многочлен (дз - Пх* - 2x3 ^ (2а - 1)х - 7 будет: а) тождественно равен многочлену 8х'‘ - 2хЗ - (а - 8)х -- 4 - а; б) тождественно равен многочлену -2хЗ - (2 - За)х - а^ - 6. •1.20. Пусть р(х) — многочлен степени /г и при всех значениях х справедливо равенство р(-х) = р(х). Докажите, что: а) k — четное натуральное число или нуль; б) коэффициенты многочлена р(х) при нечетных степенях х равны нулю. •1.21. Пусть р(х) — многочлен степени А и при всех значениях х справедливо равенство р(-х) = -р(х). Докажите, что: а) А — нечетное натуральное число; б) коэффициенты многочлена р(х) при четных степенях х равны нулю. 1.22. Выполните деление «уголком*: а) хЗ - 2x3 + Здс _ 5 на хз - Зх - 1; б) 2х“ - 3x3 _ X + 2 на X - 2; в) хз + 2x3 + X -н 3 на 2хз - Зх - 4; г) 6х< - 2х -ь 3 на 2х ч- 3. 1.23. а) Выпишите все приведенные многочлены, являющиеся делителями многочлена 3(х - 1)^(х + 5). б) Выпишите все приведенные многочлены третьей степени, являющиеся делителями многочлена хЗ(2х + 3)(х + 5)3. 1.24. а) Докажите, что многочлен р(х) = х’ + 5хЗ ч- Зх - 1 делится без остатка на многочлен q(x) = 2хЗ ч- 8х - 2. б) Докажите, что многочлен <(х) = -5хЗ ч- 4х - 4 является делителем многочлена 1(х) = 5х‘‘ - 9хЗ - 2хЗ ч- 4х - 8. 13 01.25. При каких значениях параметров а и Ь: а) многочлен р{х) = х* - Здг® + + ах + Ь делится без остатка на многочлен Цх) = х^ - Зх + 2; б) многочлен р{х) = х* - + ах + 2 делится без ос- татка на многочлен t(x) = х^ + х + Ь? 1.26. Для многочленов f(x) и р(х) найдите многочлены ^(х) и г(х) такие, что f(x) = р(х) ■ q(x) + г(х) и либо степень г(х) меньше степени р(х), либо г(х) является нуль-много-членом: Пх) Р(х) Зх< - 2х’ -н 7х - 3 х’ - Зх - 2 х’ - Зх - 2 Зх’ - 2х’ -ь 7х - 3 12х’ - Зх’ + 6х’ - 9х’ 33 4х’ - х’ 2х’ - Зх’ + 11 4х’ - X’ -1- 2х’ - Зх’ + 11 12х’ - Зх’ + 6х’ - 9х’ + 33 X’ - 7х’ + 6х’ - 5х - 19 X - 1 х< - 7х’ -I- 6х’ - 5х - 19 X + 1 х< - 7х’ -ь 6х’ - 5х - 19 7х - 7 х’ - 5х -ь 3 Зх - 1 Зх’ - 2х* + Зх’ - 7х’ -ь 2х - 1 Зх - 1 01.27. а) Пусть многочлен ах’ + бх’ + сх + d тождественно равен многочлену а(х - х, - Х2){х - х^). Выразите коэффициенты а, Ь, с а d через числа х,, х^, Xj. б) Пусть многочлен х* -t- ах’ + Ьх‘ + сх + d тождественно равен многочлену (х - х,Хх - х^Х* “ - х^). Выразите коэффициенты а, Ь, с и d черюз числа х,, Xj, Xj, х^. 1.28. Используя схему Горнера, выполните деление многочлена /(х) на двучлен х - а и заполните таблицу: Ах) а Частное Остаток (/(а)) х’ - 2х’ -ь Зх’ - 7х’ + 2х - 1 2 2х’ -ь 7х’ - 21х - 30 -1 х’ - 2х’ + 27х + 3 -2 Зх’ -1- 5х’ + Их’ -1- 2х 1 1.29. Найдите остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (х - а) и значение f(x) в точке х = а: а) /(X) = х’ - 4х’ + Зх + И, а = -3; б) /(х) = х’ + Зх® - х’ - 12х’ + 1, а = -2; в) f(x) = Зх’ - х’ + X - 31, а = 2; г) /(х) = 2х® - Зх’ + 2х’ - 4х’ - 2х + 100, а = -1. 01.30. Докажите, что остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (кх - р), к ^ О, равен значению этого многочле-р на в точке х = —. к 1.31. Используя схему Горнера, найдите все такие значения параметра а, при которых для многочлена р(х) = х’ - - 2х® + Зх’ - х’ + х’ - 5х + а выполняется условие: а) р(1) = 0; б) р(-1) = О; в) р(2) = 0; г) р(-3) ^ 5. 1.32. Используя схему Горнера, докажите, что число а является корнем многочлена р(х): а) р(х) = 2х’ - Зх’ + X - 10, а = 2; б) р(х) = 2х’ -н х’ - 7х - 6, а = -1,5. 1.33. Используя схему Горнера, найдите все такие значения параметра а, при которых число Хц является корнем многочлена р(х) = х’ - Зх’ х’ + ах - 1: а) Хо = 1; б) Хо = -3; в) х„ = 2; г) х„ = 0,5. 01.34. Докажите утверждение: при любом натуральном значении п многочлен р(х) = 2х" -i- 4х""' - 2"'^ делится на (х-2) без остатка. Используя это утверждение, докажите, что: а) (2 5" -ь 4 5" ' - 2"*’) i 3; б) (2 9" -н 4 9"-‘ - 2"”) ; 7; в) (2 • 7‘“ + 28 ■ 7” - 2'“) ; 5; г) (2(л + 3)" + 4(п + 3)"*' - 2"*^) I (п + 1). 15 •1.35. Найдите значения параметра о, при которых многочлен имеет ровно три различных корня: а) 3(дг + 5Кх - ^)(x + - а); б) (ах^ + 5х + 1Клг2 - X - 2); в) (х‘ - (а + 1)х + а)(х‘ - х - а); г) (Зх^ + X - вК2х + о). •1.36. При каких значениях параметра а заданный многочлен имеет кратные корни: а) (2х + 5КЗх - 1Кх - аКх - 2а); б) (х^ - (За - 2)х - 6аКх2 - (5а + 3)х + аКх - 2)? 01.37. Найдите действительные корни многочлена: а) Зх^ - 5х* + 2; б) х* + Зх< - Зх^ - х* - Зх + 3. 01.38. Докажите, что многочлен не имеет действительных корней: а) X® - 5х® -н 7; б) х* - х + 2. 01.39. В данное предложение вместо многоточия вставьте один из пропущенных оборотов: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»: докажите полученное утверждение: а) для того чтобы многочлен f(x) с целыми коэффициентами делился без остатка на двучлен х - Хо, Хо е Z, Хо ^ О, ..., чтобы его свободный член делился без остатка на Хц; б) для того чтобы свободный член многочлена f(x) с целыми коэффициентами делился без остатка на целое число Хо О, ..., чтобы Хд был корнем многочлена f(x). 01.40. Найдите целые корни многочлена; в ответе укажите множество целых корней многочлена и кратность всех его целых корней, если эти кратности больше 1: а) х® - 4х^ + X + 6; б) х^ -I- 5х^ - 6; в) х^ - 2г’ - 6x2 + 5х + 2; г) х® X® - 10х^ - 12х® -ь 19x2 35х -ь 14. 16 01.41. Для некоторого приведенного многочлена р(х) указаны его степень и все его корни с учетом их кратностей. Требуется записать в таблице разложение р(х) на множители; Степень много- члена Корни кратности 1 Корни кратности 2 Корни кратности 3 Корни кратности 4 Разложение многочлена а) 7 1; -3; 5 2 б) 12 0; -2; 3 7з 0,7 в) 8 9 л; -0,3 г) 5 2 -3 01.42. Разложите многочлен на линейные множители: а) X» - 4х^ + 14x2 _ 17д. + 6; б) X® - х< - 5x2 + х2 + 8х + 4; в) х^ - 6x2 + 13Д.2 _ 12х + 4; г) X* - х' - 5х“ + Зх® + 9х® - 3x2 _ 7x2 + л: + 2. 01.43. а) Найдите многочлен р(х) вторюй степени, если р(0) = -1, р(1) = 2, р(2) = 3. б) Найдите приведенный многочлен р(х) второй степени, если р(-2) = 3, р(-2,5) = 8. 01.44. а) Найдите приведенный многочлен р(х) третьей степени, если р(0) = 1, р(1) = 2, р(2) = 3. б) Найдите приведенный многочлен р(х) третьей степени, если р(0) = р(1) = р(4) = 0. 01.45. Пусть р(х) — многочлен третьей степени; р(1) = р(2) = = р(3) = 0. Докажите, что: а) р(4) * 0; в) р(1,5) + р(2,5) = 0; б) р(7) / р(-3); г) р(5) = 4р(4). 01.46. Докажите, что у данного многочлена р(х) нет рациональных корней: а)р(х) = 7х‘2 - 13; б)р(х) = Зх’ 1. •1.47. При каких значениях бис многочлен f(x) = X* + Зх® -н 6x2 + сх -t- 1 имеет два корня, каждый из которых второй кратности? Для каждой пары таких значений бис найдите корни многочлена. 17 •1.48. При каких целых значениях а, Ь и с многочлен f(x) = х* + + ах^ + Ьх^ + сх + 2 имеет целый корень кратности 3? Для каждой тройки таких значений а, Ь и с найдите корни многочлена f{x). •1.49. Докажите, что все корни многочлена g(x) являются корнями многочлена f(x): g(x) Пх) а) х'^ - 7х - 1 х^ - 1х* - 5х^ - 15л: - 2 б) х’ - 5х‘‘ + 2х - 3 X* - 12х* + 36x3 _ 12x2 + 19х + 3 § 2. Многочлены от нескольких переменных Разложите многочлен на множители: 2.1. а) х^- ху^ + у^-х^у; б) х(х - 2у) + у(х - 2у); в) х(х - у) + Зху - 3|/3; г) хЗ ч 6X1/ 5у(6у +. х). 02.2. а) хЗ - - Зху -Ь 2{/3; б) 7x3 + Ьху - 12|/3; в) 5x3 - 8ху + ЗуЗ; г1 7x3 + 18x1/ + 8i/3. 02.3. а) хЗ ч ■ (1 -н у)х + у. 6)2x3 _ ■ 1ху -ь 5i/3 - Зх + 3j в) 4x3 - 1/3 _ 8х + Ау, г) 3x3 - ху - 24{/3 + 5х - 15у. 02.4. а) (хЗ -н X) - (уЗ -I- уУ, в) (х‘ - б) хЗ -I 4уЗ; г) 16х^ •2.3. а) (X у + гУ - х^ - у^ - гЗ; б) (X -ь у ■¥ г)(ху + уг + гх) - хуг; в) х(у + 2)3 + у{г х)з + 2(х -н уУ г) (X -t- у + г)* - (у + г)-* - ■ (г -ь хУ + X* + у* + Z*. 18 •2.6. а) Докажите, что многочлен (у^ - г^)х + (г^ - х^)у + + (хЗ - 1/3)2 не обращается в нуль ни при каких попарно различных значениях переменных х, у, г. б) Многочлен х“ + рх + g обращается в нуль при х = а, при X = Р и при X = у. Докажите, что а + р + у = 0. 02.7. а) Докажите, что сумма 17" + 5" делится без остатка на 22. б) Докажите, что разность 13® - 7® делится без остатка на 6. 02.8. Докажите, что многочлен: а) хЗ - ЗхЗр* + бхр® - 4рЗ делится без остатка на многочлен X - у\ б) х'з -ь 7х'®рЗ - llx3j/‘® - 17р*з делится без остатка на многочлен X + у. 02.9. Пусть X + у = -3, & ху = -5. Найдите значение выражения: а) хЗ + рЗ; в) X* + у*; б) X® + рЗ; г) хЗрЗ + хЗрЗ. •2.10. Пусть X + у = -7, а хр = -1. Найдите значение выражения: 1^-"1 ху^ + У I р XI ХрЗ + Х®р I рЗ хЗ I Запищите многочлен в стандартном виде: 2.11. а) (2х-р-3)3-t^(x-3p-l)3; б) (X - р - 2г - 1)3 -ь (2х р -ь г - 3)3; в) (5х - р - 2)3 -I- 2(3х - у - 1)3; г) (х - Зр -I- г - 2)3 - 3(2х + у - г + I). 02.12. а) (X + р -I- 2)3 -I- х(2х -Ь р - 1)3; б) (2х - р - г)з - Зхр(2х -н Зр - г). 19 2.13. Найдите отношение — если: Пх-,у) а) Лдг; у)= 2x2 +Ъху-7у^-, б) Лх; у) = х^ + 12x2J/ _ 7jf2y2 + 2jcj/2 _ 2j/<; в) Л*: у) = (Зх - ЪуУ + 2х(х + yf - 7у^{2х - у); г) fix; у) = (х + у)“ + (5x2 - 4{/2)2 - 7(х2 - у^ У + х^у^. 2.14. Пусть у = Зх. Упростите выражение: а) у2 - 5ху - 3x2 2у2 + ху + 2x2 ’ б) х2у» + 2у2хЗ X» + 1/2 02.15. Найдите все пары f(x; у) действительных чисел хну, для которых верно заданное равенство; изобразите множество всех найденных пар на координатной плоскости: а) 2у-3х 4у + 5х 6; х2 + х(2 у) + 2у ^ ^ б) 2Г2 + х(2 ^у) + 2у г) х2 + х2у - Зх - Зу _ ^ Решите уравнение относительно х: 2.16. а) х2 - 5ху + 4у2 =0; б) 5x2 + 27ху + 10у2 = 0. 02.17. а) 4x2 + 5^2j, + ^у2 = О; б) Х2 + 6х2у + 11ху2 + 6у2 = 0. Постройте график уравнения: 02.18. а) х2 - 9у2 = 0; в) 5x2 - ху - 4у2 = 0; б) х2 + ху = 0; г) х2у + Зху2 + 2у“ = 0. 02.19. а) (2х + у - 5)^ - (X + у - 3)^ = 0; б) (2х + у - 5)" + (X + у - 3)== = 0. 02.20. а) х2 + у2 = 16; б) х2 + у2 - бх + 4у = 12; в) х2 + у2 + 4х + 2у = 4; г) 4(х2 + у2) + 12х + 20у + 34 = 0. 20 Постройте график уравнения: 02.21. а)ху = 2; в) х(у + 3) = 2; б)(х - 2)у = 2; г) (X + 2Ку + 1) = 2. •2.22. а) (X - 2f + (у - 3)^ = 9; в) (|х| - 2f + (у - 3)^ = 9; б) (х-2)»+(|у|-3)^ = 9; г) (|х| - 2f + (|у| - 3)' = 9. •2.23. а) (X - ЗКу - 2) = 1; в) {X - ЗК|у| - 2) = 1; б)(|х| - ЗНу - 2) = 1; г) (|х| - ЗК|у| - 2) = 1. 02.24. Найдите целочисленные решения системы уравнении: j2Jr^ + ху + 9|/ = 12, ||х + 2у| + 2х = 5; |х2 + ху + 2у2 = 2, |зх - |2х - у| = 0. 02.25. а) Решите систему уравнений: X* - ху - 2у‘ = О, X* + у’ = 20; х^ + Зху + 9у" = 12, + Зху + 2у^ = 0. 02.26. а) (х* + Зху + 2у^ = О, (2х'^ + ху = 25; 2х^ + ху - Зу* = О, х^ - у“ + ху = 4; х' + ху - Зу’' = -23. X* - у* - 2ху = -14; х^ + Зху = 7, у^ + ху = 6. •2.27. а) X* + 4lx|y - Зу^ = 2, х’' - |х|у + 5у^ = 5; Зх^ - у“ = 11. х^ + 2|х| ■ |у1 - у^ = 7. •2.28. а) х" + х(у - 1) - 2(у - 1)" = 0. х^ + ху + у = 1; х=“ + х(у - 1) + (у - 1)" = 3, х^ + у^ = 2у + 1. Решите систему уравнений: 02.29. а) 1 5 4 13 2 ^ \х* - ху У* - ху 6 ' 8 1 ,. [х^ - ху 1/“ - ху [ 1 , 3 2х* + бху 4у* - 4ху 3 1 25 02.30. а) 02.31. а) [ 4х + 12ху - 2ху х^у - 4j/" = О, X + 2у^ = 12; X* + ху^ = 5, р" + х^у = 10; х“ + Зх^'р = ху^ + 3^/^ х“ + хр = 50. х^ - = 9 - х‘у + ху^ Решите симметрическунЬ систему уравнений: 02.32. а) 02.33. а) X + у = 5, х‘ + у^ = 13: ху - Зх -Зу = -9, х^ + у‘ -5х-5у = -10; х‘ + ху + у^ = 3, ху(х^ + у’‘) = 2; X у ■4 + Л = 13: [* у 92.34. Решите систему уравнений; 1х - у1 + ху = X + у, а) х^ + у‘ - X - у = 2; X + у + ху = 5, \ху{х + р) = 6; ху -7х-7у = -9, х^ + у^ + 11(х + у) = 16. |х* + J/" = 5, 1х" +у* = 13; 11.. Х + Р + — + — = 4, X У \ху(х + у) = 2. |х - у| + X + у = Зху, х^ + у‘ - ху = 3. 22 1 I 92.35. При каких значениях параметра а система имеет нечетное число решений: [ху - Зх - Зу = -5, jx^ + ху + у^ = Зa^ |ху(х + у) = 2; б) - 5х - 5у = о? Решите уравнение: 02.36. а) (х^ + Зу^ -7)^ + ^3 - ху - у* = 0; б) (Ьх + у - 6)'“ + (Зх - у - 2)* = 0. 92.37. а) Эх"* + 12ху + 5у“ - 6у + 9 = 0; б) 26х^ + 10у^ - ЗОху + 6х + 10у + 34 0. 92.38. а) (X + 2yf + 2|х - у + 3| = у - х - 3; б) (5х - 2у - 7)^ + 4|3х - 2у - 5| = Зх - 2у - 5. 92.39. Найдите все тройки чисел, удовлетворяющих уравнению: а) (х - у + 1)^ + (х + 2у - zf + Ъу^ = 0; б) х^ + у^ + - ху - уг - ZX = 0. 92.40. Найдите наименьшее значение выражения: а) х^ + 4у‘“ - 4ху + 3; б) х^ + 4ху + 5у^ + 2у + 7. 92.41. Найдите наибольшее значение выражения: а) -х^ - 40у^ + Юху + 3; б) -х^ - 4ху - Юу'^ + 14у + 12. 02.42. Найдите наименьшее значение выражения f{x‘, у) при заданном дополнительном условии: а) f(x\ у) = х^ -У 4у^ - 4ху + Зх - у + 6, х у = 1; б) /(х; у) = 2х^ + - 4ху + Зх - у + 6, х - 2у = 4. 92.43. Докажите, что многочлен принимает положительные значения при любых действительных значениях переменных: а) Зх^ - 11ху -ь 47у^ -i- 2; б) (2х + Зу + 5f -ь (X + 2у -н 3)‘‘ -(■ (Зх - 7у -t- 1)^ в) Зх“ - 2ху + у^ - 6х - 2у -I- 11; г) х^ + у^ + + 2ху + 2уг + 2zx + 3. 23 § 3. Уравнения высших степеней Решите уравнение: 03.1. а) х’ - Зх^ - 4х = 0; б) х^ + Их* - X* = 0; в) Зх* - 8х* + 14х = 0; г) (2х - 3)* - (2х - 3)* = 12х ^ 18. 03.2. а) (2х - 1)* - X* = 0; б) X* - 4х* + 4х* = (7х + 1)*; в) (8х + 3)* - X* = 8х* + 16; г) X* - X* + 2х = 1. 03.3. а) X* - Зх* - X + 3 = 0; б) X* + Их* - 32х* - 352 = 0; в) 5х* - 15х* - X + 3 = 0; г) X* - 2х* + X = (х* - 2х + 1)*. 03.4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых данное число р является корнем данного уравнения; для каждого найденного значения а решите данное уравнение: а) X* + Зх* - 7х -ь а = О, р = 2; б) X* - ах* - 5х -н 4 = 0. р = 1; в) 2х* - 5х* + ах - 4 = О, р = -1; г) ах* - Зх* - 5х - а* = О, р = -1. 03.5. Найдите целые корни уравнения: а) X* + Зх* - 5х - 4 = 0; б) X* - Зх* -н 4х* - 9х -н 3 = 0; в) X* + 2х* - 5х* - 4х -I- 6 = 0; г) X* - X* - 5х* 5х* 4х - 4 = 0. •3.6. Найдите рациональные корни уравнения: а) 2х* 7х* 5х -ь 1 = 0; б) 2х* -ь 7х* - Зх* - 5х - 1 = 0; в) 27х* -ь 9х* + Зх - 3 = 0; г) 16х‘ -ь 16х‘ - 48х* -н 28х - 5 = 0. 24 Решите уравнение: 03.7. а) X* - 4х* + X + 6 = 0; б) X* + 5х* + 4х* - 24х - 24 = 0; в) X* + 9х* + 23х + 15 = 0; г) (X + 1Кл:" + 2) + (X + 2Кх* + 1) = 2. 03.8. а) 10х* - Зх* - 2х + 1 = 0; б) 4х* - Зх - 1 = 0; в) 4х* + 6х* + 4х + 1 = 0; г) 38г’ + 7х* - 8х - 1 = 0. 03.9. а) 16х* - 28х* + 4х + 3 = 0; б) 6х* - 13х* + 9х - 2 = 0; в) 6х* + х* + Зх + 2 = 0; г) 4х* + 2х* - 8х + 3 = 0. 03.10. а) На основании того, что число ^/2 является корнем уравнения х* - 2 = О, докажите, что V2 — иррациональное число. б) Проверив, что у/З - у/2 является корнем уравнения X* - 10х* + 1 = О, докажите, что -Js - yj2 — иррациональное число. 03.11. Найдите все целые значения параметра а, при каждом из которых многочлен р(х) имеет хотя бы один целый корень; для каждого найденного значения а определите число различных целых корней многочлена р(х): а) р(х) = X* - Зх* -н ох - 1; б) р(х) = X* -ь ох* - (2о + 3)х - 7. •3.12. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых многочлен р(х) имеет два целых корня: а) р(х) = ох* -ь Зх -1- 2о* - 3; б) р(х) = ах* - 5х -I- 4а* - 10. 25 •3.13. Найдите все значения параметров а и Ь, при каждом из которых многочлен р{х) имеет три различных целых корня: а) р(х) = х^ + ах^ + Ьх + 2; б) р(х) = Ьх^ + ах^ + X + 2. Решите уравнение; 3.14. а) X* - Зх^ +2 = 0; в) х* - 7х^ +3 = 0; б) X* - 9х^ - 10 = 0; г) х^'- 12,Зх^* + 45 = 0. 03.15. а) X* - 4х’ + 3 = 0; б) (2 - X)® + 9(2 - X)® + 8 = 0; в) х“ - 7х* - 8 = 0; г) (2 - X - х^)“ - 14,7(2 - X - x^f + 57 = 0. 03.16. Найдите значение выражения если: а) X + - = 3; б) JC - ^ = 5; в) X + — = «; г) X - i = 1. 03.17 Найдите значение выражения 9х’“ + если: 2 , . „ 2 B)3x + i = l; 2 а) Зх + ^ = -5; б) Зх - I = -5; г) Зх - ^ = f. 03.18. Найдите значение выражения х® + если: а) д: + J = -3; б) х + i = 1. 03.19. Решите уравнение: а) з[х + -1 + X + - - 10 = 0; б) 2^х - i j + X + i - 2 = 0; в) 2х^ + 4- + X + - - 6 = 0; X» X г) 2х^ + X® - 6х^ + X + 2 = 0. Решите уравнение: 03.20. а) (зх + + 2х + i - 12 = 0; б) f 2х - i 1 + 2х + - - 4 = 0. 03.21. а) + Зх -2 = 0; б) 9х' + -i- + Зх - - - 14 = 0; ’ х’ X в) 9х® + Зх® - 14х® - 2х + 4 = 0; г) 9х® - Зх® - 14х® + 2х + 4 = 0. •3.22. а) X* - X» - 4х® - X + 1 = 0; б) 9х® - 9х® + 10х® - Зх + 1 = 0; в) 2х® - 7х® + 10х® - 7х + 2 = 0; г) 25х* - 50х® + 14х® + 10х + 1 = 0. 03.23. а) Пусть х® + 5х + 4 = 17. Вычислите (х + 1)(х + 2)(х + ЗХх + 4). б) Решите уравнение (х + 1Нх + 2Кх + 3)(х + 4) = 360. Решите уравнение: 03.24. а) 4(х® - х)® + 9х® = 9х - 2; б) (2х® - X + 1)®- 4х® = 1 - 2х. •3.25. а) (X® - 7х + 13)® - (х - 3)(х - 4) = 1; б) (X® - 2х - 1)® + 3(х - 1)® = 16; в) (X - 2Мх + 1Кх + 4Нх + 7) = 63; г) (X® - 2х - 8Кх® - 8х + 7) = 63. •3.26. а) (2х + 3)® - 3(2х + 3)(7х - 5) + 2(7х - 5)® = 0; б) (Зх - 2)® - 3(3х - 2К7 - 5х) + 2(5х - 7)® = 0; в) (X® - X + 3)® - 3(х® - X + 3)(10х - 1) + 2(10х - 1)® = ( г) (2х® - X - 6)® - 3(2х® - X - бКх® + Юх - 6) + + 2(х® + Юх - 6)® = 0. Решите уравнение: •3.27. а) 2у* - уЧу - 2) - 3(у - 2f = 0; б) (х=“ + 6ж - 9)2 + х(х2 + 4д: - 9) = 0; в) «2 + 2tf - (t + 2К2<2 - f) = 6(2/ - 1)2; г) (х2 - 6х + 6)2 - х2 + 4x2 _ 6х = 0. •3.28. а) (х + 2)* + х* = 82; б) (5х - 3)^ + (5х - 1)< = 82; в) (X + 3)< + (X - 1)< = 32; г) (5х + 3)< + (5х - 1)^ = 32. 03.29. а) Зх* - 5x2 + 2 = 0; б) 7х* + Зх^ - 10 = 0; в) х‘ + Зх* - 3x2 _ х2 - Зх + 3 = 0; г) (2x2 _ 3;с + 1)2 _ 5(2^2 - Зх + 1)(х2 + X + 3) + + 4(х2 + X + 3)2 = 0. 03.30. Докажите, что уравнение не имеет действительных корней: а) X® - х‘ + 2 = 0; б) х" - х + 3 = 0. •3.31. Найдите, если это возможно, такие целые числа а, Ь, с и d, что для всех значений х выполняется равенство: а) X® + X® - 4x2 _ X + 1 = (х2 + ах + Ь)(х^ + сх + d); б) х^ + х2 - 4х - 3 = (х2 + ах + Ь)(х^ + сх + d); в) X® - 5х^ +6х-5 = (х2+ах + + сх + d); г) X® - 5х - 6 = (х2 + ах + Ь)(х^ + сх + d). •3.32. Используя результаты номера 3.31, решите уравнение: а) X® + X® - 4x2 - X + 1 = 0; б) х^ + х2 - 4х - 3 = 0; в) X* - 5x2 _ бх - 5 = 0; г) X® - 5х - 6 = 0. 03.33. Используя свойство монотонности функции, докажите, что ур>авнение имеет единственный корень, и найдите этот корень: а) х2 = 10 - х; б) X® + Зх® = llV2 - х. •3.34. Докажите, что если функция у = f(x) выпукла вверх (вниз) на R, то уравнение Дх) = ах + Ь имеет не более двух корней, и решите уравнение: а)х®=15х-14; б) х'® = 1023х - 1022. I I I I I I I i I I I I I I 1 I I I I I I 1 I I I ТГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ 2vr Степени M корни. f /Г ■ г Г| I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ТГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ Степенные фунщш § 4. Понятие корня п-й степени из действительного числа 4.1. Докажите, что верно равенство: а) л^бТ = 19; в) = 7; Т 1. б) .1 32 _ 2 V 94Я Я ‘ 4.2. Имеет ли смысл выражение: а) ^(-3f: б) ^(-2У>; в) >^(-7)2; г) ^(-5)2 ? 4.3. Объясните, почему неверно равенство; а) ^/Й = -5; в) = -2; б) = -2; г) (/б^ = -25. 4.4. Найдите ошибку в рассуждениях: а) 2 = (Дб = {/(^ = i](-2Y = -2; б) 5 = 625 = = ^(-5)® = -5. I 04.5. Верно ли равенство; а) yjl - 4-J3 = 2 - ^/3; 4.6. в) yjl - 473 = ч/З - 2; б) Vl4 - 6^/5 = >/5 - 3; г) = 3-^6? Вычислите: а) Vl6; б) в) #1; г) Вычислите: 4.7. а) ^/512; б) V625’ в) ^1331; г) V256' 4.8. а) ^/0Л25 : б) ^0,0081; в) ^ = Ь-2х = = V4 + Зх ^ ^ V 2х + 9 = У25 - х2 + Ух^ - 1; = Ух=^ - 6х + 5 - >/х^ - Зх; в) у = - 9 - ‘^16 - ; г) у = ‘^15 - 2х - х^ + 7х^ + 6х + 8. 05.16. а) б) У в) У г) У = = J2x-5 1 Ух“ + 2х- 3, V4x + 8 X - 3 _ Ух" - 5х /2х н h 2 2х + 2 Vx- 4 • _ JlOx’ - 21х^ + 4. V Х“ - 4х - 21 = У4х^ + 11,5х - 1,5 - _ Jx^ - 12х + 16, V х’' - 2х - 15 У-х^ + 5х^ - 8х + 4 33 •5.18. Найдите область определения функции: а) У = - бл-2 + \\х - 6 + 7^ + 17д:^ + бдг - 8; 2хД - Зд:^ - Зл: + 2 . -9х^ ■¥ 20х - 12’ 6)»-^ в) I/ = ^2х» - 11x2 + 18д - 9 - ^ 1 4д" - 11дг» + 6.5д - 1 г) У 6х’ + Пх‘ - 19д + 6 х’ - 8,25д® + 14д - З' 5.19. 5.20. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции У = yfx: а) на отрезке [0; 1]; в) на отрезке [5; 16]; б) на полуинтервале [1; 3); г) на луче [16; +оо). Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = ^: а) на отрезке [-1; 1]; в) на отрезке [-32; 32); б) на луче (-о°; 1); . г) на луче [2; +оо). 05.21. Найдите наименьшее значение функции: а) у = ^х^ - 6д + 8; б) у = Vx^ + бд: + 13. Найдите область значений функции: 05.22. а) у = Цх+1; 6) у = 05.23. а) y = 2+ifx; б) I/ = ^ - 3; 05.24. а) у = ^х^ - 8; 05.25. а) у = ^35 + 2дг - ; б) у = ^2х^ - 4х -I; в) у = lfx + 3; г) у = ^х-4. в) у = ^-3; г) у = 2+f[x. б) у = V32 - 2д2. в) у = Vl2 - 4х - х^ т) у = ^х^ + 2х + 3. •5.26. Найдите, если это возможно, наименьшее и (или) наибольшее целое число, принадлежащее области значений функции: а) у = Vl6 + 4дг - 4д2; в) у = ^Здг* - бдг - 4; б) у = ^х^ - 4х + 35; г) у = - х^ + 6х. 34 ь- Решите графически уравнение: 05.27. а) = -д; б) ^ = 7 - 6д; 05.28. а) yj2x = + 1; б) ^ + 2д + 3 = О; •5.29. Решите неравенство: а) i/x + 9 > X - 5; б) 2фГ > 5 - Зд; а) ijx - 2 - Х-, г) Vx = -д2. в) Vx = 3 - 2д^ г) - 2 = в) < д + 6; г) ^х - 7 < Зд + 1. 05.30. а) б) 06.31. а) Определите число решений системы уравнений: ' У = \/х, 2д - Зу = 6; у = ч/л. 3v - 4д = 0; у = ifx - i, у = х^ - 2х - 8; У = ^д, б) I [у = 2д^ - 5; 05.32. Постройте и прочитайте график функции: 2д^, если д < 1, а) У = б) У = в) У = г) У = ^д + 1, если д > 1; ^Д + 1, если д < О, 2д2 + 1, если д > 0; 3 „ —, если д < О, X 2^, если д > 0; 2cos д, если д < О, 2 - если д > 0. 05.33. Постройте и прочитайте график функции: Vx, если X < -1, а) I/ = • -х^, если - 1 < х < 1, X - 2, если jf > 1; 3(jc + 1)^, если - 2 < дг < -1, б) у - i-2x - 2, если -1 < х < О, если X > 0. Исследуйте функцию и постройте ее график: а) у = л/4х=' + 4х - 3; в) у = -J2x^ - х - 3; б) у = V2 + Зх - 2x2. г) у = V4 - Их - 3x2. § 6. Свойства корня п-й степени Найдите .значение числового выражения: >5.34. 6.1. а) V16 0,0001; в) Vo, 00032 243; б) j/243 -i; г) ^1тШ V 32 V 32 6.2. а) ^48 162; б) J 16 ; Vo, 0625 в) 24; г) Vo, 25 6.3. а) Vi V4; б) Vm ’ в) ^/20 >/5; г) Vl024 Vi 6.4. а) V32 3 V» 27; б) ^2" ■ 72 6.5 6.6 Упростите выражение, считая, что все переменные принимают только положительные значения: а) ^la^b*; б) ; в) ija*b* ; Vl695^ ’ ^16а^5" . [645“ ’ г) г) ^ V 243с'“ 36 Упростите выражение, считая, что все переменные принимают только положительные значения: 6.7. а) ф024х'«у-г'’‘; в) VO.OOSia^c™; 1313т“ . , Jl6r'‘s'^ Возведите в степень: 3.8. а) (Vi)"; в) (Vi)'; 6.9. а) (VSa)*; в) (Sa Vi); б) (-5 • г) (2V-3a2 f. Вычислите: 06.10. a) Ve + 2V5 V6 - 2V5; B) Vs - V^ • Vs + V^: 6) Vs - 2V17 • Ve + 2Vl7; r) VVl7 + 3 Vi ’ V-729 I 06.11. a) V5 ■ V^ • V27 • V9 - Vi 6) V^ • Ve V25 V32 + •<>.14. a) V3^ ■ 4^ • Vi^ 3’; Vt" • 2 • V^ 2^; Vioo + 5lV3 ■ -^4- 2ч/3; J9- 4V5 - V16 + 8V5; ^37 ■ f 30V3 + Vei - 28 V3; ^/l7- -I2V2 + V99 + 70V2. ^26 ■ - 15v^ + V26 + 15V3; V29v^ - 45 - V45 + 29 V2; V38 ■ - 17V5 + V17V5 + 38; Vi ■ B) V^ • V2'" ■ 5"; Г) V6^ 3^ V6’ • Э‘. 37 Приведите радикалы к 6.15. а) ^ и ?/3; б) V5 и V9; 6.16. а) ^/3; ^ и V7; б) ч/2; V3 и V5; 06.17. Сравните числа; а) i/Ш и •\/5; б) ^ и ч/З; одинаковому показателю корня: в) V7 и г) ^ и V2. в) S;ifl7 и г) ^ и 6.18. 06.19. 06.20. 06.21. 06.22. 6.23. 6.24. 06.25. 06.26. в) ^ и 5/47; г) -5/4 и-5/3. Пр>еобразуйте заданное выражение к виду \[А : а) V2 ■ 5/2; б) ^/2 • 5/3; в) 5/з ■ 5/3; г) 5/2 ■ 5/3. а) 5/^ \/^; в) Va 5^; б) ,/^ 5^^; г) ^ а) ifab ■ ^4аЬ; б) 5/^ • ; а) : ■Та; б) : 5/^: в) ■ 5/50=^; г) ^бхг ■ в) : 5/а; г) 5/^ : tfab. в) ijd^bc^ ■ ; г) ^кЧ^щО : г) 'а'» ; г) yjyjab. в) а) фсу^ ■ '^х^у^г; б) ф*~рЧ^ : а) уЩ; б) Ф/а; а) ф[х ; б) x/V^; в) Внесите переменные под знак корня: а) ad^ yj-ad‘; в) -тп^ yf-mn; б) -р’‘д^[р^; г) хуфс^. Вынесите переменные из-под знака корня: а) 5/а^ - 5/-о'6»; б) + 5/-^т">. Решите уравнение: 06.27. а) |5/^ + 13 + ^ 2^; б) 5/^ + 5/^ + 5/162х = 6. 06.28. а) 5/х - 25/^ = 0; в) 5/^ + 25/х - 1 = 0; б) у/х - 55/х +6 = 0; г) 5/ж + 25/х -3 = 0. 06.29. Докажите, что 2/(х) = /(128х), если f{x) = 5/х. .30. Докажите, что 2f{x) = f(32x), если f(x) = 25/х. .31. Докажите, что 2yjf(x) = г(64х), если /(х) = 5/^. = \/^- 32. Постройте график функции: а) у = 5/(х - 2У : в) I/ = 5/(х + 1)=: б) I/ = 5/(2 - : г) I/ = 5/(3 - х)«. § 7. Преобразование выражений, содержащих радикалы Вынесите множитель из-под знака корня: 7.1. а) ^/^ 7.2. а) 5/^ 7.3. а) 5/80 б) ч/Г47; в) 7i08; г) \/^- б) 5/М; в) 5/^; г) 5/^. б) 5^: в) 5/405; г) 5/4^. Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения: 7.4. я) yfx^; б) 5/^; в) ; г) 5/л^. 7.5. а) л/25о^; б) 5/405а>‘; в) 5/24 ; г) 5/160т' 7.6. а) yj75t*r^; в) 5^50^v; б) 5/256а»б'з; г) 5/320т"л‘='. 39 07.7. Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения: .|iV72rt; 3 1а'‘х‘ . х\ 18 ’ J72a4r' б V 343г’ г) Зтп ■ ф ^ V 243т'л* Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные могут принимать как положительные, так и отрицательные значения: 7.8. а) 7о^; б) в) yja*b\ 7.9. а) у/50а^; б) ^256с“; в) yj25x'^; 7.10. а) V-162/3; 7.13. a) 2 6,6.5(4, B) 3 ^; г) 3 V 27 7.14. a) - 3 ■^/3; 6) 1 ■' '1Я' г) 0,2^. 7.15. Внесите множитель под знак корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения: а) 7а^ ■ \fab\ б) 5ah^ ■ \l^b; в) 5х ■ г) 2т • . 07.16. Преобразуйте заданное выражение к виду у/А: а) VSV ; в) б) yjy^9x*y‘; г) ljq^2p^q. 40 Преобразуйте заданное выражение к виду у/А : 07.17. а) ^2%/2^: в) ^/зVзW; «НМ- , J2J3 12 \3\2V3' 07.18. а) ; в) ^-2а‘Ь ■ yJSa^ ; т - п 1т + п ^ ут + л Vm - л ’ 07.19. а) ^а^ау/а • v^; в) \1Ч^ё '■ Упростите выражение: 07.20. а) ^ -il3; в) 2^64 + V486; б) 2^3 + /2 + ^ + V8: б) 6 (fx + у[зсу - у]9ху - yf^ + “\/^- Выполните действия: 7.22. а) - 2^){у[т + 2^); б) (?/5 - 4з)[у1з + ^); в) (а - у/ь){а + yfb); г) (^4 + 2у[2){2у/2 - ^). 7.23. а) (^/x + )(дг - у[^ + у); б) (З + ifa){9 -3ifa + у/a); в) {2у[р + y[q){4.p - 2^ + <7); г) {у[а + yfab + - ^). Выполните действия: 7.24. а) - 2^f; б) - ^/зf: 7.25. а) (о - 5) : {Ja - -Jb); б) (Л + /) : (^ + fl); в) (а^ - л/а) ; г) Ш + 2^/2)^ в) (т - п) : - Vrt); г) (д: - iy) : (Vx + 2,Jy). Разложите на множители: 07.26. а) v/2^ - 7% + 7^ - ^f^; б) 74^^ + i/2 ■ ^ ; в) 7^ + 7^ - 7^ - 7^; г) byfa - аЬ + -Jab - ab\fb. 07.27. а) 7^ - yfin - 6; в) ^ + 7'Та + 12; б) 7т + бТт +6; . г) 2Тх - 7х - 1. Сократите дроби, считая, что переменные принимают неотрицательные значения: 7.28. а) 7l06 - ^/l5. >/156 - yjb ’ в) 7й + 7т. 7^ - ’ б) 7х* - Txj/. г) 7? - 755 TSto - 7о^ 7.29. а) у/a — 2 ■ yfa ■ yfb + >/^ _ в) Та + 75 To - 7б ’ >/а + 27а6' + 6 б) 7m + 2\[n г) \fb + 2аТа^ + а’ 47л' + 47тл + aja + 75 7.30. а) •Ja - Тб*. Та - 7б ' в) •Jb - а' . Оу/а + >^ ’ б) 7?-1. 77ГТ’ г) >/5 - б75 75-75 7.31. Сократите дроби, считая, что переменные принимают неотрицательные значения: .. б7? + 75-1. 07.32. Сравните числа: а) и-фШ; i б) фЩ и 75; зТх - 5(fx - 2 97^-1- в) 73 ифФ; г) -ф ■ 7б и -фф. Расположите числа в порядке возрастания: 07.33. а) 73; 74 и 7l8; в) 73; 72 и ‘Тзб; б) 74; 72 и '740; г) 74; Тб иТП. 07.34. а) 7з^: иТТоО; в)7зЩ;73и7^; б) 74;?^ и'7^; т) мф]Ш. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 7.35. а) 7.36. а) 07.37. а) 07.38. а) 07.39. а) б) 07.40. а) 1 зТг’ б) 3 275’ в) 8 Tie’ г) 12 77243' 7 б) 2 в) 17 г) 9 75 + гТз’ 6 - зТг’ зТг + i’ Л -2 10 б) 11 в) 4 г) 3 7i2 - 7?’ Тб + 7б’ 7з + 75’ 7i5 - 7б' 1 б) 1 •Ja + yfb + 7^’ 72 - 7з + 75- 2 -10 7й - 715 + То’ 9 + ^ + 75’ ________3_________. 7i5 + Tio - 7б - 2’ 7зб - 724 + Tie’ _________6________ Tio - 7б + 5- Tis' 43 i„ >7.41. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: ч 1 =ч 2 1 а) -------■ кч . „ч . , 1 Vs + V4 •7.42. Вычислите: 4 ■V5 + -V3’ V5 + V2’ 'vi-'Vs' V? - V5 V12 + V? 222 ч/з + l V5 + 4/3 ч/7 + Vs Vffl + V21 V^ + Vffl' >7.43. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби 1 если известно, что ч/а + ч/б + Vc + + yjb, + b _ с b. c. Найдите значение выражения: 07.44. a) 4 - З4/2 (Vi - Vs)' (Vi + Sf b) (V24 + Vcf 4ч/з + Зч/б ’ 1 - 2ч/б + ч/s Vi f 2V3 + i’ (Vi - Vis)' ’ •7.45. a) (/l” + >/Ж; 6) ;{/28- 16ч/3. 07.46. Выполните действия: a) (1 + ч/а)(1 + Va)(l - Va); 6) (V9a*x - 2VSa6x + V*^) : (Via - Vi); b) (ч/т + + Vn); Г) (V16? - ^/25^): (V5I - Vii). 07.47. Упростите выражение: , -Jab ■ ifa a) ---- 6“ (a . 6) . (\fm + V« ) + (Vm - Vn ) 2(m - л) ч/т* - ч/л^ - З-ч/лш. . 07.48. Упростите выражение: f Vai - yfab ^ 1 - \fab ^ ^ ifab 1 - Vai - ч/oi. 1 - 'Jab Vai J 1 + VaV Vai 6) a^as/Sab - 2a\f^ ■ ^a‘‘ft(7 + 4ч/з). 07.49. Решите уравнение: jVi -1 _ V^ -1 _ 4. ^V?-1 vi.i ’ Проверьте равенство: ДГ + 8 V? - 25 _ 6) -=----+ —7=------ = 5. Vx + 2 Vx + 5 ,---------T=, r-4 2V2 V20 + 124/3 •7.50. a) V26 + IsVi (2 - 4/З) = 1; 6) • Vi •7.51. a) ^5ч/2 + 7 - ^5ч/2 - 7 = 2; •7.52. Вычислите: x“ - 2xVi + 3 - Vi a) -Vi = 3. X = 4/3 - Vi; 1 + 2x 1 - 2x ч/i ------ + ------, при X = —. 1 + Vl + 2x 1 - 4/1 - 2x 4 •7.53. Докажите тождество: a) ^6a(5 + 2ч/б) V^Via - 2VSa = VOo; g) ^4/5 - ч/i Vs + 24/15 - Va _ Vq^ + ^ + Vi VVio + V12 Vs - 24/15 - 2Via + Vo* 2 " “ § 8. Понятие степени с любым рациональным показателем 8.1. Имеет ли смысл выражение: 4 2 3 1 а) 5 »; б) (-16)3; в) 23 г) (-25) П Представьте степень с дробным показателем в виде корня: 8.2. а) 5»; б) З"з; в) 6*; Z- г) 4 ^ а 8.3. а) с*; б) а в) X*-, 2- г) у 8.4. а) 0,2“'3; б) в) г) 8,5“^. 8.5. а) (2а)3; б) 3(х-уУ; в) (2ЬУ-, г) 3(а + Представьте заданное выражение в виде степени с рациональным показателем: 8.6. а) б) в) 8.7. а) 7F: в) Вычислите: ^ 8.8. а) 1 49^ I б) 1000'^ 1 В) 272; ц f 8.9. а) 9’^ б) 0,1б'з; в) Ш [ sj 8.10. а) (27 3' У; в) 16 (2^)^ 6 * 6* 7’ 7* б) 6 '3 7 1 8.11. а) 5* 49 3 ; б) 10' \ 7' 25* 10 “ 27” Щ 8.12. а) I 4 2; б) 8'3; в) 32'Ь г) 0,0013. 9.3. Вычислите: а) /(4), если Пх) = х2; б) AD. если f(x) = X 2 в) /(0), если fix) = х^ г) /(8), если fix) = X i 9.4. Исследуйте степенную функцию на четность: i 1 а) у = х'“; 6) у - X в) у = х '^; г) у = х^. 9.5. Исследуйте степенную функцию на ограниченность: 1 I а) (/ = х": б) у = X *; в) у = X®; г) у = х^. 9.6. Исследуйте степенную функцию на монотонность: J. I а) у = б) у = X в) i/ = х “; г) у = х'. 9.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции а) на отрезке [0; 1]; б) на луче (1; +о°): в) на интервале (2; 3); г) на полуинтервале (5; 16]. 9.8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции ъ У = Х^: а) на луче [0; +о°); в) на отрезке [1; 2]; б) на полуинтервале [1; 3); г) на полуинтервале (6; 8]. 9.9. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции а) на отрезке [1; 8]; б) на интервале: (3; 5); в) на луче [1; +°°); г) на полуинтервале (0; 1]. 9.10. Постройте график функции: i 1 а) у = (X + 2)2; в) у = (X - 1) 2; 7 _1 б) у = х2 - 3; г) I/ = X 2 + 4. 51 Пострюйте график функции: 1 7 09.11. а) I/ = (х + 3)0 - 1; в) (/ = (х + 6)< + 2; -1 1 б) 1/ = (х - 2) “ + 5; г) у = (х - 3)2 - 1. 09.12. а) I/ = 2x2; б) 1/ = -X 2; в) у = г) (/ = -2х<. 09.13. а) if = 2(х - 1)2 - 2; в) у = -(х + 2)2 + 1; б) У = 1 + 2; г) У = - 4. 0: (х’, если х > 1. Пострюйте и прочитайте график функции: 09.18. а) у б) У = 09.19. а) у = б) У = —, если X < О, I (х 2, если X > 0; х‘ - 2х, если -1 < X < 2, 2(х - 2)"", если 2 < X < 3. х^, если X < О, 2 х’, если О < X < 1; 1 , —, если X > 1; X 2, если X < -1, 2х^, если -1 < X < 0; х2, если X > О. 09.20. Решите графически неравенство: 1 3 12 а) х2 < 6 - х; б) х2 > Xв) х < < х^; г) х“ > х - 4. 1 09.21. Известно, что f(x) = х*. Найдите: а) П16х): б) Д81х^): в) г) /(х *). 2 09.22. Известно, что f(x) = х 2. Найдите: а) /(8х'2); б) /(х‘“); г) Ах'2). 1 09.23. а) Известно, что /(х) = Х’' . g(x) = x-‘- Докажите, что П16х") = 2(^(х) '). б) Известно, что f(x) = дг* , g(x) = X 2. Докажите, что /■(27x2) ^ 9(^(д^)) 2 9.24. Найдите производную заданной функции: ^ а) у = х“; б) у = Vx®; в) у = х ^ г) у = х‘ 53 09.33. Найдите значение производной функции у = g(x) в заданной точке Хц! а) g(x) = - Зч/х, xi = 1; б) g(x) = ^Зх - 1, Хо = в) g(x) = X"' + Xх„ = 1; г) g{x) = i(5 - 2х)-", Хо = 2. 09.34. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х^: 3 а) Лх) = 4- х^х^=1; I б) f(x) = 12х 2 - X, = 9; в) Ях) = 2х^ - 1, х^ = 8; г) Ях) = X ■’ + 6ч/х, х„ = 1. 09.35. Найдите скорость изменения функции у = Л(х) в точке с абсциссой XqI 7 а) /г(х) = х^ - (1 - Зх)х^ = 0; б) й(х) = ^2 sin 2х, х„ = в) Л(х) = (3 - x 'f, х„ = -1; cos (х"" - 3^ -ь 0,25л + лх) г) Л(х) = 09.36. Решите уравнение g'(x) = О, если: а) = 2-Jx - х; 2 - 12 ^ б) ^(х) = -X*------X* + 2х; 3 5 jq, = 0. в) g(.x) = — х^ - 2х; 4 г) g(x) = -х^ - -X® - 2х. 4 7 09.37. Решите неравенство f'{x) > О, если: ч // ч 3 I 3 5 а) Нх) = -х^ + -X®; 5 2 б) Пх) = 0,4х* - |х<. 09.38. Найдите угол, образованный касательной к графику функции у = g{x) в точке с абсциссой х„ с положительным направлением оси абсцисс: а) ^(х) = -ч/4 - Зх, х„ = i; 3 3 1 б) ^(х) = -з(^/2 + хР, х„ = 1 - ^/2. 09.39. Напишите уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а: а) у = ^Zx - 1, а = 3; в) у - (2х + 5) а = 2; 6) у = ^2 sin X, а = -: г) у = ^ V. . о = -. 6 yj2 cos X 3 09.40. Проведите касательную к графику функции у = f(x), параллельную заданной прямой у = kx + т: а) f(x) = 4у1х, у = X - 2; б) /(х) = ^, у = 5 - Зх. •9.41. Проведите касательную к графику функции у = /(х) из данной точки М: 3 а) Ях) = ч/х, М(0; 1); б) Дх) = х^ + 4, М(0; 0). •9.42. а) Составьте уравнение той касательной к графику функ- угольник площадью 0,75. б) Составьте уравнение той касательной к графику функции у = х^, которая отсекает от осей координат тре- J_ 24' угольник площадью —. 09.43. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: 2 г~ а) у = д^''^ “ йч 3 I б) у = -Х* - X. 2 56 •9.44. Исследуйте функцию у = f(x) на монотонность и экстремум и постройте ее график: а) у = ^fx - х; 6) у = в) у = -^ + у/х; Ух г) y-x-jx+2. •9.43. Постройте график уравнения: а) (Zy + xf = 27х; б) (х + yf = х^. •9.46. Используя свойство монотонности функции, решите уравнение: а) 2х' + -(- 5х - 80 = ^14 - Зх; б) ^10 + Зх = 74 - х'* - Зх’ - 8х. 09.47. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке: а) у = -xsfx - 2х, [1; 9]; в) у = -хч/х - 2х, (1; 9); 6) у = |х^ - X, (0; 8); г) у = |х" - X. [0; 8]. •9.48. На графике функции у = х ^ - -х выбирают произвольную точку М и соединяют с началом координат О. Строят прямоугольник, диагональю которого является отрезок ОМ, а две стороны расположены на осях координат. Найдите наименьшее значение периметра такого прямоугольника. § 10. Извлечение корней из комплексных чисел о 10.1. Вычислите: а) 3 + 7i. 3 - г ’ б) -f(3 + 0. 7 - ( ’ в) (2^ 30(4 -0; + « + * /(1 - 70 (3 + if 010.2. Решите уравнение относительно п (п е Z); а) i’’ + i" =0; в) + /“ + /" = 2; б) /® + i" = 1 + i; г) + i" = 1 _ j. 010.3. Найдите наименьшее натуральное значение п, при котором: а) число (4 + 30" лежит вне круга радиуса 100 с центром в начале координат; б) число (1 - 20" лежит вне круга радиуса 1000 с центром в начале координат; в) число (i - 2)" лежит вне круга радиуса Юл с центром в начале координат; г) число (1 -I- 3i)" лежит вне круга радиуса 5л® с центром в начале координат. Расположите комплексные числа г,, г^, в порядке возрастания их аргументов: 010.4. а) г, = i, = /®, = t®, = i*; б) 2, = Г\ 22 = Г®, 2j = г^ = Г*. •10.5. а) 2, = ^/3 - 2 -и(л - 4), Z2 = у/Ь - 2 + «(я® - 9), = ill7 -Ш + i(l- 2“'), 2, = '^1Ш6 - ?/ббО + i{4 - 4®); б) 2, = sin 200° + i cos 170°, 2j = sin 250° -t- i cos 70°, 2з = cos 440° i cos 460°, 2^ = tg 185° + i arccos 0,9. 010.6. Изобразите на комплексной плоскости множество всех комплексных чисел 2, для которых выполняется заданное неравенство: а) Кег > 3; б) 1ш2 > 5; в) Re2 > Ьпг; г) Кег < Ьпг. 58 010.7. Пусть г = cos 8° + i sin 8°. Найдите наименьшее натуральное значение л, для которого; а) 2" принадлежит третьей координатной четверти комплексной плоскости; б) (г)" принадлежит третьей координатной четверти; в) г" принадлежит четвертой координатной четверти; г) (г)" принадлежит первой координатной четверти. 010.8. Решите уравнение: а) 2® - 102 -н 29 = 0; б) j2® - 102 - 29i = 0; 010.9. Вычислите: а) (cos 20° + i sin 20°)®; б) (cos 20° + / sin 20°)"®; в) 2® -I- ЗО2 + 241 = О, г) 2® -h 30i2 -I- 31 = 0. в) (cos 3° г) (cos 5° i sin 3°) '‘"; i sin 5°)®'*. 010.10. Пусть {г, 2®, 2®,..., г", 2"*',...) — геометрическая прогрессия со знаменателем г = cos О,In - / sin О,In. а) Укажите наименьшее натуральное значение л, при котором г" лежит в третьей координатной четверти комплексной плоскости (не на координатных осях). б) Укажите наименьшее натуральное значение л, при котором г" лежит во второй координатной четверти (не на координатных осях). в) Сколько в этой прогрессии различных чисел? г) Найдите сумму этих различных чисел. Вычислите корни (в алгебраической форме), изобразите их на комплексной плоскости; найдите сумму и произведение вычисленных корней: 010.11. а) лЯ; б) ^/Ч: в) Vl - /; г) ч// - 10. 010.12. а) б) в) fi; 010.13. а) i/i; б) iPi. г) ^-64t. 010.14. Вычислите и изобразите на комплексной плоскости: а) Й; б) в) (^f; г) (^f. 59 010.15. Запишите в тригонометрической форме тот из корней который принадлежит: а) первой четверти: г = б) второй четверти; г = 0,5(/ - \/з); в) второй четверти: z = 8i; г) третьей четверти; z = -13,5(t + %/з). •10.16. а) Запишите в тригонометрической форме и изобразите на комплексной плоскости все значения б) Докажите тождество г** - 1 = (г - 1)(г'' + + + г 1); подберите действительные числа А < В так, чтобы выполнялось тождество г'* + г® + 2^ + г + 1 = (г^ + + Аг + 1)(2^ + Bz + 1). в) Используя результаты пунктов а) и б), вычислите cos 72° и sin 72°. г) Найдите сторону Oj правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность, и сторону а,ц правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность. 010.17. Составьте (если возможно) приведенный многочлен третьей степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа: а) 2, = 1, 22 = 2 - z.j = 2 + i; б) 2, = О, 2j = 3 2/, 2j = 3 - 2/; в) 2, = 1, 2j = 2 - i, 2j = 2 + 2i; r) 2, = /, 2j = 2i, 2з = 3/. 010.18. a) Составьте приведенный многочлен третьей степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа 2, = -5, 2j а = 4 ± 3i. б) Найдите числа г, + + z.j, 2,22 + z^z^ -t- 232,, 2,2323 и сравните их с коэффициентами многочлена из пункта а). •10.19. а) Для многочлена i' -ь 02^ + bz + с и его корней 2,, 23, 2j докажите, что выполняются следующие соотношения (теорема Виета): 2, -ь 2з 2з = -а, 2,22 + ^2^3 + ^3^ = Ь, 2,222з = -С. б) Сформулируйте и докажите теорему Виета для приведенного многочлена четвертой степени. 010.20. Составьте (если возможно) приведенный многочлен четвертой степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа. a) г, = i, = i ~ 1» ~ ~ б) 2, = 2 + i, 2j = i - 2, 2j = 2 - i, 2^ = -(2 + j). b) 2, = 4 + 3i, 2j = 4 “ 3i. 2д = ^4 “ 2; г) 2, = —1 ~ 8i, Зз = 8i, 2j = 2, — —10. Решите уравнение и изобразите его корни на комплексной плоскости: 010.21. а) 2® - 22’“ -(- 2 - 2 = 0; б) 2" -н 32^ -н 52 -ь 15 = 0; в) г* Зг^ -»■ 2 - 5 = О; г) г“ 42^ - 502 + 100 = 0. 010.22. а) 2^ - 1 = 0: б) г* - 32’’ -ь б2^ - 12г -t- 8 = О; в) 2^ - 52^ - 36 = 0; г) Z* - 52® 72® - 5г -ь 6 = 0. Найдите значение выражения: 11.6. а) (2 "f 2^ в) (3^')=* : 3‘'; “>((§] ) ^(i) ^ [(з) ) ■ (з) 11.7. а) Vs • 2“® : 2'“; в) 3“'“: 3'“; б) VlOOOO -Дт : Ю'*; г) Дб • : 2 Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными: 11.8. а) у = 3‘; 6) у = а) у = хз; г) у = (у'з)'. 11.9. а) у = п“; 6) у = х"; в) у = (>/х)*: г) у = ‘ 11.10. Найдите значение показательной функции у = при заданных значениях х: а) у = 7\ X, = 3, Х2 = -1, Хз = i; -) /з)*: б) у = (JtE - sY> 11.29. а) у = -3 12'; 1 б) У = (0,5)' + 1 в) у = - Vs)*: г) у = (ч/^ - V64)*- в) у = -9 г) у = 4 + 2" 011.30. а) у = 2"' ; б) у = 5 *' + 4; в) у = --г! г) у = 10^ - 2. 11.31. Укажите, какие из заданных функций ограничены снизу: а) у = 4х - I; в) у = -Зх^ + 8; б) у = 18'; r)J/ = lYYl- 11.32. Укажите, какие из данных функций не ограничены сверху: а) у = -Зх^ +1; в) у = (7,2)'; б) у = (0,6)'; г) у = cos X. 11.33. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: в) 1/ = . [0; 4]; а) у = 2\ [1; 4]; б) У = [I] . [-4; -2]; г) 1/= 2', [-4; 2]. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке; 11.34. а) (/ = (Тг)*. (-°°: 4]; в) у = (^б)*. [О: +°°): “’'■(i)- п) , . [а] , [-2, *»). 011.35. а) у = З'-' + 8, [-3; l]; б) у = 5-(|J +4. [-1; 2]; в) 1/ = 7’-^ + 9. [0; 2]; г) J/ = 4 . + 13, [-2; 3]. 011.36. а) у = 32 2'-‘ - 5, [-1; 2]; б) /У - 27* б) 2х + 4 г) >/0.6' - 0,36 ’ = (!)■ У - 9 Jx + 1 1^ 3 3' -I- 3. 3^^- э’ - 5 5' - 25 ' 68 Найдите область значений функции: 011.44. а) у = 3 2*; B)V = ir; б) 011.45. а) у = 3* + 1; в) 1/ = 17' - 2; б) У = (И +6: г)г/ = [|Т-8 011.46. а) у = б) У = 011.47. а) у = 0,5** - 16 0,5* - 4 2- - 27 2** + 3 2* + 9 ’ 0,5* - 9 0,5* + 3 216* - 8 6) У = — 36* + 2 6' + 4 Постройте график функции: в) У = г) У = в) У = г) У = 2,5*+ 5 4** + 125 4**-5 4* +25 1,21* - 4 7i,21* - 2’ 64* + 1 16* - 4* + 1 11.48. а) J/ = 2' + 1; в) У б) г) У 11.49. а) г/ = 5'“: в) у б) -(fP г) У 011.50. а) у = 2'-‘ + 3; в) У б) г) У 69 011.51. Дана функция у = f(x), где f(x) = 2", если X > О, Зх + 1, если X < 0. а) Вычислите ^-3); /(-2,5); /(0); /(2); /(3,5). б) Постройте и прочитайте график функции у = f(x). 011.52. Дана функция у = f(x), где f(x) 4‘, если X < 1, ~х‘ + 1, если X > 1. а) Вычислите /(-3); /(-2,5); /(0); /(1); /(2). б) Постройте и прючитайте график функции у = /(х). II i I , если X < О, J у/х + 1, если X > 0. а) Вычислите /(-5); /(-2,5); /(0); /(4); /(1,69). б) Постройте и прочитайте график функции у = /(х). И 4 I 1 если X < О, 011.54. Дана функция у = /(х), где /(х) = ((^4 j I сов X, если X > 0. а) Вычислите /(-3); /(-2); ^(0); б) Постройте и прочитайте график функции у = /(х). 011.55. Постройте график функции: 14', если X < О, cos X, если О < X < тс, X - л - 1, если X > л; 6) У = sin X, если X < —, 2 X +----1, если — < X < О, 2 2 — , если X > 0. 3 Постройте график функции: / \lx-ll 011.56. а) I/ = г'*'; б) у =1-1 ; в) {/= г) J/= 0,2''*^ 011.57. а) у = 12' - 4|; б) у = |9 - 3'|. •11.58. а) у = 12' + 1| + [1 - 2'|; б) У = 10,5' + 1| - |1 - 0,5'1. Решите уравнение: 11.59. а) 2^'=128; б) б"'= 216; в) S’*'= —; г) [Л = 011.60. а) ШУ - 1. ~ г’ в) т"' = ?/5; = г)(5/4Г'“=^. V3 011.61. а) 3' = 4 - х; б) I - 1 = X + 3; в) 5' = 6 - х; г) fiJ=-8. 011.62. а) 2' = -2х + 8; б) fiT = -ii; в) 3' = -X + 1; г) (0,2)' = X + 6. 011.63. а) 2' = -; б) 011.64. а) 3' + 1 = -; б) 3' + 3 = 011.65. а) 5"‘ = -; б) 3'- = iI; 4 X + 2’ г) It] 011.66. Решите уравнение: а) 2’ -1 = у/х; б) (i) = Vi+ 1; Решите неравенство: в) У - 1 = -у/х; г) 11.67. а) 4-<64; в) 5' > 25; '•(fl 11.68. а) > 81; в) ни 343. [ч 8 ’ б) 15' < —; г) 2' > - 1 225 256 011.69. а) (3^/3)' > >/3; в) (9V9)' < ЗТЗ; б) (4^4)' < Vi; г) (8Vi)' > V^. При каких значениях аргумента график заданной показательной функции расположен выше графика заданной линейной функции: 011.70. а) I/ = 3', (/ = -X + 1; б) 1/ = 0,5^, I/ = 2х + 1; в) I/ = 5', I/ = -2х -н 1; r)J/ = |- |. !/ = х+1? в) у = {у/2У, у = X - 4; 011.71. а) у = 2', у = X - 2: у = х + и 011.72. При каких значениях х график заданной показательной Г) 1/ = ||Т. У = -х-2? функции расположен ниже графика заданной линейной функции: а) у = 2“, У = --Х - 1; 1 , J/ = Зх + 1; г) 1/ = 3', у = -2х + 5? 72 Решите неравенство: 011.73. а) 3' > 4 - х; в) 5* < 6 - х; б) I - I < X + 3; > X + 8. 011.74. HI.75. a) 2' + 1 > cos x; + 1 < sinx; 6) 2*'' + 1 > 2 cos x; r) 3^'' < cos 2x. Ш.76. a) |x - 1| > 2,5'; в) 2' < |x - 3|; 6) |2x - ll < 3,1'; H1.77. a) 2* - 1 > >/x; 6) [i) < Vi + 1; Г) ||] > k + 4| b) 3* - 1 > -Vx; 111.78. a) Найдите наибольшее целочисленное значение функции у — 'Y о**” Зх * ом 2х iln Зх 4 0.5 б) Сколько целых чисел принадлежит области значений функции I/ = 30 § 12. Показательные уравнения 12.1. Решите уравнение: а) 4' = B)|i| =36; б) 7' = —; 343 г) 0,2' = 0,00032. Решите уравнение: 012.9. а) = Vl25~5®^: б) ^ \/о,2""'^ = ^0,04‘‘ 012.10. а) — = 27; 9^ б) ^ = 4^ 012.11. а) 3”‘ 5* = 675; в) 49ЗХ 7 ; 02х^ г) V = 4^ в) 5 2®' 3' = 2880; б) 4'*^ S'*' = 576; г) 2^'*' 5' = 16000. 012.12. а) 27'^ = 79'*'; в) 3' I -i 1 = 243; б) 2'^ =72 -7^; г)(0,1^)''^ =-^. 10 012.13. а) 2'= 3'; б) 25'= 7^'; B)fi| =8'; г)[^1 = 012.14. а) 3' 7"^ = 49 4'; в) 2'*' 5'*® = 250 9'; б) б"'*‘ = 2**' ■ 3“'; г) 35"'*^ = 5®'*' 7^ 012.15. а) 2*'*" 5 *'-' = 6,25 2'*'; б) 3^"' • 7“"“ = б) 9(3 - ТзГ*' 012.16. 3 + Те 75 Решите уравнение; 012.17. а) 3' - 3'*“ = -78; .,21^ б) 5*'-' - 5"*-* = 4.8; г) || 012.18. а) 7"”' + 7***^ + 7^**’ = 57; -т-1. •а =1- = 49; б) 2*'-‘ + - 2'^-’ = 160; в) 100 0,3"'** - 0,09*' + 5 0,0081' = 13; г) 012.19. а) 2*' - 6 2*' + 12 2' - 8 = 0; в) 5' + 6 {^У + 12 {llbY + 8 = 343; г) 2' + 3 {^У + 3 ШУ + 1 = 27. 012.20. а) (3*' - 1) (3"' + 3*' +1) = 26; б) (5*' + 1) (5"' - 5*' + 1) = 126; в) ((Т?)' - О • (7' + (^У + l) = 342; г) {ту ^1)[{^шу -ту + l) = 122. 012.21. а) 2*' - 6 2' + 8 = 0; б) 3*' - 6 3' - 27 = 0; „(if-S-flT-e-O; г) I ^ I +5 -6 = 0. 76 Решите уравнение; •12.28. а) (19 - блЯо)" + 6 • (чЯо - з)^ - 1 = 0; б) (,Л0 - 3)“ - 6 • (19 - бчЯо)" -1 = 0. •12.29. а) (2 - -ЛУ + (2 + ЛУ -4 = 0; б) (З - 2ЛУ + (З + 2V2)' -6 = 0. •12.30. а) 3®"‘ -4-9' = 17 • 3* - 6; б) 32 ■ + 3 • (4" + 2’) = 1. 012.31. а) 32^ + 4'*’ = 5 2 ‘; б) 5 • 125' - 26 5' + 5‘ ‘ = 0. 012.32. а) 012.33. а) 1 S' + 2 3”' 5 _ 5 12' + 143 " 12"='-’ 2' + 1 1 5' + 4 8 1 5"'’ 8 2».2 = 1: 11' + 120 11"* 3"' - 1 + 3 3' + 4 7** - 1 5’' - 3 = 2; = 3. 012.34. а) 18' - 8 ■ 6' - 9 ■ 2' = 0; б) 12' - 6"' + 8 S' = 0. 012.35. а) 24 ■ _ 2 ■ S"" *' + ^ д. б) 5 • + 2^*s**e _ _ 2. •12.36. а) 5*'"-' - 3 • 5'"'*"** = 2 • 5®'""; б) 3*'" ' - S’"'*"'' = 2 • 3"<"". 012.37. а) 3 2*' + 6'-2 • 3** = 0; б) 2 2*' - 3 10' - 5 • б*' =0; в) 3*"' -4 • 2Г-7 ■ 7*' = 0; г) 5 • 3*' + 7 15'-6 • 25' = 0. 78 •12.38. Решите уравнение: а) 9' + 6' = 2*"'; б) 25*"" + 16 4*"* = 20 10*"". 012.39. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни; а) 2' = а; в) ^ = -д; б) 8" — fl + 3j 012.40. При каких значениях параметра а уравнение не имеет корней: а) 48 4' + 27 = а + а 4"*; б) O' + 2а 3”' + 9 = О? •12.41. а) При каких значениях параметра а уравнение O' + 3* + а* - 14а = О имеет единственный корень? б) При каких значениях параметра а уравнение 4' - 3 ■ 2* + а* - 4а = О имеет два корня? •12.42. При каких значениях параметра т уравнение _ ^2" - 1)х - 3(4" ' - 2" *) = О имеет единственный корень? •12.43. При каких значениях параметра а уравнение |3' - а| + |3' + а| = 2 имеет бесконечно много корней? 012.44. а) б) Решите систему уравнений: 2"» = 16, 3" = 27': 0,5*' 0,5* = 0,5, 2*' 2 * = 32: 012.45. а) 0,1' 10** = 10: [27* • 3' = 1, 5*'-* = 125, 4"* = 4: 0,6"* 0,6' = 0,6, 10' 10* = (0,01)-'. (ЛГ" = ^-Л, - 5* = 125: Ч [5* • 25' = 625, i] ■ 9* = —. 3 27 7» 012.46. а) 012.47. а) Решите систему уравнений: • ч/^ = 27, 2^'"*’ : 2' = 64; 2^*' + 2' у = 10, у' + у 2" = 15; б) ч/б^ : ч/б- = i, 6 \2*-» , . 3'-“" = 3 7^' -7‘ ■ у = 28, - у Г = -12. § 13. Показательные неравенства Решите неравенство: 13.1. а) 2‘ > 4; б) 2' < i; в) 2' < 8; г) 2' > —. 2 16 13.2. а) 3' < 81; б) ^ 13.3. а) З^'"* < 27; f-T > [3j 27 в) 5^ > 125; г) (0,2)' <0,04. в) 5^”"' > 125; (2^"^ 4 ^Чз) >9 = г) (0,1)“''® ■ 13.4. а) 7^''* > 7^'-®; в) 9' ' > 9 б) 0,5"'*® > 0.5“' '; (тт] 013.5. а) 4“'-‘ > 16®'^®; в) 11^'*' < г) 0,09®' ' < 013.6. а) 2®'*“ < ; в) 25 '*® > 80 013.15. а) < 5; б) 013.16. а) 3 013.17. а) З^**-***" > 1; неравенство: 3 ^ >1; 5х-9 в) 37*'* < 1; '■' < 1: 9х>18 < 5; в) 17^ > 17; -1 «5 4 > 9 Зх+4 г) (0,21)*-* < 0,21. » 1 < —; 27 * - * -г 1 в) 8 * > —; 64 64 5г*1 1 И J 36 б) 0,4 < 1; 013.18. а) 2'-*' > i[2; б) S'*»' < 013.19. а) |1]"' < fi в) 9^ > 1; (if ^♦х-дг* «>li < 1. > —; 16 г) (0,3)'^'" < 0,027. в) (ТзГ < З'-’»'; б) (0,2У-' > (0,04>‘-“'; г) 013.20. Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства: а) 8 > 512; »)|i 81 в) 2** ' < 16; г) 0,1^^-® > 0,001? 82 013.21. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства (если оно существует): а) 2,5**‘* < 6,25; в) 1,1»*-* < 1,21; 6)1^ 'б 125 г) 0,7®*> 0,49. 013.22. Сколько целочисленных решений имеет неравенство: а) 5*’-®* < 125; ч2«>-3;г Решите неравенство: 013.23. а) 3* < 5*; б) 6* > 2*; 013.24. а) 2' +2*'* < 20; б) 3**-' - 3**-’ < -; 3 013.25. в) 2^*"*»* > 128; г) (0,3)*“-* > 0,09? Г) 0,6* > 3*. г) 0,3“* ' - 0,3®* > 0,7. >^2х * 1 + 7***' 2 ^ 72х,3 > 57; 2**-' + 2'* 2 _ 2«х 3 < 160; 100 0,3‘**‘ ‘ - 0,09*' ' + 5 0,0081* < 13; х*0Л5 . 1 + 'lf‘' fi г< 5 (lej 1 1 J 4' 2**'' 1 _ д2х. ‘ < 3** - 7 2**; 013.26. б) 3*“ + 3*** + 2 3* > 2 7***'. 013.27. а) 3** - 4 3* + 3 < 0; в) 0,2** - 1,2 • 0,2* + 0,2 > 0; б) 5** + 4 5* - 5 > 0; ® ’ [^1 “ Решите неравенство: 013.28. а) б) 12^+143 12* 1Р + 120 5* + 15 < 4. 16' ’ 5' 013.29. а) 3^' - З^'”' + 3'*' - 1 > 0;' '’(if-’ (if -27.[iJ-27<0, в) г®' + 15 2^' + 75 2’ + 125 < 0; г) 0,1*' - 3 0,01' + 3 0,1' - 1 > 0. 013.30. а) (3' - 1)(3*' + 3' + 1) < 0; б) (7' + 1)(7*' - 7' + 1) > 0: в) (0,2' - 0,2)(0,04' + 0,2"' + 0,04) < 0; IWI 81 I п 013.31. а) 2*'“ - 5 2' + 2 > 0; б) 3^'*' - 10 -3' + 3 < 0; г) (0,5)*"' + 3 (0,5)' - 2 > 0. 013.32. а) 2®' - 9 2*' * + 8 < 0; б) 5*"' - 5"* < 5' - 5; в) З"'’® - 10 3'"* + 9 > 0; г) 3*"* - 3"* < 3' - 9. 013.33. а) 5' - 30 (>/5)' + 125 > 0; б) 0,2' - 1,2 (^/0^)' + 0,2 < 0; в) 3"' - 28 ШУ + 9 < 0; г) 7'*' - 50 (JlV + 7 > 0. Решите неравенство: »13.43. И3.44. И3.45. •13.46. а) При каких значениях параметра а неравенство 9' - 4(а - 1) • 3' + а > 1 выполняется для любого значения X? б) При каких значениях параметра а неравенство 4' - (а - 3) • 2^*' + 2в + 2 < О не имеет решений? екб' ® - 25) < 0; б) (2х + 1X3" ^<0; б) >0. 8 5' - 125 ■ 8КЗ' - 81) < 0; - § 14. понятие логарифма Докажите, что верно равенство: 14.1. а) logj 8 = 3; в) log, -i- = 4; j 16 б) logj - = -2; г) log, 625 = -4. 9 5 14.2. а) logj 2 = 1; в) logo., 0,1 = 1; 14.3. 14.4. 14.5. б) log, 4J2 = 2,5; г) lgl005^0 = 2,2. Вычислите: а) log2 2'*; б) : в) log, 8 ^ г) log„ ,(0,lf. в) Ig 0,0001; г) logj 81. в) log, 225?/15; а) log3-: б) logo,, 0,0001: а) log^ 49; б) log^ (2ч/8); Ч , 64 г) logj--. I 729 Вычислите: 14.6. а) log^l; б) в) г) Ig^ 14.7. а) log.^: б) •') log»., ЮчЯоОО. 014.8. а) log. У 3“ (3^.)Ч > 2»л , 2^0 б) logs S'" 5" (5^r .5 (бЛ-,)* • 014.9. а) \og,(S - 1)Ш + l); 6) logj(^ - l)(^ + Ve + l); B) log„.j (ч/32 + ч/7)(л/^ - ч/т); г) log, - ^ + ^). 014.10. а) logo.,— 014.11. а) logj logs - 2“ + Г б) logs . 3 + 2 3" + 4 loS fi) Inp , Inp, 2” ■ 2 “ " ' 7ч/5 - Vl25 (2“')" ^ ^ \»о*1 7 б) 4'"*'""; в) 12'°*“'"; ij ’ . 014.13. а) 2"’б) 7‘в)1 *; г) Ш* 014.14. а) 13'^“^‘": б) 0,5'^-‘^'': в) 2,2'**“"-2. р) 87 Вычислите: 014.15. а) 8^'°**^ б) в) г) 014.16. а) 4 125'''°*“»"; в) 7 ■ 0,5*’'^“; б) 3 г) 100 О.З®' 014.17. а) (^/2)'°*“” + 2^»“; в) (75)'“'“' б) - 1^-»; г) (ТтГ’' + Решите уравнение: 14.18. а) Igx = 1; в) Igx = -4; 2 б) 1оКо.027 -* = г) logo 25 Jf = |- 14.19. а) log.x = -i; 2 в) logojX = 5 б) logo.m * = logo.oi JC = —■ 14.20. а) log, 4 = 2; в) log, 125 = 3; б) log, — = -3; 27 г) log,— = -4. 16 14.21. а) log,3 = j; в) log, 7 = i; 3 б) log, 4 = -i; 2 г) log, 8 = 3 14.22. а) 2‘ = 9; б) 12^ = 7; B)J|]=4; г) 0,2' = 014.23. а) 3'“ = 14; б) 4°^-^ = 10: г) = 6. 88 Решите уравнение: 014.24. а) = 7; в) б) = 2; г) 014.25. а) 4' - 5 2'= -6; в) б) 16' = = 6 4' - 5; г) 014.26. а) 9'Ч + 6 = 189 3"““; в) б) 25" ‘ + 3 = 100 5'-‘; г) х>-2 = 0,1. в) 4”' + 5 = 24 2' Решите неравенство: 014.27. а) 2“ > 9; б) 12' < 7; в) | - | < 4; г) (0,2)' > 5. 014.28. а) 3'*' < 14; б) 5“' -" > 10; 014.29. а) 4' - 5 2' > -6; б) 16' < 6 ■ 4' - 5; в) if > 11; г) в) 9' - 7 • 3' < -12; г) 9 • 7' + 14 > -49'. •14.30. Решите уравнение с параметром а; а) 4' - 2' + а = а ■ 2'; б) 9' - (2а + 1) • 3' + + а - 2 = 0. •14.31. Постройте график функции: а) у = log,x“: б) у = в) у = г) Р = log, -. § 15. Логарифмическая функция, ее свойства и график 15.1. Какие из указанных функций являются логарифмическими: а) у = log2 4 + т, в) у = logo,5 - log4 2; б) I/ = logs 7t - Зх; г) у = logo.2 It + 9х? 89 15.2. Найдите значение логарифмической функции у = logjo: в указанных точках: а) З’; б) 3“^ в) 3'*; г) З"*'^ Найдите значение логарифмической функции у = logjjc в указанных точках: 15.3. а) Xj =4, = 8, х, = 16; ' б) X, = -, X, = X, = —; в) X, = 32, Xj = 128, Xj = 2; г) Xj - , х^ - . Хз - . 15.4. а) X, = ^2, Хз = в) X, = ?/32, Хз = 16?/Ш; йч _ 2 4 . б)х,- Хз - ч 4 2 г) Xi = -7=, Хз = ч/32’ ч/lffi' 15.5. Постройте (схематично) график функции: а) у = logj х; б) у = log, х; в) (/ = Ig х; г) у = log, х. < 2 15.6. В одной системе координат изобразите графики функций: а) у = log3 X, у = logg х; в) у = log, х, у = log, х; б) у = log, X, у = log, х; г) у = logg х, у = log^ х. 2 5 5 5 Найдите область определения функции: 15.7. а) у = logs (4х - 1); в) у = log, (8х + 9); б) у = log, (7 - 2х); г) у = logo s (2 - Зх). 9 015.8. а) у = log, (х* - 5х + 6); б) у = logj (-Х* - 5х + 14); 3 в) у = logg (х^ - 13х + 12); г) У = log„,2 (-х^ + 8х + 9). 90 015.9. Найдите область определения функции: а) У = logs., (2"'-*''*'' - 2); в) у = logo^------- б) у = logs (1°Ко.1 г) у = logo S (logs *)• 015.10. Дано: f{x) = loggX. Докажите, что выполняется следующее соотношение: а) ^2"^) = х; б) f(4') + П8‘) = 5х. 015.11. Дано: f(x) = log, х. Докажите, что выполняется следую- щее соотношение: 2х*\ = 2х + 1; а) Ж- Сравните числа: 15.12. а) log^ 7 и logs23; б) logs 0,8 и logjll в) logo 'Лб и logg 13; г) log, 4 и log, -. 15.13. а) log, 2’“ 2' б) logo.. (2')' 10 *■* 10" (10’)-' и logs(44/2); и logo., ЫЛо). Сравните с единицей число: 15.14. а) log341; 6)logs30,l; в) log, 2,6; r)logj^0,4. 7 15.15. а) logo( ?/9 - ^)( ^ + ^ + ^); б) lg(?/9 -ь l)(^ - ^ -I- l). 15.16. Исследуйте функцию на монотонность: а) 2; б) logo, X > 3; 15.33. а) loggX < -1; б) log, X < -4; в) loggX < г) log, X < 3. в) logjX > -2; г) logo 2 X > -3. Постройте график функции: 15.34. а) у = 2 + loggX; в) у = -3 + log, х; б) у = -1 + log, х; г) J/ = 0,5 + logo., 15.35. а) (/ = 31og, х; б) I/ = 2 log, х; 3 15.36. а) */ = -2\og^x; б) I/ = -4 log, х; в) у = 5 logo •*: г) у = ^logo,jX. в) у = -0,5 logjX; г) у = -log^x. 15.37. а) у = logjCx + 4); б) у = log, (X - 3); в) у = logo - 1): г) У = logo.3 (д; + 5). 94 Постройте график функции: 015.38. а) у = 1ойз(х + 1) - 3; в) у = logj(x - 1) + 2; б) У = log„.3(x - 2) + 1; г) у = log„.5(x + 2) - 1. 015.39. а) {/ = lg(5 - X); б) у = log, (2х - 4); в) у = logo s (1 - X); г) у = logs (Зх + 6). [ -Зх + 3, если X < 1, 015.40. Дана функция у = f(x), где /(х) = | х > 1. I i а) Вычислите Д-8), Д-б), ДО), ДЗ), Д9). б) Постройте и прочитайте график функции. 015.41. Постройте и прочитайте график функции: [-4х + 4, если X < 1, [loggX, если X > 1; в) У = б) У = в) у = i-(x - 4)^, если X < 5, logo 2 X, ®сли X > 5; (loggX, если О < X < 2, , если X > 2; KiJ' i—, если X < О, log^ X, если X > 0. Постройте график функции: 015.42. а) у = log, |х|; в) у = log,(l + |х|); •15.43. •15.44 б) у = |log,(l + х)|; а) I/ = 1 - logjjx - I] ; г) I/ = |log3(-x)|. б) У = llog,j,|2 - х| - 2| а) у = |log2X - 1| + |log2X + 1|; б) у = llogjX + 1| - llogaX - 1|. 95 015.45. При каких значениях х график заданной логарифмиче- ской функции расположен линейной функции: выше графика заданной а) У = logj X, 1/ = -X + 1; в) у = log, X, у = 7х; б) 1/ = logo.5 X, у = X - V, г) у = logsX, у = -Зх? 015.46. При каких значениях х график заданной логарифмиче- ской функции расположен ниже графика заданной ли- нейной функции: а) 1/ = log< (х - 1), у = -X ■¥ 2; б) = log, (X +4), у = -Зх-2 2? Решите неравенство: 015.47. а) logjX > -х -ь 1; в) logjX < -X -ь 1; б) logs X > 4х - 4; 7 г) log, X < 2х - 2. 3 015.48. а) logsX < 4 - х; • в) logjX > 6 - х; б) log, X < X -ь ■г 2 г) log, X > X + -. 3 3 015.49. а) log, X > ‘ X в) logjl-x) < б) logjX < —; г) logj(-x) > 015.50. а) log, в) logo 3 X < х^ - 1; б) Igx + 1 < -х‘ + 2; г) lg(-x)>-x' 1. § 16. Свойства логарифмов Вычислите: 16.1. а) logo 2-1-logs 3; в) log3j2 + log2el3; б) lg25 + lg4; г) log,3 4 + log,2 36. 16.2. а) log,„ 3 + log,„ 4; а) log2,e 2 log2,g 3: б) log, 4 log, 2; г) log, 4 -t- log, 36. 8 8 12 12 96 Вычислите: 1в.З. а) logj? - log,-; б) log, 28 - log^ 7; 16.4. а) log^ 6 - log^ 2ч/3; б) logjj7>/2 - logjjl4; в) logjlS - logs 30; г) logo,2 40 - logons. b) logs 32 - logs 243; 8 3 r) logo, 0,003 - logo, 0,03. 1 16.5. a) log^2; 6) 16.6. a) (31g2 - lg24) : (lg3 + lg27); 6) (log3 2 + 3 logs 0,25) : (logs 28 ~ logs 7). 016.7. a) log, 4 • logs 9 • log4~! 2 4 6) log^ Зу/З : log, ^/49 logj ^/5: 7 b) log3 81 : logo 5 2 • logs 125; r) log^ 5>/5 • logos >/0^ • Ig lOs/oJ. 016.8. a) log, 16 logs ^ : 3^’'; 2 ^5 6) logs 27 : log, 4 • log, ^49; 2 B) log, 9 - logs^ : 7^'°"': 8 ° 100Л0' 016.9. a) log, 25 _ log, 9 log, 5 ’ log, 27’ ' log, 6 8 016.10. a) s/5(logs36 - logs 4 + 5“*")'’*'“; 6) :^(log.z3 + log,s4 + 7‘’*’‘)^‘^‘'. b) log, 36 logo, 32 logo, 64 97 Вычислите: 016.11. a) - 710*7 9. 6) ^3gloft5 _ 5lo„9_ 016.12. a) 6) 5i”*>i“-i; B) 3'*'°®*; r) 8'°**®'*. /1 421=»,7 016.13. a) «(i) ■ ^ b) Г) (0 3)3lo«oj6 ( 1 016.14. a) 8*°»^*; « (5] ‘ b) 25'°*‘^ r) [16 j 016.15. a) 362'°^'*; 6) B) 1219r) - kic,9 25‘ . / - Y ♦ ‘“*1 016.16. a) ; b) (5) ^ 6) 25''“'"°‘''" ; r) 49i-»-5io*7n - log,64 - 2 log,2 016.17. a) 2____!__________L. log, 2 21ogo i>2 4-log„ ,N/iO log, , 10 - log, , >/10 + log, , 4’ gj log, 12 + 21og,2 log^,16 log, , 15 - log, , 30 016.18. a) 6) log^lS - log^3 + 2 log, 15 + 21og,3 log, 15 + log, 3 ’ 3(log, 15Mlog,9) - 21ogfl5 - log^9 log,9-log, 15 2 log, 12 - 41og^2 + log|12 + 4 log, 2 3 log, 12 + 6 log, 2 ’ . 51c«,31og,12-210^3-31ogi 12 21og,3-31og,12 98 cos — + sin — 12 Вычислите: 016.19. a) log^^ ] ■*■ f 6) log, cos - + sin - + log, cos — - sin - ; U 6 ej U 6 ej b) log, I 2 sin — + log, cos — ; U 12J 12J Г) log^ Jcos ^ - sin i j + log^ Jcos i 016.20. a) log3|l- .)lo,,(2lg|]7log,(l-tg-i] ; rtlog,[tg^]*log,(tgi.). Сравните числа: 016.21. a) 1оез4 и в) logjS и б) logo 5 3 и sin 3; г) lg0,2 и cos 0,2. •16.22. a) 1одз4 и V2; б) logjS и 016.23. a) Известно, что logo,5 3 = a. Найдите logo^Sl. б) Известно, что logo 4 = Найдите logo 24. в) Известно, что logo 42 = Найдите logo 7. г) Известно, что log, 7 = d. Найдите log, —. i 3 49 99 016.24. Известно, что logj 3 = m и log^ 2 = я. Выразите через т и я: а) logs 6; б) logs 18; в) logs 24; г) logs 72. 016.25. Известно, что log, 7 = с и log, 3 = 0. Выразите через с и о: 49 1 49 а) log, 21; б) loKi—: ®) log, 147; г) log,-^- Найдите число х по данному его логарифму: 16.26. а) logj X = logj 72 - logj 9; б) logj^, дс = 2 log^^ 4 - log^^ 2 + log^ 5; 7 r) log, X = log, - + log, 21-2 log, 7. S 3^8 8 16.27. a) Igr = lg7 - lg3 + rg8; 6) Ig jc = 2 Ig 3 + Ig 6 - - Ig 9; 2 b) Ig д: = - Ig 3 + - Ig 5 - - Ig 4; 2 3 3 r) Igx = -ilg5 + lg\/5 + ilg25. 2 4 16.28. a) logo,3 ДГ = logo 3 “ “ 2 logo 3 6) logs ^ “ 2 logs 6 + logs B) log3 3 X = 4 logj 3 c - 3 log2,3 6; r) log, X = 3 log, 0-4 log, c + log, b. 7 777 16.29. Выразите log„x через логарифмы по основанию я чисел о, Ь, с, если известно, что положительные числа х, о, Ь, с связаны соотношением: , аЬ‘ д’с’ а) X = —; б) X = с -Jb 100 016.30. Прологарифмируйте по основанию 5: 25-Ла‘Ь'. <г> ’ а) 1250^ : Ь*-, 625(>/а<))’ в) 016.31. Положительное число Ь записано в стандартном виде Ь = &о ■ 10", где 1 < &о < 10 и л — целое число. Найдите десятичный логарифм числа Ь: а) 6 = 9 • 102; б) 6 = 9 • 10-2; в) 6 = 9 ■ 10^; г) Ь = 9 • Ю'*. (Для справки: Ig 9 = 0,95.) 016.32. Найдите десятичный логарифм числа: a)lg50; б) Ig 0,005; в) Ig 5000; г) Ig 0,00005. (Для справки: Ig 5 = 0,7.) в) lOggX = 10gg5 + 10gg6; г) log, X - log, 9 = log, 5. Решите уравнение: 016.33. a) loggX = logg2 + logg7; 6) log, X - log, 7 = log, 4; 2 2 2 016.34. a) loggl2 + loggX = loge24; 6) logo,s3 + logo.jJc = logo.5l2; b) log, 13 + logjX = logs 39; r) log, 8 + log, X = log, 4. 016.35. a) log2 3x = log2 4 + log2 6; 6) log^^l = logj-,6 + log^,2; b) logg 5x = logg 35 - logg 7; - log^6. 016.36. a) log, 8 - log, 2 = 2; в) log,3 + log, 9 = 3; 6) log, 2 + log,8 = 4; r) log, VS + log, 25\/5 = 3. 101 Постройте график функции: 16.37. а) у = logjSx; б) у = log, 4х; в) У = log,—: г) у = log,-. 16.38. а) у = logjX®; б) у = log, в) у = log,-; X т) у - log, х“. 016.39. а) у = logj—; в) у = logjQx^ б) , . log -i т) у = log, -. 5 X 016.40. Докажите, что при заданных условиях выполняется требуемое равенство; а) Ig ° * — = -(Iga -н Igft), если а* -»■ = lab; 3 2 б) Ig ° = -(Iga -ь Igft), если 4Ь^ = 12аЬ. 4 2 Вычислите: 016.41. а) -t- log, 9; b) logjj б) log^3>/2 logji; г) log,g 016.42. а) glo€g4 *■ log^ 3 logj 36; б) log, 8 log2 27-3^»“; в) 04к)взг + logs '/2 • log, 25; г) IOP.51,1 + Ulogjx/l log, 81. 016.43. а) Slogj' 9 logs 64 -I- 3^* • 2“*»“; б) 2<>o(<3 ■' -H log,3 + logj64 log, 102 Вычислите: •16.44. а) 16(log9 45 - 1) log,, 9 logjiai; б) log,5 3 logs 3 5 (1 + logs 5). 116.45. a) 3 logs 4 logg 5 log^ 6 logg 7; 6) logjlO • logs 2 ■ log,3 logs 4 • •16.46. •16.47. log, 56 log, 7 log„2 log„,2’ logiooo 999. log, 135 logs 5 log„3 log,„s3' а) (log, 6 + logj4 + 2Klog,6 - logs,6)loge4 - log, 96; б) logs 4 + logs 9 + log, 6 2 “ 2 logs 5. 016.48. a) 81'°*'^ + 27'°““ + S'”*'®; 0^ + lO£i5 016.49. 16.50. 16.51. 6) 4V§ + 0.2'-®*»='-15“'""'‘“^. a) 6) s'”*-5*"'°*-»'^ Сравните числа: а) logs? “ log;4; б) logg9 и loggS; а) logs 6 ” б) log, 3 и log, 1,5; b) logs 5 logs 4; r) log,, 14 и log,, 13. b) logg6 и logs?; r) log, 4 и log, 7. Расположите числа в порядке возрастания: 016.52. а) logs?, I°g4^ и Ig 1; б) logo s 0,1, logs 0.5 и Ig 1; в) logs 9, logsl и logs 4; г) logos0,3, log?0,6 и logsl. 016.53. a) log,0,9, logsl, logj3, log, 10; 6) logo.jl, logo,95, logg0,7, logo, 10; B) 2'°**\ log,j7, log,s7, lg0,3; Г) 9'°*»^^ i-]\ log,l, logo?. 103 016.54. Известно, что logj 2 = 5. Найдите: а) logjZS; б) logj—; B)log2l25; г) log,—. 25 ^ 625 016.55. Известно, что logjS = о. Найдите: а) log^9; б) logg 18; в) log^Sl; г) logg54. 016.56. Известно, что Ig 2 = а, Ig 3 = 5. Найдите: a)Iog^l2; б) logg 18; в) logg 5 3; г) log^24. г 016.57. Известно, что logg 5 = а, logg3 = Ь. Найдите: а) log3l5; б) logg75; в) log,g45; r)log,gl2. 016.58. а) Найдите log,gg40, если известно, что logg 5 = а. б) Найдите loggjll?, если известно, что logg? = Ь. •16.59. а) Найдите logg 5, если известно, что logg 2 = а, logg 5 = Ь. б) Найдите log3g28, если известно, что log,g7 = а, log,g5 = Ь. #16.60. а) Найдите logg 360, если известно, что log, 20 = а, logg 15 = 5. б) Найдите logg^gOO, если известно, что log,g5 = а, logjgll = 5. Упростите выражение; 016.61. а) (log„6 + logg а + 2)(log„5 - log^gfelloggO - 1; б) ------ (log„5 + logg a + l)log„r 0 016.62. a) 0,2 • (20'°*^'’ + ); 6) v/log„ b + logg a + 2 log„g a ^log^5. •16.63. Докажите тождество: а) = c'^*, если a, b, c — положительные числа, отличные от 1; б) , если т, р, q, к — положительные числа, отличные от 1. 104 016.64. Докажите тождество: log, о + log, Л а) log^afc 1 1 + log, ft 1 1 loggft log^fc log^fe * log^k log^ft 151c«*a. 116.65. Найдите координаты центра симметрии графика функ-+ 2х ции у = х + \g ж* + 10х + 24 •16.66. Расположите комплексные числа в порядке возрастания их аргументов: г, = logg 0,7 + i logo s 7, h = InlO -ь i Ige, = Inn + iln(n - 3), г, = logg0,3 + ilogo,3 0,9. (Указание, -я < arg г < я.) § 17. Логарифмические уравнения Решите уравнение: 17.1. а) loggX = 3; b) logo.3^ = 2; б) logjX = -1; r) log,, л: = i. 17.2. а) log, 16 = 2; b) log, 7з = -1 б) = -3: r) log,9 = i. 017.3. а) log^ (2x -ь 1) = 6; b) log^^jiex = 4; б) log,g,,(3x + 2-J3) = 2; r) 24b) = 2. 017.4. а) 1 >/з , log_- = 1; b) iog.„4 = i; б) r) logM„x7 = 2. 4 017.5. а) logo., -b 4jc - 20) = 0; б) log, (jc^ -t- X - 5) = - 7 -1; в) log; (x^ -12x + 36) = 0; г) log, (x^ + 3x - 1) = -2. 105 Решите уравнение: 17.6. а) logjCSx - 6) = log2(2x - 3); б) log, (14 + 4х) = log,(2x + 2): в) log, (lx - 9) = log, X-, г) logo.2(12x + 8) = logo,2(llJC + 7). 017.7. a) log, (Ix^ - 200) = log, 50x; 6) logo.jC-x' + 5x + 7) = lofoaClOx - 7); B) IgCx’' - 8) = lg(2 - 9x): ’’) log„2(-x2 + 4x + 5) = log„,2(-->^ - 31). 017.8. a) 2^»'"*-" = 21; b) = 31; = 1; Г) (0,3)''*"^'''”"* = 2. - I0> = log, 729; r) (О.ЗУ'*»’' "'”" = log2 0,5. B) :: 017.9. a) 3^*'-“'’= log, 125; 6) 2'*»'“^’*’ = log^9; 017.10. a) log, (loga (log2 X)) = 0; 6) Iog,g(log2(log3 4x)) = 0; b) log2, (log3 (log2 x)) = 0; r) log,2(log,(log3(x + 1))) = 0. 017.11. a) Известно, что f(x) = log3(5x - 2). Решите уравнение f(x) = ЯЗх - 1). б) Известно, что f(x) = log2(8x - 1). Решите уравнение т в) Известно, что f(x) = log„, (Зх - 6). Решите уравнение /|lx-lj = Ях^ -1). г) Известно, что /(х) = log,, (4х + 1). Решите уравнение /|х-з1 = Ях^ -3). 106 Решите уравнение: •17.12. а) log2(2x’ - X* - 2х) = log2(x® + 2х^ + 2х); б) logsOx’ - 2х* + 4х) = log3(2x“ + 2х* + Зх - 6); в) logo.2 (jc’ + бх** + 6х + 1) = logo 2 + 2х^ + Зх); г) log„,3(2x" + х2 - 5х - 7) = log„,3(A;’ - 2х^ - 2х + 7). 017.13. а) log,(x + 3) = log,(2x + 9); б) log, (х“ - 2х) = log, (Зх - 4); в) log,(x - 1) = log,(2x - 8); г) log, (х^ - 6) = log, (-Х). 017.14. а) log,(2x^ + х - 2) = 3; б) log,.,(12x - х" - 19) = 3. 17.15. а) logjX = log2 3 + log2 5; в) log, 4 + log, x = log, 18; i 8 i 6) log, 4 = log, X - log, 9; r) log,, 9 - log„ , x = log„, 3. 17.16. a) 21oggX = logg2,5 + logglO; 6) 31og2^ - b) 3 log, X = log^ 9 + log, 3; r) 4 logo’, ^ 2 + logo., 8- 017.17. a) log3(x - 2) + log3(x + 2) = log3(2x - 1); 6) log,, (x + 4) + log,, (X - 7) = log,, (7 - x); b) logo.o(* + 3) + logo.o(* - 3) = logo,o(2x - 1); r) logo.3 (x + 2) + logo.3 (x + 3) = logo.3 (-2x). 017.18. a) log2s(2x - 1) - logjaX = 0; 6) logo.5 (4x - 1) - logo.5 (7x - 3) = 1; b) log,, (x^ - 5x + 8) - 1(«3 3 X = O, r) log, (x + 9) - log, (8 - 3x) = 2. 107 Решите уравнение: 017.19. а) log2(x - 3)(д: + 5) + logj б) logaCx + ЗКж + 5) + logj = 2; 4. X + 5 X + 3 ' X + 5 017.20. а) Ig (л: - 1)* - 3 Ig (л - 3) = Ig 8; б) lg(x + If - 51g(x - 1) = lg32. 017.21. a) logjCx* - 1) - log2(x2 + x + 1) = 4; 6) logo s (X® - 6x® + 12x^ - 8) = -3; b) logo,3 (x^ + 27) - logo.3 (x^ - 3x + 9) = -1; Г) logs(x® + 9x' + 27x‘ + 27) = 3. 017.22. a) logj X - 4 logj x + 3 = 0; 6) log, X - log4 X - 2 = 0; b) logj X + 3 logj X + 2 = 0; r) log^jX + logoaJC - 6 = 0. 017.23. a) 2 logjX + 5 logjX + 2 = 0; 6) 3 logJ X - 7 log4 X + 2 = 0; B) 21og^3X- 71og„3X- 4 = 0; r) 3 log^ 5 X + 5 log^^ X - 2 = 0. 9 017.24. a) Ig^x - Igx + 1 = IglOx 6) log, X + 3 log3 X + 9 b) Ig^x - 2 Igx + 4 = 37 logj Ig lOOx \ I 2 FT 1 ЛП ~218 r) \ogix + 7 \og^x + 49 =-----, X log,— '128 017.25. a) Ig lOOx • Igx = -1; 6) lg40x + Ig lOx = 6 - 31gi; в) *“'***' = —; 16 lofiX-4 ’ = 27. Решите уравнение: 017.34. а) = 1000: б) = 0,125; г) X 017.35. а) 10x“*' + х'“* = 11; б) + ЗЗх''^»' = 3'*'**»1 017.36. а) 6'°^" + = 12; б) Ю'*'* + Эх'*'' = 1000. 017.37. а) logs(6 - 5') = 1 - х; б) 1оЯз(4 • З*’’ - 1) = 2х - 1. 017.38. а) log,(3‘ + 2х - 20) = X - X logg3; б) 0,4'*"''-' = 6,25*-'*''. •17.39. а) X* log3e(5x* - 2х - 3) - х log, \/5х* - 2х - 3 = х* + х; б б) X* - X* log, (2 + Зх) = X* - 4 + 21ogr^^ 017.40. а) б) 017.41. а) Решите систему уравнений: logj (х* + Зх - 2) - logj у = 1, Зх - {/ = 2; 2х + р = 7, logjCx* + 4х - 3) - logaj/ = 1. logs (х + р) = 1, logs X + logs р = 1; logosC^ + 2j/) = logo.s(3x + у), log, - у) = log, x; loge(Jc ~ y'> = 2’ logg,x - loge4i/ = i; 110 Решите неравенство: 018.4. а) logjjc > 1оЙ5(Зх - 4); б) logo,e(2x - 1) < logo„J?: в) logi (Ъх - 9) > log, 4r, 3 i *") logs (8 - 6x) < logj 2x. 018.5. a) logjlSx - 9) < log2(3x + 1); 6) log„ 4(12x + 2) > logo,4(10x + 16); b) logj (-X) > logj (4 - it); r) log2,e(6 - X) < log2.8(4 - 3x). 018.6. a) log^.,(7x - 21) < log^.,(21 - 3x); b) log„(5x - 15) > log, (15 - 3x); r) log2.j^(4x + 17) < logj.^(25 - 5x). 018.7. Найдите наибольшее целое решение неравенства; а) log, (6х - 9) < log,<2x + 3): б) log, (2 - х) > log, (2х + 4); 3 S в) Ig (8х - 16) < Ig (Зх + 1); г) logo.4 (7 - х) > logo 4 (Зл: + 6). Решите неравенство: 018.8. а) logalx* + 6) < log3 5x; б) logo.e(6x - х^) > logo,o(-8 - х); в) Ig (х‘ - 8) < Ig (2 - 9х): г) log^ (х^ + 10х) > log^ (х - 14). 018.9. а) log,_3(6 - х) > log,_зХ“; б) log, 2(x^ + 22) < log,_2l3x; в) logs o,s.(-* - 6) < logs,0,5. (6 - x"‘); г) log3.2-,(^^^ - 27) > log3 2_,6x. 018.10. a) log,^-^ < log,^—; X - 2 X - 2 6) logo. > logo, 112 Решите неравенство: 018.17. а) loglx > 4 log^x - 3; б) log^ X + 3 log, X < -2; в) logj X - log< X < 2; г) logj 2 X > 6 - logo 2 X. 018.18. a) 2 log^ 3 (X + 1) - 7 logo., (д: + 1) - 4 < 0; 6) 3 log] X - 7 log^ 16x + 30 < 0; b) 3 log^ (2x + 1) + 5 log, (2x + 1) - 2 > 0; 8 3 r) logjX + 31og3 9x - 24 < 0. 018.19. a) logjX^ - 151og32x + 11 < 0; 6) log^ (x^ - 2x + 1) - 7 log, (X - 1) + 3 < 0; 3 3 b) 2 log^ x’* + 5 logj 25x - 8 > 0; r) log^ (x" + 2x + 1) - 31 log, + 15 < 0. 5 S ^ 018.20. a) logics - x) - 2 log,(5 - x)“ + 9 < 0; 6) log^ (4 - x) + 5 log, (4 - xf + 25 < 0; B) logf (X - 1) + 3 > -i log, (x - 1)’; 3 5 3 Г) log^(x + 5) < 0,5 log3(x + 5/ + 3. B) |iog, jt + гУз - logigj < logp^x -b 3 ^ 1 logo,x - 3 3' 114 018.27. Найдите наибольшее целое решение неравенства: а) 2 logs (>/12 - X + l) > log, ——; 5 15 - д: б) 2 logo.5 V2x + 1 - logo.5(4 - д:) < log2 3^’'°^^ 018.28. Найдите наибольшее целое, решение неравенства; а) log, {-Jx - l) + log, {4x + l) < log, [4x + 2); 4 4 б) log„(^ - 5) + log, {Hx + 1) < log, i - log„(^ + 1). Решите неравенство: 018.29. 018.30. 018.31. 018.32. •18.33. •18.34. a) 6) logjlog, (96 + 64 coax) > 1. •18.35. a) log^ j729 > 3; в) log,., 0,3 > 0; logs,.,2 < 0: b) log2_3,5 > 0; logs,,,0,2 > 0; r) logs.,0,3 < 0- logs,., 16 < 2; 6) log,.227 < 3. log, V2I - 4x > 1; 1 X + 3 6) log, > 1. д: - 1 log,.2(2x - 3) > iog,_j(24 - - 6x); log2x-i(3:r - 5) < log2,.,(15 -7x). log^,^ >1; B) Ionian, ^ > 1: < 2; •’) loKccx- < 2. OCX 2 1 1/1 2 sinx ^ log, log, — + < -1; 2 H27 27 ) 6) ^ I < ^ 018.36. •18.37. ■U' a) logj X + 1 > 2 log, 2; r) log,_,(x‘' - 10) < 2. 6) 2 log, 5 - 3 < -logjX. а) log, (x + 12) ■ log, 2 < 1; б) 1 + log, 5 • logj X > logs 35 • log, 5. •18.38. a) loggx“ + logsC-x) < 2; 116 6) log,x^ + logjC-x) > 6. § 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций Постройте график функции: а) у = е“**; в) у = б) у = е“ + 1; г) у = - 3. Найдите производную функции: а) f(x) = 4 - е‘; в) f{x) = е“ - 19; б) f(x) = 13е*; г) fix) = -8е*. а) fix) = jcV; . в) fix) = xV; б) fM = *■) /w = |-- а) fix) = в) fix) = e'^; б) fix) = Г) fix) = + x. Найдите значение производной заданной функции в указанной точке х„: а) у = е‘ + x^ х„ = 0; б) у = е'(х + 1), Хо = -1; в) у = в б) 1/ = Хо = Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = fix) в точке с абсциссой х,,: а) fix) = 4с'' + 3, Хо = -2; б) /(X) = ^ • хь = 1; в) fix) = ОДе'" - 10х, Хо = 0; г) fix) = Хо = 1. 019.22 X + 1 Является ли заданная прямая касательной к графику заданной функции в указанной точке: а) у = Зе^х - Зе^ у = е®'"' - е б) у = X + е; у = xe’i х = 07 Напишите уравнение касательной к графику функции у = f{x) в точке с абсциссой х = а: 6) у = (2х + 1)е‘ а) Напишите уравнение той касательной к графику функции у = , которая параллельна прямой у = 2ех - 5. б) Докажите, что касательная к графику функции у = в точке х=1 параллельна прямой у = 2х -ь 3. Запишите уравнение прямой, которая проходит через начало координат и является касательной к графику функции: а) у = е^; б) у = е^. Исследуйте функцию на монотонность и найдите точки экстремума: а) у = xV; б) у = хе^‘ *; в) у = xV; г) у = —. X а) у = - Зе" + х + 4; б) у = 1 - Зх + 5е* - е^’. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = х^е" на заданном отрезке: а) [-1; 1]; б) [-3; 1]; в) [-3; -1]; г) [1; 3]. При каких значениях параметра а функция у = х^е'^ на интервале (а; а + 7): а) имеет ровно одну точку экстремума; б) имеет ровно две точки экстремума; в) убывает; г) возрастает? Постройте график функции: а) у = 1п(х - 4); в) у = 1п(х + 3); Найдите производную функции: 19.23. а) у = x^lnx; в) у Inx б) У = X + 1 19.24. а) у = e'lnx; б) у = 31пх + sin2x; Inx г) у = (х - 5)1пх. в) у = Vx“ 1пх; г) У = заданной функции в 2 cos----5 Inx. 2 Найдите значение производной указанной точке: 19.25. а) у = Inx + х, х„ = в) у = х^ - Inx, = 0,5; б) у = x’lnx, Хо = е; г) У Inx = ----. *0 = 1- 19.26. а) у = 1п(2х + 2), х„ = —; 4 б) у = In (5 - 2х), х„ = 2; в) у = In (9 - 5х), х„ = -2; г) у = -3 In (-Х + 4), х„ = -5. Найдите прюизводную функции: 19.27. a) у = 2‘ - logs (x - 1); B) У 6) у = 3 ' + 2 log, x; 2 г) У 19.28. a) у = 7^1n(2x + 3); в) у log,(3x + 2) 6) у = “ j ; X г) У 019.29. a) у = log, (x + 1); б) У 019.30. a) у = b|2x® - Ij; в) У 6) у = ln^(3x - 4); г) у = 5^-7 logi (х + 1); 3 ij + + 4). = xMog,(3x - 1); ^ ln(2x - 1) 3- = \og,,^x‘. = ln(2tgx + x); _ 1 фп 2x' 019.31. а) Докажите, что функция у = ^Jlnx удовлетворяет уравнению 2хуу' = 1. ^ б) Докажите, что функция у = е‘ удовлетворяет уравнению у -h х^у' = 0. 019.32. Составьте уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а: а) f(x) = х^ - 1пх, 0 = 1; в) f(x) = -2х\пх, а = е; б) fix) = 0 = 1; г) fix) = ^ 1пд;, а = 1. X 019.33. Напишите уравнение той касательной к графику функции у = fix), которая параллельна прямой у = kx + пк а) fix) = In (Зх + 2), у = х + 7; б) fix) = In ix‘ + х), у = 1,5х + 4. 019.34. Запишите уравнение прямой, которая проходит через начало координат и является касательной к графику функции: а) у = 1пх; б) у = 1пх’. •19.35. При каком значении параметра о: а) прямая у = Зх - 4 + а является касательной к графику функции I/ = In (Зх - 4); б) прямая у = 2х + 3 + а является касательной к графику функции I/ = In (2х + 3)? 019.36. Исследуйте функцию на монотонность и найдите точки экстремума: а) I/ = X -н In-i; б) у = X* - 41пх. 019.37. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = X - 1пх на заданном отрезке: [1, б)[« ; е^]. 019.38. Исследуйте функцию на монотонность и найдите точки экстремума: „2 1 а) у = 21пх’ - 5х -I- —; б) У = In — -н х^ -ь х -ь 3. 2 X 122 , X = (0; +оо); 020.8. а) F(x) = |х|(:с> - 4), f{x) = -4х^ - 4, X = (-оо; 0); б) F(x) = |3х - 7| + |х + 2| - х‘, f(x) = -2х + 4, X = (3; +00). 120.9. Установите, является ли функция у = F(x) первообразной для функции у = fix): fix) = |х| (х* + 2х); -------X*, если X < О, 5 3 —-ь — - 25х-н 83^, если х< - 5с > 5, 3 2 3 + — + 25х - 83-, если |х| < 5, 3 2 3 I I fix) = |х2 - 25| + X. 20.10. Для функции у = fix) найдите первообразную; а) «X) = - 1 ”х*’ в) fix) = 1 2n/^’ г) fix) = А, VX 020.19. Найдите функцию у = f(x), удовлетворяющую заданному условию (дифференциальному уравнению): а) у = ^ + х; в) у' = -Г - б) у' = —г + sinx; г) у' = —г - COSX. Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через данную точку М: 020.20. а) у = Зх^ - 4х, М(2; 19); б) у = 4- -ь 1, М(-0,5; -3): в) у = 4х^ + Зх\ М{1; -12); г) у = 2х-А м[1; ?1. 020.21. а) у = sinx, -jj: 5 б) У = > м\ -1 ; cos ох ( 4 •Ф') в) у = COSX, ЯШ' — V / 020.22. а) у = 8sinicos|, М 3 |; б) у = 2cos^|-l, М 16 |; в) у = cos^-^ - sin^4 Л4(0; 7); г) у = l-2sin^|, 15j. Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через данную точку М\ 020.23. а) у = 1 + tg^x, 5 j; б) у = 2 + 2ctg2x, мГь -з\ 21 |; B)y = 3 + tg2x, 4j; r)y = ctg“x-9, -2l| 020.24. a) у = sin — cos — + cos — sin —, ’ ^ 6 6 6 6 b) у = sin — cos — - sin — cos —, M\ ; 10 I; Ф • -*} 3jt. r) у = cos cos — + sinsin—, m(—; -б\ ' ^ 11 11 11 11 ( 3 ) Для функции у = f(x) найдите первообразную у = F(x), которая принимает данное значение в указанной точке: 020.25. а) /(X) = х* + Зх^, F(0) = -16; б) fix) = 14sinx, j = 23; в) Дх) = lOe*' ^ f(0,8) = 5; г) Дх) = 020.26. a) fix) = -2 sin I cos |, j = -15; 6) fix) = sinx cos 3x, ~ Y^' b) Дх) = sin='-| - cos^ Y ^[f ] ~ r) Дх) = 4cos|cos^, ff^l=>/2 + l. 129 020.27. Для функции у = f{x) найдите первообразную у = F(x), которая принимает данное значение в указанной точке: а) /(X) = + 1, F(5) л/Зх - 6 б) Ах) = V5X + 4 - 8, F(l) = -12. Решите уравнение F(x) = О, где // = F(x) — первообразная для функции у = ^(х),если известно, что P(Xq) = О: 020.28. а) Ах) = Зх^ - 2х - 25, х„ = 1; б) f(x) - Зх‘ + 4х - 1, Хц = -2. 020.29. а) f(x) = 2 sin 2х, Xq = ^ 2’ б) f(x) = 2cos0,5x, Хц 020.30. Найдите ту первообразную для функции у = /(х), областью значений которой является луч (-о°; 4]: а) f(x) = 7 - 6х; б) f(x) = 3 - 2х. 020.31. Пусть G|(x) и G^lx) — две различные первообразные для функции y = g(x), причем G,(2) = 3, G2(3) = 4, G,(3) = 3. Найдите G2(2). 020.32. Найдите ту первообразную для заданной функции у = f(x), график которой касается оси х: а) Ал:) = 2х + 3; б) Ал:) = ЩЗх - 1)^ 020.33. Найдите ту первообразную для заданной функции у = f(x), график которой касается заданной прямой у = кх + т: а) f(x) = 2х, у = X + 2; б) f(x) = Зх\ у = Зх + 5. 020.34. Некоторая первообразная функции у = 3 cos Зх + 6 sin 6х принимает в точке ^ ^ значение 6. Какое значение принимает та же первообразная в точке х = ^? 020.35. Точка движется по координатной прямой, ее скорость выражается формулой о = 1 -t- 2i. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t = 2 координата точки равнялась числу 5. 020.36. Скорость движения точки по координатной прямой выражается формулой V = -4sin3t. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени f = О координата точки равнялась числу 2. 020.37. Скорость движения точки по координатной прямой зада-6 ется формулой о = если s(0) = 3. Найдите закон движения, 020.38. Ускорение движения точки по координатной прямой задается формулой a(t) = 2(t + 1)^. Найдите закон изменения скорости движения и закон движения, если о(0) = 1, 8(0) = 1. •20.39. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = F(x) в точке х = а, если известно, что у = F{x) — первообразная для функции у = f(x): а) fix) = xsinx + x^cosx -i- 5, a = 0; б) fix) = logj X -b logj (x + 1), 0 = 8; B) Ax) = ^x‘ - 3x + 3, a = 20; r) fix) = x5 - (2x)^, 0 = 32. •20.40. Сравните числа F(a) и Fib), если известно, что у = Fix) — первообразная для функции у = fix): а) fix) = хЧпх, 0 = 2, 6 = 3; - 6х + 8 б) fix) = о = О, 6 = 1; 7л . 4л. х^ - 27 в) fix) = sin’x, о = о 3 г) fix) = Vx" + 2x2 _ 5д- _ 6, о = Ig 1001, 6 = logj7. •20.41. Исследуйте функцию у = F(x) на монотонность и экстремумы, если известно, что она является первообразной для функции у = fix): а) /(х) = 2х^ -ь 5х - 7; б) fix) = >1Ъх-2А Ig(x“ - 6х + 6); в) Ал:) = 2'"-'^*'; г) Ал) = (х^ - 5х - 14) log2(5 - 2х). 20.42. Найдите неопределенный интеграл: 3 г) 1^5' - i -н X* jdx. Найдите неопределенный интеграл: 20.43. а) J(2 - 9x)“dx; в) J(7 + 5x)“dx; б) f ■ г) J 3 - 5х’ 020.44. а) |(tg^x + l)dx; в) J(ctg“x + l)dx; б) J(cos^x - sin’‘x)dx; г) Jsinx cosxdx. 020.45. а) jsin 2x sin6xdx: в) Jcos3x cos5xdx; б) jsin 4x cos 3xdx; г) Jsin 2x cosSxdx. •20.46. а) Jsin^xdx; в) Jcos^'xdx; б) jsin^xdx; г) |cos''xc(x. •20.47. а) f dx . б) f cos 2xdx J sin’x cos“x’ J sin’ X cos’ X 21.1. 021.3, 021.4. 132 § 21. Определенный интеграл Вычислите определенный интеграл: а) f хЧх; 6) в) jхЫх; г) 2 1 ^ -I i у/Х 3 021.2. а) + *2 + 2 jdx; в) " Зх jdx; .)}f_2_________ (^ + l) j Д(^-2У ^/^ j dx; в) f—-——dx; J + Зх + 9 2 Г) М б) J Идс. . '[■ Вх" + 36x2 ^ 54д. ^ 27 ' J 2х + 3 Г X* - 18х^ + 81 6х + 9 dx; б) О ^ 5 . 3 .г dx „г 2dx а) J-T-' ; б) I , W2x - 1 i VlO - Зх 4х + 16 Вычислите определенный интеграл: ’ 4х’’ - Зх* + х’ - 1 1.5. а) J б) ]' -2 3 в) I 2 г) ]' -dx; 5х’ - 4х‘ + 2х dx; 6х* - 4х> + 7х’ - 1 dx; Зх‘ - 4х‘ - 7х* + Зх’ dx. 021.6. а) J - (х’ - 2х)(3 - 2х) ^ - 3^ -*• 2)(2 н- х) X - 2 -dx; в) J X - 1 dx; рх--чдх--.^ |(9-х’Нх’^6)^ J х’ + X - 2 J dx . cos’x r(x’ -4)(х’ 1 х’ + X - 2 t 4 021.7. а) Jsinxdx; б) j 2 "4 2 021.8. а) I cos2xdx; б) J------------^dx; 0sin’[x.|] 021.9. Вычислите интеграл; 2 а) Jsin 2х cos 3xdx; о б) Jcos^—dx; х’ - 7х + 12 ^ 2 в) J cosxdx; г) J 2 в) J2sin^dx; г) J— J сов’Зх 7 3 в) Jcos 7х cos 5xdx; о г) J sin* 3xdx. dx sin’x 133 Вычислите интеграл: 8 021.10. a) J 6sin —cos— их; b) j (sin^ 2x - cos^ 2x)dx; 8я 6) J^2sin^^ - 1 jdx; г) J “ 2cos^-i jdx. 021.11. a) J(1 + tg“x)dx; 0 3 b) J(ctg^x + l)dx; 4 4 6) J(3 - 3ctg^x)dx; 4 r) J(1 + 2tg^x)dx. 8 6 021.12. a) j|sin^-^ + xjcosx - sin X cos ^ 3 j б) j ^cos 2x cos - jc j - sin 2x sin - X j 021.13. a) j 7 sin4 X --^]oos(2)t - x) jtg^(x-| ocs^ x-f • dx; 6) J ■dx; B) J i cos' (л - x) + sin' - X j + cos (я + x) cos (2n - x) Ctg||-x) sin (n - x) i tg(J^ - X) oos(2n - x) sin(-x) dx; Г) j ^ |tK(Jt - X) 7 cos'^-| - jcos(n + X) + xj dx. 134 Вычислите интеграл: 021.14. а) |>/х(х + l)dx; в) J5 ^Зх - 1 dx; О 2 0 3 2 б) I ^1 - 2х dx; г) |(5х - 7)~Sdx. -1 2 1 1 О J. 21.15. а) fe'dx; б) f3e'dx; в) j~e‘dx; г) j-2e'dx. о -1 -1 -2 4 4 21.16. а) Je“-5'-'dx; в) Je®“**'dx; 0 -4 1 О б) г) J 1 -ол 021.17. а) J—: в) f-5^dx; ' J X J X + 1 1 б) + — jdx; г) ~ j<^** 021.18. а) [ ; б) f——; в) f—-—dx; г) |-^. J 2х - 1 J -5х + 6 Ь 4х + 1 021.19. Вычислите: а) j f(x)dx, где f(x) = X*, если -3 < X < 2, 6-х, если X > 2; ' если О < X < 1, б) J Ax)dx, где Ах) = < Vx j lx’, если X > 1. 135 021.20. Вычислите: С08^2дГ - 1, если X < О, sin —, если X > 0; I 2 а) J f(x)dx, где f(x) = 3 ^ д: < О, б) I f(x)dx, где f(x) = 1 ' -=L=, если X > 0. 021.21. Вычислите J/(x)dx, если: О а) Пх) = [4х-*, X > 1; Вычислите: 3 021.22. а) j{\x^ - 4| + 2x)dx; 2 б) J(|x>= + 2| + |х - 5|)dx: П 2 в) j (|х^ - 4| + 2x)dx; -2 -I г) J(|x‘ + 2х^ + 3| + |х + l|)dx. -2 •21.23. а) j(|x - 1| + |х + l|)dx; 0 б) J(|x - 2| - |х + 3|)dx: -4 2 в) J(|x - 1| + |х + l|)dx; 1 4 г) J(|x - 2| - |х + 3|)dx. -4 136 ч/х, О < X < 1, б) Пх) = { ] X > 1. 021.24. Вычислите J f(x)dx, если график функции у = f(x) изоб--2 ражен на заданном рисунке: а) рис. 1; б) рис. 2. !/ 4 3 Г -2 -1 О 1 2 3 X 1 1 1 1 1 Рис. 1 Рис. 2 021.25. Вычислите j f(x)dx, если график функции у = f(x) изоб-2 ражен на заданном рисунке: а) рис. 3; б) рис. 4. У - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 *Х 1 1^ 1 1 Я 1 Рис. 3 137 № - 3- 2- Л о м - ■ _ - X -1 „ 1 Рис. 4 021.26. Вычислите интеграл: I а) J f(x)dx, если график функции у = f(x) (парабола) -2 изображен на рис. 5; г б) jf(x)dx, если график функции у = f(x) (парабола) -1 изображен на рис. 6. у 1 1 * 1 0 1 2 3 X 1 1 Рис. 5 Рис. 6 138 021.27. Зная, что jf(x)dx = 12, найдите: 3 2 -1 a) jf(3x)dx; б) J А1 - 2x)dx. 1 -2Л Решите уравнение: 021.28. а) = х; в) f , ^ dt = 4; 1 Vt i -J2t - 1 б) f ______(* = 2; г) f J__________dt = 2. bV2/ + 4 ivt + 2 6) |cos2td/ + Jsin2tdf = 0; 0 < b) 2jsin*tdf = x; 0 r) J(2cos2t + 6cos6t)dt = 0. 0 •21.30. a) j(18f» - 22t - 4)dt = 4; 1 6) j (4t^ + 3t* - 4t - 4)dt = 9. -I •21.31. Сколько корней имеет уравнение: а) Jcos tdt = ^ х; б) Jsintdf = 0,2х? 021.32. При каком значении параметра а уравнение имеет толь* ко один корень; а) I sin tdt = а -“2 б) jcosfdf = “ 'ij + Решите неравенство: 021.33. а) jtdt < 0,5; в) \t^dt < 0,25; » о б) J(3J2 - 8t + 3)d< > 0; г) |(2« + 5)dt > 6. а) jcostdi < г) Jsin—di > 7з. 021.34. а) jsinidf < i; б) Jcos2fd< > ^=-; Я 2 V 2 *2 •21.35. Решите уравнение: а) j(e* - Зх^ - 2x)dx = е' - 3; о б) || —j— + 2х - 3 jdjc = In « - 2) - <3 + 6, t > 3. к21.3в. Решите неравенство: а) f3=''-'dx < t > 0; J 3 In 3 б) fhx -5--------Idx > -30 - ln(< + 5), « > -4. Используя геометрические соображения, вычислите интеграл: 021.37. а) IVl6 - x^dx; б) J -Ja - x^dx; в) J V25 - x^dx; -б 4 г) J sj6A - x^dx. 121.38. a) jyjAx - x^dx; 6) J - 2x dx. •21.39. a) \\x\dx-. b) j\x - l|djc; 6) J (|x - 2| + Ax)dx; r) J ([x + 1| - 2x)dx. 021.40. Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой v = u(t) (время измеряется в секундах, а скорость — в сантиметрах в секунду). Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения (t = 0), если: а) 0(0 = 30 - 4< -н 1; б) v(t) = в) о(0 = 40 - 60; ^ О У5/ + 1 г) о(0 = Jit + 4 021 .41. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону v = v{t) (время t измеряется в минутах, а скорость — в метрах в минуту). За какое время, считая от начала движения, точка пройдет расстояние S метров, если: а) о(<) = 2f - 3, 8 = 4; б) 0(0 = г, 8 = 2? 021.42. Дан прямолинейный неоднородный стержень [0; /], его плотность в точке х определяется по формуле р = p(jc). Найдите массу стержня, если: а) р(х) = х‘ + X + 1, 1 = 6; б) р(х) = г. / = 3; (х + 3)^ в) р(дг) = -х^ + бдг, I = 2; 1 г) Р(х) (2х + ly , / = 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: 021.43. а) у = {/ = О, X = 4; б) у = х^, I/ = О, X = -3, X = 1; в) I/ = х“, (/ = О, X = -3; г) у = X*, у = О, X = -1, X = 2. 021.44. а) I/ = X* + 2, у = О, х = О, х = 2; б) у = -х^ + 4х, у = 0; в) у = 4 - x^ у = 0; г) у = -X® + 1, 1/ = О, X = О, X = -2. 021.45. а) у = —, у = О, х = 1, х = 2; JT* б) у = -р, у = о, X = 1, X = 9; VX в) У = —!/ = О, X = -1, X = -3; г) у = у = о, X = 1. X = 4. \1х 021.46. а) у = sinx, у = О, х = ^; б) У = cos2x, у = О, X = X = —; 6 6 в) у = COSX, у = О, X = , X = —; 4 4 r)y = sin—,y = 0, X = ^, X = п. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 021.47. а) у = 1 + -|cosx, у = О, х = б) у = 1 - sin 2х, у = О, X = О, X = д; в) I/ = 1 + 2sinx, (/ = О, X = О, ^ ~ г) U = 2cos—, у = О, X = О, X = —. I и 2 3 021.48. а) у = X, у = -0,5х + 5, х = -1, х = 3; б) у = 2х, у = X - 2, X = 4; в) у = -X, у = 3 - 4- X = -2, X = 1; г) у = 1-х, у = 3- 2х, X = 0. 021.49. а) у = 1 - х2, у = -X - 1; б) у = х’' - Зх + 2, у = X - 1; в) у = х^ - 1, у = 2х + 2; г) у = -х^ + 2х + 3, у = 3 - X. 021.50. а) у = х2 - 4х, у = -(х - 4)^“; б) у = х^* + 2х - 3, у = -х^ + 2х + 5; в) у = х^ - 6х + 9, у = (х + 1КЗ - х); г) у = х^ - 4х + 3, у = -х^ + 6х - 5. 021.51. а) у = COSX, у = -х, х = О, * = б) у = sin 2х, у = X - i, X = 0; в) у = sinx, у = -X, X = О, 021.52. а) у = 2cos3x - 3sin2x + 6, у = О, х = О, х = —; 6 б) у = 2sin4x + 3cos2x + 7, у = О, х = —, х = —. 4 4 021.53. а) у = О, X = 4, у = \/х; б) у = 1, X = О, у = ?/х; в) у = О, X = 1, X = 3, у = г) у = 2, X = О, у = n/x. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 021.54. а) у = у[х, у = -2л/х, дс = 4; 6) у = 2^/x, у = -yfx, X = 9. •21.55. а) у = 2 - ^/х, у = ^, Зх + 5у = 22; б) у = у/х, у = 3 - 24х, 4х - 5у - 21 = 0. 021.56. а) у = О, дг = О, X = 3, у = е*; б) у = О, X = О, X = 4, у = е-‘; в) у = О, X = -1, X = 1, J/ = е'; г) у = О, X = ~2, X = О, у = е-‘. 021.57. а) X = 1, у = е*, у = в'*; б) У = —, У = 1, X = -1; е‘ в) у = е’, X = 2, X + 2у = 2; г) у = е*, X = 2, дс = О, у = -е‘. 021.58. а) У = О, х = 1, х = е, у = -; X б) У = О, X = 3, X = -1, у = в) у = О, X = е, X = е‘, у = —; X г) у = О, X = 2, X = 5, у = 2х + 3 2. Зх - 5 021.59. а) у = е’, у =х = 2, х = 3; X б) J/ = у = 1, X = 5; в) у = Jx, у = X = 4; X г) у = —i, у = -1, X = е. 021.60. а) у = 2', I/ = 3 - X, у = О, X = 0; 6) у = 3\ у = б - 2х, у = О, X = 0. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 021.61. &) у = у = 2’ X = 2; JT б) у = -^, у = Г-', X = 4. Чх = е', у - X = е, X X = 0, 1/ ■ (?)'■ » - X = 2. = x^ у = 10 - X, X = 0; = х^, у = 10 - X, У = 0; = -X®, у = 5 + 4х, X = 0; = -X®, у = 5 + 4х, У = 0. в) У г) у •21.64. а) у =|х|, у = -1х| + 2; б) !/ = |х + 1|, у = -(X - 1)'* + 2; в) I/ =|х1 - 2, у = j; г) у = (х - l)^ 1/ = -|х + 1| + 2. •21.65. а) у = 3 - х‘, у = 1+ |х|; б) у = х2, у = 2 - |х|. •21.66. а) у = |х=“ - 4|, X = 3, X = -3, у = 0; б) у = |х^ - 2|х||, X = 3, X = -3, у = 0. •21.67. а) у = sin2x, у = б) у = х^ - 1, у = cos -у; 2х в) у = COSX, у = 1^— ~ 1 j ! г) у = х2 - 2х, у = sin-у. 021.68 Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой, изображенной на заданном рисунке: а) рис. 7; б) рис. 8. Рис. 7 Рис. 8 021.69. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции р = 2jf - 5 и графиком ее первообразной, проходящей через точку М(1; -3). б) Найдите площадь фигуры, ограниченной 1рафиком функции у = Ах + \ к графиком ее первообразной, проходящей через точку Л/(2; 6). •21.70. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х - х'^, касательной к ней в точке х = 1 и осью у. б) Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2д:^ - 6х, касательной к ней в точке х = 1,5 и осью у. •21.71. а) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = хз, касательной к графику этой функции, проведенной в точке Xq = 8, и осью абсцисс, б) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = Х\[х, касательной к графику этой функции, проведенной в точке Хо = 1, и осью ординат. 146 •21.72. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = X®, касательной к нему в точке х = 1 и осью у. б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = и касательными к нему в точках х = О и X = 1. •21.73. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции У - ^ - ~х^ к двумя касательными, проведенными к нему из точки на оси у так, что угол между касательными равен 90°. б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 0,5(х^ -I- 5) и двумя касательными, проведенными к нему из точки на оси у так, что угол между касательными равен 90°. •21.74. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = ■Vi и двумя касательными, проведенными к нему из точки на оси у так, что угол между касательными равен 60°. б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = —и двумя касательными, проведенны-2V3 ми к нему из точки на оси у так, что угол между касательными равен 120°. •21.75. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х^ - 6х“ + 9х + 1 и касательной к нему в точке X = 3. б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции р = X® - Зх и касательной к нему в точке х = -1. •21.76. а) При каком положительном значении параметра а площадь фигуры, ограниченной линиями у = !/ = 0, X = 1, X = а, равна —? б) При каком отрицательном значении параметра а площадь фигуры, ограниченной линиями у = р = 0, 1 10, X = -1, X = а, равна —< _1 I I I I I I I I I I I LLL!_L Элементы теории вероятностей и математической статистики I I I I I I I I I I I I I I I I ггггггггггггггггггггггггг § 22. Вероятность и геометрия 022.1. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства < 9. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства: а) < 10; в) > 10; б) 2х - 3 < 17; г) + 2х> 0. 022.2. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства 1 < |х - 3| < 5. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства: а) |х| < 2; в) |x| < 1; б) |л: - 6| < 2; г) 1 < Ix' - 6| < 2. •22.3. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства -Jx < 10. Найдите вероятность того, что оно: а) является решением неравенства -Jx ^ 1; б) принадлежит области определения функции у = In (40х - 39 - х^У, в) является решением неравенства -jx - 10 < 5; ' г) принадлежит области значений функции у = 0,5sinf2jc + 1. 022.4. Случайны.м образом выбирают одно из решений неравен- 2x2 + 15х + 18 ^ ства 9 ^ 9^ _ ? О. Что более вероятно: а) то, что оно положительно, или то, что оно отрицательно; б) то, что оно меньше -3, или то, что оно больше -3; в) то, что оно целое, или то, что оно не целое; г) то, что оно больше -5, или то, что оно меньше -2? 149 022.5. Случайным образом выбирают одно из положительных решений неравенства 3' < 6 - Зх. Найдите вероятность того, что: а) оно меньше 0,1; б) оно больше 0,999; в) оно ближе к 0,4, чем к 0,3; г) оно дальше от 0,7, чем от 0,8. 022.6. В прямоугольнике ABCD со сторонами AS = 2, ВС = 5 случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена: а) ближе к прямой АВ, чем к прямой CD; б) ближе к вершине А, чем к вершине С; в) ближе к прямой AS, чем к прямой ВС; г) ближе к вершине А, чем к точке пересечения диагоналей. •22.7. В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ = 5, ВС = 10 случайно выбирают точку. Найдите верюятность того, что она расположена: а) ближе к прямой АВ, чем к прямой AD; б) ближе к прямой AD, чем к каждой из прямых АВ, CD; в) ближе к вершине А, чем к вершинам В и С; г) ближе к прямой АВ, чем к прямой АС. 022.8. Внутри окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8, взята точка. Найдите вероятность того, что она: а) лежит внутри треугольника; б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник; в) лежит вне треугольника; г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности. 022.9. На оси абсциссе случайным образом выбирают точку В(х; 0), -2 < X < 6, и соединяют ее с фиксированной точкой А(4; 4). Какова вероятность того, что угол наклона отрезка АВ к положительному направлению оси абсцисс: а) тупой; б) меньше 45°; в) острый; г) больше 60°? 022.10. На оси ординат случайным образом выбирают точку С(0; у), О < у < 8, и соединяют ее с фиксированной точкой А(4; 4). Какова вероятность того, что угол наклона отрезка АС к положительному направлению оси ординат: а) тупой; б) меньше 45°; в) острый; г) больше 60°? ISO •22.11. Коэффициенты а и 6 в уравнении прямой у = ах + Ь случайным образом выбираются из множества {-5, -4, ...» -1, О, 1, ..., 4, 5}. Найдите вероятность того, что эта прямая: а) пересекает ось ординат; б) пересекает только две координатные четверти; в) не пересекает ось абсцисс; г) не пересекает вторую координатную четверть. Указание. Считать, что точки осей координат не принадлежат ни одной четверти. 022.12. Из отрезка [-1; 1] произвольно выбирают два числа — х а у — и на координатной плоскости отмечают точку (х; у). Какова вероятность того, что: а) эта точка лежит в первой координатной четверти; б) X -t- у < 0; в) эта точка лежит или во второй, или в четвертой координатной четверти; г) X + у > О, а XI/ < О? •22.13. Случайным образом выбирают два решения — х, и х^ — неравенства |х - 2| < 2 и точку (х,; х^) отмечают на координатной плоскости. Найдите вероятность того, что: а) оба решения не больше 2; б) хотя бы одно из решений не больше 2; в) сумма этих решений больше 3; г) X, и Xj отличаются друг от друга (по модулю) не более, чем на 1. •22.14. На координатной плоскости даны точки А(0; 3), В(4; 6), С(6; 0). В треугольнике АВС случайным образом выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена: а) ниже прямой у = 3; б) правее прямой х = 4; в) ближе к прямой АС, чем к прямой АВ; г) ближе к прямой АС, чем к прямой ВС. 022.15. Точка случайным образом выбирается из фигуры, огрми-ченной параболой у = х^, осью абсцисс и прямой х = 3. Найдите вероятность того, что она лежит: а) левее прямой х = 1; в) правее прямой х = 2; б) выше прямой у = 4; г) ниже прямой у = 1. 151 022.16. Точка случайным образом выбирается из фигуры, ограниченной графиком функции у = е’, осью ординат и прямой у = е. Найдите вероятность того, что она лежит: а) в первой координатной четверти; б) правее прямой х = 1; в) правее прямой х = 0,5; г) ниже прямой у = \[ё. ' 022.17. Под аркой синусоиды у = sinx, О < х < л, случайным образом выбирают точку выше оси абсцисс. Найдите вероятность того, что она лежит; а) выше прямой у = V2; в) ниже прямой у = б) левее прямой х = —; г) правее прямой х Зя 4 ■ •22.18. Найдите значение параметра а, если известно, что вероятность указанного события равна 0,5: а) точка фигуры, ограниченной параболой у = х^, осью абсцисс и прямой х = 1, лежит левее прямой х = а; б) точка фигуры, ограниченной графиком функции У = осью абсцисс и прямыми х = 1, х = 2, лежит ниже прямой у = а; в) точка фигуры, ограниченной гиперболой У ~ осью абсцисс и прямыми х = 1, х = 2, лежит левее прямой х = а; г) точка фигуры, ограниченной осью ординат, прямой у = 2 и графиком функщт у = \х - 1|, лежит правее прямой х = а. 022.19. Случайным образом на координатной плоскости хОу выбирают точку Р(х; у), О < X < 4, О < у < 2. Отрезок ОР является диагональю прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. Какова вероятность того, что периметр этого прямоугольника: а) больше 20; в) меньше 4; б) не больше 12; г) больше 10? •22.20. Случайным образом на координатной плоскости хОу выбирают точку Pipe, у), О < х < 4, О < у < 2. Отрезок ОР является диагональю прямоугольника со сторонами. параллельными осям координат. Какова вероятность того, что площадь этого прямоугольника: а) больше 9; в) меньше 2; б) меньше 10; г) больше 4? 022.21. Числа р к q произвольно выбирают из отрезка [0; 1]. Какова вероятность того, что у приведенного квадратного уравнения + рх + q = 0: а) есть хотя бы один корень (действительный или комплексный); б) нет действительных корней; в) есть два различных действительных корня; г) есть хотя бы один положительный корень? •22.22. Отрезок единичной длины наудачу разбили на три отрезка. Какова вероятность того, что длина каждого отрезка будет: а) больше 0,34; б) больше 0,25; в) меньше 0,32; г) меньше 0,5? § 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами 023.1. Найдите вероятность «успеха* в каждом из следующих испытаний; а) вытаскивание одной кости домино; появление дубля — «неудача*; б) вытаскивание одной кости домино; появление кости с суммой очков меньше 4 — «неудача*; в) вытаскивание одной карты из колоды в 36 карт, появление «пики* — «неудача*; г) вытаскивание одной карты из колоды в 36 карт, появление туза, короля или дамы — «неудача*. 023.2. Каждое испытание в задаче 23.1 повторили дважды. Найдите вероятность двукратного появления «успеха* в каждом из случаев а), б), в), г). •23.3. Найдите вероятность появления хотя бы одного «успеха* в каждом из случаев а), б), в), г) задачи 23.2. 153 023.4. Каждое испытание в задаче 23.1 повторили трижды. Что более вероятно в каждом из случаев а), б), в), г): то, что наступит хотя бы один «успех*, или то, что наступит хотя бы одна «неудача»? 023.5. Какова вероятность того, что при восьми бросаниях монеты: а) орел выпадет ровно пять раз; б) орлов и решек выпадет поровну; в) решка выпадет ровно пять раз; г) решка выпадет чаще орла? 023.6. Какова вероятность того, что при п бросаниях двух различных игральных костей хотя бы один раз выпадет пара шестерок, если: а) л = 1; б) л = 2; в) л = 3; г) л = 10? 023.7. Шахматисты А и Б играют несколько партий. Шансы на победу каждого из них в отдельной партии считаются равными. Какой результат А : Б оценивается как более вероятный: а) 2 : 2 или 3 : 1 в Четырех партиях; б) 2 : 2 в четырех партиях или 3 : 3 в шести партиях; в) 3 : 1 в четырех партиях или 4 : 2 в шести партиях; г) 2 : 3 в пяти партиях или 3 : 3 в шести партиях? •23.8. Хоккейные команды А и Б играют в финальной стадии «play-off*. Шансы на победу команды А в отдельной встрече оцениваются в 40%. Какова вероятность того, что после четырех встреч результат А : Б будет: а) О ; 4; б) 2 : 2; в) 3 : 1; г) в пользу команды А? 023.9. Верюятность успеха в одном испытании равна 0,2. Расположите следующие события в порядке возрастания вероятностей их наступления, предварительно вычислив эти вероятности: А, — при двух повторениях испытания успех наступает ровно в одном случае; — при трех повторениях испытания успех наступает ровно в одном случае; Aj — при трех повторениях испытания успех наступает ровно в двух случаях; А^ — при трех повторениях испытания успех не наступает ни разу. 023.10. Стрелок не очень меток: вероятность поражения мишени при одном выстреле оценивается в 40%. Оцените (в про- * центах) вероятности наступления следующих событий при пяти выстрелах этого стрелка: а) в мишень попадут ровно три пули; б) в мишень не попадет ровно одна пуля; в) мишень останется нетронутой; г) мишень будет поражена хотя бы раз. 023.11. а) Используя результаты задачи 23.10, составьте таблицу из двух строк: в первой строке запишите варианты количества возможных попаданий стрелка в мишень, во второй — их верюятности. Вычислите и запишите недостающие значения вероятностей. б) Изобразите многоугольник распределения, откладывая по оси абсцисс число попаданий А = О, 1, 2, 3, 4, 5 в мишень, а по оси ординат — вероятности P^(k). 023.12. При восьми бросаниях монеты орел может выпасть А = О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 раз. а) Найдите соответствующие вероятности Pg(A) (в процентах). б) Составьте таблицу распределения вероятностей. в) Составьте многоугольник распределения вероятностей. г) Найдите наивероятнейшее число выпадений орла. 023.13. Вершины квадрата лежат на сторонах правильного треугольника. В треугольнике независимым образом поочередно выбирают четыре точки. Найдите вероятность того, что: а) все точки окажутся в квадрате; б) в квадрате и вне квадрата точек окажется поровну; в) ни одна из точек не окажется в квадрате; г) хотя бы одна точка окажется в квадрате. •23.14. Плоскость, проходящая через концы трех ребер куба, выходящих из одной вершины, отсекает от куба треугольную пирамиду. В кубе независимым образом поочередно выбирают три точки. Найдите вероятность того, что: а) все точки окажутся вне пирамиды; б) в пирамиде окажется ровно одна точка; в) ровно одна точка окажется вне пирамиды; г) хотя бы одна точка окажется вне пирамиды. 1S5 023.15. Даны два концентрических шара радиусов 1 и 2 соответственно. В большем шаре независимым образом поочередно выбирают 3 точки. Найдите вероятность того, что: а) все точки окажутся в меньшем шаре; б) вне меньшего шара окажется ровно одна точка; в) ни одна из точек не окажется в меньшем шаре; г) хотя бы одна точка окажется в меньшем шаре. •23.16. Даны две концентрические окружности с радиусами 1 и 2 соответственно. На меньшей окружности отмечена точка Р. В кольце между окружностями наудачу выбраны точки Л и В. Найдите вероятность того, что: а) отрезок АР имеет с меньшей окружностью только одну общую точку Р; б) отрезки АР и ВР пересекают меньшую окружность в точках, отличных от точки Р; в) хотя бы один из отрезков АР и ВР пересекает меньшую окружность в точке, отличной от точки Р; г) оба отрезка АР и ВР имеют с меньшей окружностью только одну общую'точку Р. 023.17. В соответствии с техническими нормативами вероятность выпуска стандартной детали без дефектов оценивается в 95 %. Найдите наивероятнейшее число бракованных деталей среди п выпущенных деталей, если: а) л = 1119; в) л = 20т -I- 19; б) л = 1120; г) л = 20(т + 1). •23.18. Вероятность опечатки на одной странице оценивается в 1 %. Оцените общее количество л напечатанных в типографии страниц, если число страниц с опечатками оказалось равным: а) 5; б) 10; в) 20; г) 100. 023.19. В л испытаниях Бернулли наивероятнейшим числом успехов оказались числа k и k + 1. Найдите вероятность успеха в одном из этих испытаний Бернулли, если известно, что: а) л = 9, А = 7; в) л = 999, k = 699; б) л = 99, А = 70; г) л = 999, А = 7. 156 023.20. В п испытаниях Бернулли наивероятнейшим числом успехов оказалось единственное число А. Оцените, в каких пределах может находиться вероятность неудачи в одном из этих испытаний Бернулли, если известно, что: а) л = 9, А = 3; в) л = 99, А = 30; б) л = 999, А = 300; г) л = 99, А = 3. § 24. Статистические методы обработки информации в задачах 24.1—24.5 рассматриваются оценки, которые получили студенты одной группы на экзамене по истории. Оценки таковы: 4342345334 3454524452 024.1. а) Сколько получено двоек, т. е. какова кратность варианты 2? б) Какова кратность варианты 4? в) Перечислите все варианты полученного ряда данных. г) Выпишите сгруппированный ряд данных. 024.2 а) Составьте таблицу распределения кратностей вариант. б) Нарисуйте многоугольник распределения кратностей. в) Составьте таблицу распределения частот и нарисуйте многоугольник распределения частот. г) Для процентных частот нарисуйте гистограмму распределения с шириной столбцов, равной 1. 024.3. Вычислите: а) размах; б) моду; в) медиану; г) среднее ряда данных. •24.4. а) Найдите отклонения вариант от среднего значения. б) Проверьте, что сумма всех отклонений равна нулю. в) Найдите квадраты отклонений и сумму квадратов отклонений от среднего значения. г) Вычислите дисперсию и среднее квадратичное. 157 #24.5. Отметки «2* и «3» не позволяют получать стипендию, будем считать их «нулевыми» (для получения стипендии). Отметки «4» и «5» будем считать «единичными». Для распределения отметок по категориям «нулевые» и «единичные»: а) составьте таблицы распределения кратностей и частот; б) пострюйте гистограмму распределения с шириной столбцов, равной 1; в) вычислите моду и среднее значение; г) вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение. 024.6. В специализированном спортивном магазине продается 50 видов велосипедов. Они распределены по цене так (граничную цену относят к более дорогой категории): Цена (тыс. руб.) до 3 3—6 6-9 9-12 12—15 > 15 Кол-во видов 3 8 19 ? 11 2 а) Сколько видов велосипедов стоят от 9 до 12 тыс. р.? б) Какова частота очень дорогих (> 15 тыс. р.) видов велосипедов? в) Какова процентная частота относительно дешевых (< 6 тыс. р.) видов велосипедов? г) Какова процентная частота моды проведенного измерения? 024.7. В сводной таблице распределения данных некоторого измерения остались пустые места: Варианта № 1 № 2 №3 № 4 Всего: 4 варианты Кратность 5 Сумма = Частота 0,45 0,1 Сумма = Частота, % 25 20 Сумма = % а) Какой столбец можно сразу заполнить, исходя из этих данных? б) Какую строку можно заполнить после выполнения пункта а)? в) Заполните всю таблицу. г) Укажите моду распределения. 158 024.8. В сводной таблице распределения данных некоторого измерения остались пустые места. Заполните их. Варианта № 1 №2 № 3 №4 № 5 №6 Всего: 6 вариант Кратность 291 113 Сумма = Частота 0,122 0,193 Сумма = Частота, % 29,1 20,2 7,9 Сумма = % •24.9. Требуется восстановить сводную таблицу распределения данных некоторого измерения по следующей информации; Варианта № 1 № 2 № 3 Л6 4 Всего: 4 варианты Кратность к 2к Сумма = 100 Частота Сумма = Частота, % Зк к^ - 7к - 33 Сумма = % а) С какого столбца следует начать восстановление данных? б) Составьте уравнение, связывающее данные, выбранные в пункте а). в) Решите это уравнение и найдите значение k. г) Заполните всю таблицу. •24.10. Дана сводная таблица распределения результатов некоторого измерения: Варианта № 1 № 2 № 3 № 4 Всего: 4 варианты Кратность X У X + у Сумма = 50 Частота Сумма = Частота, % 23х - 105 у^-у-70 Сумма = % а) Найдите х. б) Найдите у. в) Восстановите всю таблицу. г) Найдите моду этого распределения. 159 Ниже, в задачах 24.11—24.16 рассматриваются результаты, которые получили выпускники одной из школ на сочинении. Выставлялись две оценки: первая — по литературе, вторая — по русскому языку. Оценки таковы: 5/4 4/5 3/1 4/3 2/3 3/3 4/3 5/3 3/3 1/2 4/4 4/2 2/1 3/5 3/4 4/3 5/5 4/4 5/4 2/2 2/3 4/3 5/4 2/3 3/3 024.11. Для оценок по литературе: а) выпишите сгруппированный ряд данных; б) составьте таблицу распределения кратностей; в) постройте многоугольник распределения процентных частот; г) найдите среднее. 024.12. Для оценок по русскому языку: а) выпишите сгруппированный ряд данных; б) составьте таблицу распределения кратностей; в) постройте многоугольник распределения процентных частот; г) найдите среднее. 024.13. Для суммы оценок по литературе и русскому языку: а) выпишите сгруппированный ряд данных; б) составьте таблицу распределения кратностей; в) постройте многоугольник распределения процентных частот; г) найдите среднее. 024.14. Найдите размах, моду и медиану: а) оценок по литературе; б) оценок по русскому языку; в) суммы оценок по литературе и русскому языку; г) модуля разности оценок по литературе и русскому языку. 024.15. а) Вычислите среднее квадратическое отклонение для оценок по литературе. б) Вычислите среднее квадратическое отклонение для оценок по русскому языку. в) По какому предмету оценки, в среднем, выше? г) По какому предмету оценки имеют более устойчивый характер? 140 024.16. Итоговая оценка за сочинение (см. с. 160) была выставлена по инструкции: «2*, если сумма оценок меньше 5; «3», если сумма оценок равна 5 или 6; «4», если сумма оценок равна 7 или 8, и «5» — в остальных случаях. а) Определите число итоговых двоек. б) Определите число итоговых пятерок. в) Составьте таблицу распределения итоговых оценок. г) Нарисуйте гистограмму распределения итоговых оценок. 024.17. После урока по теме «Статистика» на доске остался ответ «Среднее значение равно 12» и таблица: Варианта 3 8 Кратность 26 13 11 а) Какое число должно быть записано в пустой клетке? б) Укажите размах, моду и медиану распределения. в) Допустим, что среднее значение равно М. Что тогда должно стоять в пустой клетке? г) Может ли в ответе для среднего значения стоять 15, если все варианты — целые числа? •24.18. После урока по теме «Статистика» на доске остался ответ «Среднее значение равно 10» и таблица: Варианта 4 7 11 Кратность 5 2 а) Какое число должно быть записано в пустой клетке? б) Найдите размах и моду распределения. в) Вычислите среднее квадратическое отклонение. г) Может ли среднее значение равняться пяти при каком-нибудь заполнении пустой клетки? •24.19. Таблица распределения кратностей имеет вид: Варианта 0 1 3 5 6 Кратность 19 2 Зх - 1 5 4х - 7 а) Выразите среднее значение через х. б) Как выглядит график зависимости среднего значения от X? в) Каким может быть число х, если модой является О? г) Может ли мода распределения равняться трем? 161 •24.20. Таблица распределения кратностей имеет вид: Варианта 0 1 3 5 6 Кратность 10 2х Зх - 1 5 X + 5 а) Выразите через х среднее значение. б) Как выглядит график зависимости среднего значения от X? в) Каким может быть х, если модой является 0? г) Может ли мода распределения равняться единице? § 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел в пунктах а)—г) задач 25.1—25.2 найдите значения п, к, р, q к выпишите (без вычислений) формулы для Р„(Л): 025.1. а) Вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 бросаниях монеты; б) вероятность появления ровно 3 «решек» при 10 бросаниях монеты; в) вероятность появления ровно 57 нечетных чисел при 100 независимых выборах целых чисел от 0 до 9; г) вероятность появления ровно 75 чисел, кратных трем, при 100 независимых выборах целых чисел от 0 до 9. 025.2. а) Каждый из 50 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачным» днем считается понедельник. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно половина? б) Каждый из 100 человек независимо называет один из дней недели. «Удачными» днями считаются суббота и воскресенье. Какова вероятность того, что «неудач» будет 33? в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 175 бросаний из 293 будут «удачными»? г) Одновременно бросают три различные монеты; «неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» в тысяче независимых бросаний? в пунктах а)—г) задач 25.3—25.5 следует заполнить пропуски в приведенных формулах для подсчета вероятностей по теореме Бернулли, если известно, что вероятность р «успеха* не меньше вероятности q «неудачи*: 25.3. а) Р,о(3) = С? 0,6- б) Р,о„(99) = q 0,Г Г; 025.4. а) Р,(5) = С1а 0,7’ Г; б) Р,(?) = q 0,6’ ?“; 025.5. а) Р,(?) = ? 0,3’ 0,7*; б) Р,(?) = ? 0,01“ 0,99: в) Р„(5) = q 0,3’ ?’; г) Р,«„(0) = 0,2’. в) Р,„(?) = q 0,5’; г) Р«,(?) = 0,7’. в) Р,(?) = ? 0,6'^ ?“; г) Р,(?) = 0,1'“. '25.6. Объясните, какие ошибки допущены в формуле: а) Р,о(3) = 120 0,6’ 0,7»; б) Р,оо(99) = 100 0,9““ 0,01; в) Ра,(2) = 180 0,8’ 0,2‘“; г) Р,„,„(1) = 0,2"»»? Г25.7. По таблице значений функции ср найдите: а) ф(1), (р(2), <р(3): в) <р(0,1), <р(1,1), Ф(2,1); б) <р(0,5), <р(1,5), (р(2,5); г) ф(0,9), ф(0,99), <р(1,99). .>25.8. Используя таблицу значений функции ф, найдите приближенное значение х, если известно, что: а) ф(х) = 0,1781; в) ф(х) = 0,3988; б) ф(д:) = 0,1006; г) ф(х) = 0,0116. >25.9. Найдите jr > 0, для которого значение ф(х) ближе всего к заданному числу: а) 0,33; б) 0,333; в) 0,1; г) 0,01. • ^5.10. Вероятность рождения мальчика примем равной 50%. Найдите вероятность того, что среди 400 новорожденных будет ровно: а) 220 мальчиков; в) 210 мальчиков; б) 180 девочек: г) 300 девочек. • -'5.11. При входе на выставку аттракционов стоит урна с че- тырьмя черными и одним белым шаром. Входящий вытаскивает шар и потом возвращает его обратно. Если шар окажется белым, то посетитель проходит на выставку 163 бесплатно, а если черным, то покупает билет. С помощью таблицы значений функции <р найдите приближенно (с точностью до четвертого знака после запятой) вероятность того, что из 2500 посетителей бесплатно пройдут ровно: а) 1000; б) 500; в) 450; г) 510 человек. •25.12. Один из этапов отбора участников для игры «Ну и счастливчик!» организован так. Ведущий записывает прюиз-вольную цифру от о до 9. После этого очередной участник вслух произвольно называет свою цифру от 0 до 9. Если цифры совпали, то участник проходит на следующий этап. С помощью таблицы значений функции (р найдите приближенно (с точностью до четвертого знака после запятой) вероятность того, что из 10 000 игроков на следующий этап пройдут ровно; а) 2000; б) 1000; в) 970; г) 900 человек. 025.13. По таблице значений функции Ф найдите; а) Ф(1), Ф(2), Ф(3); в) Ф(0,1), Ф(1,1), Ф(2,1); б) Ф(0,5), Ф(1,5), Ф(2,5); г) Ф(0,9), Ф(0,99), Ф(1,99). 025.14. Используя таблицу значений функции Ф, найдите приближенное значение х, если известно, что: а) Ф(х)=0,3461; в) Ф(х) = 0,004; б) Ф(х) = 0,4441; г) Ф(-д:) = 0,4904. 025.15. Найдите х, для которого значение Ф(дг) ближе всего к заданному числу: а) 0,33; б) 0,46; в) 0,1; г) 0,49. 025.16. Вероятность рождения мальчика примем равной 50%. Найдите вероятность того, что среди 900 новорожденных будет; а) от 400 до 450 мальчиков; б) не менее 440 мальчиков; в) от 430 до 470 девочек; г) не более 460 девочек. •25.17. (Продолжение задачи 25.11.) Какова вероятность того, что из 2500 посетителей бесплатно пройдут: а) от 500 до 1000; в) от 500 до 520; б) от 400 до 600; г) от 490 до 510? 164 #25.18. (Продолжение задачи 25.12.) Какова вероятность того, что из 10 000 участников на следующий этап пройдут: а) от 500 до 1000; в) от 800 до 1200; б) не более 970; г) не менее 2000? 025.19. Известно, что из всех поступавших в университет абитуриентов в среднем 60% набрали на экзаменах более 20 баллов. Какова вероятность того, что из 100 случайно выбранных абитуриентов более 20 баллов набрали: а) от 50 до 70 человек; в) не более 60 человек; б) не менее 20 человек; г) более 69 человек? #25.20. В большом десятиэтажном доме на каждом этаже живет одинаковое количество жильцов. Какова вероятность того, что из 150 случайным образом опрошенных жильцов этого дома: а) на первом этаже проживают не менее 15 человек; б) на последних двух этажах проживают не более 30 человек; в) на четных этажах живут от 70 до 80 человек; г) выше четвертого этажа живут более 99 человек? I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ г Уравнения и неравенства, т f Системы уравнений Г и неравенств* Г| I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I г § 26. Равносильность уравнений 26.1. Равносильно ли уравнение 2' = 256 уравнению: в) - 24д: = 0; 16 а) logjx = 3; б) - 9х + 8 = О, г) = 2? 26.2. Равносильно ли уравнение зшд: = 0 уравнению: а) cos X = 1; в) cos 2х = 1; б) tg JC = 0; г) у/х - 1 ■ sin д: = о? 26.3. Придумайте три уравнения, равносильных уравнению: а) 1 = 3; в) Igx^ = 4; б) COSX = 3; г) X* = -1. 26.4. Укажите уравнение-следствие для уравнения: а) \/7х + 3 = х; в) sin (л - х) • ctg х = -0,5; б) logjCx - 1) - logjX = 0; г) - xj • tg х = 0. 26.5. Объясните, почему равносильны уравнения: а) х^' - 12х^ + 1 = о и X®' + = х^ б) ^х^ - 2х - 3 = 2 и х" - X -2 =332 26.6. Равносильны ли уравнения: а) yj2x^ + 2 = yjx* + 3 и 2х^ + 2 = х* + 3; б) ^sin^x + 1 = 1 и sin^x = о? * Во всех заданиях этой главы предполагается, что переменные принимают только действительные значения. 26.7. Равносильны ли уравнения: а) Щ = 1 и sfx + 4 - X = 0; б) ■ 2‘‘yj2 = 4 и х‘*-^ + 2=2? 26.8. 026.9. 026.10. X* + Зх - 1 X* + 1 ainx + 1 sinx + 2 = 3 и X* + Зх - 1 = Зх^' + 3; = 0,5 и sinx + 1 = 0,5 sinx + 1? Докажите, что уравнение не имеет корней а) V3x - 5 = V9 - 7х; б) Vx" - 4 + Vl - х* = 4. а) lg(x* - 9) + lg(4 - X*) = 1: б) lg(x=> - Зх) - lg(2x - X*) = 0,5. Решите уравнение: 026.11. а) yjlx - 6 = х; б) X + 3 = у12х + 9; в) V6x - 11 = X - 1: г) -X - 5 = yjlx + 23. 026.12. a) Vx* - Зх - 1 = x‘ 6) - Зх - 1=1 026.13. a) - 5x* - 2,5x 6) - 5x* - 2,5x b) 7x^ - Зх* - l,5x r) 7x* - Зх* - l,5x в) у1х* + X - 9 = 1 - X*; г) у1х* + X - 9 = X* - 1. 026.14. а) (X* - 9)(V3 - 2х - х) = 0; б) (х“ - 16)(n/4 - Зх - х) = 0. 026.15. а) sin2x ■ \/4 - х* = 0; б) (cos 2х - 1) ■ V9 - X* = 0; в) (cos^ X - sin* х) • yj\ - X* = 0; г) tgx • Vl6 - X* = 0. U7 •26.16. Найдите целочисленный корень уравнения: „ч 1ой2(7 + 6х - х^) - logjljc - 2) _ 10х - 24 - -------- б) 1оец(б + Ьх - х^) X* - 9л- + 20 = 2'^. •26.17. а) Найдите сумму натуральных значений параметра а, при которых уравнение (Vx - 4 - 2)(х - а) = 0 имеет единственный корень. б) Сколько имеется натуральных значений параметра а, при которых уравнение (log3(2x - 11) - 1Кх^ - а^) = 0 имеет единственный корень? § 27. Общие методы решения уравнений Будет ли уравнение вида h{f(x)) = h(g(x)) равносильно уравнению вида f{x) = g(x)? 27.1. а) • в) ^7 - X = ^5х + 1; б) (3x2 _ 2)4 =^Jc- 3)4; г) Igi = lg(2x - 7). X 27.2. а) (2х* + 1)‘ = (1 - х’)‘; б) logo 2 (2 sin X - 1) = logo,2(3 - sin*x); в) il2’ - 1 = ^5-3 2'; г) cos(3'' - 1) = cos(3 - 9'). Решите уравнение: 027.3. a) 2'f^ _ 1 2 л/М; 6) 0,00001 = 0, 027.4. a) = 1: 6) . 3^ = i/Ш. 027.5. a) logaCx^! - lOx + 40) = log, (4x - 8); 6) logo.8 (9x - 4x“) = logo,o(x* + 4x=“); b) 2;, _ 2 i„„ л: + 1. 4 ^'^x-f2’ r) logo.1 yl5x - 6 = logo., - 2. 1«8 Решите уравнение: 027.6. а) (х^ - 6х)‘ = (2х - 7)®; б) (V6x - 1 + l)“ = (V6x + 8)°: в) (2^^ + 16)“ = (10 2')“; г) (logl,x- 2)» = (2 logo,, X + 1)’. 027.7. а) sin^3x + | j = sin ^х - ^ j; в) cos ^ X - j = cos ^ 2x + j; r) ctg 2x = ctg 3x. 027.8. a) 2**"® - 8'*' = 0; 6) 27®-'* - 3^-' 027.9. a) = (2>/2 + if - 9; 6) 3" 3V§ = #. V3 027.10. a) ШТ’ = 1^; 6) (V2) = —. 2 027.11. a) log2(7x + 9) - log, (8 - x) = 1; 3 3 6) log,j(3x - 1) + log, j(3x + 1) = log, 2 8. Решите уравнение методом разложения на множители: 027.12. а) х^ - 9т' + 20х = О, в) х® + 8х" + 12х' = 0; б) х^ - Зх^ - 4х + 12 = О, г) х’ + х^ - 9х - 9 = 0. 027.13. в) - Зч/х» - 18ч/х = 0; б) Vx* - 2Vx* - 15 - 6 = 0; в) V = cosx, [0; +оо); г) logjX = sinx, (0; 3]? в) х“ + 2х^ + Зх + 6 = 0; г) X® + 4х^ - 24 = 0. 027.28. а) (х - 1)^ + 36 = 13(х^ - 2х + 1); б) (2х + 3)' - 9 = 8(4х^ + 12х + 9). 027.29. а) (х^ - 5х + If - (х - 2Кх - 3) = 1; б) ((X - 2)(х - 4))’“ + 2(х - З)’^ - 2 = 0. 027.30. а) х(х - 1Кх - 2)(х - 3) = 15; б) (X - 1)х(х + 1)(х + 2) = 24. 3 027.31. а) б) 1 + X + х^ х“-х = 3 - X - х"; X* - X + 2 х-2 = 1. 027.32. 027.33. 027.34. 027.35. 027.36. •27.37. 027.38. а) sin^x + cos^2x = 1; б) cos^ Зх - sin^ Зх - cos 4х = 0. а) cos 5х + cos 7х - cos 6х = 0; б) sin 9х - sin 5х + sin 4х = 0. а) cos 6х - cos 2х + cos 8х - cos 4х = 0; б) sin Зх - sin X + cos Зх - cos х = 0. а) 3 tg^ X - 8 = 4 cos^ х; б) 4 sin^ X = 4 - 9 tg^ X. а) sin® X - sin® х cos х + 3 cos® х = 3 sin х cos ® х; б) sin® X + 5 sin® X cos х = 6 cos® х. а) sin X cos X - 6 sin X + 6 cos x + 6 = 0; б) 5sin 2x - llsin x = llcos x - 7. а) 8''' - 3 4" - 3 • +8 = 0; б) - 6 • + 2“«»‘®® = 0. Решите уравнение: \*х х-г •27.39. а) 2* 5 * = 50; в) 3"' 625" ‘ = 225; 3 2»г б) 3' 2' = 24; г) 5* 2 " = 40. 027.40. а) logo 2 - 4 = logoa*; , б) log, 73х^ - 7х + 9 = log, (х + 2); в) logo (jc - 1) = logo V&c - И; г) logo,4 X = logo< + X. 027.41. a) log^ jx + 12 = 71ogjX; 6) logj^x - 61og, yfx + 8 = 0; 7i b) 91ogJx = lllogjX + 12; 027.42 027.43, r) ^logjX + 11 = 31og„x - 1. a) log,,,(x2 - 3r + 1) = 1; 6) log,(2x2 - 3x - 4) = 2. a) In(0,2" - 7) = In(9 - 3 0,2"); 6) 9'^"" - 12 3'**"' + 3'°»"” = 0; b) . 1 = (p-')'*'"*»; e r) logo (2 + 3 ■ 5‘") = X + 1. 027.44. a) = (O,!)'"'^*'**''; 6) lg(9" + 3"*‘ - 1) - lg(3" - 2 9") = 0. 027.45. a) logjodgCx + 1) - 1) > = logo,,(31g(x + 1) - 1) - 7 - logo,(lg(x + 1) + 3); 6) log j(3x - 2V3X- l) = 21ogз(2^/Зx^ + l). 027.46. a) lg2 X - 5|lgx| = 0; 172 6) In2x-|i5i^ = 0. |lnx| Решите уравнение: 027.47. а) log^jX - 3|log„^xl + lofooX = О, б) Ig^x - 9|lgx| - Igx = 0. 027.48. a) log, (2 sin x - 1) = log, (2 - sin^x); e i 6) logo (2 cos^ X - 1) = logo (-11 cos X + 5). 027.49. a) logjSinx = log2(-cosx); 6) logjcosx = loga(-sinx). 027.50. a) >/x sin X logo X = 0; 6) V3x + 1 cos 2x Igx = 0. 027.51. a) ^^'-'^sinx - ^ jlog„,o(x + 4) = 0; 6) (sin 2x + cos 2x)(x - SV2x - 15) = 0. 027.52. a) 1 + x^ = j ; 6) 3 - x^ = 2" . 027.53. a) 2 - X - Vx = 0; 6) logjX - 1 + (x - 5)® = 0. •27.54. a) sin —x = x* - 4x + 5; 6) -cos 7nx = x^ - 6x + 10. 4 •27.55. a) Vx^ - 2x + 2 + log^ - 2x + 10 = 2; 6) (x - 7)® + logo Vx^ - 14x + 74 = 1. >27.56. a) log2(x=* - 4x + 8) = sin ^ - cos 6) logaix* + 4x + 13) = cos Jtx - sin >27.57. a) In^ (x^ - 3x - 9) + Vx* - 8x - 8 = 0; 6) arctg^(x® + 2x“' - X - 2) + ^x* + x^ + 2x^ - x - 3 = 0. 173 Решите систему неравенств; 028.8. а) Г Зх ч- 5 ^ 10 - Зх ^ 2х + 7 _ g 7 5 3 ’ 7х _ 11(х + 1) ^ Зх - 1 _ 13-х. i 3 6 3 2 ’ [2х - 11 ^ 19 - 2х 4 2 < 2х, 2i±i5 > - 1) + |. 028.9. а) |х® < X, 13х^ - X > 5 - 15х; 24 028.10. а) I X + 2 (х + 2)= -Зх < 9; < О, [х^ - 1,5х - 7 б) I (X - \х‘ < 25. > О, [х + 5 X - 7 I Зх Ч- 4 [4х - 2 < 1. > -1. 028.11. а) б) Решите совокупность неравенств: х^ - 4 > О, X - 6 < О; (X ч- 3)“ > 27, 4х - 1 < 12х; ^ Гх(х + 1) < О, [зх - 9 > 0: Г(х ч- ЗКх^ - Зх ч- 9) < 54, [х^ - 9 > 0. 028.12. а) 2х - 3 X + 3 5х ч- 1 4х - 2 2 X ч- 3 3 .X - 2 > О, < 0; Г(х ч- ЗКд: - 1) > О, [2 - х^ < 0: V < 25, X- 1 .л + 3 < 0. 175 028.21. 028.22. 028.23. 028.24. 028.25. Решите неравенство методом введения новой переменной; а) 3"' - 2 3' - 3 > О, б) 2 52* - 5' - 1 < 0. а) 3'"* 2‘-* + 3* 2* < 10,5; б) 2' • 5'-* + 2*"' • 5 * > 2,8. а) ^ - 2 > 0; а) 3* + 3 **' < 4; а) \oglx - 71ogjX + 12 < 0; б) 31og2 X - 10 log, X -I- 3 > 0. б) ^ - 6'^ -ь 8 < О. б) 25 * - 50 > 5 **'. 028.26. а) log^(x - 1) -i- SlogjCx - 1) + 2 > 0; 5) 9io«oj^ _ 4 3i«ojx ^ o,l'”*»-‘® < 0. 028.27. a) 2 sin^ x - 3 sin x -i- 1 < 0; 6) cos^ X - 5 cos X + 4 < 0. Решите неравенство, применяя функционально-графические методы; 028.28. а) 3* > 12 - 1,5х; б) 3* > \[х-, 028.29. а) logj х < 6 - х; б) log.,x > X»; 028.30. 028.31. а) Ig X < -5- - 1; в) 3* < 12 - 1,5х; г) 2* < >/х. в) logj X > 6 - х; г) logaX < хК б) log. eX > i - 1. Найдите область определения функции; а) I/ = J9 - х2 log,(2-x)’ Решите неравенство; б) у >/х2 - 4 logg(x - 3)' 028.32. а) х^ + 1 > cosx; в) х^ + 1 < cosx; б) sinx < -^х + 1 j - г) sinx > -^х + 028.33. а) 3“'* > cosx; в) 3“"^* < cos х; б) Vx^ + 1 < cosx; г) л/х^ + 1 > sinx. 177 028.44, 028.45. Решите неравенство: >/2дс + 4 у]2х + 4 . яч л/тТбж ^ V7 + 6х 7''-* ’ О.^*' 0,3'*' ■ а) (sin''* + lXlg(2x - 3) - 2) < 0; б) Шх - 1 + 5)(5'“-' - 0,2) > 0; в) созх(2'*’ + З"'^) > 0; г) (2 - V3* + l)(logg.s(3* - 6) + 2) < 0. 028.46. а) j > 7-"'*": в) (3 >2» < 3<».2x-o.5. б) 0,3^'-* <1; г) lO*"'*-^' 0,1 > (10 028.47. а) lg(0,2' - 5) < log„, (95- 3 0,2*) б) logo, (Зч/Зх + 1 - 2) > 0,25 logo., n/Зх + 1 lg(0,l^). 028.48. 028.49. •28.50. •28.51. •28.52. •28.53. •28.54 •28.55 а) ^6-4 1пх. а) log, (21 - 4х) > 2; б) log,, з(х" - 10х + 9) < 2. log,,j(x" - 4х + 1) > log„.ol. х-в (12х“ - 16х^ - 7х + 6Klog, (4 - 2х) + log3(x + 2)) > 0. 3 logglog,logj,,g((7x + 6)* + х^ - X - 56) > 0. (х^ - X + 1)*'^ < (х“ - X + If. а) ^sinx - 1 < 4 - х“; б) yjooex - 1 > х“ - 49. а) eiogalx - 1| < 14 + 2х - х"; б) log2(x" + X - 10) > 25 - 2х - 2хК 17» Решите неравенство: •28.56. а) ^4 - log;,5х < ^log^х - \ + ^6 - logg^:^; б) yfog^^ < Vi°8T243z - ^log^ •28.57. а) - 3^ > q. IQx^ - 17х - 6 .. - X - 1)» - 2(*» - - ж) - Зг^ ^ „ iOx^ -■ 43ж^ - 9х^-------- ^ •28.58. 58. а) (ж^ + 8ж + 15)logo..,+ cos*'^ j > 1; б) (10ж - х‘ - 24)logof4 sin^ у + 11 > 1. § 29. Уравнения и неравенства с модулями Решите уравнение: 29.1. а) |х| = 7; в) |ж + 5| = 7; б) |ж - 8| = 7; г) |5ж - 2| = 1. 29.2. а) |ж + 2| = -7; в) |ж + 8| = 2 - л/7; б) |ж + 5| = -2 + ч/7; г) |ж + 5| = 3,14 - л. 29.3. а) = 1; в) - 2; |х - 3| 1 2 - X 1 б) = 4; г) IV^I = 3. \4х + 1| 1 3 + X 1 029.4. Решите уравнение для каждого значения параметра р: а) |2ж + 1| = р; в) |2х + 1| = -1 - 5р; б) |ж=“ - 11 = (р - 1)р; г) |ж^ - 1| = 4(р - 1) - рК #29.5. Для каждого значения параметра р определите число корней уравнения: а) |ж + 1| = 2 - р; в) |2 - х| = 1 - 2 sin р; б) |2ж - ж“| = logjp; г) |х^ - 1| = Ig-^. Р - 1 180 •29.6. а) Найдите все значения параметра р, при каждом из которых существует только один корень уравнения |х - If = р, удовлетворяющий неравенству > 4. б) Найдите все значения параметра р, при каждом из которых существует корень уравнения |х - 1| = р, удовлетворяющий неравенству х^ > 4. в) Найдите все значения параметра р, при каждом из которых ни один корень уравнения |х - 1| = р не удовлетворяет неравенству > 4. г) Найдите все значения параметра р, при каждом из которых уравнение |х - 1| = р имеет корни и все они удовлетворяют неравенству х^ > 4. 029.7. Докажите, что уравнение |Дх)| = Л(х) равносильно сис-(ГАх) = ЛМ, теме s[f(x) = -Л(х), [й(х) > 0. Решите уравнение: 029.8. а) |2х -3| = x; b) l2x - 2l = 5x -H 1; б) |3х -ll = X -b 9; r) l4x + 31 = -6x - 7. 029.9. а) -xl = 4x; b) Ix^ - 6x lOl = x; б) |2х - x“ -b 31 = X -b 7; r) -X* + 4x - 51 = -X. •29.10. а) |log ^1 = log2<2x - 3); б) |log (3x - 2) + logj (2x -1)1 = log, (2x - 1): в) |log (X - 3)1 = log5<4x + 1); г) |log (2x - 7) - log, (x - 11)1 = log,(x - 11). •29.11. а) |cos x| = sin x; b) lain 2x1 = COS x; б) |cos 3x1 = -cosx; r) IsinSxl = -sin X. 029.12. Докажите, что уравнение |/(х)| = |Л(х)| равносильно со- [; 181 [Ах) = Л(х); вокупности уравнений Решите уравнение: 029.13. а) \х^ - 5х| = 4|х1; б) |2х - + 3| = |х + 3|; в) |х^ - 6х + 10| = |х + 10|; г) |-х^ + 4х - 8| = 21-х| . 029.14. а) |х - 5| + 4|х| = 17; в) |х + 10| - 2|х - 10| = 11; б) 2|х - 5| - |х + 6| = 7; г) 3|4х - 5| = 2|-х| + 1. 029.15. Докажите, что уравнение |/(х)| + |Л(х)| = О равносильно , \Пх) = О, системе уравнении < 1л(л:) = 0. Решите уравнение: 029.16. а) |х2 - 4х + 3| + |х“ - 5х + 4| = 0; б) |зт^-^и1^+^-2| = 0; 1х*(х + 1) X + 2| ' в) |х^ - 2х| + |2х2 - 5х + 2| = 0; г) Зх |2х + 1 х»(х + 6) 029.17. а) |1 + logjxl + |l - у!^\ = 0; б) |log5(2x= - х) + logjxl + U + |х^ - 6х - 7| = 0. •29.18. а) Isinxl + cos— = 0; I 2| б) |sin3x + cos3x| + |cos6x| = 0; в) |cos2xl + |sin4x| = 0; г) |V3sin3x-cos3x| + |l - сов^бх - | j| = 0. •29.19. Докажите, что уравнение |Дх)| + |Л(х)| = f{x) равносильно \h(x) = О, Пх) > 0. 182 i •29.20. Решите уравнение: X + 4 в) —-—+ |sin27tx + sin;tx| =---------- X - 1 X - 1 г) —^ + l3sinx - sin3x| = -т^. |sinx| smx •29.21. Докажите, что уравнение |Дх)1 + |Л(х)| = f(x) + Л(х) равно- \т > о, сильно системе < ., , ^ „ [Л(х) > 0. •29.22. Решите уравнение: а) |х* + 2х - 3| + l-x** + 2х + 8| = 4х + 5; б) I— - ^1 + \-Ч - 2| = ^ - X - 2; I |л:-1 I X - I х-1 в) |х* - 4х| + l5x* - х^| = 5х^ - 4х; |х + 1 . .1 . |4-х 0-.I .1 о„ . 5 + 4 + - Зх = 4 - Зх + -. •29.23. Докажите, что уравнение |/(х)| + |Л(х)| = |/(х) + Л(х)| равносильно неравенству f{x) ■ Л(х) > 0. •29.24. Решите уравнение: а) jx* + 4х| + |-х^ -ь 9| = l4x + 9|; б) li^±i)!_x-lM^-2l = |^^^ + ^-x-3|; в) |х^ -h Зх^ - X - 3| -ь |2х=' - х^ + 7х + 4\ = |5х^ -ь 6х -н 1|; г) |i-±2 + 4I -I- - Зх - з| = |l - Зх -н —Ц-1. |х + 1 ||х-н1 II х-ь1| 183 •29.25. Решите уравнение: а) |2sinx + 1| + |-1 + 2cosxl = 2|sinx + cosx|; б) Igx - 3 + 1 iil£ + ll£-I 4 4 112 П I 4 2 в) |2sin 2x - >/з| + |\/3 + 2cos х| = 2|sin 2x + cos x|; Г) |2 - lgx| + |log, (r* - 7x + 7) - 2| = [logs (x^ - 7x + 7) - lgx|. Решите неравенство: 29.26. a) |x| < 7; 6) |x + 5| > 7; 29.27. a) |x + 21 < -7; 6) |x + 8| > 2 - ,/7; 029.28. a) |3x - 9| > 6; 6) |4 - 2x| < 16; . b) |x - 8| < 7; r) |5x - 1| > 1. B) |x + 5| < -2 + ч/7; г) lx + 5| > 3,14 - л. в) l5x + lOl < 7; г) |9 + 3x1 > 12. 029.29. a) Докажите, что при а < О множество решений неравенства 1Дх)1 > а совпадает с множеством D(f) — областью определения выражения f(x). б) Докажите, что множество решений неравенства 1Дх)1 > > g(x) совпадает с множеством решений совокупности Г/(х) > g(x); \f(x) < -g(x). 029.30. а) |х б) Решите неравенство: 41 > -1; yll2x Vx’' - 2х - 8 > ^^2 + - v/lO. 029.31. а) l2x - ll > х; б) 14х - 121 + |5х - 151 > 9х - 9; в) 13х - 41 > X -I- 1; г) 112х -ь 41 19х + 31 > -7х. 029.32. Решите неравенство: а) \х - > 3; X + 2 б) I--3I- ^ >2: X + 2 X - 1 > 5. г) —5— + —5— • |х^ + X - 2| > 1. IX + 2 X - 11 029.33. Докажите, что множество решений неравенства |Дх)| < < g(x) совпадает с множеством решений системы |/(х) < g(x), \f(x) > -g(x). Решите неравенство: 029.34. а) |х + 1| < 2х; б) |2х - 11 + 1бх - 31 < 12; в) 116 - 8x1 < 4х + 2: г) ll2x + 41 + 19х + 31 < 28. 029.35. а) X - - < 3; б) к - - ■ НЧ < 7; X X - 2 1 —5— - X 2\ ^ 1_. “Мх + 2 X - 1 2’ г) X + 2 X - 1 X + 2 X - 1 5х + 4 029.36. Докажите, что множество решений неравенства 1/(х)1 < < 1Л(х)1 совпадает с множеством решений каждого из неравенств: а) ГЧх) < ННх); б) (/(X) - Л(х)Х«х) + Л(х» < 0. Решите неравенство 029.37. а) |5х + 3| < |2л; - 1 б) |9х + 1| > |5 - 9х в) |3 - 7х| < |х + 5|; г) |х - 3| > |2х + 3|. 029.38. а) \х^ - 7х + 3| < |2х'' + 5х - 10|; б) |х“ + Их - 6| < 10|х|; в) lx* + Зх - 5| > lx’* - 7х + 5|; г) |5х“ - х1 > |х - 5| • |х + 2|. 029.39. а) > 11 + х\; в) 1 - i < 2 + i ; > |1 - х|; г) |х - < |2х* - ^1. 029.40. а) Докажите, что неравенство |Лх)| > /(х) выполняется для любого X из области определения выражения /(х). б) Докажите, что неравенство |/(х)| > f(x) равносильно неравенству Дх) < 0. Решите неравенство: 029.41 а) |х» - х| > х^ - х; 1 б) X + в) ' г) |х - 2| - |х» - 4|| > > х + 1 |х - 2| - |х^ - 4(’ х“ - 4| X* - 4 1 X* - 2х*| - |х - 2|| |х* - 2х*| - |х - 2|' 029.42. а) |х^ + Зх - 1| > х^ + Зх - 1; б) |l - i| > I х| X в) |бх* + х| > 5х^ + х; г) |х| • |х - 7| > 7х - X*. 186 029.43. а) Докажите, что неравенство |Дх)| < f(x) не выполняется ни при каких значениях х из области существования f(x). б) Докажите, что каждое из неравенств |Дх)| < f(x) и |-Дх)| < f(x) равносильно неравенству f(x) > 0. Решите неравенство: 029.44. а) |х= -(- 4х - 5| < х^ -ь 4х - 5; б) |х - 2 - -I < - 2х - 3 I ^1 ^ в) 8х* -ь - < Sx^^ + i; • |х -н 2| < X \х + 2| - 1. 029.45. а) |5х -ь 7| < 8х - И; в) 15х -ь 7| < 14х" - 2; б) |5 - 4х| < 8х -t- 17; г) |5 - 4х| < И - 10x“. 029.46. а) Isjc - —I < 4х; 1 х\ в) |х-1|<«^/;^; |х - 1| ^ 17х - 39. 20х - 20’ |х - 2| . X - 2 |х + 2| X 029.47. а) |х^ -I- 7х - 7| < 2х -(■ 7; б) |-х^ + 5х -ь 1] < X* -ь 6х -ь 1; в) 15 - 4х - х^| < 7 - 6х - х^; г) |х® - х“ - 4х - 2| < -х^ - Зх - 2. 029.48. а) |7х - 11| > Зх -ь 5; б) |5х -ь 7| > Зх^ -I- Их - 2; в) |4 - х| > -Зх - 2; г) |5 - 4х| > 5 - 7х - Зх^ 187 Докажите, что множество решений неравенства |/(дс)| + + |4Г(*)| > \f(x) + ^(х)|совпадает с пересечением множеств D(f) и D(g). а) Докажите, что неравенство |Дх)| + |^х)| > \Пх) + ^х)| равносильно неравенству f(x) ■ g{x) < 0. б) Докажите, что неравенство |Дх)| + |g(x)| < \f(x) + g(x)\ равносильно неравенству f(x) ■ g(x) > 0. а) х^ - 4|х| + 3 > 0; б) (х^ - Зх)Ч |3х - х2| - 20 < 0; в) (X - 2)2 - 4|х - 2| - 96 < 0; г) (х2 - 5х)2 - 5|5х - х2| - 6 > 0. 029.56. Решите неравенство: 1 , 1 а) х2 + 4 X + - I х| 2| б) х2 + ^ + X + х‘ \ 1 . oL. 1 - 3 < 0: 16 < 0; в) х2 + 4- + 2|х - -I - 10 > 0; X I х| г) х2 + 4- - 4|х - -I - 2 < 0. X I х| •29.57. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственный корень: а) |х -н 1| -н 2|х - 1| = 1 - а; б) 2|х - 5| - 1х -I- 6| = 2а - 1. •29.58. Найдите все значения параметра t, при которых неравенство |х + 2[ + |х - 7| > 1 выполняется: а) для любых значений х; б) хотя бы для одного значения х; в) для любых значений х > 10; г) для любых значений х < 1. •29.59. а) Найдите все значения параметра 1, при которых неравенство |х -I- 2| + |х - 7| -I- |х + 4| > < выполняется: а) для любых значений х; б) хотя бы для одного значения х; в) для любых значений х < -7; г) для любых значений х > -1. •29.60. Найдите наименьшее значение функции у = /(х): а) f(x) = |х - 1| -ь |х - 2| -ь ... + |х - 10|; б) Ах) = |х - 11 + |х - 21 -н ... -(■ 1х - 91. § 30. Уравнения и неравенства со знаком радикала 30.1. Решите уравнение: а) Vx = 7; б) ^х + 1 = -1; Решите уравнение: 30.2. а) - Ах-Z = 3; б) -2х^ + 1 = 1; в) V36 - л; - 12л^ = 5; г) 111 - = 1. 030.3. а) л/х + 2 73х - 2 = 4; б) V(x + 2ХЗх - 2) = 4; в) у/х - 2 ■ yj3x + 7 = 4; г) 7(х - 2ХЗх + 7) = 4. в) W4tgi = 2; V 4 г) ^2sin3x + 1 = -1. 30.4. а) ^2sinx = 1; б) ^1- 2сов4х = у/2-у13; 030.5. а) Vlg(l - X) = 1; б) log„ ^6x=> - 25 = -1; в) фое^(х^ +3х - 24) = 2: '’) - 6х - 11 = -0,5. 030.6. Найдите все действительные значения а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один действительный корень: а) yjx - 4 = 2 - а; в) Vl6 - = а + 1; б) ^х^ - 2х - 7 = 1 - а; г) Vl - 4х - х^ = о. 030.7. Докажите, что уравнение yjf{x) = yjfi(x) равносильно каж- ^ lf{x) = h{x), \f{x) = h(x), дой из систем: < i ^ ^ 1Дх) > О, |Л(х) > 0. 030.8. Решите уравнение: а) yjx - 2 = V4 - х; б) Vx® -2x^ + 1 = yjx^ + х^ - 8х - 2; в) sl25-x^ = л/5х - 11; г) л/х* - X* = yj2 - X - х^. 190 т Решите уравнение: 030.9. а) Vsinx = Vcosx; в) ^2 - V3sin2x = yJcoe2xi б) yj2-tgx = Vctgx; г) 7^ = Vc^- 030.10. a) 7lg(l - X) = Tigx; 6) yj\ogo 2 yfx^ = 7logo.2'/3 - x; b) 71080.3 (1 - ■*) = V*°8o.3 *: r) 7logo,2 Vx - 1 = 7*ogo.2>/9 - •30.11. Решите уравнение с параметром а: а) \1х + 2 = yj2a - х; б) у1х - 2а = \1а + 2а - 5х; в) -Уба - 2х + 1 = >/бх - а - 7; г) V4 - X* = V4x + а. 030.12. Докажите, что уравнение 7/(х) = Л(х) равносильно си- |Ях) = Л*(х), стеме ^ р Решите уравнение: 030.13. а) Vx + 12 = х; в) л/5 + 12х - X* = X - 7; б) Vx® + x^ + l = х; г) Vx’ + х=* - 1 = X. 030.14. а) л/х* - Зх^ + 4 = х“ - 5; б) Vx* - Зх - 1 = х^ - 1; в) yjx* -Зх^ +4 = 5 - X*; г) Vx^ - Зх - 1 = 1 - х=“. 191 а) Vx + I - \I9 - X = -J2x - 12; б) -Jx - -Jx + \ + Vjc + 9 - Vx + 4 = 0; a) V2jc + 5 + VSx + 6 = -v/l2x + 25; r) Vs + ^ + Vs - ^ а) л/Зх" - 2x + 15 + л/Зд^ - 2x + 8 = 7; б) + X + 4 + Vx® + X + 1 = -J2x^ + 2x + 9; B) Vx^ - 3x + 3 + Vx" - 3x + 6 = 3; r) Vx'* + X + 7 + Vx^ + X + 2 = V3x^ + 3x + 19. a) Vx = X - 6; 6) Vx* + X = 2(x* + x) - 3; b) Vs - X = X + 1; r) X + 13 + Vl8x* - X - 1 = 18x*. 030.20. Решите уравнение; •30.29. а) + I + sISx + 3 + 2^ = 6 - 16х; б) V3x + 1 + 5^ = 20- X + -Jn - X. •30.30. а) ^Jx^ + -1 + Vx" + г* + 2 = 3; б) Vx® - 4х^ + X + 15 + >/х® - 4х^ - X + 13 = X + 1. •30.31. а) 4(Vl + X - l)(^/ГГx + 1) = х; б) X + Vx + >/х + 2 + Vx^' + 2х = 3. •30.32. а) n/2 - X + ?/-10 - х = 0; б) V2x - 1 + ^х + 7 = 3. Решите неравенство.: 30.33. а) 7^ < 7; б) V^T+1 > -1; 030.34. а) - 4х - 3 < 3; б) Vx’ -2x^+1 > 1; 030.35. а) ч/хТз ■ V4x + 5 < 6; б) 7(х + ЗХ4х + 5) < 6; 030.36. а) ^2cosx > 1; б) ^1 + 2cos4x > >/2 - -УЗ; в) ^8ctg| < 2; г) ^2sin3x - 1 < -1. в) < 8; г) VxTI > -2. в) V36 - X - 12х" > 5; г) Vl - х== - X® < 1. в) у/х - 2 ■ у]2х + 3 > 3; г) V(x - 2Х2х + 3) >3. 194 030.37. Решите неравенство: а) yjlgd - X) < 1; б) logo,3^6x2 - 25 > -1; в) yjlog^ix^ + Зх - 24) < 2; г) logo.25^x^ - 6х - И > -0,5. 030.38. Найдите все действительные значения а, при каждом из которых неравенство имеет хотя бы одно решение: а) Ух - 4 < 2 - о; б) У16 - х^ < а + 1. 030.39. Найдите все действительные значения а, при каждом из которых неравенство не имеет решений: а) Ух - 4 > 2 - а; б) У16 - х^* > а + 1. 030.40. Докажите, что неравенство yjf{x) < ,/Л(х) равносильно двойному неравенству О < f(x) < Л(х). Решите неравенство: 030.41. а) Ух - 2 > У4 - х; б) Ух^ - х=“ > У2 - X - х^ в) У25-г= < У5х - 11; г) Ух® -2x^ + 3 < Ух® + X® - 8х + 8. а) Увшх < Усовх; б) ^2 - УЗ sin2x > ^cos2x. а) yig(io - 5х) > б) 7logo.3 (18 - 7х) < 7logo.8 0.25x. •30.44. Для каждого значения параметра а решите неравенство: а) Ух + 2 > У2в - х; 030.42 030.43 б) Ух - 2а > У4 + 2а - 5х; в) У5а - 2х + 1 < Убх - а - 7; г) У4 - X® < У4х + а. 195 •30.59. •30.60 •30.61 Решите неравенство: S + 3 + 2^ < 6 - lOx; б) у/Зх + 1 + 5^х > 12 - д: + V17 - х; в) ^дг + I + VSx + 3 + 2^ > 6 - 16х; г) 73дг+ 1 + 5^ < 12 - X + ч/17 - X. » ____ ■ _ 2_______+________3______ Vx + 1 - 1 -J2x + 3 - S л/Зд + 7 - ч/т 10 + ч/з + л/т Для каждого значения параметра а решите неравенство: а) yjx - а < 1 - х; б) -Jx + 2 > х + 2а. >30.62. Решите неравенство: X + 3. а) ч/х + 3 > • в) ч/х + 4 < X + 1 б) у1х + 2 > X + 4. X + 2’ г) ч/2х + 3 < 1-х X - 1 ’ § 31. Доказательство неравенств 031.1. Сравните числа а и Ь, связанные заданным соотношением: 031.2. •31.3 031.4 а) а + 6 = Ь - 5; б) а-’ - а^(Ь + 1) + а = б; Сравните числа а и Ь: а) а = 100!, Ь = 3‘“>; а) а = 3“®, Ь = в) Ь--=--, а*(ХЬ*0; 1 ' а‘ + I а* + а' + а + 1 б) а = 100!, Ь = 10'®". б) а = 5®“, 6 = а) а = sin 1 sin 2, b = cos 1 cos 2; б) a = cos 1 sin 2, b = sin 1 cos 2. •31.5. a) a = sin (cos 1), b = cos (cos 1); 6) a = cos (sin 1), b = cos (cos 1). 031.15. Докажите, что заданное неравенство выполняется при указанных условиях: а) о + й > ай -(■ 1, а > О, й > О, ай = 1; б) а -ь й + с > 3, а > О, й > О, с >0, аЬс = 1; в) a + b + c + d> 4, а > О, Ь > О, с >0, d>0, abed = 1; г) о, + Oj + Oj а^ + aj > 5, о, > О, aj > О, О3 >0, а< > О, Oj > О, ajajOja^Oj = 1. Докажите неравенство: 031.16. а) у1р + q < >/р + -Jq; р > О, q > (У, 1р + д > 4р + Jg. б) р > О, 9 > О, 2 2 в) yjp + q + г у[р + yjq + Vr; р > О, q > О, г > О, Р) > £±|±£; Р > о, 9 > 0. л > 0. •31.17. а)р + ^ + ^ + - + ^<1+1^ + ^ + -+ б) 1 + Г1+2*‘^1-ьЗ‘ •31.18. Докажите, что для любого натурального числа п > 2 выполняется неравенство: а) у/х + \[2 + yjb + ... + Vn > л: б) ___ п+1 п+2 п+3 2п 031.19. Докажите неравенство: а) Vcosor < \/2cos-|, х б) ylsinx > >/2sin—, X 2 в) yjcosx > cosx > cos‘X, 6 Т л. п 2’ 2 г) Vsinx > sinx > sin^x, x e (O, n). 200 031.20. а) Докажите, что tgAtgB < 1, если А, В — острые углы тупоугольного треугольника. б) Докажите, что tg Л tg В > 1, если А, В — углы остроугольного треугольника. 031.21. Пусть X е 2 j’ ^ ^ 2 ]‘ а) sin^ > в) 031.22. а) Пусть пик — некоторые натуральные числа, большие или равные 2. Докажите, что sin" х + cos* х < 1 при всех действительных значениях х. б) Пусть а и р — некоторые положительные действительные числа, меньшие 1. Докажите, что sin“ х cos'*x > 1 при всех X 6 [4} Докажите неравенство, воспользовавшись методом математической индукции; 131.23. а) 2" > л^, где л > 5; б) 2" > л®, где л > 10. 131.24. а) >/л < 1 + -г + ... + где л ^ 2; V2 V3 >/л б) 2>/л > 1 + —р- -ь —f= *f ... -ь —р-, где п ^ 2. >/2 V3 >/л 031.25. С помощью производной докажите неравенство: а) sinx - X < О при всех х е (0; -юо); б) tgx - X > О при всех X € |0; 031.26. Докажите неравенство: а) 1 -н 1пх < X при всех х 6 (0; -юо); б) е* > 1 -ь X при всех х 6 й. 201 •31.27. Докажите неравенство: а) 1п(1 + х) > X - при всех х б (0; +оо); б) вшдг > д: - — при всех х б (0; +оо); О в) е'>1 + х + -=- при всех х е R; г) соед: > 1 - при всех х б (0; +оо). § 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными Постройте график уравнения: 32.1. а) дг2 = 1; в) - го' + 1 = О, б) 1/^ = 9; г) - 6у + S = о. 32.2. а) X = у; б) Зд: - 4у = 12; в) X + у = 2; г) 21/ - jf - 4 = 0. Решите уравнение /(дс; у) = 0 относительно х, т. е. преобразуйте уравнение к виду х = х{у). Найдите все значения у, при которых это решение единственно: 032.3. а) ху + у - X = 0; б) ху^ -ь XV* - (1 + у^) = 0; в) ху + у + 2х = 0; г) ху-(х- Х)у^ -1 = 0. 032.4. а) 1/х -И X -Н J/ -Ь 1 = 0; в) i/x и- 4х -и 2{/ -(- 8 = 0; б) у^ + {х + 1)у + X = 0; г) у'^ + Ьху + 4х^ = 0. 032.5. а) |х| - (X н- 1/) = 0; в) ||/ -н 1| - (х - у) = 0; б) 51х| - 1х -ь 1/1 = 0; г) |{/| - |х| - 2х - Зр - 4 = 0. Постройте график уравнения: 032.6. а) х^ - 2ху = 0; в) ху + 2у^ - 0; б) (х - 1)(1/ -Н 5) = 0; т) ху - Ъх + у = 5. 032.7. а) х2 - 1/2 = 0; б) х2 и- 7x1/ - 181/2 ^ 0; в) х2 - 2ху -I- 2i/2 = 0; г) х^+ ху + у^ = 0. Постройте график уравнения: в) 032.8. а) i = 1; У б) 2х + Зу - 5 _ Q. X + у •32.9. а) |х| + |j/| = X + 1/; б) |jc| + 1г/| = 1/- х; =0; X + у - 2 рч 2x2 - 4х - 2ху -I- Зу - 5 ^ ' X - У в) |х1 + |(/| = X - I/; г) \х\ + |у1 = -X - у. 032.10. а) х2 - 9у2 (X - ЗуКх + Зу) |JC + у1 _ 1. = 1; (X + У)2 = 1; в) (х + Зу - 1)2 + (х2 - Зху - 4у2)2 = 0; г) |х2 - у - 2| + |х2 + у2 - 2| = 0. 032.11. График уравнения f(x; у) = О изображен на рисунке 9. Постройте график уравнения: а) Д-х; у) = О; в) Д-х; -у) = 0; б) Дх; -у) = 0; г) Ду; х) = О. 132.12. На рисунке 10 изображен график уравнения Дх; у) = О, имеющий вид четырехугольника, вершины которого — точки с целочисленными координатами. Постройте график уравнения: а) Д1х|; у) = 0; в) Д|х|; |у|) = 0; б) Дх; |у|) = 0; г) Ду; |х|) = 0. у 3 о /1 2 \ 4 X 1 у о 1 5 1 Рис. 9 Рис. 10 203 132.13. График уравнения f(x\ у) = О, изображенный на рисунке 11, имеет вид многоугольника, вершины которого — точки с целочисленными координатами. Постройте график уравнения: а) f(x -I- 1; I/ - 1) = 0; в) f(2 - х; 1 + у) = 0; б) 4 к1; -| = 0; г) f(\y\; -2х) = 0. У 3 -2'' 01 2/ 4 X 9_ _1_ Рис. 11 •32.14. Постройте график уравнения и вычислите площадь фигуры, которая ограничена этим графиком: а) 2|д:| + 3|i/| = 6; б) ||дг + 5|+ ||i/- 1| = 2; в) 0,5|дг| + ^|{/| = 2; г) + kzH = 1, Р > о, 9 > 0. •32.15. Постройте на координатной плоскости множество точек (х; у) таких, что |дг| -I- 31(/| = 6, и определите все значения, которые на этом множестве принимает выражение: а) ж; б) у; в) х -(• Зу; г) х + у. •32.16. Постройте на координатной плоскости множество точек (х; у) таких, что |х - 3| -I- |i/ -t- 3| = 3, и определите все значения, которые на этом множестве принимает выражение: а) -Зх - 2у; б) х^ + у^; в) 5х -I- 7у; г) ху. 204 Постройте график уравнения; 032.17. а) у = 74 - х^; в) у = -74 - б) lyl = 74 - х; г) X = 74 - У^ 1032.18. а) у = 7l - х^; б) у = -71 - (X - 1)^ [032.19. а) [у + 2| = 74 - х^'; б) |у| = -74 - х^ + 2; в) у + 2 = -7l - X*; г) |у| = -7l - Х=* + 3. в) |у| + 2 = 74 - х“; г) [у + 2| = -74-(х-1)='. ' *32.20. а) (X - 1Г + (у - 2Г = 16; б) (х-1)'+(|у|-2)*=16; в) (|х|- 1)"+(у-2)“=16; г) (|х|- 1)^+(|у|-2)'= 16. Решите уравнение в целых числах: 032.21. а) X + 2у = 7; в) 5х + у = 17; б) 7х + 2у = 1; г) 7х - 12у = 1. •32.22. а) X + 2у^ = 7; б) х^ + 2у = 1; в) 5х‘ + у = 17; г) 7х - Зу2 = 1. »32.23. а) х2 - 5ху + 6у^ = 2; б) х^ + ху - 6у^ = 5 - 5у; в) х^ - ху + 12у2 = 12; г) х'* - 2ху + 8у^ = 6 - 2х + 2у. 32.24. 32.25. Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: а) X < 5; б) X > -4; в) у > -3; г) у < 2. а) X + 2у < 3; б) X - у > -4; в) Зх + 2у > -5; г) X - Зу < 4. 32.26. Укажите на координатной плоскости все точки (х; у) такие, что выражение х + Зу - 4 принимает; а) неположительные значения; б) значения, меньшие числа -8. 32.27. Не производя построений, докажите, что точки Л(-1; 2) и В(2; 3) лежат по одну сторону от прямой 13х + 7у + + 6 = О, а точки А и С(-13; -11) — по разные. 032.28. При каких значениях параметра с точки А(-1; 7) и В(2; И) лежат: а) по одну сторону относительно прямой Зх + су = 5; б) по разные стороны относительно прямой 5х - 4j/ = с? 032.29. Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств: X + у > 3, 2х -Зу < 1; -2у>3, Зу < -2; IX - у > 2х, X + у <3у, Ъх<,2у- 7. Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: а) 73х - у-1 • с ^2х + У- : б) > у/Г- - 2х^; в) у]х + у-1 > у]2х- у. г) у1у^ - 1 > V2 X - 1. а) 7г/ + 1 < х; б) ^2ху + у^ > X + у; в) у1~2х - у -1 > -х; г) ■^2ху + х'^ > X - у. 206 Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: f*32.32. а) 2\х - 3| + 2х - 3i/ < 0; б) |х - 3| + |у + 2| > 2х + 5. I #32.33. а) |х + 1/1 + 2х - I/ > 3; 1^ У\х + |jc + J/I + I/ < 4. ' X + у [032.34. 1032.35. •32.36. а) ху < 2; б) У < ||: в) \х\ - у < 2; г) |х1< а) ху > -3; в) 1/ > X г) z3< У а) \х\ + ||/| < 4; б) |i/- 3| + |х + 1|>5; в) 21x1 + 31J/1 < 6: Р) 1£^ + к|Л<1. •32.37. 032.38. а) 4 - х“ 2х + 3j/ - 6 > 0; б) х2 + ^ - 4 1x1 + fj/l - 2 <0. Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств; fx < 2, fx + I/ < 12; а) 13(/ - X < 4, б) 11/ - X < 12; [|/ > -х; [у > 0. •32.39. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством: а) х^ + у^ < 2(1x1 + \y\S); б) 2(х^ + 1/^) < lx|V3 + \у\ . •32.40. Случайным образом выбирают одно из решений системы 1х - г/| < 2, неравенств <’ Найдите вероятность того, что "х + 1/1 < 2. выбранная точка расположена; а) ниже прямой у = в) правее прямой х = 1; б) выше прямой у = 0,5; г) выше параболы у = х^. 207 033.1. а) б) в) г) § 33. Системы уравнений Решите систему уравнений методом подстановки: X + у = 3, + 2у^ - ху + 2х - Зу = 3; у = 2 + X, X* - {/“ = -8: X + у = Ь, х« + J/3 = 35; jx + 2у = 1, [2х^ + Зху - Зу^ = 6. х+у = -. 033.2. а) j sinxsini/ = [ 2v2 |3х = (, + 1, > |7,-2х*2 ^ + 0. [х = 2у, log, {2у + х) + log, (х - у + 1) = log, I 3 3 I sin^ X + сое* у = 0,5. fcosx + cosy = 0,5, ' б) ^ lsin*x + sin*j^ = 1,75. 133.40. а) = [tgxctgi/ = 1; C0SUC0SX = ---, I ^ [tgj/ = ctgx. Решите систему трех уравнений с тремя переменными: \х+2у-3г = -3, f3x-5i/ + 2= -13, 033.41. а) 12х - 3t/ + г = 8, б) \х + Зу - 2г = 5, (-Х + (/ - 52 = -8; 2х - 2у + 5г = -6. ix + у = -1, 033.42. а) X - 2 = 2, [дл/ + Х2 + у2 = -1; IX + у + 2z = О, X + 2у + г - 1, X* + I/* + 2* = 5. 033.43. Составьте уравнение параболы у = ах* + Ьх + с, если известно, что она проходит через точки М, Р, Q: а) Л/(1; -2), Р(-1; 8), 0(0; 1); б) М(-1; 6), Р(2; 9), Q(l; 2). 033.44. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найдите первый член и знаменатель прогрессии. 033.45. Сумма трех чисел равна 8, а сумма их квадратов — 26. Найдите эти числа, если известно, что одно из них на 2 больше другого. •33.46. Три числа образуют конечную возрастающую геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 6, то получится конечная арифметическая прогрессия. Ек;ли в этой арифметической прогрессии первое и третье числа увеличить на 5, а второе — на 1, то получится геометрическая прогрессия. Найдите три исходных числа. 214 133.47. Три бригады, работая одновременно, выполняют норму по изготовлению подшипников за некоторое время. Если бы первые две бригады работали в два раза медленнее, а третья бригада — в 4 раза быстрее, чем обычно, то норма была бы выполнена за то же время. Известно, что первая и вторая бригады при совместной работе выполняют норму в 2 раза быстрее, чем вторая бригада совместно с третьей. Во сколько раз первая бригада производит подшипников за 1 ч больше, чем третья? § 34. Задачи с параметрами 034.1. При каких значениях параметра т уравнение тх - X -ь 1 = т*: а) имеет ровно один корень; б) не имеет корней; в) имеет более одного корня? 034.2. При каких значениях параметра Ь уравнение Ь^х - X + 2 = + Ь: а) имеет ровно один корень; б) не имеет корней; в) имеет более одного корня? 034.3, 034.4, 034.5, 034.6 034.7, Решите уравнение (относительно х): а) а*х - 4х + 2 = а; б)--нх-1 а) ох - 5 - X = О, б) ох + 6 - 2х = 0. Решите неравенство (относительно х): а) тх - X 1 > т*; б) б*х - х 1 > б. а) 6*х - бх > б* + 6 - 2; б) - -ь X < а + 1. а уравнение При каких значениях параметра ах* -ь 4х - о -И 5 = 0: а) имеет два различных корня; б) имеет ровно один корень; в) не имеет корней? 034.8. При каких значениях параметра а система уравнений имеет решения: [у = 2х* - 5х -н 1, ,, [|/ = Зх* - 4х - 2, а) J/ = Зх + а; б) у = -10х + а? 034.9. Найдите наименьшее целочисленное значение параметра Ь, при котором уравнение имеет два корня: а) :^-2bx + b^-4b+3 = 0; б) + 2(Ь - 2)х + - Ш + 12 = 0. •34.10. При каких значениях а корни уравнения: а) х^ - 8ах + 27 = О относятся как 3:1; б) х^ - 10ах + 24 = О относятся как 2 : 3? 034.11. При каких значениях а уравнение: а) (1о8за)л^ - (21ogja - 1)дг + logjO -2 = 0 имеет единственный корень; б) (log< а)х^ - (2 log^ а 1)х -н log^ а 2 = О не имеет корней? 034.12. Решите уравнение с параметром а: . - (а - 1)х - 2а(о 1) _ „ а) 7^3 б) а(х + 1) а(х + 1Кх + 2) 034.13. При каком значении а: а) прямая у = 6х + а касается графика функции У = х^; б) прямая у = 4х имеет только одну общую точку с графиком функции у = х‘‘ + а? 034.14. При каких значениях Ь имеют общие точки графики функций: а) у = х^ - 4х + 2 и у = -2х + Ь; б) у = х^ + 6х + 7 и у = 2х + Ь7 034.15. При каких значениях а ось симметрии параболы: а) у = 2х“ - Зох + 2 пересекает ось абсцисс левее точки (-3; 0); б) у = 5х‘ - 2ах + 2 пересекает ось абсцисс правее точки (4; 0)? 034.16. При каких значениях а вершина параболы: а) у = (За + 1)х^ + 2х - 5 принадлежит четвертой координатной четверти (координатные оси не принадлежат координатным четвертям); б) у = Зх'^ + (4а - 1)х + 3 принадлежит первой координатной четверти (координатные оси не принадлежат координатным четвертям); 216 034.17. Определите знаки коэффициентов а, Ь, с, если известно, что график функции у = ах^ + Ьх + с проходит через заданные точки: а) (-4; О), (0; -2), (-3; -2); б) (О; ч/з -ь l), (-1,7; 0), (3,3; S + l)? 034.18. При каких значениях а неравенство ах^ + 4х - 3 -Н о > 0: а) выполняется при любых х; б) не имеет решений? 034.19. При каких значениях а неравенство ах^ + 2ах + 2х + -t- 2а -ь 2 < 0: а) выполняется при любых х; б) не имеет решений? 034.20. а) При каких значениях параметра а неравенство (х^ - 8)(а - х) > О имеет единственное решение? б) При каких значениях параметра а в множестве решений неравенства {х - 1)(а - х) > О содержится ровно пять целых чисел? 034.21. Решите неравенство: а) Vx - 2(х - а) > 0; 934.22. а) При каких значениях параметра а решением неравенства (х-а)^(х-3)(х-ь1) < О является отрезок? б) При каких значениях параметра а неравенство X - 2а - 1 < О выполняется при всех значениях х из от- резка [1; 2]? 134.23. При каких значениях параметра а корни уравнения (а - 2)х^ - 2ах а -(■ 3 = О различны и: а) положительны; в) отрицательны; б) меньше числа 3; г) принадлежат интервалу (1; 3)? •34.24. 034.25. Решите неравенство (относительно х): (а - 1)х^ 2(2а -I- -1- 1)х + 4а + 3 < 0. а) При каких значениях параметра а функция у = ах^ -ь + Зах'^ + 6х 7 возрастает на всей числовой прямой? б) При каких значениях параметра а функция у = Зх’ -- ба^х + 3 имеет минимум в точке х = 3? 217 034.26. Решите уравнение: а) зшдг = За - 2; б) cos^x = 2а - 1. 034.27. Решите уравнение: а) v/3sinx + совх = а; б) 3sinx + 4cosx = 2а - 1. 934.28. При каких значениях параметра а уравнение sin2x = а имеет на отрезке [0; 2я] пять корней? 934.29. При каких значениях а; а) уравнение 5*' - 3 • 5’ + а - 1 = О имеет единственный корень; б) уравнение 0,01' - 2(а + 1) • 0,1' + 4 = 0 не имеет корней? 934.30. При каких значениях а уравнение имеет хотя бы один корень: а) 9' + (а + 4) 3' + 4а = 0; б) 25' - (а - 2) 5' - 2а = О? 934.31. Решите уравнение: а) .у/атов'Зх^Г'ЗвБГ^ = совх, если известно, что л = О — корень уравнения; б) у/2 sin 2х - а cos 2дг = -sinx, если известно, что х = п = — корюнь уравнения. 934.32. При каких значениях а уравнение имеет ровно три корня: а) х(х + 3)^ + а = 0; б) х® - 12х + 1 = а? 934.33. При каких значениях а: а) уравнение х* - 8х^ + 4 = а не имеет корней; б) уравнение Зх^ + 4х® - 12х^ = а имеет не менее трех корней? 934.34. При каждом значении параметра а найдите число различных корней уравнения: а) -Ух = X - а; б) \l4 - х^ = х + а? 934.35. При каких значениях р уравнение | Зх + 6| = рх + 2 имеет: а) один корень; б) два корня? 934.36. При каких значениях а существуют два решения: и = к - 2|. а) системы j [(/ = ах + 1; б) уравнения |х + 4j = ох + 2? 218 •34.37. При каких значениях о уравнение |д^ - 4х - 5| = а: а) имеет два корня; б) имеет четыре корня? 134.38. При каких значениях а: а) в уравнении (х - af - 12\х - а| + 35 = О число отрицательных корней равно числу положительных корней; б) в уравнении (х + af - 6|х + о| + 8 = О число положительных корней больше числа отрицательных корней? •34.39. а) Сколько корней имеет уравнение ||х| - 2| = а при различных значениях параметра а? б) Решите уравнение |х-1| + |х-3| = а. 134.40. При каких значениях параметра а графики функций у - а|х + 1| и у = X + а^|х| пересекаются в трех точках? 134.41. При каких значениях параметра а система уравнений |х^-7х + 6| + х^+5х + 6- 12|х| = О, х^ - 2(а - 2)х + а(а - 4) = О ния? 134.42. При каких значениях параметра а система уравнений ох^ + а - 1 = у - |sinx|, |tgx| + |y| = 1 •34.43. При каких положительных значениях параметра а неравенство 2х^ - alnx < О имеет хотя бы одно решение? •34.44. При каких значениях параметра а уравнение 4' + 2 = = а ■ 2’ ■ sinrex имеет единственный корень? •34.45. Найдите все положительные значения параметра а, при которых неравенство |2х + а|х| - 13| > 1 выполняется для всех X из отрезка [-3; 3]. •34.46. Найдите все значения параметра а, при которых области определения функции у = (а'*”'® + а’Ух - - а^-^) принадлежит лишь одно целое число. •34.47. Известно, что уравнение {2а + 3)х* + ах + Зх + 1 = О имеет хотя бы один корень. При каких значениях параметра а число корней этого уравнения равно числу кор-21 - а ней уравнения ^ ^ имеет два реше- имеет единственное решение? = 3 + 219 Дополнительные задачи •11.79. Решите уравнение: \ 8 , •11.80. Решите неравенство; а) 5^ + б''>11; б) + 2^-2 < 11. •11.81. При каких значениях х график функции у = f(x) располагается не ниже графика функции у = g(x), если: а) f(x) = 25 cos 2х - sin^ х, g(x) = 25 • 5‘” б) f(x) = , ^jf) = sin* X - sin X + 7,25? •11.82. Найдите наименьшее и наибольшее целочисленные значения функции у = 20 ■ •13.47. а) Найдите количество всех целых решений неравенства 4'^”' - 9 ■ З'' -f- 32 < О. б) Найдите сумму всех целых положительных чисел, которые являются решениями неравенства 14''"' < 5''' в) Из всех целых чисел, которые не являются решениями неравенства - 1)(3®'' *‘ - 1) > О найдите число, наименее удаленное от множества решений этого неравенства. г) Укажите наименьшее натуральное число х, при котором число 3 • 2^ составляет менее 50% от числа 3^ + 5. 016.66. Вычислите: log4 sin ^ -h log4 cos ^ + log4 |cos ^ - sin - - log, (cos-5- + sin—) . \ 16 16/ •17.44. Решите уравнение: а) log* (2 - X) -I- 2,5 log2 =6-10 log.g (3x - 1); б) log^(6 - x) - log^ (X -I- 10)* - 4 logslx + lOKx* - 12x + 3 -I- 36) = 9. •18.48. a) Найдите сумму всех целых чисел, которые являются решениями неравенства log^ (5 - х) > logo.5 х - 6. б) Найдите наименьшее натуральное число, которое яв-41х - 4х* - 100 , „ ляется решением неравенства —logia, (х - 3) ^ 220 •18.49. Сколько целых чисел содержится в решении неравенства 75+4 loggx - logjx 7log232x* - l(yjx log2 32x* 4 - logoiX* •18.50. a) При каких значениях a сумма целочисленных решений неравенства log* (2 - х) - 8 < log„ (х - 2)* равна нулю? б) При каких значениях а хотя бы одно целое число из интервала (—Jbl; lgO,l) является решением неравенства log2(l - X) - 3 > 0,5 log„ (X - 1)*? •18.51. •18.52. •26.18. Решите неравенство: loggia - х) - logu(2 - X) ^ logs 49 log,4X-log4i,X log27 8 ' logg (X - 3)* ■ log,e(x - 5)« + log2^n^ - 3 > 0. lg(7x-x*-9)lg(9-2x) a) Решите уравнение -----—— ^-------- 0. б) Найдите сумму всех корней уравнения Ig (х* - 10х + 25) log,, (Зх - 5) • log,2 (х* - 4х + 4) = 0. lg(8x-x*-14)lg(13-3x) в) Решите уравнение 0. г) Найдите сумму всех корней уравнения log4 (X* - 12х + 36) logs (Зх - 8) loge (X* - 6х + 9) ~ 0. •26.19. При каких значениях параметра а уравнение х* - ах + + sin а = о является следствием уравнения х + sin х -- sin а = а? •27.58. Решите уравнение: а) 0,5х* + 34 = + 6х: б) 20х - ЮОх* - 5'^’'**““; в) |2х* - Их + 5| + tg*7ix = 0; г) 7-12х*-7х + 3|=^. •27.60. Найдите нули функции: а) I/ = In (Зх - 2х*) - + X* - 2; б) у = |х® + X* - 10х + 8| + s/lg(sinnx + х* - 15). •28.59. а) При каких значениях параметра а неравенство 2х + + In 2 + In X - < 2 In о имеет решения и любое его ре- шение удовлетворяет неравенству х^ - 4ах - 5а^ < 0; б) при каких значениях параметра а ни одно решение неравенства X -I- 3^ - 2а - 9“ < о не является решением не- X - За - 1 , равенства ^ - 5а + 3 •30.63. Решите уравнение: а) Jl - tgx = : б) J4 + ctgx-----7^ - 0. cosx '' smx Решите уравнение * Vx^ - L + 29 = 5‘ При каких положительных значениях параметра а во множество решений неравенства \j2ax - х* > а - х можно поместить два непересекающихся отрезка длиной ^ ►30.64. ►30.65. •31.28. •32.41. каждый? Решите уравнение 2 cos* Решите уравнение: X* X* - 2х 7' -I- а) yj{x -2у + If + 1 + 7(3х - у - 2f + 25 = 6; б) Ig (1000 - 9х* - 4у* -f 12ху) + arccos ((х -I- у - 5)* - •32.42. •32.43. •33.48. •34.48. - 1) - 4. Решите неравенство log2 (cos* ху + cos”* ху) < yi + 2у 2' Найдите целочисленные решения неравенства: а) 573х -2у-4 + 3^2х + Зу - 7 < 2; б) 4^2х + Зу + 3yj3x + 4у < 3,5. Г2-|Зоо."х*10Л1;г4 10| _ 25.5" Решите систему уравнений ( ’ |j/* = 8(2sinx + 1)*. Найдите все значения параметра а, при которых уравне- ния X* + 2х + 7 - 2а = о и Лп(х-2) одновременно не имеют корней. ОТВЕТЫ ПОВТОРЕНИЕ 5я Зп я 9я. , б) С08 cos -g-, cos -J, cos B) cos ~g 7я 6я я . 2я, 'Т’ . 8Ш ■ 3’ 8Ш 11я 2я 16я Я. 9 ’ COS-g-, С08 “g“i » COS gt r) sin 13я .«t . 12я , 2Л . -и „ „ , ^ i£> ^ , в g-. sin -jj-. sin -g-> 8Ш П.З. a) cos t = “^7’ = “jg’ 15 24 7 24 , 40 ctgt = —5-: 6) cost = ^’ tgf = ct8< = ^ ~1л’ 2л 4я 15 8’ 9 40 IZ 3i> 12 tg t = Ctg t = —g-, r) cos t = tgt = ]2’ <=tg < = ^ 5 12 12 , 12 35 П.4. a) sin t = "■Jg* cos t = ctg t = —6) sin t = cos t = , . 35. , • . “ , ctg t = -yg; b) sin / = cos t "24‘ 40 . . 40. , . . 24 ■4I’ ' = T’ '■> 7 7 cost = ~25’ ctg / = П.5. a) 1,2 или -1,2; 6) -0,42. П.6. a) 1; 6)-----^—: b) sin a; r) cos/. П.7. a) 1; 6)1; в) 0; г) i. П.8.0. cos a 2 П.10. sin^a - oos^a + ^j, -j- П.11. a) 6) —в) 1; г) 0. П.12, a) (-1)" ^ + ЛЛ, 2nn, n € Z; 6) + 2ял, -g + яп, n й Z; b) (-1)" ^ + ЯП, ^ + ЛП, n € Z; r) ^ + ЯЛ, —^ + 2ял, л € Z. П.13. a) ±-^ + -t 2ял, 2ял, л e Z; б) ±-^ + 4ял, л € Z; в) (-1)"*' ^ + ял, (-1)" arcsin | + + ял, л 6 Z; г) (-I)"*' пе Z. П.14, а) ^ + ял, arctgS + ял, л € Z; б) arctg 2 + ял, arctg 4 + ял, л € Z; в) arctg + ял, -arctg 3 + ял, л € Z; г) -arctg 3 + ял, arctg 2 + ял, л е Z. П.15, а) ^ + лп, л 6 Z; б) 2ял, „ „ , 7я 5я Зя я я. л 6 Z. П.16, а) ^ . 4’ 4’ я я 5я б) 2’ 6’ 6' п.17. 2‘ 223 3 12 п.19, а) ---------т- + 2; б) 6sin** cos* - —гт~’ в) -6sin* cos* + 2л/* сое 4* + --------: г) ** - 10* + -7—2----П.20, а) б) -4л/3 + 2; в) +3; oi„2 * л/2* + 5 о 2 2 sin* i. г) -19. П.21. ±3. П.22. -2,5, -1. П.23. 0. П.25, f -3; ^ 1. П.26. -2^, -1. 3 J' " 3’ П.27, а) J/ = X + 9; б) J/ = -i* + з|; в) у = - 1; г) у = 1,5* + 0,5. 48 6’ П.28. (0; -1), (-1; 3). П.29, у = 2х - 0,5. П.ЗО. -13, 3. П.32. Функция точка мини* возрастает на (-о°; -4] и +°oj, убывает на ^-4; 2 л 5 мума д> минимум функции точка максимума -4, максимум функции 60. §1 1.5. а) -4** + 12** - 12* + 4; б) ** -1; в) 3** - 9* + 7; г) *■" + ** + -t^**-**-**-!. 1.7. а) *• + 2*» ч- 3*‘ + 4** -I- 3** -ь 2* + 1; б) ** - 2** + + 3*“ - 4*‘ + 5*‘ - 4** + 3** - 2* -ь 1. 1.9. а) ** - 2** + 3** - 2* + 1; б) *• - 3** + 6** - 7** -ь 6** - 3* + 1; в) -8** - 11** - 7*; г) 9** - 12* + + 4. 1.10. а) а = -0,5; б) о = -2, а = 3. 1.11. а) о = -0,75; б) а = -0,5; 41 1 в) а = ^; г) а = -i. 1.13. а) 34, 3”, 2; б) 17, -2, 0; в) 13, 1, -1; г) 16, 2, 0. 1.16. а) Степень равна 16, свободный член равен 2, старший коэф- фициент равен 34, сумма всех коэффициентов равна 2" = 131 072, сумма всех коэффициентов многочлена при четных степенях переменной равна 2'* = 131 072, сумма всех коэффициентов при нечетных степенях переменной равна 0; б) степень равна 197, свободный член равен 0, старший коэффициент равен (-1), сумма всех коэффициентов равна 0, сумма коэффициентов при четных степенях переменной равна 0, сумма коэффициентов при нечетных степенях переменной равна 0. 1.17. а) ±л/б; 6) а * ±2; в) ±2; г) 1,5. 1.18. а) а - 2, Ь — произвольное действительное число; б) а = 4, 6 = 1. 1.19. а) а = 3; б) а = 1. 1.25. а) При а = -3, 6 = 2; б) при а = -5, 6 = 2 и при а = -1, Ь = 1. 1.27. а) а — любое число, не равное о, 6 = -(*, -ь *j -t- *з)а, с = (*,*2 + *2*3 + *з*,)а, d = -(*,*2*3)0; б) о = -(*, -Н *2 -Н *3 -Ь *,), Ь = *1*2 *1*3 -Ь *1*4 -(■ *2*3 Ч- *2*4 -Ь *3*4, с = -(*1*2*8 + *1*2*4 + *1*3*4 ХгХзХ,), d = *,*2*3*4. 1.35. н) О = -5, о = -1, о = 7; б) о = -27> о = о, о = 4, о = 6^; в) о = -i, о = 1, о = 2; г) о 6 ; о) U(0; 2) U (2; -ьсо). ,.36. а) 0, -|. б) -f?, -|, 224 -|. I, о, . 1.37. а) ±^, ±1; б) 1. -1^2^. 1.40. а) -1, 2, 3; б) ±1; в) -2, 1; г) -1, 2, корень * = -1 имеет кратность 3. 1.41. а) р(х) = = (* - 1К* + ЗН* - 5Х* - 2)*: б)р(*) = *(* + 2)*(х - 3)*(* - 7з)’(* - 0,7V: в) р(х) = (X - 9)*(х + 0,3)*(х - itV: г) р(х) = (X - 2)*(х + 3)». 1.42. а) (X + 2Кх - lV(x - 3); б) (х + 1)*(х - 2)*; в) (х - 1)*(х - 2)*; г) (х + 1)*(х - 1)*(х - 2). 1.43. а)р(х) = -х* + 4х - 1; б)р(х) = х* - 5,5х - 12. 1.44. а) р{х) = - Зх* + Зх + 1; б) р(х) = х* - 5х* + 4х. 1.47. Если Ь = 18, с = 8, то -2 ± V3; если ft = 14, с = -8, то -2 ± Тб. 1.48. Если а = -5, ft = 9, с = -7, то 1, 2; если а = 5, ft = 9, с = 7, то -1, -2. §2 2.2. а) (X - рКх - 2|/); б) (х - у)(Тх + 12у)\ в) (х - у)(Ьх - Зр); г) (х + + 2рК7х + 4р). 2.3. а) (х + у){х + 1); б) (2х - Ьу - ЗХ* - у); в) (2х ~уХ2х + + у-4); г) (X - ЗрХЗх + 8у + 5). 2.4. а) (х - уХх" + х^у + *У + хУ + + хУ + ху” + j/“ + 1): б) (X* - 2ху + 2у‘Хх‘ + 2ху + 2р*); вХ* - рХх* + + х‘у + xV* + хр* + у* - 1): г) (4х* - 2 л/2 XJ/ + р^Х4х* + 2 л/2 хр + j/*). 2.5. а) 3(х + pXjc + гХг + у); бХх + рХ^с + гХг + у); в) (х + уХх + гХу + г): г) 12хуг(х + у + г). 2.9. а) 19; б) -72; в) 311; г) -32 325. 2.10. а) 14^ л/бЗ; б) ЗбОТбЗ. 2.12. а) 5х* + + 7х‘у + 4хр* + 2х* + бр* + бхр + 13х + 12у + + 8; б) 8х’ - у‘ - - 18x*j/ - 12х*г - Зхр* - Зр*г + бхг* - Зрг* + 15хр2. 2.16. а) X = у, X - 4у; б) х = -5у, х = -0,4р. 2.17. а) х = О, х = -у, х = 6)x=-p.x=-2p,x=-3p.224a)(l;lX6)(l;-l).225ia)(-v/i0; л/1о), (л/1б; -л/lO), (4: 2). (2: 4): б) [±2^; T2j|j, (±4^|; T2^|j. 2.26. а) (5; -5). (-5; 5). 5л/б 5л/б' 5л/б. 5л/б 3 ’ 6 : б) (1; 3). (-1; -3); в) (2; 2). (-2; -2); г) (1; 2). (-1; -2). 2.27. а) (-1; 1). (1; 1). 25 3 л/149’ л/149 25 3 , л/149 ’ ” л/149 I’ б) (2; 1), (-2; -1), (-2; 1), (2; -1). 2.28. а) (-1; 0), (-1; 1,5), (0; 1); б) (1; 2), (-1; 0). 2.29. а) (2; -1), (-2; 1); б) (0,5; 1), (1,75; -0,25), (-0,5; -1), (-1,75; 0,25). 2.30. а) (12; 0), (4; 2), (4; -2), (-6; 3), (-6; -3); б) (5; 5), (-5; -5); ^ бл/З; [ -бл/З; ^ j. 2.31. а) (1; 2); б) (-1; -2). (2; 1). 2.32. а) (2; 3), (3: 2): б) (1; 3), (3; 1), (3; 4), (4; 3); в) (1; 2), (2; 1); г) (2; -1). (-1; 2). 225 2.33. а) (1; 1), (-1; -1); б) в) (^/2; S), (-72; -7з), (72; -73), (-72; 7з), (73; ^/2), (-73; -72), (-73; 72), (73; -71); г) а; 1, ^.34. a, (2; 0), (0; 2). (1; 2), (2; 1); б) (ft -73), (-73; О), f |lf|; ^ ]. 2.35. а) 1, -1; б) О, -8. 2..36. а) (2; 1), (-2; -1), (0,5; 1,5), (-0,5; -1,5); б) (1; 1). 2.37. а) (-2; 3); б) (-3; -5). 2.38. а) (-2; 1); б) (1; -1). 2.39. а) (-1; 0; -1); '6- Ф“' -Г б) (J; t; t), где t € Я. 2.40. а) 3; б) 6. 2.41. а) 3; б) 2о|. 2.42. а) б) -60^. §3 3.1. а) -1, О, 4; б) О, в) 0; г) 0,5, 1,5, 3. 3.2. а) 0,25, 1; „ 9±,^ -5 ±721. ^ . I7T ,-1±Т5„„ б)------2-, -2---’ ®) ~1> ± vl5; г) -2---• 3.3. а) ±1, 3; б) 2.-7П: в) ±^, 3; г) 1, ^ *2'^- 3-4. а) При а = -6 г, = 2, ±2.3= ’ б) при а = о ±1 = 1, Хг.а -1 ± ТГ: ; в) при а = -11 дс, = -1, Хг = 4, X, = -0,5; г) при а = 1 X, = -1, Хз,з = 2 ± 75, а при а = -2 х, = -1. 3.5. а) -4; б) целых корней нет; в) -3, 1; г) 1, -1, -2, 2. 3.6. а) -0,5; б) 1, -0,5; в) j, г) 0,5, -2,5. 3.7. а) -1. 2, 3; б) -1, 2; в) -1, -3, -5; г) -1. 3.8. а) -0,5; б) -0.5, 1; в) -0,5; г) -0,5, ^3.9. а) 1,5, 0,5, -0,25; 1 2 —1 ± 77 б) 1. g, -g; в) -0,5; г) 0,5,-^--. 3.11. а) Один целый корень при а =-5 и при а = 3; б) один целый корень при а = 1 и при а = -9. 3.12. а) -0,5 б) -1, 1. 3.13. а) а = -2, 5 = -1; б) а = -2, 5 = -1. 3.15. а) 1, 73; б) 3, 4 в) -1, 2; г) корней нет. 3.16. а) 7; б) 27; в) - 2; г) + 2. 3.17. а) 13; б) 37 в) - 12; г) t‘ + 12. 3.18. а) -18; б) f“- 3t. 3.19. а) -2, -0,5, 1; б) -2, -0,5, 1; в) -2, -0.5, 1; г) -2, -0,5, 1. 3.20. а), б) 1, 3.21. а), б). 226 в) 1, -|, г) -1, |, 3.22. а) -1, б) корней нет; в) 1; г) 1, ^ ^5^- 3.23. а) 323; б) -7, 2. 3.24. а) 0,5; б) 0,5, 0. 3.25. а) 3. 4: б) -1, 3: в) г) ^ 3-26. а) |. ||: б) 16; 11 21 *7421. 2 3 27. а) -2, 1; б) -9, 1, ; в) 1, 3, -3 + ТИ; г) 2. 3, 4 ± 716.3.28. а) -3, 1; б) О, 0,8; в) -1; г) -0,2. 3.29. а) ±1, ±^; б) -1, 1; в) 1. : г) 2 ± 7б. 3.31. а) а = -1, 6 = -1, с = 2, d = -1; б) а = -1, 6 = -1. с = 1, d = 3; в) а = -1, Ь = 1, с = 1, d = -5; г) о = 1, 6 = 3, с = -1, d = -2. 3.32. а) -1 ± i^7|. gj 1 t^Ts. gj г) -1,2.3-33. a) 2; 6) 71. 3-34. a) 1,2; 6) 1,2. ГЛАВА 2 §4 112 1 4.5. a) Да; 6) нет; в) нет; г) да. 4.9. а) 1-^; б) 1^; в) 1^; г) 1-^. 4.14. а) 6; б) 5; в) 6; г) 4. 4.15. а) -; б) +; в) -; г) -. 4.16. а) 2 и 3; б) -3 и -2, в) 2 и 3; г) -4 и -3. 4.21. а) 1, 8; б) 1, 9; в) 4, -7; г) -4. -3. 4.22. а) ±2; б) ±i/5\ в) 71; г) ±2. 4.23. а) 75, 2, ТП; б) 71000. 4, 7^; в) 7?, 740, 3; г) 7б0, 71о, 2. 4.24. а) ТоЛ, -1, 7^; б) 0. 7-0.25, 7^: в) 7^, - 2. 7^: г) 1, 7^. 4.25. а) 7^, 2. ТтО; б) 7^, 1, 7п; в) 7^, 2,5, 71л; г) Т^О^. О, 7100. 2л. §5 5.12. а) [2; +оо); б) [-0,5; 0,5]; в) [4; +оо); г) (-2; 0,51. 513. а) (-°о; -6] о U [2; +00); б) [-5; 3]; в) (-оо; 2] и [6; +оо); г) [-4; 1]. 5.14. а) f -04 ] и U [8; +00); б) -оо; -1^ и -1|; +оо ; в) (-оо; 3,5) w (3,5; +00); г) j^-4,5; Ij. 5.15. a) [-5; -1] [1; 5]; 6) (-<»; 0] u [5; +oo); в) [-4; -3] u u [3; 4]: Г) [-5; -4] u [-2; 3]. 5.16. a) (-oo; -3] u (2,5; 3) и (3; +oo); 6) (-0O; -1) u [5; +<»). 5.17. a) (-3; -0,4] и [0,5; 2] u [7; +oo); 6) [4; +oo); b) [-4; 3) u (5; +oo) u (2); r) (-oo; -6) и (-3; 1] и {2}. 5.18. a) [1; 2] и \j [3; +00); 6) (-oo; -1] u [0,5; 1) и (6; +oo); в) [3; +oo); r) (-oo; -3] u и (0,25; 0,5] и j^|; 2j u (6; +oo). 5.21. a) 0; 6) ?/2. 5.22. a) [0; +oo); б) (-oo; +00); b) (-00; +00); r) [0; +0O). 5.23. a) [2; +oo); 6) (-00; +00); в) [-3; +oo); r) (-00; +00). 5.24. a) [-2; +00); 6) (-00; 2]. 5.25. a) [0; 6]; 6) [0; +00); в) [0; 2]; г) [^; +00). 5.26. a) 0, 2; 6) 2; в) 0; г) 2. 5.27. a) 0; 6) 1; в) 1; г) -1, 0. 5.28. a) о, 2; б) -1; в) 1; г) 0, 3. 5.29. а) -9 < х < 7; б) ж > 1; в) -4 < дг < 0; г) X > -1. 5.30. а) 1; б) 3; в) 1; г) нет решений. 5.31. а) 1; б) 2; в) 2; г) 0. §6 6.10. а) 2; б) -2; в) 3; г) 2. 6.11. а) -25; б) -83. 6.12. а) 144; б) 98; в) 100; г) 54. 6.13. а) 5; б) -3; в) 8; г) 6. 6.14. а) 4; б) -6; в) 4; г) 10. 6.17. а) ^ > 75; б) ^5 < ^/3; в) ^7 > ?/47; г) -75 > 6.19. а) 7^; б) 73^: в) 7?; г) 6.20. а) 74аV; б) ‘7а^; в) ^125aV; г) =7216х^г“. 6.21. а) 75; б) '7^; в) ‘То’; г) 6.22. а) б) в) ^7а^^: г) 7*V 'V’. 6.25. а) -7-аУ"; б) -7Р*?’ при р > о и 7р*<7° при р < 0; в) 7-/71^л'“; г) > О и -ijx^y’ при X < 0. 6.26. а) -ab‘yfa^ + об \1-а^Ь; б) -1т* + 1т*Ц-т*. 6.27. а) 200; б) 6.28. а) О, 64; 6)16, 81; в) г) 1. §7 7.7. а) 47^; б) 2“^^; в) а\[^; г) 7.11. а) т МО ...ДТ^; 7 \2 луЗтп а| б) -^ТсУ. 7.16. а) 72^; б) ‘Т^^У; в) 'Тб4)^; г) ^7V?- 7.17. а) >78; б) в) 7Э; г) >^^- 7.18. а) б) в) -'^80а"Ь*; г) ->7(х - р)». 7.19. а) а; б) 1; в) 7х; г) 72. 7.20. а) 73; б) 473; в) 772; г) ЗТ2. 7.21. а) 72 + 73; б) б75 + бТч/. 228 8.18. а) И; б) 0,5. 8.19. а) 0,2; б) -12. 8.23. а) а; б) с"; в) х^; г) Ь ‘‘. 2 * -® 8.24. а) б) р; в) с‘; г) aV. 8.25. а) c’l/; б) р‘д 8.31. а) 1 + с; 12 11 б) т’ + т®; в) х + р; г) -2ifbc. 8.32. а) 4а’Ь‘; б) а’ + 25а. 8.33. а) ж - 1; 6) Л 8.34. а) б) 8.35. а) а + 6; б) 8.36. а) 0; б) 0. 8.37. а) 0,3; б) 0,3. §9 9.14. а) 4; б) 1; в) 0, 1; г) 8. 9.15. а) (1; 1); б) (1; 1); в) (0; 0); (1; 1); г) (1; 1). 9.16. а) 1; б) 0; в) 1; г) 0. 9.20. а) [0; 4); б) [1; +оо); в) [1; +оо); 111 1 2 Г) |0; 8). 9.21. а) 2х^ ; б) Зх; в) |х‘; г) х ’. 9.22. а) -jX *; б) х^ в) 9х г) X *. 9.32. а) 3^/t?lxcoe^ : б) 0.4(>/Зх - 1 - ct«2x)‘‘ 2yJZx - 1 sin*2x 3V? в) eos(x> + 2V? - 5) 5x‘ + ^ ^ 33 ^ 4^2в1п X + 3 COB X ^ 3V? J 6) 1; B) -3; r) 2. 9.34. a) |: 6) -l|: в) |: r) 0. 9.35. a) -3; 6) -y; J2 B) 8; Г) 9.36. a) 1; 6) 1, 16; в) 8; г) 64. 9.37. a) x > 0; б) x > 16. 9.38. a) y: 6) 9..39. a) j/ = |x + |: 6) 1/ = ^x + 1 - B)y= -^x + ||: r) V = ^x + 1 - 9.40. a)p = x + 3; 6) p = 4 - 3x И У = -4 - Зх. 9.41. a) у = \x + 1; б) у = Зх. 9.42. а) и = + 1; 4 о 4 1 4 1 У - i/ = “ о* 9*43. а) Убывает на [0; 4). возрастает на о 3 о о 2 [4; +00); X = 4 — точка минимума, = “2—; б) возрастает на [0; 1], убывает на [1; +о°); х = 1 — точка максимума, р^ = 9.44. а) Возра- стает на Го; i], убывает на Ti; + оо\ ^ ~ \ — точка максимума. Уа^ = б) возрастает на [1; 2], убывает на [2; -1-оо); х = 2 — точка мак- 230 симума. = g; в) убывает на (0; 1], возрастает на [1; +со); х = 1 -1 точка минимума, i/„i„ = 2; г) убывает на ^-2; возрастает на ■4> +°°]* ^ ~ ~Ъ — точка минимума, у„,„ = 9.46. а) 2; б) 2. 9.47. а) = -д, у^ = 0; б) у^ = д, не существует; в) у„„ = Is 11 I = -3. !/,ыл не существует; г) у^ = -2, = д. 9.48. Зд. § 10 10.1. а) 0,2 + 2,41; б) 0,2 - 0,41; в) 1,74 + 1,181; г) 0,2 + 0,11. 10.2. а) л = 4ft + 1, ft € Z; б) л = 4А, ft £ Z; в) л = 4ft, ft 6 Z; г) нет корней. 10.3. а) л = 3; б) л = 9; в) л = 5; г) л = 4. 10.4. а) г„ г„ г,, гг; б) г„ г„ г,, Zj. 10.5. а) Zi, Z3, гг, г»; б) Z|, Zj, z., Z2. 10.7. а) п = 23; б) л = 12; в) л = 34; г) л = 34. 10.8. а) 5 ± 21; б) ±2 - 51; в) -15 ± 41; г) г, = 1, Z2 = -311. 10.9. а) -1; б) 0,5(l - 1л/з); в) 0,5(-1 + 1>/з); г) -0,5(l + 1>/з). 10.10. а) л = 6; б) л = 11; в) 20; г) 0. 10.11. а) ±^(1 + 1): б) ±-у(1 - О; в) ±0,5(72 + 2у/г - ФЛ - 2); г) ±(7о,5ЛоТ ^ + 17о,5з/1о1 +5). 10.12. а) Zo = 2, Z, = -1 + 1з/з, Z2 = -1 - 1^3; б) z„ = l,5(l + 1>/з), z, = -3, Zj = 1,5(1 - 1>/з); в) Zo = 0,5(7з + l), ±1 = 0,5(-7з + 1), Zj = -1; г) Zo = 2(\/з - 1), Zi = -2(7з + l), Zi = 41. 10.13. а) Zo = 1, Zi = 1, Zj = -Zo, z, = -z,; 6) Zo = 0,5(y/2 + i72), z, = 0,ь(-Л + l\/2), Zj = -Zo, z, = -z,. 10.14. a) Zo = 1, z, = 0,5(1 + 1х/з), Zj = 0,5(-l + Ф), z, = -Zo, z, = -z„ гг = -Zj; 6) z, = 0,5(Тз + l), z, = 1, Zj = 0,б(->/3 + i), Zj = -Zo, z, = -Zi, Zo = -z,; B) Zo = 1, z. = 0,5(-l + Ф), z, = -0,5(l + Ф); r) ±1. 10.15. a) cos 45° + 1 sin 45°; 6) cos 145° + 1 sin 145°; в) (cos 135° + + 1 sin 135°); r) >/3(cos (-145°) + 1 sin (-145°)). 10.16. a) z„ = 1, z, = cos 72° + I - у!ъ + 1 sin 72°, Zj = cos 144° + 1 sin 144°, Z3 = Zj, z< = Zi; 6) A = —^—, 7s - 1 В = b) cos 72° = , . „00 7l0 + 2з/5 , . Sin 72° = J----------—r) Os : 4 4 /5-3/5 231 а,о = 10.17. а) г’ 5г‘ + 9г - 5; б) г* - 6г* + 13z; в), г) таких многочленов нет, так как среди корней нет сопряженных чисел. 10.18. а) г’ - Зг’ - 15г + 125; б) г, + Zj + Zj = 3, ZiZj + + z^z, = 15, ZiZjZa = -125. 10.20. a) z* + 2z* + 3z’ + 2z + 2; 6) z* - 6z‘ + 25; в) z* -- 12z“ + 61z* - 132z + 100; r) таких многочленов нет, так как корни не разбиты на пары сопряженных чисел. 10.21. а) z, = 2, Zj.] = ±i; б) z, = -3, гг.» = tiyJE; в) Zi = 1, Za.a = -2 ± i; г) Zi = -10, Zj,a = 3 ± i. 10.22. a) z,,a = ±1, Za.a = ±i; 6) Zi = 1, Za = 2, Za.a = ±2i; в) Zi.a = ±3, z,., = ±2i; r) Zi = 2, Za = 3, Za.4 = ±i. ГЛАВА 3 §11 11.23. a) 2 '^, 2 2, 1. 2^, 2-^, 2“;6)0,3’, 0,3^, 0,3^ 1, 0,3 '^, 0,3 *. 11.24. a) (V3)"^, 1, (73)1 (73)'", (Тз)-^, шА б) (7з-72)"", (7з-72)", (73-72)-"". 11.25. а) |;^) . 1 1 ^2 л 11.28. а) Возрастает; б) возрастает; в) убывает; г) возрастает. 11.29. а) Убывает; б) возрастает; в) возрастает; г) возрастает. 11.30. а) Убывает; б) убывает; в) возрастает; г) убывает. 11.35. а) 9, 8^; б) 12-i, s4; в) 10, о1 о о 9~; г) 29, 13|. 11.36. а) -3, -4|; б) 522, 26; в) 5, 4^; г) -7, -и|. 11.44. а) (0; -юо); б) (0; +оо); в) (0; -Ю°); г) (0; -t-oo). 11.45. а) (1; -К»); б) (6; -t-oo); в) (-2; -t-oo); г) (-8; -1-оо). 11.46. а) (4; 8) U (8; -t-oo); б) (-3; -t-oo); в) (-5; -юо); г) (5; -юо). ц.47. а) (-3; -юо); б) (-2; -foo); в) (2; 4) U и (4; -юо); г) (1; -Юо). Ц.51. а) /(-3) = -8, Л"2,5) = -6,5, /(0) = 1, f{2) = 4, /(3,5) = 872. 11.52. а) /(-3) = /(-2,5) = /(0) = 1, /(1) = 0, /(2) = -3. 11.53. а) /(-5) = 32, /(-2,5) = 472, /(0) = 1, /(4) = 3, /(1,69) = 2,3. 11.54. а) /(-3) = 64, /(-2) = 16, /|^-|| = 8, /(0) = 1, 232 /||nj = 0. 11.60. a) -4; 6) 5; в) г) -Ц- 11.61. a) 1; б) -1; в) 1; г) -1. 11.62. а) 2; б) -2; в) 0; г) -1. 11.63. а) 1; б) -1; в) 1; г) -1. 11.64. а) 1; б) 2. 11.65. а) 1; б) 1; в) -4; г) 2. 11.66. а) 1; б) 0; в) 0; г) 1. 11.69. а) ж > 1 9 25 б) JC < -j; в) JC < jg: г) д: > 11.70. а) 4г > 0; б) дг < 0; в) д: > 0; г) JT < 0. 11.71. а) (-СО; +°о): б) (-оо; О); в) (-оо; +<»): г) (-оо; +оо). 11.72. а) дс < -1; б) таких значений нет; в) дс> 0; г) д: < 1. 11.73. а) дг > 1; б) х > -1; в) х < 1; г) X < -1. 11.74. а) X < О, X > 1; б) -1 < X < 0; в) О < X < 1; г) х < -1, X > 0. 11.75. а) -оо < X < ОО; б) X < О, X > 0; в) нет решений; г) х = 0. 11.76. а) X < 0; б) X > 0; в) X < 1; г) X < -1. 11.77. а) х > 1; б) х > 0; в) X > 0; г) X = 0. 11.78. а) 31; б) 9. §12 12.5. а) -2; б) -8; в) 2; г) 0,2. 12.6. а) ±1; б) 0; в) ±1; г) ±73. 12.7. а) -2; 2 1 1 б) 1,5; в) 3; г) д- 12.8. а) -1; б) -д. 3; в) 2,5; г) -6. -2. 12.9. а) g: б) 1^. 12.10. а) -1, 3; б) -2, 4; в) -1, 7; г) -1, 4. 12.11. а) 2; б) 1; в) 2; г) 3. 12.12. а) 2, 5; б) ±2; в) 8; г) 3. 12.13. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. 12.14. а) 0; б) 4; в) 0; г) 2. 12.15. а) -1; б) 1. 12.16. а) 14; б) 0,5. 12.17. а) 1; б) 1; в) -3; г) 0,4. 12.18. а) -0,5; б) 2; в) 0; г) -0,25. 12.19. а) 1; б) -2; в) 3; г) 3. 12.20. а) 0,5; б) 0,5; в) 2; г) 2. 12.21. а) 1, 2; б) 2; в) -1; г) 0. 12.22. а) ±1; б) ±1; в) 1; г) 1. 12.23. а) ±1; б) 1; в) 1; г) 1. 12.24. а) 3; б) -3; в) ±1; г) -2. 12.25. а) ±2; б) ±2. 12.26. а) 6; б) 5. 12.27. а) -4, 2; б) -1,5, 1. 12.28. а) 1; б) -0,5. 12.29. а) ±1; б) ±1. 12.30. а) ±1; б) -2. 12.31. а) 0; б) ±0,5. 12.32. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. 12.33. а) 0; б) 0,25; в) 2; г) 0,5. 12.34. а) 2; б) 1, 2. 12.35. а) -0,5, 2; б) -3, -2. 12.36. а) 4, -1; б) 1, 3. 12.37. а) 1; б) -1; в) -1; г) 1. 12.38. а) 0; б) -3. 12.39. а) а > 0; б) а > -3; в) а < 0; г) а ^ 0. 12.40. а) а < 3, а > 27; б) а > -1. 12.41. а) О < о < 14; б) -0,5 <а<0, 4<а< 4,5. 12.42. а) m = -2, m = 0. 12.43. а = ±1. 12.44. а) (1; 3); б) (1; -2); в) (2; 1); г) (-1; 3). 12.45. а) (2; 1); б) (-0,6; 0,2); в) (-1; 2); г) (2,2; -0,4). 12.46. а) (5; 1); б) (0; 1). 12.47. а) (1; 3); б) (1; 3). §13 13.5. а) X < -5; б) х > -1; в) х > 7; г) х > 1. 13.6. а) х < -0,8; б) нет решений; в) х > -5; г) -оо < х < +°о. 13.7. а) х > 0,5; б) х < 0,25; в) х > -0,5; г) X > 13,5. 13.8. а) 2 < X < 3; б) -2 < X < 3; в) -2 < X < 0,5; г) 4 < х < 6. 233 13.9. 8l) -<Х> < X < +00; б) X < 1, дс > 3; в) -2 < ;c < 1; г) I < х < 4. 13.10. а) X < -0,5; б) х > 2; в) х > -0,5; г) х > -2. 13.11. а) х < 2; б) х < 2; в) X < 2; г) X > 2. 13.12. а), б) 2, 3, 4, 5, ...; в) 2, 3, 4; г) 2, 3, 4, 5, 6, 7. 13.13. а) К X < 3; б) -2 < X < 1. 13.14. а) х < -2, х > 1,5; 1 б) -у < X < 2; в) -6 < X < 1,8; г) х < 2, х > 6. 13.15. а) х > -3; б) х < -6, ,2 1 X > -1д; в) X > 8; г) X < -6, X > 8. 13.10. а) 0 < х < 4; б) 0 < х < у! в) о < X < 2; г) X < X > 0. 13.17. а) х < 2, х > 3; б) х < х > 3; в) -К X < 5; г) -2 < X < 3. 13.18. а) х < 2^, х > 3^; б) -э| < х < -gi; 4 4 3 3 в) X < 2; г) X < -2, X > 2. 13.19. а) -16 < х < -5^; б) х < 6, х > 18; 2 2 в) X < 4,5; г) X < X > Уд. 13.20. а) 2; б) 3; в) 2; г) 1. 13.21. а) -1; б) 1; в) 0; г) -1. 13.22. а) 5; б) 3; в) 5; г) 2. 13.23. а) х > 0; б) х > 0; в) х > 0; 2 1 г) X < 0. 13.24. а) X < 2; б) X < 1; в) X < -1^; г) х < g- 13.25. а) х > -0,5; б) X < 2; в) X > 0; г) X > -0,25. 13.20. а) х > 1; б) х < 0. 13.27. а) О < х < 1; б) X > 0; в) X < О, X > 1; г) X > 0. 13.28. а) х > 0; б) х > -у! в) х < 0; г) х > 1. 13.29. а) X > 0; б) X > logi 3; в) нет решений; г) х < 0. 13.30. а) х < 0; б) -оо < X < +оо; в) X > 1; г) X < -2. 13.31. а) х < -1, х > 1; б) -1 < х < 1; в) X > 1; г) X < 1. 13.32. а) l| < X < з|; б) -К х < 1; в) х < -|. х > -у: г) -2 < X < 2. 13.33. а) X < 2, X > 4; б) о < X < 2; в) -2 < X < 4; г) I < -2, X > 2. 13.34. а) X < 1; б) X < 0; в) X > -2; г) х > 1. 13.35. а) х < 2; б) х > 1. 13.36. а) X < 1; б) X > -2. 13.37. а) х < О, х > 1; б) О < х < 1. 13.38. а) х < 2; б) X > -2. 13.39. а) X = 1; б) -оо< X < +оо. 13.40. а) 1 < х < 4; б) х < -2; 1 3 в) -1 < X < 1; г) О <; X < 1. 13.41. а) X > 2’ б) -2 < X < в) X > 0; 4 3 г) -■g < X < 2‘ 13.42. а) X = -2, х > 3; б) 3 < х < 5, х > 5; в) х < -2; г) X > 2. 13.43. а) 6 < X < 8; б) -| < X < 1. 13.44. а) х < -ч/2, ч/2 < х < 3; б) -^/5 < X < X > 3. 13.45. а) 3 < X < 4; б) -5 < х < 2. 13.46. а) 1 < а < 14; б) -1 < а < 7. 4 234 §14 14.5. а) 4; б) 5; в) -2|; г) -6. 14.6. а) 0; б) 2.5; в) 9; г) 14.7. а) 2; б) 1,5; в) -1,5; г) -2,5. 14.8. а) 5,5; б) 1 - 2ч/3; в) 9,6; г) 6. 14.9. а) 1; б) 1; в) -2; г) 1. 14.10. а) 1; б) 2. 14.11. а) 0; б) 1. 14.13. а) 72; б) 28; в) |; г) 24,5. 14.14. а) б) 8; в) ly|j: г) 14.15. а) 9; б) в) 16; г) 14.16. а) 62,5; б) 8; в) 0,05; г) 0,1. 14.17. а) 6^/2 + 4; б) 2^/3 - 144; в) 4 - г) 4 + ч/2. 14.23. а) logs 14 - 1; б) в) 3 - logs 11; 8 - log^ 6 . 14.24. а) ±^log2 7-1; б) ±^Iog, 2; в) ±^2 - Ig 3; г) ±s/3 logs 10 - 3. 14.25. а) 1, logs 3; б) 0, log, 5; в) 1, logs 4; г) 1, log? 2. 14.26. а) -1, logs 2; б) -1, logs 3 - 1; в) -1, logs 5 - 1; г) -1, -logs 6. 14.27. а) X > logs 9; б) х < log,s7; в) х > -logs 4; г) х < -1. 14.28. а) х > > logs 14 - 1; б) X > ,!р8б 1^6 + 4. в) X > 3 - logs 11; г) х > —| logs б + 14.29. а) X < 1, X > logs 3; б) 0 < х < log, 5; в) 1 < х < logs 4; г) -<» < х < +<». 14.30. а) X = о при а < 0; X, = о, Xs = logs о при о > 0; б) при а < -2 решений нет; х = logs (а * 2) при -2 < а < 1; х, = logs (а + 2), Xs = logs (а - 1) при а > 1. §15 15.8. а) (-00; 2) U (3; +«>); б) (-7; 2); в) (-оо; 1) и (12; +оо); г) (-1; 9). 15.9. а) (-00; 2) U (3; +оо); б) (0; 1); в) (0; 2) и (3; +оо); г) (1; +оо). 15.17. а) logs 0,1, logs logs 0,7, logs 2,6, logs 3,7; б) log„,s 17, log„.s 3, logos 2,7, logo.s |. logo.s 15.20. a) fi; 8ll; 6) [2; 8). 15.21. a) -1; 6) 0; b) 0; r) -2. 15.22. a) 7; 6) -5; в) 2; г) -I7. 15.23. a) -2; 6) logs 5; в) -2; г) -logo.2101. 15.26. a) ^ > 0; 6) i/ > 0; в) у > 0; г) 0. 15.27. a) у < -1; о б) I/ < 0; в) I/ < 0; г) I/ < -2; 15.28. а) у > 7; б) I/> -5; в) I/ > 2; г) I/ > -1у. 15.29. а) 1; б) 1; в) 1; г) 1. 15.30. а) 3; б) в) 5; г) 15.31. а) — г) Нет решений. 15.40. а) /(-8) = 27, /(-6) = 21, f(0) = 3, /(3) = -1, f(9) = -2. 15.45. а) X > 1; б) о < X < 1; в) о < X < г) х > 15.46. а) 0 < х < 2; 235 б) а; > 0. 15.47. а) а: > 1; б) 0 < а: < 1; в) 0 < а: < 1; г) х > 1. 15.48. а) о < X < 3; б) а: > -g! в) а: > 5; г) о < а: < ^. 15.49. а) х > 2; б) о < X < 3: в) -2 < X < 0; г) X < -3. 15.50. а) | < х < 1; б) 0 < х < 1; в) X > 1; г) X < -1. § 16 16.7. а) 4; б) -1,5; в) -12; г) 3. 16.8. а) з|; б) -1; в) Ц; г) 2,5. О U О 16.10. а) 5; б) 22. 16.11. а) 3; б) 2. 16.12. а) 20; б) 3.2; в) 24; г) gj- 16.13. а) 64; б) 49; в) 9; г) 216. 16.14. а) 27; б) 169; в) 9; г) 625. 16.15. а) 18; б) 5: в) 35; г) 3. 16.16. а) 3.5; б) 2^; в) 2; г) 3,5. 16.17. а) 1; б) 1; в) 1; г) -4. 16.18. а) 3; б) 2; в) 1; г) 1. 16.19. а) -1; б) 1; в) 1; г) 1. 16.20. а) 0; б) 0; в) г) о. 16.21. а) loga 4 < v/Э; б) logo,. 3 < sin 3; в) log, 5 > ?/7; г) Ig 0,2 < cos 0,2. 16.22. а) log, 4 > ifi; 6) loga 3 < ?/7. 16.23. a) 4a; 6) m + 1; b) fe - 1; r) -2d. 16.24. a) m + n; 6) 2m + n; в) m + 3n; r) 2m + 3n. 16.25. a) c + a; 6) 1 - c - a; b) 2c + a; r) 2c - ^a. 16..36. a) 2; 6) 2; в) 3; г) 5. 16.41. a) 0; 6) 2; в) 0; г) -1. 16.42. a) 20; б) 4; в) 16,5; г) 18. 16.43. а) 68; б) 44. 16.44. а) 32; б) 2. 16.45. а) 2; б) 16.46. а) 6; б) 6. 16.47. а) -1; б) 2. 16.48. а) 890; б) 0,6. 16.49. а) 80; б) l|. 16.52. а) Ig 1, log. 3, logj 7; б) loga 0,5, Ig 1, logo.a 0,1; в) loga 1, loga 4, loga 9; r) loga 0,6, loga 1, logo.a 0,3. 16.53. a) log. 0,9, loga loKa 3, log, 10; 6) logo.« 5, logo.. 10, loga 0,7, logo.a 1. 2 23 4 l + 2a l + 3a 16.54. a) p 6) -p B) p r) 16.55. a) a; 6) —g—1 в) 2o; r) —g—• 16.56. a) l + 6) ^ ^ b) r) 3o + 6 a + b' . 16.57. a) 2a + b , 1. 1 , 2 + b , a + 3 1 + 2b 6) —g—: B) 2*^4“’ oTb' 6) 2a + 2’ a + b, b ’ ■ 2 b+ 2' b 2-a 3a-b+5 a + 1 16.59. a) 6) 16.60. a) ^-b + l’ WTb' 6) log„ b. 16.62. a) a'"*’’’-, 6) log. b. 16.65. (-3; -3). 16.66. г„ z„ гг, г,. 236 17.3. а) 3,5; б) 1^; в) 4; г) 2. 17.4. а) + 2пп, п € Z; б) + 2' л € Z; в) (-1)" g + пп, л € Z; г) (-1)" g + пл, лег. 17.5. а) -7, 3; б) -4, 3; в) 5, 7; г) -5, 2. 17.7. а) 10; б) 2; в) -10; г) нет корней. 17.8. а) ±5; б) 4, 4 5; в) ±6; г) -3, 2. 17.9. а) -0,8; б) 0,5; в) gi г) нет корней. 17.10. а) 8; б) 2^; в) 8; г) 80. 17.11. а) 0,5; б) 10; в), г) нет корней. 17.12. а) 4; б) 2, 4 3; в) г) 2. 17.13. а) Нет корней; б) 4; в) 7; г) нет корней. 17.14. а) 2; б) 3. 17.17. а) 3; б) нет корней; в) 4; г) -1. 17.18. а) 1; б) нет корней; в) 2, 4; г) -4. 17.19. а) 5; б) 6, -12. 17.20. а) 5; б) 3. 17.21. а) 17; б) ±2; в) г) ±>/2. 17.22. а) 2, 8; б) 16; в) 2, 4; г) 0,04, 125. 17.23. а) б) 41, 16; в) 0,0081, г) Щ-, 4. 17.24. а) 100; б) 81; в) 10; г) 32. 17.25. а) 0,1; б) 0,01, 100; в) -100; г) 100, 10 17.26. а) 0,25; б) 3; в) 2; г) 0,0001. 17.27. а) Нет корней; б) 9; в) а/ш, 10; г) 0,0001. 17.28. а) 16; б) 27. 17.29. а) 3; б) 5, 25; в) 343, г) 2, 512. 17.30. а) 2''^, 2б) 2. 17.31. а) 2, б) 9, g- 17.32. а) 2; б) 2, 8. 17.33. а) |, 9; б) 4; в) 4; г) g. 9. 17.34. а) 0,1, 1000; б) 0,125, 2; в) г) 17.35. а) 1; б) 2. 4, 17-36. а) g. 6; б) 10^1 17.37. а) о, 1; б) 0, 1. 17.38. а) 10; б) 0,1, 10\ 17.39. а) -1, -2|, 3; б) 1, 2. 17.40. а) (1; 1), (2; 4); б) (-12; 31), (2; 3). 17.41. а) (2; 3), э (3; 2); б) (3; 6); в) (4; 1); г) (4; 4). 17.42. а) (1; 3), (3; 1); б) (2; 1); в) (1; 2); г) нет решений. 17.43. 2. 18.4. а) < X < 2; б) X > 1; в) 1,8 < X < 9; г) К X < li. 18.5. а) 1,8 < б) 1,5 < X < з|; в) < X < 5; г) I < X < 5. 18.7. а) 2; б) 1; в) 3; г) 6. О 4 ^ 18.8. а) 2 < X < 3; б) нет решений; в) -10 < х < -2-J2; г) х > 14. 18.9. а) X < -3, 2<х<6;б)2<х<11;в) нет решений; г) ЗТЗ < х < 9. 18.10. а) 3 < X < 4; б) X > l|. 18.11. а) х < -1, х > 8; б) х < -1, х > 11 2 1 в) 2<х<4;г)0<х< д. 1<х< 1^. 18.12. а) х < д. х > 2^; б) -1 < < X < о, 3^ < X < 15^; в) ^ < X < 1; г) < х < ->/5, < х < О, 0<х<>/2. ^/5 4; в) X > 44; г) X > 3. 18.16. а) 2 < х < 5; б) -2 < X < 3. 18.17. а) О < X < 2, X > 8; б) 2 < X < 4; в) ^ < х < 16; г) О < X < X > 125. 18.18. а) -0,9919 < х < -1 + б) нет решений; в) < X < -1 + IJI 2 ^ 2V3’ X > 4; г) ^ < X < 27. 18.19. а) < х < 16; б) l| < X < 1 + в) X > 0; г) 5 ' -1 < X < -0,96. 18.20. а) -3; О 1 б) -28; в) К X < 4, X > 28; г) -4| < х < 22. 18.21. а) О < х < g’ ^ > V2; б) ^ < X < X > 2; в) О < X < 2, X > 4; г) < х < 15 625. 18.22. а) О < X < 1, X > 16; б) О < X < ^. X > 10; в) О < X < 0,01, 0,1< X < 1000; г)0<х<^,х>|. 18.23. а) -2 < х < 2; б) -\/б <: х < ч/б. 18.24. а) -1 < X < 3; б) -5 < X < -1. 18.25. а) х > |; б) | < х < 1; в) 2 < ’ < X < 2^. 18.26. а) 5; б) 2; в) 3; < X < 14; г) г) 1. 18.27. а) 10; б) 3. 18.28. а) 2; б) 511. 18.29. а) | < х < |: б) -l| < 1 12 2 < д: < -1; в) X < г) д: < 4. 18.30. а) ^ < х < д* х > 1^; б) 2 < х < 3, X > 5. 18.31. а) 1 < X < 3; б) 1 < X < 3. 18.32. а) 2 < х < 3, з| < х < 4; О 238 б) < X < 2. 18.33. а) -■g + 2яп < х < 2лп, 2пл < х < g + 2яп, л е Z; б) 2лл < X < ^ + 2лл, ^ + 2пл < X < п + 2ял, л € Z; в) ^ + 2ял < < X < ^ + 2ял, ^ + 2ял < X < ^я + 2ял, л € Z; г) -^ + 2ял < х < -^ + + 2ял, ^ + 2ял < X < ^ + 2ял, л е Z. 18.34. а) + 2ял < х < g + 2ял. ^ + 2ял < X < ^ + 2ял, л е Z; б) —^ + 2ял < х < ^ + 2ял, л € Z. 18.35. а) ->/l2 < X < -2, 2 < х < Vl2: б)0<х<3, з| <х< в) х > 1; г) X < ->Я0, 3^ < X < 4. 18.36. а) ^ < X < 1, X > 2; б) О < X < 1, 5 < х С 25. 18.37. а) О < X < 1, X > 4; б) О < X < 1, X > 7. 18.38. а) -3 < х < б) X < -4, X > 18.39. а) 25. 18.40. а) X > 2; б) 0,25 < х < 0,8. 18.41. а) х > 5; б) | < < X < 2. 18.42. а) Нет решений; б) 1 < х < 3. 18.43. а) 0 < х < х > 1; б) -2 < X < 3. 18.44. а) 3 < X < ai, х > 4; б) 2 < х < 5. 18.45. а) 3 < х < 9; б) 2 в) о < X < 2,5°** - 1; г) 3 < X < 4; X > 6, 18.46. а) О < х < —, 1 < X < I-t; б) -l4 < X < -1, -4 < X < о. 18.47. а) X > 3; б) О < X < 1; 4 о О §19 4 4<’ 1 19.7. а) б) в) -9,9; г) 19.8. а) -1; б) -1; в) 5 - е; з) 3. Я 3 3 л 13 9 19.9. а) б) ^я; в) -^я; г) g. 19.10. а) -5; б) —g-: в) г) нет решений. 19.11. а) (-оо; +00); б) ^-оч |j; в) (-<»; -2); г) -|j. 19.12. а) у = ех; X 2 6) у = е^х - е‘; в) у = X + 1; г) у = — + -• 19.13. а) у = Зх; б) у = 0,5; 239 в) у = -2х + 2; г) J/ = 1. 19.14. а) Да; б) нет. 19.15. а) у - 2х - g’ 6) у = -2х + 3. 19.16. а) у = 2ех. 19.17. а) у = |л; б) = |х. 19.18. а) Возрастает на (-<»: -2] и на [0; +<»), убывает на [-2; 0], * = 0 — точка минимума, х = -2 — точка максимума; б) возрастает на [-0,5; +оо), убывает на -0,5], х = -0,5 — точка минимума; в) убывает на (-°о; -3], возрастает на [-3; +<»), х = -3 — точка минимума; г) убывает на (-<»; 0] и на (0;1], возрастает на [1; +<»), х = 1 — точка минимума. 19.19. а) Возрастает на ^-оо[ In-ij и на [0; убывает на oj, х = In ^ — точка максимума, х = 0 — точка минимума; б) убывает на (-<»; 0] и на [In 1,5; -ьоо), возрастает на [0; In 1,5], х = 0 — точка минимума, х = In 1,5 — 1 4 точка максимума. 19.20. а) 0, е; б) 0, е; в) -, -j', г) е, 9е . 19.21. а) а € е (-7; -1] U [0; 6); б) а € (-1; 0); в) о € (-<»; -7] и [6; -t-oo); г) нет таких а. xlnx-(l-fx)ln(l-fx). „ 2(х-1)1п(х-1)-2х1пх х(1 + х)1п^х ’ х(х-1)1пЧх-1) • _____ 6х‘3 61п(Зх-4) 2 + сов’'х 1 19.30. а) б) з^_4 : в) ^2х + хсов^х’ 'бх In 2х^1п 2х ’ 19.32. а) у = 4х - 3; б) J/ = X - 1; в) р = -4х + 2е; г) у = х - I. 19.33. а) у = X -t^ In 3 - б) у = 1,5х In 2 - 1,5. 19.34. а) у = -х; о е 3 б) у = —X. 19.35. а) -1; б) -1. 19.36. а) Убывает на (0; 1], возрастает на [1; +00), X = 1 — точка минимума; б) убывает на (0; 1], возрастает на [1; -юо), X = 1 — точка минимума. 19.37. а) 1, е - 1; б) е - 1, е’ - 2. 19.38. а) Возрастает на (0; 2] и на [3; -Ь°о). убывает на [2; 3], х s 2 — точка максимума, х = 3 — точка минимума; б) возрастает на [1; -*-<»), убывает на (0; 1], х = 1 — точка минимума. 19.39. а) -4 + In 4, -1; б) 1, 4 - In 4. 19.40. а) 1, 5,75; б) 0, 12. 19.41. а) Нет, 1; б) е, нет. 19.45. 12. ГЛАВА 4 § 20 20.8. а) Нет; б) да. 20.9 а), б) Да. 20.16. а) х; б) tg х; в) --7 сов 2т; 4 г) x-ictg2x. 20.17. а) -^соб7х; б) ^х - ^sinЮх; в)|зш5х; 11 X* г) -Yo “ о ^ 20.18. й) у = ~г ~ X* + С; б) j/ = X - cos х + С; 12 о ^ 240 в) у = - X* + С; г) у = sin I - 9х + С. 13 X* 9 _4 , 20.19. а) у = + С; б) у = — - cos х + С; в) у = -^ ~ 2х‘ + С; 5 3 ' г) у = — - sin X + с. 20.20. а) х’ - 2х* + 19; б) + х - 8,5; в) х* + 5 1 3 + х"- 14; г)х* + — - ^3^. 20.21. а) -совх + б) tg 5х - 2; в) sin х + 0,5; г) -3 ctg ^ + 3. 20.22. а) -4 сое х + 3; б) sin х + 15; в) sin х + 7; г) sin х + + 14. 20.23. а) tgx + 5 - ТЗ; б) -2ctgx - 1; в) 2х + tg х + 4 + ^ + 7з 7з lOrt + -Т-: г) -ctgx - lOx - 21--------5- - 20.24. а) -cos х + 21 - Л. 2 ’ 72 75 б) sin X - 9,5; в) -cos х + 10 - -^; г) sin х - 6 - -^. 20.25. а) F(x) = X* = ^ + х’ - 16; б) f(x) = -14 cos X + 23; в) F(x) = 2е’” ‘ + 3; г) f(x) = О = 1 - ^ In (2 - Зх). 20.26. а) F{x) = cos х - 14,5; б) F(x) = cos 4х + 1 23 + ц cos 2х + ;|g* в) F(x) = -sin х + 5,5; г) F(x) = sin 2х + 2 sin х. fi 2 20.27. а) F(x) = з73х - 6 + х - 25; б) F{x) = -|75х + 4 - 8х - 5. 20.28. а) -5, 1, 5; б) -2, -1, 1. 20.29. а) ^ + яп, п е Z; б) (-1)" | + 2пл, 1 7 л € Z. 20.30. а) -Зх^ + “ 12’ + Зх + ^- 20.31. 4. 20.32. а) х^ + 9 О 29 + Зх + 2,25; б) (Зх - 1)*. 20.33. а) х“ + б) + -j- 20.34. 8. , 4 2 I------ 20.35. 8 = t* + / - 1. 20.36. 8 = g cos 3t + g- 20.37. s = -б72( + 1 + 9. 20.38. 8 = ^(1 + 0" + + |> c = |(1 + 0’ + |- 20.39. a) 5; 6) 5; в) 7; г) -2. 20.40. a) F(a) < F(b); 6) F(a) > F^b); в) F(,a) > F{b); r) F(a) > F(b). 20.41. a) X = -3,5 — точка максимума, x = 1 — точка минимума; функция возрастает на (-о°;-3,5) и на (1;+°°), убывает на (-3,5; 1]; б) X = 5 — точка минимума; функция убывает на [4,8; 5] и возрастает 241 на [5; +00); в) экстремумов нет, функция возрастает на [О, +0О); г) I = -2 — точка максимума, х = 2 — точка минимума; функция возрастает на (-оо; -2] и на [2; 2,5), убывает на (-2; 2]. 20.44. а) tgjt + С; б) ^ sin 2x + С; в) -ctg х + С; г) сое 2х + С. 20.45. а) g sin 4х - ^ sin 8дг + С; б) совх-л^со8 7х + С;в)^8ш2х + + ^ sin 8х + С; г) cos 10х + ^ cos 6х + С. 20.40. а) - ^sin 2х + oil 1 1 о + С; б) gX - sin 2х + ^ sin 4х + С; в) gx + -^ sin 2х + С; г) gX + 11 2 + ^ sin 2х + ^ sin 4х + С. 20.47. а) -2 ctg 2х + С; б) - - + С. §21 21.2. а) 5|: б) 4^|2 - 5,5; в) 8,2; г) -l|. 21.3. а) 2о|; б) 12^; в) -4; О ООО г) -2,5. 21.4. а) 2; б) l^. 21.5. а) 9; б) 47; в) 34|; г) 7,5. 21.6. а)-2|; *5 О О б) l|; в) 2|; г) -24|. 21.7. а) 1; б) 2; в) 2; г) 1. 21.8. а) б) в) ЗШ - 1); г) 2\. 21.9. а) -0,4; б) ^ в) г) я. J 21.10. а) 4,5; б) -2; в) 0,25; г) 1,5. 21.11. а) 1; б) 3 - 0,5л -^3; в) + 1; г) + + 2 - 21.12. а) ^л; б) 2113. а) ^ б) - 1; в) -^ + i; г) 73 - 1. 21.14. а) 1^; б) |(3v^ - l); в) 87|; О 1 г) |(2 - ^). 21.17. а) In 2; б) е’’ - е + In 2; в) 0,1 In 2; г) - е*) + 2 in 2. 1 1 11 1 9 4 21.18. а) 2 In 2,2; б) ^ In -g-: в) j 1пЗ; г) In 4. 21.19. а) 19|; б) 21.20. а) 2 - g; б) 3. 21.21. а) + 15; б) In 2 + 21.22. а) б) б|; в) 1о|; г) 14gi. 21.23. а) 4; б) 11; в) 3; г) -5. 21.24. а) 9,5; б) 6,5. 21.25. а) -3; б) 1,5. 21.26. а) 0; б) 0. 21.27. а) 4; б) 6. 21.28. а) 1; б) 6; в) 25; г) 7. 21.29. а) |ц, л 6 Z; б) | л € Z; в) |л, л 6 Z; г) л е Z. 242 21.30. 2 1 а) -g. 2’ 2; б) -2, 2. 21.31. а) 3; б) 5. 21.32. а) -1; б) 1. 21.33. а) -1 < X < 1; б) о < X < 1, X > 3; в) -1 < X < 1; г) X < -6, х > 1. 21.34. а) -g + 2пп < х < g + 2лл, n€Z;6)g +лл<х<-д- + ял, » 2л„ я„ 7я, л € Z; в) —д- + 2ял < X < -■g + 2ял, л € Z; г) -д- + 4ял < х < -д- + + 4лл, л е Z. 21.35. а) 1 = 1; б) нет корней. 21.36. а) 0 < f < б) -4 < t < -1, t > 6. 21.37. а) 4л; б) | + 1; в) г) ^ + 16>/3. 21.38. а) 2л; б) 21.39. а) 6,5; б) 18,5; в) 8,5; г) 11,5. 21.40. а) 12; б) 1,2; в) 27; г) 21.41 а) 4; б) 3. 21.42. а) 96; б) gi в) э|; г) 21.43. а) 2li; б) 20^; в) 9; г) б|. 21.44. а) 8; б) 1о|; в) 1о|; г) 6. 21.45. а) h б) 4; в) I: г) 4. 21.46. а) 1; б) в) ^2; г) ч/2. 21.47. а) л + 1; б) я; в) 5 + 2; г) 2^/3. 21.48. а) 14; б) 18; в) г) 2. 21.49. а) 4,5; Z о б) l|; в) 10|; г) 4,5. 21.50. а) 2|; б) 2l|; в) г|; г) 9. 21.51. а) 1 + -2 Я* 1 1 б) 1 + в) 1 + ^: г) 2 + у. 21.52. а) я - J2’ б) 7л. 21.53. а) Ь~; б) в) |: г) 2|. 21.54. а) 16; б) 54. 21.55. а) 8,5; б) 12|. 21.56. а) е“ - 1; б) в) ^"7^: г) с* - 1. 21.57. а) б) е - 2; в) - 2; г) 2(е=^ - 1). 1 2 21.58. а) 1; б) In 3; в) 2; г) g In 10. 21.59. а) - е" + In g; б) 4 - In 5; в) ^ - In 4; г) е - 2. 21.60. а) 2 + gfg: б) gfg + |- 21.61. а) - 1,5; б) ^ - 2. 21.62. а) 2е - 1; б) 7 - 21.63. а) 14; б) 36; в) 2^; 31n3j г) |. 21.64. а) 2; б) h в) г) 21.65. а) 2^; б) 2^. 21.66. а) 15^; б) 5^. 21.67. а) I - б) I + l|; в) 1 - г) I + |. 21.68. а) 4.5; 243 б) 4,5. 21.69. а) 20|; 6) 14^. 21.70. а) б) 2,25. 21.71. а) б|; б) 21.72. а) б) 21.73. а) б) 21.74. а) б) 21.75. а) 6,75; б) 6,75. 21.76. а) 8, б) -11, -|j- ГЛАВА 5 §22 22.1. а) 1; б) 1; в) 0; г) 0,5. 22.2. а) 0,5; б) 0,5; в) 0,25; г) 0,25. 22.3. а) 0,01; б) 0,38; в) 0,25; г) 0,01. 22.4. а) То, что оно отрицательно; б) то, что оно больше -3; в) то, что оно не целое; г) то, что оно больше -5. 22.5. а) 0,1; б) 0,001; в) 0,65; г) 0,25. 22.6. а) 0,5; б) 0,5; в) 0,2; г) 0,21. 9 1 24 22.7. а) 0,25; б) 0,5; в) ^ = 0,28125; г) ^ = 0,1545. 22.8. а) ^ = 24 24 - 4п = 0,3; б) 0,16; в) 1 - = 0,7; г) 22.9. а) 0,25; б) 0,25; в) 0,75; г) = 0,539. 22.10. а) 0,5; б) 0; в) 0,5; г) ^ 4^/з 2ч/з . 0,789. 20 10 36 22.11. а) 1: б) ^ = 0,165; в) ■= 0,083; г) ^ = 0,297. 22.12. а) 0,25; 23 7 б) 0,5; в) 0,5; г) 0,25. 22.13. а) 0,25; б) 0,75; в) ^ = 0,719; г) jg = 0,4375. 1,3 _____ . 3 22.14. а) 0,5; б) = 0,573; г) г + 2-Л 0,515. 22.15. а) ^ = 0,037; в) = 0,704; б), г) ^ = 0,259. 22.16. а) 1; б) 0 в) >/ё - 0,5е = 0,289; г) 1 - 0,5х/ё = 0,176. 22.17. а) 0; б) 0,25 в) 6 + яТз 0,9534; г) .^/2 = 0,146. 22.18. а) а = 2 6) а = j 12 ’ 4 в) о = ^/2; г) а = 3 - 7^5. 22.19. а) 0; б) 1; в) 0,25; г) 0,0625. 22.20. а) 0; б) 1; в) 0,25(1 + In 4); г) 0,5(1 - In 2). 22.21. а) 1; б) = 0,917; в) ^ = = 0,083; г) 0. 22.22. а) 0; б) 0,0625; в) 0; г) 0,25. §23 23.1. а) 0,75; б) ^ = 0,7857; в) 0,75; г) |- 23.2. а) 0,5625; б) 0,6173; 4 8 в) 0,5625; г) д- 23.3. а) 0,9375; б) 0,9541; в) 0,9375; г) д- 23.4. Так как во всех случаях а) — г) вероятность р «успеха» больше вероятности q 244 «неудачи*, то 1 — ^ > 1 — р*, т. е. более вероятно, что наступит хотя бы 7 35 93 один «успех*. 23.5. а), в) ^ « 0,219; б) « 0,273; г) “ 0,363. 23.6. а) 1 - |g “ 0,028; б) 1 - | ^ | = 0,055; в) 1 - | ^ | = 0,081; ,10 = 0,246. 23.7. а) 2 : 2; б) 2 : 2; в) 3 : 1; г) события равновероятны. 23.8. а) 0,1296; б) 0,3456; в) 0,1536; г) 0,1792. 23.9. Я(А,) = = 0,096 < Я(А|) = 0,32 < Р(Аг) = 0,384 < P(AJ = 0,512. 23.10. а) 0,23; б) 0,077; в) 0,078; г) 0,922. 23.11. 0,028; 6) 1 - (§1 «.-(ff k 0 1 2 3 4 5 рт 0,078 0,259 0,346 0,23 0,077 0,01 Сумма = 1 23.13. а) 0,0612; б) 0,375; в) 0,0638; г) 0,9362. 23.14. а) |g | « 0,5787; б) 0,3472; в) 0,0694; г) 0,9953. 23.15. а) 0,002; б) 0,041; в) 0,67; г) 0,33. f-75 23.16. а) -----= 0,2607; б) 0,5466; в) 0,932; г) 0,068. 23.17. а) 55 и 56; оя б) 56; в) m и m -ь 1; г) ш + 1. 23.18. а) от 499 до 599; б) от 999 до 1099; в) от 1999 до 2099; г) от 9999 до 10 099. 23.19. а) р = 0,8; б) р = 0,71; в) р = 0,7; г) р = 0,008. 23.20. а) 0,6 0, тоЛ = 11; г) Варианта №1 №2 №3 №4 Всего: 4 Кратность 33 И 34 22 Сумма = 100 Частота 0,33 0,11 0,34 0,22 Сумма =1 Частота, % 33 11 34 22 Сумма = 100% 24.10. в) Варианта № 1 №2 №3 №4 Всего: 4 Кратность 20 х = 5 р=10 15 Сумма = 50 Частота 0,4 0,1 0,2 0,3 Сумма= 1 Частота, % 40 10 20 30 Сумма = 100% г) варианта № 1. 24.11. а) 1. 2,2,2,2,2, 3,3,3,3,3,3, 4,4,4,4,4,4,4,4, 5 ё 8 5, 5, 5, 5, 5; б) Оценка по литературе 1 2 3 4 5 Всего: 5 Кратность 1 5 6 8 5 Сумма - 25 г) 3,44. 24.12. а) 1^, 2, 2, 2, 3, 3, .... 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5; И б) Оценка по русскому языку 1 2 3 4 5 Всего: 5 Кратность 2 3 И 6 3 Сумма = 25 г) 3,2. 24.13. а) 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 2 2 4 § 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10; 4 4 ' Сумма отметок 3 4 5 6 7 8 9 10 Всего:5 Кратность 2 2 3 4 5 4 4 1 Сумма = 25 г) 6,64. 24.14. а) 4, 4, 4; б) 4, 3, 3; в) 7, 7, 7; г) 2. 1, 1. 24.15. а) Кратность 1 5 6 8 5 Отклонение от среднего -2,44 -1,44 -0,44 0,56 1,56 Квадрат отклонения 5,9536 2,0736 0,1936 0,3136 2,4336 Сумма квадратов = 1 • 5,9536 + 5 • 2,0736 + 6 ■ 0,1936 + 8 • 0,3136 + 32,16 + 5 2,4336 = 32,16; D = б) = 1,2864, а = 1,134; Кратность 2 3 11 6 3 Отклонение от среднего -2,2 -1,2 -0,2 0,8 1,8 Квадрат отклонения 4,84 1,44 0,04 0,64 3,24 Сумма квадратов = 2 • 4,84 + 3 • 1,44 + 11 • 0,04 + 6 • 0,64 + 3 ■ 3,24 = 28; 28 Л=^=1,12, а = -JD = 1,0583; в) по литературе; г) по русскому языку. 24.16. а) 4; б) 5; в) Итоговая отметка 2 3 4 5 Всего:4 Кратность 4 7 9 5 Сумма - 25 24.17. а) 38; б) 35, 3, 3; в) г) нет. 24.18. а) 36; б) 7, 11; ЗЗх — 18 в) 2,333; г) нет. 24.19. а) М = ^ ’ б) часть одной из ветвей гиперболы; 17дг ^ 52 в) 2, 3, 4, 5, 6; г) нет. 24.20. а) М = "бх~П9^’ последовательность точек одной из ветвей гиперболы; в) 1, 2, 3; г) нет. §25 25.1. а), б) С\о ■ 0,5“; в) Cfi • 0,5'”; г) ■ 0,4” • 0,б“. г) СЙюо • 0,5‘“”. 25.3.а)Я,„(3)= С?о • 0,6^ • 0,4'; б)Р,оо(99)= С,% • 0,1 • 0,9”; 248 б) -logs 10; в) 0; г) 2, logs 2-1. 27.19. а) ±1; б) 8, 16; в) (-1)" arcsin + ял; 5 2^ г) 64. 27.20. а) 10, 10 б) 0. 1; в) ±-^ + 2ял; г) 1, 4. 27.21. а) 0, ±1; б) о, 1. 27.22. а) 2; б) -1. 27.23. а) 1, 2; б) 27.24. а) 1; б) 9. 27.25. а) 1; б) 1; в) 3; г) 7. 27.26. а) 0; б) 1; в) 1; г) 1.' 27.27. а) 1, 2, 3; б) -1, -3 ± лЯб; в) -2; г) 2. 27.28. а) 3, 4, -1, -2; б) 0, -3. 27.29. а) 2, 3; б) 2, 4. 27.30. а) б) 2, -3. 27.31. а) 0, ±1, -2; б) 0, 1. 27.32. а) »s Л” 07 00 „S JL , М ~ лл Я 2лл я 2ял б) 5 . 27.33. а) J2 + 6 ’ '“'з Т’ 9 ~9"’ 5 ^ ~Ь'‘ 27.34. а) б) ЯП, ^ 27.35. а) ±-g + ял; б) + ял. 27.36. а) + Ял, ^ + ял; б) ^ + ял, arctg (-3 ± + ял. 27.37. а) ^ + + 2ял, л + 2лл; б) + (-1)" arcsin + ял. 27.38. а) 4, О; б) 5, 25. 27.39. а) 1, logs 5; б) 1, 3 logs 2; в) 3, logs 0,12; г) 1, logs 4. 27.40. а) 1, 4; б) 2> 5; в) 6, 2; г) нет корней. 27.41. а) 8, 16; б) в) 0,5, 4096; 2р г) 32. 27.42. а) 4; б) 4. 27.43. а) Нет корней; б) 3, 9; в) 4; г) 0. 27.44. а) -g-t е** + 1 1 9 —б) -1. 27.45. а) 99; б) д. 5|. 27.46. а) 1, 100 000, 0,00001; б) е'\ 27.47. а) 1, 16; б) 10 *, 1, 10'°. 27.48. а) ^ + 2лл; б) нет корней. 27.49. а) ^ + 2лл; б) + 2ял. 27.50. а) 1, ял, л € IV; б) 1, ^ л = о, 1, 2, 3.....27.51. а) -3, (-1)" | + ял, л = О, 1, 2, 3, ...; б) 8, 120, л = 6, 7, 8, 9.... 27.52. а) 0; б) ±1. 27.53. а) 1; б) 5. 27.54. а) 2; б) 3. 27.55. а) 1; б) 7. 27.56. а) 2; б) -2. 27.57. а) -2; б) ±1. § 28 28.5. а) Нет решений; б) 8 < i < 11. 28.6. а) х > 3; б) -1 < д: < 8. 28.7. а) 2 < JC < 4; б) 2,5 < д: < 11. 28.8. а) х < 5; б) 2,7 < х < 6. 250 28.9. а) д: < -5, | < к 1; б) х < | < х < 7. 28.10. а) -3 < х < -2, -2 < X < 4; б) -5 < X < -2, 3,5 < х < 4, 4 < х < 5. 28.11. а) -оо < х < +оо; б) X > в) -1 < X С о, X > 3; г) X < 3, X > 3. 28.12. а) х < -3, -д < х < g-X > 1,5; б) X < -3, X > 0; в) X С -ч/2, х > 1; г) '5 < х < 5. 28.13. а) х > 1; б) X > 3. 28.14. а) 2,5 < х < 3; б) нет решений. 28.15. а) х > 2,25; б)”д + 4л + 2лп < X < -д- + 2лп. 28.16. а) 6 < X < 8; б) 1 < дс < 2,25; в) х < -2, О < X < 2, X > 2; г) 1 < X < 4. 28.17. а) х < 1, х > 7; б) х = 1; в) -5 < х < 3; г) X < -1, X > 2,4. 28.18. а) X > 4; б) X > -2; в) О < X < 5; г) X > 49. 28.19. а) X < О, X > 3; б) X < -2, X > 2. 28.20. а) “| + ял < х 1; б) х < 0. 28.22. а) х < 1; б) X < 1. 28.23. а) X > 64; б) 2'" < х < 2”. 28.24. а) О < х < 1; б) х < logs 0,1. 28.25. а) 8 < X < 16; б) О < X < X > 3^- 28.26. а) 1 < х < 1,25, 5л X > 1,5; б) 0,1 < X < 1. 28.27. а) g + 2лп < х < 'g' + 2лл; б) х = 2лл. 28.28. а) X > 2; б) X > 0; в) X < 2; г) нет решений. 28.29. а) О < х < 4; б) нет решений; в) х > 4; г) х > 0. 28.30. а) О < х < 1; 6) х > 1. 28.31. а) [-3; 1) и U (1; 2); б) (3; 4) и (4; +оо). 28.32. а) < х < +°°: б) х = в) х = 0; г) -оо < к +0О. 28.33. а) -то < X < +оо; б) х = 0; в) х = 0; г) -то < д- < +оо. 5 28.34. а) X > -1,5; б) х < д- 28.35. а) О < х < 9; б) О < х < 4. 28.36. а) х < О, X > 2; б) -4 < X < О, К X < 3. 28.37. а) -2 < х < "1. ДГ > 2; б) х > 3, х = -4. 4 28.38. а) 3 < X < 3,1, х > 7; б) х < 1, 7 < х < 7,3. 28.39. а) g < х < logs 3; б) О < X С X > ^. 28.40. а) X > 1; б) -1 < ДД < 5; в) X < -8, X > г) -7 < X < 0. 28.41. а) X > 3; б) нет решений; в) -3\Лл < х < 0; г) -^ < < X < О, X > 2. 28.42. а) X < -2, 3 < х < 4, х > 4; б) -5 < х < -1, -1 < х < 2. 28.43. а) О < X < |. | < х < 2; б) -4 < х < -я, -л< х < 0. 28.44. а) х > 3, 7 1 X = -2; б) -g < X < -1. 28.45. а) 1,5 < ДД < 51,5; б) х > gl 251 в) —2 + 2яп < х< 2 + 2пп; т) х>2. 28.4в. а) i > 3; б) дг > 1; в) g + 2тш < < х< ^ + 2лл: г)X > >/4 + е. 28.47. а) -2 <х< -1; б) <х<О, х> 1. 28.48. а) X > -1; б) О < х < х > -Je. 28.49. а) 1 < х < 3; б) х > 9. 11 ' 2 12 28.50. -1 < X < -■2» ~2 < X <0, X > в. 28.51. -2 < х < —g. g 3’ 3 1л 2 < X < 2. 28.52. X > 8. 28.53. х < 0. g < * < 1. > 4. 28.54. а) g! б) О, ±2л. 28.55. а) -2 < X < 1, К х < 4; б) х < -4, х > 3. 28.56. а) 2 < х < 32; б) 27 < X < 81. 28.57. а) х < -2 - v/з, -0,3 < х < -2 + л/З, х > 2; б) -1 < < X < 2- 4ь, -0,2 <х<0, 0 О, то X = ~^~2—б) если О < р < 1, то корней нет; если р = О или р = 1, то X = ±1; если р = ^ ' то х = О, х = ±72; если 1 < р < ^ или ^ < р < О, то X = ±7l - р р^, X = ±7l * р - р^; если р < ^ 1 ± I 2 > —5—. то X = ±>/1 - р + р ■, в) если р > -0,2, то корней нет; 2 или р - 2 если р = -0,2, то X = -0,5; если р < -0,2, то х ±(1 5р) - 1. 2 ’ г) если р ^ 2, то корней нет; если р = 2, то х = ±1. 29.5. а) Если р > 2, то корней нет; если р = 2, то 1 корень; если р < 2, то 2 корня; б) если р < 1, то корней нет; если р = 1 или р > 5, то 2 корня; если р = 5, то 3 корня; если 1 < р < 5, то 4 корня; в) если р = (-1)" ^ + лл, л € Z, то 1 корень; если ^ + 2пЛ < р < + 2лА, /г е Z, то 2 корня; если iL + 2я/ < р < — + 2п1, о О 6 6 1 € Z, то нет корней; г) если р < 1, то нет корней; если 1 < р < то 2 10 10 корня; если р = -д-, то 3 корня; если р > -д-, то 4 корня. 29.6. а) 1 < р < 3; 252 б) р > 1: в) р < 1; г) р > 3. 29.8. а) 3, 1; б) -2, 5; в) г ) -2. 29.9. а) О, 5; S 2 я б) -2, 5; в) 2. 5; г) нет корней. 29.10. а) 3; б) 1; в) gj г) 16. 29.11. а) (-ir'j + Я , Зя я . я + пп, п € Z; б) 2 + ял, я(1 + 2л), + 2ял, л е Z; в) g + ял, + 2лл, л 6 Z; г) -| + 2ял, пл, (-1)"“^ + лл, (-1)"*‘| + лл, 3 ± (-!)“*■ ^ + лл, л € г. 29.13. а) О, 1, 9; б) О, 1, в) О, 7; г) 2, 4. 29.14. а) -2,4, 4; б) -1, 23: в) 7, 19; г) 1, 1,6. 29.16. а) 1; б) 1; в) 2; „ „ л(4л - 1) г) нет корней. 29.17. а) 0,5; б) 1; 29.18. а) л(1 + 2л), л € Z; б) jg ’ л е Z; в) „ g 2; г) neZ. 29.20. а) 4; б) 8; в) все целые 2 2 числа кроме 1, -д. ±д + 2А, * 6 Z, ft jt 0; г) корней нет. 29.22. а) [1; 4]; б) (1; 2]; в) [-2; 0] и [2; 5]; г) | -oq -|j u (0; 1]. 29.24. а) [-4; -3) u [0; 3]; б) [-1; 0) w (0; IJ: в) [-3; -1] и [1; 4]; г) | -oq -|j w j^-|; -ij u (-1; 0]. 29.25. a) -^ + 2aft < X < ^ + 2nh. ^ + 2nft < x < ^ + 2nft. ft e Z; 6) [0,01; 10] \J [100; +oo); B)g+2Hft«:x<| + 2aft, ^+2aft«:x<^ + + 2nk, ft € Z; r) [9; 100]. 29.28. a) (-«>; 1] u [5; +°o); 6) (-6; 10); B) [-3,4; -0,6]: r) (-oo; -7) u (1; +<»). 29.30. a) (-oo; 0) Kj (0; +<»): 6) [4; 12). 29.31. a) ^-oq Ij u [1; +o°); 6) (-<»: 2); в) (-oo; 0,75) u (2,5; +oo); r) (-oo; -0,5] u [-0,25; +oo). 29.32. a) (-oo; -4) u -2j u u(-2;-I]u fl±^; +ool: 6) (-oo;-2) и [-2; -sl'-’fl; 4] ^J(4;+oo); B) (-3.5; -2) KJ 1^-2; ^ ~i6^] ^ ^ \б^’ ^ u (-2; -1) u (0,5; 1) и (1; +oo). 29.34. a) [1; +oo); 6) (-1; 2); в) [ 4,5 ]; 253 г) 1^-^; IJ. 29.35. а) (-4; -1) и (1; 4); б) (-9; 0) и (0; 2) и (2; 5); в) ~ I и(10; +«>); г)(-оо; -12)и(8; +оо). 29.37. а) б) (|; +оо]; в) [-\; |]: г) [-6; 0]. 29.38. а) (-00; -13) и ij и +ooj; б) 2^; -з] U г]: в) [О; IJ и (2; +0О); г) (-оо; -1] U U [|: *~]. 29.39. .) (-|i -3) (-3’ ») »)(-х‘ “ - 41 (#‘ Ц#1 .) С-; -91 U 6 ’31^(3’ 6 6 и 1^-^: о| и (0; +00); г) (-оо; 0) и (0; -(•<»). 29.41. а) -<» < х < +со; б) выполняется при всех действительных значениях х, кроме -3, -1,2; в) выполняется при всех действительных значениях х, кроме -2, 2; г) выполняется при всех действительных значениях х, кроме -1, 1, 2. 29.42. а) -3- лЯЗ. -3+ Лз ; б) (-оо; -1) и (0; 1); в) (-0,2; О); г) (-оо; 0) U (7; +оо). 29.44. а) (-оо; -5) и (1; -юо); б) [-1; 0) и [3; +оо); в) (-00; -0,5] U (0; -1-00); г) (1; +оо). 29.45. а) (6; -Юо); б) [-1; -t-°o); в) ^-ос5 U [1; -t-oo); г) [-0,6; 1]. 29.46. а) ij; б) |^-Ц; ij и W ?j; в) (-2; 2]; г) [-1; 0) и [2; -Юо). 29.47. а) [0; 2J; б) [0; Ч-оо); в) (-6; 1); г) -1. 29.48. а) (-оо; 0,6) и (4; -Юо); б) [-5; 1); в) (-3; -Юо); 11 г) (-оо; -1] U [0; -Юо). 29.49. а) (-оо; 0) о | О, , | и (1; -Юо); б) (-оо; -2) и и(-2; U [l; -У] U (7; -юо); в) (-оо; -2) (J [2; -ЮО); г) (-оо; -2) U 37j Р 3 , ; (-2; -1] о (0; 2]. 29.50. а) Д; б) [^0; ^ j и [14; -юо); в) (-оо; 1) и (1; -юо); г) ^-04 и [-1: +00). 29.52. а) +ooj; б) (-оо; 0) и (0; 1]. 29.54. а) (-ОС5 - Л) ^-|: Лj; б) (-оц - Л) и (0; 1) и (73; +о°): в) |^-Л; -|j U [Л: +оо); г) (-Л; О) и [l; Л). 29.55. а) (-оо; -3) и U (-1; 1) U (3: +00); б) [-1; 4]: в) (-10; 14); г) jc < -1, 2 < х < 3, j: > 6. з«.5б. а) =^] U ^]; б) (-2 - Л; -2 + Л) U (2 - Л: 2 + Л): в) (-oq -1 - Л] [i - Л: о) U (о, -1 + Л] W [l + Л: -юо); г) ±1, ±3. 29.57. а) а = -1; б) а = -5. 29.58. а) < < 9; б) при любых действительных <: в) f < 15; г) 1 < 9. 29.59. а) t < 11; б) при любых действительных t; в) t < 22; г) 1 < 12. 29.60. а) 25; б) 20. § 30 30.3. а) 2; б)-^. 2; в) 3; г)-^. 3. 30.5. а) -9; б) ±5; в) -8, 5; г) -3, 9. 30.6. а) а < 2; б) а < 1 -^ Л; в) -1 < о < 3; г) а < Л. 30.8. а) 3; б) -^. 3; в) 4; г) 1. 30.9. а)^ + 2кп, * € Z; б) ^ -ь fcn, * 6 Z; в)| -t- кп, ft е Z; г)^ + ftn, ft € Z. 30.10. а) Нет корней; б) 2; в) 0,5; г) нет корней. 30.11. а) При о > -1 X = а - 1; при а < -1 корней нет; б) при а < 0,5 21а -ч 11 2 За 2 X = ■ д—при а > 0,5 корней нет; в) при о > ij x=■^-^l, при а < у корней нет; г) при -8 < а < 8 х = Л - а - 2, при |а| > 8 корней нет. 30.13. а) 4; б) корней нет; в) 11; г) 1. 30.14. а) Корней нет; б) 2; в) ±Л; г) -0,5. 30.15. а) arccos ^ -^ 2ftn, ft € Z; б) —^ -t- 2ftn, ft € Z; в) (-1)* arcsin -I- ftn, ft 6 Z; г) ^ Ч- ftjt, n - arcsin ^ -t- 2ftn, ft € Z. 30.16. a) 1; 71 1 6) 3; B) -1, -g ; r) -1. 30.17. a) 7, 8; 6) 0; в) 2; г) 64. 30.18. a) -g. 1; б) -1, 0; в) 1, 2; г) -2, 1. 30.19. а) 9; б) —в) 1; г) 1. 30.20. а) g; б) -3,8, 1. 30.21. а) -7, 2; б) 30.22. а) 4; б) 12. 30.23. а) 2; б) log, 11; в) logo,, 3; г) 0,5. 30.24. а) logj 6; б) loga 11,3. 30.25. а) 5; б) 2. 30.26. а) 1, 20; б) 1, 3; в) ±3; г) 8, 8 ± jqs. б) loga 2. 30.28. а) 4; б) 2. 30.29. а) 0,125; б) 8. 30.30. а) 1; б) 3, 30.31. а) 0; б) 0,25. 30.32. а) -2; б) 1. 30.34. а) (-2; 2 - v/?] и [2 + >/7; б); б) {0} U [2; +0О); в) |-1; II j; г) {-1; +оо). 30.35. а) ij; б) -aj U ij; в) [3; +оо); г) (-оо; -2,5] и [3; +оо). 30.36. а) + 2tot; I + 2feij, * е Z; б) [-| + ^: | + у]. А е Z; в) (2 arcctg 2 + 2Ап; л + 2/т], А 6 Z; г) | -^ + |fet; j. А € Z. 30.37. 1-9: 01; 6, [-5; -^) v [j.; з]; [-8; u u 5]; Г) [-3; 3-275) и (3+275; 9]. 30.38. a) a < 2 6) a > -1. 30.39. a) Таких a не существует; б) a > 3. 30.41. a) (3; 4j; 6) 1 B) (4; 5]; r) [-1; 1] u [^|; +ooj. 30.42. a) |^2Ая; ^ + 2Aitj, A e Z 6) j^tet - I + Anj u ^An + |;^ + feij, A e Z. 30.43. a) [l: |j: < fl7. 72l 6) I 7 ♦ 29j’ 30.44. a) (a - 1; 2a] при a > -1; решений нет при a < -1; б) [^g(“ + 1): при о < 0,5; д: = 1 при а = 0,5; решений нет при / За 5а + 11 2 2 а > 0,5; в) I 1 + —g— при а> решений нет при а < у! г) [-2; 2] 256 при а > 8; [-2 + 78 - а; 2] при -8 < а < 8; 2 при а = -8; решений нет при а < -8. 30.46. а) (3; +«>): б) [б - 741; и); в) [2; TlO]; г) [-1; 1] и U [l + 7W; +оо). 30.47. а) (-оо; -2] и |^5; ^ j; б) (-оо; О) и (4.5; +оо); в) [3; +00); г) (-оо; 0]. 30.48. а) Нет решений; б) Д. 30.49. а) (-3; 1); б) |^-Н; -sj U Ц); в) (1; 2) и (5; +оо); г) (-оо; -6] и {-2}. 30.50. а) [4; 5); б|[з; 1 . i^); ■) > • + ч[|; г]о в]. i-7ii : -0.5 U 1; 1 + Tii . 30.52. a) (-00; -1,5) u 0,5; ^ и [i *”)•« 19 -oq u (1; +00). 30.53. a) (-2;2]; 6) [l;+oo). 30.54. a) (-00; -1) u (0; 1]; 6) [6; +oo). 30.55. a) ^ 6)|^-| + 2fet, 1+ 2fetj, AeZ.30.56.a)(l;log.,12];6)(-oo;logall);B)(log„.a7; logo.2 3]; r) [log.oo 2; log,» 6]. 30.57. a) [^2/m - 2An + arax» |, A e Z; 6) j^2Ast ~ ■^ + arccoe^; 2fei ~ ^j> Af Z; в)^2Ал - 2kn + arcsin-^j о ^ j^(2A + l)n - arcsini; 2Ал + ^|, * g z; r) |^2Ал; 2Ап + arcsinij и u + Ал}, A e Z. 30.58. a) (0; 4); 6) (2; +°o); a) [-9; 0]; r) [-2; 2]. 30.59. a) |^-|; |j; 6) (1; 17); в) [0,125; +oo); r) j^-|; ij. 30.60. [-1; 0) u 257 9 9 решений нет; б) если о > g. то решений нет; если а = g. то х = -1,75; , ^ - 9 [l - 4а 1 S а < g> то ---------- - - V9 - 8а. 1 - 4а + V9 - 8а1. ; если а < 1, то 1^-2; -—^ +^>/9 8а ^ ^ ^ U (2; +00); в) {-4} U (-2; 0]; г) (0,5; 1). §31 31.1. а) а < Ь; 6) а > Ь\ в) а < Ь; г) а < Ь. 31.2. а) о > 6; б) а > 6. 31.3. а) а > Ь; 6) а > Ь. 31.4. а) о > 6; б) а > б. 31.5. а) о < 6; б) а < й. 31.6. а) а > Ь; б) о > 6; в) а > 6; г) а < 6. 31.7. а) а < Ь; б) а < 6; в) а < 6; г) а > 6. §32 32.14. а) 12; б) 120; в) 48; г) 2pq. 32.15. а) -6 < х < 6; б) -2 < I/ < 2; в) -6 < X + Зу < 6; г) -6 < X + 6) -34 < c < -33. 32.38. a) 6; 6) 144. 32.39. a) 8x/3 + 8n; 6) -|(я + sfS). 32.40. a) 6) в) r) §33 33.1. a) (1; 2), (1,5; 1,5); 6) (0; 2), (-2; 0); в) (2; 3), (3; 2); г) (3; -1), (9; -4). 33.2. a) 3ti . nn. 6) (0; -1); B)| i; ij; r) (-1; -2). 33.3. a) (-1; 2); 6) (4; 1); в) (1; 1), (1; -1); г) (8; 1). 33.4. a) 9 ; X. It _ 1Ш Y ■’ “8 2 j’ ): B) (1; 1), ( 6) (я + аш; ±1 + lift']; B) (|: I): Г) j(-l)"^ + ^ ^ j. 33.5. a) (2; 1); 6)(1; -2). 33.6. a) (3; 2); 6) (8; 2). 33.7. a) (2; 2); 6) (2; 6), (-2; 10); в) ±- + ля; -|.2лл); г) (5; 3). (3: 1). 33.8. а) 2; б) 3; в) 7; г) 1. 33.9. а) (1; 2), (2; 1); б) (2; -4), (4; 0). 33.10. а) (-1; 1); б) (1; 1). 33.11. а) (0; 0); б)|^^: l| 33.13. а) (1; 1), (1,4; 0,2); б) (2; 1), (-2; 1), (2; -1), (-2; -1); в) [^ + я(л + Л); -^ + л(л - А)1; г) (2; 1). 33.14. а)(3; 0); б) (а; За), где а — любое число, кроме 0; в) | ^ J! *■) (2; -1). 33.15. а) (2; 2) (-2; -2); б) (7; -1), (-1; -3). 33.16. а) (3; 2), (-3; 2), (3; -2), (-3, -2); б) (1; 1), (-1; 1), (1; -1), (-1; -1). 33.17. а) (1; 3), (2; -4); б) (2; 1), (2; -1). 33.18. а) (1; 2), (-1; -2); б) (-1; 1). 33.19. а) (6; 2). (-6; -2); б) (х; -2х). (х; -Зх), где х — любое число, кроме 0. 33.20. а) (2; -2), (-2; 2); б) (4; 2), 5 3) f,. Ij^ С 5 3 (-4; -2), -4-4 -2; Ш--ёМ] f-Vio. 2л/Ш1 5 ’ 5 J’ [ 5 ’ 5 ]• 33.22. а) (3; 4), (4; 3), -6+ Л4. -6-М] f-6- Л4. -6+ v/ii' 2 ’ 2 j’ I 2 б) (2; 3), (3; 2), (-2 + ^/7; -2 - n/?), (-2 - 77; -2 + 7?). -3 + 745. -3 - 745 -3 - 745. -3 + 7451 2 ’ 2 f5+741. 5-Tiil f5-T4i. 5+741 33.23. a) (6; 6), 6)(l;4),(4;l),^^^, g j*) 2 ’ 2 33.24. a) (4; 4), (3; 2); 6) (1; 2). 33.25. a) (8; 27), (27; 8); 6) (16; 1). 33.26. a) (3; 1), (2; 1,5); 6) (-4; 0), ^ ' 6) (1; 4). 33.28. a) (1; 4), (9; 0); 6) (4; 9). 33.29. a) (0; 0), (-3; 1), (6; 1), (3; 2); 6) (0; 0), (1,5; 1), (1,5; -2), (3; -1). 33.30. a) (3; -2), (-2;-7); 6) (-1,6;-2). 33.31. a) (8; 1), (1; 8); 6) f^; -|1. 33.32. a)(l; 4). 6) (4; 1). 33.33. a) (1; -4); 6) (3; 1). 33.34. a) (2; 3). (3; 2); б) (42: 39). 33.35. а) (1; б) [V2; 33.36. а) (i; 1). (|; 4): б) [з; 1], (3; 9). 33.37. а) (4; 4); б) (2; 2). 33.38. a)f| + лп; ^ - ял1; б) тш; ^ - пА , (-5 + лл; I - ла1. 33.39. a)f(-l)"| + лл; + 2ла1, + ял; ±1 + 2ла|; б) || + лл; ±| + 2лAj, |±| + 2лл; | + лА| 33.40. а) (^ + |(2л + А); + |(А - 2л)]; б) + |(п + 2А): + ^(л - 2А)1, 12 2' [ 12 2^” * 12 2^” 33.41. а) (2; -1; 1); б) (-1; 2; 0). 33.42. а) (1; -2; -1), (-3; 2; -5); б) (2; 0; -1). |-|5; И; ^]. 33.43. а) j/ = 2х‘ - 5л: + 1; б) j/ = Зд^ - 2л- + 1. 33.44. А, = 6, д = 33.45.1. 3, 4 или 1.1, у. 33.46. 3, 9. 27. 33.47. 4. §34 34.1. а) т * 1; б) таких значений т нет; в) m = 1. 34.2. а) Ь * ±1; 1 а + 2’ б) А = -1; в) А = 1. 34.3. а) X J, если а * ±2; х — любое действи- тельное число, если а = 2; нет корней, если а = -2; б) jc = а, если а ;е -1 и о # 0; Jf — любое действительное число, если а = -1; нет корней, если а = 0. 34.4. а) Если о = 1 или 3,5 или -1,5, то корней нет; в остальных 5 случаях X = б) если а = 0, или 2, или 4, то корней нет; в осталь- ных случаях X = 2- а' а) ^ ^ + Ь если m > 1; лг < m 4 1, если m < 1; -00<х< -t-oo,если m = 1; б) л? > 1 А+ 1 , еслиА<-1,А>1; х < b+V если -1 < А < 1; -оо < л: < если А = -1; нет решений, если А = 1. ^ _________________________ Ь ’ ... ^ ^ ^ 34.6. а) лс > если А> 1,А<0; , если 0 < А < 1; 260 X — любое действительное число, если А = О, А = 1; б) i < а, если а > О, а < -1; X > о, если -1 < а < 0; -<» < х < +о°, если а = -1; нет решений, если а = 0. 34.7. а) а < 0, 0 < а < 1, а > 4; б) а = 0, 1, 4; в) К а < 4. 34.8. а) о > -7; б) а > -5. 34.9. а) 1; б) 2. 34.10. а) ±1,5; б) ±1. 34.11. а) а = 1, а = б)а < 0, а > -Л. 34.12. а) Если а = то 2 1 X = если а = 1,5, то х = -2,5; если а = -4, то х = -8; если а * ”д> 1,5, -4, то X, = 2а, Xj = -а - 1; б) если а = -3, то х = -б; если а = -2, то X = -5; если а = 0, то корней нет; если а = 1, то х = 2; если а = 2, то X = 3; если а ^-3, -2, 0, 1, 2, то Х| = а + 1, Xj = а - 3. 34.13. а) -9; б) 4. 2 34.14. а) А > 1; б) А>3. 34.15. а) а < -4; б) а > 20. 34.16. а)а < -р 34.18. а) а > 4; б) а < -1. 34.19. а) а < -1; б) 0 < а < 1. 34.20. а) а = 2; б) -4 < а < -3, 5 < а < 6. 34.21. а) х > а или х = 2, если а > 2; б) а < х < < 6, если а < 6; нет решений, если а > 6. 34.22. а) -1 < а < 3; 1 Ч б) 2 < а < 1. 34.23. а) а < -3, 2 < а < 6; б) а < 2; 3^ < а < 6; в) ни при Ч 4 каких; г) а = 2, 3^ < а < 6. 34.24. Если а < —?• то -<» < х < -Н»; если 4 " < а < 1, то X < X], X > Хг; если а = 1, то х < если а > 1, то Х2 < X < Xi; здесь х, = ~(2а ■» 1) + >/5о 4 _ ~(2а + 1) - >/5о -f 4 а - 1 а - 1 1 34.25. а) о < а < 2; б) о = ±3. 34.26. а) Если g < а < 1, то X = (-1)" arcsin (За - 2) + лл; если л < ^ или а > 1, то корней нет; б) если ^<а<1,тох=±^ агссов(4а - 3) + лл; если о < -^ или а > 1, л а то корней нет. 34.27, а) Если -2 < а < 2, то х = g ± агееоз g + 2лп; если а < -2 или а > 2, то корней нет; б) если -2 < а < 3, то х = 4 2а - 1 = агееоз g ± агееоз —g— + 2лл; если а < -2 или а > 3, то корней нет. ,44.28. а = 0. 34.29. а) а = а <; 1; б) а < 1. 34.30. а) а < 0; б) а > 0. 4 261 34.31. а) 2nn, arctg 6 + 2лл; б) -| + 2лл, arctg ^ + я(2п + 1). 34.32. а) О < < а < 4; б) -15 < о < 17. 34.33. а) а < -12; б) -5 < а < 0. 34.34. а) Нет кор- ней, если а < -i; один корень, если а = —7 или а > 0; два корня, если < а < 0; б) нет корней, если а < -2 или а > 2х/2; ОДИН корень, если -2< а <2 или а = 2>/2; два корня, если 2 < а < 2-J2. 34.35. а) р < -3, р>3, р=1; б)-3<р< 1. 34.36. а) -i < а < 1; б) -1 < а < i. 34.37. а) а = о, а > 9; б) о < а < 9. 34.38. а) -5 < а < 5; б) а < -2. 34.39. а) Если а < о, то корней нет; если а = 0 или а > 2, то два корня; если а = 2, то три корня; если 0 < а < 2, то четыре корня; б) если а < 2, то корней нет; если а = 2, то1<х<3; если а > 2, то х,,г = 34.40. 1 < а < ^2 34.41. а) а = 1, а = 2, 5 < а < 6. 34.42. а = 2. 34.43. а > 4е. 34.44. а = 2ч/2. 34.45. о < а < 2. 34.46. 2 < а < 4. 34.47. а = -1,5, а = -1. Дополнительные задачи 11.79. а) -2; б) 3. 11.80. а) х > 1; б) х < 5. 11.81. а) х = л; б) X = ^. 11.82. 1; 100. 13.47. а) 4; б) 10; в) 4; г) 5. 16.66. -1,25. 17.44. а) 1 б) 5|. 18.48. а) 10; б) 7. 18.49. 3. 18.50. а) | < а < ifS <а< ч/2; б)0<а<1;1<а<2. 18.51. 0 < х • 1; 1 < х < 2. 18.52. X < 1; 4| < X < 5;х > б|. 26.18. а) 4; б) 13; в) 4; г) 16. 26.19. а = = лп, л € Z. 27.58. а) 6; б) 0,1; в) 5; г) 3. 27.60. а) 1; б) -4. 28.59. а) 0 < < а < 10; б) а > 1. ,30.63. а) л 2лп, ^ + 2лл; п е Z; б) arcctg ^ + 2лп, I -ь 2лп; а е Z. 30.64. 2. 30.65. а > 2. 31.28. 0. 32.41. а) (1; 1); б) (2; 3). 32.42. (лл; -1), л € Z. 32.43. а) (2; 1); б) (0; 0), (3; -2). 33.48. 2лл; -2|, л е Z. 34.48. а < 2. ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица значений функций ф и Ф X ЧЧх) <Нх) X Кх) Ф(х) X <Р(х) Ф(х) 0.00 0,3989 0,0000 0,40 0,3683 0,1554 0,80 0,2897 0,2881 01 3989 0040 41 3668 1591 81 2874 2910 02 3989 0080 42 3653 1628 82 2850 2939 03 3988 0120 43 3637 1664 83 2827 2967 04 3986 0160 44 3621 1700 84 2803 2995 05 3984 0199 45 3605 1736 85 2780 3023 06 3982 0239 46 3589 1772 86 2756 3051 07 3980 0279 47 3572 1808 87 2732 3078 08 3977 0319 48 3555 1844 88 2709 3106 09 3973 0359 49 3538 1879 89 2685 3133 0,10 0,3970 0,0398 0,50 0,3521 0,1915 0,90 0,2661 0.3159 11 3965 0438 51 3503 1950 91 2637 3186 12 3961 0478 52 3485 1985 92 2613 3212 13 3956 0517 53 3467 2019 93 2589 3238 14 3951 0557 54 3448 2054 94 2565 3264 15 3945 0596 55 3429 2088 95 2541 3289 16 3939 0636 56 3410 2123 96 2516 3315 17 3932 0675 57 3391 2157 97 2492 3340 18 3925 0714 58 3372 2190 98 2468 3365 19 3918 0753 59 3352 2224 99 2444 3389 0,20 0,3910 0,0793 0,60 0,3332 0,2257 1,00 0,2420 0.3413 21 3902 0832 61 3312 2291 01 2396 3438 22 3894 0871 62 3292 2324 02 2371 3461 23 3885 0910 63 3271 2357 03 2347 3485 24 3876 0948 64 3251 2389 04 2323 3508 25 3867 0987 65 3230 2422 05 2299 3531 26 3857 1026 66 3209 2454 06 2275 3554 27 3847 1064 67 3187 2486 07 2251 3577 28 3836 1103 68 3166 2517 08 2227 3599 29 3825 1141 69 3144 2549 09 2203 3621 0,30 0,3814 0,1179 0,70 0,3123 0,2580 1.Ю 0,2179 0,3643 31 3802 1217 71 3101 2611 11 2155 3665 32 3790 1255 72 3079 2642 12 2131 3686 33 3778 1293 73 3056 2673 13 2107 3708 34 3765 1331 74 3034 2703 14 2083 3729 35 3752 1368 75 ЗОН 2734 15 2059 3749 36 3739 1406 76 2989 2764 16 2036 3770 37 3726 1443 77 2966 2794 17 2012 3790 38 3712 1480 78 2943 2823 18 1989 3810 39 3697 1517 79 2920 2852 19 1965 3830 Продолжение таблицы X Ф(*) Ф(д:) X Ф(ДГ) Ф(х) P(Jc) Ф(х) 1,20 0,1942 0,3849 1,70 0,0940 0,4554 2,40 0,0224 0,4918 21 1919 3869 71 0925 4564 42 0213 4922 22 1895 3888 72 0909 4573 44 0203 4927 23 1872 3907 73 0893 4582 46 0194 4931 24 1849 3925 74 0878 4591 48 0184 4934 25 1826 3944 75 0863 4599 50 0175 4938 26 1804 3962 76 0848 4608 52 0167 4941 27 1781 3980 77 0833 4616 54 0158 4945 28 1758 3997 78 0818 4625 56 0151 4948 29 1736 4015 79 0804 4633 58 0143 4951 1,30 0,1714 0,4032 1,80 0,0790 0,4641 2,60 0,0136 0,4953 31 1691 4049 81 0775 4649 62 0129 4956 32 1669 4066 82 0761 4656 64 0122 4959 33 1647 4082 83 0748 4664 66 0116 4961 34 1626 4099 84 0734 4671 68 ОНО 4963 35 1604 4115 85 0721 4678 70 0104 4965 36 1582 4131 86 0707 4686 72 0099 4967 37 1561 4147 87 0694 4693 74 0093 4969 38 1539 4162 88 0681 4699 76 0088 4971 39 1518 4177 89 0669 4706 78 0084 4973 1,40 0,1497 0,4192 1,90 0,0656 0,4713 2,80 0.0079 0.4974 41 1476 4207 91 0644 4719 82 0075 4976 42 1456 4222 92 0632 4726 84 0071 4977 43 1435 4236 93 0620 4732 86 0067 4979 44 1415 4251 94 0608 4738 88 0063 4980 45 1394 4265 95 0596 4744 90 0060 4981 46 1374 4279 96 0584 4750 92 0056 4982 47 1354 4292 97 0573 4756 94 0053 4984 48 1334 4306 98 0562 4761 96 0050 4985 49 1315 4319 99 0551 4767 98 0047 4986 1,50 0,1295 0,4332 2,00 0,0540 0,4772 3,00 0,00443 0,49865 51 1276 4345 02 0519 4783 52 1257 4357 04 0498 4793 3,10 00327 49903 53 1238 4370 06 0478 4803 3,20 00238 49931 54 1219 4382 08 0459 4812 55 1200 4394 10 0440 4821 3,30 00172 49952 56 1182 4406 12 0422 4830 3,40 00123 49966 57 1163 4418 14 0404 4838 58 1145 4429 16 0387 4846 3,50 00087 49977 59 1127 4441 18 0371 4854 1,60 0,1109 0,4452 2,20 0,0355 0,4861 3,60 00061 49984 61 1092 4463 22 0339 4868 3,70 00042 49989 62 1074 4474 24 0325 4875 3,80 00029 49993 63 1057 4484 26 0310 4881 64 1040 4495 28 0297 4887 3,90 00020 49995 65 1023 4505 30 0283 4893 4,00 0,0001338 499968 66 1006 4515 32 0270 4898 67 0989 4525 34 0258 4904 4,50 0000160 499997 68 0973 4535 36 0246 4909 5,00 0000015 49999997 69 0957 4545 38 0235 4913 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие для учителя ..................................... 3 Задачи на повторение......................................... 4 ГЛАВА 1. Многочлены § 1. Многочлены от одной переменной ...................... 10 § 2. Многочлены от нескольких переменных.................. 18 § 3. Уравнения высших степеней............................ 24 ГЛАВА 2. Степени и корни. Степенные функции § 4. Понятие корня п-й степени из действительного числа .. 29 § 5. Функции у = их свойства и графики .................. 31 § 6. Свойства корня л-й степени .......................... 36 § 7. Преобразование выражений, содержащих радикалы........ 39 § 8. Понятие степени с любым рациональным показателем.... 46 § 9. Степенные функции, их свойства и графики ............ 50 § 10. Извлечение корней из комплексных чисел............... 57 ГЛАВА 3. Показательная и логарифмическая функции § 11. Показательная функция, ее свойства и график ......... 62 § 12. Показательные уравнения.............................. 73 § 13. Показательные неравенства............................ 80 § 14. Понятие логарифма ................................... 86 § 15. Логарифмическая функция, ее свойства и график ....... 89 § 16. Свойства логарифмов ................................. 96 § 17. Логарифмические уравнения........................... 105 § 18. Логарифмические неравенства ........................ 111 § 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций 118 ГЛАВА 4. Первообразная и интеграл § 20. Первообразная и неопределенный интеграл ............. 124 § 21. Определенный интеграл................................ 132 ГЛАВА 5. Элементы meojjuu вероятностей U математической статистики § 22. Вероятность и геометрия.............................. 149 § 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами .... 153 § 24. Статистические методы обработки информации.......... 157 § 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел................ 162 ГЛАВА б. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств § 26. Равносильность уравнений ........................... 166 § 27. Общие методы решения уравнений ..................... 168 § 28. Равносильность неравенств .......................... 174 § 29. Уравнения и неравенства с модулями ................. 180 § 30. Уравнения и неравенства со знаком радикала ......... 189 § 31. Доказательство неравенств .......................... 198 § 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными ........ 202 § 33. Системы уравнений .................................. 208 § 34. Задачи с параметрами ............................... 215 Дополнительные задачи...................................... 220 Ответы .................................................... 223 Приложение ................................................ 263 log^ be = log^ b + log^ c log^l = log„ b - log^c log^ b" = r log^ b 1 , l0g„ b = ^ log^a log b = -j—^— ®« log^ a log b = log rb" (е‘)' = е', (о'У = а‘ 1па Функция y = f(x) Первообразная y = F{x) as*i