Алгебра 8 класс Рабочая тетрадь Колягин Сидоров

Алгебра 8 класс Рабочая тетрадь Колягин Сидоров - 2014-2015-2016-2017 год:

Читать онлайн (cкачать в формате PDF) - Щелкни!

Текст из книги:

Рабочая тетрадь 8 класс Пособие для 5'^ащихся общеобразовательных учреждений 6-е издание Москва « Просвещение -> 2010 УДК 373.167.1:512 ББК 22.14Я72 Р13 Авторы: Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин Рабочая тетрадь яв.тяется частью учебного комплекта по алгебре, включающего учебник «Алгебра, 8» авторов Ш. А. Алимова и др. ISBN 978-5-09-023913-4 ф) Издательство «Просвещение», 2001 © Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2001 Все права защищены Предисловие Данная рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Алгебра, 8» авторов Ш. А. Алимова и др. Содержание тетради организовано в соответствии с главами и параграфами этого учебника. Тетрадь предназначена в основном для работы учащихся с ее помощью в классе. Следует иметь в виду, что рабочая тетрадь не заменяет ни живого слова учителя, ни текста учебника. Она дополняет и то и другое, расширяя арсенал учебных средств учащихся и возможности работы учителя. Структурно материал каждого параграфа тетради расположен по трем разделам. После I раздела, который предназначен для подготовки школьников к изучению нового материала соответствующего параграфа книги, проведена черта. Эта черта символически обозначает раздел, который не имеет номера, поскольку после выполнения заданий I раздела учитель приступает к объяснению нового материала так, как он считает нужным. Проведя объяснение, учитель работает с учащимися над упражнениями учебника; при этом ученики записывают решение традиционно — у доски или в обычной тетради. Следующий раздел обозначен как второй — это основной раздел в рабочей тетради, он содержит упражнения, дополнительные к упражнениям учебника. Некоторые из упражнений тетради являются подготовительными к выполнению упражнений учебника, некоторые помогают слабым учащимся в усвоении определенных алгоритмов благодаря увеличению от задания к заданию доли самостоятельной работы школьников. Наиболее трудные упражнения раздела отмечены знаком*. В последнем разделе, обозначенном цифрой III, приведены тексты упражнений, позволяющих проверить уровень усвоения материала рассматриваемого параграфа. Учитель может выборочно использовать их для проверки качества домашней работы учащихся. глава Неравенства Положительные и отрицательные числа .............\...............\..............^..............»...............^..............»...............I..............I...............\..............»...............»..............\...............\ © 1 Заполнить пропуски в предложении: Рациональными числами называют числа где т —.................... п — Примеры: .....; ....; ....; ... число. 2 Из чисел - 5,8; 0; - 7; 19; ; 1; - 13,5; 2,4; - 12 выписать: 1) натуральные .......... 3) положительные ........ 5) рациональные ......... 3 Вычислить устно и записать ответ 2) целые ....... 4) отрицательные 1) 11= ' 3 3 2) -4 + f = 3) 2,03.(-4)=.... 5) (-1,6):(-0,8)=, 4) (_5).(_1,4) = 6) 4,5:(-3)=.... 4 Даны числа —1; 0,1; —~1 44-; -2-4; а — Ь; Записать О О 4 и числа: 1) противоположные данным ............................... 2) обратные данным 5 На числовой оси отметить: 1) точки: А (-2,5); В (3,5); 2) точку D (......), лежащую на единицу левее точки А; 3) точку Е (......), лежащую на единицу правее точки В; 4) точку F (......), лежащую посередине между точками А и В. ---------1---1----1-----1-^---1--1--^^^--------------------► — 4 —3 —2 —1 0 1 2 3 4 5 6 Записать числа —2,3; 0; —4; —2,35; 2,3; —2,03 в порядке возрастания. >.....................,.............................^ 7 Записать числа 0; —6; — ; —77; —— ; —— в порядке убы- 10 7 <5 “ D вания. ► 8 Записать два рациональных числа, заключенные между двумя данными рациональными числами: 1) 5 и 7; .. 3) о и 0,6; с. 4 6 5)у И-; _ 2) —9 и —8; . 4) —0,4 и 0; .. 6) —0,1 и 0,1; 9 Не выполняя вычислений, поставить в пустой клетке знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство: 1) (-2,7)"-(0,56f 0; 2) -(2,7)=*-(5,6)=’; :0; 10 Проставить в клетке знак > или < так, чтобы при х= — 1 получилось верное неравенство: х-\ 2 х — 2 1) 3) 2 1+1 2 х + 4 х-3 ■■■'■ х-3 ’ 11 Разложить на множители: 1) 9х — х^= ....................... 2) 4) х + 2 .... х-2 X 5 —X X 2(х+1) — X х+7 3) = 2) 7х^ + 5х = х^ 4) -=---1 = ' 16 5) х^ — 36х= ............. 12 Решить уравнение, заполняя пропуски: 1) 8лг+11лг^ = 0; 6) 49х — 4х'‘ 2) ^4 = 0; х-2 = 0, =о или X- ► Ответ. JC)= .... Хг= ..... 3)* 9х^-х = 0; = 0, х( И ) = 0, 13 14 15 X— ...... или ............ =0, или ........ =0, т. е. д: = ....или X.......или X...... Ответ. Xi = .........; Х2= ..........; Хз= ......... Определить знак числа а так, чтобы было верным неравенство: 1) (-|)а.(-1,7).(-3,5)=*<0, а 0; 2) (-7)*-(—^)а-9>0, а 0. Доказать, что при любом значении а отрицательно значение вы- ражения: 6 1) в*-1-7 а*-1-3 „44 1 = 1 = 16 Заполнить пропуски в предложениях. 1) Если произведение двух чисел — положительное число, то эти числа имеют ............... знаки. 2) Если произведение двух чисел — отрицательное число, то эти числа имеют ............... знаки. 3) Если частное двух чисел — положительное число, то эти числа имеют ............... знаки. 4) Если частное двух чисел — отрицательное число, то эти числа имеют ............... знаки. Записать все целые числа, которые расположены на числовой 7 7 ОСИ между числами —т “ т • О О ................... 6 17 Проставить в клетке знак > или ■< так, чтобы при х== — 1 получилось верное неравенство: 1) 7(2х-9) 0; 2) 3(-2x-fl) 0. 18 Решить уравнение, заполнив пропуски: 1) (6 —5д:)(Злг + 4) = 0, 2) ^ = 0, ► 1 — х = 0, х = = 0, х = Ответ. Xi= ...... , Хг = ► Числовые неравенства .. =0, Если х= .. Ответ. х = 34 х-2 0, = 0, ... ФО, 4) Зх^ —2х = 0. .... —0, X— или .. =0 или .... =0, X— JC= .... X — Если X= .... =0. Если X — то ... .... ^0. Ответ. ... Ответ. .. , то .. ¥=0, = 0, <1 © 1 Проставить в клетке знак >-, < или i)i ^ 17 5 Т? ’ 4 , 7 ’ 3)2| 2^- 4) 4| 0; 5) 1,43 1,45; 6) 4,072 4,027; 3,2; 8) 2^ 9) 0 : J — 10,5. Даны числа: 0,1; —20; 0; —у; —1.9; 0,09; —1. Расположить их в порядке возрастания и соединить знаком неравенства. п; Поставить знак >■ или < между числами тип: 1) если т = \,2, п=—3, то т ... га; 2) если гаг = 7, га = 1, то гаг га; 3) если т = а, га = а + 1, то гаг 4) если т = а^, п = а^ — 3, то гаг Выполнить действия: 1) (0 + 2)*= +.... + 3) (2 + 5о)(2 —5о)= ..... га. 2) (1-Здг)*= ... - 4) (6 + b)(ft-6) = Привести к общему знаменателю дроби: 12 „,1а 1) 3) п+1 1 — 1 л —1 ’ 3 ‘ /л-1 ’ 2) 4) Ь-2 (6-2)=' ’ 5а 7 а‘—4а ■ 4 а-2 ► + <1 6 С помощью определения числового неравенства сравнить числа: 1) и 0,53; 2) 0,7 и |; 3) 0,9 и —|; 4) -2,4 и —^ . ► l)- = " ' 2.5 ТО 25 и 2) 0,7= . 0,7 . 0,53. — 0,53=......... Так как — 0,53;..; 0, . Так как 0,7—— : . 0, то О 3) 4) 7 Заполнить таблицу: Значение т — п -3 12 0 о*+4 -а*-9 Сравнение тип т<п т~п т>п т<п 8 Доказать, что а + —<1, если а<0. а ^ Разность..............=.............О, так как при а<сО числитель дроби О (сумма трех положительных чисел ...................), а знаменатель дроби .............. О (по условию). Следовательно, ^ 2 2 9 Доказать, что ------> —— , если т>\. т — 1 /п + 1 ^ Разность =....................=...................О, так как числитель этой дроби число и знаменатель этой дроби ........................ число (по условию т>1). Следовательно, —<1 лг — 1 /п + 1 N 10 Доказать, что a-t-^C—2, если осО и аФ—I. а Ьтт“ а^-}-2о + 1 — ш Найдем разность Дробь <0, так как (a-f-1)^ 0 при аФ—1 и по условию .............. Следовательно, а-|--^<—2. ^ Число, кратное 5, можно записать в виде 5к, где к — натуральное число. 11* Определить, какое из двух чисел больше, если известно, что каждое из них больше 104 и меньше ИЗ, причем первое число кратно 15, второе кратно 8. ^ Первое число кратно 15, поэтому запишем его в виде ..... где m — натуральное число. Второе число, кратное 8, запишем в виде ....... где п — натуральное число. По условию двойное неравенство 104-< ......<113 верно только при т= ________ Неравенство 104 <....<113 верно только при п= ...... Поэтому 15т =.....=........ 8л =...=...... Ответ. Первое число ........ второго. ^ 9 12* Пусть а и b — натуральные числа, причем Ьф\. Сравнить числа а и Ь, если верно неравенство т->т—г- о о — 1 ► ГТ1 “ tt—1 а а— 1 Так как -г>т—;-----верное неравенство, то разность — 0 0 — I Ь 6 — 1 положительное число. Знаменатель этой дроби ..... >0, так как и ...... , и ..... (Ь>1). Следовательно, числитель этой дроби должен быть ............................ числом. Поэтому..... >0. А это означает, что Ь>а. ^ 13 Заполнить таблицу: Значение а — Ь 0 Сравнение а и Ь а>Ь 0,8 <1 7,6>3,5 -6<-1 -2,3>-3,7 14 Доказать, что при любых значениях а верно неравенство: 1) (2 + а)(а + 5)<(а + 3)(а + 4); 2) (3-о)=*>а(а-6). 15 Доказать утверждения: 1) если а>Ь и c>d, то (a — b){c — d)>0; 2) если а>Ь и cdd, то (о —Ь) (с —d)<0. ^1) Если а>Ь, ю а — Ь 0; если Od, то с — d ■ 0. Поэтому произведение ..........положительное число, т. е. ...........>0. 2) Если а>Ь, то ..................; если c0, то а ... 0; 3) если —35а<0, то а 0; 4) если —42а>0, то а ... 0; 5) если —9а > о, то а 0; 6) если -^>0, то а 0. Выяснить, положительно или отрицательно произведение (то —2)(п —3), если: 1) то>2 и л>3; 2) то>2, а лСЗ. ^ 1) Если то>2, то то —2 ■ ' 0; если л>3, то п — 3 0. Следовательно, (то — 2) (л — 3) 0. 2) Если то>2, то .....если л<3, то.............Следовательно, ........................................... ^ Выяснить, положительна или отрицательна сумма (то — 2)-1-(л — 3), если: 1) то>2 и л>3; 2) то<2 и л<3. 1) Если то >2, то............; если л>3, то....... Следовательно, (то — 2)-}-(л — 3) ... 2) Если то <2, то ...........; если п<3, то....... Следовательно, (то —2)-(-(л —3) .....^ 4 Сторона квадрата равна 6 см. Периметр квадрата равен ...... . 5 Периметр квадрата равен 48 см. Сторона квадрата равна ... ► Заполнить таблицы (после выполнения преобразований). 11 1) Прибавить к обеим частям неравенства данное число: Исходное Данное Полученное неравенство число неравенство 11>3 5 16>8 -3<10 3 -7< -1 10 9>2 — 12 а + 3 >а — 10 2) Прибавить к обеим частям исходного неравенства данное число: Исходное Данное Полученное неравенство число неравенство 14 + 3fc>2 -36 14>2 —36 16-5&<1 56 7а —8>3 — 7а 16 —5Ь<1 -26 7а —8>3 — 4а 3) Умножить обе части исходного неравенства на данное число: Исходное Данное Полученное неравенство число неравенство 4> -3 2 8>-6 2<5 -1 12> -8 -2 10<16 1 2 а>3 а>0 а^> За 6< —8 6<0 6 —2>1 6>0 12 4) Разделить обе части исходного неравенства на данное число: Исходное Данное Полученное неравенство число неравенство 8<10 2 4<5 13>11 — 1 -9< -6 -3 -4< -1 1 2 16а< 14 -2 — 8а > — 7 а > — 2о^ а>0 ada^ а<0 7 Доказать утверждения. 1) Если 5а — 3<4о — 2, то а<1. 2) Если 7& + 9>-66+10, то Ь>1. 3) Если (6 — 1 )(f> + 6)> 6(Ь + 4), 4) Если а (5 + а)<(а + 2f, ► то Ь>6. то а <4. ► <1 8 Доказать, что если adb и с<0, то ас>Ьс. ^ По условию а — Ь О и с ;0. Поэтому (а —&)с; :0, т. е. ас — Ьс : ; 0. Следовательно, ас>Ьс. ^ 9 Доказать, что если ас<Ьс и ОО, то adb. ^ По условию ас — Ьс 0, с (а — Ь) : 0 и с '■■■■ 0. Поэтому а — Ь .; 0. Следовательно, adb. ^ 10 Заполнить пропуски. 1) Если сторона квадрата а такова, что 3,1 •< а <3,2, то его периметр Р таков: .......<Р< .......... 2) Если периметр квадрата Р таков, что 60<Р<64, то его сто- рона а такова: .dad 13 11 12 13 14 Определить знак числа а, если: 1) 9а<2а; Ответ, а .;0. 2) — 10а>—12а. Ответ. а:..;0. ^ Прибавить к обеим частям исходного неравенства число т: 1) а<Ь, те = 12; .......... 2) а>Ь, т= — 7; ............. 3) а>Ь, т = 20; ........... 4) а<.Ь, то = 0,5; .......... Вычесть из обеих частей исходного неравенства число к: 1) —3<0, к= — и ........... 2) 7>4, * = 8; .............. 15 Пусть а<Ъ. Проставить в клетке знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство: 1) _4а -4Ь; 2) 0,5о 0,56; 3)-^: .;^; 4) a(c^-f2) 6(с*-}-2); 5) а (-5-с") 6 (-5-с"). Доказать, что если 8 — 6а <12 —7а, то а <4. Сложение и умножение неравенств © Известно, что а>3, 6 >5. Доказать, что: 1) а+ 6 >8; 2) а6>15. 1) Если а>3, то ; 0. Если 6 >5, то ......... Сумма двух положительных чисел (а — 3) и (Ь — 5) ............... т. е. (а — 3) + (6 + 5) о или а —3-f 6 —5 = 0, а+ 6 — 8 ' 0. Откуда 2) Если с>3, то......Если 6 >5, то.......Чтобы доказать, что а6>15, нужно убедиться в том, что ...0. Рассмот- рим разность аЬ —15 и преобразуем ее: 14 а6-15 = аЬ-ЗЬ + ЗЬ —15 = (о6-ЗЬ) + (ЗЬ-15) = 0, так как Ь О, (а —3) О, 3>0 и......О. Следовательно, аЬ>15. ^ 2 Заполнить пропуск в предложении: Сумма двух сторон треугольника всегда ............ третьей стороны. 3 Каким может быть число а — длина одной из сторон треугольника, если две другие его стороны равны 3 ед. и 5 ед.? ^ По свойству треугольника аС..... -f-.. , т. е. аС........ С другой стороны, а-(-3>....... т. е. О..... Итак, ...< <о<....... <1 4 Сложить почленно неравенства: 1) 12>1 и 1>-3; 3) —8< —3 и —2<6; 2) —9<2 и 5<8; 4) 0> —5 и 4> -2; 5) а-3>6 + Ь и 7-2а>4-Ь; 6) а + 1<2Ь-3 и 8-2а<5-46. > Доказать, что диагональ выпуклого четырехугольника ABCD меньше его пол у периметра. Рассмотрим, например, диагональ BD~m. Из AABD следует, что тс.....+..... Из А BCD следует, что /п<....+..... Складывая полученные неравенства, запишем: < т < + + + откуда 15 6 Длина прямоугольника больше 9 дм, а ширина больше 4 дм. Доказать, что периметр этого прямоугольника больше 29 дм. ^ Пусть а — длина прямоугольника, Ь — его ширина, тогда а : ; 9, 6 : 4, откуда а + 6: ........., а периметр прямоугольника 2(0 + 6);::;...... <1 7 Выполнить умножение неравенств: 1) 8>5 и 3>2, ............ 2) 12<18 и 1<-^, 3) 24>10 и 0,2>0,1, ...... 4) о>2 и 6>б, ............ . 8 Одна из сторон прямоугольника о больше 2 ед., но меньше 5 ед.; другая сторона 6 больше 3 ед., но меньше 10 ед. Каким числом квадратных единиц может быть площадь этого прямоугольника? ^ По условию 2-<а<;5и <.Ь<...... Выполним умножение неравенств (по условию задачи а и 6 — положительные числа): оСб и 6<;10, получим аЬ _____ . а>.... и6> ...... , получим аЬ ... Но об — площадь прямоугольника, поэтому. Ь^, то а>Ь; 2) если о®<6®, то а<Ь. ^ 1) Если а^>Ь^, то о® — 6® О или (о — 6) (о+ 6) ; 0. о + 6 о, так как о ; О и 6 О, но тогда о — 6 О, т. е. о > 6. 2) Если о® <6®, то о® —6® О или (о —6) (о® + об+ 6®) ; 0. о®+ о6+ 6® >0, так как о® 0, об О, 6® . 0, но тогда о — Ь 0, т. е. а<Ь. ^ 10 Доказать, что если о>1 и б>3, то: 1) 5о + Зб>14; 2) 4об + 6>18; 3) (о+ 6)® >16; 4) а® + б®>10. ^ 1) о>1, 5о>...... ; б>3, Зб> ....... ; 5о + Зб: ..... ; 2) о б;..; 4об + 6 3) о:::: , ь .. 4) о ; , б ; ; .. а®+б® < 16 об ............ > о + б ; 4об ; (а + б)® , б® 13 и) 11 Выполнить сложение неравенств: 1) 15<19 и -5<2, ..... 2)4>-Зи6>3, 3) о —5Ь>1+2о и За + Ь>8 —2а, ........... 4) 2а — 9&<;а + 11 и За4-11Ь<СЬ — а, .... 12 Выполнить умножение неравенств: 1) 4<5 и 7<9, ...... 3) 15>10 и Доказать, что если а>4 и Ь>2, то 1) 2afc + 8>24; 2) 5a^ + b*>96. 2) 12>11 и 3>2, 1 ^ 1 4) 10<14 и ^ 1) а 4, Ь 2,аЬ ..\ ... 2) а .............., Ь ... Ь* i.,i ....., 5а^-\- Ь* i 2аЪ 4 , 2аЬ + 8 , 5а* Строгие и нестрогие неравенства © 1 Заполнить пропуски: 1) -5<-1 2) -1>-6 3) -2>—4 4) 0<12 + 4 = 4 + —5=—5 6 = 6 2 = — 2 -13 -6 ■ -11 ............ 2 Заполнить пропуски: 1)^ 1>—2 2) -5<1 3) -7<—4 4) 2>-9 X 5 = 5 X 3 = 3 X — 2= —2 X — 7= —7 5 .. —10 —15 3 ....... ....:!!;.. 3 Дописать равенства и неравенства конкретными числами: 1) ^ = 1 = ^3 6 15 4) 25 5) {<-<1 !<-9; 2) га>9; 3)га>—11; 4)га> —11; 5)ra>-s|; 6) га>10, га = 11; га^42, га = 42. ^ 1) га^9, га=... 3) га> — 11, га=.. 5) га^—8-i, га = 2) га >9, га=.. 4) га^ — 11, п = ■■ 6) га> — 1-^, га = 4 7 Отметить на числовой оси все целые числа, которые не больше 5 и не меньше —5. Н-----1---h 0 н—^--1- 8 Найти наибольшее целое число х, удовлетворяющее неравенству: 1) f<3; 2)|<-5. ■^<-3 1 •7,д:< -21,х = -21. ► .................... 18 2) f<-5, <1 9 Найти наименьшее целое число х, удовлетворяющее неравенству: 1) |>-1; 2) |>2. 2 I -5, 10, X 10. 2) <г>2. .................. ^ 10 Записать условие задачи с помощью неравенств. 1) Рост Антона (й см) не превышает роста Коли, равного 165 см, но больше роста Маши, равного 147 см. ^ 147 ; 165. <] 2) Число дней в году (/га) не меньше 365 и не больше 366. ► ...... ■■■■'”-■ ..... <1 3) Чайник «Тефаль» (модель 208) вмещает (о л) не больше 1,7 воды. ►............................................................<1 11 Доказать, что если а+ 36^ 2а+ 76, то —46 ► 12* Доказать, что любом а. У 13 с помощью знаков неравенств записать следующие утверждения: 1) За — положительное число ...... 04 6 2) — — отрицательное число 3) 4а^ — неотрицательное число ... 4) —S неположительное число О 5) 7 + а'* — положительное число .. 6) — Ь* — 7 — отрицательное число 19 14 Найти наибольшее целое число т, удовлетворяющее неравенству: 1) m<2,3; 2) 3) m<—15; 4) /п< —17. ^ 1) m<2,3, т— ........... 2) m^l,6, т= .......... 3) 15, т— ......... 4) m< —17, т— .......... .....<1 15 Найти наименьшее целое число т, удовлетворяющее неравенству: 1) т^5,6; 2) т>7,5; 3) т> — 17; 4) т^ —15. ^ 1) то^5,6, т= ............. 2) т>7,5, /га= ................ 3) —17, т— ............ 4) т'^ —15, т— .............. ^ i Неравенства с одним неизвестным © 1 Верно ли неравенство («да» или «нет»)? (_5).(_6)>0 Да 1) —7-3<0 -6 3) -<0 -18 5) 1,5-2 —2,7>0 2) ^>0 4) 10-1,2 —15<0 6) -=--12-7>0 <о Записать в виде неравенства следующие утверждения: 1) сумма чисел 3 и л: меньше 1 ................... 2) разность чисел х и 8 больше 19 ................ 3) произведение чисел 10 и х не больше 15 ........ 4) частное чисел х и 3 не меньше 6 ............... 5) утроенная сумма чисел х и 7 не больше —15 ..... 6) полусумма чисел 2 и х не меньше их разности.... Найти значения х, при которых верно неравенство: 1) 5х<0 при X....... 2) — 4х>0 при х____ ... 4) (х + 3)^>0 при .. 3) -jx^ + l>0 при 20 0 Построить график функции и с его помощью заполнить пропуски: 2) у=-х + 3, ........... 1/(2)= ..................... 1) у = 2х + 2, У(~2)= .... если у = 0, то X = i/ik Из чисел 7; 5; 2; 1,5; 0; —2 выписать те, которые являются решениями неравенства: 2) 4 —jc<3, . 4) 2{1-х)^-\, 1) 2х —3>1, ............... 3) 4(х-1)< -2, ........... Решить неравенство: 1) —5х<0, ................. 2) 4х>0, ............ 3)^;с^_1<0................. 4)(дг-3)^<0. .............. Доказать, что при любом значении х справедливо неравенство: 1) 4х(л:-1) + (5д:-1)(х-Р 1)>-16; 2) (х —4)(х + 4) —2а:"<1. ► 21 8 Построен график функции (см. рис.). С помощью графика заполнить пропуски. 1) Значения функции положительны при X ......... Значения функции отрицательны при X ...... Значение функции равно О при X...... Значения функции больше 2 при X ..... Значения функции меньше 2 при X ..... 2) При х>2 значения функции ............ При X < 2 значения функции При X = 2 значения функции При X > — 1 значения функции ........... 3. При X ■< — 1 значения функции ............ 3. 10 П) 9 Из чисел 3; 0; ; — 1; 1 выписать те, которые являются решения- О ми неравенства: 1) Зх —2<0, ...... 3) х+1^4, ........ Решить неравенство: 1) 15х<0, 3) f>0, 2) 1-6х>0, 4) —х< —2, 2) —8х>0, .... 22 Решение неравенств ’|'0" © 1 Умножить обе части исходного неравенства на число т и результат записать в таблицу: Исходное неравенство т — 2 т= —1 т= —2 т = 4 т>5 т<,—Ъ 3>i -3<-i 4>-1 -4<1 2 Разделить обе части исходного неравенства на число к и результат записать в таблицу: Исходное неравенство * = 4 к = 9 24> —48 6> -12 -5< -1 _1<_1 4 4 3 Упростить выражение: 1) 3(4 —2х) + 7(1—х) = 2) 8(дг —2) —4(1-2х) = 4 Решить неравенство устно и записать ответ: 1) дг + 3<2; 2)дг-2>-3; Ответ..... 3) -2х<6; Ответ..... Ответ......... 4) —Здг>—18. Ответ......... 23 5 Решить неравенство и изобразить множество его решений на числовой оси: 1) 3х + 7<13; 2) 6л: —5>13; 3) 2 —Зл:<14; 4) 11—4л:>19. 6 Решить неравенство: 1) 6(х-5)>2(л:-3); 2) 7(у + 1)<9(1/-3); 3) ^<3; .. 2х — 3_____2 — х 4) 2-^3 Найти те значения аргумента х, при которых значения функции 1/=-Зх + 12: 1) больше О, .......................................... 2) меньше О, .......................................... 3) больше —3, ......................................... 4) не больше 6, ....................................... !? Решить неравенство: 1) 2х + 20>0; 2) 1 —2х<3. Ответ. Ответ. Найти наибольшее целое число, являющееся решением неравенства: 1) 5-6лг>2(4-дг); 2) б(1-лг)>х-1. 24 ► Ответ..................... Ответ........................ ^ 10 Найти наименьшее целое число, являющееся решением неравенства: 1) 3,2д: —2>2л: + 0,4; 2) 5,5-[-4х> 1+ ► Ответ. Ответ. 11 Решить неравенство и изобразить множество его решений на числовой оси: 1) ^<-1; о\ 2 5 3 ^ 15 ■ Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки © 1 Поставить в клетке знак > или <; так, чтобы получилось верное неравенство: 1) —2-3: U-( —3); 2) 0-( —4) • 5-( —4); 3, i.(-io)Ci(_i).,_io); 4) 25 2 Решить неравенство и изобразить множество его решений на числовой оси: 1) 9х>27; 2) 7х<21; 3) 5х< — 40; 4) бх> —36; 5) — 4х<—9; 6) —8x^—3. 3 Из чисел, записанных во второй строке, выбрать те, которые являются решениями данного неравенства, и подчеркнуть их: 1) 4х<Зх + 4; 2) 2(x-f4)<-16; 10; -2; 0; 4; 1; 5; 4; -4; -12; —14; 0; -9. ® 4 Из чисел, записанных рядом с системой неравенств, выбрать нужные и заполнить таблицу: 1) 3) { л-<3; 4х —5>—1, fx —7<—2, ^ ^ „ — 3; 0; 1; 3 4) { —4; 0; —1; 2 х + 6>2; ’ ’ ’ ^ \2х-1-1<10. Система 1 2 3 4 Данные числа -2; -1; 0; 2 -3; 2; 1; 4 -3; 0; 1; 3 -4;0; -1:2 Решения 1-го неравенства -2; -1; 0; 2 Решения 2-го неравенства -1; 0; 2 Решения системы -1; 0; 2 5 Найти все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств: 1) ж> -2, х<.8; Ответ..... 2) х^4. X ^ —4; Ответ....... 26 3) I x>-7, U<0; 4) x<3,7. д:^ —2,5. Ответ................... Ответ.................... 6 Изобразить на числовой оси множество чисел х, удовлетворяющих двойному неравенству: 1) —7<д:<—3; 2) 0<дг<3,5; 3) —2j1, X — ЗсО, ^0=1 2-х>1; Ответ....... 2) 5 —х<4, 4х-7>1, Хо = 3 3x-f6>0. Ответ...... 27 10* На одной координатной плоскости изображены графики линей- 3 1 ных функций у=-^х — 3 и у=—х + 1. Заполнить пропуски в предложениях. 1) Значения обеих функций положительны при 2) Значения обеих функций отрицательны при ..... 3) Значения функции не меньше 0 и не больше 3 при ..................... 4) Если —2<а:<;2, то зна-чения функции у=—х — 3 (положительны, отрицательны). 5) Если — 2<х<2, то значения функции у=^х-\- \ ....... 6) Если х>4, то значения функции х —3, соответствующих значений функции у = ^х-\-\. 7) Значения функции у = — х-\-\ больше соответствующих значений функции у = ^х — 3 при ............................ И* Одна сторона треугольника равна 2,4 дм, а другая 5,2 дм. Какой может быть длина третьей стороны, если она выражается целым числом дециметров? аСЬ + с &<а + с, Ь — с<а с<Са-\-Ь Ь — c1; Решения 1-го неравенства: 2)f 8-2д:>1, 1з, + 2>-1. Решения 1-го неравенства: Решения 2-го неравенства: Решения 2-го неравенства: Решения системы: Решения системы: 13 Заполнить таблицу: Двойное неравенство Числовой промежуток Изображение на числовой оси —9<х<0 (-9; 0) /////,'///■•'//// У/ 'Г -О -3<д:<7 ■0,5<;лг^6 — 11~30; 3) 14>7дг; .............. 4)64<~8лг; 5) 2х — 37X — 5: 6) Зх-f-4 <с. 5х3• Изобразить на числовой оси множество чисел х, удовлетворяющих данному неравенству или системе неравенств: 1) х<8,5; 2) x>-7j; 3) х> —2,7; 4) х^б; 5) J х^1. 6) 1 х>3. 7) 1 х<-2. 8) f х<0. \ х<5; \х<7; 1 х> — 6; \х> -4. ^ ► ^ ^ Раскрыть скобки и привести подобные члены: 1) (2х + 10) —(Зх —12) = 2) (Зх-7) + (1-х)= ................... 3) 2(4х-Ь1)-3(2 + х)= ................ 4) 7 (х-2) + 2(-5-6х) = 4 Изобразить решения данной системы неравенств на числовой оси и записать ответ. х<4; х< —4. 30 Ответ. х< —4. -4 1) I ac>3; 2) 5; f—5; U>-1; Ответ..... 4) J :c>2; I л:<9; Ответ. 5) I л:< — 4; Ответ. Ответ. Ответ. 5 Решить систему неравенств: I 6дг>> 12, l2x>-4; Ответ. х>2. I х>2, I л:> -2. -2 1) I Зх + 9<0, 2) j \ 4л:-8<0; \ 2) ( 5х + 10>0, 2л: —3<0; 3) J 15 —3л:>0, 1 1-х<-3. Ответ. Ответ. 6 Решить систему неравенств: 1) |5х-12>х, 1 X— 15>3х + 1; Ответ. I 2х-3>х-5, \3х —2>4х —3; ^ (1) 2х —3>х —5, (2) Зх —2>4х —3, Ответ. — 2 < X < 1. ^ ► 2) Г5(х+1)<2(2х + 1), 1 Зх + 2<-1. Z -2 1 2х —х>3 —5, х>—2. Зх —4х>2 —3, х<1. <1 31 Длина основания равнобедренного треугольника равна 16 см. Каким числом может быть выражена длина боковой стороны, если известно, что периметр треугольника меньше 90 см? ^ Пусть д; см — длина боковой стороны треугольника, тогда его периметр равен ....................... По условию ........ <С90, по свойству сторон треугольника ... + ..... >16. Получаем систему неравенств Решаем систему неравенств: ► Ответ. Длина боковой стороны может быть любым числом из интервала ......................... ^ Если бы велосипедист проезжал в день на 10 км больше, чем на самом деле, то за 6 дней он проехал бы меньше 420 км. Если бы он проезжал в день на 5 км меньше, чем на самом деле, то за 12 дней он проехал бы больше 420 км. Сколько километров мог проезжать за один день этот велосипедист? Пусть за один день велосипедист проезжал х км. Если бы он проезжал в день на 10 км больше, т. е..... км, то за 6 дней он проехал бы .... км. По условию ....... <420. Если бы велосипедист проезжал в день на 5 км меньше, т. е....... км, то за 12 дней он проехал бы .......... км. По условию ...... >420. Получаем систему: 9* Ответ. Велосипедист мог проезжать за день больше.км, но меньше...км. ^ Решить систему неравенств: 1) X -|- 3 < о, 5-х>0, 6x-f-12<0; ►........ Ответ. 32 2) 4х —8>0, х-4>0, х + КО. Ответ.................. ^ 10 Изобразить решение данной системы неравенств на числовой оси и записать ответ: 1) |лг>0, 2)fjc<0, 3)|л:<1, 4)|л:^-2, Ответ....... Ответ........... 11. Решить систему неравенств: 1) I 15лг-30>0, i 2х + 7^0; 3) I л:-3<0, \ 4д:4-9>0; ► 1) Ответ 2) ( 2 — Ответ. I 2 — Зх<:0, I 6л: + 1 < 0; 4) ||+3<6-|, [ 7 (2х —5)<5(дг —7). Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль ■ »..........»...........t...........^...........»...........1...........1..........^...........1...........1..........» ...........1..........^..........t- © 1 Заполнить таблицы: 1) Данное число 7 — 3 6 11 -2,1 2а-7 Число, противоположное данному 3 олягин. 8 К.1. 33 2) Данное число 4 — 4 0 3 -8,7 Модуль данного числа 4 2 Изобразить на числовой оси множество чисел: 1) 0<х<5; 2) —5<д:<0; 3) 1,5<л:<4,5; 4) —2,5<х<—0,5. -----------► 3 Решить систему неравенств: 1)|х>11, 2)Гд:<11, 3) |дг>17; lx<17; ----► -------------► I:;:: ‘'I 4 Решить уравнение: 1) -х = 5;....... 3) —3х = 63;..... 2) 4) 4) { х>Ь, хСЗ. — X — — 3,2; Ч—>■ © Заполнить пропуски: если ... если , 1) II I ес |а| = i [ —а. 2) \т\ если т^О, если т<0. 6 Вычислить устно и записать ответ: 1) 151 + 1-51 = 3) 9-15-71 = .. 5) -3.|-4| = Дописать утверждения. 1) Если а>0, то с+|а| = 2) Если асО, то а+|о| = 3) Если аСО, то а—|а| = 4) Если О о, то а—|а| = 5) Если а>0, то ^ = 6) Если осО, то = 2) 1-61-161= .. 4) 110 — 101-7= .. 6) 1-181:1-31 = 34 8 Решить уравнение: 1) 17-14x1=0; Ответ...... 3) 1x1 = 1; Ответ............. 5) 3 12-3x1 = -15; Ответ........... 3)* 13х — 61 =х; Ответ. 2) 8 1x1 + 1-51=5; Ответ........ 4) 15x1 = 15; Ответ............ 6)* 5 |6-х1 =6-х. Ответ................. 9 Решить уравнение: 17-6x1=1 ► 1) 7-6х = 1, — 6х= —6, х=1. Ответ. х, = 1, X2=j. ^ 1) 17 + 4x1=5; Ответ. 2) 7-6х = — 6х = 4 1, -8, 2) 19-2x1=3; Ответ............ 4)* 1х —Ц+х=—3. Ответ. 10* Дописать утверждение. Если 1-<х<;2, то х+11 — х1+2 1х — 21 35 11 Заполнить таблицу: Неравенство с модулем Запись неравенства с модулем в виде двойного неравенства или системы неравенств Изображение множества решений неравенства на числовой оси |дг|<7 —7<х<7 т~ -7 |л:|<15 3,45 12 Решить неравенство: 1) |х+1|<1; 2) |3-х|<2; 4)!3 —4х|>9; 5) |5-2х|>-4; 3) |1 + 2х|>1; 6) 16 —х|<0. 36 ■<1 13* Найти такие значения а и ft, чтобы решениями неравенства |дг —ol^ft был отрезок — ^ Запишем неравенство \х — а \ ^ft в виде ..................... Это двойное неравенство означает то же самое, что и система неравенств /............. f ............................... i откуда ..... По условию ...... = —5 и = —9. Решаем систему уравнений: Ответ, а- Ь = 14 Решить уравнение: 1) 72 + 9|лг| =0; ► 2) |8дг—11=9. Ответ............... 15 Решить неравенство: 1) |5д:-7|<3; ► Ответ. 2) |6л:+1|>11. Ответ. Ответ................... ^ II Приближенные глава вычисления Приближенные значения величин. Погрешность приближения © Вычислить устно и записать ответ: ............. .... 4) 1-1,271-12,471 3) 1-0,731-1-0,231 = 5) 2 Вычислить: 1) 13,5 — 3,6831 = 3) f-0,371 3 8 3 Решить уравнение: 1) и-3|=7; И»............. (2)............. Ответ........... 3) |2л:-3|=3; ► п).............. (2)... Ответ, 38 6) 3 9 7 14 2) 1-7,6 + 7,381 = 4) -7 ^-(-7,8) 7 8 2) |4-x|=9; (1)........................ (2)........................ Ответ.................... ^ 4) 17 —2л:|=9. (1)........................ (2).... Ответ. Погрешность приближения: 1) числа 23 числом 17 равна .. 2) числа — 16 числом — 14 равна Погрешность приближения числа х числом а равна Ь. Найти: 1) X, если 0 = 3,27, 6 = 0,03; 2) о, если дг=—5,47, 6 = 0,007. 2) Решим уравнение 1 -5,47 —о| =0,007. (1) (2) 1) Решим уравнение |х-3,27| =0,03. (1).................. (2).................. Ответ. х^ = ... х^=..... Ответ. о,= ........ <1ч = С помощью графиков получили, что прямые у = 7х — 6 и у— 2 пересекаются в точке с абсциссой х—1. Найти погрешность этого приближения. ► Ответ. ................. ^ 7* Найти число х, если погрешность его приближения числом 4 в 10 раз меньше числа х. ^ Решим уравнение \х — '^1=^- (1)........................................................... (2)........................................................... Ответ • = ^2 = 3^. <1 8* Пусть у — погрешность приближения числа — числом 0,83. Найти погрешность приближения числа у числом 0,1. Ответ. 300 4 (В 9 Погрешность приближения: 1) числа числом 0,5 равна 2) числа — 17,89 числом — 17,9 равна 39 10 Что больше: погрешность приближения числа у числом у или 1 1 , числа — числом — ? о о ► Ответ. 11 Верно ли, что погрешность приближения числа — числом 0 0,3 меньше ? ► Ответ. ^ 12 С помощью графиков получили, что прямые г/ = 8х+10 и у = 1 пересекаются в точке с абсциссой д: = — 1. Найти погрешность этого приближения. Оценка погрешности © 1 Записать утверждения в виде неравенства. 1) Погрешность приближения числа 4- числом 0,4 меньше 0,1: О 2) Погрешность приближения числа —— числом —0,6 не боль- О ше 0,025: 2 Записать неравенство в виде двойного неравенства и системы двух неравенств: 1) |x-3|<8; 2) 14 —7дг|<2. 40 3 Записать двойное неравенство в виде неравенства, содержащего знак модуля: 1) —3 Найти в процентах относительную погрешность измерений, приведенных в задаче 4: 1) ; 2) .................... Число 4,72 является приближенным значением числа х с относительной погрешностью 3%. Найти абсолютную погрешность этого приближения. 10* Найти число X, если его приближенное значение с недостатком равно 5,3 и относительная погрешность этого приближения равна 10%. Ответ. дг = 5,83. ^ 11 Диаметр планеты Уран равен (5,07-1 O'* ± 100) км. Длина рулона обоев равна (18±0,5) м. Какое измерение более точное? ► 45 !Р 12 Найти абсолютную и относительную погрешности приближения: 1) числа 0,26 числом i 4 .................................. 04 2 1 2) числа — числом — э 3 ..................................... 13 С точностью до 0,1% найти относительную погрешность приближения: 3 1) числа у числом 0,4 Y 2) числа -JY числом 0,6 14 Какое измерение точнее: х = (600± 1) км или у = (8±0,1) см? ► Стандартный вид числа © Стандартный вид числа — запись а-10", где l^oClO, п — натуральное число. 1 Записать в стандартном виде число: 1) 2370000= ........................................ 2) 456300= ......................................... 2 Округлить число до тысяч и записать результат в стандартном виде: 1) 23756= .......................................... 2) 375521 = Стандартный вид числа — запись а-10", где l^|a|d0, п — целое число; а — мантисса, п — порядок числа. 46 3 Заполнить таблицу: Число 342000 - 7800000 0,00243 -0,000678 Стандартный вид числа 2,43-10“® Знак числа + Мантисса 2,43 Знак порядка — Порядок — 3 Округлив мантиссу до сотых, найти погрешность полученного приближения числа: 1) 3,7523-10^.................... Ответ. 0,23. 2) 7,8261-10-®................... Ответ. 3,9-10“®. Вычислить и результат проверить умножением: 1) 0,6216:168= .................... Проверка: ................... 2) 0,6419:131= .................... Проверка: ................... S) Вычислить на МК: 1) (4,56-10®)-(3,22-10-“’)= . 2) (3,68-10®®)-(5,75-10-®') = 3) 2431:(5,72-10")= ....... 4) 235:(1,88-10*")= ....... Ill Квадратные глава корни Арифметический квадратный корень © 1 Вычислить 1) Ц2= ... ................. 2) (0,1)'= ................ = Из чисел 3; —^ выписать те, которые являются корнями уравнения: 1) Зл: + 7 = 1............... 3) (х-3)(;с + 2)............. 5) д:'-1 = 8................. 2) 5 —4х = 3.. 4) (2л: —1)(д:-3) 6) дг^ = 8.... Решить уравнение: 1) (л:-4)(л: + 5) = 0; 2) (x + 7)(2jc-3) = 0; Ответ........ 3) л:"—16 = 0; Ответ. ..... 4) х^ + 5 = 0. Ответ....... Ответ.................... Найти положительные корни уравнения: 1) (X —3)(х —4) = 0...... 2) (х + 5)(х —7) = 0 Найти отрицательные корни уравнения: 1) х'-3б = 0 ........................ 2) (4 + х)(4-х)=16.................. 6 Найти квадратные корни из числа: 1) 169; 2) 144; 3) 0; 4) -16. 48 1) Для нахождения квадратных корней из числа 169 нужно решить уравнение лг^=169, т. е. уравнение, откуда (х—13)(х+......) = 0, дг, =. , Х2=.... 2) 3) 4) <1 Найти положительный и отрицательный квадратные корни из числа: 1) 64; 2) 0,16; 3) 2,89; 4) —81. Ответ................................................. Найти арифметический квадратный корень из числа: 1) 0,64; 2) 0,16; 3) 196; 4) 625; 5) 256; 6) —0,16. Ответ................................................. Вычислить: 1) 3* + 5 \/^=........................................ 2) 4-V^ —3-V169 =..................................... 3) Vs^-f 15^ =........................................ 4) Vl2^ —5-4^ =......... 10 Найти значение выражения: 1) 4 \'l4 4- 2а при а = 65. 2) 3 Д/За — 50 при а = 38.................................. 11* Выяснить, при каких значениях х имеет смысл выражение: 1) Л1х^ + л12х^; ^ I X —3>0, .... \2х-3>0; ...... Ответ. 2) \jx + 3 -V3-2x; Ответ.................... ^ 12 Выяснить, верно ли равенство («да» или «нет»): 1) л^/зГ = 9; .... 3) V^=—0: 2) 'V121 =11; 13 4) V —25 =5...... Найти арифметический квадратный корень из числа; 1) 324; 2) 361; 3) 144; 4) —0,09. Ответ.......................................... 49 14 Вычислить: 1) (V225 f= .............. 2) (Vl,69 f= .. 3) 5 — ]/36= ............. 4) 4 + 2V^ = 5) 3-V0,64 = ............. 6) 6:V2.25 = . Действительные числа •4........1.......1........►.........1......1.....»..........1.......1.......1........»........}........1.......>• © 1 Из чисел 3; 8; 15; О; —7; —13; 2 4-; 31- выписать: О 7 о О 1) натуральные................................... 2) целые......................................... 3) дробные (нецелые)............................. 4) рациональные.................................. 2 Заменив десятичные дроби обыкновенными, вычислить: 1) (0Л-^+1.б |):2,9= ............................ 2) (2,6:Я+з,6.|).2,7.|_ 3 Результат деления записать с точностью до 0,1: 1) 763:24« ............... 2) 883:37; 763 24 883 37 4 Дано: 100д: = 2. Найти: 1) 10x= ............ 3) 0,1х= ........... 50 2) лг=: . 4) 9х = Дано: дс = 0,3. Найти: 1) 10x= ............ 3) 0,1лг= .......... 2) 100x = 4) 90х= . Я) 6 Записать в виде конечной или бесконечной периодической дроби рациональное число: -5-д:3)^;4) -6^. 2) 16 3)15 = 1 45 4) -б^ = 7 18 Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь: 1) 3,(8); 2) 1,(81); 3) 0,1(6); 4) 0,2(15). 2) х= ..................... .......... 100х= ......................... ^ 1) х = 3,888... 10лг= . 9л:= .. х= ■... 3) jc=.... 10л:= . 100л: = 90л: = . х= 99лг= ... х= ...... 4) ..... 10л:= ... 1000л: = 990х= . X = ...... Из чисел 3,7; -2,9; л/ТЗ; |V^; 0,(16); 0,515115111... (число единиц после очередной цифры 5 возрастает) выписать: 1) рациональные .............................................. 51 2) иррациональные.............................. 3) действительные.............................. 9 С точностью до 0,1 вычислить на МК: l)Vl5’ + Vl^«.............. — 3) 5,1 \/T^ + V^~......... 4)V^ — S) 10 Из чисел 6; 29; -7; -4-^; 3,21; -4,(2); | V^; д/^ 10 1о о выписать: 1) натуральные........................................... 2) целые................................................ 3) рациональные......................................... 4) иррациональные....................................... 5) действительные....................................... 11 Представить в виде десятичной дроби число: 3) -Ь............... 2) 3—= ' 25 4) 4—= ' 16 9 16 12 Представить в виде обыкновенной дроби число: 1) 9,(27); 2) 0,3(63). ► 1) х= ............... 100дг= ........... 99л: = ........... х= ............... 2) л:= .. 10лг= .. 1000x = 990л: = X— ... 13 С точностью до 0,01 вычислить на МК: 1) V17 3) Д/12,6 52 2) V45 ( 4)Д/б2,7 Квадратный корень из степени © 1 Вычислить устно и записать ответ: 1) V7^2-4" = .......... 2) У8^-3-4^ ...... 3) .......... 4) V(-5f+V(-4)^ = 2 Найти значение выражения + 4а -|- 4 при а, равном: 1) 3; 2) 0; 3) —2; 4) —5. ^1) Если 0 = 3, то Д/о^ + 4а + 4 =У .=......... 2) Если 0 = 0, то .......................... 3) Если о=—2, то ..................................••• 4) Если о=—5, то .................................. ^ Поставить в пустой клетке знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство: 1) 7,4 ,7,(4); 3) 6,32 ".'б,(3); Вычислить: 1) 191 =........ 3) 101 =......... 2) 3,(51) 3,51; 4) 2,78 ^-2,(7). 2) 1-31 = 4) 13,41 = . 5) >7 6) 1-0,531 = Решить уравнение: 1) Ul = 12; Ответ. ............. Решить неравенство: 1) к|<4; Ответ. ............. Вычислить: 1) ................. 2) |лг-11=3. Ответ. ..... 2) |лг| > 4. Ответ. .... ................. 2) \li-7f = 3) V^=...................... 4) Vl5^=-”- 5) V(-3)* .................. 6) V(-2)'* = 53 8 Сравнить числа: 1) 4,2 и Vl8 ; 2) ^56,2 и 7,5. Сравнить числа 3,3 и Vll . ► 3,3 = У(ЗТ37=У3^373^=У10^. Так как 10,89 <11, то Vl0,89 < \/ТГ, т. е. 3,3 8; ^ 1) \Т7 >4 + Vi^ >4 2) +V^>13. 2) 10 Найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число: 1) ЛЩ; 2) л/188. ► 1).. 2. ^ Д/о* — 4а + 4-1--j-6а-|-9 = |....1 + 1......|. 1) Если а< —3, то . 2) Если —3<а<2, то 3) Если 0^2, то (П1 12 Вычислить: 1) д/б^ = ... 4) Д/(-3)«=... 13 Сравнить числа: 1) 3,7 и ^JTS; 2) Д/(-6)^=.... 5)Д/(-3)«=..... 2) 4,3 и Д/Тэ 3) д/з® =... 6) Л1ы*=. 54 14 Упростить выражение — 12аЬ-\-9Ь^, найти его значение при: 1) а = 1, Ь = 2; 2) а=—1, Ь = 3. ►......................................................... Квадратный корень ; из произведения ••1...........»............ь.............>...........i.........»...............k............}............t............t............»...........>.............►........... © Вычислить устно и записать ответ: 1) 4-V^= ...... 3) ..... 5) 3-л/4= ..... Вычислить: 2) 6-V^= •••• 4) V49‘-\^= 6) v^= .. 2) V32-8 = 1) V27-3 - .......... 3) V6-6=* = ......... 4) V(-4)-(-4f Умножить числитель и знаменатель дроби на W 3) 5’\^ 2)Т = 4) Вычислить с помощью теоремы о корне из произведении: 1) V36-64 = .............. 2) VO.25-144 = ............ 3) V16-25-49 = ........... 4) VO.04-225-81 = ............ Разложив подкоренное выражение на множители, вычислить; 1) >/5184 = 2) >/2304 = 5184 1296 324 81 4 4 4 81 5184 = 64-81; 55 3) V7744 4) V9801 = 6 Вычислить: 1) \^-д/8 =............. 2) V5 •V45’=.......... 3) \^-VS-\^=............ 4) VoT-Vrr-V440 = Вычислить: 1) Д/(30+12)-(60—18) 2) V55^-44* .............. 3) (VTr+\/6)(Vn"-V6)=..... 4) (2Vl5+3\^)(3Vl^-2 Vi^) = 5) (\1T-^'44‘)2=.......... 6) (Л/26 + vT^)=*=.. 8 Упростить: 1) 2 \1Т2—Л1Ъ0 =.... 2) 3 V^ + 2 ........ 3) •|V^ + -jV45’-V^= 4) +v^— ..... 9 Сравнить числа: 1) 8 и Зл/7~; 2) 3 и 2,7. Сравнить числа 9 и 2 ^/21 . ► 9= \/8Г, 2 V^ = V2^-21 =V^- Так как то 9<2Л[П. ^ ► 1).................................................. 2) 10 Упростить выражение при а>0, Ь>0: 1) = 2) —Л[а^—^Л/а^= а о ..... 56 11* Упростить выражение при а<0, Ь<0: а ' Ь ' ......................................... 12 Доказать, что: 1) (\/4)® = д/4^; 2) (л/т f = л/7^. Доказать, что ^ (V9)^ = 3" = 81, л/¥=9^ = 81. ^ ► »........................................................ 2) <] 13* С помощью формулы (Д/о^)" = где а>0, п — натуральное число, вычислить: 1) (\j2f=................................................ 2) (Vrr)^-(\/5)«=........................................ 14* Упростить выражение (л/ШГ-(\/2У= ..... 41 15 Вычислить: 1) V16-81 =........... 2) V( —36)-(-49) = 3) V16-49-225 =....... 4) V0,36-64-25 = .... 5)V6-V^=.............. 6)V7-V^=........... 7)V^-V^=.............. 8) V'^‘-V^=........ 9) V3 • =........ 10) V21 -A/l •A/l = 16 Сравнить числа: 1) 7 и 4.л[3; 2) бл/s и 4 д/^- ^ 1) 7 =.......................................................... 2) 6 Д/З =....................................................<1 17 Упростить выражение — '\/а^Ь—Д/а&'^, если а>0, 6>0. )................................................................^ 57 Квадратный корень из дроби © Вычислить: 1)1^- 2, Vf _ 5) 4) ~^ = VwT 6) - V9 Вычислить: i)Vf= Vl6 2) л/f ^ «VI- V 8 «Vfe 4f ■4) С помощью теоремы о корне из дроби вычислить, записав результат в виде десятичной дроби: ')Vi >*> а/Ж“..... Вычислить: 1) з)2Д/1г = 5) Д/32‘ Ж' 7) 2) 4) 49 64 2) аЯ1= f = .1.'. 8) = V(-6)" .... 58 Упростить: \JS - i2 _ 2) 3) 4) Ve'+W У27~ + \J3 \IW — yj3 1 VT?" —4 VT7+4 sfF+'sfs \/r+V3 6 Упростить выражение лГ^ 4o^ — 4ab + 6* 2* + 6аЬН-9Ь' 1) a=—4, 6=—8; 2) a = 5, 6=—2. и наити его значение при: 2) 4 Найти разность между средним арифметическим и средним геометрическим чисел: 1) 3 и 27; 2) и 3 f 27 2) <1 8 Найти произведение двух чисел, если их сумма равна V38, а разность равна л/\8 . ^ j х + у = I х — у = Упростить выражение (а>0, 6>-0): 1) 2д/^+ь д/^) • д/^= 2) {\ja^b — 2 = ... 59 10 Вычислить: 1) Vf= 2) 3) 5) Vm ^ I—Q-- .......... «V'w Ш-.......... e,viVi^Vi- 11 Исключить иррациональность из знаменателя: 1) -^ = л1Т . 2) -f.= \/8 . 3) VTi'-v'^ 4) 15 VT7 I \/б 12 Упростить выражение (о>0, Ь>0): 1) (2 V'o+3 V^)2 —(3 д/о+2 Vb)^= . 2) {бл/а +2\^f + (2^fa—9\^f IV Квадратные глава уравнения Квадратное уравнение и его корни ■Л........»........I.......»........^.......»........»........».......»........>.......I........».......t........»• © 1 Выписать в ответе номера уравнений, корнем которых является число —4: 2) 1) — 7,5х== — 30; 3) (х-4)(х + 4) = 0; 5) 5Д/^^-12 = 8; 7) хЧ 16 = 0; Ответ: ................................ Заполнить пропуск положительным числом: 1) 0,64 = (..f; 4) 3>/х—6 = 0; 6) + 2 = 0; 8) 2х^ —X -28 = 0. 2) 1® =( — ' 81 ^ Г; 3) 5 = (-..f; Вычислить: 1) Л1Ы4=...... 4) 8 = (.....f 3) 2) д/0,09 =........ 4) \jlS4 = V2“-7* = , 5) V1089 =............... 6) Л/EW = 4 Записать в виде многочлена стандартного вида выражение: 1) 2х —4 + х^ —Зх —5х^= . 2) X (х^ —2х +1) —х*= ... 3) 4(х^-5)-(х-2)(х + 3) = 61 5 Заполнить таблицу: № п/п Квадратное уравнение Старший коэффициент Второй коэффициент Свободный член 1 -Зх"+-|^-7 = 0 4 2 l,5x^-0,lx + V3 =0 1.5 -0,1 3 -xHl = 0 4 1х^-х = 0 6 Данное уравнение привести к виду ах^-\-Ьх-\-с = 0: 1) лг(х—1) + аг —2 = 0; 2) (л: + 3) (х —3) = 2д:^ —1; 3) (2х—1)^ = х(х + 2) —3; 4) (3x + 2f — (2х—if = 0. ► 1) .......................................................... 2) ........................................................ 3) 4) 7 Заполнить таблицу: № п/п Уравнение Уравнение, записанное в виде ах^ + йх4-с = 0 Коэффициенты а Ь с 1 7,3+^-Л(2х=0 ix*-V2x+7,3 = 0 1 2 -V2 7,3 2 2х-ЗхЧ|=0 3 0,5 = 2х 4 1 = -х+х* 5 3х-х*=0 6 5 = х=“ 8 Записать в один из столбцов таблицы каждое из уравнений: 1) х" = 16; 2) х^-20 = 0; 3) хН4 = 0; ''' '' 5) х"-7 = 0; 6)х" + ^=0. 4) -Y=o; 62 Уравнение имеет два корня Уравнение имеет один корень Уравнение не имеет корней 9 Решить уравнение: 1) х^ = 49;............ 2) д:^-6 = 0;. 3) л:--1-6 = 0;. 5) |дг|=2;.... 4) дг' = 0;...... 6)* |л:-1| = 2. 10 Решить квадратное уравнение, раскладывая его левую часть на множители: 1) х^ + 2х = 0, j х(.......) = 0, Xl = 0, Х2= ... 3) 6х^ + 6х = 0, ►................ 2) 2а: —дс = 0. X, = , Х,= Х,= Х2 = 5) а:"-12х+36 = 0. 4) + =0, (........)‘ = 0, - .......... <1 6) 4аг^-1-12а:-Ь9 = 0. ► 11 Выписать номера уравнений, которые можно привести к квадратному: 1) За:-2 = а:^-5; 2) -2а:Н5 = а:"; 3) 7(х —1)-1-2х = 0; 4) (х —1) (х —2) = 3 —х. Ответ................. 63 12 Решить уравнение: 1) ..................... 2) 2х^ = 50; 3) 4х^+1 = 0; . 5) a:H2x + l = 0;. 4) f = 6) д:* —6х + 9 = 0 д:^-2-6х + 6^-бН20 = 0, 13* Завершить решение уравнения: 1) хНбх + 5 = 0, 2) д:^-12дг + 20 = 0, ^ дгН2-Зд: + 3^ —ЗН5==0, (х + 3)^-4 = 0, (х + 3)^-2^ = 0, (д: + 3-2)(д: + 3 + 2) = 0. Ответ. X, =...... х-2,= Ответ. X, = ..... Хг= ..... ^ i Неполные квадратные I уравнения ..I...\...\...\...»..\...I...\..1...1 > •»..\.. © 1 Записать в клетку неотрицательное число: 2 Q 2) : =0,04; 3) : =0; 4) ' =3 ; 5) •> ■=11; 6) 2 = 12 Записать в клетку неположительное число: 2 9 2) *=0,04; 3) 2 . =0; 2 4) =3; 5) .. ;2 =11; 6) : :2 ; =12 64 © 3 Разложить на множители: 1) х'-64= .............. 2) (/"-0,16= ............... ............. 4) х^-5= ................... 5) 8х — х^= ............ 6) 2х^~л[8х= ............... 4 Перенести все члены уравнения в левую часть и привести подобные слагаемые: 1) 7 —3x = 2x-f 11; 2) д:" + 2лг = 3х-;с"; ► 3) 2х — 8 = д:^ —х + З; 4) 15-2х^ —4a:=12x-5x^-f 3. 5 Умножить обе части уравнения на 2: 1) О.бл:^—1,5л: = 0; 1 2) —^ =1 4-’ 2 2 6 Разделить обе части уравнения на —3: 1) -3jr’=i; 2) 6i’-0,3* = 0 7 Завершить решение уравнения: 1) 10jc^ = 0|:10; 2) 2х^ = 32|:2; <1 3) I х^ = 27|- 3; 4) 1x^ = 1 1.1- ^^3 2 I 2 ’ 5) 5л:"-4- ==0 5 6) —0,1л:"+ 10 = о игии, К кл. 65 7) 1. Ъ-х^ 8) Зл:^-10 1 8 Завершить решение уравнения: 1) 2х^ + 5х = 3х^, 2х’‘ — 3х^ + 5х = 0, -х^ + 5х = 0. 2) Ьх^ — 3х = 2х + х^, 3) i2x — lf — l=x(x + 2), 4) (лг —3)(х + 3) —2х = 2л:^ —9, 4х^ — 4х1 — 1 =х^-\-2х, ....... ................. 9* 10 Для всех числовых значений а решить уравнение: 1) ах" —1 = 0; 2) 2х"-с = 0. 1) Если а = 0, то .... ................................. Если а>0, то ........................................... Если а<0, то ........................................... 2) Если 0 = 0, то ...................................... Если а>0, то ........................................... Если а<0, то ........................................ ^ Решить уравнение: 1) 9х" —64 = 0, 2) 2х"+15 = 0, 3) 0,03х" = 27, 4) х"-9х = 0. 5) 25х" + 49х = 0, <1 6) х‘ — 7 1 3 ’ 66 11* Найти значение а, при котором любое значение х является корнем уравнения ах^ = 0. ►......................................................<3 12* Решить уравнение ах^ = Ь. ^ При 0 = 0 ............................................... При о>0 ................................................. При оСО .......................................... <1 j Метод выделения I полного квадрата © 1 Выполнить возведение в квадрат двучлена: 1) {x-4f=............................ 2) (2х + 3)=*=................ ...... 3) (1-2)'=........................... 4) (4х+0,5)^=........................ 2 Вставить пропущенное число: 1) 10лг = 2- ■х; 2) 2х = 2- •х; 3) х = 2- 4)^=2. ■х; •XI 5) —Зх= —2-3 Заполнить пустые клетки: 2 1) х^ — 6х + 2) лг^ + 2- -х+ =(x + 5f; 3) 4х^ + 8х + 4) ^ х^-2х + < - )• ■х; 6) —- X =2- 67 Решить уравнение: ►.................. ^1= ............. Хг= ............. 2) (x + lf = 9, X + 1 = .. или X + 1 = . X =.... или X =.... Xi=...., Х2=.... ^ Завершить решение квадратного уравнения: ► 1) х" + 8х + 7 = 0, X* —8х= — 7, х^ —2-4-х + .... = -7+... (x-4f= ............... X — 4=± .............. X — 4= или X — 4= Ответ. Х]=..., Х2=____ 3) х'-' + Зх —4 = 0, х^ + 3х = 4, х^4-2- -х+ =4 + (...................■■ 2) хН 12 + 11 = 0, хН12х= -11, х^ + 2-...->: + 36= —11 + . ( Ответ. ......... 4) X* — 5х—14=0, Ответ. Ответ. 6 Заполнить пропуски таким образом, чтобы данное выражение было квадратом суммы или квадратом разности: 1) х^-4х+ i::i; 2) хН20х+3) х^+; • х + 36; 4) х^- :"i-x + 81; 5)xH5x+i”i; 7 Решить уравнение: 1) х^+14х + 40 = 0. 6) х^ —7х+ 2) х^—10х —24 = 0, ► 3)* хНЗх—18 = 0, 4)* х^ —5х —14 = 0, 68 Решение квадратных уравнений © 1 Заполнить таблицу: № п/п Уравнение ах^ + Ьх + с = 0 а Ь с — 4ас "Sjb'^—iac 1 х^-5х + 4=0 1 — 5 4 (-5f-4-l-4 = 4 2 2 жЧбх + 8 = 0 3 2ж^ + 3х —2 = 0 4 -** + 7я:+ 18 = 0 5 -2д;^ + 7ж-3 = 0 6 7 -ЗхЧ|=0 8 5х^-х = 0 9 х*-6х + 9 = 0 © 2 Заполнить таблицу: № п/п Уравнение ах^ + + с = 0 — 4ас Количество корней 1 х^-2х + 3 = 0 (-2f-41-3=-8<0 Корней нет 2 х^ + 7х—1=0 3 2х^ — Зх + 5 = 0 4 -Зх^ + х-2 = 0 5 jJc*-3x-6 = 0 69 ох^ + Ьх+с=0 — Ь + ^Ь^ — 4ас 4,2- 2а 3 Завершить решение уравнения: 1) х*4-4х —12 = 0, 2) X* —4х —21 = 0, ^а = 1, Ь = 4, с=—12, а= ...., Ь= ...., с= —. .................... X, 0 = И.2- X, = х,= Xi = Х2 = 4 Решить квадратное уравнение: 1) 2хН7х-4 = 0, ► 3) 9х=" + 6х+1=0, 2) Зх"-х-2 = 0, <1 4) —4хН12х —9 = 0, 5) 5х* —6х + 2 = 0, 6) ЗхН4х + 7 = 0, 5 Решить уравнение: 1) х(х + 2) = 6 + х-х=*; ► 2) 70 04 *(!—•*) 1—JC , 1) n. 5 4 + 10 ► .......................................................^ 6* Найти значения a, при которых уравнение ах^ — х—10 = 0 имеет один корень. Для каждого такого а решить данное уравнение. ^ 1) Если а = 0, то уравнение принимает вид линейного уравнения — X—10 = 0, имеющего один корень х= ....... . 2) Если афО, то данное уравнение является квадратным, имеющим один корень, если ...... =0, т. е. при а = ...... Корень данного уравнения х= ........ Ответ...........^ 7* Найти все значения с, при которых уравнение 2х^ — 3х + с = 0 имеет; 1) один корень; 2) два различных корня. ^1) Уравнение имеет один корень, если 2) Уравнение имеет два различных корня, если -f 2mx-i-c=0 — — м,2‘ 8 По формуле корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом решить уравнение: 1) Зж" —4ж + 1 = 0; 2) 5жН14ж —3 = 0; ► 71 3) 7дгН18д:-9 = 0; 4) 12лг^—16х-3 = 0; 9 Решить квадратное уравнение: 1) 4х^ —20х+25 = 0; ► 2) 25х=*—10х + 2 = 0; ► 3) 12х^ —5х —2 = 0; 4) 15х" + 7х-2 = 0; <1 > 5) 5х" —3х = 0; 6) 4х" —9 = 0; 10 Решить уравнение: 1) л:^-3 = | +2; 2) 3) 2х^ + х=1- х^ + х . 2 ’ ► 4) 72 Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета © Записать результат деления обеих частей уравнения на число т: 1) 2л:* —3x + 4 = 0, /тг = 2; ............................ 2) 5х*—10х+1 = 0, т = 5; ................................. 3) 4- — 2 = 0, т = , 2 ’ 4) —4 х* + х —3 = 0, лг=—4; ► Решить квадратное уравнение: 1) X* —5x4-6 = 0; 2) X* + 10x4-24 = 0. <1 3 Заполнить таблицу: № п/п Уравнение х*+рх + д = 0 Р р 2 я (I)-’ Количество корней 1 х*-6х + 8 = 0 -6 -3 8 (-3)*-8 = 1>0 Два 2 х* + 4х + 5 = 0 3 X*—10х + 25 = 0 4 X* —8х + 12 = 0 5 х* + 3х + 3 = 0 6 х*+11х + 30 = 0 х* + рх + 9 = 0 ..,--|±V(f+7 4 Решить приведенное квадратное уравнение: 1) х*-10х + 21=0, И =........9=...... 2) х* + 18 + 80 = 0, 1 =....... 73 ^1.2 = Х,= Хо = ► 3) лг=“+16л:+ 64 = 0; ^1,2 — Х2 = -2 4) 14лг + 50 = 0. х, + Х2= —р, XiX2 = g 5 Не решая приведенное квадратное уравнение, корни которого дс, и Х2, заполнить таблицу: № п/п Уравнение х^+рх + д = 0 X, +Х2 Х,Х2 1 дг^ + Зх —7 = 0 -3 — 7 2 X* —4х + 1 = 0 3 х^ — 99х —125 = 0 4 х^ +33 4 л:-24,5 = 0 О 6* Не решая приведенное квадратное уравнение, определить знаки его корней, заполнить таблицу: № п/п Уравнение х^+рх + ? = 0 -Р = Х, + Х2 Я = Хг-Х2 Знак корня, имеющего большую абсолютную величину Знак корня, имеющего меньшую абсолютную величину 1 х*-7х+12 = 0 7 12 + + 2 х^ + 7х + 12=0 3 х^ + х—12 = 0 -1 -12 — 4 х^ —X —12 = 0 5 д*-2х-15 = 0 6 х"-8х-15 = 0 7 л"-8х+15 = 0 8 *Ч8х+15 = 0 74 7 Заполнить таблицу, не решая уравнение: № п/п Уравнение x^+pjc + g = 0 1 —9х + 8 = 0 1 8 2 + 5х + 6 = 0 -2 3 х^ + 4х —21=0 3 4 х^2х-15 = 0 -5 8 Не решая квадратное уравнение, заполнить таблицу: № п/п Уравнение Р Я Х2 1 х*+рх + 6 = 0 5 6 -2 -3 2 х^+рх — 8 = 0 -8 -2 3 х^+рх —8 = 0 — 8 1 4 х"+рх + 6 = 0 6 3 5 х^ —3х + д = 0 -3 1 6 х^ — 3х + д = 0 -3 -2 7 х^ —Зх + 9 = 0 — 3 2 8 х=* + 3х + д = 0 3 -1 9 х^ + 3х + д = 0 3 -2 10 х" + Зх + ? = 0 3 2 9 Составить приведенное квадратное уравнение, корни которого Xj и Х2. дс, = 5, Х2 = 3; р=—(5 + 3)=—8, д = 5-3 = 15, jc2_8jc + 15 = 0. 1) х,= —5, Х2= —3; 2) Xj=—2, X2 = 3f ... 3) Xi=—3, ^2 = 2; ... 75 10* Заполнить таблицу: Уравнение Знак X, Знак Х2 х^-1,5х-2 = 0 + — х^-4х+1 = 0 + x"-t-5x + 2 = 0 — хН5х —2 = 0 — 11 Подбором найти корни уравнения jCj и Хг и заполнить таблицу: № п/п Уравнение ^2 1 х*-5х + 6 = 0 2 3 2 х^ + 5х -f 6 = 0 3 х^ — X — 6 = 0 4 х" + л:-6 = 0 5 х^ + 7х + 10 = 0 6 х^ —7x-f 10 = 0 7 х^-Зх-10 = 0 8 х^Зх —10 = 0 12 13 Разложить на множители квадратный трехчлен, используя результаты выполнения задания 11: 1) х^ — 5х + 6= (. 3) х^ — X —6=. 5) х^ + 7х+10= .. 7) х=“-Зх-10= .. .) 2) х*-|-5х + 6= .. 4) х" + х-6= ... 6) х^-7х+10 = 8) х^ + Зх—10 = Разложить на множители квадратный трехчлен: 1) 2х^-5х-3; 2) -Зх^-х + З. ^ 1) Найдем корни уравнения 2х^ — 5х — 3 = 0: ^\.2~...................................... Xi =....................., Хг=.......... Ответ. 2х^ — 5х — 3 = 2(х..)(......). 76 2) Найдем корни уравнения —Зх* — х + 2 = 0: ^1.2 = Ответ.................................................. ^ 14 Заполнить таблицу: № п/п Квадратный трехчлен ох^ -\-Ьх-\-с Корни уравнения ах^ + Ьх + с = 0 Разложение трехчлена на множители 1 Ъх^-9х-2 9±V81-4-5(-2) ^’■2 2-5 _9 + 11_„ 10 9—11 1 10 5 5(х-2) (:с+-1) 2 -5х"-9х + 2 3 ]-х^-х — \2 4 —-|х^ + 4х —8 5 |х^-Зх + 2,25 6 -|х^-х + 3 15 Сократить дробь: х^ + Зх-10 (... 1) х—2 х—2 х^ + Зх—10 = 0, Х2 = 2) х^-2Ь х^-4х-5 3) 9х^ —49 2х^-4х — 7 77 16 Разложить на множители: 1) х^-х^-12х = х(.......) = 2) х^ + 3х*-10х^ = 17 Сократить дробь: 1) х^ —ж —12 х^ + лг-6 = 0 Xl,2=- X, =. , Хг = . 2) х^ + Зх — 28 24 —2х —х^ л:^ + Злг-2& = 0 •*^1.2=.......... Xj=........ , *2 = 18 Упростить: 2 , 1 1) X* —л:—12 = 0 Xl.2 = . Xi = . >^2 = . 24 —2х-х* = 0 Xl.2 =..... Xl=.... • *2 Х, = . 1 х^-х-30 6-х (....И......) 2) 4x^ — 9 2х + 3 X* —X—12 X* —Зх —4 19* Пусть Xj и Хг — корни уравнения х^ + д/2^х —4 = 0. Не вычисляя корней этого уравнения, найти: 1) ‘3“ + '^’ 2) Х1 + Х2. **1 *2 ^ По теореме, обратной теореме Виета, находим: х,+ Х2=—Л/2, Xi’X2= —4. 1) _L_i_ Xi ' Хш -X, Ответ................................ 2) xf + X2 = (xJ + 2x,-X2-bx^) —2XiX2=. Ответ. 78 20 Записать приведенное квадратное уравнение, корни которого X, и X,: 1) Xj= —8, Хг = 0,5; 3) Xj=—, Х2=1-2 » Ответ. 1) 3) 2) Xj = —3, Х2= —j; 4) х, = Зл/2, Х2=-Л[2. 2) 4) 21 Подбором найти корни уравнения: 1) X* —20х+19 = 0: х,= 2) х" + 38х + 37 = 0: Xj = 3) х^ + 5х—14 = 0: х,= х,= х,= х,= 4) х=^ —4х —21 =0: X, = 22 Разложить на множители квадратный трехчлен: 1) х^ + 2х—15= ....................... 2) -х" + 5х + 24=-(.......) =.......... 3) ЗхНбх—12= ......................... 23 Сократить дробь: 2д:"-15х + 7 1) 2) 2*^ + 9* —5 х^-12л: + 35 25-х'' ^ 2х^-15х + 7 = 0 2x4-9х —5 = 0 Хг,2=- Xi=.. ^1.2 — ■ Х, = .. X,— 79 Уравнения, сводящиеся к квадратным © 1 Заполнить пропуски: 1)х^=(....2)х«=(..........fx 2 Решить уравнение: 1) л:" = 49. Ответ..................... 3) х" = 0. Ответ..................... 3 Решить квадратное уравнение: 1) гу^+\4у-Ь = 0, 3) (..f 2) х^=—А. Ответ.......... 4) х^ = 8. Ответ.......... 2) —2t^+\\t-\2 = Q, У 1.2 = У1= .. ^1.2 — У 2 = to — Решить биквадратное уравнение: 1) х‘' — 29х'' +100 = 0; 2) х" —15х" —16 = 0. ^ 1) Пусть x^ = t. Тогда уравнение примет вид: — 29<-|-100 = 0. Корни этого уравнения: ti = 4, f2 = 25. Уравнение х^ = 4 имеет корни х^ 2= ........................ Уравнение х^ = 25 имеет корни ....................... Ответ. X,,2= ............... ->^3.4= ............... 2) Пусть x^ = t, тогда данное уравнение примет вид: Корни этого уравнения: <1 =....... <2=.............. Уравнение х*=....................................... Уравнение х^= ...................................... Ответ.................... ^ 80 5 Решить уравнение 28 ► 28 х^ + д:—12 х + 4 X —3' 1 (xf4)(x-3) ^ + 4 х-3 28 = >г(л: —3) + лг + 4, (х: + 4)(лг-3)^0 x^.г= .... Проверка: ^1 = 1) дг = — 4 — посторонний корень, так как при х = — 4 знаменатели первой и второй дробей данного уравнения обращаются в нуль. 2) При х = 6 данное уравнение обращается в верное числовое ра- 28 6,1 венство - 4-т:— 6^-1-6—12 6-f4 ' 6-3 Ответ. х = 6. ^ 6 Решить уравнение 10 х — Ь Z+1 х^ — 4х — 5 ► 10 X —5 х+1 x^ — ix — b •(. • )#0 ^1.2 — ..... Проверка: 1) 2) х,= Ответ.......................... ^ 7* Решить уравнение (x-|-2)^4-(x-f 2)^—12 = 0. ^ Пусть {х 2)^ — t, тогда данное уравнение запишется в виде: ^1,2 — t, = 1ГИН. ^ кл. 81 1) (x + 2f = 2) (x + 2f Ответ.............. ^ 8 Решить уравнение: 1) x* + 2x^ — 24==0. 2) 9д:^-28x^3 = О, Ответ. Ответ. 9 Определить, при каких значениях х равны значения выражений 1 . 4 2 х^ — 9х ** х^-Зх' Решение задач с помощью квадратных уравнений © 1 Записать с помощью всевозможных равенств соотношение между X и у, если: 1) X больше у на 2: х — у = 2,...... , ...... 2) X меньше у на 5; 3) X больше у ь S раза: ........ 9 , .. 4) X меньше у в 4. раза: 82 Заполнить таблицы: 1) Натуральное число Следующее за ним натуральное число Произведение этих чисел п п + 1 л (л + 1) гх п-\-Зх 2) Четное число Следующее за ним четное число Произведение этих чисел X 6л X — 6 л Одна сторона прямоугольника х см, другая — на 5 см больше. Записать выражение для нахождения: 1) периметра этого прямоугольника: 2) площади этого прямоугольника:... Заполнить таблицу, если известно, что тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью и км/ч и за t ч проходит путь S км: № п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 о 4 15 2,5 75 X t 0,1 8 X X 1 6 S 0,4 640 90 X 18 100 X 5 Один рабочий может изготовить А деталей за 6 ч, другой рабочий А деталей может изготовить за 4 ч. Выразить через А производительность труда: 1) первого рабочего:.....................; 2) второго рабочего:.....................; 3) при совместной работе первого и второго рабочих:......... 83 Катер движется по реке от одной пристани до другой по течению реки, а затем возвращается обратно. Заполнить таблицу, учитывая, что скорость течения реки 2 км/ч. № п/п Расстояние между пристанями (км) Скорость катера в стоячей воде (км/ч) Скорость катера по течению (км/ч) Время движения но течению (ч) Скорость катера против течения (км/ч) Время движения против течения (ч) 1 48 10 12 4 8 6 2 14 5 3 35 X 4 X 3 7 Пусть Р — производительность труда, А — объем всей выполненной работы, t — время выполнения работы. Выразить каждую из величин А, Р и t через две другие. A=P t, Р = t = Производительность труда первого рабочего а деталей в час, второго — Ь деталей в час. Производительность труда рабочих при совместной работе........ Первый рабочий А деталей изготовит за ..часов, второй рабочий А деталей изготовит за ...часов; при совместной работе А деталей оба рабочих изготовят за .. часов. 1SJ Найти два последовательных натуральных четных числа, произведение которых равно 168. Заполнив пропуски, составить уравнение по условию задачи и решить его. Пусть X — первое искомое натуральное четное число, тогда.— второе искомое четное число. Так как произведение этих чисел равно 168, можно составить уравнение: ................... Решим это уравнение: ^1.2 = Х2= ■ X, = Так как по условию задачи х — натуральное число, то х = Ответ................. ^ 84 10 Периметр прямоугольника равен 62 см, а его площадь равна 238 см^. Найти стороны прямоугольника. Заполнив пропуски, составить уравнение по условию задачи и решить его. ^ Пусть дс см — длина прямоугольника; так как полупериметр прямоугольника равен....см, то его ширина равна.......см. Зная, что площадь прямоугольника 238 см*, можно записать уравнение:............................................... Решим полученное уравнение: Ответ. 17 см и 14 см. ^ 11 Пассажирский поезд проходит в час на 3 км меньше, чем скорый поезд. Расстояние в 810 км скорый поезд проходит на 4,5 часа быстрее, чем пассажирский. Найти скорости пассажирского и скорого поездов. Для решения задачи внести недостающие данные в таблицу. V (км/ч) S (км) t (ч) Пассажирский поезд X 810 Скорый поезд 810 на 4,5 ч (больше, меньше) ^ Составим и решим уравнение: Ответ. 60 км/ч и _____ км/ч. ^ 12 Одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше стороны квадрата, а другая — на 4 см больше стороны того же квадрата. Найти сторону квадрата, если площадь прямоугольника равна 40 см*. ► Ответ. 85 13 Работая вместе, двое рабочих за час изготавливают 30 деталей. Первый рабочий изготавливает 60 деталей на 3 часа быстрее второго. Сколько деталей в час изготавливает каждый рабочий? ^ Пусть I рабочий изготавливает в час х деталей. Тогда II рабочий за час изготавливает (..........) деталей. На изготовление 60 деталей I рабочий тратит..часа, а II рабочий —.... часа. Так как на изготовление 60 деталей I рабочий тратит на 3 ч меньше, чем II, то можно записать уравнение: Ответ. 20 и 10 деталей в час. ^ 14 Расстояние в 20 км велосипедист преодолел на 3 ч быстрее пешехода. Найти их скорости, если известно, что за час велосипедист преодолевает на 2 км больше, чем пешеход за два часа. ►............................................................. Ответ........ ^ 15 Мастер и ученик за 4 часа совместной работы изготовили 96 деталей. Сколько деталей в час изготавливает мастер, если на каждую деталь он тратит на 12 минут меньше, чем ученик? ► Ответ....... ^ 86 Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени © Выяснить, обращает ли пара чисел х = —2, у = 3 уравнение (записать «да» или «нет») в верное числовое равенство: 1)2х — у=—7........ 2) —Зх-1-2//= 10................. 3) |-Н/^-10 = 0 4) xy-S + y^ = 0. Выписать номер той пары чисел, которая является решением си- „ ( х + 2у = 0, стемы уравнении < 1 -х + у=^3: 1) х=1, у= —1; 3) х = 6, //= —3; 2) х = 2, у = \; 4) х= —2, // = 1. Ответ......... Составить систему двух уравнений с двумя неизвестными, решением которой является пара чисел х=—3, у = 2. \ 1) ^х + у== ................. 2) I ................... ху-\-у = Из данного уравнения выразить сначала х через у, затем у через X. Заполнить таблицу: № п/п Уравнение Выражение х через у Выражение у через X 1 х — у = 3 х = 3-^у у = х-3 2 2х + у=1 3 ху — X — 3 = 0 4 f+y=b Решить способом подстановки систему линейных уравнений: 1) I zx — y = b, у = Г 2х — у = 8, \Зх-Ау = 7, Ответ. 87 Решить систему уравнений: 1) ( д: + (/+1 = 0, У = 13; {:■ 2) х‘^ + у'^=29, 2х + у — 1=0. 1) Выражение х=—у-второе уравнение (—у- 1 из первого уравнения подставим во -1)^ — y = lS и решим его Ответ. (3; —4), ( —4;3). 2) Из второго уравнения находим у = через X подставим в первое уравнение Выражение у Ответ. (— 2; 5); (2,8; —4,6). ^ Устно найти решение системы и записать ответ: 1) I х-\-у = Ъ, \ху = 4; Ответ. 1) (, ; Решить систему: 1) ), ( 2) ); 2) (.. I х-\-у = \, Uy=-12. ......), (.........; .........). I х^-у^ = 20. 2) I х^ + у^ = 61, 3) |\'х—VF=1» 30; \х — у=17. ^ 1) Запишем первое уравнение системы в виде (д: — у){х-\-у) — 20 и подставим в него из второго уравнения x-\-y=\Q. Получим (л: —!/)• 10 = 20, откуда х — у= . Итак; ^ 10; I х — у--1 х + у- 88 Решая последнюю систему способом сложения, получим х = У= Ответ. 2) Сложив почленно первое уравнение и уравнение, полученное из второго умножением обеих его частей на 2, получим: + + = —60 или (x-\-yf = \, откуда x-\-ij= ±\. Если дг + у = 1, то{/ = Подставив это выражение вместо у во второе уравнение исходной системы, получим: jc(......) = — 30. Решим это уравнение: Если х-\-у= — то у=....... Подставив это выражение вместо у во второе уравнение исходной системы, получим: Решим это уравнение: Ответ. (-5:6); (6; -5); (5; -6); (-6; 5). 3) Пусть л[х=т, тогда х= — , у= ..... и данную систему можно записать в виде | ....= 1. I = 17. Решим эту систему, записав второе уравнение в виде (.....)• (....) = 17. Подставив сюда т — л = 1, получим: т-\-п= ....... Решая систему I т + п= ....., 1 т — п—......, находим т = Отсюда х = Ответ..... , л = У = Найти катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 7 см больше другого, а гипотенуза этого треугольника равна 13 см. 89 ^ Пусть л: см — больший катет, у см — меньший катет. По условию задачи.........= 7. Согласно теореме Пифагора: ..... Решение задачи сводится к решению системы Решение системы уравнений: Ответ. 5 см и 12 см. ^ © 10 Решить систему уравнений: I) (у — 2х = 9, 2) 14л: —1/Ч-1=0, 3) |лг^ + 2г/ = 14; \ + ху + у^=\3; (х^~у^=~24, \х-у = 2. Квадратичная функция глава Определение квадратичной функции .►...\.......\..I...У...»..г -»....^..»...у...Ь...у- © 1 функция задана формулой у=—2д: + 3. Заполнить пропуски: 1) у{0)= ..... у{1)=...... у{-2)=....... г/(|)=..... 2) у =1 при х= ..... у = 0 при лг= ... 2 Функция у (л:) задана таблицей: X — 4 — 3 — 2 — 1 0 1 2 3 4 у 16 9 4 1 0 1 4 9 16 Заполнить пропуски: 1) -0 при ... у<0 при г/^3 при ... у= —3 при х = у = 0 при .... 4 Выяснить, являются ли указанные в таблице функции квадратичными, записав в ее пустых клетках ответ словами «да» или «нет»: X'' , 1 у=^+~ у = х^—х у = х^ + 4 У = = -х^+1 у = 2х + 3 —5Х-1-3 да 5 Функция задана формулой у = х^ — Зх + 4. Выяснить, принадлежат ли графику этой функции точки, указанные в таблице (ответ записать в ее пустых клетках с помощью слов «да* или «нет»): (0:4) (-1;2) (3;4) (-4; 0) (5; 44) (-6; 58) ihf) i-hf) нет 6 Записать в пустых клетках таблицы те из чисел —3, —2, О, 1, 4, которые являются нулями квадратичной функции: Квадратичная функция у = х^ + х у = х^ + х—2 у = х^Л-Зх у = х^-Зх-4: Нули функции среди данных чисел 0 92 7 Функция задана формулой у = 3х^ — лг+1. Заполнить таблицу: X 0 — 2 4 3 — 5 6 1 ■Л 1 2 у 81 Если X, и Ха — корни уравнения x^ + px + qr = 0, то *1+3^2= —Р> Х,-Ха = 9. 8 Указанные в таблице числа х, и Xj— нули квадратичной функции у -{-рхq. Заполнить пропуски в таблице соответствующими значениями р и q: X, = 0 х, = 1 X, = — 3 х,= - 4 Х2= —1 Хг=2 Х2 = 2 Хг= — 3 р= р=-3 Р = Р = я = 9 = 2 Я = 9 = 9 Записать в пустых клетках таблицы координаты точек пересечения графиков данных функций: Данные функ- ции у=х*—4Х-1-4 9 = 4х-8 у = х^ — 2х — 8 X* , 19 У=Т-^+-2 у = 2х^-Зх+4 у = х^-х + 7 у = Зх^ + х + Ь у = Ьх^-\-7х — 3 Координаты общих точек графиков этих функций (6; 16) (2; 0) 10 Даны функции у = ^—3, у=1 — ‘6х, у = х* —х' + х, у = 1+х'^, 1/ = 4х^—12x-f9. 1) Подчеркнуть те из них, которые являются квадратичными. 2) Найти нули каждой из квадратичных функций. 3) Найти у ( — 2) для каждой из квадратичных функций. 93 4) Для каждой из квадратичных функций найти те значения х, при которых у = 1. 11 Найти значение а, при котором графики функций у = 6х~ — 2х и у = а — 9д: пересекаются в точке с абсциссой х = ^. Функция © 1 функция задана формулой у = х^. Заполнить пропуски: .И0)=............ уГо)=.............. у(-7)=.. y{~i)=- У (0,3)=........ у (_!)=.. Выяснить, принадлежит ли графику функции у = х~ указанная точка (ответ записать словом ♦да* или ♦нет»): 1) А (9; -81); 2) В (-9; 81); 3) С (l i ; 2 i); 4) В (-0,1; -0,01). Ответ. 1) 2) 3) 4) На рисунке даны точки А и В. Построить точки: 1) А' и В', симметричные данным точкам А и В относительно оси Оу, и записать их координаты: А' (...; ...); В'( ; ); 2) А" и В", симметричные данным точкам А и В относительно оси Ох, и записать их координаты: А" ( В"(....; ....); 94 ); 3) А'" и В'", симметричные данным точкам А и В относительно начала координат, и записать их координаты: А'" (.; ....); В'" (...; ...). 4 Точка А задана своими координатами. Точка В симметрична точке А относительно оси Оу. Точка С симметрична А относительно оси Ох. Точка D симметрична А относительно начала координат. Заполнить таблицу: Координаты точки А (-1;2) (0; -3) (2; 4) (3; -5) Координаты точки В (-2; 4) Координаты точки С (2; -4) Координаты точки D (-2; -4) Выписать координаты той из точек, которая принадлежит гра- фику функции у — х^{ ). Используя рисунок, выяснить, является ли функция у = х^ возрастающей на промежутках, указанных в таблице (ответ записать в соответствующих клетках таблицы с помощью слов «да» или «нет*): (-2; -1) нет [-3; 1] [2; 3] [0; 2,5] (-2; 3) На графике функции у = х^, изображенном на рисунке, найти У у (Хг), у (Хз), у (Х4). Сравнить значения аргументов: Х| : .Х2, Хз:..! Х4. Сравнить соответствующие значения функций: у (х,) у (Xj), у (хз); . .:у (Х4). Заполнить пропуски в предложениях: 1) Функция у = х^ является ........ на промежутке х^О. 2) Функция у = х^ является ........ на промежутке х^О. С помощью рисунка выполнить необходимые построения и заполнить пропуски словами «выше», «ниже», «меньше», «больше». 1) При —5<х<: —3,5 точки параболы у = х^ лежат ......... точек прямой у = 9, следовательно, при — 5<х<С —3,5 значения функции у— х^ .......... значений функций у = 9. 2) При —1<х-<2 точки параболы у = х^ лежат ......... точек прямой у = 9, следовательно, при — 1 ■< X < 2 значения функции у = х^ ........ зна- чений функции у = 9. Выяснить, является ли точка А (см. таблицу) точкой пересечения параболы у — х^ к соответствующей прямой, записав в нижней строке таблицы слово «да» или «нет». 96 Прямая у = х—\ У=-2х + 3 i/ = 3x-f 4 ^ Л У=2-1 Точка А (2; 1) (-3; 9) (4; 16) (1; 1) Ответ да 10 Отметить на рисунке и выписать: 1) абсциссы Xi и Х2 точек пересечения графиков функций у = х^ и у = 4; 2) какой-нибудь отрезок на оси Ох, соответствующий тем значениям аргумента, при которых график функции у = х^ расположен: а) выше прямой у = 4, б) ниже прямой у = 4; 3) какой-нибудь отрезок на оси Ох, соответствующий тем значениям аргумента, при которых значения функции у=х^ больше значений функции у = 4. Ответ. 1) X,= ^2 = 2) а) [. б) I 3) [ .... ]• ■]; •]; Используя рисунок к предыдущей задаче, выяснить, лежат ли выше прямой у = 4 все точки параболы у = х^, принадлежащие соответствующему промежутку. Ответ (♦да» или «нет») записать в нижней строке таблицы: (-5;3) (1;5) (-3; 2) (Л/5; 4) (-4; -2\/2) (-4;V'3) (\'Т0-1;3) нет 11 Заполнить пропуски: 1) Точка А(3; а) принадлежит графику функции у = х~ при а= ........ 2) Точка В {а-, 11) принадлежит графику функции у = х'^ при а= ........ 3) Точка С { — \Jb;a) принадлежит графику функции у = д:*при а= ........ 97 12* Используя рисунки, найти все значения х, при которых точки графика функции у = х^ удовлетворяют условиям: 1) 2) 3) 13* 1) лежат выше прямой у = 1: ............................ 2) принадлежат графику у—\х\’. ......................... 3) лежат ниже прямой у = х: ............................ На одном рисунке построить графики функций у = х~ и у = Ьх — 6. Найти координаты точек пересечения графиков этих функций и изобразить на оси Ох какой-нибудь отрезок, соответствующий тем значениям аргумента, при которых: 1) значения функции у = х^ больше значений функции у = Ъх — 6; 2) значения функции у = х^ меньше значений функции у~Ъх—6. 98 функция у = ах^ © 1 Вычислить: »(■!)=................. 2,(-2i)'_................. 3) 3 (-6)“ =........... 4) = ........... «......................... Построить линии, симметричные данным относительно оси Оу. 3 Построить линии, симметричные данным относительно оси Ох. 4 С помощью графика функции заполнить пропуски. функция убывает при ...... 2) Функция возрастает при функция убывает при ...... Используя графики данных функций, найти значения аргумента, при которых: 1) значения функций у = х^ и у = 4х — 3 равны; Ответ. х,= ....... ^2== ..... 2) значения функции у = х^ меньше значений функции |/ = 4х —3. Ответ. (..; ....). и) 6 Выяснив, принадлежат ли данные в таблице точки графику функ- ции у=—Zx^, записать в нижней строке этой таблицы слово «да» или «нет». (V3;-9) (Д/2; 6) (3; -27) (11; -163) (Л/б; 18) ( — 9; 243) да 100 7 Даны парабола и прямая. Определить направление ветвей параболы, записав в третьей строке таблицы слово «вверх» или «вниз». Выяснить, пересекает ли парабола прямую, и записать в нижней строке слово «да» или «нет». Парабола У = 3х^ У= — 2х^ ^ 2 У= Прямая у = Ь 1 У=2 1 y=—i У=-2 Направление ветвей параболы ВНИЗ Наличие общих точек у параболы и прямой нет Заполнить пропуски: 1) График функции у = Ах^ получается функции у = х от оси вдоль оси графика . в .. раз(а). 2) График функции у = ^х^ получается ............. графика функции у = х^ к оси вдоль оси . в раз(а). 3) График функции у=—симметричен графику функции о относительно оси 9 Функция, график которой симметричен относительно оси Од: графику функции у=^х^, задается формулой 10 Функция у = ах^ задана графиком. б) 1) На каждом из рисунков обвести цветным карандашом ту часть графика, где функция возрастает, а на оси Ох обвести соответствующие значения аргумента. 2) Сравнить значения коэффициента а с нулем. Ответ, а) а- 0; б) а: 0. 3) Сравнить значения |а| с единицей. Ответ, а) |а| :1; б) 1а1 ' 1. 11 Даны функции: у = 0,1х^, у= — 10х^, У=—Л!2х^, у=1,5х^, у=—х^. Подчеркнуть функции, возрастающие при 12 Используя график функции у — 4х^, найти значения х, при которых: ^ 1) у<4; 2) 3) у>9; 4) у>1. 1) у<4 при 2) у^- при 3) у^9 при 4) 1/>1 при 13 Записать в нижней строке таблицы координаты точек пересечения параболы и прямой. Парабола У = 2х^ y=-Sx^ 1 2 Прямая у=--о у = х y = Sx — 4 у = 4х+1 Координаты точек пересечения параболы и прямой (0; 0) i-h -¥) 102 14 Построить графики функций У = ^х- и у = х+\^ и с их помощью выяснить, при каких значениях X значения функции 1 У=2^ функции у = х-\-\-. больше значений 1 У1 1 0 X 15 Найти значение а, при котором парабола у = ах? и данная прямая пересекаются в точке с абсциссой jcq* Заполнить пустые клетки таблицы: Парабола у^ах^ у = ах^ у = ах^ У = ах^ Прямая У = х у=-х у = 2х-А у = 3 — 4х 2 1 3 0 ~з а -3 103 16 Записать в таблицу значение а, если парабола у — ах^ проходит через заданную точку. Точка (-1-1) (2; 2) (V3; -1) а 17 С помощью графика функции у=—^ решить неравенство 4 Ответ. 18* Выяснить, является ли заданная квадратичная функция возрастающей или убывающей на указанном в таблице промежутке. Записать в соответствующей клетке таблицы знак f (возрастание) или I (убывание) либо слово «нет», если функция не является ни возрастающей, ни убывающей. Функция 1 2 У =2^ У=-Зх^ У = ЧЬх^ (/ = — 3 \^х:^ Промежуток (-1;0) (2; 3) (4; 6) (-3; -л!2) Возрастание или убывание \ 19 Построить графики функций: 1) у = х^; 2) у = 2х^; 3) у = ^х^ — па листочке в клетку с масштабом 1 кл. = 1 ед. Вырезать модели парабол по построенным линиям, наклеить их на картон и использовать в дальнейшем как шаблоны. 104 функция у = азе* -\-bx-\-с © 1 С помощью графика функции у — ах^, изображенного на рисунке, заполнить пропуски: б) функция принимает ..... ....... значения при лг^О; в) график функции симмет- ричен относительно г) функция ...... при х^О; функция ......... при х^О. а) с 0; б) функция принимает значения при х^О; в) график функции симмет- ричен относительно г) функция ..... при х^О; функция ......... при х^О. Найти значение выражения 2х^ — Зх-|-1 при: 1) х = 0 .................................... 2) х = 1 .................................... 3) х= —1 .................................... 4) х= —2 .................................... 105 Записать в виде многочлена стандартного вида: 1) (х + 3)^-5= .......................... 2) -3(д:-2)^ + 5= ....................... Представить в виде квадрата двучлена: 1) —6л: + 9= ....................... 2) х^ + Зх + 2,2о= ................. Выделить полный квадрат: 1) х"-6д: + 7= ......... 2) л:^-5х + 7,25 = ^0= —Уо = «/ (зсо)-6 Заполнить пустые клетки таблицы. Парабола у = л:^-8х-ЫЗ у=-2х^ + 4х-Ь y=-3x4 + 12х-Ь7 Координаты ее вершины (-4,5; 57,75) Найти координаты вершины параболы и заполнить пустые клетки таблицы. Парабола y = {x+lf-2 У = =2(х-3)^-4 = -з(«+1у-. У = = -4 (x-2f-5 Координаты ее вершины (-1; -2) 4 8 Найти на оси Ох точку jCq> через которую проходит ось симметрии параболы. у = х^~4 у = х^ — 4х у = х^ — Зд: + 4 у=-2х^ + Ъх-\-^ Хо= Хо = 2 *0= Хо= 106 9 Используя рисунок параболы у = х^, построить с помощью сдвига вправо (влево) график функции: 2) у = (х + 3)==; 1) y = ix-Zf-, 3) у — х^ -\-Ах 1) 4) у — х^ — 4л:+ 4. 2) 107 10 с помощью графика заполнить пропуски: ная из параболы у = х сдвигом ........ на ... единиц, является графиком функции У = (..... f‘> б) функция, заданная графиком возрастает при х ,; в) функция, заданная графиком при хф —2,5 прини- мает .... значения. 2) а) парабола (^, полученная из параболы у = х^ сдвигом ....... на .... единиц, является графиком функции у={.......f; б) функция, заданная графиком возрастает при х . ; в) функция, заданная графи- ком при всех действительных значениях х принимает ................. значения. 11 Используя рисунок параболы у = х^, с помощью сдвига вверх (вниз) построить график функции: 12 С помощью графика заполнить пропуски: 1) а) парабола получен- ная из параболы У^ сдвигом ....... на .. единиц, является графиком функции У= ......; б) функция убывает при ^ .....; в) функция при всех действи- тельных значениях х принимает .......... значения. 1) а) парабола получен- ная из параболы у=^х^ сдвигом ........на ... единиц, является графиком функции у=.......; б) функция возрастает при X ......; в) функция на отрезке [0; 1] принимает ................ значения. 109 13* Записать в нижней строке таблицы уравнение параболы, полученной из параболы у = 3х^ сдвигом вдоль одной из координатных осей. Вдоль оси Ох на 4 ед. вправо Вдоль оси Ох на 1,5 ед. влево Вдоль оси Оу на 2 ед. вниз Вдоль оси Оу на 5 ед. вверх г/ = 3(л:+1,5)^ 14* Записать в нижней строке таблицы уравнение параболы, полученной из параболы у= — 2х^ осей. сдвигом вдоль координатных Вдоль оси Ох на 3 ед. влево и вдоль оси Оу на 0,5 ед. вниз Вдоль оси Ох на 2 ед. вправо и вдоль оси Оу на 4 ед. вверх Вдоль оси Ох на 5 ед. влево и вдоль оси Оу на 2 ед. вверх Вдоль оси Ох на 4 ед. вправо и вдоль оси Оу на 0,4 ед. вниз y=-2(x-2f + 4 15* На одной и той же координатной плоскости построить графики функций у = 2х^, у = 2 (x-j-3)^ к у— 2 (x-f-3)^— 1, используя шаблон параболы у = 2х^. 16* На одной и той же координатной плоскости построить графики функций у=—х^, у=—(х — 2)^, у=—(х — 2)^ + 4, используя шаблон параболы у = х^. 110 17* Записать уравнение параболы, если известны точки ее пересечения с координатными осями. Заполнить таблицу: С осью Ох (х; 0) д:, = 1, Х2 = 2 лг, = 8, Хг = 3 дс,= —4, Х2= —5 JCi= — 3, Хг = Ь С осью Оу (0; у) У= -4 У = 24 У = 5 у = з Уравнение параболы у = алгН + Ьх + с у = х^ — \\х + 2А ► с-/(0) = 18* Найти координаты точек пересечения параболы с координатными осями. Парабола У = = (jc-|-1)(a:-3) у = Sx^ — 2х у = 4дг‘* 4- 4х 1 y=_Sx^ + + 7х — 2 С осью Ох д:, = 0 2 С осью Оу У = 0 19 Найти координаты вершины параболы, указать направление ветвей параболы (| или |). Заполнить таблицу: Парабола у = х^—2х+7 у= — 0,5x^4--f 4х—1 = (х-% (x-f4) Координаты вершины параболы (1;б) Направление ветвей параболы t 111 20 Найти значение k в уравнении параболы, если ей принадлежит точка А (д:,; i/,). Заполнить таблицу: Уравнение параболы у — kx^ — 5х -f 6 у = Зх" + *х + 4 у = 4х^ —Зх + л А (х,; у,) (2; 0) (-1;9) (1;3) k 1 Построение графика квадратичной функции © 1 Для функции у = х^ — Зх + 1 заполнить таблицу: X — 3 -2 — 1 0 1 2 3 4 у 5 Решить уравнение: 1) X* —2лг~35==0; Ответ. 2) -ix=*-2x + 3 = 0; Ответ............ 3) -xHl2x —36 = 0; Ответ. Записать координаты точки пересечения графика заданной функции с осью ординат: 1) у = |д:-ЬЗ, ( ); 2) у = — 5х^ + 3х —4, ( ; .); 3) у = 2х'’ + 3х^-2х4 7, (.; 112 Уравнение параболы у = — 6х + 9 у = 2х — х^ у — — 2х^ + 7 X + 4: у = Зх^ — Ьх + 4 Координаты вершины параболы (3; 0) Координаты точки пересечения с осью Оу (0; 9) Координаты точек пересечения с осью Ох (3; 0) Эскиз графика со ta а о ь X S в в- н Вв о\ ta S J3 •< @ На рисунке изображен график квадратичной функции. С помощью графика заполнить пропуски в предложениях. 1) Функция принимает положительные значения при ............, отрицательные значения при ........ 2) Функция возрастает при и убывает при 3) Функция принимает наи.....шее значение, равное ....при X = 1) Построить график функции у = Х^ — X — 2, используя схему: а) вычислить координаты вершины параболы Уо= ........; б) провести ось симметрии параболы через точку с абсциссой Xq =.....; в) найти нули функции: г) найти точку пересечения параболы с осью Оу: х = 0, у= ..... и координаты точки, симметричной данной (0; ..) относительно оси симметрии параболы ( ; 2) С помощью построенного графика заполнить пропуски в следующих предложениях: а) функция принимает положительные значения при б) функция принимает отрицательные значения при ........ в) функция принимает наи ... шее значение, равное ...... , при X— ........ 114 1) Построить график функции у = (л: + 1)(3 — х) по схеме, изложенной в задаче 6: а) .......................................................... б) .................................................. в) .................................................. г) .................................................. 2) Заполнить пропуски в следующих предложениях: а) функция принимает положительные значения при б) функция убывает при ............... в) наибольшее значение функции равно . 1) Построить график функции у=—х^-}-2х- 5. 2) Заполнить пропуски в следующих предложениях: а) функция принимает положительные значения при б) функция принимает отрицательные значения при в) функция принимает паи .....шее значение, равное при X= ............. 115 9* Определить знаки коэффициентов уравнения параболы у = ах^-\-+ Ьх-|-с, используя рисунки параболы. Заполнить пропуски в таблице знаками ♦>» или ♦<*• 3) 4) Номер параболы 1 2 3 4 а . 0 а 0 а Г. '; 0 а . 0 Знаки а, Ь, с Ь ; 0 ь0 Ъ 0 Ь 0 с ..iO с 0 с 0 с 0 10* Записать уравнение параболы, симметричной исходной относительно одной из координатных осей. Заполнить таблицу: 116 Исходная парабола Парабола, симметричная исходной относительно Оу относительно Ох y = {x-\f-2 y=-3(x+lf + 4: y=-3(x-\f + i «/ = 3(х + 1)"-4 у = х^-\-Зх — 4 у = — 2х^ -f 4дг — 5 11* На одной и той же координатной плоскости построить графики функций: 1) у = х^ — 2х; 2) у=\х^ — 2х\; 3) у = х^ — 2\х\. 12* Построить график функции у = х:^-\-2\х \ — 8 и с его помощью заполнить пропуски: 1) функция принимает отрицательные значения при ........ 2) функция возрастает при У1, 117 13 Построить график функции у = х^ — 2х — 3 и с его помощью заполнить пропуски в следующих предложениях: 1) функция принимает положительные значения при 2) функция убывает при 3) функция принимает наи......шее значение, равное ......., при х = 14 Не строя график квадратичной функции, заполнить таблицу: Квад- ратич- ная функ- ция у = 4х — х'^ у = х^ + Зх + 4 у = — 2х^ + 4-4х —6 у = Зх^-х+1 Наи- боль- шее (наи- мень- шее) значе- ние функ- ции наименьшее y=^j Соот-ветст-вую-щее значение X 3 118 15* На рисунке изображен график функции y = f{x). С помощью графика заполнить пропуски: 1) функция принимает положительные значения при х....... 2) функция принимает отрицательные значения при ........ 3) функция возрастает при ..........; 4) функция убывает при ...........; 5) функция принимает наибольшее значение, равное .......... при .......... ; 6) функция принимает наименьшее значение, равное , при X — VI Квадратные глава неравенства Квадратное неравенство и его решение ...........У.............►.............I ^ I............I \ - У.................^.............I- i у у © 1 Разложить на множители квадратный трехчлен: 1) —9д: + 18; 2) x'* + 3x+18; 3) 2Х- + Х-6; 4) -ЗдгНЮдг-З. ► <] 2 Изобразить на числовой оси множество решений неравенства: 1) х-5>0; 2) д: I 3<0; 3) д: |-4>0; 4) д: —2<0. 3 Решить систему неравенств: 1) I дг-ЗХ), и Ь2>0; ► Ответ. 3) f дг —3>0, i дг + 2<0; У Ответ. 2) f дг —3<0, :+2>0; Ответ................. ^ 4) I Д- —3<0, I д: f 2<0. Ответ..................... ^ 120 4 Выяснить, являются ли данные неравенства квадратными, записав в пустых клетках таблицы слово «да» или «нет»: х'^ — КО Зх — 4>0 Здг^ — 5х -[- 6 ^ 0 д:-’ —х<0 нет 5 Свести неравенства к квадратным и заполнить пустые клетки таблицы: Зх^>5д: 4х^-3<х (2х—1)х^3 х(х—1)<2 2х- — х — 3^0 6 Записать в пустых клетках таблицы те из чисел —3, —2, О, 1, 4, которые являются решениями соответствующего неравенства: х^ — х^О х^ + 4х — 5>0 2х^ + х—10<0 х'^ — 2х — 8^0 4 7 Решить неравенство, запол1гив пропуски: 1) (х-2)(х + 3)<0; 2) (х-2)(х + 3)^0. ^ 1) (x-2)(x-f 3)<0, fx-2<0, |дг-2>0, \д:-|-3>0; \jc-|-30; 1 Ответ................. ^ Решить квадратное неравенство 2д:^ — 5дг — 3<;0, заполнив пропуски: 2х^ — 5лг — 3 = 0, Xf 2 = 5±\25 + 24 _ 5±7 121 I 3, — 1 . 2 ’ д: + |>0, X —3<0; 1^ д: + |-<0. X —3>0; Ь Ответ. Решить квадратное неравенство: 1) x^ — x — 2^Q\ 2) — 3) Злг'^ + вл: —3<0. И) 2 = 0, Xi 2 = Х,= Хо — х^ — х — 2 = (х—.....)(х — Ответ.......... 2) + 12>0; 3) 3х* + 8х-3<0. 122 <1 10 Решить квадратное неравенство в случае, когда соответствующее квадратное уравнение имеет равные корни, записав квадратный трехчлен в виде а (х — х,)^. 4х^--12х-Ь 9<0, ^ 4x^-12x + 9 = (2x-3f, (2х-3)^<0. Ответ. х=^. ^ 1) 4х"-+-20х-1-25>0; Ответ............. ^ 2) 25x^-20x-t-4>0; Ответ.............. ^ 3) 36x"-fl —12х<0. > Ответ. 11* Решить квадратное неравенство в случае, когда соответствующее квадратное уравнение не имеет действительных корней, с помощью метода выделения полного квадрата. х^-х+1>0 Ответ. X — любое действительное число. ^ 123 1) х'^ — 4х + 5^0; Ответ................. 2) 2д:" —4х + 3>0; Ответ.................. 3) Зл:^ —12х + 16<0 Ответ.............<;^ II) 12 Не решая неравенство х^ — 2дг^0, проверить, какие из чисел — 3, —5, 1 являются решениями этого неравенства. Ответ.............. 13 Решить квадратное неравенство: 1) бд:^ —5л: —6>0; 2) 9л:^ —6дг+1 >0; 3)* — 2д:'' + 3д: —4<0. 124 Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции © С помощью изображенного на рисунке графика квадратичной функции у = ах^^Ьх-\-с записать в соответствующих строках таблицы все значения х, при которых эта функция принимает положительные значения, отрицательные значения, значения, равные нулю. Парабола 1 2 3 У>0 хф —2 у<0 нет таких х у = о х= —2 2 Заполнить пустые клетки таблицы, указав знаком | или | направление ветвей параболы. Парабола y = Y + 3x—1 (/= —ох^ + х+ 1 Направление ветвей параболы t 3 Устно найти корни квадратного уравнения: 1) х^-\-7х — 8 = 0, JCi= ..... 2) —6д: + 8 = 0, х,= , Хг = , Х2 = 125 Решить квадратное неравенство с помощью эскиза графика квадратичной функции: 1) 4х — х^>0; 2) + —15^0; 2х^ + х — 6^0. к 1) Ветви параболы направлены ^ вверх, так как а = 2>0. _ -l±Vl+48 4 3) Зл:Н14д:<0. 2) 2x^-i-x — 6 = 0, х,2 Xj=—2, X2 = j. Ответ, —2, 126 5 Решить неравенство с помощью эскиза графика квадратичной функции; 1) х^~4х + 6<0; 2) -2х^ + 5л:-4^0; 3) —Зж* —5х<3; 4) 4х^ + 5<8х. Зх^ —6х + 4>0. ^1) Ветви параболы направлены вверх, так как а = 3, а>0. 2) Зх^ —6х + 4 = 0, 3±V9-12 х,_2 =--^^"5---действительных корней нет. -2 Зх —бх-|-4>*0 при всех действительных значениях х. Ответ. X — любое действительное число. ^ Ответ. 2) .... 127 3) 4) 6* С помощью y = x^-\-‘i\x\ ~ ство х^-^3\х\ графика функции 4 решить неравен--4<0. Неравенство |х + 6 — х^|^а решено с помощью графика функции у=\х \ 6 — х~\. Заполнить пропуски в предложениях так, чтобы они были верными. 1) Решением неравенства является отрезок при а.......... 2) Решением неравенства являются два отрезка при .... 3) Решением неравенства являются две точки при....... 4) Неравенство не имеет решений при ........................... 128 & 8 Решить неравенство: 1) х^^Ьх + 7; 3) 25х^<30х-9; 2) —2jc*<—6 + л:; 4) 3x'* + 7>8jc. Метод интервалов <1 © 1 Заполнить пропуски в предложениях. 1) Функция у = 2х-\-3 принимает отрицательные значения при X.............; положительные значения при х 2) Функция у = х-\-2 меняет знак на противоположный в точке с абсциссой х= ....... 2 Определить, положительное или отрицательное значение принимает функция у= (х— 1) (х-|-5) в данной точке или на заданном числовом промежутке. Заполнить таблицу: -7 -2 3 (-10; -6) (-4; 0) (2; 5) — 3 Разложить многочлен на множители: 1) х"' — х=................................ 2) д:'' — 5д:^ -f 4 =................... 129 Решить методом интервалов неравенство: 1) —10<0; 2) 6х^ + х — 2^0; (х-2) (х + 3)>0 W Корни уравнения (х —2) (х + 2) = 0 Х| = 2, Х2~ 3. 3) 9х^ + х<0. + -3 2 Если X >2 и х< — 3, то {х — 2){х + 3) >0. Ответ. х<—3, х>2. ^ У 1) х*Ч-Зх-10<0 Корни уравнения х^ + Зх—10 = 0 Xi= — 5, Хг = 2, х='+Зх-10= (..... И.....) + + -5 Ответ. Решить неравенство методом интервалов: 1) (х='-9)(х+1)>0; 2) (х-3)(хЧ-1)(дг='-1)<0; 3) х*-5хНбх<0. 130 Решить неравенство: (х-2) (х + 3) 1) <0; 2) (а:-4) ' ' (х + 2)(х-2) ^ 1) Дробь равна нулю при Xj= .......... Х2 = Дробь не имеет смысла при Xg= ..... На крайнем правом интервале дробь положительна. Дробь меняет знак в точках ............. Ответ.................................. 2) Дробь равна нулю при ........ Дробь не имеет смысла ... ........ Дробь меняет знак в точках........ Ответ................... ^ Решить неравенство методом интервалов: (X-D* (х"-4) 1) (j: + 2)-2х"' + Зх-5 <0; 2) -5х —6 -0. ► 2хЧ5х-12 Q х^ + 5х —6 Разложим числитель и знаменатель на множители: — 5± V25 + 96 а) 2x^ + 5x—12 = 0, Xi2- 2л:^ + 5дг-12 = 2(д: + 4) б) + —6 = (л: + 6)(л:—1). Отметим на числовой оси точки —6, . —4, X2 = J. •4, 1. Дробь равна нулю при х— —4ид: = -т-, положительна .3 ^ при и меняет знак в отмеченных точках. Ответ. дг<—6, —4^xd, ^ 131 И' 2) 8 Решить неравенство JC" I 5 + д:^л: + 2 х^ — Ях X дс-3 ■ 0. 11* Решить неравенство 3£М-_17л^>0 Исследование квадратичной функции •1........^........\........1........1........1........1........1........1........1.......1.........1........1........1- © 1 Найти нули функции t/=^2jr^ —5дс —25. 133 2 По каждому из графиков функции у = ах^-\-Ьх-\-с, изображенных на рисунке, сравнить с нулем значение выражения • 4ас. 1) 2) 3) 3 Найти все значения г, при которых квадратичная функция принимает положительные значения при всех действительных значениях X, Заполнить пустые клетки таблицы: у = х^ + гх + Ь у = 2х^ + х + г у = х^ + гх + 3г у^дх^ + гх + 3 -2д/5 <г< <2Л1Ь Функция у = х^-\-гх-\-Ъ принимает положительные значения при всех действительных значениях х, если D = b^ — 4ас О, так как а= 0. Вычислим D = ................... Решим неравенство D............. 0. 4 Найти все значения г, при которых квадратичная функция принимает отрицательные значения при всех действительных значениях X. Заполнить пустые клетки таблицы: у= —дг^+гх —2 у = — Зх^ + 2х -f г у= —х^ + гх — 2г у=— 2х^ — г X —2 -2V2 <г< <2л!2 134 ► функция у= — x'^-j-rx — 2 принимает отрицательные значения при всех действительных значениях х, если D = b^ — 4ас О, так как о= : :0. Вычислим D ................. Решим неравенство D .............0. Вершина параболы у = х^рх-\-q удовлетворяет условиям, указанным в таблице. Выяснив, каким условиям должны удовлетворять числа р и q, заполнить пустые клетки таблицы: Вершина параболы лежит на оси Ох Вершина параболы лежит на оси Оу Вершина параболы лежит в третьем координатном угле ^ 1) Вершина параболы у — х^рхq лежит на оси Ох, если ор дината вершины у^ = значит, D=p^ — Aq = ....., лСо=—"1-— любое число. 2) Вершина параболы лежит на оси Оу, если ......... вершины Xq= .......................................... Найти все значения Ь, при которых вершина параболы у = х^-\-Ьх — 3 удовлетворяет условиям, указанным в таблице. Заполнить пустые клетки таблицы: Вершина лежит справа от оси Оу Вершина лежит ниже оси Ох Вершина лежит на оси Ох 135 ^ 1) Вершина лежит справа от оси Оу, если....вершины параболы х^- О, т. е. л:„= ............... 2) Вершина лежит на оси Ох, если......................... вершины параболы //о е. уо= ....................... 3) Вершина лежит на оси Ох, если......................... 7* Коэффициенты квадратичной функции у = ах^Ьх с удовлетворяют условию с (а-|-i>-f-с) ^ 0. Следует ли, что график этой функции имеет хотя бы одну общую точку с осью Ох? ^ Так как с = у(0), а a-f ft-|-c = i/(1) и с (а-)-б + с) ^ О, то (у(0) о, (у(0) о, либо i либо < т.е................... ЬО) 0; Ь(1): 0; Ответ.................. ^ 8* Определить знак числа с, если график квадратичной функции у = ах^-[-Ьх-^-с не пересекает ось Ох и справедливо неравенство 4а —26-1-с <0. ^ Так как c = z/(0), 4а — 2Ь-\-с = у(.), значит, у(..) 0 по условию, то у (0) о и, следовательно, с . 0. Ответ.................. ^ ^ Упражнения для повторения ; курса алгебры VII—VIII классов ..»..^..t..»..»..}...»...^.I.. t..t I. Вычисления и преобразования 1 Вычислить: (3i-l|).1,2-3,1-- 2 Вычислить рациональным способом: 1) (2-0,01)(24-0,01)= ......... 2) 0,999"= .................... 3 Упростить: Л/Ь +2^1^= «5 4 Упростить выражение, зная, что х>0: =.......... 5 Разложить на множители: 1) а^ + а^ — а* — а^= .... 2) 2а" — аЬ — 6Ь" = 6 Выполнить действия: " ‘>=-^''(7+7)^^“ За^Ь 4- ЗаЬ^ . 6аb hi ■ а* Ь* Ьа^ — ЪЬ^ II. Уравнения и системы уравнений 1 Решить систему уравнений: 1) J 7х-у = П, 2) I 2х-гу + 7 = 0, \гх + 2у = 0; \5л:-4у + 11 = 0. ► .)....................... 2) Ответ. 1) 2) <1 2 Найти значение х, при котором верно равенство \b-Qx =2. ►........................................................^ 3 Решить уравнение: 1) 4x4-16 = 0; 2) Зх^-2х-1-1-0; 3) 2х"-|-5х-3 = 0. 1) 2) 3) Ответ. 1) ......... 2) .......... 4 Найти корни уравнения |2 — Зх|=5. ► 1) ................................... 2) ................................... Ответ. .................. ^ 138 3) 5* Решить уравнение ix^ — Tx — 2 x’-5r + 6 1) .. 2) 6* Ответ. Не решая уравнения 2х^ — 4х+1=0, вычислить сумму квадратов его корней. Ответ. ....^ III. Неравенства и системы неравенств Решить систему неравенств: 1) j 3x-4>2x-6, 2) I 5x + 6<3x + 10, \ 3tr-f5>2ac-f 2; \ 0,3л:—1,3>0,2лг—1,1. ► 1) ............... 2) ............................... Ответ. 1) 2) ....................^ 2 Найти все целые числа, являющиеся решением неравенства 4<1<о. Ответ. 139 3 Решить квадратичное неравенство: 1) 5д:^ —3x>0; 2) л:^-9<0; ► 1) ............... 2) ........... 4 Решить неравенство: 1) |яг-3|<8 ► 1) .................... 3) Зд:^ —5д:-|-4>0 3) ............ 2) 12-дг|>3 2) ........ 5 Методом интервалов решить неравенство (л: —5) (3 —дг) <1 4 Ответ. IV. Функции 1 Решить графическим методом систему уравнений I х + 1/ = 1, \2х~у = Ъ. Ответ. 140 Дана функция у{х) = х^ — Ъ. 1) Вычислить: у(0)=..........; г/(— 3)=........... 2) Найти значения х, при которых у(х) — 0: ....... 3) Найти значения л:, при которых г/(дс)<0: ...... Построить график функции: 1) у = х^-4х-4; 2) «/= (дг-3)(х-1). ► 1) ........................ 2) .................... 4 Записать уравнение параболы если известно, что она пересекает ось ординат в точке 3, а ее вершиной является точка (2; —1). ► Ответ..................... ^ ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Неравенства 1. Положительные и отрицательные числа .... 4 2. Числовые неравенства.............................. 7 3. Основные свойства числовых неравенств .... 11 4. С.чожение и умножение неравенств..................14 5. Строгие и нестрогие неравенства...................17 6. Неравенства с одним неизвестным ..................20 7. Решение неравенств ...............................23 8. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки ........................................25 9. Решение систем неравенств.........................30 10. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль ............................................33 Глава 11. Приближенные вычисления § 11. Приближенные значения величин. Погрешность приближения 38 § 12. Оценка погрешности ............................40 § 13. Округление чисел ..............................43 § 14. Относительная погрешность......................44 Глава 111. Квадратные корни § 20. Арифметический квадратный корень ............48 § 21. Действительные числа...........................50 § 22. Квадратный корень из степени ..................53 § 23. Квадратный корень из произведения .............55 § 24. Квадратный корень из дроби.....................58 Глава IV. Квадратные уравнения § 25. Квадратное уравнение и его корни.................61 § 26. Неполные квадратные уравнения....................64 § 27. Метод выделения полного квадрата.................67 § 28. Решение квадратных уравнений.....................69 § 29. Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета 73 § 30. Уравнения, сводящиеся к квадратным...............80 § 31. Решение задач с помощью квадратных уравнений 82 § 32. Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени ................................. 87 142 Глава V. Квадратичная функция § 35. Определение квадратичной функции ................91 § 36. Функция у = х^ .................................94 § 37. Функция у = ах^.................................99 § 38. Функция у = ах^-\-Ьх-\-с.......................105 § 39. Построение графика квадратичной функции . . 112 Глава VI. Квадратные неравенства § 40. Квадратное неравенство и его решение . . . .120 § 41. Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции ...............................125 § 42. Метод интервалов ..............................129 § 43*. Исследование квадратичной функции.............133 Упражнения для повторения курса алгебры VII—VIII классов................................137 Учебное издание Колягин Юрий Михайлович Сидоров Юрий Викторович Ткачёва Мария Владимировна Фёдорова Надежда Евгеньевна Шабунин Михаил Иванович АЛГЕБРА Рабочая тетрадь 8 класс Пособие для учащихся общеобразовательных учреждений Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. И. Белочовская Младший редактор Н. Б. СиОельковская Художники В. А. Андрианов. Е. В. Саганова Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика: И. А. Шалеев Технические редакторы Н. А. Киселева, И. II. Бажанова, Е. А. Сиротинская Корректоры 11. В. Белолерова, Н. В. Бурдина, Н. И. Новикова Налоговая .тьгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93— 953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 16.12.09. Формат 70x100'/,6- Бумага писчая. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 5,86. Тираж 10 000 экз. Заказ № 29390. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, г. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, д. 41. Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат». 410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru