Алгебра 7 класс Рабочая тетрадь Миндюк Шлыкова часть 1

Н. г. Миндюк И. С. Шлыкова ЛГЕБРА Часть 1 ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО Н. г. Миндюк И. С. Шлыкова Алгебра тетрадь 7 КЛАСС Пособие для учащихся общеобразовательных организаций В двух частях Часть 1 З-е издание Москва «Просвещение» 2014 УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 М61 Рабочая тетрадь является частью учебно-методического комплекта по алгебре авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой, под редакцией С. А. Теляков-ского. Учебное издание Миндюк Нора Григорьевна Шлыкова Инга Соломоновна АЛГЕБРА Рабочая тетрадь 7 класс Пособие для учащихся общеобразовательных организаций В двух частях Часть 1 Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Т. Г. Войлокова Младший редактор Е. А. Андреенкова Художественный редактор О. П. Богомолова Компьютерная графика И. В. Губиной Технический редактор и верстальщик Т. М. Якутович Корректоры Л. С. Александрова, А. К. Райхчин, Е. Д. Светозарова Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД Х9 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 20.06.13. Формат 70x90 Vie- Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 3,31. Доп. тираж 10 000 экз. Заказ № 37008 (п-sm). Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в филиале «Смоленский полиграфический комбинат» ОАО «Издательство «Высшая школа». 214020, Смоленск, ул. Смольянинова, 1. Тел.: +7(4812)31-11-96. Факс: +7(4812)31-31-70 E-mail: [email protected] https://www.smolpk.ru ISBN 978-5-09-032016-0 (1) ISBN 978-5-09-032017-7 (общ.) Издательство «Просвещение», 2011 Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2011 Все права защищены Предисловие Данная работа является дополнением к учебнику «Алгебра, 7» авторов Ю. Н. Макарычева и др., под редакцией С. А. Теляков-ского (15-е, доработанное, и последующие издания). Рабочая тетрадь включает 40 работ, составленных ко всем пунктам учебника, за исключением дополнительных пунктов под рубрикой «Для тех, кто хочет знать больше». Она представлена в двух частях. В первую часть вошли работы, относящиеся к первым трём главам учебника: «Выражения, тождества, уравнения», «Функции», «Степень с натуральным показателем». Во вторую часть вошли работы, относящиеся к трём последующим главам: «Многочлены», «Формулы сокращённого умножения», «Системы линейных уравнений». Каждая работа состоит из двух разделов. В разделе I содержатся несложные задания, способствующие усвоению вводимых понятий и алгоритмов, формированию фундаментальных умений, установлению связей нового материала с ранее изученным. В раздел II включены более сложные задания, выполнение которых требует свободного владения сформированными знаниями и умениями, проявления интеллектуальной гибкости. Представленные в рабочей тетради упражнения разнообразны по форме предъявления. Учащимся предлагается закончить начатое решение, установить некоторое соответствие, проиллюстрировав его с помощью стрелок, выбрать верный ответ, обводя кружком соответствующий номер, и т. п. Наличие подготовленных таблиц, вычерченной системы координат, некоторых пояснений к составлению уравнения или системы уравнений и т. п. создаёт предпосылки для интенсификации учебного процесса. Рабочая тетрадь предоставляет широкие возможности для организации классной и домашней работы учащихся. Глава I ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ш 1. Выполните действия; а) А_1 = 24 6 ........ б) 2|:(-7) = в) 0,03 - = 3 г) 0,21:^ = 2. Проверьте, верно ли равенство: 8.16 • (-0,5) +5 = 1,92 8.16 • (-0,5) + 5 = -4,08 + 5 = 0,92 Ф 1,92 а) б) .(-24)-7,8 = 0,2; •(-0,98)-0,6 = -0,8; в) -6,18 + 1,07 = 2,1. Ответ: верными являются равенства 3. Найдите значение выражения: а) 10,4-3 5--2,15 4 б) 8,40,5 + 3,8: (-1,9) = 1) 5^-2,15 = 5,25-2,15 = 3,1; 4 2) 3) в) 8,6: (45-6,2: 0,31)= г) 1^-(2,08 + 1)-3 4, Запишите в виде выражения и найдите его значение: а) произведение числа 5 и суммы чисел 12,8 и 3,4; б) разность между числом 46,3 и суммой чисел 12,6 и 3,4; в) произведение суммы чисел 12,8 и 8,2 и их разности; г) сумма произведения чисел 8,4 и 6 и их частного. 5. Покажите с помощью стрелки, каким числом — положительным, отрицательным или нулём — является значение выражения: -8,4 : (-4) -18,7 : 19,6 1,8:2-0,9 -1 + (-1,6 : 2) положительное число 3 ^ нуль ^ с отрицательное число 3 5,6 :(-!)-12 2-(-1,6:2) (0,6-0,7)-О 0,8-(-7,2:9) 6. Из пункта А вышли одновременно два пешехода и пошли по шоссе — один со скоростью 5 км/ч, а другой со скоростью 4,5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч, если известно, что пешеходы: а) пошли в одном направлении; б) пошли в противоположных направлениях? а) б) Ответ: а) б) 7. Антон наметил решить за лето 40 шахматных задач. В июне он решил 20% этих задач, в июле — 25% остатка. Сколько задач осталось решить Антону в августе? Ответ: 8. Подчеркните те из приведённых выражений, которые не имеют смысла: 15 8 7,6 - 3,8-2 12,6-34 2,7+ 1,3 -7,2+ 3,6 *2’ 3-0,4-1,2 17,1-27,1 -6,18 + 3-2,06’ 6,3-7 -12,3 + 4,1-3 7,26-2-3,13 9. Мастер может выполнить задание за 6 ч, а его ученик — за 8 ч. За какое время выполнят они это задание, работая совместно? Решение. За 1 ч мастер выполняет....часть задания, а его ученик ..часть задания. Работая совместно, они выполнят за 1 ч...., т. е. .... часть задания. Значит, всё задание они выполнят за ....... ч. Ответ: .................................................... II 10. Чему равна сумма всех целых чисел от -142 до 144? Ответ: ................................................... 11. Чему равно произведение всех целых чисел от -176 до 184? Ответ: ................................................... 12. В стакане содержится 180 г сладкого чая, а в кружке — 240 г. Известно, что в стакан положили 30 г сахарного песка, а в кружку — 50 г. Вера любит сладкий чай. Что ей выбрать — стакан или кружку? Решение. Концентрация раствора сахара в стакане равна — • 100% = i • 100% = 16-%. 180 6 3 Концентрация раствора сахара в кружке равна Ответ: 13. в овощную палатку завезли картофель. В первый день продали 30% всего картофеля, а во второй день — 20% остатка. Требуется оценить, сколько процентов от завезённого количества составляет картофель, оставшийся после двух дней продажи. Выберите верный ответ. 1. 50% 2. Более 50% 3. Менее 50% 4. Оценить нельзя, не зная количества завезённого картофеля 14. Через первую трубу бассейн можно наполнить за 4 ч, через вторую — за 6 ч, через третью — за 5 ч. За какое время можно наполнить бассейн, если открыть три трубы? Решение................................................... Ответ: ................................................. 15. Найдите значение выражения: а) 3------Ц----; 6)3 +---Ц-. 3-------- 3 + ^^— 3--^ 3-- 3-1 3 8 16. Из 25 членов математического кружка каждый принял участие в школьной или городской олимпиаде. При этом 23 члена кружка участвовали в школьной олимпиаде, а 16 — в городской. Найдите, сколько процентов всех членов кружка участвовало в двух олимпиадах. Решение................................................... Ответ: ВЫРАЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ш 1. Найдите значение выражения 5с-6 при указанных значениях с: если с = 11, то 5с-6 =................................... если с = -6, то 5с-6 =................................... если с = О, то 5с - б =.................................. 2. Заполните таблицу: X -6 -4 -2 0 2 4 6 Ах-2 -18 3. Закончите запись: если а = 3, Ь=1, то 5а+ 46 =.. если а = 0, 6 = — 1,5, то 12а—106 = 4. Заполните таблицу: X -3 -1 0 2 3 4 У -2 0 4 6 8 10 х + Зг/ -1 5. Последовательность составлена следующим образом: если а — некоторый член последовательности, Ь — следующий за ним член, то Ь =—За. Зная первый член последовательности, продолжите запись, заканчивая шестым членом: 4, ............................................................ 6. Живой вес коровы (в килограммах) вычисляется приближённо по формуле ^ 50 где I см — длина спины от холки до хвоста, k см — обхват около лопаток. Найдите живой вес коровы, если / = 110, ^ = 150. Ответ: 7. Формула /= 1,8с-1-3,2 позволяет переходить от температуры с, измеренной в градусах Цельсия, к температуре /, измеренной в градусах Фаренгейта. Пользуясь этой формулой, заполните таблицу: с -20 -10 -5 0 5 10 20 f -5,8 10 8. Скорость звука в воздухе v (в метрах в секунду) может быть найдена по формуле l; = 331^-0,6^, где t — температура воздуха (в градусах Цельсия). Вычислите v, если: ^ = -10, v=................................................... t = 0, v=..................................................... ^ = 20, v =................................................... п 9. Тетрадь стоит а р., а блокнот что означает выражение: а) 5а-\-Ь — ............... б) Ь-а — .................. в) 13а-Ь — ................ Ь р., причём Ь>а, Запишите, 10. Запишите формулу числа, кратного 11: .................. Выпишите все трёхзначные числа, кратные 11 и не превосходящие 200: 11. Используя таблицу квадратов натуральных чисел, найдите значение выражения - 36 при указанных значениях п: если п = 6,б, то 71^ - 36 = 42,25 - 36 = 6,25 если /г =7,1, то тг^-36=............................... если я = -8,2, то я^-36= .............................. 12. Укажите все натуральные значения я, при которых значение выражения 47 - Зя кратно 5: 11 13. Составьте какое-либо выражение для вычисления площади фигуры, изображённой на рисунке. 14. В сплаве золота и серебра массой 150 г содержалось х г золота. В сплав добавили ещё 10 г золота. Найдите процентное содержание золота в первоначальном и новом сплаве. В первоначальном сплаве процентное содержание золота равно В новом сплаве процентное содержание золота равно 15. В 250 г водного раствора соли, содержащего а г соли, добавили ещё 5 г соли. Найдите концентрацию первоначального и нового раствора соли. Концентрация первоначального раствора равна ............. Концентрация нового раствора равна ...................... 16. Техническое перевооружение цеха дало возможность выпускать в сутки п станков вместо т станков, выпускаемых первоначально (п > т). Составьте формулу, позволяющую определить, на сколько процентов увеличился выпуск станков в сутки. 17. Решая некоторые задачи из геометрии и механики, Архимед вывел формулу я(д + 1)( 2/1 + 1) 12 +22 +32 + ... + /12 = 6 Пользуясь этой формулой, найдите сумму 1^ + 2^ + ... + ?^. Проверьте ответ, выполнив сложение квадратов чисел от 1 до 7 включительно. 12 СРАВНЕНИЕ ЗНАЧЕНИИ ВЫРАЖЕНИИ ш 1. Сравните числа. Результат сравнения запишите с помош;ью знака >, < или =: а) 3,6 □ 3|; в) 5,08 □ 5-^; Zd б) -6,7 0 -б|; г)-з| □-3,2. 2. Поставьте знак > или <, чтобы получилось верное неравенство: а) 85,15-i □ 85,15;i; б) 12,06- 1,95 □ 12,06 - 3,18; 5 5 в) 10,02 : 0,5 □ 10,02 • 0,5; г) 2,4 - 12,04 □ 12,04 - 2,4. 3. Из чисел -2—, -2,5, -2—, -2,4, -2,01 выберите наибольшее. 3 7 Ответ: ...................................................... 4. Из чисел -1 — , -1-, -1,7, -1,3, -1,2 выберите наименьшее. 6 3 Ответ: ...................................................... 5. Расположите в порядке возрастания числа -6-, -2,7, -2-, 3 3 5,5, о, -2: 6. Расположите в порядке убывания числа -16,5, -12-, -24, 0,-1, 3 -1,5: ...................................................... 7. Сравнивая значения выражений, ученик допустил ошибку. Найдите её и исправьте: а) 6,8-3,16<6,8 + 3,16; б) 16--<16-:-; 2 4 2 4 в) 8i-3>8i:3; 3 3 г) 7,2 • 0,25 > 7,2 : 0,25. Ответ: ошибка допуш;ена в задании , должен быть знак 13 8. Найдите значения выражений 2а(а + 2) и За(а + 1) при а = -3,5 и сравните их. 2а(а + 2) =.............................................. За(а +1)=................................................ Значение первого выражения , чем значение второго. 9. Запишите в виде двойного неравенства: а — неотрицательное число, меньшее 1: О ^ а < 1 а) Ь — отрицательное число, большее -1: б) число d больше или равно -4 и меньше 11: в) число с больше 12 и не превосходит 20: II 10. Ученикам предложили указать какое-либо число, заключённое между числами -2,4 и -2,3. Получили такие ответы: а) -2,4 < -2,38 < -2,3; б) -2,4 <-2^ <-2,3; О в) -2,4<-2i <-2,3; г) -2,4<-2^ <-2,3. 7 20 Один из учеников допустил ошибку. Найдите её. Ответ: ошибка допущена в задании ......... 11. Укажите три каких-либо числа, заключённых между числами —0,6 и —0,5, два из которых записаны в виде десятичных дробей, а одно — в виде обыкновенной дроби. Ответ запишите в виде двойных неравенств: -0,6 < ........... < -0,5; -0,6 < < -0,5. -0,6 < ........... < -0,5; 14 12. Сравните с единицей значение выражения и покажите результат сравнения с помощью стрелки. 1 105 1 107 6+J- 7 14 li С с с меньше 1 равно 1 больше 1 3 3 3 0,25: -10 + 5 11 6 0,75 li 13. Имеются два раствора соли. В 100 г первого раствора содержится 6 г соли, а в 250 г второго раствора содержится 8 г соли. Концентрация какого из растворов больше? Концентрация первого раствора равна .................... Концентрация второго раствора равна .................... Ответ: ................................................. 14. Цену на товар сначала повысили на 15%, а затем снизили на 15%. Первоначальная цена товара составляла л: р., а окончательная у р. Сравните числа хну. Выберите верный ответ. 1, X > у 2. х = у S, X < у 4. Сравнить нельзя, так как неизвестно значение х 15. Сравните площадь прямоугольника со сторонами 12 см и 36 см с площадью квадрата, имеющего тот же периметр. Ответ: 15 16. Точками на прямой отмечены числа а, 6, с, d. Около каждой точки запишите соответствуюш,ее число, если известно, что а>с, d О, запол- X нив таблицу значений; X 1 1,5 2 3 i i r у i X 4 6 8 12 i -1- У 1 0 ЩЕНщЩ:, ■г' н-г-1-+-|“4'Н.hj-l-f-i — f -f titu i-i-4 i I ; 58 12. Дан график зависимости тормозного пути автомобиля от скорости его движения на сухом асфальте (ОА) и на мокром асфальте (ОВ). На сколько метров тормозной путь на мокром асфальте больше, чем на сухом, при скорости: а) 40 км/ч; б) 80 км/ч? Ответ: а) б) 13. Точка М(1; -2) принадлежит графику функции у = f(x). Найдите значение k, если: а) f{x)=kx-l\ б) f(x)=Sx-k. Ответ: а) k =.................... б) k = 14. На рисунке изображён график изменения температуры воздуха Г °С в течение суток. Заполните таблицу: Время суток, t ч 2 4 7 12 18 20 24 Температура, Т °С -4 -2 3 59 15. На рисунке изображён график изменения объёма газа V (в литрах) в зависимости от изменения соответствующего давления р (в атмосферах). Найдите по графику: а) значения V при р = 2; 4; 8; 12; б) значения р при V=S; 4; 8; 20. Ответ: а) б)........ \\V, т и гг'jog- Ш "i'H Ш. 11 ;т+И: уьГ Ijir ES' 1; fy -tV-tt -1-1 f-:- Ш iHH tHi' p: 4-M? lili Ш. ГГ-”' ТИТ 1'ti •l-fH-r Vh-\- Sn №; tUis f -1; 1. Щ .Eji: Tw-i- ±щ +H4- Ш .■11!: -liti in I :■ -i'lH ±fl| 1Й: \ - .. iJ-. -titl il'.t 'ZZ'. -ilh- 1H1 ii- itlj: lltt xS - H-t 1; pitmi ! :-f :x:i- firr:j:r;-x{ - ^ H \ t— Щ0. 16. Дан график движения группы туристов, отправившихся с турбазы в город. Сначала туристы шли по просёлочной дороге до остановки автобуса, а оставшуюся часть пути проехали на автобусе. Пользуясь графиком, ответьте на вопросы: а) сколько времени туристы шли по просёлочной дороге; б) сколько времени туристы ждали автобус; в) с какой скоростью они шли по просёлочной дороге; по шоссе? 60 ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ И ЕЁ ГРАФИК ш 1. Является ли прямой пропорциональностью функция, заданная формулой: Lm Щ а) y = f, в) у = -3х; Ответ: а) .. в) ....... б) у = х + 2; г) у = 4:Х^1 .......... б) ... ..... г) ........ I—j—— h {4-1 ft —1...г I I — —i" 2. На координатной плоскости по- ^ стройте график функции у = 2,6х, [ Принадлежит ли этому графику j-4-4 ; , точка М(-2; 5)? h i—1—i Ответ: .......................... f- -I- I -i н 1 1-4- -т~!—i 3. На рисунке изображены графики функций у = 4х, у = -4х, У = \х, у = -\х. Oi 4 4 ствующую функцию. у = —х, у = -—х. Около каждого графика напишите соответ-4 4 61 4. Двигаясь со скоростью v км/ч в течение 5 ч, велосипедист проехал S км. Задайте формулой зависимость s от v: ............... Пользуясь этой формулой, найдите: а) S, если i;=15; б) и, если s = 60. Ответ: а) s =..................... 6) v = 5. Прямая пропорциональность задана формулой у = — — х. Заполните таблицу: ^ X -3 -2,5 -0,5 0 1 4 у 0,6 6. Длина участка, имеющего форму прямоугольника, равна а м, а его ширина 30 м. Задайте формулой зависимость площади участка S м^ от его длины: ................................ При каком значении длины участка его площадь равна 1200 м^? Ответ: 7. При каких значениях коэффициента k абсциссы и ординаты точек, принадлежащих графику функции у = кх и отличных от начала координат: а) имеют одинаковые знаки; б) имеют разные знаки; в) равны между собой; г) являются противоположными числами? Ответ: а.) k =........ б) А; = в) k =............ г) k =... 8. Задайте формулой функцию, график которой изображён на рисунке. Ответ; ........................ 62 9. При каком значении а точка А{а; -35) принадлежит графику прямой пропорциональности у = 3,6x7 Ответ; 10. На рисунке изображены графики четырёх функций. Какой из этих графиков проходит через точку М(-6; -12)? Ответ: 11. В каких координатных четвертях расположен график функции: а) у = -^х; б) y = 0,Q2x; ъ) у = 15 Ответ: а) б) в) ... х; г) у = .........г) 0,8-- X? II 12. Функция задана формулой у = kx. Определите значение коэффициента k и заполните таблицу: X -0,2 0 6 8 8,5 10 32 у -18 63 13. Пересекает ли график функции у = 0,2х прямую АВ, параллельную оси абсцисс и проходящую через точку С(0; 1000)? Ответ; 14. Мотоциклист едет по шоссе со скоростью 40 км/ч. За ^ ч он проезжает s км. Задайте формулой зависимость s от t:..... Заполните таблицу: t 1,5 s 60 80 100 120 140 200 16. Найдите наибольшее и наименьшее значения, которые функция принимает при -1 ^ д: < 3, если: а) у = 5х; б) у = -3х. Ответ: а) наибольшее значение.; наименьшее значение....; б) наибольшее значение...; наименьшее значение...... 17. На рисунке изображены графики двух функций. Задайте каждую из них формулой. ОА:........... ОВ:.............. Укажите какое-либо значение коэффициента k, при котором график функции y = kx расположен внутри острых углов, образованных этими прямыми. Ответ: k =...................... 64 18. При каких значениях коэффициента k график функции y = kx располагается между прямой, изображённой на рисунке, и осью у7 Ответ: k=....................... 19. Лежат ли на одной прямой, являющейся графиком функции y = kx, три точки: а) (2; 6), (-1; -3), (0,5; 1,5); б) (2; -6), (1; -3), (5; -15); в) (2; 6), (-1; 3), (0,5; 1,5); г) (2; -4), (-1; 2), (6; -12)? Ответ: а) б) в) г) ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ГРАФИК 1. Какие из приведённых формул задают линейную функцию: а) у = -0,3х; б) у = ---х; в) у =-------; г) у= 7 X о Для каждой линейной функции y = kx + b укажите значение углового коэффициента k. Ответ: .................................................. 2. Изобразите схематически на координатной плоскости графики функций: а) у = 2,Ьх + 1; б) у = -Зх-2; в) у = -2х. 65 3. Ширина прямоугольного участка л: м, а его длина на 2 м больше. Задайте формулами зависимость периметра Р и площади S прямоугольника от его ширины: Какая из этих зависимостей является линейной функцией? Ответ: ................................................. 4. На каком из трёх рисунков: 6, а, 6, б или б, в — изображён график функции у = ах + Ь, если известно, что а > О, б < О? Ответ: 5. Постройте на координатной плоскости график линейной функции: Bi) у = -2х+\\ б) г/ = Зл:-4, заполнив предварительно таблицы: а) б) X 0 -2 у 66 6. Мама дала сыну 100 р. и попросила купить 5 булочек по t р. Мальчик получил сдачу у р. Задайте формулой зависимость у от t: .................................................... Какова область определения полученной линейной функции? Ответ: 7. Токарь должен был выточить за смену 40 деталей. Однако он перевыполнил план на х%, выточив у деталей. Составьте форму- лу, выражающую зависимость у от х\ 8. Линейные функции заданы формулами y^ = lQx-b и У2 = ^х + А. Заполните таблицу: X -2 -1 -0,5 0 1,5 2 4 Ух 19 У2 16 1/1 = 16-1,5-5 = 24-5 = 19; [/2 = 8-1,5 + 4 = 12-н4 = 16 9. Дана функция у = -л:-4. Задайте формулой какую-либо линей- 3 ную функцию, график которой: а) параллелен графику данной функции: .................... б) пересекает график данной функции: ..................... 67 10. в какой точке пересекает ось х график функции, заданной формулой: а) ^ = 0,2л:-18; б) i/ = -^x-i- 4? 5 Ответ: а) б) 11. Из рисунков 7, а, 7, б, 7, в выберите тот, на котором изображён график линейной функции, не содержащий ни одной точки, расположенной в четвёртой координатной четверти. Ответ: 12. Из четырёх линейных функций выберите две, графики которых параллельны. Подчеркните соответствующие им формулы: 1/ = -х + 5у у = 2х-Ъ, у = Ь-2х, у = 2-х. II 13. Функция задана формулой у = -0,5х + 2. Заполните таблицу: X -1 4 6 8 10 у 2 -2 0 -0,5л: + 2=-2; 0,5л: =-4; л: = 4 : 0,5 = 8 68 14. Один из углов треугольника равен 6°, другой угол — на 40° больше, а третий угол равен а°. Задайте формулой зависимость а от Ь (сумма углов треугольника равна 180°): Является ли эта зависимость линейной функцией? Какова область определения этой функции? ....... 15. Напишите уравнение функции, график которой симметричен графику функции у = Ъх + Ъ: а) относительно оси у, б) относительно оси xi 16. Сумма координат каждой точки графика функции y = kx + b равна 6. Укажите значения коэффициентов k и Ь. Ответ: k =......................... Ь = 17. На рисунке изображён график функции у = ах + Ь. Постройте: а) график функции у = -ах + Ь; б) график функции у = ах- 2Ь. 18. При каких значениях k и Ь график функции y = kx + b параллелен графику функции у = 2,Ъх + 2 и проходит через точку А(-1; 3)? Ответ: k =.........................Ь = 69 19. Из пунктов А и Б, расстояние между которыми 225 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Один велосипедист ехал со скоростью 20 км/ч, а другой — со скоростью 25 км/ч. Через t ч расстояние между ними было s км. Задайте формулой зависимость s от t. Рассмотрите два случая: а) велосипедисты ещё не встретились; б) встреча произошла, но велосипедисты продолжают движение. а) ......................................................... б) ......................................................... Через какое время после начала движения расстояние между велосипедистами станет равным 45 км? Укажите оба ответа. Ответ: а) б) 20. На рисунке изображены графики четырёх функций y = kx + b. Выберите те из них, для которых произведение значений k и Ь положительно. Ответ: 70 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ а" =аа.,.а, где а — произвольное число, п — натуральное число, большее 1; а^ = а 1. В записи вида а": а) число а называется б) число п называется в) выражение а" называется 2. Представьте произведение в виде степени; а) 16- 16- 16- 16- 16=.................... б) 7-7*...-7 = 15 раз в) 3y-3y-...-Sy 11 раз ......... г) (-5р)-(-5р)-...-(-5р) = п раз 71 3. Выполните возведение в степень: 3'^ = 3-3-3-3-3 = 243 (-4)» = (-4) .(-4) .(-4) = -64 а) 63=.......................... б) (-5)^ =...................... в) (0,1)3=...................... г) (-1)3=....................... 4. Заполните таблицу: п 1 2 3 4 5 6 7 8 (-2)” -32 5. Найдите значение выражения: 3^ • (-2)3 = 3 • 3 • 3 • 3 • (-2) • (-2) = 81 • 4 = 324 а) -3-23=............................... б) 3-(-2)3=............................. В) 3«-(-2)=............................. 6. Для подсчёта приближённого значения объёма стога сена (в кубических метрах) пользуются формулой где I — длина окружности V = 72 ’ основания стога (в метрах), а — длина «перекидки», т. е. линии АВС (в метрах). Вычислите F, если I = 12, а = 18. Ответ: 72 7. Вместимость V бочки вычисляется по формуле V = ^ 2di+d2 /г, где — диаметр окружности в самом широком месте бочки, dg — диаметр каждого из днищ;, h — высота бочки. Найдите вместимость бочки, если di = 9 дм, <^2 = 6 дм, /г = 11 дм, п ~ 3,14. Ответ: 8. Выражение Р(а) представили в виде произведения, каждый множитель которого равен а. Сколько множителей в этом произведении, если: а)Р(а) = а*а®; б) Р(а) = в) Р(а) = а"" • а"? Ответ: а) ............ б) ............ в) .............. 9. Не вычисляя значений выражений и а^, сравните их: если а = -80, то > а®, так как значение выражения (-80)'‘ является положительным числом, а (-80)® — отрицательным числом а) если а = 0, то .............................., так как б) если а = 0,4, то ............................, так как в) если а = 17, то ............................., так как 73 10. Не вычисляя значения выражения, сравните его с нулём. Результат сравнения покажите с помощью стрелки. (-76)3+76® (-76)3 _ 705 (-76)® + 76 ^меньше нуля^ ^ равно нулю ^ ^ больше нуля ^ (-76)3-(-76)® (-76)®+ (-76) (-76)*®+ (-76)1® 11. Используя калькулятор, выполните возведение в степень: а) 13‘*=...................... б) 27^ =.................. в) (-15)^= ................... г) (-7)^=................. 12. Найдите с помощью калькулятора значение выражения (ответ округлите до 0,01): а) 1,5^-3,2 ~................. б) 5,1-4,13 ~ ................. в) 1,33.5,42 ~ ............... г) 2,6". 1,23 ^ ............... 13. Объём V шара вычисляется по формуле V = ^nR^, где R — ра- О диус шара, к « 3,14. Вычислите с помощью калькулятора объём шара, если i? = 2,5 см. Ответ округлите до 0,01. Ответ; F ~................................................ п 14. Фигура состоит из прямоугольника, длина которого втрое больше ширины, и двух полукругов, радиус каждого из которых равен по- ловине ширины прямоугольника. Составьте формулу для вычисления площади S фигуры, если известно, что ширина прямоугольника равна а см (площадь круга равна nR^, где R — радиус круга, к ~ 3,14): Используя калькулятор, вычислите, чему равна площадь S (с точностью до 0,01), если а = 15 см. Ответ: S 74 15. Подчеркните выражения, которые при любом значении а принимают положительные значения: a^ (-аУ + 1, -а^ + 6, (а-8)'* +16, (-а-3)^+1. 16. Найдите: а) куб суммы первых пяти простых чисел; б) сумму кубов первых пяти простых чисел. Ответ: а)..................... б)........................ 17. Расположите в порядке возрастания числа 3, 333, 3^, 3^®, 33®. 18. Какой цифрой оканчивается значение выражения: а) 16^-Ы5®-21^; б) 26®^ + 125® - 11^? Ответ: а) б) 19. Не вычисляя значения выражения, определите, верно ли утверждение: а) значение выражения 16^+15®-21'* кратно 10; б) значение выражения 46®-51®+ 25® кратно 5. Ответ поясните. Ответ: а) б) 75 УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ а"” • а" = где а — любое число, тип — натуральные числа а'" : а" = где тип — натуральные числа, т> п ш 1. Выполните умножение степеней с одинаковыми основаниями: а) т^-т"^ =............... б) х-х^^ =.................... В)р2.р3.р6=............... т) у*-уу^-у’’=................ 2. Впишите пропущенный множитель: а) 12а^Ъ* = 4аЬ •......... б) ~^аЬ^ =6Ь- 3 в) 100a“b^^ = -25ab■............ 3. Представьте выражение в виде произведения двух множителей, один из которых равен ЗаЬ: За^Ъ^ = ЗаЬ-аЬ^ а) 12аЪ^-ЗаЪ'............ б) а^Ъ = ЗаЬ в) = ............... 4. Впишите пропущенный множитель: а) 75л:V'-.....= -160x^Y^; б) ......... 8 = Sa^b\ 5. Выполняя умножение степеней, ученик допустил ошибку. Найдите её и исправьте: а) • (-а)® = а^^; б) -а • = (-а)^; в) • (-а)^ = а^^; г) а® • (-а) = (-а)®. Ответ: ошибка допущена в задании..................... в результате умножения получается выражение................. 76 6. Представьте выражение а® всеми возможными способами в виде произведения двух множителей, каждый из которых является степенью с основанием а. 7. Представьте в виде степени частное: а) р^^:р^ = б) . ^36 . ^12 в) = г) : а^' Найдите значение дроби: а) 121 = ' 1 Ой б) ■ / . ч7 9. Найдите значение выражения: 320.212 а) в) 318.211 28-23 64 б) 3j 511-314 510-315 II 10. Представьте выражение каким-либо способом в виде: а) произведения степеней; б) частного степеней. а) + б) Замечание. Здесь и далее подразумевается, что показателем степени является натуральное число. 11. Найдите значение выражения: а) : 0,9'^-! =........ 77 n + 3 б) в) 17J 1 201 1 201 2п-1 12. Зная, что 3" = 729, найдите значение выражения: а) =...................................... б) 3"^2.9^................................... в) = г) 3"*^:81 = 13. Найдите значение выражения: а) б) 16 раз 14. Представьте произведение в виде степени: а) • X =....................... б) = + 3 . ^2т + 1 . Д.4 + Зт _ 15. Зная, что 2" = а, найдите значение выражения: а) =...................................... б) -2"**= ................................... в) 2" + '-(-1)^=............................. г) 2'‘'"2-9а= ............................... 78 ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ {аЬУ = где а и Ъ — любые числа, п — натуральное число (^т)п _ д — любое число, тип — натуральные числа ш 1. Выполните возведение в степень: = 3^ • • (п^)^ = 243m^^n^‘^ а) (~1,2т^п^У=................... б) (-0,2pYf= .................... 2. Представьте выражение в виде степени с основанием а; (a^У■(aY = a‘^■a^<^ = a^ а) (а<)3-(а«)2 = в) (аУ ■ (аУ = б) (аУ ■ (аУ = 3. Представьте, если возможно, число 7*^ в виде степени с основанием: 7^; 7^; 7^; 7=; 7®; 7*“. 712 ^ (72)6. ....................................................... 4. Представьте выражение в виде степени с основанием jc: а) • х" =............................................. б) (л:'")®-(л:®)®=........................................ в) (х^У ■ х’"*^=.......................................... г) х'”*'-(х^У=............................................ 79 5. Представьте выражение в виде степени с основанием Ы . ^т + 1^3 _ ^12т . ^Зт + 3 _ ^15т + 3 а) = . б) {Ь"'** ■Ь^"'У = 6. Зная, что аг = 5р, найдите: а) =...................... в) -1,7а8=................ б) -2а« = .... г) 0,08а® = 7. Представьте выражение а*® в виде степеней с четырьмя различными основаниями: а!® = а'® = . 8. Впишите недостающий множитель вида а“ так, чтобы полученное равенство было тождеством: а).........•(a2)® = ai“; б)...........-(а^ = а‘^ в) (о'2)2........= а^®; г) ■.........= а*®. 9. Зная, что 4aV = m при некоторых значениях а и Ь, найдите, чему равно при тех же значениях а и Ь значение выражения: а) 128a®6« = б) ai26® = 10. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел от 10 до 99, найдите значение выражения: 212 = (2®)2 = 64^ = 4096 а) 3®=.... б) в) 3®-1-4® 80 11. Упростите выражение; ((2х^У = (4х^У = 256х^* а) ((-3x®)3)2 = . б) ii2xYY)^ = в) = 12. Найдите значение выражения: 35 .(32 )3 а) 312 б) 43 .(_24 )2 13. Какой цифрой оканчивается число, равное значению выражения: а) 3«+25; 6)912-1; в) 61^ + 7? Ответ обоснуйте. Ответ: а) б) в) 14. Является ли целым числом значение выражения; а) 4Н .355 -22 10 (62)6.416-69 ^ ^ 10 Ответ обоснуйте. Ответ: а) б) 81 15. Зная, что т* = а, найдите, чему равно произведение: • (-mf = = {m*f = а» а) .................................... б) =.................................... 16. Укажите все пары натуральных значений переменных а к п, при которых верно равенство: а) a" = (2Y; б) a" = (4Y. Ответ: а) б) ОДНОЧЛЕН И ЕГО СТАНДАРТНЫЙ ВИД ш 1. Является ли одночленом выражение: з а) 6,5х^у; б) х^ + у^; в) х • х^ • х^^ • х^^; г) - ? Ответ: а) б) в) г) 2. Подчеркните одночлены, записанные в стандартном виде: 5,6х^у, -a^V. (8л:г/)^ (-xyf-x^, l,6дг^V• 3. Представьте в стандартном виде одночлен: а) -а^ЬЬассс = 8 б) (-2)аЗ.(-1)а-0,5а^ = в) 18ху(-2)-(-1Гх^у = 82 4. Определите, чему равна степень одночлена; а) б) в) -Зх^у^; г) -11^г/®; д) ОЛху^^г^ Ответ; а) ........ б) ........ в) ......... г)......... д) ........ 5. Найдите значение одночлена; а) 0,15л:У при л: = -1, у = 2; б) -ЗкЧ^ при /е = -1,5, 1 = -1, 6. Заполните таблицу; а -5 -3 -1 0 3 5 Ъ -2 0 4 6 4 10 Ъа^Ь -250 5 • (-5)2. (-2) = 5 • 25 • (-2) = -250 7. Представьте одночлен в стандартном виде и укажите, чему равна его степень п: а) -17а^ЬЬс^с =....................., п =....................... б) -хухуху =........................., п =....................... в) 6х • (-6л:) • (-бл:) =............, п =....................... 83 8. Подчеркните одночлены, которые тождественно равны одночлену 75а^Ь*с. -2ЬаЬ^с ■ (-If • 75а6 • а^Ь^с, ЪаЬс-(-15aW), -7,5аЬс ■ (-IQa^b^), -15а=‘с • (ЗЬ^), -Х.баЬ^с • (-За^б**). II 9. При каких значениях Ь значение одночлена 7,56^ равно 30? Ответ: 10. Составьте все одночлены стандартного вида с переменными а и Ь и коэффициентом 11, степень которых равна 6. 11. Вычислите с помощью калькулятора значение одночлена (ответ округлите до 0,01): а) Оува^Ь при а = 1,8, Ъ = 3,7; б) -0,2а&^ при а = -1,5, 6=1,2. Ответ: а) б) 12. Расположите одночлены aV, в порядке возрастания их значений при а = -0,5, 6 = 4. 13. Верно ли утверждение, что одночлен (-1)^а^6® принимает отрицательные значения: а) при положительных значениях а и 6; б) при отрицательных значениях а и 6; в) при положительных значениях а и отрицательных значениях 6; г) при отрицательных значениях а и положительных значениях 6? Ответ: а) б) в) г) 84 14. В выражении замените показатели т vi п натураль- ными числами так, чтобы получился одночлен шестой степени. Укажите все возможные способы. Ответ: Ш| УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ. ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА В СТЕПЕНЬ И 1. Выполните умножение одночленов: а) 24а®с^^ • (-5а^^с) =..................... б) -17ху'^ -(-ху)=.......................... в) 2,Sa^^b^'^ • (~4аЩ =..................... 2. Представьте, если возможно, одночлен 12х"^у^ в виде произведения двух множителей, один из которых равен: а) Sxy^; б) -ху; в) г) -Зу^, а) 12х^у^ = 8ху^^1,Ьх^у 3. Выполните возведение одночлена в степень: а) (~10x^bf=............................ б) (0,2^1 V)" =......................... в) (~0Лху^У= ........................... 85 4. Представьте выражение в виде степени тремя различ- ными способами. 5. Известно, что Sa^ = b при некоторых значениях а и Ь, Чему равно при том же значении а значение выражения: а) -81а®; б) а^®? Ответ: а) б) 6. Впишите пропущенный показатель степени, зная, что: а) одночлен 15а^(Ь'‘)^ является одночленом двенадцатой степени; б) одночлен (-2Y(x^)^y^ является одночленом пятнадцатой степени. 7. Как изменится вместимость сосуда, имеющего форму куба, если его ребро увеличить в 2 раза? Выберите верный ответ. 1. Увеличится в 2 раза 2. Увеличится в 4 раза 3. Увеличится в 8 раз 4. Ответ зависит от первоначаль- ной длины ребра 8. Вычислите значение дроби при а = -4: - а а) (_а)в.(_а)8 .12 б) Л-af _ i-aV 86 9. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида; а) -1,5а&-(-0,2) aV =..................................... б) -1-х*у-0,1Ъху^ = 3 в) -ас^-(-0,18ac2 ) = 9 г) —-(-mriY = ^13 Укажите, чему равна степень одночлена: а) б) в) г) II 10. Впишите недостаюш;ий одночлен так, чтобы полученное равенство было тождеством: а) (Ча^ЬУ-.....................= 98ai2fe9; б) {ab^f •.....................= 11. Выполняя преобразования, ученик пришёл к выводу, что каждое из выражений: а) {-гЪсУ • б) Зс^ • в) {-bc^f . (-3&С)"; г) • (-3&2с5) тождественно равно одночлену 2436®с^Ч Прав ли он? Ответ: 87 12. Представьте каким-либо способом одночлен в виде про- изведения двух множителей, один из которых является: а) квадратом некоторого одночлена с переменными а и Ь; б) кубом некоторого одночлена с переменными а vl Ь. 13. Упростите выражение: а) (-а • =................................................ б) (-а^ • = ............................................... 14. Преобразуйте выражение: Ъа^Ь ■ (-За^ЬУ = 5а“6 • 81a‘V = а) (-а^Ь*)^ =........................................... б) -а'<&2»+1 (-а&2)" =....................................... в) a'‘*V{-ab^f =............................................. 15. Представьте, если возможно, в виде одночлена выражение: ' 2х* ..................................................... 5р’’д_ ................................................... в) = ' 36:к12 .................................................. , 11д2&8 _ ^ 121а6" ................................................. Укажите, какие из данных выражений нельзя представить в виде одночлена: ........................................... 88 16. Упростите выражение: а) \Ъа^Ъ^-{-а^ЪУ=......... б) • (-a^b'^Y =...... в) -a^&2n + 4.(_д^2^3)n^ . г) • (-а^ЪУ =........ 17. Выполните умножение: а) (-3,бл:'"у")-(4д:'"-^^0 = б) (-0,01а'”^^&")*(-0,2а'”&2") = в) p^q (-81p"^ + ig" ) = ФУНКЦИИ У^Х‘ и У=Х^ и их ГРАФИКИ ш 1. Заполните таблицу значений функции у = х^: X -2,5 -2 -1,5 -1 0 1 1,5 2 2,5 у 2,25 89 Отметьте на координатной плоскости (рис. 8) точки, координаты которых занесены в таблицу, и постройте график функции. 2. Пользуясь графиком функции у = х^ (рис. 9), ответьте на вопросы. а) Какие значения принимает переменная х1 ............... б) Какие значения принимает переменная у1 ............... в) При каком значении х функция принимает наименьшее значение? .................................................. г) Чему равно наименьшее значение функции? .............. д) Принимает ли функция наибольшее значение? ............ е) Как расположен график относительно оси у1 ............ 90 3. Принадлежит ли графику функции у = х^ точка: а) А(-8; 64); б) В{8; -64); в) С(0; 0); г) D(-100; 10 000)? Ответ; а) б) в) г) 4. Пересекает ли график функции у = х^ заданная прямая? (При положительном ответе укажите координаты точек пересечения.) Прямая у = 81 пересекает график в точках (-9; 81) и (9; 81) а) ^ = -0,01 .................................................. б) у = 10 000 в) 1/ = -4 . г) у =16 ... 5. Используя график функции у = х^ (см. рис. 9), найдите с точностью до 0,1 корни уравнения: а) л:^ = 3; б) х^ = 5, Ответ: а) б) 6. Заполните таблицу значений функции у = х^, вычисляя их с точностью до 0,1: X -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 у -0,1 91 Отметьте на координатной плоскости (рис. 10) точки, координаты которых занесены в таблицу, и постройте график функции. 7. Пользуясь графиком функции у = х^ (рис. 11), ответьте на вопросы. а) Какие значения принимает переменная х7 ............... б) Какие значения принимает переменная у7 ............ в) Принимает ли функция наименьшее значение? ......... г) Принимает ли функция наибольшее значение? ......... д) Как расположен график относительно начала координат? 92 8. Принадлежит ли графику функции у = х^ точка: а) F{-2; -8); б) Е{4; 64); в) С(-5; 125); г) М(-0,1; -0,001)? Ответ: а) б) в) г) 9. Пересекает ли график функции у = х^ заданная прямая? (При положительном ответе укажите координаты точек пересечения.) Прямая у = 27 пересекает график в точке (3; 0) а) I/ = 1 . б) y = -S . в) 1/ = 0,001 г) ^ = 0,008 д) у = 1000 10. Используя график функции у = х^(см. рис. 11), найдите с точностью до 0,1 корни уравнения: а) х^ = 3; б) х^ = -5. Проверьте ответ, выполнив возведение в куб (при необходимости воспользуйтесь калькулятором). Ответ: а) б) II 11. Известно, что точка Р(а; Ь), где Ь^О, принадлежит гра- фику функции у = х^. Принадлежит ли графику этой функции точка: а) F(-a; Ь); б) М(а; -Ь)7 Ответ: а) б) 93 12. Известно, что точка F(b\ с), где Ь^О, сфОу принадлежит графику функции у = х^. Из точек А(Ь; -с), В{-Ь; с), D(-b; -с) выберите те, которые также принадлежат графику этой функции. Ответ: ................................................... 13. Используя график функции ^ = д:^(рис. 12), решите уравнение: а.) х^ = х + 2; б)х^ + х-^1 = 0. Ответ: а) б) 14. Используя график функции у = х^ (рис. 13), решите уравнение: а) д:^ = -л:-1-2; б) -Н д: + 1 = 0. Ответ: а) б) Рис. 13 94 15. На рисунке построены графики функций y = Xj у = х^, У = х^, где х^О. С помощью графиков сравните значения выражений: а) 0,42 □ 0,422; gj q,42 □ 0,42^; г) 1,35 □ 1,35^; д) 1,35 □ 1,35«; в) 0,42^ □ 0,42®; е) 1,35^ □ 1,353. 16. Сколько общих точек имеют графики функций у = х^ и у = х^, построенные в одной системе координат? Выберите верный ответ. 1. Ни одной 2. Одну 3. Две 4. Три 17. На рисунке построен график функции у = х^ и прямые АБ, CD, EF. Какие из этих прямых: а) не пересекают график; б) пересекают график в одной точке; в) пересекают график в двух точках? Ответ: а) .................... б) ........................... в) ........................... 95 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие.............................................. 3 Глава I. Выражения, тождества, уравнения 1. Числовые выражения................................... 4 2. Выражения с переменными.............................. 9 3. Сравнение значений выражений........................ 13 4. Свойства действий над числами ...................... 16 5. Тождества. Тождественное преобразование выражений... 19 6. Уравнение и его корни .............................. 23 7. Линейное уравнение с одной переменной .............. 26 8. Решение задач с помощью уравнений................... 30 9. Среднее арифметическое, размах и мода............... 38 10. Медиана как статистическая характеристика .......... 43 Глава 11. Функции 11. Что такое функция................................... 47 12. Вычисление значений функции по формуле...............50 13. График функции...................................... 55 14. Прямая пропорциональность и её график .............. 61 15. Линейная функция и её график ....................... 65 Глава 111. Степень с натуральным показателем 16. Определение степени с натуральным показателем....... 71 17. Умножение и деление степеней........................ 76 18. Возведение в степень произведения................... 79 19. Одночлен и его стандартный вид...................... 82 20. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень— 85 21. Функции у = х^ и у = и их графики................... 89 96