Алгебра 9 класс Рабочая тетрадь Ткачева Федорова Шабунин

М. в. Ткачёва Н. Е. Фёдорова М. И. Шабунин Алгебра Рабочая тетрадь клаео Пособие для учащихся общеобразовательных^ организаций Москва «Просвещением 2014 УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 А45 6+ 0ЕЙ*.0 Авторы: М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин Рабочая тетрадь написана в соответствии с концепцией обучения алгебре по учебнику «Алгебра. 9 класс* авторов Ю. М. Колягина и др., а также в соответствии с его содержанием и структурой. Упражнения тетради разделены на три раздела. Первый раздел содержит упражнения для подготовки учащихся к изучению нового материала, второй — дополнительные к упражнениям учебника, третий — для проверки уровня усвоения материала. Учебное издание Ткачёва Мария Владимировна Фёдорова Надежда Евгеньевна Шабунин Михаил Иванович АЛГЕБРА Рабочая тетрадь 9 класс Пособие для учащихся общеобразовательных организаций Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Н, Н. Сорокина Младшие редакторы Е. А. Андреенкова, Е. В. Трошко Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика И. В. Губина Технический редактор и верютальщик Е. В. Саватеева Корректор Т.А.Дич Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД №05824 от 12.09.01. Подписано в печать с оригинал-макета 12.02.14. Формат 70 X 100 Vie- Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 3,35. Тираж 7000 экз. Заказ № 5173. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение*. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в ОАО «Можайский полиграфический комбинат*. 143200, г. Можайск, ул. Мира, 93. www.oaompk.ru, www.oaoмпк.pф тел.: (495) 745-84-28, (49638) 20-685 ISBN 978-5-09-028134-8 Издательство «Просвещение*, 2014 Художественное оформление. Издательство «Просвещение*, 2014 Все права защищены Предисловие Данная рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Алгебра. 9 класс» авторов Ю. М. Колягина и др. Содержание тетради организовано в соответствии с главами и параграфами этого учебника. Тетрадь предназначена в основном для работы учащихся в классе. Следует иметь в виду, что рабочая тетрадь не заменяет ни живого слова учителя, ни текста учебника, а дополняет и расширяет арсенал учебных средств и возможности работы с ними. Структурно материал каждого параграфа тетради расположен по трём разделам. После раздела I, который предназначен для подготовки школьников к изучению нового материала соответствующего параграфа книги, проведена черта. Эта черта означает, что после выполнения заданий раздела I учитель приступает к объяснению нового материала так, как он считает нужным. Проведя объяснение, учитель работает с учащимися над упражнениями учебника; при этом ученики записывают решение традиционно в обычной тетради. Раздел II — это основной раздел в рабочей тетради, он содержит упражнения, дополнительные к упражнениям учебника. Некоторые из упражнений тетради являются подготовительными к выполнению упражнений учебника, некоторые помогают слабым учащимся в усвоении определённых алгоритмов благодаря увеличению от задания к заданию доли самостоятельной работы школьников. Наиболее трудные упражнения раздела отмечены знаком *. В разделе III приведены тексты упражнений, позволяющих проверить уровень усвоения материала рассматриваемого параграфа. Учитель может выборочно использовать их для проверки качества домашней работы учащихся. ГЛАВА I Степень с рациональным показателем § 1. Степень с целым показателем © Вычислить. 1) 32= 2) (-7)2 = ., 3) 100 = 4) Ш’=.. «(-!)■■ 6) 8) (0.1)2 = 9) 1101 = 10) 010 = .. , -х^ = , -д;3 = Ш Заполнить пропуски. 1) если jc = 7, то =........., (~хУ =...... 2) если jc = 5, то х^ =......, (-л:)^ =.... 3) если х = -3у то =..........., (~хУ =.... 4) если х = -3у то х^ =........, (-л:)^ =......, —х^ = S Сравнить с нулём: , -х^ = 1) (0,01)43 ; I 0; # Сравнить с единицей: 1) (3,07)101 2) (-0,1)43 I J0. : 1; 2) (0,307)101 j.i 1. 5' Заполнить пустые клетки так, чтобы равенство было верным, 1) 2 =8; 2)3 =81; 3) (-4) =256; 4) (-5) =-125. в Сравнить числа, заполнив пустые клетки знаком > или <. 1) 3) (fit::: -И)..... 4) (-0,2f □ (-0,1)2. Записать в стандартном виде числа: 1) 3451,2 = 3,4512 -10 ; 2) 423,7 = 3) 0,021 = 2,1 • 10 ; 4) 0,0055 = 8 Заполнить пустые клетки так, чтобы равенства были верными: 1) 2) х'^’^: X' =л:^; 3) (х^)0=х^^; 4) x■■^^yO:=^xyr, 9 Вписать в скобки делители так, чтобы выполнялось равенство : (.........)‘ х^: (.......) = х^^, 10 В клетки вписать знаки арифметических действий, которые приведут к данному результату: - а^. 11 Вписать пропущенный одночлен стандартного вида: 1) ...............• (2л:V) = 2) .................= -а^т^п^, 12 Записать в виде степени с натуральным показателем: 1) 78.7. гг13 2)* 3^-2 2-6‘ 13 Записать в пустую клетку показатель степени так, чтобы равенство было верным: 1)^=2^ 2) = 3-^ 3)| = 2 4)^=3 14 Даны числа 16-1; 0,1-2; 0,001-3; 1^3-2. 2-7; 1,0001-1; 75». Подчеркнуть те из них, которые меньше 1. 15 Заполнить пустые клетки так, чтобы равенство было верным: 1) 3 = Здг®г/ 2) (а + Ь) ’ = 3) -3 + у~Н 4) = а -3 16 I Заполнить пропуски в формулировке и доказательстве свойства степени: Для любого а ■■ и любых.............................п и т справедливо равенство а" : а'” = а: Пусть /гит — целые отрицательные числа. Тогда п=\ j /, т = kf где I и k ................... числа. По определе- нию степени..........................................верно. а" : а'^ = а Применяя свойство степени с натуральным показателем для , . fiV fiV (i^...... I а kf получаем — ' — = — \ S что по определению сте- :k-l пени с....................равно | = так как m = -k. п = . Следовательно, верно равенство а'^: а'^ = 17 Записать в виде степени результат выполнения действий, заполняя пропуски: 5»: 52.5-^ = 5®"2+М) = 53. = ?□: 1) 7-2.7З: 7-8 = 7-2-^i- 2) 212.2-5.2-7 = 2^11112 = 2LJ ; 3) (42)-2.43 = 4^.: .43 = 4^...i = 4 4) (7-в)-з : 7-7= 7(-в)' = 7 18 Заполняя пропуски, выполнить действия и записать результат в стандартном виде: 1) 4,32 -104 -2,1 10-3 =............10; 2) 7,32 • 104.3,1 • 10-8 =......... 10 i =.................; 3) 12,3 10-7:3-10-3 =.............-10^ 19 4) 1,05 -10-3: 3 -10-7 =......... iqI i=................ Заполняя пропуски, выполнить действия: 1) (За-2)^ • = 3’ • ai-- . £^ =3“- ^ ' • а) i * ^.^ = S.i а 6 2) : (а®Ь'^Г^= рчг!о- ..0 = “^ ... :{а-^-Ь'.^) = = a '■■ b . = a = b 20 Вычислить 5"^ • 625 = 5^:52-5^= 5-^-^**= 5'^= 1) ((-18)“)“®: ((-18)-“)®-3-2 = (-18) ^ :(-18) =<-'*>' '-(I) '■'-‘*'"■-(1)..^- °-Ш.= Г/ . ЧЗ'! 2) (8^- (i] (64)-^= 8 -8^ ^ = 8- = 8^........................i=. 21 Упростить выражение: 1) (2x + Sx-^)(Sx-2x-^) + 6x~^ =............................ .................................... Ответ. ................... 2) (ЛС2 - 1/2) (д;-1 + |/-1)-1. (ДГ> + 1/-1)-1 = (.)-1 = (.)-1 = =............. ...................) =................• Ответ.................. .)->= (ху)-^ =.................. (л:-1/)-2 = . '.................... Ответ...... (Ш) 22 Вычислить. 1) 10-2=....... -ИГ=......... 3) (82)-в.(83)“ + Щ = 4) 2,75 • 10-^ • 6 ■ 10-3 . ц 5 • 10^) = Сравнить с единицей: .................... 2) 2,745-10-4. 24 Выполнить действия: 1) -2,5а-^у 10 ^ J Ьс 2) (х^у-^-4у-^) -Г- у) § 2. Арифметический корень ,у, i натуральной степени. ^ § 3. Свойства арифметического корня © 1: Найти длину стороны квадрата а, если дана его площадь S: 1) S = 36 см2, д = см; 2) 5=121 см2, а = см; 3) 5 = 0,04 дм2, а =.......дм; 4) 5= 17 м2, а = м. ш Заполнить пропуски в определении арифметического квадратного корня из числа а. Определение. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется ....................... число, ............. а ............ которого равен .... Краткая запись определения: ^..........., (v^r= Проверить, верно ли равенство: 1) ч/вТ = 9. 9 ........., 93 = .... 8 2) Vl44 = -12. -12................ (-12)2 = 3) = 0.3. 0,3................ (0,3) 2 _ 4 Вычислить. 1) Vl6 =................ 2) vTM = 3) Vl.21 =.............. 4) Vo,0004 = 5 Вычислить. 1) >/s^=................ 2) Vi* =..... s)4¥ =.................. 4)Vi^ =...... 6 Разложить на множители. 1) 4x^-y^ =............................................ 2) a2-0,16^2 =......................................... 3) S-x^ =.............................................. 4) m2 + 64 =........................................... 5) a^-81=.............................................. 6) l-x^ =.............................................. 47' Выяснить, при каких значениях а имеет смысл выражение: 1) имеет смысл, если За.......... т. е. при........ 2) \1а - 2 имеет смысл, если.....^0, т. е. при......... 3) .......... если.......... т. е. при............. 8! Проверить справедливость неравенств: 1) 5/3+l)(l-V3f-2V3 =(>/з+1)(. ,)-2>/3 = 2) (18-3>/2)2+108>/2 = ... 3) у[Е* -2^f¥ + (5 + -Jbf = li Упростить выражение (а>0, Ь>0)\ 1) ylSa^b^ :-j2ab^ =................... 2) VsOa® - л/2^ = 12 Сравнить числа: 1)5V6h6n/5. 5л/б = V....=...... 6sfE = 4. ................... значит, 5 Ve [□ 6 V5; 2) л/17 и 3 >/3. 3л/3= ................... значит, л/ТУ ;.i 3 -УЗ. 13 Сократить дробь. a-V? 7-а- 1^ Упростить выражение (jc - 5) J—5------— , \ 25 1) при л: >5; 2) при л: <5. (л:-5) заполняя пропуски: У = {х-Ь) 1) При х>5 имеем (х-5)----i---= , т. е. 2) при х<6 имеем |., Ответ. 1) 1; 2) -1. > т. е. .., Gsaee^w.-,», 10 15 Заполнить таблицу: 1) X 0 1 ^ 8 27 64 125 216 2 2) JC 0 1 16 81 256 625 1296 4 16 Заполнить пропуски в определении арифметического корня натуральной степени. Определение. Арифметическим корнем натуральной степени п ........из ..............числа а называется неотрицательное число, п-я степень которого........... Если а ^ О, то (Va)" =........ =.............. 17 Доказать, что ^0,008 = 0,2. :.; ;.;д Так как !.i > 0 и i.i =.... 18 Вычислить. ^4^ = = 2. 1) Ifs =yf\ , то 2) = 7 3) V(-iooo) = ^/ГТ = 19 Решить уравнение. i л:*=125, х = х = Ч¥\ х = Ъ. 1) :t<=10 000, VZI , х = 2) , х = 4/ 3) л:'^ = -16, V... ......<0, следовательно, 20 Закончить фразу. 1) Выражение Vjc - 2 имеет смысл при......... 2) Выражение у!х - 2 имеет смысл при......... 11 3) Выражение ^3 + л: имеет смысл при 4) Выражение %1 х + 5 имеет смысл при. 5) Выражение 6л: + 9 имеет смысл при 6)* Выражение ^4л: - 10 21 Вычислить, используя свойства арифметического корня. . V5 = V25 -5 = = 5. 1) VlS-72 = у]2-..-9-...... = VLjMZT = 2) Vs : Vl875 = —^ = 4 12 _ 3 27 27 1=уТТ = 3) у 4) vv^ - VV64 = V....-V.....=......-.....=..... Можно вычислить другим способом: ^ГШ-^JЧШ= .....V64 = V3 = 3-2 = 1. 22* Заполняя пропуски, разложить на множители по формулам со кращённого умножения. 1) V^-Vb =( V^F-( Vbf = (...........)•(.......... 2) a + b = {Ifa + Vb) (.- Vab +.•) 3) Va-2V^ + Vb = (.........)^ 23* Сократить дробь. Q, + b ^ + Vb 2) Ia-2\fab+4b sfa - 'fb 12 24 Вычислить. 1) =. 2) <^16 =.... 3) V32-8 25 Решить уравнение. 1) х^ = 625, х =...................... 2) х^ = -27, х=......................i х =............. 26 Выяснить, при каких значениях х имеет смысл выражение: , л: = 1) УЗ-х 2) ^^х^-3 § 4. Степень с рациональным показателем. § 5. Возведение в степень числового неравенства © 1 Вычислить. 1) Vo,0625 = Vl 2) V-343 = -Vi'III 3) VF = V((3©r = 4) = V....=. : 3 2 Закончить фразу. 1) Выражение a", где n — любое натуральное число, имеет смысл при 13 2) Выражение а^, где р — отрицательное число, имеет смысл при..................... 3) Выражение 0^ имеет смысл при............ 3^ Разложить на множители по формуле разности квадратов. 1) ^2 - 3 =................. 2) 5-д2=.................... 3) X - у = (\fx -....) • (............) 4) 1-а=..................... Упростить, если а^О, Ь<0. 1) (У^)^=-Са= 2) = ..................=........... 3) (Va - Vb) (Va + ifb) = ( V..- >/.....) 4) (a - Vofe): Va = ........... 5j Выполнить умножение неравенств: 1) 3<5 17<19 2) 10 >7 3,5>2 3) 3<5 3<5 3<5 4) y^a>b ^a>b ^ a>b a>b, где a>0, b>0. 6 Выполнить действия. 1) 3-" • 3' ,.-(i)VvF. 2) a' 3)* aV b-^a * c ^ Ж V bi. 14 7 Сравнить числа: Ш “ Ш- 'Ш и то 2) */— и ?/-. Так как — ' \ 24 \ 7 24 ® Щ Записать в виде степени с рациональным показателем. 1) ^/a =.......... 2) 7^ = Ь’ ^ 3) Ух 5 _ 4) 7^ =................. 9 Записать в виде корня из степени с целым показателем. 3 1) =.............. 2) =............................ _i 1 3) (Здг)’з = ......... 4) (jc-2)3 = ..................... £L ____ 19 Заполнить таблицу, используя равенство jc" = Vx"*, где х>0: т X'^ 3 2 I ;t, д-'e у 1 д:» "4^ ^4^ 11 Закончить фразу. т 1) Выражение а", где —> О, имеет смысл при п 15 2) Выражение а", где — < О, имеет смысл при п 3) Выражение а'’, где г — любое рациональное число, имеет смысл при................................................ 12 Вычислить. 1 _______ 1) 16^ = Vi6 =.......... j_ ______ 2) 27^ = =.......... 3) * = VlF = '^iFf= 4)* 32“-« = 32^ = 'д/ГТ = ЩГУТ = -0,75 _ Q1 4 _ 5)* 81 18 Заполнить пропуски в записи свойств степени с любым действительным показателем. Для любых.........и верны равенства: 1) аР-а^ =....... 3) ..........= ......... 2) аР:а^ =........ 4) .........= аРЬ^ 14 С помощью свойств записать в виде степени. i 1 i + 1 33.33 3, 33 ,3 = 31 = 3 3 . к 6 _ 1) 5^ : 5 7_ 2) (б'2)‘"= 6 3)* 3® •8“® = 3®' -8 = 16 15 Разложить на множители. 3 2_ 1 / 1) (.................. 2>J-bi,i.........-.... к .) 16 Сравнить числа. ........ 2) (7,01)4 и (7,011)4. Так как 7,01 [j 7,011, то I’ '^°1! 3) 1 7 ]2 TOI- if" 0'- Так как — = 9 6 ’ 7 и 17 4) ^0,21 и ^0,31. Так как ^0,21 = (0,21)^ ^0,31 = (0,31) и 0,21 Г] 0,31, то ^0,21 □ ^0,31. Заполнить пропуски в записи правила возведения в степень неравенства. Если обе части неравенства ............................... то при возведении его в положительную степень знак неравен- ства .............................. а при возведении в .. ....................степень знак неравенства меняется 18 Сравнить числа: (0,44)-2 и (0,45)-2. Так как 0,44 <0,45 и -2<0, то (0,44)-2 > (0,45)-2. 1) (11)-з и (15)-2. Так как 11 :...........i 15 и -3 (11)-з,Г1 (15)-3; ....... то 1 2 „ /О А гг\ 2 2) (2,45) 2 и (2,47)2. 2,45;...; 2,47, то.........................: 17 (f)' ** (I) 3 как — = 7 _5 ’ 9 1 ^ 3 то 19 Решить уравнение. 1) 4^ = 64, 4^ = 4 , д: = о ^ 2) 2^* = 8S 2^^ = (;......1)5, 22* = 1 ............. 1 3) 32^ = 27^ 3^' = (j 1)4,........... , 2х = , х = 4) 5^-1 = 25, 5^-1 = ,......................, л^ = Ответ. 1) jc = 3; 2) л: = 0,6; 3) л: = —; 4) л: = 3. о 20* Упростить выражение. 1)^+ ' а-Ь -\-Ь^ (а^ + &^)(....................................) а^+6 1 ^ 2 9^ ^-У ^-У - — 7 Т Г “ х^-у^ х^ + у^ 21* Решить неравенство (х^+ 2)® > (2л:^+ 1)* Так как х^ + 2 | | 0, — I I 0, то и (jc^+ 2)® I | 0. 3 1 !• Так как 2х^+ 1 I | 0, | I 0, то и (2х^+ 1)' О 0. Возведём обе части неравенства (х^+2У >(2x^+1)^ с положи- I j_ 2 I 0\3 /0^2 , 1\3 тельной левой и правой частями в степень. По свойству 1 (§ 5) х^ + 2\ 12x2+1, 18 22 Вычислить. 1) 32^ = . 2) 64'з = 3 3) * 81" = 23 Сравнить числа. 1_ 1 1) (0,48)3 (0,048)3. Так как то 1 _1_ 2 „ /О А\ 2 2) (2,3) 3 и (2,4) 3. Так как то .............................. 24 Решить уравнение. 1) 52^=125, 52^ =...... ...... 2) 4^-2 = б4, 4^-2 =.......... Ответ. 1) х =..........; 2) х = ГЛАВА II Степенная функция § 6. Область определения функции ..........»...........Н...........i............i...........(• ■i............i............^...........i............1*' © Найти числовое значение каждого из алгебраических выражений при заданном значении а и заполнить таблицу: М Функция задана формулой у (х) = 3х + 1. Найти: 1) У(0) =..................................... 2) y(-S) =................................... 3) значения jc, при которых у {х) = ОуЬу у(х) = -3. 0,5 = -3 = щ Функция задана формулой у = х^-2х-3. Найти: 1) значения л:, при которых функция принимает положительные значения. 2) наименьшее значение функции. Ответ. 1) ................... ; 2) 20 Найти: 1) y(l), у(-1), 1/(0), 2) наибольшее значение функции; 3) два значения х, при которых функция не определена; 4) значения х, при которых у (л:) < 0. Ответ. 1) .......................; 2) 4) .............. ; 3) 5 На второй тур выборов мэра города прошли два кандидата (I и II). Через две недели должен состояться второй тур. Ежедневно в течение этих двух недель проводились выборочные опросы избирателей, которые говорили, за кого из двух кандидатов они предполагают голосовать. На рисунке изображён процесс изменения % 50- 40 - 30- 20 lOi -г • I 1 J 1 II о 10 12 14 ; 16 Дни 21 результатов опроса: по оси абсцисс откладывались дни недели, по оси ординат — процентное содержание в выборке желающих голосовать за I и II кандидатов. 1) В какой день шансы кандидатов почти сравнялись? 2) Какой из кандидатов имеет больше шансов победить во втором туре по результатам опросов? ^6 На каком из рисунков изображён график функции? 2) Ук Ответ. На рисунке # Закончить фразу. 1) Выражение 0,3лс +0,7 имеет смысл при 2) Выражение Зх^ -х+1 имеет смысл при 3) Выражение--- имеет смысл при х + 1 4) Выражение yjx -1 имеет смысл при 5) Выражение Vl - х имеет смысл при 6) Выражение х~^ + 1 имеет смысл при 22 ^ Закончить фразу. 1) График функции у = х^ + 2 получается из графика функции у = х^ сдвигом вдоль.....................на............... 2) График функции у = 2х“^ -1 получается из графика функции у = 2х"^ сдвигом вдоль...................на............... 3) График функции у = (х- 2)^ получается из графика функции у = х^ сдвигом вдоль.....................на................ 4) График функции у = {х-\-1У-2 получается из графика функции у = х^ сдвигом вдоль.................на................. а затем вдоль......................на 9 Заполняя пропуски, найти область определения функции: 1) у = 3х^ 2х - 1, Выражение Зх^-\-2х-1 имеет смысл при поэтому функция у = Зх^ + 2jc - 1 определена при 2) у = —. Выражение х^-1 при ^0, т. е. при............ поэтому областью определения функции У = являются х^-1 кроме................................................. 3) у = у/х + 3. Выражение у/х + 3 ................ при поэтому функция у = у! X + 3 определена при 4) у = Их - 5. Выражение Их - 5 ....... .............................. поэтому_ 23 Задать формулой функцию, график которой изображён на рисунке, и найти её область определения. 1) Так как графиком функции является прямая, проходящая через точки (.......) и (.......), то формула имеет вид у =......... Подставим координаты точки А в формулу у =........... получим ............... откуда k =...... Функция задана формулой у =......... и определена при 2) Так как вершина параболы у = ах^ -\-Ьх + с лежит на оси Оу, то ................ Точки А(........) и Б (.) принадлежат графику функции, поэтому 2 = а • i.+ Ъ • i.: + 1 и 2 = а- i.^2 + Ь- 1.1 + 1. Получим систему Решим систему Таким образом, а =........, & =........ Функция задана формулой ...................... и определена при........................................................ 24 11 На рисунке изображён график функции у = ах^ + Ъх-\-с» Найти а, 6 и с и задать формулой функцию. Ответ. 1) ...........; 2) ; 3) 12 Построить график функции y = f(x), если эта функция определена на отрезке [-1; 2]: 1) у = 2х^; 2) у = 3-2х. 13 Найти область определения функции. i \ JC -1 = —3V-4 25 .............................................. Ответ. 1) ................................................ 2)................................................ 14 Изобразить (на с. 27) эскиз графика функции y = f(x), у которой область определения: 1)[-3;3]; 2)х^2. 15* Построить (на с. 27) график функции: 1) ^ = I X I + 2. Построим график функции у = \х\, затем осуществим его сдвиг вдоль....................................... 2) у = 2-\х\. Построим график функции у = -\х\ и осуществим его сдвиг вдоль........................................... 3) у = \ X - 2\, Построим график функции у = \х\ и осуществим 1в Найти область определения функции. = ^................................................... 2) У = у1х^-2х ........................................... Ответ. 1) ................................................ 2) ............................................... 26 -ТТ'-Т ■■■|.'■■■■■■■ i i i ; i-----i.. i-J... i M M Г'Г1'"Т'1......i" '..i'-i.. ■r........ U.J.. i i ; ..F...-- CXEIxrzri :±г±Ш±Ж:1..г 1 : Ж‘ и i : i i ! i i ' i : • ! i r-"i....r*";.....i' -... TT ri 'I"*' : i .4--. j '1 i i i : ; II I •*r : i - ...Ж. i j—: i- ..r -Ж..i.. ...г ...v-J-.i = ...1. t i ж i i ' ...................................................... - —T —•{ . : : ! 4...i.... i ' ^ ^ i i -Г-Ж“Г ..4- .....(--- ii::: ^.i4--H.h-i-, ШЖЖ-- r- : : I i.......I I t ro.j.i ..1. i ■r : i.....l- i : i ! I ---------X-----------, , .......i----- • i ггд: 4.4.4...i ..1.4..-.,.. i.T-T-t-T-i- 1..i"'i.Г"1..i цжд:: I—• L... ; : "i....r*"-i......ГЖ......... Иж14. —&— „4...4. -T- 4- ...i- --t- ■t"1... -4-.i..Х-Ч- ..i.L,i: ..i.....[-1 .....-i- ■i........k- ..Ж-4- t'"i ht"i............h--j--4---j--4---t-4---- ......[- i-'f ■t.... 1 in: 1 * ; - 4-----: ! ! i L- 1...r -i- i i ..i- i 1 ( 1 - ; 1....] Г L. .Ж- J..I 27 17* Построить график функции у = \ х 3\ - 1, 1В* Построить график функции 2 - при л: < -1, У = при - 1 < д: ^ 1, при X > !• I § 7. Возрастание и убывание функции ...г.t..>1.i..I.t..i-...4..i..^..^.^.. © 1' В пустые клетки вписать необходимый по смыслу знак > или < 1) 2”^^ I I 2,V^, так как 0 ; 12 : 2,1 и 71 ! i 0 1 1 ("1^2 : V 1 = : 1 1 : i ^ ы ^ UJ 2 3 0 и 3) 72-* 1 71,9"^, так как 72 I 71,9 i i 0 И -4 i 3 3 4) (0,3) 2 1(0,33) 2, так как 0 0,3 1 i 0,33 и 3 :.. 2 ^.. 28 2' Закончить фразу. 1) Областью определения функции у = х^ является множество 2) Областью определения функции У = является множество 3) Областью определения функции у = является множество 4) Областью определения функции у = ^ является 3 Сравнить с нулём разность выражений За + 7 и 36 -н 7, если а < 6. (За+ 7)-(36 + 7) =..................................... 4 Доказать, что 2х^ + S> 2у^ + S, если х>у>0. (2х2 + 3)-(2г/2 + 3) =........................ ......................., так как ......... следовательно, 2х^‘ + 3 i ; 2у'^ + 3. 5 С помощью графика, изображённого на рисунке, записать промежутки, на которых функция возрастает (убывает). 1) Уп / 2) Vi i \ \ / \ \ / к,/. 0 1 л: Ответ. 1) 2) 3) 4) 29 Tl Турист проехал на велосипеде из пункта Л в пункт В по прямой дороге и вернулся обратно (в пункт А). По дороге он делал два привала. График его движения изображён на рисунке. (S — расстояние, на котором находился турист от пункта А.) 1) В какие промежутки времени скорости туриста были одинаковыми?................................................... 2) В какое время от начала движения турист двигался с наибольшей скоростью?........................................ 3) В какое время и на каком расстоянии от начала движения турист останавливался?.................................... 4) На каком расстоянии от начала движения турист был через один час, три часа, шесть часов?.......................... 5) Через какое время после начала движения турист находился на расстоянии 30 км, 20 км, 15 км?........................ 30 {t Заполнить таблицу. Функция У = х у = х^ У = х^ 1 1 у = 4х Показатель степени аргумента '.I,- .л ■f -1 в. Область определения функции хфО 8 Заполнить пропуски в записи определения возрастающей на промежутке функции. Функция у (л:) называется возрастающей на промежутке, если для любых jCj и х^, принадлежащих ..................... таких, что.......выполняется неравенство............... "^9 Даны функции у = х, у = х^у У = х"^, у = х~^, у = х^, Подчеркнуть одной чертой те из них, которые возрастают на промежутке л:^0, и двумя чертами те, которые убывают на промежутке л:^0. 10 Доказать, что функция у = х"^ убывает на промежутке л:<0. Пусть Хг о. Покажем, что у (jCg) j.j у Рассмотрим разность у (jCg) - у (jCj) = jCg - = Так как................... то...................... значит, у (Х2) - у (х^) \.I О и функция является, убывающей. 11 На эскизе графика написать соответствующую ему формулу, задающую функцию на промежутке х>0: у = х^, у-х~^у у = х^. 31 12 Доказать, что функция у = х^-4:Х убывает на промежутке х^2. Пусть X, 2. Покажем, что у {х^) |.| у (л:^) Рассмотрим разность 13 Построить график функции: 1) ^ = уГх + 2. Построим график функции у = 4х, предварительно заполнив таблицу: X 9 4 1 1 4 1 0 у = -1х 1 2 2) у = \!х + 2. Построим график функции у = Vx, затем осуще- ствим сдвиг его вдоль.................................. S) у = у1х -1 - 2. Построим график функции у = yfx и осуще- ствим сначала его сдвиг вдоль......... а затем вдоль Vi '■ ■ : ’ : ^ ‘ : . 0 X 32 4) у = 2 \fx. Построим график функции у = yfx и осуществим растяжение графика функции у = у[х от оси ......... вдоль оси..........в 2 раза. С помощью графиков, построенных в предыдущем задании, заполнить таблицу: Функция Область определения Область значений Промежутки возрастания (убывания) = ^J~x -h 2 у/х + 2 х>-2 у>0 х>-2 У = ^х-1-2 15* Построить график и най-ти промежутки возрастания и убывания функции 2х^, если л: ^ О, I/ = ^ yfx, если О < л: < 1, 2 - х^, если X ^ 1, Ответ. ............... Изобразить эскиз графика некоторой функции y = f{x), которая является возрастающей при jc^-1, х>3 и убывающей при -1<л:<3. Ун 17 Нарисовать эскиз графика функции y = f (л:) на промежутке х>0 и записать, возрастает или убывает функция, если 1)у = х^; 2)у = х-^; S) у = х\ Ответ. 18 На рисунке изображён график функции y = f{x). Найти промежутки, на которых функция: 1) принимает положительные значения; 2) принимает отрицательные значения; 3) возрастает; 34 4) убывает. 5) * Найти область определения функции. Какие значения принимает функция? Ответ. 1)..... 2)..... 3) .... 4) .... 5) .... 19* Доказать, что функция г/ = дс® - 1 возрастает на промежутке х>0. § 8. Чётность и нечётность функции •i............t............+..............1“...........(.............<.............^............^.............•!...........■!.............‘............1* © 1 Вычислить. 1) -8®+ (0,75)® = 35 -ШЧ1Г^НГ= 2 Заполнить таблицу. X У = \х\ у = х^ у = хг^ у = х^ у = х-^ у = х* -3 -27 -2,5 -15,625 -2 -8 -1 -1 -0,5 -0,125 0 0 0,5 0,125 1 1 2 8 2,5 15,625 3 27 В На рисунке изображена часть графика функции y = f(x). Изобразить другую часть графика, если известно, что она: 1) симметрична данной относительно оси ординат; 2) симметрична данной относительно начала координат. 36 Дана точка А (-3; 7). Записать координаты точек В, С и D, если: 1) точка В симметрична точке А относительно оси Ох; 2) точка С симметрична точке А относительно оси Оу; 3) точка D симметрична точке А относительно начала координат. Ответ. 1) В(..........); 2) С (.........); 3) В(..........). Сравнить значения функции при х = 2 и х = -2, если: 1) у = х^-х^, 1/(2) =..............,у(-2) =............... 2) у = х + х^. у(2) =................ t/(-2) =............ 3) у = х + х^. у(2) =.............., у(-2) =.............. Ответ. 1) у (2) □ у (-2); 2) у (2) □ у (-2); 3) у (2) □ у (-2). 6 Найти область определения и выяснить, является чётной или нечётной функция: 1) у{х) = 3х^. Область определения функции:................. ........................ у (-х) = 3 ........, таким образом, у (х) =...........для любого X из .......................... ................ Следовательно, функция..................... 1 3, 1 3/— 2) у{х) = —^х. Область определения функции: 7ф На рисунке изображены графики функций. Под каждым из них подписать, является ли функция, заданная данным графиком, чётной, нечётной или не является ни чётной, ни нечётной. 3) Ui 1 П. / /. \ ^ / ^ 37 функция у (д:) является чётной. Найти: 1) 1/(-2), 3 + г/(-2), если у(2) = 1; 2) «/(7), z/(7)-l, если у(-1)=1. Ответ. l)z/(-2) =.................; 3 + у(-2) = 2) */(7) =...............; 1/(7)-!=., JI Функция у (д:) является нечётной. Найти: 1) 1/(-3), если 1/(3) = 2) i/(10), если i/(-10) = -l, Ответ. 1) ^(-3) =................; 2) ............. 10 На рисунке изображена часть графика чётной функции у (д:) для д:^0. Достроить график функции для д:<0. 11 На рисунке изображена часть графика нечётной функции у (д:) для Достроить график функции для д: < 0. 12 Построить график функции: 1) у = х^ + \. Построим график функции у = х^. Функция у = х^ нечётная, поэтому....................для л: > 0. X 0 1 2 1 _3 2 у = х^ Далее осуществим его сдвиг вдоль 1/1 / : .: г::; I о 1 ‘ , . . м^t. ■ ® 1 2) у = {х- 1)^. Построим график функции у = х^. Осуществим его сдвиг вдоль.......................................... 3) у = х"^-2. Построим график функции у = х^. Функция у = х^ X 0 1 2 1 3 2 у = х* Осуществим сдвиг 4) у = {х+1у. Построим график функции у = х"^. Осуще- ствим сдвиг 5) у = 2х^. Построим график функции у = х^. Осуществим рас- тяжение 6) у = —. Построим график функции у = х^. Осуществим сжа-3 тие |3 С помощью построенных в предыдущей задаче графиков функций заполнить таблицу. Функция Область опреде- ления Область значений Промежутки Чётность возрас- тания убыва- ния у-х^+1 Все действ. числа Все действ. числа Вся числовая ось — Ни чётная, ни нечётная У = (Х-1Г у = х*-2 у = (.х+1У ^ = т 40 l4* Исследовать функцию у = + Z\x\ - ^ и построить её график. 1) Область определения..................................... 2) у = (-х) =................, т. е. у = (-х) =........... Следовательно, функция является............................ 3) При \х\ =........, тогда при х<^0 у =.............. Построим часть графика этой функции, лежащую в левой полуплоскости. Построим с помощью симметрии часть графика для л:>0. 31,, Заполнить таблицу. Функция y = x‘^+l 1 5 у = Область определения Х1^о 2 ’ Заполнить пропуски в доказательстве того, что функция у = -— X является возрастающей при л: > 0. 41 Пусть х^>Х2> 0. Покажем, что у (Xj)....у (х^. Рассмотрим разность......................... Изобразить эскиз графика функции, у которой областью определения являются все действительные числа, кроме 0, и при jc > о функция возрастает. 4| Доказать, что функция у = — является нечётной. 7 Область определения функции у(х) = —, у(-х) = для.................из области определения, б Заполнить таблицу, предварительно вычислив значение k для функции у = —: X X 0,3 0,5 _3 4 1,5 2 4 4,5 ^ = т 9 7 ^‘2i’ откуда 42 На рисунке изображён график функции у =-------при л: > 0. До- лг строить график этой функции при лг<0 и записать: 1) область определения функции: ............................ 2) значения, которые может принимать функция: .............. 3) промежутки возрастания (убывания) функции: .............. В одной системе координат построить графики функций у = х^ и у = — и выяснить, сколько корней имеет уравнение ----= 0. Ответ........................ На рисунке изображены графики функций у = — и у = ах^ + Ьх + с, X Обвести красным карандашом ту часть графика функции у = —, для X точек которой выполняется неравенство — < ах^ Ьх + с* А в одной системе координат построить графики функций 3 X ^ у = — и У = — и наити значения х, при которых выполняет-X 3 10 На рисунке изображён график функции у = —, Нарисовать X эскизы графиков функций у = уГх , у = ХГх, у = х^, у = х"^ и выяснить, сколько корней имеет уравнение: Ответ. 1) 2) 3) 4) 1Д, Построить график функции: 1) г/ = — + 2. Построим график функции г/ = —, затем осуще- X X ствим его сдвиг вдоль.................................. 2) у = —-—. Построим график функции у = —, затем осуще- X 2 X ствим его сдвиг вдоль 44 2 2 3) у =---1. Построим график функции у = — для л: > О и за- тем X 4 2 1 1 2 1 4 2 ^ = 7 Осуществим его сдвиг вдоль 45 2 2 4i) у =-Построим график функции у = —. Осуществим его х-1 X сдвиг вдоль 12 С помощью построенных в предыдущем задании графиков функций заполнить таблицу. Функция Область определения Область значений Промежутки возрас- тания убывания у = - + 2 ^=. + 2 хФ-2 у^О — х<-2, х>-2 2 1 у = --1 2 х-1 18 На эскизе графика функции написать формулу функции, которой соответствует этот график: 5 7 3 2 . у = —; у = —; у = —г; у =-----1- X X X + 1 X У1\ У= 46 §10*. Неравенства и уравнения, содержащие степень © Вычислить: 1) л/б^ =.............. 2) V625 3) V216 =.............. 4) VI = 5) V32 =............... 6) V256 2 Даны графики функций у = а и у = х^'^у nsN. Обвести другим цветом точки той части графика функции у = х^" и той части оси Ох у для которых выполняется неравенство х^'^ < а. 3 Даны графики функций у = а и = ksN. Обвести другим цветом точки той части графика функции у-х2к + 1 JJ части оси Ох у для которых выполняется неравенство х2к+1-^ а. 4 Упростить. 1) ^(х - 5)® при х>5; ^(х - 5)^ = 2) ^(2-xf при х>2-, ^(2-хУ = б Найти значения л:, при которых выполняется равенство. 1) yfx = 3, 2) Vx = 8, 3) yfx = 0,5. в Решить неравенство. 1)х'^<128, 128 = 2^, х'^ 10 000. 10 000=! Функция у = х"^ убывает при ............. и возрастает 48 при , х^ = Х2 = х'^ > 10 000 при Ответ. 1) 2) в Проверить, является ли число х корнем уравнения. 1) Vjc - 1 = 3, если X = 10. 2) = 1, если х = -2...... 3) у1х -1 = V3jc + 5, если х = -3. 4) yjx^- 13 = 1- Xf если х = 7............................ 9' Реп1ить уравнение. л/Зл: + 1 = 4, (V3x + l)'= 4\ Зл:+1 = 16, 3jc=15, х = 5. 1) VxTT = 7,................................ 2*) Vx + 5 = V3x + 15, (......)" = (.......)", Проверка. При х = \!х + ъ =....... 7з7+15 =........ 10 с ПОМОЩЬЮ эскиза графика функции у = {х+1)^ решить неравенство (x+l)^>l. Построим график функции у = х^ и осуществим его сдвиг ................... Построим график функции у =.... и най- дём абсциссу точки пересечения двух графиков. Это х =................. Ответ....................... Щ* Решить неравенство ^1х - 2 < 2 и сделать графическую иллюстрацию решения. Функция у = yjx -2 определена при..............и прини- мает неотрицательные значения. Правая часть неравенства неотрицательна. Возведём обе части неравен- ства в ........... получим ................... ........... Следовательно, решение неравенства откуда ГЛАВА III Прогрессии §11. Числовая последовательность • (..........(............+.............и...........t............i- ...............................f. © 2 Дана последовательность чётных чисел 2, 4, 6 ... , 2п, 2 (л +1), ... . 1) Записать четвёртый, седьмой и п-й член этой последователь- ности: ........................... 2) Записать номера членов последовательности, равных 6, 18, 2(тг-ь1): 3 Вычислить первые 3 члена последовательности, которая задана формулой п-го члена, изобразить эти члены; 1) на координатной плоскости: а^ = 2п + 1, aj = 2-1-1-1 = ....» CL^ = ... ag = 2 • 2 -н 1 = Vh 1 5 + 3 1-h О Н—\—^—I-—Н 7 л: 51 2) на числовой оси: 1 1 л^ + З’ 1^ + 3 CLn — Последовательность задана формулой а^ = п^ + 1. Выяснить: 1) номер члена этой последовательности, равного 82, 170. 82 = д2+1, откуда п^ =........, п = ±........., но так как искомый номер neN, то п =.................................. 170=................ откуда ri^=......., п=................ 2) является ли членом последовательности число 24, 37. 24 = /г2 + 1, откуда п^ = 23, п = ±., но так как искомое п — натуральное число, то число 24 не является членом последовательности; Ответ. 1) 71=......; д =.....; 2) не является; Щ Найти первые 3 члена последовательности, заданной рекуррентной формулой. 1) a^^j = a„ + 5, если ai = -3 aj=-3, ag =-3-1-5=....., а^ =....-1-5 =.... 2) а^^^ = 10-3а^, если а^ = 4 а^ = 4, а2 = 10-3*4=..., а^ =......................... 3) а„^1= cos| —-а„|, если = 0 = 0, ag= cos f-o). > ^3 ~. Последовательность задана формулой х^ = — п. 1) Найти одиннадцатый член последовательности. 52 2) Выяснить, является ли число 16 членом этой последовательности................................................... 3) Найти номер члена последовательности, равного 56. % Найти первые 3 члена последовательности, заданной рекуррентной формулой а„ + 1= и условием а^ = 81. § 12. Арифметическая прогрессия ....>..+...-!.I..»..h..!■.\...1.!■.t-.i........1. © J Заполнить таблицу. п 1 2 3 4 5 6 7 8 = 6 - 2/1 -4 С помощью таблицы найти ^2~ ....... ^3 ~ ^2 ~.... ^6 ~ ^5 “ Высказать предположение: +1 ~ . , Пд — Изобразить на числовой оси полученные члены последовательности. : j i 0 i л: 53 2- Заполнить таблицу. п 1 2 3 4 5 6 7 8 а„ = п^ 25 С помощью таблицы найти ....... ^8~^2~....... ^6 “ ^5 ~..’ ^8~^7~.... Найти разность и членов этой последовательности, Изобразить эти члены на координатной плоскости. Высказать предположение о разности последующего и предыдущего членов последовательности а^ = п^: S Назвать первый член и найти разность арифметической прогрессии: ....... d =................ ....... d=................. 1) 4, 7, 10,.... 2) -7, -4, -1,.... ai=. 4 Записать первые четыре члена арифметической прогрессии, если: 1) = 12; d = -2. ... 2) а^ = —0,5; d=l,5. 54 5 Доказать, что последовательность а^ = -3 (5 - п) является арифметической прогрессией. ^ 1 = -3 (5 - (п + 1)) = -15 + 3 (л + 1) =................... а„ = -3(5-п) = Разность + не зависит от д, поэтому последовательность а^ = -3(5-п)................................................ 6 В арифметической прогрессии найти: 1) Ogj, если Oj = 13, d = 2, U2i = 13 + (21 - 1) • 2 = 2) Ojg, если = —, d = —l 3 7 Записать формулу л-го члена арифметической прогрессии. 1) 3; 10; 17; .... а^ = 3, а2=10, d = a2~a^ =......... а„ = 3 + (;г- !)• .. 2) -5; -8; -11; .... а^ =......., ag =........., d =................ 3) 1; 3,5; 6; ... . 8^ Число -15 является членом арифметической прогрессии 3; 1; -1; .... Найти номер этого члена. aj = 3, ag =..., откуда d =.....=......... Так как по условию а„ = -15, то по формуле а^ = +(п - 1) • d имеем . -15 = 3+ (/1-1)*....... Решим относительно п полученное уравнение; Ответ. /г = 55 # Найти разность арифметической прогрессии, если aj = -8, а^ = 4, По формуле общего члена для д = 5 имеем уравнение 4 = -8 + (5-l)-d. Решим это уравнение относительно d:..................... Ответ. d = 10 Найти первый член арифметической прогрессии, если d = -7. «5 = -28. В формулу общего члена а^=...................... подставим д = 5, а5 = -28, d = -7 и получим уравнение относительно а^: Ответ, aj =. 11 Дана арифметическая прогрессия, в которой ai = 25, d = -3. При каких значениях п члены этой прогрессии отрицательны? Для данной прогрессии а„ =............................. По условию а„ < О, когда............<0. Решим это неравенство относительно п: Ответ. При п 12* Записать формулу д-го члена арифметической прогрессии, у которой: ^п-1 + ^n + l 1) а4 = -18, ag = -12. Согласно формуле а„ = (д > 1), CLa + CLe . Тогда d = а. - Ua=. ^5" 2 “.............* ---------" По формуле д-го члена, например для получим -18 = Oj ч-3 •..., откуда а^=...................... Ответ. а„=......+ (д-1)-........ 2) ад = 26, ag = 48. С помощью формулы д-го члена для и ag [ 26 = -н 2d, составим систему уравнений: 48 Решим эту систему относительно и d\ Ответ. а„=. 56 13 Записать формулу n-vo члена арифметической прогрессии, если: 1) ai = -18, d = 0,2....................................... 2) а. = -13, d = -2. 3) aj = 26, ttg = 5. 4) а» = 11, a7 = 49. Ответ. 1) 3) ; 2) ; 4) §13. Сумма л первых членов арифметической прогрессии ■>...........f............^...........■!............!< -+.....+.......i' 4............►...........*...........i- © 1 Найти рациональным способом сумму всех натуральных чисел от 1 до 10. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + б + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (..) + + (........) + (.......) = 11*.......=............. ^2^ Найти S = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 рациональным способом. S = 2-f3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + S = 9 + 8 +.....+ 2S=ll + ll-f....+.....+......-I-...+........... 2S = 11 •.... 2S =....... откуда S =.....:2, S = Ответ. S =..... 57 3 Найти n-й член арифметической прогрессии: 1) -2; -0,5; 1; 2,5, ... , d —....... 2) «3= 10; d = -2, ........ ' ; а = ад — fli 4- 5 «П = 4^ Найти первые три члена арифметической прогрессии, заданной формулой её п-го члена, и их сумму. 1) = 15 - 0,3тг. Oj = 15 -...................................................... (Хп —, S3=, 2) а„ = -п + 2, а. = а^ = do — - 5з = 5/ Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии, если: 1) а^ = 2, а„ = 40, п = 30. По формуле S^ = 2 + 40 _ Д1 + Д» п находим '^30“ •30 2) ai = -3, а„ = -23, п = 20. S2o = . 6 Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии: 1) -18; -14; -10; ... , если /г =12. d = -14-(-18)=...., ai2 = -18 + ll-..=.............. -18 + 58 2) 1,5; 5,5; 9,5; ... , если п = \0. 7^ Арифметическая прогрессия задана формулой п-го члена а^ = 7п-2. Найти S^q, а, = 7-1-2 = ^40 “ Ответ. в Найти Oj и d арифметической прогрессии, если а^ = 53, S^ = 150. По формуле общего члена арифметической прогрессии 53 = + 5d, откуда aj = 53 - 5d. По формуле суммы п первых членов ариф- метическои прогрессии 150 = ---------6. Решим это уравне- А ние относительно d: Так как 53 = Oj + 5 •., то = Ответ. а^ =..., d =......... 9 Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии, если: 1) ai=-4, а^ = 18, а^ = 15. ............................... 2) a^=-,d = п=12. dt А 10 Найти и d арифметической прогрессии, если aj= —, n = ll, Sii=-33. Ответ. а„ =..., d = 59 §14. Геометрическая прогрессия ..........>.......................Н" ..........►...........<........... © й Вычислить. , 1 1) (il 5) (5-2)^ = ^ = 2) 4) 5-2« = 6) 8 7)210:25 =.................. 8) % Вычислить. 1) =........... 8. Найти п, если: 1) 25 = 2"; п = .. 3) (-2)" = 16; ... 4 Решить уравнение. 1) л:2 = 4; 2) а^= —; 3) х» = -8. 16 |)'ЧИ= ; 3) V16-25 = 2) 3’ = 3"-1; 4) 2" + 1 = 32; Ответ. 1) ...........; 2) ; 3) 5 Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии: 1) 9; 3; 1; ...; г>1 =..., Ь^ =.....,д = ^ = ^1 .................... 2) -10; 30; -90; 6 Записать первые 5 членов геометрической прогрессии и изобразить их на координатной плоскости, если: 1 1) ^1 = 8, 9 = ^- bi = 8, b^ = bi-q =.., b^ = b^-q = b,= . b,= 60 2) &j = -3, q = -2. b^ = -S, b2 = b^-q =........, b^ ............. b, =............ b,= Доказать, что последовательность, заданная формулой дг-го члена = является геометрической прогрессией. > ^ О» 6 'п + 1 Ьп 6-1 = 6 — не зависит от п, зна- чит, данная последовательность (по определению) — геометрическая прогрессия. §1 Найти Ь^, если: 1) = 7, q = —2. По формуле п-го члена геометрической прогрессии feg = 7-(-2)6-i =..................................... 1 2) b, = -S, q = 9 В геометрической прогрессии fej = 5, q = S. Найти номер члена прогрессии, равного 405. Ьп = Ь^ • q^~^. Если Ь„ = 405, = 5 и q = 3, то нужно решить урав- нение 405 = 5*3""1 относительно п: 405 = 5‘З""!, откуда 3""i =............. 3""i = 3........ п-1 =............... п =................................ Ответ............. 61 10 Найти знаменатель геометрической прогрессии, если Ь. = 64, Ь, = -2. По формуле п-го члена геометрической прогрессии получим уравнение -2 = 64 • Решим это уравнение относительно q: Ответ. 11 Найти первый и третий члены геометрической прогрессии с по- 2 , 1 ложительными членами, если bg= —, Ь^ = ^3 ~ л/^2 * ^4 “............................................ ^3 Z. Я = -Г=............. b^ = b^:q=............................. ^2 Ответ, fej =........ =. 12 По формуле сложных процентов ^ |^1 -f | с помощью ми- крокалькулятора найти: 1) 6, если = 10 000, р = 4, п = 4. 2) если ^?=16 224, р = 4, п = 2. 3) р (с точностью до 1), если Ь = 67 881,25, Ь, = 50 000, /г = 3. 13 Банк начисляет по вкладам 3% годовых. Сколько денег будет на счету у вкладчика через 4 года, если он положил на счёт 200 000 р. и не снимал со счёта деньги? 14 Найти седьмой член геометрической прогрессии, если: 1 1) Ь^ = 64, q = - 2) 6i = l, b^ = -2, 62 16 Найти знаменатель геометрической прогрессии, в которой Ь^ = 2, &з=162. Ответ. §15. Сумма п первых членов геометрической прогрессии А...............>..................}..............^................i.....................................................................+..............I................А.................>...............t...............А..............<(•................................. © Д,;* Вычислить. 1) 3<=............ 2) 33-32 =.......... 3) (33)2 = 4) 1 5) 87;85 = , 2 Решить уравнение. 1)2"=16; 2) S'»-! = 27; 3)2"-i = l. Ответ. Ответ. Ответ, 3. Найти сумму п первых членов геометрической прогрессии, если: 1) dj= д = 3, п = 5. - (1 - 3З) 2) ^=-2’ ^ = " = ^-(-2)— Ответ. 1)...........; 2) 63 4 В геометрической прогрессии найти и если д = -2, Sg = 44. По формуле суммы п первых членов геометрической прогрес- сии ^ имеем 44 = " 1-q 1-(-2) Решим это уравнение относительно Ь^: По формуле д-го члена геометрической прогрессии b^ = b^q'^~^ найдём &5 =......* (-2) '=............ Ответ, =........., &5 =......... 5 В геометрической прогрессии найти число её членов п, если из- .(1-(...Г) вестно, что S„= -7 —, Ь, =-4, а = —. П 2’ 1 ^2 По формуле суммы п членов имеем -7 — = 2 Решим это уравнение относительно п: 1-... Ответ. п = 6 В геометрической прогрессии найти: 1) если &1 = 5, q = 2, S^=155. По формуле суммы п первых ...•(!-....") членов геометрической прогрессии 155 =-----^ Решим полученное уравнение относительно п\ п = По формуле обш;его члена b^ = b^q'^~^ найдём Ь = 2) п и q, если Ь^ = -2, ^„ = -486, S^ = -728. Воспользуемся сле-дуюш;ей формулой суммы п первых членов геометрической е b^q -прогрессии: = Подставив в неё Ь^ = -2, Ь„ = -486, S„ = -728, получим уравнение ...................................., которое решим относительно q:........................... 64 Зная, что q =......., по формуле общего члена имеем п-1 486 =-2 • ; . Отсюда найдём т Ответ. 1) Ъ^ =...; 2) q =....... п = 7 Геометрическая прогрессия задана формулой = Най- ти S7. Ь^ =......... &2 =...... отсюда q =....... По формуле суммы п первых членов геометрической прогрессии Sy=.................................................... Ответ. S„ = 8 Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии 128; 64; 32; ... . Ответ. Р В геометрической прогрессии Ь^ = -1, b2 = S, b^ = 24S. Найти q. п, S„. Ответ. q =........ п =...... S :=....... 10 В геометрической прогрессии Ь^ = 2, д = 4, S^ = 682. Найти п и Ъ^. Ответ. 65 ГЛАВА IV Случайные события §16. События ...........^............4............. © Заполнить пропуски (1—3). В результате бросания игрального кубика на верхней грани может появиться число очков, равное: 1;..................... В результате бросания монеты может появиться: орёл; ..................... 3" В полной колоде карт (36 листов) находится: 1) карт пиковой масти—.................................... 2) карт красных мастей —.................................. 3) валетов чёрных мастей —................................ 4) тузов —................................................ 5) карт с числами —....................................... 6) карт с картинками —.................................... ^ Закончить формулировку определения. 1) Невозможным называют событие, которое в данных условиях 2) Достоверным называют событие, которое в данных условиях 3) Случайным называют событие, которое в данных условиях 4) Несовместными называют два события, которые в данных условиях ........................................... 66 рч Записать, невозможным, достоверным или случайным является событие, которое может произойти в результате бросания двух игральных костей. На первой кости выпало 6 очков, а на второй выпало 7 очков — невозможное, 1) На обеих костях выпало по 6 очков —............. 2) Сумма выпавших очков больше 1 —..................... 3) Сумма выпавших очков равна 7 —...................... 4) Произведение выпавших очков равно 12 —.............. 5) Произведение выпавших очков равно 7 —............... 6" Записать, какие из пар событий (которые могут произойти в результате одного бросания игральной кости) являются совместными, а какие — несовместными. Выпало 2 очка; выпало 6 очков — несовместные, 1) Выпало 3 очка; выпало число очков, кратное 6 —...... 2) Выпало 5 очков; выпало число очков, не меньшее, чем 4 — 3) Выпало 3 очка; выпало число очков, не большее, чем 3 — 7 Обвести номера пар равновозможных событий, которые могут произойти в результате одного бросания игральной кости. 1) Выпало 3 очка; выпало 4 очка. 2) Выпало 6 очков; выпало нечётное число очков. 3) Выпало нечётное число очков; выпало чётное число очков. 4) Выпало 3 очка; выпало число очков, кратное 3. 8 Записать невозможным, достоверным или случайным является событие. 1) Два ученика одного класса (в котором 30 человек) родились в один и тот же день —................................. 2) Сумма очков, выпавших на двух брошенных игральных костях, меньше 13 —...................................... 3) Произведение очков, выпавших на двух брошенных игральных костях, не меньше 1 —.............................. 4) В текущем году 367 дней —........................... 67 9^, Испытание состоит в следующем: из полного набора домино извлекается одна костяшка и прочитываются числа очков на её половинках. Записать, совместными или несовместными являются события. 1) Одно число равно 2; второе число нечётное —___ 2) Оба числа чётные; одно число больше другого — 3) Сумма очков равна 4; произведение очков равно О — 4) Произведение очков равно 0; сумма очков равна 8 — 10 Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Являются ли равновозможными события: 1) вынута дама бубей; вынут валет красной масти — 2) вынута семёрка треф; вынут король червей —... § 17. Вероятность события © Заполнить пропуски. 1) В классе 25 учащихся, среди которых 11 мальчиков. Мальчики составляют............ от числа всех учащихся класса. 2) В вазе лежат 5 яблок и 6 груш. Груши составляют....... всех фруктов, находящихся в вазе. 3) В полном наборе домино дубли составляют.......... часть всех костяшек. 4) В полной колоде карт (36 листов): карты красной масти составляют ........часть всех карт; трефовые карты составляют часть всех карт; бубновый туз составляет.....часть всех карт. Заполнить пропуски. 1) Куб имеет.....граней. 68 2) Куб имеет......рёбер. 3) Куб имеет......вершин. 4) Куб с ребром 3 см имеет объём ......и площадь поверхности ................................... 3^ Заполнить пропуски в предложениях. 1) Измерением степени достоверности наступления событий за- нимались в XVII в. французские учёные 2) Долю успеха наступления некоторого события математики называют ............................................... 3) Вероятность события А обозначают .................... 4) Вероятность события А равна................................ где п — число ............................................ т — число . В ящике находятся 3 белых, 5 красных и 9 чёрных шаров. Наугад вынимают один шар. Найти вероятность того, что этот шар: 1) белый. Число всех равновозможных исходов n = S + 6 + 9 = Событию А (появился белый шар) благоприятствуют 3 исхода (т = 3). Р (А) = — = — 2) красный. Событие А — появился красный шар, п = т т =........ Тогда Р (А) = — = 3) чёрный. Событие А — На двенадцати одинаковых карточках написаны числа от 1 до 12 (на каждой карточке — одно число). Карточки перемешали и наугад вынули одну. Найти вероятность того, что на карточке оказалось: 1) число 5. Число всех возможных исходов /г =12, т = 1, поэто- му Р = — =......; п 2) чётное число, п = 3) число, кратное 3. т 69 4) число, большее 6................ 5) число, не меньшее 10............ 6) число, большее 2, но меньшее, чем 7 Раскручивается стрелка рулетки, поле которой разделено на 20 равных секторов, пронумерованных числами от 1 до 20. Найти вероятность того, что стрелка остановилась на секторе: 1) с номером, кратным 5................................... 2) номер которого не меньше 16............................ Ответ. 1)......; 2)......... j Случайным образом из колоды карт (36 листов) извлекается одна карта. Найти вероятность того, что эта карта: 1) девятка пик.............. 2) дама красной масти........ 3) король ................. 4) карта с числом........... Ответ. 1).....; 2).....; 3) ; 4) §18. Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики © Ш с помопдью цифр 5 и 6 записать всевозможные трёхзначные числа:........................................................ 2 Сколько различных двузначных чисел (цифры в которых не повторяются) можно записать с помощью цифр: 1) 1 и 2.................................................. 2) 1, 2 и 3............................................... 3) 1, 2, 3 и 4............................................ Ответ. 1)......; 2)_____ ; 3) 70 3^ Бросают два игральных тетраэдра: белый и красный (грани каждого пронумерованы числами от 1 до 4). Заполнить таблицу вариантов появления чисел на нижних гранях тетраэдров. А. 6 Монету бросают дважды. Завершить построение графа-дерева, иллюстрирующего возможные варианты (исходы испытания) появления орла (О) и решки (Р). Сколькими способами можно выбрать двоих школьников для дежурства в столовой, если; школьников четверо? С помощью графа определим число различных пар, которые можно составить из четве- 2 рых школьников: 1) школьников пятеро? Можно составить ..................= 10 пар. 2) школьников шестеро? Можно образовать ........... различных пар. ® Имеются две рулетки, поверхность каждой из которых разделена на 8 равных секторов, пронумерованных числами от 1 до 8. Стрелки рулеток раскручивают. Найти вероятность события. А — на первой рулетке -стрелка остановилась на числе 3, а на второй — на числе 5. 71 Согласно правилу произведения число возможных исходов испытания п = 8' = Событию А благоприятствует единственный исход, т. е. т = 1. Таким образом, Р (А) = — = —. /г 1) В — на первой рулетке стрелка остановилась на числе 8, а на второй — на чётном числе. Число исходов, благоприятствующих событию В — появлению числа 8 на первой рулетке и чётного числа (их четыре: 2, 4, 6, 8) на второй рулетке, находится по правилу произведения: т = 1 *4 = 4. Тогда Р (В) = — = — = п 2) С — на первой рулетке стрелка остановилась на чётном числе, а на второй — на нечётном. Согласно правилу событию С благоприятствуют 7П = 4-....=...... ис- ходов. Таким образом, Р (С) = — = = п .......................... 3) D — на первой рулетке стрелка остановилась на числе, большем 3, а на второй — на числе, не большем 3. Количество чисел, на которых может остановиться стрелка первой рулетки, 5. Чисел, на которых может остановиться стрелка второй рулетки, ........ Согласно правилу................число исходов, благоприятствующих событию /), равно т = Ъ •......= т . Тогда Р (D) = — = п Брошены две игральные кости: белая и красная. Найти вероятность события. А — на обеих костях появились очки, кратные 3. Число возможных исходов испытания п=........ т=......., Р(А) =...... 1) В — на костях появились разные очки................ 2) С — выпали очки, сумма которых равна 4 3) D — выпали очки, сумма которых не больше 4 72 8* В коробке лежат 4 белых и 2 чёрных шара. Наугад вынимают 2 шара. Найти вероятность события. 1) Л — вынуты 2 белых шара. Из 6 имеющихся шаров можно составить ..... различных пар, т. е. число всех возможных исходов испытания п =...... Событию А благоприятствуют все возможные пары, образованные из 4 имеющихся белых шаров. Таких пар........ т. е. т =.. Тогда Р (А) = — =...... п 2) В — вынуты белый и чёрный шары. Событию В благоприятствуют все пары, составленные из одного белого и одного чёрного шаров. Согласно правилу произведения таких пар , т. е. т =..... Таким образом, Р (В) = — = п 9 Бросают монету и игральную кость. Найти вероятность события. 1) А — на монете появился орёл, а на кости — б очков ...... 2) В — на монете появилась решка, а на кости — число очков, кратное 3 .................. 10 Имеются две рулетки: белая и жёлтая. Поле белой рулетки разделено на 6 равных секторов (пронумерованных числами от 1 до 6). Поле жёлтой рулетки разделено на 10 равных секторов (пронумерованных числами от 1 до 10). Стрелки обеих рулеток раскрутили. Найти вероятность события. 1) А — стрелка белой рулетки остановилась на секторе с нечётным номером, а стрелка жёлтой рулетки остановилась на секторе, номер которого не меньше 5 ......................... 2) В — стрелки рулеток остановились на секторах, номера которых больше 3 ............... 11* В вазе лежат 3 яблока и 4 апельсина. Не глядя из вазы вынимают два плода. Найти вероятность того, что вынуты: 1) 2 яблока ........ 2) 2 апельсина....... 3) яблоко и апельсин 73 §19. Сложение и умножение вероятностей © Поверхность рулетки разделена на 12 одинаковых секторов, пронумерованных числами от 1 до 12. Найти вероятность того, что после раскручивания стрелка рулетки остановится: 1) на секторе 5; 2) на секторе с чётным номером; 3) на секторе, номер которого кратен 3; 4) на секторе с номером 7 или 8. Число возможных исходов испытания п = 1 1) 7П=1, Р = — = , 2) т=......... Р = 3) т=......... Р = 4) т=......... Р = 2 Брошены игральный кубик и игральный тетраэдр (на гранях которого отмечены очки от 1 до 4). Найти вероятность следующих событий: 1) А — на кубике выпало 4 очка, на тетраэдре — 3 очка; 2) В — на кубике выпало нечётное число очков, а на тетраэдре — 2 очка; 3) С — на кубике выпало чётное число очков, а на тетраэдре — нечётное; 4) D — на кубике выпало не менее 3 очков, а на тетраэдре — 1 очко. Заполним таблицу исходов бросания кубика и тетраэдра. Число всех возможных исходов испытания л=.__________...*...... 1) т=......... Р(А) = 2) т=......., Р(Р) = 3) ................. 4) ................. 74 2 3 4 1 11 12 2 3 4 6 % Заполнить пропуски. Два события называются несовместными, если в данных условиях ... 4. Заполнить пропуски. 1) Сумму событий А и В обозначают....................... 2) Суммой событий А ж В (которые могут произойти в одном испытании) называется событие, которое состоит в том, что происходит ............................................. 3) Вероятность суммы двух несовместных событий А ж В равна 4) Событие, противоположное событию А, обозначают оно происходит тогда, когда 5) Событие А + А является..........................собы- тием; 6) Вероятность суммы противоположных событий равна 7) Произведение событий А ж В обозначают 75 8) Произведением событий А и В (которые могут произойти в одном испытании) называется событие, которое состоит в том, что 9) Два события являются независимыми, если наступление или ненаступление каждого из них не влияет на................. 10) Вероятность произведения независимых событий А и В равна б События А и В несовместны. Найти вероятность суммы этих событий, если: 1) Р (А) = i, Р (В) = 2) Р (А) = i Р (В) = О О 4 1) Р(А + В) = Р(А) + = 1 + 3 2) 6 Вероятность события А равна: 1) 0,2; 2) Найти вероятность события, противоположного событию А, 1) Р(А)=1-Р(А)=................................... 8 2) Из колоды, содержащей 36 карт, извлекают наугад одну. Событие А — вынут король, событие В — вынута девятка чёрной масти. Найти вероятность события A-fB. Всего 36 карт, т. е. я = 36. Королей в колоде 4, т. е. т = ................... Девяток чёрной масти в колоде Р(А) = ^ = п т. е. /п=......... Р(В) =.................. События А и В несовместные, поэтому Р(А + В) =........... 1 2 „ События С и D — независимые. Р (С) = —, Р (D) = —. Найти ве- 8 5 роятность события АВ. 76 1) Р(АВ) = Р(А).Р(В)=, В коробке лежат 5 белых и 8 чёрных шаров. Два раза наугад вынимают по одному шару, возвращая сразу вынутый шар в коробку. Найти вероятность следующего события: 1) оба раза вынимали белые шары; 2) оба раза вынимали чёрные шары; 3) первый раз вынимали белый шар, а второй раз — чёрный. 1) Пусть событие А — первый раз вынут белый шар, событие В — второй раз вынут белый шар. Так как шары каждый раз возврагцали в коробку, то Р (А) = Р (Б). Всего в коробке 5 +...=........шаров, т. е. п =....... т = 5, Р(А) = Р{В) = = — =......... События А и В —................ поэтому веро- п ятность того, что они оба произойдут Р(АБ) =.............= _ 25 “.............“169* 2) Событие Е — первый раз вынут............................. событие F — второй раз вынут ............................. Р (Е) = Р (F) = =.................. События Е и F —.............., поэтому ^ 64 .........“............. 169* Р (EF) = 3) Событие А — первый раз вынут ............ Р (А) =...........Событие В — второй раз вынут Р (В) =........... События А и В —.......... Р (АВ) =.......... поэтому 10 Из полной колоды карт (36 листов) извлекают одну карту. Найти вероятность того, что это либо валет красной масти, либо карта чёрной масти. Ответ. 11 Вероятность попадания стрелком по мишени при любом выстреле равна 0,85. Найти: 1) вероятность того, что, сделав один выстрел по мишени, стрелок промахнётся; 2) вероятность того, что, выстрелив по мишени два раза, первый раз стрелок промахнётся, а второй раз поразит мишень. Ответ. 1) ...........; 2) 77 § 20. Относительная частота и закон больших чисел © Десять лет своей жизни юноша, которому сейчас 20 лет, учился в школе, а 2 года он служил в армии. Какую часть своей жизни юноша: 1) учился в школе? ... 2) служил в армии? .. Ответ. 1)......; 2) Обыкновенную дробь представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби и округлить её до сотых. ............................................... 2)|. Найти, сколько процентов составляет число М от числа ЛГ, если: 1) М=14, N = 200........................................ 2) М = 33, N = 250 ..................................... Ответ. 1).......; 2)......... 4 Заполнить пропуски. 1) Относительной частотой события А в данной серии испыта- нии называют 2) Относительную частоту события А обозначают........ 3) Относительная частота события А находится по формуле 4) Под статистической вероятностью события понимают число. 78 5 Заполнить таблицу. Число испытаний с подбрасыванием гайки 10 40 100 200 500 1000 Частота падения гайки плашмя 8 31 77 Относительная частота падения гайки плашмя 0,8 31 40 0,85 Число падений гайки на грань 2 96 Относительная частота падения гайки на грань 0,2 0,18 ?в В изготовленной партии из 2000 одинаковых игрушек 24 игрушки оказались бракованными. Найти относительную частоту появления в данной партии бракованной игрушки (результат выразить в процентах). Ответ. ГЛАВА V Случайные величины §21. Таблицы распределения © Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: 1) на обеих костях появилось по 3 очка..................... 2) на одной кости появилось 1 очко, а на другой — 2 очка 3) сумма выпавших очков равна 2 . 4) сумма выпавших очков равна 11 Ответ. 1).....; 2)....; 3)... 4) Имеются две одинаковые рулетки, поверхность каждой из которых разделена на 4 одинаковых сектора. Сектора пронумерованы числами от 1 до 4. Раскручивают обе рулетки и прочитывают числа, на которых остановились их стрелки. Затем находят сумму появившихся чисел. Заполнить таблицу возможных сумм этих чисел и найти вероятность того, что полученная описанным способом сумма равна: 1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) 6. 2-я рулетка 1 2 3 4 cd й Н ф Ч а 03 1 1-Н 1 2 3 2 3 4 Ответ. 1) 2) 3) 4) 80 Составить таблицу распределения по вероятностям Р значений случайной величины X — числа очков, появившегося при бросании игрального кубика: 1) на одной грани которого отмечено 1 очко, а на остальных — 2 очка. Xj = 1, Xg = 2. Всего граней я = 6. При этом = 1, m2 = 5, поэтому Pj = —, Pg =.... Таблица распределения имеет вид 6 X 1 2 р 1 6 2) на двух гранях которого отмечено 1 очко, а на остальных — 2 очка. Xj =—, Х2 =_____; я = 6, т^ =___ Я12 =_; Р^ =____ X 1 2 Р 3) на одной грани которого отмечено 1 очко, на трёх — 2 очка, на двух — 3 очка. Х^ =_______, Х2 =____, Хд =______; я = 6, т^ =__, Я12 = ...., Я1з = ....; Pi = ...., Р2 = ...., Рз =. 4) на четырёх гранях которого отмечено 1 очко, на одной — 2 очка, на одной — 3 очка.................................. X Р 4 Составить таблицу распределения по частотам М значений случайной величины X — цифр, встречающихся в номерах квартир, которые посетил за день участковый врач. 1) 8, 5, 23, 48, 17, 9, 64, 109, 37, 83, 71. X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 подсчёт 1 III 1 М 1 3 1 81 2) 82, 56, 31, 19, 4, 26, 8, 40, 67, 35, 105. X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 подсчёт М ^ # Используя данные задачи 4, составить таблицу распределения по относительным частотам значений величины X в выборке. М 1) Число всех цифр в выборке = 20. По формуле ^ ходим относительную частоту W для каждого значения X и заносим её в таблицу. ^ X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 М 1 3 1 W 1 20 _3_ 20 J_ 20 2) Число всех цифр в выборке N = . X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 М W 0 На стол одновременно бросают два игральных тетраэдра, грани которых пронумерованы числами от 1 до 4. Составить таблицу распределения по вероятностям значений случайной величины X — произведений очков на гранях тетраэдров, касающихся поверхности стола. Составим таблицу произведений выпавших на тетраэдрах очков. 2-й тетраэдр 1 2 3 4 а л об Л Е- 0> Н 5S 1 тН 1 2 3 4 82 Г' 7* Известны номера месяцев, в которых родились учащиеся одного класса: 3, 5, 12, 4, 1, 6, 8, 2, 7, 3, 5, 9, 10, 7, 1, 7, 10, 9, 3, 11, 12, 5, 9, 12, 2, 12. На основании приведённых данных составить таблицу распределения по частотам М и по относительным частотам W значений случайной величины X — номеров месяцев рождения учащихся класса. § 22. Полигоны частот ■i...........>............-i..........^.............(• ...........4............4..............►............>.............i............i..............i............ © ,1 Ha координатной плоскости отметить точки А (0; 3), В (4; 0), С (5; 2), D (-1; 4), Е (3; -2), F (-5; -3). 2. Найти: 1) 15% от числа 120. ........... 2) число, 45% которого равны 30. 83 3) сколько процентов составляет число 85 от числа 60. 4) сколько процентов составляет число 12 от числа 96. Ответ. 1).......; 2)......; 3).......; 4)........ Распределение величины X по частотам М представлено в таблице. X 2 3 4 6 7 8 9 м 1 2 5 7 6 4 3 Завершить представление распределения X в виде полигона частот. Используя данные таблицы распределения по частотам значений случайной величины X, построить полигон относительных частот распределения величины X, 1) X 4 5 6 7 М 1 4 4 3 N = ZM = 1-1-4-1-4-1-3 = 12. Для каждого значения X найдём М его относительную частоту в выборке по формуле W = N X 4 5 6 7 м 1 4 4 3 W 1 _ 1 12 12 3 84 Построим полигон относительных частот. 2) N =....... Полигон изобразим на рисунке. X м w Используя транспортир, представить в виде круговой диаграммы распределение по относительным частотам значений случайной величины X, заданной распределением по частотам. 1) X 1 2 3 м 3 4 1 Найдём относительные частоты каждого значения случайной величины и выразим их в процентах: Х = 3 + 4-1-1 = 8, W = = 1 = 37,50/ w^ = ^ = - ^ N S ^ N S W - 85 Приняв площадь круга за 100%, значения и изо- бразим в виде секторов с соответствующими площадями. Центральные углы соответствующих секторов будут равны: 360°»3 ^ збо; 360^ 2) X 1 2 3 4 м 1 3 4 2 W,=. W = > *^*^3 N =.......... W,=....... W^ =........... Центральные углы соответствующих секторов будут равны: .............................. Изобра- зим их на рисунке. в Построить полигон частот и полигон относительных частот значений случайной величины X, распределение которой представлено в таблице. X 1 2 3 4 5 М 3 5 6 4 2 X М W 86 Полигоны частот изобразим на рисунках. §23. Генеральная совокупность и выборка .....................i..........i............t- ........>.........ч.....................I.......... © J t Решить уравнение. 1)-^ = ^; ^ X 3 2) 3 = 45 3) - = 12. 4 Ответ. 1) .....; 2) ; 3) 2 Найти величины углов треугольника, если известно, что они пропорциональны числам 1, 3 и 5. Ответ. 2; Объём текста 5000 слов. Определить примерное число глаголов в нём, если относительная частота появления глаголов в тексте примерно равна: 1) 0,2; 2) 0,3. 1) По условию объём текста (генеральной совокупности) F= 5000, относительная частота глаголов в тексте W = 0,2. По формуле (2) 87 учебника число глаголов во всём тексте S = V-W= 5000 *0,2 2)......................................................... Ответ. 1).....; 2) Фабрика по пошиву кожаных изделий должна изготовить 1500 пар мужских перчаток для офицеров Северного флота. Сколько пар каждого размера должна пошить фабрика, если результаты выявления размеров у 200 офицеров, выбранных случайным образом, показали, что размеры перчаток X распределены в этой выборке по частотам М следующим образом: X 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11 м 11 18 30 42 50 24 15 10 Составим таблицу распределения по относительным частотам значений случайной величины X, зная, что объём выборки N = 200, X 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11 М 11 18 30 42 50 24 15 10 W 0,055 По формуле S=1500*W найдём число пар каждого размера в совокупности из 1500 пар. X 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11 S При определении сорта изготовленных керамических изделий в партии объёмом 1300 штук контролёр первоначально определил сортность у 100 случайно выбранных из партии изделий. Результаты занёс в следующую таблицу: Сорт I II III Количество изделий 46 25 29 88 Определить примерное число изделий I и II сортов вместе в изготовленной партии. ..................................... Ответ. ..... 6 В водоём запустили 50 000 мальков карпа. Через год выловили случайным образом 100 подросших карпов и каждого взвесили с точностью до 10 г. После разбиения на классы полученных данных о весе рыб (X) составили таблицу распределения веса по частотам (М). Номер класса 1 2 3 4 5 Х(г) 150-199 200-249 250-299 300-349 350-399 м 9 22 35 24 10 Считая, что за год не погибло практически ни одной рыбы, определить, сколько примерно рыб в водоёме попадает в каждый весовой класс. Ответ. '%!■' t § 24. Центральные тенденции ш .......‘S---- +.....i.....i.....у.....У....i.....^.....У.....V © 1^ Найти среднее арифметическое чисел: 1) 2 и 10. ............................ 2) -5 и -6. ........................... 3) 13, 14, 15, 16. .................... 4) -4, -3, -2, -1, 1. ................. Ответ. 1) .....; 2) .....; 3) ......; 4) 89 2v Построить полигон частот значений случайной величины X: 3, О, 5, 1, О, 2, 4, 5, 3, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 5, О, 3, 4, 1. ,. ■ J м S Округлить число 24,698: 1) до сотых................................. 2) до десятых............................... 3) до единиц................................ 4) до десятков.............................. Ответ. 1)......; 2)......; 3).....; 4)...... 14 ^ Найти значение выражения 53,6 : 7 с точностью: 1) до десятых............................... 2) до сотых................................. Ответ. 1)......; 2)........ ЭД Заполнить пропуски. 1) Модой выборки называют 2) Медиана выборки — это............................... 3) Если упорядоченная выборка имеет нечётное число данных, то ее медиана равна 90 4) Если упорядоченная выборка имеет чётное число данных, то её медиана равна......................................... 5) Среднее совокупности значений случайной величины X обо- значают 6) Если все значения случайной величины Х^, Х^,___, различны, то среднее значение находят по формуле_____ 6} Найти моду Мо выборки значений величины X: -2, -1, О, 1, 2. Выборка не имеет моды:; 5, —3, 2, 3, —3, 4. iVdTo =—3. 1) 1, 1, 2, 3, 3, 4. Moi = l, Моз =........................ 2) -1, 2, О, 2, -1, 2, 3. Мо = f Найти медиану выборки: 7, 9, 5, 4, 6. Упорядочим выборку с нечётным числом данных: 4, 5, 6, 7, 9. Центральный член ряда равен 6, значит, медиана Me = 6, 2, 4, 1, -2, 4, “3. Запишем данные в виде упорядоченного ряда, содержащего чётное число элементов: -3, -2, 1, 2, 4, 4. Медиана равна среднему арифметическому двух центральных значении: Me = —^=1,5. 1) 1, 3, 1, 4, О, 5, 2, 3. .........................Ме = . 2) 3, 5, 1, 3, 2, 6, 4. ............................Ме = Найти среднее значение выборки: 1) -3, -7, О, 2, 5, 8. 2. -? + <-Т) + 0 + 2 + 5+_8_+2 ^ 7 ....... 2) 5, 1, 6, 6, 3, 4, 3. 91 9 Найти среднее значение выборки случайной величины X, представленной таблицей распределения по частотам: 1) X -2 -1 1 3 м 1 2 4 1 X = -2 -1 + (-1) • 2 + 1 • 4 + 3 -1 1+2+4+1 2) X -3 0 2 3 М 1 3 4 2 3) X 0 1 2 3 4 М 1 2 5 3 1 4) X -1 0 од 0,3 0,5 м 2 2 3 2 1 10 Найти моду, медиану и среднее значение выборки: 1) 2, 3, 5, 6, 7. ................................. 92 2) 3, 1, 5, 1, 2, 4. ... Ответ. 1) ....; 2) 11 Найти моду, медиану и среднее выборки значений случайной величины X, распределение которых по частотам представлено в таблице: 1) X 0 1 2 3 м 1 2 3 1 2) X -2 -1 0 1 2 3 М 1 3 4 5 2 1 Ответ. 1) ....; 2) § 25. Меры разброса .........‘...........i..........i- ......................i........... © 1 Найти значение выражения а —by если: 1) а=15, b=lS. ................... 2) а = -20, Ь = 8, ............... 3) а = -34, Ь=17, ................ 4) а = 25, Ь = -6. ............... 93 *2 Найти'среднее арифметическое выборки значений случайной величины X. 1) Э; 12, 11, 14, 15, 13, 17; 2) X 7 10 11 13 м 1 2 4 1 ® Я Найти размах R выборки. 1) б, 6, 7, 8, 10, 12. i?=12-6 = 2) -3, -2, -2, о, о, 1. R =... 3) -4, 2, -5, 3, 1. Я = 3-(-5)=. 4) 12, 20, -1, 15, О, 12. R =. Найти размах выборки значений случайной величины X, заданной частным распределением. 1) 2) X -2 0 1 2 3 М 2 4 8 6 5 X -6 -4 -2 -1 1 3 4 2 Ответ. 1)......; 2) 5 Для каждого элемента выборки значений случайной величины X найти его отклонение от среднего значения этой выборки. 1) 11, 13, 14, 18; 2) 19, 23, 24, 26, 28. 1) X = = 14, 11-Х=11-14 13-Х =..... 14-Х =..... 18-Х = . 2) Х =....................... 94 6| Заполнить таблицу, используя результаты вычислений из предыдущего задания. Найти дисперсию выборки значений случайной величины X (заданной в предыдущем задании). 1) 2) X Х-Х (X-Xf 11 -3 9 13 14 18 X Х-Х (X-Xf 11 -3 9 13 14 18 Х(Х-Х)2=9 +....+ -н О +.=...... 4 4 Х(Х-Х)2=9 +......+ -|- О +.=....... 4 4 ;7f Найти размах выборки. 1) -5, -5, -3, О, 1, 1, 2; 2) О, 2, -4, 3, -1, 2. Ответ. 1) .....; 2) ........ в Найти дисперсию выборки значений случайной величины X: 10, 11, 12, 10, 12. Ответ. 95 Оглавление Предисловие §1. §2. §3. §4. §5. ГЛАВА I. Степень с рациональным показателем Степень с целым показателем............... Арифметический корень натуральной степени . Свойства арифметического корня............ Степень с рациональным показателем........ Возведение в степень числового неравенства . . 4 8 13 §6. §7. §8. ГЛАВА II. Степенная функция Область определения функции . . Возрастание и убывание функции Чётность и нечётность функции . k § 9. Функция у = § 10*. Неравенства и уравнения, содержащие степень ГЛАВА III. Прогрессии §11. Числовая последовательность.................... § 12. Арифметическая прогрессия..................... § 13. Сумма п первых членов арифметической прогрессии § 14. Геометрическая прогрессия..................... § 15. Сумма п первых членов геометрической прогрессии . 20 28 35 41 47 51 53 57 60 63 ГЛАВА IV. Случайные события § 16. События............................................. 66 § 17. Вероятность события................................. 68 § 18. Решения вероятностных задач с помощью комбинаторики 70 § 19. Сложение и умножение вероятностей................... 74 § 20. Относительная частота и закон больших чисел......... 78 ГЛАВА V. Случайные величины § 21. Таблицы распределения............................... 80 § 22. Полигоны частот..................................... 83 § 23. Генеральная совокупность и выборка.................. 87 § 24. Центральные тенденции............................... 89 § 25. Меры разброса....................................... 93