Алгебра 7 класс Рабочая тетрадь Зубарева Мильштейн часть 2

УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я721 3-91 Зубарева И. И. 3-91 Алгебра. 7 класс. Рабочая тетрадь № 2 : учеб, пособие для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, М. С. Мильштейн ; под ред. А. Г. Мордковича. — М. : Мнемозина, 2012. — 104 с.: ил. ISBN 978-5-346-02267-1 Система заданий тетради предназначена для использования на первых этапах знакомства учащихся с новым материалом — при введении новых знаний и первичном их применении в стандартной ситуации. Методика, заложенная в представленной системе заданий, обеспечит достижение как предметных, так и метапредметных результатов обучения, соответствующих требованиям ФГОС. УДК 373.167.1:512 ББК 22.141я721 Учебное издание Зубарева Ирина Ивановна, Мильштейн Мария Семёновна АЛГЕБРА 7 класс Рабочая тетрадь № 2 УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ для учащихся общеобразовательных учреждений Формат 70xl00‘/je- Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Уел. печ. л. 8,45. Тираж 20 000 экз. Заказ № 1035. Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 296. Тел.: 8 (499) 367 5418, 367 5627, 367 6781; факс: 8 (499) 165 9218. E-mail: [email protected] www.mnemozina.ru Магазин «Мнемозина» (розничная и мелкооптовая продажа книг, «КНИГА — ПОЧТОЙ», ИНТЕРНЕТ-магазин). 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 б. Тел./факс: 8 (495) 783 8284; тел.: 8 (495) 783 8285. E-mail: [email protected] www.8hop.mnemozina.ru Торговый дом «Мнемозина» (оптовая продажа книг). Тел./факс: 8 (495) 665 6031 (веногоканальный). E-miail: [email protected] Отпечатано в ОАО «Первая Образцовая типография», филиал «Чеховский Печатный Двор». 142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1. ISBN 978-5-346-02267-1 (№ 2) ISBN 978-5-346-02265-7 (общ.) «Мнемозина», 2012 Оформление. «Мнемозина», 2012 Все права защищены ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ У вас в руках рабочая тетрадь для изучения курса алгебры во втором полугодии 7-го класса. Система заданий тетради предназначена для использования на первых этапах знакомства учащихся с новым материалом — при введении новых знаний и их первичном применении в стандартной ситуации. В основу разработки заданий тетради легли положения теории развивающего обучения В. В. Давыдова, Д. Б. Эльконина и теории поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина. Методика, заложенная в системе заданий рабочей тетради, обеспечит достижение как предметных, так и метЕшредметных результатов обучения, соответствующих требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС). Последовательность и методика изложения материала соответствуют учебному комплектуй «Алгебра. 7 класс», созданному авторским коллективом под руководством А. Г. Мордковича. При этом каждому параграфу учебника (задачника) соответствует параграф рабочей тетради. В большинстве случаев параграф тетради начинается с заданий, позволяющих актуализировать знания, необходимые для введения нового материала. Согласно требованиям ФГОС новые знания учащиеся должны получать в ходе познавательной деятельности, выполняя учебно-познавательные задания (задачи). С этой целью в каждом параграфе рабочей тетради выстроена система таких заданий. Выполняя последовательно учебнопознавательные задания, учащиеся получают возможность самостоятельно сформулировать новое для них теоретическое знание. После того как новый теоретический факт установлен и сформулирован, следует его применение на практике. Для этого учащимся предъявляется образец решения задачи, содержащий пошаговое описание алгоритма применения новой формулы, правила и т. п. Фактически образец содержит описание того умственного действия, которое должно быть сформировано у учащихся как автоматизирюванный навык. Далее следует система упражнений, выстроенная на основе положений теории поэтапного формирования умственных действий. Первым предлагается упражнение, содержащее описание шагов алгоритма в соответствии с приведённым образцом. Учащимся надо только выполнить его предписания. При выполнении следующего задания надо самостоятельно записать шаги алгоритма. Завершает систему упражнений задание, содержащее требование мысленного проговаривания шагов алгоритма. После этого учащимся предлагается выполнить упражнения из задачника, также мысленно проговаривая алгоритм действий. Время и количество упражнений, которые требуются для формирования автоматизированного навыка, т. е. выполнения умственного действия без проговаривания, определяются индивидуальными особенностями учащих- ^ МордковичА. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович; Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. А. Г. Мордковича. — М.: Мнемозина. ся. Этому, в свою очередь, способствует система упражнений задачника, которая содержит достаточное количество заданий для достижения требуемого уровня овладения тем или иным навыком. Выполнение учебно-познавательных задач способствует формированию универсальных учебных действий как познавательных (наблюдение, сопоставление, анализ и обобщение), так и регулятивных (целеполагание, планирование). В ходе выполнения упражнений, направленных на формирование умственных действий, наряду с практическими умениями формируются такие регулятивные действия, как контроль, коррекция и оценка, поскольку имеется возможность сличения способа действий и его результата с заданным эталоном (образцом). Авторы ГЛАВА 5 ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ § 20. ПОНЯТИЕ ОДНОЧЛЕНА. СТАНДАРТНЫЙ ВИД ОДНОЧЛЕНА Понятие одночлена 20.1. Запишите на математическом языке: а) периметр квадрата со стороной а___ б) площадь квадрата со стороной а____ в) объём куба со стороной 2а_________ г) объём параллелепипеда с площадью основания 4а^ и высотой ЗЬ д) путь, пройденный со скоростью а км/ч за 3 ч е) путь, пройденный за Ь ч со скоростью 80 км/ч -------------------------------------------------------- у ж) время, за которое машина проехала 500 км со скоростью а км/ч -------------------------------------------------------- 9 з) скорость поезда, который проехал 1000 км за а ч -------------------------------------------------------- 9 и) стоимость трёх килограммов груш по цене а р. и двух килограммов винограда по Ь р. за 1 кг______________________________; к) количество дисков с художественными фильмами в пяти коробках по а штук в каждой и с играми в четырёх коробках по Ъ штук 20.2. Распределите однотипные выражения из задания № 20.1 по группам (всего должно получиться три группы) и запишите их в таблицу. Первая группа Вторая группа Третья группа 20.3. Прочитайте в учебнике (§ 20, с. 89) определение одночлена. 20.4. Запишите, в какой группе (в первой, второй или в третьей) в задании № 20.2 записаны одночлены--------------------------------- 20.5. Приведите три примера одночленов.------------------------- 20.6. Выясните, является ли данное выражение одночленом. Если да, то укажите коэффициент и буквенную часть; полученные результаты запишите в таблицу. Выражение Является ли одночленом? Коэффициент Буквенная часть Ьтп Да 5 тп 1 — тп 5 тп Ьт п 5 -8 дз -8р^ -8р2 + дз 8р2 - дз Sp^ Стандартный вид одночлена 20.7. Обведите те одночлены, которые записаны в стандартном виде: -Зх^; 5с(а^ЬУ; l,7x^y^z‘^; 4:тп^ *6; 2® • 3‘^p^h^^; -sHt. 20.8. Приведите одночлен к стандартному виду. Подчеркните коэффициент одной чертой и буквенную часть двумя. Задание выполните по образцу. Образец I Зо^ • (~2)а^Ь^с • 7^ = (3 • (-2) • 7) • (а^ • а^) • ф ‘ ■ Ь^) • (с • с^) = = -42а^&®с®. а) b:)+Р2(л:) =...(_ -) ... (- -) = г)-р^(л:)-р2(л:) =...(_ -)... (- -) = 25.9. (Устно.) Попробуйте сформулировать правило записи алгебраической суммы многочленов в виде многочлена стандартного вида. 25.10. Прочитайте в учебнике (§ 25, с. 107) правило 1 и сравните его со своим правилом. 25.11. Перепишите правило 1 в тетрадь. 19 25.12. Используя правило отыскания алгебраической суммы многочленов, упростите данное выражение, записывая содержание этапов. (5х^ - 2х) + (4х^ + 3 - 7х). Решение. !• Раскрываем скобки: (5л:2 - 2х) + (4x2 + 3 _ 7^) = 5^.2 _ 2^ + 3 + 4х^ - 7х = 2. Приводим подобные слагаемые: = 9x2 3 _ _ 3. Записываем многочлен в стандартном виде: = 9х2-9х + 3. а) (7x2 + Зх) + (5 - Зх - 2x2). Решение. 1. _______________________ (7х2 + Зх) + (5-Зх-2х2) = 2. 3. б) (-5x2 + 2х) - (6 + 2х - 4x2). Решение. 1. _______________________ (-5x2 _|_ 2х) - (6 + 2х - 4x2) _ 20 2. 3. в) -(-8л:^ + 4л: - 1) + (2х^ - 9 - Зл:). Решение. 1. ___________________________ -i-Sx^ + 4х-1) + (2х^ -9-Зх) = 2. 3. г) -(6х^ -2 + Зх) - {-7х^ + 4- х). Решение. 1. ___________________________ ~(6х^ -2 + 3jc) - {-7х^ + 4 - л:) = 2. 3. § 26. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН 26.1. Запишите, какой закон арифметических действий выражает равенство (а -I- Ь)с = аЬ + ас____________________________ 26.2. Примените этот закон: а) для трёх слагаемых: (х + у + г) - а =___________ б) для четырёх слагаемых: х -(а+ b + c + d) = . 21 26.3. Выполните умножение: а) {2х + у)'2 =----- б) Ь‘(а-гЬ) =_______ в) (с + 2Ы- а) • а = г) (-дс) • (5л: + !/) = _ д) (I/ + 8 - Ах) • (-у) = 26.4. (Устно.) Попробуйте сформулировать правило умножения многочлена на одночлен. 26.5. Прочитайте в учебнике (§ 26, с. 108) правило 2 и сравните его со своей формулировкой. 26.6. Перепишите правило 2 в тетрадь. 26.7. Укажите стрелками, как умножить одночлен на многочлен, и раскройте скобки, не выполняя промежуточных записей. Образец -За • (а - 26 -f- 5) = -За^ + ваЬ - 15а. а) 6п • (5т - 2п^) = . б)-4у{6у^ + 2у-8) = 26.8. Укажите стрелками, как умножить многочлен на одночлен, и раскройте скобки. Образец I mill 1ИИИ1111|>111Н1П11И11ГТ'”'^’ТШ (8л: -7у+ 6)' (Ьх) = (8л:) • (5л:) + {-7у) • (5л:) -I- (-1-6) * (5л:) = = 40л:^ - 35ху -1- 30л:. а) (2х^ + Ау-3)-(-Зх) = 22 б) (Ь + 2а)-(-5а) = . в)(4х-7у^)-(6х) = . г) (9т - тг) • (-2п) = 26.9. Подчеркните верные равенства: а) 1st + = 7t(s + t)\ б) За2-ба" = За2(1-2аЗ); в) bp^q^ - Ibpq'^ = bpq^ip^ + 3g^); г) 2312 + 231 • 57 = (231 + 57) • 231. § 27. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН 27.1. Раскройте скобки: а) (а + Ь) • W =______ б) (a+^^ + d) = в) (л: - g) • (2 + О = - 27.2. (Устно.) Попробуйте сформулировать правило умножения многочлена на многочлен. 27.3. Прочитайте в учебнике (§ 27, с. 112) правило 3 и сравните его со своим правилом. 27.4. Перепишите правило 3 в тетрадь. 23 27.5. 1) Укажите дугами, какие одночлены перемножаются, и выполните умножение. 2) В левый прямоугольник впишите произведение количества слагаемых первого множителя на количество слагаемых второго множителя. В правый прямоугольник впишите количество слагаемых полученного многочлена (см. образец). Образец! (а + 2Ь) • (3 - 2аЗ = За - 2а^ + 6Ь- 4:ub. 2-2 = 4 а) {х + 3)(л: + 2) = б)(а-5)(а-Ь 7) = в) (4/1 - 1)(/г + 7 - т) = г) (л -Ь 9 - р)(4 + k) = 27.6. Выполните умножение многочленов и упростите полученное выражение. Образец -Ы + 8)(2t + S) = t^'2t-bt'2t + S-2t + t^-S-5t-S + 8'S = = 2t^ - lOt^ -ь 16f -Ь - 15^ -Н 24 = 2t^ -Н - lOt^ + t + 24. а)(2у + 3)(4у-1) = ■...... -‘' i ‘^ ‘ i ■" ■ 24 б) (8b-6)(7ft-3) = в) (р + 3)(-4/г^ + 2р2 + рп) = г) (4fl2 - Qab - 7b^)(2a - Sb) = § 28. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УНОЖЕНИЯ Подготовка к выведению формул квадратного двучлена 28.1. Запишите в виде выражения: а) сумму Зпиа ______________________________ б) квадрат а _______________________________ в) квадрат Зя ______________________________ г) удвоенную разность Зя и а 25 д) удвоенное произведение Зли а е) квадрат суммы аиЗп ________ ж) сумму квадратов а и Зп ___ з) квадрат разности аиЗп _____ и) разность квадратов аиЗп 28.2. Выполните задание по образцу. Образец 2аЬ — удвоенное произведение а и Ь. а) аЬ — б) а2 + _ в) (х + yf — т)х^-у^ — _ д) (т - kf — е) 3cd —___ Квадрат суммы 28.3. Выполните последовательно указанные задания. 1) Запишите на математическом языке: квадрат суммы чисел тип квадрат суммы чисел рид 2) Преобразуйте полученное в предыдупцем задании выражение, используя определение степени. Выполните умножение и приведите подобные слагаемые. 3) Запишите итог предыдущего задания: (т + nf =--------------- 26 28.4. Не выполняя промежуточных действий, представьте выражение (а + ЪУ в виде многочлена стандартного вида: {a + bf =______________________ • Прочитайте левую часть полученного равенства. • Прочитайте правую часть полученного равенства. • Как бы вы назвали эту формулу? Сравните своё название с тем, которое дано в учебнике (§ 28, пункт 1, с. 114). 28.5. Запишите словесную формулировку полученной формулы сокращённого умножения (закончите предложение). Квадрат суммы двух выражений равен______________________ 28.6. Соедините стрелками данные предложения с соответствующими слагаемыми. 27 б) Квадрат второго выражения (5 + kf = 25 + 2-5-А; Удвоенное произведение первого и второго выражений в) Удвоенное произведение первого и второго выражений {п + 2pY = + 2 - п - 2р + (2рГ 1 Квадрат второго выражения г) (4х + ЗуУ= {4хУ +2-4х'Зу ] + (ЗуУ ] __________J V_____J V___________/ V Удвоенное произведение первого и второго выражений 28 28.7. Квадрат суммы двух выражений представьте в виде многочлена. Запись оформите по образцу. Образец a) (71 + 3)2 = 29 б) {5+рГ = в) (2jc + 7)2 = 30 г) (Q + 2yr = Д) (Зл: + 4уу = 31 28.8. Заполните пропуски: а) (k +------У =------------- б) (_____+ 2)2 = т^ +________ в) (______+________)2 = 9а2 г) (______+________)2 = 25л:2 + + 25; + 100fe2; _ ... 361/2. Квадрат разности 28.9. Выполните последовательно указанные задания. 1) Запишите на математическом языке: квадрат разности чисел тип квадрат разности чисел рид 2) Преобразуйте полученное в предыдуш;ем задании выражение, используя определение степени. Выполните умножение и приведите подобные слагаемые. 3) Запишите итог предыдуш;его задания: (т-тг)2 =----------------- (р-дУ = 28.10. Не выполняя промежуточных действий, представьте выражение (а - Ь)2 в виде многочлена стандартного вида: (а-Ы =--------------------------- • Прочитайте левую часть полученного равенства. • Прочитайте правую часть полученного равенства. • Как бы вы назвали эту формулу? Сравните своё название с тем, которое дгшо в учебнике (§ 28, пункт 1, с. 114). 32 28.11. Запишите словесную формулировку полученной формулы сокращённого умножения (закончите предложение). Квадрат разности двух выражений равен------------------- 28.12. Соедините стрелками данные предложения с соответствующими слагаемыми. б) Квадрат первого выражения л (4-kY^ 16 [ -2-4-fe ] ( -bfe" ) Квадрат второго выражения Удвоенное произведение первого и второго выражений 33 в) Квадрат второго выражения {п - ЪрУ = [ ] -2' П'Ър + (5р)^ Удвоенное произведение первого и второго выражений Квадрат первого выражения г) Квадрат второго выражения ( (Злг-41/)2= ] [ (3x)2 ] ( -2-3x'4i/ ) [+(4г/)Ч ^ V ^ V V V — V Квадрат первого выражения Удвоенное произведение первого и второго выражений 28.13. Квадрат разности двух выражений представьте в виде многочлена. Запись оформите по образцу. Образец 34 а) б) iSp-2r = 35 в) (5-Зя)2 = г) (8д:-Зг/)2 = 36 д) {2х-ЪуУ = 28.14. Заполните пропуски: а) (а-------f =------------ б) (____- 10)2 = с2-______ в) (_____-_______f = 49m2.. г) (_____-_______)2 = 16^2 - + 36; + 4р2; .. 25/г2. 28.15. 1) Преобразуйте квадрат двучлена в многочлен стандартного вида: {a-bf = . {b-af = . (а + &)2 = {-a-bf = . 2) Запишите, квадраты каких двучленов из задания 1) равны. 37 в № 28.16—28.18 вычислите, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений. Запись оформите по образцу. Образец I 1) 692= (70 - 1)2 = 7Q2 - 2 • 70 • 1 + 12 = 4900 - 140 -Ы = 4761; 2)112^1 = 12 + -1 =12^4-2*12--h б) 6 - I =144-i-4-h-^ = 148—. 6 J 36 36 28.16. а) 592 = б) 482 = . в) 812 = г) 722 = . 28.17. а) 0,692 = б) 0,482 = . в) 0,812 = г) 0,722=_ 28.18. а) I 8^ I = б) 19^1 = в)|1б1| г) 15-1 = Произведение суммы двух выражений на их разность 28.19. Выполните последовательно указанные задания. 1) Запишите на математическом языке: а) произведение суммы чисел б) произведение суммы чисел р и п на их разность Л и m на их разность 38 2) Выполните умножение и приведите подобные слагаемые. 3) Запишите итог предыдущего задания. (р + n)ip -п) =___________; {k + m){k -т) = . 28.20. Не выполняя промежуточных действий, представьте выражение (а + Ь)(а -Ь)в виде многочлена стандартного вида: (а + Ь)(а -Ь) =____________________________ • Прочитайте левую часть полученного равенства. • Прочитайте правую часть полученного равенства. • Как бы вы назвали эту формулу? Сравните своё название с тем, которое дано в учебнике (§ 28, пункт 2, с. 116). 28.21. Запишите словесную формулировку полученной формулы сокращённого умножения (закончите предложение). Произведение суммы двух выражений на их разность__________ 28.22. Раскройте скобки, проговаривая формулу разности квадратов. (т + 2р) • (т - 2р) = (т)^ - (2р)^ = т^- 4р^. у г. * а) (х + 2) • (х - 2) = б) (9у + 1)‘(9у-1) = . в) (8 -Ь 7k) • (8 - 7k) = г) (Зл + 5с) • (Зл - 5с) = 39 28.23. Заполните пропуски: а) (а +______){а -__ б) (-----+7)(------- -) = ... 25; - 7) = m2... в) {2Ь + ____ г) (-------+ -X- -)= ... 64с2; -)(- - 4i/) = 9х^... В № 28.24—28.26 вычислите, используя формулу разности квадратов. Запись оформите по образцу. Образец S* 1) 49 • 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 502 - 1 = 2500 - 1 = 2499; 2) 10-*9-= 110-hi 7 7 I 7J 10--1 = 10^-fi I =100-—= 99—. 7 [7 49 49 28.24. а) 48 • 52 = б) 39 • 41 = в) 57 • 63 = г) 22 • 18 = 28.25. а) 0,48 • 0,52 б) 0,39 • 0,41 в) 0,57 • 0,63 г) 0,22-0,18: 28.26. а) 4- • 5^ = 3 3 б) 10-*9- = ' 7 7 в) 99- • 100- 3 3 г) 7- • 8,2 = 5 40 Разность кубов 28.27. 1) Прочитайте словесные формулировки буквенных выражений и подчеркните те из них, с которыми вы до этого не встречались. > Сумма хтл.у < - ' ' х^ + у^ ' Разность XVI у к (х + уУ Квадрат разности хну х-у Сумма кубов хну ^ - - х-^у Разность кубов хну (Х - yf Квадрат суммы хну х^ - у^ Полный квадрат суммы хну х^ + 2ху + у^ Неполный квадрат суммы хну х^ ху у^ Полный квадрат разности хну х^ - 2ху + у^ f > Неполный квадрат разности хну - х^ - ху + у^ у - 2) Соедините знакомые вам формулировки с соответствующими буквенными выражениями. Чем, по вашему мнению, отличается полный квадрат суммы (разности) от неполного квадрата суммы (разности) двух выражений? 28.28. Выполните последовательно указанные задания. 1) Выполните умножение и приведите подобные слагаемые. {х-у){х^ + ху + у^) = . (p-g)(p2+pg + g2) = . 41 2) Запишите итог предыдущего задания: (х - у)(х^ + ху + Z/2) =--- ip - q)ip^ +pq + q^) = - 28.29. He выполняя промежуточных действий, представьте в виде многочлена стандартного вида выражение (а - Ь)(а^ + аЬ + Ь^) =----------------- • Прочитайте левую часть полученного равенства. • Прочитайте правую часть полученного равенства. • Как бы вы назвали эту формулу? Сравните своё название с тем, которое дано в учебнике (§ 28, пункт 3, с. 117). 28.30. Запишите словесную формулировку полученной формулы сокращённого умножения (закончите предложение). Произведение---------------------------------------------- 28.31. Раскройте скобки, проговаривая формулу разности кубов слева направо. Образец тшяшшшшшшшшяшшшяшшт (х - Зу) • (х^ -Ь Зху + (3i/)2) = - (ЗуУ = х^~ 21 уК а) (а-1)*(а2-1-а-1-Н12) = б) (2-А)*(22-Ь2-А-Ь/г2) = . в) {т - Зп) • {т^ + тп’3п + (Зп)^) = _ г) {Ах - у) • {{Axf + Ах'у + у^) =- 28.32. Заполните пропуски: а) (2-------)(-------Ь---------Ь б) (-----Р)(--------+---------+ в) (5а-------)(------------------ г) (-----d)(-------------------- -) = _) = 27-—) = — -Ь^ -г» .) = 216Н- 42 Сумма кубов 28.33. Выполните последовательно указанные задания. 1) Выполните умножение и приведите подобные слагаемые. {х + у)(х^ -ху + у^) = (с + d)(c^ -cd + d^) = . 2) Запишите итог предыдущего задания: (х + у)(х^ - ху + у^) =____ (с + d)(c^ -cd + d^) = 28.34. Не выполняя промежуточных действий, представьте в виде многочлена стандартного вида выражение (а + Ь){а^ - аЬ + Ь^) =_____________ • Прочитайте левую часть полученного равенства. • Прочитайте правую часть полученного равенства. • Как бы вы назвали эту формулу? Сравните своё название с тем, которое дано в учебнике (§ 28, пункт 3, с. 117). 28.35. Запишите словесную формулировку полученной формулы сокращённого умножения (закончите предложение). Произведение______________________________________________ 28.36. Раскройте скобки, проговаривая формулу суммы кубов слева направо. Образец (Здс -I- у) • i(SxY - дху + у^) = (Зх)^ + I/® = 27л:^ -f- у^. а) (b + 2)'ib^-b-2 + 22) =_______ б) (l+p)-(V-l‘P+p^) =------------ в) (5х -Н 2у) • ((5л:)2 -Ьх^2у + (2у) ^) = г) (3s -Ь 4d) • ((3s)2 -Ss'4d + (4d) ^) = _ 43 28.37. Заполните пропуски: а) (3 +----)(------- б) (------+ d)i----- в) (2п +_______ г) (-----+ С)( )(- + + -)= .) = 64 + + -) = + k^ .) = 343^3 + § 29. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ОДНОЧЛЕН 29.1. Найдите неизвестный множитель: 4а^ 2а^Ь 2аЪ 4аЬ^ Sk^ Skm -6km^ 29.2. Выполните деление: 44 29.3. Используя результаты задания № 29.2, попробуйте выполнить деление двучлена на одночлен: а) (12х‘^ + бх^у^): (6х^) =____________________________________ б) (12х^ - бх^у^): (бл:^) = в) (18л:^ + 24:Х^а^): (бл:^) = г) (18л:^ - 24х^а^): (бл:^) =. 29.4. (Устно.) Попробуйте сформулировать правило деления многочлена на одночлен. 29.5. Найдите в учебнике (§ 29, с. 119) соответствующее правило и проверьте себя. 29.6. Перепишите правило 4 в тетрадь. 29.7. Запишите частное в виде дроби и сократите её: а) 5л:®: (5л:®) =_____________________________________ б)18л:1у:(9л:'‘) = . в) 42а®6^®: (14а®Ь^) = г) 12а^Ь^: (4а'^Ь®) =_ 29.8. Подчеркните одной чертой задания корректные, а двумя — некорректные: а) (2xY + ^:V): (х^У^ в) (5а®Ь" - ЮаЬ®): (5аЬс); б) (8л:®!/® - 4л:®!/): (16л:®!/); г) (14а"6® -Ь 7а®Ь): (~7аЬ). 45 29.9. Выполните действия, запись оформите по образцу. Образец iWiwimii |¥|Г TrffiriWrTrTTiiri~’'~~°i'~i'TT*r 2ь (2а^Ь + 4аЬ^): 2а = (2а^Ь : 2а) + (4аЪ^ ‘ ^ ^ iiSSШ!ЗeШ^Шiea^SiS^ШШ Ю( 24 и ): ы ) = б)( -3 3- 77 :( -11 ) = в)( - п V) : 71 2 _ I’M 15 :Ч 25 :d) :( -5с d) ГЛАВА 7 РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ § 30. ЧТО ТАКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ И ЗАЧЕМ ОНО НУЖНО 30.1. 1) Решите уравнение: а) а - 3 = 0; б) 2а + 8 = 0; в) л: + 2 = 0; г) Зд: + 9 = 0. 2) Нгшдите корни уравнения, используя результаты пункта 1): а) (а - 3)(2а + 8) = 0; б) (х + 2)(3jc + 9) = 0. 3) Проверьте равенство. а) (а - 3)(2а + 8) = 2а^ + 2а - 24; 47 б) (х + 2)(3х + 9) = Зх^ + 15х + 18. ...I...г-....!-.• ..........i.................. 4) Решите уравнение, а) 2а^ + 2а - 24 = 0; б) Зд:2+ 15л: + 18 = 0. 30.2. Вычислите рациональным способом: а) 672 _ 572 =_______________________ 30.3. Сделайте вывод: для чего полезно разложение на множители? 48 30.4. Решите уравнение, а) х(х - 7) = 0; в) а(а - 2,3)(а + 9,1) = 0; б) х(х + 5) = 0; г) п(2п + 6)(8я - 4) = 0. §31. ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ 31.1. Представьте одночлен в виде произведения двух одночленов, один из которых 4рп. а) 16рп^ = 4рп • б) -12рп = 4рп в) 8р^п^ = 4рп • г) -4рп^ = 4рп • 31.2. Найдите наибольший обш;ий делитель (НОД): а) НОД (24, 4, 32) =______________________ б) НОД (24а, 4а, 32а) = . в) НОД (24а\ 4аЬ, 32а^Ь^) = г) НОД (24аЬ, 4a2fe, 32а^Ь^) = 31.3. 1) Найдите: НОД (За, 18аЬ, Ъ\а^Ъ) = 2) Заполните пропуски. За = 18аЬ = НОД НОД Ыа^Ь = . НОД 49 31.4. Вынесите общий множитель за скобки, используя результаты предыдущего задания: Sa-lSab + 51a^b = (- -) 31.5. (Устно.) Попробуйте сформулировать алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов. 31.6. Прочит£1Йте соответствующий алгоритм в учебнике (§ 31, с. 126) и сравните его со своим алгоритмом. 31.7. Перепишите алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов. 31.8. Разложите на множители многочлен. Запись оформите по образцу. Образец тяшштшшшттт НОД (7; 14) 7аЬ^ + Ыа^Ь = 7'аЬ(Ь + 2о) Переменные в степени с наименьшим показателем Общий множитель Результат деления на общий множитель \ а) 32а^Ь - 56Ь =_•____•. 50 б) -k^-k^ + k = в) -lOp^q + Ibpq - 25pq^ =_ 31.9. Заполните пропуски: a)cd + c^ = c (_________ б) xyz - z = z{. в) - 5k^nb = (. r) 21/71® + 5dmp^ = 7m (. д) -5ar + 15rs = 5r (_ е) -nH - nt^ = nt (___ 31.10. a)ab® + a2b® = 6) c ® — c® = . b) -psd - s* = . r) -m^n + mf = . 31.11. a)k(m-n) +t(m-n) = (m-n) 6) a(x + y)-b(x + y) = ix + y)-. b) (x - у)2 -(x- y)(x + y) = (x-y)' — r) k(m - n) + (m- n)(m -n) = {m-n) _ • (a + ab) • ipd + s®) im^n - f) 51 31.12. Вынесите общий множитель за скобки: а) + 12х^у^ =________________ б) 12^:V - 18л:V =________________ в) -l^x^y* + 12х^у'^ = т)-12х^у^-\Ъх^у^ = . § 32. СПОСОБ ГРУППИРОВКИ группировка слагаемых 32.1. 1) Вынесите общий множитель за скобки: а) 5л: - 5 =___________________ б) 9ab-Sb = в) ах - а =_ г) ба - 2 =_ 2) Из полученных выражений составьте пары, содержащие одинаковые множители. 3) Разложите на множители: а) 5л: - 5 -1- ал: - а =___ б) 9аЬ -Sb + 6а- 2 = 32.2. Попробуйте разложить многочлен на множители, группируя слагаемые так, как показывают стрелки. Подчеркните группировку, которая позволила выполнить разложение. а) 2а^ -I- ЗЬ -I- 6а -I- аЬ = б) 2а^ + Sb + 6а + аЬ = в) 2а^ + ЗЫ- 6а -i- а6 = 52 32.3. Разложите данный многочлен на множители, группируя слагаемые так, как показывают стрелки. Подчеркните группировку, которая позволила выполнить разложение. а) \4iXy - Юг/ + 7х- 5 = Ыху - Юг/ + 7х- 6 = 14ху - Юг/ + 7л: - 5 = Ответ: 14ьху - Юг/ + 7л: - 5 = б) аЬ - 6 + За - 2Ь = аЬ — 6 + За - 2Ь = аЬ-6 + За-2Ь = Ответ: аЬ - 6 + За - 2Ь = Группировка способом представления одного из слагаемых в виде суммы 32.4. Разложите на множители многочлен л:^ + 5л: + 6. Предварительно представьте 5л: в виде суммы слагаемых различными способами и подчеркните группировки, которые привели к желаемому результату. х^ + X -Ь 4л: -Ь 6 = л:^ -Ь 2л: -I- Зл: -I- 6 = 4- Зл: -Ь 2л: -Ь 6 = х^ +4х + X 4- 6 = Ответ: 4- 5х 4- 6 = 53 32.5. Используя опыт, полученный при решении задания № 32.4, разложите на множители многочлен + 6х + S. х^ -Н ... -Ь ... -Ь 8 =____________________________ -Ь ... -I-... + 8 =______________________________ -Ь ... + ... +8 =________________________________ х^ ++8 =___________________________________________ -1-... -f ... -f- 8 =____________________________ Ответ: -1- 6л: -f 8 = 32.6. Разложите на множители многочлен. л:^ - 7л: -f-12 =____________________ - -I- 32.7. Используя результаты предыдущих заданий, решите уравнения: а) д:^ -Ь 5л: -I- 6 = О .........................................I -1--------- -н 54 б) + 6л: + 8 = о § 33. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ Разложение многочленов но множители с помощью формулы разности квадратов 33.1. Заполните пропуски: а) 4а^ = ( Г; д)0,04с8^®-( У; б)81п2 = ( Г; е) 0,09§12^12 = ( У; в) 16х^у^ = ( Г; ж) (т + 3)'* = ( У; r)25p*k^ = i Г; з)(5-А)^ = ( у. 55 33.2. Разложите на множители данное выражение, представив его в виде разности квадратов. Запись оформите по образцу. Образец 4а^ - 81л^ = (2а)^ - (9д)^ = (2а - 9п)(2а + 9п). а) 81л^ - 4а^ = . б)25/?"А;2-4а2 = в) IQx^y^ - 2Ър^к^ =. r)0,04c8d®-0,09s'2^J2 = 33.3. Используя опыт, накопленный при выполнении первых двух заданий, разложите данное выражение на множители с помощью формулы а^ — Ь^ = (а — Ь)(а + Ь). а) 64п^ - 121 = б) 81п2-100р2 = в) 25х^ - 49^® = _ г) sH^-100k^ = _ 33.4. Найдите выражения, которые могут быть представлены в виде разности квадратов. Соедините их с выражением стрелкой: 5z-16f2 s" - 49^ S6p^ - 9 144d«- 1 0,4ц2 - 4x^y‘^ - x^ 81d®-4c" — k^m}^ 56 33.5. Разложите на множители многочлены, выбранные в задании № 33.4. Запись оформите по образцу. ОбрОЗвЦ 1'' rt 25а2 - 16&2 = (5а)2 - (4ЬУ = (5а - 46)(5а + Щ. 33.6. Используя опыт, полученный при выполнении задания № 33.5, решите уравнение: а) /е2 - 36 = 0; б) 25 - 4№ = 0. 57 Разложение многочленов на множители с помощью формулы разности кубов и формулы суммы кубов 33.7. Подчеркните многочлены, которые называют неполным квадратом: -I- 2ху + 9/1^ + &пр + а^-аЬ + Ь^; 16с2 - Scd + 4 + 2k + k^j 25p^ - 15pd + 9q^. 33.8. Заполните пропуски, проговаривая соответствующую формулу: а) (л: + 1) • (_________) = х^+ 1®; б) (х - 3) • (__________) = х^~ 3®; в) (X + 2) • (_________) = х" + 2»; г) (х - 4) • (___________) = X® - 4®. 33.9. Запишите сумму и неполный квадрат разности одночленов: а) 2р и 4q^ __________________________________________________ б) Sk^ и Ьп^ 33.10. Заполните пропуски, проговаривая соответствующую формулу: а) (За + 4Ь) • (________________________________) = (За)^ + (4bf; б) (2а + 5Ь) • (________________________________) = {2af + (5Ь)з. 33.11. Запишите разность и неполный квадрат суммы одночленов: а) Зх^ и 4у ___________________________________________________ б) 7л2 и Зщ2 33.12. Заполните пропуски, проговаривая соответствующую формулу: а) (4а - Щ • (__________________________________) = {4af - (ЗЬ)»; б) (2а - ЗЬ) • (________________________________) = {2af - (Sb)\ 58 33.13. Выполните разложение многочлена на множители с помощью одной из формул: — Ь^ = {а — + аЬ + Ъ% а^ + Ь^ = (а + Ь){а^ — аЫ- Ь^). а) + у^ = 6)(2cf-my= в) (2рУ -Н (4д2)з = г)(7л2)3-(3т2)з = 33.14. Заполните пропуски: а) 8а^ = (...........Г; б) 27fe3 = (..........)3; в) 64n» = (...........f; T)125k^ = i............У; Д) 2161/3 = (..........)3; е) 343лгЗ = (..........)3; ж) 512*3 = (..............)з. з) 729m3 = (.............)3; и) d« = (............)3; к) t^ = i...........)3; л) 0,064с®сг'2 = (...........)з. M)0,001si3t^3 = (.............)з. 33.15. Используя результаты задания 33.14, представьте данное выражение в виде суммы (разности) кубов и разложите его на множители. Образец-asiisaaa 8аЗ - 64^3 = (2а)з - (4л)з = (2а - 4а)((2а)з -Ь 2а • 4тИ- (4а)3) = = (2а - 4а)(4аЗ + San + 16п^). а) 8аЗ - 64^3 = 6)27*3+125*3 = 59 в) - 343 = г) 2161/3+ 729 тЗ = 33.16. Данное выражение представьте в виде суммы (разности) кубов и разложите его на множители. Образец! 12 5аЧ 729Ь'" = (ба" f + (96" f = (ба" + 96") |(ба" f - ба" • 96" + (96" f j = = (ба" + 96") (2ба® - 4ба^б" + 816®). II^SSSHI а) 9п^-8 = 6)27k^ + m^ = в) 12бл;ЗуЗ - ^3 = г)216аЗ + 3436з = 33.17. Укажите выражения, которые могут быть представлены в виде разности или суммы кубов (см. образец). f ч 48 - 8/гЗ 343 - с« ' ' б4А:3-216 .. * 0,001рЗ-0,343^3 1-272 ^ "" > + 729 60 33.18. Разложите на множители многочлены, выбранные в задании № 33.17. Запись оформите по образцу. 2-3 - 8 = 2^ - 23 = (2 - 2)(2^ + 22 + 4); 27х^ + 1251/6= (ЗхУ + (5г/2)з = (Зх^ + 5у^)(9х^ - 15xY + 251/“). 61 Разложение многочленов но множители с помощью формулы квадрата суммы и формулы квадрата разности 33.19. Представьте данный трёхчлен в виде квадрата двучлена, используя одну из формул: а2 + 2аЬ + Ь^ = (а + Ь)^ — 2аЬ + Ь^ = (а — Ь)^. Образец а2 + 6а + 9 = + 2 • 3 • а + 32 = (а + З)^. а) х^ + 4х + 4 =__ б) а2-12а + 36 =__ в) 49р2 - 42р + 9 = г) 4т?- + 20т + 25 = 33.20. Выясните, заполняя пропуски, является ли данное выражение полным квадратом некоторого двучлена: а) 4а2 -Ь 4а -Ь 1 = (_у ... 2 б) 1/2 - 21/ -Ь 4 = (_________________)2 ... 2 (--------У в) 25 - 30с + 9с2 = (_у ... 2 г) - 14k + 25 = (___У ... 2 • ... (-----------У ...(--------У (--------У (является, не является) (является, не является) (является, не является) (является, не является) д) 25т2 -ь 12а + 16 = (__У ... 2 • е) 81*2 + 144;^ + 64 = (_У ... 2 ж) 4д2 + 12п - 9 = (____У ... 2 • _ (--------У (является, не является) (--------У (является, не является) (--------У (является, не является) 62 33.21. Разложите на множители те многочлены из задания № 33.20, которые являются полным квадратом двучлена. 4-Ц- 1 I 1----------------------------|~-Т- -i......г § 34. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ КОМБИНАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ПРИЁМОВ Вынесение общего множителя за скобки и использование формулы разности квадратов 34.1. Разложите многочлен на множители, записывая содержание этапов. Образец 5д2-125. Решение. 1. Выносим общий множитель за скобки: 5/г2 - 125 = 5-(л2-25) = 2. Представляем выражение в скобках в виде разности квадратов: = 5 • (п2 - 52) = 3. Представляем разность квадратов в виде произведения: = 5*(п-5)-(п + 5). 63 а) 4р^- 64. Решение. 1. ______ 4р2-64 = 2. 3. б) - lOOd. Решение. 1. ________ d"-100d = 2. 3. Вынесение общего множителя за скобки и использование формулы квадрата суммы или разности 34.2. Разложите многочлен на множители, записывая содержание этапов. Образец vnii \ r'miiiHwiiiiiiiiiiiHaiiiillfif'l;" 4л^ - 16nd + 16. Решение. 1 • Выносим обш;ий множитель за скобки: 4п^ — 16nd + 16 = 4* (п^ - 4п + 4) = 2. Представляем выражение в скобках в виде полного квадрата двучлена: = 4 • (д2 - 2 • 2 • л + 22) = 3. Представляем полный квадрат в виде квадрата двучлена: = 4 • (л - 2)2. 64 a)12/?3-12ife2+3fe. Решение. 1. ________________ 12к^-12к^Л-гк = . 2. 3. б) -Зс^ - 6cm - 3m^. Решение. 1. ______________ -Зс^ - 6cm - 3m^ =. 2. 3. Вынесение общего множителя за скобки и использование формулы суммы или разности кубов 34.3. Разложите многочлен на множители, записывая содержание этапов. Ъп^ + 40. Решение. 1. Выносим общий множитель за скобки: + 40 = 5 • {п^ + 8) = 2. Представляем выражение в скобках в виде суммы кубов: = 5 • (дз + 23) = 3. Представляем сумму кубов в виде произведения: = 5 • (л + 2){п^ -2п-\- 4). 65 а) 3m® + 24. Решение. 1. _______ 3m®+24 = . 2. 3. б) 2ху^ - 54л:'*. Решение. 1. __________ 2л:1/®-54л:* = 2. 3. Группировка и использование формулы квадрата суммы (разности) и формулы разности квадратов 34.4. Выполните разложение многочлена на множители указанным способом, записывая содержание этапов. Образец а® -f - ^2 + 2аЬ. Решение. 1 • Подчеркнём три слагаемых, алгебраическая сумма которых является полным квадратом некоторого двучлена: а® + Ь® - с® -Ь 2аЬ = 2. Выполним соответствующую группировку: = (a® + b2-f 2аЬ)-с® = 3. Заменим полный квадрат квадратом двучлена: = (а + ЪУ - с® = 4. Разложим полученное выражение на множители: = (а + Ь - с)(а -I- ft -f с). 66 а) 2ху - z^-\- х^ + у^. Решение. 1 2xy - + x^ + y^ = = ( )-( y = = ( y = 4. = (- б) 2ps + s^. Решение. 1 -)(- p^-t^- 2ps + s^= = ( )-( y = = ( y = 4. = (- в) 4п^- + 8nd + 4d^. Решение. 1. ________________ -)(- 2. 4п^~ + 8nd + 4d^ = = (- -У = 67 3. 4. = (- = (- -)(- -Y = г) - 9t^ - 4ab + 4b^. Решение. 1 а2 - 9#2 - 4аЬ + 4Ь^ = 2. = ( )-( 3. = ( )^-( )" = 4. = (- -)(- Выделение полного квадрата двучлена 34.5. Выполните разложение многочлена на множители указанным способом, записывая содержание этапов. Образец а^4- 8а + 15. Решение. 1. Выделим полный квадрат: а2 + 8а -f 15 = (а2 + 2 • 4а -f-16) - 1 = 2. Заменим полный квадрат квадратом двучлена: = (а+ 4)2-(1)2 = 3. Разложим полученное выражение на множители: = (а + 4 - 1) • (а + 4 + 1) = (а + 3) • (а + 5). 68 а) + 6m + 8. Решение. 1 т^ + 6т Ч- 8 = = = ( У-{ У = = ( X )= 3. б) IOAj + 21. Решение. 1, 2. - 10k + 21 = = = ( Х-( )' = =( )( )= 3. § 35. СОКРАЩЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ Понятие алгебраической дроби 35.1. Подчеркните алгебраические дроби: 12а%\ 12aV_ ^^2..5. 5х" - 25х\ /eV _ 7п" + р ' « о У * ^ У 9 О > d S ^ 9 л За За* 5** 9 4 14р 2 3 35.2. Представьте алгебраическую дробь в виде произведения, заполняя пропуски: аЬ а в) 2k* _ ЮЛ® ~ 10 б) ^ _ 3 9р~ 9 ■; г) х^у^ _ х^у^ х^ 69 Алгоритм сокращения алгебраических дробей 35.3. Сократите дробь, записывая содержание этапов. Образец' ■ -14аУс^ -21a^ Vc' Решение. 1 • Записываем дробь в виде произведения дробей: -14аУс^ _ -14 . Ь\ _ -21a^Vc “ -21 ^ Ь* ~с~ 2. Сокраш;аем каждую дробь и выполняем умножение числителей и знаменателей: 2 1 1 ^ ^ ^ ^ 2с‘* “ Ж К xf За'6* Ответ: 2с^ За^Ь' а) bn^t^p^ 9^2 • ISnVp Решение. 1. _____ bn^t^p^ Ibn^t^p* 2. Ответ: 70 б) 41,5^8 Решение. 1. ZaW 7. Ответ: в) „4j^3 * п ас Решение. 1. 7л Vc _ n*dc^ 7. Ответ: 8xY(x-y) ^ 28х''у(х~уУ Решение. 1. 8x‘^y^{x-у) 28х'^у{х - у) 2. Ответ: 71 35.4. Сократите дробь, записывая содержание этапов. аЬ - За аЬ^ - ЗаЬ Решение. 1. Разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби: ab-Sa _ а(Ь-З) _ аЬ^-ЗаЬ ab{b-S) 2. Сокраш;аем получившуюся дробь: _ _ 1 /ь(р^) ь' Ответ: —. Ь а) 7х-7у 14х - 14у Решение. 1. 7х-7у 14х - 14у 2. Ответ: б) ах - Ьх За - ЗЬ Решение. 1. ах - Ьх За - ЗЬ 72 2. Ответ: в) 2а + 2Ь -а-Ъ Решение. 1. _____ 2а + 2Ъ -а-Ъ 2. Ответ: г) 6а - 36 46 - 8а Решение. 1. ______ 6а - 36 46 - 8а 2. Ответ: 73 § 36. ТОЖДЕСТВА Понятие тождества 36.1. Подчеркните равенства, которые являются верными при любых значениях входящих в них переменных. (х + уУ = х^+ 2ху + у^; x-{y-z) = x-y + z; х + 6 = 7; - т^=(п - т){п + т); (k - 5)(k + 1) = (й + l)(fe - 5); (X - 2)(х + 3) = 0. 36.2. Докажите утверждение. Запись оформите по образцу. Образец - . х(2х - 3)2 = 4х^ - 12х^ + 9х; лев. ч. = х{2х - 3)2 = х(4х^ - 12х + 9) = = 4х^ - 12х^ + 9л: = пр. ч.; лев. ч. = пр. ч.; утверждение доказано. а) (х - 3)(х + 2) = л:2 - JC - 6; “ТГ 7\. б) (2л: + 1)(л: + 2) = 2л;2 + 5л: + 2. 74 Область допустимых значений переменной в выражении 36.3. 1) Запишите, исходя из какого условия находят область допустимых значений для алгебраической дроби_________________________ 2)Заполните таблицу. Выражение Область допустимых значений переменной Словесная формулировка Графическая модель X + 2 X любое, кроме -2 !■: -2 JC а) X + 3 б) д: - 2 в) X + 4 57 {х + 1)(дс - 2) д) Зд: + 9 е) Зд: + 9 36.4. Для данного равенства укажите допустимые значения переменной (см. образец). Равенство Область допустимых значений переменной Словесная формулировка Графическая модель д:(д: + 3) _ X {х + 3){х-2) х-2 X любое, кроме -3 и 2 2 X 14д: 2 б) в) г) = д: + 4 д:^ -16 X- 4 д: + 5 Т х^ {х + 5) х^ х^+1 1 х^{х^ + 1)~ х^ 75 36.5. Используя текст § 36 учебника, заполните пропуски. Тождество — это----------------------------------- Тождественно равные выражения — это Тождественное преобразование — это Простейшие тождественные преобразования 36.6. Выполните умножение. Запись оформите по образцу. Образец г~’~‘— ______ (-1) X- у (-1)(л: -у) -х + у у-х n'i ( \. п ■ ■ р i \ ч 1 1 1 1 1 1 1 1 1 L ( Ч • с а - ■Ь 76 1- с - d V т + п L-i 2 - ■ t \ ) р- ■q 36.7. Используя тождественные преобразования, запишите данную дробь без знака «минус» перед чертой дроби. Запись оформите по образцу. Образец а а а а а а Ъ-2 -(6-2) -6 + 2 2-б’ 6-2 2-б’ 5 к 1 _ Г ^ б) /1 -* : _ Р 77 r) Л -1 f _ i + 1 i 1 - i ~T~ j r - n 1 1 i i 36.8. Используя тождественные преобразования, запишите данную дробь со знаком «минус» перед чертой дроби. Запись оформите по образцу. 8-с_ -(8-с)_ -8 + с_ с-8 8-с_ с-8 d d d d * d d ’ 3- ■ m 7 6^ ; . 7- n 78 в) X - 2 у h 3 S - 4 г) 9- • t 36.9. Запишите дробь, равную данной, так, чтобы перед ней стоял знак «-». X ■ -у 0-) ; а - ■Ъ Ъ- а / 1 о; п ■ - k 3- ■ 8 t ^ k Р I- d d- ■ т -а : С; Ъ ГЛАВА 8 ФУНКЦИЯ у = § 37. ФУНКЦИЯ у = х’ и ЕЁ ГРАФИК Функции у = и у = -х^ 37.1. Дана зависимость между переменными у их. Заполните таблицу. Словесное описание Математическая модель Вид функции {у = kx или у = х^) а) у — периметр квадрата со стороной X см У = 4:Х y = kx 6) у их — противоположные числа в) г/ — площадь квадрата со стороной X см т)у — путь, пройденный за 3 ч со скоростью х км/ч д)у — стоимость 5 кг яблок, купленных по цене х р. е)у — произведение числа х на себя 37.2. Найдите значение функции у = соответствующее заданному значению аргумента: X 0 1 -2 -1,3 2 1,1 -1,2 У 37.3. Найдите два значения аргумента, которым соответствует заданное значение функции у = х^: ^2 У 4 16 1,44 2,89 0,09 0,04 2,56 80 37.4. Найдите значение функции у = соответствующее заданному значению аргумента: X 0 2 -3 -1Д 0,4 1,5 -1,7 у 37.5. Найдите два значения аргумента, которым соответствует заданное значение функции у = -х^: ^2 У -9 -16 -4 -2,89 -0,09 -0,25 -2,25 График функции у = 37.6. 1) Заполните таблицу. X -3 -2 -1 0 1 2 3 у^х^ 2) Отметьте точки и соедините их плавной линией. 37.7. Запишите название графика функции у-х^_______ 37.8. Закончите предложения. 1) График функции у = х^ симметричен относительно 81 2) Ось симметрии разбивает параболу у = яа. две части, которые называют_______________________________________________ 3) Вершина параболы у = х^ имеет координаты------------ 37.9. Перечислите свойства функции у = х^ (используйте график из №37.8): 1) у = 0 при X =________________, у>0 2) у / ^ в , 1/<0 У наиб' 3) функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке____ График функции у = -х^ 37.10. 1) Заполните таблицу. X -3 -2 -1 0 1 2 3 у = -х^ 2) Отметьте точки и соедините их плавной линией. 37.11. Запишите название графика функции у = -х^ 82 37.12. Закончите предложения. 1) График функции у = -х^ симметричен относительно. 2) Ось симметрии разбивает параболу у = -х^ на две части, которые называют ______________________________________________ 3) Вершина параболы у = ~х^ имеет координаты___________ 37.13. Перечислите свойства функции у = -х^ (используйте график из №37.12): 1) Z/ = О при х = . у>0-------- ,г/<о у. 3) функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке____ 37.14. Не строя график функции у = х^, установите, принадлежит ли ему данная точка. а) Р(1; 3)------------------------------------------------------- 1 1Л 25 J в)Л(2; -4) 37.15. Не строя график функции у = -л:^, установите, принадлежит ли ему данная точка. а)М(1;5) , 1 1 б)АГ1--;--^ в)Р(-1,7;2,89) 83 Наибольшее и наименьшее значения функции у = на заданном промежутке 37.16. Дан промежуток на оси абсцисс и график функции у = х^. Выполните последовательно указанные действия: — выделите на оси х данный промежуток; — выделите часть графика, соответствующую выделенному промежутку; — отметьте самую нижнюю и самую верхнюю точки выделенной части графика, если это возможно; — если это возможно, запишите наименьшее и наибольшее значения функции и значения л:, при которых они достигаются. 1)[1;3] 2)[-3;-1] 1 У‘ ! - 1 \ 1 \ \ д 1 / и \ 1 \ 1 1 у о 1 X I у ^наим у ^ найм при г , при X 1J V наио ^ наио при X ; при X 84 3)[-2;0) 4)(0; 2] У. при X у наиб при X 5)(-1;0) У. при X у наиб при X У. при X у пелЬ при д: 6)[-3; 1] У. при X . у наиб при д: 85 7) [-2; 3] У — ^ найм при X У при X при X при X при X при X при X при X 86 11)(-оо;-1] 12) (3; +00) при X 'наиб' при X______ 13)(-00;-2) при X у. при X у наиб при X 14) [-3; +00) У. при X при X у и&иб при X 87 15)(-оо;2] 16) (-3;+оо) у — ^наим при X 'наиб при X______ 17)(-00; 1) ^ найм при X ^наиб при X У _ ^ найм при JC ^ пймб при л: 18) (-00; +СХЭ) У найм при X у наиб ' при X 88 Наибольшее и наименьшее значения функции у = -х^ на заданном промежутке 37.17. Дан промежуток на оси абсцисс и график функции у = —х^. Выполните последовательно указанные действия: — выделите на оси х данный промежуток; — выделите часть графика, соответствующую выделенному в пункте 1 промежутку; — отметьте самую нижнюю и самую верхнюю точки выделенной части графика, если это возможно; — если это возможно, запишите наименьшее и наибольшее значения функции и значения л:, при которых они достигаются. при X у ^ найм У наиб' . при X при X . 89 у ^ найм ^наиб . при X при X . У ^наим ^ навб . при X при X . у ^наим ^ наиб . при X при X . У ^ найм ^ наиб . при X при X . 90 у ^ найм У яамЬ ' . при X при X. у ^ найм ^наиб . при X при X . и ^ найм У наиб ' . при X при X . . при X при X . 91 12) [2; +00) 13)(-oo;-i] 14) (3;+оо) и ^наиы У иаиб ■ . при X при X. у ^ вавм Уваиб' . при X при X . 92 15)(-оо;-2) 16) [-3; +00) у ^ найм У наиб . при X при X. при X при X 93 19) (-оо; 1) 20) (-00; +00) у ^ найм У наиб . при X при X . 'наиб■ при X § 38. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 38.1. Решите уравнение х+1 = Ъ-^х. 38.2. Чтобы решить уравнение л: + 1 = 5 - Зл: графически, выполните последовательно указанные действия. 1) Постройте в одной системе координат графики функций у = хЛ-1-ау = Ъ- 3jc. X у = х + 1 X y = 5-Sx 94 2) Отметьте точку А — точку пересечения построенных графиков функций. 3) Определите и запишите координаты точки А:_______________ 4) В уравнение x + l = 5-Sx вместо х подставьте значение абсциссы точки А и выполните вычисления в левой и правой частях уравнения. 5) Объясните, почему получилось верное равенство, т. е. почему абсцисса точки А оказалась корнем данного уравнения (сравните значения, которые получились после вычислений в обеих частях уравнения, с ординатой точки А). 6) Ответ: 38.3. (Устно.) Используя опыт работы с заданиями № 38.1 и 38.2, сформулируйте алгоритм графического решения уравнений. 38.4. Сравните свой алгоритм с алгоритмом в учебнике (§ 38, с. 150). 38.5. Решите графически уравнение, записывая содержание этапов. Образец х^ = х + 2. Решение. 1. Рассмотрим функции у = х^ и у = х + 2. 2. Построим графики этих функций в одной системе координат. 3. Отметим точки пересечения графиков, найдём их абсциссы. Ответ: -1; 2. ттшт^ША 95 а) х^ = 2х + 3. Решение. 1. _________ 2. _________ 3. Ответ: б) х^ = 2х-1. Решение. 1. _________ 2. _________ 3. ____ Ответ; 96 в) -х^ = х-2. Решение. 1. _________ 2. _________ 3. Ответ: г) -х^ = 0. Решение. 1. ______ 2________ 3. ____ Ответ: 97 § 39. что ОЗНАЧАЕТ В МАТЕМАТИКЕ ЗАПИСЬ у = f{x) Запись у = f(x) и её смысл 39.1. Дана функция у = f(x), где f(x) = 6х. Найдите: а)ЯО) - - Д0) = 60 = 0 б)/(-3) в) Да) г)ДЛ + 3) 39.2. Дана функция у = f{x), где f(x) = 6х + 2. Найдите: а)Д1) б)/(-3) в) Да) г)ДА: + 3) 39.3. Дана функция у = f(x), где f(x) = х^. Найдите: а)Д5) б) Да) в) Д-5а) г) Да+ 5) 39.4. Дана функция у = f(x), где f(x) = 2х+ 1. Найдите: а) Д2л:) б)Д-х) в) fix + 1) г)-fix) 39.5. Дана функция у = /(jc), где f{x) = х^. Найдите: а) ДЗх) б)Д-х) в) fix + 2) г)-fix) 39.6. Дана функция у = f{x), где f{x) = -х^. Найдите: а) Д5х) б) fi~x) в) fix - 2) г) -fix) 98 Новая математическая модель — кусочная функция 39.7. Туристический поход продолжался 8 ч. Первые три часа туристы шли по равнине со средней скоростью 4 км/ч. Затем они сделали привал и отдыхали в течение часа. После привала группа продолжила путь, но теперь он пролегал по пересечённой местности, и поэтому средняя скорость составила 3 км/ч. а) Составьте формулы для функций, выражаюш;их следующие зависимости: 1) изменение расстояния (р) в зависимости от времени (t) в течение первых трёх часов пути: Р(0 = при о < ^ < 2) расстояние от пункта отправления до места привала группы: р(0 =_________ при _____< i <-----; 3) изменение расстояния (р) в зависимости от времени (t) в течение последних четырёх часов: Р(0 = при 0. Образец Вычислите: Д1). Решение. 1. Выясним, какому из данных условий (х < 0 или х ^ 0) удовлетворяет значение х = 1: 1 > о, т. е. условию х > 0. 2. Запишем формулу, по которой находим /(х) при этом условии: /(х) = -Зх -f 4. 3. Подставим X = 1 в формулу (п. 2): Я1) = -3-1-Ь4;Д1)=1. а) Вычислите: f{2). Решение. 1_________________ 2. 3. б) Вычислите: f(~2). Решение. 1. _______________ 2. _______________ 3_________________ 100 в) Вычислите: /(-4). Решение. 1________________ 2. 3. г) Вычислите: /(0). Решение. 1. ______________ 2. 3. 39.9. Дана функция у = /(дс), где f{x) = х^у если -2 < л: < 1; [1, если л: > 1. Вычислите, мысленно проговаривая содержание этапов. а) /(-1) 1_____________________________________________________ 2_____________________________________________________ 3_____________________________________________________ б) /(0) 1. ___________________________________________________ 2_____________________________________________________ 3_____________________________________________________ 101 1.____ 2_____ 3_____ г) АЗ) 1. _ 2. _ 3 Построение графика кусочной функции 39.10. Постройте график функции у = f(x)y выполняя указанные действия, если х^, если -3 < JC < 2; 4, если X > 2. 1) Изобразите карандашом (тонкой линией) график функции у = х^ и выделите цветом часть графика, соответствующую промежутку -3 < X < 2. Лишнее сотрите. 2) Изобразите карандашом (тонкой линией) график функции г/ = 4 и выделите цветом часть этого графика, соответствующую промежутку х > 2. Лишнее сотрите. 102 39.11. Постройте график функции у = f{x)j заполняя пропуски в описании последовательности действий, если если -3 < л: < 1; f{x) = ' [Зх - 2, если 1 < X < 3. 1) Строим график функции_ 2) Выделяем цветом часть построенного графика, соответствующую промежутку_____________________ 3) Лишнее____________________ 4) Строим график функции 5) Выделяем цветом часть построенного графика, соответствующую промежутку_______________ 6) Лишнее____________________. 39.12. 1) Постройте график функции у = /(х), где \х + 2, если -6 < X < 1; Пх) = -1, если X > 1. i —i 1 i ! i i i 1 , i ! 1 1 i I ' М М I i i 5 1 i : ^ 1 i ; 1 i I 1 ; ^ 1 : I ! ’ ! 1 1 1 1 nz 1 1 { ! ! i i 1 1 -4--- i -I— 103 2) Используя построенный график, запишите: а) область определения функции_________ б) у у. в) у = 0 при X =. г) Z/ > О----- -;у<0 д) функция возрастает на функция убывает на______ функция постоянна на. е) наличие точек разрыва 39.13. 1) Постройте график функции у = /(дс), где X + 2, если X <: -1; если -1 < л: < 2; 4, если 2 < X < 5. f(x) = 2) Используя построенный график, запишите: а) область определения функции------------ б) У найм ’ Уяаиб в) I/ = О при X = т)у> О------ У <0 д) функция возрастает на. функция убывает на______ функция постоянна на. е) наличие точек разрыва. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие для учителя................................................ 3 Глава 5. ОДНОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОДНОЧЛЕНАМИ............................................... 5 § 20. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена ..................... 5 §21. Сложение и вычитание одночленов ................................... 7 § 22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень .12 §23. Деление одночлена на одночлен.....................................13 Глава 6. МНОГОЧЛЕНЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОГОЧЛЕНАМИ ............................................ 14 § 24. Основные понятия ............................................... 14 §25. Сложение и вычитание многочленов ................................ 17 §26. Умножение многочлена на одночлен .............................. 21 §27. Умножение многочлена на многочлен .............................. 23 §28. Формулы сокращённого умножения .................................. 25 §29. Деление многочлена на одночлен ................................ 44 Глава 7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ ........................... 47 § 30. Что такое разложение многочлена на множители и зачем оно нужно . 47 §31. Вынесение общего множителя за скобки............................. 49 § 32. Способ группировки.............................................. 52 § 33. Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращённого умножения.......................... 55 § 34. Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приёмов .......................... 63 §35. Сокращение алгебраических дробей................................. 69 § 36. Тождества ...................................................... 74 Глава 8. ФУНКЦИЯ у = х^................................................. 80 §37. Функция у = и её график ........................................... 80 § 38. Графическое решение уравнений .................................... 94 § 39. Что означает в математике запись у = f{x) ........................ 98