g{x) (5)
на его ОДЗ, где f (х) > 0, то для правой части этого неравенства рассмотрим два случая: а) g (х) < 0; б) g (х) > 0.
а) При g(x) < о неравенство (5) выполняется для всех х из ОДЗ данного неравенства, то есть при f (д:) > 0.
б) При g (х) > о обе части неравенства (5) неотрицательны, и при возведении в четную степень 2k получаем неравенство, равносильное данному:
f(x)>g^"{x). (6)
Отметим, что для всех решений неравенства (6) ограничение ОДЗ данного неравенства f {х) > 0 выполняется автоматически; таким образом, при g (дс) > о достаточно записать только неравенство (6).
352 Раздел 4. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Объединяя полученные результаты, делаем вывод:
2kf77-^ г., , \ёМ>0, \fix)>0,
^f(x)>g(x)\ или
Задача 1
Примеры решения задач
Решите неравенство yJx + 3 -yJx-1 > yj2x-l.
Комментарий
Приведем неравенство к виду / (х) > О и решим его методом интервалов. Для нахождения нулей функции f (х) используем уравнения-следствия. Чтобы исключить посторонние корни, выполним проверку полученных корней. Для нахождения знака функции f {х) в каждом интервале, как обычно, найдем знак функции в любой точке из этого интервала.
Решение
► Данное неравенство равносильно неравенству ■Jx + Z-'Jx-l--J2x-1 >0. Обозначим fix) = yJx + 3- -Jx-l--J2x-1.
x>-3,
х>1, - / +
1. ОДЗ:
X + 3^ о,
х-1>0. Тогда 2х-1>0.
то есть X > 1.
Х>К
2
1,5
2. Нули функции fix): yJx + 3-yJx-l-yj2x-l =0. Тогда
>Jx + 3-4x^ = -j2x-l, {yJx + 3-^[x^f = Шх-1)\ х + 3-2\/х + 3 ■ \/х-1 + х-1 = 2х-1, 2у/х + 3-\/х-1 =3.
Возводим обе части последнего уравнения в квадрат:
4(х + 3)(х - 1) = 9, 4х^ + 8х - 21 = о,
jCj = - = 1,5 — корень, Х2 = -- — посторонний корень.
3. Разбиваем ОДЗ точкой 1,5 на два промежутка и находим знак f (х) в каждом из промежутков (см. рисунок).
Ответ: [1; 1,5). <1
Задача 2 Решите неравенство
I
х® + 8
>лг-2.
1 способ (метод интервалов)
Комментарий
Приведем данное неравенство к виду f (х) > 0 и решим его методом интервалов. При нахождении ОДЗ данного неравенства для решения неравенства
х®+8
X
X = -2).
>0 также используем метод интервалов (ОДЗ: х 0;
х® + 8
= 0 при
§ 29. Решение иррациональных неравенав 353
Для нахождения нулей функции / (л:) используем уравнения-следствия.
Хотя функция f (х) не имеет нулей, но и в этом случае метод интервалов можно использовать. Только в этом случае интервалы знакопостоян-ства функции f (х) совпадают с интервалами, из которых состоит ее область определения.
Решение
► Данное неравенство равносильно неравенству
л:®+ 8
-х + 2>0.
(1)
Обозначим /(х) = лЬ - X+ 2.
'4
1. ОДЗ:
** + 8 п я
-----^ и, +S
X Решим неравенство ------->0
хфО.
методом интервалов (см. рисунок). Получаем: х е (-°о; -2]U(0; -роо).
2. Нули функции f (дг)
4^
ж®+8
-л:+ 2 = 0. Тогда
I
ж®+ 8
= х-2.
ж® +8
= х^ -4х +4, х^ + 8 = х^ - 4х^ + 4х,
X X
4х^ - 4дс + 8 = о — корней нет (D < 0).
3. ОДЗ неравенства (1) разбивается на два промежутка, в которых функция f (х) имеет знаки, указанные на рисунке. ___
Ответ: (-о°; -2] U (0; +оо). О
-2 о X
II способ (равносильные преобразования)
Комментарий
Для решения используем равносильные преобразования (с. 352):
2*/77Т / ч Ы(х)>0, jf(x)>0,
^ 1/(х)>^®*(х) UW<0.
Чтобы решить полученное промежуточное неравенство -->0, учтем
ж
условия, при которых эта дробь будет неотрицательной.
В конце, объединяя полученные решения, записываем ответ.
Решение
х>2,
>{х-2Г
или
ж®+ 8
>0,
ж <=>
х-2<0
> X® - 4х + 4
12 Алгебра и начала математического анализа. Учебник 10 кл.
354 Раздел 4. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
или
х^ + 8
X
х<2
>0,
х>2,
4х^-4х + 8
ИЛИ
>0
х^ + 8>0 х>0, или х<2.
х® + 8<0,
д:<0,
х<2.
Учитывая, что 4х^ - 4л: + 8 > 0 при всех значениях х (D < о и а = 4 > 0), получаем, что последняя совокупность трех систем равносильна
совокупности:
х>2,
л:>0
х>-2, [л:<-2,
или ■ л: > о, или д: < о, <=> х<2, х<2
X > 2 или о < д; < 2 или д: < -2 <=> дс < -2 или д: > 0.
Ответ: (-°о; -2] и (0; +с»). <]
Замечание. Записывая приведенное решение, знаки равносильности (<=>) можно не ставить, достаточно вначале записать фразу: ♦ Выполним равносильные преобразования данного неравенства».
Задача 3
Решите неравенство
s]3x + 9-4yj3x + 5 +у1зх + 14-6^13х + 5 <1. (1)
_____ Комментарий
Замена л/Зд: + 5 = t позволяет заметить, что каждое выражение, стоящее под знаком внешнего квадратного корня, является квадратом двучлена.
Применяя формулу Vo^ = |a|, получаем неравенство с модулями, для решения которого используем план (см. с. 77):
1) найти ОДЗ;
2) найти нули всех подмодульных функций;
3) отметить нули на ОДЗ и разбить ОДЗ на промежутки;
4) найти решения неравенства в каждом из промежутков.
Решение
► Пусть л/Зд: + 5 = t, где t > 0. Тогда Зд: + 5 = Зх = 5.
Получаем неравенство + 4-4t -f-+ 9-6t < 1, которое можно запи-
сать так:
yJ(t-2)^ +yl(t-3)^ <1. Получаем
U - 2| + - 3| < 1. (2)
1. ОДЗ неравенства (2): ^ е Д, но по смыслу задания это неравенство необходимо решить при t > 0.
2. Нули подмодульных функций: t = 2 и t = 3.
3. Эти нули разбивают область t > 0 н& три промежутка, в каждом из которых каждая под модульная функция имеет постоянный знак (см. рисунок).
§ 29. Решение иррациональных неравенств 355
Промежуток I. При t € [0; 2] имеем неравенство
-(i - 2) - (f - 3) < 1, из которого получаем t > 2, по промежутку [0; 2] принадлежит только t = 2.
Промежуток II. При t е [2; 3] имеем неравенство
(f - 2) - - 3) < 1, равносильное неравенству 0-f < 0, которое вы-
полняется при любых значениях t. Таким образом, на промежутке [2; 3] решениями неравенства будут все значения t из этого промежутка (2 < < < 3).
Промежуток III. При i е [3; Ч-оо) имеем неравенство
(< - 2) -Ь (< - 3) < 1, из которого получаем i < 3, но промежутку [3; +о°) принадлежит только значение t = 3.
Объединяя полученные результаты, делаем вывод, что решениями неравенства (2) будут все значения t, такие, что: 2 < f < 3.
Выполняя обратную замену, имеем 2 < yj3x + 5 < 3, откуда 4 < Зл: -Ь 5 < 9.
Тогда
3 3
Ответ.
: [-М]-
Вопросы для контроля
1. Назовите основные методы решения иррациональных неравенств.
2. Назовите основные этапы решения иррационального неравенства методом интервалов.
3. Обоснуйте справедливость следующих равносильных преобразований:
fix) > о, gix)>0, f{x)0, \fix)>0,
|g(x)<0.
Упражнения
Решите неравенство (1-8).
1 (МГУ, геолог, ф-т). 1) у}х^ - Зх-\д> < 4-л:; 2) yjx^ -Зх <5-х.
2. 1) ix-3)yJx^ + 4,g{x)
3. 1)
\1б + х-х^ ^ yje + x-x^
2)
-2х-х^ ^ л/з - 2д: - J
2*+ 5 дг + 4 х + 8 2х + 1
4. 1) slx-2+-j2x + b >3; 2) V2x-20 + Vx:-(-15 >5.
5. 1)(ННГУ) -^>yfx + 5; 2) (ВолГУ)
■^х
:-у[х -(
>0.
356 Раздел 4. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
6. 1) J^^>x-3;
2) (ДВГУ) у/х*-2хЧ1>1-х.
Т (СПбГУАП). 1) 75л: + 8-6л/5л:-1 + ^j5x + 24-10yj5x-l < 2;
2) у]х + 3-4\1х-1 +yjx + 8-6jx-l >1.
8*. 1) (Vx^-4a: + 3 + l)Vx+-(V8x-2x^-6 + l)<0;
X
2) (л/д:* - 5х + 6 + 2)>/jc --(-s/iOj: - 2x^ -12 + 2) > 0.
X
§ 30. РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ
Основные методы и идеи, которые используются при решении задач с параметрами, были рассмотрены в § 7 раздела 1. Как и раньше, при решении задач с параметрами, в которых требуется решить уравнение или неравенство, можно пользоваться ориентиром: любое уравнение или неравенство с параметрами можно решать как обычное уравнение или неравенство до тех пор, пока все преобразования или рассуждения, необходимые для решения, можно выполнить однозначно. Но в том случае, когда какое-то преобразование нельзя выполнить однозначно, решение необходимо разбить на несколько случаев, чтобы в каждом из них ответ через параметры записывался однозначно.
Также на этапе составления плана решения уравнений или неравенств с параметрами или при проведении рассуждений, связанных с самим решением, часто удобно сопровождать соответствующие рассуждения схемами, по которым легко проследить, в какой момент мы не смогли однозначно выполнить необходимые преобразования, на сколько случаев пришлось разбить решение и чем отличается один случай от другого. Отметим, что уравнения и неравенства с параметрами чаще всего решают с помощью их равносильных преобразований, хотя иногда используются и свойства функций, метод интервалов для решения неравенств и уравнения-следствия.
Задача 1 Решите уравнение yJx-2 = а.
Комментарий
Мы не можем однозначно дать ответ на вопрос, есть ли у данного уравнения корни, и поэтому уже на первом шаге должны разбить решение на
два случая: 1) а < 0 — корней нет; 2) а > о — корни есть (см. схему).
При а > о имеем простейшее иррациональное уравнение, обе части которого неотрицательны. Поэтому при возведении обеих его частей в квадрат получим уравнение, равносиль-
§ 30. Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами 357
ное данному. ОДЗ данного уравнения можно не записывать, оно учитывается автоматически, потому что для всех корней полученного уравнения х-2 = а^>0.
Решение
► 1) При а < о уравнение не имеет корней.
2) При а > о X - 2 = а^. Тогда х = + 2.
Ответ: 1) если а < 0, то корней нет; 2) если а > 0, то л: = -f 2. <]
Задача 2 Решите уравнение yjx + a +yjx-l = 3.
Решение* ► •Jx + a = 3 - Vx-l.
(1)
Для всех корней уравнения (1)
3->/^>0. (2)
Тогда уравнение (1) равносильно уравнениям:
х + а = {г-4х^)\ (3)
л: + а = 9-Q'Jx-l + х -1,
\1х-\ =
8-0
Тогда уравнение (4) равносильно уравнению
х-1 =
8-0
6
(6)
Таким образом, х =
8-0
+ 1.
Комментарий
Используем равносильные преобразования данного уравнения. Для этого необходимо учесть его ОДЗ:
(х + а>0, (7)
\х-1>0. (8)
При переносе члена данного уравнения из левой части в правую с противоположным знаком получим равносильное уравнение (1).
Для всех корней уравнения (1) оно является верным числовым равенством. Его левая часть неотрицательна, таким образом, и правая часть должна быть неотрицательной. Тогда далее можно решать уравнение (1) не на всей ОДЗ, а только на той ее части, которая задается условием (2). По этому условию обе части уравнения (1) неотрицательны, таким образом, при возведении обеих его частей в квадрат получим равносильное уравнение (3) (а после равносильных преобразований — уравнение (4)).
Для всех корней уравнения (3) его правая часть неотрицательна, таким образом, и левая часть будет неотрицательной: д: -I- а > О, но тогда
* В записи решения задач 2-6 синими рамками выделены ограничения, которые пришлось наложить в процессе равносильных преобразований данного уравнения или неравенства.
358 Раздел 4. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Учтем ограничения (2) и (5):
8 - а
= =3-
6
По условию (5)
8 - Q 6
> О, тогда
8-а
8-а
Таким образом,
условия (2) и (5) задают систему то есть
8-а
>0,
о <8,
тогда -10 < а < 8.
Ответ:
1) при -10 < а < 8 х =
8-а
+ 1;
2)приа < -Юилио > 8корнейнет.
условие (7) ОДЗ данного уравнения учтено автоматически и его можно не записывать в решение.
Также для всех корней уравнения (4) его левая часть неотрицательна, таким образом, и правая часть должна быть неотрицательной. Поэтому далее можно решать уравнение (4) не на всей ОДЗ, а только на той ее части, которая задается условием (5). Тогда обе части уравнения (4) неотрицательны и после возведения обеих его частей в квадрат получим равносильное уравнение (6).
Для всех корней уравнения (6) его правая часть неотрицательна, таким образом, и левая часть будет неотрицательной: д; - 1 > 0, но тогда и условие (8) ОДЗ данного уравнения учтено автоматически, и поэтому ОДЗ можно не записывать в решение.
Задача 3 Решите уравнение 'Jo. + у/а'^ = х.
Решение
Тогда данное уравнение равносильно уравнениям:
а + у/а
4а
-\-х=х‘.
+ X X -а.
(2)
(3)
Для всех корней уравнения (3) х^- а>0. (4)
Тогда уравнение (3) равносильно уравнениям:
а + X = {х'^ - of, (5)
а + X = X* - 2ах^ + а^. (6)
Рассмотрим уравнение (6) как квадратное относительно а:
—
(2x2 + 1) а + - д; = 0.
Комментарий Как и в задаче 2, ОДЗ данного la + yja + x >0,
\а + х>0
уравнения
будет
учтена автоматически при переходе к уравнениям (2) и (5) (для всех корней этих уравнений), таким образом, ее можно не записывать в решении.
Рассуждения при выполнении равносильных преобразований данного уравнения (в уравнения (2, 3, 5, 6) аналогичны соображениям, приведенным в комментарии к задаче 2.
Анализируя уравнение (6) (которое достаточно трудно решить относительно переменной х), пользуемся
§ 30. Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами 359
D = (2х^ + ly - Цх* - х) =
= 4х^ + 4х + 1 = (2х + 1)2.
Тогда а = (2£!±1)1М.
Таким образом,
а = х^ + X + 1 или а= х^ - X. Отсюда
д;2 - а + л: + 1 = о (7)
или
(8)
Учитывая условия (1) и (4), получим, что (х^ - а) + X + 1 > 1, таким образом, уравнение (7) не имеет корней._________________
Если для корней уравнения (8) выполняется условие (1) {х > 0), то автоматически выполняется и условие (4) (х^ - а > 0)
Из уравнения (8) получим х^ - X -а = 0.
Это уравнение имеет корни, если D = 1 + 4а >0, то есть при а>-К
Тогда x^ =
l + ^/l +
4а
4а
Для Xi условие х > 0 выполняется, таким образом, Xj — корень дан-
.. 1
ного уравнения при а>—.
4
Учтем условие х > 0 для Х2'. Vl-i-4a ^2 - , ;
+
4а
2) при а > о =
3) при корней нет. <]
ориентиром, который условно можно назвать «Ищи квадратный трехчлен», а именно: пробуем рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно какой-либо переменной (или относительно какой-либо функции). Рассмотрим уравнение (6) как квадратное относительно параметра а. Этот способ эффективно срабатывает только тогда, когда дискриминант полученного квадратного трехчлена является полным квадратом, как в данном случае.
Перед записью ответа удобно изобразить все полученные решения на схеме (как это описано на с. 100).
X, =
X, =
1-t-Vl + 4a
1 - -\/l -н 4а
Из ЭТОЙ схемы видно, что при а > 0 в ответ нужно записать только одну
формулу (д:,), при --<а<0 — две 4
формулы (х. и хЛ, а при а < -- кор-
4
ней нет.
360 Раздел 4. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Задача 4 Решите неравенство х + Аа>b-Iax.
Решение
► Данное неравенство равносильно ах>0,
системе х + 4а>0, (1)
________(х + 4о)^ > 25ах.
При а = о получаем систему
0х>0,
> о, решение которой: х > 0.
х^ >0,
При а > о получаем систему
х>0,
х>-4а, (2)
х^-17ах + 16а^ >0.
Решим отдельно неравенство х^ - 17ах + 16а^ > 0. Поскольку х^ - 17ах + 16а^ = 0 при X = а и X = 16а, то при а > 0 получаем х < а или х > 16а.
Тогда система (2) имеет решения:
о < X < а или X > 16а.
При а < о
получаем систему
х<0,
х>-4а, (3)
х^ - \1ах + \&а^ >0.
Система (3) решений не имеет, поскольку при а < о первое и второе неравенства не имеют общих решений.
Ответ: при а = 0 х > 0;
при а > о X е [0; а) U (16а; +°о);
при а < о решений нет. <1
Комментарий
Используем равносильные преобразования. Для этого учтем ОДЗ данного неравенства (ах > 0) и то, что правая часть неотрицательна, таким образом, для всех решений данного неравенства его левая часть должна быть положительной (х + 4а > 0). При этом условии (на ОДЗ) обе части данного неравенства неотрицательны, таким образом, при возведении обеих частей неравенства в квадрат получим равносильное неравенство.
Получаем систему (1).
Для решения неравенства ах > 0 необходимо рассмотреть три случая: а = о (делить на а нельзя); а > 0 (знак неравенства сохраняется при делении обеих его частей на а); а < 0 (знак неравенства изменяется).
При а > о значение -4а < 0, поэтому два первых неравенства системы (2) имеют общее решение X > о, а для решения неравенства х^ - 17ах + 16а^ > 0 можно применить графическую иллюстрацию:
При а < о значение -4а > 0, поэтому два первых неравенства системы (3) не имеют общих решений, таким образом, и вся система (3) не имеет решений.
§ 30. Решение иррациональных уравнений и неравенав с параметрами 361
Задача 5 Решите неравенство -Jx-a >х + 1.
Комментарий
Сначала воспользуемся равносильными преобразованиями (с. 352):
\g(x)>0, ___ \f(x)>0.
>g(x)
<=>
или 1 ^ .
Если в полученные системы параметр а входит линейно, то в таких случаях иногда бывает удобно выразить параметр через переменную, рассмотреть параметр как функцию от этой переменной и применить графическую иллюстрацию решения неравенств (в системе координат хОа). Отметим, что для изображения решений совокупности неравенств удобно применить две системы координат, в которых оси Ох находятся на одной прямой (и на каждой выделять штриховкой соответствующие решения).
При разных значениях а прямая а = const или не пересекает заштрихованные области (при или пересекает их по отрезкам. Абсциссы то-
чек пересечения являются решениями систем (1) и (2), а поэтому и решениями данного неравенства.
Решение
► Данное неравенство равносильно совокупности систем:
\х-^-1>0, {х-а>0.
х-а>{х-¥\)^
+ко.
Х>-1,
а<-х^-х-\
(1)
или
(2)
а<х, х<-1.
Изобразим графические решения систем неравенств (1) и (2) в системе координат хОа (на рисунках заштрихованы соответствующие области Ф и ®).
1 II ч а*
-1 1 2 0 ^
* / / / / / •' -1' Ч ч % \ а<-1
t » » » Ф ч %
362 Раздел 4, СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Видим, что:
1) при а>-~
решений нет (нет заштрихованных точек);
2) если -Ка<-- » то прямая а = const пересекает только заштрихован-4
ную область Ф. Причем полученный интервал ограничен слева и справа ветвями параболы а = —х^ - х — 1. Но в ответ нам необходимо записать х через о. Для этого из уравнения х‘^-\-х + а-\-\=0 находим х:
х = --±.
2 V4
тл 1 . Г"з 1 1 . Г"з
Как видим, x = -- + J---a>-~, то есть x = -- + J---a — уравнение
1 п—
правой ветви параболы, а x = ---J---a — левой. Тогда ответ в этом случае будет:
1 Гз 1 , Гз
----,/--а <х< — + J--а;
2 V 4 2 V 4
3) если а < -1 , то прямая а = const пересекает заштрихованные области
Фи ®. Для области Ф интервал для х ограничен: слева — прямой д: = -1,
а справа— правой ветвью параболы, то есть -Кх<-- + , ---а. Для обла-
2 V 4
сти ® интервал для х ограничен слева прямой jc = а, а справа — прямой X = -1, то есть а < х<-1. Объединение этих интервалов можно записать короче:
_1 / 3_
2"^ V 4
а<х<-
Ответ: 1) при а> — — решений нет; 4
2)при-Ка<-| -^-yj-^-a 0 (тогда X = - 1). Получаем уравнение
- ft + 2 = 0. (1)
Заданное уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда уравнение (1) будет иметь хотя бы один неотрицательный корень (^ > 0).
Случай t = о исследуем отдельно.
При i = о из уравнения (1) имеем ft = 2. Таким образом, при ft = 2 уравнение (1) имеет корень t = 0. Тогда и данное уравнение имеет корень X = -1, то есть ft = 2 удовлетворяет условию задачи.
Обозначим f(t) = + 2kt ~ k + 2.
Уравнение (1) может иметь хотя бы один положительный корень в одном из двух случаев:
1) один корень положительный и один корень отрицательный — для этого необходимо и достаточно выполнения условия f (0) < 0;
2) оба корня положительные — для этого необходимо и достаточно выполнения системы условий:
/(0)>0,
£»>0, (2) io>0.
Условие / (0) < о дает -ft + 2 < 0, то есть ft > 2.
Система (2) дает
-ft + 2 > о,
4ft*-4(-ft + 2)>0,
-ft>0.
Комментарий
Если иррациональное уравнение содержит только один корень, то иногда можно привести такое уравнение к рациональному, обозначив этот корень новой переменной. Поскольку замена является равносильным преобразованием (вместе с обратной заменой), то получаем уравнение, равносильное данному, и поэтому вместо исследования данного уравнения можно исследовать полученное.
При этом следует учитывать, что после замены переменной иногда изменяется условие задачи, в частности, для уравнения (1) оно будет таким: найти все значения параметра ft, для которых это уравнение имеет хотя бы один неотрицательный корень (тогда после обратной замены мы обязательно найдем корни данного уравнения). Это возможно в одном из трех случаев: или один из корней уравнения (1) равен нулю (этот случай легко исследуется подстановкой ^ = о в уравнение (1)), или уравнение (1) имеет один положительный и один отрицательный корни, или имеет два положительных корня. Изобразив соответствующие эскизы графиков функции f {t) = + 2kt -
- ft -I- 2 (cm. рисунок), записываем необходимые и достаточные условия такого расположения корней квадратного трехчлена (или используем табл. 13 на с. 104).
364 Раздел 4. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Тогда
k<2,
k^+k-2>0,
k<0.
k<2,
k<-2 илиА>1, k<0.
Таким образом, k < -2. Ответ: k < -2 или k > 2. <]
Для решения квадратного неравенства + k - 2 > О можно применить графическую иллюстрацию.
В конце необходимо объединить все полученные результаты. Конечно, для получения ответа можно было решить данное уравнение (аналогично задаче 2), а затем дать ответ на вопрос задачи, но такой путь потребует более громоздких вычислений.
Упражнения
1. Решите уравнение:
1) •Jx-a = 2; 2) slx + 2a =а; 3) yJx + 6-m = yJx-3; 4) yja-yla + x =х.
2 (МИФИ). Решите неравенство:
1) 2) х + 2а>^/3ах + 4а^; 3) ^4х + а>х;
2-х
4) •Jx-a >2х + 1; 5) yja^-x^ >2-х.
3 (МАТИ). Найдите все значения параметра а, при которых уравнение Sjx + 2 = 2x + a имеет корни.
4. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение (■Ух-а)|х-—1 = 0 имеет только один действительный корень.
5. Найдите все значения параметра о, при которых уравнение •j2-ax + 2 = х имеет только один действительный корень.
{у = а + Ух,
^ 10^ зависи-
мости от значения параметра а.
Дополнительные упражнения к разделу 4 365
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 4
1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
>/2 „ч >/з . 04 _2_. .4 3
л?'
1)
■Jz + ■Jb
2)
л/б-л/г’
4)
2. Вычислите:
1) ^{yfE-2,5f -1;
Упростите выражение (3—5).
3. 1) Г£^_^_ + _2
W2o V2o+2 a-'j2a) “ + 2
>/r + 1 . 1
2)
2)
3) (СПбГУНиПТ)
ty[x+yfx+x x‘--Jx
: 4)
уЯ+'Л'
л/тб-бл/г
ayfa+ьЛ i—r\ (yfa+yfb^
a-6 J =
V; 1 yrv;-i
2 Z'Jc j V'/c + 1 Vc-lJ
4. 1) Л-
>/ft +
1 у
4/u3
+Vft
д: -1 . X®'® + 1
+ -
•Jk-1
2
; 2)
(Л+Л?-{zy/bf Л-Л Л+Л.
1,5 , ' -0,5 ’
д: -1 X
2)
a -b
1 1
аЧ^~
326
Va + Л
ab
\
1 1
a + a^b^ У
^ (ab)^ -b^ a-b
5. 1)
x + x^ +1
Решите уравнение (6-10):
6. 1) у1(х + 1)(,2х + 3) = х + 3;
7. 1) (Vl + x+ l)(Vl + a:+ 2д;-5) = д:; 2) Лх^ +3x + yj2x^ -Зх-5 =6x + 5.
8(МИИТ). 1) Лх + 7-yj3x + l = y/x + 3; 2) Лх + 3 + Лх-1 = у1Ьх + 2;
1) ЛЛл-у/2хТз=х + 3.
3) (МАИ) у]х + 11-бЛ + 2 +y]x + lS-8yfxV2 =1.
9. 1) ^2х-8 + ^х-8 = 2; 2) ^8x + 4 + ^8x-4 = 2;
3) (МГУИЭ) yJx + 3 + ^5-x=2-, 4)ЛЛс=1-ЛЛ1.
10. 1) (МГУ, геогр. ф-т) Л-х^ =k|-l; 3) Vx-6 + VlOx + 5 = 2.
Решите систему уравнений (11—12).
11. 1)(ВГУ)
yjx + y=h 7д:-у + 2 = 2j/-2;
2)
[V^ + 3y + l=2, [yj2x-y + 2=7y-6.
Збб Раздел 4. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
12. 1) )>/2^: + i/-l-V^ + i/=l,
\зх + 2у = 4;
Решите неравенство (13-21).
13 (ВолГУ). 1) у13хйл3>1-2х;
3) у]3х-х^ <4-д:;
2)
^х + 2у + ^х-у + 2=3, 2х + у = 1.
2) у]х'^ + х > 1 - 2д:;
4) Jx^-х-2<2х + 6.
14. 1)(МАТИ) у1х^ + Зх + 2-у1х^-х + 1<1; 2) у13х^+ 5х + 7-у13х^+ 5х + 2>1;
3) (МГТУ)
х-7
.<0;
19д: + 12
4)
Vl7^
15л-2л: “
л + 3
>0.
15. 1) у]х-2^/х-1 +yjx + 2^jx^<2; 2) yJx + 4:^x-4-ylx-4-/7^>3;
3) \lx + 3>yJx-l + yjx-2; 4) \Jx + 6 >yj2x-4 + ylx + l.
16. 1)(МИИТ) (х-1)^х^-х-2>0; 2) (x-3)^x^ + x-2>0.
17. 1) {x + l)ylx^ + l>x‘-h 2) (x-3)ylx^ + Kx^-9-,
gj \1б + Х-Х^ + ,
2л+ 5
x + 4
-Jl2 + x-x^ yyjl2 + x-x^
Л-11
2л-9
18. 1) (МГУ, ИСАА)
51-2л-л‘=
1-л
<1;
2)
3) ylx + 5^/-л: + 7-^/I^.
19 (ВолГУ). 1) Vx + 6 >л/х + 1 +>/2л:-5; 2) n/j: + 3 >7л:-1 +>/2л:-1;
3) Vx^-8x + 15 + Vx42x-15>V4x^-18x + 18.
1) + ^ ^
Vl-л гуи-л-!
20
2)
Vl-л 1-л/Гк
<0.
21. 1)
<-
у[х-2 у/х +2 у[х
(а > 0);
2)
■Тл + 1 у/х - 1 у[х
22 (СПбГУТ). Решите неравенство Vl-д:^ >-{х-а) при а = 0 и убедитесь, что
3
множеством его корней является отрезок. При каких значениях а мно-
жеством решений данного неравенства является отрезок длиной -?
5
23. При каких значениях параметра а множество решений неравенства a + yjx^ + ах >х не пересекается с промежутком [-1; 0]?
24. При каких значениях параметра а во множестве решений неравенства
X + yjx^ -2ах > 1 содержится промежуток
Сведения из истории 367
СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ
Понятие степени возникло в древности. Сохранились глиняные плитки древних вавилонян (около 1700 г. до н. э.), которые содержат записи таблиц квадратов и кубов и их обратных значений. К умножению равных множителей приводит решение многих задач. Выражение квадрат числа возникло вследствие вычисления площади квадрата, а куб числа — вследствие нахождения объема куба. Но современные обозначения (типа а'*, а®) введены в XVII в. Р. Декартом (1596—1650).
Дробные показатели степени и простейшие правила действий над степенями с дробными показателями встречаются в XIV в. у французского математика Н. Орема (ок. 1323—1382). Известно, что Н. Шюке (ок. 1445—ок. 1500) рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями. ^
С. С т е в и н предложил понимать под а" корень Va. Но систематически дробные и отрицательные показатели первым стал применять И. Ньютон (1643—1727).
Немецкий математик М. Штифель (1487—1567) ввел обозначение а® =1, если а / о, и название показатель (это перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возвести в степень. (Отсюда происходит и слово потенцировать, которое будет применяться в следующем разделе для обозначения переходов от так называемых логарифмов (log) выражений f (х) и ^(д;) к соответствующим степеням, то есть от равенства log„/(x) = log^g(x)
к равенству = . В свою очередь, термин exponenten возник
вследствие не совсем точного перевода с греческого слова, которым Диофант Александрийский (около III в.) обозначал квадрат неизвестной величины.
Термины радикал и корень, введенные в XII в., происходят от латинского radix, которое имеет два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «взять корень» говорили «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)». Знак корня в виде символа V появился впервые в 1525 г. Современный символ введен Декартом, который добавил горизонтальную черту. Ньютон уже обозначил показатели корней: V”.
Термин логарифм, который рассматривается в следующем разделе, происходит от сочетания греческих слов «логос» (в значении «отношение») и «аритмос» (число) и переводится как отношение чисел. Выбор изобретателем логарифмов Дж. Непером такого названия (1594г.) поясняется тем, что логарифмы возникли вследствие сопоставления двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а второе — геометрической. Логарифмы по основанию е ввел Спей дел (1619 г.), который составил первые таблицы для функции In х. Название натуральный (естественный) для этого логарифма предложил Н. Меркатор (1620—
1687), который выяснил, что In л: — это площадь под гиперболой у = -.
X
Раздел
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§ 31. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
___________________________Таблица 52
1. Понятие показательной функции и ее график
Определение. Показательной функцией называется функция вида у = а*, где а > О и а 1.
График показательной функции (экспонента)
а > 1
О < а < 1
2. Свойства показательной функции
1. Область определения: R.
D (о^) = R
2. Область значений: у > 0.
3. Функция ни четная, ни нечетная.
4. Точки пересечения с осями координат-.
Е (а^) = (0; +00)
с осью Оу
\х = 0,
и = 1
5. Промежутки возрастания и
с осью Ох |нет| убывания:
а > \ 0 < а < 1
функция у = а” при а > 1 возрастает на всей области определения функция у = а” при 0 < а < 1 убывает на всей области определения
6. Промежутки знакопостоянства: у > 0 при всех значениях х е. R
§ 31. Показательная функция, ее свойава и график 369
Продолж. табл. 52
7. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет ,
8. Для любых действительных значений ы и и (а > О, 6 > 0) выполняются равенства:
а“'а'’= а“*'’ — = а“
{а“У = а“
{аЬу = а“Ь“
о _ а ь) ~ Ь“
Объяснение и обоснование
1. Понятие показательной функции и ее график. Показательной функцией называется функция вида у = а*, где а > 0 и а Ф
Например, у = 2"", У = ’ У =— показательные функции.
Отметим, что функция вида у = а"‘ существует и при а = 1.
Тогда у = а"‘ = 1*, то есть у = 1 при всех значениях х е R. Но в этом случае функция I/ = 1* не называется показательной. (График функции г/ = 1* — прямая, изображенная на рис. 132.)
Поскольку при о > о выражение определено при всех действительных значениях х (как отмечалось в § 27, в курсе математического анализа доказывается, что для любого фиксированного числа а > 0 и любого действительного числа а существует и притом единственное число у, равное а“), то областью определения показательной функции у = а^ являются все действительные числа.
Попытаемся сначала построить графики некоторых показательных функций, например у = 2"‘ и
Рис. 132
У> 1 г/ = 1*
0 X
= «по точкам», а затем перейдем к характеристике общих свойств показательной функции.
Составим таблицу некоторых значений функции у = 2^
X -3 -2 -1 1 2 0 1 2 1 2 3
у = Г 1 8 4 1. 2 1 >/2=1,4 2 4 8
Построим на координатной плоскости соответствующие точки (рис. 133, а) и соединим эти точки плавной линией, которую естественно считать графиком функции у = 2^ (рис. 133, б).
370 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
<
О
4
о
•
> '
-5 1 . 0 L : ! ; X
Рис. 133
Как видим из графика, функция у = 2"‘ является возрастающей функцией, которая принимает все значения на промежутке (0; +°о).
Аналогично составим таблицу некоторых значений функции У =
X -3 -2 -1 _1_ 2 0 1 2 1 2 3
-(if 8 4 2 n/2=1,4 1 — = 0 7 Г2 ’ 1 2 1_ 4 1 8
У- к
8
1 О
•
Т ' • < •
\ ! - L 0 L ! : X
Рис. 134
Построим на координатной плоскости соответствующие точки (рис. 134, а) и соединим эти точки плавной линией, которую естественно считать графи-
§ 31. Показательная функция, ее свойства и график 371
ком функции у = 12! (рис. 134, б). Как видим из графика, функция у
является убывающей функцией, которая принимает все значения на промежутке (0; -t-oo).
Заметим, что график функции у = можно получить из графика функции у = f(x) = с помощью геометрических преобразований. Действительно, У = (^) = ^ f (-л:). Таким образом, график функции у = сим-
метричен графику функции у = 2^ относительно оси Оу (табл. 5, с. 35),
и поэтому, если функция у = 2 является возрастающей, функция У = обязательно будет убывающей.
Оказывается, что всегда при а > 1 график функции у = похож на график функции у = 2"^, а при 0 < а < 1 — на график функции У = (рис. 135).
График показательной функции называется экспонентой.
Рис. 135
2. Свойства показательной функции. Как было указано выше, областью определения показательной функции у = а"‘ (а > 0, а Ф \) являются все действительные числа: D (а"") = R.
В курсе математического анализа доказывается, что областью значений функции у = является множество всех положительных чисел, иначе говоря функция у = а^ принимает только положительные значения, причем любое положительное число является значением функции, то есть
Е (оО = (0; +00).
Это означает, что график показательной функции у = а^ всегда расположен выше оси Ох и любая прямая, которая параллельна оси Ох и находится выше нее, пересекает этот график.
■ При а > 1 функция у = а^ возрастает на всей области определения, а при о < а < 1 функция у = а^ убывает на всей области определения.
372 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ______________
Обоснование области значений и промежутков возрастания и убывания показательной функции проводится так: эти свойства проверяются последовательно для натуральных, целых, рациональных показателей, а затем уже переносятся на любые действительные показатели. Следует учесть, что при введении понятия степени с иррациональным показателем мы уже пользовались возрастанием функции, когда проводили такие рассуждения: поскольку 1,7 <-Уз <1,8, то 2'’^ < 2'^ < 2*'®. Таким образом, в нашей системе изложения материала мы можем обосновать эти свойства только для рациональных показателей, но, учитывая громоздкость таких обоснований, примем их без доказательства. Все остальные свойства показательной функции легко обосновываются с помощью этих свойств.
Функция у = а‘ не является ни четной, ни нечетной, поскольку
f{-x) = a'^ = ^^fix) = a’‘ (по определению а Ф 1). Также f{-x)Ф-f{x), по-а
скольку f{-x) = о"^ > о (по свойству 1), а -f (х) = ~а^ < 0.
Точки пересечения с осями координат. График функции у = а” пересекает ось Оу в точке у = 1. Действительно, на оси Оу значение х = 0, тогда I/ = а® = 1.
График показательной функции у = а’‘ {а > 0, а Ф 1) не пересекает ось Ох, поскольку на оси Ох у = 0, но значение у = 0 не принадлежит области значений показательной функции у = (у = = 0 только при а = 0, хотя
по определению а > 0).
Промежутки знакопостоянства. у > 0 при всех действительных значениях X, поскольку у = > о при а > 0.
Отметим еще одно свойство показательной функции. Поскольку график функции у = а^‘ пересекает ось Оу в точке у = 1, то, учитывая возрастание функции при с > 1 и убывание при 0 < а < 1, получаем следующие соотношения между значениями функции и соответствующими значениями аргумента:
Значение функции Значение аргумента
(/>1 при а > 1 при 0 < а < 1
X е (0; -1-00) X е (-00; 0)
0 < г/ < 1 X е (-00; 0) X е (0; -)-оо)
Функция у = не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений, поскольку ее область значений — промежуток (0; -)-оо), который не содержит ни наименьшего, ни наибольшего числа.
Свойства показательной функции, приведенные в пункте 8 таблицы 52:
и I у п“
а“-а"= S- = a‘‘''’; (а")" = а""; (аЬ)“ = а“Ь“; =^,
для рациональных показателей были обоснованы в разделе 3, а для произвольных действительных показателей примем их без доказательства.
§ 31. Показательная функция, ее свойава и график 373
Отметим еще одно свойство показательной функции, которое выделяет ее из ряда других функций; если f {х) - (а > О, а Ф 1), то при любых действительных значениях аргументов х, и выполняется равенство
fiXi)-fix2) = /■(»:, + х^).
Действительно, / (x^) • f (^2) = а^‘ • а^‘ = а*'*** = f (х^ + х^.
В курсах высшей математики это свойство (вместе со строгой монотонностью) является основой аксиоматического определения показательной функции. В этом случае дается определение, что показательная функция у = fix) — это строго монотонная функция, определенная на всей числовой оси, которая удовлетворяет функциональному уравнению f (^1) ‘ f (^2) = + Х2), а затем обосновывается, что функция f (д:) совпадает
с функцией у = а^ {а> О, а 1).
Кроме общих свойств показательной функции при о > 1 и при О <а < 1, отметим некоторые особенности поведения графиков показательных функций при конкретных значениях а. Так, на рисунке 136 приведены графики
показательных функций у = а"‘ при значениях основания а = 2, 3,
Z о
Сравнивая эти графики, можно сделать вывод: чем больше основание а> 1, тем круче поднимается график функции у = а^ при движении точки вправо и тем быстрее график приближается к оси Ох при движении точки влево. Аналогично, чем меньше основание О < а < 1, тем круче поднимается график функции у = а"‘ при движении точки влево и тем быстрее график приближается к оси Ох при движении точки вправо.
Заканчивая разговор о показательной функции, укажем причины, которые мешают рассматривать показательные функции с отрицательным или нулевым основанием.
Отметим, что выражение можно рассматривать и при а = О, и при а < 0. Но в этих случаях оно уже будет определено не при всех действительных значениях х, как показательная функция у = а^. В частности, выражение определено при всех д; > 0 (и тогда 0"" = 0), а выражение (-2)'" — при
-i|. По этой причине не 8
всех целых значениях х (например, (-2)'* =
(-2)^
берут основание показательной функции а = 0 (получаем постоянную функцию при дг > 0) и а < о (получаем функцию, определенную только при достаточно «редких» значениях дс: д: 6 Z). Приведенные рассуждения относительно целесообразности выбора основания показательной функции не влияют на область допустимых значений выражения (например, как мы видели выше, пара значений а = -2, д: = -3 принадлежит его ОДЗ, и это приходится учитывать при решении некоторых задач).
374 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
[Задача 1
Примеры решения задач Сравните значения выражений:
ЧГ"(1П
Комментарий
Решение
1) ► Функция у = III является убывающей поэтому из неравен-
ства -3 > -5 получаем
2) ► Функция
возрастающей
-(#]■
<(1
является
т>‘
поэтому из
неравенства 4 > 3 получаем
(#)■
Учтем, что функция у = при а > 1 является возрастающей, а при О < а < 1 — убывающей. Поэтому сначала сравним данное основание а с единицей, а затем, сравнивая аргументы, сделаем вывод о соотношении между данными значениями функции.
Задача 2
Сравните с единицей положительное основание а, если известно, что выполняется неравенство:
1) а'^>а'^;
Решение
2) а ® <а
1) ►Поскольку y/E а'^, то функция является убывающей, следовательно,
0<а< 1.<1
2) ►Поскольку -i<-i и по уело-
3 5
ВИЮ а з<а то функция является возрастающей, следовательно, а > 1.0
Комментарий
В каждом задании данные выражения — это два значения функции а”.
Проанализируем, какое значение функции соответствует большему значению аргумента (для этого сначала сравним аргументы).
Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция является возрастающей иа> 1. Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция является убывающей, и тогда О < а < 1.
§ 31. Показательная функция, ее свойава и график 375
Задача 3 Постройте график функции:
1) I/ = 1,7"; 2) г/ = 0,3".
Комментарий
При а > о значение > 0, следовательно, график функции I/ = всегда расположен выше оси Ох. Этот график пересекает ось Oj/ в точке I/ = 1 (а® = 1).
При а > 1 показательная функция (г/ = 1,7") возрастает, следовательно, ее графиком будет кривая (экспонента), точки которой при увеличении аргумента поднимаются.
При о < а < 1 показательная функция (i/ = 0,3") убывает, следовательно, графиком функции у = будет кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются. (Напомним, что, опускаясь вниз, график приближается к оси Ох, но никогда ее не пересекает.)
Чтобы уточнить поведение графиков данных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.
Решение
1) = 1,
д; -1 0 1 2
У 12 17 1 1,7 2,89
Задача 4*
Изобразите схематически график функции у =
Решение
► Последовательно строим графики:
1- y =
1x1
t'
Комментарий
Составим план построения графика данной функции с помощью последовательных геометрических преобразований (табл. 5 на с. 35).
1. Мы можем построить график
функции у
(основа-
1
а = - < 1 — показательная 3
ние
функция убывает).
376 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
2. у =
4. у =
у! к 1
У> 0 X 1
0 X
-3 У> 3
0 X
2. Затем можно построить график
/1 у * I
функции i/ = g(x) = |-j =/(1х|):
справа от оси Оу (и на самой оси) график функции у = f (х) остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси Оу.
3. После этого можно график функции
построить
*1
J/ = (pW = [-j -3 = ^(x)-3:
параллельно перенести график g(x) вдоль оси Оу на (-3) единицы.
4. Затем можно построить график данной функции
У =
= |ф(х)|:
выше оси Ох (и на самой оси) график функции г/ = ф (х) должен остаться без изменений (но таких точек у графика функции I/ = Ф (х) нет, а ниже оси Ох — график функции у= ф (х) необходимо отобразить симметрично относительно оси Ох).
Вопросы для контроля
1. Дайте определение показательной функции.
2. Постройте графики показательной функции у - при а > 1 и при О < а < 1 (выберите конкретные значения а). Через какую точку проходят графики всех показательных функций?
3. Пользуясь графиком показательной функции у = а"‘ (при а > 1 и при О < а < 1 ), охарактеризуйте ее свойства.
4*. Обоснуйте свойства функции у = (а > О, а ^ 1).
5. Используя возрастание или убывание соответствующей показательной функции, сравните значения: а) 7^ и 7®; б) 0,7^ и 0,7®.
§ 31. Показательная функция, ее свойства и график 377
Упражнения
1. Укажите, какие из данных функций возрастают, а какие убывают: Г)г/ = 4^ 2”) у = (|) ; 3”) 1/ = >/з"; 4”) I/= л- 5) у = {^-2Г;
8*) у = 2-*:
9‘) у = -5^
2°. Постройте график функции:
1)у = 3^ 2) у = (i) ; 3)у = ОХ; 4) у = 2,5"; 5) у = 0,7".
3. Зная, что а > Ь > 1, изобразите схематически в одной системе координат графики функций у = а* и у = 6".
4. Найдите область значений функции:
1) у = 3" + 1; 2) у = -5";
5. Постройте график функции:
3)у = 7"-2; 4) y = -[-J .
Г)1, = -3'; 2)i, = (i)' + 3; 3') = 4‘) j = s'*'; 5') j,=
i'
6. Сравните значения выражений:
1°) З*'® и 3‘■^ 2°) и
4) (ТгГ и 5) 0,5'^ и 0,5^^;
10) 0,2 ■*“ и 5“.
7. Сравните показатели тип, если известно, что верно неравенство:
3°) 0,78 "“’’ и 0,78 6) 2'^ и 2'^;
0) (Г" (5)‘
1) 3,2” < 3,2'-; 2) (i) >(i) ;
Ш"* / »• V'*
>Ы’
4) 0,99” < 0,99'';
5) (72Г >(72)";
6)|fj ; 7)(75-i)'"<(T^-1)";
8) (72-l)^ (72-1)".
8. Сравните с единицей положительное основание а, если известно, что верно неравенство:
1) а‘“о > а«9; 4) а'^ >а*;
2)
5) а <а^
3) а'^<а'^;
6) а
-0,25
>а
-J3
9. Сравните с единицей значение выражения:
1
1) 0,01^•^
2) 0,99'“;
4)
31
378 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
5) 0,007®;
6) 100'®®‘;
7) 3
-1г.
8)
(Г-
10. Какой вывод можно сделать о знаке числа х, если:
1)3" = 0,6; 2) =10; 3) 10" = 4; 4) 0,3" = 0,1?
11. Расположите числа в порядке их возрастания:
1) 2\ 2'^, 2-'^, 2^ \ 1;
2) 0,3®, 1, 0,3"^, 0,3^ 0,3 ®, 0,3^
12*. Известно, что когда при радиоактивном распаде количество вещества за сутки уменьшается вдвое, то через х суток от массы остается масса М,
которая вычисляется по формуле М = Мд|^| . Отсюда
(где д: > о, д: е Д ) Покажите графически, как с изменением х изменя-м
ется отношение '
Используя в случае необходимости построенный график, дайте ответы (точные или приближенные) на вопросы:
а) Во сколько раз уменьшится масса радиоактивного вещества через 1,5 суток; 2,5 суток; 3 суток; 4 суток?
б) Сколько времени должно пройти, чтобы начальная масса радиоактивного вещества уменьшилась в 2,5 раза; в 3 раза; в 4 раза?
§ 32. РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
32.1. ПРОСТЕЙШИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Таблица 53
§ 32. Решение показательных уравнений и неравенав 379
Продолж. табл. 53
2. Схема равносильных преобразований проаейших показательных уравнений
Ориентир Пример
При а > 0 и а 1 = 9. ^д2х + 4 ^ д2^ 2д: + 4 = 2, 6*"^® = -36. ► Корней нет (поскольку 6' > 0 для всех i)
а'(*> = <=> f {х) = g (х) л: = -1.
Ответ: -1. о и а 1. Поскольку при этих значениях а функция у = а^ строго монотонна (возрастает при а > 1 и убывает при О < а < 1), то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Это означает, что уравнение = Ь при Ь > О имеет единственный корень. Чтобы его найти, достаточно представить Ь в виде Ь = а'^.
Очевидно, что х = с является корнем уравнения а‘ - а"".
Графически это проиллюстрировано на рисунке 137.
Рис. 137
Например, чтобы решить уравнение Т = 49, достаточно представить это уравнение в виде 7' = 7^ и записать его единственный корень х = 2.
Если Ь < О, то уравнение а’‘ = Ь (при а > О) корней не имеет, поскольку а* всегда больше нуля. (На графиках, приведенных на рисунке 138, прямая у = Ь не пересекает график функции у = а"‘ при 6 < 0.)
Рис. 138
Например, уравнение 7"‘ = -7 не имеет корней.
Обобщая приведенные выше рассуждения относительно решения простейших показательных уравнений, отметим, что при а > О и а ^ 1 уравнение вида
аПх) - д«(») (2)
§ 32. Решение показательных уравнений и неравенств 381
равносильно уравнению
f(x) = g (л:).
Коротко это утверждение можно записать так: при о > О и а ^ 1
(3)
д/(ДГ) _ д*(*) ^ Дд.) _ g (д.)
• Чтобы обосновать равносильность этих уравнений, достаточно заметить, что равенства (2) и (3) могут быть верными только одновременно, поскольку функция у = а' является строго монотонной и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента t (то есть из равенства степеней (2) обязательно вытекает равенство показателей (3)). Таким образом, все корни уравнения (2) (которые обращают это уравнение в верное равенство) будут корнями и уравнения (3), и наоборот, все корни уравнения (3) будут корнями уравнения (2). А это и означает, что уравнения (2) и (3) равносильны. О
В простейших случаях при решении показательных уравнений пытаются с помощью основных формул действий над степенями (см. таблицу 48) привести (если это возможно) данное уравнение к виду
Для решения более сложных показательных уравнений чаще всего используют замену переменных (применение этого метода рассмотрено в табл. 54, с. 384) или свойства соответствующих функций (применение этих методов рассмотрено в табл. 61, с. 443).
Заметим, что все равносильные преобразования уравнения всегда выполняются на его области допустимых значений (то есть на общей области определения для всех функций, входящих в запись этого уравнения). Но в показательных уравнениях чаще всего областью допустимых значений (ОДЗ) является множество всех действительных чисел. В этих случаях, как правило, ОДЗ явно не находят и не записывают в решении уравнения (см. ниже задачи 1-3). Но если в ходе решения показательных уравнений равносильные преобразования выполняются не на всем множестве действительных чисел, то в этом случае приходится вспоминать об ОДЗ (задача 4* на с. 383).
Примеры решения задач Решите уравнение:
1) 4" = 64; 2) 5" = -1;
Задача 1
3) 12* “=1.
Решение
1) ►4* = 64, 4* = 4®, х = 3;<\
2) ►б* = -1 — корней нет, поскольку 5* > О всегда; <1
3) ^12*'-^=1, 12*'-» = 12“,
- 4 = 0; д: = + 2. <1
Комментарий
При а > о всегда а"' > 0, поэтому уравнение 5* = -1 не имеет корней.
Другие уравнения приведем к виду (где а > 0 и а 1)
и перейдем к равносильному уравнению
f{x) = g(x).
382 Раздел 5 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
iЗадача 2_ j Решите уравнение:
1) =5 (0,04^-^
V5
Решение
1) ►Данное уравнение равносильно
уравнениям:
1
52
= 5-(5-^ г
с-х+0,5
5_______к1
1
52
= 5*-5
-2х+4
g x+0.8-g _ gi+(_2x+4)
-X = 5 - 2х,
X = 5.
Ответ: 5. <3
2) ►Данное уравнение равносильно уравнениям:
(2-3)^ =
gx ^ g-2x^-3_
X = -2х + 3,
д: = 1.
Ответ: 1. <3
2) 2^
Комментарий
В левой и правой частях данных уравнений стоят только произведения, частные, корни или степени. В этом случае для приведения уравнения к виду попро-
буем применить основные формулы действий над степенями, чтобы записать обе части уравнения как степени с одним основанием.
В уравнении 1 следует обратить
по ^ ^ с-1
внимание на то, что 0,2 = — = - = 5 ,
10 5
а 0,04 = —= —= 5-^
100 25
КИМ образом, левую и правую части этого уравнения можно записать как степени числа 5.
Для преобразования уравнения 2 напомним, что все формулы можно применять как слева направо, так и справа налево. Например, для левой части этого уравнения воспользуемся формулой а“ • = {аЬУ, то
есть запишем 2^^ • 3^ = (2 ■ 3)"^ = 6*.
n/5=5^
та-
IЗадача 3 Решите уравнение 3^^^^ + 5.32Х-2 _ gg
Решение
► Данное уравнение равносильно уравнениям:
-ь 5) = 86,
3'"-'-86 = 86,
3^"-^ = 1,
32Х-2 ^ до,
2д: - 2 = о,
дг = 1.
Ответ: 1. "'З
Комментарий
В левой части уравнения все члены содержат выражения вида 3^^ (показатели степеней отличаются только свободными членами). В этом случае в левой части уравнения удобно вынести за скобки наименьшую степень числа 3, то есть
32х - 2_
§ 32. Решение показательных уравнений и неравенств 383
Задача 4*
Решите уравнение (l + b^)^ =(1 + Ь^Г •
Решение
► ОДЗ: X > О, любое Ь е R. Рассмотрим два случая.
1) При 6 = 0 получаем уравнение
1'^ _ корни которого — все
действительные числа из ОДЗ, то есть X > 0.
2) При Ь * о значение 1 + ^ 1,
и тогда данное уравнение равносильно уравнению
\[х = 4- \[х.
Отсюда '1х=2, тогда л: = 4. Ответ: 1) при Ь = 0 х е [0;-1-оо);
2) при 6 о = 4. <1
Комментарий
Это уравнение относительно переменной х, которое содержит параметр Ь. Анализируя основания степеней в уравнении, делаем вывод, что при любых значениях Ь основание 1 + 6* > 1. Функция у = а’‘ при а > 1 является возрастающей, а при а= 1— постоянной (см. графики функции {/ = а* в табл. 52).
Основание \ + о = \ при 6 = 0, а при всех других значениях 6 основание
1 -Ь б' > 1.
Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно, то есть; 6 = 0 и 6 # 0.
Вопросы для контроля
1. Объясните, в каких случаях показательное уравнение = 6 (где о > 0 и а 1) имеет корни. В каких случаях это уравнение не имеет корней? Приведите примеры. Проиллюстрируйте эти примеры графически.
2. Какому уравнению равносильно показательное уравнение при
а>0и а Ф Приведите примеры.
3*. Изменится ли ответ на вопрос 2, если для основания степеней будет дано только одно ограничение а > 0?
Упражнения
Решите уравнение (1—5).
1.1°) 4* = 8; 2°)3" = 9"''‘; 3°) = 0,2; 4°)7‘‘"*=1; 5°) |ij =^2;
6“) 3"'-** =9; 7) 4' =2«**-*'; 8) 2"' =2; 9°) 2" = 4; 10°) 2" = 16;
11°)3^ = -1; 12°) 2" = 32; 13°) 3" = 0; 14°) 5" = 1; 15) 3" - 3 = 0;
16) З"^ = 81; 17°) 2^" = 8; 18) = 9; 19) 7" = 7^'*; 20) 25^ = 5"'*;
21*) 2"-3"*'= 108; 22*) З'-б"'"® = 45.
и
64’
384 Раздел 5 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
3. 1) 2^'=^;
4^
2) fi ® =4-^ • 8-^ 3) (0,5Г‘- 2^^-^^ = 64-';
4) ^ = 9^;
27
4. 1°) 7"^' + 4-7^''’ = 539;
5) 2'"‘"*"’‘2=4ч/2 • 4^
2°) 2 • 3^
3"=15; 3°) 4'^'+ 4^^ = 320;
4”) 3-5'*® + 2-5*^ ‘ = 77; 5“) 3*^® - 2 • 3"'® = 79; 6) i -i =4,8;
Х+1
Л5.(|Г.(|Г=:а.
(ч2дг-3 / VX+5
=r^f) ’
3) (l + ^/aP = (l + ^/^Г^
8) 5-9^+ 9^"® = 406.
2)(1 +|a|r = (1 + \а\у-^;
32.2. РЕШЕНИЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ
Таблица 54
Схема поиска плана решения показательных уравнений
Ориентир Пример
1. Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней (используя справа налево основные формулы действий над степенями, приведенные в табл. 53). 4**‘ - 3-2* - 10 = 0. ► 4^.4* - 3-2"^ - 10 = 0. Учитывая, что 4* = 2®*, приводим все степени к одному основанию 2: 4.2®^ - 3.2^ - 10 = 0.
2. Если возможно, приводим все степени (с переменной в показателе) к одному основанию и выполняем замену переменной. Замена 2"‘ = t дает уравнение 4^2 - - 10 = 0, = 2, <2 = -f- Обратная замена дает 2* = 2, тог-да X = 1 или 2* = -- — корней нет. Ответ: 1. <]
3. Если нельзя привести к одному основанию, то пытаемся привести все степени к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение (которое решается делением обеих частей уравнения на наибольшую степень одного из видов переменных). 4" + 3 • 6" - 4 • 9^ = 0. ► Приведем все степени к основаниям 2 и 3: 2®"' + 3 • 2^ • 3* - 4 • 3®"' = 0. Имеем однородное уранение (у всех членов одинаковая суммарная степень — 2х). Для его решения разделим обе части на 3®^^ 0:
§ 32. Решение показательных уравнений и неравенств 385
Продолж. табл. 53
Замена ||| = t дает уравнение -ь 3f - 4 = 0, t, = 1, <2= -4. Обратная замена дает III = -4 — корней нет или ||| = 1, тогда л: = 0. Ответ: 0. <
4. В других случаях переносим все б"" - 9 • 2"^ - 2 • 3^ -Ь 18 = 0. ► Если попарно сгруппировать члены в левой части уравнения и в каждой паре вынести за скоб-
члены уравнения в одну сторону ки общий множитель, то получаем
и пробуем разложить получен- - 9) - 2(3^ - 9) = 0.
ное уравнение на множители или Теперь можно вынести за скобки
применяем специальные приемы общий множитель 3^ - 9:
решения, в которых использу- (З"' - 9) • (З"' - 2) = 0.
ются свойства соответствующих Тогда 3"^ - 9 = 0 или З"' - 2 = 0.
функций. Получаем два уравнения:
1) 3"^ = 9, тогда X = 2\ 2) З"' = 2, тогда д: = 1. Ответ: 2; 1. <1
Объяснение и обоснование
Для решения более сложных показательных уравнений (в сравнении с теми, которые были рассмотрены в предыдущем пункте 32) чаще всего используют замену переменных. Чтобы сориентироваться, можно ли ввести замену переменных в данном показательном уравнении, часто бывает полезно в начале решения избавиться от числовых слагаемых в показателях степе-
ней, используя формулы: 0“^" = а“ • о"; = Например, в уравнении
а
4x4.1 _ з_2^ _ 10 = о (1)
вместо 4"^** записываем произведение 4"'*4’ и получаем уравнение
4*-4 - 3-2" - 10 = О, (2)
равносильное заданному.
Затем пробуем все степени (с переменной в показателе) привести к одному основанию и выполнить замену переменной. Например, в уравнении (2) степень с основанием 4 можно записать как степень с основанием 2:
4^ = {2^У = 2=*"
и получить уравнение
4 - 3-2 - 10 = 0.
(3)
13 Алгебра и начала математического ана.тиза. Учебник 10 кл.
386 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ_______________
Напомним общий ориентир: если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной). Обращаем внимание на то, что 2^^ = (2"')^. Таким образом, в уравнение (3) переменная входит фактически в одном виде — 2^, поэтому в этом уравнении удобно ввести замену 2^ = t. Получаем квадратное уравнение
4(2 - 3( - 10 = О, (4)
для которого находим корни, а затем выполняем обратную замену (см. решение в табл. 54).
Отметим, что как использование основных формул действий над степенями, так и использование замены и обратной замены всегда приводит к уравнению, равносильному данному на его ОДЗ (в уравнении (1) — на множестве всех действительных чисел). Это обусловлено тем, что все указанные преобразования мы можем выполнить и в прямом, и в обратном направлениях. (Таким образом, мы всегда сможем доказать, что каждый корень первого уравнения является корнем второго и наоборот, аналогично тому, как был обоснован равносильный переход для простейших показательных уравнений на с. 381).
В тех случаях, когда все степени (с переменной в показателе) в показательном уравнении, которое не приводится непосредственно к простейшему, не удается привести к одному основанию, следует попытаться привести все степени к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение.
Например, рассмотрим уравнение
4^ -н 3 • 6^ - 4 • 9" = 0. (5)
Все степени в этом уравнении можно записать через основания 2 и 3, поскольку
4* = (22)^ = 2"^ 9^ = (32)* = 3^*, 6* = (2 • 3)* = 2* • 3*.
Получаем уравнение
2"* -н 3 • 2* • 3* - 4 • 3^* = 0. (6)
Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень 2х (степень одночлена 2* • 3* также равна х + х = 2х).
Напомним (см. раздел 3, с. 251):
1Если все члены уравнения, в левой и правой частях которого стоят многочлены от двух переменных (или от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень', то уравнение называется однородным.
Решается однородное уравнение делением обеих его частей на наибольшую степень одной из переменных.
Следовательно, уравнение (6) является однородным и его можно решить делением обеих частей или на 2^*, или на 3^*. Отметим, что при всех зна-
* Конечно, если уравнение имеет вид f = 0 (где f — многочлен), то речь идет только о степени членов многочлена f, поскольку нуль-многочлен степени не имеет.
§ 32. Решение показательных уравнений и неравенств 387
чениях X выражения 2^^ и 3^* не равны нулю. Таким образом, при делении на эти выражения не может произойти потери корней (как это могло быть, например, для однородных тригонометрических уравнений). В результате деления обеих частей уравнения на любое из этих выражений всегда получается уравнение, равносильное данному. Например, если разделить обе части уравнения (6) на * О, получаем
3 • 2 • 3
4 • 3^^ 2^^ 2*
—^ = 0 ИЛИ после сокращения -jj + S- —-4 = 0. 3 3 3
3 3
в последнем уравнении все члены можно представить как степени с одним основанием ||| +3-||| -4 = 0 и выполнить замену ||| =^. Далее
решение полученного уравнения полностью аналогично решению уравнения (2). Полное решение этого уравнения приведено в таблице 54.
Составляя план решения показательного уравнения, необходимо учитывать, что при решении некоторых из них целесобразно перенести все члены уравнения в одну сторону и попытаться разложить полученное выражение на множители, например, с использованием группировки членов, как это сделано в таблице 51 для уравнения
6^ - 9 • 2^ - 2 • 3" + 18 = 0.
Для решения некоторых показательных уравнений можно применить свойства соответствующих функций (эти методы рассмотрены в § 37).
Примеры решения задач
Задача 1
Решите уравнение
Решение
► Замена 3^ = t. Получаем
«-^ = 1. г f+ 1
Тогда 6 (# + 1) - 4t = i (^ Ч- 1), - t — G = 0. Отсюда = -2, <2 = 3. Обратная замена дает 3"' = -2 — корней нет или 3" = 3, тогда X = \.
Ответ: 1. <1
3^ + 1
■ = 1.
Комментарий
В данное уравнение переменная входит только в одном виде З'^, и поэтому удобно ввести замену 3"‘ = t и, получив дробное уравнение, найти его корни, а затем выполнить обратную замену.
Как уже отмечалось, замена и обратная замена — это равносильные преобразования данного уравнения, но при решении полученного дробного уравнения следует позаботиться о том, чтобы не получить посторонних корней (для этого, например, достаточно учесть, что i = 3^ > 0, и поэтому ОДЗ полученного уравнения: i -1 и f ^ о будет учтена автоматически).
388 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Задача 2
Решите уравнение 25"^*^ -3 = 0.
Решение
► 25'-252-10 —-3 = 0,
5
5^"' • 5 - 2 • - 3 = 0.
Замена S’" = t дает уравнение
- 2< - 3 = о, = 1, «2 = -|-Обратная замена дает 5* = 1, тогда
л: = о или 5* = — 5
Ответ: 0. <1
корней нет.
Комментарий
1. Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней.
2. Приводим все степени (с переменной в показателе) к одному основанию 5.
3. Выполняем замену 5^ = t, решаем полученное уравнение, производим обратную замену и решаем полученные простейшие показательные уравнения (а также учитываем, что все преобразования были равносильными).
Задача 3 Решите уравнение 2"'^^ - З'^ = З''** - З"'
Решение
► 2" • 2" - 3" - 3" • З' -Р 2^ = о,
9 • 2"^ - 4 • 3"^ = о I : 3^ о,
9~-^ = 0-
3 3
9.(1) -4 = 0,
_ 4 х = 2.
Ответ: 2. <]
Комментарий
1. Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней, переносим все члены уравнения в одну сторону и приводим подобные члены.
2. Замечаем, что степени всех членов полученного уравнения 9 • 2^^ - 4 • 3^ = о (с основаниями 2 и 3) одинаковые — х, следовательно, это уравнение однородное. Его можно решить делением обеих частей на наибольшую степень одного из видов выражений с переменной — или на 2"‘, или на 3^. Учитывая, что 3"' ^ 0 при всех значениях х, в результате деления на 3"^ получаем уравнение, равносильное предыдущему (а значит, и заданному).
При решении систем уравнений, содержащих показательные функции, чаще всего используются традиционные методы решения систем уравнений: метод подстановки и метод замены переменных.
§ 32. Решение показательных уравнений и неравенств 389
Задача 4
Решите систему уравнений
Решение
► Из первого уравнения системы у = 1 - X.
Тогда из второго уравнения получаем 4^ -Р 4*’^ = 5, то есть
4*4- — = 5. Замена 4 = t дает
4*
уравнение t + ~ = 5, из которого
получаем уравнение - 5^ -Р 4 = = О, имеющее корни: = 1, ^2 = 4. Обратная замена дает 4^ = 1, тогда д:,= О или = 4, откуда Х2= 1. Находим соответствующие значения у = 1 - х: если Xj= О, то i/i = 1; если Х2= 1, то 1/2 = 0.
Ответ: (0; 1), (1; 0). О
х + у = 1,
4*-р4‘'=5.
Комментарий
Если из первого уравнения выразить у через X и подставить во второе уравнение, то получим показательное уравнение, которое мы умеем решать (аналогично решению задачи 2).
Выполняя замену, учитываем, что / = 4* ^ 0. Тогда в полученном
дробном уравнении /-Ру = 5 знаменатель
Таким образом, это дробное уравнение равносильно уравнению - 5< -Р 4 = 0.
Задача 5
Решите систему уравнений
Решение
£ у
► Замена 5^ =и и 3^=и дает систему
= 16,
[и-у = 2.
Из второго уравнения этой системы имеем U = 2 -Р о. Тогда из первого уравнения получаем (2 -Р иУ - = 16. Отсюда о = 3,
тогда и = 5.
Обратная замена дает у U
3^=3, тогда отсюда у = 2;
£ X
5^=5, тогда — = 1, отсюда х = 2. Ответ: (2; 2). <1
5*-3‘' = 16,
£ У
[52-32 =2.
Комментарий
Если обозначить 5^ =и и 32 = у, то 5* = ц2 и 3" = у2.
Тогда данная система будет равносильна алгебраической системе, которую легко решить.
После обратной замены получаем систему простейших показательных уравнений.
390 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Вопросы для контроля
1. Объясните на примерах, как можно провести поиск плана решения показательных уравнений, которые не приводятся непосредственно к простейшим.
2. Какую замену переменных можно выполнить при решении уравнения 4^* -f 2 • 4* - 3 = о? Какое уравнение получим после замены?
3. Объясните, почему уравнения 5* = Т"' и 2^"' -I- 3 • 2"" • 5* - 4 • 5^* = 0 являются однородными. Как можно решить эти однородные уравнения?
Упражнения
Решите уравнение (1—5). 1°. 1) 5“'* -Ь 4 • 5' - 5 = 0;
8 6
4)
= 3;
2) 6"“^ - 5 • 6^ - 6 = 0;
6 5
5^-3 S-' +1
2. 1) 49"^ - 6 - - 7 = 0;
4) 3^ -Ь 3^'* = 10;
7) 10‘^*'-10'-^‘'=99;
3. 1°) Т = 9";
3) 2"*^ - 3^ = 3^"‘ - 2";
,дг+ 2
5)
= 2.
4^-2 4^ + 1
2) 64* - 7 • 8" - 8 = 0; 5) 2**‘ -Р 4* = 80;
3) 3"* - 2 • 3* = 3;
3) 2* -Р 2"'* = 5;
6) 4^ = 2;
3*-3 ^
8 ) 10“" ^ + 10"“ * = 11.
2“) 5 • 3* - 3 • 5* = 0;
4) 4*"‘-Р4-3* = 3*""-4*;
5) 2* -Р 2**' -Р 2*^^ = 2-5* -Р 5*
4. 1)2"*-Р2*-5*-2-5'* = 0;
3) 4* = 3 • 49* - 2 • 14*;
5) 5 • 4* - 7 • 10* -Р 2 • 25* = 0.
5*. 1) 6* - 4 • 3* - 9 • 2* -Р 36 = 0;
3) 4-20* - 20-5*‘‘ -Р 5-4**‘ - 20=0;
6. Решите графически уравнение:
1)2* = 3-л:; 2)3"=(^)"; 3)
6) 4*-3*'2 =3"'*2_22^->.
2) З'* -Р 2 • 3* • 7* - 3 • 7"* = 0; 4) 4 • 9* - 7 • 12* -Р 3 • 16* = 0;
2)5-15*-3-5*'^ -3*-Р3 = 0; 4) 8*- 4* - 2*"® -Р 8 = 0.
х-рЗ;
4) [ij
Проверьте подстановкой, действительно ли найденное значение х является корнем уравнения.
7*. Докажите, что уравнения, приведенные в задании 6, не имеют других корней, кроме найденных графически.
8. Решите систему уравнений:
1)
4)
4***'=16, 5**2^-! ^
х-у = 2, 3^-3*'= 24;
o2j/-jr _
2) -j 81’
ЗХ-У+2=27;
[3^-2*' = 77, 5*) X , 32-22=7;
3)
х +у = 3, 2^+ 2“ =6;
5*-6" = 589,
6') L ^
52-162=31.
§ 32. Решение показательных уравнений и неравенств 391
32.3. РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Таблица 55
1. График показательной функции у = (а > 0 и а ф 1)
а > 1 0 < а < 1
У1 1 / \
0 возрас’ X гает У 0 X бывает
2. Схема равносильных преобразований проаейших показательных неравенств
а > 1 0 < а < 1
д/м > дгм ^ Дд.) > g(x) f{x) < g(x)
знак неравенства сохраняется знак неравенства меняется на противоположный
Примеры
> 4. ► > 2^. Функция у = 2‘ является возрастающей, следовательно: д: - 3 > 2, X > 5. Ответ: (5; +°о). <1 (0,7)^'® > 0,49. ►(0,7)'^'® > (0,7)". Функция у = 0,1‘ убывающая, следовательно: д: - 3 < 2, X < 5. Ответ: (-°о; 5). <]
3. Решение более сложных показательных неравенств
Ориентир Пример
I. С помощью равносильных преобразований (по схеме решения показательных уравнений,табл. 54) данное неравенство приводится к неравенству известного вида (квадратному, дробному и т. д.). После решения полученного неравенства приходим к простейшим показательным неравенствам. 4^ + 1 + 7.2^ - 2 > 0. ► 4^-4 ч- 7-2^ - 2 > 0, 2^^. 4 + 7.2^ - 2 > 0. Замена 2^^ = t дает неравенство 4t^ + It - 2 > 0, решения которого t < -2 или t ^ -ь\ /+^ (см. рисунок). * Обратная замена дает 2* < -2 (решений нет) или 2^ > i, откуда 4 2“ > 2 ", то есть х > —2. Ответ: (-2; Ч-оо). <]
392 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Продолж. табл. 55
II. При.меняем метод интервалов', приводя данное неравенство к виду / (х) ^ О и используя схему:
1. Найти ОДЗ.
2. Найти нули f(x).
3. Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак fix) в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.
3.
3" + 4* > 7.
Решим неравенство методом интервалов. Данное неравенство равносильно неравенству 3^ -ь 4* - 7 > 0. Обозначим f {х) = 3* -f 4* - 7. ОДЗ: R.
Нули функции: f{x) = 0.
3"" -ь 4"^ - 7 = 0. Поскольку функция / (дг) = З"' -I- 4* - 7 является возрастаюш;ей (как сумма двух возрастающих функций), то значение, равное нулю, она принимает только в одной точке области определения: х = 1 (/(1) = З' -Ь 4* - 7 = 0). Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак f(x) в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решение неравенства f(x)>0.
Ответ: (1; -1-°о). <1
Объяснение и обоснование
Решение простейших показательных неравенств вида а"‘ > Ь (или < Ь, где а > о и а 1) основывается на свойствах функции у = а^, которая возрастает при а > 1 и убывает при 0 < а < 1. Например, чтобы найти решение неравенства > Ь при 6 > 0, достаточно представить Ь в виде Ь = о“'. Получаем неравенство
а* > (1)
При а > 1 функция возрастает, следовательно, большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому из неравенства (1) получаем X > с (знак этого неравенства совпадает со знаком неравенства (1)).
При о < а < 1 функция убывает, следовательно, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому из неравенства (1) получаем х < с (знак этого неравенства противоположен знаку неравенства (1)).
' Напомним, что для решения неравенств методом интервалов мы пользуемся следующим свойством элементарной функции (которое доказывается в курсе математического анализа): если на интервале (а; Ь) элементарная функция f (х) определена и не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет постоянный знак.
§ 32. Решение показательных уравнений и неравенств 393
Графически это проиллюстрировано на рисунке 139.
достаточно представить
это неравенство в виде (7) >(7) , учесть, что 7<1 (функция
Рис. 139
Например, чтобы решить неравенство 5* > 25, достаточно представить это неравенство в виде 5^ > 5^, учесть, что 5 > 1 (функция 5* является возрастающей, следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства не меняется), и записать решение: х > 2.
Заметим, что решение данного неравенства можно записывать в виде X > 2 или в виде промежутка (2; -1-оо).
Аналогично, чтобы решить неравенство
, , - учесть, что — <1 (функция (—1 является 4/ \4/ 4
убывающей, таким образом, при переходе к аргументам знак неравенства
меняется на противоположный), и записать решение: х < 2.
Учитывая, что при любых положительных значениях а значение всегда больше нуля, получаем, что при Ь < О неравенство <Ъ решений не имеет, а неравенство а"‘ > Ъ выполняется при всех действительных значениях X.
Например, неравенство < -7 не имеет решений, а решениями неравенства 1“ > -7 являются все действительные числа.
Обобщая приведенные выше рассуждения относительно решения простейших показательных неравенств, отметим, что
при а > 1 неравенство равносильно неравенству f {х) > g{x),
а при О < а < 1 — неравенству f (д:) < g (л:).
Коротко это утверждение можно записать так.
При а > 1 f (х) > g(.x) (знак неравенства сохраняется).
При О < а < 1 f(x) < g(x) (знак неравенства меняется
на противоположный).
• Чтобы обосновать равносильность соответствующих неравенств, достаточно заметить, что при а > 1 неравенства
агм > (2)
f(x)>g(x) (3)
394 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ_____________
могут быть верными только одновременно, поскольку функция у = а‘ при а > 1 является возрастающей и большему значению функции соответствует большее значение аргумента (и наоборот: большему значению аргумента соответствует большее значение функции). Таким образом, все решения неравенства (2) (которые обращают его в верное числовое неравенство) будут и решениями неравенства (3), и наоборот: все решения неравенства (3) будут решениями неравенства (2). А это и означает, что неравенства (2) и (3) являются равносильными.
Аналогично обосновывается равносильность неравенств и f(x) < g(x) при О < а < 1. О
В простейших случаях при решении показательных неравенств, как и при решении показательных уравнений, пытаются с помощью основных формул действий над степенями привести (если это возможно) данное неравенство к виду ^
Для решения более сложных показательных неравенств чаще всего используют замену переменных или свойства соответствующих функций (эти методы рассмотрены в § 37).
Заметим, что аналогично решению показательных уравнений все равносильные преобразования неравенства всегда выполняются на его области допустимых значений (то есть на общей области определения для всех функций, входящих в запись этого неравенства). Для показательных неравенств достаточно часто областью допустимых значений (ОДЗ) является множество всех действительных чисел. В этих случаях, как правило, ОДЗ явно не находят и не записывают в решение неравенства (см. далее задачу 1). Но если в процессе решения показательного неравенства равносильные преобразования выполняются не на всем множестве действительных чисел, то в этом случае приходится учитывать ОДЗ (см. далее задачу 2).
Задача 1
Примеры решения задач Решите неравенство (0,6)* >1.
Решение
^ (0,6)*’'^*"® > (0,6)°.
Поскольку функция у = (0,6)' является убывающей, то х’^ - 7х + 6 < 0. Отсюда 1 < X < 6 (см. рисунок).
Ответ: [1; 6]. <3
Комментарий
Запишем правую часть неравенства как степень числа 0,6: 1 = (0,6)°.
Поскольку 0,6 < 1, то при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется на противоположный (получаем неравенство, равносильное данному).
Для решения полученного квадратного неравенства используем графическую иллюстрацию.
§ 32. Решение показательных уравнений и неравенств 395
Задача 2
Решите неравенство 3''* < 8.
Решение ► ОДЗ: х>0.
3'^
Замена 3'^ -t (i > 0) дает нера-
q
венство равносильное нера-
венству
r-8t-9
t
<0.
Поскольку f > о, получаем
- 8^ - 9 < 0. Отсюда -1 < ^ < 9. Учитывая, что i > 0, имеем 0 0.
В полученном неравенстве знаменатель положителен, поэтому это дробное неравенство можно привести к равносильному ему квадратному.
После выполнения обратной замены следует учесть не только возрастание функции у = З', но и ОДЗ исходного неравенства.
- 5-6'' 4- 3 > 0.
Комментарий
Данное неравенство можно решать или приведением к алгебраическому неравенству, или методом интервалов. Для решения его методом интервалов используем схему, приведенную в таблице 55.
При нахождении нулей функции приведем все степени к двум основаниям (2 и 3), чтобы получить однородное уравнение. Это уравнение решается делением обеих частей на наивысшую степень одного из видов переменных — на 3^"^.
Учитывая, что 3^* Ф 0 при всех значениях х, в результате деления на 3^* получаем уравнение, равносильное предыдущему.
396 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Отсюда л: = О или х = -1.
3. Отметим нули функции на ОДЗ, находим знак f(x) в каждом из полученных промежутков и записываем решения неравенства f(x)>0.
-1 О X
Ответ: (-°о; -1) U (0; -1-оо). <]
Разумеется, для решения данного неравенства можно было учесть, что > о всегда, и после деления данного неравенства на 3^* и замены
-J =t получить алгебраическое неравенство.
Задача 4* Решите неравенство (З^ - 9)\1х^ - 2д: - 8 < 0.
Комментарий
Данное нестрогое неравенство также удобно решать методом интервалов. Записывая ответ, следует учитывать, что в случае, когда мы решаем нестрогое неравенство f (л:) < 0, все нули функции f (х) должны войти в ответ.
Решение
► Обозначим f (х) = (З'" - 9)Vx^ - 2х - 8.
1. ОДЗ: х^ - 2х - 8 > 0. Тогда х < -2 или х > 4
(см. рисунок).
2. Нули функции: /(х) = 0.
(З* -9)>/х^ -2х-8 = 0. Тогда З"" - 9 = 0 или Vx^ -2х-8 =0. Из первого уравнения: х = 2 — не принадлежит ОДЗ, а из второго: Xj = -2, Х2 = 4.
3. Отмечаем нули /(х) на ОДЗ, находим знак f{x) в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решение неравенства /(^)< 0.
Ответ: (-«э; -2] или х = 4. <]
Вопросы для контроля
1. Объясните, в каких случаях показательные неравенства а"^ > Ь и а^ < Ь (где а>0иа?^1) имеют решения. В каких случаях данные неравенства не имеют решений? Приведите примеры, проиллюстрируйте их графически.
2. Какому неравенству равносильно показательное неравенство > а''*** при а > 1? при о < а < 1? Приведите примеры.
§ 33. Логарифм числа. Свойства логарифмов 397
Упражнения
1. Решите неравенство (1-4).
Г)2">1; 2”)2^>i;
3-Х
5”) >9;
6)(t) <4;
3) 3" > 0;
7°) 5* >25 Тб;
4) (з| <0-,
в.(Г<-
* **-7i+e 9 ) (0,3) <1; х*-9х+8 10 ) (1,3) >1.
2') 3"^" + 3^'‘ < 28; 3) З""""* + 8-3^ - 3 > 0;
4) 6^*-‘-i-6^-4<0; 5) 4" - 2"*^ - 8 > 0; 6) 9^ - 12-3'' + 27 < 0.
1) 3^ > 5"; 2) 7*"‘ < 2^‘‘; 3*) 2"'^‘ - 5-6" + З"^*^ > 0;
4*)5-3""+ 15-5"*’^ < 8-15*.
2) (3^-^-1)Тл:^-2д:-8<0;
3) л/б-3*-2>3^+1; 4) Т2-5^*‘-1>5^ + 2.
5*. 1) 4^ <о; 2) fЗ^'г” -ll7з^^-10Тз^^>0.
5^-1
§ 33. ЛОГАРИФМ ЧИСЛА. СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
Таблица 56
1. Логарифм числа
Определение Примеры
Логарифмом положительного числа Ь по основанию а {а > 0, а Ф 1) называется пока.затель степени, в которую необходимо возвести а, чтобы получить Ь. Обозначение: log„5. 1) log^ 16 = 2, поскольку 4^ = 16; 2) log^T^ = i, так как 7^=^yjl; 3) Ig 1000 - 3, поскольку 10® = 1000.
Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Обозначение: log,(,i) = Ig b.
Натуральный логарифм — это логарифм по основанию е (е — иррациональное число, приближенное значение которого: е ~ 2,7). Обозначение: log,5 = In b. 4) ln-^ = -2, так как е~^ = \. е е
398 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Продолж. табл. 56
2. Основное логарифмическое тождество
= Ь ,
а>0, а*1,Ь>0
1) 3'°«»* = 5;
2) 10‘«2 = 2.
3. Свойства логарифмов и формулы логарифмирования ____________(а > О, а ^ 1, X > О, у > 0)
1) log„l = 0
Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.
2) log^a=l
3) log„(*y) = log^x + log^y
Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.
4)
log„- = log.a:-log.i/
Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
5) log^a:'* = л log^jc
Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.
4. Формула перехода к логарифмам с другим основанием
log„ л: =
_ logfc *
logfca
а>0, а/1, Ь>0, b50
Следствия
log„Ь=
logfctt
log„b = log .Ь*
Объяснение и обоснование
1. Логарифм числа. Если рассмотреть равенство 2^= 8, то, зная любые два числа из этого равенства, мы можем найти третье:
Заданное равенство Что известно Что находим Запись Название
2» = 8 числа 2 и 3 число 8 8 = 2^ степень
числа 8 и 3 число 2 2 = ^ корень третьей степени
числа 8 и 2 число 3 3 = logj 8 логарифм
§ 33. Логарифм числа. Свойства логарифмов 399
Первые две операции, представленные в этой таблице (возведение в степень и извлечение корня п-й степени), нам уже известны, а с третьей — логарифмированием, то есть нахождением логарифма данного числа, — мы познакомимся в этом параграфе.
В общем виде операция логарифмирования позволяет из равенства а’‘ = Ь (где Ь > О, а > О, а / 1) найти показатель х. Результат выполнения этой операции обозначается \og^b. Таким образом,
логарифмом положительного числа Ь по основанию а (а > О, а ^ 1) называется показатель степени, в которую необходимо возвести а, чтобы получить Ь.
Например: 1) logjS = 3, поскольку 2® = 8; 2) logj|^j = 2, поскольку =-i;
3) log^^—1 = -2, поскольку 4“'=—.
Отметим, что при положительных а и ft (а ^ 1) уравнение а‘ = Ь всегда имеет единственное решение, поскольку функция у = принимает все значения из промежутка (0; -(-оо) и при о > 1 является возрастающей, а при о < а < 1 — убывающей (рис. 140).
Рис. 140
Итак, каждое свое значение ft > 0 функция принимает только при одном значении х. Следовательно, для любых положительных чисел Ь и а (а Ф 1) уравнение а‘ = Ь имеет единственный корень х = log„ft.
При ft < о уравнение = ft (а > 0, а 1) не имеет корней, таким образом, при ft < О значение выражения log^ft не существует'.
Например, не существуют значения log3(-9), logi(-7), logjO.
2
Отметим, что логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается Ig.
Например, logm? = Ig 7, Ig 100 = log,o 100 = 2.
* Заметим, что при а - 1 уравнение 1 — ft не имеет решений при ft 1 (а при ft “ 1 имеет решением любое действительное число). Поэтому log, ft не определен при любом ft > 0.
400 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
В недалеком прошлом десятичным логарифмам отдавали предпочтение и составляли очень подробные таблицы их значений, которые использовались в разных вычислениях. В эпоху всеобщей компьютеризации десятичные логарифмы утратили свою ведущую роль. В современной науке и технике щироко используются логарифмы, основанием которых является особенное число е (такое же знаменитое, как и число я). Число е, как и число п, — иррациональное, е = 2,718281828459045... . Логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается In.
Например, log, 7 = In 7, ln- = log,- = -l.
е €
2. Основное логарифмическое тождество. По определению логарифма, если log^5= JC, то = Ь (а > о, а 1, 5 > 0). Подставляя в последнее равенство вместо X его значение, получаем равенство, которое называется основным логарифмическим тождеством:
= Ь
, где а > о, а ^ 1, Ь > 0.
Например: 1) 5‘“*»® = 9; 2) Ю'*'= 7; 3) (ij * =2.
3. Свойства логарифмов и формулы логарифмирования. Во всех приведенных ниже формулах а > 0 и а ^ 1.
• 1) Из определения логарифма получаем, что
log„ 1 = 0
поскольку о® = 1 (при а > о, а 1). Таким образом, логарифм единицы по любому основанию равен нулю.
2) Поскольку а’ = а, то
log„ а = 1
3) Чтобы получить формулу логарифма произведения ху (х > 0, у > 0), обозначим log^ X = и и log„ у = V. Тогда по определению логарифма
X = а" и у = а". (1)
Перемножив почленно два последних равенства, имеем ху = а“*'’. По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаем log„ (ху) = и + v = log„ х -Ь log„ у.
Таким образом,
(2)
log„ (ху) = log„ д: -I- log„ у
Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.
У
4) Аналогично, чтобы получить формулу логарифма частного — (л: > 0,
у>0), достаточно разделить почленно равенства (1). Тогда — = а“ ". По
у
определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последне-
X
го равенства получаем \og^~ = u-v = \og^x-\og^y. Таким образом,
У
§ 33. Логарифм числа. Свойава логарифмов 401
log^- = log„A:-log„i/
(3)
Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
5) Чтобы получить формулу логарифма степени х" (где х > 0), обозначим log„x = и. По определению логарифма х = а'‘. Тогда х" = а"“, и по определению логарифма с учетом обозначения для и имеем log^jc" = пи = п log^x. Таким образом,
(4)
log„a:" = п log^x
Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени. О
Учитывая, что при д; > 0 ^ = д:" , по формуле (4) имеем:
/— i 1
log vx = log^x'' = — \og^x. To есть при дг > 0 можно пользоваться формулой
log„V^ = ilog„A:
(можно не запоминать эту формулу, а каждый раз записывать корень из положительного числа как соответствующую степень).
Замечание. Иногда приходится находить логарифм произведения ху и в том случае, когда числа х я у оба отрицательны (х < 0, у < 0). Тогда ху > о я \og^(xy) существует, но формулой (2) воспользоваться нельзя — она обоснована только для положительных значений х я у. В случае ху > 0 имеем ху = \х\-\у\, и теперь | д; | > 0 и | у | > 0. Таким образом, для логарифма произведения | дг ] • | у | можно воспользоваться формулой (2). Поэтому при дс < о и у < о можем записать:
log„(xy) = log„(| дг I • I у I) = logj дг I -f- logj у |.
Отметим, что полученная формула справедлива и при д: > 0 и у > 0, поскольку в этом случае | д: | = дс и | у | = у. Таким образом,
(2')
при дсу > о
log„ (дсу) = log^ I дс I -н log„ I у I
Аналогично можно обобщить и формулы (3) и (4):
при — >0
у
log„- = logJдc|-logJy|
log„дc2* = 2к log„ I дс I
(3')
(4')
при дс о
4. Формула перехода к логарифмам с другим основанием
• Пусть log„o: = U (дс > о, а > о, а 5^ 1). Тогда по определению логарифма а“ = дс. Прологарифмируем обе части последнего равенства по основанию Ь {Ь > о, Ь ^ 1). Получим logjO“ = logjcc.
Используя в левой части этого равенства формулу логарифма степени, име-
ем U log*а = logger. Тогда и =
ioei,x
>og*a'
Учитывая, что и = logдД:, получаем:
402 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
log^x =
где о > о, а 1, ft > о, ft ^ 1, X > 0. Таким образом, логарифм положительного числа х по одному основанию а равен логарифму этого же числа х по новому основанию Ь, деленному на логарифм прежнего основания а по новому основанию Ь. О
С помощью последней формулы можно получить следующие следствия. , , logj, ь
1) iog 0 = ;--. Учитывая, что loe.b = 1, имеем
log. а
log.b =
где а>0, а;*1,Ь>0,
2) Аналогично, учитывая формулу перехода от одного основания логарифма к другому и формулу логарифма степени, получаем (при k Ф 0)
log . fc* = —^ ^ = log„ Ь.
“ log„a* к
Записав полученную формулу справа налево, имеем
log„b = log
Задача 1
где а > о, а * 1, Ь > о, Ь * 1, k Ф 0. Примеры решения задач Вычислите: 1) log5l25;
Решение
1) ► logs 125 = 3, поскольку
5® = 125;<]
2) ► log 1 3 = -^, так как
27
1
(-Г=^=^4=з.<1
2) log^3.
27
Комментарий
Учитывая определение логарифма, необходимо подобрать такой показатель степени, чтобы при возведении основания логарифма в эту степень получить число, стоящее под знаком логарифма.
Задача 2
Запишите решение простейшего показательного уравнения:
1) 5- = 3;
Решение
2) =10;
По определению логарифма: 1) ► X = logs3;<]
3) 10^=4.
' 3
Комментарий
Для любых положительных чисел Ь иа (а * 1) уравнение а’’ = Ь имеет
§ 33. Логарифм числа. Свойава логарифмов 403
2) ►x = log,10;<]
3) ►x = lgi <1
единственный корень. Показатель степени х, в которую необходимо возвести основание а, чтобы получить Ь, называется логарифмом Ь по основанию а, поэтому х = log^b.
Задача 3
Выразите логарифм по основанию 3 выражения
27а‘
(где
а > о и Ь > 0) через логарифмы по основанию 3 чисел а и Ь. (Коротко говорят так: * Прологарифмируйте заданное выражение по основанию 3*.)
Решение
log3^ = log
о а
3 i
= log3(3^a^)-log3fe® =
= log3(3®) -t- log3 a^ - log3 fes = = 31og33-i-21og3a-ilog3b = = 3 + 21og3a-ilog3fe. <]
Комментарий
Сначала запишем выражения, стоящие в числителе и знаменателе данного выражения, как степени чисел и букв. Далее учтем, что лога-
рифм частного
3 а 1
й®
положительных
чисел равен разности логарифмов числителя и знаменателя, а затем то, что логарифм произведения (З^а^) равен сумме логарифмов множителей.
После этого учтем, что каждый
из логарифмов степеней (3 ; а^; Ь®) равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени, а также то, что log3 3 = 1.
Задача 4
Известно, что logj 5 = а, logj 1 = Ъ. Выразите logg 700 через а и ft.
Решение
► log2 700 = log3(7-52-22) =
= log2 7 + logj 5^ -Ь logj 2^ =
= log^ 7-1-2 log^ 5-1-2 log2 2 = = (?-<- 2a -t- 2. <]
Комментарий
Сначала представим число 700 как произведение степеней данных чисел 5 и 7 и основания логарифма 2, а далее используем свойства логарифмов и подставим в полученное выражение значения logg 5 и logj 7.
404 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Задача 5*
Прологарифмируйте по основанию 10 выражение
об'
Решение
► Если ^>0, то
С
= Ig (|а|-|Ь"1) - lglcp =
= Ig |а| + Ig |fe3| - 2 Ig |с| =
= Ig I a I + 3 Ig I 6 I - 2 Ig I с |. <3
Комментарий Поскольку логарифмы существуют только для положительных чисел, то мы можем прологарифмировать данное выражение только об® ^
в случае, когда —5~>0.
с
Из условия не следует, что в данном выражении значения а, Ь, с положительны. Поэтому будем пользоваться обобщенными формулами логарифмирования (2'-4'), а также учтем, что I аЬ^\ = | а | • | Ь®|, | Ь®| = | ft |®, = |ср.
Иногда приходится искать выражение, зная его логарифм. Такую операцию называют потенцированием.
Задача 6
Найдите х по его логарифму;
1) lgx = lg5-21g3 + 31g 2;
2) log„ log„ b + 5 log„ с - log„ p.
Решение
1) ► Igx = lg5-2 1g3 + 31g2, lgx = lg5-lg 34lg 2^
\gx = lg^
x = -
5-2'
^ 9 ’
3' 3‘
2) ►log<.^^ = ^bg„b + 51og„c-log„p,
log„ д: = log„ + log^ c® - log„ p,
6V
log„Jc = log„-
^ = <
Комментарий
Пользуясь формулами логарифмирования справа налево, запишем правые части данных равенств в виде логарифма какого-либо выражения.
Из полученного равенства
log„x = log„M (1)
получаем х = М
(как будет показано в § 34, значение X, удовлетворяющее равенству (1), — единственное).
Задача 7*
Вычислите значение выражения 5'“*'®* *
Решение
► Поскольку log^5 =
logs 5
10g5>^
Комментарий
Попытаемся привести показатель степени данного выражения к виду
§ 33. Логарифм числа. Свойава логарифмов 405
llog^S log^a
, то
- = 21og5 3 = log5 3^ = log5 9.
logjS
Кроме того,
ilog,4 = log542 =log5>/4=log52. Тогда ^ + ilog5 4 = log59 + log5 2 =
log^5 2
= log5(9- 2) = log. 18.
Итак, 5'“*''’
5 2
logs 4
: = 18. <3
logs 6, чтобы можно было воспользоваться основным логарифмическим тождеством:
= Ъ.
Для этого перейдем в показателе степени к одному основанию логарифма (к основанию 5).
Вопросы для контроля
1. Дайте определение логарифма положительного числа Ь по основанию а (а> о, а Ф 1).
2. Какой логарифм называют десятичным логарифмом и какой натуральным логарифмом? Приведите примеры записи и вычисления таких логарифмов.
3. 1) Запишите основное логарифмическое тождество. Приведите примеры его использования. 2*) Обоснуйте основное логарифмическое тождество.
4. 1) Запишите и сформулируйте формулы логарифмирования. Приведите примеры их использования. 2*) Обоснуйте формулы логарифмирования.
5. 1) Запишите формулу перехода от одного основания логарифма к другому. Приведите примеры ее использования. 2*) Обоснуйте формулу перехода от одного основания логарифма к другому.
6*. Можно ли в том случае, когда значения х тл у оба отрицательны, прологарифмировать выражение: ху, —, х*1 Как это сделать? Обоснуйте соот-
у
ветствующие формулы.
Упражнения
1*. Проверьте, верно ли равенство:
l)log2l6 = 4; 2) logs27 = 3;
4) log^4 = 4; 5)log,8 = -3;
2
2. Вычислите:
1°) logs25; 2°) log4 64; 3°) logg^; 4°) logg>/6; 5) bg^^; 6°) log,l;
7*) logs 8*) log,V^; 9*) log^^^^(7-4V3) 10*) log,.^^(9 + 4V5).
3) log2- = -2;
6) logo 2 0,008 = 3.
406 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ______________
3°. Пользуясь определением логарифма, запишите решение простейшего показательного уравнения:
1) 4* = 9; 2) =15; 3) 10^ = 11; 4) 5' = 19; 5) 0,2^ = 0,7; 6) е' = 3.
4. Пользуясь основным логарифмическим тождеством, упростите выражение:
1) 2) 3'°»»"; 3) л/З ^ 4) 3,5'”*”*®; 5*) 7*^'°*’*; 6*) * .
5. Прологарифмируйте данное выражение по заданному основанию, зная,
- по основанию 10; по основанию е; по основанию 3.
что a > 0, 5 > 0, c > 0:
1°) lOaV no основанию 10; 2) 0,la^i c'’
1 2
3°) a^c4b no основанию e; 4)
5°) Oa’ylb no основанию 3; 6) 2 аЧ* 1
6*. Прологарифмируйте данное выражение по основанию 10, зная, что аЬ > 0 и с # 0:
1) а^Ь^с^;
3)
^ (afe)^
7. Известно, что logj2 = а, log,3 = Ь. Выразите через а и Ь:
1)logs 15; 2)logs 12; 3)logs 30;
8. Найдите х, если:
4) 100 ^[а^. и Ь:
4)logs 72.
1) logsX = 3 logs2-t-0,5 logs25 - 2 logs3; 2) lgx = \\g(5a)-2lgb + 5lgc;
О
3) \gx = 0\gm + ^\gn-\\gp-,
7 5
4) Iog3x = -log38-21og320-31og32.
9. Замените данный логарифм логарифмом по основанию 3:
1) logjo; 2) loggc; 3) logjC; 4) log^o; 5) logjO.
3 9
10*. Вычислите значение выражения:
Лв *
2) З'”*^® ^ ;
1) б'”*^®
3) log^ 5-logs 6-logs 7-log; 32; 4) logglO-lg 11 • log,, 12 • log,3 27;
5) j^8lH'”*’425‘”*-“®j • 49'“*'^ 6) 15 log, (W- ^ • 5'“*^^).
11*. 1) Найдите logg9, если logjjlS = a;
2) найдите loggl5, если log4s25 = a;
3) найдите log„s 56, если log,4 7 = a и logs = b\
4) найдите log,so200, если Iog3o50 = a и logs 20 =
§ 34. Логарифмическая функция, ее свойства и график 407
§ 34. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК
Таблица 57
Определение. Логарифмической функцией называется функция вида у = log„a:, где а > о, а 1.
1. График логарифмической функции
Функции у = и у = log„x (а > 0, а Ф 1) — взаимно обратные функции, поэтому их графики симметричны относительно прямой у = х.
У‘ 1 ' / \ / \у = а^ / V \ к 1 у л\
0 А X / / y~\og,,x, / 1 ® ^ ^ // 0 гч ^ i/ = logoX>^ 0 < а < 1
2. Свойства логарифмической функции
1. Область определения: х > 0.
2. Область значений: R.
£»(log„x>= (0; +00)
E(log^x) = R
3. Функция ни четная, ни нечетная.
4. Точки пересечения с осями координат:
с осью Оу
5. Промежутки возрастания и убывания:
нет
с осью Ох
У = 0, х = 1
а > 1 0 < а < 1
функция log^x возрастает при а> 1 на всей области определения функция log^x убывает при 0 < а < 1 на всей области определения
6. Промежутки знакопостоянства:
а > 1 0 < а < 1
у = log„j: > 0 при л: > 1, у = log^jc < 0 при 0 < X < 1 у = log^x > 0 при 0 < X < 1, у = log„ X < 0 при X > 1
408 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Продолж. табл. 57
7. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
8.
log„a = 1
log„(uy) = log^u + log^y (u > о, и > 0) log„^ = log„u-log^y (u > о, и > 0)
log„ и" = n log^ Ц (ц > 0)___________
Объяснение и обоснование
1. Понятие логарифмической функции и ее график. Логарифмической функцией называется функция вида у = log^x, где а > 0, а 1.
Покажем, что эта функция является обратной к функции у = а^.
• Действительно, показательная функция f (д:) = а"' при а > 1 возрастает на множестве R, а при 0 < а < 1 — убывает на множестве R. Область значений функции f (д:) = а"' — промежуток (0; -1-оо). Таким образом, функция f (д:) обратима и имеет обратную функцию (с. 222) с областью определения (0; -1-00) и областью значений R. Напомним, что для записи формулы обратной функции достаточно из равенства y = f(x) выразить х через у ив полученной формуле X = g(y) аргумент обозначить через д:, а функцию — через у. Тогда из уравнения I/ = (а > О, а 1) по определению логарифма получаем X = log^y — формулу обратной функции, в которой аргумент обозначен через у, а функция — через х. Изменяя обозначения на традиционные, имеем формулу у = \og^x — функции, обратной к функции у = а^. О Как известно, графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = X. Таким образом, график функции у = log^A: (а > О, а 1) можно получить из графика функции у = а^ симметричным отображением относительно прямой у = х. На рисунке 141 приведены графики логарифмических функций при а > 1 и при О < а < 1. График логарифмической функции называют логарифмической кривой.
Рис. 141
§ 34. Логарифмическая функция, ее свойства и график 409
2. Свойства логарифмической функции. Свойства логарифмической функции, указанные в пункте 8 таблицы 57, были обоснованы в § 33. Другие свойства функции у - log„x прочитаем из полученного графика этой функции и обоснуем, опираясь на свойства функции у = а^.
Поскольку область определения прямой функции является областью значений обратной, а область значений прямой функции — областью определения обратной, то, зная эти характеристики для функции у = а^, получаем соответствующие характеристики для функции у = log^ х:
Характеристика Функция
у = а’^ У = log„ дг
Область определения R (0; +00)
Область значений (0; +00) R
1) Областью определения функции у = log^x является множество R+ всех положительных чисел (х > 0).
2) Областью значений функции у = log^x является множество R всех действительных чисел (тогда функция у = log„ х не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений).
3) Функция у = log„ X не может быть ни четной, ни нечетной, поскольку ее область определения не симметрична относительно точки 0.
4) График функции у = log„ л: не пересекает ось Оу, поскольку на оси Оу x = Q, а это значение не принадлежит области определения функции y = \og^x. График функции у = log^a: пересекает ось Ох в точке д: = 1, поскольку log^ 1=0 при всех значениях о (а > 0, а / 1).
5) Из графиков функции у = log^x, приведенных на рисунке 141, видно, что
■ при а > 1 функция у = log„a; возрастает на всей области определения, а при о < а < 1 — убывает на всей области определения.
• Обоснуем это, опираясь на свойства функции у = а"'.
Например, при а > 1 возьмем х^> x^> 0. По основному логарифмическому
тождеству можно записать: д;, = а
JC, = а
Тогда, учитывая, что
дГг > JCi, имеем а‘°*-** > Поскольку при а > 1 функция г/ = о* является воз-
растающей, то из последнего неравенства получаем log„ Х2 > log^ х^. А это и означает, что при а > 1 функция у = log^x возрастает на всей области определения. Аналогично можно обосновать, что при 0 < а < 1 функция у = log„x убывает на всей области определения. О
6) Промежутки знакопостоянства. Поскольку график функции у = log^x пересекает ось Ох в точке д: = 1 (log„ 1 = 0), то, учитывая возрастание функции при а > 1 и убывание при 0 < а < 1, имеем:
Значение функции Значение аргумента
при а > 1 при 0 < а < 1
у>0 X € (1; +00) дс е (0; 1)
у <0 X е (0; 1) X е (1; -ноо)
410 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Задача 1
Примеры решения задач Найдите область определения функции:
1) J/ = logjCS - х); 2) y = log^(x^ + s); 3) у = log^ix^ - х).
1)
2)
3)
Решение
► Область определения функции у = log5(3 - х) задается неравенством 3 - л: > 0. Отсюда х < 3. То есть D (у) = (-00; 3). О
► Область определения функции у = logj (х^ + з) задается
3
неравенством + 3 > 0. Это неравенство выполняется при всех действительных значениях х. Таким образом, D (у) = Д, <1
► Область определения функции у = \og^{x^ - х) задается неравенством х^ - X > 0. Решая это квадратное неравенство, получаем х < 0 или X > 1 (см. рисунок).
о ^1 X То есть D (у) = (-00; 0) U (1; Ч-оо).<]
3
Комментарий
Поскольку выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным, то для нахождения области определения заданной функции необходимо найти те значения аргумента х, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, будет положительным.
Задача 2
Изобразите схематически график функции: l)y = log^x; 2) i/ = logiX.
Решение
1) >-у = logjX
Комментарий
Область определения функции у = log„x — значения х > 0, следовательно, график этой функции всегда расположен справа от оси Оу. Этот график пересекает ось Ох в точке X = 1 (log„ 1 = 0).
При а > 1 логарифмическая
функция возрастает, таким образом, графиком функции у = logg х будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента поднимаются.
§ 34. Логарифмическая функция, ее свойава и график 411
2) ►i/ = logi:c 2
X 1 1 2 2 4
у 0 1 -1 -2
При О < а < 1 логарифмическая функция убывает, таким образом, графиком функции y = logja: будет
2
логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются.
Чтобы уточнить поведение графиков данных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.
Задача 3*
Изобразите схематически график функции у = logg\х - 2\.
Решение
► Последовательно строим графики:
1. у = logg л:;
Комментарий
Составим план последовательного построения графика данной функции с помощью геометрических преобразований (см. табл. 5, с. 35).
1. Мы можем построить график функции у = fix) = logg X (основание логарифма а = 3 > 1 — логарифмическая функция возрастает).
2. Затем можно построить график функции
У = gix) = logg I X 1= /■ (I д: I) (справа от оси Оу график функции fix) остается без изменений, и эта же часть графика симметрично отображается относительно оси Оу).
412 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
3.
После этого можно построить график заданной функции
У = log3 \х - 2\ = g{x - 2)
параллельным переносом графика функции g (х) вдоль оси Ох на 2 единицы.
Задача 4 Сравните положительные числа Ь и с, зная, что: 1) loggfe > logjc; 2) logo,36 > logo,3C.
Решение
1) ►Поскольку функция у = log3o: является возрастающей, то для положительных чисел ft и с из неравенства logjfe > log3C получаем
ft > с. <
2) ►Поскольку функция у = logog^: является убывающей, то для положительных чисел Ь и с из неравенства logo .3 ^ ^ logo s с получаем
Ь < с. О
Комментарий
В каждом задании данные выражения — это значения логарифмической функции у = log^x в точках Ь и с.
Используем возрастание или убывание соответствующей функции:
1) при а = 3 > 1 функция у = logsX возрастающая, и поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента;
2) при а = 0,3 < 1 функция у = logo s л: убывающая, и поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.
Задача 5
Сравните с единицей положительное число а, зная, что
log„ 6 < 0.
Решение
Поскольку 6 > 1, а из условия получаем, что log^6 < о = log„ 1 (то есть log„6 < log^ 1), то функция i/ = log„x убывающая, поэтому о < а < 1. <]
Комментарий
Числа log„6 и о — это два значения функции log„x:. Исходя из данного неравенства, выясняем, является эта функция возрастающей или убывающей, и учитываем, что она возрастает при а > 1 и убывает при о < а < 1.
§ 34. Логарифмическая функция, ее свойства и график 413
Вопросы для контроля
1. Дайте определение логарифмической функции.
2. Как расположены графики функций у = а"‘ тл у = log^x (а > О, а 1) относительно прямой у = X? Ответ объясните. Постройте эти графики при а > 1 и при О < а < 1.
3. Используя график функции у = log^x (а > О, а 1), охарактеризуйте ее свойства.
4*. Обоснуйте свойства функции у = log„x {а > О, а ^ 1).
5. Учитывая возрастание или убывание соответствующей логарифмической функции, сравните значения: а) logj? и logjS; б) logj7 и log,3.
5 5
Упражнения
1. Найдите область определения функции:
V) у = log,i (2х -I- 6); 2°) у = logj (х - 3); 3) г/ = log^ -1);
6
4) t/ = logs2(3x - х^); 5) y = \og^{2x^ + \)', G) у = log„(x2 + x -Ь 1);
7*) i/ = log
0.4
2x-6. x + 2 '
8') 9-)
10*) у = log^2x -x2); 11*) I/ = log2,_3(5x -x^).
Изобразите схематически график функции (2—3).
2°) y = log^x;
2. 1°) у = loggx;
4) i/ = log^x;
3. 1) у = log2(-x);
4) I/ = log^x + 3;
7*) y= log,(2x-4)
2
4. Сравните числа:
1)log23,5 и log24,5;
5) i/ = logjX;
6
2) j/ = log,(x-i);
4
b) у = - loggX;
8*) y=iog4j^;
3°) у = logo.gx;
6) y = \ogj-^x.
3) у = log4(x -b 3); 6*) {/ = I logg I X11; 9*) у = lOgglOgjX .
4) log^2,3 и logjg 0,2; 5) log, 5 и log, 7;
>-j3
2) logo, 1,3 и logo, 1,1; 8) log,2 и log,5;
5 5
6) log , 10 и log , 20;
Ж
7) log23 и 0; 8) log i и 0; 9) loga4 и 1; 10) log,i и 1.
О I 5
5. Сравните положительные числа b и с, зная, что:
1) logs б > logs^^: 2) logo.ji? > logo.sc; 3) log^b0; 2) log i>0; 3) log„2,3 < 0; 4)log„0,2<0.
О
414 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ_
§ 35. РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
35.1. РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Таблица 58
1. Основные определения и соотношения
График функции у = log, х (а > 0, а ^ 1)
а > 1 0 < а < 1
У> ' ^ У \
Q А X возрастает
0 Гч X убывает
Определение. Логарифмом положительного числа Ь по основанию а (а > 0. ajil) называется показатель степени, в которую необходимо возвести а, чтобы получить Ь.
log, Ь = с ^ Ь = а‘
2. Решение простейших логарифмических уравнений
Ориентир
Пример
Если а — число (а > О и а 1), то
log,/ (^) = с ^ fix) = а‘
(используем определение логарифма )
loggCx - 1) = 2. ► х - 1 = 3^ л: = 10.
Ответ: 10. <1
3. Использование уравнений-следствий
Ориентир
Пример
Если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каждое следующее верно, то гарантируем, что получаем уравнения-следствия. При использовании уравнений-следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью решения.
log,(x -f 2) = 2.
► По определению логарифма получаем
X -\- 2 = х^.
' - X - 2 = о,
I,, = -1, Хг = 2.
X'
X.
Проверка, х =-1 — посторонний корень (в основании логарифма получаем отрицательное число);
X = 2 — корень (log2(2 •+■ 2) = 2,
log2 4 = 2, 2 = 2).
Ответ: 2. О
§ 35. Решение логарифмических уравнений и неравенств 415
Продолж. табл. 58
4. Равносильные преобразования логарифмических уравнений
Замена переменных
Ориентир
Пример
Если в уравнение (или неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).
Ig2 д: - 2 Ig X - 3 = 0. ► Замена: \gx = t,
t^-2t-Z = 0,
<1 = -1, <2 = 3.
Следовательно, Ig х = -1 или Ig X = 3. Тогда X = 10'* = 0,1 или X = 10® = 1000.
Ответ: 0,1; 1000. <]
Уравнение вида log„/ (х) = log„g (х) (а > 0 и а i)
Ориентир
Пример
f{x) = g{x).
log./(x) = Iog„g(x)<=> f(x)>0, g(x)>0 ОДЗ
ОДЗ:
(учитываем ОДЗ и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов )
- 2) = loga(4x - 5). х^-2>0,
4х-5>0.
На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:
х^ - 2 = 4х - 5, х^ - 4х -f 3 = о, Xj — 1, Ха — 3,
X = 1 — посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ); X = 3 — корень (удовлетворяет условиям ОДЗ).
Ответ: 3. <3
Равносильные преобразования уравнений в других случаях
Ориентир
Пример
1. Учитываем ОДЗ данного уравнения (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ);
2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.
► ОДЗ:
log2(x -ь 1) = 3 - log2(x + 3).
X +1 > о,
х + 3>0.
На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:
log2(x + 1) -Ь log2(x -I- 3) = 3, log2((x + 1)(х + 3)) = 3,
(X -ь 1)(х -Ь 3) = 2\
Проверка:
х^ -Ь 4х - 5 = о, X, = 1, Х2 = -5.
416 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Продолж. табл. 58
X = 1 — корень (удовлетворяет ус-
ловиям ОДЗ);
д: =-5—посторонний корень (не
удовлетворяет условиям
ОДЗ).
Ответ: 1. <]
Объяснение и обоснование
1. Решение простейших логарифмических уравнений. Простейшим логарифмическим уравнением обычно считают уравнение log„ х = с(а>0иа^1).
Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на всей своей области определения, то есть при х > О (см. графики в пункте 1 табл. 58), и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Учитывая, что логарифмическая функция принимает все действительные значения, уравнение
\og^x = c (1)
всегда имеет единственный корень, который можно записать, исходя из определения логарифма: х = а".
Если рассмотреть уравнение
log„ f(x) = с (2)
и выполнить замену переменной: f (л:) = t, то получим простейшее логарифмическое уравнение log„ t = с, имеющее единственный корень t = а". Выполняя обратную замену, получаем, что решения уравнения (2) совпадают с корнями уравнения
/(х) = о^ (3)
Следовательно, уравнения (2) и (3) равносильны. Таким образом, мы обосновали, что для равносильного преобразования простейшего логарифмического уравнения (1) или уравнения (2) (которое мы также будем относить к простейшим при условии, что основание а — число) достаточно применить определение логарифма. Если обозначить равносильность уравнений значком <=>, то коротко этот результат можно записать так:
logj(x) = с <=>/(д:) = о' .
Напомним, что все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений (ОДЗ). Для уравнения (2) ОДЗ задается условием f (х) > 0. Но для всех корней уравнения (3) это условие выполняется автоматически (потому что а > 0). Поэтому в явном виде ОДЗ для простейших логарифмических уравнений можно не записывать (поскольку оно учитывается автоматически при переходе от уравнения (2) к уравнению (3)).
Например, уравнение log5(2x - 3) = 2 равносильно уравнению 2х - 3 = 5^, корень которого х = 14 и является корнем заданного уравнения.
Аналогично записано и решение простейшего уравнения log3(o: - 1) = 2 в таблице 58.
§ 35. Решение логарифмических уравнений и неравенств 417
2. Использование уравнений-следствий при решении логарифмических уравнений. При решении уравнения главное — не потерять его корни, и поэтому важно следить за тем, чтобы каждый корень первого уравнения оставался корнем следующего уравнения — в этом случае получаем уравнения-следствия. Напомним, что каждый корень заданного уравнения обращает его в верное числовое равенство. Используя это определение, можно обосновать, что в случае, когда преобразования уравнений проводятся так: если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каждое следующее верно, то мы получаем уравнения-следствия (поскольку каждый корень первого уравнения будет и корнем следующего уравнения). Напомним, что хотя при использовании уравнений-следствий и не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью решения при использовании уравнений-следствий.
Пример решения логарифмического уравнения с помощью уравнений-следствий и оформление такого решения приведены в пункте 3 таблицы 58.
3. Равносильные преобразования логарифмических уравнений. Одним из часто используемых способов равносильных преобразований уравнений является замена переменной.
Напомним общий ориентир, которого мы придерживались при решении уравнений из других разделов: если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).
Например, в уравнение \g^ х - 2\g х - Z - О переменная входит только в виде Ig X, поэтому для его решения целесобразно применить замену Ig д: = i, получить квадратное уравнение - 2f - 3 = О, имеющее корни = -1 и ^2 = 3, а затем выполнить обратную замену и получить простейшие логарифмические уравнения: lg;c = -l и lga: = 3. Тогда, по определению логарифма, корнями данных уравнений являются х = 10 * = 0,1 и л: = 10" = 1000.
Принимая во внимание то, что замена переменной (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием уравнения на любом множестве, для выполнения замены не обязательно находить ОДЗ данного уравнения. После выполнения обратной замены мы получили простейшие логарифмические уравнения, ОДЗ которых (как было показано выше) учитываются автоматически и могут также не записываться. Таким образом, в приведенном решении ОДЗ данного уравнения учтена автоматически, и поэтому в явном виде ОДЗ можно не записывать в решение. Именно так и оформлено решение этого уравнения в пункте 4 таблицы 58.
Рассмотрим также равносильные преобразования уравнения вида
logj(x) = log„g (лг) (а > о и а ^ 1). (4)
• Как уже говорилось, все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений. Для уравнения (4) ОДЗ
14 Алгебра и начала математического анализа. Учебник 10 кл.
418 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
задается системой неравенств
Поскольку логарифмическая
[/W>0,
U (х)>0.
функция log„ t возрастает (при а >1) или убывает (при О < а < 1) на всей своей области определения и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, то равенство (4) может выполняться (на ОДЗ) тогда и только тогда, когда f {x) = g (зс). Учитывая ОДЗ, получаем, что уравнение (4) равносильно системе
f{x) = g(x), (5)
f(x)>0, (6)
g{x)>0. (7)
Символично полученный результат зафиксирован в пункте 4 таблицы 58, а коротко его можно сформулировать так:
■ чтобы решить уравнение \og^f(x) = iog^g (х) с помощью равносильных преобразований, учитываем ОДЗ этого уравнения и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов. О
Пример использования этого ориентира приведен в таблице 58. Замечание 1. Полученную систему (5)-(7) можно несколько упростить. Если в этой системе выполняется равенство (5), то значения f {х) и g{x) между собой равны, поэтому если одно из этих значений будет положительным, то второе также будет положительным. Таким образом, уравнение (4) равносильно системе, состоящей из уравнения (5) и одного из неравенств (6) или (7) (обычно выбирают простейшее из этих неравенств).
Например, уравнение log3(3f^ ~ 2) = log3(4x - 5), рассмотренное в табли-
— 2 = 4лг - 5
це 58, равносильно системе \ ’ Но учитывая, что ограничения
4х-5>0.
мы не решали, а только проверяли, удо-
\х^ -2>О,
ОДЗ этого уравнения: \
[4x-5 > О,
влетворяют ли найденные корни этим ограничениям, приведенное упрощение не дает существенного выигрыша при решении этого уравнения.
Замечание 2. Как было обосновано выше, если выполняется равенство (4), то обязательно выполняется и равенство (5). Таким образом, уравнение (5) является следствием уравнения (4), и поэтому для нахождения корней уравнения (4): log„ f (зс) = log„g (л:) достаточно найти корни уравнения-следствия (5): f (зс) = g (зс) и выполнить проверку найденных корней подстановкой в данное уравнение. (При таком способе решения ОДЗ уравнения (4) будет учтено опосредствованно, в момент проверки полученных корней, и его не придется явно записывать.)
Выполняя равносильные преобразования логарифмических уравнений в более сложных случаях, можно придерживаться следующего ориентира (он следует из определения равносильных уравнений и обоснован в § 3 раздела 1):
Для этого достаточно учесть ОДЗ уравнения
(8)
а затем, выполняя
§ 35. Решение логарифмических уравнений и неравенств 419
II) Учитываем ОДЗ данного уравнения.
2) Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.
Например, решим уравнение
logjCx + 1) = 3 - logjCa: + 3) с помощью равносильных преобразований.
[ д: +1 > О,
[д: + 3>0,
каждое преобразование уравнения, все время следить за тем, можно ли на ОДЗ выполнить это преобразование и в обратном направлении. Если ответ положителен, то выполненные преобразования равносильны. Если же какое-то преобразование для всех значений переменной из ОДЗ можно выполнить только в одном направлении (от исходного уравнения к следующему), а для его выполнения в обратном направлении необходимы какие-то дополнительные ограничения, то мы получим только уравнение-следствие, и полученные корни придется проверять подстановкой в исходное уравнение. Применим этот план к решению уравнения (8).
Чтобы привести это уравнение к простейшему, перенесем все члены уравнения с логарифмами влево. Получим равносильное уравнение
logjCx + 1) + logaCx + 3) = 3. (9)
(Равносильность уравнений (8) и (9) следует из известной теоремы: если из одной части уравнения перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное данному на любом множестве. Равносильность этих уравнений следует также из того, что мы можем не только перейти от равенства (8) к равенству (9), но и выполнить обратное преобразование, пользуясь свойствами числовых равенств.)
Учитывая, что сумма логарифмов положительных (на ОДЗ) чисел равна логарифму произведения, получаем уравнение
log2((a: + l)(x + 3)) = 3. (10)
На ОДЗ данного уравнения можно выполнить и обратное преобразование: поскольку х-Ь1>0идс-ЬЗ>0, то логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. Таким образом, от равенства (10) можно вернуться к равенству (9), то есть этот переход также приводит к равносильному уравнению. Уравнение (10) — это простейшее логарифмическое уравнение. Оно равносильно уравнению, которое получается по определению логарифма:
{х 1)(л: + 3) = 2\
Выполняя равносильные преобразования полученного уравнения, имеем:
-I- 4д: - 5 = о, д:, = 1, ^2 = -5.
Поскольку все равносильные преобразования выполнялись на ОДЗ данного уравнения, учтем ее, подставляя полученные корни в ограничения ОДЗ: X = 1 — корень, потому что удовлетворяет условиям ОДЗ;
420 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
д: = -5 не является корнем (посторонний корень), потому что не удовлетворяет условиям ОДЗ. Таким образом, данное уравнение имеет только один корень д: = 1.
Замечание. Рассмотренное уравнение можно было решить и с использованием уравнений-следствий.
Примеры решения задач Задача 1 Решите уравнение
lg(x-2)-ilg(3x-6) = lg2.
(1)
Решение
► 21g(д:-2)-Ig (д: -2)^-1
Ig-
Зх-6
i^-2f
Здг-6
i:-6) = 21g2. (2)
- 6) = Ig 2^ (3)
- Ig 4, (4)
= 4, (5)
(Зх - 6), (6)
28 = 0, (7)
X, = 2, х^= 14.
Проверка. х = 2 — посторонний корень (под знаком логарифма получаем 0),
X = 14 — корень, поскольку имеем lg(14-2)-|lg(3-14-6) = lg2,
Igl2-ilg36 = lg2, lgl2-lgV36 = lg2, lgf = lg2,
Ig 2 = Ig 2.
Ответ: 14. <]
Комментарий
Решим данное уравнение с помощью уравнений-следствий. Напомним, что при использовании уравнений-следствий главное — гарантировать, что в случае, когда первое равенство будет верным, то и все последующие также будут верными.
Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения (1) на 2 (если равенство (1) верно, то и равенство (2) также верно). Если равенства (1) и (2) верны (при тех значениях х, которые являются корнями этих уравнений), то при таких значениях х существуют все записанные логарифмы, и тогда выражения х - 2 и Зх - 6 — положительны. Следовательно, для положительных а, Ь, с можно воспользоваться формулами:
21ga = lga^, \gb-\gc = \g~, таким
с
образом, равенства (3) и (4) также будут верны. Учитывая, что функция y = \gt является возрастающей и, следовательно, каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, из равенства логарифмов (4) получаем равенство соответствующих аргументов (5).
§ 35. Решение логарифмических уравнений и неравенав 421
Если равенство (5) верно, то знаменатель дроби не равен нулю, и после умножения обеих ее частей на Зд: - 6 ^ О получаем верное равенство (6) (а значит, и верное равенство (7)). Поскольку мы пользовались уравнениями-следствиями, то в конце необходимо выполнить проверку.
Задача 2 Решите уравнение
\ogiix - 5)2 - 2 = 2 log2(2x).
(1)
Решение
f(x-5)So, ix=it5,
► ОДЗ: Г ’ Тогда
[2х>0. [х>0.
На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:
log2(j: - 5)^ - log2 2" = 2 log2(2;c).
(2)
(3)
log2^^^^Г^ = log2(2л:)^
(X - 5)2 = 4 • 4x2,
15x2 -I- lOx - 25 = 0,
3x2 + 2x - 5 = 0.
Xj = 1, x:2 = .
Учитывая ОДЗ, получаем, что X = 1 входит в ОДЗ, таким обра-
зом, является корнем;
5
х = — 3
не
входит в ОДЗ, следовательно, не является корнем данного уравнения. Ответ: 1. <\
Комментарий
Решим данное уравнение с помощью равносильных преобразований. Напомним, что для этого достаточно учесть ОДЗ данного уравнения и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.
Заметим, что на ОДЗ выражение X - 5 может быть как положительным, так и отрицательным, и поэтому мы не имеем права применять к выражению log2 {х - 5)2 формулу: log2(x - 5)2= 2 log2(x - 5) (это приведет к потере корня). Применение обобщенной формулы логарифмирования приведет к уравнению с модулем. Используем другой способ преобразований, учтя, что 2 = log2 22. Поскольку на ОДЗ все выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны, то все преобразования от уравнения (1) к уравнению (2) будут равносильными. Выполнить равносильные преобразования уравнения (2) можно с использованием ориентира, приведенного на с. 418. Также равносильность уравнений (2) и (3) может быть обоснована через
422 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
возрастание функции у = logj t, которая каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.
Задача 3* Решите уравнение log^^: + 6 log^4 = 5.
Решение
► ОДЗ: I ^ ^ На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению log^xH-e—^— = 5.
log^ X
Замена: log^jc = t. Получаем:
t л-- = Ъ,
-f- 6 = О,
= 2, <2 = 3;
log4j: = 2 илиlog4л: = 3;
= 4^ = 16 или л: = 4* = 64 (оба корня входят в ОДЗ). Ответ: 16; 64. <]
(1)
(2)
Комментарий
Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ (д: > О, л: 1). Поскольку в уравнение входят логарифмы с разными основаниями, то приведем их к одному основанию (желательно числовому, иначе можно потерять корни уравнения). В данном случае приводим к основа-
1
нию 4 по формуле log^ Ь =
log. а
После приведения логарифмов к одному основанию переменная входит в уравнение только в одном виде log^x. Выполним замену log4o: = t. Поскольку по ограничениям ОДЗ д: 1, то t ^ 0. Тогда полученное дробное уравнение (1) равносильно квадратному уравнению (2).
Поскольку замена и обратная замена являются равносильными преобразованиями на ОДЗ, то для полученных решений достаточно проверить, входят ли они в ОДЗ.
Задача 4* Решите уравнение
= 1000. (1)
Решение Комментарий
Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ и используем ориентир: если переменная входит и в основание, и в показатель степени, то для решения такого уравнения можно попытаться
► ОДЗ: д; > О.
На ОДЗ данное уравнение равно сильно уравнениям:
lg(x'«--2) = lgl000, (2)
(Ig дс - 2) Ig д: = 3. (3)
Замена: Ig х = f. Получаем:
{t - 2) t = 3, - 2t - 3 = о.
§ 35. Решение логарифмических уравнений и неравенств 423
-1, и = 3.
Обратная замена дает
Ig X = -1 или Ig X = 3. Отсюда X = 10 * = 0,1 или
X = 10 = 1000.
Ответ: 0,1; 1000. <3
прологарифмировать обе части уравнения (только если они положительны). В запись уравнения уже входит десятичный логарифм, поэтому прологарифмируем обе части по основанию 10 (на ОДЗ обе части данного уравнения положительны).
Поскольку функция у = lgt является возрастающей, то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Следовательно, если выполняется равенство (1), то выполняется и равенство (2), и наоборот: если выполняется равенство (2), то выполняется и равенство (1). Таким образом, уравнения (1) и (2) равносильны на ОДЗ. При X > о применение формулы Ig х“ = а Ig X является равносильным преобразованием, а значит, уравнения (2) и (3) также равносильны.
Обоснование равносильности дальнейших преобразований полностью совпадает с аналогичным обоснованием в предыдущей задаче.
Задача 5
Решите уравнение logj(3"' - 8) = 2 - х.
Решение 3^-8 = 32-^
о2
3"-8 = ^.
Замена: 3* = t. Получаем
(1)
i-8 = y. (2)
- 8t - 9 = 0, (3)
= 9, «2 = -1.
Обратная замена дает
З-' = 9, X = 2 или 3^ = -1 — корней нет. Ответ: 2. <1
Комментарий
Если сначала рассмотреть данное уравнение как простейшее логарифмическое, то по определению логарифма оно равносильно уравнению З'' - 8 = 3^'*. Как уже отмечалось (с. 416), ОДЗ данного уравнения 3*- 8 > О для всех корней уравнения (1) учитывается автоматически, поскольку 3^" * > о всегда. После этого уравнение (1) решается по схеме решения показательных уравнений (табл. 54, с. 384).
Поскольку i = 3"^ > О, то t Ф 0, и поэтому уравнение (2) равносильно уравнению (3).
424 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Задача 6 Решите систему уравнений
Решение \og2(xy) = 2,
Iog3(i/-Jc) = l.
По определению логарифма имеем ху = 2\ у-х = 3.
Из второго уравнения последней системы получаем у = х + 3 и подставляем в первое уравнение: л: (д: + 3) = 4, х^ + Зх - 4 = О,
Xi = 1, х^ = -4.
Тогда г/i = 4, у^ = -1.
Т7 =
Проверка. ^ — решение
1«/ = 4
заданной системы. \\og2l + \og24 = 2, [2 = 2,^
log3(4-l) = l;
1 = 1
— постороннее решение
{х = -4,
['/ = -1
(под знаком логарифма получаем отрицательные числа).
Ответ: (1; 4). <3
log2X4-log2i/ = 2, log3(i/-a:) = l.
Комментарий и логарифмические
Как и логарифмические уравнения, системы логарифмических уравнений можно решать как с помощью систем-следствий (каждое решение первой системы является решением второй), так и с помощью равносильных преобразований систем (все решения каждой из них являются решениями другой).
Кроме того, при решении логарифмических систем можно применить те же способы, что и при решении других видов систем (способ алгебраического сложения, подстановка некоторого выражения из одного уравнения в другое, замена переменных).
Например, решим данную систему с помощью систем-следствий. Для этого достаточно гарантировать, что в случае, когда заданная система состоит из верных равенств, каждая следующая система также будет содержать верные равенства. Как и для уравнений, при использовании систем-следствий необходимо выполнить проверку полученных решений подспшновкой в исходную систему.
Замечание. Данную систему можно было решить и с помощью равносильных преобразований систем. При этом пришлось бы учесть ОДЗ данной д:>0,
системы р > О, следить за равносильностью выполненных преобразова-у-х>0,
ний (в данном случае все написанные преобразования являются равносильными на ОДЗ), а в конце проверить, удовлетворяют ли полученные решения
условиям ОДЗ (пара чисел
|х = 1,
ll/ = 4
не удовлетворяет условиям ОДЗ).
удовлетворяет условиям ОДЗ, а
х = -4, У = -1
§ 35. Решение логарифмических уравнений и неравенств 425
Задача 7
Решите систему уравнений
log^x + \og,y = 2, х^-у = 20.
► ОДЗ:
Решение
лг>0,
X 1,
У>0,
У^1.
Тогда из первого уравнения имеем
— + log,i/ = 2.
log,i/
Замена t = log^ у дает уравнения \ + t = 2, - 2f + 1 = О, ^ = 1.
Обратная замена дает logj J/ = 1, то есть у = х.
Тогда из второго уравнения системы имеем - X - 20 = О,
Xj = - 4 (не принадлежит ОДЗ),
Хз = 5 (принадлежит ОДЗ).
Таким образом, решение данной системы
|х = 5,
|'/ = 5.
Ответ: (5; 5). <]
Комментарий Решим данную систему с помощью равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ее ОДЗ (х > о, X 1, I/ > о, J/ / 1) и гарантировать, что на каждом шагу были выполнены именно равносильные преобразования уравнения или всей системы. В первом уравнении системы все логарифмы приведем к одному основанию х (на ОДЗ х > 0, log^x 1
X 1): log„x = -j—^ = -j----.
^og^y log^i/
НаОДЗг/ 5^ 1,следовательно, \og^y*0. Тогда после замены t = \og^y имеем ^ о, и поэтому переход в решении от дробного уравнения к квадратному является равносильным.
Поскольку замена (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием, то, заменяя первое уравнение системы равносильным ему (на ОДЗ) уравнением у = X, получаем систему, равносильную данной (на ее ОДЗ).
Вопросы для контроля
1. Объясните на примерах, как можно решать простейшие логарифмические уравнения, используя определение логарифма.
2*. Обоснуйте справедливость равносильного перехода:
\og^f(x) = с <=> /(х) = аМа > о, а / 1).
3. Объясните, как можно решить уравнение log5(x - 2) = logj(x^ — 2); а) с помощью уравнений-следствий;
б*) с помощью равносильных преобразований.
4. Объясните на примере применение замены переменных при решении логарифмических уравнений. В каких случаях целесобразно применять замену переменных?
Упражнения
Решите уравнение (1—5).
1°. 1) logaX = 4;
2) logo,2 X = -1:
3) log„x = i;
4) Ig X = 2.
426 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
2. Dlog3(2x- 1) = 2; '
3) log„(jc^ + 2д: - 2) = 0;
3. 1°) Ig (х + 9) + Ig (2х + 8) = 2;
3) 2 log2 лг - log2(3x - 4) = 1;
4. 1°) logj д: - 4 logg лс + 3 = 0; 2°)
2”) log,(5х-21) = -2;
4) lg(3 - л:) = -1.
2') loggCx + 1) + loggCx + 3) = 1;
^bgj(x-4) + ilog5(2A;-l) = log5 3.
= 1;
3-lgj; l + lgAt 3) log^ д: + logg д:^ = 8; 4) Ig» д:^ = 8 Ig д:.
5. 1) log2(10 - 2^) = д: + 2; 2) Ig 2 + Ig (4*-» + 9) = 1 + Ig (2""» + 1);
3) log,(6 + 7-*) = 1 + д:; 4) log^ 2 (4 • 3^ - 6) - log2(9" - 6) = 1.
6. Решите графически уравнение:
1) logjX = 3 - x; 2) log3X = log, x;
3) log,x = x-l;
4) Ig X = 11 - X.
Проверьте подстановкой, что найденное значение х действительно является корнем уравнения.
7*. Докажите, что уравнения, приведенные в задании 6, не имеют других корней, кроме найденных графически.
8. Решите систему уравнений:
|l0g2X + l0g2(l/-l) = 3,
[2х-1/ = 1; log„x-log^i/ = |,
1x1/ = 16.
1) |lg(xj/) = 3. 2)
[igx- lgi/ = 2;
jlog2X-i-log2i/ = 2,
3) [log2(x + i/-3) = l; 4)
35.2. РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Таблица 59
1. График функции у = = log„x (а > 0; а 1)
a > 1 0 < а < 1
У У‘ \
0 уЛ X 0 г\ ^
возрастает убывает
§ 35. Решение логарифмических уравнений и неравенств 427
Продолж. табл. 59
a > 1 0 < a < 1
logJ(x)>log„g(x)<=>^ \f(x)>g |g(x)>0 f{x)>g(x), /(x)>0, <=> (a:), . logj(x)>log„g(x)o \пх)>0 f(x)0, ^ g(x)>0 (x), ,
2. Равносильные преобразования простейших логарифмических неравенав
Знак неравенства не меняется, и учитывается ОДЗ.
Знак неравенства меняется, и учитывается ОДЗ.
Примеры
loggCoc - 5) > 3.
► ОДЗ: д: - 5 > О, то есть х > 5. log2(x - 5) > log2 2®.
Функция у = logj t возрастающая, тогда
X- 5> 2\
X > 13.
Учитывая ОДЗ, имеем х > 13. Ответ: (13; +оо). О
logj (д:-5)>3.
2
►ОДЗ: X - 5 > О, то есть х > 5.
logj(x-5)>logi(i) .
Функция у = logjL t убывающая, 2
тогда x-5<|i| , х<ъК
Учитывая ОДЗ, имеем 5 < х < 5-.
8
Ответ: |^5; <1
3. Решение более сложных логарифмических неравенств
Ориентир
Пример
I. С помощью равносильных преобразований данное неравенство приводится к неравенству известного вида.
Ig2(10x) - Igx > 3.
► ОДЗ: X > 0. На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенствам:
(Ig 10 -ь Ig xY - Ig X > 3, (1 -f- Ig xY - Ig X > 3.
428 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Продолж. табл. 59
Схема равносильных преобразований неравенства:
1. Учитываем ОДЗ заданного неравенства (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ).
2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.
Замена \gx = t. Тогда (1 -Н i > 3, то есть t - 2 > 0. Решение этого неравенства
f < -2 или f > 1 (см. рисунок).
+
-2
t
Обратная замена дает
Ig д: < -2 или \g X > 1.
Тогда Ig дг < Ig 10^^ или Ig дг > Ig 10. Учитывая, что функция у = lg х является возрастающей, получаем;
X < 10^ или X > 10.
С учетом ОДЗ имеем:
о < д: < 0,01 или X > 10.
Ответ: (0; 0,01] U [10; ч-оо). <]
II. Применяется метод интервалов
(данное неравенство приводится к неравенству f (д:) ^ 0) и используется схема:
1. Найти ОДЗ.
2. Найти нули f(x).
3. Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак f (д;) на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.
4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.
log^(2x: + 3) < 2.
► Решим неравенство методом интервалов. Оно равносильно неравенству log^(2д: -ь 3) - 2 < 0.
Обозначим f (х) = log^(2^r -Ь 3) - 2.
2дг ч- 3 > о,
1. ОДЗ: д:>0, то есть
1 xv^l.
X4tl, ^
2. Нули функции: f{x) = 0. log^(2;tr ч-3)--2 = 0. Тогда log^(2^: Ч-3) = 2. На ОДЗ это уравнение равносильно уравнению 2х 3 = х^ (полученному по определению логарифма). То есть д:^ - 2дс - 3 = 0, дс, = -1, дсз = 3. В ОДЗ входит только дг = 3. Итак, f{x) имеет единственный нуль функции д: = 3.
3. Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак fix) на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решения неравенства f(x) < 0.
0 1 3 д:
Ответ: х е (0; 1) U (3; ч-оо). <]
§ 35. Решение логарифмических уравнений и неравенств 429 Объяснение и обоснование
1. Решение простейших логарифмических неравенств. Простейшими логарифмическими неравенствами обычно считают неравенства вида
^ogJ{x) > \og^g(x) (где а > О и а 1). (1)
• Для решения такого неравенства можно применять равносильные преоб-
[ / (д:) > О,
разования. Для этого необходимо учесть его ОДЗ: ( и рассмот-
[^(д:)>0
реть два случая: основание логарифма больше 1 и основание меньше 1 (но больше 0).
I. При а > 1 логарифмическая функция у = log„ t возрастает на всей своей области определения (то есть при f > 0), и поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Таким образом, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента (в данном случае переходя к выражениям, стоящим под знаком логарифма), мы должны оставить тот же знак неравенства, то есть
f{x)>g{x). (2)
Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (большему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получаем, что на ОДЗ неравенство (1) равносильно неравенству (2). Коротко это можно записать так:
f{x)>g(x). (2)
При а > 1 log„ f (л:) > log„ g (дг) <=> f (x) > 0, (3)
g (x)>0. (4)
II. При о < а < 1 логарифмическая функция у = log^ t убывает на всей своей области определения (то есть при f > 0), и поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента, мы должны знак неравенства изменить на противоположный, то есть
f{x) log„ g (дг) <=> f (л:) > 0, (3)
g(^r)>0. (4)
430 Раздел 5 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ_______________
Суммируя полученные результаты, отметим, что
1для решения неравенства вида log^/(x) > log„g(x) с помощью равносильных преобразований необходимо учесть его ОДЗ, а при переходе от значений функции к значениям аргумента (то есть к выражениям, стоящим под знаком логарифма) — значение а: при а > 1 знак неравенства не меняется,
при о < а < 1 знак неравенства меняется на противоположный.О Примеры использования этих ориентиров приведены в таблице 59. Замечание. Системы неравенств, полученные для случаев I и II, можно несколько упростить. Например, если в системе выполняются неравенство (2): f (х) > g{x) VI неравенство (4): g(x) > 0, то из этих неравенств следует, что / (х) > 0. Следовательно, неравенство (3) этой системы выполняется автоматически, когда выполняются неравенства (2) и (4), и его можно не записывать в эту систему (см. пункт 2 табл. 59).
Аналогично обосновывается, что в случае II в системе неравенство (4) является следствием неравенств (3) и (5), и его также можно не записывать в систему.
Например, решим неравенство log^ix’^ - 2х) > log5 3.
► logs(x^ - 2х) > logg3 <=> - 2л: > 3.
(ОДЗ данного неравенства - 2л: > 0 учтено автоматически, поскольку, если х^ - 2х > 3, то выполняется и неравенство х“^ - 2х > 0.)
Решаем неравенство л:^ - 2л: > 3. Тогда - 2х - 3 > 0, отсюда (см. рисунок) л: < -1 или л: > 3 — решение заданного неравенства (его можно записать и так: (-°о; -1) U (3; +°о)). <1
-lV-^3 л
2. Решение более сложных логарифмических неравенств выполняется или с помощью равносильных преобразований данного неравенства (и приведения его к известному виду неравенств), или с помощью метода интервалов*.
Схема равносильных преобразований логарифмических неравенств полностью аналогична схеме равносильных преобразований логарифмических уравнений:
II) учитываем ОДЗ данного неравенства;
2) следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.
В этом случае на ОДЗ каждое решение данного неравенства будет и решением второго и, наоборот, каждое решение второго неравенства будет решением первого, то есть эти неравенства будут равносильными (на ОДЗ).
Примеры решения логарифмических неравенств с помощью равносильных преобразований и методом интервалов и оформления такого решения приведены в таблице 59. Рассмотрим еще несколько примеров.
* Еще раз напомним, что для решения неравенств методом интервалов мы пользуемся следующим свойством элементарной функции (которое доказывается в курсе математического анализа): если на интервале (а; Ь) элементарная функции f (х) определена и не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет постоянный знак.
§ 35. Решение логарифмических уравнений и неравенав 431
Примеры решения задач
Задача 1 Решите неравенство log^ jC* “ 1) + logo,2(-*^ + 3) > -1.
Комментарий
Решим данное неравенство с помощью равносильных преобразований. Как и для уравнений, для этого достаточно учесть ОДЗ данного неравенства и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства. Поскольку на ОДЗ выражения, стоящие под знаком логарифмов, положительны, то формулу log„ Ь-н log„ с = log„ (Ьс) для положительных Ь и с можно применить как в прямом, так и в обратном направлениях. Таким образом, выполняя преобразование неравенства по этой формуле, получим неравенство, равносильное данному (на его ОДЗ).
Чтобы применить свойства логарифмической функции, запишем число (-1) как значение логарифмической функции: -1 = log(,2(0»2)’* (понятно, что эту формулу можно применить как в прямом, так и в обратном направлениях) и учтем, что (0,2)** = (—) = (i) =5.
10/ \5/
Решение
► ОДЗ:
л: -1 > о.
Тогда X > 1.
[д:ч-3>0
На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству logo 2 ((^ -1)(^ + 3)) > logo,2(0,2)■^.
Функция у = logo 2 ^ убывающая, поэтому (х - 1)(х -I- 3) < (0,2)■^. Получаем д:^ -f 2х - 3 < 5, -f- 2х - 8 < 0.
Последнее неравенство имеет решения:
-4 < д: < 2 (см. рисунок).
Учитывая ОДЗ, получаем 1 < д: < 2.
Ответ: (1; 2]. <1
-4V-
Задача 2* Решите неравенство log j logj
>-1.
Решение
(1)
Учитывая ОДЗ данного неравенства и то, что функция i/ = logj< убывающая, получаем ®
00,
2-х
’>0.
2-х
(6)
(7)
432 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
то есть 01.
которая равносильна
2-х
<8,
системе
2х-3
2-х
9х-17
2-х
>0,
<0.
(4)
(5)
Решаем неравенства (4) и (5) методом интервалов и находим их общее решение (см. рисунок).
Для неравенства (4) ОДЗ: х 2,
2х — 3
нули функции f(x) =-----:
3
д: = -. 2
Для неравенства (5) ОДЗ: х 2,
/ ч 9х-17 17
нули функции g(x) =-----: ^ = —-
2-х 9
Ответ
(1^ ?)■
При выполнении равносильных преобразований главное — не записать ОДЗ, а учесть ее в ходе решения. При переходе от неравенства (1) к неравенству (2) в записи последнего неравенства остается выра-
жение log2-;---
2-х
для которого ОДЗ:
л:-1
2-х
>0. Следовательно, при таком
переходе ограничение (7) будет неявно учтено и поэтому достаточно учесть только ограничение (6) (что и сделано в левой части неравенства (2)). Чтобы применить свойства соответствующих логарифмических функций, записываем сначала
(и учитываем, что =3J,
а затем — 0 = log21 и 3 = log2 2®.
При переходе от неравенства (2)
х-1 1
к неравенству (3) получаем
таким образом, и в этом случае неравенство (7) учтено автоматически. Для нахождения общих решений неравенств (4) и (5) удобно их решения методом интервалов разместить одно над другим так, чтобы одинаково обозначенные точки находились одна над другой. Тогда из приведенного рисунка легко увидеть общее решение системы неравенств.
§ 35. Решение логарифмических уравнений и неравенств 433 Вопросы для контроля
1. Объясните на примерах, как можно решать простейшие логарифмические неравенства, используя свойства логарифмической функции.
2*. Обоснуйте справедливость равносильных переходов:
f{x)>g{x),
1) при а > 1 log„ f (x) > log„ g (д:) <=> / {x) > 0,
g W>0; f(x) log„ g(x)<^ f (x) > 0,
g(x)>0.
3. Объясните на примере применение метода интервалов к решению логарифмических неравенств.
Упражнения
Решите неравенство (1—6).
1°. 1) loggX > 2; 2) logo2^ > -1;
3) logo.jJ^ < 1; 4) Igx < 2.
2. 1) log2(3x - 2) > 2; 2) logi(5o:-l)>-2;
3) log5(3x - 2) < 2;
4) log,(2j:-(-l)>-l;
y.l)\g{2x - l)> \g{x + 2)-, 2) logi(3j:-i-l)>logi(x-i-3);
3 3
3) log, 2 л: < log, 2(3x - 6); 4) logJ2x - 1) < log^Cx + 3).
4. 1) logj д: - 3 logj д:-I-2 > O, 3) log|x-4<0;
3
5. 1) IgA; -I- lg(A; - 9) > 1; 3) log^ix^ - X -12) <3;
6*. 1) log3log2log, 5A: > 0;
3) log2A: + log^2 < 2,5;
>1;
2) —-
3-lgx l + lgx
4) logj дг-Tlog, д:-2>0.
2 2
2) log, , (a; + 4) -t- logo i (a: - 5) < -1;
4) log„(A: -b 1) + log„A: ^ log,. 2.
2) log,,, V^Tl2 > 1;
4) log^3<0.
x-3
r. 1) log2,,,.,3A;^0.
3 - 2x
434 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ_
§ 36. РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Таблица 60
Показательно-степенные уравнения
Показательно-степенными уравнениями обычно называют уравнения, содержащие выражения вида (/ (д:))**"'*, то есть уравнения вида
if (л^))**** = if (л:))''’**’ (основанием степеней, стоящих в левой и правой частях показательно-степенного уравнения, является f{x) — выражение с переменной).
Основные способы решения уравнения вида (/ (л))*'*’ = (/ (х))'
Ориентир
Пример
l.f{x)>0
Используем (если возможно) основное логарифмическое тождество в виде
д1о*.лг ^дг(д > о, о / 1, лг > 0)
1. ► - 1 <=>
д: >0,
х*1, «
х-т1 = дг^-1 д:>0, x^l.
х>0,
х^1.
х-2 = 0
<=>де = 2.
Xj = -1 или Х2 = 2
Ответ: 2. <3
Логарифмируем (если возможно) обе части уравнения по числовому основанию или представляем все степени как степени с одним и тем же числовым основанием по формуле
где (а > о, а ть 1, I/ (дс) > 0)
2. = ЮОх.
► На ОДЗ (х > 0) обе части уравнения положительны, поэтому после логарифмирования по основанию 10 получаем уравнение, равносильное данному:
Ig (д;21«* + 1) = lg(100x:).
Отсюда
(2 Ig д: -t- 1) Ig д: = Ig 100 -Ь Ig дг. Замена: \gx = t. {2t + \) t = 2 t, =1, = 1, = -1. Тогда Ig ДС = 1
или Ig д: = -1, TO есть x^ = 10, x^ = 0,1 (оба корня входят в ОДЗ).
Ответ: 10; 0,1. <1
§ 36. Решение показательно-степенных уравнений и неравенств 435
Продолж. табл. 60
II. f (х) — произвольное выражение
Две степени с одинаковыми основаниями {f = (/ могут
быть равными в одном из четырех случаев:
1) f {х) =-\ и для корней этого уравнения g(x) и ф (д:) — целые числа одинаковой четности.
2) / (д:) = о U для корней этого уравнения g (дт) ^ о U ф (д:) > 0.
3) / (дг) = 1 U для корней этого уравнения g{x) и (х) существуют.
4) ^ (х) = ф (х) и для корней этого
.Их)
уравнения существуют
\ф(*)
(/wr
“ {Пх)У
3.
► Если предположить, что основание степени х является числом, то сначала рассмотрим три особых случая (основание степени равно -1; 0; 1), а затем приравняем показатели степеней:
1) при X = -1 получаем верное ра-венство (-1) = (-1) ;
2) при X = о
q4 _ q2o — верное равенство;
3) при X = 1
1® = 1^® — верное равенство;
4) при 2х -Ь 4 = 20, то есть х = 8,
g2o _ g2o — верное равенство. Ответ: -1; 0; 1; 8.
Замечание. Если предположить, что основание х является переменной, то функция f (х) = счита-
ется определенной только при х > 0. В этом случае данное уравнение имеет только корни 1 и 8, и получаем ответ: 1; 8. <1
Таким образом, ответ к такому уравнению нельзя записать однозначно.
Объяснение и обоснование
Показательно-степенными уравнениями и неравенствами обычно называют уравнения и неравенства, содержащие выражения вида /(х)*<*>(в которых переменная входит и в основание, и в показатель степени).
Анализируя показательно-степенные уравнения, представленные в таблице 60, следует помнить, что в школьном курсе математики понятие уравнения на разных этапах вводилось по-разному, а именно: в 4-5 классах уравнением называлось числовое равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство, называлось корнем или решением этого уравнения. Например, для уравнения 2х = 6 корнем является значение х = 3.
С точки зрения приведенного определения в уравнении 2х = 6 буквой х обозначено хотя и неизвестное нам, но конкретное число, поэтому х может принимать единственное значение х = 3. Но такое определение затрудняет в дальнейшем работу с уравнением. Когда х принимает единственное зна-
436 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ______________
чение, мы не можем применять, например, графическое решение уравнения (имея только одно значение х, невозможно получить график у = 2х как прямую линию на плоскости). Поэтому, начиная с 6-7 классов, уравнение определяется как равенство с переменной (а корнем или решением уравнения соответственно называется такое значение переменной, при котором это уравнение обращается в верное числовое равенство). Тогда д: в уравнении 2д: = 6 — это переменная, для которой нет ни одного ограничения, и поэтому X может быть любым числом (ОДЗ уравнения: Д). При таком подходе каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной 2х. Таким образом, это уравнение можно решить графически, построив графики функций у = 2х w. у = Q. Кроме того, при таком подходе можно записать уравнение в общем виде как равенство / (дс) = ср (дг) и обоснованно применить свойства функций для решения уравнений.
Для всех видов уравнений, которые рассматривались в курсе алгебры или алгебры и начал анализа, приведенные два определения уравнения приводят к одному и тому же результату при решении уравнений. Но в случае показательно-степенного уравнения иногда можно получить разные ответы, используя разные подходы к определению уравнения.
Например, решим уравнение = х^.
► Если рассматривать такое уравнение как числовое равенство, то две степени с одинаковым основанием х могут быть равными только в одном из четырех случаев. А именно: если основанием степени является одно из значений -1, О, 1 (д: = -1, д: = О, дд= 1), то степени могут быть равными даже тогда, когда их показатели будут разными (при условии, что эти степени существуют). Во всех остальных случаях степени с одинаковым основанием будут равными только тогда, когда показатели этих степеней будут равными (2д: -I- 1 = 5, то есть х = 2). Следовательно, для получения всех корней данного уравнения достаточно проверить значения х, равные -1, О, 1, 2. Все эти числа являются корнями, так как при подстановке каждого из них в данное уравнение оно обращается в верное числовое равенство.
Если же рассматривать это уравнение как равенство с переменной и встать на функциональную точку зрения, то функция f (х) = как правило,
считается определенной только при дс > О, и тогда данное уравнение имеет только два корня: 1 и 2. <]
Таким образом, в рассмотренном уравнении ответ нельзя записать однозначно (поскольку каждый из указанных подходов к определению уравнения имеет право на существование и реально используется в математике). Поэтому в подобных ситуациях приходится приводить оба варианта ответа. Аналогичный пример приведен в таблице 60.
Обобщая приведенные выше рассуждения, заметим, что в том случае, когда при решении уравнения вида {f (дс))*^**' = (/ (д:))'*’**’ из условия не следует, что основание степени f (д:) > 0, необходимо рассмотреть три особых случая: основание f (х) равно -1, 0, 1 (понятно, что в этих случаях степе-
§ 36. Решение показательно-степенных уравнений и неравенств 437
ни (/(jc))***’ и {fix)Y^^^ могут быть равными даже тогда, когда показатели g{x) и (f) (дс) разные), а затем приравнять показатели (g (х) = (р (х)). Если же из условия следует, что f (х) > О, то рассматриваем только один особый случай — основание степени равно 1 (/(х)=1)— и приравниваем показатели степеней (g (х) = ф (х)).
Например, решим уравнение (х^ - = (х^ - 1)®.
► Из условия не следует, что основание степени х^ - 1 > О, следовательно, приходится рассматривать все случаи.
1) Если X® - 1 = -1, то X® = О, и тогда х = 0.
Подставляя это значение в данное уравнение, имеем (-1)'^ = (-1)*, то есть -1 = 1 (неверное равенство). Таким образом, х = 0 не является корнем данного уравнения.
2) Если х^ - 1 = о, то есть х = ±1, то при этих значениях х данное уравнение обращается в неверное числовое равенство (поскольку значения выражений 0 ^ и 0'*° не существуют). Таким образом, числа 1 и -1 не являются корнями данного уравнения.
3) Если X® - 1 = 1, то есть х = ±>/2, то данное уравнение обращается в верное
равенство (1 = 1), следовательно, х = ±>/2 —корни данного уравнения.
4) Приравняем показатели степеней данного уравнения (основания степеней в левой и правой частях уравнения одинаковы^: Зх - 7 = 8, тогда X = 5 (при подстановке получаем верное равенство 24* = 24*).
Объединяя полученные результаты, получаем ответ.
Ответ: -л/2; л/2; 5. О
Замечание. При / (х) > 0 для решения уравнения вида (/ (х))**^* = (/ (х) можно прологарифмировать обе его части по любому числовому основанию, получить равносильное уравнение, в котором уже не придется рассматривать особый случай — он будет учтен автоматически. Это связано с тем, что функция у = а* при а > 0 имеет особый случай, если а = 1 (см. график функции у = а"‘ при а > о на с. 378), а функция у = log^ х (где Ь > 0, Ъ * 1) особых случаев не имеет.
Также отметим, что при решении неравенств вида (/(х))***’>(/(х))'''*** обычно используют функциональный подход и считают, что f (х) > 0.
Заметим, что в тех случаях, когда в показательно-степенное уравнение входят выражения вида для решения тлкого уравнения может ис-
пользоваться основное логарифмическое тождество. В этом случае следует учитывать ОДЗ данного уравнения (см. пример 1 в табл. 60).
Достаточно часто для решения показательно-степенных уравнений используется логарифмирование обеих частей. Конечно, это можно сделать только тогда, когда на ОДЗ данного уравнения обе части уравнения положительны (см. пример 2 в табл. 60).
Приведем еще несколько примеров решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
438 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Примеры решения задач
Задача 1
Решите уравнение
Решение
► Поскольку л: = 3 не является корнем данного уравнения (О® не существует), то при д: 3 обе его части положительны. После логарифмирования (по основанию 10) обеих частей данного уравнения получаем равносильные ему уравнения:
1 I О |3jc^“10x+3 ч л
lg|x-3| =lgl,
(Зх^ - Юх -Р 3) Ig I д: - 3 I = о,
Зх^ - Юд -Р 3 = о или Ig I д - 31 = 0. Из первого полученного уравнения
имеем = - , Х2 = 3 (не является кор-
3
нем), а из второго | д - 31 = 1, тогда д - 3 = 1 или д - 3 = -1. То есть д = 4 или д = 2.
Ответ'. 2; 4. <3 3
Комментарий
Поскольку I д - 3 I ^ о, то из особых случаев можно рассмотреть только один — основание равно 0 (I д - 3 I = о, то есть д = 3). Чтобы не рассматривать случай, когда основание равно 1, достаточно при д 3 прологарифмировать обе части уравнения по числовому основанию (например, по основанию 10).
При х*3 обе части данного уравнения положительны, поэтому после логарифмирования получаем уравнение, равносильное данному. Поскольку все дальнейшие преобразования являются равносильными (при д / 3), то все полученные решения (не равные 3) являются корнями данного уравнения.
Задача 2 | Решите уравнение = Ю.
Комментарий
Прологарифмировать обе части данного уравнения не удается (в левой части стоит сумма), поэтому попытаемся все степени представить в виде степеней с одним и тем же числовым основанием. Учитывая, что в данном уравнении есть логарифм по основанию 2, представим все данные степени как степени с основанием 2 по формуле и = а‘°*‘“, где и > 0, а > 0, а / 1. Тогда
glogjX _ 2>о*г(ь '“**') = (1)
^1о*,5 _ 2logj(x _ 2>ова5 logjx
(то есть слагаемые, стоящие в левой части данного уравнения, одинаковы). После получения уравнения (2) (см. решение) можно использовать равенство (1) справа налево. Можно также записать правую часть уравнения (2) как степень числа 2 или прологарифмировать обе его части по основанию 2.
Решение
► ОДЗ: д > 0. На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:
2log2* log25 2*°*25 lOgjX _
§ 36. Решение показательно-аепенных уравнений и неравенав 439
Ответ: 2. <]
2- =
2lo*2Xlog2 5 _ g
5'°*^^ = 5,
logj X = 1, X = 2 (принадлежит ОДЗ).
(2)
Задача 3
Решите систему уравнений
+1/“’*»* = 18, log3X + log3j/ = 3.
Комментарий
Используем равносильные преобразования системы. Для этого учтем ОДЗ и проследим за тем, чтобы на этой ОДЗ все преобразования уравнений как в прямом, так и в обратном направлении сохраняли верные равенства.
В первом уравнении данной системы запишем все степени как степени с основанием 3 (см. выше комментарий к задаче 2). После равносильных (на ОДЗ) преобразований первого уравнения получаем систему (1) (см. решение), в которую переменные входят только в виде logj х и logj у, поэтому удобно использовать замену переменных. После обратной замены применяем определение логарифма.
Решение
► ОДЗ: На этой ОДЗ первое уравнение заданной системы равносиль-
[у>0.
но уравнениям: = 18, + = 18,
2 . gloge^logaV ^ з1ова*1овз1/ = gloga^logag = 32^ log3 X logg У = 2.
Тогда заданная система уравнений равносильна системе
\\og^x\og^y = 2,
|log3X-i-log3i/ = 3.
[uu = 2.
Замена logg х = и, logg у = v дает систему уравнений (
(ц + и = 3.
Из второго уравнения последней системы v = 3 - и, из первого уравнения получаем и(3 - и) = 2, то есть - Зи + 2 = О. Отсюда Uj = 1, Uj = 2. Тогда 1»! = 2, Oj = 1-
Jlog3X = l, |log3X = 2,
Обратная замена дает ( или <
[logsy = 2 [\oggy = l.
f X = 3, [ X = 9,
Тогда ( или ( (найденные решения входят в ОДЗ).
[у = 9 [у = 3
Ответ: (3; 9), (9; 3). <1
440 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Задача 4
Решите неравенство j х - 4 | х - 4
I способ
Комментарий
Попытаемся выполнить равносильные преобразования данного неравенства, применив рассуждения, аналогичные тем, что приводились при решении показательно-степенных уравнений (см. пункт II табл. 60). Поскольку I X - 4 I > о, то из особых случаев необходимо рассмотреть только два: основание равно 0 (то есть х = 4) и основание равно 1 (то есть | х - 4 | = 1). При других значениях х основание — положительное число, не равное 1. Рассмотрим два случая: 1) основание больше 1 (при переходе от степеней к показателям в данном неравенстве знак неравенства не меняется); 2) основание меньше 1, но больше 0 (при переходе от степеней к показателям в данном неравенстве знак неравенства меняется на противоположный). При таких преобразованиях получаем неравенства, равносильные данному (на его ОДЗ), поскольку можем гарантировать правильность не только прямых, но и обратных переходов.
При решении полученных простейших логарифмических неравенств учитываем, что функция у = \gt является возрастающей.
В ответ следует включить все решения полученных систем неравенств и все особые значения, которые являются решениями данного неравенства.
Решение
► ОДЗ:
X - 2 > о.
то есть 2 < X < 6.
|6-х>0.
При X = 4 данное неравенство выполняется (О’*^ > О'*^, 0 > 0 — верное неравенство), таким образом, х = 4 — одно из решений этого неравенства.
Если I X - 4 I = 1 (то есть х - 4 = 1 или х - 4 = -1, тогда х = 5 или X = 3 — эти значения входят в ОДЗ), то данное неравенство также выполняется. При X = 5 и X = 3 получаем верное неравенство 1 > 1. Таким образом, эти числа также являются решениями данного неравенства.
При х^4, х/5их9ьЗна ОДЗ данное неравенство равносильно следующей совокупности систем:
[0<|х-4|<1,
|lg(x-2)lg(6-x)
Х5^4,
х#5,
X 3,
2 < X < 6,
X - 4 < -1 или X - 4 > 1, х-2>в-х
То есть
или
хф5,
хфЗ,
2 < X < 6, -1<х-4<1, X - 2 < 6 - X.
§ 36. Решение показательно-степенных уравнений и неравенств 441
Тогда
х;^4,
х*5,
х^З,
2<х <6,
л: < 3 або дг > 5,
х>4
или
х^4,
х*5,
X ^3,
2<х <6, 3< х<5, х<4.
Таким образом, 5 < д: < 6 или 3 < дс < 4. Учитывая особые значения, которые являются решениями, получаем: 3 < д: < 4 или 5 < д: < 6.
Ответ: [3; 4] U [5; 6). <
II способ решения неравенства | д: — 4 |'***"^’ > \х — 4 |
Комментарий
Решим данное неравенство методом интервалов, для этого приведем его к виду f(x) > 0.
Для нахождения нулей f {х) необходимо решить показательно-степенное уравнение (2). Поскольку | д; - 4 | > 0, то из особых случаев необходимо рассмотреть только два — основание равно 0 (то есть х = 4) или основание равно 1 (то есть | х - 4 | = 1). При других значениях х из ОДЗ в уравнении (3) основание — положительное число, не равное 1. Тогда можно приравнять показатели степеней (получаем уравнение, равносильное данному).
Для нахождения знаков /(х) удобно использовать графики функции у = а’^ при о < а < 1 и при а > 1.
► 1. ОДЗ:
X - 2 > о.
Решение то есть 2 < X < 6.
6 - X > о.
На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству |д,_4|'*(«-2)_|^_4|Ж<в-Х)^0.
2. Пусть /(X) = |х - - |х - 41'*'®""’. Нули f{x):
|;с-4|'*‘"-'”-|х-4|'*<*-''' = 0.
На ОДЗ уравнение (2) равносильно уравнению |х-4|‘*'’‘-') = |х-4|'*(б-").
(1)
(2)
(3)
442 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ_____________
При X = 4 равенство (3) выполняется (О'*^ = О'*^; 0 = 0 — верное равенство), таким образом, х = 4 — корень уравнения (3).
Если I л - 4 I = 1 (то есть д: - 4 = 1 или л: - 4 = -1, тогда х = 5 или х = 3), то равенство (3) также выполняется. При х = 5 и д; = 3 получаем верное равенство 1 = 1. Таким образом, эти числа также являются корнями уравнения (3).
При дг/4, дс^ьбидс^ьЗна ОДЗ уравнение (3) равносильно уравнению Ig (д: - 2) = Ig (6 - д:). Тогда дс - 2 = 6 - д:, то есть д: = 4 — не удовлетворяет условию хф4. Следовательно, на по-следнем множестве уравнение (3) корней не имеет.
3. Отмечаем нули функции на ОДЗ и находим знак f (х) на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (см. рисунок).
Ответ: [3; 4] U [5; 6). О
Задача 5
Решите неравенство >а*дд.
Комментарий
На ОДЗ обе части неравенства положительны, поэтому попытаемся прологарифмировать обе части неравенства. Поскольку в данное неравенство уже входит log^ х, то удобно прологарифмировать по основанию а. Но при логарифмировании по основанию больше 1 знак неравенства не меняется, а при логарифмировании по основанию меньше 1 знак неравенства меняется. Приходится рассматривать два случая (в каждом из них получаем неравенство, равносильное данному на его ОДЗ).
Решение
► ОДЗ: дс > о, а > о, а 1.
Прологарифмируем обе части неравенства.
1) При а > 1 данное неравенство на его ОДЗ равносильно неравенствам:
logaU‘‘’*“'*‘)>loga(a^;c). (log„ х + 1) log„ дс > log„ -f- log^ дс, log^x + log„x>2 + log^a:, log^дc>2.
Таким образом, \og^x<-y[2 или logдДl:>^/2.
То есть log^ д: < log^ а"'^ или log„ х > log^ а'^.
Учитывая ОДЗ (дс > 0) и то, что а > 1, получаем 0<х<а''^ или х>а'^.
2) При о < а < 1 данное неравенство на его ОДЗ равносильно неравенствам:
log„U‘“*“'*‘) 0) и то, что 0 < а < 1, получаем а'^ <х<а~'^.
Ответ: 1) при а > 1 д:е(0; +“); 2) при 0 < а < 1 дсе(а'^; а"'^). О
§ 37. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 443 Вопросы для. контроля
1. Объясните на примерах, какими способами можно решать показательностепенные уравнения.
2. Объясните, почему при переходе от уравнения х'** = к уравнению Ig X = 2 (основания равны — приравняли показатели) теряется корень данного уравнения.
Упражнения
1. Решите уравнение:
1) х'«* = х^ 2) х2>** - 10х = 0; 3) 4) = 2х;
yjx
5) х*^^ = X®: а) при х > 0; б) при х е R;
( vlogj>/x+I-iloga(*’-l) _____
i)
9) 2х2>*<*-»= И- (х - 1)'*^
2 (СПбГИЭУ). Решите систему уравнений:
6) |х-1Г -‘ = 1;
8) 4‘“**'-1-х‘“«*^=8;
Гх'о*.<' + у‘»в»*=50, |xbgai-+y>oga^r^l6.
1) [log25X + log25Z/ = l,5; 2) |l0g2X-l0g2i/ = 2.
(ВГУ). Решите неравенство:
1) (х2-х+1Г*‘‘“'*'*‘<1; 2) |x + lf‘"">lx + l|^
3) 1х-21‘°*’‘"-'’<|х-2|'°*»‘*-'^ 4)
5) x®"‘°*«^>aV.
§ 37. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Некоторые показательные и логарифмические уравнения можно решить, используя свойства соответствующих функций. Напомним основные приемы, которые применяются при решении уравнений с помощью свойств функций, и приведем примеры решения уравнений и неравенств, содержащих показательные, логарифмические и другие функции.
Таблица 61
Ориентир Пример
Конечная ОДЗ
Если область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения. 2'^ +3* = \х-1>0, \х>1, " 12-2,>0. Ul. Итак, ОДЗ: х = 1.
444 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Продолж. табл. 61
Проверка, х = 1 — корень (2'^+3‘=4‘-''^, 4 = 4). Других корней нет, поскольку в ОДЗ входит только одно число. Ответ: 1. <]
2. Оценка значений левой и правой частей уравнения
fix) = g(x) fix) > а g(x)< а
fix) = а, gix) = а.
Если требуется решить уравнение вида / (д;) = g (х) и выяснилось, что / (х) > а, g (ж) < а, то равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда fix)ng (дс) одновременно будут равны а.
2Х* ^
= COS-.
2
► Оценим значения левой и правой частей данного уравнения: fix) = 2^^ >1 (поскольку х^ > 0);
если g(x) = cos^, то -1 < gix) < 1.
Итак, fix) > 1, gix) < 1. Тогда данное уравнение равносильно
2^' = 1,
системе
cos — = 1. 2
Из первого уравнения получаем дс^ = 0, то есть д: = о, что удовлетворяет и второму уравнению. Ответ: 0. <1
3. Использование монотонности функций
Схема решения уравнения
1. Подбираем один или несколько корней уравнения.
2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения или оценку значений левой и правой частей уравнения ).
Теоремы о корнях уравнения
1. Если в уравнении f ix) = а функция f(x) возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на это.м промежутке.
Пример
Уравнение 2"" -Ь 3^ = 5 имеет единственный корень дс = 1 (2* ч- з' = 5, то есть 5 = 5), поскольку функция f (х) = 2^ Ч- 3"^ возрастает (на всей области определения R) как сумма двух возрастающих функций.
§ 37. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 445
Продолж. табл. 61
2. Если в уравнении f{x) = g (дс) функция f (д:) возрастает на некотором промежутке, а функция g (а:) убывает на этом же промежутке (или наоборот), то .это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.
Пример
Уравнение 5* = 27 - л: имеет единственный корень X = 2 (5^ = 27 - 2, то есть 25 = 25), поскольку f(x) = 5^ возрастает, а g{x) = 27 - X убывает (при всех х G R).
4. «Ищи квадратный трехчлен»
Ориентир
Пример
Попытайтесь рассмотреть заданное уравнение как квадратное относительно некоторой переменной (или относительно некоторой функции).
4"' - (7 - х)-2^ 4- 12 - 4x = 0.
► Запишем 4"^ = 2^"^ и введем замену 2"‘ = t. Получаем
- (7 - x)-t + 12 - 4х = 0. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно t. Его дискриминант D = {7-xf-4.{12-Ax) = x? + 2x+\ = {x + lf.
Тогда g = ^ x±{x + l)^ = 4, t2 = 3 - X.
Обратная замена дает 2"' = 4 (отсюда х = 2) или 2"‘ - Z - X. Последнее уравнение имеет единственный корень X = 1, так как f{x) = 2"' возрастает, а g(x) = 3 — X убывает (при всех х е R). Ответ: 1; 2. <]
Задача 1
Примеры решения задач
Решите уравнение (>/2-7зГ + и2 + 7зГ = 4.
Комментарий Замечаем, что
то
Решение
► Если
{^2 + Js) =|. Получаем i + j = 4. Отсюда - 4t + 1 = 0. Тогда t,=2-S, ^2=2 + ^/3. Обратная замена дает
(>/^Г = 2-7з (отсюда X = 2)
(V2^)-(4/^) = n/2’-W)‘=1.
Таким образом, если 'J2-7s = а,
то ^J2 + S=~. То есть данное урав-а
нение имеет вид а^ + -^ = 4, и его
а
446 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
или
(л12-у1зТ = 2 + у1з (отсюда
X = -2).
Ответ: -2; 2. -О
можно решить с помощью замены = Но теперь эту замену можно непосредственно применить для данного уравнения, не вводя промежуточные обозначения. После обратной замены учитываем, что
2-ь>/з =
1
1
= (ч/2-7з)
Задача 2 Решите уравнение 4^ + -^ + 2’‘ --^-4.
Комментарий
Если привести все степени к одному основанию 2 и обозначить 2"‘ = t, то получим уравнение (1) (см. решение), в котором можно ввести замену
t-~ = u (тогда = t^ -2 + \, отсюда + \ = + 2\. На ОДЗ данного уравне-
t t г I
ния (все X е R) все замены и обратные замены являются равносильными преобразованиями этого уравнения. Таким образом, решив уравнения, полученные в результате замен, и выполнив обратные замены, мы получим корни данного уравнения.
Решение ► 2’4-i + 2'-i = 4.
Замена 2"‘ = t дает уравнение
t^+-^ + t-- = 4.
Г t
1
< t
получаем уравнение + и - 2 = О, которое имеет корни: u^ = I, = -2.
(1)
Обозначим t-^ = u, тогда t’‘ + \ = u^ + 2, таким образом, из уравнения (1)
Обратная замена дает <-j = l или t-^ = -2.
Тогда - t - 1 = О или + 2t - 1 = 0.
= -1 + 72, <4 = -1-72.
^ . 1 + у/ь ^ _ 1-Тб
Получаем t^=-----, Гг —^— или
2 “
Тогда 2^ =
+Тб
(отсюда jf = log.
1
+ Тб
или 2"^ = -
■ Т^
(корней нет, по-
скольку ^ < Оj, или 2* = -1 + Т2 (отсюда x = log2(T2-l)j, или 2*=-1-Т2
(корней нет, поскольку -1--\^<0).
Ответ: log,(T2-l). <
§ 37. Показательные и логарифмические уравнения и неравенава 447
Задача 3
Решите уравнение 4' + -^ = 2 cos 2х.
4
1 способ
Комментарий
Учитывая, что 4* > О, получаем, что в левой части уравнения стоит сумма двух взаимно обратных положительных чисел, которая всегда больше
или равна 2. (Действительно, если а > О, то а+ --2 = ^—2а + 1 _ (а l) ^
а а а
таким образом, при всех а>0 а + —>2.)
а
Для оценки значений правой части достаточно вспомнить, что областью значений функции cos 2jc является промежуток [-1; 1], таким образом, -2 < 2 cos 2х < 2.
Решение
► Оценим значения левой и правой частей уравнения. /(;с) = 4*+^>2 как
4
сумма двух взаимно обратных положительных чисел. Если g (х) = 2 cos 2х, то -2 < g(x) < 2. Таким образом, f (х) > 2, g (х) < 2, тогда данное уравнение равносильно системе
4*
2 cos 2.x = 2.
Из первого уравнения, используя замену 4^ = t, получаем
t-t-- = 2, то есть - 2f + 1 = 0. Отсюда t = 1.
Тогда 4^ = 1, отсюда х = 0, что удовлетворяет и второму уравнению. Ответ: 0. <1
II способ решения уравнения 4* -I- ^ = 2 cos 2х.
4
Комментарий
Если обозначить 4* = t, то данное уравнение приводится к уравнению (2) (см. решение), которое можно рассматривать как квадратное относительно переменной t. Заметим, что t = 4^ * 0, поэтому при таких значениях t уравнения (1) и (2) являются равносильными. Далее используем условие существования корней квадратного уравнения.
Решение
► После замены 4* = < (f > 0) из данного уравнения получаем равносильное уравнение
t-b- = 2cos2x, (1)
t
которое, в свою очередь, равносильно уравнению
- (2 cos 2х) t 4- 1 = 0. (2)
Рассмотрим уравнение (2) как квадратное относительно переменной t.
448 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Тогда его дискриминант D = 4 cos^ 2х - 4.
Уравнение (2) может иметь корни только тогда, когда D > О, то есть когда
4 cos^ 2д: — 4 > 0. Отсюда
cos^ 2х > (3)
У этого неравенства знак «больше» не может выполняться (cos^ 2x < 1 всегда), таким образом, неравенство (3) равносильно уравнению cos^ 2л: = 1. Тогда cos 2х = 1 или cos 2л: = -1. Подставляя эти значения в уравнение (2),
[cos 2л: = 1, [cos2x = -l,
получаем две системы: ^ ^ или •{ , „ _ „ Во второй системе из
[/^-2< + 1 = 0 . [^^ + 2^ + l = 0.
второго уравнения имеем < = -1, что не удовлетворяет условию f > 0. Таким образом, данное уравнение равносильно только первой системе. Из второго уравнения первой системы имеем i = 1, тогда 4^" = 1, то есть х = 0, что удовлетворяет и первому уравнению этой системы.
Ответ: 0. О
Задача 4
Решите уравнение 2'*' - | 2"'** ~ 2 | = 2""*'.
Комментарий
Для решения уравнения с несколькими модулями можем применить общую схему (с. 77):
1) найти ОДЗ;
2) найти нули всех подмодульных функций;
3) отметить нули на ОДЗ и разбить ОДЗ на промежутки;
4) найти решения уравнения в каждом из промежутков.
Решение
► ОДЗ: R.
Нули подмодульных функций: х = 0 и 2^*^ -2 = 0, 2"^^' = 2, х -I- 1 = 1, х = 0. Этот нуль (х = 0) разбивает ОДЗ на два проме- j Л
жутка, в каждом из которых каждая подмодульная гН:—. ^^
функция имеет постоянный знак (см. рисунок).
Промежуток I. При х е (-°о; 0] имеем уравнение 2'* -I- 2"'^' - 2 = 2"'^*. Тогда 2'* = 2, таким образом, х = -1 е (-о°; 0].
Промежуток II. При х е [0; -1-оо) имеем уравнение 2^ - (2*^’ - 2) = 2^^*. 2 2 2
Тогда 2"‘=-, отсюда x = log2~. Но log2-<0, таким образом, в промежут-3 3 3
ке II данное уравнение корней не имеет.
Ответ: -1.<
Задача 5
Решите уравнение Ig^ (х + 1) = Ig (х + 1) Ig (х - 1) + 2 Ig^ (х —1).
Решение [ X -I-1 > о,
► ОДЗ: ( То есть х > 1.
х-1>0.
Комментарий
Если выполнить замену lg(x -ь 1) = = и, Ig (х - 1) = V, то получим уравнение u^ = uv 2v^, все члены которого
§ 37. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 449
Поскольку л: = 2 не является корнем данного уравнения, то при делении обеих частей уравнения на \g^ (х - 1) / О получаем равносильное (на ОДЗ при X ^ 2) уравнение
lg^(x + l) _ lg(j + l) о
ig^(x-l)
гг * lg(3: + l)
После замены t = ------г имеем урав-
нение - t - 2 = О, корни которого: = t, = 2.
Выполнив обратную замену, получаем
= или =
lg(^:-l) Ig(x-l)
Тогда на ОДЗ (при х * 2) имеем
равносильные уравнения:
Ig (д: -ь 1) = -Ig (х - 1) или
lg(x + 1) = 2 lg(jc - 1),
Ig (д: -f 1) = Ig (д: - 1)"* или
lg(x+ l)=lg(д:- l)^
или X + 1 = {х - 1)^,
х + 1 =-
х-1
д^-1 = 1 д:^ = 2
или дг-1-1=д::^-2д:-1-1, или х^ - Зх = О,
X - ±у/2 или дс = О, или д; = 3. Учитывая ОДЗ, получаем х = ~12 или д: = 3.
Ответ: >/2; 3. <3
имеют одинаковую суммарную степень — два. Напомним, что такое уравнение называется однородным и решается делением обеих частей на наибольшую степень одной из переменных. Разделим, например, обе части на (то есть на Ig^ (д: - 1)).
Чтобы не потерять корни уравнения при делении на выражение с переменной, необходимо те значения переменной, при которых это выражение равно нулю, рассмотреть отдельно. Значение х, при котором Ig (д: - 1) = О (тогда дг - 1 = 1), то есть дг = 2, подставляем в данное уравнение.
Для реализации полученного плана решения не обязательно вводить переменные и и v, достаточно заметить, что данное уравнение однородное, разделить обе части на Ig^ (д: - 1), а затем ввести новую переменную t.
В конце учитываем, что все преобразования были равносильными на ОДЗ, следовательно, необходимо выбирать только те из найденных корней, которые входят в ОДЗ.
Задача 6
Решите уравнение logg(l-l->/x:-2)-t-logj (l-1-41) = 0.
Комментарий
Логарифмические функции, стоящие в левой части данного уравнения, принимают только неотрицательные значения.
Действительно, на всей области определения 1 -I-yJx-2 > 1, таким образом, log2(l-i->/:c-2)>0; аналогично, поскольку 1 - | д;^ - 4 | < 1, то на своей области определения logj (1-|д:^-4|)>0. В этом случае сумма двух неот-
3
рицательных функций может равняться нулю тогда и только тогда, когда каждая из этих функций равна нулю.
IS Алгебра и начала математического анализа. Учебник 10 кл.
450 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ____________
Заметим, что при переходе от данного уравнения к системе уравнений ОДЗ не изменяется, таким образом, ее можно не записывать в явном виде. При решении полученных простейших логарифмических уравнений ОДЗ также учитывается автоматически, поэтому ее можно вообще не записывать в решение.
Решение
► Поскольку на всей области определения logg (l + > 0 и
logi(l-|x^-4|)>0, то данное уравнение равносильно системе
log2(l + >/x-2) = 0, log,(l-|x^-4|) = 0.
3
Из первого уравнения системы получаем 1 + Vx-2 = 2®. Тогда yJx-2 = 0, то есть X = 2, что удовлетворяет и второму уравнению системы.
Ответ: 2. <1
Задача 7
(МГУ, ИСАА) При каких значениях параметра а неравенство sinx + >/i cosJC + a-5
log 20^
i
НИЙ X?
> 0 выполняется для любых значе-
Комментарий
Сначала воспользуемся формулой а sin л: + Ь cos х = + Ь^ sin(^: + (p):
sin jc +V3cosx = 2sin|j: + ^|. Далее запишем правую часть неравенства как
значение логарифмической функции и, переходя к аргументу, учтем, что в случае, когда основание этой функции больше 1, функция возрастает, а когда меньше 1 (но больше 0) — убывает.
При дальнейшем анализе полученных неравенств учитываем, что неравенство sin t > Ь выполняется для любых значений t тогда и только тогда, когда Ь < -1, а неравенство sin t < с — когда с > 1.
Решение
► Данное неравенство равносильно неравенству
/ / _\ л
log2«-
2а-15
б
2 sin
> log 20-15 1-
б
Это неравенство равносильно совокупности систем
2о-15 1 5 б
1 п\ 2 sin|x + — 1 + а - 5 2sm(x + -l
1 з1 >1 0< 1^
§ 37. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 451
Тогда
■<вш|д: + -|<5-г.
а >10, [7,5<а<10,
• I а 5-а
\ 3/ 2 1. 2 \ 3/ 2
Неравенства с переменной х в последней совокупности систем будут выполняться для любых значений х при условии:
fa >10,
ИЛИ
7,5<а<10,
5-0
-<-1,
гг, ,а>10.
То есть i или
а>12
5-^>1.
7,5<а<10, а >7, а <8.
Тогда а > 12 или 7,5 < а < 8.
Ответ: при любом а е (7,5; 8) U (12; -t-схз). О
Задача 8
При каких значениях параметра а уравнение log2 (4* - а) = х имеет единственный корень?
Комментарий
Выполняя равносильные преобразования данного уравнения, учитываем, что при использовании определения логарифма для решения этого простейшего логарифмического уравнения его ОДЗ учитывается автоматически.
При выполнении замены переменной в задании с параметром учитываем, что после замены требование задачи может измениться.
Исследуя расположение корней квадратного трехчлена f (t) = - t - а,
применим условия, приведенные на с. 104 в таблице 13 (для записи соответствующих условий используем обозначение: D — дискриминант, — абсцисса вершины параболы). Как известно, для того чтобы корни квадратного трехчлена f(t) (с положительным коэффициентом при t^) были расположены по разные стороны от числа А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие f (А) < 0.
Решение
► Данное уравнение равносильно уравнению
4* - а = 2\ (1)
То есть 2^* - а = 2*. Замена 2"" = t {t > 0) дает уравнение
t^-t-a = 0. (2)
Требование задачи будет выполняться тогда и только тогда, когда уравнение (2) будет иметь единственный положительный корень. Это будет в одном из двух случаев:
1) уравнение (2) имеет единственный корень, и он положительный;
2) уравнение (2) имеет два корня, из которых только один положительный, а второй — отрицательный или нуль.
f 1 ч- 4а = О,
тт =
Для первого случая получаем ( то есть
1^0 >0.
Un=T>0.
452 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Таким образом, а = —.
4
Для второго случая значение t = О исследуем отдельно.
При < = О из уравнения (2) получаем а = 0. При а = 0 уравнение (2) имеет корни = о, <2 = 1. Таким образом, условие задачи при а = 0 выполняется.
Остается еще один случай — корни уравнения (2) имеют разные знаки (расположены по разные стороны от нуля). Это будет тогда и только тогда, когда будет выполняться условие / (0) < 0 (где f{t) = t^-t- а), то есть условие -а < о, тогда а > 0. Объединяя все результаты, получаем ответ.
Ответ: при а = -~ или а > 0 данное уравнение имеет единственный корень. О 4
Вопросы для контроля
1. Объясните на примерах, как можно применить свойства функций к решению показательных и логарифмических уравнений.
Упражнения
Решите уравнение (1—5).
1.1) 2'" = 5 - л:; 2) -н(|| =1; 3) 3"-I-4^ = 5*; 4) 2^'-ь 2'* = 2cos
5) log3(x + 5) = log,x-i-4; 6) log2 (3" + 4) = 2 - 5^; 7) log21 х | = 5 -
2
8) log2(l + х^) = logjX + 2х - х^\ 9) \og^x = 'Jl-x^.
2 (МЭСИ). 1) (VlWlf Г + (л/4+^Г -8; 2) (>/з+ЖГ + (^З-л/вГ = 6;
3) (^/2-^/зГ-l-(^/2 + ^/зГ = 2^
3.1) log2X-I-(л: -1) log2 д: = 6 - 2х; 2) -t-(д: - 3) logj х = 4х - 3;
3) 2 lg2 (2х - 1) = lg=* (2х + 1) - Ig (2х - 1) • Ig (2х + 1).
4 (УрГУ). 1) 2'^
-|2""' - 1| = 2"
+ 1; 2) 2-(-log,x +3 = |l-i-log5x|.
s I
5 (МГУ, ВМК). 1) 25* - (а - 1)-5' -Ь 2а 3 = 0; 2) ^4*-6-2' + 1 =2^
6. Решите систему уравнений;
\х + 2’‘ = у + 2\ [log2X-log2J/ = i/-x,
1) ( 2)
[x^-f-3i/ = 10; [х®у® = 54.
7 (МГТУ). Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
4* -ь а• 2*^‘ - а = о не имеет корней.
8 (МИСиС). Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
а • 9*-1- 4(а-1)'3*-1-а>1 выполняется при всех х.
9 (МГУ, ВМК). Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
3* -Ь 3 * = 2 cos X -ь а -ь 4 имеет единственный корень.
10 (СПбГУКиТ). Найдите все значения параметра а, при которых уравнение loga (9* 4- а) = X имеет единственный корень.
Дополнительные упражнения к разделу 5 453
11 (СПбГУТ). Для каждого значения параметра а определите число корней уравнения | Ig д: | = -(дс - 1)^ + а.
12. Сколько корней имеет уравнение (logg (х + 1)-3)-Удс-а =0 в зависимости от значения параметра а?
13. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений
[Ig (4 + l/) = lgд:,
\а-у = -{х + ау
имеет решения.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 5
Вычислите (1—4).
1 (СПбГУАП). 1) 101ogj5logj5>/V^; 3) 81 4)
20
С лп: \ 3
+ log,9- log3 4-7'°*'^®;
2. 1) +64'“**®; 2)(МГУИЭ)
3) (ГФА) 16(logg45-l)- log„9- log5l21; 4) (l5 + 3• log^S- log34;
5) (30-5‘^“’«“M- loggVs- logs 4.
3 (УрГУ). 1) 1282^ - logg 3; 2) log,,3 ^: logg.3
10gg66
3) logg27-21ogg3 + logg|;
4 (РЭА). 1) го*'"*»'® • (0,25)=*'°»«®;
3) _ jg
4) logg 34 - logg 17 + logg 18. 2) (81^'^'°*’'* + 25'“®'«®1 • 49'°*’^
5 (ВШЭ). 1) Найдите log если log^ b = -5.
2) Найдите logj_5(a^6®), если log„ 6 = 5.
3) Найдите log^,(a®b®), если log„ 6 = 6.
4) Найдите Ig 800, если Ig 2 = 0,301.
6 (МФТИ). 1) Найдите log,g 81, если log^j^9 =a.
2) Найдите log^ 20, если Ig 2 = a.
3) Найдите log^g 32, если log^g 5 = a, log^g 7 = 6.
4) Найдите loggg 12, если logg^ 3 = a, logg^ 5 = 6.
Сравните значения данных числовых выражений (7—8).
7 (МГУ, биол. ф-т). 1) logo,5^ и logo,,257^; 2) и
3) Vn и 4) 71^ и 5) Ts и
454 Раздел 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
8 и 2'°*»^ 2) 5‘°*»Ч0Д и 7'“*»®; 3) 2'°*’®+ 0,1 и 3'“*’®.
Найдите область определения функции (9-10).
9. 1) (ВШЭ) i/ = Vlogj,(x®-2x-2); 2) (ВШЭ) y = yllog,{x^-4x-4);
3) (МГУ, физ. ф-т) у = /logj {Зх^ -2х);
У 2_____________
4) (МГУ, физ. ф-т) у = Ь, то Ь < а
2. Если а = ЬиЬ = с, то а = с {транзитивность равенства) 2 Если а>ЬиЬ> с, то а>с {транзитивность неравенства)
3. Если а = Ь, то а + с = Ь + с 3, Если а>Ь, то а + с>Ь + с
4. Если а = Ь и с = d, то а + с = Ь + d 4. Если а > Ь VI О d, то a + ob + d
5. Если а = Ь и с 0, то ас = Ьс 5. а) Если а > 6 и с > 0, то ас > 6с б) Если а > 6 и с < 0, то ас < 6с
6. Если а = Ь и с = d, то ас = bd „ Если а>6(а>0, 6^0)nc>d (с > 0, d > 0), то ас > bd
7. Если а = Ь, то а" = Ь" 7, а) Если а > 6 (а > 0, 6 > 0), то а“ > 6^ б) Если а > 6, то а“ *' > 6^* * ‘
8. а) Если а = Ь (а > 0, Ь > 0), то б) Если а = Ь, то 8. а) Если а > 6 (а > 0, 6 > 0), то = б) Если а > 6, то > ^**-1/6
9. Если а = Ь, а ^ 0, Ь * 0, то - = 7 а 0 9. Если а > 6 (а > 0, 6 > 0), то “ < ^
10. оЬ = 0 тогда и только тогда, когда а = 0 или 6 = 0 10. а) а6 > 0 тогда и только тогда, когда а > 0 и 6 > 0 или а < 0 и 6 < 0 б) а6 < 0 тогда и только тогда, когда а > 0 и 6 < 0 или а < 0 и 6 > 0
11. — = 0 тогда и только тогда, ь когда а = 0 и 6 0 - а л 11. а) тогда и только тогда, когда а > 0 и 6 > 0 или а < 0 и 6 < 0 б) ^*'9 тогда и только тогда, когда а > 0 и 6 < 0 или а < 0 и 6 > 0
456 Справочный материал
Таблица 2
Нахождение области определения функции
Вид функции Ограничения, которые учитываются при нахождении области определения функции"
1 у = П^ ^ g(x) g{x) ф 0 Знаменатель дроби не равен нулю
2 y = ^f (х) (fe е N) f(x) > 0 Под знаком корня четной степени может стоять только неотрицательное выражение
3 У = Ы(.!(х)) fix) > 0 Под знаком логарифма может стоять только положительное выражение
4 У = log MX, о (а>0) \f W>0, \Их)ф1 В основании логарифма может стоять только положительное выражение, не равное единице
5 У = tgif(x)) f(x)4t^-h nk, ik S Z) Под знаком тангенса может стоять только выражение, не равное ^ + лЛ ik — целое)
6 у = ctg{f(x)) f{x) Ф nk, k e Z Под знаком котангенса может стоять только выражение, не равное nk (А — целое)
7 у = arcsin (f(x)) lf(*)l < 1, TO есть Под знаками арксинуса и аркко-
8 у = arccos {.f(x)) синуса может стоять только выражение, модуль которого меньше или равен единице
У = х'‘
а) а — натуральное X — любое число
9 б) а — целое отрицательное или нуль д; 0
в) а —нецелое положительное число д; > 0
г) а — нецелое отрицательное число д: > 0
* При записи этих ограничений предполагаем, что функции f{x) и g{x) определены на рассматриваемом множестве.
Справочный материал 457
Таблица 3
Сиаемы уравнений
Понятия сиаемы и ее решений
Примеры
Если ставится задача найти все общие решения двух (или больше) уравнений с одной или несколькими переменными, то говорят, что требуется решить систему уравнений. Записывают систему уравнений, объединяя их фигурной скобкой.
Решением системы называется такое значение переменной или такой упоряцщченный набор значений переменных (если переменных несколько), которые удовлетворяют всем уравнениям системы.
Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Если система не имеет решения, то ее называют несовместной.
X-у = 4,
2х + у = \\ ~ система двух уравнений с двумя переменными.
Пара чисел (5; 1), то есть л: = 5,
— решение системы.
х^ -у + г = 0,
ху + хг + уг = 19, — система трех
х+у-г=2
уравнений с тремя переменными.
л: = 1.
Тройка (1; 4; 3), то есть
одно из решении системы.
1/ = 4, — 2 = 3
Равносильноаь сиаем уравнений
Две системы уравнений называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одинаковые решения (то есть каждое решение первой системы на этом множестве является решением второй и, наоборот, каждое решение второй системы является решением первой).
Если изменить порядок уравнений заданной системы, то получим систему, равносильную заданной.
Если одно из уравнений системы заменить на равносильное ему уравнение, то получим систему, равносильную заданной.
Областью допустимых значений (ОДЗ) системы называется общая область определения всех функций, входящих в запись этой системы.
Все равносильные преобразования систем выполняются на ОДЗ исходной системы.
458 Справочный материал
Продолж. табл. 3
Основные способы решения систем уравнений
Способ подаановки
Выражаем из одного уравнения системы одну переменную через другую (или через другие) и подставляем полученное выражение вместо соответствующей переменной во все другие уравнения системы (затем решаем полученное уравнение или систему и подставляем результат в выражение для первой переменной).
{2х-у = Ъ,
Пример. Решить систему ]х + у = 3
Решение. Из первого уравнения системы у = 2х - 3. Подставляем во второе уравнение системы и получаем х + 2х - 3 = 3. Отсюда х = 2. Тогда у = 2х - 3 = 1.
Ответ: (2; 1).
Способ сложения
Если первое уравнение системы заменить суммой первого уравнения, умноженного на число а О, и второго уравнения, умноженного на число Р О (а все остальные уравнения оставить без изменения), то получим систему, равноси.тьную заданной.
Пример. Решить систему
Ъх-3у = 9, 3х + 2у = 13.
2
3
Решение. Умножим обе части первого уравнения системы на 2, а второго — на 3 (чтобы получить как коэффициенты при переменной у противоположные числа) и почленно сложим полученные уравнения. Из полученного уравнения находим значение х, подставляем результат в любое уравнение системы и находим значение у.
10x-6i/ = 18, ,
+
9х-ь6у = 39.
19л: = 57,
X = 3.
Тогда З’З + 2у = 13, 2i/ = 4, I/ = 2.
Ответ: (3; 2).
Справочный материал 459
Продолж. табл. 3
Графическое решение систем уравнений с двумя переменными
Выполняем равносильные преобразования заданной системы так, чтобы удобно было строить графики всех уравнений, входящих в систему. Затем строим соответствующие графики и находим координаты точек пересечения построенных линий — эти координаты и являются решениями системы.
Примеры
2х-у = 3, х + у = 3.
у = 2х-3, у = 3-х.
Графиком каждого из уравнений системы является прямая. Для построения прямой достаточно построить две ее точки. Например, для
1. Решить графически систему
Решение. Заданная система равносильна системе
у = 2х - 3:
у = 3- х:
X 0 1
у -3 -1
X 0 1
У 3 2
Графики пересекаются в единственной точке М (2; 1). Итак, пара чисел (2; 1) — единственное решение заданной системы.
Ответ: (2; 1).
2. Решить графически систему
х^ = 2-у\ х^-у = 0.
стеме
Решение. Заданная система равносильна си-х^ + у^ = 2, у = х^.
График первого уравнения — окружность радиуса 72 с центром в начале координат, а график (~1; второго — кубическая парабола у = х^.
Эти два графика пересекаются в двух точках с координатами (-1; -1) и (1; 1).
Ответ: (-1; -1), (1; 1) — решение системы.
460 Ответы и указания к упражнениям
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
Раздел 1
§ 1. 13. 34. 14. 80 %.
§ 2. Пункт 2.1. 1. 1) 2,5; -2; 3^; a+i; 2) -3; -2; 1; - 3; 3) 1; 2; 0; Vm + 1.
3 а
2. 1) й; 2) [-3; +оо); З) х -1; 4) Д; 5) (-оо; -1] и [1; +оо); 6) Д; 7) [1; 5]; 8) [-3; 0) U и (0; +00): 9) [-3; 3) U (3; +°о); Ю) (-оо; -1) и (-1; 0] U [1; +оо); Ц) [0; 2) U (2; +оо)
12) Д. 3. 1) {5}; 2) Д; 3) [0; +оо); 4) [0; +оо); 5) Д; 6) [-5; +оо); 7) [3; +оо). 4. а) П (Л =
= [-3; 5]; £ (Л = [~3; 2]; возрастает: [-2; 3]; убывает: [-3; -2] и [3; 5]; / (1) = 0
б) Z) (Л = [0; 6]; £ (Л = [0; 4]; возрастает: [0; 2] и [5; 6]; убывает: [2; 5]; / (1) = 2
10. 1) Возрастающая; 2) убывающая; 3) возрастающая; 4) убывающая. 11. 2) 4 Пункт 2.2. 1. 3) четная; 4) нечетная; 5) четная и нечетная; 6) нечетная. 2. 1) Л > 0 6 > 0; 2) А < о, 5 < 0; 3) Л > о, 6 < 0. 6. 1) а < о, 5 > о, с > 0; 2) а > о, Ь < о, с < о
3) а < О, 6 > О, с < 0; 4) а > О, 5 < О, с > 0.
§ 3. Пункт 3.1. 2. 1) а) Да; б) да; 2) а) да; б) нет. 6. 1) Да; 2) да; 3) нет; 4) да
5) нет. 7. 1) 3-; 2) -4; 3) -4; 4) -3; —. 8. 1) Корней нет; 2) 2; 3) -\/2; 4) корней нет. 3 3
9.1) х * 1,5 (условие для корней); 2) х > 0. 11. 1) 7; 2) 0; 4,5; 3) 4)
3 3
Пункт 3.2. 1. 1) 2; 2) 3; 3) (1; 0). 2. 1) 0; 2) 0; 3) -1; 4) 0,5. 3. 1) 3; 2) (-2; 5); 3) (3; 1);
4) корней нет; 5) (2; 1); 6) (-1; 2; -3). 4. 1) 6; 2) 1; 3) 0; 4) 6; 5) 2; 6) 1. 5. 1) (-5; -5);
(2; 2); 2) (-2; -2); 3) 4) (-2; -2); (2; 2).
§ 4. 1. 1) (-оо; -2] и (1; 2] U (4; +оо); 2) (-оо; -2) U (3; 8); 3) (4; 5]; 4) [-10; -2) U и (4; +00). 2. 1) [-2; -1] U [1; 2]; 2) (-oo;-l)uj^-i;iju(l;+оо); 3) (-оо; -3] U (0; 3];
4) (-6; 2). 3. 1) (-2; 2) U [4; +°о); 2) (-2; -1) или 1; 3) (-оо; 0) U [2; 3]; 4) (-оо; -1) и [4; +оо). § 5. 1. 1) 4; 2) 0,5; 3,5; 3) -1; 2; 3; 6. 2. 1) (-оо; -1) и (4; +оо); 2) (-0,8; 2);
О
(-3;-l)u[^-l;-ij; 4) 3. 1) i; 2) -1; -3. 4. 1) [1; 3]; 2) -8; 12; 3) (-5; 8].
5.1) Решений нет; 2) [2; +оо); З) U(8;+oo). 6. 1) [1; 2]; 2) -2^; 3. 7. 1) -3; 5;
2) [-1; 4]. 8. 1) --; 0,5; 2; 2) -2-л/5; S. 9. 1) 0; ±2; 4; 2) -2; 1;3;6. 10. 1) (-1; 5); 3
2) jloo;i:i^ju(-l; 2)u(^i:^;+cx3j. И. 1) (-оо; -1) и (2; +оо); 2) [1; 3]. 12. 1) (-5; -2) U
и (-1; +00); 2) (-00; -5) и (-3; 3) U (5; +оо). 13. 1) [-6; -2] U [4; 8]; 2) (-оо; -8) U (2; +оо).
14. 1) 1^0;ij; 2) (-09; -5] U [4; +00). 15. 1) [-3->/5;-4)u(-2;0]; 2) [-1-2>/2; -3)и(1;3].
§ 7. 1. 3) при о < о решений нет, при а > 0 х — любое действительное число. 2. 2) при о < -2 или а > 2 решений нет, при о = - 2 любое х б [-2; 0], при о = 2 любое
X 6 [0; 2]; при -2 < а < 2 х, =--1, х, =- + 1. 4. 1) а = 0, а = 2, а = 4. 5. 1) о = 0;
2 2
2) а = о, а = 1. 7. а = 1, а = -1. 9. 2 < m < 5. 13. 400 или 2500.
3)
Ответы и указания к упражнениям 461
§ 9. 4. 70. 5. 6) 9. 6. 1) 4; 2) 1; 3) 12. 10. (13; 78), (78; 13), (26; 39), (39; 26).
11. (90; 24). 12. (8; 3), (28; 27). 14. 72. 16. 2 или 6. 18. 45 или 54. 20. 3) (26; 650), (650; 26),
625
(30; 150), (150; 30), (50; 50). Указание. Можно записать уравнение в виде т = 25 +-
п-25
и учесть, что равенство может вьшолняться только в случае, когда число п-25 — натуральный делитель 625.
§ 10. Пункт 10.1. 1. 1) а = 4, 6 = 5, с = 0, 4=1; 2) а = 2, 6 = 0, с = 1, 4 = 2.
2.а=0, 6 = -i, с = ~. 5. а = 1,6 = 2. 6. а = -^, 6 = -—. Пункт 10.2. 1.1) Зх^+х + 4; 22 11 11
2) 1^-х^ + х*- х^+1-,3) х^ - 2х^+ 4х - 2. 2. 1) Q(x)= Ах^ - 6х - I, R (х) = 12х + 3;
2) Q (х) =х^+ 2х‘^ + 5х+ 10, R (л:) = 20л: -I- 21. 3. 1) о = -18, 6 = -35; 2) а = -8, 6 = 20;
3) а = -1, 6 = -2. 4. 1) Q (л:) = л: + 6, Д (л:) = 12х -1- 12; 2) Q (л:) = х, R (л:) = -20л: - 30.
Пункт 10.3. 1. -101. 2. а = -3. 3. л: -I- 3. 4. а = -1, 6 = 1. 5. 8; 5|. 7. -2л:^ -I- 8л^ -114л: - 20.
8. а = -2. 9. 3. 10. 2л:^ - Юл:^ -н 6л: -f- 18. 11. а = 3, 6 = 9. 12. л:^ + 5л: + 1 = 0. 13. л:== - 5л:-1--1-2 = 0. 14. л:^ - 30л: -Н 9 = 0. Пункт 10.4. 1. 1) Q (х) = х‘ + 2х + 1, R(x) = 0;
2) Q (л:) = 5л:2 - л: -f 20, R (л:) = 96; 3) Q (л:) = л:" - 18л: -ь 64, R (х) = -168. 2. 1) Да;
2) да. 3. 1) 2л:^ - 5х - 3; 2) 2л:^ - Их -н 5. Пункт 10.5.1.1) 1; 2) -3; 2; 3) -4; 4) -2; 1.
2. 1) 1; 2) -0,5; 3)±1; --; 4) -1; -. 3. 1)(2х -I- 1)(х -Ь 1)(х - 2); 2) (х -(- 1)(х -t- 3) х
3 3
х(х -Ь 5); 3) (X - 1)^(х -(- 1); 4) (х - 1)Чл: -t- 5)(х - 5). 4. 1) 1; -l±^/3; 2) -2; -1; 3;
3) -0,5; 1; 4) 0,5; 1±-У2. Указание. Сначала найдите рациональный корень (х = а) многочлена и разделите многочлен на х - а. 5. 1) (х^ + Зх - 2)(х^ - 2х -I- 3); 2) (х^ + -и Зх - 1)(х2 -7х + 2). 6.1) (xЧ^/2x-^l-^/2)(x^-^/2x-l-l^-^/2); 2) {{l + 42)x^->l2x + l) х X ((л/2-1)х^)- \f2-l); 3) (х^ + %/2x + l-yf2){x'^ + ^х + 1 + ^).
5±
•Jts
Дополнительные упражнения. 4. 1) -6; 1; 2) -5; 3; 3) -3; 1; 4) -3; 8;
2
5) 1; -2±у/з. 5. 1) (1; 2), (2; 1); 2) (5; 3), (-3; -5), (^Я7;^/i7); (-^/Г7;-^/^7); 3)
4) (4 -а; а), (а
l + \fl3 l + yfl3^
2; а), где а — любое число из промежутка [2; 3]; 5) l-yfl3 -iH-VliY f 9 + Зл/б9.3-1-л/б9У f 9-Зл/б9.3->/б9^
10
10
10
10
6.
1) (-оо; -4] и [-2; -1] и [1; -foo]; 4) (0; 2) U {-!}. 10. 7. 12. -3. 14. 8 деталей. 15. 9 часов. 16. На 30 %. 17. За 4 часа. 18. 20 км/ч. 19. 15 км/ч. 20. 150 г и 450 г. 21. 170 кг. 22. 24. 23. 5 берез и 11 лип. 24. 119 человек. 25. 11 гвоздик и 7 роз.
Раздел 2
§ 11. 3. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 4. 1) 540°; 2) 135°; 3) -72°;
4 5 9 3 8 О
4) 210°; 5) -10°; 6) 330°; 7) -22,5°; 8)
540°
§ 12. 1. 3) III; 4) III; 5) III; 6) IV.
§ 13. 1. 1) 2) -i; 3) --L; 4) 1; 5) —; 6) 7) -1; 8) S. 2. 2) Т = к;
2 2 V3 2 2
4) Т =-; 5) Г — любое действительное число, кроме 0. Наименьшего положительного 3
462 Ответы и указания к упражнениям
числа не существует. 3. 1) к (nk, k ^ О, к е Z); 2) - —, AeZ ; 3) Зл (ЗлА,
/ ч 5 V 5 J
к^О, к eZ);4) ^ 1^, к*0, keZj; 5) 5л(5лА, к*0,к bZ).
§ 14. 5. 1) sin 3,9, sin 3,3, sin 1,2; 2) cos 1,9, cos 1,2, cos 0,3; 3) tg(-l,3), tg0,7, tg 1,5; 4) ctg 2,9, ctg 1,1, ctg 0,5.
§ 15. 1. 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) да; 5) да; 6) да. 2. 1) cosa = —, tg а =-2,4,
13
5 12 3
ctga =---; 2) sin а = 0,6, tg а =-0,75, ctga = -l-; 3) cosa = —sina = -^,
12 3 Vl3 V13
2 5 1
ctg a = -; 4) sina=-7=, cosa = —j=, tg a =-5. 3. 1) 0; 2) sin* a; 3) 1; 4)-cos^ a; 5) 1;
3 V26 V26
6) 0; 7) sin a; 8) 1; 9) -; 10) -2 tg a. 5. 1) --; 2) a) 2; 6) 2.
' Г ® Г
§ 16. Пункт 16.1. 1. 1) 2) 3) 4) i; 5) 6) 7) 8) —; 9) 1;
2 yj2 2 2 2 V2 V2 2
10) VS; 11) 2. 1) sin 2a; 2) cos 2a; 3) sin a; 4) cos P; 5) ctg 3a; 6) tg 6a; 7) tg 7a;
V3
8)tg5a;9)tgactgp; 10) tg(a - P). 3. 1) 2) 3) 2 + n/3; 4) 5)
2V2 2V2 2V2 2V2
6) -2-^/з. Пункт 16.2. 1. 1) —; 2) 4=: 3) 1-; 4) 5) 6) 4. 1) sin a; 2) sin* a;
2 V2 2 2 V3 2
3) 2sina;4)---5-----.5. 1) -—; 2) -—; 3) 3-; 4) —. 6. 1) —; 2) -—; 3) -1—;
COS 2a-f sin 2a 25 25 7 24 169 169 119
4) -—. 7. 1) -; 2) -; 3) 3-; 4) -. 8. 1) --; 2) -; 3) -3-; 4) --. 9. -0,8.
120 25 25 7 24 25 25 7 24
10. -1,125; 0. Пункт 16.3. 1. 1) ; 2) S; 3) —; 4) -1; 5) 6) 7) 8) 1.
_ _ 2 2 2 2 V3
2. 1) —; 2) —. 3. 1) cos* a; 2) -cos* a; 3) -i; 4) ictg" a; 5) 1. Пункт 16.4. 1, 1) 0;
2 2 2 2
2) -sin 18°; 3) >/2sin25’; 4) tg 20° ctg 5°; 5) sin (a - P) sin (a + p); 6) 4sin — cos — cos a;
, 5a a ,, Vi + l V2-I „.if •v/3'1 iT Л Зл'\
7) 4cos — cos —cos a. 3. 1) -------; 2) -------; 3) - cos 10°-------; 4) - cos— + cos— .
22 4 4 2V 2 у 24 10 lOy*
4. 1) -; 2) i. Пункт 16.5
2 2
yl2~\f2 „ V2 + V2 /0 1 о • “ 2
. 1. 1) “ ; 2) .; 3) v2—1. 2. 1) sin— — —*;
2 2 2 V5
“ li“r>r., “2 a 3^a2„„„rr. 2
cos—= —1=; tg—= -2;2) sin—= -=; cos—= —tg—= —. 3. 3 + 2V2. 4. —
2 V5 2 2 V13 2 Vl3 2 3 Vl3
5. 0,6. 6. --.7. 2. 8. Указание. Если a = 18°, то 36° = 2a и 54° = За (гдезта > 0).
3 4
Дополнительные упражнения. 1. 1) 0; 2) | sin р + cos р |; 3) 13; 4) sin р. 2. 1) 2 tg а; 7 1 -l + 'Jll
2) -1; 3) 1; 4) 1. 7. 1) -; 2) -т-; 3) -. Указание. Из условия следует, что
9 (m + l) 4
1 cos Д _ где I COS а I < 1; 4) sina = -^^, cos2a = --, cos—= —\=. cosa 2 3 9 2 V3
Ответы и указания к упражнениям 463
Раздел 3
§ 17. 1. 1) у = -х-^2, D = R,E = R-,2) у = --х-2, D = R, Е = R; 3) у = ~, D\x^O, 3 Z X
Е-.уФО; 4) у = -~, D:x^0,E:y:^0;5)y = x\D = [0; +°о), Е = [0; +°о). 3. 1) у = 2у/х;
X
2) у = -2у/х; 3) у = 4х+2\ 4) у = -у[х + 2.
§ 18. 1. 1) 0; 2) 3) 4) 5) 6) 2. 1) 0; 2) 3) 4) 3. 1)
24324 433 2
2) 0; 3) 4) 5) я; 6) -. 4. 1) 2) 3) 4) -. 5. 1) 2) —; 3)
46 4 2366 75 V15
4) -. 6. 1) 7; 2) 3; 3) 4) 7. 1) 2) —; 3) 1^; 4) 8. 1) ч/?; 2) 1,5;
4 V10 V3 7 3 3 2V6
3) 4) -. 9. 1) 2) 7 - 2л; 3) -; 4) 8 - 2л; 5) -; 6) 4 - л; 7) -; 8) 10 - Зл.
ч/26 5 7 5 5 9
§ 19. 1. 1) ±- + 2лп, п е Z\2) корней нет; 3) ±—+ 2лл, л е Z; 4) ±—+ 2лл, п е Z. 4 3 4
2. 1) (-1)"- + лга, п е Z; 2) (-1)"- + лл, га е Z; 3) (-1Г*’- + лга, п е Z; 4) корней нет.
6 3 6
3. 1) - + лга, га е Z; 2) - + лга, га е Z; 3) -- + лга, га е Z; 4) -- + лга, га е Z. 4. 1) - + лга,
4 6 4 3 4
га € Z; 2) - + лга, га е Z; 3) —+ лга, га е Z; 4) —+ лга, га е Z. 5. 1) (-l)"'^*arcsin0,6 + лга, 3 4 6
га 6 Z; 2) ±arccos 0,3 + 2лга, га 6 Z; 3) -arctg 3,5 + лга, га е Z; 4) arcctg 2,5 + лга,
га 6 Z. 6. 1) ±- + лга, га е Z; 2) —, га е Z; 3) —+—, га е Z; 4) -arctg 3 + —, га е Z. 6 4 12 3 4 4
7.1)(-1)'‘л + 4лга, га € Z; 2) ±—+ 10лга, га s Z; 3) -- + 3лга, га е Z; 4) —+ 7лга, га е Z.
4 2 4
8. 1) (-1)"- + —, га е Z; 2) ±2л + блга, га е Z; 3) (-1)"—+ 4лга, га е Z; 4) - +—, га е Z.
8 2 3 8 4
9. 1) (-1)"*’—+ 3лга, га е Z; 2) ±—+ лга, га е Z; 3) —^ + —, га е Z; 4) —+ 2лга, га е Z.
4 12 24 4 2
10. 1) —+ 4лга, 4лга, га е Z; 2) - + 3лга, га е Z; 3) - + ^^, га е Z; 4) + 4лга,
3 2 3 2 3 3
га е Z. 11. 1) -—-лга, га е Z; 2) л - 2лга, га е Z; 3)-8лга; -—-8лга, га е Z; 4) -—;
12 3 3
к 2пп л Зя 11я 17л 19л , л , 11л , 13л 5л л 7л
-----, га е Z. 12. 1) —; -; —; —; —; —; 2) ±—; ±—; ±—; 3)--------; -; —;
6 3 12 4 4 12 12 12 18 18 18 3 3 3
,, Зл 7л 11л 15л ,, 17л 13л 5п л 7л 11л 19л .
4) —; —; —; —. 13. 1)-------;----;----;------; —; —; —; 2) 0; ±2л; 4л;
16 16 16 16 18 18 18 18 18 18 18
,14 5л 11л 13л 19л 7л 3) 0; 2л; 4л; 4) —; —; —; —; —.
12 12 12 12 4
464 Ответы и указания к упражнениям
§20.1.1) (-l)"*’arcsin - +jrn, neZ;2) —arcsin , neZ;3) (-1)"arcsin i + тш, 3 2 3 2 4
n e Z; 4) я + 4jw, (-1)"- + 2лл, n e Z. 2. 1) ±—+ 2яп; ±arccos- + 2ял, n s Z;
3 3 3
2) ±—+ Л e Z; 3) я + 2ял, п e Z; 4) ±я + бял, л e Z. 3. 1) ±—+ 2ял, n e Z;
9 3 3
2) - + ЛЛ, Л e Z; 3) - + 2ял, (-1Г arcsin i +ял, л e Z; 4) - + ^^, л e Z. 4. 1) -- + ял,
6 3 4
xn „ . .1
2 1 -+7ГП, 3 2 5
arctg Л Е Z; 2) я ял 1 ^ _ - +—, -arcctgo + 8 2 2
л в Z; 4) о — + 2ял, 2 2 arcctg- + 2ял, л 7
2) ±|^я-агссо8-J + 2ял, Л Е Z. 6. 1) -+ЯЛ, -4
Л e Z; 3) - + ял; -arctg 2 + ял, л e Z; 4) — + ял, arctg- + ял, л e Z. 7. 1) я + 2ял,
4 4 3
±—+ 4ял, л e Z; 2) arctg i^^ + ял, л e Z; 3) --arcsin— + 2ял, л e Z; 4) - + ял, 3 2 2 13 2
g
(-1)" arcsin- + ЯЛ, Л s Z. 8. 1) 2ял, я + 4ял, л e Z; 2) 4ял, я + 2ял, л 6 Z; 4
3) (-1)" arcsin - + ЯЛ, л е Z; 4) - + ял, л е Z. 9. 1) -- + ял, л е Z; 2) - + ял, arctg 2 + ял, 3 6 4 4
л е Z; 3) -+ЯЛ, arctg 3 + ял, л е Z; 4) arctg ^+ ял, п е Z. 10. 1) ±—+ 2ял,
4 2 3
л е Z; 2) (-1)""^'- + ял, п в Z; 3) (-1)"- + ял, л 6 Z; 4) ±- + 2ял, п в Z. 11. 1) -- + ял, 6 4 4 4
л € Z; 2) —+ ЯЛ, л е Z; 3) - + ял, л е Z; 4) -+ял, п в Z. 12. 1) - + 2ял, п в Z; 4 3 6 2
2) 2ял, л е Z; 3) ял; -+ял, л е Z; 4) - + ял; - + ял, п в Z. 13. 1) (-1)"-+ял, п в Z;
4 2 4 6
2) ±- + 2ял, п в Z; 3) tarctg \/2 + кп, п в Z; 4) arctg 2 + ял; arctg-4-ял, п в Z. 3 3
14. 1) —, л Е Z; 2) ял; - +—, п в Z; 3) —, л е Z; 4) - +—, п в Z. 15. 1) ±- + ял, 2 6 3 4 6 3 4
л е Z; 2) ±- +—, п в Z. 16. 1) —^ +—, л е Z; 2) 2ял, п в Z. 17. 1) - + ял, п в Z; 6 2 24 2 4
2) -- + ЯЛ, п в Z. 18.1) - + ял; -arctg2 + ял, л е Z; 2) —-iarctg3+—, п в Z;
4 4 12 3 3 3
3) - + ЯЛ, -arctg 3 + ял, л Е Z; 4) —^ +—, -iarctg4 + —, п в Z. 19. 1) - + 2ял,
4 12 3 3 3 2
-2 arctg 2 + 2лл, л е Z; 2) - + 2ял, -2arctg-^ + 2ял, л е Z; 3) ял, -- + ял, п в Z;
2 4 3
4) - + ЯЛ, -arctg i + ял, п в Z. 20. 1) (-1)"’'- + ял, п в Z; 2) (-1)"-+ял, л е Z; 2 2 6 6
3) я + 2ял, ±- + 2ял, л Е Z; 4) - + ^^, п в Z.
3 6 3
Ответы и указания к упражнениям 465
§ 21. 1. 1) |^- + 2лл;—-2rtnj, + 2rtn;--27mj, л 6 Z; 2) |^-^ + 2лл; --^ + 2л(1-л)j,
^-- + 2тгл;- + 2я(1-л)|, ле2^.2.1) ^ял;--ял^, ^-+ял;-ялj, ле^;2) ^-2ял;-"2ллj,
-2ял;-я-2ялj, п е Z. 3. 1) ^- + 2ял; + ^(-1)"**^ + ял;-^ + 2я/г^,
k, neZ; 2) ^я + 2лл;±- + 2яЛ^, ^±- + 2ял; ^ + 2rtftj, k,n eZ. 4.1) ^(-1)" ^ + ял;±^ + 2яAj,
(-1)"^'- + ял; ±- + 2я/г], k, п е Z; 2) | arctg ^ + ял; - - arctg i - ял , (arctgi + ял; 6 ЗУ V24 2>*V3
--arctg -- пп), п е Z. 5. 1) |- + я(Л + л);- + я(/г-л) |-- + я(Л + л); -- + я(/г-л)|,
43 46 6У>^6 6 )
k, п е Z; 2) ^-+я(л + Л);^ + я(л-Л)j, ^^ + я(л + Л); -^ + я(л-Л)^, к, п е Z.
6. 1) f—+ я(А + л); —+ я(Л-л)1, Г—+ я(Л + л); —+ я(Л-л)\ к, п е Z; 2) f—+ я(л + А); U2 12 J V12 12 ) U2
—^ + я(л-/г)1, (—+ я(л + Л);-—+ я(л-А)\ к, п s Z. 7.1) ^- + 2ял+ к, п е Z;
12 U2 12 J V4 2 4 2 У
2) I - + 2ял-—А, л е Z. 8.1) I 2ял; - + яА 1, А, л eZ; 2) | - + 2ял; -+яА 1, к, п е Z.
U 2 4 2 У \ 2 J \2 2 J
§ 22. 1. 1) (-1)''*‘- + ял, ±- + 2ял, л е Z; 2) - + 2ял, я + 2ял, л е Z. 2. 1) —+ 2ял, 6 3 2 2
л € Z; 2) корней нет; 3) 3 + 4л, л е Z; 4) 1; 5) ±- + ял, п е Z. 3. 1) - + яА, arctg—+ ял,
4 2 11
к, п S Z; 2) - + яА, arctg^/2+ял, к, п s Z. 4. 1) -; 2) (0,5; я + 4ял), (-0,5; я - 4ял), 2 3
п е Z. 5. 1) 1; 2) -0,25; 3) 1; 4) 1; 5) 0,125; 6) 0; ±1. 6. 1) |^-^ + я(2А-л);
- + я(2А + л); -- + ял]. А, л 6 Z; 2) [ —+ -(4А + л); - + —\ А, л е Z; 3) [(-!)''**- +ял; 3 6 J 442 А 2 ) 46
±- + 2яА|; |(-1)'’- + лл; ± —+ 2яА|, к, п е Z; 4) |-+—; ±- + 2лл|, к, п & Z; 3^46 3 J \А 2 3 J
5) |- + 2ял; —+ 2яА|, [—+ 2лл;- + 2яа\ |-- + 2ял; +2яА), + 2ял; -- + 2яа\
43 3 У4з зУ'^з 3 >v3 3 J
А, л е Z; 6) (ял; яА), (-0,5 arccos (-0,75) + ял; -0,5 arccos (-0,75) + яА), (0,5 arccos (-0,75) + + ял; 0,5 firccos (-0,75) + яА), (-0,5 arccos 0,25 + ял; -0,5 arccos 0,25 + яА), (0,5 arccos 0,25 + + ял; 0,5 arccos 0,25 + яА), А, л е Z. Указание. Представить систему в виде 4sin(3a: + 2у) =-sin JC,
и перемножить соответственно правые и левые части полу-
sin (/=-4 sin(2x+3i/)
ченных уравнений. Учесть, что при таких преобразованиях возможно появление посторонних решений системы. При решении промежуточного уравнения 4 sin 5х + -t- sin jc = о удобно воспользоваться тем, что sin 5х = sin (х + 4х).
466 Ответы и указания к упражнениям
§ 23. 1. 1) При -1 < а < 1 корней нет; при а < -1 или а > 1 л: = (-1)"агсз1п- + лл,
а
п е Z; 2) при -0,5 < а < 0,5 х = - + кп, п е Z; при о < -0,5 или а > 0,5 х = - + кп,
2 2
Jt = (-l)"arcsin —+ ЯЛ, п € Z; 3) при а = 0, или а < -1, или а > I х = кп, п е Z; при
2а
-1 < а < о или о < а < 1 jc = пп, х = ±arccos а + 2пп, п е Z; 4) при -1 < а < 1 х = - + кп, п е. Z\ при а < -1 или а > 1 х = — + пп, л: = (-1)'' arcsin - +лл, п е Z.2. 1) При
2 2 а
а < -0,5 или а > 4 корней нет; при а = -0,5 х = (-1)''- + лл, п е Z; при -0,5 < а < 0
6 _________________
, 1±>/2а + 1 , ,чл 1-V2a + 1 „
л: = (-1) arcsin-------+ пп, п в Z; при 0 < а < 4 д: = (-1) arcsin----------+ пп, п е Z;
2 2 2) при а < -1,25 или а > 5 х = лп, п е Z; при а = -1,25 х = ±arccos 0,25 + 2кп,
п е Z; при -1,25 < а < 1 х = лп, х = ±arccos ^^ ^2лп, п е Z; при 1 < а < 5
1 — ^4а + 5
X = лп, x = ±arccos------+ 2лп, п е Z; 3) при 5 = 0 уравнение не определено; при
4
Ь ^ о м а = о X*—, X е R, k е Z; при Ь * 0 к а * 0 х = —, п е Z, п*—, к & Z; А) при Ь а Ь
а = -1 или 2-2-J2 2-2-j2, или
а >2 + 2-72 х = 2лп, д: = -- + (-!)”*’arcsin^^ + лл, п е Z. 3. 1) -2-75 < а < 2-n/S;
4 ау12
2) -5 < 5 < 5; 3) а 6 Д; 4)а е Д; 5) —<о<—. 4. 3-^<а<3 + 4=- 5. (0; 1); (1; 1).
2 2 V2 V2
7. 1) При а <-2 д: 6 Д; при-2 < а < 2 д;е arcsin- + 2лл; л - arcsin- + 2ял, п е Z;
4 2 2 J
при а > 2 решений нет; 2) при а < дс 61 -arccos JLIlE, + 2лл; arccos + 2лп , п е Z;
3 I 5а-7 5а-7 J
при -<а<3 дееД; при а > 3 дсб! eirccos-^^^ + 2лл; 2л-arccos-^^^ + 2лл 1, п е Z;
3 V 5а-7 5а-7 J
3) при а < -1 дс 6 Д; при а = -1 х е (-л + 2лл, л + 2лп), п £ Z; при -1 < а < 0 или
0<а<3 хе[-arccos^ '^°*- + 2лп; arccos-^ -^°-^+2лп], л е Z;приа = 0 д:еГ-—+ 2лл; 4 а а ) \ 3
—+2лл^, п е Z; при а > 3 хе ^-arccos ^ —+ 2лл; - arccos +
и I arccos .(■ 2 лп; arccos ^ ^°-^+2лл|, neZ.8. 1)-0,5 < а < 0,5; 2) -~<а<-.
\ а а ) 3 3
9. 1) а < -2, а = 1, а > 2; 2) а < о, О = 1, а > 4; 3) а = 2. 10. 1) +л(Л +л); л(ft-л)j,
5, л е Z; 2) I л(Л + л); -+л(Л-л) |, к, п е Z; 4) при а < -2 хе
а+-7а'-4
arccos---------+ 2 лл;
Ответы и указания к упражнениям 467
- a + yja -4
2л-агссоз---------+ 2пп
приа>2 хе^-- + 2ял; -
I ^--+2лл; - + 2ллj, ле2;при-2<а<2 Х6^—^ + 2ял; ■^+2ял^, а-л/о’ -4
arccos-
- + 2ял
§ 24. 1. 1) нет; 4)
+ 2ял;- + 2ял 6 6
, л е Z; 2)
и
a-'Ja -4 „ я -
arccos---------+ 2ял; - + 2ял
2 2
5п
, п & Z.
- + 2кп; — + 2пп а 3
— + 2ял;—+2ял , п е Z; 3) решений
'ч 4 4 J
, Л 6 2. 1) I -- + 2лл;^ + 2ялj, п е Z; 2) ^^ + 2ял;^ + 2ял^,
л е Z; 3) R; 4)
— + 2ял;- + 2ял 4 4
, л 6 Z. 3. 1) I -- + ял; + |> п е Z; 2)
п
- + ял; L3
- + ЯЛ , л S Z; 3) - + ял;- + ял , п е Z; 4) \ --+ял; - + ял 2 J \6 2 J \ 2 4 .
, п е Z. 4. 1) I ял;^+ял j.
л 6 Z; 2) 1 ял;- + ял
, л е 2; 3)
—+ ял; я + ялj, Лб2; 4) ^^ + ял;я + ялj, п е Z.
- —+ 2ял; я + 2ял1, п е Z; 3
- + 6ял; —+ 6ял , Л е 2; 3)
.2 2 _
5. 1) ^- + ял; — + ял j, п е Z; 2)
Z КП к КП\ гг а "
—+—;—I— , л € 2. 6. 1) ял;->0 5 5 5 у L 3
_ ., ( я ял 5я ЯП 1 ( я ЯП 5я ял I
, Л е 2; 4)-----,----------------, л
V 48 2 48 2 У V 48 2 48 2 У
- + ЯЛ
20
+ 6ял; бял
_ I Д ДО Д ДЛ I ^
, л е 2; 2) — , п е Z;
4 3 36 3
. 2
7. 1) f 2я 2яп
:
1 9 3
8.1)( я ЯП + я
12 2 4
е 2.
7я ял я ЯП
----h—; —+ —
, 60 5 60 5 .
, Л е 2; 3) I -^ + 2ял;2ялJ, л 6 2.
ДЛ Д ДЛ
—; — + — 2 12 2
л е 2; 2) f+ —; - + —\ л 62. 10. 1) farcsin -^7—+ 2ял; я-arcsin ^+2ял], л 6 2;
4 2 6 2
2) I + ял; - + ял^, л е 2. 11. 1)
2я 2я
----+ 2я; — + 2ял
3 3
, л е 2; 2) I + 2ял; - + 2ял 4 4
л е 2. 12. 1) I ял; - + ^'^
2) I- + ял;- + ял^и ^^ + ял; —+ ЯЛ |, п е Z.
uf- + Tcn; —+ ял1и f—+ ял; —+ ялlu^—+ял; U 8 7ч8 3 J \8
13. 1)
я+ял , п е Z;
- + 2ял;—+ 2ял I, п е Z\ 2 4
2) ^arcsin ^ + 2ял;- + 2ял j, п в Z. 14. 1) |^-- + 2ял;-—+ 2ялj (J |^-^+2ял; 2ял) U и^- + 2ял;—+ 2ялju^—+ 2ял;—+ 2ял^и^—+ 2ял;я + 2ялj, п в Z; 2) ^ + 2ял;
15. --
Ч 12 2
-+2ял и -+2яп; —+ 2ял I и I —+ 2ял; —+ 2ял , п е Z. 6 7U 4 JV6 4 J
и
0;
16.
я_ Зя и бя .
—;it
[б 4 J L 6 J
17. 1) При а < -2 xe|^2яп;- + 2ялJU|^—+ 2ял;я + 2ялJU и + 2ял;— + 2ял j, л е 2; при -2 < а < -\/2 х е^2ял;^ + 2ял j U + 2ял;агссоа^ + 2ялj U
468 Ответы и указания к упражнениям
U^Jt + 27tn;2jc-arccos^ + 2rtnju^^ + 2n/i;^ + 2^nj, neZ;npH а =—72 хб^2лл; - + 2лл|и
и|^л + 2лл; —+ 2лпjU|^—+2лл;—+ 2nrtj, п е Z; при -72<а<л/2 лсб|^2лл;- + 2n«ju
U^arccos ^ + 2лп; —+ 2nnju^Tt + 2^«; —+ 2nnju ^ 2n-arccos- + 2лл; —+ 2rtnj, п е Z;
при
а=у[2 jce[ 2лл;- + 2лл Iи[- + 2лл; —+ 2лл ] и 1 1с + 2лл; —+ 2лл ], п е Z;
4 J \i 4 J \ 4 J
Зя ^ V 1Г л 5я л 11 . f 7я
При
л/2 < а < 2 хе |^2ял; arccos ^ + 2ялJ U [^“ + 2яп; — + 2ял j U тг+2ял; — + 2ялJ U |^— + 2ял; 2л-агссоз^ + 2nnJ, п е Z; при а > 2 дсе^- + 2лл;—+ 2nnjU^л + 2ял; —+ 2nnjU
tj. п
и + 2лл; 2rt + 2n«j, п е Z.
Дополнительные упражнения. 1. 1) -- + 2лл, л е Z; 2) 2лл, л € Z; 3) (-1)"*‘- + лл,
2 6
л е Z; 4) ±- + 2лл, п е Z. 2. 1) ял, л е Z; 2) я + 2ял, л е Z; 3) ял, -+ял, п е Z-, 3 3
4) - + ЯЛ, -- + ЯЛ, л е Z. 3. 1) я + 2ял, 4ял, л е Z; 2) 2ял, я + 4ял, л е Z; 3) - + ял, 2 6 3
л е Z; 4) -- + ял, л е Z. 4. 1) - + ял, arctg 2 + ял, л е Z; 2) —+ ял, -arcctg 2 + ял, л е Z; 6 4 4
3) - + 2ял, лeZ;4) 2ял, ±- + 2ял, лeZ.5.1)-+—, (-1)" — +—, лeZ;2)—, ±- + ял, 2 3 42 12 2 26
Л е Z; 3) 2ял, ± arccos -- 1 + 2ял, л е Z; 4) (-1)" - + ял, (-1)"arcsin i + ял, л € Z. 6.1) 2ял,
У bj 6 3
(-1)" —+ 2ял, л 6 Z; 2) я + 2ял, ± —+ 4ял, л е Z; 3) —; ± —+—, л е Z; 4) - ;
3 3 2 12 2 4 2
I Я _ <4 ч я I я ^ 2я ^ AV я /чV я/1
±- +—, п ^ Z,l. 1) “ + ЯЛ, ±- + 2ял, ± — + 2ял, п & Z\ 2) ял, ±- + ял, л е Z; 3) —,
6 2 2 3 3 6 2
(-1)" — +—, л 6 Z; 4) - +—, ± - + ял, л е Z. 8.1) я + 2ял, ± — + 4ял, л б Z; 2) (-1Г‘ - + ял, 12 2 4 2 6 3 6
Л е Z; 3) ял, л 6 Z; 4) - + ял, л е Z. 9. 1) ; 2) -, я; 3) 67,5°; 4) 240°. 10. 1) —; 2) 2я;
2 2 2 6
о\ я Зя .. я ^ ^ ^. ял я ял — я ял я ял — я я
3) —; 4) 11. 1) —, ± — + —, л € Z; 2) - +—, ±- +—, л € Z; 3) - + ял, ±- + ял,
885 2 12 2 4262 2 3
л е Z; 4) - +—, (-1)"- + ял, л б Z. 12. 1) - + ял, -arctg 3 + ял, л е Z; 2) —+ял,
4 2 6 4 4
-arctg 2 + ял, л е Z; 3) - + ял, - arctg 15 + ял, л е Z; 4) —+ ял, arcctg 13 + ял, л е Z.
4 4
13.1) -- + 2ял, neZ;2) - +—,я + 2ял, л е Z; 3)я + 2ял, л е Z; 4)- + 2ял, tieZ.14.1)- + 2ял,
2 4 2 2 2
- +—, л е Z; 2) - + —, 2ял, л е Z; 3) - + ял, л 6 Z; 4) —, п е Z. 15.1) -- + 2ял, - + 2ял, 42 42 4 2 62
Ответы и указания к упражнениям 469
п е Z; 2) - + 2пп, к + 2пп, п е Z; 3) —, п е Z; 4) —, п е Z. 16. 1) —, п е Z; 2) - ,
3 4 4 2 4 2
л е Z; 3) - + 2яп, я + 2ял, п е Z; 4) - + 2ял, 2ял, п е Z. 17. 1)±- +—, п е Z; 2 2 6 2
nv (-1)" . I г., я "Я я / 1ЧП " г»
2) ---arcsin (,V3-!} + —, п е Z; 3) - + —,-i-яп, п б Z; 4) —, (-1) — +—, п е Z.
2 2 634 2 21 7
J л ^. л я я 2я/1 __ _ тс 2тсл .ч\ я / ч V п . ^
18.1)я + 2ял,- + ял, - +—,лeZ;2)я + 2ял, - + ял, —, neZ;3)— + (-1) агсзш —т= + ял, 255 25 4 5V2
л 6 Z. 19. 1) (- ■1)"‘ Л + лл » п в Z;
24 4
я ЯП 2) л лл Л ЛЛ
- + —, л 6 Z; — + ~~~9 - + —
6 3 10 5 4 2
_ 2тсп 2тс 2яп _
е Z; 3) —, —+—, л е Z; 3 9 3
4) -arcsin -^ + (-l)"arcsin -^ + ял, л е Z. 21.1)2ял,-- + 2ял, л е Z; 3) ±iarcctg ^/2 +—, V34 V34 2 2 2
±-arcctg ^/5 +—, л е Z; 4) ±- + ял, л е Z. 22. 1) -2; 2) 7; 3) 0; 4) ±0,5; 1. 23. 1) 0;
2 2 3
4л 8я Юл - 2л - 6 + V2 . __ . 1 >/з -
±—; ±—; 2)-----; -2я;---; 3)----; 4) 1,75. 24.1) —; 2) 1; 3) —; 4) корней нет.
353 34 22 2
25. 1) 0; 2) 1; 3) ±V2; 4) 0. 26. 1) ял, + 2ял, + 2ял, л е Z; 2) -- + 2ял, л € Z;
12 12 4
3) -arccos ^ -ч-2ял, л е Z; 4) (-1)'’- + ял, л е Z. 27. 1) f--arccos —+ 2ял; 2\ л е Z; 2 6 V2 13 у
2)^-агссоз- + 2ял; ij, л е Z; 3) ^- + 2ял;2^, л е Z; 4) (2ял; 1), п е Z. 28. 1) ^-^ + ял;
- + ял|, п е Z; 2) -- + ял;- + ял1, л е Z; 3) |- + 2яп; —+ 2ял 1, л е Z; 4) - + 2ял,
3 J \ 6 6 J \3 3 J 2
+ 2ял; - + 2ял 6 6
, п S Z. 29. 1) I — + 2ял; 2ялJU^^2ял;- + 2ялJ, п е Z; 2) |^- + 2ял;
я л || |( я - 5п „ I „ ( тс ЯП тс ЯП 1 _ ( 7я ЯП я ЯП I
- + 2ял и - + 2ял; —1-2ял , л е Z; 3)-н—; — + — , л е Z; 4)-+—; — + — ,
2 J \2 6 J \ 12 2 12 2 J \ 2* 2 24 2 J
г, пп л Зя Зяп Зя Зяи 1 „„^Гяяпяяп') г, I с, я„1
Л е Z. 30.1)-ь —; — + — , л е Z; 2) — +—;-1-— , л € Z; 3) — + 2ял; - + 2ял ,
\ 4 2 4 2 J \ 8 2 8 2 J V6 2 J
neZ; 4)f-- + ^^; —+ neZ. 31.1) f-arctg 2 +ял; - + ял\ л eZ; 2)(-- + ял; - + ял1и
V9393J V 3 J I2 6У
и^—+ яп; - + лл^, л е Z; 3)
л -+пп и —+ лл; л + ял 1, л е Z; 4) К пп; — + кп
2 . 4 J 4
, п в Z.
32.1)[-- + 2ял; - + 2ял |U( —+ 2ял; —+ 2ял |uf —+ 2ял; —+ 2ял |U| —+ 2ял; —+ 2ял I, V6 4 /44 6 /чб 4 J У 4 6
п в Z; 2) ^2ял; - + 2ялju^- + 2лл; —+ 2лл^и^—+ 2ял; я + 2ялju^л + 2ял; —+ 2ял |U
и^—+ 2лл; —+ 2ялju + 2ял; 2я + 2ял^, л е Z; 3)
4)
-- + ял; arctg 2 + лл , л е Z. 33. 1) |- + 2ял; —+ 2ял и
. 6 V2 3
1 я
-arctg - + ял; - + ял 3 4
5я
, Л 6 Z;
— + 2ял; я + 2ял U я + 2ял;
470 Ответы и указания к упражнениям
^+2пп 1U
5л 11я — + 2ял; — + 2ял , л е Z; 2) - + 2ял; - + 2лл и —+ 2ял; —+ 2ял
- 3 6 .6 4 .4 6
и 7л - 5я „ — + 2ял; — + 2ял и 7л „ 11я — + 2ял; — + 2ял
.6 4 .4 6
, п е Z. 34. 1)
и
-п + 2кп; — + 2пп \ U
. . I . 2n/2 л „ Зп . 2V2 „I _
и arcsin-----------+ 2лп;-------arcsin-------+ 2пп\, п е Z; 2)
' 3 4 4 3
~— + 2пп; ~ + 2лп .4 4
, п е Z;
3) I- + nn;- + nnJU|^- + Jtn:
и| ^ + лп; ^ + + K+nnj
2я Y / Зл Зл Y / л 4л Y / 5л 5я Y .
;—+ЛП и — + ли; — + лп U - + лп; — + лп U — + лп;—+лп U
7 J 7 J \г 7 J 7 J
, п е Z; 4) \2лп\- + 2лп \J\—+2лп;—+2лп V 7 J 1,3 7
и —+ 2ял;я + 2ял] U —+ 2ял;—+ 2ял
•1 [7 ) [7 3 J
и I — + 2лп; i^+2Tin '2 7
и [ - + 2лп; —+2лп
I2 3
и f — + 2лп; + 2лп
V 3 7
4) [-1; cos 2). 36.1) I —+ 2т1я; ге + 2ля]и[ —+ 2яп; —+ 2ял], п е Z; 3)(-°о; 1)U(1; +00); V 36 7 V 36 18 J
4) (0; 1).37. 1) о < а < 3; 2) -4,5 < а < 4,5. 38. 1) [0,6; 1]; 2) [0,6; 1]; 3) [0,5; 1];
л
, п е Z. 35. 1) I -1;^ |: 2) (0,5; 1]; 3) [-1; sin 0,5) U (sin 1; 1];
4)
0,5;
169.
. 39. 1) ял, л е Z; 2) - + ял, п eZ. 40. 1) а ^-2у/б или а >2-Уб; 2) а й-4у/б 2
или а > 4^/6.
Раздел 4
§ 25. 2. 1) -2; 2) 0,5; 3) -1; 4) 2; 5) 5; 6) 3. 3. 1) 20; 2) 10; 3) 6; 4) 3^16. 4. 1) 3;
2) 10; 3) -2; 4) 5. 5. 1) -2; 2) 3; 3) -5; 4) 2. 6. 1) 77; 2) 6; 3) 15; 4) 5. 7.1) 108; 2) 200;
3) 0,9; 4) 1-. 8. 1) R; 2) [3; +оо); 3) [-2; +оо); 4) (0; +оо). Ю. 1) 2)
3 2 3
3) при а = 9 -; при 0 < а < 9 или а > 9 при а < 0 выражение не определено;
6 а-9
4) при х=1 -; при X ^ I —Y—1. 11. 1) a^byfa^; 2) ab^^a^b; 3) -3ab*^aV; 3 л-1
4) 2ab"V^. 12. 1) |а5®|^; 2)ablf^; 3) 2a"bV&; 4) a"|5|^. 13.1)^/^; 2)
3) УЬа’Ь^; 4) ^fTb. 14.1) При a > 0 ^fla*; при о < 0 2) 3) ^/2^; 4) ^-35".
15. 1) -a; 2) a; 3) 0; 4) 0. 16. 1) 2la|5'V2; 2) ab^c; 3) 4)
17.1) + 2) ifyi 3) 4) при д: > 0, у > 0 -e|^; при ле < 0, у < 0 в&
Vo \у
18. 1) ^7; 2) ±^3; 3) -VS; 4) корней нет; 5) ±2; 6) -4.
§ 26. 1. 1) 3; 2) корней нет; 3) -26; 4) 0; 5) 45. 2. 1) 8; 2) 2. 3. 1) 2; 2) 10; 3) 4;
4) 7. 4. 1) 3; 2) -5; 3) -11; 4) -8; 5. 5. 1) 1; 2) 3; 3) 0; 4) ±^/2. 6. 1) 1; 2; 10; 2) -1.
7. 1) (8; 0); 2) (4; 1); 3) (4; 1); 4) (16; 1). 8. 1) (27; 1), (1; 27); 2) решений нет;
3) 4) (0,5; 1,5).
Ответы и указания к упражнениям 471
§ 27. Пункт 27.1. 1. 1) V2; 2) 3) 1/5; 4) 5) v/S; 6) 2. 1) 3»; 2) 4^;
_9 J 14
3) 7 2; 4) а «; 5) (25)4; 6) |с|п. 3. 1) Нет; 2) да; 3) да; 4) нет. 4. 1) [0; +оо); 2) (-оо; 0) и (0; +00); 3) (1; +00); 4) [-3; +о°); 5) (-°о; -1) и (-1; 1) и (1; +оо); 6) R.
5. 1) 9; 2) -; 3) 32; 4) —; 5) 8,2; 6) 6,75; 7) 3,25. 7. 1) 2) ——; 3) ---------
о ЛОЕ А £ — — ~
625
о2.Ь2 р2+5 j2_^2
11 1 2 112
4) +п*. 8. 1) 1 + с; 2) я: + I/; 3) X - 1; 4) -1^. 9. 1) ——; 2) а® +а^Ь^ +5®;
+4
1 1 1
3) г^-2; 4) а}+Ь~\ 10. 1) 1; 2) 128; 3) 4л/2; 4) ±4>/2. Пункт 25.2. 1. 1) Д; 2) (-оо; 0) и (0; +00); 3) [1; +оо); 4) (0; +оо); 5) (-оо; 0] U [1; +оо); 6) Д.
§ 28. Пункт 28.1. 1. 1) -1; 2) 3. 2. 1) 0; 2) 0; 3) корней нет; 4) 3. 3. 1) 1; 2) (4; 25).
4. 1) 8; 2) 4; 3) 2; 4) 1, -1. 5. 1) (16; 16); 2) (4; 4). Пункт 26.2. 1.1) 2) -3; 1; 3) 4;
2
4) 4. 2. 1) 1; 2) [5; 8]. 3. 1) 1-; 2) 2-2>/2; 4.1) 2) -1. 5. 1) 32; 2) 64.
7 2 I*'
o;-|]u[3;+oo). 2)(-oo; 0]U[l;+oo).
3. 1) -2; [-1; 3]; 2) -3; (-0,5; 1]. 4. 1) [2; +oo); 2) [10; +oo). 5. 1) [з-2>/2;9); 2)[0; 4) U U (9; +00). 6. 1) (-oo; -3] U (0; +oo); 2) (-oo; -2) U (0; 1) U (1; +oo). 7. 1) [2; 5,2]; 2) [1; 5) U (10; +oo). 8. 1) Решений нет; 2) 2; 3. Указание. Найти ОДЗ неравенства и учесть, что в нее входят только два числа.
2
§ 30. 1. 1) При а е R X = а + 4; 2) при а > 0 х = а - 2а; при а < 0 корней нет;
§29.1. 1)(-оо; -3]; 2) (^;0]U
3;3- |.2. 1) |-оо;
3) при т < о или т > 3 корней нет; при 0 < т <, 3 х = -
4т
-; 4) при а = о X = 0;
при а > 1 х= при о < 0 или 0 < а < 1 корней нет. 2. 1) При а < 1 х = а;
2
при 1 < а < 2 X е [1; а]; при а = 2 х е [1; 2); при а > 2 х = а или х е [1; 2); 2) при а < о решений нет; при а = 0 х е (0; +оо); при а> 0 хе -^a;-aju(0;+oo) 3)при а < -4
решений нет; при -4 < а < 0 xe(2-V4 + a;2 + V4 + a); при а > 0 хе -~;2 + -j4 + a ;
1 -3 + V-7-160 1 7
- Х€ а; ; при — <а< хе
2 L 8 J 2 16 L
-3-V-7-16a -3 + ypi^
16а
8
8
7 3 7 „ „ч „ „ Г 2-^2а*-4 .
при а =--х =—; при а >----решении нет; 5) приа < -2 или о > 2 хе -----; а
16 8 16 V 2 '
-2<.a<-'j2 или у/2<ай2 хе
2-^2a^-i 2 + yj2a^-4
; при -V2 <,a<,yl2 реше-
при
\ 2 2 J
ний нет. 3. а < 5,125. 4. а < 0, a = V2. 5. а < 1. 6. При а < 1 одно решение; при а > 1 решений нет.
472 Ответы и указания к упражнениям
Дополнительные упражнения
2n/i5 siy/l-Ji) *{a*+b*)-.
2. 1) 0; 2) 1. 3. 1) -7=^-7=: 2) 1; 3) X - 1; 4) 4. 2) —. 5. 1) х + 1; 2) аЬ*
yja +yj 2 ус 8Ь
3) 3(/2. 6. 1) -2; 3; 2) 3. 7. 1) 2. 8. 1) ; 2) 3) [7; 14]. 9. 1) 8; 2) корней нет; 3) -3;
11 3
6; 13; 4) 1; 2; 10.10. 2) корней нет. 11.1) [2) (0; 1). 12.1) [i + n^; --—1; 2) (2; 3);
4 4 J’ V 2 2
13. 1) [-2; +00); 2) [0; +оо); З) [0; 3]; 4) (-2; -1].
14. 1) (-«);-2]U
_1; ^/iLl I; 2) (-2;-l]U
2; 2J- 1; 4)
; 3) (-oo; 0,75] и (4; 7); 4) (-3; 1).
3 ЗУ
2;
15. 1) [1; 2]; 2) [4; 20]; 3)
[3; +00). 17. 1) (-1; +00); 2) ^-oo-, -li
16. 1) -1; [2; +00); 2) -2; 1;
U[3; +00); 3) [-1; 3]; 2; 4) -3; [-2; 4]. 18. 1) [-1-2>ЯЗ; -5)u(l; -1 + 2лЯз]; 2) (-oo; O) U [1; 2]; 3) [-5; -4 + 2>/V5-2); 4) (б-27л/б-2; ?]. 19. 1) [2,5; 3); 2) [1; 1,5); 3) |^5^; +ooj. 20. 1) (-0,75; 1);
8 + 4a^+V8a’ + l
2) [-1; 0). 21. 1) (0;4)U
-;+oo
; 2) при a < 2 x e 0;----
0-2.
U (!;+<»); при
a = 2 X e (1; +°°); при a > 2 xe 1;----
V 0-2,
или a > 1. 24. a < -1.
. 22. -1,25 < a < 1 или a > 1,25. 23. a < -3
Ра.тдел 5
§31.4.1)(1; +0O); 2)(-oo; 0); 3)(-2; +oo); 4)(-oo; 0). 10.1) «-»; 2) «-»; 3) «+*; 4) «+».
§ 32. Пункт 32.1. 1. 1) 1) -; 2) 2; 3) 0; 4) 5) 6) 2±S; 7) -3; 2; 8) 0; 9)2
2 4 2
10) 4; 11) корней нет; 12) 5; 13) корней нет; 14) 0; 15) 1; 16) 2; 17) 1; 18) 2; 3; 19) 1 20) 1; 21) 2; 22) 2. 2. 1) 1; 2) 1; 3) 3. 3. 1) -4; 2; 2) -2; 3; 3) -2; 4; 4) -1; 3; 5) ±^/з.
4. 1) 1; 2) 1; 3) 3; 4) -1; 5) 2; 6) 0; 7) -2; 8) 2. 5. 1) й; 2) при а = О R; при а О х = 1
3) при а = 0хе R, хт^О; при а > О х = 0,5 (при а < О уравнение не определено)
Пункт 32.2. 1. 1) 0; 2) 1; 3) 1; 4) 1; 5) 1. 2.1) 1; 2) 1; 3) 0; 2; 4) 0; 2; 5) 3; 6) 0,5
7) ±1; 8) —, л € Z. 3. 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 0; 5) 0; 6) 1,5. 4. 1) 0; 2) 0; 3) О; 4) 0; 1
2
5) 0; 1. 5. 1) 2; 2) ±1; 3) 0; 4)0; 1,5. 8. 1) (3; -1); 2) (-2; -3); 3) (1; 2); (2; 1); 4) (3; 1)
5) (4; 2); 6) (4; 2). Пункт 32.3. 1. 1) (0; +оо); 2) (-1; +оо); 3) R; 4) решений нет
5) (-оо; -2]; 6) (-оо; 5]; 7) [2,5; +оо); 8) (0; +оо); 9) [1; 3) U [6; +оо); Ю) [1; 4) U [8; +оо) 2. 1) (-оо; 0); 2) (-оо; 1); 3) [-1; +00); 4) (-00; 1]; 5) (2; +00); 6) [1; 2]. 3. 1) (-оо; 0)
2) (-оо; 1]; 3) (-оо; -1 4) (0; 1). 5.
и [0; +00); 4) [0; 1]. 4. 1) -2; [3; +оо); 2) (-оо; -2], 4; 3) (0; 1) 1
и 0;-
; 2) [4; +оо) и {0}.
Ответы и указания к упражнениям 473
§ 33. 2. 1) 2; 2) 3; 3) -2; 4) 0,5; 5) -1,5; 6) 0; 7) i; 8) 9) -1; 10) -1. 3. 1) log, 9;
3 4
6)1пЗ. 4. 5) 14; 6) 54. 5. 2) 2 Ig а + 5 Ig Ь - 7 Ig с - 1; 5) 2 + 71og3a + ilog3b.
3
6.1)31g|a|+51g|6| + 81g|c|;2) ^Ig | a| + -lg 15|- 21glcl; 3) 41g | c|--lg | a|--lg 1б|;
3 3 5 5
112 40
4) 2 + -lg|a| + -lg|5| + -lg|c|. 7. 1) 5 + 1; 2)2a + 5; 3) a + Ы- 1; 4) За + 2b. 8. 1) —;
2)
5 5 5
5 3 тГг
KJba - с m •
logo о
; 3) ’1"-; 4) 9. 1) -log3 a; 2) 0,5 logg a; 3) -0,5 log3 a; 4) 2 log3 a;
1600
5) ^1^. 10. 1) 24; 2) 10; 3) 2,5; 4) 1,5; 5) 19; 6) 12. 11. 1) 2)
3(2-0)’ 2(2-0)’
logs 2
б(3-2о) &(o + 4)
’ 05 + 2 ’ ^ 3(l + o5)’
§ 34. 1. 1) (-3; +00); 2) (3; +00); 3) (-00; -1)U(1; +00); 4) (0; 3); 5) Й; 6) Д; 7) (-00; -2)U(3; +00); 8) (2; 3) U (3; +00); 9) (-o°; -3) U (3; +00); 10) (0; 1) U (1; 2); 11) (1,5; 2) U (2; 5).
§ 35. Пункт 35.1. 1. 1) 16; 2) 5; 3) 2; 4) 100. 2. 1) 5; 2) 6; 3) -3; 1; 4) 2,9. 3. 1) 1;
2) 0; 3) 2; 4; 4) 5. 4. 1) 3; 27; 2) 10; 3) —; 9; 4) 0,1; 1; 10. 5. 1) 1; 2)2; 4; 3) 0;
81
4) log3 4. 8. 1) (100; 10); (10; 100); 2) j^i^; VT? j; 3) (4; 1); (1; 4); 4) (0,25; 64); (8; 2). Пункт 35.2. 1. 1) (9; +<»); 2) (0; 5); 3) (0,5; +oo); 4) (0; 100). 2. 1) (2; +00); 2) (0,2; 2);
3) oj; 4) (-0,5; 1,5). 3. 1) (3; +00); 2) (^-i; ij; 3) (2; 3); 4) (0,5; 4]. 4. 1) (0; 3) U
U (9; +00); 2) (0,1; 10) U (10; 1000); 3)
-;9
.9
; 4) (-00; 0,5] U [4; +00). 5. l) (Ю; +00);
2) [6; +00); 3) (-4; -3) U (4; 5); 4) [1; +00). 6. 1) (0; 0,25]; 2) (1; 4); 3) (0;l)U[V2;4];
4) (-2; 0,5). 7. 1) (-|;-lju(-l; 0)U(0; 3); 2) (-2;-1]; 3) (-2;-1] U (1; 2); 4) (0,5; 1).
§ 36. 1. 1) 1; 1000; 2) 10; 3) —; 8; 4) 3; 5) a) 1; 4; 6) 0; 1; 4; 6) -1; 0; 2;
Vio 16
7) 3; 8) 0,25; 4; 9) 2. 2. 1) (25; 5); (5; 25); 2) (0,5; 0,125); (8; 2). 3. 1) (0; 0,5) U (1; 2); 2) (-00; -2] U [-1; 0] U (3; +00); 3) [3; 5]; 4) при 0 < a < 1 л: e (0; a) U (a ^ +°o); при a > 1 д: e {a *; a); при a < 0 или a = 1 неравенство не определено; 5) при 0 <а < 1 jc е (а; а~^); при а > 1 д: е (0; а~^) U (а; +о°); при а < 0 или а = 1 неравенство не определено. § 37. 1. 1) 1; 2) 1; 3) 2; 4) 0; 5) 4; 6) корней нет; 7) ±2; 8) 1. Указание. Записать
уравнение в виде logj^xT-—j = 2jc-x^ и учесть, что при х> 0 дс + —>2; 9) 1.
2. 1) ±2; 2) ±2; 3) 2. Указание. Разделить обе части уравнения на 2* и учесть, что
функция, полученная в правой части, убывающая. 3.1)0,25; 2; 2) 1; 3; 3) 1,5.
V2
474 Обозначения, варечающиеся в учебнике
4. 1) -3; [-1; +0О); 2) [25; +оо). 5. 1) При а > 11 a: = log5 о-1 + л/а^-10а-11
; при а < -1,5
при -1,5<о<11 корней нет; 2) при -1<а < 3-2V2 ИЛИ ; при а < -1, или 3-2\[2 <а<3, или a>3 + 2-j2 корней
AJ = log5
■г
3 1. 9. а = -4. Указание. Привести уравнение к виду / (лс) = 0 и учесть, что функция f (лс) четная. 10. а < 0, а = 0,25.
11. При а < о корней нет; при а = 0 один корень; при а > 0 два корня. 12. При а < -1 или а > 7 один корень; при -1 < а < 7 два корня. 13. а > -2,25.
Дополнительные упражнения. 1. 1) -40; 2) 5\/3; 3) 7; 4) 20. 2. 1) 1000; 2)-2; 3) 32; 4) 27; 5) 10. 3. 1) 1; 2) 4; 3) 1; 4) 2. 4. 1) 9; 2) 19; 3) 0,5. 5. 1) -27,2; 2) -0,8;
3) --; 4) 2,903. 6. 1)
в 2 +
2) —; 3) 5 (1 - а - Ь). 9. 1) (-оо; -1] и [3; Ч-оо]; 2а
2) (-оо; -1] и [5; +00]; 3)
; 4) [-1; 0) и (3; 4]. 10. 1) (-оо; 1]; 3) [0,5; 1];
4) [2; 4]. 11. 1) [-2; +оо); 2) (-оо; -8]; 3) [-1; +оо); 4) (-оо; 1]. 12. 1) -2,5; 2) 0,6; 3) 1,75; 4) 3. 13. 1) -2; 2) 6; 11; 3) 16; 4) 64. 11. 1) [-2; -t-oo). 14. -2 < а < 2. Указание. Записать заданные выражения как степени с одинаковым основанием 5.
Обозначения, встречающиеся в учебнике
N — множество всех натуральных чисел
Z — множество всех целых чисел — множество всех неотрицательных целых чисел множество всех рациональных чисел
множество всех действительных чисел, числовая прямая множество всех положительных действительных чисел отрезок (замкнутый промежуток) с концами акЬ,а<Ь интервал (открытый промежуток) с концами а и Ь, а < Ь
полуоткрытые промежутки с концами а и Ь, а < Ь
Q
R ■
R.
[о; Ь] ■
(а; 6) ■
(о: <>], 1а; Ь) ■
(а; ч-оо), [в; ч-оо), (-оо; fe], (-00; Ь)
(-оо; -ЮО)
— бесконечные промежутки
— бесконечный промежуток, числовая прямая
модуль (абсолютная величина) числа X
[х] — целая часть числа х {д:} — дробная часть числа х f (л) — значение функции f в точке х D (f) — область определения функции f Е (f) — область значений функции f sin — функция синус cos — функция косинус tg — функция тангенс ctg — функция котангенс arcsin — функция арксинус arccos — функция арккосинус arctg — функция арктангенс arcctg — функция арккотангенс
■1а — арифметический корень из числа а
арифметический корень 2к-й степени из числа о (fe б \) корень (2^ч-1)-й степени из числа а (к е N)
логарифм по основанию а десятичный логарифм (логарифм по основанию 10)
In — натуральный логарифм (логарифм по основанию е)
^ --
log. — Ig —
Список использованных сокращений 475
Список использованных сокращений
вгу
ВолГУ
ВШЭ
ГАСБУ
ГФА
ГУУ
ДВГУ
ЕГЭ с
ЛТА
МАИ
МАМИ
МАТИ
МГАТХТ
МГСУ
МГТУ
МГУ
вмк
биол. ф-т геогр. ф-т геолог, ф-т ИСАА мехмат фйз. ф-т хим. ф-т эк. ф-т МГУИЭ МГУЛ МГУПБ МИИТ МИРЭА
МИФИ
МИСиС
МИЭМ
МПГУ
МТУСИ
МФТИ
МЭСИ
ИНГУ
ОмГУ
ПГУ
РЭА
СПбГИЭУ
СПбГУ
СПбГУКиТ
СПбГУНиПТ
СПбГУТ СПбУЭФ СПбГУ АП СТАНКИН УрГУ
Воронежский государственный университет Волгоградский государственный университет Государственный университет Высшая школа экономики Государственная академия сферы быта и услуг
Государственная финансовая академия при Правительстве Российской Федерации Государственный университет управления Дальневосточный государственный университет
Единый государственный экзамен (по математике) часть С (задания с развернутым ответом) Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия Московский авиационный институт (государственный технический университет) Московский государственный технический университет (Московский Автомеханический Институт)
Российский Государственный Технологический Университет им. К. Э. Циолковского Московская государственная академия тонкой химической технологии Московский государственный строительный университет Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова: факультет вычислительной математики и кибернетики биологический факультет географический факультет геологический факультет институт стран Азии и Африки механико-математический факультет физический факультет химический факультет экономический факультет
Московский государственный университет инженерной экологии Московский государственный университет леса
Московский государственный университет прикладной биотехнологии Московский государственный университет путей сообщения
Московский государственный институт радиотехники» электроники и автоматики (технический университет)
Национальный исследовательский ядерный университет Московский институт стали и сплавов
Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)
Московский педагогический государственный университет
Московский технический университет связи и информатики
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Московский государственный университет экономики» статистики и информатики
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
Омский государственный университет
Пермский государственный университет
Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова
Санкт-Петербургский государственный инженерно-экономический университет Санкт-Петербургский государственный университет Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и пищевых технологий
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения Московский государственный технологический университет Уральский государственный университет
476 Предметный указатель
предметный указатель
Арифметический корень 302, 304 Арккосинус 228, 230 Арккотангенс 233, 234 Арксинус 226, 227 Арктангенс 231, 232
В
Внесение множителя под знак корня 303, 308, 310
Вынесение множителя из под знака корня 303, 307, 310
Г
Гармонические колебания 169
----, амплитуда 169
----, начальная фаза 169
----, период 169
----, частота 169
Геометрический смысл модуля 77
Гипербола 28
График арккосинуса 229
— арккотангенса 233, 234
— арксинуса 226, 227
— арктангенса 231, 232
— квадратичной функции 26, 31
— косинуса 168, 172
— котангенса 176, 179
— неравенства с двумя переменными 86, 88-90
— линейной функции 24, 27
— логарифмической — 407, 408
— периодической — 162
— показательной — 368, 371
— степенной — 330
— синуса 165, 168
— тангенса 173, 176
— уравнения с двумя переменными 86, 88
— функции 13, 15
----, геометрические преобразования 35-41
Графическое решение систем неравенств с двумя переменными 459
д
Деление многочлена на двучлен 134 Деление многочленов 132
----«уголком* 133
----с остатком 133
Делимость целых чисел 112, 116 Дополнение множества 7, 10 Дробная часть числа 158 3
Замена переменных 248, 283, 317, 320, 321, 386, 415, 417, 451
К
Корень из корня 303, 307, 310
----произведения 303, 307, 308, 310
----степени 303, 307, 309, 310
----частного 303, 307, 308, 310
— квадратный 19, 302, 303
— многочлена 135
----кратный 137
----рациональный 140
----целый 140
— л-й степени 302, 304
— уравнения 45
----посторонний 49
Косинус 153, 154, 169, 170 Косинусоида 169, 172 Котангенс 153, 154, 157, 176, 177 Котангенсоида 176, 179
Л
Логарифм 367, 397, 399, 414
— десятичный 397, 399
— натуральный 397, 400
М
Метод интервалов 69, 74, 349, 392, 428
----для тригонометрических неравенств
287, 295
— математической индукции 109 Многочлен л-й степени 129
— нулевой 130
— от одной переменной 129 Множество 6, 7
— пустое 6, 8
— универсальное 10
Н
Наибольший общий делитель двух чисел 114 Наименьшее общее кратное двух чисел 114 Неполное частное 115, 118, 133 Неравенства 67, 70
— иррациональные 349, 356
— логарифмические 429
— показательные 391, 443
— показательно-степенные 437
— равносильные 68
— с модулями 77, 78
----одной переменной 67, 70
— с параметрами 96, 275, 356
— тригонометрические 285 Нули функции 69, 73
О
Область допустимых значений корня 302, 305
-------неравенства 68, 70
-------системы уравнений 257
-------уравнения 45, 47, 61, 62
— значений функции 15, 19
— определения функции 15 Объединение множеств 7, 10 Одночлен 129
От^р корней тригонометрических уравнений 256, 257
Основная теорема арифметики 114, 117 Основное логарифмическое тождество 398, 400
— свойство корня 303, 307, 309, 310
— тригонометрическое тождество 184, 185 Остаток от деления 115, 118
Предметный указатель 477
п
Парабола 29, 30 Пересечение множеств 6, 9 Период функции 158, 160 Подкоренное выражение 19, 304 Подмножество 6, 9 Показатель корня 304 Потенцирование 367, 404 Потеря корней уравнения 53-57, 261 Преобразования графика функции 35-41 Признаки делимости 113, 121
Равенство множеств 6, 8, 9
— многочленов 131
Равносильные преобразования неравенства 68, 71, 72, 287, 349-352, 391, 393, 427-430
----уравнения 46, 51, 52, 249, 317, 318,
321, 379, 380, 415-419, 434 Радиан 148, 149 Радианная мера угла 148, 149 Радикал 304, 367
Разложение многочлена на множители 136, 141-143
Разность множеств 7, 10 Расположение корней квадратного трехчлена 104
Решение неравенства 68-70
— системы 257
— уравнения 45-47
С
Свойства корня п-й степени 302, 303, 306-310
— логарифмической функции 407, 409
— логарифмов 398, 400, 401
— обратной функции 220, 222, 223
— показательной функции 368, 369, 371-373
— степеней 323
— степенной функции 330-339
— тригонометрических функций 158-162
— числовых неравенств 456
— числовых равенств 456 Синус 153, 154, 165, 166 Синусоида 165, 168 Системы уравнений 257
— равносильные 257, 258
— тригонометрических 260 Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента 184, 185 Сравнение целых чисел по модулю т 115, 119 Старший член многочлена 129
Степень одночлена 129
— с дробным показателем 323-325
----иррациональным показателем 325, 326
----натуральным показателем 322, 323
----рациональным показателем 323-325
----целым показателем 322, 323
Сужение ОДЗ 56, 266, 312 Схема Горнера 138
Т
Тангенс 153, 154, 156, 173, 174 Тангенсоида 173, 176 Теорема Везу 135
---, следствие 135
Теоремы о корнях уравнения 61, 63, 64,
342, 343, 444, 445
---равносильности неравенств 68, 72
------- уравнений 46, 52
Тождественное равенство многочленов 131 Тождество 188 Тригонометрия 219
У
Угол 147, 148 —, измерение 147, 148 Уравнение 44, 47
— иррациональное 317, 318
— логарифмическое 414-420
— однородное 251, 386
— показательное 379-381
— показательно-степенное 434, 435
— равносильное 46, 50
— -следствие 45, 47, 257, 318, 414, 417
— с модулями 77, 80, 347
— с обратными тригонометрическими функциями 271
— с одной переменной 44, 47
— с параметрами 96, 275, 356, 383
— тригонометрическое 237, 249, 268
Ф
Формула преобразования выражения а sin а + Ь cos а 215
— перехода к логарифмам с другим основанием 398, 402
Формулы Виета 136
— двойного аргумента 194
— дополнительных аргументов 201
— логарифмирования 398, 400, 401 , обобщенные 401
— половинного аргумента 209, 211
— понижения степени 209, 210
— преобразования произведения тригонометрических функций в сумму 203, 205
— суммы и разности тригонометрических функций 203-205
— приведения 198, 201
— сложения 189
— тройного аргумента 209, 210 Функция 14
— возрастающая 14
— квадратичная 26, 30
— линейная 24-26
— логарифмическая 407, 408
— нечетная 14, 18
— обратная 220, 221, 223
— обратная пропорциональность 25, 27
— периодическая 158, 160
— показательная 368, 369
— степенная 330-339
— убывающая 14
— четная 14, 17
— числовая 13, 15
Число простое 113 — составное 113
478 Содержание
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1
§2
§3
§4
л±
§6
л_
РАЗДЕЛ 1. ФУНКЦИИ, УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА
Множества и операции над ними...........................................6
Повторение и расширение сведений о функции.............................13
2.1. Понятие числовой функции. Простейшие свойства числовых функций....13
2.2. Свойства и графики основных видов функций.........................24
2.3. Построение графиков функций с помощью геометрических
преобразований известных графиков функций.........................35
Уравнения..............................................................44
3.1. Уравнения-следствия и равносильные преобразования уравнений.......44
3.2. Применение свойств функций к решению уравнений....................60
Неравенства: равносильные преобразования неравенств
и общий метод интервалов...............................................67
Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля........................77
Графики уравнений и неравенств с двумя переменными.....................85
Уравнения и неравенства с параметрами..................................96
7.1. Решение уравнений и неравенств с параметрами......................96
7.2. Исследовательские задачи с параметрами............................100
7.3. Использование условий расположения корней квадратного трехчлена
f (х) = ах^ + Ьх + с (а * 0) относительно заданных чисел А и В...103
Метод математической индукции..........................................109
Делимость целых чисел. Сравнения по модулю т.
Решение уравнений в целых числах.......................................112
Многочлены от одной переменной и действия над ними.....................129
10.1. Определение многочленов от одной переменной
и их тождественное равенство......................................129
10.2. Действия над многочленами. Деление многочлена на многочлен
с остатком........................................................132
10.3. Теорема Безу. Корни многочлена. Формулы Виета................... 134
10.4. Схема Горнера................................................... 138
10.5. Нахождение рациональных корней многочлена
с целыми коэффициентами...........................................140
Дополнительные упражнения к разделу 1..........................................144
РАЗДЕЛ 2, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Радианная мера углов...................................................147
Тригонометрические функции угла и числового аргумента..................152
Свойства тригонометрических функций................................... 158
Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики.165
14.1. Свойства функции у = sin дс и ее график.........................165
14.2. Свойства функции у = cos х и ее график .........................169
14.3. Свойства функции у = tg х и ее график.......................... 173
14.4. Свойства функции у = ctg ж и ее график......................... 176
Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента......184
Формулы сложения и их следствия........................................189
16.1. Формулы сложения................................................ 189
16.2. Формулы двойного аргумента.......................................194
16.3. Формулы приведения...............................................198
§ И § 12 § 13 § 14
15
16
Содержание 479
16.4. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций
в сумму........................................................203
16.5. Формулы тройного и половинного аргументов. Выражение тригоно-
метрических функций через тангенс половинного аргумента........209
I 16.6.[ Формула преобразования выражения о sin а + Ь cos а...........215
Дополнительные упражнения к разделу 2........................................218
Сведения из истории..........................................................219
РАЗДЕЛ 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 17 Обратная функция.....................................................220
§ 18 Обратные тригонометрические функции..................................226
18.1. Функция у = arcsin х..........................................226
18.2. Функция у = arccos х..........................................229
18.3. Функция у = arctg х...........................................231
18.4. Функция у = arcctg х..........................................233
§ 19 Решение простейших тригонометрических уравнений.....................237
19.1. Уравнение cos х = а...........................................237
19.2. Равнение sin х = а............................................240
19.3. Уравнения tg х = а и ctg х = а................................244
§ 20 Решение тригонометрических уравнений, отличающихся от простейших.....248
20.1. Замена переменных при решении тригонометрических уравнений....248
20.2. Решение тригонометрических уравнений приведением
к одной функции (с одинаковым аргументом)......................249
20.3. Решение однородных тригонометрических уравнений и приведение
тригонометрического уравнения к однородному....................251
20.4. Решение тригонометрических уравнений вида f (х) = 0
с помощью разложения на множители..............................254
20.5. Отбор корней тригонометрических уравнений.....................256
§ 21 Решение систем тригонометрических уравнений..........................260
|. § 22 ] Примеры решения более сложных тригонометрических
________уравнений и их систем................................................263
0|[23^ Тригонометрические уравнения с параметрами..........................275
23.1. Решение уравнений с параметрами...............................275
23.2. Исследовательские задачи с параметрами........................279
I § 24 I Решение тригонометрических неравенств..............................285
Дополнительные упражнения к разделу 3........................................298
РАЗДЕЛ 4. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
§ 25 Корень л-й степени и его свойства....................................302
§26 Иррациональные уравнения............................................317
§ 27 Обобщение понятия степени.
Степенная функция, ее свойства и график.............................322
27.1. Обобщение понятия степени.....................................322
________27.2. Степенная функция, ее свойства и график........................330
I § 28 I Применение свойств функций к решению иррациональных уравнений......341
28.1. Применение свойств функций к решению иррациональных уравнений.341
28.2. Примеры использования других способов решения иррациональных
уравнений......................................................345
I § 29 I Решение иррациональных неравенств..................................349
480 Содержание
[ § 30 I Решение иррациональных уравнений и неравенств
с параметрами.......................................................356
Дополнительные упражнения к разделу 4.......................................365
Сведения из истории.........................................................367
РАЗДЕЛ 5. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Показательная функция, ее свойства и график.........................368
Решение показательных уравнений и неравенств........................378
32.1. Простейшие показательные уравнения............................378
32.2. Решение более сложных показательных уравнений и их систем.....384
32.3. Решение показательных неравенств..............................391
Логарифм числа. Свойства логарифмов.................................397
Логарифмическая функция, ее свойства и график.......................407
Решение логарифмических уравнений и неравенств......................414
35.1. Решение логарифмических уравнений.............................414
35.2. Решение логарифмических неравенств............................426
Решение показательно-степенных уравнений и неравенств...............434
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.............443
Дополнительные упражнения к разделу 5.......................................453
Справочный материал.........................................................455
Ответы и указания...........................................................460
Обозначения, встречающиеся в учебнике.......................................474
Список использованных сокращений ...........................................475
Предметный указатель........................................................476
§31 § 32
§33
§34
§35
§ 36 §37
Нелин Евгений Петрович Лазарев Виктор Андреевич
Алгебра и начала математического анализа
10 класс
Подписано в печать 15.03.2011. Формат 70x90/16. Усл.-печ. л. 35,10. Тираж 5000 экз. Заказ № 831.
ООО «Илекса», 105187, г. Москва, Измайловское шоссе, 48а, сайт: www.ilexa.ru, E-mail: [email protected], факс 8(495) 365-30-55, телефон 8(495) 984-70-83
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных издательством материалов в ОАО «Тверской ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбинат детской литературы им. 50-летия СССР». 170040, г. Тверь, проспект 50 лет Октября, 46.
ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
y\ y = sin X
1 Зл
2
/^2я 3n _7t4 _lt У 0 TZ TtS. /2п X
2 2
У ' у = COS X
-2n ЗлХ -я уУж 0 лЧу ;ц >^л 2л: ^
2 2 -1. 2 2
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
Если а > О, Ь > О, а 1, Ь 1, л: > О, у > О, то ^og^ixy) = \og^x + \og^y
^ - '------ log^x" = nlog^:ic
log.x
log - = log„jc-log„z/
У
log^x =
log, a
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
sin^ а + cos^ а = 1 1
1 + tg а =
cos^a
1 4- ctg^ а =
sin а
tga =
sing cos а
cos a
ctg a = ----
sing
tg g • ctg a = 1
sin (a ± P) = sin a • cos p ± cos a • sin p cos (g ± P) = cos a • cos p + sin a • sin p
tg (g±p) tgg±tgp ^и + tggtgp
sin 2a = 2 sin a cos a
tg2a=-^
1-tg’a
cos 2a = cos^ a - sin^ a
1 + cosa = 2cos^^
1-cosa = 2sin^^
• n n • a+3 g-3
sin a + sin p = 2 sin ^ cos ^
sin a - sin P = 2 sin cos—
n n g+3 g—3 cos g + cos p = 2 cos —^ cos "
cos a - cos P = -2 sin - ^ ^ sin
^ 2 2
t