Алгебра 9 класс Рабочая тетрадь Миндюк Шлыкова часть 1

Н. г. Миндюк И. С. Шлыкова ЛГЕБРА КЛАСС Q d V?X ^ I дг Часть 1 // с г ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО Н. г. Миндюк И. С. Шлыкова Алгебра Рабочая тетрадь 9 КЛАСС Пособие для учащихся общеобразовательных организаций В двух частях Часть 1 2-е издание Москва «Просвещение» 2014 УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 М61 Рабочая тетрадь является частью учебно-методического комплекта по алгебре авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой под редакцией С. А. Теляковского. ISBN 978-5-09-031719-1 (1) ISBN 978-5-09-031720-7 (общ.) Издательство «Просвещение», 2013 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2013 Все права защищены Предисловие Данная работа является дополнением к учебнику «Алгебра, 9» авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Пешкова, С. Б. Суворовой, под редакцией С. А. Теляковского (15-е, доработанное, и последующие издания). В рабочую тетрадь входит 30 работ, составленных ко всем пунктам учебника, за исключением дополнительных пунктов под рубрикой «Для тех, кто хочет знать больше». Каждая работа состоит из двух разделов, помеченных цифрами I и II. В первом разделе содержатся несложные задания, способствующие усвоению вводимых понятий и алгоритмов, формированию фундаментальных умений, установлению связей нового материала с ранее изученным. Во второй раздел включены более сложные задания, решение многих из которых требует свободного владения сформированными знаниями и умениями, проявления интеллектуальной гибкости и подвижности. Представленные в рабочей тетради упражнения разнообразны по форме предъявления. Учащимся предлагается закончить начатое решение, установить некоторое соответствие, проиллюстрировав его с помощью стрелок, выбрать верный ответ, обведя кружком соответствующий номер, и т. п. Наличие подготовленных таблиц, вычерченной системы координат, некоторых пояснений к составлению уравнений или систем уравнений и т. п. создаёт предпосылки для интенсификации учебного процесса. Рабочая тетрадь предоставляет широкие возможности для организации работы учащихся в классе и дома. 1* КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ функция, область определения ■И^ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ Принятые обозначения: D(y) — область определения функции y = f(x), Е{у) — область значений функции y = f(x). Ш 1. Функция задана формулой f(x) — -4x^ + 13. Найдите: а) /(5)=........................................... б) /(-3)=.......................................... в) /(0)=........................................... г) f(-0,l)=........................................ Д) f е) f 2. Функция задана формулой ^(д:) = 2л:^-3л:+1. Найдите; g(-3) + ^(1) = 2 -(-3)2-3(-3) + 14-2-3+1= 28 а) g(0) + g(2)= .. б) g(l) + ^(-l) = в) ^(-2)-^(0) = 3. Найдите значение х, при котором функция, заданная формулой ф(л:) = 1,5л: + 2, принимает значение, равное: а) 3,5; б) -7; в) 0; г) -5,5; д) 22,5; е) -0,5. Ответ: а) г) б) Д) в) е) 4. Известно, что f(x) = kx + b, причём /(3) = 7 и /(-1) = -5. Найдите значения k vl Ь» Ответ: /г =........................ Ъ = 5. Из точек А(-80; 0); Б(0,2;-0,2); С 1. 1 3’ 3 ; 7)(0; 16); Е i; 0,5 0(0; 0); F(0,1;0); 0(6;-6); Я(2; 2); iT(0; 200); L(-4;-4) выберите те, которые принадлежат: а) оси х:................................... б) оси у: .................................. в) биссектрисам I и III координатных углов: г) биссектрисам II и IV координатных углов: 6. На рисунке изображён график функции f{x), определённой на отрезке [-6; 7]. Используя график, закончите запись: а) /(-2)=...................... /(1)= ...................... /(-3)=...................... /(6)= ...................... б) f{x) = 2 при х=............. f(x) = 6 при х=............. /(л:) = 0 при х=............ f{x) = -5 при X =........... в) область значений функции , 7. Заполните таблицу. Функция D(y) Е(у) у = 2х^ (-оо; +оо) [0; +00) X *' = "5 У = у[х у = 4\х\ 12 у = 2\х\ + 1 8. Приведите пример функции, областью определения которой является: а) множество всех чисел, кроме 12:....................... б) множество всех чисел, кроме —1 и 1:.... в) множество всех чисел,, не превосходящих 6: г) множество всех чисел, больших 8:....... □D 9. Какова область определения функции, заданной формулой: JC < 8, X4t0, _ yjZx-^6 + ^JS-x ^ 4зс ’ Ответ: [-2; О) U(0; 8]. 3jc + 6 ^ 0, Зх ^ -6, 8 - jc ^ 0, л: ^ 8, х^О; х^О; а) J/ = yi6 -2х-у1х-7 21-15 —X ^1Т + X — ^5 — 2х б) у = ^-------------- Зд:-6 Ответ: а) б) 10. Найдите область определения функции: а) z/ = 1- У = х + 2 2- 6 2х-6 Ответ: а) ..................... б) ........................ 11. Укажите область определения функции, заданной формулой: а) Z/ = yj\5- х\-2х ; б) у = 2л:^ - ^4 - \х\ . Решение. Рассмотрим случаи л: <5 и х>5. Ответ: а) б) 12. Функция задана формулой f(x) = yjx^ -12. Докажите, что при a>^/3 а + 31 = а-1 а 13. функция ф(лг) определена на отрезке [-8; 4]. Постройте график этой функции, зная, что ф(л:) = -X, если д: G [-8; -3), 3, если X е [-3; 2], 2,5л: - 2, если х G (2; 4]. X у У. к -1. 1 0 3 L X 14. Периметр Р(см) равнобедренного треугольника с боковой стороной 35 см зависит от длины основания д:(см). Задайте формулой функцию, выражающую эту зависимость: .................. Укажите область определения В(Р) и область значений Е(Р) этой функции, зная, что 100 см. 15. Функция ф(д:) задана формулой ф(д:) = д:^ - 4л:-I-1. Вычислите: а) ф(1+ л/2)-ф(1- V2)= ................................... б) ф 2 +V5 + ф 2-Vs 2-Н. г. Миндюк 9 кл., ч. 1 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ш 1. Найдите нули функции (если они существуют): а) у = \Ь-2х\ б) y = 2x^-9S; в) у = (4х - 2)(х ^ 1); (;^-li-3)’ = е)у = х‘ + 4. г) У = Ответ: а) г) б) Д) в) е) 2. На рисунке изображён график функции g(x), определённой на отрезке [-8; 12]. Используя этот график, продолжите запись: а) ^(jc) = 0 при б) ^(х)<0 при в) ^(л:)>0 при 10 3. Начертите график какой-либо функции с областью определения [-6; 5], нулями которой служат числа -4, 2 и 4. 4. Укажите, какие из линейных функций 1/=12-Зд:, ^ = л: + 4, у = 2х-6,у = 0,4л: - 3, у = -12л: - 46 являются: а) возрастающими: ........... к - -1. 1 0 ] L X б) убывающими: 5. Покажите с помощью стрелок, какие из данных функций являются возрастающими, какие — убывающими. у = -1у4х у = 2х^ Функция возрастающая = -Jx + 2 V = \x у = -~ ^ 6 у = х^-2 Функция убывающая 1/ = 7 -f 4л: У = -х^ в. При каких значениях k функция у ={2kS) х - 4: а) является возрастающей; б) является убывающей; в) не является ни возрастающей, ни убывающей? Ответ: а) ............... б) в) 2* 11 7. Начертите график какой-либо функции, определённой на отрезке [-9; 8], которая возрастает в промежутках (-3; 2) и (5; 8] и убывает в промежутках [-9; -3) и (2; 5). [Ш 8. Найдите нули функции и множества, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения: а) у = х^-6х + ^; б) у = х^ -0А9х, 9. Известно, что функции f(x) и g(x) определены на области D и являются возрастающими. Докажите, что функция ф(х) =/(л:)-l-^(x) также является возрастающей на области D. Продолжите доказательство. Доказательство. Пусть х^ и JCg принадлежат области D и Х2>х^, Тогда (р(д:2) - ф(д:,) = + g(Xi)) =...................... 12 10. Используя свойство, доказанное в задании 9, выясните, являются ли возрастающими или убывающими функции: а) f{x) = x^ + 2x-10\ б) g(x) = + 2\[х при jc>0. 11. Докажите, что функция f{x) возрастает при заданных значениях аргумента: Пх) = 9-л: при д:<9. Пусть jCi0, 9-ЛГ2 9-л:1 (9-jCi)(9-a:2) (9 - лг1)(9 - л:2) так как лг2-л:1>0, 9-л:1>0, 9-jc2>0. Значит, f(x^>f(x^). а) /(х) = —при л: >2,5; б) f(x) = 2x-2-----— при л: >-4. 5-2л: л: + 4 13 12. Докажите, что функция g(x) убывает при заданных значениях аргумента: а) g(x) = — при JC < 0; X 13. При каких значениях Ь прямая у = -4х + ^ образует с осями координат треугольник, площадь которого равна 2? Ответ: 14 14. Постройте график функции У = л: + 6, если -10 ^ л: ^ -2, если -2 < X <0, если о < JC ^ 3, -2х +15, если 3 < JC ^ 9. У‘ -- . 1. 1 1 0 X - У = Х’¥б Закончите запись: D(y) =.......... у = -2х + 15 Е(у) = .=-1 у = 0 при х =....... ^<0 при........... ^>0 при функция возрастает при .......................... функция убывает при ............................. 15 EH КВАДРАТНЫЙ ТРЁХЧЛЕН И ЕГО КОРНИ Ш 1. Заполните таблицу. ах^ + Ьх + с а Ъ с D = V-iac х^-8х + 6 -2х^ + Зх-1 Зх^ - у[2х + 5 5-4*2 2х+7*2 у1з -4х + х^ 2*-3*2 + 1 2. Какие из чисел -1, 2, 2-Тз, 1 + \1з являются корнями квадратного трёхчлена лг^-4л: + 1? Ответ: 16 3. Покажите с помощью стрелки, сколько корней имеет квадратный трёхчлен. - 10х + 3 л:^+ 10Л- + 30 *2+ IOjc + 25 Один корень Два корня Не имеет корней x^-6x+l х^-6х + 9 х^-6х + 20 4. Существуют ли значения переменной х, при которых значение квадратного трёхчлена л:^-10л: + 31 равно: а) -5; б) 6; в) 55; г) О? При положительном ответе укажите эти значения. Ответ: а) б) в) г) 17 5. Найдите корни квадратного трёхчлена: а) Зх^ + 5jc - 2; б) -2х^ - 32 - 16jc; в) х^-4х-3; г) 0,2л:2-1,8; д) 6х^-х-1; е) х^-\-0Лх-0,02. Ответ: а) г) б) д) в) е) 6. Составьте какой-либо квадратный трёхчлен, корнями которого являются числа: а) -2 и 11; б) О и -6; в) 3->/2 и 3+V2. Ответ: а) б) в) 18 7. При каких значениях х равны значения квадратных трёхчленов 6х-2x^-5 и 4x^-hx-9? Ответ: 8. При каких значениях х значения квадратных трёхчленов Зл:^-11л: + 16 и 2д:^-7л:-3 являются противоположными числами? Ответ: 9. Составьте какой-либо квадратный трёхчлен, корни которого: а) противоположны; б) обратны корням трёхчлена 2х^ - Их + 5. Ответ: а) б) 19 10. Требуется выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена. Закончите решение: а) х^-Ых+11=х^-2-1х + ’1^-1^+\1=.................. б) -\2x + 2Z = -(x'‘+12x-2Z) = -(x^ + 2-%x + &^-6'^- 23) = в) + \Qx = -(x^-lQx) = -(x^-2-bx + b^- 5^) = г) 2х2-16д:-|-5 = 2(лг2-8л:н-2,5) = 2(л:2-2-4л:-1-42-42-|-2,5) = □Е 11. Один из корней квадратного трёхчлена Асх^+ ^х + 2с - 12 равен 1. Определите значение с и второй корень этого трёхчлена. Ответ; 12. а) При каком значении q квадратный трёхчлен х^ л-Ъх + q является полным квадратом двучлена? б) При каком значении с квадратный трёхчлен Ъх^ -Ах + с является полным квадратом двучлена? Ответ: а) б) 20 13. Докажите, что при любом значении х: а) квадратный трёхчлен x'^-Sx-h 20 принимает положительное значение; б) квадратный трёхчлен -2х^ + 28х - 99 принимает отрицательное значение. 14. При каких значениях переменной Ь: а) квадратный трёхчлен (Ь + 3)х^ - 2(Ь - 2)х + Ь - 1 не имеет корней; б) квадратный трёхчлен (b-4)x^-2{b + l)x-\-b имеет два корня? Ответ: а) б) 15. Найдите корни квадратного трёхчлена ах^ - (За^ + 1)х + За, где а — некоторое число, отличное от нуля. Ответ: 21 16. в прямоугольнике со сторонами 10 см и 17 см большую сторону уменьшили на а см, а меньшую увеличили на 2 см. При каком значении а площадь получившегося прямоугольника будет наибольшей? Какова эта площадь? Ответ: 17. При каком значении х трёхчлен Злг^-15л: + 27 принимает наименьшее значение? Найдите это значение. Ответ: 18. Из всех прямоугольных треугольников, сумма катетов которых равна 18 см, выделите треугольник с наибольшей площадью. Ответ: 22 РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЁХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ Если jCi и Х2 — корни квадратного трёхчлена ах^ -bbx-i-c, то ах^ -h Ьх + с = а(х - х^)(х - Х2) Ш 1. Найдите корни квадратного трёхчлена и разложите его на множители: а) 5; б) + 14л: + 24; в) -1/2 + 14^ - 33; г) -л:2 - 10х - 16; д) л:2-8л:-48; е) z/2+16i/ + 55; ж) л:2-24л:+144; з) -г/^ + 18^ - 81, 23 2. Разложите на множители квадратный трёхчлен: За^ + а-2; За^ + а-2 = 0; £>=1 + 24 = 25; -1±5 а = —; а,=+^ = -1; = ^ За^ + а - 2 = 3(а + 1) 6 6 3’ = (а + 1)(За-2). а) 5т2 - 13т + 6; б) 72^ - 26г - 8. 3. Можно ли разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени, квадратный трёхчлен: а) г/= 5д:^ - Зл: + 1; б) ^ = 0,3д:^ + Зл: + 11; в) у = 5д:^ + 0,5л: - 0,1; г) = + д) 1/= 1,1л:2-0,5л:+ 0,2; е) у = 9х^ + 6л: + 1? Ответ: а) г) б) Д) в) е) 24 4. Какой из графиков, изображённых на рисунке, является гра- __-1- 4jc_3 фиком функции у =------------? X — 3 Ответ; ........ 5. Сократите дробь: а) 9-^^ _ т^+т-12 2у +16 _ ^ у2 + 21/-48 ... ^ Зх^ + 20х - 7 в) ---5------= 9х^ -6х + 1 4х^+11х-3 ^ 21х-4x^-5 •• 3-Н. г. Миндюк 9 кл., ч. 1 25 6. Найдите область X 2 _ 4л:-12 функции у = х + 2 стройте её график. D{y)= ............. определения и по- у 3 У- к 1, i 0 \ [ X □Е 7. Сократите дробь и найдите её значение при указанном значении переменной: 2^-25 а) аг + 2а- 35 при а = -2,5; 12 + ПЬ-Ь^ , 2 96 + 46-6^ '’=3 = Ответ: а) б) 26 8. При каких целых неотрицательных значениях п(пФА) квадратный трёхчлен у={п-\)х^-2пх + {п-1) нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени? Ответ: 9. Преобразуйте разность дробей предварительно первую дробь. -X JC + 2 0,5д;2 -4JC-10 х-10 сократив 10. Разложите на множители квадратный трёхчлен тх^- + 2(т - 1)х+{т - 2), где т — некоторое число, отличное от нуля. 3* 27 11. Докажите, что при любом значении Ъ квадратный трёхчлен + Ъх-Ъ имеет два корня, один из которых является положительным числом, а другой — отрицательным. 12. Постройте график функции у = -Ах-гх^ + \2 2х^ - 10х + 12 Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби хЗ-4л:-Зл:^ + 12 2д:^-10л: + 12 х^ - 4х - Зх^ + 12 = 2х^-10х+12 = Сократим дробь: х^ - Ах- Зх^ + 12 _ 2х^ - Юл: -I-12 Найдём область определения заданной функции: D(y)=..................... Заполним таблицу: X у У* . 1 , 1 0 1 X - — - 28 ФУНКЦИЯ у = ах^, ЕЁ ГРАФИК и СВОЙСТВА ш 1. Постройте график функции у=1,6х^. X -3 -2 -1 0 1 2 3 у Закончите запись: D(y) =............................... Е(у) =............................... ^ = 0 при........ У>0 при............ у<0 при.............................. функция возрастает при............... функция убывает при.................. график функции ^ = 1,5л:^ симметричен относительно ........................ к -- 1 J 1 0 L х 2. Принадлежит ли графику функции у = -0,3х^ точка: а) А(10; 30); б) Б(-10; 30); в) С(10; -30); г) П(-10; -30)? Ответ: а) ....... б) ........ в) ........ г) ......... 3. Пересекает ли параболу у=16х‘^ прямая: а) у = -16; б) ^ = 1600; в) у = 32? При положительном ответе укажите координаты точек пересечения. Ответ: а) в) б) 4. В каких координатных четвертях расположен график функции у = -3x^1 Выберите верный ответ. 1. В I и II 2. Во II и III 3. В III и IV 4. В I и IV 29 5. Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции: а) у = 1,2х^; б) у = -0,3х^, 6. При каком значении Ь график функции у = Ьх^ проходит через точку: а) А(3;-4); б) Б(-Т2; 5); 3’ зг в) с г) D(10; 20)? - у- • ~ 1 0 ] L X Ответ: а) б) в) г) □Е 7. На рисунке изображены схематически графики функций Sj(a), SgCa), S3 (а) и 54(a), где (а) — площадь квадрата со стороной а, 5з(а) — площадь круга с радиусом а, S3 (а) — площадь прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а, S4(a) — площадь поверхности куба с ребром а. Задайте формулами эти функции и укажите соответствующие им графики. 1 -j h -tz Zrz 1 V X 30 8. При каких значениях k парабола y = kx^ не имеет обпдих точек с прямой у = 4х-17 Ответ: 9. При каких значениях k прямая у = 3-2х касается: а) параболы у = (k- 2)х^; б) гиперболы у = Ответ: а) б) 10. Прямая х = 2 пересекает параболу у = 6х^ в точке А, а параболу у=--х^ в точ- 5 ке В. Изобразите схематически трафики этих функций и определите длину отрезка АВ, Ответ: У‘ 1. 1 0 1 L X 31 11. Найдите координаты точек пересечения графиков функций у = и у = х-2. Выполните графическую иллюстрацию. у* к - — -- 1- — -- — 0 1 L X - - ~ - X у 12. Изобразите схематически на одном чертеже графики функций: (2) у = -2х^ (1) У = 2s/3-4’ (3) г/ = 8л/3ж=; (4)!/=-J_. У> к - - 1 - 1 0 ] L X 32 ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ У = ах^ + п и у = а{х- т)^ ш 1. График функции у = 3х^ сдвинули на 2 единицы вправо и на 5 единиц вниз. График какой функции получили? Ответ: ..................................................... 2. На рисунках изображены графики функций ^=1,5х^ + 2, ^ = 1,5(х-ь 2)^, у = -1,5х^ - 2 и у = -1,6(х-2)^. Около каждого графика напишите соответствуюпдую формулу. к 1 0 / \ X — л i / \ / 1 л ; 1 9 \ — У‘ i 1' 0 ] L X / \ у - \ \ L \ L . L 3. При каких значениях а функция ^ = (а - 3) + 13 имеет нули? Ответ: 4. Найдите нули функции, если они супцествуют: а) у = 2х^-32; б) у = 2х^ + 8; в) у = -Зх^ + 27. Ответ: а) б) в) 33 5. Изобразите схематически на одном чертеже графики функций = 1(л: + 2)^ - 1 и ^2 = определив предварительно для каждой параболы координаты вершины и направление ветвей. У‘ к - i. 0 X 6. Суш;ествуют ли значения х, при которых значение функции ^ = -х^-н6 равно: а) -3; б) 8; в) -5; г) -i? При положительном ответе укажите эти значения. Ответ; а) .......... б) .......... в) ......... г) ........... 7. Не выполняя построения, запишите уравнение параболы, симметричной параболе y=i(jc-3)^ + 7 относительно: а) оси у: б) оси х: 8. Определите, при каких значениях а осью симметрии параболы у = 5 (л: + 4a^)^ + 1 является прямая х = -9. Ответ; 34 □Е 9. Прямая x = -S пересекает параболу у = 3,5x^+1 в точке С, а параболу у = -2,Ьх^ - 4: в точке П. Не выполняя‘ построения, найдите длину отрезка CD. Ответ: 10. Постройте график функции -(л:-3)^-2 на отрезке [-1; 6]. 2 X -1 0 1 2 3 4 5 6 у Закончите запись: D(y) =.........Е{у) =........... у = 0 при ............ У>0 при .......... у<0 при ............. функция возрастает при.......... функция убывает при ............ наибольшее значение у =... функция принимает при х = . наименьшее значение у = функция принимает при х = У‘ к 1' 0 X 11. При каких значениях с областью значений функции у = 2{х - 3)^ + - 4с + 0,75 является промежуток [-3; -foo)? Ответ; 35 12. Пересекает ли параболу ^ = -(jc-2)^ + 4 прямая: а) г/ = -5; б) y = S; в) у = -60; г) у = х? При положительном ответе укажите координаты точек пересечения. Ответ: а) ...................... б) ........................ в) г) ........................................... ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ Ш 1. Заполните таблицу. Уравнение параболы fix) = ах^ + Ьх-\-с Координаты вершины Aim; п) Направ- ление ветвей т = -± 2а n = fim) fix) = х^ + 6х-1 гг. ^ ^ т = — = —о 2 п=(-3)2 + 6(-3)-1=-10 вверх Пх) = х^-12х+1 nx) = -x^ + Sx-2 f{x) = -x“-2x + 4 f(x) = x^ + 4x-6 36 2. Изобразите схематически график 8 функции i/ = опре- делив предварительно координаты вершины параболы А(т; п) и направление её ветвей. - - 1 0 X — 3. Запишите уравнение оси симметрии параболы: а) у = 2х^~ Их+ 6:......................... б) y = Sx^ + Sx-12:........................ в) ^ = -4х^ -Ь 5л: -Ь 1:................... 4. Докажите, что парабола у = 2л:^- Зл: + 7 и прямая х-у = 2 не пересекаются. 5. Постройте график функции ^ = л:^ - 4л: + 7. Решение. Найдём координаты вершины параболы А(т; п): т = п=.. Ветви параболы направлены Заполним таблицу: У‘ I' 0 X 37 6. При каком значении а осью симметрии параболы у = ах^ - 12х + Ъ является прямая д: = -1? Ответ; 7. При каких значениях Ь и с точка iV(-l;-10) является вершиной параболы у = 2х^ + Ьх + с1 Ответ: □Е 8. Найдите значение с, при котором наибольшее значение функции у =-2х'^ + X + с равно 1. Ответ: 9. Найдите область значений функции: а) 1/ = 2л:^-0,8л:+ 0,01; б) I/= -л:^ + Зл: + 1,75. Ответ: а) б) 38 10. При каких значениях а графики функций у = 4л:^ -Sx+1 и y = 2x^-x + Sa не имеют общих точек? Ответ: 11. Определите по графику функции у = ах^ + Ьх + с знаки коэффициентов а, & и с. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, а>0. Так как т = — 2а т>0 и а>О, то Ь<0. Так как при лг = 0 у = Су а при л: = 0 ^<0, то с<0. 39 12. Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной Б(-3;-20), проходяш;ая через точку ЛГ(5; 44). Задайте эту функцию формулой. Ответ: 13. Не выполняя построения, определите расстояние между осями симметрии графиков функций: а) у = х^ + ^х-\-10 и ^ - бл:-I-11; б) у = -х^ + 2х+1 и у = -2х^ + 12х-Ы. Ответ: а) б) 14. Функция y = -x^ + Qx-b определена на отрезке [0; 6]. Найдите область значений этой функции. Ответ: 40 ФУНКЦИЯ У = Х”^ ш 1. функция задана формулой f{x) = x^^. Сравните значения функции: а) /(5,8) □ /(8,5); б) /(-3) □ /(15); в) / (-f] □ /(-0,4); г) /(-9)П/(-5); Д)/(-|)П/ е) / (Ц1 □/(0,65). 2. Функция задана формулой g(x) = x^'^. Поставьте знак < или >, чтобы получилось верное неравенство: а) g Us ; б) g(-0,5)G#(-2,5); в) g G^(-2,3); 11 г) g-(-3,5)G# I ; Д) S' [I] Gs(0,2); e) ^(-l)Gs(O). 3. в каких координатных четвертях расположен график функции у = -х^^7 Выберите верный ответ. 1. В I и II 2. Во II и III 3. В III и IV 4. В I и IV 4. Проходит ли график функции у = х^ через точку: а) А(-2; 32); б) Б(-2; -32); в) С(2; 32); г) П(3;-243); д) Б(3; 243)? Ответ: а) ............ б) .............. в) г) .......... Д) 5. Пользуясь рисунками, выясните, сколько корней имеет уравнение: а) л:2о = 7; б) х^^ = -Ч; в) х^^ = 0; г) х^® = -7. Ответ: а) в) б) г) - 41 6. Сколько корней имеет уравнение л:” = -100: а) при чётном значении п; б) при нечётном значении п1 Ответ: а) б) 7. Пользуясь графиком функции у = х^, решите уравнение: а) д:" = 3; б) л:" = 6,5. Ответ: а)............ б)............ □Е 8. Супцествует ли TsiKoe натуральное число п, при котором график функции у = х^ проходит через данную точку: а) А(-5; -125); б) В(2,5; 7,5); в) С(ч/2; 64); г) £»(-4; 1024)? При положительном ответе укажите это значение п. Ответ: а) б) в) г) 9. Решите уравнение: а) л:^ = 0,0625; б) 2д:5 = -64; в)5л:б-5 = 0; г) -0,216. Ответ: а) б) в) г) 10. При каком значении п график функции 1/ = л:” проходит через точку: 1.1 а) А Ответ: а) 2. __8_ 3’ 27 б) Б(0,2; 0,0016); в) С ..... б) ................. 2’ 64 в) 42 11. с помощью стрелок укажите, каким числом (положительным, отрицательным или нулём) является разность. 10^-(-4)’ 0,9«-0,2« (-4)9 _ 49 Положительное число Нуль Отрицательное число 0,99‘“-1 (-1,2)^-(-1,6)* (-0,5)®-(-0,3)' S ,g^5 12. С помощью схематических графиков определите, сколько корней имеет уравнение: а) х'^ = 4х; б) х^ = 4х; в) х^ = -х+1. а) 1/- б) к в) 1/' к -- 6 X 0 X 0 X Ответ: а) б) в) 43 КОРЕНЬ 71-И СТЕПЕНИ Ш 1. Докажите, что верно равенство: .) Vsl = 3; б) = г) ^1024 = 4; д) ^11 + 6^2 = 3 + ^2; в) 1^ = 1; е) ^37-20ТЗ = 5-27з. У = = С в дите: а) ^ ~ .... б) в) г) д) ... е) ж) з) ^-0,5 « 44 3. Вычислите: а) = 243 б) 71 в) 4|Ж = 128 ....... V625 »' ................. 4. Принадлежит ли графику функции у = ^ точка: а)А(32;-2); б) Б(-243;-3); в)С(3125;5); г)П Ответ: а) б) в) 32 . 2)^ 243’ ЗГ г) 5. Решите уравнение: а) ^ = -3; б) ^ = 0,5; в) ^ = -i; г) ^ = |. Ответ: а) б) в) г) 6. Пользуясь графиком, изображённым на рисунке, решите уравнение: а) фс = 1,5; б) фс = -1,8. Ответ: а) б) 45 7. Укажите два последовательных целых числа, между которыми заключено данное число; а) < ^ < б) < ^ <... в) < < г) < ^-100 <, [Ш 8. Вычислите; а) =......... б) V-128 - + 2^/ЙЗ = ^........ г) 9. Решите ургшнение: а) х^-2х* = 0; б) ijc" + ll = 0; О в) (х^-7)(х^ + 3) = 0; г) х^ + 4х^ + 3 = 0. 46 Ответ; а) б) в) г) 10. Упростите выражение: а) ^(^p-2f +^(p-7f -^(р-If при 2<р<7; б) + 3)' - V(9 + б)' -^(9 - 2)' при -5 0; б) 2x^-9x-h7< 0. Решение. Определим направление ветвей параболы, которая является графиком функции у = 2х^ - 9х -h 7, Ветви направлены Найдём абсциссы точек пересечения графика с осью х: Изобразим параболу схематически и укажем множество решений неравенств: Ответ: а) .......................... б) . 2. Решите неравенство: а) Зл:^ + 8л:-1-3 > 0; б) л:^ - 19л:-I-40 < 0. а) -- 1/^ б) I/' к X 0 X _L 66 Ответ: а) б) 3. При каких значениях Ь трёхчлен - 5Ь - 4 принимает: а) положительные значения; б) отрицательные значения? 1/i 0 X Ответ: а) б) 4. Найдите множество решений неравенства: а) Ъх^-1<х; б) л:^ + 4<3. а) - 1 б) - у* — - - 0 X 0 X Ответ: а) б) 67 5. При каких значениях t верно неравенство: а) б) 1,6^2<25,6? а) У‘ - б) У‘ 0 X - - 0 X - - Ответ: а) б) 6. Найдите область определения функции: yjlGx^ -1 а) у = yjx^ + X-1S2; б) у = х-2 а) У‘ б) У‘ - - - 0 X 0 X - i - Ответ: а) б) 68 7. Решите систему неравенств: - 4л: - 32 < О, а) 0,3л: < 1,5; б) < 16, 1,2л: - 3,6 < 0. а) 1 [б) > — - - 0 X 0 X - • - Ответ: а) б) □Е 8. На рисунке изображены схематически графики функций у = х^ + 11, у = -х^ - в, у = х^ - 4х + 3, у = -х^-Зх + 10. Около каждого графика запишите соответствующ;ую формулу вида y = f(x) и укажите множество решений неравенства /(л:)>0. 69 9. Найдите область определения функции: + Х-3 Jx^ - 36 *' "■ ,-а • ®> ‘'■fcrj- а) • б) У‘ 0 X 0 X Ответ: а) ........................ б) ....... 10. При каких значениях t верно неравенство; а) 0,5^2 ^81t; б) 5f + 20 >0? Ответ: а) б) 70 11. Решите систему неравенств: а) л:^ - 49 < О, 6л: + 12 > Зл:; б) х' - 10х < -21, 4(х-1)<17-х. Ответ: а) б) 12. При каких значениях с решением неравенства л:^ - 6л: + о О является любое число? Ответ; 71 13. Найдите область определения функции: + 15 - 8jc Jx^ - 49 а) У = -; б у = ^, . л: - 4 X +7 X а) б) - У‘ --- 0 X 0 X - Ответ: а) б) 14. Покажите с помощью стрелок, что представляет собой множество решений неравенства. л:“+16<0 1 [ Пустое множество - 5л: - 24 > 0 х‘>9 Числовой промежуток 0,8л:'+ 3,2 >0 хЫ64 Объединение двух числовых промежутков 2х-х^ + 6<0 - Х^1 Множество всех точек + 4л: + 14 ^ 0 72 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ Ш 1. Решите неравенство (л: - 4)(л: + 2)(д: - 8) < 0. Решение. Отметим на координатной прямой нули функции f(x) = (x-4.){x + 2)(x-^). Укажем знак функции в крайнем справа интервале и определим знаки функции в других интервалах, используя условие чередования знаков. Найдём интервалы, в которых значение произведения (х - 4)(х + 2)(х - 8) отрицательно. Ответ: ..................................................... 2. При каких значениях т произведение принимает положительное значение? Ответ; 3. Решите неравенство, используя метод интервалов; а) х(9 - х)(х -I-16)(24 -ь х) > 0; б) -(2 - х)(4 -I- х)(х а) б) 11)>0. Ответ: а) б) 73 4. При каких значениях р произведение (р - 1)(12 - 2р)р принимает отрицательное значение? Ответ; 5. Найдите область определения функции: а) у = ^(х-15)(П-х); б) у = ,](2х - х^)(х + 11). а) б) Ответ: а) б) 6. Воспользовавшись тем, что знак дроби — совпадает со знаком произведения аЬ, решите неравенство: ^ х + 1 а) а) 11 >0; б) I^LLM2. Ответ: а) б) 3jc — 1 8. Решая неравенство ------- ^ 0, ученик заменил его неравенством (3jc - 1)(4jc +2)^0, ссылаясь на то, что эти неравенства равносильны. Прав ли он? Ответ обоснуйте. 75 9. Верно ли, что: а) неравенство (х^ + 13)(jc - 3)(л: + 4) > О равносильно неравенству (х - 3)(д: + 4)>0; б) неравенство (х - 6)^(2jc - 3)(л: + 8) > О равносильно неравенству (2х-3)(л: + 8)>0? Запишите ответ и обоснуйте его. 10. Найдите множество решений неравенства: .2 . 114/^2 . (р-2)(р +11){р -8р) 2р-14 а) б) б) (6р + 1)(р^ + 4)(p^ - р) 6/ -24 >0. Ответ; а) б) 76 11. Найдите область определения функции; а) г/ = а) + 6х Х^ -16 б) у = б) х^ + 4х^ + 4х х-1 Ответ: а) б) ^ 5 “■ X 12. Решите неравенство ---------5-------> б* -4х^ -4 +X Ответ: 77 13. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяюгцее неравен- _____ X* - За;® - 8* + 24 ^ п ству ------------------>0. 6-JC Ответ: 14. Найдите при каких значениях х значения дроби при- 4л:+ 3 надлежит промежутку [1; 8]. Решение. Решим двойное неравенство:............. Представим его в виде системы неравенств: Решим каждое из неравенств: Найдём пересечение полученных множеств: Ответ: 78 Содержание Предисловие............................................. 3 Глава I. Квадратичная функция........................... 4 1. Функция. Область определения и область значений функции .............................................. — 2. Свойства функций ................................. 10 3. Квадратный трёхчлен и его корни................... 16 4. Разложение квадратного трёхчлена на множители......23 5. Функция у = ах^, её график и свойства ............29 6. Графики функций у = ах^ + п и у = а{х - тУ........33 7. Построение графика квадратичной функции............36 8. Функция у = х'^....................................41 9. Корень п-й степени.................................44 Глава II. Уравнения и неравенства с одной переменной .................................... 49 10. Целое уравнение и его корни ...................... — 11. Дробные рациональные уравнения ...................55 12. Решение неравенств второй степени с одной переменной....................................66 13. Решение неравенств методом интервалов............ 73 Учебное издание Миндюк Нора Григорьевна Шлыкова Инга Соломоновна АЛГЕБРА Рабочая тетрадь 9 класс Пособие для учащихся общеобразовательных организаций В двух частях Часть 1 Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Т. Г. Войлокова Младший редактор Е. А. Андреенкова Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика М. Е. Савельевой Технический редактор и верстальщик Т.М.Якутович Корректоры Л. С. Александрова, Т. А. Лебедева Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93— 953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 13.06.13. Формат 70x90Vi6. Бумага офсетная. Гарнитура SchoolBookC SP. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,98. Доп. тираж 7000 экз. Заказ № 37526 (п-sm). Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в филиале «Смоленский полиграфический комбинат» ОАО «Издательство «Высшая школа». 214020, Смоленск, ул. Смольянинова, 1. Тел.: +7(481^31-11-96. Факс: +7(4812)31-31-70 E-mail: [email protected] https://www.smolpk.ru