Алгебра 8 класс Рабочая тетрадь Миндюк Шлыкова часть 1

Н. г. Миндюк И. С. Шлыкова тетрадь ЛГЕБРА КЛАСС I X, 1 ^ ^0 »+Ьх+« с ,у Часть 1 ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО Н. г. Миндюк И. С. Шлыкова ЛГЕБРА тетрадь КЛАСС Пособие для учащихся общеобразовательных организаций В двух частях Часть 1 3-е издание Москва «Просвещение» 2014 УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 М61 Рабочая тетрадь является частью учебно-методического комплекта по алгебре авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой; под редакцией С. А. Теляковского. ISBN 978-5-09-031716-0(1) ISBN 978-5-09-031717-7(общ.) Издательство <<Просвещение», 2011 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2011 Все права защищены Предисловие Данная работа является дополнением к учебнику «Алгебра, 8» авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк и др., под редакцией С. А. Теляковского (15-е, доработанное, и последующие издания). В рабочую тетрадь входит 37 работ, составленных ко всем пунктам учебника, за исключением дополнительных пунктов под рубрикой «Для тех, кто хочет знать больше». Каждая работа состоит из двух разделов, помеченных цифрами I и II. В первом разделе содержатся несложные задания, способствующие усвоению вводимых понятий и алгоритмов, формированию фундаментальных умений, установлению связей нового материала с ранее изученным. Во второй раздел включены более сложные задания, решение многих из которых требует свободного владения сформированными знаниями и умениями, проявления интеллектуальной гибкости и подвижности. Представленные в рабочей тетради упражнения разнообразны по форме предъявления. Учащимся предлагается закончить начатое решение, установить некоторое соответствие, проиллюстрировав его с помощью стрелок, выбрать верный ответ, обводя кружком соответствующий номер, и т. п. Наличие подготовленных таблиц, вычерченной системы координат, некоторых пояснений к составлению уравнений или систем уравнений и т. п. создаёт предпосылки для интенсификации учебного процесса. Рабочая тетрадь представляет широкие возможности для организации работы учащихся в классе и дома. г лава I РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ш 1. Покажите с помощью стрелок, какое из рациональных выражений является целым, а какое — дробным. X х-1 -i(/ 4 X 7^ выражение^^ дробное выражение 16 х + 2у 6 а -1 1 ^ 2а-Ь 2^ ^ 3^ 2. Составьте дробь: а) числитель которой равен удвоенному произведению переменных с и d, а знаменатель равен их разности: б) числитель которой равен сумме переменных с и d, а. знаменатель — сумме их кубов: в) числитель которой равен разности квадратов переменных с и d, а знаменатель — удвоенной их сумме: 3. Найдите значение выражения: а) х^-4 2x-hl при X = -3; б) а + 5 a^-2a + 8 при а = -2. Ответ: а) ........ 4. Заполните таблицу. б) а -2 -0,5 0 1 4 5 а-2 а +1 4 е? тт « ^ (х+цУ+10 5. Найдите значение дроби —: а) при л: = 3, I/ = -1; б) при х = 1,5, i/ = 0,5. Ответ: а) б) 6. Найдите допустимые значения переменных в выражении: х^-х + 1 X +1 ^ . 14 а) г) 4 х^-3 (х-2)(х + 5)^ Ответ: а) г) б) Л^ + 2л:; д) хП9 х^+1 х(х + 3)’ б) Д) в) е) Зл:-6 ^ 2х ix-lf{x^-4) •• в) ........ •• е) ........ 7. При каких значениях переменной у равно нулю значение дроби; а) у+ 4 12 ’ Ответ: а) в) б) У(у-2) у + З в) Зу + 7 б) г) ч у(у + Ь) ' 31/ + 15 II 8. Составьте дробное выражение с одной переменной, для которого допустимыми являются: а) все числа: ............................................. б) все числа, кроме 2: в) все числа, кроме 1 и -1: г) все числа, кроме -3; О и 2: 9. Из города А выехал автомобиль со скоростью км/ч. Через 3 ч вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью км/ч (Ug > L>j). Через какое время второй автомобиль догонит первый? Решение. За 3 ч первый автомобиль проедет расстояние ......км. Расстояние между автомобилями каждый час сокращается на .......км. Следовательно, второй автомобиль догонит первый через t =........... ч. Найдите значение ^, если известно, что: а) = 60, Ug = 80; б) = 50, = 75. Ответ: а) б) 10. Найдите допустимые значения переменных в выражении: а) 4х Ы-2’ б) -2 . ,,2 5ху в) Ответ: а) б) в) 11. Чему равно наибольшее значение дроби 15 х^ + 6 + 9у^ + бху Ответ: 12. При каких целых значениях п значение дроби является целым числом? Ответ: п 13. Верно ли, что при любом допустимом значении с значение дроби: 15 .. 2-Зс а) с® + 9 + 6с® положительно; б) Зс®+6с-4-2с2 отрицательно? Ответ: а) б) 14. Туристы проехали на моторной лодке 33 км по течению реки и 10 км по озеру. Отдохнув 2 ч на берегу озера, они вернулись обратно. Составьте выражение для определения времени затраченного туристами на весь поход, если известно, что скорость течения реки равна и км/ч, а собственная скорость лодки — V км/ч. Найдите значение t при у = 10, и = 2, Ответ: 15. Расстояние между пунктами А и В составляет s км. Из пункта А выехал велосипедист со скоростью v км/ч. Через час навстречу ему из пункта В выехал второй велосипедист, скорость которого на 2 км/ч больше. Встреча произошла через t ч после выезда первого велосипедиста. Выразите v через s и Решение. За ^ ч первый велосипедист проехал .................км. Скорость второго велосипедиста составляла .............км/ч; он ехал до встречи ................ч, следовательно, проехал ............... км. Вместе до встречи велосипедисты преодолели S км, значит,............................................. Найдите значение и, если известно, что s = 94, t = 3. Ответ: ...................................................... 8 ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ДРОБИ. СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ а _ ас Ь Ьс , где Ъ и с — ненулевые многочлены. ш 1. Приведите дробь к указанному знаменателю: к знаменателю 146®: 76^ _ 7^,6.2^3. 76" 76"-26® 146® * а) ^ к знаменателю i/": б) к знаменателю 15с®: 5с^ в) - к знаменателю 39jc®: ^ 13д:" г) 2а®б" к знаменателю -8а®6^®: 2. Сократите дробь: 26^ а) в) 86®с® 6а®д:^ 9а^х^ б) г) lOpq'^ Slx'^y^^ ISx^^y^ ■ 3. Выполните разложение на множители и сократите дробь: 5а^- ЮаЧ _ 6а\1 - 2Ь) 1-2Ь 1-2Ь 5а^. а) б) 4х - Зхг/ За + 6а2 2а+ 1 , 2i/(c + 6d) с^+ 6cd г) 15Ь^-30Ьс 2 (6-2с) 4. Сократите дробь: а*-Ь^ а) б) в) г) а^+Ь 4с^-25с/8 -2c^-3d^ ' а^+ а^- аЬ + с-2 ^ сЗ-8 “ 5. Найдите значение дроби: , 6a^-\2d^b ^ ^ ^ 5а^Ь -1баЬ^ при а =-1, Ь = 4; 10 б) 4с2 - 9x2 8с2х® - 12сх^ при c = j, х = -1; 2^^—Т^~2 °рч ^ = 0,2, у = -0,3. х^- 4ху + 4у^ Ответ: а) б) в) 6. Упростите выражение: (x-2yf _ а) х-2у б) (x-2yf _ 2у-х в) х-\г2у -х-2у г) (х + 2у)^ {-x-2yf гг тг г Sx^+2xy + 9y^ 7. Докажите, что если в дроби —Здгу + 6у^ вместо переменных X VI у поставить соответственно Зл: и 3^, то получится дробь, тождественно равная данной. 11 8. Постройте график функции У = х^-9 2х-6 - - - - — -- 1 . 1 __ I I I 0 L -- X 1 II 9. Сократите дробь (п — натуральное число): ^п+1 _ а) 2х п-1 б) дп + 2^и + 3^ дП^п + 2 дП + 1^п + 2 ^ дП-1^п + 1 10. Сократите дробь: 4х^+12ху + 9у^ Sx^ -27у^ б) 26х^+10ху + 4:у^ _ 125л:3-8у3 12 11. Докажите, что значение дроби не зависит от натурального числа п: 2п + 5. 3.72П+4 ^ 72я+4^7_з) _ 72.4 _ 49 _ 72п+з_|_72л+2 7^"'^^ (7 + 1) 8 = ^ = 24,5. а) 34n+i^2-3^"+‘ 5.32п(32п+2) б) 125-53"-"^-52”+з 12. Найдите значение дроби: 5а2+10а& + 5&2 а) 3a3+9a2& + 9afe2+3b3 при а = -2,5, Ь = 7,5; б) (2x + 2i/)(j:2-j:i/-i-i/2) при л: = 2, У = ~2 Ответ: а) б) 13 13. Сократите дробь: аЬ + Ьа 10а + Ь + 10Ь + а а) б) в) 11 аЬс - сЬа 99 11 abbc - cbba 999 14. Сократите дробь — f ^ и найдите её значение при л: = -0,5. 4х^~ 4х - 24 Ответ: СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ а ^ Ь _ а + Ь^ а Ь _ а-Ь с с с ' с с с ' ш 1. Выполните сложение или вычитание дробей: 12 12 “ а-Ь 2Ь За 14 в) x + Zy 2у ху ху . а -2Ъ а + 2Ь г) —^ + 4а^ 4а^ 2. Выполните указанное действие: Ъу _1 у + х^ _ д:2+ Ъу - (7г/ + я:^) _ by -Ту - х^ _ -2 у х-Зу х-Зу ~ х-Зу х-Зу х-Зу _ 2z/ Зу-х’ , 4а2_1 1-2а2 а) ----^ + а - 1 а - 1 3x-4i/ 2х - у б) х+ г/ д:+г/ . а^-2аЪ аЪ-а^ в) ----+ г) а - 26 2с-d________ с + 2d с + 2d а-26 с - d 3. Упростите выражение: х^-у 2у х^+2у 2х‘^-3у _ х^-у + х^+2у-2х^-^3у _ 4у х-2у х-2у ~ х-2у ~ х-2у . 2с — 3d с — bd Зс + 4d а) —^-----+ 4с 4с 4с 2рЧЗ,р^-4 Зр^-4.. р-1 ^ р-1 р-1 15 4. Найдите значение выражения: . 2?/®+5 2-у^ - + приу = -2; 3JC-5 2л:-7 „ б) -2-------2—— при х = 2,5; х^-4 х^- 4 в) 4(1 + 3 За + 1 при а = Ответ: а) б) в) 5. Выполните указанное действие; д: + 2 5 а) б) г) X - 3 3 - л: 2^ 1 2-1 1-2 V За , 66 в) ----^ + а - 26 26 - а У^+1 У^-2 у2_4 4-J/2 16 6. Упростите выражение: 2р + q Sp-q а) Aq-p p-Aq б) 7. Докажите, что: а) выражение {x-2yf . {х + 2у) + х^+Ау^ х^Ау^ тождественно равно 2; б) выражение (2а - 36)2 (2а + 36)^ Sab Sab тождественно равно -3. 8. Воспользовавшись равенством ^ , представьте дробь с с с в виде суммы целого выражения и дроби: . 6х + 2у а) ---г^ = б) 4а + 46 + с - d 2 Алгебра. Рабочая тетрадь 8 кл. Ч. 1 17 в) г) j/4 3z/ + 12 y + S сЧ8с + 3 _ с + 6 II 9. Докажите, что при всех значениях с (с ^ 1) выражение Зс 5с-7 ^ 6-с2 (с-1)6 (с-1)6 (с-1) g- принимает отрицательные значения. 10. Упростите выражение: д2+7аЬ ЬаЬ 2аЬ + 2ЬЬ^ а) (а + (а + ЪЪУ (а + бЬу б) {х + 2уУ (х-2уУ 3x2+4z/2 ЗхЧ4у^ -. тт (с - 3)2 6с 3 + 2с2 11. Докажите, что значение выражения н —г + —=—- не г2+4 с2+4 с2+4 зависит от значения переменной с. 18 тт ^ Ь^-2Ьу + 7Ь-Ыу - „ 12. Представьте дробь ---^ --g------ в виде суммы двух дробей, (Ь - 2уУ знаменателями которых служит выражение Ь — 2у. 13. Докажите, что значение выражения Snjn - ly 2(3-4п) 4п + 6 п-3 п-3 п-3 при любом натуральном п, отличном от 3, кратно 6. 14. Найдите значение выражения c^-bcd d(2c + 3d) . d^-7cd 2cd c^- 2cd ^ 2cd при c 1 условии, что — = -d 5 Ответ: 19 СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ ш 1. Заполните таблицу. Первая дробь Вторая дробь Наименьший общий знаменатель Дополнительный множитель к первой дроби Дополнительный множитель ко второй дроби 7х 12x^y^z^ -г 3X^2 2z/2 &х‘г* а а2 46 5 11 бсЧ’’ 3 7 Зх*у^ 2 J_ 5(а - 6) 4а 1 5 9(д: + yf 6{х + у) 2. Выполните сложение или вычитание дробей: 6 + 2 3 - 6 _ 3(6 + 2) - 2(3 - 6) _ 36 + 6 - 6 + 26 _ 56 _ 1 106 156 “ 306 “ 306 “ 306 “6 . 2а - 7 а + 3 а) — + б) 14а 21а х^+5 7 + 2х^ 20х гох 20 ^ 9j/ ^ 2y r) a^-4 2 +a* Sa 12a 3. Выполните указанное действие: a) в) г) д + 2 д2-1 _ За« а® 2&2 ^ 36« 7 -т 3 + 2/тг 6т® 2-Зр2 4+р _ 15р« Юр" 4. Представьте в виде дроби: с +1 2с а) с — 3 с + 3 б) у+1 у-2_ 2у у-З в) Ъ Ь + 1 ЗЬ-2 ЗЬ + 2 . d+1 d-4 3d d-2 21 5. Упростите выражение и найдите его значение при у = —3: У-2 у-1 _ а) 1/2-1 У^+У б) у+1 у-4 у^-4 у^-2у Ответ: а) б) 6. Речной трамвай отправляется от пристани А к пристани В и возвращается обратно. Скорость речного трамвая в стоячей воде равна 20 км/ч, расстояние между пристанями s км. Определите время t ч, затраченное речным трамваем на весь путь, если известно, что скорость течения реки равна и км/ч. Решение..................................................... Найдите t при: а) s = 37,5, и = 5; б) s = 19,2, и = 4. Ответ: а) б) 22 7. Представьте в виде дроби: . а + 26 а - 26 а) а-------------— = б) 2- 2х-3у х + 2у _ 3 9 ^ а + Ь а-Ъ „ в)---------г---2 = г) = с -1 с + 1 8. Найдите значение выражения: , , 6 - 356 + 63 , - ^ а) 6--бГГзб— ^ ^ 2 9 + Зс-26сЗ+с® о к Ответ: а) б) 23 II 9. Упростите выражение: а) р-2 Р -Р + 1 б) х+2 х-2 х + 1 6х + 3 + ^5--Г в) а-2Ь а^+ 2аЪ а^+ аЬ + Ь^ а^-Ъ^ а- Ь I у-1 _ Р + 1 6у-2 9у^-1 ' 9y + S 24 10. Докажите тождество + 2а 4а^ а+ 1 а^+1 а‘*+1 + 8а^ 11. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной с значение выражения не зависит от с: а) с-1 с-3 12 с +1 -9 с + 3 б) 2с+ 4 4с + 2с^ сЧ2с + 4 с-2 сЗ-8 12. Докажите, что при любых допустимых значениях переменной у у^-4у 4у^+1Ьу-81 ^ выражение - -- н— ----------^ оу принимает только поло- у + 3 жительные значения у^-9 25 13. Докажите тождество (а-2)(а-3) (а-1)(а-4) 15 5 (а - 1)(а - 2) а 5 3 15* УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ. ВОЗВЕДЕНИЕ ДРОБИ В СТЕПЕНЬ Ь' d~ bd' UJ “ ш 1. Выполните умножение: а) ^ б) в) г) 7*2 126 13аЗ 4с 8 ■ а® 2д:^ Юу® Ьу llps 2q^ ЪЪр^ 2. Представьте в виде дроби; •>(|^)’=.............. 2а б) 26 .................... 3. Упростите выражение: л к^з,.б ба^с _ 0,5х^у^-6а*с _ Зa'^cx ^ ‘ 7х^у'^ ” 7х^ 7у2 ................. ............. => .......................... 4. Возведите в степень: •> (-^1 ■.................... ч-^)‘-....................... «(-2^1=...................... 5. Выполните умножение: . x^+S х^-4х + 4_ х^-2х + 4~ 27 б) {21c^-d^) Ъс 18с^+ 6c^(i + 6. Представьте в виде дроби: , ,c-dV с^+гсЧ + Zcd^-Ki^ а) c + d) c^-Sc^d + Scd^-d^ х^- бху ’ хЧбху + V Га: + 3{/? ^ + 91/2 l^jc-31/J 7. Найдите значение выражения: , 2х^-8у^ 6х-2у ^ а) —5---— * к при д: = 9, у = Зх-у дх + 10у 1 2 ’ б) аЧбаЬ + 9Ь^ bU 4.Ь^ + 4 а2-9&2 при а = 1,5, Ь = -0,5. Ответ: а) б) 28 II 8. Упростите выражение: AaV 2ат^ 10 а) Sb а^Ь'^п б) 14c2rf7 2Ьа^с^ 9б1бс/2 15а&^ ’ 42^3 * 10с1^ 9. Выполните умножение: ах^-а 2х^ _ а{х - 1)(х + 1) х^(х + 2) _ х^(х -1) х + 2 а^х + а‘ (х + 2)а^(х + 1) а) аЬ + ас 2с 4с^ Ьх + сх Ьх-Ьу ( 2х^у^ ^ _ ^ бх^у^ I, ау - ах) в) с Sac 2а^ ' с-1 г) (х^-25у^) Ах^у х^-\бху + 25у' 29 10. Докажите, что если а - 2Ь = 0, то значение выражения ( a^-Sab + - 16Ь^ Y а^-ЫаЬ + 49ЬЧ не зависит от значений переменных а и Ь, 11. Выполните умножение: а) c3-6d-2c + 3c2d 5с2+10 б) х^+2ху^~ х^у-2у^ (x-yf+Sxy х^-у^ х^-4у^ 49 12. Найдите значение выражения если известно, что 2Ь-1 = 5. ь 30 13. Докажите тождество (ттг, п — натуральные числа): а) рт-2 ,2т. 2 р'" + 4 р 2т = 1; а^-Ь" а"Ь^"' а"+Ь" _ ( & Y. а^пъ^п д2л_^2п ’ в) Д.ЗП, -у.п,,2п У___________ = |уП 2л г' ■ 14. Найдите значение выражения при л: = -0,5. л:‘*+ JC^+ л: + 1 (д:-1)2 5л:3 х^- х + 1 гх^-бх + з Ах^ 31 ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ а . _ а d Ь* d~ Ъ' с ш 1. Выполните деление: 12а® . 4а а) б) 76® *21fc 2х^у , Ъх 5 '2у~ в) 27сЧ:^ = г) = Д) = 2. Упростите выражение: 16д:®у® ^ f_5^1 _ _ 16jc®y®» 9а® _ _ баху^ Sab * V 9а® J Sab • 8л:1/ Ь ^ 5Ь® Ч 25аЬ J gx 20c®d .Г 5cd® ^ _ ^ За Ч 8а® J"......................... ч 2,5jf^y® . ОуЬху^ _ ^ 0,2а& ■ 0,8а® п, 18pvf Igi 32 3. Выполните деление: уЧу" 2у + 2уЗ_ у2(1 + у^).5г _ Ьу 8г® ■ 52 8гЗ-2у(1 + у2) 162^ а) 5а-10а^ 7а^-14а® 26^ ЗЬ® 2а2-4а + 1 3-12а + 6а2 36-6 * 56-10 , 1 + 2с2 ( 6с®+сМ х^- JC^ 2лг®-2л:® 5i/-10* 2 4. Упростите выражение: 6дс^-46 л:-2 а) х^+1 *4х + 4 4у^-4у^ ,Sy^-Sy^ _ ^ у^-у + 1' 2у^+2 3 Алгебра. Рабочая тетрадь 8 кл. Ч. 1 33 5. Выполните действие: . &2+10& + 25 Ь + 5 а) (b-5f 'Ь^-ЮЬ + гб б) 6с2+12с-8 с2-4с + 4 С + 3 6. Найдите значение выражения: За^-ба^ а) д + 2 :(а-2) при а =-3,5; б) (5л: +15i/): при д: = 2,5, г/= 1,5. Ответ: а) б) 7. Упростите выражение: Ь-2 Ь^-4: а) Ь^-Ьс + ‘ Ь^+ с® б) 2д:^- 2?/^ х^+ ху + _ 1/2-25 ' 1/ + 5 “ 34 II 8. Докажите, что если х + у - z = Оу то верно равенство (л: - Зу + (5л: + у - 2zf 1х-\-9у -Qz z-2x-4y = -1. Решение. Из условия х + у — z = О находим, что z = х + у. Выполнив подстановку, получим 9. Найдите значение выражения: а) 9x^-1 х^+ 1 Зл: + 1 1 б) аЬ- 2Ь- а + 2аЪ + * а + Ь при а = 0,2, Ъ = -0,3. 2Ь-а аЧ За& - 2аЬ - бЬ^ 2Ь - а а®+ 2а& + 6^ * а + ь (а + * а + 6 Ответ; а) б) 35 10. Выполните деление: . у^- 2су + 3dy - 6cd у^- 2су - Sdy + 6cd ^ у^ + 2су - Sdy - 6cd ' у^ + 2су + 3dy + 6cd б) д:3+ 9х + 4x4 36 (х - 3)4 6х jc4 Зх^-9х-27' (х + 3)2- 18 - бд: 11. Зная, что ——^ = 8, найдите значение выражения а^-2Ь^ 2а4 За^Ь + аЬ4 Решение. Из равенства а2- 4аЬ + Ъа-Ъ 6а2+2&2 = 8 выразим Ъ через а: Ь = -За. Вы- а^-2Ь^ 2а4 За^Ь + аЬ4 полним подстановку: ----- а^-2(-3af . 2аЧ За^С-За) + а(-ЗаУ+ (-3af _ “ а^- 4а(-3а) + (-За)^ ’ 6а‘+ 2(-За)‘ Ответ: 36 12, Докажите, что частное от деления дроби 25-а^4аЬ-4&^ lOfe + 2аЬ - а^+ 25 на ^ 2Ь — Ь — а „ , дробь -т--7^ не зависит от значении переменных а и о, 6а +15 13. Выполните деление (п — натуральное число): а) ,2п -4 л:"+2 ,2га + 1 б) ,2п Ап 14. Докажите, что значение выражения x4 4x-21 лЧ10л: + 21 ■ (2л:+ 6)2 неотрицательно при всех допустимых значениях переменной х. 37 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ ш 1. Выполните действия: б) а + Ь 7а Ь^-аЪ^ ^4 * 7а в) тп^+п\п^ m2+3m/i 4 ' 2m 2 г) (?- 2 pq q-p 2. Упростите выражение: (x + Sy ^ -2-«-2 |^л:-31/ х + 3j/ Зг/ х^-9у^^ х^+ 9у^ б) За-2 За+ 2) 8а^ За + 2 За - 2 )’ За - 2 38 3. Докажите, что выражение равно целому выражению. (а - аЬ тождественно 4. Закончите решение. ух + 1 лг-ljl, 6 ) 3 3 _ 3(jc - 1) - 3(jc + 1) 1) х + 1 х-1 {х + 1)(JC - 1) 11л:-1 12л: - (11л:-1) 2) 2л:- 3) 6 6 4) 5. Выполните указанные действия: а) 1) 1 У —+—1 -2 у + 2) (у=-4)-2 = 1 1 _у‘-4-{у + 2) + (у-2) _ у-2 у + 2 J/2-4 2) 3) 39 б) а + Ь а-Ъ 1 = а-о а-Ъ 2) 3) 6. Докажите, что при любом положительном значении т значение выражения т - 2 т т + 2 ) 2т 2т^+т + 4: т + 2 2т^ является отрицательным числом т-2 1) т т + 2 3 ^ ^ _ (т - 2)(т + 2) - Зт +/тг(т + 2) т{т + 2) 2) 3) 40 II 7. Докажите, что значение выражения 1.1 1 1 (а-х)(х-2) (а-х)(а-2) (х - 2)(а - 2)J ' а - х ' (а + 2)^-8а положительно при а > 2 и любом допустимом значении х. 8. Найдите значение выражения 1,2а 2Ь) [а^ ) 2аЬ при условии, что a + fe = 5, аЪ = 2. Ответ: 41 9. Упростите выражение (п — натуральное число) 2а 4п-3 + 4а" — 4а"''’^ а^ — 2 Зп 10. Представьте выражение 1 + дроби. в виде рациональной 1 + 1 + 2л:-3 11. При каком значении с выражение 16 наибольшее значение? Найдите это значение. принимает Ответ: 42 12. Представьте в виде степени рациональной дроби: а) -+4 X ^ 12 8 х + — + 6 + — Ъ-2х 8л: --;--+ б) Ъ-2х Ъ^2х 8jc Ъ + 2х 3 ФУНКЦИЯ у = ^ и ЕЁ ГРАФИК ш 1. функция задана формулой ^ • Заполните таблицу. X -8 -2 -1 4 10 16 100 у 0,25 20 2. Обратная пропорциональность задана формулой У = ~ — • Заполните таблицу. X 4 -1 -0,25 -0,02 У -10 -1 80 200 43 3. На рисунке изображён график одной из перечисленных функций. Укажите эту функцию. 1. у = ~- ^ X 3. у = 1 2. у = -~ ^ X 4. у = — ^ X 4. Пересекает ли график функ- 13 ции у = — прямая: а) у = -7; 6) у = 0; Ответ: а) ......... б) в) у = 7; г) у= 100? ...... в) ........... г) 5. Функция задана формулой у = . Принадлежит ли графику ЭТОЙ функции точка: а) А (-0,04; 250); б) В (-0,2; -500); в) С (200; 0,5); г) D (-500; -0,2)? Ответ: а) ....... б) ......... в) ........... г) ........ 6. Сколько точек, абсцисса и ордината которых являются противо- 81 положными числами, принадлежит графику функции у = — — 1 Найдите координаты всех таких точек. Ответ: 44 7. На рисунке изображён график функции, заданной формулой g ^ . Найдите по графику: а) значение у, соответствующее заданному значению х: если X = 1, то у = ....... если х = -3, то у = ............ если X = -4,5, то у = .... если х = 9у то у = ............. б) значение х, которому соответствует заданное значение yi у = -4,5 при X =.......... I/ = 2 при X = ................. у = -1 при X =............ у = -2 при X = ................. k 8. Известно, что график функции У = — проходит через точку А (20; 0,6). Проходит ли график этой функции через точку: а) В(-1;-6); б)С(-2;10); в) D(5;2,4); г) £(-10;-1,2)? Ответ: а) б) в) г) 45 9. Постройте график функции У = ~~* заполнив предварительно таблицу. с -12 -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 / ! 1 ^ ^ 1 1 ' 1 'Т 1 1 1 1 1 1 L 1 I . 1 ! 11 1 1 i г , 1 , 1 ' 1 ^ |_ J 1 1 1 1 1 1 - ! 1 : 1 1 j 1 i 1 1 1 1 Г 1 : — 1 i j Г 1 1 i 1 1 ! 1 1 1 : i : 1— ! 1 1 ' 1 1 j П ; i 1 1 — —1 1 i ■ i— 0 i X 1 ! 1 ' \ L — - 1 T i- . 1 — 1 _ 1 J 1 ' 1 i — ^ ! 1 ' 1 1 1 1 — —■ : . J ' ' 1 1 1 1 1 ^ll - г 1 i 1 1 1 1 1 . I 1 -- 1 di - - I 1 1 12 46 II 10. Задайте формулой обратную пропорциональность, зная, что её график проходит через точку: а) А (16; 0,125); б) В (-0,5; -2,4); в) С ( ^^4)- Ответ: а) б) в) 11. При каких значениях k и Ь прямая у = kx + Ь и гипербола У = — проходят через точку: а) М (4; 5); б) N (-3; 2)? Ответ: а) б) 12. Напишите уравнение какой-либо прямой, которая с гиперболой У = -^: ^ д: а) имеет одну общую точку: б) имеет две общие точки: в) не имеет общих точек: 47 12 13. Постройте график функции у = — и найдите координаты его точек, находящихся от оси у на расстоянии, равном 8. X -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12 у Ответ: 16 14. Докажите, что гипербола У = ~ и прямая у = -х - S имеют только одну общую точку. Найдите координаты этой точки. Ответ: 48 15. Постройте график функции: ^'=Ы’ б) г/ = -А X у а) ' I 1 !б) r I 1 I i.. y^ 1 1 I 1 1 ! 1 i г I i ' I 1 L I 1 1 ■ i 1 ■ 1 1 I 1 1 1 1 T 1 т ! i J I ! i J 1 1 ; I Т 1 -4--^ г • I I П 1 i . f' ' Г I I - ^ 1 1 I 1 I 1 г 1 I [ 1 1 1 ! ! ! I I I i 0 1 X I I j ' I 0 X 1 г г - I i . ^ 1" 1 I ■ ' , I !' ! [ 1 j 1 i I I ! 1 I 1 1 I _ 1 ! I L 1 j j 1 ! I i 1 I ! I I ^ 1 I i I n I j P' J: ll I 1 i j 1 j ‘ Г' Г' I I i 1 1 r I j 49 7,5 16. Решите графически систему уравнений х \у-х = 2. X -7,5 -5 -3 -2,5 -1 1 2,5 3 5 7,5 у X У Ответ: 50 г лава 11 КВАДРАТНЫЕ КОРНИ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Принятые обозначения: N — множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел, Q — множество рациональных чисел, аеХ — а является элементом множества X, Ь^ё¥ — Ь не является элементом множества У. ш 1. Какие из чисел: 301; -72; 0; 1,5; ; 4^; 26; -10,3; -600 — яв- о I ляются: а) натуральными; б) целыми; в) рациональными? Ответ: а) ................................................. б) ................................................. в) ................................................. 2. Подчеркните верные высказывания: -5 € ЛГ; 4,3 г ЛГ; 1 е Z; -f.Z; 6Z- 28®еЛГ- -17 -1681 ^ 41 3. Представьте пятью разными способами число -7 ния целого числа к натуральному. В виде отноше- -7 = ^* ^ 3 ’ -7 = ; -7 = > -7 = ; -7 = ; -7 = 51 4. Заполните таблицу. а -8 6 -0,75 3,2 100,5 Ъ -1 12 0 -4 15 -1 4а - Ъ -21 5. Впишите три каких-либо числа, заключённые между данными числами: а) 14,4, б) -0,6, в) 6|, г) -6,1, , 14,46; , -0,51; й 8 ’ ®1б' , -5. 6. Сравнивая рациональные числа, ученик допустил две ошибки. Найдите их и исправьте: а) 0,08 > 0,008; б) 4,14 < 4,141; в) -3,16 < -3,17; г) -5,008 > -5,009; д) -0,004 > -0,0035; е) -10,16 < -10,06. Ответ; в задании .... должен быть знак ....; в задании ... должен быть знак .... 7. Какие из данных высказываний не являются верными: а) если а е N и а + Ь е N, то Ь е N; б) если а е N и аЬ е N, то Ь е N; в) если asN и a-b^N, то Ь g N; г) если а - Ь е N и Ь е N, то а е N? Ответ: ........................................ 52 д 8. Представьте число в виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем: 17 ——• 8 2 —— — —• о Об — - ^ ^ 17-^, 100 50' а) 12 = б) 6,5 = в) 0,18 = г) -2| = е) -0,01 = Верно ли, что если каждое из целых чисел а и Ь является чётным, то значение выражения (За + 2Ь + 1) (а + Ь + 3) также является чётным числом? Ответ обоснуйте. 10. На координатной прямой отмечены начальная точка О, точка А (-2) и точка В (х). Укажите пять каких-либо значений при которых точка В расположена ближе к точке О, чем точка А. О Ответ: 53 11. Не вычисляя значения выражения, сравните его с единицей: , 276==+143^ р, (4,17-3,94)^ ' (276 + 143)2 ’ ■* 4,172+3,942 □ 1; (1,46 + 7,16)2 р, ’ 2 1,46-7,16 ^ ’ . 234-176 +1172 р| (117 + 176)2 ' ■ 12. Представьте число какими-либо двумя способами в виде дроби ^, где а S Z, Ь е N: -п = в) 3i = б) 2,4 = г) 15 = 13. Укажите пять каких-либо чисел, заключённых между числами 1 1 8 ** 3- Ответ: 14. Укажите все обыкновенные дроби со знаменателем 25, заключённые между числами 0,06 и 0,3. Решение. Между числами 0,06 и 0,30 заключены следующие десятичные дроби со знаменателем 100: 0,07, 0,08, ..., 0,28, 0,29. Обращаются в обыкновенные дроби со знаменателем 25 те из них, у которых число сотых долей кратно ................ т. е. дроби: ........................................... Представив их в виде обыкновенных дробей, получим Ответ: ................................................. 54 ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел, его принято обозначать буквой R, ш 1. Верно ли высказывание: а) если а Е N, то а е Z; б) если а е R, то а е Q; в) если а ^ Zy то а € Q; г) если а «г Z, то а N7 При отрицательном ответе приведите контрпример. Ответ: а) в) б) г) 2. Подчеркните числа, которые являются иррациональными (здесь и далее предполагается, что закономерность в записи десятичной дроби, наблюдаемая вначале, сохраняется и в дальнейшем): 0,715; -276,4(3); -3,10101; 0,373373337...; 2,404004000...; 15,8(6). 3. Сравните числа а и Ь, если: а) а = 3,(62), Ь = 3,62622622...; б) а =0,515115111..., Ь = 0,(5); в) а = 4,2(3), Ь = 4,232332333...; г) а =-2,(7), Ь = - 2,787887888.... Ответ: а) .................... б) ............................ в) .................... г) ............................ 4. Укажите два каких-либо положительных иррациональных числа, меньших 1. Ответ: ....................................................... 55 5. На координатной прямой отмечены числа к и 2к. Укажите; а) все целые числа, расположенные между ними; ......... б) два каких-либо дробных рациональных числа, расположенных между ними; ....................................... О 2я II 6. На координатной прямой отмечены точки А (8,1) и В (9,4). Известно, что точка С расположена между точками А и Б. Укажите какое-либо возможное значение координаты точки С, выраженное; а) рациональным числом; .............................. б) иррациональным числом; ............................ 8,1 9,4 7. Зная, что п = 3,1415926..., определите, верно ли неравенство; а) 2л > 6,2; б) -л < -3; в) л + 4,5 >8; г) Зл -н 6 > 15. Ответ: а) б) в) г) 8. Объём шара вычисляется по формуле V = ^ kR^ , где R — радиус о шара. Пользуясь калькулятором, найдите объём, шара, если R= 12,6 (значение л округлите до сотых). Ответ: 56 9. Составьте формулу для вычисления площади S кольца, ограниченного окружностями, радиусы которых равны R и г. Пользуясь калькулятором, найдите с точностью до 0,01 площадь кольца, если i? = 4,18 и г = 2,11 (значение п округлите до сотых). Ответ; 10. Из приближённых значений числа п, равных 3,14 и S—, выберите более точное. Ответ: 11. Расположите в порядке возрастания числа: -1,06, 5,13(6), 6,08, 2я, 5,(4), 5,434334333..., -тс, -Зтс. 12. Расположите в порядке убывания числа: -2,06, 2я, -я, -2(3), -i, 2,6. О 13. Укажите два каких-либо иррациональных числа, заключённых между числами 2,9 и тс. Ответ: 57 АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ у[а - Ь, если выполняются два условия: 1) Ь > 0, 2) = а. ш 1. Подчеркните верные равенства: Лб9=13; V0.144 =0,12; Vo,36 =0,06; /Ж V 121 А. 11’ 2. Найдите значение корня: а) V49= б) V0,0081 = г) /ИГ= \289 д) [Ш = \36 V0,0025=0,05; /X V 289 1_ ^ J_ 289 17 • в) Vo, 64 = 3. Вычислите значение выражения: а) |V0^ = б) = г) -0,бМ = 4. Найдите значение выражения при указанном значении переменной: а) если а = 48, то 12у/а +1 =..... б) если а = -5, то —>1220 —а = ... в) если а = -17, то 0,3л/2а + 38 = . г) если а = -7,6, то -V3a + 23,8 = 58 5. Закончите запись: а) если а = 5 и Ь = 16, то уПо + Ъ =....................... б) если а - 121 и Ь = О, то yfa + TTb =.................... в) если а = 49 и Ь = -1, то yj2(a - Ь) =................... г) если а = 17 и Ь = 50, то yj-(2a-b) = ................... 6. Решите уравнение; а) V^ = 0,4; б) Vx = 0; в) у[х = -3; г) л/^ = 0,01. Ответ; а) ................... б) .......................... в) ................... г) .......................... 7. Подчеркните выражения, которые имеют смысл; ТРПУ: -VhiF. II 8. Заполните таблицу. Формула, задающая функцию у = у[х У^-уГх У = У = ^jЩ 1/ = ^|х| + 4 Значение аргумента 36 16 -9 -1,21 -12 Значение функции -4 9. Решите уравнение; а) yJx + 16 = 4; б) 7ГЛс=3; 59 в) yjх-11 = 0; г) у1Ы-х = 26 Ответ: а) в) б) г) 10. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел от 10 до 99, найдите значение выражения: а) VV256 +11= . б) -772401+29 = . в) з77б5бГ-0,3 = г) -577625+13= . 11. Какая из точек расположена на координатной прямой ближе к точке с координатой нуль: а) A(-Vl6,81) или В(72бГ01); б) А (-,/50,41) или B(-V65,61)? Ответ: а) б) 12. Ученикам было предложено найти, при каких значениях х верно равенство 7,6у15х + у1 х + 4 = 60, Были получены разные ответы. Выберите верный ответ. 1. 15 2. о 3. -13 4. 12 60 13. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел от 10 до 99, найдите расстояние между точками А и В на координатной прямой, если: а) А(^39,69), В(VI,69); б) A(V26,01), B(V9,61). Ответ: а) б) 14. При каких значениях а имеет смысл выражение: б) у1~(а + 4)^ ; в) у1а^ + 9; е) V-а^ -н 2а -1 ? а) ; г) V(«-ii)^; д) va^ + 16а + 65 ; Ответ: а) г) б) Д) в) е) 15. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения (п^ +14) - 2(п^ -18) является натуральным числом. 61 УРАВНЕНИЕ х^=а Если а > о, то уравнение = а имеет два корня: yfa и -yfa. Если а = О, то уравнение = а имеет единственный корень, равный нулю. Если а < О, то уравнение = а корней не имеет. ш 1. Решите уравнение: а) = 49; б) = 17; Ответ: а) ......... б) .... в) = 0; в) ......... г) х^ = -4. г) ...... 2, С помощью стрелки укажите, какими числами (рациональными или иррациональными) являются корни уравнения, если они существуют. х‘=81 х==10 х2=-16 9 корней нет jc2=-0,36 3. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел от 10 до 99, найдите корни уравнения: а)л:2 = 529; б) ^2 = 2304; в) л:2 = 47,61; г)л:2 = 54,76. ^1 = = X, = ^1 = ^2 ~ 62 4. С помощью калькулятора найдите приближённые значения корней уравнения с точностью до 0,1: а) л:2 = 28,17; X. ~ ......... б) л:2= 79,16; X, ~ ......... в) Jc2 = 7,02; X, ~ ........ X. г) jc2=0,79. 5. Решите уравнение: а) - 49 = 0; б) 36-x^ = 0; в) х^ - 0,06 = 0,03; г) 0,02 + х^ = 0,38. Ответ: а) в) б) г) 6. Найдите значения р, при которых двучлены + 17 и 44 - 2р^ принимают равные значения. Ответ: 63 7. Найдите значения by при которых двучлены ^>^-16 и 12 + принимают противоположные значения. Ответ: 8. С помощью графика функции у = х^, изображённого на рисунке, найдите приближённые значения корней уравнения с точностью до 0,1: а) = 7; б) = 5,5 Ответ: а) х^ ~...... х^ ~....... ; б) х^^ ......... 64 и 9. Решите уравнение: а) ISx^ = 52; б) 0,2х^ = 1,8; в) -х^ = -0,09, Ответ: а) б) в) 10. Найдите значения г/, при которых выражения 48 - Sy^ - (3 - у) и 2у^ + у принимают равные значения. Ответ: 11. Решите уравнение и укажите все целые числа, которые заключены между его корнями: а) 3x2 = 48; б) |лг^=3; в) 0,6л:2 = 21,6; г) 2х^ = 3,92. Ответ: а) б) в) г) 65 12. Решите уравнение: (л;-11)2 = 17; л:-11 = Л7 или л;-11 = -Л7; л:, = 11 + Л7, *2 = 11-Л7. а) (х - 8)2 = 64; б) (л: + З)^ = 49; в) (х + 5)2 = 6; г) (х - 13)2 = 3. Ответ: а) в) б) г) 13. Один из корней уравнения + 32 равен 5,7. Найдите зна- чение параметра Ь, Ответ: Tzd^ 14. а) Из формулы S =----, задаюш;ей зависимость площади S круга 4 от его диаметра d, выразите переменную d через S. 66 б) Из формулы V = -^Kr^hy задающей зависимость объёма V ко- о нуса от радиуса основания г и высоты Л, выразите переменную г через V VI hi........................................ 15. Докажите, что если а = 2тПу Ь = где т vi п — целые числа, то корнями уравнения являются целые числа. НАХОЖДЕНИЕ ПРИБЛИЖЁННЫХ ЗНАЧЕНИЙ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ш 1. Укажите с помощью стрелки, каким числом — рациональным или иррациональным — является значение корня. 4^ V61 ^^ращюнальное числ^ иррациональное число VT44 V5TO лУб09 2. Укажите три каких-либо значения р, при которых значение выражения >/2р + 1 является: а) рациональным числом: .............................. б) иррациональным числом: ............................ 67 3. Укажите два последовательных натуральных числа, между которыми заключено значение корня: а) < < б) < V50,l < в) < л/Ю8 < г) < >/94,3 < Укажите два последовательных заключено значение выражения целых числа, между ] а) < -V5 < б) < -s/Ш ■ в) < -Vl7 < г) .... < -4Т2 ■ 5. С помощью калькулятора найдите с точностью до 0,1 см сторону квадрата, площадь которого равна: а) 20 см^; Ответ: а) . в) . б) 53 см^; в) 60,5 см^; б) ........... г) ........... г) 112,4 см^. 6. Используя калькулятор, найдите с точностью до 1 см: а) гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого равны 17 см и 39 см; б) катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 43 см, а другой катет — 23 см. Ответ; а) б) 68 II 7. С помощью калькулятора найдите значение выражения с точностью до 0,01: а) если а = 4,5, то л/За + 11 - б) если Ь = 16,76, то -j6b-4 8. Время t (в секундах), за которое свободно падающее тело проходит в безвоздушном пространстве расстояние s м, вычисляется по 2s формуле ^» 10 м/с^. Пользуясь калькулятором, вычислите t (с точностью до 0,1 с), если s равно: а) 52; б) 148. Ответ: а) б) 9. Участок, изображённый на рисунке, состоит из двух квадратов. Площади квадратов равны 56 м^ и 216 м^. С помощью калькулятора найдите с точностью до 0,1 м длину забора, которым обнесён этот участок. Решение. Периметр фигуры состоит из трёх сторон большого квадрата, каждая из которых равна................, трёх сторон ма- лого квадрата, каждая из которых равна ........., и отрезка, равного разности сторон квадратов, т. е. ................. Значит, длина забора равна 3V2T6+................. . , . Ответ: 69 10. Путь s м, пройденный телом за f с при равномерно ускоренном движении, вычисляется по формуле s = , где а м/с^ — уско- А рение. Выразите из этой формулы переменную t через s и а, С помощью калькулятора найдите значение t (с точностью до 0,1), если S = 1720, а = 6. Ответ: а) ..................... б) 11. Найдите с помощью калькулятора с точностью до 0,01 значение выражения >/12,63«2,81 + 2,81*47,75 , предварительно преобразовав подкоренное выражение. Ответ: ....................................................... 12. Пользуясь калькулятором, найдите с точностью до 0,01 значение выражения при х = 15,26, у = 43,11: а) yjx + y =................................................. б) ^/х + у[у =............................................... в) =.................................................. г) yjyjx + y =............................................... 70 13. Длина стороны правильного пятиугольника, вписанного в круг радиуса Я, вычисляется по формуле =^bViO^-V^. Найди-те с помощью калькулятора (с точностью до 0,1 см), если: а) Л = 6,8; б) Л = 12,6. Ответ: а) б) [D ФУНКЦИЯ у = ^ и ЕЁ ГРАФИК ш 1. функция задана формулой у = у[х. Закончите запись: областью определения функции является . областью значений функции является с увеличением значения аргумента значение функции 2. Функция задана формулой у = -Гх . Заполните таблицу, используя при необходимости калькулятор и округляя результат до целых. X 0 1 9 36 47 73 108 2000 3547 у 8 71 3. функция задана формулой у = уГх . Заполните пропуски: а) если л: = 4, то у =....; если л: = 81, то у =.....; если X = 144, то у =....; б) у = 1 при X =...уУ = 7 при X =.....у У = 11 при X =....... 4. Используя график функции у = yfx, изображённый на рисунке, найдите: а) значение функции при указанном значении аргумента: если X = б, то I/ ~...; если х = 7, то у ~....; если х = 8,5, то у ^.....; б) значение аргумента, которому соответствует указанное значение функции: у = S при X ~....; у = 1,5 при х ~....; у = 2,5 при х ~...... 5. Графики каких из данных функций: а)у = -4; б) у =12; в) у = О; г) Z/ = 10 000; д) у = -б не имеют общих точек с графиком функции у = yfx ? Ответ: ........................................ 72 6. а) Известно, что точка А принадлежит графику функции у = уГх и её абсцисса равна 16. Чему равна ордината этой точки? б) Известно, что точка В принадлежит графику функции у = yfx и её ордината равна 16. Чему равна абсцисса этой точки? Ответ: а) .................. б) .......................... 7. Пересекает ли график функции у = лГх прямая: а) л: = 8; б) я: = -4; в) лг = 0; г) лс = 100? Ответ: а) .................. б) .......................... в) г) ........................................ 8. Подчеркните точки, которые принадлежат графику функции y = yfx: А (25; 5), Е (0; 0), В (36; -6), F(144; 12), С (0,49; 0,7), 1Г(1; 1). D (16; -4), II 9. Пользуясь калькулятором, найдите с точностью до 0,1 приращение, которое функция у = yfx получает при возрастании лс: а) от 15 до 26; б) от 102 до 542. а) ^/T5«. V^->/T5~ б) VT02« ... ч/^-7Т02 73 10. с помощью графика функции у = Vjc , изображённого на рисунке, сделайте вывод о числе корней уравнения: а) уГх = х; б) yfx = в) >/х=64; г) у[х = -х-6. Ответ; а) ..................... б) в) г) 11. Имеют ли общие точки графики уравнений: а) у = у/х и у = 2х; в) I/ = yfx и X = 1; Ответ: а) ........... в) .......... б) У = у[х и у = -х- 4; г) у = у[х и у = 17 .... б) .................... .... г) .................... 12. Докажите, что прямая у = х 0,Ь не пересекает график функции у = 74 I— 8 13. Решите графически уравнение у1х = — , воспользовавшись графиком функции у = \[х , изображённом на рисунке. Для построения графика функции У = — при jc > О заполните таблицу. X 1 2 3 4 5 6 7 8 у Ответ: 75 14. Решите графически уравнение \[х = ^, воспользовавшись гра-фиком функции у = у[х , изображённом на рисунке. Ответ: 15. На рисунке изображены графики функций у = -уГх , у = , у = у[х + 2, г/ = yj-x . Около каждого графика запишите соответ-ствуюш;ую формулу. 76 КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ДРОБИ Если а ^ о и Ь > О, то yfab = J~a • yfb. Если а > О и Ь > О, то . ш 1. Найдите значение выражения: а) л/16-49 = .............. б) ^810,09 =............... в) V0,16-0,04 =............ г) VO-0001-0,36 =.......... 2. Вычислите значение корня: а) _ V 49 б) / 25 V 144 в) М- г) . 3. Найдите значение выражения (здесь и далее при необходимости воспользуйтесь таблицей квадратов натуральных чисел от 10 до 99): а) V256-49 = V^-V49 = б) V3481-1521 =........ в) V1.96-2,56 = ....... г) 74,41-900 =......... 77 4. Найдите значение дроби: а) / 169 б) /2601 _ V 7921 \9025 в) /62,41 _ г) 1 /0,0121 _ V 79,21 V 7921 5. Найдите значение выражения: ^ ^ п V196-49 Л96•^Д9 14-7 V19.6 -4,9 = ---------^----= ЛО" = а) V22,5-3,6=.. б) Vl6,9-4,9= . в) л/1.44-2,89 = г) V3,025-12,l = 6. Пользуясь калькулятором, найдите наиболее удобным способом значение выражения (с точностью до 0,1): Vl2,3 -V27,4 = V337,02 «18,4. а) =...................................... б) ^/M•^/6^ =..................................... в) 4^-4^=......................................... г) 7зД6-х/2Л =.................................... II 7. С помощью калькулятора найдите приближённое значение VT8 с точностью до 0,01: -v/TS ~............................... 78 Используя полученное приближённое равенство, найдите значение выражения: а) V78-0,12 + 78-0,24 «................................... б) V78-0,76-78-0,27 =..................................... 8. Найдите значение корня: “> Juki-.................................................. б) / 0.36 ^ ’ i 6,5^-2,5^ , I 0,008 _ ' V 0-62-0,42 Р) / .88^ ■■ ^ ’ \ 11,62-10,62 9. Вычислите значение корня: а) 72,92-2,12 = .......................................... б) 76,82 - 3,22 =......................................... в) 752-1,42 = ............................................ г) 7492-29,42 =........................................... 10. Отношение площадей двух кругов равно Радиус меньшего оо круга равен 5 см. Найдите радиус большего круга. Ответ: ................................................... 79 11. Представьте выражение в виде произведения двух корней: \l\2mn , где m < О, л < 0. Например, yll2mn = V-12m * V-п. '» Й а) у/ЗаЬ , где а > о, Ь > 0; б) » где р > О, g < 0; в) Vlla5c , где а < О, Ь < О, с > 0; г) yjax + ay , где а < О, л: < О, р < О, 12. Представьте выражение в виде частного двух корней: [Ш V 3q ’ где р < О, g < 0. Например, а) , где а < О, Ь < 0; б) ^ , где т < О, п < О, р > 0; в) J— , где а < О, р < О, g > 0; 80 г) , где л: < О, а < О, Ь > О. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ СТЕПЕНИ V^ = lxl при любом значении х. ш 1. Вычислите значение корня: а) V(3,7)^ = .......... в) ^(-8.6f = .......... б) V(o.ooi) г) V(-0,08) 2 _ 2 _ 2. Найдите значение выражения -6,2>/с^ при указанных значени- ях с: Если с = 8, то -6,2>/с^ = -6,2 • |с1 = -6,2 • 8 = -49,6. а) если с = -1000, то -6,2^/c^=................... б) если с =-0,03, то -6,2л/с^= ................... в) если с = -0,1, то —6,2л/с^ = 3. Подчеркните верные равенства: y/(-12f =(-12Г; л/(-7)« =(-7)3; VTl^ = (-ll)^; V(-ir = (-If: = (-2f; - VHOT = -10'. 81 4. Вычислите значение выражения: а) 2л/(4Д7 = ........... б) -V(-ll,6)2 О 3VPmF= ................. г) -5yJ(-0,9f = 5. Найдите значение корня: а) 4¥^ = б) =...... в) = г) 772.(-2)^-(-3)^ = 6. Упростите выражение: а) если а > Оу то = б) если р < О, то =... в) если X > Оу то = г) если с < О, то -Vl6c^(i® = 7. Преобразуйте выражение: 82 а) yjx^ + 4:x'^ + 4 = б) ^ + + = в) V7«+47+4 = г) у[а^-\-1-\-2а^ = д) л/ +16 - 8т® = е) V25-10n® = II 8. Найдите значение выражения: а) = б) V9"-(-6)^-(-2)" = в) V3"-2«-(-5)2 =... г) л/^7^-(-2Г-(-1Г = д) V5^.(-4)«.(-1)2 =... е) V(-3)® -(-1Г -0,22 = 9. Упростите выражение: а) ^169р^ =........... б) если а ^ о, то >/21,16а® = .. в) если с < о, то yflOOc^ = . г) если р < О, то 710 10. Преобразуйте выражение: а) = б) если & > О, то = в) если & > О, то ,49а^ г) если р ^ О, т > О, то ^ _ 16т® 83 11. Упростите выражение: V4-2>/3 =^(V3-l)2 = V3-1, а) V9^^W5 =.............. б) V7 + 4V3 =............ в) V3-2V2 =.............. г) Vi1-4n/7 =............ 12. На рисунке построены графики функций у = J/ = и У= Около каждого графика запишите соответ- ствующую формулу. 84 13. Постройте график функции у = „ ^ 1 -е ) -4 -i - - У i I __i. 4 6 ВЫНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ ЗА ЗНАК КОРНЯ. ВНЕСЕНИЕ МНОЖИТЕЛЯ ПОД ЗНАК КОРНЯ ш 1. Вынесите множитель за знак корня: У245 = = 7V5. а) Vl62 = V81-2 =....... б) Vo,48 = в) Vo,07 =.............. г) Vo,0041 2. Вынесите множитель за знак корня и упростите полученное выражение: а) 7V^=........................................... б) -iV44 = 85 в) -о,75V4800 = г) 0,03V^ = 3. Внесите множитель под знак корня: 0,7л/3 = V0,49-3 = Vl.47. а) llV5=............... б) 1,5л/2 = ............... г,1®. 4. Замените выражение квадратным корнем или выражением, противоположным квадратному корню: а) 6у[бс =.. в) -0,1с7^ = б) -12л/а=... г) 106л/Г7Ь = 5. Закончите запись, используя внесение множителя под знак корня; Если а>0, то 5ау[у = ^25а^г/ ; если &<0, то 2bVlc = -V45^. а) если р < о, то =.................................. б) если л: > о, то 6ху[у =................................. в) если с > 1, то llCyfWy =................................ г) если у <-0,1, то 7уу]2р =............................... 6. При каких значениях переменной верно равенство: а) aV7 = V^; б) Зр^ = ^-9р^ ; в) -y^yfy =-у[^ г) 0,1т^у/т^ =V0,01m® ? Ответ: а) ........ б) ......... в) ........... г) 86 7. Вынесите множитель за знак корня: а) 77"=... в) n/276® = б) Vl2a' =. г) 0,02т* II 8. Сравните значения выражений: а) -iVl664 и -0,2>/т; -|Vl664=-Ji.l664 = -0,2Vm = -л/0,04-725 =..... Значит, --1>/1664 П -0,2>/725; О б) iV2890 □ iV21^; в) |%/бТ2 □ г) ^л/2Ш □ iV2057. 87 9. Расположите в порядке возрастания числа: iV243, -|V448, O.WlOOO , -|^/M iV243 = -|V448 = = 5 o.iViooo = Расположив числа в порядке возрастания, получим 10. Расположите в порядке убывания числа; -0,1,/од, -|Ve, 0.2V8, 1,4Л, зТм -|V6 = -од^од=............. 0,2^8 =............. 1,4V2 =......... з7м=................ Расположив числа в порядке убывания, получим 11. Вынесите множитель за знак корня: а) если Ь ^ О, то yfb^ =.......... б) если а> 6, то у[(а-бУ = в) если а > О, то = г) если Ь ^ 4, то у1(4:-ЬУ = 88 12. Сравните значения выражений: а) 4а>/^ и 2aV4a^ при а > 1; б) и 6^^ при о < Ь < 1 13. Сравните: а) a^yfaF и Vo^ при а > 1; б) у*и при у < -6. 14. Имеет ли смысл выражение: а) л/2Л9-6; б) л/з7з^^; в) ^2^-у/29 ; г) ^6л/3-7ч/2 ? Ответ: а) б) ............ в) г) 89 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЕ КОРНИ ш 1, Упростите выражение: а) yJOySla - Vo,01а + Vl>44a = б) V2,25c - Vo,16с - Vo,01с = , в) + л/288х - ^450лг =. г) ^1,21/ -3V4,8j/ - 710,81/ = 2. Сократите дробь: а) б) ■l7-yf2 7бо + ч/^ >/45 + Vl35 3. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 2 а) в) Л 4 7^ б) г) бТа Зо 275 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: ........................................ 10 T7 + V2" .............. 90 в) г) 12 yfx + yfy 36(g-&) yfa - yfb 5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби и найдите с помощью калькулятора её приближённое значение с точностью до 0,01: а) б) yf^-2 4 л/З + 1 6. Преобразуйте выражение: а) (12-л/3)Ч12л/Т2=...... б) (n/6 +272)2-2^48 = в) (ЗV5 + ^/7)(77-375)= .... г) (5л/3 + бл/2)(бТ2-5ч/3) = 7. Сократите дробь: Д -1- -n/T а) б) в) г) 7-д2 ;с-225 _ 71-15 а - 4& Та-27ft' 57а-77ft 25а - 49ft 91 II 8. Имеет ли смысл выражение: а) л/Зб-ЗТб ; в) V12V2-4I; Ответ: а) ... в) ..... б) n/743-9V17 ; г) VUn/iT-1300 ? ..... б) ........ ..... г) ........ 9. Найдите значение выражения: а) ^/l2-2^/^•^/l2 + 6Vз =..... б) Vs + 2>/7-,/8-л/28 = 10. Определите, при каком значении переменной дробь принимает наибольшее значение, и найдите это значение: а) ^/6-л/3 5Ь-15 б) n/x - -Jb Ых-70 92 Ответ: а) б) 11. Докажите, что является натуральным числом значение выражения: а) ^6л/3-2л/2-V2V2 + 6V3 = б) + -Vs/t-VsT = 12. Докажите, что: а) при Ь > -2 значение выражения 5 - Ь + л/4^ + уГь* +16-1- 8^?^ не зависит от Ь; б) при р > -3 значение выражения р-1- + + 18р^ + 81 не зависит от р. 13. Докажите, что при х = 4х^ — Sx^ + 2х + 3 равно 1. 1 +V3 значение многочлена 93 14. Докажите, что выражение л/57 - 40^2 - >/57 + 40>/2 имеет смысл, и найдите его значение. Так как V2<1,42, то ................................... Найдём квадрат данного выражения: (л/б7-40л/2-V57 + 40V2)2 =............................. Так как л/б7-40>/2 -V57 + 40>/2 □ 0, то ............... Содержание Предисловие...................................................3 Глава I. Рациональные дроби 1. Рациональные выражения..............................4 2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей..........9 3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.......................................14 4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями... 20 5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень.......26 6. Деление дробей.....................................32 7. Преобразование рациональных выражений..............38 k 8. Функция У = — и её график..........................43 Глава II. Квадратные корни 9. Рациональные числа.................................51 10. Иррациональные числа...............................55 11. Арифметический квадратный корень...................58 12. Уравнение = а......................................62 13. Нахождение приближённых значений квадратного корня ... 67 14. Функция у = \Гх и её график........................71 15. Квадратный корень из произведения и дроби..........77 16. Квадратный корень из степени.......................81 17. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня............................85 18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни....................................90 Учебное издание Миндюк Нора Григорьевна Шлыкова Инга Соломоновна АЛГЕБРА Рабочая тетрадь 8 класс Пособие для учащихся общеобразовательных организаций В двух частях Часть 1 Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Т. Г. Войлокова Младший редактор Е. А. Андреенкова Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика К. В. Кергелен Технический редактор Е. А. Васильева Корректоры Т. А. Лебедева, Л. С. Александрова Налоговая льгота—Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД №05824 от 12.09.01. Подписано в печать 14.06.13. Формат 70x90 V,e-Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 2,83. Доп. тираж 10 000 экз. Заказ № 4720. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в филиале ♦Тверской полиграфический комбинат детской литературы» ОАО «Издательство «Высшая школа» 170040, Тверь, проспект 50 лет Октября, д. 46. Тел.: +7 (4822) 44-85-98. Факс: +7 (4822) 44-61-51