Учебник Алгебра 10-11 класс Алимов Колягин

Алгебра И начала математического анализа 10-11 классы Учебник для общеобразовательных учреждений Базовый уровень Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 18-е издание Москва •Просвещение- 2012 УДК 373.167.1:[512 + 517] ББК 22.14я72 А45 Авторы: Ш. А. Алимов, Ю. М. Калягин, М. В. Ткачёва. Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин Учебник подготовлен под научным руководством академика А. Н. Тихонова На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/81 от 22.10.2009) и Российской академии образования (№ 01-5/7д-69 от 10.07.09) D Условные обозначения выделение основного материала текст, который важно знать и полезно помнить ► < решение задачи • О обоснование утверждения или вывод формулы обязательные задачи дополнительные задачи трудные задачи * дополнительный более сложный материал Алгебра и начала .математического анализа. 10—11 клас-А45 сы : учеб, для общеобразоват. учреждений : базовый уровень / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягип, М. В. Ткачёва и др.]. — 18-е изд. — М. : Просвещение, 2012. — 464 с.: ил.—ISBN 978-5-09-026651-2. УДК 373.167.1:[512 + 517] ББК 22.14я72 + 22.161я72 ISBN 978-5-09-026651-2 © Издательство «Просвещение*, 2000 © Издательство «Просвещение», 2010, с изменениями © Художественное оформление. Издательство «Просвещение*, 2000 Все праве защищены глава Действительные числа Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли. А. Д. Александров Целые и рациональные числа Изу^!ение математики начинается со знакомства с натуральными числами, т. е. с числами 1, 2, 3, 4, 5, ... , При сложении и умножении натуральных чисел всегда получаются натуральные числа. Однако разность и частное натуральных чисел могут не быть натуральными числами. Дополнением натуральных чисел нулём и отрицательными числами (т. е. числами, противоположными натуральным) множество натуральных чисел расширяется до множества целых чисел, т. е. чисел О, ±1, ±2, ±3, ... . При сложении, вычитании и умножении целых чисел всегда получаются целые числа. Однако частное двух целых чисел может не быть целым числом. Введение рациональных чисел, т. е. чисел вида m где т — целое число, п — натуральное число, позволило находить частное любых двух целых чисел при условии, что делитель не равен нулю. Каждое целое число т также является рациональным, так как его можно представить в виде у. При выполнении четырёх арифметических действий (кроме деления на нуль) над рациональными числами всегда получаются рациональные числа. 3 Если рациональное число можно представить в виде дроби где т — целое число, k — нату-10* ральное число, то его можно записать в виде конеч- 327 ной десятичной дроби. Например, число можно 23 записать так: 3,27; число —- можно записать так: 10 9 2*2 4 -2,3; число - =--можно записать так: — или 0,4. 55-2 10 Существуют рациональные числа, которые нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, на- 1 2 3 пример , —. Если, например, попытаться за- 3 9 7 писать число в виде десятичной дроби, используя 3 алгорит.м деления уголком, то получится бесконечная десятичная дробь 0,3333..., которую называют периодической, повторяющуюся цифру 3 — её периодом. Периодическую дробь 0,333... коротко записывают так: 0,(3); читается: «Нуль целых и три в периоде». Вообще, периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, у которой, начиная с некоторого десятичного знака, повторяется одна и та же цифра или группа цифр — период дроби. Например, десятичная дробь 23,14565656... = 23,14(56) периодическая с периодом 56; читается «23 целых, 14 сотых и 56 в периоде». 27 Задача 1 Записать число — в виде бесконечной десятичной дроби. ► Воспользуемся алгоритмом деления уголком: _ 27 22 11 2,4545. _ 50 44 _ 60 55 _ 50 44 6... Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 45. Следовательно, — = 2,4545... = 2,(45). О 11 Вообще, при делении целого числа т на натуральное число п на некотором шаге остаток может стать равным нулю или остатки начинают повторяться, так как каждый из остатков меньше п. Тогда начинают повторяться и цифры частного. В первом случае в результате деления получается целое число или конечная десятичная дробь, во втором случае — бесконечная десятичная периодическая дробь. Например: 29 360^24, 5^ = 3,75, — 15 4 9 = 3,222...= 3,(2). Заметим, что каждое целое число или конечную десятичную дробь можно считать и бесконечной десятичной периодической дробью с периодом, равным нулю. Например: 27 = 27,000... = 27,(0), 3,74 = 3,74000... = 3,74(0). Итак, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде дроби —, где т — целое чис- п ло, п — натуральное число. Задача 2 Представить бесконечную периодическую десятичную дробь 0,2(18) в виде обыкновенной. ► Пусть X = 0,2(18) = 0,2181818... . Так как в записи этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то, умножая на 10, получаем 10д: = 2,181818... . (1) Период этой дроби состоит из двух цифр. Поэтому, умножая обе части последнего равенства на 10^ = 100, находим ЮООх = 218,181818... . (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 990д: = 216. Отсюда х = ^ = ^.< 990 55 Задача 3 Показать, что 2,999... = 3. ► Пусть X = 2,(9). Тогда Юле = 29,(9), откуда 9х = 27, дг = 3. <] Аналогично можно показать, что любую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной дроби двумя способами: с периодом О и с периодом 9. Например, 1,75 = 1,75000... = 1,74999..., -0,2 = -0,2000... = -0,199999... . Условимся в дальнейшем не использовать бесконечные десятичные дроби с периодом 9. Вместо таких дробей будем записывать конечные десятичные дроби или бесконечные десятичные дроби с периодом 0. Например, 5,2999... = 5,30000... = 5,3. Упражнения 1 Записать в виде десятичной дроби: 1)|; 2) А; 3)|; 4) -Ь 5) -8|; 6) Н. 4 7 99 Выполнить действия и записать результат в виде десятичной дроби: 1) - + 11 9 2) -^ + ^1 13 3 3) i-11,25: 3 4) i + 0,33; 5) —•1,05; 6) --1,7. 6 14 9 Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь: 1) 0,(6); 2) 1.(55); 3) 0,1(2); 4) -0,(8); 5) -3,(27); 6) -2,3(82). Вычислить: 1) (20,88 : 18 -I- 45 : 0,36) : (19,59 11,95); 2) .^.9-(-8-ii-f--5---^. 36 32 10 18 Вычислить: 1) 13^-1-0,24] 2,15-if 5,1625-2-^1-; V 25 J V 16 У 5 2) 0,364 0,125 + 2^-0,8. 25 16 2 Действительные числа ♦ .....I..•...I..*..I В § 1 было показано, что любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби и каждая бесконечная десятичная периодическая дробь является рациональным числом. Если же бесконечная десятичная дробь непериодическая, то она не является рахцаональным числом. Например, дробь 0,101001000100001..., в которой после первой цифры 1 стоит один нуль, после второй цифры 1 — два нуля и, вообще, после п-й цифры стоит п нулей, не является периодической. Поэтому написанная дробь не представляет никакого рационального числа. В этом случае говорят, что данная дробь является иррациональным числом. Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь. Иррациональные числа, как и рациональные, могут быть положительными и отрицательными. Например, число 0,123456..., в котором после запятой записаны подряд все натуральные числа, является положительным иррациональным числом. Число -5,246810..., в котором после запятой записаны подряд все чётные числа, является отрицательным иррациональным числом. Числа у[2, 4l, -Vs, п также являются иррациональными, так как можно доказать, что они могут быть представлены в виде бесконечных десятичных непериодических дробей. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь, т. е. дробь вида ■f" ClQyCL^Cl2i^^ ••• ИЛИ "*** где ад — целое неотрицательное пиело, а каждая из букв flj, Пз, ... — это одна из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например: 1) в записи действительного числа 71 = 3,1415... число По = 3, а первые четыре десятичных знака таковы: Cj = 1, = 4, Oj = 1, = 5; 2) в записи действительного числа -■J234 = = -15,297058... число Oq = 15, а десятичные знаки таковы: а, = 2, = 9, О3 = 7, = 0 и т. д.; 3) в записи действительного числа 37,19 = 37,19000... число ад = 37, а десятичные знаки таковы: а, = 1, Оз = 9, = о при п ? 3. Заметим, что 37,1999... = 37,2000... = 37,2. Действительное число может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Бесконечная десятичная дробь равна нулю, если все цифры в её записи — нули. Положительное действительное число — это десятичная дробь, не равная нулю, со знаком «-(-», а отрицательное — со знаком «-». Знак «-1-* перед дробью обычно опускается. Вам известно, как выполняются действия над конечными десятичными дробями. Арифметические операции над действительными числами, т. е, бесконечными десятичными дробями, обычно заменяются операциями над их приближениями. Например, вычислим приближённые значения -J2 + л/з. С помощью микрокалькулятора находим 72 = 1,4142135..., 73= 1,7320508... . Поэтому с точностью до единицы 72 -I-л/З = 1,4 -ь 1,7 = 3,1 = 3, с точностью до одной десятой 72+7з~ 1,41 -н 1,73 = 3,14-3,1, с точностью до одной сотой 72 -f 7з - 1,414 + 1,732 = 3,146 - 3,15 и т. д. Числа 3; 3,1; 3,15 и т. д. являются последовательными десятичными приближениями (первые два с недостатком, третье с избытком) значения суммы 72 + 7з. Итак, при отыскании суммы 72 -I- 7з числа 72 и 7з заменялись их приближениями — рациональными числами, и выполнялось сложение чисел по известным правилам. Аналогично, вычисляя произведение 72 • 7з, например, с точностью до 0,1, получаем 72 • 73 = 1,41 . 1,73 = 2,4393 « 2,4. -3 Рис. 1 -2 -<2 -1 -0,5 о 0,5 V2 Вообще, пусть Xj, х.^, .... х„, ... — последовательные приближения действительного числа х с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т. д. Тогда погрешность приближения \ х — xj как угодно близко приближается к нулю (стремится к нулю). В этом случае пишут \х-х„ о при л -► оо, или lim jx - д;„| = 0 Л —• оо (читается: «|л: - л:„| стремится к нулю при л, стремящемся к бесконечности» или «предел |х-дг„| при л, стремящемся к бесконечности, равен нулю»). Это означает, что х„ как угодно близко приближается к х, т. е. х -у X при л -> оо, или lim х„ = х. Л -* ев Отметим, что все основные законы и правила действий над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения и т. д.). Модуль действительного числа х обозначается |д:1 и определяется так же, как и модуль рационального числа: 1*1 = Рис. 2 X, если X ^ о, —X, если ж < 0. Например, если х = -0,1010010001..., то \х\ = -х = 0,1010010001.... Геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой (рис. 1). Покажем, например, как можно геометрически указать на числовой прямой точку с координатой V2. Построим квадрат со стороной 1 (рис. 2) и с помощью циркуля отложим диагональ ОА на числовой оси. Заметим, что если бы не было иррациональных чисел и соответствующих им точек числовой оси, то прямая 9 оказалась бы с «дырками», в частности, не было бы на числовой оси точки с координатой V2. Множество действительных чисел «заполняет» всю числовую прямую: каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке числовой прямой соответствует единственное действительное число. Точку, изображающую число а, также обозначают буквой а. Отметим, что если а < Ь, то точка а лежит левее точки Ъ. Множество всех действительных чисел обозначается R. Запись X в R (читается: «х принадлежит Д») означает, что х является действительным числом. 10 11 12 Упражнения (Устно.) Какие из данных десятичных дробей являются иррациональными числами: 1) 16,9; 2) 7,25(4); 3) 1,21221222... (после п-й единицы стоит п двоек); 4) 99,1357911... (после запятой записаны подряд все нечётные числа)? Установить, какая из пар чисел 5,4 и 5,5 или 5,5 и 5,6 образует десятичные приближения числа л/Й с недостатком и с избытком. Какое из равенств \х\ = х или |д:| = -д; является верным, если: 1) л: = 5-л/7; 2) дг = 4-3^3; 3) х = 5-Ло? Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения: 1) (V8-3)(3-f2V2); 2) (л/27-2)(2-зУЗ); 3) (V50-^4/2)^/2; 4) (5л/3 + V^): л/З; 5) (л/3-1)=* -f(V3 + l)2; 6) (/5-1)2 _(2/5-1-1)2. Вычислить: 1) /63 2) -/5; 3) :/8; 4) Vl2 :/^. Сравнить числовые значения выран^ений: 1) и /1ТТ + /17; 2) и /Т0-/ЗЛ. Вычислить: 1) ^(-у/7-2 /2)-2/1; 2) ^(^16 -6/Г-1-Лг) • 3; 3) y|(yjfi + 2^^T^-^8-2-Jl5)-2 + 7. 10 I Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия • I...............I.................» • 16 Рис. 3 Напомним: геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность bj, Ь^, где /?, Ф О, что для всех натуральных п выполняется равенство ^„ +1 = где <7 0. Например, таковы последовательности: 1,3,9,27.....3"-‘, ... (Ь, = 1, (7 = 3); .... 2, -4, 8, -16..-(-2)", ... (ft, = 2, (7 = -2). По формуле ft„ = вычисляется п-й член гео- метрической прогрессии. По формуле = \-q вычисляется сумма ее первых п членов, если q^\, а если q= то S„= ft,га. Среди геометрических прогрессий особый интерес представляют так называемые бесконечно убываю щие геометрические прогрессии. Начнём с примера. Рассмотрим квадраты, изображённые на рисунке 3. Сторона первого квадрата равна 1, сторона второго равна i, сторона третьего----^ и т. д. 2^ Таким образом, стороны квадратов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем -: 2 1 1 _L J_ ’ 2’ 22 ’ 2» ’ ,п-1 (1) Площади этих квадратов образуют геометрическую прогрессию со знаменателем i: 4 1 1 i ’ 4 ’ 42 ’ 42 4 11 Л - 1 (2) Из рисунка 3 видно, что стороны квадратов и их площади с возрастанием номера п становятся всё меньше, приближаясь к нулю. Поэтому каждая из прогрессий (1) и (2) называется бесконечно убыва ющей. Рассмотрим теперь геометрическую прогрессию 3“ ’ ■■ ■ 1 _i _L ’ З’ 3^’ 3" -1 Знаменатель этой прогрессии q = —, а её члены 3 и т. д. Ь. = 1, Ь, = --, ^3 = ^, 6. — 1 >2 з’ э’ ^ 27 С возрастанием номера п члены этой прогрессии приближаются к нулю. Эту прогрессию также называют бесконечно убывающей. Отметим, что модуль её знаменателя меньше единицы: |9|< 1. Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. Задача 1 Доказать, что геометрическая прогрессия, задан- О ная формулой п-го члена Ь„ = —, является беско- нечно убывающей. 3 3 По условию ft, = —, Ь2 = — = Ьо 1 откуда q = — = -■ 5 ■ ‘ “ ■ ft, 5 Так как jgl < 1, то данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. <1 На рисунке 4 изображён квадрат со стороной 1. Отметим штриховкой его половину, затем половину оставшейся части и т. д. Площади заштрихованных прямоугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию 1 1 1 JL X 2 ’ 4’ 8’ 1б’ 32’ "■ ■ Если заштриховать все получающиеся таким образом прямоугольники, то штриховкой покроется весь квадрат. Естественно считать, что сумма площадей всех заштрихованных прямоугольников равна 1, т. е. 2 4 8 16 32 12 в левой части этого равенства стоит сумма бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим сумму первых п слагаемых: + i + i + "248 2" По формуле суммы п членов геометрической прогрессии имеем 1 \2) 1 1-i Если п неограниченно возрастает, то как угод- 2" но близко приближается к нулю, т. е. ---► О при п оо, или Ит = 0. 2" п-оо 2" Поэтому lim 1-- 2" : 1, т. е. lim S„ = 1. Бесконечную сумму + —+ счита- 2 4 8 16 32 ют равной 1. Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности S,, ^2, ... , ... . Например, для прогрессии 1 _1 1 __L f_iV ’ * л’ ••• » I «.I » ••• > 3 9 27 \ 3 / где = 1, (7 = —имеем 3 Sl = l, 82=1--^ = -, S2=l-i-(-i = ^. * ^ 3 3 •* 3 9 9 f-M" л 4 4 ’ I 3 J ’ Til Так как lim (-i] = 0, to lim S„ = -П-*00\3/ fT—*oo 4 13 Выведем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с помощью формулы bAl-q") S. = —------. Запишем её так: 1-9 S. = 1-9 1-9 ■9" . (3) Так как |9|<1, то lim 9" = О, lim ——q" = 0, Л-*оо л-*оо1—^ и поэтому lim . Л -» оо ^ “ Я Таким образом, сумма S бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле ft- (4) S= 1-9 Из формулы (4) при = 1 получаем S = —Это 1-9 равенство обычно записывают так: 1 + 9 + ч + ••• + ?' ,Л - 1 1-9 Задача 2 Подчеркнём, что это равенство справедливо при I9I < 1, в частности при 9 = 0. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 _1 ± _J_ л» ш л * •••• 2 6 18 54 ► Так как fc, = i, 62 = --, то 9= — = и по фор- 6 муле S = —^ получим S =----^ = 3. < Задача 3 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если = -1, Я — ~- ► Применяя формулу Ь„ = при л = 3 получаем откуда = -49. По формуле (4) находим S = ^ = -57i. <1 1-i- 6 14 Задача 4 С помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометретеской прогрессии записать бесконечную периодическую десятичную дробь а = 0,(15) = = 0,151515... в виде обыкновенной дроби. ► Составим следующую последовательность приближённых значений данной бесконечной дроби: a, = 0,15=i^, а, = 0,1515 + ' 100 ^ 100 100^ аз = 0,151515 = —+ 15 100 100^ 100^........... Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической про- грессии: а = — -I- + ... . 100 100^ 100® По формуле (3) получаем а = J5 100 1_J_ 100 99 33 Упражнения 13 Выяснить, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой п-го члена: 1) Ь„ = -5®": 2)5„ = 2®'‘. 14 Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если: 1) />4 = 88,9 = 2; 2) /7j = 11, />4 = 88. 15 Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: 16 1) 1 1 -L 5’ 25’ ••• ’ 3) -27, -9, -3, ... ; 2) 1 1 3 9 27 4) -64, -32, -16, Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: 1) by = 40, />2 = -20; 3) />7 =-30, />б = 15; 2) />,= 12, />„ = f; 4 4) <>5 = 9, <>10=-:^. 27 15 17 Вычислить: 1) lim —; n -• ОО 4 ^ 2) lim (0,2)" ; Л -* 00 3) lira fl + —1; 4) lim -2 n-»oo\ 7”/ л-»оо1\5/ 18 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если: 1),=-1.^ = 1; 2), = i.., = ± 3) 7=-7> ^1=9: о 81 4) 7=4- ^.4- 19 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 1 1) 6, 1, i О 2) -25, -5, -1... 20 Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 1) 0,(5); 2) 0,(8); 3) 0,(32); 4) 0,2(5). 21 Выяснить, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой л-го члена: 1) = 3 • (-2)"; 2) = -5 ■ 4"; 3) 22 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если: Vi. ц „ _ 1 I, _ V2 . ^ ^"2* 16’ о\ п — Уз ь _ 9 2) Ь,--. 23 Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 30. Найти: 1) bj, если q = 5 2) q, если 5, = 20. 24 Вычислить: 3-2" Л оо 2” 1) Ига 2) lira > Л +2 + 2 3) lira (5" +1)^ с2 л 25 На куб со стороной а поставили куб со стороной —, на него 2 куб со стороной -, затем куб со стороной - и т. д. (рис. 5, а). 4 8 Найти высоту получившейся фигуры. 26 В угол, равный 60", последовательно вписаны окружности, касающиеся друг друга (рис. 5, б). Радиус первой окружно- 16 Ч) Рис. 5 сти равен R^. Найти радиусы R.^, R^, R„, ... остальных окружностей и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма Д, + 2 (Д2 + R3 + ... + R„ + ...) равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла. Арифметический корень натуральной степени в виде - 81 = О, или Задача 1 Решить уравнение х'* = 81. ► Запишем уравнение (х^ - 9) (х^ -I- 9) = 0. Так как + 9 ФО, то х’* - 9 = 0, откуда х, = 3, Xg = -3. <1 Итак, уравнение х"* = 81 имеет два действительных корня X,= 3, Ха = -3. Их называют корнями чет- вёртой степени из числа 81, а положительный корень (число 3) называют арифметическим корнем четвёртой степени из числа 81 и обозначают V^. Таким образом, = 3. 17 Задача 2 Задача 3 Можно доказать, что уравнение х" = а, где п — натуральное число, а — неотрицательное число, имеет единственный неотрицательный корень. Этот корень называют арифметическим корнем л-й степени из числа а. Определение. Арифметическим корнем натуральной степени л > 2 из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, л-я степень которого равна а. Арифметический корень л-й степени из числа а обозначается так: Va. Число а называется подкоренным выражением. Если л = 2, то вместо va пишут у/а. Арифметический корень второй степени называют также квадратным корнем, а корень третьей степени — кубическим корнем. В тех случаях, когда ясно, что речь идёт об арифметическом корне л-й степени, кратко говорят: «Корень л-й степени*. Чтобы, используя определение, доказать, что корень л-й степени Va (а > 0) равен Ь, нужно показать, что: 1) Ь> 0; 2) Ь" = а. Например, = 4, так как 4 > 0 и 4® = 64. Из определения арифметического корня следует, что если а ^ о, то (Vo)"=a, а также Va" =а. Например, (V?)® = 7, Vl3^ = 13. Действие, посредством которого отыскивается корень л-й степени, называется извлечением корня п-й степени. Это действие является обратным действию возведения в л-ю степень. Решить уравнение д:® = 8. ► Запишем уравнение в виде х® - 8 = 0, или (X - 2) (х® -I- 2х + 4) = о, (X - 2) ((х -I- if + 3) = 0. Так как (х -f 1)® -ь 3 0, то х - 2 = 0, откуда х = 2. <3 Итак, уравнение х® = 8 имеет один действительный корень X = 2. Так как 2^0, то это число — арифметический корень из 8, т. е. Vs = 2. Решить уравнение х® = -8. ► Запишем уравнение в виде х® -1- 8 = 0, или (X -н 2) (X® - 2х + 4) = о, (X -I- 2) ((х - 1)® -ь 3) = 0. 18 Так как (д: - 1)^ + 3 О, то д: + 2 = О, откуда д: = -2. <1 Итак, уравнение = -8 имеет один действительный корень X = -2. Так как -2 < О, то число -2 является корнем из числа -8, но оно не является арифметическим корнем. Число -2 называют корнем кубическим из числа -8 и обозначают ^-8: = -2 или = -Vs = -2. Вообще, для любого нечётного натурального числа 2к + \ уравнение - а при а < О имеет только один корень, причём отрицательный. Этот корень обозначается, как и арифметический корень, сим-волом VH. Его называют корнем нечетной степени из отрицательного числа. Например, V-27 = -3, V-32 = -2. Корень нечётной степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа -а = |а| следующим равенством: Например, V-243 = -V243 = -3. Задача 4 Вычислить V-0.027 -VO.OOie -УШ -\l-12S. ► V-0.027 - Vo,0016 - Vm - V-128=V-(0,3)3 _ - V(0,2)'* - Vs^ - =-0,3 - 0,2 - 3 -b 2 = -1,5. <] Арифметический корень га-й степени обладает следующими свойствами: если а > 0, 6 > 0, а л, m и А — натуральные числа, причем п > 2, m > 2, то "Л Vb” 3. (V^)" - V^. 4. = ""У^. 5. ‘Va"* =Vo^. 1. = Va Vb. 2. Vb "/Г” Отметим, что в свойстве 1 число Ь может также быть равным 0; в свойстве 3 число т может быть любым целым, если а > 0. 19 Докажем, например, что = Va Vb. Воснользуемся определением арифметического корня: 1) Va "4ь > О, так как а > О и Ь > 0; 2) (Va Vb)" = аЬ, так как (Va Vfc)" = = (Va)" (Vft)" =а6. О Аналогично доказываются и остальные свойства. Приведём примеры применения свойств арифметического корня. 1) V^ V3 = V27-3 = V^ = VF = 3; 2) я[^ .яfi _з/256 . 4 _ М 625 ■ V 5 V 625 ■ 5 3/7^ 3) VH^ = =53 = 125; 4) VV4096 = ‘V4096 = = 2; 5) (V9)-2 =V^ = )/^ = f (Va^ft^ ) 4. 5’ Задача 5 Упростить выражение , где а > О, h > 0. ► Используя свойства арифметического корня, полу- {V^y аЧ^ аЧ^ . ^ чаем = ^, ■ = =-:^ = аЬ. <1 V7PF Va’2ft6 а-^г» Отметим ещё одно свойство арифметического корня чётной степени. При любом значении а справедливо равенство ^Va^* = |®1> где k — натуральное число. • Воспользуемся определением арифметического корня: 1) |а| ^ о по определению модуля; 2) |ар* = а**, так как |а!^ = а^. О Задача 6 Упростить выражение +^(х-3)^ , если 3 < X < 5. ► ‘\j(x-5)* + y(x-3f =|х-5| + |х-3|. Так как 3 < X < 5, то |х - 5| = - (х - 5) = 5 - X, |х-3| = = X - 3. Поэтому ^(х-5)^ + V(^ —3)® = 5 — X -t--нх-3 = 2. <1 20 Упражнения 27 (Устно.) 1) Найти арифметический квадратный корень из числа; 1; 0; 16; 0,81; 169; 289 2) Найти арифметический кубический корень из числа: 1; 0; 125; —; 0,027; 0,064. 27 3) Найти арифметический корень четвёртой степени из числа: 0; 1; 16; 0,0016. 81 625 Вычислить (28- -30). 28 1) 736®; 2) *V64^ ; 3) i 4) V225'*. 29 1) Vl0«; 2) V^; 3) (i 30 1) V^; 2) ^V^; 3)fJ; 4) V-1024; 5) V-34*; 6) V-8^ 31 Решить уравнение: 1) х“ = 256; 2) х« = --^; 3)5х® = -160; 4) 2х® = 128. 32 Вычислить (32—36). 32 1) V-125 + i V64; О 2) V^-0,5®V-216; 3) -iV81 + V6^; 4) V-1000 - i V256; 3 4 5) + V-0,001 - Vo,0016. V 243 33 1) ^343.0,125; 2) ^512-216; 3) ^32-100000. 34 1) Vs® ■ 7“ : 2) -3* ; 3) V(0,2)”’ • 8» ; 4) -2Г . 35 1) V2- ®^/^; 2) Vo.04; 3) Vs^ ■ V5; 4) V2 • Vl6. 36 1) Vo'" -21®; 2)®V^-5®; 3) 3- (!)•: 4) 20 21 37 ^ Извлечь корень: 1) ^64дг»г«: 2) Va®b‘* ; 3) 4) , 38 Упростить выражение: 1) \fza^ • Vta4; 2) • V27a^b; o\ 4 fob . 4 /a®c. 44 3 lie a . 3 ГТ V c V ft ’ W ft“* V2aft‘ Вычислить (39—40). 3» 1>V1- 2)'4|; s>fl: 4)>/^f. 40 1) : Vi; 2) VT^ : V2OOO; 3) 4) V2 Vs 5) (V^-Vi5): VS; 6) (Vo^-VS): Vs. 41 Упростить выражение: 1) VaeftT : 2) ^81^ : V^; 3) з/и : 4) 4/Ж : Vqx2 Va* \8ft3 Вычислить (42—43). 42 1) (Vt^)2; 2) (V9)-3; 3) (*V32)2; 4) (VTO)-». 43 1) VVt^; 2) VVl024; 3) 4) V^- V^. 44 Упростить выражение: 1) (V^)"; 2) (V^)-'>; 3) (Vi - Vft)«: 4) (Vi^. Vi^)i2; 5) 6) 7a^ 45 При каких значениях jc имеет смысл выражение: 1) М2х-Ъ\ 2) Mx + Z\ 3) V2x^-x-l; 4) Wlrli ? '' \2x-4 Вычислить (46—47). 46 1) л/о +Vl7 - V9-Vl7; 2) (^Vs +Vs - VS-Vs^; 3) V^ + Vs-V^y. * Здесь и далее буквами обо.значены положительные числа, если пет дополнительных условий. 22 47 2) Vs V2 4) +V18 ■ 1^Ц -у[7Ш; 5) Vii-V^ • Мп77Ш; 6) VitWH• V17 + V33. Упростить выражение (48—49). 48 1) V^ • V5a^ • Vm; 2) • Va^b^c • Vb^. 49 1) VVP" + (V^)% 2) fV^]’+2(VV?]‘; 3) 4) a‘. 50 Вычислить: Vi 51 Упростить: 2) 3) (V9+V6+Vi)(V3-V2). ^V? 1) ^(x-2)® при: a) jc 2; 6) x < 2; 2) V(3-x)« при: a) X < 3; 6) x > 3; 3) ^(x + 6)'' + V(x - 3)^ , если -1 < X < 2; 4) ^(2x+ 1)® - ^(4+ x)’* , если -3 < x < -1. 52 Сравнить значения выражений: 1) л/з + V30 и V63; 2) V7 +Vl5 и Ло +V^. 53 Доказать, что: 1) 74 + 2V3 - ^4-2л/3 =2; 2) V9 +V80 + V9-V80 = 3. 54 Упростить выражение: ■Ув ~ -JЬ ‘J~c + Vab 1) 3) Vi-Vb Vi + Vb 2) 4 a-6 a + 6 Vi-Vb Vi + Vb a+ b 3 V^ +Vb -V^ 23 Степень с рахщональным и действительным показателями 1. Степень с рациональным показателем. Задача 1 Вычислить Vs^. ► Так как 5'^ = (5^)^ то = М(5^)* = 5® = 125. <1 Таким образом, можно записать Vs^ = 125 = 5® 12 или = 5 ^ , так как 3 = —. 4 __ Точно так же можно записать, что V?"’® =7 ® . Если п — натуральное число, п> 2, т — целое число и частное — является целым числом, то п при о > О справедливо равенство _ HL V^=a". (1) • По условию — = А — целое число, откуда т = пк. п Применяя свойства степени и арифметического корня, получаем Vo^= = V(a*)" = а* = а " . О Если же частное — не является целым числом, п т то степень а " , где а > О, определяют так, чтобы осталась верной формула (1), т. е. и в этом случае Таким образом, формула (1) справедлива для любого целого числа т и любого натурального числа п ^ 2 и а > 0. Например: 16“ = Vl6^ = = 2® = 8; 5 7“ = = ^7“ -7= 7 V7; 27* » = ^27-2 = = ^(3-2)2 = 3-2 = i. 24 Напомним, что рациональное число г — это число вида —, где т — целое, п — натургшьное число. п m Тогда по формуле (1) получаем а'' = а= Va” . Таким образом, степень определена для любого рационального показателя г и любого положительного основания а. Если г = — > О, то выражение Va” имеет смысл п не только при а > О, но и при а = О, причём VO'" = 0. Поэтому считают, что при г > 0 выполняется равенство 0'^ = 0. Пользуясь формулой (1), степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот. Так как — = —, где « и А — натуральные числа, л nk т — целое число, то при любом а > 0 тк (2) i Например, = 8® = 2. Можно показать, что все свойства степени с натуральным показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием. А именно, для любых рациональных чисел р и g и любых а > о и Ь >0 верны равенства: 1. аРаЧ = аР*ч^ 2. аР:а^ = аР-ч. 3. (аР)^ = аР ч. 4. (аЬ)Р = аРЪР. .ь) ЬР В основе доказательства этих свойств лежат свойства корней. Докажем, например, свойство аРа'^ = аР*’’. Пусть р = —, q - где п и I — натуральные числа, п I т к k — целые числа. Нужно доказать, что Z, — 2. + — о"а' = а" '. (3) 25 Приведя дроби — и — к общему знаменателю, п I запишем левую часть равенства (3) в виде m к ml кп а" а' - а "‘а Используя определение степени с рациональным показателем, свойства корня и степени с целым показателем, получаем т к ml кп а" а‘ = а"'а = "‘у! а • "Va*" = - а*" = ml *кп _ ml*kn _ д п1 ^ д л / _ Q Аналогично доказываются остальные свойства степени с рациональным показателем. Приведём примеры применения свойств степени: 1 3 1) 7* -7* = 7* * =7; 21 2_1 1 2) 9'*:9'> = 9»~о =92 = 7э = 3; 3) 116» Ч 2 к] 4 1.9 = 16® ■» = 3 3 ^.3 16^ =(2*)‘* =2 -i =2® =8; 2 2 3-i 4) 24® = (29.3)9 = 2 'з . 39 = 4^3^ = 4^9; 1 5) f 8 'la _ 89 ^ (29)9 ^ g M27J 1 i з’ 27“ (39)3 \ 1 Задача 2 Вычислить 25® • 125® . 11 11 ► 25® • 125® = (25 • 125)® = (5®)®= 5. <1 Задача 3 Упростить выражение 4 4 а® 6+ а&9 4 4 а^Ь+аЬ^ аЬ г -1 а® + _ I 1 «9+ Ь9 = ab. <] 26 Задача 4 Упростить выражение - а а® (1 - а®) Т .3 (1-а®) o'* (1 - о) о * (1 + а) = 1+ а-(1-а) = 2а. <1 Задача 5* Вкладчик поместил в банк 10 000 р. Банк ежегодно начисляет вкладчику 3% от суммы вклада. Какую сумму денег получит вкладчик через 3 года и 5 месяцев? ► Искомая сумма вычисляется по формуле сложных процентов: S = a| '' V 100 где а — первоначальная сумма денег, р — число процентов, начисляемых банком в год, t — число лет, в течение которых деньги находились в банке. В данной задаче а = 10 000, р = 3, t = По формуле сложных процентов находим 3 — 5 = 10 000 • 1,03 . Вычисления можно провести на микрокалькуляторе, имеющем клавишу Ответ 11 062 р. 70 к.<] У 2. Степень с действительным показателем. Покажем, как можно определить степень с иррациональным показателем, на примере 3' ® . Пусть г,, г2, Гд, ..., /•„, ... — последовательность десятичных приближений числа V2 (например, с недостатком): r^ = 1,4, Гд = 1,41, Гд = 1,414, ... . Эта последовательность стремится к числу л/2, т. е. lim r„ = V2. 27 ^1исла Tj, r^, Г3, ... являются рациональными, и для них определены степени З'^', З'^*, 3'^“, ..., т. е. определена последовательность 31«, ..... Можно показать, что эта последовательность стремится к некоторому действительному числу, которое обозначают 3''^, т. е. 3'^ = lim З'^". Л -* tso Вообще, пусть а > О и х — произвольное иррациональное число. Рассмотрим последовательность ;с,, х.^, ..., х^, ... десятичных приближений числа д:. Эта последовательность имеет предел lim jc„ = х. а -* оо Можно показать, что последовательность , а**, ..., а^“, ... также имеет предел. Этот предел обозначают и называют степенью числа а с показателем X (подробнее см. в Приложении). Таким образом, степень определена для любого а > О и любого действительного показателя х. При любом X е Д и любом а > О степень является положительным действительным числом: а* > О при X 6 Д, а > 0. Если основание степени а = 0, то степень 0^ определяют только при X > о и считают, что О'' = 0 при X > 0. Например, 0''^ = 0, = 0. При х ^ 0 вы- ражение 0' не имеет смысла. Например, выражения 0“^, 0"''^ смысла не имеют. При таком определении степени с действительным показателем сохраняются все известные свойства степени с рациональным показателем. Доказательство этих свойств для степени с действительным показателем проводится в курсе высшей математики. Задача 6 Упростить выражение ► Применяя свойства степени с действительным показателем, получаем (а'З-0 Л+1 ,„4Ws j(-y3-1)(>/3+l) _ V5 —3+4 — У5 а а = «. < 28 Приведём ещё одно свойство степени, также доказываемое в курсе высшей математики с помощью теории пределов. Для любого а > 1 и любого х> О число больше 1, т. е. > 1 при и > 1, jc > 0. ц) С помощью свойств степени с действительным показателем доказывается следующая теорема: Теорема. Пусть а > 1 и лг, < Xj. Тогда а*' <. • По условию Х2 - > 0. Поэтому по доказанному свойству (1) имеем > 1. Умножив обе части этого равенства на положительное число , получим а** . Отсюда по свойству умножения степеней получаем , т. е. . О Следствие 1. Пусть 0<а<1 и х^ < х.^. Тогда • Так как 0<о<1, то —>1. Поэтому из теоремы следует, что при х^ < Х2 По свойству деления степеней fi]'= i. U; а* Следова- тельно, —— < ——, откуда а^' > .О Следствие 2. Пусть а > 0, аФ1, а*‘=а*^. Тогда д:, = jCj. • Предположим, что равенство х^ = Х2 не выполняется. Пусть, например, Xj < JTg. Тогда при а > 1 по теореме должно быть a*^ < , а при 0 < а < 1 по следствию 1 должно быть что проти- воречит условию а^' =о^*. О 29 Задача 7 Сравнить числа и 5^''^ . ► Сравним показатели 2 -Уз и 3-У2. Так как 2V3 = = v^, Зл/2 = л/Гв и 12 < 18, то 2 Уз < Зл/2. Поэтому по теор>еме 5^'^ < 5®''^. <1 Задача 8 Сравнить числа (!)" "(?Г ► Так как О < л < 4, то О < — < 1. Сравним показа- 4 тели: так как 8 < 9, то Ув < Уэ, т. е. л/в < 3. Применяя следствие 1, получаем ^(4) ^ Задача 9 Решить уравнение 4* = З"*. ► По свойствам степени 4^ = (2^)* = 2^*. Поэтому уравнение можно записать так: 2^*=2'*'^®. Применяя следствие 2, получаем 2д: = 4-Уз, откуда x = 2^^3. < Следствие 3. Пусть О < < лТд. Тогда если р > О, то < х^, а если р < О, то х^^> х\. • По условию — > 1. 1) Если р > О, то по свойству (1) получаем > 1. По свойству деления степеней — > 1, 1 У откуда х^> зс J. т. е. jc ^ < Xg. 2) Если р < О, то -р > О, и по свойству (1) получаем ' х'.^ х“ > 1, откуда —^ >1, —^ > 1, > х^. О V -ч / х":. Таким образом, при возведении неравенства с положительной левой и положительной правой частями в положительную степень знак неравенства не меняется, а при возведении в отрицательную степень знак неравенства меняется на противоположный. 30 Задача 10 Сравнить числа V2 и П. ► По свойствам степени получаем (л/2)б =[22] =2*=8, (^)®=(з»] =32=9. Так как 0<8<9 и ^ 8* <9®, т. е. V2 <^3. <] Упражнения 55 (Устно.) Представить в виде степени с рациональным показателем: 1) 2) 3) VP”; 4) 5) %; 6) Ifb^. 56 (Устно.) Представить в виде корня из степени с целым показателем : 1 i 5 _1 1 _i 1) 2) J/®; 3) а'«; 4)ь“«; 5) (2х)^; 6) (36)"®. Вычислить (57—60). 1 12 3 57 1) 64® ; 2) 27 ®; 3) 8®; 4) 81“ ; 5) 16®’’®; 6) 9-’-®. 4 11 2 5 2 I 15 ( 58 1) 2® • 2®: 2) 5® • 5®; 3) 9® ; 9®; 4) 4® : 4®; 5){8 >®j . 2 2 2 2 3 3 3 3 59 1) 9® • 27®; 2) 7® ■ 49®; 3) 144“ : 9“; 4) 150® : 6®. / . N-0.75 / 1 V? _2 60 1) (l^ J П eJ ’ 2) (0,04)-'-® - (0,125) ®; 9 2 6 4 ( Л )-5 ( зу“ 3) 8^ : : 8® - -3® • 3®; 4) 15 ® J + 1(0,2)“ J . 61 Найти значение выражения: 1) % при а = 0,09; 2) 4ь : Vb при 6 = 27; 3) rbW при 6= 1,3; 4) Va • Va • при а = :2,7. 62 Представить в ииде степени с рациональным показателем: 1 1 1 1 1) 0® • 4а\ 2) 6® • 6® • Vb-, 3) Vb: Ь^; 4) 4 а : 5) x^•'’ ■ X® 6) I/-®'® : у-®'® • v^. 63 Вынести общий множитель за скобки: 1 11*1 i i 1) х^+х; 2) (аЬ)®+(ас)® ; 3) у* - ; 4) 12ху‘^ -Зх^у. 31 64 65 69 70 Пользуясь тождеством — 6^ = (о + Ь) (а - Ь), разложить на множители: 11 2 11 I)a2-fe2; 2)1/*-1: 3)fl.®-fc3; 1 i i 1 4) X - у; 5) 4а^ -Ь^; 6) 0,01т® -п® . Разложить на множители, используя тождество а® + 6® = = (а + Ь) (а® - аЬ + Ь^) или = (а - Ь) (а® + afe + 5®): 1 1 3) 3 3 2 _ „2 . 1) а -х; 2) X® - у®; 66 Сократить дробь: 1 л/а - л/ft 4) 27а+с2, 1) 1 1 а® -ft^ 2) т + 2Утп+п 3) с-2с^ + 1 л/с -1 67 Упростить выражение 1 cft^ 2c'*-4cft 1 i i i c-ft -2.^2 »,2_„2 C^ + ft2 ft“-c‘ 68 Вычислить: 1) 2''® •2-'^; 2) З^’/^ ; 9>^; 3) 4) ((0,5)'^)'^®. Вычислить (69—71). 1) -8^®; 2) : 9*'^; 3) 4) (5’-'^)*+'^-(л/5)°. 1) 21-2V2 .4^2; 2) 3®-®^ • 27'^; 3) 9*+''® . 3»-''® • 3-®-’'®; 4) 4®+'^. 2^-'^ • 2 *-'^. 71 1) 10 2 + ^7 2) 'З + Л 22+V7^gl+V7 ' 22+V^.3l+VF 3) (251-*^'^-5®'®)-5-’-®''®; 4) (2®'^ - 4''®*')-2-®^. 72 Выяснить, какое из чисел больше: 1) 3''^' или З'*™; 2) или ; 3) 4"'^ или 4''^^; 4) З'® или З'*'’’; ^>(5] ‘““(I)"' (9)' "™(5Г*- 73 Сравнить число с единицей: 1) 2 ®; 5) 2-''®; 32 2) (0,013)-*; (i)" 3) ( 4) 27*®; .г л>/5-2 8) fif 74 Упростить выражение: 1) а''* • а!-''2; 2) а''з-i .а'^3^1; 3) : ь2, 75 Сравнить числа: 1) V2 и 'УЗ; 2) Vs и V?. 76 Вычислить: -0,75 1) — -f8100000-25- 7— Г; 2) 27®-(-2)-2-ь 19 .16; г 32*J 3) (0,001)’з-2-2-64® -s’»; 4) (-0,5)-^ - - (^2^ j Упростить выражение (77—78). -1-! 77 1) (а*) 4\ 4 2) 78 1) 3) - f -- а® U ^ + а а“ Ь-з 12 1_( 3 ^ o'* [o'* + а 5 2) 4) ь5 (У^-УРГ) 1 1 yfh + b'^ ^fa Va -f Vb 79 Вычислить: f 5 _l 5 Г i i 13'^ 1) [2^ -3 •'* -3» -2 ® j V6; 2) [s-* :2^ - 2^ : S'* j VlOOO. Упростить выражение (80—83). 80 1) а» 2) ^jb Mb ; 3) + (ab)'®) 4) (V^ + V6)fa® + fc3 _ 81 3) e _A 8 4) ■J a - a ^ b la^ -a a*-a* ft^+ b 3 1-Va 6, ’ Va + a ^ •Ib 82 1) m''® •n''^ (mn) 2 + V3 ’ V7 + 1 _ , _ _ 2) -----3) (a''2 +bv3). V? 4) ^2a-«-5 +2a-0-5 j. 33 / , л 1-V5 2) т l + v6 sJE т Д« + Уз + 1^1-?/з 83 1) 3) 4) Решить уравнение (84—85). 84 1)52*=5^ 3) 9*=3^'^; 4) 16^=2”". 85 1) 7*’'»=л/7; 2) 25^''2=5л/5; 3) (л/2)' = 2л/2; 4) (л/3)®* = 3л/3. 86 Сравнить числа: 1) ViO и 2) V5 и VT; 3) ЛТ и 4) VIS и Упростить выражение (87—89). 87 1) 2) 3) 3 0® 1_ 06® 2o® . ■Ja + 4b 4b-4a a-*’ Ъху-ф i/Л у4х x-y 4x- 4у 4x + 4у 1 У^ + Уб . я/— з/т 2 2 ’ va + V6 3 3/— J o'* -Vo6 + b® 4) 88 1) 3) 89 1) 2) 3) a “ a + Га-Гь 1 J’ 0® + 6® 2 2 О® + 6® 1 0-6 i 0®- 1 ’ 6® JC-+ J/ 2 11 2 2 X® - X® у® + у® X® (0-6)® , a 3 3/1 o®-6® [0® + 6®J г ^ ’ 3x® + 5x® + 1 2) 4) %-Гь 0+6 a - Ь 2 i i 2 дЗ _ дЗ j,3 ^ ^,3 1 1 q3-6» 0+6 a® + y^ + 6® 0-6_____ 2 1 i 2 o^ + o® 6® + 6® 1 x-y 1 1 _3 ..3 a 2 2 :c®-y® 1 1 x®-y® 2 11 2 ® a^h^ + b^ a^-h^ x + \ 34 4x® + 4 + i® + l J 90 Вкладчик вложил в банк 5000 р. под 2% годовых. Сколько денег получит вкладчик через 3 года? 91 Банк начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Сколько денег получит вкладчик через 2 года 7 месяцев, если первоначальная сумма вклада составляла 2000 р.? Т Упражпения : к главе I 92 Вычислить: 1) 0,645:0,3- ^107 180, 2) (1-0,375) : 0,125 93 Представить в виде обыкновенной дроби: 1) 1,3(1); 2) 2,3(2); 3) 0,(248); 4) 0,(34). 94 Вычислить: 1) 48«, 10-2, J|j (0 з)-з^ (-1,2)-2, |^2ij ^ 2) V27, VS, V32, VS, VTS, ViS; 12 i 2 _3 . .2 3) 8®, 273, 10000^ 32®, 32 *, 95 Вычислить: 1 -1 И - 5 ^ Вычислить (96—97). 0.3 1.3 96 1)|-(|]\ 2) j^^.125-*] *; 3)272-1-9-1; 4) ,0.01)-" : lOO-i, 5) 6) /. 35 97 2) ■ \ 6^; \4 V 4 \ 8 V5 5) {ШУ-. 6) (тШ)’. 98 Расположить числа в порядке возрастания: 99 1) 2 \ (i]''; Сравнить числа: 1 ^ 6 V. 1) 0,88® и 3) 4,09'*'^2 и 2) 98®. , 32®. 2) (А]'< » 0,41-;; V2 4) |ii ',12 v-V'S -J'S 100 Упростить выражение, представив его в виде степени с осно- 7 ванием а: .1 1) а 2 а-®-® 2 ,3 2) 101 102 I а“ а« Упростить выражение: / N -'2 + 1 1) X*2v2 . _ V X Сравнить числа: 3) (а2'®)2 Va; 4) J___ Vz-i 2) ,v3 v’3-1 ■/з+l ,-i-V3 »,-2 1) \ Q-i) " wFiT" 'гнГ• 103 Решить уравнение: 104 1) б^-'гг 6®; 4) 2'^^*^ = 32; Сократить дробь: 2) 3* = 27; 5) 42-^*= 1. 3) 7®* = 7’®; 1) у-1ву 1 2) 105 а у* + 20 Упростить: 8 1 аЬ^-Ь^ 4 4 а® -6® ~2 г а® - Ь® 1) 1 а® 6® ■ 2) а - Ь 1 i в® + Ь® 36 Проверь себя! Вычислить: 2 7 1) 2) ^-(^^У + 4-3790; 3) VIH + :^2. 4 5 , ч я i 3 I 04 Упростить выражение: 1) ------- ,)—2) 3 Сократить дробь а - 9о^ 7а* + 21 а"® - а® Сравнить числа j и j . Упростить выражение ( Va - (Va -VbY. 106 Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если: 1) &2 = -81. «2= 162; 2) i>2 = 33, «2 = 67; 3) ftj + &2 = 130, 6j - ftj = 120; 4) &2 + ^4 - b2~ Ь^ = 60. 107 Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной: 1) 1,10(209); 2) 0,108(32). 108 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трёх её членов равна 39, а сумма их обратных величин равна —. 27 109 Упростить выражение ■^43 + 30-У2 -I- ■^43-30->/2 . 110 Упростить выражение а =(4-Зл/2)^- Vs. Сравнить полученное число с нулём. 111 Сравнить числа а и Ь, если: 1) а = Ь = ■Уб-л/з з + 2л/г’ 2) а = V2 -н л/з, Ь = ЛО; 3) а = 5-/15, 5 = VT7-3; 4) а = ЛЗ--Л2, 5 = -Л2-л/ТТ Л-Л’ 37 112 Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: 1) 6) л/2-л/з’ 11 2) ; 7) __ • 3) 4) ^ 5 + Vio’ ^ VI’ 5) V3+V2’ ■' 1+V2 + V3 113 Вычислить: : 8) 1 Vi + V?+V^ 1) (V7-Vi)(V49+VM+Vl6); 2) (V4-Vl0+V25)(V2+V5). Упростить выражение (114—117). 114 1) Vl-Vy _ '[x + \fxy _ Гх-Гу Гх^Гу’ 2) х-у Х+ у 3) 115 1) 3) Чх + %у 4 4 Л® VI-VI Тх^Ъ 4) x,[y-yjx 11 11 a®b+ ab® 1 2) a^-b^ ab^ — a^b ^ i 1 ^ a® + b® 1 1 a®b® , f VII Ta^Tb ’ 2 2 2 2 4 4 4 4 a®-b® a® + Vab4 b® 4) a®-b® a^-4^ + b® i i a - b > VI-VI %^Tb не 1) |4ау-9а1^а^-4.3а-^ 2) 117 1) 2) 3) 2о - За ^ (а+ ЬУ .4 ,-1 а - о а* + Ь” (аЬ) -1 (Va + Vft+ (\^ -Уь)^ а + Vol .-1 ^ (Va”’ + Va + l)(Va"’ - Va + 1) Va’“ • Va; Ч-3 31 37 ■ + Va ’ 3 3 Va - -Vb abVa + ab® I a + b 118 Доказать, что ^/7+371’ + ^7 — 5-V7 = 2. 38 II глава Степенная функция Как алгебраисты вместо АА. ААА,... пишут А^, А^, .... так я... вместо —, -V.... пишу а *, а~^. а Степенная функция, её свойства и график и. Ньютон Вы знакомы с функциями у = х, у = у = х^, у = — и т. д. Все эти функции являются частны- X ми случаями степенной функции, т. е. функции у = х’’, где р — заданное действительное число. Свойства степенной функции зависят от свойств степени с действительным показателем и, в частности, от того, при каких значениях х тл р имеет смысл степень х^. Познакомимся с некоторыми свойствами функций, которыми обладают, в частности, отдельные степенные функции. Функция у = f (х), определённая на множестве X, называется ограниченной снизу на множестве X, если существует число Cj такое, что для любого X е X выполняется неравенство f (зс) > С,. Это означает, что все точки графика ограниченной снизу функции у = f (х), X € X расположены выше прямой у = С^ или на этой прямой (рис. 6, а). Функция у = f (х), определённая на множестве X, называется ограниченной сверху на множестве X, если существует число Cj такое, что для любого X е X выполняется неравенство f (х) < С^. 39 Рис. 6 а) В этом случае все точки графика функции у = f (Jf), X & X, лежат ниже прямой у = 0^ или на этой прямой (рис. 6, б). Например: 1) функция у = - 2х является огра- ниченной снизу, так как х^ - 2х = (х - 1)^ - 1 > -1 (рис. 7, а): 2) функция у = - 2х -I- 3 ограниче- на сверху, так как -х* — 2х + 3 = 4 - (х н- 1)^ ^ 4 (рис. 7, б). Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве X, называют ограниченной на этом множестве. Функция у = f (х) является ограниченной на множестве X тогда и только тогда, когда существует число С > О такое, что для любого х е X выполняется неравенство | /(х)|< С. Если существует такое значение Xq из области определения X функции y = f (х), что для любого X из этой области справедливо неравенство f {х)'^ f (х^). Рис. 7 40 то говорят, что функция у = f (х) принимает наименьшее значение Уо = f (Xq) при х = х„. Например, функция у = х^ — 2х принимает при д: = 1 наимепь шее значение, равное -1 (см. рис. 7, а). Если существует такое значение Хц из области определения X функции у = f (х), что для любого X е X справедливо неравенство f (х)^ f (Xq), to говорят, что функция у = f (х) принимает наибольшее значение у^ = f (х„) при х = х^. Перейдём к подробному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степени р. 1. Показатель р = 2п — чётное натуральное число. В этом случае степенная функция у = х^", где п — натуральное число, обладает следующими свойствами: — область определения — все действительные числа, т. е. множество R; — множество значений — неотрицательные числа, т. е. у > О; — функция у = х^" чётная, так как (-х)^" = х^"; — функция является убывающей на промежутке X < О и возрастающей на промежутке х > 0; — функция ограничена снизу; — функция принимает наименьшее значение у = о при X = 0. График функции у = х*" имеет такой же вид, как, например, график функции у = х* (рис. 8, а). Рис. 8 41 2. Показатель р = 2n — 1 — нечётное натуральное число. В этом случае степенная функция у = х^’'~^, где п — натуральное число, обладает следующими свойствами: — область определения — множество Д; — множество значений — множество R; — функция у = ^ нечётная, так как ' = — _Y-2n - 1. — Дг у — функция является возрастающей на всей действительной оси; — функция не является ограниченной; — функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения. График функции у = ’ имеет такой же вид, как, например, график функции у = (рис. 8, б). 3. Показатель р = -2л, где п — натуральное число. _ „-2п _ 1 В ЭТОМ случае степенная функция у = х~ обладает следующими свойствами: — область определения — множество R, кроме X = 0; — мномсество значений — положительные числа У > 0; „2п функция у = J_ ,2 п четная, так как 1 (-хУ ,2п „2п — функция является возрастающей на промежутке X < о и убывающей на промежутке х > 0; — функция ограничена снизу; — функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения. График функции имеет такой же вид, как, например, график функции у = -^ (рис. 9). Прямую у = о (ось абсцисс) называют горизонтальной асимптотой (от греч. asymptotos — несовпадающий) графика функции у = х"^", п е N. Прямую X = о (ось ординат) называют вертикальной асимптотой графика этой функции (при значениях X, приближающихся к нулю, расстояния от точек этого графика до прямой х = 0 становятся сколь угодно малыми). 42 4. Показатель р = - (2л - 1), где л — натуральное число. В этом случае степенная функция у = " ** = = ——, где п е N, обладает следующими свойст- ^2л-1 вами: — область определения — множество R, кроме д: = 0; — множество значений — множество R, кроме У = 0; 1 ____............. 1 функция у = ■ .2л-1 нечетная, так как (-Х) ,2л-1 ^2п-1 — функция является убывающей на промежутках д: < о и д; > 0; — функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения. График функции у= 1 ^2п-1 имеет такой же вид, как, например, график функции у = — (рис. 10). X® Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой, а ось ординат — вертикальной асимптотой графика функции. 43 5*. Показатель р — положительное действительное нецелое число. В этом случае функция у = х’’ обладает следующими свойствами: — область определения — множество неотрицательных чисел х^ 0; — множество значений — множество неотрицательных чисел у ^ 0; — функция является возрастающей на промежутке х^ 0; — функция не является ни чётной, ни нечётной; — функция ограничена снизу; — функция принимает наименьшее значение у = 0 при X = 0. График функции у = х’’, где р — положительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции у = х^ (при 0 < р < 1) или как, 4 например, график функции у=х^ (при р > I) (рис. 11, а, б). 6*. Показатель р — отрицательное действительное нецелое число. В этом случае функция у = обладает следующими свойствами: — область определения — множество положительных чисел X > 0; — множество значений — множество положительных чисел р > 0; 44 — функция отляется убывающей на промежутке д: > 0; — функция не является ни чётной, ни нечётной; — функция ограничена снизу. График функции у = х^', где р — отрицательное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, гра-_1 фик функции у= X ^ = -у (рис. 12). Задача 1 Найти наибольшее и наименьшее значения функции I/ = jc" на отрезке -2;i 2 ► Функция I/ = д:® на отрезке убывает при х е [-2; 0], возрастает -2-i 2 при X е 0^ следовательно, она принимает наименьшее значение, равное нулю, при х = 0. Наибольшее значение этой функции — наиболь- шее из чисел как у (-2) и Так ,(-2) = (-2)‘ = 64, ТО i/(-2)>(/^ij и наибольшее зна- ние. J3 чение равно 64. <1 Задача 2 Построить график функции у = - (х - \)^ + 2. ► Областью определения функции является множество действительных чисел. Строим график функции у = -х®, осуществляем сдвиг вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо и сдвиг вдоль оси ординат на 2 единицы вверх. График изображён на рисунке 13. <] Задача 3* Найти точки пересечения графиков функций 4 У = уГх и I/ = X® . ► Для нахождения точек пересечения этих графиков 4 3 / решим уравнение v х = х® . Левая часть этого урав- 45 нения имеет смысл при всех х, а правая — только при X ^ 0. При X > о функция у = Vic совпадает с функцией 1 (/ = X®, поэтому уравнение можно записать так: 1 i X® = х^ . Возводя это уравнение (при х > 0) в куб, получаем х = х^, откуда х(х®-1) = 0, Xj = 0, Ха= 1- Ответ (0; 0), (1; 1). < Упражнения 119 Изобразить схематически график функции и указать её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу): 1) f/ = x"; 2) у = х^^; 3) у = х’’\ 4) у = X ^ 5) у = X'*; 6) г/ = X®. 120 (Устно.) Выяснить, является ли функция у = х’’ возрастающей (убывающей) при х > 0, если: 1) р = 7; 2) р = 16; 3) р =-3; 4) р = -7; 5) р = -4; 6)р = -10? 121 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке: 1)1/ = х\ X G [-1; 2]; 2) р = x^ х е [-2; 3]; 3) у = X-’, X е [-3; -1J; 4) у = х”2, х £ [1; 4]. 122 Пользуясь свойствами степенной функции, сравнить с единицей: 1) 4,1*2; 2)0,2®; 3)0,7»; 4) (7з)^^ 5)1,3®; 6)0,8 *. 123 Построить график функции, указать её область определения и множество значений. Выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), является ли функция ограниченной, принимает ли она наибольшее (наименьшее) значение: 1) 1/ = - (Дг - 2)® - 1; 2) у = (X + 3)'* + 2. 124 Сравнить значения выражений: 1) 3,1^ и 4,3"; 3) 0,3® и 0,2®; \-2 « (i) » 7) (4V3)"^ и (Зл/4)"^ 46 (!?] » 4) 2,5® и 2,6®; 8) (2 Ve)"® и (6 V2)"®. 125 В одной системе координат построить графики функций, находя сначала их области определения и множества значений: 1 1 1) у = х^ к у 3) у = и у = X = х«; = V-2. 2) у = х* и у = х*; 4) у = X"’ к у — 126 Найти промежутки, на которых график функции: 1) у = х*; 2) у — х^ — лежит вьппе (ниже) графика функции у = X. 127 Изобразить схематически график функции и найти её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), ограниченной сверху (снизу): 1) у = (х-2У; 2) i/ = (x-l-l)'*; 3) у = (х+2Г'^-, 4) 1/ = (дг-1)Л 128 Пользуясь рисунком 13 (с. 45), найти промежутки, на кото- i. 5. рых график функции: 1) у = х^; 2) у = х'^ — лежит выше (ниже) графика функции у = х. 129 Построить график функции и указать её область определения, множество значений и промежутки возрастания и убывания; выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу): 1) 1/ = |дг I Я , 4) j/ = lx|*-2; 2) г/ = |х|®; 1 5) у = \х + 2\^; 3) (/ = |х|® + 1; 6) у = \2х\ -3 130 Найти координаты точки пересечения графиков функций: 3 я 1) у = У~х и у =х^; 2) y = lfx и у = х'^. ; Взаимно обратные функции ГВ“ • I.......I........I..........................I........I. Если задана функция у = f (х), то для каждого значения X из области определения функции можно найти соответствующее значение у. Нередко при- 47 ходится решать обратную задачу: по данному значению функции у находить соответствующее значение аргумента х. Примером может служить функция v (t) = gt, которая выражает зависимость скорости v движения тела, брошенного вверх с начальной скоростью Цф, от времени движения t. Из этой формулы можно найти обратную зависимость t = t (и) — времени t от скорости VI t = !^. е в рассмотренном примере каждому значению функции V = V (t) соответствует одно значение аргумента. Для таких функций можно выразить обратную зависимость значений аргумента от значений функции. Такие функции называют обратимыми. Если функция у = f (х) принимает каждое своё значение только при одном значении д:, то эту функцию называют обратимой. Задача 1 Например, функция у = 2х — 2 обратима, так как каждое значение у принимается при единственном значении аргумента х. Это значение можно найти, решая уравнение у = 2х — 2 относительно X. Функция у = х^ не является обратимой, так как, например, значение у = 1 она принимает при д: = 1 и при X = -1 (рис. 14). Пусть у = f (х) — обратимая функция. Тогда каждому у из множества значений функции соответствует одно определённое число X из области её определения, такое, что f (х) = у. Это соответствие определяет функцию X от у, которую обозначим X = g (у). В этой записи в соответствии с принятыми обозначениями поменяем местами хну. Получим у = g (х). Функцию у = g (х) называют обратной к функции y^f (^). Найти функцию, обратную к функции у = Зх + 5. (1) 48 ► Решая это уравнение относительно х, получаем д: = - (I/ - 5). В этой формуле поменяем местами 3 X и у: 1/ = |(х-5). (2) Функция (2) обратна к функции (1). <1 Вообще, если обратимая функция у = f (х) задана формулой, то для нахождения обратной функции нужно решить уравнение f (д:) = у относительно х и затем поменять местами хну. Заметим, что рассмотренная в задаче функция J/ = Зх + 5 является обратной к найденной для неё обратной {/ = i (х- 5) функции. Поэтому эти функ-3 ции называют взаимно обратными. Из определения обратной функции следует, что область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции. Задача 2 Найти функцию, обратную к функции у =---------. х-2 ► Решая это уравнение относительно х, получаем х = 2 + ~. Заменив х на у и у на х, находим У у = 2 + ^. < X В этой 1 У = х-2 задаче область определения функции есть множество действительных чисел, не равных 2, а множество её значений — все действительные числа, не равные 0. График этой функции изображён на рисунке 15. Для обратной функции у = 2 + — область определе- X ния — множество действительных чисел, нс равных о, а множество значений — все действительные числа, не равные 2. График этой функции изображён на рисунке 16. Возрастающие и убывающие функции иногда называют одним словом — монотонные. 49 Теорема 1. Монотонная функция является обратимой. • Пусть функция у = f (х) возрастает и пусть {/(, — её значение в некоторой точке Xq, т. е. Уо = f (Хц). Тогда если х принадлежит области определения функции, то при х> Xq выполняется неравенство f (х)> [ (Хц) = i/q, а при X < Хд — неравенство f (Х) < / (Хд) = ifg. Следовательно, значение Рд функция / (х) принимает только в одной точке Хд и поэтому является обратимой. Для убывающей функции доказательство проводится аналогично. О Например, функция у = х^ возрастает и поэтому является обратимой; обратной к ней является функция у = Vx (рис. 17). Если функция у = f (х) возрастает, то с увеличением х значения у увеличиваются и, наоборот, с увеличением у увеличиваются х. Это означает, что обратная функция также возрастает. Аналогично если функция у = f (х) убывает, то обратная к ней функция также убывает. Например, функция / (х) = 1 - 2х убы- 50 вает и обратная к ней функция g{.x)~ 1-х также убывает. Функция, не являющаяся монотонной, обратной может не иметь. Например, функция у = х^, рассматриваемая на всей числовой оси, не имеет обратной. Однако если функцию у = х^ рассматривать только при X > О, то на этом промежутке она возрастает и, следовательно, имеет обратную y = 'fx (рис. 18, а). Функция у = х^, рассматриваемая при х ^ О, убывает и также имеет обратную у = -л/х (рис. 18, б). Теорема 2. Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой у = х. • Если точка (х^; у^) принадлежит графику функции y = f (.х), то точка (уо", х^) принадлежит графику обратной функции у = g (х) (рис. 19), а точки (Хц; у„) и {Уо> ^о) симметричны относительно прямой у = х (рис. 20). О Рисунок 18 иллюстрирует эту теорему. Отметим, что степенная функция у = х^ с областью определения х > 0 и р * 0 обратима, так как она монотонна. Обратной к степенной функции у = х’’ при х > 0 и р Ф о является функция у = х^ . 51 Упражнения 131 (Устно.) Выяснить, является ли обратимой функция: 1) у = Зх - 1; 2) у = х^ +7; 4) у=у[х\ Ъ) у = 132 Найти функцию, обратную к данной: 1) у = 2х-\\ 2) у = -5л: + 4; Зх-1. 3) y = X б) у = X*, X < 0. 3), = i.-|; 5) у = X® + 1; 4) р = 6) у = X® - 3 133 Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной: 1) у = -2х + 1; 3) у = X® - 1; 5) y = h X 2) y=ix-7; 4 4) i/ = (x-l)®; 3 6) J/ = x-4 134 Функция у = f (x) задана графиком (рис. 21). Построить график функции, обратной к данной. 135 Являются ли взаимно обратными функции: 1) у = -х® и i/ = -Vx; 2) у = -X® и у= Ух; 3) 1/ = х-® и р = 4) у = Ух^ и у = X У~х^ ? 52 Рис. 2/ 136 Найти функцию, обратную к данной: 1 3 3 i 1) у = -х^; 2) у = -х^; 3) у = х^; 4) у = -х^. 137 На одном рисунке построить график данной функции и функции, обратной к данной; найти область определения и множество значений каждой из них: 1) у = 3х-и 2) у=‘^^; и 3) у = х^ - 1 при х > 0; 4) у = (х — 1)^ при х> 1\ Ъ) у = х^ - 2; Q) у = (х- 1)^; 1) у = Vx- 1; 8) у = Vx + 1. 53 I Раппосильпые уравнения и неравенства • I............................I.............................I..........................I................................I............................I.........................I • 1. Равносильные уравнения. Задача 1 Найти точки пересечения графиков функций у = 3-/х и у=х + 2. ► Если (д:; у) — точка пересечения данных графиков, то ЪуГх = X + 2. Следовательно, для нахождения абсцисс точек пересечения нужно решить уравнение г^ = х + 2. (1) Возводя обе части уравнения (1) в квадрат, получаем 9х = + 4х + 4, откуда д:^ - 5дг + 4 = 0. Корни полученного квадратного уравнения дс, = 1, д^2 = 4. Проверка показывает, что оба корня являются также и корнями уравнения (1). Теперь находим ординаты точек пересечения данных графиков У1=3у[^=3, у2=3/^-6. Итак, данные графики пересекаются в двух точках (1; 3) и (4; 6) (рис. 22). <] 1 уравнение Ответ (1; 3), (4; 6) При решении задачи 1 исходное 3jx = x + 2 заменялось уравнениями 9х = д:^ -I- 4дс + 4, дс^ - 5д; -I- 4 = 0. Все эти три уравнения имеют одни и те же корни Xj = 1, Xj = 4. Такие уравнения называют равносильными. Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Уравнения, не имеющие корней, также являются равносильными. Например, уравнения 4х - 3 = 2х -t- 3 и 2х = 6 равносильны, так как каждое из них имеет только один корень X = 3. Уравнения (х - 2) (х -t- 5) = 0 и х^-1-Зх-10 = 0 также равносильны, так как 54 они имеют одни и те же корни = 2, дгг = -5. Уравнения 2;с = 4 и Зх^ = 12 не равносильны, так как первое имеет корень д: = 2, а второе — корни дг, = 2 и Xj = -2. Из определения равносильности уравнений следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого уравнения. Из курса 7 класса вы знаете, что можно сделать следующие преобразования уравнений: Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. При этих преобразованиях исходное уравнение заменяется на равносильное ему уравнение. Заметим, что если некоторое выражение в левой или правой части уравнения заменить тождественно равным ему выражением, то получится уравнение, равносильное исходному. Однако не нри любом преобразовании уравнение заменяется на равносильное. Например, при возведении в квадрат обеих частей уравнения Vx = X-2 получается уравнение х = (х - 2)^, не равносильное исходному: первое уравнение имеет только один корень х = 4, а второе — два корня X, = 4 и х^ = 1. В этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения. Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней нс происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения. Из этого определения и определения равносильности уравнений следует, что: 1) если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого; 2) если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны. 55 Задача 2 При решении уравнений главное — не потерять корни, а наличие посторонних корней можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего. Решить уравнение 2х x-fl 4 х-1 (х-1)(х-2) (2) Ответ Умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех трёх дробей, т. е. на (х - 1) (х - 2), получим 2х (X - 1) - (X -н 1) (X - 2) = 4, (3) откуда х^ - X - 2 = О, х^ = 2, х^ = -1. Проверка. 1) При х = 2 знаменатели двух дробей уравнения равны нулю. Поэтому х = 2 не является корнем дапного уравнения. 2) При X = -1 левая часть уравнения равна 2 (-1) -1-ь1 ^ 2 -1-2 -1-1 З’ правая часть равна = -1. < Заметим, что для проверки корпя х = -1 достаточно было убедиться в том, что знаменатели дробей уравнения при х = -1 не равны нулю (если, конечно, при решении уравнения не допущены ошибки в преобразованиях и вычислениях). При решении задачи 2 из уравнения (2) получено уравнение (3), которое является следствием уравнения (2). Корень X, = 2 уравнения (3) не является корнем уравнения (2). Его называют посторонним корнем. Посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное. Задача 3 Решить уравнение х^ - 4 = 7х - 14. ^ Преобразуем данное уравнение так: (X -н 2) (X - 2) = 7 (X - 2), 56 (4) откуда (x + 2 - 7) (х - 2) = О, т. е. (х - 5) (х - 2) = О, следовательно, Xj = 5, Xj = 2. <] Если обе части уравнения (4) разделить на х - 2, то получится уравнение х + 2 = 7, которое имеет только один корень х = 5, т. е. произойдёт потеря корня X = 2, и решение задачи будет неверным. Потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное. Итак, при решении уравнения можно делать только такие его преобразования, при которых не происходит потери корней. Если при этом получаются уравнения — следствия данного, то необходима проверка найденных корней. 2. Равносильные неравенства. Равносильность неравенств с неизвестным определяется аналогично. Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными. х-3 Например, неравенства <0их-3<0 равно- Задача 4 x-' + l сильны, так как имеют одно и то же множество решений X < 3. Неравенства х^ - 4х < х - 6 и х^ - 5х -I- 6 < О равносильны, так как имеют одно и то же множество решений 2 < х < 3. Неравенства ---->1 и2х>х-1 не равносильны, так как ре- х-1 шениями первого являются числа х <-1 и х > 1, а решениями второго — числа х > -1. При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в ему равносильное. К у ^ О Решить неравенство ——- > 1. Так как х^ -t- 1 > О при всех действительных значениях X, то, умножая неравенство на х^ + 1, получаем неравенство 5х - 3 > х^ -f 1, равносильное данному. Решая это неравенство, получаем х^ - 5х -f 4 < О, (X - 1)(х - 4) < О, откуда 1 < X < 4. <] 57 Задача 5 О 2 Решить неравенство —2— >-----. х-1 ж+1 о >0^ X + 5 Ответ! Задача 6 Ответ >0. х-1 х + 1 (х-1)(х + 1) (х-1)(х + 1) Решая последнее неравенство методом интервалов (рис. 23), получаем -б < х < -1, х > 1. -5<х<-1,х>1. <] Решить неравенство х* < х^. ► X® - х^ < о, х^ (х^ - 1) < о, х“* (X - 1) (х + 1) (х* + 1) < 0. Решая последнее неравенство методом интервалов (рис. 24), получаем -1<х<0, 0<х<1. -1 < X < о, о < X < 1. <] 138 Упражнения Решить уравнение: 1) (X + 7) • 3 = 2х + 14; 3) 2 _1-2х. •1 х2-1* 2) х^ + 4) 1 х2-4 бх-15 = 4 + х^-4 (х-3)(х+2) х+2 139 Равносильны ли следующие уравнения: 1) Зх - 7 = 5х + 5 и 2х + 12 = 0; 2) i(2x-l) = l 5 Зх-1 8 = 1; 140 3) X* - Зх + 2 = О и х^ + Зх + 2 = 0; 4) (х - 5)^ = 3 (х - 5) и X - 5 = 3; 5) х=^ - 1 = 0 и 2'-* = 0; 6) |х-2| = -3 и 3' = (-1)®? Равносильны ли следующие неравенства: 1) 2х - 1 2 и 2 (X - 1) 1; 2) (х - 1) (х + 2) < о и X* + X < 2; 3) (х - 2) (х + 1) < Зх + 3 и X - 2 < 3; 4) X (х + 3) > 2х 58 и хЧл: + 3) > 2х^? 141 Установить, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения: 1) X - 3 = О и X* - 5х + 6 = 0; 2) х^-Зх+2 „ 2 х-1 = о и х^ - Зх + 2 = 0. 142 143 144 145 146 Решить уравнение: 1) X ц.. 2х _ 4х 2) х-1 2 X х + 1 х-1 х^-1 'х-2 X х-2' 3) (X - 3) (X - 5) = 3 (X - 5); 4) (х - 2) (х^ + 1) = 2 (х^ + 1). Решить неравенство: 1) <3; 2) 1. 2 + x^ ' '5-х Выяснить, равносильны ли уравнения (144—145). 1) |2х - 1| = 3 и 2х - 1 = 3; 2) Зх-2_4^_ Зх-5 ^2х-2 и 2х + 3 = —. 3 2 6 3 1) 2х-1=4-1,5х и 3,5х - 5 = 0; 2) X (X - 1) = 2х + 5 и х^-Зх-5 = 0^_ 3) 2^^^^ = 2-^ и Зх + 1 = -3; 4) Vx + 2 = 3 и х + 2 = 9. Установить, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения: 1) |х|= VH и л/х^ = 5; 2) х-2 х-3 147 148 х+ 3 х + 2 Решить уравнение и (х - 2) (X + 2) = (X - 3) (х + 3). 1 2 бх _ Зх^ Зх + 1 8х-1 9x^-1 1-9х^ Найти корни уравнения: 3 4х-1_^^+5 1) 2) х-1 х + 1 х^-1 ' х+ 2 х(х-4) _ у-2 4(3 + х) х-2 х^-4 х+2 4-х^ 149 150 Решить неравенство: 1) X® - Зх^ + 2х - 6 > 2х* - X* + 4х - 2; 2) X® - Зх^ - 4х + 12 > -Зх® + X® + 12х - 4. Доказать, что если каждая из функций f (х), ^ (х) и ф (х) определена на множестве X и ф (х) *■ 0 для всех х е X, то уравнения / (X) = ^ (X) и / (X) • ф (X) = g (X) • ф (х) равносильны. 59 Т Иррациональные уравнения В уравнениях Vx+ 1 = х- 1, -Jbx-A = 2 + -/х неизвестное X находится под знаком корня. Такие уравнения называют иррациональными. Приведём ещё примеры иррациональных уравнений: Vx + 15 = x-H, у'х-ьб = л/6-х. Иррациональные уравнения часто получаются при решении различных задач. Решение иррациональных уравнений основано на следующем свойстве: При возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение-следствие данного. • Пусть Xq — корень уравнения f (х) = g (х), т. е. f (^о) = S (•^о) — верное числовое равенство. Тогда по свойствам верных числовых равенств /" (Хц) = = S" (^о)» ” — натуральное число, также верное числовое равенство, т. е. Хд — корень уравнения rW = g"(x). О При возведении обеих частей уравнения в чётную натуральную степень может получиться уравнение, не равносильное данному. Например, уравнение V6 — X = X имеет один корень х = 2, а уравнение б - X = х^ имеет два корня Xj = 2, Xj = -3. Аналогично при возведении обеих частей уравнения ^х^+ X - 1 = -/х в квадрат получается уравнение х^ + X - 1 = X, т. е. х^ = 1. Это уравнение имеет два корня х, = 1, х^ = -1. Второй корень является посторонним для исходного уравнения, так как подкоренные выражения при X = -1 отрицательны. При возведении уравнения в натуральную степень могут появиться посторонние корни, поэтому проверка необходима. Если обе части уравнения f (х) = g (х) неотрицательны на множестве X, то уравнение f (х) — g (х) равносильно уравнению (/ (х))" = (g (х))" при п s N. 60 Задача 1 Решить уравнение ~Jx + 6 - VxTT = ■J2x~5. ► Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем х + 6-2 ^(х + 6)(х + 1) + х + 1 = 2х-5. Ответ откуда ^(х + 6)(х + 1) = 6. Возведём последнее уравнение в квадрат: х^ + 7х + 6 = 36, или + 7х - 30 = 0. Корни этого уравнения Xj = 3, х^ = -10. Проверка показывает, что х^ = -10 — посторонний корень. х = 3. <1 Задача 2 Решить уравнение \Jx^ + l2 = X. (1) ► Возведём уравнение в четвёртую степень: х^ + 12 = X*, откуда х'* - х^ - 12 = 0. Решим это биквадратное уравнение х‘==1±^1^‘*8 =1±7 ^ е. х^ = 4 или х* =-3. 2 2 Уравнение х^ = 4 имеет два корня х = ±2. Уравнение х^ = -3 не имеет действительных корней. Так как при возведении обеих частей уравнения (1) в четвёртую степень могли появиться посторонние корни, то нужно сделать проверку. При х = 2 обе части уравнения (1) равны 2, т. е. х = 2 — корень уравнения (1). При х =-2 левая часть уравнения (1) равна 2, а правая равна -2, т. е. -2 не является корнем уравнения. Ответ X = 2. <] Задача 3 Решить уравнение Ух^-19 = х-1. (2) ► Возводя обе части уравнения в куб, получаем X* - 19 = (X - l)^ откуда X® - 19 = X® - Зх® + Зх - 1, Зх® - Зх - 18 = о, X® - X - 6 = 0. 61 Ответ Задача 4 Корни этого уравнения Xj = 3, Xj = “2. Проверка показывает, что оба значения неизвестного являются корнями уравнения (2). X, = 3, Xj = -2. <] Иногда при решении иррационального уравнения полезно использовать графики функций. Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение Vx = 1 - х^. Найти приближённые значения этих корней. ^ Построим на одном рисунке графики функций у = -ix и у = \ -(рис. 25). Графики пересекаются в одной точке при х « 0,5. х = 0,5. < Упражнения 151 (Устно.) Решить уравнение: 1) Vx = 2; 2) ч/х = 7; 3)Vx = 2; 4) Vx =-3; 5) Vl-3x =0; 6) Vx = 1; 7) V2 - x = 0. 152 1) Vx-H = 3; 2) Vx- 2=5; 3) V4-fx = V2x-1 153 1) V2x + 3 = 1; 2) VTT x = 2; 3) V3jc=*-3 = V8x. 154 1) x-h1 = V1-j:; 2) X = 1-b Vx + 11; 3) Vx-h3 = V5- x; 4) / x2-x-3 = 3. 155 1) Vx-x = -12; 2) ХЧ V^ = 2(x-l); 3) •s/x -1 = X - 3; 4) Ve + X — X^ = 1 - X. 156 1) V2X-34 = 1-t-Vx; 2) VSx-fVl4-x = 8; 3) Vl5-b X -f-V3-b X : = 6; 4) V3-2X-V1-X = 1. 157 1) Jx^ + 2 + Jx^ + x‘ 2 _ 0; 2) Vl + x" = Vl + x2. 62 158 1) - л/бПг = 2; 2) V12 + a:-V1-x = 1; 3) Vx-2 + Vx + 6 =0; 4) Vi: + 7 + Vx-2 =9. 159 1) Vl-2x-Vl3+x = Vx + 4; 2) >/7д: + 1-л/б-л: = Vl5 + 2x. 160 1) ®>/j:-2 =2; 2) V2x + 7 = ^3(x- 1); 3) V25^:2 _ 144 = 4) ^^2 = ^igx^-34. 161 1) Ух'^-2 = х-2; 2) Ух^-5х^ + \6х-5 = x-2. 162 Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение: 1) Vx-6 = ; 2) Vx = (X-1)2; 3) Vx-t-1 = х2 -7; 4) X* - 1 = VT+T. 163 Решить уравнение: 1) ^4х + 2^3х^П =^х + 2; 2) 3-х=д/9-^36х2-5х‘‘ ; 3) yjx^ -ь Зх -I-12 - + Зх = 2; 4) ^х2 -I- 5х-н 10 - ^х* 5х -ь 3 = 1. 164 Решить уравнение: 1) ^lх + л[^х-9 + Vx->/6x-9 = л/б; 2) л/л: + л/х~+• 11 -1- >/х"—7х^^ = 4. Иррациональные неравенства Задача 1 Стрельба из спортивного пистолета по круглой мишени диаметром 1 м ведётся из точки прямой, перпендикулярной плоскости мишени и проходящей через её центр. На каком расстоянии от мишени должна быть точка выстрела, чтобы разность расстояний от неё до края мишени и до центра была не больше 2 см? 63 в ► Пусть А — точка выстрела, О — центр мишени, В — точка на окружности мишени (рис. 26). По условию ВО = 50 см. Обозначим АО = д:, тогда АВ = + 2500. По условию задачи АВ - АО $ 2, т. е. -Jx^ + 2500 - дг < 2, или Ответ Задача 2 Ответ 7^=42500 < х + 2. (1) Так как по смыслу задачи х > 0, то левая и правая части неравенства (1) положительны. Следовательно, обе части неравенства (1) можно возвести в квадрат; при этом знак неравенства не изменится и получится неравенство, равносильное неравенству (1), т. е. дс*-(-2500 < дг'* + 4дг-t-4, откуда 4дс > 2496, X > 624 (см). Не меньше 6,24 м. <1 В этой задаче пришлось решать неравенство (1), содержащее неизвестное под знаком корня. Такие неравенства называют иррациональными. Решить неравенство V5— х < 4. (2) Найдём область определения неравенства (2), т. е. множество таких значений х, при которых имеют смысл обе части неравенства. Правая часть неравенства определена при всех значениях х, а левая — при 5 - дг > о, т. е. при х ^ 5. Следовательно, область определения неравенства (2) — луч (-оо; 5]. При дс < 5 обе части неравенства (2) неотрицательны, и поэтому при возведении в квадрат обеих частей получается равносильное (на промежутке (-оо; 5]) неравенство 5 - дг < 16. Таким образом, неравенство (2) равносильно систе- f^<5, [б- X < 16. Решая эту систему, получаем -11 < д: $ 5. -11<х^5. О Рассуждения, приведённые при решении задачи 2, можно провести устно и сразу записать, что неравенство (2) равносильно системе неравенств 5-х^О, 5-х < 16. ме неравенств 64 Задача 3 Решить неравенство yjx^-3x <2. ► Неравенство (3) равносильно системе \х^-3х>0, х^ -Зх < 4. (3) (4) -1 О Рис. 27 » Решая первое неравенство системы (4), получаем л: $ О, х^ 3. Решая второе неравенство системы (4), получаем -1 < х < 4. Оба неравенства системы (4) выполняются при —1 < х < О, а также при 3 ^ X < 4 (рис. 27). -1 < X < О, 3 < X < 4. О Ответ Задача 4 Решить неравенство ч/Ю-1-х-х^ >2. ► Это неравенство равносильно системе jlO-l-x-x^ ^0, [ю + х-х* >4. (5) (6) Ответ Задача 5 Так как каждое решение второго неравенства системы (6) является решением первого неравенства системы (6), то эта система равносильна одному второму неравенству \0 + х-х^>4. (7) Следовательно, неравенство (5) равносильно неравенству (7). Решая неравенство (7), получаем -2 < X < 3. -2 « X « 3. < Решить неравенство: 1) у13х-4 <-5; 2) V2*2 + 5x^« 0. ► 1) При всех допустимых значениях х, т. е. при х> —, значения -J3x - 4 неотрицательны. Поэтому 3 неравенство л/Зх — 4 < —5 решений не имеет. 2) Неравенство yj2x^ + 5х-3 ^ 0 выполняется только тогда, когда ^2х^-1-5х —3=0, т. е. когда 2х^-I-5х - 3 = о, откуда х, =-3, ^ 65 Задача 6 Решить неравенство л/Зх + 1 ^ X + 1. (8) ► Неравенство определено при х ^ . При этих зна- 3 чениях X обе части неравенства (8) неотрицательны. Следовательно, неравенство (8) равносильно системе Зх + 1>0, Зх-1-1«(х + 1)2. Решая эту систему, получаем $х<0, х>1. 3 Ответ х<0, х> 1. <3 3 Задача 7 Решить неравенство Vx + 3 > X + 1. (9) Ответ Задача 8 Область определения этого неравенства — промежуток [-3; -ноо). При всех х & -3 левая часть этого неравенства неотрицательна. Правая часть этого неравенства отрицательна при х < -1. Поэтому все значения х из промежутка [-3; -1) являются решениями неравенства (9). Рассмотрим случай, когда х >-1. Тогда обе части неравенства (9) неотрицательны, и поэтому обе части этого неравенства можно возводить в квадрат: X + 3 > (х -I- 1)^. Решением этого неравенства являются значения х из промежутка (-2; 1). Отсюда, учитывая, что х > -1, получаем -1 < х < 1. Итак, решениями неравенства (9) являются все значения х из промежутка [-3; -1), а также из промежутка [-1; 1), т. е. из промежутка [-3; 1). -3 ^ X < 1. < Неравенство (9) прогце решать с помощью графиков. На рисунке 28 построены графики функций у = у/х + 3 и у = X + 1. Из этого рисунка видно, что решениями неравенства (9) являются значения х из промежутка -3 ^ х < 1. С помощью графиков решить неравенство Vx < 2 - X. ► На одном рисунке построим графики функций у = уГх и у - 2 - X (рис. 29) и выясним, при каких 66 Ответ Задача 9* значениях х точки графика функции у = -Лс лежат ниже точек графика функции у = 2 - х. Из рисунка видно, что эти графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой является корнем уравнения Лс=2-х. Этот корень д: = 1. График функции у = Лс лежит ниже графика функции у = 2 - X при О < JC < 1. О « X < 1. < Решить неравенство 72х2-5х-3 > х-1. (10) Найдём область определения этого неравенства, т. е. решим неравенство 2х^ - 5х - 3 5 0. Так как корнями уравнения 2х^ - 5х - 3 = 0 являются числа Xj = -i, Х2 = 3, то неравенство выполняется 2 при X < - i и при X ^ 3 (рис. 30). 2 Таким образом, для решения неравенства (10) нужно выбирать только такие значения х, которые принадлежат его области определения. 1) Если X - 1 < о, т. е. X < 1, то из этого промежутка области определения неравенства (10) удовлетворяют только числа х ^ (рис. 31). 2 1 ~2 Рис. 30 Рис. 31 67 Рис. 32 Ответ 2) Если X - 1 > О, т. е. х> 1, то, возводя обе части неравенства (10) 3 4 в квадрат, получаем 2х^ - 5л: - 3 > - 2дг + 1, откуда х”* - Зх - 4 > 0. Так как корнями уравнения х^ - Зх - 4 = 0 являются числа Xi = -1, Х2 = 4, то неравенство х^ - Зх - 4 > о выполняется при х < -1 и х > 4. Из этих двух промежутков области определения неравенства условию X > 1 удовлетворяют только числа X > 4 (рис. 32). X ^ -i, X > 4. < 2 Упражнения 165 Решить систему неравенств: |2д:+1«4; |* > 2; Решить неравенство (166—171). 166 1) Vx > 2; 2) Vx < 3; 3) Vx > 1; 4) У2х < 3: 5) > 1; 6) ^ 2 9-x^ < 0, X4-5 <0. 167 1) Vx-2 > 3: 3) V3-X < 5; 5) yl2x- 3 > 4; 7) V3x-5 < 5; 168 1) yJx^-1 > 1; 3) V25-x2 >4: 169 1) ^2x'^ + 3x-2 > 0; 3) л/б X - x^ < VS; 5) .Jx^ + 2x > -3-x^; 170 1) Vx + 2 > л/4-х; 3) V2x-5 < ^l5x + 4; 5) V5x+ 11 > X + 3; 171 1) Vx+l-^/x < Vx-1; 68 2) Vx-2 < 1; 4) V4-X > 3; 6) Vx-l-l 3 8) V4X-1-5 « -. 2 2) < 1; 4) V25-x2 < 4. 2) д/2 + х-х2 > -1; 4) ^x^-x> V2; 6) V4x-x2 > -2 - 3x^. 2) V3-H2x ^ Vx + 1; 4) V3x-2 > x-2; 6) V3— X < V3x- 5. 2) Vx + 3 < V7 - X + VlO - X. Решить графически неравенство (172—173). 172 1)у[х>х-, 2)4х<х\ 3)/х>х-2; i)^^x^x-2. 173 1) Vx < 2х; 2) ^[х> 0,5дг; 3) уГх ^2х-1; 4) -1хх^. 174 Решить неравенство: 1) ^х^-Зх + 2 > Х + 3-, 2) •j2x^-7x-4> -х-к Упражисиия к главе II 175 Изобразить схематически график функции, указать её область определения и множество значений: 1) у = х^-, 2) у = 7х*; 3) y=Jx; 4) y = Vx; 5) y = x^'^i 6) у = х' = v-3 176 На одном рисунке построить графики функций у = х^ и У=х'' Сравнить значения этих функций при х, равном 0; 0.5; 1; 2; 3; 4; 5. 2 177 Расположить числа в порядке возрастания: 1) 0,3^ 0.3“-«, 0,3-\ 0,3''*’'‘'^^ 2) V2^, 1,9", j , х"; 1 /, N2.1 Л Л Л _ Л 3) 5-^ ; 4) 0,5 М,3 ^,п ^(^/2) =*. 178 Решить уравнение с помощью графиков: 1) Vx = х'^ +X-V, 2) д;-2 = 2 - дг=^. 179 Найти область определения функции: 1) у = 2) у = ^2-х^; 3) (/ = (3x^ + 1) 4) у = ^з х-2. 69 Рис. 33 180 Найти функцию, обратную данной, её область определения и множество значений: 2 . 181 1) р = 0,5д: + 3; 3) у = (х + 2f; 2) у = х-3 4) у = х^-1. Изобразить график функции, обратной к функции, график которой представлен на рисунке 33. 182 Являются ли равносильными уравнения: 1) и X* + Зх = 2; 2) yjx^ + 3x = 42 и х^ + Зх = 2; 3) ^х+18 = 42-х и X + 18 = 2 - X? 183 Решить уравнение: 1) 43-х=2; 2) л/Зх+1 =8; 3) л/3-4х = 2х; 4) VSx-1 + 3x2 = Зх; 5) = 2; 6) = 3. Проверь себя! 1 Найти область определения функции: 1)р = 3(х-1)-2; 2) у = 4х^-Зх-4. 2 Построить график функции: 1) p = 2)р = 2х-2; 3)р = ^. Для каждой функции указать область определения и значения X, при которых р > 0. 3 Решить уравнение: 1) 4х-3 = 5; 2) 4F- 70 184 Изобразить схематически на одном рисунке графики функций: 1)1/ = /х^, у = х4х-, 2) у = Vx, у = х~^^. 185 Являются ли заданные функции взаимно обратными: 1) , = 1^ и «/ = l£±iO; x-i х+3 2) у = ^^ и у = -^^; Зх-1 З-Зх 3) у = 5(1- X)-' и I/ = (5 - JC) • х-^; 4) = „ j.HiZil, 2 + X 1+ X 186 Найти функцию, обратную к данной, её область определения и множество значений: 1) y = 2 + -Jx + 2; 2) у = 2 - X + 4; 187 3) у = л/З- д: - 1; 4) у = Vl- Jc + 3. Решить уравнение (187—188). 1) л/д:-4 = л/х-3-V2jt-1; 2) 2Vx + 3-V2x + 7 = 3) -Jx-3 = -J2x+ 1 -Vx + 4; 4) V9-2x=2V4-jc-Vl-x. 188 1) Vx + 4 - 3 Vx + 4 + 2 = 0; 3) Vl-x-5Vl-x = -6; 2) Vx-3 = 3Vx-3 + 4; 4) x^ +3x +V^^+3x = 2; 189 л/З-дг + л/З+х „ ^ V^-V^ " ’ 6) ^x + 6-4Vx + 2 + -^11 + X - 6 Vx + 2 = 1. Решить неравенство (189—190). 1) Vx + 1 < X - 1; 2) Vl - X > x + 1; 3) V3x-2 > x-2; 4) V2x + 1 |x-3l; 4) V3-X < V7 + X + VlO + x. 191 При различных значениях о решить неравенство: 1) Vx-2 + Vx-6 <а; 2) 2х + yja^ - х^ > 0. 71 Ill глава Показательная функция Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям. Л. Эйлер Показательная функция, её свойства и график ~ ‘jfiTTlAr * В главе I рассматривалась степень с действительным показателем. Напомним основные свойства степени. Пусть а > О, Ь > О, х, x^ и Х2 — любые действительные числа. Тогда а** «*■ а*» , X, _„х,ха (1) (2) (аЬУ = а*Ь^, (4) (5) (6) (7) (8) (9) (а*‘, (3) а*>0, а* > 1, если а > 1, х >0, а*> <о*“, если а > 1, Xi О, аф\. Показательная функция обладает следующими свойствами: 1) Область определения показательной функции — множество R всех действительных чисел. • Это свойство следует из того, что степень а*, где а > О, определена для всех х е R. О 2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел. • Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение а* = Ь, где а > О, а 1, не имеет корней, если Ь < О, и имеет корень при любом Ь > 0. По свойству степени (6) это уравнение не имеет корней, если h ^ 0. То, что это уравнение имеет корень при лю-бо.м й > О, доказывается в курсе высшей математики. Это означает, что любая прямая у = Ь, где Ь > О, пересекается с графиком показательной функции. О 3) Показательная функция у = а^ является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если а > 1, и убывающей, если О < а < 1. • Это следует из свойств степени (8) и (9). О Построим графики функций = = , ис- пользовав рассмотренные свойства и построив несколько точек, принадлежащих графикам (рис. 34). Отмстим, что график функции I/ = 2* проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Ох. Если X < о и IXI увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (но не пересекает её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = 2-'. Если х > 0 и | х [ увеличивается, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции у = а^, если а > 1 (рис. 35, а). График функции -(1Г также проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Ох. Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох 73 Рис. 34 Задача 1 является горизонтальной асимптотой графика функции • Если д; < О и |дс| увеличивается, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции у = а“, если О < а < 1 (рис. 35, б). Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов. Так, радиоактивный распад описывается формулой = (10) где т (0 и т„ — масса радиоактивного вещества соответственно в момент времени i и в начальный момент времени t = 0, Т — период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое). С помощью показательной функции выражается зависимость давления воздуха от высоты подъёма, ток самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения и т. д. Решить уравнение З"' = 27. По свойству (2) показательной функции данное уравнение имеет корень, так как 27 > 0. Одним из корней является число д: = 3, так как 3** = 27. 74 Ответ Задача 2* Других корней нет, так как функция у = 3^ возрастает на всей числовой прямой, и поэтому 3^ > 27 при л: > 3 и 3* < 27 при д: < 3 (рис. 36). дг = 3. <1 Период полураспада плутония равен 140 суткам. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса равна 8 г? ► Воспользуемся формулой (10). В данной задаче t = 10 • 365 (считаем, что в году 365 дней), Т = 140, - -. Вычисления на микрокалькуляторе, име- Т 14 ющем ячейку памяти и клавишу 365 , показыва- ют, что т = == 1,1345 • 10 ^ Ответ Через 10 лет плутония останется примерно 1,13 • 10-^ г. <1 75 Упражнеиия 192 Построить график функции; 1)1/ = 3"; 2)p = (ij". 19t3 С помощью графика функции у = 3^ найти приближённое значение: 1) л/З; 2) 3^ 3) 4) 3 V3 1.5 194 Изобразить схематически график функции: i 1) j/ = 0,4*; 2) у = фу-, 3) у = 1_ 1 'J~2 4) У = (у[зу. 2" и (/ = 8; 2) у = 3^ и (j)' “ - 1 . 1б’ 4) )' и 195 (Устно.) Используя свойство возрастания или убывания показательной функции, сравнить числа; 1) 1,7=* и 1; 2) 0,3^ и 1; 3) 3,2^-^ и 3,2'-®; 4) 0.2 * и 0,2-=': 5) (|)' " ’ 6) 3" и 3^ ‘“. 196 Сравнить с единицей число; 1) (О,!)-^; 2) (3,5)0-1; 3) (т) ‘ 197 Найти координаты точки пересечения графиков функций; 3) 198 (Устно.) Решить уравнение; 1) = 2) 7^ = 49; 3) (|)*=^3; 4) (^)"=*^7. 199 (Устно.) Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция; 1) (/ = 0.3-; 2)(/ = [i]*; 3) у = 1,3 '^^; 4) (/= 0,7 Ч 200 Решить графически неравенство; l)(^i]">l; 2)[i]"5; 4)5* 0, а ^ 1, X — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени (см. сл. 2, § 5, гл. I): степени с одинаковым основанием а > 0, а 1 равны тогда и только тогда, когда равны их показатели. Решить уравнение 4 • 2*= 1. Запишем уравнение в виде = 2“, откуда х + 2 = 0. х = -2. < Решить уравнение 2^^ • З"' = 576. Так как 2®' = (2®)* = 8', 576 = 24^, то уравнение можно записать в виде 8’' • З"' = 24®, или в виде 24* = 24®, откуда х = 2. х=2.< 77 Задача 3 Ответ Задача 4 Ответ Задача 5 Решить уравнение 3** * — 2 • 3-'"^ = 25. ► Вынося в левой части за скобки общий множитель 3^-2. получаем З^'- 2) = 25, 3^-^-25 = 25, откуда 3^”^ = 1, X - 2 = О, х = 2. х = 2. < Решить уравнение 3* = 7*. ► Так как 7* ^ О, то уравнение можно записать в ох ^ о \* виде ^— = 1, откуда — = 1, х = 0. 7* \7 J х = 0. < Решить ур£1внение 3 • 2* * * + 2 Ответ Задача 6 5^-2 = 5*+ 2^-2. ► Запишем уравнение в виде 3 • 2^ * * - 2' " * = = 5^-2 -5^-^ откуда 2*'МЗ • 2=> - 1) = 5'-^ (5^ - 2), 2^-2 • 23 = 5-'-^ • 23, ^1 х = 2. <1 SX-2 I =1, х-2 = 0. Ответ Задача 7 Решить уравнение 9^ - 4 • 3^ — 45 = 0. ► Заменой 3^ = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению — 4( - 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: = 9, = -5, отку- да 3* = 9, 3^ = -5. Уравнение 3'= 9 имеет корень X = 2, а уравнение 3^ = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения. х = 2. <1 Ответ Решить уравнение д2х*-5х — gx*+2x-10 ► Так как 5 > 0, 5 1, то 2х^ - 5х = х^ + 2х - 10, откуда х^ - 7х + 10 = 0, х^ = 5, Xj = 2. Xj = 5, х^ = 2. <3 (1) (2) Задача 8 Отметим, что при таком способе решения получается уравнение, равносильное исходному, например уравнение (2) равносильно уравнению (1). Поэтому после решения уравнения (2) проверка не нужна (если есть уверенность в том, что не допущены ошибки в преобразованиях и вычислениях). Решить уравнение 3^* “ = З'* * . Так как 3 > 0, 3 1, то исходное уравнение равно- сильно уравнению |х-1| = |х-1-3|. 78 Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х - 1)^ = (х + 3)^, откуда х“^ - 2х + 1 = X* + 6х + 9, 8х = -8, х = -1. Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения. Ответ х = -1. <1 Задача 9 Решить уравнение ^3 • = 225. ► Исходное уравнение равносильно системе (3-5)^ =225, X & N, X > 1. Преобразовав уравнение системы к виду 15*= 15^, имеем — = 2, откуда х = - . Но х = ^ не удовлетво-X 2 2 ряет условию х > 1, х е iV, т. е. уравнение не имеет корней. <] 208 209 210 Упражнения Решить уравнение (208—223). 1) 4*-'= 1; 2) 0,3^*-2= 1; 3) 22*=2^'^='; 4) =(^ij . l)27-.i, 2) 400-.i; 3)(l)“.25; 4)(l)'=i. 1) 3 - 9* = 81; i+- 3) 3 2 .3X-2 = 1; 3 _ 0,6 2x 211 212 213 214 5) 0,6*-0,6» = 0,6® 1) 32*-* + 3^*= 108; 3) 2**‘-i-2*-* +2* = 28; 2) 2 • 4* = 64; 4) 0,5**^ • 0,5‘-2*= 2; 2) 2®* + =* - 2®*-® = 30; 4) 3*-^ -3*-i-3**’ = 63. 1) 5* = 8*; 2) 3) 3* = 5®*; 4) 4*=3® 1) 9* - 4 • 3* -I- 3 = 0; 2) 16* - 17 • 4* -t- 16 = 0; 3) 25* - 6 • 5* -t- 5 = 0; 4) 64* - 8* - 56 = 0. 1)3*"^*-!® = !; 2)2*"-^*+"’ = !; x-l \_ _J_ 3) 2*-® =4; 4) 0,5* =4**1. 79 215 1) 0,3 x^-x^ + x-l _ = 1; 2, (2i •x^-2x+3 = 1; ЧХ-3) 3) 5Д2 =5,iVM; 4) 100*^-1 = 10'-“*. 216 1) 10*=Vl00; 2) 10*=Vi0000; 3) 2252*'-2^ = 15; 4) 10*=-=i=; 5) (VlO)* = 10*’-*; 6) 100*’ ' = 10'-“*. Vioooo 1 , Ч-0.06 = 5^ 217 1) 2*’VS; 2) 5°-'*-j^ij ‘(2] '^(2]"'’ 4) 0,7^*^-0,7-2= 0,7''*. 3) 219 1) 7*-2 = 3^-*; x + 2 218 l)7*-7*-' = 6; 2) 3^"-'+ 32*'-^ - 3^"-^ = 315; 3) 5“* + 3 • 5"*-2= 140; 4) 2*-^' + 3 ■ 2*-' - 5 • 2* + 6 = 0. 2) 2*-“ = 3“-*; ___ x-3 3) 3 4) 4 ^ =32<^-3>. 220 1) (0,5)*’-‘*^3 =(0,5)2*’ + *^®; 2) (0,1)3*2* =(0Д)2-хг. 3,3^. = 3.. Ч|Г=(|Г- 221 1) 2'*-2I = 2l*-'“‘l ; 2) 1,5'“-*'= l,5l*-il ; 3) 3l*-"'l = 32-1*1 ; 4) 31*1 = 3'^-*'-'. 222 1) З**" + 3*= 7*^'+ 5 • 7*; 2) 3* + + 3 • 5* •" 2 = 5* + 3* * ®; 3) 2®-* + 72-* = 7^-* + 22-* . 11; 4) 2*-"' + 2*-' - 3*-' = 3*-2 - 2*-2 + 2 • 3*-2. 223 1) 8 • 4* - 6 • 2* + 1 = 0; 3) 132*-'-' - 13*- 12 = 0; 4) 32**' - 10 • 3* + 3 = 0; 5) 22* + 8 • 2* - 6 • 22* = 0; 6) 5®* + ' + 34 • 5®* - 7 • 5* = 0. 224 При каких значениях x сумма чисел 2* “', 2* ' ■* и 2* - ® равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии 6,5; 3,25; 1,625; ...? Решить уравнение (225—226). 225 1) 32*^® = 2* 2. 2) 5*-2 = 42*-^ 3) 2* ■ 3* = 36* ; 80 4) 9-'^*-’ =-^-. 27 226 1) 4 • 9^ - 13 • 6^ + 9 • 4^ = 0; 3) ^^2 • = 12; 2) 16 • 9^ - 25 • 12^ + 9 • 16' = 0; 4) ^ • 5' = 25. 227 Доказать, что уравнение имеет только один корень х= 1: 1) 4'+ 25'=29; 2) 7'+ 18'= 25. Пока.зательыые неравенства Задача 1 Ответ Задача 2 Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств а' > а*" или а' < а‘’. Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции: для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента, а для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Решить неравенство 3' < 81. ► Запишем неравенство в виде 3' < 3'*. Так как 3 > 1, то функция I/= 3' является возрастающей. Поэтому решениями неравенства 3' < 81 являются числа X < 4. х< 4. <1 Решить неравенство j > л/8. 1 (1Г> (1Г- ► Запишем неравенство в виде 3 (!)■ > 2' или Ответ Так как X < . 2 X <--. О Ч1Г- убывающая функция, то 81 Задача 3 Решить неравенство 3*^"* <9. ► Запишем неравенство в виде 3**~*<3^. Так как 3 > 1, то - X < 2, откуда х‘^ - х - 2 < О, -1 < X < 2. Ответ -1 < X < 2. <] Задача 4 Решить неравенство 16^ + 4* - 2 > 0. ► Обозначим 4'* = t, тогда получим квадратное неравенство + t — 2 > 0. Это неравенство выполняется при f < -2 и при < > 1. Так как t = 4*, то получим два неравенства 4* < -2, 4* > 1. Первое неравенство не имеет решений, так как 4* > 0 при всех xeR. Второе неравенство можно записать в виде 4* > 4**, откуда д: > 0. х>0. <1 . Ответ Задача 5 Решить графически уравнение =х-^. ► В одной системе координат построим графики функций {/= — и у = х~— (рис. 37). Из ри- V 3 / 3 сунка видно, что графики этих функций пересекаются в точке с абсциссой X ~ 1. Проверка показывает, что X = 1 — корень данного уравнения: V 3; 3 3 3 Покажем, что других корней нет. Функция убывающая, а функция у = х-^ возрастающая. Следовательно, при X > 1 значения первой функции меньше i, а второй больше 3 3 при д:<1, наоборот, значения первой функции больше —, а второй меньше —. 3 3 Геометрически (см. рис. 37) это означает, что графики этих функций при X > 1 и X < 1 «расходятся» и нотому не могут иметь точек пересечения при X 1. Ответ X = 1. <1 82 > X---выполняется 3 2 л < X------при д: > 1. 3 Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует. при д: < 1, а неравенство j (оЛ^ ГгУ Задача 6* Решить неравенство I- I ^ vs J ' р ► Так как О < - < 1, то данное неравенство равно-5 _____ сильно неравенству •J2 — х < х. Область определения этого неравенства X ^ 2. При X ^ О оно не имеет решений, так как v2 —х>0. Итак, решения неравенства содержатся в промежутке (0; 2]. Возводя неравенство в квадрат, получаем 2 - х < х^, откуда х^ -I- X - 2 > О, х < -2 или х > 1 (рис. 38). Ответ 1 < X < 2. О -2 Рис. 38 Упражнения Решить неравенство (228—229). 228 1) 3*>9; 3)( 4) 4' i; 6)( ir.i. 2 2 9 229 1) VB; X 2) 32 > 9; 3) 3*"-^ 4) 5^ 230 Решить графически уравнение: 4) 3^= 11 -X. 3) 2*=-х--; 4 Решить неравенство (231—232). v2i^-3j 231 1) 2 -х^+Зх <4; (I) 232 1) 3' + 2 + 3*-’< 28; 3) 2^*-^ + 2^^-2 + 22'-з > 448; 2) 2*-^ + 2*^^> 17; 4) < 624. 83 233 Найти целые решения неравенства па отрезке [-3; 3]: 1) 9^ - 3^ - 6 > 0; 2) 4* - 2^ < 12; 3) 5^' + '+ 4 . 5^-1 > 0; 4) 3 • 9^ + 11 • 3^ < 4. 234 Найти область определения функции: 1) j/ = V25^-5^ 2) t/ = 235 При каких значениях х значения функции j/ = i j значений функции +12? 236 Решить графически неравенство: 1. ' 2’ 2;c-i. 3 3 больше 1) - (1Г< 3) 2*<9-^д:; 3 4) 3* > 237 Решить графически уравнение: 1) 2-' = 3-2х-х^ 2) 3 * : 238 Решить неравенство: 1) 11V'*® > 1И; 2) 0,3 1,5, -2 < 1,5, то дс = -2. Ответ X = —2. <3 3**'= 3^®, Задача 5* Решить систему 4-'= 4^-», 2=^ <2». ► Решим сначала систему уравнений ху=10, \ху=10. 3^‘'=31“, 4*=4^ч'. Получаем [х = 1-у, [дг+1/ = 7. По теореме, обратной теореме Виета, находим два решения (2; 5), (5; 2). Теперь решим неравенство 2* < 2*'. Так как 2 > 1, то X < у. Решение системы уравнений (2; 5) удовлетворяет неравенству х < у, & решение (5; 2) ему не удовлетворяет. Ответ (2; 5). О Упражнения Решить систему уравнений (240—243). 240 1) 3) 2д:-у = 1, 5“*У = 25; х + у= 1, 2^-f' = 8; 2) 4) х-у = 3*® i I/ - ± х + 2у 3^-v = 2, 1. 9’ = 3, 81. 241 1) l4*-2!'=32, |з'** + ’ =3®*'; 33*-2» = 81, 3в*-3«'=27. 242 1) |2'-1-2*'=6, |2*-2‘'=2: 2,. 3*-t-5i'=8, 3^-5*'=-2. 243 1) |5*-5‘'= 100, |5*-^^-5*'-^=30; 2) 2*-9-3»=7, 2*-3*'=^; 9 86 3) 5) las'-16-'= 24, 16*+»=256; 5*+‘-3»= 75, 3*-5»-'=3; Решить систему (244—245). |52*+’> 625, 111®* *-10* = JJ9*-15. (5*)»=52‘, 244 1) 245 1) p*-5*' = 5'®, 3* > 3»; 4) 6) 2) 2) 3* + 2*+»+i=5, 3*+i-2*+»= 1; 3*-2»=4, 3»-2*=9. ^0,3^®*^"‘‘^* = 0,3-^®*-^ [3,7*‘ = 3,7“-®^. (0,2»)*= 0,008, 0,4»= 0,4®-®-*, 2*-0,5» > 1. ' T Упралснеиия 1 к главе III •I........I........I • 246 Сравнить числа; 1) 4"''® и 4'»*^ ; ,1,4 f . \^^2 2) 2'^ и 2‘-’’: +• (5)" “ (i)"* 247 Сравнить c единицей число: .(If: .(1) /8-3 248 (Устно.) Является ли функция возрастающей или убывающей: 1) у = 0,78*; 2) у = 1,69*; 3) 4) у = 4-*? 249 В каком промежутке находятся значения функции при X 6 [-1; 2J: 1) у = 5^ 2) у = 5 *? 87 Решить уравнение (250—252). 250 1) 1,5®*-^ = *; 2) 0,752'-® =^l|j . кХ^-2х-2 4) ■ ■ 3) 5^2.г„-6^ 251 1) 2' + 2'-® = 18: 2) 3' + 4-3'^'= 13; 3) 2 • 3'"’ - 6 • 3'-1-3' = 9; 4) 5^-"* + 3 • 5^-'- 6 • 5'+10 = 0. 252 1) 5®^ - 5* - 600 = 0; 2) 9' - 3' - 6 = 0; 3) 3' +9'->-810 = 0; 4) 4'+ 2'-"* - 80 = 0. 253 Решить неравенство: 1) 3'-2>9; 2) 52*<—; 3) 0,7'"' < 0,7®; 4) fi) > ^. 25 V, 3 / 81 254 Решить графически уравнение: 1) 2“'= Зд: + 10; 2) j *= 2д- + 5. Проверь себя! Построить схематически график функции: l)y=(i]"; 2)у = 5\ Сравнить числа: ^0.2 / , \1,2 ‘>(1Г Решить уравнение: 1) 3'*' = 27*-'; 3) 2' + ®-2*^'= 12; Решить неравенство: 1) 7'-® >49; 2) 0,5 2) 5-®-® и 5-' ®. 2) 0,2'"-^“'-®= 1; 4) 4 • 2®' - 5 • 2' + 1 = 0. ®-®>1. 255 Доказать, что последовательность значений функции р = 2* при натуральных значениях х = 1, 2, 3, ... является геометрической прогрессией. 256 За первый год работы предприятие имело а рублей прибыли. В дальнейшем каждый год прибыль увеличивалась на р%. Какой станет прибыль предприятия за л-й год работы? 257 Построить график функции: 1)1/ = 3*-1: 2)у = 3'->; 3)1/ = 2®-' + 3. 88 258 259 Решить уравнение (258—260). 2)16^|o,25' ^0,25* ■* = 2'f^. x-l. 260 X-- 1) 2-3**-* +27 3 =9*-> +2-3=* 2) 2''**=^-2'^'** = 12+2'*-*; 3) 22-9*-^-i-3*-"®+i-3* + ^ =4; 3 3 4) 5 • 4'-^-16'+ 0,25 •2'***^+7 = 0. 1) 2'-"'' + 2'" 2 = 5' + ‘ + 3 • 5'; 2) 5^' - 7' - 5^' • 17 + 7' • 17 = 0; 3) 2'* '-3'*=3'^-*-2''+^; 4) 3-4'+i-9'-"^ =6-4'^* ' Q О 261 Решить неравенство: х-З 1) 8,4''^1<1; 4Л_2^: + 1 + 8 3) ^------<8'; 21-х 2) 2'" -5** < 10-3(10®-')2' 4) 1 3' + 5 '-1 262 Решить систему уравнений: '2*-=128. Г2..5.= 10, 1) -2у+1 2) 5*'-2'=3. 263 Построить график функции: 1) у = 2'^1'1; 2) 1/ = |з1'1-3|. 264 Решить уравнение: 1) П ох + 0.5 - - =5-0,04': 2) 4 • 3'-9 • 2' = 5-3=^ • 22; 3) 2 • 4' - 3 • 10' - 5 • 25' = 0; 4) 4 • 9' + 12' - 3 • 16' = 0. Решить неравенство: 1)з1'-2|<9; 2)41'*Ч>16; 3) 2l'-2l > 4''^Ч; 4) 5l' + '‘l < 25l'L 265 Задача 1 Найти положительный корень уравнения = 81. ► По определению арифметического корня имеем х = V^ = 3. <3 Задача 2 Решить уравнение 3"‘ = 81. ► Запишем данное уравнение так: 3* = 3^, откуда X = 4. 0, а Ь> о, имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом числа Ь по основанию а и обозначают log^ Ь. Например, корнем уравнения 3^ = 81 является число 4, т. е. logj 81 = 4. 90 Логарифмом положительного числа Ь по основанию а, где а > О, а ^ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить Ь. Например, logj 8 = 3, так как 2* = 8; log3i = -2. так 1 как 3"^ = - ; log^ 7 = 1, так как 7' = 7; log4 1=0, так как 4° = 1. Определение логарифма можно записать так: а'"**‘’=Ь. Это равенство справедливо при Ь > 0, а > 0, а ^ 1. Его обычно называют основным логарифмическим тождеством. Например, 4 log 4 5 5=3, 13 ^ 4 С помогцью основного логарифмического тождества можно показать, например, что х = logg 80 является корнем уравнения 3*=80. В самом деле, glog3 80=80. Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием. Действие нахождения числа по его логарифму называют потенцированием. Задача 3 Вычислить logg^ 128. ► Обозначим logg4 128 = X. По определению логарифма 64* = 128. Так как 64 = 2®, 128 = 2^, то Ответ 2®* = 2^, откуда 6х = 7, х = -. 6 logg4 128 = 1. <1 О Задача 4 Вычислить з"8 1»вз5 ► Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим д-2 log а 5 _ ^gloga 5 "\-2 _ ^ ^ ^ 25 ■ Задача 5 Решить уравнение logg (1 - х) = 2. ► По определению логарифма 3^ = 1 - х, откуда х = -8. <1 91 Задача 6 При каких значениях х существует log. X -1 , 2-х ► Так как основание логарифма 5 > О и б 1, то данный логарифм существует только тогда, :г — 1 когда ----> 0. Решая это неравенство, находим 2-х 1 < X < 2. <1 Упражнения 266 Найти логарифмы чисел по основанию 3: 3, 9, 27, 81, 1, 1, 1, Уз, -Ц, 9V3. 3 9 243 Вычислить (267—276). 267 1) log;, 16; 2) logj 64; 3V3 268 Dlogai; 270 Dlogji; 271 Dlog 2) ]ogAi О 3) logg 2; 4) logjj 1. 3) log2 л/2 ; 4) log2 ^. V2 269 1) logj 27; 2) logg 81; 3) logg 3; 4) logg 1. 2) logg-^; о 2) logj4; 2 4)lago.5^: 5) logo 5 1; 3) logg Уз ; 4) logg —^. Уз 3) logo.5 0,125; 6) logi V2. 272 1) logg 625; 2) logg 216; 3)log, 4) logg 10 IdiD 273 1) log, 125; 2) log, 27; 3) log, —; 4) log, 36. “64 - 274 1) з'”*»’**; 2) б''*»'®; 3) lo'“*'»^; 4) lOR , e 4 275 1) 2) / , \6 loK 1 2 (i) i ; 3) 0,3 2 log 0.3 e 4) 7^ log 79 276 1) 8*°’'*®; 2) 9'"“»'^; 3) 1б‘'’“‘^ 4) 0,125‘°‘'»'‘’. 277 Решить уравнение: 1) loggX = 3; 2) loggX = 4; 3) logg (5 - x) = 3; 4) logg (X + 2) = 3; 5) log, (0,5 + x) = -1. 92 278 Выяснить, при каких значениях х существует логарифм: 1) logi(4-x); 2 2) logo,2(7-x); 3) loge^: l-2x 4) logs „ ^ : 2jc -1 5) logi(-x^); 4 6) logo., (-2x®). Вычислить (279- -281). 279 1) loggV^; 2) logs-i—; 3) log 3V3 280 1) 92>°«з5. / , \-5 1og2 3 « (j) ^ -4 log 1 5 4) 27 3 ; 5) 10®"'®*'°®; >,1 + 2 log, 3 6) (ij . 281 1) logj log, 81; 2) logs 8; 3) 2 logs, loSio 1000; 4) i logs logj 8; О 5) 3 log^ log^ 16 + log, 2. 2 282 Решить уравнение: 1) log, 27 = 3; 2) log i = -l; 3) log, 41 =-A. Выяснить, при каких значениях х имеет смысл выражение (283—284). 283 1) logo(49-a:2); 2) \og^ (х^ + х - Ь)\ 3) log, + 2;с + 7). 284 1) log., (1 - х=>); 2) logj (х® + 8); 3) logi(x® + x^-6x); 4) log, (х^ + х^-2х). л 3 Решить уравнение (285—287). 285 1) 2* = 5; 2) 1,2^ = 4; 3) = 4) 1^~^^ = 2. 286 1) 7^* + 7^ - 12 = 0; 3) 8-'-"‘ - 82^-’ = 30; 2) 9^ - 3^ - 12 = 0; 287 1) (3* + 2^) (3^ + 3 • 2*) = 8 • 6*; 2) (3 • 5* + 2,5 • 3') (2 • 3^ - 2 • 5^) = 8 • 15^. 288 При каких значениях х имеет смысл выражение: 1) log, (2х - 1); 2) log,_, (х + 1)? 289 Решить относительно х уравнение 9^^ + 9а (1 - а) • З^'^ - а® = 0. 93 Свойства логарифмов При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них. Пусть а > О, а 1, Ь > О, о О, г — любое действительное число. Тогда справедливы формулы log„ (be) = log^ b + Iog„ c, (1) b log„ - = log„ b - log„ c, c (2) log„ b" = r log„ b. (3) По основному логарифмическому тождеству a‘“‘'-'’=b, (4) = (5) 1) Перемножая равенства (4) и (5), получаем откуда по определению логарифма log^ Ь -t- log^ с = = log^ (be). Формула (1) доказана. 2) Разделив равенства (4) и (5), получим logo Ь- logo ' _ Ь U — *” * С откуда по определению логарифма следует формула (2). 3) Возводя основное логарифмическое тождество в степень с показателем г, получаем д'-logo откуда по определению логарифма сле- дует формула (3). О Приведём примеры применения формул (1) — (3): 1) logs 18 + log„ 2 = logs 36 = 2; 2) logj2 48 - logi2 4 = logi2 12 = 1; 1 3) log3 3^'=ilog3 3 = i. 94 Задача Вычислить logj ^ ^ Ч Применяя формулы (1) — (3), находим logj Vs - i logg 12 + logg 50 = logs = = logg 25 = 2. <1 Упражнения Вычислить (290—294). 290 1) logjo 5 + logjo 2; 3) loSi2 2 + logj2 72; 291 1) log2 15-log2^: ID 3) logj 54-logj 2; 2) log,o 8 + log,o 125; 4) logs 6 + logs |. 2) logg 75 - logs 3; 4) logs logs 32. lo 292 1) logi3 Vl69 ; 2) log^j УТзТ; 3) logi V^; 4)log2^. 293 1) logs 12 - logg 15 + logs 20; 2) logg 15 + logg 18 - logg Ю; 3) i log^ 36 - log^ 14-3 log7 ; 4) 2 log 1 6 - i log 1 400 + 3 log, V45. •>(XA 14 1°ез8 . logs27. logg 36-logs 12 .ч 'og?» ^ logs 16’ logs9’ logg9 ’ •’ log,15-log7 30’ 295 Вычислить log^ x, если log„ b = 3, log^ c = -2: 1) X = a^b'^ Vc; 2) X = 296 Вычислить: 1) 3) logg 24 - ^ log2 72 logs 18-i logs 72 О logg 4 + log2 VIo . logg 20+3 logg 2 ’ 2) 4) log7l4 - - log7 56 3 • logs 30logs 150 3 logy 2- — logy 64 ________2_______ 4 logs 2+1 logs 27 95 297 Найти х по данному его логарифму (а > О, Ь > 0): 1) logg х = 4 logg а + 7 logg Ь; 2) logg х = 2 logg а - 3 logg Ь; 3) log 1 д: = I log J а -1 log j b; 2 2 2 4) logg л: = i logg a +1 logg b. 3 3 3 298 Вычислить: 1) 5 - logio 2 _ glogj 3 . 2) [si'* + •49'“®^^': 3) +42 ^ logg 3 -t-3 logg 6 4) 72 299 Доказать, что если о > 0, а 1, Ь > 0, р ^0, то log , fc = - log„ ft. Используя эту формулу, вычислить: 1) loggg 2-|log, 3; о 2) 2 lOggg 30 + lOgg g 6. 300 Выразить через а и ft: 1) log^/g 50, если logg 15 = а, logg 10 = ft; 2) log^ 1250, если logg 5 = a. Десятичные и натуральные логарифмы Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью микрокалькулятора. И в том и в другом случае находятся только десятичные или натуральные логарифмы. Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут Ig ft вместо log^o ft. 96 Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию е, где е — иррациональное число, приближённо равное 2,7. При этом пишут In Ь вместо log„ Ь. Иррациональное число е играет важную роль в математике и её приложениях. Число е можно представить как сумму: 1.1,, 1 Г2 1-2-3 1-2-3 Приближённое значение числа е можно прочитать на табло микрокалькулятора после использования клавиши 2,7182818. Ig Вычисления Ig Ь и In 6 проводятся на микрокаль- и In куляторе с помощью клавиш Например, вычисляя Ig 13, получаем Ig 13 ~ 1,1139433; вычисляя In 13, получаем In 13 ~ 2,5649493. Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию. Для этого используется формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию. log с Ь log„ Ь = (1) log с О где Ь > О, а > О, а ^ 1, с > О, с ^ 1. Докажем справедливость формулы (1). •* Запишем основное логарифмическое тождество «'"*'’*’=6. Возьмём от обеих его частей логарифмы по основанию с; log^ а‘°*“ *’= log^ Ь. Используя свойство логарифма степени, получаем log„ Ь ■ log,, а = log,, Ь; откуда log^ Ь = logf Ь log, а ■ О 97 Из формулы (1) при с = 10 и с = е получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам: log„ Ь = \gb Iga’ (2) Из формулы (1) следует формула log^ Ь = log 6 а Задача 1 С помощью микрокалькулятора вычислить logg 80 с точностью до 0,01. ► 1) С помощью десятичных логарифмов по формуле lg80 (2) находим: logg 80 = IgS 3,9886927. 2) С помощью натуральных логарифмов: In 80 loga 80 = Ответ logg 80 3,99. <] 1пЗ ~ 3,9886928. Задача 2 Формула перехода от одного основания логарифма к другому иногда используется при решении уравнений. О Решить уравнение logj х + logg ^ ^ „ , logo X logo X ► По формуле перехода log, х = - - = —-—. logg 4 2 Поэтому уравнение принимает вид logg х + + - logg ^ = X» откуда logj X = 1, X = 2. <] 2 2 Задача 3* Ответ Двухпроцентный вклад в Сбербанк, равный а рублям, через п лет становится равным а (1,02)'’, а трёхпроцентный вклад становится равным а (1,03)". Через сколько лет каждый из вкладов удвоится? ► 1) Для первого вклада 2а = а (1,02)", откуда (1,02)" = 2, л = logj Q2 2. Вычисления проведём на микрокалькуляторе: log, 02 2 = 35,002788. 2) Для второго вклада п = log, ,,., 2 и вычисления на микрокалькуляторе показывают: log,,03 2 ~ 23,449772. По первому вкладу примерно через 35 лет, а по второму — через 23,5 года. О 98 301 302 303 304 305 306 307 Упражнения Вычислить с помощью микрокалькулятора (301—302). 1) Ig 23; 2) Ig 7; 3) Ig 0,37; 1) In 81; 2) In 2; 3) In 0,17; 4) Igf- О 4) In 7 Выразить данный логарифм через десятичный и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01: 1) log^ 25; 2) logs 8; 3) log« 0,75; 4) logo.75 1,13. Выразить данный логарифм через натуральный и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01: 1) log^ 5; 2) logg 15; 3) logg 7 9; 4) logj j 0,23. Выразить данный логарифм через логарифм с основанием 7: 1) logs 3; 2) Ig 6; 3) log2 7; 4) logj |; 5) Ig 7; 6) logg 7. О Ig625 Вычислить: 1) 5; 2) log j (logg 4-logg 3). 4 Решить уравнение: 1) logs X = 2 logs 3 + 4 logas 2; 3) logg X = 9 loggY 8-3 logg 4; 5) logg X + logg X = 8; 2) logg X - 2 log, X = 9; 2 4) logg x^ + log^^ X = 3; 6) log^ X- log,6 x = i. 4 308 309 310 311 312 313 Дано: logy 2 = m. Найти: log^g 28. Дано: Ig 3 = Л1, Ig 5 = л. Найти: logjj 30. Дано: logg 2 = m. Найти: logg^ 72. 9. logg 216 logg 24 log72 3 Дано: loggg 8 = m. Найти: loggg Вычислить: 1) 2) logg 192 logjg 2 314 315 logg 3 Решить уравнение: 1) log| X - 9 logg X = 4; 2) 16 log^g X + 3 log^ X - 1 = 0; 3) log| X + 5 log,, X - 1,5 = 0; 4) log| X - 15 logg7 X + 6 = 0. Вычислить (не используя микрокалькулятор): 24 logee 2 14 bgs 2 ^ log4 3 ^ ^ logs 6 log4 6 ’ ^ [logy 2 + logs 7 lg7; 3) 2 logg 3 log4 9 Число жителей города-новостройки увеличивается ежегодно на 8%. Через сколько лет число жителей удвоится? 99 316 При одном качании поршневого насоса из сосуда удаляется 1,2% имеющегося в нём воздуха. Через сколько качаний насоса в сосуде останется —^— часть первоначальной массы IQi® воздуха? 317 Вычислить на микрокалькуляторе приближённое значение числа е по формуле е ~ 2 + - + —^ н-— + ... +----------- 2 2-3 2-3-4 2-3-4-...-Л при: 1) л = 7; 2) п = 8; 3) л = 9; 4) л = 10. Логарифмическая функция, её свойства и график В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция у = log„ д:, где а — заданное число, а > О, а Ф 1. Логарифмическая функция обладает свойствами: 1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел. • Это следует из определения логарифма, так как выражение log^ х имеет смысл только при х > 0. О 2) Множество значений логарифмической функции — множество R всех действительных чисел. • Это следует из того, что для любого действительного числа Ь есть такое положительное число х, что log^ X = Ь, т. е. уравнение log^ х = Ь имеет корень. Такой корень существует и равен х = а®, так как log„ а® = fe. О 3) Логарифмическая функция не является ограниченной. • Это следует из свойства (2). О 4) Логарифмическая функция у = log„ х является возрастающей на промежутке (0; +оо), если а > 1, и убывающей, если 0 < а < 1. 100 • Пусть а > 1. Докажем, что если О < Xj < Х2, то (/ (^Ti) < у (дгг), т. е. log„ д;, < log^ Xg. Пользуясь основным логарифмическим тождеством, условие < Х2 можно записать так: Из этого неравенства по свойству степени с основанием а > 1 следует, что log„ х, < log^ Пусть О < а < 1. Докажем, что если О < < Х2, то logg > log^ Х2- Записав условие д;, < дгз в виде д'°8л *1 < а*“8л *2 ^ получим logg Xj > logj Х2, так как О < а < 1. О Отметим, что справедливы и следующие два утверждения: если а>1 и log^ х, < log^ Хз» где х^ >0, Хз > о, то х, < Хз; если 0 < а < 1 и log„ Xi < log„ Хз, где X, >0, Х3 > О, то х, > Х3. 5) Если а > 1, то функция у = log„ х принимает положительные значения при х > 1, отрицательные при О < X < 1. Если О < а < 1, то функция у = log„ X принимает положительные значения при О < X < 1, отрицательные при х > 1. • Это следует из того, что функция у = log^ х принимает значение, равное нулю, при х = 1 и является возрастающей на промежутке х > 0, если а>1, и убывающей, если О < а < 1. О Из рассмотренных свойств логарифмической функции у = log^ X следует, что её график расположен правее оси Оу и имеет вид, указанный на рисунке 39, а, если а > 1, и на рисунке 39, б, если О < а < 1. На рисунке 40 изображён график функции у = logj х, а на рисунке 41 — график функции у = log, х. 3 Ось Оу является вертикальной асимптотой графика функции у = log„ X. 101 Отметим, что график любой логарифмической функции y = \og^x проходит через точку (1; 0). При решении уравнений часто используется следующая теорема; Теорема. Если log„ х, = log„ х.^, где а > 0, а 1, Ху >0, х^> о, то Ху = Xj. Предположим, что Ху Ф Xj, например х, < Xg. Если а > 1, то из неравенства ^2> < Xj следует, что log^ Xj < log„ Xj; если О < a < 1, то из неравенства Ху < Хз следует, что log„ Ху > log^ Xj. В обоих случаях получилось противоречие с условием log^ Ху = logg Xg. Следовательно, Ху = Хз- О Задача 1 Решить уравнение logg (Зх - 2) = logg 7. ► Используя доказанную теорему, получаем Зх - 2 = 7, откуда Зх = 9, X = 3. <] Задача 2 Решить неравенство log2 х < 3. ^ Пользуясь тем, что 3 = logj 2® = log2 8, запишем данное неравенство так: log2 х < logj 8. Так как функция у = logg X определена при х > 0 и возрастает, то неравенство logg х < logg 8 выполняется при X > о и X < 8. Ответ о < X < 8. <] Задача 3 Решить неравенство log, х < - 2. 3 ► Запишем данное неравенство так: logj x0 и убы- 3 102 Рис. 42 вает, поэтому неравенство выполняется при д: > О и х> 9. Ответ 9. <1 Логарифмическая функция у = log^ х и показательная функция у = а*, где а > О, а 1, взаимно обратны. • Решая уравнение у = log^ х относительно х, получаем X = а**; меняя местами х и у, имеем у = а*. О Графики этих функций при а = 3 и о = i показаны на рисунке 42. Упражнения 318 Сравнить числа: 1) logs 7 и logs 2) logi 9 и logi 17; 5 6 н ^ 3) log, е и logj л; 4) log^ ^ и log^ 2 2 319 Выяснить, является ли положительным или отрицательным число: 1) logs 4,5; 2) logg 0,45; 3) logg 25,3; 4) logo 5 9>6- 320 Сравнить с единицей число х, если; 1) logg х =-0,3; 2) log, х = 1,7; 3) logg д:= 1,3. 3 321 Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция: 1) 1/= logo.075 л; 2)y = \og^x; 3) t/= Ig дг; 4) у = In x. "i" 103 322 Построить график функции: 1) y = \og.^ х\ 2) i/ = log, X. 2 323 По графику функции у = log2 х найти приближённо logg 3, logg 0,3, log2 5, logj 0,7. 324 Изобразить схематически график функции: 1) г/ = Ig х; 2) у = In х; 3) у = logo ^ х; 4) у = logj X. а Решить неравенство (325—326) 325 1) logj X > logs 3; 2) log j л: < log^ I; 5 5 ° 3) Ig X < Ig 4; 4) In X > In 0,5. 326 1) logg X < 2; 2) log^ ^ x > 2; 3) logj^ x > 16; 4) logy^ x < 2. 2 327 Решить уравнение: 1) logg (5x - 1) = 2; 2) logs (3x + 1) = 2; 3) log^ (2x - 3) = 1; 4) log7 (x + 3) = 2; 5) Ig (3x - 1) = 0; 6) Ig (2 - 5x) = 1. 328 Найти область определения функции: 1) у = log., (х - 1); 2) у = log,, я (1 + X); 3) I/= logj (х^ + 2х); 4) i/=log^(4-x2). 329 Доказать, что функция у = log2 (х^ - 1) возрастает на промежутке (1; +оо). 330 Сравнить значения выражений: 1) I + Ig 3 и Ig 19 - Ig 2; 3) 3 (Ig 7 - Ig 5) и Ig 9 - I lg8; u 2) 4) Ig Ig Ig 50 и Ig^ 50. 331 Найти область определения функции: 1) у = logg (X* - Зх - 4); 2) у = log (-х^ -и 5х -I- 6); 3) y = \og„j X -4- 5 ’ 5) у = log, (2* - 2); 4) i/ = logi х-4 . х2 + 4* 6) у = logs (3^-1-9). 332 Постгроить график функции, найти её область определения и множество значений: 1) У = logs (х - 1); 2) ,i/ = log^(x-(-l); 3) у = 1 + logj х; 3 4) J/ = log 1 X - 1; 5) J/ = 1 -I- logg (х - 1). 3 104 333 Решить графически уравнение: 1) log2 X =-лс + 1; 2) log, х = 2х-5; 2 3) lgx = Vx; 4) lgx = 2 ^. 334 Построить график функции, найти её область определения и множество значений, указать промежутки монотонности: 1) У = |logj х1; 2) J/= logg 1х|; 3) I/= logj |3 - х|; 4) «/= |1 - log2 х|. 335 Найти область определения функции: 1) У = loga |3 - х| - loga - 8|; 2) у = logo,3 л/х+1 + logo.4 (1 - 8х-^). Логарифмические урапнения Задача 1 Решить уравнение loga (х + 1) + loga (х + 3) = 3. (1) ► Предположим, что х — такое число, при котором равенство (1) является верным, т. е. х — корень уравнения (1). Тогда по свойству логарифма верно равенство loga ((^ + 1) (JC + 3)) = 3. (2) Из этого равенства по определению логарифма получаем (X -н 1) (X -I- 3) = 8, (3) + 4х + 3 = 8, т. е. X* -I- 4х - 5 = О, откуда х, = 1, Ха = -5. Так как уравнение (3) является следствием исходного уравнения, то необходима проверка. Проверим, являются ли числа 1 и -5 корнями уравнения (1). Подставляя в левую часть исходного уравнения X = 1, получаем loga (1 + 1) + I082 (1 + 3) = = loga 3 + loga 4 = ]-i-2 = 3, т. e. х=1 — корень уравнения (1). 105 При X =-5 числа л: + 1 и ж + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения (1) не имеет смысла, т. е. х = -5 не является корнем этого уравнения. Ответ дг = 1. <] Замечание. Решение уравнения (1) можно заменить решением равносильной ему системы дг -ь 1 > О, ■ дг-)-3> О, log^j ((д:-|-1)(х + 3)) = 3. Задача 2 Решить уравнение log2 (1 - дг) = 3 — log2 (3 - дг). ► Перенесём логарифм из правой части в левую: log2 (1 - дг) -I- log2 (3 - х) = 3, откуда log2 ((1 - X) (3 - X)) = 3, (1 - X) (3 - X) = 8. Решая это уравнение, получаем Xj = 5, Xj^-l. Число X, = 5 не является корнем исходного уравнения, так как при х = 5 левая и правая части уравнения теряют смысл. Проверка показывает, что число X = -1 является корнем исходного уравнения. х = -1. <1 Ответ Задача 3 Ответ Задача 4 Ответ Решить уравнение Ig (2x^ - 4х н-12) = Ig X -I- Ig (X -I- 3). ► По свойству логарифмов Ig (2х^ - 4х -(- 12) = Ig (х^ + Зх), откуда (по теореме § 18) 2х^ - 4х + 12 = + Зх, х^ - 7х -(-12 = О, Xj = 3, Xj = 4. Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения. X, = 3, Xg = 4. <] Решить уравнение logy (Зх + 4) = logy (5х + 8). ► Приравнивая выражения, стоящие под знаком логарифма, получаем Зх 4 = 5х -I- 8, откуда х = - 2. Выполняя проверку, убеждаемся, что при х = -2 левая и правая части исходного уравнения не имеют смысла. Корней нет. <1 106 Задача 5 Ответ Задача 6 Решить уравнение 10^4 (2д: - 1) • log4 х = 2 log4 (2х - 1). ► Преобразуем данное уравнение: log4 (2х - 1) • log4 х-2 log4 (2х - 1) = О, log4 (2х - 1) • (log4 д: - 2) = 0. Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения к нулю, получаем: 1) log4 (2дг - 1) = О, откуда 2дг - 1 = 1, х, = 1; 2) log^ X - 2 = О, откуда log^ х = 2, Xj, = 16. Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения. X, = 1, Х2 = 16. <] Решить уравнение log3 х -I- log^ 3 = -. 2 ► Уравнение имеет смысл, если X > О, X (4) Ответ Задача 7 Пусть t = logj X, тогда log^ 3 = - и уравнение примет вид < -I- i = - , или 2t^ - Ы + 2 = О, откуда ( 2 = 2, Если t = 2, то logj) X = 2, х = 9. Если 'ГО log3X = i, Х = л/3. Найденные значения х удовлетворяют условиям (4) и являются корнями данного уравнения. Xj = 9, Хз = л/з. <3 Решить систему уравнений log2 X - log2 I/ = 1, 4у2-нд:-12 = 0. ► Из первого уравнения выразим х через у: logo — = log, 2, - = 2, X = 2у. Подставив х = 2у У У во второе уравнение системы. получим 4j/^-ь 2(/- 12 = О, откуда У|=—, t/2 = -2. Найдём Ответ значения х: х, = 3, Хз = -4. Проверкой убеждаемся, что ^3; — решение системы, а (-4; -2) не является её решением. (з: I). <1 107 Упражнения 336 Установить, какое из данных двух уравнений является следствием другого уравнения: 1) д: - 3 = О и - 5х + 6 = 0; 2) |х| = 5 и = 5; ^-Зх+2 ^ , 3) --------= 0 и х^ - Зх + 2 = 0; х-1 4) logg X + logg (ж - 2) = 1 и logg (X (х - 2)) = 1. Решить уравнение (337—341). 337 1) logg (x - 5) -1- logg (x + 2) = 3; 2) logg (x - 2) -1- logg (x + 6) = 2; 3) lg(x + V3)+lg(x-V3) = 0; 4) Ig (X - 1) + Ig (X -1- 1) = 0. 338 1) Ig (X- l)-lg (2x- ll) = lg 2; 2) Ig (3x - 1) - Ig (x -t- 5) = Ig 5; 3) logg (x® - x) - logg X = logg 3. 339 1) 1 Ig (X® -H X - 5) = Ig (5x) + Ig 2 6x 2) i Ig (x® - 4x - 1) = Ig (8x) - Ig (4x). 340 1) logg (5x + 3) = logg (7x + 5); 2) logi (3x- 1) = logj (6x + 8). 341 1) 2 2 log7 (x - 1) log^ X = log7 x; 2) log, X log, (3x-2) = log, (3x-2): 8 3 3 3) logg (3x + 1) logg X = 2 logg (3x + 1); 4) log^.j, (X - 2) logg X = 2 logg (x - 2). 1) ЛП.)Л, flogg x-Hlogg 1/ = 2, \x^y-2y + Q = 0. 342 Решить систему уравнений: [igx-lgy = 2, [x-10i/ = 900; Решить уравнение (343—345). 343 l)logjx^ = 0: 2)log^x^ = 3; 3) logg х® = 0; 4) log^ х® = 6; 5) Ig X* + Ig (4x) = 2 -I- Ig X®; 6) Ig x -I- Ig x^ = Ig (9x). 344 1) log, ((X + 2) (X + 3)) + log. 2) log2^ + log2((x-l)(x-H4)) = 2; X + 4 x-2 x+ 3 = 2; 3) logg x^ - logg = 3; X + 6 4) logg + logg x^ = 5. 108 345 346 347 1) • S’»* = 1600; 1 2 3) = 1; 2) 2''’®“*‘-5'®*='*=400; 1 . 2 4) = 1. 4+lgx 2-lgjc ' '5-lg« l+lgx He решая уравнений, выяснить, равносильны ли они: 1) =2-'* и Зх+ 1 = -3; 2) logg (х - 1) = 2 и д: - 1 = 9. Решить систему уравнений: \gx-\gy=l. 1) lgx + \gy = 5; 2) log2 J^ + |bg2- = 4, ! ^ J/ 1x1/= 2. 348 349 350 351 352 353 Решить уравнение (348—352). 1) logg X - 2 log, 2 = -1; 2) logg x + log, 2 = 2,5; 3) logg X + 2 log, 3 = 3; 4) logg x - 6 log, 3 = 1. 1) log^2 9+log^,, 4 = 2; 2) log,^ 16 - log^.-7 = 2. 1) Ig (6 • 5' - 25 • 20^) - Ig 25 = x; 2) Ig (2^ + X + 4) = ;c - jc Ig 5. 1) lg2 (X + 1) = Ig (X + 1) • Ig (X - 1) + 2 lg2 (X - 1); 2) 2 logg (4 - x) • logg, (4 - ДС) = 3 logg (4 - x) - logg (2x). 1) Vlog,25 + 3 = logg X ' 2) ^2 log^ x + 31ogg x-5 =logg(2x). Найти все значения параметра а, при которых уравнение 5 logg X + logg X - 4 loggg X = п имовт корни. Логарифмические неравенства При изучении логарифмической функции рассматривались неравенства вида logg х Ь и logg х ^ Ь. Приведём примеры решения более сложных логарифмических неравенств. Обычный способ реше- 109 ния таких неравенств заключается в переходе от них к более простому неравенству или системе неравенств, имеющей то же самое множество решений, т. е. к равносильному неравенству или к равносильной системе неравенств. Задача 1 Решить неравенство lg(jc-i-l)«2. (1) ► Правая часть данного неравенства имеет смысл при всех значениях х, а левая часть — при х 1 > О, откуда X >-1, т. е. х >-1 — область определения неравенства (1). Исходное неравенство запишем так: Ig (X + 1) « Ig 100. (2) Так как 10 > 1, то х -1- 1 < 100, откуда х ^ 99. Учитывая область определения исходного неравенства, получаем -1 < х ^ 99. <] Задача 2 Решить неравенство log2 (х - 3) -t- logg (х - 2) 4 1. (3) ► Логарифмическая функция определена при положительных значениях аргумента, поэтому левая часть неравенства имеет смысл при х - 3 > 0 и X - 2 > 0. Следовательно, областью определения этого неравенства является промежуток (3; -1-схэ). По свойствам логарифма неравенство (3) при х > 3 равносильно неравенству logj (х - 3) (х - 2) « log2 2. (4) Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая. Поэтому при X > 3 неравенство (4) выполняется, если (х - 3) (х - 2) ^ 2. Таким образом, исходное неравенство (3) равносильно системе неравенств |(х-3)(х-2)<2, |х> 3. Решая первое неравенство этой си-^ стемы, получаем х^ - 5х + 4 ^ 0, откуда 1 < X < 4. Совмещая отрезок [1; 4] с промежутком (3; -i-oo), по-Рис 43 лучаем 3 < х < 4 (рис. 43). <] 110 Рис. 44 а) -6 -4 в) -6 0 4 б) Задача 3* (5) Решить неравенство logi (дс^ + 2х-8) > -4. 2 ► Область определения неравенства находится из условия х^ + 2х - 8 > 0. Неравенство (5) можно записать в следующем виде: log| (х^ + 2х-8) > logj 16. 2 i Так как логарифмическая функция с основанием - является убывающей, то для всех х из области определения неравенства получаем х^ + 2х - 8 < < 16. Таким образом, исходное неравенство (5) равносильно системе неравенств \х^ + 2х-8>0, fx^-t-2x-8 > о, или x2-f2x-8<16, х^-1-2х-24<0. Ответ Решая первое квадратное неравенство, получаем X < -4, X > 2 (рис. 44, а). Решая второе квадратное неравенство, получаем -6 < х ^ 4 (рис. 44, б). Следовательно, оба неравенства системы выполняются одновременно при -6<х<-4 и при 2 < х ^ 4 (рис. 44, в). -6^х<-4, 2 < X < 4. <1 Упражнения 354 Найти область определения функции: 1) I/ = Ig (Зх - 2); 2) у = log2 (7 - 5х); 3) tf = logj(x2-2); 4) I/= log7 (4 - х^). 2 Решить неравенство (355—357). 355 1) logj (X -1- 2) < 3; 2) logg (4 - 2х) 5= 2; 111 3) logj, (x + 1) < -2; 4) log,(x-l)> -2; 5) logj (4-Здг) > - 1; 6) logj (2 - 5jc) <-2. 5 3 356 1) Ig X > Ig 8 + 1; 2) Igx>2-lg4; 3) log2(x-4) logi (x +1). 5 5 357 1) log,5 (X - 3) + log,5 (X - 5) < 1; 2) logj(x-2) + log^(12-x)^-2. 3 3 358 Найти область определения функции: l) у = logj (х^ - 4х + 3); 2) у = logg l£±2. 1-х - х-7 2 3) у = ^lgx + \g(x + 2); 4) I/ = ^\g(x-l) + lg(x+l). Решить неравенство (359—367). 359 1) logs > 0; 2) log, < 0: 3) lg(3x-4) log, (х+1). 2 2 360 1) logs - 4х + 3) < 1; 3) logj (х^ + 2х) > 1; 361 1) lg(x2-8x + 13)>0; 3) log2 (х^ + 2х) < 3; 2) logg (х=* - Зх + 2) » 1; 4) log2 (х^-2,5х) <-1. 3 2) log, (х^ - 5х + 7) <0; 5 4) log^(x2-5x-6) >-3. 2 362 1) log, logj х^ > 0; 2) logj log,(x^-l) < 1. 2 363 1) logo 2 ^ - logs (Jf - 2) < logo.2 3; 2) Ig X - logo,, (^ - 1) > logo,, 0>5- 364 1) log^ 2 X - 5 logo 2 ^ 2) logo,, ^ + 3 logg,, x > 4. 365 1) —^2 5-lgx 1+lgx <1: 2) logj (2-3*) 0; 4) log (л/б - 2x) < 0. 5x-6 2 < 7 3*-l 9*-2 367 4* (Vl6'-*-l+2) <4|4'-1|. 112 7 Упражнения ; к главе IV 343 Вычислить (368—372). 368 1) log,s 225; 2) log^ 256; 3) logj 4) log^ ^ 369 1) log, 64; 2) log, 81; 3) log, 4) log, T 3 я 2 ” 370 1) log,, 1; 2) log7 7; 3) log,^ 64; 4) logj^ 9. 371 1) (0,l)-‘e‘’-'‘; 2) 10-‘«^ 3) 5 log 5 3 , 4) (;] - log II 4 372 1) 41og, 3-|log, 27-21og, 6; 2 2 2 2) I IgO.OOl + lgVlOOO -| Ig^lOGOO. u 0 373 Вычислить c помощью микрокалькулятора: 1) logg 7; 2) logg 12; 3) log, g 0,17; 4) logo s 8,1. 374 Построить график функции: l)y = log4o:; 2) y = \og^x. 4 Какая из данных функций является возрастающей? убывающей? При каких значениях х каждая функция принимает положительные значения? отрицательные значения? значения, равные нулю? 375 Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция: 1) У = 1О&0.2 2) у = log^i^ х\ 3) у = log, х; 4) у = log^ х. < Т 376 Решить графически уравнение: 1) logg X = 5 - х; 2) log, X = Зх. 3 377 Найти область определения функции: 1) у = log^ (5 - 2х); 2) у = logg {х^ - 2х). Решить уравнение (378—380). 378 1) log,(7-8x) = -2; 2) Ig (х=* - 2) = Ig х. 113 379 1) Ig {x^ - 2x) = Ig 30 - 1; 2) log3 (2x^ + д:) = logj 6 - logg 2; 3) Ig^ X - 3 Ig X = 4; 4) logg x - 5 logg x + 6 = 0. 380 1) logg (x - 2) + logg (x - 3) = 1; 2) logs (5 - x) + logj (-1 - X) = 3; 3) Ig (x - 2) + Ig X = Ig 3; 4) log^(x-l) + log^(x + 4) = log^3 6. Решить неравенство (381—383). 381 1) logg (X - 5) < 2; 2) logj (7 - x) > 1; 3) log,(2x + l) >-2; 4) logi(3-5x) <-3. 2 2 382 1) logg (5 - 4x) < logg (X - 1); 2) logo 3 (2^ + 5) > logo,3 (X + 1). 383 1) Ig (x^ + 2x + 2) < 1; 2) logg (x^ + 7x - 5) > 1. 2 3 4 5 6 Проверь себя! Вычислить: 1) logs 125; 2) lg0,01; 3) 2'"***; 4) 5) logg 68 - logg 17. Построить схематически график функции: 1) I/ = logo,2 2) у = logg X. Сравнить числа: 1) logo,2 3 и logo,2 2,5; 2) logg 0,7 и logg 1,2. Решить уравнение: 1) logs (Зд: + 1) = 2; 2) logg (х + 2) + logg х = 1; 3) In (х^ - 6х + 9) = In 3 + In (х + 3). Решить систему уравнений Решить неравенство: 1) logg (X - 1) < 2; {Inx- In у = 1пЗ, х-2у = 5. 2) logi(2-x)> -1. 5 384 Вычислить: 1 1) logVs 3) 5) 2 logs >/б + 3 logg 8; 114 2) logvF-^; 25 V5 4) 3,б‘‘*’«“’*‘; 6) logg logg logg 2 ie 385 Сравнить числа: 2 log 2 ^ 1 ^ 2) 2 » и Vs. 1) logji и logi|; 386 Вычислить loggQ 64 с точностью до 0,001, зная, что Ig 3 = 0,4771, Ig 5 = 0,6990. 387 Вычислить logjg 15 с точностью до 0,001, зная, что Ig 3 = 0,4771, Ig 5 = 0,6990. 388 При каких значениях х справедливо неравенство: 1) log, 8 < log^ 10; 2) log,I 2 + log, + logg X', 4) logg X + logg (x - 3) > logg 4; 5) logj(x-10)-logi(j: + 2)>-1; 6) log j (x+ 10) I log j (x + 4) > -2. vT v'T 1) 4 log^ X - 33 log^ 4^1; 2) log^ 3 <4(l+log, x). 3 Доказать, что если последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией, то их логарифмы по одному и тому же основанию образуют арифметическую прогрессию. Найти три последовательных члена геометрической прогрессии, если их сумма равна 62, а сумма их десятичных логарифмов равна 3. Построить график функции: 1) У = 1 2) 1/ = -^. m X 401 402 403 31g“x-|lgjr , -- 3 =ioovTo. 404 405 406 loggX Решить уравнение (401—403). 1) х‘8 »-н 9'e ' = 6; 2) X 1) 3 -ь 2 log^^., 3 = 2 log;, (х -I- 1); 2) l + 2 1og,,g5 = log5(x + 2). 1) logg (2^ - 5) - logg (2' - 2) = 2 - x; 2) logi _ , (3 - X) = logg _ , (1 - X); 3) logg (2"+!)• logg (2^+* +2) = 2; 4) logg^ ^ 7 (5x + 3) = 2 - logs, + 3 + 7). Решить неравенство: 1) log,(2*+2 _4>f)> -2; 2) log , (6*+' -36*) > -2. 8 vT Решить уравнение logg X • logg (x - 3) + 1 = logg (X^ - 3x). Решить неравенство 1 iog„x-l log„x3 + i <-3. 2 116 глава Тригонометрические формулы Математика есть такая наука, которая показывает, как из знаемых количеств находить другие, нам ещё неизвестные. Д. С. Аничков Радианиая мера угла Пусть вертикальная прямая касается в точке Р окружности радиуса 1 с центром О (рис. 45). Будем считать эту прямую числовой осью с началом в точке Р, а положительным направлением на прямой направление вверх. За единицу длины на числовой оси возьмём радиус окружности. Отметим на прямой несколько точек ±1, ±^, ±3, ±л, где д~3,14 — иррациональное число. Вообразив эту прямую в виде нерастяжимой нити, закреплённой на окружности в точке Р, будем мысленно наматывать её на окружность. При этом точки числовой прямой с координатами, например, 1, —, -1, -2 перейдут со-2 ответственно в точки окружности М,, Mg, М3, М4, такие, что длина дуги РМ,, равна 1, длина дуги PMg равна и т. д. Таким образом, каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности. 117 Так как точке прямой с координатой 1 ста- очка ственно считать угол РОМ, вится в соответствие точка Мр то есте- IJ единичным и мерой этого угла измерять другие углы. Например, угол РОМ^ следует считать равным Такой способ измерения углов широко используется в математике и физике. В этом случае говорят, что углы измеряются в радианной мере, а угол РОМ ^ называют углом в один радиан (1 рад). Длина дуги окружности PMj равна радиусу. Рассмотрим окружность радиуса R и отметим на ней дугу РМ длины R и угол РОМ (рис. 46). Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан. Найдём градусную меру угла в 1 рад. Из курса геометрии известно, что дуге длиной nR (полуокружность) соответствует центральный угол в 180°, тогда дуге длиной R соответствует угол, в л раз меньший, т. е. Задача 1 1 рад Так как л ~ 3,14, то 1 рад ~ 57,3°. Если угол содержит а рад, то его градусная мера равна а рад = (“”] • (1) Найти градусную меру угла, равного: 1) л рад; 2) ^ рад; 3) ^ рад. По формуле (1) находим: 2) I рад = 90°: 1) л рад = 180°; 3) рад = У = 135°. < 4 V я 4 / Найдем радианную меру угла в 1°. Так как угол 180° равен л рад, то 1° = ^ 180 рад. Если угол содержит а градусов, то его радианная мера равна а° = — а рад. (2) 180 118 Задача 2 Найти радианную меру угла, равного; 1) 45°; 2) 15°. ► По формуле (2) находим: 1) “15° = -^ • 45 рад = -у рад: 180 4 2) 15°=-5--15 рад = ^ рад. <\ 180 12 Приведём таблицу наиболее часто встречающихся углов в градусной и радианной мере. Градусы 0 30 45 60 90 180 Л п К К Радианы 0 6 4 3 2 К Задача 3 Ответ Задача 4 Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад* опускают. Радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окружности. Так как угол в 1 рад стягивает дугу, длина которой равна радиусу R, то угол в а рад стягивает дугу длиной I = aR. (3) Конец минутной стрелки кремлёвских курантов движется по окружности радиуса R ~ 3,06 м. Какой путь I проходит конец стрелки за 15 мин? За 15 мин стрелка поворачивается на угол, равный тс f рад По формуле (3) при “ = - находим l = ^R 3,14 3,06 м ~ 4,8 м. 2 2 I ~ 4,8 м. < Особенно простой вид формула (3) имеет в случае, когда радиус окружности Я = 1. Тогда длина дуги равна величине центрального угла, стягиваемого этой дугой, в радианах, т. е. 1 = а. Этим объясняется удобство применения радианной меры в математике, физике, механике и т. д. Доказать, что площадь кругового сектора радиуса Я, образованного углом в а рад, равна 2 Площадь кругового сектора в к рад (полукруга) S = -Ц- а, где о < а < я. равна Поэтому площадь сектора в 1 рад 119 в 71 раз меньше, т. е. равна : 71. Следовательно, р2 площадь сектора в а рад равна — а. <1 407 408 409 410 411 412 413 414 Упражнения Найти радианную меру угла, выраженного в градусах: 1) 40°: 2) 120°; 3) 150°; 4) 75°; 5) 32°; 6) 140°. Найти градусную меру угла, выраженного в радианах: 1) 2) i; 3) f л; 4) 2; 5) 3; 6) 0,36. 6 9 4 (Устно.) Определить градусную и радианную меру углов: а) равностороннего треугольника; б) равнобедренного прямоугольного треугольника; в) квадрата; г) правильного шестиугольника. Вычислить радиус окружности, если дуге длиной 0,36 м соответствует центральный угол в 0,9 рад. Найти радианную меру угла, который соответствует дуге окружности длиной 3 см, если радиус окружности равен 1,5 см. О . Дуге кругового сектора соответствует угол в — рад. Найти 4 площадь сектора, если радиус круга равен 1 см. Радиус круга равен 2,5 см, а площадь кругового сектора равна 6,25 см^. Найти угол, который соответствует дуге этого кругового сектора. Заполнить таблицу (414—415). Градусы 0,5 36 159 108 Радианы 5д 6 10 2,5 1.8 Угол, ° 30 Угол, рад К 5 2 Радиус, см 2 10 5 Длина дуги, см 2 5 10 Площадь сектора, см* 50 25 50 415 120 Поворот точки вокруг начала координат • «-Ц • • • ■ I I .. В предыдущем параграфе использовался наглядный способ установления соответствия между точками числовой прямой и точками окружности. Покажем теперь, как можно установить соответствие между действительными числами и точками окружности с помощью поворота точки окружности. Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Её называют единичной окружностью. Введём понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол а рад, где а — любое действительное число. 1. Пусть а > 0. Предположим, что точка, двигаясь по единичной окружности от точки Р (1; 0) против часовой стрелки, прошла путь длиной ос (рис. 47). Конечную точку пути обозначим М. В этом случае будем говорить, что точка М получена из точки Р поворотом вокруг начала координат на угол а рад. 2. Пусть а < 0. В этом случае поворот на угол а рад означает, что движение совершалось по часовой стрелке и точка прошла путь длиной |а| (рис. 48). Поворот на о рад означает, что точка остаётся на месте. 121 Р(1;0) Примеры. 1) При повороте точки Р (1; 0) на угол ^ рад (рис. 49) получается точка М (0; 1). 2) При повороте точки Р (1; 0) на угол рад (рис. 49) получается точка N (0; -1). 3) При повороте точки Р (1; 0) на угол ^ рад (рис. 50) получается точка К (0; -1). 4) При повороте точки Р (1; 0) на угол -л рад (рис. 50) получается точка L (-1; 0). В курсе геометрии рассматривались углы от 0° до 180°. Используя поворот точки единичной окружности вокруг начала координат, можно рассматривать углы, большие 180°, а также отрицательные углы. Угол поворота можно задавать как в градусах, так и в радианах. Например, поворот точки Р (1; 0) на угол — означает то же самое, что и поворот на 270°; поворот на — ^ — это поворот на -90°. Приведём таблицу поворотов на некоторые углы, выраженные в радианной и градусной мере (рис. 51) Отметим, что при повороте точки Р (1; 0) на 2л, т. е. на 360°, точка возвращается в первоначальное положение (см. рис. 51). При повороте этой точки на —2л, т. е. на —360°, она также возвращается в первоначальное положение. 122 Рис. 52 Рис. 51 Теперь рассмотрим примеры поворотов точки на угол, больший 2п, и на угол, меньший -2л. Так, при повороте на угол — = 2 • 2 л + — точка совершает два 2 2 полных оборота против часовой стрелки и ещё проходит путь ^ (рис. 52). При повороте на угол -^ = -2-2л-^ точка совершает два полных оборота по часовой стрелке и ещё проходит путь ^ в том же направлении (рис. 53). Заметим, что при повороте точки Q W Р (1; 0) на угол — получается та же самая точка, что и при повороте на угол — (рис. 52). При повороте на угол 2 О W получается та же самая точка, что и при повороте на угол (рис. 53). 123 Вообще, если а = ац + 2лА, где k — целое число, то при повороте на угол а получается та же самая точка, что и при повороте на угол а^. Итак, каждому действительному числу а соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки Р (1; 0) на угол а рад. Однако одной и той же точке М единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел а -t- 2nk, где k — целое число, задающих поворот точки Р (1; 0) в точку М (рис. 54). Задача 1 Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1; 0) на угол: 1) 7л; 2) - —. 2 ► 1) Так как 7л = п + 2к ■ 3, то при повороте на 7л получается та же самая точка, что и при повороте на л, т.е. получается точка с координатами (-1; 0). 2) Так как —^ = —^-2л, то при повороте на получается та же самая точка, что и при повороте на - —, т. е. получается точка с координата-2 ми (0; -1). <1 Записать все углы, на которые нужно повернуть точку (1; 0), чтобы получить точку М ( —; i I 2 2 ► Из прямоугольного треугольника АОМ (рис. 55) следует, что угол АОМ равен —, т. е. один из воз- 6 можных углов поворота равен -. Следовательно, 6 Задача 2 Рис. 54 а) б) Рис. 55 124 все углы, на которые нужно повернуть точку (1; 0), „Обь, „олу,„ь ™,КУ , i), ВЫР.».»™, - + 2nk, где k — любое целое число. <] 6 Упражнения 416 Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол: 1) 4л; 2)-|л; 3) -6,5л; 4)^; 5) 6) -45“. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки (1; 0) на заданный угол (417—419). 417 1)^; 2)-^; 3) л; 4)^; 5) л; 6) -225°. 4 3 4 3 4 418 1) -±2л; 2) --±2л; 3) ^±6л; 4) -—±8л. 4 3 3 4 419 1) ~ + 2nk, k — целое число; 2) —— л + 2л/г, k — целое 2 2 число; 3) -л + 2лАг, k — целое число; 4) ~— + 2пк, 4 к — целое число. 420 Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1; 0) на угол: 1) Зл; 2) -^л; 3) -^л; 4) 5л; 5) 540°; 6) 810°. 2 2 421 Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1; 0) на угол (к — целое число): 1) ~^ + 2лк; 2) ^ + 2лк; 3) ^ + 2лк; 4) ~^ + 2лк. 2 2 2 2 422 Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1; 0) на угол {к — целое число): 1) ^±л; 2) 3) -^ + лк; 4) -л + лк. 423 Найти все углы, на которые нужно повернуть точку Р (1; 0), чтобы получить точку с координатами: 1) (1; 0); 2) (-1; 0); 3) (0; 1); 4) (0; -1). 424 Определить четверть, в которой расположена точка, полученная поворотом точки Р (1; 0) на угол: 1) 1; 2) 2,75; 3) 3,16; 4) 4,95. 125 425 426 427 428 Найти число X, где О < х < 2л, и натуральное число к, такие, чтобы выполнялось равенство а =■ х + 2пк, если: 1) а = 9,8л; 2) о = 7-л; 3) а = ^л; 4) а = —л. 3 2 3 На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки Р (1; 0) на угол: 1) 4,5л; 2) 5,5л; 3) -6л; 4) -7л. Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р(1; 0) на угол (к — целое число): 1) ~^ + 2пк-, 2 2) у + 2л*; 3) ^ + 2пк; 2 4) ~ — + 2кк. 2 Записать все углы, на которые нужно повернуть точку Р (1; 0), чтобы получить точку с координатами: \ / ; 2) ' 2 ' 2 : 3) 1 Z) , ,-i Опрелелепие синуса, косинуса и тангенса угла • • • • I I I I I I I В курсе геометрии были введены синус, косинус и тангенс угла, выраженного в градусах. Этот угол рассматривался в промежутке от 0° до 180°. Синус и косинус произвольного угла определяются следующим образом (рис. 56): Определение 1. Синусом угла а называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол а (обозначается sin а). Определение 2. Косинусом угла а называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол а (обозначается cos а). В этих определениях угол а может выражаться как в градусах, так и в радианах. 126 Рис. 56 Задача 1 Задача 2 Задача 3 Например, при повороте точки (1; 0) на угол —, т. е. угол 90°, получается 2 точка (0; 1). Ордината точки (0; 1) равна 1, поэтому sin — = sin 90° = 1; 2 абсцисса этой точки равна 0, поэтому cos — = cos 90° = 0. 2 Заметим, что приведённые определения синуса и косинуса в случае, когда угол заключён в промежутке от 0° до 180°, совпадают с определениями синуса и косинуса, известными из курса геометрии. Например, sin — = sin 30° = i, cos к = cos 180° = -1. 6 2 Найти sin (-л) и cos (-л). ► Точка (1; 0) при повороте на угол -л перейдёт в точку (-1; 0) (рис. 57). Следовательно, sin (-л) = 0, соа(-л) = -1. <3 Найти sin 270° и cos 270°. ► Точка (1; 0) при повороте на угол 270° перейдёт в точку (0; -1) (рис. 58). Следовательно, cos 270° = 0, sin 270° = -l. <1 Напомним, что меру угла а (в радианах) можно рассматривать как действительное число. Поэтому sin а и cos а можно рассматривать как числовое выражение. Например, в уравнении sin х = а, где а — заданное число, считается, что х — неизвестное число. Решить уравнение sin д: = 0. ► Решить уравнение sin дг = 0 — это значит найти все утлы, синус которых равен нулю. Ординату, Рис. 57 127 Рис. 59 Задача 4 Ответ Задача 5 Ответ р£1вную нулю, имеют две точки единичной окружности (1; 0) и (-1; 0) (рис. 57). Эти точки получаются из точки (1; 0) поворотом на углы 0, л, 2л, Зл и т. д., а также на углы -л, -2л, -Зл и т. д. Следовательно, sin т = о при X = л/г, где k — любое целое число. <] Множество целых чисел обозначается буквой Z. Для обозначения того, что число k принадлежит Z, используют запись /г е Z (читается: «к принадлежит Z»). Ответ к задаче 3 можно записать так; X = пк, к е Z. Решить уравнение cos х = 0. ► Абсциссу, равную нулю, имеют две точки единичной окружности (0; 1) и (0; -1) (рис. 59). Эти точки получаются из точки (1; 0) поворотом на углы — -f л, — 2л и т. д., а также на углы — - л, — - 2л 2 2 2 2 и т. д., т. е. на углы — + пк, к в Z. 2 X = —+ пк, к е Z. <] 2 Решить уравнение: 1) sin л: = 1; 2) cos х = 1. ► 1) Ординату, равную единице, имеет точка (0; 1) единичной окружности. Эта точка получается из точки (1; 0) поворотом на углы ^ + 2пк, к е Z. 2) Абсциссу, равную едггаице, имеет точка, полученная из точки (1; 0) поворотом на углы 2пк, к g Z. 1) X = ^ + 2 пк, к е Z; 2) х = 2пк, к g Z. <3 Определение 3. Тангенсом угла а называется отношение синуса зггла а к его косинусу (обозначается tg а). Таким образом. Например, tga = соя а sin — tgo» = i^ = « = o, tgl = —A = ^ = cosO'’ 1 4 я V2 128 Иногда используется котангенс угла а (обозначается ctg а), который определяется формулой ctg а = 8ш а Например, ctg 270“ = cos 270° sin 270° = -^- = 0, ctg- = ^—= i = l. 4 tgi ^ 4 Отметим, что sin a и cos a определены для любого угла, а их значения заключены от -1 до 1; , sin а tg а =----- определен лишь для тех углов, для которых cos а ^ о, т. е. для любых углов, кроме JU . . . cos а а = — + nk, k е Z; ctg а =--- определен лишь 2 sin а для тех углов, для которых sin аф 0, т. е. для любых углов, кроме а = nk, k € Z. Приведём таблицу часто встречающихся значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. а 0 (0°) л 6 (30°) л 4 (45°) л 3 (60°) п 2 (90°) к (180°) Зп 2 (270°) 2п (360°) sin а 0 1 2 У2 2 Уз 2 1 0 -1 0 cos а 1 Уз 2 У2 2 1 2 0 -1 0 1 tg а 0 1 Уз 1 Уз Не существует 0 Не существует 0 ctg а Не существует Уз 1 1 Л 0 Не существует 0 Не существует Задача в Вычислить 4 sin —+ -Js cos — - tg —. 6 6 4 ► Используя таблицу, получаем 4sin^-t-^cos^-tg^ = 4-i-(-V3-^-l = 2,5. <3 6 6 4 2 2 Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов, не вошедших в эту таблицу, можно 129 найти по четырёхзначным математическим таблицам В. М. Брадиса, а также с помощью инженерного микрокалькулятора. Задача 7 Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01: 1) sin 25°; 2) cos 3) tg 5. 5 ► На любом микрокалькуляторе вычисления проводятся с помощью клавиш sin , cos , 0. но перед их нажатием нужно нажимать клавишу F |. Перед вычислением нужно установить переключатель Р — Г (радиан — градус) в нужном положении. Требуемое приближённое значение можно прочитать на табло микрокалькулятора. 1) sin 25° ~ 0,42261825; 2) cos 0,80901703; 5 3) tg 5 = -3,380514. Ответ 1) 0,42; 2) 0,81; 3) -3,38. < Упражнения 429 Отмстить на единичной окружности точки, соответствующие числу а, если: 1) sina=l; 2) sin а = 0; 3) соза = -1; 4) cos а = 0; 5) sin а =-0,6; 6) sin а = 0,5; 7) cosa = —. 3 Вычислить: 430 432 1) sin — sin —; 2) sin 2 2 -f) -(-cos —; 2 3) sin n - cos л; 4) sin 0 - cos 2n; 5) sin Л + sin 1,5л; 6) sin 0 -(- cos 2л. 431 Найти значения синуса и косинуса числа (i, если: 1) Р = 3л; 4)Р = |к; 2) р = 4л; 5) р = лА, А е Z; 3) р = 3,5л; 6) р = (2А + 1) л, А е Z. Вычислить (432—433). 1) sin Зл - cos —; 2 2) cos о - cos Зл + cos 3,5л; 130 433 434 cos —; 6 435 436 437 438 439 3) sin nk + cos 2nk, k e Z; (2/t + l)Tt . (4Л + 1)л 4) cos---------sin-------, n € Z. 2 2 1) tg Л + cos 7t; 2) tg 0" - tg 180°; 3) tg Л + sin n; 4) cos л - tg 2л. Найти значение выражения: 1) 3 sin - + 2 cos - - tg —; 6 6 ® 3 2) 5sin-+3tgi-5cos--10ctg-; 4 4 4 4 3) (2tg|-tgi): 4) sin — • cos - - tg —. 3 6 4 Решить уравнение: 1) 2 sin д: = 0; 2) - cos д: = 0; 2 3) cos X - 1 = 0; 4) 1 - sin x = 0. Может ли sin a или cos a быть равным: 1) 0,049; 2) -0,875; 3) -л/2; 4) 2 + Л? Найти значение выражения: 1) 2 sin а + л/2 cos а при а = - ; 4 2) 0,5 cos а - л/З sin а при а = 60°; 3) sin За - cos 2а при а = -; 6 4) cos- +sin- приа = -. 2 3 2 Найти значение выражения: 1) sin — cos — - sin — cos —; 4 4 3 6 2) 2 tg^ - - ctg^ - - sin — cos —; 3 6 6 3 3) (tgJ-otgi)(ctgJ+tg|); 4) 2 cos^ - - sin* - + tg - ctg 6 3 6 3 Решить уравнение: 1) sin X = -1; 3) sin 3x = 0; 5) sin^^ + ^j = l; 6) cos |^5x +^ j = 1. 2) cos X = -1; 4) cos 0,5x = 0; 131 440 Используя микрокалькулятор, проверить равенство: 1) sin 60° « 0,866; 2) cos 45° « 0,707; 3) cos - « 0,996; 4) sin ^ == 0,225. 5 13 441 Вычислить с точностью до 0,01, используя микрокалькулятор: 1) sin 1,5; 2) cos 4,81; 3) sin 38°; 4) cos 45°12'; 7) tg 12°; 5) sin —; 5 6) cos — k; 7 8) sin — Я. 9 Знаки синуса, косинуса и тангенса 1. Знаки синуса и косинуса. Пусть точка (1; 0) совершает поворот против часовой стрелки. Для точек, находящихся в первой четверти (квадранте), ординаты и абсциссы положительны. Поэтому sin а > о и cos а > 0, если о < « < i (рис. 60, 61). 2 Для точек, расположенных во второй четверти, ординаты положительны, а абсциссы отрицательны. Следовательно, sin а > 0, cos а < 0, если ^ < а < 71 (рис. 60, 61). Аналогично в третьей четверти sin а < о, cos а < о, а в четвёртой четверти sin а < о, cos а > о (рис. 60, 61). sin а Рис. SO 132 При повороте точки по часовой стрелке на угол, больший 2л, а также при повороте точки на любой угол по часовой стрелке знаки синуса и косинуса определяются тем, в какой четверти окажется точка. Это показано па рисунках 60, 61. Задача 1 Выяснить знаки синуса и косинуса угла; 1) 2) 745°; 3) -у. ► 1) Углу — соответствует точка единичной окруж-4 ности, расположенная во второй четверти. Поэтому sin — > о, cos — < о. 4 4 2) Так как 745“ = 2 • 360“ -I- 25“, то повороту точки (1; 0) па угол 745“ соответствует точка, расположенная в первой четверти. Поэтому sin 745“ > 0, cos 745“ > 0. 3) Так как -л < - 5л ^ то при повороте точки 5 л (1; 0) на угол получается точка третьей чет-7 верти. Поэтому sin^-^j<0, cos^-^j<0. 2. Знаки тангенса. По определению Ig о. = sill а cos а Поэтому tg и > о. Задача 2 если sin а и cos а имеют одинаковые знаки, и tg а < о, если sin а и cos а имеют противоположные знаки. Знаки тангенса в различных четвертях показаны на рисунке 62. Выяснить знак тангенса угла: 1) 260“; 2) 3. ► 1) Так как 180“ < 260“ < 270“, то tg 260“ > 0. 2) Так как ^ < 3 < л, то tg 3 < 0. О Упражнения 442 В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки Р (1; 0) на угол а, если: 1)и = ^; 2)а = -^; 3)а = --^^; 4)а = ^; 5)а = -^; 6 4 4 6 6 6) а = 4,8; 7) а = -1,31; 8) а = -2,7? 133 443 Пусть 0<а<^. В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки /* (1; 0) на угол; 2) а - 7с; 4) 3) -^-а; 2 5)а-|; 6) л-а? 444 445 446 447 Определить знак числа sin а, если: 33л. 1) а = ^; 4 2) а = -- 4) а =-0,1л; 5) а = 5,1; Определить знак числа cos а, если: 3) а = -- л; 3 6) а = -470°. I) а = — л; 3 2) а = ^ л; 3) а = -- л; 5 4) а = 4,6; 5) а = -5,3; 6) « = -150°. Определить знак числа tg а, если: 1)а = -,; 2) а = — л; 5 3) « = -^ л; 4 4) « = 3,7; 5) « = -1,3; 6) « = 283°. Определить знаки чисел sin «, cos «, tg «, если: 1) л < « < - л; 2 3) ^ <« < 2л; 4 2) л <« <—; 2 4 4) 2л < « < 2,5л. 448 449 Определить знаки чисел sin «, cos «, tg «, если: 1) « = 1; 2) « = 3; 3) « = -3,4; 4) « = -1,3. Пусть о < « < - . Определить знак числа: 2 1) sin^^-«j; 2) cos^^-l-«j; 3) cos («-л); 4) tg|^«-^j; 5) tg|^|K-«j; 6) зш(л-«). 450 Каковы знаки чисел sin «, cos «, tg «, ctg «, если: 1)3л<«<^^; 2) ^<«<—7 3 2 4 451 452 453 Найти значения углов «, заключённых в промежутке от 0 до 2л, знаки синуса и косинуса которых совпадают; различны. Определить знак числа: 1) sin —sin—: 2) cos —cos—; 3) tg—+sin-. 3 4 3 6 4 4 Сравнить значения выражений: 1) sin 0,7 и sin 4; 2) cos 1,3 и cos 2,3. 134 454 Решить уравнение: 1) sin (5л + х) = 1; 2) cos (х + Зл) = 0; 3) cos л + X j =-1; 4) sin л + X j =-1. 455 В какой четверти находится точка, соответствующая чис- лу а, если: 1) sin а -f- cos (X = -1,4; 2) sin а - cos а = 1,4? Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла Выясним зависимость между сину сом и косинусом. Пусть точка М(х; у) единичной окружности получена поворотом точки (1; 0) на угол а (рис. 63). Тогда по определению синуса и косинуса X = cos а, у = sin а. Точка М принадлежит единичной окружности, поэтому её координаты (х; у) удовлетворяют уравнению + у^ = 1. Следовательно, sin^ а-н cos^ а = 1. (1) Равенство (1) выполняется при любых значениях а и называется основным тригонометрическим тождеством. Из равенства (1) можно выразить sin а через соз а и cos (X черс.з sin а: sin а = ±yl - cos* а. cos а = ±^1 — sin* а. (2) (3) В этих формулах знак перед корнем определяется знаком выражения, стоящего в левой части формулы. 135 Задача 1 Вычислить sin а, если cos « = -- и л<а<—. 5 2 ► Воспользуемся формулой (2). Так как л <а < то sin а < О, т. е. в формуле (2) перед корнем нужно поставить знак ♦-»: sin а = - Jl-cos^а = - /l- — = ^ V 25 5 <] Задача 2 Вычислить соз а, если sin а = -— и-—<а<0. 3 2 ► Так как - ^ < а < О, то соз а > О, поэтому в формуле (3) перед корнем нужно поставить знак *-!-»: cos а = y/l- sin^ а = Jl-- = <1 '' V 9 3 Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом. По определению тангенса и котан- ^ sin а , С08 а пенса tg а =----, ctg а =----. соз а sin а Перемножая почленно эти равенства, получаем tg а • ctg а = 1. (4) Из равенства (4) можно выразить tg а через ctg а и наоборот: tga = ctga = ctg а 1 tga (5) (6) Равенства (4) — (6) справедливы при а ^ ^к, k s Z. Задача 3 Вычислить ctg а, если tg а = 13. ► По формуле (6) находим ctg а = <] tga 13 Задача 4 Вычислить tg а, если sin а = 0,8 и — < а < л. 2 ► По формуле (3) находим соз а. Так как — < а < л, 2 то соз а < 0. Поэтому cos а = - .y/l - sin^ а = - д/l-0,64 = -0,6. „ ^ sin а 0,8 4 ^ Следовательно, tga =-----=-----=-—. <1 cos а -0,6 3 136 Используя основное тригонометрическое тождество и определение тангенса, найдём зависимость между тангенсом и косинусом. Разделим обе части равенства sin^ а + соз^ а = 1 на соз^ а, предполагая, что cos а 0. Получим 1 равенство соз^а + sin^a соз^а -, откуда 1 -н tg^ а = (7) сое * а Эта формула верна, если cos а 0, т. е. при + nk, k е Z. Из неё можно выразить тангенс через косинус и косинус через тангенс. Задача 5 Вычислить tg а, если cos а = -— и — <а<д. 5 2 ► Из формулы (7) получаем tg^ а = cos* а -1 = Тангенс во второй четверти отрицателен, поэтому = с Задача в Вычислить cos а, если tga = 3 и л<а< ► Из формулы (7) находим cos* а = ^ ^ 1 + tg* а 10 Так как л < а < —, то cos а < 0, и поэтому 2 cos а = -V0,1. <1 Упражнения ннус (] 0,03, 456 Может ли синус (косинус) принимать значения: 2. 5 И _13 3 3 13 11 457 Могут ли одновременно выполняться равенства: 1) sin а = — и cosa = -^; 3 3 А Ч 2) sin а = — и cosa = —; 5 5 137 3) sin a = - — и cos a = ; 5 5 4) sin a = 0,2 и cos a = 0,8? 458 Вычислить: 3 7t 1) sin a, tg a и ctg a, если cos a = - — и - <а<л:; Q 3 7Г 2) cos a, tg a и ctg a, если sin a = — и л<а< —. 5 2 459 По значению одной из тригонометрических функций (sin а, cos а, tg а, ctg а) найти значения остальных трёх: 1) cos а = — и — <а< 2 л; 2) sin а = 0,8 и — < а < л; 13 3) tga = i^ и л <а <—; 8 2 5) cos а = 0,8 и о < а < —; 2 7) tg а = -2,4 и - < а < л; 2 4) ctg а = -3и^<а< 2 л; 6) sin а = и — < а < 2л; 13 2 8) ctg а = — и л < а < —. 24 2 460 Какие значения может принимать: 14 • 2>/з 1) cos а, если sin а =---; 2) sin а, если cos а = V5 2 3) sin а, если cos а = S 4) cos а, если зш а = —^ ? Л 461 Могут ли одновременно вынолняться равенства: 1) sin а = i и tg а = -Д=; 5 2) ctg а = ^ и cos а = - ? 3 4 462 Пусть а — один из углов прямоугольного треугольника. ил 1 • 2Vio Найти cos а и tg а, если sin а = —. 463 Известно, что tg а = 2. Найти значение выражения: 1) 3) ctga + tga ctga - tga ’ 2 sina 1 3 cos a 3 sina - 5 cosa ’ 2) 4) 464 sing - cosa. sina + cosa sin^ a + 2 cos* a sin* a - cos* a 1 Известно, что sin a + cos a = - . Найти: 2 1) sin a • cos a; 2) sin* a + cos* a. 138 Тригонометрические тождества Задача 1 Доказать, что при а * кк, к е Z, справедливо равенство 1 1 + ctg^ а = • 2 а (1) ► По определению ctg а = 1 + ctg^ а = 1 + соза sin а , и поэтому sin^ а sin^a + cos^a sin^a sin^a Задача 2 Эти преобразования верны, так как sin О при а * кк, к S Z. <3 Равенство (1), справедливое при всех допустимых значениях входящих в него букв (т. е. таких, при которых его левая и правая части имеют смысл), называют тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств. Обычно при доказательстве тригонометрических тождеств или при упрощении выражений допустимые значения углов не устанавливают, если это не требуется в условии задачи. Доказать тождество сов^ а = (1 - sin а) (1 + sin а). ► (1 - sin а) (1 -н sin а) = 1 - sin^ а = cos^ а. <] 1 -I- sina Задача 3 Доказать тождество соза 1-sina соза ► Чтобы доказать это тождество, покажем, что разность между его левой и правой частями равна нулю: 1+sina co8*a-(l-sin^a) cosa_________ 1-sina соза cos a (1 - sin a) cos* a - cos* a cosa (1 - sina) = 0. О 139 Задача 4 При решении задач 1—3 использовались следующие способы доказательства тождеств: преобразование левой части к правой; преобразование правой части к левой; установление того, что разность между левой и правой частями равна нулю. Иногда удобно доказательство тождества провести преобразованием его левой и правой частей к одному и тому же выражению. „ 1 - а 4 . . Доказать тождество --------= cos а - sin а. 1 + tg^ а 1-tg^g 1 + tg“ а 1- 1 + С08* а - sin^ а cos^a + sin^a = cos^ а - sin^ а. cos^ а - sin"* а = (cos^ а - sin^ а) (cos^ а + sin^ а) = = cos^ tt - sin^ a. Тождество доказано, так как его левая и правая части равны cos^ а — sin^ а. О Задача 5 Упростить выражение 1 1 tg а н- ctg а sin а cos а tg а + ctg а sing ^ cos а cosa = sin а cos а. < вша Упражнения 465 Доказать тождество: 1) (1 - cos а) (1 + cos а) = sin^ а; 2) (1 - sin а) (1 + sin а) = cos^ а; 3) 5) sin^a 1 - sin^ а 1 1 -I- tg^ а = tg2 а; -I- sin^ а = 1; 466 Упростить выражение: 1) cos а • tg а - 2 sin а; -:_2 - 3) 1 + cos а 140 4) 6) 1 - cos^a = ctg“* а; + cos^ а = 1 1+ ctg^ а 2) cos а - sin а • ctg а; cos^ а 4) . 1 - sin а 467 Упростить выражение и найти его значение: sin^ а -1 д 1) приа = -; 1 - со8^ а Л 468 469 470 2) cos^ а + ctg^ а + sin^ а при а = 6 3) ---1 при а = ^; cos^a 3 4) cos^ а + tg^ а ctg^ а + sin* а при а = - . 3 Доказать тождество: 1) (1 - sin* а) (1 + tg* а) = 1; 2) sin* а (1 + ctg* а) - cos* а = sin* а. Упростить выражение: 1) (1 + tg* а) cos* а - 1; 2) 1 - sin* а (1 + ctg* а); 3) 1 + tg* а + • 2 3111 а 4) 2+ tg^a 1+ ctg* а Доказать тождество: 1) (1 - cos 2а) (1 + cos 2а) = sin* 2а; 2J sina -1 _ 1 cos* и 1 + sin а 3) cos'* а - sin"* а = cos* а - sin* а; 4) (sin* а - cos* а)* + 2 cos* а sin* а = sin’* а + cos'* а; 5) 6) 7) sill а 1 + cos а 1 ^ cos а sin а sin а sina 1 cos а 1 - cos а 1 sin а 1 = 1; 471 472 473 474 1 + tg* а 1 + ctg* а 8) tg* а - sin* а = tg* а sin* а. Найти значение выражехшя sin а cos а, если sin а - сов а = 0,6. Найти значение выражения cos* а - sin* а, если cos а -- sin а = 0,2. Известно, что tg а + ctg а = 3. Найти tg* а + ctg* а. Решить уравнение: 1) 2 sin X + sin* X + cos* л: = 1; 2) 2 sin* X + 3 cos* X - 2 = 0; 3) 3 cos* д: - 2 sin x = 3 - 3 sin* x; 4) cos* X - sin* X = 2 sin x - 1 - 2 sin* x. 141 Синус, косинус и тангенс углов а и -а Пусть точки М, и единичной окружности получены поворотом точки Р (1; 0) на углы (х и -а соответственно (рис. 64). Тогда ось Ох делит угол МуОМ.^ пополам, и поэтому точки М, и Мз симметричны относительно оси Ох. Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты отличаются только знаками. Точка М, имеет координаты (cos а; sin а), точка имеет координаты (cos (-а); sin (-а)). Следовательно, sin (-а) = -sin а, (1) С08 (-а) = cos (X. (2) Используя определение тангенса, получаем ^ , . sin (-а) -sin а tg (-а) =--;—- =--------= -tg а. cos (-а) cos а Таким образом, tg(-a) = -tga. (3) Формулы (1) — (2) справедливы при любых ос, а формула (3) — при а Ф^ + nk, k е Z. Можно показать, что если а Ф тск, k е Z, то ctg (-а) = -ctg а. Формулы (1) — (3) позволяют сводить вычисление значений синуса, косинуса и тангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов. Например, Рис. 64 sin Г--1 = - sin — = - i, I е; 6 2 142 Упражнения 475 Вычислить: 1+ tg' 1 + ctg' 3) 2ain(-|]cos(-i) + t8(-i] + sin=(-i); 4) соз(-я) +ctg j-sin Л j + ctg Til t-f) (-1)' 2 cos 6) 2sin^-|j+3 + 7.5tg(-rt) + icos|g. 8 476 Упростить выражение: 1) tg (-a) cos a + sin a; cos (-a) + sin (-a) 2) cos a - ctg a (-sin a); 3) cos^a - sin* a 4) tg (-a) ctg (-a) + cos* (-a) + sin* a. 477 Вычислить: 2) VSsin ^--|j-2 ctg j + 4cos Л j. 478 Упростить выражение: sin* (-a) + cos* (-a) 1) 1 - sin (-a) cos (-a) 2) 1 - (sin a + cos (-a ))* -sin (-a) 479 Доказать тождество: 1) cos a sin (6л - a) • (1 + ctg* (-a)) = ctg (-a); 2) l-sin*(-a) sin(a-2n) = ctga. 480 cos (4л-a) l-cos*(-a) Решить уравнение: 1) sin (-x) = 1; 2) cos (~2x) = 0; 3) cos (~2x) = 1; 4) sin (~2x) = 0; 5) cos* (-x) + sin (-x) = 2 - sin* x; 6) 1 - sin* (-x) + cos (4л - x) = cos (x - 2л). 143 Формулы сложения Формулами сложения называют формулы, выражающие cos (а ± р) и sin (а ± Р) через синусы и косинусы углов а и р. Теорема. Для любых аир справедливо равенство cos (а -t- р) = С08 а cos р - sin а sin р. (1) • Пусть точки Мц, М_р и ^ р получены поворотом точки Мд (1; 0) на углы а, -р и а -I- Р рад соответственно (рис. 65). По определению синуса и косинуса эти точки имеют следующие координаты: Мц (cos а; sin а), М_р (cos (-Р): sin (-р)), + р (cos (а -I- р); sin (а + Р». Так как - ZM_pOM„, то равнобедренные треугольники МдОМ^ ^ р и М_рОМ^ равны и, значит, равны их основания и М_рМ„. Сле- Рис. 63 довательно, (МдМ^ ^ р)^ = (М_рМ„)^. Используя формулу расстояния между двумя точками, получаем (1 - cos (а + р))^ + (-sin (а -I- Р))^ = = (cos (-р) - C08 а)^ -I- (sin (~Р) - sin а)^. Преобразуем это равенство, используя формулы (1) и (2) из § 27: 1-2 cos (а + Р) -I- cos^ (а -и Р) -f- sin* (а -t- р) = = cos* Р - 2 cos Р cos а + cos* а + sin* р -t-+ 2 sin р sin а -I- sin* a. Используя основное тригонометрическое тождество, получаем 2-2 cos (а -f- Р) = 2 - 2 соз а cos р -и 2 sin а sin Р, откуда cos (а -»■ р) = cos а cos р - sin а sin р. О 144 Задача 1 Вычислить cos 75*. ► По формуле (1) находим cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° - - sin 45° sin 30° = ^ ^ ^ • i = . О 2 2 2 2 4 Заменив в формуле (1) р на -р, получим cos (а - Р) = cos а cos (-р) - sin а sin (-р), откуда cos (а - Р) = С08 а С08 Р + sin а sin р. (2) Задача 2 Вычислить cos 15°. ► По формуле (2) получаем cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + + sin 45° 8in30° = ^-:^-f^-0 2 2 2 2 4 Задача 3 Доказать формулы cos -a j = sin a, sin -a j = cos a. (3) ► При a = ^ no формуле (2) получаем - - P = cos — cos p + sin - sinp = sin p, t. e. Ч 2 / 2 2 J-p] = sinp. (4) cos \2 ■ J cos Заменив в этой формуле р на а, получим cos^^-a j = sina. Полагая в формуле (4) р = ^-а, имеем sin 3in j = cosa. <3 Используя формулы (1) — (4), выведем формулы сложения для синуса: sin (а + р) = cos - (а + р) j = cos ^^i-aj-pj = = cos P + sin ~“ j sin P = = sin a cos P + cos a sin p. sin (a + p) = sin a cos p + cos a sin p. (5) Заменяя в формуле (5) P на ~p, получаем sin (a - P) = sin a cos (~P) + cos a sin (~P). sin (a - p) = sin a cos p - cos a sin p. (6) 145 Задача 4 Вычислить sin 210°. ► sin 210° = sin (180° + 30°) = sin 180° cos 30° + + cos 180“ sin 30° = 0 • ^ + (-1). i = -i. <] Задача 5 Вычислить sin — cos — - sin - cos —. 7 7 7 7 Q _ _ sin — cos — - sin 7 7 cos^ = sinf^ - = sin Jt = 0. <1 7 7 I, 7 7; Задача 6* Доказать равенство ► tg(a + P) = tg (a + P) = sin(a + P) tga + tgp 1-tga tgp sin a cosP + cos a sinp (7) cos(a + p) cos a cos p - sin a sin P Разделив числитель и знаменатель последней дроби на произведение cos а cos р, получим формулу (7). <] Формула (7) может быть полезна при вычислениях. Например, по этой формуле находим tgl80"+ tg45° tg 225° = tg (180° + 45°) = 1-tg 180° tg45° = 1. Упражнения 481 C помощью формул сложения вычислить: 1) cos 135°; 2) cos 120°; 3) cos 150°; 4) cos 240°. 482 Вычислить, не пользуясь таблицами: 1) cos 57°30' cos 27°30' + sin 57°30' sin 27°30'; 2) cos 19°30' cos 25°30' - sin 19°30' sin 25°30'; 3) cos — cos - sin — sin 9 9 9 9 4) cos — cos — -t- sin — sin —. 7 7 7 7 483 Вычислить: 1) cos I - -i-a , если sin a = и 0 < a < —; Ur 2’ 2) cos a - — , если cos a = и — < a < я. I 4 j 3 2 484 Упростить выражение: 1) cos За cos a - sin a sin 3a; 2) cos 5p cos 2P + sin 5p sin 2P; 146 3) cos + a j cos (^j“ (^~°^)’ 4) cos j ^ 485 Найти значение выражения: 1) sin 73' ’ COS 17° + cos 73° sin 17°; 2) sin 73' ^ cos 13° - cos 73° sin 13°; 3) sin 5 Л COS — + sin n cos 5n, f 12 12 12 12 4) sin Tr cos 7C Sin 7t cos Tjc 12 12 12 12 ■ 486 Вычислить: 1) sin + ^ j. о ^ If если cosа = — и л<а<—; 5 2 2) sin|^-a|, если sin а = ^ и ^<а<л. !tn(f-a]. 487 488 489 490 491 Упростить выражение: 1) sin (а + Р) + sin (-а) cos (-р); 2) cos (-а) sin (~Р) - sin (а - Р); 3) cos sin 1^-^-р j-sin(a-P); 4) sin (а + Р) + sin j sin (-р). 3 Вычислить cos (a + P) и cos (a - P), если sina = ——, 5 -л<а<2л, и sinP = —, 0 < P < —. 2 ^ 17 2 Вычислить sin (a - P), если cos a =-0,8, ^ 0. Следовательно, cos — = J0,49 = 0,7. <] 2 2 ^ Разделив равенство (6) на равенство (5), получим формулу тангенса половинного угла 1 - cos а 2 1 + cos а X = (7) Задача 2 Вычислить tg если cos а = 0,8 и л < а < 2л. ► По формуле (7) имеем tg JJ а _ 1 - С08 а _ 1-0,8 _ 0,2 _ i 1 + cos а 1 + 0,8 1,8 9 Задача 3 По условию л < а < 2л, поэтому i<^<лиtg^<0. Следовательно, tg ^ ~ 1 - cos а ^ 9 а 1 + cos а Упростить выражение--------ctg---------. 1 + cos а 2 2 2 sin^ — г2« 1 + cos а 2 Ctff2 “ _ QOS' “ 2 2 2 cos^ — 2 2 2 а - С08^ — = 1 - cos^ - = sin2^^. <1 2 2 2 2 1 - cos g 1 + cos a Задача 4 Решить уравнение 1 + cos 2x = 2 cos x. ► Так как 1 + cos 2x = 2 cos^ x, to данное уравнение примет вид 2 cos^ х = 2 cos х, откуда cos X (cos X - 1) = 0. 1) cos X = о, X = — + TCk, k € Z. 2 2) cos X = 1, X = 2лп, n e Z. Итак, исходное уравнение имеет две серии корней х = — +лА,Ле7, их = 2лл, п е Z. В ответе можно 2 записывать обе серии с одной буквой (k или п). Ответ х = — + nk, X = 2nk, k е Z. <3 2 153 Задача 5 Выразить sin а, cos а и tg а через tg 1) sina = sin f 2 • — | = 2 sin — cos - = У 2J 2 2 2 sin — cos — Итак, 2 sin — cos — • 2 Ct 2 CX 8in^ — + cos"' ~ 1 + tg^ 2- 2 tg^ sin a = 1 + tg“ - 2) cos a = cos f 2 • — 1 = cos^ — - sin^ — = V 2j 2 2 2 (X . 2 CX cos"' — sm^ — 2 _ COs2“-sin2“ l-tg2« COs2“ + sin2« l+tg2“ Итак, 1 - tg2 « cos a = 1 + tg* (8) (9) / X 2 tg^ 3) tg a = tg 2 • ^ =----— ^ 2; l_tg2“ Итак, tga = 2 tgf 2 1-tg*^!^' (10) Эту формулу можно также получить почленным делением равенств (8) и (9). <3 Итак, по формулам (8) — (10) можно находить синус, косинус и тангенс угла а, зная тангенс угла —. Упражнения 513 Выразить квадрат синуса (косинуса) заданного угла через косинус угла, в два раза большего: 1) sin^ 15°; 2) cos* 3) cos*^^-aj; 4) sin*^^-(-aj. 154 514 Найти числовое значение выражения: 1) 2cos2i^-l; 8 3) ^ + 2 sin2 15°: 2) l-2sin2i; 12 4) - :ll +2 соз^ 15°. 2 515 516 517 518 Пусть cos а = 0,6 и 0 < а < - . Вычислить: 2 1) sin 2 2) cos 3) tg|; 4) ctg Пусть sin а = — и-<а<л. Вычислить: 5 2 1) sin 2) cos —; 2 3) tg 4) ctg|. Вычислить: 1) sin 15°; 2) cos 15°; 3) tg 22°30'; 4) ctg 22°30'. Упростить выражение: 1-cosa sin a 1 - cos 2a + sin 2a 1 ) 9 ~ ~ f 9 1 + cos a 1 + cos 2a + sin 2a 1 + cos 2a + sin 2a _ sin a + cos a ’ 4) Sin a 1 + cos 4a 5) sin 4a 6) (1 - cos 2a) ctg a. Доказать тождество (519—520). 519 520 521 522 523 1) 2 cos^ ^ j = 1 + sin a; 2) 2 sin^ [4 ~ f~ ^ ~ sina; - ^ 3-4 cos 2a + cos 4a . 3) -------------------= tg^ a; 3 + 4 cos 2a + cos 4a 1 - cos 2a 1) —;-------ctg a = 1; 3) sin 2a 1-2 sin^ a _ 1 - tg a 1 + sin 2a 1 + tg a ’ 2) 4) 1 + sin 2a + cos 2a 4) --------------------= ctg a. 1 + sin 2a - cos 2a sin 2a --------— = tg a; 1 + cos 2a 1 + sin 2a cos 2a Доказать, что если 0 1 V 12 лч „ __ sin----= 12 = 2 sin а cos — sin = i sin a. 12 12 2 Докажем теперь справедливость формулы (1). а-Р ^ ^ а + р • Обозначим —— = X, = у. Тогда х + у = а. 2 2 X - у = ^, и поэтому sin а + sin Р = sin (х + у) + -I- sin (х — у) — sin X cos у + cos х sin у -i- sin х cos у - о- о «+Р И“Рг> - cos X sin у = 2 sin X cos u = 2 sin-- cos-О ^ 2 2 Наряду c формулой (1) используется формула разности синусов, а также формулы суммы и разности косинусов: cos а + cos р = 2 cos cos а - cos р = - 2 sin Формулы (3) и (4) доказываются так же, как и формула (1); формула (2) получается из формулы (1) заменой р на ~р. (Докажите самостоятельно.) Задача 2 Вычислить sin 75° -ь cos 75°. ► sin 75° -I- cos 75° = sin 75° -f sin 15° = „ . 75°-1-15° 75°-15° „ . = 2 sin--------cos---------= 2 sin 45 cos 30 = а - Р а -1- р cos 2 2 (2) а + р а - р COS 2 2 (3) а Р . а - Р 1 sin 2 2 (4) 2 = 2 V2 V3 yfe = ^. <3 2 2 Задача 3 Преобразовать в произведение 2 sin а -I- у[з. ► 2 sin а -1 >/з = 2 ^ sin а + j = 2 ^ sin а + sin “ j = = 4sin[|-ej]cos(|-5].< 162 Задача 4^^ Доказать, что наименьшее значение выражения sin а + cos а равно -V2, а наибольшее равно 4^. ► Преобразуем данное выражение в произведение: sin а + cos а = sin а + sin [ ^ “ j ~ = 2 sin cos ^ос - j = л/2 cos ^ j. Так как наименьшее значение косинуса равно -1, а наибольшее равно 1, то наименьшее значение данного выражения равно л/2 • (-1) = - V2, а наибольшее равно л/2 • 1 = V2. <1 В преобразованиях тригонометрических выражений, а также при решении некоторых уравнений используются формулы преобразования произведения в сумму или разность: sin а cos р = — (sin (а + Р) -I- sin (а - р)), 2 sin а sin Р = — (cos (а - Р) - cos (а + р)), 2 cos а cos Р = ^ (cos (а + р) + cos (а - р)). Задача 5* Доказать тождество sin а cos Р = ~ (sio (« + Р) + sin (а - Р)). ► Приведём правую часть равенства с помощью формулы сложения к виду левой: - (sin (а + Р) sin (а - р)) = - (sin а cos р + 2 2 + cos (X sin Р + sin а cos р - cos а sin Р) = = - • 2 sin а cos Р = sin а cos р. 2 Упражнения 537 Упростить выражение: 1) sin^-|-I-aj-(-sin - aj; 3) sin^ 4- aj - sin^' - «j; 538 Вычислить: 1) cos 105° + cos 75° 3) cosii2-(-cos^; 12 12 5) sin — - sin 12 12 2) cos [ j ~ P j “cos p j; 4) cos^ ~ 4) ~ ^ 4]' 2) sin 105° - sin 75°; 4) cos------cos —; 12 12 6) sin 105° + sin 165°. 163 539 340 541 542 Преобразовать в произведение: 1) 1 + 2 sin а; 2) 1 - 2 sin а; 3) 1 + 2 cos а; 4) 1 + sin а. Доказать тождество: 2) sin 2(Х + sin 4(х 2) ---------------= ctga. cos 2а - cos 4 а 1 + sin а - cos 2а - sin За 2 sin^ а + sin а -1 543 544 545 . ^ sin а + sin За ^ „ 1) -------------= tg 2а; С08 а + cos За Упростить выражение: 2 (cos а + cos За)_ 2 sin 2а + sin 4а Доказать тождество: 1) cos'* а - sin^ а + sin 2а = V2 cos |^2а-^ j; 2) cos а+ COS + а j+ COS -а j = 0; sin 2а + sin 5а - sin За „ . 3) ---------------т-----= 2 sin а. cos а + 1 - 2 sin^ 2а Записать в виде произведения: 1) cos 22° + cos 24° + cos 26° + cos 28°; 2) cos — + cos — + cos —. 12 4 6 _ „ sin (a + p) Доказать тождество tg a + tg p =------------- и вычислить: cos a cos p 1) tg 267° + tg 93°; 2)tgfl.tgg. Разложить на множители: 1) 1 - cos a + sin a; 3) 1 + sin a - cos a - tg a; 2) 1 - 2 cos a + cos 2a; 4) 1 + sin a + cos a + tg a. 7 Упражнения • к главе V . 1............................1.............................1.............................1.............................1.............................1............................1.............................1.............................1.............................1 • 546 Найти: 1) cos a, если sin a = — и — < a < it; 3 2 О ТУ 2) tg a, если cos a = и л < a < —; 3 2 164 547 548 549 550 551 552 3) sin a, если tga = 2V2 и0<а<-^; 4) cos a, если ctg a = V2 и 7t 1, то уравнение cos дг = а не имеет корней. Например, уравнение cos х = —1,5 не имеет корней. Задача 1 Решить уравнение cos д: = i. 2 ► Напомним, что cos х — абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на угол х. Абсциссу, равную i, имеют две точки окружности и Afj (рис. 68). Так как i = cos то точка Mj получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол дс, = —, также на углы ,Точка М~ X = — + 2лЛ, где к - ±1, ±2, 3 получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол Х2 = ——, а также на углы 3 + 2л/е, где ft = ±1, ±2, .... Итак, все 3 168 корни уравнения cos ^ ^ можно найти по форму- лам x = — + 2nk, х = -— + 2лк, к е Z. Вместо этих 3 3 двух формул обычно пользуются одной: х = ±- + 2кк, к€ Z. а 3 Задача 2 Решить уравнение cos х = 2 ► Абсциссу, равную -i, имеют две точки окружно- 2 1 о 1т сти Ml и Mg (рис. 69). Так как — = cos —, то угол 2 3 JC, = —, а потому угол Х2 = - —. 3 3 Следовательно, все корни уравнения cos ^ можно найти по формуле ■ ^ 3 х = ±— + 2лк, к eZ. < Рис. 69 Таким образом, каждое из уравнений cos л: = i и cos лг = - — имеет бесконеч-2 2 ное множество корней. На отрезке [0; л] каждое из этих уравнений имеет только один корень: х^ = — — корень уравне-3 ния С08 X = - И х^ = — — корень урав-2 3 нения cos X = - i. Число ^ называют арккосинусом числа - и записывают arccos ^ ; число — на- 2 2 3 3 записывают зывают арккосинусом числа ** arccos = ^. Вообще, уравнение cos х = а, где -1 < а < 1, имеет на отрезке 0 ^ х < л только один корень. Если а > 0, то корень заключён в промежутке ке f если а < о, то в промежут- Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают arccos а (рис. 70). 169 Арккосинусом числа а е [-1; 1] называется такое число а 6 [0; л], косинус которого равен а: arccostt = a, если cosa = a и О^а^я. (1) ■J 3 п “ . гак как L:ua — = ■ 6 2 5 л 6 Например, агссоа агссоз 2 6 так как cos - = — и V так как о ^ < я; 6 cos^ = -^ и я. 6 2 6 Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения cos X = а, где |а|^1, можно находить по формуле X = larccos а + 2яп., п в Z. (2) Задача 3 Решить уравнение cos х =-0,75. ► По формуле (2) находим X = ±arccos (-0,75) + 2ял, п е Z. <] Значение агссоз (-0,75) можно приближённо найти по рисунку 71, измеряя угол РОМ транспортиром, или с помощью микрокалькулятора: arccos (-0,75) » 2,42. Задача 4* Решить уравнение (4 cos X — 1) (2 cos 2дг + 1) = 0. ► 1)4 cos X - 1 = о, cos X = - , 4 Рис. 71 X = larccos - + 2ял, п в Z. 4 170 Ответ Задача 5 2) 2 cos 2л: + 1 = О, соб2л: = -^, 2х = ±—+ 2тш, 2 3 д: = ±- + лл, п е Z. 3 X = ±arccos i + 2лп, х = ± — -{-пп, п е Z. <1 4 3 Можно доказать, что для любого а G [-1; 1J справедлива формула arccos (-а) = л - arccos а. (3) Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел. Например: arccos 1 7Х 2 7Г arccos - = к — = —, 2 3 3 arccos V2 1 _ „„„„„ -/2 _ _ л _ Зл — -— = л — arccos — = л — = —. 2 ) 2 4 4 Из формулы (2) следует, что корни уравнения cos X = а цри а = О, а = 1, а=-1 можно находить по более простым формулам: cos л: = О, д; = ^-нл11, п € Z, (4) cosx=l, х = 2лп, п е Z, (5) cos X = -1, д: = л + 2лл, neZ. (6) Решить уравнение cos ^ = -1. ► По формуле (6) получаем — = л + 2лл, п е Z, отку- 3 да дс = Зл + блл, л е Z. <3 Упражнения Вычислить (568—569). 568 1) arccos 0; 2) arccos 1; 4) arccos 2 5) arccos 3) arccos 6) arccos 569 1) 2 arccos 0 + 3 arccos 1; 2) 3 arccos (-1) - 2 arccos 0; 2 4~2 3) 12 arccos ^ - 3 arccos |: 4) 4 arccos + 6 arccos 171 570 Сравнить числа; 1) arccos — и агссоз-; 2 2 3) arccos - Л и arccos 2) агссоз ^ - ■j j и (-!)■ агссоз (-1); Решить уравнение (571—573). 571 1) cos X = —; 2 2) cos X = - 3) cos X = — 1 S 572 1) cos X = —; 4 2) cos X = -0,3; 3) COS X = - /3 3 573 1) cos 4x = 1; 2) cos 2x = -1; 3) ^^2 cos — 4 4) 2cos- = V3; 3 5) cos ^x + ^ j = 0; 6) cos ^2 X - ?)■ 574 1) cos X cos 3x = sin 3x sin x; 2) cos 2x cos X + sin 2x sin x = 0. 575 Выяснить, имеет ЛИ смысл выражение: 1) arccos (л/б-3): 2) arccos (>/7 - 2): 3) arccos (2 - VlO); 4) агссоз (1 - Vs); 5) tg ^3 агссоз 576 2) 4 cos^ д: = 3; 4) 2 V2 cos^ x= 1 + V2; 577 578 Решить уравнение: 1) cos^ 2дг = 1 + 3in^ 2x; 3) 2 cos^ ДГ = 1 + 2 sin^ x\ 5) (1 + cos д:) (3 - 2 cos д:) = 0; 6) (1 — cos x) (4 + 3 cos 2x) = 0; 7) (1 + 2 cos x) (1 - 3 cos x) = 0; 8) (1-2 cos x) (2 + 3 cos x) = 0. Найти все корни уравнения cos2x = - i на отрезке л/2 Найти все корни уравнения cos 4х = —, удовлетворяющие неравенству | х | < —. 4 к. ^ 2’ 2 579 Решить уравнение: 1) агссоз (2х — 3) = ^: 2) агссоз х+ 1 2к .3 ■ 580 Доказать, что при всех значениях а, таких, что -1 ^ а ^ 1, выполняется равенство cos (arccos а) = а. Вычислить: 1) cos (агссоз 0,2); 172 2) C08 arccos 3) cos + arccos j j; 4) sin +arccosj; 5) sin ^arccos ^ j; 6) tg arccos VIo 581 Доказать, что arccos (cos a) = a при 0 C ct < тс. Вычислить: 1) 5 arccos cos — ; 2) 3 arccos (cos 2); V 10; 3) arccos ^cos ^ |; 582 Вычислить: 1) sin arccos - + arccos 3 3 4) arccos (cos 4) 2V2 2) cos I arccos ^ - arccos ^ j. 5 5. 583 Упростить выражение cos (2 arccos a), если -1 < a C 1. 584 Доказать, что если -1 ^ a ^ 1, to 2 arccos = arccos a. 585 C помощью микрокалькулятора решить уравнение: 1) cos л: = 0,35; 2) cos X =-0,27. Уравнение sin x = a **%>o Из определения синуса следует, что -1 < sin а < 1. Поэтому если | а | > 1, то уравнение sin х = а не имеет корней. Например, уравнение sin j: = 2 не имеет корней. Задача 1 Решить уравнение sin ^ ~~- ► Напомним, что sin х — ордината точки единичной окружности, полу'теппой поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на угол х. Ординату, равную i, имеют две точки окружности М, и Mg (рис. 72). Так как i = sin —, то точка М, получа-2 6 ется из точки Р (1; 0) поворотом на угол х^ = —, в 173 а также на углы х = — + 2nk, где ft = ±l, ±2, .... 6 Точка получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол Х2=—, я также на углы х = — + 2яА, т. е. 6 6 на углы X = я - 4 + 2я/г, где k = ±1, ±2, ... . 6 Итак, все корни уравнения sin х = — можно найти 2 по формулам X = — + 2яй, х = я - — + 2яА, k € Z. 6 6 Эти формулы объединяются в одну: х = (-1)'‘- + ЯП, га 6 Z. (1) 6 В самом деле, если п — чётное число, т. е. п = 2k, то из формулы (1) получаем х — — + 2кк, а если б п — нечётное число, т. е. п = 2k + 1, то из формулы (1) получаем х = я- —-1-2я^. 6 Ответ X = (-1)" — -1- ял, л 6 Z. < 6 Задача 2 Решить уравнение sin х =-i. ► Ординату, равную —i, имеют две точки единичной окружности М, и Mg (рис. 73), где х, = --, 6 е 7г Xg =----. Следовательно, все корни уравнения 6 sin X = - i можно найти по формулам 2 X = -~ + 2лк, х = -— + 2пк, к е Z. 6 6 174 Ответ Эти формулы объединяются в одну: дг = (-1)" +ли, п € Z. (2) В самом деле, если п = 2k, то по формуле (2) получаем X = -~ + 2nk, а если п = 2k - 1, то по фор-6 муле (2) находим х = — — + 2nk. 6 л: = (-1)" ^-ij + rtn, л е Z. <1 Итак, каждое из уравнений sin х = - к sin л: = - i 2 2 имеет бесконечное множество корней. На отрезке 7t . К 2 2 каждое из этих уравнении имеет толь- ко один корень: Xj =-------корень уравнения 6 sin х = — их, = -— — корень уравнения sin х = - i. 2^6 2 Число — называют арксинусом числа - и записы-6 2 вают arcsin - = —; число называют арксинусом 2 6 6 числа ~~ и пишут arcsin Вообще, уравнение sin х = а, где -1 < а ^ 1, на от- -1] = -^. 2) 6 резке п 2’ 2 имеет только один корень. Если а ^ О, то корень заключён в промежутке если а < О, то корень заключён в промежутке - —; О |. Этот корень называют арксинусом чис- ла а и обозначают arcsin о (рис. 74). 175 Арксинусом числа а 6 [-1; 1] называется такое к. к число а е 2 2 , синус которого равен а: arcsin а = а, если sin а = а и . (3) 2 2 Например, arcsin —= так как sin — =— 2 4 4 2 и ^ — 5% — arcsin И1= _ Я так как 2 4 2 1 2 ) з’ sin и 1 3 ) 2 2 3 2 Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2, можно показать, что корни уравнения sin X = а, где |а| < 1, выражаются формулой X = (—1)" arcsin а + кп, п е Z. (4) Задача 3 Решить уравнение sin х =—. О ► По формуле (4) находим х = (-1)" arcsin — + кп, 3 л е Z. <] 2 Значение arcsin — можно приближённо найти из рисунка 75, измеряя угол РОМ транспортиром. Значения арксинуса можно находить с помощью специальных таблиц или микрокалькулятора. Например, значение arcsin — можно вычислить на мик-3 рокалькуляторе: arcsin - = 0,73. 3 Задача 4* Решить уравнение (3 sin X - 1) (2 sin 2jc -I- 1) = 0. ► 1)3 sin X - \ = 0, sin x = 3 X = (-1)" arcsin — + nn, n e Z\ 3 2) 2 sin 2x + 1 = 0, sin 2x = 2 176 Ответ 2х = (-1)" arcsin (-1) + кп = = (-1)"+1 £ + л:п, x = (-l)'’^^—+—, neZ. 6 12 2 X = (-1)" arcsin — + лп, х = (-1)" , л 6 Z. <1 3 12 2 Можно доказать, что для любого а е [-1; 11 справедлива формула arcsin (-а) = -arcsin а. (5) Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел. Например: arcsin arcsin {= -arcsin i = , { 2J 2 6 ■/з! • -/з л = -arcsin ^ = 2 ) 2 3 Отметим, что из формулы (4) следует, что корни уравнения sin х = а при а = 0, а = 1, а=—1 можно находить по более простым формулам: sin X = О, х = лп, ns Z, (6) sin X = 1, X = — 2лп, nsZ, (7) 2 sinx = -l, х = — — +2лп, neZ. (8) 2 Задача 5 Решить уравнение sin 2х = 1. ► По формуле (7) имеем 2х = ^ + 2тш, п s Z, откуда X = —лп, п е Z. <3 4 Упражнения Вычислить (586—587). 586 1) arcsin 0; 2) arcsin 1; 4) arcsin 2 5) arcsin 3) arcsin 6) arcsin Vi. ^ Vi 587 1) arcsin 1 - arcsin (-1); 2) arcsin -^-(-arcsin --L ; Vi I ViJ 1 Vi 3) arcsin - arcsin —; 2 2 4) arcsin - — ' 2 Vi + arcsin 177 588 Сравнить числа: 1) arcsin — и arcsin 4 2) arcsin (-!) и arcsin (-1). Решить уравнение (589—592). 589 590 591 592 593 1) sin X = 2) sin X = 2 1 1) sinx = -; 2) sin д: = --=■; 7 4 3) sin X = . V2 3) sin X = —. 3 1) sin3x=l; 2) sin2x = -l; 3) -/2 sin - =-1; 3 4) 2sin| = V3; 5) sin^^: + ^j = 0; 6) sin |^2x +1 j = 0. 1) sin 4д: cos 2д: = cos 4:X sin 2x; 2) cos 2дг sin Зд: = sin 2x cos Зд:. Выяснить, имеет ли смысл выражение: 1) arcsin (-/б-2); 2) arcsin (Vs -3); 3) arcsin (3--УТ?); 4) arcsin (2 - VTO); 1 5) tg 1^6 arcsin i j; 6) tg 2 arcsin — 2 594 595 596 597 598 599 Решить уравнение (594—596). 1)1-4 sin x cos д: = 0; 2) -Уз + 4 sin x cos x = 0; 3) 1 + 6 sin — cos — = 0; 4 4 4) 1-8 sin — cos — = 0. 3 3 1) 1 + cos 5x sin 4x = cos 4x sin 5x; 2) 1 - sin X cos 2x = cos x sin 2x. 1) (4 sin X - 3) (2 sin x + 1) = 0; 2) (4 sin 3x - 1) (2 sin x + 3) = 0. Найти все корни уравнения sin2x = i, принадлежащие отрезку [0; 2л]. Найти все корни уравнения sin ^ удовлетворяющие неравенству log„ (х - 4л) < 1. Доказать, что sin (arcsin а) = а при -1 < о < 1. Вычислить: 1) sin ^arcsin ij; 2) sin ^arcsin 3) sin ^ Л+ arcsin ^ j; 4) cos -arcsin ij; 5) cos arcsin I j; 6) tg arcsin 178 600 Доказать, что arcsin (sin а) = а при < а < —. Вычислить: 2 2 1) 7 arcsin ^sin ^ j: 3) arcsin ^sin 2) 4 arcsin |^sin ^ j; 4) arcsin (sin 5). 601 602 603 604 605 606 Вычислить (601—603). 1) cos ^arcsin 4 j: 2) cos ^arcsin ^^ 3) cos ^arcsin 4) cos ^arcsin ij. 1) sin ^arccos ^ j; 2) sin ^arccos ^ —i j j. 2V2 V ( 1) sin arcsin — + arccos 3 3 2) cos arcsin — + arccos 5 !)■ Решить уравнение: 1) arcsin - 3^ = ^; 2) arcsin (3 - 2x) =-j. Доказать, что если 0 < a < 1, то 2 arcsin a = arccos (1 - 2a^). C помощью микрокалькулятора решить уравнение: 1) sin д: = 0,65; 2) sin зс =-0,31. Уравнение tg х = а • I..........................................I.....................I • Из определения тангенса следует, что tg х может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg х = а имеет корни при любом значении а. Задача 1 Решить уравнение tg х = -JS. ► Построим углы, тангенсы которых равны Для этого проведём через точку Р (рис. 76) прямую, перпендикулярную РО, и отложим отре- 179 Рис. 76 зок РМ = л/З; через точки М к О проведём прямую. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках Mj и Mj. Из прямоугольного треугольника POAI па- ходим = — = л/з = tg X,, откуда х, = -. Таким РО 1 Б ]. 1 g образом, точка Mj получается из точки Р (1; 0) поворотом вокруг начала координат на угол —, 3 а также па углы ^ + 2nk, где k = ±1, ±2, ... . Точка получается поворотом точки Р (1; 0) на угол Х2 = ^ + ГС, а также на углы х = — + к + 2 nk, где * = ±1, ±2, ... . Итак, корни уравнения tg х = л/З можно найти по формулам X = — + 2пк, х = — + я(2/г + 1), к е Z. Эти 3 3 формулы объединяются в одну: X = - + пп, п е Z. <] 3 Задача 2 Решить уравнение lgx = --/3. ► Углы, тангенсы которых равны — л/З, указаны на рисунке 77, где РМ 1 РО, РМ = -/3. Из прямоугольного треугольника РОМ находим ZPOM = 180 т. е. X, = Таким образом, точка Л/, 3 получается поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на угол X, = - -, а также на углы х = - — + 2 лА, ^ 3 3 где А = ±1, ±2, .... Точка Mg получается поворотом точки Р (1; 0) на углы X = - — + л (2А + 1), А 6 Z. Поэтому кор-3 ни уравнения tg х = --Уз можно найти по формуле X = - — + лп, п е Z. <] 3 Итак, каждое из уравнений tg х = л/з и tgx = -V3 имеет бесконечное множество корней. На интервале ^ каждое из этих уравнений имеет только один корень: ^ — корень урав- нения tgx = -s/3 и Xi = -- — корень 3 уравнения tgx = -V3. Число — назы- 3 вают арктангенсом числа -Уз и записывают arctg \/з = —; число -- называ-3 3 Рис. 78 ют арктангенсом числа -л/З и пишут arctg (—>/3) =Вообще, уравнение tg X = а для любого а е R имеет на интервале только один корень. Если а > 0, то корень заключён в промежутке |^0; если а < 0, то в промежутке oj. Этот корень называют арк- тангенсом числа а и обозначают arctg а (рис. 78). Арктангенсом числа а & R называется такое число тангенс которого равен а: arctg а = а, если tg а = а и - — < а < —. (1) 2 2 181 Например, arctg 2 4 2 arctg 1 = —, 4 ' Гз] так как tg^ = l 4 = —, так как tg 6 (-f)= л 3 и -1<_« <21. 2 6 2 Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения tg д: = а, где а е R, выражаются формулой X = arctg а + пп, п eZ. (2) Задача 3 Решить уравнение tg х = 2. ► По формуле (2) находим X = arctg 2 + пп, л е Z. <] Значение arctg 2 можно приближённо найти из рисунка 79, измеряя угол РОМ транспортиром. Приближённые значения арктангенса можно также найти по таблицам или с помощью микрокалькулятора: arctg 2 « 1,11. Задача 4* Решить уравнение (tg х 4) (ctg х - -JS) = 0. ► 1) tg X -(- 4 = О, tg X = -4, X = arctg (-4) + пп, п е Z. При этих значениях х первый множитель левой части исходного уравнения обращается в нуль, а второй не теряет смысла, так как из равенства tgx = -4 следует, что ctgx = -i. Следовательно, 4 найденные значения х являются корнями исходного уравнения. 2) ctg X - -Уз = о, ctg X = -Уз, X = arctg -I- лл = — + пп, л/з 6 tg = Уз п е Z. Эти значения х также являются корнями исходного уравнения, так как при этом второй множитель левой части уравнения равен нулю, а первый не теряет смысла. Ответ X = arctg (—4) -I- пп, х = - + пп, п е Z. <] 6 182 Можно доказать, что для любого а е R справедлива формула arctg (-а) = -arctg а. (3) Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел. Например: arctg (-V3) = -arctg V3 = u arctg (-1) = -arctg 1 4 Упражнения Вычислить (607—608). 607 1) arctg 0; 2) arctg (-1); 3) arctg 608 1) 6 arctg V3-4arcsin j; 2) 2 arctg 1-I-3 arcsin ^ —i j; 3) 5arctg(-V3) -Загссов j’ 609 Сравнить числа: 1) arctg (-1) и arcsin f .VFl 3 ; 4) arctg Vs. -f) 3) arctg (-3) и arctg 2; Решить уравнение (610—612). 610 1) tg д: = : 2) tg X = л/З V3 4) tg x = = -l; 5) tg jc = 4; 611 1) tg 3x = 0; 2) 1 + tgf =( О 0; 612 1) (tgx - 1) (tg x + yfS) = 0; 2) (Vs tgjc + l) (tgx-V3) = 0; 3) (tg X - - 2) (2 cos X — 1) = 0; 4) (tg X - 4,5) (1 -1- 2 sin x) = 0; 5) (tg д; 4-4)[tg|-lJ = 0; 6) («f -1-1 j (tg x - 1) = 0. 2) arctg л/З и arccos -; 2 4) arctg (-5) и arctg 0. 3) tg д: = -л/З; 6) tg X = -5. 3 -ь tg - = 0. 6 183 613 Найти наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения 3 tg а: - л/З = 0. 614 Решить уравнение: 1) arctg (5х - 1) =-; 2) arctg (3 - 5а:) =- —. 4 3 615 Доказать, что tg (arctg а) = а при любом а. Вычислить: 1) tg (arctg 2,1): 2) tg (arctg (-0,3)); 3) tg (л - arctg 7); 4) ctg -h arctg 6 616 Доказать, что arctg (tg a) = a при < a < -. Вычислить: 2 2 2) 4 arctg (tg 0,5); 4) arctg (tg 13). 1) 3arctg [tg у j: 3) arctg l^tg^j: 617 Вычислить: 1) arctg l^ctg ^ j: 3) arctg ^2 sin ^ j: 618 Доказать, что при любом действительном значении а спра- 1 2) arctg ctg Зя 4) arctg I 2 sin ведливо равенство cos (arctg a) = 619 C помощью микрокалькулятора решить уравнение: 1) tgx = 9; 2) tgx = -7,8. Решение трш'онометрических уравнении • I.........................I...................I..................I.....................I........................I..................I.....................I..........................I • В предыдущих параграфах были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin х = а, cos х = а, tg х = а. К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул 184 Задача 1 Ответ и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений. 1. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Решить уравнение sin^ х + sin х - 2 = 0. ► Это зфавнение является квадратным относительно sin X. Обозначив sin х = у, получим уравнение у'^ + у-2 = 0. Его корни {/, = 1, 1/2 =-2. Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений sin х = 1 и sin X = -2. Уравнение sin х = 1 имеет корни х= ^ + 2пп, п G Z; уравнение sin х = -2 не имеет корней. X = - + 2пп, п е Z. <\ 2 Задача 2 Решить уравнение 2 cos^ х — 5 sin х + 1 = 0. ► Заменяя cos^ х на 1 - sin^ х, получаем 2 (1 - sin^ х) - 5 sin х + 1 = 0, или 2 sin^ X + 5 sin х - 3 = 0. Обозначая sin х = у, получаем 2у^ + 5у - 3 = 0, откуда j/i = -3, 1/2 = |- 1) sin X = —3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1; 2) sin X = X = (-1)" arcsin i -i- яга = (-1)" — + кп, 2 2 6 n G Z. Ответ X = (-1)" — 4- nn, n ^ Z. 6 Задача 3 Решить уравнение 2 sin^ x - cos x - 1 = 0. ► Используя формулу sin* x = 1 - cos* X, получаем 2(1- cos* x) - cos X - 1 = 0, 2 cos* X + cos X - 1 = 0, cos x = y, 2i/* - I/ - 1 = 0, i/i = 1. 1/2 = -i. 1) cos X = 1, X = 2кп, n e Z; 2) cos X = —, x = ±arccos (4) + 2nn = 185 Ответ Задача 4 = ± -arccos i| + 2тш = ± ^Ttj + 2тш = = ± —+ 2лл, л 6 Z. 3 X = 2кп, X = ± — + 2лл, л е Z. <] 3 Решить уравнение tg х - 2 ctg дг + 1 = 0. ► Так как ctg х = то уравнение можно записать tg X в виде tg X - + 1 = 0. tg X Ответ Задача 5 Ответ Умножая обе части уравнения на tg х, получаем tg^ X + tg X - 2 = О, tg х = у, у'^ + у - 2 = О, i/j = 1, У2 = -2. 1) tgx = l, х = - + пп, п е Z; 4 2) tg X = -2, X = arctg (-2) + ял = -arctg 2 + ял, п eZ. Отметим, что левая часть исходного уравнения имеет смысл, если tg х О и ctg х ^ 0. Так как для найденных корней tg х О и ctg х О, то исходное уравнение равносильно уравнению tg^ X + tg X - 2 = 0. X = — + ЯП, X = -arctg 2 + ял, л е Z. <1 4 Решить уравнение 3 cos^ 6х + 8 sin Зх cos Зх - 4 = 0. ► Используя формулы sin^ 6х + cos^ 6х = 1, sin 6х = 2 sin Зх cos Зх, преобразуем уравнение: 3(1- sin^ 6х) + 4 sin 6х — 4 = О, 3 sin^ 6х - 4 sin 6х + 1 = 0. Обозначим sin 6х = у, получим уравнение Зу^ - 4у + 1 = О, откуда z/j = 1, у2 = О 1) sin 6х = 1, 6х = — + 2ял, х = — + —, п е Z; 2 12 3 2) sin6x = —, 6х = (-1)" arcsin — + ял, 3 3 (-1)" . 1 , X = ^----arcsin — н--, л е Z. 6 3 6 п ял (-1)" . 1 ял X = -i- + —, X = i—— arcsin - + —, п £ Z. <1 12 3 6 3 6 186 2. Уравнеиис а sin х + Ь cos х = с. Задача 6 Решить уравнение 2 sin х - 3 cos х = 0. ► Поделив уравнение па cos х, получим 2 tg х - 3 = 0, tg X = -|, X = arctg ^ + лл, п е Z. <] При решении этой задачи обе части уравнения 2 sin X - 3 cos X = о были поделены на cos х. Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения cos х = 0 корнями данного уравнения. Если cos х = 0, то из уравнения 2 sin X - 3 cos X = о следует, что sin х = 0. Однако sin х и cos х не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством sin^ X и-со8^ X = 1. Следовательно, при делении уравнения а sin х -i- й cos х = 0, где а 0, Ь * 0, на cos X (или sin х) получаем уравнение, равносильное данному. Задача 7 Решить уравнение 2 sin х -I- cos х = 2. ► Используя формулы sin X = 2 sin ^ cos cos х = = cos^ — — sin^ — и записывая правую часть уравне-2 2 ния в виде 2 = 2 • 1 = 2 sin^ — -t-cos^ — , ^ 2 2 J 4 sin — cos - -I- cos^ - - sin^ — = 2 sin^ — + 2 cos^ -, 2 2 2 2 2 2 3 sin* — - 4 sin — cos — + cos* — = 0. 2 2 2 2 Поделив это уравнение на cos* получим равносильное уравнение 3 tg* ^-4tg-|-)-l = 0. Обозначая tg — = у, получаем уравнение Зу* - 4у + 1 = 0, 2 откуда у, = 1, Уг = г-3 1) tg —=1, - = --(-лп, х = --1-2лл, п е Z; 2 2 4 2 2) tg —= i, — = arctg --I-лп, X = 2 arctg i-t-2лл, 2 3 2 3 3 Л e Z. X = — + 2лл, X = 2 arctg — + 2лп, л e Z. <] 2 3 получаем Ответ 187 Уравнение, рассмотренное в задаче 7, является уравнением вида а sin X ■¥ Ь cos х = с, (1) где а 5* О, Ь ^ О, с ть О, которое можно решить другим способом (при условии, что с* < + 6^). Разделим обе части этого уравнения на д/а^ + : а „ , Ь ___________ с sm X + - — cos X = (2) •Ja^+ д/а* -i- b^ Введём вспомогательный аргумент 2 / \ а ь = 1. Таким образом, уравнение (2) можно записать с в виде sin X cos ф + cos х sin ф = sin (x -t- ф) = b^ + b^ откуда (3) Изложенный метод преобразования уравнения (1) к простейшему тригонометрическому уравнению (3) называется методом введения вспомогательного угла. Задача 8 Решить уравнение 4 sin х -h 3 cos х = о. ► Здесь а = 4, 6 = 3, д/а^ = 5. Поделим обе части уравнения на 5: 4-3 - sin x-h — cos j: = 1. 5 5 Введём вспомогательный аргумент ф, такой, что cos ф = -, sin ф = —. Исходное уравнение можно 5 5 записать в виде sin X cos ф -h cos X sin ф = 1, sin (x + ф) = 1, откуда X -I- ф = — -I- 2лл, где ф = arccos -, 2 б X = — - arccos - 2л«, п е Z. 2 5 Ответ X = — - arccos - + 2 лп, л € Z. <3 2 5 188 Ответ Задача 10 3. Уравнения, решаемые разложением левой части на множители. Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители. Задача 9 Решить уравнение sin 2 х - sin д; = 0. ► Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнение в виде 2 sin х cos х — sin х = 0. Вынося общий множитель sin х за скобки, получаем sin X (2 cos X - 1) = 0. 1) sin X = о, X = юг, п е Z-, 2) 2 cos X - 1 = о, cos X = i, X = ±— + 2лл, п е Z. 2 3 х = пп, X = ±- + 2кп, п S Z. <] 3 Решить уравнение cos Зх + sin 5х = 0. ► Используя формулу приведения sin а = cos > запишем уравнение в виде cos Зх -1- cos - 5xj = 0. Используя формулу суммы косинусов, получаем 2 cos ~ j ~ 4 ] ~ 1) cos ( — -х] = 0, Х- — = — + лп, X = - л + лп, л е Z; \ 4 у 4 2 4 2) cos |^4х- J j = о, п € Z. х = —к + пп, X = —к + —, п е Z. <\ 4 16 4 Решить уравнение sin 7х + sin Зх = 3 cos 2х. ► Применяя формулу для суммы синусов, запишем уравнение в виде 2 sin 5х cos 2х = 3 cos 2х, 2 sin 5х cos 2х — 3 cos 2х = 0, 4Х----------И лл, х = —л н-----, 4 2 16 4 Ответ Задача 11 Ответ откуда cos 2 X sin 5х - ^ j = 0. Уравнение cos 2х = 0 имеет корни х = —+ —, 4 2 л е Z, а уравнение sin 5х = — не имеет корней. x = E + л eZ. <3 4 2 189 Задача 12 Ответ Решить уравнение cos Zx cos х = cos 2х. cos 2х = cos (Зд: — дг) = cos Здс cos х + sin Здг sin х, поэтому уравнение примет вид sin х sin Зд: = 0. 1) sin X = 0, X = пп, п е Z; 2) sin Зх = о, х = —, п е Z. 3 Заметим, что числа пп содержатся среди чисел вида X = —, п е Z, так как если п = 3k, то — = nk. 3 3 Следовательно, первая серия корней содержится во второй. <1 х = —, neZ х = - + - Иногда при решении тригонометрических уравнений ответ записывают в виде серий корней, имеющих общую часть. Например, для уравнения cos Зх sin 2х = 0 ответ можно записать в виде двух серий корней: пть ___ пп п ^ ^ —, х = —, п & Z. 6 3 2 Так как все корни уравнения cos х = 0 являются корня.ми уравнения cos Зх = 0, то ответ можно записать в виде двух непересекающихся серий: х = — + —, X = пп, п S Z. 6 3 Задача 13* Решить уравнение (tg х -(-1) 2 cos ^ - л/З j = 0. ► 1) tg X + 1 = о, tg X = -1, х = - — + пп, п е Z. 4 Эти значения х являются корнями исходного уравнения, так как при этом первый множитель левой части равен нулю, а второй не теряет смысла. Л 3 2 ’ cos - = ^ = ±^^2пп, 3 6 Ответ Задача 14* 2) 2 cos - л/з = о, 3 х = ±— + бпп, п е Z. 2 При этих значениях х второй множитель левой части исходного уравнения равен нулю, а первый не имеет смысла. Поэтому эти значения не являются корнями исходного уравнения. X = -- + пп, п е Z. <1 4 Решить уравнение 6 sin* х -Ь 2 sin* 2х = 5. ► Выразим sin* х через cos 2х. Так как cos 2х = = cos* X - sin* X, то cos 2х = (1 - sin* х) - sin* х, cos 2х = 1 - 2 sin* X, откуда sin* х = i (1 - cos 2х). 190 Ответ Поэтому исходное уравнение можно записать так: 3(1- cos 2х) + 2 (1 - cos^ 2х) = 5, или 2 cos^ 2х + 3 cos 2х = О, откуда С08 2х (2 cos 2х + 3) = 0. 1) cos 2х = О, х = - + —, пе Z; 4 2 О 2) уравнение cos2x = —“ корней не имеет. х = ^ + Ш^ n^Z. < 4 2 Задача 15* Решить систему уравнений sm X cos и = —, 2 cos X sin и = -. 2 ► Складывая уравнения данной системы и вычитая из второго уравнения первое, получаем равносиль-[sin X cos г/ + cos х sin у = 0, ную систему cos X sin у - sin х cos y=l. откуда sin (х+ у) = О, х + у = КП, у - х = — + 2nk, n,k S Z. 2 Ответ sin {у - х) = 1, Решая последнюю систему, находим 2 4 V.2 4; y = l^ + H + nk = n(- + k + -\ 24 V2 4) X + у = nn, у-x = - + 2nk 2 буквы n н k могут принимать различные целые значения независимо друг от друга. Если в обоих равенствах написать одну букву п, то будут потеряны решения. Например: 1/ = 0, у-х = ^ + 2п, т. е. х = - — -п, у = - + п. 4 4 Отметим, что в равенствах 191 Упражнения Решить уравнение (620—644). 620 1) sin^ X = i; 2) cos" X = i; 4 2 3) 2 sin^ X + sin X - 1 = 0; 4) 2 cos" X + cos X - 6 = 0. 621 1) 2 cos^ X - sin X + 1 = 0; 2) 3 cos" X - sin X - 1 = 0; 3) 4 sin^ X - cos X - 1 = 0; 4) 2 sin" X + 3 cos X = 0. 622 1) tg" x = 2; 2) tg X = ctg x; 3) tg" X - 3 tg X - 4 = 0; 4) tg" X - tg X + 1 = 0. 623 1) 1 + 7 cos" X = 3 sin 2x; 2) 3 + sin 2x = 4 sin" x; 3) cos 2x + cos" X + sin x cos X - = 0; 4) 3 cos 2x + sin" X + 5 sin x cos X = 0. 624 1) л/З cos X + sin X = 0; 2) cos X = sin x; 3) sin X = 2 cos x; 4) 2 sin X + cos X = 0. 625 1) sin X - cos X = 1; 2) sin X + cos X = 1; 3) ■Уз sin X + cos X = 2; 4) sin 3x + cos 3x = -J2. 626 1) cos X = cos 3x; 2) sin ox = sin x; 3) sin 2x = cos 3x; 4) sin X + cos 3x = 0. 627 1) cos 3x - cos 5x = sin 4x; 2) sin 7x - sin x = cos 4x; 3) cos X + cos 3x = 4 cos 2x; 4) sin" X - cos" X = cos 4x 628 1) (tgx--v/3)^2sin^ + lj = 0: 2) 1^1-V2 cos|j(l + >/3 tg д:) = 0; 3) 1^2 sin|^x + |j-lj(2 tg дг + 1) = 0; 4) ^ 1 + V2 cos ^x + ^jj(tgx-3) = 0. 629 630 631 1) л/з sin X cos X = sin^ x; 3) sin 4x + sin^ 2x = 0; 1) 2 sin^ X = 1 + - sin 4x; 2) 2 sin X cos X = cos x; 4) sin 2x + 2 cos^ x = 0. 2) 2 cos^ 2x - 1 = sin 4x; 3) 2 cos^ 2x + 3 cos^ X = 2; 4) (sin x + cos x)^ = 1 + cos x. 1) 2 sin 2x - 3 (sin x + cos x) + 2 = 0; 2) sin 2x + 3 = 3 sin x + 3 cos x; 3) sin 2x + 4 (sin x + cos x) + 4 = 0; 4) sin 2x + 5 (cos x + sin x + 1) = 0. 192 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 1) 1-cos (л - х) + sin j = 0; 2) V2 cos ^ X — j = (sin X + cos x)^. 1) 4 sin X cos X cos 2x = sin^ 4x; 2) 1 + cos^ x = sin'' x. 1) 2 cos^ 2x + 3 sin 4x + 4 sin^ 2x = 0; 2) 1 - sin X cos X + 2 cos^ x = 0; 3) 2 sin^ X + i cos® 2x = 1; 4) sin® 2x + cos® 3x = 1 + 4 sin x. 4 1) cos X cos 2x = sin x sin 2x; 2) sin 2x cos x = cos 2x sin x; 3) sin 3x = sin 2x cos x; 4) cos 5x cos x = cos 4x. 1) 4 sin® X - 5 sin x cos x - 6 cos® x = 0; 2) 3 sin® X - 7 sin x cos x + 2 cos® x = 0; 3) 1 - 4 sin X cos X + 4 cos® x = 0; 4) 1 + sin® x = 2 sin x cos x. 1) 4 sin 3x + sin 5x - 2 sin x cos 2x = 0; 2) 6 cos 2x sin X + 7 sin 2x = 0. 1) sin® X + sin® 2x = sin® 3x; 2) sin X (1 - cos x)® + cos x (1 - sin x)® = 2. 1) sin X sin 2x sin 3x = i sin 4x; 4 2) sin'* X + cos^ X = - sin® 2x. 2 1) cos® X + cos® 2x = cos® 3x + cos® 4x; 2) sin® x + cos® x = -. 4 cos2x cosx . . 1 . , 1 1) -------+-----^ = 1; 2) sin X + —^ = sin® x + —V-- cos X cos 2x sin x 1) sin X sin 5x = 1; 2) sin x cos 4x = -1. 1) -\/5cosx-cos2x = -2 sinx; 2) Vcosx + cos3x = - V2cosx. 1) 4 |cos x| + 3 = 4 sin® x; 2) |tgx| + l = — 645 Решить систему уравнений: |cos(x+i/) = 0, fsin x-sin i/= 1, [cos (x - I/) = 1; [sin® x + cos® I/= 1. 646 Найти все значения a, при которых уравнение 4 sin® X + 2 (а - 3) cos х + За - 4 = 0 имеет корни, и решить это уравнение. 647 Найти все значения а, при которых уравнение sin® X - sin X cos х — 2 cos® х = а не имеет корней. 193 Примеры решения простейших тригонометрических неравенств Задача 1 Решить неравенство cos ► По определению cos х — это абсцисса точки единичной окружности. Чтобы решить неравенство 1 cos х> нужно выяснить, какие точки единичной 2 окружности имеют абсциссу, большую i. 2 Абсциссу, равную i, имеют две точки единичной окружности Л/, и (рис. 80). Точка Л/, получается поворотом точки Р (1; 0) на угол , а также на углы 3 Рис. НО -— + 2пп, где п = ±1, ±2, 3 Точка М, получается поворотом на угол -, а так- 3 же на углы - + 2кп, где п == ±1, ±2. 3 Абсциссу, большую i, имеют все точки М дуги еди-2 ничной окружности, лежащие правее прямой M^Mg. Таким обра.том, решениями неравенства cos ^ ~ являются все числа х из промежутка Все решения данного неравенства — множество интервалов ^-■|-ь27ш; ■| + 2rtnj, га 6 Z. < Задача 2 Решить неравенство cos х ^ ► Абсциссу, не большую i, имеют все точки дуги MjMMg единичной окружности (рис. 81). Поэто-194 Рис. 81 му решениями неравенства cos ^ ^ g являются чис- ла X, которые принадлежат отрезку [п, ^ З’ 3 . Все решения данного неравенства — множество отрезков 5т1 - -I- 2пп; — + 2пп 3 3 , л е Z. <] Задача 3 Решить неравенство sin х >-i. ► Ординату, не меньшую - —, имеют все точки дуги 2 единичной окружности (рис. 82), Поэтому решениями неравенства sin х > являются чис- ла X, принадлежащие отрезку Г л. 7 л L б’ 6 . Все реше- ния данного неравенства — множество отрезков --■¥2%п\ —-1-2Tin , п € Z. <1 .6 6 J Отметим, что все точки окружности, лежащие ниже прямой MjMj, имеют ординату, меньшую (рис. 82). Поэтому все числа 2 явля- ются решениями неравенства sin х < Все решения этого неравенства — интервалы 5л (■ + 2ш; - — + 2пп , п в Z, 6 6 19Й Задача 4 Решить неравенство cos - 1 j < ► Обозначим --1 = у. Решая неравенство cos у 4 (рис. 83), находим — + 2пп ^ у ^ — + 2тш, п е Z. 4 4 Заменяя у = --1, получаем 4 ■^ + 2лл < - -К —+ 2тш, 4 4 4 откуда 1 + — + 2яп < < 1 + ^ + 2лл, 4 4 4 4 + Зл + 8лл $ X ^ 4 + 5л + 8лл, лег. Ответ 4 + Зл + 8лл < х < 4 + 5л + 8лл, л е Z. <3 Упражнения Решить неравенство (648—654). 648 1) cos X > —; 2 2) cos X < 3) д cos X > --—; 2 4) cos X ^ . 2 649 1) cos X ^ л/З; 2) cos х < -2; 3) cos х > 1 650 1) sin X > -; 2) sin х < —; 3) sin х < - — 2 2 2 651 1) sin X > -V2; 2) sin X > 1; 3) sin X < -1; 4) sin X ^ 1. 652 1) л/2 cos 2x^1; 2) 2 sin 3x > -1; 3) 4) cos X — ^ j > 653 1) cos[| + 2)j.l; 2) sin|^|-3j < 654 1) sin^ X + 2 sin X > 0; 2) cos^ X — cos X Л 2 Л 2 196 •.-4, Упражнения к главе VI • I............I...............I............I • 655 Вычислить; 1) 2 arcsin-^ +3 arcsin j; 2) arcsin -7^-4 arcsin 1; V2 . л/з -arcsin -—; 2 3) arccos j ~ 4) arccos (-1) - arcsin (-1); 5) 2 arctg 1 -t- 3 arctg 656 657 658 659 660 661 662 X Уз J’ 6) 4 arctg (-1) -I- 3 arctg Уз. Решить уравнение (656—665). 1) cos (4 - 2x) = -i; 2 3) У2 cos^2x-l-^j-f 1 = 0; 1) 2 sin |^3x-|j+ 1 = 0; 3) 3 -I- 4 sin (2x + 1) = 0; 1) (1-1-У2 cos x) (1 - 4 sin X cos x) = 0; 2) (1 - У2 cos x) (1 + 2 sin 2x cos 2x) = 0 2) cos (6 + 3x) = ; 2 4) 2соз|^|-Зх|-Уз = 0. 2),-,i„(£ + |] = 0; 4) 5 sin (2x - 1) - 2 = 0. 1) tg(^2x + j] = -l; 3) y3-tg(x-j] = 0; 1)2 sin^ X + sin X = 0; 3) cos^ X - 2 cos X = 0; 1) 6 sin* X - cos X -I- 6 = 0; 1) tg* X + 3 tg X = 0; 3) tg X - 12 ctg X -f 1 = 0; 4) l-tg[x + ^] = 0. 2) 3 sin* X — 5 sin x — 2 = 0; 4) 6 cos* X + 7 cos X - 3 = 0. 2) 8 cos* X - 12 sin x -f 7 = 0. 2) 2 tg* X - tg X - 3 = 0; 4) tg X -I- ctg X = 2. 197 ввЗ 1) 2 sin 2х = 3 cos 2х; 664 1) 5 sin X + cos X = 5; 665 1) sin Зд: = sin 5x; 3) cos X = cos Зд:; 2) 4 sin Зл: + 5 cos Зд: = 0. 2) 4 sin X + 3 cos X = 6. 2) cos^ 3x - cos 3x cos 5x = 0; 4) sin X sin 5x - sin^ 5x = 0. Проверь себя! Найти значение выражения: 1) arccos 1 + arcsin 0; 2) arccos f — —arcsin \ 2J 2 Решить уравнение: 1) sin 3x cos X - sin x cos 3x = 1; 2) 2 cos^ X + 5 cos X = 3; 3) tg x - 3 ctg x = 0; 4) sin 3x - sin X = 0; 5) 2 sin x + sin 2x = 0. Вычислить (666—667) 666 1) sin arccos 667 1) sin (4 arcsin 1); 3) cos (6 arcsin 1); 2) arccos 2 2) sin 4) tg 3 arcsin V 2 A • 'fZ 4 arcsin 2 i> arccos Решить уравнение (668—675). 1) sin 2x + 2 cos 2x = 1; 2) cos 2x + 3 sin 2x = 3. 1) 3 sin^ X + sin X cos x - 2 cos^ x = 0; 2) 2 sin* X + 3 sin x cos x - 2 cos* x = 0. 1) 1 + 2 sin X = sin 2x + 2 cos x; 2) 1 + 3 cos X = sin 2x + 3 sin x. 1) sin ^x + ^ j+ С08 ^x +^ j = 1+ COS 2x; 2) sin ^x-^j+C03 ^x-^ j = sin 2x. 672 I) cos* X sin X — sin* x cos x — 668 669 670 671 2) sin* X cos X + cos® x sin x = —. 4 673 1) sin* X + sin* 2x = 1; 3) sin 4x = 6 cos* 2x - 4; 198 2) sin* X + cos* 2x = 1; 4) 2 cos* 3x + sin 5x = 1. 674 1) sin^ X - cos X cos 3x = -; 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 2) sin Зд: = 3 sin x; 3) 3 cos 2x - 7 sin д: = 4; 4) 1 + cos X + cos 2дс = 0; 5) 5 sin 2дг + 4 cos'* дс - 8 cos д: = 0. 1) sin X + sin 2дс + sin Здг = 0; 2) cos X - cos 3x = cos 2дс - cos 4x. Вычислить (676—677) 1) sin ^arcsin i j: 3) sin -arcsin ^ j; 1) tg ^jt + arctg|j; Решить уравнение (678—684). 1) 4) 2) sin ^arcsin j j: 4) sin ^ 7t + arcsin ^ j. 2) ctg ^2-arctg 2 j. sin 2x sin X = 0; 2) sin 3x sin X 3) cos 2x COS X cos 3x = 0; 5) -0- 6) cos X COS X sin 5x cos 7x = 0; = 0. 1) cos X sin 5x = -1; 1) 2 cos 3x = 3 sin X + cos x; 1) sin 2x + cos 2x = 2 tg X + 1; cos^ X + cos^ 2x + cos^ 3x = -. 2 2) sin X cos 3x = -1. 2) cos 3x - cos 2x = sin 3x. 2) sin 2x - cos 2x = tg x. ^-4 cos X cos2x = ^7 sin 2x . I cos x| - cos 3x = sin 2x. Решить систему уравнений (685—686). 685 1) 686 1) sin у cos У — sin 2x + sin 2y = 0; sin X 8Ш у cos X cos I/ 5 3’ 1. 3’ 2) 2) sin X + sin у = I, cos X - cos I/ = л/З. sin X cos y = -, cos X sin у = —. 2 199 687 При каких значениях а уравнение sin'* X + cos'* X = а имеет корни? Найти эти корни. 688 Найти все значения а, при которых уравнение sin*“ X + cos'® х = а имеет корни. 689 Найти все значения о, при которых уравнение sin 2х - 2а V2 (sin х + cos х) + 1 - 6а^ = О имеет корни, и решить это уравнение. 690 Решить неравенство: 1) 2 cos^ X + sin X - 1 < 0; 2) 2 sin^ X - 5 cos x + 1 > 0. VII глава Тригонометрические функции я не мог понять содержание вашей статьи, так как она не оживлена иксами и игреками. у Область определения н множество значений тригонометрических функций Известно, что каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки (1; 0) на угол X рад. Для этого угла определены sin х и cos X. Тем самым каждому действительному числу X поставлены в соответствие числа sin х и cos дг, т. е. на множестве R всех действительных чисел определены функции у = sin X и у = cos X. Областью определения функций у = sin х и у = cos X является множество R всех действительных чисел. Чтобы найти множество значений функции у — sin X, нужно выяснить, какие значения может принимать у при различных значениях х, т. е. установить, для каких значений у существуют такие значения х, при которых sin х = у. Известно, что уравнение sin х = а имеет корни, если |а| ^ 1, и не имеет корней, если 1а1> 1. Множеством значений функции у = sin х является отрезок [-1; 1]. Множеством значений функции у = cos х также является отрезок [-1; 1]. 201 функции у = sin X и у = cos X являются ограниченными. Задача 1 Найти область определения функции 1 У = -. sm X + cos X ► Найдём значения х, при которых выражение ---------- не имеет смысла, т. е. значения х, sin X + cos X при которых знаменатель равен нулю. Решая уравнение sin дс + cos jc = О, находим tgx = -l, X = - — + пп, п е Z. Следовательно, областью оире-4 деления данной функции являются все значения дс пп, п 6 Z. < 4 Задача 2 Найти множество значений функции у = 3 + sin X cos X. ► Нужно выяснить, какие значения может принимать у при различных значениях х, т. е. установить, для каких значений а уравнение 3 + sin д: cos х = а имеет корни. Применяя формулу синуса двойного угла, запишем уравнение так: 3 + i sin 2х = а, откуда sin 2х = 2а - 6. Это уравнение имеет корни, если |2а-б|^1, т. е. -1 < 2а - 6 < 1, откуда 5 ^ 2а < 7, 2,5 ^ а ^ 3,5. Следовательно, множеством значений данной функции является отрезок [2,5; 3,5]. <] Функция у = tg X определяется формулой sin дг ^ у =-----. Эта функция определена при тех значе- COS X ниях X, для которых cos д: 9^ 0. Известно, что cos дг = 0 при ^ ~ ® Областью определения функции у = tg х является множество чисел дг ^ — + пп, п е Z. 2 Множеством значений функции у = tg х является множество R всех действительных чисел, теш как уравнение tg дг = а имеет корни при любом действительном значении а. Функции у = sin X, у = cos дг, у = tg X называются тригонометрическими функциями. 202 Задача 3 Найти область определения функции у = sin Зх + tg 2х. ► Нужно выяснить, при каких значениях х выражение sin Зх -I- tg 2х имеет смысл. Выражение sin Зх имеет смысл при любом значении х, а выражение tg 2х — при 2х ^ ^-1- лп, п е Z, т. е. при + п G.Z. Следовательно, областью опреде-4 2 ления данной функции является множество действительных чисел X Ф — + п в Z. О 4 2 Задача 4* Найти множество значений функции у = 3 sin X + 4 cos X. ► Выясним, при каких значениях а уравнение 3 sin X 4 cos X = а имеет корни. Поделим уравнение на ^3^ + 4^ = 5: - sin X -I- - cos X = -. 6 5 5 О Так как О < - < 1, то можно найти такой угол а 5 первой четверти, О < а < —, что cos а = — (этот угол 2 5 а = arccos — |. Тогда sin^ а = 1 - cos^ а = 1 - , 5J 25 25 откуда sin а = -, так как О < а < —. Уравнение 5 2 примет вид sin х cos а + cos х sin а = —, т. е. 5 sin (х + а) = —. Это уравнение имеет корни, если 5 -1 < - < 1, т. е. -5 <5 а ^ 5. _ 5 Ответ -5 < I/ ^ 5. О Упражнения 691 Найти область определения функции: 1) г/= sin 2х; 2) у = соа-; 2 3) y = cos-; X 4) у = sin X 5) j/=sin>/x; 6) y = cos ——i. V X +1 692 Найти множество значений функции: 1) г/ = 1 + sin х; 2) у = 1 — cos х; 203 3) j/ = 2 sin Jc + 3; 4)i/=l—4 cos 2x; 5) у = sin 2x cos 2x + 2; Q) у = ^ sin x cos x - 1. Найти область определения функции (693—695). 693 694 1) У = cos X 1) У = 7sin x+l; 4) у = ^2 cos X- 1; 2) У=- 2 3) г/ = tg 4) у = tg 5х. О 695 1) 1/ = 3) у = п ■ 2 • ’ 2 81П' X - Sin X 1 sin JC- sin Зх sin X 2) у = yjcos x-1; 3) j/ = Ig sin *; 5) у = д/1-2 sin x; 6) {/ = In cos x. 2) у = cos^ X - sin^ X 4) у = cos" X + cos X 696 Найти множество значений функции: 1) у = 2 sin* X - cos 2х', 2) i/ = 1 - 8 cos* x sin* x; 3) y=----------; 4) I/= 10 - 9 sin* 3x; 5) у = 1 — 2 I cos x]; 6) у = sin X + sin ^ X + -| j. 697 698 699 Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 3 соз 2х - 4 sin 2х. Найти множество значений функции у = sin х — 5 cos х. Найти множество значений функции у = 10 cos* X - 6 sin X cos х + 2 sin* х. ^ Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функции Каждая из функций у = sin х я у = cos х определена на множестве R, и для любого значения х верны равенства sin (—х) = —sin х, соз (-х) = cos х. Следовательно, у = sin х — нечётная функция, & у = cos X — чётная функция. Так как для любого значения х из области определения функции у = tg X верно равенство tg (-х) = -tg х, то 1/ = tg X — нечётная функция. 204 множестве R. По фор- вид у = 2 + sin^ X. ■г _ „;„2 Задача 1 Выяснить, является ли функция у = 2 + sin X cos ^ ^ ] чётной или нечётной ► Функция определена на муле приведения она примет Так как sin (-jc) = -sin х, то (sin {-x)Y = sin‘ д:, т. e. 2 + sin* (-x) = 2 + sin* хну (-x) = у (x), t. e. данная функция является чётной. <] Известно, что для любого значения х верны равенства sin (х + 2д) = sin X, cos (х + 2я) = cos х. Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2я. Такие функции называются периодическими с периодом 2л. Функция f (х) называется периодической, если существует такое число Т *0, что для любого х из области определения этой функции выполняется равенство f (х - Т) = f (х) = f (х + Т). Число Т называется периодом функции f (х). Из этого определения следует, что если х принадлежит области определения функции f (х), то чис-ла X -I- Т, X - Т и вообще числа х + Тп, п е Z, также принадлежат области определения этой периодической функции и / (X + Тп) = f (х), п е Z. Задача 2 Доказать, что число 2л является наименьшим положительным периодом функции у = cos х. ► Пусть Г > О — период косинуса, т. е. для любого х выполняется равенство cos (х + Г) = cos х. Положив X = О, получим cos Т = 1. Отсюда Т = 2nk, k S Z. Так как Т > О, то Т может принимать значения 2л, 4л, 6л, ..., и поэтому период не может быть меньше 2л. <] Аналогично можно доказать, что наименьший положительный период функции у = sin х также равен 2л. Задача 3 Доказать, что f (х) = sin Зх — периодическая функция с периодом 3 ► Если функция / (х) определена на всей числовой оси, то, для того чтобы убедиться в том, что она является периодической с периодом Т, достаточно показать, что для любого х верно равенство 205 Задача 4 Задача 5 f (х + Т) = f (лс) = f (х — Т). Данная функция определена для всех X е R, и ^ ^ ^ ^ ~ = sin (Зх + 2л) = sin Зх = f (х). Аналогично, ^ (х-^) = sin(3x-2n) = /(X). О Доказать, что функция у = tg х является периодической с наименьшим положительным периодом л. Если X принадлежит области определения этой функции, т. е. X - ^ + пп, п е Z, то по формулам приведения получаем tg (х - л) = -tg (л - X) = -(-tg X) = tg X, tg (х + л) = tg X. Таким образом, tg (х - л) = tg х = tg (х -I- л). Следовательно, л — период функции у = tg х. Пусть Т — период тангенса, тогда tg (х -i- Г) = tg х, откуда при X = О получаем tg Т = О, Т = Ал, k е Z. Так как наименьшее целое положительное k равно 1, то л — наименьший положительный период функции у = tg X. <1 Доказать, что у = tg — — периодическая функция 3 с периодом Зл. х-ь Зл Так как tg = tg [+ л1 = tg tg 3 \ 3 / 3 X - Зл y=tg-----периодическая 3 функция с периодом Зл. О Периодическими функциями описываются многие физические процессы (колебания маятника, вращение планет, переменный ток и т. д.). 206 На рисунке 84 изображены графики некоторых периодических функций. Отметим, что на всех последовательных отрезках числовой прямой, длина которых равна периоду, график периодической функции имеет один и тот же вид. Упражнения Выяснить, является ли данная функция чётной или нечётной (700—701). 700 1) у = cos Зх; i) у = X cos 701 1) г/ = sin д: -I- х; 3) у = 3-COS -I-д; j sin (я - дг); 2) у = 2 sin 4х; 3) у = ^ tg^ х; 5) у = X sin дс; 6) у = 2 sin^ х, 2) у = С08 4) у = - cos 2д: sin ^ 2 sin X о) у =------+ sin X cos х; 2х -н3; 6) У=х2 1 + cos X 702 Доказать, что функция у = f (х) является периодической с периодом 2я, если: 1) y = cosx-l; 2) y = sinx+l; 3) у = 3 sin х; 4) у = 5) y = sin^x-^j; 6) у = cos |^х н-yj. 703 Доказать, что функция у = f (х) является периодической с периодом Т, если: 1) у = sin 2х, Т = п\ 2) y = cos^, Г = 4я; 3) y = tg2x, T = f; 4) y = sin^, r = f я. 2 5 2 704 Определить, является ли денная функция чётной или нечётной: 1) у = 3) у 1 - cos X _ 1 -h cos X ’ cos 2x- x^ •/sin* 1 + cos 2 X X* + sin 2x sin X 5) y = 3««*; 2) у = 4) y = cos X 6) у = X |sin x| sin® X. 207 705 706 707 Найти наименьший положительный период функции (705—706). 1) j/ = cos|x; 2) y = sin|;c; 3) 4) i/ = |sina:|. 5 J 2 1) j/ = sin X + cos x; 2) у = sin x + tg x. Пусть функция f (x) определена на всей числовой прямой. Доказать, что: 1) f (х) + f (-х) — чётная функция; 2) f (х) - f (-х) — нечётная функция. Свойства функции у = cos х и её график - • • ■ • I I I I \ I I • • • • Напомним, что функция у = cos х определена на всей числовой прямой и множеством её значений является отрезок [-1; 1]. Следовательно, функция ограничена и график этой функции расположен в полосе между прямыми у = —1 и у = 1. Так как функция у = cos х периодическая с периодом 2к, то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2л, например на отрезке [-п; д]; тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2лп, п е Z, график будет таким же. Функция у = cos X является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси Оу. Для построения графика на отрезке [-л; л] достаточно построить его для х е [0; д], а затем симметрично отразить его относительно оси Оу. Прежде чем перейти к построению графика, покажем, что функция у = cos X убывает на отрезке ГО; д]. • В самом деле, при повороте точки Р (1; 0) вокруг начала координат против часовой стрелки на угол от о до д абсцисса точки, т. е. cos х, уменьшается от 1 до -1. Поэтому если 0 ^ Xj < Х2 < Д, то cos X, > cos Xj (рис. 85). Это и означает, что функция у = сов X убывает на отрезке [0; д]. О 208 Рис. 87 Используя свойство убывания функции у = cos X на отрезке [0; л] и найдя несколько точек, принадлежащих графику, построим его на этом отрезке (рис. 86). Пользуясь свойством чётности функции у = cos X, отразим построенный на отрезке [0; л] график симметрично относительно оси Оу, получим график этой функции на отрезке [-л; л] (рис. 87). Так как у = cos х — периодическая функция с периодом 2л и её график построен на отрезке [-л; л] длиной, равной периоду, распространим его по всей числовой прямой с помощью сдвигов на 2л, 4л и т. д. вправо, на -2л, -4л и т. д. влево, т. е. вообще на 2лл, п € Z (рис. 88). Итак, график функции у = cos х построен геометрически на всей числовой прямой, начиная с построения его части на отрезке [0; л]. Поэтому свойства функции у = cos х можно получить, опираясь на свойства этой функции на отрезке [0; л]. Например, функция у = cos х возрастает на отрезке [-л; 0], так как она убывает на отрезке [0; л] и является чётной. 209 Основные свойства функции у = cos х. 1) Область определения — множество R всех действительных чисел. 2) Множество значений — отрезок [-1; 1]. 3) Периодическая с периодом 2я. 4) Чётная. 5) Функция принимает: — значение, равное О, при х = ^ + пп, п е Z; — наибольшее значение, равное 1, при х = 2пп, п е Z; — наименьшее значение, равное -1, при х = = я + 2ял, п ^Z-, — положительные значения на интервале {-ЬI) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2ял, л = ±1, ±2, ...; отрицательные значения на интервале (я. Зя^) U ’ 2 J и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2ял, п = ±1, ±2, ..., 6) Возрастающая на отрезке [я; 2я] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2кп, п = ±1, ±2, ... . 7) Убывающая на отрезке [0; я] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2яп, п = ±1, ±2.. Задача 1 Найти все корни уравнения cosx = -i, принадле- 2 жащие отрезку [-л; 2л]. ► Построим графики функций у = cos х и у = - i на данном отрезке (рис. 89). Эти графики пересе- 210 Ответ Задача 2 каются в трёх точках, абсциссы которых х^, Xg, х.^ являются корнями уравнения cos х = -i. На отрезке [0; ^1 корнем уравнения cosx = -i является число Xi =arccos Из рисунка видно, что точки Х2 и дг, симметричны относитель- п _ но оси Оу, т. е. Xj = -х, =-, а Xj = ^2 + 2л = 3 3 3 V - 2it „ _ 2л ^ _ 4л ^1-у. ^3-у <1 Найти все решения неравенства cos х > принадлежащие отрезку [-л; 2л]. ► Из рисунка 89 видно, что график функции у — cos X лежит выше графика функции у = - ^ на промежутках Ответ ^ < х^ 2к. <} 3 708 709 Упражнения Пользуясь графиком функции у = cos х, выполнить упражнения (708—713). (Устно.) Выяснить, при каких значениях х, принадлежащих отрезку [0; Зл], функция у = cos х принимает: 1) значение, равное 0, 1, -1; 2) положительные значения; 3) отрицательные значения. (Устно.) Выяснить, возрастает или убывает функция у = cos X на отрезке: 1) [Зл; 4л]; 2) [-2л; -л]; 3) ^2л; ^j; 4) 5) [1; 3]; 6) [-2; -1]. 710 Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция у = cos X возрастала, а на другом убывала: 1) л. Зл : 2) _ ^ . ^1. 3) 0; ^1; 4) [2 2 J L 2 2J L 2 J - !]■ 211 711 Используя свойство возрастания или убывания функции у =cos X, сравнить числа: 1) cos - и cos —; 7 9 2) cos — и cos ; 7 7 712 713 3) cos и cos (-J j; 4) cos j и cos [~у ]; 5) cos 1 и cos 3; 6) cos 4 и cos 5. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; Зл]: 1) co8x = i; 2) cosx = —; 3) cos х = - — ; 4) cosx = -i. 2 2 2 2 Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку 10; Зл]: 1) cos х> 2) cos х > - 2 2 Л 3) cos X < ; 2 4) cos X < 714 Выразив синус через косинус по формулам приведения, сравнить числа: 1) cos - и sin — > 2) «4« ^ Sin — и cos 3) COS — и sin 5 л 5 5 7 7 8 8 4) sin^ и cos л, f 5) cos — и sin —; 6) cos — и sin 5 5 в 14 8 10 ■ 715 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку л. Зл [л. Зл 2’ 2 . 716 1) cos2x = i; 2) cos3x = —. 2 2 Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку _л. Зл . 2’ 2 . 1) cos 2х < i; 2) cos Зх > 717 718 719 Построить график функции и выяснить её свойства: 1) у = 1 + cos х; 2) у = cos 2х; 3) у = 3 cos х. Найти множество значений функции у = соэ х, если х принадлежит промежутку: Построить график функции: 1) у = |cos х|; 2) I/ = 3 — 2 cos (х — 1). 212 Т Свойства функции у = sin х и её график Функция у = sin X определена на всей числовой прямой, является нечётной и периодической с периодом 2гс. Её график можно построить таким же способом, как и график функции у = cos х, начиная с построения, например, на отрезке [0; л]. Однако проще воспользоваться формулой sin X = cos (*-t> Эта формула показывает, что график функции у = sin X можно получить сдвигом графика функции у = cos X вдоль оси абсцисс вхфаво на ^ (рис. 90). График функции у = sin х изображен на рисунке 91. Кривая, являющаяся графиком функции у = sin х, называется синусоидой. Так как график функции у = sin х получается сдвигом графика функции у = cos х, то свойства функции у = sin X можно получить из свойств функции у = cos X. 213 Основные свойства функции у = sin х. 1) Область определения — множество R всех действительных чисел. 2) Множество значений — отрезок [-1; 1]. 3) Периодическая, Т = 2л. 4) Нечётная. 5) Функция принимает: — значение, равное О, при х = пп, п s Z; — наибольшее значение, равное 1, при X = - + 2кп, п е Z; 2 — наименьшее значение, равное—1, при X = -— + 2пп, п S Z; 2 — положительные значения на интервале (0; л) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2лп, л = ±1, ±2, ...; — отрицательные значения на интервале (л; 2л) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2лл, п = ±1, ±2, ... . 6) Возрастающая на отрезке и на отрез- ках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2лл, п — ±1, +2, ... . л. Зл 7) Убывающая на отрезке сдвигами и на отрезках. получаемых л = ±1, ±2, . 2 2 этого отрезка на 2лп, Задача 1 Найти все корни уравнения sin х = принадле- 2 жащие отрезку [-тс; 2п]. ► Построим графики функций у = sin х и У = ~ на данном отрезке (рис. 92). Эти графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых являются кор- Рис. 92 214 Ответ Задача 2 нами уравнения sinx=-. На отрезке “2’ ^ уравнение имеет корень arcsin - = —. Второй 2 6 корень X, = л - — = —, так как sin ^ 6 6 дг.= И, х,= ^. <] ^ 6 ^6 Найти все решения неравенства sin ^ принадлежащие отрезку [-л; 2л]. ► Из рисунка 92 видно, что график функции у = sin X лежит ниже графика функции у = - на 2 Ответ промежутках * -л<х<-, —<х<2л.<] 6 6 Упражнения Пользуясь графиком функции у = sin х, выполнить упражнения (720—725). 720 (Устно.) Выяснить, при каких значениях х, принадлежащих отрезку [0; Зл], функция у = sin х принимает: 1) значение, равное 0, 1,-1; 2) положительные значения; 3) отрицательные значения. 721 (Устно.) Выяснить, возрастает или убывает функция у = sin X на промежутке: Зл. 5л 2 ’ 2 . Зл . _ л 2 ’ 2. 722 Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция у = sin X возрастала, а на другом убывала: 1) [0; л]; 2) |^; 2л1; 3) [-л; 0]; 4) [-2л;-л]. 1) 4) 5) [2; 4]; 6) (6; 7). 723 Используя свойство возрастания или убывания функции у = sin X, сравнить числа: 1) sin ^ и sini^; 10 10 0\ 13 л л-:-» 11л, Z) Sin-------- и sin---------; 7 7 3) sin j и ^ 215 724 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [О; Зк]: 1) sin X - —: 2 2) sin X = 3) sin X ■■ 4) sin X = . 2 725 726 ■ 2 ’ Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; Зл]: 1) sinx>l; 2) sinx<—; 3) sinx>--; 4) sinx<-—. 2 2 2 2 Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) sin - и соэ 9 3) sin - и cos —: 5 14 2) sin — и cos 8 8 4) sin — и cos —. 8 10 727 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку ■Уз тг 1) sin 2х = —; 2 2) sin Зх = 728 Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку Л _3". ^ 2 ’ 1) sin 2х > -i; 2 2) sin Зх < 729 — л ; 2) Зя . « 5я 6 L 4 4 . Построить график функции и выяснить её свойства: 1) у = 1 - sin х; 2) у = 2 + sin х; 3) у = sin Зх; 4) I/ = 2 sin х. 730 Найти множество значений функции у = sin х, если х принадлежит промежутку: 1) 731 Построить график функции: 1) I/ = sin |х|: 2) у = |sin х|. 732 Сила переменного электрического тока является функцией, зависящей от времени, и выражается формулой I = А sin (0)1 -I- ф), где А — амплитуда колебания, (о — частота, ф — начальная фаза. Построить график этой функции, если: тс 1) А = 2, (0=1, ф = -; 4 2) А = 1, (0 = 2, ф = —. 3 216 Свойства функции у = ig х и её график Функция у = tg X определена при х + п ^ Z, является нечётной и периодической с периодом к. Поэтому достаточно построить её график на промежутке 0; Затем, отразив его симметрично относительно начала координат, получить график на интервале Наконец, используя пе- риодичность, построить график функции у = tg х на всей области определения. Прежде чем строить график функции на проме- жутке 0. f). покажем, что на этом промежутке функция у = tg х возрастает. * Пусть о ^ Xj < Xg < ^. Покажем, что tg х, < tg Х2, т, е. sinx, cos Ху По условию 0«Xi cos X2 > 0, откуда 0 < —^^—. cos X, cos X2 Перемножив неравенства sin Xj < sin X2 и 1 1 sin X, sin X.J „ -----<-------, получим ------ <---U cos X] cos X2 cos Xj cos X2 Зная, что функция у = tg x возрастает на промежутке О; ^j, найдём несколько точек, принадлежащих графику, и построим его на этом промежутке (рис. 93). Исходя из свойства нечётности функции у = tg х, отразим построенный на промежутке 0; — гра- фик симметрично относительно начала координат, 217 получим график этой функции на интервале Напомним, что при а: = ±— функция у = tg х не 2 определена. Если х < — и х приближается к —, то 2 2 sin X приближается к 1, а cos х, оставаясь положительным, стремится к нулю. При этом дробь = tg JC неограниченно во.зрастает, и поэтому cos X график функции у = tg х приближается к вертикальной прямой ^ Аналогично при отрицательных значениях х, больших и приближающихся к - —, график функции у = tg х прибли-2 жается к вертикальной прямой х = — — , т. е. 2 прямые х = ^ и являются вертикальными асимптотами графика функции. Перейдём к построению графика функции у = tg х на всей области определения. Функция у = tg х периодическая с периодом к. Следовательно, график этой функции получается из её графика на интер- (рис. 94) сдвигами вдоль оси абсцисс вале П . тс 1 2 ’ 2 J на пп, п е Z (рис. 95). 218 Рис. 95 Итак, весь график функции у = tg х строится с помощью геометрических преобразований его части, построенной на промежутке 0; Свойства функции у = tg х можно получить, опираясь на свойства этой функции на промежутке 1^0; ^ j. Например, функция у = tg X возрастает на ^ j, так как эта функция возраста- o;f)» интервале ет на промежутке является нечётной. Основные свойства функции у = tg х. 1) Область определения — множество всех действительных чисел x*- + itn,nsZ. 2 2) Множество значений — множество R всех действительных чисел. 3) Периодическая с периодом л. 4) Нечётная. 5) Функция принимает: — значение, равное 0, при х = пп, п е Z; — положительные значения на интервалах ЯП j, я е Z; — отрицательные значения на интервалах + ял; ял j, п е Z, 6) Возрастающая на интервалах ^-^ + ял; ^-нял^, п е Z. 219 Задача 1 Найти все корни уравнения tg х = 2, принадлежа Ответ Задача 2 Ответ Задача 3 Ответ 1цие отрезку -к; f]- Построим графики функций у = tg х и у = 2иа данном отрезке (рис. 96, а). Эти графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых лс,, х.^, являются корнями уравнения tg лс = 2. На интервале ^ j уравнение имеет корень д:, = arctg 2. Так как функция у = tg х периодическая с периодом д, то Х2 = arctg 2 + д, д:., = arctg 2 - д. д:, = arctg 2, х^ = arctg 2 + д, дГз = arctg 2 - л. <3 Найти все решения неравенства tg д: С 2, принадле-3; ’ 2 Из рисунка 96, а видно, что график функции у = tg X лежит не выше прямой у = 2 на промежут- жащие отрезку -It; ках I Itl ^ 2 ’ *^ ( 2 ’ ] -д ^ лг < -д + arctg 2, < лс < arctg 2; - < дг < д + arctg 2. 2 Решить неравенство tg дл > 1. Построим графики функций у = tg х (рис. 96, б). Рисунок показывает, что и у=1 график функции у = tg X лежит выше прямой t/ = 1 на промежутке ^ j, а также на промежутках, полученных сдвигами его на л, 2д, Зд, -к, -2д и т. д. - + лп<х< —+ ЛП, п € Z. 4 2 Тригонометрические функции широко применяются в математике, физике и технике. Например, многие процессы, такие как колебания струны, маятника, напряжение в цепи переменного тока и т. д., описываются функцией, которая задаётся формулой у = А sin (солг + ф). Такие процессы называют гармоническими колебаниями, а описывающие их функции — гармониками (от грсч. harmonikos — соразмерный). График функции у = А sin (сод: + ф) получается из синусоиды у = sin X сжатием или растяжением её вдоль координатных осей и сдвигом вдоль оси Ох. 220 Обычно гармоническое колебание является функцией времени; у = А sin (cat -t- (р), где А — амплитуда колебания, (О — частота, (р — начальная фаза, — — период колебания. ел Упражнения 733 (Устно.) Выяснить, при каких значениях х из промежутка [-л; 2тс] функция у = tg х принимает: 1) значение, равное 0; 2) положительные значения; 3) отрицательные значения. 734 (Устно.) Выяснить, является ли функция у = tg х возрастающей на промежутке: 2, 3, 4) 12:3]. 735 С помощью свойства возрастания функции у = tg х сравнить числа: 1) tg J и tg f, 2) tg ^ и tg f; 3) tg (-^) и tg 4) 5) tg 2 и tg 3; 6) tg 1 и tg 1,5. 221 736 737 Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку (-д; 2п): 1) tgjc:=l: 2) tgx = JS-, 3) tgx=-^^3; 4) tgx = -l. Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку (-Д, 2д): 1) tgAT^l; 2) tgx<^; 3) tgjc<-l; 4) tgx>-y[3. 738 Решить неравенство; 1) tgx^fЗ; 3) tgx<.-—; 4) tgx>-l. 3 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; Зтг]; 1) tg х = 3; 2) tg дг = -2. Решить неравенство: 1) tgA:>4: 2) tg дг < 5; 3) tgx<-4; 4) tg jc ^-5. Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0: Зл]: 1) tgx^3; 2) tg д: < 4; 3) tg д: ^-4; 4) tg дг >-3. Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку (-!-> 1) tg2x = V3; 2) tg3x = -l. Найти все решения неравенства, принадлежащие проме- 739 740 741 742 743 744 745 жутку Jt 1) tg2x'3-, 3) ctgд:>-l; 4) ctg x > >/3. 222 1. функция у — arcsin х. По определению арксинуса числа для каждого X 6 [-1; 1] определено одно число у = arcsin х. Тем самым на отрезке [-1; 1] задана функция у = arcsin X, —1 ^ X < 1. Покажем, что функция у = arcsin х является обратной к функции у = sin X, рассматриваемой на отрезке [_ л. п 2’ 2. Рассмотрим уравнение sin х = у, где у — заданное число из отрезка [-1; 1], а х — неизвестное. На отрезке это уравнение по определе- л. я 2’ 2. нию арксинуса числа имеет единственный корень X = arcsin у. В этой формуле меняем местами х к у, получаем у = arcsin X. О Таким образом, свойства функции у = arcsin х можно получить из свойств функции у = sin X. График функции у = arcsin х симметричен графику функции у = sin X, ^ X < ^ относительно прямой у = X (рис. 97, 98). 223 Основные свойства функции у = arcsin х. 1) Область определения — отрезок [-1; 1]. _rt. я) . 2’ 2J’ 2) Множество значений — отрезок 3) Возрастающая. 4) Нечётная, так как arcsin (-х) = -arcsin х. 2. Функция у = arccos х. По определению арккосинуса числа для каждого X е [-1; 1] определено одно число у = arccos х. Тем самым на отрезке [-1; 1] определена функция у = arccos JC, -1 < X < 1. Эта функция является обратной к функции у = cos X, рассматриваемой на отрезке [0; л]. График функции у — arccos х симметричен графику функции у = cos X, о < X ^ л, относительно прямой у = X (рис. 99, 100). Основные свойства функции у - arccos х. 1) Область определения — отрезок [-1; 1]. 2) Множество значений — отрезок [0; л]. 3) Убывающая. Рис. 99 Рис. 100 224 Рис. 101 3. функция у = arctg х. По определению арктангенса числа для каждого действительного х определено одно число у = arctg X. Тем самым на всей числовой прямой определена функция у = arctg х, х е R. Эта функция является обратной к функции у — tg X, рассматриваемой на интервале График функции у = arctg х получается из графи ка функции у = tg X, -- < X < — (рис. 94), симмет 2 2 рисй относительно прямой у = х (рис. 101). Основные свойства функции у = arctg х. 1) Область определения — множество R всех действительных чисел. 2) Множество значений — интервал _к. к ) 2 ’ 2 ;■ 3) Возрастающая. 4) Нечётная, так как arctg (-д:) = -arctg х. Функции у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х называются обратными тригонометрическими функциями. Задача 1 Сравнить числа: 1) arcsin i и arcsin i; 2) arctg и arctg ► 1) Так как i > i и функция у = arcsin x возраста-3 4 ет, то arcsin — > arcsin i. 3 4 2 1 2) Так как — < — и функция у = arctg х возрас- 3 2 тает, то arctg < arctg <] 225 Задача 2 Решить уравнение arccos (2х + 1) = —. 4 ► Так как — € [0; л], то по определению арккосину- 4 са числа данное уравнение равносильпо уравнению 2х + 1 = cos —, откуда 2х + 1 , х = - <] 4 2 4 Задача 3 Найти область определения функции X —1 и = arcsin--. 3 ► Так как функция г/ = arcsin х определена при у „ 1 -1 ^ X < 1, ТО функция I/ = arcsin — определена 3 для тех значений х, для которых выполняются не-х-1 равенства -1< < 1. Отсюда -3 < X - 1 « 3, -2 < X ^ 4. <] Упражнения Сравнить числа (750—752). 1 2 750 1) arcsin-= и arcsin-р=; V3 V10 751 1) arccos и arccos^; у/3 V5 752 1) arctg 2 л/З и arctg Зл/2; 2) arctg 2) arcsin j и arcsin 2) arccos j и arccos j* i~7E f \ ___1_ . 4i, и arctg Решить уравнение (753—755). 753 1) arcsin (2 - Зх) = ^; 3) arcsin x-2 754 1) arccos (2 X + 3) =—; 3 3) arccos 755 1) arctg x + 1 2я. 3 3 1 - X _ я. 4 З’ 3) arctg (2x + 1) = 3 2) arcsin (3-2 x) =—; 4 4) arcsin x+ 3 2) arccos (3x + 1) = ^; 2x — 1 4) arccos-------- n. 2) arctg l + 2x Я. 4) arctg (2 -3x) = — 226 756 Найти область определения функции: 1) у = arcsin х-г. 2) у = arccos (2 - Зас); 3) у = arccos ^2^fx -3); 4) i/ = arcsin 2дг‘‘ 757 Доказать, что график функции у - arccos х симметричен относительно точки ^0; 2) у = sin дг + tg л:; 4) у = yjcos х; ппя г 6) у = 759 760 761 762 763 764 1) у = sin X + cos х; 3) у = 7 sin х; 5) У =---—----; „ 2 sin X -1 2 sin^ х - sin х Найти множество значений функции: 1) у = 1 - 2 sin^ х; 2) у = 2 cos^ х - 1; 3) у = 3 - 2 sin^ х; 4) у = 2 соз^ х + 5; 5) у = cos Зх sin X - sin Зх cos х -ь 4; 6) у = cos 2х cos X -к sin 2х sin х - 3. Выяснить, является ли данная функция чётной или нечётной: 1) у = х''‘ + cos х; 2) у = х^ - sin х; 3) у = (1 - х^) cos х; 4) у = (1 -I- sin х) sin х. Найти наименьший положительный период функции: 1) у = cos 7х; 2) у = зш-^- Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку [0; Зл:]: 1) 2 cos X + л/з = 0; 2) V3 — sin х = sin х; 3) 3 tg X = -s/З; 4) cos х -I- 1 = 0. Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку [-2л; -л]: 1) 1 + 2 cos X > 0; 2) 1 - 2 sin х < 0; 3) 2 + tg X > 0; 4) 1 - 2 tg X < 0. Используя графики, найти число корней уравнения: 1) cos X = х^: 2) sinx = -. 2 227 Проверь себя! Найти область определения функции у = tg 4х, Является ли эта функция чётной? Построить графики функций у = sin х, у = cos х на отрезке [-л; 2л]. Для каждой из этих функций найти значения X из данного отрезка, при которых у (х) = I, у (х) = —I, у (д:) = О, у (;:) > О, у (х) < 0. Построить схематически график функции у = Ig х на от-Найти значения х, при которых tg х = 0, резке Зл. jil 2 ’ 2}' tg X < о, tg X > о на данном отрезке. 765 Найти область определения функции: 1) I/= tg j; 2) y = ^Jtg X. 766 Найти наибольшее и наименьшее значения функции: 1) у = cos'* х - sin'* х; 2) у = sin ^х-t ^ j sin ^х- j j; 3) у = 1 - 2 I sin 3x|; 4) у = sin^ x — 2 cos^ x. 767 Выяснить, является ли функция чётной или нечётной: 1) у = sin X + tg х; 2) у = sin х tg х; 3) у = sin х |cos х|. 768 Найти наименьший положительный период функции: 1) у = 2 sin (2х-I-1); 2) у = 3 tg i (х-I-1). 4 769 Решить графически уравнение: 1) cosx = |x|; 2) sin X =-|х 4-1|. 770 Найти нули функции: 1) у = cos^ X - cos х; 2) у = cos х - cos 2х - sin Зх. 771 Найти все значения х, при которых функция у=1,5-— 2 sin^ принимает положительные значения. 772 Найти все значения х, при которых функция у = tg 2х - 1 принимает отрицательные значения. 773 Построить график функции: 1) у = 2 sin ^ j - 2; 2) у = cos x-Vcos^ х. 774 Найти множество значений функции: 1) у = 12 sin X - 5 cos х; 2) у = cos^ х - sin х. 775 Решить неравенство: 1) sin X > cos х; 2) tg х > sin х. 228 VIII f ZJiaea Производная и её геометрический смысл у каждого человека есть определённый кругозор. Когда этот кругозор сужается до бесконечности малого, то он обращается в точку. Тогда человек и говорит, что это есть его точка зрения. Д. Гильберт Производная Задача 1 На станции метро расстояние от тормозной отметки до остановки первого вагона равно 80 м. С какой скоростью поезд должен подойти к тормозной отметке, если дальше он двигается равнозамедленно с ускорением 1,6 м/с'^7 ► Для решения задачи нужно найти скорость движения поезда в момент прохождения тормозной отметки, т. е. мгновенную скорость в этот момент времени. Тормозной путь вычисляется по форму-at^ ле S = где а — ускорение, t — время торможения. В данном случае s = 80, а = 1,6, поэтому 80 = 0,8<^, откуда < = 10 с. По формуле и = at находим мгновенную скорость v = 1,6 • 10 = 16, т. е. V = 16 м/с. О От мгновенной скорости зависит решение многих практических задач. Например, от скорости вхождения в воду спортсмена, прыгающего с вышки, зависит глубина его погружения. При нахождении мгновенной скорости используется средняя скорость движения за малый промежуток времени. 229 Рассмотрим, как связаны между собой средняя и мгновенная скорости движения. Пусть материальная точка М движется вдоль оси Os, где О — положение материальной точки в момент времени f = 0. Если в момент времени t координата материальной точки равна s, где S = S (t), то функцию 8 (О назьгеают законом движения точки М. При неравномерном движении материальная точка за равные по длительности промежутки времени может совершать перемещения, разные не только по величине, но и по направлению. Средняя скорость движения материальной точки за промежуток времени от t др t + h определяется формулой S (t + h) - в (t) =-------------• ср ^ Если рассматриваемое движение пе является равномерным, то Ujp при фиксированном t будет меняться при изменении Л, и чем меньше й, тем лучше будет характеризовать движение точки в момент t. Скоростью точки в момент t (мгновенной скоростью) называют предел, к которому стремится средняя скорость, когда Л -» 0, т. е. скорость и в мо- А)-«(0 мент t определяется равенством у= lira---------. А — о л Таким образом, скорость движения в момент t — предел отношения приращения координаты As = S (t + А) - 3 (t) за промежуток времени от t до t ■¥ А к приращению времени Л, когда Л -»■ 0, если этот предел существует. Например, если ма- териальная точка движется по закону s = gr (за- кон свободного падения), то 8 (1 + Л)- 8 (/) в , , у,р = -5^-1—Li = ^ ((^ + Л)^ -<2), Уср = ^< + 2 А-откуда lim = gt, т. е. v = gt. А —• о ^ 8 (t + А)- 8 (О Отноптение ------^----- называют разностным отношением, а его предел при А -* 0 называют производной функции s {t) и обозначают s'(0 (читается: «Эс штрих от тэ»). 230 Boo6nie, пусть функция f (д:) оирсделеиа па некотором промежутке, х — точка этого промежутка и число h *0 такое, что х + h также принадлежит данному промежутку. Тогда предел разпост-f h)- f (х) ного отношения ------------- при « —» U (если h этот предел существует) называется производной функции f (х) в точке х и обозначается f'(x) (читается: «Эф штрих от икс»). Таким образом. f'(x) = lim л о f(x+ h)-f{x) (1) Задача 2 Отметим, что в формуле (1) число Л, где h =а0, может быть как положительным, так и отрицательным, при этом число X + h должно принадлежать промежутку, на котором определена функция f (дс). Если функция f (дг) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f (д:) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированаем. Найти производную функции f (д:) = х^. Составим разностное отношение: Задача 3 f{x+h)-f(x) {x+hf-x^ 2xh+h^ h h h Если Л > 0, TO 2д: -t- Л -► 2x, поэтому f{x+ h)-f{x) = 2x + h. 11m A 0 = lim (2д:+ Л) = 2д;. л - о Следовательно, (д:^)' = 2дг. <1 Найти производную функции f (д:) = дг®. Найдём сначала разность f (х ■¥ h) - f (х) = = (д: + hf - д:® = д:“ -к + 3xh^ -t- Л® - дс® = = Л (Зд:^ -I- 3xh + Л^). Составим теперь разностное отношение: f(x+h)-f(x) h(3x'^+ 3xh+ h^) h Если h —» 0, TO A Зд:^ -t- ЗдсА + A^ -* 3x^ f (ДС+ h)-f (x) h = Зд:^ +ЗдсА + A^. 0, поэтому lim A - 0 -» 0 и 3xh -< Следовательно, = Зд:^ , т. e. (дс®)' = Зх^. <3 231 Задача 4 Задача 5 Найти производную функции f (х) = С, где С — заданное число. f(x+h)-f(x) с-С п гг, ------^^— = 0. Так как разностное отношение равно нулю при любом Л ^ 0, т, е. его значение не меняется при Л —» 0, то предел этого отношения также равен нулю. Таким образом, производная постоянной равна нулю, т. е. (С)' = 0. <] Найти производную линейной функции f (х) = kx + Ь. f(x+h)-f(x) k (х + h)+Ь-(kx + Ь) = ^ = k. h h h Так как разностное отношение равно к при любом /г о, то и предел этого отношения при Л -* 0 также равен к. Следовательно, (кх + Ь)' = А. <1 Применяя формулу {кх -I- ЬУ = к, например, получаем (Зх-(-7)' = 3, (-2х-I-1)'=-2, (5х)'=5, (х)'=1. Изучение теории пределов не входит в программу средней школы. По этой причине в школьном курсе математики некоторые формулы производных строго не доказываются или вообще принимаются без доказательства. При нахождении производных простейших функций мы пользуемся наглядными представлениями. Например, мы считаем наглядно понятным, что если Л ^ о, то 5Л —*• о, —»■ о, 5 - ЗЛ —► 5 и т. п. Тем не менее приведём здесь строгое определение предела функции в точке и поясним его. Определение. Число А называется пределом функции f (х) в точке Xq и обозначается lim f(x)=A, если для любого числа е>0 суще- X— Хо ствует такое число б > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию 1х - XqI < б, где х * Xq, выполняется неравенство |/ (х) - Л| < е. Поясним это определение предела функции. Число А является пределом функции f (х) в точке Xq, если значения f (х) при х, достаточно близких к х„, становятся как угодно близкими к числу А, т. е. значения \f (х) - А\ становятся как угодно малыми. 232 Это означает, что можно взять сколь угодно малое положительное число е и убедиться в том, что для всех X, отличающихся от Xq меньше чем на некоторое число 5, модуль разности между f (лс) и числом А будет меньше взятого числа е. Например, если / (;с) = (х — 2)^ + 3, то lim f (х) = 3. Х-* 2 Действительно, |/(дг) - 3| = |дс - 2р. Пусть задано е > О, тогда неравенство |/(х)-3|<е, т. е. неравенство |х-2р<е, равносильно неравенству |x-2|/е , справедливо неравенство I/ (х) - 3| < е. Например, если е = 0,01, то 6 = 0,1, а если е = 0,0001, то 6 = 0,01. Производная функции является одним из особых пределов, имеющих большое практическое значение. Понятие предела функции тесно связано с понятием непрерывности. Если график функции на некотором промежутке представляет собой непрерывную линию, т. е. линию, которую можно провести, не отрывая карандаша от листа бумаги, то эту функцию называют непрерывной на этом промежутке (рис. 102). Приведём примеры функций, которые не являются непрерывными. На рисунке 103 изображён график функции, которая непрерывна на промежутках [о; с] и (с; й], но разрывна в точке х = с и потому не является непрерывной на всем отрезке [а; 6]. Все элементарные (линейная, квадратичная, тригонометрические и др.) функции, которые изучаются в школьном курсе .математики, являются непрерывными на каждом промежутке, на котором они определены. 233 * Сформулируем теперь строгое определение непрерывности функции. Определение. Функция f (х) называется непрерывной в точке Хд, если lim f (х) - f (Хд). Х-* Хо Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала, то её называют непрерывной на этом интервале. Например, функция f (х), график которой изображён на рисунке 103, непрерывна на интервале (а; с), по не является непрерывной на интервале (а; Ь). Отметим, что если функция имеет производную на некотором интервале, то она непрерывна на этом интервале. Обратное утверждение неверно. Функция, непрерывная на промежутке, может не иметь производную в некоторых точках этого промежутка. Например, функция «/ = IX1 непрерывна при всех значениях X, но не имеет производной в точке х = 0. Действительно, f(x)-f(0) _ М _ если х> о, -1, если X < о. х-0 и поэтому Пх)-/(0) разностное отношение не имеет предела при Рис. 104 X X -» 0. Ещё пример: функция y = |log2x| непрерывна на промежутке (0; +оо), но не имеет производной в точке X = 1 (рис. 104). * Задача 6* Выяснить, в каких точках непрерывна функция х^ -9 f (х) = при X 3, х-3 5 при X = 3. ► Если X 3, то / (х) = X 3, поэтому данная функция непрерывна во всех точках х ^ 3, так как lim (X ч- 3) = Xq -н 3, если Xq *■ 3. JC— *0 Если Хо = 3, то Xq -I- 3 = 6, а по условию f (3) = 5, т. е. lim f (х)Ф f (3), и поэтому данная функция 3 не является непрерывной в точке х = 3. <] 234 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 Упражнения Точка движется по закону я (f) = 1 + 3t. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени: 1) от f = 1 до f = 4; 2) от ( = 0,8 до f = 1. Найти среднюю скорость движения точки на отрезке [1; 1,2], если закон её движения я = я (f) задан формулой: 1) я (t) — 2t; 2) я (t) = Найти мгновенную скорость движения точки, если: 1) я (О = 2< + 1; 2) я (О = 2 - 3f. Закон движения задан формулой я (t) = 0,25< + 2. Найти: 1) среднюю скорость движения от ^ = 4 до i = 8; 2) скорость движения в моменты i = 4 и t = 8. Используя определение производной, найти f (jc), если: 1) f (х) = Зх + 2; 2) f (х) = 5х + 7; 3) f (х) = Зх^ - 5х; 4) f{x)=-3x^ + 2. С помощью формулы {kx + Ь)' = k найти производную функции: 1) f (X) = 4х; 2) f (X) = -7х + 5; 3) / (д:) = -5д: - 7. Найти мгновенную скорость движения точки, если закон её движения я (t) задан формулой: 3 . 04 . _ а,г 1) я(0 = |<^; 2) я (t) = 5t^ Определить скорость тела, движущегося по закону я (О = + 2, в момент времени: 1) f = 5; 2) ^ = 10. Закон движения точки задан графиком зависимости пути я от времени t (рис. 105). Найти среднюю скорость движения точки на отрезках [0; 1], [1; 2], [2; 3]. Закон движения точки задан графиком зависимости пути я от времени t (рис. 106). Найти среднюю скорость движения точки на отрезках [0; 2], [2; 3], [3; 3,5]. Используя определение предела функции в точке, выяснить, является ли верным равенство: 1) lim (2х + 1) = 3; 2) lim х^ - 4. Производная степенной функции Задача 1 Доказать, что ► Пусть f (х) = —, X ?!: 0. Тогда X f (х+ h)-f(x) = 1 1 _ х-(х+ h) X + h X (х+ Л) X f{x+h)-f(x) 1 (х+ Л) X (х + Л) X Если Л -> о, то X + Л -► X, и поэтому знаменатель дроби стремится к х^. Следовательно, f'{x) = — При этом предполагалось, что если х > 0, то и X + Л > о, а если х < 0, то и х + Л < 0. Таким образом, формула — 1 = —V справедлива при х * O.'^l V хУ х^ Задача 2 Доказать, что (л/х)'= ^=. 2Vx ► Пусть f(x) = yfx, X > о, X + А > 0. Составим разностное отношение: f (х+ h)-f (х) _ Ух+ А -Ух Л Л Умножим числитель и знаменатель на сумму Ух + h + -Ух. Получим f(x+h)-f(x) (Ух-ь Л -Ух)(Ух+ h -I- -Ух) (х-ь Л)- X Л (Ух -ь А -ь Ух) А _ 1 h х + h + Тх) А (Ух^Гл-t--Ух) Ух+ А + -Ух Если Л —» о, то л1 x + h стремится к -Ух, поэтому знаменатель последней дроби стремится к 2-Ух. 1 Следовательно, /'(х) = 2 Ух’ 236 Задача 3 Таким образом, формула (-/х)'= ^ справедлива 2V^ при д: > 0. <] Итак, в этом и предыдущем параграфах получены следующие формулы для производных: С' = о, (хУ = 1, (х^У = 2х, (х^У = 3*2, -| =-Л- (>^)'=-V ('*'>0). \xj *2 2V* Четыре последние формулы являются формулами производной стененной функции f (х) = х^ для р = 2, 3, —1, i. Их можно записать так: (x^У = 2*2 - > = 2*. (*2)' = Зх'^ - ' = 3*2, {*-')' = (-1) X-^-^ = —L, (*2] = i *2 ■ ' = *2 2 2bc Вообще, справедлива формула производной степенной функции для любого действительного показателя: (хРу = рхР-^. (1) Эта формула применима при тех значениях *, при которых её правая часть имеет смысл. Например, (*'')' = 5x'^, (*2] = i д; ^ , [х^] , (*'^У=Л *"'2-1. Вычислить /'(9), если /(*) = -р. V* f'(x)= (* 2] = -1 X 2, f (9) = _1.9 2 =_J_. <] 2 .54 Пользуясь формулами (*^’)' = рх^~^ и {кх + Ь)' = к, можно найти производные степенной и линейной функций, например (*’')' = 7**, (3* - 1)' = 3. В более сложных случаях, например при нахождении производной функции (3* - 1)^, можно воспользоваться следующей формулой: ({кх + ЬУУ = рк (кх + Ь)Р-К (2) По формуле (2) при к = 3, Ь = -1, р = 7 имеем ((3* - 1)^)'= 21 (3* - 1)'*. 237 Задача 4 Вычислить если f (х) = -J4- 7х. ► Запишем данную функцию так: f {х) = (-7х + 4)‘^. По формуле (2) находим (л:) =-^ (-7дг + 4) При х = -3 получаем /'(-3) = ---25 *=-0,7. О 2 Задача 5* Доказать, что (Vx) = __ на промежутке: 1) X > 0; 2) X < 0. 1 ► 1) Если X > о, то Vx = X® и по формуле (1) полу- чаем (V^)'=i х’® =^ 3 2) Если X < о, то Vx = -^(-х) = - (-Х)® и по формуле (2) получаем ( Vx)' = (-l)-i (-1) (-Х)'® = <1 3 3V(-x)2 3Vx* Упражнения Найти производную функции (787—792). 787 1) Х«: 2) Х^ 3) х"; 4) х>®. 788 1) X*; 2) X-®; 3) х-»; 4) х“^. 1 2 2 4) х'^. 789 1) X*; 2) X®; 3) X ^ 790 1) -V’ 2) Х^ 3) V^: 4) 791 1) (4х - 3)*; 2) (5х + 2)-®; 3) (1 - 2х)-®; 4) (2 - 5хУ; 5) (2х)®; 6) (-5х)^ 792 1) V2X + 7; 2) V7 -Зх; 3) 793 Найти /' (Xq), если: 1) /(х) = х®, д: . _ 1 "■г f 2) / (х) = X®, X, 3) / (х) = Vx, ^0 = 4; 4) f (x) = Vx, л 4) Vsx. 5) Пх) = V5-4X, Хо = 1; 238 6) /(х) = ^13x+l , Хл = 1. 794 795 796 Построить график функции у = х* и график функции, являющейся её производной. На рисунке 107 изображён график функции, являющейся производной одной из ^ функций у - у = х^ или у = х^ . Установить функцию. Найти производную функции: 1 . 04 1 . 2) {3-2xf 4) Ц{3-14хУ^ 6) ^ 797 798 799 800 801 2 ’ (2+ 3xf 3) ^(Здг-2)=* ; При каких значениях х производная функции f (д:) равна 1, если: 1) /(х) = х=>; 2) f(x) = V^? Найти мгновенную скорость тела, движущегося по закону s(t) = yfiTi, в момент времени t = 3. При каких значениях х выполняется равенство /' (д:) = / (х), если: 1) f (X) = (2дг - 1)2; 2) / {X) = {Зх + 2)*? По данному на рисунке 108 графику квадратичной функции написать формулы, задающие саму функцию и её производную. Найти значения дг, при которых значения функции 1/= - 7 равны значениям функции, являющейся её про- изводной. 239 Правила дифференцирования • • I.I.I.I..I..»..I..I..I...I • При вычислении производной используются следующие правила дифференцирования суммы, произведения и частного: 1. Производная суммы равна сумме производных: if{x) + g(x)Y = f'{x) + g’(x). (1) Подробно это свойство производной формулируется так: если каждая из функций f {х) и g (д:) имеет производную, то их сумма также имеет производную и справедлива формула (1). • Обозначим f (х) л- g (х) = F (х). Тогда F{,x + h) — - F {х) = f {х + К) - f {х) + g (х + h) - g (х). Поэтому разностное отношение равно F(x+h)-F(x) _f(x+h)-f{x) ^g(x+h)-g(x) Задача 1 При Л -» О первая дробь в правой части имеет предел, равный f (х): вторая дробь имеет предел, равный g'(х). Поэтому левая часть имеет предел, равный F' (х) = /' (х) н- (х), т. е. справедливо равенство (1). О Аналогично доказывается, что производная суммы нескольких функций равна сумме производных этих функций, производная разности равна разности производных. Найти производную функции: 1) f(x) = x^-x‘^ + x- 3; 2) / (X) = Vx --j=. Vx ► 1) /'(л:) = (г^)'-(Дг'*)' + (л:)'-(3)' = Зх2-2х-н1; 2) 2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: (cf(x)y = cf'(x). (2) 240 > Обозначим cf (х) = F (х), тогда /■(х+Л)-^(х) cf (х+h)-cf (X) = с • f{x+ h)-f(x) h h h откуда при Л -► О получаем F' (х) = cf (х). О Задача 2 Вычислить f{-2), если / (х) = - х® - Зх* + 7х - 17. 4 ► fix) = (j (Зх®)' + (7х)'-(17)' = i(x®)'- -3(х»)'+ 7(х)' = ^ х*-9х2 + 7, 4 f (-2) = -5. (-2)^ - 9 (-2)2 + 7 = -9. <1 4 Приведем без доказательства формулы производной произведения и частного. 3. Производная произведения: if (X) ё {*))’ = fix)gix) + f (X) ё' (X). (3) Задача 3 Найти производную функции f (х) g (х), если f (X) = 3x2 (3^) = 2х + 7. ► По формуле (3) находим (/ ix) g ix)Y = = (3x2 _ 5), (2х -н 7) -ь (3x2 _ 5) ^2x + 7)' = = 6х (2х -I- 7) -н (3x2 _ 5) . 2 = 18x2 -н 42х - 10. <3 Задача 4 Найти значения х, при которых значение производной функции f (х) = (х - 1)® (х + 2)® равно нулю. ► По формуле (3) полу^1аем fix) = 9 (х - 1)® (х -I- 2)® + -ь 6 (X - 1)® (X -н 2)® = 3 (X - 1)® (х -I- 2)® (3x-i-6-t-2x-- 2) = 3 (X - 1)® (X + 2)® (5х + 4). Решая уравнение 3 (х - 1)® (х + 2)® (5х -н 4) = 0, находим, что /'(х) = 0 при X, = 1, Xj = -2, Xg = -0,8. О 4. Производная частного: fix) g (x)-f(x) g'{.x) 4ix)^ g (X) g^ix) (4) Формулы (3) и (4) справедливы при условии, что функции f (х) м g (х) имеют производную в точке X, причём в равенстве (4) g (х) Ф 0. 241 Задача 5 Найти производную функции F{x) = х^ + 1 ► Обозначим = f (лг), + 1 = ^ (х). По форму- ... _ , . {х^У(х‘^+ 1)-+ 1)' ле (4) находим 2^'(дс) = — (х2 + 1)2 Зх^ (х^+ 1)-х^ • 2х х*+3х^ Задача 6 {x^ + lf значен! водной функции f(x) = (x^ + \f . < Найти значения х, при которых значение произ- 1 3 1) положительно; 2) отрицательно. ► По формуле (4) получаем f'(x) = -2х {x^+ ЗГ 1) Решая неравенство f'(x) > О при X < 0. 2) Решая неравенство fix) < О при X > 0. <1 -2х (х^+ 3)^ — > О, находим, что -2х (х‘ + 3)2 < О, находим, что 5. Производная сложной функции. Рассмотрим функцию F (х) = logj (х^ + 1). Эту функцию можно рассматривать как сложную функцию f (у) = logg у, где y = g (х) = х2 и- 1, т. е. как функцию f (у), аргумент которой также является функцией у = g (х). Иными словами, сложная функция — это функция от функции F (х) = f (g (х)). Производная сложной функции находится по формуле F'(х) = f {у) g'(x), где у = g (х), т. е. по формуле {f(g(x)))' = f'(g{x))g'(x). (5) Рассмотрим примеры. 1) Пусть F (х) = (2х -I- 1)2 -(- 5 (2х -I- 1). Здесь f {у) = у^ + Ьу, y = g (х) = 2х -t- 1. По формуле (5) находим F' (х) = {2у -1- 5) • (2х -ь 1)' = = (2г/ 5) • 2 = (2 (2х -I- 1) -ь 5) • 2 = 8х + 14. 3 3 2) Пусть Р (X) = (х2 + 1)2. Здесь f (р) = y^,y=g (х) = = х2 + 1. По формуле (5) находим 1 1 Р'(Х) = - J/2 (д;2 + 1). = 1 {x'i + 1)2 -2х = Зх /г2П. 242 802 803 804 805 806 807 Упражнения Найти производную функции (802—803). I)x2 + x; 2) х^-х; 3) Зх^; 4) -Пх^; 5) -4х^; 6) 0,5x^; 7) 13х'^ + 26; 8) - 16. 1) Зх^ - 5дг + 5; 2) 5х^ + 6х-7; 3) д:‘ + 2х^-. 4) X® - Зх^ 5) X* + 5х; 6) -2х^ + 18х; 7) 2х® - 3x2 + 6х + 1; 8) -3x2 + 2x2 - X - 5. Построить график функции р = 3 (х - 2)2 + 1 и график функции, являющейся её производной. Найти производную функции: 1) X2-I--5-; 2) x2-h-i-; 3) 4) 3^[^ + ^^Vx. X® х2 Найти /'(0) и f (2), если: 1) f (X) = х2 - 2х -fl; 2) / (х) = X* - 2х; 3) f (х) = -х® + х2; 4) / (х) = х2 X -t- 1. Найти /'(3) и если: 2) /(x) = VI + i + l; X 1) /(X) = i + -L; X х2 3) Пх) = -^--^; Vx х2 4) /(х) = х2 -X 3 _3 — 3. Производные некоторых элементарных функций Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации. При решении многих практических задач часто приходится находить производные таких функций. Например, напряжение в цепи переменного тока выражается формулой U (t) = А sin (coi -I- ф); для нахождения силы тока I {t) нужно уметь находить производную U' (t), так как I (t) = U'(t). 245 Задача 1 1. Производная показательной функции. Показательная функция f (х) = а*, где а > О, и 1, определена на всей числовой прямой и имеет производную в каждой её точке. Любую показательную функцию можно выразить через показательную функцию с основанием е по формуле = (1) так как е*= (е*“ “)* = а*. В курсе высшей математики доказывается, что функция е" обладает замечательным свойством: её производная также равна ?•*, т. е. (е*)' = е*. (2) Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем + ьу = + 6, (3) Например, * ^)' = ~ ^)' = " *. Найти производную функции а*, где а > О, а 1. Используя формулы (1) и (3), находим (а')' = _ In »)' = In а • е*= In а • а*. <] Итак, (о*)'= а* In а. (4) Например, (3*)' = 3* In 3, (0,7*)' = 0,7* In 0,7. 2*. Производная логарифмической функции. Логарифмическую функцию log„ х с любым основанием а > о, а 1 можно выразить через логарифмическую функцию с основанием е. с помощью формулы перехода log.».J2£, In а (5) Производная функции In х выражается формулой (In лг)' = -, л>0. (6) Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем k (In (kx + b))' = kx + Ь (7) Например, (ln(4x-3))' = - _ 2 1-2х~ 2x-l’ 4х-3 (1п(1-2л:))' = 246 Задача 2 Найти производную функции log^ х, где а > О, а ^ 1. ► Используя формулы (5) и (6), находим (log„ лг)'= (1плг)' = -|—. <3 \\па / ш а In а Итак, (log„ х)' = X In а (8) 3. Производные тригонометрических функций. Покажем, как можно вывести формулу производной синуса. Обозначим f (лс) = sin х, составим разностное отношение: f(x+h)-f{x) 8iii(x+Л)-sinx л 2 sin ~ cos ^ ^ sin — ____2 h 2 cos (9) Если h О, то х + — X и cos 2 sint jc -t- — I -► cos ДГ. 2 Воспользуемся тем, что lim ^— = 1. Ото утвержде- f— о t ние называют первым замечательным пределом и обычно доказывают в курсе высшей математики. Тогда sin — lim —^ = Л-» о л = 1, и поэтому правая часть (9) имеет предел, равный cos X. Следовательно, левая часть (9) также имеет предел, который по определению равен f (х). Таким обра.зом, (sin х)' = cos х. Аналогично можно убедиться в том, что (cos х)' = = -sin X. Итак, справедливы формулы (sin ж)'= С08 X, (сое ж)'=-sin ж. (10) Справедливы также формулы (sin (Лх -I- Ь)У = к cos (Лх + Ь), (cos (йх + Ь)У = -к sin(ftx + Ь). Например, ^sinQx-ljj =icos^ix-lj, (cos (3 - 4х))' = -(-4) sin (3 - 4х) = 4 sin (3 - 4х). 247 Задача 3 Найти производную функции tg х. ► Используя правило дифференцирования частно- sin X го и формулы (10), находим (tgx)' = cos X (sin д-)' cos X - sin x (cos x)' cos^ x + sin^ x j Итак, (tg x)' = 0. 248 2 ( jp2 _ 1) Выражение -------- равно нулю при Xj 2 = ±1» X положительно на промежутках -1<х<0 и х>1; отрицательно на промежутках х<—1 и 0<х<1. Так как х > О, то f (х) = О только при х = 1; f'{x) > О при X > 1; f'{x) < О при О < х < 1. <] 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 Упражнения Найти производную функции (831—839). 1)е*+1; 2) е* + х2; + 4)е-з* + л/1. 1) e^’^*^ + 2x^^, 4) + х“®; 3) + 2 VX 2) -Vx- 1; 5) 6) 1) 2* + е*; 2) 3' - х'^; 3) - х; 4) е®* + 2х=^; 5) 3*’ +2. 1) 0,5^ + е'*^ 2) 3) е^-ж + ^х; + 1) 2 In X + 3*; 2) 3 In X - 2^; 3) log2 х + —; 2х 4) 3 х‘* - logj х; 5) In (х^ - 2х); 6) (Зх^ - 2) logj х. 1) sin X + х^; 2) COSX-1; 3) cos х + е'; 4) sin х - 2*. 1) sin (2х - 1); 2) cos (х + 2); 3) sin (3 - х); 4) cos (х®). 1) cos(^|-lj + e®*; 2) sin (^1 + 3j +2'; 3)3cos4x-^. 1) 2) 3) In X • cos 3x; 4) log, x • sin 2x. 841 Найти значение производной функции f (х) в точке х^; 1) /(х) = е2*--‘+ 2 In X, Хо = 2; 2) /(х) = е®*-2-1п(Зх-1), Хо = |; О 3) Пх) = 2* - log2 X, Хо= 1; 4) / (х) = log 0 5 X - З"', Хо = 1. Выяснить, при каких значениях х значение производной функции f (х) равно 0: 1) f (х) = X - cos х; 3) fix) = 2 In (X + 3) - х; 5) f (X) = х^ + 2х - 12 In х; 2) f (х) = i X- sin х; 4) / (х) = In (X + 1) - 2х; 6) / (X) = х^ - 6х - 8 In X. 249 842 Выяснить, при каких значениях х значение производной функции f (х) положительно: 843 1) f (X) = е* - х; 2) / (х) = X In 2 - 2*; 3) /(х) = е*х2; 4) f{x) = e-y^. Найти производную функции (843—851). 14 /2х-1 , 2х+ 3. 1/ 3 5 • 2)^-2щ2-5х^ 1-х 2-х 3) 2е ® +3cosi^; 9 4) За * 2 sin А 844 1) ■ч/ 3 Г2-Х 3 cos х-2. 2) 2 i(x+2f х-4 -5е ® 845 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856 1) 0.5* • cos 2х; 2)5/х е-*; 3) е®'• cos (3 - 2дг). 1) In Vjc- 1; 2) ; 3) In (cos лг); 4) In (sin ;с). 1) 2) 0.5‘*•'"*; 3) cosVx + 2; 1) ^x^ + 2x — l', 2) ^sin x; 3) У cos x; 1) 1) 1) 1 + cos X _ . » sin X _ €~x f X sin X - cos X 2) yjx . 3) ,0.5* 4) sin (In x). 4) yjiog^. 52- 3* + 1 cos 2x - 5 2*- I0K2 X 4) sin 3x+ 7 2) 2) ln2x 1 — sin 2 X X ЯШ X - cos X Выяснить, при каких значениях х значение производной функции f (х) равно 0: 1) /■ (х) = 5 (sin X - cos х) + У2 cos 5х; 2) ^ (х) = 1 - 5 cos 2х + 2 (sin х - cos х) - 2х. Найти значения производной функции f (х) в точках, в которых значение этой функции равно 0: 1) f (х) = е^’‘In (2х - 1); 2)/(х) =-----------. sm X Вычислить f (х) н- / (х) + 2, если / (х) = х sin 2х, х = тс. Найти значения х, при которых значение производной функции f (х) равно нулю; положительно; отрицательно: 1) / (х) = X - In х; 2) f (х) = X In х; 3) f (х) = х^ In х; 4) / (X) = X® - 3 In х. Найти производную функции In (х^ - 5х -t- 6) при х < 2 и при X > 3. 250 Геометрический смысл производной Напомним, что графиком линейной функции у = kx + Ь является прямая (рис. 109). Число k = tg а называют угловым коэффициентом прямой, а угол а — углом между этой прямой и осью Ох. Если й>0, то0<а<^ (рис. 109, о); в этом случае функция возрастает. Если А<0, то-^<а<0 (рис. 109, б); в этом случае функция у = kx + Ь убывает. Выясним геометрический смысл производной дифференцируемой функции у = f (jc). Пусть точки Aw М принадлежат графику функции У = f(x) (рис. 110). Пусть X и X + h — абсциссы точек Л и М (рис. 111), тогда их ординаты равны f (х) тл f {х+ Л). Из треугольника ACM (рис. 111), где С (х + h; f (х)), найдём угловой коэффициент k прямой AM, который зависит от Л (его можно рассматривать как функцию от Л и писать к (Л)). Имеем k (Л) = tg ZCAM = —, АС где МС = f (х + h) - f (х), АС = Л, т. е. (1) 251 Пусть число X фиксировано, а Л —» О, тогда точка А неподвижна, а точка М, двигаясь по графику, стремится к точке А (рис. 111). При этом прямая AM стремится занять пололсение некоторой прямой, которую называют касательной к графику функции у = f (х), потому что Ит k (h) существует и ра- Л -• О вен f (д:). Итак, f (х) = tg а. (2) Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции f (х) в точке х равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке (х; f (х)). Задача 1 Рис. 112 Найти угол между касательной к графику функции у = sin X в точке (0; 0) и осью Ох. Найдем угловой коэффициент касательной к кривой у = sin X в точке (0; 0), т. е. значение производной этой функции при д: = 0. Производная функции / (дс) = = sin X равна f (д:) = cos д:. По формуле (2) находим tg а = Г(0) = cos 0=1, а = arctg 1 = - (рис. 112). <] 4 Отметим, что это свойство полезно для построения графика у = sin х: в точке (0; 0) синусоида касается прямой у = X (рис. 112). 252 Задача 2 Задача 3 Найти угол между касательной к параболе у = в точке (1; 1) и осью Ох и написать уравнение этой касательной. Производная функции f (дг) = х^ равна f (х) = 2х. По формуле (2) находим tg а = Г (1) = 2 • 1 = 2, откуда а = arctg 2 (рис. 113). Найдём теперь уравнение касательной АВ к параболе у = х^ в точке Л (1; 1) (см. рис. ИЗ). Если у = kx + Ь — уравнение прямой АВ, то Л = tg сс = 2, т. е. уравнение касательной имеет вид у = 2х + Ь. Подставляя в это уравнение координаты точки (1; 1), получаем 1 = 2 • 1 + fc, откуда Ь = -1. Следовательно, у = 2х - I — уравнение искомой касательной. <] Аналогично тому, как это сделано в задаче 2, выведем уравнение касательной к графику дифференцируемой функции в точке (х„; f (д:,,)) (рис. 114). Если у = kx Ъ — искомое уравнение, то по формуле (2) находим к = tg а = f (Xq), т. е. уравнение касательной имеет вид у = f (дГо) х Ь. Подставляя в это уравнение координаты точки (х^; f (х„)), получаем f (х„) = f (х,,) Хц -I- Ь, откуда b = f (Xq) - - f (Xq) Xq. Итак, уравнение касательной у = f (Xq) х -I- / (Xq) - - f (л^о) ^0» или y=f(xQ) + f'{Xo){x-XQ). О (3) Найти уравнение касательной к графику функции у = cos X в точке с абсциссой Xq = -. 6 Найдём значения функции f (х) = cos х и её производной в точке Xq=—: 6 /(Xo) = cosJ = ^, /'(JCo) = -sinf = -^- О ^ 253 Используя формулу (3), найдём искомое уравнение касательной: у = —[ JC- —1, 2 2\ в) или и = — л: + ^ 2 '/з jt_ 2 12 ку фуик- li'fl Касательная к графику функции у = cos X в точке изображена на рисунке 115. Задача 4* Показать, что касательная к параболе у = в точке с абсциссой jcq пересекает ось Ох в точке ► Пусть f {х) = дг^, тогда f'{x) = 2x, f(x^) = xl и /'(Jfo) = 2jCo-По формуле (3) находим уравнение касательной: у = Ха + 2^0 (х - х„), у = 2xqX - х'^. Найдём точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Из равенства 2XqX - дСц = о находим X = _ •^0 Отсюда следует простой геометрический способ построения касательной к параболе у = х^ в точке А с абсциссой Xq: прямая, проходящая через точку А и точку ^ оси абсцисс, касается параболы в точке А (рис. 116). 254 Построив касательную к параболе, можно построить её фокус F. Напомним, что фокусом является точка, в которую нужно поместить источник света, чтобы все лучи, отражённые от параболического зеркала, были параллельны оси симметрии параболы. Для построения фокуса F нужно построить прямую АВ, параллельную оси Оу, и прямую AF, образующую с касательной такой же угол, как и прямая АВ (рис. 117). Упражнения 857 Найти значения k иЬ, если прямая у = kx + Ь проходит через точку (х^; Уо) и образует с осью Ох угол а: 861 1) ос — , Xq — Zi у^ — 3j 4 3) а = -^, Хо= 1, Уо= 1; О 2) а = у, Хо = -3, 1/„ = 2; 4 4) a = -f, Хо = -1, 1/о = -1. D 858 Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой x„: 1) f (х) = х^, Хо = 1; 2) /(x) = sin X, Xq^-; 4 3) f (х) = In X, Xq =1; 4) /■ (x) = e*. Xq = In 3. 859 Найти угол между касательной к графику функции у = f {х) в точке с абсциссой х,, и осью Ох: 1) /(x) = i X®, Х()= 1; 2) /(x) = i, Хо= 1; 3 X 3) /■ (X) = 2Vx, Хо = 3; 4) /(х) = -^, х„ = 3; Гх' Зх + 1 860 5) / (х) = е ® , Хо = 0; 6) / (х) = In (2х + 1), х„ = 2. Написать уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой Хц: 1) f (х) = х^ + X + 1, Хо = 1; 3) /(x) = i, Хо = 3; д: 5) f (х) = sin X, Хо= 4 7) f (х) = In X, Хо = 1; 2) f (х) = х- Зх®, Хо = 2; 4) /(x) = i, Хо = -2; X 6) f (х) = е*, Хо = 0; 8) /(х) = л/х, Хо= 1. Функция у = f (х) задана своим графиком (рис. 118, а, б). Из точек А, В, С, D, Е, F, G выбрать те, в которых производная этой функции принимает: а) положительные значения; 6) отрицательные значения; в) значения, равные 0. 255 862 863 864 Написать уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой дг = 0: 1) f(x) = x + х+ 1 2) f (д^) = sin 2х - In (х + 1). Найти угол между осью Оу и касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х = 0: 865 866 867 868 1) f (х) = X + с 2) / (х) = cos х; 3) / (х) = Vx + T. Под каким углом пересекаются графики функций (углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к этим кривым в этой точке); 1) у - 8 - X W у = 4 ^Пc+A; 2) y = -(x+l)^w.y=-(x-\f\ 2 2 3) г/= In (1-t-х) и i/ = ln(l-x): 4) у = е^ и у = е~^? Показать, что графики двух данных функций имеют одну общую точку и в этой точке общую касательную. Написать уравнение этой касательной: 1) у = X* и {/ = х“ -н 2х^; 2) у = х* и у = х^- Зх^ 3) I/ = (X -и 2)^ и у = 2 - х^; 4) у = X (2 + х) и у = X (2 - х). Найти точки графика функции у = f (х), в которых касательная к этому графику параллельна прямой у = кх: 1) / (X) = е' + С-*. к = ^; 2) f (х) = л/Зх +1, А = -5; 2 4 3) f (х) = sin 2х, к = 2; 4) f (х) = х + sin х, А = 0. X 'i' 2 В каких точках касательная к графику функции у = х-2 образует с осью Ох угол, равный - —? 4 Найти точки, в которых касательные к кривым f (х) = х^ - X - 1 и ^ (х) = Зх^ - 4х + 1 параллельны. Написать уравнения этих касательных. 256 ' - уиражнсиня к главе VIII ■"-% ... < . ^г;';л*.,. 869 Найти производную функции (869—874). 1) 2х* - + Зл: + 4; 2) -х® + 2х® - Зх^ - 1; 3)6V^ + 4; 4)4-8V^; 870 871 872 6) (4 - Зх)^; 1) - sill х; 4) 6х^ - 9е*; 7) VSx-2; 2) cos X - In х; 5) А + 4е*; X 5) (2х + 3)**; 1 8) Vl-4x 3) sin X - Vx; 6) 4г + ~1их. Зх» 2 1) sin 5х + cos (2х - 3); 3) sin (х - 3) - In (1 - 2х); 873 1) 1) х^ cos х; 4) X sin 2х; х^ + 1 х^ + 1 2) 2) X® In х; 5) с"* sin х; ..2 хЗ + 1 3) 2) - In Зх; 4) 6 siii^-e‘-®* 3 3) 5хс*; 6) е“ cos X. sin X 4) Inx 874 875 х+1 1-х 1) sin=*x; 2)8'»®*; 3) cos'* х; 4) In (х®). Найти значения х, при которых значение производной функции f (х) равно нулю; положительно; отрицательно: 1) / (х) = 2х® - X®; 2) / (X) = -Зх® -I- 2х® + 4; 3) Пл:) = л:® - 5х® - 20х; 4) / (л:) = (л:-t-3)® (х - 4)®; Зх + 1. йч / / _ v2 . 2 5) f(x) = 6) /(х) = х®+^. X х-2 876 Найти значение производной функции f (х) в точке х^, если: 1) / (х) = cos X sin X, Хо=—; 2) / (х) = е* In х, Хо=1; 6 3) /(х)-?-^, Хо=^; 4) /(х) = --4, Хо = 0. 8ш X 4 1 + е* 877 Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой Хд: 1) у = X® - 2х, 3) у = sin X, Xg= = 3; 2) у = X® Зх, х„ = 3 2Е- б’ 4) y = cosx, Xg=^. о 257 878 Закон движения тела задан формулой $ (f) = 0,5t^ + 3t + 2 (s — в метрах, t — в секундах). Какой путь пройден телом за 4 с? Какова скорость движения в этот момент времени? 1 2 Проверь сеОя! Найти значение производной функции f (х) = Зх* + 4х - 1 в точке X = 3. Найти производную функции; l)- + 2Vx-e*; 2)(Зх-5)'*; 3) 3 sin 2х cos х; 4)-^ X + 5 3 Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = cos Зх в точке с абсциссой х^ = 6 4 Найти угол между касательной к графику функции у = X* - 2х® + 3 в точке с абсциссой Xq = - я осью Ох. 2 879 Найти производную функции (879—881). 2) у = sin X cos X + х; 880 1) «/ 1) у = cos^ Зх; 3) у = (х^ + 1) cos 2х; 5) p = (x+l)VF; 1 - cos 2 X 4) i/= sin^ 3/ 6) y = Vx-l(x*-l). 1 + cos 2 X 3) y = 2) 1/ = ^^^; 4x ^ ^ sin X + cos X 4) y = ----------. sill X - cos X 881 882 883 884 883 1) log2 (x“ - x^ + 1); 2) (loga xf; 3) sin (logj x); 4) cos 3*. Ha каком из рисунков 119 (a—г) изображены эскизы графиков функций, являющихся производными следующих функций: у = е~^, 1/ = In (-х), у = sin 2х, у = 2 cos х? Найти значения х, при которых значение производной функции f (х) равно нулю; положительно; отрицательно: 1) f (х) = 2^ + 2-^; 2) f (X) = 32^ - 2х In 3; 3) / (х) = X -I- In 2х; 4) / (х) = х + In (2х + 1); 5) f (х) = 6х - X л[х; 6) f (х) = (х + 1) X + 1 - Зх. Найти все значения а, при которых f (х) > О для всех действительных значений х, если f (х) = х^ + Зх^ + ах. Найти все значения а, при которых fix) ^ О для всех действительных значений х, если f (х) = ах^ - 6х^ - х. 258 Рис. 119 886 Найти все значения а, при которых уравнение f (jc) = О не имеет действительных корней, если: 1) Цх) = ах^--^; х“ 2) f (х) = ах + ~; 3) f (х) = адс^ + Зх^ + 6х; 4) f (х) = х^ + 6х'^ + ах. 887 Найти все значения а, при которых неравенство f (дс) < О не имеет действительных решений, если: 1) f (д:) = ах^ + X® - 1; 2) f (х) = х® + ах® + 3; 3) f{x) = (x + a)/i-, 4) /(х) = х + ^. X 888 Под каким углом пересекаются графики функций: 1) у = 2-Лс и ^/ = 2 Ve — х; 2) у = -J2x + 1 и у = 1? 889 Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х„: 1) у = 2 sin Хо= 2) у = 2- - 2-®", х„ = 2; А « 3) у = ^0 = 2; 3 - X 4) у = X -I- In X, х„ = е. 259 890 Найти уравнения касательных к графику функции у = -х^--х^, параллельных прямой у = 6х. 8 2 891 Прямая касается гиперболы у = — в точке (1; 4). Найти X площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат. 892 Прямая касается гииерболы у = —, где fe > О, в точке X с абсциссой Х(^. 1) Доказать, что площадь треугольника, ограниченного этой касательпой и осями координат, не зависит от положения точки касания. Найти эту площадь. 2) Доказать, что эта касательная проходит через точки х„; ^ и (2хо, 0). ^0 ) 893 Выяснить, при каких значениях р касательная, проведённая к графику функции у = х^ - рх в его точке с абсциссой дго = 1, проходит через точку М (2; 3). 4х_2*+1 894 Найти все такие точки графика функции у =--------------, In 4 в которых касательная к этому графику параллельна прямой у = 2х + 5. 895 Найти расстояние от начала координат до той касательной к графику функции у = х In х, которая параллельна оси абсцисс. 896 Выяснить, при каких значениях параметра а прямая у = ах - 2 касается графика функции у = 1 + In х. 897 Найти общие касательные к графикам функций f (х) = х^ - 4х + 3 и ^ (д:) = -и бд; - 10. 898 Две параллельные касательные к графику функции у = х^ - 6 пересекают оси координат; одна — в точках Ап В, другая — в точках С п D. Найти площадь треугольника АОВ, если она в 4 раза меньше площади треугольника COD. fix т глава у Применение производной - к исследованию функций т Теория без практики мертва или бесплод- на, практика без теории невозможна или ■ пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх всего того, и умение. " А. Н. Крылов Возрастание и убывание функции Рис. 120 1. Производная широко используется для исследования функций, т. е. для изучения различных свойств функций. Например, с помощью производной можно находить промежутки возрастания и убывания функции, её наибольшие и наименьшие значения. Рассмотрим применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функций. Пусть значения производной функции у — f (х) положительны на некотором промежутке, т. е. f'(x) > 0. Тогда угловой коэффициент касательной tg а = /' (х) к графику этой функции в каждой точке данного промежутка положителен. Это означает, что касательная образует острый угол с осью Ох, и поэтому график функции на этом промежутке «поднимается*, т. е. функция f (х) возрастает (рис. 120). Если /'(х)<0 на некотором промежутке, то угловой коэффициент касательной tg а = ^' (х) к графику функции у = f (х) отрицателен. 261 Это означает, что касательная образует тупой угол с осью Ох, и поэтому график функции на этом промежутке «опускается*, т. е. функция /(х) убывает (рис. 121). Итак, если f (х) > О на промежутке, то функция f (х) возрастает на этом промежутке. Если f (х) < О на промежутке, то функция f (х) убывает на этом промежутке. 2. При доказательстве теорем о достаточных условиях возрастания или убывания функции используется теорема 1, которая называется теоремой Лагранжа. Теорема 1. Если функция / (х) непрерывна на отрезке [а; ft] и дифференцируема на интервале (а; ft), то существует точка с е (а; Ь) такая, что f(b)-f{a) = f'(c){b-a). (1) Доказательство формулы (1) приводится в курсе высшей математики. Поясним геометрический смысл этой формулы. Проведём через точки А (а; f (а)) и В {Ь; f (6)) графика функции у = f (х) прямую I и назовём эту прямую секущей. Угловой коэффициент секущей равен ПЬ)-Г(а) Ь— а Запишем формулу (1) в виде f(b)-f(a) Г (с) = Ь - а (2) 262 Согласно формуле (2) угловой коэффициент касательной к графику функции у = f (х) в точке С с абсциссой с (рис. 122) равен угловому коэффициенту секущей I, т. е. на интервале (а; Ь) найдётся такая точка с, что в точке графика с абсциссой с касательная к графику функции у = f (х) параллельна секущей. Сформулируем и докажем с помощью теоремы Лагранжа теорему о достаточном условии возрастания функции. Теорема 2. Если функция f (х) дифференцируема на интервале (а; Ь) и f {х) > О для всех д: е (а; Ь), то функция возрастает на интервале (а; Ь). • Пусть Xj и дгз — произвольные точки интервала (а; Ь), такие, что х, < Xj. Применяя к отрезку [х,; Xg] теорему Лагранжа, получаем f (Xj) - f (х,) = f'{c) (Xjj - Xj), где с e (Xj; x^). Так как /'(с) > О и Xj - Xj > О, то из последней формулы получим / (Xj) - f (Xj) > О, т. е. f (х^) > f (Xj). Это означает, что функция f (х) возрастает на интервале (а; Ь). О Таким же способом можно доказать, что если функция f (х) непрерывна на отрезке fa; Ь] и [’ (х) > О на интервале (а; Ъ), то эта функция возрастает на отрезке 1а; 6]. Аналогично доказывается, что функция / (х) убывает на интервале (а; Ь), если /'(х)<0 на (а; Ь)\ если, кроме того, функция / (х) непрерывна на отрезке [а; 6], то она убывает на отрезке [а; Ь]. Задача 1 Доказать, что функция / (х) = х + — возрастает на X промежутке (1; -f-oo). 1 — 1 Найдём производную: /'(х) = 1 — = ——. Если X > 1, то > О, т. е. f'(x) > О при X > 1, и по- этому данная функция возрастает на промежутке (1; ч-оо). < Промежутки возрастания и убывания функции часто называют промежутками монотонности этой функции. 263 Задача 2 Найти интервалы монотонности функции f (д:) = д:® - Здг^ ► Найдём производную: /' (д:) = - бзс. Решая неравенство /'(д:)>0, т. е. неравенство Зд:^ - бх > О, находим интервалы возрастания: (-оо; 0) и (2; -t-c»). Решая неравенство f'(x)<0, т. е, неравенство Зх^ - бх < 0, находим интервал убывания (0; 2). <] График функции у = х* - Зх^ изображён на рисунке 123. Из этого рисунка видно, что функция у = - Зх^ возрастает не только на интервалах (-оо; 0) и (2; -1-оо), но и на промежутках (-С»; 0] и [2; -юо); убывает не только на интервале (0; 2), но и на Рис. 123 отрезке [0; 2]. Упражнения О 899 Доказать, что функция /(х) = х^-(-— возрастает на проме- 900 901 жутке (1; -юо), убывает на промежутках (-оо; 0) и (0; 1). Найти промежутки возрастания и убывания функции: \) у = - х; 2) у = 5х^ - Зх - 1; 3) у = х^ + 2х; 4) у = х^ + 12х - 100; 5) J/ = X® - Зх; б) у = х^ - 2х^; 7) у = 2х* - Зх^* - Збх -I- 40; 8) у = х^ - бх^ -t- 9. Построить эскиз графика непрерывной функции у = f (х), определённой на отрезке [а; Ь], если: 1) а = о, Ь = 5, /■'(х)>0 при о < X < 5, /'(1) = 0, / (б) = 3; 2) а = -1, 6 = 3, f'{x) < о при -1 < X < 3, / (0) = о, / (3) = -4. Найти промежутки возрастания и убывания функции (902—905). 902 1) y = -^i 2) у х + 2 903 1) х« у= ; х^+З 3) I/ = (X - 1) еЗх. 904 1) y-gx’‘*3x. 905 1) у = X - sin 2х; 2) у = (х-2)(8-х) 4) у = хе ^. 2) 2) у = Зх + 2 cos Зх. 264 906 907 908 909 Изобразить эскиз графика непрерывной функции у = f (зс), определённой на отрезке [а; f>], если: 1) «=-2, ft = 6, /(-2)=1, /(6) = 5, /(3) = 0, Г(3) = 0, f'{x)<0 при -2 < д: < 3, чри 3 < д: < 6; 2) а=-3, ft = 3, /(-3) = -1, /(3) = 4. Г(2) = 0, f'(x)<0 при -3 < д: < 2, f’(x) > О при 2 < д: < 3. При каких значениях а функция возрастает па всей числовой прямой: 1) у = х^ - ах; 2) у = ах - sin дс? При каких значениях а функция у = х^ — 2х^ + ах возрастает на всей числовой прямой? При каких значениях а функция у = аде® + Зх® - 2х + 5 убывает на всей числовой прямой? Экстремумы функции к: На рисунке 123 изображён график функции i/ = X® - Зх®. Рассмотрим окрестность тонки х = О, т. е. некоторый интервал, содержащий эту точку. Как видно из рисунка, существует такая окрестность точки X = О, что наибольшее значение функция X® - Зх® в этой окрестности принимает в точке X = 0. Например, на интервале (-1; 1) наибольшее значение, равное О, функция принимает в точке X = 0. Точку X = О называют точкой максимума этой функции. Аналогично точку х = 2 называют точкой минимума функции X® - Зх®, так как значение функции в этой точке меньше её значения в любой точке некоторой окрестности точки х = 2, например окрестности (1,5; 2,5). Точка Хд называется точкой максимума функции f (х), если существует такая окрестность точки Хд, что для всех х ть Хд из этой окрестности выполняется неравенство f (х) < f (xg). 265 Рис. 124 Рис. 125 Наиример, точка Xq = О является точкой максимума функции f {х) = \ - так как / (0) = 1 и при всех значениях х ^ 0 верно неравенство f (х) < 1 (рис. 124). Точка Xq называется точкой минимума функции f (х), если существует такая окрестность точки Xq, что для всех ХФ х^ из этой окрестности выполняется неравенство f (х)> f (х^). Например, точка Xq = 2 является точкой минимума функции / (х) = 3 + (х - 2)^, так как / (2) = 3 и f (х)> S при всех значениях х ^ 2 (рис. 125). Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума. Рассмотрим функцию f (х), которая определена в некоторой окрестности точки Xq и имеет производную в этой точке. Теорема. Если Xq — точка экстремума дифференцируемой функции f (х), то f (Xq) = 0. Это утверждение называют теоремой Ферма^. Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции у = f (х) в точке (Х(,; / (Хц)), где Хд — точка экстремума функции у = f (х), параллельна оси абсцисс, и поэтому её угловой коэффициент f (Xq) равен нулю (рис. 126). 'Пьер Ферма (1601—1665) — французский математик, один из основоположников теории чисел и математического анализа. 266 Например, функция f (х) = 1 - (рис. 124) имеет в точке дго = О максимум, её производная f'(x) = -2х, /'(0) = 0. Функция f{x) = (x-2f + 2 имеет минимум в точке Xq = 2 (рис. 125), f (х) = 2 (х - 2), /'(2) = 0. Отметим, что если Г(Хо) = 0, то этого недостаточно, чтобы утверждать, что Хд обязательно точка экстремума функции f (х). Например, если f (х) = х®, то f'(Q) = 0. Однако точка х = 0 не является точкой экстремума, так как функция X? возрастает на всей числовой оси (рис. 127). Итак, точки экстремума дифференцируемой функции нужно искать только среди корней уравнения f (х) = о, но не всегда корень этого уравнения является точкой экстремума. Точки, в которых производная функции равна нулю, называют стацио парными. Заметим, что функция может иметь экстремум и в точке, где эта функция не имеет производной. Например, X = о — точка минимума функции / (х) = |х|, а /'(0) не существует (см. § 44). Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема, называют критическими точками этой функции. Таким образом, для того чтобы точка Хд была точкой экстремума функции f (х), необходимо, чтобы эта точка была критической точкой данной функции. Приведём достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума, т. е. условия, при выполнении которых стационарная точка есть точка максимума или минимума функции. 267 Теорема. Пусть функция f (х) дифференцируема на интервале {а; Ь), в (а; Ь), и /'(Хд) = 0. Тогда: 1) если при переходе через стационарную точку Xq функции / (х) её производная меняет знак с «плюса» на «минус», т. е. /'(х)>0 слева от точки х„ и f (х) < О справа от точки х^, то х„ — точка максимума функции f (х) (рис. 128); 2) если при переходе через стационарную точку x„ функции / (х) её производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то Xq — точка минимума функции / (х) (рис. 129). Задача 1 Для доказательства этой теоремы можно воспользоваться формулой Лагранжа на отрезках [х; Хц], где а < X < Xq, и [x„; х], где Xq < х < Ь. Найти точки экстремума функции f (х) = х^ - 4х®. ► Найдём производную: f (х) = 4х'’ - 12х^ = 4х^ (X - 3). Найдём стационарные точки: 4х^ (х - 3) = О, X, =0, Х2 = 3. Методом интервалов устанавливаем, что производная /' (х) = 4х^ (х — 3) положительна при х > 3, отрицательна при х < 0 и при 0 < х < 3. Так как при переходе через точку Xj = 0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума. При переходе через точку Х2 = 3 производная меняет знак с «-» на «+». Поэтому Xg = 3—точка минимума. <3 268 Задача 2 Найти точки экстремума функции f (х) = - х и значения функции в этих точках. ► Производная равна f {х) = гх^-\ = г л]' Приравнивая производную к нулю, находим две стационарные точки: х, = и х^ = При пере- л/3 V3 ходе через точку Xj= производная меняет знак V3 с «+» на ♦-*. Поэтому x■^ = —^ — точка максиму- V3 ма. При переходе через точку х^ = -у= производная V3 меняет знак с «-» на «+», поэтому Хо= -4= — точка л/3 минимума. Значение функции в точке максиму- ма равно / - 1 is, Ш' ^ з/з , а в точке минимума Упражнения 910 На рисунке 130 изображён график функции у = f (х). Найти точки максимума и минимума этой функции. 911 На рисунке 131 изображён график функции у = f (х). Найти критические точки этой функции. 912 Найти стационарные точки функции: 2) 1/ = 2х®- 15х2-|-36х; X 3) у = - 2е'; 4) у = sin х - cos х. 1) K = 2 X 269 913 Найти стационарные точки функции: 1) У = 2 + х-* 2) i/ = х*+ 3 3) = 4) у = 914 915 916 917 X 2х Найти точки экстремума функции: 1) у = 2х^ - 20х +1; 2) I/ = Злг^ + Збх - 1; 3) г/ = т + -: 4) X 16 918 919 920 Найти точки экстремума и значения функции в этих точках: 1) у = х^-3х^; 2) у = х*-8х^ + 3; 3) у = X + sin дг; 4) I/ = 2 cos х + х. Имеет ли точки экстремума функция: 1){/ = 2дг + 5; 2)у^7-5х; 3) у = х^ + 2х; 4)i/ = |-i? 2 X Построить эскиз графика непрерывной функции у = f (х), определённой на отрезке [а; Ь], если: 1) а = -1, Ь=7, /(-1) = 0, /(7) = -2, f'{x)>0 при -1 < X < 4, f'(x)<0 при 4 < X < 7, ^'(4) = 0; 2) а=-5, Ь = 4. /(-5) = 1. М4) = -3, Г(х)<0 при -5<х<-1, /'(х) > О при -1 < X < 4, /'(-1) = 0. Найти критические точки функции: 1) у=у12-Зх^ : 2) i/ = Vx“-3x: 3) у = \х-1\; i) у = х^-\х\-2. Найти точки экстремума функции: 1) у = х + ^13-х; 2) у = (х-1У; 3) у = X - sin 2х; 4) j/ = cos Зх - Зх. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках: х^+ 2х'^ 2) «/ = (х-1)2 3) у = {х-1)е^^; 6) у = д/е'-х. 921 922 = (3-х)2 4) I/= sin X + i sin 2а:; 5) у = е' Построить эскиз графика функции у = f (х), непрерывной на отрезке [а; ft], если: 1) а=-6, 6 = 6, /(-6) =-6. /(6)=1, Г(х)>0 при -6 < X < -4, -1 < а: < 4, /' (а:) < О при -4 < х < -1, 4 < х < 6, Г(-4) = 0. /'(-!) = О, Г(4) = 0; 2) а =-4. 6 = 5, /(-4) = 5, / (5) = 1, /'(х) < О при -4<х<-3, О < X < 3, /'(х)>0 при -3 < X < О, 3<х<5, Г(-3) = 0, Г(0) = 0, Г(3) = 0. Исследовать на экстремум функцию у = {х + 1)" е~^, где п — натуральное число. 270 , - I Применение производной к построению графиков функций • I....................I.....................I.....................I.....................I.....................I.....................I.....................I • *№■' Задача 1 Построить график функции f (jc) = — 2х^ + х. ► Эта функция определена при всех х е R. С помощью производной найдём промежутки монотонности этой функции и её точки экстремума. Производная равна f {х) = Зх^ - 4х + I. Найдём стационарные точки: Зх^ — 4х + 1 = О, откуда ^2=1- Для определения знака производной разложим квадратный трёхчлен Зл:^ - 4л: -t- 1 на множители: Производная положительна на промежутках ^-оо; ij и (1;-|-со), следовательно, на этих промежутках функция возрастает. При i < д: < 1 производная отрицательна, следовательно, на интервале ^ ij функция убывает. Точка х, = — является точкой максимума, так как 3 слева от этой точки функция возрастает, а справа убывает. Значение функции в этой точке равно Точка Xg = 1 является точкой минимума, так как слева от этой точки функция убывает, а справа возрастает; её значение в точке минимума равняется /(1) = 0. Результаты исследования представим в следующей таблице: X х<1 3 1 3 i 1 Г(Х) + 0 - 0 + Их) 4 27 \ 0 271 Рис. 132 Символ *У» означает, что функция возрастает, а символ «\» означает, что функция убывает. При построении графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат. Так как f (0) = 0, то график проходит через начало координат. Решая уравнение f (х) = 0, находим точки пересечения х'рафи-ка с осью абсцисс: - 2х^ + X = о, X (х^ - 2х + 1) = о, X (X - 1)^ = 0, откуда X = о, X = 1. Для более точного построения графика найдём значения функции ещё в двух точках: = / (2) = 2. Используя результаты исследования, строим график функции у = х^ - 2х^ + X (рис. 132). <3 Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью её производной примерно по такой же схеме, как и при решении задачи 1. При исследовании свойств функции полезно найти: 1) область её определения; 2) производную; 3) стационарные точки; 4) промежутки возрастания и убывания; 5) точки экстремума и значения функции в этих точках. Результаты исследования удобно записать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и, быть может, ещё несколько точек графика. Задача 2 Построить график функции / (х) = 1 - ^ х* - х®. ► 1) Область определения — множество R всех действительных чисел. 2) Г(х) = -ох - 5х^ = -5х (1 -I- X®). 3) Решая уравнение -х (1 + х®) = 0, находим стационарные точки X, = -1 и Х2 = 0. 4) Производная положительна на интервале (-1; 0), следовательно, на этом интервале функция возра- 272 Рис. 133 стает. На промежутках (-оо; -1) и (0; +оо) производная отрицательна, следовательно, на этих промежутках функция убывает. 5) Стационарная точка = -1 является точкой минимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с «-* на *+*; / (-1) =-0,5. Точка *2 = о — точка максимума, тепе как при переходе через неё производная меняет знак с «-)-* на «-*; / (0) = 1. Составим таблицу. X х<-1 -1 -1 < X < 0 0 X > 0 Г(Х) - 0 + 0 - fix) \ -0,5 / 1 \ Используя результаты исследования, строим график функции «/ = 1 -1 - X® (рис. 133). <3 График функции = 1 -1 х^ - х® построен с помощью исследования некоторых свойств этой функции. По графику можно выявить и другие свойства данной функции. Например, из рисунка 133 видно, что уравнение 1 -1 х^ - х® = 0 имеет три различных действительных корня. Для построения графика чётной (нечётной) функции достаточно исследовать свойства и построить её график при х > 0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат). Задача 3 Построить график функции f {х) = х + —. X ► 1) Область определения: х ^ 0. 2) Данная функция нечётная, так как f (-х) = = -x-b-^ = -^x-i--j=-/(x). Поэтому сначала исследуем эту функцию и построим её график при х > 0. 3, 273 4) На промежутке (0; +оо) функция имеет одну стационарную точку х = 2, 5) Производная положительна на промежутке (2; +оо), следовательно, на этом промежутке функция возрастает. На интервале (0; 2) производная отрицательна, следовательно, на этом интервале функция убывает. 6) Точка X = 2 является точкой минимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с «-» на «-t-*; / (2) = 4. Составим таблицу. X 0 < X < 2 2 X > 2 Г(х) — 0 + f(x) \ 4 / Найдём значения функции ещё в двух точках: /(1) = 5, М4) = 5. Используя результаты исследования, строим график функции у = X + — при X > 0. График этой X функции при X < о строим с помощью симметрии относительно начала координат (рис. 134). <1 Рис. 134 274 Задача 4 Для краткости записи решения задач на построение графиков функций большую часть рассуждений, предшествующих таблице, можно проводить устно. В некоторых задачах требуется исследовать функцию не на всей области определения, а только на некотором промежутке. Построить график функции f (х)=\ + 2х^ - х* на отрезке [-1; 2]. ► Найдём производную f (л:) = Ах- Ах^ = Ах(\+ х) (1 - х). Составим таблицу. X -1 -1 < X < 0 0 0 < X < 1 1 1 < X < 2 2 fix) 0 — 0 + 0 — -24 f(x) 2 \ 1 / 2 \ -7 Используя эту таблицу, строим график функции I/ = 1 + 2х^ - X* на отрезке [-1; 2] (рис. 135). <1 Упражнения 923 Используя график функции у = f (х) (рис. 136), найти: 1) область определения и множество значений функции; 2) нули функции; 3) промежутки возрастания и убывания функции; 4) значения х, при которых функция принимает положительные, отрицательные значения; 5) экстремумы функции. 924 Построить эскиз графика функции у = f (х), непрерывной на отрезке [а; б], если: 1) а = -2, Ь = 4, f (-2) = -2, у = f (х) возрастает на отрезке [-2; 1J и f (х) = X при 1 < лс < 4; 2) а = 1, 6 = 7, /(7) = 1, f{x) = x^ при 1 < < 2, у = f (х) убывает на промежутке (2; 7]. 925 На отрезке [0; 6] изобразить эскиз графика непрерывной функции у = f (х), пользуясь данными, приведёнными в таблице. Учесть, что f (2) = 0, / (5) = 0. X 0 0 < X < 1 1 1 <х<4 4 4 < X < 6 6 V(x) + 0 — 0 + f(x) 0 / 2 \ -2 / 3 275 Построить график функции (926—927). 926 1) у = - Зх^ + 4; 2) у = 2 + Зх - х^; 3) у = -х’^ + 4х^ - 4х; 4) у = х^ + 6х'^ + Эх. 927 1) у = -X* + 8х^ - 16; 2) у = х* - 2х^ + 2; 3) = д:®; 4) у = 6х'-4х^. 4 24 928 Построить график функции: 1) у = х^ - Зх^ + 2 на отрезке [-1; 3]; 2) у = X* — 10д^ + 9 на отрезке [-3; 3J. 929 На рисунке 137 изображён график функции у = g (х), являющейся производной функции у = f (jc). Используя график, найти точки экстремума функции у = f (х). Построить график функции (930—933). 930 1) у = 2 + 5х^-3х^; 2) г/= Зх® - 3) у = 4х® - 5х^ 931 1) у = 3х + Зх 4) {/ = J- х®-^ х®-1-2х. 10 6 2) у = --х; 3) у=х--^. X yfx 932 1) у = хе~^; 933 1) у = х-2 2) г/ = хе*; 3) у = е^ ; 2) у =-------------; 3) у = 4) у = е- 4+ х-2х^ (х-2)2 934 Найти число действительных корней уравнения: 1) X* - 4х® -ь 20 = 0; 2) 8х® -Зх*-7^0. х®-4 935 Построить график функции у =-------. Сколько действи- (X-D® х®-4 тельных корней имеет уравнение ------- = С при различ- (x-l)-» иых значспиях С? 276 Наибольшее и наименьшее S значения функции • I....................I.....................I.....................I.....................I.................................................................I.....................I.....................I • 1. На практике часто приходится решать задачи, в которых требуется найти наибольшее или наименьшее значение из всех тех значений, которые функция принимает на отрезке. Рассмотрим, например, график функции f (х) = = 1 + 2х^ - X* на отрезке [-1; 2]. Этот график был построен в предыдущем параграфе (см. рис. 135). Из рисунка видно, что наибольшее значение на этом отрезке, равное 2, функция принимает в двух точках х = -1 и д:= 1; наименьшее значение, равное —7, функция принимает при х = 2. Точка Jt: = О является точкой минимума функции f (л:) = = 1 + 2х^ - д;'*. Это означает, что есть такая окрест- ность точки д: = О, например интервал что наименьшее значение в этой окрестности функция принимает при д: = 0. Однако на большем промежутке, например па отрезке [-1; 2], наименьшее значение функция принимает не в точке минимума, а на конце отрезка. Таким образом, для нахождения наименьшего значения функции на отрезке нужно сравнить её значения в точках минимума и на концах отрезка. Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а; 5] и имеет несколько критических точек на этом отрезке. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [а; Ь] нужно: 1) найти значения функции на концах отрезка, т. е, числа / (а) и / (Ь); 2) найти её значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (а; Ь); 3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее. 277 Задача 1 Функция /(х) = х^+— непрерывна на отрезке X Найти её наибольшее и наименьшее значения. 1 ► 1) f (l)-i /(2) = 9i. 2) /'(х) = Зх^-4 = -^^Ц-^, X2 = -l. 3x^ -3 = 0, Xj = 1, Интервалу принадлежит одна стационарная точка X,= 1, /(1)= 4. 3) Из чисел 6 9 i и 4 наибольшее 9 наимень- 8 2 2 шее 4. Ответ Наибольшее значение функции равно 9 наи- 2 меньшее равно 4. <3 Задача 2 Функция/(x) = x + i непрерывна на отрезке [2; 4]. X Найти её наибольшее и наименьшее значения. ► 1) /(2) = 2.5. /-(4) = 4,25. 2) /'(лг) = 1-4, 1--L=0. X, =-1, Х2 = 1. На интервале (2; 4) стационарных точек нет. 3) Из чисел 2,5 и 4,25 наибольшее 4,25, наименьшее 2,5. Ответ Наибольшее значение функции равно 4,25, наименьшее равно 2,5. <3 2. При решении многих задач часто приходится находить наибольшее или наименьшее значение функции не на отрезке, а на интервале. Нередко встречаются задачи, в которых функция / (х) имеет на заданном интервале только одну стационар- 278 ную точку: либо точку максимума, либо точку минимума. В этих случаях в точке максимума функция f (;с) принимает наибольшее значение на данном интервале (рис. 138, а); а в точке минимума — наименьшее значение на данном интервале (рис. 138, б). Задача 3 Число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая. ► Пусть первый множитель равен х, тогда второй 36 36 множитель равен —. Сумма этих чисел равна х -I- —. X X По условию задачи х — положительное число. Таким образом, задача свелась к нахождению такого 36 значения X, при котором функция f (х) = х + — X принимает наименьшее значение на интервале (0; -юо). Найдём производную: ж, Х^ х^ Стационарные точки х, = 6 и Xg = -6. На интервале (0; -1-оо) есть только одна стационарная точка х = 6. При переходе через точку х = 6 производная меняет знак с ♦-» на «+», и поэтому х = 6 — точка минимума. Следовательно, наименьшее значение на интервале (0;-1-оо) функция /(х) = х + — при- X нимает в точке х = 6 (это значение f (6) = 12). Ответ 36 = 6 • 6. <1 3*. При решении некоторых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции полезно использовать следующее утверждение: Если значения функции f (х) неотрицательны на некотором промежутке, то эта функция и функция (f (х))", где п — натуральное число, принимают наибольшее (наименьшее) значение в одной и той же точке. Задача 4* Из всех прямоугольников, вписанных в окружность радиуса R, найти прямоугольник наибольшей площади. ► Найти прямоугольник — это значит найти его размеры, т. е. длины его сторон. Пусть прямоугольник ABCD вписан в окрулшость радиуса R (рис. 139). Обозначим АВ = х. Из ААВС но теореме Пифагора 279 находим ВС = . Площадь прямо- угольника равна S (х) = X yJiR^ - , где О < X < 2R. Задача свелась к нахождению такого значения X, при котором функция S (х) принимает наибольшее значение на интервале (0; 2R). Так как S (х) > О па интервале (0; 2Д), то функции S (х) и / (х) = (S (х))^ принимают наибольшее значение на этом интервале в одной и той же точке. Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения х, при котором функция f (х) = х=* (4Я^ - х^) = 4ДV - X* принимает наибольшее значение на интервале (0; 2R). Найдём производную f (X) = 8Л^х - 4х^ = 4х (i? V2 + X) (Д л/2 - х). На интервале (0; 2Д) есть только одна стационарная точка X = R л/2 — точка максимума. Следовательно, наибольшее значение функция f (х), (а значит, и функция S (х)) принимает при х = Д -J2. Итак, одна сторона искомого прямоугольника равна Д V2, другая равна ^4Д^ - (Д >/2)^ = Д л/2, т. е. искомый прямоугольник — квадрат со стороной Д л/2, его площадь равна 2Д^. <1 Упражнения 936 Используя график функции (рис. 140), найти её точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значения. 937 Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (X) = 2х® + Зх^ - Збх: 1) па отрезке [-4; 3]; 2) на отрезке [-2; 1J. 938 Найти наибольшее и наименьшее значения функции: 1) f (х) = х^ - 8х^ + 5 па отрезке [-3; 2]; 2) /(x) = x-f— на отрезке [-2;-0,5]; X 3) f (х) = sin X + cos X на отре.зке “ j- 280 у- . - J-1 ^y = fl(x), ; i / 0 ! : . 1 . . X I \| 1 1 ' 1 в) г) Рис. 140 939 Найти наибольшее (или наименьшее) значение функции: 1 Л 1) f (х) = х^ + -=— на промежутке (0; +оо); 2) f (х) = — - х'^ на промежутке (-оо; 0). X 940 941 942 943 944 Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая. Записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. Из всех прямоугольников с периметром р найти прямоугольник наибольшей площади. Из всех прямоугольников, площадь которых равна 9 см^, найти прямоугольник с наименьшим периметром. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: 1) / (•^) = In X — X на отрезке т; 3 945 2) / (х) = X + е~* на отрезке [-1; 2]; 3) f (х)= 2 cos X - cos 2х на отрезке [0; л]. Найти наибольшее значение функции: 1) 3 т/х - X л/х на промежутке (0; -юо); 2) 3x-2xVx на промежутке (0;-t-oo). 281 946 947 948 949 950 951 952 Найти наименьшее значение функции: 1) е®* - Zx на интервале (-1; 1); 2) i + ln д: на интервале (0; 2). X Найти наибольшее значение функции: 1) хМб-х на интервале (0; 5); 2) на интервале (0; 4); 3) ^хН1-х) на интервЕше (0; 1); 4) У(х^-4х + 5)~^ на интервале (-1; 5). Из квадратного листа картона со стороной а нужно сделать открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края (рис. 141). Какой должна быть высота коробки, чтобы её объём был наибольшим? Равнобедренные треугольники описаны около квадрата со стороной а так, что одна сторона квадрата лежит на основании треугольника (рис. 142). Обозначая ВК = х, найти такое значение х, при котором площадь треугольника наименьшая. Из всех прямоугольников, у которых одна вершина лежит на оси Ох, вторая — на положительной полуоси Оу, третья — в начале координат, а четвёртая — на параболе у = 3 - х^, выбран прямоугольник с наибольшей площадью. Найти эту площадь. Найти на параболе у = х'^ точку, ближайхпую к точке А (2; 0,5). Из трёх досок одинаковой ширины сколачивается жёлоб. При каком угле наклона боковых стенок к основанию площадь поперечного сечения жёлоба будет наибольшей? В 282 Выпуклость графика функции, точки перегиба 1. Производная второго порядка. Пусть функция f (х) дифференцируема на интервале (а; 6). Её производная f (х) является функцией от X на этом интервале. Производную f (х) данной функции f (х) называют также первой производной или производной первого порядка функции f (х). Если функция f (х) имеет производную (дифференцируема) на интервале (а; Ь), то эту производную называют второй производной или производной второго порядка данной функции f (х) и обозначают f"(x), т. е. Г(х) = {Г(х)у. Например, если f (х) = х'* - Зх^, то f'(x) = 4х® - 6х, /"(х) = 12х^ - 6, а если / (х) = sin 2х, то f'(x) = = 2 cos 2х, f"(x) = -4 sin 2х. Производную от второй производной функции / (х) называют третьей производной или производной третьего порядка этой функции и т. д. В § 49 и 50 было показано, как с помощью первой производной можно находить промежутки возрастания (убывания) функции и точки экстремума. Рассмотрим свойства функции, которые устанавливаются с помощью второй производной. 2. Выпуклость функции. На рисунке 143 изображены графики функций, имеющих первую и вторую производные на интервале (а; Ь). у = Пх) y = f(x) «) 283 Выясним, в чём заключается различие в поведении этих функций и какие свойства являются для них общими. На рисунке 143, а изображён график возрастающей, а па рисунке 143, б убывающей функции; функция, график которой представлен на рисунке 143, в, не является монотонной на (а; Ь). Однако все кривые, изображённые на рисунке 143, обладают общим свойством: с возрастанием д; от а до Ь угловой коэффициент касательной к каждой из данных кривых уменьшается, т. с. производная каждой из соответствующих функций убывает на интервале (а; Ь), и поэтому f" (д:) < 0. Из рисунков видно, что для любой точки Xq интервала (а; Ь) график функции у = f (х) при всех X е (а; б) и X Xq лежит ниже касательной к этому графику в точке (Xq; f (Xq)). Поэтому функции, графики которых изображены на рисунке 143, называют выпуклыми вверх. Дадим теперь определение выпуклости. Функция y = f (х), дифференцируемая иа интервале (а; б), называется выпуклой вверх на этом интервале, если её производная f (х) убывает на (а; б). Аналогично функция f (х) называется выпуклой вниз на интервале (а; б), если f (х) возрастает на этом интервале (рис. 144), и потому /"(х)>0. Если Хц — любая точка интервала (а; б), то график функции, выпуклой вниз, при всех х е (а; б) и •'^0 (рис. 144) лежит выше касательной к этому графику в точке (х^; f (х„)). Отметим ещё, что если функция у = f (х) выпукла вверх, а М, и — точки этого графика (рис. 145), то на интервале (Xj; Xg), где а < х, < Х2 < б, график функции у = f (х) лежит выше прямой, проведённой через точки М, и М.^. Рис. 144 284 Рис. 145 Задача 1 Задача 2 Интервалы, на которых функция выпукла вверх или вниз, называют ин тервалами выпуклости этой функции. Покажем, как с помощью второй производной можно находить интервалы выпуклости. Пусть функция f (х) имеет на интервале (о; Ь) вторую производную. Тогда если /" (х) < О для всех х е (а; Ь), то на интервале (а; Ь) функция f (х) выпукла вверх, а если f" (х) > О на интервале (а; Ъ), то функция f (х) выпукла вниз на интервале (а; Ь). Найти интервалы выпуклости вверх и вниз функции f (х), если: 1) f W = 2) f (х) = sin X, -л < X < л. 1) Если / (х) = X®, то /" (х) = 6х. Так как /" (х) < О при X < О и /" (х) > О при X > О, то на промежутке (-cxd; 0) функция х® выпукла вверх, а на промежутке (0; -(-сх)) выпукла вниз (рис. 146). 2) Если Z'(х) = sin X, то /"(x) = -sinx. Пусть -л < X < О, тогда sin х < О и f" (х) > 0. Следовательно, функция sin X (рис. 147) выпукла вниз на интервале (-л; 0). Аналогично функция sin х выпукла вверх на интервале (0; л), так как - sin X < О при О < X < л. <] О Доказать, что если О < х < —, то sin х > — х. 2 п ► Прямая у = — х проходит через точки (0; 0) (см. рис. 147). Так как функция y = sin х выпукла 285 Задача 3 вверх на интервале o;f). ТО её график на этом интервале лежит выше прямой у = — х п Это и озна- (»i) справедливо неравен- чает, что на интервале о ство sin д: > — X. <3 71 3. Точка перегиба. В задаче 1 были рассмотрены функции f (х) = х® и f (х) = sin X, для которых точка х = О является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз. Точка Xq дифференцируемой функции f (х) называется точкой перегиба этой функции, если Хд является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз для f(x). Иными словами, в точке перегиба Хд дифференцируемая функция меняет направление выпуклости. Отметим, что при переходе через точку перегиба х„ функции / (х) график этой функции переходит с одной стороны касательной к этому графику в точке Хд на другую сторону. С помощью второй производной можно находить точки перегиба. Пусть функция f (х) имеет на интервале (а; Ь) вторую производную. Тогда если /" (х) меняет знак при переходе через х,,, где Хд е (а; Ь), то Хц — точка перегиба функции f (х). Найти точки перегиба функции: 1) /(х) = хй *; 2) / (х) = х'- 2х®. Найдём первую и вторую производные функции. 1) f'{x) = е ' - хе * = е~^ (1 - х), /" (х) = (1 - лг) - е"-' = е"-* (х - 2). Так как f" (х) < О при х < 2 и /" (х) > О при х > 2, то X = 2 — точка перегиба функции хе *. Других точек перегиба нет. 2) Г (Jc) = 4х® - 6х®, /'"(х)=12х®-12х=12х(х-1). Функция f"{x) меняет знак при переходе через точки О и 1 (и только в этих точках). Следовательно, х = 0 и х=1 — точки перегиба функции f (х) = X* - 2х®. <1 286 Упражнения 953 Найти f" (л;), если: 1) f (Jc) = cos х; 2) f (х) = X* sin х; 3) f (х) = х^ + 2х* - х^ + 2; 4) / (х) = х* - Зх® + 5х + 6. 954 Найти интервалы выпуклости вверх и интервалы выпуклости вниз функции f (х), если: 1) f (X) = (X + 1)^; 2) f (X) = х^ - 6x2 -I- 4; 3) f (х) = (х2 - Зх + 2) 4) f (х) = х* - 6х In х. 955 Найти точки перегиба функции f (х), если: 1) / (х) = cos X, -л < X < л; 2) / (х) = х^ - ЗОх^; 3) f (х) = 12х® - 24x2 + 12х; 4) f (х) = sin ~ sin 2х, -л < х < л. 956 957 958 959 960 961 У Уиражнспня к главе IX Найти интервалы возрастания и убывания функции: 1)1/ = 2х® -I- 3x2 _ 2; 04 _ 2 ^3 _ ^2 2) U = — X® - х2 - 4х + 5; 3 3) г/ = ^-1; X 4) «/ = X- 3 Найти стационарные точки функции: 4х* - 8x2 ^ 2) у = 4х* - 2x2 ^ 3. 1) 1/ = х‘ 3) i/ = £-ii; ' 3 X Найти точки экстремума функции: 1) у = х^ - 4x2; 2) у = Зх'* - 4x2. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках: 1) у = х^~ 2,5x2 ^3. 2) у = 0,2x2 - 4x2 - 3. Построить график функции: 1) (/ = 4- + Зх2; 4) у = COS 2х f 2 cos X. 2) у = -^ + х^. Построить график функции: 1) I/ = 3x2 _ бх + 5 на отрезке [0; 3J; 2) у = -х*-—х^-—х‘‘ + 2 на отрезке [-2; 4]. 4 3 2 287 962 Найти наибольшее и наименьшее значения функции; 1) f (дс) = д:* - + 9 на отрезке [-2; 2J; 2) f (дс) = д;'^ + бд:^ + 9х на отрезке [-4; 0]; 3) f (х) = X* - 2х^ + 3 на отрезке [-4; 3]; 4) f (х) = X* - 8х^ + 5 на отрезке [-3; 2]. 963 Доказать, что из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат. 964 Из всех равнобедренных треугольников с периметром р найти треугольник с наибольшей площадью. 965 Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат и площадь полной поверхности равна 600 см^, найти параллелепипед наибольшего объема. 2 3 Проверь себя! Найти интервалы возрастания и убывания функции у = 6х- 2х®. X 3 Найти точки экстремума функции у = — + 3 X Построить график функции: I) у = 2х* -х^ +1; 2) I/ = X® - Зх. Функция у = х + — непрерывна на отрезке [1; 5]. Найти её X наибольшее и наименьшее значения. Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м, а высота 3 м. Какой длины должны быть стороны основания, чтобы объём параллелепипеда был наибольшим? 966 Доказать, что функция j/= 1,8х® -2 - х*-I-7х-i-12,5 возра- 3 стает на всей области определения. 967 Доказать, что функция у =х (1 + 2 Ух) возрастает на всей области определения. 968 Найти точки экстремума функции: 1) у = X In х; 2) у = хе*: 3) // = 25 9 7 - дг 3-х 969 На рисунке 148 изображён график функции у = g (х), являющейся производной функции у = f (х). Найти: 1) интервалы возрастания и убывания функции у = f (х); 2) точки экстремума функции у = f (х); 3) * точки перегиба функции у = f (х). 288 Рис. 148 2) l/ = д:^ + 4 970 Построить график функции: 1) у = -^; х^-4 3) у = {х- If {X + 2); 4) у = х(х- 1)=*. 971 Найти наибольшее и наименьшее значения функции: 1) f (х) = 2 sin д: + sin 2д: на отрезке j^O; ^ л ; 2) f (х) = 2 cos X + sin 2х на отрезке [0; л]. 972 Из всех прямоугольных треугольников, у которых сумма одного катета и гипотенузы равна I, найти треугольник с наибольшей площадью. 973 Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 40. Какую длину должны иметь катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей? 974 Сумма диагоналей параллелограмма равна а. Найти наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон. 975 Найти точки перегиба функции: I) f (х) = 6х^ - х^; 2) f (х) = 3х^ + 4х^. 976 Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг радиуса R так, что одна сторона прямоугольника лежит на диаметре полукруга, выбран тот, у которого наибольшая площадь. Найти эту площадь. 977 Найти наибольший из объёмов всех пирамид, у каждой из которых высота равна 12, а основанием является прямоугольный треугольник с гипотенузой 4. 289 978 979 Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен р, выбреш цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём. Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямоугольного параллелепипеда с площадью поверхности 2S. Каковы должны быть длина и ширина кузова, чтобы его объём был наибольшим, а отношение длины к ширине рав-5. ыялось -? 2 980 Найти точки экстремума функции у = х^-Зх + 2 х^ + Зх + 2 981 Построить график функции: 1) у = (х^-1)у1х + \-. F 2) у = |jc| • Vl+Sx; Т ct 4) у = х^е *. Рис. 149 982 Груз, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть с места силой, приложенной к этому грузу (рис. 149). Определить угол, образуемый этой силой с плоскостью, при котором величина силы будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен k. X глава Интеграл %\-:К Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира. Н. И. Лобачевский Первообразная Рассмотрим движение материальной точки вдоль прямой. Пусть .закон движения точки задан функцией S (t). Тогда мгновенная скорость и {t) равна производной функции 8 (О. т. е. и (f) = 8'(f). В практике встречается обратная задача: по заданной скорости движения точки v (t) найти закон движения, т. е. найти такую функцию s (<). производная которой равна о (t). Функцию я (/), такую, что s'(t)=v(t), называют первообразной функции V (#). Например, если v(t) = at, где а — заданное число. то функция 8 (f) = аг является первообразной функции V (t), так как s' (f) = j = at = и (t). Функция F (jc) называется первообразной функции f (дг) на некотором промежутке, если для всех X из этого промежутка F' (а:) = f (х). Например, функция F (дс) = sin х является первообразной функции f(x) = cosx, так как (sin д:)'= = cos X, функция F (х) = — является первообраз- Л ной функции f (х) = х^, так как 291 Задача 1 Доказать, что функции х’* . 1 X® —,-----1-1, --4 являют- 3 3 3 ся первообразными функции f{x) = x^. 1) Обозначим = = / (X). _3 2) F, тогда F,'(X) = 3.:^ = 2(Х) = ^-Ы, -f’a (^) 3) ^з(х) = ^-4, РЦх) О = [^ + lj'=x2=/(x). = j^^-4j' = x=^=/(x). < Вообще, любая функция — + С, где С — постоян- 3 ная, является первообразной функции х^. Это следует из того, что производная постоянной равна нулю. Этот пример показывает, что для заданной функции её первообразная определяется неоднозначно. Пусть F, (х) и Fj (х) — две первообразные одной и той же функции f (х). Тогда F[ (х) = / (х) и Fj| (х) = f (х). Производная их разности g (х) = = F, (х) - Fg (^) равна нулю, так как g’ (х) = F', (х) -- F' (X) = f{x)-f (X) = 0. Если g' (х) = о на некотором промежутке, то касательная к графику функции у = g (х) в каждой точке этого промежутка параллельна оси Ох. Поэтому графиком функции у = g (х) является прямая, параллельная оси Ох, т. е. g (х) = С, где С — некоторая постоянная. Из равенств g (х) = С, g (х) = = Fj (х) - (х) следует, что F, (х) = Fg (х) -ь С. Итак, если функция F (х) является первообразной функции f (х) на некотором промежутке, то все первообразные функции f (х) записываются в виде F (х) -I- С, где С — произвольная постоянная. Рассмотрим графики всех первообразных заданной функции f (х). Если F (х) — одна из первообразных функции f (х), то любая первообразная этой функции получается прибавлением к F (х) некоторой постоянной: F (х) + С. Графики функций у = F (х) -ь С получаются из графика у = F (х) сдвигом вдоль оси Оу (рис. 150). Выбором С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через заданную точку. 292 Задача 2 Для функции f (jc) = х найти такую первообразную, график которой проходит через точку (2; 5). ► Все первообразные функции f (х) = х находятся по J.2 формуле F (х) - — + С, так как F' (х) = х. Найдём 2 -2 число с, такое, чтобы график функции у = — + С проходил через точку (2; 5). Подставляя х = 2, у = 5, получаем 5 = —+ С, откуда С = 3. Следовательно, F(x) = ^-b3. <] Задача 3 Доказать, что для любого действительного р Ф-1 гР + 1 функция F (х) =-----является первообразной р+ 1 функции f (х) = х'' на промежутке (0; -ноо). ^ , ГхР + О' (x'’*‘V ► Так как (х^ * — {р + 1) • х’’, то - =-------= \р+1 ) р+1 = хР. < Упражнения 983 Показать, что функция F (х) является первообразной функции f (х) на всей числовой прямой: 1) F(x) = ^, f(x) = x^ 2) F(x) = 4- + 1. fix) = x\ 6 5 984 Показать, что функция F (х) является первообразной функции f (х) при X > 0: 1) F(x) = ^, /(х) = -4; 2) F(x)^\ + ^, = X 2Vx 985 Найти все первообразные функции: _ 1 1) х-*; 2) х^ 3) х-=*: 4) X 2. 980 Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку М: 1) /(х) = х, М(-1;3); 2)f(x) = ^fx, М (9; 10). 987 Показать, что функция F (х) является первообразной функции /(х) на всей числовой прямой: 1) F (х) = Зе® , / (х) = е* ; 2) F (х) = sin 2х, / (х) = 2 cos 2х. 293 ^ Правила нахождения первообразных Напомним, что операцию нахождения производной для заданной функции называют дифференцированием. Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием (от латинского слова integrare — восстанавливать). Таблицу первообразных для некоторых функций можно составить, используя таблицу производных. Например, зная, что (cos х)' = -sin х, получаем (-С08 х)' = sin X, откуда следует, что все первообразные функции sin X записываются в виде —cos X + С, где С — произвольная постоянная. Приведём таблицу первообразных. Функция Первообразная х’’, р ^ + С р+1 i, X > 0 X In X + С е=‘ е* -(- С sin X -cos X + С cos д: sin X + С (кх + Ь)'', р -1, к *0 (kx+b)P*^ , ^ А(р+1) ^ , к*0 кх+ Ь — In (Лх + д) + с k к*0 i ?**** +с к sin {кх + 6), к ^ 0 -i cos (Ах + А) + С А cos (Ах + 6), к *0 — sin (Ах + Ь) + С к 294 Отметим, что во всех рассмотренных примерах и в дальнейшем функция F (х) является первообразной функции f (х) на таком промежутке, на котором обе функции F (х) и f (х) оиределены. Напри- 1 мер, первообразной функции 2х-4 является функ- ция i In (2х - 4) на TaicOM промежутке, на котором 2х - 4 > О, т. е. на промежутке (2; -t-oo). Правила интегрирования можно также получить с помощью правил дифференцирования. Приведём следующие правила интегрирования: Пусть F (х) и G (х) — первообразные соответственно функций f (х) и g (х) на некотором промежутке. Тогда: 1) функция F {x)±G (х) является первообразной функции f (х) ± ^ (х): 2) функция aF (х) является первообразной функции af (X). Задача 1 Найти одну из первообразных функции f (х) = х^ -I- 3 соа X. ► Используя правила интегрирования и таблицу первообразных для функций х’’ при р = 2 и для cos X, находим одну из первообразных данной функции: F (х) = ^ -f 3 sin X. <] 3 Задача 2 Найти все первообразные функции - JT _ 4 sin (2х -н 3). ► По таблице первообразных находим, что одной из первообразных функции е’ “ * является функция -е’"*, а одной из первообразных функции sin (2х + 3) является функция cos (2х3). По правилам интегрирования одна из первообразных данной функции: -е* 2 cos (2х-I-3). Ответ -е. 1-х + 2 cos (2х + 3) -I- С. <3 Упражнения Найти одну из первообразных функции (988—990), 988 1) 2х'-Зх2; 2) 5x"-t-2x*: 3) - + -^; X 4) 4---; 5) 6х^ - 4х + 3; 6) 4 V~x — 6 Vx. 295 989 1) 3 cos X - 4 sin x; 3) e* - 2 cos д:; 5) + 3cos x; 7) 6 VI-- + 3e': 2) 5 sin ДГ + 2 cos x\ 4) 3c* - sin x; 6) 1 +3c*-4cos x; 8) 4= + --2e'* . Vx ^ 990 1) (X + 1)^; 2) (X - 2)=*; 3) л/хЛ 4) 5) 1 + 4cos(x + 2); 6) -2 sin(x-l). 991 x-1 ' '' ' X-3 Найти все первообразные функции: 1) sin (2х + 3): 2) cos (Зх + 4); 3) cos^^-lj; дг +1 992 4) sinf^ + s); 5) с 2 ; б) с'**’*^; 7) 8) . \А У 2х Зх-1 Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку М: 1) f{x) = 2х + 3, М (1; 2): 2) f(x) = 4х - 1, М (-1; 3); 3) /(х) = sin 2х, М 5 j; 4) /(х) = cos Зх, М (0; 0). Найти одну из первообразных функции (993—996). 993 1) с" - cos Зх; 2) с^ + sin 2х; „ 2г + -^ 3 . 3) 2 sin — - 5с 5 Д: . 2 . if- 994 1) 5) ,/т+4 sin (4х + 2); 2x'*-4x3+ X 4) 3 cos - + 2с 7 6) л/3х +1 2х-5 2) 6х^- Зх + 2 3) (1 + 2х) (X - 3); 4) (2х - 3) (2 + Зх). 995 1)(2х + 1)>/х; 2)(3x-2)Vx; 3) X + 4. 4) х-3 Гх ■ 996 997 1) sin X cos х; 2) sin х cos Зх - cos х sin Зх. Найти первообразную функции у = 2 sin 5х + 3 cos ^, которая при х = ^ принимает значение, равное 0. 3 998 Найти одну из первообразных функции: 1) х-З 2) х-1 . х^ + X - 2' 3) cos^ х; 4) sin Зх cos 5х. 296 Площадь криволинейной трапеции и интех'рал Рассмотрим фигуру, изображённую на рисунке 151. Эта фигура ограничена снизу отрезком [а; &] оси Ох, сверху графиком непрерывной функции у = f(x) такой, что f (х)^ О при х е [а; Ь] к f (х) > О при X е (а; Ь), а с боков ограничена отрезками прямых X = а и X = Ь. Такую фигуру называют криво линейной трапецией. Отрезок [а; 5] называют основанием этой криволинейной трапеции. Выясним, как можно вычислить площадь S криволинейной трапеции с помощью первообразной функции f (д:). Обозначим S (х) площадь криволинейной трапеции с основанием [а; х] (рис. 152), где х — любая точка отрезка [а; Ь]. При х = а отрезок [а; х] вырождается в точку и поэтому S (а) = О, при х = Ь имеем S (5) = S. Покажем, что S (х) является первообразной функции /(х), т. е. S' (х) = f (х). Рассмотрим разность S (х -н Л) — S (х), где А > О (случай Л < О рассматривается аналогично). Эта разность равна площади криволинейной трапеции с основанием [х; х -(■ Л] (рис. 153). Справедливо утверждение: найдется точка с е [х; х + Л] такая, что указанная площадь равна площади прямоугольника с основанием [х; х + Л] и высотой f (с), т. е. S (X + Л) - S (X) = / (с) Л. Строгое доказательство этого утверждения рассматривается в курсе высшей математики. 297 Пусть Л ^ О, тогда с -* х и f {с) -* f (х), так как f (х) — непрерывная функция. Отсюда следует, что S(x+ h)-S(x) -------------= / (с) -► f (х) при Л -» О, Л т. е. S' (х) = f (X). О Любая другая первообразная F (х) функции f (х) отличается от S (х) на постоянную, т. е. F(x) = S (X) + С. (1) Из этого равенства при х = а получаем F (а) = = S (а) + С. Так как S (а) = О, то С = F (а) и равенство (1) можно записать так: S(x) = F(x)-F(a). Отсюда при х = Ь получаем S{b) = F (Ь) - F (а). Итак, площадь криволинейной трапеции (рис. 151) можно вычислить по формуле S = F(b)-F(a), (2) где F (х) — любая первообразная функции f (х). Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к отысканию первообразной F (х) функции f (х), т. е. к интегрированию функции f (х). Разность F (Ь) - F (а) называют интегралом от функции f (х) на отрезке [а; Ь] и обозначают так: ь ^f(x)dx (читается: «Интеграл от а до 5 эф от икс дэ икс*), т. е. ь jf(x)dx = Fib)-F{a). (3) Формулу (3) называют формулой Ньютона — Лейбница в честь создателей дифференциального и интегрального исчисления. Из формул (2) и (3) получаем ь S=^f{x)dx. (4) 298 Рис. 154 Задача 1 Задача 2 Рис. 155 Найти площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 154. 8 ► По формуле (4) находим S =| dx. Вычислим этот 1 интеграл с помощью формулы Ньютона — Лейбница (3). Одной из первообразных функции ^ 3 f (х) = х^ является F (х) = —. Поэтому S = [dx = 3 I = F(3)-F(l) = -^-^^ = 8| (кв. ед.). <1 Формулы (3) и (4) справедливы и для случая, когда функция / (х) положительна внутри отрезка [а; Ь], а па одном из концов отрезка или на обоих концах равна нулю. Найти площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 155. ► Функция F (х) = -cos X является первообразной для функции f (х) = sin X. По формулам (3) и (4) полу- Я чаем S=|sin xdx = F(K)-F(0) = (-cos 7t)-(-cos 0) = 0 = 1 + 1 = 2 (kb. ед.). <] Исторически интеграл возник в связи с вычислением площадей фигур, ограниченных кривыми, в частности в связи с вычислением площади криволинейной трапеции. Рассмотрим криволинейную трапецию, изображённую на рисунке 156. На этом рисунке основание трапеции — отрезок [а; 5] — разбито на п отрезков (необязательно равных) точ- ками X 1» *2> 299 Рис. 156 Через эти точки проведены вертикальные прямые. На каждом отрезке дс*]. fe = 1, 2, п, вы- берем точку и обозначим Ддс^, = д:,, - дс^, _ j. Тогда f (c\)&Xf^ — площадь прямоугольника с основапи-ем Дддд, и высотой а площадь криволинейной трапеции приближённо равна сумме площадей построенных прямоугольников: S„ = /(с,) Дх, -I- /(с-2) Дд^г + ••• + f(c„) Дд:„. (5) Сумму (о) называют интегральной суммой функции ((х) на отрезке [а; Ь\. Будем увеличивать число точек разбиения отрезка [а; Ь] так, чтобы наибольшая из длин отрезков [x*_pxj стремилась к нулю. В курсе высшей математики доказывается, что для любой непрерывной на отрезке [а; 6J функции f (дс) (не обязательно неотрицательной) интегральные суммы (5) стремятся к некоторому числу, т. е. имеют предел, не зависящий от выбора точек с,,. Этот предел называют интегралом (определённым интегралом) от функции f (х) на ь отрезке [а; 6] и обозначают jf(x)dx. Вычисляют а Ь интеграл по формуле J / (дс)£/д: = ^(6) -/’(а), где а F {х) — любая первообразная для функции f (х) на отрезке [а; б]. Упражнения 999 Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную: 1) графиком функции у = (х — 1)^, осью Ох и прямой х = 2; 2) графиком функции у = 2х - х'^ и осью Ох; 300 3) графиком функции у = —, осью Ох и прямыми jc = l, X JC = 4; 4) графиком функции у = л[х, осью Ох и прямой х = 4. 1000 Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми X = а, X = Ь, осью Ох и графиком функции у = f (х): 1) а = 2, Ь = 4, f{x) = xh 2) а = 3, 6 = 4. f(x) = х^-, 3) а=-2, 6=1, /(дс) = х^-н1; 4) а = О, 6 = 2, / (х) = X® + 1; 5) а = ^, 6 = ^. /(x) = sin х; 3 3 6) а=--, 6 = 0, / (х) = cos X. 6 1001 Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой: 1) у = 4 - х^; 2) у -1 - х^-, 3) у = -х^ -н 4х - 3. 1002 Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, X = 6, осью Ох и графиком функции у = f (х): 1) 0 = 1, 6 = 8, f(x) = \[x-, 2) а = 4, 6 = 9, f{x) = -J~x. 1003 Найти площадь фигуры, ограниченной прямой х = 6, осью Ох и графиком функции у = f (х): 1) 6 = 2, /(х) = 5х-х^, 2 ^ X ^ 5; 2) 6 = 3, / (х) = х^ + 2х; 3)6 = 1, /'(х) = е*-1; 4)6 = 2, /(х)=1- 1 Вычисление интегралов Интегралы можно приближённо вычислять с помощью интегральных сумм. Такой способ требует громоздких вычислений. Его применяют в тех случаях, когда не удаётся найти первообразную функции f (х) и для вычислений обычно используют ЭВМ, составляя специальные программы. Если мсе первообразная функция известна, то интеграл можно вычислить точно, используя формулу Ньютона Лейбница. 301 Приведём примеры вычисления интегралов по формуле Ньютона — Лейбница с помощью таблицы первообразных и правил интегрирования. 1 Задача 1 Вычислить интеграл |(x-l)dx. о ► Одной из первообразных функции д: — 1 является функция —-------X. Поэтому J(x-l)dx = j^------ij- = = <1 [2)2 2 При вычислении интегралов удобно ввести следующее обозначение: F(ft)-F(a) = f'(x)|\ Тогда формулу Ньютона — Лейбница можно записать в виде ь jf(x)dx = F(x)\l. Задача 2 Вычислить интеграл Jsinxdx. ► Isin xdx = (-cos x)|“^ = (-cos a) - (-cos (-a)) = - a = -cos a + cos (-a) = 0, так как cos (-a) = cos a. 1, для которых выполняется равенство ь J (й - 4x)djc > 6 - 5й. : Вычислсиие площадей J с помощью интегралов • I...............I.................I................I.................I................I................I • Задача 4 Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, прямыми х = -1, х = 2 и параболой у = 9 - х^. ► Построим график функции у = 9 - х^ и изобразим данную трапецию (рис. 157). 304 Рис. 157 Рис. 158 Искомая площадь S равна интегралу 2 S= J(9-x2)dx. По формуле Ньютона 2 S = Лейбница находим 2 - 9{-1) (-1)“ = 24. < Задача 2 Найти площадь фигуры, ограниченной параболами у = х^, у -2х - и осью Ох. ► Построим графики функций у = х^, у = 2х — х.^ и найдём абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения = 2х - х^. Корни этого уравнения Xj = О, х^ = 1. Данная фигура изображена на рисунке 158. Из рисунка видно, что эта фигура состоит из двух криволинейных трапеций. Следовательно, искомая площадь равна сумме площадей этих трапеций: S= fx=*dx+f(2x-x2)dx = ^ -ь х^-^ =1.<1 о 1 3 о V 3 ;, Задача 3 Найти площадь S фигуры, ограниченной отрезком -: — оси Ох и графиком функции у = cos х [2 2 J на этом отрезке. ► Заметим, что площадь данной фигуры равна площади фигуры, симметричной данной относительно оси Ох (рис. 159), т. е. площади фигуры, огра- 305 Рис. 159 Рис. 160 ниченнои отрезком я. ^ 2’ 2 оси Ох и графиком . На этом функции у = -С08 X на отрезке отрезке -cos х > О, и поэтому S = J(-cos x)dx — я. ^ 2’ 2 Зя 2 Задача 4 Рис. 161 = (-sin я:)| = ^-sin ^ j - l^-sinj = 2. <1 Вообще, если / (дг) ^ О на отрезке [а; Ь], причем равенство нулю может быть лишь на его концах (рис. 160), то площадь S криволинейной трапеции ь равна S = J(-/(д:))с(дг. а Найти площадь S фигуры, ограниченной параболой у = х^ + 1 и прямой у = X + 3. ► Построим графики функций у = х^ + I и у = X + 3. Найдём абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения х^ + 1 = X -I- 3. Это уравнение имеет корни Xj^-l, Xg = 2. Фигура, ограниченная графиками данных функций, изображена на рисунке 161. Из рисунка видно, что искомую площадь можно найти как разность площадей Sj и S2 двух трапеций, опирающихся на отрезок [-1; 2], первая из которых ограничена сверху отрезком прямой у = X + 3, а вторая — дугой параболы у = х^ + 1. Так как 306 Si = |(x + 3)dx, Sj = |(x’^ + l)dx, -1 -I 2 2 TO S = Sj — Sj = J(x + 3)dx- J(x^ + l)dx. -1 -1 Используя свойство первообразных, можно записать S в виде одного интеграла: 2 S= J((x-h3)-(x^-H))dx = = ^(x + 2-x^)dx = \^^ + 2x-^^ = 4,5. <] Вообще, площадь фигуры, изображённой на рисунке 162, равна ь S = jifzix)- fi(x))dx. (1) Эта формула справедлива для любых непрерывных функций (х) и /2 (^) (принимающих значения любых знаков), удовлетворяющих условию ft ^ Л (^)- Задача 5 Найти площадь S фигуры, ограниченной параболами у = х^ и у = 2х^ - 1. ► Построим данную фигуру (рис. 163) и найдём абсциссы точек пересечения парабол из уравнения х*= 2х^ - 1. Рис. 162 307 Это уравнение имеет корни Xj j = ±1. Воспользуемся формулой (1). Здесь /j (дг) = 2х^ - 1, (д:) = 1 1 S= |(дг2-(2д:2_1))£/д:= -1 -1 1 = |-- + д: -1 = 1. О 3 Упражнения 1013 На рисунке 164 изобр£1жены криволинейные трапеции. Найти площадь каждой из них. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (1014—1023). 1014 1) Параболой y = (x + lf, прямой у = I - х и осью Ох; 2) параболой у = А - х^, прямой у = х + 2 и осью Ох; 3) параболой у = 4х — х‘‘, прямой у = 4 - х и осью Ох; 4) параболой у = Здг^, прямой у = 1,5д: -I- 4,5 и осью Ох. 1015 1) Графиками функций у = у[х, у = {х - 2f и осью Од;; 2) графиками функций у = х^, у = 2х - х^ и осью Од:. 1016 1017 1018 х^ -I- Зд: и осью Од:; ^ - 4д: -1- 3 и осью Ох. 1) Парабо.лой у 2) параболой у■ 1) Параболой у = х^ + I и прямой у = 3 - х; 2) параболой у = (х + 2)^ и прямой у = х + 2; 3) графиком функции у = Vx и прямой у = х. 1) Параболами у = 6х*, (/ = (х - 3) (х - 4) и осью Ох; 2) параболами у = 4 - х^, у = (х - 2)^ и осью Ох. 308 1019 1) Графиком функции у = sin х, отрезком [0; nj оси Ох и прямой, проходящей через точки (0; резком [0; л1 с ); 0) „ l); 2) графиками функций у = sin х, у = cos х и отрезком 0; — оси Ох. 2. 1020 1) Параболой у = 6х - х^ и прямой у = х + 4; 2) параболой у = 4 — х^ и прямой у = х + 2. 1021 1) Параболой у = 2 - х^ и прямой у = -х; 2) прямой у = 1, осью Оу и графиком функции у = sin х при о < л: 2 1022 1) Параболой у = -х^ + 4зс: - 3 и прямой, проходящей через точки (1; 0) и (0; -3); 2) параболой у = -х^ и прямой у = -2; 3) параболами у = 1 - х^ и у = х^ - 1; 4) графиком функции у = х^ и прямыми у = I, х = -2. 1023 1) Параболой у = х^ + 10 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0; 1); 2) гиперболой у = -, прямой д: = 1 и касательной к кривой X у = — в точке с абсциссой д: = 2. X 1024 Фигура 01'раничена линиями у = х^ + 1, у - 0, д: = 0, х=1. Найти точку (Хд; Уд) графика функции у = х^ + 1, через которую надо провести касательную к этому графику так, чтобы она отсекала от фигуры трапецию наибольшей площади. Примепение производной н интеграла к решению практических задач 1. Простейшие дифференциальные уравнения. До сих пор рассматривались уравнения, в которых неизвестными являлись числа. В математике и её приложениях приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции. 309 Так, задача о нахождении пути а (t) по заданной скорости V (t) сводится к решению уравнения s'(t) = V (t), где V (t) — заданная функция, а S (i) — искомая функция. Например, если v{t) = 3-4t, то для нахождения S (i) нужно решить уравнение а’ (t) = 3 - 4t. Это уравнение содержит производную неизвестной функции. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Задача 1 Решить дифференциальное уравнение у'= х + 1. ► Требуется найти функцию у (дг), производная которой равна дгн- 1, т. е. найти первообразную функции X -I- 1. По правилам нахождения первообраз- _2 ных получаем у = — -н х -и С, где С — произвольная 2 постоянная. <3 Решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Обычно к дифференциальному уравнению добавляется условие, из которого эта постоянная определяется. Задача 2 Найти решение у (х) дифференциального уравнения у' = cos X, удовлетворяющее условию 1/(0) = 2. ► Все решения этого уравнения записываются формулой у (х) = sin X -I- С. Из условия у (0) = 2 находим sin о -(- С = 2, откуда С = 2. Ответ у = 2 -ь sin х. <1 Решение многих физических, биологических, технических и других практических задач сводится к решению дифференциального уравнения у' = Аеренциаль-пого уравнения у” + (о^у = 0. 1030 Масса радия, равная 1 г, через 10 лет уменьшилась до 0,999 г. Через сколько лет масса радия уменьшится до 0,5 г? 1031 Вычислить работу, которую нужно затратить при сжатии пружины на 3 см, если сила в 2 Н сжимает эту пружину на 1 см. 1032 Вычислить работу, которую нужно затратить при растяжении пружины на 8 см, если сила в 3 Н растягивает пружину на 1 см. Упражнения к главе X ........I ^ . Г. 1033 Для функции f ix) найти первообразную, график которой проходит через точку М: 1) f(x) = coax, М(0;-2); 2) / (дг) = sin л:, М (-л; 0); 3) f(x) = -^, М(4; 5); •Jx 4) f (дг) = «•', М (0; 2); 5) f(x) = Зх^ + 1, М (1; -2); 6) f{x) = 2- 2х, М (2; 3). Вычислить интеграл: 2 2 2 1) j2dx; 2) |(3-X)dj:; 3) j(x^-2x)dx; -1 -2 1 1 8 2 2 4) J(2x-3x2)dx; 5) jvTrdx; 6) J7) j cos xdx. -1 1035 HfiiiTH нлощадь фигуры, ограниченной линиями: 1) 1/ = Лс, X = 1, X = 4, у = 0; 2) у = С08 X, X = О, X = ^, у = 0", 3 3) у = х‘‘, у = 2 - х; 4) у = 2х^, у = 0,5х + 1,5. Проверь себя! Показать, что функция F (х) = + х^ - cos х является первообразной для функции f (х) = 2е^^ + Зх^ + sin х на всей числовой прямой. Для функции f (х) = Зх^ + 2х - 3 найти первообразную, график которой проходит через точку М (1; -2). Вычислить: Я 2 4 '2 « 1) j 3x®dx; 2) J 3) j cos xdx; 4) j sin2xdx. 4 Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) параболой у = х^ + х - 6 и осью Ох; 2) графиками функций у = х^ + 1 и у = 10. 315 Вычислить интеграл (1036—1037). 1036 1037 4 1) j(5x-‘-8x3)dx; о 3) I Vx Я 5) JV^in^djc; о 1) [ i COS f ДГ + ildx; J 2 V 4 J 3 3) |з sin(3j:-6)da:; 2) j(6x^-5x)dx; -1 4) I 4Vx ^1--jdjr; 6 6) j^/2x-Зc^x. 2 я s 4) Js cos (4x-12)dx. 1038 1039 1040 1041 1042 Найти шющадь фигуры, ограниченной линиями (1038—1039). 1) i/ = -. !/ = 4х, х=1, у = 0; X 2) У = -у. у = х, х=2, у = 0; 3) I/ = + 1, у = х+и 4) у = х^ + 2, у = 2х + 2. 1) у = х^ - 6х + 9, у = х^ + 4х + 4, у = 0; 2) у = х^ + 1, у = 3-х'^; 3) 1/ = х2, j/ = 2 4) у = -/х, у= V4-3JC, р = 0. Найти площадь фигуры, огра1шченвой: 1) параболой у = х^ - 2х + 2, касательпой к ней, проходящей через точку пересечения параболы с осью Оу, и прямой X = 1; 2) гиперболой у = —, касательной к ней, проходящей через X точку с абсциссой х = 2, и прямыми у = 0, х = 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 1) у = х“^ — Зх^ - 9х + I, X = О, у = 6 (при X < 0); 2) у = х^-2х‘^ +5, у = 1, х = 0, х=1. При каком значении к площадь фигуры, ограниченной нараболой р = х* + рх, где р — заданное число, и прямой у = кх + 1, наименьшая? 316 XI глава Комбинаторика в нашу современную жизнь вторгается математика с её особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера, и для биолога. Б. В. Гнеденко Правило произведения • I......I.........I........I........I........«• В курсе алгебры основной школы решались элементарные комбинаторные задачи, связанные с составлением различных соединений (комбинаций) из имеющихся элементов. Было сформулировано правило произведения, упрощающее в ряде случаев подсчёт числа соединений определённого вида. Напомним его. Если существует п вариантов выбора первого элемента и для каждого из них имеется т вариантов выбора второго элемента, то всего существует п • т различных пар с выбранными таким образом первым и вторым элементами. Задача 1 Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр О, 1, 2, 3? ► В качестве первой цифры может быть выбрана любая из цифр 1, 2, 3 (т. е. п = 3). Второй цифрой может быть выбрана любая из четырёх данных цифр О, 1, 2, 3 (т. е. т = 4). Согласно правилу произведения число всевозможных двузначных чисел, составленных с помощью предложенных цифр, равно я • m = 3 • 4 = 12. Ответ 12. <1 317 Задача 2 Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр О, 1, 2, 3? ► При решении задачи 1 было установлено, что с помощью цифр О, 1, 2 и 3 можно записать 12 различных двузначных чисел. К каждому из них можно приписать любую из четырёх имеющихся цифр, получая тем самым различные трёхзначные числа. Таким образом, согласно правилу произведения существует 12 • 4 = 48 различных трёхзначных чисел, записанных с помощью данных цифр. Ответ 48. <] При решении задачи 2 фактически дважды использовалось правило произведения. Действительно, первую цифру числа можно было выбрать 3 способами, вторую к ней присоединить — любым из 4 способов, третью цифру к каждому образованному двузначному числу можно было приписать 4 способами. Всего трёхзначных чисел с помощью данных цифр можно образовать (3 • 4) • 4 = 48 способами. Таким образом, правило произведения может быть примепепо неоднократно для подсчёта числа соединений из трёх, четырёх и т. д. элементов, выбираемых из определённых множеств с конечным числом элементов. Задача 3 Сколько различных пятибуквенных слов можно записать с помощью букв «и* и «л»? (Словом в комбинаторике называют любую последовательность букв; среди составленных из данных букв слов только слово «лилии* имеет смысл в русском языке.) ► Каждая из пяти букв составляемого слова последовательно выбирается из предложенных двух букв. Применив 4 раза правило произведения, найдём число всевозможных пятибуквенных слов, составленных из двух данных букв: 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 2® = 32. Ответ 32. <1 Упражнения 1043 Сколько различных двузначных чисел с разными цифрами можно записать, используя цифры: 1) 1, 2 и 3; 2) 4, 5 и 6; 3) 5, 6, 7 и 8; 4) 6, 7, 8 и 9; 5) 0, 2, 4 и 6; 6) 0, 3, 5 и 7? 318 1044 Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр: 1) 2 и 3; 2) 8 и 9; 3) О и 2; 4) О и 5? 1045 Сколько различных трёхзначных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр: 1) 3, 4 и 5; 2) 7, 8 и 9; 3) 5, 6, 7 и 8; 4) 1, 2, 3 и 4? 1046 Сколько различных четырёхбуквенных слов можно записать с помощью букв: 1) «м* и «а*; 2) *п» и «а»; 3) «к*, «а» и «о»; 4) «ш», «а» и «л*? 1047 Путешественник может нопасть из пункта А в пункт С, проехав через пункт В. Между пунктами Л и В имеются три различные дороги, а между пунктами В и С — четыре различные дороги. Сколько существует различных маршрутов между пунктами А w С7 1048 Чтобы попасть из города М в город К, нужно проехать через город N. Между городами М и N имеются четыре автодороги, а из города N в 1'ород К моисно попасть либо поездом, либо самолетом. Сколько существует различных способов добраться из города М в город К? 1049 Сколькими способами могут распределиться золотая и серебряная медали на чемпионате по футболу, если в нём принимают участие: 1) 32 команды; 2) 16 команд? 1050 Сколькими способами можно составить расписание 5 уроков на один день из 5 различных учебных предметов? 1051 Сколькими способами можно составить расписание 6 уроков из 6 разных учебных предметов? 1052 Сколькими способами могут занять очередь в школьный буфет: 1) 6 учащихся; 2) 5 учащихся? 1053 В классе 18 у’шщихся. Из их числа нужно выбрать физорга, культорга и казначея. Сколькими способами это можно сделать, если один ученик может занимать не более одной должности? 1054 В классе 20 учащихся. Необходимо назначить по одному дежурному в столовую, вестибюль и спортивный зал. Сколькими способгши это можно сделать? 1055 Сколько различных шифров можно набрать в автоматической камере хранения, если шифр составляется с помощью: 1) любой из 10 гласных букв с последующим трёхзначным 319 числовым кодом: 2) любой из 8 согласных букв «к», «л*. ♦ м», *н», «п», «р», «с», *т» с последующим четырёхзначным числовым кодом (нуль в коде может стоять и на первом месте)? 1056 Сколько существует пятизначных чисел, в которых все цифры, стоящие на нечётных местах, различны? 1057 Сколько существует шестизначных чисел, в которых все цифры, стоящие на чётных местах, различны? 1058 Сколько нечётных: 1) трёхзначных; 2) четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр О, 1, 2, 3, 4, 5, если любую из них можно использовать в записи числа не более одного раза? Перестаиовки Задача 1 Сколькими способами можно поставить рядом на полке 4 различные книги? ► На первое место можно поставить любую из четырёх книг, на второе — любую из трёх оставшихся, на третье — любую из двух оставшихся и на четвёртое место — последнюю оставшуюся книгу. Применяя последовательно правило произведения, получим 4 • 3 • 2 • 1 = 24. Ответ Книги можно поставить 24 способами. 0 В этой задаче фактически было найдено число всевозможных соединений из четырёх элементов, которые отличались одно от другого порядком расположения этих элементов. Такие соединения называют перестановками. Определение. Перестановками из п элементов называются соединения, которые состоят из одних и тех же п элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения. 320 Задача 2 Ответ Число перестановок из п элементов обозначают {Р — первая буква французского слова permutation — перестановка) и читают «пэ энное». В задаче 1 было найдено = 24. Последовательно применяя правило произведения, можно получить формулу числа перестановок из п различных элементов: Р„ = п (н - 1) (л - 2) • • 3 • 2 • 1, Р„ = 1 • 2 • 3 • • (л - 2) (л - 1) л. Произведение первых л натуральных чисел обозначают л! (читается *эн факториал»), т. е. л! = 1 • 2 • 3 • ... • (л - 1) • л, причём по определению 1! = 1. Таким образом, Р, = л1 (1) Сколькими способами можно положить 6 различных открыток в 6 имеющихся конвертов (по одной открытке в конверт)? Задача сводится к нахождению числа перестановок из 6 элементов. По формуле (1) находим: Рд = 6!=1-2-3-4-5-6 = 720. 720 способами. О Упражнения 1059 Найти значение: 1) Pj; 2) Р,-, 3) Р^; 4) Р«. 1060 Сколькими способами можно рассадить четверых детей на четырёх стульях в столовой детского сада? 1061 Сколькими способами могут занять места 5 учащихся класса за пятью одноместными партами? 1062 Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день: 1) среди семи учащихся класса в течение 7 дней; 2) среди девяти у^шщихся класса в течение 9 дней? 1063 Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы: 1) последней была цифра 3; 2) первой была цифра 4: 3) первой была цифра 5, а второй — цифра 1; 4) первой была цифра 2, а последней — цифра 4; 321 1064 1065 5) первыми были цифры 3 и 4, расположенные в любом порядке; 6) последними были цифры 1 и 2, расцоложенныс в любом порядке? Упростить форму записи выражений (полагая, что k — натуральное число, k > 4): 1) 61 • 7; 2) 10! • 11; 3) 15 • 141; 4) 12 • 111; 5) k\ (k -t- 1); 6) (fe - 1)1 k; 7) (k - 1)! k (k + 1); 8) (k - 2)! (Ar - 1) ■ fe; 9) {k - 4)! (k^ - 5k + 6); 10) (k - 3)! (k^ -3k + 2). Найти значение выражения: 1) 251 2) 311 3) 1^; 10! 4) 12! 5) 5!-3! 7! ’ 6) 6!-4!_ 8! ’ 7) 10! . 8!-3!’ 8) 11! 9!-2!' 1066 1067 Упростить выражение (буквами пит обозначены натуральные числа): 1) 2) ■ п +2 + 1 3) тЦт + 1), (т + 2)! 4) (т + 3)! (т + 1)!(ш + 2) Решить уравнение относительно п: Рп 1) 3) Рп.1 Рп Рп-2 1. “4' 2) Рп +2 Pn^l = 5; = 20; 4) Рп-1 _ JL Pn^t 12 1068 Сколько различных слов можно составить, переставляя местами буквы в слове: 1) гипотенуза; 2) треугольник? 1069 Сколько различных шестизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр и кратных 5, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6? 1070 Сколько различных шестизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр и кратных 4, можно записать с помощью цифр 1, 3, 5, 6, 7 и 9? 1071 Имеются 8 книг, среди которых: 1) 6 книг различных авторов и двухтомник одного автора, книг которого не было среди предыдущих шести книг; 2) 5 книг различных пяти авторов и трёхтомник шестого автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом? 322 Размещения Задача 1 Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждой записи нет одинаковых цифр? ► Перебором убедимся в том, что из четырёх цифр 1, 2, 3, 4 можно составить 12 двузначных чисел, удовлетворяющих условию: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43. В записи двузначного числа на первом месте может стоять любая из данных четырёх цифр, а на втором — любая из трёх оставшихся. По правилу произведения таких двузначных чисел 4 • 3 = 12. Ответ 12. <1 При решении задачи 1 из четырёх данных элементов (цифр 1, 2, 3, 4) были образованы всевозможные соединения по два элемента в каждом, причём любые два соединения отличались либо составом элементов (например, 12 и 24), либо порядком их расположения (например, 12 и 21). Такие соединения называют размещениями. Определение. Размещениями из т элементов по п элементов (л < т) называются такие соединения, каждое из которых содержит л элементов, взятых из данных т разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения. Число всевозможных размещений из т элементов по л элементов обозначают и читают «А из эм по эн». Так, например, при решении задачи 1 было установлено, что = 12. Выведем формулу для вычисления А", — числа размещений из т элементов по л элементов. 323 Задача 2 Пусть имеется т различных элементов. Тогда число размещений, состоящих из одного элемента, выбранного из имеющихся т элементов, равно т, т. е. = т. Чтобы составить все размещения из т элементов по 2, к каждому из ранее образованных размещений из т элементов по 1 будем последовательно присоединять по одному из оставшихся (т — 1) элементов. По правилу произведения число таких соединений равно А^ • (т — 1). Таким о6ра.зом, Al = m (т- 1). Для составления всех размещений из лг по 3 к каждому из ранее полученных размещений из т элементов по 2 присоединим по очереди по одному из оставшихся (т - 2) элементов. По правилу произведения число таких соединений равно - 2). т. е. А® = /га (т - 1) (/га - 2). Последовательно применяя правило произведения, для любого л < /га получаем А^ = т (т - 1) (т — 2) • ... • (т-(п- 1)). О (1) Например, Aj = 4 ■ 3 = 12; А* = 4 • 3 • 2 = 24; дз = 5.4.3 = 60. Отметим, что правая часть формулы (1) содержит произведение л последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых равно /га. Пусть в формуле (1) /га. = га. Тогда • 2 Ответ Задача 3 2) 1 = Р. А^ = га (га - 1) (га т. е. число размещений из га элементов по га равно числу перестановок из этих элементов: (2) Сколькими способами можно обозначить данный вектор, используя буквы А, В, С, D, Е, F1 В условии задачи даны 6 букв. Для обозначения вектора используются 2 буквы, причём порядок записи этих букв в обозначении имеет значение. Поэтому задача сводится к нахождению числа размещений из б по 2. Находим А^ = 6 • 5 = 30. 30 способами. <] Решить уравнение А^ = 56. Отметим, что п > 2 и п е N. По формуле (1) имеем А^ = га (га — 1) = га* - га, т. е. - п = 56, откуда га* - га - 56 = о и га, = 8, «2 = -7. Так как корнем за- 324 Ответ данного зфавнения может быть натуральное число л > 2, то л = -7 — посторонний корень, л = 8. <] Преобразуем формулу (1) для нахождения числа размещений Запишем формулу (1) следующим образом: А^ = (лг - л + 1) (Л1 - л + 2) • • (Л1 - 1) лг. Умножив обе части этого равенства па (т — л)! = = 1 • 2 ■ 3 ■ ... • (лг - л), получим (лг - л)! • А" = 1 ■ 2 • 3 • ... X X (лг - л) (л1 - л + 1) (Л1 - л + 2) • ... • (лг - 1) лг, т. е. (лг - л)! • А" = лг!, откуда Задача 4 а: = -. о (3) ( Л1 — п )! Для того чтобы формула (3) была справедлива не только для л < лг, но и для л = лг (так как имеет смысл А™ = = гп\), полагают но определению О! = 1. а’’ + Вычислить: А® ► Используя формулу (3), находим л 7 ,1. 46 j220_J^20 "^20 20! , 20! 13! 14! 201 15! 15! , 161 131 141 = 14-15+15= 15(14+1) = 225. Ответ 225. <1 4) А^; 8) а1 Упражнения 1072 Вычислить: 1) А\; 2) А'^; 3) А^; .5) А]; 6) А«; 7) А^,,; 1073 В классе изучают 8 предметов естественно-математического цикла. Сколькими способами можно составить расписание на пятницу, если в этот день должны быть: 1) 5 уроков из пяти разных предметов этого цикла; 2) 6 уроков из шести разных предметов этого цикла. 1074 Сколько существует способов для обозначения с помощью букв А, В, С, D, Е, F вершин данного: 1) четырёхугольника; 2) треугольника? 325 1075 В классе 20 человек. Сколькими способами из их числа можно сделать назначение: 1) физорга и культорга; 2) физорга, культорга и казначея? 1076 Найти значение выражения: Л» -Af + А*-А* 1) 2) 3) ® А’’ ^15 А» •^18 ■^8 4) -Л 5 , л 3 ^6 ^10 "^9 3) Ai = 12т; 6) А1,, = 90; 1077 Решить относительно т уравнение: 1) Ai = 72: 2) Ai = 56; 4) Л® = 20m; 5) Л® = 110; 7) Л®=18А^,_2; 8) (т-4)-А®. = 21 (т-5)-А^_2. 1078 Упростить выражение: Pl2 1) <-Рю-п , где Л ^ 9; 2) 13 ■Pl4-, где л < 13. 1079 В шахматном турнире участвуют: 1) 6 юношей и 2 девушки; 2) 5 юношей и 3 девушки. Сколькими способами могут распределиться места среди девушек, если все участники турнира набирают разное количество очков. Сочетания и их свойства Задача 1 Покупатель из имеющихся в питомнике 10 саженцев хочет выбрать 2. Сколькими способами он может это сделать? ► Пусть X — число всевозможных пар саженцев, выбираемых из 10 имеюшихся. Если бы в выбираемой паре был важен порядок расположения саженцев, то таких пар было бы в 2 раза больше числа дг, т. е. 2х. Но число упорядоченных пар из любых элементов, выбираемых из 10 имеющихся различных элементов, равно А®,,. Таким образом, 2д: =А®о, т. е. 2л: = 90, откуда х = 45. Ответ 45 способами. < 326 При решении этой задачи из 10 саженцев были образованы пары — соединения по 2 саженца, которые отличались друг от друга только составом. Такие соединения называют сочетаниями. Определение. Сочетаниями из т элементов по п в каждом (п < т) называются соединения, каждое из которых содержит п элементов, взятых из данных т разных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом. Число всевозможных сочетаний из т различных элементов по п элементов обозначают (С — первая буква французского слова combinaison — сочетание) и читают «це из эм по эн». При решении задачи 1 было установлено, что Cfo = 45. Выведем формулу для подсчёта числа сочетаний из т различных элементов по п элементов в каждом. # Образуем все соединения, содержащие п элементов, выбранных из данных т разных элементов, без учёта порядка их расположения. Число таких соединений равно С^. Из каждого полученного соединения перестановками его элементов можно образовать = п! соединений, отличающихся одно от другого только порядком расположения элементов. Тем самым получим все размещения из т элементов по л, число которых равно А^. По правилу произведения число таких соединений равно С" • Р„. Итак, С"„-Р„=А"^, откуда а: Г = р О (1) Например, С? = —^ ^----= 10. > Рз 1-2-3 Заметим, что если m = п, то С” = А" Учитывая, что Aj^ = —— при т> п и Р = л1, (ш — л)! формулу (1) можно представить в виде тп _ m! с: = где т^ п. Например, С| = (т -л)! • л1* 71 _5-6-7 (2) (7-4)!-4! 1-2-3 = 35. 327 Задача 2 Сколько существует способов выбора двух карт из колоды в 36 карт? ► Изымаемые из колоды всевозможные пары карт без учёта порядка их расположения в наборе образуют сочетания из 36 по 2. По формуле (2) находим С| =-----36J---= =35-18 = 630. (36-2)1-2! 341-2! 2 Ответ 630 способов. <] Рассмотрим два свойства сочетаний, которые в ряде случаев упрощают вычисления при решении задач. Свойство 1. С"=С”"“. пъ т • По формуле (2) имеем С" = W! ” (т - и )! - а !’ j^m ~ п _ пхХ _ т\ (т-(т - п))\ • (т - п)\ п1 ■ (т. - n)l’ т. е. С" =СГ-"- О Свойство 2 (рекуррентное свойство). +1 • • Воспользуемся соотношением (1): л п ^ л + 1 гл л , л +1 ^ т . ^ т , “ р р +1 _ m(m-l)...(m-(a-l)) т {т. -1) ...(п - {п -1))(т - п) _ п ! (л 1)! m(m-l)...(m-(n-l))(n-bl)+m(;n-l)...(m-(n-l))(/n-n) (п + 1)! _ ш (т-1)... (т-(л - l))(j^ + 1 + m -?<)_ (л +1)1 I Л + 1 _ (m + l)/n(m-l)...(/n-(n-l)) Q (л + 1)! Р„^, "■ + >• Задача 3 Найти значение выражения +С20- ► Воспользуемся свойством 2, получим +С20 = = C2j. По формуле (2) имеем Ci? = 21! 21! _ 20-21 _ ■'21 (21-19)!-19! 2!-19! 2 Ответ 210. <3 328 210. 1080 Упражнения Найти значение: 1) С\; 2) CJ; 5) С?; 6) С|; 3) Cl; 7) Cl; 4) С?; 8) 9) СЦ; 10) ^12. ^"12* 11) С® * '^30» 12) С® • '^40’ 13) С«; 14) Г 38. '^40' 15) Wo» 16) 1081 1082 1083 1084 1085 1086 1087 1088 1089 1090 1091 Сколькими способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать: 1) троих студентов; 2) четверых студентов? Сколько различных аккордов, содержащих: 1) 4 звука; 2) 3 звука, можно образовать из 12 клавиш одной октавы? В помещении 16 ламп. Сколько существует вариантов его освещения, если одновременно должны светиться: 1) 15 ламп; 2) 14 ламп? Па плоскости отмечено: 1) 16 точек; 2) 13 точек, причём никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько различных отрезков можно построить, соединяя эти точки попарно? На окружности отмечено: 1) 10 точек; 2) 12 точек. Сколько различных треугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить? На окружности отмечено: 1) 7 точек; 2) 8 точек. Сколько различных выпуклых четырёхугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить? Из колоды карт, содержащей 36 листов, выбирают: 1) 3 карты бубновой масти и одну карту трефовой масти: 2) одну карту пиковой масти и две карты червовой масти. Сколькими способами можно осуществить такой выбор? Имеются 5 тюльпанов и 6 нарциссов. Сколькими способами можно составить букет: 1) из 3 тюльпанов и 2 нарциссов; 2) из 2 тюльпанов и 3 нарциссов? В школьном хоре 7 девочек и 4 мальчика. Сколькими способами из состава хора можно выбрать для участия в районном смотре: 1) 5 девочек и 2 мальчиков; 2) 4 девочек и 3 мальчиков? Найти значение выражения, предварительно его упростив: 1) с;“ -н с”; 2) + с;*; 3) - С^; '13’ 1-I 4) ^21 “ ^20* ^81 “ ^в0> ^71 ~ ^70‘ Решить уравнение: 'и ’ ^60» 1) С^,-нС^, = 7х; 2) = 4 U - 1); 3) С1 = ±С1^,; 4) 5Cl = Cl,^; 5) С*;:; = 120; 6) С|;;| = 36. 329 Бином Ньютона В теории многочленов часто двучлены называют биномами. Рассмотрим целые неотрицательные степени бинома а + Ь (при условии а + 6 ^ 0): (а + bf = 1, (а + 6)' = 1 • а + 1 ■ 6, {а + Ь)^ = 1 • + 2аЬ + 1 • Ь^, (а + Ь)® = 1 • а® + За^Ь + ЗаЬ^ + 1 ■ Ь^, (а + Ь)* = (а + bf (а + Ь) = = 1 • а* + 4а^Ь + ва^Ь^ + 4аЬ^ + 1 • Ь*, (а + bf = (а + Ь)* (а + Ь) = = 1 • а® + 5а^Ь + 10а®&^ + Юа^Ь^ + 5аЬ* + 1 • Ь^ и т. д. Можно доказать справедливость следующей формулы, называемой биномиальной формулой Ньютона: (а + ЬГ = С°„- а"‘ + С1-а"'-^Ь + -н С2 . а" - -н ... + С" • а” - "ft" -t-... + (1) + . aft" -’-t-с;;’ • Формулу (1) чаще всего называют просто биномом Ньютона, а числа С" — биномиальными коэффициентами, которые могут быть найдены по формуле С1 = т I (т - п)!- п! Биномиальные коэффициенты легко находить с помощью так называемого треугольника Паскаля — таблицы значений С^, составленной на основании рекуррентного свойства числа сочетаний С- + СГ ’ = с:;; с учётом того, что С« = С" = 1. Ниже приводится фрагмент треугольника Паскаля, в котором стрелками показан процесс получения онредслённых членов таблицы на основании рекуррентного свойства. Например, при т = 4 имеем строку 1, 4, 6, 4, 1, полученную из предыдущей строки следующим образом: 4 = 1-)-3, 6 = 3-1-3, 4 = 3 -I- 1 (первый и последний члены строки равны С® = Cj = 1). 330 \ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 1© 1 2 1® 2 ^ 1 3 1® 3 ® 3 ® 1 4 1 Т71 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 7 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 Эта таблица наглядно иллюстрирует свойство 1 числа сочетаний С^ = С”~ ", которое можно сформулировать так: числа, одинаково удалённые от концов строки треугольника Паскаля, равны. Задача 1 Записать разложение бинома (х - 2)®. ► По формуле (1) находим (X - 2f = (х + (-2))® = = -к • (-2) + С^х* • (-2)^ -I- • (-2)® -I- + • (-2)*' + С®х • (-2)® + С® • (-2)® = = X® -t- 6х® • (-2) + ISx-* • 4 -I- 20х® • (-8) -f + 15х^ • 16 -I- 6х • (-32) -н 64 = = X® - 12х® -(- бОх^ - 160х® -I- 240x2 _ ^q2x + 64. <3 Заметим, что при записи разложения степени бинома полезно контролировать следующие моменты: 1) число членов получаемого многочлена на единицу больше показателя т степени бинома, т. е. равно m + 1; 331 2) показатели степени первого слагаемого бинома последовательно убывают на единицу от т до О, а показатели второго последовательно возрастают на единицу от О до т; 3) биномиальные коэффициенты, равноудалённые от начала и конца разложения по формуле (1), равны между собой. Задача 2 Доказать свойство элементов строки треугольника Паскаля: cl + cl + ci + ... + c:-' + c';:, = 2'". (2) ^ Равенство (2) получается из равенства (1) при а = Ь=1. <\ Задача 3* Найти член разложения I л[х + , содержа- щий х^. / уо . 1 -1\10 I Vx-h-^j = + X •‘ ) . Общий член разложс- 1 _i ния десятой степени бинома х^ + х ^ имеет вид у i V 10 - /I / -i Ч П J -[х ^ J . Для того чтобы некоторый член этого разложения содержал х^, должно выполняться равенство (х^ (х‘^)" = х=>. Но X ‘ = х“ (3) Равен- Ответ ство (3) выполняется при 5 - л = 2, т. е. при я = 3. При л = 3 имеем С®ц = 120. 120x2. <] Упражнения 1092 Записать разложение бинома: 1) (1 + х)8; 2) (X -I- 1)^ 3) (и - If; 4) (у - 1)*°; 5) (2х + 1)*; 6) (х -I- 2)®; 7) (Зх + 2f; 8) (2а + 3)®; 9) (2.-1)': 10)(зх-А)‘. 1093 Записать разложение бинома: 1) (1 + V2)®; 2)(1+ДУ; 3)(а-^]; 4) . 332 1094 Найти четвёртый член разложения бинома: 1) {у[х + хУ^; 2) (х-у/х)'*; 3) 4) 5) (а°-'+а“-2)®; 6) (б"-» 1095 С помощью свойства элементов строки треугольника Паскаля найти сумму: 1) C° + C^^ + C^ + С? С? + С? -ь С? -I- С?; 2) С« + Cl + + СЗ + C’i + Cl; 3) Cl + Cl + CI + CI + Cl; 4) C? + C? + + C?-I-C? + C^; 5) + C* + C| + -b C^: 6) c-}i + ct, + c-]i + c5i + c;, + cv 1096 Найти член разложения бинома: 1) 2) содержащий х -1. \1б у[х + , содержащий Упражнения к главе XI • I...............I.................•................I • 1097 Вычислить: 1) 7! -5!_ 51 ’ 61-4! 2) ' 5! 04 149! 361. ’ 148! 351’ 4) 97! 351. 96! 341’ 41-8! 61.71 = 6) 71-6! Упростить: 1) (л + 3)1. (п + 1)!’ 2) (п + 2)! {л-1)!’ 3) ( 1 , 1 1 ■п\; 4) ( 1 1 U^ + i)! ' т) л 1 (л + 1)! 5) {- ^-1 V л 1 (л + 2)1 J •(л + 1)1; 6) f 1 + 1 ил + 2)! л! 333 1099 Найти значение выражения: *> V 1100 Решить уравнение; 3) с с’’ 1 ^5 . 4) ( *"10 с2 '1 ^4 ’ 10 5 3 V 6 / 1) 4) = 30; 110 2) = 42; • х-2 5) А»^, = 72 (X 3) 1); 56 ■Рх-а 1101 1102 1103 1104 1105 1106 6) А^_1 = 40 (х-2) U-3); 7) 5СЗ,1 = 8С<; 8)Cl = 4Cl_,. Сколькими способами можно составить график очерёдности дежурства (по одному человеку в день) в школьной столовой среди: 1) восьми учащихся на восемь дней; 2) семи учащихся на семь дней? Сколько существует способов выбора троих учёных из числа: 1) десяти; 2) девяти сотрудников кафедры? Сколькими способами могут распределиться одно первое, одно второе и одно третье места среди: 1) десяти; 2) восьми участников соревнования? Сколькими способами можно рассадить: 1) четверых; 2) троих учащихся на имеющихся в классе 20 стульях? Найти значение выражения, предварительно его упростив: 1) -н СЦ; 2) ; 3) С1 + + С«; 4) + Cjo- Записать разложение бинома: 1) (2-х)»; 2) (х-2)^ 4) (3-fa)»; 5) (х-1)»; 6 / \в 3) (а + З)-*; 6) (1 - д:)^■ 7) х + - 8) Проверь себя! 1 В вазе лежат 7 разных пирожных. Сколько существует вариантов выбора из них двух пирожных? 2 Сколькими способами можно подарить 6 различных по окраске мячей шести малышам, вручая каждому по одному мячу? 3 Сколько существует способов занять 3 одноместные пар- ты в первом ряду класса, если в выборе мест участвуют 22 школьника? g Со » Pq 4 Найти значение выражения —----. 5 Записать разложение бинома (1 - х)”. 334 1107 1108 1109 Сколькими способами можно назначить патруль из двух солдат и одного офицера, если в роте: 1) 75 солдат и 6 офицеров; 2) 78 солдат и 5 офицеров? Сколько диагоналей имеет выпуклый: 1) семиугольник; 2) восьмиугольник? Найти значение выражения, предварительно его упростив: 1) С\ + С1 + С^^ + Cl; 2) Ci + Ci + Cl + Cj; 3) C^^ + Cl + C\ + C^ + C'^ + с? + + Cj; 4) C« -H C« + Cj -h C® C| -b -H C’i; 5) Cj2 + Cj2 + ^-13 + 6) C| + CJ -b C®0 + C»,; 7) Cl - Cl; 8) C®25 - Cl; 9) СЦ - C "14' 10) C«3 - C^2- 1110 Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать: 1) две карты чёрной масти; 2) две карты червовой масти? 1111 Шифр в камере хранения состоит из двух букв, выбираемых из 10 гласных русского алфавита, и четырёхзначного числового кода (буквы и цифры в шифре могут повторяться; числовой код 0000 также возможен). Сколько различных шифров можно использовать в этой камере хранения? 1112 В некотором государстве автомобильный номер составляется из трёх различных букв алфавита, состоящего из 25 букв, и трёх цифр (с их возможными повторами). Скольким автомобилям можно присвоить получаемые таким обра.зом номера? 1113 Записать разложение бинома: 1) (За+ 1)5; 2) (х + 3)«; 3) ; 4) ; 5) (10х-0,1)5; 6) (0,15-10)^; 7) [| + |] ; 8) + . 1114 Найти член разложения бинома: 1) 2) 3) 4) N15 содержащий х \ . 1 + "у/х содержащий 16 / \13 13 содержащий, х содержащий х -0.6 335 XII ^ глава Элементы теории вероятностей Высшее назначение математики... состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает. Н. Винер События Всё, что происходит или не происходит в реальной действительности, называют явлениями или событиями. Практика показывает, что если некоторое событие происходит достаточно часто, то в его наступлении существует определённая закономерность. Раздел математики, называемый теорией вероятностей, и занимается исследованием закономерностей в массовых явлениях. Определение 1. Событие называют случайным по отношению к некоторому испытанию (опыту), если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти. Например, если испытание состоит в одном бросании игральной кости (кубика), то в ходе этого испытания возможны следующие события (исходы испытания): на верхней грани кости окажется число 1, число 2, ..., число 6. Каждое из этих событий является случайным, так как оно может произойти, а может и не произойти. Случайные события обычно обозначаются начальными буквами латинского алфавита А, В, С и др. 336 Определение 2. Событие U называют досто верным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие U обязательно произойдёт. Например, достоверным событием будет появление одного из шести чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 при одном бросании игральной кости. Если испытание заключается в извлечении одного шара из коробки, в которой лежат только белые шары, то извлечение белого шара будет достоверным событием. Определение 3. Событие V называют невозможным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие V заведомо не произойдёт. Например, невозможным событием является выпадение числа 7 при бросании обычного игрального кубика. Предположим, что в результате некоторого испытания обязательно происходит одно из взаимоисключающих друг друга событий, причём каждое из них не разделяется на более простые. Такие события называют элементарными событиями (или элементарными исходными испытаниями). Например; 1) в испытании с бросанием игрального кубика существует шесть элементарных исходов: выпадение числа 1, выпадение числа 2, ..., выпадение числа 6; 2) при бросании монеты существует два элементарных события: появление орла и появление решки; 3) при изъятии одного шара из коробки, в которой находятся два белых и один чёрный шар, существует три элементарных исхода: изъятие любого из двух белых шаров и изъятие чёрного шара; 4) при одном бросании канцелярской кнопки существуют два элементарных исхода испытания: падение кнопки с касанием острия поверхности, на которую она падает, и падение плашмя — без касания острия поверхности падения. 337 Рассмотренные в каждом из примеров события несовместны (появление одного из них исключает появление другого) и единственно возможны (обязательно произойдёт одно из них). Одпако в первых трёх примерах элементарные события являются равновозможными (у каждого из них шансы появиться равны), а в четвёртом примере (для большинства реальных кнопок) шансы названных двух событий различны. Заметим, что на практике равновозможность событий иногда удаётся определить из соображений симметрии. Кроме элементарных событий, в теории вероятностей рассматриваются и более сложные события. Например, при бросании игрального кубика может быть рассмотрено событие А — появление чётного числа, которое ♦распадается» на 3 элементарных события (появление числа 2, 4 или 6). Упражнения 1115 (Устно.) Каким событием (достоверным, невозможным или случайным) является событие: 1) изъятая из колоды одна карта оказалась семёркой треф; 2) при комнатной температуре и нормальном атмосферном давлении медь оказалась в жидком состоянии; 3) при температуре 20 °С и нормальном атмосферном давлении вода оказалась в жидком состоянии; 4) наугад названное натуральное число оказалось больше нуля; 5) вынутый наудачу цветок из букета гвоздик оказался розой; 6) в результате броска игрального кубика появилось число 5? 1116 (Устно.) Перечислить все элементарные события, которые могут произойти в результате следующего испытания: 1) бросается на стол игральный кубик и определяется число очков, появившееся на верхней грани (грани, противоположной той, которая лежит на плоскости стола); 2) на поверхность стола бросается игральный тетраэдр (грани которого пронумерованы числами 1, 2, 3, 4) и определяется число на той грани, которая лежит на поверхности стола; 3) бросается на пол монета и определяется видимая сторона; 4) на пол роняют усечённый конус, выточенный из дерева, и определяют геометрическую фигуру, по которой упавший конус касается пола; 5) из всех карт одной масти (взятых из колоды с 36 листами) случайным образом выбирается одна карта и определяется изображение па пей; 338 6) из коробки, в которой лежат 5 шаров пяти различных цветов, извлекается один шар и называется его цвет. Высказать предположение о том, являются ли перечисленные элементарные события равновозможными. 1117 (Устно.) Выяснить, являются ли события Аи В несовместными, если; 1) А — появление туза, В — появление дамы в результате одного изъятия одной карты из колоды карт; 2) А — появление туза, В — появление карты бубновой масти в результате одного изъятия одной карты из колоды; 3) А — выпадение числа 6, В — выпадение чётного числа при одном бросании игральной кости; 4) А — выпадение числа 4, В — выпадение нечётного числа в результате одного броска игральной кости. Комбинации событий. Противоположное событие Пусть в определенном испытании могут произойти события А и В. Рассмотрим некоторые комбинации этих событий. Определение 1. Суммой (объединением) событий А и В называется событие, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из данных событий. Сумму событий А и В обозначают А + В (или А и В). На рисунке 166 с помощью кругов Эйлера проиллюстрировано понятие суммы событий А и В: большой круг изображает все элементарные события, которые могут произойти в рассматриваемом испытании, левый круг изображает событие А, правый — событие В, а закрашенная область — событие А + В. 339 Рис. 166 Рис. 167 Допустим, испытание состоит в определении числа на верхней грани игрального кубика после одного броска, при этом событие А — выпало чётное число, событие В - выпало число, кратное трём. Тогда событие А + В состоит в том, что на верхней грани кубика появится либо чётное, либо кратное трём (либо чётное, кратное трём) число, т. е. событие А + В означает, что появится одно из чисел 2, 3, 4, 6. Определение 2. Прои.^ведением (пересечением) событий А и В называется событие, которое состоит в том, что происходят оба этих события. Произведение событий А к В обозначают АВ (или АП В). Рисунок 167 иллюстрирует с помощью кругов Эйлера произведение событий А и В: закрашенная область (общая часть кругов А и В) иллюстрирует событие АВ. Например, если событие А — выпадение чётного числа, а событие В — выпадение числа, кратного 3, в результате одного броска игрального кубика, то событие АВ — выпадение чётного числа, кратного 3 (такое число одно — это 6). Задача 1 Из колоды карт наугад вынимают одну карту и рассматривают два события: А — вынута карта пиковой масти, В — вынут король. Описать события А + В и АВ. Ответ Событие А + В — вынута карта пиковой масти или вынут король; событие АВ — из колоды вынут король пиковой масти. Определение 3. События А и В называют рае ными (равносильными) и пишут А = В, если событие А происходит тогда и только тогда, когда происходит событие В. 340 Например, если в испытании с одним бросанием игрального кубика событие А — выпало число б, а событие В — выпало наибольшее из возможных чисел, то А = В. _ Рассмотрим события А и А (читается «а с чертой»), связанные с одним испытанием. Определение 4. Событие А называют противоположным. событию А, если событие А происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. Задача 2 Например, если событие А — выпадение чётного числа _при бросании игральной кости, то А — выпадение нечётного числа; если А — попадание по мишени при одном выстреле, то А — непопадание (промах). На рисунке 168 проиллюстрирована взаимосвязь событий Л и А на множестве всех элементарных исходов испытания (событие А изображено закрашенной областью). Пусть А и В — произвольные события. Записать с помощью введённых обозначений следующие события: 1) Aj — произошли оба события; 2) Ag — ни одно из двух событий А и В не произошло; 3) Ад — произошло только событие А; 4) А^ — произошло по крайней мере одно из событий А и В; 5) * Аг, — произошло либо только событие А, либо только событие В. l)Ai=AB; 2)Аг=АВ; 3) Ад=АВ; 4) А^=А +В; 5) Aj, =АВ 4-АВ. < Упражнения 1118 (Устно.) Из колоды карт вынимается одна карта. Пусть событие А — изъятие из колоды карты с картинкой, В — изъятие карты червовой масти. Пояснить, в чём заключается событие А + В; АВ. 341 1119 Двадцать карточек пронумерованы числами от 1 до 20. Произвольно из них выбирается одна карточка. Пусть событие А — на карточке записано число, кратное 4; событие В — на карточке записано число, кратное 6. Выяснить, в чём состоят события А + В и АВ. 1120 (Устно.) Испытание состоит из двух выстрелов по мишени. Событие А — попадание по мишени при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле. Пояснить, в чём состоят события А + В VI АВ. 1121 На стол бросают две игральные кости. Событие А — на первой кости выпало число 5, В — на второй кости выпало число, не меньшее пяти. Установить, в чём заключаются события А -I- В и АВ. 1122 (Устно.) Установить событие, являющееся противоположным событию: 1) при одном броске монеты выпала решка; 2) в результате броска игральной кости выпало число, равное двум; 3) в результате броска игральной кости выпало число, большее четырёх; 4) в результате броска игральной кости выпало число, не большее трёх; 5) из колоды карт изъята карта бубновой масти; 6) из колоды карт извлечена шестёрка; 7) хотя бы одна пуля попала в цель в испытании с тремя выстрелами по мишени; 8) хотя бы на одной из двух брошенных игральных костей появилось число 6; 9) в расписании уроков на понедельник первым уроком поставлена физика; 10) при сдаче экзамена студент получил оценку «отлично*. 1123 Пусть С и D — произвольные события. Записать следующие события: 1) произошли оба данных события; 2) произошло только событие С; 3) произошло только событие В; 4) ни одно из данных событий не произошло; 5) произошло, по крайней мере, одно из данных двух событий; 6) * произошло только одно из данных событий. Вероятность события •л- Пусть событие А связано с испытанием, имеющим п равновозможных элементарных исходов. И пусть событие А наступает тогда, когда осуществляется любой из т каких-то элементарных исходов (т < п), и не наступает тогда, когда осуществляется любой из оставшихся (п - т) исходов. Тогда говорят, что указанные т исходов, приводящие к событию А, благоприятствуют событию А. Определение. Вероятностью Р (Л) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов т, благоприятствующих событию А, к числу п всех исходов испытания. Таким образом. Р(А) = —, где т < п. (1) Заметим, что вероятность наступления каждого элементарного события в испытании с п равновозможными исходами равна —. Так, например, нояв- п ление любого из шести чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 после одного бросания игрального кубика имеет вероятность -. 6 Из формулы (1) следует, что 0<Р(А)< 1, а также Р (V) = О, Р (С7) = 1. где V — невозможное событие; U — достоверное событие. Задача 1 Бросают игральную кость. Найти вероятность события: 1) А, — выпало чётное число: 2) А^ — выпало число, кратное 3. 343 Ответ Задача 2 Ответ Задача 3 Ответ Задача 4 Число всех возможных элементарных исходов испытания п = 6. 1) Событию Л, благоприятствуют 3 исхода (числа 2, 4 и 6), т. е. m = 3, поэтому Р(А,) = — = ^ = 1. 2) Событию благоприятствуют 2 исхода (числа 3 и 6), т. е. т = 2, поэтому Р (Aj) = — = - = 2) Бросают две монеты. Найти вероятность события А — хотя бы на одной монете выпал орёл. Обозначим появление орла на выпавшей монете буквой «О*, а появление решки — буквой «Р». Тогда равновозможны следующие четыре (п = 4) элементарных исхода испытания: 00, ОР, РО, РР (в каждой паре на первом месте записан результат появления орла или решки на первой монете, на втором месте — на второй монете). Событию А благоприятствуют первые 3 пары исходов (т = 3). Поэтому Р (А) = — = —. п 4 !■< Игральная кость бросается дважды. Найти вероятность события А — сумма выпавших очков не меньше 10. Результаты двух бросаний игральной кости — равновозможные упорядоченные пары чисел, выбираемых из чисел 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Согласно комбинаторному правилу произведения число таких пар равно 6 • 6 = 36. Событию А благоприятствуют следующие 6 пар: 4 и 6, 6 и 4, 5 и 5, 5 и 6, 6 и 5, 6 и 6. Таким образом, P(A) = -;^ = i. 36 6 В ящике лежат 3 белых и 4 чёрных одинаковых на ощупь шаров. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность события: 1) А — оба вынутых шара белого цвета; 2) В — вынуты шары разного цвета. Общее число возможных исходов испытания 21. я = = число 71 _ 51-2! 1) Число благоприятствующих событию А исходов '”"^3 =rfb = 3. поэтому P(A) = ^ = ^ = i. 344 Ответ 2) Так как любой из 3 белых шаров может комбинироваться с любым из 4 чёрных шаров, то по правилу произведения существует 3 • 4 = 12 пар из белого и чёрного шаров, т. е. m = 12. Таким образом, 1) f: 2) <] Упражнения 1124 (Устно.) Какова вероятность выпадения числа: 1) 2; 2) 5 в результате одного бросания игрального кубика? 1125 Какова вероятность того, что при изъятии одной карты из колоды в 36 листов игрок вынет: 1) даму треф; 2) короля пик; 3) валета красной масти; 4) семёрку чёрной масти; 5) шестёрку; 6) туза; 7) или даму, или валета; 8) или восьмёрку, или девятку; 9) или короля червовой масти, или даму любой масти; 10) или валета любой масти, или туза пик; 11) не короля треф; 12) не даму? 1126 Какова вероятность того, что на открытом наугад листе откидного календаря на январь окажется: 1) 21-е число; 2) 10-е число; 3) 31-е число; 4) 32-е число; 5) число, содержащее в своей записи цифру 0; 6) число, содержащее цифру 4; 7) число, содержащее хотя бы одну цифру 2; 8) число, содержащее хотя бы одну цифру 1? 1127 В коробке находятся 2 белых, 3 чёрных и 4 красных шара Наугад вынимается один шар. Найти вероятность того что вынутый шар: 1) белый; 2) чёрный; 3) красный; 4) бе лый или чёрный; 5) белый или красный; 6) чёрный или красный; 7) или белый, или чёрный, или красный 8) синий. 1128 В лотерее участвуют 100 билетов, среди которых: 1)4 выигрышных; 2) 5 выигрышных. Наугад берут один билет. Какова вероятность того, что взятый билет выигрышный? 1129 Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: 1) на обеих костях выпали числа 6; 2) на обеих костях выпали числа 5; 3) на первой кости выпало число 2, а на второй число 3; 4) на первой кости выпало число 6, а на второй число 1; 5) на первой кости выпало чётное число, а на второй число 3; 6) на первой кости выпало число 2, а на второй нечётное число; 7) на первой кости выпало нечётное число, а на второй чётное число; 8) на первой кости выпало чётное число, а на второй кратное трём; 9) на первой кости выпало число, большее 2, а на второй число, не мень- 345 шее 4; 10) на первой кости выпало число, не большее 4, а на второй число, большее 4; 11) сумма выпавших чисел равна 3; 12) сумма выпавших чисел равна 4; 13) сумма выпавших чисел не больше 4; 14) сумма выпавших чисел не меньше 10; 15) произведение выпавших чисел равно 10; 16) произведение выпавших чисел равно 5; 17) произведение выпавших чисел равно 6; 18) произведение выпавших чисел равно 4. ИЗО Среди 20 деталей, лежащих в ящике, 3 детали бракованные. Наугад вынимают 2 детали. Какова вероятность того, что: 1) обе детали оказались бракованными; 2) одна деталь бракованная, а другая нет; 3) обе детали не бракованные? 1131 Среди 15 лампочек 4 испорчены. Наугад берут 2 лампочки. Какова вероятность того, что: 1) обе выбранные лампочки испорчены; 2) одна лампочка исправная, а одна — испорченная; 3) обе лампочки исправные? 1132 Брошены 3 игральные кости. Какова вероятность того, что: 1) на каждой кости выпало число 3; 2) выпали одинаковые числа; 3) сумма чисел на всех костях равна 4; 4) произведение всех выпавших чисел равно 2? 1133 Из полного набора домино, не глядя, извлекают две костяшки. Найти вероятность того, что: 1) обе костяшки окажутся дублями; 2) на каждой из костяшек одна половинка будет «пустой*. .rrfbr? Сложеине вероятностей Напомним, что сумма событий А и В — это событие А + В, состоящее в наступлении либо только события А, либо только события В, либо и события А и события В одновременно. Например, если стрелок сделал 2 выстрела по мишени и событие А — попадание в мишень при первом выст1>еле, событие В — попадание при втором выстреле, то событие А -t- В — это попадание стрелком в мишень хотя бы при одном из выстрелов. 346 Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. Р (А +В) = Р (А) + Р (В). (1) Пусть событиям А и в, связанным с некоторым испытанием, благоприятствуют соответственно А и I исходов, а всего имеется л равновозможных исходов. Так как события А и В несовместны, то среди л исходов нет таких, которые одновременно благоприятствовали бы как событию А, так и событию В. Поэтому событию А + В будут благоприятствовать А + I исходов. По определению вероятности Р(А) = ^, Р(В) = ^, Р(А + В) = ^ = ^ + ^, п п п п п откуда следует равенство (1). О Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е. Р(А) + Р (А) = 1. (2) • События А и А несовместны, поэтому _ио тео-ре.ме 1 имеем Р {А + А) = Р (А) ■¥ Р (А). Но А + А = и — достоверное событие, и поэтому P(A+A) = P(U)=1, т. е. Р(А+А) = Р(А) + р(А) = = 1. О Задача 1 В ящике лежат 9 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 4 зелёных. Наугад берётся один шар. Какова вероятность того, что этот шар цветной (не белый)? ► I способ. Пусть событие А — появление красного шара, событие В — появление зелёного шара, тогда событие А + В — появление цветного шара. Очевидно, что Р(А) = ^ = 4> Р (Щ = 4- Так как со- У О У бытия Ата. в несовместны, к ним применима теорема сложения вероятностей P(A-HB) = /^(A) + i^(B) = | + | II е п о с о б. Пуеть событие С — появление белого шара, тогда противоположное ему событие С — появление не белого (цветного) шара. Очевидно, 347 что Ответ Задача 2 Ответ Задача 3 Ответ а согласно следствию из теоремы имеем !.<] 9 Р(С) = 1-Р(С) = 1-| = |. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в мишень, равна 0,8. Какова вероятность того, что, выстрелив по мишени один раз, этот стрелок промахнётся? Если событие А — попадание в цель при одном выстреле, то по условию Р (А) = 0,8. Противоположное событию А событие А — промах, его вероятность Р (А) = 1 - Р (А) = 1 - 0,8 = 0,2. 0,2. <] В группе спортсменов 10 лыжников и 7 велосипедистов. Какова вероятность того, что среди случайным образом выбранных из этой группы пятерых человек окажется хотя бы один велосипедист? Пусть событие А — среди выбранных пятерых человек окажется хотя бы один велосипедист, тогда событие А — среди выбранных спортсменов нет ни одного велосипедиста (т. е. все -^лыжники). В данном случае вероятность события А найти проще, чем Р (А). Найдём Р (А). Число всех способов выбрать из имеющихся 17 спортсменов пятерых равно числу сочетаний из 17 по 5, т. е. л = Cj^. Благоприятствующими событию А будут все пятерки спортсменов, выбранных из Таким образом. 10 лыжников. Их число т = CJq Р(А) = ^ = -^ = 'п 10! А! ■ 17! " 10!•12! .5! • 17! 12! 6-7-8-910 1.3-14-15-16-17 5! ^ 9 221' Теперь находим Р(А) = 1- Р(А) = 1 —— = ' 221 221 212 221 Замечания. 1) Теорема, аналогичная теореме 1, верна для любого конкретного числа событий, т. е. Р (А, +Аг -I-... + А„)= Р (А,) + Р (Аг) + ... + Р (А„), где А 1> А„ — попарно несовместные события. 348 2) Если Ар А.^, •••. -А„ — все элементарные события некоторого испытания, то их совокупность называют полем событий. Очевидно, что эти события попарно несовместны и Aj + Aj + ... + А„ = I/, где и — достоверное событие. Р{(У) = Р(А,+А., + ...+А„) = = Р (А,) -I- Р (А^) + ... + Р (А„), но Р (U) = 1, поэтому Р(А,) + Р(А,) + ... + Р(А„)=1. Упражнения 1134 Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта: 1) либо дама, либо валет; 2) либо шестёрка, либо туз; 3) либо семёрка треф, либо карта бубновой масти; 4) либо туз красной масти, либо карта трефовой масти? Решить задачу двумя способами. 1135 В ящике находятся 3 белых, 4 синих и 5 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар: 1) цветной; 2) либо белый, либо красный; 3) либо белый, либо синий? Решить задачу двумя способами. 1136 В папке находятся 15 билетов спортивной лотереи, 20 билетов художественной лотереи и 30 билетов денежно-вещевой лотереи. Найти вероятность того, что наугад вынутый из этой пачки один билет окажется билетом: 1) либо спортивной, либо денежно-вещевой лотереи; 2) либо спортивной, либо художественной лотереи; 3) либо художественной, либо денежно-вещевой лотереи. Решить задачу двумя способами. 1137 Найти вероятность того, что в результате одного бросания игральной кости выпадет число, отличное от 1. 1138 Найти вероятность того, что наугад вынутая из полного набора домино одна кость окажется не дублем. 1139 Вероятность попадания мяча в корзину, брошенного один раз некоторым баскетболистом, равна 0,4. Найти вероятность того, что, бросив мяч в корзину, этот баскетболист промахнётся. 1140 Вероятность выигрыша по одному билету в некоторой лотерее равна 10"'^. Какова вероятность приобретения невыигрышного билета при покупке одного билета? 1141 В коробке лежат 5 белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется по крайней мере один: 1) белый шар; 2) чёрный шар. 1142 В коробке лежат 6 белых и 5 красных шаров. Наугад вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется по крайней мере один: 1) белый шар; 2) красный шар. 349 1143 Известно, что среди 100 деталей 5 бракованных. Наугад выбирают 4 детали. Найти вероятность того, что среди них окажется: 1) хотя бы одна бракованная деталь; 2) хотя бы одна не бракованная деталь, 1144 В студенческой группе 24 человека, среди которых только 6 девушек. Слу^шйным образом из числа всех студентов выбирают троих на профсоюзную конференцию. Найти вероятность того, что среди них окажется: 1) по крайней мере одна девушка; 2) по крайней мере один юноша. Независимые события. Умножение вероятностей Предположим, что из колоды в 36 карт извлекается одна карта и рассматриваются: событие А — извлечена карта трефовой масти, событие В — извлечена дама треф. Между событиями А и В очевидно наличие какой-то зависимости. Действительно, из 9 случаев, благоприятствующих событию А, событию В благоприятствует один; поэтому при наступлении события А вероятность события В равна Но при отсутствии информации о наступлении события А вероятность события В оценивается как равная -L. Так как ^ >-^-, то очевидно, что на-36 9 36 ступление события А повышает шансы события В. Существуют, однако, нары событий, для которых факт зависимости вероятности наступления одного из них от наступления другого не очевиден. Определение. События А и Б называют независимыми, если выполняется равенство Р (АВ) = Р (А)- Р (В). (1) Рассмотрим опыт с бросанием двух игральных костей и исследуем два события: А — на первой кости 350 выпало 5 очков, В — на второй кости выпало 5 очков. Выясним, будут ли события А и В независимыми. Появление любого числа очков на первой кости (в частности, наступление события А) не влияет на событие В и на его вероятность. И наоборот, наступление или не наступление события В не влияет на вероятность события А. Таким образом, Р(Л) = | и Р(В) = |. Событие ЛВ состоит в совместном наступлении событий А к В. Элементарные исходы испытания — это пары чисел, в которых на первом месте стоит число очков первой кости, на втором — число очков второй кости. Всего элементарных исходов испытания п = 36. Среди них присутствует лишь одна пара (5 и 5 очков), благоприятствующая событию АВ, т. е. щ = 1. Таким образом, Р(АВ) = _1_ 36 6 6 Р(В), т. е. события А я В незави- симые. О Часто о независимости событий удается судить не на основании формулы (1), а на основании того, как организован опыт, в котором они происходят. Независимые события появляются тогда, когда опыт состоит из нескольких независимых испытании (как, например, было в рассмотренном опыте с бросанием двух игральных костей). Если независимость испытаний не очевидна, то независимость событий Аи В проверяется с помощью формулы (1). Задача 1 Выяснить, являются ли события А я В независимыми, если: 1) Р (А) = 0,2, Р (В) = 0,5, Р (АВ) = 0,1; 2) Р(А) = \, Р(В) = \, Р(ЛВ)=|. О О ► 1) Так как Р (А) ■ Р (В) = 0,2 • 0,5 = 0,1 = Р (АВ), то события А я в являются независимыми. 2) Так как Р (Л) • Р (В) = 1-| = i ^ | = Р (АВ), то события А и в не являются независимыми. О Задача 2 Пусть наугад называется одно из первых десяти натуральных чисел и рассматриваются события: А — названо чётное число, В — названо число, кратное пяти. Выяснить являются ли события А и В независимыми. 351 Задача 3 Ответ ► Среди десяти чисел 1, 2, 3, .... 9, 10 чётных чисел 5, а кратных пяти — 2, поэтому Р (А) = ^ 2 1 Р (В) = — = Событие АВ состоит в названии чис-10 5 ла, кратного как числу 2, так и числу 5, т. е. числу 10. Среди первых десяти натуральных чисел та-ки.м является одно число 10, поэтому Р(АВ) = ^. Так как Р (А) • Р (В) = I • i = i = Р (АВ), то события А и В являются независимыми. <] За офисом наблюдают две независимые друг от друга видеокамеры. Вероятность того, что в течение суток первая видеокамера выйдет из строя, равна 0,001, а вероятность того, что выйдет из строя вторая, равна 0,0005. Найти вероятность того, что в течение суток выйдут из строя обе видеокамеры. Пусть событие А — выход из стрюя в течение рассматриваемых суток первой видеокамеры, В — выход из строя в течение тех же суток второй камеры. Согласно условию задачи Р (А) = 0,001 = 10"®, Р (В) = 0,0005 = 5 • 10 Событие АВ — выход из строя в течение суток обеих видеокамер. Считая события А и В независимыми, находим Р (АВ) = Р (А) • Р (В) = 10-® • 5 • 10-* = 5 • 10-^ 5 • 10-^ <1 Задача 4 Вероятность попадания в цель при одном выстреле первым орудием равна 0,8, а вторым орудием — 0,7. Найти вероятность попадания в цель хотя бы одним орудием, после того как они оба, стреляя по цели, сделали по одному выстрелу. ► Пусть событие А — попадание в цель хотя бы одним орудием, а противоположное ему событие А наступает при промахе как первого, так и второго орудия. Вероятность промаха первого орудия равна 1 - 0,8 = 0,2, а вероятность промаха второго равна 1 - 0,7 = 0,3. Считая промахи орудий при стрельбе по_цели независимыми событиями, находим Р (А) = 0,2 • 0,3 = 0,06, значит, В (А) = 1 - В (А) = 1 - 0,06 = 0,94. Ответ 0,94. <] 352 Упражиения 1145 Выяснить, являются ли события А и В независимыми, если: 1) Р(А) = ^, = Р(АВ) = ±; 2) Р (Л) = 0,75, Р (В) = 0,2, Р (АВ) = 0,15; 3) Р (Л) = 0,3, Р (В) = 0,2, Р (АВ) = 0,6; 4) Р(А) = 14’ Р(В) = ^, Р(АВ) = 1. 1146 1147 1148 1149 1150 1151 Наугад называется: 1) одно из первых двенадцати натуральных чисел; 2) одно из первых тринадцати натуральных чисел. Рассматриваются события: А — названное число является чётным, В — названное число кратно трём. Установить, являются ли события А к В независимыми. Бросаются две игральные кости и рассматриваются события; 1) А—на первой кости выпало число 6, В — на второй кости выпало чётное число; 2) А — на первой кости выпало нечётное число, В — на второй кости выпало число, кратное 3. Убедиться с помощью формулы (1) в не.зависимости событий А и В. Вероятность выигрыша на некоторой бирже в течение каждого из двух фиксированных дней равна 0,3. Найти вероятность того, что на этой бирже: 1) выигрыши произойдут в каждый из этих двух дней; 2) два этих дня не будет выигрышей; 3) выигрыши произойдут хотя бы в один из двух фиксированных дней. Для сигнализации об угоне установлены два независимых датчика. Вероятность того, что при угоне сработает первый датчик, равна 0,97, что сработает второй, равна 0,95. Найти вероятность того, что при угоне: 1) сработают оба датчика; 2) оба датчика не сработают; 3) сработает хотя бы один из датчиков; 4) хотя бы один из датчиков не сработает. В первой партии из 20 деталей 6 нестандартных, а во второй партии из 30 деталей 5 нестандартных. Наугад из каждой партии изымают по одной детали. Найти вероятность того, что: 1) обе детали оказались нестандартными; 2) обе детали оказались стандартными; 3) хотя бы одна деталь оказалась стандартной; 4) хотя бы одна деталь оказалась нестандартной. В первой коробке находятся 7 белых и 3 чёрных шара, а во второй — 5 белых и 9 чёрных. Не глядя из каждой коробки вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что; 1) оба вынутых шара белые; 2) оба вынутых шара чёрные; 3) хотя бы один шар белый; 4) хотя бы один шар чёрный. 353 1152 1153 1154 1155 Вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним из двух выстрелов, равна 0,96. Полагая, что каждый раз вероятность поражения цели при одном выстреле одна и та же, найти эту вероятность. Вероятность Р того, что при измерении прибором некоторой физической величины будет допуп;ена ошибка, превышающая заданную точность, постоянна. Вероятность того, что ошибка будет допущена этим прибором хотя бы один раз из 32 двух измерений, равна —. Найти Р. 81 Вероятность попадания по мишени при одном выстреле некоторым стрелком равна 0,8. Найти вероятность попадания по мишени этим стрелком: 1) в каждом из трёх выстрелов; 2) хотя бы одним из трёх выстрелов. Имеются 3 партии деталей. Вероятность того, что вынутая из первой партии деталь окажется бракованной, равна 0,1. Вероятность того, что бракованной будет вынутая из второй партии деталь, равна 0,2. Вероятность того, что бракованной будет вынутая из третьей партии деталь, равна 0,3. Случайным образом из каждой партии изымают по одной детали. Найти вероятность того, что: 1) все 3 детали окажутся бракованными; 2) все 3 детали окажутся не бракованными; 3) хотя бы одна деталь окажется не бракованной; 4) хотя бы одна деталь окажется бракованной. Статистическая вероятность Определение вероятности, сформулированное в § 67, называется классическим определением вероятности. Оно применяется, когда теоретически удаётся выявить все элементарные равновозможные исходы испытания и определить благоприятствующие исследуемому событию исходы. В этом случае число элементарных исходов испытания конечно и выражается конкретным числом. Однако на практике — при изу^хении случайных явлений в естествозна- 354 —' НИИ, экономике, медицине, производ- ^ ^ стве — часто встречаются испытания, ^ ’ число возможных исходов которых необозримо велико. А в ряде случаев Рис. 169 проведения реальных испытаний трудно или невозможно установить равновозможность исходов испытания. Например, до многократного подбрасывания кнопки (рис. 169) трудно представить, равновозможны ли её падения ♦на плоскость» и »на остриё». Поэтому наряду с классическим на практике используется и так называемое статистическое определение вероятности. Для знакомства с ним требуется ввести понятие относительной частоты. Определение 1. Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведённых испытаний N. При этом число М называют частотой события А. Относительную частоту события А обозначают IV (А), поэтому по определению 1V(A) = ^. N (1) Задача 1 Во время стрельбы по мишени было сделано 25 выстрелов и зарегистрировано 15 попаданий. Какова относительная частота попадания по мишени в данной серии выстрелов? ► Событие А — попадание по мишени, произошло в 15 слу’шях, т. е. М = 15. Общее число испытаний (выстрелов) N = 25. По формуле (1) имеем W (А) =-^ = ^ = 0,6. 25 5 Ответ 0,6. 0 Если проводить реальное испытание с подбрасыванием монеты и наблюдать за относительной частотой появления, например орла, в каждой серии испытаний, то можно заметить следующий факт: чем больше проводится испытаний, тем всё меньше относительная частота появления орла отличается от 0,5, т. е. от значения вероятности этого события в классическом понимании. 355 Этот факт подтверждают и дошедшие до нас исторические сведения. Известно, что в XVIII в. французский естествоиспытатель Жорж Луи Леклерк де Бюффон (1707—1788) провёл 4040 испытаний с подбрасыванием монеты. В результате чего наблюдал появление орла 2048 раз. Таким образом, Бюффон получил относительную частоту появления орла, рав- ную 2048 4040 0,5069. В начале XX в. английский учёный Карл Пирсон (1857—1936) провёл с помощью своих учеников 24 000 аналогичных испытаний и наблюдал 12 012 появлений орла. Относительная частота события у Пирсона оказалась рав-„ 12012 _ НОИ 24000 0,5005. Определение 2. Статистической вероятностью называют число, около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний. Рис. 170 Различные исследования с большим числом однотипных испытаний проводили учёные в разные годы. Наблюдая за уменьшением амплитуды колебания относительных частот события около некоторого числа при увеличении количества испытаний, швейцарский математик Якоб Бернулли (1654— 1705) обосновал так называемый закон больших чисел-. Можно считать достоверным тот факт, что при любой достаточно большой серии испытаний относительная частота события А стремится к некоторому числу — вероятности этого события. Таким образом, W (А) = Р (А) при большом числе испытаний. Проиллюстрируем ещё одним примером сформулированный закон больших чисел. На листе начерчены параллельные линии, расстояния между которыми равны длине некоторой иглы (рис. 170). Эта игла 100 раз бросается на расчерченный лист, и случаи её пересечения с любой из линий подсчитываются во втором столбце таблицы, где N — число броса- V А/ 356 ний, М — частота пересечения иглой линии, — N относительная частота события в серии из N испытаний, подсчитанная с точностью до десятитысячных. N М w = K N 10 6 0,6 20 14 0,7 30 19 0,6333 40 26 0,65 50 33 0,66 60 40 0,6667 70 46 0,6571 80 54 0,675 90 59 0,65.56 100 66 0,66 По результатам 100 бросков можно предположить, что значения дроби ^ колеблются около числа N 2 ... 0,6667. Действительно ли вероятность рассмат- риваемого события равна При увеличении числа испытаний было обнаружено, что относительная частота этого события стабилизируется около числа, чуть меньшего, чем На основании О понятия геометрической вероятности Бюффон доказал, что вероятность этого события равна —. К Упражнения 1156 В изготовленной партии из 10 000 деталей обнаружено: 1) 350; 2) 220 бракованных деталей. Найти относительную частоту появления в данной партии бракованной детали. Результат выразить в процентах. 357 1157 Заполнить последний столбец таблицы (с точностью до тысячных): № п/п Испытание Число испы- таний (N) Наблю- даемое событие Частота события (М) Относительная частота события 1 Брошена монета 200 Выпала решка 98 2 Брошен игральный кубик 300 Выпало число 4 53 3 Спортсмен стреляет по мишени 100 Попадание по мишени 93 4 Брошен игральный тетраэдр (с гранями, пронумерованными числами 1, 2, 3, 4) 200 Выпало число 3 49 1158 Проводились серии из N испытаний с подбрасывгшием некоторой правильной треугольной призмы, сделанной из стали. Результаты заносились в таблицу; Число испытаний (N) 10 30 100 300 500 1000 Частота падения призмы на любую боковую грань (М) 8 34 73 206 353 698 Относительная частота падения призмы на боковую грань (W) Заполнить последнюю строку таблицы, округляя результаты вычислений до сотых. Высказать предположение о приближённом значении (с точностью до одной десятой) вероятности события А — падение призмы на боковую грань. 1159 Провести серии из N испытаний (где = 10, N.^ = 20, = 40, = 50) с подбрасыванием игрального кубика, на- блюдая за частотой появления числа 1. Убедиться в том, что относительная частота события А — появление числа 1 с увеличением N всё меньше отличается от числа ^ (зяаче- О ния вероятности этого события в классическом понимании). 358 Упражнении к главе XII 1160 (Устно.) Перечислить все элементарные события, которые могут произойти в результате следующего испытания; 1) наугад называется день недели; 2) перекидной календарь на апрель месяц открывается наугад и читается записанное на листе число; 3) па пол роняется тонкий бутерброд и определяется — на какую сторону он упадёт; 4) бросают на пол 2 монеты и наблюдают выпавшие стороны; 5) на пол бросают 3 монеты и наблюдают выпавшие стороны; 6) по мишени по одному разу стреляют 3 стрелка; наблюдается попадание (II) или непопадание (Н) по мишени каждым из них; 7) из пункта А пешеход может попасть в пункт С по одной из трёх дорог (на рисунке 171 дороги проходят либо по сторонам прямоуголь- \ / ника ABCD, либо по его диагонали АС); оцениваются длины маршрутов в каждом испытании. Высказать предположение о рав-новозможности перечисленных Рис. 171 элементарных событий. 1161 (Устно.) Назвать события А + В та. АВ, если: 1) из полного набора домино извлекается одна костяшка, событие А — вынута костяшка «два — два», событие В — вынут дубль; 2) из колоды карт в 36 листов извлекается одна карта, событие А — вынута карта с картинкой; событие В — вынут король. 1162 Двенадцать карточек пронумерованы натуральными числами от 1 до 12. Случайным образом выбирается одна карточка. Рассматриваются события: 1) Л — на карточке записан делитель числа 12, В — записано число, кратное 12; 2) А — на карточке делитель числа 6, В — на карточке число, кратное 6; 3) А — на карточке число, меньшее 10, В — на карточке число, большее 5; 4) А — на карточке число, большее 7, В — на карточке число, меньшее 9; 5) А — на карточке число, кратное 2, В — на карточке число, кратное 4; 6) Л — на карточке число, кратное 3, В — на карточ- 359 ке число, кратиое 6. Установить, в чём состоят события А + В к АВ. 1163 (Устно.) Установить событие, являющееся противоположным событию: 1) выпало число 4 в результате броска игрального тетраэдра; 2) выпало число, кратное 5, в результате броска игрального кубика; 3) хотя бы на одном из кубиков выпало четное число в результате бросания двух игральных кубиков; 4) хотя бы на одном из двух брошенных игральных тетраэдров появилось число 1; 5) брошенная на шахматную доску шашка имеет с клеткой «£2* хотя бы одну общую точку; 6) брошенная на шахматную доску шашка легла на чёрную клетку. 1164 События А и В изображены с помощью кругов Эйлера (рис. 172). Большим кругом изображены все элементарные исходы испытания, с которым связаны события А к В. Перенести рисунок в тетрадь и штриховкой показать событие, состоящее в том, что: 1) произошли оба события А и В; 2) произошло или событие А, или событие В; 3) произошло только событие А\ 4) произошло событие В. 1165 Брошена игральная кость. Найти вероятность события: 1) выпало число, не меньшее 2; 2) выпало число, меньшее 3; 3) выпало число, большее 4; 4) выпало число, не большее 5. 1166 В коробке находятся 2 белых, 5 чёрных и один синий шар. Наугад вынимают один из них. Найти вероятность события: 1) вынут белый шар; 2) вынут чёрный шар; 3) вынут синий шар; 4) вынут или белый, или чёрный шар; 5) вынут не чёрный шар: 6) вынут не белый шар. 1167 Из колоды карт в 36 листов наугад вынимается одна карта. Найти вероятность того, что эта карта: 1) дама красной масти; 2) шестёрка чёрной масти; 3) семёрка; 4) девятка; 5) с картинкой: 6) не с картинкой; 7) или король, или шестёрка; 8) или семёрка, или туз червей; 9) не король бубен; 10) не валет. 1168 Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету в некоторой лотероо равна: 1)2- 10 ■*; 2) 3 • Ю"**. Какова вероятность приобрести невыигрышный билет при покупке одного билета? 1169 Установить, являются ли события С и I) независимыми, если: 1) Р (А) = 0,75, Р (В) = 0,4, Р (АВ) = 0,3; 2) Р (А) = = 10-®, Р (В) = 10-^ Р (АВ) = 10 ®. 360 1170 Наугад называется одно из первых: 1) девятнадцати; 2) двадцати натуральных чисел; рассматриваются события; А — названо число, кратпое 4, В — названо число, кратное 5. Выяснить, являются ли события А и В независимыми. 1171 Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания по мишени у первого стрелка равна 0,65, у второго равна 0,8. Найти вероятность того, что: 1) оба стрелка попадут по мишепи; 2) хотя бы один из стрелков попадёт по мишени; 3) оба стрелка промахнутся; 4) хотя бы один промахнётся. 1172 Вероятность того, что лампочка в люстре перегорит в течение года, равна 0,3. Считая, что каждая из двух таких лампочек в люстре перегорает независимо от другой, найти вероятность события: 1) в течение года перегорят обе лампочки; 2) в течение года не перегорит ни одна из лампочек; 3) в течение года перегорит хотя бы одна лампочка; 4) в течение года не перегорит хотя бы одна лампочка. 1173 Заполнить последний столбец таблицы, округляя результаты вычислений с точностью до тысячных. № п/п Испытание Число испы- таний Наблюдаемое событие Час- тота собы- тия Относи- тельная 'lacTora события 1 Брошены два игральных кубика 400 Сумма выпавших чисел равна 2 11 2 Прошены два игральных кубика 200 Сумма выпавших чисел равна 3 и 3 Спортсмен стреляет по мишени Попадание по мишепи 284 4 Из колоды карт извлекается одна карта 200 Извлечён туз 23 Проверь себя! Наугад называется одно из первых восемнадцати чисел. Событие А — названо чётное число, событие В — названо число, кратное 3. Перечислить .элементарные исходы испы-TaHjiH, благоприятствующие событию: 1) А -t- В; 2) АВ; 3) А; 4) В. 361 Брошены 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что на первой кости выпало число 4, а на второй — нечётное число? Вероятность попадания по цели при одном выстреле у первого орудия равна 0,6, у второго — 0,7. Найти вероятность того, что по цели попадёт хотя бы одно орудие после того, как оба сделают по одному выстрелу. 1174 С помощью штриховки (см. рис. 172) проиллюстрировать событие: 1) Л -н В; 2) АВ, если большой круг на рисунке изображает все элементарные события испытания, с которым связаны события А и В (эти события проиллюстрированы малыми кругами). 1175 Бросают 3 монеты и определяют выпавшие стороны. Перечислить все элементарные исходы, благоприятствующие событию: 1) хотя бы па одной монете появилась решка; 2) хотя бы на двух монетах появилась решка. 1176 Бросают 3 монеты и наблюдают за выпавшими сторонами. Перечислить все элементарные исходы, благоприятствующие событию А, если событие А состоит в следующем: 1) только на одной монете появился орёл; 2) хотя бы на одной монете появился орёл. 1177 Бросают две игральные кости. Найти вероятность события: 1) произведение появившихся чисел равно 6; 2) произведение появившихся чисел равно 4; 3) сумма выпавших чисел равна 4; 4) сумма выпавших чисел равна 5; 5) сумма выпавших чисел больше 9; 6) сумма выпавших чисел не больше о. 1178 В коробке лежат 5 белых и 6 чёрных шаров. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность события: 1) оба шара белого цвета; 2) оба шара чёрного цвета; 3) один шар белый, другой чёрный; 4) по крайней мере один шар белый; 5) по крайней мере один шар чёрный. 1179 В коробке лежат 6 белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность события: 1) оба шара белые; 2) оба шара чёрные; 3) один шар белый, другой чёрный; 4) по крайней мере один шар белый; 5) по крайней мере один шар чёрный. 1180 В коробке лежат 5 белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что: 1) все шары белые; 2) все шары чёрные; 3) один шар белый и 2 чёрных; 4) один шар чёрный и 2 белых. 1181 Клавиатура компьютера имеет 105 клавиш. Найти вероятность того, что при случайном последовательном нажатии трёх клавиш будет написано слово: 1) дом; 2) око. 362 1182 В первом ящике находятся 8 белых и 9 чёрных шаров, во втором — 6 белых и 5 чёрных. Наугад из каждого ящика выбирают по одному шару. Найти вероятность того, что: 1) оба шара оказались белыми; 2) оба шара оказались чёрными; 3) из первого ящика извлекли белый шар, а из второго — чёрный; 4) из первого ящика извлекли чёрный, а из второго — белый шар; 5) хотя бы один шар оказался белым; 6) хотя бы один шар оказался чёрным. 1183 Два мальчика играют в игру крестики-нолики на поле 3x3. Первый случайным образом ставит в одну клетку крестик, второй случайным образом ставит нолик в одну из оставшихся 8 клеток. Найти вероятность того, что после этих ходов будут заняты заранее зафиксированные наблюдателем две клетки поля. Решить задачу двумя способами. XIII глава. Статистика Цель математически оформленных теорий состоит не только в том, чтобы они сать с помощью точных формул уже накопленные знания, но и в том, чтобы предсказать новые явления. Б. В. Гнеденко Случайные величины . Статистика занимается сбором, представлением (в виде таблиц, диаграмм, графиков и др.) и анализом информации о различных случайных величинах. Случайными величинами называют такие величины, которые в ходе наблюдений или испытаний могут принимать различные значения. Можно говорить о том, что их значения зависят от случая. Например, еумма чисел (очков), выпадающая при бросании двух игральных костей, — случайная величина. Обозначим её X, тогда X, = 2, Х2 = 3, Хз = 4, .... X,j = 12 — значения этой случайной величины. В таблице 1 указаны суммы выпавших чисел, а в таблице 2 показапо распределение значений случайной величины X (суммы выпавших чисел) но их вероятностям Р: каждой из сумм X,, Xg, Х3, ..., Хц поставлена в соответствие вероятность, с которой она может появиться в результате одного испытания (одного бросания двух игральных костей). Например, сумма Xj = 3 появляется в двух благоприятствующих случаях (1-(-2и2-1-1)из36 возможных, поэтому Рг = <>0 1о 364 Таблица I кость II кость\^ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Таблица 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 Для наглядности распределение значений случайной величины X, представленное в таблице 2, может быть изображено в виде, например, линейной или столбчатой диаграммы. Заметим, что сумма вероятностей ХР* всех значений величины X (записанных во второй строке таблицы 2) равна 1, как сумма вероятностей всех элементарных исходов испытания с нахождением суммы очков при одном бросании двух игральных костей (см. предыдущую главу). Таблицы распределения значений случайной величины, аналогичные таблице 2, составляются по результатам теоретических расчётов вероятностей. На практике часто после проведения реальных испытаний составляются таблицы распределения значений случайных величин по частотам (или по относительным частотам), после чего для большей наглядности распределение данных представляют либо в виде диаграммы, либо в виде полигона частот (полигона относительных частот). ^ Знак X, вясдёыный Л. Эйлером, исполь.зуется для записи суммы значений некоторой величины (в данном случае — суммы всех значений вероятности Р). 365 Задача Имеются результаты 20 измерений диаметра d болта (в миллиметрах с точностью до 0,1): 10,1; 10,0; 10,2; 10,1; 9,8; 9,9; 10,0; 10,0; 10,2; 10,0; 10,0; 9,9; 10,0; 10,1; 10,0; 9,9; 10,0; 10,1; 10,1; 10,0. Представить эти данные с помощью: 1) таблиц рас-цределения по частотам М и относительным частотам W-, 2) полигона частот. ► 1) Имеющиеся данные (значения случайной величины d) представим в виде таблицы 3 распределения по частотам и относительным частотам: Таблица 3 d 9,8 9,9 10,0 10.1 10,2 М 1 3 9 5 2 w=K N 0,05 0,15 0,45 0,25 0,1 Отметим, что ГМ = N = 20, TW = 1. 2) На рисунке 173 представлено распределение значений d в виде полигона частот. <1 * Рассмотренные в этом параграфе случайные величины принимали изолированные друг от друга значения. Такие величины называют дискретными (от лат. discretus — раздельный, прерывистый). 366 Если случайная величина может принимать любое значение из некоторого промежутка, то такая величина называется непрерывной. Например, время Т ожидания автобуса на остановке, когда пассажир приходит на остановку случайным образом, а автобусы ходят с интервалом 10 мин, есть непрерывная случайная величина, принимающая любое числовое значение Т ё [0; 10J. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Однако существует способ, с помощью которого можно задать распределение и непрерывной случайной величины. Для этого промежуток значений величины разбивают на части (обычно — на равные) и считают частоты (или вероятности) попадания значений случайной величины в каждую из них. Рассмотрим пример. Пусть время горения Т (в часах) электрической лампочки некоторого вида Т е [0; 1000]. Тогда промежуток [0; 1000] можно разделить к примеру на 5 одинаковых по длине промежутков и результаты горения каждой из 100 экспериментальных лампочек занести в частотную таблицу 4: Таблица 4 т [0; 200) [200; 400) [400: 600) [600; 800) [800; 1000J м 1 3 10 18 68 Отметим, что ZM = N = 100. Данные этой таблицы можно представить с помощью так называемой гистограммы частот — ступенчатой фигуры (рис. 174). Если основанием каждой ступени служит промежуток длиной Л, то высоту столбца берут равной где М — частота значений величины X h на соответствующем промежутке. Тогда нлощадь такого столбца будет равна — ■ h = М, а площадь Л фигуры под гистограммой равна IM = N. Если по данным таблицы 4 заполнить таблицу 5 относительных частот, то построенную на её основе ступенчатую фигуру называют гистограммой относительных частот (рис. 175). 367 Таблица 5 X [0; 200) [200; 400) [400; 600) [600; 800) [800; 1000] 0,01 0.03 0,1 0,18 0,68 Гистограмму относительных частот строят обычно таким образом, чтобы площадь каждого столбца под ступенькой была равна соответствующему значению W. Тогда площадь фигуры под гистограммой будет равна единице (ZW = 1). * Упражнения 1184 Составить таблицу распределения по вероятностям Р значений случайной величины X — числа очков, появившихся при бросании игрального кубика: 1) на двух гранях которого отмечены 3 очка, на одной — 4 очка, на трёх — 5 очков; 2) на одной грани которого отмечено 2 очка, на другой — 3 очка, на двух гранях — по 4 очка и на оставшихся двух — по 5 очков. 1185 Составить таблицу распределения по вероятностям Р значений случайной величины X — суммы чисел, появившихся при бросании двух игральных тетраэдров, грани которых нроиумсровапы натуральными числами от 1 до 4. 1186 На стол бросают обыкновенный игральный кубик и игральный октаэдр, грани которого пронумерованы числами от 1 до 8. Составить таблицу распределения значений случайной величины X — суммы выпавших чисел по их вероятностям Р. 368 1187 Составить таблицу распределения по частотам М значений случайной величины X — цифр, встречающихся в выборке следующих телефонных номеров: 1) 3965184, 6542913, 7902914, 2878858; 2) 1316573, 4336582, 2983412, 3941009. 1188 Построить полигон частот и полигон относительных частот значений случайной величины X, распределение которой представлено в таблице: 1) X 5 6 7 8 9 м 2 3 6 4 1 2) X 12 13 14 1.5 16 17 М 4 5 7 6 4 3 1189 В таблице записаны результаты 20 взвещиваний (с точностью до 1 г) одной и той же стальной отливки: 99 97 101 100 99 102 100 102 98 101 100 98 100 98 101 97 101 100 100 99 Составить таблицы распределения по частотам (М) и относительным частотам (W^), а также полигон частот значений случайной величины X — результата определепия массы стальной отливки. 1190 Составить таблицы распределения по частотам (М) и относительным частотам (W), а также полигон частот значений случайной величины У — ростов 30 девущек спортивной секции гимнастики, приведённых (с точностью до 1 см) в таблице: 160 163 161 162 165 163 166 159 164 165 163 159 164 158 164 162 165 163 166 162 162 164 161 165 163 164 161 166 160 163 1191 Сроки службы Т приборов некоторого вида (в часах) попадают в промежуток [0; 2500]. Результаты проверки сроков работы 200 приборов этого вида отражены в частотной таблице: Т [0; 500) [500; 1000) [1000; 1500) [1500; 2000) [2000; 2500] м 5 10 15 20 150 Проиллюстрировать распределение этих данных с помощью гистограммы частот. 369 1192 Значения роста Н у 100 жителей дома (в сантиметрах) попадают в промежуток [50; 190]. Распределение значений непрерывной случайной величины Н отражено в частотной таблице: н [50; 70) [70; 90) [90; 110) [ПО; 130) [130; 150) [150; 170) [170; 190] м 5 8 10 12 15 30 20 Проиллюстрировать распределение этих данных с помощью гистограммы относительных частот. Центральные тенденции Однотипные объекты можно сравнивать по общим параметрам, присущим этим объектам. Например, российские монеты можно сравнивать по номиналу, весу, диаметру; юнощей одного класса можно сравнивать по возрасту, весу, росту и др. Каждый из названных параметров может принимать определённые числовые значения. В статистике исследуют различные совокупности данных — числовых значений случайных величин с учётом частот, с которыми они встречаются в совокупности. При этом совокупность всех данных называют генеральной совокупностью, а любую выбранную из неё часть — выборкой. В статистических исследованиях выборку называют репрезентативной (от фр. representative — представительный), если в ней присутствуют те и только те значения случайной величины, что и в генеральной совокупности, причём частоты имеющихся в ней данных находятся практически в тех же отношениях, что и в генеральной совокупности. Рассмотрим пример. Пусть некоторая случайная величина X имеет распределение своих значений по частотам М, представленное в таблице 6, 370 Таблица в X -1 2 6 8 м 200 500 700 300 и пусть совокупность всех значений этой величины принята за генеральную совокупность. Тогда выборку из этой совокупности, распределение которой представлено в таблице 7, следует считать репрезентативной, так как 200 : 500 : 700 : 300 = = 2 ; 5 : 7 ; 3 и в выборке присутствуют те и только те значения X, которые присутствуют в генеральной совокупности. Выборки же, представленные в таблицах 8 и 9, не являются репрезентативными. Таблица 7 Таблица 8 Таблица 9 X -1 2 6 8 м 2 5 7 3 X -1 2 8 М 2 5 3 X -1 2 6 8 М 2 9 7 3 Задача 1 Совокупность данных иногда бывает полезно охарактеризовать (оценить) одним числом — мерой центральной тенденции числовых значений её элементов. К таким характеристикам относятся мода, медиана и среднее. Мода (обозначают Мо) — это значение случайной величины, имеющее наибольшую чаетоту в рассматриваемой выборке. Например, мода выборки 7, 6, 2, 5, 6, 1 равна 6; выборка 2, 3, 8, 2, 8, 5 имеет две моды: Moj = 2, М02 = 8. Медиана (обозначают Me) — это число (значение случайной величины), разделяющее упорядоченную выборку на две равные по количеству данных части. Если в упорядоченной выборке нечётное количество данных, то медиана равна серединному из них. Если в упорядоченной выборке чётное количество данных, то медиана равна среднему арифметическому двух серединных чисел. Найти медиану выборки значений случайной величины: 1) 5, 9, 1, 4, 5, -2, 0; 2) 7, 4, 2, 3, 6, 1. 1) Расположим элементы выборки в порядке возрастания: -2, о, 1, 4, 5, 5, 9. Количество данных нечётно. Слева и справа от числа 4 находятся 371 по 3 элемента, т. е. 4 — серединное число выборки, поэтому Me = 4. 2) Упорядочим элементы выборки: 1, 2, 3, 4, 6, 7. Количество данных чётно. Серединные данные вы- борки: 3 и 4, поэтому Me - 3 + 4 = 3,5. Ответ Задача 2 1) 4; 2) 3,5. <1 Среднее (или среднее арифметическое) выборки — это число, равное отношению суммы всех чисел выборки к их количеству. Если рассматривается совокупность значений случайной величины X, то её среднее обозначают X. Найти среднее выборки значений случайной величины X, распределение которых по частотам представлено в таблице 10. Таблица 10 X 2 3 4 8 10 м 1 2 3 1 1 ► Х = 2-l+3-2 + 4-3 + 8-l + 10-l_2i6(12 + 8 + 10 1+2+3+1+1 8 Ответ 4,75. О = ^ = 4,75. 8 * Одной из наиболее распространённых характеристик выборки значений случайной величины, чьё распределение по вероятностям известно, является так называемое математическое ожидание. Пусть распределение по вероятностям Р значений некоторой случайной величины X задано таблицей 11. Таблица I1 X ^2 Хз Р Рг Рв ... Рп-1 Рп Тогда число Е, где Е = Х,Р, + Х,Р., + ХЛ + ... + Х„_ + Х„Р„, (1) называют математическим ожиданием (или средним значением) случайной величины X. Например, для случайной величины X — суммы чисел, выпавших при бросании двух игральных 372 кубиков (её распределение представлено в таблице 2), можно найти её математическое ожидание: Е = 2 1 +3. А + 4. 36 36 36 + 5- 36 -ьб . А + 7. А + 36 36 + 8- ^ + 9- ^н-10' 36 36 ^ +11—+12--i- = 36 36 36 = J_ (2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12) = 36 = • 252 = 7. 36 Понятие математического ожидания широко используется в теории игр. Рассмотрим пример. Предположим, что в некоторой игре с двумя игроками первый игрок может выиграть X,, Х^, X* рублей (среди чисел X,, Xj, ..., Х;^ могут быть отрицательные и 0, а суммарный выигрыш обоих игроков всегда равен 0). При этом вероятность того, что первый игрок выиграет X, рублей, равна Р,. Тогда средний выигрыш первого игрока будет равен Е = XjPj + Х2Р2 + ••• + Игра называется справедливой, если Е = 0, т. е. если Х,Р, + Х2Р2 + ... + Х*Р* = 0. Игра называется выгодной (не выгодной) для первого игрока, если Е>0 (Е<0). * Упражнения 1193 (Устно.) Распределение в генеральной совокупности значений случайной величины X отражено в таблице: X 5 7 9 11 12 м 25 60 80 45 15 Установить выборку, являющуюся репрезентативной для заданной генеральной совокупности: 1) 2) 3) X 5 7 9 11 12 М 5 12 16 9 5 X 5 7 11 12 М 5 12 9 3 X 5 7 9 11 12 м 5 12 16 9 3 373 4) X 5 7 8 9 11 12 м 5 12 14 16 9 3 2) 18, 9. 5, 3. 7, 9, 1; 4) 6, 8, 5, 4. 8, 3, 6. 2) 24, 15, 13, 20, 21; 4) 15, 6, 12, 8, 9, 14. 1194 Найти моду выборки: 1) 4, 15, 6, 7, 3, 6, 8; 3) 1, 3, 5, 1, 4, 3, 2; 1195 Найти медиану выборки; 1) 17, 12, 34, 18, 6; 3) 4, 1, 8, 9, 13, 10; 1196 Найти среднее значение выборки: 1) 24, -5, 13, -8; 2) 7, 16, -9, -2, 10; 3) 0,3, 0,8, 0,2, 0,5, 0,8, 0,2; 4) 1,3, 1,4, 1,3, 0,9, 0,9, 1,4. 1197 Найти моду, медиану и среднее выборки: 1) 3, -2, 1, о, 2, -1; 2) 7, 4, -1. 3, -3, 0. 1198 Найти среднее арифметическое выборки значений случайной величины X, распределение которых по частотам представлено в таблице: 1) 3) X -2 0 1 3 М 5 6 7 2 X -1 4 6 М 5 1 2 4) 2) X -1 2 3 м 4 5 2 X -3 2 3 4 Y 4 3 2 1 1199 Найти моду, медиану и среднее выборки значений случайной величины Х\ 1) X -3 -1 0 ,5 М 2 3 5 2 2) X -2 -1 0 1 3 М 1 3 2 4 1 1200 Найти математическое ожидание значений случайной величины X, распределение которых по вероятностям представлено в таблице: 1) X -3 -1 1 3 2 3 1 1 Р 7 7 7 7 2) X -1 0 1 2 3 Р 3 14 4 14 _5^ 14 1 14 1 14 374 Меры разброса Не каждую выборку имеет смысл оценивать с помощью центральных тенденций. Например, если исследуется выборка 80. 80. 320, 4600 (1) годовых доходов (в тысячах рублей) четверых человек, то очевидно, что ни мода (80), ни медиана (200), ни среднее (1270) не могут выступать в роли единой объективной характеристики данной выборки. Это объясняется тем, что наименьшие значения выборки (1) существенно отличаются от наибольшего — разность наибольшего и наименьшего значений соизмерима с наибольшим значением. Определение 1. Разность наибольшего и наименьшего значений случайной величины выборки называется её размахом, и обозначается R. Так, для выборки (1) размах R = 4600 - 80 = 4520. Размах показывает, как велик разброс значений случайной величины в выборке. Одпако, зная только размах выборки, невозможно охарактеризовать отличие её элементов друг от друга, отличие каждого элемента от среднего значения. Возникает вопрос: как сравнить, например, две выборки, имеющие одинаковые размахи и одинаковые средние значения? Рассмотрим реальную ситуацию на примере. На место токаря претендуют двое рабочих. Для каждого из них установили испытательный срок, в течение которого они должны были изготавливать одинаковые детали. Результаты работы претендентов представлены в таблице 12. Каждый из рабочих за 5 дней изготовил 250 деталей, значит, средняя производительность труда за день у обоих рабочих одинаковая: X = У = ^ = 50 (дет./день). 5 375 Таблица 12 День недели Дневная выработка первого рабочего (X) второго рабочего (П Понедельник 52 61 Вторник 54 40 Среда 50 55 Четверг 48 50 Пятница 46 44 IX = 250 lY = 250 Моды у предложенных совокупностей отсутствуют, а медианы одинаковые (50 и 50). Кого же из этих рабочих предпочтительнее взять на работу? В данном случае в качестве критерия сравнения совокупностей может выступать стабильность производительности труда рабочего. Её можно оценивать с помощью отклонений от среднего значения элементов совокупности. Определение 2. Отклонением от среднего называют разность между рассматриваемым значением случайной величины и средним значением выборки. Например, если значение величины = 52, а значение среднего X = 50, то отклонение X, от среднего будет равно Xj - X = 52 — 50 = 2. Очевидно, отклонение от среднего может быть как положительным, так и отрицательным числом. Нетрудно показать, что сумма отклонений всех значений выборки от среднего значения равна нулю. Поэтому характеристикой стабильности элементов совокупности может служить сумма квадратов отклонений от среднего. Из предложенной ниже таблицы 13 видно, что у второго рабочего сумма квадратов отклонений от среднего больше, чем у первого рабочего: I (X - X)* < I (У - У)^ На практике это означает, что второй рабочий имеет нестабильную производительность труда: в какие-то дни работает не в полную силу, а в какие-то 376 Таблица 13 День недели Значение случайной величины Отклонение от среднего X = У = 50 Квадраты отклонений X У X -X У-У (Х-Х)=^ (У-У)^* Понедельник 48 50 -2 0 4 0 Вторник 54 40 4 -10 16 100 Среда 50 55 0 5 0 25 Четверг 52 61 2 11 4 121 Пятница 46 44 -4 -6 16 36 Сумма 250 250 0 0 40 282 навёрстывает упущенное, что всегда схсазывается на качестве продукции. Очевидно, что работодатель предпочтёт взять на место токаря первого рабочего (у которого сумма квадратов отклонений от средней производительности меньше). Если бы рабочие работали разное количество дней и производили в среднем за день одинаковое число деталей, то стабильность работы каждого из них можно было бы оценить по величине среднего арифметического квадратов отклонении. Такая величина называется дисперсией (от лат. dis-persio — рассеяние) и обозначается буквой D. Для случайной величины X, принимающей N рм-личных значений и имеющей среднее значение X, дисперсия находится по формуле (X, - Х)** + (Ха - Х)Ч ...-н (Хл, -N D = (1) Задача 1 Два токаря вытачивали одинаковые детали, причём первый трудился полную рабочую неделю, а второй по распоряжению начальника — 4 дня. Сведения об их дневной выработке представлены в таблице 14. Сравнить стабильность работы токарей. ► Найдём средние значения выборок данных величин X и У: X = 53 н- 5-1 -и 49 + 48 + 46 250 = 50, — _ 52 + 46 -н 53 + 49 200 4 = 50. Очевидно, X = У. 377 Таблица 14 День недели Дневная выработка первого токаря (X) второго токаря (У) Понедельник 53 52 Вторник 54 46 Среда 49 53 Четверг 48 49 Пятница 46 — С помощью таблицы 15 найдём суммы квадратов отклонений от средних всех значений величин X и У. Таблица 15 День недели Значение случайной величины Отклонение от среднего Квадрат отклонения от среднего X У Х-.50 У - 50 (X - 50)2 (У - 50)2 Понедельник 53 52 3 2 9 4 Вторник 54 46 4 -4 16 16 Среда 49 53 -1 3 1 9 Четверг 48 49 -2 -1 4 1 Пятница 46 — -4 — 16 — Сумма: 46 30 Dx=y = 9>2> а Dy = -^ = 7,6, т. е. Ответ Второй токарь работает стабильнее первого. <3 Если значения Xj, Xg, .... X* случайной величины X повторяются с частотами Mj, Mj. •••. Л/* соответственно, то дисперсию величины X можно вычислить по формуле (X,-Х)"м, + (Хз-Х)^Мз + ... f (X*-Х)'м где X = 378 Л/j + л/2 ^ к л/1 + Л/2 -Л/ (1) Используя знак суммы I, формулу (1) можно записать компактнее; 1м 1м Пусть величина X имеет некоторую размерность (например, сантиметры). Тогда её ^еднее значение X и отклонение от среднего X — X имеют ту же размерность, что и сама велич^а (в сантиметрах). Квадрат же отклонения (X - Х)^ и дисперсия D имеют размерности квадрата этой величины (в квадратных сантиметрах). Для оценки степени отклонения от среднего значения удобно иметь дело с величиной той же размерности, что и сама величина X, С этой целью используют значения корня квадратного из дисперсии -/D. Определение. Корень квадратный из дисперсии называют средним квадратичным отклоне нием и обозначают о, т. е. о = ^^D. Задача 2 Распределение по частотам значений вели^шпы X — числа забитых голов игроками футбольной команды за период соревнований показано в таблице 16. Найти среднее квадратичное отклонение от среднего значения числа всех забитых голов. Таблица 16 X 0 1 2 3 м 4 2 3 1 ► Результаты последовательных вычислений будем заносить в таблицу 17, при этом: 1М= 10, X = = 1М 10 Таблица 17 X 0 1 2 3 М 4 2 3 1 х-х -1,1 -0,1 0,9 1,9 (Х-Х)2 1,21 0,01 0,81 3,61 (X -хУ -м 4,84 0,02 2,43 3,61 379 D = _ -Af) _ 4,84+ 0,02+ 2,43+ 3,61 _ IM 10 10,9 10 = 1.09. a = yjD = Vl.09 = 1,04. Ответ Задача 3 о ~ 1,04. <1 Продавец обуви имеет возможность выбрать, в каком из двух мест (в точке А или точке В) ставить UO рабочим дням торговую палатку. В первую очередь его интересует объём продаж, а во вторую — стабильность ежедневных продаж. Продавец провёл исследование: по рабочим дням в январе он торговал в точке А, а в феврале — в точке В. Результаты продаж фиксировались, после чего были составлены две таблицы распределения значений величины Хд и величины — количества проданных за день пар обуви в точках А и В соответственно: 1 2 3 4 5 Л^А 2 7 7 4 2 ^в 1 2 3 4 6 Мд 3 .■5 6 5 1 Какой торговой точке следует отдать предпочтение? Очевидно, в январе было 22 раб«)чих дня (1Жд = 22), а в феврале было 20 рабочих дней (1Мд = 20). Найдём величины среднесуточных продаж обуви в точках А и В: V _ 1(Хд-Мд) 1-2 + 2-7+3-7 + 4-4 + 5-2 _ ■^А----------- 1Мд 22 М 22 2,86; Y _ 1(Хй-Мй) _ 1-3+2-5+3-6 + 4-5 + 6-1 _ 1Ма ~ 20 = ^ = 2,85. 20 Среднее значение суточных продаж оказалось практически одинаковым (примем Хд = Хд = X = = 2,9), значит, предпочтение следует отдать точке с более стабильной торговлей. Для этого нужно сравнить средние квадратичные отклонения совокупностей значений Хд и Хд. Результаты вычислений будем заносить в таблицы: 380 1 2 3 4 5 2 7 7 4 2 Хл-Х -1,9 -0,9 0.1 1,1 2,1 (Хд-Х)2 3,61 0,81 0,01 1.21 4,41 (Хл - Х)2 . Мл 7,22 5,67 0,07 4,84 8,82 1 2 3 4 6 Мв 3 5 6 5 1 Хв-Х -1,9 -0,9 0,1 1,1 3.1 (Хв - Х)2 3,61 0,81 0,01 1,21 9,61 (Хд - X)" • Мв 10,83 4,05 0,06 6,05 9,61 _1((Хл-Х)‘‘ -Мл) _ 7.22 + 5,67 + 0,07 + 4,84 + 8,82 _ 1Мл 22 “ 26,62 22 = 1,21 (пар^), = л/^ = -у/1.21 = 1.1 (пар); ^ _l((Xfl-X)^-Me) _ 10.83 + 4,05 + 0,06 + 6,05 + 9,61 _ ^ Тм1 30,6 20 20 = 1,53 (пар^). = 'Щв = -у/1.53 * 1,24 (пар). Так как < Oj,, то точка Л предпочтительнее для организации в ней торговли, чем точка В. <\ Замечание. Дисперсию и среднее квадратичное отклонение в статистике называют также мерами рассеивания значений слу^шйной величины около среднего значения. Упражнения 1201 Найти размах выборки: 1) 15, -7, 13, -6, 8, 2, 1, -8, -2; 2) 21, 12, -1, 7, -3, 20, 14, 0, 1. 1202 Найти дисперсию выборки: 1) 10 см, 12 см, 7 см, 11 см; 2) 16 г, 14 г, 13 г, 17 г; 3) 11 с, 14 с, 11 с, 12 с, 12 с; 4) 5 м, 13 м, 8 м, 12 м, 12 м. 381 1203 Найти дисперсию совокупности значений случайной величины X, заданной частотным распределением: 1) X 2 3 4 6 м 3 2 2 3 2) X -1 2 3 4 5 М 3 1 2 3 1 1204 Найти среднее квадратичное отклонение от среднего значения элементов выборки: 1) 3 кг, 5 кг, 5 кг, 8 кг, 4 кг; 2) 12 м, 10 м, 7 м, 12 м, 9 м. 1205 Сравнить дисперсии двух выборок, имеющих одинаковые средние значения: 1) 6, 10, 7, 8, 9 и 8, 9, 5, 10; 2) 5, 12, 7, 8, 18 и 17, 6, 11, 7, 9, 10. 1206 Найти среднее квадратичное отклонение величины X, заданной частотным распределением: 1) X 2 3 4 6 М 2 2 1 3 2) X -5 -2 2 3 М 2 3 4 2 1207 Сравнить дисперсии выборок, имеющих разные средние значения: 1) 4, 6, 8, 9, 8 и 6, 8, 10, 12, 9; 2) 6, 3, 4, 8, 9 и 2, 6, 3, 7, 5, 7. 1208 Двух футболистов, участвующих в играх пяти сезонов и .забивших одинаковое количество голов (см. таблицу), сравнить по стабильности результатов. Условный номер сезона 1 2 3 4 5 Число голов, забитых 1-м футболистом 18 23 19 17 23 Число голов, забитых 2-м футболистом 19 16 22 23 20 1209 Двух футболистов, один из которых участвовал в пяти игровых сезонах, а другой — в шести (см. таблицу), сравнить по стабильности в забивании голов. Условный номер сезона 1 2 3 4 5 6 Число голов, забитых 1-м футболистом 17 21 20 16 15 19 Число голов, забитых 2-м футболистом — 17 20 18 21 14 382 1210 1211 1212 1213 Упражнения к главе XIII • I....................I......................... • Составить таблицу распределения по вероятностям Р значений случайной величины X — числа очков, появившихся при бросании кубика: 1) на одной грани которого отмечено одно очко, а на остальных — 2 очка; 2) на двух гранях которого отмечено одно очко, а на остальных — 2 очка; 3) на одной грани которого отмечено одно очко, на двух — 2 очка, па остальных — 3 очка; 4) на одной грани которого отмечено одно очко, на другой — 2 очка, на двух — 3 очка, па остальных — 4 очка. Имеются две монеты, у которых на одной из сторон записано число 1, а на другой — число 2. Составить таблицу распределения по вероятностям Р значений случайной величины У — суммы чисел, появившихся при бросании этих монет. Дан набор случайно названных двузначных чисел; 1) 27, 31, 49, 25, 74, 99, 30, 12, 22, 58; 2) 19, 46, 54, 28, 67, 88. 37, 92, 71, 33. Составить таблицу распределения по частотам М значений случайной величины X — цифр, встречающихся в наборе. Построить полигон частот и полигон относительных частот значений случайной величины Z, распределение которых представлено в таблице: 1) Z 3 4 5 6 7 8 м 1 3 4 5 3 2 2) Z 10 11 12 13 14 М 4 6 9 7 3 Найти размах, моду, медиану и среднее выборки (1214—1217): 1214 1) 1, 5, 5, 8, 10; 2) 3, 10, 12, 12, 18; 1215 1) -8. . -8, -5, -5, 0. 2 !; 2) -4 , -4, 0, 2, 9. 9; 1216 1) -1, . 12, -6, -7, 13, -2, 10, , -2, -9; 2) 4, -10. 13, 8, - 6. -3. - -1, 13, -6; 1217 1) -5, , -15 , 12. -7 . 8. 13. -1. -7; 2) 16 , -2, -8, 10, 14, -6, -2, , 11. 383 1218 Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение выборки: 1) 3, 8, 5, 6; 2) 4, 7. 3, 9; 3) 4, 1, 3, 2, 2; 4) 3, 2, 1, 1, 5; 5) 2, -1, 3, -2. 5; 6) -2, 4, -3, -1, 6. 2 3 Проверь себя! На стол бросают монету (на одной из сторон которой записано число 1, на другой — число 2) и игральный кубик (грани которого пронумерованы числами от 1 до 6). Составить вероятностную таблицу распределения значений случайной величины X — суммы чисел, появившихся на монете и на кубике. Найти размах, моду, медиану и среднее выборки: -5, 6, 3, 8, 3, -2, -4, О, 3, -2. Найти дисперсию выборки: -2, 3, 1,0, 4. 1219 Найти размах, моду, медиану и среднее выборки значений случгийной величины X, распределение которых по частотам М задано таблицей: 1) X -1 0 1 3 5 6 м 2 3 4 1 1 1 2) X -2 -1 0 2 3 4 м 1 2 4 4 1 1 1220 Рост каждой из 50 гимнасток одного спортивного клуба занесён в таблицу: 148 148 149 149 149 149 149 149 149 149 149 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 151 151 151 151 151 151 151 151 152 152 152 152 152 152 152 152 152 153 153 153 153 153 153 153 153 154 154 154 154 По имеющимся данным составить таблицу распределения значений случайной величины X — роста гимнасток клуба: 1) по частотам (М)\ 2) по относительным частотам (W). Построить полигон относительных частот значений величины X. 384 1221 Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение значений случайной величины Z, заданных распределением по частотам М: 1) Z -2 -1 1 3 м 2 1 3 1 2) Z -4 -1 2 3 м 1 2 3 1 1222 Сравнить дисперсии выборок: 1) 2, 3, 5, 3, 7 и 4, 7, 5, 6; 2) -1, 3, 4 и -2, О, 2, 4. 5. 1223 Сравнить стабильность производительности труда двух рабочих, первый из которых работал 5 дней, а второй — 6 дней, при этом они имели одинаковую среднюю производительность: 1) Порядковый номер дня недели 1 2 3 4 б 6 Производительность труда I рабочего (дет. / день) 8 11 9 12 10 — Производительность труда II рабочего (дет. / лень) 8 12 11 8 12 9 2) Порядковый номер дня недели 1 2 3 4 5 6 Производительность труда I рабочего (дет. / день) 9 — 11 10 11 9 Производительность труда II рабочего (дет. / день) 9 10 11 11 10 9 1224 Были произведены замеры десяти диаметров d оснований цилиндров в партии стальных заготовок. Замеры производились дважды — двумя различными измерительными приборами. Результаты измерений (с точностью до 1 мм) первым прибором представлены в таблице слева, а вторым прибором — в таблице справа. 58 59 60 61 62 М, 1 2 4 2 1 d2 59 60 61 62 Mi 2 5 2 1 Сравнить дисперсии значений случайных величин dj и dj. 1225 Среди трёх совокупностей, представленных таблицами распределения, выявить ту совокупность, значения которой имеют меньший разброс данных около своего среднего. X 1 2 4 5 М 2 1 3 2 У -2 0 1 2 3 М 2 3 2 2 1 Z -5 -4 -2 3 М 1 3 3 1 385 1226 Массы т пятидесяти детей до года, стоящих на учёте в некоторой районной поликлинике, попадают в промежуток [2; 12]. Распределение значений случайной величины т представлено в частотной таблице: т [2; 4) [4: 6) [6; 8) 18; 10) [10; 12] м 2 3 13 26 6 Построить гистограмму распределения значений величины т. 1227 Найти математическое ожидание значений случайной величины X, распределение которых по вероятностям представлено в таблице: 1) X -3 0 1 2 Р 0,2 0,3 0,4 0,1 2) X -2 -1 1 2 4 Р 0,2 0,2 0,3 0,2 0.1 Приложение §1 Множества 1. Множество и его элементы. Буквами N, Z, Q, Я, С обозначают соответственно множества натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. Если X — элемент множества А, то пишут х е А, я если х не является элементом множества А, то пишут х е А. Если каждый .элемент множества Л является элементом множества В, то пишут Л с В или В гз А и говорят, что множество А является подмножеством множества В. В этом случае говорят также, что А содержится в В или что В содержит А. Например, N с. Z, Q с. R, R -3 и (-3; +оо); 3) -1 < д: < 5 и (-1; 5J. 2. Операции над множествами. Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А к В, называется объединением множеств А и В и обозначается А U В или А + В. 387 Нипример, если А = [1; 4J, Б = [2; 7), то А U В = [1; 7). Мпоиссство, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые иринадлежат как множеству А, так и множеству В, называется пересечением множеств А и В и обозначается Л П В или АВ. Если А П В = 0, то говорят, что множества А и В не пересекаются. Например, если А = [2; 6), В = (3; 8], то А П В = (3; 6), а если А = [1; 51, В = (6; 9), то А П В = 0. Множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих мпонсеству В, называется разностью множеств А и В и обозначается А\В. Например, если А = [1; 5], В = (2; 4], то А\В = [1; 2J U (4; 5J. §2 Элементы математический логики 1. Высказывание. Отрицание высказывания. Любое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно, называется высказыванием. Сами высказывания будем записывать в фигурных скобках. Например, высказывание А = {число 1352 делится на 4} — истинное высказывание, а высказывание В = (число 2 — единственный корень уравнения X* = 4} — ложное высказывание. Из каждо1'о высказывания А молено получить повое высказывание, отрицая его, т. е. утверждая, что высказывание А не имеет места (не выполняется). Такое высказывание (его называют отрица нием высказывания А и обозначают А), является либо истинным, либо ложным. Из двух высказываний А и А одно является истинным, а другое — ложным. Например, ^ли А = (число 132 делится на 3} — истинное высказывание, то А = (число 132 не делится на 3} — ложное высказывание. Пусть А = (во всяким треугольнике три медианы пересекаются в одной точке}, тогда А = (не во всяком треугольнике три медианы пересекаются в одной точке} = (найдётся треугольник, в котором три медианы не пересекаются в одной точке}. Вообще, если высказывание А наминается со слов «все», «каждый», «любой», то для получения А надо либо, ничего не меняя, поставить отрицание «не» перед этими словами, либо заменить .эти слова на «найдётся», «существует», а утверждение (свойство), которое стоит после этих слов, заменить его отрицанием. 388 2. Прямая и обратная теоремы. Необходимые и достаточные условия. Противоположные теоремы. 1) Формулировка каждой теоремы содержит её условие и .эа-ключение. Поменяв местами в формулировке некоторой теоремы условие и заключение, получим формулировку теоремы, обратной данной. Например, теорема Пифа1ора утверждает, что если в треугольнике АВС угол С прямой, то + Ь'^, т. е. квадрат стороны, ле- жащий против угла С (гипотенузы), равен сумме квадратов двух других сторон (катетов). Теорему, обратную теореме Пифагора, можно сформулировать так: если в треугольнике АВС длины сторон а, Ъ, с связаны равепством то этот треугольник являет- ся прямоугольным, а угол С — прямым. Эта теорема верна, и для её доказательства можно воспользоваться теоремой косинусов. 2) Пусть А — некоторое высказывание. Тогда всякое высказывание В, из которого следует А, называется достаточным условием для А, а всякое высказывание С, которое следует из А, называется необходимым условием для А. В этих случаях пишут В => А, А => С. Например, если А = {натуральное число п делится на 4}, С = {последняя цифра числа п чётная}, то А => С. 3) Если высказывания М а N таковы, что каждое из них следует из другого (М => N, N =9 М), то говорят, что каждое из этих высказываний является необходимым и достаточным условием другого, и пишут М N. Это утверждение выражают так: а) для справедливости М необходимо и достаточно, чтобы имело место N', б) М имеет место в том и только в том случае, если выполняется N\ в) М справедливо тогда и только тогда, когда выполняется N. Например, если М = {квадратичная функция у = ах^ + Ьх + с принимает положительные значения при всех х е R), N = [D = Ь'^ - 4ас < О и а > 0}, то М «=> Л/. Если в некоторой теореме заменить её условие и заключение их отрицанием, то получится формулировка теоремы, противоположной данной. Например, справедлива теорема: если многоугольник Q является четырёхугольником, то сумма его внутренних углов равна 2к. Противоположную теорему можно сформулировать так: если многоугольник Q не является четырёхугольником, то сумма его внутренних углов не равна 2л. Эта теорема верна. Можно показать, что исходная теорема и теорема, противоположная обратной к исходной, либо обе верны, либо обе не верны. Этот факт лежит в основе так называемого метода доказательства от противного. 389 Например, если А s (квадратичная функция у = ах^ + бд: + с принимает положительные значения при всех х е К}, В = {£» = _ 4ае < 0}, то А в. Действительно, если предполо- жить, что В 5 О, то .у = О при X = Ху и х = Х2, где Ху, х.^ — нули функции у = ах^ + Ьх с, а это противоречит А. Следовательно, D < О, т. е. справедливо утверждение В. . -if §3 Предел последопательностн 1. Понятие предела последовательности. Если каждому числу п s N поставлено в соответствие число д:„, то говорят, что задана числовая последовательность; её обозначают {xj или (дс„); число х^ называют членом или элементом этой последовательности, п называют номером члена х^. Например, арифметическая и геометрическая прогрессии — последовательности, п-е члены (а^ и которых задаются соответственно формулами а„ = Oj + d (л - 1), где d — разность арифметической прогрессии, и Ь„ = Ьуу" ~ где q — знаменатель геометрической прогрессии, 6, о, q ^ 0. Последовательность {х„) называется ограниченной снизу, если существует число с, такое, что для всех п е N выполняется неравенство с, < х^, и ограниченной сверху, если существует число с^ такое, что < Cg для всех п е N. Если для всех п е N справедливо неравенство Cl < дг„ < Сг, где Cj и Cg — некоторые числа, то говорят, что {л;„} — ограниченная последовательность. Например, последовательность (sin 5л} ограничена, так как I sin 5л I < 1, т. е. -1 < sin 5л < 1. Предваряя определение предела последовательности, рассмотрим две числовые последовательности {х„) и {yj, где и =-L " п ’ 2"’ Выпишем несколько первых членов каждой последовательности: {УпУ- 2 5 4 7 6 9 2’ 8’ 4’ 5’ 6’ 7 ’ 8’ . 1 1 1 1 1 1 ■ 2’ 4’ 8’ 16’ ’ 32’ 64’ 390 •’‘^4 X, Ул Уг О Рис. 176 ^ь1 О Уз Рис. 177 У1 Изобразим члены этих последовательностей точками на числовой прямой (рис. 176, 177). Заметим, что члены последовательности как бы «сгущаются» около точки 1 (см. рис. 176), раснолагаясь правее точки 1 при чётных п и левее точки 1 при нечётных п. С увеличением п расстояние от точки х„ до точки 1 уменьшается (стремится к нулю). Поэтому число 1 называют пределом последовательности {х„} при л —» оо и пишут lim х„ = 1. Л -► оо Аналогично члены последовательности {«/„} с ростом п «приближаются* к точке О (см. рис. 177), и поэтому lim у„=0. Л —• оо С()юрмулируем определение предела носледовательности. Определение. Число а называется пределом последовательности {х„}, если для каждого е > О существует такой номер N^, что для всех п> выполняется неравенство |х„ - а | < е. Если а — предел последовательности, то пишут lim х„ =а или х„ а при п —* оо. Замечание. Запись ука.зывает на то, что номер, начиная с которого все члены последовательности удовлетворяют условию I х„ - а I < е, зависит, вообще говоря, от е. Если х„ = а для всех л б JV (такую последовательность называют стационарной), то lim х„=а. П выполняется неравенство I х„ - а I < е, которое молено записать в виде а - г< х„< а + г. 391 а - е Рис. 178 а + е X Другими словами, для каждого Е > О найдётся номер N^, начиная с которого все члены последовательности {х„} принадлежат интервалу (а - г; а ч- е). Этот интервал называют г-окрестностью точки а (рис. 178) и обозначают C/j. (а). Итак, число а — предел последовательности {х„}, если для каждой е-окрестности точки а найдётся номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат е-окрестности точки а, так что вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо содержится лишь конечное число членов. Задача 1 С помощью определения предела последовательности доказать, что: а) lim ^^-^ = 1; б) lim <7"= О при |9|<1; п -* <30 П л 00 в) lim (л/га + 2 - Vra -I-1) = 0. Л —• СО ► а) Если х„ = то X. = 1 + —, откуда |х„ — 1 | <—. Неравен- п п п ство |х„ - 11 < е будет выполняться, если -^ < е, т. е. при га > i. а в качестве можно взять число N^ = * 1. [;] е целая часть числа -, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее i. е Е б) Если х^ = д" и q^O, то г = > 1, так как |д|<1. Тогда г = 1 + а, где а > О, откуда L = =(! + «)". Можно показать. Ivl" что (1 + а)" > ап при а > О и любом п е N. Тогда | х„ | = | ^ |" < -i- и для всех га > N , где N, = ае -I-1, справедливо неравенство х_ I < — < < е. Это означает, что lim о" = О, если I о I < 1. ап aN^ п — 00 в) Так как .. _ ГГТ-^ _ (л/га-1-2)*-0 +1)2 _ 1 Хп = V^-f-2 — л/л + 1 =--, ----------= , ^/2 + 2 + ^/1 + 2 + + 1 2 >/п то неравенство < е. равносильное неравенству га > —Ц-, будет 2л/п 4е2 выполняться для всех га ^ N^, где = lim (л/га -I- 2 — -Jn + l) = 0. <1 Л -♦ 00 392 4е2 -ь1. Это означает, что 2. Свойства сходящихся последовательностей. 1) Если последовательность имеет предел, то она ограничена. 2) Если последовательности {z„} таковы, что для всех Ng выполняется неравенство и если lim х„ = а, Ит = а, то последовательность {у„) сходится П -» 00 п —• оо и Ит у„ =а. Я -• ОО 3) Если lim х„=а, lim у„=Ь, то lim (х„ ±{/„) = а ±6, я-*оо ^ л-^оо л-^во lim {x„y„) = ah, lim — = ^ при условии, что у„*0 {п е N) и л-«оо л—«Уд о ь*о. 4. Предел монотонной последовательности. Последовательность {д:„} называют: возрастающей, если для любого п е N верно неравенство +1 > неубывающей, если для любого л 6 IV справедливо неравенство + i ^ Последовательность {дг„} называют: убывающей, если для любого п е N верно неравенство невозрастающей, если для любого п в N справедливо неравенство ^^ х„. Теорема. Если последовательность {xj является возрастающей (неубывающей) и ограничена сверху, то она имеет предел. Если последовательность {дг„} является убывающей (невозраста-ющей) и ограничена снизу, то она имеет предел. Например, последовательность х является возрас- тающей и ограничена сверху (х„ < 3 при всех л е N), поэтому она имеет предел. Этот предел равен числу е, где е ~ 2,7182818289045. §4 Дробно-линейная функция и сё график Функцию вида ах+Ь где а, Ь,с, d — заданные числа, такие, что с Ф0,ай*^ Ьс, называют дробно-линейной. 393 Если с = О и d ^ О, то у — линейная функция; если ad =■ be, то у = const. Дробно-линейная функция определена при всех х е R, кроме х = -^. Преобразуем правую часть равенства (1), выделив целую часть: ах + Ь a(x+^]+h-^^ V с J с _ а сх + d с Ьс - ad а Ьс - ad X + Полагая А = У-, В = с Ьс — ad ,.2 запишем равенство (2) в виде у = А + х + — X Л(у- (2) (3) (4) Из формулы (4) следует, что график дробно-линейной функции (1) можно получить сдвигом гиперболы у = — на |xg| единиц вдоль оси Ох и IЛI единиц вдоль оси Оу (направление сдвига зависит от знаков чисел x^y и Д, Xq — корень уравнения сх + d = 0; запоминать формулы (3) нет необходимости). Точка (д:,,; А) — центр симметрии графика функции (4). Прямая X = Xq является вертикальной асимптотой графика функции (1), а прямая у=А — горизонтальная асимптота этого графика при х —> -)-оо их-» -оо. Задача 1 Построить график функции ► Так как .Зх + 2 2х+ 3 ■(-§) 2х+ 3 -н 2-4,5 1/=1,5- = 1,5- 1,25 х + 1,5’ т. е. 1,25 х + 1,5’ то график данной функции можно получить из графика функции (/ = —^^^ (рис. 179) сдвигом вдоль оси Ох на 1,5 так, что точка (-1,5; 1,5) — центр симметрии графика, а прямые х = -1,5 п у = 1,5 — его асимптоты. График пересекает ось Ох в точке И^ о). а ось Оу — в точке 394 h I)" изображён на рисунке 179. <1 Рис. 17 i) Рис. 180 Задача 2 Построить график функции у = ► Так как =-2 + f 2х-5 2х-5 2 13-4Х 2х-5 т. е. у- -2 + О I Е + — • —-—, то прямые X = - и у = -2 — асимптоты графика функ-2 5 2 ~2 ции, точка -2j — центр симметрии, а oj; и ^0; ~— точки пересечения графика с осями координат (рис. 180). <1 § 5 Уравнения и неравенства ---- с двумя неи.звестными 1. Линейные уравнения с двумя неизвестными. Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат Оху Тогда уравнение у = kx + Ь определяет прямую I (рис. 181), пересекающую ось Оу в точке М (0; h) и образующую угол а с положительным направлением оси Ох, где tg а = k — угловой коэффициент прямой I. Чтобы построить прямую I, заданную уравнением (1), достаточно найти две точки .этой прямой. На рисунке 182 изображены пря- (1) 395 мые Zj и l.^, заданные соответственно уравнениями у = -х + 2 3 и у=-х-\. Рассмотрим уравнение Ах + By + C = Q, (2) предполагая, что хотя бы одно из чисел А, В отлично от нуля (А^ + > 0). Пусть В ^ о, тогда уравнение (2) можно занисать в виде у = -^дг-^, т. е. в виде (1), где * = ^ = Если В = о и Л ^ о, то уравнение (2), которое можно записать (2 В виде д: =--, есть уравнение прямой, параллельной оси Оу, А Таким образом, при любых А, В, С, таких, что + В^ > О, уравнение (2) является уравнением некоторой прямой. 2. Ливейпые неравенства с двумя неизвестными. Задача 1 Дать геометрическое описание множества точек координатной нлоскости, удовлетворяющих неравенству 3i/ - 2д: - 6 < 0. ► Уравнением Зу - 2х - 6 = 0 задаётся прямая (рис. 183), проходящая через точки (-3; 0) и (0; 2). Пусть Afj (jCp i/|) — точка, расположенная ниже прямой /, а (дгр у2) — точка с абсциссой X, и ординатой У2> лежащая на прямой I. Тогда Зу2 - 2дг, - 6 = о, Зу, - 2х, - 6 < о. так как у, < i/j- 39в Аналогично можно показать, что в любой точке М (л:; у), лежащей нилсе прямой I, выполняется неравенство Зу - 2х - 6 < 0; в любой точке М (х; у), лежащей выше прямой I, справедливо неравенство 3i/ - 2х - 6 > 0. <3 Рассмотрим неравенство Ах + By + С < о, (3) считая, что > 0. Как и в задаче 1, возьмём точки (они лежат на прямой, параллельной оси Оу) Му (Xj; Уу) и JWj (х,; у.^), такие, что Му лежит ниже прямой I, заданной уравнением (2), а М.^ — на этой прямой, тогда У, < Уг- Если В > о, то Вуу < Ву2, и поэтому Аху Вуу + С < 0, т. е. координаты точки Му удовлетворяют неравенству (3). Этому неравенству удовлетворяют координаты любой точки, расположенной ниже прямой I, если В > 0. Если В < о, то неравенству (3) удовлетворяют координаты любой точки, лежащей выше прямой /. Если В = о (А 0), то неравенство (3) примет вид Ах -ь С < 0. Это неравенство равносильно неравенству х <--при А > 0 и пера- А венству X >---при А < 0. А Например, неравенство Зх -*- 4 < 0, равносильное неравенству 4 х<- —, выполняется во всех точках, лежащих слева от прямой 3 Таким образом, прямая, заданная уравнением (2), разбивает плоскость на две полуплоскости, такие, что во всех точках одной из этих полуплоскостей выполняется неравенство (3), а в другой — неравенство Ах + By + С > 0. (4) Чтобы решить перавепство (3) или неравенство (4), т. е. чтобы определить, в какой из полуплоскостей оно справедливо, достаточно определить знак левой части этого неравенства в какой-либо точке одной из полуплоскостей. Если С * о (прямая не проходит через начало координат), то в качестве такой точки удобно взять точку (0; 0). Рис. IH4 397 Например, неравенство 5х - 3i/ - 15 < О при х = у = О является верным. Поэтому оно выполняется во всех точках той из полуплоскостей (их общая граница — прямая ох - Зу - 15 = 0), которая содержит точку (0; 0). Эта полуплоскость отмечена на рисунке 184. 3. Системы линейных неравенств с двумя неизвестными. Рассмотрим систему неравенств [а,х -ь + С, > о, [ЛзХ + Вг!/ + С2 > о. (5) преднолагая, что А\ + Bi\> 0, Ag + Bj > 0. Первому неравенству системы (5) удовлетворяют точки множества Ку, лежащие по одну сторону от прямой 1,, заданной уравнением AjX + В,у -I- Cj = 0. Аналогично второе неравенство системы (5) является верным на множестве — одной из полуплоскостей, на которые разбивается координатная плоскость прямой (j» заданной уравнением АгХ -I- В.^у + С2 = 0. Множество решений системы (5) — пересечение множеств и К^. Если прямые /, и (j пересекаются в точке А, то множество решений системы (5) — множество точек, расположенных внутри одного из четырёх попарно вертикальных углов с вершиной в точке А. Задача 2 Решить систему неравенств |2х-3«/ + 6 > о, [х + J/ + 1 < 0. ► Найдём точку А, в которой пересекаются прямые (j и 1^, заданные соответственно уравнениями системы |2х-3у-ь6 = о, [х-1- 1/-ь 1 = О. Решив систему (7), получим, что прямые и (j пересекаются в точке А - . Так как коорди- V 5 5; наты точки О (0; 0) удовлетворяют первому неравенству системы (6) и не удовлетворяют второму неравенству, то системе (6) удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые лежат ниже прямой /| и ниже прямой (j, т. е. точки того угла с верши-пой А, который содержит точку (-2; 0) (рис. 185). (6) (7) 398 4. Нелинейные уравнения и неравенства с двумя неизвестными. а) Нелинейные уравнения с двумя неизвестными. Задача 3 Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению: 1) f - 4х^ = 0; 2) + ДС1/ - = 0; 3) + у^ - 4х + 6у - 3 = 0. ► 1) Запишем уравнение в виде (у - 2х) (у -t- 2х) = 0. Множество точек, удовлетворяющих этому уравнению, — объединение прямых у = 2х м у = -2х. 2) Разложим левую часть уравнения на множители: 9х* - у^ - Зх^ + ху = (Зх + у) (Зх - у) - X (Зх - у) = (Зх - у) (2х + у). Искомое множество — объединение прямых 3х-у = 0 и 2хн-у = 0. 3) Применяя метод выделения полного квадрата, получаем х^ + у^ - 4х + dy - 3 = о, (х - 2)2 + (у + 3f -16 = 0, (х - 2)2 + (у + 3)2 = 16. Следовательно, множество решений данного уравнения — окружность радиуса 4 с центром в точке А (2; -3). О б) Нелинейные неравенства с двумя неизвестными. Если А (а; Ь) — точка координатной плоскости, R> 0, то неравенству (х - а)2 + (у - Ь)2 < Д2 удовлетворяют все те точки, которые находятся от точки А на расстоянии, меньшем R, т. е. все точки (и только они), расположенные внутри окружности С радиуса R с центром в точке А (а; h). Аналогично множество решений неравенства (х - и)2 + (у - hf > Д2 есть множество точек, лежащих вне окружности С. Задача 4 Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству: 2x2 2у2 + 2х - 6j/ - 13 < 0. ► Преобразуем неравенство, выделяя полный квадрат: г|^х2 -i-x-l-|j-t-2|^1; 2)а-*'*>1; 3) < 1; 4) < 1; 5) log„ 0,2 > 0; 6) log,, 1,3 > 0? Какое из чисел больше: Г — log 2 3 + log А — 1) VlB или 4 “ ; 3 / 4logo2-ilo«,/6 5 2) VTs или i ' Между какими целыми числами заключено число: 1) Ig 50; 2) logs 10? Упростить (1254—1255). 1254 1) зД-iv^ t зЛад-4, V9 2 1 1255 1256 2) ______________________. л/б-Л 4ь +42 4б-42 1) ^а*(9а^-6а + 1); 2) (4Ь‘‘+ 4f>* + 1). Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: 5 . 04 3 . 04 12 . .,4 8 1) 4г-42 2) 4ь + 4ь' 3) V10-/7’ 4) 4x1 + 4з‘ 1257 Освободиться от иррациональности в числителе дроби: 2) Зл/б 3) 4i-4ъ 1258 Записать в виде обыкновенной дроби число: 1) 0,(4); 2) 2,(7); 3) 0,(21); 4) 1,(36); 5) 0,3(5); 6) 0,21(3). 1259 Записать в виде десятичной периодической дроби число: 1) 2) 2 1; 3) i; 4) 5^ 1260 6 9 7 11 Может ли быть рациональным числом: 1) сумма двух положительных иррациональных чисел; 2) произведение двух иррациональных чисел; 3) частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение? 402 1261 Доказать, что если а и Ь — натуральные числа и -Jab — гальное а если — рациональное число, то также рациональное число. иррациональное число, то и у— — иррациональное число. 1262 Пусть а — рациональное число, Ь — иррациональное число, а ^0, Ь фО. Дока.зать, что а + Ь, а • Ь, — — иррациональ- Ь а ные числа. 1263 Имеют ли общие точки промежутки: 1) [1; Зл/2+2 л/7] и [Зл/З-1-4; 15]; 2) (0; V^ + V6) и (л/48-1; 10); 3) [2; 2 41 + 2 4&] и (3V2 + V22; 11); 4) [1; 1 + л/З] и I -J—-, 4 I? W3-1 ) 1264 Пусть о < а < ft. Доказать, что на числовой оси: 1) точка 2) точка а + 6 2 а-у Ьс 1 + с — середина отрезка [а; ft]; , где с > о, лежит внутри отрезка fa; 5]. 1265 1266 1267 1268 1) Вычислить диаметр х круга, вписанного в равносторонний треугольник (рис. 186), если а = 6 см. 2) Вычислить угол а заготовки, изображённой на рисунке 187, если а = 4 см. Вычислить ширину I ущелья по данным, указанным на рисунке 188. Вычислить длину моста по данным, указанным на рисунке 189. Найти числовые значения всех остальных тригонометрических функций по данному значению одной из них (0<а<|): 1) COS а = 0,8; 2) sin а А; 3)tga=2,4; 4)ctga = ;^. 13 Рис. 186 Рис. 187 403 Рис. 188 Рис. 189 1269 Вычислить cos 2а, если sin а = —. 3 1270 Найти значение выражения sin +cos 690°-cos Вычислить (1271—1276). 1271 1) 2 arctg 1-3 arcsin 2) 8 arccos ^ + 6 arctg -Js. 1272 1) sin 2 arcsin ^ |; 2) tg (2 arctg 3). 1273 1) log^ sin 2) log^ tg 3) logg sin —; 4 4 4 4) logg cos 5) logg 1 - log^ tg - • logg cos 0. 3 4 1) ctg (arctg-/З); 2) ctg (arctg 1); 3) sin (arctg (--Уз)); 4) sin I arctg5) cos (arctg 1); 6) cos (arctg (--УЗ)). 1275 1) cos fi y^i 6 arccos — 2 2) sin (5 arccos 0). < лгтл .4 sin a cos a 3 1276 1) —-----------— при tg a = -; sin"* a-cos ^ a 4 2) sin a cos a, если sin a + cos a = —. 3 Упростить выражение (1277—1279). 1277 1) g + 2 a - 2 ^ 2a^-a- 3 2a - 3 g^ + 5a + 6 g-2 ^ bb+2 2& + 1 -4b b 404 1278 1)^+ 3 а^-1 а^-а^+а-1 а^+а^+а + 1 а‘*-1 , 2о , 1 2 2) ^ а^+5а + б а^ + 4а+3 (а + 1г+о + 1 а+3 1279 1) 1 ■+ 1 2) Ол/2 + а- -У2-1 4 + 4-/а 2-2а 4-4м^’ " а ^2 -2-^ + 2а 1280 Упростить выражение и найти его значение: 2) а + а-^а^- а+ ^ja'^- х^ при а = 3, X = ^^5. Упростить выражение (1281—1288). 1281 1) 1+ х^ 1282 1) 6л-,/—■Vl8mn; V 2л ; 2) т+2т^+1 1 2т^ 1 i 2/п^ 4т* 1 m -1 m.* -1 2) I 1 a-1 a^ + a* 3 11 o'* + a* a* + 1 1283 1) a \Ia -1 1284 Vo -1 5 _5 3 3 _-2 u-l . 2) 1 + ft Vfe i + 4b -Гь 1+ 4b l-b ■ 1 1 - a®b*. a ^b~^-b f 1285 1) a + ■Tab -\1 ab+ ft* ^a* + aft ■JUb + b y]a^b + л/ flfr* . 2ab 1286 9a-25a*' a+7 + lOa"* 1 _i 2 2 , 3a* - 5a i _i a* + 2a * 405 1287 зТь 1 1288 1) \[F-QVh Гь-4= yJb 1 + tg^a -2 - + 18b + 8iy’-\ 1 + ctg'^a 2) (1 + tg a) (1 + ctg a) - sin a cos a 100Л TT l-(sin a + cos a)^ ox 2 1289 Доказать тождество ------------------= 2tg”*a. sin a cos a - ctg a Упростить выражение (1290—1291). 1290 1) sin^ (a + 8к) + cos^ (a + 10д); 2) cos^ (a + 6д) + cos^ (a - 4n). 1291 sin 2a sin a cos (Л - a) 2(l-2cos^a) l-2sin^a cos^ X sin^ X = - sin X-C08 X. 1292 Доказать тождество 1 + sin X 1 - cos X 1293 Разложить на множители: 1)1+ cos a + sin a; 2) 1 - cos a - sin a; 3) 3 - 4 sin^ a; 4) 1 - 4 cos^ a. 1294 Доказать, что если a + 3 + у = it. то: 1) sin a + sin В - sin y = 4 sin - sin - cos 2 2 2 2) sin 2a + sin 23 + sin 2y = 4 sin a sin 3 sin y. 1295 Известно, что tg a = 2. Найти значение выражения: 1) sin^ a + sin a cos a 2) 2 - sin^ a cos^ a + 3 cos a sin a 3 + cos^ a 1296 Известно, что tg a + ctg a = 3. Найти tg^ a + ctg^ a. Упростить выражение (1297—1302). •. . X cos a + sin a ^ ( w Л ^ Г n 'i 1 - d 1297 1) -------^----tg i + a ; 2)tg'* i-a --------- cos a -sin a V4 / V2 /1+c- 1298 1) 2) (sin a + cos af + (sin a - cos a)^; ctg a + ctg P sin ^ ^ + a j - cos sina + 2 sin ^ g ~ “ 1 3) ---7^----(-----7-----4) - cos 2a cos 2a 1- tg‘ 1299 1) ^ ^ ( <* ^ + cos ^ ^ + a j 2 cos ^ ^ — a ^ cos a 1+ tg 406 (f-r 2) sin 2a 1 + cos 2a 1300 1) tg^a 2) 1 + ctg^a _ ctg^a 1 + ctg^a 4) (tg a + ctg af - (tg a - ctg a)^. 3) tg«-tgp _ ctg a + ctg p 1301 1302 1303 1 + cos 2a _ 2 cos a sin a + sin 3a + sin 5a cos a + cos 3a + cos 5/з sin 2X - cos 2x = JS; 2) 6 sin X + 5 cos X = 6. 1372 1) tg® X + tg® X - 2 tg X - 2 = 0 2) 1 - cos X = tg X - sin X. 1373 1) sin X + sin 2x = cos x + 2 cos® x; 2) 2 cos 2 X = л/б (cos X - sin x). cos 2x 1374 = cos X + sin X. 1- sin 2x 1375 1) sin® X + cos® X = 0; 2) 2 sin® X + sin® 2x = 2; 1376 1377 1378 1379 1380 1381 1382 1383 1384 3) 8 sin X cos 2x cos x = ^^3; 4) 4 sin X cos X cos 2x = cos 4x. 1) sin'' X - cos^ X + 2 cos^ x = cos 2x; 2) 2 sin'' X - cos'* X = 1 - sin'* x. 1) sin® X cos X + cos® X sin x = cos 2x; 2) 2 + cos® X + 3 sin X cos x = sin® x. 1) 4 sin® X - 8 sin x cos x + 10 cos® x = 3; 2) 3 sin® X - 2 sin x cos x = 1. 1) sin 5x = sin 3x; 2) cos 6x + cos 2x = 0; 3) sin 3x + cos 7x = 0; 4) sin x = cos 5x. 1) sin X + sin 5x = sin 3x; 2) cos 7x - cos 3x = 3 sin 5x. 1) cos X sin 9x = cos 3x sin 7x; 2) sin X cos 5x = sin 9x cos 3x. 1) 5 + sin 2x = 5 (sin x + cos x); 2) 2 + 2 cos X = 3 sin x cos x + 2 sin x. 1) sin X + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0; 2) cos X + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0. 1) tg® 3x - 4 sin® 3x = 0; 2) sin x tg x = cos x + tg x; 3) ctg X ctg X + sin X = 1; 4) 4 ctg® X = 5—7 sin X 411 1385 1) tg 2д: = 3 tg x; 2) ctg 2дг = 2 ctg x; 3) tg l^x + ^j + tg jj = 2; 4) tg (2x + 1) ctg (x + 1) = 1. 1386 Решить графически уравнение: 1) cosx = 3x-l; 2) sin X = 0,5x®; 3) cosx = -/x; 4) cos X = x^. 3. Неравенства. Решить неравенство (1387—1388). 1) X + 8 > 4 - Зх; 2) Зх + 1 - 2 (3 + х) < 4х + 1. 1) 4- Зх _ 5-2х ^ 2; 2) -£±1 > 2. 8 12 6 7 При каких значениях х положительна дробь: 1) ; 2) Зх±10. 3) Л+_2.; 4) 7х+ 5 40-х 5-4х 6+Зх 1387 1388 1389 1390 При каких значениях х отрицательна дробь: 1) 3-2х 2) -4-g; 3) Зх-2 9х+ 2 -4x^-1 1391 1392 1393 1394 1395 1396 1397 1398 Решить неравенство (1391—1394). 1)5х + 4^^ 2)_L_<1; 3) ^_<4. х-3 х-4 х+3 1) 8х=^ - 2х - 1 < 0; 2) 5х^ + 7х < 0. 1) < 0; 2) (2х^ + 3) (X + > 0. х^-4 1) —^0; 2)—<0; 3)^!-^^>0. х-'ц- 5х-14 х^ + 4 X + 2 х‘=-2х-3 При каких значениях х выражение Ig (х^ + 8х + 15) не имеет смысла? При каком наименьшем целом значении т уравнение (т - 1) х^ - 2 (т + 1) X + лг - 3 = о имеет два различных действительных корпя? При каких целых значениях т уравнение (т - 7) х2 + 2 (т - 7) X + Я = о не имеет действительных корней? При каком наибольшем целом значении х выражение i х^ t 3 х'^ -9х + 14 принимает отрицательное значение? 412 1399 При каком наименьшем целом значении х выражение -—принимает положительное значение? -7 - Решить неравенство (1400—1415). 1400 1) |2дг - 3| < л:; 3) \х'^-7х+ 12|«6; 5) |2д:=*-д:- 1|>5; 1401 1) 2,5^-* > 2,5-3^ 3) (!) 2) |4 - л:| > д:; 4) |д:=^-Зд:-4|>6; 6) |Зд:^-х-4|<2. 2) 0,13*-“^ 0,13*-^ 4) З"** > >/3. 1402 1) 2-* + »<-!-; 4 1403 1) + + <5^/5; 1404 1) 3' + ’ -9 2 > 27 -ИГ 2) 0,2^“-»*'^^ > 1. 2) 3'-"1 + 3*-‘ < 10. 2. 1405 1) 22*-4^-‘ + 83 -2-» >52; 2) 2"'*=^ - 2^*® + 5*~^ > 5*'"’+ 2''"‘*. 1406 1) 3,3*+®*<1; 2) ч2г + 3 4) + ‘ -21-|^ij +2^0; 5) 3^-®*-3s|^lj +6>0. 1. х-3 3) 8,4*'-^®'-^“ < 1; 1407 1) 3 log X - 1 » xTi ^ 1 < 9 2) 5’“*s > i. 1408 1) logg (2 - jc) < logg (2дг + 5); 2) logj (x®-2) > - 1. 1409 1) J\gx < i; 2 2) logj X < logj (2д: + 6) + 2. 1410 1) logo,5 (1 + 2д:)>-1; 1411 1) log„e(oc®-5A: + 6)>-l; 1412 1) log, log, 2 ■Si 0; 2) logg (1 - 2дг) <-l. 2) logg (x® - 4x + 3) ^ 1. 2) log,(log,(x®-5))>0. 3 413 1413 1414 1415 1416 1417 1) - 4) logo,» д: > 0; 1) 3) X + 3 > logg (26 + 3^); Vi. 2) (Зх - 1) logg X > 0. 2) Vx“ •«* < lOx; 4) 3 - X < log, (20 + 5^). 1418 1419 1420 1) cos (-3x) > —; 2) cos [ 2x - — I <-i. 2 V 3 У 2 C помощью графика решить неравенство: 1) sin X < - : 2) sin X > 3) tg x - 3 < 0; 4) cos Jc > -f. 4 4 3 Используя графики тригонометрических функций, найти все решения неравенства, заключённые в промежутке [-Зя; я]: 1) 2со8Х-л/3<0; 2) Visinx+l^O; 3) Vi + tg X < 0; 4) З tg X - 2 > 0. Доказать неравенство (1418—1420). 1, аЬ < 2) если а > О, Ь > О, афЬ. 1) (а + Ь) (аЬ + 1) > 4ай, если а > О, Ь > 0; 2) o'* + ба^Ь^ + Ь* > 4аЬ (а^ + Ь^), если а Ф Ь. 1) - + - + —>3, если а > О, Ь > О, с > 0; Ь с а 2) 2а^ + Ъ'^ + с^-»2а(Ь + с). 4. Системы уравнении и неравенств. Решить систему уравнений (1421—1422). 1421 1) 1422 1) 5х - 7у = 3, 6х + 5у = 17; х-у х+ у = 10, - + ■^ = 10; 5 2 2) 2) 2х - у - 13 = О, х + 2у+ 1=0. i^ + ^ = 6, 2 3 х+у x-y_Q 4 3 1423 1) Найти действительные решения системы уравнений (1423—1425). ху = 16, ’> ■ гу. у + 5= х'^. 1424 1) х^ + у^=25\ х^- у'^= 13, х-у=1; 414 2) |- = 4; U \х^-Зу = -Ъ, [7x + 3t/ = 23. |х^ + 2 [х = 2 2 у" =96, 1425 X -1-1 X _ 3-, 1) У X 2 ’ 2) X У 3 х2 + у' = 20; Х2- ■у^ = = 8; а,. Х2 = 13х + 4у, 4,. 3x2 + у'^ -4х = 4х + 13у; 2x2 + У^ + Зх Решить систему уравнеиий (1426—1431). 3*-22i'= 77, 1426 1) 3) 1427 1) 1428 1) 1429 1) 1430 1) 2) < 2^*У=32, 3»i'-'=27; 3*-2!'=576, log^2(i/-x) = 4; log4 x-log2 у = 0, л-2-51/2 + 4 = 0; \^[х + ^ = 16, = 2; l^Jx+y-l = 1, 2) 4) 2) 2) 2) 32-2*'=7; Ig дг + Ig 1/ = 4, л:'«"= 1000. л;2+1/-'= 16, log2 л: + 2 log2 у = 3. yfx-^ = 1, ^fx+^fy = 19. ^х-у + 2 =2у-2\ sin X + cos у = 1, о sin2 л: + 2 sin л: соз у = —; sin X + sin у = - , ^ 2 cos2 л; + 2 sin х sin у + А cos^ у = 4 \^JSy+ х+1 = 2, [72л:-у+ 2 =1у-Ь. 1431 1432 1) sin o:cos у= ^ 2 ^зш л: 3111 1/ = -, tg л: ctg у = 1; [3 tg X = ctg у. Найти наименьшее и наибольшее целые решения системы 2х- 3 _ Зх+ 5 _х < 3_ х + 4 1_2£^4.1i:3£ <2х- 2 х+ 2 х+1 х+2^х-3,х-4 ^ ^ _ J 1433 Решить систему неравенств ■ 5 х-2 3 > 1 + 4 3 х-5 15 415 5. Текстовые залачн. 1434 Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору за 3 мин, а по движущемуся за 45 с. За какое время поднимает эскалатор неподвижно стоящего на нём пассажира? 1435 Теплоход прошёл расстояние между двумя пристанями по течению реки за 7 ч, а против течения за 9 ч. Определить расстояние между пристанями, если скорость течения реки 2 км/ч. 1436 Теплоход должен был пройти некоторое расстояние за 2,25 суток, но оказалось, что он проходил за каждый час на 2,5 км больше, чем предполагалось, а потому прошёл намеченный путь за 2 суток. Какое расстояние должен был пройти теплоход? 1437 Один рабочий выполняет некоторую работу за 24 дня, другой рабочий ту же работу может выполнить за 48 дней. За сколько дней будет выполнена эта работа, если рабочие будут работать вместе? 1438 При уборке урожая было собрано 4556 ц яровой пшеницы с общей площади 174 га, причём на целинных землях собрано по 30 ц с 1 га, а на остальной площади — по 22 ц. Сколько гектаров целинных земель было освоено? 1439 Разность двух чисел относится к их произведению как 1 : 24, а сумма этих чисел в 5 раз больше их разности. Найти эти числа. 1440 Сумма трёх чисел равна 1. Разность первого и второго чисел равна третьему числу. Сумма первых двух чисел в 5 раз больше третьего числа. Найти эти числа. 1441 Бригада рабочих должна была к определённому сроку изготовить 360 деталей. Перевыполняя дневную норму па 9 деталей, бригада за день до срока перевыполнила плановое задание на 5%. Сколько деталей изготовит бригада к сроку, если будет продолжать работать с той же производительностью труда? 1442 Катер направился от речного причала вниз по реке и, пройдя 36 км, догнал плот, отправленный от того же причала за 10 ч до начала движения катера. Если бы катер отправился одновременно с плотом, то, пройдя 30 км и повернув обратно, встретил бы плот на расстоянии 10 км от речного причала. Найти собственную скорость катера. 1443 Две организации приобрели театральные билеты. Первая организация израсходовала на билеты 3000 р., а вторая, купившая на 5 билетов меньше и заплатившая за каждый билет на 30 р. меньше первой организации, уплатила 416 за билеты 1800 р. Сколько театральных билетов купила каждая организация? 1444 От пристани отправился по течению реки плот. ’Через 5 ч 20 мин вслед за илотом с той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 17 км. Какова скорость п.тота, если известно, что скорость моторной лодки по течению больше скорости плота на 48 км/ч? 1445 При уборке урожая с каждого из двух участков собрано по 210 ц пшеницы. Площадь первого участка была на 0,5 га меньше площади второго участка. Сколько центнеров пшеницы собрано с одного гектара на каждом участке, если урожай пшеницы на первом участке был па 1 ц с 1 га больше, чем на втором? 1446 Расстояние от дома до школы 700 м. Сколько шагов делает ученик, проходя путь от дома до школы, если его старший брат, шаг которого на 20 см длиннее, делает на 400 шагов меньше? 1447 Найти четыре числа, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии, если третье число больше первого на 9, а второе больше четвёртого на 18. 1448 Найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если сумма первых трёх её членов равна нулю, а сумма четырёх первых членов равна 1. 1449 Найти четыре числа, зная, что первые три из них являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — арифметической прогрессии. Сумма первого и четвёртого чисел равна 16, а второго и третьего равна 12. 1450 Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый её члены являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии. Найти первый член геометрической прогрессии. Произведение пятого и шестого членов арифметической прогрессии в 33 раза больше произведения её первого и второго членов. Во сколько раз пятый член прогрессии больше второго, если известно, что все члены прогрессии положительны? В треугольнике, площадь которого равна 12 см^, середины сторон соединены отрезками. Во вновь полученном треугольнике точно так же образован новый треугольник и т. д. Найти сумму площадей всех получающихся таким построением треугольников. 1451 1452 417 6. функции 11 Х'рафнкн. 1453 1454 1455 1456 1457 1458 График линейной функции у = х + Ь проходит через точку (-2; 3). Найти Ь. График линейной функции у = kx + 3 проходит через точку (-1; 4). Найти к. Найти коэффициенты к к Ь линейной функции у = кх + Ь, если её график проходит через точки А к В: 1) А(-1; -2), В(3; 2); 2) Л (2; 1), В(1; 2); 3) А (4; 2), В (-4; -3); 4) А (-2; -2), В (3; -2). Через точку А(-3; 2) проходит прямая, параллельная прямой, проходящей через точки В (—2; 2) и С(3; 0). Записать формулы, задающие линейные функции, графиками которых являются данные прямые. Выяснить, принадлежит ли прямой х-н - = 1 точка А: 2 1) А(-1; 4); 2) А (0; 3); 3) А(1; 0); 4) А (1-0- 1459 1460 1461 1462 1463 1464 1465 О Линейная функция задана формулой у = ——х + 2. Найти: 4 1) точки А и в пересечения её графика с осями координат; 2) длину отрезка АВ; О 3) расстояние от начала координат до прямой у = — х + 2. 4 Найти значения х, при которых график функции I/ = Зх - 1 расположен: 1) выше оси Ох; 2) ниже оси Ох. Найти значения х, при которых значения функции у = -2х + 1: 1) положительны; 2) отрицательны. Найти значения х, при которых график функции у = 2х - 1 лежит ниже графика функции у = Зх - 2. Найти значения х, при которых график функции У = {4з-2) х-л/З лежит выше графика функции у = (1-I-л/З) х + 2л/3. Доказать, что функция у = 2х — 3 возрастает. Доказать, что функция у = -у[з х-3 убывает. Выяснить, пересекаются ли графики функций: 1) у = Зх - 2 и у = Зх + 1; 2) у = Зх — 2 и у = 5х + 1. 418 1467 1466 Построить график функции: 1)1/ = 2-|дг|; 2)у = \2-х\х 3) р = |2 - х| + |х - 3|. Выяснить, пересекает ли график каждой из данных функций прямую у = 3. В случае утвердительного ответа найти координаты точек пересечения. Дана функция у = - 2х - 3. 1) Построить её график и найти значения х, при которых у (X) < 0. 2) Доказать, что функция возрастает на отрезке [1; 4]. 3) Найти значение х, при котором функция принимает наименьшее значение. 4) Найти значения х, при которых график функции у = х'^ - 2х - 3 лежит выше графика функции у = -2х + 1. 5) Записать уравнение касательной к параболе у = х^ - 2х - 3 в точке с абсциссой, равной 2. Дана функция у = -2х^ -н Зх + 2. 1) Построить её график и найти значения х, при которых у (х) < 0. 2) Доказать, что функция убывает на отрезке [1; 2]. 3) Найти значение х, при котором функция принимает наибольшее значение. 4) Найти значения х, при которых график данной функции лежит ниже графика функции у = Зх + 2. 5) Згшисать уравнения касательных к параболе у - -2х^ + Зх + 2 в точках с ординатой, равной 3. Выяснить, пересекаются ли графики функций: 1468 1469 1) у = х^ и у = Х + &‘, 3) У = \х^ и у = -\ 8 X 2) t/ = ^ и р = 4(х + 1); X 4) г/ = 2х- 1 и у = ~. Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или не является ни чётной, ни нечётной (1470—1472). 1470 1471 1472 \) у = 2^ + 2-*; 3+ X. 3) р = 1п 2) р = 3' - 3 *; 5 + X 3-х 4) р = In 1) р = 2x^-1; 2) у = х-х^; 3) p = x®-i; 4) р = 1) р = X sin х; 3) у = X + sin х; 2) у = х^ cos 2х; 4) р = X + cos X. 419 Найти наименьший положительный период функции (1473—1474). 1473 1474 1475 1) |/ = со8^; 1) у = cos Зх; 2) у = 2 sin 0,6х. 2) у = sin 3) (/ = sin X + tg X. Исследовать (|>ункцию па чётность и нечётность и построить её график: 1) у =-X'* + 4х=* - 5; 2) у = - 4х. 1476 Найти наибольшее или наименьшее значение функции 1477 у = ах^ + Ьх - 4, если у (1) = О и у(4) = 0. 1479 1480 Найти наибольшее и наименьшее значения функции: 1) у = sin 2х-л/з cos 2х; 2) у = 2 cos 2х + sin^ х. 1478 Найти точки пересечения графика квадратичной функции с осями координат: I) у = 2х^ - 5х + 6; 2) у = 2х^ - 5х + 2. Построить график функции у = ах^ + Ьх + с, если у (-2) =15, «/(3) = 0. I/(0) =-3. Построить график функции «/ = V25- х^ . Указать по графику промежутки монотонности функции. Доказать, что график данной функции симметричен относительно оси Оу. 1481 Построить график функции у = —-—. Доказать, что функция х-2 убывает на промежутках (-оо; 2) и (2; ч-оо). В какой точке график функции пересекает ось ординат? Выяснить основные свойства функции и построить её график: l)f/ = 3' + l; 2) у = loga (X-I-1); 3) y = logj(x-l). 3 Построить график функции: 3) {/ = 2* ■' - 3; 2) у = logg (х -(- 2) + 3. Найти область определения функции (1484—1487). 1) у = 2' -1- Ig (6 - Зх); 2) у = 3-^-2 In (2х -I- 4); 3) у = tg 4 1482 1483 1484 1485 1) y-j 1486 1) у = 1487 х-3 , х+ 3 ■6х-16 х*-12х + и’ 1) y = ^logo_8(x2-5x + 7); 2) 2) у = ^log, (х-3)- 1. 2) y = yjlogo^(x'^-9). 420 Найти множество значений функции (1488—1489). 1488 1489 1490 1491 1) I/= + 6х + 3; 2) I/=-2х^ + 8х - 1; 3)i/ = 2+-. X 1) г/= 0,5+sin ^х-^ j: 2) j/= 0,5 cos х + sin х. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х^: 1) Мл;) = sin X + cos X, Xq=^: 2) Млг) = cos Зх, Xq=^. Найти угол между осью Ох и касательной к графику функции у = f {х) в точке с абсциссой Хд: '^) f (X) =- уГх , Хо=1; 2) / (X) = 2х-/х, Хо=^. 1492 Написать уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой ХдГ 1) /■(л:) = —л:о=-; 2) f(x) = 2x* - х^ + 4, Хд = -1. 4х Vx 4 1493 Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = х^ — X + 1 в точке пересечения его с осью Оу. 1494 Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = Зх® - 1 в точке с ординатой у = 2. 1495 Прямая у = 4х - 2 является касательной к параболе у = 6 - 2х + х^. Найти координаты точки касания. 1496 Найти точки, в которых касательные к графику функции у = 4х® - 9х^ + 6х + 1 параллельны оси абсцисс. 1497 Касательная к параболе у = Зх^ + 7х + 1 в точке М образует с осью абсцисс угол —. Найти координаты точки М. 4 1498 Написать уравнение касательной к графику функции У f (х) в точке с абсциссой х^: 1) /'(х) = х1п2х, Хд = 0,5; 2) /(х) = 2“^, Хд=1. 1499 Найти угол между осью Ох и касательной к графику функции у = X* - х^ - 7х + 6 в точке М (2; -4). 1500 Найти тангенс угла, который касательная к графику функции у = х^ • в точке с абсциссой х = 1 образует с осью Ох. 1501 Найти угол между осью Ох и касательной к графику функции у = — cos Зх - — I в точке с абсциссой х = -. 1502 Записать уравнение касательной к графику функции Пх) = х’ + 1 в точке его пересечения с осью Ох. 421 1503 Записать уравнение касательной к графику функции f{x) = ^ + l в точке с абсциссой ;с = 4. 1504 Найти промежутки монотонности функции: х^-1 х‘‘ + 1 1) = х^-1 2) у = Найти точки экстремума функции (1505—1506). 1505 1) у = (х- 1)3 (X - 2)3; 2) у = 4 + (6 - х)*. 1506 1) у= З^з I 4л: + 4 хЗ + X + 1 2) У = хЗ + 6х+ 3 Зх+ 4 Найти наибольшее и наименьшее значения функции (1507—1509). 1507 у = 2 sin X + cos 2х на отрезке 1508 у = sin X + 2 у[2 cos X на отрезке 0. f]. h i]- 1509 1510 1511 1512 1513 1514 1515 1516 1517 у=х Vl —д;3 на отрезке [0; 1]. Периметр осевого сечения цилиндра 6 дм. При каком радиусе основания цилиндра его объём будет наибольшим? Найти наибольший возможный объём цилиндра, площадь полной поверхности которого равна 54?t смЗ, если известно, что радиус основания не меньше 2 см и не больше 4 см. В правильной пирамиде SABC из вершины S проведена высота SO. Найти сторону основания пирамиды, если объём пирамиды является наибольшим при условии, что SO + АС = 9 и 1 ^ АС < 8. В правильной четырёхугольной призме диагональ равна 2 При какой высоте призмы её объём наибольший? Для функции f (х) = х"3 + cos X найти первообразную, график которой проходит через точку М |^0,5я; ~“j- Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = хЗ (2х - 3) - 12 (Зх - 2) на отрезке [-3; 6J. Найти наибольшее и наименьшее значения функции я / (х) = 2 In® X - 9 In® X + 12 In X на отрезке [е"*; с* ]. На параболе у = х® найти точку, расстояние от которой до точки А I 2; i 1 является наименьшим. 2) 422 1518 На координатной плоскости даны точки А (3; -1) и 1) (4; -1). Рассматриваются трапеции, у которых отрезок AD является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на дуге параболы у = I - х^, заданной на отрезке [-1; 1]. Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую шю-1цадь. Найти эту площадь. 1519 На координатной плоскости дана точка К (3; 6). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси Оу и лежат на дуге параболы у = 4х^, заданной па отрезке [-1; 1], а точка К является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь. 1520 Каковы должны быть коэффициенты р к q квадратичной функции у = + рх + q, чтобы при х = 5 она имела мини- мум, равный 1? 1521 Какой должна быть высота конуса с образующей в 20 дм, чтобы его объём был наибольшим? 1522 Какую наименьшую площадь поверхности имеет цилиндр, если его объём равен V? 1523 Найти радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса R и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности. 1524 Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса R. 1525 Найти высоту конуса наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса R. 1526 В конус с заданным объёмом V вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным а. При каком значении а объём пирамиды будет наибольшим? 1527 Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен р, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём. 1528 Из всех цилиндров, которые можно поместить внутри сферы радиуса R, найти цилиндр наибольшего объёма. 1.529 Консервная жестяная банка заданного объё.ма должна иметь форму цилиндра. При каком соотношении между радиусом основания и высотой расход жести будет наименьшим? 1530 Из всех правильных треугольных призм, которые вписаны в сферу радиуса R, выбрана призма наибольшего объема. Найти высоту этой призмы. 1531 Из всех цилиндров, вписанных в конус с радиусом основания R и высотой Н, найти цилиндр наибольшего объёма. 423 1532 Найти точки экстремума функции: 1) f (д:) = х'^ + Зх^ -9х + 4; 2) f(x) = д:'* - 2х^ + 5. 1533 Исследовать с помощью производной функцию у = х^ — Зх + 2 и построить её график. Найти точки, в которых касательные к графику параллельны оси Ох. 1534 Исследовать с помощью производной функцию у — х^ — 5х^ - X + 5 а построить её график. Записать уравне- ние касательной к графику этой функции в точке с абсциссой, равной 4. Исследовать функцию у = f (х) и построить её график (1535—1537). 1) / (д:) = 4д:^ + бд:^ 2) f (д-) = Зд:^ - 2дг^ 1535 1536 1537 1538 1539 1) y = -^ + x^i 4 1) у = - х^ - х‘‘‘-Зх+ 9; 3 2) у = х* - 2х^ - 3. 2) у = -X* + 6х^ - 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (1538—1542). 1) у=у[х^, у = 3- X, у = 0\ 2) J/ = -i, у = х^, X 8 1) у = 4х - х^, у = 5, дг = О, д: = 3; 2) у = х^-2х +В, у = 6, х = -1, X = 3; 3) у = з'тх, у = 0, х = ^, х = п; 4) у = созх, у = 0, х = --, х = ~. 6 6 1540 1) у = л/д, у = 2, д = 9; 2) у = х^ + 3, у = х + 5. 1541 1) (/ = 9 - д2, y = (x-lf -4 * 2) ^/ = д:^ y = V~x. 1542 1) у = cos X, X = -, у = 0; 4 2) J/ = 3^ д = -1, д = 1, 1543 7. Производная и интеграл. Найти значение производной функции f (д) в точке х^: . _ 1. 0 “ л » 2) /(д) = —, др=1; 3 д До = 3; cos Д Jt 4) У = - . лГо=Т- sm X 4 1544 1545 3) f (х) = х~^ - — + 3х, Xq = 3; X* Найти значения х, при которых значение производной функции f (д) равно О (1544—1545). 1) f (^) = sin 2д - д; 2) f (д) = cos 2д -t- 2д. 1) /(д) = (2д - If-, 2) f (д) = (1 - Зд)*. 424 1546 Найти значения х, при которых значения производной функции f (х) = х^ - 1,5х^ - 18л: + Vs отрицательны. 1547 Пуля вылетает из пистолета вверх со скоростью 360 м/с. Найти скорость пули в момент < = 10 с и определить, сколько времени пуля поднимается вверх. Уравнение движения пули h = v„t - 4,9<^. 1548 Колесо вращается так, что угол поворота прямо пропорционален кубу времени. Первый оборот был сделан колесом за 2 с. Определить угловую скорость колеса через 4 с после начала вращения. 1549 Показать, что /'(1) = /'(0), если f (х) = (2х - 3) (Зх^ -i- 1). Найти производную функции (1550—1553). X® - Зх® + 2х^ - X + 3 6xVx 1550 1) v = 1551 1) !/ = 2) у = Зх X 2-2х+1 Гх ' 1552 1553 1554 1555 1556 1557 1558 1559 х + 1 1) у = (2х+1)'^уП^; 1) у = sin 2х cos Зх; 2) у = 2х^-Зх+1 2х + 1 2) у=Х^ y^X+lf . 2) у = X cos 2х. Найти значения х, для которых производная функции /■(х) = (х - 1) (х - 2) (х - 3) равна -1. Определить знак числа /'(2), если: 1) f(x) = e' - ^3-2х у.2. 2) /(х) = ,1 - X Дана функция / (х) _ Найти /'(0), /'f —1. 1 - sin 2х V 6 / Найти значения х, при которых f (х) < g' (х), если /(х) = X® + х^ + X л/з, ^ (х) = X 7з1. Для функции f (х) = cos 4х найти первообразную F (х), если Найти первообразную функции: 1 1 . о, 3 1)1/ = х-н1 х-1 2) у = 4х-1 425 Задачи для внеклассной работы Решить уравнение (1560—1566). 1560 1) .yjх'^ + 4х + 4 - х‘‘ - 6X + 9 = 6; 2) ^(8-x)2 -^(8-х)(27 + х)+У(27 + дг)2 =7; 3) У8-х+М89 + х = 5. 1561 1562 1563 1) 16“"^^+16'“^'= 10; 2) (>/з+л/8)'+ {у[з^^У=34. 1) х^-3х^ + х = 3; 2) х^ - Зх^ - 4д- + 12 = 0; 3) X* - Зх^ - 2зс* - 6л: - 8 = 0. 1) tg д: + ctg л: = 2 ctg 4л:; 2) Sin hi = V2 (sin X + cos x). 1564 1) sin Зл cos Зл cos 2 л sin 2 Л sin 3 Л sin Зл sin Л 2) tg 2л + ctg Л = 8 cos^ X. sin Л sin Зл = 2 cos 2л. 1565 1566 logg (4 cos Л + 3) logg (4 cos л + 3) = logg (4 cos л + 3) + + logg (4 cos Л + 3). 426 1567 1568 1569 Пересекает ли график функции у = - 6х^ + Ид: - 6 ось Ох в точках, абсциссы которых являются целыми числами? Уравнение 2х‘^ + тх^ + лд: + 12 = О имеет корни x^ = 1, Xg = -2. Найти третий корень этого уравнения. Решить систему уравнений и установить, при каких значениях параметров а и Ь она имеет решение: 1) log^X-Hlog, у=-, 2 . и — - 2’ 2) х^ + у^=а^, logj x + logj, у = 2. 1570 X + у = а +0“^ Для всех значений параметра а решить систему уравнепий |а^-2 д/з|а| у +х^+ 2 ху-у^-2 = 0, \х'^ + у^ -2y-cos(xy) + 11-6а + а^=0. Решить систему уравнений (1571—1573). 1571 1) х«=у\ х^ = у^; 2) п; Х''*'= I/, J«= x'^^. 1.572 1573 {6 sin X cos у+ 2 cos х sin у = - 2, 5 sin X cos y-3 cos x sin i/ = 1. = y'ofi у, I 2'°*!/ ® lo*7 * 3) x-y = --. COS^ nx - sin* ЛО = i . 2 1574 1575 1576 1577 1578 1.579 Решить неравенство (1574—1578). ^ig»x-3ig* + i > 1000; 2) 3*«'** 3lgx* + 5 _2, log|2x + 2| (1 - 9^) < log|2x * 21 (1 + 3^) + l0g|2, ^ 2| ( | + 3^ ' ‘ j. X* + X* -4x-4 > 0. x* + 6x* + 5x-12 1) V2x-7 « V6X + 13; .^3x*-22x* + 40x 2) -n/3- X < V3x- 5. x-4 ?3x-10. При всех a решить неравенство | x — 5a | < 4o — 3 и указать все значения а, при которых решения этого неравенства являются решениями неравенства х* - 4х - 5 < 0. 427 Построить график функции (1580—1583). 1580 1 \ . 1) у = -—: X 2) у = 1-2х 3)1/ = Зх+ 2. 2х- З’ 4) «/ = 7 2х 2-|х1 1581 1) у = 2) у = У = ~- Ш X 1582 1583 1584 1585 1586 1587 1588 1589 1590 1591 (х-1)(х-3) cos X Доказать тождество log^ а • log^, Ь • log^ с = log^ а. Вычислить: 1) cos ^arcsinj; 2) sin ^arccos j j. Доказать, что при -1 ^ х ^ 1 сумма arcsin х + arccos х равна С, где С — постоянная. Найти С. Найти все значения Ь, при каждом из которых функция f(x) = sin 2х - 8 ф + 2) С08 х - (45^ -I- 16Ь -(- 6) х является убывающей на всей числовой прямой и при этом не имеет стационарных точек. Найти все значения х, при которых касательные к графикам функций у = 3 cos 5х и у = о соя Зх + 2 в точках с абсциссой X параллельны. Через точку А |^2; j проведена касательная к параболе л у = —— х^, пересекающая ось абсцисс в точке В, а ось орди-5 нат в точке С. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник вое (О — начало координат). Через точку А (3; -4) проведена касательная I к гиперболе у = — — . Найти радиус окружности с центром па оси орди- X нат, касающейся прямой I и оси абсцисс. Сигнал с корабля можно ра.зличить в море на расстоянии 1 мили. Корабль А идёт на юг, делая 3 мили в час, и в настоящее время находится в 5 милях к западу от корабля В, который идёт на запад со скоростью 4 мили в час. Вудут ли корабли на расстоянии, достаточном для приёма сигнала? Графику функции у = -х^ -ь ax'* + Ьх + с принадлежат точки Л и В, симметричные относительно прямой х = 2. Касательные к этому графику в точках А к В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку (0; 2), а другая — через точку (0; 6). Найти значения а, Ъ, с. Графику функции у = х^ + ах^ + Ьх + с принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой х = —2. Касатель- 428 ные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку (0; 1), а другая — через точку (0; 5). Найти значения а, Ъ, с. 1592 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 0,5д:^ - 2х -I- 2 и касательными к пей, проведёнными через точки А ^1; и В (4; 2). 1593 Через точку графика функции у=Лс с абсциссой а, где i 0. Найти все корни уравнения sin^ дг + sin'* = sin^ удовлетворяющие неравенству lg(x —л/2х^Г24) > 0. Найти наибольший на интервале 1^“"; cos ^5х + + 2 sin X cos 2x = О 1605 Найти 1601 1602 1603 1604 корень уравнения все значения 1606 1) 1607 1608 1) 1) 2) . х+У| х-у_10 23 . 2) х-у х+ у 3 ’ 6 ’ Х^+ i/2= б. 2, 2, 7-2^ + 6у = 2, 3-2’‘*^-5у = 93. а, при которых уравнение sin* X + cos* X = а имеет корни, и решить это уравнение. Решить систему уравнений (1606—1608). х-Зу = -5, X 2у . Зу X [б*-2 •3*'= 2, [б*-3*'= 12; |27-32*-*'+3'' = 4>/3. jlg((/-4x) = 2 lg(2 + 2x-.v)-lg у; [8.2-*-2v + 2*'* = 3 V2, llg(x + 4i/) = 2 lg(2-x-2y)-lg X. 1609 При каких значениях а система уравнений |log3(i/-3)-2 logs х = 0, |(х + а)*-2г/ —5а = О имеет хотя бы одно решение? 1610 Решить неравенство: 1) ^>1; 2) > 1. 1611 4 - дг д:' ' |дг + 1| Найти все значения а, при которых является верным при всех значениях х неравенство: Зх*-4х + 8 , ^ 8х^-4х+ 3 ^ 1) —;------< ы: 4х*-2х+ 1 2) 9х*-12х + 16 > а. 430 1612 1613 1614 1615 1616 1617 1618 1619 1620 1621 1622 1623 1624 Решить неравенство (1612—1613). f о + 6 1)1^1 <1; 2) 5* - 3^-"* > 2 (5^-'- 3^-2). 1) log, (1 + д:)-д/д'2_4 ^ 0; 2 1 1 2) -------------------^------<0. 1оК5(3-2х) 4-log5(3-2x) 1) l0g|2;c + l|^^^2: 7 - Зх + + Зх- 4 2) log^a |Зх + 1|< i. х-3 <-1. Найти все значения а, при которых неравенство log, (х^ + ах + 1) < 1 2 выполняется для всех х из промежутка (-оо; 0). На параболе у = 2х^ — Зх + 8 найти точки, касательные в которых проходят через начало координат. При каком значении k площадь фигуры, заключённой между параболой у = + 2х -3 и прямой у = kx + 1, наимень- шая? Парабола у = + рх + q пересекает прямую у = 2х - 3 в точ- ке с абсциссой 1. При каких значениях р ч Q расстояние от вершины параболы до оси Ох является наименьшим? Найти это расстояние. Найти все значения х, при которых функция у = 6 cos^ х + + 6 sin X - 2 принимает наибольшее значение. Найти все значения а, при которых наименьшее значение функции у = х^ -ь (а -I- 4) X -1- 2а + 3 на отрезке [0; 2] равно -4. Найти все значения а, при каждом из которых наименьшее значение квадратичной функции у = 4х“ - 4ах -I- - 2а -t 2 на отрезке [0; 2] равно 3. Найти все значения параметра а, при которых вершины двух парабол у = 4х^ -f 8ах - 9 и у = 4ах^ — 8х + а — 2 лежат по одну сторону от прямой у = — 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2 cos'* X i sin^ X 2 sill'' X + 3 cos"' X 431 Ответы и указания 1. 2) 0,(72): 4) -0,75: 6) 0,(13). 2. 2) 1,(282051); 4) 0,49(6); 6) 1,3(2). 3. 2) 1^: 4) 6) -2^. 4. 1) 4; 2) 4^. 5. 2) 5,8. 8. 2) U| = -x; 9 9 990 4 3) \х\ = х. 9. 2) Иррациональное; 4) рациональное; 6) иррациональное. 10. 2) 10; 4) I. 11. 2) 7ГТ-У^>л/То-./зД. 12. 2) 3; 3) 2+V^3. 3 13. 2) Да. 14. 2) 341. 16. 2) Да; 4) да. 17. 2) 0; 4) -2. 18. 2) 1,5; 4) -1. 3 19. 2) -311. 20. 2) 5; 4) М. 21. 2) Нет; 4) да. 22. 2) 2^/3(2+^/3). 4 9 90 23. 2) (y = i. 24. 1) -1; 2) 9; 3) 1. 25. 2а. 26. 28. 2) 2; 3 3" “ ’ 4) 15. 29. 2) 81; 4) J-. 30. 2) -1; 4) -4; 6) -8. 31. 2) x = -i; 81 2 4) X, =-2, Х2 = 2. 32. 2) 5; 4) -11; 5) i. 33. 2) 48; 3) 20. 34. 2) 33; 30 4) 7. 35. 2) 0,2; 4) 2. 36. 2) 50; 4) 16. 37. 2) oV; 4) aV. 38. 2) Зад; 4) 39. 2) 4) 1. 40. 2) 4) 2; 6) 4. 41. 2) Зх; 5 3 2 5 4) 2-^. 42. 2) i; 4) i. 43. 2) 2; 4) 5. 44. 2) /; 4) aV; 6) За. а 3 4 45. 2) х>-3; 4) i3; 4) -Зх-5. 52. 2) ^7 + Vis < л/1о + 64.3)1. 57. 2) 3; 4) 27; 6) -L. 58. 2) 5; 4) i; 5) i. 59. 2) 49; 4) 125. 60. 2) 121; 27 2 2 4) 150. 61. 2) 3; 4) 2,7. 62. 2) ft; 4) 4) -,i If i I) a; 6) {/ •>. 63. 2) a®fft® + c®j; 3x2 t/2 64. 2) [j/2-l] [y® + l); 4) (x^ - [д.2 + ^^2 j. 432 ( 1) ( . 0) 1^0,1/л 12 + л .2) . 65. 2) [x ( ' 2 i i к] 1 1 х1 9о® — За^ + с® j. 66. 1) a* + b-*; 4) ±. , 69. 2) 3; 3) 1. — * 4) _ 624 70. 16 5 625' 4) (lf< (1 i> 2v'3>2i.7; 6) Ш' 1; 6) (i Ш >1. 74. 9A; 4) loii. 77. 2) a Ч. 78. 2) 1; 12 27 1 1 80. 2) b^;4) a + b. 81. 2) —; 4) 2yfb. 82. 2) у; 4) 4o-i-i + 9 - 1 Ч 83. 2) 4) Д-2 34 2) ;c = -i; 4) x = 2)t. 85. 2) x = ^^; 4) x = 1. 2 8 9 3/T 86. 2) Vs < V7; 4) VIS > V^. 87. 2) 2y; 4) 2 Vfc. 88. 2) 2 Vb: 4) a+b f i i'i I 89. 2) 2[a^-b^ ; 3) — ^ ' x + \ 90. 5306 p. 4 K. 91. 2158 p. 90 к. 92. 2) 2. 93. 2) 4) 94. 1) 1; 0,01; 37 3) 2; 9; 10; 4; 90 ' 99 2 27 36 81 . 95. 2) 64: 10; 5; 2; 3) A.; 1; ц1. 96. 2) 15; 4) 1000; 1. _ 8’ 16' 25’ 7' 9 1 _i -i 6) -?i-. 97. 2) 4) 6) 4. 98. 2) 98®; 32®; . 99. 2) (А) < < 256 2 2 UJ U2j -- /11 /юЧ-''^ , - <(0,41) 4) 11 >1—1 . 100. 2) a"l 4) a’’. 101. 2) a^. U2;) U3; 102. 2) ®j^li-lij > . 103. 2) x = 3; 4) л; = 2; 5) дг = -2. 1 1 •г 2 104. 2) a®+ 6®. 105. 2) Ю7. 2) -2§8i.. Ю8. §1. 109. 10. a-b 24750 2 no. a = 2-1/5. a <0. 111. 2)a1. 123. 2) х е R; у е R, у > 2; убывает на (-оо; -3], возрастает на [-3; -Ноо); не является ограниченной; наи- 3 3 меньшее значение у = 2 при х = -3. 124. 2) j < (и) ’ ’ 6) (2 Ve)'® > (б V2)”®. 125. 2) I/= х'*: область опреде- 1 ления — X е R, множество значений — все числа у > О; у=х*: область определения — все числа х ? 0, множество значений — все числа у > 0; 4) I/ = X®: область онрюделения — х е R, множество значений — у е R; у = х"®: область определения — х 0, множество значений — у ^0. 126. 2) Выше при 0 < х < 1, ниже при х > 1. 127. 2) х е R, у > 0, возрастает па [-1; -t-oo), убывает на (-оо; -1], ограничена снизу. 128. 2) Выше при X > 1, ниже при о < X < 1. 129. 2) х е R, у > О, возрастает при х ? 0, убывает при х < О, ограничена снизу; 4) х е R, у > -2, возрастает при X > о, убывает при х ^ 0, ограничена снизу; 6) х ^ 0, у > 0, убывает при X > о, возрастает при х < 0, ограничена снизу. 130. 2) (0; 0), (1; 1) 132. 2) у=^~": 4) y = 6) y = ^-Jx+3. 133. 2) Все действитель 5 3 ные числа; 4) все действительные числа; 6) х *0, у ^ 4. 135. 2) Нет 5 4) да. 136. 2) 1/ = (-х)^; 4) у = -х^. 137. 2) Все действительные числа 4) I/ = (х - 1)^, X » 1, I/ ^ о, v = -n/* +1: X ? о, (/ > 1; 6) (/ = (х - 1)®: все дей ствительные числа; y = Vx + l: все действительные числа; 8) y=yfx + i X > о, у>1; у = (х - 1)^: х > 1, у>0. 138. 2) Нет корней; 4) нет кор ней. 139. 2) Равносильны; 4) не равносильны; 6) равносильны 140. 2) Равносильны; 4) не равносильны. 141. 2) Второе. 142. 2) Нет корней; 4) х = 4. 143. 2) 3,5 < х < 5. 144. 2) Равносильны. 145. 2) Равносильны; 4) равносильны. 146. 2) Оба. 147. х = 3. 148. 2) х = 6. 149. 2) -2<х<1, х>2. 152. 2) х = 27; 3) х = 5. 153. 2) х =-7; 3) X. = 3, х., = -—. 154. 2) X = 5; 3 - - 4) х = -1. 156. 2) х = 5; 4) х, =-3, х^ = 1. 157. 2) Xi=-1, Xg = 0, Xjj = 1. 158. 2) х = -3; 4) х=18. 159. 1)х=-4; 2) х = 5. 160. 2)х=10; 4)х,_2=+-Л7, Хз4=±л^. 161. 2) Xj = -1, Хз = -3. 162. 2) Два; 4)х, =-3, X, = 4. 155. 2) х = 4; 4) один. 163. 1) Xj = о, Xj 3 = ±2; 2) х, = 0, Хз = 2; 3) Xj=-4; Хз = 1; 4) Xi=-6, X2=i. 164. 2) х = 5. 165. 1) 1^х<1,5; 3) х<-5. 166. 2) 0«х<9; 4) х < 13,5; 6) 0 < х < 2. 167. 2) 2 « х < 3; 4) X < -5; 6) 9 ' 4 16 4) -5 < X < -3, 3 < X < 5. 169. 2) -1 $ X ^ 2; 4) X < -1, х > 2; 6) 0 ^ х < 4. 2) -3€х<6. л/З х>-^; 8) 168. 2) -1«х<0, 0<х«1; 170. 2) х>-1; 4) i«Sx<6: 6) 2 < х < 3. 171. 1) х>^ 174. 1) х<-1; 2) х< 9 15-л/^О 4) к (V2) 3. 434 (1,3) X ? 4. (0.5) 177. 2) _2 3 (л)' (л/2)*. (1,9)*, 178. 2) Х|=—1, Х2 = 1. 179. 2) -V2«;x 2. 180. 2) г/ = 1+3, x 0, i/^ 3; ____ X 4) 1/ = УТ^, все действительные числа. 182. 2) Являются; 3) являются. 183. 2) х = 21;4) Xj = i, X2 = i;6) х, 2 = ±8. 185. 2) Являются; 4) не яв- ляются. 186. 2) 1/ = х^-4х, х<2, ^г>-4; 4) у = 6х-х^-3, х ? 3, v^l- 187. 2) х=1; 4) х = 0. 188. 2) х = 259; 4) х. 2= 5) х = -^; 2 5 6) 2<х<7. 189. 2) х<0; 4) х5>-|. 190. 1) 6 < х < 8; 2) х <-4, i^x<-; 3) 1<х<6; 4) -6<х<3. 191. 1) Е)сли а < 2, то решений нет; 2 7 если U > 2, то 6 ^ X < t-—; 2) -1^ < х < |а| при а 0, нет корней 4о* Л при 0 = 0. 196. 2) Больше 1; 4) больше 1. 197. 2) х = -1; 4) х = -2. 200. 2) X > 0; 4) X < -1. 206. 88,4 г, 22,1 г. 207. 4,87 • 10® м®. 208. 2) х = ^ 3 4) х = -^. 209. 2) х = -0,5; 4) х = 4. 210. 2) х = 2,5; 4) х = 9; 6) х = 0,4 3 211. 2) х=\; 4) л = 3. 212. 2) д: = 0; 4) х = 0. 213. 2) Xj = 0, х^ = 2 4)х=1. 214. 2) X,=2, Х2 = 5; 4)х = -1. 215. 2)xj=l, х^ =-3 3 4) х, = 0,5, Х2 = -3. 216. 2) х = 0,8; 4) х = -1. 217. 2) Xj = 0,3 Х2 = -0,2; 4) х = 4. 218. 2) I/= 3; 4)х = 2. 219. 2) х = 3; 4) х = 3 220. 2) х = -1; 4) х= 1. 221. 2) х = 3; 4) х = |. 222. 2) х =-3; 4) х = 4 223. 2) х = -1; 4) Xj = 1, Х2 = -1; 6) х = -1. 224. х = 4. 225. 1) х =-3 2) X = 2; 3) X, = О, Х2 = |; 4) х = 3,25. 226. 2) х, = О, х.^ = 2; 4) нет кор ней. 228. 2) х<2; 4)х<-0,5; 6)х>3. 229. 2)х>4; 4)-3<х<3 230. 2) х=1; 4) х = 2. 231. 2) 1<х<1; 4) -i^x^i. 232. 2) х > 1 2 3 2 4) X < 1. 233. 2) X < 2, (-3; -2; -1; 0; 1); 4) х < -1. (-2; -3). 234. 2) х ^ О 235. При х>-2. 238. 1) -6<х<3; 2) б < х $ 30. 239. 1) х <-1 2) -2 1; 3) х<0, х>1; 4) -2.<х<2. 240. 2) (0;-2), (-1;-3) 3 4) ^3|; -ij. 241. 2) |^|; -ij. 242. 2) (1; 1). 243. 2) (3;-2); 4) (О; 1) 6) (0; 2). 244. 1) х = 1^; 2) x = i. 245. 1) (7; 3); 2) (2; 1,5). 3 5 3.14 Уа-з >1. 246. 2) 2'^3>2’-Ч 4) <|^1| . 247. 249. 2) 0,04<-у<Ь. 250. 2) х =-2; 4) х, = 3, Х2 = -1. 251. 2) х = 0; 4)х = 2. 252. 2)х=1; 4) х = 3. 253. 2)х<-1; 4) -2 < х < 2. 256. 0(1 + O.Olp)""’. 258. 2) х = 24. 259. 2) х = 9; 4)х=1. 260. 2) х = 0; 4) х = -0,5. 261. 2) -3<х<1; 4) -1<х€1. 262. 2) (1; 1). 264. 2) х = 4; 4) х= 1. 265. 2) х <-3, х > 1; 4) x<-li, х>4. 266. 1; 2; 3 3; 4; 0; -1; -2; -5; 1; -11; 21. 267. 2) 6; 4) 0. 268. 2) -3; 4) -1. 435 269. 2) 4; 4) 0. 270. 2) -1; 4) -i. 271. 2) -2: 4) 1; 6) -i. 272. 2) 3; 4 3 4) -3. 273. 2) -3; 4) -2. 274. 2) 16; 4) 6. 275. 2) 64; 4) 3. 276. 2) 144; 4) 1. 277. 2) x = 625, 4) x = 25; 5) x = 5,5. 278. 2) x < 7; 4) x>l; 6) x<0. 279. 2) -1,5; 4) -l|. 280. 2) i; 4) 5^*; 6) l|. 281. 2) 1; 4) 1; 5) 2. 282. 2) x = 7; 3) x = -i-. 283. 2) x <-3, x > 2. 6 Vs 284. 2) x>-2; 4) -2 1. 285. 2) x = logj j 4; 4) x = |(l-log7 2). 286. 2) x = log3 4; 4) x, =-l, X2 = log,2. 287. 1) Xj = 0, X2 = logj j 3; 2) X = logge 2. 288. 1) il;2) l 2. 289. Если a> 0, a = -l, TO X = logj a*; если a < 0, a ^-1, to x, = logj a^, X2 = logg (-a). 290. 2) 3; 4) 2. 291. 2) 2; 4) -3. 292. 2) 4) -ll. 293. 2) 1.5; 4) -4. 3 6 294. 2) 1.5; 4) -3. 295. 2) 11. 296. 2)li; 4) 0. 297. 2) x = ^; 4) x = Va-Vb*. 3 ftS 298. 1) 3; 2) 19; 3) 475; 4) 22,5. 299. 2) 1. 300. 1) 2 (a + b - 1); 2) 2a + l. 301. 2) 0,9451; 4) -0,178. 302. 2) 0,683; 4) -0,154. 303. 2) 1,29; 4) -0,42. log7 ^ 304. 2) 1,3; 4) -15,42. 305. 2) 4) 3. logy 10 logy 5 : 6) 1 logy 3 . 306. 1) 25; 2) -1.307. 2)x = 8; 4)x = 3; 6)x = 2. 308. i + те. .309. +1. 310. 2 2 m + n l + 2m 311. 312. 1) -2; 2) -3. 313. 2) x, = l, X2 = /2; 4) x, = 9, Xg = 27. 3 4 314. 2) 1. 315. 9 лет. 316. 3052 качания. 317. 2) 2,0933; 4) 2,7182819. 318. 2) log 1 9 > log, 17; 4) logg ^!!^ > logg 319. 2) logg 0,45 < 0; 33 2 2 4) logo5 9,6<0. 320. 2) 0l. 325. 2) x>l; 8 4) jr>0,5. 326. 2) 0-l; 4) -2 < x < 2. 330. 2) +Ig^ < i^ 5+V? ; 2 2 4) Ig Ig ig 50 < Ig® 50. 331. 2) -1 < X < 6; 4) x > 4; 6) x > 3. 332. 2) x > -1, (/ей; 4) X > 0, у e R; 5) x > 1, у e R. 333. 2) x = 2; 4) x = 2. 334. 1) X > 0, у > O', убывает при 01, 2) X * о, у € R, убывает при х < 0, возрастает при х > 0; 3) х ys 3, у е й, убывает при х < 3. возрастает при х > 3; 4) х > 0, у > 0, убывает при о < X ^ 2, возрастает при х > 2. 335. 1) х yt 2, хуьЗ; 2) -1<х<1. 2 336. 2) Каждое из двух — следствие другого; 3) второе. 337. 2) х = 3; 4) х = л/2. 338. 2) Корней нет; 3) х = 2. 339. 2) х = 5. ,340. 2) Корней нет. .341. 2) х=1; 4) х, = 3, х^ = 5. 342. 2) (1; 9). 343. 2) х, 2 = ±8; 4) х=16; 6) х = 3. 344. 2) х = 3; 4) х, = 4, Xj =-8. 34.5. 2) х = 9; 436 4) Xj = 100, x.j^ = 1000. 346. 2) Да. 347. 2) ^8; i j. 348. 2) x, =4, V2; 3) X, =3, x^ = 9; 4) Xj = 27, *2 = |- ^49. 2) x = |. 350. 2) x =-4. 1 351. 1) x, = n/2, X2 = 3; 2) Xi=i, Xg = 2. 352. l)x = 5»; 2) x = 4. 3 I a loffs a 353. a>0, a?il, a=t^b ®. x = 5*'“®5» + «. 354. 2) x25; 4) ^ v'2. 359. 2) x > 7; 3 4) решений нет. ЗбО. 2) x^-1, x ^ 4; 4) x <-0,5, x > 3. 361. 2) x < 2, Гг. ,_2 x>3; 4) -2 2. 364. 2) 0 < X < 0,1, x > 10 000. 365. 2) logj i < x< logs -• 2 3 X > logg 2; 4) x<~^~^, - 2. 378. 1) х = —; 2) х = 2. 8 379. 2)х, = 1, Х2 = -^; 4)х,=4, Xjj = 8. .380. 2)х = -4: 4) х = 2. 2 381. 2) X < 4: 4) х<-1. 382. 2) Ретеяий нет. 383. 2) х <-8, х > 1. 2 log2 S ♦ log 1 9 384. 2) -4,5; 4) 36; 6) 2. 385. 2) 2 » > Vs. 386. 1,223. 387. 0.756. 388. 2) 0<х< 1.390. 2) x = ilog2 3;4) х = i ^logj l.S-sj; 6) x = logg 3. 391. 2) x = 27; 4) x, = 27, x„ = -i-. 392. 2) x =-4; 4) x. = 14, x^ = 6. 27 393. 2) Корней нет. 394. 2) x = 4,5. 395. 2) x, = 2, X2 = 5; 4) корней нет. 396. 2) 54; 6) -4 < x <-3. 397. 2) 0 1; -Г < x<—, a yja yfa о a0; 4) sin (-0,1л) < 0; 5) sin 5,1 < 0; 6) sin (-470°) < 0. 445. 2) соз-л<0; 6 3) соз^-^л|>0; 4) cos 4,6 < 0; 5) cos (-5,3) > 0; 6) cos (-150°) < 0. 446. 2) 1^^л>0; 3) tg|^-|лj<0; 4) tg 3,7 > 0; 5) tg (-1,3) < 0; 6) tg 283° < 0. 447. 2) sin a < 0, cos a > 0, tg a < 0; 4) sin a > 0, cos a > 0, tga>0. 448. 2) sin 3 > 0, cos 3 < 0, tg 3 < 0; 4) sin (-1,3) < 0, cos(-l,3)>0, tg(-l,3)<0. 449. 2) cos^|-haj<0; 4)tg^a-|j<0; 6) sin (Л - a) > 0. 450. 2) sin a > 0, cos ot < 0, tg a < 0, ctg a < 0. 451. Знаки совпадают для 0 < a < — и для л < а < —, знаки различны для 2 2 — <а<л и для —<а<2л. 452. 2) cos —cos —<0; 3) tg —-^sm —>0. 2 2 3 6 4 4 453. 2) cos 1,3 > cos 2,3. 454. 2) x = -^+ kn, к e Z; A) x = it + 2кк, к e Z. 2 455. 2) Bo второй. 456. 0,03 — да, — — да, — — нет, — — да, -— — нет, 3 3 13 11 >/2 — нет. 457. 2) Могут; 3) не могут; 4) не Moi-yr. 458. 2) cos а = .iKQ о\ ___ос *..™__4 = -М, tga = ^ 5 21 ctg а = • 459. 2) cos а = -0,6, tga = - —, 3 ctga = - —; 4) sina = --i=, соза = -Д=г, tga = -i; 6) cosa = —, tga = -1 VlO VlO 3 13 = ctga = - —; 8) sina = - —, coect = --^ , tga = —. 460. 2) ±-^; 12 5 25 25 7 ^5 4) 461. 2) He могут. 462. cosa = ^, tga = ?^^. 463. 2) i; 4) 2. 464. 2) y. 466. 2) 0; 4) 1 -t sin a. 467. 2) 4; 4) 2. 469. 2) 0; 4) tg^ a. 16 2 ЛО 438 471. А. 472. AL. 473. 7. 474. 2) x = ^+nk, k e Z-, 4) x = ^+2nk 25 125 2 2 475. 2) i; 4) -3; 6) 2. 476. 2) 2 cos a; 4) 2. 477. 2) 0,5. 478. 2) —2 cos ot, 3 480. 2) x = ^ + ^, k s Z; i) x = ^, k e. Z; 6) x = ^+Kk, keZ. 481. 2) -1. 4 2 2 2 2 4) -i. 482. 2) 4) -1. 483. 2) 484. 2) cos 3p; 4) -1. 485. 2) ^ " 6 2 4) 1. 486. 2) 2 -VI4-2 . 487. 2) -cos P sin a; 4) sin a cos p. 488. —, — 6 ... . 85 85 489. 490. 2 A. 491. 2) icos^a; 4) sin a sin 3a. 493. 2) 1; 4) 65 36 2 494. 2) i. 495. yfSiga. 496. 2) sin 2p. 497. 2) x = Л e Z; 7 4 4) x = ink, k€Z. 499. 2) 2 sin 1^1+Ij cos ^1 +I j; 4)cos^^.^ + |j--sin2fM+«'l; 6) cos2 “-sin^* 500. 2) 4) i. 501. 2) 4) -1. I42J 2 2 2 2 2 502. 2) 4) -2. 503. 1) -i^. 504. 2) A. 505. 1. 506. 2) sin 50°; '9 or^ OR « 2 25 26 3 4) cos^2a. 507. 2) ctg^ a. 509. 2) 512. 2) х = кк, к e Z; 4) х = | + лЛ. 1 9 1+ cos 2. 4) 514. 2) 4) 1. A( e Z; 6) x = i^+лА, fc e Z. 513. 2)— 2 2 2 2 515. 2) VM; 4) 2. 516. 2) VW: 4) i. 522. cos 4(x. 523. 2) x = 4nk, 3 x = Л+2лA,A€Z; 4) x = ^. x = ^ + ^,keZ; 5) кк, k e Z; 6) x = ^ + 2 8 4 2 4 2 AeZ. 524. 2) a = 60°; 4) a = 40°; 6) “ = |^: 8) a = |. .52.5. 2) 4) -i; 6) -i; 8) 526. 2) -i; 4) 6) i; 8) 1. .527. 2) -1 2 2 2 2 3 2 528. 2) —1—. 529. 2) 4) -i; 6) 1; 8) 530. 2) ->/2; 4) cos a 2 2 2 3 531. 2) 4) -1. 535. 2) x = л + 2лА, к e Z; 4) x = л + 2лА, A e Z; 2 6) x = ^+^^, AeZ. 537. 2) V2sinP; 4) sin2a. 538. 2) 0; 4) ^^3■, 6 3 6) 541. 2) 2 sin a. .543. 2) 2^^ sin AE siiii^. 546. 2) —; 4) 2 24 8 5 3 2 + V2 547. 2) ctg^a. 548. 2) 1; 4) —L. 549. 2) 4) - V2 2 i: 550. 2) 2 sin a. 551. 2) -ctg a. 553. 2) i. 554. 2) —. 557. -4 sin 2a 4 4 560. 2. 561. l5. .562. -1. 568. 2) 0; 4) ii; 6) AE. 569. 2) 2л; 4) 8л 6 9 3 4 439 570. 2) arccos arccos 2) д: = = ±—+2m, n e Z; 3) r=±—+2лл, n e Z. 572. 1) x = ±arccos —+ 2ren, 6 4 4 neZ. 573. 2) x = ib+nn, n e Z; 4) x = ±^ + 6nn, n e Z\ 6) ;c = l5 + M, 2 2 8 2 n e Z. 574. 2) x = ^+Tin, n e Z. 575. 2) Да; 4) нет; 5) да. 576. 2) x = ±^ + 2 6 + Ttn, n e Z; 4) jf = ±i+ren, n e. Z\ 6) x = 2кп, n e Z; 8) дг = ± —+ 2дл, 8 3 д;= ±arcoos f- —1+2дл, n s Z. 577. x = ± —+лЛ, k = 0; 1; 2. 578. x = ±—. I З; 3 16 579. 2) x = -2,5. 580. 2)-i; 4) i; 6) i. 581. 2)6; 4) 2n - 4. 582. 2) 3 3 3 25 583. 2a^-l. 585. 2) х«+1,84 + 2лп, л 6 Z. 586. 2) 4) 2 6 6) —.5. 587. 2) 0; 4) 588. 2) arcsin j >arcsin(-l). 589. 2) x = (-1)" x х5+лл, Л e Z. 590. 1) x = (-l)" •arcam^+дл, л e Z; 3) x = (-l)"x xarcsin —+ДЛ, л e Z. 591. 2) x = - —+лл, л 6 Z; 4) x = (-1)" • — + 2дл, 3 4 3 лeZ; 6) x = -j+^, n e Z. 592. 2) x = nn, n e Z. 593. 2) Да; 4) нет 6) пет. 594. 2) х = (-1)'* + ‘ Я+ЯД, леЗ; 4) х = (-1)" ?arcsini+^ 6 2 2 4 2 л € Z. ,595. 2) х = Я + ^, neZ. .596. 1) x = (-l)'* + i Я+гел 6 3 6 х = (-1)" arcsin —+ лл, л е Z; 2) х = {-1)" iarcsini + —, л е Z. 597. — 4 3 4 3 12 М, Ш, Ш. 598. Ш. 801. 2) 4) 602. 2) ^2^. 603. 2) ^ 12 12 12 3 5 4 2 25 604. 2) х = ^±-2^; 606. 2) х = (-1)"^'0,32 + лл, л е Z. 607. 2) -Я 4 4 4) Я. 608. 2) 0; 3) -ИЯ. 609. 4) arctg (-5) < arctg 0. 610. 2) х = Я + ял 3 12 3 л е Z; 4) х = -Я+тш, л е Z; 6) х =-arctg 5 + лл, л е Z. 611. 1) х = ЯД 4 3 л 6 Z. 612. 2) х=Я+ял, х = -Я+ял, л е Z; 4) х = arctg 4,5 + лл 3 6 х = (-1)" Я+ „л, neZ; 6) х = Я+ЯП, л eZ. 613. Я, -1Я. 614. 2) 6 4 6 6 5 615. 2) -0,3; 4) -6. 616. 2) 2; 4) 13 - 4л. 617. 2) -Я; 4) Я 4 3 619. 2) X = -1,44 + лл. neZ. 620. 2)х = Я + М; 3)х = -Я + 2лл 4 2 2 х = (-1)"Я+лл, л 6 Z; 4) корней нет. 621. 2) х = -Я + 2лл х = (-1)" arcsin-+лл, л е Z; 4) х = ± —+ 2лл, л е Z. 622. 2) х = Я+2ЕД 3 3 4 2 440 п е Z\ 3) х = - — +пп, JC = arctg 4 + лл, п е Z; 4) корней нет. 623. 2) х = 4 = - — +пп, X = arctg 3 + 7Ш, п е Z; 4) х = arctg 3 + лл, х =-arctg i+лл, 4 2 п € Z. 624. 2) х = —+ лл, п е Z; 4) x = -arctgi+ ял, п е Z. 625. 2) х = —+ 4 2 2 + 2ял. х = 2ял, п € Z; 4) jr = —л е Z. 626. 2) х = —, х = —4=—, 12 3 2 6 3 л е Z; 4) х = 5+пл, х = -^+М, л е Z. 627. 2) x = х = (-1)" ^ + 4 8 2 8 4 18 + М., neZ; 4) x = i^+M, л е Z. 628. 2) х = -^1+лл, х = ±л + 8ял, л е Z; 3 6 3 6 4) X = arctg 3 + ял, X = л + 2лл, п е Z. 629. 2) х = —+ лл, х = (-1)'‘ —+ лл, 2 6 л 6 Z; 4) х = — + лл, х = - —+ лл, л 6 Z. 630. 2) х = —+ —, л е Z; 4) х = —^ 2 4 16 4 2 + лл, х = (-1)'‘ — + лл, л 6 Z. 631. 2) х = —+ 2лл, X = 2ял, л е Z; 4) х = л + 6 2 + 2лл, х = - —+ 2лл, л е Z. 632. 2) х = - —+ ля, х = —+ 2лл, х = 2лл, л е Z. 2 4 2 633. 2) X = — + лл, л е Z. 634. 2) Корней нет; 4) х = лл, л е Z. 635. 2) х = лл; 2 4) х = —, л 6 Z. 636. 2) X = arctg 2 + лл, х = arctg i+ял, л е Z; 4) кор-5 3 ней нет. 637. 2) х = яя, x = ±arccos ^ + 2пл, л 6 Z. 638. 2) х = - —+лл, 3 4 x = -i^ + (-l)'' агс81п^~'^ + лл, л е Z. 639. 2) х = 5 + М, л 6 Z. 640. 2) х = 4 Уг 4 2 = Д + М, neZ. 641. 2) х = ^+2л/1(, ft е Z. 642. 2) х = -^ + 2лл, л 6 Z. 4 2 2 2 643. 2) X, = — + лл, Хо = ± — + 2лл, л е Z. 644. 2) х = лЛ, х = ± — + nft, ft е Z. *23 4 645. 1) х = Я+ЗМ, (/ = 1-2'ft, л, ft е Z; 2) х = (-!)'■ 21+ял, у = (-!)* +1-2£ + 4 2 4 2 6 6 + лft, л, ft 6 Z. 646. |а|^2, х = ± агссов ~ + 2лк, к е Z-, | а | > 2, корней нет. 648. 2) 22 + 2лл<х<^^22 + 2лл, л е Z; 4) — + 2лп < х < — + 2ял, 6 6 4 4 п е Z. 649. 4) X = л + 2лп, п ^ Z. 650. 2) - —+ 2лл < х < 21 + 2лл, 4 4 п ^ Z; 4) -22 + 2лл < х< —+ 2лл, п е Z. 651. 4) х = 22 + 2лл, п е Z. 3 3 2 652. 2) -JL+2Mcos ib; 6) cos i'>sin 31. 715. 2) -iL. JL, Ш, 111, ШЕ, 5 5 8 10 18 18 18 18 18 18 716. 2) 18 JL 18’ 18 Ш. 7ig 2) . 18 18 2 ■ 2 18 722. 2, [|; М]. [M, 2.], 1) [-2., -f], [-f ;-]• ’22. 2, >81пШ; 3) sin|^-^j>sin^-^j; 4) sin 7 > sin 6. 724. 2) ^ sini^> 11л. 4 * 4) ll, ll. 725. 2) 4) 4л < jc< —. 726. 2) sinlI^>cosl^; 4) sin < cos . 727. 2) - 9л:. 9л 9 л 4 ’ ll^x^ll, Ш^дг^Зл; 4 4 4 Зл 'ТО'Т 04 _11я <-ll, -ll-l; 4) у>\, у<-1. 749. 2) -.^^+лл< 2 3 3 < —+ЛЛ, Л6Z; 4) лл<х< —+ЛП, neZ. 750. 1) arcsinarcsin L 751. 1) arccos I 3j I 4j V3 Vs I 5.J 752. 1) arctg2 Vs arccos 753. 2) x = ^—4) x = -3-V3. 754. 2) jc = -i; 4) x=-l. 755. 2) x=l; 4 3 4)д:= 1. 756. l)l«x<5; 2)i 2; 4) x>l. 826. 2) x;^l,5; 4) x > 0,5. 827. 3,5 рад/с. 828. 902,5 Дж. 829. 2) 103 г/ом. 830. —831. 2) в"" + 2х; 2 V(x-2)(x-3) 4) -Зе-3'^+^—. 832. 2) 2/1 2 *-1 1 4) -е^ ^ - Зх6) бх^е^*'*. 2/х^1 833. 2) 3*1п3 + 2х ®; 4) Зе^^ f 4х; 5) 2х-3^^^*1п3. 834. 2) 3^ In 3--2s*'; 4)-<>®-*--^. 835. 2)^-2=^ 1п2; 4)-9х“^-; 6) Зд^(1 + 2 1пх)_ X® X х1пЗ 1пЗ X In 3 836. 2) -sin х; 4) cos х - In 2. 837. 2) -sin (х + 2); 3) -cos (3 - х); 4) -Зх® sin X®. 838. 2) 3 +2»1п2; 3) -12sin4x + 2х^ 839. 2) ^ ^—cos_x). —т----2х + 2 logj х cos 2х. 840. 2) 0; sin^ X х1пЗ 4) -J^-3 1ii3. 841. 2) х = ±Я + 21Ш, neZ; 4) х = -0,о; 6) х, = 4, Х2 = -1. 1п 2 3 2-х 842. 2) х<0; 4) х>0. 843. 2)------1 + _/Q_: 4) -е » -icosli^. ~ 4 JT-4 ~5~ 2/6-бх 2-5х 844. 1) •Уз + sin.^— 2) - е 3(2-х)^2-х 3 2(x + 2)V(x+2)3 845. 2) —(1 - 2х) с"""; 3) 2е* ’ (sin (3 - 2х) - cos (3 - 2х)). 2 Ух 846. 2) . : 4) clgx. 847. 2) 0,5* + ^ In 0,5 cos х; 4) 2 /З + X ^ 2/log2 X• X 1п2 848. 2) ^ : 4) —- ‘ 849. 2) 3V^b^ 5**^ (2 1п5 sin Зх+14 1п5-3 соз Зх) gj (sin3x+7)2 /3(1+3^)-2х/3 3*1п3. 2/х(3* + 1)** 2-^ 1п2(х1п2-1)+ 1пх-1 х=* 1п=* 2 445 b = 5; 4) fe = -i-5., b = -l-^. 868. 2) 4) 3. 859. 2) 4) -il; 851. 2) sin X + cos X. 852. 2) х = 5 + 2ял, x = 2;m, x = (-l)''**x 2 xarcsin —+ jtn, П€^. 853. 2) 2. 854. 2 +2л. 855. 2) /'(x) = 0 при 5V^ 4 x = e~^, f'(x)>0 при x>c"‘, /'(*)<0 при 00 при x>l, /'(x) < 0 при 03 в виде 1п(х-3) + + In (х - 2), а при х<2 в виде In (3 - х) + In (2 - х). 857. 2) ft = l, 3 ’ 3 ' 2 ■ ' ' 4 ' 3 ■ 6) arctg-. 860. 2) i/ = -llx+ 12; 4) i/=-ix-l; 6) у = x + 1; 8) i/=ix+i. 5 4 2 2 862. 1) (/= 1; 2) y = x. 863. 2) 3) 864. 2) 1; 4) |. 865. 2) у = 0; 4) y = 2x. 866. 2) (1; 2); 4) (л + 2яга; л + 2лга), neZ. 867. (0;-1), (4; 3). 868. (1;-1), у = 2х-3; (1; 0), j/= 2x - 2. 869. 2) -ax'* + 6x^ - 6x; 4) -A-_2_; 6) -21(4-3x)®: 8) ----------870. 2) -sinx-i; x‘^ (l-4x)Vl-4x 4) 24x^-9e^; 6) -J-+-L. 871. 2) 4) 4 cos ^+3е*-з». X* 2x X 3 872. 2) x^ (1 + 3 In x); 4) sin 2x + 2x cos 2x; 6) (cos x - sin x). 873. 2) 4) lz£l£iH. 874. 2) -8“®In 8 sin x; 4) (x3 + l)2 x(l-x)2 X 875. 2) f'(x) = 0 при X = 0 и при x = - , f’(x)>0 при 0 < x < - , f’{x) < 0 при 9 9 X < 0 и при 4) fix) = 0 при x = 4, x = -3 и x = 1,2, /'(x) > 0 при X < -3, -3 < X < 1,2, X > 4, fix) < 0 при 1,2 < x < 4; 6) f'{x) - 0 при x = 1, /'(x)>0 при X > 1, ^'(x)<0 при X < 0, ^0 при x > 0, f'(x)<0 при X < 0; 4) /'(x) > 0 при x>-i; 6) /'(x) = 0 при x = 3, /'(x)>0 при x > 3, f’(x) < 0 при -1 < X < 3. 884. a > 3. 885. a $-12. 886. 2) a « 0; 4) a > 12. 887. 2) a>0; 4) a < 0. 888. 2) 889. 2) I/=-i In 2x+-?-+i In 2; 4 8 16 4 4) у = (1 + e ’) X. 890. у = 6х+ —, у = 6x - 54. 891. 8 кв.ед. 892. 2k кв.ед. 6 893. При p = 0,5. 894. (1; 0). 895. i. 896. a = e^. 897. y = -l и у = 2x - 6. e 898. —, 900. 2) Возрастает на промежутке (0,3; -к»), убывает на про- 446 межутке (-оо; 0,3); 4) возрастает на промежутке (-6; +оо), убывает на промежутке (-оо;-6); 6) возрастает на промежутках -_^;0 и +со , I Уз j J убывает на промежутках -с»; и 0; ; 8) возрастает на промежут- I Vsj I ysj ках (-оо; 0) и (4; -юо), убывает на интервале (0; 4). 902. 2) Убывает на иромежутках (-оо; 0) и (0; +оо); 4) возрастает на промежутке (5; -юо). 903. 2) Возрастает на промежутке (0; 3,2), убывает на промежутках (-со; 0) и (3,2; -юо); 4) возрастает на промежутке ^-оо; ij, убывает на промежутке -юо|. 904. 2) Возрастает на промежутке -юо|, убывает на промежутке ^-оо; ij. 905. 2) Возрастает на интервалах + neZ. 907. 2) а > 1. 908. a>i. 909. а<-1,б. I 18 3 18 3 j 3 910. Xj = -5, x.^ = 5 — точки максимума, = 3, = -2 — точки минимума. 911. -7; -4; -3; [-2;-!]; 1; 3; 4. 912. 2) x, = 2, x^ = 3; 4) х = -^+лп, neZ. 913. 2) Х12 = ±УЗ; 4) Xi = -i. 914. 2) x = -6—точка минимума; 4) x = -8 — точка максимума, x = 8 — точка минимума. 915. 2) х = 0 — точка максимума, р (0) = 3, х = -2, х = 2 — точки минимума, р (-2) = = р(2) = -13; 4) х = ^-ь2лп, neZ, — точки максимума, p^^ + 2nnj = = -/3 + — + 2пп, neZ, х = — + 2пп — точки минимума, р( —-f2nn| = 6 6 V 6 = -у[з + — + 2пп, neZ. 916. 2), 4) нет. 918. 2) х^2 = ±1. Хз., = ±’/3, 6 = 0; 4) Xi_2 = ±^> Xg = 0. 919. 2) Точек экстремума нет; 4) точек экстремума нет. 920. 2) х = -1 —точка максимума, р(-1) = 0,25, X = о, х = 4 — точки минимума, р (0) = 0, р(4)=10—; 4) х = у + 2кп, 3 3 ^ х-— — + 2пп, neZ,— точ- 4 3 нечетное число. neZ,— точки максимума, p^-^-f2nnj = (\ Q -^ + 2кп\ = -—-— 922. Если п то X = л - 1 — точка максимума; если п — чётное число, то х = л - 1 — точка максимума, х = -1 — точка минимума. 929. Xj = -6, Xg = -3, Xg = 1, х^ = 4, Xg = 6. 934. 2) 2. 935. Один корень при ‘‘>4, два корпя при с = —, с=1, с = 4, три корня при i/2 — точка минимума. 982. arctg А. 985. 2) — + С; 4) 2 л/х+ С. 4 i-—; 4) --1--31пх; 986. 1) ^1 + 5; 2) ^х/х-8. 988. 2) 2 2 5) 2х® - 2х^ + Зх; 6) 3xVx-4x,/x. 989. 2) 2 sin X - 5 cos х; 4) Зе* -ь + cos х; 6) X + Зй*’- 4 sin х; 8) 8-/х ± 3 In х+2е"*. 990. 2) i(x-2)‘‘; 4 4) -У(х+ 3)2 ; 6) 3 In (X-3) ± 2 cos (х-1). 991. 2) i sin(3x±4)+С; 4) -4cos^| + 5^±C: 6) 1еЗд:-5 + С: 8) iln(3x-l)+C. 992. 2) 2х=^ - х; 4) isin3x. 993. 2) 4е^-icos2x; 3)-10cos^-^e 3. 4)21sin^± 3 2 5 2 7 + le 2; 5) ^i^-cos(4x-h2); 6) i V3x-t-l-l ln(2x-5). 3 3 ^ 3 2 448 994. —3^^ + 4х 4)2x®-^ д:2-6х. 995. 2)(^ x-^]xVx; 4)Цх-з1х 10 2 \7 2) 1з ; х2у[х. 996. 2) icos2jT. 997. 6 sin cos 5х-2,8. 998. 2) In (ж + 2), 2 2 5 х*1. 4) icos2x-icos8x. 1000. 2) 12 i; 4) 6; 6) i. 1001. 2) li 4 16 323 1002. 2) 12 1003. 2) 18. 1004. 2) 9; 4) 5; 6) 8) 2. 1005. 2) 1; 4) 2; 6) 0 3 8 1006. 2) 11; 4) 2^; 5) 10. 1007. 2) 68; 3) e® - e*. 1008. 2) -H; 4) 5 3 12 1009. 2) 4л/3; 3) 8. 1010. 2) i In2.5; 3) 0,5. 1011. 1) 7t; 2) 0,5; 3) 0,5 3 4)^; 5) 16^^; 6) 1.5 + In 2. 1012.5 = 2. 1013. 1)81; 2)l| 4 105 33 3) 2 In 4. 1014. 2) б1; 4) 4. 1015. 2) И. 1016. 2) li. 1017. 2) 1; 3) i 1018. 2) 8. 1019. 2) 2-/2. 1020. 2) 4,5. 1021. 2) ^-1. 1022. 2) 2 3 4) 6,75. 1023. 1) 18; 2) lii2-^. 1024. (0,5; 1,25). 1025. 2) 2i1m 8 3 1026. 10 1027. 2) I/ = 2x® - 4x^ + д: + C; 4) j/ = 2 sin 2x + C; 6) у = sin д: + 3 + cos X + C. 1028. 2) 1/ = 2 sin X + 1; 4) у = 2x + x^ - x® + 2; 6) у = = 3 - 1030. « 6927 лет. 1031. 0,09 Дж. 1032. 0,96 Дж. In 0,999 10.33. 2) -cosx-1; 4) e^'+l; 6) 2x - x® + 3. 10.34. 2) 12; 4) -2; 6) -h 8 7) 2. 1035. 2) 4) lili. 1036. 2) 15; 4) -3; 6) 8^. 1037. 2) -1; 2 192 3 6 4) 2 sin 12. 1038. 2) 1; 4) li. 1039. 2) 2^; 4) 1040. 1) i; 3 3 9 3 2) 4 In 3-2. 1041. 1) 1,75; 2) 3^i. 1042. k=p. 15 1043. 2) 6; 4) 12; 6) 9. 1044. 2) 8; 4) 4. 1045. 2) 6; 4) 24. 1046. 2) 16; 4) 81. 1047. 12. 1048. 8. 1049. 2) 240 способами. 1050. 120 способами. 1051. 720 способами. 1052. 120 способами. 1053. 4896 способами. 1054. 6840 способами. 1055. 2) 80 000. 1056. 64 800. 1057. 648 000. 1058. 2) 144. 1059. 2) 5040; 4) 40 320. 1060. 24. 1061. 120. 1062. 2) 362 880. 1063. 2) 24; 4) 6; 6) 12. 1064. 2) 111; 4) 12!; 6) А!; 8) А!; 10) (А - 1)!. 1065. 2) 32; 4) 182; 6) 1; 8) 55. 1066. 2) л + 2; 7 4) т + 3. 1067. 2) л = 3; 4) п = 3. 1008. 1'ц. 1009. Pj. 1070. Р5. 1071. 2) Pg ■ Р3. 1072. 2) 5; 4) 12; 6) 720; 8) 336. 1073. 2) 20 160. 1074. 2) 120. 1075. 6840. 1076. 2) 81; 4) 1:^. 1077. 2) m = 8; 4) m = 6; 21 6) m = 8; 8) m, = 7, m, = 15. 1078. 2)-i--------. 1079. 2) 336. 1080. 2) 6; ’ 182-13n 4) 21; 6) 56; 8) 10; 10) 1; 12) 1; 14) 780; 16) 1770. 1081. 2) 126. 1082. 2) 220. 1083. 2) 120. 1084. 2) 78. 1085. 2) 220. 1086. 2) 70. 1087. 2) 324. 1088. 2) 200. 1089. 2) 140. 1090. 2) 105; 4) 190; 449 6) 54 740. 1091. 2) X = в: 4) х, = 3, х^ = 14; 6) х = 4. 1092. 2) х’ + 7х® + + 21х® + 35х* + 35х'^ + 21х^ + 7х + 1; 4) - 10у® + 45у® - 120i/^ + 210t/® - - 252у® + 210i/‘' - 120j^^ + 4Ьу'^ - lOu + 1; 6) х® + 12х® + бОх'* + 160х® + + 240х^ + 192х + 64; 8) 32а* + 240а^ + 720а® + 1080а® + 810а + 243; 10) 81х^-36х® + 6х®-1х+-1-. 1093. 2) 1+5>/3 + 30+30V3+45 + 9-/3; 9 81 25 4) Ь^-ЗЬ* +Шь‘^-1 + }Аь~^-Л.Ь-* + 1.Ь-^. 1094. 2) -364х® ; 4) 165х ®; 4 2 16 16 64 6) 565®-^. 1095. 2) 64; 4) 126; 6) 1024. 1096. 2) 8008х®. 1097. 2) 5i; 5 4)132; 6) 12. 1098. 2) и (и + 1) (п + 2); 4) -Л-; б)"®+3л+3 Л + 1 Л + 2 1099. 2) 5; 4) 42 |. 1100. 2) х = 7; 4) х = 13; 6) х = 9; 8) га, =4, п.^ = 9. 1101. 2) 5040. 1102. 2) 84. 1103. 2) 336. 1104. 2) 6840. 1105. 2) 66; 4) 330. 1106. 2) X* - 8х® + 24х® - 32х + 16; 4) 243 + 405а + 270а® + 90а® + + 15а^ + а®; 6) 1 - 7х + 21х® - 35х® + 35х^ - 21х® + 7х® - х^; 8) 64а® + 1107. 2) 15 015. 1108. 2) 20. + 96а® + 60а'‘ + 20а® + а® + ^ а+ i. 4 8 64 1109. 2) 30; 4) 64; 6) 924; 8) 735 471; 10) 495. 1110. 2) 36. 1111. 1 000 000. 1112. 13 800 000. 1113. 2) х® + 18х® + 135х-* + 540х® + + 1215х® + 2430х+729; 4) .gj. _ 5д1 + IQgj. _ lOa.i ^_i; е)___L 243 81 27 93 10000000 --------6® + -Mh* + 3505® - 21 0005® + 700 0006 - 10 000 ООО; 100000 1000 10 8) 256 + М2 + 448 + 2^ + 70 + 14с®+! D^. 1206. 2) о« 2,9. 1207. 2) D^>D2- 1208. Второй игрок более стабилен. 1209. Первый футболист более стабилен. 1210. 2) 2 3 4) X 1 2 3 4 1 1 1 1 F 6 6 3 3 1211. У 2 3 4 1 1 1 4 2 4 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 м 2 2 3 2 1 2 3 3 2 1212. 1214. 2) 15; 12; 12; 11. 1215. 2) 13; -4 и 9; 1; 2. 1216. 2) 23; -6 и 13; -1; li. 1217.2)24; -2; 4; 4,125. 1218. 2) iJ« 5,69, о« 2,38; 3 4) D 1220. 2,24, о «1,50; 6) 12,56, о « 3,54. 1219. 2) 6; 0 и 2; 0; П. 13 X 148 149 150 151 152 153 154 М 2 9 10 8 9 8 4 W 0,04 0,18 0,2 0,16 0,18 0,16 0,08 452 1221. 2) D = 5,4, ст« 2,3. 1222. 2) «1=4 i, «2 = 6,56, «,<«2. 3 1223. 2) «I = 0,8, «и = —; так как «, > «„, то второй рабочий имеет более 3 стабильную производительпость труда. 1224. «2<«,. 1225. «^^ = 2,44, «У = 2,45, «2 = 5,5; меньший разброс имеет совокупность значений величины X. 1227. 2) 0,5. Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа 1228. 0,08. 1229. 30. 1230. з1%. 1231. 400%. 1232. 45. 1233. 13,5. 3 1234. 62%. 1235. 30%, 10%, 60%. 1236. 3650 р. 1237. 21%. 1238. 8. 1239. 600. 1240. 636 р. 54 к., 655 р. 64 к. 1241. 408 р. 85 к. 1242. 2) 1,02. 1243. 2) 2. 1244. 2) 0,5; 3) 20,8. 1245. 1083. 1246. 2) 3. 1247. 2) 0. 2 3 1248. 2) 64. 1249. 2) 160. 1250. 2) 0,2^ >0,2*; 4) logo 3-< logo 3-. 5 ' 4 1251. 2) (0; 1); 4) (0; 1); 6) (1; -юо). 1252. 2) Первое. 1253. 2) 3 О, 6^ = 4ас. 1338. 2) X = 6; 3) х = 3 1.3.39. 2) х, = .3, х, = ^. 1.340. х = 3. 1341. х = 5. 3 ' 3 1.342. 2) Корней нет. 1343. 2) х, = 3, Х2 = 2; .3) х, = 3, Хз = -1. 1344. 2) х = 3. 1345. 2) х, = 4, Х2 =-2. 1346. 2) х, = 1; 3) х = -^. 8 1347. 2) х = 9. 1348. 2) х=1; 4) х = 0. 1349. 2) х = 3. 1350. 2) Xj = 3. Х2 = 243. 1351. 2) х = 3,5. 1352. 2)x = V3. 1353. 2) х, = 1, Х2 = 9. 1354. 2) х = 9. 1355. 2) Xi=i, Х2 = 9; 4) х, = 1, Xg = 4. 1356. 2) х =-3. 3 1357. 2) X, =-1, Х2 = 3; 3) х = 0. 1358. 2) Xj = ЮО. Х2 = 0,1» 4) х = 0. 1359. Нет. 1360. 2) г, ,=l±iV2. 1362. 2) -Я, 3 3 3 3 1363. 2) х = ±5 + ^, neZ; 3) х =-arctg 2,5 + лп, п б Z. 1364. 1) Кор-4 3 ней нет; 2) корней нет. 1365. 2) х = - — + кп, х =-arctg 3 + лп, neZ. 4 1366. 2) х = —, х = ±—+ЛЛ, neZ; 4) х = —+лп, x = arctgi+лn, п е Z. 2 6 2 2 1367. 2) x = i^+M, х = (-1)"^+^, neZ; 4)х = 5+лл, л б Z. 42 12 2 4 1368. 2) х = М, х = М., neZ; 4) х = М, х = ±^+2лл, л б Z. 3 2 2 3 1369. 2) х = -Я+лл, лeZ. 1370. 2) х = ±М+М", neZ. 1371. 2) х = ^ + 3 2 2 2 + 2лл, x = 2arctg —+ 2лл, neZ. 1372. 2) х = 2лп, х = —+лл, neZ. 11 4 1373. 2) х = Я+лл, х = ^^ + 2лл, х = 5Я + 2лл, Л6Z. 1374. х = -^^+лл, 4 12 12 4 х = - —+ 2лл, х = 2лл, л 6 Z. 1375. 2)х = —+лл, х = —+ —, neZ; 4)х = —+ 2 2 4 2 16 + М, лeZ. 1376. 2) х = Я + М, Л6Z. 1377. 2) Корней нет. 4 4 2 1378. 2) X = arctg+ лл. л б Z. 1.379. 2) х = ^+^, х = ^ + ^, nsZ; 2 4 2 8 4 4) x = iL + M, х = ^ + М., neZ. 1380. 2) х = ^^^, л е Z. 1381. 2) х = М. 12 3 8 2 5 8 H6Z. 1382. 2) X = л + 2лл, х =— +2лл, X = — + (-!)''arcain—+лл, лeZ. 2 4 3 V2 1383. 2) х = ^+лл, х = ^ + ^, Л€Z. 1384. 2) х = (-1)"+ > ^ + лл, лeZ; ^55 6 4) х = (-1)"'''^ arcsini+лл, л б Z. 1385. 2) Корней нет; 4) х = лл, л б Z. 3 454 1387. 2) х>-2. 1388. 2) х> 5. 1389. 2) -з1<л<40; 4) -2<х<8. 3 1390. 1) х<^, 2) х<-'^, х>^; 3) х<2^. 1391. 1) -16 < х < 3; 3 2 9 2 7 2) X < 4, X > 6; 3) X < -3, X ? -2,5. 1392. 2) -1,4 < х < 0. 1393. 2) х > -4. 1394. 1) -7 < X < 2. х?б; 2)х<-2-л/2, -2 + V2 3. 1395. -5 < X < -3. 1396. m = 2. 1397. m = 8, m = 9. 1398. х = 6. 1399. х = -1. 1400. 2) х < 2; 4) х <-2, 1 < х < 2, х>5, 6) -1<х<\, l/2<х<3+^2. 1404. 2) х< 1. 1405. 2) Ре- гаений нет. 1406. 2) хе Л; 3) х < 3; 5) x^l-i logg 5. 1407. 2) х < 1, х > 3. 3 1408. 2) -V5/5. 1409. 2) х > 3. 1410. 2) i1. 1414. 2) _^<х<10. 1415. 2) ^^+ял< 3 ЛО 2 <х< —+ЛЛ, п€2Г. 1416. 2) -arcsin i +2лл 5. 1434. 1 мин. 1435. 126 км. 1436. 1080 км. 1437. 16 дн. 1438. 91 га. 1439. 12. 8. 1440. 1. i. i. 1441. 432 детали. 1442. 18 км/ч. 1443. 25 2 3 6 и 20 билетов или 20 и 15 билетов. 1444. 3 км/ч. 1445. 21 ц, 20 ц. 1446. 1400 шагов. 1447. 3. -6, 12, -24. 1448. 27. 1449. 1, 3, 9, 15 или 16, 8, 4, 0. 1450. 2 или 12^. 1451. В 3 раза. 1462. 16 см^ 1453. Ь = -2. 5 1454. к = -1. 1455. 2) А =-1, 5 = 3; 4) А = О, 5 =-2. 1456. у = -1х+^, 5 5 у = -1х+^. 1457. 2) Нет; 4) да. 14,58. 2) з1. 1459. 2)х<1. 1460. 2) х > 0,5. 5 5 3 3 X arcsm - 455 1487. 2) -VIO 1. 1462. x<-V3. 1465. 2) Да. 1466. 2) (-1; 3), (5; 3) 1467. 4) X <-2, X > 2. 1468. 4) x*0, 1470. 2) Нечётная; 4) чётная 1471. 2) Нечётная; 4) чётная. 1472. 4) Не является чётной и не является нечётной. 1473. 2) Ш. 1474. 2) Юте; 3) 2л. 1476. 2,26 — наибольшее 3 1477. 2) 2 и -1. 1478. 2) (0; 2), (2; 0). (0,5; 0). 1484. 2) л: >-2 3) х:^2л + 4лл, neZ. 1485. 2) х С-7, х > 6. 1486. 2) 3<х<з1 2 2) у<7; 3) у*2 1489. 2)-,Jlj5^yi.y[iM. 1490. 2) -3. 1491. 2) 5. 1492. 2) у =-6х - 1 3 1493. -1. 1494. 9. 1495. (3; 9). 1496. (1; 2), (0,5; 2,25). 1497. (-1;-3) 1498. 2) у = 0.5 (1 + In 2 - X In 2). 1499. Я. 1500. е~К 1501. -Я 4 4 1502. у - X + I. 1503. у = Зх - 3. 1504. 2) Возрастает на промежутках (-оо; 0) и (0; +оо). 1505. 2) х = 6 — точка минимума. 1506. 2) х = 0 — О точка минимума, х = ~— — точка максимума. 1507. 1,5 и 1. 1508. 3 и 1. 3 1509. 0,5 и 0. 1510. 1 дм. 1511. 54л см'*. 1512. 6. 1513. 2. 1514. 8inx-i-l. 1515. 132, -57. 1516. 9, 4. 1517. (1; 1). 1518. X 27 1519. 4 V2. 1520. р =-10. g = 26. 1521. дм. 1522. 3^2nV^ . 3 1523. -?z. 1524. V2 V3 1525. 4Д 1526. 1527. ^ .з 21?' 1528 ■г.яЦ. Н = Щ. 1529. 2R = H. 1530. Щ. 1531. r = ^. h = H. 1532. 2) x = 0 — /3 V3 3 3 точка минимума, x = 0,4 — точка максимума. 1533. (1; 0), (-1; 4). 1534. y = 7x- 43. 1538. 2) In 2. 1539. 2) 9 i; 4) 1. 1540. 2) 4,5. 1541. 2) A. 3 12 1542. 2)—5—. 1543. 3) 31; 4)-2. 1544. 2) x = nn, neZ. 1545. 2) x = i. 3 In 3 9 4 3 -1 1546. -2 < x< 3. 1547. о(10) = 262 м/с, < = 37 c. 1548. 12л. 1550. 2) 5x ®. 1551. 2) 1552. 2) 3x(4x+ 3) 1553. 2) cos 2x - 2xsin 2x. (2x+l)== 3-V?TT 1554. x = 2. 1555. 2) /'(2) > 0. 1556. Г(0) = 4, Г ^|j = 8(7 + 4 >/3). 1557. -^^x<0. 1558. i(2sin4x-9). 1559. 2) ^ln|4x-l|+C. 3 8 4 Задачи для внеклассной работы 1560. 2) Указание. Ввести обозначение y = \lR-x, г = ^27 + х, откуда у^ + г* = 35 (1). Исходное уравнение записать так: у^ - уг + = 7 (2). По- делив уравнение (1) на (2), получить у ■¥ г = Ь (3). Решая систему уравнений (2), (3), найти значение у и далее использовать введённые обозначения; 3) Х|=-73, Х2 =-8. 1561. 2) Xj=4, Х2 =-4. 1562. 2) Xj g = ±2, 456 *я = 3; 3)х, =-1, Х2 = 4, Хз 4 = +i^/2. 1563. 2)х = -^^+яя, х = (-1)"-"*—+ +i 12 + ^,neZ. 1564. 2) х = ^+лл, х = (-1)" JL + M, „eZ. 1565. х = ^ + ^, 2 2 24 4 4 2 neZ. 1566. х = ± —+ 2лл, neZ. 1567. Пересекает (в т. 1, 2, 3). 1568. Xj = 3. 3 1569. 1) (а; а^), (а^; а), если а>0 и а*1\ (-о - 1; (а + 1)^), ((о + 1)^; -а - 1). если о < -1 и аФ-2. 1570. При а *3 пет решений, при 0 = 3 — (0; 1). Указание. Записать второе уравнепие системы в виде x* + (j/-l)2 + (o-3)2+l-cos(xy) = 0. 1571. 2) (1; 1), (2; 4); 3) f-i + л; V 6 1 + nl, neZ. 1572. f-ii + (-l)* JL+М+лл; -i + (-l)*+‘—+ лл], 6 j I 4 12 2 4 12 2 ) neZ, keZ. Указание. Решить систему как линейную относительно и и V, где и = cos X cos у, 1574. 2) х>0,01. 1575 о = sin X sin у. 1573. ^('“в5 3 1ок,2)*.5(1<,85 3 1ое,2)4 . -1<х<-1, -1<Х<0. 1576. х<-4, -3 < X <-2. 4<х< 5. -1<х<1, х>2. 1577. 2) 2<х€3. 1578. 0«x—, то 4 4 4 4 а + 3<х<9о-3. Решения первого неравенства являются решениями второго при < о < ^. 1583. 2) 1584. С = ^. 1585. Ь>^-1, b<-3-^^3. 4 9 13 2 1586. х = лл, х = ^ + ^, п eZ. 1587. 1588. 3 или 12. 1589. Нет, так 8 4 5 как наименьшее расстояние между кораблями будет равно 3 милям через 48 мин. 1590. 0 = 6, 5 = -11, с = 6. Указание. Так как точки А и В симметричны относительно пря.мой х = 2, то А (Xj; уц), В (Xg: Pq), где Xj = 2-t, Хз = 2 + <, <>0. Из условия f'(.Xy) = f'ix^) следует, что о = 6 и Г (.Xi) - f'ix^) =-3t^ + 12 + Ь, а равенство / (х^) = / (х^) можно записать в виде b = t^~ 12 (так как t > О), откуда f’{x^) = f'{x.2) = -2t^<0. 1591. 0 = 6, 5=11, с = 5. 1592. li. 1593. о = 1, 5 = 4. 1594. arctg-^. 8 л^ 1595. 2) x = f; х = -^. 1596. х = 9. 1597. 2) х = 2; 4) х = 4. ^ 3 1598. 2) X =-9. 1599. 2) х = —н-лл, х = 2лл, л > 3; 4) х = —+лл, neZ. 2 2 1600. 2) х = ^ + 2лл, х = -5-н-(2л + 1)л, neZ. 1601. х = 1 f(-l)" х 12 12 2 I X arcsin — лл 3 1. neZ. 1602. х = ^-ь(2л-1-1) л, п е Z. 1603. х = лл, х = -^-ь } 3 4 + пп, neZ, л О, n?tl, п*2. 1604. х =—. 1605. Если i-1. 3 1611. 1) а>Ш; 2) a^i. 1612. 1) д: < 2, х > 3; 2) ж > 3. 1613. 1) х > 2; 3 3 2) -311 <х<-11, 1<х<1,5. 1614. 1) -i^x<0: 2) -1<х<-1, 3 2 -i5. 1616. a<^/2. 4 1617. (-2; 22). (2; 10). 1618. Л = 2. 1619. р = -2. ^ = 0. d=i. 1620. х = (-1)" i^+7tn, neZ. 1621. а =-3,5. 1622. a=l-V2, a = 5+VlO. 6 1623. а<-4,-5<а<0. 1624. 4 3 15 Ответы к заданиям «Проверь себя!» Глава I. 1. 1) 135; 2) бИ; 3) 4i. 2. 1) 2) а"’. 3. я а* - За^ 4. »Ц|, < 2'1® ^ 5 СП* . 4.3 48 5. 2МаЬ Глава II. 1. 1) x?tl; 2) х>4, х<-1. 2. 1) х — любое действительное число, у> о при X > -1; 2) х ^ 0, у > 0 при х 0; 3) х — любое действительное число. 3. 1) х=128; 2) х=1. И 0.2 > (11 : 5’°'* > 5'‘-‘'. 3. 1) X = 2; 2) Xj = 1, Хг = -5; 3) х=1; 4) Xj = 0, Х2=-2. 4. 1) х > 4; 2) -2 < х < 2. Глава IV. 1. 3; -2; 3; 49; 2. 3. 1) logg g 3 < logo j 2^! 2) logg 0,7 < logj 1,2. 4. 1) x = 8; 2) x = 1; 3) Xj = 0, Xg = 9. 5. (ih; 5). 6. 1) l 0 при 2 2 2 о < X < л; cos X > о при - — < х< —, — < х<2л; sin х < 0 при -л < х < 0, 2 2 2 ж X < 2л; cos X < О при -л<х<—, -—<х<—; возрастают: sin х при 458 -1к<х<^, ^<х<2п, cos X при -к<х<0, к < х < 2п; убывают: sin дг 2 2 2 при -п< х<- — , —< х<—, cos X при о < * < тс. 3. tg ж = О при ж = -п, 0; 2 2 2 tg ж > О при -жж<—, 0<ж<—; tg ж = О при <ж<-л, <ж<0. 2 2 2 2 4. - — +пп < X < — +пп, neZ. 4 2 Глава Vm. I. 85. 2. 1) —^ + —е* ; 2) 12 (Зж - 5)®, 3) 6 cos 2ж cos ж - х^ у[х -Ззш2жзшж; ■ г? ■ . 3. Аг =-3. 4. а = (ж2 + 5)2 4 Глава IX. 1. Возрастает при -1<ж<1, убывает при ж<-1, ж>1. 2. Точка максимума ж=-3; точка минимума ж = 3. 3. См. рис. 190. 4. Наибольшее р(5) = 5-, наименьшее у(2) = 4. 5. 2 м. S Глава X. 2. f (ж) = ж® + ж* - Зж - 1. 3. 1) 11 i; 2) i; 3) 1; 4) -1. 4 4 4. 1) 20- кв. ед.; 2) 36 кв. ед. 6 Глава XI 1. 21. 2. 720 способами. 3. 9240. 4. 48. 5. 1 - 6ж + 15ж^ - 20ж^ + + 15ж'*-6ж® + ж®. Глава XII 1. 1) Названо одно из чисел 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18; 2) названо одно из чисел 6, 12, 18; 3) названо одно из чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17; 4) названо одно из чисел 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17. 2. J-. 3. 0,88. 12 Глава XIII 1. X 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 г 12 6 6 6 6 6 12 2. 13; 3; 1,5; 1. 3. 4„56. 459 Предметный указатель -1.......I........I........I.......I • Арккосинус числа 169 Арксинус числа 175 Арктангенс числа 181 Гармонические колебания 311 Геометрический смысл производной 251 Дифференциальное уравнение 310 Дифференцирование 231 Дифференцируемая функция 231 Интеграл от функции на отрезке 298 Интегральная сумма 300 Интегрирование 294 Касательная к графику функции 252 Косинус 126 Криволинейная трапеция 297 Логарифм числа 90 — десятичный 96 — натуральный 97 Логарифмирование 91 Логарифмическая функция 100 Логарифмические неравенства 109 — уравнения 105 Наибольшее значение функции 277 Наименьшее значение функции 277 Непрерывная функция 233 Обратная функция 48 Основное логарифмическое тождество 91 Первообразная функции 291 Периодическая функция 205 Период функции 205 Площадь криволинейной трапеции 297 Показательная функция 73 Показательные неравенства 81 — уравнения 77 Производная функции 231 — логарифмической функции 246 — показательной функции 246 — произведения 241 — суммы 240 — тригонометрических функций 247 — частного 241 Равносильные уравнения 54 Г'азностное отношение 230 Синус 126 Следствие уравнения 55 Стационарная точка 267 Стеиенная функция 39 Таблица первообразных 294 Тангенс 128 Теорема Ферма 266 Точка максимума функции 265 — минимума функции 266 — экстремума 266 Тригонометрические неравенства 194 — уравнения 168 — функции 201 Угловой коэффициент прямой 251 Формула Ньютона — Лейбница 298 — перехода для логарифмов 97 Элементарные функции 245 460 § 1. § 2. § 3. §4. § 5. §6. § 7-§8. §9. § 10* § 11. § 12. § 13. § 14. § 15. § 16. § 17. § 18. § 19. § 20. 21. 22. 23. 24. 25. § 26. § 27. § 28. ОГЛАВЛЕНИЕ Глава I. Дснствите.т1ьные числа Целые и рациональные числа.....................3 Действительные числа...........................7 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ..11 Арифметический корень натуральной степени......17 Степень с рациональным и действительным показателями...................................24 Упражнения к главе 1...........................35 Глава II. Степенная фушсцип Степенная функция, её свойства и график........39 Взаимно обратные функции.......................47 Равносильные уравнения и неравенства...........54 Иррациональные уравнения.......................60 Иррациональные неравенства.....................63 Упражнения к главе II..........................69 Глава III. Показательная функция Показательная функция, её свойства и график....72 Показательные уравнения........................77 Показательные неравенства......................81 Системы показательных уравнений и неравенств ... 84 Упражнения к главе III.........................87 Глава IV Ло1'арнф|Утическая функция Логарифмы......................................90 Свойства логарифмов............................94 Десятичные и натуральные логарифмы.............96 Логарифмическая функция, её свойства и график . . 100 Логарифмические уравнения......................105 Логарифмические неравенства....................109 Упражнения к главе IV.........................113 Глава V. Тригонометрические формулы Радианная мера угла...........................117 Поворот точки вокруг начала координат..........121 Определение синуса, косинуса и тангенса угла .... 126 Знаки синуса, косинуса и тангенса..............132 Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла..............135 Тригонометрические тождества...................139 Синус, косинус и тангенс углов аи-а...........142 Формулы сложения...............................144 461 § 29. Синус, косинус и тангенс двойного угла.........149 § 30*. Синус, косинус и тангенс половинного угла.....152 § 31. Формулы приведения.............................156 § 32. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.....................................161 Упражнения к главе V..........................164 Глава VI Тригоно.метрические уравнения § 33. Уравнение cos х = а............................168 § 34. Уравнение sin х = а............................173 §35. Уравнение tg х = а.............................179 § 36. Решение тригонометрических уравнений...........184 § 37*. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств.................194 Упражнения к главе VI.........................197 Глава VII Тригонометрические функции § 38. Область определения и множество значений тригонометрических функций....................201 § 39. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций....................204 § 40. Свойства функции у = cos дг и её график........208 § 41. Свойства функции у = sin д: и её график........213 § 42. Свойства функции у = tg х и её график..........217 § 43*. Обратные тригонометрические функции...........223 Упражнения к главе VII........................227 Глава VIII Производная н её гсометрическ1П! смысл § 44. Производная....................................229 § 45. Производная степенной функции..................236 § 46. Правила дифференцирования......................240 § 47. Производные некоторых элементарных функций. . . 245 § 48. Геометрический смысл производной...............251 Упражнения к главе VIII.......................257 Глава IX Применение производной к ис.слелованню (функций § 49. Возрастание и убывание функции.................261 § 50. Экстремумы функции.............................265 § 51. Применение производной к построению графиков функций..............................271 § 52. Наибольшее и наименьшее значения функции .... 277 § 53*. Выпуклость графика функции, точки перегиба .... 283 Упражнения к главе IX................................287 462 54. 55. 56. 57. 58. § 59* § 60. § 61. § 62. § 63. §64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. § 71. § 72. § 73. § 1. §2. §3. § 4. §5. Глава X. Интегра-'i Первообразная ............................... 291 Правила нахождения первообразных.............294 Площадь криволинейной трапеции и интеграл .... 297 Вычисление интегралов........................301 Вычисление площадей с помощью интегралов .... 304 Применение производной и интеграла к рещению практических задач.................309 Упражнения к главе X.........................315 Глава XI Комбинаторика Правило произведения.........................317 Перестановки.................................320 Размещения...................................323 Сочетания и их свойства......................326 Бином Ньютона................................330 Упражнения к главе XI........................333 Глава XII. Элементы теории вероятностей События......................................336 Комбинации событий. Противоположное событие . . 339 Вероятность события..........................343 Сложение вероятностей........................346 Независимые события. Умножение вероятностей. . . 350 Статистическая вероятность...................354 Упражнения к главе XII.......................359 Глава XIII. Статистика Слу^юйные величины...........................364 Центральные тенденции........................370 Меры разброса................................375 Упражнения к главе XIII......................383 Приложение. Множества....................................387 Элементы математической логики...............388 Предел последовательности....................390 Дробно-линейная функция и её график..........393 Уравнения и неравенства с двумя неизвестными . . . 395 Уиражиевия для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа .... 400 Задачи для внеклассной работы................426 Ответы и указания............................432 Предметный указатель.........................460 463 Учебное издание Алимов Шавкат Арифджавович Колягив Юрий Михайлович Ткачёва Мария Владимировва Фёдорова Надежда Евгеньевна Шабунин Михаил Иванович АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 10—11 классы Учебник для общеобразовательных учреждений Базовый уровень Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. Н. Белоновская Младший редактор Е. А. АнОреенкоеа Художники В. А. Андрианов, В. В. Костин, Е. В. Саганова Художественный редактор О. П. Богомолова Технический редактор О. Е. Иванова Корректоры И. П. Ткаченко, А. К. Райхчин. С. В. Николаева Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93— 953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 13.09.11. Формат 60 X 901/16. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 23,88 -ь 0,48 форз. Доп. тираж 30 000 экз. Заказ № 33086. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат». 410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru Тригонометрические функции y = smx У sinx = a л: = (-l)"arcsina + лп ^^ я 1 Зя _ -2л/^ 2 ^ \у 2 2я/^ У Зя 0 я я\, >/ X 2 у = COSX у 1 cosx = а х = ± arccosa + 2лп ^ X 5jt л 0 я\^ Зя 5я 2 2 — 2 2 2 2 y = tgx tgx = а X = arctga + ял I I Логарифмы logflC = logftC logftO loga6c = loga6 + logaC logafe^ = plogab logo= \ogab - logaC loga^ = ^ log^a Производная Л-0 h C'=0 (kx+by=k (xPy=pxP'^ (e^y = e^ (1пд:)' = ^ (sinx)' = cosX (cosx)' = - sinx (f{x) + g{x)y = rix) + g'ix) (сПх)У^сГ(х) (fix) • g(x)y = fix) g(x) + f(x)g'ix) (Hx)\ r \g(x)J (x)g(x)-f(x)g'(x) g^x) in I •• I г