Учебник Алгебра 10 класс Колягин базовый и профильный уровень

и начала математического анализа JlpOCpUXbHbLU уровень 3- 2 1 / 0-Ш 1 1 1 J -2 -1 X 0 12 3 л: Х-\ -2 i/=logiA; 2 Vi 1 *^M(cos а; sin а) /\ Л“ ] ч )l л: у о 1 y=^log^x X y=\ogiX y — S 8шл: y = sinx Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин Длгебра И начала математического анализа УЧЕБНИК ДЛЯ учащихся общеобразовательных учреждений 10 JlpOCpUXbHbLU уровень Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 8-е издание, стереотипное Москва 2009 УДК 373.167.1:512+517.1 ББК 22.141я721+22.161я721 К62 Колягин Ю. М. К62 Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб, для учащихся общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. — 8-е изд., стер. — М.: Мне-мозина, 2009. — 366 с. : ил. ISBN 978-5-346-01315-0 в учебнике представлен в целостном виде раздел по тригонометрии. Много внимания уделяется алгебраическим, показательным, логарифмическим и тригонометрическим примерам и задачам различного уровня сложности для самостоятельного решения. Разделы «Производная» и «Интеграл» изложены в учебнике для 11-го класса. УДК 373.167.1:512-1-517.1 ББК 22.141я721+22.161я721 ISBN 978-5-346-01315-0 © «Мнемозина», 2001 © «Мнемозина», 2009 © Оформление. «Мнемозина», 2009 Все права защищены ПРЕДИСЛОВИЕ Данный учебник является первой частью курса «Алгебра и начала математического анализа» для 10—11-го классов средних общеобразовательных учреждений различного типа, в которых на изучение математики отводится 4—5 часов в неделю. В новом учебнике изложены элементы теории действительного числа, представленного в виде бесконечной десятичной дроби. В целостном виде также представлен раздел тригонометрии, начиная с определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла и кончая решением тригонометрических неравенств и изучением обратных тригонометрических функций. Широко представлены разные типы тригонометрических уравнений и методы их решения (уравнения, сводящиеся к алгебраическим; линейные уравнения относительно sin X и cos х; уравнения, содержащие корни и модули; метод разложения на множители, метод замены неизвестного, метод оценки левой и правой частей уравнения). Включена глава, в которой изложены основные методы решения систем уравнений (рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических и др.), приведены примеры решения текстовых задач с помощью систем уравнений. Кроме того, отдельная глава посвящена изучению степенной функции, где рассматриваются вопросы, связанные с понятиями обратной функции, равносильности и следствия. В каждой главе учебника имеется краткая историческая справка. Наконец, важная особенность учебника — расширенная система задач и упражнений с учетом уровневой дифференциации обучения и потребностей учащихся в получении знаний, необходимых для поступления в вузы. Для удобства учителей и учащихся в тексте книги выделены: 1) названия параграфов, материал которых обычно изучается учащимися, проявляющими повышенный интерес к математике; 2) номера задач в тексте и в конце параграфов, для решения которых требуется применение различных приемов и методов, не входящих в перечень обязательных для всех учащихся. Упражнения «до черты», расположенные после каждого параграфа, соответствуют обязательному уровню усвоения материала; 1* упражнения «за чертой» — продвинутому уровню усвоения. Задачи повышенной трудности обозначены одной или двумя звездочками. В учебнике для 11-го класса наряду с традиционными разделами курса «Алгебра и начала математического анализа» (производная и ее применение, интеграл) представлены главы, связанные с изучением комплексных чисел, элементов комбинаторики и теории вероятностей. Авторы УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ: Л Начало решения задачи А Окончание решения задачи О Начало обоснования утверждения или вывода формулы • Окончание обоснования или вывода ГЛАВА L) ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. СТЕПЕНЬ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ § 1. Рациональные числа Напомним И систематизируем те сведения о действительных числах, с которыми вы уже знакомы. Изучение математики вы начали с натуральных чисел, т.е. с чисел 1, 2, 3, 4, 5, ... . При сложении и умножении натуральных чисел всегда получаются натуральные числа. Однако их разность и частное могут не быть натуральными числами. Добавлением к натуральным числам отрицательных чисел и нуля множество натуральных чисел расширяется до множества целых чисел, т.е. О, ±1, ±2 , ±3, .... Для любых целых чисел их разность является целым числом. Однако частное двух целых чисел может не быть целым числом. т Введение рациональных чисел, т.е. чисел вида — , где т — целое и п — натуральное, позволило находить частное двух рациональных чисел при условии, что делитель не равен нулю. Заметим, что каждое целое число т является рациональным, так как его т можно представить в виде — . Итак, при выполнении четырех арифметических действий (кроме деления на нуль) над рациональными числами всегда получаются рациональные числа. Если рациональное число можно представить в виде дроби 10"' где т — целое и k — натуральное, то его можно записать в виде 327 конечной десятичной дроби. Например, число можно записать 23 так: 3,27; число можно записать так: -2,3. Существуют рациональные числа, которые нельзя записать в 1 2 3 видеконечной десятичной дроби, например. J о У 7 Если попытаться записать число - в виде десятичной дроби, используя известный алгоритм деления уголком, то получится бесконечная десятичная дробь 0,333... . Бесконечную десятичную дробь 0,333... называют периодической, повторяющуюся цифру 3 — ее периодом и кратко записывают так: 0,(3); читается: «Нуль целых и три в периоде». Вообще периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, у которой, начиная с некоторого десятичного знака, повторяется одна и та же цифра или несколько цифр — период дроби. Например, десятичная дробь 23,14565656... = 23,14(56) — периодическая с периодом 56; читается: «23 целых, 14 сотых и 56 в периоде». 27 Задача!. Записать число — в виде бесконечной десятичной дроби. А Воспользуемся алгоритмом деления уголком: 27 11 22 2,4545... 50 44 60 "55 50 44 6... Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 45. Следовательно, — = 2,4545... = 2,(45). а Отметим, что при делении целого числа т на натуральное число п всегда получается бесконечная периодическая десятичная дробь, так как каждый из остатков меньше п и поэтому при дальнейшем делении в частном будет повторяться одна и та же группа цифр. Так, период может быть равен нулю, т.е. может получиться целое число или конечная десятичная дробь. Например: 36 1 = -6 = -6,000...; - =0,2 = 0,2000...; О о ^ = -3,75 = -3,75000...; 0 = 0,000... . 4 Вообще каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом у т так как может быть представлена в виде дроби —, где т — целое, а п п — натуральное числа. 6 3 а д а ч а 2. Представить бесконечную периодическую десятичную дробь 0,2(18) в виде обыкновенной. А Пусть л: = 0,2(18) = 0,2181818... . Так как в записи этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то, умножая на 10, получаем: 10x = 2,181818... . (1) Период этой дроби состоит из двух цифр. Поэтому, умножая обе части последнего равенства на 10^ = 100, находим: 1000x = 218,181818. (2) Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем: 990л: = 216. 216 _ 12 Огсюда:д:= — Ответ: 0,2(18)= —. А 55 3 а д а ч а 3. Показать, что 2,999... = 3. А Пусть X = 2,(9). Тогда 10х - х = 29,(9) - 2,(9) = 27, откуда: X = 3. А Аналогично можно показать, что любую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной дроби двумя способами: с периодом о и с периодом 9. Например: 1,75 = 1,75000... = 1,74999..., - 0,2 = -0,2000... = -0,199999.... Условимся в дальнейшем не использовать бесконечные десятичные дроби с периодом 9. Вместо таких дробей будем записывать конечные десятичные дроби или бесконечные десятичные дроби с периодом 0. Например: 5,2999... = 5,30000... = 5,3. Упражнения 1. Записать в виде конечной (если это возможно) или бесконечной периодической десятичной дроби: 2 3 3 1 о 1 10 1)о’ 2)-; 3)-; 4)--; 5)-З-; 6) 3 '11 'Б '4 '7 '101 2. Выполнить действия и записать результат в виде конечной или бесконечной десятичной дроби: 7 2 2) — + ^ 37 3 3) ^ + 1,25; о 4) — + 0,33; 5)^ 1.05; 6) J 3,7. 3. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь: 1) 0,(6); 3)0Д(2); 5)-3,(27); 2) 1,(45); 4)-0,(7); 6)-2,3(32). 4. Вычислить: 1) (5,4 1,2 - 3,7 : 0,8) (3,14 0,86): 0,25; 2) (20,88 : 18 + 45 : 0,36): (19,59 + 11,95); 3) (3,14 : (8,7 - 2,42) -ь 5,2): (7,86 - 0,26 (1,38 28,12)); 4) V 9 12 J 71 6 3 ^ 7 ^ о 11 9 5 ^ 36 32 10 18 5. Вычислить: 1) f6i-4ll.3^f^-i^V28±; I, 6 8J 41,20 18 J 41 2) П; il6 72 12 J [б 23 115 J il8 24 J 3) f3-i+o,24l 2,15 + Гб,1625-2— 1, 25 J 1, 16 4) 0,364 : — + — : 0,125 + 2- 0,8; 25 16 2 5) |з,25-^| 6,25 |5,5-3^j:5 (2-0,75):- 5 (2-0,8) 1-4 § 2. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Напомним: геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность Ь^; Ь^; ...у что для всех натураль- ных п выполняется равенство где Ь^^О, q^O. Например, таковы последовательности: 1;3;9; 27;3"-‘;... (6, = 1,9 = 3); (о, =1.9 = -); ’ 5’25’125”"’U; ^ 5/ 2; -4; 8; -16; ...; -(-2)"; ... (ft^ = 2,q = -2). 8 По формуле вычисляется п-й член геометрической прогрессии, а по формуле с _г\(1-9") сумма ее первых п членов, если q^l. Среди геометрических прогрессий особый интерес представляют бесконечно убывающие прогрессии. Вначале рассмотрим квадраты, изображенные на рисунке 1. Сто- 1 рона первого квадрата равна 1, сторона второго сторона третьего и т.д. Таким образом, стороны квадрата образуют геометричес- кую прогрессию со знаменателем - ii± i ’ 2’ 2^' 1 Г)П-1 ■ (1) Площади этих квадратов образуют геометрическую прогрессию со 1 знаменателем 1 i _L J_ J_ ^’4’42’43’”’4™-i’— (2) Из рисунка 1 видно, что стороны квадратов и их площади с возрастанием номера п становятся все меньше, приближаясь к нулю. Поэтому прогрессии (1) и (2) называются бесконечно убывающими. Отметим, что у этих прогрессий знаменатели меньше единицы. Рассмотрим теперь геометрическую прогрессию 1, 1 1 3 3" J_ 3^’ (-1Г ЭЛ-1 (3) Знаменатель этой прогрессии _ 1 А _ 1 а ее члены Ь. = 1у о о ^ ^4 = и т.д. с возрастанием номера п члены этой прогрессии приближаются к нулю. Прогрессию (3) также называют бесконечно убывающей. Отметим, что модуль ее знаменателя меньше единицы: |д|< 1. 1 2 Рис. 1 Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы. Задача 1. Доказать, что геометрическая прогрессия, заданная формулой п-го члена является бесконечно убывающей. ._3, 3 3 _^2_1 А По условию ^ - 7> ^2 = тт “ 77» откуда Я -----о 5 25 о Так как | g | < 1, то данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. А На рисунке 2 изображен квадрат со стороной 1. Отметим штриховкой его половину, затем половину оставшейся части и т.д. Площади заштрихованных прямоугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию 1 i i J_ 2. 2 4 8 16 32 Если заштриховать все получающиеся таким образом прямоугольники, то штриховкой покроется весь квадрат. Естественно считать, что сумма площадей всех заштрихованных прямоугольников равна 1, т.е. 1 1 1 1 1 _ _ -+ -+ -+ —+ — + 2 4 8 16 32 —+...=1. В левой части этого равенства стоит сумма бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим сумму первых п слагаемых: 1 ^111 =--н -+ , "248 2" По формуле суммы п членов геометрической прогрессии имеем i-i 2" Если п неограниченно возрастает, то ~ как угодно близко при-ближается к нулю (стремится к нулю). В этом случае пишут: — ^ О при п^оо или Ит = О ^ 2 п-^оо 2 (читается: « — стремится к нулю при п, стремящемся к бесконечнос-^ 1 ти» или: «предел — при п, стремящемся к бесконечности, равен нулю»). 10 Так как 2" О при п^оо , то -> 1 при п->оо , т.е. S„->1 при п^оо или limS^=L Поэтому бесконечную сумму Л->оо 11111 ■■■*" 71'*’ 77'*’ “* считают равной 1. 2 4 8 16 32 ^ Говорят, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности Sg; S^; S^; .... Например, для прогрессии у у у •••у I 3 9 27 I, 3 где 6j = 1, q = - g, имеем Si =1;S2 =l-i = -;S3 =l-i + i = -;. 3 3 3 9 9 S =. ■-(-ti 1- ^ 1^ Поэтому —, так как lim 4 3 3 4 4 f 1T 3> 3 = 0. 4 n^oo Выведем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Воспользуемся формулой Запишем ( 1-q [ ее так: S„ = _ fh 1-q 1-q (4) Так как I-g I < 1, то ^ 0, если n неограниченно возрастает. По- fi этому ----Q также стремится к нулю при п-^оо , Первое слагае- 1-q мое в формуле (4) не зависит от п. Следовательно, S стремится к числу — при п^оо , 1-q Таким образом, сумма S бесконечно убывающей геометричес- кой прогрессии равна s=^. 1-q (5) В частности, при Ь.=1 получаем S =-----. Это равенство обычно 1-^ записывают так: 1 + g + g"^ + , ^ + ... = 1-^ Подчеркнем, что это равенство и равенство (5) справедливы только при|д|< 1. 11 Задача 2. Найти сумму бесконечно убывающей геометричес-111 1 кой прогрессии —, “тт» ••• • 2 о 1о 54 I, _ 1 I, _ 1 п-^2 __1 А Так как >^2-—, то ч- — - 2 6 S S= и по формуле 1-q получим 1 S =--^ = -. А 1-1 — 3 3 8* Задача 3. Найти сумму бесконечно убывающей геометричес- 1 кой прогрессии, если = -1, 9 “ А Применяя формулу при п = 3 получаем /1\3-1 1 = ^ = откуда 6j = -49. По формуле (5) находим сумму S S = ^ = -57-. А 1-1 6 Задача 4. Пользуясь формулой (5), записать бесконечную периодическую десятичную дробь а = 0,(15) = 0,151515... в виде обыкновенной дроби. А Составим последовательность приближенных значений данной бесконечной дроби: Ot =0,15 = —, ^ 100 02 =0,1515 = ^1-+ —, 100 100“= л ^ ^ ^ ^ ^ 15 15 15 Од = 0,151515 =------+------+ 100 100^ 100^ Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 15 15 15 л--------h------h --— + .... 100 100^ По формуле (5) получим 100^ 1.00 -11 1 - 99 ” 33 ‘ 100 12 Упражнения 6. Является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой п-го члена: = 2)Ь^ = 3^^? 7. В геометрической прогрессии найти сумму ее первых пяти членов, если: l)b^ = 88,q = 2; 2) Ь, = 11, Ь^ = 88. 8. Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: 1) 1 i 1 ^ 3’ 9’27’“‘’ 3) -81,-27,-9, 4) -16,-8,-4,.. 9. Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: 1) = 40, = -20; 3) = -30, = 15; 2) b, = 12,b,,= l; 4)&5 = -9,Ьд=-^. 10. Вычислить: 1) lim—; 2)lim(0,2)"; 3) lim П^оо П^оо П-^оо 11. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если: 1+— ; 4) lim 2"J n->oo \5/ \ / 1 I, 1 2) 9 = -|л = 9: 1 t 1 4)« = -2А = -5- 12. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: l)l,i,i,...; 2)6,1,^,...; 3)-25,-5,-1, О У О 4) -7,-1,-^,.... 13. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 1) 0,(5); 2) 0,(9); 3) 0,(12); 4) 0,2(3). 14. Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой п-го члена: \П-1 1) 5„-3 (-2Г; 2) 5„ = -3-4"; 3,6„ = 2(4Г; 4)М5.(-Г2 13 15. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 1) 12, 4, ... ; О 2) 100, -10, 1, 16. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если: „ч л/з ^ 9 2)?=—Л-j- 17. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150. Найти: 1)^1, если 18*. Вычислить 1) lim ^3-2"^ 2) g, если &j = 75. (5 '+l)^ . 2) lim Г 3"*^ + 2^ 3" 3) lim Л—>оо 4) lim Д—>оо g2»i (2"-3)(2"'‘+3 2" + 9) 3 2®" 19*. На куб со стороной а поставили куб со стороной —, на него куб а а со стороной —, затем куб со стороной — и т.д. (рис. 3). Найти 4 о высоту получившейся фигуры. 20*. В угол, равный 60°, последовательно вписаны окружности, касающиеся друг друга (рис. 4). Радиус первой окружности Найти радиусы Щу •••> ••• остальных окружностей и по- казать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма + 2(i?g + Л3 + ... + + ...) равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла. Рис. 3 14 § 3. Действительные числа в § 1 было показано, что любое рациональное число можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби и каждая бесконечная десятичная периодическая дробь — рациональное число. Если же бесконечная десятичная дробь не периодическая, то она не является рациональным числом. Например, дробь 0,101001000100001..., в которой после первой цифры 1 стоит один нуль, после второй цифры 1 — два нуля и вообще после п-й цифры 1 стоит п нулей, не является периодической. Поэтому такая дробь не представляет никакого рационального числа. В этом случае говорят, что данная дробь является иррациональным числом. Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь. Иррациональные числа, так же как и рациональные, могут быть положительными и отрицательными. Например, число 0,123456..., в котором после запятой записаны подряд все натуральные числа, является положительным иррациональным числом. Число -5,246810..., в котором после запятой записаны подряд все четные числа, является отрицательным иррациональным числом. Числа у[2уу[7, , к также являются иррациональными, так как они могут быть записаны в виде бесконечных десятичных непериодических дробей. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Таким образом, действительными числами называют бесконечные десятичные дроби, т.е. дроби вида *** ’ *** ’ где Uq — целое неотрицательное число, а буквы а^, ag, ... обозначают какие-либо из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например, в записи действительного числа к = 3,1415... число а^= 3, а первые три десятичных знака таковы: = 1, ag= 4, Пд = 1. В записи действительного числа -yj234 = -15,297058... число Uq = 15, а десятичные знаки таковы: а^ = 2, ад= 9, Пд = 7, = 0 и т.д. В записи действительного числа 37,19 = 37,19000... число а^ = 37, а десятичные знаки таковы: = 1, Пд = 9, а^= 0 при п>3. Действительное число может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Бесконечная десятичная дробь равна нулю, если все цифры в ее записи — нули. 15 Положительное действительное число — это десятичная дробь, не равная нулю, со знаком «+», а отрицательное — со знаком «—». Знак «+» перед дробью обычно опускается. Вам известно, как выполняются действия над конечными десятичными дробями. Арифметические операции над действительными числами, т.е. бесконечными десятичными дробями, обычно заменяются операциями над их приближениями. Например, вычислим приближенные значения суммы ^ ^ . С помощью микрокалькулятора находим ^2 = 1,4142135..., = 1,7320508... . Поэтому с точностью до единицы: ^2+^ = 1,4+ 1,7 = 3,1 = 3; С точностью до одной десятой: у[2 + у[3 = 1,41 + 1,73 = 3,14 = 3,1; С точностью до одной сотой: 72 + ^-1,414 + 1,732 = 3,146 - 3,15 ИТ.Д. Итак, при сложении числа 72 и yjs заменялись их приближениями — рациональными числами, сложение которых выполнялось по известным правилам. Аналогично, вычисляя произведение 72 » например, с точ- ностью до 0,1, получаем 72 73- 1,4 1,7 = 2,38-2,4. Вообще пусть JCg, х^, ... — последовательные приближения действительного числа х с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т.д. Тогда lim х^ = Ху /I—>оо так как погрешность приближения \х - л:^| ^ 0 при п, стремящемся к бесконечности. Например, зная, что у[7 = 2,6457513..., при вычислении значений числовых выражений, содержащих 7^, можно воспользоваться любым его рациональным приближением: х^ =3; JCg = 2,6; jCg= 2,65; ... . Отметим, что все основные свойства действий над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.п.). 16 Модуль действительного числа х обозначается | х | и определяется так же, как и модуль рационального числа: [л:, еслил:>0, 1-JC, еслил:<0. л: И Например, если л: =-0,1010010001..., то | jc 1 = -л: = 0,101001... . Геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой (рис. 5, а). -3 -2 -^^2 -1 -0,5 о 0,5 1 /2 2 3 Рис. 5, а Рис. 5, б Покажем, например, как можно геометрически указать на числовой оси точку с координатой д/2 . Построим квадрат со стороной 1 (рис. 5, б) и с помощью циркуля отложим диагональ ОА на числовой оси. Заметим, что если бы не было иррациональных чисел и соответствующих им точек числовой оси, то прямая оказалась бы с «дырками», в частности, не было бы на числовой оси точки с координатой д/2 . Множество действительных чисел «заполняет» всю числовую прямую, каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой, и, наоборот, каждой точке числовой прямой соответствует единственное действительное число. Точку, изображающую число а, также обозначают буквой а. Отметим, что если а < б, то точка а лежит левее точки Ь. Множество всех действительных чисел обозначается R. Запись хе R (читается: «х принадлежит Д»)означает, что х является действительным числом. Упражнения 21. (Устно,) Выяснить, какие из данных десятичных дробей являются иррациональными числами: 1) 16,9; 2) 7,25(4); 3) 1,21221222... (после п-й единицы стоит п двоек); 4) 99,24681012... (после запятой записаны подряд все четные числа). Хнгщные полщ1 сообщества 17 22. Установить, какая из пар чисел 4,4 и 4,5 или 4,5 и 4,6 образует десятичные приближения числа у[21 с недостатком и с избытком. 23. Какое из равенств [ jc | = jc или \х\ = -х является верным, если: l)JC = 3-^; 2)jc = 4-3^; 3)х = 2^-3^; 4)х = 2-^; 5)х = 3-^7 24. Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения: 1) (V8-3)(3+2y2); 2) (^ + 2)(2-ЗУЗ); 3) (4т + ф)42; 25. Вычислить 1) 7? 4) (5V3 + V^):V3; 5) (V3-1)2 + (V3 + 1)2; 6) (V5-1)2-(2/5+ 1)2. 5) /50:/8 2)/20 /5; 3)/2 /4; 4)/^./9; 6)/12:/^; 7)/16:/M; 8)/Ш:/Т08. 26. Сравнить числовые значения выражений: 1)/^ + /8и/1Д + /17; 2)/П-/2Д и/Т0-/Щ. 27. Упростить: I) ^(/7-2/10+/2)-5/5; 3) ^/5-2Тб +/5+2V6 + 4; 2) j(/l6^^6^ + V7j-3; 4) ^(/8 + 2л/15 -/8-2лЯ5)-2 + 7; (л/2-Тз)(5+л/б)+>/^_ 2V3+2V2-2 6) (л/3+2)(7-лЯ2)-8 3V12+6V3-9 § 4. Арифметический корень натуральной степени Задача 1. Решить уравнение jc4=81. А Запишем уравнение в виде x^-81 = 0 18 или (x2-9)(x2 + 9) = 0. Так как -9 = 0, откуда х^ = 3, JCg = -3. ^ Итак, уравнение х"^ = 81 имеет два действительных корня х^ = 3, JC2= -3. Их называют корнями четвертой степени из числа 81, а положительный корень (число 3) называют арифметическим корнем четвертой степени из числа 81 и обозначают УМ . Таким образом, ^ =3. Можно доказать, что уравнение х^ = а, где п — натуральное число, а — неотрицательное число, имеет единственный неотрицательный корень. Этот корень называют арифметическим корнем п-й степени из числа а. Определение. Арифметическим корнем натуральной степени п> 2 из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, п-я степень которого равна а. Арифметический корень п-й степени из числа а обозначается так: фа . Число а называется подкоренным выражением. Если п = 2, то вместо фа пишут фа . Арифметический корень второй степени называют также квадратным корнем, а корень третьей степени — кубическим. В тех случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне п-й степени, кратко говорят: «корень п-й степени». Чтобы, используя определение, доказать, что при а > 0 фа равен Ь, нужно показать, что: 1)Ь>0; 2)Ь^ =а. Например, ф^ = 4, так как 4 > 0 и 4^ = 64. Из определения арифметического корня следует, что если а> 0, то {faf = а. а^ = а. Например, = 7, ^1? = 13. Действие, посредством которого отыскивается корень п-й степени, называется извлечением корня п-й степени. Это действие является обратным к действию возведения в п-ю степень. Задача 2. Решить уравнение х^ = Ъ. А Запишем уравнение в виде л:3-8 = 0 19 или (х-2) (x2+2x + 4) = 0, (х-2) [(д: + 1)2 +3] = 0. Так как (х + 1)^ +3 0, то х-2 = О, откуда х = 2. А Итак, уравнение х^=8 имеет один действительный корень х = 2. Так как 2 > О, то это число — арифметический корень из 8, т.е. ^ =2. Задача 3. Решить уравнение х^=-8. А Запишем уравнение в виде х^-\-8 = 0 или (jc + 2) (л:^ - 2 JC + 4) = О, (JC + 2) [(л:-1)2 +3] = 0. Так как (х - 1)^ + 3 0, то л: + 2 = О, откуда х = -2. А Итак, уравнение х^ = -8 имеет один действительный корень х = -2. Так как -2 < О, то число -2 является корнем из числа -8, но оно не является арифметическим корнем. Число -2 называют корнем кубическим из числа -8 и обозначают так: = -2 или ^TTg = = -2. Вообще для любого нечетного натурального числа 2k 1 уравнение = а при а <0 имеет только один корень, причем отрицательный. Этот корень обозначается, как и арифметический корень, символом 2^+^ . Его называют корнем нечетной степени из отрицательного числа. Например, ^ -27 = -3, ^ -32 = -2. Корень нечетной степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа -а = \а \ следующим равенством: = - 2ft+yj7j. Например, ^ - 243 = -^243 = -3. Задача 4. Вычислить: ^-0,027 - ^оЩб - ^/729 - ^028. Д^-0,027 -^0,0016 - - ^(0,2)* - ^= = -0,3-0,2-3 + 2 = -1,5. ^ 20 Арифметический корень п-й степени обладает следующими свойствами. Если а> Oj Ь > О и п, т — натуральные числа, причем п>2у m > 2, то 1. ^![сЛ> = ^^. 3. 1а Ча n~W В свойстве 1 число Ь может также быть равным О, в свойстве 3 число т может быть любым целым, если а > 0. Докажем, например, что О Воспользуемся определением арифметического корня: 1) > о, так как а > 0 и & > 0; = а&, так как -аЪ. • Аналогично доказываются и остальные свойства. Приведем примеры применения свойств арифметического корня: 1) = ^27 -3 = Ш = ^ = 3; 2) ■ зр - J256j4 _ Ш _ 4, \625 У5 У 625’5 б’ 3) = 5® = 125; 4) ^^4096 = ’^^4096 = = 2; Задача 5. Упростить выражение , где а > о, & > 0. А Используя свойства арифметического корня, получаем {&У_ аЧ _ аЬ. А 21 Отметим еще одно свойство арифметического корня четной степени. При любом значении а справедливо равенство ^ = \а\. О Воспользуемся определением арифметического корня: 1) I а I > О по определению модуля; 2) I а так как | а р = а^. • Задача 6. Упростить выражение если 3 < JC < 5. А ^(x-sf +^(x-3f = \х-5\ + |x-3|. Так как 3 < jc < 5, то |л:-5| =-(jc-5) = 5-JC, \x-S\ =x-S. Поэтому ^(x-5f+^(x-Sf = 5-x+x-3=2. A Упражнения 28. (Устно.) 1) Найти арифметический квадратный корень из числа: 1; 0; 16; 0,81; 169; 2) Найти арифметический кубический корень из числа: 1; 0; 125; —; 0,027; 0,064. ^ I 3) Найти арифметический корень четвертой степени из числа: 16 0;1;16; —: 256 Вычислить (29—31). 29. 1) ^ie®; 2) 3)|; 30. 1) 2) 31. 1) 2) 3)f 5) ^-34®; 6) Г 1 ^ 25 4) ^ 225^ rn ); 4)^ < 3 у 4) ^-1024; 22 32. Решить уравнение: 1) = 81; 2) 3) 5х^ = -160; 4) = 128. 32 Вычислить (33—37). 33.1) ^-125+-^; 8 4) ^-1000--^^; 2) ^ - 0,5^-216; 5) ^0,0001 - 2>/0,25 + V 32 3) -i^ + ^/б^; 3 6) 5р- + ^-0,001 - ^0,0016. V243 34.1) ^343 0,125; 2) ^512 216; 35.1) ^5® -73; 2) Цп* 3* ; 3) ^256 0,0081; 4) ^32 100000. 3) W(0,2)5.85; 4)7 /iV 21' У 36.1)^ 2) ^[ОМ; 3) i/Ш 4)^.^. 37. 1) 2) ^2^-5®; 3) ^ 1 I3j 4) 1Й4' 38^. Извлечь корень 1) ^64х®2®; 2) ^/7^; 3) ^32л^®1/20; 4) . 39. Упростить выражение: 1) ^2аЬ^ ■ ^4ah; 2) VioV • ^27аЧ; 4) Вычислить (40—41). 40.1) 2) 3) Й V 8 4)sS. \ 32 41.1) 2) Щв : ^2000; 3) 4) 5) (^/^-^/45):^/5; 6) 0625 ^ Здесь и далее буквами обозначены положительные числа, если нет дополнительных условий. 23 42. Упростить выражение: 1) : yfa^; 3) V ig;^’ 2) ^81jcV 4) \a® \8b® Вычислить (43—44). 43. 1) ; 2) (^)■^ 3) 4) (^)-\ 44. 1) 2) ^л/1024; 3) 4) ■ ^5® 45. Упростить выражение: 1) (^f; 2) 3) (л/^.^f; 12 'VPi' 5 > 6) да V J 1 / ; 5) 46. При каких значениях х имеет смысл выражение: 12 —Зх 1) ^/2^; 2) 3) Ьх^-х-1; 4) ^ Вычислить (47—48). 47. 1) ^Э + л/Гг •л/9-л/17; ^ ^ 2 2) (^3 + л/5-V3-%/s) ; 48. 1) 2) ^Ш2 Ш^12б ^ ’ Упростить выражение (49-50). 3) (Vs + Vil + V5-V2I) ; Уз + л/2 V3-V2 л/З-л/2 л/З+л/2* V 8 \ 2 5) ^11-л/^ • ^ТЙ/57; 6) V17W33. 4) 4) 49.1) 2) 3) 4) ЩаЬ \/2V 24 50.1) + \va“ 2) 3) 2\l^a'b‘ -f^VoV 51. Вычислить: ЛМ У -Va 5) 6) 1) 2) ’ 3) (^ - ^ + + ^); 4) Ш + ^ + m ’ 52. Упростить: 1) ^(x-2f при: a) jc > 2; 6) jc < 2; 2) yJiS-x)^ при: a) л: < 3; 6) jc > 3; 3) ^(x + 6)^ + yJix-Sf, если-l2; т — целое число и т частное — является целым числом, то при а > О справедливо равенство =а-. (1) т По условию — целое число, т.е. при делении m на п в резуль-п т тате имеем целое число k. Тогда из равенства = k следует, что п т =kn. Применяя свойства степени и арифметического корня, получаем Если же частное не является целым числом, то степень а", п где а > О, определяют так, чтобы осталась верной формула (1), т.е. и в этом случае считают, что т _____ а" = (2) Таким образом, формула (2) справедлива для любого целого числа m и любого натурального числа п > 2 и а > 0. Например, 16*=^ = ^ = ^ = 8; 74 = ^ = ^^/^ = 74^7; Напомним, что рациональное число г — это число вида — , т.е. _ /71 ^ ^---» где т — целое, п — натуральное числа. Тогда по формуле П [п ---- (2) получаем а'*= а^ =^а^. Таким образом, степень определена для любого рационального показателя и любого положительного осно- 7П I-- вания. Если ^ = — > 0, то выражение va'” имеет смысл не только п при а > о, но и при а = о, причем л/о^ = 0. Поэтому считают, что при г > о выполняется равенство 0^*= 0. Пользуясь формулой (2), степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот. 26 т _ mk Так как “ ’ где п — натуральное число, тик — целые п пк числа, Л 0, то при любом а > О тк . 3 6^ Например, 7"^ = 7® = 7^^. Можно показать, что все свойства степени с натуральным показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием, А именно для любых рациональных чисел р и уи любых а > О и > О верны равенства: 1. аРа^ = аР-^. 2. аР:а^ = аР~^. 3. {аР)^ = аР^. 4. (аЬУ = аРЬР. ЬР Эти свойства получаются из свойств корней. Докажем, например, свойство аРа^ =аР'^. О Пусть р = —у q = —y где пи1 — натуральные, тик — целые числа. Требуете^доказать, что______ т (3) т к Приведя дроби и 7 к общему знаменателю, записываем ле-п I вую часть равенства (3) в виде: т к ml кп a'^a^ = а а . Используя определение степени с рациональным показателем, свойства корня и степени с целым показателем, получаем т k ml kn • a*" = = ml+kn m k Аналогично доказываются остальные свойства степени с рациональным показателем. Приведем примеры применения свойств степени: 1 3 1^3 1) 74.74 =74 4=7. 2 1 2 1 1 2) 93 :96=93 6 = 92=V9 = 3; о 1 о о о о 3) =16®^ =16^ =(2^)^ =2 “ =2®=8; 27 3.2 2 4) 24з=(2^.3)3 = 2 3.33 = 4^ = 4^; 5) 8 "l3 83 (2®)3 27 - - я' 2?з (З®)3 1 1 Задача 2. Вычислить 25^ • 1253. 1 1 Д 253 1253 = (25 125)з = (5'’)з = 5. 4 4 г» о а^Ь+аЬ^ Задача 3. Упростить выражение 1 1 ::5ч 4 4 а^Ь-\-аЬ^ ИЁЖ Ой[оЗ + &з] = ^11 ' = аЬ. А аз+ьз 1 7 а^—а^ Задача 4. Упростить выражение —i—3* 1 5 а "1—П' а^+а 3 а^-а^ а^-а^ а^+а ^ а^(1-а) а ^(1+а) Задача 5. Вкладчик помещает в банк 1000 р. Банк ежегодно выплачивает ему 3% от суммы вклада. Какую сумму денег получит вкладчик через 3 года и 5 месяцев? А Искомая сумма вычисляется по формуле сложных процентов S = a и-Р-100 (4) где а — первоначальная сумма денег; р — число процентов, начисляемых банком в год; t — число лет, в течение которых деньги находились в банке. Q 5 В данной задаче а = 1000, р=3, t= . По формуле (4) находим А S = 1000 1,03 12. Вычисления можно провести на микрокалькуляторе. Например, на МК-54 это можно сделать по следующей программе: 5 [вТ] 12 0 3 Ш 1,03 [Ц 0 1000 0 1106,2684. О т в е т. 1106 р. 27 к. ▲ 28 Упражнения 56. {Устно.) Представить в виде степени с рациональным показателем: 1) л/^; 2) 3) 4) 5) 6) 57. (Устно.) Представить в виде корня из степени с целым показателем: 1 4. 1) 2 5 2) 1/^; 3) а'«; Вычислить (58-62). ill 58. 1) 642; 2) 272; 3) g3 4 и 2 i 59.1) 2^ 25; 2) 57 57; 15 _2 4) 43 : 46; 5) (7-^) 3; 2 2 2 2 60.1) 93.276; 2) 73 493; 6) (зг>) 3. 6) 9‘^^. 61.1) Ч -0,75 + (-] 4 3. 9 Д6, .8, 2 2) 1 (0,04)-^*®- -(0,125) 3; 62. 1) 1 -0,75 +1 810000®’^® - f7-l Д6, . 32, 4) Ь 3; 5) (2;с)2; 3 4) 81*; 5) 16-“'^^ 2 1 3) 93 :9б; 6) (813)-^ 3 3 11 3)1444 .94. 4)1502 :62. 9 2 6 4 3) 87 : 87-35.35; _2 3 ^4) (5 б)-Ч((0,2)4)-4. 5 1 2 -2/ 2) (0,001) 3-2-'=(64)3-8 3; 3) 273-(-2)-^ + 4) (-0,5)-'‘-625"’''б-| 2- 3^ В) ,0,25 дт4 5) (0,0625)®’^® + (-2)'^ + ^25-5^. 63. Найти значение выражения: 1) ^ ^ при а = 0,09; 2) ^1Ъ\Щ> при& = 27; 64. Представить в виде степени с рациональным показателем: 1 11 1 1) aЗ •^/a; 2)Ь^ Ь^ Щ>; 3) ^ 4) аЗ: Ща; 5) : ^/x^; 6) (j/-®-® : • 7^. 3) —^ при Ь = 1,3; А)Ща - при а = 2,7. 29 65. Вынести общий множитель за скобки: I 3 1 1) x^-hx; 3) у^-у 11 11 2) (аЬУ +(ас)^; 4) 12ху^ -Зх^у. 66. Пользуясь тождеством a^-b^ = (a~b)(a-\-b)y разложить на множители: II 2 11 1) а2-&2; 2) z/3_i; 3) дЗ-бз. 11 11 4)jc-z/; 5)4аЗ-&2. 6) 0,01т®-;i®. 67. Разложить на множители, используя тождества -\-Ь^ = {а-\- Ь){а^ -аЬ-\- Ь^) или -Ь^ = (а- Ь)(а^ -\-ab-\- Ь^): 3 3 11 1 1)а-лг; 2)x2-z/2; 3)а2-&2; 4) 27а + с2. Упростить выражение (68—69). •' -jf. 68.1) (а'*)'" 69.1) 1/ 3 1^ а‘‘\а‘* +а 70. Вычислить: ('б 1 5 1 Л 2) 1) 23.3 з_зз_2 3 71. Упростить выражение: 1) a^yfaMa; 2) 72. Сократить дробь: 1) 2) 1 1» yfa-yfb ^ “Г 17 ’ а^-Ь^ 2) 3) 4) 2) 3) 6 л 4 Л а / 5 1 аЗ&“^-а 3 а^- а^4ъ+Ъ^4а Г I S 1 3^ 54:24-24:54 ^1000. 1 л 4) (^ + ^) 3) 4) /" 2 а^л-Ъ^-ЩаЬ 1 1 m-\-2yfrrm+n" 1 с-2сЗ+1 л/с-1 30 73.1) Упростить выражение (73-76). х-у х-у . 2) С2_у2 jc2+y2 3 С2 Т—т с^+Ь^ 74.1) 2) 75. 1) 2) 1-2./* + - V / 1 л f 1 1 : а2 -62 у \ / 2 + з/“ + з/* 76*. 1) у/а + у/ь y/b-yfa Sxy-i/^ у4у_____________________^ х-у 4х-4у 'Jx+Jy’ а-Ь а-\-Ь 2а^ - 4аЬ а-Ь У'1х , 2) Ча-Ш а + Ь \ \ а-Ь 2 2 а^ —а^Ь^ + Ь^ 77*. Упростить: 2 112 а^ + а^Ь^ +&3 3) 4) 3) 4) 3) 4) е62 2с2-4с6 -1- 1 1 Ь^-с^ с-Ь 1 9 1 3 а^-а^ b"2-fe2 ^ 1 5 1 1 » а^-а^ 1 у/а-а ^Ь Ь2 + Ь 2 yf^-a ^Ь l-^/^ 1 Ча+а ^Чь 1 4Z+4b 2 2 » а^-ЧаЬ+Ь^ а-Ь 4Z-4b 2 2 “2 J a^+yfab+b^ а^ + Ь^ 1 а-Ь 1 1 1 1 » а^-Ь^ а^-Ь^ 1 1 а+Ь “2 П S'" аЗ-а^Ь^+Ь^ 1) 2) 3) 4) х+у 2 11: х^-х^у^+у Х-У {a-bf 2 111 Jc3+jc3^3_|_^3 а^-Ь^ — ^3 3 3 ' г 1 1 \ ( а^-Ь^ > V / / 1 л / 4пЗ ^ 2п2 п-1 1 1 п^+1 1-п^ \ /2 1 3jc3 + 5jc3 1+ п2-1 дг+1 х^ + 1 \ Г 1 ^ : 4^:3+4+J_ / 78*. Вкладчик вложил в банк 5000 р. под 2% годовых. Сколько денег он получит через 3 года? 79*. Банк выплачивает ежегодно 3% от суммы вклада. Сколько денег получит вкладчик через 2 года 7 месяцев, если первоначальная сумма вклада составляла 2000 р.? 31 § 6. Степень с действительным показателем Покажем, как можно определить степень с иррациональным показателем на примере 3^. Пусть Tj, Tg, Г3, ... —последовательность десятичных приближений числа л/2 (например, с недостатком): 1,4; Г2= 1,41; Гд= 1,414, ... . Эта последовательность стремится к числу л/2 , т.е. lim = л/2. л— Числа Tj, Гд, Гд, ... являются рациональными, и для них определены степени , 3'^^, 3'^®, ..., т.е. определена последовательность 31,4^ Можно показать, что эта последовательность стремится к некоторому действительному числу, которое обозначают 3^, т.е. 3'^ = lim З''". Л— Пусть а > о и JC — произвольное иррациональное число. Рассмотрим последовательность JCg, Хд, ..., ... десятичных при- ближений числа X. Эта последовательность имеет предел = X. /I—>00 Можно показать, что последовательность а^^, а^^, а^^,..., ,... также имеет предел. Этот предел обозначают а^ и называют степенью числа а с показателем х: а^ = . Л->сю Таким образом, степень а^ определена для любого а > О и любого действительного показателя х. При любом X е R и любом а > О степень а^ является положительным действительным числом: а^ > О при хе R, а> 0. Если основание степени а = О, то степень 0^ определяют только при JC > о и считают, что 0^ = 0 при jc > 0. Например, 0"^ = 0; 0^ ^ = 0. При JC < о выражение 0^ не имеет смысла. Например, выражения 0“"^, 0^ не имеют смысла. При таком определении степени с действительным показателем сохраняются все известные свойства степени с рациональным показателем. Сформулируем эти свойства. 32 Пусть а > О, Ь > О, JC, JCj и jCg — любые действительные числа. Тогда справедливы равенства: ' (1) ,^2 ■ а Х1-Х2 (аЬУ=а^Ь\ а* Ч‘'У (2) (3) (4) (5) Доказательство этих равенств основывается на свойствах степени с рациональным показателем и на теории пределов последовательностей, которая изучается в курсе высшей математики. Задача 1. Упростить выражение • Д Применяя свойства степени с действительным показателем, получаем (aV3-i)V ,V3-l^,/3+l д(,/3-1)(,/3+1) д2 а^-з.а^^ ^V5-3f4-V5 = — = а. Приведем еще одно свойство степени, доказываемое в курсе высшей математики с помощью теории пределов: для любого а > 1 и любого л: > О число больше 1, т.е. ' (6) > 1 при а > 1, JC > 0. С помощью свойств (1) — (6) доказываются следующие свойства степени. Теорема. Пусть а> 1их^< JCg. Тогда . О По условию JCg - > 0. Поэтому по свойству (6) >1. Умножим обе части этого неравенства на положительное число : >а^1. Отсюда по свойству (1) получим >а^^. • Следствие 1. Пусть 0 < а < 1 и < JCg. Тогда . О Так как 0<а<1,то Поэтому из теоремы следует, что а npHJCj< Х2 / 1 / 1 < а > 2“Ю. М. Колягин, 10 кл. 33 По свойству (5) степени куда . — =—. Следовательно, “ а а 7^2 от- Следствие 2. Пусть а> Оу а^1, =а^^. Тогда = JCg. О Предположим, что равенство = JCg не выполняется, т.е. jCj < jCg или jCj > JCg . Пусть, например, х^ < JCg. Тогда при а > 1 по теореме должно быть , а при О < а < 1 по следствию 1 должно быть , что противоречит условию . • Задача 2. Сравнить числа 5^ и 5^. А Сравним показатели 2>/з и 3>/2 . Так как 2>/3=>/12, Зу/2 = y/lS и 12 < 18, то 2>/3 < 3>/2. Поэтому по теореме 5^ < 5^. ^ / ^ v/S ^ ^ Задача 3. Сравнить числа — и — . и; А Так как О < Ж 4, то О < т < 1- 4 Сравним показатели: Vs < V9, т.е. >/8 < 3. ТТ 1 Применяя следствие 1, получаем — > — . И j j Задача 4. Решить уравнение 4^ = 2^. А По свойствам степени 4^ = (2^)^ = 2^^. Поэтому уравнение можно записать так: 2^ _ 2^. Применяя следствие 2, получаем 2л: = 4V3, откуда л: = 2>/3 . ^ Следствие 3. Пусть О < л:^ < JCg. Тогда если р > О, то х{ кх^, >х ^2 аеслир<0, ТО х{>х1. Г ^ ^2 О По условию ^ 1) Если р > О, то по формуле (6) имеем ^1 >1- По свойству степени “7^^» откуда х^ >xf, т.е. xf <х^. гР 2) Если р < О, то -р > О и по формуле (6) имеем *2 •^2 V» 1 i р Р ^ откуда —7 > Т;р > ^1 > ^2 • • \-Р V^iy >1, л?!" Таким образом, при возведении неравенства с положительными левой и правой частями в положительную степень знак неравенства не меняется, а при возведении в отрицательную степень знак неравенства меняется на противоположный. 34 Задача 5. Сравнить числа V2 и ^ . А По свойствам степени получаем I 1 (^^2f = (22)® = 2^ = 8; = (32)® = 3^ = 9. Так как О < 8 < 9, то 1 1 86 <06, т. е. V2 < ^ . А Упражнения Вычислить (80-83). 80.1) 2^-2' -V5. > 2) 3^’^ : 9'^; 3) (573)7з. 4) ((0,5)'^)'^ 81. 1) 22-3>/5 •8'^; 4) (51+72)1-72. 2) 01+2^ 5) (272)72 _|_(д7з+1)7з-1. 3) gl+2>/3 9^); 6) (gl-TS )1+Т5 _ (V5)». 82.1) 2I-2V2 .4V2; 3)- qI + л/З 01—V3 2) 02-Зл/З •27^; 4) ^З+л/З 2-4-72 83.1) 2) 10^Л 22fV7,5l+V7 ’ g3fV5 2^fV5 ^i+Vs ’ 84. Выяснить, какое из чисел больше: 7 8 1) 0Д6 или ОД®; 2 3 2) 5 2 или 5 ^ ; 3) (25 4) (2 1+у/2 _^ g—1—2л/2 , (2-Тз ^-Уз—1 ^ 2“3-Уз 5) 4"^ или 4“'^ jV3 3) 3^ 4) ИЛИ 6) или 2^’^; 2 UJ или 85. Сравнить число с единицей: -2- 2) (0,013)-^; 1) 2-2; 5) 2-^; 6) U 7) 8) 3) 7) — или [2) 9j ИЛИ — U 1^ 9 [т 4) 27 8) 1,5. ,л/8-3 86. Упростить выражение: 1) 2) 3) 4) : Ь^. 2* 35 87. Сравнить числа: 1) ^ и ^ ; 2) ^ и ^7 . Упростить выражение (88—89). 88.1) 2) yR ’ {хуГ 89.1) rt\ / l->/5 \ 3^/5 ^ m 2 ; 90. Решить уравнение: 1)5^^=5^ 2) 91. Решить уравнение 1) =^/7; 2) 25*'^ =5^/5; 92. Сравнить числа: 1) ^ и 2) ^ и 93. Решить уравнение f . \2л:+1 1) 3) (а'^-Ь'^)(а'^+Ь'^); 4) 3) 4) '2a-0’^_l&-V3' -b~'^+2a^^ 3 j U j /1\2^ /1Л 3) 9* =3^'^; 3) (V2)^ = 2V2; 4) (V3)^^ = 3v/3. 3) ^/^7 и 4) ^ и 4) 16^ = 2’ )8л 1 - =(ЗУЗ)- 3) 9^^‘*V3 = 27ЛС-1 л/3 ’ 2) (^)*-1 = / о 4) —^ = 4®^"2V2. (V2)" 94. Вычислить: 5,48+8,02 1) 3) Упражнения к главе I 20,88:18 + 45:0,36 (7,97+ 8,77): 3,72 107 0,645:0,3-1— 180 2) 19,59+11,95 4:6,25-1:5+- 1,96 7 4) I ^-0,375 1: 0,125+ 5_2_ 6 12 : (0,358- 0,108). 36 95. Представить в виде обыкновенной дроби: 1) 1,3(1); 2) 2,3(2); 3) 0,(248); Вычислить (96—99). .2 ’ 4) 0,(34). .1ЛЗ 96. 1) 152; (0,5)2; 2)48"; 10-2; ГЗ'! UJ ; (-1,1)2; _i: ; (0,2)4; ; (0,3)-3; (-1,2)-2; 3) ^le^; 12 12 3 4) 83; 273; 10000“; 323; З2’з; 97.1) ^5^ 7^; Ш1и; У 8 V 5 1^3 2i 4у 64 1 1 2)563:8-2; 16“ 252; 1 Л-1 i ; 92; 83 1 273 vl5y 16 -1. 81“; л/ТоО 492 35-^; 3) (16 81 625) 4; (27 0,008 125)3; ^ (0,3)®’3 (0,3)-' 4) 11 7 4 54.5'4 уз.у'з 98.1) -- 4 3 Г2''^ (0,3)’ 2) 1.3 ^±■125-^ 27 1 1 V:; 3) 27^+9 ^ 2 1 "64" 2 '8' -1 f„10^ 3 '3' 100 2; 5) .81, .5; ; 6) .4; 99.1) ?/2-; 4) 5) ; 6) (7Ш)'. 100. Расположить числа в порядке возрастания: 1) 13,75 2-1, V ^ У 2) 98^ ^зг1 101. Сравнить числа^: 1 1) (0,88)в и 'АР 12. / Л \ U1 2) и (0,41) •; U 3) (4,09)^ и 4) 32\ П 12 И Г.А 25 12 Vl3y 37 102. Упростить выражение, представив его в виде степени с основанием а: 1) _ 2 л “0,5 а 73 2) а 3) 4) aiS ; V / 103. Упростить выражение: 5) (TafTa 1~’ 6) аа ( \ а “з \а^ ) -2л/2 / 1 чл/2+1 -V2-1 1) X 104. Сравнить числа: Dll 2) S+1 -1-V3 /1 1Л2 2 3 и I ^1 1^^ 3 4 2)? 4 5 1 и 5(1 1±_1± 6 7j 105. Решить уравнение: 1 1)б2^= 6^; 4) 22^+1 = 32; 106. Сократить дробь: 1 I/-161/2. 1) —I--» 5J/4+20 107. Упростить: 3 1 ,, о&2-Ь2 1) “ГТ—5 a2fe2_i 2) 3^ = 27; 5) 42+^ =1; 3)71-3^=71°; n4x-3 6) (-] .5. = 5. 4 4 a^-b^ 2) a-b 1 • a^+b^ 1. Вычислить 2 7 153 33 Проверь себя! 1) 2) 4 V5y Jl P 27 ’ 5 3 2. Упростить выражение: ^ o/o^ - a-° a2 + 4 379®; 3) УШ + ^]:У2. 2) Т 38 1 а-9ц2 3. Сократить дробь i 7а4+21 bf 1 4. Сравнить числа ?| — и ?1 П9 j V [4 j 5. Упростить выражение (^ + ^)^ -(^ - ^)^. 108. Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если: 1) = -81, ^2 = 162; 3) = 1^0’ ^1 “ ^3 = 120; 2) 62 = 33, ^2 = 67; 4) ^2 + ^4 =в8, &2“^4=в0. 109. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной: 1) 1,10(209); 2) 0,108(32). 110. Проверить равенство: 1) ^26+15>/3 (2->/3) = 1; 2) ^5л/2 + 7 - ^5л/2 - 7 = 2. 111. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: 1) л/2-л/З 7*) 2) 5) V5 5+л/1о’ 3 3) I+V2+V3’ 112. Вычислить: 1) 6) 8*) 11 Щ+Щ2' 1 щ+щ+щ 2) (^-Ш+^)(^ + ^). 113. 1) 2) 114. 1) 2) Упростить выражение (113—114). ifx-^ ifx + ^ Х-У x+y Чх-^ 4x+^ f 4 4 f a^b+ab^ —J—Т- 1 ”TT ^ a^+b^ 11 11 a^—b^ ab^—a^b^ 4) f2§z£5-l. 3) 4) х^-у4х 2 2 2 2 ^^ Z’ - - а—и 4 4 4 ___ 4 а^-Ь^ 39 Упростить выражение (115—116). 115. 1) 116. 1) 2) 3) 4) 4а^-9а ^ а^-4+За 2а-3а ^ а-а ^ f " ( . Л -1“ ; 2) / 1 а-Ь {а + Ьу^ ^3 l3 и J (afe)-i. а+^ 1\ / Л-3 а-а ,-1 а+4аЬ + va п5 3 3 4 а^-Ь^ \аЬЧа + аЬ^ I а^+Ь^ 1 а+Ь 117*. Доказать, что: 1) 11-6^ ^ ^45-29л/2; 2) ^20 + 1472 + ^20-14>/2 = 4. З-л/2 ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 1. История действительных чисел Еще в V в. до н. э. в школе Пифагора было доказано, что множества рациональных чисел не хватает для точного измерения длин любых отрезков. Одной из первых задач, выводящих на понятие несоизмеримости отрезков, была задача нахождения стороны квадрата, площадь которого равна 2. Тем самым было доказано существование несоизмеримых отрезков. Идею доказательства методом от противного факта несоизмеримости диагоналей квадрата и его сторон можно найти в «Началах» Евклида (IV в. до н. э.). Все последующие после Евклида годы, вплоть до XII в., математики Индии и Востока использовали иррациональные величины для нужд математической науки и астрономии, но не признавали их за числа. В начале XII в. персидский и таджикский поэт, математик и философ Омар Хайям (ок. 1048 — после 1112) теоретически расширил понятие числа до положительного действительного числа. В XV в. самаркандский ученый аль-Каши стал применять десятичные дроби для увеличения точности извлечения корней. В 1594 г. 40 нидерландский математик и инженер Симон Стевин (1548-1620) в книге «Приближения к алгебре» показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечно близкого приближения к точному значению иррационального числа. Позже французский математик, философ, физик и физиолог Рене Декарт (1596-1650) показал, что иррациональные числа, как и рациональные, изображаются точками на числовой оси и образуют вместе с рациональными числами множество действительных чисел. 2. История числовых последовательностей В древности уже употребляли понятие последовательности — были известны бесконечные последовательности натуральных, четных и нечетных чисел, последовательности простых чисел и обратных натуральным. Различали последовательности возрастающие и убывающие, для некоторых последовательностей умели находить выражение-формулу их общего члена. Для последовательности простых чисел формула общего члена неизвестна, но еще в III в. до н.э. александрийский ученый Эратосфен указал способ (названный позднее «решетом Эратосфена») получения простых чисел. Упоминания о прогрессиях, частных видах последовательностей, восходят ко II тысячелетию до н.э. Примеры арифметических и геометрических прогрессий найдены в клинописных табличках вавилонян и в египетских папирусах. Знакомую нам формулу суммы геометрической прогрессии можно найти в «Началах» Евклида. Идея нахождения предела убывающей последовательности появилась в V-IV вв. до н.э. В кшлте Архимеда «Квадратура параболы» (III в. до н.э.) присутствует сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии а а а — -н — -н ... = 4 4^ 4^ а 4 1-1 3 4 Интересно, что лишь в 1484 г. французский математик Н. Шю-ке в своей книге «Наука о числах» дает правило для нахождения суммы любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. 3. История понятия предела До наших дней дошли 9 апорий (затруднительных положений-парадоксов) элейского философа Зенона (V в. до н.э.). В апории «Дихотомия» (от греч. — «деление пополам») Зенон утверждал, что движение вообще невозможно, так как для того, чтобы пройти 1 расстояние от одной точки до другой, надо сначала пройти “ этого 41 расстояния, затем , этого расстояния. Но последова- 4’ 8’ 16 тельность таких отрезков бесконечна, значит, конечная точка пути не будет достигнута. Парадокс, представляемый как логическая безысходность, заключается в том, что рассматриваемая сумма 1111 - + - + -+ —+ ... 2 4 8 16 бесконечного числа слагаемых конечна. Несмотря на то что парадоксы Зенона оставались неразрешимыми, они не уничтожили идею бесконечности в математике. Первое теоретическое исследование, в котором в неявном виде использовались предельные переходы (при вычислении площадей и объемов криволинейных фигур), было проведено древнегреческим математиком и астрономом Евдоксом Книдским в IV в. до н.э. В XVII в. метод Евдокса назовут методом исчерпывания, В нем фактически речь идет о пределе возрастающей последовательности площадей правильных вписанных многоугольников: пространство между кругом и вписываемыми в него многоугольниками как бы «исчерпывается при их «возрастании». В начале XVIII в. многие математики, еще не имея строгой теории действительного числа, работали со степенными функциями и выводили многие свойства этих функций. Понятие же степени а“ с любым действительным показателем а окончательно сформировалось только в XIX в., когда в математику прочно вошло понятие предела. ГЛАВА II ) [ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ § 7. Показательная функция, ее свойства и график с понятием функции вы познакомились в курсе алгебры 7—9 классов. Если каждому значению х из некоторого множества действительных чисел поставлено в соответствие по определенному правилу число у, то говорят, что на этом множестве определена функция. При этом X называют независимой переменной или аргументом, а I/ — зависимой переменной или функцией. Множество значений х, для которых определены значения у(х), называют областью определения функции. Для обозначения функции обычно используют буквы f,g,Fn т.д. Например, говорят: дана функция у = f{x), или функция g{x) = 2х-1, или функция F(x) = х^. Функции могут быть заданы формулами, графиками, таблицами. В 7—9 классах вы познакомились с некоторыми функциями, изучили их свойства и строили графики. Нижеприведенная таблица напомнит вам о них. В § 6 степень была определена для любого положительного основания и любого действительного показателя. Пусть основание степени а > 0. Тогда каждому х е R соответствует одно определенное число у = а^. Тем самым задана функция у = а^. Если а = 1, то функция у = а^ принимает одно и то же значение у = 1 при всех х. Функцию y = a^j где а> о, а^1, называют показательной функцией. Такое название функции объясняется тем, что ее аргументом является показатель степени. Показательная функция обладает следующими свойствами. Свойство 1. Область определения показательной функции у = а^ — множество R всех действительных чисел. Это свойство следует из того, что степень с положительным основанием определена для любого действительного значения показателя. Свойство 2. Множество значений показательной функции у = а^ — множество положительных чисел. Второе свойство следует из того, что если а> 0иа^1, то уравнение а^ = Ь имеет корень при любом Ь>0,т,е, функция принимает любое положительное значение. Это доказывается в курсе высшей математики. 43 функция t4 s . 0) S £ Ч s ^ Ф M- S § 2 Й ft ® Ю c >* О о •& Множество значений функции График функции Интервалы знакопосто- янства функции Промежутки возрастания (убывания) функции у = kx +Ь кФО у> О при X > -у <0 при X < -у = 0 при X = ■ у > О при X < у <0 при X > - у = 0 при X = ■ Возрастает на всей числовой прямой Убывает на всей числовой прямой у = х^ У>0 У > О при JC> О, JC< О у =0 при JC = О Возрастает на промежутке JC > О, убывает на промежут-ке JC < О у = х^ и о д: у >0 при jc> О у <0 при JC < О у =0 при JC = О Возрастает на всей числовой прямой х>0 у>0 у> о при jc> О у =0 при JC = о Возрастает на промежутке х>0 k X х^О к>0 у>0 при jc> О у <0 при JC < О А:<0 У у>0 при JC < О у <0 при jc> О Убывает на промежутках JC < О и х>0 Возрастает на промежутках JC < О и х>0 44 функция S! s № ft ^ H ft) 2 Э О о Множество значений функции График функции Интервалы знакопосто- янства функции Промежутки возрастания (убывания) функции У>Уо а > 0, В = Ы \ ^ - 4ас > 0 Xq /х2 у > 0 при JC < JCj, Х> JCg, у < 0 при JCj < JC < JCg, у = 0 при Х = Х^, X =Х2 Возрастает на промежутке jc>jCq, убывает на промежутке х<х^ \у ^ У^Уо а < у. Уоу 0, D>0 у > 0 при JCj < JC < х^, у < 0 при X <Х^у Х> JCg, у = 0 при X = JCj, X =Х2 Возрастает на промежутке jcх^ xJo Xq х\ X У>Уо а > 1 0, D< 0 у>0 прихе R Возрастает на промежутке jc>jCq, убывает на промежутке 0 У<Уо а < У 0, D< 0 ^0 у <0 при хе R Возрастает на промежутке jc0 а > \ 0, D = 0 u у>0 при Х^Х^У у = 0 при х = х^ Возрастает на промежутке убывает на промежутке JC < JCj 0 У<0 а < У l), D = 0 у <0 при х^х^, I/ = 0 при JC = JCj Возрастает на проме-жуткех убывает на промежутке JC > JCj 0 / Г^ у = ajc^ + + bjc + с, a^Q\ _ о ^0 ’ x^ < л:2» где ЛГ1, ЛГ2 — корни уравнения ах^‘ + Ьх + + с = О при D=y^-iac> >0 45 При b<0 уравнение = b не имеет корней, так как > О при любом X. Свойство 3. Показательная функция у = а^ является возрастающей, если а > 1, и убывающей, если О < а < 1. Третье свойство следует из теоремы и следствия 1, доказанных в § 6. Задача 1. Построить график функции у = 2^. А Составим таблицу: X -3 -2 -1 0 1 2 3 у = 2^ 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 Построим эти точки и проведем через них кривую, учитывая, что функция у = 2^ возрастает (рис. 6). А Вообще график показательной функции у = а^, где а > 1, имеет вид, представленный на рисунке 7. Этот график расположен выше оси Ох, так как > О при хе R. С возрастанием аргумента значения функции увеличиваются, так как у =а^ — возрастающая функция, если а > 1. Задача 2. Построить график функции у = А Составим таблицу: г 1\^ X -3 -2 -1 0 1 2 3 У = гг 12J X 8 4 2 1 1 2 1 4 1 8 Построим эти точки и проведем через них кривую (рис. 8). А 46 Вообще график показательной функции у =а^, где О < а < 1, имеет вид, представленный на рисунке 9. Этот график расположен выше оси ОХу так как а^>0 при хе R. С увеличением аргумента значения функции уменьшаются, так как у = а^ — убывающая функция, если О < а < 1. Из свойств 2 и 3 следует, что уравнение = Ь, где а > О, аф\у & > О, имеет единственный корень, т.е. по заданному значению Ь степени показатель степени х однозначно определяется. Геометрически это означает, что прямая у = Ь пересекает график функции в одной точке, абсцисса которой является корнем уравнения = Ь (рис. 10). Задача 3. Решить графически уравнение j = х - ("1Т 2 А Построим графики функций !/= з иг/=л:-- (рис. 11). Из рисунка 7 видно, что графики этих функций пересекаются в одной точке. Следовательно, данное уравнение имеет один корень — абсциссу этой точки. Из рисунка видно, что х = 1. Проверка показывает, что х=1 является корнем уравнения. А Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов. Так, радиоактивный распад описывается формулой: m(t) = т. 1 Vn (1) где m(t) и т^ — массы радиоактивного вещества соответственно в момент времени ^ и в начальный момент времени ^ = 0, — период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое). 47 с помощью показательной функции выражается давление воздуха в зависимости от высоты и подъема, ток самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения и т.д. Задача 4*. Альпинист, находясь на высоте = 1100 м над уровнем моря определил, что давление воздуха= 741 мм рт. ст., а температура 15°С. Каково давление воздуха на высоте = 2300 м при той же температуре? А Известно, что давление Pg находится по следующей барометрической формуле: Рз = Pi • (0,8886)*2-Л1. Подставляя в эту формулу данные из условий задачи, имеем Р2-741(0,8886)2300-1100 Выполнив вычисления с помощью микрокалькулятора, получим Pg ~ 639 мм рт. ст. А Задача 5*. Период полураспада плутония равен 140 сут. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса 8 г? А Воспользуемся формулой (1). В данной задаче = 8 г, ^ = 10 365 (считаем, что в году 365 дней), Т = 140. Тогда 36^ m(3650) = 8 j^|j^^" . Выполнив вычисления с помощью микрокалькулятора, получим 1,13*10-7 г. А Упражнения 118. Построить график функции: (1\х 1)1/ = 3^; ^)y=[s 119. Используя график функции (рис. 12), указать; 1) значения аргумента, при которых значение функции равно 0; 48 2) значения аргумента, при которых функция принимает положительные (отрицательные) значения; 3) промежутки возрастания (убывания) функции. 120. Найти область определения функции: l)y = Sx + 2; 2)у = -х^-\-х-2; S)f(x) = 8) у(х) = 4х- yj2-x; 1 9)«/ = О^лг-1’ 4)/(х)= 6)g(x)= ^2х^ + 6х-В; ^)у(х)= ^х-1 + \1х+2; Щу = 2x^Jl-x ’ 1 tyll-2x’ 11) У =3-; ,Vi 12)«/=|5 13) у =2'^^; 14) z/= 0,2^. 121. Построить график функции z/ = 3^ и, используя этот график, найти приближенно: 1)л/3; 2)з1; 3);^; 4)3~^’\ 122. Изобразить схематически график функции: 1)у = (0,4)- 2)у=Ш)"; 3)«/=|^]; 4)у=Ш)\ 123. Для данной функции выяснить, является ли она возрастающей или убывающей: 1)у= 1 3 ’ 2) у = (0,57)*; 3)у = vV2, ; 4)у=1з|Г 124. (Устно.) Используя свойство возрастания или убывания показательной функции, сравнить числа: 1)1,73 и 1; 2) 0,32 и 1; 3) З,213 и 3,2i 6; 4) 0,2-3 и 0,2-2; и ХА 6) 3" и 3314. 125. Сравнить число с 1: /1 чТг 1 ^2 ^ D^iJ ; 2)(V2)2; 3)(5)-^; 4) л5; 5) j : 6) 126. На одном рисунке построить графики функций: V3 1)у = 2-* и у = 2*; 2)у=|1] и 49 127. Найти координаты точки пересечения графиков функций: 1) z/ = 2^ и у = 8; 2) у = 3^и у = 1. 3’ 4)г/= 11 и у = 9. 128. {Устно.) Решить уравнение: 1) 5* = h 2) 7* = 49; 3) 129. Решить графически уравнение: = V3; 4)[lT=W. 1) = х +1; 3) 2* = Зх-2; 2) || 1 4) 3* ll-x. 3 130. Используя графики функций, решить неравенство: 1)3"<1; 2) 2^ > 1; 3) 4* > 4; 4) 4* < -. 131. Решить графически неравенство: 1) 2* > -X + 3; 2) 4. • 1- 132. Выяснить, возрастающей или убывающей является функция: 1) г/= 2^-1; 3) у = 0,2*-8"; ^-(11 133. Найти множество значений функции: 1)У = 2*; 2) у = (0,2)*; 4)у = 2-0,2*; 5)y = 2l*l; 134. Построить график функции: 1)у = 3*-2; 2)y=[^lj+3; 3)y = 2*^i; 135. Доказать, что графики функций у = 2^ и z/ = ны относительно оси ординат. 136. Построить график функции: 3) у = 2^+1; 6)у = 21*^Ч 4)у = 3*-2 ^14* 2. симметрич- l)y = 2l*l; 2)У=|^ 3) у = \3^-2\; 4)у = 2-3^ 137*. При радиоактивном распаде количество вещества уменьшается вдвое за сутки. Сколько вещества останется от 250 г через 1,5 сут.; 3,5 сут.? Вычисления провести на микрокалькуляторе. 50 138*. Налесном участке можно заготовить 4* 10^ м^ древесины. Ежегодный прирост деревьев составляет 4%. Сколько можно заготовить древесины на этом участке через 5 лет? Вычисления провести на микрокалькуляторе. § 8. Показательные уравнения и неравенства Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений и неравенств, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение таких показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a^=a^ где а > 0; а^1. Так как из равенства степеней с одинаковыми основаниями следует равенство показателей, то уравнение имеет единственный корень х = Ь. Например, уравнение 3^ = 81, т.е. уравнение 3^=3^*, имеет единственный корень х = 4. Задача 1. Решить уравнение 4-2^=1. А Запишем уравнение в виде 2^^^ = 2^, откуда х-\-2 = 0. Ответ. х = -2. А Задача 2. Решить уравнение 2^^ 3^ = 576. А Так как 2^^ = (2^)^ = 8^, 576 = 24^, то уравнение можно записать в виде 8^ 3^ = 24^ или в виде 24^ = 24^. Отсюда х = 2. Ответ. л: = 2. А Задача 3. Решить уравнение 3^^^ - 2 • 3^"^ = 25. А Вынося в левой части за скобки общий множитель 3^“^, получим 3^-2(33-2) = 25; 3^-2 25 = 25, откуда З^ ^ =1, х - 2 = 0, х = 2. Ответ. х = 2. А Задача 4. Решить уравнение 3^ = 7^. 3" А Так как 7^^0, то уравнение можно представить в виде — = 1, откуда =1,л: = 0. Ответ. л: = 0. А Задача 5. Решить уравнение 3 • 2^^^ + 2 • = 5^ + 2^“^. А Запишем уравнение в виде 3 • 2^^^ - 2^"2 = 5^ - 2 • 5^"2, откуда 2^-2(3 23 - 1) = 5^-2(52 - 2), 2^-2 23 = 5^ 2 23, Ответ. х = 2. А х-2 = 1,х-2 = 0. 51 Задача 6. Решить уравнение 9^ - 4 • 3^ - 45 = 0. А Заменой 3^ = ^ данное уравнение сводится к квадратному уравнению ^2-4^-45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни = 9, откуда 3^ = 9, 3^ = -5. Уравнение 3^ = 9 имеет корень jc = 2, а уравнение 3^ = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения. Ответ. jc = 2. А Задача?*. Найти все значения а, при которых уравнение 9^-аЗ^-нЗ-а = 0 (1) имеет хотя бы один действительный корень. А Пусть 3^= ty тогда уравнение (1) примет вид ^^-а^ + 3-а = 0. (2) Задача равносильна следующей: найти все значения а, при которых уравнение (2) имеет хотя бы один положительный корень. Дискриминант квадратного уравнения (2) D = - 4(3 -а) = а^-1- -h 4а - 12 = (а -h 6)(а - 2) неотрицателен при а< -6 и при а> 2. Если а < -6, то -а > о, 3 - а > о и по теореме, обратной теореме Виета, оба корня уравнения (2) отрицательны. Пусть а> 2. Тогда при 2 < а < 3 оба корня уравнения (2) положительны (-а < о, 3 - а > 0); при а = 3 один из корней равен нулю, а другой равен 3); если а>3, то3-а<0и поэтому корни уравнения (2) имеют разные знаки (один из них положителен, а другой — отрицателен). Ответ. а>2. А Рассмотрим теперь примеры решения показательных неравенств. Такие неравенства часто сводятся к простейшим неравенствам < а^. При решении таких неравенств используется свойство возрастания функции при а > 1 и убывания при 0 < а < 1. Задача 8. Решить неравенство 3^ < 81. А Запишем неравенство в виде 3^ < 3^. Так как 3 > 1, то функция у = 3^ является возрастающей. Следовательно, при JC < 4 выполняется неравенство 3^ < 3"^, а при .г > 4 выполняется неравенство 3^ > 3"^. Таким образом, при х < 4 нера- 52 венство является верным, а при х>4 — неверным, т.е. неравенство 3^ < 81 выполняется только тогда, когда д: < 4. Ответ. X < 4. А Зад ача 9. Решить неравенство > Vs. А Запишем неравенство в виде 3 Так как — убывающая функция, то д: < Ответ. X <~2‘ ^ Задача 10. Решить неравенство 16^ + 4^ - 2 > 0. А Обозначим 4^= t, тогда неравенство запишется в виде ^2+^-2>0. Это неравенство выполняется при ^ < -2 и при ^ > 1. Так как t = 4^, то получим два неравенства: 4^ < -2 и 4^ > 1. Первое не имеет решений, так как 4^ > 0 при всех х е R, Второе неравенство можно записать в виде 4^ > 4^, откуда д: > 0. Ответ. д:>0. А Упражнения Решить уравнение (139—145). 139.1)4^-1 = 1; 2)0,33*-2 = 1; 3)22*=2^^; 4) Щ =(|J . 140. 1)27-= 2)400-= i 3)(1)‘=25; 4) (|f = i. 141. 1)3 9^=81; 2) 2 4^= 64; 3) 3^-2 = 1; 4)0,5^+^ 0,51-2* = 2; 5)о,б*+з = о,б2*-5; 6) б^* i = 6i-2*. /, v5x-l 142. l)(lj -8^ = 32; 2) 2^=4"''^; 143. 1)32*-1 + 32*=108; 2) 2 _ 23ДГ-2 ^ 30; 3) 2*^‘ + 2*-1 + 2*=28; 144. 1)5-=8-; 2)(^f=(^f; 3) 36 6* =36* 62; 4) 8*^2 ^2 64*. 4) 3*-1-3*+3*+1 = 63; 5) 7 • 2*+1 + 2* - 2*+1 = 52; 6) 25 3*-10 3*^1 + 3*+2^з0 3)3* = 52*; 4) 4* =32 . 53 145. Решить уравнение: 1) 9^-4 3^ +3 = 0; 2) 16^-17 4^+16 = 0; 146. Решить неравенство: 1) 3^ > 9; 4) V<±; 2) 5) 2 ,3л: Решить уравнение (147-155). 147. 1) 3 х'^+х-гг = 1; 2) 2* ЗХ^-х^+х-1 148. 1) 0,3* -*’^*-*=1; -х^-2х+3 2) 1^' 2- Зу = 1; 149. 1) 10* = ^/1д0; 2) 10* =^10000; 3) 225^*'-^^= 15; 150. 1) 2* 2) 50-1* -0,06 = 5*"; 151. 1) 2* 5* =100; 2) 0,3*' 7**=^; 152. 1)7*-7*-1 = 6; 2) + 32f/-2 - 32i'-‘‘ = 315; 3) 25*-6 5*+5 = 0; 4) 64* - 8* - 56 = 0. ^lY. 1. 3) IА <2; 6) 1 л*-1 v^/ х-1 ух-2 3) 2“-' =4; _±_ 4) 0,5* =4*"‘ 1 3) 5,12' 4) 100*“'-» = Ш"®*. 4) 10* =-У—; ^Шоб 5) (лЯо)'' =10*^-*; 6) 100*^-1 =101-5*. 3) (л \ у -1 fAl V 2 , 2х 153. 1)7*-2 = 32-*; 2) 2*-5 = 3®-* 154. 1) 3*+з + 3* = 7*^1 + 5-7*; 2) 3*+4 + 3 • 5*^3 ^ 5*+4 ^ здг+з. 3) 2*-* + 75-* = 7“*-* + 25-* • 11; 4) 2*+1 + 2*-1 - 3*-1 = 3*-5 - 2*-5 + 2 • 3*-5. 4) 0,7'^^ 0,7-5 ^0,7^^. 3) 27* 25* = 36; 4) 25^ = 225. 3) 55* + 3-55*-2 = 140; 4) 2*+1 + 3 2*-1-5 2* + 6 = 0. х+2 3) 3 4 =5*^^ 4) 4 2 =з51*-5>. 54 155. 1)8 4*-6 2*+1 = 0; 2) 4) - 10 3* + 3 = 0; -6=0, 5)23*-1-8 2*-6-22*=0; 3) 132^+1 - 13^ -12 = 0; 6) 52^^1 -ь 34 52^ - 7 5^=0. Решить неравенство (156—158). 1 v4y v2y 2) 32 >0, / /^\ 2д^—Здг «(I) 156. 1) 5* ^ < V5; 4) 2’^^^®^ <4; 157. 1) 3^^2 + з^с-1 < 28; 2) 2^-1-I-2^+2 >17; 158. 1)9*-3*-6>0; 2) 4^-2^ < 12; 159. Решить графически уравнение: 3) 3* >1; х^-Зх 121 " Г (п) ' 169- 3) 22*-1 + 22*-2 + 22^-3 > 448; 4) 52^+1 - 52^-2 < 624. 3) 52*+1 -ь 4 5^ -1 > 0; 4) 3 9^-t-ll 3*<4. 1) = л:-1-1; 3) 2^=-х- 4’ 4) 3*=ll-x. 160. Решить графически неравенство: (II 1) к >х+1; 2) - <х—; 2 2 3) 2^<9--л:; 3 4) 3^>-|х-^ 161. Решить графически уравнение: 1)2^=3-2х-х 2)3-^= 4х; 4) 162. При каких значениях х сумма чисел 2^"^, 2^"^ и 2^"^ равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии 6,5; 3,25; 1,625; ... ? .2. Решить уравнение (163-165). 163. 1) 32*^ = 2*^2. 2) 5^-2 = 4 2*-4; 164. 1)3 16*-!-36^=2 8Р; 165. 1) 811*^-4=27; 3) 2* 3*= 36* ; 4) 9-'^=—. ^ 27 2) 25*-(-13 10* = 7 22*+Ч 2) 5|2д:-6| ^25^’2*-4. 55 Решить неравенство (166—167). 166. 1) 0,4* - 2,5*+1 > 1,5; 3) 4'-3 7<4; 2)25 0,04 2*>0,2*(3-*); 4) <0. 167. л/27 168*. Найти все целые значения а, при которых функция I ^Y^+2x+c^-3a Z/ = I -1 принимает значения, меньшие 3. 169*. Найти значения а, при которых имеет корни уравнение: 1) а 9^+9^+4 3^ + а-2 = 0; 2) а 4^-4^-4 2^ + а + 2 = 0. Упражнения к главе II 170. Сравнить числа: 1) 4"^ и 4’^; 2) 2^ и 21’’^; Д.4 3) 4) I 9 I и .V2 / 1 Л3*14 \V5-2 чТв-з 171. Сравнить с единицей число: 1)2-^^: 2) (if; 3)(fp; 4) (If . 172. (Устно.) Является ли функция возрастающей или убывающей: 1) г/= 0,78*; 2)1/=1,69*; 3)j/=(|) ; 4)j/ = 4-*? 173. В каком промежутке находятся значения функции при х е [-1; 2]: l)z/ = 5"; 2) z/ = 5-"? Решить уравнение (174-178). 174. 1) 5* ®-1 = 0; 2) 2^ ■^=l; 5) 3)l,5^-’=(|f; ,^^з?-2х-2 J =1; 6) (-J) =^. 3) 2“**" =4^^■^’^ 4) 16*^=643-*. 5) 2 3*+1-6 3*-1 -3*=9; 6) 5*^1+ 3 5*-1-6 5* +10 = 0; 7) 3*^3 _ 3x4-1 +30^^75. 8) 3*^‘ + 5 3*-3 3*-1 = 21. 4) 0,75 2JC-3 175. 1) 10^^-® =0,01; 2) 5 X -5 625' 176. 1)2* + 2*-з = 18; 2) 3* + 4 3*+1 = 13; 3) 7*+ 2 7*^1 = 15; 4) 5 2*-2 + 3 2*^1 = 29; 56 177. 1) 52^-5^-600 = 0; 2) 9*-3*-6 = 0; 178. 1)2 16*-3 4* = 2; 2)2-4* + 2-2*-4 = 0; 179. Решить неравенство: 1) 3*-2 > 9; 3) 3* + 9*-1-810 = 0; 4) 4^+2^+1-80 = 0. 3) 3 81*-8 9^ = 3; 4) 4 16*-17-4* + 4 = 0. 1 3) 0,7*^^^^ < о,7®; .2 2)52*<-; 4) (if >i-. \3/ 81 180. Решить графически уравнение: 1)2-* = Зх+10; 2) (i) * = 2л: + 5. ПРОВЕРЬ СЕБЯ! 1. Построить схематически графики функций: z/=[J] иг/=5*. 2. Сравнить числа: 1^1 и 1^1 ; 5"^*^ и 5"^*^. 3. Решить уравнение: 3^+1 = 27*-1; 0,2*^^^*-® = 1; 2*+з-2*+1 = 12; 4 22^-5 2*+1 = 0. 4. Решить неравенство: 7*-2>49; (0,5)*^'^>i. 181. Доказать, что последовательность значений функции г/= 2^ при натуральных значениях х составляет геометрическую прогрессию. 182. За первый год работы предприятие имело а рублей прибыли. В дальнейшем каждый год прибыль увеличивалась на р%. Какой станет прибыль предприятия за п-й год работы? 183. Найти область определения функции: _ Пу/З-Х , 1)1/= 2 2) у=г~ _ л qVx+V^. 3) у =0,2 4) 184. Найти множество значений функции: 1)у = 3*-1; 2)у = 1-3*; 3)j/ = 2*-i; 4)j/ = 0,5^-* + 2. 57 185. Построить график функции: 1)1/ = 3*-1; 2)1/ = 3*-1; 3)у= - -2; 4)i/ = 22-* + 3 ,х+2 Решить уравнение (186—188). _ 4^2-12 , чЗ 186. 1) 0,6^ 9 I ll25/ ’ 2) 16 V 0,25 4 =2 ;5-4 2 187. 1) 2 • 3 +27 3 = 9*-i + 2 . з2дс-ь 2) 2'^+2 - =12+2'^"^; 3) 22 3*"^®+i 3*^^=4; 3 3 4) 5 4*-1 - 16* + 0,25 22*+2 + 7 = 0. 188. 1) 2*+^ + 2*+2 = 5*+1 + 3 5*; 2) 52*-7*-52* 17 + 7* 17 = 0; 3) 2*'■^-3*' =3* ■^-2* ^2. 4) 3•4*+i•9*^^=6•4^^^-i•9*^^. 3 2 189. Решить неравенство: х-г 1) 8 <1; 4*-2*^‘+8,„;с. 3) 2.-. <8 , 2) 2*^ 5^<10-^(10^'')2; 1 ^ 1 3*+5"з**'-1’ 190. Построить график функции: l)z/ = 2*+l*l; 2)j/ = |3l*l-3|. Решить уравнение (191—194). л ох+0,5 191.1) =5 0,04*; V5 3)2 4*-3 10*-5 25* = X X 2)4 3*-9 2*= 5 32 22; 4)4 9*+12*-3 16* = 0. 192*. 1)4*+25* =29; 2) 3* + 4* = 91. 193. 1) 2l*+5l = 8; 3)31*-1| = 31*-2|; 2) 5l2-*l = 125; 4) 4I 3+х| = 4|х-2|^ 194*. 2l*+il-|2*-l| = l + 2*. 58 Решить неравенство (195—196). 195. 1) 31*-2|<9; 2)41*+Ч>16; 196. 1) f л v9, ^ д|Зд:-12| + 2л:. 3) 4) 5l*+‘‘l<25l*l 2) 9 ,х+0,5 3-3 ^^<32"+1. 2х Историческая справка В письмах немецкого философа, физика-изобретателя и математика Г. Лейбница (1646—1716) к голландскому ученому X. Гюйгенсу (1629—1695), датированных 1679 г., можно найти использование (без пояснений) переменной величины в показателе степени. Начиная с XVIII в. европейские математики, еще не имея строгой теории действительных чисел, изучали отдельные свойства показательной функции. В XIX в., после того как в математике упрочилось понятие предела и было введено понятие степени с действительным показателем, удалось строго обосновать и свойства показательной функции. Теория показательной функции имеет огромное прикладное значение. Известно, что многие природные и общественные явления происходят по законам показательной функции. Например, при радиоактивном распаде вещества его масса уменьшается за равные промежутки времени в одно и то же число раз. Если через обозначить период полураспада вещества, то через Т лет ^ставшаяся масса ве- щества М выражается формулой М = " , где — первона- V 2 у чальная масса. Размножение живых организмов в природе также находится в показательной зависимости от времени. ГЛАВА J [ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ § 9. Степенная функция, ее свойства и график Вы знакомы с функциями у = х,у = х^, у = х^,у= — и т.д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т.е. функции У = хР, (1) где р — заданное действительное число. Свойства и график степенной функции (1) существенно зависят от свойств степени с действительным показателем и, в частности, от того, при каких значениях jc и р имеет смысл степень хР, Перейдем к подробному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степени р. 1. Показатель р = 2п — четное натуральное число. В этом случае степенная функция у = где п — натуральное число, обладает следующими свойствами: — область определения — все действительные числа, т.е. множество R; — множество значений — неотрицательные числа, т.е. у>0; — функция у = X — у.2п _____ четная, так как (-xf^ = х’^^; — является убывающей на промежутке jc < О и возрастающей — на промежутке х>0. График функции у = х^^ имеет такой же вид, как, например, график функции у = х^ (рис. 13, а). 2. Показатель р = 2т1 — 1 — нечетное натуральное число. В этом случае степенная функция у = где п — натураль- ное число, обладает следующими свойствами: — область определения — множество R; — множество значений — множество Д; — функция у = х^^~^ — нечетная, так как — является возрастающей на всей действительной оси. График функции у = х^^~^ имеет такой же вид, как, например, график функции у - х^ (рис. 13, б). 1/: г 0 л Рис. 13, б 60 3. Показатель р = —2п , где п — натуральное число. В этом случае степенная функция у = х обладает сле- дующими свойствами: — область определения — множество Ry кроме JC = 0; — множество значений — положительные числа у > 0; 1 — функция у = — четная, так — является возрастающей на промежутке JC < о и убывающей на промежутке jc > 0. График функции у = имеет такой же вид, как, например. график функции г/ = —т (рис. 14, а). 4. Показатель р = - - 1), где п — натуральное число. В этом случае степенная функция у - л^-2(/1-1) = обладает следующи- ми свойствами: — область определения — множество Ry кроме JC = 0; — множество значений — множество Ry кроме I/ = 0; — функция у - — нечетная, X 1 1 так как ч2л-1 ^2л-1 > i-xY - — является убывающей на промежутках д: < о и JC > 0. 1 V ^ JC График функции у - имеет Рис. 14, б 1 такой же вид, как, например, график функции г/ = — (рис. 14, б). д: 5. Показатель р — положительное действительное нецелое число. В этом случае функция у = д:^ обладает следующими свойствами: — область определения — неотрицательные числа д: > 0; — множество значений — неотрицательные числа г/ > 0; — является возрастающей на промежутке х>0. 61 График функции у = хР, где р — положительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции у=х^ (при 4 О < р < 1) или, как, например, график функции у = х^ (при р >1) (рис. 15, а—б). 6. Показатель р — отрицательное действительное нецелое число. В этом случае функция у = хР обладает следующими свойствами: — область определения — положительные числа JC > 0; — множество значений — положительные числа у>0; — является убывающей на промежутке jc > 0. График функции у = хР, где р — отрицательное нецелое число, имеет такой же вид, как, напри- 1 Рис. 15, в мер, график функции у=х (рис. 15, в). Задача 1. Решить неравенства: 1) х^ > х; 2) х^ > X. А 1) Неравенство х^ > х имеет смысл при х>0. При jc = 0 неравенство не выполняется. При jc > 0, возводя неравенство в куб, получаем х>х^, т.е. х{\- x^)>Q, Так как jc > 0, то 1 - > 0, откуда < 1, [ jc | < 1. Следовательно, о < JC < 1. 4 2) Аналогично, возводя неравенство х^ > х при jc > 0 в куб, получаем > х^, т.е. х\х - 1) > 0. 62 Так как jc > О, то jc - 1 > О, т.е. х> 1. Ответ. 1)0<л:<1; 2)л:>1.А ^ Решение этой задачи показывает, что график функции у= лежит выше графика функции у = х при О < jc < 1 и ниже — при х> 1 4 (рис. 16, а); график функции Z/= лежит выше графика функции у = х при JC > 1 и ниже — при О < jc < 1 (рис. 16, б). Задача 2. Сравнить числа (3,2)^"^ и (3,5)^"". А Так как 3 < я < 4, то 3 - я <0. Функция у = х^~^ убывает на промежутке jc > 0. Поэтому (3,2)3-" >(3,5)3-^. ^ Задача 3*. Найти точки пересечения графиков функций 4 у-Чх И 1/= . А Для нахождения точек пересечения этих графиков решим уравнение Чх = х^. Левая часть этого уравнения имеет смысл при всех х, а правая — только при JC > 0. ^ При х>0 функция у=Чх совпадает с функцией у=х^у поэтому уравнение можно представить в следующем виде: 1 4 Х^ = Х^ . Возводя это уравнение (при х>0) в куб, получаем х = х^, откуда х{х^ - 1) = о, JCj = о, JCg = 1. Ответ. (0;0), (1;1). А 63 Задача 4*. Построить график функции 1/=1+|х|®. А Заметим, что эта функция четная, так как | -л: | = д:. Поэтому достаточно построить ее график для jc > О, а затем симметрично отразить его относительно оси ординат. При х> О имеем i/=l+|jcp = 1 -\-х^ . Строим график функции 1 у = х^ (при X > 0), сдвигаем его вверх на единицу и отражаем полученный график относительно оси ординат (рис. 17). А Упражнения 197. Изобразить схематически график функции и указать ее область определения и множество значений: 1)у = х^; 2) у =х^; 3) у = х^; 4)z/ = JC-3; 5) у = х-^; 6)у=х~К 198. (Устно.) Является ли функция у = хР возрастающей (убывающей), если: 2 1)Р=73; 3)р=1- 75; 2)р=-; 5)p = 2-jc; 6)р = е? 199. Изобразить схематически график функции: 2 5 1)г/=д:5; 2)у=х^; 3) у = х~^; 4)р=-^; 4)у= х'^. 64 200. Пользуясь свойствами степенной функции, сравнить с едини- цей: ^2 1)4Д2-7; 2)0,20-3; 3)0,70-1; 4) (л/з) ’ . 201. Пользуясь рисунком 15, б, найти промежутки, на которых /о графики функций: 1)у=х \2)у = х^ — лежат выше (ниже) графика функции у = х. 202. Пользуясь рисунком 15, а, найти промежуток, на котором гра- j. фики функций: 1) Z/ = ; 2) z/ = jc — лежат выше (ниже) графика функции у-х. 203. Сравнить значения выражений: -2 / о \-2 1) 3,17’2и4,3^’2; 2) (п) ’ 2 2 7) (4^/з)® и (з^/4)* ; 8) и 3) 0,30-3 и 0,20-3; 4) 2,5-3-1 и 2,6-3-1; 204. В одной системе координат построить графики функций: 1) I/ = хЗ и I/ = д:* ; Z) у = x^vi у = х~Н 2) у = х*и у= х*\ А) у = х^ Ti у = х~^-. 205. Пользуясь рисунком 15, в, найти промежуток, на котором графики функций: l)j/-xi-^; 2)у=х^-'^ лежат выше (ниже) графика функции у = х. 206. Изобразить схематически график функции: 1) X = х^ 1; 4)у= (дс+1) 7)у= Зх^; гГ2. 2)у= х‘ - 1; 5)1/ = 2 + дс"1; „ч 2 8) J/ = -72 • 3)y = (x-2Y; 6)i/-(jc-2)-2; X 3—Ю. М. Колягин, 10 кл. 65 207*. Построить график функции: 1 1)«/=|хр; 2)y = \x\h 3)i/ = |xP+l; 4)i/= |хр -2; 5)y = \x-l\h 6)у=\х + 2\^; 8)i/ = |2x |-з. 7)у=\£^; 208*. Используя графики функций, выяснить, сколько корней имеет уравнение: 1)х~^ = 3^-2; 2) = (I)' - 3. § 10. Взаимно обратные функции Если задана функция у = f(x)y то для каждого значения х из области определения функции можно найти соответствующее значение у. Нередко приходится решать обратную задачу — по данному значению функции у находить соответствующее значение аргумента X. Примером может служить формула v = v^- gty которая выражает зависимость скорости v движения тела, брошенного вверх с начальной скоростью Vq, от времени движения t. Из этой формулы можно найти обратную зависимость — времени t от скорости v: t=^^. 8 В рассмотренном примере каждому значению функции соответствует одно определенное значение аргумента. Для таких функций можно выразить обратную зависимость значений аргумента от значений функции. Поэтому такие функции называют обратимыми. Если функция у = f{x) принимает каждое свое значение у только при одном значении X, то эту функцию называют обратимой. Например, функция у = 2х - 2 обратима, так как каждое значение у принимается при единственном значении аргумента X, Это значение можно найти, решая уравнение у = 2х~2 относительно х. Функция Z/= не является обратимой, так как, например, значение у-1 она принимает при JC = 1 и при JC = -1 (рис. 18). 66 Пусть у = f{x) — обратимая функция. Тогда каждому у из множества значений функции соответствует одно определенное число X из области ее определения, такое, что f{x) = у. Это соответствие определяет функцию х от у, которую обозначим х = g(y). В этой записи, в соответствии с принятыми обозначениями, поменяем местами X и у. Получим y = g(x). Функцию у = g{x) называют обратной к функции у = f{x). Задача 1. Найти функцию, обратную к функции у = гх^Ъ. (1) А Решая это уравнение относительно jc, получаем В этой формуле поменяем местами х vl у у=\{х-Ъ). (2) Функция (2) является обратной к функции (1). ^ Если обратимая функция у = f{x) задана формулой, то для нахождения обратной функции надо решить уравнение f{x) = у относительно X и затем поменять местами jc и z/. Заметим, что рассмотренная в задаче функция у = Зх-\-6 являет- 1 ся обратной к найденной для нее обратной функции z/ = ~ (х - 5). Поэтому эти функции называют взаимно обратными. Из определения обратной функции следует, что область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции. Задача 2. Найти функцию, обратную к функции у = х-2 А Решая это уравнение относительно х, получаем jc = 2 + - . За- менив JC на Z/ и Z/ на JC, находим z/ = 2 + 1 А В этой задаче область определения функции у =-^ есть мно- жество действительных чисел, не равных 2, а множество ее значений — все действительные числа, не равные 0. График этой функции представлен на рисунке 19. 3* 67 Для обратной функции у = 2 — область определения — мно- X жество действительных чисел, не равных О, а множество значений — все действительные числа, не равные 2. График обратной функции изображен на рисунке 20. I Теорема 1. Монотонная функция является обратимой, О Пусть, например, функция у = f{x) возрастает и пусть у^ — ее значение в некоторой точке jCq, т.е. у^=Кх^, Тогда если jcпринадлежит области определения функции, то при х> х^ выполняется неравенство f{x) > f{x^ = i/q, а при X < Xq — неравенство f(x) < f{x^ = у^. Следовательно, значение у^ рассматриваемая функция принимает только в одной точке и поэтому является обратимой. • Например, функция у = х^ возрастает, и поэтому она обратима, обратной к ней является функция у = ^ (рис. 21, а). Если функция у = f(x) возрастает, то с увеличением х значения у возрастают и, наоборот, с увеличением у возрастает х. Это означает, что обратная функция также возрастает. Аналогично если функция у = f(x) убывает, то обратная к ней функция также убывает. Например, функция f{x) = 1 - 2х убывает, и обратная к ней 1 — JC функция g(x) = —— также убывает. Функция, не являющаяся мо- нотонной, может не иметь обратной. Например, функция у = рассматриваемая на всей числовой оси, не имеет обратной. Однако если функцию у = х^‘ рассматривать только при JC > о, то на этом промежутке она возрастает и, следовательно, имеет обратную у = (рис. 21, б). Функция у = х^у рассматриваемая при JC < 0 , убывает и также имеет обратную у = ~ у/х (рис. 22). 68 Теорема 2. Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой у =х. О Если точка (х^; у^) принадлежит графику функции у = fix), то точка (у^; х^) принадлежит графику обратной функции у = g(x) (рис. 23), а точки (дг^; у^) и симметричны относительно прямой у = х (рис. 24). • Рисунки 21, б; 22 иллюстрируют эту теорему. Отметим, что степенная функция у = хР с областью определения х> Ovip^O обратима, так как по свойству 3 § 9 она монотонна. Обратной к ней является функция у= х^ . 69 Упражнения 209. {Устно,) Выяснить, является ли обратимой функция: 1) 1/ = Зд:- 1; 2)у = хЧ7; 4)у= yfx; 5)y = x‘^; 210. Найти функцию, обратную данной: 6)г/ = д:^x<0. 1)у = 2х-1; 2)у = -5х + 4; 04 1 2 Зд:-1 '*>!'= 2 ' 5)у = х^ + 1; 6)у = х^-3. 211. Найти область определения и множество значений функции, обратной данной функции: 1) у = -2х + 1; 2)у=^х-7; 3)у = х^-1; 4)у-(х 1)3; 5)у-^; 212. Функция 1/ = f(x) задана своим графиком. Построить график функции, обратной данной (рис. 25). Рис. 25 213. Являются ли взаимно обратными функции: \)у = -х^ W. у = Z)y = x~^viy = 2)у = -х^и у= ^; 4)у = 214. Найти функцию, обратную данной: 1)у= -х^; 2)у= -X*; ^и 3 1 4)у= -X* 70 215. На одном рисунке построить график данной функции и функции, обратной данной: 1) y = Sx-l; 2JC-1 2) y=-j~; 3) у = х^-1 прид:>0; 4) у = (х- 1)^ при х>1; 5) у = х^-2; 6) y = (x-lf; 7) у= -1; 8) у= \[х +1. (1) §11. Равносильные уравнения и неравенства 1. Равносильные уравнения Задача 1. Найти точки пересечения графиков функций У = Зу[х иу = х-\-2. А Если {х\ у) — точка пересечения данных графиков, то z/ = 3 yfx = = х-\-2. Следовательно, для нахождения абсцисс точек пересечения надо решить уравнение 3 л/х =х-\-2. Возводя обе части уравнения (1) в квадрат, получаем 9х = х^ 4х 4, откуда х^ - 5х + 4 = 0. Корни этого квадратного уравнения = 1, JCg = 4. Проверка показывает, что оба эти корня являются также и корнями уравнения (1). Теперь находим ординаты точек пересечения данных графиков yi = Sy[x^ = Sj У2 = = 6. Итак, данные графики пересекаются в двух точках (1; 3) и (4; 6) (рис. 26). О т в е т. (1; 3); (4; 6). А При преобразовании исходного уравнения Зл/х =х-\-2 получили 9х = х^-\-4х-\-4; х^ - 5х -1-4 = 0. Все три уравнения имеют одни и те же корни х^ = 1, Х2 = 4. Такие уравнения называют равносильными. 71 Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Например, уравнения 4х- S = 2x-\-S и 2х = 6 равносильны, так как каждое из них имеет только один корень х = 3. Уравнения (х - 2)(х + 5) =0 и + Зл: - 10 = о также равносильны, так как они имеют одни и те же корни х^ = 2, JCg = “5. Из определения равносильности уравнений следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными. Из курса 7 класса вы знаете, что можно сделать следующие преобразования уравнений: любой член уравнения можно переносить из одной части в другую, изменив его знак на противоположный; обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. При этих преобразованиях исходное уравнение заменяется на равносильное ему уравнение. Заметим, что если некоторое выражение в левой или правой части уравнения заменить тождественно равным ему выражением, то получится уравнение, равносильное исходному. Однако не при любом преобразовании уравнение заменяется на равносильное. Например, при возведении в квадрат обеих частей уравнения yfx =х-2 получается уравнение x = (x-2f, не равносильное исходному: первое уравнение имеет только один корень JC = 4, а второе — два корня jCj = 4, jCg = 1. В этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения. Если при переходе от одного уравнения к другому не происходит потери корней, то второе уравнение называют следствием первого. Другими словами, если все корни первого уравнения являются корнями второго, то второе уравнение называется следствием первого уравнения. Из этого определения и определения равносильности уравнения следует, что: 1) если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого; 2) если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны. 72 При решении уравнений главное не потерять корни, а наличие посторонних корней можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем, чтобы каждое уравнение, полученное при преобразовании данного уравнения, было его следствием. Задача 2. Решить уравнение 2х х+1 4 ----. (2) х-2 х-1 (х-1)(х-2) ^ ^ Л Умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех трех дробей, т.е. на (х - l)(jc - 2). Получим 2х{х - 1) - (X + 1){х - 2) = 4, (3) откуда х^~ х-2 = 0, х^ = 2, Х2 = -1. Проверка. 1) При х = 2 знаменатели двух дробей уравнения равны нулю. Поэтому jc = 2 не является корнем данного уравнения. 2) При х = -1 левая часть уравнения равна 2 (-1) -1+1_2 -1-2 -1-1 3’ правая часть равна (_1_1)(_1_2) 3- Ответ. х = -1. А Заметим, что для проверки корня х = -1 достаточно увидеть, что знаменатели дробей уравнения при х = -1 не равны нулю (если, конечно, при решении уравнения не допущены ошибки в преобразованиях и вычислениях). При решении этой задачи из равенства (2) получено уравнение (3), которое является следствием уравнения (2). Корень х^ = 2 уравнения (3) не является корнем уравнения (2). Его называют посторонним корнем для уравнения (2). Посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное. Задача 3. Решить уравнение х^-4 = 7х-Ы. А Преобразуем данное уравнение так: (jc + 2)(jc-2) = 7(jc-2), (4) (x-2)(x + 2-7) = 0, (х- 5)(jc- 2) = 0, откуда = 5, Х2 = 2. А 73 Если обе части уравнения (4) разделить на jc - 2, то получится уравнение л: + 2 = 7, которое имеет только один корень jc = 5, т.е. произойдет потеря корня х = 2 и решение задачи будет неверным. (Потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное. Итак, при решении уравнения можно делать только такие преобразования, при которых не происходит потери корней. Если при этом получаются уравнения-следствия данного, то необходима проверка найденных корней. 2. Равносильные неравенства Аналогично определяется равносильность неравенств с неизвестным. Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными. Например, неравенства JC-3 jc4l <0и л:-3<0 равносильны, не- равенства - 4л: < JC - 6 и - 5д:+ 6 < О также равносильны. При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в равносильное ему. Задача 4. Решить неравенство 5JC-3 jc4l >1. А Так как + 1 > О при всех действительных значениях х, то, умножая данное неравенство на + 1, получаем неравенство 5л: - 3 > -н 1, равносильное данному. Решая это неравенство, получаем л:^- 5л:+ 4 < О, (л: - 1)(л: - 4) < О, откуда 1 < л: < 4. Задача 5*. Решить уравнение (Зх-4)^+2 =(Зх-4)Ч 4 5 А 1)Зл:-4 > О, но Зл:-41, т.е. х> -, но ХФ~, тогда2л:^+ 2 = 5л:, о о 2х^-5х + 2 = 0, х = 2или х=^, 5 2) Зх - 4 = 1, т.е. Xg = g , так как 1*' = 1 при любом у. 74 .2^+2 20 3)3jc-4 = 0, т.е. jc =-. Выполним проверку: О ^ =0, 0^ =0, о лгд = - — корень уравнения. 4 4) Зх - 4 < О, но Зл: - 4 -1, т.е. х< -,иохф1у тогда 2х^ + 2 = 5л:, о 5 5 1 14 /^5^2/^5^2 X = - или л: = 2; 2^3* выполним проверку: | -- ^1 ”2 ’ как I “2 Г существует. 5) Зл: - 4 = -1, т.е. л: = 1. Выполним проверку: = (-1)'^ > 0, (-1)^ <0, л: = 1 — не корень. Ответ. Xj = 2, ^2= g , ^3=-. А Упражнения 216. Решить уравнение: 1)(л:+7) 3 = 2л:+14; 2)хЧ^^ = 4+ ^ х^-4 л:^-4’ 3) 4) х-2 \-2х х^-1 х^-^' 5л:-15 (л:-3)(л:+2) х+2 217. Выяснить, равносильны ли уравнения: 1) 2x-7 = 4x + 5 и 2х+12 = 0; 2) i(2x-l) = l и ^ = 1; 3) - Зх + 2 = о и + Зх + 2 = 0; 4) (х-2)2 = 3(х-2) и х-2 = 3; 5) х2 + 1 = 0 и 2^-1 = 0; 6) |х-21 = -3 и 3^ = (-1)3. 218. Выяснить, равносильны ли неравенства: 1) 2х-1>2 и 2(х-1)>1; 2) (х-1)(х + 2)<0 и х^ + х<2; 3) (х-2)(х + 1)<3х + 3 и х-2<3; 4) х(х + 3)>2х и х2(х + 3)>2х2. 219. Установить, какое из двух данных уравнений является следствием другого уравнения: 1) X - 3 = о и х^ - 5х -t- 6 = 0; 2) ^ -Зх + 2 _ ^ и х^ - Зх -ь 2 = 0. х-1 75 220. Решить уравнение: 1) 2х 4х 2) х+1 х-1 х-1 2^ 1 х-2 X х^-1 х-2 221. Решить неравенство: 3) (x-3)(x-5) = 3(x-5); 4) (х-2)(х2 + 1) = 2(х2+1). 2 + х^ х-2 , 2)---->1. 5-х Выяснить, равносильны ли уравнения (222—224). 222. 1) 1 2л: - 11 = 3 и 2х - 1 = 3; 2, и2» + 3= 3 2 6 3 223. 1) - = о и л:2 + 1 = 0; X 2) у[х =-2 и лг + 3 = лг; 3) л:2 = 2л: и л: = 2; 4) 32л2_5^^1 ^ 2л;2-5х = -2. 9 224. 1) 2л: - 1 = 4 - 1,5х и 3,5х -5 = 0; 2) х{х - 1) = 2х + 5 и л:^ - Зл: - 5 = 0; 3) 23*^1 = 2-3 и 3л:+1 = 3; 4) у1х + 2 = 3 и л: + 2 = 9. 225. Установить, какое из двух данных уравнений является следствием другого уравнения: 1) 1 л: I = 5 и 4х^' = 5; 2) и л:^ = 4; л: + 2 х + 2 3)(л:-5)(л:-1-3)2 =2(л:-(-3)2 и х-5 = 2; = ^ и (х-2)(х + 2) = (х-ЗХх + 3). JC + 3 л: + 2 226. Решить уравнение 5х Зх^ 3JC + 1 3JC-1 9x^-1 1-9х^ 227. Найти корни уравнения: 1) 4х-1 x^-h5 х-1 X-hi х -1 5; 2) ^ + 2 х(х-4) х-2 4(3-hx) х-2 х^-4 JC + 2 4-х^ 76 228. Решить неравенство: 1) X® - Зх^ + 2х - 6 > 2х® - х^ + 4х - 2; 2) ХЗ - 3x2 - 4Х + 12 > _Зд.З + д;2 + 12х - 4. 229*. Решить уравнение: 1) (х-з/-^-^ = 1; 2) (х^-х-1)^"^ = 1; 3) (х+3)*^-'‘ = (х+3)-^^; 4) (х+3)^"^ = (х+3)^. §12. Иррациональные уравнения в уравнениях л/х+1 = х - 1, >/5х-4 - 2 + неизвестное х находится под знаком корня. Такие уравнения называются иррациональными. Приведем еще примеры иррациональных уравнений: ^х + 15 = х + 1, ^x+б=^/6^. Иррациональные уравнения часто получаются при решении разных задач. Их решение основано на следующем свойстве. При возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение-следствие данного. О Пусть X — корень уравнения f(x) = g{x), т.е. f(x) = g(x) — верное числовое равенство. Тогда по свойствам верных числовых равенств f^{x) = g^{x) — также верное числовое равенство, т.е. X — корень уравнения r{x) = g^(x). • Обратное утверждение неверно. Например, уравнение >/б-л: = х имеет один корень jc = 2, а уравнение &- х = х^ имеет два корня = 2, jCg = -3. При возведении обеих частей иррационального уравнения в натуральную степень могут появиться посторонние корни, поэтому необходима проверка. Например, при возведении обеих частей уравнения л/л:^ +JC -1=л/х в квадрат получим уравнение х^-\-х-1=х, т.е. х^= 1. Это уравнение имеет два корня = 1, Xg = -1. Второй корень является посторонним для исходного уравнения, так как подкоренные выражения при х=-1 отрицательны. 77 Задача 1. Решить уравнение yfxVe - Vx + l = у12х-Ъ. А Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем JC + 6 - 2 ^(л:+6Хл:+1) + л: + 1 = 2л: - 5, откуда yj(x+6)(x+l) =6. Возведем обе части последнего уравнения в квадрат 7л: + 6 = 36, или + 7л: - 30 = 0. Корни этого уравнения = 3, л:2= -10. Проверка показывает, что л:2= -10 — посторонний корень. Ответ. х= 3. А Задача 2. Решить уравнение x/x4l2 = x. А Возведем обе части уравнения в четвертую степень х^ + 12 = л:'^. (1) откуда л:'^ - л:^ - 12 = 0. Решим это биквадратное уравнение _ l±^/^+48_l±7 X — — > 2 2 т.е. х^ =4 или л:^=-3. Уравнение л:^ = 4 имеет два корня: х = ±2. Уравнение х^ = -3 не имеет действительных корней. Так как при возведении обеих частей уравнения (1) в четвертую степень могли появиться посторонние корни, то нужно сделать проверку. При л: = 2 обе части уравнения (1) равны 2, т.е. л: = 2 — корень уравнения (1). При л: = -2 левая часть уравнения (1) равна 2, а правая равна -2, т.е. л: = -2 не является корнем уравнения (1). Ответ. л: = 2. А Задача 3. Решить уравнение А Возводя обе части уравнения в куб, получаем x^-19 = ix-lf, откуда x3-19 = (x2-2x+1)(x-1), X®-19 = д;3-Зд:2 + Зх-1, Зх^-Зх-18 = 0, д:^-л:-6 = 0. (2) 78 Корни этого уравнения: = 3, Х2=~2. Проверка показывает, что оба эти значения неизвестного являются корнями уравнения (2). Ответ. х^ = 3у Х2 = -2, А Иногда при решении иррационального уравнения полезно использовать графики функций. Задача 4. Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение у/х = 1 - х^. Найти приближенные значения этих корней. А Построим на одном рисунке графики функций у = у/х и у=1- х^ (рис. 27). Графики пересекаются в одной точке при л:-0,5. Ответ, лг-0,5. А Задача 5*. Решить относительно jc уравнение yJx-\-2‘yJx-S=a, (3) А Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем (х + 2)(х - 3) = а^, откуда х^-х-6-а^ = 0у Xi = ^(l+V25+4a2), X2 = ^(l-V25+4a2j. (4) Для проверки отметим, что 25 + 4а^ > 25 и >/25+4а^ > 5 при любых действительных значениях а. Из формул (4) получим х^>3, Х2<-2. При х = х^ оба подкоренных выражения в уравнении (3) неотрицательны, а при х = Х2 подкоренное выражение второго корня отрицательно: JCg - 3 < -5 < 0. Следовательно, JCg — посторонний корень. Для окончательной проверки корня х^ достаточно заметить, что при х= х^ левая часть уравнения (3) неотрицательна, следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной, т.е. должно выполняться неравенство а >0. Ответ. Если а > 0, то х = -н л/25-1-4а^ j; если а < 0, то кор- ней нет. А 79 Упражнения 230. (Устно.) Решить уравнение: 1) ^/^=2; 2)^/^-7; 3)^ = 2; 4) ^=-3; 5) V2x-1 = 0; 6) ^1-Зл: = 0; 7)^=1; 8) ^/2^=0. Решить уравнение (231-240). 231.1)7^ = 3; 3) 7х + 2 = 73-х; 2) 7л:-2=5; 4) ^4 + л: =72л:-1. 232. 1) 72х+3 = 1; 3) ^l-2x = i[x; 2)7Г^ = 2; 4) 7зх^-3 = 78х. 233. 1) д: + 1 = 71-л:; 2) х = 1 + 7х+П; 3) у1х+3 = у/5-х; 4) 7х + 4 = 72х-1; 5) 7х^-23 = 11; 6) у1х^-х-3 = 3. 234. 1) Tjc-:t = -12; 2) х+7л = 2(л:-1); 3) 7х^-20 = 7^; 4) 7jc-1 = л:-3; 5) 7л:^ -5 =71-Д^; 6) ^1б+х-х^ =1-х. 235. 1) Х+3 = 733 + Х^ 4) 7^ + 714-х = 8; 2) yjx^-36,75 = х-3,5; 5) 715 + х + 7з+х = 6; 3) 72х-34 = 1+7х; 6) V3-2x-7i^ = 1. 236. 1) ^Jx^ + 2 + ^Jx^ + x^ =0; 2) 7jc-2 = 71-дг; 237. 1) 7^-75+1с = 2; 2) 712+х - 71-л: = 1; 3) л/х-2 + 7л: + 6 = 4; 3) ylx-2 + yll-x = у/5-х; 4) 7l+^ + 7l+j? = 0. 4) \1х + 7 + у1х-2 = 9; 5) 7лг+17-7x^ = 4; 6) 72х-15-7л: + 16 = -1. 238. 1) 75х-3-72лг-1 = 73х-2; 2) л/1-2х-713 + л: = 7л: + 4; 3) 7л:-10 + 7л:-3 =72л: + 11; 4) 77л: + 1-7б-л:=715 + 2х. 239. 1) 7л:-2 = 2; 2) 72л:+7 = 73(л:-1); 3) 725л:^-144 = л:; 4) х^=719л:^-34. 80 240. 1) ^х^-2 = х-2; 2) ^х^-5х^ +16х-5 = х-2. 241. Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение, и найти приближенные значения этих корней: 1) Vx 6 = -х2; 2)^ =(х- 1)2; 242*. Решить уравнение: 3) л/Г+1 = л:2 - 7; 4) - 1 = ^Jx-l. 1) у14х + 2у1з^^+1 = х+2; 2) = 3) 7^2 + Зх +12-л1х^ + 3х = 2; 4) у1х^+5х + 10-у1х^+5х + 3 = 1. 243*. Решить относительно х следующее уравнение: 1) yJx-\-l’ylx-2=a; 2) Vx• Vx + 2 ==а-1. § 13. Иррациональные неравенства Задача 1. Стрельба из спортивного пистолета по круглой мишени диаметром 1 м ведется из точки прямой, перпендикулярной плоскости мишени и проходящей через ее центр. На каком расстоянии от мишени должна быть точка выстрела, чтобы разность расстояний от нее до края мишени и до центра была не больше 2 см? А Пусть А — точка выстрела, О — центр мишени, В — точка на окружности мишени (рис. 28, а). По условию ВО = 50 см. Обозначим АО = х, тогда АВ= yjx^ +2500. По условию АВ-АО <2, т.е. Рис. 28, а или 2500-х <2, 7x42500 <х + 2. (1) Так как по смыслу задачи jc > 0, то левая и правая части неравенства (1) положительны. Следовательно, обе части неравенства (1) можно возвести в квадрат, при этом знак неравенства не изменится и получится равносильное неравенство x2 + 2500 2496, х > 624 см. Ответ. Не меньше 6,24 м. А 81 в этой задаче пришлось решать неравенство (1), содержащее неизвестное под знаком корня. Такие неравенства называют иррациональными. Рассмотрим примеры решений иррациональных неравенств. Задача 2. Решить неравенство ^/5^<4. (2) А Найдем область определения неравенства (2), т.е. множество таких значений Ху при которых имеют смысл обе части неравенства. Правая часть неравенства определена при всех значениях х, а левая — при 5 - jc > О, т.е. при jc < 5. Следовательно, область определения неравенства (2) — луч jc < 5. При х<6 обе части неравенства (2) неотрицательны, и поэтому при возведении в квадрат обеих их частей получается равносильное (на множестве jc < 5) неравенство 6- х < 16. Таким образом, неравенство (2) равносильно системе неравенств \х<Ьу [б-х<16. Решая эту систему, получаем -11 < х <6. Ответ.-11 < л:<5. А Рассуждения, приведенные при решении задачи 2, можно провести устно и сразу записать, что неравенство (2) равносильно системе неравенств j5-x>0, |5-x<16. Задача 3. Решить неравенство 4? (3) (4) -Зл: <2. А Неравенство (3) равносильно системе \х^-3х>0у \х^-3х<4. Решая первое неравенство системы (4), получаем jc < О , jc > 3. Решая второе неравенство системы (4), получаем -1 < jc < 4. Оба неравенства системы (4) выполняются при -1 < jc < О, а также при 3 < 4 (рис. 28, б). Ответ.-1<л:<0, 3<л:<4. А VA/////J У////А//////////УУ^ . -2 -1 О 1 2 3 Рис. 28,6 82 Задача 4. Решить неравенство л1ю+х-х^ >2. А Это неравенство равносильно системе jl0+x-jc^>0, (5) (6) Так как каждое решение второго неравенства системы (6) является решением первого неравенства системы (6), то эта система равносильна одному второму неравенству 4. (7) Следовательно, неравенство (5) равносильно неравенству (7). Решая неравенство(7), получаем -2<х<3. Ответ.-2 - значения 3 V3JC-4 неотрицательны. Поэтому неравенство л/Зл:-4 < -5 решений не имеет. 2) Неравенство yj2x^ -\-6x-3 < О выполняется только тогда, когда yj2x^ -\-6x-3 = О , т.е. если 2х^ + 5л:- 3 = О, откудах^ = -3, ^2= - . ^ 2 Задача 6. Решить неравенство л/3х+1<л:-н1. (8) А Область определения этого неравенства — луч х > — . При 3 этих значениях х правая часть неравенства (8) положительна. Следовательно, неравенство (8) равносильно системе Зл:-н1>0, Зл: + 1<(л:-н1)2. Решая эту систему, получаем — < jc < О, jc > 1. 3 Ответ. -- А 3 83 Задача 7. Решить неравенство л/хТЗ>л:+1. (9) А Область определения этого неравенства — луч х>-3. При всех X > -3 левая часть неравенства неотрицательна, правая же часть этого неравенства отрицательна при х < -1. Поэтому все значения X из промежутка -3<х <-1 являются решениями неравенства (9). Рассмотрим случай, когда х> -1. Тогда обе части неравенства (9) неотрицательны, и поэтому обе части этого неравенства можно возводить в квадрат: х + З > (x-h 1)^. Решениями этого неравенства являются значения х из промежутка -2 < х < 1. Отсюда, учитывая, что х>-1, получаем -1 < jc < 1. Итак, решениями неравенства (9) являются все значения х из промежутка -3 < jc < 1, а также из промежутка -1 < х < 1, т.е. из промежутка -3 < jc < 1. Ответ. -3< X < 1. А Неравенство (9) проще решать с помощью графиков. На рисунке 29, а построены графики функций г/ = ^/xTз и у = х -h 1, Из этого рисунка видно, что решениями неравенства (9) являются значения X из промежутка -3 < л: < 1. Задача 8. С помощью графиков решить неравенство у/х < 2-х. А На одном рисунке построим графики функций у = \[х и у = 2-х (рис. 29, б) и выясним, при каких значениях х точки графика функции у = у[х лежат ниже точек графика функции у = 2- х. Из рисунка видно, что эти графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой является корнем уравнения \/х = 2 - х. Этот корень х= 1. 84 График функции у = у[х лежит ниже графика функции у = 2- х при 0<х <1. Ответ. 0<л:< 1. А Задача 9. Решить неравенство yj2x^ -6х-3> х-1. (10) А Найдем область ощюделения этого неравенства, т.е. решим неравенство 2х^ - 6х - 3>0. Так как корнями уравнения 2х^ - 5л: - 3 = 0 являются числа х^ = > ^2 “ неравенство 2х^ - 5л: - 3 > 0 выполняется при X < и при х>3 (рис. 30). 2 Таким образом, для решения неравенства надо выбирать только такие значения х, которые принадлежат его области определения. 1) Если л: - 1 < о, т.е. х < 1, то из этого промежутка области определения неравенства (10) удовлетворяют только числа х< — (рис. 31). ^ ,\\\\\\У ^^ '////////, _1 1 2 Рис. 30 Рис. 31 2) Если л: -1 > о, т.е. л: > 1, то, возводя обе части неравенства (10) в квадрат, получаем 2л:^ - 5л: - 3 > л:^ - 2л: + 1, откуда л:^ - Зл: - 4 > 0. Так как корнями уравнения л:^ - Зл: - 4 = 0 являются числа л:^ = -1, х^ = 4, то неравенство л:^ - Зл: - 4 > 0 выполняется при х^ < -1, Х2 > 4. Из этих двух промежутков области определения неравенства и условию х> 1 удовлетворяют только числа л: >4 (рис. 32). Ответ. л:<--, л:>4. А 2 3 4 Рис. 32 85 Задача 10*. Решить относительно х неравенство у]2ах-х^ >а-х, (11) если а > 0. А Найдем область определения этого неравенства, т.е. решим неравенство 2ах - х^>0. Так как корнями уравнения 2ах - х^ = 0 являются числа JCj = о, JCg = 2а и а > о, то областью определения неравенства (11) является промежуток О < jc < 2а. 1) Если а - X <0у т.е. jc > а, то из этого промежутка области определения неравенства (11) удовлетворяют только числа а < х<2а. 2) Если а - х> Оу т.е. х < а, то, возводя обе части неравенства (11) в квадрат, получаем 2ах - х^ > (а- х)^, откуда 2ах - х^ > а^- 2ах + х^, 2х^ - 4:ах-\-а^<0. Так как корнями уравнения 2х^ - 4ах + а^ = О являются числа X. = -(2-л/2), лгр = -(2+л/2) и а > О, то неравенство 2х^ - 4ал: + а^ < О 2 2 выполняется при — (2->/2)<л:<—(2+л/2). Из этих значений надо 2 2 выбрать те, которые принадлежат области определения, т.е. промежутку О < JC < 2а и удовлетворяют условию х<а, т.е. из промежутка О < JC < а (рис. 33). 2 — л/2 2 + >/2 Так как 0<-------<1,----->1, то из рисунка 33 видно, что 2 2 в этом случае решениями неравенства (11) являются числа -(2-72)<л;<а. 2 Объединяя оба случая, получаем -(2-^I2)0, 3)jjc^-l>0, |д: + 1>0; [л:>2; 2) j3-x<2, 4)|9-хЧ0, |2л: + 1<4; [л: + 5<0. Решить неравенство (245—250). 2) у[х<3; 5) ТЗх > 1; 2) Vx-2<1; 245. 1) Vx>2; 4) ^<3; 246. 1) V^>3; 4) л/4-х>3; 3) 4x>V, 6) V^<2. 3) y/3-x<5; 7) V3x-5<5; 5) V2x-3 > 4; 8) л/4л:+5<-. 2 6) -J 3 247. 1) у1х^-1>1; 4) yl25-x^ <4; 7) yll-x+:^ 3 2) <1; 5) /X - 8x > 3; 3) V257^>4; 6) у1зх^-26х-1 > 2V2; 8) yJx^-3x-4<-2. 248. 1) yj2x^ + 3x-2>0; 2) ^2 + x-x^ >-l; 3) у]бх-х^ <^/5; 4) 4x^-X >л/2; 249. 1) Vx + 2>V4-x; 2) y/3+2x > \lx+l; 3) \/2x-5 <л/5х+4; 4) л/Здс-2 >л:-2; 250*. 1) 5) yjx^ + 2x>-3-x^; 6) -^4x-x^ >-2-3x^; 7) yJx^-3x + 2<-l-2x^; 8) ^x^-x-2>-l-x^. 5) V5x+ll>x + 3; 6) л/лг+З >x + l; 7) V2x-7 х; 2)у[х<х; Z)^fx>x-2; 4)у[х<х-2. 252. 1)-Jx<2x; 2)\fx>0,5x; 3)yfx>2x-l; 4)л[х>х^. 253*. Решить неравенство: 1) у1х-1 < а; 2) \12ах-х^ >а-х, еслиа<0. Упражнения к главе III 254. Изобразить схематически график функции, указать ее область определения и множество значений: 1)у = х^; 4)г/ = 2) у =7^; 5)у = х-^; 3)у= х^; 6)у = х-К 255. На одном рисунке построить графики функций у = х^ и у = 2^. 3 Сравнить значения этих функций при jc = 0; 0,5; 1; -; 2; 3; 4; 5. 256. Расположить числа в порядке возрастания: 2 1) 0,3^ 0,3^’^; 0,33; 0,33 1415. 2) л/г"; 1,9"; /14" V2j ; - 3) 5-2;5-«*^ 53; - ; V ^ / 2 2 _2 2 4) 0,5’3; 1,з’®; п 3; V2'i. 257. Решить уравнение с помощью графиков: 1)^ = 3*-^ 2)^-2= 258. Найти область определения функции: 1) г/=^/Г^; 3)j/ = (3x2+l)-2; 2) y=(2-x^f; 4) i/=3^"'-"-2. 88 259. Найти функцию, обратную данной, ее область определения и множество значений: 2 1)z/ = 0,5jc + 3; 2)у = X-S 3)z/ = (jc + 2)3; 4)z/ = jc3-l. 260. Изобразить график функции, обратной к функции у = f(x), график которой изображен на рисунке 34, а и б. 261. Выяснить, являются ли равносильными уравнения: 1) и х^ + Зх = 2; 2) \]х^ +3х = 72 и х^ + 3х = 2; 3) 7х-2=73-х ил:-2 = 3-х; 4) 7x718 = 72^ их + 18 = 2-х. 262. Решить уравнение: 1) 73-х = 2; 5) 72х-1 = х-2; 2) 73х + 1 =8; 6) 72-2х = х + 3; 7) 7х^-17=2; 3) 73-4х = 2х; 4) 7бх-1+Зх^ =3х; 263. Решить неравенство: 1) 7х-1 >1; 2) 7Г^<3; 8) 7x417=3. 3) 72-х <х; 4) 73+х > 2х. 89 ПРОВЕРЬ СЕБЯ! 1. Найти область определения функции: l)i/ = 3(x-ir3; 2)1/= ^х^-Зх-4 2. Построить график функции: 1) р = ^д: + 1 ;• - 0^-2 • 2)у = 2х S)y = Для каждой функции указать область определения и значения Ху при которых у >0. 3. Решить уравнение: 1) ^х-3 = 5; 2) \1з-х-х^ =х. 4. Решить неравенство: 1) л/2л: + 1<1; 2) у14х^-1<х. 264. На одном рисунке изобразить схематически графики функций: 1) 1/= 7?, i/ = xVx, 1/ = х1’^; 2) у=^, у = 1/ = х“’1; Z)y = x у = х у = х 4)у= х'^, у = х^,у= х'^. 265. Являются ли заданные функции взаимно обратными: ^ 10-3JC 4л: + 10 1) г/=—т- и г/=— JC-4 JC + 3 ^ 3jc - 6 6 - JC 2) z/=--- и z/=-----; 3JC-1 ^ 3-3jc’ 3) I/ = 5(1 - x)■^ и р = (5 - х) • x"^; .. 2-х 2(х-1)„ 4) 1/=^ и г/=-^-----Ч 266. Найти функцию, обратную данной, ее область определения и множество значений: 1) j/ = 2+ л/х+2 ; 3) 1/= V3-X -1; 2) j/ = 2-V^; 4)1/=7Г^+3. Решить уравнение (267—268). 267. 1) Vx-4 = Vx-3-V2x-l; 3) Vx-3 = л/2х+1 -Vx + 4; 2) 2л/х + 3-л/2х + 7 = Vx; 4) V9-2x = 2\/4-х-Vl-л:. 90 268*. 1) л/х+4-3^х + 4 + 2 = 0; 2) sJx-3 = 3^x-Z + 4; 3) = 4) + Зд: + +Зх = 2. Решить неравенство (269—270). 269. 1) у1х + 1<х-1; 3) 73х-2>х-2; 2) 71 -JC >л: + 1; 4)72^<х + 1. х^-13х+40 270*. 1) <0; 2) ^2х^+7х-4 ^ 1 719x-x2-78 ■’ ' ^ + 4 2 271*. При различных значениях а решить неравенство: 1) у1х-2 + у/х-6 <а; 2) 2л: + yja^ -х^ > 0. Историческая справка Учение о степенных функциях развивалось параллельно с расширением понятия степени (начиная со степеней с натуральными показателями и заканчивая понятием степени с любым действительным показателем). Так, равенством а^=1 (где а^О) пользовался в начале XV в. самаркандский ученый ал-Каши. В XV же веке французский математик Н, Шюке ввел понятие отрицательного показателя степени. Идея введения дробных показателей встречается еще в XIV в. в работах французского ученого Н. Оремау где в словесной формулировке он описал правила действий со степенями. Современную символику степеней с нулевым, отрицательным и дробным показателями начал использовать английский математик Д. Валлис (1616—1703), а общепринятой эта символика стала после употребления ее И. Ньютоном (1643—1727) в своих работах. В начале XVII в., в результате открытия метода координат и аналитической геометрии, появились графический метод исследования функций и графический способ решения уравнений. Ньютон называл все кривые, задаваемые функцией у = ах-\- Ьх^ + сх^ + ... + рх^у параболическими кривыми у хотя традиционно все же этим термином называют графики функций у = СХ^у где с — положительное действительное число, т — положительное рациональное число. Если m < 0, то графики функций у = сх^ называют гиперболическими кривыми. 91 ГЛАВА IV ) { ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ § 14. Логарифмы Задача!. Найти положительный корень уравнения дг"* = 81. А По определению арифметического корня имеем х= ^ =3. А Задача 2. Решить уравнение 3^=81. А Запишем данное уравнение так: 3^= 3^, откуда jc = 4. А В задаче 1 неизвестным является только основание степени, а в задаче 2 — показатель степени. Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение 3^ = 80 таким способом решить не удается. Однако вы знаете, что это уравнение имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводится понятие логарифма числа. В § 5 было сказано, что уравнение а^ = где а>0,аФ\,Ь>0, имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом числа Ь по основанию а и обозначают log^ Ь. Например, корнем уравнения 3^ = 81 является число 4, т.е. logg 81 = 4. Логарифмом положительного числа Ь по основанию а, где а>0у а^1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить Ь. Например, logg 8 = 3, так как 2^ = 8; logg ^ =-2, так как 3"^= log^ 7 = 1, так как 7^ = 7, log^ 1=0, так как 4^ = 1. Определение логарифма можно кратко записать так: а loga ^ _ =ъ. Это равенство справедливо при Ь > 0, а > 0, а Ф 1. Его обычно называют основным логарифмическим тождеством. 4 Например, 4^^ ^ = 5; С помощью основного логарифмического тождества можно показать, например, что х = logg 80 является корнем уравнения 3^ = 80. В самом деле, 3^°^^®^=80. 92 3 а д а ч а 3. Вычислить log^^ 128. А Обозначим logg^ 128 = х. По определению логарифма 64^ = 128. Так как 64 = 2®, 128 = 2^, то 2®^ = 2^, откуда 6х= 7, х = ^ . о 7 Ответ. logg4 128= - . А 3 а д а ч а 4. Вычислить 3"^ ^ . А Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим 0-2 log3 5 _ /Qlog3 5 \-2 _ к-2 _ ^ ^ ^ 25‘ 3 а д а ч а 5. Решить уравнение logg (1 - х) = 2. А По определению логарифма 3^ = 1 - л:, откуда х = - 8. А х-1 3 а д а ч а 6. При каких значениях х существует logg 2Г^ ^ А Так как основание логарифма 5>0 и5:?5:1,то данный лога- х-1 рифм существует только тогда, когда ^ 0. Решая это неравенство, находим 1 < х < 2. А Упражнения Найти log^ X, исходя из равенства х = а^ (272-273). 272. 1) л: = 27, а = 3, г/ = 3; 3) x = 9, a= y = -2; 2) л: = 625, а = 5, у = 4; .4^1 1 4)д: = 2, a= y = -~. 273. 1)х = 4, а=16, у= 3)x=7, a^7, y=l; 2)х = 9, а = 27, г/= |; 4) x= 1, a = 16, y = 0. Проверить справедливость равенства (274—276). 274. l)logi5 225 = 2; 2)log4 256 = 4; 4)1»г,5^-=-з. 275. 1) logi 64 = -3; 4 3)log.i=3; 2) logi 81 =-4; 3 4) log. ^=6. i 64 93 276. l)logiil = 0; 3) log.g 64 — ; 2)log7 7=l; 4)log2,9=-. 277. Найти логарифмы чисел по основанию 3: 3;9; 27; 81; 1; 1.1. 1.3/^ 3 ’ 9 ’ 243 ’ ’ 3V3 ’ • Вычислить (278-285). 278. 1) logg 16; 2) logg 64; 3) logg 2; 4) logg 1; 5) logg 6) logg ~. 279. 1) logg 27; 2) logg 81; 3) logg 3; 4) logg 1; 5) logg 6) logg i . 280. 1) logi 4; 2) logi 4; 2 3) ^®So,5 0Д25; 4)logo.5^ 5)iogo,5 1; 6) logi ^. 2 281. 1) logg 625; 2) logg 216; 3)log4]^; 4) logg 282. 1) logi 125; 5 2) logi 27; 3 3)logi^; 4) logi 36. 4 64 6 283. 1) 2) 5'°^516. /1\logl6 3)10iogio2; 4)J_J 5 284. 1) /j>61ogi 2 2) Ы ^ 3) 0,3®'°®“-®®; 4)7®’°^'^. 285. 1) 8*°«2 5. 2) 9*°®® ; 3)16'°®“^; 4) 0,125'°®“’® ^ 286. Решить уравнение: 1) logg X = 3; 2) logg X = 4; 3) logg (5 - x) = 3; 4)log3(x + 2) = 3; 5)logi[^x-^j=-2; 6)logi (0,5 + x) = -l. 287. Выяснить, при каких значениях х существует логарифм: 2) logo 2 3) logg ^ • 1-2х 1) logi (4-х); 2 4) logg 6) logo 7 (-2л:®). ^ X 4 94 Вычислить (288- -294). 288. 1) logg 72 ; 289. l)loggg64; 2)logg7 243; 3)loggi27; ^®Sl28 290. 3) log 1 2575 ; 4) log , б7^ . 291. 1) logio (0,01); 3)logio(lo7i00); 2) logjo ; 1000 4)logio(1007i0). 292. 1) (0,l)-'°«>o‘’-2; 2) 10-*'«io4. 3) 5-iog5 3. /]^\-1обб4 (б) • 293. 1) (If"" «(■: ц-51о^2 3 i) ’ -4 logi 5 4) 27 » ; 5) 103-Iogio5; gj |^\l+2logi 3 r) ' • 294. 1) logg logg 81; 4) 1 logg logg 8; 2) logg logg 8; 5) log^ logjg 256 + log^ л/2 ; 3) 21og27 logjo (1000); 295. Решить уравнение: 6) 31og, log. 16 + logi 2. 1) log, 27 = 3; 2) log, f = -1; 3) log, Vs = |; 4) log, 7s = -4; 5) log, (Vsf = ^ ; 6) log, 8 = -0,6. Выяснить, при каких значениях х существует логарифм (296-298). 3) logg (2-х- д:^); 4) logg {х^ - Зх + 2). 4) logi (6 X - 10 - х2); 296. 1) logg (49 - х2); 2)log^ (х^ + х- 6); 297. l)log9(x2 + 4x +4); 4 2) 1О&0.5 + 5) logi (^2 + 4); 3) logg (6x - x2 - 9); 6) log„ (2x2 - x + 10). 95 Y 2___jc 2jc+4 4__2C 298. 1) logo 5 2x-l ’ Sx ’ ^_з ’ Решить уравнение (299—303). 299. 1) log^ (2x - 1) = 4; 2) log^ (Зд: - 4) = 6. 300. 1)2* = 5; 2) (1,2)* = 4; 3)3^*= 10; 4)23* = 3. 3)(1,3)3*-2=3; v5f4t Гз) -1’^- 5) 25*+2 5*-15 = 0; 301. 1) 42^+3 ^5; 2) 71-2*=2; 302. 1)72*+7*-12 = 0; 2) 9* - 3* - 12 = 0; «(If 7) 9*^‘-3*+i-9 = -8; 8) 64*-8*^1 = -15. 3) 16*-4*+i-i4 = 0; 4) 8*^1 - 82*-i = 30; 303*. 1) (3* + 2 *) (3*+ 3 2*) = 8 6*; 2) (3 5* + 2,5 3*) (2 3* - 2 5*) = 8 15*. 304*. Выяснить, при каких значениях х имеют смысл выражения: 3)log, (3f+l) х-2\; 1) log^(2x-l); 2) log^.i (X + 1); 4) log|^^21 (1" ^)-305**. Найти все значения a, при которых уравнение 9^+9а(1-а) 3^-2-аЗ = 0 имеет корни, и решить это уравнение. § 15. Свойства логарифмов При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются разные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них. Пусть а>0, а Ь> 0, с>0,г — любое действительное число. Тогда справедливы формулы: (1) (2) (3) 96 о По основному логарифмическому тождеству (4) (5) 1. Перемножая равенства (4) и (5), получаем откуда по определению логарифма log^ Ь + log^ с = log^ (be). Формула (1) доказана. 2. Разделив равенства (4) и (5), получим \ogab-\ogaC _ Ь и — , С откуда по определению логарифма следует формула (2). 3. Возводя основное логарифмическое тождество ^ = Ь в степень с показателем г, получаем откуда по определению логарифма следует формула (3). • Приведем примеры применения формул (1) — (3): 1) logg 18 -н logg 2 = logg 36 = 2; 2) logi2 48 - logi2 4 = logi212 = 1; log34^^ log34 logs 4^ q ^ Задача 1. Вычислить logg 7з “ ^ A Применяя формулы (1) — (3), находим 1 7з 50 logg л/з - 2 12 + logg 50 = logg ^ = logg 25 = 2. А 3 а д а ч а 2. Доказать, что если а > 0, а Ф1у Ь > 0, р 0, то log^p А Пусть log^p Ь = X, тогда по определению логарифма Ъ = а log^ & = log^ аР^ , по свойству (3) log^ = рл: log^ а = рл:, следова- тельно, log^ Ь=р- log^p Ь или log^p Ь=— log^ Ь. А 4—Ю. М. Колягин, 10 кл. 97 Упражнения Вычислить (306—310). 306. 1) logg 16 + logg 4; 2) logg 8 + logg 27 ; 307. l)log2l5-log2^; 2) logg 75 - logg 3; 308. 1) logjg ^/l69 ; 3) logi2 2 + logj2 72 ; 3 4) logg 6 + logg -. 3)logi 54 - logi 2; 3 ^8- 4) logg - logg 32. 3) log, ЦШ ; 3 4) log. 2) logji ^/l21; 309. 1)logg 12-logg 15 +logg 20; 2) logg 15 + logg 18 - logglO; 3) I log^ 36 - log^ 14 - 31og7 Ш ; 4) 2 logi 6 - ^ logi 400 + 3 log, ^45 ; 5) 4lc«i 3- I lc«i 27-2logi 6; 2^2 2 6) I lOgjg 0,001 + lOgjg ЩШ - I lOgjg у/ЮООО 310. 1) ; logs 16’ 2) logs 27 . 3) 4) logs 36-logs 12 . logs 9 logj 8 logs 9 logy 15-logy 30 ’ 311. Найти X no данному его логарифму (о > 0, 5 > 0): 1) logg X = 41ogg a + 7 logg b; 2) logg X - 21ogg a - 31ogg b; 2 1 3) log, A: = -logi a--logi b; 2 3 2 5 2 4) logs x = j logs a +1 log2 b. 3^3*3 312. Выразить logg x через logg a, logg b, logg c, где a > 0, ft > 0, c> 0: & 1) X = 4c ; a* 4b 2) x=^-. 3)x = 4)x= s 4? ’ 4^' 98 Вычислить (313—315). 313. 1) logg 24--log2 72 logs 18--logs 72 О 2) logy 14 - - logy 56 ________3_______ Ioge30--logel50 2 3) 4) logj 4 + logj \/l0 logj 20 + 3 logj 2 ’ 3 logy 2 - - logy 64 41og5 2 + ilog5 27 О 314. 1) Зб‘°вб5 + 1о1-1‘«1о2_81<«2 3. 2) 814 2*°^®^+25‘°®125 8 ,49lOg7 2; 3) I6l+l0g45 + 4ll‘«23^3l0g85^ 4) 72 ^4gilog7 9-log7 6^^_log^4 315. 1)1оЕзб2- -logi 3; 6 2) 21og25 30 + logo 2 3) log^ 7 + logg 25 + loggj 16 - logg 1470; 4) logo.oi 0.64 + logjog 0Д6 + log^ . 316. Выразить данный логарифм через логарифм с основанием 2: 1) log^ 7; 2) logi 5; 3) log^ 15; 4) logg 0,1. 2 317. Доказать, что при а > Оу а ^ 1, х > 0, р ^ 0 справедлива формула log^p = log„ X , 318. Вычислить: log 1 8 21og2 3 _ 04 Mog4 9 ’ ^ -31og,2' 3) logj^7 tofe49’ -31og2 17 4)------^— Iogo.25l7 319. Выразить через a и 5: 1) log^ 50, если logg 15 = a, logg 10 = b; 2) log^ 1250, если logg 5 = a. 4* 99 320. Доказать, что при а > 0, а ^ 1, 9*^ 0, JCg 0 справедливы формулы: 1) log„ I XjXg I = log„ I Xj I + log^ 1 ^21; 2)log„ = log^Uil + logJ^al. 321. Решить уравнение: 1) log^ 9+ log^ 4 = 2; 2) log^ 16 - log^ 7 = 2; 3) log^ 5 + log^ 64 = 3; 4) 2 log^ 7 - |log^2 16 + ilog^ 64 = 2; 5) logi 5 + log_L 12+1 log^ 3 = 1; X ^2 6) I log^ 7 - logj^ 3 - log^ 28 = 1. yfx § 16. Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы {таблицы логарифмов). Логарифмы также вычисляют с помощью микрокалькулятора. И в том и в другом случае находятся только десятичные или натуральные логарифмы. Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут Ig Ь вместо logj^ Ь, Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию е, где е — иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут In Ь вместо log^ Ь, Иррациональное число е играет важную роль в математике и ее приложениях. Число е можно представить как сумму .-1 111 1 1-f —-Н-—^-Н -—+ + з-------- 1 1 2 1 2 3 1 2 3 ... п -н... . Вычисление числа е на микрокалькуляторе проводится по программе 1Ш 2,7182818. 100 Отметим, что в записи числа е ~ 2,718281828 после первого десятичного знака 7 два раза подряд записан год рождения Л.Н. Толстого. Вычисления на микрокалькуляторе Ig Ь и In Ь проводятся соответственно по программам (если на МК есть специальные клавиши F, Ig и In): &[f1 @ и ьШШ Например, вычисляя Ig 13, получаем 13 ® @ 1,1139433; ВЫЧИСЛЯЯ In 13, получаем 13 d [Ы] 2,5649493. Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию. Для этого используется формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию log.(.= !2bl, log, а (1) где&>0, а>0 а О О, с Докажем справедливость формулы (1). О* Запишем основное логарифмическое тождество а’”®"*" = Ъ. Возьмем от обеих его частей логарифмы по основанию с log, =log, Ъ. Используя свойство логарифма степени, получаем log, Ь _ log^fe log а =log 6, откуда log„& = log, а Из формулы (1) при с = 10 и с = е получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам 1 ь iiS- 1 и log^ Ь = Z— . In а Из той же формулы (1) следует формула 1 log„b = log» а (2) (3) 101 Задача!.с помощью микрокалькулятора МК-54 вычислить logg 80. А 1) С помощью десятичных логарифмов 80 3 0 3,9886927. 2) С помощью натуральных логарифмов 80 [F][ln] 3 [F|[ln] 0 3,9886928. Ответ, logg 80 = 3,99. А Формула перехода от одного основания логарифма к другому используется иногда при решении уравнений. 3 а д а ч а 2. Решить уравнение logg х + log^ ^ = 2 • А По формуле перехода loff д;= log^" 2 • Поэтому уравнение примет вид logg ^ 2 ^^^2 ^ ~ 2 ’ \og^x=l,x = 2. А 3 а д а ч а 3. Решить уравнение logg х-\-2 log^ 3 = 3. А По формуле (3) имеем log 3 = lOggX Уравнение примет вид logg л: + log^x = 3 или (logg х)^ - 31ogg JC + 2 = 0. Решая это квадрат- ное уравнение относительно logg х, получаем: 1) logg х = 1, х^ = S; 2) logg JC = 2, JCg = 9. Ответ. JCj = 3, JCg = 9. А 3 а д а ч а 4. Двухпроцентный вклад в Сбербанк, равный а руб., через п лет становится равным а(1,02)'*, а трехпроцентный вклад становится равным а(1,03)'*. Через сколько лет каждый из вкладов удвоится? А 1) Для первого вклада 2а = а (1,02)'*, откуда (1,02)'* = 2, п = logj Qg 2. Вычисления проведем на МК-54: 2 [Ц[^ 1,02 [1[Ш1 0 35,002788. 2) Для второго вклада п = logj Qg 2, и программа вьгаислений такова: 2 шиз 1,03 [ЦЦп! 0 23,449772. Ответ. По первому вкладу приблизительно через 35 лет, а по второму — через 23,5 года. А 102 322. I)lg23; Упражнения Вычислить с помощью микрокалькулятора (322—323). 2)lg7; 3)lg0,37; 4)lg|. 323. 1) In 81; 2) In 2; 3) In 0,17; 4)ln®. 324. Выразить данный логарифм через десятичный и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01: l)log7 25; 2) logs 8; 3)logg0,75; 1,13. 325. Выразить данный логарифм через натуральный и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01: 1) log^ 5; 2) logg 15; 3) logg ^ 9; 4) logj j 0,23. 326. Выразить данный логарифм через логарифм с основанием 7: l)logs3; 2)lg6; 3) logg 7; 1 4) log 5 3> 5)lg 7; 6) log, 7. 327. Дано: Ig 2 = 0,301; Ig 5 = 0,699; Ig 3 = 0,477. Вычислить приближенно: 1) logg 2; 2) logg 3; 3) logg л/б; 6) logg Vm -t- logg 27. 4) logg 0,25; 328. Вычислить: lg625 1) ; 5) logg 25-I-logg 0,5; 2) logi (logg 4 logg 3). Решить уравнение (329—330). 329. 1) logg X = 21ogg 3 -I- 41oggg 2; 2) logg X = 91ogg7 8 - 31ogg 4; 3) log2ar-21c^i x = 9; 2 330. 1) logg Af-I-logg jc-I-loggia: = n 12 2) logs лг-1-log^ Jc-i-logi дг=6; 3 4) loggAC^log^ AC = 3; 5) logg X + logg x = 8; 6) log^ X - logjg AC = i. 3) logg X logg X = 4 logg 2; 4) logg X logg X = 9 logg 3. 331. Дано: logg 17 = m. Найти: logg 51; logg^ 17; logg^ 51; 21ogg 153. 332. Дано: log^ 2-m. Найти: log^g 28. 333. Дано: Ig 3 = /n, Ig 5 = л. Найти: logjg 30. 334. Дано: logg 2 = m. Найти: logg^ 72. 335. Дано: loggg 8 = m. Найти: loggg 9. 336. Дано: log^ 125 = m. Найти: logjg 64. 103 337. Вычислить: j log3 216 logs 24 _ logs 3 log72 3 2) log2192 _ log2 24 logge 2 logi2 2 338. Выразить число с через аиЬ, если: 1) с = loggoo 600; а = logg 3, ft = logg 2; 2) с = logggg 140; а = logg 2, ft = log^ 5. Решить уравнение (339—340). 339. 1) log! л: - 9 logg д: = 4; 3) logf д: +5 logg д: - 1,5 = 0; 2) logf д: - 15 logg^ д: + 6 = 0; 4) 16 lo^g д: + 3 log^ д: - 1 = 0. 340. 1) logg X + 61og^ 2 = 5; 3) log^ x - 51og^ 3 = 9; 2) logg X - 31og^ 5 = 2; 4) 21og^ 3 - log^ д: = 5. 341*. Вычислить (не используя микрокалькулятор): logs 2 I log4 3 ■ Mogs6 log, 6’ 04 21og2 3 _ 2) log7 2+- lg7; 4) log27 ^ logs 4 logs? 342. Найти: 1) logf, (я^ 5), если log^ ft = 3; 2) log^ (ft^ a), если logg a = 9. 343**. Число жителей города-новостройки увеличивается ежегодно на 8%. Через сколько лет их число удвоится? 344**. При одном качании поршневого насоса из сосуда удаляется 1,2% имеющегося в нем воздуха. Через сколько качаний на- соса в сосуде останется часть первоначальной массы воздуха? 345**. Вычислить на микрокалькуляторе приближенное значение числа е по формуле о 1 1 1 2+ —+ —- 2 2 3 2 3 4 +... + - 2 3 4 ... п при: 1) 71= 7; 2) л = 8; 3)л = 9; 4) л =10. 346*. Известно, что при больших положительных значениях п чис- ло е можно приближенно находить по формуле е п Вычислить по этой формуле на микрокалькуляторе приближенное значение числа е при: 1) л = 100 000; 2) л = 1 000 000. 104 § 17. Логарифмическая функция, ее свойства и график Вы знаете, что выражение log^ х определено при а>0,а^1,х>0. Пусть задано основание логарифма а > 0, а ^ 1, Тогда каждому JC > О соответствует число у = log^ х. Тем самым задана функция у = log^ л:. I Функцию у = log^ X, где а>0,а^1, называют логарифмической. Логарифмическая функция обладает следующими свойствами: Свойство 1. Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел у так как логарифм определен только для положительных чисел. Свойство 2. Множество значений логарифмической функции — множество R всех действительных чисел. О Пусть задано у е R. Тогда функция log^ х принимает значение у при X = аУу так как log^ а^ = у. Таким образом, любое действительное число у принадлежит множеству значений логарифмической функции. • Задача 1. Построить график функции y = \og^x. А Составим таблицу ее значений: X 1 9 1 3 1 3 9 27 у = logj д: -2 -1 0 1 2 3 Построим найденные точки и проведем через них кривую, учитывая, что функция у = logg X определена при л: > О (рис. 35). А Задача 2. Построить график функции у ■ А Составим таблицу ее значений: у' 3- У=1о£зДГ 1- • 1 1 1 1 1 1 ^ 0_ -2- л 3 9 X Рис. 35 logi дс. 3 X 1 9 1 3 1 3 9 27 у = logi X 3 2 1 0 -1 -2 -3 Построим найденные точки и проведем через них кривую, учитывая, что функция у = logi X определена при jc> О (рис. 36). А ^ У 3- 1- 1 1 \1 3 9 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 ^ 0. -2- V'=log |Л- 3 Рис. 36 105 Свойство 3. Логарифмическая функция у = log^ х является возрастающей, если а > 1, и убывающейу если О < а < 1. О Докажем, что при а > 1 функция у = log^ х является возрастающей. Рассмотрим любые два числа из области определения данной функции, т.е. JCj > О, JCg > 0. Пусть jCj < JCg. Требуется доказать, что log^ х^ < log^ ^2* По основному логарифмическому тождеству _ Joga XI Xi=a Х2=а Joga Xi Joga X2 По условию JCj < JCg, поэтому a < a“ Из этого неравенства и из свойств степени с действительным показателем и основанием а > 1 следует требуемое неравенство log^ ^1 ^2- Аналогично доказывается, что при 0 < а < 1 функ- ция у = log^ X является убывающей. • Свойство 4. Если а > 1, то функция у = log^ х принимает положительные значения при jc > 1, отрицательные — при о < JC < 1. Если о < а < 1, то функция у = log^ х принимает положительные значения при 0 < jc < 1, отрицательные — при х> Это следует из того, что функция у = log^ х принимает значение, равное нулю, при jc = 1 и является возрастающей на промежутке jc> о, если а > 1, и убывающей, если 0 < а < 1 . Из рассмотренных свойств логарифмической функции у = log^ х следует, что ее график расположен правее оси Оу и имеет вид, указанный на рисунке 37, если а > 1, и на рисунке 38, если 0 < а < 1. Отметим еще раз, что график любой логарифмической функции у = log^ X проходит через точку (1; 0). Рис. 38 106 Свойство 5. Логарифмическая функция у = log^ х и показательная функция у = а^, где а > Оу а Ф 1у взаимно обратны (рис. 39 а, б), О Из формулы у = выразим х через у. По определению логарифма у = log^ у. Меняя местами jc и у, получаем у = log^ х. • Так как функции у = log^ х vl у = а^ взаимно обратны, то свойства любой из них можно установить, зная свойства другой. Например, множеством значений функции у = а^ является множество у > О, поэтому областью определения функции у = log^ х является множество jc> 0; функция у = а^ возрастает, если а > 1, поэтому функция у = log^ X также возрастает, если а > 1. 3 а д а ч а 3. Сравнить числа: 1) logg 3 и logs 2) logi 3 и logi 5; 3) logg 5 и logg 3. 2 2 А 1) Так как 5 > 1, то функция у = log^ х возрастает и поэтому logs 3< logs 6- 2) Так как 0< - < 1, то функция у = logi х убывает и поэтому logi 3 > logi 5. ^ 2 2 3) Заметим, что logg 5 > 1, так как logg 3 = 1 и функция у = = logg X возрастает. Аналогично logg 3 < 1, так как logg 5 = 1 и функция у = logg X возрастает. Поэтому logg 5 > 10gg3. А 3 а д а ч а 4. Сравнить числа а и б, если; l)a = 71ogs2, 6 = 3; 2)a=|log4 65, 6 = logsll. А 1) а = logs = logsl28, 6 = 3 = logg 125, a > 6. 107 2)a=-log465; 2a = log465; 6 = log5ll; 26 = 21og5ll = log5l21; log^eS > log464 = 3; log5l21 < loggl25 = 3. Таким образом, 2a = log^65>3, 26 = log5l21 < 3, слбдоватбльно, л > &. ^ Задача 5*. Построить график функции: 1) у = logg(a: + 2); 2) у = 2+ logi х. 3 А 1) График функции у = logg(jc + 2) получается сдвигом графика функции у = logg X влево вдоль оси Ох на 2 единицы, так как эти функции принимают одинаковые значения, если аргумент первой из них на 2 единицы меньше соответствующего аргумента второй, т.е. logg(jCQ + 2) = logg JCj, если х^-\- 2 = х^ или х^ = х^ - 2 (рис. 40, а). 2) График функции у = 2+ logi х получается сдвигом графика - 3 функции у = logi ^ вверх вдоль оси Оу на 2 единицы, так как при 3 одном и том же значении х значение первой функции на 2 больше значения второй функции (рис. 40, б). А Упражнения 347. Построить график функции: 1)у = logg Х-, 2)1/= logi X. 2 Какие из данных функций являются возрастающими? убывающими? При каких значениях х каждая функция принимает положительные значения? отрицательные значения? значения, равные нулю? 108 348. По графику функции у = logg х найти приближенно: loggS; log2 0,3; logg 5; loggO,?. 349. Изобразить схематически график функции: 1) у = log^ Х-, 3) I/ = logo 4 2) 1/ = log„ лг; 350. Сравнить числа: 4) I/ = logi д:. 3 l)log3 ® и logg|; 2) logi 9 и logi 17; 3 3 3) logi е и logi л; 2 2 .,1 V5 1 V3 4) logg ^ и logg . 351. Выяснить, является ли положительным или отрицательным число: 1) logg 4,5; 2) logg 0,45; 3) log^ 25,3; 4) log^ ^ 9,6. 352. Сравнить с единицей число jc, если: 1) logg л: = -0,3; 3) Ig л: = 0,2; 2) logi лг= 1,7; 4)log2дг= 1,3. 3 353. Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция: 1)1/ = logo.075 ^5 2) J/ = log^ дг; 2 354. Решить графически неравенство: 1) logg д: > 3; 2) logg д: < 1; 3)^/ = lgд:; 4)z/ = lnx. 3) logi х<2; 4) logi 1; 2 6) logi х<-2. 2 5) logg дс > -1; 355. Найти область определения функции: 1) у = logg (х-2); S) у = logg (х^ - Зх); 2) 1/ = logo g (2 + *); “1) 1/ = ~ 356. Доказать, что: 1) функция у = logg (х^ - 1) возрастает на промежутке х> 1; 2) функция у = logi {х^ - 1) убывает на промежутке дг > 1. 2 357. Сравнить числа а и Ь, если: 1) а = logg 6 + logg 5, fe = 2; 3) а = 21ogg 7, fe = 1 + 21ogg 5; 2) a = logg 36, b = loggg 288; 4) a = logg 5, b = logg 3. 109 358. Сравнить значения выражений: l)i+lg3 Hlgl9-lg2; 3)3(lg7-lg5)H 2[^ilg9-|lg8j; 4) Ig (lg4) и Ig; lg5+lgV7 ,„5+л/7 ----2----”'8—■ 359. Сравнить числа a и fe, если: 1) а = 5‘°®Чл/7, 2) а = + & = 6^°®5 3 + 7^’°®"^ 360. Построить график функции: 1) 1/ = bgg (X - 1); 4) у = logi (X - 1); 2) У= logi (х + 1); 3 3) у = 1 + logg х; 5) у= l + logg(x-l); 6) y=logi (х + 1)-1. 3 361. Найти область определения функции: 5) i/ = logo,3 (14х-х2|); 6) i/ = log7(2x2-7|x| + 3); 1) у = logg (х^ - Зх - 4); 2) i/=log^ (-х2 + 5х + 6); -4 3) l/ = logo 7 4) !/=log.^; 7) i/ = logJ3*-3); 8) j/ = logg(2*-i-4). 362*. Решить графически уравнение: 1) logg х = -х + 1; 5)lgx=Vx; 6) Ig X = 2“*; 2) logi X = 2х - 5; 2 3) logi X = 4х^; 2 4) logg X = 2 - i х2; 7) logg (x-2)=-; 8) logi (l-x) = 2^ 363*. Построить график функции: 1) l/ = |log3^:|; 4)j/ = |l-loggX|; 2) y = logg|x|; 3) I/ = logg I 3 - XI; 6)y= 3‘°«® . 364*. Показать, что графики функций у = log2 х и у = logi ^ симметричны относительно оси абсцисс. ^ 110 365*. Найти область определения функции: 1) у = logg I 3 - Af I - logg I AC® - 81; 2) i/ = logo 3 Vac + 1 +logo 4(l-8ac3). § 18. Логарифмические уравнения При решении логарифмических уравнений часто используется следующая теорема. Теорема. Если log^ = log^ JCg, где а > О, а 1, > О, ЛС2 > О, то = JCg. О Предположим, что Ф х^. Если а > 1, то из неравенства jCj < JCg следует, что log^ х^ < log^ JCg; если О < а < 1, то из неравенства JCj < JCg следует, что log^ х^ > log^ JCg. В обоих случаях имеем противоречие с условием log^ х^ = log^ JCg. Следовательно, = JCg. • Задача!. Решить уравнение log^ (3jc - 2) = log^ 7. А Используя доказанную теорему, получаем 3jc - 2 = 7, откуда Зх = 9у x = S. А 3 а д а ч а 2. Решить уравнение JC+9 Ig JC+1 Igx. А Следствием уравнения (1) является уравнение х + 9 х+1 = х. (1) (2) Умножая это уравнение на jc -н 1, получаем х + 9 = х(х-^ 1), (3) которое является следствием уравнений (1) и (2). Решая уравнение (3), находим X + 9 = х^+ Ху х^=9, откуда х^ = Зу х^ = “3. Проверка показывает, что корнем исходного уравнения (1) является только jCj = 3. Ответ. jc = 3. А При решении логарифмических уравнений также часто переходят от уравнения log^ f(x) = b к уравнению f{x) = а^, где а> Оу аф1. Теорема. Пусть а> Оу аФ1, Пусть дана функция у = f{x) и действительное число Ъ. Тогда уравнение log^ f{x) = b (4) и уравнение Кх) = а» (5) равносильны. 111 о Докажем, что каждый корень уравнения (4) является корнем уравнения (5) и, наоборот, каждый корень уравнения (5) — корень уравнения (4). 1) Пусть Xq — некоторый корень уравнения (4), т.е. fix^) > О и равенство log^ ~ ^ верное. Тогда по определению логарифма верно равенство fix^) = а^, т.е. х^ — корень уравнения (5). 2) Пусть Xq — некоторый корень уравнения (5), т.е. верно ра- венство /(jCq) = а^. Так как а > 0, а Ф 1, то fix^) > О и по определению логарифма верно равенство log^ — корень урав- нения (4). • 3 а д а ч а 3. Решить уравнение logg (х^ + jc + 3) = 2. А Исходное уравнение равносильно уравнению + jc + 3 = 3^, откуда х^ X - 6 = 0. Решая это квадратное уравнение, находим корни х^ = 2, JCg = -3. Ответ: х^ = 2, X2 = S. А Рассмотрим часто используемые преобразования логарифмического уравнения, которые заменяют данное уравнение его следствием. 1. Если в уравнении сумму логарифмов двух выражений заменить логарифмом их произведения, то полученное уравнение будет следствием данного. Поясним на примере уравнения log„ Кх) + log^ g(x) = b. (6) О Если Xq — корень уравнения (6), то по определению логарифмов fix^) > О, g(^:o) ^ Поэтому fix^) gix^) > О и выполняется равенство log^ fix^) + log^ = log^ [ fix^) ■ gix^)]. Следовательно, Xq — корень уравнения ^ogjf(x) g(x)] = b, (7) т.е. уравнение (7) — следствие уравнения (6). • Отметим, что уравнение (7) может иметь корень, который не является корнем уравнения (6). Это объясняется тем, что неравенство f(x) • g(x) > О может выполняться не только при f{x) > О, g{x) >0, но и при f{x) < о, g{x) < 0. 3 а д а ч а 4. Решить уравнение logg (l-x) = S- logg(3 - х). А Перенесем логарифм из правой части в левую: logg {1- х)-\- logg (S-x) = 3, откуда logg(l-^:)(3-^:) = 3, {l-x)(S-x) = S. 112 Решая это уравнение, получаем = 5, JCg = -1. Число JCj = 5 не является корнем исходного уравнения, так как при х = 5 левая и правая части уравнения теряют смысл. Проверка показывает, что число х = -1 является корнем исходного уравнения. О т в е т. JC = -1. А 2. Если в уравнении разность логарифмов двух выражений заменить логарифмом их частного, то полученное уравнение будет следствием данного. 3 а д а ч а 5. Решить уравнение log4 (д:^ - д :) - log^ X = log^ 3. (8) А Заменяя разность логарифмов логарифмом частного, получаем уравнение log4 Х^-Х = log4 3, (9) которое является следствием уравнения (8). Уравнение (9) равносильно уравнению х^-х = 3. Решая это уравнение, находим его корни jCj = 2, jCg = -2. Проверкой убеждаемся, что х^ = 2 — корень уравнения (8), а JCg = -2 не является корнем уравнения (8). Ответ. х = 2. А При решении задачи 5 посторонний корень JCg = -2 появился при переходе от уравнения (8) к уравнению (9), т.е. оба уравнения неравносильны. Отметим, что при решении логарифмических уравнений замена логарифма произведения (частного) суммой (разностью) логарифмов может привести к потере корней. Например, уравнение logg (jc + 1) (jc + 3) = 3 имеет два корня х^=1 и jCg = -5, а уравнение logg (jc + 1) + logg (jc -i- 3) = 3 имеет только один корень JCj = 1. При переходе от первого уравнения ко второму теряется корень JCg = -5. Рассмотрим еш;е примеры логарифмических уравнений. 3 а д а ч а 6. Решить уравнение logrjX^ = 4. (10) А По определению логарифма это уравнение равносильно уравнению х^ = 7^, откуда X = ±7^ = ±49. О т в е т. JCj g = ±49. А 113 Отметим, что уравнение (10) нельзя заменять уравнением 21og^ х = 4у так как при этом теряется корень х = -49. Однако уравнение (10) равносильно уравнению 21og^ | jc | = 4, откуда \х\ = 49, X = ±49. Задача?. Решить уравнение log4(2^: - 1) log4 X = 21og4 (2х - 1). (11) А Преобразуем данное уравнение log^ (2х - 1) log^ X - 2\og^ {2х - 1) = о, log^ (2х - 1) (log4 х-2) = 0. Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения нулю, получаем: 1) log^ (2х - 1) = о, откуда 2х-1 = 1,х^ = 1; 2) log^ JC - 2 = о, откуда log^ jc = 2, JCg = 16. Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения. Ответ. JCj = l, JC2 = 16. А Отметим, что если обе части уравнения (11) разделить на выражение log^ (2х - 1), то будет потерян корень х=1. 3 а д а ч а 8*. Найти все значения а, при которых уравнение logg X + log^ X log^ X =1 имеет корни. А Перейдем к основанию 2 , logo л: 1, . Следствиями этого уравнения будут уравнения 1о&2 а logg X + logg лг + ^ logg X logg а = logg а. 3 log2 а +1 • logg X = logg а, logg х' \og2 а+1 = logg а, «2 log2a+l = а. откуда JC = . Так как параметр а стоит в основании логариф- 2 ма, то а > о, ат.е. Slogga + 2^0 иаФ 2 ^, 2 Ответ. При а>0, а^1, а^2^. А 114 Упражнения Решить уравнение (366—375). 366. 1) logg (5лг - 1) = 2 2) log5(3x + l) = 2 3) log4(2jc-3) = l; 367. 1) logg (5д: + 3) = logg (7х + 5); 2) logi (3je-l)=logi (6je + 8). 4) log^(^: + 3) = 2; 5) lg(3x-l) = 0; 6) lg(2-5^:)=l. 368. 1) log2^ = log„^r, X-1 ^ 2) logi ^^ = logi x; 369. I)log4(x2-o:) = l; 2)log7 (д:2+Зд:) = 2; 3) lg^ = lgx; 4) lg^ = lgx 4) logg (x^ + 2x - 4) = 2; 5) logi (лг2 + Здг-6) = -2; 3) logg (jc2 - 4x - 2) = 1; 6) logi (x^ ~5x + 33) = -3. 3 370. l)log2(x-5) + log2(x+2) = 3; 3) Ig (jc + ^/з ) + lg(je - ^/з ) = 0; 2)logg(a:-2) + log3(3C +6) = 2; 4)Ig(x- 1) +Ig(д: + 1) = 0. 371. I)lg(^:-l)-lg(2^:-ll) = lg2; 2) lg(3A:-l)-lg(x + 5) = lg5; 3) log^ (2x^ - 7x + 6) - log^ (x-2) = log^ x; 4) logg (д:^ - x) - logg X = logg 3. 372. I)ilg(x2 + x-5) = lg5x + lg^; 2) i Ig (Af2 - 4дг - 1) = Ig 8jc - Ig 4дг. 373. I)log,x2 = 0; 3)logg jc3 = 0; 2) log, Af2 = 3; ,5 ^ - V/, . 54 ^ 4) log^ x^ = 6. 374. 1) log.^ (л: - 1) log^ X = log^ x; 2) logi X logi (Здг - 2) = logi (Зле - 2); 3 3 3 3) logg (3jc + 1) logg X = 21og2 (Зд: + 1); 4) log^ (X - 2) logg X = 21ogg (д: - 2). 375. 1) Ig дг^ + Ig 4дг = 2 + Ig x^; 2) Ig jc + Ig x^ - Ig 9д: 115 Решить уравнение (376—388). 376. 1) log^ (X + 2)(х + 3) + log, ^ = 2; 3) logg - logg ^ = 3; Лт- О Х-гО 2) logg + logg (X - 1)(х + 4) = 2; 4) logg + logg х2 = 5. 377. 1) 2^'®^ 5*«^=1600; 2) 2‘°®з'" -5*°®з^=400; 3) 4) 1 2 4+lgx^2-lgx 1 2 , + —— = 1. 5-lgJC l+lgjc 378. 1) log! (X - 1) - 31ogg (X - 1) = 4; 2) log| (2 - X) + 51ogg (2 - X) = 6. 379. 1) logg (X - 1) + 21ogg (17 + x) = 7 + logi 9; 3 2) logg X + log^ X - logi X = 6; 3 3) log^ X + 4 log^ X + logg X = 16; 4) log g g(x + 2) - logg (x ~ 3) = ^ log j ("4x - 8). ■72 380. 1) x‘«*=10; 4) X® - logs ^ = 9; 2) + 1 =9; 5) x^- -0,251og2 X _ 2» 3) 0,1 =1000; о _ log4 X 6) X 2=8. 381. l)loggX- 21og^2 = -l; 3) logg X + 21og^ 3 = 3; 2) loggX + log^2 = 2, 5; 4) logg X - 61og^ 3 = 1. 382* • 1) log^ 9 + log^ 4 = 2 » 2)log^ 16- l0g^7: -2. 383* . 1) Ig (6 5* - 25 • 20*) - lg25 = x; 2) Ig(2^ + x-\-4) = x- X lg5. 384. 1) l+log6^^^ = ^log^ (x-lf ’; 2) 21og3 x-3 , x-7 , x-3 loga^ 385. 1) l0g^_2 (л: - 4) - 10g^_g (7-x) = 0; 2) log^^7^_3 + log^ (x2 + 7x - 3) - 2 = 0; 3) loe2;c-i (2^ ~ 2) = logg^_g (2x - 1); 4) log^+i (X - 0,5) = log^_o 5(x + 1). 386*. 1) lg2 (X + 1) = Ig (X + 1) lg(x - 1) + 21g2 (X - 1); 2) 21ogg (4 - x) logg^(4 - x) = 31ogg (4 - x) - logg 2x. 116 387*. l)logJlog3(log2A:)] = 2 ’ 2) log2[log9(log|(A:-3))] = 0. 388*. 1) Jlog^ 25 + 3 = ; 2) J21og^ A: + 31og2 лг-5 = log2 (2x). logs JC 389*. Найти все значения параметра а, при которых уравнение 51ogg X + log^ X - 41og25 х = а имеет корни, и решить это уравнение. § 19. Логарифмические неравенства При решении логарифмических неравенств часто используется следующая теорема. Теорема. Пусть а > О, а 1, jCj > О, 0. Если log^ JCj < log^ JCg, то JCj < JCg при a > 1 и JCj > ЛГ2 о < a < 1. О Пусть, например, а > 1. Предположим, что неравенство jCj < Х2 не выполняется, т.е. jCj > Х2- Тогда по свойству возрастания функции у = log^ X при а > 1 должно выполняться неравенство log^ ^1 ^ ^2’ противоречит условию. • Задача 1. Решить неравенство log2 х 0 и возрастает, то неравенство log2 х < log2 8 выполняется тогда и только тогда, когда jc > 0 и л: < 8, т.е. при 0 < jc < 8. Ответ. 0-2. 3 А Так как -2 = logi 9, то данное неравенство примет вид 3 logi х> logi 9- 3 3 Функция у = logi X определена при jc > 0 и убывает, так как 1 3 о < - < 1. Следовательно, неравенство logi х> logi 9 выполняется ^ 3 3 тогда и только тогда, когда 0 < jc < 9. Ответ. 0 О, т.е. при х > -1, Промежуток X > -1 называют областью определения неравенства (1). Так как логарифмическая функция с основанием 10 возрастаюш;ая, то неравенство (1) при условии jc + 1 > 0 выполняется, если jc + 1 < 100 (так как 2 = Ig 100). Таким образом, неравенство (1) равносильно системе неравенств [х>-\у (2) [jc + KlOO, т.е. неравенство (1) и система (2) имеют одно и то же множество решений. Решая систему (2), находим -1 < jc < 99. А Приведем примеры решения более сложных логарифмических неравенств. Обычный способ решения таких неравенств заключается в переходе от них к более простому неравенству или системе неравенств, имеюш;ей то же самое множество решений. Например, неравенство Ig (jc + 1) < 2 имеет то же множество решений, что и система неравенств j^jc + l>0, [jc + l^lOO. 3 а д а ч а 4. Решить неравенство log2(jc-3) о, а правая часть — при jc - 2 > 0. Следовательно, обе части неравенства одновременно имеют смысл при jc> 3. Поэтому в дальнейшем будем считать, что jc> 3. Неравенство (3) при х> 3 можно записать так: logg (х-3)+ logg (х-2)<1 или log2(jc-3)(jc-2) 3 неравенство (4) выполняется одновременно с неравенством (х-3)(х-2)<2. Таким образом, исходное неравенство (3) равносильно системе неравенств (х-3){х-2)<2у х>3. (5) 118 Преобразуем первое неравенство системы {х - 3)(jc - 2) < 2, jc2-5jc + 6<2, jc2-5jc + 4<0. Решая квадратное неравенство, получаем 1 < jc < 4. Учитывая, что х> 3, получаем 3 < jc < 4. Ответ. 3logi 3 3 (6) А Найдем область определения данного неравенства. Логарифм в левой части неравенства имеет смысл при jc > -15, логарифм в правой части — при х> 1. Следовательно, оба логарифма определены при х> 1у т.е. область определения неравенства (6) — луч х> 1. При х> 1 неравенство (6) можно записать в виде logi {х + 15)- logi logi 9, 3 3 3 т.е. logi > logi 9. ^ ЛГ-1 г Так как основание логарифма - < 1, то при х>\ имеем о х+15 х-\ <9. Таким образом, неравенство (6) равносильно системе (х + 15 х-1 д:>1. <9, (7) Умножим обе части первого неравенства системы на дг - 1, при этом знак неравенства не изменится, так как д: - 1 > 0. Получим [дг + 15<9(д:-1), [х>1. Следовательно, неравенство (6) равносильно системе дс + 15<9х-9. [д:>1. Ответ. д:>3. А т.е. системе х>3, х>1. 119 3 а д а ч а 6. Решить неравенство logi (jc2 + 2jc-8)>4. (8) 2 Область определения неравенства находится из условия + 2х -8> 0. Неравенство (8) можно записать в следующем виде: logi (х^ + 2х - 8)> logi 16. Так как логарифмическая функция с основанием - является убывающей, то для всех х из области определения неравенства получаем jc2 + 2jc-8<16. Таким образом, исходное неравенство (8) равносильно системе неравенств \о^+2х-8>0у < или [лг+ 2д:-8< 16 |д:^ + 2д:-8>0, [д:^ + 2д:-24<0. Решая первое квадратное неравенство, получаем х < -4, х>2 (рис. 41, б). Решая второе квадратное неравенство, получаем -6 < jc < -4 (рис. 41, в). Следовательно, оба неравенства выполняются одновременно при -6 < JC < -4 и при 2 < JC < 4 (рис. 41, г). -4 2 ^ Рис. 41, 6 ^А/А/Х/Х/А/А/Х/Х/// -6 О Рис. 41,в \\У >^^^^^//////////^^^ lWV . _6 -4 О 2 4 X Рис. 41, г Ответ. -6 о, (5^ - 5)(5^ + 25) >0, 5^ > 5, откуда х>1. Ответ. х> 1. А 3 а д а ч а 8*. Решить неравенство при разных значениях а: log^x + log^ix+l)>2. (9) 120 А Областью определения неравенства являются все действительные значения jc> О, параметр а может принимать значения: а > О, так как стоит в основании логарифма. При всех jc>0, а>{)уаФ \ данное неравенство можно представить в виде logo + 1)) > logo (10) Рассмотрим два возможных случая решения неравенства: при а>1и0<а<1. 1) Если а > 1, то jc> о и х{х -I-1) > а^, так как логарифмическая функция с основанием больше единицы возрастаюш;ая. То есть неравенство (10) равносильно системе неравенств jc>0, х(х-1)>а^. (11) лт 2 2л —l — Jl + 4a^ Уравнение -I- л: - = 0 имеет корни х^ =-------^-----, —1 + л/l + 4а^ _ _ _ Х2 =---^---, где JCj < о, JCg > 0. Следовательно, множество ре- -l + Vl + 4a^ шении системы (11) — промежуток х > JCg, или х > ----. 2) Если 0<а<1,толс>0и х{х -ь 1) < а^, так как логарифмическая функция с основанием меньше единицы убывающая. То есть неравенство (10) равносильно системе неравенств \х>0у (12) [х{х + 1)<а . Множество решений неравенства х^ х - < 0 — интервал (х^; JCg), а решением системы будет лишь интервал (0; JCg). ^ тт « л -l + Jl + 4a^ Ответ. Нет решении при а < 0, а = 1; jc>-^---- при а > 1; —1 + yjl + 4а^ о < JC <------------ при о < а < 1. Упражнения Решить неравенство (390—391). 390. 1) logg л: > logg 3; 3)lg^:2; 4) In л: > In 0,5. 3) logi x>16; 4) logo 4o:< 2. 121 392. Найти область определения функции: 1) г/ = Ig (Зд: - 2); 3)у= logj (х^ - 2); 2 2) у = logg (7 - 5х); 4) у = log^ (4 - х^). Решить неравенство (393—395). 393. 1) logg (дг + 2) < 3; 4) logi (х-1)> -2; 2) logg(4-2A:)>2; 3) logg(х +1)< -2; 394. l)lgA:>lg8 + l; 2)lgx>2-lg4; 5) logi (4-Зд:)>-1; 5 6) log2 (2 - Ьх) < -2. 3 3) logg (x-4)< 1; 4) logi (Зд:-5)> logi (x + l). 395. 1) logjg (д: - 3) + logjg (дс - 5) < 1; 2) logi (x - 2) + logi (12 -x)> -2; 3 3 3) lg(3x-4) logi (X + 1). ___________2____________2______________ 396. Найти область определения функции: 1) у = logg (х^ -4х + 3); 4)1/= ^logg (бдг^ + х-!); 2) у = logg ; 5)у= yllgx+lg{x+2); 3) у = x^ogT(x^^-2^H^; 6)у= yl\g(x-l)+lg(x+l) Решить неравенство (397—411). „„„ Зд-2 ^ 397. i)iogg 398. 1) logg(^:2 - 4д: + 3) < 1; 2) logg (дг2 - Здг + 2) >1; 399. 1) Ig (д;2 - 8д:+13) > 0; 2) logi ix^ ~ 5дс +7) < 0; 2) logi 2д‘‘ + 3 дг-7 <0. 3) logg (д:^ + 2д:) > 1; 4) log2 (д;2- 2,5д:)<-1. 3 3) logg (х^+2х) < 3; 4) logi (х^-5х-6) >-3. 2 4(Ю. 1) logg g д: - logg (д: - 2) < logg g 3; 2) Ig д: - logg j (д: - 1) > logg j 0,5. 122 401. 1) logi logg > 0; 2)logg logi 1) < 1. 402. 1) logo,2 * “ Slogo 2 JC < -6; 403. 1) + <1; 2) logo,i ar + 31ogo iJC>4. 2) Д- + ^^<1. Igar l-lgo: 2) log2(6 + 2^)>4-A:. 5-lgJC 1+lgJC 404. l)log3(2-3“*) 0; 3) log^^2 (Зл: + 6) < 1; 2) log^:-i (л/б-2л:) <0; 4) log i (4л:-2)>-1. 5x-6 407*. 2* + 2W>2n/2 . 408*. 4* ^VlO^'^^-l + 2j < 4| 4 * - 1|. 9 7 409*. 3^-1 9^-2 410*. l)log|3,,g|;c2>2; 2)log|2..i|^">2. 411*. 1) ^logg (9л: + 18) ^. 412*. Решить неравенство при различных значениях а: l)logд(л:-l) + logдЛ:> 2; 2) 1<^ л:^ > 1. Упражнения к главе IV Вычислить (413—417). 413. l)logig225; 2)log4 256; 3)logg^; 4) log. 414. 1) logi 64; 4 415. 1) log„ 1; 2) logi 81; 3 2) log, 7; 416. l)(0,l)-‘s®’3; 2)10-‘e^ 3) logi ^; 3) logjg 64; 3) ^; 4) log 343 ^64- 4) logg. 4i) 9. -logg 4 417. 1) 41ogi 3-^log, 27-logi 6; 2^2 2 2) |lg 0,001+Ig^/l000-|lg7l0000. 123 418. Сравнить числа а и Ь, если а = 21ogg 4, Ь = 3 logj^ -- . 419. Вычислить с помощью микрокалькулятора: 1) logg 7; 2) log3l2; 3) log^ 3 0,17; 4) log^ 38I. 420. Построить графики функций: l)y = \og^x\ 2)у= logi л:. 4 Какая из данных функций является возрастающей? убывающей? При каких значениях х каждая функция принимает положительные значения? отрицательные значения? значения, равные нулю? 421. Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция: 1)«/ = logo 2 2) = 1^75 = *0^73 е 2 422. Решить графически уравнение: 1) logg х = Ь- х; 2) logi X = Sx. 3 423. Найти область определения функции: 1) у = log^ (5 - 2х); 2)у = logg (х^ - 2х). Решить уравнение (424—426). 424. 1) logg (Зх - 1) = 2; 3) 2 logi Д: = logi (2х^ ~ х); 2 2 2) logi (7 - 8х) = -2; 4) Ig (х^ - 2) = Ig х. 2 425. I)lg(jc2-2ar) = lg30-l; 3) Ig^ д: - 31g лг = 4; 2) logg {2х^ + дг) = logg 6 - logg 2', 4) log| X - 51og2 д: + 6 = 0. 426. 1) logg (л: - 2) + log2 (дг - 3) = 1; 2) logg (5 - д:) + logg (-1 - дг) = 3; 3) lg(д:-2) + lgд: = lgЗ; 4) log^ (X - 1) + log^ (X + 4) = log^ 6. Решить неравенство (427—429). 427. 1) logg (x - 5) < 2; 3) logi (2x + 1) > -2; 2)logg(7-x)>l; 4) logi (3 - 5x) < -3. 2 428. 1) logg (5 - 4x) < logg (X - 1); 2) logg g (2x+ 5) > logg g (x + 1). 429. l)lg(x2 + 2x + 2)< 1; 2) logg (x2+7x-5)> 1. 124 ПРОВЕРЬ СЕБЯ! 1. Вычислить; logs 125; IgO.Ol; g2iog3 7. 68 - logg 17. 2. Построить схематически график функции: y = \ogQ^x-, y = \og^x. 3. Сравнить числа: logo 2 ^ ^ ^ \og^\y2. 4. Решить уравнение: logg(3^: + l) = 2; logg (^: + 2) + log3^:=l; In (jc^ - 6jc + 9) = In 3 + In (jc + 3). 5. Решить неравенство: logg(^:-1)<2; logi (2-x)>-l, Вычислить (430-431). 430. l)log^^; 2)log^^; 3) 2 ,2-log2 5 , 4) ; 5) 21og, 4ъ + 31og, 8; 6) log„ log, log, 2^^. 431. 1) logg 30 logg 150, logao 5 loge 5 432. Сравнить числа: 1) logi i и log, i; 2 ^ 3 ^ 433. Упростить выражение logg 42 logg 378 2) 21og2 5+logi 9 2) 2 ^ и Vs . l-log^fe_______ (logab+l(«fta+l)log,^ 434. Выразить loggo 64 через числа a = lg3n fe = lg5. 435. Выразить logg^ 8 через числа a = Ig 5 и fe = Ig 3. 436. Выразить log^^^ 56 через числа a = log^^ 7 и fe = log^^ 5. 437. Найти значения x, при которых справедливо неравенство: 1) log^ 8 < log^ 10; 438. Решить графически уравнение: 2) log;, I 2 + logg x^ + logg д:; 4) logg X + logg (ДГ - 3) > logg 4; 5) logi (x-10)- logi (д: + 2)>-1; 5 5 6) log , (дг + 10) + log I (дг + 4) > -2. ■Jr Jr x-2 126 447*. 1) 41о&4 лг - 331og^ 4 < 1; 2)log 3<4 1 + logi X 3 1 + д: logo-------^ ^ 1 + 1,1 Ьх > 0; 2) logi (log, (х^ - 5)) > 0. 448*. 1) logi 2 449*. Доказать, что если последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией, то их логарифмы по одному основанию образуют арифметическую прогрессию. 450*. Найти три последовательных члена геометрической прогрессии, если их сумма равна 62, а сумма их десятичных логарифмов равна 3. 451*. Построить график функции: 1)у = logzx’ Решить уравнение (452—454). 31g"x--lgx **"'=100^. 452**. 1) 9 + 9'8 * = 6; 2) х' 453**. 1) 3 + 21og^^i 3 = 21ogg (X + 1); 2) 1 + 21og^^2 5 = I0S5 (х + 2). 454**. 1) log2 (2* - 5) - log2 (2* - 2) = 2 - лг; 2) log2 (2*+ 1) ■ log2(2*^1 + 2) = 2; 3) logi_^ (3 - ЛГ) = logg,^ (1 - ЛГ); 4) log3,^7 (5;c + 3) = 2 - logg^^g (3x + 7). Решить неравенство (455—456). 455**. 1) logi (2*+2 - 4*) > -2; 2) logj^ (6*+i - 36*) > -2. 3 -v/5 456**. Vl3* + 3-V|l3*-4|0у у>0. При таких значениях х и у имеем х-у= [-/х-\-4у){^-4у\ поэтому система такова: |л/^ + 7у = 12, + Ту ) (л/^ - 7^) = 24, откуда |Т^ + л/у=12, [Т^-л/у =24. Решая эту систему, находим 4х = 7, Ту = 5- Следовательно, X = 49, у = 25. Ответ. (49; 25). А Задача 7. Решить систему уравнений \0g2X-\0g2y = l, 4/+х-12 = 0. А Первое уравнение системы имеет смысл, если х> Оу у > 0. При таких значениях хиу выразим х через у из первого уравнения си- X X стемы logo — = logo 2, — = 2; X = 2у. Подставляя х = 2у во второе ^ У У 3 уравнение системы, получаем 4у^ + 2у - 12 = О, откуда Ух= 2^ 3 у2=-2. Так как у > О, то i/g = “2 — посторонний корень. При Ух = из формулы х = 2у находим х^ = 3. Ответ. ^ Задача 8. Решить систему уравнений |4^-2^ = 32, 13-3®^ = 27^'. 134 А Так как 4 = 2^, 27 = 3^, то по свойствам степени систему можно записать так: |з8х+1^33у^ т.е. \2х + у = 5, |^8дс +1 = Sy» Решая эту систему, находим х=1,у = 3. О т в е т. (1; 3). А Упражнения Решить систему уравнений (460—470). 460. 1) \х-у = 2, |зх + 21/ = 16; 2) |ar + j/ = 3, \ьх-2у = \. 461. 1) {х + у = Ъ, Ul/ = 7; 2) {х-\-у = \, \xy = -G; 3) Jx + 3i/ = 10, W = 3; 4) (х-2у = -7, \ху = -6; 462.1) |д;2+/ = 41, Ь-д:=1; 2) |2х2-/ = 46, |лг1/ = 10; 3) (х + у = 7, [д:^+у^ = 25; 463.1) ix + y = 5, [je4/=35; 5) \х^-у^ = 200, \х + у = 20; 6) \х^-у^ =9, [х-1/ = 1; 7) jx^ +у^ = 10, |лг1/ = -3; 8) р + у2=13, и«/=б. 4) \х-у = 2, \х^+у^ =5; 5) Ux-yf=4, \х + у = 6; 6) \я^ + у=7, |л^у=12. 2) \х-у = 1, |лг®-/=19. 135 464. 1) \\gx-\gy = 7, [lga: + lgi/ = 5; 2) log2^: + ^log2^ = 4, xy = 2; 465. 1) J>/^ + Vy=8, ar-z/ = 16; 466. 1) \x^ +1^ = 152, \x^-xy+i^ = 19; 2) \2x-y = 5. [2x^y-xy^ =15; 467.1) \x? -\-xy+2i^ = 1&, \ZX^ -2xy-if^ = Qr, 468. 1) 3 3 Д|2 -j/2 =7^ 1 1 x-\-x^y^ = 7; 469. \)]\^ x + \g^ у = Ъ, [lgjt:-lgi/ = l; 470. 1) |4"^ -2i' = 32, |38Х+1^331/; 3) {\gx-\gy = 2, [jc-10i/ = 900; 4) floggOC + lOgg l/ = 2, \x^y-2y + Q^0. 2) jVx-7ir = l, \x-y = 5. 3) \2y + x = \, \2xy^ +x^ у = -Z\ 4) ixy(x + y)^6, \x^+y^ =9. 2) + 2ху-\Ъо^ =0, I дс^ + 2дя/+2i/^ = 25. 2) \x + y-^[^ = ^, [д:у = 16. 2) |9^^i' = 729, 2) |з*-9*'=27, jig (2x+yf - Ig x=21g 3. § 21. Способ сложения Задача 1. Решить систему уравнений [je4i/2=13. [д:1/ = 6. (1) Д Прибавим к первому уравнению второе, умноженное на 2, а второе уравнение оставим без изменений: 136 ^2ху^у^ =25, ху = 6. (2) Докажем, что системы (1) и (2) равносильны. Пусть {х; у) — решение системы (1), т.е. оба равенства (1) верны. Тогда по свойствам верных числовых равенств верны оба равенства (2), т.е. {х; у) — решение системы (2). Пусть, наоборот, (х; у) — решение системы (2), т.е. верны оба равенства (2). Прибавим к первому из них второе, умноженное на (-2). Получим верные равенства (1), т.е. {х; у) — решение системы (1). Решим систему (2). Первое уравнение системы (2) запишем так: {х + у)^ = 25, откуда х-\-у = ±5, т.е. или у = 5-х, или у = -5-х, 1) Подставляя у = 5 - х во второе уравнение системы (2), получаем х(5 - х) = 6, откуда х^ - 5jc + 6 = О, jCj = 3, JCg = 2. По формуле у = 6- X находим у^ = 2у У2=3. 2) Подставляя у = -5 - х во второе уравнение системы (2), получаем х{-Ъ - jc) = 6, откуда + 5jc + 6 = О, JCg = -3, у^=-2и х^ = -2, 1/4= -3. О т в е т. (3; 2), (2; 3), (-3; -2), (-2; -3). А Приведенные при решении задачи 1 рассуждения обосновывают следующее свойство систем двух уравнений с двумя неизвестными. Если к одному из уравнений данной системы прибавить другое, умноженное на число, не равное нулю, и составить систему из полученного уравнения и любого из уравнений данной системы, то получится система, равносильная данной. Аналогично доказывается и следующее свойство таких систем. Если каждое из уравнений данной системы умножить на не равное нулю число (оба уравнения на одно и то же число или на разные числа), то получится система, равносильная данной. Заметим, что вместо слов «умножить обе части уравнения на число» кратко говорится: «умножить уравнение на число». Так же вместо слов «сложить левые и правые части уравнения» кратко говорится: «сложить уравнения». Задача 2. Решить систему уравнений {o^-2xy+di^ = 2, |2jc^ - 3x1/+4«/^ = 3. А Умножив первое уравнение на 3, а второе на (-2), получим I Зх^ - 6x1/+9»/^ = 6, |-4х^ + бдя/- 8«/^ = -6. (3) (4) 137 f 1. о 1 , 7з’ V3 ^ Складывая уравнения системы (4), получаем 1/2 = 0, откуда у = х или у = -х. 1) Подставляя у = х ъ первое уравнение системы (3) (можно в любое из уравнений систем (3) и (4)), имеем: х^-2х^ + 3jc^ = 2, откуда = 1, = i/j = 1, д:2=1/2 = -1. 2) Подставляя у = -хв первое уравнение системы (3), получаем д;2+2д(г2 + Зд;2 = 2, откудад:2=|,д:з=^, ,,3 = -^ и Ответ. (1; 1), (-1; -1), Задача 3. Решить систему уравнений х-ху-у = -7у х + 2ху-у = Ъ. А Для того чтобы исключить из этих уравнений произведение ху^ прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 2. Получим 3х-3у = -9, откуда х-у = -3,у = х-\-3. Подставляя это выражение у через х в первое уравнение системы, имеем X - х(х + 3) - (jc + 3) = -7, откуда + 3jc - 4 = о, JCj = 1, х^ = -4. По формуле у = х-\-3 находим у^ =4, г/2 = “1* О т в е т. (1; 4), (-4; -1). А Задача 4. Решить систему уравнений \3х^ + 2xy-{-2y = 3j [2х^ -\-2ху-у^ -2х-\-6у=8. А Вычтем из первого уравнения второе, получим jc2 + y^ + 2jc-4i/ = -5. Это уравнение можно преобразовать так: jc2-h2jc-h1 + i/2-4i/ + 4 = 0, (x+lf + (y-2f=0, откуда X = -1, у = 2. Проверка показывает, что (-1; 2) — решение системы. Ответ. (-1; 2). А 138 Задача 5. Решить систему уравнений А Применяя свойство степени, запишем данную систему так: Прибавляя к первому уравнению второе, умноженное на 2, получаем 7 3^ = 7, откуда х = 0. Подставляя jc = О в первое уравнение исходной системы, получаем 1 + 2 = 5, откуда у=1. О т в е т. (0; 1). А Задача 6. Решить систему уравнений Ы2х-1-3^3-у=0, [3-j2x-l-2yl3-y=x. А Умножим первое уравнение на (-2), а второе на 3 и сложим полученные уравнения: -4>/2x-l + 6-y/3-j/ = 0 + 9^|2x-l-6^JЗ-y = Зx b-j2x-\ = Зл: Решаем последнее уравнение: 25(2лс - 1) = 9х^, 9х^ - 50д: + 25 = 0, к 5 ^1 = 5.^2= д- Подставляя д:j = 5 в первое уравнение исходной системы, находим 2-3-3,/3-у = 0, •JS-y = 2,yi--l. Подставляя д;, = - в первое уравнение исходной системы, на-9 ходим: 2 1—-1-3^3-у = 0, ^3-у = ~, 3-у = —, у2 = 2—. У о 9 81 81 Проверка показывает, что обе найденные пары являются решениями исходной системы. О т в е т. (5; -1), 9 81 139 Задача 7. Решить систему уравнений floga л: + log4 у = 5, \l0g4 x + log2i/ = l. Оба уравнения системы имеют смысл, если х > о, у > 0. При этих значениях х, у у используя формулу перехода к логарифмам по осно- 1о§4 X у ванию 4, получаем log, х= , = 21og4 л:, log, I/=—— = = 2\og.y. 10g4 ^ 1 й 2 Поэтому система уравнений такова: |21og4 Af + log4 у = Ъ, \l0g4 Af + 21og4 у = \. (5) Вычитая из первого уравнения этой системы второе, умноженное на 2, находим -31og4 1/ = 3, log4 1/ = -1,1/ = 4'^ = - . Вычитая из второго уравнения системы (5) первое, умноженное на 2, находим -31og4 х = -9, log^ д: = 3, д: = 4^ = 64. Проверку можно не делать, так как найденные значения д;, у положительны. l^ Ответ. 64; 4j Упражнения Решить систему уравнений (471—479). 471. 1) |Зд:-к51/ = 10, \2х-1у = Ы-, 472. 1) \х^ + у^=10. ху = -3; 473. 1) \х + ху + у = -\, \х-ху + у = 3; 2) {х-ху-у = -7, \х + ху-у = 1; 2) Ux-6y = 6, [Зх + 8у = 15. 2) р-н/=13, [ху = 6. 3) р-1/-н2=0, \х^ + у^-4=0; 4) \х^-3ху + у = 11, W = 5. 474. 1) р-нЗд7/=54, [4/-1-дя/=115; 2) р-5х1/+3/ = 17, |2дг^ - 7ху+ 4/ = 26; 140 Z) \x^ + xy-2y^^Q, 4) [Зл^ + 2ля/+1/^ = 9; 475. 1) |7л:^-19лг/-3у^ = 3, |2jcr^-6jq/+j/^ = l; 476*. 1) |4х^ + 3лг/+4у = 2, |зх^ + Здя/-1/^ - 2i/+4x=15; 477*.1) 2-3^+3-2*'=—, 4 3*-2*'=-; 4 |л:^ + дя/-б1/^ = 0, 2) \x + y-xy = \, \x^ +y^-xy = Z. 2) |5дс^-дя/+6л:+1/^ = 1, [ 4x^ - ДЯ/- 4x + 2i/=27. 3^-2^*'= 77, X 32-2*'=7. 2) 478*. 1) |л/хП-27^ = 0, |^/^ + зV^ = 2,5; 2) 479*. 1) |lg(x + i/)-lg5 = lg(j«:j/)-lg6, |lg(i/ + 6)-(lgi/+lg6) + lgx = 0; 2) jlogg + logg (x-y) = 1, |log2y=log4(jn/-2); [271 + 371^ = 3,5, [з7х-2^Д^ = 2. 3) flogg X + Iogg У = 2, [logg X-logs У = 1; 4) |31og5X-log5i/ = 10, |log5X + 31og5 i/ = 5. § 22. Решение систем уравнений различными способами Задача 1. Решить систему уравнений х + у = 3у ху = -10. (1) А Эту систему можно решить, например, способом подстановки. Однако вы знаете, что если х vi у таковы, что равенства (1) верны, то по теореме, обратной теореме Виета, х vl у являются корнями уравнения 2^ - З2 - 10 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: = 5, ^2 = -2. По теореме Виета найденные числа 5 и -2 — удов- летворяют системе (1). При этом х может равняться 5, тогда у = -2, или х =-2, у = 6. Ответ: (5;-2), (-2; 5). А 141 Задача 2. Решить систему уравнений 1 14 у З’ J 1 8 х‘ 2 у2 9* 1 1 А Для краткости записи введем новые неизвестные: и= — ,v = X у Получим u-\-v 9 Решая эту систему, например, способом подстановки, находим и = 1у v= - . Атак как х = — , у = - , то х = 1, у = 3. о и V О т В е т. (1; 3). А Приведем еще примеры, когда для краткости записи полезно ввести новые неизвестные. Задача 3. Решить систему уравнений \х-у-\-ху = 1, х^ -\-у^ -\-ху = 3. (2) А Введем новые неизвестные: х - y = Uy ху =v. Заметим, что при этом х^-\-у^ = {х- у)^ + 2ху = 2v. Поэтому систему (2) можно записать так: Решая эту систему, например, способом подстановки, находим 1^1 = О, = 1, 1^2 = 3, ^2 = “2. Возвращаясь к старым неизвестным, получаем две системы: 1) \х-у = 0, 2) {х-у = 3у [ху = 1; \ху = -2. Из первой системы находим х^ = 1, у^ = 1; х^ = -1,1/2 = “1> ^ второй системы находим х^=2у у^ = -1; х^ =1,1/4 = О т в е т. (1; 1), (-1; -1), (2; -1), (1; -2). А 142 Задача 4. Решить систему уравнений: 4^ + 9^^-7 2^-5 3^' + 18=0, \ (3) 12^-3^' = !. А Введем новые неизвестные: 2^ = и, = v. Так как 4^ = (2^)^ = = и^у 9^ = (3^)^ = v^y то в новых неизвестных система (3) такова: -\-v^ -7u-bv-\-lS = 0y ... . (4) Решим эту систему способом подстановки. Из второго уравнения имеем v = u- 1. Подставляя это значение v в первое уравнение системы (4), получаем и^-\-(и- 1)2 - 7и- Ъ(и - 1) + 18 = О, откуда n2 + n2-2i/+l-7i/-5i/+5 + 18 = 0, 2п2-14п + 24 = 0, п2-7п + 12 = 0, = 4,1^2 = 3. По формуле v = u-l находим = 3, = 2. Возвращаясь к старым неизвестным, получаем две системы: 1) |2^ = 4, 2)|2^ = 3, 13^ = 3; |з^ = 2. Из первой системы находим jCj = 2, jCg = 1, а из второй системы: ^2 “ ^^^2 У2 ~ ^^^3 О т В е т. (2; 1), (logg 3; logg 2). А Рассмотрим примеры, когда при решении системы полезно перемножить или поделить ее уравнения, т.е. перемножить или поделить ее левые и правые части. Задача 5. Найти действительные решения системы уравнений: ху + 2А =—, ху-6 = ^. (5) А Перемножая уравнения (5), получаем (ху + 24) (ху - 6) = X V. откуда х^у^+ \Ъху - 144 = х^у^, XI/= 8. (6) 143 Подставляя (6) в систему уравнений (5), получаем систему: — = 32, У I- (7) = 2. Умножая первое уравнение системы (7) на уравнение (6), получаем jc"* = 8 • 32 = 4^. Так как требуется найти только действительные решения, то jCj g = ±4. Из уравнения (6) находим у^2~ Решение системы (5) нельзя считать законченным, так как был использован новый для вас прием — умножение уравнений системы. Следует убедиться в том, что, по крайней мере, уравнения (6) и (7) являются следствиями системы (5). Покажем это. Пусть {х; у) — решение системы (5), т.е. оба равенства (5) верные. Заметим, что тогда х^О и у ФО (на нуль делить нельзя!). Из равенств (5) получены верные равенства (6), (7) и = 4, = 2 и jCg = -4, i/g = “2. Обратный переход от этих пар чисел (jc; у) к равенствам (7), (6) и, наконец, к (5) в обш;ем виде трудно доказать. В таких случаях проще сделать проверку. Подставляя каждую из найденных пар чисел в оба уравнения (5), получаем верные числовые равенства. О т в е т. (4; 2), (-4;-2). А Задача 6. Решить систему уравнений ля/ = б, 1/2=3, zx = 2. (8) А Перемножая все три уравнения, находим 2^ = 36, откуда хуг = ±6. 1) Пусть хуг=6. (9) Подставляя поочередно в равенство (9) каждое из уравнений (8), находим JCj = 2, i/j = 3, 2j = 1. 2) Если хуг = -6, то аналогично находим Xg = -2, i/g = ~3, 2g = -1. Проверкой убеждаемся, что обе тройки чисел являются решениями системы (8). Ответ. (2; 3; 1), (-2;-3;-1). А Задача 7. Решить систему уравнений |3^-4^'=1728, 12* •9*^ = 5832. 144 л Разложим правые части уравнений системы на множители: 1728 = 64 27 = 2^ 3^ 5832 = 729 8 = 27^ 2^ = 3® • 2^. Исходная система такова: |з*22*' = 2®-3^. Умножив и разделив уравнения этой системы, получим систему (10) -3 (11) Заметим, что если (jc; у) — решение системы (10), т.е. оба равенства (10) верные, то левые и правые их части не равны нулю. Поэтому верны равенства (11), т.е. {х; у) — решение системы (11). В этом случае систему (11) называют следствием системы (10). Отметим также, что уравнения системы (10) получаются умножением и делением уравнений (11), т.е. система (10) является следствием системы (11). Поэтому эти системы равносильны. Теперь отметим, что в системе (11) равенство 6^^^^ = 6^ по свойствам степени является верным только тогда, когда jc -I- 2i/ = 9, так как 6 > о, 6^1. Аналогично второе равенство (11) верно только при X - 2у = -S. Следовательно, система (11) равносильна системе х + 2у = 9у x-2y = -S, Решая эту систему, находим jc = 3, у = 3. О т в е т. (3; 3). ^ Задача 8. Найти действительные решения системы уравнений \2x^-xy-Sj/ = 0, \х^ -Зху+2у^ =-1. А Заметим, что если (х; у) — решение этой системы, то jc 0, так как при jc = 0 из первого уравнения системы получается, что I/ = о, но при JC = о, у = 0 второе уравнение системы не является верным равенством. Разделив обе части первого уравнения системы (12) на х^, получаем (12) 2-J-3lj]=0, 145 т.е. 31^ ^2 + ^-2 = 0. X Решая это квадратное уравнение относительно — , получаем У 2 У ^ 2 — = - или — = -1, т.е. у=^х или у = -х, JC 3 X ’ ^ 3 ^ 2 1) Подставляя у=-х во второе уравнение системы (12), полу- о чаем откуда -1, х^=9у jCj = 3, х^ = -3. 2 По формуле У = 3 ^ находим у^ = 2уу^ = -2. 2) Подставляя у = -х во второе уравнение системы (12), полу- чаем т.е. х^ + Зх^ + 2х^ = -1, 6jc2 = -1. Это уравнение не имеет действительных корней. Ответ. (3; 2), (-3;-2). А Задача 9. Найти действительные решения системы уравнений \х^-3xy-{-2i^ = 3, [2х^-2ху-у^ = -6. (13) А Заметим, что если (х; у) — решение этой системы, то левые и правые части системы не равны нулю. Поэтому уравнения (13) можно разделить. Разделим второе уравнение на первое: 2х^-2ху-х^ _ о -3xy+2if (14) 146 Теперь отметим, что если {х; у) — решение системы (13), то jc О, 3 2’ а из второго — г/^ = 6. Поэтому числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части уравнения (14), можно разделить на х^: так как если jc = О, то из первого уравнения (13) получается = - 2-2^- = -2, откуда 2 + 6^-4f ^ 8^ + 4 = 0. X Решая это квадратное уравнение относительно — , получаем у у 2 2 — = 2 или — = о ’ т.е. у = 2х или у=-х. X X о о 1) Подставляя у = 2х в первое уравнение (13) (можно во второе — получится то же самое), имеем л:2-3л:(2л:) + 2(2л:)2 = 3, откуда jc2(l-6 + 8) = 3, Х^= 1, 1, JC2 = -1. По формуле у = 2х находим у^ = 2у у^ = ~2, 2 2) Подставляя у = ~хв первое уравнение системы (13), получаем о -гх{'^х\2{^х \ =3, откуда д;2( 1-2 + 1 1=3, Это уравнение не имеет действительных корней. О т в е т. (1; 2), (-1; -2). А Системы уравнений настолько разнообразны, что практически невозможно дать какие-либо общие рекомендации по способам их решения. В каждом конкретном случае нужно использовать свой 147 опыт решения систем, желательно находя наиболее простой способ их решения. Поэтому при решении полезно накапливать такой опыт. Приведем еще несколько примеров решения разнообразных систем уравнения (без подробных объяснений). Задача 10. Решить систему уравнений |3*-2 6* 12^=0, 12 4 б*' 2^-12^ = 0. А Используя свойства степени, запишем данную систему уравнений так: |3^(1-2 2^^«') = -б12*', [2 3«'(1+2 2*^*') = 12^. Умножая уравнения этой системы, получаем 2.3^+i'(l- 4- 4*^*') = -б- 3*^*' • 4*^*', откуда 1-4-4^^*'=-3•4*^^ 4^+у = 1, х + у = 0, у = -х. Подставляя у = -хъ первое уравнение исходной системы, получаем 3*-2 6* 2-*-6 12“* = о, откуда 3^-2 3* 2 *-6 12 * = о, 3*=6 12-*, 3* 12* = 6, 36* =6= 362, 1 X, 1 д: = - . Поэтому у = -х = --. Ответ. I —I. А 2’ 2 Задача 11. Решить систему уравнений |lO(i/-Jc)-Af^ =9, \^[у + ^у-2х = ^/2. 148 А Запишем второе уравнение системы в виде yjy-2x = >/2 - у[уу и возведем обе части данного уравнения в квадрат: y-2x = 2-2yj^ +у, откуда = д: + 1. Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получаем (лг+lf ^=-2Г- Подставим значение у в первое уравнение исходной системы 10 -X -л:^ = 9. После преобразований этого уравнения имеем 5jc2 + 4 = 0, откуда = 1,Х2 = -1, х^ = 2уХ^ = -2. 9 1 По формуле у = ^ находим у^ = 2, у^ = 0, у^= У4 = 2 • Проверкой устанавливаем, что (jCj, (jCg, у2) — решения системы, а (лгд, Уд), (х^, у^) — посторонние решения. Ответ. (1; 2), (-1; 0). А Задача 12. Решить систему уравнений у7х-\-у-\-у]2х-\-у=6у [у12хТу-\-х-у = 1. (15) А Запишем первое уравнение системы в виде у17хл-у = 5-у[2хТ~у и возведем обе части этого уравнения в квадрат: 7х + у = 25-10 yj2x-\-y -h 2jc -ь I/, откуда 10^2хл-у =25-5jc, у12х+у = ^- Подставляя значение yj2x+y во второе уравнение системы (15), получаем 5-л: откуда + л:-1/ = 1. х = 2у -S. 149 Подставляя значение х во второе уравнение системы (15), получаем V5J/-6 = 4-1/. Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получаем 5y-6 = 16-Sy + у^, откуда у^ -1гу + 22 = 0, i/i = ll, 1/2 = 2. По формуле x = 2y-S находим JCj = 19, JCg = 1. Проверкой устанавливаем, что (19; 11) — постороннее решение, а (1; 2) — решение системы (15). О т в е т. (1; 2). А Задача 13. Решить систему уравнений \log^y+logyX=^, [ля/= 27. А Первое уравнение системы имеет смысл только при jc > О, X Ф 1у у > Оу у ^ 1. При таких значениях jc, у по формуле перехода log л:= —— l0g;t У откуда Поэтому первое уравнение системы таково: 1 5 log^ у + log;, У 2 2(log_ yf - Slog, у+ 2 = 0. Решая это квадратное уравнение относительно log^ у, находим log^ у = 2 или log^ У=\- 1) Если log^ у = 2у то у = х^ и второе уравнение исходной системы таково: = 27, откуда jCj = 3, а по формуле у = х^ получаем у^ = 9. 2) Если log у = ^ уТо у = 4х и второе уравнение исходной сис- 3 темы таково: = 27, откуда JCg = а по формуле у = -Jx получаем 1/2 = 3. А О т в е т. (3; 9), (9; 3). 150 Задача 14*. При каких значениях а система уравнений 12дг + (9а^ - 2)у = За, \х+у=1 не имеет решений? А Вычитая из первого уравнения второе, умноженное на 2, получаем (9а2-4)1/ = За-2. Это уравнение не имеет решений, если 9а^ - 4 = О, а За - 2 0. 2 Из равенства 9а^ -4 = 0 находим а = ± ^ . 2 Из неравенства За - 2:^0 находим аФ - , о ^ « 2 Следовательно, система не имеет решении при а = - - . А о Упражнения Решить систему уравнений (480-495). 480. 1)1 \х + у = ^. 3)1 \х + у = 3,Ъ, 1 [ху = 3-. 1 [ху = \,Ь\ 2) 1 \ху = 6. 4)1 \Зху = -1, 1 [д: + 1/ = 5; 1 |^3х "Ь Зу — 2. 481. 1) i + i = 3, У 2) 1-1 = 2, ^ У ±-± = 5- Л + Л = 21. У 482. 1) ^х-у + ху = 2. 2) ^ ^ху + х + у = 5. \х^ +у^-xy = S; [х^ +у^ +ху = 7. 483. 1) \2х-у = 1. 3) jx-3y = 2. [5^+i'=25; [22*-*'=0,5; 2) х-у=2. 4) \2х + у = 3. < [2*-2*'=16. 151 484. 1) |5^ + г*' = 7, 2) |3* + 4*' = 7, l5^-2*'=10; |з^-4«' = 12. 485. 1) |log2(JC^ + J/^) = 7, 2) jloggx + loga z/ = 2 + log3 7, [log2X+21og4j/=6; [log4(o: + z/) = 2. 486. 1) 2) д: + 1/ = 4, 1 1 1 У ху = 12у ^ = 3; Х-У 3) \х^-у^ =0, [4+д:1/ = 0; 4) X у 4 1____ X у 16 487*. 1) х^ +у^ =х+у, x*+y*=^(x + yf; 5) jx^ + i/-x=4, [3jc^-i/+2x=-1; 6) j(;c-l)(j/-l) = 3, l(x + 2)(y + 2) = 24; 7) jxy(x + y) = 84, \xy + x+y = 19; 8) \xy(x-y) = 6, \xy + x-y = 5. 3) \x^(l+y+i^ + i^) = 160, \:^(l-y+y^-y^)=-80; 2) \X* +y* =17(x +yf, \xy = 2{x + y); 4) x(y^ + l)_3 5’ i/(j^-l)_4 x^ + !^ 5’ 488. 1) f9* + 4J'-2«'-7 3* + 10=0, 2) [з*-2«' = 2, 1з*-2«' = 14 489. 1) |5*-5«' = 100, W-45*'-^=30; \^y^i_S^ + 3^ + ^^^ = 4. 3) jc*' Ь-д: = 5; 2) 2*-9 3*'=7, 2" 3*'=|; 4) [/-'‘-^=1, \y+2x = 7. 152 490. 1) |642^+642«' = 12, 164^^*'= 472; 2) |з* + 2^^«'^^ = 19, 3) logg o: + log4 i = 4, 4) У logj,; c + log^y = |, ху = 2; [х^У = 16. 491*. 1) 72х-1 + 73-1/ = 3, 2) 1 у+19 = 20(л: + у) 1 6х + у-2ху = 7; 1 л/х у1 X 2у = >/2 492*. 1) ^J8y-x + x = 2, 2)1 yjlx + y + ,jx + y = 1 yj3y-x + x + y = 2; 1 ■Jx + y-y + x = 2. 493*.1) 5(logj, лг + log^ у) = 26, 3)1 log^j/-21ogj,Jc=] 1 ху = 64; 1 У+ 2^ = 3; 2)1 3(logj, лг + log^ 1/) = 10, 4) logJ,л: + log^y = | 1 лгу = 81; х^ +у^ =20. 494*. [д:^‘°®^*'=4д: + 3, 495*. [log^ =logy (xy). log! (л:+г/)+1{^ (jc-i/)-logf (2x)=x 2 2 2 log2 {x+y) \ogi {x-y)-\ogi (2x)=0. 496. Найти все действительные значения а, при которых система уравнении < имеет действительные решения при лю- [у = ах-\-Ь бом действительном значении Ь, 497. Найти все значения а, при которых не имеет решений система уравнений \ах-\-Зу = а^ -\-1у [(За+14)х+(а+8)у=5а^ + 5. 153 § 23. Решение задач с помощью систем уравнений Решение многих задач сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными. Рассмотрим примеры. Задача 1. Пассажирский и товарный поезда одновременно отправились от двух станций навстречу друг другу. Расстояние между станциями, равное 120 км, пассажирский поезд прошел на 1 ч быстрее товарного. С какой скоростью двигались поезда, если они встретились через 1 ч 12 мин после начала движения? (Предполагается, что каждый поезд двигался с постоянной скоростью.) А Обозначим скорости движения пассажирского и товарного поездов соответственно д: и у (в км/ч). Тогда расстояние 120 км они 120 120 _ 120 120 . прошли соответственно за--- и--- ч. По условию-------= 1. X у " у X 0 За время движения до встречи, равное 1 ч 12 мин = - ч, пасса- 5 6 6 жирскии и товарный поезда прошли соответственно -х и -у км, о э а вместе — расстояние 120 км, т.е. -x + -i/ = 120. 5 5^ Таким образом, получилась система уравнений 120120. ~ -*-> У X |д:+|!,=120. Решим эту систему. Первое уравнение умножим на ху (по смыс- 5 лу задачи ху Ф 0), а второе — q- jl20x -120^ = ху, [jc + z/ = 100. Из второго уравнения выразим у через х у= 100 - X и подставим в первое уравнение. Получим 120jc - 120(100 -х) = х{100 - х). Упростим это уравнение: 120JC - 12 000 -h 120JC = IOOjc - д:^, д:2 + 140д: - 12 000 = 0. 154 Решим полученное квадратное уравнение: х = -70± 74900712000 =-70±130, jCj = 60, JC2= -200. По смыслу задачи скорость положительна; следовательно, л: = 60. Подставляя это значение в формулу у = 100 - jc, находим [/ = 100-60 = 40. О т в е т. 60 км/ч, 40 км/ч. А Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а его плош;адь 24 см^. Найти его катеты. А Пусть катеты равны х и у сантиметров. Используя теорему Пифагора и формулу площади прямоугольного треугольника, запишем условие в виде ^ х^ + у^ =100, т^ху = 24. 2 ^ Решим эту систему. Из второго уравнения выразим у через х: 48 и подставим в первое уравнение. Получим л:^+^ = 100. Упростим это уравнение: х^ + 2304 = 100^2, jc4-100jc2+2304 = 0. Решая полученное биквадратное уравнение, находим: = 50 ± V2500-2304 = 50 ± 14, х^ = 64 или х^ = 36. Так как по смыслу задачи jc > 0, то выбираем только положительные корни: jCj = 8, JCg = 6. Подставляя эти значения в выражение для у у т.е. в формулу (1), находим i/^ = 6,1/2=^*® обоих случаях один катет равен 8 см, другой — 6 см. О т в е т. 8 см, 6 см. А Задача 3. Бассейн наполняется с помощью двух труб за 7,5 ч, причем первая труба, работая одна, наполняет на 8 ч быстрее, чем вторая. За сколько часов первая труба может наполнить бассейн? А Пусть первая труба заполняет бассейн за jc, а вторая за у часов. Примем вместимость бассейна за единицу. Тогда за 1 ч первая труба заполняет — часть бассейна, а вторая-, а вместе обе тру- ^11 ^ бы за 1 ч заполняют ~ “ часть бассейна. л> у 155 По условию первая труба заполняет бассейн на 8 ч быстрее, отсюда 12 а обе трубы заполняют за 1 ч бассейна. Следовательно, 11=1 у 15' Таким образом, получаем систему уравнений \у = х + Ъ, \х у 15 Решим эту систему: ji/ = x+8, \\Ых+у) = 2ху, 15(2д: + 8) = 2д:(л; + 8), 30д: + 120 = 2л;2+1бл;, 2л:2-14л;-120 = 0, д:12= ^(7± V49 + 240 ), л:1=12, 0^2 =-5. По смыслу задачи jc> 0. О т в е т. 12 ч. А Задача 4. Теплоход прошел расстояние между двумя пристанями за 7 ч, а обратно за 9 ч. Найти расстояние между пристанями и собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч. А Пусть X километров — искомое расстояние, у километров в час — собственная скорость теплохода. По условию: У + 2 X У-2 = 7, = 9. Решим эту систему уравнений. Разделим первое уравнение на второе: у-2^7 ~У+2 9’ откуда 9i/ - 18 = 7i/ -I-14, 2у = 32, у = 16. 156 Подставляя у = 16 в первое уравнение системы, находим = 7, х=126. 16+2 Ответ. 126 км, 16 км/ч. ^ Задача 5*. Бак объемом 425 м^ из двух кранов был наполнен водой, причем первый кран был открыт дольше второго на 5 ч. Если бы первый кран был открыт столько же времени, сколько второй, а второй кран был бы открыт столько же времени, сколько первый, то из первого крана вытекло бы в 2 раза меньше воды, чем из второго. Если одновременно открыть оба крана, то бак наполнится за 17 ч. Сколько времени был открыт второй кран? А Пусть X часов — искомое время, на которое был открыт второй кран, V кубических метров в час — скорость поступления воды из первого крана, w кубических метров в час — скорость поступления воды из второго крана. Составим систему уравнений: и{хл-5)л-1их = 425у 2vx = w{x+6), (у+п;) 17 = 425. (1) Решая эту систему, нужно найти только х. Второе и третье уравнения системы (1) можно представить так: f2i;jc-M;(jc + 5) = 0, [1Н-ш = 25. Из этой системы выразим vvuv через jc, т.е. решим систему (2) относительно VHW. Сначала прибавим к первому уравнению системы (2) второе, умноженное на {х + 5): 2vx - w(x + 5) = О, + и(х + 5) + w{x + 5) = 25(х + 5) v{Sx + 5) = 25(jc + 5) 25(jc+5) Затем прибавим к первому уравнению системы (2) второе, умноженное на (-2х): 2vx - w{x + 5) = О, Н- -2vx - w2x = -50л: -o;(3jc + 5) = -50jc отсюда W = 50х Sx + 6 157 Подставляя найденные значения i; и м; в первое уравнение системы (1), имеем 25(x+5f ^ 50х^ _ 3дм- 5 Зх + 5 После преобразований этого уравнения получим 3x2-41x-60 = 0, 1к 4 откуда = 15, х^ = Так как по смыслу задачи jc> О, то д: = 15. О т в е т. 15 ч. А Упражнения 498. При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 6, а в остатке 4. При делении этого же числа на произведение его цифр в частном получается 2, а в остатке 16. Найти это число. 499. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4, а в остатке 12. Если же это число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1, а в остатке 20. Найти это число. 500. Из пункта А в пункт В отправился автомобиль, а навстречу ему из пункта В одновременно отправился автобус. Автомобиль прибыл в Б, а автобус — в А спустя соответственно 40 мин и 1,5 ч после их встречи. Найти скорости автомобиля и автобуса, если расстояние между пунктами А и В равно 100 км (скорости автомобиля и автобуса постоянны). 501. Две машинистки, работая вместе, могут перепечатать рукопись за 6 ч. Одна машинистка, работая отдельно, может перепечатать ее на 5 ч быстрее, чем другая. За сколько часов может перепечатать рукопись каждая из них, работая в отдельности? 502. Двое рабочих в течение 45 мин выполняли одну работу, затем первый из них ушел, а второй закончил работу за 2,25 ч. Сколько времени понадобилось бы каждому рабочему в отдельности на выполнение всей работы, если первый мог бы ее выполнить на час раньше? 503. Катер прошел расстояние между поселками за 4 ч и вернулся обратно за 6 ч. Каково расстояние между пристанями, если скорость катера в стоячей воде составляет 20 км/ч? 158 504. Расстояние от А до Б по течению реки теплоход проходит в 1,5 раза быстрее, чем катер, причем за каждый час катер отстает от теплохода на 8 км. Против течения реки путь от В до А теплоход проходит в 2 раза быстрее катера. Найти их скорости в стоячей воде. 505. От пристани А одновременно направились вниз по течению реки катер и плот. Катер, пройдя 96 км, повернул обратно, встретил плот на обратном пути в 24 км от А и вернулся в А, затратив на весь путь (туда и обратно) 14 ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки. 506. Комплект журналов может полностью заполнить 13 стандартных полок. В продаже были полки, на каждую из которых помещалось на 2 журнала меньше, чем на стандартную. Поэтому пришлось купить 17 полок, и при этом осталось свободное место для двух журналов. Сколько журналов было в комплекте? 507. Бригада рабочих строит мост за 14 дней. Если бы в бригаде было на 4 человека больше и каждый работал бы на один час в день дольше, то та же работа была бы выполнена за 10 дней. При увеличении же бригады еще на 6 человек и рабочего дня еще на один час вся работа была бы выполнена за 7 дней. Сколько человек было в бригаде и сколько часов в день они работали? 508*. Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала был от- 1 крыт только первый кран на - того времени, которое потре- о бовалось бы для наполнения бассейна лишь вторым краном. Затем был открыт только второй кран на ^ того времени, ко- о торое потребовалось бы для наполнения бассейна лишь пер- т. 13 ^ „ вым краном. Б результате оказалось наполненным — бассеи- 1о на. За какое время каждый кран в отдельности наполнит его, если оба крана наполняют бассейн за 3 ч 36 мин? 509*. Один вкладчик положил в банк некоторую сумму денег, другой — вдвое большую сумму. Сумма первого вкладчика через т лет составила р руб., а второго через п лет (где п Ф т) — q руб. Определить, какова первоначальная сумма денег первого вкладчика и сколько процентов в год выплачивает банк. 159 Упражнения к главе V 510. Выяснить, какая из данных пар чисел (1; 3), (1; -JS), (~1; ~ -Тз ) является решением системы уравнений \x^ + y^ = 4, W = S. 511. Выяснить, какая из двух систем уравнений х-у = 2у и х-у = 2. х^-у =Sx-Sy [x-\-y = S является следствием другой. 512. Выяснить, являются ли равносильными следующие системы уравнений: 1) Х + У = 1у и Х + У = 1у X -\-2у = 3 [х -2х-\-2 = 3; |д: + 2!, = 5, |, + 2i,*5, [х^-4у^=15 \х-2у^3. Решить систему уравнений (513—516). 513. 1) \х-у = 2, |зд: + 21/ = -4; 2) {х-2у^3, \ьх-у = 24-, 3) {х + у = \, \ху = -2-, 514. 1) \2х-у = Ъ, \3х + 2у = 11; 2) {Зх-2у = 5, [4x + 3i/ = l; 4) U-y = l, W = 6; 5) [x + y = -l, \x^-y^=-5; 6) \x-y = 3, \x‘^-y^=3. 3) \x^+y^ =8, \xy = 4; 4) \x^+y^=20, W = 8. 515. 1) 1 1_3 x^ y~8’ x + y = 12; 2) 1 у 12’ je+i/ = 10. 160 516. 1) |3^ 5«' = 75, |з«'-5^ = 45; 2) |2* 3*' = 12, l2«'-3* = 18; 3) \y-x = Q, \lgx-lgy = li 4) jx + j/ = 29, |lgx + lgi/ = 2; 5) jlog2 X+log2 у = log212, [log2 (x+i/) = 3; 6) I logg ЛГ + logg у = logg 63, [logg (ЛГ-1/) = 1. 517. 1) Среднее арифметическое двух чисел 25, а их среднее геометрическое равно 15. Найти эти числа. 2) Найти двузначное число, которое в 3 раза больше суммы его 27 ^ цифр и в — больше произведения его цифр. ПРОВЕРЬ СЕБЯ! 1. Решить систему уравнений: '’1 \х-у = 2, [х^-у^=12; 2) flogg ЛГ +logg 1/ = logg 6, [x4/=13; 3) •< 11 9 - + - = X у 14 х + у = 9. 2. Разность двух чисел в 24 раза меньше их произведения, а сумма этих чисел в 5 раз больше их разности. Найти эти числа. 518. Выяснить графически, сколько решений имеет система уравнений: 1)\х^+у^=4, 3) jlog2J: = i/-l, 1(0,ЗГ=1/; 4) \^:^-у=2х-\, )j/-logi (л:-1) = 0. х-у = 2-, 2) \у-4х=\, \ху^1; 6—Ю. М. Колягин, 10 кл. 161 Решить систему уравнений (519—531). 519. 1) jjc + i/ = 4, \х^ -ху + у^ =52; 520. 1) 1х^ + ху+2у^ = 74, [2х^ + 2ху+у^ = 73; 2) |5x^-6xj/+5i/^ = 29, [7x^-8xy+7i/^ = 42; 521. 1) |(д:-1)(1/-1) = -8, 1(л: + 2)(1/ + 2) = 7; 2) \х + у + ху = \\, \х^у + ху^ =30; 522. 1) \х^-ху+у^ = 2Х \i^ -2ху+\Ъ=0; 523. 1) |д:^-1/^=9, \ху = -2; 524. 1) 1ху[у + уу[х = 30, \x^y+xy^ = 46S; 2) \х^ + 2ху + у^ =1-ху. [х + у = -2. 3) 1бх^-х+1^ = 4, [8x^-xy+2y^ = 8; 4) \х!^-3ху+2x^ = 3, [2х^-2ху-г^ = -6, 3) 4) ху х + у 2 х^у + ху^ =2; X с ху---= 6, у У 15 ^ X 2 2) \2if^-Axy+3:^ = \7, 2) р+/=17, \ху = 2. 2) |^ + ^ = 5, + ^ = 7. 525*. 1) J^3Af-2i/ + 9 + ^2Af + i/-6 = 3, 2) jTTxTy + .у/хТу = 6, [у/х + у-1/+лг = 2. [у/Здг-2г/ + 9-у/2л:+1/-6 = 3; 526. 1) |3 5*-2-3» = 21, l5*-3*'=675; 527. 1) |2* -3‘*'=1152, |log^(x + i/) = 2; 528. 1) hg^ x^\g^ у = 5, \lgx-lgy = l; 2) |бл:+7-2*' = а |з 2*'^^-5л:=93. 2) |з*-9*^=27, \\g{2x+y^)-\gx=\g3. 2) flogg X + logg у = 2 + logg 2, [logg (д: + 1/) = 2. 162 529. 1) |lg(o:4/) = l+21g2, 2) jlogg д:^ + 1одз(л:-{/)=1, [ig (д: + у) - Ig (д: -1/) = Ig 2; [logg у = log4 {pcy-2). 530*. 1) logg — 2 - log2 i/ = 21og4 (l/+1), 5 + log2- = -^; log2^ 2) 2 + log^(2^:) = log3 z/^ 21og3 I 9 + ^ l-log3 =21og3 (ДС + 2). 531. 1) |l0‘^‘®<^^*'>=50, [ig (д: -1/) + Ig (x +1/) = 2 - Ig 5; 2) l(8^/2)'"‘‘' = 0,5®^^^ [logs (ж- 2i/)+logs (Здс+2у)=3. 532. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу, первый — из пункта А, второй — из пункта В. До места их встречи первый прошел на 1 км больше, чем второй. Первый пешеход прибыл в пункт В через 45 мин после их встречи, а второй — в пункт А через 1 ч 20 мин. Найти расстояние от А до В. 533*. Два спортсмена бегают по замкнутой дорожке стадиона. Скорость каждого постоянна, и на пробег всей дорожки один тратит на 5 с меньше другого. Если они стартуют одновременно и в одном направлении, то окажутся рядом через 30 с. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях? 534*. Бассейн наполняется тремя насосами за 3 ч, причем первый насос вдвое производительнее второго. Если бассейн сначала наполнить на 0,5 объема первым и третьим насосами, а затем 0,5 объема вторым и третьим, то он наполнится за 5 ч. За какое время наполнится бассейн, если будет работать только третий насос? 535*. Имеются два сплава, состоящие из железа, никеля и хрома. Процентное содержание хрома в первом в 5 раз больше, чем никеля во втором сплаве. Кусок первого сплава массой 200 г сплавили с куском второго сплава массой 400 г и получили сплав, содержащий q% никеля. Сколько граммов железа содержит новый сплав, если первый сплав содержит 30% никеля, а второй — 40% железа? 6* 163 Историческая справка Еще СО времен вавилонян и древних индусов считается, что одной из основных целей алгебры является решение уравнений и их систем. В Древнем Вавилоне более 4000 лет назад умели решать уравнения первой, второй и некоторые уравнения третьей степени. Однако общей теории решения уравнений в те времена еще не было. Приведем задачу, найденную в папирусе Кахуна (XVIII— XVI вв. до Н.Э.). Задача сформулирована в современных обозначениях и сводится по существу к решению системы уравнений: «Най- ти числа XVI у у для которых + у^ = 100 и х В папиру- се задача решена методом «ложного положения». «Положим jc = 1, 3 Г 5 тогда У = ил:^ + у^= - . Но в условии х^ у^ = 10^, значит, в 5 качестве х нужно брать не 1, а 10 : - =8. Тогда z/ = 6». В древности уравнениям придавалась геометрическая форма. Сегодня напоминание о «геометрической алгебре» встречается, например, в терминах «квадрат числа», «куб числа» и др. (2^ мы читаем как ^два в квадратеу 2^ — как <^два в кубе» у уравнение вида ах^ -н Н- fejc + с = о называем квадратным» и т.д.). Известно, что впервые правила преобразований уравнений, обосновав их, правда, геометрически, разработал выдающийся узбекский ученый первой половины IX в. аль-Хорезми, В XII в. труды аль-Хорезми были переведены на латинский язык и долгое время в Европе являлись основным руководством по алгебре. Арабское название операции «восполнение» («перенесение отрицательных членов уравнения в другую часть») звучало как «ал-джебр», что и дало название разделу математики, занимающемуся решением уравнений, — «алгебра». Начало освобождения алгебры от геометрической формы в III в. связывают с именем древнегреческого ученого Диофанта, Однако лишь после того, как французский математик Ф. Виет (1540— 1603) ввел буквенные обозначения для неизвестных и известных величин, и после появления трудов Р, Декарта (1596—1650) и других европейских ученых XVI—XVII вв. процесс освобождения алгебры от геометрической терминологии был завершен. Этот процесс способствовал расцвету алгебры и развитию различных ее направлений: теориям уравнений, многочленов, функций и пр. 164 ГЛАВА vj ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ § 24. Радианная мера угла Пусть вертикальная прямая касается в точке Р окружности с центром О радиуса 1 (рис. 42). Будем считать эту прямую числовой осью с началом в точке Р, а положительным направлением на прямой — направление вверх. За единицу длины на числовой оси возьмем радиус окружности. От- к метим на прямой несколько точек: ±1, ± — , ±3, ±7С. Напомним, что число п — отношение длины окружности к диаметру этой окружности. Число к является иррациональным, причем п = 3,14. Вообразив эту прямую в виде нерастяжимой нити, закрепленной на окружности в точке Р, будет наматывать ее на окружность. При этом точки числовой прямой с координатами, например, 1, — , -1, -2 соответственно перейдут в точки окружности Mj, Mg, Mg, М^, такие, что длина дуги PMj равна 1, длина дуги PMg равна ^ и т.д. Таким образом, каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности. Так как точке прямой с координатой 1 ставится в соответствие точка Mj, то естественно считать угол РОМ^ единичным и мерой этого угла измерять другие углы. Например, угол POMg следует считать равным ^ , угол РОМд — равным -1, угол РОМ^ — равным -2. Такой способ измерения углов широко применяется в математике и физике. В этом случае говорят, что углы измеряются в ра-дианной мере^ а угол РОМ^ называют углом в 1 радиан (1 рад). Отметим, что длина дуги окружности РМ^ равна радиусу. Рассмотрим окружность радиуса R и отметим на ней дугу РМу длина которой Р, и угол РОМ (рис. 43). 165 Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан. Найдем градусную меру угла в 1 рад. Так как дуга длиной kR (полуокружность) стягивает центральный угол в 180°, то дуга длиной R стягивает угол, в п раз меньший, т.е. 1 рад -{'^1 Так как п = 3,14, то 1 рад = 57,3°. Если угол содержит а радиан, то его градусная мера равна /180 \° арад= |—а| Задача 1. Найти градусную меру угла, равного: Зл 1) лрад; я 2) - рад; 3) рад. А По формуле (1) находим: я Зл 1) я рад = 180°; 2) — рад = 90°; 3) — рад = (1) 135°. А (??) Найдем радианную меру угла 1°. Так как угол 180° равен к рад, то Если угол содержит а градусов, то его радианная мера равна: я “ = 180“Р^- (2) Задача 2. Найти радианную меру угла, равного: 1) 45°; 2) 15°. А По формуле (2) находим: 1)45° = -45рад- ^ рад; 2)15° = 180 15 рад = — рад. А Приведем таблицу наиболее часто встречающихся углов в градусной и в радианной мерах: Градусы 0° 30° 45° 60° 90° 180° 0 я Я я Я Радианы 6 4 3 2 Я Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают. 166 Радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окружности. Так как угол в 1 рад стягивает дугу, длина которой равна радиусу Ry то угол в а рад стягивает дугу длиной l = oR. (3) Задача 3. Конец минутной стрелки кремлевских курантов движется по окружности радиуса = 3,06 м. Какой путь проходит конец этой стрелки за 15 мин? А За 15 мин стрелка поворачивается на угол, равный — рад. По л ^ формуле (3) при OL= — находим п 3,14 1= — R - • 3,06 м ~ 4,8 м. Ответ. 4,8 м. А Особенно простой вид формула (3) имеет в случае, когда радиус окружности R=l. Тогда длина дуги равна центральному углу, стягиваемому этой дугой (в радианах), т.е. 1 = а. Этим объясняется удобство применения радианной меры в математике, физике, механике ит.д. Задача 4. Доказать, что площадь кругового сектора радиуса R, образованного углом в а рад, равна R^ S = —а, где о < а < л. А Площадь кругового сектора в к рад (полукруга) равна к— . По-этому площадь сектора в 1 рад в к раз меньше, т.е. я— : я. Следо-вательно, площадь сектора в а рад равна • А Упражнения 536. Найти радианную меру угла, выраженного в градусах: 1)40°; 2)120°; 3)105°; 4)150°; 5) 75°; 6) 32°; 7) 100°; 8) 140°. 537. Найти градусную меру угла, выраженного в радианах: 1) 3)зЯ; 4) -к; 6 ’ 5)2; 6)3; 7)1,5; 8)0,36. 538. (Устно.) Определить градусную и радианную меры углов: а) равностороннего треугольника; б) равнобедренного прямоугольного треугольника; в) квадрата; г) правильного шестиугольника. 167 539. Вычислить радиус окружности, если дуга длиной 0,36 м стягивает центральный угол в 0,9 рад. 540. Найти радианную меру угла, стягиваемого дугой окружности длиной 3 см, если ее радиус 1,5 см. 541. Дуга кругового сектора стягивает угол в ^ рад. Найти площадь сектора, если радиус круга 1 см. 542. Радиус круга 2,5 см, а площадь кругового сектора 6,25 см^. Найти угол, который стягивается дугой этого кругового сектора. 543. Заполнить таблицу: Градусы 0,5° 36° 159° 108° Радианы 5 3 — К 10 2,5 1.8 544. Заполнить таблицу: Угол,град. 30° Угол, рад К ъ 2 Радиус, см 2 10 5 Длина дуги, см 2 5 10 Площадь сектора, см^ 50 25 50 § 25. Поворот точки вокруг начала координат в предыдущем параграфе использовался наглядный способ установления соответствия между точками числовой прямой и точками окружности. Теперь покажем, как можно установить соответствие между действительными числами и точками окружности с помощью поворота точки окружности. Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Ее называют единичной окружностью. Введем понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол а рад, где а — любое действительное число. 168 1. П у с т ь а > 0. Предположим, что точка, двигаясь по единичной окружности от точки Р против часовой стрелки, прошла путь длиной а (рис. 44). Конечную точку пути обозначим М. В этом случае будем говорить, что точка М получена из точки Р поворотом вокруг начала координат на угол а рад. 2. Пусть а<0. В этом случае поворот на угол а рад означает, что движение совершалось по часовой стрелке и точка прошла путь длиной |а| (рис. 45). Поворот на 0 рад означает, что точка остается на месте. Примеры 1) При повороте точки Р(1; 0) на угол ^ рад (рис. 46) получается точка М с координатами (0; 1). 2) При повороте точки Р(1; 0) на угол рад (см. рис. 46) по- Зл лучается точка N{0; -1). 3) При повороте точки Р(1; 0) на угол ^ рад (рис. 47) получается точка ЩО; -1). 4) При повороте точки Р(1; 0) на угол -к рад (см. рис. 47) получается точка L(-l; 0). 169 в курсе геометрии рассматривались углы от 0° до 180°. Используя поворот точки единичной окружности вокруг начала координат, можно рассматривать углы, большие 180°, а также отрицательные углы. Угол поворота можно задать как в градусах, так и в радианах. Например, поворот точки Р(1; 0) Зп на угол — означает то же самое, что и к поворот на 270°; поворот на - — — это поворот на -90°. Приведем таблицу поворотов на некоторые углы, по модулю меньшие 2тс, выраженные в радианной и градусной мерах (рис. 48). Отметим, что при повороте точки Р(1; 0) на 2л, т. е. на 360°, точка возвращается в первоначальное положение. При повороте этой точки на -2л, т. е. на -360° , она также возвращается в первоначальное положение. Теперь рассмотрим примеры поворотов точки на угол, больший 2л, и на угол, меньший -2л. Так, при повороте на угол точка совершает два полных оборота против часовой стрелки и проходит еще путь ^ (рис. 49). При повороте на угол -^=-2 2л-^ точка совершает два полных оборота по часовой стрелке и еще проходит путь — в том же направлении (рис. 50). Заметим, что при повороте точки 9л Р(1; 0) на угол — получается та же са- к мая точка, что и при повороте на угол — 9л (см. рис. 49). При повороте на угол - — получается та же самая точка, что и при повороте на угол - ^ (см. рис. 50). Рис. 48 170 Вообще если а = ttQ + 2nky где k — целое число, то при повороте на угол а получается та же самая точка, что и при повороте на угол (Х^. Итак, каждому действительному числу а соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки (1; 0) на угол а рад. Однако одной и той же точке М единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел а + 2nkj где k — целое число, задающих поворот точки Р(1; 0) в точку М (рис. 51). Задача 1. Найти координаты точки, полученной поворотом 5л точки Р(1; 0) на углы: 1) 7л; 2) - — . А 1) Так как 7л = л -I- 2л • 3, то при повороте на 7л получается та же самая точка, что и при повороте на л, т. е. получается точка с координатами (-1; 0). 5л 5л 2) Так как ~~~2~ ™ повороте на получается та же самая точка, что и при повороте на - — , т. е. получается точка с координатами (0; -1). А 171 3 а д а ч а 2. Записать все углы, на которые нужно повернуть Гл/З 1^ точку (1; 0), чтобы получить точку 2 2 А Из прямоугольного треугольника ЛОМ (рис. 52) следует, что угол АОМ к 6 , т. е. один из возможных углов пово- рота равен — . Следовательно, все углы, на которые надо повернуть точку (1; 0), (4з 1^ чтобы получить точку 2 2 , выра- жаются так: — + 2nkj где k — любое це-о лое число, T.e.k = 0; ±1; ±2; .... А Упражнения 545. Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол: 1)4л; 2)-|я; 3) 3,5л; 4) -6,5л; а.!. 7) 225°; 8) -45°. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки (1; 0) на угол (546—548). 546. 1) 5) л 4 ’ 4л ^ Т’ 2)- 3 ’ 3)|; 4)--7С; 7) 315°; 8) -225° 547. 1) 4 ± 2п; 2) -1- ± 2л; Зл 548. 1) — + 2nky k — целое число; 3) 4) -f ±8«. 2) - —п + 2лА:, k — целое число; 3) - л -I- 2nky k — целое число; 4) - ^ + 2nky k — целое число. 172 549. Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р(1; 0) на угол: 2)-2^; 3)-уя; 1)3л; 4) Sir; 5) 540°; 6) 810°. 550. Найти координаты точки, полученной поворотом точки (1; 0) на угол (k — целое число): 1) -у +2тг*; 2) у + 2irfe; 3) у +2тг*; 4) - у + 2irft. 551. Найти координаты точки, полученной поворотом точки (1; 0) на угол (k — целое число): 1)|±я; 3) - Y + тсА; 2)-±л; 4) -л + лА. 552. Найти все углы, на которые нужно повернуть точку (1; 0), чтобы получить точку с координатами: 1)(-1;0); 2)(1;0); 3)(0;1); 4)(0;-1). 553. Определить четверть (квадрант), в которой расположена точ- ка, полученная поворотом точки Р(1; 0) на заданный угол: 1)1; 2)2,75; 3)3,16; 4)4,95. 554. Найти число jc, где 0 < jc < 2л, и натуральное число А, такие, чтобы выполнялось равенство: а = jc + 2лА, если: 1)а = 6,7л; 4)а= 7-тг; 2) а = 9,8тг; еч 11 5)а= —тг. 3)а= 4-1Г; 17 6)а= уП. 555. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки Р(1; 0) на заданный угол: 1) ^ ±2л; 4 4)-^ ±8it; 4 7) -6it; 2)-g ±2it; 5) 4j5ic; 8) -In. 3) -It ±6it; 6) 5,5ir; 173 556. Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р(1; 0) на угол {k — целое число): 1) - Y + 2nk; 2) Y + 2л*; 3) у +2л*; 4) - у + 2л*. 557*. Записать все углы, на которые надо повернуть точку Р(1; 0), чтобы получить точку с координатами: ( .r^ ( 2) V2. Щ • S. 1] 2 ’ 2 У 2 ’ 2 / § 26. Определение синуса, косинуса и тангенса угла В курсе геометрии были введены синус, косинус и тангенс угла, выраженного в градусах. Этот угол рассматривался в промежутке от 0° до 180°. Синус и косинус произвольного угла определяются следующим образом (рис. 53): Определение 1. Синусом угла а называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол а (обозначается sin а). Определение 2. Косинусом угла а называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол а (обозначается cos а). В этих определениях угол а может выражаться как в градусах, так и в радианах. Например, при повороте точки (1; 0) на угол ^ , т. е. угол 90°, получается точка (0; 1). Ордината точки (0; 1) равна 1, поэтому sin ^ = sin 90° = 1; абсцисса этой точки равна 0, поэтому cos ^ = cos 90° = 0. Рис. 53 174 Отметим, что приведенные определения синуса и косинуса в случае, когда угол заключен в промежутке от 0° до 180°, совпадают с определениями синуса и косинуса, известными из курса геометрии. Например: sin ^ = sin 30° = — ; о ^ cos тс = cos 180° = -1. Задача 1. Найти sin (-тс) и cos (-тс). А Точка (1; 0) при повороте на угол -тс перейдет в точку (-1; 0) (рис. 54). Следовательно, sin (-тс) = 0 и cos (-тс) = -1. А Задача 2. Найти sin 270° и cos 270°. А Точка (1; 0) при повороте на угол 270° перейдет в точку (0; -1) (рис. 55). Следовательно, cos 270° = 0 и sin 270° = -1. А Задача 3. Решить уравнение sin jc = 0. А Решить уравнение sin jc = 0 — это значит найти все углы, синус которых равен нулю. Ординату, равную нулю, имеют две точки на единичной окружности: (1; 0) и (-1; 0) (см. рис. 54 ). Эти точки получаются из точки (1; 0) поворотом на углы 0, тс, 2тс, Зтс и т. д., а также на углы - тс, -2тс, -Зтси т. п. Следовательно, sin jc = 0 при х = nk, где k - любое целое число. А Множество целых чисел обозначается буквой Z. Для обозначения того, что число k принадлежит Z, используют запись А: е Z (читается: «к принадлежит Z»). Поэтому ответ к задаче 3 можно записать так: X = пку ке Z. 175 Задача 4. Решить уравнение cos jc = 0. А Абсциссу, равную нулю, имеют две точки единичной окружности: (0; 1) и (0; -1) (рис. 56). Эти точки получаются из лч ПК точки (1; 0) поворотом на углы — , — + тс, л ^ л л ^ — + 2л и Т.Д., а также на углы — - л, — -2л и Т.П., т.е. на углы ~ + kn, где ke Z. Ответ. -\-nky ke Z, А Задача 5. Решить уравнение: 1) sin х=1; 2) cos х = 1. А 1) Ординату, равную единице, имеет точка (0; 1) единичной окружности. Эта точка получается из точки (1; 0) поворотом на углы ^ + 2лА:, ke Z. Ответ. JC = ^ + 2лА:, ke Z. 2) Абсциссу, равную единице, имеет точка, полученная из точки (1; 0) поворотом на углы 2л А:, ke Z. Ответ. х = 2k7iy ke Z. А Определение 3. Тангенсом угла а называется отношение синуса угла а к его косинусу (обозначается tg а). Таким образом. Например: tga = tg0"=^ = ? = 0. cos 0° 1 sma cosa Vi Л Sin — 4 cosi^ ^ 4 2 Иногда используется котангенс угла а (обозначается ctg а), который определяется формулой ctg а = сова sina Например: cos^ 4 л sm — 4 = 1. Отметим, что sin а и cos а определены для любого угла, а их sina значения заключены от -1 до 1; tg а = определен лишь для 176 тех углов, для которых cos а О, т. е. для любых углов, кроме ^ I. L /у J. cosa а = — + nky ke Z; ctg а = — определен лишь для тех углов, для ^ sum которых sin а О, т. е. для любых углов, кроме а = лА, ke Z. Приведем таблицу часто встречающихся значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса: а 0 (0°) К 6 (30°) К (45°) К 3 (60°) К 2 (90°) к (180°) Зл ~2 (270°) 2л (360°) sin а 0 1 2 л/2 2 л/З 2 1 0 -1 0 cos а 1 л/З 2 л/2 2 1 2 0 -1 0 1 tga 0 1 л/З 1 л/З Не существует 0 Не существует 0 ctg а Не существует V3 1 1 л/З 0 Не существует 0 Не существует Задача 6. Вычислить: 4sin ^ + л/З cos ^ ^ А Используя таблицу, получаем 4sin ? + л/З cos ^ -tg ^ =4 ^ + л/з^-1 = 2,5. А о о 4 2 2 Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов, не вошедших в эту таблицу, можно найти по четырехзначным математическим таблицам В.М. Брадиса, а также с помощью микрокалькулятора. Задача 7. Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01: к 1) sin 25°; 2) cos 5 ’ 3) tg5. А На любом микрокалькуляторе вычисления проводятся с помощью одних и тех же клавиш: |sin|, |cos|, , перед которыми нужно нажимать клавишу . Перед вычислением надо установить переключатель Р—Г (радиан — градус) в нужном положении: 1)25 т 0,42261825. Ответ. 0,42. 177 2) [Ц 0 5 0 Ц 1^ 0,80901703. О т В е т: о, 81. 3) 5 @ @ -3,380514. Ответ: -3,38. А Упражнения 558. Изобразить на единичной окружности точку, соответствующую числу а, если: 1) sin а= 1; 5) sin а = -0,6; 6) sin а = 0,5; 1 2) sin а = 0; 3) cos а = -1; 7) cos а = 8) cos а =-0,25. 4) cos а = 0; 559. Вычислить: ... я . Зл 1) sin - + sin Y ; 2) sin j + cos I 3) sin к - cos k; 560. Найти значения синуса и косинуса числа р, если: 4) sin о - cos 2л; 5) sin л-I- sin 1,5л; 6) sin о + cos 2л. 5) Р = nk, ke Z; 6) р = (2* + 1)л,*е Z. 1) р = Зя; 2) р = 4л; 3) р = 3,5л; Вычислить (561 - 562). Зл 561. 1) sin Зл - cos — ; 2) cos о - cos Зл -I- cos 3,5л; 3) sin nk + cos 2nky где ke Z; (2Л+1)л . (4k+l)K , ^ 4) cos —-------sin —-— , где ke Z. 562. 1) tgл-l-cos л; 3) tg Л -I- sin л; 2) tg 0° - tg 180°; 4) cos Л - tg 2л. 563. Найти значение выражения: 1) 3 sin ^ + 2cos ^ “ tg ^ ; 2) 5 sin — + 3 tg — - 5 cos — - 10 ctg — ; 4 4 4 4 178 3) / -гг -гг Л О J. ^ J. ^ : cos 6 ’ А\ • ^ ЛЯ 4) sin - cos - - tg - 564. Решить уравнение: 1) 2 sin JC = 0; 3) cos jc - 1 = 0; 4) 1 - sin jc = 0. 565. Может ли sin a или cos a быть равным: 1)0,49; 2)-0,875; 3)-л/2; 4)2-л/2? 2) - cos jc = 0; 566. Найти значение выражения при данном значении а: 1) 2 sin а + л/2 cos а при сх = ^ ; 2) 0,5 cos а - л/З sin а при а = 60°; я 3) sin За - cos 2а при а = 6 ’ .. а . а я 4) cos — + sin — при OL = - . ^ о А 567. Найти значение выражения: . я я . я я 1) sin — cos — - sin — cos — ; 4 4 3 6 2) 2 tg2 ^ - ctg2 " - sin Я 6 я я 6 3’ 3) (tgi-ctg:](rtg2 + tg0 4) 2 cos^ ^ - sin^ 6 я ^ я ^ я -+tg- Ctg-. 568. Доказать, что ( я я и . я . я^ 2я cos — cos — sin — + sin — = cos—. I 3 бД 3 6j 3 569. Решить уравнение: 1) sin X = -1; 4) cos 0,5jc = 0; 2) cos jc = -l; 3) sin Sx = 0; 5) sin + = 6) cos(5jc + 4k)= 1. 179 570. Используя микрокалькулятор, проверить равенство: 1) sin 60° =0,866; 2) cos 45° = 0,707; 3) cos — = 0,996; 5 4) sin- = 0,225. 571. Используя микрокалькулятор, вычислить с точностью до 0,01: 1) sin 1,5; 2) sin 0,866; 3) sin 3,53; 4) sin 8,071; 5) cos 0,5; 6) cos 0,138; 7) cos 4,81; 8) cos 10,035; 9) sin 38°; 10) sin 13°; 11) sin 51° 15'; 12) sin 60° 20'; 13) cos 12°; 14) cos 42°; 15) cos 45° 12'; 16) cos 30° 10'. 572. Используя микрокалькулятор, вычислить с точностью до 0,01: 14 • ^ 1) sin -; 5)tgf; 9) sin 368°; «ч л 2) cos - ; 6) ctg 1; 10) cos 1025°; 04 10 3) cos у 7t; гтч.. 27 7) tg уЛ; ll)tg773°; 4)tg уЯ; 04 ч 11 8) tg -я; 12) tg 423°. § 27. Знаки синуса, косинуса И тангенса угла 1. Знаки синуса и косинуса Пусть точка (1; 0) движется по единичной окружности против часовой стрелки. Для точек, находящихся в первой четверти (квадранте), ординаты и абсциссы положительны. Поэтому sin а > 0 и cos а > о, если 0 < а < ^ (рис. 57, 58). Для точек, расположенных во второй четверти, ординаты положительны, а абсциссы отрицательны. Следовательно, sin а > 0, cos а < о, если ^ < а < тс (см. рис. 57, 58). Аналогично в третьей четверти sin а < 0, cos а < 0, а в четвертой sin а < 0, cos а > О (см. рис. 57, 58). При дальнейшем движении точки по окружности знаки синуса и косинуса определяются тем, в какой четверти окажется точка. 180 Рис. 57 Рис. 58 Если точка (1; 0) движется по часовой стрелке, то знаки синуса и косинуса также определяются тем, в какой четверти окажется точка; это показано на рисунках 57, 58. Задача!. Определить знаки синуса и косинуса углов: 1) у; 2) 745°; 3)-у. Зтг А 1) Углу ^ соответствует точка единичной окружности, рас-4 « „ . Зл ^ Зл . положенная во второй четверти. Поэтому sin cos < 0- 2) Так как 745° = 2 • 360° + 25°, то повороту точки (1; 0) на угол 745° соответствует точка, расположенная в первой четверти. Поэтому sin 745° > о, cos 745° > 0. 3) Так как -л < , то при повороте точки (1; 0) на угол 7 2 —Y получается точка третьей четверти. Поэтому sin I ^ cos 5л 'У <0. А По определению tg а = 2. Знаки тангенса sina cosa . Поэтому tg а > о, если sin а и cos а имеют одинаковые знаки, и tg а < о, если sin а и cos а имеют противоположные знаки. Знаки тангенса изображены на рисунке 59. 3 а д а ч а 2. Выяснить знак тангенса" угла: 1) 260°; 2) 3. А 1) Так как 180° < 260° < 270°, то tg 260° > 0. 2) Так как ^ < 3 < л, то tg 3 < 0. ^ У —>tga f — +\ \ ^ / ^ V + Рис 59 181 Упражнения 573. В какой четверти находится точка, полученная поворотом точ- ки Р(1; 0) на угол а. если: l)a=J; 6)а=-у; 2)a=f; 7) а = 3,5; 3)а = -|; 8) а = 4,8; 4)а=-—; 9)а = -1,31; 5)а=-; 10) а = -2,7? 574. Пусть О < а < ^ • В какой четверти находится точка, получен- ная поворотом точки Р(1; 0) на угол: 2) а - тс; 4)| +а; 5)а- з; 04 Зл 3)- -а; 6) я - а? 575. Определить знак числа sin а, если: 14 1)а = -; 04 2)а = -; 04 13 3) а = —к; .4 33л 4) а = -—; ,гч 5 5) а = --л; О 4 6) а = --л; 7) а = -^л; 8) а =-0,1л; 9) а = 4; 10)а=5,1; 11)а = -7,3; 12)а = -6,1; 13) а = 210°; 14) а = -230°; ; 15) а = 850°; 16) а = -470° Определить знак числа cos а, если: 2 1) а = -л; 7 2) а = -к; о 04 ЗЛ 3)а = --; 2 4) а = --л; 5 5) а = 2; 6) а = 4,6; 7)а = -4; 8) а = -5,3; 9) а = 290°; 10) а = -150° Определить знак числа tg а. если: 5 1) а = -л; 12 2) а = —л; э 04 3 3) а = --л; 5 5 4) а = --л; 5)а=1; 6)а = 3,7; 7) а = -3,4; 8)а = -1,3; 9) а =190°; 10) а = 283°. 182 578. Определить знаки чисел sin а, cos а, tg а, если: 3 7л 2) 1) л < а < -п; 3) ^ < а < 2л; 4) 2л < а < 2,5л. 579. Определить знаки чисел sin а, cos а, tg а, если: 1)а=1; 2)а = 3; 3)а = -3,4; 4)а = -1,3. 580. Пусть о < а < - . Определить знак числа: 1) Sin| - -а |; 4) tg а 2) COS I - + а |; 5) tg Зл ----а 2 3) cos (а - л); 6) sin (л - а). 581. Каковы знаки sin а, cos а, tg а, ctg а, если: Юл 1) Зл < а < 3 ’ 5л ПЛо ^ 2 4 582. Для каких значений аргумента а, заключенных в промежутке от О до 2 л, знаки синуса и косинуса совпадают (различны)? 583. Определить знак числа: 2л .. . 2л . Зл 1) sin — sin—; 3 4 sin— 1.’ cos-— 4 «V 2л л 2) cos — cos 3 6 ... 5л . л 4) tg—+ sin-4 4 584. Сравнить значения выражений: 1) sin 0,7 и sin 4; 585. Решить уравнение: 1) вш(5л-1-л:) = 1; 2) cos (х + Зл) = 0; 2) cos 1,3 и cos 2,3. 3) cos| 2'^-^ X 1= -1; 4) sin (9 , , -п-\-х 1= -1. 586*. В какой четверти находится точка, соответствующая числу а, если: 1) sin а -I- cos а = -1,4; 2) sin а - cos а = 1,4? 183 § 28. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла Выясним зависимость между синусом и косинусом. Пусть точка М(х\ у) единичной окружности получена поворотом точки (1; 0) на угол а (рис. 60). Тогда по определению синуса и косинуса X = cos а, у = sin а. Точка М принадлежит единичной окружности, поэтому ее координаты {х; у) удовлетворяют уравнению х^ у^ = 1. Следовательно, sin^ а-I-cos^ а = 1. (1) Равенство (1) выполняется при любых значениях а и называется основным тригонометрическим тождеством. Из равенства (1) можно sin а выразить через cos а и cos а через sin а: cos^ а. sin а = ± y[l-COS а = ± >/l-sin^ а. (2) (3) В этих формулах знак перед корнем определяется знаком выражения, стоящего в левой части формулы. г, ^ ^ . 3 Зл Задача 1. Вычислить sin а, если cos а=~-ил<а<—. э Z Зл А Воспользуемся формулой (2). Так как п<а< > то sin а < 0, поэтому в формуле (2) перед корнем надо поставить знак «минус»: sin а = cos 25 Задача 2. Вычислить cos а, если sin а=^и -^<а<0. о 2 А Так как < а < 0, то cos а > 0, поэтому в формуле (3) перед корнем нужно поставить знак «плюс»: COS( ;а = yjl- sin^ а = = 2V2 3 ’ 184 Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом. По определению тангенса и котангенса tga= ctga= cosa sma Перемножая эти равенства, получаем tga ctga= 1. Из равенства (4) можно выразить tg а через ctg а и наоборот: tga = ctga’ ctga = tga* (4) (5) (6) Равенства (4)—(6) справедливы при а Ф-ky ke Z. Задача 3. Вычислить ctg а, если tg а = 13. А По формуле (6) находим: ^ 1 1а ctga= -— = tga 13 Задача 4. Вычислить tg а, если sin а = 0,8 и — < а < л. По формуле (3) находим cos а. Так как ^ < а < л, то cos а < 0. Поэтому cos а = -yjl- sin^ а = --^1 - 0,64 = -0,6. Следовательно, cosa -0,6 3* Используя основное тригонометрическое тождество и определение тангенса, найдем зависимость между тангенсом и косинусом. Разделим обе части равенства sin^ а + cos^ а = 1 на cos^ а, предполагая, что cos а 0. Получим равенство cos^a+sin^a 1 sin а 0,8 cos^a 2 ’ cos а откуда 1 + tg^ а = —2 COS а (7) Эта формула верна, если cos а 0, т. е. при аФ кку ke Z. 2 Из формулы (7) можно выразить тангенс через косинус и косинус через тангенс. 185 3 7Г Задача 5. Вычислить tg а, если cos а = — и - <а< к. 5 2 А Из формулы (7) находим .2 1 1 1 1 16 tg 0С= 2 1 =------0-1= —. cos^ а /" 3 ^ V Тангенс во второй четверти отрицателен, поэтому tg а = —. А 3 Зтг Задача 6. Вычислить cos а, если tga = 3H7C/з 2 1 ^ ^ ^ если cos a=-— и —<а<л. 3 2 2) cos|^a--“ j, 619. Упростить выражение: 1) cos За cos a - sin a sin 3a; 2) cos 5P cos 2P + sin 5P sin 2P; 3) cos| ^ (n \ (bn ^./"л —+a pos----a -sin —+a 14 7 . Г5л sin-----a 114 4) cos (in ^ (2n ) . (In —+a cos — + a +sin —+a J V 5 I ^ sin 2л - + a 620. He пользуясь таблицами, вычислить: 1) sin 73° cos 17° + cos 73° sin 17°; 2) sin 73° cos 13° - cos 73° sin 13°; 04 . 5л Л . Л 5л 3) sin — cos — + sin — cos—; 12 12 12 12 .4 . 7л Л . Л 7л 4) sin — cos---sin — cos—. 12 12 12 12 7* 195 621. Вычислить: . f п\ 3 Зп 1) sin ос + — , если cos ос=~- ил<а< —; 04 • Г ^ ^ . \[2 к 2) sin ^ “ ос , если sin а=-^и - <а<к. 622. Упростить выражение: 1) sin (а + р) + sin (-а) cos (-Р); 2) cos (-а) sin (-р) - sin (а - Р); 3) cos|^^-ajsin|^^-Pj -sin(a- P); 4) sin (a + P)+ sin|^~-aj sin (- P). 3 3 623. Вычислить cos (a + P) и cos (a - P), если sin a = - -, -n то cos а < 0, и поэтому cosa= -yjl- sin^ а = -^Jl - 0,36 = -0,8. Следовательно, sin 2а = -1,2 • (-0,8) = 0,96. А Задача 2. Вычислить cos 2а, если cos а = 0,3. А Используя формулу (2) и основное тригонометрическое тождество, имеем cos 2а = cos^ а - sin^ а = cos^ а - (1 - cos^ а) = 2 cos^ а - 1 = = 2 (0,3)2-1 = -0,82. ^ Задача 3. Упростить выражение sm а cos а l-2sin^ а 2 sin а cos а sin 2а sin а cos а _ _ 1-2 sin^ а 2(sin^ а + cos^ а - 2 sin^ а) 2(cos^ а - sin^ а) sin2a li о = -tg2a. А 2cos2a 2 Задача 4. Вычислить tg 2а, если tg а = 2 * А Полагая в формуле tg (а + Р) = § 31) р = ос, по- 1-tgatgP лучаем tg 2а = 2tgg 1-tg^a’ (3) Если tg 2а = -, то по формуле (3) находим -i 4 Задача 5*. Вычислить sin За, если sin а = 7. 4 А sin За = sin(a + 2а) = sin а cos 2а + cos а sin 2а = = sin а (cos2 а - sin2 а) + cos а 2sin а cos а = 198 = sin a cos^ a - sin^ a + 2sin a cos^ a = 3sin a cos^ a - sin^ a = = 3sin a (1- sin^ a) - sin^ a = 3sin a - 4sin^ a = sin a (3 - 4 sin^ a). При sin a = - получаем sin 3a = -4 4 4 16 Упражнения Используя формулы двойного угла, преобразовать (633 — 634). 633. 1) sin 48°; 2) cos 164°; 3)tg92°; 4) sin 45°; 634. 1) sin|^^ + a\ 5) sin Y; 2) sinj^l + pj; 6) COS Y • 3) cosj^^-al; 4) cos (— + a I 2 5) sin a; 6) cos a. He используя таблицы, вычислить (635 — 637). 2tgl5° 635. 1)2 sin 15° cos 15°; 3) 2) cos^ 15° - sin^ 15°; l-tg2l5° 4) (cos 75° - sin 75°)2. n 636. 1) 2sin- cos-; 3) 8 8 2tg 8 1-^1 ri\ 2 ^ . 2 ^ 2) cos g-sin -; ^ f n . к 4)-cos — + sin — ^28 8 637. 1) 2sin 75° cos 75°; 3) 2)cos2 75°-sin2 75°; 4) 638. Вычислить sin 2a, если: 14 • 3 л 1) sina=- и - <а<л; э 2 4 Зл 2) cosа=-- ил<а<—; 5 2 639. Вычислить cos 2а, если: 6tg75° l-tg45° ’ tg^ 22°3(У-1 tg22°30' 3) sin a + cos oc = 2 ’ 4) sin a - cos a = - ^ . о l)cosa= -; 5 2) sin a = - - . о 199 640. Вычислить tg 2а, если tg а = 0,5. Упростить выражение (641—642). 641. 1)2 cos 40° • cos 50°; 3) sin 2а + (sin а - cos а)^; 2) 2 sin 25° • sin 65°; 4) cos 4a + sin^ 2a. 642. 1) sin 2a (sin a + cos a) -1 2) l+cos2a 1-cos 2a* 643. Доказать тождество: 1) sin 2a = (sin a + cos a)^ - 1; 2) (sin a - cos a)^ = 1 - sin 2a; 644. Вычислить sin 2a, если: 3) cos^ a - sin^ a = cos 2a; 4) 2 cos^ a - cos 2a = 1. l)sina + cosa= -; 645. Доказать тождество cos 2a 2) sin a - cos a = - 3 * 1) ^= ctg a - 1; sm a cos a + sin a sin2a-2cosa « ^ 2) —:----Г-2— = “2ctg a; sm a - sm a 3) tg a (1 + cos 2a) = sin 2a; .V l-cos2a + sin2a , - Л-----Б---^^Ctga=l; l+cos2a + sm2a (l-2oc6^a)(2sin^a-l) о о 5) ----■ . 2 —2------- = ctg‘^ 2a; 4sm^acos^a 6) 1 - 2sin^ f ^ ~ ^ I = sin a; 7) cos^ a sin a - sin^ a cos a = sin 4a 8) sina + sin2a l+cosa + cos2a 646. Доказать тождество = tga, sin^ a cos^ a 2V2 si sm| cos a (1 + ctg a) sin a (1 + tg a) sin 2a 647. Решить уравнение: 1) sin 2jc - 2 cos jc = 0; 2) cos 2x + sin^ x=l; 3) 4cos X = sin 2x; 4) sin^ X = -cos 2x; 5) sin I cos I + ^ = 0; 6) cos^ ^ = sin^ — x 2 200 § 33. Синус, косинус и тангенс половинного угла По некоторым значениям sin а и cos а можно найти значения . а а ^ а sin — , cos — и tg — , если известно, в какой четверти лежит угол ос. dk Сл (X Из формулы cos 2х - cos^ х - sin^ х при х = — имеем 9 а . 9 а cos а = cos^ — - sin^ — . Запишем основное тригонометрическое тождество в виде 1 ? ^ • 1 = cos^ — + sin а (1) (2) 2 ' 2 * Складывая почленно равенства (2) и (1) и вычитая почленно из равенства (2) равенство (1), получаем а ~г а ~2' Формулы (3) и (4) можно представить так: 1 + cos а = 2 cos^ ^, 1 - cos а = 2 sin^ (3) (4) cos 2 а 1 + cos а sin 2 а 1 - cos а (5) (6) Формулы (5) и (6) называют формулами синуса и косинуса половинного угла. Иногда их называют также формулами понижения степени. а Если известен cos а, то из формул (5) и (6) можно найти sin — и cos ^ с точностью до знака. Знак может быть определен, если из-^ а вестно, в какой четверти лежит угол — Задача 1. Вычислить cos ^ , если cos а = -0,02 и 0 < а < л. А По формуле (5) находим о а 1 + cosa 1-0,02 л п Так как 0<а<л, то0< — < - ,и поэтому cos ^ > 0. Следова- тельно, cos ^ = ^0,49 = 0,7. А 201 Разделив почленно равенства (6) и (5), получим формулу тангенса половинного угла: а 1-cosa tg^ 1+cosa ’ (7) а Задача 2. Вычислить tg — , если cos а = 0,8 и п<а<2п. А По формуле (7) имеем 2 ^ _ 1-cosa _ 1-0,8 _ 0,2 _ 1 ^ 2 ~ 1+cosa 1+0,8 1,8 9’ По условию л < а < 2л, поэтому - < — <лиtg— <0. Следо- I- Ск Сл dk + “ ^ 1 А вательно, tg ^ 3- Задача 3. Упростить выражение 1-сова ,2 а 1+cosa 1+cosa2 2 ■ А Используя формулы (7) и (5), получаем 1-cosa .2а 1 + cosa --------ctg------------= 1 + cos а 2 2 2 sin' 2 cos — 2 2 a у ,2a 2 ос -^•ctg --cos - = 2 a 2 2 ,2a, 2a 20C. 20C .20C. = tg — ctg----cos — = 1-cos — = sin —. A 2 2 2 2 2 Задача 4. Решить уравнение 1 + cos 2л: = 2 cos x, A Так как 1 + cos 2л: = 2 cos^ л:, то данное уравнение примет вид 2cos^ л: = 2 cos л:, откуда cos х (cos л: - 1) = 0. 1) cos л:=0, л:=^+л/е, AgZ; 2) cos л: = 1, л: = 2лп, п g Z. ^ Итак, исходное уравнение имеет две серии корней: л: = - + л Л, /е G Z и л: = 2лп, п g Z. В ответе можно записывать обе серии с одной буквой (k или п). Ответ. л:=-+л/е, x = 2nk,keZ. А Задача 5. Выразить sin а, cos а и tg а через tg а 2tg- 1 + tg А l)sin а= sinl 2 — )=2sin —cos—= ^ ‘2 2 2 ,2 CC Итак, о . a a 2sin —cos — 2 о . a a 2sin —cos — . 2 a . 2 a sin — + cos -2 2 (8) 202 2« .2« 2« .2» ч ^ ^ COS —-sm — COS —-sm — 2) cos a = cos I 2 • - |=cos^ — sin^ —=------- =------------ = ' 2 j 2 2 1 ^;„2 a __2 a l-tg2- 2_ Итак, l + tg‘ .2 a 3)tga= tg 2 a sm —+ COS 2 2 (9) (10) Эту формулу можно также получить почленным делением формул (8) и (9). А Итак, по формулам (8)—(10) можно находить синус, ко- а синус и тангенс угла а, зная тангенс угла —. Упражнения 648. Выразить через двойной угол: 1) sin^ 15°; 2) cos^ ^; 3) cos^ | ^ 649. Найти значение выражения: 4) sin^j^J + aj. 1) 2 cos^ g - 1; 2) 1 - 2 sin2 ^ ; 3) ^ +2sin2l5°; /о 4) +2 cos^ 15°. и 650. Пусть cos a = 0,6 и 0 < a < -. Вычислить: 1) sm -; 2) cos 2 ’ 3)tgf; 4) ctg -, 3 к 651. Пусть sin a = - и - /з . А 2 sin а + л/з = 2 = 4 sin л/з' sin а + — 2 = 2 I sin а + sin - I = '^а л ^ (о. л ^ —+ cos------------ 2 6 2 6 212 Задача 6*. Доказать, что наименьшее значение выражения sin а + cos а равно - V2 , а наибольшее равно л/2. А Преобразуем данное выражение в произведение: ^=2sin^cos[^a-^j = . п sin а + cos а = sin а + sin I ~ “ ос = л/2 cos l^oc-^ Так как наименьшее значение косинуса равно -1, а наибольшее— 1, то наименьшее значение этого выражения равно л/2 • (-1) = - л/2 , а наибольшее равно л/2 • 1 = V2. А Упражнения 677. Вычислить без таблиц: 1) cos 105°-н cos 75°; 2)sin 105°-sin 75°; Птг 5 л 3) cos —+COS-; 11л 5л 4) cos —-COS-; 678. Упростить выражение: 1) sin I ^ + ос I + sin I ? ” ос I; 3 2)cos I ”-Р COS +р 679. Доказать тождество: sina + sin3a 1) cosa + cos3a ==tg2a; 5) tg 267° +tg 93°; 04 i. i. 7ti ГТЧ • 7л . Л 7)sm- -sm-; 8) sin 105°-h sin 165° 3) sin2 4) cos^ H-a ^ л^ a-~ 4 -Sin2|--0C - COS^ a-h- 4 2) sin2a + sin4a cos2a-cos4a = ctga. 680. Упростить выражение: 2(cosa + cos3a), l + sina-cos2a-sin3a 2sin2a + sin4a’ a + sina-1 681. Доказать тождество: 1) cos^ a - sin^ a -H sin 2a = V2 cos 2a 2л 2) cos a + cos I -- + a f2n ) + COS / 3 j -0; 213 ^ + а I + cos^ 3) cos^ a + cos^ .V sin2a + sin4a-sin3a 4) я --a 3 3 ^ 2 ’ = tg3a. (X)s2a + (X)s4a-(X)s3a 682. Преобразовать в произведение: 1) 1 + 2 sin a; 5) 1 + sin a; 2) 1 - 2 sin a; 6) 1 - sin a; 3) 1 + 2 cos a; 7) 1 + cos a + sin a; 4) л/з - 2 cos a; 8) 1 - cos a - sin a. 683. Доказать тождество: ^ ч ^ . ot 5a ^ 1) cos a + cos 2a + cos 6a + cos 7a = 4cos — cos — cos 4a; ^ч « ^ ^ я. ^ . cx . 7a 2) cos 2a + cos 5a - cos 3a - cos 7a = - 4sin — sin a cos — La La 684. Упростить выражение: 1 + sin a - sin 3a - cos 2a 1) 2sin'^ a + sin a -1 2) tg(a + p)-tgg 1 + tga tg(a + p)* 685. Решить уравнение: 1) sin Sx + sin x = 0; 2) cos 4x + cos x = 0; 3) sin Sx = sin x; 4) tg л: + tg Sx = 0; 6) cos (2x - я) - sin^4^: + ^ 7) sin Sx + sin x = 2 cos x; 8) cos 5x - cos x = 2 sin Sx; = 0; 5) sin 5^: + cos|^^:-^ j =0; 686*. Разложить на множители 1) 1 - cos a + sin a; 2) 1 - 2 cos a + cos 2a; 687*. Вычислить без таблиц: 1) tg 9° - tg 27° - tg 63° + tg 81°; 0 - - cos X — Ч . 4j ^ 1 - sin 2x + - 3j 3 = 0; 10) sin 3) 1 + sin a - cos a - tg a; 4) 1 + sin a + cos a + tg a. 2) cos 36° + cos 108° 214 § 36. Произведение синусов и косинусов В ходе преобразований тригонометрических выражений бывает также полезно представлять произведение синусов и косинусов в виде суммы или разности. Так, для произведения синуса и косинуса справедлива формула: sin а cos Р = - [sin (а + р) + sin (а - р)]. о По формулам сложения имеем sin (а + р) = sin а cos р + cos а sin р; sin (а - р) = sin а cos р - cos а sin р. Складывая почленно эти равенства, получаем sin (а + р) + sin (а - р) = 2sin а cos р, откуда следует формула (1). • Аналогично доказываются формулы: (1) sin а sin Р = - [cos (а - р) - cos (а + р)], COS а cos Р = ^ [cos (а + р) + cos (а - р)]. (2) (3) Задача 1. Доказать тождество: + а 4 sin а sin А Применяя формулу (2), имеем 2 sin sin I 3 “ ^ I = ^ (k ] sin — a l3 J j 2л = cos 2a - cos — = cos 2a + - . о Z Тогда левая часть примет вид 2sin а cos 2а + sin а. Используя формулу (1), находим 2sin а cos 2а = sin За - sin а, откуда следует, что левая часть тождества равна sin За. А Задача 2. Вычислить 4 cos — cos —. Х^ А По формуле (3) получаем 5л 12 ■12 . 5л ^ оГ 6л . 4л 4 cos — • cos — = 2 cos— + cos— = 2 cos- + cos 2 3 12 12 1. A 215 Задача 3. Решить уравнение 2 sin 2х cos X = sin Зх. А По формуле (1) находим sin Зх + sin л: = sin Зл:, откуда sin х = 0^ х = nk, ke Z. А Упражнения Представить произведение в виде суммы (688—690). 688. 1) sin 4° sin 6°; 3) cos 7° cos 90°; 2) sin 11° sin 13°; 4) cos 15° cos 3°. 689. 1) sin (a +P) sin (a - p); 3) sin (a + P) cos (a - p); 2) cos (a - p) cos (a + p); 4) cos (a + p) sin (a - p). 690. 1) 4 sin 10° cos 50° cos 40°; 2) 4 cos 15° sin 15° sin 100° 691. Вычислить: sin (60° + a) sin (60° - a), если cos 2 a = ^. о 692. Доказать тождество: 1) 2 sin X sin 2x + cos 3x = cos x; 2) 2 sin 693. Вычислить cos л ^ fa Л ^ I2 12J ‘'«s [2 ^l2 J = sin a - sin J + a cos f-a 694. Вычислить sin 13“*"^ cos 10“'"^ , если sin a = , если cos a = 695. Решить уравнение: 1) 2sin Зх sin 2x = cos x; 3) sin 2 x cos x = sin x cos 2x; 2) 2 sin 3x cos x = 2 sin x cos x; 4) sin x cos 3x = sin 3x cos x. 696. Преобразовать произведение в сумму: 1) sin а cos За cos 4а; 2) cos За cos 5а cos 7а. Упражнения к главе VI 697. Найти: 14 . >/з л 1) cos а, если sin а = — и - < а < я; о ^ о. i. '/5 Зл 2) tg а, если cos а = —— и ж а < —; 216 3) sin a, если tg a = 2>/2 и 0 < a < ^; 4) cos a, если ctg a=V2 ил<а<^. 698. Упростить выражение: 1) 2 sin (-а) cos | g - « - 2 cos (-a) sin | g “ “ 2) 2 sin (n - a) cos | g “ “ + 3sin^ 1 “2; 3)(l + tg2(-a)) l + ctg (-a) sin (л + a) cos 4) 3tc I. --«Itg a-~ 2 , 71 "1 Г 371 ^ COS - + a cos — + a 2 J ^2 tg(K + a) Вычислить (699—700) 47л 699. 1) sin 6 ’ Г.Ч . 25л 2) tg—; 3) ctg 27л 4) cos 21л 14 23л 15л 700. 1) cos —----sin —- ; 4 4 ^ 25л Юл 2) sin — - tg 701. 1) 3 3 ’ Упростить выражение (701—702) f 2 \ 1 + COS a 4 ’ 4 3) cos 3660° + sin (-1560°); 4) cos (-945°) + tg 1035°. - sin a sin a 1. ^tga; 2) ctg a ft *2 1 + Sin a cos a - cos a sin (n ^ - + a 4 (n ^ - cos - + a И . (n ^ (n ^ 04 _i4 j И . Г Л ^ sin - + a И J + COS fn V - + a sin И j --aVcosf--a и j U j 702. 1) 703. Доказать тождество: 14 1 i. i. D cos(a-B) 1) l + tgatgp= —^ cosacosp 2) tga-tg|i=S!<2^, cosacosp 217 Вычислить (704—705). 704. 1) 2sin 6а cos^ - + 3а • л - sin 6а при 0L = ^4 5тс 2) cos За + 2 cos (к - За) sin^ | ^ - 1,5а | при « = ^ • 705.1) ^/3(cos 75° - cos 15°) l-2sin45° 2) 2cos^ - -1 ^ п . О ^ 2 ^ l + 8sin -cos - 8 8 706. Доказать тождество: 2sin2a-sin4a ^ 2sin2a + sin4a 707. Показать, что: 1) sin 35° + sin 25° = cos 5°; 2cos2a-sin4a ^ ^ Qnrta 9/v -I- Gin At* ~ --a 4 2cos2a + sin4a 2) cos 12° - cos 48° = sin 18°. ПРОВЕРЬ СЕБЯ! 1. Вычислить sin a, tg a, cos 2a, если cos a=-^ и-<а<л. Э A 2. Найти значение выражения: 8л 7л 3) tg — ; 4) cos 1) cos 135°; 2) sin ^ ^ 3. Доказать тождество: 1) 3 cos 2a - sin^ a + cos^ a = 2 cos 2a; 04 sin5a-sin3a 2) —----------= sin a. 2cos4a 4. Упростить выражение: 1) sin (a - p) - sin [ 2 “ ^ (“P)» 2) cos^ (л - a) - cos^ ~ ^ ’ 3) 2 sin a sin p + cos (a + p). 2 . 2 ^ - Sin^ — 708. Упростить выражение cosp ^ sinp ^sina cosa^ 1-соб4а соб(л-р + а)’ 218 Доказать тождество (709—710). sin (2а - Зя) + 2cos|^^ + 2g j 709. 1) 2cos f - - 2а 1+ >/з cos (2а - Зя) 4sin^ (а - 1,5я) 2)^ sin"^ (а - 2,5я) + cos"^ (а + 2,5я) -1 yJSctg 2а; = -2ctg^ а; 3) -2cos^ (сх-я) cos (а - 1,5я)+sin (а + 1,5я) -1 2 cos 4) --2а 6 - ^/Зsin(2,5я-2a) cos (4,5я - 2а) + 2 cos W Л - + 2а 6 710. 1) = sin2a-sina = ctg^a; _ tg2a “ V3 • 2) - Sin a + sin — ^ ____________2 _ ^ - ^ 1 + cos a + cos — 2 i VA a ^2’ 711. Вычислить: ... a 1 5я ^ ^ Зя 1) ctg — , если cos а=-и — О, то корень заключен в про- межутке ; если а < О, то в промежутке Этот корень на- зывают арккосинусом числа а и обозначают arccos а (рис. 67). Арккосинусом числа а, модуль которого не больше единицы, называется такое число х из промежутка О < л: < л, косинус которого равен а: _________________________________ ' ' (5) arccos а = Ху если О < л: < л и cos х = а. Например: 14 л/з л ^ л/З 1) arccos = ё > так как О < ^ ^ и cos ; 2 Ь о Ь 2 2)arccos V2 Зл Зл^ Зл 4/2 —, так как О < — < л и cos — = — 4 4 4 2 224 Рис. 67 Формулу (5) можно также представить в виде: cos (arccos а) = а, если | а | < 1. (6) Например, cos (arccos 0,3) = 0,3. Задача 4. Найти приближенное значение arccos (-0,75). А Значение arccos (-0,75) можно приближенно найти на рисунке 68, измеряя угол РОМ транспортиром. Приближенные значения арккосинуса можно также находить с помощью специальных таблиц или микрокалькулятора. Например, значение arccos (-0,75) можно вычислить на микрокалькуляторе МК—54 по программе 0.75 \/^ d cos ^1 2,4188583. Итак, arccos (-0,75) = 2,42. В данном случае переключатель микрокалькулятора Р-ГРД-Г был установлен в положение Р (радиан). Если вычисления проводить в градусной мере, то переключатель микрокалькулятора Р-ГРД-Г следует установить в положение Г (градус). Программа вычислений остается прежней: 0,75 d 1соб ^1 138,59038. Итак, arccos (-0,75) 139°. А Задача 5. Решить уравнение cos л: = cos а, (7) где а — заданное действительное число. А Запишем уравнение (7) в виде cos л: - cos а = 0. 8~Ю. М. Колягин, 10 кл 225 тт , 1 . jc + a . jc-a л По формуле разности косинусов получаем — sin-----sin-----= О, 2 2 2 откуда: l)sin —г— =0, -г- =лА, X = -а + 2nk, ke Z; (8) . jc-a ^ jc-a 2)sin -у- =0, -у- =nky x = a + 2nk, ke Z, (9) Объединяя формулы (8), (9), имеем: х = ±а-\- 2кк, ke Z. А Отметим, что если в уравнении (7) а = arccos а, где | а | < 1, то его можно записать так: cos х = а. Результаты решения задач 1—3 позволяют сделать следующий вывод: Все корни уравнения cos л: = а, где \а \ <1, находятся по формуле (10) х = ± arccos а + 2nky ke Z. Отметим, что формулы (2) - (4) являются частными случаями формулы (10). V3 Задача 6. Решить уравнение cos х = — . А По формуле (10) находим х = ± arccos ^ + 2nk. Так как arccos ^=^,тол: = ±^+ 2я/е, ke Z. А 2 о о V2 Задача 7. Решить уравнение cos х = —— . А По формуле (10) получаем х = ± arccos ^ V2^ Л 2 + 2nk, Так как arccos Зя . Зя ^ ^ , = —- , то л:= ±—- + 2nky ke Z. А 4 4 Задача 8. Решить уравнение cos х = - 2 V5 А Так как V5 > 2, то - V5 < -2, поэтому - — < -1. Следователь-но, уравнение не имеет корней. А 226 Докажем, что для любого а g [-1; 1] выполняется равенство (11) arccos (-а) = тс - arccos а. О Обозначим arccos а = х. По определению арккосинуса числа имеем: 1) О < X < тс; 2) cos х = а. Тогда: 1) по свойствам неравенств -тс < -х < О, откуда О < тс - х < тс; 2) по формуле приведения cos (тс - х) = -cos х = -а. Следовательно, по определению арккосинуса числа имеем: arccos (-а) = тс-х = тс-arccos а. • Например, arccos 2 Vs л 5л = л - arccos -7г . 2 о о Формула (11) позволяет сводить значения арккосинуса отрицательных чисел к значениям арккосинуса положительных чисел. Поэтому в таблицах обычно даются значения арккосинуса только для неотрицательных чисел. Приведем таблицу часто встречающихся значений арккосинуса: а 0 1 2 V2 2 V3 2 1 л л Л Л 0 arccos а 2 3 4 6 Задача 9. Решить уравнение cos х = -\ А По формуле (2) находим х = ± arccos | -- + 2лт1, G Z или х= ± л - arccos -5 + 2ппу пе Z. А Задача 10. Решить уравнение 1 + 2cos (2х - 1) = 0. А Данное уравнение можно представить в виде cos(2x- 1) = -|. 1 ^ Отсюда 2х - 1 = ± arccos + 2пп = ± I л - arccos - | + 2пп = = ± ^ + 2кп, 2х = 1 ± ^ + 2кпу ^^ ^ пе Z. А 8* 227 Отметим, что корни тригонометрических уравнений обычно записываются действительными числами, выраженными с помощью числа к. Это связано с тем, что значения тригонометрических функций повторяются через промежутки, кратные к. Так, корнями уравнения cos х = cos 5 являются числа л: = ±5 -I- 2тсА, keZ. Приведем еще несколько задач на применение рассмотренных формул. Задача 11. Решить уравнение cos Зх cos х = 1- sin Зх sin х. А cos Зх cos X -н sin Зх sin л: = 1, cos 2х = 1, 2х - 2тш, X = 7Ш, пе Z. А Задача 12. Решить уравнение (4cos л: - 1) (2 cos 2х-\-1) = 0. А 1) 4cos л: - 1 = о, cos х= \ , х = ± arccos ^ -н 2тш, пе Z. 4 4 2)2cos 2л: +1 = о, cos 2л: = -^ , 2л: = ± -н2тш, л: = ± ^ -нтш, пе Z, Ответ. х = ± arccos ^ -н 2тш, л: = ± ^ -I- тш, пе Z. А 4 о Задача 13. Вычислить sin arccos А Так как 0 < arccos | - | < тс, то sin arccos > 0. Следо- вательно, sin ^ +jl-cos2j^ arccos I -- arccos - Задача 14. Вычислить arccos cos 5л 5л „ ^ 5л A Сначала вычислим cos — . По формуле приведения cos — 4 4 = cos I 4 I - “COS ^ ^ • Следовательно, arccos cos 5л \ L.-^1 =arccos 2 / / V2 к 3k = n- arccos =n - ~ = — 2 4 4 228 Задача 15. Вычислить arccos f 2л ^ I 3 j л rn 2л 1 ^ A Так как cos — = - - , то arccos 3 2 Вообще 2л ^ f 1 cos— = arccos I 2л ”з" arccos (cos л:) = л: при 0<л:<л. А (12) О По определению арккосинуса числа равенство arccos а = л: (13) означает, что: 1) О < л: < л; 2) cos х = а. Подставляя в равенство (13) а = cos л:, получаем формулу (12). • Например, по формуле (12) находим Зл "1 Зл arccos cos arccos (cos 2) = 2. Эту же задачу можно также решить с помощью формулы (12). [cos^j. Задача 16. Вычислить arccos 5 л А Так как — > л, то нельзя сразу применить формулу (12). 4 Заметим, что cos ^ = cos Зл = cos — . Теперь формулу 4 (12) можно применить, так как О < ^ < л. Получим arccos |^cos ^ j= ( Зл ^ Зл = arccos cos — \ - —г • а I 4 j 4 ^ Задача 17. Вычислить arccos (cos 4). А Так как 4 > л, то нельзя сразу применять формулу (12). Сначала надо заменить cos 4 косинусом числа, принадлежащего отрезку [0; л]. Отметим, что л < 4 < 2л, откуда -2 л < -4 < -л, 0<2л-4<л. Так как cos (2л - 4) = cos (-4) = cos 4, то по формуле (12) находим arccos (cos 4) = arccos (cos (2л - 4)) = 2л - 4. Упражнения Вычислить (719—720). 719. 1) arccos 0; 2) arccos 1; 4) arccos - ; 5) arccos 04 V2 3) arccos — ; 2 r 2 ; 6) arccos 2 ^ / 229 720. 1) 2 arccos 0 + 3 arccos 1; 2) 3 arccos (-1) - 2 arccos 0; V3 f 3) 12 arccos ^ - arccos I 4)4 arccos + 6 arccos Вычислить (721—723). 721. l)cos 2) cos 3) sin 722. l)cos 72 arccos — 2 V f \ arccos - ; 2 ' ( 1 1 arccos - |; Oarccos — 2) cos I 3arccos - 3) sin 4arccos - I 2 723. 1) arccos |^cos ^ ]; 04 г Зл ^ 2) arccos cos— ; 724. Сравнить числа: 1, V3 1 1) arccos — и arccos - ; 2 2 V2 2) arccos ^ и arccos 0; 2 725. Сравнить числа: 1) arccos ^ и arccos ^ 1 3 V3 arccos 4) sin 5) tg [^arccos 6) tg arccos 2 1^ 2j 4) sin (5 arccos 0); 5) tg 6) tg 3) arccos V ^4 Г 13 "i 4) arccos cos —n ' V3 2arccos — 2 3arccos — 2 ^ 2 , cos-л |; 2 3) arccos 4) arccos (-1) и arccos и arccos ^ V3^ V 2, 2) arccos и arccos (-1). Решить уравнение (726-728). /о 726. l)cosx= ; 2) cos x = 2 3) cos X = 4) cos X = 2 ’ 'T2- 230 1) cos X = g ; 3) 3 2) cos x = - ; 4 4) l)cos 4x= 1; 4) 2) cos 2x = -l; 5) 3) V2 cos - =-l; 4 6) 3) cos X = -0,3; 4) cos X = -0,2. )S ^ = л/З 2x-Jl = 0. Вычислить (729—732). 7 ^ 729. 1) arccos | cos-л 04 I • 3) arccos sin— ; ^ . 7 ^ sin -n 6 4) arccos 730. 1) cos (arccos 0,2); 2) cos 2) arccos 1 cos-я ' 3 5) arccos I 2cos- |; 6) arccos [ 3) cos 731. l)sin ^ f 2^^ arccos --3 ^ > 3^ 7t+arccos 4j 4) cos (я - arccos 0,3); 2 S j V3 5) sin 6) sin Л —-arccos-2 3 / " 3' \ f arccos ; 4) sin arccos- \ у 1 3 J 2) sin I arccos- |; 3)sin I arccos- |; 5)tg 6)tg arccos arccos 732. 1) sin 2V2 Vio arccos - + arccos 3 3 2) cos arccos—arccos-5 5 3" 733. Упростить выражение, если -1 < a < 1: 1) cos (я + arccos a); 3) cos (2 arccos a); 2) sin 12 H-arccosa ; 4)sin I ^H-arccosa j. 734. Решить уравнение: 1) cos X cos 3x = sin 3x sin x; 2) cos 2x cos X + sin 2x sin x = 0. 231 735. Выяснить, имеет ли смысл выражение: 1) arccos (>/б - 3); 4) arccos (1 - VS); 2) arccos (V? - 2); 3) arccos (2 - VlO ); Решить уравнение (736 — 737). 736. 1) cos^ 2x = l + sin^ 2x; 2) 4 cos^ X = 3; 737. 1) (1 + cos x) (3 - 2 cos x) = 0; 2) (1 - cos x) (4 + 3 cos 2x) = 0; 3) (1 + 2 cos x) (1 - 3 cos x) = 0; 4) (1 - 2 cos x) (2 + 3 cos x) = 0. 738*. Решить уравнение: 1) arccos (2x - 3) = ^ ; 5) tg 6) tg 2arccos^ 3arccos- . 2 3) 2 cos^ X = 1 + 2 sin^ x; 4) 2 V2 cos^ x= 1 +V2 . 2) arccos x + 1 2k к ^ 5k 739. Найти все корни уравнения cos 2x = -- на отрезке La V2 740. Найти все корни уравнения cos 4х = — , удовлетворяющие не- I I ^ равенству | х | < -. 741*. Доказать, что если -1 < а < 1, то 2 arccos ll-ha _ V 2 " arccos а. § 38. Уравнение sin х = а Рассмотрим уравнение sinx = a. (1) Так как множество значений синуса — отрезок [-1; 1], то уравнение (1) имеет корни только при -1 < а < 1. Корни уравнения (1) при а = 0, а = 1, а = -1 были ранее найдены: (2) (3) (4) 232 Задача 1. Решить уравнение sin 2х=1. А По формуле (3) имеем 2х=^ + 2пп, пе Z, откуда х = - пп, пе Z. А 4 Задача 2. Решить уравнение sin х = - . А Напомним, что sin х — ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р(1; 0) вокруг начала координат на угол X. Ординату, равную - , имеют две точки окружности и Mg (рис. 69). ГЖ1 1 . л Так как - = sin -, то точка по- ^ О лучается из точки Р(1; 0) поворотом на л ^ , угол х.= -, а также на углы х= - 2nk, ^ о о где k = ±1, ±2, ... . Точка Mg получается из точки Р(1; 0) поворотом на угол 5л ^ . Х£~ ~б” ’ ^ также на углы х = — -h 2nk, Рис. 69 т. е. на углы х = п- - 2nky где /е = ±1, ±2, о Итак, все корни уравнения sin х = - можно найти по формулам: л: = 5 + 2nky х= п - ^ + 2кку ke Z. о о Эти формулы объединяются в одну: X = (-!)« ^ +пп, п& Z. (5) О в самом деле, если п — четное число, т.е. п = 2/е, то из формулы (5) имеем х= ^ 2nky а если п — нечетное число, т. е. п = 2/е +1, то из о этой же формулы получаем х = к- ^ 2кк, о Ответ. х = (-1у - -\-пПу пЕ: Z, А о 233 Задача 3. Решить уравнение sin х = - 2 * А Ординату, равную - - , имеют две ТОЧКИ единичной окружности и _ TZ 5тг (рис. 70), где х^ = -~, Х^ = -— . Следо- 1 вательно, все корни уравнения sin х = ~ - можно найти по формулам: х = ~— 2яА, о 5л х = ~— + 2nky /еG Z. о Эти формулы объединяются в одну: x = (-l)" +7Ш, ne Z. (6) В самом деле, если п - 2/е, то по формуле (6) имеем х = -- -\- 2лА, о 5л а если п = 2/е - 1, то из этой же формулы находим х = - — + 2nk, о Ответ. х = (-1)" j + лп, neZ. ^ Итак, каждое из уравнений sin х = ^ и sin х = -^ имеетбесконеч- ное множество корней. На отрезке “ 2 ^ ^ ^ 2 этих урав- нении имеет только один корень: х. = — — корень уравнения ^ о 1 п . 1 л sm х = - HX2 = -g — корень уравнения sin ^ ~ 2 ’ “ 5 называ- 1 . 1 л л ют арксинусом числа - и записывают так: arcsin 2 “ б ’ ~ б называют арксинусом числа - ^ и записывают: arcsin ^ 1 2 л 6' Вообще уравнение sin х = а, где -1 < а < 1, на отрезке - ^ < х < ^ имеет только один корень. Если а > 0, то корень заключен в л промежутке 0;: - о 1. Этот КО- ; если а < о, то в промежутке рень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а (рис. 71). 234 Арксинусом числа а, модуль которого не больше единицы, на-зывается такое число х из промежутка “ о ^ ^ ^ о > синус которого равен а: к . . к arcsin а = х, если -- <х< - и sin х = а. Например: ,, .^/2л л. л. 71 .л^/2 1) arcsin — = - , так как - < - HSin- = —; (7) 2) arcsin К я . я . ( = - - , так как “о о ^ - и sin 2 V ^ 3 ’ 2 3 2 1 , 3j 2 Задача 4. Найти приближенное значение arcsin - . А Значение arcsin- можно приближенно найти из рисунка 72, измеряя угол РОМ транспортиром. Значения арксинуса можно находить по специальным таблицам или с помощью микрокалькулятора. Например, значение arcsin - можно вычислить на микрокалькуляторе МК—54 по программе: ВТ 3 S Е lsin-Ч 7,2972769 • 10' 1-1 Рис. 72 235 Итак, arcsin - «0,73. При этом переключатель микрокальку- о лятора Р-ГРД-Г был установлен в положение Р (радиан). А Формулу (7) можно записать и так: sin (arcsin а) = а, если | а | < 1. Задача 5. Решить уравнение sin X = sin а, где а — заданное действительное число. А Запишем уравнение (9) в виде: sin X - sin а = 0. По формуле разности синусов имеем 1 . jc-a jc + a ^ -sin-----cos-----= 0, 2 2 2 откуда: l)sin =0, =кку (8) (9) x = a + 2nky ke Z; 2) cos ~Y- = О, —= - + nky (10) (11) x = -a + n(2k + l)y keZ. Объединяя формулы (10), (11), получаем х = (-1)’^а-\-пПу neZ. А Отметим, что если в уравнении (9) а = arcsin а, где | а | < 1, то его можно представить так: sin х = а. Результаты решения задач 2, 3 и 5 позволяют сделать следую-1ЦИЙ вывод. Все корни уравнения sin х = а, где | а | < 1, находятся по формуле (12) X = (-1)'^ arcsin а + ппу пе Z. Отметим, что формулы (2) — (4) являются частными случаями формулы (12). V3 Задача 6. Решить уравнение sin х = . 7з А По формуле (12) имеем х = (-1)” arcsin --- + пп. Так как arcsin ~ - ^,тод: = (-1)" " +пп, п& Z. А 236 V2 Задача 7. Решить уравнение sin х= ——. А По формуле (12) находим х = (-1)'^ arcsin ' V2 V2 + КП. Так как arcsin = -7, то л: = -(-1)" 7 + 7Ш = 7 + 7Ш, пе Z. А 4 4 4 n/Io Задача 8. Решить уравнение sin х = . О А Так как VlO > 3, то > 1, и поэтому данное уравнение не о имеет корней. А Докажем, что для любого а g [-1; 1] выполняется равенство (13) arcsin (-а) = - arcsin а. О Обозначим arcsin а = а. По определению арксинуса числа это означает, что: л \ ^ ^ ^ ^ Тогда: 2) sin а = а. 1) по свойствам неравенств - 7 < -а < 7 ; 2) используя формулу sin (-а) = -sin а, получаем sin (-а) = -а. Следовательно, по определению арксинуса числа: arcsin (-а) = -а = -arcsin а. • Например, arcsin V3 . V3 = -агс8Ш--=-з. Формула (13) позволяет сводить значения арксинуса отрицательных чисел к значениям арксинуса положительных чисел. Поэтому в таблицах обычно даются значения арксинуса только для неотрицательных чисел. Приведем таблицу часто встречаюхцихся значений арксинуса: а 0 1 2 V2 2 V3 2 1 0 п п п п arcsin а 6 4 3 2 237 Задача 9. Решить уравнение sin х = 2 А По формуле (12) находим х = (-1)'^ arcsin - + тш, пе Z. А Задача 10. Решить уравнение 1-2 sin (Sx + 4) = 0. А Данное уравнение можно записать в виде sin (Sx + 4) = ^ . Отсюда Зх +4 = (-1)" arcsin ^ = ^ +тш, Зл: = -4 + (-1)" ^ +ЯП, 4 , 1 я КП гж . ^ = “ о + (“1) А 3 ^ ^ 18 3 Задача 11. Решить уравнение sin 5х cos 2х = cos 5х sin 2х, А sin 5л: cos 2л: - cos 5л: sin 2л: = 0, sin Зл: = 0, Зл: = яп, х= -- у пе Z, А о Задача 12. Решить уравнение (3 sin л: - 1) (2 sin 2л: + 1) = 0 А 1) 3 sin л: - 1 = о, sin х = ^ ^ = (“1)'^ arcsin | + яп, пе Z; 2) 2 sin 2л: + 1 = о, sin 2л: = - - , 2л: = (-1)'^ arcsin ~ + ЯП = = (-1)п I-arcsin i + ЯП = (-1)'^‘^^ - +ЯП, JL ^ ^ х = (-1) 12 упе Z, Ответ. х = (-1)'^arcsin - + яп, х = (-1)'^'^^ ^ ^ , пе Z. А о 12 2 Задача 13. Вычислить cos arcsin I - - А Так как - - < arcsin Следовательно,cos < - , то cos 2 arcsin f-| 11 > 0. • г 3^ \ 1-Sin2 f ( arcsin - - arcsin 1 Ч j \ 1 1 [ 5jj 238 Задача 14. Вычислить arcsin sin - гг .яТЗ .л/Зя А Так как sin - = — , то arcsin sm - = arcsin — = -. Вообще arcsin (sin x) = x при “ f ^ ^ ^ ^ • О По определению арксинуса числа равенство arcsin а = х означает, что: 2' (14) (15) 2) sin л: = а. Подставляя в равенство (15) а = sin х, получаем формулу (14). • Например, по формуле (14) находим arcsin ^ sin у j = у, arcsin (sin (-1,5)) =-1,5. Задача 15. Вычислить arcsin sin-к 5я А Сначала вычислим sin — . По формуле приведения имеем о . 5л . ( л ^ . л 1 sm - =sin^K--J=sin- = -. Следовательно, 1 5л ^ .1л arcsin sm — = arcsin - = -. А 6 J 2 6 Задачу 15 можно также решить с помощью формулы (14). А Так как ^ , то нельзя сразу применить формулу (14). 6 2 Заметим, что sin ^ = sin | л-^ J = sin ^ . Теперь формулу (14) 71 . л л МОЖНО применить, так как “ 2 ^ 6 ^ 2 ’ .(.5л^ .f.K] л arcsin sin — = arcsin sm - \ = . A el 6)6 239 Задача 16. Вычислить arcsin (sin 5). 3 к А Так как - л < 5 < 2л, то - - < 5 - 2л < О, т. е. 5 - 2л g Следовательно, arcsin (sin 5) = arcsin (sin (5 - 2л)) = 5 - 2л. А л^ л 2’ 2 Упражнения Вычислить (742—749). 742. 1) arcsin 0; 2) arcsin 1; 04 • 3) arcsin — ; 1 f-^1 -; 5) arcsin 2 2 ; 6) arcsin 2 ^ / 743. 1) arcsin 1 - arcsin (-1); 2) arcsin 04 • 1 ^ ^ 3) arcsin - + arcsin — ; 2 2 1 1 1 ^ + arcsin rv2j ; 4) arcsin 2 V у + arcsin HI- / 744. l)sin 2) sin arcsin . 1 , arcsin- ; 2 ' 4) cos . V2 arcsin — ( . S 5) tg arcsin — 3) cos l^arcsin-^ j; 745. 1) sin (4 arcsin 1); 6) tg arcsin :.V3 2) sin .;.V3 3 arcsin — 2 3) cos I 5 arcsin ^ 746. 1) cos (arcsin 0,6); 747. 1) arcsin |^sin-2) arcsin l^sin^ 748. 1) arcsin {cos ^ 240 4) cos (6 arcsin 1); 5) tg 1^2 arcsin ( 6) tg . . V2 4 arcsin — 2 arcsin 2) cos 3) arcsin I sin V3 Л 3 J’ 4) arcsin I sin ^ . 2) arcsin I cos- |. 749. 1) arccos sin 2) arccos sin 750. Сравнить числа: 1, .1 . Г n 1) arcsin - и arcsin I “ 4 j 5 Решить уравнение (751—755). 2) arcsin ^ и arcsin (-1). 751. 1) sin X = — ; 3)sinx = -^ 2) sin X = ; 4) sinx = --. 752. 1) Sin x = - ; 4 3) sin л: = - ^ ; 2 2) sin X = ^ ; 4) sin X = — . 753. l)sin 3x= 1; 4) 2 sin 1 = 7; 2) sin 2л: = -1; 5) sin + ^ j 3) 72 sin 1 =-l; 6)sin [2^ + ^] 754. 1) sin ^ “ 3 » 2) sin X - 73’ 3) sin X = 4) sin X = i+Ts 3 ’ i-Vio 755. l)sin(2x-l) = 2) sin (Зд: + 2) = 72- 756. 1) arcsin | sin Вычислить (756—759). 3k T . I . 2k 2) arcsin I sin — 5л ^ Y Зл 3) arcsin cos 4) arcsin cos 5) arccsin |^2sin ^ j; 6) arcsin J; 7) arcsin (sin 4); 8) arcsin (sin 7). 241 757. l)sin arcsin -3 4) sin I n + arcsin -3 2) sin |^arcsin|^-^j 3) sin I^TC- 5) cos n . 1 --arcsin-p. 2 V5j . 3 - arcsin -4 n ЗШ- . 5j 758. 1) cos arcsin 6) cos I ^ + arcsin - |. 4) cos I arcsin - |; 2) cos 3) cos arcsin arcsin 5) tg 6) tg arcsin arcsin Sj' 3 ' |^arccos| j; 759. l)sin I arccos- |; 760. Вычислить: 1, . , .1 2л/2 1) sin arcsin - + arccos- '3 3 2) sin I arcoos] -- 04 f • 2V2 . 1' 3) cos arcsin —^ + arcsin - A. . ( 4 3^ 4) sin arccos - + arccos - . 04 Г • 3 4 2) cos arcsin - + arccos - Is 5J 761. Вычислить: 1) sin |^2arcsin-^ j; 762. Выяснить, имеет ли смысл выражение: 1) arcsin (Vs - 2); 4) arcsin (2 - VlO ); 2)cos |^2arcsin^j. 2) arcsin (Vs - 3); 5) tg 6arcsin ‘"I]’ 6) tg 3) arcsin (3 - л/17 ); Решить уравнение (763—765). 763. 1)1-4 sin X cos x = 0; 2) S +4 sin X cos x = 0; 764. 1)1+ cos bx sin 4л: = cos 4л: sin 5л:; 2) 1 - sin X cos 2л: = cos x sin 2л:. 2arcsin — 2 3) 1 + 6 sin ^ cos T = 0; 4 X x 4) 1 - 8 sin — cos ^ = 0. о 4 X 3 242 765. 1)(2 sin jc - 1)(3 sin x + 1) = 0; 2) (4 sin X - 3) (2 sin x + 1) = 0; 3) (2 sin 2x - 1) (sin 4x + 1) = 0; 4) (4 sin 3x - 1) (2 sin x + 3) = 0. 766. Найти все корни уравнения sin 2х = ^, принадлежащие отрез- ку [0; 2л]. V3 767. Найти все корни уравнения sin ^ = -^5- > удовлетворяющие не-равенству log^^ (х - 4п) < 1. 768. Найти наименьший положительный корень уравнения • I о . ^ ^ ^ sin \2x-\-- 2) arcsin (3 - 2х) = “ ^ • 6 j 2 * 769*. Решить уравнение: 1)arcsin j = ^; 770*. Доказать равенство: 1) arcsin -ygg -arccos 11 Ш) 2)arccos ^ + arccos | = arccos ■ 4 ’ А? 24 771*. Доказать, что если 0 < а < 1, то 2 arcsin а = arccos (1-2 а^). § 39. Уравнение tg х = а Напомним, что значения синуса и косинуса можно находить геометрически, измеряя ординаты и абсциссы соответствующих точек единичной окружности. Покажем, как можно геометрически находить значения тангенса. Рассмотрим сначала случай, когда 0 < л: < - . Пусть точка получена поворотом точки Р(1; 0) вокруг начала координат на угол X радиан (рис. 73). Соединим отрезком точку Mj с точкой О и проведем М^А J_ OP. Тогда ордината точки равна АМ^ = sin л:, а абсцисса АО = cos X, Поэтому sin^: A/Vfj tgx = cos л: АО * 243 Теперь через точку Р(1; 0) проведем прямую I перпендикулярно РО и продолжим прямую OMj до пересечения с прямой I в точке М (см. рис.73). Из подобия треугольников М^ЛО и МРО получаем AM. РМ = tg X. АО РО Так как РО = 1, то РМ = tg X. Итак, в этом случае значение tg х можно найти геометрически, измерив длину отрезка РМ, т. е. ординату точки М (см. рис. 73). Рассуждения и построение можно провести в обратном порядке и найти геометрически угол х по значению tg х, т. е. найти корень уравнения tg л: = а, где а — любое заданное положительное число. А именно: на прямой I построим точку М с ординатой а, соединим точку М с точкой О и измерим угол х = ZPOM транспортиром (см. рис. 73). Таким образом, между числами л:, где 0 < л: < ^ , и точками пря- МОЙ Z, лежащими выше оси абсцисс, установлено взаимно однозначное соответствие. Так как tg 0 = 0, то, естественно, числу х = 0 поставим в соответствие точку Р(1; 0) прямой L Напомним, что тангенс угла ^ не существует. Это видно и гео- метрически: если точка лежит на оси ординат, то прямые ОМ^ и I параллельны и поэтому точки пересечения М не существует. Теперь рассмотрим случай, когда < л: < 0. Сделаем аналогичные по- Рис. 74 строения (рис. 74). Тогда sin х -cos X - АО. Поэтому , sin л: АМ. tgx=------= - —. cos л: АО -ЛМр 244 Из подобия треугольников М^АО и МРО имеем АМл РМ АО ~ РО ~ а так как РО = 1, то PM = -tgx. Отметим, что и в этом случае tgx = -РМ — это ордината точки М. XX к к Итак, между числами х из интервала -- < л: < - и всеми точ-ками прямой I установлено взаимно однозначное соответствие. Прямую I называют линией тангенсов. Кроме того, показано, что уравнение tg л: = а, где а — любое действительное число, имеет единственный корень х к к ^ на интервале - - <х < -. Этот корень называют арктангенсом чис-лааи обозначают arctg а (рис. 75). Арктангенсом числа ае R называется такое число хе | ~ 2’ 2 тангенс которого равен а: . к л ^ arctg а = Ху если - - < х < - ntgx = a. Например: 1) arctg V3 = 3 . так как " g ^ 3 ^ 2 “ 3 ~ ’ л л к к 2) arctg (-1) = - -, так как - -и tg 71 П (1) 245 Задача 1. Найти приближенное значение arctg 2. А Значение arctg 2 можно приближенно найти из рисунка 76, измеряя угол РОМ транспортиром. Приближенные значения арктангенса можно также найти по таблицам или с помощью микрокалькулятора. Например, значение arctg 2 можно вычислить на МК—54 по программе 2 [f| 1, 1071486. Итак, arctg 2 « 1,11. А Из формулы (1) следует, что tg (arctg а) = а, а G Д. (2) Например: tg (arctg 12) = 12, tg (arctg (- V? )) = - V? , tg (arctg 0) = 0. Задача 2. Решить уравнение tg л: = tg a. (3) где a — заданное число, аф - nk, ke Z. La A Преобразуем это уравнение: tg л: - tg a = О, smx sma = 0, cosx cosa sin xcos a - cos ^:sin a cos л: cosa sin (л:-a) cos л:cosa 0, = 0. (4) Заметим, что cos так как + nky k e Z. Кроме того, и La COS x^Oy так как при cos x = 0 левая часть уравнения не определена. Следовательно, sin (л: - а) = 0, откуда х - а = пп у х = а-\-кп у пе Z. Ответ. х = а-\-пп у пе Z. £ Отметим, что если в уравнении (3) а = arctg а, а g Д, то уравнение (3) можно представить так: tg^: = a. 246 Результат решения задачи 2 приводит к выводу: все корни уравнения igx^UjU^ R находятся по формуле X-arctgа-\-пп ,пе Z, (5) Задача 3. Решить уравнение igx=\. А По формуле (5) находим х = arctg 1 + лп = ^ + лп, Z, А >/з Задача 4. Решить уравнение tg л: = - — о А По формуле (5) имеем х - arctg >/3 + ЛП = - - + ЛП, П G Z. А О Задача 5. Решить уравнение tg л: = 5. А По формуле (5) находим х = arctg 5 + лп, Z, А Задача 6. Решить уравнение (tg^:+l)|^2cos^-л/з j=0. А 1) tg л: + 1 = О, tg л: = -1, л: = - ^ + лп, пе Z. Эти значения л: являются корнями исходного уравнения, так как при этом выражение в первой скобке левой части уравнения равно нулю, а во второй — не теряет смысла. X г~ ^ X yfs X к ^ Л- 2) 2 cos g - V3 = О, cos - = = ±- + 2пп, х = ±- + блп, пе Z. При этих значениях х выражение во второй скобке левой части исходного уравнения равно нулю, а в первой — не имеет смысла. Поэтому эти значения не являются корнями исходного уравнения. Ответ. X- + лп, пе Z. А Докажем, что для любого действительного числа а выполняется равенство (6) arctg (-а) = -arctg а. О Обозначим arctg а = а. По определению арктангенса числа имеем: 1)-^<а<^; 2)tga = a. 247 Тогда: « к к 1) по свойствам неравенств 2) используя формулу tg (-а) = -tg а, получаем tg (-а) = -а. Следовательно, по определению арктангенса числа arctg(-a) = -a = -arctga. • Например, arctg 7з , V3 JU = -arctg^=-g. Формула (6) позволяет сводить значения арктангенса отрицательных чисел к значениям арктангенса положительных чисел. Поэтому в таблицах обычно даются значения арктангенса только для неотрицательных чисел. Приведем таблицу часто встречающихся значений арктангенса: a 0 s 3 1 7з n К п arctg a 0 6 4 3 Задача 7. Вычислить arctg tg А Так как tg ^ ^ , то arctg |^tg ^ j = arctg ^ ^, Вообще arctg (tg х) = х при “ ^ ^ ^ • (7) О По определению арктангенса числа равенство arctg а = х означает, что: -14 ^ тс 2)tgx = a. (8) Подставляя в равенство (8) a = tgx, получаем формулу (7). • Например, по формуле (7) находим arctg arctg (tg 1,5) = 1,5. tg - К 9 ’ 248 Задача 8. Вычислить arctg ^ | • Зл А Сначала вычислим tg — . По формуле приведения tg Зл Следовательно, arctg |^tg ^ j = arctg (-1) = - ^. А Задачу 8 можно также решить с помощью формулы (7). А Так как ^ > то нельзя сразу применить формулу (7). Заметим, что tg^=tgf7C-^l=tg -^1. Теперь можно при-4 I 4j 4j менить формулу (7), так как - ^ ^ “ 7 ^ 7 • Получаем arctg I tg ^ j = arctg [ tgf- ^ 4 ■ Задача 9. Вычислить arctg (tg 3). А Так как ^ <3<л, то-^ <3-л< Следовательно, arctg (tg 3) = arctg (tg (3 - л)) = 3 - л. А Упражнения Вычислить (772—773). 772. 1) arctg 1 - arctg (-1); 3) arctg О -н arctg (->/3); 2) arctg i -н arctg >/з ; 4) arctg V3 773. 1) 6 arctg ~ ^ arcsin rv3j -H arctg 0. r^j 2) 2 arctg 1 -H 3 arcsin 3)3 arctg (-0 -h 2 arccos I V3j 4) 5 arctg (- л/З) - 3 arccos 2 s 249 774. Сравнить числа: 1) arctg у[з и arctg 1; 2) arctg ^ и arctg 7з ; 4) arctg (-1) и arcsin S' и arcsin I -- 3) arctg 775. Вычислить: 1) ctg (arctg S У' 2) ctg (arctg 1); 3) sin (arctg (-^/3)); Решить уравнение (776—777). 776. l)tgx=^; 2) tg X = ^/з ; 3) tg X = - л/З ; 777. I)tg2x = 0; 2) tg 3x = 0; Вычислить (778—781). 778. 1) tg (arctg 5); 2) tg (arctg 3,5); 3) tg (arctg (-12)); 4) tg (arctg (-9)); 779. 1)arctg j^tg^j; 2)arctg ftgyl; 5) arctg 1 и arccos 6) arctg Vs и arccos ^ . 4) sin arctg 3) arctg I ctg у ^ 4) arctg ctg 37t 5) cos (arctg 1); 6) cos (arctg (S)). 4) tgx = -l; 5) tg X = 4; 6) tgx = -5. 3) l + tg 3 =0; 4) V3 +tg f = 0. 5) tg I Л - arctg 6) tg I Л+arctg 7) ctg I - + arctg3 |; 8) ctg -arctg 2 5) arctg f2sin^l; 6)arctg [2sln|]; Зл 7) arctg I coSy |; 8) arctg cos ■i] 250 780. 1) tg (arctg 2,1); 2) tg (arctg (-0,3)); 781. 1) 3 arctg (tg 3) tg (л - arctg 7); 4) ctg I^ + arctg6l. 3) arctg j; 4) arctg (tg 13). 2) 4 arctg (tg 0,5); Решить уравнение (782—783). 782. 1) (tg X - 1) (tg X + •JB) = 0; 4) (tg x - 4,5) (1 + 2 sin x) = 0; 2) (V3 tg X +1) (tg X - VS) = 0; 5) (tg x + 4) 2) arctg (3 - 5x) = - . tgf-l|=0; 3)(tgx-2)(2cosx-1) = 0; 6) tg-+1 |(tg x - 1) = 0. 783*. 1) arctg (5x-l)= 784. C помощью микрокалькулятора решить уравнение: 1) tg^: = 9; 2) tg^: = -7,8. 785. Найти наименьший положительный и наибольший отрицатель- ный корни уравнения 3 tg л: - у[з =0. 786*. Доказать равенства: Зя 1) arctg 2 + arctg 2) arctg - -н arctg 3 = 4- 787*. Доказать, что если аЬ то tg (arctg а arctg Ь) ■ аЬ 1-аЬ' 788*. Доказать, что при любом действительном значении а справед- 1 ливо равенство cos (arctg а) = y/l-ha^ § 40. Уравнение ctg х = а Рассмотрим уравнение ctg л: = а. Используя формулу приведения, запишем это уравнение так: tg^-x =а (1) 251 в § 39 показано, что уравнение (1) при любом заданном действи- тельном значении а имеет единственный корень в интервале П "2’ 2 )’ т. е. тогда, когда п п я — <-----х< 2 2 2’ откуда -к<-х < О, О < х<к. Итак, уравнение ctg х = а, а е R имеет единственный корень на интервале О < х < к. Этот корень называют арккотангенсом числа а и обозначают arcctg а. Арккотангенсом числа ае R называется такое число х g (0; я), котангенс которого равен а: arcctg а = Ху если 0 < х <к и ctg х = а. (2) Например: 14 . yfs к . к yfs 1) arcctg = 3 » так как 0< о\ J. / -I \ I 2) arcctg (-1) = —, так как 0 < — < я и ctg — = -1. 4 4 4 Из формулы (2) следует, что ctg (arcctg а) = а, а G R. (3) Например: ctg (arcctg 15) = 15; ctg (arcctg (-7)) = -7; ctg (arcctg 0) = 0. При определении арккотангенса числа а формулой (2) было установлено, что X = arcctg а является единственным корнем уравнения ctg х = а на промежутке 0 < л: < я. Так же, как и в § 39, доказывается, что все корни уравнения ctg X = Uy UG R находятся по формуле ' (4) X = arcctg а + яп, пе Z. Задача 1. Решить уравнения: 1) ctg л: = л/з ; 2) ctg х = -1; 3) ctg х = 0. 252 А По формуле (4) находим: 1) х = arcctg л/з + 7СП = “ + 7Ш, пе Z; о 2) х = arcctg(-1)-\-пп= ^ КП, пе Z; 4 3)х = arcctg0 + пп = — + кпу пе Z. А Докажем, что для любого ае R выполняется равенство arcctg (-а) = тс - arcctg а. (5) О Обозначим arcctg а = х. По определению арккотангенса числа имеем: 1) О < л: < тс; 2) ctg х = а. Тогда: 1) по свойствам неравенств -к < -х < О, откуда О < я - л: < тс; 2) по формуле приведения ctg (я - х) =-ctg х = -а. Следовательно, по определению арккотангенса числа: arcctg (-а) = я-л: = я-arcctg а. • Рассуждая аналогично, можно также показать, что arctgа + arcctgа= ае R. (6) Формула (5) позволяет сводить значения арккотангенса отрицательных чисел к значениям арккотангенса положительных чисел. Приведем таблицу некоторых значений арккотангенса: а 0 V3 3 1 7з arcctg а п я я Я 2 3 4 6 Аналогично тому, как это сделано в § 39 для арккосинуса, можно доказать, что arcctg (ctg х) = Ху если О < л: < я. (7) При решении уравнений, содержаш;их котангенс, можно исполь- ^ /ж зовать формулу ctg а =---- при аф — , пе Z, tgoc 2 253 Задача 2. Решить уравнение ctg х = - 7з- А Если X — корень уравнения , то cos х^Ои sin х^О. sinjc: V3 ^ Поэтому можно воспользоваться формулой ctg X = т— и записать l/g X данное уравнение в виде tg x = -^/3 • Отсюда X = arctg (-^/з )-i-КП = -arctg у/з + лп = - ^ + кп, пе Z. А о Вообш;е уравнение ctg х = а (8) при а^О равносильно уравнению tg л: = —, и поэтому корнями уравнения при а^О являются числа х = arctg ^ -н кпу пе Z. Задача 3. Решить уравнение (tg л: -н 4) (ctg х- >/з ) = 0. А 1) tg л: -н 4 = о, tg л: = -4, л: = arctg (-4) -i-nn = -arctg 4 -h яп, n g Z. При этих значениях x выражение в первой скобке левой части исходного уравнения обраш;ается в нуль, а во второй не теряет смысла, так как из равенства tg л: = -4 следует, что ctg ^ ^ • Сле- довательно, найденные значения х являются корнями исходного уравнения. 2) ctg X - у/з =0, ctg X = у[з у tg X = = arctg ^ + лп = л ^ = - + кп, пе Z. о Эти значения х также являются корнями исходного уравнения, так как при этом выражение во второй скобке левой части уравнения равно нулю, а в первой не теряет смысла. О т в е т. л: = -arctg 4 + яп, х = ^ яп, пе Z. А о / Задача 4. Вычислить arcctg tg — I 5 А По формуле приведения ^ 2к ^ f к 2кЛ ^ я tgy --- =Ctgj5 254 По формуле (7) находим arcctg tg ^ j = arcctg ctg ^ Эту задачу можно иначе решить. А По формуле (6) имеем , I , 2л ^ я , Л 2л ^ я 2л arcctg I tg- = - -arctg tg- = g " Т Л То Итак, в этом и предыдущих параграфах показано, как решаются простейшие тригонометрические уравнения sin х = а, cos л: = а, tgx = Uy ctg х = а. Все другие тригонометрические уравнения с помощью тригонометрических и алгебраических преобразований сводятся к простейшим. В следующих параграфах будут рассмотрены некоторые типы тригонометрических уравнений и способы их решений. Упражнения Вычислить (789—793). 789.1) arcctg 1; 3) arcctg ; V3 2) arcctg (-1); 4)arcctg 2 790.1) 3 arcctg >/з - 4 arccos 2) 2 arcsin j ^ arcctg 1; 3) ^ arctg >/3 +2 arcctg ^ -H arcctg (-1); A. • ^ . 4) arcsin — + arccos [4 ) +arcctg^. S 3 r 1 Л 791.1) arcctg (- Vs ); 2) arcctg . 792.1) ctg (arcctg 1); 2) ctg (arcctg 73 ). 793.1) arcctg (ctg -1; 2) arcctg 1 ctg^ J. \ / 794. Сравнить числа: \ / 1) arcctg у[з и arcctg 1; 2) arcctg (- >/з ) и arcctg (-1); 3) arcctg 1 и arctg ^ ; 4) arccos - и arcctg — Z о 255 Решить уравнение (795—801). 795. l)ctgx = -l; 2)ctgx=l; 4)ctgx = -^/3 ; 5) ctgx = -^; 3) ctg д: = ^/з ; 6) ctg x = 7. 796.1)1 +ctg 3 =0; 2) ctg Зд: = 0. 797.1) 2 - ctg 2x-J| = 0; 798.1)ctg|2x-J 1 = 7з; 799. 1)6 ctg 11-- I-7 = 0; 2)1-ctg [^x + yj = 0. 2)5ctg 11 + 1 1+6 = 0. 8(Ю. 1) (tg д: - 5) (ctg x+ у/з) = 0; 2) (ctg дг + 3) (tg д: + 1) = 0. 801. l)(ctgx- 73) j^2sin^ + l^ = 0; 2) ctg- + l (tgx-l) = 0; I 6 j 3) 2sin U+^ -1 (2 ctg X + 1) = 0; 4) I l-V2cos^ I (1 + 7з ctgx) = 0. 802*. Вычислить: l)arcctg |^tg|nj; ^ 803*. Доказать, что если -1 < a < 1, то Г 3 ^ 2) arcctg ctg (arccos a) = § 41. Уравнения, сводящиеся к квадратным Рассмотрим тригонометрические уравнения, которые сводятся К квадратным относительно синуса, косинуса или тангенса. Задача 1. Решить уравнение sin^ х + sin х- 2 = 0. А Это уравнение является квадратным относительно sin х. 256 Поэтому sin X откуда sin х=1 или sin х =-2. 4±J-,2=-i±|, Уравнение sin х = 1 имеет корни ^ = 2 ri е Z; уравнение sin л: = -2 не имеет корней. Ответ. л: = ^ + 2тш, пе Z. А Задача 2. Решить уравнение 2 cos^ х - 5 sin л: + 1 = 0. А Заменяя cos^ л: на 1 - sin^ х, получаем 2(1 - sin^ х) - 5 sin х + 1 = 0 или 2 sin^ X + 5 sin х - 3 = 0, -5± J25 + 24 -5±7 sin X = --^------ = —-— , 4 4 откуда sin X: -3, sin X = - . Уравнение sin х = -3 не имеет корней, а уравнение sin х = — име-ет следующие корни: X = (-1)" arcsin ^ + лп = (-1Г F пе Z. Z о Ответ. X = (-1)" ^ + пп, пе Z. А о Задача 3. Решить уравнение cos^ х - 2 cos х - 3 = 0. А Это уравнение является квадратным относительно cos х, его корни: cos X = -1, cos х = 3. Уравнение cos х = -1 имеет следующие корни: X = л + 2лп, п g Z, а уравнение cos х = 3 не имеет корней. Ответ: х = л + 2лл, пе Z. А Задача 4. Решить уравнение 2 sin^ х - cos х - 1 = 0. А Используя формулу sin^ х = 1 - cos^ х, имеем 2(1 - cos^ х) - cos X - 1 = о или 2 cos^ X + cos X - 1 = о, , 1 откуда cos X = -1, cos х = Ответ. х = л + 2лп, х = ±^ + 2лп, пg Z. А о 9~Ю. М. Колягин. 10 кл. 257 Задача 5. Решить уравнение 3 tg^ x + 5tg^:-2 = 0. А Это уравнение является квадратным относительно tg х, его корни: tg X = -2 и tg X = ^, откуда получаем две серии корней: о X = -arctg 2 + ппу X = arctg - + пп, пе Z. о Ответ. х = -arctg 2 + кп, х = arctg - + кп, пе Z. А о Задача 6. Решить уравнение tg х - 2 ctg х + 1 = 0. А Так как ctg х = —^ , то уравнение можно представить в виде tg X tg X - —^ +1 = 0. tgx Умножая обе части уравнения на tg х, имеем tg^ X + tg X - 2 = о, откуда tg X = 1, tgX = -2, ^ ^ ^ = -arctg 2 + кпу пе Z. Отметим, что левая часть исходного уравнения имеет смысл, если tg X ^ о и ctg X ^ 0. Так как для найденных корней tg х ^ 0 и ctg X ^ о, то исходное уравнение равносильно уравнению tg^ X + tg X - 2 = 0. _ к 1 rw Ответ. ^ = ^ ^ = -arctg 2 + кп, пе Z, А Задача 7. Решить уравнение 3 cos^ 6х + 8 sin Зх cos Зх - 4 = 0. А Используя формулы sin^ 6х + cos^ 6х = 1, sin 6х = 2 sin Зх cos Зх, преобразуем уравнение 3(1 - sin^ 6х) + 4 sin 6х - 4 = о, 3 sin^ 6х - 4 sin 6х + 1 = о. Обозначив sin 6х = г/, получим уравнение 3i/^ - 4i/ + 1 = 0, откуда 1/1 = 1,1/2= I* , _ ^ ТС тс тстт 1) sin 6 JC = 1, = - + 2пп, х = ^ J пе Z. «V . ^ 1 ^ ... .1 (-If . 1 2) sin 6 X = -, ох = (-1)" arcsin - + тш, х = , arcsin ^ + — , о о bob пе Z, ^ к КП (-If . 1 Ответ. arcsin - + —- , п g Z. А 258 Упражнения Решить уравнение (804—816). 1 804.1) sin^ ^ ^; 2) 2 sin^ X + sin л: - 1 = 0; 805. 1) cos^ X - 2 ’ 2) 2 cos^ X - cos X- 1 = 0; 806. 1) 2 cos^ jc - sin Л’ + 1 = 0; 2) 3cos^ X - sin д: - 1 = 0; 807. I)tg2x = 2; 2)tg2x-3tgx-4 = 0; 808.1) tg X = ctg x; 2) tg X + 3 ctg X = 2 7з ; 3) 2 sin^ X + sin X - 6 = 0; 4) 3 sin2 X + 2 sin X - 8 = 0. 3) 2 cos^ X + cos X - 6 = 0; 4) 3 cos^ X - 5 cos X - 12 = 0. 3) 4 sin^ X - cos X - 1 = 0; 4) 2 sin^ X + 3 cos X = 0. 3) tg2 X - tg X + 1 = 0; 4) 3 tg^ X - 4 tg X + 5 = 0. 3) tg X - 7з ctg X +1 = 7з ; 4) 7з tg л: = 2 + лУз ctg X. 809. 1) cos 2x + 8 sin x = 3; 2) 8 cos X = 7 + cos 2x; 3) 5 cos 2x + 7 cos (^x + lj + 1-0; 4) 2 cos^ I ^ ^ 1 ^ f ^ ^ 1-4 = 0. 810.1) 2sin2^: + sin2 2л: = 2; 811.1) ctg4 2A:+ =25; sm 2x 2) cos 4л: + 2 sin^ л: = 0. 1 13 2) cos X 16 812.1) 2 cos 2л: + 4 cos x = sin^ x; 2) 2 sin^ x + + tgл:. = 3. cos^ x 813. 1) 16 sin^ X - cos^ X = sin^ x; 814.1) sin"^ л: + 3 sin^ л: = 4; 2) 16 cos^ X - sin^ X = cos^ x. 2) 2 cos^ л: + 3 cos^ л: - 2 =0. 815. l)cos2л: + 20cos2 - +3sin |^л: + - |=3; 2) 2 cos 4л: + 3 cos^ x + cos 2л: = - . 4 816. 1) sin^ X + cos^ ^ “ 4 2) sin^ X - cos^ X = cos x. 817*. Найти все значения a, при которых уравнение 4 sin^ X + 2(а - 3) cos л: + За - 4 = 0 имеет корни, и решить это уравнение. 818*. Найти все значения а, при которых уравнение 4 cos 2л: + (2 - 4а) sin л: = а + 3 к 2’ имеет единственный корень на интервале I 0 9* 259 § 42. Уравнения, однородные относительно sin х и cos х Рассмотрим уравнение а sin хл-Ь cos л: = О, а О, & о, (1) которое называют однородным относительно sin х и cos л: (1-й степени). Разделив обе части уравнения (1) на cos л:, получим а tg л: -h & = О, (2) откуда Ь Ь igx= — , X = -arctg - -н 7Ш, пе Z. а d В процессе решения обе части уравнения были разделены на cos X. Поэтому проверим, не являются ли корнями исходного уравнения те значения х, при которых cos х обраш;ается в нуль. Если cos X = О, то из уравнения следует, что и sin х = О, так как а 0. Но равенства sin х = 0 и cos х = 0 одновременно выполняться не могут, так как sin^ х + cos^ х = 1. Таким образом, при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) корни не теряются и посторонние корни не появляются, т. е. уравнения (1) и (2) равносильны. Задача 1. Решить уравнение sin х -н cos х = 0. А Данное уравнение равносильно уравнению tg х + 1 = 0, откуда i. 1 ^ tg X = -1, X = -- + 7Ш. ОтВет. X = -- -I-7Ш, пе Z. А 4 Уравнение а sin^ X -н & sin X cos х -н с cos^ х = 0 (3) также называют однородным относительно sin х и cos х (2-й степени). Если то, разделив обе части уравнения (3) на cos^ х, име- ем равносильное уравнение а tg^ X + Ь tg X -I- с = о, которое является квадратным относительно tg х. Задача 2. Решить уравнение 2 sin^ х -i- 3 sin х cos х -i- cos^ х = 0. А Данное уравнение равносильно уравнению 2 tg^ x + 3tgx+l=0. Решая это квадратное уравнение относительно tg х, находим tgx = -l, tgx=-^. ^ П . ^ ГЖ Ответ. X = -- + 7Ш, X = -arctg - -i- тш, п G Z, А 260 к уравнению (3) сводится уравнение а sin^ х-\-Ь sin х cos х-\-с cos^ x-\-d = 0. Для этого достаточно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, заменив d на d(sin^ х -н cos^ х). Задача 3. Решить уравнение sin^ л: + 2 sin л: cos x-S cos^ л: -н 2 = 0. А Заменив 2 на 2(sin^ х -н cos^ л:), запишем уравнение в следующем виде: sin^ х-\-2 sin X cos х - 3 cos^ х 2(sin^ х cos^ х) = 0, откуда 3 sin^ х + 2 sin х cos х - cos^ х = 0. Разделив обе части этого уравнения на cos^ л:, имеем уравнение 3tg2x-h2tgx-l = 0, равносильное исходному. Отсюда находим tg х= ^,tgjc = -l. о Ответ. х = arctg ^ + кп, х = -н яп, пе Z. А Задача 4. Решить уравнение 3 sin^л: -h sin 2л: -h 2 cos^ л: = 4. А Это уравнение равносильно каждому из следующих уравнений: 3 sin^ л: -н 2 sin л: cos х-\-2 cos^ х = 4(sin^ х -н cos^ х); sin^ л: - 2 sin л: cos х-\-2 cos^ л: = 0; tg^ ^:-2tg^:-i-2 = 0; (tg X- 1)^ + 1=0. Это равенство не выполняется ни при каких значениях tg л:, так как (tg л: - 1)^ > 0. К этому же выводу можно прийти, заметив, что дискриминант квадратного уравнения tg^ x-2tgx + 2 = 0 отрицателен. Ответ. Уравнение не имеет корней. А Упражнения Решить уравнение (819—822). 819.1) л/з cos X sin л: = 0; 3) sin л: = 2 cos х; 2) cos X = sin х; 4) 2 sin л: -i- cos л: = 0. 820. 1) 4 sin^ X - 5 sin X cos x - 6 cos^ x = 0; 2) 3 sin^ X - 7 sin x cos x -i- 2 cos^ x = 0; 3) 3 sin^ X -I- sin X cos x - 2 cos^ x = 0; 4) 2 sin^ X -I- 3 sin X cos x - 2 cos^ x = 0. 261 821.1) 4 sin^ x-S sin x cos л: + 10 cos^ x = S; 2) 3 sin^ л: - 4 sin л: cos л: + 5 cos^ x = 2; 3) 2 sin X cos л: + 5 cos^ x = 4; 4) 3sin^ x-2 sin jccos jc = 1; 5) 1 - 4 sin X cos л: + 4 cos^ x = 0; 6) 1 + sin^ л: = 2 sin л: cos x. 822. 1)1 + 7 cos^ x = S sin 2x; 2) 3 + sin 2л: = 4 sin^ x; 3) cos 2x + cos^ X + sin x cos jc = 0; 4) 3 cos 2jc + sin^ jc + 5 sin jc cos jc = 0; 5) sin 2jc + 2 cos 2jc = 1; 6) cos 2jc + 3 sin 2jc = 3. 823*. Найти все значения a, при которых уравнение sin^ JC - sin JC cos jc - 2 cos^ x = a не имеет корней. 824*. Найти все значения а, при которых уравнение (а^ + 2) sin^ JC + 4а sin jc cos jc = a^ + 3 имеет корни, и решить это уравнение. § 43. Уравнение, линейное относительно sin х и cos х Уравнение а sin JC + Ь cos JC = с, (1) где а называют линейным относительно sin jc и cos jc. Покажем на примере, что уравнение (1) можно свести к квад- ратному относительно tg — . При с = 0 уравнение является однород- ным и сводится к уравнению tg jc = (см. § 42). а Задача 1. Решить уравнение 4 sin JC + 3 cos JC = 5. X А Пользуясь известными формулами и заметив, что jc = 2 • — , за- X Х ^ X , ^ X ^ — — G1 п ^ — пишем: sin jc = 2 sin — cos — , cos jc = cos ^ sin^ 2 ’ 5 = 2 JC 2 ^ = 51 sin —+cos — I. Тогда данное уравнение можно представить так: 262 О-^ ^ of • 2 ^ 8 Sin — COS + 3 cos — sin — Z ^ I ^ z откуда cf • 2 X 2 ^ :5 sin —+cos — , 8 sin^ ^ - 8 sin ^ cos ^ + 2 cos^ — = 0. 2 2 2 2 Полученное уравнение является однородным относительно sin — X и cos — и приводится к уравнению 4tg2 I -4tg I +1 = 0. Отсюда находим tg ^ ^ = arctg ■” + кп. 2 Z Z Z Ответ. л: = 2arctg + 2лп, пе Z. А Задача 2. Решить уравнение sin л: - cos л:= 1. (2) А Используя формулы двойного угла, так же как и при решении задачи 1, получаем , X X ^ X . о X . п X ^ X 2 sin — cos — - cos^ — + sin^ — = sin^ — + cos^ — , dk ^ d d d d откуда sin — cos — - cos^ ~2 в последнем однородном уравнении коэффициент при sin^ — равен нулю. Поэтому уравнение не сводится к квадратному отно- сительно tg — , так как при делении на cos^ — потеряются корни. Дальнейшее решение можно провести так: cos ^ |^sin ^ - cos ~ | = 0, X XX откуда cos ^ = о или sin — - cos ^ = 0. X ^ X к _ ^ 1) cos — = о, — = - + пп, х = п+ 2кПу Z\ d d d 2) sin I =cos f f =1> f = ^ +nn,x= I +2nn,ne Z. Ответ. x = n + 2nn, x=^ + 2nn, ne Z. A d 263 Уравнение (2) можно было иначе решить. А Заметив, что 1 = tg ^, запишем уравнение (2) так: sinx-tg - cosx= 1, откуда sin X cos - - cos x sin - = cos -; 4 4 4 . ( пЛ ^J2 К - v„ ^ X - - =(-1)" - +nn; x= ^+(-1)" ^+КП, ne Z. A 4 4 Задача 3. Решить уравнение 7з sin x-l-oos л: = 2. (3) A Разделим обе части уравнения на 2: — sin л: + - cos х=1. 2 2 „ ^/3 п 1 . ж Заметив, что — = cos = sin -, представим уравнение так: 2 о 2 о к . я ^ sin X cos - + cos л: sin - = 1, о о откуда sin^x + -J = l; л: + - = - +2пп; л: = - + 2яп, пе Z. ^ о Покажем, что любое линейное уравнение а sin х-\-Ь cos х = с, (4) где a^Oyb^OjC^Oy можно решить таким же способом, как и уравнение (3). О Разделим обе части уравнения (4) на yja^ : Ь с 4^ sin Х + cosx = (5) 264 Так как /^2 . .2 +Ь J = 1, ТО точка с координатами лежит на единичной окружности. Следовательно, ^ yja^+b^ существует такое число ф (такой угол ф), что cos ф = Та Sin ф = Поэтому уравнение (5) можно записать так: с sin X cos ф + cos X sin ф = 7м’ откуда sin (л: + ф) = Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим, решение которого известно. • Задача 4. Решить уравнение 6 sin х-8 cos х = 3. А Поделим обе части уравнения на л/б^ +8^ =10. Получим 3.4 3 - sin л: - - cos х = — . о о 1U rw, 3.4 Тогда cos Ф = к , sin Ф = - ^, поэтому уравнение можно предста-о о вить так: sin X cos ф + cos X sin ф = 10 ’ sin (л: + ф) = 10 ’ откуда л: + ф = (-1)"агсаш — +пп; 3 JC = -ф + (-1)" arcsin — + 7Ш, пе Z, 3 ^ . 4 ^ Так как cos Ф = ^ >0, sin Ф = - ^ < 0, то угол ф лежит в четвер-о о 4 5 4 3 Ответ. л: = arcsin - + (-1)"arcsin — + тш, пе Z. А о 10 265 Упражнения Решить уравнение (825—828). 825. 1) sin X + cos jc = 1; 3) sin JC + >/3 cos JC = 1; 2) sin л: + cos л: = V2; 4) у/з sin JC + cos JC = 1. 826. 1) >/3 sin X - cos л: = 2; 2) ^/2 cosjc- V2 sinjc = 2. 827. 1) sin Зл: - cos Зл: = 0,5 >/б; 2) у/з cos 5jc - sin Ъх = -у[з 828. 1) 4 sin ^ + 3 cos ^ = 2; 3) 8 sin 3jc - 15 cos 3jc = 1; 2) 12 cos ^ - 5 sin ^ = 1; 0 0 4) 24 cos ^ + 7 sin ^ = 5. 829. Найти наибольший отрицательный корень уравнения у/б cos л: + V2 sin л: = 2. 830. Найти наименьший положительный корень уравнения л/З sin Sx - cos Sx= у/з . 831*. Решить уравнение: 1) sin^ X - cos^ X + sin x cos^ x - cos x sin^ x=l; 2) sin^ X + cos^ X + sin x cos^ x + cos x sin^ x=l. 832*. Найти все значения a, при которых имеют корни уравнения: 1) sin х-\-а cos х = 2; 2) cos х + а sin х = 2. § 44. Решение уравнений методом замены неизвестного Задача 1. Решить уравнение sin 2х - sin х - cos л: - 1 = 0. А Выразим sin 2х через sin х + cos х, используя тождество: sin 2х = (sin X + cos х)^ -1. Обозначим sin х + cos х = t. Тогда (sin х + cos х)^ = sin^ х + + 2 sin X cos X + cos^ x = sin 2л: = - 1. Уравнение примет вид - t - 2 = 0y откуда = -ly = 2. Задача свелась к решению следующих уравнений: sin X + cos X = -ly sin x + cos л: = 2. Решим первое уравнение: л/2 . л/2 л/2 sin X + -^ cos д: = - ; 266 . , ^71^ ^/2 sm|x + -J=- — x-\- - =(-lr arcsin V л-пк\ X = -\-nk\ keZ. Отсюда при четном k получаем x = - - -\- 2nk, a при нечетном k X = к 2nk. Второе уравнение не имеет корней, так как sin л: < 1, cos л: < 1 и равенства sin л: = 1, cos л: = 1 не могут одновременно выполняться. Ответ. х = п-\-2пПу х = -^ -\-2пПу neZ. А Задача 2. Решить уравнение sin 2х л- 3(sin х - cos х) = 1. А Обозначим sin х - cos x = t. Тогда (sin х - cos х)^ = sin^ х -- 2 sin X cos X cos^ x = t^y sin 2x =1 - Данное уравнение можно записать так: 1-^2+3^ = 1. Решая его, находим t (-t -i- 3) = О, t^ = О, = 3. Задача свелась к решению следуюш;их уравнений: sin X - cos х = Оу sin х - cos х = 3. Решая первое уравнение, получаем tg Х=1у Х= ^ -I- КПу ПЕ Z. Второе уравнение не имеет корней, так как | sin л: | < 1, | cos л: | < 1 и, следовательно sin х - cos л: < 2 < 3. ^ л ^ Ответ. х = - +кпу пЕ Z. А 4 Задачи 1 и 2 решены с помощью замены неизвестного. Вообще уравнение a(sin X -h cos л:) -н & sin 2л: -н с = О, а^О заменой t = sin х -h cos х сводится к квадратному уравнению at-hb(t^- l)-hc = 0; уравнение a(sin X - cos x)-hb sin 2л:-н c = 0, a^O заменой t = sin x - cos x сводится к квадратному уравнению at-hb(l -t^)-hc = 0. При решении некоторых тригонометрических уравнений бывают полезны замены и других выражений, содержащих неизвестное. 267 Задача 3. Решить уравнение sin^: + ctg -- =2. А Воспользуемся формулами X 2tg- sin л: = 1 + tg' .2 ^ f=Л Обе эти формулы верны, если sin — ^ О и cos — ^ 0. Заметим, X ^ JC _ что значения х, при которых sin ^ = О или cos — = О, не являются корнями данного уравнения. Поэтому можно сделать замену , X tg — =t и свести данное уравнение к виду 1 ^ 72 + Т -2. l+^" t Так как ^ О, то имеем 3t^-hl = 2t-h2t^; 2t^-3t^ -h2t-l = 0; (2t^-2t^)~(t^-t) + (t-l) = 0; (t-l)(2t^ -t + l) = 0, откуда t-l = 0, 2t^-t-i-l = 0. Из первого уравнения получаем f = 1, а второе не имеет действительных корней. Если ^ = 1, то tg — =1, — = 7 + КП, х = - -h 2кПу пе Z. Ответ. ^=2~*~ пе Z. А Задача 4. Решить уравнение sin^ X -\- sin^ X = sin X--:-- + 7 . smx 4 А Пусть sin X----г^— = t; тогда = sin^ х —г^-------2 и уравнение smx sin^jc преобразуется к виду t^ + 2 = t-\- или f ^ ~^ 1 =0» откуда ^ ^ > т.е. sin X - sinjc: 2 ’ 2 sin^ X - sin X- 2 = 0y 268 sinx = 1±Л7 Уравнение sin х = 1+Vl7 не имеет корней, так как 1+Л7 > 1. ,, 1-V17 ^ 1 • Учитывая, что -1< —— < 1, из уравнения sin х = —^— имеем 4 4 l-yfil л: = (-1)" arcsin —-— -\-кп, пе Z. Ответ. л: = (-1)"^^ arcsin + ппу пе Z, А Задача 5. Решить уравнение sin I л: + — i = 2 sin 31П л: + — = 2 S1I я X 5~ 2 „ п X Зя хЛ А Положим ^ “ 2 “ тогда = я- 2 у-- — ^=n-2tvi урав- нение примет вид sin (я - 20 = 2 sin ^ или sin 2^ = 2 sin или 2 sin t (cos f - 1) = 0. Если sin ^ = о, то f = ЯП, a если cos f = 1, то ^ = 2nn, Так как корни второго уравнения содержатся во множестве корней первого уравнения, то ^ = ЯП, пе Zj или ^ ~ ~ откуда л: = 2|— + яп |,neZ. 5 2 15 Ответ. л: = 2|^--l-япJ,ПGZ. А Упражнения Решить уравнение (833—844). 833. 1) 2 sin 2х - 3(sin х -н cos л:) -i- 2 = 0; 2) sin 2л: -I- 3 = 3sin х 3cos х\ 3) sin 2л: -I- 4(sin х -н cos л:) -i- 4 = 0; 4) sin 2л: -н 5(cos х - sin л: -i-1) = 0; 5) 1 -I- 2 sin л: = sin 2л: -i- 2 cos х; 6) 1 -I- 3 cos X = sin 2л: -H 3 sin x. 834. sin^ X -H cos^ л: = 1 -h sin 2л:. 835. tg^ X -H ctg^ л: = tg л: -I- ctg x. 269 836. tg4 2x + cos^ 2x 1 = 25. 837. 2 cos2 д: + -r^ = 5 sin^x 838. COS^ X + coex = cos X - COS^ X = 2. 839. sin + j = 2 sin 7 К sin j = 2 cos 9 j- 840 841. sin"* л: + cos® л: = 1. 842. ^*-^^!. coex cos2x 843. sin X + — = sin^ x + sin^ x smx 844. cos"^ X + sin® x=l. 845*. Найти все значения a, при которых уравнение sin 2х-2а у[2 (sin х + cos х)-\-1- 6а^ = 0 имеет корни, и решить это уравнение. § 45. Решение уравнений методом разложения на множители Одним из наиболее применяемых методов решения тригонометрических уравнений является метод разложения на множители. Задача 1. Решить уравнение sin 2х - sin л: = 0. А Используя формулу для синуса двойного аргумента, запишем уравнение в виде 2 sin х cos х - sin х = 0. Вынося общий множитель sin х за скобки, получаем sin х(2 cos л: - 1) = 0. 1) sin^: = 0, х = пп, пе Z; 2) 2 cos л: - 1 = 0, cos л: = х = ±^ -1-27Ш, пе Z. Z о Ответ. X-ппу х = ±^ + 2тш, пе Z. А о 270 Задача 2. Решить уравнение 2 sin X cos 2л: - 1 + 2 cos 2х - sin х = 0. А Вынося общий множитель первого и третьего слагаемых, запишем уравнение в виде 2 cos 2х (sin х+1)~ (sin jc + 1) = О или (2 cos 2х - 1) (sin л: -н 1) = 0. 1) cos 2л: = 2х = ±^ +2тш, х = ±^ +тш, пе Z; Z о о 2) sin х = -1у х = -^ -н 2тш, пе Z. п к Ответ. х = ±- +7Ш, х = -~ +2тш, пе Z, А о ^ Задача 3. Решить уравнение cos Зл: + sin 5л: = 0. А Применяя формулу приведения sin а = cos 2 ~ ^ j ’ уравнение в виде cos Зл: -н cos - - 5л: = 0. V 2 / Используя формулу для суммы косинусов, имеем 2 cos ~ -.4 (п Л г. ПК 3 1) cos --л: =0, л: - - = - -нтш, х= -к -нтш; «V (^ . к к 3 кп 2) cos =0, 4х- - = - -\-пп,х= + X- in, 3 3 я/i Ответ, л: = - л + лп, х - —л -н —- , п е Z. А 4 16 4 Задача 4. Решить уравнение sin 7х -н sin Зл: = 3 cos 2л:. А Применяя формулу для суммы синусов, запишем уравнение в виде 2 sin 5л: cos 2л: = 3 cos 2л: или cos 2л: |^sin5л:-|j =0. ^ _ к кп Уравнение cos 2л: = 0 имеет корни л: = - -н — , а уравнение sin 5л: = - не имеет корней. La ^ К кп „ Ответ. л:=--н—,^gZ. А 271 Задача 5. Решить уравнение cos Sx cos х = cos 2х. А Так как cos 2х = cos (Зх - х) = cos Зх cos х + sin Зх sin х, то уравнение примет вид: sin X sin Зх = 0. 1) sinx = 0, х = 7ш; 2) sin Зх = о, X = ^ . Заметим, что числа вида пп содержатся среди чисел вида пп ^ , л/г , ^ X = — , п G Z, так как если п = 3«, то — = кк. Следовательно, пер- О о вая серия корней содержится во второй. Ответ. х=—,nGZ. А Задача 6. Решить уравнение cos^ X + sin^ X = cos 2х. А Левая и правая части уравнения имеют общий множитель cos X + sin X, так как cos^ X + sin^ X = (cos X + sin х) (1 - sin x cos x); cos 2x = (cos X + sin x) (cos x - sin x). Поэтому данное уравнение таково: (cos X + sin x) (1 - sin x cos x + sin x - cos x) = 0. 1) cos X + sin x = 0, tgx = -l, x = KJiy ne Z; 2) 1 - sin X cos X + sin x - cos x = 0. Заменой sin x - cos x = t получаем уравнение + 2t + 1 = 0, откуда t = -ly T. e. sin X - cos X = -1 или sin X -H 1 - cos X = 0; 2 sin — cos ^ + 2 sin^ ~2 ~2 2 ~ ln|) = 0. X XXX Если sin — = 0, TO X = 2кп, a если cos — -H sin — = 0, to tg — = -1, n откуда X = - — -I- 2nn. dk Ответ. x = + кпу X = 2кПу x = -^ -н2яп, ne Z, A 4 d 272 Задача 7. Решить уравнение cos х sin 7х = cos Зх sin 5х. А Выражая произведения тригонометрических функций через суммы, запишем уравнение в виде ^ (sin 8л: + sin 6л:) = ^ (sin 8л: + sin 2л:), откуда sin 6л: - sin 2л: = 0. Используя формулу разности синусов, получаем 2 sin 2л: cos 4х = 0: КП X - 2 ’ к КП X - 8 Т * КП к кп • х= - + — 2 ’ 8 4 Ответ. X = Z о Упражнения Решить уравнение (846—856). 846.1) 73 sin X cos X = sin^ х; 2) 2sin X cos X = cos x; 3) sin 4л: + sin^ 2л:= 0 ; 4) sin 2л: + 2 cos^ л: = 0; 847. 1) cos X = cos Зл:; 2) sin 5л: = sin x; 848.1) cos X sin 9x = cos Зл: sin 7л:; 2) sin X cos 5л: = sin 9x cos Зл:; 849.1) cos Зл: - cos 5л: = sin 4л:; 2) sin 7л: - sin л: = cos 4л:; 850.1)1- sin 5л: = I cos - - sin -'22 2) 2 sin^ л: = 1 + - sin 4л:; о 3) 2 cos^ 2л: - 1 = sin 4л:; 851.1) cos X cos 2л: = sin x sin 2л:; 2) sin 2л: cos x = cos 2л: sin x; 3) sin Зл: = sin 2л: cos x; 5) sin Зл: = 3 sin x cos^ x; 6) sin 4x = sin 2x; 7) cos 2л: + cos^ л: = 0; 8) sin 2л: = cos^ x. 3) sin 2л: = cos 3x; 4) sin X + cos Зл: = 0. 1 3) sin X sin Зл: = 2’ 4) cos X cos Зл: = - - . 3) cos X + cos Зл: = 4 cos 2л:; 4) sin^ X - cos^ X = cos 4л:. 4) sin 2л: + cos 5л: = 0; 5) 2 cos^ 2л: + 3 cos^ л: = 2; 6) (sin X + cos x)^ = 1 + cos X. 4) cos 5л: cos x = cos 4л:; 5) cos Зл: cos x = cos 2л:; 6) 2 cos 2л: = sin x cos 2л:. 273 852.1) cos X + cos 2x + cos 4x = 0; 2) cos X + sin X + cos 3x + sin Sx = 0. 853.1) sin 2x = l-\- cos 2x-\- yf2 cos x; 2) sin 2x + cos 2x= \f2 sin Sx. 854.1) ctg л: = 1 + 2 cos 2x; • I ^ sm - - л: 2) —^-----i =cos2x. 855.1) cos^ X = sin x(l + cos 2x); 2) sin^ X + cos^ л: - sin л: - cos x = 0. 856*. 1) sin Зл: = 2 sin 2x; 2) sin x(l + cos x) = l + cos x + cos^ x • (^ sm — + Jc u § 46. Различные приемы решения тригонометрических уравнений Задача 1. Решить уравнение 3 cos'* х + 4 sin'* x = S. А Решить это уравнение можно с помощью формул понижения степени: cos^ а = 1 + cos 2а sin^ а = 1 - cos 2а 2 ’ — 2 которые получаются из формул половинного угла. Используя эти формулы, имеем д(1+соб2х)^ ^ ^(1-соб2л:)^ 4 4 7 cos^ 2л: - 2 cos 2л: - 5 = 0. Решая это квадратное уравнение относительно cos 2л:, находим: 1) cos 2л: = 1, 2л: = 2тш, х - тш, пе Z; 2) cos 2л: = -|, 2л: = ±aгccos j ■*" х = ±^|^K-arccoSy пе Z. Ответ. х = кп; ^ = ^тс-arccosyj +тш, пе Z. А Задача 2. Решить уравнение sin'* х + cos'* | л: - - ] = - . I 4 J 4 А Применяя формулы понижения степени, получаем - + ЯП, 1-COS 2л ^ [ 2 J J 1 + COS2I Х-- 1 4 ' 274 Отметим, что cos ^ ^ ^ ^ j “ f ] ~ ^ ^ ~ Поэтому, освобождаясь от дробей, имеем 1-2 cos 2х + cos^ 2л: + 1 + 2 sin 2л: + sin^ 2л: = 1; 1 + sin 2л: - cos 2л: = 0; 2 sin X cos л: + 2 sin^ л: = 0; sin X (sin X + cos л:) = 0, откуда находим х = кп; л: = - - + кп, пе Z. Ответ. х = кп; х + 7Ш, пе Z. А Задача 3. Решить уравнение sin^^ л: + cos^^ л: = 1. А Решить это уравнение с помощью формул понижения степени непросто. Проще использовать следующие рассуждения. Известно, что | sin л: | < 1 и | cos л: | < 1. Пусть выполняются строгие неравенства | sin л: | < 1 и | cos л: | < 1. Тогда sin^ л: < 1, cos^ л: < 1 и тем более sin® л: < 1, cos® л: < 1, и поэтому sin® х < sin^ л:, cos® X < cos^ X. А так как sin^ х -н cos^ х = 1 для любого значения х, то sin® X + cos® X < 1. Итак, если имеют место строгие неравенства | sin х | < 1 и I cos X I < 1, то данное уравнение не имеет корней. Осталось лишь рассмотреть случаи, когда или | sin х | = 1, или I cos X I = 1, т. е. или X = ^ -н тш, или х = к-\- тш, пе Z. Эти значения и есть корни данного уравнения. ^ л ^ Ответ. х = - + лп, пе Z, А Задача 4. Решить уравнение 2 sin^ X + 3 cos^ 4х = 5. А Так как | sin х | < 1 и | cos 4х | < 1, то sin^ х < 1 и cos^ 4х < 1. Если выполняются строгие неравенства, то 2 sin"^ х + 3 cos^ 4х < 5 и уравнение не имеет корней. Следовательно, sin^ х = 1 и cos^ 4х = 1. Корнями уравнения sin^ х = 1 являются числа х = ^ + тш. При ЭТИХ значениях х верно и второе равенство: cos^ 4х = 1. Ответ. х=^ + лп, пе Z. А d 275 Задача 5. Решить уравнение 2 sin x-h7 cos 8л: = 9. А Воспользуемся односторонней оценкой значений синуса и косинуса: sin х<1 и cos 8х<1. Поэтому 2 sin л:< 2, 7 cos 8л:< 7, откуда 2 sin л: -н 7 cos 8л: < 9. Следовательно, уравнение обращается в верное равенство только тогда, когда sin л: = 1 и cos 8jc = 1. Решая уравнение sin л: = 1, я ^ „ получаем х = - + 2кп. При этих значениях х находим cos 8л: = - cos 8 + 2тш j = cos (4к+ 16тш) = 1, т. е. корни уравнения sin х = 1 являются и корнями уравнения cos 8л: = 1. Если вместо проверки ре- шить также и уравнение cos 8л: = 1, то, получив его корни ^ > пришлось бы дополнительно устанавливать, какие из них являются корнями уравнения sin л: = 1, т. е. не являются посторонними для данного уравнения. Ответ. л: = - + 2тш, пg Z. А Задача 6. Решить уравнение sin X sin 5л: sin 9л: = 1. А Уравнение может иметь корни только в случае, когда | sin л: | = 1. Если sin л:=1,тол:=^-|- 2тш, п g Z, откуда следует, что sin 5л: = 1, sin 9л: = 1. Если sin X = -1, то л: = - - -н 2тш, п g Z, и тогда sin 5л: = -1, sin 9л: = -1И поэтому sin X sin 5л: sin 9л: = -1. Ответ. л:=^-н 2тш, Z, к Задача 7. Решить уравнение sin^ 2л: + sin^ 4л: = 1 - cos 2л cos Зл ’ А Исходное уравнение равносильно каждому из уравнений 1-соб4л 1-соб8л .. cos 2л 2 2 ” ^ cos Зл ’ cos 4л + cos 8л cos 2л ^ ^ cos 2л 276 а при выполнении условия cos Sx^O равносильно уравнению cos 2^:(cos Sx • cos 6л: - 1) = 0. Уравнение cos 2л: = 0 имеет корни л:= — + ^gZ, а уравнение 4 2 cos Зл: cos 6л: = 1 может имеь крни только в случае, когда | cos Зл: | = 1. Если I cos Зл: I = 1, тогда cos 6л: = 2 cos^ Зл: - 1 = 1, и поэтому cos Зл: cos 6л: = 1 только тогда, когда cos Зл: = 1, откуда х = . о „ К КП 2кп „ . Ответ. yiieZ. к Упражнения Решить уравнение (857—864). 857.1) 8 sin X cos х cos 2х = 1; 3) cos^ х sin х - sin^ х cos х = 4 2)1 + cos^ X = sin^ х; 4) sin^ X cos X + cos^ x sin x = -. 4 858.1) sin^ X + sin^ 2л: = 1; 3) sin 4л: = 6 cos^ 2л: - 4; 2) sin^ X + cos^ 2л: =1; 4) 2 cos^ Зл: + sin 5л: = 1. 859.1) 2 cos^ 2x + 3 sin 4л: + 4 sin^ 2л: = 0; 2) 1 - sin X cos л: + 2 cos^ л: = 0; 3) 2 sin^ л: + - cos^ 2л: = 1; 4 4) sin^ 2л: + cos^ Зл: = 1 + 4 sin x. 860.1) 2 cos^ л: = 1 + 4 sin 4дг; 2) 2 sin^ x = 1 - 3 sin 4x. 861.1) sin® X + cos® X = 1; 2) 3 sin® x + 4 cos® x = 7. 862.1) 2(sin'^ X + cos^ x) = 6 sin 2x - 5 sin^ 2x; 2) 8(sin® X cos X + cos® x sin x) + 3 sin 2x = 0. 863.1) sin® X cos 3x + cos® x sin 3x = - -; 2) sin® X + cos® X = 1 + 2 sin® x cos® x. 864.1) sin X sin 5x = 1; 3) cos x sin 5x = -1; 2) sin X cos 4x = -1; 4) sin x cos 3x = -1. 277 865*. Найти все значения а, при которых уравнение sin'* х + cos'* х = а имеет корни, и решить это уравнение. 866*. Решить уравнение: l)cos X cos Зх cos 5х = -1; 2) sin х sin Зх sin 7х = 1. § 47. Уравнения, содержащие корни и модули Задача 1. Решить уравнение (1) (2) 7l-2sin2jc = 2 sin л: - cos х, А Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем 1 - 2 sin 2л: = (2 sin х - cos л:)^, откуда 1-4 sin X cos л: = 4 sin^ л: - 4 sin х cos х + cos^ х; 1 - cos^ л: - 4 sin^ л: = 0; sin^ л: - 4 sin^ л: = 0; sin л: = о, х = nky ke Z. Напомним, что при возведении обеих частей уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни, поэтому необходима проверка. При X = nky ke Z левая часть у1>авнения (1) равна ^/l-2sin 2nk = 1, а правая равна 2 sin nk - cos nk = -(-1)^ = (-1)^^*. Значение, равное единице, правая часть принимает только при k = 2n +1, где пе Z. Поэтому корнями уравнения (1) являются числа х = к{2п + 1), п g Z. Отметим, что в данном случае для проверки достаточно было установить, при каких найденных значениях х правая часть уравнения (1) неотрицательна (конечно, если не допуш;ены ошибки в преобразованиях или в вычислениях). При X = nky k е Z правая часть положительна, если k = 2n +1, пе Zy и отрицательна, если k = 2пу пе Z. Кроме того, отметим, что знак подкоренного выражения уравнения (1) при найденных значениях х не нужно устанавливать, так как правая часть уравнения (2) неотрицательна и поэтому корнями этого уравнения являются только такие значения л:, при которых 1-2 sin 2л: > о, т. е. подкоренное выражение уравнения (1) неотрицательно. Ответ. х = п(2п + 1), п g Z. А Задача 2. Решить уравнение 77-со8л:-6со8 2л: = 4 sin х. А Возводя обе части уравнения в квадрат, имеем 7 - cos л: - 6 cos 2л: = 16 sin^ х. 278 Используя формулу косинуса двойного угла, это уравнение приводим к квадратному: 4 cos^ X - cos л: - 3 = О, , 3 откуда cos х = 1, cos х = -~. 1) cos х=1у х= 2ппу пе Z; 2) cos х=\~ у х = ±arccos I I + 2кп, пе Z. Проверим, при каких из найденных значений х правая часть исходного уравнения неотрицательна, т. е. sin х>0: 1) при X = 2кп получаем sin х = 0; ( 3 2) угол arccos 1 лежит во второй четверти, в которой синус положителен. Угол -arccos j лежит в третьей четверти, в которой синус отрицателен. Ответ. х = 2пп, х = arccos j -i-2пп, пе Z, А Задача 3. Решить уравнение 2 - 3 sin^ л: = 2 I cos л: |. По определению модуля числа следует рассмотреть два случая: 1) 1 cos XI = cos Xj если cos л: > 0; 2) I cos XI = -cos Xy если cos л: < 0. Рассмотрим первый случай. При cos x>Q имеем 2-3 sin^ х = 2 cos х\ 3 cos^ х-2 cos л: - 1 = 0; cos л: = 1, cos х = -\, о Второе значение не годится, так как cos х> 0. Из уравнения cos х=1 находим х = 2nk, ke Z. Во втором случаву т. е. если cos л: < 0, имеем 2-3 sin^ х = -2 cos х; 3 cos^ х-\-2 cos л: - 1 = 0; . 1 cos X = -1, cos ^ = 2 • Второе значение положительно, т. е. не удовлетворяет условию cos л: < 0. Из уравнения cos х = -1 находим х = п-\- 2кку k е Z. Объединяя формулы X = 2nk и л: = я -h 2nky получаем х = яп, пе Z. Ответ. х = кПуПе Z. А 279 Задача 4. Решить уравнение 4 - 2 cos^ л: = 5 I sin л: |. А 1) sin х>0; 4-2 cos^ X = 5 sin х; 2 sin^ X - 5 sin X + 2 = 0; « . 1 sin X = 2, sin X = -. Уравнение sin x = 2 не имеет корней; sin X = ^ > 0, X = (-1)" ^ + 7Ш, n G Z. Z D 2) sin X < 0; 4-2 cos^ X = -5 sin x; 2 sin^ X + 5 sin x + 2 = 0; sin X = -2, sin ^ ^ • Уравнение sin x = -2 не имеет корней; sin X = - ^ < 0, X = (-1)"^^ ^ + 7Ш, ne Z. z о Ответ. X - (-1)"^ + кп, X = (-1)"^^? + nn или x -±^ + кп, О DO П€ Z. A Упражнения Решить уравнение (867—874). 867.1) у]сов2х - sin х; 868.1) V2 cos Х--yJSsinx; 869.1) I sin XI = sin x + 2 cos x; 2) I 3 sin X - 5 I = 2; 2) ^1-sinx = 2 cos X. 2) ^cos2x = 1 + 2 sin X. 3) |2tgx-8| = 3tgx+l; 4) 2 I cos XI - cos X - 3 = 0. 870.1) ^sin2x = ^cosx-sinx-l; 2) -y/4+3cosx-cos2x = >/6 sin x. 871.1) + COS X = sin X - cos x; 2) ,/sin3x-sinx = щsin x. 872.1) .y/5cosx-cos2x = -2 sin x; 2) ^cosx+cos3x --yf2 cos x; 280 3) yj3(X-t^x) = 2 V2 cos I 4) >/ctg2jc-ctgJC = — cos JC 873*. 1) 4 I cos л: I + 3 = 4 sin^ x; 874**. 1) -y/5+cos2jc = sin л: + 3 cos x; (Уз + l)sin 3x + sin 5jc ^ ^ |sinjc| * 2) I tg 2л: I + 1 = —2— ^ ' cos"2jc § 48. Системы тригонометрических уравнений Задача 1. Решить систему уравнений 1 SUlJCCOSJ/ = -, ctgxtgy=l. А Из первого уравнения следует, что sin л: О и cos у ^0. Поэтому, умножая почленно второе уравнение на первое, имеем систему, равносильную данной: sin^:cos [/ = “, ^ 2 1 cos^:sin у =—. ^ 2 Складывая и вычитая почленно уравнения этой системы, получаем j sin X cos у -н cos X sin 1/ = 1, [sin X cos i/-cos л: sin y = 0 или |sin(x + j/) = l, [sin(ji;-i/) = 0, откуда \х-\-у = 2кп, ne Z, [л:-1/ = лА;, A;g Z. Tzk Tzk Решая последнюю систему, находим х = яп-\- у = пп ——у пе Zy ke Z. fw и fw А Ответ. х = жп-\-— у у = кп ——yneZykeZ. А и di 281 Отметим, что в записи решения целые числа п\л k могут быть как одинаковыми, так и разными. Употребление только одного обозначения целого числа (только п или только k) привело бы к потере корней. Задача 2. Решить систему уравнений [sin i/ = 5sin Ху [cos i/ = 2-3cosX, А Возведем обе части уравнения в квадрат и сложим полученные уравнения. Отсюда имеем 25 sin^ л: -н (2 - 3 cos х)^= 1, откуда 8 cos^ л: + 6 cos л: - 14 = 0; 7 cos х = 1 или cos X -Уравнение cos ^ ^ не имеет корней. 4 * Из уравнения cos х=1 находим х = 2тш, Z, Подставляя эти значения х в исходную систему, получаем |sini/ = 0, [cosi/ = -l, откуда I/ = л -н 2л/е, /е g Z. Ответ. {2nn\n-\-2nk)y riykeZ. А Задача 3. Решить систему уравнений sinjc=^sin2j/, о cosjc=sinj/. А Возведем оба уравнения в квадрат и сложим полученные уравнения: sin^ х = ^ sin^ 2уу откуда cos^ X = sin^ у 1 = sin^ ^ 9 cos^ I/ = - • 4 sin^ у cos^ у-у cos^y I 1-^sin^ у = 0; 282 cos^ y\—- sin^ 1/1 = 0. II Так как | sin i/1 < 1, то - - sin^y^ 0. Следовательно, cos^ 1/ = 0, i/ = - + nk, Z, Рассмотрим два случая: h — четное и — нечетное числа. 1) Если к - 2п, то, подставляя у=^+ 2пп в исходную систему, име- ем sin x = 0j cos л: = 1, откуда X = 2л/, 1е Z. 2) Если /е = 2/г + 1, то, подставляя у = п 2кп в исходную систему, получаем откуда х = к + 2я/, I е Z. sin л: = о, cos X = -1, Ответ. |^2я/;^ + 2лпj, |^я+2я/;-^ + 2япj, /, п G Z. А 3 а д а ч а 4. Решить систему уравнений [sin i/ = 3sin Xj [cos i/ + 2cos^: = l. A Для исключения неизвестного у из данной системы преобразуем второе уравнение, возведем оба уравнения в квадрат и почленно их сложим: Jsin i/ = 3sin Ху [cos i/ = l-2cosx, Jsin^ i/=9sin^ Xy [cos^ j/=l-4cosjc+4cos^ x; 1 = 9 sin^ л: + 1 - 4 cos x + 4 cos^ Xy откуда 9-9 cos^ X- 4 cos x + 4 cos^ x = 0; 283 5cos^ x-h4 cos x-9 = 0; , 9 cosx= 1, cos л: = ~- . 5 1) COS x=lyX = 2nn, Z\ 9 2) cosx = -- <-1, корней нет. 5 Подставляя cos л: = 1 во второе уравнение исходной системы, находим cos I/ = -1, I/ = тс + 2я/г, ke Z. Так как в ходе решения системы уравнения возводились в квадрат, необходима проверка. Найденные решения удовлетворяют второму уравнению системы, так как оно было использовано для нахождения значений у при найденных значениях х. Проверяем первое уравнение: его левая часть равна sin (я -н 2кк) = О, правая часть 3 sin (2nk) = 0. Посторонних корней нет. Ответ. л: = 2яп, г/ = я-н2я/е, пе Z^ ke Z. А Упражнения Решить систему уравнений (875—887). [sin (x + j/) = 0. 2) 1 |cos(x + i/) = 0, 1 [sin(x-j/) = 0; [cos(x-i/) = l. 1) [■ . . 1 sinxsin J/ = -, 4 2) • 2 . 2 1 Sin X + COS JJ = -y ^ 2 я х-\-и = —; ^ 3 х-\-у = - 877. fsinJc-i-cosj/=l, 1*2 2 1 Isin JC + COS J/ = -. 878. [sin^:-sin i/ = l, [sin^ x-\-cos^ y = l. 1 879. sin X cos 1/ = -, ^ 2 cosxsin l/ = —. ^ 2 284 880. jScosxcos i/ + 7sinxsin г/ = 4, [5cos X cos I/ - 3sin x sin i/ = 3. 881. COSKXCOSny = ^, y-x=^. 882. J4sin^:-2sin i/ = 3, [2COSX-COS i/ = 0. 883. f4sinK^:sin7Ci/ = l, [4cos nx cos ny = 3. 884. sin X = 1 cos X - sin д: cos д: + sin I/, + cos y. 885. rcosJC-sinjc=l+cosj/-sin[/, jssin 2jc - 2sin 2i/=I. 886*. 887*. 2x + 32sin^ у = 55, —\------4cos i/ = 5. sin^ 2д: sin ^ тг Л Зх+— 1 4j :smj/-cosi/, sin2j/+2sin2jc=^ + 2sin^ 2x. § 49. Появление посторонних корней и потеря корней тригонометрического уравнения При решении тригонометрических уравнений (как и при решении иррациональных или логарифмических уравнений) некоторые преобразования не приводят данное уравнение к равносильному ему. Например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат получается уравнение — следствие данного, т. е. могут появиться посторонние корни. При умножении обеих частей уравнения на выражения, содержахцие неизвестное, также могут появиться посторонние 285 корни, а при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может произойти потеря корней. Если в процессе решения уравнения получается уравнение — следствие данного, надо проверить, не появились ли посторонние корни. Потерю корней обнаружить труднее. Поэтому преобразования уравнения, которые могут привести к потере его корней, нужно проводить осторожно. Рассмотрим случаи приобретения посторонних корней или потери корней при решении тригонометрических уравнений. Задача 1. Решить уравнение X X 2 tg X sin — + 4 sin — - tg х - 2 = 0. О О А Способом группировки разложим левую часть уравнения на множители (tg JC -h 2) ^ X ^ 2sin--l = 0. 1) tg л: -I- 2 = о, tg л: = -2, х = -arctg 2 + тш, Z\ 2) 2 sin I - 1 = о, sin I = I, | = (-1)" ^ + яга, х = (-1)" | + -I- ЗЛП, ПЕ: Z. Так как левая часть данного уравнения содержит tg х, который не имеет смысла при ^ ^ /г g Z, то необходимо проверить, не появились ли в связи с этим посторонние корни. Выполним проверку: 1) если X = -arctg 2 + пп, neZ^Totgx существует и левая часть данного уравнения не теряет смысла; 2) если х = (-1)" ^ -н Зппу то tg х не существует и левая часть исходного уравнения не имеет смысла. О т в е т. X = -arctg 2 + лп, пе Z. А Задача 2. Решить уравнение 2 sin 3x + sin 5х sinx + 1 = 0. А Пусть sin х т, е. х ^ nky k е Z. Умножая обе части уравнения на sin X, получаем 2 sin Зх + sin 5х + sin х = 0. Используя формулу суммы синусов, имеем 2 sin Зх + 2 sin Зх cos 2х = 0; sin Зх (1 + cos 2х) = 0. 286 кк 1) sin Sx = О, Зл: = nk, х = —^ke Z; о 2) 1 + cos 2x-0, cos 2x--l,2x = n + 2nk, x = ^ + nk, ke Z. La Так как при решении уравнения обе его части умножались на sin Ху возможно появление посторонних корней. Выполним проверку: кк 1) если х = — у к е ZyTo sin х = 0 при к = Зп, т. е. при х = тш, но о sin хфО при к Ф Зпу т. е. при к = Зп-\-1и при к = Зп-\-2; 2) если х = ^ + кку /г g Z, то sin хфО. La ^ К 2к к „ Ответ. х= — кпу х = — кпу х = — тш, пе Z. а о о Z Задача 3. Решить уравнение 2 - cos X COSJC = 2. А Пусть cos хфО. Тогда 2 - cos х = 2 cos х; 2 cos X = -; 2 х = ±arccos — + 2ппу пе Z. о 2 2 Выполним проверку. Если х = ±arccos — + 2тш, то cos х = — фО. 3 3 о т в е т. X = ±arccos — + 2тш, пе Z, А о Задача 4. Решить уравнение sin X - cos X tgx = sinx A Так как tg x = , to, умножая обе части уравнения на про- COSX изведение sin х cos хФОу получаем откуда sin^ X = sin X cos х - cos^ х. sin^ X + cos^ X = sin x cos x; sinxcosx = l; 2 sin X cos X = 2; sin 2x = 2. 287 Последнее уравнение является следствием исходного. Оно не имеет корней, следовательно, и исходное уравнение не имеет корней. Ответ. Корней нет. А Задача 5. Решить уравнение ll+совх I' = cos X. А Возводя обе части уравнения в квадрат, имеем 1 + cos X 2 ------= cos^ Ху откуда 2 cos^ X - cos л: - 1 = О, cos х = 1у cos х = -~ . 1) cos х=1у х = 2ппу ПЕ Z; 1 . 2тг _ _ 2) cosx = -~ у х = ±—ч-2кпу neZ. Z о Так как при решении обе части уравнения возводились в квадрат, то выполним проверку: выясним, при каких из найденных значений X правая часть исходного уравнения неотрицательна. 2л ^ 1^ Если X = 2кпу то cos л: = 1 > 0; если х = ±— + 2кПу то cos х = -~ <0. о ^ О т В е т. л: = 2лПу пе Z. А Рассмотрим теперь примеры уравнений, при решении которых может быть потеря корней. Задача 6. Решить уравнение tg х = sin 2х. А Запишем это уравнение так: sin л: ^ =2sinxcosx. Пусть cos X ^Оу тогда sin х = 2 sin X cos^ х; sin х(1 - 2 cos^ х) = 0. 1) sin х = 0у х = кпу пе Z; 2) 1 - 2 cos^ Ху 2 cos^ л: = 1, 1 + cos 2х = 1, cos 2л: = 0, 2л: = ^ + кПу к кп ^ Х= — уПЕ Z. Проверка показывает, что в обоих случаях cos х^О. ^ к кп „ Ответ. х = кПу х= - — у ПЕ Z. А 288 Замечание. Если обе части исходного уравнения smx о • ---= 2 sin X cos X cosx разделить на sin л:, т. е. перейти к уравнению 1 о 2 cos X, COSX то будут потеряны корни уравнения sin х = 0,т,е. х = ппу пе Z. Задача 7. Решить уравнение tgx- sin х=1- cos X. А Представим это уравнение так: tg л: - 1 = sin л: - cos х; sin л: cos л: : sin л: - cos X. Если cos x^OjTo sin X - cos X = cos X (sin x - cos x); sin X - cos X - cos л: (sin x - cos л:) = 0; (sin X - cos x) (1 - cos x) = 0. 1) sin X - cos л: = 0, tg л: = 1, л: = ^ + яп, пе Z; 2) 1 - cos л: = 0, cos x=l^ x = 2кп, ne Z. Проверка показывает, что в обоих случаях cos х^О. Ответ. х= 7 + кп, X = 2кп, пе Z. А 4 Отметим, что если промежуточное уравнение sin X - cos X - cos X (sin x - cos jc) = 0 разделить на разность sin x - cos x, to будут потеряны корни x = - +ЯП, ne Z. 4 Задача 8. Решить уравнение 4 cos X + sin 2x = 4 + 2 sin x. A Преобразуем это уравнение следующим образом: 4 cos л: + 2 sin х cos л: = 4 + 2 sin х\ cos х(2 + sin х) = 2 + sin х. Заметим, что 2 + sin х^О, т. е. sin х ^ -2, при любом значении X. Поэтому не произойдет потери корней, если обе части уравнения разделить на (2 + sin х). Получим cosх=1у х = 2яп, пе Z. Ответ. л: = 2яп, пе Z. А 10—Ю. М. Колягин, 10 кл. 289 Задача 9. Решить уравнение sin X - 2 cos х = 2. А Воспользуемся формулами sin л:: COS л: = Однако эти формулы следует осторожно применять, так как они X не при всех значениях х верны. Эти формулы верны, если tg — су- X ществует, т. е. cos — ^0, х + 2тш, пе Z. Поэтому требуется про- верить, не являются ли значения х = п + 2тш, пе Z корнями исходного уравнения. Проверка показывает, что эти значения х и есть корни исходного уравнения. Запомним это. При других значениях х можно использовать эти формулы для X решения уравнения. Применяя формулы и заменяя tg ~ =t, имеем 2t 1 + f' 2(1-t^) 1 + f 2. Так как 1 + О, то 2<-2(1-«2) = 2(1+<2); t = 2,T. e. tg - =2; X — = arctg 2 + 7Ш, x = 2 arctg 2 + 2тш, ne Z. La Ответ. л: = л + 2тш, л: = 2arctg2 + 2тш, пе Z, А Задача 10. Решить уравнение 2ctg^:-tg I х+- I = 1. А Воспользуемся формулами ctgx=-^,tg tgx+tg^ Х + — = ------—-------- l-tgxtg- 1 + tgJC r„ , n , , „ Эти формулы верны при — + кк, ке Z. 290 „ nk к ^ ^ ^ Проверим, не являются лил: = ^ + кк, k е Z корнями „ кк исходного уравнения. Проверка показывает, что ^ являются корнями исходного уравнения только при к = 1 + 2п, т. е. при к , ^ , X = - юг, так как при к = 2п ctg х не существует; х = j пк не Ск 4 являются корнями исходного уравнения, так как при этих значе- ( ниях не существует tg л: + — V Запомним это и продолжим решение. Применяя формулы и заменяя tg x = t, получаем 2 _ ^ t 1-t В ходе предварительной проверки получилось, что если t = tgx^O Ht = tgX:^l,TO t=^,T.e.tgx=^,x = arctg ^-\-nn,neZ, = 1. Ответ. л:= - + юг, x = arctg - + юг, ne Z. A Итак, рассмотренные примеры показывают, что при решении тригонометрических уравнений могут появиться посторонние корни, если: 1) уравнение содержит тангенс или котангенс; 2) обе части уравнения умножаются (или делятся) на выражение, содержащее неизвестное; 3) обе части уравнения возводятся в квадрат. Потеря корней при решении тригонометрических уравнений может произойти, если: 1) обе части уравнения делятся (или умножаются) на выражение, содержащее неизвестное; 2) используются тригонометрические формулы, которые справедливы не при всех значениях неизвестного; 3) при решении системы тригонометрических уравнений для обозначения целого числа в найденных значениях хиу употребляется только одна буква. 10* 291 Упражнения Решить уравнение (888—895). 2cosSx+cosbx 888. ------------ +1 = 0. cos л: cos2x sin2x 889. cos^: 81пл: 890. tg 2л: = 3 tg x. 891. ctg X + ^ = 2. 1+С08Л: 892. tg (»-j) -2ctg*=l. 893. + ^=-1. |собл:| собЗл: 894. 77 -cosjc-6cos2jc =4 sin л:. з/б + Зсоз 4jc 895. ^------- =sin^:. Упражнения к главе VII 896. Вычислить: 1) 2 arcsin ^ + 3 arcsin j; 4) arccos (-1) - arcsin (-1); ^ - 5) 2 arctg 1 + 3 arctg [~^]; 6) 4 arctg (-1) + 3 arctg yfs . 2) arcsin ^ “ 4 arcsin 1; Q4 / M • ^ 3) arccos j ~2 ’ Решить уравнение (897—906) 897.1)cos(4-2x) = -|; 3) V2cos (2x + |) + 1 = 0; 2)cos(6 + 3x) = -^; 4)2cos (j-3x) - 73 =0. 898.1)2 sin (зх-|) + 1 = 0; 3) 3 + 4 sin (2x +1) = 0; 2)l-sin(| + f)=0; 4) 5 sin (2x - 1) - 2 = 0. 292 899.1) (1 + л/2 cos л:) (1 - 4 sin х cos х) = 0; 2) (1 - л/2 cos л:) (1 + 2 sin 2х cos 2х) = 0. 900. l)tg (2х + |)=-1; 2)tg = 901.1) 2 sin^ д: + sin д: = 0; 2) 3 sin^ X - 5 sin х - 2 = 0; 902. 1) 6 sin^ X - cos X + 6 = 0; 903.1) tg^ X + 3 tg X = 0; 2) 2 tg^ X - tg X - 3 = 0; 904. 1) 2 sin 2x = 3 cos 2x; 905.1) 5 sin X + cos x = 5; 906.1) sin 3x = sin 5x; 907. 1) cos^ 3x - cos 3x cos 5x = 0; 3) ^/з - tg (^-|) =0; 4) l-tg(x + ^)=0. 3) cos^ X - 2 cos л: = 0; 4) 6 cos^ x-h7 cos л: - 3 = 0. 2) 8 cos2 л: - 12 sin л: + 7 = 0. 3) tg л: - 12 ctg л: + 1 = 0; 4) tg^: + ctg^: = 2. 2) 4 sin 3x-h 5 cos Sx = 0. 2) 4 sin л: + 3 cos x = 6. 2) cos X = cos Sx; 2) sin X sin 5x - sin^ bx = 0. ПРОВЕРЬ СЕБЯ! 1. Найти значение выражения: 1) arccos 1 + arcsin 0; 9. f М • ^ 2) arccos \^“2/ ’ 3) tg (arctg 7з ); V2^ 4) sin arccos 2. Решить уравнение: 1) sin Sx cos л: - sin л: cos Sx = 1; 2) 2 cos^ x + 6 cos x = S; 3) tg л: - 3 ctg x = 0; 4) sin Sx - sin x = 0; 5) 2 sin X + sin 2x = 0. Вычислить (908—909). 908.1) cos 4) sin arccos arccos 2 ^/3^ 2) COS |arccosi|; 3) sin |arccos|J; ,^4 X ( l\ 1 V2^ 5)tg larccos-1; 6)tg arccos— . 2 J 293 909.1) sin |arcsin Ij ; 2) sin ^arcsin^-^ jj; 3) sin |n-arcsin^j; Решить уравнение (910—927). 910. 1) sin 2x + 2 cos 2x = 1; 911. 1) 3 tg4 X - 10 tg2 X + 3 = 0; 1 4) sin |7i + arcsin|j; 5) cos - arcsin ^ j; 6) cos + arcsin . 2) cos 2x + 3 sin 2x = 3. 3) ctgx ctgx+ sinx = 1; 2) 3 tg X + 1 = COS^ X 4) sin^ X = 1 + cos^ X. 912. I)sin2x + sin2 2x = l; 913.1) 8 sin^ X +13 cos 2x = 7; 914. 1) tg X (3 ctg X - 16 sin X cos^ x) = 0; 2) 2 tg X + -J— = ■ ^ . smx sm2x 915. 1) 3 sin^ X + sin x cos x - 2 cos^ x = 0; 2) 2 sin^ X + 3 sin x cos x - 2 cos^ x = 0. 916.1) 1 + 2 sin X = sin 2x + 2 cos x; 2) 1 + 3 cos X = sin 2x + 3 sin x. 2) 13 sin^ X + cos 4x - 2 = cos 2x. 2) tg X + ctg X = 3 + 2 sin 2x. 917 . l)sin +COS = 1 + COS 2x; 2) sin +COS =sin2x. 918. 1) cos^ X sin X - sin^ x cos x = 4’ 2) sin^ X cos X + cos^ x sin ^=^- 919.1)sin2x + sin2 2x = l; 2) sin^ X + cos^ 2л: = 1; 920. 1) sin^ X - cos X cos Зл: = ^ ; 3) sin 4x = 6 cos^ 2x - 4; 4) 2 cos^ Зл: + sin 5x = 1. 2) sin Зл: = 3 sin x; 3) 3 cos 2x- 7 sin л: = 4; 4) 1 + cos X + cos 2л: = 0; 5) cos 4л: - sin 2л: = 1; 6) 5 sin 2л: + 4 cos^ л: - 8 cos л: = 0. 294 921.1) sin X + cos X = V2 sin 7x; 2) sin X + sin 2x + sin 3x = 0; 3) sin X - sin Sx = sin 2x - sin 4л:; 4) cos X - cos 3x = cos 2x - cos 4л:. 922. sin Зл: + sin 4л: + sin 5л: = cos x + cos 2л: + cos Зл:. 923. sin^ 2л: + sin^ Зл: = sin^ 4л: + sin^ 5л:. 924. sin X sin 7x = sin Зл: sin 5л:. б7з 925. = 4 - cos 4л:. tg л + ctg x 926. yl~4oosxcos2x = yj7sui2x . 927.1 cos X I - cos Зл: = sin 2л:. Решить систему уравнений (928—929). 928.1) jcosxsin i/ = i, [sin 2л: sin 2y = 0; 929.1) smл: sini/ cos л: 5 3’ 1 3’ 2) 2) fsinx + sin i/ = l, [cos л: - cos I/= Vs. sin л:+cos л: = 2+sin j/-cos j/, 2sin2л:-sin2J/=l. cosy Решить уравнение (930—938). 930*. 4 sin Зл: sin 4л: = cos л: (tg л: + tg Зл:). 931*. cos л: - 2 cos Зл: + cos 5л: = tg л: cos Зл:. sin 2л: 932**. 1) 4) smл: собЗл: cos л: 933**. 1) sin л: sin 5л: = 1; 2) sin л: cos 4л: = -1; 934*. sinЗл: соб2л: = 0; 2) = 0; 3) =0; ' smл: COS л: sinл: собл: = 0; sin5x " 6) ^ =0- cos 7л: 3) cos л: sin 5л: = -1; 4) sin л: cos Зл: = -1. 935*. 936*. sinЗл: собЗл: cos2x ^ sin2r ctgx -tgx Зsinл:^-cos2л: sinЗл: sin л: sin л: sinЗл: ^ sinЗл: ’ = 2 cos 2x. cos л: 295 sin 4л: 938*- 4sinx^^x 939*. Решить систему уравнений: 1) 3tg - + 6sin X = 2sin (i/ - x), 2 tg ^ - 2sin X = 6sin (y + x); 940*. Найти все значения а, при которых уравнение sin^^ X + cos^^ х = а имеет корни. 2) JVT + sin X sin у = cos jc, [2sinxctg i/ + l = 0. Историческая справка Очевидно, что еще древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические • л ^ I I ч уравнения типа: sin л: = а, где \)<х< - и|а|<1. Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось параллельно с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения. Как мы видим, часть тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к простейшему виду, иногда — с предварительным разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна нулю. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения алгебраическое уравнение. Иногда удается решить тригонометрическое уравнение, анализируя его левую и правую части. Например, для решения уравнения sin^ х л- cos"^ х = 42 следует понять, что sin^ X < sin^ л:, cos"^ х < cos^ л:, т. е. sin"^ х -н cos^ х < sin^ х -н cos^ л: = 1, а так как 1 < V2. ТО уравнение не имеет решений. Многие тригонометрические уравнения в традиционном понимании вообще неразрешимы, и для них можно лишь указать метод приближенного решения. Такое часто, например, происходит, когда в уравнении неизвестная величина встречается и под знаком тригонометрической функции, и вне ее (примером такого уравнения может быть - sin л:-н 2л: = 0). К сожалению, нельзя указать общего метода решения тригонометрических уравнений, почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода. 296 ГЛАВА t ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В этой главе будут рассмотрены основные свойства и графики тригонометрических функций у = sin х^у- cos x,y = tgx^y = ctg X. Напомним, что при изучении различных функций (линейной, квадратичной, степенной и т. д.) выяснились такие их свойства, как область определения, множество значений, возрастание или убывание, наибольшие и наименьшие значения, промежутки зна-копостоянства, четность или нечетность, нули (корни) функции (точки пересечения графика функции с осью абсцисс). Для тригонометрических функций, кроме этих свойств, характерно свойство периодичности. § 50. Периодичность тригонометрических функций Вы знаете, что для любого значения х верны равенства sin {х -I- 2к) = sin X, cos {х 2п) = cos х. Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса повторяются при изменении аргумента на 2л. Такие функции называют периодическими с периодом 2л. Функция f{x) называется периодической, если суш;ествует такое число Т Ф Оу что для любого X из области определения этой функции выполняется равенство f{x-T) = m = f{x^T). Число Т называют периодом функции f(x). Из этого определения следует, что вместе с каждым х значения X Т VI X - Т также входят в область определения периодической функции f{x). Поэтому все точки х -н kT, ke Z также принадлежат области определения, и в этих точках значения функции равны, т.е. f(x + kT) = f(x). На рисунке 77 изображены графики некоторых периодических функций. Периодическими функциями описываются многие физические процессы (колебание маятника, враш;ение планет, переменный ток и пр.). Покажем, что число 2п является наименьшим положительным периодом функции у = cos х. 297 ЛЛЛААЛЛЛ Рис. 77 О Пусть Т> О — период косинуса, т. е. для любого х выполняется равенство cos (х Т) = cos х. Положив л: = О, получаем cos Т = 1. Отсюда Т = 2кку k е Z. Так как Т > О, то Т может принимать значения 2л, 4л, 6л,... и поэтому период не может быть меньше 2л. • Можно доказать, что наименьший положительный период функции у = sin X также равен 2л. Задача!. Доказать, что f(x) = sin 3jc — периодическая функ-2л ция с периодом — . о А Если функция f(x) определена на всей числовой оси, то для того, чтобы убедиться в том, что она является периодической с периодом Т, достаточно показать, что для любого х верно равенство f(x ± Т) = f(x). Данная функция определена для всех х е R и ± = sin 3 ± = sin (Зх - 2л) = sin Зх - f(x), А Покажем, что функция tg х является периодической с периодом л. Если X принадлежит области определения этой функции, л ^ т. е. х^ - + ппу пе Zy то по формулам приведения имеем tg (х-п) = -tg (п-х) = -(-tg х) = tg X, tg (х + п) = tg X. Таким образом, tg (д: - я) = tg х = tg (х + к). Следовательно, л — период функции tg х. 298 Покажем, что к — наименьший положительный период функции tg X. О Пусть Т — период тангенса, тогда tg(^: + Т) = tg х, откуда при х = 0 получаем tg Т = О, Т = кку ke Z. Так как наименьшее целое положительное число k равно 1, то к — наименьший положительный период функции tg л:. • X Задача 2. Доказать, что tg — — периодическая функция с о периодом Зк. ^ ^ jc + Зл , /х \ , X ^ х-Зк , (х \ ^ X Д TaKKaKtg =tg (- + л) =tg - .tg =tg (g-nj =tg -, X то tg — — периодическая функция с периодом Зп. А о Задача 3. Найти наименьший положительный период функ-Зх ции I/ = cos Y • А Пусть Т > О — период этой функции, т. е. для любого значе- 3(jc + T) ^х ния X выполняется равенство cos —-— = cos — . Положив л: = О, ^ ЗТ ^ ^ Unk , _ ^ имеем cos — = 1, откуда — = 2лл;, Т = , л g Z. Среди этих 7 7 о чисел наименьшее положительное число получается при k = l. Про-14я верим, что число является периодом данной функции: о [?(- COS 17^l^: + ^jj = cos + = Зх cos Y _ 14л . Ответ. —^ . А о Аналогично тому, как это было сделано при решении задач 1—3, можно доказать более обш;ее утверждение: если функция у = f(x) периодическая с периодом Т, то функция у = cf(ax + &), где а ^ Оу является периодической с периодом Т^ = — . Напримеру функция у = 3 ctg (5л: - 4) является периодической с периодом Т = ^у так как функция у = ctg х периодическая с пе-0 риодом п. 299 Упражнения 941. На рисунке 78 на отрезке [0; 2] построен график периодической функции с периодом Т = 2. Построить график этой функции на отрезке [-2; 6]: 942. На рисунке 79 на отрезке j построены графики пери- одических функций с периодом Т, Построить графики этих фун- Рис. 79 300 943. Доказать, что данная функция является периодической с периодом 2я: 1) i/ = cosx-1; 2)y = sinx-\-l; 3)y = 3sinx; 4)l/ = 5)i/ = sin 6)j/ = cos + 944. Доказать, что данная функция является периодической с периодом Т, если: 1)у = sin 2х, Т = п; 2) I/ = cos - , Г = 4я; 3) y = tg 2х, Т= ^ ч . 4jc _ 5 4) i/ = sin 2^- Найти наименьший положительный период функции (945— 946). 2 945. 1) у = cos - х; о 3) I/ = tg - ; 4) J/ = I sin X\. 946**. 1)у = sin X + cos х; 3)у = sin x-^tgx. 2)у = sin - х; § 51. Функция у = sin X, ее свойства и график Функция у = sin X определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 2я. Поэтому подсчет значений этой функции для любого аргумента можно свести к вычислению ее значений для аргумента, принадлежащего какому-нибудь отрезку длиной 2я, например отрезку -я < л: < я. В § 34 было отмечено, что с помощью формул приведения подсчет значений этой функции для любого аргумента можно свести к вычислению ее значений для аргумента от О до -. Следовательно, весь график функции у = sin х можно построить _ , .я с помощью части графика, построенного на отрезке О < л: < -. Покажем, как последовательно строится график этой функции: сначала на отрезке 0; ^ j , затем на отрезках [0; я], [-я; я] и, наконец, на всей числовой прямой. 301 1. График функции у = sin х на отрезке 0; ^ j Докажем, что функция у = sin х возрастает на отрезке 0; ^ j. о Пусть Xj и ^2 — любые два числа, принадлежащие отрезку ^ удовлетворяющие неравенству < Xg, т. е. 0 < jCj < jCg < ^. Требуется доказать, что sin х^ < sin JCg. . Хо-Хл Хо-^Хл ^ Рассмотрим разность sin Xg - sin х. = 2 sin —-— cos —. Так л Хо-Хл П ^ Хо + Хл Л „ как о < JCj < ^2 < « , то О < —-— < - и О < —-— < -. Поэтому sin > О и cos > 0. Следовательно, sin х^ - sin х^ > О, т. е. sin Xj < sin Х2- • Для построения графика функции у = sin х на отрезке |^0; ^ j составим таблицу ее значений: X 0 к 6 К 4 К 3 К 2 у = sin X 0 0,5 1-0.71 1-0,87 1 Построим найденные точки и проведем через них кривую, учитывая, что на отрезке |^0; ^ j функция у = sin х возрастает (рис. 80). Для более точного построения графика нужно составить более подробную таблицу, находя значения синуса еще для некоторых значений аргумента, например, по таблицам В.М. Брадиса. Приближенно значения функции у = sin х можно геометрически находить и затем строить график этой функции. Поясним этот способ построения графика функции у = sin х на отрезке |^0; ^ j . Построим окружность радиуса 1 с центром в точке А оси абсцисс, лежащую левее оси ординат (рис. 81). Разделим первую четверть этой окружности, например, на 8 равных частей и через точки деления проведем прямые, параллельные оси абсцисс. Отрезок 0;^ оси абсцисс также разделим на 8 равных частей и из точек 302 деления восстановим перпендикуляры к ней до пересечения с соответствующими прямыми, проведенными параллельно оси абсцисс так, как показано на рисунке 81. Построенные точки пересечения прямых по определению синуса числа являются точками графика функции у = sin х. Проведем через эти точки кривую, учитывая, что функция у = sin х возрастает на отрезке |^0; ^ j , получим график этой функции на данном отрезке (см. рис. 81). 2. График функции у = sin х на отрезке [0; тс] Докажем, что график функции у = sin х симметричен относи-тельно прямой jc = -, т. е. прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку ^ оси абсцисс. О Надо доказать, что для любых двух точек а и &, лежащих на оси абсцисс и симметричных относительно прямой х = выполня-ется равенство sin а = sin Ь, Пусть расстояние от точек а и & до „я ^ п прямой х = - равно а. Тогда а = - - а, & = ^ + а (рис. 82) и по формулам приведения sin =sin + ® Для построения графика функции у = sin х на отрезке [0; я] сначала построим его часть на отрезке (см. рис. 80). Затем 303 эту часть графика отобразим симметрично относительно прямой х = Получим график функции на отрезке [0; тс] (см. рис. 82). 3. График функции у = sin х на отрезке [—тс; тс] В § 30 было показано, что функция у = sin х — нечетная, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Для построения графика функции у = sin х на отрезке [-я; я] построим сначала его часть на отрезке [0; я] (см. рис. 82). Затем для каждой точки М(х^; у^) полученной части построим точку М(-х^; -i/q), симметричную относительно начала координат, и получим график функции у = sin X на отрезке [-я; я] (рис. 83). 4. График функции у = sin х на всей числовой прямой В § 50 было показано, что функция у = sin х является периодической с периодом 2я, т. е. для любого х выполняется равенство sin (х + 2я) = sin X, Отсюда следует, что sin (х + 4я) = sin х, sin (х - 2я) = sin X и вообще sin (х -I- 2пп) = sin х для п = 0, ±1, ±2, ... и любого X, Следовательно, график функции у = sin х периодически повторяется с периодом 2я, т. е. на отрезках [я; Зя], [Зя; 5я], [-Зя; -я] и т.д. график такой же, как и на отрезке [-я; я] (рис. 84). 304 Кривая, являющаяся графиком функции у = sin х, называется синусоидой. Итак, весь график функции у = sin х построен геометрически, ис- Следовательно, свойства функ- ходя из его части на отрезке к 2’" ции у = sin X можно получить из построенного графика, опираясь на свойства этой функции на отрезке 0;^ . Например, из рисунка 82 видно, что функция у = sin X положительна на полуинтервале равна нулю при х = пи убывает на отрезке но, что функция у = sin X возрастает на отрезке 84 видно, что функция у = sin х возрастает на отрезках , п е Z, убывает на отрезках пе Z. Перечислим основные свойства функции у = sin х. + 2яп; —+ 2яп 2 2 я Из рисунка 83 вид-я я1 “■^5.Изрисунка я о Зя о —+ 2яп; — + 2яп 2 2 5. Основные свойства функции у = sin х 1. Область определения — множество R всех действительных чисел. 2. Множество значений — отрезок [-1; 1]. 3. Функция у = sin X — периодическая с периодом 2я, т. е. sin (jc + 2я) = sin JC. 4. Функция у = sin X — нечетная, т. е. sin (-х) = -sin х. 5. Функция у = sin х: гг тг , пе Z; возрастает на отрезках убывает на отрезках 6. Функция у = sin X принимает: -- + 2яп;—+2яп 2 2 я ^ Зя ^ —+ 2яп; — + 2яп 2 2 ,пе Z. наибольшее значение, равное 1, при х = — + 2пп ,neZ\ 2 наименьшее значение, равное -1, при х= + 2пп ,neZ; 2 значение, равное нулю, при х = пп, пе Z. Задача 1. Разбить отрезок |;2» на два так, чтобы на од- ном из них функция у - sin X убывала, а на другом — возрастала. А Из рисунка 84 видно, что при увеличении аргумента от ^ до Зя 1 1 тт значения функции у = sin х уменьшаются от 1 до -1. При уве- 11“Ю. М. Колягин. 10 кл. 305 Sk личении аргумента л: от — до 2я значения функции у = sin х увели-чиваются от -1 до 0. Ответ. На отрезке ^ j функция у = sin х убывает, i [1’^] а на от- резке возрастает. А Задача 2. Сравнить числа sin 2 и sin 3. А Так как я « 3,14, ^ = 1,57, то ^ < 2 < 3 < я. Из рисунка 84 видно, что на отрезке Функция у = sin х убывает. Следовательно, sin 2 > sin 3. А 3 а д а ч а 3. Найти все числа х на отрезке [^^5 ^j » которых выполняется неравенство: sin х< — , А На отрезке Функция у = sin х убывает (см. рис. 84) и V2 Зя принимает значение при ^ • Следовательно, неравенство . V2 Зк . ^ Зк sin X< — выполняется при ~г ^ , А ^ 4 ^ Задача 4*. Построить графики функций: 1) 1/ = sin 2) у = 2 + sin х; 3) у = 2 sin х; 4) у = sin 2х. А 1) График функции у = sin получается сдвигом графика функции у = sin X вдоль оси абсцисс влево на ^ ед. (см. рис. 85, а). 2) График функции у = 2 + sin х получается сдвигом графика функции у = sin X вдоль оси ординат вверх на 2 ед. (см. рис. 85, б). 3) График функции у = 2 sin х получается растяжением графика функции у = sin X вдоль оси ординат от оси абсцисс в 2 раза (см. рис. 85, в). 4) График функции у = sin 2х получается сжатием графика функции у = sin X вдоль оси абсцисс к оси ординат в 2 раза (см. рис. 85, г). А 306 Рис. 85 11* 307 Упражнения Пользуясь графиком функции у = sin х, выполнить упражнения (947-954). 947. {Устно,) Выяснить, при каких значениях х, принадлежащих отрезку [0; Зя], функция у = sin х принимает значения: 1) равные 0; 1; -1; 2) положительные; 3) отрицательные. 948. (Устно.) Выяснить, возрастает или убывает функция у = sin х на промежутках: ФЧ]-’ й-”)’ 5) [2; 4]; 6) (6; 7). 949. Разбить данный отрезок на два так, чтобы на одном из них функция у = sin X возрастала, а на другом убывала: 1)[0; я]; 2я 3) [-я; 0]; 4) [-2я; -я]. 950. Используя свойство возрастания или убывания функции у = sin Ху сравнить числа: .. . 7я . 13я 1) 8Ш-И8Ш—; . 13я . 11я 2) sin — и sin — ; 3) sin(-^)Hsiti(-f); 4) 8ш(-^)и81п(-|!), 5) sin 3 и sin 4; 6) sin 7 и sin 6; 7) sin (-3) и sin (-2); 8) sin (-1) и sin (-1,5). 951. Найти все решения неравенства, принадлежапще отрезку [0; Зя]: 1)8шjc> 2; 3)sinx >- 1 2’ о. • ^ ^ V3 2) 81П ; 4) sin х<- 2 952. Выражая косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) sin 2) sin Я я 3) 8in Я 5я -ИС08-; - и cos 5 14’ 9я 9я 4) sin Я Зя -ИС08 - и cos о То * 308 1 V2 2 ’ 3) sin - ^ 2 ’ V3 .. . X 2 ’ 4) sin - <-T 953. Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку Зя -у 1) sin 2х>- 2) sin Зх < 954. Построить график функции и выяснить ее свойства: 1) i/=l-sinx; 5)i/ = sin 2) I/ = 2 + sin л:; 6) i/ = sin 1 j; 3) y = sin 3x; 7) у = sin (x - 2); 4) I/ = 2 sin x; 8) i/ = sin (x + 4). 955*. Найти множество значений функции у - sin х, если х принадлежит промежутку: 1) 2) "Зя^ 5я" ~ 2 я" ■ _Т’Т_ ; 3) _'3^2. ; 4) я 11 1 4’ 6 J * 956**. Построить график функции: l)i/ = sin|jt:|; 3)i/ = sin я ^-3 2)i/ = |sinx|; 4)у= sin 957**. Сила переменного электрического тока — функция, зависящая от времени, выражается формулой J =А sin ((0^ -I- ф), где А — амплитуда колебания, со — частота, ф — начальная фаза. Построить графики этой функции, если: 1)А= 2, (0= 1, ф = 4’ 2)А= 1, (0=2, ф = 3* § 52. Функция у = cos х, ее свойства и график Функция у = COS X определена на всей числовой прямой, четная и периодическая с периодом 2я. Ее график можно построить таким же способом, каким в § 51 был построен график функции у = sin х. Однако проще воспользоваться следующей формулой приведения: cos X -Sin(x + |). 309 Эта формула позволяет построить график функции у = cos х и получить ее свойства из графика функции у = sin х и свойств этой функции. 1. График функции у = cos х Покажем, что график функции у = cos х получается из графика О Рассмотрим любую точку х^ оси абсцисс. Точка “*■ 2 правее точки Xq на ^. Надо доказать, что значение функции у = cos х в точке Xq равно значению функции у = sin х в точке jCq + ^ (см. рис. 86). По формуле приведения имеем cos Xq = sin ® График функции у = cos x изображен на рисунке 87. Перечислим основные свойства этой функции. 2. Основные свойства функции у = cos х 1. Область определения — множество R всех действительных чисел. 2. Множество значений — отрезок [-1; 1]. 3. Функция у = cos X — периодическая с периодом 2я, т. е. cos (jc+2k) = cosjc. 310 4. Функция у = cos X — четная, т. е. cos (-х) = cos х. 5. Функция у = cos х: возрастает на отрезках [-я + 2пп\ 2ял], пе Z\ убывает на отрезках [2пп, я + 2пп], пе Z, 6. Функция у = cos X принимает: наибольшее значение, равное 1, при х = 2пп, пе Z\ наименьшее значение, равное -1, при л: = я + 2пп, пе Z; ^ я ^ значение, равное О, при л: = - + пп, пе Z, Задача 1. Выражая синус через косинус по формуле приве- я . Зя дения, сравнить числа cos - и sin — . ( о Зя А По формуле приведения sin — = cos о — 1 = COS -. Числа я я г f\ 1 ^ ^ ТХ о - И - принадлежат отрезку [О; я] и - < -. Из рисунка 87 видно, о 7 о 7 /я_ Зя\ _ \2 Т/ " -. Из рису: что функция у = cos X убывает на отрезке [0; я]. Следовательно, я я . Зя тс . cos - > cos -, т. е. sin — > cos -. А о 7 о « Задача 2. Найти все решения неравенства cos ^ ^ ^ » при- надлежахцие отрезку -я < л: < 2я. А Из рисунка 88 видно, что график функции у = cos х лежит выше графика функции у = -^ на промежутках ^ Задача 3. Найти область определения функции 1 У = --------• smx+cosx А Найдем значения х, при которых выражение --------- не sinx+cosjc имеет смысла, т. е. значения х, при которых знаменатель равен 311 нулю. Решая уравнение sin х + cos х = О, находим tg х = -1, л: = - ^ + ЯП, п е Z. Следовательно, областью определения данной функции являются все значения х^-~ + пп, пе Z. А Задача 4. Найти множество значений функции I/ = 3 + sin X cos X, А Нужно выяснить, какие значения может принимать у при разных значениях х, т. е. установить, для каких значений а уравнение 3 + sin X cos х = а имеет корни. Применяя формулу синуса « 1 . ^ двойного угла, запишем уравнение так: 3 + 2®^^ откуда sin 2л: = 2а - 6. Это уравнение имеет корни, если | 2а - 6 | < 1, т. е. если -1 < 2а - 6 < 1, откуда 5 < 2а < 7, т.е. 2,5 < а < 3,5. Следовательно, множеством значений данной функции является промежуток 2,5 < I/ < 3,5. А Задача 5*. Построить график функции у = -3 cos (л: - 1). А График функции у = -3 cos (л: - 1) можно получить из графика функции у = cos X следуюш;ими преобразованиями: 1) сдвигом вдоль оси абсцисс вправо на 1 ед.; 2) растяжением графика функции у = cos (л: - 1) вдоль оси ординат от оси абсцисс в 3 раза; 3) симметричным отображением графика функции у = 3 cos (л: - 1) относительно оси абсцисс (рис. 89). А 312 Упражнения Пользуясь графиком функции у = cos х, выполнить упражнения (958-962). 958. (Устно.) Выяснить, при каких значениях х, принадлежащих отрезку [0; Зя], функция у = cos х принимает значения: 1) равные 0; 1; -1; 2) положительные; 3) отрицательные. 959. (Устно.) Выяснить, возрастает или убывает функция у = cos х на отрезке: 1) [Зя; 4я]; 4) 2) [-2я; -я]; 3) 2я;| 5)[1;3]; 6)[-2;-1]. 960. Разбить данный отрезок на два так, чтобы на одном из них функция у = cos X возрастала, а на другом — убывала: Зя L2’T > 2) я^ я] ^ _~2’2j’ 3) [- 4) Я 1) 961. Используя свойство возрастания или убывания функции у = cos X, сравнить числа: я 8я 1) cos - и cos—; 2) cos ^ и cos ; 3) cos I -у 1 и cos f-| 4) cos HCOS 5) cos 1 и cos 3; 6) cos 4 и cos 5. 962. Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; Зя]: l)cosx> 2) cos х>--; V2 3) cos х<--^; 4) cos X < 2 ■ 963. Найти область определения функции: 1) y = sin 2х; 2) у = cos - ; 3) 1/ = cos - ; 4) I/ = sin - ; 3)i/ = 2sin Jc + 3; 5) I/ = sin Vx ; 6) I/ = cos у ^ 964. Найти множество значений функции: 1) I/ = 1 + sin х; 4) I/ = 1 - 4 cos 2х; 2) у=1- cos х; 5) у = sin 2х cos 2х + 2; 6)у= — sin X cos X- 1, 313 965. Выражая синус через косинус по формулам приведения, сравнить числа: 1) cos я К 4) Зя Зя - и sin D 5’ sin -Hcos--; К к ^ 5) Я 5я - и cos 7 ’ cos -И8Ш 14 ’ 5я 5я 6) Я Зя -И8Ш-; cos -И8Ш 10 * 966. Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку к Зк l)cos2x< V2 2) cos Зх > — . 967*. Построить график функции и выяснить ее свойства: 1) у = 1 + cos х; 4) I/ = 3 cos х; 2) у = cos X- 2; 5) I/ = cos Зх - 1; 3) 1/= cos 2х; &)у = 2 cos • 968*. Найти множество значений функции у = cos х, если х принадлежит промежутку: 41-]^ Найти область определения функции (969-970). 969*. 1)у= yJsinx-\-l; 2)у= Vcosjc-l; 970*. 1)у = 2)у = 3)у= yl2cosx-l; 1 4) I/ = yll-2sinx ; 5) I/ = Ig sin x; 6) y = \n cos X, 1 2sin jc-sinjc 2 cos^ X - sin^ X ^)y = sinx-sin3x ’ 1 cos X + cos X 971*. Найти множество значений функции: 1)у = 2 sin^ X - cos 2х; 4) i/ = 10 - 9 sin Зх; 2) I/ = 1 - 8 cos^ X sin^ x; l+8cos^x 3) l/= --------; 5) у = 1 - 2 I cos X |; 6) y = sin X + sin -h ^ j. 972**. Построить график функции: l)y = \ cos x\; 2) у = 3-2 cos (x -1). 314 § 53. Функции у = tg X и у = ctg х, их свойства и графики 0; ^ j, затем на интервале f “ ^ I наконец, на всей области Функция у = igx определена на всей числовой прямой, кроме то- я ^ „ чек JC = - + ппу пе Zy нечетная и периодическая с периодом я. Построим последовательно график этой функции: сначала на полуинтервале определения. 1. График функции y-igxjLS, полуинтервале ^ j * J\oкдOi¥^^yЧтoфyнщlшy=\;gxвoзp(lClnaemшmлyuнlшpвaж О Пусть о < JCj < JCg < ^. Тогда 0 < sin х^ < sin JCg, cos х^ > cos х^ > 0. Следовательно, tgx^= sm JCj cos JC, < SinJCg cos JC, < SinJCg cos JC. =tgX2,T.e.tg^:j 0. При этом tg х = smx неограни- COSJC ченно возрастает (рис. 90). 2. График функции 1/ = tg л; на интервале ^^ В § 30 было показано, что функция у = tg X — нечетная. Поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Для построения графика функции у = ig X на. интервале 2 j зим сначала его часть на полуинтерва- ле 1^0;^ j (см. рис. 90). Затем для каждой точки M(XqI Уо) полученной части построим точку Mj(-jCq; -j/q)» симметричную относительно начала координат. Получим график функции y = tgXHa интервале ^ j (рис. 91). 3. График функции y = igXHa всей области определения В § 50 было показано, что функция у = tg х — периодическая с периодом 71. Следовательно, весь график этой функции получается из его части на интервале ^ j рис. 91) сдвигом вдоль оси абсцисс вправо и влево на пп, пе Z (рис. 92). 316 Итак, весь график функции y = igx строится геометрически, ис- ходя из его части на полуинтервале 0;- |. Следовательно, свойства функции y = tgx можно получить из ее графика. Например, из рисунка 91 следует, что функция у - ig х возрастает на интервале я я 2 ь а из рисунка 92 видно, что эта функция возрастает на ин- тервалах + + j, пе Z. Перечислим основные свойства функции y = tgx, 4. Основные свойства функции y = igx 1. Область определения — множество всех действительных чи-сел, кроме чисел - + яп, пе Z. 2. Множество значений — множество R всех действительных чисел. 3. Функция у = igx — периодическая с периодом я. 4. Функция y = igx — нечетная, т. е. tg(-jc) = -tg х, 5. Функция у = tgx возрастает на интервалах ~ -ь пп\ ^ + яп j, пе Z. 6. Функция y = tgx принимает значение, равное 0, при х = пп, пе Z. 5. Функция у = ctg X По формуле приведения ctg х = -tg ^ 2 j • Следовательно, график функции у = ctg л: и ее свойства можно получить из графика функции у = tgx и свойств этой функции. График функции у = -tg 9 получается из графика функции у = tg X сдвигом вдоль оси абсцисс влево на - и затем симметрией относительно оси абсцисс. График функции у = ctg х изображен на рисунке 93. 317 Задача 1. Найти все решения неравенства tg jc < 2, принадле-. . Зя жащие отрезку -я < л: < —. А Из рисунка 94, а видно, что график функции у = tgx лежит не выше прямой у = 2 на промежутках [-я; Хд], где = arctg 2, jCg = я + arctg 2, jCg = - я + arctg 2. Ответ. -я<л:<-я+агс1^2, 1. А Построим графики функций y = igxny=l (рис. 94, б). Рисунок показывает, что график функции y = tgx лежит выше прямой и \^;Х2 I/ = 1 на промежутке я^ я 4’2 , а также на промежутках, полученных сдвигом его на я, 2я, Зя, -я, -2я и т. д. ^ ^ ^ ^ . Ответ. - +яя<д:<- + яя, п € Z. А Задача 3*. Построить график функции y = tg 2д: + А График функции у = tg |^2jc + -j=tg2|^jc-i--j, которая является периодической с периодом ^, можно получить из графика функции у = tgx следуюш;ими преобразованиями: 1) сдвигом вдоль оси абсцисс влево на ^ ед.; 2) сжатием графика функции у = tg вдоль оси абсцисс к оси ординат в 2 раза (рис. 94, в). А 318 6) ( y=tg JC + - Отметим, что построение графика функции г/ = tg 2л: + - j можно иначе осуществить, записав данную функцию так: у = - ctg 2х, В этом случае можно сначала выполнить сжатие графика функции 319 у = ctg X (рис. 93) вдоль оси абсцисс к оси ординат в 2 раза, а затем график функции у = -ctg 2х получить из графика функции у = ctg 2х с помощью симметрии относительно оси Ох, Тригонометрические функции широко применяются в математике, физике и технике. Например, многие процессы, такие, как колебание струны, колебание маятника, напряжение в цепи переменного тока и т. д., описываются функцией, которая задается формулой у =А sin ((OJC -h ф). Такие процессы называют гармоническими колебаниями, а описывающие их функции — гармониками (от греч. harmonikos — соразмерный). График функции у=А sin (сол: + ф) получается из синусоиды у = sin х сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и сдвигом вдоль оси Ох. Обычно гармоническое колебание является функцией времени: у =А sin (cof + ф), где А — амплитуда колебания, со — частота, ф — начальная фаза, ^ — период колебания. Упражнения Пользуясь графиками функций у = tg х и у = ctg х, выполнить упражнения (973—976). 973. (Устно.) Выяснить, при каких значениях х из промежутка -п<х<2п функция y = tgx принимает: 1) значение, равное 0; 2) положительные, 3) отрицательные значения. 974. (Устно.) Выяснить, является ли функция у = tg х возрастающей на промежутке: 1) к 4’3 4) [2; 3]. 975. (Устно.) Выяснить, при каких значениях х из промежутка -2я < X < п функция у = ctg X принимает: 1) значение, равное 0; 2) положительные, 3) отрицательные значения. 976. (Устно.) Выяснить, является ли функция у = ctg х убывающей на промежутке: к 3 ( 3 1 1) ; 2)[^;2^J > 3) --;0 |. 2 ' 4)[1;2]. 977. Сравнить числа: 1) tgl5°Htg25°; 2) tg (-80°) и tg (-50°); , 6я А 5п 3) tgl-yjHtgy; 4) tg - И tg у ; 320 5) tg 2 и tg 3; 6) tg 1 и tg 1,5; 978. Сравнить числа: 1) ctg 35° и ctg 67°; 2) ctg 95°Hctgll7°; 3) ctg f-yl Hctg y; 7) tg(-l)Htg(-l,5); 8) tg(-2)Htg(-3). 4) ctg j и ctg ^; 5) ctg 1,2 и ctg 1,5; 6) ctg 2 и ctg 3. 979. Выяснить, выполняется ли неравенство tg х > О во всех точках промежутка: 1) О; 2)\п; 4) к к 7’5 8)(0,5;1). ^ I. о\ ~2 у Ч 5)[-1;1]; 6) [2; 4]; 7)(-3;-2); 980. Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку (-я; 2л): 1) tgx>l; 3)tgx<-l; 2) tg X < у ; 4) tg X > - ^/з . 981. Найти все числа х интервала (0; я), для которых выполняется неравенство: 1) ctg л: > - л/з ; 4) ctg л: < л/з ; 2) ctgх>-1; 5) -1 < ctg х<0; 3) ctg 1; 6) О < ctg л: < 1. 982. Найти все решения неравенства, принадлежанцие промежутку [0; Зя]: l)tg^:>3; 2)tgx<4; 3)tgx<-4; 4)tgJC>-3; 5)ctgjc>2; 6)ctgJC<-3. 983. Найти все решения неравенства, принадлежанцие промежутку 1) tg2x 2)[т* 2 J 1) Построить график функции (986—988). 3)у = ctg х; 5)y = tgx ctg х; 6) I/ = sin X ctg х. 986*. 1) I/ = tg IX I; 2) I/ = I tg XI; 1 4)l/ = 987*. 1) y = ctgx’ К ^ к sinx при — 2 * А Рассмотрим график функции у = cos х на отрезке [-я; я] и проведем прямую У=^ (рис. 96). Прямая У=^ пересекает на этом отрезке график функции у = cos х в точках А и Б, абсциссы которых , JCg = ^. 3 о Из рисунка 96 видно, что все решения неравенства образуют интер- я я вал 3 » т.е. на отрезке [-я; я] все решения данного неравенства оп- ределяются условием — < jc < -. 3 3 Ответ. + 2nk < JC < ^ -I- 2кк, о о ke Z. А 323 Неравенство cos ^>2 также решить с помощью единич- ной окружности. А На единичной окружности строим угол, косинус которого равен ^. Для этого на оси Ох отметим точку с абсциссой, равной ^ , и через эту точку проведем прямую, параллельную оси Оу (рис. 97). Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках и Mg. Точке тс . соответствует угол в -- рад. (или в о — рад.), точке Mg соответствует угол в Рис. 97 — рад. Из рисунка видно, что все точки дуги о MjPMg единичной окружности, кроме ее концов, имеют абсциссу, большую ^ . Поэтому на отрезке [-я; я] все решения данного неравенства заключены в промежутке ^ тг __ < X < . На множестве действительных чисел все решения не- о о я _ _ ТС ^ _ равенства можно записать так: -- + 2nk < jc < - + 2я«, ke Z, А о о Задача 3. Используя единичную окружность, решить неравенство cos ^ ^ ^ • А Из рисунка 98 видно, что все точки дуги MgA^M^ единичной ок- ружности имеют абсциссу, меньшую или равную - . Поэтому на отрезке [0; 2я] все решения данного неравенства образуют отрезок ^ <х< ^ . о о На множестве действительных чисел все f 1 решения неравенства можно представить я л 1 ^ ^ 5тс л , , так: - + 2nk <х< — 2nk, ke Z, о о Ответ. ^ -I-2кк< jc< -I-2nk, ke Z, А о о 324 Задача 4. Решить неравенство sin х < . 1 А Построим графики функций у = sin xny=-j^ (рис. 99). Сна- чала найдем все решения неравенства sin х < , принадлежапцие отрезку 5я 2’Т длиной 2я. На этом отрезке уравнение sin х = ^ имеет два корня: х= ^ их= ^. На рисунке 99 видно, что решени-4 4 5п 2’Т являются все числа ями неравенства sin х < на отрезке (Зп 9к^ интервала —; — . 4 4 у Так как функция sin х периодическая с периодом 2я, все реше- 1 ния неравенства sin х < ^Зя . о 9я это числа X из интервалов —+2яп; —+ 2яп |, д е Z(cm. рис. 99). _ Зя - _ _ Ответ. — + 2кп < JC < — + 2яп, пе Z. А 4 4 Заметим, что решение задачи 4 можно начать с рассмотрения Зя я другого отрезка длиной 2я, например отрезка 2 2 Из рисунка 99 видно, что на этом отрезке решениями неравенства sin X < являются числа интервала j* Следователь- ^ п ^ _ но, ответ можно записать в виде —— + 2кп < jc < — + 2кп, пе Z, 4 4 325 Задача 5. Решить неравенство cos ^ ^ ^ • А Построим графики функций у = cos хиу= (рис. 100). На отрезке [-я; я] уравнение cos ^ ~ корня: х = —— и Зя ^ ^1 JC = — . Из рисунка 100 видно, что решениями неравенства cos ^ ^ “ у2 Рис. 100 Так как функция cos х периодическая с периодом 2я, то все ре- 1 шения неравенства cos х > - V2 ЭТО числа X из отрезков Зя , л Зя , л — + 2яя; — + 2яя 4 4 , пе Z (см. рис. 100). Зя Зя Ответ. —- + 2яя < л: < — + 2яя ,neZ. А 4 4 Задача 6. Решить неравенство tg jc> 1. А Построим графики функций y = igx иу=1 (рис. 101). На интервале 5 ^ длиной я уравнение tg л: = 1 имеет один корень JC = -. Из рисунка 101 видно, что решениями неравенства tg л: > 1 4 на интервале — являются все числа х интервала к п 4’2 326 Так как функция tg х периодическая с периодом к, то все решения неравенства tg л: > 1 — это число х из интервалов ^ + кп; ^ + яя j, я € Z (см. рис. 101). Ответ. ^ +кп<х< ^ + кп, пе Z. А 4 ^ Задача 7*. Решить неравенство sin^ ^ < 2 * А Это неравенство можно представить в виде | sin Построим график функции у = | sin х |. Для этого сначала построим график функции у = sin х и затем часть графика, лежаш;ую ниже оси Ох, отразим симметрично относительно этой оси (рис. 102). На этом же рисунке построим прямую У- Функция у = I sin X I периодическая с периодом я. На отрезке я^ я '2’~2 длиной я уравнение | sin х \ = V2 имеет два корня: х = —г и 4 327 jc = 7. Из рисунка 102 видно, что решениями неравенства I sin х I < 4 V2 на отрезке п ’2’2 являются все числа интервала Следова- тельно, все решения неравенства | sin х | < ^ — это числа х из , я к интервалов | , пе Z (см. рис. 102). Ответ. ЯП <х< 4 + пе Z. А 4 4 Задача 8*. Решить неравенство 4 sin^ х-8 sin л: -I- 3 < 0. А Обозначая sin x = t, имеем квадратное неравенство - 8t + + 3 < 0. Разложив квадратный трехчлен - 8^ -н 3 на множители. запишем неравенство в виде 4 t-— t-— I < 0. Заменяя t на sin jc, получаем неравенство sin ^ ^ ~ ^ j ^ KaKsinjc- 2 при всех X, то исходное неравенство равносильно неравенству sin X- ^>0 или sin Решениями последнего неравенства являются числа х из отрез- ков -+2яп;—+2яп 6 6 , П € Z. Ответ. ^ + 2яп < X < ^ + 2яп, пе Z. А о о Упражнения Решить неравенство (989—998). 1) sin JC < 0; 5) sin x> 1; 2) sin х>0; 6) sin X < -2; 2 3)sinx> 7) sin jc<-l; 4) sin X <2; 8) sin x>l. 14’ -|; 1 2) sin X > ; 4) sin ^ < 2 * 328 1) cos X <0; 5) cos X < -2; 2) cos x>0; 6) cos x> 1; 3) cos X < л/З; 7) cos 1; 4) cosx>-2; 8) cos -1. i. 1 1)со8л:<-^; 4)cosx>-|; о. ^/3 2) cos д: > -у ; 5) cos x> - о 3) cos ^ ^ ^; 6)cosx> \ , о l)tgx<0; 5)tgA:<-l; 2) tg д: > 0; 6)tgjc>-l; 3)tg д:< 73; 7) tg д: < 3; 4)tgx> 7з; 8)tgjc> -2. 1)1-2 sin 2x > 0; 3)3tg| <>/3; 2) 2 cos 2jc + 1 < 0; 4) ctg 3x> л/З. 1) 2 sin 4 j ^ 1; 3)4соз2дг<3; 2)cos[^-|]>^ ; 4)4sin^jc>l. l)tg2 д:< 1; 2) ctg^ x> 1, 997*. 1) tg jc + ctg x>0; 3) sin x - cos x>0; 2) cos 2x + cos x<0; 4) sin 2x + sin x<0. 998*. 1) 2 cos^ X - sin x> 2; 2) cos 2x- 5 sin x<3. 999*. Найти область определения функции: l)y= 2)y= yjct^x-s. 1000. Решить неравенство: 1) yj5-2smx >6sinjc- 1; 2) 1 + 6cosx<2^2-\-4cosx. 329 § 55. Обратные тригонометрические функции 1. Функция у = arcsin х По определению арксинуса числа для каждого х е [-1; 1] определено одно число у = arcsin х. Тем самым на отрезке [-1; 1] задана функция у = arcsin х, -1<х<1, Покажем, что функция у = arcsin х является обратной к функ- п . .я ции у = sin X,рассматриваемой на отрезке -- %х% о Рассмотрим уравнение у = sin х, где у — заданное число из отрезка -Ky arcsin 4 ‘ л/З л/2 2) Так как — < и функция у = arccos х убывает, то 4 о V3 V2 arccos — > arccos — . 4 3 2 1 3) Так как -- < -- и функция у = arctg х возрастает, то о 2 arctg (-| ]< arctg |-i 332 Задача 2. Решить уравнение arccos (2х + 1) = ^ . 4 Зя А Так как — € [0; я], то по определению арккосинуса числа дан-4 о i ное уравнение равносильно уравнению 2х + 1 = cos — , откуда 4 - V2 2+V2 . 2л:+1 = --у , =----^ Задача 3. Найти область определения функции у = arcsin х-1 А Так как функция у = arcsin х определена при -1 < л: < 1, то функ-. х-1 ция у = arcsin определена для тех значении х, для которых о х — 1 выполняются неравенства -1 < < 1. Отсюда -3 < ж - 1 < 3, -2<л:<4. А Упражнения I (1001-1003). .. .2 . 3 1 ^ г / 2 ^ 1001.1) arcsin - О и arcsin -; 4 3) arcsin Ы\ и arcsin 5 / 04 • 1 -2 лч • Г 21 • Г 2 2) arcsin ^ и arcsin ; 4) arcsin I -- I и arcsin I -- 1002.1) arccos ^ 2) arccos ^ ;. 1) arctg ^ и arctg ^; 1 2 04 f 3^ - и arccos -; 3) arccos -- и arccos 4^ -- и arccos 4 1003, 1 1 I ^ и arccos ; 4) arccos | 3) arctg (-3\/4 j и arctg (- 2) arctg 2л/3 и arctg Решить уравнение (1004—1006). 1004.1)----- - ■ 372 ; 4) arctg j и arctg | . .л г. V ^ гчч Х-2 arcsin (2 - Зх) = 0 ; 3) arcsin --- 2) arcsin (3 - 2х) = ; ; 4) arcsin — 4 2 _ ^ "“4’ я 3 ■ 1005.1) arccos (2x + 3) = ^ ; 2) arccos (3x + 1) = ^; 3) arccos jc + 1 _ 2n “ 3 ’ 1006. 1) arctg 2) arctg l-x 4 1 + 2jc к 3 ’ _ к "4’ 2JC-1 4) arccos —-— = Я. 3) arctg (2x + 1) = - g 4) arctg (2 - 3x) = . 4 1007. Найти область определения функции 1-3JC 1) у = arcsin 2) у = arcsin 2 jc-3 3) I/ = arccos (2x - 3); 4) у = arccos (2 - 3jc); Ъ)у = arcsin -- ; 6) I/ = arccos (2 - 3); 7) I/ = arccos - jc + 1); Q4 • 2x^-5 8) I/ = arcsin —^— . 1008. Доказать, что график функции у = arccos х симметричен от- носительно точки I 0; - Упражнения к главе VIII 1009. Найти область определения функции: 1) I/ = sin JC + cos х; 4) i/ = ^cosx; 2х 2)у = sin x + tgx; 3)у= yjsinx; 5) i/ = 6) i/ = 2sinjc-l ’ cos JC 2 sin jc-sin jc 1010. Найти множество значений функции: 1) г/ = 1 - 2 sin^ х; 4) у = 2 cos^ х + 5; 2) у = 2 cos^ х-1; ^)у = cos Зх sin х - sin Зх cos л: + 4; 3) у = 3- 2 sin^ х; ^)у = cos 2х cos х + sin 2х sin х-3. 1011. Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной: 1) у = х^-^ cos х; 3)у = {1- х^) cos х; 2) у = х^~ sin х; 4) г/ = (1 -ь sin х) sin х, 1012. Найти наименьший положительный период функции: 1) y = cos 7х; 2)у = sin - . 334 1013. Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку [0; Зя]: 1) 2 cos л: + л/з = 0; 3) 3 tg л: = >/з ; 2) л/з - sin X = sin х; 4) cos л: + 1 = 0. 1014. Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку [-2я; -я]: 1) 1 + 2 cos х>0; 3) 2 + tg jc> 0; 2) 1 - 2 sin jc < 0; 4) 1 - 2 tg л: < 0. 1015. Выяснить графически, сколько корней имеет уравнение: 1) cos X = х^; 2) sin х = 1 - х. ПРОВЕРЬ СЕБЯ! 1. Найти область определения функции i/ = tg 4х. Является ли эта функция четной? 2. Построить график функции у - sin х (или у = cos х) на отрезке [-я; 2я]. При каких значениях х из этого отрезка у{х) = 1, у(х) = -1, у(х) = о, у{х) > о, у(х) < о? Разбить данный отрезок на отрезки возрастания и убывания функции. Зя я 3. Построить график функции у = tg л: на отрезке 2 2 При каких значениях х из этого отрезка tg л: = 0, tg jc < 0, tg jc> 0? 4. Решить неравенство tg л: > -1. 1016. Найти область определения функции: l)l/ = tg 2х + 3) J/ = ^1-sin^ X ; 4) у= yjt^x-3. 2) г/ = yjiex; 1017. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: 1)у = cos^ X - sin'^ х; 3) i/ = 1 - 2 | sin Зх |; 2) y = sin I JC + - I sin X- 4)у = sin^х-2 cos^ X. 1018. Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной: 1) I/ = sin JC + tg х; 3) I/ = cos х +1 sin х |; 2) у = sin xtgx; 4) у = sin х \ cos х |. 1019. Найти наименьший положительный период функции: 2)i/ = 3tg ^(х+1). 1)у = 2 sin (2х + 1); 1020. Выяснить графически, сколько корней имеет уравнение: 1) cos ж = I л: I; 2)sin л: = | лс+11. 335 1021. Найти нули функции: 1) у = sin^ x + sin х; 2) у = cos^ X - cos х; 1022. Решить неравенство: 1) ctg л: cos JC > 0; 3) I/ = cos 4jc - cos 2x + sin x\ 4) I/ = cos X - cos 2x - sin 3jc. 2) tg X sin jc < 0. 1023*. Найти все значения jc, при которых функция у = 1,5 - 2 sin^ -принимает положительные значения. 1024*. Найти все значения х, при которых функция у = ig2x принимает отрицательные значения. 1025*. Построить график функции: 1) y = 2sin [f+f]-2; 2) у= \ cos f2x-|l + 2; 5)i/ = tg||+| 1-1; 6)i/ = 2ctg I X-- I + 1; 7*) у = 2 arcsin (x + 1); 8*) I/ = 3 arccos (x - 2). 3) I/ = sin X +1 sin X I; 4) у = cos X - yjcos^ X ; 1026*. Найти множество значений функции: 1) у=12 sin X - 6 cos х; 3)у = arcsin (х^ - 2); 2) у = cos^ X - sin х; 4) у = 2 arccos (х^ - 1) 1027*. Решить неравенство: 1) sin X > cos х; 3) cos х- л/з sin х < 2) tg X ^ sin х\ 4) V3 sinx + cos jc< 1. 1028*. Найти область определения функции: 1) г/= -y/Ssin^JC-cos^Jc; 3) 1/ = arcsin - 1); 2) l/= -y/sm^x-3co8^Jc; 4)i/ = arccos(x2-4). Историческая справка Тригонометрические функции (получившие название от греч. trigonon — треугольник и meteo — измеряю) играют огромную роль в математике и ее приложениях. Исследованием тригонометрических функций практически занимались еш;е древнегреческие математики, изучая взаимное изменение величин в геометрии и астрономии. Соотношения между сторонами в прямоугольных треугольниках, которые по сути своей являются тригонометрическими функциями, рассматривались уже 336 в III в. до н. э. в работах Евклида, Архимеда, Аполлония и других ученых. Учение о тригонометрических величинах получило развитие в VIII — XV вв. в странах Среднего и Ближнего Востока. Так, в IX в. в Багдаде ал-Хорезми составил первые таблицы синусов. Ал-Бузд-жани в X в. сформулировал теорему синусов и с ее помощью построил таблицу синусов с интервалом 15', в которой значения синусов приведены с точностью до 8-го десятичного знака. Ахмад-ал-Бе-руни в XI в. вместо деления радиуса на части при определении значений синуса и косинуса, сделанного до него Птоломеем, начал использовать окружность единичного радиуса. В первой половине XV в. ал-Каши создал тригонометрические таблицы с шагом 1', которые были непревзойденными по точности последующие 250 лет. Самым крупным европейским представителем той эпохи, внесшим вклад в развитие исследования тригонометрических функций, считается Региомонтан, В начале XVII в. в развитии тригонометрии наметилось новое направление — аналитическое. Если до этого учения о тригонометрических функциях строились на геометрической основе, то в XVII—XIX вв. тригонометрия постепенно вошла в состав математического анализа и стала широко использоваться в механике и технике, особенно при рассмотрении колебательных процессов и иных периодических явлений. О свойствах периодичности тригонометрических функций знал еще Ф. Виет, Швейцарский математик И, Бернулли (1642—1727) в своих работах начал применять символы тригонометрических функций. Однако близкую к принятой теперь символику ввел Л. Эйлер в 1748 г. в своей работе «Введение в анализ бесконечных». Он в этой работе рассмотрел вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента. Тригонометрические функции Эйлер рассматривал как особые числа, называя их общим термином «трансцендентные количества», получающиеся из круга. Для вычисления приближенных значений sin х и cos х он получил их разложения в ряды: ^ х^ х^ + ... , Х^ х^ х^ smx=x--+---. ... . (1) (2) На рисунке 108 показано, что графики функций, образованных различным числом членов ряда (1), постепенно приближаются к графику функции у = cos х. 12—Ю. М. Колягин, 10 кл. 337 Дальнейшее, после Эйлера, развитие теории тригонометрических функций было продолжено в XIX в. в работах русского математика Н.И. Лобачевского (1792—1856), а также в трудах других ученых, например в работах профессоров МГУ ДЛ. Меньшова и НЖ, Бари, L ОТВЕТЫ Глава I 1. 2) 0,(27); 4) -0,25; 6) 0,(0990). 2. 1) 0,(29); 2) 0,(855); 4) 0,44(1); 6) 2,8(7). 3. 2) ^ ; 4) ; 6) -2^ . 4. 2) 4; 4) 0. 5. 2) 1о|; 4) 5,8. 6. 2) Яв ляется. 7. 2) 341. 8. 2) g = ^ , < 1; 4) g = 27 < 1. 9. 2) Является; 27 2 1 1 4) является. 10. 2) 0; 4) -2. 11. 2) ^; 4) ^ . 12. 2) 7^ ; 4) -8^ . 13. 2) 1; у 4) ^ . 14. 2) Не является; 4) является. 15. 2) 90,(90). 16. 2) 4л/3 + 8 17. 2) 1. 18. 2) 9; 4) 1.19. 2а. 22. 4,5 и 4,6. 23. 2) | л: | = -зс; 4) | зс | = -зс 24. 2) Рациональное число; 4) рациональное число; 6) иррациональное 2 5 число. 25. 2) 10; 4) 9; 6) g ; 8) 3.26. 2) VH - ДТ > VlO - Д1.27. 2) 3; 4) 2 + V3; 6) 1. 29. 2) 2; 4) 15. 30. 2) 81; 4) ^ . 31. 2) -1; 4) -4; 6) -8 32. 2) зе = -1; 4) л:, = 2, ЗС2 = -2. 33. 2) 5; 4) -11; 6) ^ . 34. 2) 48; 4) 20 35. 2) 33; 4) 7. 36. 2) 0,2; 4) 2. 37. 2) 50; 4) 16. 38. 2) а^^З; 4) д2^,з 39 2) За5; 2 2 3 2Ь 1 1 4) ^ . 40. 2) 3 ; 4) 2.41. 2) 0,4; 4) 2; 6) 4. 42. 2) 3jc; 4) — . 43. 2) 3 ; 4) ^ 2 44. 2) 2; 4) 5. 45. 2) i/^; 4) a®Ь^; 6) За. 46. 2) При jc > -3; 4) при 3 < jc < 2 47. 2) 2; 4) 4 Д. 48. 2) 6; 4) |; 6) 4. 49. 2) аб^с; 4) 2ху. 50. 2) Злг; 4) О 6) а - 1. 51. 2) 7; 4) 1. 52. 2) а) (3 - xf; б) (х - 3)^; 4) - Зл: - 5 53. 2) ^ + + 55. 2) 2Д 4) 1. 58. 2) 3; 4) 27; 6) ^ . 59. 2) 5; 11 1Q 4) 2; 6) 2 • 60. 2) 49; 4) 125. 61. 2) 121; 4) 150. 62. 2) 5^; 4) lOg 111 11 11 63. 2)3; 4) 2,7. 64. 2)6; 4) а; 6)1.65.2) a^ib^+c^); 4) (4х^-у2) 1 1 1111 J_J_ 66.2)(i/3-l)(j/3 + i); 4)(х^-у^)(х^+у^); 6)(0,Ьп^^-п^^)(0,ЬпР+п^) 11 11 11 2111 67. 2) (л:2-1/2 )(д: +х^у^+у); 4) (За3+сб) (9аЗ-ЗаЗсб+сЗ ). 68. 2) а2б 11 1 11 69. 2) 1; 4) аЗбЗ. 70. 2) 3. 71. 2) &2 ; 4) а + 6. 72. 2) а^ +6^ ; 4) г/с - 1 12* 339 73. 2) Зс. 74. 2) ; 4) 2^/Ь . 75. 2) 2у, А) 2ЩЬ . 76. 2)2?/fc;4) . 1 - - 1 77. 2) 2(а2 -Ь2); 4) — . 73. 5306 р. 4 к. 79. 2158 р. 70 к. 80. 2) 1; 4) ^ . 81. 2) 3; 4) 6) . 82. 2) 9; 4) 8. 83. 2) 18; 4) 0,75. 85.2) {0,013)-1 > 1; 4) 27>-5 > 1; 6) 111 < ») [|1 > 1.86. 2) ; 4) Ь. 8V5-15 87.2) ^5 <^.88. 2) г/; 4) 4а*-89.2) m ^ ; 4)аЛ 90. 2)л: = -2; 9 О /rt -I 4)д: = 2л.91.2)лг= ^ ;4)л:=1.92.2) ^<^;4) -9S. 2) х = -^ о29 34 3 0.7 1 25 16 4) л: =1.94. 2) 4; 4) 2. 95. 2) 2^ ; 4) ^ . 96. 2) 1; 0,01; g; 37^; ^ 4) 2; 9; 10; 4; |; ^ . 97. 2) 64; 10; 5; 2; 1; 2; 4) ^ . 98. 2) 15 81 3 3 - /^3V^ 4) 10*; 6) . 99. 2) 2 ; 4) 2 : 6) 4.100. 2) 98°; 32*; [ ^ J . 101. 2) ^ Г < ~ ~ ^11 /1 ? ^ <(0,41) ^ : 4) ^ ^ li ■ 104. 2) J > f[ I • 105. 2) д: = 3; 4) X = 2; 6) зс - ^ ^ м 106.2) а*+6* . 107. 2) а-0 1 Л Проверь себя! 1.1) 135; 2) 3)4,5.2.1) ; 2)а\ 3. . 4 5. 4^. 2681 .. ,/5-л/2 2V3 11(W-W + V4) 109.2)^.111.2)^; 4)-^;6) ^ __ 11 >1 I9ln-9lh^^ ;8) 112. 2) 7. 113. 2) 2^; 4) ^. 114. 2) ; 4) + Ь^. 115. 2) 1. 116. 2)а 1;4)1. 340 Глава II 120. 2) л: е Д; 4) д: > 6; 6) д: < -3, д: > 1: 8) о < д: < 2; 10) зс < о, о < л: < I; 1 12) д: > 0; 14) де 0. 123. 2) Убывающая; 4) убывающая. 125. 2) (^/2 > 1; - ( l^'^ f 1Л 4) > 1; 6) ^ <1.127. 2) -1; i ; 4) (-2; 9). 132. 2) Возрастающая; 4) убывающая. 133. 2) I/ > 0; 4) i/ < 2; 6) у > 1. 137. 88,39 г; 22,1 г. 2 2 138. 486 661,161 м3. 139. 2) JC = 3 ; 4) JC = - 3 . 140. 2) jc = -0,5; 4) jc = 4. 2 141. 2)jc = 2,5; 4)jc = 9; 6)jc = 0,4. 142. 2) jc= 1; 4) jc= 1 3.143. 2) 1; 4) jc = 3; 6) jc = 2. 144. 2) X = 0; 4) jc = 0. 145. 2) = 0, x^ = 2; 4) x = 1. 146. 2) jc < 2; 4)jc<-0,5; 6)jc >3. 147. 2) ^1 = 2, JCg = 5; 4) jc =. 148. 2) = 1, =-3; 4) x^ = -0,5, JCg - 3. 149. 2) jc = 0,8; 4) jc = -1; 6) x^ = 0,5, дГз = -3. 150. 2) x^ = 0,3, JC2 = -0,2; 4)x = 4. 151. 2) jc = -1; 4) jc = 1. 152. 2)y = 3; 4) jc = 2. 153. 2) jc = 3; 4) д: = 3. 154. 2) jc = -3; 4) jc = 4. 155. 2) x = -1; 4) x^ = 1, ^3 = -1; 6) x = -1. 156. 2) X > 4; 4) X < 1, X > 2; 6) 1 < X < 2. 157. 2) x > 1; 4) x < 1. 158. 2) x < 2; 14 4) X < -1. 162. X = 4. 163. 2) X = 2; 4) X = 3,25. 164. 2) x = 0. 165. 2) x = -^ . 4 3 1 166. 2) -2 < X < 1; 4) -3 < X < 2. 167. ~2^x< 168. -1, -2, -3, ±4, ±5, ±6, ... (t. e. для a < 0 и a > 3, где a e Z), 169. 1) -2 < a < 2; 2) -2 < a < 2. ,V8-3 > 1. 170. 2) > 2>.7. 4) 1^1 j ^ , 5 > 5 3 _ 2; = -5, jCg = 1; X = 1; Xj = 0, ,1.2 Xg = - 2. 4. X > 4; -2 < X < 2. 182.0(1 + 0,01рГЧ 183.2)ХФ -2; 4) x < 1.184 2) i/ < 1; 4) i/ > 2.186.2) x = 24. 187. 2)x = 9;4)x=l. 188.2)x = 0; 4)x = -0,5. 189. 2)-3 < x < 1; 4)-1 < x< 1. 191. 2)x = 4; 4)x=l. 192. 2)x = 3. 193. 2) Xi = -1, Хз = 5; 4)x = -|. 194.x = -2, X > 0.195. 2) X < -3, X > 1; 4) X < , X > 4.196. 2) x < 0, x > |. 341 Глава III 200. 2) 0,2®’^ < 1; 4) \^3j > 1. 201. 2) Выше — при jc> 1, ниже — при -0,2 -0,2 , 10 о < jc < 1. 202. 2) Выше — при О < jc < 1, ниже — при jc > 1. 203. 2) д | < '(nf • “I 6) [И)5 < 8) (2Щ) 205. 2) Выше — при О < jc < 1, ниже — при jc > 1. 208. 1) Два; 2) один. 4-JC 2л:+1 о/--^ 210. 2) у = ; 4) у = —^; 6) у = ^Х-\-о , 211. 2) Все действительные чис- ла; 4) все действительные числа; 6) множество значений: все действительные числа, кроме у = 4; область определения — все действительные числа, кроме JC = 0. 213. 2) Нет; 4) нет. 214. 2) у = -у[х^ ; 4) у = -х^, 216. 2) Нет корней; 4) нет корней. 217. 2) Равносильны; 4) не равносильны; 6) равносильны. 218. 2) Равносильны; 4) не равносильны. 219. 2) Второе. 220. 2) Нет корней; 4) JC = 4. 221. 2) 3,5 < jc < 5. 222. 2) Равносильны. 223. 2) Равносильны; 4) равносильны. 224. 2) Равносильны; 4) равносильны. 225. 2) Второе; 4) оба. 226. х = 3. 227. 2) jc = 6. 228. 2) -2 < jc < 1, jc> 2. 229. 1) х^ = -1, jCg = 2, JCg = 4; 2) JCj = -1, JCg = 1, JCg = 2; 3) x^ = -4, JCg = -3, JCg = -2, x^ = 1; 4) JCj = -2, JCg = -1, JCg = 3. 231. 2) jc = 27; 4) jc = 5. 232. 2) jc = -7; 4) = 3, JCg = - ^ . 233. 2) jc = 5; 4) jc = 5; 6) x^ = -3, JCg = 4. 234. 2) jc = 4; 4) jc = 5; 6) jc = -1. 235. 2) X = 7; 4) X = 5; 6) x^ = -3, X2 = l- 236. 2) Нет решений; 4) нет решений. 237. 2) jc = -3; 4) jc = 18; 6) jc = 20. 238. 2) jc = -4; 4) jc = 5. 239. 2) jc = 10; 4) JCj 2 = » ^3,4 = ±V2. 240. 2) JCj = -1, JCg = -3. 241. 2) Два; 4) один, jc = 1. 242. 1) JCj = 0, Xg 3 = ± 2; 2) JCj = 0, JCg = 2; 3) x^ = -4, JCg = 1; 4) jc^ = -6, *2 = 1- 243. 1) д: = i(l+V4a^ + 9j при a > 0, нет корней при a < 0; 2) jc = -1 + yja^-2a-\-2 при a > 1, нет корней при a < 1. 244. 2) 1 < jc < 1,5; 4) jc < -5. 245. 2) 0 < jc < 9; 4) jc < 13,5; 6) 0 < jc < 2. 246. 2) 2 < jc < 3; 4) jc < -5; 5 5 19 6)jc>-g;8)-^ 9; 8) нет решений. 248. 2) -1 < jc < 2; 4) jc < -1, jc> 2; 6) 0 < jc < < 4; 8) jc < -1, jc > 2. 249. 2) jc > -1; 4) | < jc < 6; 6) -3 < jc < 1; 8) 2 < jc < 3. 2 250. 1) jc > 2) -2,8 0, нет решений (1 --^ , (V2)", (1,9)", Tt"; 4) jc"3. 342 __ ^ с [Щ 3, (1,3)"з , (0,5)'з . 257. 1) зс = 1; 2) л: = -1. 258. 2) - VI < лг < VI; 2 4) JC < 1, JC > 2. 259. 2) I/ = — + 3 — обратная функция; область определения: все действительные числа, кроме jc = 0; множество значений: все действительные числа, кроме у = S; 4) у = vx+l — обратная функция; область определения и множество значений — все действительные числа. 261. 2) Да; 4) да. 262. 2) зе = 21; 4) jCj = |, = |; 6) дс = -1; 8) 3Cj 2 = ±8. 263. 2) -8 < зс < 1; 4) -3 < лг < 1. 265. 2) Да; 4) нет. 266. 2) у = - 4х, область определения — jc < 2, множество значений — у < -4; 4) у = 6х -- - S, область определения — jc > 3, множество значений — I/ < 1. 267. 2) д: = 1; 4) д: = 0.268.2)3: = 259; 4) зе, g = . 269. 2)зс < 0; 4)зс>-|. 1 8 270. 1) 6 < JC < 8; 2) JC < -4, 2 ^ х < ^ . 271. 1) Если а < 2, то решений нет; о + + 04 И ^ I I п если а>2, To6 ^; 6) jc < 0. 288. 2) -1,5; 4) -1 3 . 289. 2) 3 ; 4) ^ . 290. 2) -4,5; 4) -2,8. 291. 2) -3; 4) 2,2. 292. 2) ^ ; 4) 4. 293. 2) ^ ; 4) 5 12. 6)l|.294.2)l;4) ^;6)2.295.2)x = 7;4)jc = щ;6)л: = ^.296. 2)jc<-3, jc > 2; 4) jc < 1, jc> 2. 297. 2) x e R, x ^ -2; 4) не существует ни при каких х; 6)хе R. 298. 2) О < jc < 2; 4) -- < jc < 4. 299. 2) jc = 4. 300. 2) х = log^ ^ 4) зс = ^ logg 3. 301. 2)x=l~l log^ 2; 4) зс = -^ + ^logil.S . 302. 2) зе = 4 4 = logj 4; 4) 3CJ = - , ЗС2 = logg 60; 6) 3Cj = -1, X2 = logi 2; 8) Xy = logg 3, ЗС2 = logg 5. 343 303.1) JCj = о, = logj 5 3; 2) jc = log^ g 2. 304.1) “ < jc < 1, jc> 1; 2) 1 < jc < 2, jc > 2; 3) -1 < jc < 0, 0 < jc < 2, jc > 2; 4) jc < -3, -3 < jc < -2, -2 < x < -1, -1 < jc < 1. 305. Если a = -1, to jc = 0; если a > 0, то jc = logg a^; если a < 0, , 2 a -1, TO jcj = logg a2, jCg = logg (-a). 306. 2) 3; 4) 2. 307. 2) 2; 4) -3. 308. 2) - ; 4)--.309. 2) -;4)-4; 6) -2^ . 310.2) - ; 4)-3.311.2) jc= — ; 4)jc= 6 2 5 2 1 5 2 3 312. 2) 4 logg « + - logg - 3 logg c; 4) - logg c - - logg a - - logg b. 3 ^55 1 1 313. 2) 1 - ; 4) 0. 314. 1) 3; 2) 19; 3) 475; 4) 22,5. 315.1) " ; 2) 1; 3) -1; 4) 1. о 2 316. 2) -logg 5; 4) - logg 0,1. 318. 2) - - ; 4) - - . 319.1) 2(a + b- 1); 2) 2a + -. 321. 1) 3C = 4л/3 : 2) л: = - ; 3) 3C = 10; 4) л: = 14; 5) 3C = 0,1; 6) д: = 4,5. 7 322. 2) 0,845; 4) -0,176. 323. 2) 0,693; 4) -0,154. 324. 2) 1,29; 4) -0,42. 325. 2) 1,3; 4) -15,42. 327. 2) 1,58; 4) -0,861; 6) 4,25. 328. 1) 25; 2) - -. 1 329. 2) дс = 8; 4) д; = 3; 6) jc = 2. 330. 2)х = 27; 4) = 27, jCg = — . 331. 1 + m, 1 т+1 ^ 1 „„„ 1+т 2+т ^ 2 « гПу --у т + 2. 332. - + т. 333. - 3 3 2 п+т . 334. , ^ . 335. 1 - - т. 336. 1+2т 3 . 337. 1) -2; 2) -3. 338. 1) ; 2) . 339. 2) д:^ = 9, 2пг+3 2г»+2аЬ+2 afc+2&+l ^ JCg= 27; 4) = ^,х^ = ^/2.340. 1) JCj =4, *2=8; 2) jCj = 5, JCg= 125; 3) jCj = 819, дrg= ^ ; 4) д:^ = i, дг2= 341. 2) 1; 4) 0,5. 342. 1) 2; 2) ^ . 343 . 9 лет. 3 9 344. 3052 качания. 345. 2)2,7182788; 4) 2,7182819. 346. 1) 2,7182682; ^/5 V3 2) 2,7182805.350. 2) logi 9 > logi 17; 4) logg ^ > logg -r-. 351.2) logg 0,45 < 0; 4) logQ 5 9,6 < 0. 352. 2) jc < 1; 4) д: > 1. 353. 2) Убывающая; 4) возрастающая. 1 354. 2)04. 355. 2) jc> -2; 4) -3 < jc < 3. 357. 2) a > Ь; 4) a < 5. 358. 1) g + < *619 - lg2; 2) lg5+lg^/7 2fllg9-ilg8l;4)lg(lg4)>lg ^.359.1)a<5;2)a<5.361.1)д:<-1, 2 3 jc> 4; 2) -1 < ДС < 6; 3) -3 < jc < -2, дс > 2; 4) дс > 4; 5) д: 0, д: 4; 6) дс < -3, 344 < X < “,jc>3;7)jc>l;8)jc> 3. 365. 1) jc 2, jc 3; 2) -1 < jc < « . 2 2 ^ 366. 2) jc = 8; 4) jc = 46; 6) jc = -1,6. 367. 2) Корней нет. 368. 2) = 5, X2 = 2; 4) корней нет. 369. 2) JCj g = -3±у[ш : 4) ДС, = 2, jCg = -4; 6) oCj = 3, 0^2 = 2. 370.2) ЛГ = 3; 4) л: = V2.371. 2) Корней нет; 4) зс = 2. 372. 2)х = 5. 373. 2) л:, 2 = = ±8; 4) зс = 16. 374. 2) зс = 1; 4) зс, = 3, ЗС2 = 5. 375. 2) зс = 3. 376. 2) л: = 3; 4) зе. = 4, ЗС2 = -8. 377. 2) зс = 9; 4) зс. = 100, Л32 = 1000. 378. 2) зс, = 1 — , Л32 = 0. 64 379. 2) зс = 9; 4) корней нет. 380. 2) зс, = зс2= 3; 4) зс, = 3, зс2= 9; 6) зс, = 4, 12 зс2= 64. 381. 2) дс, = 4, ЗС2= v2; 3) дс, = 3, *2 = 9; 4) дс, = 27, зс2= g . 382. 2) зс = ij . 383. 2) зс = -4. 384. 1) зс, = -11, х^=-1, зСд = 5; 2) зс= -5. 385. 1) * = 5,5; 2) дс = I; 3) дс = 1 + ^ ; 4) дс = 1. 386. 1) зс, = ^/2, ЗС2 = 3; 2) зс, = |, *2 = 2. 1 1 387.1)* = 512; 2)зс,= , *2 = 128. 388.1)дс= 5®; 2) * = 4. 389. Если а > О, 1^0 1 _______?__ 1 a?tl,a?tO,a?t 5 3,TOJC= ^ ;4)jc>0,5.391.2)0 0,16. 392.2) jc < -; 4) -2 < jc < 2. 393. 2) jc < -30; 4) 1 < jc < 10; 6) jc < - 0,05. D 5 394. 2) x> 25; 4) ~ < jc < 3. 395. 2)2~;6)x> V2.397. 2) jc> 7. 398. 2) jc <-1, о 3 " jc>4; 4) jc< -0,5, jc> 3. 399. 2) jc < 2, jc> 3; 4)-2 3 3 , ^ < *< V2.402. 2)0 <3C < 0,1; 3C> 10000. > 2.401. 2) - V2 2n/2 ’ 2>/2 14 403. 2) 0 < * < 1, дс> 10. 404. 2) * > 1. 405. 2) x < -1, log, — ^ . 408. 2 - log^ 5 < jc < 1. 409. -logg 2 < jc < 0, ^ logg 2 < jc < 1. 410. 1) -|< * < - |; 2) < ДС < 0. 411. 1) дс > 7; 2) 1 < зс < ^, зс > 8. l+Jl+4a^ l+Jl+4a^ . . r- 412.1) 1 < jc <--2---- 0 < a < 1, jc> -----2----- a > 1; 2)| jc| > Va , 0 < I д: I < , если a>l;0<|jc|< Va,|jc|> если 0 < a < 1. 413. 2) 4; Va Va 2 1 4) -3. 414. 2) -4; 4) 6. 415. 2) 1; 4) - . 416. 2) - ; 4) 4. 417. 2) -2,2. 418. a < b. о 4 345 419. 2) 2,39; 4) -3,65. 421. 2) Возрастающая; 4) убывающая. 423. 2) jc < О, 3 3 X > 2. 424. 2) X = - ; 4) X = 2. 425. 2) = 1, JCg = — ; 4) = 4, JCg = 8. 8 2 426. 2) jc = -4; 4) jc = 2. 427. 2) jc < 4; 4) jc < -1. 428. 2) Решений нет. 429. 2) зс < -8, л: > 1. 430. 2) -4,5; 4) 36; 6) 2. 431.1) 1; 2) 2. 432.1) log, i > 21og2 5+logi 9 2 ^ > logi - ; 2) 2 52 - ^ 6(1-5) 3(1-a) 9 > V8.433. log„ 5. 434. -^—7^ . 435. a+1 3-2a 1 1 436. . 437. 2) 0 < jc < 1. 439. 2) x = ~ logg 3; 4) jc = i 1+b logi 1,5-5 3 6) JC = logg3. 440. 2)x = 27; 4) x^ = 21,x^= —. 441. 2)x^ ^ = ±8. 442. 2)x = -4; 27 ’ 4) jc, = 14, JCp = 6. 443. 2) Корней нет. 444. 2) x = 4,5; 4) x. = —, = 5. 1 ^ 1 2g ^ 445. 2) JCj = 2, JCg = 5; 4) корней нет. 446. 2) 5 < jc < 6; 4) jc > 4; 6) -4 < jc < -3. -- 1 447. 1)0<д:<4 ^1<*<64;2)0<лг<1, д:=^/3.448. 1) -- < зс < 0; 2) Ve 1. 457. 1) д: = ; 2) jc = 5. 458. a < 0, a = 4. 459. 0 < jc < ~j= , a 1 a ^ у x> ~r , если 0 < a < 1. yJCL 1-— i + — i + — ^ a ^ , если а>1;0<дс<а ^, Глава V 460. 1) (4; 2); 2) (1; 2). 461. 1) (1; 7), (7; 1); 2) (3; -2), (-2; 3); 3) (1; 3), 9;i j; 4)(-3; 2), j: 5)(15; 5); 6)(5; 4); 7)(1; -3), (-1; 3), (3; -1), (-3; 1); 8) (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; -2). 462. 1) (4; 5), (-5; -4); 2) (5; 2), (-5; -2); 3) (3; 4), (4; 3); 4) (1; -2), (2; -1); 5) (2; 4), (4; 2); 6) (2; 3), (-2; 3), (73; 4), (-V3; 4). 463.1) (2; 3), (3; 2); 2) (3; 2), (-2; -3). 464.1) (lO^; 0,1); 2) j; 3) (1000; 10); 4) (1; 9). 465. 1) (25; 9); 2) (9; 4). 466. 1) (3; 5), (5; 3); 2) (3; 1), Г-|;-б1; 3)(3; -1), f-2;| j; 4) (1; 2), (2; 1). 467.1) (2; 2), (-2; -2), (1; -3), (-1; 3); 2) (1; 3), (-1; -3), 346 ^ 5 25 W 5 . 25 ^ V4l’ ^/4^ J’ ( Vil’ n/41 . 468. 1) (4; 1); 2) (2; 8), (8; 2). 469. 1) (100; 10), (0,1; 0,01); 2) (2; 1). 470. 1) (1; 3); 2) (1; 1). 471. 1) 2) (3; 2), (2; 3), (-3; -2), (-2; -3). 473. 1) (2; -1), (-1; 2); 2) (1; 4), (-4; -1); (140^ 22 \ [ 31 ’ 31 j’ 2) I II |. 472. 1) (3; -1), (-1; 3), (1; -3), (-3; 1); 3) (0; 2): 4) (5; 1), (1; 5), (-5; -1), (-1; -5). 474.1) (3; 5), (-3; -5), ( 36; l> -36;^ 1; 2) (5; 8), (-5; -8), (2; -1), (-2; 1); 3) (2; -1), (-2; 1), 'з /з^ f [з Гз] Г3^2 V2^ 3V2 V2^ V2’ V2 V у ;4)(2; l),(-2;-l). 2 ’ 2 V У 2 ’ 2 V / (-3; -1), f 2 . 1 ^ f 2. 1 ^ ч/И J’ , M’ M, 2 V2 .475.1)(3; 1), ; 2) (1; -1), (-1; 1), (1; 2), (2; 1). 476.1) , 2) Нет решений. 477.1) (0; -2); 2) (4; 1). 478.1) (0; 1,75); 2) (1; 0,75). 479.1) (2; 3); 2) (3; 2); 3) (9; 1); 4) (125 ^/5; V5). 480.1) (1; 3), (3; 1); 2) (2; 3), (3; 2); 3) (3; 0,5), (0,5 ; 3); 4, |.482. !)(-! + V5; 1+ V5),(-!- n/5; 1- ^/5), 3-S -3-S 3+^/5 -З+л/5 2 2 ;2)(l;2),(2;l).483.1)(l;l);2)(0;-2),(-l;-3);3)(-l;-l); 4) (2; -1). 484.1) (1; 1), (log^ 2; log2 5); 2) (1; 1), (logj 4; log^ 3). 485.1) (8; 8); 2) (7; 9), (9; 7). 486.1) (2; 2); 2) (2 ч/б; V6), (-2 ч/б; - ч/б); 3) (2; -2), (-2; 2); 4) (1; 4); 5) (-1; 2), Ц j: 6) (2; 4), (4;2); 7) (3; 4), (4; 3), (6 + ч/29; 6 - -M), (6 - -M; 6 + ч/^); 8) (3; 1), (-1; -3), ^ 3 ч/17 3 ч/Гг ^ ^ 3 Л7 3 Л7^ +—J -- + 2 2 2 2 487.1) (0; 0), (1; 1); 2) (0; 0), (1, -2), (-2; 1), (3; 6), (6; 3); 3) (2; 3), (-2; 3); 4) (3; 1). J- 488. 1) (1; 1), (log32; 0); 2) (log34; 1). 489. 1) (3; 2); 2) (3; -2); 3) (2; 7), (3; 8), (1; 6), (-1; 4); 4) (1; 5), (3; 1). 490. 1) j^|;|j- 491.1) (1; -1), (2,5; 2); 2) (0; 1), (2; -1). 492.1) (-1; 1); 2) (2; 2). 493.1) (2; 32), 347 (32; 2); 2) (3; 27), (27; 3); 3) 4) (3; л/З), (73; 3). 494. (2+ V7;2+ л/7).495. j. 496.-К о < 1. 497. а = -6. 498. 64. 499. 68. 500. 40 км/ч, 60 км/ч. 501. 10 ч, 15 ч. 502. 3 ч, 4 ч. 503. 96 км. 504. 20 км/ч, 12 км/ч. 505. 14 км/ч, 2 км/ч. 506. 117. 507. 20 чел.. 6 ч в день. 508. 9 ч, 6 ч. 509. р т 1 п-т » 100 т-п ^ 9 J _ %.510.(1; л/З), (-1; - V3). 511. Каждая из двух. 512. 1) Да; 2) да. 513. 1) (0; -2); 2) (5; 1); 3) (2; -1), (-1; 2); 4) (3; 2), (-2; -3); 5) (2; -3); 6) (2; -1). 514.1) (3; 1); 2) (1; -1); 3) (2; 2), (-2; -2); 4) (2; 4), (4; 2), (-2; -4), (-4; -2). 515. 1) (4; 8), (8; 4); 2) (4; 6), (6; 4). 516.1) (1; 2); 2) (2; 1); 3) решений нет; 4) (25; 4), (4; 25); 5) (2; 6), (6; 2); 6) (9; 7). 517. 1) (5; 45); 2) 27. 518. 1) Два; 2) одно; 3) одно; 4) одно. 519.1) (6; -2), (-2; 6); 2) (1; -3), (-3; 1). 520.1) (3; 5), (-3; -5), (8; -5), (-8; 5); 2) (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; -2); 3) (0; 2), (0; -2), (1; 0); 4) (1; 2), (-1; -2). 521. 1) (5; -1), (-1; 5); 2) (3; 2), (2; 3), (5; 1), (1; 5); 3) (1; 1), (1; -2), (-2; 1); 4) (4; 2), (-4; -2). 522.1) (4; 5), (-4; -5), (3 л/З; 73), (-3 73; - 7з); 2) (3; 5). |. 523. 1) (2; -1), (1; -2); 2) (2; 1), (1; 2), 3 3 (-3;-5), (II], (-2; -1), (-1; -2). 524.1) (4; 9), (9; 4); 2) (8; 27), (27; 8). 525.1) (3; 1); 2) (2; 2). 526. 1) (2; 3); 2) (-9; 3). 527. 1) (7; -2); 2) (1; 1), (9; -3). 528. 1) (100; 10), (0,1; 0,01); 2) (6; 3), (3; 6). 529.1) (6; 2); 2) (3; 2). 530.1) (4; 1); 2) (3; 18), (1; -6). 531. 1) (4,5; 0,5); 2) (3; -3). 532. 7 км. 533. 6 с. 534. 12 ч. 535. 15(30 - д), 1 10 <9 < 19 g . Проверь себя! 1.1) (4; 2); 2) (3; 2), (2; 3); 3) (2; 7), (7; 2). 2. 12 и 8._ Главы VI - VII 2л 5л 8л 7л (540)° (64,8' 536.2) y;4)-g ;6)^;8)-д .537.2)20°;4)135°;6)|^—J ;8)|^-^ Зл 539. 0,4 м. 540. 2 рад. 541. -g см^. 542. 2 рад. 545. 2) (0; 1); 4) (0; -1); fi. V3^ rV2. .[2] 2’ 2 V ) ; 8) 2 ’ 2 ^ / 6) 4) (0;-1). 551. 2) . 549. 2) (0; 1); 4) (-1; 0); 6) (0; 1). 550. 2) (0; 1); ^ л/2 2 ’ ; 4) (1; 0), (-1; 0). 552. 2) 2кк, где k — любое целое число; 4) + 2nk, где k - любое целое число. 553. 2) Вторая; 348 4 5 4) четвертая. 554. 2) х = 1,8я, k = 4; 4) х = k = S; 6) х = ^ я, /г = 2. Зя 5я 556. 2) (0; 1); 4) (0; -1). 557. 2) 2я/г, /г = 0, ±1, ±2, ...; 4) —^ + 2я/г, /г = о, ±1, ±2, ... . 559. 2) -1; 4) -1; 6) 1. 560. 2) sin Р = О, cos Р = 1; 4) sin Р = 1, cos р = 0; 6) sin Р = О, cos Р = -1. 561. 2) 2; 4) -1. 562. 2) 0; 4) -1. 563. 2) -7; 4) . 564. 2) JC = ^ + nky k = 0y ±1, ±2, ...; 4) х = ^ + 2кк, = О, ±1, ±2, ... . 566. 2) -|;4) ^-^^.567. 2) ^;4) . 569. 2) д: = п + 2лЛ, Л = О, ±1, ±2, ...; 2 4) JC = Я + 4я/г, /г = О, ±1, ±2, ...; 6) jc = ^ nk, k = 0, ±1, ±2, ... . 573. 2) Во второй; 4) в третьей; 6) во второй; 8) в четвертой; 10) в третьей. 574. 2) В третьей; 4) во второй; 6) во второй. 575. 2) Плюс; 4) минус; 6) плюс; 8) минус; 10) минус; 12) плюс; 14) плюс; 16) минус. 576. 2) Минус; 4) плюс; 6) минус; 8) плюс; 10) минус. 577. 2) Плюс; 4) минус; 6) плюс; 8) минус; 10) минус. 578. 2) Минус, плюс, минус; 4) плюс, плюс, плюс. 579. 2) Плюс, минус, минус; 4) минус, плюс, минус. 580. 2) Минус; 4) минус; 6) плюс. 581. 2) Плюс, минус, минус, минус. 583. 2) Минус; 4) плюс. 584. 2) cos 1,3 > cos 2,3. 585. 2) jc = ^ + nky k = 0y ±1, ±2, ...; 4) jc = я + 2nky k = 0y ±1, ±2,.... 586. 2) Bo второй. 588.2) Да; 4) нет; 6) нет. 589.2) cos а = 5 ’ 2 3 4 3 1 1ёа= ,ctga= -^.590.2) cos а = - g,tga=-g,ctga=-^;4)tga=-g, 3 1 12 5 12 24 cosa= ^ ,sina= -yyjg-;6)cosa= jg ,tga= -jg .ctga= ; 8)tga= у, 7 24 2 /2 9 COS a = -^ , sin a = • 591. 2) ; 4) ± . 592. 2) Her. 593. cos ot = » tga= ^^.594. 595. ±-y 596. 2) |;4)2.597.2) ||.59в.2)д:= +2nk, k = Oy ±1, ±2, ...; 4) jc = ^ + nky k = Oy ±1, ±2, ... . 600. 2) 0; 4) 1 + sin a. 1 8 37 601. 2) ^2- , 4; 4) 2. 603. 2) 0; 4) «. 605. ^ . 606. ^ . 607. 7. 125 608. 2) X = ^ + nky k = Oy ±1, ±2, ...; 4) x = ^ + 2nky k = Oy ±1, ±2, ... . 1 5 609. 2) 3 ; 4) -3; 6) 2. 610. 2) 2 cos a; 4) 2. 612. 2) - 2.613. 2) -2 cos a. n nk nk n 615. 2) jc = ^ , /г = 0, ±1, ±2, ...; 4)x= , /г = 0, ±1, ±2, ...; 6) jc = 2 + тс/г, fe = 0, +1, ±2......617. 2) у ; 4) -1. 618. 2) . 619. 2) cos ЗР; 4) -1. 349 620. 2) ^ ; 4) 1. 621. 2) . 622. 2) -sin а cos Р; 4) sin а cos р. 84 36 63 77 623. ^ ^ • в24. . 625. ^ . 626. 2) ^ cos^ а; 4) sin а sin За. 628. 2) 1; 4) 73.629. 2) ^. 630. n/З tg а . 631. 2) sin 2|3. 632. 2) зс = ^ + Ttft, ft = 0, ±1, +2,...; 4) лг = 4nft, ft = О, ±1, ±2.633. 2) cos^ 82° - sin^ 82°; 4) 2 sin 22°30' x X cos 22°30'; 6) cos^ ^ - sin^ ^ . 634. 2) 2 sin j' cos ^g'^'^j’ ^Зяа^ ^ f Sn a ^ „a „a Js 1 T^I J - 2 J: 6) cos2 2 - sin^ 2 • 635. 2) ^ : 4) 2- /о Jq 24 8 7 636. 2) ^ ; 4) -1. 637. 2) ; 4) -2. 638. 2) ^; 4) g . 639. 2) ^ . 640. 1.641. 2) sin 50°; 4) cos^ 2a. 642. 2) ctg^ a. 644. 2) |. 647. 2)x = nk, /г = 0, ±1, ±2, ...; 4) jc = ^ + я/г, /г = 0, ±1, ±2, ...; 6) jc = ^ + я/г, /г = 0, ±1, ±2, ... . 1 648. 2) 1 + cos -j ;4) 1-cos —+2a 2'""j. 649. 2) ^ ; 4) 1. 650. 2) V03 : 4) 0,5. 651.2) л/оД; 4) 1.652.2) = ^6+2^. 653.2) -; 4) -1.654 2) 2 cos a; a 120 5 4) sin 2a. 655. 2) tg ; 4) tg a. 656. 2) . 661. cos 4a. 662. 2)x = 4я/г, я/г я nk х = к + 2nky k e Z; A) X = ~2 у X = -^ , k e Z; 6) x = Snky x =2n + 4я/г, k e Z: 8)x= ^ + ^,fte Z. 663. 2) 60°; 4) 40°; 6) 8) ^ . 664. 2) cos 58° = sin 32°; 4) -cos ^ ; 6) -tg 35° = -ctg 55°; 8) sin ^ ; 10) sin ^ ; 12) -tg ^ . 665. 2) ^ ; 4)-|; 6)-|; 8)-^ . 666.2)-|; 4)-^ ; 6) I; 8) 1.667.2)-l. 668.2) ^. 669.2) 4)-|;6)l;8)-^.670. 2)-^/2; 4) ^ -1.671.2)-^; Я я/г 4) -1. 675. 2) jc = я + 2nkj k G Z; 4) jc = я + 2nkj k e Z; 6) x = ^ , k g Z, /0 ГБ 677. 2) 0; 4) - ^ ; 6) 0; 8) ^ . 678. 2) V2 sin p; 4) sin 2a . 680. 2) 2 sin a. Sin a я 2"l2 682. 2) 4 sin J [12'^ 2 J: 4) 4 sin ^ g+jg 6)2sin2 8)2>/2 sin I sin .684.2)tgp. 685.2)д:= | + 2nk я 2nk я nk + , jc = 0 + у k G Z; 4) X = nky x= + ~2 у k g Z; 6) x = -^ у k g Z; nk “3 350 nk к nk S) x= = k e Z; 10) x=^ + ^ykeZ, 686. 2) -4 cos a sin^ ^ * 2N/2sinfa + -^lcoe^^ _ о .„о .«о 4^ I 2 ^^^cosl8+cosl2° cosa 2 2 oos2a + oos2B sin2a-sin2B 5 689. 2) ; 4) ----2----- * ®90. 2) cos 70° - cos 130°. 691. ^ . 7 3 nk nk 1 693. ^ . 694. - Y0.695. 2) x= , k e Z; 4) x = -^ у ke Z. 696. 2) ^ (cos a + + cos 5a + cos 9a + cos 15a). 697. 2) ; 4) • в98. 2) cos^ a; 4) ctg^ a. 2) 1; 4) - ^ . 700.2) - ^ ; 4) - . 704.2) ^ . 705.2) ^ . 708.-4 sin 2a. 711. 2) 2. 712. ^. 713. -1.716. 2) |. 719. 2) 0; 4) |; 6) ^ . 720.2) 2n; 4) 8Tt. 11 Л 3 ^/2 721.2) 2 ; 4) 2:6) 1.722.2)-!; 4)1; 6)-1.723.2) 2:4) . 724.2)arccos ^ < < arccos 0; 4) arccos (-1) > arccos V3 725. 2) arccos [ 4 ^ arccos (-1) n 3n 3 726. 2) jc = ± 2 + 2nky k e Z; 4) x = ±~^ + 2nky k g Z. 727. 2) jc = ±arccos ^ + + 2nky k G Z; 4) X = tarccos (-0,2) + 2nky k g Z. 728. 2) x = ^ + nky k g Z; .. я „ . . „ 3it яЛ . „ 2я 2я л 4) дс = ±2 + 6яА, k е Z; 6) X = — + -^, k е Z. 729. 2) ; 4) ; 6) ^ . 2 ^/3 3 2>/2 1 24 730. 2)--;4)-0,3; 6) ^ . 731. 2) ^ ; 4) -^:6) 2-732. 2) ^-733. 2) а; ft е .Z; 4) де = ±-^ + nk, k е Z. 737. 2) дс = 2яft, fte 2;4)д; = ±-^ + 2я1г, О О I — I , шш, лч ш- ^ 2п 4п 5тг 7п JC = ±arccos I ■ 5 I + 2я/г, /г е Z. 738. 2) х = -2,5. 739. ±—, » “3"» “з"» • 4) -а. 734. 2) JC = — + nky kG Z. 735. 2) Да; 4) нет; 6) да. 736. 2) jc = ± ^ + nk, (-3] 740. . 742. 2) 4) 6) -^ . 743. 2) 0; 4) -|. 744. 2) | ; 4) ^ ; 6) л/3. 745. 2) 0; 4) -1; 6) 0. 746. 2) ^ . 747. 2) |; 4) ^ . 748. 2) ^ . f 3^ я 749. 2) 0. 750. 2) arcsin “ 4 arcsin (-1). 751. 2) х = (-1)" ^ + пп, п G Z; 4) X = (-l)""^^ ^ + ппу п G Z. 752. 2) jc = (-1)" arcsin ^ + яп, п g Z; о < 351 Тб я 2я 4)х = (-1)" arcsin -g- + пПу пе Z. 753. 2)х = -~^ + ял, пе Z; 4)х = (-1)” + + 2ял, п е Z; 6) X = - ^ + ^ , п е Z. 754. 2)х = (-1)'*^^ arcsin + ял, пе Z; я ял 4) нет корней. 755. 2) х = -~^ + (-1)”^^ ^ , л е Z. 756. 2) 3 5 4) -^ ; 6) ^ ; 8) 7- 271. 757. 2); 4)-1; 6)-^. 758. 2) |; 4) ^ ; 6)3. 759. 2) ^ . 7 7 я 760. 2) ^ ; 4) 1. 761. 2) g . 762. 2) Да; 4) нет; 6) нет. 763. 2)х= ^ + ял 3 1 Зял я 2ял + , л е Z; 4) JC = (-1)" g arcsin ^ упе Z. 764. 2) jc = ^ , л е Z. 765. 2) JC = (-1)"^^ ^ + ял, JC = (-1)" arcsin ^ + ял, л е Z; 4) jc = (-1)” arcsin ^ + 6+V2 ЯЛ я 5я 13я 17я 14я я _ ^. + , л е Z. 766. 12 ’ 12 ’ 12‘ ^ 772. 2) I ; 4) - ^ . 773. 2) 0; 4) - ^ . 774. 2) arctg \ < arctg 73; 12 ; 6) arctg л/З — arccos л • 775. 2) 1, 4) л , 6) л » 4) arctg (-1) > arcsin я я 776. 2) JC = g + ял, n€Z;4)jc = -;j+ ял, пе Z; 6) х = -arctg 5 + ял, пе Z, пп 5 777. 2) JC = -^ , л G Z; 4) JC = -2я + бял, пе Z. 778. 2) 3,5; 4) -9; 6) ^ ; 8) 2. 779. 2) - ^ ; 4) - ^; 6) |; 8) 0. 780. 2) -0,3; 4) -6. 781. 2) 2; 4) 13 - 4п. 782. 2) JC = ^ + ял, JC = - ^ + ял, л g Z; 4) jc = arctg 4,5 + ял, х = (-1)'*^^ ^ + ял, я 3 з+Тз л G Z; 6) JC = ^ + ял, JC = - 2 я + бял, л g Z. 783. 2) —g— . 784. 2)х^ -1,44 + я 5я Зя я п 5п 2я + ял, пе Z, 785. g,-^.789. 2) ^;4) 3.790. 2) - ; 4) ^ . 791. 2) -3 . 792. 2) л/3.793. 2) ^ . 794. 2) arcctg (-ТЗ) > arcctg (-1); 4) arccos ^ = ^/3 я я 1 = arcctg -3- . 795. 2) х= + ял, ЛGZ;4)JC = -g + ял, пе Z; 6) jc = arctg ^ + я ял Зя + ял, п е Z. 796. 2)jc=g ^--^,ЛGZ. 797. 2) jc = ^ + ял, п е Z. 798. 2) JC = ^ у п е Z. 799. 2) jc = -3 - 3 arctg ^ + Зял, п е Z, 1 я Зя я 800. 2) х = -arctg 3 + ял, х = -~^+ ял, пе Z. 801. 2) jc = - -^ + бял, jc = ^ + я 9я я + ял, л G Z; 4) JC = ±я + 8ял, jc = - 3 + ял, пе Z. 802. 2) ^ . 804. 2)х =-g + 2ял, 352 я 2я X = (-1)” g + яд, п е Z; 4) корней нет. 805. 2) х = 2яд, jc = ± + 2яд, п g Z; 2 2к 4) корней нет. 806. 2) х= (-1)" arcsin ^ + яд, пе Z; 4) х = ±~^ + 2яд, п е Z. 807. 2) JC = - ^ + яд, JC = arctg 4 + яд, пе Z; 4) корней нет. 808. 2) jc = ^ + яд, пе Z; 4)х= ^ +яд,л:=-^ +яд, де Z.809.2)д:=2яд, де Z;4)jc=±^ +2яд, де Z. 810. 2)х= ^ ^ , х= + яд, пе Z. 811. 2)х = arctg ^ + яд, х = arctg ^ + п пп я я + ЯД, де Z. 812.2)jc= 4 + Z.813.2)jc = ±^ +яд, де Z.814.2)jc= ^ + + ^ , д е Z. 815. 2) X = ±^ + яд, п е Z. 816. 2) jc = я + 2яд, jc =±^ + 2яд, д е Z. 817.-23.819.2)jc= ^ + + яд, д е Z; 4) JC = -arctg ^ + яд, д е Z. 820. 2)х = arctg 2 + яд, jc = arctg ^ + яд, 1 я 3 пе Z;4)jc=arctg 2 +яд, Jc = -arctg2^-яд, д е Z.821.2) jc= + яд, jc =-arctg ^ + + яд, д е Z; 4) д: = arctg + тсд, д е Z; 6) корней нет. 822. 2) jc = - ^ + + яд, д: = arctg 3 + яд, д е Z; 4) jc = arctg 3 + яд, jc = -arctg ^ + яд, д е Z; ^ ^/io+l Vio-i 6) JC = ^ + ЯД, JC = arctg 2 + п е Z. 823. а <------------^^ ^ —2— ‘ 824. а < -1, а > 1; JC = arctg (2а ±л/3а^-3 ) + яд, д е Z. 825. 2) jc = ^ + 2яд, 2я я д е Z; 4) JC = 2яд, jc = -^ + 2яд, д е Z. 826. 2) jc = + 2яд, д е Z. 2я 2яд 2яд 12 — -I- . 827. 2) JC = Yg + , JC = g + у п е Z. 828. 2) jc = 3 arcsin + (-1) 24 X 3 arcsin Yg + Зяд, д e Z; 4) jc = -2 arcsin ^ + (-1)” 2 arcsin ^ + 2яд, д e Z. 25 829. ^ ^ • 830. x= 831. 2) x = 2яд, jc = ^ + 2яд, д e Z. 832. 2) | a | > >/3. 833. 2) x = 2яд, jc = 2 + 2яд, д e Z; 4) jc = я + 2яд, jc = 2 + 2яд, д e Z; 6) jc = ^ + + яд, пе Z. 834. x = -^ + яд, jc = 2яд, jc = 2 + 2яд, пе Z, 835. jc = ^ + тсд, n пп n пп n e Z. 836. jc = ±g + у n e Z. 837. x=^-\--2jneZ. 838. x = яд, X - ±arccos + 2яд, ne Z. 839. x = ^ + яд, ne Z. 840. ^ ^ ne Z. 353 841. х= ^ у ns Z. 842. х = 2яд, х = ±^ 2ял, пе Z. 843. х=^ + 2яд, п е Z, 844. х= у пе Z. 845. | а | < 1; если \а \ = ■*" arcsin а + ял. л 1 I I л . JC = - ^ + (-1)” arcsin За + ял; если ^ <|a|f лл л л 3 + , л G Z. 866. 2) JC = 2 + 2ял, л G Z. 867. 2) jc = 2 + 2ял, jc = -arcsin ^ + 2ял, л G Z. 868. 2) JC = ял, л G Z. 869. 2) jc = ^ + 2ял, л g Z; 4) jc = я + 2ял, л g Z. 870. 2) JC = я + 2ял, X = arccos ^ + 2ял, п е Z, 871. 2) х = ял, 2 л 2л JC = (-1)” arcsin 2 + ял, п е Z, 872. 2) jc = 2 + ял, jc = ±-^ + 2ял, п е Z; 354 1 пп п пп я 4)jc=-arctg 2 +2яд, пе Z. 873. 2)х= уХ = ±-^ + , д е Z. 8742)jc= ^ +2лп. Зя л ^ 7я X = -^ + 2кПу JC = “2 + 2яд, ^ “ “3^ ^ “ “3^ ■*" п е Z, 875.2) |^^ + |(Л + 2л), ^ + |(ft-2n)j,A е Z, л€ Z.876.2) |^лл, ^-nnj, ле Z. 877. f(-l)"| + nn, ±^ + 27сл1, л е Z, Л е Z. 878. [^(-1)"^ + 71л,(-1)**‘^ +jtftl ле7,Ае7.879. |^ + л| k+ пЛ п (п 2}-Г\-2 1|,де2,/ге2.880. [ ±^ + я(д + /г), ±^ + я(д-/г)j,дeZ,/гeZ.881. |^д,д + ^j, |^д-^, д j, де Z.882. |^(-l)'^arcsin| + +я(д + 2/г),(-1)'^агс8Ш^ + яд j, п е Zy k е Z, 883. j» n + k + ^yTi-k + ^\ п е Zy kG Z. 884. + VI» n g Zy k e Z, 885. |^^ + (-1)'^^^агс8ш^^ + яд, ^ + (-l)^arcsin^^ + KA j, n g Zy k g Z, 886. f^±|arctg>/5, 2я/г±агссо8^], n g Zy k g Z, 887. + 12 2 ^ + (-1)^ ^ + ЯД j, Д G ZykG Z. 888. x = K + 2кПу jc = ^ + яд, jc = ^ + яд, nG Z, 889. Корней нет. 890. x - яд, jc = + яд, n g Z. 891. x = (-1)” ^ + яд, я 1 Зя nG Z, 892. jc = 2 + 7СД, jc = -arctg 2 ■*" ^^» ^ ^ Z. 893. jc = ± + 2яд, n g Z. 894. jc = 2яд, jc = arcco8 |^~4 j + 2яд, n g Z. 895. jc = 2 + 2яд, ^ = 4 2яд, Зя _ 7я Зя _ я 2яд х= + 2яд, д е Z. 896. 2) - ; 4) ; 6) 0. 897. 2) jc = -2 ± ^ , д е Z; я я 2яд я 1 4) JC = g - 13 у п G Z. 898. 2) JC = 2 + 4яд, д е Z; 4) х= 2 + (-1)” х 1 2 яд я п пп X 2 arc8in g + -^ , д G Z. 899. 2) х = ± ^ + 2яд, JC = -g^--^,ДGZ. 5я пп Зп ,1 900. 2)jc=^ + -^,ДGZ;4)JC=^ + яд, nG Z, 901. 2) jc = (-1)”^^ arcain ^ + 1 V^-3 + яд, д G Z; 4) д: = ±arccos ^ + 2яд, nG Z. 902. 2) х = (-1)" arcain —^— + яд, я я nG Z. 903. 2) х= - ^ + яд, JC = arctg 1,5 + яд, д g Z; 4) jc = ^ + яд, п g Z, 1 5 яд яд 904. 2) JC = - 2 arctg 4 + » п g Z. 905. 2) Корней нет. 906. 2) х = , 355 КП КП к КП 11 п е Z. 907. 2)х=-^,х=~2уХ=^ + , п g Z. 908. 2) g ; 4) 2 ; 6) 1. 12 1 я 1 909. 2) - ^ ; 4) - 2 ; 6) - g . 910. 2) х = ^ + яд, jc = arctg 2 ^ ^ 911. 2) JC = яд, X = arctg 3 + яд, д е Z; 4) jc = ? + яд, п е Z. 912. 2) х X arccos 15-n/I13 8 + кпу д е Z. 913. 2) х = (-1)" ^ , д е Z. 914. 2) х = 2я 1 = ±-^ + 2яд, д е Z. 915. 2) jc = arctg 2 + л: = -arctg 2 + яд, д е Z. 916. 2) JC = ^ + яд, д G Z. 917. 2) JC = яд, jc = ± ^ + 2яд, д е Z. 918. 2) jc = (-1)”х я яд ^ ^ X J2 + ^ 2) JC = яд, JC = ± ^ + яд, д G Z; 4) JC = ^ + 2яд, = - ^ + 22 2яд ^ я 2я + ^ ^ Z, 920. 2) х = яд, д G Z; 4) jc = 2 + ^ ^тсд, п е Z; яд 2я 6) JC = ^ + яд, X = (-1)” ^ + яд, д е Z. 921. 2) х = у , х = ± + 2яд, п е Z; я 2яд 2я я яд 4) X = 2яд, X = g + yUeZ. 922. х = ±-^ + 2яд, х = ^ + “2“ , х = (-lf‘ + яд я яд яд + -^ , д G Z. 923. X = 2 + 7СД, х = у п G Z, 924. х = -^ , д е Z. 925. х = п пп я 1 = (-1)” д + -у , д G Z. 926. X = о + яд, X = arcsin 7 + (2д + 1)я, п е Z. 927. ^ + яд, X = 2яд, л: = ^ + яд, д е Z. 928. 2) + я(/г +д), я я ^ ^ ^ Z, д е Z. 929. 2) (-1)'^arcsin+яд, . 2 о I о 4 (-1)^^ ^ arcsin ^ ^ я яд у k G Zy п G Z, 930. X = яд, X=^^--^,ДGZ. 931. X = + яд, X = (-1)"^^ ^ f ^ , X = яд, д G Z. 932. 2) х = + яд, д g Z; я я 4) X = ± g + яд, д G Z; 6) корней нет. 933. 2) х = - 2 + 2яд, д g Z; 4) корней я я яд я нет. 934. X = ±Q + яд, п е Z, 935. х = ^ , х = (-1)" g + яд, п е Z, 356 936. X = + ~2 у п G Z. 937. X = arctg 2 + 2тсд, х = -arctg 2 + пп, п е Z. 938.х= ^ ^ , пе Z. 939. 2) |^^(6л + 1), |^|(6л-1), ^(6ft + l)j, п е Zy k е Z. 940. jg < а < 1. Проверь себя! (гл. VI) 1. sin а = I, tg а = , cos 2а = . 2. 1) -^ ; 2) ^ ; 3) ^/3; 4) -у . 4.1) sin а cos |3; 2) cos 2а ; 3) cos (а - Р). Проверь себя! (гл. VII) 1.1)0; 2) ^;3) /3;4) ^.2.1)л:= J +nn,neZ; 2)х = ±^ +2пп, __ л V ^ А \ ^ TZ71 Л е Z; 3) X = ± 2 + ял, пе Z; А) х = кп, х = ^ , п g Z; 5) х = ял, л е Z. Глава VIII 945. 1) 5п; 2) у; 3) 2п; 4) л. 946. 1) 2л; 2) 2л. 949. 1) [o;|j . ; 2) я^ Зя 2’“2_ ’ 7л ;2л]; 3) 4) , [-f;-" Г 7л) Г 8л) ; 3)sin I--g I < sin -у I; 950. 1) sin Iq > sin ; 2) sin > sin -y 4) sin [ j > sin j; 5) sin 3 > sin 4; 6) sin 7 > sin 6; 7) sin (-3) > sin (-2); я 5я 13я 17я я 8) sin (-1) > sin (-1,5). 951. 1) g < д: < у , у < jc < -g-; 2) 0 < х < ^ , Зя 9я 11я 7я 11я 4я 5я у < д: < у, -у < JC < Зя; 3) о < д: < у , < л: < Зя; 4) у < дс < у . я я 9я 9я^я 5я я Зя 952.1) sin g < cos g ; 2) sin у > cos -у; 3) sin ^ > cos ; 4) sin g < cos ^ . 357 Зя 17я 13я 5я 7я 11я 953. 1) Q ^ ДС ^ 19’ 19 ^”^^19’ 19 ^ X ^ К1 12 ’ 12 Зя 11я 10я 5я 4я я 2я 12’ 12 7я 8я 2^^^ 9’ 9“^*^ 9’ 9‘^*^9’9‘^*^9’9‘^*^''’ к Зя Зя у/2 у/2 3) 2 < д:< л;4)—^<л:<-^.955.1)0<г/<1;2)-^ <у< ^ ;3)-Ку<1; я Зя [2 = "J "=т]:2) [-1:о]. [о:|];3)[0; я]. [п;Щ; 4) -1 < 1/< 1. 960. 1) я] я 8я 8я 10я ( 6я^ 4) [-я; 0], р» 2 г 7 ^ “д"» 2) cos ^ < cos ~y~ ; 3) cos I I < < cos [“^JJ 4) cos [“^] < cos [-^ ]; 5) cosl > cos 3; 6) cos 4 < cos 5. я 5я 7я 2я 4я 962.1)0 0; 6) X < -1, X > 1. 964. 1) О < i/ < 2; 2)0 sin ^ ; Зя я 5я > cos -g-; 5) cos g < sin ^ ; 5я 7я Зя <^< ~б ’ ~б ^ ^ ^ 1 n/2 ^ я я ; 3) cos 5я 5я Зя 2) sin у < cos у -g sin Зя я 10.966. 1)-2 < Я ] ^<“6’ 1 ^ я я 7я Зя 5я 17я »-l2' 12 ’ 12 ^ л:< т < дс< 12 <у < ^ . 969.1) JC€ R;2)x = 2пп, л е 2; 3)-^ + 2ял < дс< ^ + 2кп, п€ Z; 4) - ^ + 2яд < JC < ^ + 2кпу п е Z; 5) 2кп < х <п + 2яд, д е Z; 6) - ^ + 2кп < я п п пп < JC < 2 + 2яд, пе Z. 970.1) хФ кпу х Ф (-1)'* g + кпу п е Z; 2) х Ф ~2 ' п е Z; 3) хфппу X Ф ^ пе Z;4) хФ ^ +кпу пе Z. 971.1)-1<у<3; 4 ^ 2)-1 < г/< 1; 3) 2 < г/< i: 4) 1 < г/< 19; 5)-1 < г/< 1; 6)-л/З < у < ^/з. 358 6я “6 ’ 977. 1) tg 15° < tg 25°; 2) tg (-80°) < tg (-50°); 3) tg J > tg 4) tg ^ > tg ^; 5) tg 2 < tg 3; 6) tg 1 < tg 1,5; 7) tg (-1) > tg (-1,5); 8) tg (-2) > tg (-3). 978. 1) ctg 35° > ctg 67°; 2) ctg 95° > ctg 117°; 3) ctg j > ctg у ; 4) ctg j < ctg ^ ; 5) ctg 1,2 > ctg 1,5; 6) ctg 2 > > ctg 3. 979. 1) Да; 2) да; 3) нет; 4) нет; 5) нет; 6) нет; 7) да; 8) да. Зя я 5я Зя 5я я 980.1) ^ < 2’4^^^2’ 4 ^ 2’^^ к^х < 0, я 7я Зя « ^ я я я 2 X 0 » 2 ^ 2я; 3) — g ^ ^ ^ ~ ^ ^ 2 ~5Г * о я 2я Зя 5я Зя Зя 7я Т’ т ^ ^ ^ т 5я 4)-я< ^^~2’~3 ^ 2’ ^ ^ х<2к. 981.1) 0 < jc < ; Зя ^ я я я Зя я я 2)O -1; 3) г/ < 0; 4) г/ < -1. 989. 1) п + 2пп < < х<2к-\- 2яд, пе Z; 2) 2пп < jc < я + 2яд, д е Z; 3) jc е Д; 4) jc е Д; 5) решений нет; 6) решений нет; 7) jc = + 2яд, п g Z; S) х = -^ + 2яд, п е Z, 4я 5я я Зя 990. 1) -0 + 2яд ^ ^ ^ 2яд, п G Z; 2) -^ + 2пп < х< -^ + 2яд, п е Z; 2я Зя 359 п 7к 7п п 3) - g + 2пп < X < + 2пПу п е Z; 4) + 2пп < х < ^ 2пп, п е Z, 991.1) ^ + 2ял < JC < ^ + 2кпу л е Z; 2) - ^ + 2кп < jc < ^ + 2кп, п е Z; 3) JC е R; 4) X е R; 5) решений нет; 6) решений нет; 7) jc = 2пп, ns Z;S)x = n-\- 3т1 5т1 я я + 2я/г, пе Z, 992. 1) + 2яд < jc < -^ + 2яд, п g Z; 2) - ^ + 2яд < jc < ^ + 5я 2я 2я + 2кп, д G Z; 3) 2 + 2яд < х < + 2пп, п g Z; 4) + 2пп < х < -\- 1 1 + 2яд, п G Z; 5) (2к + 1)я - arccos 3 < ^ ^ (2я - 1)я + arccos ^ , д е Z; 6) -arccos ^ + 2яд < jc < arccos ^ + 2яд, п g Z. 993. 1) ^ +яд< х <п-\- яд. я я я я д е Z; 2) яд < JC < о + яд, д е Z; 3) - + яд < х< « + тсд, д е Z; 4) ^ + яд < 2 4 я я Зя Зя Зя < х< о + яд, д G Z; 5) о + яд < JC < + яд, д е Z; 6) + яд < jc < + яд. я я д е Z; 7) - 2 + яд < jc < arctg 3 + яд, д е Z; 8) -arctg 2 + яд<дс:< 2 + 5я 13я п G Z, 994. 1) ^ + яд < JC < + яд, ДGZ;2)2^-яд / f2\ > arcsin f 2) f 3) 1 2 ; 4) arcsin “ 3 I > arcsin “4 I* 1002.1) arccos ^ < arccos ij ; 1 1 ( L /II ( 2) arccos ^ < arccos ; 3) arccos I - ^ I > arccos I у 5 I; 4) arccos "sP > arccos j* 1003. 1) arctg ^ > arctg ^ ; 2) arctg 2 л/З < arctg 3 V2; 3) arctg(-3Vi )> arctg(-4>/3); 4) arctg j < arctg j* ^004. l)x=^; = ^^ ;S)x = 2-2yf2 ; 4) jc =-3 - л/З . 1005. 1) x =; 2) x =; 2)x 5) x = -~; 4)x = -l.l(m.l)x = l-4yl3;2)x = l;3)x = -^^^; 4)x = l, 1007.1)-^ < jc <1;2)1 < jc <5;3)1< jc<2;4) i < jc <1;5)0< jc <9; 6) 1 < jc < 4; 7) 0 < jc < 1; 8) -2 < jc < -1, 1 < JC <2. 1009. 1) x g R; к к к 2) x^ 2 ^ e 3) 2яд < x< K-h 2кп, hg Z; 4)-2 + 2кп < x < 2 3^^» к к п G Z; Ъ) X Ф (-l)”g + КП, п G Z; 6) X Ф кп, х Ф (-1)”^ + кп, hgZ, 1010.1)-1< I/ <1;2)-1< I/ <1;3)1< I/ <3;4)5< I/ <7;5)3<1/< 5; 6) -4 < у < -2. 1011. 1) Четная; 2) нечетная; 3) четная; 4) не является 2л 5л 7л 17л четной и не является нечетной. 1012. 1) ; 2) 14л. 1013. 1) у к 2л 7л 8л л 7л 13л 4л 3 ’ ^ ^ ’ ~3 * 6 ’ ^ ’ ~6^ * 1014. 1) -2л < X < - ~2 ; 2) 11л 7л Зл < JC < -; 3) -2л< х<-~2 уarctg 2 < jc<-л; 4) arctg 2 “ 2л < Зл оя л КП я <х<-~2 • 1015.1) Два; 2)один. 1016.1)хФ ^ у hg Z; 2)кп<х < 2 +пп, к ПК к п G Z; 3) X G R; 4) « кп < х < « + “о п g Z, 361 1017. 1) 1 и -1; 2) 2 и - 2 ; 3) 1 и -1; 4) 1 и -2. 1018. 1) Нечетная; 2) четная; 3) четная; 4) нечетная. 1019.1) к; 2) 4я. 1020.1) Два; 2) корней нет. 1021. 1) х = пп, х = ^ + 2ппу п е Z; 2) X = 2кп, jc = ^ + яд, п е Z; 3) х = яд. я яд 18 “3“ 2яд "З" 2я “З 2я “З я Зя + 2яд, ' 4 + пл, п G Z. 2яд < X Зя < Т + 2яд, п е Z. я яд я яд i ^ т <х< 8 "2 у п е Z, 1026. 1) -13 < I/ < 13; 2) -1 < I/ < ^ ; 3) - 2 < I/ < 2 ’ ^ ^ ^ 5я 1027. 1)4+ 2яд < JC < + 2яд, д е Z; 2) яд < jc < 2 + Д е Z; 3) - ^2 + 17 2я + 2яд < X < J2 2яд, д G Z; 4) + 2яд < jc < (1 + д)2я, п g Z. 1028. 1) 0 + 5я я 2я + яд, д G Z; 2) 2 + яд < < ^/2;4)-^/5 < зс<-^/3, 'М < х< -Л 5я Я 2я ^ r?i + ЯД < JC < + яд, ДGZ;2)2 +яд < д е Z; 3) - V2 < jc < Проверь себя! 1. X Ф ^ ^ у п G Z\ нет, не является. 2. Для синуса: у{х) = 1 при я я Зя = 2 » ^ “ 2 ’ Т ’ ^ ^ ^ ^ ^ о < JC < я, ^jc) < О при -я< JC < О, я < JC < 2я, отрезки возрастания - ^ < jc < ^, Зя я я Зя < JC < 2я, отрезки убывания -я<дс:<-2» 2 косинуса: у(х) = 1 при л: = 0; 2я, у(х) = -1 при л: = ±я, у(х) = О при л: = -1^ ^ , я я Зя я я Зя 1/(JC) > о при - 2<лс<2»^"^^"^2я, 1/(JC) < О при ~7C0 при я я я я -я<дс:<-2»0<дс:< 2* ^’“4 2 Z. ПРИЛОЖЕНИЕ Формулы сокращенного умножения (а ± bf = а^± 2аЬ + -Ь^ = (а- &)(а + Ъ) (а ± Ь)^ = ± За% + ЗаЬ^ ± Ь® ±Ь^ = (а± Ь)(а^ + аЬ + Ь^) Свойства степени а’”' ■ а'^ = o'"'''" ^ -пт-п а" "" (аЬ)^ = /аГ _ \bJ ~~ 1Г Свойства квадратного корня у/аЬ = 4а 4ь, а > О, Ь > О 1а _ 4а Ш=а t а > О, Ь > О Арифметическая прогрессия а„ = Oi + (га - \)d _ Oi + On „ а _ 2о1 + d(ra - 1) Од — 2 ’ On — 2 ' ^ а>п ~ ®п-1 + ®л.1 Геометрическая прогрессия Ъп = Ьх- 9"-^ _ М-<>1 ^ _ feid - я") ^П- 1-q, n + l 363 Таблица квадратов чисел до 30 Десятки 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 Таблица некоторых степеней однозначных чисел Основание Показатель 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 3 9 27 81 243 729 5 25 125 625 3125 6 36 216 1296 7 49 343 Оглавление Предисловие ................................................. 3 Глава 1. Действительные числа. Степень с действительным показателем § 1. Рациональные числа................................... 5 § 2. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ...... 8 § 3. Действительные числа................................ 15 § 4. Арифметический корень натуральной степени........... 18 § 5. Степень с рациональным показателем ................. 25 § 6. Степень с действительным показателем................ 32 Упражнения к главе I........................................ 36 Историческая справка ....................................... 40 Глава и. Показательная функция § 7. Показательная функция, ее свойства и график......... 43 § 8. Показательные уравнения и неравенства............... 51 Упражнения к главе II ...................................... 56 Историческая справка ....................................... 59 Глава Ш. Степенная функция § 9. Степенная функция, ее свойства и график .......... 60 § 10. Взаимно обратные функции........................... 66 § 11. Равносильные уравнения и неравенства............... 71 § 12. Иррациональные уравнения .......................... 77 § 13. Иррациональные неравенства ........................ 81 Упражнения к главе III ..................................... 88 Историческая справка ....................................... 91 Глава IV. Логарифмическая функция § 14. Логарифмы ......................................... 92 § 15. Свойства логарифмов ............................... 96 § 16. Десятичные и натуральные логарифмы. Формула перехода 100 § 17. Логарифмическая функция, ее свойства и график.... 105 § 18. Логарифмические уравнения ........................ 111 § 19. Логарифмические неравенства ...................... 117 365 Упражнения к главе IV...................................... 123 Историческая справка ......................................... 128 Глава V. Системы уравнений § 20. Способ подстановки................................... 131 § 21. Способ сложения...................................... 136 § 22. Решение систем уравнений различными способами .... 141 § 23. Решение задач с помош;ью систем уравнений......... 154 Упражнения к главе V ......................................... 160 Историческая справка ......................................... 164 Глава VI. Тригонометрические формулы § 24. Радианная мера угла............................... 165 § 25. Поворот точки вокруг начала координат............. 168 § 26. Определение синуса, косинуса и тангенса угла...... 174 § 27. Знаки синуса, косинуса и тангенса угла............ 180 § 28. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.................................. 184 § 29. Тригонометрические тождества ........................ 188 § 30. Синус, косинус, тангенс углов а и -а.............. 190 § 31. Формулы сложения .................................... 192 § 32. Синус, косинус и тангенс двойного угла .............. 197 § 33. Синус, косинус и тангенс половинного угла............ 201 § 34. Формулы приведения................................... 205 § 35. Сумма и разность синусов, сумма и разность косинусов ... 211 § 36. Произведение синусов и косинусов ................. 215 Упражнения к главе VI......................................... 216 Историческая справка ......................................... 220 Глава VII. Тригонометрические уравнения § 37. Уравнение cos х = а.................................. 223 § 38. Уравнение sin х = а ................................. 232 § 39. Уравнение tg х = а................................... 243 § 40. Уравнение ctg х = а.................................. 251 § 41. Уравнения, сводяш;иеся к квадратным.................. 256 § 42. Уравнения, однородные относительно sin х и cos х..... 260 § 43. Уравнение, линейное относительно sin х и cos х....... 262 § 44. Решение уравнений методом замены неизвестного ....... 266 § 45. Решение уравнений методом разложения на множители ... 270 § 46. Различные приемы решения тригонометрических уравнений 274 § 47. Уравнения, содержащие корни и модули ............. 278 § 48. Системы тригонометрических уравнений................. 281 § 49. Появление посторонних корней и потеря корней тригонометрического уравнения.......................... 285 Упражнения к главе VII........................................ 292 Историческая справка ......................................... 296 366 Глава VIII. Тригонометрические функции § 50. Периодичность тригонометрических функций............... 297 § 51. Функция I/= sin JC, ее свойства и график .............. 301 § 52. Функция у = cos jc, ее свойства и график .............. 309 § 53. Функции I/= tg JC и I/= ctg JC, их свойства и графики . 315 § 54. Тригонометрические неравенства......................... 322 § 55. Обратные тригонометрические функции.................... 330 Упражнения к главе VIII ....................................... 334 Историческая справка .......................................... 336 Ответы ........................................................ 339 Приложение..................................................... 363 Учебное издание Колягин Юрий Михайлович, Сидоров Юрий Викторович, Ткачева Мария Владимировна и др. АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 10 класс УЧЕБНИК для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) Генеральный директор издательства М. И. Безвиконная Главный редактор К. И. Куровский. Редактор Е. В. Смольникова Оформление и художественное редактирование: И, В. Цыцарева Технический редактор И. Л. Ткаченко Корректоры И, Н, Баханова, Л, В. Дьячкова Компьютерная верстка: Т, В, Батракова Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.60.953.Д.003577.04.09 от 06.04.2009. Подписано в печать 30.06.09. Формат 60x90 Vie- Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Уел. печ. л. 23,0. Тираж 25 000 экз. Заказ № 23168 (К-См). Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 6. Тел.: 8(499)367 5418, 367 5627, 367 6781; факс: 8(499) 165 9218. E-mail: [email protected] www.mnemozina.ru Магазин «Мнемозина» (розничная и мелкооптовая продажа книг, «КНИГА — ПОЧТОЙ»). 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 6. Тел./факс: 8 (495) 783 8284; тел.: 8 (495) 783 8285. E-mail: [email protected] Торговый дом «Мнемозина» (оптовая продажа книг). Тел./факс: 8(495)665 6031 (многоканальный). E-mail: [email protected] Отпечатано в ОАО «Смоленский полиграфический комбинат». 214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1. sin^a + cos^a = 1 sin a = ± Vl- cos^a cos a = ± Vl - sin^a tg a + ctg a = 1 l + tg^a = —l+ctg^a= ^ ® cos^a ® sin^a cos (a ± P) = cos a cos p + sin a sin p sin (a ± P) = sin a cos p ± cos a sin p + tgg-tgP 1+tgatgp sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos^a - sin^a tg2a = -^^ 1-tg^a cos==^ = l±^, . ,a 2 2 2 1 - cos a tg 2tt _ 1 - COS a 2 ” 1 + cos a cos x-a x=± arccosa + 2nn, neZ sin X = a X = (-1)”^ arcsin a + nn, neZ tgx = a X - arctga + Tin, ugZ loga (be) = loga b + loga C loga ^ = loga b - loga C o}^Sab_b^ log^b'*= r logab loga^b = loga b = logeb logctt Длгебра И начала математического анализа 10 JlpOCpUXbHbLU уровень 1SBN978-5-346-01315-0. 785346 013150