Алгебра 8 класс Рабочая тетрадь Колягин Ткачева часть 2

Алгебра Рабочая тетрадь Москва i Просвещение » 2014 УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 А45 Авторы: Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин Упражнения тетради разделены на три раздела. Первый содержит упражнения для подготовки учащихся к изучению нового материала, второй — упражнения, дополнительные к упражнениям учебника, третий — упражнения для проверки уровня усвоения материала. Рабочая тетрадь является частью УМК авторов Ю. М. Колягина и др., также используется к учебнику «Алгебра. 8 класс» авторов Ш. А. Алимова и др. ISBN 978-5-09-032402-1(2) ISBN 978-5-09-032404-5(общ.) Издательство ♦Просвещение», 2013 Художественное оформление. Издательство ♦Просвещение», 2013 Все права защищены Предисловие Данная рабочая тетрадь является дополнением к з^ебнику «Алгебра, 8» авторов Ю. М. Колягина и др. Содержание тетради организовано в соответствии с главами и параграфами этого учебника. Тетрадь предназначена в основном для работы учащихся в классе. Следует иметь в виду, что рабочая тетрадь не заменяет ни живого слова учителя, ни текста учебника. Она дополняет и то и другое, расширяя арсенал учебных средств учащихся и возможности работы учителя. Структурно материал каждого параграфа тетради расположен по трём разделам. После I раздела, который предназначен для подготовки школьников к изучению нового материала соответствующего параграфа книги, проведена черта. Эта черта означает, что после выполнения заданий I раздела учитель приступает к объяснению нового материала так, как он считает нужным. Проведя объяснение, учитель работает с учащимися над упражнениями учебника; при этом ученики записывают решение традиционно в обычной тетради. Раздел II — это основной раздел в рабочей тетради, он содержит упражнения, дополнительные к упражнениям учебника. Некоторые из упражнений тетради являются подготовительными к выполнению упражнений учебника, некоторые помогают слабым учащимся в усвоении определённых алгоритмов благодаря увеличению от задания к заданию доли самостоятельной работы школьников. Наиболее трудные упражнения раздела отмечены знаком *. В разделе III приведены тексты упражнений, позволяющих проверить уровень усвоения материала рассматриваемого параграфа. Учитель может выборочно использовать их для проверки качества домашней работы учащихся. ii§ шщ © ГЛАВА IV Квадратные уравнения 25. Квадратное уравнение и его корни Н...........1..........ч* •+.....>•+.......»•.....^......>........►....*...... Выписать в ответе номера тех уравнений, корнем которых является число -4: 1) -7,5л: = -30; 2) з|+л: = 1-; 3) (л:-4)(лг + 4) = 0; О о 4) Зл/х-6 = 0; 7) л;2'+ 16 = 0; / Ответ............... 5) 5л/л^-12 = 8; 6) 7^ + 2 = О; 8) 2л:2 - jc - 28 = 0. Л: Заполнить пропуск положительным числом: 1) 0,64 = (.)2; 2) g = (- )2; 3) 5 = (-..4) 8 = (......)2. 8 Вычислить: 1) л/Ш = .................. 2) yj0,09 = ................ 5) 71089 = 4) 7^ = 72'* • 72 = 6) ^J5^6 = ........... Ц Выполнить действия и привести подобные слагаемые: 1) 2л: - 4 + д;2 - (Зл: + бл:^) = ...................... 2) л:(л:2-2л:+ 1) - л:^ = .............................. 3) 4(л:2 - 5) - (л: - 2)(л: + 3) = ..................... $ Заполнить таблицу. № Квадратное Старший Второй Свободный п/п уравнение коэффициент коэффициент член 1 -Зл:^+-л:-7 = 0 4 2 1,5л:2-0,1л:+73 = 0 1,5 -0,1 7з Продолжение № Квадратное Старший Второй Свободный п/п уравнение коэффициент коэффициент член 3 -л:2 + 1 = 0 4 - X = 0 2 Привести к виду ах^ + Ьх + с = О уравнение: 1) х(х - 1) + X - 2 = 0; 2) (л; + 3)(х - 3) = 2х^ - 1; 3) (2д: - 1)2 = х(.х + 2) - 3; 4) (Зл: + 2)2 - (2* - 1)2 = 0. 1) 2) ............................................................. 3) ............................................................. 4) ............................................................. 7 Заполнить таблицу. № п/п Уравнение Уравнение, записанное в виде ах^ + Ьх -i- с = 0 Коэффициенты а Ь с 1 7,3 + ^-V2x = 0 '1" 1*2--У2л: +7,3 = 0 А 1 2 -42 7.3 2 2л:-Зл:2+^ = 0 2 3 -j--0,5 = 2x 4 1 = -X + Х^ 5 3х-х^ = 0 6 5 = х^ Записать в один из столбцов таблицы каждое из уравнений: 1) л;2 = 16; 2) *2 _ 20 = 0; 3) д:2 + 4 = 0; 5) л:2 - 7 = 0; 4) = 0; е)х^^± = о. Уравнение имеет два корня Уравнение имеет один корень Уравнение не имеет корней • Решить уравнение: 1) = 49 ......... 3) л:2 + 6 = 0 ..... 2) л:2-6 = 0 4) х^ = 0.. 5) 1x1 = 2 6) |х - 1| = 2 10 Решить квадратное уравнение, предварительно разложив его левую часть на множители. 1) х^ + 2х = О, х(.....) = О, Ответ. jCi = О, Х2 = 3) 5jc2 + 6jc = 0, Ответ. Xi =..., Х2 = 5) д:2- 12л:+ 36 = О, 2) 2х^ - л: = О, Ответ, =...... Х2 = 4) +JC + - = О, х^ + 2>-х + (......)^ = о, Ответ. X =...... 6) 4л:2 + 12л: + 9 = 0. Завершить решение уравнения: 1) + 6л: + 5 = О, л:2 + 2. Зл: + 32 - 32 + 5 = О, (л: + 3)2 - 4 = О, (л: + 3)2 - 22 = О, (л: + 3 - 2)(л: + 3 + 2) = О, Ответ. л:1 =.......,ЛГ2 =..... 2) л:2 - 12л: + 20 = О, 4) л:2 - 2 • 6л: + 62 - 62 + 20 = О, Ответ. =.....,л:2 = 6 12 Выписать номера тех уравнений, которые можно привести к квадратному: 1) Зх - 2 = - Ь; 2) х^ -2х^ +5 = х^; 3) 7(л: - 1) + 2л: = 0; 4) (л: - 1)(л: - 2) = 3 - л:. Ответ........................ 13 Решить уравнение: 1) х^-- = 0 9 2) 2х^ = 50 3) Ах^ +1 = 0 4) -х^ = 0 9 5) + 2л: + 1 = о 6) л:^ — 6л: + 9 = О § 26. Неполные квадратные уравнения © 1 Записать в пустую клетку неотрицательное число: 1) !. •••|2 _ 9 25’ 2) L . |" = 0,04; 3) 4) L :Г = 3; 5) 1. :Г = 11; ‘ 6) = 0; = 12. 2 Записать в пустую клетку неположительное число: 1) 1. ■|2 _ 9 25 ’ 2) 1 j' = 0,04; 3) 1. j' = 0; 4) 1. :Г = 3; 5) 1. :Г = 11; 6) i. •г = 12, Разложить на множители; 1) *2_64= .......... 64 -л;2 = . 5) Sx - = 2) - 0,16 : 4) - 5 = . 6) 2х^-Лх ^ Перенести все члены уравнения в левую часть и привести подобные слагаемые. 1) 1 -Ъх = 2х + 11, 2) х^ + 2х = Ъх - х^. 3) 2х - S = х^ - X + Ъ, 4) 15-2л:2-4л:= 12л:-5л:2 + 3, ^ Умножить обе части уравнения на 2: 1) 0,5л:2 _ 1^5д. = о. 1 2) -f = li ^10^“ Разделить обе части уравнения на -3: 1) -Зх2 = |, 2) 6х^-0,3х = 0, О Решить уравнение; 1) 10*2 = о I : 10 2) 2jc2 = 32 I : 2 3) |л;2 = 271-3 . ч 2 2 3 ^ 3 2 5) 5л;2-| = 0 5 6) -0,1я;2+ 10 = 0 8 7) 1 = 8) Зх^ - 10 § Решить уравнение; 1) 2х^ + 5х = 3х^, 2х^ - Зх^ + 5л: = о, -л:2 + 5л: = О, 2) 5л:2 - Зл: = 2л: + л:2, 3) (2л:-1)2-1 = л:(л: + 2), 4л:2 -4л:+1-1 = л:2 + 2л:, 4) (л: - 3)(л: + 3) - 2л: = 2л:^ - 9, Ш Для всех числовых значений а решить уравнение: 1) ал:2 - 1 = 0; 2) 2л:^ - а = 0. 1) Если а = О, то .............. Если а > О, то ................. Если а < О, то ................. 2) Если а = О, то .............. Если а > О, то ................. Если а < О, то ................. Решить уравнение ах^ =Ь, Ъ > 0: При а = О....................... При а > О....................... При а <0........................ ® Решить уравнение: 1) 9х^ - 64 = О, 2) 2х^ + 15 = О, 3) 0,03я:2 = 27, 9 4) - 9х = О, 5) 25л:2 + 49л: = О, 6) х^-7 1 3’ ffS] Найти значение а, при котором любое значение х является корнем уравнения ах^ = 0. 27. Метод выделения полного квадрата Ч............4............4.....................................4...........Н* ........k.........►.........►.........►......... Выполнить возведение двучлена в квадрат, 1) (л: - 4)2 = .......................... 2) (2д: + 3)2 = 3) |-2 4) (4х + 0,5)2 =........... Вставить пропущенное число. 1) 10х = 2- \ 4) 1 = 2 л:; 2) 2д: = 2 х; 5) -Зх = -2 х; 3) х = 2 х; 6) -|.= 2 Заполнить пустые клетки. \2 1)х^-6х + \ 3) 4х^ + 8х + \ 1 = \Х -\ ( \ 2) х^ + 2 i + X + х; 4) -х^-2х + 9 =(Г | = (л:+5)2; ^2 Решить уравнение: 1) х^ = ^ ^ 12Г Xi = Хо = 2) (х + 1)2 = 9, л: + 1 =.... или д: + 1 = X =..... или X =...... Х^ — .....) Х2 ..... 10 $■ Завершить решение квадратного уравнения: 1) + 8л: + 7 = О, х^~8х = -7, х^-2-4 -х +.....=-7 + ... (л:-4)2= ................ л: — 4 = + .............. л: - 4 =.. или X - 4 = .... Ответ. JCj =.... Х2 =... 3) л:2 + Зх - 4 = О, л;2 + Зд: = 4, х^ + 2 ■.. • X +...=4 + (......= ................ 2) х^ + 12х+11 = 0, jc2 + 12jc = -11, л:2 + 2 •. • л: + 36 = -11 + (......= ................ Ответ........ 4) х^-Ьх-Ы = О, х^ - 5х =.... Ответ. Ответ. ^ Заполнить пропуск таким образом, чтобы данное выражение было квадратом суммы или квадратом разности. 1) х^ - 4х +1 4) х^ - I I • X + 81; 2) х^ + 20х + \ I; 5) x^-h5x + 3) х^ +1 I • л: + 36; 6) х^-7х + 7] Решить уравнение; 1) + 14х + 40 = 0, 2) х^ - 10х - 24 = О, 3)^ л:2 + Зл: - 18 = О, 4)* д;2 - 5л: - 14 = О, 11 § 28. Решение квадратных уравнений © Заполнить таблицу. № п/п Уравнение ах^ + Ьх с = 0 а Ь с D = b^~ 4ас л/й 1 х^ - 5х + 4 = 0 1 -5 4 ,(-5)2 - 4 • 1 • 4 = 9 3 2 + блг + 8 = 0 3 2л;2 + Зл: - 2 = 0 4 -х^ + 7л: + 18 = 0 5 -2л:2 + 7л: - 3 = 0 6 ^л;2-2 = 0 2 7 -Зл:2 +1 = 0 8 5л:2 - л: = 0 9 - 6л: + 9 = 0 Заполнить таблицу. № п/п Уравнение ал:^ + Ьх + с = 0 D = b^~ 4ас Количество корней 1 л:2 - 2л: + 3 = 0 (-2)2 - 4-1-3 = -8<0 Корней нет 2 л:2 + 7л: - 1 = 0 3 2л:2 - Зл: + 5 = 0 4 -3x2 + х-2 = 0 5 ix2-3x + 9 = 0 4 12 Ц Завершить решение уравнения: 1) х^ + 4х-12 = О, а = 1, Ь = 4, с = -12, ^1, 2 = ................. Xi = Хо = Решить квадратное уравнение; 1) 2х^ + 7х-4 = О, 2) х^-4х-21 = О, а =... Ь =.. с ^1,2 = Xi = Х2 = 2) Зх^ - X - 2 = О, 3) 9jc2 + 6л: + 1 = О, 4) -4л;2 + 12л: - 9 = О, 5) 5л:2-бл: + 2 = 0, 6) Зл:2 + 4л: + 7 = О, в Решить уравнение: 1) л:(л: + 2) = 6 + л: - л:^. .2 2 - л 2) 2л: - л:" - = О, 13 о\ ^(1 *^) 1 ^ , X(х 1) _^ ~~ь Г + 6^ Найти значения а, при которых уравнение ах^ - л: - 10 = О имеет один корень. Для каждого такого а решить данное уравнение. 1) Если а = о, то уравнение принимает вид линейного уравнения -X - 10 = о, имеюш;его один корень х =... 2) Если а Ф о, то данное уравнение является квадратным, имею- ш;им один корень, если ....= 0, т. е. при а =.... Корень данного уравнения х =..... Ответ................ 7Ш Найти все значения с, при которых уравнение 2х^ - Зл: + с = 0 имеет: 1) один корень; 2) два различных корня. 1) Уравнение имеет один корень, если ................... 2) Уравнение имеет два различных корня, если По формуле корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом решить уравнение: 1) Зх^-Ах + 1 = о, 2) 5л:2 -н 14л: - 3 = 0, 14 3) 7х^.+ 18л:-9 = О, 4) 12л:2 - 16л: - 3 = О, 9 Решить квадратное уравнение: 1) 4л;2 - 20л: + 25 = О, 2) 25л:2 - Юл: + 2 = О, 3) 12л;2 - 5л: - 2 = О, 4) 15л:2 + 7л: - 2 = О, 5) 5х^ -3х = 0, 6) 4л:2-9 = 0, 10 Решить уравнение: 1) л:2 - 3= - + 2, 04 1 - 2д: 2 ^ 3) 2л:2+л: = 1- 2 ’ 4) 2х^-2х-^ = |л:= 2 3 3 15 § 29. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета .....4...4.4..4..4..4-.+ +..+...+.....^.....f..... © Q Записать результат деления обеих частей уравнения на число т. 1) 2л:2 - Зх + 4 = О, /п = 2 ............................. 2) - Ъх-2 = 0утп = - 2 2 .................................................... 3) ~ х^ + X - ^ = О, т = -- 3 3 ................................. И Решить квадратное уравнение: 1) л:2 - 5л: + 6 = О, 2) л:2 + Юх + 24 = О, 3) л:2 + 8л: + 16, 4) л:2 - 7л: + 15 = О, Заполнить таблицу. № п/п Уравнение л:2 + рл: + g = 0 Р Р 2 (f)‘- Коли- чество корней 1 - 6л: + 8 = 0 -6 -3 8 (-3)2 - 8 = 1 > 0 Два 2 л:2 + 4л: + 5 = 0 3 л:2 - Юл: + 25 = 0 4 л:2 - 8л: + 12 = 0 5 л:2 + Зл: + 3 = 0 6 л:2 + 11л: + 30 = 0 16 Решить приведённое квадратное уравнение: 1) - 10х + 21 = О, £ ^ 2 ..... Q = 2) л:2 + 18JC + 80 = О, £ ^ 2 ....... q = ^1, 2 - Xi =............ = 3) л:2 + 16л: + 64 = О, ^1, 2 ~ Xi = .. 4) х^ ...... Х2 = Ых + 50 = О, й Не решая приведённое квадратное уравнение, корни которого Xi и X2f заполнить таблицу. N2 и/и Уравнение х^ + рх + q = 0 JCi + JC2 Х1Х2 1 х^ + Зх-7 = 0 " -з; 2 х^-4х + 1=0 3 х^ - 99х - 125 = 0 4 л;2+3з|л:-24,5 = 0 О Не решая приведённое квадратное уравнение, корни которого Xi и jCg, определить знаки корней. Заполнить таблицу. № п/п Уравнение х^ рх + q = 0 см н + н II см н тН Н II оГ о и S 2 Ь Л 2- * Э S ® Й 5 « 2 3 1 g ^ S 0 § Д S VO и со д 5 о о 8, >> Д о § 2 ^ Si Ф Д 3 е Д S 2 8 И д S ^ и СО д 1 л;2 - 7л: + 12 = 0 7 12 + + 2 л:2 + 7л: + 12 = 0 3 лг2 + д: - 12 = 0 -1 -12 - + 4 л:2 - X - 12 = 0 5 - 2х - 15 = 0 6 х2 - 8х - 15 = 0 17 Заполнить таблицу, не решая уравнение. № п/п Уравнение х^ +рх + q = 0 ЛГ1 Х2 1 х^-9х+ 8^0 1 8 2 х^ + 5х + в = 0 -2 3 + 4jc - 21 = 0 3 4 *2 + 2л: - 15 = 0 -5 S Заполнить таблицу. № п/п Уравнение Р q 1 х^ + рх -1- 6 = 0 5 6 -2 -3 2 х^ + рх - 8 = 0 -8 ^ -2 3 х^ -h рх - 8 = 0 -8 1 4 х^ -h рх + 6 = 0 6 3 5 х^ — Зх + q = 0 -3 1 6 х^ - Зх + q = 0 -3 -2 7 х^ - Зх + q = 0 -3 2 8 х^ + Зх + q = 0 3 -1 9 х^ + Зх q = 0 3 -2 10 х^ Зх q = 0 3 2 9J Составить приведённое квадратное уравнение, корни которого Xi и X2^ Xi = Х2 = 3; р = -(5 -ь 3) = -8, (7 = 5 • 3 = 15, х^-8х + 15 = 0. 1) Xi = 2) Xi = 3) Xi = —5, Х2 — —3 -2, Х2 = 3 . —3, Х2 = 2 18 |!0 Заполнить таблицу. Уравнение Знак Xi Знак Х2 х^ - 1,5л: -2 = 0 + - х^-4х +1 = 0 х^ + 5х + 2 = 0 - x^ + 5x-2 = 0 - Ш Подбором найти корни уравнения и Х2 и заполнить таблицу. № п/п Уравнение Х2 1 х^-5х +6 = 0 2 3 2 x^ + 5х -h 6 = 0 3 х^-х-6 = 0 4 Х^ -h X - 6 = 0 5 + 7л: + 10 = 0 6 х^-7х+10 = 0 7 х^-Зх-10 = 0 8 х^ + Зх-10 = 0 12 Разложить на множители квадратный трёхчлен, используя результаты выполнения задания 11. 1) х^- 5х + 6 = (.И.) 2) х^ + 5х + 6= . 3) х2-х-6= ......... 4) х^ + х-6 = .. 5) x^-h 7х + 10= ... 6) х^-7х+10 = 7) х^-Зх-10= ....... 8) + Зл: - 10 = 13 Разложить на множители квадратный трёхчлен, имеющий корни: 2)-Зх^-х + 2; 3)^х^-х-12; 1) 2х^ -5х-3; 1 2 4)~х^+4х~8; 5) ^л;2-Зл: + 2,25; 6)~х^-х + 3. 19 1) Найдём корни уравнения 2х^ - 5x - 3 = 0; ^1, 2 = ............................... X, = X, = Ответ. 2х^ - 5х - 3 = 2(х...)(......). 2) ................................... 3) 4) 5) 6) 14 Сократить дробь: х^ + Зх-10 (. 1) .)(• х-2 х-2 + Зх - 10 = о, Xj =....., Х2 = 2) х^ -25 х^ -4х-5 3) 9х^ - 49 Зх^ - 4а; - 7 20 IS Разложить на множители: 1) 12х = х(.... ) = 2) л:^ + Зх^ - 10х^ = il5 Сократить дробь: - ч + X - в _ ^ х^-х-12 х^ Ч- X - 6 = О ^1, 2 = ...... Xi =...... Х2 = ох х^ +3х -28 _ ^ 24-2х-х^ ~ л:2 + Зге - 28 = О ^1.2 = Xi = .. , Хо = 17| Упростить выражение: 1) х^ - X - 12 = О ^1, 2 — Xi = , Xz = 24-2х-х^ = 0 ^1.2= ....... Xi =..... Х2 = 2) х^-д:-30 6-х (...)(..) х-в (. 4x2-9 2х + 3 х2 - X - 12 ‘ х2 - Зх - 4 Пусть Xj и Х2 — корни уравнения x^ + л/2х -4 = 0. Не вычисляя корней этого уравнения, найти: 1) —+ —; 2)x?+xL Xj Х2 По теореме Виета находим + Xg = -л/2, Xi Х2 = -4. 1) J- +JL = ^ = ^ Xj Х2 Х1Х2 ........................... Ответ....................................... 2) xf +х| = (xf +2X1X2 +х|)- 2X1X2 =........ Ответ. 21 19 Записать приведённое квадратное уравнение, корни которого Xi и Хг- 1) Xj^ = 8, Х2 ~ 0,5j 2) Xi 3, Х2 — 3) Xi = —f Х2 = 1 — г 4) Xi = Зл/2, X2 = —\/2. Ответ. 1) ................. 2) ............ 3) ................ 4) ............ 20 Подбором найти корни квадратного уравнения: 1) JC2 - 20x + 19 = 0, ^1 = л:2=- 2) 4- 38лг 4- 37 = 0, = 3) + 5д; - 14 = 0, = 4) x^ -4л:-21 = 0, = ЛГ2=.. 21 Разложить квадратный трёхчлен на множители. 1) х^ + 2х-15= .............................. 2) -х^ + 5х + 24 =-(. 3) 2х^ + 5х- 12= ... ) = 22 Сократить дробь: 2х‘ -15Х + 7 1) 2) 2х‘ +9х-5 х‘ - 12х + 35 25-х‘ 1) 2х^ - 15л + 7 = О £»= ............... *1,2= ............. ~....... ^2 — * * * * 2) ................ 2л:2 4-9л: - 5 = О D= ............. Xl,2= .......... Xi =....... Х2 = 22 § 30. Уравнения, сводящиеся к квадратным .........М © Д] Заполнить пропуски: 1) д:4 = (.)2; 2) х^ = (..)2; 3) д:» = (.)2. ^ Решить уравнение: 1) д:2 = 49. Ответ..................... 3) х^ = 0. Ответ..................... 2) л:2 = -4. Ответ.... 4) д:2 = 8. Ответ.... Решить квадратное уравнение: 1) 31/2 + i4z/ - 5 = о, Z)= ........................ 2) -2f2 + Ilf - 12 = 0, D= ............... Уг, 2 — Ух = •• ^1, 2 — У 2 = = ■» ^2 “ ■■4 | Решить биквадратное уравнение: 1) - 29х^ + 100 = 0. Пусть х^ = t. Тогда уравнение примет вид ^2 _ 29f + 100 = 0. Корни этого уравнения: ti = 4, ^2 = 25. Уравнение jc2 = 4 имеет корни 2 =............ Уравнение х^ = 25 имеет корни JC3, 4 =....... Ответ. л:1,2 =.......» лгд, 4 =....... 2) д:4 - 15д:2 - 16 = 0. Пусть л:2 = f, тогда данное уравнение примет вид ......... ^1 =......................> ^2 “ ......................... Ответ. 23 ^ Решить уравнение 28 л:2 +х-12 = (..)(......). По условию (...) (.....) 0. 28 X . 1 (X + 4)(х -3) х + 4 X-S 28 = л: (л: - 3) + л: + 4, {х + 4) (х — 3) ^ о, Xi = Хо = л:1.2 = .... Проверка. 1) X =-4 — посторонний корень, так как при х =-4 знаменатели первой и второй дробей данного уравнения обращаются в нуль. 2) При X = в данное уравнение обращается в верное числовое 28 равенство + 6-12 Ответ, л: = 6. + 4 6-3 в Решить уравнение 3 10 - 4л: - 5 = (. л:-5 X + 1 х^ - 4х - .)(......). По условию ... _3_____^ ^___________ X - Ь X + 1 х^ - 4х -Ь 10 (. .)( .)^0 =...... Проверка. 1) ...... ^2 = 2) Ответ. Решить уравнение (х + 2Y - (л: + 2)^ - 12 = 0. Пусть (х + 2)2 = тогда данное уравнение запишется в виде ^1, 2 — , ^1 = » ^2 “ 24 (х + 2)2 = (X + 2)2 = Ответ. 8| Решить уравнение: 1) х^ + 2х^-24 = 0. 2) 9jc^ - 28л:2 + 3 = О, Ответ, Ответ. в; Определить, при каких значениях х равны значения выражений 1.4 2 + —^ И X - 3 -9х х^ -Зх’ §31. Решение задач с помощью квадратных уравнений © Записать с помощью всевозможных равенств соотношение между хну, если: 1) X больше у на. 2: х — у = 2, ... ....... 2) X меньше у на 5: ........ ........ ........ 3) X больше у в 3 раза: ....... ......... ...... 4) X меньше г/ в 4 раза: ...... ......... ....;_ 25 ^ Заполнить таблицы. 1) Натуральное число Следующее за ним натуральное число Произведение этих чисел п ?Л : 71+1 7г(/г + 1) гх п -^Zx Чётное Следующее за ним Произведение число чётное число этих чисел X бтг X - 2) Одна сторона прямоугольника х см, другая — на 5 см больше. Записать выражение для нахождения периметра Р и площади S этого прямоугольника. Ответ. Р -............. S =.......... 4| Заполнить таблицу, если известно, что тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью v км/ч и за ^ ч проходит путь S км. № п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 V 4 15 2,5 75 X t од 8 X X 1 6 S 0,4 640 90 X 18 100 X 5) Один рабочий может изготовить А деталей за 6 ч, другой рабочий А деталей может изготовить за 4 ч. Выразить через А производительность труда: 1) первого рабочего: ................... 2) второго рабочего: ................... 3) при совместной работе первого и второго рабочих: ........ 26 Катер движется по реке от одной пристани до другой по течению реки, а затем возвращается обратно. Заполнить таблицу, учитывая, что скорость течения реки 2 км/ч. № п/п Ф х>,% 0 S s г? ^ Он и л js!!? Eh бЗ <15 ^ О ft tr 2 О Ф ts й " § Й D §*§•1 S § 1 О g н S9 а м PQ 5^ g Й Ф (Ч с fct ^ п S л ^ ^ Ен о 2 Ф ft S о и ^ <15 2 к W СГ к S « ^ 2 и а с? ф S ^ ® ft^ R и «g 1 48 10 12 4 8 6 2 14 5 3 35 X 4 X 3 8^ Пусть Р (дет./ч) — производительность труда, А (дет.) — объём всей выполненной работы, t (ч) — время выполнения работы. Выразить каждую из величин А, Р и t через две другие. А = Р -t, Р = t = Производительность труда первого рабочего а деталей в час, второго — Ъ деталей в час. Производительность труда рабочих при совместной работе .......:..... Первый рабочий А деталей изготовит за... часов, второй рабочий А деталей изготовит за ...часов; при совместной работе А деталей оба рабочих изготовят за ... часов. [9] Найти два последовательных натуральных чётных числа, произведение которых равно 168. Заполнив пропуски, составить уравнение по условию задачи и решить его. Пусть X — первое искомое натуральное чётное число, тогда ... — второе искомое натуральное чётное число. Так как произведение этих чисел равно 168, можно составить уравнение: Решим это уравнение: 27 ^1, 2 —.............. ^1 —.............* ^2 —............. Так как по условию задачи х — натуральное число, то х = .... Ответ..................................................... JQ Периметр прямоугольника равен 62 см, а его площадь равна 238 см^.. Найти длину и ширину прямоугольника. Заполнив пропуски, составить уравнение по условию задачи и решить его. Пусть X см — длина прямоугольника; так как полупериметр прямоугольника равен ....см, то его ширина равна ....см. Зная, что площадь прямоугольника 238 см^, можно записать уравнение: .............................................. Решим полученное уравнение: ............................. Ответ. 17 см и 14 см. Пассажирский поезд проходит в час на 30 км меньше, чем скорый поезд. Расстояние 810 км скорый поезд проходит на 4,5 ч быстрее, чем пассажирский. Найти скорости пассажирского и скорого поездов. Для решения задачи внести недостающие данные в таблицу. Поезд V (км/ч) S (км) t (ч) Пассажирский X 810 Скорый 810 на 4,5 ч (больше, меньше) Составим и решим уравнение: Ответ. 60 км/ч и _км/ч. 28 12 Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата, а другая — на 4 см больше стороны того же квадрата. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника равна 40 см^. Ответ. 13 Работая вместе, двое рабочих за час изготавливают 30 деталей. Первый рабочий изготавливает 60 деталей на 3 ч быстрее второго. Сколько деталей за час изготавливает каждый рабочий? Пусть I рабочий изготавливает за час х деталей. Тогда II рабочий за час изготавливает (........) деталей. На изготовление 60 деталей I рабочий тратит ......ч, а II рабочий — .....ч. Так как на изготовление 60 деталей I рабочий тратит на 3 ч меньше, чем II, то можно записать уравнение: Ответ. 20 и 10 деталей в час. 14 Расстояние 20 км велосипедист преодолел на 3 ч быстрее пешехода. Найти скорость каждого, если известно, что за час велосипедист преодолевает на 2 км больше, чем пешеход за 2 ч. Ответ. Мастер и ученик за 4 ч совместной работы изготовили 96 деталей. Сколько деталей за час изготавливает мастер, если на каждую деталь он тратит на 12 мин меньше, чем ученик? Ответ. 29 § 32. Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени © [Т] Выяснить, обращает ли пара чисел х = -2, г/ = 3 уравнение в верное числовое равенство (записать «да» или «нет»). • 1) 2х-!/ = -7 3) -^ + 1/2 -10 = 0............. ^ Г * 2) -Зл: + 2[/ = 10 ....... 4) XI/ - 3 + 1/^ = о ...... ^ Выписать номер той пары чисел, которая является решением системы уравнений 1) х = 1, z/ = -l; 3) х = 6, у = -3; {х + 2у = о, [-Х + У = 3: 2) х = 2, у = и 4) х = -2, у = 1. Ответ, Составить систему двух уравнений с двумя неизвестными, решением которой является пара чисел х = -3, у = 2. 1) ................. 2) I......................... [ху+у =................. ............................. 4J Из данного уравнения выразить сначала х через у, затем у через X. Заполнить таблицу. № ' п/п Уравнение Выражение X через у Выражение у через X 1 X- у = 3 х = 3 + у у = х-3 2 2х + У = 1 3 ху - X - 3 = 0 4 ^ + (*••••> •••••). 8 Решить систему уравнений: \х^-у^ = 20, [х + у = 10. Запишем первое уравнение системы в виде (х - у){х + у) = 20 и подставим в него из второго уравнения х + у — 10. Получим {х - у) ' 10 = 20, откуда х - у =......... 31 х-у= .... х+у = 10; Решая систему способом сложения, получим х =., у = Ответ........ 2) jjc2+l/2 = 61, \ху = -30. Сложив почленно первое уравнение и уравнение, полученное из второго умножением обеих его частей на 2, получим х^ у^ 2ху = 61 - 60, или (х + у)^ = 1, откуда х у = ±1. Если X у = 1, то у =... Подставив это выражение вместо у во второе уравнение исходной системы, получим JC (.....) = -30. Решим это уравнение: Если X + у = -1, то у =. Подставив это выражение вместо у во второе уравнение исходной системы, получим Решим это уравнение: Ответ. (-5; 6); (6; -5); (5; -6); (-6; 5). 3 = [х-у = 17. Пусть ^/х = т, ^ = п, тогда х =.у =..., и данную систему можно записать в виде | ...= 1, ...= 17. Решим эту систему, записав второе уравнение в виде (.....) • (....) = 17. Подставив сюда т - п = 1у получим т + п =........ Решим систему уравнений: {т + п =....... т - п =...... Находим т=—...., тг = Ответ............ .*i. Отсюда X =..., у = 32 #, Найти катеты прямоугольного треугольника, если один из катетов на 7 см больше другого, а гипотенуза этого треугольника равна 13 см. Пусть JC см — больший катет, г/ см — меньший катет. По усло- вию задачи .......= 7. Согласно теореме Пифагора .... Решение задачи сводится к решению системы уравнений Ответ. 5 см и 12 см. § 33. Различные способы решения систем уравнений •Ч.........Ч.........Ч" © г Выяснить, какая из пар чисел (3; 2), (-3; -2), (3; -2) является {х^ — = 19 — у + ^ху = 8. Ответ.............. Разделить уравнение - у"^ =18 на уравнение 2х + у^ =2. Ответ.............. Выразить у через х из равенства 2у^ + 7ху - 4х^ = 0. Ответ. ^ Решить систему уравнений: jjc + i/ = 2, \ху = -8. По теореме, обратной теореме Виета, искомые числа являются корнями уравнения - 2г - 8 = 0, значит, Zi^2 = 1 ± Vl +8 = = 1 ± 3; = 4, 22 = -2, тогда Xi = 4, у^ = -2; лгд = -2, z/2 = 4. Ответ. (4; -2), (-2; 4). 1) = 4, +2жг/ ■ = 4; ' |д: - г/ = 1. - 4л: + 4 = о. 1) Преобразуем второе уравнение системы: ...+... Так как х ^ 0, у 0 и х + у = 6, то из второго уравнения (исполь- 34 зуя первое) получаем ху = ме Виета, . По теореме, обратной теоре- Ответ............. 2) Вычтем из первого уравнения второе, получим . откуда х =.....Из первого уравнения системы при х = находим 2 =.................. Ответ................. 3) Из второго уравнения выразим х = ......... Подставим X =......в первое уравнение, получим .................. откуда г/1 = У2, 3 — Ответ................ Щ Решить системы уравнений: 1) I ^2 _1_ Q/v»7, _ т,2 2х^ + Зху - 2i/2 = 3, + Зху -у^ =3; 3) х^-у^ =7, +ху +у^ = 7; 2) 4) 2х-у = 2, J--1 = 1. 2х у 3 ’ л:" - + вху + 5 = 0, х-у = 1. 1) Вычтем из первого уравнения второе. Получим ......... откуда У1 = л:, У2 =..При у = х лз первого уравнения системы найдём х: ....... ^1,2 =........................... 2 = =........................... При у =................... первое уравнение системы ............................. Ответ................. 35 2) При хфО, у фО VL3 второго уравнения системы получаем Ответ............... 3) Разложим левую часть первого уравнения системы на множи- тели; Выполнив деление первого уравнения системы на второе, полу- чим Найденное выражение у через х подставим во второе уравнение системы:.............................................. Ответ................ 4) Выразив из второго уравнения у через л:, получим Подставим найденное выражение в первое уравнение: Левую часть полученного уравнения разложим на множители: 36 Ответ. Решить систему уравнений: 1) 4х + ^ = ь, 2х + Zjxy + у = 34; 2) х-2у = 2, 1) Вычтем из второго уравнения первое, возведённое в квадрат (учитывая, что х > О, г/ > 0): ............................. Ответ. 2) Из второго уравнения следует, что — > 0. Обозначим У тогда второе уравнение примет вид ................ if='- > ^2 ~ И =.......... Если = ...... первого уравнения системы находим X = и из Если ^2 =......... то Ответ, Решить систему уравнений х-2у = 1, 2у х~ 6 37 Ответ. ^ Найти решения системы уравнений , ^ -4j/ = 3, х^у = 1. Ответ. § 34. Решение задач с помощью систем уравнений © |щ Записать в виде равенства предложение: 1) удвоенное произведение чисел Х'лу больше их суммы на единицу ....................................................; 2) сумма кубов чисел л: и у в три раза больше их суммы .. Ш. Составить систему уравнений по условию задачи. 1) Разность произведения чисел х и у и числа х равна нулю, а сумма этого произведения и числа у равна 4: \............ 38 2) Сумма натуральных чисел х и у равна 4, а сумма чисел, об- ратных числам X и у, равна 3 Решить систему уравнений, полученную в задании 2: 1) ....................................................... 2) ....................................................... Ответ........................ "4^ Бассейн может наполняться водой из двух кранов. Если первый кран будет открыт 10 мин, а второй — в течение 20 мин, то бассейн заполнится целиком. Если первый кран будет открыт в те- g чение 5 мин, а второй — в течение 15 мин, то заполнится — объё- 5 ма бассейна. Сколько времени нужно для заполнения бассейна каждым краном в отдельности? Решение. Примем объём бассейна за 1. Пусть первым краном бассейн заполняется за х мин, а вторым краном за у мин. Тогда ---часть бассейна, заполняемая..........за 1 мин, — — часть лс у бассейна, заполняемая ...................... за 1 мин. 39 По условию задачи составим систему уравнений: = 1, ^ 3 5 Из этой системы нужно найти — и —. Вычтем из первого уравне- ^ У ния, умноженного на 3, второе, умноженное на 4: 3 •....+ 3 •.... = 3, + 4‘.,.. =... Находим — X Вычитая из первого уравнения второе, умноженное на 2, нахо-1 ДИМ - .............................................. у Отсюда следует, что для заполнения бассейна первым краном нужно ....... мин, вторым — ........ мин. Расстояние между пристанями А и Б равно 60 км. Катер на один рейс туда и обратно тратит 5 ч. На путь от А до В по течению реки катер тратит на 1 ч меньше, чем от В до А. Найти собственную скорость катера и скорость течения реки. Решение. Пусть х км/ч — собственная......................., у км/ч — ................................................. , тогда скорость движения катера по течению реки ........... , а против течения — .................. Значит, время движения катера по течению реки составит . (ч), а против течения — ............ (ч). По условию задачи соста- вим систему уравнений: 40 Складывая уравнения, получим а вычитая из первого уравнения второе, получим т. е. получим систему Решая полученную систему уравнений найдем: х = .......... и ^ = Ответ................. км/ч. км/ч. Сумма двух чисел равна 5, а произведение этих чисел на 5 больше их разности. Найти эти числа. Решение. Ответ. Т! Один катет прямоугольного треугольника на 2 см больше другого. Гипотенуза треугольника равна 10 см. Найти катеты. Решение. Пусть jc см и ^ см — длины катетов (х > у). По условию задачи (и используя теорему Пифагора) составим систему 41 Ответ. 8j Периметр прямоугольника на 57 см больше одной из его сторон. Площадь прямоугольника равна 340 см^. Найти длину и ширину прямоугольника. Решение. Пусть л: см и z/ см — длины сторон прямоугольника. По условию задачи составим систему уравнений ....... Ответ. 9 Первый комбайн может собрать урожай с поля на 16 ч быстрее второго. Работая вместе, они убрали этот урожай за 23 ч 20 мин. За сколько времени может убрать этот урожай каждый из комбайнов, работая отдельно. Решение........................................... Ответ. 42 ГЛАВА V Квадратичная функция §35. Определение квадратичной функции ..4.*.4.4.4....4.4.4-.+ .►...!■... © Функция задана формулой у = -2х + 3. Заполнить пропуски. 1) У(0) =.... у{1) =....... у(-2) =........ 2) у = 1 при X =............................. у = О при X = С помощью графика заполнить пропуски. 1) У(2)= ............. i/(0)= 1/(5)=... i/(-l)= ......... i/(-2)= «/(-6)=.. У(-7)= ........... y(-S)= ......... У(9)= ... 2) у = 5 при X = .......... У = -S при X = ........ у = 2 при ............... у = О при ........... 3) ^ > О при ....... У < О при ........ У ^ 2 при 43 функция у{х) задана таблицей. -3 -2 -1 У 16 9 О 16 Заполнить пропуски, 1) 1/(-3)=...... у{0)=........ у{А) = 2) у = 9 при X =...... и X =....... у = 1 при х=....... и X =....... у = 0 при X =...... Выяснить, являются ли указанные в таблице функции квадратичными, записав в её пустых клетках ответ словом «да» или «нет». у = х-\- — у = х^ - X у = х^ + А да У = -х^ + 1 у = 2х + 2 у = \х^ -bx + Z 3 у = 0,3х^ + 1 Щ Функция задана формулой у = х^ - 2х + 4:, Выяснить, принадлежат ли графику этой функции точки, указанные в таблице. (Ответ записать в пустых клетках с помощью слов «да» или «нет».) (0; 4) (-1; 2) (3; 4) (-4; 0) (5; 44) (-6; 58) (И) ( ^ 1 2’ 4j нет Щ Записать в пустых клетках таблицы те из чисел -3, -2, О, 1, 4, которые являются нулями соответствующей квадратичной функции. У = Х^ + X у = х^ X - 2 у = х^ + 3х У = х^ - 2х - 4: 0 44 функция задана формулой у = Зл:^ - х + 1. Заполнить таблицу. X 0 -2 4 3 -5 6 1 3 1 2 у 81 ■ Если и jcg — корни уравнения + рх + g = О, то Х^ + Х2 = -р, х^’ Х2 = q. Числа Xi и Х2 — нули квадратичной функции у = х^ + рх + q. Заполнить пропуски в таблице соответствуюп^ими значениями р и q. Д?! = 0 Xi=l Xi = -3 Xi = -4 *2 =-1 Х2 = 2 •*2 = 2 Х2 = —3 Р= р = -3 Р= Р = 9= 9 = 2 Я = Q= 0Г‘ Записать в пустых клетках таблицы координаты точек пересечения графиков данных функций. у = + А у = 4х-8 у = х^ -2х-8 , 19 "2 2 у = 2х^ - Зл: + 4 у - х^ - X 1 у = ^х^ + X + Ъ у = Ъх^ + 7х-3 (6; 16), (2; 0) @ 10 Даны функции JJ.2 I/ = — - 3, y=l-Sx, у = х^ - х^ + X, у = у = 1 -\- х^у у = 4х^ - 12х + 9. 1) Подчеркнуть те из них, которые являются квадратичными. 2) Найти нули каждой из квадратичных функций. 45 3) Найти i/(-2) для каждой из квадратичных функций. 4) Для каждой из квадратичных функций найти те значения х, при которых г/ = 1. 36. функция у = Х‘ © [Т] Функция задана формулой у = х^. Заполнить пропуски. 1/(0)= ............... 1/(5)= ................ 1/(-7)=.... -|]= г/(0,з) =.......... j/(-i)=.... Выяснить, принадлежит ли графику функции у = указанная точка (ответ записать словом «да» или «нет»). 1) А (9;-81); 2) В (-9; 81); 3) С 4) D(-0,1; -0,01). Ответ. 1) 2) 3) 4) На рисунке даны точки А и Б. Построить точки: 1) А' и Б', симметричные данным точкам А и Б относительно оси Оу, и записать их координаты: А'(...; ...), Б'(.; ..); 2) А" и Б", симметричные данным точкам А и Б относительно оси Ох, и записать их координаты: А"(...; ...), Б"(.; ..); 3) А'" и Б'", симметричные данным точкам А и Б относительно начала координат, и записать их координаты: А"Ч...; ...), Б'"(..; ..). 46 ® Точка А задана своими координатами. Точка В симметрична точке Л относительно оси Ог/. Точка С симметрична точке Л относительно оси Ох. Точка D симметрична точке А относительно начала координат. Заполнить таблицу. Координаты точки А (-1; 2) (0; -3) (2; 4) (3; -5) (-5; -1) Координаты точки В (-2; 4) -М______ Координаты точки С (2; -4) Координаты точки D (-2; -4) Выписать координаты той из точек, которая принадлежит графику функции у = х^. Ответ. С помощью рисунка выяснить, является ли функция у = х^ возрастающей на промежутках, указанных в таблице (ответ записать с помощью слов «да» ИЛИ «нет»): (-2; -1) нет [-3; 1] [2; 3] [0; 2,5] (-2; 3) С помощью графика функции у = х^ у изображённого на рисунке (с. 48), найти у{х^), у(х2), у(х^), yix^). Сравнить значения аргументов: Xi I.I Х2, х^ Сравнить соответствующие значения функций: у(х-^)\..\у(х^. 47 Выяснить, является ли функция возрастающей или убывающей на промежутке, и заполнить пропуски в предложениях. 1) Функция у = является .............. на промежутке х> 0. 2) Функция у = х^ является ........... на промежутке х ^ 0. Щ С помощью рисунка выполнить необходимые построения и заполнить пропуск словом: «выше»; «ниже»; «меньше»; «больше». 1) При “5 < л: < -3,5 точки параболы у = х^ лежат ....... точек прямой у = 9, следовательно, при -5 < л: < -3,5 значения функции у = х^ ......... значений функций у = 9. 2) При -1 < X < 2 точки параболы у = х^ лежат.......точек прямой I/ = 9, следовательно, при -1 < х < 2 значения функции у = х^ ........ значений функции у = 9, 48 8 Выяснить, является ли точка А (см. таблицу) точкой пересечения параболы у = и соответствующей прямой, записав в нижней строке таблицы слово «да» или «нет». Прямая у = X -1 У = -2х + 3 у = Зх + 4 X . г/=2-1 Точка А (2; 1) (-3; 9) (4; 16) (1; 1) Ответ да Щл Отметить на рисунке и записать в ответе: 1) абсциссы Xi и jCg точек пересечения графиков функций у = х^ и I/ = 4; 2) какой-нибудь отрезок на оси Ох, соответствующий тем значениям аргумента, при которых график функции у = х^ расположен: а) выше прямой г/ = 4; б) ниже прямой г/ = 4; 3) какой-нибудь отрезок на оси Ох, соответствуюпщй тем значениям аргумента, при которых значения функции у = х^ больше значений функции у = 4, Ответ. 1) ЛГ1 =..., л:2 =........ 2) а) [..I ...б) [.....: .....]; 3) [...; ..]. Используя рисунок к предыдущей задаче, выяснить, лежат ли выше прямой у = 4 все точки параболы у = х^, принадлежащие соответствующему промежутку. Ответ («да» или «нет») записать в нижней строке таблицы. (-5; 3) (1; 5) (-3; 2) Ф, 4) (-4; -2V2) (-4; л/З) (VlO-1; 3) нет 11 Заполнить пропуски. 1) Точка А(3; а) принадлежит графику функции у = х^ при а =....... 2) Точка В (а; 11) принадлежит графику функции у = х^ при а =....... 3) Точка С (-л/б; а) принадлежит графику функции у = х^ при а =....... 49 12* С помощью рисунка найти все значения х, при которых точки графика функции у = удовлетворяют условиям: 1) лежат выше прямой у = 1:_ 2) принадлежат графику у = \х\: 3) лежат ниже прямой у = х: — 13* На одном рисунке построить графики функций у = х^ и у = Ьх - 6, Найти координаты точек пересечения графиков этих функций и изобразить на оси Ох какой-нибудь отрезок, соответствующий тем значениям аргумента, при которых: 1) значения функции у = х^ больше значений функции у = 5х-6; 2) значения функции у = х^ меньше значений функции у = 5х-6, 50 § 37. Функция у = ах‘ •<...................i..........4.........Ч.........Ч- ....................►............................. © 1‘ Вычислить: 1) 2) (-^5 \2 2 — 3) 3 • (-6) 5) = 4) -4 6) |Г=.. Построить линии, симметричные данным относительно оси Оу, 3 Построить линии, симметричные данным относительно оси Ох. 51 4 С помощью графика функции заполнить пропуски. 1) Функция возрастает при х функция убывает при........ 2) Функция возрастает при .. функция убывает при........ 6" С помощью графиков функций у = х^иу = 4:Х-3 найти значения аргумента, при которых: 1) значения функций у = х^лу = 4:Х-3 равны; 2) значения функции у = х^ меньше значений функции у = 4х - S. Ответ. 1)..................... 2).................... 16* Выяснив, принадлежат ли данные в таблице точки графику функции у = -Зх^, записать в нижней строке этой таблицы слово «да» или «нет». (л/з: -9) (V2; 6) (3; -27) (11; -163) (л/б; 18) (-9; 243) да 52 Щ] Даны парабола и прямая. Определить направление ветвей параболы, записав в третьей строке таблицы слово «вверх» или «вниз». Выяснить, пересекает ли парабола прямую, и записать в нижней строке слово «да» или «нет». Парабола у = Зл:2 у = -2х^ 1 2 у = - х^ ^ 3 1 2 Прямая у = 6 1 У = 2 1 У = -2 Направление ветвей параболы вниз Наличие общих точек у параболы и прямой нет # Заполнить пропуски. 1) График функции у = 4д:^ получается .......... графика функции у = от оси ...... вдоль оси ..в ....раз(а). 2) График функции у = -х^ получается ........... графика 5 функции у = х^ к оси .... вдоль оси ..в ....раз(а). 3) График функции у = -—x^^ симметричен графику функции о относительно оси кШ Задайте формулой функцию, график которой симметричен графику функции у = ^х^ относительно оси Ох. Ответ............ 10 Функция у = ах‘^ задана графиком. 1) На каждом из рисунков выделить цветным карандашом ту часть графика, где функция возрастает, а на оси Ох выделить соответствуюш;ие значения аргумента. 2) Сравнить значения коэффициента а с нулём. Ответ, а) а | ; 0; б) а 0. 11 3) Сравнить значения |а| с единицей. Ответ, а) \а\\.| 1; б) \а\\.| 1. Даны функции: у = 0,1х^, у = -10х^, у = ->[2х^, у = 1,6х^у у = -х^. Подчеркнуть функции, возрастающие при jc ^ 0. 12 Используя график функции у = 4л:2, найти значения х, при которых: 1) у <4; 2) 3) у > 9; 4) у > 1, 1) у < 4 при ...................... 2) у ^ - при 4 S) у > 9 при 4) у > 1 при 13 Записать в нижней строке таблицы координаты точек пересечения параболы и прямой. у = 2х^ У = 1 2 У = - х^ ^ 2 у = -Зх^ у = 0 У = х у = 3х - 4 У = 4х + 1 1"‘i 1 3’ 3j 54 На одной координатной плоскости построить графики функций ^ iVL у = X -¥1^, С помощью графиков выяснить, при каких значениях х значения функции У = больше значений функции y = x + ll. 15 Найти значение а, при котором парабола у = ах^ и данная прямая пересекаются в точке с абсциссой Xq, Заполнить пустые клетки таблицы. Парабола у = ал:^ у = ах^ у = ах^‘ у = ах^ Прямая у = х У^-х у = 2х - 4 у = 3 - 4х ЛГо 2 1 3 0 -3 а -3 55 Записать в таблицу значение а, при котором у - ах^ проходит через заданную точку. Точка hi] h-i] (2; 2) Ф-, -1) а Ш С помощью графика функции у = — решить неравенство 1 4 4 Ответ. Выяснить, является ли заданная квадратичная функция возрастающей или убывающей на указанном в таблице промежутке. Записать в соответствующей клетке таблицы знак Т (возрастание) или i (убывание) либо слово «нет», если функция не является ни возрастающей, ни убывающей на этом промежутке. Функция 1 2 У = 2^ у = -Зх^ у =4ьх^ У = -Зл/Зл:^ Промежуток (-1; 0) (2; 3) (4; 6) (-3; -V2) Возрастание или убывание 1 10 На листочке в клетку с масштабом 1 кл. = 1 ед. построить графики функций: 1) у = х^; 2) у = 2х^; 3) у = -х^. Вырезать модели парабол по построенным линиям, наклеить их на картон и использовать в дальнейшем как шаблоны. 56 38. Функция у = адс^ + Ьх + с •*.i..Н.. ..........►...........*...........И © ш с помощью графика функции у = ах^, изображённого на рисунке, заполнить пропуски в соответствии со свойствами данной функции. а) а 0. б) Функция принимает ...... ........ значения при х фО. в) График функции симметричен относительно ........ г) Функция при JC ^ 0; функция .... при л: ^ 0. а) а 1 I 0. б) Функция принимает ...... .........значения при х фО, в) График функции симметричен относительно ........ г) Функция при JC < 0; функция .... при X > 0. 8 Найти значение выражения 2х^ - Зх + 1 при: 1) л: = 0 ............................. 2) х=1 ................................ 3) х = -1 ............................. 4) X = -2 ............................. 57 3 Привести выражение к виду ах^ + Ьх + с. 1) (* + 3)2 - 5 =..................... 2) -3(л: - 2)2 + 5 = ................. 4 Представить в виде квадрата двучлена. 1) л:2-6л: + 9= ....................... 2) л;2 + Зд: + 2,25 =................. 5 Выделить полный квадрат. 1) х^-6х + 7= ........................ 2) д:2 - 5* + 7,25 =.................. Хо = , Уо = У (Хо), ^ У о) — вершина параболы у = ах^ + Ьх + с. в Записать координаты вершины параболы. ^ - 8х + 13 1/ = х2 + 9х - 3 У = -2х2 + 4х- 5 у = -Зх^+12х+7 (-4,5; 57,75) 7 Найти координаты вершины параболы. '" % у = (х+1У-2 у = 2(х-ЗГ-4 у = -4(х-2Г-5 (-1: -2) 8 Найти на оси Ох точку через которую проходит ось симметрии параболы. у = - 4: ^ = х^ - 4х У = - Sx + 4: у = 2х^ + 5х + 6 Хо= Хо = 2 Xq= ^0 = 58 9 На рисунке изображён график параболы у = Построить с помощью сдвига вправо (влево) график функции: 1) у = (х- 3)2; 3) г/ = л:2 + 4jc + 4; 2) у = (х + 3)2; 4) I/ = л:2 - 4jc + 4. 59 10 с помощью рисунка заполнить пропуски. Парабола (^, полученная из параболы у = сдвигом....... на ... единиц, является графиком функции у = (.....)^. Функция, заданная графиком (Т), возрастает при х.. Функция, заданная графиком при X ^-2,6 принимает ...................... значения. Парабола полученная из параболы у = х^ сдвигом..... на ... единиц, является графиком функции у = {.......У- Функция, заданная графиком , возрастает при х...... Функция, заданная графиком , при всех действительных значениях х принимает .................. значения. ii На рисунке изображён график функции у = х^, С помощью сдвига вверх (вниз) построить график функции: 1) I/= jc2 + 3; 2) у = - 3; 3) у = х^ - 1; 4) у = х^ + 1, 60 .......... на .... единиц, является графиком функции У =....... Функция убывает при х .... Функция при всех действительных значениях х принимает ............ значения. параболы у = ^х^ сдвигом .......... на .... единиц, является графиком функции У =...... Функция убывает при х .... Функция на отрезке [0; 1] принимает ................... значения. 61 13 Записать в нижней строке таблицы уравнение параболы, полученной из параболы у = Зл:^ сдвигом вдоль одной из координатных осей. Вдоль оси Ох на 4 ед. вправо Вдоль оси Ох на 1,5 ед. влево Вдоль оси Оу на 2 ед. вниз Вдоль оси Оу на 5 ед. вверх y = S(x+l,5)^ 14* Записать в нижней строке таблицы уравнение параболы, полученной из параболы у = -2х^ сдвигом вдоль координатных осей. Вдоль оси Ох на 3 ед. влево и вдоль оси Оу на 0,5 ед. вниз Вдоль оси Ох на 2 ед. вправо и вдоль оси Оу на 4 ед. вверх Вдоль оси Ох на 5 ед. влево и вдоль оси Оу на 2 ед. вверх Вдоль оси Ох на 4 ед. вправо и вдоль оси Оу на 0,4 ед. вниз у =-2(л: - 2)2 + 4 15 На одной и той же координатной плоскости построить графики функций у = 2х^, у = 2(х + 3)^ и ^ = 2(д:-Ь 3)^ - 1, используя шаблон параболы у = 2х’^. 16 На одной и той же координатной плоскости построить графики функций у = -Jc2, у = -{х - 2)2, ^ = - (д: - 2)2 -ь 4, используя шаблон параболы у = х^. 62 17* Записать уравнение параболы, если известны координаты точек её пересечения с координатными осями. (1; 0) (8; 0) (-4; 0) (-3; 0) (2; 0) (3; 0) (-5; 0) (5; 0) (0; -4) (0; 24) (0; 5) (0; 3) У = -2х^ + 6jc - 4 У = if if 1^ Найти координаты точек пересечения параболы с координатными осями. !/ = (*+1) (л:-3) У - 3x2 - 2х У = 4x2 + 4лс + 1 у = -Ъх^ + '1х-2 (0; 0) (I-) (0; 0) 19 Найти координаты вершины параболы, указать направление ветвей параболы (| или |). 1/ = х2 - 2х + 7 У = -0,5x2 + - 1 у = (х- 2)(х + 4) (1; 6) Т 63 20 Найти значение к в уравнении параболы, если ей принадлежит точка A(Xi, У1). Заполнить таблицу. Уравнение параболы У = kx^ - 5jc + 6 У = 3x2 + kx + ^ У — 4x2 - Зх + k AiXii Х2) (2; 0) (-1; 9) (1; 3) k 1 § 39. Построение графика квадратичной функции © Для функции у = - Зх + 1 заполнить таблицу: X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 у 5 ■2 Решить уравнение: 1) х^-2х-36 = 0 2) -2х + 3 = о 3) -л:2 + 12л: - 36 = О Ответ. 1) .......... 2).................. ; 3) ^ Записать координаты точки пересечения графика заданной функции с осью ординат. 1) У ~ (..........)» о 2) у - -Ъх^ + Зх - 4, (.; ...); 3) у = 2х^ + Зх^ - 2х + 7, (.; ...). 64 оь СЛ Уравнение параболы “ 6л: + 9 4- ■ У = 2х - у = -2х^ + 7л: + 4 у = Зл:^ - 5л: + 4 Координаты вершины (3;0) Координаты точек пересечения с осью Оу Л' \.г -j,;' ;;'Г - Координаты точек пересечения с осью Ох (3; 0) Эскиз графика С1 ^ о и ка I:: н tr н ро о\ fci SS! J3 4J Щ На рисунке изображён график квадратичной функции. С помощью графика заполнить пропуски в предложениях. 1) Функция принимает положительные значения при ......... и отрицательные значения при.... 2) Функция возрастает при ....... .............. и убывает при 3) Функция принимает наи.....шее значение, равное .........., при X -........... ft 1) Построить график функции у = - X - 2, используя схему: а) вычислить координаты вершины параболы Xq = !/о = б) провести ось симметрии параболы через точку с абсциссой Хг. = в) найти нули функции г) найти точку пересечения параболы с осью Оу\ X = 0у у =... и координаты точки, симметричной данной (0;..) относительно оси симметрии параболы (..;...). 2) С помощью построенного графика заполнить пропуски в предложениях. а) Функция принимает положительные значения при......... б) Функция принимает отрицательные значения при . • • . в) Функция принимает наи.....шее значение, равное при X =......... 66 [3 1) Построить график функции i/ = (jc 4- 1)(3 - л:) по схеме, изложенной в задаче 6 (1). а) ......................................................... 8 б) в) г) 2) Заполнить пропуски в предложениях, а) Функция принимает положительные значения при б) Функция убывает при.................. в) Наибольшее значение функции равно.... 1) Построить график функции у = -х^ + 2д: - 5. 2) Заполнить пропуски в предложениях. а) Функция принимает положительные значения при .. б) Функция принимает отрицательные значения при ... в) Функция принимает наи.....шее значение, равное при X =......... 1 ___ ‘ ! 1 ; 1 .. .J 1 ! i — 1 —- 1 1 : 1 — 1 — — ’ г — — — 1 г— 1 — — 0 X —- : - 1 — — — -- U. ■i. Т"' i 67 0^ Определить знаки коэффициентов уравнения параболы у = ах^ + + Ъх + с, используя рисунки параболы. Заполнить пропуски в таблице знаками «>» или «<». Номер параболы 1 2 3 4 а 1 0 а j 0 а 1 0 а i 0 Знаки а, Ъ, с Ь ! 0 Ь 1 0 Ъ ! 0 Ь 1 0 с ! 0 с I 0 с I 0 с 1 0 68 Записать уравнение параболы, симметричной исходной относительно одной из координатных осей. Заполнить таблицу. Исходная парабола Парабола, симметричная исходной относительно Оу относительно Ох у = (х-\)^-2 1/ = -3(д= +1)^ + 4 “ ■ ^ у = -3 (л: - 1)2 -f 4 Ш--^ т y = z(xmf-^m У = х^ •¥ 2х - 4: у = -2х^ + 4л: - 5 На одной и той же координатной плоскости построить графики функций: 1) у - - 2х; 2) у = \х^ - 2х\\ 2) у = х^ - 2\х\, 12* Построить график функции у = х^ + 2\х\- S и с его помощью заполнить пропуски. 1) Функция принимает отрицательные значения при ........ О 69 13 Построить график функции у = - 2х - 3 и с его помощью заполнить пропуски в предложениях. 1) Функция принимает положительные значения при ......... 2) Функция убывает при 3) Функция принимает наи- ......шее значение, равное ......... при X =............. 11 Не строя график квадратичной функции, найти наибольшее (наименьшее) её значение и соответствующее значение х. 1) у = х^ Зх + 4 2) у = 4х - х^ 3) у = -2х^ + 4Х-6 4) у = Зх^ - JC -I- 1 70 3 1 Ответ. 1) у = 1---наименьшее значение при jc = -1~. 4 2 15* На рисунке изображён график функции у = f(x), С помош;ью графика заполнить пропуски в предложениях. 1) Функция принимает положительные значения при х 2) Функция принимает отрицательные значения при ... 3) Функция возрастает при ..................... 4) Функция убывает при ..................... 5) Функция принимает наибольшее значение, равное при ...................... 6) Функция принимает наименьшее значение, равное при X =...................... 71 ГЛАВА VI !■ Квадратные неравенства §40. Квадратное неравенство и его решение .........................А...............Ф‘ .....к................................ © 1^, Разложить квадратный трёхчлен на множители. 1) x^-9x+\S,= ........................... 2) х^ + Зх-18= .. 3) 2х^ + х-6 = .... 4) -Зх^ + Юл: - 3 = Изобразить на числовой оси множество решений неравенства. 1)х-5>0 2)д: + 3<0 3)л: + 4^0 4)л-2<0 Решить систему неравенств: 1) |л: - 3 > о, + 2 > о. Ответ. 3) л: - 3 ^ о, л + 2 ^ О, Ответ. U-3 <0, ' [л: + 2>0. Ответ....... л: - 3 < О, 4) д: + 2 < О, Ответ. 72 4] Выяснить, является ли данное неравенство квадратным, - 1 < 0 Щ, Зх-Ч>о * р 1 Зх^ - 5х + 6 > 0 х^-х^О нет Свести неравенство к виду квадратного. Зл:2 > 5х 4х^ - 3 < X (2х - 1)х > 3 х{х-1)^2 2х^-х-3>0 Записать в пустых клетках таблицы те из чисел -3, -2, О, 1, 4, которые являются решениями соответствующего неравенства. х^ - X ^0 + 4ж - 5 > 0 2х^ + х-10<0 х^-2х-3>0 4 Решить неравенство, заполнив пропуски. 1) (д:-2)(л: + 3)<0, 2) (л: - 2)(jc + 3) ^ О, X - 2 <0j lx -2> О, л: + 3 > 0; [л: + 3 < 0; fe:: л: - 2 ^ о, (х-х + 3> 0; [jc + -2 3 X. X. Ответ. Ответ. 73 i Решить квадратное неравенство 2х^ - 5л: - 3 < О, заполнив пропуски. _ 5 ± V25 + 24 _ 5±7 4 “ 4 ’ 2х^ - 5л: - 3 = О, лг^ 2 = Xi = 3, лгз = 2л:^ - 5л: - 3 = 2 л: + ^1(л: - 3). 2 V 2; дг + ->0, л: - 3 < О; лг + -<0, л: - 3 > 0; Ответ. ... Решить квадратное неравенство: 1) л:^ - л: - 2 ^ О, л:^ - л: - 2 = О, D = Xi2 =....... X. = ^2 = х^-х-2 = (х )(х- ). Ответ........ 2) х^ + х-12>0. 3) 3л:2 + 8л:-3<0, 74 10 Решить квадратное неравенство в случае, когда соответствующее квадратное уравнение имеет один корень, записав квадратный трёхчлен в виде а(х - Xi)^» 4х^ - 12л: + 9 ^ О, 4л:2 - 12л: + 9 = (2х - 3)2, (2л: - 3)2 < 0. г. 3 Ответ, л: = -. 2 1) 4л:2 + 20л: + 25 ^ о. Ответ............... 2) 25л:2 - 20л: + 4 > О, Ответ............... 3) 36л:2 + 1 - 12л: ^ О, Ответ. Решить квадратное неравенство в случае, когда соответствующее квадратное уравнение не имеет действительных корней, с помощью метода выделения полного квадрата. л:2 - л: 1 > О, х^-2.^х + \+1-\>0, \x-j + f >0. 4 Ответ. X — любое действительное число. 75 1) х^-4х + б>0, Ответ............... 2) 2*2 _ 4д; + 3 > о. Ответ............... 3) 3*2 - 12* + 16 < О, Ответ............... 12 Не решая неравенство - 2х > О, проверить, какие из чисел -3, -5, 1 являются решениями этого неравенства. Ответ............... 10 Решить квадратное неравенство: 1) 6jc2-5jc-6>0,....................................... 2) 9л:2 - 6л: + 1 > О, ................................ 3) * -2л:2 + Зл: - 4 < О, ............................. 76 § 41. Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции © С помощью изображённого на рисунке графика квадратичной функции у = ах^ + Ъх + с записать в соответствующих строках таблицы все значения х, при которых эта функция принимает положительные значения; отрицательные значения; значения, равные нулю. \ф v.y 1 < Vi \ \ ТГ|-1Г -2 0 'х /-3 0 2\^х 0 ]\^ у'Ь X Парабола © у > 0 хФ-2 у<0 нет таких х у = о х = -2 Заполнить пустые клетки таблицы, указав знаком Т или 1 направление ветвей параболы. Парабола у = \ - х^ у = ^ + Зх-1 у = -5х^ + л: + 1 Направление ветвей параболы t Z Устно найти корни квадратного уравнения: 1) + 7л: - 8 = О, Хх =....... Х2 =........ 2) л:^ - 6л: + 8 = О, х-^ =..... Х2=......... 77 Решить квадратное неравенство с помощью эскиза графика квадратичной функции. 2х^ + д: - 6 ^ 0. 1) Ветви параболы направлены вверх, так как а = 2 > 0. 2) 2д:2 -н JC - 6 = о, D = 1 -t-48 = 49, ^1,2 ” -1 ± 7 „ 3 Ответ. X ^ -2, X > 1,5. 1) 4х - х^ > о. 2) д:2 + 2л: - 15 ^ 0, 3) Зх^ + 14х ^ О, 78 # Решить неравенство с помощью эскиза графика квадратичной функции. Зх^ - 6х + 4 > 0. 1) Ветви параболы направлены вверх, так как а = 3 > 0. 2) 3x2 - блг + 4 = о, D = 9 -12 < о — 'Ж' % действительных корней нет, т. е. Зх^ - 6х + 4 > О при всех действительных значениях х. Ответ. X — любое действительное число. 1) - 4л: -1- 6 < О, 2) -2x2 + 5х - 4 ^ О, 3) -3x2 -5х<3, - -- — — 1 — — -- .... 1 1 — — • — — 1— I i [ [ —- ' - — — 1 1 1 1 1 — — — 79 Г-' 4) 4л:2 + 5^8л:, — 1 -4 1 1 . 1 1 i У\ г —- ! i 1 1 — 1 п 1 1 i ! \ 0 1 I ! X 1. ! 1 ! L \ 1 1 1 j j 1 1 г- , i 1 _ _ 1 i J 1 ! 1 _ 1 _ 1 1 ft*- С помощью графика функции у = Z\x\- А решить неравен- ство + 3|д:| - 4 < 0. 7^ Неравенство | л: + 6 - | < а решено с помощью графика функции у = \х + Q - х^\. Заполнить пропуски в предложениях так, чтобы они были верными. 1) Решением неравенства являет- ся отрезок при а 2) Решением неравенства являются два отрезка при .......... 3) Решением неравенства являются две точки при ............ 4) Неравенство не имеет решений при ........................... 8 Решить неравенство: 1) ^ 6х + 7; 3) 25л:2 ^ 30л: - 9; 2) -2х^ <-6 + х; 4) Зл:2 + 7 > 8л:. шШ © I § 42. Метод интервалов М*................... ............►.........►.........►*........>• Заполнить пропуски в предложениях. 1) Функция у = 2х + S принимает отрицательные значения при X ............. положительные значения при х .......... 2) Функция у = X 2 меняет знак на противоположный в точке с абсциссой X =..... Определить, положительное или отрицательное значение принимает функция у = (х - 1){х + Ъ) в заданной точке или на заданном числовом промежутке. Заполнить таблицу. -7 -2 3 (-10; -6) (-4; 0) (2; 5) — Разложить многочлен на множители; 1) л:3 - л: = ........................ 2) л:^ - 5л:2 -ь 4 = ................. 81 4i Решить неравенство методом интервалов. (д:-2)(л: + 3)>0. ' Корни уравнения (л: - 2) (л: + 3) = О Xi = 2, л^2 = •—3. Если X > 2 и X < -3, то (х - 2)(х + 3) > 0. Ответ. X < -3, X > 2, 1) д:2 + Зд: - 10 < 0. Корни уравнения д:^ + Зд: - 10 = 0 Xi = —5, Х2 = 2, д:2 + Зд: - 10 = (. Ответ.............. 2) 6д:2 + д:-2^0, )(. -5 3) 9д:2 + д: < о. 5J Решить неравенство методом интервалов. 1) (д:2-9)(д:+ 1) > 0, ................... 2) (д:-3)(д:Ч- l)(jc2 - 1) < 0, 3) д:3 - 5д:2 + бд: ^ 0, 82 6 Решить неравенство: (х-2)(х + 3) ^ ^ L) --^ и. (х - 4) Дробь равна нулю при Xi =........ Х2 =..... Дробь не имеет смысла при х^ =...... На крайнем правом интервале дробь положительна. Дробь меняет знак в точках .................... Ответ.......................................... х{х + 1)(х - 1) ^ ^ (Х + 2НХ-2) • Дробь равна нулю при ... Дробь не имеет смысла .. Дробь меняет знак в точках Ответ................... 7^ Решить неравенство методом интервалов. 2х^ + 6Х-12 х^ + 5х-6 > 0. Разложим числитель и знаменатель на множители: а) 2х^ + 6х - 12 = о, х^ 2 = ^ Xi = -4, Х2 = 2л:2+5л:-12 = 2(л: + 4) hi б) х^ + 6х - 6 = (х + 6) (х - 1). Отметим на числовой оси точки -6, -4, 1, -6 Дробь равна нулю при jc = —4 и л: = —, положительна при 3 ^ л: > - и меняет знак в отмеченных точках. 2 3 Ответ. X < -6, -4 ^ л: < 1, л: ^ 83 1) _(£±^<о ' 2х^ + Зх-5 ’ Решить неравенство 5 + X X + 2 х^ - Зх X X - 3 @ Решить методом интервалов квадратное неравенство 21x2 + 11л:-2^0. 84 Решить методом интервалов неравенство Sx^ - 13х - 10 2х^ + 5л: - 12 > 0. Решить неравенство Зх^ + 17Х-6 > 0. Упражнения для повторения курса алгебры 7—8 классов ................................*4. I. Вычисления и преобразования Вычислить: 6 8^ •1,2-3,12 ^ ........^...................Y......... Вычислить рациональным способом: 1) (2-0,01)(2 + 0,01)= ......... 2) 0,9992 = .................... Упростить: 4ь + 2Ш--4^ = О Упростить выражение при л: > 0: + =.......................... 51 Разложить на множители: 1) = ...................... 2) 2а2 - аЬ - 6^?2 = 2ц2 - аЬ - Sb^ + 2^2 = Выполнить действия: у) 86 2) Sa^b +Sab^ 6ab -b^ * 5a^ - bb^ II. Уравнения и системы уравнений 1 Решить систему уравнений: 1) 7л:-г/= 17, Sx + 2y = О, 2) 2х-3у + 7 = 0, 5л: - +11 = О, Ответ...................... Ответ........................ I----- ^ Найти значение х, при котором верно равенство ^/5 - бд: = 2. ГВ Решить уравнение: 1) ix2-4x + 16 = 0, 2) Зл:2- 2х + 1 = О, 4 3) 2л:2 + 5л:-3 = 0, Ответ. 1) ..... 2) ........... |4 Найти корни уравнения |2 - 3jc| = 5. 3) Ответ. 87 — 'Jx — Решить уравнение —=----------= 0. - бх + 6 Ответ. Не решая уравнения 2х^ - 4л: + 1 = 0, вычислить сумму квадратов его корней. Ответ. III. Неравенства и системы неравенств Решить систему неравенств: 4 ^ 2л: - 6, 1) |3л: 5 > 2лс -I- 2, |бл: -I- 6 < Зл: -ЬЮ, ^ |о,Зл: - 1,3 > 0,2л:-1,1, Ответ. 1) 2) '2] Найти все целые числа, являюш;иеся решением неравенства Ответ. 88 Решить квадратное неравенство: 1) 5х^ - Зх > О, 2) х2 - 9 $ О, 3) Зх^-5х + 4> О, Решить неравенство: 1) к-3|<8, 2) |2-л:|^3, "FI (^ “ 5)(3 - х) ^ 5] Методом интервалов решить неравенство ^ < О, Ответ. IV. Функции Решить графическим методом систему уравнений if [2л: -у = 6, i 1 i 1 _ —Г" I П —\—1— ~T~ 1 j i — — I— П“' р I i r 1 1 —+— j — — — i — —- i I'-- t-- 1 t ■ : 1 “ 1 1 ! 1 1 i i i i ! ^ г 1 J г ! ! ; j ; L ^ i i_L_L i i 1 i I Ответ. 89 '2 Дана функция у(х) = - Ъ, 1) Вычислить: у{0)=........, ^(-3)= .... 2) Найти значения х, при которых у{х) = 0: 3) Найти значения х, при которых у(х) < 0: 3 Построить график функции: 1) у = х^ - Ах - 4., 2) У = (х- 3)(х - 1), ^+1 “Т'тгптг Г 1 r r-T-nV 1 ' : ' ^ 1 i 1 1 i r ■ ! 1 1 : ! 1 1 j ; , ' . I i TJ , i i 1 -1 ■ 1 1 i 1 L Q г LI 1 1 ^ 1 : 1 1 : 1 j 1 f rL 1 ! i 1 ! 1 ! 1 1 1 1 1 j i 1 L_ ! i ‘ 1 i 1 : j L * 1 :: 1— 1 ! . ^ . 1 1 ^ 1 ! Записать уравнение параболы, если известно, что она пересекает ось ординат в точке 3, а её вершиной является точка (2; -1). Ответ. для ВЫЧИСЛЕНИИ 91 92 93 94 Оглавление Предисловие ............................................ 3 ГЛАВА IV. Квадратные уравнения § 25. Квадратное уравнение и его корни.................. 4 § 26. Неполные квадратные уравнения..................... 7 §27. Метод выделения полного квадрата...................10 § 28. Решение квадратных уравнений......................12 § 29. Приведённое квадратное уравнение. Теорема Виета...16 § 30. Уравнения, сводящиеся к квадратным................23 §31. Решение задач с помощью квадратных уравнений.......25 § 32. Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени......................................30 § 33. Различные способы решения систем уравнений.........34 § 34. Решение задач с помощью систем уравнений...........38 ГЛАВА V. Квадратичная функция § 35. Определение квадратичной функции...................43 § 36. Функция у = 46 § 37. Функция у = ах^ ...................................51 § 38. Функция у = ах^ + Ъх + с...........................57 § 39. Построение графика квадратичной функции............64 ГЛАВА VI. Квадратные неравенства § 40. Квадратное неравенство и его решение...............72 §41. Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции................................77 § 42. Метод интервалов...................................81 Упражнения для повторения курса алгебры 7—8 классов.........................................86 Учебное издание Колягин Юрий Михайлович Ткачёва Мария Владимировна Фёдорова Надежда Евгеньевна Шабунин Михаил Иванович АЛГЕБРА Рабочая тетрадь 8 класс Пособие для учащихся общеобразовательных организаций В двух частях Часть 2 Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Н. Н. Сорокина Младшие редакторы Е. А. Андреенкова, Е. В. Трошко Художник О. П. Богомолова Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика И. В. Губина Компьютерная вёрстка и техническое редактирование Н. К. Румянцевой Корректоры М. А. Терентьева^ Т. А. Лебедева Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93— 953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с оригинал-макета 09.10.12. Формат TOxlOOVie- Бумага офсетная. Гарнитура SchoolBookC. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 2,89. Тираж 10 000 экз. Заказ № 3025 Открытое акционерное общество ♦ Издательство ♦Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в ОАО ♦Первая Образцовая типография» Филиал ♦Чеховский Печатный Двор» 142300, Московская обл., г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1