Алгебра 9 класс Учебник Мордкович Николаев

Учебник кТ ЕЛЬс^. •ь^ в ^ i .л ; ^ ^ Штшт : (м ^ Л\ ^ не W + « - + сч ТЧ в II + HIIIIIIIHI А. Г. Мордкович Н. П. Николаев 9 класс Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 3-е издание, переработанное __ О Москва 2008 УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я721+22.14я721.6 М79 На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/9 от 31.10.2007) и Российской академии образования (№ 01-668/5/7д от 29.10.2007) Мордкович А. Г. М79 Алгебра. 9 кл.: учеб, для учащихся общеобразоват. учреждений/А. Г. Мордкович, Н.П. Николаев.— 3-еизд.,перераб. —М.: Мнемозина, 2008. — 255 с. : ил. ISBN 978-5-346-01030-2 Этот учебник является продолжением аналогичного учебника для 8-го класса. В нем практически полностью реализована действующая государственная программа для классов с углубленным изучением математики в основной школе (включая более сложный и дополнительный материал). Учебник написан в соответствии с общей авторской концепцией, заложенной в учебниках для 7, 8 и 9-го классов общеобразовательных учреждений. Книга поможет учителю организовать предпрофильное обучение школьников, которые в старших классах выберут профильную подготовку по математике. УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я721-Ь22.14я721.6 ISBN 978-5-346-01030-2 «Мнемозина», 2004 «Мнемозина», 2008, с изменениями Оформление. «Мнемозина», 2008 Все права защищены ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ Издательство «Мнемозина» подготовило учебный комплект для изучения курса алгебры в 9-м классе с углубленным изучением математики, состоящий из двух книг: А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев. Алгебра. Учебник. Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов. Алгебра. Задачник. У вас в руках первая часть — учебник. Он адресован не столько специализированным математическим школам или классам, обучающимся по авторским программам, сколько классам с повышенным уровнем математической подготовки в общеобразовательных классах. Этот учебник в значительной мере соответствует нашему учебнику для общеобразовательных учреждений (речь идет о книге А. Г. Мордковича и П. В. Семенова «Алгебра. 9 класс. Часть 1. Учебник». Мнемозина, 2008). В нем реализована та же программа, а отличие состоит в более глубоком изучении соответствующих вопросов курса: слишком простые примеры и рассуждения заменены более сложными и интересными. Добавлен и новый материал: совокупности неравенств, неравенства с модулями, иррациональные неравенства, задачи с параметрами, однородные, симметрические, иррациональные системы уравнений, системы с модулями, метод математической индукции. В учебнике достаточно много примеров с подробными решениями (иногда несколькими способами). На окончание решения указывает либо слово «ответ», либо знак I. На окончание доказательства того или иного рассуждения в необходимых случаях указывает знак #. В некоторых параграфах встречаются тексты, набранные шрифтом меньшего размера. Это материал, несколько выходящий за рамки программы. Изучать его или нет — определяет учитель. в дальнейшем издательство планирует выпустить методическое пособие для учителей, работающих в классах с углубленным изучением математики по предлагаемым учебнику и задачнику и аналогичный учебный комплект для 7-го класса. Комплект из двух учебников для 8 и 9-го классов с углубленным изучением математики (авторы: А. Г. Морд-кович, Н. П. Николаев) и соответствующих двух задачников (авторы: Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов) поможет учителю организовать предпрофильное обучение тех школьников, которые в старших классах выберут математику в качестве предмета, изучаемого на профильном уровне. Авторы ГЛАВА 1 НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ § 1. Рациональные неравенства § 2. Множества и операции над ними § 3. Системы неравенств § 4. Совокупности неравенств § 5. Неравенства с модулями § 6. Иррациональные неравенства § 7. Задачи с параметрами § 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА в курсе алгебры 8-го класса вы встречались с частными случаями рациональных неравенств — линейными и квадратными неравенствами с одной переменной (ниже, в примерах 1—4, мы напомним, как решают такие неравенства). Вообще рациональным неравенством с одной переменной называют неравенство вида h(x) > q(x), где h(x) и q(x) — рациональные выражения, т. е. выражения, составленные из чисел и переменной х с помощью операций сложения, умножения, деления и возведения в натуральную степень (разумеется, переменная может быть обозначена любой другой буквой). Прежде чем говорить о приемах решения рациональных неравенств, напомним некоторые термины. Значение переменной х, которюе обращает неравенство h(x) > qix) В верное числовое неравенство, называют решением неравенства (или частным решением). Множество всех частных решений неравенства называют общим решением (или просто решением) неравенства. Как видите, термин «решение» употребляют и в смысле общего, и в смысле частного решения неравенства. Более того, сам процесс поиска решений неравенства тоже называют решением неравенства. Обычно по тексту бывает ясно, какой смысл вкладывается в слово «решение». Неравенства f(x) < g(x) и г(х) < s(x) называют равносильными, если они имеют одинаковые решения (или оба не имеют решений). НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Обычно при решении стараются заменить неравенство более простым равносильным ему неравенством. Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства. Правила, по которым это можно сделать, указаны ниже. ( Правило 1. Любой член неравенства можно перенес- ^ ти из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не меняя при этом знака нера-^ венства._______________________________________^ Например, неравенство Зл: + 5 < равносильно неравенству -х^ + Зл: + 5 < 0: член перенесли из правой части неравенства в левую с противоположным знаком. Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знака неравенства. Например, неравенство 8л: - 4 > 12л:^ равносильно неравенству 2л: - 1 > Зл:^: обе части первого неравенства разделили на положительное число 4. Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный (< на >, < на >). Например, неравенство -2л:^ - Зл: + 1 < 0 равносильно неравенству 2л:^ + Зл: - 1 > 0: обе части неравенства умножили на отрицательное число -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный. Замечание 1. Слово «можно» в формулировках правил 1—3 означает, что после выполнения указанных преобразований получится неравенство, равносильное данному. Правила 2 и 3 допускают следующие обобщения (соответствующие утверждения представляют собой теоремы, которые мы для удобства оформим в виде правил). Правило 2*. Если обе части неравенства с переменной X умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), положительное при всех значениях х, и сохранить знак исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному. НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Правило 3*. Если обе части неравенства с переменной X умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), отрицательное при всех значениях х, и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное исходному. Например, неравенство (2х + 1)(х^ + 2) > О равносильно неравенству 2л: -f- 1 > 0: обе части исходного неравенства разделили на выражение л:^ -f- 2, положительное при любых значениях х; при этом знак исходного неравенства сохраняется. Неравенство ^^4 > 0 равносильно неравенству Зл: - 4 < 0: обе части исходного неравенства умножили на выражение -л:^ - 1, отрицательное при любых значениях х; при этом знак исходного неравенства изменили на противоположный. Докажем теорему, составляющую содержание правила 2*. Дано неравенство h(x) > q(x); (1) умножим обе его части на выражение р(х), положительное при всех значениях х, и рассмотрим неравенство Цх)р(х) > q(x)p(x). (2) Докажем, что неравенства (1) и (2) равносильны. Пусть X = а — частное решение неравенства (1), тогда h(a) > > q(a) — верное числовое неравенство. По условию выражение р(х) положительно при всех значениях X, следовательно, р(а) > 0. Если обе части числового неравенства h(a) > q(a) умножить на положительное число р(а), то получится h(a)p(a) > q(a)p(a) — верное числовое неравенство. Это значит, что X = а — частное решение неравенства (2). Пусть теперь х = Ь — частное решение неравенства (2), тогда h(b)p(b) > qib)p(b) — верное числовое неравенство. Но р{Ь) > 0, значит, обе части числового неравенства h(b)p(b) > q(b)p(b) можно разделить на р(Ь), сохранив знак неравенства. В результате получится h(b) > q(b) — верное числовое неравенство, т.е. х = Ь — частное решение неравенства (1). Итак, любое частное решение неравенства (1) является в то же время частным решением неравенства (2) и, наоборот, — любое частное решение неравенства (2) является частным решением неравенства (1). Это означает, что множества частных решений. НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ т. е. общие решения обоих неравенств, совпадают. Следовательно, неравенства (1) и (2) равносильны. • Все остальные правила доказываются аналогично. Y 2jc___X X Пример 1. Решить неравенство — + —-— > 2х - о 5 15 Решение. Воспользуемся правилом 2: умножим обе части неравенства на положительное число Х5, оставив знак неравенства без изменения. Это преобразование позволит нам освободиться от знаменателей: 2х 5х + 3(2jc - X) > 30jc - X; ХХл: - 3 > 30jc - X. Последнее неравенство равносильно исходному. Воспользовавшись правилом X решения неравенств, перенесем член 30л: из правой части неравенства в левую, а член -3 — из левой части в правую, поменяв при этом их знаки на противоположные: ХХл: - 30л: > -X -f- 3; -Х9л: > 2. 2 Наконец, применив правило 3, получим: х < -jg Ответ: X < , или Пример 2. Решить неравенство Зл: -I- 9 < 2л:^. Решение. Воспользовавшись правилом X, преобразуем неравенство к виду -2л:^ -f- Зл: -f- 9 < 0. Найдем корни квадратного трехчлена -2л:^ -I- Зл: -I- 9, решив квадратное уравнение -2л:^ -f- Зл: -f- 9 = 0: л:х = 3, л:г = -1,5. Парабола, служащая графиком функции у = -2х^ -I- Зл: -f- 9, пересекает ось х в точках 3 и -Х,5, а ветви параболы направлены вниз, поскольку старший коэффициент квадратного трехчлена равен -2, т. е. является отрицательным числом. На рис. 1 схематически изображен график функции. Как видите, ось у не обозначена, поскольку для ответа на вопрос задачи нам не надо знать точ-Рис. 1 ного ее расположения. Мы восполь- 8 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ зуемся лишь тем, что ^ < О в нижней полуплоскости относительно оси X. Итак, ^ < О на открытом луче (-оо; -1,5) или на открытом луче (3; +оо). Ответ: х < -1,5; л: > 3. Полезно вспомнить два утверждения, которые были доказаны в курсе алгебры 8-го класса. 1. Если квадратный трехчлен ах^ Ьх с не имеет корней (т.е. его дискриминант — отрицательное число) и при этом а > О, то при всех значениях х выполняется неравенство ах^ + Ьл: + с > 0. Иными словами, если П < О, а > О, то неравенство ах'^ Ъх -\--I- с > О выполняется при всех значениях л:, а неравенство ах^ -f-bjc-f--I- с < О в этом случае не имеет решений. 2. Если квадратный трехчлен ах^ + Ъх с не имеет корней (т. е. его дискриминант — отрицательное число) и при этом а < О, то при всех значениях х выполняется неравенство ах^ Ьх с < 0. Иными словами, если Z) < О, а < О, то неравенство ах^ Ьх -\--I- с < О выполняется при всех значениях х, а неравенство ах^ -\-Ьх-\-+ с > О в этом случае не имеет решений. Эти утверждения — частные случаи следующей теоремы. Теорема. Квадратный трехчлен ах^ + Ъх + с с отрицательным дискриминантом при всех значениях х имеет знак старшего коэффициента а. Пример 3. Решить неравенство: а) 2л:2 - л: + 4 > 0; б) -х^ Зх - 8 > 0. Решение, а) Дискриминант D квадратного трехчлена 2х^ -- X 4 равен (-1)^ -4-2*4 = -31, т. е. D < 0. Старший коэффициент трехчлена (число 2) положителен. Значит, по теореме при всех значениях х выполняется неравенство 2х^ -л: + 4>0, т.е. решением заданного неравенства служит вся числовая прямая (-оо; +оо). б) Дискриминант D квадратного трехчлена -х^ + Зл: - 8 равен 32 - 4 . _ -23, т. е. D < 0. Старший коэффициент трехчлена (число -1) отрицателен. Следовательно, по теореме при всех значениях х выполняется неравенство -х^ + 3jc - 8 < 0. Это 1 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ 2 4 Рис. 2 значит, что заданное неравенство -х^ + 3jc - 8 > О не выполняется ни при каком значении х, т. е. оно не имеет решений. Ответ: а) (-оо; +оо); б) нет решений. Следующий пример напомнит еще один способ рассуждений при решении неравенств. Пример 4. Решить неравенство - 6л: + 8 > 0. Решение. Разложим квадратный трехчлен л:^ - 6л: + 8 на множители. Корнями трехчлена являются числа 2 и 4. Воспользовавшись формулой ах^ + Ьх + с = а(х - Xi)(x - Хг), получим: л:2 - 6л: + 8 = (л: - 2)(л: - 4). + - + Отметим на числовой прямой кор- ^ ни трехчлена (рис. 2). Выясним, когда произведение (х - 2)(х - 4) положительно, а когда — отрицательно. Если л:>4, тол:-2>0ил:-4>0, значит, (л: - 2)(л: - 4) > 0. Если 2<л:<4, тол:-2>0, ал:-4<0, значит, (л: - 2Хл: - 4) < 0. Если л:<2, тол:-2<0ил:-4<0, а потому (л: - 2)(л: - 4) > 0. Нам нужно ответить на вопрос: при каких значениях переменной X квадратный трехчлен л:^ - 6л: + 8 принимает положительные значения. С помощью геометрической иллюстрации, представленной на рис. 2, делаем вывод: указанный квадратный трехчлен принимает положительные значения на двух открытых лучах (-оо; 2) и (4; -f-oo). Ответ: л: < 2; л: > 4. Метод рассуждений, который мы применили в примере 4, называют обычно методом интервалов (или методом промежутков). Он активно используется в математике при решении рациональных неравенств. Используя его, обычно преобразуют заданное рациональное неравенство к виду f{x) > 0, где f(x) — алгебраическая дробь или многочлен. Далее раскладывают числитель и знаменатель дроби на множители вида х - а (если, конечно, это возможно) и рассуждают, как в примере 4. Пример 5. Решить неравенство (л: - 1)(л: + 1)(л: - 2) > 0. Решение. Рассмотрим многочлен fix) = (х- 1)(х + 1)(х - 2). 10 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ -1 Рис. 3 Рис. 4 -1 1x2 ^ Рис. 5 Он обращается в О в точках 1, -1, 2; отметим эти точки на числовой прямой (рис. 3). Числовая прямая разбивается указанными точками на четыре промежутка, на каждом из которых f(x) сохраняет постоянный знак. Проверим это утверждение (для каждого из указанных промежутков в отдельности). Возьмем произвольную точку х из промежутка (2; +оо). Она расположена на числовой прямой правее точки 2. Это значит, что X > -1, X > 1, X > 2 (рис. 4). Но тогда л: + 1>0, jc-l>0, л:-2>0 и f(x) > о (как произведение трех положительных чисел). Итак, на всем промежутке (2; +оо) выполняется неравенство f(x) > 0. Пусть теперь произвольная точка х лежит в интервале (1; 2), т. е. расположена на числовой прямой правее точки 1, но левее точки 2. Значит, х > -1, х > 1 и х < 2 (рис. 5), а потому л: + 1 > 0, л:-1>0, л:-2< о и f(x) о (как произведение двух полояси-тельных и одного отрицательного чисел). Итак, на всем промежутке (1; 2) выполняется неравенство f(x) < 0. Аналогично на всем промежутке (-1; 1) выполняется неравенство f(x) > о (рис. 6), а на промежутке (-оо; -1) — неравенство fix) > о (рис. 7). Подведем итоги. Знаки многочлена f(x) в выделенных промежутках таковы, как показано на рис. 8. Нас интересуют те промежутки. -1 1 Рис. 6 -1 1 Рис. 7 Jllllllllllll^ 1 2 Рис. 8 11 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ на которых выполняется неравенство f{x) > 0. Оно выполняется на интервале (-1; 1) и на открытом луче (2; +оо). Ответ: -1 < х < х > 2. Пример в. Решить неравенство (X - 1)(х + 1)(х - 2) < 0. Решение. Воспользуемся геометрической иллюстрацией предыдущего примера (см. рис. 8), но внесем в нее два изменения. Во-первых, поскольку нас интересует, при каких значениях х выпол-^ ^ няется неравенство f(x) < 0, нам при- 1111111111111111Ц ^ дется выбрать промежутки (-оо; -1) -I I 2 л: и (1; 2). Во-вторых, нас устраивают Рис. 9 и те точки, в которых выполняется равенство f(x) = 0. Это точки -1, 1, 2, отметим их на рисунке темными кружочками. На рис. 9 представлена геометрическая иллюстрация решения, от которой нетрудно перейти к аналитической записи. Ответ: х < -1; 1 < х < 2. Пример 7. Решить неравенство х^ - X < 0. - 5д: - 6 Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель алгебраической дроби. В числителе получаем х^ - X = х(х - 1). Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен х^ -- 5л: - 6, содержащийся в знаменателе дроби, найдем его корни: Xi = -1 у Х2 = 6. Значит, х^- 5х-6 = (х+ 1)(х - 6). Таким образом, мы преобразовали заданное неравенство к виду (X + 1)(д; - 6) Рассмотрим выражение f(jc)___£(£Ll1)_. Числитель этой дроби обращается в 0 в точках 0 и 1, а знаменатель обращается в 0 в точках -1 и 6. Отметим их на числовой прямой (рис. 10), которая разбивается указанными точками на пять промежутков, причем на каждом промежутке выражение f(x) 12 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ -1 6 Рис. 10 сохраняет свой знак. Знаки указаны на рис. 10, они определяются аналогично тому, как это было сделано в примере 5. Нас интересует, где выполняется неравенство f(x) < 0. С помощью полученной иллюстрации устанавливаем, что f(x) < 0 на интервале (-1; 0) и на интервале (1; 6). Ответ: -1 < л: < 0; 1 < л: < 6. Пример 8. Решить неравенство - 5лс 4- 4 ^х^ - X-2 > 1. Решение. 6д:2 - 5д: + 4 - 1 > 0; Qx^ - X-2 6д:2 - 5д: + 4 - 6д:2 + д: + 2 бд:^ - д: - 2 -4д: + б >0; > 0. бд:2 - д: - 2 Как показывает опыт, если в правой части неравенства содержится только число о, удобнее проводить рассуждения в случае, когда в левой его части и числитель, и знаменатель дроби имеют положительные старшие коэффициенты. Умножив обе части неравенства на -1 и изменив при этом знак неравенства на противоположный, получим равносильное ему неравенство -X-2 ^ Далее разложим числитель и знаменатель алгебраической 4лс - б дроби на множители. Числитель запишем так блс^ - X - 2 Чтобы разложить на множители содержащийся в знаменателе дроби квадратный трехчлен бд:^ - д: - 2, найдем его корни: ДГ1 = д, Х2= -2* Значит, 6х^-дс-2 = б(дс-|)(дс + 1) (мы снова, как и в примере 7, воспользовались формулой разложения на множители квадратного трехчлена). 13 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Тем самым заданное неравенство приобрело вид 4»-|) -1)(* * I) Рассмотрим выражение < 0. т = ф-|)(^4) Числитель этой дроби обращается в 0 в точке а знамена-2 1 тель — в точках ^ и Отметим их на числовой прямой (рис. 11), которая разбивается указанными точками на четыре промежутка, + -о—-о- 2 3 3 2 Рис. 11 11111111Щ miiiiiiiiii 2 3 3 2 Рис. 12 причем на каждом промежутке выражение f(x) сохраняет знак. Нас интересуют те промежутки, на которых выполняется неравенство f(x) < 0, они заштрихованы на рис. 12. По условию нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f(x) = 0. Такая точка только одна — это точка л: = I (она отмечена темным кружочком), поскольку лишь при этом значении числитель дроби f(x) обращается в нуль. Таким образом, на рис. 12 представлена полная иллюстрация решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи. ^ 12/3 Ответ: х < 3 ^ ^ 2’ Во всех рассмотренных примерах мы преобразовывали заданное неравенство в равносильное ему неравенство вида f(x) > 0 или f(x) < о, где (X - а)(х - Ь) (X - с)(х - d) (количество множителей в числителе и знаменателе дроби может быть любым). Затем отмечали на числовой прямой точки а, Ь, с, d fix) = 14 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Рис. 13 и определяли знаки выражения f(x) на выделенных промежутках. Обратите внимание, что знаки выражения f(x) чередуются (рис. 13). Это чередование удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой, она показана на рис. 14. На тех промежутках, где эта кривая (ее иногда называют кривой знаков) расположена выше оси Ху выполняется неравенство f(x) > 0; на тех промежутках, где эта кривая расположена ниже оси х, выполняется неравенство т < 0. Пример 9. Решить неравенство д:" - 1х {2х + 3)(3д: - 8) > 0. Решение. Преобразуем данное неравенство к виду х{х^ - 7) Ф^|)Ф-|) > о > 0. и далее умножим обе части неравенства на 6: х{х - ^){х + ^/7) Чтобы воспользоваться методом интервалов, отметим на числовой прямой точки о, л/7, -л/т (в этих точках числитель дроби обращается в нуль) и точки и ^ (в этих точках знаменатель дроби обращается в нуль). Обычно точки отмечают схематически, учитывая порядок их следования (какая — правее, какая — левее) и не особенно обращают внимание на соблюдение масштаба. 15 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Ясно, что -л/т < <0. Что касается чисел >/? и f, то >/? « 2,65, а g ~ 2,67, значит, ^ 3 Итак, -л/7 < -^ < о < Тт < |. 2 3 т = Отметим эти точки в указанном порядке на числовой прямой (рис. 15). Расставим знаки выражения х{х - У7)(аг + л/7) (-!)(«-!) на полученных промежутках: на самом правом ставим знак +, а далее знаки чередуются (рис. 16). Выделим штриховкой те промежутки, на которых выполняется интересующее нас неравенство т > о (рис. 17). Учтем, наконец, что речь идет о нестрогом неравенстве f(x) > 0, значит, нас интересуют и те точки, в которых выражение f(x) обращается в нуль. Это корни числителя дроби f(x)y т. е. точки о, V7 и -V7 ; отметим их на числовой прямой (см. рис. 17) темными кружочками. Вот теперь рис. 17 дает полное представление о решении заданного неравенства. Ответ: -V7 < х < 0<л:<л/7; х > 2 о о— -V7 —о— 3 2 0 Рис. 15 —О— -О ^ 8 ^ 3 -1- + + 3 2 0 Рис. 16 8 3 + -1- - + и НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Обращаем ваше внимание на то, что встречаются рациональные неравенства, при решении которых метод интервалов следует применять с осторожностью и некоторыми поправками. Проиллюстрируем это заключительными примерами параграфа. Пример 10. Решить неравенство (х - 1)"(х + 2) < 0. Решение. Рассмотрим выражение f(x) = (х - 1)^(ж + 2), отметим точки 1 и -2 на числовой прямой и определим знаки f(x) на каждом из трех полученных промежутков. Если X Е (1; 1), т. е. л: > 1, то (л: - 1)^ > о, л: + 2 > 0. Значит, выполняется неравенство f(x) > 0. Если X Е (-2; -1-оо), т. е. -2 < л: < 1, то (л: - 1)^ > о, л: + 2 > 0. Значит, выполняется неравенство f(x) > 0. Если X Е (-оо; -2), т. е. л: < -2, то (л: - 1)^ > о, л: + 2 < 0. Значит, выполняется неравенство f(x) < 0. Изменение знаков выражения f(x) показано на рис. 18. Нас интересует случай, когда f(x) < 0; выбираем открытый луч (-оо; -2). Ответ: х < -2. Замечание 2. Если бы заданное в примере 10 неравенство было нестрогим, т. е. имело вид {х - 1)\х + 2) < 0, то геометрическая модель решения изменилась бы: точки 1 и -2 следовало бы отметить закрашенными кружочками и включить в ответ (рис. 19). Решение неравенства имело бы тогда следующий вид: х < -2; х = 1. В только что разобранном примере 10 не было того чередования знаков, на которое мы обращали внимание ранее, а потому и «кривую знаков» здесь чертить не _ _|_ стоит. Привычная картина нарушена из-за того, что в выражении f(x) фигурирует множитель (х - 1)^, из-за него при переходе через точку х = 1 знак выражения не меняется. Так же обстоит дело с любыми множителями вида (х - аУ, где п — четное число. -2 1 Рис. 18 Рис. 19 17 1 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Если же в выражении содержится множитель вида (х - аУ, где п — нечетное число, то при переходе через точку х = а знак выражения меняется. Советуем вам в подобных случаях не чертить «кривую знаков», а определять во всех полученных промежутках знаки выражения. тт 11 I. хНЗх + 4)Чх-2У ^ Пример 11. Решить неравенство - 7)® ^ Решение. Отметим на числовой прямой корни числителя — 4 точки О, , 2, и корни знаменателя — точки 5 и 3,5 (рис. 20). 3 + - - - - + 2 3,5 Рис. 20 5 х\3х + А)\х - 2У Выражение f(x) = _ 5)6^2^'- 7)'®' положительные значения при л: > 5, а далее по промежуткам знаки f(x) меняются так, как показано на рис. 20 (обратите внимание, что слева и справа 4 от точек о, 2 и 3,5 знаки одинаковы, а слева и справа от точек -- о и 5 — различны; это как раз и связано с четностью или нечетностью соответствующих показателей). Заштрихуем промежутки, на которых f(x) > о, и закрасим точки, в которых f(x) обращается в 0 (корни числителя). Полученная геометрическая иллюстрация решения заданного неравенства позволяет составить аналитическую запись решения. 4 Ответ: х < х = 0; х = 2; х > 5. 3 19- - 4х Пример 12. Решить неравенство — 7 + X' Решение. Преобразуем неравенство к виду 19 - - 4лг 3 49 - л:" 7 + X < 0. 18 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Преобразуем выражение, стоящее в левой части неравенства: 19-х^ -4х 3 19- - 4х 3*^ 49 7 + X (7 - х)(7 + х) 7 + X 19 4х - 3(7 - х) -х^ - X - 2 + X + 2 (7 - х){7 + X) (7 - х){7 + X) ~ (X - 7)(х + 7)' Таким образом, задача сводится к решению неравенства х^ + X + 2 (X - 7)(х + 7) < 0. Дискриминант D квадратного трехчлена х-\- 2 отрицателен: D = 1^ - 4 1 2 = -7. Значит, корней у трехчлена нет, а потому формула ах^ Ьх с = = а(х - Xi)(x - Х2) здесь неприменима. Как же быть? Ответ на этот вопрос дает сформулированная выше теорема: если у квадратного трехчлена aл:^ Ьх с отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент, то трехчлен принимает положительные значения при всех значениях х. Но тогда на него можно разделить обе части неравенства, не меняя знака неравенства: это приведет к неравенству, равносильному х^ X 2 данному. Итак, от неравенства -fj(x +~7) ^ ® переходим к равносильному ему и более простому неравенству < 0. Воспользовавшись методом интервалов (рис. 21), выбираем в качестве решения неравенства интервал (-7; 7). Ответ: -7 < л: < 7. Замечание 3. При решении квадратных неравенств советуем не злоупотреблять методом интервалов. Пусть, например, нужно решить неравенство Зх^ - 2х - 2 < 0. Корнями квадратного трехчлена Зх^ - 2л: - 2 являются числа Xi = ^ Х2 = ^ - Пользо- ваться здесь формулой Зл:^ - 2л: - 2 = = 3(л: - л:х)(л: - Х2) обременительно. Проще отметить найденные корни на числовой прямой, учтя при этом, что Х2 < Xi, и схематически построить 19 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Рис. 22 проходящую через эти точки параболу у = Зл:^ - 2л: - 2 с ветвями вверх (рис. 22), а затем выбрать промежуток, на котором парабола расположена ниже числовой прямой — интервал (лгг; Xi). Это и есть решение неравенства. §2. МНОЖЕСТВА и ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ В этом параграфе мы рассмотрим простейшие понятия и обозначения языка теории множеств, который вот уже более ста лет составляет своеобразный фундамент, базис современного математического языка. Множество состоит из элементов. Если этих элементов немного, то удобно все элементы просто перечислить в каком-нибудь порядке. Чтобы не забыть, что перечисляемые элементы объединены вместе в некоторое множество, такое перечисление производят внутри фигурных скобок { , }. Вот некоторые примеры. Словесное описание множества Поэлементное описание множества Задание множества перечислением его элементов Цифры десятичной системы счисления Множество состоит из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9} Гласные буквы русского алфавита Множество состоит из букв А, Е, Ё, И, О, У, Ь/, Э, Ю, Я {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я) Корни уравнения д:2 + Юл: - 39 = 0 Множество состоит из чисел 3 и -13 {-13: 3} Элементы множества можно перечислять в произвольном порядке. От изменения порядка перечисления элементов само множество не меняется. Например, {А, Е, Ё, И, О, У, Ь/, Э, Ю, Я) и {Я, И, Ы, Э, Ю, Ё, О, У, А, Е} — это одно и то же множество, состоящее из всех гласных букв русского алфавита. Если множество не содержит ни одного элемента, его называют пустым множеством и обозначают 0. 20 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Чаще всего мы будем заниматься числовыми множествами, т. е. множествами, элементами которых являются числа. Для числовых множеств есть естественный порядок перечисления их элементов от меньшего числа к большему. Если элементов во множестве много (например, несколько десятков, сотен и т. д.) или если множество бесконечно (например, множество всех натуральных или множество всех целых чисел), то явное перечисление элементов такого множества невозможно. Способы задания, описания таких множеств весьма разнообразны. Вот некоторые из них. Задание множества Словесное описание множества 1) {10, 15, 20, ..., 90, 95} Множество всех двузначных чисел, кратных 5 2) {1, 4, 9, 16, 25, 49, ...} Множество всех квадратов натуральных чисел ж. л 5) N Множество натуральных чисел Множество рациональных чисел {х\2<х<7} Множество всех чисел, которые больше 2 и меньше 7 6) (2; 7) Множество всех чисел, которые больше 2 и меньше 7 В случаях 1) и 2) по нескольким предъявленным элементам множества мы по аналогии догадываемся о том, как устроено все множество целиком. Этот способ в том или ином виде использует словесный оборот «...и так далее». Некоторые числовые множества столь часто встречаются в различных разделах математики, что для них ввели специальные обозначения. Именно так обстоит дело в случаях 3) и 4), или, например, для множества целых чисел, которое обозначают Z. В случае 5) множество задано с помощью его характеристического свойства. Это один из самых распространенных способов задания множества. Символ ♦ | » внутри фигурных скобок является сокращением слов «...таких, что...». Наконец, в случае 6), как и в случаях 3) и 4), множество {х|2 < X < 1} задано с помощью специального обозначения. Здесь мы имеем дело с одним из наиболее типичных примеров числовых 21 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ множеств — с интервалом. Наряду с интервалами мы очень часто встречаемся и с другими числовыми промежутками. Например, {л: |а < л: < Ь} = [а; Ь] — отрезок с концами а и Ь; {х \х < Ь} = = (-00; Ь) — открытый луч с концом в точке Ь. Пример!. По указанному заданию множества дать его словесное описание: а) {О, 2, 4, 6, 8}; б) {2, 4, 6, ... 18, 20}; в) {12, 22, 32, ... 92}; г) {1, 8, 27, 64, 125, ...}. Решение. Словесные описания одного и того же множества могут вьшлядеть по-разному. Ведь в естественном, разговорном, языке одну и ту же мысль, идею и т. п. можно выразить по-разному. Поэтому в скобках приведем и другие возможные варианты ответов. а) Множество всех четных цифр (все цифры, кроме цифр 1,3, 5, 7, 9); б) множество всех четных натуральных чисел, которые меньше 21 (все числа, полученные из чисел 1, 2, ... 9, 10 умножением на 2); в) множество всех двузначных чисел, оканчивающихся на 2 (все числа вида Юл: -f- 2, где х — любая цифра, кроме 0); г) множество всех кубов натуральных чисел (множество значений функции у = х^ для натуральных значений аргумента л:). ■ П р и м е р 2. Решив соответствующее неравенство, составить более привычную запись числового множества: а) {л: |л:^ + 1 > 0}; в) - > о б) {л: |л:2 + 1 < 0,5}; г) {л: |35л:2 < 24л: + 35}. Р е ш е н и е. а) Прочтем запись {л: |л:^ -f- 1 > 0} шаг за шагом. Следует найти множество всех х таких, что л:^ -f- 1 > 0. Это неравенство верно для всех действительных чисел. Получаем ответ: вся числовая прямая; в символьной записи: (-оо; +оо) или R. б) Следует найти множество всех х таких, что л:^ -f- 1 < 0,5, т. е. л:^ < -0,5. У этого неравенства нет решений. Впрочем, в подобных случаях говорят так: решение — пустое множество, или, в символьной записи, 0. в) Следует найти множество решений неравенства ” ^ Имеем: - - 1 > 0; > 0; X X < 0. 22 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ ик Рис. 23 5^ _____ 7 5 Рис. 24 Воспользовавшись методом интервалов (рис. 23), получаем интервал (0; 1). г) 35д;2 < 24д: + 35; Збд:^ - 24д: - 35 < 0; ^ = V12" + 352 = ^1369 = 37; ^ . 12 ± 37 . ^ --1 v-i£-I 35 35 7 35 5 Ветви параболы у = 35х^ - 24л: - 35 направлены вверх. Поэтому множество решений неравенства 35л:^ - 24л: - 35 < 0 — это 5 7 отрезок между корнями Xi = --- и Х2= т (рис. 24). 7 о О т в е т: а) Д; б) 0; в) (0; 1); г) 5 7 7’ 5 Такие словесные обороты, как «элемент х принадлежит множеству А» или «л: является элементом множества А», достаточно длинные и не всегда удобны в записи решений конкретных задач. В математике эти выражения более кратко записывают так: хеА. Смысл знака принадлежности Е легко запомнить: Е — это перевернутая буква «Э», т. е. буква, с которой как раз и начинается слово «элемент». Наряду со знаком принадлежности е используют и его «отрицание» — знак Запись х^А является сокращением фразы «л: не является элементом множества А». Например, 3 Е {1, 3, 5, 7, 9}, а 13 ^ {1, 3, 5, 7, 9}; у € {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я), но Ь ^ {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я}; 2007 €N, тогда как 200,7 iN; о е{х \ 35х^ < 24х + 35}, а 2 ^ {х |35х^ < 24х + 35} (см. пример 2, г). 23 1 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Заметим, что если неверно, что то верно, что х^А. На- оборот, если верно, что х^А, то неверно, что xiA. Пример 3. Верно ли, что: а) О Е iV; б) О Е Z; в) 1 Е {л: |л:^ - 6л:® -f- Зх^ -f- 1 < 0}; г) 1 6 - 2 > Зо|? Р е ш е н И е. а) Нет. 0 не является натуральным числом. Значит, о ^ б) Да. Более того, само обозначение Z множества целых чисел получено от первой буквы слова «Zero» — нуль. в) Да. Подставим л: = 1 в неравенство л:^ - 6л:® -f- Зл:® -f- 1 < 0. Получим верное числовое неравенство: -1 < 0. г) Нет. При л: = 1 не определена левая часть неравенства yjx^ - 2 > 30, т. е. неверно и само неравенство. ■ Определение 1. Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то множество В называют подмножеством множества А. Обозначение: В До ), В = [2; 4] пересекаются, но ни одно из них не содержится целиком в другом (рис. 29). Используем для этих множеств различные штриховки и затем 28 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ jc = 3 Рис. 30 У = 2 Рис. 31 посмотрим, какое числовое множество в итоге мы заштриховали. Получится, что А U В = (1; 4]. г) Тут тоже удобнее использовать чертеж. Множество А — это множество всех точек, лежащих правее вертикальной прямой л: = 3. Используем для него вертикальную штриховку (рис. 30). Множество В — это множество всех точек, лежащих ниже горизонтальной прямой у = 2 или на самой этой прямой. Используем для него горизонтальную штриховку (рис. 31). Тогда А и Б — это множество всех тех точек плоскости, которые мы заштриховали первым или вторым способом (рис. 32). Рис. 32 29 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ АПБПС Рис. 33 Отметим для примера, что точка (3; 2) принадлежит объединению А и Б, а точка (2; 3) ему не принадлежит. ■ Как и для пересечений, можно рассматривать объединения не только двух, но и трех, четырех и т. д. множеств. Например, объединением множеств А, Б и С называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат или множеству А, или множеству Б, или множеству С (рис. 33). Объединение множеств А, Б и С обозначают так: А U Б U С. Замечание 2. Знаки пересечения П и объединения U учащиеся часто путают. Вот несколько советов по их запоминанию. Знак объединения U похож на первую букву английского слова «Union» — объединение. Иногда помогает и такая модель: операция объединения U — это открытый мешок, в который ссыпаются элементы объединяемых множеств. Значит, А U Б содержит в себе все элементы обоих множеств А и Б и не содержит никаких других элементов. Если вы хорошо запомнили знак объединения и, то знак пересечения П — это просто другой, оставшийся знак. Можно также заметить, что П несколько напоминает русскую букву «П», с которой начинается слово «пересечение». §3. СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ Первое знакомство с системами неравенств состоялось в курсе алгебры 8-го класса, где мы рассмотрели несколько примеров решения систем линейных неравенств. Здесь речь пойдет о более сложных системах неравенств. А в конце параграфа мы рассмотрим несколько текстовых задач, где составление математической модели приводит к системе неравенств. 30 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Начнем с определения основных понятий. Определение 1. Несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти такие значения переменной, которые являются частными решениями всех заданных неравенств. Определение 2. Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением (или решением) системы неравенств. Множество всех частных решений системы неравенств называют общим решением системы неравенств (или просто решением системы неравенств). Неравенства, образующие систему, объединяют фигурной скобкой (так же обстоит дело и в системах уравнений). Иногда используют и запись системы неравенств в виде двойного неравенства. Например, систему неравенств 2л: - 1 > 3, 2л: - 1 < 11 можно записать в виде двойного неравенства 3<2л:-1<11. Пусть нужно решить систему неравенств j/iW ifzix) > gl(x), > gzix). Предположим, что решением первого неравенства системы является интервал (а; Ь), а решением второго неравенства — интервал (с; d). Отметим эти промежутки на одной числовой прямой, использовав для первого верхнюю штриховку, а для второго — нижнюю штриховку (рис. 34). Решением системы неравенств является пересечение решений неравенств системы; в данном случае это интервал (с; Ь) — промежуток, который, как видно на рисунке, заштрихован и сверху, и снизу. Кроме указанного метода штриховок при решении систем неравенств используют и так называемый метод «крыш». Соот- Ш Рис. 34 31 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Рис. 35 ветствующая иллюстрация представлена на рис. 35. Можно использовать и тот и другой метод. (х^ -9> О, Пример 1. Решить систему неравенств 5х - > 0. -3 3 Рис. 36 Решение. Преобразовав неравенство х^ - 9 > о к виду (х - 3)(х -Ь + 3)> Ои применив метод интервалов (рис. 36), получим: х < -3; х > 3. Преобразовав неравенство 5х- х^ >0к виду х(5 - х) > о и применив метод интервалов (рис. 37), получим: 0 < л: < 5. Теперь отметим найденные решения на одной координатной прямой, использовав для решений первого неравенства верхнюю штриховку, а для решений второго — нижнюю штриховку (рис. 38). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т. е. отрезок [3; 5]. IIIIIIIIIIIIIIIII о 5 Рис. 37 о 3 Рис. 38 5 Ответ: 3 < JC < 5. Пр и мер 2. Решить систему неравенств: а) 2х -1 > 3, + JC + 2 < 0; б) 2л: - 1 > 3, л:^ + л: -н 2 > 0. Решение, а) Из первого неравенства находим, что л: > 2. Квадратный трехчлен л:^ -f- л: -f- 2, стояш;ий в левой части второго неравенства, имеет отрицательный дискриминант, а его старший коэффициент положителен. Значит, при всех значениях х выполняется неравенство х^ х 2 > 0, а. потому второе неравенство системы не имеет решений. Но тогда и система не имеет решений. 32 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ б) Решение первого неравенства имеет вид х > 2, а второе неравенство выполняется при любых значениях х. Значит, решение системы совпадает с решением первого неравенства системы. Ответ: а) нет решений; б) х > 2. Этот пример — хорошая иллюстрация для следующих полезных утверждений. 1. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений, 2. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение другого неравенства системы. Пример 3. Решить систему неравенств \yjl8x - - 45 (х^ - 10) > о, - 2л; - 24 < 0. Решение. Задача сводится к решению следующей системы неравенств: 18л: - л:' - 45 > о, х^ -10> о, л;2 - 2х - 24 < 0. Выполним понятные преобразования неравенств этой системы: (л: - 3)(л: - 15) < о, - (л: - ^^)(x + ^^) > о, (л: - 6)(л: + 4) < 0. Решение первого неравенства системы — отрезок [3; 15]; решение второго неравенства — объединение лучей: (-оо; -^/^0] и и [>/i0; +оо); решение третьего неравенства — отрезок [-4; 6]. 33 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ ■■ш -4 -лЯо 15 Sslio 6 Рис. 39 На рис. 39 представлена геометрическая иллюстрация поиска пересечения указанных трех множеств (методом «крыш»); этим пересечением является отрезок [Я^; 6]. Ответ: л: = 3; Яо < л: < 6. В заключение параграфа, как было обещано выше, рассмотрим примеры решения задач, математические модели которых представляют собой системы неравенств. Пр И м е р 4. Пристань В находится в 45 км от пристани А вниз по течению. Катер тратит на путь от А до Б более 1,5 ч, а на обратный путь — менее 2 ч. Чему равна собственная скорость катера, если известно, что она выражается целым числом и что скорость течения реки 3 км/ч? Решение. Первый этап. Составление математической модели. Пусть X км/ч — собственная скорость катера; естественно, что должно выполняться условие л: > 3. Тогда {х -f- 3) км/ч — скорость катера по течению; (х - 3) км/ч — скорость катера против тече-45 ТТЗ время движения из А в Б (оно по условию боль- ше ^ ч); ч — время движения из Б в А (оно по условию меньше 2 ч). Математическая модель задачи представляет собой систему неравенств л: > 3, 45 X + г 2 45 < 2. U - 3 Второй этап. Работа с составленной моделью. Так как л:>3, толгЧ-3>0ил:-3>0, а потому во втором и третьем неравенствах системы мы можем освободиться от зна- 34 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ менателей, не меняя знаков неравенств. Кроме того, полезно обе части второго неравенства разделить на 3. В итоге придем к более простой системе неравенств: л: > 3, 30 > лс + 3, 45 < 2л: - 6. Решив эту систему, получим 25,5 < л: < 27. Третий этап. Ответ на вопрос задачи. В задаче спрашивается, чему равна скорость катера, обозначенная буквой X. Мы получили двойное неравенство 25,5 < л: < 27. В условии сказано, что искомая скорость выражается целым числом. Этому двойному неравенству удовлетворяет лишь одно целое число — число 26. Ответ: 26 км/ч. Пример 5. У мальчика есть некоторое количество марок. Ему подарили альбом для марок. Если мальчик наклеит по 20 марок на лист, ему не хватит альбома, а если он наклеит по 23 марки на лист, то по крайней мере один лист альбома останется пустым. Если мальчику подарят еще один такой же альбом, на каждом листе которого уже наклеено по 21 марке, то всего у него будет 500 марок. Сколько листов в альбоме? Решение. Первый этап. Составление математической модели. Введем две переменные: х — число листов в альбоме, у — число марок, которые есть у мальчика. Если он наклеит по 20 марок на лист, то расклеенными окажутся 20л: марок, что по условию меньше числа марок, имеющихся у мальчика, значит, 20л: < у. Если он наклеит по 23 марки на лист, то по условию для расклейки хватит (л: - 1) листов, на которых поместится 23(л: - 1) марок; это согласно условию не меньше числа имеющихся марок. Итак, 23(л: - 1)> у. Наконец, в задаче сказано, что если мальчику подарят такой же альбом, в котором наклеено 21л: марок, то всего получится 500 марок, т. е. 21л: + ^ = 500. Таким образом, получаем смешанную 35 1 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ систему (термин смешанная означает, что в системе есть не только неравенства, но и уравнение): 20л: < Уу < 2Z(x -1)> у. 21л: ^ у = 500. Второй этап. Работа с составленной моделью. Выразив у из уравнения системы и подставив результат в оба неравенства системы, получим [20л: < 500 - 21л:, [23(л: -1)> 500 - 21л:. Решение этой системы неравенств имеет следуюыщй вид: Третий этап. Ответ на вопрос задачи. В задаче спрашивается, сколько листов в альбоме. Это число 39 8 мы обозначили буквой х и получили: < л: < 12^- Этому двойному неравенству удовлетворяет лишь одно целое число 12. Ответ: 12 листов. §4. СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Кроме систем неравенств, встречаются и математические модели другого рода — совокупности неравенств (и даже совокупности систем неравенств). Определение 1. Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из заданных неравенств. Определение 2. Значение переменной, удовлетворяющее хотя бы одному из неравенств совокупности, называют частным решением (или решением) совокупности неравенств. Множество всех частных решений представляет собой общее решение совокупности неравенств (прилагательное общее обычно опускают). 36 1 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Из определения совокупности неравенств следует, что ее решением служит объединение решений неравенств совокупности. Неравенства, образующие совокупность, объединяют квадратной скобкой. Например, запись — 1 > 3, Зх -2> 11 означает, что неравенства 2л:-1>ЗиЗл:-2>11 образуют совокупность неравенств. Впрочем, чаще специальный знак не используют, а записывают неравенства в строчку, отделяя их друг от друга точкой с запятой, но предваряя эту запись термином совокупность неравенств. Пример 1. Решить совокупность неравенств 2л: - 1 > 3, Зх -2> 11. Решение. Из первого неравенства получаем л: > 2, из второго — X > Отметив эти решения на общей числовой прямой (рис. 40), находим их объединение: л: > 2. Ответ: л: > 2. 3 Рис. 40 Пример 2. Решить совокупность неравенств х^ - 9 > 0; 5х - х^ > 0. Решение. В предыдущем параграфе мы решили систему этих же неравенств. Геометрическая иллюстрация решения системы была представлена на рис. 38. Пользуясь тем же рисунком, можно получить информацию о решении совокупности неравенств, только на этот раз следует выбрать не пересечение, а объединение решений — те промежутки, которые отмечены штриховкой хотя бы один раз. В данном случае получаем: х < -3; х> 0. ■ В заключение рассмотрим достаточно сложный, но важный пример. Важный, во-первых, потому, что при его решении мы учтем практически все самое главное, что говорили в предыдущих параграфах о решении неравенств, и, во-вторых, потому что это будет первый пример решения совокупности систем неравенств. Сложность его состоит в обилии технических приемов 37 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ и в том, что мы рассматриваем здесь системы из трех неравенств (а не из двух, как чаще всего было до сих пор). Пример 3. Решить совокупность систем неравенств: л:" - + 12х^ - 8х^ > О, X 7 2х [2х^ + Зх + 4 >0; х^ > 9, > 8, Зд: + 3 JC + 4 < 2. Решение. Первый этап. Решим первую систему. 1) Преобразуем первое неравенство: х\х^ - 6х^ + 12л: - 8) > 0; х\х - 2f > 0. Отметим на числовой прямой точки 0 и 2 (рис. 41). Выражение f(x) = х\х - 2)^ принимает положительные значения при д: > 2, а далее по промежуткам знаки f{x) меняются так, как показано на рис. 41. Выделим промежуток, на котором f(x) >0, — открытый луч (2; +оо). 2) Решим второе неравенство: — >—• — — i>0- ^ ~ ^ > о- х ^ 7^ X 7^0, >0, х-7 < 0. Воспользовавшись методом интервалов (рис. 42), получим решение неравенства — полуинтервал (0; 7]. 3) Решим неравенство 2^-9 >0 2х^ +3х +4 ^ Заметим, что квадратный трехчлен 2д:^ + Зд: + 4 имеет отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент, значит, этот трехчлен положителен при всех значениях х, а потому + Рис. 41 Рис. 42 неравенство можно преобразовать к более простому виду 2д: - 9 > 0, откуда находим: х > 4,5, т. е. луч [4,5; -1-оо). 4) Изобразим найденные решения трех неравенств на одной числовой прямой и найдем их пересечение (рис. 43). Получим решение первой системы неравенств — отрезок [4,5; 7]. 38 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ llllllillllllllllllllk О 2 4,5 7 ^ Рис. 43 Второй этап. Решим вторую систему. Сразу заметим, что если выполняется неравенство > 9, то тем более выполняется неравенство > 8, так что второе неравенство системы не содержит дополнительной информации о ее решении и его можно отбросить. 1) Преобразуем первое неравенство: х^-9>0;(х- 3)(х + 3) > 0. Воспользовавшись методом интервалов (рис. 44), получим: л: < -3; л: > 3. 2) Решим третье неравенство второй системы: Зд: + 3 jc + 4 Зх + 3 - 2х < 2; Зд: + 3 д: + 4 8 < 0; - 2 < 0; < 0. Рис. 44 Рис. 45 X + 4 ^ X + 4 Воспользовавшись для решения последнего неравенства методом интервалов, получим: -4 < д: < 5 (рис. 45). 3) Изобразим найденные решения двух неравенств на одной числовой прямой и найдем их пересечение (рис. 46). Получим решение второй системы неравенств: (-4; -3) U (3; 5]. Третий этап. Решение совокупности систем — это объединение найденных решений систем. Изобразим эти решения на одной числовой прямой (рис. 47) и найдем их объединение. Получим интервал (-4; -3) и полуинтервал (3; 7]. Ответ: -4 < д: < -3; 3 < д: < 7. -4 -3 Рис. 46 лит,. -4 -3 3 Рис. 47 4,5 39 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ § 5. НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ В курсе алгебры 8-го класса вы решали уравнения с модулями и, наверное, помните, что главное при решении таких уравнений — уметь «раскрывать» модули, пользуясь определением: если а > О, то \а\ = а; если а < О, то |а| = -а. При решении неравенств с модулями, кроме указанного определения, используются следующие утверждения. 1. Если с > О, то неравенство |/(л:)| < с равносильно двойному неравенству -с < f{x) < с. 2. Если с > О, то неравенство |/(л:)| > с равносильно совокупности неравенств f(x) < -с ; т > с. 3. Если обе части неравенства f(x) < g(x) принимают только неотрицательные значения, то оно равносильно неравенству (f(x)f < (g(x))\ Докажем эти утверждения. 1. Пусть с > О и пусть X = а — частное решение неравенства |/(л:)| < с, т. е. верно числовое неравенство |/(а)| < с. Если f(a) > О, то \f(a)\ = f(a), и неравенство \f(a)\ < с можно переписать так: О < f(a) < с. Если f(a) < О, то \f(a)\ = -f(a), и неравенство |/(а)1 < с можно переписать так: -f(a) < с, т. е. -с < f(a) < 0. Итак, в любом случае выполняется двойное неравенство -с < т < с. Значит, X = а — частное решение неравенства -с < f(x) < с. Пусть, обратно, х = Ь — частное решение неравенства -с < f(x) < с, т. е. верно числовое неравенство ~с < т < с. Умножив все его части на -1, получим: -с < -f(b) < с. Поскольку |/(Ь)| равен либо f(b), либо -f(b), получаем, что -с < |/(&)| < с. Левую часть этого двойного неравенства можно опустить как очевидную. Итак, верно неравенство |/(Ь)| < с, а это значит, что х = Ь — частное решение неравенства |/(л:)| < с. Вывод: при с > О неравенства 1/(л:)| < с и -с < т < с равносильны. 2. Пусть с > О и пусть х = а — частное решение неравенства \f(x)\ > с, т. е. верно числовое неравенство |/(а)| > с. Если f(a) ^ О, то |/(л:)| = Да), и неравенство |Да)| > с можно переписать так: Да) > с. Если Да) < О, то |Да)| = -f(a), и неравенство |Да)| > с можно переписать так: ~f(a) > с, т. е. f(a) < -с. 40 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Итак, в любом случае значение х = а удовлетворяет либо неравенству f{x) > с, либо неравенству f(x) < -с. Значит, х = а — частное решение совокупности неравенств: f(x) < —с ; fix) > С. Пусть, обратно, х = Ь — частное решение совокупности неравенств f(x) < -с; f(x) > с. Это значит, что либо f(b) < -с, либо f(b) > с — верное числовое неравенство. Первое неравенство можно переписать так: -f(b) > с. Поскольку |/(Ь)| равен либо f(b), либо -/(&), получаем, что |/(&)| > с. Итак, верно неравенство |/(Ь)| > с, а это значит, что х = Ь — частное решение неравенства |/(л:)| > с. Вывод: при с > О неравенство |/(л:)| > с равносильно совокупности неравенств f(x) < -с; f(x) > с. 3. Пусть g(x) > f(x) > О и пусть х = а — частное решение неравенства f(x) < g(x), т. е. верно числовое неравенство f(a) < g(a). Поскольку обе части этого неравенства неотрицательны, верно и неравенство {f(a)f < Это значит, что х = а — частное реше- ние неравенства (/(л^))^ < Пусть, обратно, х = Ь — частное решение неравенства (f(x)f < < (g(x)fy т. е. (f(b)f < — верное числовое неравенство. Это неравенство можно преобразовать к виду (f{b) - g{b)){f{b) + ^Ь)) < 0. Но из условия следует, что f{b) + g{b) > 0. Значит, неравенство m-mmb)^g{b)) < о можно преобразовать к виду f{bi) — g{b) < 0, т. е. к виду fib) < gib). Это значит, что х = Ь — частное решение неравенства fix) < gix). Вывод: если gix) > fix) ^ 0, то неравенства fix) < gix) и ifix)f < < igix))^ равносильны. • Пусть требуется решить неравенство |/(л:)| < gix). Освободиться от знака модуля можно тремя способами. Первый способ. Если fix) > 0, то |/(л:)| = fix), и заданное неравенство принимает вид fix) < gix). Если fix) < 0, то |/(л:)| = = ~f(x), и заданное неравенство принимает вид -fix) < gix). Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств: fix) > о, fix) < gix); fix) < о, -fix) < gix). 41 1 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Второй способ. Перепишем заданное неравенство в виде g(x) > > |/(л:)|. Отсюда сразу следует, что g(x) > 0. Воспользуемся тем, что при g(x) > о неравенство \f(x)\ < g(x) равносильно двойному неравенству -g(x) < f(x) < g(x) (утверждение 1). Это позволит свести неравенство |/(л:)| < g(x) к системе неравенств г / Ч А ^ \g(x) > о, 1-^(лс) < f(x) < g(x). fix) < gix), [fix) > -gix). Третий способ. Воспользуемся тем, что при g(x) > 0 обе части неравенства |/(л:)1 < g(x) неотрицательны, а потому согласно утверждению 3 их возведение в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Учтем, кроме того, что |ар = а^. Это позволит свести неравенство |/(л:)| < g(x) к системе неравенств Ых) > о, [if(x)r < ig(x)r. Пример 1. Решить неравенство \х^ - Зх 2\ < 2х - х^. Решение. Первый способ. Заданное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств: jc2 - 3jc -н 2 > о. - 3jc -н 2 < о. х^ - Зх 2 < 2х - х^; - Зл: -н 2) < 2л: - х^. Решая первую систему, получим \(х - 1)(х - 2) > о, [2(л: - 2)(л: - 0,5) < 0, откуда находим (рис. 48): 0,5 < л: < 1. Решая вторую систему, получим \(х - 1)(х - 2) < о, 1л: < 2, 0,5 Рис. 48 Рис. 49 откуда находим (рис. 49): 1 < л: < 2. Объединив найденные решения систем неравенств, получим 0,5 < л: < 2. 42 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Второй способ. Заданное неравенство равносильно системе неравенств 2х - > О, х^ - Зх + 2 < 2х - х^, х^ - Зх + 2 > ~(2х - х^). Решая эту систему, получим: х(х - 2) < О, 2(х - 2)(х - 0,5) < о, X < 2; Ц j[///////////////////| о 0,5 2 Рис. 50 0,5 < X < 2 (рис. 50). Третий способ. Заданное неравенство равносильно системе неравенств \2х - х^ > о, [(х^ - Зл: + 2)2 < (2х - хУ. Решая эту систему, получим: \х(х ~ 2) < о, [(х^ - Зл: + 2)2 - (2х - хУ < 0; х(х - 2) < о, ((л:2 - Зл: + 2) - (2х - х^))((х^ - Зл: + 2) + (2х - х^)) < 0; {х(х - 2) < о, l2(jc - 0,5)(л: - 2)2 > 0; 0,5 < X < 2 (рис. 51). Ответ: 0,5 < х < 2. Пусть теперь требуется решить неравенство |/(л:)| > g(x). Освободиться от знака модуля можно тремя способами. Первый способ. Если f(x) > 0, то |лд^)1 = т, и заданное неравенство | -------- принимает вид f(x) > g(x). Если f(x) < j, j, j ^ < 0, TO |/(л:)1 = -fix), и заданное нера- 0 0,5 2 ^ венство принимает вид -f(x) > g(x). Рис. 51 43 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств: \f(x)>0, Шх) < О, [f(x) > g(x); > g(x). Втооой способ. Рассмотоим два случая: s(x) > о, < 0. Если g(x) < о, то неравенство |/(л:)| > g(x) выполняется для всех значений X из области определения выражения f(x) обозначим ее B(f). Если g(x) > о, то воспользуемся тем, что согласно утверждению 2 неравенство |/(л:)| > g(x) равносильно совокупности неравенств f(x) < -g(x); fix) > g(x). Таким образом, заданное неравенство сводится к совокупности трех систем: |^(л:)<0, Ых)>0, Ых)>0, € щу, < -^(х); [/(дс) > g(x). Третий способ. В случае когда > 0. неравенство > g(x) равносильно неравенству (/(л:))^ > ig(x))^; значит, заданное неравенство сводится к совокупности систем: \gix) < о, Ых)>0, [л: Е Dif); 1(/(л:))2 < ig(x))K Пример 2. Решить неравенство \х^ - Зх 2\ > 2х - х^. Решение. Первый способ. Заданное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств: х^ -Зх 2 > о. - Зл: + 2 < о. х^ - Зх 2 > 2х - х^; - Зх 2) > 2х - х^. Решив первую систему, получим: х < 0,5; х > 2. Вторая система не имеет решений. В результате решением совокупности систем является решение первой системы. Второй способ. Если 2х - х^ < 0, то заданное неравенство выполняется (его левая часть неотрицательна, а правая — неположительна). Если 2jc - > о, то заданное неравенство равно- сильно совокупности двух неравенств: х^ - Зх 2 > 2х - х^; - Зл: + 2 < —(2х — х^). Таким образом, получаем совокупность неравенства и двух систем неравенств: 2х - < 0; Г2х - > о, [2х - х^ > о, х^ - Зх + 2 > 2х - х"; I х' - Зх + 2 < -(2х - х"). 44 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Решив неравенство 2х - < О, получим: х < 0; х > 2. Реше- ние первой системы — полуинтервал О < л: < 0,5. Вторая система не имеет решений. В итоге получаем: х < 0,5; х > 2. Третий способ. Если 2х - х^ < 0, то заданное неравенство выполняется. Если 2х - х^ > о, то обе части заданного неравенства можно возвести в квадрат. Таким образом, получаем совокупность неравенства и системы неравенств: 2х - х^ < 0; 2х - х^ > о. [(х^ - Зл: + 2)2 > (2х - х^)К Решения неравенства 2л: - < 0 — лучи: л: < 0; л: > 2. [л:(л: - 2) < о. Решим систему (х^ - Зл: + 2)2 - (2л: - л:2)2 > 0; Имеем: о < л: < 2, ((л:2 - Зл: + 2) - (2л: - л:2))((л:2 - Зл: + 2) + (2л: - х^)) > 0; о < л: < 2, (2л:2 - 5л: + 2)(л: - 2) < 0; о < л: < 2, 2(л: - 0,5)(л: - 2)2 < 0; о < л: < 2, X < 0,5; л: = 2; о < л: < 0,5. Объединив это решение с найденными выше решениями л: < 0; л: > 2, получаем: х < 0,5; х > 2. Ответ: х < 0,5; х > 2. Пример 3. Решить неравенство |л: - 2| + |л: + 4| < 10. Решение. Первый способ. Выражение л: - 2 обращается в нуль в точке 2, а выражение л: + 4 обращается в нуль в точке -4. Указанные две точки разбивают числовую прямую на три промежутка: х < -4; -4 < л: < 2; л: > 2. 45 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ На промежутке х < -4 выражение х - 2 принимает отрицательные значения, равно как и выражение х -h 4. Значит, на указанном промежутке выполняются соотношения: |:c-2| = -(jc-2), |:с + 4| = -(:с + 4), а потому заданное неравенство принимает вид -(X - 2)-(x-h 4) < 10. На промежутке -4 < х < 2 выражение х - 2 принимает неположительные значения, а выражение х + 4 — неотрицательные. Значит, на указанном промежутке выполняются соотношения: Ijc - 2| = -(х - 2), |л: -I- 4| = л: -f- 4, а потому заданное неравенство принимает вид -(х - 2) + (х + 4) < 10. Наконец на промежутке х > 2 выражение х - 2 принимает положительные значения, равно как и выражение х + 4. Значит, на указанном промежутке выполняются соотношения: \х - 2\ = X - 2, \х -h 4\ = X -h 4, а потому заданное неравенство принимает вид (л: - 2) + (л: + 4) < 10. В итоге получаем совокупность трех систем неравенств: jx < -4, J-4 < X < 2, {-(л: - 2) - (д: + 4) < 10; [-(х - 2) + (д: + 4) < 10; д: > 2, (д: - 2) -н (д: + 4) < 10. Из первой системы получаем: -6 < д: < -4, из второй — -4 < д: < 2, из третьей — 2 < д: < 4. Объединив найденные решения, находим ответ: -6 < д: < 4. Второй способ вам известен, его применяли в курсе алгебры 8-го класса. Неравенство |д:-2|ч-|д:Ч-4|<10на геометрическом языке означает, что нам нужно найти на координатной прямой такие точки X, которые удовлетворяют условию р(д:; 2) -f- р(д:; -4) < 10, т. е. 46 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ р(*; 2) -6 -4 р(*; -4) Рис. 52 JC 4 сумма расстояний каждой из таких точек от точек 2 и -4 меньше 10. Эго точки, заключенные в интервале от -6 до 4 (рис. 52). Ответ: -6 < л: < 4. §6. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Рассмотрим неравенство вида yjfix) < g(x). Ясно, что решения такого неравенства должны удовлетворять условию f{x) > 0 и условию g(x) > 0. Осталось лишь заметить, что при одновременном выполнении указанных выше условий обе части заданного иррационального неравенства неотрицательны, а потому их возведение в квадрат представляет собой равносильное преобразование неравенства. Таким образом, иррациональное неравенство yjf(x) < g(x) равносильно системе неравенств т > о, g(x) > о, fix) < ig(x))K Пример 1. Решить неравенство >Jx^ - х - 12 < х. Решение. Данное неравенство равносильно системе нера- венств: х^ - X -12 > о, л: > о, - л: - 12 < х^; (х - 4)(х + 3) > о, л: > о, л: > -12. 47 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ -12 -3 Рис. 53 Получаем jc > 4 (рис. 53). ■ Рассмотрим теперь неравенство вида yjf(x) > 8(х). Ясно, во-первых, что его решения должны удовлетворять условию fix) > 0. Во-вторых, замечаем, что при g{x) < 0 (и при отмеченном выше условии f(x) > 0) справедливость неравенства > six) не вызывает сомнений. И наконец, в-третьих, замечаем, что если g(x) > 0, то можно возвести в квадрат обе части заданного иррационального неравенства. Таким образом, иррациональное неравенство yjf{x) > g(x) равносильно совокупности систем неравенств: Пх)>0, g(x) < 0; fix) > о, gix) > о, fix) > igix))K Пример 2. Решить неравенство - х - 12 > х. Решение. Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств: х^ - X-12 > о. х^ - X-12 > о, X < 0; ■ Jlllllllllllt -3 о Рис. 54 X > о, х^ - X-12 > х\ Получаем: \ix - 4)ix + 3) > о, [х < 0; (х - 4)(х + 3) > о, X > о, X < -12. Из первой системы находим: х < -3 (рис. 54); вторая система не имеет решений. Ответ: х < -3. 48 1 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Пример 3. Решить неравенство (х + 5)(л: - 2) + 3 yjx{x + 3) > 0. Решение. Преобразуем неравенство к виду + Зл: - 10 + 3 > 0 и введем новую переменную у = у/х^ + Sx. Тогда последнее неравенство примет вид Зу - 10 > 0, откуда находим, что либо у <-Ъу либо у > 2. Задача сводится к решению совокупности двух неравенств: у/х^ -н Зх < -5; у/х^ + Зх > 2. Первое неравенство не имеет решений, а из второго находим: -f- Зл: > 4; (х -f- 4)(л: - 1) > 0; л: < -4; л: > 1. ■ тт А гь V4jf2 - 15л: + 11 ^ ^ Пример 4. Решить неравенство —^—-—-— > 0. Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств 4л:2 - 15л: + 11 > 0, л:" - л: - 6 > 0. Решив уравнение 4л:^ - 15л: -I- 11 = 0, находим его корни: Xi = l, Х2 = ^- Значит, решение первого неравенства системы — объединение лучей (-оо; 1] и [^; +оо) (рис. 55). Рассмотрим многочлен р(х) = х^ - х - 6. Замечаем, что л: = 2 — корень этого многочлена, значит, р(х) делится без остатка на л: - 2. Вместо деления уголком можно выполнить следующие преобразования: р(х) = х^-х-6 = (х^-8)-(х- 2) = = (х- 2)(х^ + 2х + 4) - (X - 2) = (х- 2)(х^ + 2л: + 3). Квадратный трехчлен л:^ + 2л: + 3 имеет отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент; значит, он положителен при любых значениях л:, а потому неравенство р(х) > 0 равносильно неравенству л: - 2 > 0. Таким образом, решение второго неравенства системы — открытый луч (2; -f-oo). 49 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ П 4 Осталось найти пересечение решений первого и второго не- равенств системы; получаем луч [ ^; -hoo) (см. рис. 55). Но (внимание!) точку X = 1 (темная точка на рис. 55) тоже следует включить в ответ, хотя она и не принадлежит указанному пересечению. Дело в том, что при х = 1 числитель заданной дроби обращается в нуль, а знаменатель отличен от нуля (и не важно, что он при х = 1 принимает отрицательное значение); следовательно, х = 1 — частное решение заданного нестрогого неравенства. 3 Ответ: х = 1; х > 2^. Пример 5. Решить неравенство + 8JC + 15 + V-X - 4 > - 16 \l4. - X Решение. Область определения для данного неравенства зада- \-х - 4 > О, ется системой неравенств \ . _ решив которую, получаем [4 - л: > О, JC < -4. При этом условии числитель дроби, находящейся в правой части заданного неравенства, можно преобразовать следующим образом: yjx^ - 16 = yj{x - 4)(л: -н 4) = = yj\x - 4| • yj\x -I- 4| = у/4: - X • у1-х - 4. Учтя это, поработаем с заданным неравенством: о « - ^ I---------г ^ >/4 - JC • у/-х - 4 -f- 8л: -f- 15 -f- yj-x - 4 < ---, -----; yj4 - X л:^ -f- 8л: -f- 15 < 0; (л: + 5)(л: -f- 3) < 0; -5 < л: < -3. Выше мы отметили, что должно выполняться и неравенство л: < -4. Таким образом, окончательно получаем такое решение заданного неравенства: -5 < л: < -4. ■ 50 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ §7. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ В курсе алгебры 8-го класса вам уже встречались уравнения с параметрами. Здесь мы рассмотрим задачи с параметрами, решение которых сводится к решению неравенств. Пример 1. Известно, что уравнение ах^ - (4а -f- 4)х -f- За -I-+ 13 = О имеет действительные корни (один или два). При каких значениях параметра а: а) каждый из корней больше 1; б) каждый из корней меньше 1; в) один корень больше, а другой меньше 1? Решение. Если а = О, то уравнение принимает вид -4л: -f- 13 + 13 = О, откуда находим: х = Если а ^ О, то заданное уравнение можно переписать в виде 9 4а + 4 , За + 13 ^ г-----—X Н---— = 0. Графиком функции у = х^- а 4а + 4 ■л: + За + 13 является па- а а рабола с ветвями, направленными вверх. а) Случай а = О нас вполне устраивает, поскольку при а = О 13 корень уравнения л: = -^ удовлетворяет заданному условию — он больше 1. Корни заданного уравнения при а ^ О будут больше 1 тогда и только тогда, когда парабола пересекает ось х (или в крайнем случае касается оси л:) в точках, лежащих правее точки (1; 0); геометрическая модель представлена на рис. 56. Составим соответствующую аналитическую модель. Во-первых, должно выполняться условие D> О, где D — дискриминант квадратного уравнения (в противном случае уравнение не будет иметь корней). Во-вторых, ось параболы должна проходить правее точки (1; 0). Наконец, в-третьих, должно выполняться условие /(1) > О, где Т(х)-х а ^ ^ а * Рис. 56 51 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Итак, нас интересуют дискриминант D, уравнение оси параболы и значение /(1). 1) с = - 4 За + 13 4а2 - 20а + 16 а 2) Уравнение оси параболы у = ах^ Ьх с имеет вид л: = 2а + 2 значит, для рассматриваемой функции получаем х = —-—• 3) f(l) = 1' - 4а + 4 1 -h За + 13 9 а* а ■ а Учитывая указанные выше три условия, приходим к системе неравенств \4а^ - 20а + 16 >0, 2а + 2 > 1, ^ > 0. а Выполнив преобразования каждого неравенства системы, получим: 4(а - 1Ка - 4) ^ о. а + 2 > о. а а > 0; о < а < 1; а > 4. Добавив указанное выше значение параметра а = 0, получим: о < а < 1; а > 4. б) Выясним, при каких значениях параметра а корни заданного уравнения меньше 1. Если а = 0, то, как мы видели выше, 13 X = это значение больше 1, а потому случай а = 0 нас теперь не устраивает. „ ^ о4а + 4.3а + 13^ Если а ^ о, то корни уравнения х^ - —-—х + —-— = 0 будут меньше 1 тогда и только тогда, когда парабола пересекает ось X (или в крайнем случае касается оси х) в точках, лежащих левее точки (1; 0); геометрическая модель представлена на рис. 57. Составим соответствующую аналитическую модель. 52 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Рис. 58 Во-первых, как и в пункте а), должно выполняться условие D > 0. Во-вторых, ось параболы должна проходить левее точки (1; 0). Наконец, в-третьих, должно выполняться условие /(1) > 0. Учитывая указанные выше три условия, приходим к системе неравенств \4а^ - 20а + 16 >0, 2а + 2 < 1, 9>0. Выполнив преобразования каждого неравенства системы, получим: 4(а - 1)(а - 4) >0, а + 2 < о. а а > 0. Эта система не имеет решений. в) Геометрическая модель ситуации, когда 1 находится между корнями уравнения, представлена на рис. 58. Достаточно потребовать выполнения условия /(1) < 0. Таким образом, 9 приходим к неравенству ^ < 0, откуда находим а < 0. Ответ: а) 0 < а < 1; а > 4; б) таких значений параметра нет; в) а < 0. 53 1 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Пример 2. Сколько корней имеет уравнение \х- 2\ = ах-\- 1 при различных значениях параметра а? Решение. Первый способ. Если л: > 2, то |л: - 2| = л: - 2, и уравнение принимает вид л: - 2 = ал: + 1, т. е. л:(1 ~ а) = 3. Если же л: < 2, то |л: - 2| = -(л: - 2), и уравнение принимает вид -(л: - 2) = = ал: + 1, т. е. л:(1 + а) = 1. Итак, получилась совокупность двух систем: х> 2, jx < 2, л:(1 - а) = 3; [л:(1 + а) = 1. Рассмотрим первую систему совокупности. Если а = 1, то уравнение системы не имеет решений (поскольку принимает вид 3 О = 3). Если а 1, то из уравнения системы находим х = ^ Это значение будет корнем заданного уравнения, если удовлетворяет неравенству л: > 2, и не является корнем, если не удовлетворяет указанному неравенству. 3 Решив неравенство ^ ^ > 2, получим -0,5 < а < 1. Итак, если -0,5 < а < 1, то система имеет единственное реше-3 ние — X- 1 - а ; если а < -0,5 или а > 1, то система не имеет решений. Рассмотрим вторую систему совокупности. Если а = -1, то уравнение системы не имеет решений (поскольку принимает вид о = 1). Если а -1, то из уравнения системы находим х = Это значение является корнем заданного уравнения, если удовлетворяет неравенству л: < 2, и не является корнем, если не удовлетворяет указанному неравенству. Решив неравенство < 2, получим: а < -1; а > -0,5. Итак, если а < -1 или а > -0,5, то система имеет единственное решение х = ; если -1 < а < -0,5, то система не имеет решений. Объединим полученные выводы. 54 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ 1) Если а < -1, то вторая система имеет единственное решение, а первая — не имеет решений. Значит, в этом случае задан- 1 ное уравнение имеет единственный корень: х = ^ ^ 2) Если -1 < а < —0,5, то обе системы не имеют решений, значит, заданное уравнение не имеет корней. 3) Если а = -0,5, то первая система имеет решение, а вторая — нет, значит, заданное уравнение имеет единственный ко- 3 л рень: X - I т. е. X = 2. 4) Если -0,5 < а < 1, то обе системы имеют решения, значит, 3 1 заданное уравнение имеет два корня: Xi = > Х2 = i ^ 5) Если а > 1, то вторая система имеет решение, а первая система не имеет решений. Значит, в этом случае заданное уравнение 1 имеет единственный корень: х = Второй способ. На рис. 59 изображен график функции у = \х - 2\. Число корней уравнения \х - 2\ = ах 1 равно числу точек пересечения построенного графика и графика функции у = ах 1 — прямой, проходящей через точку (0; 1). При а = -1 эта прямая параллельна левой ветви графика функции у = \х - 2\; при а = -0,5 эта прямая проходит через вершину графика функции у = \х - 2\; при а = 1 эта прямая параллельна правой ветви графика функции у = \х-2\. Именно указанные три значения и являются главными для описания всей ситуации. При а = -1 уравнение не имеет корней, а при а < -1 — один корень (см. рис. 59). При а = -0,5 уравнение имеет один корень, при -1 < а < -0,5 — не имеет корней, а при -0,5 < а < 0 — имеет два корня (рис. 60). При 0 < а < 1 уравнение имеет два корня, а при а> 1 — один корень (рис. 61). Ответ: если а < -1, а = -0,5 или а > 1, то уравнение имеет один корень; если -1 < а < -0,5, то уравнение не имеет корней; если -0,5 < а < 1, то уравнение имеет два корня. Рис. 59 55 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ Рис. 61 Пример 3. При каких значениях параметра а системе неравенств - 5jc < О, [\х - 2а| < 2 удовлетворяет только одно значение переменной х? Решение. Рассмотрим первое неравенство системы: х(х^ + 4л: - 5) < 0; л:(л: - 1)(л: + 5) < 0. Геометрическая иллюстрация решения неравенства представлена на рис. 62. Решение состоит из луча (-оо; -5] и отрезка [0; 1]. Рассмотрим второе неравенство системы. Чтобы изобразить его решения геометрически, нужно отметить на числовой прямой точку 2а и еще две точки, удаленные от нее вправо и влево на 2 единицы масштаба. Получится отрезок [2а - 2; 2а + 2] (рис. 63), длина которого равна 4. Заданная система неравенств будет иметь единственное решение (т. е. решение, состоящее из одной точки) в трех случаях: 1) если левый конец отрезка [2а - 2; 2а + 2] совпадает с точкой -5; в этом случае единственным решением системы неравенств будет л: = -5; Рис. 62 ^шишщшшшшц 2а - 2 2а 2а + 2 Рис. 63 56 НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ И СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ 2) если правый конец отрезка [2а - 2; 2а + 2] совпадает с точкой 0; в этом случае единственным решением системы неравенств будет X = 0; 3) если левый конец отрезка [2а - 2; 2а -f- 2] совпадает с точкой 1; в этом случае единственным решением системы неравенств будет X = 1. А теперь найдем значения параметра, при которых наступает один из трех указанных выше случаев. В случае 1) имеем: 2а - 2 = -5, т. е. а = -1,5. В случае 2) имеем: 2а -f- 2 = 0, т. е. а = -1. В случае 3) имеем: 2а - 2 = 1, т. е. а = 1,5. Ответ: -1,5; -1; 1,5. ГЛАВА 2 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ § 8. Уравнения с двумя переменными § 9. Неравенства с двумя переменными § 10. Основные понятия, связанные с системами уравнений и неравенств с двумя переменными § 11. Методы решения систем уравнений § 12. Однородные системы. Симметрические системы § 13. Иррациональные системы. Системы с модулями § 14. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций §8. УРАВНЕНИЯ с ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Определение 1. Уравнением с двумя переменными называют уравнение вида f(x\ у) = О, где f(x\ у) — алгебраическое выражение. Решением уравнения с двумя переменными /(х, у) = О называют пару чисел (х; у), которая удовлетворяет уравнению, т. е. подстановка которой в уравнение обращает его в верное числовое равенство. Например, (3; 7) — решение уравнения х^ у^ = 58, поскольку 3^ + 7^ = 58 — верное числовое равенство; (V^; -б) — решение уравнения х^ у^ = 58, поскольку (V^) + (~6)^ = 58 — верное числовое равенство. В то же время пара (4; 5) не является решением уравнения, поскольку 4^ -I- 5^ = 58 — неверное числовое равенство. Определение 2. Два уравнения р(х; ^) = О и q(x\ у) = О называют равносильными, если они имеют одинаковые решения (в частности, если оба уравнения не имеют решений). Обычно при решении стараются заменить данное уравнение более простым, но равносильным ему уравнением. Такую замену называют равносильным преобразованием уравнения. Ниже указаны основные равносильные преобразования. 58 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 1) Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками. Например, замена уравнения 2х Ъу = 1х - 8у уравнением 2х - 7х = -Sy - Ъу есть равносильное преобразование. 2) Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или выражение, всюду отличное от нуля. Например, замена уравнения 0,6х^ - 0,3ху = 2у уравнением Ьх^ - Зху = 20у (обе части уравнения умножили почленно на 10) есть равносильное преобразование. Неравносильными преобразованиями уравнения, как и в случае уравнений с одной переменной, могут быть: 1) освобождение от знаменателей, содержащих переменные; 2) возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень. Если в процессе решения уравнения применялось одно из указанных неравносильных преобразований, то все найденные решения надо проверить подстановкой в исходное уравнение, поскольку среди них могут оказаться посторонние решения, т. е. пары, не удовлетворяющие исходному уравнению. Уравнение с двумя переменными чаще всего имеет бесконечно много решений. Но бывает, что уравнение с двумя переменными имеет конечное множество решений или вовсе не имеет решений. Например, уравнение yjx + ^[у = -1 не имеет решений, а уравнение (х - 1)^ (у 2)^ = 0 имеет единственное решение (1; -2) (при всех остальных значениях переменных левая часть уравнения положительна, т. е. не равна нулю). Среди уравнений с двумя переменными выделяют так называемые рациональные уравнения, т. е. уравнения вида р{х\ у) = 0, где р{х\ у) — рациональное выражение (выражение, составленное из чисел и переменных с помощью арифметических операций). Особый интерес среди них представляют однородные уравнения. Определение 3. Многочлен с двумя переменными вида р(х; у) = ОпХ" + йп-хХ^-^у + ад-гж"-V + ••• + alXy'^~^ + а^у", где Un или По отлично от нуля, называют однородным многочленом 71-й степени с двумя переменными х, у. Если р(х\ у) — однородный многочлен, то уравнение р(х; у) = 0 называют однородным уравнением. Характерный признак однородного многочлена — сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена одна и та же. 59 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Приведем примеры: Р(х; у) = 2х Зу — однородный многочлен первой степени; соответственно 2л: + 3^ = О — однородное уравнение первой степени; Р(х; у) = Зл:^ + 5ху - 7у^ — однородный многочлен второй степени; соответственно Зл:^ + бху - 7у^ = 0 — однородное уравнение второй степени; р(х; у) = х^ 4ху^ - Ъу^ — однородный многочлен третьей степени; соответственно х^ + 4:Ху^ - Ъу^ = 0 — однородное уравнение третьей степени; р(х\ у) = х^ 4:Ху^ - Ъу^ + Зху — неоднородный многочлен. Любую константу можно считать однородным многочленом нулевой степени: например, 3, V? , -0,3 — однородные многочлены нулевой степени. Существует достаточно изящный способ решения однородных уравнений. Поясним его суть на двух примерах, связанных с решением однородных уравнений третьей степени. Пример 1. Решить уравнение х^ + 4:Ху^ - Ъу^ = 0. Решение. Заметим прежде всего, что если в заданном уравнении положить л: = 0, то получится ^ = 0; это значит, что пара (0; 0) является решением однородного уравнения (этот результат справедлив для любого однородного уравнения положительной степени). Пусть теперь х Ф 0. Разделив почленно обе части заданного однородного уравнения третьей степени на л:^, получим: Введем новую переменную: ^ Тогда уравнение примет вид 1 -I- = 0. Решим это уравнение: 52^ - 42^ - 1 = 0; (52^ - 522) + (^2 - 1) = 0; 522(2 - 1) + (2 - 1)(2 + 1) = 0; (2 - 1)(522 + 2 + 1) = 0. Из уравнения 2-1 = 0 находим: 2 = 1; уравнение 522 + 2 + 1 = 0 не имеет корней. Если 2 = 1, то “ = 1, т. е. ^ = л:. Это значит, что любая пара вида t) является решением заданного однородного уравнения (пара (0; 0) также входит в указанный перечень решений). Ответ: (^; ^), t ^ R. М СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Пример 2. Решить уравнение 2х^ - Ьх^у Н- 2ху^ = 0. Решение. Имеем х{2х^ - 5ху + 2у^) = 0. Значит, либо х = 0, либо 2х^ - 5ху + 2у^ = 0. В первом случае заданному уравнению удовлетворяют любые пары вида (0; ^), где ^ € JB. Во втором случае, разделив почленно обе части однородного уравнения второй степени 2х^ - Ъху -I- 2у^ = 0 на л:^, получим равносильное уравнение 2-6f + 2(f)’= о- Введем новую переменную ^ Тогда уравнение примет вид 2г^ - 5г 2 = 0, откуда находим: 2i = 2, = 4, т. е. либо — = 2, м X а потому у = 2х, либо “ = 4> а потому х = 2у. Это значит, что X Z любая пара вида (t; 2t) или (2t\ t) является решением заданного однородного уравнения. Ответ: (0; t)y 2t)y {2t\ t)^ где t € R. Вернемся еще раз к последнему однородному уравнению. Полученный ответ следует понимать так: при взгляде на любую пару чисел мы можем сразу сказать, является она решением уравнения или нет. Например, решениями заданного однородного уравнения являются: (0; 0), (0; -5), (О; Vs) (это пары вида (0; 0); (1; 2), (-4; -8), (ТТ; 2л/?) (это пары вида (t\ 2t))\ (6; 3), (-7; -3,5), |j (это пары вида (2f; t)). В то же время такие, например, пары, как (5; 5), (3; 0), (2,5; 0,7) не являются решениями заданного уравнения. Определение 4. Графиком уравнения р(х; у) = 0 называют множество точек координатной плоскости ху, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению. Например, графиком уравнения у - 2х^ = 0 является парабола; чтобы в этом убедиться, достаточно преобразовать уравнение 61 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Рис. 64 Рис. 65 к виду у = 2х^ (график уравнения изображен на рис. 64). Графиком уравнения ху = 2 является гипербола; чтобы в этом убедиться, достаточно преобразовать уравнение к виду У = ^ (график уравнения изображен на рис. 65). Таким образом, если уравнение р(х; у) = О удается преобразовать к виду у = fix), то график функции у = f(x) считается одновременно и графиком уравнения р(х; у) = 0. До сих пор мы опирались лишь на материал, известный вам из курса алгебры 7—8-го классов: графиками были прямая, парабола, гипербола. Теперь мы расширим круг геометрических фигур, которые могут служить графиками уравнений с двумя переменными. Теорема 1. Расстояние между точками A(xi; ух) и В(х2; у2) координатной плоскости хОу вычисляется по формуле лв = 7(*2 - *1 )* + (Уг - Vi )* • Доказательство. Соединим точки A(xi; ух) и В(Х2; у2) отрезком и проведем прямые х = Хх, х = Х2, у = Уи У = У2 (рис. 66). Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Длина катета АС равна расстоянию между точками Хх и Х2 оси х, т. е. АС = \х2~ Хх\- Длина катета ВС равна расстоянию между точками ух и у2 оси у, т. е. ВС = \у2 ~ УПо теореме Пифагора АВ^ = АС^ + ВС^, т. е. Х2 - Xip + \У2 - yif. (1) АВ^ = «2 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Рис. 66 Так как |аН = а^, то формулу (1) можно переписать в виде АВ2 = (Х2 - Xif + (у2 - УхУ или АВ = у1(х2 - х^У + (у2 - УхУ - Теорема доказана. Вычислим, например, расстояние между точками (9; -1) и (2; -25). Получим 4(2 - 9)2 + (-25 + 1)2 = V72 + 242 = = £5. Теорема 2. Графиком уравнения (X - аУ + (у - ЬУ = (2) является окружность на координатной плоскости хОу с центром в точке СУ(а; Ь) и радиусом г (г > О) (рис. 67). Рис. 67 «3 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Доказательство. Возьмем любую точку М(х; у) окружности. По теореме 1 О'М = yj(x - аУ (у - ЪУ. Но О'М = г, значит, г = yj(x - а)2 -I- (у - ЪУ , т. е. {х - af + (г/ - ЬУ = г2. Итак, координаты любой точки М(х; у), принадлежащей окружности, удовлетворяют уравнению (2). Если точка Р{х\ у) не лежит на окружности, то либо О'Р < г (если точка Р расположена внутри окружности), либо О'Р > г (если точка Р расположена вне окружности). И в том, и в другом случае уравнению (2) координаты точки Р не удовлетворяют. Следовательно, точки окружности и только они удовлетворяют уравнению (2). Теорема доказана. Пример 3. Построить график уравнения х^ у^ = 16. Решение. Перепишем уравнение в виде (х - 0)^ + (г/ - 0)^ = 4?. По теореме 2 графиком этого уравнения является окружность с центром в точке 0(0; 0) и радиусом 4 (рис. 68). I Пример 4. Построить график уравнения: а) (х - Vy + (г/ - 2У = 9; б) х'^ + у^ Ах = 0. Решение, а) Перепишем уравнение в виде (х - \у -f + (^ - 2У = 3^. Графиком этого уравнения по теореме 2 является окружность с центром в точке (1; 2) и радиусом 3 (рис. 69). б) Перепишем уравнение в виде {х^ + 4л: + 4) + = 4, т. е. (л: + 2)2 + = 4 и далее (X - (-2)У ^(у- 0)2 = 22. Рис. 68 Рис. 69 64 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Графиком этого уравнения по теореме 2 является окружность с центром в точке (-2; 0) и радиусом 2 (рис. 70). ■ (X -\-2f + = 4 .-4 Рис. 70 Пример 5. Построить график -6х + + 2,75 ^ уравнения -----4х~^------- Решение. Дробь равна нулю — это значит, что числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Приравняв числитель к нулю и выполнив понятные преобразования, получим (х - 3)^ + у^ = 6,25. Это уравнение окружности радиусом 2,5 с центром в точке (3; 0). Рассмотрим уравнение 4л: - 3^ = 0. Его графиком является прямая, проходящая через начало координат и точку (3; 4) (рис. 71), она пересекает окружность в двух точках; именно эти точки и следует исключить. Таким образом, графиком уравнения является окружность с двумя «выколотыми» точками. Осталось выяснить, какие же точки нам пришлось «выкалы- 4 4 вать». Из уравнения 4л: - 3^ = 0 находим: у = Подставим ^л: вместо у в уравнение окружности: Рис. 71 65 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (X - ЗГ + |^|xj = 6,25; х^-6х+ 9+ ^ - ^ = 0; 100л;2 - 216л: + 99 = 0; Xi = 0,66, Х2 = 1,5. Если X = 0,66, то по формуле у = -^х находим у = 0,88; если X = 1,5, то у = 2. Ответ: графиком уравнения является окружность (см. рис. 71) с двумя «выколотыми» точками: (0,66; 0,88) и (1,5; 2). §9. НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Наряду с уравнениями с двумя переменными рассматривают и неравенства с двумя переменными — это неравенства вида р(х\ у) > о, р{х\ у) < 0. Как правило, для их решения используют геометрическую модель — изображение решения неравенства на координатной плоскости в виде множества точек, координаты которых удовлетворяют неравенству. Например, на рис. 72 изображено множество решений неравенства у > 2х^ — точки, лежащие на параболе и выше нее; на рис. 73 изображено множество решений неравенства х^ у^ < 16 — точки, лежащие на окружности радиусом 4 с центром в точке (0; 0) и внутри ограниченного ею круга; на рис. 74 изображено множество решений неравенства (л: + 2)^ -f- 1/2 > 4 — точки, лежащие вне круга. Рис. 72 Рис. 73 66 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ W/Ш/ШШ/к Рис. 74 Рис. 75 Пример 1. Решить неравенство ху < 2. Решение. Если л: = О то неравенство принимает вид О < 2. Это верное неравенство, значит, все точки оси у (прямая л: = 0) принадлежат множеству решений неравенства. Если л: > 0, то нера- 2 венство ху <2 можно переписать в виде У ^ Значит, в правой полуплоскости (при л: > 0) следует взять точки, лежащие ниже пра- 2 вой ветви гиперболы */ = ”• Если л: < 0, то неравенство ху <2 можно 2 переписать в виде У > Значит, в левой полуплоскости (при л: < 0) следует взять точки, лежащие выше левой ветви гиперболы. Множество решений неравенства ху < 2 изображено на рис. 75. ■ Иногда при построении графика уравнения с двумя переменными приходится использовать неравенства с двумя переменными. Рассмотрим два примера. Пример 2. Построить график уравнения {х - 2)^^ = = -4{у + 3)(х - 2). Решение. Наличие знака «минус» перед корнем в правой части уравнения заставляет нас потребовать выполнения дополнительного условия JC - 2 < 0. Если л: - 2 < 0, то наличие под знаком корня выражения (у + 3)(л: - 2) вынуждает нас принять еще одно дополнительное ограничение: ^ + 3 < 0. При указанных 67 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ограничениях имеющиеся радикалы можно преобразовать следующим образом: V(i/ + 3)(x - 2) = Vly + з| • = у1~у - 3 /у + 3 _ )1х-2 у12 - X ’ Теперь поработаем с заданным уравнением: У-у - 3 (х-2) Рис. 76 V2” = -У-у - 3 • У^ определяются системой неравенств У-г/ - 3 = У-у - 3. Таким образом, заданное уравнение выполняется при любых допустимых значениях переменных. Эти допустимые значения [л: - 2 < О, [i/ + 3 < 0. На рис. 76 представлено множество точек координатной плоскости, которые удовлетворяют заданному уравнению. ■ Пример 3. Построить график уравнения 1^ - х^\ = х^ - 2х. Решение. Если у > х^, то\у - х^\ = у - х^ и заданное уравнение принимает вид у - х^ = х^ - 2х, т.е. у = 2х^ - 2х. Если у < х^, то \у - х^\ = -(у - х^) и заданное уравнение принимает вид -(у - х^) = = х^ - 2х, т.е. у = 2х. Решения неравенства у > — это множество точек, при- надлежащих параболе у = х^ расположенных выше нее (рис. 77). При этом должно выполняться уравнение у = 2х^ - 2х, т. е. интересующие нас точки должны лежать на параболе у = 2х'^ - 2х. Указанные две параболы пересекаются в точках (0; 0) и (2; 4). Решения уравнения при у > х^ — множество точек, принадлежащих выделенным на рис. 77 двум частям параболы у = 2х^ - 2х. Решения неравенства у < х^ — это множество точек, расположенных ниже параболы у = х^ (рис. 78). При этом должно выполняться уравнение у = 2х т. е. интересующие нас точки должны лежать на прямой у = 2х. Решения заданного уравнения — 68 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Рис. 77 множество точек, принадлежащих выделенным на рис. 78 частям прямой. График заданного уравнения представлен на рис. 79. ■ Завершая параграф, рассмотрим несколько примеров, в которых удается решить неравенство с двумя переменными, не прибегая к помощи координатной плоскости. Пример 4. Решить неравенство 4л;2 - 4л: + 5 < у2 + Ю{, + 27 • Решение. Выполним некоторые преобразования заданного неравенства: Рис. 79 (2х-1)^ + 4< (,,5)3^2- Обозначим левую часть неравенства р(х), а правую — Достаточно очевидно, что для любого х выполняется неравенство р(л:) > 4. Поскольку знаменатель дроби q(y) не меньше чем 2, сама дробь не больше чем 4. Итак, для любых пар (х\ у), удовлетворяющих заданному уравнению, должна выполняться следующая цепочка: 4 < р(х) < q(y) < 4, 69 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ а это возможно тогда и только тогда, когда р(х) = 4 и q(y) = 4. Из уравнения р(х) = 4 получаем х = ^; из уравнения q(y) = 4 получаем У = -Ъ. Ответ Пример 5. Найти целочисленные решения неравенства: а) 4^2х + Zy -1 + - Зу - 5 < 2,5; б) линейных уравнении 3(д: + 2f + 4(1/ + 3)" 8 ■ Решение, а) Если Ху у — целые числа, то подкоренные выражения — целые числа; нас, естественно, интересуют лишь неотрицательные значения подкоренных выражений. Если хотя бы одно из этих выражений больше нуля (т. е. равно 1, 2, 3, ...), то левая часть неравенства уж во всяком случае не меньше чем 3, что нас не устраивает. Значит, устроить нас может лишь один случай: когда оба подкоренных выражения одновременно обращаются в нуль. Таким образом, задача сводится к решению системы \2х Зу = 7, [4х -Зу = 5. Находим решение этой системы: х = 2; у = 1. 10 б) Преобразуем данное неравенство: 3(л: + 2f + Цу + 3)^ < Поскольку 3(х + 2)^ > О, должно выполняться неравенство Х6 4 Чу + 3)^ < у, Т. е. (у + 3)* < g . Это возможно только в трех случаях: у = -3, у = -2, у = -4. Рассмотрим каждый из этих случаев по отдельности. Если у = -3, то заданное неравенство принимает вид (х + 2f < 10 < Это верно при следующих целочисленных значениях х: -3, -2, -1. Таким образом, получили три решения заданного неравенства: (-3; -3), (-2; -3), (-1; -3). Если у = -2 или ^ = -4, то заданное неравенство принимает вид (л; + 2)^ < I. 70 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Это верно лишь при х = -2. Таким образом, получили еще два целочисленных решения заданного неравенства: (-2; -2), (-2; -4). Ответ: а) (2; 1); б) (-3; -3), (-2; -3), (-1; -3), (-2; -2), (-2; -4). §10. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМАМИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Системы уравнений с двумя переменными встречались вам в курсе алгебры 7-го класса — это были системы двух линейных уравнений с двумя переменными. В предыдущем параграфе мы говорили о более сложных, чем линейные, уравнениях с двумя переменными, теперь рассмотрим системы таких уравнений. Определение L Уравнения р(х; у) = О и q(x; у) = О образуют систему уравнений, если поставлена задача найти все пары чисел (х; у), удовлетворяющие одновременно обоим уравнениям. Пишут р(х; у) = О, д(х; у) = 0. Пару чисел (х; у), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы, называют решением системы уравнений. Решить систему уравнений — это значит найти все ее решения или установить, что решений нет. Например, пара (3; 7) — решение системы уравнений х^ у^ = 58, у - X = 4. (1) В самом деле, эта пара удовлетворяет как первому, так и второму уравнению системы, значит, является ее решением. А пара (5; 9) не является решением системы (1): она не удовлетворяет первому уравнению (хотя и удовлетворяет второму уравнению системы). Разумеется, переменные в уравнениях, образующих систему уравнений, могут быть обозначены и другими буквами, например: а и Ь, S и t, и и V и т. д. Но в любом случае при записи ответа в виде пары чисел используют лексикографический способ, т. е. на 71 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ первое место ставят ту из двух букв, которая в латинском алфавите встречается раньше. Систему уравнений можно решать графическим методом: надо построить график первого уравнения, затем построить график второго уравнения и найти точки пересечения этих графиков; координаты каждой точки пересечения служат решением системы уравнений. Пример 1. Решить систему уравнений = 16, у - X = 4. Решение. 1) Построим график уравнения -I- = 16 — окружность с центром в начале координат и радиусом 4 (рис. 80). 2) Построим график уравнения у - х = 4. Это прямая, проходящая через точки (0; 4) и (-4; 0) (см. рис. 80). 3) Окружность и прямая пересекаются в точкахАиВ (см. рис. 80). Судя по построенной геометрической модели, точка А имеет координаты (-4; 0), а точка В — координаты (0; 4). Проверка показывает, что на самом деле пары (-4; 0) и (0; 4) являются решениями каждого уравнения системы, а значит, и решениями системы уравнений. Следовательно, заданная система уравнений имеет два решения: (-4; 0) и (0; 4). Ответ: (-4; 0); (0; 4). Пример 2. Решить систему уравнений \2х^ - у = 0, [xj/ = 2. Решение. 1) Графиком первого уравнения является парабола у = 2х^ (рис. 81). 2 2) Графиком второго уравнения является гипербола У = ~ (см. рис. 81). 3) Парабола и гипербола пересекаются, судя по чертежу, в точке А(1; 2). Проверка показывает, что действительно пара (1; 2) является решением каждого уравнения системы, а значит, и решением системы уравнений. Следовательно, заданная система уравнений имеет одно решение: (1; 2). Ответ: (1; 2). 72 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ Рис. 80 Рис. 81 Графический метод решения систем уравнений красив, но ненадежен: во-первых, потому что графики уравнений удается построить далеко не всегда; во-вторых, даже если графики уравнений удалось построить, точки пересечения могут быть не такими «хорошими», как в специально подобранных примерах 1 и 2, а то и вовсе окажутся за пределами чертежа. Значит, нужно иметь более надежные алгебраические методы решения систем двух уравнений с двумя переменными. Об этом пойдет речь в следую-щ;ем параграфе. Пример 3. Сколько решений имеет система уравнений -н ^2 = 16, у = + а при различных значениях параметра а при условии, что а > -10? Решение. Графиком уравнения = 16 является окруж- ность радиусом 4 с центром в начале координат (рис. 82). Графиком уравнения у = х^ а является парабола с вершиной в точке (0; а) (см. рис. 82). Число решений системы, т. е. число точек пересечения параболы и окружности, зависит от положения вершины параболы, т. е. от значения параметра а. Рис. 82 73 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Рис. 83 Рис. 84 ЕЗсли а > 4, то парабола и окружность не пересекаются (см. рис. 82), значит, система не имеет решений. Если а = 4, то парабола и окружность имеют единственную общую точку (0; 4) (см. рис. 82), значит, система имеет одно решение. Если -4 < а < 4, то парабола и окружность пересекаются в двух точках (рис. 83), значит, система имеет два решения. Если а = -4, то парабола и окружность имеют три общие точки (рис. 84), значит, система имеет три решения. Если а = -10, то парабола и окружность пересекаются в четырех точках. Убедиться в этом можно так: парабола ^ - 10 пересекает ось х в точках ->/io И VlO . Обе эти точки лежат внутри круга (рис. 85; здесь масштаб уменьшен по сравнению с рис. 82—84). Аналогичная ситуация имеет место и в случае, когда -10 < а < -4. Ответ: нет решений, если а > 4; одно решение, если а = 4; два решения, если -4 < а < 4; три решения, если а = -4; четыре решения, если Рис. 85 -10 < а < -4. 74 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Пример 4. Найти целочисленные решения системы уравне-[2х^ - Зу^ = 96, НИЙ i [2ху + 5л: = 8у + 22. Решение. Преобразуем второе уравнение: х = ^ (деле- Zy + о ние на 2у + 5 возможно, поскольку это выражение не обращает- 2 ся в нуль при целочисленных значениях у); л: = 4 + 2у + Дробь ^ должна быть целым числом. Значит, для ее знаменателя есть 4 возможности: он может быть равен -1,1, -2, 2. Из уравнения 2у + 5 = -1 находим у = -3; из уравнения 2у + 5 = 1 находим у = -2; уравнения 2^ + 5 = 2,2у + 5 = -2 целочисленных корней не имеют. Итак, либо у = -3, либо у = -2. Подставим поочередно каждое из этих значений в первое уравнение заданной системы. Если у = -3, то первое уравнение принимает вид 2л:^ -f- 81 = 96; это уравнение не имеет целочисленных корней. Если ^ = -2, то первое уравнение принимает вид 2л:^ -f- 24 = 96; это уравнение имеет целочисленные корни: л: = ±6. Ответ: (6; -2), (-6; -2). Определение 2, Если поставлена задача найти такие пары чисел (л:; у), которые одновременно удовлетворяют неравенствам р(х\ у) > О и q(x\ у) > О, то говорят, что указанные неравенства \р(х; у) > О, образуют систему неравенств < [д(д:; у) > 0. Пару чисел (л:; у), которая одновременно является решением и первого и второго неравенств системы, называют решением системы неравенств. Решить систему неравенств — значит найти все ее решения (или установить, что решений нет). Пример 5. Решить систему неравенств ^2х - Зу < 6, [х у 7 > 0. Решение. 1) Построим график уравнения 2х - Зу = 6. Это прямая, проходяш;ая через точки (3; 0) и (0; -2). Возьмем в качестве контрольной точку (0; 0), расположенную выше построенной 75 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ Рис. 86 Рис. 87 Рис. 88 прямой; ее координаты удовлетворяют неравенству 2х - Зу < 6. Значит, геометрическим решением первого неравенства заданной системы служат полуплоскость, расположенная выше прямой, и сама прямая (поскольку заданное неравенство нестрогое) (рис. 86). 2) Построим график уравнения л: -f- ^ -f- 7 = 0. Это прямая, проходящая через точки (-7; 0) и (0; -7). Возьмем в качестве контрольной точку (0; 0), расположенную выше построенной прямой; ее координаты удовлетворяют неравенству х у 7 > 0. Значит, геометрическим решением второго неравенства заданной системы служат полуплоскость, расположенная выше прямой, и сама прямая (рис. 87). 3) В качестве решений заданной системы неравенств следует взять все общие точки построенных полуплоскостей, т. е. их пересечение (заштриховано на рис. 88). ■ 76 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Рис. 90 г i \ \ г у К'»' о \ X ■2- 1 и = л .2 _ 4д 1_ 1 1 1 1 1 Рис. 91 Пример 6. Решить систему неравенств \у>х^ - 4л: + 1, < л: - 3. Решение. Надо найти пересечение множества решений неравенства ^ > л:^ - 4л: + 1 (рис. 89) и неравенства у < х - 3 (рис. 90). Искомое множество решений изображено на рис. 91 — параболический сегмент. Ш Пример 7. Найти целочисленные решения системы неравенств yj2x + 3^-6 < Vs - 1, ->!■ (X - 2yf Решение. Если х, у — целые числа, то 2л: -f- 3^ - 6 — целое число. Поскольку оно содержится под знаком квадратного корня, оно должно быть неотрицательным: 0, 1, 2, 3, ... Но уже значение 2 нас не устраивает, поскольку V2 > Vs - 1. Значит, нас интересуют только два случая: 2л: + 3^ - 6 = 0 или 2л: -f- 3^ - 6 = 1. Выполним преобразования второго неравенства системы: (х - 2yf + 1 < I; (х- 2yf < I. Это возможно лишь при условии, что л: - 2у = 0. в итоге задача сводится к решению совокупности двух систем линейных уравнений: [2л: + 3^ = 6, |2л: + 3^ = 7, 1л: = 2^; [л: = 2у. 77 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ Первая система не имеет целочисленных решений, а из второй системы находим: х = 2^ у = 1. Ответ: (2; 1). §11. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 1. Метод подстановки Этот метод вы уже применяли в 7-м классе при решении систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Он заключается в том, что из одного уравнения системы одну из переменных выражают через другую, затем полученное выражение подставляют во второе уравнение системы и решают его относительно оставшейся переменной. Найдя корни последнего уравнения, ищут соответствующие значения выраженной переменной. Выше (см. последний пример в § 8) мы уже фактически реши- ли методом подстановки систему уравнении Рассмотрим еще несколько примеров. 4 У = ^х, [(д: - 3)^ + 1/^=6. Пример 1. Решить систему уравнений \х + Zy = 5, [л:г/ = 2. Решение. 1) Выразим х через у из первого уравнения системы: X = Ъ - Зу. 2) Подставим полученное выражение вместо х во второе уравнение системы: (5 - Зу)у = 2. 3) Решим это уравнение: 6у - 3Z/2 = 2; 3Z/2 - 51/ + 2 = 0; . 2 У1 = 1, У2 = 3- 4) Подставим поочередно каждое из найденных значений у 2 в уравнение х = Ъ - Зу. Если ^ = 1,тол: = 5- 3- 1 = 2; если У = ^ « 2 ^ тол: = 5- 3- g =3. 78 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ 5) Пары (2; 1) и |з; || — решения заданной системы уравнений. Ответ: (2; 1); |з; |j. Пример 2. Решить систему уравнений \у^ - 2ху - Зл:^ = О, [л:" + г/з = 28. Решение. Поработаем с первым уравнением системы. Это однородное уравнение второй степени (см. § 9). Если л: = О, то у = 0; сразу заметим, что пара (0; 0) не удовлетворяет второму уравнению системы, т. е. не является решением системы. Если л: 0, то обе части первого уравнения системы можно почленно разделить У на и затем ввести новую переменную -2? = ”• - 2ху - Зх^ = 0; (|)' - - 3 = 0; 2^ - 2z - 3 = 0; 2i = 3, 22 = -1. Значит, либо ^ = 3, т. е. у = Зх, либо ^ = -1, т. е. у = -х. В итоге получаем совокупность двух систем уравнений: \у = Зх, (у = -X, [л:" + 1/3= 28; + уЗ = 28. Подставив Зх вместо у во второе уравнение первой системы, получим: л:3 + (3xf = 28; 28л:3 = 28; л: = 1. Итак, X = 1, а. поскольку у = ЗХу получаем у = 3. Подставив -X вместо у во второе уравнение второй системы, получим уравнение х^ + (-л:)з = 28, которое не имеет корней. Значит, вторая система не имеет решений. Ответ: (1; 3). Пр и м е р 3. Чему равно наименьшее значение выражения J/) = |2х - «/ - 4| + + + + 9 и при каких значениях переменных оно достигается? 7» СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ Решение. Здесь \2х - ^ - 4| > О и X* +- + -^ + 9 > 3, поскольку fTfTJTi = Р -ь 2)’ ь 9. Если существует такая пара (х; у), при которой одновременно выполняются равен- ства \2х - у - 4\ = 0и +9 = 3, то Реим= 3. Фактически задача сводится к решению системы уравнений 2х - у - 4 = Оу х^ + - = 0. У Выразим у из первого уравнения: у = 2х - 4:. Подставим полученное выражение вместо у во второе уравнение: 2 + = 0; 2д: - 4 х^ - 2х^ -f- 1 = 0; (х^ - 1) - 2(х^ - 1) = 0; (X - 1)(х^ + л: + 1) - 2(л: - 1)(х + 1) = 0; (х - 1)(х^ - л: - 1) = 0. Из последнего уравнения находим: Xi = 1, Х2 = 1 + S 2 ‘>^3= 2 • Соответственно по формуле у = 2х - 4 находим: z/i = -2, у% = - 3, Уз = -'1ь - 3. Ответ: р,иам = 3, достигается при следующих парах значений переменных: (1; -2), ’ >^5 - з|, ~ • До сих пор мы говорили о системах двух уравнений с двумя переменными. Встречаются и системы уравнений с другим числом переменных, например с тремя переменными. Решить систему трех уравнений с тремя переменными Pi(x; у; 2) = о, • Р2(х; у; г) = 0, Рз(х; у; г) = о — это значит найти все тройки чисел (х; у; 2), при подстановке которых во все уравнения системы получаются верные числовые 1 - ч/б 80 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ равенства. Каждую такую тройку чисел называют решением системы трех уравнений с тремя переменными. В следующем примере мы покажем, как используется метод подстановки для решения системы трех уравнений с тремя переменными. Пример 4. Решить систему уравнений Ах - Zy - 2 = О, 2л: + ^ + 52 = 2, Зл: - 2^ + 42 = -4. Решение. Выразим г из первого уравнения системы: 2 = 4л: -- Zy. Подставим полученное выражение вместо 2 во второе и третье уравнения системы: 2 = Ах - Zy, 22х - 1Ау = 2, 19л: - 1Ау = -А. 2 = Ах - Zy, ^ 2х у 5(Ах - Zy) = 2, Зл: - 2у А(Ах - Zy) = -А. Из второго уравнения находим: 1Ау = 22х - 2. Подставив выражение 22л: - 2 вместо 14^ в третье уравнение системы, получим: 19л: - (22л: - 2) = -А; х = 2. Подставив значение л: = 2 во второе уравнение системы, получим: у = Z. Подставив, наконец, значения л: = 2, ^ = 3 в первое уравнение системы, получим: 2 = -1. = 2, Ответ можно записать двумя способами: либо ^ ^ = 3, 2 = -1, либо (2; 3; -1). ■ Пример 5. Решить систему уравнений \Ах^ + 4л: + 9^2 - 12^ + 5 = О, [4л: + 3^ + 2^ = 27. Решение. Первое уравнение можно преобразовать к виду 1 2 (2л: + 1)2 + (Zy - 2)2 = О, откуда находим: ^ = ~2’ ^ “ 3* найденные значения во второе уравнение системы, получим: -2 + 2 + 2^ = 27; 2 = 3. Ответ 81 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 2. Метод алгебраического сложения Этот метод, как и метод подстановки, знаком вам из курса алгебры 7-го класса. Суть метода напомним с помощью примера. Пример 6. Решить систему уравнений [2х -h ху + 2 = О, [4^ + Зхг/ + 30 = 0. Решение. Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а второе уравнение оставим без изменения: {бх + Зху + 6 = 0, [4^ + Зху + 30 = 0. Вычтем второе уравнение системы из ее первого уравнения: (6л: + Зху + 6) - (4^ + Зху + 30) = 0-0; 6л: - 4^ - 24 = 0; Зл: - 2^ - 12 = 0. В результате алгебраического сложения двух уравнений исходной системы получилось уравнение более простое, чем первое и второе уравнения заданной системы. Этим более простым уравнением мы имеем право заменить любое уравнение заданной системы, например второе. Тогда заданная система уравнений заменится более простой: |^2л: + ху + 2 = 0, [Зл: - 2^ - 12 = 0. Эту систему можно решить методом подстановки. Из второго Зд: - 12 уравнения находим у = —^—5 подставим это выражение вместо у в первое уравнение системы: 2л: + л: —^-----Ь 2 = 0; Зл:^ - 8л: + 4 = 0; л:х = 2, Х2= |- Осталось подставить найденные значения х в уравнение у = —2—• Если X = 2, то у = -3; если х = то ^ = -5. Ответ: (2; -3); ^|; -б). 82 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 3. Метод введения новых переменных С методом введения новой переменной при решении уравнений с одной переменной вы познакомились в курсе алгебры 8-го класса. Суть этого метода при решении систем уравнений та же, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности. Мы их обсудим в следующих примерах. Пример 7. Решить систему уравнений - + ^ = 2,5, У X - г/2 = 3. Решение. Введем новую переменную ^ ^ • Тогда первое уравнение системы можно будет переписать в более простом виде: f -I- J =2,5. Решим это уравнение относительно переменной t: t + j = |; - 5t + 2 = 0; tl = 2, t2=\. X X X \ Ho t = —у значит, либо — = 2, т. e. л: = 2^, либо — = 7:, т. е. у У у 2’ У = 2х. Таким образом, с помощью метода введения новой переменной нам удалось как бы «расслоить» первое уравнение системы на два простых уравнения: х = 2у; у = 2х. Теперь задача сводится к решению совокупности двух систем уравнений: {х = 2у, {у = 2Ху '-^2=3; [л:2 - г/2 = 3. При решении первой системы уравнений воспользуемся методом подстановки, тем более что здесь для него все готово: подставим выражение 2у вместо х во второе уравнение системы. Получим: (2yf - Z/2 = 3; Z/2 = 1; У1 =1, У2 = -1. 83 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Так как х - 2у, то Xi = 2, Х2 = -2. Тем самым получены два решения заданной системы: (2; 1) и (-2; -1). При решении второй системы уравнений снова воспользуемся методом подстановки: подставим выражение 2х вместо у во второе уравнение системы. Получим: - (2хУ = 3; ^ - 1. Это уравнение не имеет корней, значит, и система уравнений не имеет решений. Таким образом, в ответ надо включить только решения первой системы. Ответ: (2; 1); (-2; -1). Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными можно применять не только в одном уравнении системы (как было в примере 6), но и в обоих уравнениях системы одновременно. Так будет обстоять дело в примере 8. Пример 8. Решить систему уравнений 2 3 X - Зу 8 2х + у 9 = 2, = 1. Тогда X - Зу 2х + у Решение. Введем две новые переменные: а = 8 9 Зу ,Ь = 2х + у' X - Зу = 4а, X - Зу = ЗЬ. Это позволит переписать заданную систему в значительно более простом виде, но относительно новых переменных а и Ь: а + Ь = 2, 4а - ЗЬ = 1. Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения: -f- За + ЗЪ — 6, 4а - ЗЬ = 1 7а = 7; а = 1. 84 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Так как а = 1, то из уравнения а + Ь = 2 находим, что Ь = 1. Таким образом, относительно переменных аиЬ мы получили одно решение {а = 1, [Ь = 1. Возвращаясь к переменным х и у, получаем систему уравне- нии X - Sy 3 2х + у = 1, = 1, т. е. \х - Зу = 2, [2л: + у = 3. Применим для решения этой системы метод алгебраического сложения: + X - Зу = 2, 6л: + Зу = 9 7л: = 11; 11 л: ■ 7 • 11 Так как л: = ^, то из уравнения 2л: + у = 3 находим: у = 3 - -2л: = 3- 2* ^ - Таким образом, относительно переменных л: и у мы получили одно решение: 11 1 Ответ: Вы знаете, что основная идея решения уравнения состоит в постепенном переходе от одного уравнения к другому, более простому, но равносильному заданному. В предыдущем параграфе мы ввели понятие равносильности для уравнений с двумя переменными. Это понятие применимо и для систем уравнений. 85 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ Определение. Две системы уравнений с двумя переменными называют равносильными, если их решения совпадают или если обе системы не имеют решений. Методы, которые мы обсудили в этом параграфе (метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод введения новых переменных), абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами, используя эти методы, заменяем одну систему уравнений другой, более простой, но равносильной первоначальной системе. 4. Методы умножения и деления Иногда при решении систем двух уравнений с двумя переменными \Piix; у) = Qiix; у), [Мх; у) = Я2(х; у) ВЫГОДНО составлять уравнение-произведение Pi(x\ у)р2(х; у) = qi(x; y)q2(x; у), выгодно в том смысле, что это уравнение может оказаться более простым, чем любое из уравнений системы. Тогда и система уравнений \Мх; у)Р2(х; у) = дЛх; у)д2(х; у), [Р2(х; у) = д2(х; у) или \Piix-, у)р2(х; у) = gi(x; у)дг{х-, у), у) = д^{х\ у) оказывается более удобной для последующего решения. В этом суть метода умножения. Однако при его использовании следует учитывать, что возможно появление посторонних решений. Смотрите: если пара (лго; Уо) такова, что P2(Xq\ Уо) = q2(Xo; уо) = О, то эта пара автоматически становится решением системы lPi(x; у)р2(х; у) = qi(x; y)q2(x; у), \р2(х; у) = q2(x; у) (обе части обоих уравнений системы при значениях х = Xq, у = уо одновременно обращаются в 0). Но эта пара вовсе не обязана удовлетворять первому уравнению исходной системы Pi(x; у) = = qi(x; у), а значит, может не быть решением исходной системы. 86 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Вывод. При использовании метода умножения не следует забывать о необходимости проверки всех найденных решений (чаще всего с помощью их непосредственной подстановки в заданную систему уравнений). Пример 9. Решить систему уравнений ху -6 = X ху 24: = —. У Решение. Перемножим уравнения системы и рассмотрим уравнение-произведение совместно с первым уравнением системы: (ху - &)(ху + 24) = ^ 11^ Uy = 8, Выразив X через у из первого уравнения и подставив выра- g жение “ вместо х во второе уравнение, получим: у^ = 16; ух = 2, 1/2 = “2 и соответственно Xi = 4, ^2 = -4. Подставив найденные пары (4; 2) и (-4; -2) в исходную систему, убеждаемся в том, что обе они удовлетворяют системе, а потому являются ее решениями. Ответ: (4; 2), (-4; -2). Иногда при решении систем двух уравнений с двумя переменными [Piix; у) = qi{x-, у), 1р2(х; у) = Qiix; у) выгодно составлять уравнение-частное Pi(x; у) qi{x, у) выгодно Рг{Х\ у) ~ QiiX, J/)’ В ТОМ смысле, что это уравнение может оказаться более простым, чем любое из уравнений системы. Тогда и система уравнений [ Pijxi у) ^ qi(,x; у) ^ (pi(x; у) _ q^jx; у) \рг(х-,у) qzix-, уУ njoii \рг(х: у) Уг(х;уУ [а(л:; у) = дг(х; у) [pi(jc; у) = g,(x; у) 87 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ оказывается более удобной для последующего решения. В этом суть метода деления. При его использовании следует помнить, что на нуль делить нельзя. Но ведь не исключено, что может существовать пара (Хо; уо), такая, для которой Р2(Хо; уо) = У2(Хо; уо) = О, и если это так, то лучше разделить второе уравнение на первое (при условии, что в этом случае такой опасности не будет) или проверить пару (jcq; уо) на предмет того, не является ли она «потерянным» в результате деления решением заданной системы. Пример 10. Решить систему уравнений I ху(х у) = 30, [ху(х - у) = 6. Решение. Применив метод деления, получим систему уравнений ху(х + у) ^ ^ ху(х - у) 6 ху(х - у) = 6. Заметим сразу, что здесь нет той опасности, о которой мы говорили выше, поскольку обе части второго уравнения заданной системы (уравнения-делителя) не могут одновременно обратиться в нуль (это очевидно, так как правая часть этого уравнения явно отлична от нуля). Преобразуем первое уравнение полученной системы: ху(х + у) ху(х - у) 30 X + у ^ к, ч Зх = T’ 7^ = 5; X + у = 5(х - у); у = Y- В итоге приходим к более простой системе уравнений: ху(х - у) = 6. Она без труда решается методом подстановки. Ответ: (3; 2). В заключение приведем пример решения системы трех уравнений с тремя переменными, где используется комбинация рассмотренных методов. 88 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Пример 11. Решить систему уравнений ху + = -4, ух = -1, [гх 2у = -9. Решение. Присвоим для удобства уравнениям системы значки, соответственно, (1), (2), (3) и составим следующую ком- (1) + (2) + (3) 2 бинацию уравнений системы: - (3). Имеем: {ху + XZ) + {уг + ух) + {гх + гу) - {гх + гу) = -4-1-9 - (-9), 2 2 откуда после преобразований получим достаточно простое уравнение: ху = 2. Подставив в первое уравнение заданной системы вместо ху значение 2, получим: хг =-6. Подставив во второе уравнение заданной системы вместо ху значение 2, получим: уг = -3. Тем самым мы пришли к более простой системе уравнений: ху = 2, ^ ЛГ2 = -6, [уг = -3. Перемножив все три уравнения этой системы, получим: (xyzf = = 36; значит, либо хуг = 6, либо хуг = -6. Если хуг = 6, то, учитывая, что уг = -3, получаем: х = -2. Сопоставив уравнение хуг = 6 с уравнением хг = -6 у приходим к выводу, что у = -1. Из уравнений хуг = 6 и ху = 2 вытекает, что 2 = 3. Тем самым получено решение системы: (-2; -1; 3). Если хуг - -6, то учитывая, что уг = -3, получаем х = 2. Сопоставив уравнение хуг = -6 с уравнением хг = -6, приходим к выводу, что ^ = 1. Из уравнений хуг = -6 и ху = 2 вытекает, что Z = -3. Тем самым получено решение системы (2; 1; -3). Ответ: (-2; -1; 3); (2; 1; -3). §12. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ. СИММЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ в этом параграфе речь пойдет о двух специальных видах систем двух уравнений с двумя переменными, представляющих определенный интерес, — об однородных и симметрических системах. 89 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Систему уравнений у) = а, q{x\ у) = Ь называют однородной, если р(х; у), q(x; у) — однородные многочлены, а а и Ь — действительные числа. Если р(х; у) и q(x; у) — однородные многочлены одной и той же степени, то идея решения однородной системы достаточно проста. Она сводится к тому, что с помощью составления некоторой комбинации уравнений системы можно получить однородное уравнение. Впрочем, если в заданной системе а = 0 или Ь = О, то в системе уже есть однородное уравнение, которое, как мы видели в § 9, решается методом введения новой переменной ^ Если оба числа а и Ь отличны от нуля, то, применив метод деления, получим систему, равносильную данной: Р(х; у) ^ а q(x; у) Ь ’ q(x; у) = Ь. Переписав первое уравнение системы в виде Ьр(х; у) - aq(x; у) = О и выполнив соответствующие преобразования, получим однородное уравнение. Пример 1. Решить систему уравнений х^ у^ = 1, х^у + 2ху^ + = 2. Решение. Левые части обоих уравнений системы — однородные многочлены третьей степени, значит, система является однородной. Применив метод деления (здесь он не приведет к потере решений), получим: Х^ + у^____1^ {х + у){х^ - ху + у^) _ 1^ х^у + 2ху^ + у^ ~ 2 ’ у{х + уУ ~ 2 ’ - дху + 2х^ = 0; (|)' - 3 J +2 = 0. 90 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Введя новую переменную -2^ = ” > получим квадратное уравнение - 32 + 2 = О с корнями Zi = 1, 22 = 2. Значит, либо — = 1, т. е. у = X, либо “ = 2, т. е. у = 2х. В итоге приходим к совокупности двух систем, каждая из которых существенно проще заданной системы и без труда решается методом подстановки: \у = Ху 1у = 2Ху -I- = 1; [х^ у^ = 1. Подставив X вместо у во второе уравнение первой системы, получим: 2х^ = 1; х^ = Удобнее переписать последнее уравнение 4 в виде = g. В курсе алгебры 8-го класса мы уже встречались 4 /4 с кубическими корнями. Из уравнения = g получаем: ^ = v g • ^ Ifl ^ г. ^ Заметим, что имеет место равенство \g “ ^ ~ ~2‘' ^• Итак, первая система имеет решение -^j. Подставив 2х вместо у во второе уравнение второй системы, получим: 9дс^ = 1; Удобнее переписать последнее уравнение в виде ^ ^ • Получим: х = , т. е. х = . Тогда у -2х= . XX 2^\ Итак, вторая система имеет решение —g-j- Ответ: —J- Для введения понятия симметрической системы нам понадобится понятие симметрического выражения. Выражение р(х; у) называют симметрическим, если оно сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х. Соответственно, уравнение у) = 0 называют симметрическим уравнением, если его левая 91 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ .2 у2 + ^ И т. д. часть — симметрическое выражение. Например, симметрическим является выражение х^у + ху^. В самом деле, при одновременной замене л: на ^ и ^ на л: получится выражение у^х + ух^, но это то же самое, что х^у + ху^. Приведем еще несколько примеров симметрических выражений: ху, х + у, + у\ X® + у\ ^ у д; Первые два из них считаются основными в том смысле, что любые другие симметрические выражения можно представить в виде некоторой комбинации ху х у. Смотрите: х^ + у^ = {х + yf - 2ху; у^ = (х^ + Зх^у + Зху^ + у^) - (Зх^у + Зху^) = = (^ + yf - Sxy(x + у); X* + у* = (х^ + y^f - 2х^у^ = ((х + yf - 2xyf - 2(xyf-, 1 I i _ ^ + У £i + у1 _ _ (x + yf - 3xy(x + y) X у ~ xy ’ у X ~ xy ~ xy Систему двух уравнений с двумя переменными называют симметрической системой, если она состоит из симметрических уравнений. Идея решения симметрической системы фактически предопределена проведенными выше рассуждениями — вводят две новые переменные: и = х-\-уии = ху. Пример 2. Решить систему уравнений \х^ + х^у^ + = 17, [х ху у = 5. Решение. Введем две новые переменные: и = х у, и = ху. Воспользуемся при этом полученным выше выражением х^ + у^ через X у и ху: X® + I/* = (х + yf - 3xj/(x + у). Тогда заданная система примет вид \и^ - Зии + и" = 17, [w + и = 5. Выразим и из второго уравнения: и = 5 - и; подставим полученное выражение вместо и в первое уравнение системы: /3 - Зи(5 - W) + (5 - uf = 17; - 15и + Зи^ + 125 - 7Ьи + 15и^ - = 17; 92 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 18и^ - 90и + 108 = 0; 1/2 - 5w + 6 = 0; щ = 2, 1/2 = 3. Соответственно находим: = 3, ^2 = 2. Осталось решить совокупность двух простых систем уравнений; \х у = 2, 1х-\-у = 3, [ху = 3; \ху = 2. Первая система не имеет решений, из второй находим два решения: (1; 2), (2; 1). Ответ: (1; 2), (2; 1). § 13. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СИСТЕМЫ С МОДУЛЯМИ в предыдущих параграфах мы рассматривали только системы рациональных уравнений. На самом деле методы решения систем уравнений, о которых шла речь выше, универсальны, они применимы и для решения систем уравнений других классов. В этом параграфе мы рассмотрим примеры решения иррациональных систем, т. е. таких систем, у которых хотя бы в одном уравнении переменные содержатся под знаком корня, а также примеры решения систем с модулями, т. е. таких систем, у которых хотя бы в одном уравнении переменные содержатся под знаком модуля. Пример 1. Решить систему уравнений = 2, Зле - 2у 2х 2х Зле - 2у 41/2 - 1 = Решение. Введем новую переменную: ц = ^ Зле - 2у 2х * Тогда первое уравнение системы примет вид и — =2, откуда находим I/ = 1. Значит, 93 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Нам удалось преобразовать первое уравнение заданной системы к существенно более простому виду. Но тогда и саму систему можно переписать в более простом виде: {х = 2у, W - 1 = Ых - 1). Решения этой системы без труда находятся методом подстановки. Ответ: (2; 1); (1; 0,5). Пример 2. Решить систему уравнений _ ^jx + у/у + yjx - у[у = 2, yjy + у/х - у1у - у/х = 1. Решение. Возведем в квадрат обе части обоих уравнений системы: [yjx + у[у + yjx - yJy) = 4, - у1у - yfx) = 1; \х + yJy + 2yjx + yJy ■ yjx - yJy + X - yJy = 4, [i/ -I- Vie - 2yjy + yfx ■ yjy - yfx + у - yjx = 1; (yjx^ -yf - (2 - x)\ \ x + yjx^ - у = 2, [2y - 2yjy^ - X = 1; [2yjy^ - xf = {2y - 1)^ - У = A - Ax + 4y^ - x) = Ay^ -4^ + 1; у = Ax - Ay Ay - Ax = 1. Решив эту систему двух линейных уравнений с двумя пере-17 5 менными, получим: х = ^у у = Проверка. Поскольку в процессе решения мы четыре раза возводили обе части уравнения в квадрат, возможно появление посторонних решений, а потому необходима проверка. Ее в принципе можно сделать с помощью непосредственной подстановки 94 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ U U 17 5 „ найденных значении ^ ^ “ 3 ® Уравнения исходной системы, но тогда придется повозиться с квадратными корнями. Воспользуемся другим способом проверки. Известно, что при возведении обеих частей уравнения в квадрат посторонние решения не появятся, если обе части уравнения принимают только неотрицательные значения. Это явно имело место при возведении в квадрат обоих уравнений исходной системы. При возведении в квадрат уравнений системы \^1х^ - у = 2 - X, [2yjy^ - X = 2у -1 неотрицательность всех частей уравнений обеспечивается следующими условиями: х^ - у > о, у^ -х> О, ' 2 - х> О, 2у -1>0. Найденные значения ^ У = § удовлетворяют всем этим условиям, значит, удовлетворяют заданной системе уравнений. Ответ: (||; |). Пример 3. Решить систему уравнений 2^ = yjx + у + 7* - 1/. Решение. Здесь имеет смысл применить метод умножения: 2^ ■ = (7* + у + 7^ - г/)(7* + у - 7* - «/); 8 = (дс + I/) - (дс - у); у = 4. 9S СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Подставив значение 4 вместо у во второе уравнение исходной системы, получим иррациональное уравнение с одной переменной: 2^ = >jx + 4 - -Jx - 4; (1) = (Vx + 4 - •Jx - аУ; 4x , . — = X -h 4 5 2y/x“ - 16 + X - 4; byjx^ - 16 = 3x; 25(x^ - 16) = 9xh = 25; Xi = 5, X2 = -5. Значение -5 не удовлетворяет уравнению (1), значение 5 — удовлетворяет. Итак, получили х = 5, у = 4. Проверка (подстановкой найденных значений в исходную систему) убеждает нас в том, что пара (5; 4) — решение заданной системы. Ответ: (5; 4). Пример 4. Решить систему уравнений \х - 1\ . у - X + 1 . У У у^ 2х = 2\х - 1\ - у 4. Решение. Освободившись от знаменателей в первом уравнении системы и уединив слагаемое 2|л: - 1| во втором уравнении системы, получим: \\х - 1\ = 4ху + + у - X + 1 - 4у, [2\х ~1\= у’^ + 2х + у - 4. Если лс > 1, то лс - 1 > О, а потому |л:-1| = х-1.В этом случае первое уравнение системы принимает вид X - 1 = 4ху у^ - Зу - X 1у т. е. 4ху у^ - Зу = 2х - 2. Второе уравнение системы в этом случае принимает вид 2(х - 1) = + 2л: + ^ - 4, т. е. + у - 2 = 0. Если л: < 1, то л: - 1 < о, а потому \х - 1| = -(л: - 1). В этом случае первое уравнение системы принимает вид -(л: - 1) = 4л:^ + - Зу - л: + 1, т. е. 4ху у^ - Зу = 0. 96 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Второе уравнение системы в этом случае принимает вид -2(х - 1) = + 2л: + у - 4, т. е. + у = 6 - 4л:. Таким образом, получаем совокупность двух систем: х>1, 4ху + - Зу = 2х - 2, у^ + у - 2 = 0; X < 1, Аху + у^ - Зу = о, у^ + у = Q - Ах. Из последнего уравнения первой системы находим: = 1, У2 = -2. Подставив поочередно эти значения в первое уравнение первой системы, получим соответственно: Xi = О, Х2 = 1,2. Первое значение не удовлетворяет условию х > 1. Поэтому решение первой системы — пара чисел: х = 1,2, у = -2. Решим вторую систему. Из ее первого уравнения находим: у(4л: + г/ - 3) = 0. Значит, либо у = о, либо 4л: + у - 3 = 0. Но у = 0 не удовлетворяет заданной системе уравнений (точнее, ее первому уравнению). Во втором случае следует решить систему уравнений 4л: + у - 3 = о, + у = 6 - 4л:. Выразив 4л: из первого уравнения системы (4л: = 3 - у) и подставив полученное выражение вместо 4л: во второе уравнение, придем к уравнению с одной переменной у: у^ -h у = 6 - (3 - у); У^ = 3. Значит, у1= л/з, г/2 = ~7з. Так как х = то получаем: ^ _ з->/з ^ _ з + >/з ^ , Л2 - ^ Второе значение не удовлетворяет неравенству л: < 1. Таким з->/з 4 ’ образом, для второй системы найдено одно решение: х = У = 7з. Ответ: (1.2; -2); 97 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Пример 5. Сколько решений имеет система уравнений jVfl - X = Ту. \ах^ + 1/2 = 20 при различных значениях параметра а? Решение. Из первого уравнения системы получаем: у = а - х. Подставив выражение а - х вместо у во второе уравнение системы, получим уравнение с одной переменной х и параметром а: 4х^ + (а - хУ = 20; 5х^ - 2ал: + (а^ - 20) = 0; (2) а ± Ja^ - 5(а^ - 20) а ± 2>/25 - Хг,2 = --------5-------- = ----5-----. Если 25 - a^ < 0, т. е. а < -5 или а > 5, уравнение не имеет корней. Если а = 5, то JC = 1, и из условия у = а - х находим ^ = 4. Значит, при а = 5 система имеет одно решение (1; 4). Если а = -5, то л: = -1 и, соответственно, у = -4. Это значение не удовлетворяет первому уравнению заданной системы, в котором присутствует ^Jy, а потому должно выполняться условие у > 0. Значит, при а = -5 система не имеет решений. Рассмотрим случай, когда 25 - > 0, т. е. -5 < а < 5. Тогда уравнение (2) имеет два корня: а + 2>/25 - а - 2у/25 - X, = -----5-----, = ------5------. В первом уравнении заданной системы присутствует yja - х, следовательно, должно выполняться условие а - х > 0, т. е. х а. Выясним, при каких значениях параметра а указанному условию удовлетворяет Хи а при каких — Х2- -п а + 2>/25 - ^ тт Рассмотрим неравенство ---------г------ < а. Имеем: а + 2л/25 - < 5а; л/25 - а2 < 2а. Из последнего неравенства следует, что а > 0. При этом условии обе части указанного неравенства можно возвести в квадрат. Получим: 25 - а2 < 4а2; > 5; а> S 98 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (мы учли, что а > 0). Итак, значение Xi мы можем рассматривать лишь при выполнении условия Vs < а < 5. ^ а - 2>/25 - ^ Рассмотрим теперь неравенство < а, т. е. --^^ а. Имеем: а - 2л/25 - а* < 5а; у/25 - а“ > -2а. Эго неравенство явно выполняется при а > 0, точнее при 0 < а < 5. Если же -5 < а < о, то обе части последнего иррационального неравенства положительны и их можно возвести в квадрат: 25-а^> 4а^; а^ < 5; а> -^/5 (мы учли, что а < 0). Итак, значение Хг мы можем рассматривать при выполнении условия -^/5 < а < 5. Подведем итоги исследования числа решений заданной системы уравнений в случае, когда -5 < а < 5. Оказалось, что Xi устраивает нас при Vs <а<5,ал:2 — при -у/б < а < 5. Значит, уравнение (2) не имеет корней при -5 < а < -^/5, имеет один корень при < а < и два корня при Vs < а < 5. Соответствующее число решений при указанных условиях имеет и заданная система уравнений. А теперь ответим на вопрос задачи. Система не имеет решений при а < -5, при а = -5, при -5 < а < -л/б, при а > 5. Короче это можно записать так: а < -S; а > 5. Далее мы получили, что система имеет одно решение, если -Vs < а < Vs или если а = 5. Наконец, при Vs < а < 5 система имеет два решения. Ответ: нет решений при а < -Vs или а > 5; одно решение при “Vs < а < Vs или а = 5; два решения при Vs < а < 5. §14. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ СИТУАЦИЙ Некоторый опыт решения задач, сводящихся к системам уравнений, у вас есть: в 7-м классе встречались задачи, математическое моделирование которых приводило к системам линейных уравнений. Рассмотрим примеры. 99 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Пример 1. В райцентре два кинотеатра — «Факел» и «Слава», первый — на 400, а второй — на 600 мест. В зрительном зале кинотеатра «Слава» на 4 ряда больше, чем в кинотеатре «Факел», и, кроме того, в каждом ряду на 5 мест больше, чем в кинотеатре «Факел». Сколько рядов в зрительном зале кинотеатра «Факел», если известно, что в каждом ряду кинотеатра «Слава» более 25 мест? Решение. Первый .чтап. Составление математической модели. Пусть X — число рядов в кинотеатре «Факел», у — число мест в каждом ряду кинотеатра «Факел». Тогда л: + 4 — число рядов в кинотеатре «Слава», ^ + 5 — число мест в каждом ряду кинотеатра «Слава». Зная число рядов и число мест в ряду, можно найти общее число мест в каждом кинотеатре: ху — число мест в кинотеатре «Факел», (X + 4)(«/ + 5) — число мест в кинотеатре «Слава». По условию, ху = 400, а (л: + 4)(^ + 5) = 600. Таким образом мы приходим к системе двух уравнений с двумя переменными: {ху = 400, [(X -н 4)(у + 5) = 600. Второй атяп. Работа с составленной моделью. Упростим второе уравнение системы: \ху = 400, [ху 4у 6х = 580. Применим метод алгебраического сложения. Вычтем первое уравнение системы из второго: (ху + 4^ + 5л:) - ху = 580 - 400; 4^ + 5л: = 180. Заменим этим уравнением второе уравнение системы: [ху = 400, [4^ + 5л: = 180. ^ 180 - 5л Выразим у через х из второго уравнения системы: у =--^---; подставим это выражение вместо у в первое уравнение системы: 180 - 5л X ----^---= 400; Xi - 20, Х2 = 16. 100 L. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ пп 180 5jC c%f\ ос Так как у - --^---, то уг = 20, у2 - 25. Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Мы должны проанализировать две возможности: либо в кинотеатре 4(Факел» 20 рядов по 20 мест в каждом ряду, либо 16 рядов по 25 мест в каждом ряду. Если выбрать первую возможность, то в кинотеатре Слава» будет 24 ряда (по условию там на 4 ряда больше) по 25 мест в каждом ряду (по условию в каждом ряду «Славы» на 5 мест больше, чем в «Факеле»). Это нас не устраивает, так как по условию в каждом ряду «Славы» более 25 мест. Рассмотрим вторую возможность: в «Факеле» 16 рядов по 25 мест в каждом. Тогда в «Славе» будет 20 рядов по 30 мест в каждом. Это соответствует условию задачи. Итак, из двух решений системы выбираем одно: х - 16, у = 25, а это означает, что в кинотеатре «Факел» 16 рядов. Ответ: 16 рядов. На самом деле эта задача не является для вас новой, мы решали ее в учебнике «Алгебра—8», но с помощью другой математической модели. Напомним, как мы рассуждали. тт ^ 400 Пусть X — число рядов в кинотеатре «Факел», тогда — число мест в каждом ряду кинотеатра «Факел», (jc -h 4) — число п 600 рядов в кинотеатре «Слава», ^ ^ ^ — число мест в каждом ряду кинотеатра «Слава». А поскольку в кинотеатре «Слава» в каждом ряду на 5 мест больше, чем в «Факеле», то мы можем составить 600 400 ^ следующее уравнение: ^ ^ - 5. Сравним два варианта решения задачи. В первом варианте при составлении математической модели мы использовали две переменные, поэтому работа с такой моделью оказалась более трудной. Однако сама математическая модель была построена легче и быстрее. Во втором варианте получено рациональное уравнение с одной переменной. С технической точки зрения его решать проще, чем систему двух рациональных уравнений с двумя переменными, но зато больше усилий приходится тратить на составление математической модели. 101 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Пример 2. Пристани Б и С находятся ниже пристани А по течению реки на 30 км и 45 км соответственно. Моторная лодка отошла от пристани А, дошла до С, сразу повернула назад и пришла в Б, затратив на весь путь 4 ч 40 мин. В другой раз эта же лодка отошла от пристани С, дошла до А, сразу повернула назад и пришла в Б, затратив на весь путь 7 ч. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения реки? Решение. Первый этап. Составление математической модели. Введем две переменные: х км/ч — собственная скорость лодки, у км/ч — скорость течения реки. Тогда {х + у) км/ч — скорость лодки по течению реки, {х - у) км/ч — скорость лодки против течения реки. Рассмотрим первый рейс лодки. Он составил 45 км по тече- 45 нию и 15 км против течения. Тогда “ч — время движения лодки от пристани А до С; „ _ „ ч — время движения лодки от л у пристани С до Б. Всего на первый рейс лодка затратила 4 ч 40 мин, т.е. 4д = 14 (ч). Таким образом, получаем уравнение 45 15 И 3 • X у ■ X - у Рассмотрим второй рейс лодки. Он составил 45 км против те- время движения лод- 45 чения и 30 км по течению. Тогда л у 30 ки от пристани С до А, х у ^ — время движения лодки от пристани А до Б. Всего на второй рейс лодка затратила 7 ч. Таким образом, получаем уравнение 45 30 = 7. X - у ' X у Математическая модель задачи представляет собой систему двух уравнений с двумя переменными: 45 ^ 15 _ и 3 ’ X у 45 X - У 30 X - у X у = 7. 102 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Второй этап. Работа с составленной моделью. Для решения системы уравнений воспользуемся методом введения новых переменных. Положим: 15 15 X + у Тогда система примет вид = а. х-у = Ь. За Ь = 14 За + ЗЬ — 7. Решив эту систему двух линейных уравнений с двумя переменными а и by получим: а = 1, Ь = ^. Итак, 15 X + у 15 = 1, т. е. X у = 15; = -^у т.е. X - у = 9. х-у 3’ Остается решить совсем простую систему уравнений |л: + I/ = 15, [х - у = 9. Получаем: х = 12, у = 3. Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Требуется определить скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки. Первую скорость мы обозначили буквой jc, получили X = 12; значит, собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения мы обозначили буквой г/, получили у = 3. Значит, скорость течения реки составляет 3 км/ч. Ответ: 12 км/ч; 3 км/ч. Пример 3. Мастер и его ученик планировали сообща выполнить некоторую работу за 6 дней. Сначала за дело взялся ученик. Выполнив 20% задания, он заболел. Остальная работа пришлась на долю мастера. В итоге выполнение задания растянулось на 11 дней. За сколько дней мог бы выполнить всю работу мастер и за сколько дней ученик, действуя в одиночку, если 103 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ известно, что количество дней, необходимое каждому из них, выражается целым числом? Решение. Первый этап. Составление математической модели. Если речь идет о выполнении некоторой работы, не выраженной конкретным числом (т. е. не сказано, сколько деталей надо сделать, сколько кубометров земли выкопать и т. д.), то объем работы считают равным 1, а части работы выражают в долях единицы. Пусть X — число дней, необходимых мастеру, чтобы выполнить в одиночку всю работу, а г/ — число дней, необходимых ученику, чтобы справиться в одиночку с той же работой. Если объем всей работы разделить на число дней, необходимых для ее выполнения, то узнаем долю работы, выполняемую за 1 день. Итак, ^ — доля работы, которую выполняет мастер за 1 день, “ — доля работы, которую выполняет ученик за 1 день. По условию, работая вместе, мастер и ученик могли бы выполнить всю работу за 6 дней. Доля работы мастера за 6 дней выражается 0 формулой —. Доля работы ученика за 6 дней выражается 6 формулой А вместе они планировали выполнить всю работу. ^ 6 6, Составляем уравнение: — -h ~ = 1. X у По условию ученик выполнил, трудясь в одиночку, 20% задания, т. е. ^ часть всей работы. На нее он потратил ^ часть того времени, которое нужно ему на выполнение всей работы, т. е. ^ • у дней. Потом пришел мастер, сделал оставшуюся работу, т. е. 4 4 „ 0 задания, на что затратил ^ • х дней. По условию выполнение задания растянулось на 11 дней: ^ +— = 11- у + Ах = 55. 104 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Таким образом, математическая модель задачи составлена: 6 + 6 = 1, ^ У г/ + 4л: = 55. Второй этап. Работа с составленной моделью. Воспользуемся методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы: г/ = 55 - 4jc; подставим выражение 55 - Ах вместо у в первое уравнение системы: л ^ 55 - 4л = 1. Решив это рациональное уравнение, найдем его корни: Х\ = 10, 33 ^2= Осталось найти соответствующие значения у. Если л = 10, то из уравнения у = ЪЪ - Ах находим г/ = 15; если л = ^, то из того же уравнения находим у = 22. Итак, составленная система уравнений имеет два решения: (10; 15) и (^; 22). Третий этап. Ответ на вопрос задачи. По условию количество дней, необходимых как мастеру, так и ученику для выполнения в одиночку всего задания, выражается целым числом. Значит, пара 22j не соответствует условиям задачи. Остается лишь одна возможность: х = 10, у = 15. Ответ: 10 дней; 15 дней. Пример 4. Имеющиеся в фермерском хозяйстве комбайны, работая вместе, могут убрать урожай с поля за одни сутки. Получилось так, что комбайны включались в работу последовательно: в течение первого часа работал один комбайн, в течение второго — два, в течение третьего — три и т. д. до тех пор, пока не заработали все комбайны. В итоге за определенное время урожай был собран. Это время удалось бы уменьшить на 6 ч, если бы с самого начала работали все комбайны за исключением пяти. Какую часть поля (в процентах) уберут 5 комбайнов за 6 ч? 105 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ Первый этап. Составление математической модели. Как и в предыдущей задаче, примем величину всей работы (т. е. уборку урожая со всего поля) за 1. Введем три переменные: п — число комбайнов в хозяйстве; х — производительность одного комбайна, т. е. доля работы, выполняемая одним комбайном за 1 ч; t ч — фактическое время совместной работы всех комбайнов при уборке урожая. Теперь будем читать условие задачи с самого начала и постепенно переводить его на математический язык, используя введенные переменные. «Имеющиеся в фермерском хозяйстве комбайны, работая вместе, могут убрать урожай с поля за одни сутки». Это значит, что п комбайнов с производительностью х выполнят всю работу, равную 1, за 24 ч. Получаем первое уравнение: 2Апх = 1. Далее: «Получилось так, что комбайны включались в работу последовательно: в течение первого часа работал один комбайн, в течение второго — два, в течение третьего — три и т. д. до тех пор, пока не заработали все комбайны. В итоге за определенное время урожай был собран». Это значит, что за первый час, когда работал один комбайн, была выполнена доля работы, равная л:, за второй час, когда работали два комбайна, была выполнена доля работы, равная 2jc, за третий час — 3jc, за четвертый — 4jc и т. д.; за {п - 1)-й час выполнена доля работы, равная (п - \)х. Наконец, подключился последний комбайн и все вместе они работали еще ^ ч (а значит, всего на уборку урожая затрачено {п - \ t) ч), выполнив при этом долю работы, равную {nx)t. Таким образом, получаем второе уравнение: JC + 2jc + 3jc + ... + (п - 1)х + ntx = 1. И наконец, последнее условие задачи: «Это время (т. е. время, затраченное на уборку урожая) удалось бы уменьшить на 6 ч, если бы с самого начала работали все комбайны за исключением пяти». Время, затраченное на уборку урожая, равно, как отмечено выше, (п - 1 t) ч. Значит, если бы с самого начала работали (п - 5) комбайнов, то работа длилась бы (п - 1 + ^ - 6) ч, т. е. (п -\- t - 7) ч. Получаем третье уравнение: (п -\- t - 7)(п - 5)х = 1. 106 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ В итоге имеем систему трех уравнений с тремя переменными: 24лх = 1, JC + 2jc + 3jc + ... + (п - 1)х + ntx = 1, (п + ^ - 1){п - Ъ)х = 1. При этом п — натуральное число, а jc и ^ — положительные числа. Второй этап. Работа с составленной моделью. Чтобы преобразовать второе уравнение системы, нужно вычислить сумму 1 + 2 -h 3 -h ... + (л - 1). Запишем интересующую нас сумму дважды: S = 1 + 2 -h 3 -h ... -h (п - 3) -h (п - 2) -h (п - 1); S = (л — 1) + (л ~ 2) + (л — 3) + ... + 3 Н- 2 + 1. Сложим эти две суммы столбиками»: всего «столбиков» {п - 1) и сумма слагаемых в каждом столбике равна п. В итоге получим 2S = {п - 1)п, значит, ^ _ п(п - 1) ^ 2 * Эта формула позволяет переписать второе уравнение системы в более простом виде: ^^х -h ntx = 1, или пх ~ - + = 1. „ 1 Далее из первого уравнения системы находим, что х = 2^* Подставим это выражение вместо х во второе и третье уравнения системы (при этом второе уравнение запишем в преобразованном виде): 1 X = 24л л - 1 + ^ = 24, {n^t - 7)- 24л = 1. Теперь выразим переменную t из второго уравнения и подставим полученное выражение вместо t в третье уравнение системы: 1 24л’ 49 - л X = t = 2 (п + - 7)(л - 5) = 24ге. 107 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Из последнего уравнения находим: щ = 25, П2 = -7. Но при составлении математической модели мы отметили, что п — натуральное число, а этому условию удовлетворяет только первый корень, т. е. п = 25. Зная п, находим, что t = 12, х = Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Производительность труда одного комбайна, которую мы обозначали буквой X, равна Значит, 5 комбайнов за 6 часов выполнят работу, равную 5 • 6 • т. е. что составляет 5%. 20’ Ответ: 5%. Пример 5. Дорога из А в Б состоит из трех участков, причем первый в 6 раз длиннее третьего. Велосипедист едет из А в В с разной скоростью на разных участках (но постоянной для каждого участка дороги). Найти среднюю скорость движения велосипедиста на протяжении всего пути, если известно, что она равна скорости движения на втором участке, на 2 км/ч меньше скорости движения на первом участке и на 10 км/ч больше половины скорости движения на втором участке. Решение. Первый этап. Составление математической модели. Введем три переменные: х км/ч — средняя скорость движения велосипедиста на пути от А до Б; г/ км — длина третьего участка пути, тогда 6г/ км — длина первого участка; z км — длина второго участка. Далее определим скорость движения велосипедиста на каждом из трех участков: {х -h 2) км/ч — скорость движения на первом участке; х км/ч — скорость движения на втором участке; {2х - 20) км/ч — скорость движения на третьем участке (по условию, средняя скорость на 10 км/ч больше половины скорости движения на третьем участке, значит, {х - 10) км/ч — половина скорости на третьем участке, а сама эта скорость равна {2х -- 20) км/ч). На рис. 92 представлена схема движения велосипедиста. Теперь нетрудно найти время движения велосипедиста на каждом участке, поскольку для каждого участка известны и его длина. 108 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ 6у км Z км укм (х + 2) км/ч ------------У ’ X км/ч / Б (2х - 20) км/ч Рис. 92 и скорость движения * л: + 2 - время движения на первом участ- Z у ке; — ч — время движения на втором участке; _ 2q ^ — время движения на третьем участке. Время, затраченное на весь путь, можно вычислить не только как сумму трех указанных величин, но и как частное от деления 7у + Z длины всего пути на среднюю скорость движения, т. е. —-—. В итоге приходим к уравнению . У ^ 7у + Z X + 2 X 2х - 20 X * Второй этап. Работа с составленной моделью. Мы попали в непривычную ситуацию — математическая модель задачи представляет собой одно уравнение с тремя переменными. Тем не менее поработаем с этим уравнением: Z у х + 2^х^2х-20 л: + 2 + 2х - 20 = ^ + -; X X ’ _ Ту. X * Разделим обе части уравнения на у. Здесь это делать можно, поскольку по смыслу задачи у ^ 0: 6 X + 2 2х - 20 7 X ' Получилось обычное уравнение с одной переменной х, оно имеет два корня: Xi = 14, Х2 = -20. Третий этап. Ответ на вопрос задачи. В задаче спрашивается, чему равна средняя скорость движения велосипедиста на всем пути от А до Б. Эту скорость мы обозначили буквой X. Для X нашли два значения, из которых по смыслу задачи подходит только первое. Ответ: 14 км/ч. 109 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Замечание. Иногда задачи, подобные рассмотренной выше, называют нестандартными. Нестандартность решенной задачи состоит в том, что число составленных уравнений оказалось меньше числа введенных переменных. Бывает, что в таких случаях в задаче требуется найти не значения переменных, а какое-либо их отношение. В рассмотренном же примере лишние переменные оказались фиктивными, т. е. они уничтожились в процессе преобразования уравнения. ГЛАВА 3 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ § 15. Определение числовой функции. Область определения, область значений функции § 16. Способы задания функции § 17. Свойства функций § 18. Четные и нечетные функции § 19. Функции у = х"' (т е Z), их свойства и графики § 20. Функция у = Vx, ее свойства и график §15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ числовой ФУНКЦИИ. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ За время изучения курса алгебры вы уже привыкли к термину «функция». Это и понятно: ведь большинство математических моделей строится с помощью функций. Но вот само понятие «функция» мы не определили, хотя всем известно правило: прежде чем использовать какой-то термин, дай ему точное определение. И в основном мы четко следовали этому правилу. Так, в 7-м классе мы ввели термин «степень с натуральным показателем» и точно его определили: «под а", где л = 2, 3, 4, ... , понимается произведение п множителей, каждый из которых равен а; под понимается само число а». В 8-м классе мы ввели термин «квадратный корень из неотрицательного числа», дав ему точное определение: «у/а — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен а». Можно привести много подобных примеров. Так почему же мы в 7-м классе, как только стали использовать понятие функции, не сформулировали определение, почему не сделали этого и в 8-м классе? Дело в том, что ситуация с определением понятия «функция» в школе повторяет историю развития этого понятия вообще. Человечество активно и длительное время использовало функции как рабочий инструмент, не задумываясь об определении понятия функции. Лишь накопив необходимый опыт, математики начали думать о формальном определении. 111 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Проанализируем наш опыт работы с понятием функция». В 7-м классе мы ввели термин линейная функция», понимая под этим уравнение с двумя переменными вида у = kx т и рассматривая переменные х и у как неравноправные: х — независимая переменная, у — зависимая переменная. Затем столкнулись с тем, что при описании реальных процессов встречаются и зависимости другого вида. В 7-м классе, кроме упомянутой линейной функции, мы изучили функцию у = х^, в 8-м классе — функции k г~ у = kx^, у = -, у = ах^ + Ъх + с, у = yjx, у = |лг|. Проанализируем весь багаж знаний, связанных с понятием функция». Итак, функция — это математическая модель, описывающая какой-то реальный процесс. При описании такого процесса используют две переменные величины (в более сложных процессах участвует больше двух величин, но мы такие процессы пока не рассматривали). Одна из них меняется как бы сама по себе, независимо ни от чего (такую независимую переменную чаще всего обозначают буквой х), а другая переменная принимает значения, каждое из которых зависит от выбранного значения переменной х (такую зависимую переменную чаще всего обозначают буквой у). На математическом языке указанную зависимость у от X записывают так: у = f{x). Математическая модель у = f{x) обычно дополняется указанием на то, в каком числовом множестве находятся значения независимой переменной х. Например, мы говорили о функции у = Vjc, подразумевая, что х> О (график функции изображен на рис. 93), но мы можем рассмотреть и функцию у = Vjc , где х € [0; 4] (график функции изображен на рис. 94). Это разные функции. Рис. 93 Рис. 94 112 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ g(x) = Рис. 95 Бывает, что реальная ситуация описывается различными формулами на разных промежутках изменения независимой переменной. Такова, например, функция у = g(x), где [jc^, если JC < О, [2х, если X > 0. График функции изображен на рис. 95. Напомним, как строить такие графики. Сначала надо построить параболу у = х^ и выделить ее часть при jc < О (левая ветвь параболы), затем построить прямую у = 2х и выделить ее часть при л: > 0. И наконец, надо обе выделенные части объединить на одном рисунке, т. е. построить в одной координатной плоскости. Так что же такое функция? Проведенный выше анализ позволяет выделить два существенных момента. 1. Запись у = f{x) указывает на правило (обычно говорят: «правило /»), с помощью которого, зная конкретное значение независимой переменной х, можно найти соответствующее значение переменной у, 2. При задании функции указывается числовое множество X (чаще всего какой-то числовой промежуток), откуда берут значения независимой переменной х. Теперь мы можем сформулировать одно из главных определений школьного курса алгебры (да, пожалуй, и всей математики). Определение 1. Если даны числовое множество X и правило /, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества X определенное число г/, то говорят, что задана функция у = fix) с областью определения X; пишут у = /(jc), х е X. При этом переменную х называют независимой переменной, или аргументом, а переменную у — зависимой переменной. Замечание. В реальной жизни иногда говорят: «Каковы мои функции?» — или: «Каковы мои функциональные обязанности?» — спрашивая тем самым: «Каков круг моих действий, моих обязанностей?» — или: «Что я должен делать, как действовать?» 113 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Фактически в реальной жизни слово функция» означает действие» или правила действий». Обратите внимание, что тот же смысл имеет и математический термин функция», который мы разъяснили в определении 1. Если f{x) — алгебраическое выражение и множество X совпадает с областью определения этого выражения, то вместо записи у = /(jc), X ^ X используют более короткую запись у = f{x) (хотя она не совсем соответствует определению 1). Для области определения функции у = f{x) иногда удобно использовать обозначение D{f), Например: для функции у = \1ху (см. рис. 93) имеем: D{f) = [0; +сх>); для функции у = yfx, X € [0; 4] (см. рис. 94) имеем: D{f) = [0; 4]; для функции у - g(x) (см. рис. 95) имеем: D(g) = (-оо; -hoo). Еще раз подчеркнем, что нельзя говорить о функции у = f{x) без задания ее области определения, которая или указывается явно, или подразумевается — в случае, если область определения функции у = f(x) совпадает с областью определения выражения f{x) (такую область определения иногда называют естественной). Пример 1. Найти область определения функции: а) I/ = у!х^ - 6jc -к 8; 1 б) г/ = - бх + 8 ’ Решение, а) Так как область определения функции явно не указана, подразумевается, что она совпадает с областью определения выражения yjx^ - 6л: + 8. Таким образом, речь идет о поиске естественной области определения функции. Под знаком квадратного корня может находиться только неотрицательное число, значит, задача сводится к решению квадратного неравенства х^ - 6х 8 > 0, Найдя корни квадратного трехчлена х^ - 6х -\- 8 (Xi = 2; Х2 = 4) и схематически (не указывая на рисунке ось у) построив параболу у = х^ -- 6jc -h 8 (рис. 96), выбираем интере-Рис. 96 сующие нас промежутки: jc < 2; jc > 4. 114 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Итак, D(f) = (-00; 2] и [4; +оо); и — знак объединения множеств (см. § 2). б) Функция у = - \х + S ® любой точке число- юй прямой, за исключением точек 2 и 4 — при этих значениях х знаменатель дроби обращается в 0. Ответ можно записать так: D(f) = (-СХ); 2) и (2; 4) U (4; +сх>). Впрочем, на практике можно использовать сокращенную запись: X 2\ хф 4, в) Здесь задача сводится к решению неравенства - 6jc -h 8 > 0. Воспользовавшись геометрической моделью, представленной ш рис. 96, но исключив из рассмотрения точки jc = 2 и jc = 4, юлучим: D(f) = (-СХ); 2) и (4; +сх>). ■ Определение 2, Множество всех значений функции у = /(jc), t ^ X называют также областью значений функции и обозна-1ают E{f). Если известен график функции, то область значений функции 1айти сравнительно нетрудно. Для этого достаточно спроецировать "рафик на ось ординат. То числовое множество, геометрическая модель которого получится на оси ординат в результате указан-ioro проецирования, и будет представлять собой E{f). Например: для функции у = у[х имеем E{f) = [0; -hoo) (см. рис. 93); для функции у = л/х, X ^ [0; 4] имеем E(f) = [0; 2] (см. рис. 94); для функции у = g{x) (см. рис. 95) имеем E{f) = [0; +сх>). Пример 2. Дана функция у = /(jc), где -jc^, если -2 < JC < о, л!х + 1, если о < JC < 3, — + 1, если JC > 3. X а) Вычислить /(-2), /(0), /(1,25), /(6), /(-3). б) Найти D{f) и E{f). в) Выяснить, сколько корней имеет уравнение f{x) = а при различных значениях параметра а. г) Решить неравенства: /(jc) < 0,5; т > 0,5. 115 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Решение, а) Значение х = -2 удовлетворяет условию -2 < JC < О, следовательно, f(-2) надо вычислять по формуле fix) = -х^; f(-2) = -(-2)^ = -4. Значение jc = О удовлетворяет условию -2 < jc < О, следовательно, /(0) надо вычислять по формуле f(x) = -х^; /(0) = -0^ = 0. Значение х = 1,25 удовлетворяет условию 0 < jc < 3, следовательно, /(1,25) надо вычислять по формуле f(x) = >Jx 1; /(1,25) = = yjl,25 + 1 = 1,5. Значение jc = 6 удовлетворяет условию х> 3, следовательно, /(6) надо вычислять по формуле fix) = ^ + 1; /(6) = | + 1 = 1,5. Значение jc = -3 не принадлежит области определения функции, а потому требование вычислить /(-3) в данном случае некорректно. б) Область определения функции состоит из трех промежутков: [-2; 0], (0; 3], (3; +оо). Объединив их, получим луч [-2; +оо). Чтобы найти область значений функции, построим ее график. Он состоит из трех кусочков» — части параболы у = -х^, взятой на отрезке [-2; 0] (рис. 97), части кривой У = 4х + 1 , взятой на полуинтервале (0; 3] 3 (рис. 98), и части гиперболы У = ~ +1» взятой на открытом луче (3; +оо) (рис. 99). Объединив эти кусочки на одном чертеже, получим график функции у = f{x) (рис. 100). Спроецировав этот график на ось у, получим область значений функции, которая состоит из отрезка [-4; 0] и полуинтервала (1; 2]. Итак, Dif) = [-2; +СХ)), E(f) = [-4; 0] и (1; 2]. в) Выясним, сколько корней имеет уравнение fix) = а при различных значениях параметра а. Для этого нужно определить, сколько точек пересечения имеет построенный Рис. 99 116 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Рис. 100 Рис. 101 график функции (см. рис. 100) с прямой у = а при различных значениях параметра а. При -4 < а < о прямая пересекается с графиком только в одной точке, значит, уравнение имеет один корень. Аналогичная ситуация имеет место при а = 2. При а < -4, 0 < а < 1, а также при а > 2 прямая и график не пересекаются, значит, уравнение не имеет корней. Наконец, график и прямая пересекаются в двух точках при 1 < а < 2. В этом случае уравнение имеет два корня. Итак, уравнение f{x) = а не имеет корней при а < -4, 0 < а < 1, а > 2; имеет один корень при -4 < а < 0 и при а = 2; имеет два корня при 1 < а < 2. г) Решим неравенство f{x) <0,5. График функции располагается ниже прямой у = 0,5 при -2 < jc < 0 (рис. 101) — это и есть решение неравенства. Решим неравенство f{x) >0,5. График функции располагается выше прямой у = 0,5 при jc > 0 (см. рис. 101) — это и есть решение неравенства. ■ Пример 3. Под тах(А; В) будем понимать наибольшее из чисел А, В. Построить график функции у = max(Vjc; 6 - х). Решение. На рис. 102 построены графики функций у = Vjc, у = 6 - X. Они пересекаются в точке (4; 2). Если 0 < jc < 4, то 6 - X > у/х; если JC > 4, то > 6 — JC. Значит, если 0 ^ jc ^ 4, то max(Vjc; 6 - jc) = 6 - jc; если же jc > 4, то max(Vjc; 6 - jc) = yfx. Таким образом, речь идет о построении графика кусочной функ-[6 - X, если о < JC < 4, ции у = \ График функции изображен на у[х, если JC > 4. рис. 103. 117 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Рис. 102 Рис. 103 Пример 4. График функции у = ах^ Ъх с проходит через точки (2; 5), (-1; -4), (-2; -3). Найти коэффициенты а, Ь, с. Решение. Так как точка (2; 5) принадлежит графику функции, выполняется равенство 5 = 4а -h 2& -h с. Аналогично должны выполняться еще два равенства: -4 = а - & -h с и -3 = 4а - 2& + с. Таким образом, задача сводится к решению системы трех уравнений с тремя переменными: Г4а + 2& -н с = 5, а - & -н с = -4, [4а - 2& -н с = -3. Вычтя второе уравнение из первого, получим: За -h 3& = 9, т. е. а -h & = 3. Вычтя второе уравнение из третьего, получим: За - & = 1. Сложив уравнения а + & = ЗиЗа-&=1, получим: 4а = 4, т. е. а = 1. Поскольку а -h & = 3, получаем: Ъ = 2. Подставив найденные значения а и & в уравнение а - & -h с = -4, получим: с - -3. Ответ: а = 1, & = 2, с = -3. Пример 5. График функции у = проходит через точки (>/?; л/т -н з). Найти значения коэффициентов а и Ь, если известно, что это рациональные числа. Решение. Из условия следует, что выполняется равенство V? + 3 = -г^—. Имеем: (>/? -н з)(>/7 -н &) = а; (& + 3)V? =а-ЗЬ-7. V7 + Ь Возможны два случая: & + 3 = 0, & + 3;«^0. 118 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ в первом случае должно выполняться и равенство а - 3& - 7 = О, Ль + 3 = О, т. е. задача сводится к решению системы уравнении < ЗЬ 7 О Решив эту систему, получим: а = -2, Ь = -3. гга-ЗЬ-7 Во втором случае получаем: v7 = —^—. По условию аио — а-Sb-7 рациональные числа, но тогда и —г—^— — рациональное чис- 0 + о ло. в то же время >/7 — иррациональное число. Это значит, что /3 а-гЬ-7 равенство V7 = —г—^— не выполняется ни при каких рациональ- 0 + о ных значениях а и Ь. Ответ: а = -2, Ь = -3. § 16. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ В предыдущем параграфе мы приводили различные примеры функций, описанных формулами. Но таким способом задание функции не исчерпывается. Ведь задать функцию у = f{x) — это значит указать правило, которое позволяет по произвольно выбранному значению х из D(f) вычислить соответствующее значение у. Чаще всего это правило связано с формулой или с несколькими формулами; такой способ задания функции обычно называют аналитическим. Между тем есть другие способы задания функции, о них и пойдет речь в настоящем параграфе. Пусть F — некоторая линия на координатной плоскости и пусть, спроецировав эту линию на ось jc, мы получим отрезок [а; &] (рис. 104). Возьмем произвольную точку X из отрезка [а; &] и проведем через нее прямую, параллельную оси ординат. Потребуем дополнительно, чтобы каждая такая прямая пересекала линию F только в одной точке — на рис. 104 соответствующая точка обозначена буквой М. (фдината точки М — это число f(x), соответствующее выбранному значению х. Тем самым на отрезке [а; Ь] задана функция Рис. 104 119 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Рис. 105 Рис. 106 у = f(x). Такой способ задания функции называют графическим, а линию F — графиком функции. Если функция была задана аналитически и нам удалось построить ее график, то тем самым мы фактически осуществили переход от аналитического способа задания функции к графическому. Обратный же переход удается осуществить далеко не всегда. Как правило, это довольно трудная задача. В следующих двух примерах мы осуществим переход от аналитического способа задания функции к графическому и обратно. Пример 1. Построить график функции: а) I/ = 2дс - 4; в) у = 2\х\ - 4; б) у = \2х-4\; г) I/= |2|лг| - 4|. Решение, а) Прямая, служащая графиком заданной линейной функции, изображена на рис. 105. б) В курсе алгебры 8-го класса мы говорили о том, что для того чтобы построить график функции у = |/(jc)|, нужно: 1) построить график функции у = f{x)\ 2) оставить без изменения те части графика, которые расположены не ниже оси х\ 3) те части графика, которые расположены ниже оси х, заменить на симметричные им относительно оси х. Руководствуясь этим алгоритмом, строим график функции у = \2х - А\ (рис. 106). в) В курсе алгебры 8-го к ласа мы говорили о том, что для того чтобы построить график функции у = /(|jc|), нужно: 1) построить график функции у = f{x) при х > 0; 2) добавить к нему его симметричный образ относительно оси у. Руководствуясь этим алгоритмом, строим график функции г/ = 2|л:| - 4 (рис. 107). 120 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Рис. 107 Рис. 108 г) Если применим к графику функции у = 2\х\ - А алгоритм из пункта б), мы как раз и получим график функции г/ = |2|jc| - 4| (рис. 108). ■ Пример 2. На рис. 109 изображена парабола, на рис. 110 — гипербола, на рис. 111 — полуокружность. Перейти во всех этих случаях к аналитическому заданию функции. Решение. Вершиной параболы служит точка (1; -3). Значит, уравнение параболы можно записать так: у - а(х -1)^-3. Осталось найти значение коэффициента а. Будем ориентироваться на вспомогательную систему координат (пунктирные линии на рис. 109). Замечаем, что в этой системе абсциссе 1 соответствует ордината 2 (выделенная точка на рис. 109). Значит, а = 2. Итак, аналитическое задание функции получено: у = 2(х -1)^-3. Рис. 109 Рис. 110 121 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Ун Асимптотами гиперболы (рис. 110) служат прямые х =-2, г/ = 4. Значит, уравнение гиперболы можно записать а так: у = — ^ X + 2 + 4. Осталось найти Рис. 111 значение коэффициента а. Будем ориентироваться на вспомогательную систему координат (пунктирные линии на рис. 110). Замечаем, что в этой системе абсциссе 1 соответствует ордината -1 (выделенная точка на рис. 110). Значит, а = -1. Итак, аналитическое задание функции получено: у = ——^ + 4. Центром полуокружности (рис. 111) является точка (3; 0), радиус равен 2. Значит, уравнение соответствующей окружности таково: (х - 3)^ у^ = 4, Из этого уравнения находим, что у = ±yj4 - (х - 3)^ . Поскольку на рис. 111 изображена нижняя полуокружность, получаем у = -yj4 - (х - 3)^ . ■ Не всякая линия на координатной плоскости может рассматриваться как график некоторой функции. Например, окружность, заданная уравнением х^ у^ = 9 (рис. 112), не является графиком функции, поскольку любая прямая х = а, где |а| < 3, пересекает эту линию в двух точках (а для задания функции таких точек должно быть не более одной, т. е. прямая х = а либо пересекает линию F в одной точке, либо вообще не пересекает ее). В то же время если эту окружность разрезать на две части — верхнюю полуокружность (рис. 113) и нижнюю полуокружность (рис. 114), — то каждую из них можно считать графиком некоторой функции, причем в обоих случаях несложно от графического способа задания функции перейти к аналитическому. Из уравнения х^ у^ = 9 находим у^ = 9 - х^ и далее у = ±>/9 - х^ . Графиком функ- Рис. 112 ции у = yj9 - х^ является верхняя половина окружности х^-\-у^ = 9 (см. рис. 113), а графиком функции у = -yj9 - х^ является нижняя половина окружности + 1/2 = 9 (см. рис. 114). 122 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Рис. 113 Рис. 114 Этот пример позволяет обратить внимание на одно существенное обстоятельство. Посмотрите на график функции у = >/9 -(см. рис. 113). Сразу видно, что D{f) = [-3; 3]. А если бы речь шла об отыскании области определения заданной аналитически функции у = V9 - , пришлось бы, как мы это делали в § 15, решать неравенство 9 - > 0. Потому-то обычно и стараются работать одновременно и с аналитическим, и с графическим способами задания функций, они друг друга дополняют. Кроме аналитического и графического на практике применяют и табличный способ задания функции — с помощью таблицы, в которой указаны значения функции (иногда точные, иногда приближенные) для конечного множества значений аргумента. Примерами табличного задания функции могут служить таблицы квадратов чисел, кубов чисел, квадратных корней и т. д. Во многих случаях табличное задание функции является удобным. Оно позволяет найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента без всяких вычислений. Аналитический, графический, табличный — наиболее популярные способы задания функции, для наших нужд этих способов вполне достаточно. На самом деле в математике имеется довольно много различных способов задания функции, но мы познакомим вас еще только с одним способом, который используется в весьма своеобразных ситуациях. Речь идет о словесном способе, когда правило задания функции описывается словами. Приведем примеры. Пример 3. Функция у = f{x) задана на множестве всех неотрицательных чисел с помощью следующего правила: каждому числу X ставится в соответствие первая цифра после запятой в десятичной записи числа х. Если, скажем, х = 2,534, то f{x) = 5 (первый знак после запятой — цифра 5); если х = 13,002, то f{x) = 0; 123 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ если JC = I, то, записав | в виде бесконечной периодической десятичной дроби 0,6666... , находим f{x) = 6. А чему равно значение /(15)? Оно равно о, так как 15 = 15,000... , и мы видим, что первая цифра после запятой есть 0 (вообще-то, верно и равенство 15 = 14,99... , но принято не рассматривать бесконечные периодические десятичные дроби с периодом 9). Любое неотрицательное число х можно записать в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной), а потому каждому значению X можно поставить в соответствие значение первой цифры после запятой, так что мы можем говорить о функции, хотя и несколько необычной. У этой функции D(f) = [0; +СХ)), E(f) = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. ■ Пример 4. Функция у = f{x) задана на множестве всех действительных чисел с помощью следующего правила: каждому числу X ставится в соответствие наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят х. Иными словами, функция у = f{x) определяется следующими условиями: а) f{x) — целое число; б) f{x) < X (поскольку f{x) не превосходит х); в) fix) + 1 > X (поскольку f{x) — наибольшее целое число, не превосходящее jc, значит, f{x) -h 1 уже больше, чем х). Если, скажем, х = 2,534, то f{x) = 2, поскольку, во-первых, 2 — целое число, во-вторых, 2 < 2,534 и, в-третьих, следующее целое число 3 уже больше, чем 2,534. Если X = 47, то f{x) = 47, поскольку, во-первых, 47 — целое число, во-вторых, 47 = 47 и, в-третьих, следующее за числом 47 целое число 48 уже больше, чем 47. А чему равно значение /(-0,(23))? Оно равно -1. У этой функции £)(/) = (-оо; -hoo), а E{f) - Z (множество целых чисел). ■ Функцию, о которой шла речь в примере 4, называют целой частью числа, для нее используют обозначение [jc]. Например, [2,534] = 2; [47] = 47; [-0,(23)] = -1. На рис. 115 изображен график функции у = [х\ Пример 5. Построить график функции у = х - [х]. Решение. Построим в одной системе координат графики функций у = X и у = [х] (рис. 116). Вычитая ординаты второго графика из соответствующих ординат первого графика, получим требуемый график — он представлен на рис. 117. ■ 124 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ У1 1 - (л- )— О 1 О 1 / о о / 1 О J 4- 3- 2- J, .J г L 1 г [ 1 i i X 1 к 1 ■-4 1 Рис. 116 Vi у V к 7 а f У А 4= — -3- сс 2-1 Ol 3 :п: 4 5^ Рис. 117 Функцию, о которой шла речь в примере 5, называют дробной частью числа; для нее используют обозначение {jc}. Например, {2,534} = 0,534, поскольку 2,534 - 2 = 0,534, {47} = 0 (так как 47 -- 47 = 0), {-0,23} = 0,77 (так как -0,23 - (-1) = 0,77), {-0,(23)} = = 0,(76) (так как -0,(23) - (-1) = 1 - 0,232323... = 0,767676... = 0,(76)). 125 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Итак, мы познакомились с двумя новыми функциями, для задания которых используется словесный способ, — это функции У = [^] (целая часть числа х) и функция у = {л:} (дробная часть числа х). § 17. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Определение L Функцию у = f{x) называют возрастающей на множестве X с D(/), если для любых двух точек Xi и Х2 множества X таких, что Xi < JC2, выполняется неравенство f{Xi) < /(jCg). Определение 2, Функцию у = f(x) называют убывающей на множестве X с D(f), если для любых двух точек Xi и Х2 множества X таких, что Xi < JC2, выполняется неравенство f{xi) > f{x^. На практике удобнее пользоваться следующими формулировками: функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Обычно термины возрастающая функция», убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность. Если функция возрастает (или убывает) на своей естественной области определения, то говорят, что функция возрастающая (или убывающая) — без указания числового множества X. Пример 1. Исследовать на монотонность функцию: &)у = 5- 2х; б) I/ = X® + 2; Решение, а) Введем обозначение: f(x) = 5 - 2х. Если Xi < Х2, то -2jci > -2jc2, и далее 5 - 2xi > 5 - 2jc2, т. е. f(xi) > /(JC2). Итак, из неравенства Xi < Х2 следует неравенство f(xi) > /(JC2), а это означает, что заданная функция убывает на всей числовой прямой. б) Введем обозначение: f(x) = х^ -\- 2. Возьмем произвольные значения аргумента Xi и Х2. Пусть Xi < Х2, тогда по свойствам числовых неравенств получим: -3. X? + 2 < х1 + 2. 126 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Последнее неравенство означает, что f{xi) < /(JC2). Итак, из неравенства Xi < Х2 следует неравенство f{xi) < /(JC2), а это значит, что заданная функция возрастает на всей числовой прямой. ■ Определение 3. Функцию у = f{x) называют ограниченной снизу на множестве X с D(/), если все значения этой функции на множестве X больше некоторого числа; иными словами, если существует число т такое, что для любого значения X ^ X выполняется неравенство f{x) > т. Определение 4, Функцию у = f{x) называют ограниченной сверху на множестве X с D(/), если все значения этой функции меньше некоторого числа; иными словами, если существует число М такое, что для любого значения х ^ X выполняется неравенство f{x) < М, Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об ограниченности функции снизу или сверху на всей области ее определения. Если функция ограничена и снизу, и сверху на всей области определения, то ее называют ограниченной. Ограниченность функции легко читается по ее графику: если функция ограничена снизу, то ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = т (рис. 118); если функция ограничена сверху, то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = М (рис. 119). yi / 7 1 Г 7 \ / \ / О X У =} п т Рис. 118 Рис. 119 127 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Пример 2. Исследовать на ограниченность функцию 1/ = V9 - Решение. С одной стороны, вполне очевидно неравенство V9 - > О, это означает, что функция ограничена снизу. С другой стороны, 9 - < 9, а потому V9 - < 3. Это означает, что функция ограничена сверху. А теперь посмотрите на график этой функции (см. рис. 113). Ограниченность функции и сверху, и снизу прочитывается по графику достаточно легко. ■ Определение 5. Число т называют наименьшим значением функции у = f(x) на множестве X с D(/), если: 1) во множестве X существует точка Хо такая, что f(xo) = т\ 2) для любого значения х из множества X выполняется неравенство Кх) > f(Xo). Определение 6, Число М называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве X с D(/), если: 1) во множестве X существует точка Хо такая, что f(xo) = М; 2) для любого значения х из множества X выполняется неравенство fix) < fixo). Наименьшее значение функции обозначают символом г/наим» а наибольшее — символом г/наиб* Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет о поиске наименьшего или наибольшего значения функции во всей области определения. Имеют место следующие полезные утверждения. 1) Если у функции существует г/наим» она ограничена снизу. 2) Если у функции существует г/наиб» она ограничена сверху. 3) Если функция не ограничена снизу, то у нее не существует Уваик* 4) Если функция не ограничена сверху, то у нее не существует У наиб» 128 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Докажем для примера свойства 1) и 3). Пусть функция у = f{x) достигает наименьшего значения на множестве X. Это значит, что существует такая точка Xq € X, что для любого х^Х выполняется неравенство f(x) > /(jcq). Но это (см. определение 3) как раз и означает ограниченность функции снизу. Свойство 3) можно доказать методом от противного. Если предположить, что 1/наим существует, то по свойству 1) функция ограничена снизу, что противоречит условию. Пример 3. Исследовать функцию на ограниченность, найти наименьшее и наибольшее значения функции: а) I/ = 2л: + 2 - 6>j2x - 7; б) у= yjx^ - 6jc + 8 + V2jc2 - 8jc + 44; в) у = yjx^ - 4л: + 13 - \lx^ - 4л: + 5; _ 5л" + 10х + 14 У - х" + 2л + 4 Решение, а) 2л-1-2 - 6>/2л - 7 = (2л - 7) - 6>/2л - 7 -I- 9 = = (л/2л - 7 - з) . Функция I/ = (>/2л - 7 - з) принимает только неотрицательные значения, значит, она ограничена снизу. Из уравнения -7-3 = 0 находим л = 8; в этой точке функция достигает своего наименьшего значения г/наим = 0. Сверху функция не ограничена, поскольку выражение (>/2л - 7 - з) может принимать сколь угодно большие значения. б) Введем обозначение: /(л) = \1х^ - 6л + 8 + л/2л^ - 8л -н 44. Найдем область определения функции. Для этого решим систему неравенств [л" - 6л + 8 > о, [2л2 - 8л -н 44 > 0. Из первого неравенства находим: л < 2; л > 4. Второе неравенство выполняется при любых значениях л, поскольку дискриминант квадратного трехчлена 2л" - 8л -I- 44 отрицателен, а старший коэффициент положителен. Значит, решения первого неравенства являются и решениями системы. Итак, D{f) = (-оо; 2] и [4; -hoo). Имеем у = у1(х -3)^-1 -н yj2(x - 2)^ + 36. На луче (-оо; 2] квадратичные функции у = (х - Sf - 1 и у = 2(л - 2)^ -h 36 не огра- 129 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ничены сверху, убывают и принимают неотрицательные значения. Теми же свойствами обладают функции у - yj(x - 3)^ - 1, у= ^2(х - 2f + 36 И их сумма, т. е. функция у = f(x). Из убывания функции следует, что своего наименьшего значения она достигает в точке X = 2. Значит, на луче (-оо; 2] имеем г/наим = /(2) = 6. На луче [4; +оо) квадратичные функции у = (х - - 1 и 2(х - 2)^ + 36 не ограничены сверху, возрастают и принимают неотрицательные значения. Теми же свойствами обладают функции у = yj(x - 3)^ - 1, у = у12(х - 2)^ + 36 и их сумма, т. е. функция у = f(x). Из возрастания функции следует, что своего наименьшего значения она достигает в точке х = 4. Значит, на луче [4; +оо) имеем i/наим = /(4) = Vii = 2-v/lI. Заметим, что 2-v/lI > 6. Подведем итоги. Заданная функция ограничена снизу и у^^ = 6; сверху она не ограничена и наибольшего значения не существует. в) Эта функция вроде бы похожа на предыдущую, но есть существенное отличие: то, что верно для суммы неотрицательных возрастающих (убывающих) функций, не проходит для их разности. Придется искать другие пути. Имеем: y/x^~^^^jc^TT3 - yjx^ - 4jc + 5 = {\lx^ - 4x + IS - \lx^ - 4x + b){yjx^ - 4x + IS + \lx^ - 4x + b) -4x + lS + y/x^ -4x +6 {ylx^ - 4x + 13f - {yjx^ - 4x + bf 8 yjx^ - 4jc + 13 + yjx^ - 4x + 5 у1(х - 2 f + 9 + ^Jix -2f + l Знаменатель последней дроби принимает наименьшее значение 4 при X = 2; соответственно сама дробь при х = 2 достигает наибольшего значения, оно равно 2. Отсюда, кстати, сразу следует ограниченность функции сверху. Далее, функция ограничена снизу, поскольку последняя дробь положительна при любых значениях х. На луче [2; -hoo) функция у= у1(х -2)2+9 + у1(х -2)2+1 положительна и возрастает, значит, функция у - г ■ ^—I положительна и убы- у1(х - 2f + 9 + л](х -2)^ + 1 вает, наименьшего значения у нее нет. Подведем итоги. Функция ограничена и сверху, и снизу, у^ - 2, наименьшего значения у функции нет. 130 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ г) Имеем: 5х^ + 10х + 14 5(х^ + 2д: + 4) - 6 • „2 . . Л ~ „2 . . л — О 6 х^ + 2х + 4 х^ + 2х + 4 (х + 1)" + 3* Знаменатель последней дроби принимает наименьшее значение 3 при X = -1; соответственно сама дробь при х = -1 достигает наибольшего значения, оно равно 2. Отсюда следует, что функ- ег в ^ ция у = 5 - --—^—- в точке х = -1 достигает наименьшего зна- (х + 1) + 3 чения, оно равно 3. Далее для любого значения х выполняется неравенство 6 5 - < 5, значит, функция ограничена сверху. На луче (х + 1)^ + 3 [-1; -hoo) функция у = (х ly 3 положительна и возрастает, 6 функция у = У = 5 - (х + 1)' + 3 6 положительна и убывает, значит, функция (х + If + 3 возрастает. Но это значит, что наибольшего значения у нее нет. Подведем итоги. Функция ограничена и сверху, и снизу, Унаим = 3, наибольшего значения у функции нет. ■ В учебнике для 8-го класса мы ввели понятия максимума и минимума функции. Напомним соответствующие определения. В них используется понятие окрестности точки. Окрестность точки Хо — это интервал с центром в точке Xq. Длину половины этого интервала называют радиусом окрестности. Например, (1,97; 2,03) — окрестность точки 2, а радиус окрестности равен 0,03. Когда при изучении свойств функции говорят об окрестности точки, обычно предполагают, что эта окрестность целиком содержится в области определения функции. Определение 7, Точку Xq называют точкой максимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки Хо) выполняется неравенство f{x) < f(xo). Точку Хо называют точкой минимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки Хо) выполняется неравенство f(x) > f(Xo). Точки максимума и минимума объединяют общим названием — точки экстремума (от лат. extremum — крайний). Для значений функции в этих точках используют символы 1/п,ах> i/min- 131 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Рис. 120 На рис. 120 представлен график некоторой функции (предполагается, что D{f) = (-00; +00)). Как видите, у нее несколько точек экстремума: JCi и JC3 — точки максимума, а JC2 и JC4 — точки минимума. Обратите внимание, что г/наиб и г/^ах, а также г/наим и могут быть равны, но могут и отличаться. Например, у функции, график которой представлен на рис. 120, имеются две точки максимума и две точки минимума и в то же время ни г/наиб» ни г/наим не существуют. Напомним еще два свойства функций. Первое — свойство выпуклости функции. Считается, что функция выпукла вниз на промежутке X с D(f), если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рис. 121, а). Функция выпукла вверх на промежутке X с D{f), если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рис. 121, б). а) Рис. 121 б) 132 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Второе свойство — непрерывность функции на промежутке X — означает, что график функции на данном промежутке не имеет точек разрыва (т. е. представляет собой сплошную линию). А теперь вспомним о тех функциях, которые мы изучали в 7-м и 8-м классах. Построим их графики и перечислим свойства, придерживаясь определенного порядка, например такого: область определения; монотонность; ограниченность; наибольшее и наименьшее значения; непрерывность; область значений. Иногда будем говорить и о выпуклости. Впоследствии появятся и другие свойства функций, соответственно будет меняться и перечень свойств. 1. Линейная функция у = Лгх + m Графиком функции у = kx т является прямая (рис. 122, 123). Свойства функции у = kx т (при кФО: 1) D{f) = (-СХ); +СХ)); 2) возрастает, если > О (рис. 123, а), убывает, если k < Q (рис. 123, б); 3) не ограничена ни снизу, ни сверху; 4) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 5) функция непрерывна; yi i МММ у = А IX - f п г (А 5 = 0) т О X Рис. 122 а) Рис. 123 2. Функция у = кх^ {к^О) б) Графиком функции у = kx^ является парабола с вершиной в начале координат и с ветвями, направленными вверх, если k>0 (рис. 124), и вниз, если k < О (рис. 125). Прямая jc = О (ось у) является осью параболы. 133 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Рис. 124 Свойства функции у = kx^ для случая k > О (см. рис. 124): 1) D(f) = (-оо; +СХ)); 2) убывает на луче (-оо; 0], возрастает на луче [0; +оо); 3) ограничена снизу, не ограничена сверху; 4) 1/наим = о, 1/наиб не существувт; 5) непрерывна; 6) E(f) = [0; +СЮ); 7) выпукла вниз. Обратите внимание: на промежутке (-оо; 0] функция убывает, а на промежутке [0; +оо) функция возрастает. Такие промежутки называют промежутками монотонности функции. Свойства функции у = kx^ для случая k < 0 (см. рис. 125): 1) D(f) = (-СХ); +СХ)); 2) возрастает на луче (-оо; 0], убывает на луче [0; +оо); 3) не ограничена снизу, ограничена сверху; 4) 1/наим не существует, г/наиб = 0; 5) непрерывна; 6) E(f) = (-СХ); 0); 7) выпукла вверх. 3. Функция у = - {к фО) к Графиком функции У = ~ является гипербола, оси координат служат асимптотами гиперболы, а начало координат — центром симметрии (рис. 126, 127). к Свойства функции */ = “ • 1) D(f) = (-оо; 0) и (0; +оо); 2) если к > о, то функция убывает на открытом луче (-оо; 0) и на открытом луче (0; +оо) (см. рис. 126); если < 0, то функция возрастает на (-оо; 0) и на (0; +оо) (см. рис. 127); 134 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Рис. 127 Рис. 126 3) не ограничена ни снизу, ни сверху; 4) нет ни наименьшего, ни наибольшего значений; 5) функция непрерывна на открытом луче (-оо; 0) и на открытом луче (0; -hoo); 6) E{f) = (-СХ); 0) и (0; +СХ)); 7) если k > Oj то функция выпукла вверх при jc < 0, т. е. на открытом луче (-оо; 0), и выпукла вниз при jc > 0, т. е. на открытом луче (0; -hoo) (см. рис. 126). Если Л < 0, то функция выпукла вверх при JC > о и выпукла вниз при jc < 0 (см. рис. 127). Замечание, Функция У = ^ (свойство 2) убывает и на открытом луче (-оо; 0), и на открытом луче (0; Н-оо). Но (внимание!) отсюда вовсе не следует, что она убывает на всей числовой прямой. Возьмите две точки: Xi = -1, Х2 = 1; соответственно z/i = -1, уг = 1* Из Xi < Хг, как видите, не следует z/i > уг- 4. Функция у = >/х Графиком функции является ветвь параболы (рис. 128). Свойства функции у = 4х\ 1) D{f) = [0; +СХ)); 2) возрастает; 3) ограничена снизу, не ограничена сверху; 4) Унаим = о, Унаиб не существует; 5) непрерывна; 6) E{f) = [0; +СХ)); 7) выпукла вверх. В принципе мы в состоянии для всех перечисленных выше функций обосновать свойства 1) — 4). Сделаем это в качестве примера для функции у = yfx. Введем привычное обозначение: f{x) = 4х. Рис. 128 135 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ 1) D{f) = [0; +оо). Речь идет о естественной области определения функции, т. е. об области определения выражения 4х. Она задается неравенством х> 0, отсюда и следует, что D{f) = [0; -hoo). 2) Пусть о < JCi < JC2. Предположим, что >[xi > Тогда , т. е. Xi > JC2, что противоречит условию. Значит, наше предположение неверно, а верно неравенство у[^ < Итак, из о < JCi < JC2 следует, что f(xi) < f(x2), а это и означает, что функция возрастает на луче [0; -hoo). 3) Ясно, что функция ограничена снизу, поскольку для любого jc > 0 выполняется неравенство Vjc > 0. Докажем, что функция не ограничена сверху. Предположим противное, что она ограничена сверху, т. е. существует положительное число М такое, что для любого X > о выполняется неравенство у/х < М, Возьмем точку Xq - (М -h 1)^. Тогда f{Xo) = 4^ = ^(М + 1)^ = М -h 1 > М. Итак, мы предположили, что для любого х > Q выполняется неравенство 4х < М, и в то же время нашли конкретную точку Хо, в которой это неравенство не выполняется. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно, а потому функция не ограничена сверху. 4) Имеем /(0) = 0 и для любого х > 0 выполняется неравенство > 0. Это значит, что г/наим = 0. А поскольку функция не ограничена сверху, г/наиб не существует. 5. Функция у = |х| Графиком функции является объединение двух лучей: у = х, X > о и у = -JC, JC < о (рис. 129). Свойства функции у = \х\: 1) D(f) = (-оо; +СХ)); 2) убывает на луче (-оо; 0], возрастает на луче [0; -hoo); 3) ограничена снизу, не ограничена сверху; 4) 1/наим = о, 1/наиб не существувт; 5) непрерывна; Рис. 129 6) E(f) = [0; -hoo). 136 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Рис. 130 Рис. 131 где 6. Функция у = ах^ + Ьх + с {а Ф 0) Графиком функции является парабола с вершиной в точке (хо; уо), = Уо = Ахо), и с ветвями, направленными вверх при а > 0 (рис. 130), и вниз — при а < о (рис. 131). Прямая х = является осью симметрии параболы. Свойства функции у = ах^ Ъх с для случая а > 0: 1) D(f) = (-оо; +СХ)); 2) убывает на луче |-оо; возрастает на луче 3) ограничена снизу, не ограничена сверху; 4) 1/наим = Уо, г/наиб не существует; 5) непрерывна; 6) E(f) = [уо; +оо); 7) выпукла вниз. Свойства функции у = ах^ Ьх с для случая а < 0: 1) D(f) = (-оо; +оо); 2) возрастает на луче |-оо; убывает на луче +ooj; 137 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ 3) не ограничена снизу, ограничена сверху; 4) 1/наим не существует, г/наиб = Уо\ 5) непрерывна; 6) E(f) = (-оо; 1/о]; 7) выпукла вверх. Пример 4. На рис. 132 представлен график функции у = ах^ + + &JC + с. Определить знаки коэффициентов а, &, с. Решение. Ветви параболы направлены вверх, значит, а > 0. Парабола пересекает ось у в точке (0; с), значит, с < 0. Абсцисса Хо вершины параболы находится по формуле = ^ • Поскольку а > о, JCo < о, делаем вывод: & > 0. Ответ: а > о, & > о, с < 0. Пример 5. Построить график функ-- 5х + 6) ции у = х^ - X - 2 Рис. 133 Решение. Имеем: х^-1 = (х- l)(jc + 1); х^ - 5х 6 = (х - 2)(х - 3); х^ - X - 2 = (х - 2)(х + 1). Значит, (х^ - 1)(х^ - 5x + 6) _ х^ - X - 2 ~ ^ (X - 1)(х + 1)(х - 2)(х - 3) ^ (X - 2)(х + 1) = (х- 1)(х - 3). Таким образом, у = (х - l)(jc - 3), X Ф 2j X ^ -1. Графиком функции является парабола, пересекающая ось х в точках 1 и 3, с двумя ^(ВЫКОЛОТЫМИ» точками — абсциссы этих точек равны 2 и -1 (рис. 133). ■ Пример 6. График кусочной функции у = /(jc), изображенный на рис. 134, состоит из дуги окружности, части 138 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Рис. 134 гиперболы и отрезка прямой. Требуется прочитать график и перейти от графического задания функции к аналитическому. Решение. Перечислим свойства функции. 1) D(f) = [-4; 7]. 2) Функция возрастает на отрезке [-4; 0], убывает на отрезке [0; 3], возрастает на отрезке [3; 7]. 3) Функция ограничена и снизу, и сверху. 4) 1/наиб = 7 (достигается в точке х = 7), г/наим = 0 (достигается в точке X = -4). 5) Функция непрерывна в своей области определения. 6) E(f) = [0; 7]. 7) У функции есть две точки экстремума: jc = 0 — точка максимума, причем i/max= 4; JC = 3 — точка минимума, причем = 1. Составим аналитическое задание функции. На отрезке [-4; 0] графиком функции является дуга окружности с радиусом, равным 4, с центром в точке 0; уравнение этой окружности -Ь г/^ = 4^, значит, для части верхней полуокружности получаем у = Vl6 - х^. На отрезке [0; 3] имеем график обратной пропорциональности с коэффициентом 4, сдвинутый влево по оси jc на 1. Значит, на 4 этом промежутке у = ^ Наконец, на отрезке [3; 7] дана часть графика линейной функции у = kx т, причем эта прямая проходит через точки (3; 1) и (7; 7), а потому коэффициенты кит можно найти, решив систему уравнений [1 = 3fe -н т, \Т = 1к ■¥ т. 139 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Получим: k - 1,5, т = -3,5. Значит, у = 1,5jc - 3,5 (на отрезке [3; 7]). Составим теперь аналитическое задание функции, обратив при этом внимание на 4<стыковые» точки (jc = О и jc = 3). Они не должны дублироваться в задании функции. Итак, л/16 - jc^, если -4 < JC < О, 4 -, если О < JC < 3, X + \ 1,5jc - 3,5, если 3 < jc < 7. § 18. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ В предыдущем параграфе мы говорили только о тех свойствах функций, которые в той или иной степени вам были уже известны из курса алгебры 8-го класса. Запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах пойдет речь в настоящем параграфе. Определение 1. Функцию у = f{x), х называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство К-х) = fix). Определение 2. Функцию у = fix), х е X называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство fi-x) = -fix). Пример 1. Доказать, что у = х^ — четная функция. Решение. Здесь fix) = jc^, fi~x) = i~xf = x^. Значит, для любого значения х выполняется равенство fi~x) = fix), т. е. функция является четной. ■ Аналогично можно доказать, что функции у = х^, у = х^, у = х^ также являются четными. Пример 2. Доказать, что у = х^ — нечетная функция. Решение. Здесь fix) = х^, fi~x) = = -х^. Значит, для любого значения х выполняется равенство fi~x) = -fix), т. е. функция является нечетной. ■ Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х^, у = х'^ также являются нечетными. 140 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Мы заметили, что у = у = у = — нечетные функции, у = х^у у = х"^у у = х^ — четные функции. И вообще для любой функции вида у = JC", где п — натуральное число, можно сделать вывод: если п — нечетное число, то функция г/ = Jc" — нечетная; если п — четное число, то функция г/ = jc" — четная. Существуют функции, которые не являются ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция г/ = 2jc -I- 3. В самом деле, /(1) = 5, а /(-1) = 1, т. е. /(-1) /(1) и /(-1) Ф -/(1). Значит, не выполняется ни тождество f{-x) = /(jc), ни тождество f{-x) = ~f{x). Итак, функция может быть четной, нечетной, а также — ни той, ни другой. Изучение вопроса, является заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность. В ощюделениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -X. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке JC, и в точке -X. Это значит, что точки jc и -jc принадлежат области определения функции. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то такое множество называют симметричным множеством. Скажем, (-2; 2), [-5; 5], (-оо; +сх>) — симметричные множества, в то время как [0; +оо), (-2; 3), [-5; 6) — несимметричные множества. Если функция у = f(x) — четная или нечетная, то ее область определения D(f) — симметричное множество. Если же D{f) — несимметричное множество, то функция у = f{x) не является ни четной, ни нечетной. Учитывая сказанное выше, рекомендуем при исследовании функции на четность использовать следующий алгоритм. /^^лгоритм исследования функции у = fix), х е X на четност^ 1. Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то объявить, что функция не является ни четной, ни нечетной. Если да, то перейти ко второму шагу алгоритма. 2. Найти f(-x). 3. Сравнить f(-x) и f(x): а) если f(-x) = f(x) для любого х е X, то функция четная; б) если f(-x) = -f(x) для любого х е X, то функция нечетная; в) если хотя бы в одной точке х е X выполняется соотношение f(-x) Ф f{x) и хотя бы в одной точке х ^ X выполняется соотношение f{-x) Ф -f(x), то функция не является ни четной, ни нечетной. 141 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Пример 3. Исследовать на четность функцию: -Ь Л; B)i/=;2_t; .5_ А. лг® ’ г) у = yjx - 3. Решение, а) г/ = f(x), где f(x) = + ^; 1) Функция определена при всех значениях х, кроме 0. Следовательно, D{f) — симметричное множество. 2) f(-x) = (-xf + {-xf = -h -г. 3) Для любого значения х из области определения функции выполняется равенство f{~x) = f{x). 2 Таким образом, у = х"^ ^ — четная функция. б) I/ = Кх), где f(x) = х^ 1) Функция определена при всех значениях х, кроме 0. Следовательно, D(f) — симметричное множество. 2) f(-x) = (-xf - =-х^-^ = 3) Для любого значения х из области определения функции выполняется равенство f(-x) = -f(x). 3 Таким образом, у = х^ - — нечетная функция. в) I/ = fix), где fix) = ^2 _ 9- 1) Функция определена при всех значениях jc, кроме 3 и -3. Значит, область определения функции — числовая прямая, из которой удалены две точки: 3 и -3. Это симметричное множество. (-х) - 4 X + 4 2) fi-x) = i-хГ - 9 л:" - 9- 3) Сравнив fi~x) и fix), замечаем, что, вероятно, не выполняются ни тождество fi~x) = fix), ни тождество fi~x) = -fix). Чтобы в этом убедиться, возьмем конкретное значение х, например л: = 4; имеем: /(4) = 0, а /(-4) = -|, т. е. /(-4) /(4) и /(-4) -/(4). Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной. 142 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ г) функция определена на луче [3; +оо). Этот луч — симметричное множество, значит, функция — ни четная, ни нечетная. ■ Пример 4. Исследовать на четность функцию: а) у = |д:|, X 6 [-2; 2]; ъ)у = х^, (-5; 5); б) у = |д:|, X € [-3; 3); v)y^x^,xe (-5; 5]. Р е ш е н И е. а) D{f) = [-2; 2] — симметричное множество, и для всех значений х выполняется равенство |-jc| = |jc|. Значит, заданная функция — четная. б) D{f) - [-3; 3) — несимметричное множество. В самом деле, точка -3 принадлежит полуинтервалу [-3; 3), а противоположная точка 3 не принадлежит этому полуинтервалу. Значит, функция не является ни четной, ни нечетной. в) D{f) - (-5; 5) — симметричное множество и (-jc)^ = -х^ для всех значений х из D{f). Значит, заданная функция — нечетная. г) Функция задана на полуинтервале, который не является симметричным множеством. Значит, функция — ни четная, ни нечетная. ■ Теперь обсудим геометрический смысл свойства четности и свойства нечетности функции. Пусть у = f{x) — четная функция, т. е. f{~x) = f{x) для любого X € D{f), Рассмотрим две точки графика функции: А{х\ f(x)) и В(-х\ f(-x)). Так как f{-x) = f{x), то у точек А и Б абсциссы являются противоположными числами, а ординаты одинаковы, т. е. эти точки симметричны относительно оси у (рис. 135). Таким образом, для каждой точки А графика четной функции у = f{x) существует симметричная ей относительно оси у точка В того же графика. Это означает, что график четной функции симметричен относительно оси у. Пусть у = f{x) — нечетная функция, т. е. f{~x) = ~f{x) для любого jc € D{f). Рассмотрим две точки графика функции: А{х\ f{x)) и В(-х; f(-x)). Так как f(-x) = -f(x), то у точек А и В и абсциссы и ординаты являются противоположными числами, т. е. эти точки симметричны относительно начала координат (рис. 136). Таким образом, для каждой точки А графика нечетной функции у = f{x) существует симметричная ей относительно начала координат точка В того же графика. Это означает, что график нечетной функции Рис. 135 yi — (-J ^ J 0) Хх] ►г [-х;Г 1 л в' *А - Х О с X 143 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ -X В (-х; f(-x)) (х; f(x))- симметричен относительно начала координат. Верны и обратные утверждения. Если график функции у = f(x) симметричен относительно оси ординат, то у = f(x) — четная функция. В самом деле, симметрия графика функции у = f{x) относительно оси у означает, что для любого значения х из области определения функции справедливо равенство f(-x) = f(x), т.е. у = f(x) — четная функция. Если график функции у = f{x) симметричен относительно начала координат, то у = f(x) — нечетная функция. Симметрия графика функции у - f{x) относительно начала координат означает, что для любого значения х из области определения функции справедливо равенство f{-x) = ~f{x), т.е. у = f(x) — нечетная функция. Рис. 136 Пример 5. Исследовать на четность функцию у = yj9 - . Решение. Первый способ. Будем действовать по определению: f(-x) = у]9 - (-xf = л/9 - х^ = f(x). Значит, для любого значения х из D(f) справедливо равенство f(-x) = f(x), т. е. функция является четной. ■ Второй способ. График функции — полуокружность с центром в начале координат и радиусом 3 (см. рис. 113), она симметрична относительно оси у. Значит, у = yj9 - х^ — четная функция. Пример 6. Доказать, что функцию у = f(x), х где X — симметричное множество, можно представить в виде суммы четной и нечетной функции. Решение. Справедливо тождество f{x) = Пх) + П-х) + _1_ К х) обозначения: - g(x), = = Л(х). Функция у — g{x), X 6 X является четной, а функция у = h(x), X €Х — нечетной. В самом деле, g(-x) = /(-X) + f(x) = g(x), а h(-x) = ^ А т ^ _т п X) ^ ^ ^ функция у = g(x) — четная, а функция у = h{x) — нечетная. ■ 144 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ § 19. ФУНКЦИИ у = X" (т € Z), их СВОЙСТВА и ГРАФИКИ в этом параграфе речь идет о степенных функциях с целочисленным показателем, т. е. о функциях г/ = г/ = х®, г/ = у = х'^ и т. д. 1. Функция у = (п € N) Простейший случай такой функции мы рассматривали в 7-м классе — это была функция у = х^. Рассмотрим теперь функцию у = х^. Поскольку это четная функция, построим сначала ту часть ее графика, которая располагается в правой полуплоскости (при х > 0). Составим таблицу значений: 0 1 3 X 2 1 2 у 0 1 16 1 81 16 Отметим точки (0; 0), ^j, (1; 1), Щ на координатной плоскости (рис. 137, а); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 137, б). Добавив к построенному графику линию, симметричную построенной относительно оси ординат, получим график функции у = (рис. 138). Он похож на параболу (но параболой его не называют). м i 8 1. 16 1. 1 i \ 6 ] L L_i 5 X 2 < 1 Ун 1 -1. X а) Рис. 137 б) Рис. 138 145 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Прежде чем перечислить свойства функции, заметим, что мы будем придерживаться того же порядка, который использовали в § 17, но с одной поправкой: свойству четности функции отведем вторую позицию. Свойства функции г/ = 1) D{f) = (-00; +СХ)); 2) четная функция; 3) убывает на луче (-оо; 0], возрастает на луче [0; +оо); 4) ограничена снизу, не ограничена сверху; 5) 1/наим = о, 1/наиб не существует; 6) непрерывна; 7) E{f) = [0; +СХ)); 8) выпукла вниз. Эти свойства были прочитаны по графику, что в общем-то в математике не принято. Обычно поступают наоборот: исследуют свойства функции, а потом, опираясь на результаты проведенного исследования, строят ее график. А можем ли мы доказать хотя бы некоторые из перечисленных выше свойств? Первое свойство очевидно (поскольку любое число х можно возвести в четвертую степень). В § 18 доказано второе свойство. Можно доказать и третье: в самом деле, если Xi> Х2> 0, то, по свойству числовых неравенств, х\> x\,di это и означает возрастание функции на луче [0; +оо) (см. определение 1 из § 17). Если jCi < JC2 < о, то -Xi > -Х2 > о, (-JCi)"* > {-X2f, т. е. х\ > х\. Итак, из JCi < JC2 < о следует, что х\ > х\, а это и означает убывание функции на луче (-оо; 0]. Можно доказать четвертое и пятое свойства. Ограниченность функции снизу очевидна: для любого х справедливо неравенство х^ > 0. Отсюда, кстати, сразу следует и то, что г/наим. = 0 (достигается в точке JC = 0). Неограниченность функции сверху докажем методом от противного. Предположим, что функция ограничена сверху, т. е. существует число М > о такое, что для любого х справедливо неравенство < М. Рассмотрим значение функции в точке Xq = М + 1. Имеем (М + 1)^ > М + 1 > М, Итак, Xq > М, а это противоречит предположению о том, что для любого X справедливо неравенство х"*^ < М. Наше предположение неверно, т. е. функция не является ограниченной сверху. Отсюда, кстати, следует и то, что наибольшего значения у функции нет. 146 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Рис. 139 При желании можно пояснить (не доказать) свойство выпуклости функции вниз. Покажем, например, что на отрезке [0; а], где а > 0, график функции у = X* расположен ниже отрезка ОА (рис. 139). На интервале (0; а) возьмем произвольную точку Xi и восставим из этой точки перпендикуляр к оси X. Он пересечет график функции у = X* в точке Р, а прямую ОА — в точке М (см. рис. 139). Ордината точки Р равна х\ • А чему равна ордината точки М? Давайте подсчитаем. Прямая ОА проходит через начало координат, значит, ее уравнение имеет вид у = kx; она также проходит через точку А(а; а^). Подставив координаты точки А в уравнение у = kx, получим: = ka. Значит, k = а^, т. е. уравнение прямой ОА таково: у = (Рх, Теперь ясно, что ордината точки М равна a^Xi, Итак, ордината точки Р равна х\, а ордината точки М равна a^Xi, Какое из этих чисел больше? Поскольку 0 < Xi < а, то по свойствам числовых неравенств х\ < а® и, далее, х\ ' Xi < Хи т. е. х\ < a^Xi, Последнее неравенство означает, что точка Р располагается ниже точки М. Отсюда можно сделать вывод: если провести произвольную прямую ОЛ, то окажется, что график функции у = х^ на отрезке [0; а] лежит ниже соответствующего участка прямой ОА. Любая степенная функция у = (п е N) обладает теми же свойствами, что функция г/ = дс^, а график фукнции у - при п = 3, 4, 5, ... похож на график функции у = х^ (рис. 138), только его ветви при больших по модулю значениях х более круто направлены вверх и более прижаты к оси х на отрезке [-1; 1]. Отметим еще, что линия, служащая графиком функции у = касается оси х в точке (0; 0), т. е. одна ветвь кривой плавно переходит в другую, как бы прижимаясь к оси X. Пример 1. Построить график функции I/ = (JC - 1)« - 2. Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; -2) (рис. 140). см 1 1-» 1 - II 0 1 * X у -2 Рис. 140 147 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ 2) Построим график функции г/ = jc® в новой системе координат, используя контрольные точки: (0; 0), (1; 1), (-1; 1) (в новой системе координат). Затем через контрольные точки проведем линию, похожую на ту, которая изображена на рис. 138, — это и будет требуемый график (см. рис. 139). ■ 2. Функция у = {п е N) Простейший случай такой функции — у = х^. Ее график при X > о в принципе выглядит так же, как и график функции у = х^ при X > о (см. рис. 137). Нужно лишь учесть, что новая кривая чуть менее круто идет вверх и чуть дальше отстоит от оси х на отрезке [0; 1]. Поскольку у = х^ — нечетная функция, то, добавив линию, симметричную построенной относительно начала координат, получим график функции у = х^ (рис. 141). Эту кривую называют кубической параболой. Замечание. Здесь наблюдается один из редких случаев, когда математики используют не очень удачный термин. Парабола — геометрическая фигура с определенными свойствами. Линия, изображенная на рис. 141, этими свойствами не обладает, поэтому лучше было бы придумать ей другое название (<( кубическая парабола» — это что-то вроде квадратной окружности»). Отметим некоторые геометрические особенности кубической параболы г/ = х®. У нее есть центр симметрии — точка (0; 0), которая отделяет друг от друга две части кривой; эти симметричные части называют ветвями кубической параболы. Обратите внимание, что ветви кубической параболы переходят одна в другую без излома — плавно. Свойства функции у = х^: 1) D(f) = (-оо; +СХ)); 2) нечетная функция; 3) возрастает; 4) не ограничена ни снизу, ни сверху; 5) нет ни наименьшего, ни наибольшего значений; 6) непрерывна; 7) E(f) = (-СХ); +СХ)); 8) выпукла вверх при х < 0, выпукла Рис. 141 вниз при JC > 0. 148 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ График любой степенной функции г/ = п = 2, 3, 4, , похож на график функции у = (см. рис. 141), только чем больше показатель, тем более круто направлены вверх (и соответственно вниз) ветви графика. Отметим еще, что линия, служащая графиком функции у = касается оси х в точке (0; 0). Пример 2. Решить уравнение = 3 - 2х. Решение. 1) Рассмотрим две функции: у = х^иу = 3- 2х. 2) Построим график функции у = х^ (см. рис. 142). 3) Построим график линейной функции у = 3 - 2х. Это прямая линия, проходящая через точки (0; 3) и (1; 1) (см. рис. 142). 4) Построенные графики пересекаются судя по чертежу в точке А(1; 1), причем простая проверка показывает, что координаты точки А(1; 1) удовлетворяют уравнению. Значит, уравнение имеет один корень: х = 1. Ответ: 1. Между прочим, геометрическая модель, представленная на рис. 142, наглядно иллюстрирует следующее утверждение, которое иногда позволяет изящно решать уравнения. Если функция у = f(x) возрастает, а функция у = g(x) убывает и если уравнение f(x) = g(x) имеет корень, то этот корень — единственный. Доказательство. Пусть Xi — корень уравнения f(x) = g(x). Возьмем из области определения уравнения любое значение Х2 такое, что Х2 > Xi. Функция у = f(x) возрастает, значит, из Х2 > Xi следует f(xi) > f(x2). Функция у = g(x) убывает, значит, из Х2 > Xi следует g(xi) > g(X2)-Получилась такая цепочка: f(X2) > f(Xi) = g(Xi) > g(X2). Получилось, что f(x2) > g(x2), т. e. X2 не является корнем уравнения. Аналогично можно доказать, что если взять из области определения уравнения любое значение Xz такое, что х^< Xi, то Xz не является корнем уравнения. Рис. 142 149 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Итак, уравнение имеет единственный корень, что и требовалось доказать. Вот как, опираясь на это утверждение, мы можем решить уравнение из примера 2 без чертежа: 1) заметим, что при х = 1 выполняется равенство 1' = 3 - 2 1, значит, X = 1 — корень уравнения (этот корень мы угадали); 2) функция у = 3 - 2х убывает, а функция у = х^ возрастает, значит, корень у заданного уравнения только один и этим корнем является найденное выше значение х = 1. 3. Функция у = (п 6 N) Выше мы говорили о степенных функциях с натуральным показателем. Теперь поговорим о степенных функциях с отрицательным целым показателем. Начнем с функции у = х'^, или, 1 что то же самое, у - Область ее определения — множество всех действительных чисел, кроме 0. Это четная функция, значит, есть смысл сначала построить ее график при jc > 0. Составим таблицу значений: X 1 1 3 1 2 2 3 у 1 9 4 1 4 1 9 Отметим точки gj, 4|, (1; 1), ^2; ij, |з; || на коорди- натной плоскости (рис. 143, а), они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 143, б). Добавив к ней ветвь, симметричную построенной относительно оси ординат, получим график функции у = или у = х-^ (рис. 144). Свойства функции у = х~^: 1) Dif) - (-<»; 0) и (0; +оо); 2) четная функция; 3) убывает на открытом луче (0; +оо), возрастает на открытом луче (-сю; 0); 150 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Vi 1 4 ■ 1 ■ i > О • < 2 € X 1 а) б) Рис. 143 4) ограничена снизу, не ограничена сверху; 5) нет ни наименьшего, ни наибольшего значений; 6) непрерывна при х < О (т. е. на открытом луче (- оо; 0)) и при JC > о (т. е. на открытом луче (0; +оо)); 7) E{f) = (0; +СХ)); 8) выпукла вниз и при jc < 0, и при jc > 0. Докажем для примера убывание функции при jc > 0. Пусть Xi> Х2> 0. По свойствам числовых неравенств: х\ > х\, ^ ^ , т. е. < xf . Итак, для функции у = /(л:), где f{x) = JT^, мы доказали, что если Xi> Х2> 0, то f{xi) < f{x^, а это и означает убывание функции на открытом луче (0; +оо). Можно доказать четвертое и пятое свойства. Ограниченность функции снизу очевидна: для любого х фО справедливо неравенство ^ > 0. Неограниченность функции сверху докажем методом от противного. Предположим, что функция ограничена сверху, т. е. существует число М > о такое, что для любого х справедливо неравенство М. Рассмотрим значение функции в точке Xq = ^ . 151 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Имеем = (М + 1)^ > М + 1 > М. Итак, ^ > М, а это противоречит предположению о том, что для любого х справедливо неравенство ^2 < М. Наше предположение неверно, т. е. функция не является ограниченной сверху. Отсюда, кстати, следует и то, что наибольшего значения у функции нет. Осталось доказать, что и наименьшего значения у функции нет. Предположим, что оно есть, равно т и достигается в точке Хо > 0. Но, в силу убывания функции на (0; +оо), для х > Хо выполняется неравенство f(x) < f(xo), т. е. f(x) < т. Значит, т не может быть наименьшим значением функции, г/наим не существует. График любой функции у = х'^^ {n^N) похож на график функции У = ^ (см. рис. 144). Отметим, что кривая у = ^ асимптотически приближается к осям координат. Говорят также, что ось х (т. е. прямая у = 0) является горизонтальной асимптотой графика функции у = а ось у (т. е. прямая jc = 0) является вертикальной асимптотой этого графика. Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функ-1 ции I/ = ^ на заданном промежутке: а)[|;з]; б)[-2;-|); в) [1;+оо). Решение. Для ответа на поставленный вопрос можно использовать график функции (см. рис. 144), а можно опираться на свойство монотонности. Далее мы будем действовать и так, и так. а) При X > о функция у = f(x), где f(x) = ^ , убывает, значит, на заданном промежутке своих наименьшего и наибольшего значений она достигает на концах промежутка, если, разумеется, эти концы принадлежат промежутку. Для отрезка Уватл /(^) Q > ^наиб ^(2) ^ 1. 3 2’ получаем: 152 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ б) При JC < О функция возрастает, значит, на заданном промежутке своих наименьшего и наибольшего значений она достигает на концах промежутка, если, разумеется, эти концы принадлежат промежутку. В рассматриваемом случае имеем: г/наим = /(~2) = ^, а 1/наиб не существует (правый конец не принадлежит заданному промежутку). в) С помощью графика функции (см. рис. 144) устанавливаем, что 1/наим не существует, а г/наиб =1- ■ 4. Функция у = х“*2п-1) (р ^ /S/J Речь пойдет о функциях у = х у = I/ = дг * и т. д. Одну такую функцию вы изучили в курсе алгебры 8-го класса — это была функция у = х~^, т. е. г/ = ^. Ее график — гипербола (рис. 145). График любой функции у = ^2n-i похож на гиперболу. Свойства функции у = 1) D(f) = (-оо; 0) и (0; +оо); 2) нечетная функция; 3) убывает и на открытом луче (0; +оо), и на открытом луче (-оо; 0); 4) не ограничена ни снизу, ни сверху; 5) нет ни наименьшего, ни наибольшего значений; 6) непрерывна и при jc < О, и при jc > 0; 7) E(f) = (-СХ); 0) и (0; +СХ)); 8) выпукла вверх при jc < 0, выпукла вниз при jc > 0. Рис. 145 Пример 4. Построить график функции у = (х - 1) ^ 2. Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; 2) (рис. 146, а). 2) Построив линию, служащую графиком функции у = х'^ в новой системе координат, в старой системе координат получим требуемый график (рис. 146, б). ■ 153 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ i/i^ а) Рис. 146 б) Подведем итоги. Если п е N, то: — график функции у = выглядит так, как показано на рис. 147; — график функции у = выглядит так, как показано на рис. 148; — график функции у = выглядит так, как показано на рис. 149; — график функции у = выглядит так, как показано на рис. 150. Vi к у Х>‘ > О • X Vi к 1 ,, _ -v2ii 1+1 1 - -1. О > г ■ X Рис. 147 Рис. 148 154 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Рис. 149 Рис. 150 §20. ФУНКЦИЯ y = Vx, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК Определение L Число Ъ называют кубическим корнем (или корнем третьей степени) из числа а, если выполняется равенство = а. Пишут ^ = Ь; а — подкоренное число, 3 — показатель корня. Таким образом, равенства ^ = Ь; = а и = а эквива- лентны, т. е. выражают одну и ту же зависимость между действительными числами а и Ь. Короче это можно записать так: ^ = Ь =а;<=> — знак эквивалентности. Например, = 3, так как 3^ = 27; Vl = 1, так как 1^ = 1; ^ = о, так как 0^ = 0; ^-64 = -4, так как (-4)^ = -64; з/З— = —, у S 2 так как — 2 = ^ = 3^, 8 8 Кубический корень ^ существует для любого числа а. Это утверждение доказывается в курсе высшей математики. Мы будем пользоваться им без доказательства. При извлечении кубического корня сравнительно редко получается рациональное число. Чаще получается иррациональное число, для которого можно найти лишь приближенное значение. 155 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Докажем для примера, что ^ — иррациональное число. Предположим противное, что ^ — рациональное число, т. е. ^ = — , где 3 ^ — — несократимая обыкновенная дробь. Тогда — = 5, т. е. = 5л®. д [п ) Последнее равенство означает, что т® • 5, т. е. натуральное число т® делится на 5 без остатка (напомним, что символ I означает ♦ делится на»). Но это возможно тогда и только тогда, когда m : 5, т. е. m = 5Л, где k — некоторое натуральное число. Подставим выражение dk вместо т в равенство т® = 5л®; получим (5Л)® = 5л®, откуда л® = 25Л®. Последнее равенство означает, что л® I 25 и уж тем более л® I 5. Но тогда и л : 5. Итак, получили, что m ! 5 и л ! 5. Отсюда следует, что дробь — — п сократимая (ее числитель и знаменатель можно сократить на 5), а это противоречит условию, согласно которому — — несократимая дробь. п Полученное противоречие означает, что наше предположение о рациональности числа ^ неверно, т. е. это число — иррациональное. Корень третьей степени из положительного числа — положительное число, а корень третьей степени из отрицательного числа — отрицательное число. Это следует из того, что при возведении в куб знак числа не меняется. Справедливо тождество В самом деле, пусть = &, а ^ = с. Тогда - -jc, а - X. Отсюда следует, что = -с^ или = (~с)^. Из последнего равенства следует, что Ъ = -с, т. е. Пример 1. Доказать, что: а) ^ ^ б) ^ ^ 0). Решение, а) Имеем = (^) ' (^) = чит, ^ — это число, куб которого равен аЪ, А таким числом является yfab. Значит, у[аЪ = ^ б) Доказывается аналогично. ■ 156 3. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Рассмотрим функцию у = ^ , отметим некоторые ее свойства и построим график. Введем привычное обозначение: f(x) = 1) D(f) = (-00; +00) (речь идет о естественной области определения функции — см. § 8), поскольку, как мы отметили выше, кубический корень можно извлечь из любого действительного числа. 2) I/ = ^ — нечетная функция. Это вытекает из доказанного выше тождества 3) у = ^ — возрастающая функция на луче [0; -1-оо). В самом деле, пусть 0 < JCi < Х2; нам надо доказать, что тогда и • Предположим противное, что фс^ > фс^. Тогда, по свойству числовых неравенств, Xi > JC2, что противоречит условию. Значит, наше предположение неверно, а потому ^ < 4^. 4) Функция у = ^ не ограничена сверху на луче [0; +оо). Предположим противное: существует число М > 0 такое, что для любого X G [0; -1-00) выполняется неравенство фс < М, Возьмем на луче [0; -1-оо) точку Хо = (М -I- 1)^. Тогда f{x^) = фМ -н 1)^ = = M-h 1 > М. Итак, мы нашли точку jcq, в которой выполняется неравенство /(jcq) > М. Это противоречит предположению о том, что для любого X > О выполняется неравенство f{x) < М. Значит, наше предположение неверно, т. е. функция не ограничена сверху. В то же время она ограничена снизу: на луче [0; -1-оо) выполняется неравенство фс ^ 0. 5) Непосредственным следствием предыдущего свойства является следующее свойство: г/наим = О, г/наиб не существует. Построим график функции у = ф на луче [0; -1-оо). Составим таблицу значений. X 0 1 8 3^ 8 у 0 1 2 1,5 3|;1,5 V ^ У на координат- Построим точки (0; 0), (1; 1), (8; 2), ной плоскости (рис. 151, а); они намечают некоторую линию, 157 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ а) б) Рис. 151 проведем ее (рис. 151, б). Мы учитываем при этом и то, что функция возрастает, и то, что она не ограничена сверху. Воспользовавшись тем, что у = ^ — нечетная функция, добавим к графику, построенному на рис. 151, б, ветвь, симметричную ему относительно начала координат. Тогда получим весь график функции у = ^ (рис. 152). Свойства функции у - 1) D(f) = (-ОО; +00); 2) У = ^ — нечетная функция; 3) функция у = ^ возрастает на всей числовой прямой; 4) функция у = ^ не ограничена ни снизу, ни сверху; 5) у функции нет ни наименьшего, ни наибольшего значений; 6) функция непрерывна на всей числовой прямой; = 1Гх У О 8 1 f Рис. 152 158 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Рис. 153 7) E(f) = (-00; +СХ)); 8) функция выпукла вниз на (-оо; 0] и выпукла вверх на [0; +00). Пример 2. Решить уравнение ^ = 10 - jc. Решение. Построив в одной системе координат графики функций у = ^ и I/ = 10 - JC (рис. 153), убеждаемся, что они пересекаются в точке (8; 2). Так как у = ^ — возрастающая функция, а I/ = 10 - JC — убывающая функция, то jc = 8 — единственный корень заданного уравнения (см. с. 149). О т в е т: 8. Пример 3. Построить график функции у = + 1 - 2. Решение. Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; -2) (пунктирные прямые jc = -1, г/ = -2 на рис. 154) и «привяжем» функцию у = ^ к новой системе координат. Получим требуемый график (см. рис. 154). ■ Пр и м е р 4. Построить и прочитать график функции (-2 - JC, если X < -1, если х> - 1. 159 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Рис. 154 Решение. Построим прямую у = -2 - х и возьмем ее часть при X < -1 (рис. 155). Построим график функции у = ^ и возьмем его часть при х > -1 (рис. 156). А теперь обе построенные линии расположим в одной системе координат (рис. 157) — это и будет требуемый график. Прочитаем построенный график: 1) D(f) = (-оо; +СХ)); 2) функция не является ни четной, ни нечетной; 3) убывает на (-оо; -1], возрастает на [-1; Н-оо); 4) функция ограничена снизу и не ограничена сверху; 5) у функции нет наибольшего значения, а г/наим = “1; 6) функция непрерывна на всей числовой прямой; 7) £(Л = [-1;+оо). ■ Завершая эту главу, упомянем еще одно свойство функции, которое иногда бывает полезным при исследовании функции, при Рис. 155 Рис. 156 160 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ Рис. 157 построении ее графика, при решении неравенств графическим методом. Речь идет о промежутках знакопостоянства функции, т. е. о тех промежутках оси х, на которых функция сохраняет постоянный знак. Так, для функции, график которой изображен на рис. 157, промежутками знакопостоянства будут: открытый луч (-00; -2) — здесь функция принимает положительные значения; (-2; 0) — на этом интервале функция принимает отрицательные значения; (0; +оо) — на этом открытом луче функция принимает положительные значения. ГЛАВА 4 ПРОГРЕССИИ § 21. Числовые последовательности § 22. Свойства числовых последовательностей § 23. Арифметическая прогрессия § 24. Геометрическая прогрессия § 25. Метод математической индукции §21. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1. Определение числовой последовательности Рассмотрим четыре функции: 1) у = х\ X е [0; 1]; 3) г/ = х^; 2) у = х^, X е [0; +оо); 4) у = х^, X ^ N. Они заданы одной и той же формулой у = х^, но области определения функций различны. В первом случае D{f) = [0; 1]. Во втором — D(f) = [0; -hoo). В третьем область определения функции не указана. Согласно действующей в математике договоренности подразумевается, что в этом случае D(f) совпадает с областью определения выражения, задающего функцию, т. е. с областью определения выражения х^: D(f) = (-оо; -\-оо). Наконец, в четвертом случае областью определения функции является множество N натуральных чисел: D(f) = N. Графики этих функций изображены на рис. 158—161. Согласитесь, что первые три функции более привычны для вас, нежели четвертая. На протяжении трех лет изучения алгебры в школе мы рассматривали самые разные функции, но областью их определения практически всегда был какой-либо промежуток или объединение нескольких промежутков, а график функции состоял из одной или нескольких сплошных линий. А как обстоит дело с четвертой функцией? Ее область определения — множество натуральных чисел — состоит из отдельных точек (математики говорят: 4(из изолированных точек»), соответственно, и график функции состоит из отдельных точек. Возникает вопрос, а нужно 162 ПРОГРЕССИИ у и 1 / / / / / / i -/ f t . ш / л к 1 / / О 1- "х Рис. 160 Рис. 159 У1 1 / / • 1 ; J LO' 1 / / / 9- ( ( / 1 / / 1- О • [ X 1 Рис. 161 ли изучать функции, заданные на множестве натуральных чисел, встречаются ли они в реальной жизни; точнее, встречаются ли ситуации, математические модели которых представляют собой функции с областью определения N7 Вспомним задачу из учебника <<Алгебра-7»: 4<На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе через день, 2 дня, 3 дня, 15 дней и т. д.?» Если за X принять число дней, а за г/ — количество угля (в тоннах), то математической моделью ситуации будет линейная функция, заданная на множестве N натуральных чисел: у = 500 -h 30jc, X е N. 163 ПРОГРЕССИИ Еще пример. На банковский счет положили а руб. Банк ежемесячно на сумму, находящуюся на счету, начисляет р %. Сколько денег на счету станет через месяц, 2 месяца, 12 месяцев и т. д.? Оказывается, математической моделью этой ситуации служит функция у = а ' 2*"", х е N; здесь у — сумма вклада (в рублях), X — число полных месяцев, прошедших с момента открытия счета, а — некоторый положительный коэффициент, связанный с банковским процентом р (обычно используют приближенную формулу k « 0,014р). Ответ на поставленный вопрос мы получили: функции, заданные на множестве натуральных чисел {у = /(jc), х € N), нужно изучать. А зачем писать у = f(x), jc ^ ЛГ, не проще ли в таких случаях писать у = f(n), договорившись раз и навсегда, что аргумент п — натуральное число {п 6 N)1 Так и сделаем. В рассмотренных выше примерах: вместо у = x^j X е Nj напишем у - п^; вместо у = 500 -I- 30jc, х е N, напишем у = 500 -I- ЗОп; вместо у = а ' 2*"", х е N, напишем у = а • 2*". На практике оказалось удобным вместо /(1) писать ух, вместо /(2) — 1/2, вместо /(3) — Уз, вместо f(n) — Уп. Значения функции у = f{n) можно записать последовательно одно за другим: /(1), /(2), /(3), ..., f{n), ... или, в соответствии с указанной выше договоренностью, Ух, у2, Уз, •••, Уп, ••• • Например, для функции у = получаем: У1 = 1^ = 1; У2 = 2^ = 4; Уз = 3^ = 9; У4 = 4^ = 16 и т. д. Полученные значения запишем последовательно одно за другим: 1, 4, 9, 16, ..., п\ ... . Число 1 в этой записи находится на первом месте, 4 — на втором, 9 — на третьем, 16 — на четвертом, а — на п-м месте. Подчеркнем еще раз, что следующие записи: 1) у = fix), X € N-, 2) у = fin). 164 ПРОГРЕССИИ 3) /(1), /(2), f(3), .... f(n), ... или yi, уг, y^, y„, ... — различны ПО форме, но одинаковы по содержанию. Определение 1, Функцию вида у = /(jc), х е N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f{n) или у и Угу Уз, --у У пу Значения уи у2, Уз (и т. д.) называют, соответственно, первым, вторым, третьим (и т. д.) членами последовательности, В символе Уп число п называют индексом, он указывает порядковый номер того или иного члена последовательности (в записи ух, у2, У ЗУ •••у у пу •••)• Иногда ДЛЯ обозначения последовательности используется запись (уп). Многоточия в обозначении последовательности (имеется в виду запись Ух, 1/2, Узу > Упу •••) означают, что правее г/з располагаются дальнейшие члены последовательности (у^, у^, уе и т. д.), рядом с уп находятся (а в случае необходимости и записываются) Уп-х (слева) и уп + х (справа). Члену Уп-х предшествует г/„_2, аза i/n + i следует Уп^2 и т. д. Для обозначения членов последовательности используются различные буквы, например: Хх, Х2, лгз, ..., х^ ..., или ах, аз, аз, ..., ап, ...» или Ьх, &2> ^Зу •••> ^ПУ ••• • Как известно, функция может быть задана различными способами: аналитически, графически, словесно и т. д. (см. § 16). Последовательность как частный случай функции тоже можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, словесный и рекуррентный. 2. Аналитическое задание числовой последовательности Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее п-то члена Уп = f(n). Например, Уп = — это аналитическое задание последовательности 1, 4, 9, 16, ..., п^, ..., о которой шла речь выше. Указав конкретное значение п, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если, например, п = 9, то Уд = 9^, т. е. Уд = 81; если п = 27, то 1/27 = 27^, т. е. 1/27 = 729. А если взят определенный член последовательности, то можно указать его номер. Например, если Уп = 625, то из уравнения п^ = 625 находим, что п = 25. Это значит, что 25-й член заданной последовательности равен 625. 165 ПРОГРЕССИИ Для последовательности уп = (-1)”— находим: у, = (-1)* f = -1; У2 = (-1) ' 2 ~ 2 ’ У^ = ЫГ 1=-р У4=(-1Г i = i и т. д. Таким образом, получаем последовательность А, 2» 3» 4’ •••’ ^ п’ *** • Заметим, что эту же последовательность можно было задать аналитически в виде кусочной функции у = f(n), где т = —, если п — нечетное натуральное число, п —, если п — четное натуральное число. п Как и в предыдущем примере, нетрудно найти член последовательности с заданным номером. Например, у^ч - ^ У Если Уп = С, то речь идет о последовательности С, С, С, ..., С, ..., которую называют стационарной. Как видите, зная формулу п-то члена последовательности, нетрудно найти ее первый, второй, третий члены и вообще любой член с указанным номером. Гораздо труднее решать обратную задачу: угадывать возможную формулу п-то члена последовательности, для которой указано несколько первых членов. Пример 1. Найти одну из возможных формул п-то члена последовательности : а) 1, 3, 5, 7, 9, ...; б) 4, 8, 12, 16, 20, ...; в) 7, 11, 15, 19, 23, ...; 2 3 4 ^ 1’ 4’ 9’ 16’ 25’ ••• * 166 ПРОГРЕССИИ Решение, а) Приведена последовательность нечетных натуральных чисел. Аналитически она задается формулой Уп = 2п - 1. б) Уп = 4д (последовательность натуральных чисел, кратных 4). в) Каждый член этой последовательности на 3 больше соот- ветствующего члена последовательности из пункта б), значит, Уп = 4:П 3. На рис. 162 изображен график последовательности Уп = 4п 3, т. е. график функции у = 4х -\- 3, х ^ N. Он состоит из точек прямой у = 4х-\-Зс абсциссами jc = 1, jc = 2, jc = 3, jc = 4 и т. д. V /1 + 1 г) г/„ = —. Пример 2. Дана последовательность Уп = 24п -I- 36 - 6п^. а) Сколько в ней положительных членов? б) Найти наибольший член последовательности. в) Есть ли в последовательности наименьший член? Решение. Здесь удобно перейти к <<функциональному» определению последовательности: речь идет о функции у = 24jc -h 36 - 5jc^, xeN. a) Чтобы ответить на поставленный вопрос, решим неравенство 24jc -h 36 - 5х^ > 0. 0 Из уравнения 24jc + 36 - 5х^ = 0 находим: Xi = 6, Х2 = Уравнение оси симметрии параболы у = -Ъх^ 24х 36 можно найти по формуле X = ^ , получим: х - 2,4. На рис. 163 схематически У\ к / / ] L9- i \ t / ] L5- ; ( / ] L1- ( / 7- • 1 г / / 3i г / / О li >1 1 X / J- 1 1 1 Рис. 162 Рис. 163 U7 ПРОГРЕССИИ (с разными масштабами по осям) изображен график функции у = -5jc2 + 24jc + 36. Неравенство 24jc + 36 - 5jc2 > о 6 ^ ^ выполняется при -^ < jc < 6. В этом интервале содержится пять натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5); соответственно в заданной последовательности пять положительных членов: уи у2, Уз, Уау Уь> б) График последовательности состоит из точек параболы с абсциссами 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... . Среди них можно найти точку с наибольшей ординатой. Ясно, что это будет точка, наиболее близко расположенная к оси параболы. Уравнение оси, напомним, X = 2,4, ближайшая точка последовательности имеет абсциссу jc = 2. Значит, наибольшим членом последовательности является 1/2. Осталось вычислить значение второго члена последовательности Уп = 24п -h 36 - Ъп^: 1/2 = 24 2 -h 36 - 5 2' = 64. в) Члены последовательности, начиная с третьего, располагаются на правой ветви построенной параболы. Наименьшего среди них нет. Ответ: а) 5; б) 1/2 = 64 — наибольший член последовательности; в) наименьшего члена у последовательности нет. 3. Словесное задание последовательности Суть этого способа задания последовательности поясним на примере. Известно, что у[2 = 1,41421... . С этим иррациональным числом можно связать две последовательности: 1) последовательность десятичных приближений числа >/2 по недостатку 1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, 1,41421, ...; 2) последовательность десятичных приближений числа >/2 по избытку 2, 1,5, 1,42, 1,415, 1,4143, 1,41422, ... . В обоих случаях правило составления последовательности описано словами (не формулой). Еще один пример — последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... . Последовательность задана словесно. 168 ПРОГРЕССИИ 4. Рекуррентное задание последовательности Важный для приложений способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить п-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены, При вычислении членов последовательности по этому правилу мы как бы все время возвращаемся назад и выясняем, чему равны предыдущие члены. Такой способ задания последовательности называют рекуррентным (от лат. слова recurrere — возвращаться). Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить п-й член последовательности через предыдущие, и задают 1—2 начальных члена последовательности. Приведем примеры. Пример 3. Ух = 3; Уп = Уп-i + 4, если п = 2, 3, 4, ... . Иными словами, п-й член последовательности получается из предыдущего (п - 1)-го члена прибавлением к нему числа 4. Уг — 3; i/2 = i/i“l"4 = 3-l-4 = 7; «/з = г/2 + 4 = 7 -h 4 = 11; «/4 = «/з + 4 = 11 -h 4 = 15 и т. д. Тем самым получаем последовательность 3, 7, 11, 15, ... . Заметим, что эту последовательность нетрудно задать аналитически: уп = 4:П - 1. Ш Пример 4. Ух = 3; Уп = если п = 2, 3, 4, ... . Иными словами, п-й член последовательности получается из предыдущего (п - 1)-го члена умножением его на 2. Ui — 3; У2 = 2ух = 2 3 = 6; Уг = 2у2 = 2 6 = 12; г/4 = 2г/з = 2 • 12 = 24 и т. д. Тем самым получаем последовательность 3, 6, 12, 24, ... . Заметим, что и здесь нетрудно перейти к аналитическому заданию последовательности: i/„ = 3 • 2'" Ч ■ 169 ПРОГРЕССИИ Пример 5. 1/1 = 1; 1/2 = 1» Уп = Уп-2 + Уп-и если га = 3, 4, 5. Иными словами, п-й член последовательности равен сумме двух предшествующих ему членов. У1 = 1; У2 = 1; Уз = 1/1 + г/2 = 1 + 1 = 2; У4 = г/2 + Уз = 1 + 2 = 3; Уз = Уз + У4 = 2 + 3 = 5; Ув = У4 + Уб = 3 + 5 = 8; У? = Уб + Ув = 5 + 8 = 13; Уз = Уб + Ут = 8 + 13 = 21; Уя — Ут Ув — 13 + 21 = 34; Ую = Уз + У9 = 21 + 34 = 55 и т. д. Тем самым получаем последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . ■ Эту последовательность специально изучают в математике, поскольку она обладает целым рядом интересных свойств. Ее называют последовательностью Фибоначчи — по имени итальянского математика XIII века. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно — легко, а аналитически — трудно (она задается с помощью формулы Вине: у„ = ^2^) “ ~2^^) )' Пр имер 6. Последовательность (i/„) задана рекуррентно: У\ = 1» */2 = 2, Уп = Ъуп-\ - буп-29 если п > 2. Задать эту последовательность аналитически. Решение. Найдем несколько начальных членов последовательности: У1 = 1; У2 = 2; «/з = 5i/2 - 6i/i = 5 2 - 6 1 = 4; г/4 = 5i/3 - 6i/2 = 5 • 4 - 6 • 2 = 8; «/5 = 5i/4 - 6i/3 = 5 • 8 - 6 • 4 = 16; i/6 = 5i/5 - 6i/4 = 5 16 - 6 8 = 32. Получили последовательность 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... . Возникает естественное предположение, что i/„ = 2"'\ Чтобы убедиться в его справедливости, проверим, выполняется ли для i/„ = 2”'^ заданное в условии рекуррентное соотношение Уп = 5i/„_i - 6уп-2» 170 ПРОГРЕССИИ Если у„ = 2"'^, то Уп-1 = 2"'^ 1/„-2 = 2"‘®. Тогда 5у„-г - буп-2 = 5 • 2"-" - 6 • 2'-® = 2’''^ (52-6) = = 2"'"- 2* = 2"'1 = 1/„. Рекуррентное соотношение выполняется, наша догадка подтвердилась. Ответ: г/„ = Пример 7. Последовательность (уп) задана рекуррентно: У\ = Уп = у1-1 ~ 4г/л-1 + 4, если п > 1. При каких значениях параметра а последовательность является стационарной? Решение. Последовательность (г/л), у которой г/i = а, будет стационарной, если каждый ее член равен а, в частности, Уп = d, г/л-1 = d. Тогда рекуррентное соотношение Уп = у1-1 - ^Уп-1 + 4 принимает вид а = - 4а + 4, т. е. - 5а + 4 = 0. Решив это уравнение, находим: ai = 1, аг = 4. Ответ: при а = 1 или при а = 4. Среди рекуррентно заданных последовательностей особо выделяют два простых, но важных случая: 1) указан первый член последовательности г/i = а и задано рекуррентное соотношение Уп = Уп-1 d (а и d — числа); 2) указан первый член последовательности Ух = Ь и задано рекуррентное соотношение Уп = Уп-i ' Я (Ь и q — числа). В первом случае говорят, что задана арифметическая прогрессия (см. пример 3), во втором — что задана геометрическая прогрессия (см. пример 4). Подробнее о прогрессиях речь пойдет в § 23 и 24. §22. СВОЙСТВА числовых ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Числовая последовательность — частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций можно перенести и на последовательности. Определение 1. Последовательность (г/„) называют ограниченной сверху, если существует такое число М, что для любого n^N выполняется неравенство г/„ < М. Иными словами, последовательность ограничена сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. 171 ПРОГРЕССИИ -п\ Число М называют верхней границей последовательности. Ясно, что если последовательность ограничена сверху, то у нее бесконечно много верхних границ. Например, последовательность -1, -4, -9, -16, -25, ограничена сверху; в качестве верхней границы можно взять число -1 (или любое число, большее чем -1). Определение 2. Последовательность называют ограниченной снизу, если существует такое число т, что для любого п ^ N выполняется неравенство Уп > т. Иными словами, последовательность ограничена снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. Число т называют нижней границей последовательности. Например, последовательность 1, 4, 9, 16, 25, ..., ... ограничена снизу; в качестве нижней границы можно взять число 1 (или любое число, меньшее чем 1). Если последовательность ограничена и сверху, и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью. Например, огра- J. В качестве верхней границы можно взять число 1, в качестве нижней — число 0. Если построить график этой последовательности. .111 ниченнои является последовательность 1, т. е. график функции у = —, jc € ЛГ, то можно заметить, что весь график расположен в полосе между двумя горизонтальными прямыми (в данном случае это у = 0 и у = 1 — рис. 164). Но в этом и состоит, как известно, геометрический признак ограниченности функции (см. § 17). Особенно наглядным становится свойство ограниченности последовательности, если члены последовательности отметить точками на числовой прямой. Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку. Так, изобразив члены последо-1 вательности Уп - ~ точками на число- м к 1 1 \у п VT ч у-- = 1 J L О V-1 ; а 1У = = 0 X J U м м м 1 Рис. 164 вой прямой, замечаем, что все они принадлежат отрезку [0; 1] (рис. 165). 172 ПРОГРЕССИИ о 1 1 ■ 1 1 1 ■ 1 _ L 1 X 1 2 6 4 3_ ММ 1 г 1 1 Рис. 165 Пример 1. Исследовать на ограниченность последовательность _J_.J_.J_.J_. . J_ Vi Vi Решение. Чтобы было понятно, о какой последовательности идет речь, выпишем несколько ее членов: _J_ _J_. J_ _J_. J_ . J_ и T. Д. Эта последовательность ограничена снизу: все ее члены удовлетворяют неравенству i/„ > 1. Выясним, является ли последовательность ограниченной сверху. Рассмотрим ее п-й член (п > 1): _J_.J_.J_.J_. .J_ Vi Vi Vi” В этой сумме п слагаемых, причем наименьшим из них является последнее слагаемое . Значит, Уп > п - , т. е. Уп > у/п. \Т1 \Т1 Поскольку число yfn можно выбрать больше любого заданного числа М, то и Уп можно выбрать больше любого заданного числа М. Это значит, что последовательность не ограничена сверху. Ответ: последовательность ограничена снизу и не ограничена сверху. Определение 3. Последовательность (i/„) называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего: У\< У2< Уг< Уа< ... < Уп-1 <Уп< ... . Например, последовательность 1, 4, 9, 16, 25, ... , ... — возрастающая. Определение 4, Последовательность (i/„) называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего: У\> У2> Уг> Уа> ... > Уп-1 > Уп> .... 173 ПРОГРЕССИИ Например, последовательность 1, — убы- вающая. Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности. Например, последовательности 1, 4, 9, 16, 25, ..., ... и 1, ..., 1 .111 —, ... — монотонные, а последовательность 1, -g, 3» “4» •••’ (_l)n-il, — монотонная. Исследуют последовательности на монотонность с помощью приведенных выше определений, но иногда бывает удобно использовать следующее достаточно очевидное утверждение: если функция у = f{x) возрастает (убывает) на луче [1; +оо), то последовательность Уп = f(n) возрастает (убывает). Например, функция у = возрастает на луче [1; -hoo) и последовательность Уп = возрастает; функция У = \ убывает на луче [1; -hoo) и по- следовательность Уп = ~ убывает. Пример 2. Исследовать на монотонность последовательность _ 1/п - 5„ • Решение. Выпишем п-й и (п -h 1)-й члены последователь-{n + lf „ . ности: 1/п = 77»i/n +1 = . Чтобы сравнить эти члены, составим 5 5 их разность и оценим ее знак: Уп^1 - Уп = (п + 1)^ _ (п^ + 2п + 1) - _ 2у1 + 1 - 4п^ 5П.1 5" 5П.1 5П.1 Для натуральных значений п справедливы неравенства 2п < 2п^ и 1 < 2п^. Сложив их, получим: 2п -h 1 < 4п^. Значит, для любых „ 2/1 + 1-4/12 ^ ^ натуральных значении п справедливо неравенство ---771--- < О, о т. е. Уп + 1 - у„<0. Итак, для любых натуральных значений п выполняется неравенство Уп + 1<Упу Si это значит, что последовательность (уп) убывает. ■ 174 ПРОГРЕССИИ Пример 3. Исследовать на монотонность последовательность _ 1 + 2yfn ’ Решение. Рассмотрим функцию у + 24х . Если JC > О, то знаменатель дроби с увеличением х увеличивается, значит, ДР^бь ^ уменьшается и, соответственно, значение выра- жения -- + 2у[х 1 + 2л/х увеличивается. Отсюда вывод: функция воз- растает при JC > О, а значит, возрастает и на луче [1; -hoo). Но тог- 1 - да и последовательность Уп = —;—возрастает. ■ + 2у]п Пример 4. Последовательность {уп) задана рекуррентно: У\ = CLy Уп = у1-1 - 3i/n-i - 5, если п > 1. Доказать, что при а > 5 последовательность является возрастающей. Решение. Последовательность (уп) будет возрастающей, если Уп > Уп-1 для любого номера п > 1. Воспользовавшись заданным рекуррентным соотношением, запишем интересующее нас неравенство в виде i/Li “ Зг/п-1 “ 5 > уп-1 И решим его, положив для удобства Уп-i = t: - 3t - 5 > t; - 4t - 5> 0; t <-1, t > 5. (1) Случай, когда t < -1, т. e. Уп-i < -1, нас явно не интересует: в этом случае последовательность не может быть возрастающей, поскольку по условию ух = а> 5. Остается случай ^ > 5. Если t > 5, т. е. Уп-1 > 5, то неравенство (1) выполняется, значит, Уп > Уп-i» Далее будем рассуждать так. По условию ух = а. Если а > 5, т. е. Ух > 5, то выполняется неравенство у2 > Ух» Отсюда следует, что 1/2 > 5, но тогда выполняется неравенство уз> У2» Отсюда следует, что Уз > 5, но тогда выполняется неравенство У4 > Уз ^ т. д. Тем самым доказано, что заданная последовательность при а > 5 возрастает. ■ 175 ПРОГРЕССИИ §23. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 1. Основные понятия Определение. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого числа d, называют арифметической прогрессией, а число d — разностью арифметической прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (а„), заданная рекуррентно соотношениями: 0/\ ““ а, Пд ““ — 1 df {п = 2, 3, 4, ...) (and — заданные числа). Можно ли, глядя на числовую последовательность, установить, является ли она арифметической прогрессией? Можно. Если вы убедились в том, что разность между любым членом последовательности и предшествующим ему членом постоянна (т. е. аг - ai = = аз - аг = а4 - аз = ...), то перед вами — арифметическая прогрессия. Разумеется, при этом предполагается, что обнаруженная закономерность выполняется не только для явно выписанных членов последовательности, но и для всей последовательности в целом. Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... . Это арифметическая прогрессия, у которой ai = 1, d = 2. Пример 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... . Это арифметическая прогрессия, у которой = 20, d = -3. Пример 3. 8, 8, 8, 8, 8, 8, ... . Это арифметическая прогрессия, у которой ai = 8, d = 0. Очевидно, что арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d > 0 (см. пример 1), и убывающей, если d < о (см. пример 2). Для обозначения того, что последовательность (а„) является арифметической прогрессией, иногда бывает удобна следующая запись: -ь ai, аз, аз, ..., а^, ... . Значок ^ заменяет словосочетание арифметическая прогрессия». 176 ПРОГРЕССИИ Если в арифметической прогрессии отбросить все члены, следующие за каким-то конкретным членом последовательности, например за а„, то получится конечная арифметическая прогрессия -5- ai, аг, Лз» •••> Иногда в конечной арифметической прогрессии удобно записывать не только несколько членов в начале, но и несколько членов в конце, например так: ■Ь а\у ^2» ^3> •••> В следующих пунктах этого параграфа рассмотрим наиболее важные свойства арифметической прогрессии. 2. Формула п-го члена арифметической прогрессии Задание арифметической прогрессии, о котором идет речь в определении, является рекуррентным. Во многих случаях оно неудобно: чтобы вычислить, например, аш, надо предварительно найти предшествующие 99 членов последовательности. Эту вычислительную работу можно существенно упростить, если удастся найти формулу п-го члена, т. е. перейти к аналитическому заданию арифметической прогрессии. Рассмотрим арифметическую прогрессию ai, а2, аз, ..., а„, ... с разностью d: а\ — Uij а2 = ai + d, аз = а2 + d = (ai -h d) -h d = ai -h 2d, a4 = аз + d = (ai + 2d) -h d = ai + 3d, «5 = a4 -h d = (ai -h 3d) -h d = ai -h 4d и t. д. Нетрудно догадаться, что для любого номера п справедливо равенство Лл = ai И- (л — l)d. (1) Это формула п-го члена арифметической прогрессии. Нетрудно догадаться», можно сообразить» и т. д. — это стилистические обороты из области интуиции. Разумеется, математики ими пользуются, но в основном для открытия каких-то новых фактов, а не для их обоснования. Формулу (1) мы «прочувствовали», но не обосновали. Приведем доказательство. 177 ПРОГРЕССИИ Если п = 1, то ai = ai + (1 - l)d — верное равенство, т. е. формула (1) для п = \ верна. Предположим, что формула (1) верна для натурального числа п = fe, т. е. предположим, что верно равенство = ai + (fe - l)d. Докажем, что тогда формула (1) верна и для следующего натурального числа п = -h 1, т. е. докажем, что a^ + i = ai -h kd. В самом деле, по определению арифметической прогрессии Лл + 1 = -h d, значит, + 1 -h d = (ai -h (fe - l)d) -h d = ai -h kd. A теперь смотрите: для n = 1 формула (1) верна (это мы проверили). Далее мы доказали, что если формула (1) верна для числа п = fe, то она верна и для п = -h 1. Итак, формула (1) верна для п = 1, значит, она верна и для п = 2; так как она верна для п = 2, то она верна и для п = 3 и т. д. Значит, формула (1) верна для любого натурального числа п. Приведенный метод рассуждений носит название метод математической индукции (подробнее мы поговорим о нем в § 25). Запишем формулу л-го члена арифметической прогрессии Un = Ui {п - l)d в виде Un = dn (Ui - d) и введем обозначения: Un = Уу Ui - d = т. Получим у = dn т, или у = dx т, X € N. Значит, арифметическую прогрессию можно рассматривать как линейную функцию (у = dx т), заданную на множестве N натуральных чисел. Угловой коэффициент этой линейной функции равен d — разности арифметической прогрессии. На рис. 166 схематически изображен график арифметической прогрессии — изолированные точки на прямой (с абсциссами jc = l,jc = 2,jt: = 3 и т. д.). Vi к vtt и 1 i г* ■ 1 - 1 L ^ г V О г- я 1 0- X f Рис. 166 178 ПРОГРЕССИИ Вернемся к примерам 1 и 2, рассмотренным выше. 1) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... . Это арифметическая прогрессия, у которой ai = 1, d = 2. Составим формулу п-то члена: ап = ai {п - l)d; а„= 1 + (п - 1) • 2; Un = 2п - 1 (заметим, что эту формулу нетрудно было угадать, глядя на заданную последовательность нечетных чисел 1, 3, 5, 7, ...). 2) 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... . Это арифметическая прогрессия, у которой Ui = 20, d = -3. Составим формулу п-то члена: а„= ai + (п - l)d; а,= 20 + (п - 1) . (-3); CLji — 23 “ Зл. Пример 4. Дана арифметическая прогрессия ^2> ^3> ••• > ^п> ••• • а) Известно, что ai = 5, d = 4. Найти агг. б) Известно, что ai = -2, d = 3, а„ = 118. Найти п. в) Известно, что d = -2, азд = 83. Найти ai. г) Известно, что Ui = 7, ai5 = -35. Найти d. Решение. Во всех случаях в основе решения лежит формула п-го члена арифметической прогрессии Un = Ui (п - l)d. а) U22 = + 21d = 5 + 21 • 4 = 89. б) 118 = -2 + (п - 1) • 3; 118 = Зп - 5; п = 41. в) 83 = ai + 38 • (-2); Ui = 159. г) -35 = 7 + 14d; d = -3. Ответ: а) 89; 6)41; в) 159; г)-3. 179 ПРОГРЕССИИ Пример 5. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй ее член в частном получается 7; при делении десятого члена прогрессии на ее пятый член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти двадцатый член этой прогрессии. Решение. Условия задачи можно кратко записать так: 1) -5- fli, U2, Лз> •••> ^п> •••> 2) ад = lU2\ 3) aiQ — 2й^5 “h 5. Воспользовавшись формулой п~го члена арифметической прогрессии, получим: Ug = Ui 8d; U2 = а\ + d\ Uio = -h 9d; Л5 — a\ “h ^dm Тогда второе условие задачи (Ug = Таг) можно записать в виде ai + 8d = 7(ai + d). т. e. d — ба^. Третье условие задачи (аю = 2а5 -I- 5) можно записать в виде т. е. а\ -h 9d = 2(ai -h 4d) + 5, d = ai -h 5. В итоге получаем очень простую систему двух линейных уравнений с двумя переменными ai и d: d = 6ai, d = ai + 5. Решив систему, находим, что ai = 1, d = 6. Осталось вычислить двадцатый член прогрессии: аго = ai + 19d = 1 + 19 6 = 115. ■ Пример 6. Могут ли числа О, 37 и 2 Vl3 быть членами одной арифметической прогрессии? Решение. Предположим, что эти числа являются членами одной арифметической прогрессии; пусть первый член прогрессии 180 ПРОГРЕССИИ равен а, а разнсхлъ прогрессии равна d. Тогда О = а + ftrf, 37 = а + /nd, 2лЯз = а + pd, где k, т, р — попарно различные целые неотрицательные числа. Вычтя первое равенство из второго, получим: 37 = d{m - k)\ вычтя первое равенство из третьего, получим: 37(р - К) 37 m - Aj ’ ' 2(m - k) лучилось, что — рациональное число, что неверно. Значит, наше предположение неверно, т. е. заданные числа не являются членами одной арифметической прогрессии. ■ 2гЯз = d(p - к). Значит, • т. е. ^/iЗ = о/Г _ ьч'. По- 3. Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии Пусть дана конечная арифметическая прогрессия ■*" flj, ^2» ^3» •••> - 2> Обозначим через сумму ее членов: = ai -h а2 + Лз + ... -h а„_2 + Лл-1 + Рассмотрим конкретный пример отыскания S„. Дана конечная арифметическая прогрессия 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100. Сумму ее членов вычислим следующим образом: Sioo = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51) = = 101 + 101 + 101 + ... + 101 = 50 слагаемых = 101 50 = 5050. Примерно та же идея используется для вычисления суммы членов произвольной конечной арифметической прогрессии. Для начала заметим, что 0,2 Un -1 = Ui Oji* В самом деле, по определению арифметической прогрессии, аг = ai + d, On-i = On - d. Значит, 02 On-i = (Oi d) (On - d) = Oi -\- On. Аналогично можно установить, что Оз Оп-2 = 0,2 On-1 = Oi On 181 ПРОГРЕССИИ И вообще сумма члена, находящегося на k-м месте от начала конечной арифметической прогрессии, и члена, находящегося на к-м месте от ее конца, равна сумме первого и последнего членов прогрессии: -I- а„ _ ^ +1 = ai + а„. Теперь вычислим Имеем: = ai + аг + аз + ... + а„_2 + Лп-1 + cLtu = а„ + а„_1 + a„_2 + ... + аз + а2 + ai. Сложив эти два равенства, получим: 2S„ =(ai+ a„) + (а2 + a„_i) + (аз + а^-г) + ••• ... + (а„ _ 2 + аз) + (а„ _ 1 + аз) + (a„ + Ui). В правой части равенства п пар слагаемых, каждая пара, как мы установили выше, равна Ui + а„. Значит, 2Sn = n(ai + а„); ^ _ n(oi + On) 2 Это формула суммы первых п членов арифметической прогрессии. Пример 7. Дана арифметическая прогрессия ^1» ^2» ^3» •••> ••• • а) Известно, что ai = 5, d = 4. Найти S22. б) Известно, что Ui = 7, Se = 140. Найти d. Решение, а) азз = ai + 21d = 5 + 21 • 4 = 89; ^22 — 22 • (oi + 022) = 11 (5 + 89) = 1034. 8(0^^. 140 = 4(7 + as); 35 = 7 + Os', Us = 28. Теперь применим к Og формулу n-го члена арифметической прогрессии: Og = Oi + 7d; 28 = 7 + 7d; d = 3. Ответ: a) 1034; 6) 3. 182 ПРОГРЕССИИ Пример 8. а) Найти сумму всех четных трехзначных натуральных чисел; б) найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, кратных 11, но не кратных 5. Решение, а) Речь идет о сумме членов конечной арифметической прогрессии 100, 102, 104, ..., 998. У этой прогрессии ai = 100, а„ = 998, d = 2. Нужно вычислить но для этого сначала надо узнать, чему равно п, т. е. сколько членов содержится в указанной арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой а„ = ai -h (п - l)d: 998 = 100 -h (n - 1) 2; n = 450. Итак, Ui = 100, n = 450, = 998. Вычислим S450: S450 — _ 450 (100 + 998) _ = 225 1098 = 247 050. 6) Трехзначные числа, кратные 11, можно представить в виде конечной арифметической прогрессии 110, 121, 132, ..., 990. Число членов этой прогрессии равно 81, и их сумма S' вычисляется следующим образом: 110 + 990 S' = 81 = 550 81. Но по условию задачи из написанной прогрессии следует удалить числа, кратные 5, т. е. числа 110, 165, ..., 990. Эти 17 чисел также образуют конечную арифметическую прогрессию, причем их сумма S" вычисляется следующим образом: 110 + 990 S" = 17 = 550 17. Интересующая нас сумма S равна S' - S". Значит, S = 550 81 - 550 17 = 550 64 = 35 200. О т в е т: а) 247 050; б) 35 200. Иногда оказывается полезной видоизмененная формула суммы п членов арифметической прогрессии. Если в формуле для учесть, что а„ = ai -h d(n - 1), то получим: СУ _ 2oi + d(n - 1) _ Sn- 2 ‘ Пример 9. Турист, двигаясь по пересеченной местности, за первый час пути прошел 800 м, а за каждый следующий час 183 ПРОГРЕССИИ проходил на 25 м меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на весь путь, равный 5700 м? Решение. Первый этап. Составление математической модели. За первый час турист прошел 800 м, за второй — 775 м, за третий — 750 м и т. д. Математической моделью является конечная арифметическая прогрессия ■*" 0,29 Os, On, у которой Ui = 800, d = -25, = 5700. Надо найти п (в часах — время движения туриста). Второй этап. Работа с составленной моделью. Воспользуемся второй формулой для S„: о _2oi + - 1) — 2 * 5700=2_800 ^25(^.^. 228 = 64 - (п - 1) (обе части уравнения разделили на 25); 456 = п(65 - п)\ - 65п -h 456 = 0; Hi = 8, П2 = 57. Третий этап. Ответ на вопрос задачи. В задаче спрашивается, сколько времени был в пути турист. Это время мы обозначили буквой п и получили для п две возможности: п = 8 или п - 57. Переменная п имеет и другой смысл: она показывает число взятых начальных членов арифметической прогрессии 800, 775, 750, 725, 700, .... Первый раз сумма членов этой прогрессии равна 5700 при п = 8: 800 + 775 + 750 + 725 + 700 + 675 + 650 + 625 = 5700. Это значит, что путь длиной 5700 м турист преодолеет за 8 часов. Но как понимать второе значение п = 57? Оно означает, что Hi -h П2 + ... + П57 = 5700. С математической точки зрения в этой записи никакого противоречия нет. Но смотрите: здесь а^2 = fli + -h 41d = 800 -41*25 = -25; отрицательными будут и все последующие члены арифметической прогрессии. А по смыслу задачи нас 184 ПРОГРЕССИИ интересуют только положительные члены прогрессии (подъем вверх). Поэтому значение п = 57 нас не устраивает. Ответ: 8 ч. 4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии Пусть дана арифметическая прогрессия ai, аг, аз, ..., а„, ... . Рассмотрим три ее члена, следующие друг за другом: a„_i, а„, a„ + i. Известно, что Un ~~ d = а^ -1, а„ d — CLfi +1. Сложив эти равенства, получим: ап = O-rt-i + Оп + 1 Это значит, что каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего) равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов. Верно и обратное: если последовательность (а„) такова, что для любого п > 1 выполняется равенство а„_1 + а„ + 1 ап= -----2----, то (Un) — арифметическая прогрессия. В самом деле, последнее равенство можно переписать так: а„ - а„ = а„ - а„ Это значит, в частности, что аг - ai = аз - аз, Us - U2 = и т. д. Иными словами, разность между любым членом последовательности и предшествующим ему членом всегда одна и та же, а это и означает, что задана арифметическая прогрессия. Тем самым мы доказали следующую теорему. Теорема. Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство арифметической прогрессии). 185 ПРОГРЕССИИ Пример 10. При каком значении х числа 3jc + 2, 5л: - 4 и lljc + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию? Решение. Согласно характеристическому свойству заданные выражения должны удовлетворять соотношению 5^ _ 4 ^ (Зл + 2) + (Их + 12) 2 Решим это уравнение: 10х - 8 = 14х + 14; X = -5,5. При этом значении х заданные выражения Зх + 2, 5х - 4, Их + 12 принимают соответственно значения -14,5, -31,5, -48,5. Это арифметическая прогрессия, ее разность равна -17. Ответ: -5,5. Пример 11. При каких значениях параметра а корни уравнения Зх^ - (2а + 10)х^ + (6а + 3)х = О, взятые в некотором порядке, образуют конечную арифметическую прогрессию? Решение. Перепишем уравнение в виде х(3х2 - (2а + 10)х + (6а + 3)) = 0. Значит, либо X = о, либо Зх^ - (2а + 10)х + (6а + 3) = 0. Из квадратного уравнения находим еще два корня: о 2а + 1 X = 3, X = —2—. тх л о 2а + 1 Итак, числа 0, 3, —^— должны в определенном порядке образовывать арифметическую прогрессию. Возможны три варианта расположения числа —^— на числовой прямой: левее числа 0; между числами 0 и 3; правее числа 3. В первом случае числа > о, 3 образуют арифметическую прогрессию тогда и только 2а + 1 л с л тогда, когда —^— = -3, т. е. когда а = -5. Во втором случае числа 0, 3 образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда число равно среднему арифметическому чисел 0 ^ 2а +1 3 „ 7 и 3, т. е. если —^Из этого уравнения находим: а = ^. 186 ПРОГРЕССИИ Наконец, в третьем случае числа О, 3, образуют арифме- 2а + 1 ^ тическую прогрессию тогда и только тогда, когда —^— = 6, т. е. когда а = 8,5. Ответ: -5, 1,75 или 8,5. Пример 12. Известно, что сумма первых п членов последовательности (уп) равна ап^ -h -h с, где а, Ь, с — действительные числа. При каких значениях а, Ь, с последовательность (уп) является арифметической прогрессией? Решение. Последовательность будет арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда для любого п выполняется соотношение _Уп + Уп^2 Уп + 1 — 2 ’ или, что то же самое, 2уп*1 = Уп + Уп*2- (2) Но по условию нам известна лишь сумма S„. Можно ли с ее помощью найти i/„, Уп + и Уп + 2^ Можно, смотрите: = 1/1 + 1/2 + «/З + ••• + Уп-1 + Упу Sn-I = г/1 + г/2 + «/з + ... + Уп-и Уп - 1. Имеем: Итак, Тогда Sji = ап^ Ьп с; Sn-l = - if -h Ь{п - 1) -h с; Sn - Sn-l - 2an - a -h &. Уп = 2an - a b. (3) Уп + \ = 2a(n -h 1) - a -h & = 2an -h a -h b; Уп + 2 — 2cl{ji -h 2) — a -h & = 2aa -h 3a -h b. Числа Уп = 2an - a -h &, уп + i = 2an -h a -h &, уп + 2 = 2an -h 3a -h & удовлетворяют соотношению (2) при любых значениях а и &. Проведенные рассуждения верны лишь для а > 1, поскольку мы использовали формулу для S„_i. Значит, формулой (2) нельзя 187 ПРОГРЕССИИ пользоваться при п = 1. Если п = 1, то получаем: i/i = Si = а + & + с; по формуле (3) находим: 1/2 = За + Ь; 1/3 = 5а + Ь. Для чисел i/i = а + + & + с, 1/2 = За + 1/з = 5а + & должно выполняться соотношение (2), т. е. 2(3а + Ь) = (а + Ь + с) + (5а + Ь). После упрощений получаем с = 0. Ответ: с = 0, аи Ъ — любые действительные числа. Пример 13. Найти четырехзначное число, кратное 45, цифры которого образуют конечную арифметическую прогрессию. Решение. Пусть jc, у, 2, t — последовательные цифры искомого числа р. Так как р кратно 45, то р делится на 5 и на 9. Делимость на 5 возможна лишь в двух случаях: когда цифра единиц числа р равна О или 5. Итак, либо ^ = О, либо t = 5. Делимость на 9 возможна тогда и только тогда, когда сумма цифр числа р кратна 9. Это значит, что x-\-y-\-2-\-t = 9п, п е N. Впрочем, учитывая, что jc, у, 2, t — цифры, а ^ = О или 5 (т. е. во всяком случае t < 9), можно сделать уточнение: x-\-y-\-2-\-t = 9п, где а = 1, 2 или 3. Осталось учесть, что цифры искомого числа образуют арифметическую прогрессию. Согласно характеристическому свойству числа Ху у, 2у t образуют арифметическую прогрессию тогда и толь- ко тогда, когда у = X -h Z у + t или, что то же самое: X + 2 = 2у, у + t = 2г. Суммируя все сказанное выше, приходим к совокупности двух систем уравнений: t = О, X + г = 2у, у + t = 2г, X + у + 2 + t = 9п(п = 1, 2, 3); t = 5, X + 2 = 2у, у + t = 22, X + у + 2 + t = 9п(п = 1, 2, 3). 188 ПРОГРЕССИИ Рассмотрим первую систему. Подставив значение ^ = О в третье уравнение, получим у = 2z. Подставив 2z вместо у во второе уравнение, получим X - 32. Наконец, подставив х - З2, г/ = 2г и ^ = О в четвертое уравнение системы, получим 62 = 9д (д = 1, 2, 3). При д = 1 и д = 3 получаются нецелые значения 2, при д = 2 получаем 2 = 3. Итак, значение цифры z найдено: 2 = 3. Тогда jc = З2 = 9, I/ = 22 = 6, а значит, искомое число равно 9630. Рассмотрим вторую систему. Подставив значение t = 5 в третье уравнение, получим у = 2z - 5. Подставив 22-5 вместо у во второе уравнение, получим jc = З2 - 10. Подставив jc = З2 - 10, у = 2z - 5 и t = 5 в четвертое уравнение, получим: 62 - 10 = 9д (д = 1, 2, 3). Это уравнение относительно 2 не имеет при д = 1, 2 или 3 натуральных решений. Ответ: 9630. §24. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Для удобства читателя этот параграф мы построим по тому же плану, что и предыдущий. 1. Основные понятия Определение, Числовую последовательность, все члены которой отличны от о и каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на одно и то же число д, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, геометрическая прогрессия — это числовая последовательность (&„), заданная рекуррентно соотношениями: bi — Ь, Ъп — Ъп-\ ' q (п = 2, 3, 4, ...) (Ь и q — заданные числа, Ь ^ 0, q ^ 0). Можно ли, глядя на числовую последовательность, установить, является ли она геометрической прогрессией? Можно, если вы убедились в том, что отношение любого члена последовательности к предыдущему члену постоянно (т. е. Ь2 : bi = : Ь2 = : bs = ...), то перед вами — геометрическая прогрессия. Пример 1. 1, 3, 9, 27, 81, ... . Это геометрическая прогрессия, у которой = 1, g = 3. 189 ПРОГРЕССИИ тт о о 3 3 3 3 Пример 2. 3, 2» 4» g» ig’ •“ * Это геометрическая прогрессия, у которой bi = 3, g = тт о к 1 1 1 1 1 Пример 3. 5, 1, 25» 125’ 625’ *** * Это геометрическая прогрессия, у которой = 5, g = Пример 4. 8, 8, 8, 8, 8, 8, ... . Это геометрическая прогрессия, у которой bi = 8, g = 1. Заметим, что эта последовательность является и арифметической прогрессией. Если последовательность bly ^3» •••> Ьпу ... является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т. е. bl, bl, ..., ... является геометрической прогрессией. У второй геометрической прогрессии первый член равен &?, а знаменатель равен д^. Очевидно, что геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если > О, g > 1 (см. пример 1), и убывающей, если > О, О < g < 1 (см. пример 2). Для обозначения того, что последовательность (&„) является геометрической прогрессией, иногда бывает удобна следующая запись; Ь\, ^2> •••> ••• • Значок -н- заменяет словосочетание геометрическая прогрессия». Если в геометрической прогрессии отбросить все члены, следующие за Ьп, то получится конечная геометрическая прогрессия Ьи ^2) &3> •••> &л-2> ^л-1> ^л* 2. Формула п-го члена геометрической прогрессии Рассмотрим геометрическую прогрессию bi, &з> •••> Ьп, ... со знаменателем д. Имеем: Ь\ = &1, &2 ~ ^ig> Ьз = b2q = (&ig)g = &ig^, = Ьзд = (&ig2)g = &lg^ = (big^)g = big^ и т. д. 190 ПРОГРЕССИИ 16 1_2_3-4 V \ \ -1 - 1 \ \ \ \ — 1 \ 2 1 \ X 4 \ 1 к 1 \ к 8 ^ 1 1... О i_i 7i г X 1 1 1 1 1 II Рис. 167 Рис. 168 Нетрудно догадаться, что для любого номера п справедливо равенство ' ' (1) К = biq^ Это формула п-го члена геометрической прогрессии. Попробуйте доказать формулу (1) методом математической индукции аналогично тому, как это было сделано для формулы п-го члена арифметической прогрессии (см. с. 178). Перепишем формулу п-го члена геометрической прогрессии Ъп = в виде и введем обозначения: Ьп = у, ^ = т. Получим у = mg", или, подробнее, у = mq^y X е N. Аргумент X содержится в показателе степени, поэтому такую функцию называют показательной функцией. Значит, геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию, заданную на множестве N натуральных чисел. На рис. 167 изображен график функции г/ = 2'', jc € ЛГ, а на рис. 168 — график функции i/ = (^) , л: € ЛГ. В обоих случаях получаем изолированные точки (с абсциссами jc = 1, jc = 2, jc = 3 и т. д.). 191 ПРОГРЕССИИ лежащие на некоторой кривой (на этих рисунках представлена одна и та же кривая, только по-разному расположенная и изображенная в разных масштабах). Эту кривую называют экспонентой. Подробнее о показательной функции и ее графике речь пойдет в старших классах. Вернемся к примерам из предыдущего пункта. 1) 1, 3, 9, 27, 81, ... — геометрическая прогрессия, у которой = 1, g = 3. Составим формулу л-го члена: &„ = 1 • т. е. &„ = 3"'*. 04 о 3 3 3 3 2) 3, 4> gy 16 ’ *** — геометрическая прогрессия, у которой bi = 3, g = ^. Составим формулу п~то члена: .. = 3 (ip. 3) 5, -1, jlgj “els’ *’* ‘ геометрическая про- грессия, у которой = 5, g = -^. Составим формулу п-го члена: ...5 (-Г. Пример 5. Дана геометрическая прогрессия bi, •••> ••• • 2 а) Известно, что bi = 3» g = ~3. Найти Ь^. б) Известно, что = 3, g = 2, &„ = 1536. Найти п. в) Известно, что g = -2, = -512. Найти &i. 7 г) Известно, что bi = 14, bj = Найти д. Решение. Во всех случаях в основе решения лежит формула п-го члена геометрической прогрессии Ьп = ЬгЯ^-\ а) &б = feig® = I • (-3)® = -162. б) 1536 = 3 2" ‘; 512 = 2"-\ 192 ПРОГРЕССИИ Поскольку 512 = 2®, получаем, что п - 1 = 9, п = 10. в) . д®; -512 = • (-2)®; = -8. д 7 eel 1 1 г) &7 = &1 • g ; ^ = 14 • g ; g = ei’ ® “ 2 ^ = “2‘ " Пример 6. Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равна 48, сумма пятого и шестого членов прогрессии также равна 48. Найти двенадцатый член этой прогрессии. Решение. Условия задачи можно кратко записать так: 1) ^1> ^2> ^3> •••> •••> 2) &7 - &5 = 48; 3) &5 + Ьб = 48. Воспользуемся формулой п-го члена геометрической прогрессии: b^ = bi7*; &5 = feig*; Тогда второе условие задачи (&7 - &5 = 48) можно записать в виде big® - big^ = 48, т. е. bigV - 1) = 48. Третье условие задачи (Ь^ + be = 48) можно записать в виде big^ + big® = 48, т. е. b^q\q + 1) = 48. В итоге мы получили систему двух уравнений с двумя переменными bi и д: {b,q*(q^ -1) = 48, [b,q\q + 1) = 48. Приравняем левые части обоих уравнений системы: MV - 1) = brq\q + 1); q^-l=q+l (мы разделили обе части уравнения на выражение &ig^, отличное от нуля). 193 ПРОГРЕССИИ Из уравнения - g - 2 = О находим: gi = 2, да = -1. Подставив значение g = 2 во второе уравнение системы, получим: • 16 • 3 = 48, т. е. = 1. Подставив значение g = -1 во второе уравнение системы, получим: • 1 • О = 48; это уравнение не имеет решений. Итак, = 1, g = 2 — эта пара является решением составленной системы уравнений. В задаче требуется вычислить &12. Воспользуемся формулой П’то члена геометрической прогрессии: = 1 . 2“ = 2048. ■ 3. Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии Пусть дана конечная геометрическая прогрессия &1, •••> Ьп-29 Ьп-1, Ьп» Обозначим через сумму ее членов: = &1 + &2 + &3 + ••• + Ьп-2 + Ьп-1 + Ьп. Выведем формулу для нахождения этой суммы. Начнем с самого простого случая, когда g = 1. Тогда геометрическая прогрессия состоит из п чисел, равных Ьи т. е. имеет вид Ьи Ьи Ьи bi. Сумма этих чисел равна nbi. Пусть теперь g 1. Для нахождения Sn применим искусственный прием — выполним некоторые преобразования выражения S„g: ЗпЯ = (bi + &2 + Ьз -h ... -h bn-2 + bn-i + bn)q = = biq -h &2^ -h bsq -h ... -h Ьп-2Я + bn-iq + bnq = -h bn-i + bn + bnq = -2 + bn-i + bn) + bnq - bi = q^-^) • g - bi = + big'* - bi. = Ьг + Ьз -h b4 + . = (bi -h Ьг + Ьз -h ... b, = -h bnq - bi = + (bi • Итак, SnQ = -h big'* - bi. (2) Выполняя преобразования, мы, во-первых, пользовались определением геометрической прогрессии, согласно которому big = Ьг, Ьгд — Ьз, Ьзд = Ь^ ..., b„_2g = b„_i, bn-\q = bn\ во-вторых, прибавили и вычли bi, отчего значение выражения, разумеется, не изменилось; в-третьих, воспользовались формулой п-то члена геометрической прогрессии: М = = big". 194 ПРОГРЕССИИ Из формулы (2) выражаем S„: SnQ - Sn = bi(q^ - 1), Sn(q - 1) = b^(q^ - 1), _ bi(g" - 1) g - 1 ’ Это формула суммы n членов геометрической прогрессии (для случая, когда q ^ 1). Пример 7. Дана конечная геометрическая прогрессия Ь\у bzy Ьп» Известно, что &i = 3, g = 2, п = 6. Найти: а) сумму членов прогрессии; б) сумму квадратов ее членов. Решение, а) ~ ~ ^ = 3 63 = 189. д-1 2-1 б) Выше (см. с. 190) мы уже отмечали, что если все члены геометрической прогрессии возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия с первым членом Ъ\ и знаменателем д^. Тогда сумма шести членов новой прогрессии будет вычисляться ^2//_2\6 _ по формуле Sq = ^ J— . Подставив в эту формулу &i = 3, g = 2, получим: Sr — 9(2*^ - 1) 2" - 1 = 3 4095 = 12 285. Ответ: а) 189; 6) 12 285. Пример 8. Найти восьмой член геометрической прогрессии, у которой &1 = 3, Ь„ = 96, S„ - 189. Решение. Подставим данные значения в формулу &„ = biq"' 96 = Зд"-»; Q" Далее имеем: S„ = lh(q" - 1) 9-1 ’ 3(9" - 1) 189= 9-1 ’ 63(9 - 1) = 9" - 1- (3) 1»5 ПРОГРЕССИИ Выше мы нашли, что = 32. Умножив обе части этого равенства на д, получим: = 32g. Подставим 32g вместо g" в формулу (3): 63(д - 1) = 32д - 1, 31д = 62, д = 2. Зная, что = 3 и g = 2, легко найти &8=3 2^ = 384. ■ 4. Характеристическое свойство геометрической прогрессии Пусть дана геометрическая прогрессия bi, •••> ••• • Рассмотрим три ее члена, следующие друг за другом: Ьп-и &п, &n + i-Известно, что q - ЬпЯ = Ьп + 1. Перемножив эти равенства, получим: Ьп — bn-tbn + t» Это значит, что квадрат каждого члена геометрической прогрессии (кроме первого и последнего) равен произведению предшествующего и последующего членов этой прогрессии. Верно и обратное: если последовательность (&„), где Ьп ^ О, такова, что для любого п > 1 выполняется равенство Ьп ^л-1^п+1» то (Ь„) — геометрическая прогрессия. В самом деле, последнее равенство можно переписать так: Ьп • Ьп-1 = Ьп + 1 • Ьп» Это значит, в частности, что &2 : *• Ьг = : &з и т. д. Иными словами, отношение любого члена последовательности к предшествующему члену всегда одно и то же, а это и означает, что задана геометрическая прогрессия. Фактически мы доказали следующую теорему. 196 ПРОГРЕССИИ Теорема. Числовая последовательность, все члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство геометрической прогрессии), В предыдущем параграфе мы получили характеристическое свойство арифметической прогрессии: любой ее член равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Обратимся теперь к характеристическому свойству геометрической прогрессии и выполним некоторые преобразования: Ьп — bfi- 1&П + 1) М = yjbn-ibn.i; |^п| = ylbn-lbn^i . Число yfab называют средним геометрическим чисел а и Ь, Таким образом, последнее равенство означает, что модуль любого члена геометрической прогрессии равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов, В такой формулировке аналогия между характеристическими свойствами арифметической и геометрической прогрессий становится отчетливей. Пример 9. При каком значении х числа IOjc -h 7, 4jc -h 6 и 2jc -h 3 образуют геометрическую прогрессию? Решение. Согласно характеристическому свойству заданные выражения должны удовлетворять соотношению (4х + 6)' = (Юлг + 7)(2х + 3). Решим это уравнение: 16jc2 + 48jc -h 36 = 20jc2 -h 44jc -h 21; 4x^ - 4jc - 15 = 0; Xi = 2,5, X2 = -1,5. Подставляя Xi = 2,5 в заданные выражения IOjc -h 7, 4jc -h 6, 2jc + 3 находим соответственно: 32, 16, 8. Это конечная геометрическая прогрессия. Подставляя JC2 = -1,5 в заданные выражения 10х -h 7, 4jc -h 6, 2jc -h 3 находим соответственно: -8, 0, 0 — это не геометрическая прогрессия. Ответ: 2,5. 197 ПРОГРЕССИИ 5. Разные задачи на прогрессии Пример 10. Взяли три числа, которые образуют конечную возрастающую геометрическую прогрессию. Заметили, что если второе число увеличить на 2, а первое и третье числа оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Если после этого третье число увеличить на 9, то снова получится геометрическая прогрессия. Какие три числа были взяты сначала? Решение. Условия задачи можно кратко записать так: 1) -н- bi, ^з> 2) ^ Ьи &2 + 2, &з; 3) ^ bi, &2 + 2, Ьз + 9. Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, условие 2) означает, что 2(biq + 2) = ft, + biq^; &,(1 + q^~ 2q) = 4. Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, условие 3) означает, что (&2 + 2f = Ьгфг + 9); (ЬгЯ + 2)2 = ЬгфгЯ^ + 9); + 4biq + 4 = blq^ + 9bu &i(9 - 4q) = 4. Таким образом, получаем систему двух уравнений с двумя переменными bi и q: [bid + - 2q) = 4, [b,(9 - 4q) = 4. Приравняв левые части обоих уравнений системы, получим: bid + - 2q) = bi(9 - 4q); 1 + - 2g = 9 - 4g (мы разделили обе части уравнения на число bi, отличное от нуля); + 2д - 8 = 0; gi = 2, да = -4. Подставив значение g = 2 во второе уравнение системы, получим bi = 4. Зная bi и д, нетрудно записать три числа, образующие геометрическую прогрессию: 4, 8, 16. 198 ПРОГРЕССИИ Подставив значение g = -4 во второе уравнение системы, по-4 лучим = ^. В этом случае три числа, образующие геометри- 4 16 64 ческую прогрессию, выглядят так: Из двух найденных геометрических прогрессий только первая является возрастающей, как того требует условие задачи. Ответ: 4, 8, 16. Пример 11. Шестой член возрастающей геометрической прогрессии на 18 больше ее пятого члена. Пятый, седьмой и девятый члены этой прогрессии являются одновременно первым, вторым и одиннадцатым членами некоторой арифметической прогрессии. Найти первые пять членов этой арифметической прогрессии. Решение. Пусть bi, •••> ••• — заданная геометри- ческая прогрессия. По условию шестой ее член на 18 больше пятого, значит, Bq - = 18. Пусть Ui, U2, Us, ..., Un, ... — искомая арифметическая прогрессия. Согласно условию задачи выполняются следующие соотношения: “ ^5) ^2 “ ^7) ^11 “ ^9* Воспользуемся тем, что разность d арифметической прогрессии равна U2 - Ль т. е. d = &7 - Ь^. Далее Ьд = ац = ai + lOd = &5 + Ю(&7 - Ь^) = IO&7 - 9&5. Итак, мы составили два соотношения для геометрической прогрессии: be -Ьь =18, Ьд = lObj — 9Ь^, т. е. b,q^ - b,q^ = 18, b,q^ = lObig® - 9lhq\ Решим эту систему. Разделив обе части второго уравнения системы на отличное от нуля выражение biq"^, получим: - lOg^ -h -1-9 = 0. Это биквадратное уравнение имеет 4 корня: ±1, ±3. Но по условию геометрическая прогрессия возрастающая, следовательно, из указанных четырех значений в качестве знаменателя прогрессии можно взять только значение 3; итак, g = 3. Подста- , 1 вив это значение в первое уравнение системы, получим bi = д. 199 ПРОГРЕССИИ В задаче требуется найти первые пять членов арифметической прогрессии. Сначала найдем Ui и аг: Ui = = b\(j^ = g • 3^ = 9; Л2 “ ^7 “ biQ^ = g • 3^ = 81; d = U2 - Ui = 72. Теперь можно записать первые пять членов арифметической прогрессии: 9, 81, 153, 225, 297. ■ Пример 12. Вычислить сумму: а) 100' - 99' + 98' - 97' + 96' - 95' + ... + 2' - 1'; б) 3 + 33 + 333 + 3333 + ... + 333 ... 3. п цифр Решение, а) Обозначим искомую сумму буквой S: S = (100' - 99') + (98' - 97') + (96' - 95') + ... + (2' - 1') = = (100 - 99)(100 + 99) + (98 - 97)(98 + 97) + (96 - 95)(96 + 95) + + ... + (2 -1)(2 + 1) = 199 + 195 + 191 + ... + 3. Числа 199, 195, 191, ..., 3 — это 50 членов арифметической прогрессии, у которой Ui = 199, d = -4. Сумму 50 членов прогрессии найдем по известной формуле: Q _ Ql + flso 2 50 = 50 = 5050. б) Обозначим искомую сумму буквой S и рассмотрим 3S: 3S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999 ... 9 = = (10 -1) + (10' - 1) + (10" - 1) + (10" - 1) + ... + (10" - 1) = = (10 + 10' + 10" + 10" + ... + 10") - п. В скобках содержится сумма п членов геометрической прогрессии, у которой bi = 10, q = 10. Эту сумму найдем по известной формуле: ^(g^ - 1) _ 10(10" - 1) Sn = q-1 9 О О 10(10"-!) о Ю/./лп .4 ^ Итак, 3S = —g--------- - п, значит, S = ^(Ю - 1) - . ■ Пример 13. Среди членов последовательности (уп) есть числа 1, л/2, л/З. Может ли эта последовательность быть геометрической прогрессией? 200 ПРОГРЕССИИ Решение. Предположим, что (у„) — геометрическая прогрессия с первым членом и знаменателем д, а числа 1, V2, >/з — ее Л-й, л-й и /71-й члены. Тогда 1 = V2 = >/з = из этих равенств находим, что V2 = д""*; >/з = д'”"*. Возведем обе части первого равенства в степень 2{т - Л), а обе части второго равенства в степень 2{п - k)\ 2т-к _ ^2(n-fcXm-fc). Qn-k _ ^2{т - k)(n - к) ^ Таким образом, получили, что 2'”"* = 3""*. Но равенство степеней с основаниями 2 и 3 и целочисленными показателями невозможно, значит, предположение о том, что (у„) — геометрическая прогрессия, неверно. ■ Пример 14. Разложить на множители: а) jc'» -у^(пе N); б) ^ N). Решение, а) Рассмотрим конечную геометрическую прогрессию 1, 1^1 , 1^1 , ..., . У этой прогрессии первый член равен 1, знаменатель прогрессии число членов п. Найдем ее сумму: / \2 / чЗ / чя-1 1 • ((^) - l) г-1 X Умножим обе части записанного равенства на jc" (М _ д.п-1 + х"~^у + + х''~*у^ + ... + ху" * + I/" ^ = ^ ; X" - у" = (х - уХх"~^ + х"~^у + х’'~^у^ + х''~*у^ + ... + ху’'^^ + Таким образом, мы получили формулу разложения двучлена хп - уп ijg множители. Выпишем ее частные случаи: - 1/2 _ (д. _ + у). х^-у^ = (х- у)(х^ + ху + у^У, X* - у* = (х- j/Kjc^ + х’^у + ху^ + J/3); х^ - у^ = (х - у)(х* + х^у + х^у^ + ху^ + у*). 201 ПРОГРЕССИИ б) Проведем аналогичные рассуждения для конечной геометрической прогрессии 1, . У этой прогрессии 1 У первый член равен 1, знаменатель прогрессии равен число членов 2л -f 1; найдем ее сумму: и , , Х‘ / 1“ 1 ((--Г” - l) X Умножим обе части записанного равенства на .. (i-ИГ) ^2п _ д^2п 1у ^ ^2п 2у2 _ ^2п - ZyZ ^ ^ ^ ^ = ®f) ’ j^2x + 1 _j_ у2п л X + У -f ^2п+1 _ ^ y)(jc2n _ jc2n-ly jc2n-2^: >2/z 2«я2 - ^2л Г + + - ху^^~^ -f 1/^"). Мы получили еще одну формулу разложения двучлена на множители. Выпишем ее частные случаи: Л- у^ = {х Л- у)(х^ - ху у2); х^ у^ = {х у)(х"^ - х^у -f х^у^ - ху^ + у^). ■ §25. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 1. Дедукция и индукция. Полная и неполная индукция В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений — это рассуждение от общего к частному, т. е. рассуждение, исходным моментом которого является общее утверждение, а заключительным моментом — частный результат. Если мы при решении конкретного примера делаем выводы, опираясь на какую-то теорему, то это дедуктивное рассуждение. Слово же индукция (или индуктивный метод рассуждений) применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. 202 ПРОГРЕССИИ Приведем пример рассуждения по индукции. Требуется установить, что каждое четное натуральное число в пределах от 4 до 100 можно представить в виде суммы двух простых чисел. Для этого просто переберем все интересующие нас числа и выпишем соответствующие суммы: 4 = 2 +2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 +5; 10 = 5 +5; 12 = 5 + 7; 14 = 7 + 7; 16 = 3 + 13; ...; 90 = 7 + 83; 92 = 3 + 89; 94 = 5 + 89; 96 = 7 + 89; 98 = 19 + 79; 100 = 3 + 97. Эти 49 равенств (мы выписали только 13 из них, недостающие 36 равенств вы при желании можете составить сами, например 50 = 7 + 43; 62 = 3 + 59 и т. д.) показывают, что сформулированное общее утверждение (про любое четное число в пределах от 4 до 100) верно, оно было доказано перебором всех возможных частных случаев. Это так называемая полная индукция, когда общее утверждение доказывается для конечного множества элементов рассмотрением каждого элемента множества по отдельности. Но ведь чаще общее утверждение относится не к конечному, а к бесконечному множеству, когда рассмотреть по отдельности каждый элемент множества невозможно. В таких случаях общее утверждение, получившие подтверждение в ряде частных случаев, считается не доказанным, а угаданным, полученным неполной индукцией. Естественно, оно может быть верным, но может быть и неверным. Приведем примеры. 1) Рассматриваются суммы первых п нечетных натуральных чисел: 1 = 1'; 1 + 3 = 4 = 2'; 1 + 3 + 5 = 9 = 3'; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^ 1 + 3 + 54-7 + 9 = 25 = 5^ Выдвинем гипотезу, что 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2л - 1) = п^. Проверим ее для шести и семи слагаемых: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6"; 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 7". Гипотеза подтвердилась. Но все равно утверждение остается гипотезой, пока оно не доказано. Впрочем, доказать его нетрудно: 1 + 3 + 5 + 7 + ...+ (2п - 1) — это сумма п членов арифметической прогрессии; значит, 1 + (2л-1) 203 ПРОГРЕССИИ 2) Рассматриваются суммы кубов первых п натуральных чисел: 1® = 1 = 1®; 1® + 2® = 9 = 3" = (1 + 2)®; 1® + 2® + 3® = 36 = 6® = (1 + 2 + 3)®; 1® + 2® + 3® + 4® = 100 = 10® = (1 + 2 + 3 + 4)®. Выдвинем гипотезу, что 1® + 2® + 3® + 4® + ... + п® = (1 + 2 + 3 + 4 + ... + nf. Проверим ее для пяти и шести слагаемых: + 2^ + 3^ + 4^ + 5^ = 225 = 15^ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)^; + 2" + 3" + 4" + 5" + 6" = 441 = 21" = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)". Гипотеза подтвердилась. На самом деле сформулированное утверждение верно, мы докажем его позднее. 3) Рассматривается последовательность г/„ = + л + 17: У\ = 19; У2 = 23; г/з = 29; 1/4 = 37; Уъ = 47; Уб = 59; у^ = 73. Все полученные числа простые. Возникает предположение: вся последовательность состоит из простых чисел. Проверим это для следующих трех членов последовательности: г/з = 89; уд = 107; i/io = 127. Числа 89, 107, 127 — простые, гипотеза подтвердилась. И тем не менее она неверна: есть в последовательности члены, не являющиеся простыми числами, например, z/ie: 1/16 = 16" + 16 + 17 = 16(16 + 1) + 17 = 17(16 + 1) = 17 17 — составное число. Итак, утверждение, полученное неполной индукцией, остается лишь гипотезой, пока не доказано точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Иными словами, неполная индукция не считается в математике законным методом строгого доказательства, поскольку может привести к ошибке. Однако замечательно то, что она иногда приводит к истине. Можно охарактеризовать неполную индукцию как эвристический (от греч. heurisko — отыскиваю) метод открытия новых истин. 2. Метод математической индукции Метод полной индукции имеет в математике ограниченное применение, поскольку охватывает лишь ситуации с конечным числом частных случаев. Чаще всего математическое утверждение 204 ПРОГРЕССИИ охватывает бесконечное множество частных случаев, сделать проверку для всех случаев невозможно. Опираться при этом на неполную индукцию опасно, можно сделать неправильный вывод. Во многих случаях выход заключается в обращении к особому методу рассуждений, который называют методом математической индукции. Он заключается в следующем. Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения А(п) для любого натурального числа п (например, нужно доказать, что сумма первых п нечетных чисел равна п^). Сначала проверяют справедливость утверждения для л = 1 (базис индукции), Затем доказывают, что для любого натурального значения k верно следующее утверждение: если справедливо А(Л), то справедливо и A(k -f 1) (индукционный шаг). Тогда утверждение А(п) считается доказанным для любого п, В самом деле, утверждение справедливо для п = 1 (это проверялось отдельно). Далее доказано, что из A(k) следует A(k -f 1); значит, если верно А(1), то верно и А(2); если верно А(2), то верно и А(3); если верно А(3), то верно и А(4) и т. д. В конце концов мы дойдем до любого натурального числа, а потому утверждение считается доказанным для любого п. Этот метод уже использовался в § 23. При получении формулы п-го члена арифметической прогрессии а„ = ai -f d(n - 1) мы применяли рассуждения, основанные на неполной индукции, а затем обосновали эту формулу методом математической индукции. Обобщая сказанное, сформулируем следующий общий принцип. Принцип математической индукции Утверждение, зависящее от натурального числа п, справедливо для любого п, если выполнены два условия: а) утверждение верно для л = 1; б) из справедливости утверждения для п = ky где k — любое натуральное число, вытекает справедливость утверждения и для следующего натурального числа п = k 1. Пример 1. Доказать, что 1^ -f 2^ -f 3^ + 4^ + ... + = (1 + 2 -f 3 + 4 -Ь ... -f nf (1) (это равенство мы угадали в пункте 1). Решение. 1) Справедливость равенства (1) для л = 1 (и даже для л = 2, 3, 4, 5, 6) ранее проверена. 205 ПРОГРЕССИИ 2) Предположим, что равенство (1) выполняется при п = к,т. е. предположим, что верно равенство 1* + 2^ + 3® + 4" + ... + = (1 + 2 + 3 + 4 + ... + k)\ (2) Докажем, что тогда проверяемое равенство (1) верно и при л = Л + 1, т. е. докажем, что верно равенство l^ + 2^ + 3^ + 4^+... + fe3 + (fe4-l)^ = (l + 2 + 3 + 4 + + ... + ft + (ft + 1))^ или, что то же самое, (1 + 2 + 3 + 4 + ... + ft + (ft + 1))^ - (1^ + 2^ + 3^ + 4^ + + ... + ft") = (ft + 1)". (3) Особо подчеркнем: равенство (3) интересует нас не само по себе. Представляет интерес только один вопрос — следует оно из равенства (2) или нет. Заменив сумму кубов в левой части равенства (3) квадратом суммы из правой части равенства (2), получим: (1 + 2 + 3 + 4 + ... + ft + (ft + 1))" - (1 + 2 + 3 + 4 + ... + ft)" = = ((1 + 2 + 3 + 4 + ... + ft + (ft + 1)) “(1 + 2 + 3 + 4 + ... + ft)) X x((l + 2 + 3 + 4 + ... + ft + (ft+ 1)) + (l + 2 + 3 + 4 + ... + ft)) = = (ft + 1) (2(1 + 2 + 3 + ... + ft) + (ft + 1)) = = (ft + 1) • |2 • • ft + (ft + l)j = (ft + 1) • (ft(ft + 1) + (ft + 1)) = = (ft + l)(ft + 1)" = (ft + l)^ Итак, из равенства (2) следует равенство (3). Оба условия (базис индукции и индукционный шаг) принципа математической индукции выполняются, значит, равенство (1) верно для любого натурального значения п. Ш Метод математической индукции используется в различных ситуациях. Так, в примере 1 мы применили этот метод для доказательства тождества, а в § 23 — для вывода формулы п-го члена арифметической прогрессии. Рассмотрим еще ряд примеров. Но сначала заметим, что иногда требуется доказать некоторое утверждение не для всех натуральных значений п, как было до сих пор, а для п > р. Тогда на первом шаге проверяют справедливость утверждения не для л = 1, а для л = р, а в остальном схема применения метода математической индукции та же. 206 ПРОГРЕССИИ Пример 2. Доказать, что для п > 2 и х > О справедливо неравенство (1 + JC)" > 1 + пх (его называют неравенством Бернулли в честь швейцарского математика Якоба Бернулли (1654—1705)). Решение. 1) При п = 2 неравенство выполняется: {1 + xf > 1 + 2х — верное неравенство. 2) Предположим, что неравенство Бернулли верно для п = k (k > 2): (1 + JC)* > 1 + kx. (4) Докажем, что тогда оно верно и для л = ft -f 1, т. е. докажем, что (1 + >! + (* + 1)х. В самом деле, умножив обе части неравенства (4) на одно и то же принимающее только положительные значения выражение 1 + JC, получим: (1 + x)'^^'^ > (1 + kxXl + x) = l + (k + l)x + kx<‘> l + (k + 1)х, т. е. (1 + х)"^^ >! + (* + 1)х. По принципу математической индукции делаем вывод, что неравенство Бернулли справедливо для всех п> 2. ■ Пример 3. Доказать, что для п> 2 справедливо неравенство: Решение, а) 1) При п = 2 проверяемое неравенство принимает вид 1+ ^ <272. Это верное неравенство, поскольку его левая часть меньше 2, а правая — больше 2. 2) Предположим, что при n = k{k> 2) выполняется неравенство 72 7з (5) 207 ПРОГРЕССИИ Докажем, что тогда выполняется неравенство ^ < 2V* + 1. 1 + + ... + + I V2 V3 S V* +1 (6) Прибавив к обеим частям неравенства (5) одно и то же выра-1 жение ■/ -■ , получим: \k + 1 V2 V3 vJfe Va +1 2>/ft + Если мы докажем, что 2tyfk + V/г + 1 < 2V^ + 1> (7) то тем самым будет получено неравенство (6). Рассмотрим разность правой и левой частей неравенства (7) и выполним некоторые преобразования: k + \ — 2^Jk + iVfe + k _ {yjk + i — yjk) Vim Vim Полученное выражение положительно, значит, неравенство (7) верно, а потому верно и неравенство (6). Итак, оба условия принципа математической индукции выполнены. Значит, требуемое неравенство доказано. б) Это неравенство также можно доказать методом математической индукции, но целесообразнее использовать элементарные приемы — мы это сделали выше, в § 22 (см. пример 1). ■ Пример 4. Найти сумму 12 23 ^34 -f ... -f п{п + 1) • Решение. Обозначим сумму символом и найдем ее зна- чения при л = 1, 2, 3, 4, ...: 1 2 3’ 12 2’ 2 ^ '^3=3'^ 3^ = 4’ '^4=4“^ 2 3 1 4 5 4 5; ... . 208 ПРОГРЕССИИ Мы получили последовательность 4, Возникает ^ о 4 о гипотеза, что = — "j-. Докажем справедливость этой формулы методом математической индукции. k Для п = 1 формула справедлива. Предположим, что S* = ^ --у Докажем, что тогда 5^ + 1= ^ ^ В самом деле, 1 h 1 'Sfc -I-1 = Sfc + (Л + l)(k + 2) Л + 1 ' (Л + 1)(Л + 2) k(k + 2) + 1 (ft +1)^ А + 1 " (Л + 1)(Л + 2) " (k + l)(k + 2) " Л + 2- По принципу математической индукции делаем вывод, что п заданная сумма равна Заметим, однако, что в этом примере, как и в примере 36, целесообразнее было обойтись без метода математической индукции: 1 12 23 ^34 + ... + п{п + 1) _ ^ 3_^ 4_Z^ , (я + 1)-п ■ 1 • 2 2 • 3 3 • 4 п(п + 1) ■ ' ■ I) (I ■ I) (I ■ i) (;" ;гЫ “ = 1 - Л + 1 л + 1 * Пример 5. Доказать, что (11"^^ + : 133 для любого натурального значения п (напомним, что знак : означает «делится на»). Решение. При л = 1 утверждение принимает вид (11" + 12") : 133. Это верно, поскольку 11" + 12" = (11 + 12)(11" - 11 12 + 12") = (23 133) : 133. Предположим, что утверждение верно при п = Л, т. е. предположим, что (11*^" + 12"*^^) : 133. 209 ПРОГРЕССИИ Докажем, что тогда утверждение верно и при п = Л + 1, т. е. докажем, что i 133. В самом деле, цл + з ^ 12^к + з ^ ^ = = 11(11*^" + 12"*^') + 133 12"*^\ Согласно предположению (11*^^ + 12^*'^^) ! 133. Тогда и сумма 11 • (11*^^ + 12^*^^) + 133 12^*^^ делится на 133, т. е. (11"^" + 12^"'^") i 133. По принципу математической индукции делаем вывод, что требуемое утверждение доказано. ■ Пример 6. Дана последовательность Фибоначчи: У1 = 1, У2 = 1, Уп = Уп-2 + Уп-1» если д = 3, 4, 5, ... (см. пример 5 из § 21). Доказать, что: а) У2п + 2 = 1/1 + Уз + 1/5 + ••• + У2п + и б) J/Li - УпУп^г = (-!)"• Решение, а) При д = 1 утверждение принимает вид У4 = 1/1 + Уз. Это верное равенство, поскольку Ух = 1, Уг = 1» Уз = 2, 1/4 = 3. Предположим, что утверждение верно для п = k, т, е. У2Л + 2 = У1 + Уз + Уб + ... + У2k+l^ Докажем, что тогда утверждение верно для д = Л + 1, т. е. У2Л + 4 = У1 + Уз + Уб + ... + У2Л + 1 + У2Л + 3. С помощью рекуррентного соотношения, задающего последовательность Фибоначчи, находим, что У2А + 4 = У2Л + 2 + Узл + з. Воспользовавшись для У2Л + 2 сделанным предположением, получим: У2Л + 4 = У2Л + 2 + У2А + 3 = (У1 + Уз + Уб + ... + УЗЛ + l) + УЗЛ + 3 = = У1 + Уз + Уб + ... + Узл + 1 + У2Л + 3. Значит, утверждение верно для любого д. б) При д = 1 утверждение принимает вид У1 - УгУ» = (-!)'• 210 ПРОГРЕССИИ Поскольку i/i = 1, 1/2 = 1» 1/з = 2, получаем - 1 • 2 = -1 — верное равенство. Предположим, что утверждение верно для п = Л, т. е. - У1,У1,*г = (-1)*; докажем, что тогда утверждение верно для д = Л + 1, т. е. У к+2 ~ Ук + 1Ук + а = (“1)*^^- В самом деле, у1+2 ~ Ук+\Ук + 2 — Ук+2~ Ук+\(Ук+\ + Ук + 2) = = у1^2~ Ун*1~ Ук + 1У1,*2 = J/» + 2(j>* + 2 - Ук+l) - Ук-И = = Ук + 2Ук - Ук^1=-(.Ук+1- УкУк + 2) = -(-1)* = (-1)*^*. Значит, утверждение верно для любого п, Ш ГЛАВА 5 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ § 26. Комбинаторные задачи § 27. Статистика — дизайн информации § 28. Простейшие вероятностные задачи § 29. Экспериментальные данные и вероятности событий §26. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ Простейшие комбинаторные задачи несколько напоминают детскую игру в кубики. Имеется конечное число кубиков, или элементов некоторого конечного множества, а нужно посчитать количество тех или иных комбинаций, составленных из этих кубиков (элементов). Если нужных комбинаций не слишком много, то все их можно просто перечислить или, как говорят, перебрать все возможности. В этом и состоит метод перебора вариантов. Например, если из цифр 1, 5, 9 следует составить трехзначное число без повторяюш;ихся цифр, то все возможные варианты нетрудно выписать. Это 159, 195, 519, 591, 915 и 951. Значит, всего можно составить шесть таких чисел. Подчеркнем, что уже в этом простом примере мы привели не случайный, а разумно организованный перебор. Сначала на первом месте зафиксировали 1 и увидели, что таких вариантов всего два: 159 и 195. Затем на первое место поставили 5 и увидели, что получилось еще два варианта: 519 и 591. Наконец, таким же образом составили числа, начинающиеся с 9, — это 915 и 951. Хорошо подобранный перебор вариантов крайне важен в более сложных ситуациях, когда и количество возможных комбинаций достаточно велико, и подсчет приходится вести, рассматривая различные случаи. Пример 1. Из цифр 2, 4, 7 следует составить трехзначное число, в котором ни одна цифра не может повторяться более двух раз. а) Найти наименьшее такое число. б) Найти наибольшее такое число. 212 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ в) Сколько таких чисел, начинающихся с 2, можно составить? г) Сколько всего таких чисел можно составить? Р е ш е н и е. а) Наименьшим числом будет 224, ведь если на первое или на второе место вместо цифры 2 поставить цифру 4 или цифру 7, то увеличится или число сотен, или число десятков. А раз цифра 2 уже повторилась, то на последнем месте должна стоять цифра 4 (а не 7). б) Рассуждая аналогично, найдем наибольшее число — это 774. в) Сначала назовем числа без повторений цифр. Это 247 и 274. Потом назовем числа, в которых повторяется 2. Это 224, 227, 242, 272. Число, в котором повторена цифра 4, только одно, это 244. Число, в котором повторена цифра 7, также одно, это 277. Всего получилось 2 + 4 + 1 + 1 = 8 чисел. г) Количество чисел, начинающихся с цифры 4, можно посчитать так же, как в пункте в); их всего восемь. Разумеется, то же верно и для чисел, начинающихся с цифры 7, их тоже восемь. Всего получим 24 числа. О т в е т: а) 224; б) 774; в) 8; г) 24. Формально, для ответа в пункте г) можно было бы и не решать а) и б). Однако в каждой задаче на перебор вариантов бывает полезно выписать несколько типичных комбинаций, количество которых мы собираемся подсчитать. Как и многие математические задачи, пример 1 г) допускает другой способ решения. Вот он. Найдем сначала количество всех трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 2, 4, 7. По правилу умножения, с которым мы познакомимся чуть позже, их будет 3*3*3 = 27. А теперь вычтем количество чисел с тройными повторениями цифр. Таких чисел всего три: 222, 444, 777. Значит, ответ: 27 - 3 = 24. Решение примера 1 в) также можно оформить совсем по-другому, записав построение трехзначного числа, шаг за шагом, в виде некоторого «поэтажного» плана. Поместим первую цифру 2 в верхний прямоугольник, от которого проведем три «дороги» (рис. 169). Они соответствуют выбору второй цифры. Это или 2, или 4, или 7. Получим три прямоугольника на втором уровне и перейдем к выбору третьей цифры. Если второй цифрой оказалась 2, то по условию третьей цифрой может быть или 4, или 7. Значит, тут возможны всего два варианта, в результате которых получатся трехзначные числа 224 и 227. Если же вторая цифра равна 4 или 7, то для третьей цифры ограничений нет, и это может 213 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Всего; 8 чисел Рис. 169 быть или 2, или 4, или 7. Значит, в каждом из этих двух случаев возможны по три варианта составления трехзначных чисел. Получатся числа 242, 244, 247 и 272, 274, 277. Мы составили так называемое дерево возможных вариантов. Преимущество этого способа рассуждения состоит в его наглядности: все варианты видны на картинке (см. рис. 169), и понятно, как именно организован перебор всех возможностей. Пример 2. «Этот вечер свободный можно так провести...»*: пойти прогуляться к реке, на площадь или в парк и потом пойти в гости к Вите или к Вике. А можно остаться дома, сначала посмотреть телевизор или почитать книжку, а потом поиграть с братом или разобраться, наконец, у себя на письменном столе. Нарисовать дерево возможных вариантов. Решение. Дерево вариантов представлено на рис. 170. Пример 3. В урне лежат три неразличимых на ощупь шара: два белых и один черный. При вытаскивании черного шара его возвращают обратно, а вытащенный белый шар откладывают в сторону. Такую операцию производят три раза подряд. а) Нарисовать дерево возможных вариантов. б) В скольких случаях три вытащенных шара будут одного цвета? в) В скольких случаях среди вытащенных шаров белых будет больше? г) Нарисовать дерево возможных вариантов для четырех вытаскиваний шаров. Решение, а) Дерево возможных вариантов представлено на рис. 171. * «Этот вечер свободный / Можно так провести: / За туманный Обводный / Невзначай забрести...» (А. Кушнер). 214 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вечер Река Площадь Парк Книжка Витя Вика Витя Вика Витя Вика Брат Стол Всего: 10 вариантов Брат Стол Рис. 170 Случай вытаскивания двух белых шаров особенный. В этом случае остается один черный шар и только его потом и можно будет брать. б) По дереву вариантов видно, что это возможно в единственном случае, когда три раза подряд вытаскивается шар черного цвета. в) Трех белых шаров быть не может. Значит, речь идет о двух белых и одном черном шаре. Это возможно в трех случаях (см. дерево вариантов: ББЧ, БЧБ, ЧББ). ББЧ Всего: 7 вариантов Рис. 171 215 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ББЧ БЧ БЧ Ч БЧ Ч Ч БЧ Бсего: 11 вариантов Рис. 172 г) Тут к последней строке из а) добавится еще один уровень, соответствующий четвертому выбору (рис. 172). I Такого рода диаграммы в подробностях удобно рисовать только для сравнительно небольшого числа вариантов, а, например, для сотен комбинаций дерево вариантов целиком не нарисуешь. Тогда приходится действовать по-другому. Во многих случаях при подсчетах используют правило умножения. ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В, -У Для объяснения правила умножения нарисуем дерево вариантов. На первом уровне у нас будут перечислены все исходы а^ ^2, Пз, ..., Un-u CLn испытания А, После каждого из уже выписанных исходов возможны все исходы Ъи ^з, ..., i, испытания В — ведь испытания предполагаются независимыми. В результате получится k k k k = nk исходов (рис. 173). bi Ь: Ь\ &2 ••• ^1 ^2 ••• ^к Всего: п раз по Л, т. е. nk исходов Рис. 173 bi &2 ••• Ьа 216 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пример 4. На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Сколько вариантов завтрака есть у Вовы? Решение. Соберем все варианты в таблицу. Плюшка Бутерброд Пряник Кекс Кофе Кофе, плюшка Кофе, бутерброд Кофе, пряник Кофе, кекс Сок Сок, плюшка Сок, бутерброд Сок, пряник Сок, кекс Кефир Кефир, плюшка Кефир, бутерброд Кефир, пряник Кефир, кекс Так как выбор еды и напитка происходит независимо, то всего вариантов завтрака столько же, сколько и клеток, т. е. 12 (клетки с названиями строк и столбцов не считаем). Ответ: 12. Замечание L Не обязательно рисовать таблицу и заполнять ее. В примере 4 решение может выглядеть так: испытание А — выбор еды, у него 4 исхода, а испытание В — выбор напитка, у него 3 исхода. Выбор еды и выбор напитка независимы друг от друга. По правилу умножения получаем ответ: 4*3 = 12. Замечание 2, Правило умножения верно и для трех, и для четырех и т. д. независимых испытаний. Для объяснения достаточно нарисовать нужное дерево вариантов и подсчитать количество возможных вариантов. Замечание 3. Вернемся к рис. 173 дерева вариантов, которое объясняет правило умножения. Заметим, что общее количество п х k всех двухзвенных ветвей такого дерева не изменится и в тех случаях, когда, например, bj, стоящее после выбора а^у не совпадает с тем bi, которое стоит после выбора ag, или Ь^у стоящее после выбора Пз, не совпадает с тем которое стоит после выбора а„ и т. д. Получается более общее комбинаторое правило умножения. КОМБИНАТОРНОЕ ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ Если первый предмет А можно выбрать п способами и при любом выборе предмета А второй предмет В можно выбрать k способами, то пару предметов (А; В) можно выбрать п х k способами. 217 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Для следующего примера мы приведем три способа решения: перебором, с помощью дерева вариантов и по правилу умножения. Пример 5. В коридоре — три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения, включая случай, когда все лампочки не горят? Решение. Первый способ (перебор вариантов). Пронумеруем лампочки и будем писать -f или - в зависимости от того, горит или не горит очередная лампочка. Тогда все способы освещения можно просто перечислить. Вот они: -f -f +, -f ----h, ----, - -f -f, - -f -,-1-,----. Всего восемь способов. Второй способ (дерево вариантов). На рис. 174 наглядно представлены восемь способов освещения коридора. Третий способ (правило умножения). Первая лампочка может или гореть, или не гореть, т. е. имеется два возможных исхода. Но то же самое относится ко второй и к третьей лампочкам. Мы предполагаем, что лампочки горят или нет независимо друг от друга. По правилу умножения получаем, что число всех способов освещения равно 2 - 2 * 2 = 8. О т в е т: 8. Первая лампочка Вторая лампочка + Вторая лампочка + Третья лампочка Третья лампочка Третья лампочка Третья лампочка + + + + + - +-+ -ь - - - + + - + - --- Рис. 174 218 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ У каждого из этих трех способов решения в каждом конкретном случае есть и преимущества, и недостатки. Выбор способа решения — за вами! Отметим все же, что правило умножения (или комбинаторное правило умножения) позволяет практически одним способом решать самые разнообразные задачи. Например, оно приводит к крайне важному в математике понятию факториала. Пример 6. В семье — шесть человек, а за столом в кухне — шесть стульев. Было решено каждый вечер перед ужиномя, рассаживаться на эти шесть стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений? Решение. Ответ оказывается неожиданно большим: почти два года! Объясним его. Для удобства рассуждений пронумеруем стулья № 1, № 2, № 3, № 4, № 5, № 6 и будем считать, что члены семьи (бабушка, дедушка, мама, папа, дочь, сын) занимают места по очереди. Нас интересует, сколько всего существует различных способов рассаживания. Предположим, что первой садится бабушка. У нее имеется шесть вариантов выбора стула. Вторым садится дедушка и выбирает стул из пяти оставшихся. Мама делает свой выбор третьей, и выбор у нее будет из четырех стульев. У папы будет уже три варианта, у дочки — два, ну а сын сядет на единственный незанятый стул. По комбинаторному правилу умножения получаем, что всего имеется 6-5-4-3-2-1 = 720 различных способов рассаживания, а 720 дней — это и есть почти два года. Ответ: 720. Определение. Произведение подряд идущих первых п натуральных чисел обозначают п1 и называют «эн факториал»: п\ = 1 • 2 • 3 • • {п - 1) • п. По-английски одно из значений слова factor — «множитель». Так что «эн факториал» примерно переводится как «состоящий из п множителей». Приведем несколько первых значений для п1. п 1 2 3 4 5 6 7 п\ 1 1-2 = 2 2! • 3 = 6 3! • 4 = 24 4! • 5 = 120 5! • 6 = 720 6! • 7 = 5040 219 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Значения п\ очень быстро возрастают с увеличением п. Например, 101 больше, чем 3,5 миллиона, а 151 примерно равно 1,3 триллиона. Для подсчетов, связанных с л1, бывает удобно использовать такую формулу: Формула Объяснение л1 = (л - 1)1 • п л1 = 1 • 2 • 3 • • (л - 1) • л = = (1 • 2 • 3 • • (л - 1)) • л = (л - 1)1 • л Например, для вычисления значения ——— совсем не обяза- 61 * 51 тельно находить все четыре факториала и потом производить вычисления. Удобнее сначала провести сокращения: 71 41 61 7 41 7 ^ ^ 61 51 ~ 61 41 5 “ 5 “ ’ ‘ Пример 7. а) Сколькими способами четыре вора могут по одному разбежаться на все четыре стороны? б) В 9 «А» классе в среду семь уроков: алгебра, геометрия, литература, русский язык, английский язык, биология и физкультура. Сколько вариантов расписания на среду можно составить? Решение. а) Пусть воры разбегаются поочередно. Тогда у первого есть четыре варианта выбора направления, у второго — три варианта, у третьего — два и у последнего — один вариант. По правилу умножения получаем ответ: 4 • 3 • 2 • 1 = 41 б) Для алгебры есть семь вариантов расположения в расписании. Если для алгебры выбор сделан, то для геометрии будет уже шесть вариантов. Если алгебра и геометрия заняли в расписании свое место, то для литературы остается пять вариантов и т. д. По правилу умножения получаем ответ: 7‘6‘5‘4-3‘2‘1 = 71 О т в е т: а) 24 = 41; б) 5040 = 71 Мы видим, что условия задач выглядят по-разному, а решаются они почти одним и тем же способом. Значит, есть какое-то общее правило для решения такого типа задач. Мы сформулируем его в виде теоремы о перестановках элементов конечного множества. 220 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теорема, п различных элементов можно расставить по одному на п различных мест ровно п! способами. Исторически более принят не термин «расстановка», а термин «перестановка», и поэтому эту теорему чаще формулируют так: «Число всех перестановок множества из п элементов равно п!». Сокращенно это записывают в виде формулы Р. = п! В этом сокращении буква Р соответствует первой букве английского глагола (существительного) permute (permutation)^ который и переводится как «переставлять» («перестановка»). Например, Рз = 31 = 6, Р7 = 71 = 5040 и т. д. §27. СТАТИСТИКА — ДИЗАЙН ИНФОРМАЦИИ Начнем с конкретного примера. Допустим, что в 9-х классах «А» и «Б» измерили рост (в сантиметрах) 50 учеников. Получился набор из 50 чисел, некоторые из которых могли повториться. Вряд ли самое маленькое из них будет меньше 140, а самое большое — больше 200. Можно, соблюдая очередность измерений, выписать все данные в строчку через запятую. Можно расположить их в две колонки в соответствии с классными списками. Можно как-то записать их в виде таблицы 5 х 10 и т. п. В итоге будет собрана полная информация о проведенном измерении. К сожалению, практически при любом способе расположения абсолютно всех данных эта информация трудно «читается»: она не наглядна, занимает много места, никак не упорядочена и т. д. А представьте результаты, состоящие не из 50, а из 500, 5000 или из миллионов различных чисел! Например, число и размеры вкладов в Сбербанке за текущий год или данные о производительности труда на предприятиях какой-нибудь отрасли по всей стране, результаты голосования по всем избирательным участкам ИТ. п. Единственный разумный выход — каким-то образом преобразовать первоначальные данные измерения, в первую очередь заметно уменьшив их общее количество. Одна из основных задач статистики как раз и состоит в надлежащей обработке информации. Конечно, у статистики есть много других задач: получение и хранение информации, выработка различ- 221 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ных прогнозов, оценка их достоверности и т. д. Ни одна из этих целей не достижима без обработки данных. Итак, в первую очередь займемся статистическими методами обработки информации. Как правило, порядок преобразований первоначально полученной информации таков: 1) сначала данные измерений упорядочивают и группируют; 2) затем составляют таблицы распределения данных; 3) таблицы распределения переводят в графики распределения; 4) наконец, получают своего рода паспорт данных измерения, в котором собрано небольшое количество основных числовых характеристик полученной информации. Зафиксируем одно конкретное измерение и проследим шаг за шагом, как его данные преобразуются в процессе обработки информации. Измерение (И). У 50 работников городского предприятия попросили оценить время, которое они в среднем тратят на проезд от дома до работы. Получились следуюш;ие данные в минутах (с точностью до 10 минут). 20 100 20 30 40 50 30 80 90 40 30 50 20 50 30 30 50 60 60 50 30 40 60 50 100 60 90 10 20 50 90 80 20 40 50 10 50 40 30 40 60 120 30 40 60 20 60 10 50 60 1. Группировка информации. Первое, что следует оценить, — это рамки, в которых вообще могут находиться данные измерения. Менее 10 минут (т. е. 0 минут) никто не заявил (территориально дом и работа — это не одно и то же), а более 180 минут (более трех часов) на проезд по городу в одну сторону вряд ли кто-то будет тратить каждый день. Значит, в принципе в этом измерении могли получиться числа 10, 20, 30, ..., 160, 170, 180. Мы составили общий ряд данных. Данные располагают, как правило, в порядке возрастания. Итак: Измерение Общий ряд данных Время проезда (в минутах) 10, 20, 30, ..., 170, 180 222 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пример!. Выписать общий ряд данных следующих измерений: а) месяц рождения учеников вашей школы; б) год рождения ваших родственников и знакомых; в) годовой процент начислений по вкладам в банке; г) начальные буквы в первой строке стихотворения. Р е ш е н и е. а) Всего может получиться 12 месяцев. Если перечислить их не по названиям, а по номерам, то получим общий ряд данных: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. б) Вряд ли у вас есть родственники или знакомые, которым много больше 100 лет, а вот новорожденные вполне могут встретиться. Значит, общий ряд данных выглядит так: 1900, 1901, 1902, ..., 2005, 2006, 2007. в) Никакой уважающий себя банк более 15% годовых не даст. Что касается нижней оценки, то тут менее 0,1%, которые дает Сбербанк России по вкладам до востребования, невозможно представить. Значит, в этом случае общий ряд данных выглядит так: 0. 1; 0,2; ...; 0,9; 1; 2; 3; ...; 14; 15. г) В первой строке стихотворения в принципе могут встретиться все буквы русского алфавита от А до Я. Следует исключить нереальные случаи (Ь, Ъ, Ы). Оставшиеся буквы можно, например, перенумеровать по порядку и перейти к числовому общему ряду: 1, 2, 3, ..., 29, 30. ■ Подчеркнем, что определения в статистике не всегда носят столь же точный характер, как, скажем, определения в геометрии или алгебре. Например, в пункте б) примера 1 от добавления 1899 к последовательности 1900, 1901, 1902, ..., 2007 она не перестанет быть общим рядом данных. В пункте в) все годовые проценты можно было, в принципе, измерять с точностью до десятых и тогда общий ряд данных составили бы числа 0,1; 0,2; ...; 0,9; 1; 1,1; ...; 14,9; 15. В конкретном измерении вполне может случиться так, что какие-то данные из общего ряда вообще не встретились. Значит, надо отличать реально полученные результаты измерения от общего ряда данных. Например, в измерении (И) нам реально встретились только такие результаты: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 80, 223 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 90, 100, 120. Каждое из этих чисел называют вариантой измерения. Варианта измерения — один из результатов этого измерения. Несколько непривычно, но в статистике используют слово именно женского рода. Если все варианты измерения перечислить по порядку (и без повторений), то получится ряд данных измерения. В нашем измерении (И) ряд данных — это 10, 20, 30, 40, 50, 60, 80, 90, 100, 120. Итак: Измерение Общий ряд данных Ряд данных конкретного измерения Время проезда 10, 20, 30, ..., 170, 180 10, 20, 30, 40, 50, 60, 80, 90, 100, 120 П р и м е р 2. Выписать ряд данных измерения, состоящего из всех разных букв первых двух строк стихотворений: а) «Не говори никому/Всё, что ты видел, забудь...»*; б) «Это дерево сосна, / И судьба сосны ясна...»**. Р е ш е н и е. а) а, б, в, г, д, е, ё, з, и, к, л, м, н, о, р, с, т, у, ч, ы, ь. Тут использована 21 буква на 33 местах и повторений букв очень мало. б) а, б, в, д, е, и, н, о, р, с, т, у, ы, ь, э, я. Здесь использованы 16 букв на 30 местах, повторений больше, и в особенности это относится к букве «с». Это так называемая аллитерация. I Как мы видим, не все варианты конкретного измерения находятся в одинаковом положении. Какие-то встречаются много раз, какие-то реже, а некоторые встречаются по одному разу. Определение. Если среди всех данных конкретного измерения одна из вариант встретилась ровно k раз, то число k называют кратностью этой варианты измерения. Например, в измерении (И) время в 60 минут встретилось восемь раз, а время в 120 минут встретилось однажды. Значит, крат- Из стихотворения О. Мандельштама. * Из стихотворения Ю. Минералова. 224 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ность варианты 60 равна восьми, а кратность варианты 120 равна единице. Перед дальнейшей обработкой данные измерения удобно сгруппировать. Делается это так. Для удобства запишем данные измерения (И) в десятках минут. X X 3 4 5 3 3 9 6 5 4 8 12 2 6 2 3 5 5 4 4 3 10 5 6 3 6 1 2 3 5 9 5 6 8 6 1 4 1 9 6 2 3 5 4 5 5 4 6 Первые три результата 2, 10, 2 в первой строке перечеркнуты в знак того, что мы их уже сосчитали. Линии, которыми эти результаты перечеркнуты, повторим в выписанном заранее ряду данных: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 // / Будем двигаться по строчкам далее и перечеркивать очередные результаты, а каждое зачеркивание копировать ниже соот-ветствуюш;ей варианты в ряду данных. Вот что получится после прохождения первой строки: в ней по два раза встретились варианты 2, 3, 4 и по одному разу — варианты 5, 8, 9, 10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 /////// III Результат после прохождения первых двух строк выглядит так: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 /// >)^ // // / / / Чтобы не сбиться со счету, вместо каждой пятой черточки проводят линию с другим наклоном, которая перечеркивает четыре предыдущие черточки. На практике, конечно, все подсчеты производят в одном месте: ведь промежуточные результаты не нужны. Вот как в итоге будет выглядеть результат подсчета кратностей в нашем примере: 12 3 4 5 689 10 12 ///>)Ч ///TWf // /// // /// // / Теперь можно составить сгруппированный ряд данных. В нем каждая варианта повторена именно столько раз, сколько она 225 5. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ встретилась в измерении, т. е. число повторении каждой варианты равно кратности этой варианты: 1,1,1, 2,...,2, 3,...,3, 4,...,4, 5,...,5, 6,...,6, 3 6 8 7 Гб 8 8, 8, 9,9,9, 10, 11, 12 3 На этом заканчивается первый шаг обработки информации — ее упорядочивание и группировка. 2. Табличное представление информации. Составим таблицу из двух строк, в первой из которых будет ряд данных измерения. Во вторую строку таблицы поставим кратности соответствующих вариант. Получим таблицу распределения данных. Вот как это выглядит в измерении (И). Варианта Сумма 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 Кратность 3 6 8 7 10 8 2 3 2 1 50 Если сложить все кратности, то получится количество всех данных измерения — объем измерения. Так как опрашивали 50 работников, то объем измерения (И) равен именно 50. На практике для контроля всегда складывают найденные кратности вариант: сумма должна равняться объему измерения. Далее, при общей оценке распределения данных не очень важно, что, например, варианта 10 имеет кратность 3 среди всех 50 данных. Так как — = 0,06, то удобнее сказать, что эта вари-50 анта занимает шесть сотых общего объема измерения. Так и поступают, т. е. делят кратность варианты на объем измерения и получают частоту варианты. „ кратность варианты Частота варианты = . \ Ч объем измерения J Частоты всех вариант удобно приписать третьей строкой к уже составленной таблице. Новую трехстрочную таблицу называют таблицей распределения частот измерения. Вот как это выглядит в измерении (И). 226 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Варианта 8 9 10 12 Сумма Кратность 10 50 Частота 0,06 0,12 0,16 0,14 0,2 0,16 0,04 0,06 0,04 0,02 Сумма всех частот всегда равна 1 — ведь это сумма дробей с одинаковым знаменателем, у которых сумма всех числителей как раз и равна этому знаменателю. Для удобства счета и построения графиков частоты переводят в проценты от объема измерения. Тогда таблицу распределения дополняют еще строкой частот в процентах. Она получается из предыдущей строки умножением на 100%. Итак, для измерения (И) получаем следующую таблицу уже из четырех строк. Варианта 10 12 Сумма Кратность 10 50 Частота 0,06 0,12 0,16 0,14 0,2 0,16 0,04 0,06 0,04 0,02 Частота, % 6 12 16 14 20 16 6 100 Сумма всех частот в процентах, конечно же, равна 100 — ведь эта сумма в сто раз больше суммы в предыдущей строке. 3. Графическое представление информации. Итак, распределение данных измерения удобно задавать с помощью таблиц. Но мы знаем, что и для функций есть табличный способ их задания. Таблицы образуют «мостик», по которому от распределения данных можно перейти к функциям и графикам. Отложим по оси абсцисс значения из первой строки таблицы распределения, а по оси ординат — значения из ее второй строки. Построим соответствующие точки в координатной плоскости. Получим графическое изображение имеющейся информации — график распределения выборки. Построенные точки для наглядности 227 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ соединяют отрезками. Вот как это выглядит в измерении (И), данные которого мы уже представили в табличном виде. По оси абсцисс 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 По оси ординат 3 6 8 7 10 8 2 3 2 1 5 6 7 Рис. 175 10 11 На координатной плоскости мы получили ломаную линию (рис. 175), которая является графиком некоторой кусочно-линей-ной функции. Эту ломаную называют многоугольником или полигоном распределения данных. Собственно polygon и переводится как «многоугольник». Точно так же составленные таблицы распределения частот и распределения частот в процентах позволяют построить многоугольник частот и многоугольник частот в процентах. Для наглядности в практических приложениях удобнее использовать многоугольники частот в процентах: в них изменения по оси ординат от 1 до 100 визуально более заметны, чем изменения от 0 до 1. Построим многоугольник частот в процентах для измерения (И) (рис. 176). По оси абсцисс 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 По оси ординат 6 12 16 14 20 16 4 6 4 2 228 Рис. 176 Мы видим, что даже для небольшого объема измерений аккуратное «причесывание» информации — довольно кропотливая вещь. При работе с большими объемами информации используют методы приближенной группировки данных. В таких случаях вариантой измерения является не одно число, а числовой промежуток. Например, в измерении (И) всех работников предприятия можно разделить на три группы. Во-первых, это те, кто живет близко от работы. Они тратят на дорогу 10, 20 или 30 минут. Во-вторых, это те, кто живет недалеко. Их путь занимает от 40 до 60 минут. Все остальные живут далеко и проводят в дороге более часа. Тем самым мы разбили промежуток между самой маленькой и самой большой вариантой на промежутки 1—3; 4—6; 8—12 (в десятках минут). В итоге вместо десяти первоначальных вариант получилось всего три новые варианты: близко, недалеко, далеко. 229 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Для каждого промежутка можно найти количество результатов измерения, попавших в этот промежуток. Получим кратности и таблицу распределения новых вариант. Варианта Сумма близко недалеко далеко Кратность 17 25 8 50 Разумеется, можно составить и таблицы распределения частот и процентных частот новых вариант. Вот что получится. Варианта близко недалеко далеко Сумма Кратность 17 25 50 Частота, % 34 50 16 100 При такой грубой оценке мы кое-что утеряли из первоначальной информации. Например, теперь неизвестно количество работников, путь которых составляет именно 60 минут. Но мы что-то и приобрели: информация получила более ясное и удобное для объяснения представление. Вот как это выглядит, например, на круговой диаграмме (рис. 177). При графическом представлении больших объемов информации многоугольники распределения заменяют гистограммами^ или столбчатыми диа граммами. Вы познакомитесь с ними в старшей школе. 4. Числовые характеристики данных измерения. Каждый человек, кроме своих формальных, паспортных, данных, обладает рядом других свойств и качеств. Кто-то лучше всех решает задачи, кто-то — брюнет, кто-то замечательно играет на гитаре и т. п. Однако сравнительно небольшая паспортная информация (Ф.И.О., дата рождения, номер и дата выдачи паспорта) позволяет однозначно определить человека, выделить его среди других. У данных измерений тоже есть своего рода краткий паспорт, состоящий из набора основных числовых характеристик. Поясним некоторые из них на уже знакомом нам примере измерения (И). Разность между максимальной и минимальной вариантой называют размахом измерения. В измерении (И) размах равен 230 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 120 - 10 = 110 минутам. На графике (см. рис. 175, 176) это длина области определения многоугольника распределения данных или распределения частот. Ту варианту, которая в измерении встретилась чаще других, называют модой измерения. Если данные измерения уже собраны в двустрочную таблицу распределения, то для нахождения моды следует: — во второй строке (кратность) выбрать наибольшее число; — от найденного числа подняться на клетку выше: полученное число и будет модой. Если данные измерения представлены графически в виде многоугольника распределения, то мода — это точка, в которой достигается максимум многоугольника распределения. Например, в измерении (И) мода равна 50 минутам — наибольшее число работников (10) именно так оценивают время своего проезда. Заметим, что возможны более сложные распределения данных. Например: мода мода Варианта -3 -1 0 2 4 5 6 10 11 12 Всего: 10 Кратность 5 7 25 11 3 8 20 10 7 4 Объем: 100 У этого распределения две моды. Как говорят, это бимодальное распределение. Наиболее важной характеристикой числового ряда данных является среднее значение (среднее арифметическое, или просто среднее). Для нахождения среднего значения следует: 1) просуммировать все данные измерения; 2) полученную сумму разделить на количество данных. Для подсчета среднего значения удобно использовать сгруппированный ряд данных. Вот как это выглядит в измерении (И): 1,1,1 ♦ 2,..., 2, 3, •.., 3, 4,..., 4, 5,..., 5, 6,..., 6, 3 6 8 7 10 8 8, 8, 9,9,9, 10, 11, 12 3 231 5. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Найдем среднее значение: 13 + 26 + 38 + 47 + 510 + 6 8 + 8 2 + 9 3 + 10 2 + 12 1 50 3 + 12 + 24 + 28 + 50 + 48 + 16 + 27 + 20 + 12 50 = 4,8 (десятков ми- нут). Значит, среднее время проезда для опрошенных работников составляет 48 минут. Если таблица распределения частот данных уже известна, то среднее значение можно вычислять прямо по ней. Смотрите: 13 + 26 + 38 + ... + 12 1 50 50 + 3 50 50 = 1. А + 2 • А + 3 . А + ,„ + 12 . 50 Все дроби в последней сумме — это частоты вариант, которые стоят перед этими дробями в качестве множителей. Значит, в таблице распределения частот можно просто перемножить числа в каждом столбце и затем сложить все полученные произведения. Варианта Сумма 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 Частота 0,06 0,12 0,16 0,14 0,2 0,16 0,04 0,06 0,04 0,02 1 Сформулируем общее правило. Для нахождения среднего значения данных измерения можно: 1) каждую варианту умножить на ее частоту: 2) сложить все полученные произведения. Мы закончим этот параграф еще одним конкретным примером измерения, кратко повторив для него шаги 1)—4) обработки данных (см. с. 222). П р и м е р 4. На вступительном письменном экзамене по математике можно получить от о до 10 баллов. Сорок абитуриентов получили такие оценки: 6 7 7 8 9 2 10 6 5 6 7 3 7 9 9 2 3 2 6 6 6 7 8 8 2 6 7 9 7 5 9 8 2 6 6 3 7 7 6 6 232 5. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1) Составить общий ряд данных; упорядочить и сгруппировать полученные оценки. 2) Составить таблицы распределения данных и распределения частот. 3) Построить графики распределения. 4) Найти размах, моду и среднее измерения. Решение. 1)В принципе возможны такие оценки: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Это общий ряд данных. В конкретно предложенном измерении встретились только такие оценки: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Это ряд данных, все числа в нем — варианты измерения. Наконец, 2,...,2, 3, 3, 3, 5, 5, 6,...,6, 7,..., 7, 8, ..., 8, 5 П 9 4 9, ..., 9, 10 — это сгруппированный ряд данных. 5 2) Всего было выставлено 40 оценок. Значит, 40 — это объем данного измерения. Кратности всех восьми вариант уже посчитаны. Соберем их в таблицу и в этой же таблице посчитаем все частоты. Варианта Сумма 2 3 5 6 7 8 9 10 Кратность 5 3 2 11 9 4 5 1 40 Частота 0,125 0,075 0,05 0,275 0,225 0,1 0,125 0,025 1 Частота, % 12,5 7,5 5 27,5 22,5 10 12,5 2,5 100 3) Полученная таблица распределения позволяет построить три многоугольника распределения: данных, частот и частот в процентах (рис. 178—180). По существу различия в этих графиках состоят только в выборе единиц измерения и масштаба по оси ординат. 4) Вернемся к первоначальным данным. Размах измерения равен 10 - 2 = 8. Мода равна 6 — эта оценка встретилась чаще других. Наконец, среднее значение равно 25 + 33 + 52 + 611 + 79 + 84 + 95 + 10 1 ^ 40 _ 10 + 9 + 10 + 66 + 63 + 32 + 45 + 10 ^ ^ = 6 125 40 40 ’ ‘ ■ 233 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Многоугольник распределения кратностей Кратность варианты Многоугольник распределения частот Частота варианты 234 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Многоугольник распределения частот, % Частота варианты, % §28. ПРОСТЕЙШИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ с некоторыми комбинаторными задачами мы уже встречались в § 26. В каждой из них мы подсчитывали количество всевозможных комбинаций, которые тем или иным способом можно составить, исходя из условия конкретной задачи. Например, из цифр 1, 5, 9 можно составить ровно шесть трехзначных чисел без повторяющихся цифр: 159, 195, 519, 591, 915 и 951. А какую часть из них составляют, например, числа, кратные пяти? Видно, что из этих шести чисел только два числа делятся на пять: 195 и 915. Значит, числа, кратные пяти, составляют одну треть общего числа всех составленных чисел. В теории вероятностей говорят в этом случае так: 1 - — это вероятность того, что трехзначное число, составленное из неповторяющихся цифр 1, 5 и 9, будет кратно пяти. Рассмотрим еще несколько подобных примеров. 235 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ П р и м е р 1. Из цифр 1, 5, 9 случайным образом составляют трехзначное число без повторяющихся цифр. Какова вероятность того, что получится число: а) большее 500; б) квадратный корень из которого не больше 24; в) кратное трем; г) кратное девяти? Р е ш е н и е. а) Из шести возможных чисел 159, 195, 519, 591, 915, 951 первые два числа 159, 195 меньше 500, а последние 4 2 четыре числа 519, 591, 915, 951 больше 500. Так как т = -г, то о о числа, большие 500, составляют две трети общего числа исходов 2 и искомая вероятность равна о б) Так как 24^ = 576, то квадратные корни из чисел 159, 195, 519 меньше 24, а квадратные корни из чисел 591, 915, 951 больше 24. Значит, нужные нам числа составляют половину общего 1 числа исходов и искомая вероятность равна А в) Сумма цифр каждого из шести чисел 159, 195, 519, 591, 915, 951 равна 15, т. е. делится на 3. Поэтому каждое из возмож- 0 ных шести чисел кратно 3. Так как — = 1, то искомая вероят- 6 ность равна 1. г) Сумма цифр каждого из чисел равна 15, т. е. не делится на 9. Поэтому среди этих шести чисел вообще нет чисел, кратных 9. Так как ^ то искомая вероятность равна 0. О т в е т: а) -; б) в) 1; г) 0. 3 2 Проанализируем решение примера 1. В пункте в) ответ можно было получить, не выписывая и даже не подсчитывая все возможные трехзначные числа из цифр 1, 5, 9. Просто при перестановках цифр их сумма 15 не меняется, т. е. все числа будут кратны трем. Здесь мы имеем дело с достоверным событием. Оно произойдет при любом способе составления трехзначного числа из цифр 1, 5, 9 без повторяющихся цифр. В пункте г) никакое из чисел, которые вообще можно составить из цифр 1, 5, 9, не делится на 9. Здесь мы встретились с невозможным событием. Оно никогда не произойдет 236 5. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ при составлении трехзначного числа из цифр 1, 5, 9 без повторений. В пунктах а) и б) интересующие нас события могли как произойти, так и не произойти при случайном составлении трехзначного числа. Такие события называют случайными событиями. Простейший и, наверное, наиболее известный источник случайных событий — это игра «Орлянка»: монетку подбрасывают и смотрят, какая из ее сторон, «орел» или «решка», выпадет. Пр и м е р 2. Монету подбрасывают три раза. Какова вероятность того, что: а) все три раза выпадет «решка»; б) «решка» выпадет в два раза чаще, чем «орел»; в) «орел» выпадет в три раза чаще, чем «решка»; г) при первом и третьем подбрасывании результаты будут различны? Решение. Составим дерево вариантов, обозначив О — выпадение «орла» и Р — выпадение «решки» (рис. 181). Мы видим, что всего возможны восемь исходов: ООО, OOP, ОРО, ОРР, РОО, POP, РРО, РРР. а) «Решка» выпадет три раза только в одном из восьми исходов. Значит, искомая вероятность равна ~ = 0,125. б) Из восьми возможных исходов только в трех случаях «решка» выпадет в два раза чаще, чем «орел»: РРО, POP, РРО. Зна- Q чит, искомая вероятность равна ~ = 0,375. Р О ООО OOP ОРО ОРР РОО POP РРО РРР Рис. 181 237 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ в) Если черешка» выпала хоть раз, то «орлов» должно быть не менее трех. Но тогда подбрасываний будет никак не меньше четырех, а их по условию всего три. Значит, указанное событие невозможно. Впрочем, можно просто перебрать все восемь возможных исходов и увидеть, что ни один из них не подходит. Итак, искомая вероятность равна 0. г) Из восьми возможных исходов интересующее нас событие произойдет в следующих четырех случаях: OOP, ОРР, РОО, РРО. 4 Значит, искомая вероятность равна — = 0,5. О т в е т: а) 0,125; б) 0,375; в) 0; г) 0,5. В реальности монетка может упасть не только на одну из своих сторон, но и «прислониться» к стене или ножке стула, может укатиться довольно далеко, ее может кто-то схватить и убежать и т. п. Ясно, что при подсчетах вероятностей невозможно или, по крайней мере, очень сложно учесть подобные случаи. Поэтому заранее договариваются, что при подбрасывании монетки возможны только два случая — «орел» или «решка» и, более того, что эти случаи равновозможны между собой. Это означает, что вероятность выпадения «орла» при одном подбрасывании монетки заранее предполагается равной — и, соответственно, вероятность выпадения «решки» при одном подбрасывании монетки также предполагается равной — . Получается некоторая «идеальная» монетка, или простейшая вероятностная модель реальных монет. Различие тут примерно такое же, как между реальным автомобилем и машиной, которая, как это бывает в текстовых задачах, на протяжении нескольких часов едет с постоянной скоростью по прямолинейному шоссе. Конечно же, и прямолинейность шоссе, и равномерность движения, да и просто «расстояние между пунктами А и Б» — это только модели реальных ситуаций. Однако для простейших, первоначальных подсчетов как раз и нужны простые модели: ведь действовать в сложных моделях намного сложнее! Итак, мы приходим к следующей схеме подсчета вероятности случайного события при проведении некоторого испытания. Подчеркнем, что применять эту схему можно только в тех случаях, когда все исходы этого испытания равновозможны между собой. 238 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ КЛАССИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ СХЕМА Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого испытания следует: 1) найти число N всех возможных исходов данного испытания: 2) найти количество N{A) тех исходов испытания, в которых наступает событие А; N{A) 3) найти частное \ оно и будет равно вероятности события А. Принято вероятность события А обозначать Р(А). Объяснение такого обозначения очень простое: «вероятность» по-французски — ргоЬаЫШё, по-английски «вероятно» — probably. Используя это обозначение, вероятность события А можно найти с иомо- щью формулы Р{А) = ------. N Довольно часто пункты 1)—3) приведенной классической вероятностной схемы выражают одной довольно длинной фразой. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу (равновозможных между собой) исходов этого испытания. В частности, если событие А невозможно при проведении NiA) некоторого испытания, то N{A) = О и поэтому Р(А) =-- = N = ~ = 0. Напротив, достоверность события А при проведении N некоторого испытания означает, что N{A) - N тл, поэтому Р(А) = К N N(A) ^ К = 1 N Пример 3. В правильном девятиугольнике ABCDEFGKL случайным образом провели одну из диагоналей. Какова вероятность того, что: 239 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Рис. 182 а) по обе стороны от нее лежит одинаковое количество вершин; б) по одну сторону от диагонали будет лежать более двух вершин; в) диагональ отрезает от девятиугольника какой-то треугольник; г) один из концов диагонали — вершина L или вершина D? Р е ш е н и е. а) Вне диагонали лежит семь вершин. Так как 7 — число нечетное, то по обе стороны не может лежать одинаковое количество вершин. Значит, это невозможное событие, его вероятность равна 0. б) Если по одну сторону от диагонали лежит одна вершина, то по другую сторону — шесть вершин; если по одну сторону лежат две вершины, то по другую сторону — пять вершин (рис. 182, а); наконец, если по одну сторону лежат три вершины, то по другую — четыре (рис. 182, б). Мы видим, что в любом случае хотя бы с одной стороны лежит более двух вершин. Значит, мы имеем дело с достоверным событием, его вероятность равна 1. в) Сначала придется посчитать количество N всех диагоналей. Начало диагонали можно выбрать девятью способами, а конец — шестью способами: ведь при уже выбранном начале диагональ нельзя провести ни в эту вершину, ни в две соседние вершины. По правилу умножения получается 9 • 6 = 54 диагонали. Но при таком подсчете каждую диагональ, например DG, мы посчитали дважды: как диагональ с началом в D и концом в G и как диагональ с началом в G и концом в D (рис. 182, а). Значит, всего проведено iV = 54 : 2 = 27 диагоналей. Диагонали, отрезаюш;ие треугольники, — это АС, Б1), СЕ, DF, EG, FK, GL, КА, BL (рис. 183). Их девять — столько, сколько вер- 9 1 шин у ABCDEFGKL, Значит, искомая вероятность равна — = —. 27 3 240 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Рис. 183 Рис. 184 г) Из вершины D можно провести шесть диагоналей (рис. 184) и из вершины L — столько же. Получается 12 диагоналей, но одну из них, а именно диагональ LZ), мы посчитали дважды. Остальные десять диагоналей посчитаны по одному разу. Значит, интересующее нас событие произойдет в 11 случаях, а потому искомая вероятность равна О т в е т: а) 0; б) 1; в) —; г) —. 3 27 Имеется тесная связь между, с одной стороны, множествами, их элементами и подмножествами и, с другой стороны, испытаниями (опытами, экспериментами), их исходами и случайными событиями. Допустим, вы каким-то образом перечислили все N возможных исходов некоторого опыта, испытания, эксперимента. Может быть, вы выписали эти исходы в одну строку, через запятую. Может быть, каждый исход записали в отдельную строку и строки пронумеровали. Может быть, вы изобразили исходы какими-то значками на листе бумаги или разместили их под разными «ярлычками» на экране монитора и т. п. Важно, что все N исходов вы рассмотрели как единое множество, перечисленное поэлементно (рис. 185, а). Теперь вас интересует вероятность некоторого случайного события А, которое может произойти, а может и не произойти в результате проведенного испытания. Это означает, что событие А происходит при наступлении только некоторых из всех возможных N исходов. Отметим их звездочками (рис. 185, б). Тогда в вашем списке всех исходов возникает некоторое подмножество, состоящее из N{A) элементов. 241 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ а) б) Рис. 185 Получается, что случайное событие А — это просто подмножество множества всех исходов, а вероятность события А — это доля исходов, благоприятствующих А, среди множества всех N возможных исходов. В частности, вероятность каждого отдельного исхода равна ^. В нижеприведенной таблице мы показываем связь между терминами теории вероятностей и теории множеств. Испытание с N исходами Множество из N элементов Отдельный исход испытания Элемент множества Случайное событие Подмножество Невозможное событие Пустое подмножество Достоверное событие Подмножество, совпадающее со всем множеством Вероятность события Доля элементов подмножества среди всех элементов множества Оба столбца в этой таблице могут быть продолжены: новых понятий и в теории вероятностей, и в теории множеств хватает. Как при этом «переходить» по строчкам — весьма сложный вопрос. Мы ограничимся только небольшим продвижением и начнем, как обычно, с примера. Пример 4. 17 точек из 50 синего цвета, а 13 точек из оставшихся — оранжевого. Какова вероятность того, что случайным образом выбранная точка окажется: а) синей; б) не оранжевой; в) окрашенной; г) не окрашенной? 242 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Решение. а) Р = Щсиние точки) _ 17 _ ^ N 50 ’ ‘ б) Р = в) Р = г) Р = N{ne оранжевая точка) 5о - 13 N 50 К(синяя или оранжевая ________точка)_________17 + 13 N 50 - (17 + 13) 50 50 = 0,74. = 0,6. = 0,4. Определение, Событие В называют противоположным событию А, если событие В происходит тогда и_только тогда, когда не происходит событие А; обозначают: В = А. События А и Б называют несовместными, если они не могут происходить одновременно. Несовместные события изображаются непересекающимися подмножествами множества всех исходов испытания (рис. 186). Типичный пример несовместных событий: любое событие А и противоположное событие А. Доказательство следующей теоремы по существу повторяет решение примера 4в). Теорема. Если события АиВ несовместны, то вероятность того, что наступит или А, или В, равна Р(А) -h Р(Б). Доказательство. Обозначим буквой С интересующее нас событие. Событие С наступает тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В, Так как А и Б несовместны, то А и Б несовместны Рис. 186 243 5. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ N{C) = N(A) + N(B). Поделим это равенство на N — число всех возможных исходов испытания. Получим: Р(С) = N(C) N(A) + N(B) N(A) N(B) N N N N = P(A) + P(B). Для того, чтобы теорему 1 записать с использованием формул, нужно как-то назвать и обозначить событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из двух данных событий А и В. Такое событие называют суммой событий А и Б и обозначают А -f Б. При переводе операции сложения случайных событий на язык теории множеств получается операция объединения множеств: ведь соотношение JC G А и Б как раз и означает, что или л: g А, или X е В. Итак, вот краткая формулировка теоремы 1. Если А и В несовместны, то Р(А + В) =Р{А) + Р(В), Теорема. Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: Р(А) = 1 -Р(А). Доказательство. Событие А + А достоверно: при любом исходе испытания происходит либо событие А, либо событие А. Значит, Р(А -f А) = 1. Событие А и противоположное событие А по определению несовместны. Значит, Р(А + А) = Р(А) 4- Р(А). Поэтому 1 = Р(А + А) = Р(А) + Р(А) и Р(А) = 1 - Р(А). Довольно часто удобно использовать и симметричную формулу Р(А) = 1 - Р( А). Это бывает в тех случаях, когда посчитать вероятность противоположного события проще, чем найти вероятность самого события. Типичной ситуацией являются события, описание которых использует оборот «хотя бы один раз» или аналогичный ему. Пример 5. Какова вероятность того, что при трех последовательных бросаниях игрального кубика хотя бы один раз выпадет 6? Решение. При одном бросании кубика равновозможны выпадения 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. При втором бросании, вне зависимости от исхода предыдущего бросания, возможны те же 244 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ результаты. Для трех бросаний по правилу умножения получаем, что всего возможно N = 6 • 6 • 6 исходов. Обозначим буквой А интересующее нас событие, т. е. выпадение хотя бы одной шестерки. В чем же состоит противоположное событие А ? Оно означает, что шестерка вообще не выпадет ни в первый, ни во второй, ни в третий раз. Но тогда все три раза на кубике выпадет одна из пяти цифр 1, 2, 3, 4 или 5. Применим еще раз правило умноже- 125 ния и найдем, что ЩА) = 5 • 5 • 5. Значит, Р(А) = ~ 0,5787 и Р(А) = 1 - Р(А) ^ 0,4213. ■ Мы познакомились с вероятностными задачами, в которых множество исходов можно тем или иным способом подсчитать. Другими словами, количество N всех возможных исходов конечно. Но встречаются испытания и с бесконечным числом исходов. К ним классическая вероятностная схема уже не применима. Рассмотрим пример. Пример 6. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства |jc - 11 < 3. Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства I jc - 2 | >3? Решение. Разумеется, следует для начала решить оба неравенства. Вспомним геометрический смысл модуля разности \а - ь \ — это расстояние между точками а и Ь числовой прямой. Поэтому неравенство I jc - 11 <3 означает, что расстояние между точками JC и 1 не больше 3. Значит, [-2; 4] — решение этого неравенства. Отметим этот отрезок длиной 6 штриховкой (рис. 187, а). Второе неравенство | jc - 2 | >3 означает, что расстояние между точками JC и 2 не меньше 3. Значит, (-оо; -1] и [5; -foo) — решение этого неравенства (рис. 187, б). Отметим это множество другой штриховкой. В пересечении получится отрезок [-2; -1] (рис. 187, в). а) -2 -1 о в) Н----1----1---h -1 о Рис. 187 245 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Мы видим, что из всех решений неравенства I jc - 11 <3 только одну шестую часть составляют решения неравенства | л: - 2 | >3. г. 1 - Значит, искомая вероятность равна “• ■ Пример 7. Графический редактор, установленный на компьютере, случайно отмечает одну точку на мониторе — квадрате ABCD со стороной 12 см. Какова вероятность того, что эта точка: а) окажется в верхней половине монитора; б) окажется одновременно и в нижней, и в левой половине монитора; в) будет удалена от вершины D не более, чем на 11 см; г) будет ближе к центру монитора, чем к вершине С? Р е ш е н и е. а) Пусть S — площадь монитора. Тогда площадь его верхней половины равна 0,5S (рис. 188, а). Значит, искомая ве-0,5S S роятность равна = 0,5. б) В этом случае редактор может отметить любую точку из левой нижней четверти монитора (рис. 188, б). Ее площадь равна о 25S 0,25S. Значит, вероятность указанного события равна — = 0,25. в) Нарисуем круг радиусом 11 см с центром в точке В. В пере- сечении со всем квадратом ABCD получится только четверть этого круга (рис. 188, в). Площадь этой четверти равна = 121я = 30,25л. Выясним, какую часть площадь этой фигуры со- ставляет от площади всего монитора: 30,25я 30,25 3,14 94,985 - 0,66. 144 144 144 Отношение площадей как раз и дает нужную вероятность. г) Соединим отрезком вершину С с центром О монитора. К этому отрезку построим серединный перпендикуляр т. Его точки равноудалены от точек С и О, а точки, лежащие выше /п, находятся ближе к С, чем к центру О. Пусть К = т ВС^ L = m П CD и М = т Г\ ОС. Тогда AKCL состоит из всех точек монитора, которые удалены от С не дальше, чем от центра монитора (рис. 188, г). 246 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 11 Рис. 188 Так как МС = 0,5ОС = 0,25АС = 0,25 • >/2 -АБ, то Skcl = 2Skmc = 2 • 0,5 • МС2 = МС2 = • АБ" = 0,1255. Значит, вероятность выбора точки из AKCL равна = 0,125. По условию нам следует найти вероятность события, противоположного попаданию в AKCL. По формуле Р(А) = 1 - Р( А) получаем искомую вероятность: 1 - 0,125 = 0,875. О т в е т: а) 0,5; б) 0,25; в) « 0,66; г) 0,875. Сформулируем общее правило для нахождения геометрических вероятностей. Если площадь 5(A) фигуры А разделить на площадь S{X) фигуры X, которая целиком содержит фигуру А, то получится вероятность того, что точка, случайно выбран- 5(A) ная из фигуры X, окажется в фигуре А: Р = S(X) 247 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Аналогично поступают и с множествами на числовой прямой, и с пространственными телами. Но в этих случаях площади следует заменить или на длину числовых множеств, или на объемы пространственных тел. § 29. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ И ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЙ В заключительном параграфе главы 5 мы расскажем о связи между вероятностями случайных событий (§ 28) и экспериментальными статистическими данными (§ 27). Напомним, что статистические данные, как правило, представляют собой данные какого-либо конкретного измерения, проведенного в реальности^ а при вычислении вероятностей случайных событий мы имеем дело с той или иной моделью реальности. Как же связаны между собой реальность и модель реальности? Насколько точно наши теоретические представления об окружающем мире соответствуют тому, что происходит на практике? Рассмотрим конкретный пример, связанный с наиболее известным источником случайных событий — подбрасыванием монетки. Пр и м е р 1. На практических занятиях по обработке данных каждый из 20 школьников подбросил рублевую монетку 50 раз, подсчитал количество k выпадений «орла» и записал это количество в процентах от общего числа бросаний. Полученные данные были собраны в таблицу. № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k 24 27 23 26 28 25 24 25 26 22 23 23 22 26 27 24 23 29 30 21 % 48 54 46 52 56 50 48 50 52 44 46 46 44 52 54 48 46 58 60 42 Мы видим, что встретились достаточно разбросанные результаты: от 21 до 30. Если частоту появления «орла» перевести в проценты, то получатся результаты от 42 до 60%. С одной стороны, ровно половина (25) от числа всех бросаний получилась только в двух случаях. Но, с другой стороны, отклонения остальных результатов от 25 не так уж и велики: самое большое отклонение равно 5, т. е. составляет 10% от общего количества бросаний монетки. Объединим полученные результаты в более крупные группы. Будем считать, что сумма результатов № 1 и № 2 — это один результат для 100 бросаний, сумма результатов № 3 и № 4 — это второй результат для 100 бросаний и т. п. Получим новую таблицу. 248 5. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ № 1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 11-12 13-14 15-16 17-18 19-20 51 49 53 49 48 46 48 51 52 51 Перевод в проценты тут можно не делать: ведь появление 51 «орла» при 100 бросаниях как раз и означает появление «орла» в 51% случаев от общего числа бросаний. Теперь ровно половина от 100 бросаний вообще не встретилась, но зато отклонения от этой половины в процентном измерении уменьшились и составляют уже не более 4%. Продолжим укрупнение. Посмотрим, что выйдет при группировке по 200 бросаний. № % 1-4 100 50 5-8 102 9-12 94 47 13-16 99 49,5 17-20 103 51,5 Мы видим, что при увеличении количества бросаний монетки частота появления «орла» приближается к половине от общего числа бросаний. Особенно это заметно, если рассмотреть все проведенные бросания монетки — все повторения одного и того же простейшего эксперимента со случайным исходом. Всего в 20 • 50 = 1000 проведенных бросаний монетки «орел» появился в 498 случаях: 100 + 102 + 94 + 99 +103 = 500 + (0 + 2 - 6 - 1 + 3) = 498. Процентная частота появления «орла», таким образом, равна 49,8%, и отклонение от половины, т. е. от 50%, составляет только 0,2%. ■ Вообще проведение заметного числа экспериментов показывает, что частота выпадения «орла» при достаточно большом числе бросаний практически неотличима от 0,5, или от 50%. Например, в большинстве учебников по статистике или по теории вероятностей приводят результаты экспериментов французского ученого Ж. Бюффона (XVIII в.) и английского математика К. Пирсона (конец XIX в.). Они бросали монету соответственно 4040 и 24 000 раз, и «орел» выпал 2048 и 12 012 раз. Если 2048 посчитать частоту выпадения «орла», то получится у Бюффона и 12012 24000 4040 = 0,50693. = 0,5005 у Пирсона. Определение. При неограниченном увеличении числа независимых повторений одного и того же опыта в неизменных условиях практически достоверно, что частота появления фиксированного случайного события сближается с некоторым постоянным числом. Это явление называют статистической устойчивостью, а указанное число — статистической вероятностью события. 249 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Подчеркнем, что для каждого конкретного числа повторений опыта частота появления события скорее всего отличается от вероятности события. Явление статистической устойчивости гарантирует лишь, что с увеличением числа повторений опыта вероятность заметного отличия частоты события от его вероятности стремится к нулю. Такая устойчивость имеет место не только для бросаний монетки, но и для вытаскивания карт, выпадения определенного числа очков на игральных кубиках, пола новорожденных, среднесуточной температуры и вообще для большинства случайных событий. Явление статистической устойчивости соединяет реально проводимые, эмпирические^ испытания с теоретическими моделями этих испытаний. Пример 2. Статистические исследования большого количества литературных текстов показали, что частоты появления той или иной буквы (или пробела между словами) стремятся при увеличении объема текста к некоторым определенным константам. Таблицы, в которых собраны буквы того или иного языка и соответствующие константы, называют частотными таблицами языка. Приведем таблицу встречаемости букв русского языка (частоты приведены в процентах). Буква А Б В Г д Е v/rv 3 И Й Частота 6,2 1,4 3,8 1,1 2,5 7,2 0,7 1,6 6,2 1,0 Буква К Л м Н О П Р С т У ф Частота 2,8 3,5 2,6 5,3 9,0 2,3 4,0 4,5 5,3 2,1 0,2 Буква X ц Ч Ш щ Ы ь э Ю Я - Частота 0,9 0,4 0,4 0,6 0,3 1,6 1,4 0,3 0,6 1,8 17,5 Это значит, что из 1000 случайно выбранных в тексте букв или пробелов буква «ф» будет в среднем стоять на двух местах, буква «о» — на девяноста местах, пробел окажется в среднем на 175 местах и т. д. ■ У каждого автора есть своя частотная таблица использования букв, слов, специфических литературных оборотов и т. п. По этой частотной таблице можно определить автора примерно так же, как и по отпечаткам пальцев. Вот два примера из нашей недавней истории. До сегодняшнего дня не утихают споры об авторстве «Тихого Дона». Многие считают, что в 23 года такую глубокую и воистину великую книгу М. А. Шолохов написать просто не мог. Выдвигались разные аргументы и разные кандидаты в авторы. Особенно жаркими были споры в момент присуждения ему Нобелевской премии по литературе (1965). Статистический анализ текстов и сличение с текстами, где авторство М. А. Шолохова не 250 5. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ вызывало сомнений, подтвердили все же гипотезу о нем как об истинном авторе «Тихого Дона». Вторая история носит более политический характер. В начале 60-х годов «на Западе», как говорили тогда в СССР, опубликовали литературные произведения, «очерняющие прогрессивный характер социалистической системы...». Автором являлся А. Терц, и это был, вне всякого сомнения, псевдоним. В соответствующих органах провели сравнительный анализ опубликованных «вредительских» текстов и результаты сличили с имеющимися текстами ряда возможных кандидатов в авторы. Так было установлено, что настоящим автором является литературовед Андрей Донатович Синявский. Он, в общем-то, в итоге и не отпирался, и на суде в 1966 году («Процесс Синявского и Даниэля») получил семь лет наказания в колонии общего режима. Вот такая статистика. Приведем пример использования статистики при расшифровке закодированных текстов. Один из первых известных способов шифровки текстовых сообщений состоит в следующем. Каждую букву алфавита языка, на котором пишется сообщение, заменяют какой-то другой буквой этого же алфавита. Получается перестановка букв алфавита. Например: А Б В Г д Е Ё •УТЛ v/IV 3 и к л м н О ... я Я Ы Ё v/rv 3 М Ф Щ О ю р т с ч ш А Тогда словосочетание «милая мама» после шифровки будет выглядеть так: «сютяа сяся». Адресат послания, у которого есть таблица перестановки букв, без труда сможет провести обратный перевод загадочного слова «тшжюря». Если же послание перехвачено, а шифровальный код неизвестен, то при расшифровке может помочь статистика. Допустим, что текст послания достаточно большой. Например, около страницы машинописного текста. Получится 30—40 строчек по 60—70 букв, т. е. всего около 2000 «шифрованных» букв. Составим для них частотную таблицу встречаемости в тексте шифровки и сравним ее с таблицей встречаемости «настоящих» букв русского алфавита (см. выше). Если для какой-то буквы, скажем для «Й», подсчитанная частота превысит 9%, то с заметной долей уверенности можно утверждать, что этой буквой зашифрована буква «О» первоначального текста. Если же частота буквы, скажем «М», в шифровке оказалась равной примерно 7%, то скорее всего это шифр буквы «Е». Конечно, так получится только приблизительная расшифровка, потому что, скажем, буквы «А» и «И» или «Ц» и «Ч» неразличимы по частоте встречаемости. Но потом можно будет учесть грамматику русского языка, таблицы встречаемости не только букв, но и устойчивых сочетаний букв (СТ, ПРО), союзы, предлоги, общий смысл послания и т. п. и в итоге успешно расшифровать имеющийся текст. 251 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Такой статистический метод работает и при замене букв алфавита произвольными значками, например: W { В пробел I д Q Е 0 Ё •УТЛ v/lv @ § Явление, статистической устойчивости позволяет приблизительно оценивать вероятности событий даже в тех случаях, когда эти вероятности мы заранее не знаем. Действительно, пусть требуется найти или оценить вероятность события А при проведении некоторого испытания. Будем проводить независимые повторения этого испытания в неизменных условиях. Отметим те из повторений, в которых наступило интересующее нас событие А, и подсчитаем частоту наступления события А, Статистическая устойчивость означает, что при проведении большого числа повторений испытания подсчитанная частота практически совпадет с неизвестной нам вероятностью наступления события А, Значит, найденная частота приблизительно равна вероятности события А, Следует только точно понимать, что частоту наступления мы подсчитываем для реальных событий, а вероятность — для теоретической модели этих событий. Пример 3. Каждый из десяти игроков 50 раз подряд повторил одновременные бросания трех игральных костей различного цвета и подсчитал количество k тех бросаний, в которых не выпала шестерка. Получились такие результаты: № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k 28 32 24 30 31 25 29 29 27 28 а) Составить таблицу частот (в процентах) невыпадения шестерки для каждого игрока. б) Составить таблицу частот (в процентах) невыпадения шестерки для результатов игроков 1—2, 3—4, ..., 9—10. в) Какова частота невыпадения шестерки для всех 500 проведенных бросаний? г) Найти вероятность невыпадения шестерки при бросании трех игральных костей. Решение. а) № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k 28 32 24 30 31 25 29 29 27 28 % 56 64 48 60 62 50 58 58 54 56 252 5. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ б) № 1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 % 60 54 56 58 55 в) Всего из 500 проведенных бросаний шестерка отсутствовала в 283 283 случаях. Значит, частота равна = 0,566, или 56,6%. г) Проведем подсчет по классической вероятностной схеме. По правилу умножения при бросании трех различных игральных костей возможны iV = 6*6*6 = 216 равновозможных исходов. Пусть А — событие, состоящее в невыпадении шестерки. Это значит, что для каждой кости есть только пять равновозможных исходов: 1, 2, 3, 4, 5. Снова по правилу умножения получаем, что N{A) = 5 • 5 • 5 = 125. Значит, Р(А) = = 0.5787. N 216 Итак, мы видим, что теоретическая вероятность невьшадения шестерки, вычисленная по классической вероятностной модели, составляет примерно 57,9%, а статистическая частота, вычисленная практически, равна 56,6%. Расхождение, конечно, имеется, но не слишком существенное. ■ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие для учителя.............................3 ГЛАВА 1. Неравенства с одной переменной. Системы и совокупности неравенств § 1. Рациональные неравенства ..........................5 § 2. Множества и операции над ними.................... 20 § 3. Системы неравенств .............................. 30 § 4. Совокупности неравенств.......................... 36 § 5. Неравенства с модулями........................... 40 § 6. Иррациональные неравенства....................... 47 § 7. Задачи с параметрами............................. 51 ГЛАВА 2. Системы уравнений § 8. Уравнения с двумя переменными ................... 58 § 9. Неравенства с двумя переменными.................. 66 § 10. Основные понятия, связанные с системами уравнений и неравенств с двумя переменными............... 71 §11. Методы решения систем уравнений ................ 78 § 12. Однородные системы. Симметрические системы.........89 § 13. Иррациональные системы. Системы с модулями ....... 93 § 14. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций................................. 99 ГЛАВА 3. Числовые функции § 15. Определение числовой функции. Область определения, область значений функции......................... 111 §16. Способы задания функции........................... 119 § 17. Свойства функций................................. 126 § 18. Четные и нечетные функции ....................... 140 § 19. Функции I/ = х'" (т € Z), их свойства и графики . 145 § 20. Функция у = ее свойства и график .............. 155 ГЛАВА 4. Прогрессии § 21. Числовые последовательности ..................... 162 § 22. Свойства числовых последовательностей............ 171 § 23. Арифметическая прогрессия........................ 176 254 § 24. Геометрическая прогрессия...................... 189 § 25. Метод математической индукции.................. 202 ГЛАВА 5. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей § 26. Комбинаторные задачи........................... 212 § 27. Статистика — дизайн информации ................ 221 § 28. Простейшие вероятностные задачи ............... 235 § 29. Экспериментальные данные и вероятности событий ... 248 Учебное издание Мордкович Александр Григорьевич, Николаев Николай Петрович АЛГЕБРА 9 класс УЧЕБНИК ДЛЯ учащихся общеобразовательных учреждений Генеральный директор издательства М. И. Безвиконная Главный редактор К, И, Куровский, Редактор С. В. Бахтина Оформление и художественное редактирование: С. А. Сорока Технический редактор И, Л. Ткаченко, Корректор И, Н. Баханова Компьютерная верстка и графика: А, А. Горкин Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.60.953.Д.001625.02.08 от 29.02.2008. Формат 60x90Vie* Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Уел. печ. л. 16,0. Тираж 10 000 экз. Заказ № 0811780. Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 6. Тел.: 8 (499) 367 5418, 8 (499) 367 5627, 8 (499) 367 6781; факс: 8 (499) 165 9218 E-mail: [email protected] www.mnemozina.ru Магазин «Мнемозина» (розничная и мелкооптовая продажа книг). 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 б. Тел.: 8 (495) 783 8284, 8 (495) 783 8285, 8 (495) 783 8286. Торговый дом «Мнемозина» (оптовая продажа книг). Тел./факс: 8 (495) 657 9898 (многоканальный). E-mail: [email protected] Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного электронного оригинал-макета япк в ОАО «Ярославский полиграфкомбинат» 150049, Ярославль, ул. Свободы, 97 <я 1 1 -—- 1 1 |П •5; 1 "*1 1 ■ас II -1 1г рт г^ W о н — —J Л я н н I ] н н » I с- шт