Алгебра Учебник 8 класс Истер

АЛГЕБРА УДК 512(075.3) ББК 22.14я721 1-89 Рекомендовано Министерством образования и науки Украины (Приказ МОН Украины от 10.05.2016 № 491) Издано за счет государственных средств. Продажа запрещена Переведено по изданию: Алгебра : пiдрyч. для 8-го кл. загальнооcвiт. навч. закл. / О.С. 1с-тер. — Ки1в : Генеза, 2016. — 272 с. ISBN 978-966-11-0699-3. Эксперты, осуществившие экспертизу данного учебника во время проведения конкурсного отбора проектов учебников для учащихся 8 класса общеобразовательных учебных заведений и сделавшие вывод о целесообразности предоставления учебнику грифа «Рекомендовано Министерством образования и науки Украины»: Бидюк В.Г., методист Новоселицкого районного методического кабинета Черновицкой области; Грынькив О.И., учитель-методист Дидиловского УВК Каменка-Буг-ского района Львовской области; Падалко Н.И., доцент кафедры дифференциальных уравнений и математической физики Восточноевропейского национального университета имени Леси Украинки, кандидат педагогических наук. Истер А.С. 1-89 Алгебра : учеб. для 8-го кл. общеобразоват. учеб. завед. / А.С. Истер. — Киев : Генеза, 2016. — 272 с. ISBN 978-966-11-0752-5. Учебник соответствует новой программе по математике, содержит достаточное количество дифференцированных упражнений и прикладных задач, упражнений для повторения, заданий для подготовки к тематическому оцениванию, в т. ч. в тестовой форме, материал для повторения курса математики 5-6 классов и курса алгебры 7 класса, задачи повышенной сложности, предметный указатель, ответы к большинству упражнений, а для самых любознательных -подборку нестандартных задач и дополнительный материал. УДК 512(075.3) ББК 22.14я721 ISBN 978-966-11-0752-5 (рус.) ISBN 978-966-11-0699-3 (укр.) © Истер А.С., 2016 © Издательство «Генеза», оригинал-макет, 2016 Уважаемые учащиеся! В этом году вы продолжите изучать одну из самых важных математических дисциплин - алгебру. Поможет вам в этом учебник, который вы держите в руках. При изучении теоретического материала обратите внимание на текст, напечатанный жирным шрифтом. Его надо запомнить. Обратите внимание и на условные обозначения: - необходимо запомнить; ~ упражнения для по- вторения; - вопросы и задания к изученному материалу; - рубрика «Решите и подготовьтесь к изучению нового материала»; 1 - задание для классной работы; 2 - для домашней работы; - рубрика «Интересные задачки для неленивых» и дополнительный материал. Все упражнения распределены в соответствии с уровнями учебных достижений и обозначены следующим образом: - упражнения начального уровня; - упражнения среднего уровня; - упражнения достаточного уровня; - упражнения высокого уровня. Знаков выделены упражнения повышенной сложности. Проверить свои знания и подготовиться к тематическому оцениванию можно, выполняя задания «Домашней самостоятельной работы» и «Задания для проверки знаний». После каждого раздела размещены упражнения для его повторения, а в конце учебника - «Задания для проверки знаний за курс алгебры 8 класса». «Задачи повышенной сложности» помогут подготовиться к математической олимпиаде и углубить знания по математике, «Сведения из курса математики 5-6 классов и курса алгебры 7 класса» - вспомнить изученные ранее темы, «Упражнения на повторение курса алгебры 7 класса» в конце учебника - проверить свои знания на начало учебного года. Автор старался подать теоретический материал учебника простым, доступным языком, проиллюстрировать его большим количеством примеров. После изучения теоретического материала в школе его необходимо проработать дома. Учебник содержит много упражнений. Большинство из них вы рассмотрите на уроках и во время выполнения домашней 3 работы, остальные упражнения рекомендуется решить самостоятельно. Интересные факты из истории развития и становления математики как науки вы найдете в рубрике «А еще раньше...». Уважаемые учителя! Предлагаемый учебник содержит много упражнений; для большинства параграфов они даны «с запасом». Поэтому выбирайте их для использования на уроках и внеурочных занятиях и в качестве домашних заданий в зависимости от поставленной цели, уровня подготовки учащихся, степени дифференциации процесса обучения и т. п. «Упражнения на повторение курса алгебры 7 класса» помогут диагностировать умения и навыки учащихся по алгебре за предыдущий год и повторить учебный материал. Дополнительные упражнения рубрики «Задания для проверки знаний» предназначены для учащихся, которые быстрее других справились с основными заданиями. Правильное их решение учитель может оценить отдельно. Упражнения для повторения разделов можно предложить учащимся во время обобщающих уроков или при повторении и систематизации учебного материала в конце учебного года. Задачи повышенной сложности и «Интересные задачки для неленивых» помогут удовлетворить интерес учащихся к предмету и поспособствуют подготовке к различным математическим соревнованиям. Уважаемые родители! Если ваш ребенок пропустит один или несколько уроков алгебры, обязательно предложите ему самостоятельно проработать материал этих уроков по учебнику. Сначала он должен прочитать теоретический материал, изложенный простым, доступным языком и содержащий большое количество примеров решения упражнений, а потом из предложенных в соответствующем тематическом параграфе заданий решить посильные ему упражнения. Во время изучения ребенком курса алгебры 8 класса вы можете предлагать ему дополнительно решать дома упражнения, которые не рассматривались на уроке. Это будет способствовать лучшему усвоению учебного материала. Каждая тема заканчивается тематическим оцениванием. Перед его проведением предложите ребенку решить задания «Домашней самостоятельной работы», представленные в тестовой форме, и «Задания для проверки знаний». Это поможет вспомнить основные типы упражнений и качественно подготовиться к тематическому оцениванию. 4 7~tA/Ci/Sci/1 Рациональные выражения в этой главе вы: Э вспомните основное свойство обыкновенной дроби и основные свойства уравнений; Э познакомитесь с понятиями рациональной дроби, рационального уравнения; с функцией у = — степенью с це- X лым показателем, стандартным видом числа; Э научитесь сокращать рациональные дроби и приводить их к новому знаменателю; выполнять арифметические действия с рациональными дробями; решать рациональные уравнения. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ. * РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ В курсе алгебры 7 класса вы уже знакомились с целыми рациональными выражениями, то есть с выражениями, которые не содержат деления на выражение с переменной, например: 5m2p; 4c3 + t9; (m - n)(m2 + n7); k9 - 4 Любое целое выражение можно представить в виде многочлена стандартного вида, например: (m - n)(m2 + n7) = m3 + mn7 - nm2 - n8; ft9 p + I k9 -1. 4 4 4 В отличие от целых выражений, выражения х + 2 1 ; а-Ь ; 1 иг2 ’ о2 -ь об -ь 62 ’ (д: - у){х^ -ь 7) к 3 от---; р у-9 1 — X 5 содержат деление на выражение с переменной. Такие выражения называют дробными рациональными выражениями. Целые рациональные и дробные рациональные выражения называют рациональными выражениями. Рациональные выражения — это математические выражения, содержащие действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с целым показателем. 5 ГЛАВА 1 Рациональное выражение вида —, где P и Q - выражения, Q содержащие числа или переменные, называют дробью. Выражение Р - ее числитель, а Q - знаменатель. Если P и Q в дроби - многочлены, то дробь называют рациональной дробью. Целое рациональное выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как при нахождении его значения выполняют действия сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля, что всегда выполнимо. Рассмотрим дробное рациональное выражение----. Его зна- ж - 3 чение можно найти для любого х, кроме x = 3, так как при x = 3 знаменатель дроби обращается в нуль. В этом случае го- 5 ворят, что выражение---— имеет смысл при всех значениях переменной х, кроме х = 3 (или же при х = 3 не имеет смысла). Th Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных в выражении. Эти значения образуют область определения выражения, или область допустимых значений переменных в выражении. Пример 1. Найдите допустимые значения переменной в вы-т - 3 5 ас-ь7 7 ражении: 1) 2) 3) 4) 9 ' ' р-^-2’ ' х(х-9У Решение. 1) Выражение имеет смысл при любых значениях переменной т. 2) Допустимые значения переменной p - все числа, кроме числа -2, так как это число обращает X 7 знаменатель дроби в нуль. 3) Знаменатель дроби------ об- х^х 9) ращается в нуль при х = 0 или х = 9, поэтому допустимые значения переменной х - все числа, кроме чисел 0 и 9. 4) Допустимые значения переменной у - все числа, кроме 3 и -3. Кратко ответы можно записать следующим образом: 1) т - любое число; 2) p ^ -2; 3) х ^ 0; х ^ 9; 4) у ^ 3; у ^ -3. Рассмотрим условие равенства дроби нулю. Так как — = 0, Р ^ если Q Ф 0, то можно сделать вывод, что дробь — равна нулю г. ® тогда и только тогда, когда числитель P равен нулю, а знаме- ^ 1^ = 0, натель Q не равен нулю, то есть ly Ф О. 6 Рациональные выражения Пример 2. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби: 1) л: - 3 2) (а - 2)(а + 1) 3)6(^? X + 1 а + 5 Ь-7 Решение. 1) Числитель дроби равен нулю при x = 3. Это значение переменной не обращает знаменатель в нуль, поэтому число 3 является значением переменной, при котором данная дробь равна нулю. 2) Числитель дроби равен нулю при a = 2 или a = -1. Для каждого из этих значений знаменатель дроби нулю не равен. Поэтому числа 2 и -1 - те значения переменной, при которых данная дробь равна нулю. 3) Числитель дроби равен нулю, если b = 0 или b = 7. При b = 0 знаменатель дроби нулю не равен, а при b = 7 знаменатель дроби обращается в нуль, то есть такой дроби не существует. Следовательно, данная дробь равна нулю только при b = 0. Ответ. 1) x = 3; 2) a = 2, a = -1; 3) b = 0. ^_______________Ly. Древнегреческий математик Диофант \h ^ЩеЪажмпр . .mt - (прибл. III в. н. э.) рассмотрел рациональные дроби и действия с ними в своей работе «Арифметика». В частности, на страницах этой книги можно встретить доказательство тождеств 144 60 60x2-й 2520 30- х^н-900-60x2 96 30 и 12 х^н-900-60x2 12x2-н 24 х4-н36-12х2 6-х2 х4-н36-12х2’ записанных символикой того времени. Выдающийся английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727) в своей монографии «Универсальная арифметика» (1707 г.) определяет дробь следующим образом: «Запись одной из двух величин под другой, ниже которой между ними проведена черта, означает часть или же величину, возникающую при делении верхней величины на нижнюю». В этой работе Ньютон рассматривает не только обычные дроби,но и рациональные. 1. Какие выражения называют целыми рациональными выражениями, а какие - дробными рациональными выражениями? Приведите примеры таких выражений. 2. Какие выражения называют рациональными? 3. Какие дроби называют рациональными дробями? 4. Что такое допустимые значения переменной? Р 5. Когда дробь — равна нулю? Q 7 ГЛАВА 1 т Начальный уровень 1. (Устно.) Какие из выражений - целые, а какие - дробные: 1) —т^п; 7 1 5) 2) а +1 а 3) т2 + 2т - 8; 4) Ь-2 8 ; ; 6^^^; 7) (р - 2)2 + 7p; 8) 10 а « т:т .. 3 , ^ .^/.1 ЧЧ ^ 17 2. Из рациональных выражений а3 - ао; —; t{t -1) н—; —; 17 р а 117 — а--Ь; —----5 выпишите: 1) целые; 2) дробные. 9 8 +1 3. Какие из дробей являются рациональными дробями: т 1) -3 2) п + — ч * у. 3) - 4:!с + 5 У^-9 ; т Средний уровень X 4) ^ + 2? т-З' 4. Найдите значение выражения: ^ ^ За + 9 ^ 2 3 1)---5— при а = 1; -2; -3; 2) X + 3 X X X при x = 4; -1. 5. Определите фамилию выдающегося украинского авиаконструктора. Для этого найдите значения выражений из первой таблицы и перенесите соответствующие этим значениям буквы во вторую таблицу. Пользуясь любыми информационными источниками, ознакомьтесь с биографией этого авиаконструктора. x -3 -1 0 2 3 1 + X 1-х Буквы Т В А О Н 1 -2 -0,5 -3 -2 -3 0 8 Рациональные выражения 6. Составьте дробь: 1) числителем которой является разность переменных a и b, а знаменателем - их сумма; 2) числителем которой является произведение переменных x и у, а знаменателем - сумма их квадратов. 7. Найдите допустимые значения переменной в выражении: 1) т2 - 5; +1 2 5) + ■ 2) 6) За-5; ; а р + 2 3) 7) 7& + 9 8 ; 3 4) 9 t + 1 +1" ^ l/Til + 5’ X X - Т ' р{р -1) 8. Найдите допустимые значения переменной в выражении: 1 л I П ОЛ ^ 7 о\ ^ ^ 1) P + 9; 2)------; 3)—-—; 4) ic^ - 3 ; л:(д: + 2) ’ а + 4 гч 5) —^ + У-1 У + 6’ 6) тп^ + 2 9. За t ч автомобиль проехал 240 км. Составьте выражение для вычисления скорости автомобиля (в км/ч). Найдите значение полученного выражения при t = 3; 4. 10. Ученик потратил 48 грн на покупку п ручек. Составьте выражение для вычисления цены ручки (в грн) и вычислите его значение при п = 8; 10. т Достаточный уровень 11. При каком значении переменной значение дроби равно: 1) -2; 2) 9; 3) 0,01; 4) -4,9? 12. При каком значении переменной значение дроби равно: 1) -8; 2) 0,25? 13. При каком значении x равна нулю дробь: х(х + 3) X + 2 8 т -1 10 1) 4д:-8; 2) ; X 3) (х-1)(х + 7)_ 4) X + 5 ’ Х‘‘ Зд: - 6 8-4д:' ? 9 ГЛАВА 1 14. При каком значении у равна нулю дробь: 1) У 5у-7’ 2) (у + 1)У у^ ; 3) (z/ + 2)(y-3). у + 4 ’ 5у + 5 15. Найдите допустимые значения переменной в выражении: 1) а + 1 2) ^ + 2 3) т 4) (а - 1)(2а + 7)’ ' - 7t - 25’ (х - ' 16. Найдите допустимые значения переменной в выражении: 1) р-7 (9 - р)(4р + 10) 2) а + 2 5а - 3) 4) а (а +1)2 17. Составьте выражение с переменной х, которое имело бы смысл при любых значениях х, кроме: 1) х = 2; 2) х = 1 и х = -4. Высокий уровень 18. Найдите допустимые значения переменной в выражении: 1) 37 а(а - 2) - За + 6 2) X Ьс -1’ 3) 5т 1 ’ т 19. Найдите область определения выражения: 12 /п 7 1) х(х + 2) - 4л: - 8’ 2) 4-|/гаГ 3) i + l’ X 4) 4) 4k 4-\k-2\ 2а а + 2 — 3 20. Определите знак дроби: X 1) —, если х > 0, у < 0; У^ |у - l| 3) -—если p < 0, n > 0; --19 n 2) —-—, если m > 0, n < 0; TV |а| "Ь 1 4) —, если a < 0, c < 0. 21. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби: 1) 3) а2 + 1 (а +1)2 а2 + 7 положительно; 2) -р2 -2 отрицательно; неотрицательно; 4) -(у2 _ 4)2 Р^ +1 неположительно. 10 Рациональные выражения Упражнения для повторения 22. Преобразуйте выражение в многочлен: 1) (a2 + 2a - 7) - (a2 - 4a - 9); 2) 3x2y(2x - 3y + 7); 3) (x2 - 2x)(x + 9); 4) (x2 - 5)2 + 10x2. 23. Решите уравнение: 4x(2x - 7) + 3x(5 - 2x) = 2x2 + 39. Решите и подготовьтесь к изучению нового ллотериоло 24. Сократите дробь: 25 1^; 2) 35 3) 18; 4) 45; 5) М; 48; 6) 85‘ 25. Приведите дробь: 1^ — к знаменателю 24; 8 4 3) — к знаменателю 30; 15 2) — к знаменателю 28; 7 g 4) — к знаменателю 63. 9 26. Представьте в виде степени выражение: 1) m3m4; 2) pp7; 3) x9 : x3; 4) (a3)7; 5) b2 ■ (b3)4; 6) (c4)5 : c12. 27. На какое выражение нужно умножить одночлен ^2Ь, чтобы получить: 1^3{,; 2) ^2&4; 3) 4а5&; 28. Разложите на множители многочлен: 1^ ^ - Ъ2; 2) ^ -I- т^; 4^ 15а2Ь2; 5) -I- 9; 7^ 25; 8) р4 - 49/п2; 4) 3) 8т2 - 4тп; 6) с2 - Юс + 25; 9) а2 + аЬ + 7а + 7Ь. Интересные задачки для неленивых 29. (Киевская городская математическая олимпиада 1985 г.) Найдите все такие трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр. 11 ГЛАВА 1 2 ОСНОВНОЕ свойство РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ Вспомним основное свойство обыкновенной дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получим дробь, равную данной. Иначе говоря, для любых натуральных чисел а, b и c справедливо равенство: CL CLC CLC О/ Ъ Ъс Ъс Ъ Докажем, что эти равенства являются верными не только для натуральных значений а, b и с, но и для любых других значений при условии b ф 0 и с ф 0. „ а ас Докажем сначала, чт^ ^ = —. Ъ Ъс Пуст^ ^ ^ а : fe = р. Тогда по определению частного а = bp. Ъ Умножим обе части этого равенства на с, получим: ас = (bp)c. Используя переставное и сочетательное свойства умножения, приходим к равенству: ас = (bc)p. Так как b ф 0 и с ф 0, то и be ф 0. Из последнего равенства (по определению частного) ас „ а ас имеем: — = р. Поскольку — = р и — Ъс Ъ Ъс а ас р, т^ ^ = —. Ъ Ъс Это равенство является тождеством, следовательно, можем поменять в нем левую и правую части местами: ас _ а Ьс Ъ Это тождество дает возможность заменить дроб^ — на а ас дроб^ —, то есть сократить дробь — на общий множитель с Ъ Ъс числителя и знаменателя. Свойство дроби, выраженное равенствами а ас ас и Ъс Ъс а b, называют основным свойством рациональной дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля выражение, то получим дробь, равную данной. Рассмотрим примеры применения этого свойства для дробей на их области допустимых значений переменной. 12 Рациональные выражения Пример 1. Сократите дробь 24д2 16а Решение. Представим числитель и знаменатель этой дроби в виде произведений, содержащих одинаковый (общий) множитель 8а, и сократим дробь на это выражение: 24а^ 8а • За За Ответ За 16а 8а • 2 2 Пример 2. Сократите дробь — . ох + 1оу Решение. Разложим на множители числитель и знаме-(д: — Зи)(х + Зи) натель дроби:-------------. Сократим дробь на x + 3y - об- 5(х + Зу) щий множитель числителя и знаменателя: (х - Зу)(х + Зу) X- Зу Ответ х-Зу Ь{х + Зу) Таким образом, чтобы сократить дробь, нужно: ь 1) разложить на множители числитель и знаменатель ' дроби, если это необходимо; 2) выполнить деление числителя и знаменателя на их общий множитель и записать ответ. а ас _ Тождества ^ = — дает возможность приводить дроби к Ь Ьс заданному другому (новому) знаменателю. ^Т1Ъ Пример 3. Приведите дробь -- к знаменателю 12у4. Ар Решение. Поскольку 12p4 = 4p • 3p3, то, умножив числитель и знаменатель дроби--на 3p3, получим дробь со знаме- нателем 12p4: 5/п _ Ът ■ Зр^ _ 15тр^ Ар Ар ■ Зр^ 12у^ Множитель 3р3 называют дополнительным множителем . 5/п числителя и знаменателя дроби -. Ар 13 ГЛАВА 1 Ответ. 15тпр® 12р 4 ■ Пример 4. Приведите дробь к знаменателю b - a. а-Ъ Решение. Поскольку b - a = -1 • (a - b), то, умножив числитель и знаменатель дроби —— на -1, получим дробь со знаменателем b - a: a-b 7(-1) a-b {а -Ь) ■ (-1) Ъ - а Дробь-----можно заменить тождественно равным ему выра- Ь - а так как изменение знака перед дробью приво- жением - , Ъ - а дит к изменению знака в числителе или знаменателе. 7-7 7 Поэтому Ответ. - а-Ъ Ъ- а Ъ- а 7 Ъ - а Аналогично, например^ ^^ = -——-. Следовательно, если изменить знак в числителе (или знаменателе) дроби одновременно со знаком перед дробью, то получим дробь, тождественно равную данной. Это правило можно записать с помощью тождества: а -а а Ъ -Ъ Пример 5. Найдите область определения функции У = 2х и постройте ее график. 2зс-4 Решение. Область определения функции - все числа, кроме тех, которые обращают знаменатель 2х - 4 в нуль. Так как 2х - 4 = 0 при х = 2, то область определения функции - все числа, кроме числа 2. Упростим дроб^ ^^ путем со- кращения: - 2х х^ - 2х х(х - 2) X 2х-4 2х-4 2(х - 2) 2 = —. Следовательно, функция X имеет ви^ ^ = — при условии х ^ 2, а ее графиком 2х - 4 2 14 Рациональные выражения является прямая ^ без точки с абс- циссой 2, то есть без точки (2; 1). Такую точку называют «выколотой» и обязательно исключают ее из графика, изображая «пустой». График функции у = ставлен на рисунке 1. 2х 2л:-4 пред- Рис. 1 т 1. Какими равенствами записывают основное свойство дроби? Сформулируйте это свойство. _ а ас 2. Докажите тождества ^ = —. Ь Ьс 3. Объясните, как сократить рациональную дробь. Начальный уровень 30. (Устно.) Сократите дробь: За 1х 1^; 71/ 2) 156 31. Сократите дробь: 1^; 2) ^; Зр’ т Средний уровень 32. Сократите дробь: 15а6 -2а^т 1) 5) 20ат -ар^; р^с ’ 2) 6) 5ар ’ 4а6с ; 12ас® ’ 33. Сократите дробь: 8а/ -Sxy 1) 5) 12ар -kp^; pH ’ 2) 6) 7л;2г/’ Ъхуг 1Ъу^г' ху ; хт' 4) 4аЬ 6) Юху Юту аЬ; ар' 4) г; 5)^У; 8X2 ’ 6) 4тп 4рп 3) 7) 3) 7) Шах^; 20л:Ь ; 26т^п; 39тп^ ’ 12т^п; 20хт ’ 22х^у ; -33i/2jc; 4) 8) 4) 8) -8т^п; -2пЗ ; -с®а® -Gp^c рН^ 15 ГЛАВА 1 34. Представьте частное в виде дроби и сократите эту дробь: 1) 12x2y : (4xy3); 2) 3a2bc : (-18ab2c2); 3) -10ap3 : (-15a2); 4) -14x9 : (2x7y). 35. Приведите дробь: 1)---к знаменателю 20m; 4m 36. Приведите дробь: 4 1) — к знаменателю 15p; Ър 2) — к знаменателю a5. а“ X 2) ^ к знаменателю у7. 37. Сократите дробь: 1) т(о - 2) 2) Цх + 2)2 р(а - 2) ’ ' (х + 2)3 38. Сократите дробь: 1^ + 7); 2)5(т-3)3. 3) 3) тп(р + 7) ; т^п{р + 7)2; а^у{х - 2)2 уф + ЧУ (т-3)4 ’ " ау(х-2) 4) 4) 16тЗ(а + 3)2 20т'* (а + 3) \2х^(у - 7) 16л:2(г/-7)2. 39. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите ее: 1) 5) 4а +126; 16а& ; У ; У^ - ух' 2) 6) Ъх - 5у Чх-уУ 2х -6у ; 5х - 15у; 3) 7) Зт(х + 2); л;2 + 2ас ’ а + 2Ь ; а2 + 2аЬ’ 4) 8) ах - а а 2лс2 - 10л:у х-Ъу ■ 40. Сократите дробь, предварительно разложив ее числитель и знаменатель на множители: 1) 4) За +15Ь; 9afe ; ху - 2jc; ; X 41. Сократите дробь: а(х - у) 1) 4) 5(у - ж) m2 -9 ; m2 - 6т + 9 ’ 2) 5) 2) 5) тп - т 4(п-1); т ; m2 + та’ 3) 6) п2 _ Зр Щр-3) 4а - 12с 7а - 21с За -9Ь ; 156-5а; р2 - 1 ; Р^ - Р^' 3)4f^ 6) 1/2-4 д:2 + Юд: + 25 mac + 5m 16 Рациональные выражения 42. Сократите дробь: 1^ ^ -2)’ а(2 - р) ’ 2) 3^ + 4’ ^ ^ - 4 ’ 4) ■Ы Достаточный уровень Зд + 12 а2 -16’ тс + 4с + 8т + 16 43. Сократите дробь: 1) 3) 5) т^п - т т^ - т^п т^ + 27 ’ т^ - Зт + 9 ’ Зр + рп - Зу - уп 7р-7у 44. Сократите дробь: - 16рд 1) 3) 12p^q - 12pq^ ’ 7 + 7а + 7g2 ’ а® -1 ’ 45. Приведите дробь: 1) 2) а - Ъ 4 т + п 9 к знаменателю а2 - ab’ 2) 4) 6) 2) 4) 2 - 15/п® - 157П/г ’ 10п^ - lOnm^ ’ 20 + 10а + 5а2 аЗ -8 ’ am + ап - Ът - Ьп am - ап - Ът + Ьп дЗ - 2а + 4 ’ дз +8 ’ Ът + ап -Ъп- am g2 - 10а + 25 ‘ к знаменателю т2 + 2mn + n2’ 3) —— к знаменателю х2 - у2’ 4) 5) х-у 4 k-1 а а - Ъ к знаменателю k3 - 1’ к знаменателю b - а’ 6) ——— к знаменателю 4 - p2. р-2 17 ГЛАВА 1 46. Приведите дробь: 1) к знаменателю т2 + mn; т + п 4 2)---- к знаменателю х2 - 2xy + y2; 3) 4) х-у а а + Ь к знаменателю а2 - b2; с-7 к знаменателю 7 - с. _2(сЗ)4(;р12)2 47. Вычислите значение дроби---——т-— при с = 5, х = 2016. 5(с°У(х^)^ В б Gx2-3xy 1 1 48. Вычислите значение дроби ---------- пр^ ^ , у = —. 8ху - 2 4 49. Упростите выражение: 1) а® - а®; - а2' 2) р^+р^ р^+р^'; 50. Упростите выражение: t2 1) 2) а® + а®; о® + о® ’ 3) 3) 2а2 - а2; а® - 2а® ’ ЗЬ2 - Ъ2; 6® -367; 4) 4) 5с® - Юс^ 12с® - 6с® 4а'* - За2 12а2 -6а2' IP Высокий уровень 51. Сократите дробь: 1) (х + 2)2-(х-2)2_ 48х ’ 52. Сократите дробь: (т + 5)2 +(т- 5)2 1) т2 +25 2) 2) X2 - у2 ; х^ -у^' а* - &■*; а2 + Ъ2' 3) 3) (ЗЪ - 9с)2 5Ь - 15с ■ 6/п + 2п (12/п + 4п)2 ’ 53. Найдите область определения функции и постройте ее график: 1) у = X2 + бж 2)У = X 2 - 4ж + 4 бд: + 36 2-х 54. Найдите область определения функции и постройте ее график: 1) у X2 - 5д:; 25-5д:; 2) У л:2 + бд: + 9 3 + д: 18 Рациональные выражения ст_^' Упражнения для повторения 55. Вычислите значение выражения: 012 2) 39 3) 74 36’ '49 56. Решите систему уравнений: 4) 125 5® 1) X + ^у = 2, Зх-2у = 17; 2) Зж + 2у = 2, 7х -2у = -22. 57. Упростите выражение: 1) (2х + 3у)2 - (х + 7y)(4x - y); 2) (m + 3)(m^ “ 5) - m(m - 4)^. Решите и подготовьтесь к изучению нового ллотериоло 58. Вычислите: 1 3 1^-1--; 7 7 2) TL + A; 13 13 3)Д- 11 5 11; КЧ 4 1 5) —1—; 5 5 6) ^ ^ 2 15 15 7)-?- 10 7 10; Интересные задачки для неленивых 59. (Национальная олимпиада Великобритании, 1968 г.) Пусть а1, a2, а7 - целые числа, а b1, b2, b7 - те же чис- ла, взятые в другом порядке. Докажите, что число “ ^)(®2 “ ^2)”'(®7 “ является четным. S3 СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С ОДИНАКОВЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ Вспомним, как сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же. Например: 3 + 5 8 3 5 и"п 11 11 19 ГЛАВА 1 Запишем это правило в виде формулы: а _ а + Ъ с с с Это равенство справедливо для любых дробей. Докажем его (при условии c ф 0). Пуст^ — = р ^ — = д. Тогда по определению частного a = с с и Ъ = cq. Имеем: a + b = cp + cq = c(p + q). Поскольку c ф 0, то по определению частного р + q с а Ь а + Ь следовательно, —\— =-----. с с с Сформулируем правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: а + Ъ Ь чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя-Q ми, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же. _ ^ 5р Зр 5р + Зр 8р 4р Пример 1. -^ + —^ = --1- = —^ = 2х 2х 2х 2х X Аналогично можно доказать тождество а Ъ а-Ь с с с при помощи которого записывают правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Сформулируем правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: ь чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно от числителя уменьшаемого отнять числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же. Пример 2. Юл: -14 Зл: 10х - 14 - Зл: _ 7л: - 14 _ 7(л: - 2) X 7р 7р 7р 7р Рассмотрим еще несколько примеров. Пример 3. Найдите сумму и разность дробей 2л: + у 2х - у -----и--------. 2ху 2ху 7р 20 Рациональные выражения Решение. 2х + у _^2х - у 2х + у + 2х - у 4at 2ху 2ху 2ху 2х + у 2х - у _2х + у - (2л: -2ху 2ху 2ху у) 2ху 2х + у 2; У -2х + у 2ху 2ху I X л 2 1 Ответ.—; —. У X Пример 4. Упростите выражение 11тп - 2 Решение. + 5т + ■ + 5т ^ 7________________ т^ - 3/71 т^ - 3/71 т^ - Зт 11т - 2 т^ + 5т + 7 - {11т - 2) т“ Зт т^ - Зт т“ Зт т“ Зт т^ + 5т + 7 - 11т + 2 _т^ - 6т + 9 _ {т-3)^ т Ответ т^ - Зт т-3 т^ - Зт т{т - 3) /71 т Пример 5. Найдите сумму Юл: + ■ 51/ у -2х 2х - у Решение. Так как 2х - у = -(у - 2x), то второе слагаемое можно записать с тем же знаменателем, что и в первом слагаемом: 5у _ 5у _ 5у Тогда Юл: 5у 2х-у -{у -2х) у- 2х Юл: 5у Юл: - 5у -5{у - 2х) -5. у - 2х 2х - у у -2х у -2х у - 2х у -2х Ответ. -5. ^ а Ъа + Ъ а Ъа-Ъ ьсли в тождествах —i— =---- и-----=----- поменять с с с с с с местами левые и правые части, то получим тождества: а + Ь _ а ^ Ь и а - Ь _ а Ь с с с с с с С помощью этих тождеств дробь, числитель которой является суммой или разностью нескольких выражений, можно записать в виде суммы или разности нескольких дробей. 9 2 5 9 .. „ 2л: -ь 5у - 9 2л: 5у Пример 6.-----------=----1--- ху ху ху ху 2 5 _ -I- _ У X ху 21 ГЛАВА 1 Пример 7. Запишите дробь в виде суммы или разности це- + 2а - 7 5т + Зп лого выражения и дроби: 1) а 2) т + п + 2а - 7 а^ 2а 7 о 7 Решение. 1)-----------=----1------= а + 2---; а а а а а 2) 5т + 3п _ 2т + Зт + 3п _ 2т + 3(/п + п) _ 2т 2)-------—------------—-------------—--------1- + т + п т + п 3(т + п) 2т т + п т + п + 3. т + п т + п Ответ. 1)^^--; 2^ + 3. а т + п 1. Сформулируйте правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Докажите его. 2. Сформулируйте правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. т Начальный уровень 60. (Устно.) Выполните действие: 14 ® & 1) —I—; 5 5 2) 9 9 3) а а 61. Найдите сумму или разность: 14 2ж X 1) — + —; 5 5 2) 7г/ 3 3 62. Выполните действие: 3) 1^^^. 2) ^_Р_. 3) ^8 8 47 17 ^ т т Средний уровень 63. Представьте в виде дроби: 2) ^ За; 4д: 4д:’ X + у X - Зу; ~8 8 ; 6 Ь а 4) 7х^ 5х^ ; + X У У + У; 4) 5с^ 2с2 т п п а + 4 5 - а 3^ ; 4)Х + Зу ^ 4х + 7у_ 10 10 22 Рациональные выражения 5) Ът - 2 /п - 10 8пг 8пг 64. Упростите выражение: 5ж Зж 1) — + —; 2а 2а 3^^13-i, 7а + 13 17 - а 6) —:-----+ 6а 6а 2) а + Ъ а-ЪЪ 12 12 5) 5 5 бпг - 3 7П - 13 а + 26 За + 66 4)-----+--------; 8 8 11-ж 10/п 10/п 65. Упростите выражение: 1^ 15г/-3ж; 4ж 4ж 3) Аху Аху 5а - 64 64 + 5а 2) 7а + 7а -2р^ Зр Зр 66® 66® 66. Представьте в виде дроби: За - 4 4а + 5 1 - а 4)^---+ ■ 8а 8а 8а 1) 3) За - 6 56 + За аЪ аЪ ’ 56 -т^ + 56 2) 9/п + 2ft2 9m - 3ft^ 5;;; 5k 4m® 4m® 4a-3 a + 8 5 - a 4)^--+ ■ 6a 6a 6a _ 3a - 5 5 + a 67. Вычислите —^^—I—при a 4a® 4a® 1 2 „„„„ 56-77 + 6 ,1 68. Найдите значение выражения --—i-- при 6 = —. 66® 66® 7 69. Выполните действие: 1) 3) 5) 70. Упростите выражение: ж® 25 ; ж - 5 ж - 5’ 2) ж - 3 6 4) ж® - 9 ж® - 9 2ж + у X - Ау (ж-1/)® ' (ж-г/)®’ 6) У" 36 у + 5 1/ + 6’ 7а -1 76-1 а® - 6® а^ -Ъ^' 9т + 5п т -Зп 1) 49 7 - m 7 - m 2) (m + га)® (m + га)® ж + 7 ж® - 1 ж® - 1 23 ГЛАВА 1 3) 5х-2 Ъу-2 Х2 -у2’ ,, За - 46 2а -Ъ 4)-------------1----------. (а - 6)2 (а - 6)2 71. Упростите выражение: 1) а 5 + 1 ; 2) X -1 1-х 3) 5х 5у 4) + —^; х-у у-х тп с-3 3-с Юр Ът + 2р - т т-2р 72. Выполните действие: ..с X 1)—^ + 7^—; 2) а 8 2т 2п 3)-----+------ х-у у-х 4у т-п п-т 16jc 4)-------+ 4л: - I/ I/ - 4л: т Достаточный уровень 73. Выполните действие: 1) - т 4 - /п /п2 + 4тп + 4 /п2 + 4тп + 4 74. Найдите разность: ^ ^ За + 9 ; а2 + 6а + 9 а2 + 6а + 9’ 75. Докажите тождество: (а - 6)2 (а + 6)2 2) 2) 9с 6с 3/71 18 + 6с С2 - 6С /п +10 7/г2 - 5/п /П.2 - 5т 1) -2; 2а6 2а6 76. Найдите значение выражения: 2) ^ 2 а2 + б2 а2 + б2 1) /71““ + ■ 25 2т7г - 10 10 - 2т?г при m = 25; х2 + 9у2 Qxy 1 2)------— + ------ при X = 2016, У = ~- X -Зу Зу - X 3 77. Вычислите: 1) х^ 36 Зх - 18 18 - Зх при X = -12; 24 Рациональные выражения 25ft2 - lOcfe 199, 02 2)--------------------при c = 199, k = 0,2. с -5k 5k - с 78. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби: ., /п -ь 3 -ь цЗ - 5 л;2 -ь 5лс - 3 .. 4а - 4Ь + 7 1)------; 2)-----------; 3)------------; 4) т а“ л: -I- 5 а - Ь 79. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби: 1^:1; 2^'"'-'-^ 3^ii?; 4^*^“^ а у + 1 p-q Высокий уровень 80. Представьте выражение в виде дроби: 1) 3) 7 - 4т 9 - 5т (2 - 771)2 _ 2)2 ’ 7тг2 - бтг 2(771 - Зтг) 12о Зц2 +12 2)---------I----------; ’ (2 - 0)3 (о - 2)3 (т - 2)(тг - 3) (2 - т?г)(3 - тг) 81. Упростите выражение: 16 -7а 13 - 6о 1) 3) (3 - 0)2 (о - 3)2 ’ 15(2771 - 3) 5t7i2 2) —е--------ь (3 - 7?г)3 (771 - 3)3 ’ 9q 3(р - Зд) (р - 3)(д - 4) (3 - р){4 - q) . Упражнения для повторения 82. Представьте выражение в виде многочлена: 1^ ^о + 3)2; 2) ^^(л: + 2). 83. Сократите дробь - 2ху -у^ + + 2x2. 25 ГЛАВА 1 Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 84. Вычислите: 1) —\---; ^ 7 14 2) А--12 16 3^ + ^. 8 16 24 85. Представьте одночлен в виде произведения двух од- ночленов, один из которых равен: 1)^Ь^; 2) ^2^,7. 3) -&б; 4) Шгб. ш Интересные задачки для неленивых 86. Катер по течению реки проплывает расстояние от пункта A до пункта B за 2 ч, а против течения - за 3 ч. За какое время из пункта A в пункт B проплывет плот? 4, СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ Если дроби имеют разные знаменатели, то их, как и обычные дроби, сначала приводят к общему знаменателю, а потом складывают или вычитают по правилу сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. й с Рассмотрим, как прибавить дроб^ — ^ . Приведем эти Ъ d дроби к их общему знаменателю bd. Для этого числитель .а ^ а ad и знаменатель дроби — умножим на d: — = —, а числитель Ь Ь bd и знаменатель дроб^ — умножим на b: ^ = —. Дроби — и — d d db Ь d привели к общему знаменателю bd. Напомним, что d называют дополнительным множителем числителя и знаменателя дроб^^, а b - дополнительным множителем числителя и зна-Ъ менателя дроб^ —. d Описанную последовательность действий для сложения дробей с разными знаменателями можно записать так: а с _ ad сЬ _ ad + Ъс ~b^~d~lui^M~ bd ’ или сокращенно: 26 Рациональные выражения + ad + be bd ■ Аналогично выполняют и вычитание дробей с разными знаменателями: ь/. ad - be bd ■ 2) Пример 1. Выполните действие: 1) — + —; Решение. т п а л/д т/^ Зга + 4/n ^//2 “/& Ы-аЬ 1^ ^ ^ =-----------; 2) - - - = т п тп а Ч 7а Общим знаменателем двух или более дробей может быть не только произведение их знаменателей. Вообще у дробей есть бесконечно много общих знаменателей. Часто при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями удается найти более простой общий знаменатель, чем произведение знаменателей этих дробей. В таком случае говорят о простейшем общем знаменателе (аналогично наименьшему общему знаменателю числовых дробей). Рассмотрим пример, где знаменатели дробей - одночлены. 7 3 Пример 2. Выполните сложение + ■ 8ху^ Решение. Общим знаменателем данных дробей можно считать одночлен 48х3у2, который является произведением знаменателей дробей, но в данном случае он не будет простейшим общим знаменателем. Попробуем найти простейший общий знаменатель, что для дробей, знаменатели которых являются одночленами, будет также одночленом. Коэффициент этого одночлена должен делиться и на 6, и на 8. Наименьшим из таких чисел будет 24. В общий знаменатель каждая из переменных должна входить с наибольшим из показателей степени, которые содержат знаменатели дробей. Таким образом, простейшим знаменателем будет одночлен 24x2y3. Тогда дополнительным множителем для первой дроби станет выражение 4y2, так как 24x2y3 = 6x2y • 4y2, а для второй - выражение 3x, так как 24x2y3 = 8xy3 • 3x. Следовательно, имеем: V/r Зж/с 4z/2.7 + Зд: • 3 28г/2 + 9л: Ответ. бх^у 8ху^ 28у^ + 9л: 24x2i/3 • 24д;2уЗ 24:Х^У^ 27 ГЛАВА 1 Обратите внимание, что в примере 2 при приведении дробей к общему знаменателю дополнительные множители 4y2 и 3х не содержали ни одного общего множителя, отличного от единицы. Это означает, что мы нашли простейший общий знаменатель дробей. Рассмотрим пример, в котором знаменателями дробей являются многочлены. „ X + 4 у + 4 Пример 3. Выполните вычитание ---------------. ху - х^ - ху Решение. Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатели на множители: ху - х2 = x(y - х) и у2 - ху = y(y - х). Простейшим общим знаменателем дробей будет выражение ху(у - х). Тогда дополнительным множителем для первой дроби станет у, а для второй - х. Выполним вычитание: X + 4 у + 4 _ X -ь 4 ^!у + 4 _ у(х -ь 4) - х(у + 4) _ ху - Х^ 1/2 _ у.у y^^y _ Д.) ху + 4у - ху - 4х 4у - 4х 4{у - х) ху(у - х) ху(у - х) ху(у - х) ху(у - х) ху' Ответ. ху Таким образом, чтобы выполнить сложение или вычитание дробей с разными знаменателями, нужно: 1) разложить на множители знаменатели дробей, если это необходимо; 2) найти общий знаменатель, лучше простейший; 3) записать дополнительные множители; 4) найти дробь, которая является суммой или разницей данных дробей; 5) упростить эту дробь и получить ответ. Аналогично выполняют сложение и вычитание целого выражения и дроби. Пример 4. Упростите выражение а + 1 - а а - 2 Решение. Запишем выражение a + 1 в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание: а -ь 1 - д2 _ д а-2/а + 1 - а (а - 2)(а -ь 1) - (а^ - а) 0-2 0-2 0-2 28 + а - 2а - 2 - + а Рациональные выражения 2 2 Ответ. а - 2 2 а- 2 а-2 2-0 о 2 4 1. Какой знаменатель является общим для дробей — и —? п т 2. Как выполнить сложение и вычитание дробей с разными знаменателями? Начальный уровень 87. (Устно.) Найдите общий знаменатель дробей: о Ь 3 6 2^ ^; 12 8 04 « Ь 3^ и —; X у с X 4) — ^ —. т 3 88. Выполните действие: 2 3 2^ -; 2V^ 8; 89. Выполните действие: .. X а 1^ —; 5 4 2^_п 6 3 3) ^-i^; 2 k 4) ^ 0 • У X с 3 а Ь i 4 3^ ^ -; 4) - - Ь а 5 р т Средний уровень 90. Представьте в виде дроби: 1^Щ 2) 3^5£1; 5о 2о 4Ь 5Ь 9Ь 18Ь 91. Выполните действие: X Зл: 4) 14 3 2 1)-----1---; 4m 5т оу 8у 9т^ 12т^ ; 4) Тт т 12п2 ~18п2 ■ 4х^ х“ 92. Преобразуйте в дробь выражение: ., 2ж д: - 4 1) — +----------; 3 5 2) 4m-2n_m^; 3) 15у Юг/ о -ь 2 3 - 7о 4) 2-Зу 5 -Зх У X 5) 10 5 д: -ь 7 Зу + 4 4а 6о 5д: \5у 4о -ь 6 о - 6& 6) —^-----ь 2о ЗЬ 29 ГЛАВА 1 93. Представьте в виде дроби: 2) 4 3 X — 6 7 — 2у 3)----^ 4) 2х 4у Зт 94. Выполните действие: 2х-у х-у; 14 7 ’ 6т - п 8п - Ът Ап 1)Л+“ ^ 4) а а-Ъ Ъ- а 2) 2 + т - 5 т“ т° аЪ Ь2 Зл + 7П п- Зт 5)----^ ;—; тп^ т‘‘п 3) 6) 1 1-3x2 Н----;;--; 2x5 Х‘ X -2у у -2х Х1/2 х^у 95. Упростите: т + 2 1; 7п’ i) 2) -г + 3-4ге2 га-' п‘ 3) л:-1/ I/ Х‘‘ ху 4) ср^ рс^ 96. Выполните действия: .,111 а о с 3^ ^ ^ + —; ху уг XZ 2) J^-A + 3; с® с2 С ’ ,,а + Ь & + С а + с 4)--:----:--+ аЬ Ьс ас 97. Выполните действия: .,111 1)---+ —; р т п 04 1 1 1 3)---\--1-; аЬ Ьс са 2) -+-Т-4; X х^ х^ X - у у 4)---- + — г X + 2 — +----. 98. Докажите тождество 99. Докажите тождество ху уг XZ Зх + 1 y-l 7х + у _1-х 7х 2у Зт + 2 п-1 14x1/ 14х Ът + 3п /п + 1 Ът 2п 100. Преобразуйте в дробь выражение: 10/7171 Юттг 1) X + ., а2 + у 4)---------- - а; а 2)^т------; 771 А Р 3) - - Р^ 5) 2х 6x2 + 1 Зх ’ 6) ттг + 2 - Атп Ап 30 ______________________________________ Рациональные выражения 101. Представьте выражение в виде дроби: \)т----; 2) 4р + —; п р 102. Упростите выражение: т п 3) х + у^ У - У; 4) 7р - 14р2 +3 2р ' 1)1 Z о ТП-2 , 771 + 2 3) —----1 + —:—; 103. Выполните действия: .,771 П ^ 2)4 + - а 4) а + Ъ + а - Ъ. 2^ ^ + i; с а 4) х-у + х + у. 104. Найдите сумму и разность дробей: 1) и х-у х+у 2) и а + Ь а 105. Найдите сумму и разность дробей: 1) и 2а + 6 2а-Ъ 2) — и —. т - п т 106. Упростите выражение: 1)^+ " а а -1 ..ж 2 4)---- + ■ л: - 1 д: - 2 2) 5) а - с а а + 1 а 3) ^4^ а 107. Выполните действие: 1) —^-----; Ъ Ъ + 2 2) а -1 3 2 6) х+у х-у а а 2а - 1 2а + 1 т - п т + п 3^ ^----------; р-2 р+3 108. Выполните действие: ,,, а - 2 а 1)^^----^ + X 1 + зс 4)------+ ■ 1 - зс X 3) 2(а + 1) а + 1 а - 2 а + 1 ; 2а + 6 За + 9’ 2) 4) т Зт 4(а + Ъ) 5(а + Ь) 4^5, ах - ау Ъх - by’ 31 ГЛАВА 1 5)*- 30 X х(х + 6) 109. Выполните действие: т -1 т 1)------ + 3) 3(ot + 2) т + 2 X - 2 ГС + 1 ; Згс-12 ~ 2гс-8’ 8 5)i- а а(а + 2) 6) 2) 4) 6) х^ +3х X 7а 4а 3(6 +2а) 9(6 +2а) 3 2 ----------I--------; тх + ту пх + пу 8 1 + 8пг т 110. Представьте выражение в виде дроби: 1 а-6 3 ., 4п + /п 1)^^-----^ + т‘‘ 3) X п + т Х‘‘ 2)-^Л + - а ГС - 5 гс^ - Юге + 25 111. Преобразуйте выражение в дробь: 6^ а - 6 2) 6 + 6 6 + 3 62-9 3) /п /п + 4 /п2 + 8/п + 16 т Достаточный уровень 112. Упростите выражение: 1) а + 4 6 + 4 3) 1) 3) ' Ь 2 аЪ -2 аЬ -Ь^’ 1 ; х2 -4 гс2 + 2х’ Упростите выражение: а - 2 2-6 ; аЪ - аЪ -Ь^' 4 2 ; а2 -9 а2 + За’ 2) ■ 4) 2) 4) X тх - х^ X - т ЗаЬ - 27а2 За2 - 62 62 - ЗаЪ f2 аЬ - За2 ta + t + а’ Зд2 - 8т2 Зтп - п 2 - 2тп тп - 2т^ 114. Докажите тождество (а - 1)(а - 2) (а - 1)(а - 5) (а - 5)(а - 2) 12 ■ + ■ 1. 32 Рациональные выражения 115. Представьте выражение в виде дроби: 4 \)т - п - 3) а2 - -1 т + п ' +1; 2)р- 4) р-2 8р2 2р-3 -2; 4р -1. 116. Представьте выражение в виде дроби: 1) т /п + 3 + 3; 2) 6т^ Зт +1 2т + 4. 117. Докажите, что для всех допустимых значений перемен- ной m значение выражения 118. Упростите выражение: 4/п - 5 т -1 7т - 21 2т - 6 не зависит от m. 1) д: -1 ■ + ■ 2-х 3) - X + 1 at® -ь 1 6 m -12 т^ - 6т 6т - 36 ’ 2) 4) 2/п® 2т ; т - 5 т + 5 25-/п® 3 2а -ь 6 а® - а - 3 ^ 119. Упростите выражение: 1) 3) а + \ + ■ а + 2 + а + 1 а 3 2)-?^i- + а ■ + ■ 2а2 + ■ т + 3 т^ + 4/п 4/п + 16 ’ 120. Докажите тождество 121. Докажите тождество 4) а-3 а + 3 9-а 2 3& + 6 0,9 62-6-2 , о, За -ь 0,6 0,25а -ь 0,5 0,5а® -ь 2а -ь 2 а + 2 0,35 0,2а-0,6 1 0,5а-1,5 а2-6а + 9 “ 2(а-3). 122. Преобразуйте выражение в дробь: ., а2 - 2аЪ + 4б2 + 2аЪ + 4б2 1)----^--------+ 2) а2 - 462 2 4 (а + 26)2 2 (а - 3)2 а2 - 9 (а + 3)2 ‘ 123. Преобразуйте выражение в дробь: 1^ ^ л;2 +ху + у^; Х^ - //2 (х -ь уГ 33 ГЛАВА 1 2) + ■ (х - 2)2 х2 - 4 (х + 2)2 ■ 124. При каком значении a выражение 2 + ■ но равно дроби ? д: - 4 Высокий уровень ___ 125. Докажите, что значение выражения аЗ + За За2 - 14а + 16 а X тождествен- + 2а а + 2 а2 - 4 при всех допустимых значениях переменной - положительно. 126. Докажите тождество 2а2 + За + 1 а® + 2а а + а^ + а -1 f3x + 4 -1. ж + 4 ^ 5д: - 10 Зд: - 6^ 127. Постройте график функции г/ = 15 128. Найдите значение выражения За+ 0,56 12а За-0,56 9а2 - 1,5а6 ~ 9а2 - 0,2562 ~ 9а2 + 1,5а6 при a = -3, b = 19. 129. Найдите значение выражения х + 0,2у 12,5д: X - 0,2у 4д;2 - 0,8x1/ 12,5x2 - 0,5i/2 4х^ + 0,8ху при x = -10, у = 49. 130. Существует ли такое значение х, при котором значение выражения X х2 + 4 2-х 2 + х 4-х2 2x3 _ 8д, ■ + ■ равно нулю? Упражнения для повторения 131. Сколько килограммов соли содержится в 60 кг ее 5-процентного раствора? 34 Рациональные выражения 132. Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Расстояние между городами равно s км, а скорости велосипедистов км/ч и V2 км/ч. Через t ч они встретились. Составьте формулу для вычисления t. Найдите значение t, если s = 150 км, = 12 км/ч, V2 = 13 км/ч. X „ 133. Известно, что — = 3. Найдите значение дроби: У 1) х + у 2) х-у 3) х + 1у 4) х^ + 2ху У У У ху Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 134. Выполните умножение: 2)| -1 3) 2--3-; 3 4 4) 77 f 4V 2) “5 ; V 5/ f 1 3^х ; V 2i 5 4) |1 ,1 '3. 5 16 135. Вычислите: 1) Интересные задачки для неленивых 136. Для актового зала школы приобрели люстру на 31 лампочку. Директору школы нужна возможность включать любое их количество, от 1 до 31. Какое наименьшее количество обычных выключателей для этого понадобится? Домашняя самостоятельная работа № 1 Для каждого задания предлагается четыре варианта ответа (А-Г), из которых только один является правильным. Выберите правильный вариант ответа. 1. Какое из выражений не является целым рациональным? А^^Чу; 5 Б т В. /п - 3 ^^^х ч- у. 2. Сократите дробь 5a:!i:; 5ху' А. 5а; ; У Б. а В. У; Т. а 5у' 35 ГЛАВА 1 3. Выполните действие т-5 А. 3-Ь Б. т 5 И~Ь' Зт - 5Ъ 36 В. 15 - тЪ; 36 ’ Г. mb -15 36 ■ 4. Найдите допустимые значения переменной a в выраже-а-3 нии а+ 2 A. Любое число; Б. любое число, кроме 3; B. любое число, кроме -2; Г. любое число, кроме -2 и 3. 2р + 4 5. Сократите дробь А. р-2’ - 4 Б. 2 р + 2 В. Г. пт, - 4m 4а о. Выполните действие----1---- А. 4/п + 4о т - а т - а а - т Б. 4; В. -4; Г. 2-р 4т + 4а а-т гг тт й (3 + л:)(1 - ж) „ 7. Нри каких значениях x дробь ---------------- равна нулю? А. -3 и 1; Б. -3; о Л7 2т т 8. Упростите выражение ------- ч------ + 5х-5 В. 1; Г. Таких значений x нет. 2т^ т - 3 т + 3 9 - т^ А. т т-3 Б. т 7П + 3 В. 5т^ + Зт; 7тг2-9 ; Г. 9. Представьте дроб^ ^^в виде суммы целого выра- жения и дроби. All 3 А. 1--+ — т т' т° 3 ’ Б. 1 + т 3 ’ В. 1 - m + т 3 ’ Г.1- т + 10. При каких значениях x выражение -9 X + 1 - 4 т° имеет смысл? А. При любых; Б. при 3; В. при -5; Г. при 3 и ^ Ф -5. 36 Рациональные выражения 11. При каких значениях x дробь А. 3; Б. 3 и -3; 12. Найдите значение выражения при л; = 13, у = 0,99. 9 равна нулю? |х + 1| - 4 В. -3; Г. 3 и -5. 2(х - 4у) - 8у А. 1300; Б. -1300; (X - 2)(у - 1) (2 - х)(1 - у) В. 130; Г. -130. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ К § 1-4 1. Какие из выражений - целые, а какие - дробные: 1) ^г^Ь; 3 2) х-у; X 3) с + 2 4) р2 - p - 19? 2. Сократите дробь: 1)-; тп 2) АаЬ АЪс 3. Выполните действие: 1^ ^^ + —; п п 2) X у 4. Найдите допустимые значения переменной в выражении: 1) х(х -1) 5. Сократите дробь: 2) 1 а + 2 а - 3 1) 16ат 2) 12ат^ 20Ьт 8тс 6. Выполните действие: 3) 2т - 6; m2 -9; 4) ах + 2а д;2 + 4д: + 4 ’ ., За 36 1)-------- + а - 6 6 - а 5д: + ы X - 5у 2) —^ х^у ху‘ П 26 6 7. Упростите выражение ^---т + + ■ 262 6-4 6 + 4 16-62 8. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби: 1) с2 - с® + 5 2) р-1 ' 9. Постройте график функции у = х^ - 4х 16-4л:. 37 ГЛАВА 1 Дополнительные задания 10. Найдите: 1) область определения выражения 16 |х + 1| - 5’ 2) значения х, при которых дробь 11. Упростите выражение -16 ж + 1| - 5 3(а - 2Ь) а2 - 6& равна нулю. 5 (а - 3)(Ь - 4) (3 - а)(4 - Ъ) УМНОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ. • ВОЗВЕДЕНИЕ ДРОБИ В СТЕПЕНВ Напомним, что произведением двух обыкновенных дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей данных дробей: а с _ ас ь ~а~ы' Докажем, что это равенство является тождеством для любых значений а, b, c и d при условии, что b ф 0 и d ф 0. Пуст^ — = р, — = q. Тогда по определению частного а = bp, Ъ d c = dq. Поэтому ac = (bp)(dq) = (bd)(pq). Так как bd ф 0, то, сно- ас ^ ва учитывая определение частного, получим^ = —. Следо- bd и J а с ас вательно, если b ф 0 и d ф 0, т^ — — = —. Ъ d bd Сформулируем правило умножения дробей. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить отдельно числители и отдельно знаменатели сомножителей и записать первый результат в числителе, а второй - в знаменателе произведения дробей. ь Пример 1. Выполните умножение Решение. 12т 9т2 Ь2 64 12т 64 • 12т 46^ 9т2 62 9т2 • 62 Зт Ответ 462 Зт 38 Пример 2. Найдите произведение __ Рациональные выражения cm + cd 8д:® 2х Решение. Используем правило умножения дробей и разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй: cm + cd 8д:® с(/п + d) ■ 8л:® 4сх^ 2х Ответ. т“ d® 2х{т - d)(m -i- d) т - d 4сл:® т - d Обратите внимание, что в примерах 1 и 2 при умножении дробей мы не находили сразу же результат умножения числителей и знаменателей. Сначала мы записали произведения в числителе и в знаменателе по правилу умножения дробей, потом сократили полученную дробь, так как она оказалась сократимой, а уже затем выполнили умножение в числителе и в знаменателе и записали ответ. Целесообразно это учитывать и в дальнейшем. Пример 3. Умножить дробь X л:® + 2х на многочлен х2 + 4х + 4 Решение. Учитывая, что х2 + 4х + 4 = х^ + 4х + 4 -, имеем: X • (л:® -ь 4л: -ь 4) = л: - 2 х^ + 4х + 4 (х - 2)(л: + 2)® л:® -ь 2л: х^ + 2х (л: - 2)(л: + 2) _ х^ - 4 л:(л: + 2) X Ответ. л: л:® - 4 Правило умножения дробей можно распространить на произведение трех и более множителей. Пример 4. X' 3-8 Зл: + 9 5л:-15 л:® - 9 л: - 2 Зл:® -ь 6л: -ь 12 (л: - 2)(л:® +2х +4)- 3(л: + 3) • 5(л: - 3) _ (л: - 3)(л: + 3)(л: - 2) • 3(л:2 + 2л: + 4) “ а 5. Рассмотрим возведение дроб^ — в степень п, где n - на- Ъ туральное число. По определению степени и правилу умножения дробей имеем: 39 ГЛАВА 1 п множителей /■ \п ' а а а ь'ь а _ а • а ~Ь ~ а а" Ь Ь ■... Ь Ь" п множителей Следовательно, п множителей а" ybj Ь"' Сформулируем правило возведения дроби в степень. Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числитель, а второй - в знаменатель дроби. Пример 5. Zx^y'f _ (3x^yf _ S^jx^fy^ _ 27х^у^ ) ~ (5f3)3 “ 53(i3)3 “ l25^9 • Пример 6. Представьте выражение Решение. (-1) в виде дроби. jYfibpbO Ответ. - yf^ZbpbO 1. Сформулируйте правило умножения дробей. Докажите его. 2. Сформулируйте правило возведения дроби в степень. Докажите его. Начальный уровень ■ 137. Выполните умножение: 1^._L; 2^.“, а im а 5 3) 3’ * ’ Р 4) — 8 1 X 138. Выполните умножение: 1^. А. 2) i. !• а 26’ 2) 9 Ь’ 3) А. 7а 56 з’ 4)1. т т "s' 40 139. Преобразуйте в дробь выражение: ,2 Рациональные выражения 5 о 2^.А. 3 62’ 3) а“ 4) Л-- л;2 3 140. Преобразуйте в дробь выражение: 1) 7 62 2) а-' 6 3' ' аЗ 2 Средний уровень" 3) т 8 тп2 ’ 4) а“ 4 12 а ■ 141. Выполните действие: 1^ 21 ’ ^ 20а2’ 2) 5!^ 4дЗ 56’ 30 cm а ’ ^ ^ 9/п2 ’ 5) г; ■ { [ 8x3 J. 5x2 f 211/2Л ) 7i/3 [ 25xJ 142. Преобразуйте в дробь выражение: 15/п2 11 1) 22 10/п 2) ^ 2,5с2 2) 7 ■ 15рЗ ’ 3)i^ лф 45 4) 4а 8а2 5) 5с2 49i/ ЮсЗ’ 6)- 6g2 6563 136 30а 143. Преобразуйте в дробь выражение: 1)9р- 6р 2 ’ 2) 4/пЗ хЗ; 4) -7абЗ 63 х“ 5) -4пгга2 3) 9аб2 14а 144. Выполните действие: а 8тп 6) -11а2б 56 ч ЗдЗу ( 22аЗб2 1) 16/тг2 12/тг; 2) аЗ 7x3 а“ 4) 5с/тг'* т 15с 5) -5аб2 10а6 3^ ^ • 12x1/3; 6)13c2d " 26с3^2 145. Упростите выражение: 7сЗ 25/пЗ 8дЗ 45с® 1) 107п2 14с® ’ 2) 27с4 16аЗ’ 41 ГЛАВА 1 3) 4с® 15а® 5а® 4) - 25р®д'^ Зл7Л 10р®д ГГ 146. Упростите выражение: 1) 9т® 35а® 1) 3) ’ 25а® 18т® ’ 5т® 7а® ; 21п7 10т4’ Выполните умно а® + 2а а ; ' 5 4а+ 8’ 2а -Ъ 15а® ’ ’ 10а 6-2а’ аЪ - ас 25р ' Юр хс - л 2) 7р® 18а® 4) - ^ 27^^ 14р® 12с4^4 V у г 1 ^ 18c®d4 2) а® - аЪ; )^ 21 ’ 148. Выполните умножение: 1) 3) 5) Зт л: 7 2т-6 а - Ъ 24т 16т® Ъ - а За - 36 f 18л: 12л: mb - та 4) 6) 2) 4) 6) 10а6 л:® - у®; X + у 5а6 ’ а® + аЪ ху а® + 2аЬ + 6® 5а X® + ху 15’ X® - у® 20ус 5рс У т® - 2mn + п® рс т 2 _ та 149. Возведите в степень: 1) 4) л® —1 4mj 2m® Зх® 2) Зс® m Л4 5) 3) 6) ^ Зт®а^^ с®т®^^“ р ; 150. Представьте в виде дроби выражение: 1) 4) 7 . Л® 7 „ Л4 7 4c®m®f v5m у Зс® л® т‘ 2) 5) 2х® / о \6 с®т 2а® 3) 6) аЬ® л® 42 Рациональные выражения т Достаточный уровень 151. Упростите выражение: 52Ьс^; ^ ' 128а®’ 152. Выполните действия: 14X23 271/3 45X1/ 2) . 10,ср2 У" 1) 811/2 5X2 722 ’ 2) 6® ■ 3/пс® • 105х®1/ 747П®6 153. Найдите произведение: 1) т 2 - 4т + 4 7тг2 - 9 771.2 + бттг + 9 Зт - 6 ’ 154. Выполните умножение: 1) а2 + 8а + 16 7а -7 2а + 1 а2 - 16 2) - 2) ШттгЗ ^2 - Юх + 25 хЗ + 27 х2 - Зх + 9 25 - х2 7/3-8 7/2 _ еу + 9 9-7/2 у2 + 2у + 4 155. Преобразуйте в дробь выражение: 1) (4а + 20&) ■ 3) ----^------ 2а2 -18 4) (хЗ + 27т/3) а2 - 25&2 ’ (а® - ба + 9)’ 5 2) (ттг® - 4) 2т (т - 2)2 ’ Зх® - 9x7/ + 27т/2 156. Преобразуйте в дробь выражение: 4 1) 9т/2 (6х + 18т/)’ 2) (с® + 4с + 4) Зс® -12 157. Выполните действия: 1) 25х® 8т/3 лЗ 167/5 125х® Л2 158. Выполните действия: 1) 16771® 27тг5 Л2 9тг4 8т?г2 ^з 2) 2) X® - 2X7/ + 7/ X® + 2X7/ + 7/2 2 7 ж + у лз т - ттг® + 2тп + тг® ^771 + 771® - 277171 + 71® 43 ГЛАВА 1 159. Найдите значение выражения: ^ 25а2 - &2 ^ 2 б 1^ ^----;---;;---^— при a = 1,2, b = 6; 2) 5а + & 6а - 1 а® + 8 + а а^ - 1 а^ - 2а + 4 1Р Высокий уровень 160. Выполните умножение: 1) при a = 6. + ах - сх - са х^ + ас + хс + ха 2) х^ - ах + сх - ас х^ + ас - хс - ха 5а - 5Ь с^ - - с - у Зс + Зу а^ - Ъ^ + а- Ь 161. Вычислите значение выражения при a = 100, b = 101. а^ -Ъ^ + а + Ь 4а - 46 а^ - Ь^ + а - Ъ 8а + 86 Упражнения для повторения 162. Решите систему уравнений: 1 (х + у) = 3, = 5; 2) 3 2 х-1 у-1 4 ~ 3 12 163. Постройте график функции у = х^-8 X - 2 - х^. Решите и подготовьтесь к изучению нового ллотериоло 164. Найдите число, взаимно обратное с числом: 165. Вычислите: 1^-^^; : 45 135 1 з; 4^1 5) 0,16; 6) 1,2. 15 1б; 3) -3- : 7 2Д 4) 14 15 i, 25j 44 Рациональные выражения Интересные задачки для неленивых т 166. (ХУ-я Всеукраинская олимпиада, 1975 г.) При каких натуральных значениях n число 2" + 65 является квадратом целого числа? ДЕЛЕНИЕ ДРОБЕЙ Напомним, чтобы найти частное двух обыкновенных дробей, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю: 2 3 2 7 _ и 5 ■ 7 “ 5 ’ 3 “ 15‘ Формулой это можно записать так: аса d Ь d Ь с Докажем, что это равенство является тождеством для любых значений а, b, c и d при условии, что b ф 0, c ф 0 и d ф 0. Так как 'а d^ с а 'd с. d ~~ь' .с d. а 1 _ а ~b'^~b, то по определению частного имеем: а с ~d а d Ъ с а с d а Ъ d с Следовательно, если b ф 0, c ф 0 и d ф 0, то — Ъ Дроб^^ называют обратной дроб^ —. с d Сформулируем правило деления дробей. уК Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно пер-(3 вую дробь умножить на дробь, обратную второй. Пример 1. Разделите дроб^ на дробь Решение. 21л;2 Зх 8уЗ 161/2 21л;2 161/2 _ 21д:2 • 16i/2 _ 7л: • 2 _ 14х 8уЗ Ответ 161/2 14л: У ' 8у2 Зл: 8уЗ.Зх У У 45 ГЛАВА 1 Пример 2. Выполните деление Решение. - 25 Зх + 15 (ж - 5)(х + 5) -25 . Зх + 15 х^ + 2х X X х^ + 2х X _ (х - 5)(х + 5)х х(х + 2) 3(х + 5) X - 5 X - 5 Зх(х + 2)(х + 5) 3(х + 2) Зх + 6 X - 5 Ответ. Зх + 6 Пример 3. Упростите выражение - 4 5а : (a2 + 4a + 4). _ „ р. .а2+4о + 4 Решение. Так ка^ ^ ^ ^ =-----, то: 5а (а - 2)(о + 2) (а2 + 4а + 4) 1 4 + 4а + 4 5а 1 (а - 2)(а + 2) ■ 1 а - 2 5а а - 2 5а2 + 10а' (а + 2)2 5а(а + 2)2 5а(а + 2) Ответ. а - 2 т 5а2 +10а Сформулируйте правило деления дробей. Докажите его. Начальный уровень 167. Выполните деление: 1^ : 2^ : а о X 2 168. Выполните деление: 1) . 2; X ■ у’ 2) а 5 2 ' Ь; 3) 3) т т 4 5 4) а X2 X X X 4)-:-3 2 т Средний уровень 169. Упростите выражение: 1) 76 2162 12а 16а 2) 15 3/п 2л2 8/г ’ 3) 96 562 14а 21а2’ 46 4)- 7)- Зх^ а а 12а2 5)14ж2 7х Рациональные выражения 8л;3 6) 7а : i-2x^y. (16а2); 8) -40/па® : 8т^ 170. Выполните действие: _ а 2) Зр . 15р2 3^-^; 5с 15с® 6) -12а®6с с Ь 171. Представьте частное в виде несократимой дроби: 1) 12/тг® бт'^ 3)- 7c‘^ ' 35с®’ 7аЬ . 21а®Ь; 4cd 8cd® ’ 2) 9/71® т 5 Л 4)-- 22п® ^ 27 тЧ 11п® 7с® д; 9тп^ 7с® JC® 172. Представьте частное в виде несократимой дроби: 1) 3) 6а® . 5Ь® ■ 15Ь’ 7 15х^у^ 8тп^ 2) 4а® ^ 53gy . 2тЧ V 173. Выполните деление: 2а + 5 Ь + 2а 1) 3) 5) 4:р 8р® ’ - За 5а 9у® ■ 9у’ 7а6 14а6® с'^ - Зс Зс - 9 174. Выполните деление: х-у . у -х; 1) 3) 2а® 8а л® + д: 5д: + 5; 9аЬ 18а®Ь’ 2) 4) 6) 2) 4) 2а6® . Г 2а®6 9д:®р ' t 27д:®р® За - 2д: 2д: - За; 7д:® 14д: ; а® + а _ 5 + 5а 9Ь® ■ Ь® ’ 11а . 22а® ттг® - 2т 6 - Зт р® + 2р 7Р. 18а® 9а’ Зд: - д:® 2д:-6 7р 14р® ■ 4аЬ /тг 47 ГЛАВА 1 175. Упростите выражение: 1) 3) 771^ - тп + p + 2q 2р + 4q а + 2 + 4а + 4 а - 2 5а-10 2) 4) бзс-30 . -25, 2л:+ 5 ■ 4л:+ 10’ X + у ^ + 2ху + у^ р - 2т 2т^ - тр 176. Упростите выражение: 1) 3) аЪ + Ъ^ т -Зп 2т - бтг л:^ - 9 л:^ + 6л: + 9 л: - 5 2х - 10 2) ^--------------------- л:^ + л: 7л: + 7 4) у--4 Зу-6’ X - 4у 4ху - х^ - 2аЬ + а-Ъ т Достаточный уровень 177. Выполните действия: 4а^ 8а® 14с® 1) 3) 5Ь® ' 7с® ' 15&2 ’ ^ 9с® . 27с®р^ 20р® ■ 10 18/7« 2) 4) 2а® 106® 4а® 256® Зс4 156с 115а® 92а® 46® 3464 51^3 15^2 178. Представьте в виде несократимой дроби выражение: За® 7с® 9а6 26®с® ■ 66® ■ 14с® ’ 179. Выполните деление: 9 + 6а + 4а® 27 - 8а® 1) 2а-1 4а® 1,2 2) 2) 7л:® 216л:® . 18л:® 4у® ' 3431/® ■ 491/4 ■ 8 + л:® л:® - 2х + 4 16-л:4 л:® + 4 3^ ^ 7/®) : L-^’ 4^ ^/® - 12ху + 4л:®). 3 180. Найдите значение выражения: 1) л:® - 8 X® + 2л: + 4 9х® -16 Зх -4 при x = -3’ 2^ ^ ^ ^77®) : при m = 10, n = 3. 48 181. Найдите значение выражения: Рациональные выражения 1) 2) 25 (2л: - у)^ 4л:^ - (л: - 2у)^ - 4у^ пр^ ^ ^17 —, у = 0,02; 3 при x = 4,2, у = 1,6. Высокий уровень 182. Упростите выражение 0,5а2-32 0,2а+ 1,6 0,5аЗ-62,5 0,2а2+а + 5 1 183. Докажите тождество 184. Упростите /пЗ+27 ^т^-т + 3 75m2_i2 m-0,4 25/n +10 баЬ + 6 - 4a - 9& 9b^ -126 + 4 185. Выполните действие a2 - 12a + 36 Sab - 186 - 2a + 12 a + 4 a6 + 46 - 2a - 8 X - a cx + xy - ac - ay . Упражнения для повторения 186. Представьте дробь в виде суммы или разности двух дробей: 1) 3) 2а - 6; а6 ’ 4m2 + 5га2 т^п ’ 2) 4) 7У^+У\ У^ ; 18л: - 24л:2у ЗОг/2 187. Вычислите значение дроби: ., тп2 + бтп + 9«2 1 1 1)------------г-- пр^ ^ = 2—, п = -2—; ^ (2тп + 6п)2 13 7 2) 0,1л:2 -2,5i/2 х2 + Юху + 25l/2 188. Докажите тождество при x = 100, у = 20. 1 1 ■ Ч---------------1- + ■ 8 1 + л: 1-л: 1 + л:2 1 + л:‘* 1-л:3 49 ГЛАВА 1 Интересные задачки для неленивых 189. Украинский гроссмейстер по шахматам Василий Иванчук участвовал в чемпионате мира по блицу. В первый день он победил соперников в 70 % партий, а во второй день выиграл еще 15 партий подряд. Доля выигрышных партий за два дня достигла 80 %. Сколько партий за эти два дня сыграл Василий Иванчук? 7, ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Рассмотрим примеры преобразований рациональных выражений. Пример 1. Докажите тождество + у Ъу^ X Зл Решение. Упростим левую часть равенства: Qx + у Ъу^ Ьх + у 5у^ ■ X Qx + у Зл: х^ &Х +у -у Зх 15у Зх х^ ■15у Зх 15у Зл: = 2. = ^ = 2. Зл: С помощью тождественных преобразований мы привели левую часть равенства к правой. Следовательно, равенство является тождеством. Пример 2. Упростите выражение 2л: Л f + 4:X^• - у^ у - Зх 2л: 4х^ 2л: + у 4л:^ + Аху + у^ Решение. Сначала выполним действие в каждой из скобок, а потом - действие деления: 1) 2л: 1 2л: ^^+*'/1 4л:^ -у^ У - Зх 2х - (2л: + у) (2л: - y)i2x + у) 2х -2х - у Зх-у У (2ж у)(2х + у) У . (2х - у)(2х + у) (2х - у)(2х + у) 2) (у - 2х)(2х + у) 2х Ах^ ^^^^'2х 4л:2 2л: -ь у 4л:^ -ь 4л:у л- у^ 2х + у (2л: + у)^ 2х(2х + у) - Ах^ Ах^ + 2ху - Ах^ 2ху (2л: -ь у)2 (Зх + у)2 (2л: + у)2’ 50 Рациональные выражения 3) У 2ху у (2х + yf {у - 2х)(2х + у) (2х + yf 2х + у ^х + у (у - 2х){2х + у) • 2ху 2х + у Ответ 2х(у - 2х) 2ху - 4х^ * * 2ху - 4х^' Решение можно было записать и в виде «цепочки»: 2х 2х 4х^ 4х^ - у^ у -2х) + у 4х^ + 4ху + у^ f 2х 2ж+1//> r^*+*'/2x 4x2 ^ [(2х - у)(2х + у) 2x-yJ . 2х -н у (2x + y)2j _ 2х - (2х + у) _ 2х(2х + у) - 4x^ _ (2х - у)(2х + у) ■ (2х + yf (2х - 2х - у)(2х + yf -у(2х + у) (2х - у){2х + у){4х^ + 2ху - 4х^) (2х - у) ■ 2ху _ 2х + у _ 2х + у _ 2х +у 2х{2х - у) 2х{у - 2х) 2ху - 4х^ Каждое выражение, содержащее сумму, разность, произведение и частное рациональных дробей, можно представить в виде рациональной дроби. Пример 3. Докажите, что при всех допустимых значениях 3x3 _у -ь1 переменных значение дроби У Ъх + у У неотрицательно. -1 Решение. Можно представить эту дробь в виде частно- и далее преобразовать ее, как го f3x3-y л +1 ^Зх + у 1 у J 1 У ) предложено в примере 2. А можно, используя основное свойство дроби, умножить числитель и знаменатель данной дроби на их общий знаменатель, то есть на у: 3x3 У + 1 У Ъх + у _ ч 3x3 _ у У + 1 У У _ (Зх^ - У)У У__________ у ЗхЗ Зх Зх -ь у У -1 У (Зх -ь у)у У + У У Зх^ - у+ у Зх + у-у х^, но X2 I 0 при любом значении х. 51 ГЛАВА 1 т Средний уровень 190. Выполните действия: 12а + Ь 7&2 а 1) За 3).^+ ^ 21Ь 2а + Ь 2а + Ь а - Ъ а^ &2’ 191. Выполните действия: Юл: + у 3i/2 л: 1) 5х 15у’ X + у 3) ----— + л;2 - 1/2 Зх - у X + у Зх - у 192. Упростите выражение: 1) 3) ^х 7 . — + — + 2 v7 X ( а а + 2 - За а + 2 а 193. Упростите выражение: 1) 3) v5 т f \ Ъ-3 2Ъ Ъ-3 194. Докажите тождество: 2) X - 3 т л;2-9 т - п х + З’ 4) X - х‘‘ - ху X х+у х-у 2) а‘‘ 9-62 'з + ь з_/,’ тп2 + тп т 4) т + п-т т + п ^ 1 04 Г. гпЛ ; 2) 1 + — 1 ) х + 7 ' 1 3nJ 1 зп; 4) 2 + ■ X X + 1 9х + 6 5x2 + 5 ■ ^ 1 ( Г. J т -5’ 2) 1 -- L у) 1 у) 4) т '' т + 2у Ат + 12 /п2 + 2т 1) 2а а2 ^ 6 а - 6 2) 6 ^ &2 а уп т ~2 т (--- т^ Ь ’ т + п п 195. Докажите тождество: С 1) 2) 2х .2 Л 1 +-+ — V у г; 2т Vn2 1 Wi 1 ^ — + 2т У ^ х + у; х + у I/ ’ 2т - п п 2т п 52 Рациональные выражения т Достаточный уровень 196. Выполните действия: - 2 д: + 2^ - 4 1) 2) х+2 X-2 л + 3 с 4х 24а а^ - 6а + 9 \^а — 3 flt + 3^ 197. Выполните действия: 8т f т + 1 т - 1) т“ ^/тг - 1 т + 1 2) а-2 а + 2 -----1---- а+ 2 а - 2 а^ - 4а + 4 2а^ +8 ■ 198. Упростите выражение: 1) 2) д + 3 а — 3 36 а - 3 ^2х + г/ ^ 2х - г/^ + ■ 36 л а-3 а + 3 а^-9 Х2 _ 4у2 X - 2у X + 2у 199. Упростите выражение: 16 Гл: + 2 16 х^ + у^ 1) 2) х + 2 ^х -2 X _____д:-2^ 2-4 х+2 5а + 1 5а - 1 --------1-------- а - 2 а + 2 а‘‘ 5д2 +2' 200. Докажите тождество а а д2 + 25' va-5 а+ 5 25-д2у а а2+10а + 25 а + 5‘ 201. Докажите тождество Ъ 62+49 + ■ л 6 + 7 62 -49 6-7 6-7 202. Выполните действия: _________1 ^ . 1 - д2 д2 + 2а + 1 1) 2) 2а 62 + 146 + 49 = 6 + 7. д: + 1 д: + 3 ■ + ■ Д2 -1’ 6 Л 4х^ -4 2д: - 2 2д: + 2 2x2 - 2 53 ГЛАВА 1 203. Выполните действия: ^ 1 1 1) 2) ^ - 4 4 - - 4а + 4 2а а + 2 21 - а ^ + а +1 За — 3 За + 3 За^ — 3 а^ -1 204. Докажите тождество: 1) 2) 2а^ - а а +1 л г а“ т - 2 а -1 а + 1; а + 1 - а + 1^ 6т - 13^ 2т^ + 16 3 - т -2т + 4: /п® + 8 18 - 6т 205. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения от значения переменной не зависит: 1) 2) а + 2 + ■ За - 8 4а-28 а + 2 а^ - 2а + 4 а® + 8 3 3 16 , _____ ^а + 1 а® + 1 - а + 1 + ■ 2а-1^ а а +1 206. Докажите, что при всех допустимых значениях перемен- Ь-2 ( 1 9Ь + 6 1-2Ь ^ ной b значение выражения 15 6-2 63-8 62 +26 + 4 от b не зависит. 207. Представьте в виде рациональной дроби: f т. п. \ 1) V п mj >2 г-9. л2 1 2) 3) 4) ^а2 6 X \2 л 2 + У 6 + 1 У у Л2 '.Г + у г л2 2 л;2^ а + 6 а - 6 ^2 + ■ V а У а + 6 а - 6 ^2 О 208. Преобразуйте выражение в дробь: 1) f Л2 W X) 2) т + 1 Л2 \п т ~2 Л2 54 209. Упростите выражение: 1) Рациональные выражения 4) 210. Упростите выражение: Zp + т 1) 1 + — т. 1- 4 ’ т 4) X - 2л:-1’ 2) 5) т Зр - т т т 2-т + + 1 2 + т т . X И 2 + т Высокий уровень т 2-т' +------- т 1-1 X 7л: - а + 1 1 2) а 3) Р 2 1+1' X 7х + а ' -1 1 а р® 2 6с-9 X X -ь 1 1 с 5) X -1 X ' 6) п-т 3-1 ' с X х-1' 1 X -1-1 X п-т 1 ’ 2р^ 3) + ■ 1 1 ----1-- t 1 4f2 ^ 1 1 + ■ 6) л: - 2 л: + 2 л: - 2 л: + 2 211. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения от значений переменных не зависит: 8 ( 2а-0,5& 24а& 1 ^ 4а - 6 -I- -I- ■ 4а^-I-аЬ-I-0,256^ 64а® - Ь® 2а-0,5Ь 212. Найдите значение выражения ^ 1,5а-4 2а-14 1 ^ + 0,5а2-а-ь2 0,5а®-ь 4 а+ 2 а + 2 при a = 197. 213. Известно, что х-----= 7. Найдите значение выражения X 1 л;® -ь 214. Известно, чт^ ^— = 3. Найдите значение выражения X 2 1 л:® + —. 55 ГЛАВА 1 215. Упростите выражение: 1) 2) Г 8x2 + 2х 2х + 1 ^ 1 + V 2х +1 4x2 +10х^ t 8х3 -1 4x2 + 2х + 1^ 2х 4x2 + 2х ^ 2р + 1 2р 1-р 2 ^ + ■ . Р~^ р^ + 1 р^ - р + 1 р -1 216. Докажите, что значение выражения 2х + ■ + 4х л: + 1 X -1 х^ -1 2х + ■ р + г 4х X + 1 X -1 х^ -1 не зависит от значения переменной. 217. Докажите, что значение выражения - 3/71 + ■ + Зт^ + Зт + 1 + 2т + 1 3-т т^ - 2т + 1 1- т 2_^ “■у положительно при всех допустимых значениях переменной. 218. Преобразуйте в рациональную дробь или целое выражение: 1)1- X 1- X 2) т х + 1 т т т 1-/71 219. Преобразуйте в рациональную дробь или целое выражение: 2х 1 1)1 + X 2) х + 2 п - п + п /1-1 Упражнения для повторения 220. Представьте выражение в виде степени: 1) x7x3 : x2; 2) (x5 : x2) : x; 3) (a2)3 • a; 4) (x3)5 : x4. 221. Докажите, что число 89 - 412 делится на 7. 222. Постройте график функции: 2х + 5, если X < -1, 2х + 4, если X < о, 1^^^^^ 2) у = 4-х, если X > 0; 3, если -1 < X < 4, X - 1, если X > 4. 56 Рациональные выражения 1 Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 223. При каких значениях переменной выражение имеет смысл: 1) X -1 ич 1 1 4)- + . X X - 5 2) 5) X -1 3) X + 2 ; х(х + 3) ’ х2 -9’ 6) ЛЩб_? х^ - 4х 224. При каких значениях переменной значение дроби равно нулю: 1) (т - 1)т; т + 2 ’ 2) х^ - 2х ~8“; 3) (т + 2)тп; /п^ - 4 ’ Х'^ + X 225. Решите уравнение: 1^ ^ ^ ^ ^ 2) 5(х -2)- 7(х + 1) = 9(х - 8). 226. Решите уравнение, используя основное свойство пропорции: 1) 2х - 4 Зх + 1 2) 2х-11 _ Зх + 17 5 “ 10 ■ Интересные задачки для неленивых 227. (Из книги «Универсальная арифметика» Ньютона). Некто решил разделить определенную сумму средств поровну между нищими. Если бы у него было на 8 динаров больше, то он дал бы каждому по 3 динара, но он дал лишь по 2 динара и еще 3 у него осталось. Сколько было нищих? 8 РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Напомним, что два уравнения называют равносильными, если они Q имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют. Так, например, равносильными будут уравнения х ч- 3 = 5 и 4х = 8, поскольку корнем каждого из них является число 2. Уравнение ^ - 3 = 7 и 2х = 18 - не равносильны, так как корнем первого уравнения является число 10, а корнем второго - число 9. 57 ГЛАВА 1 Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения. 1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному; 2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному; 3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному. Рассмотрим уравнения: 3(л; - 1) + 2х = X + 7; ^ х + 7 2 1 = х\ ----------= 14 -ь —. at -1 X 3 6 Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями. Уравнения, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями. В первых двух из записанных выше уравнений левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения - дробное выражение, то его называют дробным рациональным уравнением. Третье из записанных выше уравнений является дробным рациональным. Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе. 1. Применение условия равенства дроби нулю. Р г. Г-Р = О, Напомним, что — = 0, когда < Q iQ^O. Пример 1. Решите уравнение X = 3. at - 2 Решение. С помощью тождественных преобразований Р и свойств уравнений приведем уравнение к виду — = 0, где P и Q - целые рациональные выражения. Имеем: Q X at - 2 = 3; ^-2 = 0; х-2 1 X - 3(at - 2) at-2 = 0; at - Зх -ь 6 х-2 = 0. 58 Рациональные выражения Окончательно получим уравнение: —— = 0. X - 2 Чтобы дробь ^ равнялась нулю, нужно, чтобы числитель X - 2 6 - 2х равнялся нулю, а знаменатель x - 2 не равнялся нулю. Тогда 6 - 2х = 0, откуда х = 3. При х = 3 знаменатель х - 2 = 3 - 2 = 1 ^ 0. Следовательно, х = 3 - единственный корень уравнения. Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так: 6 -2х = 0; 6 - 2д: = о, Гл: = 3, д: = 3. д: - 2 [д: - 2 ^ 0; [х ^ 2; Ответ. 3. Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно: 1) с помощью тождественных преобразований приве- ^ сти уравнение к виду — = 0; Q 2) приравнять числитель P к нулю и решить полученное целое уравнение; 3) исключить из его корней те, при которых знаменатель Q равен нулю, и записать ответ. 2. Использование основного свойства пропорции. Есл^ ^ = —, то PN = MQ, где Q ^ 0, N ^ 0. Q N Пример 2. Решите уравнение 2х + 1 X + 1. д: - 1 д: - 2 Решение. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то х - 1 ^ 0 и х - 2 ^ 0. Имеем: х ф 1 и х ф 2, то есть ОДЗ переменной х содержит все числа, кроме 1 и 2. Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его 2д: + 1 д: + д:-2 2д: + 1 2д:-2 —, получив пропорцию: к виду: X-1 X - 2 ж-1 По основному свойству пропорции имеем: (2х + 1)(х - 2) = (2х - 2)(х - 1). Решим это уравнение: 2х2 - 4х +х - 2 = 2х2 - 2х - 2х + 2, откуда х = 4. д:-2 59 ГЛАВА 1 Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем. Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так: 2д: -I-1 2х-2 X {2х + 1)(л: - 2) = {2х - 2)(,х - 1), д; - 1 5^ О, X - 2 ^ 2х^ - Ах + X - 2 = 2х^ - 2л; - 2л: -ь 2, X ^ X ^ 2\ Ответ. 4. д: = 4, X ^ X ^ 2\ д: = 4. Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно: 2) привести уравнение к виду 1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении; L-K. Q~ N; 3) записать целое уравнение P • N = M • Q и решить его; 4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ. 3. Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей. х-2 5 5 Пример 3. Решите уравнение ■ + ■ Х‘‘ Х‘‘ Х‘‘ + X Решение. Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители: 2 5 5 X + ■ (д: - 1)(д: + 1) х(х - 1) д:(д: + 1) Областью допустимых значений переменной будут те значения X, при которых x Ф 0, x - 1 Ф 0, x + 1 Ф 0, то есть все значения X, кроме чисел 0; 1 и - 1. А простейшим общим знаменателем будет выражение x(x - 1)(x + 1). Умножим обе части уравнения на это выражение: д:-2 5 5 (д: - 1)(д: -I-1) д:(д: - 1) д:(д: -I-1) д;(д: - 1)(д; -I-1). 60 ___________________________________ Рациональные выражения Получим: x(x - 2) = 5(x + 1) + 5(x - 1), а после упрощения: X2 - 12x = 0, то есть x(x - 12) = 0, откуда x = 0 или x = 12. Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем. Следовательно, число 12 - единственный корень уравнения. Ответ. 12. Решая дробное рациональное уравнение, можно: 1) найти ОДЗ переменной в уравнении; 2) найти простейший общий знаменатель дробей, входящий в уравнение; 3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель; 4) решить полученное целое уравнение; 5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ. Пример 4. Являются ли равносильными уравнения х-2 О и 2х - X2 О? X + 1 X-3 Решение. Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений. Первое уравнение имеет единственный корень x = 2, а второе - два корня x = 0 и x = 2 (решите уравнения самостоятельно). Следовательно, уравнения не являются равносильными. Ответ. Нет. 1. Какие уравнения называют рациональными? 2. Какое уравнение называют целым рациональным, а какое - дробным рациональным? 3. Как можно решить дробное рациональное уравнение? т Начальный уровень 228. (Устно.) Назовите целые рациональные уравнения, дробные рациональные уравнения: 2 X X 3 3^^^Li1,15; 4) 2) X2 - 2х(х -ь 3) = X - 7; 4 8 X + 2 X - 3 15. 61 ГЛАВА 1 229. Является ли число 1 корнем уравнения: ^ = 0; 2) ^ = 0; 3^ ^ = 0; X + 2 X + 2 X-1 230. Является ли число 2 корнем уравнения: 0; 3) " х^ — 1 4) ----- = О? X 1^ = 0; 2) . X + 3 X + 3 231. Решите уравнение: 1^ ^ = 0; 2) ^ = 0; X - 2 X 232. Решите уравнение: X 3) 1) X + 1 0; 2) = 0; 3) X = 0; х-2 4) ас +1 ^ + 2 д; 4) ас + 5 ас-1 °; ас ^ + 3 _ q; 4) ас + 7 ас - 4 ’ ас О? = 0. 0. т Средний уровень 233. Решите уравнение: 1^1 = 0; 2) л: + 4 X 234. Решите уравнение: 0; 3) л: - 9 0; 4^ = 0. 1-х 1^ = 0; 3) X - А х“ 0; 2^ = 0; X 4^ = 0. X + 1 X - 2 235. Найдите корни уравнения: 1^ ^ ^ ^ = 0; ас 2) 3^=1 ас - 4 5 4) X X + 2 3 = 2; д: - 2 ас - 3 236. Найдите корни уравнения: 1^^_3 = 0; 3) X X X + 2 2) 4) X - 4 5 = 5; ас - 2 X + 4 62 Рациональные выражения 237. Равносильны ли уравнения: X 1) 2) 4 X - 5 3-х и ---=-----; X-2 X-2 X X х^ +2х х^ - 4: 2х - 3 X - 2 X - 3 X - 3 и Зх Зх О? 238. Равносильны ли уравнения: 3 X - 4 2-х X 1)----=----- и 2) X X х+1 х+1 х^ - X х^ + 5 Зх - 1 2х - 5 и X - 1 X - 1 2х 2х О? 239. Решите уравнение, используя основное свойство пропорции: 1^ ,2« X -ь 1 3^ = J_; 2х^ + 1 2х’ 2) = Зх - 1; X 4) = 2х -ь 3. 2х-1 240. Решите уравнение, используя основное свойство пропорции: 1^2 =3х; 3) х-2 2х-3 1 2х^ -1 2)---------= 2х ч-1; X 2х^ -ь 3 X ’ 0у2 — 1 4) i = Зх - 1. 2х-ьЗ 241. Найдите дробь, равную дроб^ —, у которой знаменатель 3 на 5 больше числителя. 242. Найдите дробь, равную дроб^ —, у которой числитель 5 на 12 меньше знаменателя. 3 243. Какое число нужно прибавить к числителю дроб^ —, чтобы получить дробь —? 244. Какое число нужно вычесть из знаменателя дроби чтобы получить дробь —? 18’ 63 ГЛАВА 1 т Достаточный уровень 245. Решите уравнение: 1) X + 4: ас + 8 2ас 3)2 + 1 2сс + 1 1 8-л: = 0; л:-2 2-л: 246. Решите уравнение: л: + 1 л: 1) Зл: +1 Зл: 3)3 + -1 X 0; 1 - л: л: - 1 2) 4) 2) 4) 5л: 1 _ 1 ; Юл: “ 30; 1 1 л: - 1 5л: - 5 ' 10‘ J_______^ _ 1.; 6л: 2л: б’ 1_________3 4л: + 4 л: + 1 8 247. Равносильны ли уравнения: 2л: + 6 Зл: - 7 + ■ _ х-2 х+2 5 и --- + X + 1 х-2 х + 2 248. Равносильны ли уравнения: х^ Зл: - 12 л: + 12 ---------+--------- . л: + 1 л: - 1 4 и ------------+ л: л: л:-1 л: + 1 л:^-1 249. Числитель дроби на 5 меньше знаменателя. Если к числителю прибавить 14, а из знаменателя вычесть 1, то получим дробь, обратную данной. Найдите исходную дробь. 250. Знаменатель дроби на 3 больше числителя. Если к числителю прибавить 8, а из знаменателя вычесть 1, то получим дробь, обратную данной. Найдите исходную дробь. 251. Найдите корни уравнения: 1) х‘ X х^ + 2л: X 1 X + 3 ----1------:г; х + 2 2) X х^ +1 х^ -1 X + 1 X -1 + ■ 252. Решите уравнение: 1) 2) х + 2 X + 3 ----+ ■ х^ - 2 х^ - X х^ + 8 х^-4 х + 2 х-2 X X + ■ X -1 3 64 Рациональные выражения Высокий уровень 253. Решите уравнение: 1л: - 1| - 5 1) 0; Ьс - 1 - 1 2) —Ц- = 0. л: - 6 ' ' х(х - 2) 254. Найдите корни уравнения: , 1х - 2| - 3 „ „ 1я: - 2| - 2 X - 5 х(х - 4) 0. 255. При каких значениях a уравнение не имеет решений: X - а + 1 1^^£_ = 0; х(х - 8) При как имеет лишь один корень? 2) х^ - Зд: О? оке тт (^- - 2а - 1) 256. При каких значениях a уравнение--------------------= О л: - 3 Упражнения для повторения вй ОКГ7 лт 10^ X - 8 120 „ ИЯ 257. Упростите выражение-------------------- и най- ^ л: + 2 3д: + 6д:2-8л: дите его значение при x = 100. 4а^ - + 2а - Ь 258. Сократите дробь 4а^ + 4а& + + 2а + Ь » Решите и подготовьтесь к изучению нового ллотериоло 259. Найдите значение степени: 1^2)3; 2) 142; 3) (_1)11; 5т 3)3; 6)m8)2; 7) V 7. 260. Вычислите: 1^ - 32; 2) (-1)9 + (-1)8; 3) 42 4) 05; 8) А 7 3^^ V оу 4) 58 : У5Л2 V -ly voy 65 ГЛАВА 1 261. Представьте в виде степени: 1) с основанием 2 числа 2, 4, 8, 16, 32, 128, 512; 2) с основанием 3 числа 81, 243; 3) с основанием 5 числа 5, 25, 625; 4) с основанием 10 числа 100, 10 000. Интересные задачки для неленивых 262. Выдающиеся украинцы. Запишите по горизонтали фамилии выдающихся украинцев (при необходимости используйте дополнительную литературу и Интернет) и получите в выделенном столбике фамилию выдающегося французского математика, об исследовании которого мы расскажем в одной из следующих глав. 1. Украинский шахматист, гроссмейстер, чемпион мира по шахматам 2002 года. 2. Инженер-авиаконструктор, родившийся в Украине, конструктор первого вертолета. 3. Украинский футболист, обладатель «Золотого мяча» 1986 года. 4. Украинский писатель, поэт, драматург, общественный деятель, автор поэмы «Энеида». Домашняя самостоятельная работа № 2 Для каждого задания предлагается четыре варианта ответа (А-Г), из которых только один является правильным. Выберите правильный вариант ответа. sBi ^ тт .. 15 т ■П 1. Найдите произведение — . 5 аД: бД ; вД; т Г^ттг. g 2. Выполните деление — Р ; бА; А>4 ; Б^2; 9 ■ р^' В^ 2; . 3 66 1 2 3 4 Рациональные выражения 3. Укажите уравнение, корнем которого является число 2. = 0; X = 0; X -1 Б. X - 2 = 0; —- = 0. X - 2 4. Выполните умножение А. р(т -1) Б. am р(т + 1) - т В. ар - 2т + 1 am р(т -1) Г. am т-1 а5 у А. 8р 21 а 15 ’ Б. 8р 21 а 15 ’ В. 6р 21 715 ’ Г. 8р 10 а° 6 „ 2x^-5 о. Найдите корень уравнения ----= 2х. X + 1 2 А. -2,5; Б. 2,5; В. —; Г. корней нет. 5 7. Упростите выражение (25х^ - Юл: + 1) А. 2; Б^ - 2л:; В^ ^ - 2; Г. 8 fx + 1 10х^ - 2х 8. Найдите значение выражения л: + 1 4л: 5л:-1 2 . 4 X -1 X -1 х^ -1 л: + 1 при л: = 2,01. А. 0; Б. 1; В. 2,01; Г. 2. 9. Укажите уравнение, которое равносильно уравнению ж-3 х + 3_ 18 л: + 3 л:-3 л:^-9 А^ ^ ^ = 0; Б^ = 0; В л: ^ =0; Г^^Й = 0. 10. Упростите выражение л: + 2 л: 0,1дЗ + 0,8 . 0,5д2 - а+ 2 0,2д2-0,8‘ 0,25д + 0,5 А. g + 2 ; 4(д-2); Б. g + 2; д-2; В. g - 2 ; 4(д + 2); Г. 4(д + 2) g - 2 67 5 ГЛАВА 1 11. Найдите значение выражения есл^ ^ ^ = 5. А. 3; Б. 7; 12. Решите уравнение А. Решений нет; В. 23; Г. 27. 2-I.-5I В. 3; х-7 Б. 7; Г. 3; 7. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ К § 5-8 1. Выполните умножение: 1^-т; 2) Ч-^. а“ 2. Выполните деление: 1) L. Л. 5 ■ 7; 2) о 3. Является ли число 4 корнем уравнения: у2 — 10 1^---= 0; X 2) X X - 4: = о? 4. Выполните действия: 2аЗ f 5т ^ 1) 3) 15/п2 Зт^ 6а® 9/71® 2) х^ - ху а® аЪ ж® - 2ху + у® ’ 4) JC® -16 2х + 3 Зд: - 6 5д: - 10 5. Возведите дробь в степень: 1) 2а® т‘^ Л® 2) а^Ь V У лЮ 6. Решите уравнение: 1^1 = 0; Ж - 3 7. Упростите выражение 4х® — 8 2) = 4х. х + 1 ^2а + 1 2а - 1^ 2а - 1 2а + 1 2а® 4а® -1 68 8. Докажите тождество 7 л;2 + 49 + ■ X + 7 - 49 7-х __ Рациональные выражения х-7 1 х^ + 14х + 49 д: + 7 9. Найдите значение выражение если ж + — = 9. х^ X 10. Упростите выражение 11. Решите уравнение Дополнительные задания 0,2аЗ-1,6 0,5а2+а + 2 0Да2-1,б‘ 0,25а-1 2-х\-3 X - 5 9 СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению: a'^ = а • а а. п множителей ,1 - где n - натуральное число, n > 1 и а1 - а. В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: 6,64 • 10-27 кг. Как понимать смысл записи 10-27? Рассмотрим степени числа 3 с показателями 1, 2, 3, 4, ...: 31, 32, 33, 34, ... - это соответственно 3, 9, 27, 81, ... В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим: 3-3 3-2 3-1 30 31 32 33 34 ..., 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , ... Число 30 должно быть втрое меньше числа 31, равного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, 30 - 1. Равенство а0 — 1 справедливо для любого основания а при условии, чт^ 0. Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть а0 — 1 при a + 0. 69 ГЛАВА 1 Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа 30 = 1 записано число 3-1. Это число втрое меньше, чем 1, то есть равно —. Следовательно, 3 ^ = — = — 3 3 31 . Рассуждая ана- ^ 1 1 Q-3 1 1 логично, получаема ^ ^ = — = —; 3 = — = — и т. д. 9 3 27 3 Приходим к следующему определению степени с целым отрицательным показателем: если a ^ 0 и n - натуральное число, то а~" = —. Пример 1. Замените степень дробью: 1) 5-7; 2) X-1; 3) (а + Ь)-9. Решение. По определению: 1) 5-7 = 2) JC-1 = j^; ; X 3) (а + Ь)-9 57 ’ ^ х’ ' ^ ' (а -ь Ь)9 Пример 2. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем: 1^; а“ Решение. 1 2) т - п 1) а -2. а‘‘ 2) т-п 3) (т - л)-1; 3) ^ = 7-13. ' 713 Пример 3. Вычислите: 1) 4 2; 2) (-9)0 _ J^; ^ 42 “ 1б; 1 1 Решение. 1) 4~2 1 3) (-5)-3. 2) (-9)9 = 1; 3) (-5)-з = (-5)3 -125 125 а Рассмотрим, как возвести дроб^ — в целую отрицатель- Ь ную степень. Если n - натуральное число и а ф 0, имеем: г \-п ' а а bj Следовательно, чге 1: 1 : a'^ 1 ■ а" Ьп а" Ь о 70 если аф0,Ъф0,п — натуральное число, то ^а) f-T ^а) Рациональные выражения Пример 4. Найдите значение выражения: 1) I 3j 2)27 Ч 2у -4 Решение. 1) 2^ 3^ V ' у 49 ■ 2) Учитывая порядок выполнения арифметических действий, сначала возведем дробь в степень, а затем выполним умножение: 27 /' УчЛ“^ 1V 2у = 27 3 ч2у = 27 2 чЗу 27 16 _ ^ 81 “ 3 “ ^3‘ Ответ. 1) —; 2) 5-. 49 3 1. Какое значение принимает выражение а°при a ф 0? 2. Сформулируйте определение степени с целым отрицательным показателем. , У ^ Y = — , где a ф 0, Ъ ф 0. \а) 3. Докажите тождество | — bj а т Начальный уровень 263. (Устно.) Верно ли равенство: 1 1) 2-3 = 23’ 2) ^ = 0; 3^ —^; 193 4) (-4)0 = 1? 264. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем: 1) 4-5; 2) а-1; 3) р-10; 4) с-8; 5) (2а)-3; 6) (а + Ъ)-4. 265. Запишите степень с целым отрицательным показателем в виде дроби: 1) Ъ-3; 2) 7-1; 3) 2-7; 4) t-6; 5) (3m)-2; 6) (с - d)-7. 266. Запишите дробь в виде степени с целым отрицательным показателем: 1 ..1 ..1 1 1^; 3) 4) —; 109’ т; 5) т 4’ 6) (т - п)'* 71 ГЛАВА 1 267. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем: 1) ,3 ’ 2) 3) 4) 5) (с/п)® 6) (а + х)^ т Средний уровень 268. Вычислите 1) 7-2; 5) (-7) f Я 9) -7 'v 4 13) 0,1-1; 14) (-0,2) 269. Вычислите: 1) 2-3; 2) (-1)-6; 2) (-2)- 2; 3) (-1)-5 ; 4) 12 -1; Г1Л -2 f 2^ -1; 6) 10-3 7) .3. ; 8) 3. Л.-3 ( -5 f -2 f 1 ; ) 10) 11 2) ; 11) -1 V 3. ; 12) V 2- 5 л-1 ; У -2. 15) (1,2)-2; 3) 15-1; 16) (-0,25)-3. 4) (-9)-1; f-i 5^ ; \°j г pV® V 7) hJ ; f 8^7 ; V • J 9) 0,2-i; 10) (-0,1)-2; 11) (1,5)-2; 12) (-0,5)-4. 270. Представьте числа 16; степени с основанием 2. 8; 4; 2 ; 1;|; 111 —; —; — в виде 4 8 16 271. Представьте числа 100; 10; 1 ; 0,1; 0,01 в виде сте- пени с основанием 10. 272. Найдите значение выражения: 1) -5-2; 2) (-0,8)-2; 3) 273. Вычислите: 1) -2-3; 2) (-0,4)-2; 3) I 2у л-з 4) у 1Л-4 Г —Л ' 2" ; 4) - < 3^ . 3, -3 274. Представьте выражение в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем: 1) 2а-3; 2) 3mb~1; 3) a2b~3c; 4) a-3b-7. 72 Рациональные выражения 275. Представьте выражение в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем: 1) 4Ь-5; 2) 7a-1p; 3) mn~2p7; 4) c~2b~5. IP Достаточный уровень 276. Вычислите: 1) 81 • 3-5; 1 f 4)2х- -Т ; 5 у 5J 7) 2,5-1 + (-13)0; 2) -25 • 10-2; 5) -8 • 2-4 + 30; 10) 1 v8y ■ 10-3; 8) 4-3 - (-4)-2; 11) 2 1 14: 2 3) 27 • (-18)-1; 6) 8-2 + 6-1; 9) (-8)-2 + (0,4)-1; 12) 1,25-2 + 2,5-3. V < У 277. Найдите значение выражения: 1) -64 • 4-4; 2) 36 • (-27)-1; 3) -3- У ivi V «у 4) -7 • 0,1-2 + 50; 7) 1 V5y 20-2; 5) 5-2 - 10-1; 8) 1,5-2 - 1,2-3. 6) 3,2-1 + 1- V Зу 278. Сравните с нулем выражение: 1) 8-13; 2) (-3,7)-10; 3) (-2,9)-11; 4) -(-2,1)-7. 279. Сравните с нулем значение выражения an, если: 1) a > 0 и n - целое число; 2) a < 0 и n - четное отрицательное число; 3) a < 0 и n - нечетное отрицательное число. 280. Сравните с нулем значение выражения bm, если: 1) b = 5, m = -13; 2) b = -1, m = -200; 3) b = -3, m = -41. 281. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательным показателем: 7«о-1&2 1) т^п^р-^ сдгЗа"^ ’ 2) 5“2jC“37n-l 73 ГЛАВА 1 282. Используя отрицательный показатель степени, представьте дробь в виде произведения: 1) Зх^ 2) 15т; 3) 2х Ь^(а - Ъ)^ ’ 4) (х + уУ (л: - yf ■ 283. Представьте дробь в виде произведения, используя понятие степени с отрицательным показателем: 1) 5т2 7с2 2) 3) 4) (а + 2)5 X У'П‘^ с^(х-у)^' 284. Представьте выражение в виде дроби: 1) ш~3 + га-2; 2) ab~1 + ba~1 + c0; з) (m + ra-1)(m-1 + га); 4) (a-1 + b-1) : (a-2 - b-2). 285. Представьте выражение в виде дроби: 1) xy~3 + x-1y2; 2) (x-2 - y-2) : (x-1 - y-1). (a-5)2- Высокий уровень 286. Вычислите: 1) (1 + (1 - 5-2)-1)-1; 2) (1 - (1 + З-1)-2)-2. 287. Найдите значение выражения (1 + (1 - З-1)-1)-1 + (1 - (1 + З-1)-1)-1. 288. Упростите выражение (1 - л: X" х~^ + 1 3^ ^ Упражнения для повторения ^ 289. Представьте выражение в виде дроби: ц2 + 2а 4о Зр 1) - 4а + 4 а^ - 4а + 4 2) ________8-р р2 -2р р^ -2р 290. Даша сказала Маше: «Дай мне 2 грн, и тогда денег у нас станет поровну». Маша ответила Даше: «Лучше ты дай мне 2 грн, и тогда денег у меня станет вдвое больше, чем у тебя». Сколько денег у каждой из девочек? 74 Рациональные выражения 1 Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 291. Представьте в виде степени: 1) a5a3; 2) b7 : b3; 3) (с5)4; 4) m7m; 5) t10 : t; 6) (p7)2. 292. Возведите в степень одночлен: 1) (mn2)7; 2) (-2p3)2; 3) (-5cm2)3; 293. Упростите выражение: 1) (5m2n)3 • (0,2m3ra)2; 2) (-0,1p7c3)4 • (10pc2)3. 4) (-a2c3)10. Интересные задачки для неленивых 294. (Задача Стэнфордского университета). Среди дедушкиных бумаг был найден счет с записью: 72 индейки - *67,9* долларов. Первую и последнюю цифры стоимости индеек, так как они стерлись и их было невозможно разобрать, заменили звездочками. Что это за цифры и сколько стоила одна индейка? 610 СВОЙСТВА СТЕПЕНИ • С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с ненулевым основанием и целым показателем. Следовательно, для любого a ^ 0, b ^ 0 и любых целых m и п: (ab)n = anbn; -Т .ь) am • an = am+n; am : an = am-n; (am)n = amn; a”- b”^' Эти свойства можно доказать на основании формулы и свойств степени с натуральным показателем. а" Докажем, например, формулу am an = am+n когда m и n - отрицательные целые числа. для случая, 75 ГЛАВА 1 Пусть m = -p, n = -q, где p и q - натуральные числа. Имеем: 1 1 a"^ • а" а~Р • а~ч = ---^ аР а« аР • а« аР^ч = а~Р"^(~ч) = Следовательно, am • an = am+n, где m и n - отрицательные целые числа. В случае, когда один из показателей m или n -целое отрицательное число, а второй - натуральное число или нуль, формула доказывается аналогично. Пример 1. Выполните действие: 1) a2a-7; 2) b15 : b20; 3) (х-3)2 • x-14. Решение. 1) a2a-7 = a2+(-7) = a-5; 2) b15 : b20 = b15-20 = b-5; 3) (x-3)2 • x-14 = x-3-2 • x-14 = x-6 • x-14 = x-6+(-14) = x-20 ОJ J JL- — JL- JL- — JL- JL- — JL- — JL- • Пример 2. Упростите выражение (4a5b-6)-2. Решение. (4a®&“®)~2 = 4~2(a®)“2(&“®)“2 = —a~4°b42. 16 Пример 3. Вычислите 94.3-22 27 -5 Решение. Представим 9 и 27 в виде степени с основанием 3 и воспользуемся свойствами степени: 94 ■ З-22 (З2)4 • 3“22 3» • 3“22 З-44 27-5 (33)-5 Ответ. 3. -15 ?-15 3-14-(-15) = 31 = 3. Сформулируйте свойства степени с целым показателем. т Начальный уровень 295. (Устно.) Какие из равенств являются тождествами: 1) m3 • m-7 = m-21; 2) a7 • a-9 = a-2; 3) a5 • a-5 = a; 4) c8 : c-5 = c13; 5) c4 : c5 = c; 6) m : m8 = m-7; 7) (a7)-1 = a-7; 8) (b-2)-3 = b-6; 9) (t5)-2 = t10? 296. Представьте произведение в виде степени: 1) a5a-2; 2) a-7a6; 3) a9a-9; 4) a-4a-3. 297. Представьте произведение в виде степени: 1) b7b-3; 2) b-6b3; 3) b-5b-7; 4) b-8b8. 76 Рациональные выражения 298. Представьте частное в виде степени: 1) т3 : m-2; 2) m5 : m6; 3) m-3 : m-3; 4) m-1 : m-8. 299. Представьте частное в виде степени: 1) c5 : c-1; 2) c2 : c8; 3) c-2 : c-3; 4) c-4 : c-4. 300. Возведите степень в степень: 1) (X-4)-2; 2) (X-1)17; 3) (х0)-5; 301. Возведите степень в степень: 1) (га-2)-7; 2) (га15)-1; 3) (га-8)0; 4) (X7)-4. 4) (га5)-3. т Средний уровень 302. Представьте a 10 в виде произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, если один из множителей равен: 1) a-3; 2) a7; 3) a-1; 4) a12. 303. Представьте степень в виде произведения двух степеней с одинаковыми основаниями: 1) m8; 2) m-2; 3) m-17; 4) m0. 304. Вычислите: 1) 27 • 2-6; 4) /^jV8 V2 7) 9 : 9-1; 1 V2y 2) 5-3 • 5; 5) 38 : 39; 8) 3) Гл Л -5 у 1 f 1 10) а2у -2 vl5y 11) (0,1-1)4; Vl5y 6) 7-15 : 7-16; 9) (2-2)3; 12) 1 V8^" У 305. Найдите значение выражения: 1) 39 • 3-8; 2) 2-3 • 2; 3) Vl9y v 0 и k < 0. 0 Пример 3. Постройте график функции ^ = —. ^ 6 Решение. Составим таблицу значений функции у = — „ X для нескольких значений аргумента: x -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 у -1 -1,5 -2 -3 -6 6 3 2 1,5 1 87 ГЛАВА 1 Отметим на координатной плоскости точки из составленной таблицы (рис. 2). У. Г- S- 5- i- 3- 2- 1^ 0 1 ; 1 1 1 ■ ( г X Рис. 2 Если бы мы на этой плоскости обозначили больше точек, удовлетворяющих формула ^ а потом соединили их плав- X g ной линией, то получили бы график функции ^ = — (рис. 3). X Рис. 3 88 Рациональные выражения График обратной пропорциональности называют гиперболой. 0 Гипербола состоит из двух ветвей. Для функции ^ = — одна из X них лежит в первой координатной четверти, а другая - в третьей. Гипербола не пересекает координатные оси: график не содержит точек, у которых x = 0 (т. к. нуль не принадлежит области определения функции), и не содержит точек, у которых 0 у = 0 (т. к. уравнение — = О не имеет решений). Чем больше X по модулю значение х, тем меньше по модулю значение у, и наоборот, чем меньше по модулю значение х, тем больше по модулю значение у. Это значит, что ветви гиперболы неограниченно приближаются к осям координат. k Так же выглядит график функции у = — при любом k > 0. X Пример 4. Постройте график функции ^ =--. X Решение. Рассуждая как и в предыдущем примере, по- 0 строим график функции ^ =---. Он изображен на рисунке 4. X Это также гипербола, одна из ветвей которой лежит во второй координатной четверти, а другая - в четвертой. k Так же выглядит график функции у = — при любом k < 0. X Рис. 4 89 ГЛАВА 1 k Обобщим свойства обратной пропорциональности ^ 1. Область определения функции состоит из всех чисел за исключением нуля. 2. Область значений функции состоит из всех чисел за исключением нуля. 3. График функции - гипербола, ветви которой при k > 0 лежат в первой и третьей координатных четвертях, а при k < 0 - во второй и четвертой. 4. Ветви гиперболы неограниченно приближаются к осям координат. Пример 5. Постройте в одной системе координат графики 4 функций у — — и у = x - 3. Найдите их точки пересечения и, ^ 4 пользуясь построенным графиком, решите уравнение ^ = jc - 3. X 4 Решение. График функции ^ = — - гипербола, ветви ко- X торой лежат в первой и третьей координатных четвертях, а график функции у = x - 3 - прямая, проходящая через точки (0; -3) и (3; 0). Графики функций изображены на рисунке 5. Они пересекаются в точках (4; 1) и (-1; -4), абсциссы 4 и -1 которых являются решениями уравнения д: - 3. X Действительно, при x = 4 выражение — и x - 3 принимают Рис. 5 90 ____________________________________ Рациональные выражения 4 4 равные значения: — = — = 1 ^^^^ = 4- 3 = 1. При х = -1 X 4 4 4 аналогичное ^ = — = -4 ^ ^^^^-1-3 = -4. ^ -1 4 Следовательно, числа 4 и -1 - корни уравнение ^ = лс - 3. X Ответ: (4; 1); (-1; -4) - точки пересечения; 4, -1 - корни уравнения. Предложенный в примере 5 метод решения уравнений называют графическим методом решения уравнений. Если абсцисса точки пересечения графиков функций - целое число, надо выполнить проверку, т. к. часто корни уравнения этим методом можно найти только приблизительно. Пример 6. Постройте график функции у х^ 2л: Решение. Область определения функции - все числа за исключением чисел 0 и 2, которые обращают знаменатель X 2 _ 2х в нуль. Упростим дробь: 16-8х _ 8(2 - л:) _ Sjx - 2) _ 8 х^-2х х(х - 2) х(х - 2) X Значит при условии x ф 0 и x ^ 2 функция принимает вид 8 У = —. X ^0___8 Графиком функции у = —-----является гипербола у =-- л:^ - 2л: л: с «выколотой» точкой (2; -4), точек же с абсциссой x = 0 у гиперболы нет (рис. 6). Рис. 6 91 ГЛАВА 1 1. Какую функцию называют обратной пропорциональностью? 2. Как называют график обратной пропорциональности и как он расположен в координатной плоскости? 3. Какие свойства у обратной пропорциональности? т Начальный уровень 366. (Устно.) Какие из функций - обратные пропорциональности: 1) у = -; X 2> = 04 X 3> У = - 4)^--; X 5) 0 5) У = -; X 6) у = 7; ,,, 0,0002 7^ ^ ; X 8) . = «’Т? 367. Выпишите функции, задающие обратную пропорцио- нальность: 1) y = if; 2) у = ~; X 3) у = --; X X 4) *' ' - 8; 5) у = -9; 6) у= ; X ■ 7) Х‘‘ 8) у = 0,01х. 368. В каких координатных углах лежит график функции: 1) У = —; X 2) У = --? X Средний уровень 20 369. Вычислите значение функции у = —, если значение аргумента равно -2; 5; -10; 1. ^ 12 370. Вычислите значение функции ^ = —, если значение аргумента равно -3; 4; -6; 1. ^ 371. Обратная пропорциональность задана формулой у Перенесите таблицу в тетрадь и заполните ее: 100 X x -50 -20 5 10 У -4 1000 5 0,1 92 Рациональные выражения 80 372. Обратная пропорциональность задана формулой у = Перенесите таблицу в тетрадь и заполните ее: X x -80 -40 1 160 у -5 20 16 0,1 373. Постройте график функции у 8 , составив таблицу зна- чений функции для значений аргумента -8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8. 12 374. Постройте график функции ^ = —, составив таблицу X значений у для x = -12; -6; -4; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 12. 375. Не выполняя построения графика функции у = 1^, най- X дите, через какие из точек он проходит: 1) A(4; 32); 2) В(-8; 16); 3) С(-2; -64); 4) 0(0; -128). 162 376. Принадлежит ли графику функции у =-------точка: X 1) A(-6; 27); 2) B(9; 18); 3) С(0; -162); 4) 0(81; -2)? 377. (Устно.) График каких функций проходит через точку A(4; -3): 1^ ^ —; X 2) У- -—; X 3) У- -—; X 4) у = x - 7? 378. На 145 грн купили у кг конфет по x грн за килограмм. Выразите формулой зависимость у от х. Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью? т Достаточный уровень 10 379. Постройте график функции ^ = —. По графику найдите: X 1) значение функции, если значение аргумента равно -2; 2,5; -1; 2) значение аргумента, при которых значение функции равно 10; -4; 2; 3) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения; положительные значения. 93 ГЛАВА 1 380. Постройте график функции ^ = —. По графику найдите: X 1) значение функции, если значение аргумента равно -0,5; 2; -4; 2) значение аргумента, при которых функция равна 4; -1; 2; 3) значение аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения; положительные значения. 381. График обратной пропорциональности проходит через точку М(-4; 12). Задайте эту функцию формулой. 382. Запишите формулу обратной пропорциональности, если Г ее график проходит через точку Р 12; 1— . g 383. Функция задана формулой у = — для 1 J x J 4. Запи- X шите область значений этой функции. 384. Решите графически уравнение: 1^ = 2; X 2) 2х 18 3) X. X 385. Решите графически уравнение: 1^ = 3; X 2) - = х; X 3) ^ ^ = --. X Высокий уровень 386. Постройте график функции: 4 8 1)У 2) У д; 387. Постройте график функции у - —, если л: < -2, X -1,5х, если - 2 < д: < 2, —, если X > 2. X 94 Рациональные выражения 388. Постройте график функции у X если X < -2, 389. Постройте график функции: 24 1)У = 2) У X, если -2 < X < 2, 4 —, если X > 2. X 6х-18 (х + 3)2 - (ж - 3)2 ’ ^ " Зх - х2 Упражнения для повторения 390. Найдите значение выражения: 1Л“2 1) 3-4; 2) (-19)-1; 3) 1 V 7у 391. Упростите выражение: 1)1 у2 г Q ^ -1 ( 4тп~^ ^ У 1ю J ; 2) ч 5а ^ 4) (-0,2)-3. 8т-Ч-Ч^. 392. Вычислите ((1 - (1 + 2 1) 1) 1) 4. Интересные задачки для неленивых 393. Выражение -1)^® преобразовали в многочлен. Найдите сумму коэффициентов этого многочлена. Домашняя самостоятельная работа № 3 Для каждого задания предлагается четыре варианта ответа (А-Г), из которых только один является правильным. Выберите правильный вариант ответа. 1. Представьте ^®ц2 в виде степени с основанием а. А^-2; Б^З; В^Ю; Г^ю. 2. Укажите число, представленное в стандартном виде. А^^10-7; Б^ -810; В^ ■ 1О^^; Г^ • 10». 95 ГЛАВА 1 3. Укажите функцию, являющуюся обратной пропорциональностью. А ^ ^ 2 ^ -; X 4. Вычислите ^5) 1 А. 15; А^ Ь^; Б. 25’ Б^ ^-8&5; В^ ^ = 2л:; Г^ 2. В. ——; 125 Г. ^ . 125 1-а-8Ь-2. 4 Г^ ^8^5. 6. Укажите стандартный вид числа 217,38. А^ ^^8 • 102; Б^ ^ ^ • 10-2; ms • 10; ms • 10^. 7. Представьте частное (3,5а®&“2) : (0,5а-2&“2) в виде выражения, не содержащего степень с отрицательным показателем. А. 5о8 Бт^б; В. 7а8 8. Найдите значение выражения 1 Ъ 2-8.48 Г. 7ц2 &5 • а4 ; Б. В 85 1 Г. 4. 4 2 9. Укажите формулу обратной пропорциональности, график которой проходит через точку А(-6; 1,5). 6 В 9 -; В^ ^-----; X X 10. Вычислите (1 -ь (1 - 2“^)-2)-з. 64 А^ ^ -4х; Б. у Г. у А. 125 11. Сократите дробь В^; 25 Г. 125 л:“2 + х^ д;2 + х~^ А. Дробь несократима; Б. 1; В. х; Г. X 12. Порядок числа a равен -16. Укажите порядок числа 0,0001a. А. -12; Б. -20; В. -4; Г. -16. 96 Рациональные выражения ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ К § 9-12 1. Представьте в виде степени с основанием а: 1) а2а-3; 2) а-5а-4; 3) а5 : а-7; 4) (а-2)3. 2. Записано ли число в стандартном виде: 1) 0,37 • 105; 2) 2,4 • 10-12; 3) 1,5 • 108; 4) 3,5 • 810? 3. Какие из функций задают обратную пропорциональность: 1^ ^ -; Э 2) У = -; X 3) у = -~; X 4^-^? х^ 4. Вычислите: 1) 2-3; 2) (-5)-1; 3) 5. Упростите выражение: г 1 Л“2 1-I з) 4) (2,7 • 105) • (3 • 10-8). 1) -7а- • 1 — а~%~^; 7 2) о 10 ^ 6. Представьте число в стандартном виде: 1) 27 000; 2) 0,002; 3) 371,5; 4) 0,0109. 7. Преобразуйте в выражение, не содержащее степень с отрицательным показателем: 1) (4,2а7Ь-9) : (0,7а-3Ь-5); 2) 5i/7 4л:8у 18 12 8. Постройте график функции ^ =----. По графику найдите: X 1) значения функции при x = 4; -2; 2) значения аргумента, при которых функция равна -6; 1; 3) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения; положительные значения. 9. Сократите дробь: 48 1) 5^+2 _ 5л ’ 2) х~^ + х^ X + X 6 Дополнительные задания 10. Вычислите ((1 + (1 - 2-1)-1)-1)-3. 97 ГЛАВА 1 11. Постройте график функции у 8 /о —, если X < -2, X -4, если - 2 < ж < 3, 12 ^ о ---, если ж > 3. ж Упражнения для повторения главы 1 К § 1 394. Из рациональных выражений т3 - mp2; t2 +2 ^ к____^ 17 ; ж^ + аж - ; {х + р) : у ’ ж - у’ 19 ’ а - Ъ t-7 X2 выпишите: 1) целые рациональные выражения; 2) дробные рациональные выражения; 3) рациональные дроби. 395. Найдите область допустимых значений переменной в выражении: 1) с2 - 3с; 2) т + 2; m - 8’ а - 9 а 4) 3 + с ф-1). 396. Турист прошел 12 км вдоль шоссе со скоростью a км/ч и 8 км по степной дороге со скоростью b км/ч. Сколько времени потратил турист на весь путь? Составьте выражение и найдите его значение, если a = 5; b = 4. _1_ 2jcz/ И" 397. Вычислите значение дроби -------------- при x = -100, у = 99. о, 1ж 398. Найдите допустимые значения переменной в выражении: 1 Р 1 .3 1) W + 7’ 2) \тп\ - т 3) 1-П а 4) 2ж - 7 - 3 399. При каких значениях x равна нулю дробь: 1) X2 -1; ж -ь 1 ’ 2) ж "Ь 3 'х2^; 3) \x\-2 (ж - 2)(ж + 5) 4) ——? ж(ж - 3) 98 Рациональные выражения К § 2 400. Сократите дробь: 1) Ът 2)^-, ОХ 3) 20п ' 5х' ' Юр 401. Сократите дробь: -3 ах тп 4) 'Н7- 5) 6i д:6 2т 1) 5) аЬ'^ ’ а-2у 2) 6) -бЗдта®; 81л:а® ’ -1 - 2ау' ' 7т+ 7' 402. Приведите дробь: 1^^ к знаменателю a5; 3) 7) Pja - 2); т{а - 2) ’ - 4л: + 4; Зх-6 ; 4) 8) 7а -14&; За - 6Ь' х^ - 2ху 2у-х ' 2) — к знаменателю 12с7. Зс 403. Представьте частное в виде дроби и сократите ее: 1) (х3 + 8) : (х + 2); 2) (a2 - 5a + 25) : (a3 + 125). 404. Вычислите значение дроби: 1^ при х = 0,2; у = 0,25; 8i/2 - 4ху 2) а“ 4Ь2 За^Ь - 6а&2 405. Приведите дробь 1) 7a - 14; при a = 20; b = -10. 3 к знаменателю: 406. Докажите тождество 407. Найдите значение дроби а - 2 2) a2 - 2a; 3) 16 - 8a; 4) a2 - 4. 22,5o2-2,5&2 За+ 6 7,5a2 -2,5а6 2л; - Зу 0,2л;2 -3,2у2 при х + 4у = 5. 408. Представьте выражение 5a + 4b в виде дроби со знаменателем: 1) 5; 2) -a; 3) 2b; 4) 2a - 3b. 409. Сократите дробь _ 2-2 -I- 2уг Х‘‘ 2xz 99 ГЛАВА 1 К § 3 410. Выполните действие: 7 7 8а 8а 411. Упростите выражение: .,3/71-7 13-5/71 6/п - 2 1)—т----+ 3) т-п п + 4) Р 12д2 За^ 5/п 5/п 12/п 3) 25 + ■ 12т 13 12/п 25’ 2) 4) +1 2 ; а(/п - 1) а(/п - 1) ’ а-4 2 а 412. Найдите значение выражения п = 14. а -: п + 1 7/2 - 16 тг2 - 16 при 413. Преобразуйте в дробь выражение: ,,9& + 1 8-Ь 1)т1^---т + 7Ь-1; Ь2_4^4_г,2 &2_4; 2) 5т 1 - 4/71 77i2 + ■ 771® - 1 1 - ттг® ттг® - 1 414 П 2ж + 3 2х 414. При каком значении a выражения-----^ и тождественно равны? а X д:-2 2 X 415. Докажите, что при всех допустимых значениях перемен- „ 8 + За 13а - 14 2а + 7 ной значение выражения--------1---------------от значе- 5 - 4а 4а - 5 5 - 4а ний переменной не зависит. 416. Упростите выражение: 1б7тг2 8т 1 1) 2) (4т?г - 1)(4т?г + 1) 16т?г2 - 1 (1 - 4т7г)(1 + 4т?г) ’ 8л: - 9 8д:2 + Зд: - 1 5х - 7 (2х + 1)2 (1 + 2х)2 417. Докажите, что выражение 1 + 4x2 + 4х X + 6 ■ + ■ х^ 5х -1 (2 - х)4 (х - 2)4 (2 - х)4 при условии x Ф 2 принимает положительные значения для всех значений х. 418. Найдите, при каких натуральных значениях n значение дроби будет натуральным числом: 1) 71 + 2 п 2) 7/2+6 П 3) - Ют/ + 16 П 100 Рациональные выражения 419. Постройте график функции у = X-1 1-х к § 4 420. Выполните действие: 1) а 2)^А; 3 12 3) 5 4 3 12 ха 421. Выполните действие: _2___ Зр 9р; За + Ь 4а - & ^^1 р - 2 1) 4) 2) ^ 12т т ’ лч 4 п 4) ^ + —. т 7 3) + 12 6 8 5) 6) 4а + & 65 - а 2а 35 422. Упростите выражение: ,,11 1 2 3 1 1^ ^ ’ 2) 2 Ч ’ т п тп х^ х^ х 423. Представьте в виде дроби: 3) 1^ - X т 1 + m 4)---+ ■ 2) 4р- 4р2 -1 а + 5 а - 5 1 -------1-------------. а Ъ аЬ 3)^. ^ 5)------ + ■ 1-т m Зс-1 Зс + 1 424. Выполните действие: 6) m m -1 X X х-у х+у 2с-7 4-с 2(с + 5) с + 5 7 14 3) 5) X х(х + 2) ’ -Ъ^ а + 5’ 2) 4) 6) а -1 а За -ь 6 4а+ 8’ 9 5 ; + 4т m -ь 4’ X S 1 + 2л: + 1 л: + 1 425. Докажите, что для всех значений переменной а значение выражения (а - 3)(а - 7) _ (а - 7)(а - 1) ^ (а - 1)(а - 3) 12 не зависит от а. 24 101 ГЛАВА 1 426. Упростите выражение: 4/п +18 5 1 1) 3) 5) 771^-9 9л: ■ + ■ 771 - 3 771 + 3 . Зху + 2у^ Зх^ +2ху' 2х-1 Ах^+Зх-1 Х^ + X + 1 х^ -1 2) 4) 6) 2л: ■ + ■ 4x2 + 9; 2х + з"3-2х 4x2-9; 4а 2а + 1 2а - 1; 4а2 - 1 6а - 3 4а+ 2’ а 427. Докажите тождество: 1 1 1) 2) + ■ (а - Ь)(а - с) (Ь - с)(Ь - а) (с - а)(с - Ь) уг хг ху ■ + ■ ■ + ■ (х - 7/)(х -Z) (у- х)(у -г) (Z - х)(2 - у) ЗаЪ - 2- а + б6 36-1 0; = 1. 428. Докажите, что при всех допустимых значениях перемен- „ Зх + 2 18х 1 ной X значение выражения —---------------------------- 9x2 - 6х + 4 27x3 +8 3^ + 2 равно нулю. 429. Найдите значения a и b, при которых равенство является тождеством: Зх 9х + 3 ах + 6 а Ь 18 1) X + 2 Зх - 1 3x2 + 5x - 2 ’ 2) X ----h • 3 X + 3 Х‘‘ 9 430. Лодка, собственная скорость которой v км/ч, преодолела путь длиной s км и вернулась назад за t ч. Выразите t через s и V, если скорость течения 3 км/ч. Упростите полученное выражение и найдите его значение при v = 12, s = 45. К § 5 431. Выполните умножение: 1) 771 2) р2 5 3) 4 &з 771 9 4 р 6 3 432. Представьте выражение в виде дроби: 4) с :ш 5 с2 4 5т 2) 15 tk 3) 24т71 15а 15t7i2 16 ; 5а2 8t7i3’ -12х- Г Р ] ; 5) 15т^п • 7 ; 6) 7сЗ Г 8а5 ^ 16x2^ 25т^п 12а» 1 21с 102 433. Упростите выражение: - Zx 21 1) 3) / х“ - 2а + 1 15/п^ 9 5/п 2)- _____ Рациональные выражения Зх - у 8л: + 8; 6л: + 6 у - Зх’ а‘ 434. Возведите в степень: 1) ' с ' 2т 2) V a^J 435. Выполните действие: а® - а® 1) 3) + а® а 6 о® + а® ’ 4) 3) 2)- 20a2fe + 2с 12аЬ + 4с + 4 За® &2 а-“ 25 4) Л® 5с® - Зс4 2с - 4 а® - 4&® 4) (а® + 4а + 4) а + 2& ^ 2а-10 ^ 4 с® - 8 Зс® - 5с® ’ 436. Представьте выражение в виде дроби: 10 +5а 1) 25л:®;/® 9t г 3t^ f у Uл:l/®J 2) (а - Ь)® а® + 2а& + Ь® а + 6 а® - 2аЬ + Ь® 437. Выполните умножение: л:® + (а + Ь)х + аЬ л:® - с® л:' 2 — (п. — (а - с)х - ас X ® - а® 438. Докажите, что значение выражения 0,5л:® +2 (2-х) 4 +о, 5л:® 0,5л:®-л:+ 2 8-0,5л:4 не зависит от любого из допустимых значений переменной. 439. Докажите, что значение выражения - аЬ + ас - Ьс а^ +Ъс - аЬ - ас а^ + аЪ - ас - Ьс а^ +Ъс + аЪ + ас при всех допустимых значениях переменных - неотрицательно. К § 6 440. Выполните деление: 1) с _ а; 3 ■ 2’ 2) L • _£_’ 4 ■ 17’ 3) а 7, ’ а 4) т‘‘ т 103 ГЛАВА 1 441. Упростите выражение: 1) 12а 16а 2)- 7т^ 21т 562 15^,’ 4) 20т^п : 442. Выполните действие: 71“ П° f 477X3^ гч 5с2 25сЗ ^ч 22д;2 ( 33л;3^ 1 Р J ; 5) 977X3 81т7х’ 39а ■ ^ 26а^ ^ 1) 3) ах - ху - ау; а X ’ ж2 - 36 «2 + 12д: + 36 2) 4) д2 -62 ^ За + 36, 5а 10а2 ’ За - д2 3 - а »2 - 4а + 4 4 - 2а а - 26 26 - а 443. Представьте выражение в виде дроби: 27 + я:2 - Зд: + 9 1) 81-х4 ж2 + 9 444. Представьте дробь g2 + 5а g2 - 9 а“ 25 в виде рациональной дроби. а“ За 445. Докажите, что значение выражения 2х^ + 2у^ _ ж® - х^у + ху^ ху - х“ х“ Г при всех допустимых значениях переменной принимает только неположительные значения. 446. Вычислите значение выражения 27аЗ - 6463 9а2 +i2a6 + 1662 62-4 при a = 4; b = 3. 447. Докажите тождество: а“ 16 62 -ь 46 -ь 4 д2 -I- 5а -I- 4 а а 2 - а6 -ь 5а - 56 - аЬ + а - Ь а + 5 104 к § 7 448. Выполните действия: 6а - 3 Рациональные выражения 1) 3) 2а -----+ 1 2а-1 / г а 4а^ - а ^ аЪ ^а-Ь а + Ь а + Ъ 2) 4) т + Р- 7Тг2 ^ т + 8 8-т^ т-8' р2 -3^ р2 - 1 р + 1 J р 3 449. Докажите тождество: и \ 1) а Ь „ — + — + 2 кЪ 2) т - п а у ^ 1 тп : (а + Ь) = 1 ^ J а + Ъ; аЪ ’ тп т + п 450. Упростите выражение: 1 а W &2 1) 2) а + Ъ + аЬ^ 6а + 1 6а - 1 --------1------- а — 3 а + 3 _ а® - аЬ^ - аЬ 2а2 +1 а 451. Вычислите значение выражения ^ а Ь (а + Ъ а-Ь^ - Ь а + Ъ, 1 ь ь ) при a = 4; b = 3. 452. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения от значения переменной не зависит: 2 1 ^ 1) + (х- 3)2 2) л: -ь 3 ^ 3 -6х + 9 9 - д;2 у 2т Л 8т^ - 18т ,4/п2 - 9 4тп2 _ 12т -ь 9 453. Докажите тождество: + ■ 4/п2 + 9 2т - 3 1) 2) 1^а - 3 10 ■ ч-------+ ■ 25 За ^ ^5 2 1^ + —|. _ 5а а а -1 4а - 5 а2 - а -ь 1 а® -ь 1 2 - а ______________ 4(2 - а) 4а2 - 4а -ь 4 а + 1 105 ГЛАВА 1 454. Известно, чт^ —- = 23. Найдите значение выра- 1 жени^ —. X 455. Упростите выражение: - 6х 6-х + 1 х^ - 4 х^ - 6х^ + 12л; - 8 456. Докажите, что выражение х^ л;2 + 4л: + 4 л:^ - 2х^ 8х^ - 32 х^ - 8х^ - о .. +----------: (х^ - 4) X при всех допустимых значениях переменной принимает только положительные значения. 457. Докажите, что выражение ^ Зтп + 2 18/п® - т - 9 Зт - 2 ^ + + 19т + 25 9/п4 -1 + 1 9m4 - 1 3/п2 - для всех m < -5 принимает только отрицательные значения. 458. Может ли значение выражения 31/2 У х“ ху - ху^ Х^ + Х‘‘У + ху 3 У +------ V х + У при некоторых значениях переменных x и у равняться нулю? К § 8 459. Является ли число 3 корнем уравнения: 1) л: л: + 2 0; 2) л: - 3 л: + 1 0; 3^ = 0; 4) О? X 460. Решите уравнение: 1^ ^_9 ^ Q; 4) X 2-х X 2 “5; 2) 5) 2л:-4 2-л: = 0; л:^ - л; _ л:^ - 8; л: + 2 л: + 2 ’ 3) 6) X X + 3 4х^ -1 X + 1 -2 = 0; 4х. 461. Какое число надо прибавить и к числителю, и к знаменателю дроби —, чтобы получить дроб^ — ? 12 2 106 Рациональные выражения 462. Решите уравнение: Зх + 1 Зх - 5 2)4 + X - 2 2-х 3) 8 Зж - 3 ■ + ■ 2 + X л: - 1 2 - 2ж 18 4) 2х X X + 1 X 463. Катер проплывает 80 км по течению реки за то же время, что и 64 км против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 2 км/ч. 464. Решите уравнение: 5 16 1) -I- (Зж-1)2 (Зж + 1)2 9x2-1’ 2) |4х + 3| X - 1 X - 1 465. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторое задание за 8 дней. Первый может выполнить это задание самостоятельно вдвое быстрее, чем второй. За сколько дней каждый из них может выполнить это задание самостоятельно? 466. Решите уравнение, где x - переменная, a и b - отличные от нуля числа: 1^ = 5; X 2) ^ = 2. X X к § 9 467. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем: 1) 8-3; 2) c-1; 3) (3m)"2; 4) (a + 2)"5. 468. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем: 1 1) 2) -; с 82’ 469. Вычислите: 1) 9-2; 2) 4-1; 3) (а&)2 ’ 4) (1 - /П)4 5) 0,1-3; 6) Л-1 2- V 3) (-5)-1; 7) 0,25-4; 4) 1' 8) (-2,5)-3. 470. Вычислите значение выражения: 1) 100x-2 при x = 1; 10; 100; 2) a-3b при a = 4; b = 8. 107 ГЛАВА 1 471. Найдите значение выражений an и -an, если: 1) a = -1; n = 8; 2) a = 5; n = -2. 472. Не выполняя вычислений, сравните: 1) 7-3 и (-7)3; 2) (-1,2)0 и (-5)-5; 3) (-13)"4 и (-13)4; 4) (-12)6 и 12-6; 5) -14-2 и (-14)-2; 6) (-9)-5 и -9-5. 473. Вычислите: 1) -0,25-2 : (-43); 3) 0,4- / 5 Л-1 8 2) 0,02 • (-0,5)-3; 4) (-1,8)0 - 4-1 • 0,05-2. 474. Представьте выражение в виде дроби: 1) (1 + a-3)(1 + a)-2; 2) 475. Вычислите 0,6-4 • 1' 3 л-6 (у - ;с)-1. 476. Решите уравнение (0,36)-5 л: + 1 '2I -6 • 7-*-^-1Л1 7д;_]^л1 л: + 2д: 477. Упростите выражение Ь-6 а-6 ^ п-в а-8 + Ь 1-8 Л а-16 _ jj-16 К § 10 478. Представьте в виде степени с основанием a: 1) a3a-5; 4) a 5 : a 4; 2) a8a 7a 2; 5) (a2)-6; 479. Вычислите: 1) 4-5 • 46; 2) 2-7 • 24; 4) 517 : 519; 5) ((0,3)-!)-2; 480. Упростите выражение: 1) ■ — а-б&2; 3 4 3) a7 : a 3; 6) (a-3)-5. 3) 3-9 : 3-7; 6) 2) ----X 12 -2 (-6^3) • ^5C-6. 108 _____________________________________ Рациональные выражения 481. Представьте выражение x~12, где x ф 0, в виде степени с основанием: 1) x2; 2) x-3. 482. ^айдите значение выражения — х-^у' ■ —x^y-^ ■ (-lOx-V®) 28 15 при x = -1,19; у = -0,1. 483. Упростите выражение: 1^ ■ (0,1рс“2а)2; 2) (л — а~^Ь“2 U Л2 46 484. Докажите тождества ^ ^ ^ (о“2 + а) =-------. а +1 485. Представьте выражение x3 + 5 + x-5 в виде произведения двух множителей, один из которых равен: 1) x; 2) x-1; 3) x-3. 486. Докажите, что при любом целом значении k выполнимо равенство: 1) 3 • 7k + 4 • 7k = 7k+1; 2) 5 • 4k - 4k = 4k+1. К § 11 487. Какие из чисел записаны в стандартном виде? Для чисел, записанных в стандартном виде, назовите порядок числа: 1) 3,7 • 108; 2) 0,29 • 1011; 3) 2,94; 4) 10,94; 5) 1,135 • 10-11; 6) 0,311; 7) 1,02 • 1015; 8) 1,02 • 1510. 488. Представьте число в стандартном виде: 1) 130 000; 2) 783,5; 3) 0,0012; 4) 0,001002003. 489. Выполните действия с числами, представленными в стандартном виде: 1) (2,7 • 108) • (5 • 10-5); 2) (9,6 • 10-8) : (3,2 • 10-12); 3) 2,7 • 104 + 3,1 • 104; 4) 3,42 • 10-5 - 2,11 • 10-5. 490. Площадь бассейна реки Днепр равна 5,04 • 105 км2, а площадь бассейна реки Южный Буг составляет 12,6 % от площади бассейна Днепра. ^айдите площадь бассейна реки Южный Буг и представьте ее в стандартном виде a • 10", округлив число a до сотых. 109 ГЛАВА 1 491. Выразите время в системе СИ и результат запишите в стандартном виде: 1) 1 час; 2) 1 сутки; 3) 1 месяц (30 дней); 4) 1 год (365 дней); 5) 1 век. К § 12 492. Какие из функций задают обратную пропорциональность? В каких координатных углах лежат их графики: г2 А 14 ^ 4 5^ ^ —; X 2) У = ^; 3^ 4; 4^ ^ X X 6)У = - X 7) у = 4х; 8) у = -4х? X 493. Обратная пропорциональность задана формулой у Не выполняя построения графика, найдите: 1) значение функции для значения аргумента, равного -8; 2; -5; 2) значение аргумента, при котором значение функции равно 4; -0,5; 2,5. 494. Постройте график функции: 1) 10 1^ ^ —; X 2) у = —, где -2 J x J 4, x ф 0. X 495. Точка А(-3; 4) принадлежит графику обратной пропорциональности. Принадлежит ли этому графику точка: 1) B(1; 12); 2) С(2; -6)? 496. Прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого равны x см и у см, имеет высоту 10 см и объем 120 см3. Выразите формулой зависимость у от х. Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью? Какова область определения функции? Постройте ее график. 497. На рисунке 7 изображен график зависимости времени, необходимого для преодоления пути из пункта A в пункт B, от скорости. С помощью графика определите: 110 ___________________________________ Рациональные выражения 1) время, необходимое для преодоления пути из A в B при скорости движения 10 км/ч; 20 км/ч; 2) скорость, с которой нужно двигаться, чтобы добраться из A в B за 2 ч; за 8 ч; 3) расстояние между пунктами A и B. Рис. 7 498. Не выполняя построения графика функции ^ = —, най- X дите те его точки, координаты которых между собой равны. 499. Не выполняя построения графика функции ^ =---, най- X дите те его точки, координаты которых являются противоположными числами. 500. Постройте график функции: ЗОд: - 18jc2 1)У = Зд:^ - 5х^ ’ 4 + д: 3 2)у = —------+ д:^ + д: X + 1 111 2 Квадратные корни. Действительные числа в этой главе вы: Э познакомитесь с понятиями арифметического квадратного корня, множества и подмножества; функциями у = и I/ = 4х \ Э научитесь применять определение арифметического квадратного корня и его свойства для решения уравнений, упрощения и вычисления значений выражений, а также строить графики функций у = и у = \[х. 613. ФУНКЦИЯ у = x2, ЕЕ ГРАФИК И СВОЙСТВА Пример 1. Пусть сторона квадрата равна a см. Тогда его площадь (в см2) можно найти по формуле S = a2. В этой формуле каждому положительному значению переменной a соответствует единственное значение переменной S. Если обозначить независимую переменную через х, а зависимую - через у, то получим функцию, которую задают формулой у = х2. В этой формуле переменная х может принимать любые значения (положительные, отрицательные, значение нуль). Составим таблицу значений функции у = х2 для нескольких значений аргумента: х -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 у 9 6,25 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 Отметим на координатной плоскости точки (х; у), координаты которых записаны в таблице (рис. 8). Если на этой плоскости отметить больше точек, координаты которых удовлетворяют формуле у = х2, а потом соединить их плавной линией, то получим график функции у = х2 (рис. 9). График этой функции называют параболой, точку (0; 0) - вершиной параболы. Вершина делит параболу на две части, каждую из которых называют ветвью параболы. 112 Квадратные корни. Действительные числа у т а t J ± а \ 3 3 1 0 1 i {х Рис. 8 Рис. 9 Сформулируем некоторые свойства функции у = x2. 1. Область определения функции состоит из всех чисел. 2. Область значений функции состоит из всех неотрицательных чисел, то есть у I 0. Действительно, так как х2 I 0 для любого х, то у I 0. 3. Графиком функции является парабола с вершиной в точке (0; 0), ветви которой направлены вверх. Все точки параболы, за исключением вершины, лежат выше оси абсцисс. 4. Противоположным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции. Действительно, это следует из того, что (-х)2 = х2 при любом значении х. Пример 2. Решите графически уравнение х2 = 3 - 2х. Решение. График функции у = х2 - парабола, а функции у = 3 - 2х - прямая, проходящая через точки (0; 3) и (2; -1). Построим эти графики в одной системе координат (рис. 10). Они пересекутся в двух точках с абсциссами х = 1 и х = -3. 113 ГЛАВА 2 Рис. 10 Убедимся, что числа 1 и -3 являются корнями уравнения: 1) для x = 1: x2 = 12 = 1 и 3 - 2x = 3 - 2 • 1 = 1; 2) для x = -3: x2 = (-3)2 = 9 и 3 - 2x = 3 - 2 • (-3) = 9. Следовательно, -3 и 1 - корни уравнения x2 = 3 - 2x. Ответ. -3; 1. Пример 3. Между какими последовательными целыми чис- 6 2 ? лами лежит корень уравнение ^ ? X Решение. Решим уравнение графически, построив графики функций ^ = — и у = x2 в одной системе координат. Так X g как x2 I 0 для любого x, то в данном уравнении ^ > 0. X Откуда x > 0. Поэтому рассмотрим графики функций только для x > 0. Это ветвь гиперболы и ветвь параболы, лежащие в первой координатной четверти (рис. 11). Графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой является корнем уравнения и заключена между числами 1 и 2. Таким образом, корень уравнения числами 1 и 2. Ответ. Между числами 1 и 2. X — X2 лежит между 114 Квадратные корни. Действительные числа Рис. 11 т 1. Как называют график функции у = x2? 2. Сформулируйте свойства функции у = x2. Начальный уровень 501. (Устно.) Прямой, гиперболой или параболой является график функции: 1^ ^ X 4) у = x2; 2) у = 6x; 5) у = 2x - 3; 3) у = 6; 6^ --? X 502. Для функции у = x2 найдите значения у, соответствующие значениям x = -3; 0; 5. 503. Для функции у = x2 найдите значения у, соответствующие значениям x = -2; 1; 6. т Средний уровень 504. По графику функции у = x2 (рис. 9) найдите: 1) значение у, соответствующее значению x = -2,5; -1; 1,5; 3; 2) значение x, при котором у = 1; 3,5; 9; 3) несколько значений x, при которых значения функции больше числа 2; меньше числа 2. 115 ГЛАВА 2 505. Используя график функции у = х2 (рис. 9), найдите: 1) значение у, соответствующее значению х = -3; -0,5; 2,5; 2) значение х, при котором у = 4; 5; 3) несколько значений х, при которых значение функции меньше числа 1; больше числа 1. 506. Постройте график функции у = х2 для -1 J х J 4. 507. Постройте график функции у = х2 для -2 J х J 3. 508. Проходит ли график функции у = х2 через точку: 1) А(-1; -1); 2) В(-5; 25); 3) С(0; 0); 4) ^(25; 5)? 509. Принадлежит ли графику функции у = х2 точка: а 1^ 1) A(-4; 16); 2) B(16; -4); 3) С 2 4 4) D(0; 2)? Достаточный уровень 510. Найдите область значений функции у = х2, если: 1) -3 J х J 0; 2) -1 J х J 2. 511. Сравните значение функции у = х2 при: 1) х = 2,7 и х = -2,7; 2) х = -1,9 и х = 1,8; 3) х = 0 и х = -3,2; 4) х = -1,1 и х = 1,2. 512. Решите графически уравнение: 1) х2 = 3х; 2) -—. X 513. Решите графически уравнение: 1) х2 = 4; 2) х2 = -2х. Высокий уровень 514. Постройте график функции: 1)У = + X2; X + 1 ' 2) У = ^х2 - х^ 4 - 515. Постройте график функции: 1)У = X 2)у = X2 - Х‘‘ 116 Квадратные корни. Действительные числа Упражнения для повторения 516. При каких значениях a верно равенство: 1) а2 = (-a)2; 2)^\а f; 3) a2 = -a2; 4) (-a)2 = -a2? 517. Найдите: 1) наименьшее значение выражения х2 - 19; 18 + (х - 3)2; 2) наибольшее значение выражения 17 - х2; -9 - (х + 7)2. При каких значениях х достигается это значение? Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 518. Вычислите: 2) fl- I 5у Л2 1^ (-6)2; 3^^^^ (-0,1)2; 4) ^^(-0,5)2. 519. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна: 1) 9 см2; 2) 0,25 м2. 520. Решите уравнение: 1^ ^^16 = 0; 2) X2 = 9 521. 1) Постройте графики функций ^ = х2 и г/ = 9 и найдите координаты точек их пересечения. 2) Сколько точек пересечения имеют графики функций у = и у = о? 3) Сколько точек пересечения имеют графики функций у = и у = а, есл^ ^ > О? 4) Сколько точек пересечения имеют графики функций г/ = X2 и у = а, есл^ ^ < О? Интересные задачки для неленивых 522. В ящике лежат только черные, белые и зеленые шары. Какие бы n (n > 2) шаров наугад не вытащили из ящика, среди них обязательно будут белый и черный. Какое наибольшее количество шаров может лежать в этом ящике? 117 ГЛАВА 2 14 КВАДРАТНЫЕ КОРНИ. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ * ^ • КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ Если известна сторона квадрата, можно легко найти его площадь. Но часто приходится решать и обратную задачу: по известной площади квадрата находить его сторону. Пример 1. Площадь квадрата равна 16 см2. Чему равна длина его стороны? Решение. Пусть длина стороны квадрата равна x см, тогда его площадь будет х2 см2. Имеем уравнение: х2 = 16, корнями которого являются числа 4 и -4. Действительно, 42 = 16 и (-4)2 = 16. Длина не может выражаться отрицательным числом, поэтому условию задачи удовлетворяет только один из корней уравнения - число 4. Следовательно, длина стороны квадрата равна 4 см. Корни уравнения х2 = 16, то есть числа, квадраты которых равны 16, называют квадратными корнями из числа 16. Квадратным корнем из числа a называют число, квадрат которого равен а. Например, квадратными корнями из числа 100 являются числа 10 и -10, потому что 102 = 100 и (-10)2 = 100. Квадратным корнем из числа 0 является число 0, потому что 02 = 0. Квадратного корня из числа -16 мы не найдем, ведь среди известных нам чисел не существует числа, квадрат которого равнялся бы -16. Число 4, являющееся неотрицательным корнем уравнения х2 = 16, называют арифметическим квадратным корнем из числа 16. Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а. Арифметический квадратный корень из числа a обозначают л/а (J~ - знак арифметического квадратного корня, или радикал). Выражение, стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением. Запись Va читают следующим образом: квадратный корень из a (слово арифметический при чтении принято опускать, поскольку в школе рассматривают только арифметические корни). Пример 2. 1) = 9, так как 9 I 0 и 92 = 81; 2^ ^ = О, так как 0 I 0 и 02 = 0; 118 Квадратные корни. Действительные числа 3) 4) 2 2 . 0 —, так ка^ — I 0 и 3 3 4 9; 24 7 7 . 0 —, так ка^ — I 0 и 5 5 25 “ ^25‘ __^ ^ 25 V 25 о U Вообще равенства = л является верным, если выполня- ются два условия: 1) x I 0; 2) x2 = a. Так как x2 I 0 для всех значений переменной х, то a I 0. Выражение Va не имеет смысла, если a < 0. о Например, не имеют смысла выражение ^Т; -^-2,9. Действие нахождения значения арифметического квадратного корня называют извлечением квадратного корня. Из небольших чисел квадратный корень желательно извлекать устно. Извлекать квадратный корень из больших чисел поможет таблица квадратов двузначных натуральных чисел на форзаце или калькулятор. Пример 3. Найдите значение корня V4096. Решение. По таблице квадратов двузначных натураль-них чисел имеем: 642 = 4096. Поэтому V4096 = 64. Пример 4. Вычислите л/372^Л^. Решение. Сначала нужно найти значение выражения 372 - 122, а потом извлечь из него корень: л/3?2 -122 = V1369 - 144 = л/1225 = 35. Ответ. 35. Рассмотрим уравнение = т, где m - некоторое число. Если m I 0, то по определению квадратного корня следует, что х = m2. Если же m < 0, то уравнение не имеет решений, так как по определению числ^ Vic - неотрицательное. Систематизируем данные о решениях уравнения у[х = т в виде схемы: 119 ГЛАВА 2 Пример 5. Решите уравнение: ^ = 7; 2) ^ = -3; X = 72; -3 < 0; x = 49; решений нет; Ответ. 1) 49; 2) решений нет; 3) V2x-1 = 5; 2x - 1 = 52; 2x = 26; X = 13. 3) 13. 1. Что называют квадратным корнем из числа а? 2. Что называют арифметическим квадратным корнем из числа а? 3. При каких значениях а выражение \[а не имеет смысла? 4. Имеет ли решения уравнение = т, если m I 0, m < 0, и если имеет, то какие? т Начальный уровень 523. (Устно.) Существует ли квадратный корень из числа: 1) 9; 2) 16; 3) -4; 4) 0? 524. Найдите значение квадратного корня из числа: 1) 4; 2) 25. 525. Найдите значение квадратного корня из числа: 1) 0; 2) 1; 3) 36. 526. (Устно). Имеет ли смысл выражение: 1^1; 2) л/О; 3) уП? 527. Имеет ли смысл выражение: 1^; 2) л/^? 528. Докажите, что число: 1) 2 является арифметическим квадратным корнем из числа 4; 2) -2 не является арифметическим квадратным корнем из числа 4; 3) 0,1 является арифметическим квадратным корнем из числа 0,01; 4) 0,2 не является арифметическим квадратным корнем из числа 0,4. 529. Докажите, что: 1^ = 13; 2) — = —. V 9 3 120 Квадратные корни. Действительные числа т Средний уровень 530. Вычислите: 1^16; 2)^; 3)^2^; 4) ^00; 5^Л«; 6^; 7) 8^- 531. Вычислите: 1^25; 2) ^; 3)^Д6; 4) ^00; 5^ЙЙ; 6^; 7) 8^' 532. Верно ли равенство: 1^ =30; 2) Vi = -3^^^ = 0,3; 4) VO^ 2; = 0,8? 533. С помощью таблицы квадратов двузначных натуральных чисел или калькулятора найдите: 1^296; 2) ^09; 3) ^16; 534. Найдите значение выражения: 1^ ^ + ^/25; 2) л/9 • Vo, 36; 4^^ : Vo, 01; 5) ^^^^4 +3,9; 7^^ +82; 8) V2(0,22 +0,46). 535. Найдите значение выражения: 1^^ +V9; 2) Vi • VlOO; 4^^ : Vo, 25; 5) -5V0,36 + 2,8; 7^^ +42; 8)^^ -0,09. 536. Вычислите значение выражения: 1^ + а при а = 4; -8; -12; 2) + л при m = 0,09; га = 0,07; 3^ ^ + 4-Vic при X = 49; 121; 4^ - 6 при b = 1,96; 0,04. 537. Вычислите значение выражения: 1^ - & при b = -9; 15; 2) 2\fm - т при m = 1,69; 0,49. 121 4) V30,25. 3) - Vlii; 6) ^ - 25; 3) - V81; 6)^ -82; ГЛАВА 2 538. Решите уравнение: ^ = 2; 2)^ = 0; 3)^ = -2; 4^^-3 = 0; 5)^ = 8; 6) ^^ = 2. 3 539. Решите уравнение: 1^ ^ = 1; 2) \/х = -3; 3) \/ж - 5 = 0; 4^ = 21. т Достаточный уровень 540. Имеет ли смысл выражение: 1^^^^4-132; 2) V2OO92 - 20082; 3^ -lOOl^? 541. При каких значениях x имеет смысл выражение: 1^; \1х 2) 4х^; 3) ; 4^^? л1-х 542. При каких значениях у имеет смысл выражение: 1^i^; 2) ^; 3) ^; 4) /^? 543. Решите уравнение: 1^ + 7 = 0; 3^ = 4; 544. Решите уравнение: 2)^4 = 0; 4) 1^2х - 5 - 14 = 0. 1^^^-3 = 0; 2 14 3^ ^ = 28; л/2ж Высокий уровень 2^^-6 = 0; 4) -6 = 0. 545. При каких значениях a имеет смысл выражение: 1^^^; 2) ^ + 3)2; 3^^Tl; 4) ^^? а-3 122 Квадратные корни. Действительные числа 546. Решите уравнение: = 3; 2) Wx = 3; 3) ^|l + ^|2 + 4х = 2. 547. Решите уравнение: ^^3| = 5; 2)^^fx = 4. ^ Упражнения для повторения |В 548. Упростите выражение: а + 2 - (а - 2)2 + ■ (а - 2)2 а2 - 4^ 549. Решите уравнение с двумя переменными: 1) X2 - 6х + 9 + у2 = 0; 2) |х + 2| + 1/2 + 2у + 1 = 0. Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 550. Представьте в виде обычной дроби или смешанного числа: 1) 0,3; 2) 0,25; 3) 1,2; 4) 2,5. 551. Представьте в виде десятичной дроби: 1 1^|; 2^; 3)2^; 5 4)3- 552. Запишите обычную дробь в виде бесконечной десятичной периодической дроби: 1^; 2Ь?-; 11 3^; 4) i 6 Интересные задачки для неленивых 553. Существуют ли такие простые числа X, у, z и t, для которых справедливо равенство xyzt + А = х'^ + ? 123 ГЛАВА 2 15 МНОЖЕСТВО. ПОДМНОЖЕСТВО. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА Понятие множества является одним из основных понятий математики. Под множеством будем понимать совокупность объектов, имеющих общую природу (или объединенных по общему признаку), сами объекты при этом будем называть элементами множества. Как правило, множества обозначают большими латинскими буквами. Если, например, множество A состоит из чисел 1, 2, 3, а множество B - из знаков @ и !, то это записывают так: А = {1, 2, 3}, B = {@, !}. Числа 1, 2, 3 - элементы множества A, а знаки @ и ! - элементы множества B. Тот факт, что число 1 принадлежит множеству A, записывают с помощью уже известного нам символа е, а именно: 1 е А. Тот факт, что число 1 не принадлежит множеству B, записывают так^ ^ ^ -В. Множества, количество элементов которых можно выразить натуральным числом, называют конечными. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством. Его обозначают символом 0. Так, например, пустым множеством является множество корней уравнение -1. Множества, количество элементов которых нельзя выразить натуральным числом и которые не являются пустыми, называют бесконечными. Если каждый элемент множества B является элементом множества A, то говорят, что множество B является подмножеством множества A. 0^ Рис. 12 Записывают это следующим образом: -В CZ А. Схематическая иллюстрация этого факта представлена на рисунке 12. Пример 1. Пусть А = {1, 2, 3, 4}, В = {1, 2h ^ {4, 5}. Тогда множество B является подмножеством множества A, то ест^ ^ с А. Множество C не является подмножеством множества A, так как множество C содержит элемент - число 5, которое не является элементом множества A. Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества, то ест^ ^ с А. 124 Квадратные корни. Действительные числа Целые числа и дробные числа образуют множество рациональных чисел. Множество натуральных чисел обозначают буквой N, множество целых чисел - буквой Z, множество рациональных чисел -буквой Q. Они являются бесконечными множествами. 2 Можно утверждать, что 5 е N, — € Z, -7 е Z, @ ^ Q. 3 Любое рациональное число можно представить в ви- где m - целое число, n - натуральное число. п ,.17 „ Например^ ^ 2— = —; -5 = —; 13 3 1 Рациональное число можно также представить и в виде десятичной дроби. Для этого достаточно числитель дроби разделить на ее знаменатель. Например, -0,2 = — = —. 10 5 - = 0,375; — = -1,25; — 8 4 33 0,242424... = 0,(24). В последнем случае мы получили бесконечную десятичную периодическую дробь. Дроб^ — и — также можно предста- 8 4 вить в виде бесконечных десятичных периодических дробей, дописав справа в десятичной части бесконечное много нулей: 8 = 0,375 = 0,375000. ^ = -1,26 4 -1,25000... Таким образом, каждое рациональное число можно представить в ь о виде бесконечной десятичной периодической дроби. Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа. Например, 1,2000... = 1,2 = ^ = |; 0,(3) = i; -1,(15) =-1^. 10 о 3 33 В правильности этих равенств легко убедиться, выполнив соответствующее деление. 125 ГЛАВА 2 Но в математике существуют числа, которые нельзя запит сать в виде —, где m - целое число, а n - натуральное. п ь Числа, которые нельзя записать в виде —, где m — цеп лое число, а n — натуральное, называют иррациональными числами. Префикс «ир» означает отрицание, иррациональные значит не рациональные. Например, иррациональными являются числа л, ^/2, -^/7. Приближенные значения таких чисел можно находить с определенной точностью (то есть округленными до определенного разряда) с помощью микрокалькулятора или компьютера: л * 3,1415926; л/2 « 1,4142135; -n/t « -2,6457513. Каждое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. Рациональные числа вместе с иррациональными числами образуют множество действительных чисел. Рис. 13 Множество действительных чисел обозначают буквой R Так как каждое натуральное число является целым числом, то множество N является подмножеством множества Z. Аналогично, множество Z является подмножеством множества Q, а множество Q -подмножеством множества R (рис. 13). Действительные числа, записанные в виде бесконечных десятичных непериодических дробей, можно сравнивать по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби. Например, л/2>1,4 (так ка^ ^ » 1,41); < -2,6 (так как -^/7 « -2,63). В задачах с практическим содержанием действительные числа (для выполнения арифметических действий) заменяют на их приближенные значения, округленные до определенного разряда. Пример 2. Вычислите ^ i + ^/3 с точностью до тысячных. Решение. — + - + ^/3 » 2,3562 + 0,3333 + 1,7321 = 4,4218 « 4,422. 4 3 . , , , . 126 Квадратные корни. Действительные числа Заметим, что при сложении, вычитании, умножении, делении и возведении в степень действительных чисел справедливы те же свойства и ограничения, что и при действиях с рациональными числами. Понятие числа появилось очень давно. Оно является одним из самых общих понятий математики. Потребность в измерениях и подсчетах обусловила появление положительных рациональных чисел. Именно тогда возникли и использовались натуральные числа и дробные числа, которые рассматривались как отношение натуральных чисел. Следующим этапом развития понятия числа является введение в практику отрицательных чисел. В Древнем Китае эти числа появились во II в. до н. э. Там умели складывать и вычитать отрицательные числа. Отрицательные числа толковали как долг, а положительные - как имущество. В Индии в VII в. эти числа воспринимали так же, но еще и умели их умножать и делить. Уже древние вавилоняне около 4 тыс. лет назад знали ответ на вопрос: «Какова должна быть длина стороны квадрата, чтобы его площадь равнялась S?». Ими были составлены таблицы квадратов чисел и квадратных корней. Вавилоняне использовали и метод нахождения приближенного значения квадратного корня из числа S, не являющегося квадратом натурального числа. Суть метода заключалась в том, что число S записывали в виде а2 + b, где b было достаточно малым в сравнении с а2, и применяли формулу yjs = + Ъ « а -ь — 2а Например, с помощью этого метода: ^/^02 = V1Q2 -ь 2 «10 ч- 10,1. 2 10 Проверим точность результата: 10,12 = 102,01. Такой метод вычисления приближенного значения квадратного корня использовался и в Древней Греции. Его детально описал Герон Александрийский (I в. н. э.). В элоху Возрождения (XV - нач. XVII в.) европейские математики обозначали корень латинским словом Radix (корень), потом - сокращенно - буквой R. Так появился термин «радикал», которым называют знак корня. Впоследствии для обозначения корня стали использовать точку, а потом ромбик. Спустя некоторое время - уже знак v и горизонтальную черточку над подкоренным выражением. Затем знак v и черточка были объединены, и современные математики стали использовать знак квадратного рерон Александ-корня в привычном нам виде: ^г. рийский (I в. н. э.) 127 ГЛАВА 2 1. Какие числа образуют множество рациональных чисел? 2. Какие числа образуют множество действительных чисел? 3. Какой дробью можно записать любое рациональное число? 4. Как можно записать любую бесконечную десятичную периодическую дробь? 5. Какие числа называют иррациональными? 6. В каком виде можно представить любое иррациональное число? т Начальный уровень 554. (Устно.) Правильно ли, что: 1) 5 - натуральное число; 2) -2,1 - целое число; /_ 5 3^ УЗ - рациональное число; 4) - действительное число? 555. Из чисел л/Г; 0,222...; 52; -2,(4); л; 19; -3,7; 0; -л/б; -2- 9 выпишите: 1) натуральные числа; 2) целые неотрицательные числа; 3) рациональные отрицательные числа; 4) иррациональные числа. 556. Из чисел 8^л/7; -5; -; л/Т7; 3,(7); ^/^3; -li; 0; 5,137 3 3 выпишите: 1) натуральные числа; 2) целые неположительные числа; 3) рациональные положительные числа; 4) иррациональные числа. т Средний уровень 557. Представьте число в виде отношения целого числа к натуральному: 1) 31; 2) -8; 3^i; 4) -5,1. 558. Представьте число в виде отношения целого числа к натуральному: 1) -21; 2) 10; 3^-; 5 4) 2,8. 128 Квадратные корни. Действительные числа ^ [1 7 7 5 2 10] 559. Из множества ^ —; —; —; —; —; —> выделите подмно- 18 9 3 5 31J жество: 1) правильных дробей; 2) неправильных дробей. 560. Из множества {27; 36; 48; 19; 2; 11} выделите подмножество: 1) четных чисел; 2) нечетных чисел. 2 561. Представьте число — в виде бесконечной десятичной 33 дроби и округлите ее: 1) до сотых; 2) до тысячных. 4 562. Представьте числ^ — в виде бесконечной десятичной дроби и округлите ее: 1) до сотых; 2) до тысячных. 563. (Устно.) Верно ли, что: 1) 7 г N; 4) 32 е R; 7) -3,17 г R; 10^27 г R; 564. Сравните: 1) 1,366 и 1,636; 4) п и 3,2; 7) -1,41 ^^/2; 565. Сравните: 1) -2,17 и -2,71; 4^2 и 1,4; 2) 10 е Z; 5) -3,9 г N; 8) V3 е Q; 11) 'I Z; 3) 5 г Q; 6) -9,2 е Q; 9) ^ е N; 12) Л- е Q? V 9 2) -2,63 и -2,36; 3^ и 0; 5) -п и -3,1; 8)ТЗ и 1,8; 2) 0 ^!-; 16 5)^ и -1,7; 6) 1,7 и 1,(7); 9) 2^ и 2,(39). 3) 2,(3) и 2,3; 6) ^ и 0,(08). 566. Найдите приближенное значение выражения, округлив значение корня до сотых: 1^^ + 2,12; 2) 3,18-^/5. 567. Найдите приближенное значение выражения, округлив значение корня до сотых: 1^^ + 4,17; 2) 4,82-^/^l. 129 ГЛАВА 2 568. Множество A состоит из корней уравнение ^ = 7. Что это за множество? 569. Верно ли, чт^ В, если: ^ {1}; В = {1; 3; 5}; 2) ^ ^А; @}; В = {А; □; !}; 3^ ^ 0; В = {1; 2; З}; 4) ^ ^ Р; у}; В = {а}; 5) A - множество простых чисел; B - множество натуральных чисел; 6) A - множество целых чисел; B - множество натуральных чисел, кратных числу 5? 570. Верно ли, что С с В, если: 1^ ^ ^1; 7}^ ^ ^ 5; 17}; 2) С = (а; б}; D = (а; б; в; г}; 3^ ^ ^ л; I}; D = 0; 4) С = (А; О}; D = {А; О}? т Достаточный уровень 571. Расположите в порядке убывания числа: 0,11; 0,(1); 0,01; -^; хи ^ 572. Расположите в порядке возрастания числа: 0,(2); 0,22; А; 0,02. 5 573. Правильно ли, что: 1) сумма двух целых чисел - целое число; 2) частное двух рациональных чисел - число рациональное; 3) любое целое число является натуральным; 4) множество действительных чисел состоит из положительных и отрицательных чисел? 574. Запишите три рациональных числа, которые заключены между числами 1,55 и 1,(5). 575. Запишите два рациональных числа, которые заключены между числами 2,333 и 2,(3). Высокий уровень 576. Используя формулу ^ ^ ® а -ь —, найдите дли- 2а ну стороны квадрата, площадь которого: 1) 39 см2; 2) 83 дм2. Сравните ответ с числом, полученным с помощью калькулятора. 130 Квадратные корни. Действительные числа 577. Докажите, что число у!2 является иррациональным. 578. Докажите, что число -\/3 является иррациональным. ^ Упражнения для повторения J 579. Решите уравнение: 1) X2 - 16 = 0; 2) 4х2 - 9 = 0; 3^ ^ ^2 = 0; 16 4) ^ ^2 = 0. 25 580. Из городов M и N одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Расстояние между городами равно s км, скорости автомобилей - Vi и V2 (в км/ч). Через t ч автомобили встретились. Выразите t через s, Vi и v^. Вычислите значение t, если s = 375 км; Vi = 78 км/ч; V2 = 72 км/ч. Интересные задачки для неленивых 581. Два игрока по очереди берут из кучки камешки. По правилам игры разрешается за один ход взять 1; 2; 4; 8; ... (любая степень двойки) камешков. Выигрывает тот, кто возьмет последний камешек. Кто победит в этой игре при правильной стратегии, если количество камешков равно: 1) 2016; 2) 2017? 16 ТОЖДЕСТВА ^^2 = д, a I 0 УРАВНЕНИЕ X2 = a Напомним, что для любых значений a I 0 равенство 4(1 = х является верным, если выполняются два условия: 1) x I 0; 2) X2 = a. Подставив в последнее равенство вместо x его запись в вид^ Vfl, получим тождество (л/а)2 = а. Для любого a I 0 справедливо тождество (л/а)2 = а. 131 ГЛАВА 2 Пример 1. Вычислите: 1^)2; 2) ^П)2; 3) i^/^8 2 Л2 4) 2 Л2 Решение. 1) (\/7)2 = 7; 2^ ^ ^^^^л/П)2 =111 = 11; ,^1 ,_Л2 3) iVl8 v2 4) 2 Л2 Г1У /— 1 = i ■(^/^8)2 =i.l8 = 4,5; v2y 4 (л/3)2 22 = - = 0,75. 4 Ответ: 1) 7; 2) 11; 3) 4,5; 4) 0,75. Рассмотрим уравнение = а, где a - некоторое число. Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то при a < 0 уравнение х2 = a не имеет решений, что можно записать следующим образом: х е 0. Если a = 0, то единственным корнем уравнения х2 = 0 является число 0. Если a > 0, то корни уравнения х2 = a - числа у[а и ~/а. Действительно, (\/а)2 = а и (-л/а)2 = а. Для того чтобы убедиться, что уравнение х2 = a при a > 0 других корней не имеет, обратимся к графическому методу решения уравнения. Построим графики функций у = х2 и у = a, где a > 0 (рис. 14). Эти графики пересекутся дважды: в точках с абсциссами и ^Ja. Систематизируем данные о решениях уравнения х2 = a в виде схемы: Пример 2. Решите уравнение: 1) х2 = 9; 2) х2 = -7; 3) х2 = 7; 4) (2х + 1)2 = 25. Решение. 1) = л/Э = 3, Xg = -л/Э = -3; 2) уравнение корней не имеет, то есть х е 0; 132 Квадратные корни. Действительные числа Рис. 14 3^ = л/Г, лТд = --v/7. Эти корни являются иррациональны- ми числами; 4) имеем: 2х -ь 1 = -\/25 или 2х + 1 = -л/^ 2х + 1 = 5 2х + 1 = -5 2х = 4 2х = -6 х = 2 х = -3. Таким образом, получим два корня: х1 = 2; х2 = -3. Ответ. 1) +3; 2) 0; 3^/Г; 4) 2; -3. 1. При каких значениях a верно равенства = а? ' ^ 2. Имеет ли корни уравнение х2 = а, если a < 0, a = 0, a > 0, и если имеет, то сколько? IP Начальный уровень ( ftY 582. Вычислите: 1) (л/З)^; 2) (л/О)^; 3) (л/^й)^; 4^ ^ . 583. Найдите значение выражения: 1) (\/5)^; 2) (-У4,2)2. 584. (Устно.) Имеет ли корни уравнение: 1) х2 = 9; 2) х2 = 37; 3) х2 = 0; 4) х2 = -5? 133 ГЛАВА 2 585. Имеет ли корни уравнение: 1) х2 = 25; 2) х2 = -10? т Средний уровень 586. Найдите значение выражения: 1) (-л/7)2; 2) ^ ■ %/П; 5) -Ъ-42-S; 6) 0,3 • (-^/^0)2; 587. Вычислите: 3) 7) VO у fj_Y .V7J ’ Л2 4) (-2л/5)2; / г=Л2 8) 2 1) (-^/^l)2; 2) ^/^9 • ^/^9; 3) (2^/7)2; 5) -7 • ^/3 • ^/3; 6) 0,2 • (-^/5)2; 7) 588. Вычислите: . 1 ,^/^5. ( flY ( 1) (^/^5)2-3,8; 2)5 ; 3) 7 : 4) 8) Л2 ^ ^ о 4) |(-л/^)2. 589. Найдите значение выражения: 1) 2,7 + (-^/^3)2; 2) 8 г /—Л2 ^ '5 ' V'8y 3) 12 : ^2 4^ ^/19)2. 590. Решите уравнение: 1) х2 = 25; 2) х2 = 0,36; 4) х2 = -9; 5) х2 = 11; 591. Решите уравнение: 1) х2 = 49; 2) х2 = 0,16; 4) х2 = -4; 5) х2 = 5; 3) х2 = 121; 6) Ж2 = -. 9 3) х2 = 169; о 6) = —. 16 592. Найдите корни уравнения: 1) х2 - 0,05 = 0,04; 2) 24 + х2 = 25; 3) х2 + 12 = 0; 4) ^ = 7. 3 134 593. Решите уравнение: 1) X2 + 0,01 = 0,26; Квадратные корни. Действительные числа 2) X2 - 14 = 2; 4) --Х2 = 5. 4 3) 17 - X2 = 0; ‘к 594. Принадлежит ли графику функции у = х2 точка: 1^^5;5); 2) iV(7; ^/7); 3) P(-^/3; 3); 4) VlO)? 595. Найдите длину стороны квадрата, площадь которого равна: 1) 36 см2; 2) 49 дм2; 3) 0,09 м2; ич 25 2 Достаточный уровень 596. Вычислите: 1^5)2)2; _.lVrr?_i(2,/l5)2; О J О 3) 36 5) (-3^/5)2 - 3(л/5)2; 597. Вычислите: 1^ ^)2)2; 2) (5л/2)2; fl >2 4) V59,29 + -^/34 v2 , 6) 4 ^ '5\32 \2 / I—\2 4 V9 ^ 1 I-Y 1 г- 3^^^^ + (4V3)2; V 2 у 6 2) (7л/3)2; 4) V70,56 -Г-л/42^ v2 , 5) (5л/2)2 - 5 ■ (-л/2)2; 6) 598. Решите уравнение: 1) (X - 2)2 = 36; 2) (у + 3)2 = 4; 2 3 V10 д2 I---n2 ^ ^ 5 + 6 V65 4) (X + 3)2 = 7; 5) Л2 y-i: 81’ 599. Решите уравнение: 1) (X + 1)2 = 16; 2) (у - 2)2 = 25; 4) (X - 2)2 = 3; 5) Л2 100 3) (X - 1)2 = 0; 6) (X + 5)2 = -9. 3) (т + 2)2 = 0; 6) (т - 3)2 = -4. 135 ГЛАВА 2 600. Приведите пример уравнения вида х2 = а, где x - переменная, a - число, которое: 1) имеет один целый корень; 2) имеет два целых корня; 3) не имеет корней; 4) имеет два рациональных корня; 5) имеет корни, но они не являются рациональными. 601. Решите уравнение: X + 1 4 1) X -1 2)^^^^^^^ ^х + 3)2 = 20. 2) (Зх + 1)2 + (Зх - 1)2 = 4. 602. Решите уравнение: 5 х + 2 Высокий уровень 603. Решите уравнение: 1^ = 3; 604. Найдите корни уравнения: 1^^^^ТГ = 2; 2) 2|х2-4|ч-1 = 11. 2) 2|х2 -5|-ъЗ = 5. 605. При каких значениях b выполняется равенство: 1^ = -Ъ; 2) = Ъ-4; 3)^^f = &2? 606. При каких значениях m уравнение mx2 = 1: 1) имеет два корня; 2) имеет один корень; 3) не имеет корней? Упражнения для повторения 607. Упростите выражение: ( 4х - 9^ f X • х-2 J V 2х 2х X - 2, 608. Известно, что 2х - 4у = 1. Найдите значение выражения: 1) 2у 2) 8у - 4х; 3) х2 - 4г/2 2,5х + 5у‘ 136 Квадратные корни. Действительные числа Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 609. Сравните значения выражений: и л/4 • ^/9; 2) Ш V 36 л/36 1111 4 3 610. Вычислите: 1) -2,5 + 3,7; 2) — •-. 9 16 611. Упростите выражение: 1^а|, есл^ ^ > 0; 2) ^Ь|, есл^ 0. ш Интересные задачки для неленивых 612. Одни часы со стрелками спешат на 1 минуту в сутки, а другие - отстают на 30 секунд в сутки. Сейчас эти часы показывают одинаковое время. Через сколько суток они опять покажут одинаковое время? 61 7 СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО ^ • КВАДРАТНОГО КОРНЯ Сравним значения выражений л/4 ■ 9 ^ ^ ■ л/Э: V44) = ^/36=6, л/4л/9=2-3 = 6. Имеем^ = -\/4 • V9, то есть корень из произведения двух чисел равен произведению их корней. Это свойство справедливо для произведения любых двух неотрицательных чисел. Теорема (о корне из произведения). Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел, то есть при a I 0 и b I 0: ^/aЬ = ^/a ■ ^/ь. Доказательство. Так как a I 0 и b I 0, то выражения yfa и имеют смысл, причем л/а > О, л/б > 0. Поэтому -у/о • -у/б > 0. Кроме того, (^/a • ^/Ь)2 = (^/a)2 ■ (Ть)2 = аЬ. Имеем^ >0 и (л/а ■ л/б)2 = аЬ. Тогда по определению арифметического квадратного корням = -у/а • -у/&. 137 ГЛАВА 2 Доказанная теорема распространяется и на случай, когда множителей под знаком корня три и больше. Следствие. Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Доказательство. Докажем это следствие, например, для трех чисел a I 0, b I 0, c I 0. Имеем: ■Jabc = yj(ab)c = -Jab-Jc = -Ja^Jb^c. Пример 1. 1) V25 • 36 = -v/^ ■ л/36 = 5 ■ 6 = 30; 2) V32 ■ 72 = V(16 ■ 2) ■ (36 • 2) = Vl6 • 36 ■ 4 = ^/^6 ■ л/36 ■^/4 = = 4 ■ 6 • 2 = 48. Замечание 1. Очевидно, что выражение имеет смысл при условии ab > 0, то есть когда переменные а и b - одного знака, а значит и тогда, когда переменные а и b одновременно отрицательны. В таком случае тождество, рассмотренное выше, принимает вид -Job = 4^ ■ уПу, где -а I 0 и -b I 0. Учитывая оба случая, можно записать, что ^/oЬ = • д^, где аЬ I 0. Если в равенстве 4аЬ = 4а ■ 4ь поменять местами левую и правую части, получим тождество: 4а ■ 4ь = 4аЬ, где a I 0, Ь I 0. Произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения этих чисел. Пример 2. 42 ■ \/l8 = л/2 ■ 18 = л/36 = 6. Рассмотрим квадратный корень из дроби. ь Теорема (о корне из дроби). Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель -положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя, то есть при a I 0 иЬ > 0: а _ 4а ь~4ъ' Доказательство. Так как а I 0 и b > 0, то выражения 4а и 4ь имеют смысл и 4а > 0, 4ь > 0. Поэтому > 0. у1Ь 138 Квадратные корни. Действительные числа Кроме того, Имеем^ ^0 и у1ъ 4а у1ь, ( 1~л^ л1а 4а ратного корням ^2 (^/g)^ (л/б)2 а Ь' = —' Тогда по определению квад-Ъ Пример 3. 1) [Ш 4^ 6 7; 2) J2- 44 3 2' 149 ^/49 7' 4 Замечание 2. По аналогии с замечанием 1, тождество, только что рассмотренное нами, можно записать и так: , где аЪ I 0, b ф 0. [а 4а Ксли в равенства = —/= поменять местами левую и пра- V 6 Vb вую части, получим тождество: 4а [а 4ь , где a I 0, Ъ > 0. Частное, числитель которого является корнем из неотрицательного числа, а знаменатель — корнем из положительного числа, равно корню из частного этих чисел. Пример 4. 1^ ^ = л/9 = 3; 2) 4^ ^/45 49 2 3‘ Рассмотрим, как извлечь квадратный корень из квадрата. 7Х Теорема (о корне из квадрата). Для любого значения a справедливо равенство 4о^ = |а|. II I |2 Доказательство. Так как |а| > О и щ = а^ для любо- го а, то по определению квадратного корням = |а|. Пример 5. 1) 4^ = |7| = 7; 2^ = |-3| = 3. 139 ГЛАВА 2 Рассмотрим квадратный корень из степени. Теорема (о корне из степени). Для любого значения a и натурального числа k справедливо равенство = о*. Доказательство. . По теореме о корне из квадрата имее^ = |а*|. Следовательно^ = |а*|. Пример 6. Вычислите^ ^,7"^. Решение. = л/(1,7^)^ = |l,72| = 2,89. Пример 7. Упростите выражение: 1) 2)^р^, где p < 0. Решение. 1) ^ = |а®|. Так как а6 I 0 для любого а, т^ ^ = а®. Следовательно^ = а®. 2) ^ ^Р^ = |.Р®|. Так как p < 0, то р3 < 0, поэтому |р3| = -р3. Следовательно, если р < 0, т^ = -р^. Ответ. 1) а6; 2) -р3. 1. Сформулируйте и докажите теорему о корне из произведения. 2. Чему равно произведение корней? 3. Сформулируйте и докажите теорему о корне из дроби. 4. Чему равно частное корней? 5. Сформулируйте и докажите теоремы о корне из квадрата и из степени. ш Начальный уровень 613. (Устно.) Верны ли вычисления: 1^ ^ ^ •^/9 = 4 • 3 = 12; 614. Верны ли вычисления: 1^ ^ ^ • 4 = 6 • 4 = 24; 140 2) ^ = А? \25 25 25 2) Ж = #Л? М/25 5 Квадратные корни. Действительные числа т Средний уровень 615. Найдите значение выражения: 1^Г9; 3^^^ 1,44; 5^ ^^^ДЙГГОО; 616. Вычислите: 1^ ^ • 49; 3^^^^1,69; 5^ ^^^Д6^“400; 617. Найдите значение корня: /49 2) ^ • 900; 4) ^^^169; 6) V1.96 -0,01-6,25. 2)^СП; 4)^^Tl96; 6) 72,89 -10 000 0,25. 1) 181’ 2) 121. 400’ 3) 36 ; 625; 4^7; 4 5^П’ 6) Jfj .8, 2) ^,3)2; 3)^42; 4) ^/^; 6)^7^; 7^ ^^; 8) jJ "8f .9. 621. Представьте выражение в виде произведения корней: 1^^; 2) ^; 3) ^^; 4) Тбр. 141 ГЛАВА 2 622. Представьте выражение в виде произведения корней: 1^11; 2) Vl5; 3) ^/^9a; 4) ^/^06. 623. Представьте выражение в виде частного корней: 1) ё 2) ,/з|; 3) & 4) V23 624. Представьте выражение в виде частного корней: 1ф 2) J«|; 3) 4) 625. Вычислите значение произведения: 2) ^/2 • ^/50; 5)^^. & V7 V13 V36 1^^л/32; 4^ ^ ■ у/^; 3) • Vo, 05; 626. Вычислите значение произведения: 1^^V20; 2) V5-V45; 4^ да ■ да; 5) 627. Вычислите значение частного: 1) 4) 3) • VjH); 6) • Vn. Vl8 2^, 2^; 3) fi; да V2; V^. 5) 5) V50; Vo, 75 V27; 628. Вычислите значение частного: V5o; 2) да^; 1) 4) л/2 ’ V2 2) 5) х/оГз Vl2 3) 6) Vi60; да; УРД8 Vi^. V^’ ^ V^’ 629. Найдите значение выражения: 1^^; 2) V2®; 3) да 4^2)10; 5) да^; едада. 142 Квадратные корни. Действительные числа 630. Найдите значение выражения: 2) ТЗ®; 3) л/2®; 4^5^; 5) V(-l)'”; 6) л/(-2)12. 631. Замените выражение тождественно равным ему: 1^^^; 2)^р2; 3) _o,iV;^; 4) 17 632. Замените выражение тождественно равным ему: 7 lW^; 2) ^/Р"; 3) ^л/^; 4) IP Достаточный уровень 633. Вычислите: 1) J4—-52—; V 64 16 V 9 V 13 3^^^ -162; 4) Vo, 852 -0,842 634. Вычислите: 1)j4^1.23l«; V 25 81 V 36 V 37 3^^^ -122; 4) Vo, 252 -0,242 635. Вычислите: 1^ ^ ■ 490; 2) V72 • 32; 4^^-л/^; 5) ^ ^ • V39; 636. Вычислите: 1^ ^ ■ 640; 2) V45 • 125; 4^^ •^/90; 5) ^ ^34 ■ V2; 3)^^-32,4; 6) ^ ^14 ■ л/Т7. 3)^^-8,1; 6) л/бЗ •^/^8 ■ ^/^4. 637. Найдите значение выражения: 1^^^^^ -(-2)®; 2) V2i®"^-VH)^; 3)\/2{^; 4^9®. 638. Вычислите: 1^ - VhJ^; 2) л/i^. 143 ГЛАВА 2 6) если c < 0. V49 639. Вычислите, предварительно разложив подкоренное выражение на простые множители: 1^ ^ 544; 2) 7186624. 640. Упростите выражение: 1^^365С2, если x I 0; 2) Vl2V , если у < 0; 3^ , если р < 0; 4^ ^^; 5^ ^5а®, если а I 0; 641. Упростите выражение: 1) 70,49р2 , если р I 0; 3^&8; 642. Упростите выражение: 1^ если m J 0; 2^ если m I 0, га < 0; V169 3) ^ , если у > 0; 8 2) 25 2 ^ о — , если m < 0; 64 4)70,01а!4 , если а < 0. 4^^, если р < 0; I р20 5^ если m < 0; 6) ,16^26 , если x > 0, z < 0. 643. Упростите выражение: 1) yfG4a^ , если а I 0; 2^ если b < 0, c > 0; 10 3^ J—^—, если z < 0; 4^ если b > 0. V о'^ 144 Квадратные корни. Действительные числа IP Высокий уровень 644. Известно, что x < 0, у < 0. Представьте выражение: 1) 7^ в виде произведения корней; ^ й — в виде частного корней. \3у 645. Упростите выражение: 1^ - у)^, если x I у; 2^ - п)^, если m < n; 3^ ^Ох + 25, если x I 5; 4) ^-2а + , если a < 6; 5) (X + 2) 6) (а - 6) 25 х^ + 4х + 4 , если x > -2; - 2аЬ + , если a < b. 646. Упростите выражение: 1^ - 2)2, если m I 2; 2) ^^ip + 16, если р < -4; 3) (а - 5) 4) (X -1) ;, если a > 5; а2 - 10а + 25 , если x < 1. 9 х^ - 2х + 1 647. Упростите выражение: 1^ + (№^У; 3^ - Т(Ж^^; 4^^4Wf. 648. Упростите выражение: 2) л/з - 2n/2. 145 ГЛАВА 2 Упражнения для повторения 649. Разложите многочлен на множители: 2) 49а2 - 36; - 8ху^; 3^ 27/п2л8; 650. Сократите дробь: 1) 3) 6 + Зт -25 ж2 -Юж + 25 2) 4) ич 25 8 4) — 49 д2 + 10а + 25. 4а + 20 ’ х^ - 4х + 4 п- X' 3 8 651. Докажите тождество: "а 2а ^ а - 8 .а а 2 - 12а + 36 12а 36 - д2 а - 6 + ■ -а. р 652. Постройте график функции у = Зх + 4^ для х < 0. Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 653. Разложите на простые множители число: 1) 18; 2) 72; 3) 175; 4) 448. 654. Упростите выражение: 1^ За; 2) 76 - 6; 3) ^тг - Ъп. 655. Представьте выражение в виде многочлена: 1^ ^ - 4); 2) ^(6 + 2). Интересные задачки для неленивых 656. (Внешнее независимое оценивание, 2012 г.) Родители вместе с двумя детьми, Машей (4 года) и Богданом (7 лет), собираются провести выходной день в парке аттракционов. Родители разрешают каждому ребенку посетить не более трех аттракционов и каждый аттракцион - только по одному разу. Известно, что на аттракционы «Электрические машинки» и «Веселые горки» допускаются только дети старше 6 лет. На «Паровозик» 146 _________________________ Квадратные корни. Действительные числа Богдан не пойдет. Для посещения любого аттракциона билет нужно купить каждому ребенку. Пользуясь таблицей, определите максимальную сумму (в грн), которую потратят родители на покупку билетов для детей. Название аттракциона Стоимость билета для одного ребенка, грн Веселые горки 17 Паровозик 16 Электрические машинки 20 Карусель 12 Батут 15 Детская рыбалка 8 Лебеди 13 18. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЕ КОРНИ Рассмотрим тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни. 1. Вынесение множителя из-под знака корня. Воспользуемся теоремой о корне из произведения для преобразования выражение Vl2: Vl2 = ^/4^ = Vi •^/з = 2^/з. Говорят, что множитель вынесли из-под знака корня. В данном случае из-под знака корня вынесли множитель 2. Пример 1. Вынесите множитель из-под знака корня в вы- ражении ___ Решение. Выражение имеет смысл при x I 0, поскольку x11 < 0, если x < 0. Представим выражение x11 в виде произведение • х, в котором x10 является степенью с четным показателем. Тогда 4х^ = у1х^^^ • X = л/jc^ • л/х = ^J(x^)^ • л[х = |д:^|\/ж. Так как x I 0, то x5 I 0. Поэтому = х^. Следовательно^ = х^4х. Ответ. х^4х. 147 ГЛАВА 2 2. Внесение множителя под знак корня. Рассмотрим тождественное преобразование, обратное к предыдущему. Воспользуемся правилом умножения корней: 2л/з = ■ n/З = = ^/^2. Говорят, что множитель внесли под знак корня. В данном случае под знак корня внесли множитель 2. Отметим, что под знак корня можно вносить только положительный множитель. Пример 2. Внести множитель под знак корня: 1^ТЗ; 2) шл/б. Решение. 1) -2^/з = -1 • 2^/з = -1 • л/22 • ^/3 = -1 • л/4 • ^/3 = = -1 • = -^/^2. 2) Множитель m может принимать любые значения (быть положительным, нулем или отрицательным). Поэтому рассмотрим два случая: - если m I 0, то m-Jb = |тп|\/5 = ■ Тб = л/бпг^; \т\ |л/б ^ ■ л/б = -^/5nг^. - если m < 0, то тпл/б Ответ. 1) -л/12; 2) , если m I 0; , если m < 0. 3. Сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень выражений, содержащих квадратные корни. Используя свойства умножения и деления корней, можно выполнять арифметические действия с выражениями, содержащими квадратные корни. Пример 3. 1) бл/З ■ 7^/2 = Збл/б; 2) 7у[а ■ (-Зл/б) = -21л/бо; 3) ^ = 2^/9 = 2 • 3 = 6; 4^/2 4л/2 4) 7yfx : (-2^/x) 7^^ 2\[х 7 2. Используя тождества = а, где a I 0, можно возводить в степень выражения, содержащие квадратные корни. Пример 4. 1) (-бл/2)2 = (-6)2 . (л/2)2 = 26 • 2 = 60; 2) ^ = a-Ja. Рассмотрим примеры, где квадратные корни можно складывать. 148 ________________________ Квадратные корни. Действительные числа Пример 5. Упростите выражение + Зл/2. Решение. Слагаемые содержат общий множитель Вынесем его за скобки и выполним действие в скобках: 5n/2 + Зл/2 = л/2(5 + 3) = 8л/2. Обычно решение записывают короче: 5л/2 + 3^/2 = 8л/2. Заметим, что выражение W2 и Зл/2 в данном примере называют подобными радикалами (по аналогии с подобными слагаемыми), мы их сложили по правилу приведения подобных слагаемых. Пример 6. Упростите выражение Vl2a + V48a - V27a. Решение. В каждом из слагаемых можно вынести множитель из-под знака корня, в результате получим подобные радикалы и приведем их: л/12а + V48a - л/27а = = у]А • За -I- Vie • Зо — л/9 • За = 2х/Зо -I- 4-^Зо — Зл/За = 3-j3a. Ответ. 3-\/За. Пример 7. Упростите выражение: ^ ^^(^/7 - 2^/3); 2) (2л/5 - ^/3)2 + л/15. Решение. Применим формулы сокращенного умножения. 1) ^ ^ ^ - (2л/3)2 = 7 - 4 ■ 3 = -5; 2) (2^/5 - ^/3)2 + ^/^5 = ((2л/5)2 -2-24Ъ-4з+ (Sf) + y/l5 = = 4-5- 4^/^5 -ь 3 -ъ ^/^5 = 23 - 3^/^5. Ответ. 1) -5; 2^ Зл/15. 4. Сокращение дробей. Пример 8. Сократите дробь: 1) 2) л/б-л/2 a-V7’ ^ 3-^/3 • Решение. 1) Учитывая, чт^ ^ = (-\/7)2, числитель дроби представим в виде разности квадратов, получим: а2 - 7 а2 - (V7)2 (а - V7)(a -г л/7) = а -ь л/7. а - л/7 а - л/7 а - л/7 2) Учитывая, чт^ ^ = л/2л/3, а 3 = (л/3)2 , в числителе и знаменателе вынесем за скобки общий множитель, получим: л/б-л/2 _ л/2л/3-л/2 _ л/2(л/3 - 1) _ л/2 3 - л/З ~ (л/3)2 - л/З ~ л/3(л/3 - 1) ~ л/З i Ответ. 1)^ + л/7; 2^^. 149 ГЛАВА 2 5. Избавление от иррациональности в знаменателе дроби. а Пример 9. Преобразуйте дроб^ так, чтобы она не содер- V5 жала корня в знаменателе. Решение. Учитывая, чт^ = 5, достаточно числитель и знаменатель дроби умножить н^ ^5: a^/5 aVs aVs а ^/5 л/бл/5 (л/5)2 5 Ответ ал/б В таких случаях говорят, что избавились от иррациональности в знаменателе дроби. Пример 10. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе 9 дроби Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на л/Г + 1, чтобы в знаменателе получить формулу сокращенного умножения разности двух выражений на их сумму: 2 _ 2(л/7 + 1) _ 2(л/7 + 1) _ 2(л/7 + 1) _ л/7 - 1 “ (^/7 - l)(^/7 + 1) “ (л/7)2 - 12 “ 7-1 “ _ 2(л/7 + 1) _ ^/7+ 1 “ 6 “ 3 ■ О ^/7+1 Ответ.-------. 3 Заметим, что выражение ^ + 1 называют сопряженным выражение ^ - 1. Вообще-то, если в формулах сокращенного умножения в результате умножения скобок, содержащих радикалы, получается рациональное выражение, то выражения в скобках называют взаимно сопряженными. Так, V? -1 и л/Г +1 - взаимно сопряженные выражения. Взаимно сопряженными также являются выражения л/ц — л/ъ и + \[ъ, Зл/2 + ^/5 и Зл/2-^/5 и им подобные. 1. На примере выражение ^/п покажите, как можно вынести множитель из-под знака корня. 2. На примере произведение покажите, как можно внести множитель под знак корня. 150 Квадратные корни. Действительные числа 3. Приведите примеры подобных радикалов. 4. По какому правилу можно складывать (вычитать) подобные радикалы? 5. На какой множитель нужно умножить числитель и знаменатель, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби^;=; —7=--? \7 \С1 +1 6. Приведите примеры взаимно сопряженных выражений. т Начальный уровень 657. (Устно.) Выполните действия: 4л/2; 2) 2л/3; 3) Зл/7 + л/7; 658. Выполните действия: 1^ + 2л/П; 2) 5^/2 - Зл/2; 3) ^/3 + 6^/3; 659. Представьте в виде корня: л/7 1^-л/5; 2) л/п’ 660. Представьте в виде корня: ^/2 3)S■^^Ъ; 4) 4) 2S - ^/5. 4) Зл/7 - ^/7. л/1з 1^л/7; 2) т ^/^з’ 3) ^л/а; 4) ^/a ^/x Средний уровень 661. Вынесите множитель из-под знака корня: 1^; 2) \/бЗ; 3) ^{Ю; 5^ ■ 19; 6) V24 ■ 7; 7) V52 -73; 662. Вынесите множитель из-под знака корня: 1^20; 2) ^/^Ю; 3) л/i^; 5^ ■ 17; 6) V34 ■ 2; 7) V72 -23; 4) ^63; 8) ^ -25. 4)^^; 8) ^ - 53. 663. Вынесите множитель из-под знака корня и упростите полученное выражение: 4) -1,25л/48. 151 1^/^; 2) --л/500; 3)^^/75; 5 ГЛАВА 2 664. Вынесите множитель из-под знака корня и упростите полученное выражение: 1^л/44; 3) ^/ЗОО; 665. Внесите множитель под знак корня: 2) ^/125; 5 4)^^/П2. 1^/2; 2) ^; 3) ^л/З; 4) -5л/10; 5^Wm; 6)^/8х; 2 7) ^^/^0o; 8) ф- 666. Внесите множитель под знак корня: 1^/3; 2) ^П; 3) ^л/5; 4) -7^/2; 5^/р; 6)^18^; О 7) ^^/^()^; 8) 6./—у. 667. Упростите выражение: 1) ^25х + yj49x - л136х; 2) л/18 - ^/^ -ь ^/iЮ; 3)^^^^00а - ^/50a; 2 4) \/ЗЙг - л/р -ь л]12пг. 668. Упростите выражение: 1^ ^ ^4а - \Jl21a; 2) л/48 + ФЪ; 3) ^ + V5006; 4) ^/^ -ь ^/& -ъ л1бЗа. 669. Выполните умножение: 1^ - ^/^); 3^ ^ ^(1 - ТЗ); 670. Выполните умножение: 1^ + V20); 3^ ^ ^(3 + n/2); 2) ^ ^ + ^/48)^/3; 4) ^ ^(1 + ^/5). 2) ^ ^ + ^/^Ю)^/2; 4) ^ ^(1 - ^/7). 671. Упростите выражение, используя формулы сокращенного умножения: 1)^^^)(у1п - V7); 2) ^ ^(2 + ^/3); 3^ ^ ^(2^/з + л/5); 4) W7)2 - 9; 5^ ^ ^)2 + 2^/6; 6) - ^/27)2. 152 _________________________ Квадратные корни. Действительные числа 672. Упростите выражение, используя формулы сокращенного умножения: ^ ^(^/^9 - л/З); 2) ^ ^(3 + n/2); 3^ ^ ^)(4^/3 + ^/i9); 4) (л/З - Sf - 8; 5^ ^ ^ 6) (л/£Ю - л/1)2. 673. Разложите на множители, используя формулу разности квадратов: 1^ - 3; 2) ^ - а2; 3) ^ - 5; 4^ ^ 2аг^; 5) a - 9, где a I 0; б) b - c, где b I 0, c I 0. 674. Разложите на множители, используя формулу разности квадратов: 1^ л;2; 2) 9/п2 _ 7; 3^ ЗЬ^; 675. Сократите дробь: 1) х“ 2) 1 -4а X + \/б’ ' 49 - а 676. Сократите дробь: 1) 4^’ 2) 25-6’ 3) 3) 42-2 42 ’ л/5 + 5 4Е ; 4) b - 2, где b I 0. 2^/3 + 3 4) 4) 5л/з ■ lS-2 3^/2 . 677. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1) 4s; 2) 12. л/5; 3) m л/га’ 4) 5л/з‘ 678. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1^; 2) 4^; 3) 4i; 4) 8 Зл/2‘ IP Достаточный уровень 679. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) , если m I 0; 2) л/б®; З^^^ё, если a < 0; 4) Vi6^. 680. Вынесите множитель из-под знака корня: 1^ ^njc^, если x I 0; 2) 4^; 3) ^j4^, если p < 0; 4) л/Зб/та^^. 153 ГЛАВА 2 681. Внесите множитель под знак корня: 1^ W2, если a I 0; 2) ^л/б, если b < 0; 3Wf; 4) 682. Внесите множитель под знак корня: 1^ Ws, если b I 0; 2) ^\/7, если c < 0; 3) ■4 4) 683. Упростите выражение: 1) (^/2 - 3^/5)2 + л/360; 2^ ^ WS)2 - Vl50; 3) (2л/3 - 3n/2)2 - (2^/3 - 3n/2)(2V3 + Зл/2) 684. Разложите на множители: 1^^-л/За; 2) + лДр; 4^ ^ - л/lO; 5) 2л/т - V6m; 685. Разложите на множители: 1)^ + у1^; 2) л/42-л/б; 686. Сократите дробь: 3) ^ + ^/7; 6) - VlOic. 1) д: + 6\/ж 2) л:-36 687. Сократите дробь: 1) а-25 ; а - ъ4а' 2) а + 6л[а\1ь + 96; а-9Ь ; X - 4:у/х^1у + 4у; 3) "Ь л/бл. лЯо-5 3) 3) 2-^/^0■ 11+ л/^ ^/^ + 2 ■ д: - 41/ 688. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: 15 .,.2 .,.1 1) 7б-1’ 2) л/П + V7’ 3) Зл/2-2^/з■ 689. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: 10 „ 3 ... 1 1) л/З + 1; 2) ^/^5-n/3; 3) 5^/2-2л/5- 154 Квадратные корни. Действительные числа Высокий уровень 690. Вычислите: ^3 + л/5)2; л/5 - ^/3 691. Вычислите: 1)^^^^ + ^/7-4^/3)2; 3)^ ^ л/7 - ^/6 692. Найдите сумму: 1 + 1 1 + 2) 4) 2) 4) 1 ) 15 + 15 . ll + 2^/^ 11-2л/^’ Л-7з? (i + S''" l + ^/з l-^/з + 10-3^/^l 10 + 3^/^l’ 1ч^ 1-л/5 Л2 ^ + 1-л/5 1 + ч/5 Л2 л/Г + л/5 ^/5+^/9 ^/9 + ^/^3 693. Упростите выражение: \fm + 1 1 + ... + л/45 + л/49‘ 1) 3) m-Jm + т + л1т - 4т ’ ^ 4х 4х - 4у^ 2) 24а а + Ь 4аЬ -Ь 4а - 4ъ' 4х + 4у 4х у Упражнения для повторения 694. Вычислите: 1) 2163 2) 816 36^ ’ 695. Решите уравнение 3) 48 16 278’ ' 643 ’ 2х + 1 1 4) 2д;2 28 • 138 26^ ■ X д: - 1 - X 5 696. Докажите, что значение выражение - 3, где п е N, не может быть натуральным числом. 155 ГЛАВА 2 Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 697. Постройте график функции у = х2 для x I 0. Какова область значений этой функции? 698. По графику функции у = 2х найдите: 1) значение у, при которое ^ = -3, ;:с = 1; 2) значение х, для которого ^ = -2, г/ = 6; 3) два значения х, при которых значение функции больше числа 3; меньше числа 3. Интересные задачки для неленивых 61 699. (Первая международная математическая олимпиада школьников, 1959 г.) Докажите, что при любом натуральном ^ 21п -ь 4 „ значении n дробь ----- является несократимой. 14п + 3 Я l9. ФУНКЦИИ ^ у/х, ЕЕ ГРАФИК И СВОЙСТВА Пример 1. Пусть S см2 - площадь квадрата, a см - длина его стороны. Так как S = a2, то зависимость длины стороны a квадрата от его площади S можно задать формулой а = yfs. Рассмотрим функции ^ = \[х. Очевидно, что переменная х принимает только неотрицательные значения, то есть х I 0. Составим таблицу значений функции ^ = л/х для нескольких значений аргумента: x 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 у 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Отметим эти точки на координатной плоскости (рис. 15). Если бы мы отметили на этой плоскости больше точек, координаты которых удовлетворяют уравнению у = у[х, а потом соединили их плавной линией, то получили бы график функции у = 4х (рис. 16). Графиком этой функции является ветвь параболы. 156 Квадратные корни. Действительные числа у J о 1 1 0 1 ; 1 j I 1 < 1 X Рис. 16 Обобщим свойства функции ^ = 4х. Р 1. Областью определения функции является множество всех неотрицательных чисел: x I 0. 2. Областью значений функции является множество всех неотрицательных чисел: у I 0. 3. График функции - ветвь параболы, выходящая из точки (0; 0), все другие точки графика лежат в первой координатной четверти. 4. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Последнее свойство дает возможность сравнивать значения выражений, содержащих корни. Пример 2. Сравните числа: 1^12 Wn; 2) 7 ^50; 3) 5л/2 и 4^/з. Решение. 1) Так как 12 > 11, то n/12 > n/U. 2^ ^ = \/49, а 49 < 50, поэтому < \/50, значит^ ^ < л/бО. 3) Внесем множитель в обоих выражениях под знак корня: 5л/2 = ^/^ • л/2 = л/50; 4^/3 = л/!б •^/3 = л/48. Так как 50 > 48, т^ > V48, поэтому 5л/2 > 4л/3. 157 ГЛАВА 2 Пример 3. Решите графически уравнение = 14 - ж. Решение. Поскольку мы пока не умеем строить график функции ^ = 5-\/ж, разделим обе части уравнения на число 5. Получим уравнением ^ ^ ^8 - 0,2:с. Построим графики функций ^ = л[х и г/ = 2,8 - 0,2х в одной системе координат (рис. 17). Они пересекаются в точке с абсциссой 4. Проверкой убеждаемся, что число 4 - корень уравнения. Действительно, 5^Д = 5 • 2 = 10 и 14 - 4 = 10. Ответ. 4. Рис. 17 Пример 4. Постройте график функции -2х, если X < о, У = у[х, если о < X < 4, 8 и —, если X > 4. LX Ответ. График изображен на рисунке 18. Рис. 18 1. Что представляет собой график функции ^ = -\/х? 2. Сформулируйте свойства функции ^ = ^[х. 158 Квадратные корни. Действительные числа т Начальный уровень 700. Для функции ^ = у/х найдите значение у, соответствующее значению x = 9; 0; 81. 701. Для функции ^ = yfx найдите значение у, соответствующее значению x = 1; 4; 100. т Средний уровень 702. Используя график функции у = 4х (рис. 16), найдите: 1) значения у для x = 1,5; 3; 4; 6,5; 2) значения х, при которых у = 1; 2,5; 3) два значения х, при которых значение функции больше числа 2; меньше числа 2. 703. По графику функции у = (рис. 16) найдите: 1) значение функции для значений аргумента 0,5; 2; 5,5; 2) значение аргумента, при которых значение функции равно 0,5; 4; 3) два значения х, при которых значение функции больше числа 1; меньше числа 1. 704. Не выполняя построения графика функции ^ = 4х, определите, через какие из данных точек он проходит: 1) А(36; 4); 2) 5(4; 16); 3) С(-4; 2); 4) 5(0; 0); 5) М(1; -1); 6) 5(0,5; 0,25). 705. Принадлежит ли графику функции ^ = 4х точка: 1) 5(16; 6); 2) ^(-36; 6); 3) 5(5; 25); 4) ^(0,9; 0,81)? 706. Сравните числа: 1^3 Wn; 2) л/29 ^ ^; 3^/5 ^ ^ЯО; 4)W3 ^ ^. 707. Сравните значения выражений: 1^/2 W51; 2) л/146 и 7л/3; 3^5 ^ ^; 4) 2л/7 и 3^/3. 159 ГЛАВА 2 т Достаточный уровень 708. Сравните числа: 1^/45 и К/М; 2)^Jl- и 0,4,^^^ 3 2 ' ’ м ^ 'Л 709. Сравните числа: 1)^М ^ ^/75; 4 5 2)^/1- ^ ^Jl^. 9 V 4 710. Найдите область значений функции ^ = Vic, если: 1) 0 J X J 4; 2) 1 J X J 9. 711. Решите графически уравнение ^ = 6 - х. 712. Решите графически уравнение ^ ^ ^ = Vx. Высокий уровень 713. Постройте график функции: Гх - 2, если X < 4, [VX, если X > 4; 714. Постройте график функции: |х^, если X < 1, 1)У = Vx, если X > 1; 2) У 2)У = X - 2у/х Vx - 2 Vx - X 1 - Vx ^ Упражнения для повторения 715. Решите уравнение: 2 1^ = -; 2) Vx = -5; 3) х^ = 16; 4) х2 = -1. 3 716. Вынесите множитель из-под знака корня: 1)4с^; 2)^Ь^, есл^^О. ^717. 160 . Найдите значение выражения ^9 + 4л/5 + Vo - 4V5 ^ Квадратные корни. Действительные числа Интересные задачки для неленивых -gtj 718. Вычислите: 1997 2000 2000 1997 400 Домашняя самостоятельная работа № 4 Для каждого задания предлагается четыре варианта ответа (А-Г), из которых только один является правильным. Выберите правильный вариант ответа. 1. Для функции ^ найдите значение у, соответствующее значение ^ = -3. А. 6; Б. -6; В. 9; Г. -9. 2. Укажите выражение, которое не имеет смысла. А^ТГ; Б^^; В^; Г^16. 3. Укажите число, являющееся иррациональным. A^J5; 9 Б^^; В. 5; V16 4. Вычислите бТоДб-2^1^. А. -0,5; Б. 0,5; В. 4,5; 5. Решите уравнение ^ = 36. А. 6; Б. -6; 6; В. 18; 2л/з + 3 Г^. Г. -2,325. Г. решений нет. 6. Сократите дробь Б. А^; АЧ; 7^/3 2^/з -ь! В. 2 + ^/з 7 7 7. Укажите верное неравенство. Г. 2-^/з > ^/^3; 3 Б^ < -л/Ш; 2 9 В^ ^л/15; Г^ > 0,2л/300. 5 5 161 ГЛАВА 2 8. Решите уравнение — 6 = 0. А. 64; Б. 16; В. 1; Г. 8. 9. Вынесите множитель из-под знака корня в выражении VTo^, если а < 0. А^5 л/7; Б^ ^/7; В^ ТГ; Г^^/7. 10. Упростите выражение V(^/^3-12)2 +^(Vi3-2)2. А^ - 14; Б. 14; В. 10; Г^ - 10. 11. Укажите все значения а, при которых уравнение ах^ = -9 имеет два различных действительных корня. А^ ^ > 0; Б^ 0; В^ ^ < 0; Г^ ^ < 0. 12. Найдите значение выражения ^9 — 4V5 — + 4V5). А. 20; Б. 18; В. 17; Г. 16. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ К § 13-19 1. Для функции у = X2 найдите значение у при x = -4; 7. 2. Имеет ли смысл выражение: 1^9; 2) Л; 3) ^/0; 4) 3. Из чисел 2^—; -8^3; 5; 0; -^J8; -2— выпишите: 5 3 1) натуральные числа; 2) целые неположительные числа; 3) рациональные положительные числа; 4) иррациональные числа. 4. Вычислите: 1) ^2^-107004; З^даТЁб; 5. Решите уравнение: 2) (-ЗТ5)2; 7б 4) л/Ё5‘ 1^ = -; 2) ^ = -1; 3) ^ = 9; 4 4) -4. 162 6. Сократите дробь: 1) х“ л: + л/з’ 2) Квадратные корни. Действительные числа 4^/7+7 5л/7 7. Сравните числа: 1)^150 ^ ^1Т5; 2) 0,2 /2- и 0,4 1— 5 5 V 8 ч 32 8. Вынесите множитель из-под знака корня: 1^6^; 2) VS/n®, есл^ m < 0. 9. Найдите значение выражения + -Js + 2Тб). Дополнительные задания iO - X, если л: < 4; 10. Постройте график функции у = < [VJC, если X > 4. 11. Упростите выражение V(V7^n]i)2 + V(VT^. Упражнения для повторения главы 2 К § 13 719. Укажите область определения и область значений функции у = x2. 720. Постройте график функции у = х2 для -3 J x J 2. 721. Постройте график функции, которая задает зависимость площади квадрата S (в см2) от длины его стороны a (в см). Какова область определения этой функции? 722. 1) Как изменится площадь квадрата, если каждую из его сторон увеличить в 3 раза; уменьшить в 9 раз? 2) Как нужно изменить каждую из сторон квадрата, чтобы его площадь увеличилась в 4 раза; уменьшилась в 25 раз? 723. Точка A(m; n), где т ^ О, п ^ О, принадлежит графику функции у = х2. Принадлежит ли этому графику точка: 1) B(m; -n); 2) C(-m; n); 3) D(-m; -n)? 163 ГЛАВА 2 724. Постройте в одной системе координат графики функций у = X2 и у = x + 6 и найдите координаты точек их пересечения. 725. Постройте график функции: 1)У = X2, если д: < 1, 2 - л:, если д: > 1; 2)У = 6 + д:, если х < -2, X2, если -2 < д: < 2, 8 о —, если д: > 2. X К § 14 726. Докажите, что: 1^^^ = 0,7; 727. Вычислите: 1^9; 3^/Й5; 2) = 50. 2) ^601; 4)М V36 Wo.01 -3,2; 6) ^|6i-2^/M4+0,9. 728. Найдите значение выражения л]2х - 8у, если: 1) X = 1,6; у = 0,4; 2) x = 0,08; у = -0,3. 729. Вычислите: 1^ ^ • (V2,25 + 2^/30,25); V 3 J 2) Г _____Л ^______ -7, — + 3^/5^ : (V52 +122 _ ,^65,61). V 49 730. Решите уравнение: 1^ ^^^ + 3 = 13; 2)^^^1 = 1,2. 3 731. При каких значениях x имеет смысл выражение: 1^ - 2; 2) 7(л:-3)5; 3) ^^; 4) у/х + лРх? X + 1 164 __________________________ Квадратные корни. Действительные числа 732. Решите уравнение относительно переменной x для всех допустимых значений а: = 0; 2) ayfx = 1; 3) ayJx - 1 = 5; 4) = 0. К § 15 733. Рациональным или иррациональным является данное число? Рациональное число запишите без знака корня: 1^9; 2) ^/^l; 3) -л/4; 4) n/13. 734. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число: 2) -29; 3) 5,17; 1ь^; 4) 27 735. Между какими двумя последовательными натуральными числами заключено число: 1^2; 2) ^/7; 3) ^/99; 4) л/20? 736. Правильно ли, что: 1) разность двух целых отрицательных чисел - число целое отрицательное; 2) произведение двух рациональных чисел - число рациональное; 3) сумма кубов двух целых чисел - число натуральное; 4) сумма квадратов двух целых чисел - число целое неотрицательное? 737. Укажите два рациональных числа, заключенных между числами: 1^ W7; 2) -^/^3 и -л/п. 738. Докажите, что не существует рационального числа, которое является решением уравнения х2 = 7. 739. Докажите, что: 1^^^(в) = | 2) 0,8(3)- 12 К § 16 740. Верно ли равенство: 1^ = 19; 2) (л/17)2 = 172; 3^^^=л/5; 4) ^^^=0,1? 165 ГЛАВА 2 741. Вычислите: 7Hi: 2) ^/^3 ■ (-л/!3); 3)f|^ -Л2 5) 8) ч^/3y 2^/з^ 6) >2 У ^2 742. Решите уравнение: 1)^ = 32; 2) X2 - 5 = 0; 3) 2x2 = 18; 4) 49x2 = 1. 743. Составьте уравнение, корнями которого являются числа: 1) 5 и -5; 2) 0,1 и -0,1; 5) V7 и -л/7; 3) 1 1 3) — ^ —; 4 4 ич 3 3 4) — и -; 7 7 6) --л/5 ^л/5. 2 2 744. Упростите выражение: ^/3^/3^/3 /^ч2 1) 2) ; 3) ; 4) . 745. Решите уравнение: 2) (х + 2)2 _ 16 5 5 746. Известно, что ху = 20, X2 + у2 = 41. Найдите x + у. 747. При каких значениях m уравнение х2 = m - 1: 1) имеет два различных корня; 2) имеет только один корень; 3) не имеет корней? К § 17 ^ 748. Для каких значений переменных равенство является тождеством: 2) = & V? V? 166 1^ = \/т • 4п; Квадратные корни. Действительные числа 749. Вычислите: 1) 0,36 49 2) 25•100 3) 4) 64 121 ' У 81 ’ Ml 16 25’ Ml 9 289 750. Вычислите: 1^0^ при a = 13; -17; 2) при x = 0,5; -2,1. 751. Известно, что 372 = 1369. Найдите: 1^ ^^900; 2) ^,69; 3) ^М369. 752. Во сколько раз сторона квадрата, площадь которого равна 12 см2, больше стороны квадрата, площадь которого равна 3 см2? 753. Вычислите: ~2 1)J4 20 2^-(л/7)2; 2)Jl- ^ 8 Vl7y + Л2 3)Jl ^ 3f V 'sj V5 754. Отношение площадей двух кругов равн^ —, а радиус од- 9 ного из них равен 10 см. Найдите радиус другого. 755. Найдите значение выражения: 1^^105; 2) ^ 0,13; 3^ ^Тзо • ^/8; 4)^ -123. 756. Упростите выражение: 1) 2) ^J49(-x)^y^ , если x < 0, у > 0; 20" 1пЮ 3) т п 24 4) .----, если a < 0, b < 0. ''^14 757. Упростите выражение: 1^^,163; 2) ^^,09)2; 3^^^^^^; 4) - л/13)^ 167 ГЛАВА 2 758. Упростите выражение: - 14х + 49 1х^ + 4ж + 4 1) 2) (X + 2)2 (X - 7)2 % если x > 7; 4 + 6р + 9 , если р < -3. (р + 3)2 V (Р + 2)2 759. Докажите, что: 1^ ^ W23 - 8^/7 = 7; 2^ = 5. К § 18 760. Выполните действия: 1^^^2^/7; 2)^^-^/^l; 3) л/З ■ ^/^l; 4) 761. Упростите выражение: 1^ ^ ^(^/7 + 3^/3); 2) (л/З - ^/^l)(^/33 + 1); 3) ^ ^ 4) (л/5 + 1)(2 - л/5) - л/5; 5^ ^ ^/3) - 11л/3; 6) (2 + ^/3)(l - л/З) + 1. 762. Вынесите множитель из-под знака корня: 1^jjc9; л/15. 2) 7тпЗ 36 3) , если a < 0; 4) , если у > 0; 5) ^^Р^; 6) ^^у^, если x < 0, у < 0. 763. Приведите выражение к виду ayfb, где b - целое число: 1^; 2)|; 764. Упростите выражение: 1^ + ^/7-2^/6Y; 3)^|; 4)^i 2) 765. Докажите справедливость равенства: 1) л/8-4л/з = ^/6-^/2; 2)л/2+5 = л/гтТшЖ. 168 766. Сократите дробь: л/х - л/2 1) Квадратные корни. Действительные числа X + у + ^Jx + у 2л/2 - xyfx’ 2) yjx + y 767. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби 1 + л/2-^/з■ 768. Докажите, что + 2-Уб - - 2л/б - число натуральное. 769. Внесите множитель под знак корня и упростите полученное выражение: 1) (X + 2) 2) (а - Ь) Х^ + 4:Х + 4 - 2аЪ + если x > -2; 3) р(р +1) + 2р + 1 , если a < b; , если p < -1; 4) (& - 3) 6-2Ь К § 19 770. Можно ли вы1числить значение функции ^ = у[х для значений x = 4; x = -1; x = 100; x = -9? 771. Постройте график функции ^ = 4х, если: 1^ ^ ^ < 4; 2) ^ ^ < 9; 3) ^ ^ < 16. 772. Пересекает ли график функции ^ = 4х прямую: 1) у = 1; 2) у = 8; 3) у = 0; 4) у = -1? Если пересекает, то в какой точке? 773. Расположите в порядке возрастания числа: 1^ ^Д2; 4; ^/i4; 2)^^^;0,2; /-^. 4 VII 774. При каких значениях x верно неравенство: 1^ > 1; 2) ^ < 2; 3) 1 < Тж < 4; 4^^ ^^<100; 5)^>-1; 6) ^/ж<-2,5? 169 Гл^§(^ 3 Квадратные уравнения в этой главе вы: Э познакомитесь с понятием квадратного уравнения и квадратного трехчлена; Э научитесь решать полные и неполные квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним; применять теорему Виета; раскладывать квадратный трехчлен на множители; решать текстовые и прикладные задачи, математическими моделями которых являются квадратные уравнения или уравнения, сводящиеся к ним. 1Ш20 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В математике, физике, экономике, практической деятельности человека встречаются задачи, математическими моделями которых являются уравнения, содержащие переменную во второй степени. Пример 1. Длина земельного участка на 15 м больше ширины, а площадь равна 375 м2. Найдите ширину участка. Решение. Пусть x м - ширина участка, тогда ее длина -(х + 15) м. По условию задачи площадь участка равна 375 м2. Тогда х(х + 15) = 375. Получаем уравнение: х2 + 15х - 375 = 0. Такое уравнение называют квадратным. Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причем a ^ 0. Например, уравнения 5х2 - 2х - 7 = 0, -3х2 + х - 8 = 0 также являются квадратными. Числа а, b и c называют коэффициентами квадратного уравнения, число а - первым коэффициентом, число b - вторым коэффициентом, число c - свободным членом. В уравнении х2 + 15х - 375 = 0 коэффициенты следующие: а = 1; b = 15; c = -375. В уравнении 5х2 - 2х - 7 = 0 следую- 170 щие: a = 5; b = -2; c = -7, a в уравнении -3x2 + x - 8 = 0 следующие: a = -3; b = 1 и c = -8. Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным. Уравнение х2 + 15x - 375 = 0 - приведенное, а уравнение 5х2 - 2х - 7 = 0 - не является приведенным. ь Если в квадратном уравнении ax^ + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Например, неполным квадратным уравнением, в котором b = 0 и c = 0, является уравнение -8х2 = 0; в котором b = 0 -уравнение 2х2 - 3 = 0; в котором c = 0 - уравнение -7х2 + 4х = 0. Таким образом, неполные квадратные уравнения бывают трех видов: 1) ах2 = 0; 2) ах2 + c = 0; 3) ах2 + Ьх = 0. Рассмотрим решение каждого из них. 1. Уравнение вида ax2 = 0. Так как а ^ 0, имеем уравнение х2 = 0, корнем которого является число 0. Следовательно, уравнение имеет единственный корень: х = 0. 2. Уравнение вида ax2 + c = 0, c Ф 0. с Так как c ф 0, то и Имеем ах2 = -c, то есть а Q Если---> О, то уравнение имеет два корня: Ф 0. а а — л и Х2 — л I Г или сокращенно: х^ 2 = - = +.— л Если — <0, то уравнение корней не имеет. а Пример 2. Решите уравнение: 1) -2х2 + 50 = 0; Решение. -2х2 = -50; 2) 3х2 + 9 = 0. 3х2 = -9; х2 = 25, х2 = -3, X £0. х1,2 = +5. Ответ. 1) +5; 2) корней нет. 3. Уравнение вида ax2 + bx = 0, b Ф 0. Разложим левую часть уравнения на множители и решим полученное уравнение х(ах + b) = 0, где а ф 0. х = 0 или ах + b = 0, Ъ X = —. 171 ГЛАВА 3 Значит, уравнение имеет два корня: = 0 и л:, = —. а Пример 3. Решите уравнение 2х2 + 5х = 0. Решение. Имеем: х(2х + 5) = 0, х = 0 или 2х + 5 = 0, х = -2,5. Таким образом, х^ = 0, х2 = -2,5. Ответ. 0; -2,5. Систематизируем данные о решениях неполного квадратного уравнения в виде схемы: 1. Какое уравнение называют квадратным? 2. Как называют числа а, b, c в квадратном уравнении? 3. Приведите пример квадратного уравнения. 4. Какое квадратное уравнение называют неполным? 5. Приведите примеры неполных квадратных уравнений. 6. Как решают каждый из видов неполного квадратного уравнения? 172 Квадратные уравнения т Начальный уровень 775. (Устно.) Какие из уравнений являются квадратными: ^ ^ + 3 = 0; 2) д;2 - Зх^ =0; 3) + Д- = 5; 4^ ^2 = 0; 5) 4л: - 5 = 2х + 7; 6) 1 - 5л;2 = 0? 776. (Устно.) Среди квадратных уравнений найдите неполные; приведенные: 1^ Зл: = 0; 2) л:2 - Зл: + 4 = 0; 3) 2л:2 - Зл: + 5 = 0; 4^ = 0; 5) 7л;2 -21 = 0; 6) л;2-------X + — = 0. 2 4 777. Выпишите коэффициенты а, b и c квадратного уравнения: 1^ - 5 = 0; 2) 3x2 + 9 = 0; 3) 3^ - х2 + 7 = 0; 4^ ^ = 0; 5) 7х - х2 = 0; 6) 2 + 4х - х2 = 0. 778. Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам: 1) а = 3; b = 5; c = -2; 2) а = -1; b = 5; c = 0; 3) а = -4; b = 0; c = 0; 4) a = 13; b = 0; c = -39. 779. Перенесите таблицу в тетрадь и заполните в ней пустые ячейки: Квадратное уравнение Коэффициенты уравнения ах2 + Ьх + c = 0 а Ь c 5х2 - 3х - 17 = 0 2 -3 4 -15х2 + 14х = 0 -3 0 7 -х2 + 5х + 6 = 0 -5 -1 19 т Средний уровень 780. Приведите к виду ах2 + bx + c = 0 уравнение: 1) (5х - 1)(5х + 1) = х(7х - 13); 2) (2х - 3)2 = (х + 2)(х - 7). 173 ГЛАВА 3 781. Замените уравнение равносильным ему квадратным уравнением: 1) (2x + 3)(2x - 3) = x(9x - 12); 2) (4x + 1)2 = (x - 3)(x + 2). 782. Какие из чисел -2; -1; 0; 1; 2 являются корнями уравнения: 1) x2 - 5x = 0; 2) 3x2 = 0; 3) x2 - 3x + 2 = 0; 4) x2 - 2x - 3 = 0? 783. Какие из чисел -5; -2; 0; 2; 5 являются корнями уравнения: 1) x2 + 2x = 0; 2) -5x2 = 0; 3) x2 - x - 6 = 0; 4) x2 - 25 = 0? 784. Решите уравнение: 1) 3x2 - 27 = 0; 2) 3,7x2 = 0; 4) -5x2 + 10 = 0; 5) -5,7x2 = 0; 3) 2x2 + 8 = 0; 0. 1 2 7 6) —x^ — 9 9 785. Найдите корни уравнения: 1) 2x2 - 2 = 0; 2) 3x2 + 9 = 0; 4) -7x2 + 21 = 0; 5) -1,8x2 = 0; 786. Найдите корни уравнения: 1) x2 + 6x = 0; 4) 0,1x2 + 2x = 0; 787. Решите уравнение: 1) x2 - 5x = 0; 4) 0,2x2 - 10x = 0; 2) 2x2 - 8x = 0; 5) — + — X 3 6 0; 2) 3x2 + 9x = 0; 5) = 0; 4 12 3) 1,4x2 = 0; 6) 1 2 5 _ 6) —x^----= 0. 7 7 3) 4x2 - x = 0; 6) 3x2 - 7x = 0. 3) 5x2 + x = 0; 6) 4x2 + 9x = 0. m Достаточный уровень 788. Составьте квадратное уравнение, которое: 1) не имеет корней; 2) имеет только один корень; 3) имеет два целых корня; 4) имеет два иррациональных корня. 174 Квадратные уравнения 789. При каком значении коэффициента a число 3 является корнем уравнения ax2 + 2x - 7 = 0? 790. При каком значении коэффициента b число -2 является корнем уравнения х2 + bx - 8 = 0? 791. При каких значениях коэффициентов a и b числа 1 и 2 являются корнями уравнения ax2 + bx + 4 = 0? 792. При каких значениях коэффициентов b и c числа 1 и 3 являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0? 793. Решите уравнение: 1) (x - 2)(x + 3) = -6; 2^ ^ ^ - 16); 3) (3x - 1)2 = (x - 3)2; 4) (2х + 1)(3х - 1) = х(х - 2) + 3 Г I 3j 794. Решите уравнение: 1) (x + 3)(x - 5) = -15; 3) (2x - 3)2 = (3x - 2)2; 4) (5х + 1)(2х - 1) = х(х + 3) - 6 X + ■ 795. При каких значениях x значение выражения (3x - 1)(x + 4) на 4 меньше, чем значение выражения x(x + 2)? 796. При каких значениях x значение выражения (2x + 1)(x + 3) на 3 больше, чем значение выражения x(x - 4)? IP Высокий уровень 797. Произведение двух чисел равно их среднему арифметическому. Найдите эти числа, если их разность равна 1. 798. Половина произведения двух чисел равна их среднему арифметическому. Найдите эти числа, если их разность равна 2. 175 Л ГЛАВА 3 799. Решите уравнение: ^|.г| = 0; 800. Решите уравнение: 1^ ^|л:| = 0; 2) + 4 = 0. Ьс 2) ^-9 = 0. Ьс , Упражнения для повторения 801. Докажите тождество: Зх + 3 f X + 3 - X - 1 х^ + X, 802. Постройте график функции у = 8 „ —, если X < -2; X х^, если -2 < X < 2; 8 - 2х, если X > 2. Решите и подготовьтесь к изучению нового ллотериоло 803. Найдите значение выражения - 4ас, если: 1^ = ^ 5; с = -6; 2) а = Д ^ -6; с = 9; 3^ ^ 2^ -3; с = -5; 4) ^ 4; & = 5; с = -9. 804. Вынесите множитель из-под знака корня: 1^18; 2) ТЗОО; 3) Л08; 4) ^/363. 805. Сократите дробь: 1) 4 + 2л/7 2) 6-^/^2 3) 8-2л/3 4) 16 + 7^ 2 2 6 8 Интересные задачки для неленивых 806. Сколько существует двузначных натуральных чисел, которые равны сумме произведения и суммы своих цифр? 176 Квадратные уравнения 21 ФОРМУЛА КОРНЕЙ ^ * • КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ Рассмотрим полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, где a Ф 0, и найдем его решения в общем виде. Умножим левую и правую части уравнения на 4а (так как a Ф 0, то и 4а ф 0): 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0. Далее прибавим к обеим частям уравнения b2: 4a2x2 + 4abx + b2 + 4ac = b2. Так как 4a2x2 + 4abx + b2 = (2ax + b)2, получим: (2ax + b)2 = b2 - 4ac. уК Выражение Ъ2 — 4ac называют дискриминантом (5 ' квадратного уравнения ax2 + Ъх + c = 0. Слово дискриминант происходит от латинского различающий. Дискриминант обозначают буквой D. Учитывая, что b2 - 4ac = D, запишем уравнение в виде: (2ax + b)2 = D и продолжим его решать. Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от значения D. 1) D > 0. Тогда: 2ах -ъ & = 4d или 2ах -г Ь = —Jd 2ах = -6 -I- 4d 2ах = -Ь - 43 X = -ъ + 43 X = -ъ-43 2а 2а (при делении на 2a учли, что a ф 0). Следовательно, если D > 0, то уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два различных корня: -Ъ + 43 -ъ-43 х. = ------ и Хо = 2а Коротко это можно записать так: -ь±43 2а '-1,2 2а ; где D = b2 - 4ac. Получили формулу корней квадратного уравнения. 177 ГЛАВА 3 2) D = 0. Тогда имеем уравнение (2ax + b)2 = 0, 2ax + b = 0, откуда ^ =--. 2а Таким образом, если D = 0, то уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет один коренья ^ =---. Этот корень можно было бы най- 2а ти и по формуле корней квадратного уравнения, учитывая, -ь± Vo ъ что D = 0: X 1,2 2а 2а Поэтому можно считать, что уравнение ax2 + bx + c = 0 при D = 0 имеет два одинаковых „ Ь корня, каждый из которых равен----. 2а 3) D < 0. В этом случае уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеет корней, так как не существует такого значения x, при котором значение выражения (2ax + b)2 было бы отрицательным. Систематизируем данные о решениях квадратного уравнения с помощью схемы: X Пример 1. Решите уравнение: 1) 2x2 + 3x + 1 = 0; 2) 9x2 - 6x + 1 = 0; 3) x2 - 2x + 7 = 0. Решение. 1) D = 32 - 4 • 2 • 1 = 1; D > 0; -3±,Д -3±1, x_ = _1. x2 = -0,5. 2-2 4 2) D = (-6)2 - 4 • 9 • 1 = 0; D = 0;x = - -6 2-9 1 3‘ 3) D = (-2)2 - 4 • 1 • 7 = 4 - 68 = -64 < 0, x e 0. Ответ. 1) -1; -0,5; 2^; 3) корней нет. 178 Квадратные уравнения 1 4 Пример 2. Решите уравнение —--------ж + 1 = 0. 7 7 Решение. Умножим левую и правую части уравнения на (-7), чтобы его коэффициенты стали целыми числами, получим уравнение: х2 + 4х - 7 = 0. —4 + л/44 D = 42 - 4 • 1 • (-7) = 44, тогда х^2 =---• Так как ^/44 = V4 11 = то * =zi±MI,_2±Vn. 2 Ответ. -2 + -v/Tl. Неполные квадратные уравнения и некоторые виды полных квадратных уравнений (например, вида х2 ± х = а) вавилонские математики умели решать еще 4 тыс. лет назад. В более поздние времена некоторые квадратные уравнения в Древней Греции и Индии математики решали геометрически. Приемы решения некоторых квадратных уравнений без применения геометрии изложил древнегреческий математик Диофант (III в.). Много внимания квадратным уравнениям уделял арабский математик Мухаммед ал-Хорезми (IX в.). Он нашел, как решить уравне- ния вида ax2 = bx, ax2 = c, ax2 + bx = c, ax2 + c = bx, bx + c = ax2 (для положительных a, b, c) и получить их положительные корни. Формулы, связывающие между собой корни квадратного уравнения и его коэффициенты, Франсуа Виет были найдены французским математиком (1540-1603) Франсуа Виетом в 1591 году. Он пришел к сле- дующему выводу (в современных обозначениях): «Корнями уравнения (a + b)x - x2 = ab являются числа a и b». После публикации трудов нидерландского математика А. Жирара (1595-1632), а также француза Р Декарта (1596-1650) и англичанина И. Ньютона (1643-1727) формула корней квадратного уравнения приобрела современный вид. 1. Что называют дискриминантом квадратного уравнения? 2. Сколько корней имеет квадратное уравнение в зависимости от значения дискриминанта? 3. Запишите формулу корней квадратного уравнения. 179 ГЛАВА 3 т Начальный уровень 807. (Устно.) Сколько различных корней имеет квадратное уравнение, если его дискриминант равен: 1) 4; 2) 0; 3) -9; 4) 17? 808. Имеет ли корни квадратное уравнение, и если имеет, то сколько, если его дискриминант равен: 1) -7; 2) 49; 3) 13; 4) 0? 809. (Устно.) Правильно ли записан дискриминант квадратного уравнения: 1) 2х2 + 3х - 1 = 0, D = 32 - 4 • 2 • 1; 2) 3х2 - 4х + 2 = 0, D = (-4)2 - 4 • 3 • 2; 3^ + 3 = 0^ ^ ^ 4 • 3 ■ -- ; 2 У 2J 4)^^^ ^х-4: = 0, D = 2^ +4 -- (-4)? 8 8 810. Найдите дискриминант и определите количество корней квадратного уравнения: 1^ - 1 = 0; 2) ^ ^ + 4 = 0; 3^ ^ ^ + 5 = 0; 4) - 1 = 0. 811. Найдите дискриминант и определите количество корней квадратного уравнения: 1^ - 1 = 0; 2) ^ + 7 = 0; 3^ ^ ^ -ь 9 = 0; 4) ^ ^ - 1 = 0. т Средний уровень 812. Решите уравнение: 1^ ^ ^ -ъ 6 = 0; 3^ ч- 2 = 0; 5^ ^ ^ 90 = 0; 813. Решите уравнение: 1^ ^ ^ - 5 = 0; 3^ ^ m + 36 = 0; 814. Решите уравнение: 1^^^^ 5д: + 0,6; 2) 2д;2 -ь 5х - 3 = 0; 4) + Юд: -ь 25 = 0: 6) х^ - 10х -24 = 0. 2) 2х^ +7х-4 = 0; 4) л;2 - д: - 56 = 0. 2) л;2 + 3 = 4х; 180 Квадратные уравнения 3^ ^л: = -6; 5^ ^ = -181/; 815. Решите уравнение: 1^ 0,4 -Зж; 3^ ^2 + 12; 4) ^ ^ ^ = 5jc2; 6) ^/>2 - 2. 2) +1 = Sx; 4) ^ 4г/2 + 1. 816. При каких значениях х: 1) значение многочлена х2 - 2х - 3 равно нулю; 2) значения многочленов х2 + 2х и 0,5х + 2,5 равны; 3) значение двучлена 10х2 - 8х равно значению трехчлена 9х2 + 2х - 25? 817. При каких значениях у: 1) значение многочлена у2 + 4у - 5 равно нулю; 2) значения многочленов у2 - 3у и 0,5у + 4,5 равны; 3) значение трехчлена 4 + 2у - у2 равно значению двучлена 4у2 - 6у? Достаточный уровень 818. Решите уравнение: 1^ ^ ^ = 2л: - 3; 2^ ^ ^ = 2л: -ь 2; 3^ ^ ^ ^ = 2х(л: - 2) -I- 5; 4^ ^ ^ ^(л: + 5) = (л: + 1)2. 819. Решите уравнение: 1^ ^ ^ = 2х -ь 3; 2^ ^ ^ = Зх - 6; 3^ ^ ^ ^ = 2х(х - 4) -ь 6; 4^ ^ ^ ^ ^ + 3) = (X + 2)2 - 1. 820. Решите уравнение: х2 -ь 2х 4х -ь 1 1) 821. Решите уравнение: 1) х2 - Зх 2х -ь 5 2)^ + ^ -1 1 3‘ 1. 181 ГЛАВА 3 822. Решите уравнение: ^-7 = 0; 2 ^х-5 = 0; 823. Решите уравнение: 1^ - 3 = 0; 2 3^ ^jc - 3 = 0; Высокий уровень 824. Решите уравнение: 1) (л[х - 2)(х^ + X - 2) = 0; 3^ ^ ^ - 4 = 0; 825. Решите уравнение: 1) (4х - 3)(л:2 _ ^ _ 0) = 0; 3^ ^ ^ - 5 = 0; 2) ^ ^ + 4 = 0; 4) 0,5л;2 +1,5л:-4 = 0. 2) ^ ^ + 11 = 0; 4)^^^^^ ^5л:-4 = 0. Оу2 2) Х^----1—I----4 = 0; 4) ^ ^ - 2 = 0. Ьс р у2 2) :с2 - 4^ - 3 = 0; \х\ х^ 4) -j-j- + 4л: - 12 = 0. л; 826. При каких значениях a имеет только один корень уравнение: 1^ ^ X - а = 0; 2) ^ ^ + 4 = О? 827. При каких значениях b имеет только один корень уравнение: 1^ ^ X + & = 0; 2) ^ ^ + 9 = О? Упражнения для повторения 828. Сократите дробь: а2 - 49 1) а2 - 14а + 49’ 2) Х2 +1 Х2 - X + 1 829. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции у = 0,2х - 15 с осями координат. 182 Квадратные уравнения 830. Известно, что a + b = 5, ab = -7. Найдите значение выражения: 1) ab2 + a2b; 2) a2 + b2. Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 831. Решите уравнение, сравните сумму его корней с числом, противоположным второму коэффициенту уравнения, а произведение корней - со свободным членом уравнения: 1^ ^ - 6 = 0; 2) ж2 + 6л: + 8 = 0. 832. 1) Пусть a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = Q, х1 и х2 - его корни. Перенесите таблицу в тетрадь и заполните ее. Уравнение ъ а с а *1 *2 Xi+ Х2 *1*2 л:2 - 2л: - 8 = 0 2х2 + 5х - 7 = 0 Зл:2 - 16л: + 5 = 0 2) Сравните ^ ^ ч- л:,; — и х-^х^. а а Интересные задачки для неленивых 833. На мониторе компьютера - число 2500. Ежеминутно компьютерная программа умножает или делит это число на 2 или на 5, получая при этом натуральное число. Может ли ровно через час на мониторе появиться число: 1) 10 000; 2) 20 000? 22. ТЕОРЕМА ВИЕТА Рассмотрим несколько приведенных квадратных уравнений, имеющих два различных корня. Внесем в таблицу следующие данные о них: само уравнение, его корни х1 и х2, сумму его корней х1 + х2, произведение его корней х1 • х2. 183 ГЛАВА 3 Уравнение Xi и Х2 Xi + Х2 Xi • Х2 х2 - 6х + 8 = 0 2 и 4 6 8 х2 + х - 12 = 0 -4 и 3 -1 -12 х2 + 5х + 6 = 0 -3 и -2 -5 6 х2 - 4х - 5 = 0 -1 и 5 4 -5 Обратим внимание, что сумма корней каждого из уравнений таблицы равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Это свойство выполняется для любого приведенного квадратного уравнения, имеющего корни. Приведенное квадратное уравнение в общем виде обычно записывают так: + px + q = 0. Теорема Виета. Сумма корней приведенного Q квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней - свободному члену. Доказательство. Пусть и Х2 - корни приведенного квадратного уравнения х2 + px + q = 0, дискриминант которого D = р2 - 4q. Есл^ П > О, то уравнение имеет два корня: -р -н -р - X, = —----- и ^ —--------. Если D = 0, то уравнение х2 + рх + q = 0 имеет два одина- -Р ковых корням ^ ^2 = --. Найдем сумму и произведение корней: + ^2 = Хо -р -ь л/п -р - 4d -р -ь 4d - р - 4d -2р —---------ь —---------= —-----------------= —— = -р; 2 2 2 2 -р + л/п -р - ^/п (-Р)2 - (л/Й)2 р2 - (р2 - 4д) Р^ - Р^ + 4д 4д 4 4 Следовательно^ ^ ^2 = -р; Т = ®- Хо = д. Теорема доказана. Эту теорему называют теоремой Виета - в честь выдающегося французского математика Франсуа Виета, который открыл это свойство. Его можно сформулировать следующим образом: 184 Квадратные уравнения Если и х2 — корни приведенного квадратного урав- ' нения х2 + рх + q = 0, то х^ + х2 = —р, х^ • х2 = q. Два последних равенства, показывающих связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения, называют формулами Виета. Используя теорему Виета, можно записать соответствующие формулы и для корней любого неприведенного квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Так как a ^ 0, разделим обе части уравнения на а. Получим приведенное квадратное уравнение: X2 + —X -ь — = 0. а а Тогда по теореме Виета^ ^ ^ , х^-х2 = —. а а Если х^ и х2 — корни неприведенного квадратного Q уравнения ах2 + Ьх + c = 0, то Ъ с х^+х2= —\ ^^2= а а Пример 1. Не решая уравнения 3x2 - 5x - 7 = 0, найдите сумму и произведение его корней. Решение. Найдем дискриминант уравнения, чтобы убедиться, что корни существуют: D = 52 + 4 • 3 • 7. Очевидно, что D > 0, следовательно, уравнение имеет два корня x^ и x2. -5 5 7 По теореме Виета^ ^ =----= —; х2 = —. 3 3 3 гл 5 7 Ответ. x-i + X,, - —. 1 2 з’ 1 2 3 Если в уравнении x2 + px + q = 0 коэффициент q является целым числом, то из равенства x^ • x2 = q следует, что целыми корнями этого уравнения могут быть только делители числа q. Пример 2. Найдите подбором корни уравнения x2 + 3x - 4 = 0. Решение. Пусть x^ и x2 - корни данного уравнения. Тогда x^ + x2 = -3 и x^x2 = -4. Если x^ и x2 - целые числа, то они являются делителями числа -4. Ищем среди этих делителей два таких, сумма которых равна -3. Нетрудно догадаться, что это числа 1 и -4. Таким образом, x^ = 1, x2 = -4. Ответ. 1; -4. 185 ГЛАВА 3 Пример 3. Один из корней уравнения х2 + px - 18 = 0 равен 3. Найдите коэффициент p и второй корень уравнения. Решение. Пусть Xi = 3 - один из корней уравнения х2 + px - 18 = 0, а х2 - второй его корень. По теореме Виета: х1 + х2 = -p, х1 • х2 = -18. Учитывая, что х1 = 3, имеем: ГЗ -ь x2 = -р, Гх2 = -6, Гх2 = -6, [3 ■ х2 = -18; [З + (-6) = -р", = 3. О твет. p = 3; х2 = -6. Пример 4. Пусть х1 и х2 - корни уравнения 2х2 - 3х - 1 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения: 2) -I- х^х^; 3) х^ + х|. 1)i.l- X, Ч ^2 Решение. По теореме Виета: 3 1 Х^+ Х2 - ^ ^ - . .4 1 1 л:. Тогда: 1) — + — = — X, Хо л Xi + Хо Х.Х. 1^2 3 2 г л \ ч 2у = -3; 3 4; /ЗЧ2 2 • Г 1 л 2) xfx2 + Х^Х-^ = X^X2(Xj -I- х2) 3) xf + х§ = (х^ -ь х2)2 - 2х^х2 = Ответ. 1) -3; 2) --; 3^-. 4 4 Справедливо и утверждение, обратное теореме Виета. Теорема (обратная теореме Виета). Если числа m и п таковы, что т + п = -р, а т • п = q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + рх + q = 0. Доказательство. По условию m + n = -p, а m • n = q. Поэтому уравнение х2 + px + q = 0 можна записать так: х2 - (m + п)х + mn = 0. Проверим, является ли число m корнем этого уравнения, для чего подставим в левую часть уравнения вместо переменной х число m. Получим: m2 - (m + n)m + mn = m2 - m2 - mn + mn = 0. Следовательно, m - корень этого уравнения. 186 Квадратные уравнения Аналогично подставим в левую часть уравнения вместо переменной x число п. Получим: п2 - (m + n)n + mn = n2 - mn - n2 + mn = 0, то есть n - также корень этого уравнения. Таким образом, m и n - корни уравнения х2 + px + q = 0, что и требовалось доказать. Пример 5. Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа -5 и 2. Решение. Искомое квадратное уравнение имеет вид х2 + px + q = 0. По теореме, обратной теореме Виета: p = -(х^ + х2) = -(-5 + 2) = 3; q = х^ • х2 = -5 • 2 = -10. Таким образом, х2 + 3х - 10 = 0 - искомое уравнение. Ответ. х2 + 3х - 10 = 0. 1. Сформулируйте и докажите теорему Виета для приведенного квадратного уравнения. 2. Чему равны сумма и произведение корней уравнения ,-2 ах2 + Ьх + c = 0? 3. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета. т Начальный уровень 834. (Устно.) Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней: 1^ ^ ^ + 14 = 0; 2) ^ ^ - 28 = 0; 3^ ^ m -ь 52 = 0; 4) д;2 - бд: -ь 5 = 0; 5^ = 0; 6) ^ 8 = 0. 835. Найдите сумму и произведение корней уравнения: 1) 2Х2 + 4:Х 3)Зх2 - 6х 5 8 0; 0; 2) -X2 +5х 4) 4х2 - 7х 6 = 0. 0; 836. Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней: 1^ ^ ^ - 8 = 0; 2) + ж - 6 = 0; 3^ ^ ^ -ь 5 = 0; 4) 2х2 - 6:с -ь 3 = 0. т Средний уровень 837. Решите уравнение, используя формулу корней, и проверьте для него справедливость теоремы Виета: 1^ ^ ^ - 5 = 0; 2) х2 - 4х - 21 = 0; 3^ ^ ^ -г 3 = 0; 4) ^ ^ -ъ 2 = 0. 187 ГЛАВА 3 838. Решите квадратное уравнение по формуле корней и проверьте для него справедливость теоремы Виета: ^ ^ - 28 = 0; 2) ^ ^ + 15 = 0. 839. Все данные уравнения имеют корни. В каких из них корни являются числами одного знака, а в каких - числами разных знаков: 1^ ^ ^ - 8 = 0; 2) ^ ^ + 4 = 0; 3^ + 1 = 0; 4) - 5 = 0? т Достаточный уровень 840. Найдите подбором корни уравнения: 1^ ^ ^ -I- 6 = 0; 2) ^ ^ -I- 8 = 0; 3^ ^ ^ - 7 = 0; 4) ^ ^ - 4 = 0; 5^ ^ m + 42 = 0; 6) jc2 - 5x - 24 = 0. 841. Найдите подбором корни уравнения: 1^ ^ ^ -I- 4 = 0; 2) ^ ж - 6 = 0; 3^ ^ ^ -ь 3 = 0; 4) ^ ^ -ь 27 = 0; 5^ ^ - 6 = 0; 6) д;2 + 9д: - 22 = 0. 842. Докажите, что уравнение ^ - 389 = 0 не может иметь корней, являющихся числами одного знака. 843. Не решая уравнения, определите знаки его корней (если корни существуют): 1^ ^ ^ + 5 = 0; 2) ^ m - 1 = 0; 3^ ^ Ujc - 7 = 0; 4) + 2 = 0. 844. Не решая уравнения, определите, имеет ли оно корни. Если имеет, то найдите знаки корней: 1^ ^ ^ - 2 = 0; 2) ^ т: + 1 = 0; 3^ ^ Ыд: + 1 = 0; 4) ^ ^ - 18 = 0. 845. Один из корней уравнения + (зх + q = Q равен -3,5. Найдите другой его корень и коэффициент q. 846. Один из корней уравнение ^ ^ -9 = 0 равен 1,5. Найдите другой его корень и коэффициент р. 847. Корни х1 и х2 уравнения х^ + рх - 10 = 0 удовлетворяют условие ^5^2 = 0. Найдите корни уравнения и коэффициент р. 848. Корни х1 и х2 уравнение ^ ^ -ь g = О удовлетворяют условию 2х^ - 3x2 =13. Найдите корни уравнения и коэффициент q. 188 Квадратные уравнения Высокий уровень 849. и х2 - корни уравнение ^ ^ - 3 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения: х. Хо 2) х^х2 + xl^x^; 4^ -^; ..ч 1 1 5)-:7 + 2 ’ 3) xf + х§; 6) (л^! - х2)^. 850. х1 и х2 - корни уравнение ^ ^ - 2 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения: 3) xf + х^; 6) (л:1 - х2У. 11 - - —1—; 2) х(х2 + xi ^1 *2 X, Хо .4 1 1 ; — + —; 5)^ + ; х2 х^ х^ х1 Дополнительные задачи 851. Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корни равны: 1) 2 и 3; 2) -3 и 4; 3) -7 и 2; 4) 0,3 и -0,5. 852. Составьте приведенное квадратное уравнение, корни которого равны: 1) 5 и 1; 2) 2 и -7; 3) -2 и -3; 4) 0,7 и -0,1. 853. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны: 1) -- и 5; 2) -- и --; 3)^5 и -^/5; 4^ ^ л/З и 2-ь л/З. 3 4 6 854. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны: 1) -2 ^; 2) - и -; 3) -л/Г и л/Г; 4) ^ л/г и 3 - ^/7. 3 8 2 855. Составьте квадратное уравнение, корни которого соответственно на 2 больше, чем корни уравнение ^ ^ — 9 = 0. 856. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 3 меньше, чем корни уравнение ^ ^ - 7 = 0. 189 ГЛАВА 3 Упражнения для повторения 857. Имеется два куска сплава меди и цинка. Первый содержит 20 % меди, а второй - 35 % меди. По сколько килограммов нужно взять от каждого куска, чтобы получить сплав массой 200 кг, который содержит 29 % меди? 858. Упростите выражение: л/х + -yjy _ л/ж ^ _ 4х - у[у 4х 4х -4у) Ту Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 859. Сумма двух чисел равна 32, а одно из них в 7 раз больше другого. Найдите эти числа. 860. Разность двух чисел равна 3, а разность между квадратом большего и квадратом меньшего составляет 81. Найдите эти числа. Интересные задачки для неленивых 861. В сборную команду Украины на Всемирной шахматной олимпиаде входит 6 шахматистов и капитан, который руководит командой, но не принимает участия в соревнованиях. Средний возраст всех членов команды на 2 года больше, чем средний возраст шахматистов. На сколько лет возраст капитана больше среднего возраста членов его команды? 23 КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕКСТОВЫХ И ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ В 7 классе мы уже знакомились с задачами, которые можно решить с помощью линейных уравнений или систем линейных уравнений. Для решения прикладной задачи сначала создают ее математическую модель, то есть записывают зависимость между известными и неизвестными величинами с помощью математических понятий, отношений, формул, уравнений и т. п. Математической моделью многих задач в математике, физике, технике, практической деятельности че- 190 Квадратные уравнения ловека может быть не только линейное уравнение или система линейных уравнений, но и квадратное уравнение. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Разность кубов двух натуральных чисел равна 279. Найдите эти числа, если одно из них на 3 больше другого. Решение. Пусть меньшее из этих чисел равно п, тогда большее равно п + 3. По условию задачи имеем уравнение: (п + 3)3 - пЗ = 279. Упростим левую часть уравнения. Получим: п2 + 3п - 28 = 0, откуда п^ = 4; п2 = -7. По условию задачи п е N. Поэтому условию удовлетворяет только число 4. Следовательно, первое искомое число 4, а второе 4 + 3 = 7. Ответ. 4; 7. Пример 2. В кинотеатре количество мест в ряду на 6 больше количества рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если мест в нем 432? Решение. Пусть в кинотеатре x рядов, тогда мест в каждом ряду - (х + 6). Всего мест в зале x(x + 6). Имеем уравнение: х(х + 6) = 432. Перепишем уравнение в виде х2 + 6х - 432 = 0, откуда х^ = 18, х2 = -24. По смыслу задачи значение х должно быть положительным. Этому условию удовлетворяет только х1. Следовательно, в кинотеатре 18 рядов. Ответ. 18 рядов. Пример 3. У выпуклого многоугольника 54 диагонали. Найдите, сколько у него вершин. Решение. Пусть у многоугольника п вершин. Из каждой его вершины выходит (п - 3) диагонали. Тогда из всех п его вершин выходит п(п - 3) диагонали. Но при этом каждую из его диагоналей посчитали дважды. Следовательно, всего диа- „ - п(п - 3) гоналей будет-------. Получим уравнение : п(п - 3) 54, то есть п2 - 3п - 108 = 0, откуда п1 = 12 и п2 = -9. Отрицательный корень уравнения не может быть решением задачи. Ответ. 12. Пример 4. Тело подбросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Высота h (в м), на которой через t с будет тело, вычисляется по формуле h = 20t - 5t2. В какой момент времени тело окажется на высоте 15 м? 191 ГЛАВА 3 Решение. По условию: 15 = 20t — 5t2, следовательно, после упрощения имеем уравнение: t2 - 4t + 3 = 0, решив которое, найдем корни: t1 = 1, t2 = 3. Оба корня являются решением задачи, так как на высоте 15 м тело окажется дважды: сначала при движении вверх (это произойдет через 1 с), а во второй раз - при падении (это произойдет через 3 с). Ответ. 1 с, 3 с. Пример 5. В 9 часов утра из базового лагеря в восточном направлении отправилась группа туристов со скоростью 5 км/ч. Через час из того же лагеря со скоростью 4 км/ч отправилась другая группа туристов, но в северном направлении. В котором часу расстояние между группами туристов будет 17 км? W N Решение. За первый час первая группа туристов преодолеет 5 км: OM = 5 (рис. 19). Дальше будут двигаться обе группы. Пусть расстояние в 17 км между группами будет через t часов после начала движения второй группы. Тогда за это время первая группа преодолеет 5t км, а вторая - 4t км, OB = 4t. Всего первая группа преодолеет расстояние OA = OM + МА = 5 + 5t (км). Из АAOB по теореме Пифагора AB2 = OA2 + OB2, тогда имеем уравнение: (5 + 5t)2 + (4t)2 = 172, откуда 41t2 + 50t - 264 = 0. Учитывая, что t > 0, получим t = 2 (ч). Следовательно, расстояние 17 км между группами туристов будет в 12 часов. Ответ. В 12 часов. В результате хозяйственной деятельности человека возникли прикладные задачи, решением которых люди занимаются уже на протяжении нескольких тысячелетий. Самые древние из известных нам письменных памятников, содержащих правила нахождения площадей и объемов, были составлены в Египте и Вавилоне приблизительно 4 тыс. лет назад. Около 2,5 тыс. лет назад греки переняли геометрические знания египтян и вавилонян и стали развивать теоретическую (чистую) математику. 192 Квадратные уравнения Также в древние времена математики использовали математические модели, в частности и для геометрических построений (метод подобия фигур). Современное понятие математической модели в качестве описания некоторого реального процесса языком математики стали использовать в середине XX в. в связи с развитием кибернетики - науки об общих законах получения, хранения, передачи и обработки информации. А раздел современной математики, изучающий математическое моделирование реальных процессов, даже выделили в отдельную науку - прикладную математику. Существенный вклад в развитие прикладной математики был сделан нашими выдающимися земляками - математиками М.П. Кравчуком и М.В. Остроградским. Развитие кибернетики в Украине связывают с именем академика Виктора Михайловича Глушкова - выдающегося украинского математика, доктора физико-математических наук, профессора. В 1953 г. он возглавил лабораторию вычислительной техники Института математики АН УССР, стал ее мозговым и энергетическим центром. На базе этой лаборатории в 1957 г. был создан Вычислительный центр, а в 1962 г^. -Институт кибернетики АН УССР, который и возглавил В.М. Глушков. Лаборатория известна тем, что в 1951 г. в ней создали первую в Евразии Малую электронную счетную машину, а уже в Вычислительном центре завершили работу по созданию первой в Украине большой электронно-вычислительной машины «Киев». Сегодня Институт кибернетики НАН Украины носит имя В.М. Глушкова и является, в частности, разработчиком прикладных информационных технологий для решения неотложных практических задач, возникающих при моделировании экономических процессов, проектировании объектов теплоэнергетики, решении проблем экологии и защиты окружающей среды. Объясните, как были решены задачи в примерах 1-5. Средний уровень 862. Одно из двух натуральных чисел на 5 меньше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно 204. 863. Произведение двух натуральных чисел равно 180. Найдите эти числа, если одно из них на 3 больше другого. 864. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 108 см2, а одна из сторон на 3 см больше другой. 865. Участок прямоугольной формы, одна из сторон которого на 10 м больше другой, надо огородить забором. Найдите длину забора, если площадь участка 375 м2. 193 ГЛАВА 3 866. Сумма двух смежных сторон прямоугольника - 17 см, а его площадь - 70 см2. Найдите стороны прямоугольника. IP Достаточный уровень 867. Один из катетов прямоугольного треугольника на 7 см меньше другого. Найдите периметр треугольника, если его гипотенуза равна 13 см. 868. Найдите площадь прямоугольника, если сумма двух его непараллельных сторон равна 14 см, а диагональ - 10 см. 869. Произведение двух последовательных натуральных чисел на 181 больше их суммы. Найдите эти числа. 870. Кусок стекла имеет форму квадрата. Когда от него отрезали полосу шириной 30 см, его площадь стала равна 2800 см2. Найдите первоначальные размеры куска стекла. 871. Площадь прямоугольного листа фанеры равна 300 дм2. Его разрезали на две части, одна из которых - квадрат, а другая - прямоугольник. Найдите сторону квадрата, если сторона полученного прямоугольника, который не является стороной квадрата, равна 5 дм. 872. Найдите три последовательных целых числа, если утроенный квадрат меньшего из них на 242 больше суммы квадратов двух других. 873. Найдите три последовательных целых числа, если квадрат большего из них на 970 меньше удвоенной суммы квадратов двух других. 874. Сумма кубов двух натуральных чисел равна 468. Найдите эти числа, если их сумма равна 12. 875. От перекрестка в двух направлениях одновременно отправились два велосипедиста, один - на восток, другой - на север. Скорость первого была на 4 км/ч больше, чем скорость второго. Через 2 ч расстояние между ними составило 40 км. Какова скорость каждого из велосипедистов? 876. Периметр прямоугольника равен 44 см, а сумма площадей квадратов, построенных на его соседних сторонах, равна 244 см2. Найдите стороны прямоугольника. 194 Квадратные уравнения Высокий уровень 877. Фотографию размером 10x15 (в см) вставили в рамку площадью 204 см2 и обрамлением одинаковой ширины. Определите ширину обрамления рамки. 878. На земельном участке прямоугольной формы со сторонами 8 м и 6 м нужно разместить прямоугольную клумбу площадью 15 м2 так, чтобы вокруг клумбы вплотную к границам участка образовалась дорожка постоянной ширины. Определите, какова ширина этой дорожки. 879. На шахматном турнире было сыграно 45 партий. Каждый из участников сыграл с каждым из остальных по одному разу. Сколько шахматистов приняли участие в турнире? 880. К Рождеству все члены семьи Петренко подготовили друг другу подарки и положили их под елку. Сколько человек в семье Петренко, если под елкой оказалось 20 подарков? 881. Высота h (в м), на которой через t с окажется мяч, подброшенный вертикально вверх, вычисляется по формуле h = v0t - 5t2, где v0 - начальная скорость (в м/с). После удара футболиста мяч полетел вертикально вверх и через 1 с оказался на высоте 10 м. Через какое время мяч будет на высоте 10,8 м? 882. Футболист, рост которого 1,8 м, подбивает мяч головой, и через 0,4 секунды мяч оказывается на высоте 3,8 м. Через какое время мяч будет на высоте 4,25 м? 883. Сигнальная ракета, выпущенная вертикально вверх, через 2 с оказалась на высоте 40 м. Через какое время она окажется на высоте 44,2 м? Упражнения для повторения 884. Найдите корни уравнения: 1^ 12 = 0; 2) 9ж = 0; 3^ ^ + 3 = 0; 4) ^ ^ + 4 = 0. 885. Решите уравнение: 1^ ^ ^ = 5л: + 7; 2)^^^ ^-5 = 0. 4 195 ГЛАВА 3 886. При каких значениях а уравнение ^ ^ - 4 = О имеет только один корень? Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 887. Разложите на множители многочлен: - 5д:; 2) 7х^ + 14;jc; 3) 36; 4^^ -25; 9 5) ^)д: + 25; 6) 16x^ + 8;jc + 1. Интересные задачки для неленивых 888. Докажите, что из любых ста натуральных чисел можно выбрать несколько (возможно, и одно), сумма которых будет делиться на 100. Домашняя самостоятельная работа № 5 Для каждого задания предлагается четыре варианта ответа (А-Г), из которых только один является правильным. Выберите правильный вариант ответа. 1. Укажите уравнение, являющееся квадратным. ^ ^ - ;jc = 0; - 5 = 0; = 5; + 7 = 0. х“ 2. Если дискриминант квадратного уравнения равен 15, то квадратное уравнение... A. не имеет корней; Б. имеет два различных корня; B. имеет один корень; Г. имеет бесконечно много корней. 3. Пусть х1 и х2 - корни уравнения + ас - 5 = 0, тогда А^ = 1; = -5; Б^ = -1; x^Xg = 5; В^ ^Kg = 1; x^Xg = 5; Г^ ^:g = -1; х^^Х2 = -5. 4. Укажите корни уравнение 4х = 0. А. 0; 1,25; Б. 0; 0,8; В. 0; -0,8; Г. 0,8. 5. Решите уравнение ^ ^х + 3 = 0. А^; 3; Б. —; -3; В. 1; 9; 3 Г. корней нет. 196 ________________________________________ Квадратные уравнения 6. Площадь прямоугольника равна 168 см2, а одна из его сторон на 2 см меньше другой. Найдите меньшую сторону прямоугольника. А. 14 см; Б. 13 см; В. 12 см; Г. 11 см. 7. При каком значении a число 2 будет корнем уравнения ах^ -ь 4x - 20 = О? А. -3; Б. 3; В. 7; Г. -7. 8. Решите уравнение ^ ^ = 4ж -I- 5. А. -1; 1; Б. 1; В^ ^ + л/б; 2 - -\/5; Г. корней нет. 9. Дано три последовательных натуральных числа. Утроенный квадрат меньшего из них на 50 больше суммы квадратов двух других. Найдите меньшее из данных чисел. А. 5; Б. 11; В. 12; Г. 13. 10. Решите уравнение ^ -ь Зж - 5) = 0. А. -2,5; 1; 9; Б. -2,5; 1; 3; В. 1; 3; Г. 1; 9. 11. и х2 - корни уравнения 2ж2 - Зж - 7 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражение ^ + ж|. А. 9,25; Б. -4,75; В. 23; Г. найти невозможно. 12. Во время деловой встречи произошло 36 рукопожатий, причем все участники пожали руку друг друга. Сколько человек участвовало в деловой встрече? А. 8; Б. 9; В. 10; Г. 18. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ К § 20-23 1. Какие из уравнений являются квадратными: 1^ ^ ^ + 7 = 0; 3^ ^^15 = 0; 2) ж2 + - = 19; ж 4) ^ ^ = 2ж -н 3? 2. Сколько различных корней имеет квадратное уравнение, если его дискриминант равен: 1) 9; 2) 0; 3) -16; 4) 23? 3. Найдите сумму и произведение корней уравнения х2 + 2х - 17 = 0. 4. Решите неполное квадратное уравнение: 1^ 18 = 0; 2) Зж2 - 4ж = 0. 197 ГЛАВА 3 5. Решите уравнение: 1) ^ ^ + 2 = 0; 2) л;^ - бзс + 9 = 0. 6. Одна из сторон прямоугольника на 4 см больше другой, а площадь прямоугольника равна 192 см2. Найдите его периметр. 7. Решите уравнение: 1^ ^ ^ = 4д: - 5; 2)^^^ ^-3 = 0. 2 8. Найдите три последовательных натуральных числа, если квадрат большего из них на 140 меньше суммы квадратов двух других. р 9. Решите уравнение ^ -I- Зх - 4) = 0. Дополнительные задачи 10. Числа х1 и х2 - корни уравнения - 5х - 3 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения: 1^ ^ —; 2) xf + х|. Xi Х2 " ^ 11. На первенстве школы по баскетболу было сыграно 28 матчей, причем каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному матчу. Сколько команд участвовало в первенстве школы по баскетболу? 24 КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ Выражение 2х -ь 7 и -х^ -ь Зх - 9 являются многочле- нами второй степени с одной переменной стандартного вида. Такие многочлены называют квадратными трехчленами. Квадратным трехчленом называют многочлен вида ах2 + bx + c, где x - переменная, a, b, c - числа, причем а ^ 0. Например, выражение + 2х - 3 является квадратным трехчленом, у которого a = 1, b = 2, c = -3. Пример 1. Рассмотрим квадратный трехчле^ Зх - 8. Если х = -1, то его значение равно нулю. Действительно, 5 • (-1)2 - 3 • (-1) - 8 = 0. В таком случае число -1 называют корнем этого квадратного трехчлена. 198 Квадратные уравнения Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение трехчлена обращается в нуль. Чтобы найти корни квадратного трехчлена + Ьж -I- с, нужно решить уравнение ^ ^ ч- с = 0. Пример 2. Найдите корни квадратного трехчлена Зх^ ч- 2д: - 16. Решение. Решим уравнение ^ ^ - 16 = 0. Получим: 2 2 = 2^ = -2—. Следовательно, 2 и - корни квадратно- го трехчлена 3x2 +2х- 16. 2 Ответ. 2; -2—. 3 Квадратный трехчлен, как и квадратное уравнение, может иметь два различных корня, один корень (то есть два равных корня) или не иметь корней. Это зависит от знака дискриминанта квадратного уравнения D = b2 - 4ac, который также называют и дискриминантом квадратного трехчлена + Ьх ч- с. Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет два различных корня, если D = 0, то квадратный трехчлен имеет один корень (то есть два равных корня), если D < 0, то квадратный трехчлен не имеет корней. Если корни квадратного трехчлена известны, то его можно разложить на линейные множители, то есть на множители, являющиеся многочленами первой степени. Теорема (о разложении квадратного трехчлена на множители). Если х^ и х2 - корни квадратного трехчлена а*2 + Ьж ч- с, то справедливо равенство ах^ -\-Ъх с = а(х - х^)(х - Xg). - корни квадратного Ь с ( —; X, • Хо = — (по тео-а а Доказательство. Если х^ и х2 уравнение ^ ^ ч- с = О, то х^ ч- Xg = реме Виета). Для доказательства теоремы раскроем скобки в правой части равенства: а(х - х^)(х - Xg) = а(х2 - х^х - xxg ч- x^Xg) = = а(х2 - x(Xj ч- Xg) ч- x^Xg = ах2 ч- Ьх ч- с. ( О ( ьЛ а х2 - X ■ — + — 1 1 aj а) 199 ГЛАВА 3 Таким образом^ ^ ^ ^ ^i(jc - л:^)(л: - rCg), что и требо- валость доказать. Если же квадратный трехчлен не имеет корней, то на линейные множители его разложить нельзя. Пример 3. Разложите на множители квадратный трехчлен: Зл: + 5; 2) - 2д: + 5; 3) ^2д: + 12. Решение. 1) Корни трехчлен^ 3::с + 5 - числа -1 и 2,5. Поэтому ^ ^ ^ = -2(д; + 1)(зс - 2,5). Это можно записать ина- че, умножив первый в разложении множитель -2 на двучлен x - 2,5. Получим^ ^ ^ ^ = (ic + 1)(5 - 2jc). 2) Квадратное уравнение ^ ^ + 5 = О не имеет корней. Поэтому квадратный трехчле^ - 2д: + 5 на множители не разлагается. 3) Квадратное уравнение ^ + 12 = О имеет два оди- наковых корня Xi = Х2 = 2. Поэтому Зж2 - 12л: + 12 = 3(л: - 2)(л: -2) = 3(jc - 2)2. Нетрудно заметить, что если квадратный трехчлен имеет два равных корня, то он представляет собой квадрат двучлена или произведение некоторого числа на квадрат двучлена. Пример 4. Сократите дроб^ ^—-. д;2 -1 Решение. Числа 1 и -0,5 - корни квадратного трехчлена 4л;2 - 2л: - 2. Поэтому ^ ^ ^ = 4(л: - 1)(л: + 0,5). Имеем: 4д:2-2д:-2 4(д: - 1)(л: + 0,5) 4(д: + 0,5) 4л: + 2 Ответ. -1 4д; + 2 (д: - 1)(д: + 1) д: + 1 д: + 1 д: + 1 При решении некоторых задач, связанных с квадратным трехчлено^ + &ж + с, бывает удобно представить его в виде а(х - /п)2 + п, где m и n - некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена. Пример 5. Выделите из трехчлен^ ^^^16д:-7 квадрат двучлена. Решение. Вынесем за скобки множитель 2: 2д;2 + 16д: - 7 = 2(д;2 + 8д: - 3,5). Воспользовавшись формулой квадрата суммы двух чисел а2 + 2ab + b2 = (а + b)2, преобразуем выражение в скобках, считая, что X2 = а2, а 8х = 2ab. Тогда 8х = 2 • х • 4, откуда 200 ______________________________________ Квадратные уравнения определяем, что число 4 является вторым слагаемым квадрата суммы, то есть b = 4, поэтому добавим и вычтем 42: 2(д;2 ч- 8д: - 3,5) = 2(х^ ч- 2 ■ д: • 4 + 42 - 42 - 3,5) = = 2((ж + 4)2 - 19,5) = 2(д: + 4)2 - 39. Ответ. 2(х + 4)^ - 39. Пример 6. Дан квадратный трехчле^ ^24л: - 20. При каком значении x он принимает наибольшее значение? Найдите это значение. Решение. Выделим из трехчлена квадрат двучлена: -4х2 + 24x - 20 = -4(x2 - 6x + 5) = -4(x2 - 2 • x • 3 + 32 - 32 + 5) = = -4((x - 3)2 - 4) = -4(x - 3)2 + 16. Выражение - 3)2 при любом значении x принимает неположительное значение, то есть -4(x - 3)2 J 0, причем это выражение равно нулю только при x = 3. Поэтому при x = 3 значение данного в условии трехчлена равно 16 и является для него наибольшим. Таким образом, квадратный трехчле^ ^24л: - 20 при- нимает наибольшее значение, равное 16, при x = 3. Ответ. 16 при x = 3. 1. Что называют квадратным трехчленом? 2. Что называют корнем квадратного трехчлена? 3. Сколько корней может иметь квадратный трехчлен? 4. Как раскладывают квадратный трехчлен ах^ +Ьх + с на множители? 5. Какое преобразование квадратного трехчлена ах^ +Ьх + с называют выделением квадрата двучлена? т Начальный уровень 889. (Устно.) Является ли квадратным трехчленом выражение: 1) x2 + x - 3; 3) 3x + 7; 5^^^—^; х^ + X - 3 7) 3x - 7 + 5x2; 2) x3 - x + 7; 4) x + 2; 6) x2 - x + x3; 8^ lOx + -? X 890. Выпишите выражения, являющиеся квадратными трехчленами: 1) x3 - x; 2) x2 - x - 1; 3) 4x2 +17д: + -; 5 201 ГЛАВА 3 4) 4x + 17; 5) x2 - x + x7; 6) 2x2 + x’ 7) -9x2 + 18 + 5x; 8) -7 + 10x + 14x2. 891. Какие из чисел 1; 2; 3 являются корнями квадратного трехчлена: 1) x2 - 2x + 1; 2) x2 + 8x - 9; 3) x2 - 5x + 6; 4) x2 - 2x - 3? 892. Найдите дискриминант квадратного трехчлена и определите количество его корней: 1) x2 + 2x - 5; 2) x2 + 3x + 7; 3) x2 - 2x + 1; 4) x2 - x - 2. 893. Найдите дискриминант квадратного трехчлена и определите количество его корней: 1) x2 + x - 6; 2) x2 + 6x + 9; 3) x2 - 2x + 5; 4) x2 + 3x - 7. IP Средний уровень 894. Найдите корни квадратного трехчлена: 1) x2 - 6x + 5; 2) x2 - 4x - 12; 3) 5x2 - 10x + 5; 4) -2x2 - 3x + 2. 895. Найдите корни квадратного трехчлена: 1) x2 - 7x + 12; 2) x2 - x - 20; 3) 6x2 - 7x + 1; 4) -3x2 + 6x - 3. 896. Можно ли разложить на множители квадратный трехчлен: 1) 16x2 - 5x + 1; 2) 4x2 + 4x + 1; 3) 2x2 + x - 19? 897. Разложите квадратный трехчлен на множители: 1) x2 - 5x + 4; 2) x2 + 7x - 8; 3) 2x2 - 5x + 2; 4) -x2 + 11x - 24; 5) -3x2 + 8x + 3; б) 4x2 + x - 3. 898. Разложите квадратный трехчлен на множители: 1) x2 - 8x + 7; 2) x2 + 8x - 9; 3) 2x2 - 7x + 3; 4) -x2 + x + 12; 5) -6x2 - 5x + 1; 6) 7x2 + 19x - 6. 899. Покажите, что у квадратных трехчленов x2 - 2x - 3, 3x2 - 6x - 9 и -4x2 + 8x + 12 одни и те же корни. Разложите на множители каждый из этих трехчленов. 202 _________________________________________ Квадратные уравнения 900. Верно ли разложен на множители квадратный трехчлен: 1) 2x2 + 4x - 6 = (x - 1)(x + 3); 2) 4x2 - 8x + 4 = 4(x - 1)2? 901. Правильно ли разложен на множители квадратный трехчлен: 1) 3x2 - 6x - 9 = 3(x - 3)(x + 1); 2) 2x2 - 8x + 8 = (x - 2)2? 902. Сократите дробь: 1) X -1 - 4x + 3 903. Сократите дробь: x + 1 1) x^ +3x + 2’ 2) 2) x^ -5x -14 X + 2 x^ +3x- 10 X - 2 904. Почему нельзя представить в виде произведения линейных множителей квадратный трехчлен: 1) x2 + 2x + 7; 2) -2x2 + 4x - 7? 905. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена: 1) x2 + 2x - 5; 2) x2 - 4x + 7; 3) 2x2 - 4x + 10; 4) 3x2 - 18x + 27. 906. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена: 1) x2 - 2x + 7; 2) x2 + 4x - 13; 3) 3x2 - 24x + 3; 4) 2x2 + 4x + 2. Достаточный уровень 907. Найдите корни квадратного трехчлена: 1^^^2л:-7; 2) 0,2x2 + 7x + 40. 908. Найдите корни квадратного трехчлена: 2) 0,2x2 - 3x - 9. 1^ 2ж - 15; 4 909. Разложите трехчлен на множители, если это возможно: 1) x2 - 2x - 11; 2) 2x2 - 3x + 7; 3) -2x2 - 3x + 7; 4) -x2 - 5x - 8. 203 ГЛАВА 3 910. Разложите трехчлен на множители, если это возможно: 1) X2 + 4х - 7; 911. Сократите дробь: 4л:-12 2) -2x2 + 3x - 6. 1) 3) 5) л:2 - 5л: + 6 ’ 2л:2 + 5л: - 3 9 2л:2 + 9л: - 5 ; Зх2 + 14х - 5’ 912. Сократите дробь: 1) 3) X2 + 6х + 5; X2 + 5х ’ X2 + X - 6 X2 - 7х + 10’ 2) 4) 6) 2) 4) X2 - X - 12; X2 + Зх ’ X2 - 4х + 4 ; X2 + 5х - 14’ 5х2 - 37х + 14 22х-2х2 -56. X2 -16 . Зх2 - 10х - 8’ 2х2 + 4х + 2 Зх2 - 6х - 9 913. Вычислите значение дроби: 1) 2) 2х2 + 9х - 5 X2 + 8х + 15 Зх2 - 24х + 48 7х - Зх2 + 20 при X = 97; при X 2 3. 914. Выполните действия: 1 X 1) 3) X - 2 X2 + 2х - 8’ X + 4 Зх2 - 10х - 8 Зх + 2 х“ 16 915. Выполните действия: 1 7 1) X + 2 X2 - Зх - 10' 2) 4) 2) + ■ X + 4 X2 + 6х + 8’ -2х2 + 5х - 2 2х2 + 5х - 3 2х +10 х“ 25 Зх - 2 Х“= 4 Зх2 + 4х - 4 916. Выделите из каждого квадратного трехчлена квадрат двучлена и докажите, что при любом значении x квадратный трехчлен: 1) X2 - 4х + 9 принимает положительное значение; 2) 2x2 + 8x + 8 принимает неотрицательное значение; 3) -X2 + 6х - 16 принимает отрицательное значение; 4) -X2 + 10x - 25 принимает неположительное значение. 204 Квадратные уравнения 917. Выделите из каждого квадратного трехчлена квадрат двучлена и докажите, что при любом значении x квадратный трехчлен: 1) X2 + 6х + 17 принимает положительное значение; 2) -X2 + 12х - 37 принимает отрицательное значение. Высокий уровень 918. Разложите на множители многочлен: 1) х3 + 3х2 + 2х; 2) -2х3 3^ - —X2; 4 4 4) -—X* 2 919. Разложите на множители многочлен: 1) X3 - 12х2 + 32х; 2) + 9JC2. 3 920. Постройте график функции: 1)У = + X - 2 х-1 921. Упростите выражение: «3 - 16а: f X - 4 2)у = хЗ - 2х2 - Зх X2 + X 1) 2) X + 40 1 (2а - 2)2 16 Зх2 + Их - 4 16-х2 а + 2 а2 - 2а + 1 а2 + а - 2 922. Упростите выражение: ^ х-1 1 ^ 1) 2х2 + Зх + 1 X2 - 1 ^ Ъ 2) (ЗЬ - 9)2 X - 4 ; хЗ - х’ Ь + 2 62 - 66 + 9 - Ь-6 Упражнения для повторения 923. Упростите выражение: 1)^^ia^, если a > 0, х < 0; 2) , если p > 0. 205 ГЛАВА 3 924. Числа и х2 - корни уравнение ^ ^ -10 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения: л:, Хр 3) + 1) xf + х|; 2) xf + х|; 3) 4) xf + х|. Xg Х]^ ^ Решите и подготовьтесь к изучению нового материала 925. Разложите на множители: 1) х3 - 4х; з) х3 - 4х2 - 9х + 36; 926. Решите уравнение, использовав условие равенства дроби нулю: 2) х4 - 4х3 + 4х2; 4) х3 + х2 - х - 1. 1) 2x2 +Зх-5 1) о .1 “ 2) 2x2 + X - 28 2х + 8 = 0. 927. Решите уравнение, использовав основное свойство пропорции. 1) 2х ч-1 _ 2х - 2 X - 3 X ч- 5 ’ 2) X - 3 X - 9 X ч-1 2х ч- 3 928. Решите уравнение с помощью умножения обеих его частей на общий знаменатель: 1 2 1 2) 11 1 6 1) X ш 2х - 10 Зх - 15 Интересные задачки для неленивых 929. Вкладчик внес средства на депозит в два разных банка, первый из которых начисляет 10 % годовых, а второй - 15 %. За год суммарная прибыль вкладчика составила 12 % от начального размера внесенных средств. Найдите отношение размера вклада в первом банке к размеру вклада во втором. 25 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, • СВОДЯЩИХСЯ К КВАДРАТНЫМ 1. Дробные рациональные уравнения. Решение дробных рациональных уравнений часто сводится к решению квадратных уравнений. Вспомним один из методов решения дробного рационального уравнения. 206 Пример 1. Решите уравнение 1 1 Квадратные уравнения 8 X + 2 - 2х х^ - 4х Решение. Чтобы найти область допустимых значений переменной и общий знаменатель, разложим на множители знаменатели дробей в уравнении: 11 8 -----1------— ------------. X + 2 х(х - 2) д:(л: - 2)(х + 2) Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей - выражение x(x - 2)(x + 2), учитывая ОДЗ: x ф 0, x ф 2, x ф -2. Получим: х(х -2) + X + 2 X Ф Oj X Ф 2, X Ф -2; 8, - я: - 6 = о, X Ф о, X Ф 2, X Ф -2; х^ — 3, Х2 = -2, X Ф о, X Ф 2, X Ф -2; откуда x = 3. Ответ. 3. 2. Метод разложения многочлена на множители. Некоторые уравнения, правая часть которых равна нулю, можно решить с помощью разложения левой части на множители. Пример 2. Решите уравнение x3 + 2x2 - 15x = 0. Решение. Вынесем в левой части уравнения общий множитель x за скобки. Получим: x(x2 + 2x - 15) = 0, x = 0 или x2 + 2x - 15 = 0, x = 3 или x = -5. Таким образом, уравнение x3 + 2x2 - 15x = 0 имеет три корня: x1 = 0; x2 = 3; x3 = -5. Ответ. 0; 3; -5. 3. Биквадратные уравнения. Уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0, где a ф 0, называют биквадратным уравнением. Его можно решить с помощью введения новой переменной, то есть обозначив x2 = t. Тогда x4 = (x2)2 = t2, а исходное уравнение принимает вид: at2 + bt + c = 0. Такой метод решения называют методом введения новой переменной или методом замены переменной. 207 ГЛАВА 3 Пример 3. Решите уравнение х4 + 5x2 - 36 = 0. Решение. Сделаем замену х2 = t, получим уравнение t2 + 5t - 36 = 0, корнями которого являются числа t^ = 4; t2 = -9. Вернемся к переменной х. 1) t^ = 4, тогда х2 = 4, х^ 2 = +2; 2) t2 = -9, тогда х2 = -9, корней нет. Таким образом, корни исходного уравнения - числа 2 и -2. Ответ. 2; -2. 4. Метод замены переменной. Не только биквадратные, но и некоторые другие виды уравнений можно решить, используя замену переменной. Пример 4. Решите уравнение (х2 + 4х)(х2 + 4х + 4) = 12. Решение. Если мы раскроем скобки в левой части уравнения, получим уравнение четвертой степени, которое не всегда возможно решить методами школьной математики. Поэтому скобки раскрывать не будем. Заметим, что в обеих скобках выражения, содержащие х, одинаковы, поэтому можно воспользоваться заменой х2 + 4х = t. Получим уравнение t(t + 4) = 12, которое является квадратным относительно переменной t. Перепишем его в виде t2 + 4t - 12 = 0, откуда t1 = 2; t2 = -6. Возвращаемся к переменной х. 1) t1 = 2, тогда х2 + 4х = 2, то есть х2 + 4х - 2 = 0, откуда х^ 2 = -2 ± Тб; 2) t2 = -6, тогда х2 + 4х = -6, то есть х2 + 4х + 6 = 0, но D < 0, поэтому корней нет. Таким образом, корнями исходного уравнения являются числ^ Тб ^ - Тб. О тве т^ Тб. 4 Пример 5. Решите уравнение ^ =------------. (д: -I- 1)(д: - 3) Решение. Раскроем скобки в каждой части уравнения: '2 -2х =---------- х‘ X2 -2х -3 Заметим, что выражения, содержащие переменную х, в обеих частях уравнения одинаковы, поэтому сделаем замену х2 - 2х = t. Получим уравнение с переменной t: t = t-3 Найдем его корни: t1 = -1, t2 = 4. 208 _______________________________________ Квадратные уравнения Вернемся к переменной х. 1) = -1, тогда х2 - 2х = -1, то есть х2 - 2х + 1 = 0, откуда х = 1; 2) t2 = 4, тогда х2 - 2х = 4, то есть х2 - 2х - 4 = 0, откуда х^2 = 1 ± ^/5• Таким образом, исходное уравнение имеет три корня: 1^ ^ ± л/б. Ответ. 1;^ л/б. т 1. Какими методами можно решать уравнения? 2. Какое уравнение называют биквадратным? 3. Как решают биквадратное уравнение? Начальный уровень 930. (Устно.) Какие из уравнений - биквадратные: 1^ ^ -6 = 0; 2) ^ -4 = 0; 3^ - 1 = 0; 4) -7х^ - 8х2 -11 = 0; 1 4 5^^^-5 = 0; х“ х“ 6) ^ ^4 _ 5 = о? 931. Выпишите биквадратные уравнения из данных: 1^ ^ - 7 = 0; 2) - 5 = 0; 3^ ^ -6 = 0; 4) X® - Зх^ -1-4 = 0; 5^ ^ -9 = 0; 6) ^ ^ Sx^ = 0. т Средний уровень 932. Решите биквадратное уравнение: 1) х4 - 5x2 + 4 = О 3) х4 - 2x2 - 8 = О 5) х4 + 5x2 + 4 = О 2) х^ - 9x2 + 8 = 0; 4) 2x4 - х2 - 6 = 0; 6) 9x4 - 6x2 + 1 = 0. 933. Найдите корни биквадратного уравнения: 1^ ^ + 16 = 0; 3^ ^ ^ -15 = 0; 5^ ^ ^2 +9 = 0; 934. Решите уравнение: х2 - X - 2 2) х4 - 6x2 + 8 = 0; 4) 3x4 - 2x2 - 8 = 0; 6) ^ Шс2 +1 = 0. 1) X + 3 0; 2) Х2 + X - 6 X 0. 209 ГЛАВА 3 935. Решите уравнение: х-4 936. Решите уравнение: 1) 3) X х + 1 _____ Зх-14; X-1 1 - X ’ х + 1 2х^ 937. Решите уравнение: 1) 3) х‘ X - 2 3jc2 Зж ; л:-2’ л: - 14 1-х л: - 1 2) 2) 4) 2) 4) ж2 - л: - 12 X + 3 = 0. х“ X - 2 X - 2 х^ - 5 2х -10 X - 3 х“ 3-х 9 X + 3 X + 3 Х‘‘ 2х-Ъ X - 2 2-х 938. Найдите корни уравнения: 1) 3) д: - 3 X 10 X - 3 8 х + 3 = х; 2) X 2х - 3 X + 2 X + 6 8 4) ^ ^х + 2. X 939. Найдите корни уравнения: 1) 3) X - 2 X 3 4-х х + 2 = х; 2) X Зх-1 х+3 х+1 4) ^ ^х - 1. X 940. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители: 1^ ^х = 0; 2) X® + 9х = 0; 3^ х2 = 0; 4) X® + х2 - 6х = 0. 941. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители: 2) х^ + 4х = 0; 4) X® + х2 - 12х = 0. 1^ ^х = 0; 3^ х2 = 0; 942. Решите уравнение: 20 1) —- X х + 1 = 1; 2) - + ^!— X X - 2 = 1. 210 Квадратные уравнения 943. Решите уравнение: 12 1) —- X X + 1 = 1; 2) - + ^!— X X - 4 = 1. т Достаточный уровень 944. Решите уравнение: х^ - 10х^ + 9 1) X 3 0; 3) 2x2 _5х + 2 3) ----?---л-- “ х2 - 4 945. Решите уравнение: х4 + х2 - 2 1) 3) X +1 3x2 -lOx + S х2 - 9 0; = 2; 946. Решите уравнение: 1; X + 7 X - 4 1)------ + 3) X + 2 X - 2 4 2 х2 +15 х-5 х + 5 х2-25 947. Найдите корни уравнения: 3; ., Зх + 9 X - 6 1)--------- + X + 1 X - 1 948. Решите уравнение: 1) 2х - 3 X + 1 2) х2 + 4х + 4 х2 + 2х 6 4 5; ; X 1 3) 2) 6x2 + 19а: - 7 1-Зх 5; .. 4х + 2 _ _ 4)---------= 6х + 5. 1 + 2х 2) 6x2 + 7x - 5 1-2х 4; 8х + 2 . - _ 4)------= 12х + 5. 1 + 4х Зх + 3 2х - 6 2)------ + 4) Зх + 2 2х + 2 Зх - 2 18 2; X + 6 х-3 х2-9 х + 3 2) + . Х + 5 10 X - 4 х‘ 25 х^ - 9 х2 + 6х + 9 X - З 5________3_ х + 12 ; х2 - 36 х2 + 6Х х2-6х’ ., Зх + 2 X + 4 3x2 + 4) ----+----- = —-------. х + 1 х-З х2-2х-3 211 ГЛАВА 3 949. Решите уравнение: 21 14 5 1) 2) 3) 4) - 2х х^ + 2х х’ 3 4 1 + -----+ х^ - 4х + 4 х^ - 4 X + 2 0; ■ + ■ л: + 20 10 х^ + Юас х^ - Юас х^ - 100 2л;+ 7 л:-2_ 5 л: + 4 л:-1 л:^+Зх-4 950. При каком значении х: 1) сумма дробей —— и ——— равна их произведению; 1 - л: л: + 2 2 0 2) сумма дробей ---- и ------ равна их частному? л: - 3 ж + 3 951. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители: 1^ ^ 9л; -I-18 = 0; 2) ^ 4л: - 4 = 0. 952. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители: 1^ ^ 4л: -н 4 = 0; 2) ^ Зл: - 6 = 0. 953. Решите уравнение: 1^ ^ ^с2 + 3) - 4 = 0; 2^ ^ ^с2 - л:) - 8 = 0. 954. Решите уравнение: 1^ ^ ^!с2 -ь 2) - 3 = 0; 2^ ^ ^ -ь л:) - 6 = 0. Высокий уровень 955. Найдите корни уравнения: 11 1 1) 2) 2(л;2 + 3) 3(л: + 4) + 4л;2 + Зж ч-12’ + ■ 32 ж - 1 ж2 -ь Зж -ь 2 ж® -ь 2ж2 - ж - 2 212 Квадратные уравнения 956. Решите уравнение: 1 14 X - 3 x^ - х^ -9х + 9 х^ +2х -3 957. Решите уравнение: 1^ ^ ^ 6х^ + 5л: + 5 = 0; 2^ ^ 2л: - 1 = 0. 958. Найдите корни уравнения: 1^ ^ ^ 2х^ - Зле + 3 = 0; 2^ ^ 6л: + 8 = 0. 959. Решите уравнение: 1^ ^ ^ ^ -6 = 0; 2^ ^ ^ ^2 + 2л: - 4) = 8; 3^ ^ ^ ^ - 2)2 - 3 = 0; 4^ ^ ^ ^ ^л:2 - 8л: - 1 = 0. 960. Решите уравнение: 1^ ^ ^ -8 = 0; 2^ ^ ^ ^2 - 2л: - 3) = 3; 3^ ^ ^ ^ + 1)2 - 6 = 0; 4^ ^ ^ ^ ^х2 + 4л: - 1 = 0. Упражнения для повторения 961. Корни квадратного трехчлен^ Ьл: + с равны -7 ^^. Разложите этот квадратный трехчлен на множители. 962. Сумма двух чисел равна 27, а сумма их квадратов - 369. Найдите эти числа. Вй псо Л7 х-2 9л:2 - 4 X ■ЕЗ 963. Упростите выражение---------------------------. ^ Зл: + 2 2л:2 - 5ж + 2 1 - 2ж ^ ' Решите и подготовьтесь к изучению нового ллотериоло 964. Из двух райцентров, расстояние между которыми 84 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Найдите скорость каждого из них, если их встреча произошла через 3 ч и скорость одного на 4 км/ч больше скорости другого. 213 ГЛАВА 3 ш Интересные задачки для неленивых 965. (Внешнее независимое оценивание по математике, 2014 г.). Известно, что у-х 2х больше числа х? —, гд^ ^ < I/. Во сколько раз число y 4 26 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ДРОБНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Дробные рациональные уравнения также могут служить математическими моделями текстовых задач. Пример 1. Из одного города в другой, расстояние между которыми 560 км, одновременно выехали легковой и грузовой автомобили. Скорость легкового была на 10 км/ч больше скорости грузового, поэтому он прибыл в пункт назначения на 1 ч раньше грузового. Найдите скорость каждого автомобиля. Решение. Пусть скорость грузового автомобиля -x км/ч. Систематизируем условие задачи в виде таблицы: s, км V, км/ч t, ч Грузовой автомобиль 560 x 560 X Легковой автомобиль 560 x + 10 560 X -ь 10 Так как значение величины величины 560 560 X -н 10 на 1 ч меньше значения -, то можем составить уравнение: 560 + 1 = 560 X -ь 10 X У него два корня: x1 = 70, x2 = -80. Отрицательный корень не соответствует смыслу задачи, поэтому скорость грузового автомобиля 70 км/ч. Тогда скорость легкового автомобиля: 70 + 10 = 80 (км/ч). Ответ. 70 км/ч; 80 км/ч. Пример 2. Мастер и его ученик, работая вместе, могут выполнить задание за 8 ч. За сколько часов может выполнить это задание самостоятельно каждый из них, если мастеру на это нужно на 12 ч меньше, чем его ученику? 214 Квадратные уравнения Решение. Пусть мастеру для самостоятельного выполнения задания нужно x ч, тогда ученику - (х + 12) ч. Если вид и объем работ в задачах на работу не конкретизирован (как в данном случае), его принято обозначать единицей. Напомним, что производительность труда - это объем работы, выполняемый за единицу времени. Тогда за 1 ч мастер выполнит 1 1 — часть задания, а ученик -------часть, это и есть их про- X X + 12 изводительности труда. По условию задачи мастер и ученик 1 8 проработали 8 ч, поэтому мастер выполнив 8 — = — часть за- X X дания, а учение 8----^ Учитывая, что они выпол- X -ь 12 X -ь 12 нили все задание, имеем уравнение: 8 8 ----h X X -ь 12 = 1, откуда х1 = 12, х2 = -8. Второй корень не соответствует смыслу задачи, так как является отрицательным. Таким образом, мастер, работая отдельно, может выполнить задание за 12 ч, а его ученик - за 12 + 12 = 24 (ч). Условие этой задачи, как и предыдущей, можно также систематизировать в виде таблицы: Время для самостоятельного выполнения, ч Произво- дитель- ность труда Фактически потраченное время, ч Объем выпол- ненной работы Мастер X 1 X 8 8 X Ученик X + 12 1 8 8 х + 12 х + 12 Ответ. 12 ч и 24 ч. Обратите внимание, что условия большинства задач на движение или работу можно систематизировать в виде таблицы, что поможет избежать громоздких текстовых записей. Объясните, как решены задачи в примерах 1 и 2. 215 I Средний уровень ГЛАВА 3 ю 966. Одно натуральное число на 2 больше другого. Найдите эти числа, если сумма обратных им чисел равна 967. Сумма двух натуральных чисел равна 20, а сумма чисел, им обратных, равна —. Найдите эти числа. 24 IP Достаточный уровень 968. Числитель обычной несократимой дроби на 1 меньше знаменателя. Если из числителя вычесть 7, а из знаменателя вычесть 5, то дробь уменьшится на —. Найдите эту дробь. 2 969. Знаменатель обычной несократимой дроби на 5 больше числителя. Если знаменатель увеличить на 6, а числитель - на 4, то дробь увеличится на —. Найдите эту дробь. 4 970. Из города в деревню, расстояние между которыми 48 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость одного из них была на 4 км/ч больше скорости другого, и поэтому он прибыл в деревню на 1 ч раньше другого. Найдите скорость каждого велосипедиста. 971. Из города A в город B, расстояние между которыми 420 км, одновременно выехали два автомобиля. Скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого, и поэтому он прибыл в город B на 1 ч раньше другого. Найдите скорость каждого автомобиля. 972. Чтобы ликвидировать опоздание в 40 мин, поезд на перегоне длиной в 300 км увеличил скорость на 5 км/ч по сравнению со скоростью по расписанию. Какова скорость поезда по расписанию? 973. Автомобиль должен был проехать 810 км. Преодолев 5 — пути, он сделал остановку на 30 мин. Увеличив скорость на 9 10 км/ч, он все же прибыл в пункт назначения вовремя. Какова была скорость автомобиля до остановки? 216 Квадратные уравнения 974. Поезд должен был проехать 320 км. Проехав — пути, 8 он остановился на 1 ч, а потом продолжил движение со скоростью, на 10 км/ч меньше начальной. Найдите начальную скорость поезда, если в пункт назначения он прибыл через 7 ч после отправки. 975. Лодка, собственная скорость которой 18 км/ч, проплыла 40 км по течению и 16 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения, если она меньше, чем 4 км/ч? 976. Расстояние между двумя пристанями 48 км. На лодке путь туда и обратно можно преодолеть за 7 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 2 км/ч. 977. Моторная лодка проплыла 18 км по течению реки и 28 км против течения за то же время, что и 48 км в стоячей воде. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 3 км/ч. 978. Катер проплывает 30 км по течению реки и 8 км против течения за такое же время, которое необходимо плоту, чтобы проплыть по этой реке 4 км. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 18 км/ч. 979. Моторная лодка проплыла 40 км по озеру, а потом 18 км по реке, впадающей в это озеро, потратив на весь путь 3 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч. 980. Две бригады дорожников должны были заасфальтировать по 200 м2 дорожного полотна, причем первая бригада за день асфальтировала на 10 м2 больше второй, и поэтому выполнила задание на 1 день раньше второй. Сколько м2 дорожного полотна ежедневно асфальтировала каждая из бригад? 981. Для перевозки 60 т груза заказали некоторое количество грузовиков. Поскольку на каждый грузили на 1 т больше, чем планировалось, то 3 грузовика оказались лишними. Сколько грузовиков было использовано для перевозки груза? 982. Мастер и ученик, работая вместе, могут выполнить заказ за 16 ч. За сколько часов выполнит этот же заказ каждый из них самостоятельно, если мастеру на это нужно на 24 ч меньше, чем ученику? 217 Е ГЛАВА 3 983. Два маляра, работая вместе, могут покрасить определенную стену за 20 ч. За сколько часов может выполнить эту работу каждый из маляров самостоятельно, если одному из них для этого нужно на 9 ч больше, чем другому? 984. Из первого крана бассейн наполнялся 9 мин, после чего открыли второй кран. Через 6 мин их совместной работы оказалось, что бассейн наполнился наполовину. За сколько минут может наполнится бассейн из каждого крана отдельно, если для наполнения из первого крана на это уйдет на 9 мин больше, чем из второго? 985. Один оператор компьютерного набора может набрать рукопись на 12 дней быстрее, чем другой. Через 6 дней работы второго оператора к нему присоединился первый. Через 10 дней совместной работы оказалось, что они набрали у рукописи. За сколько дней может набрать рукопись каждый оператор самостоятельно? Высокий уровень 986. Пешеход двигался из деревни A в деревню B 4 ч. На обратном пути первые 10 км он прошел с той же скоростью, а потом уменьшил ее на 1 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше. Найдите расстояние между деревнями. 987. Расстояние от пристани M до пристани N по течению реки лодка преодолевает за 3 ч. Однажды, не доплыв 30 км до пристани N, лодка развернулась, поплыла обратно и причалила к пристани M через 4,5 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч. 988. Для промывки труб завод приобрел 6 литров кислоты. Часть кислоты использовали, а содержимое сосуда с кислотой дополнили водой до начального объема. В следующий раз из этого сосуда использовали такое же количество смеси, как кислоты в первый раз, а сосуд снова долили водой до начального объема. После этого чистой кислоты в сосуде стало втрое меньше, чем воды. Сколько литров кислоты использовали в первый раз? Упражнения для повторения 989. Решите уравнение: 1^ ^ ^2 _ 5 = 0; 2) Х‘‘ 36 X - 6 X - 6 218 Квадратные уравнения 990. Сократите дробь: +3х -10 1) х^ - 2х 2) х^ -9 2x2 -4х-6 991. Решите уравнение: 1^ ^ ^ ^ -8 = 0; 2) (х + 7)4 - 5(х + 7)2 - 6 = 0. & Интересные задачки для неленивых х2 + 2х 992. Постройте график функции у 2. X Домашняя самостоятельная работа № 6 Для каждого задания предлагается четыре варианта ответа (А-Г), из которых только один является правильным. Выберите правильный вариант ответа. 1. Укажите квадратный трехчлен. X - Зх®; X - 3; В. 2x2 +Х-3' ^ + X - 3. Х2 2. Найдите дискриминант квадратного трехчлена 2x2 - Зх - 7. А. 47; Б. -47; В. 64; Г. 65. 3. Укажите биквадратное уравнение. А^ ^ X - 3 = 0; Б^ ^ ^ - 3 = 0; В^ ^ ^ - 3 = 0; Г. 4x4 _|. з^к-з _|. 2^2 - х - 5 = 0. 4. Разложите на линейные множители квадратный трех-чле^ Зх + 5. А^ ^(х - 2,5); Б^ ^(х - 2,5); В^ ^(х + 2,5); Г^ ^(х + 2,5). -у2 49 5. Решите уравнение А. корней нет; X - 7 X - 7 Б. 7; В. -7; Г. -7; 7. 6. Решите уравнение х® + 2x2 _ 3;!к; = о, разложив его левую часть на множители. А. -3; 1; Б. -1; 3; В. -1; 0; 3; Г. -3; 0; 1. 219 ГЛАВА 3 7. Сократите дробь - 5х + 6 х^ -9 А. X + 2; ж + З’ Б. X х + 3 В, X х-3 8. При каких значениях x сумма дробей их произведению? A. таких значений x не существует; B. 2’ 9’ 1 + X Г. и х + 2 х-3 X X равна Б. 2’ Г. -9’ -2. 9. Из города A в город B, расстояние между которыми 360 км, одновременно выехали два автомобиля. Скорость одного из них была на 10 км/ч больше скорости другого, и поэтому он прибыл в пункт назначения на 30 мин раньше. Найдите скорость автомобиля, движущегося медленнее. А. 70 км/ч’ Б. 80 км/ч’ В. 90 км/ч; Г. 100 км/ч. Р 10. Разложите на множители многочлен — .х® -I- Зд:^. A. —х^(х - 2)(х + 6); 4 B. --х^(х + 2)(х-6); 4 Б. —(х - 2)(х + 6)’ 4 Г^ + 6). 4 11. Решите уравнение ^ 6ж - 8 = 0. A. решений нет’ Б. -4’ -1’ 2’ B. 1’ 2’ 4’ Г. -2’ 1’ 4. 12. Расстояние от пристани A до пристани B против течения реки лодка преодолевает за 3 ч. Однажды, не доплыв 24 км до пристани B, она развернулась, поплыла обратно и причалила к пристани A через 3 ч 18 мин. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 2 км/ч. А. 20 км/ч’ Б. 22 км/ч’ В. 24 км/ч’ Г. 26 км/ч. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ К § 24-26 1. Из данных выражений выпишите квадратные трехчлены: 1 1^ Зл + 7’ 3^ + 7жЗ’ 2) —й----------------, 2д;2 - Зл: + 7 4) -8 -ь 2х^ - 3;!С. 220 _____________________________________ Квадратные уравнения 2. Найдите дискриминант квадратного трехчлена и определите количество его корней: ^ix -Т; 2) ж -I- 9. 3. Является ли биквадратным уравнение: ^ ^ - 9 = 0; 2) ^ -9 = 0; 3^ ^ ^ - 9 = 0; 4) ^ - 5 = О? 4. Разложите на множители квадратный трехчлен: 1^ ^^4д: - 5; 2) 5л: - 2. 5. Найдите корни уравнения: 1^ ^ -4 = 0; 2) 16 л: -ь 4 л: -ь 4 6. Решите уравнение л:® - бл:^ -ъ 6л: = 0, разложив его левую часть на множители. 7. Сократите дробь: л:^ -ь 2л: - 8 1) + 4х 2) х^ - 4 2х^ + 7л: - 22 8. Из одного города в другой одновременно выехали два велосипедиста. Скорость первого была на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому в пункт назначения он прибыл на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого из велосипедистов, если расстояние между городами равно 60 км. 9. Решите уравнение: 1^ ^ ^ ^ - 10 = 0; 2) ^ ^ ^ - 3)2 - 8 = 0. Дополнительные задания 10. Разложите на множители многочлен: 1^ ^ ^2 _ fjx; 2) ^л:» - 4л:2. 2 11. Постройте график функции л:3 - л:2 - 2х У = л:2 - 2л: 221 ГЛАВА 3 Упражнения для повторения главы 3 К § 20 993. Перепишите уравнение в тетрадь и подчеркните одной черточкой его первый коэффициент, двумя - второй и «волной» - свободный член (в случае необходимости допишите коэффициентом число 1) по образцу: ах2 + bx _+_£ = 0, 2x2 - 1х + 5 = 0: 1^ + 5 = 0; 3^ ^ - 7 = 0; 5^ 7 = 0; 2) -2л;2 + ж - 4 = 0; 4) ^ = 0; 6) 2х + 5х2 = 0. 994. Решите уравнение: 1^^2=0; 2) ^^32 = 0; 4^ 9 = 0; 5) — -ь 8х = 0; 2 3) 7ж = 0; 6) 15 = 0. 995. Является ли корнем уравнения - 2ic -1 = 0 число 1 - -\/2? 996. Решите уравнение: ж - 1 5ж -ь 4 1) ж^ -ь ж + ■ 2ж^ - Зж ж -ь 4 2)-----:---+ X + 16 8~. 997. Длина прямоугольника в 1,5 раза больше его ширины. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь 54 см2. 998. При каких значениях а число 3 является корнем уравнения: 1^ ^ ^ ^ ^ 2) ж2 + (а2 - 4)ж - 9 = О? 999. При каких значениях а уравнение: 1^ ^ - 5)ж = О имеет только один корень; 2^ а = О имеет два корня? К § 21 1000. Найдите дискриминант квадратного уравнения и определите количество его корней: 1^ ^ ^ - 4 = 0; 2) Зж2 - 2ж + 3 = 0; 3^ ^ ^ + 1 = 0; 4) 7ж2 + ж - 1 = 0. 222 Квадратные уравнения 1001. Решите уравнение: 1^ ^ ^ - 8 = 0; 3^ ^ - 3 = 0; 5^ ^ ^ + 7 = 0; 1002. Решите уравнение: 1^ 6х - 7; 3^ ^5x2 + 1; 2) ^х + 1 = 0; 4) ^ ^ - 10 = 0; 6) 2x2 + 5х - 3 = 0. 2) х2 + 7х = -12; 4) ^ ^ ^ = 5x2. 1003. Решите уравнение графически, а затем проверьте решение аналитически: 1^ = 3 - 2х; 2) х2 = 0,5х -ь 3. 1004. Решите уравнение: 1^ ^ ^х + 2)(х - 2); 3^ ^ ^х - 12 = 0; 2) -х2 - 2х-7 = 0; 5 4) ^ ^ - \/3 = 0. 1005. При каком значении m уравнение имеет только один корень: 1^ ^ + т = 0; 2) тх^ - 4х -ь 2 = 0? 1006. Докажите, что при любом значении a уравнение 2x2 + ах - 3 = О имеет два различных корня. 1007. Решите уравнение относительно х: 1^ ^ ^а) - 6а = 0; 1008. Найдите корни уравнения: 1^ ^ ^ - 3U 3; 2) ^ ^х -ь 2 = 0. 2) I 1x2 - 5х -ь 1| - 4 = 3; 3) х2 -I- X -I- X + 6; 4) ^ 1 ^ ^/x -3 (х2 + 2х) = 0. К § 22 1009. Найдите сумму и произведение корней уравнения: 1^ ^ m + 60 = 0; 2) х2 - 12 = 0; 3^ ч- 3 = 0; 4) -х2 - 4х + 5 = 0. 1010. Не используя формулы корней квадратного уравнения, найдите второй корень, если известен первый: 1) = О, Xi = 5; 2) х2 -ь Зх - 18 = 0, х^ = -6. ^ 1011. Разность корней квадратного уравнения х2 -ь 2х -ь g = 0 равна 6. Найдите эти корни и коэффициент q. 223 ГЛАВА 3 1012. Докажите, что уравнение ^ ^ - 7 = 0 при любом значении b имеет один положительный корень и один отрицательный. 1013. Корни уравнения + рх + 54 = О относятся как 2 : 3. Найдите коэфициент p и корни уравнения. 1014. Один из корней уравнения 5л:^ - бж -ь с = О вдвое больше другого. Найдите с. О 1015. Сумма квадратов корней уравнения Зд:^ + Ьх -12 равна 33. Найдите b. 1016. При каких значениях a сумма корней уравнения х^ - 2ах + (2а - 1) = О равна сумме квадратов его корней? 1017. Составьте квадратное уравнение, корни которого вдвое меньше корней уравнение ^ -ь 4 = 0. К § 23 1018. Периметр прямоугольника равен 30 см, а его площадь - 54 см2. Найдите стороны прямоугольника. 1019. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 302. 1020. Найдите пять последовательных целых чисел, если известно, что сумма квадратов трех первых чисел равна сумме квадратов двух последних. 1021. Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см меньше второго, а периметр треугольника равен 24 см. Найдите площадь треугольника. 1022. В чемпионате Украины по футболу было сыграно 240 матчей. Сколько команд участвовало в чемпионате, если все команды сыграли друг с другом по два матча? 1023. Дно ящика - прямоугольник, ширина которого в 1,5 раза меньше длины. Высота ящика 0,4 м. Найдите объем ящика, если площадь его дна на 0,66 м2 меньше суммы площадей всех боковых стенок. 1024. Коробку без крышки объемом 10 500 см3 изготовили из листа картона прямоугольной формы, длина которого вдвое больше ширины, вырезав по углам листа квадраты со стороной 5 см. Найдите начальные размеры листа. 224 Квадратные уравнения К § 24 1025. Найдите дискриминант каждого квадратного трехчлена и определите те из них, которые можно разложить на линейные множители: \) ^^ + X - Ъ; 2) -I- 7; 3) 9ж^ -ь 6:с -ь 1. 1026. Найдите корни квадратного трехчлена: 1^ -ь 4; 2) ж^ - 4ж - 12; 3^ ^2ж -I-18; 4) 7ж -I- 2. 1027. Разложите на множители квадратный трехчлен: 1^ ^ж - 4; 2) 2ж^ - 7ж - 4; 3^ ^ж -I-18; 4) -4ж^ -I- 9ж - 2. 1028. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена: 2) ^ж - 9. 1^ ^ж - 7; 1029. Сократите дробь: 4ж2 - 81 1) 3) 2ж^ - 5ж - 18’ 2ж2 - 12ж -ь 18 2ж2 - ж - 15 1030. Выполните действия: ж - 1 ж -ь 1 1) 3) + ■ ж2 ч- 2ж - 3 ж2 -ь 4ж ч- 3 ж2 - ж - 20 2ж - ж2 ; 2 - ж ж ч- 4 ’ 2) 4) 2) 4) 2ж2 ч- 6ж - 20 ж*” 8 4ж2 - 11ж - 3 -Зж2 + 10ж - 3 2ж2 -7 ж ч-1 ж2 - Зж - 4 ж - 4 ж ч- 5 ж2 ч- 11ж ч- 30 2ж - 6 ж 1031. Один из корней квадратного трехчлен^ рх + 6 равен - 3. Найдите p и второй корень. 1032. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена: 1^ ж - 1; 2) 2ж2 - Зж ч- 7; 3^ 5ж -ь 7; 4) -4ж2 -ь 9ж - 2. 1033. Укажите такое значение неизвестного коэффициента, чтобы трехчлен имел один корень: 1^ ^ж ч- 4; 2) ^ж ч- 64; 3) ^8ж ч- с. 1034. Разложите на множители относительно переменной x квадратный трехчлен: 1^ ^ ^ж - 6а2; 2) ж2 ч- З&ж - 10&2. 225 ГЛАВА 3 1035. Какое наименьшее значение может принимать квадратный трехчлен - ват -ь 19? При каком именно значении х? 1036. При каком a квадратный трехчле^ — 17 принимает наибольшее значение? Найдите это значение. К § 25 1037. Решите уравнение: 1^ ^ - 3 = 0; 3^ ^ + 9 = 0; 1038. Найдите корни уравнения: л- X - 2 2) ^ ^ - 40 = 0; 4) х^ - 1х^ + 10 = 0. 1) 3) 1 ^; X - \ ас^ -ь 1 _ 1 - Зас а; - 2 2 - ас ’ 2) Зсс2 бас ас -ь 2 ас ч- 2 1039. Решите уравнение: 1^ ^ Шс2 = 0; 4) ^ = 2сс + 1. ас 2) ^ - бсс = 0. 1040. Найдите координаты точек пересечения графика функции ^ ^ Зас^ - 4 с осью абсцисс. 1041. Решите уравнение: 1 4 j^; ас 7 1) 3) 5) 6) X -ь 2 X -ь 3 18 ■ ч- ■ х^ ч- 6х ч- 9 X ч- 3 1 9 = 1; 2) 4) ч- ■ 2(1 - х) 2-х 3-х 13х + 4 1 4x2 + 4х + 1 2х ч-1 = 4; ■ ч- ■ (х + 2)2 (х-2)2 х2-4 3 4 4 3x2 _ JJ. 9д.2 _ J 9д^2 _ 0Д. + 1 1042. Найдите корни уравнения: 118 1) 2х ч- х2 X - 2 4х - X® ’ 2) ■ ч- ■ 10 3) 7х ч- 6 27 X 3 1043. Решите уравнение: 1^ ^ ^ = X - 1; 1-х хч-х2 х-х®’ 1 1 х2 ч- Зх ч- 9 X - 3 2) (х2 + 2х)2 - 2(х2 + 2х) - 3 = 0. 226 Квадратные уравнения 1044. Найдите координаты точек пересечения графиков I/ = 4л: и у = —^ - 1. л: +1 1045. Решите уравнение: 8л: + 29 18х + 5 1)—^------ + 25 2) 16л:4-1 8л:3 + 4л:2 + 2л: + 1 4jc2 + i’ Зл: 1 л: -1 27л:3 + 18л:2 - 12л: - 8 Эл:^ + 12л: + 4 4л: - 9л:3 1046. Найдите корни уравнения: 1) (х2 - 4ж)(л: - 2)2 + 3 = 0; 2^ ^ ^)(л: - 3) = 24; 8 3) л:2 - Зл: 4) (л: + 2)(х - 7) = 5 л:2 - Зл: - 2’ 19 5) + ■ (л:-1)(л:-4) 1 X' 6) 2-л:-1 - X - 5 2 3 = 2; + ■ 8 1) л:2-11л: + 4 л:2 - 11л: + 1 л:2-11л:-2 1047. Решите уравнение: л:2 - 13 л: + 1 л: + 1 л:2 - 13 2,5; 2) л:2 + Зж 5л: - 5 1 - л: + Зл: + л:2 К § 26 1048. Из города в деревню, расстояние между которыми 16 км, вышел пешеход. Через 2 ч 40 мин в том же направлении выехал велосипедист и прибыл в деревню одновременно с пешеходом. Найдите скорость велосипедиста, если она на 8 км/ч больше скорости пешехода. 1049. Поезд, опаздывавший на 2 ч, на перегоне длиной в 400 км увеличил скорость на 10 км/ч и прибыл в пункт назначения вовремя. Найдите время, за которое поезд должен был преодолеть данный перегон по расписанию. 1050. Катер проплыл 45 км по течению и 7 км против течения, потратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч? 227 ГЛАВА 3 1051. В 8 часов утра от пристани по течению реки отошел плот, а в 17 часов в том же направлении отчалила лодка, догнавшая плот на расстоянии 20 км от пристани. В котором часу лодка догнала плот, если ее собственная скорость равна 18 км/ч? 1052. Рыбак отправился на лодке из пункта A против течения реки. Преодолев 5 км, он бросил весла, и через 3 ч после отплытия из пункта A его отнесло к этому пункту. Скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч. Найдите скорость течения, если она меньше чем 5 км/ч. 1053. Первый оператор компьютерного набора набрал 120 страниц рукописи, а второй - 144 страницы. Первый ежедневно набирал на 4 страницы больше, чем второй, и работал на 3 дня меньше, чем второй. Сколько страниц ежедневно набирал первый оператор и сколько - второй? 1054. Рабочий день составляет 8 ч. Чтобы изготовить 15 деталей, Петру понадобится на 1 ч меньше, чем Степану. Сколько деталей в день изготавливает каждый из мастеров, если Петр в течение рабочего дня изготавливает на 20 деталей больше, чем Степан? 1055. Через первый кран водоочиститель на ферме наполняется на 4 ч быстрее, чем через второй опорожняется. Если одновременно открыть оба крана, то водоочиститель наполнится за 3 ч. За сколько часов водоочиститель может через первый кран наполниться и за сколько часов через второй кран опорожниться? 1056. Мастер может выполнить некоторое задание на 3 ч быстрее, чем его ученик. Если мастер проработает 4 ч, а потом его заменит ученик и проработает 3 ч, то задание будет выполнено. За сколько часов самостоятельно может выполнить задание мастер и за сколько - ученик? 1057. Сплав меди и цинка, содержащий 1 кг меди, сплавили с 2 кг меди. Получили сплав, в котором меди получилось на 25 % больше, чем в предыдущем сплаве. Какова масса начального сплава? 1058. Из городов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились через 5 ч. Скорость велосипедиста, выехавшего из города A, на 5 км/ч меньше, чем скорость второго велосипедиста. Если бы второй велосипедист выехал на 4,5 ч позже, чем первый, то велосипедисты встретились бы на расстоянии 75 км от города B. Найдите расстояние между городами A и B. 228 Квадратные уравнения 1059. Бригада рабочих за определенный срок должна была изготовить 800 одинаковых оконных блоков. В первые 5 дней бригада ежедневно изготовляла запланированное количество блоков, а затем ежедневно - на 5 блоков больше, чем планировала, поэтому уже за день до срока было изготовлено 830 оконных блоков. Сколько оконных блоков должна была ежедневно изготовлять бригада по плану? «Желаем тебе стать вторым Остроградским...» Михаил Васильевич Остроградский родился 12 сентября 1801 года в д. Пашенная Полтавской губернии (в настоящее время деревня Пашеновка). Предки Михаила Васильевича служили в казацком войске, участвовали во многих боях, не раз проявляли военную доблесть и героизм. По-видимому, именно поэтому в детстве Михаил Васильевич так мечтал стать военным. Но ему суждено было стать всемирно известным ученым. В детстве Михаил обладал исключительной наблюдательностью и увлекался измерениями. Учился он в пансионе при Полтавской гимназии, потом в этой гимназии. Закончив ее, стал свободным слушателем Харьковского университета, а в дальнейшем и его студентом. После окончания университета с отличием в августе 1820 года, менее чем через год (в апреле 1821 года) получил степень кандидата наук за исследования в прикладной математике. В 1822 году Остроградский уезжает в Париж, чтобы усовершенствовать свое математическое образование, и становится слушателем университета в Сорбонне. Именно там он публикует свои первые научные труды, становится известным ученым и заслуживает уважение французских математиков. За неимением средств Михаил Васильевич вынужден был покинуть Париж, преодолев пешком зимой 1828 года путь от Парижа до Петербурга. Научные круги Петербурга встретили молодого ученого с радостью и надеждой. Его авторитет среди петербургских деятелей науки был высоким и незыблемым. В том же 1828 году Остроградский начинает преподавательскую деятельность в Морском кадетском корпусе Петербурга, его избирают адъюнктом Петербургской академии наук. А с 1830 года преподает еще в четырех высших учебных заведениях Петербурга. В 1834 году Остроградский был избран членом Американской академии наук, в 1841 году - членом Туринской академии, в 1853 - членом Римской академии Линчей и в 1856 году -членом-корреспондентом Парижской академии наук. Лекции Остроградского посещали не только студенты, но и преподаватели, профессура, известные математики. Всем нра- 229 М.В. Остроградский (1801-1862) ГЛАВА 3 вилась его система преподавания предмета - широта темы, но при этом выразительность и сжатость изложения, а также его остроумие. На лекциях он украшал свою речь украинскими словами, пословицами и поговорками. Поэтому студенты вспоминали его лекции с восторгом. Любимым писателем Остроградского был Т.Г. Шевченко, с которым он был лично знаком и значительную часть произведений которого, зная наизусть, охотно декламировал. В 1858 году, когда Тарас Григорьевич возвращался из ссылки на родину через Петербург, Михаил Васильевич предложил Кобзарю остановится в его петербургской квартире. Вернувшись из ссылки, Шевченко писал в «Дневнике»: «Великий математик принял меня с распростертыми объятиями, как земляка и как надолго выехавшего члена семьи». Михаил Васильевич был выдающимся, оригинальным, всесторонне одаренным человеком. Его ценили не только за ум, но и за независимость, демократизм, скромность, искренность и простоту, за уважение к людям труда. Находясь на вершине славы, отмеченный за свои научные труды во всей Европе, Остроградский был прост в общении и не любил говорить о своих заслугах. И какие бы проблемы не решал ученый (занимался он алгеброй, прикладной математикой, теорией чисел, теорией вероятностей, механикой и т. п.), все его научные труды отличаются глубиной мысли и оригинальностью, в них неизменно присутствует широта его взглядов, умение углубиться в суть проблемы, систематизировать и обобщить. На всю жизнь Михаил Васильевич сохранил любовь к родной Земле и родному языку. Почти ежегодно летом он выезжал в Украину с целью погрузиться в полное спокойствие и полюбоваться замечательными пейзажами. Летом 1861 года Остроградский, пребывая на родине, заболел и 1 января 1862 года умер. За свою почти 40-летнюю научную деятельность Михаил Васильевич написал свыше 50 трудов из разных отраслей математики: математического анализа, аналитической и небесной механики, математической физики, теории вероятностей. Свои педагогические взгляды М.В. Остроградский изложил в учебниках по элементарной и высшей математике. Именем М.В. Остроградского назван Кременчугский национальный университет. И хотя почти всю свою жизнь Михаил Остроградский занимался наукой за пределами Украины, он был широко известен своим соотечественникам. Авторитет и популярность М.В. Остроградского были настолько значимыми, что родители, отдавая ребенка на учебу, желали ему «стать вторым Остроградским». 230 ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ КУРСА АЛГЕБРЫ 8 КЛАССА 1. Выполните действия: ,,Зтп-4 4 1)------+ а а 2) 2 6 Ь 2. Представьте в виде степени с основанием а: 1^ ^ : а^; 2) 3. Для функции ^ = 4х найдите значение у, соответствующее значению х, если x = 9; 36. 4. Найдите значение выражения: 1^^^^^ ^0V0,16; 9 2) л/2 ■ ^/0^ + (-^/7)2. 5. Упростите выражение 6. Решите уравнение: 1^ ^ + 6 = 0; 2) 7. Упростите выражение _ Зж - 2 л: - 1 л: - 1 2х л: + 3 96 д: - 4 Зж - 12 + Зж 8. Моторная лодка проплыла 36 км против течения и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч. 9. Постройте график функции у = 8ж-32 4ж - ж^ Дополнительные задания 10. Решите уравнение ^ -ь 4ж -ь 3) = 10. 11. Докажите, что значение выражения л/п+л/7 ^/^l-^/7 + ■ л/П+л/7 является натуральным числом. 231 IP Задачи повышенной сложности Рациональные выражения 1060. Докажите, что для положительных значений a и b (a ф b) 1ИЯ дро а^-Ъ^ „ значения дроби ------ больше соответствующих значений дроби а + Ь 1061. Сократите дробь 7П^ + + п® 1062. Упростите выражение: 1 1 1) 2) 3) 1 1 1 + 1 2г/2 J • xyz X у + Z т - п т^ + + т 2т - п 2т^ + тп -4 1 4 (п2 + п + тп + т); X + X + ^ у{хуг + X + гУ У + 4) 5) 6) о ^ ^ (а + ЬУ - АаЬ Л2 Ъ - а - аЪ - 64 аЧ‘^-Ъ^' 4р2(2р + 1). 4 + 2р-^ + р-^ 4 - 4р“^ + р- 1-2р х~^ - у-1 х^у^ + у® (д: + уУ - Зху 1063. Докажите тождество: 2 Л 1) Л* /' y^j \У-х У + X) \у X у \х-у X---- , у. ('х^ - у ху ; (хТ\ уУ) ’ -1 232 2) 3) 4) Л ^ 1 +---------- ^ 26с (х - yf + ху ^ л Г1 — + .VO 1 ^ (1 1 лл ) Ъ + с. [а 6 + cJJ х^ + + х^у^ + х^у^ {х + у)^ - ху (ж® + у® + х^у + ху^)(х^ - У^) Задачи повышенной сложности _ (6 + с - а)^ " 26с ; = х-у. 2 - У , 2(х - 1) у-1 х-2 у(х - 1) ^ х(2 - у) У-1 х-2 х-у 1064. Докажите одно из тождеств выдающегося математика Л. Эйлера (1707-1783): ^ а(аЗ + 263)' V а® - 6® \3 f 6(2аЗ +63)? у ^ а^ -Ь^ ^ = а® + 6®. 1065. Докажите, что значение выражения 2 4 8 1 1 ■ ч------------+ ■ ■ + ■ 1-а 1 + а 1 + аЗ 1 + 1 + а® является отрицательным при любом значении a > 1. 1066. Докажите, что если x + у = 1, то X_____у_^ 2jy - ж) у^ -1 ГсЗ - 1 Х^у^ + 3. 1067. Докажите, что если для чисел х, у, z, m, n, p справедли- X у z вы равенства----1--1— т п р ^ т п р ^ 1 и-----\--1 = 0, то для них X у Z Х^ у2 ^2 справедливо и равенство —^ ^ ^ "I—о ~ ^. 1068. Докажите, что если а + — = 6 + — = с + —, то = 1 Ъ с а или a = b = c. 1069. Решите уравнение относительно переменной х: 1) х-2 0; X - а 3^ ^ ^ = 0^-4; 2) X - а 0; ж' 4) (цЗ - 1)л: = цЗ - 2о + 1. 1070. Решите уравнение относительно переменной х: X а _2х +а а; 2) 1 + :с_а; а 2х 2а X 1- х Ъ х-а X х + а .чЗ 2 4д: + 7а 1) 3) а х-а а + ■ х-а х + а х^ - а^ 233 1071. Порядок числа a равен -3, а порядок числа b равен 5. Каким может быть порядок числа: 1) ab; 2) t 3)^; а 4) a + b? Квадратные корни. Действительные числа 1072. Решите относительно переменной x уравнение: 1^ ^ = а + 3; 2) = а; 3) ^ 2 =0^-9. 1073. Укажите целое число, ближайшее к корню уравнения: 1^ ^ ^ ^ ^ 2) (5^/2 + 1^)х = 13 + 2^/3. 1074. Найдите значение выражения: 1)^^^3~-4:у/3; 3^ - ^52 + 30n/3. 1075. Упростите выражение: 1^ + ^1х - 2^Тх - 1 пр^ ^ < 2; 2^ . 1076. Вычислите: ^/5 + ^/3 ^/5 + ^/3 1) n/5-л/З ^/5-^/з’ ^/3 ^ ^/5 2^ ^ ^ ^ ^ ^ ^(л/З + 1 - л/2)(1 + л/2 - ^/3). 1077. Постройте график функции: 1^ ^ ^ ^ ; 2) ^ ^ 2ж + 1 - д:. 1078. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1) 3) л/з5|25Ж; 73л/2 + 2л/з ’ 2 л/2 + л/бТфТг’ 2) 4) (1 +У3)2 -7; n/7 + n/3 + 1; 2 + л/з ^/6 - ^/3 + V2 - 1. 234 Задачи повышенной сложности 1079. Являются ли взаимно обратными числ^ ^—2л110 ^ к/5 +^/2, V^/5-^/2■ 1080. Упростите выражение: 1) (Ух + -у/г/)^ - 4г/ _ х + 9у + бфсу; ix-у): ^fy 4х 4х 4у 2) . If 1 1 Н —^ — у/и Г1 1(1 1^ 1 f— -j=-yja yja ^ - л/а Vfl . 1081. Упростите выражение: - x-s[x^ - y^ )2 ^ при x > у > 0; - a 6 - a 1) F , У Л - + J^-2 /у Vx 2) ■ + ■ л/б + a + V& — a + a — b при b > a > 0. 1082. Упростите выражение: У(а + 2)2 - 8a ^ x^ + 4 -5-‘ 1) /— 2 4a ~-j= 4a 2) X, ( x^ - 4 2x + 4 1083. Докажите тождество: 1) 1 + Vl - x^ + :c2 W 1 + ■ Vl - X^ j 1^1-«2 Vl - X = Vl - X^; a-yfb ^ Jb a + yfb 4:a\fb 2)-------^ ^------------;= + —- = a. ab a + -Jb a - yjb a - \fb a^ - b 1084. Известно, чт^ ^ ^ + У5 + x = 3. Не вычисляя значе- ния x, найдите значение выражения У(3 - х)(5 + X). 235 1085. Известно, что л/24 - - л/12 - - 2. Не вычисляя зна- + Vl2 - х^. чення X, найдите значение выражения 1086. Известно, что л/х + V^ = 5, xy = 9. Не вы1числяя значений X и у, найдите: 1) x + у; 2) хл[х + у4у; 3) х2 + у2. Квадратные уравнения 1087. При каком значении a уравнение имеет только один корень: 1^ ^ ^ ^ -ь 5)ж -ь 1 = 0; 2^ ^ ^ ^ - 8)jc ч-15 = О? 1088. Решите уравнение: 1^ ^ ^ ^ -ь l)ic -ь 1 = 0; 2^ ^ ^ ^ - 1)л: - 2а = 0. 1089. Найдите корни уравнения: 1^ ^ ^ ^ ^2 - 2;:с - 3 = 0; 2^ ^ ^ ^ ^с2 -ь 2ж - 8| = 0; 3^ ^ ^ ^ л/:*:2 - 4:Х = 0. 1090. Докажите, что каковы бы ни были целые числа а, b, c, число 3 не может быть дискриминантом квадратного уравнение ^ ^ -I- с = 0. 1091. При каком значении а сумма квадратов корней уравнение ^ ^ -ь а — 3 = О будет наименьшей? 1092. При каком значении b сумма квадратов корней уравнение ^ ^ -ь Ь2 - 1,5 = О будет наибольшей? 1093. Корни х1 и х2 уравнения х^ + ^Ja - 4 • лс - 5 = О удовлет- 1 1 18 „ „ воряют условие ^ ^ ^ = —. Найдите а. х( лс| 25 1094. Пусть х1 и х2 - корни уравнение ^ ^ - 1 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа: 1) 1 1 г. X, и —; 2) -3 и ЛЛ1 ЛСз ЛС2 Xi 3) ^лс| ^ ^х^. 1095. Докажите, что если а, b и c - стороны треугольника, то уравнение ^ ^ ^ - о2)х -ъ с2 =0 не имеет корней. 236 Задачи повышенной сложности 1096. Докажите, что модуль разности корней уравнения 5д;2 - 2(5а + 3)ж+ 5а2 + 6а + 1 = О не зависит от значения а. 1097. Решите уравнение: 1^ ^ ^ + 6 = 0; 3^ ^ +6 = 0; 2) ^ +5 = 0; 4) х'^ - 2л:^ - Зд:^ - 4;зс - 1 = 0. 1098. Решите относительно x уравнение: д:^ - 5х + 4 1^ ^ ^ ^)х = а - 1; 2) 3^ ^ ^ ^ =0; х^ - 4х + 3 4) 5^ ^ а) ^ х + 7 6) = 0; 1099. При каких значениях а уравнение только один корень? 1100. Решите уравнение 38 X +10 X - а х^ - (За + 4)д: + 12а д: - 3 а^ - 1 _ д: ад: -1 а х^ + ах + 9 = 0; д: + 1 О имеет ■ + д: + 10 д: - д:^ + 20д: - 100 д:^ - д: + 10 д:^ + д: - 10 1101. При каких значениях а и b трехчлен 4д:^ + Збх + {а + Ъ) является полным квадратом, если а - b = 3? 1102. Упростите выражение: ^1 2д: 1) + 1 Y (^ - 3)^ + 12д: + Зд: + 2 + 4х + 3 х^ + 5х + 6 2^ _ 2 ^ 10(а& - 3&^) + 4аЬ + 36^ - 9Ъ^ 1103. Решите относительно x уравнение: х^ +1 1 _ х; а^х -2а 2 - ах а ’ 3-х Зх + 2 1) 2) it?..,. Зх - а Зх^ + 2ха - а^ х + а 1104. Решите уравнение: .,х-3 х + 3 х + 6 х-6 1)-----+-----=------+-----; х-1 х+1 х+2 х-2 237 ж - 2 ж + 2 28 2)----+------+ — ж-1 ж + 1 15 ж - 4 ж + 4 --------1-------. ж - 3 ж + 3 2) 7ж2 + 20 = 22 - ж2. 1105. Решите уравнение: 1^ ^ = ж - 11; 1106. Решите уравнение: 1^ ^ ^ ^ ^ ^ 2) Зж2 - 4 = 5|ж - 1|. 1107. Постройте график уравнение ^ + бг/^ = о. 1108. Решите уравнение: 1) 2) Г2ж + 1У уЗж - 4 "5ж-6 ,2-7ж (Зх + J ^2 f + |Л2 3)7 4)3 / 2ж +1 7ж-2 = 2; Л2 5ж - 6 - 4,25; ж ч— Ч X) 4 ж — + -2 2 Л ж2 + ж2у = 9; + 4 ж XJ -8 = 0. 1109. В супермаркет привезли яблоки первого сорта на сумму 456 грн и второго сорта на сумму 360 грн. Если продать все яблоки оптом по единой цене, которая на 1 грн 80 коп. ниже цены килограмма первого сорта, то выручка будет равна запланированной. Сколько килограммов яблок привезли в супермаркет, если яблок второго сорта было на 5 кг больше, чем яблок первого? 1110. Задумали целое положительное число. К нему справа приписали цифру 7 и из полученного числа вычли квадрат задуманного числа. Разность уменьшили на 75 % и получили задуманное число. Какое число было задумано? 1111. Из города A в город B, расстояние между которыми 164 км, со скоростью 20 км/ч выехал велосипедист. Через 2 ч в том же направлении выехал мотоциклист, который, обогнав велосипедиста, прибыл в город B и сразу же отправился в обратный путь. Найдите скорость мотоциклиста, если он встретил велосипедиста через 2 ч 45 мин после того, как его обогнал. 238 Задачи повышенной сложности 1112. Из города M в город N со скоростью 12 км/ч выехал велосипедист. Через 1 ч оттуда же в том же направлении со скоростью 15 км/ч выехал второй велосипедист. Еще через 1 ч из города M в том же направлении выехал еще и мотоциклист, который обогнал одного из велосипедистов через 10 мин после того, как обогнал другого. Найдите скорость мотоциклиста, если она превышает 50 км/ч. 1113. Из поселка A в поселок B и из B в A одновременно вышли два пешехода. Первый прибыл в B через 0,8 ч после их встречи, а второй - в A через 1,25 ч после их встречи. Сколько часов был в дороге каждый пешеход? 1114. По двум взаимно перпендикулярным дорогам в направлении перекрестка движутся пешеход и велосипедист. В некоторый момент времени пешеход находится на расстоянии 2 км, а велосипедист - 3,75 км от перекрестка дорог. Через какое время расстояние между ними будет равно 1,25 км, если скорость пешехода 5 км/ч, а велосипедиста - 15 км/ч? 1115. Сергей и Алексей должны были вместе набрать рукопись к определенному сроку. После того как была набрана половина рукописи, Алексей заболел, и потому Сергей закончил работу на 2 дня позже, чем планировалось. За сколько дней мог бы набрать рукопись каждый из них самостоятельно, если Сергею на это нужно на 5 дней меньше, чем Алексею? 1116. Из первого крана резервуар наполняется водой на 2 24 мин быстрее, чем из второго. Если сначала — резервуара 3 заполнить из первого крана, а потом оставшуюся часть - из второго, то будет потрачено на 33 мин больше, чем во время наполнения резервуара двумя кранами одновременно. За какое время резервуар наполняется из каждого крана отдельно? 239 СВЕДЕНИЯ ИЗ КУРСА МАТЕМАТИКИ 5-6 КЛАССОВ И АЛГЕБРЫ 7 КЛАССА Десятичные дроби Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно, записывая их одна под другой так, чтобы запятая размещалась под запятой. Примеры. 1) .,.7,813 9,4 17,213 2) _12,47 5,893 6,577 Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а потом в произведении отделить запятой справа налево столько цифр, сколько их после запятой в обоих множителях вместе. х4,07 2) х0,017 2,9 0,9 ,3663 814 0,0153 11,803 Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо выполнить деление, не обращая внимания на запятую, но после окончания деления целой части делимого нужно в частном поставить запятую. Примеры. 1) _42,84 36 12 3,57 2) _0,024 20 68 40 60 40 84 0 84 0 0,0048 Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, нужно в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число. Пример. 12,1088 : 2,56 = 1210,88 : 256 = 4,73. Обычные дроби Частное от деления числа a на число b можно записать в виде обычной дроб^^, где a - числитель дроби, b - ее знаменатель. Ъ 240 Сведения из курса математики 5-6 классов Основное свойство дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число. 15 15 : 5 3 15 Примеры. 1) — = ^— = — (сократили дробь — на 5); 20 20 : 5 4 20 04 3 3-2 6 , .3 ... ^ =----= — (привели дроб^ — к знаменателю 14). 7 7 ■ 2 14 7 Дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают по формулам: а Ь а+5 а Ъ а-Ь — + — =----- и-----=------. с с с с с ТТ 14^ 2 6 Примеры. 1)^^ — = —; 7 7 7 3)^^^- = 9-; 5 5 5 2) с 11_ А 19 19 Ы 19’ 4) 7A_2A = sA. 11 11 11 Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие по правилу сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. П .,4 ®^3 5 + 9 Примеры. 1) —I- — = 6 3/7 10 ^/5 2) - - — 8 12 30 21-10 24 И - jL; 30 " 15; “ 24. На следующих примерах показано, как выполнить сложение и вычитание смешанных чисел. 4/j^ 3^ Примеры. 1)5—1-2 — 3 "/4 2)7- -6 5^ 4 + 9 ,13 12 16-15 20 12 8- 12 20 9 18 18 18 18 Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели и первый результат записать числителем произведения, а второй - знаменателем: а с _ ас ~b'~d~M. 241 Примеры. 1) 2) 7 5 U ^ V ■ 8'15 “ 3^7 5 “ 1 3)21.42=1.^ = 3 7 3 7 ________^Т_; 4Х ;иГз “12; 3 ^ 7_^ ^ ^ ' 5 “ 1-5 “ 5 ”5 10 = 4-iX-/i = ^ = 10. 1 Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю: аса d _ ad Ъ d be be Примеры. 1) ^ ^ ^ ^ ^ 7 _ 2^ _ :U; 1) ^ ^ ^ ^ ^ “ 5-3 “ 15’ 1 3 5 7 54 5-/^ 10 3 2) =*2^4=2^4'2T=T7T = T'V Положительные и отрицательные числа Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль положительного числа и числа нуль - само это число, а модуль отрицательного - противоположное ему число: Го, если о > о, о а, если о < 0. Примеры. |3| = 3’ |-2| = 2’ |0| = 0’ Ini = л; -2i 7 = 2i. 7 Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным результатом записать знак «-». Пример. -3 + (-7) = -10. Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль и перед полученным результатом записать знак слагаемого с большим модулем. Примеры. 1) -5 + 5 = 0’ 3) -9 + 5 = -4. 2) 7 + (-3) = 4’ Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: a - b = a + (-b). 242 ______________________Сведения из курса математики 5-6 классов Примеры. 1) 5 - 11 = 5 + (-11) = -6; 2) -3 - 7 = -3 + (-7) = -10; 3) -5 - (-9) = -5 + 9 = 4; 4) 4 - (-7) = 4 + 7 = 11. Произведение двух чисел с одинаковыми знаками равно произведению их модулей. Произведение двух чисел с разными знаками равно произведению их модулей, взятому со знаком «-». Примеры. 1) -2 • (-7) = 14; 2) 4 • (-2) = -8. Частное двух чисел с одинаковыми знаками равно частному от деления их модулей. Частное двух чисел с разными знаками равно частному от деления их модулей, взятому со знаком «-». Примеры. 1) -18 : (-3) = 6; 3) -20 : 4 = -5. 2) 4 : (-1) = -4; Уравнение Корнем, или решением, уравнения называют число, обращающее уравнение в правильное числовое равенство. П римеры. 1) Число 3 является корнем уравнения 2х - 5 = 1, так как 2 • 3 - 5 = 1. 2) Число -2 не является корнем уравнения 3х + 7 = 0, так как 3 • (-2) + 7 = 1 ^ 0. Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и уравнения, не имеющие корней. П римеры. 1) Уравнения 4х = 8 и х + 3 = 5 - равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень, равный 2. 2) Уравнения 7 - х = 6 и 10х = 20 не являются равносильными, так как корень первого - число 1, а второго - число 2. Для решения уравнений используют следующие свойства: 1) если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, получим уравнение, равносильное данному; 2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, получим уравнение, равносильное данному; 3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, получим уравнение, равносильное данному. 243 Уравнение вида ax = b, где a и b - числа, x - переменная, называют линейным уравнением с одной переменной. Решение линейного уравнения представим в виде схемы: Примеры. 1) -0,5x = 14; x = 14 : (-0,5); x = -28. 2) 0x = 5; уравнение корней не имеет. В большинстве случаев уравнения последовательными преобразованиями приводят к линейному уравнению, равносильному данному. Примеры. 1) 5(x + 2) - 4x = -3(x + 7). Раскроем скобки: 5x + 10 - 4x = -3x - 21. Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть уравнения, остальные - в правую, изменив знаки переносимых слагаемых на противоположные: 5x - 4x + 3x = -21 - 10; приведем подобные слагаемые: 4x = -31; решим полученное линейное уравнение: x = -31 : 4; x = -7,75. Ответ. -7,75. jc-bl 5-х д:-ь13 2)-----+-----=-------. 2 3 6 Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей - число 6: 6(д: + 1) 6(5 - х) _ 6(а: + 13); 2 ^ 3 “ 6 ; 3(x + 1) + 2(5 - x) = x + 13. Дальше решаем, как в предыдущем примере: 3x + 3 + 10 - 2x = x + 13; 3x - 2x - x = 13 - 3 - 10; 0x = 0; x - любое число. Ответ. Любое число. 244 Сведения из курса алгебры 7 класса Степень с натуральным показателем Степенью числа a с натуральным показателем n называют произведение n множителей, каждый из которых равен a. Степенью числа a с показателем 1 называют само это число. Примеры. 1) 104 = 10 • 10 • 10 • 10 = 10 000; 2) лЗ 2 3 2^ V 'V J^; 27; 3) 1,81 = 1,8; 4) 02 = 0 • 0 = 0. Свойства степени с натуральным показателем aman = am+n, am+n = aman, am : an = am-n, am-n = am : an, (am)n = ■■ amn, amn = (am)n = (an)m (ab)n = anbn, anbn = (ab)n. еры. 1) a7a8 = a7+8 = a15; 2) m5 : m = m5- 1 = m4; 3) (b5)10 = b5 • 10 = b50. Используя свойства степени с натуральным показателем, можем существенно упростить вычисления. Примеры. 1) 1275 : 1274 = 1275 4 = 1271 = 127; 2) (23)8 : 410 = 23 • 8 : (22)10 = 224 : 220 = 224-20 = 24 = 16; 3^ -92 35 • (32)2 35.34 3) 35+4-6 = 33 = 27; 272 (33)2 36 4) 512 • 0,212 = (5 • 0,2)12 = 112 = 1; 5) 29 • 0,58 = 2 • 28 • 0,58 = 2 • (2 • 0,5)8 = 2 • 18 = 2 • 1 = 2. Одночлен Целые выражения - числа, переменные, их степени и произведения называют одночленами. g Например 7;------Ъ^с; 7a5m3 - одночлены; 13 выражения m + c2, p3 - 2a + 3b; a -ь b не одночлены. а-Ь Если одночлен содержит только один числовой множитель, записанный первым, и содержит степени разных переменных, то такой одночлен называют одночленом стандартного вида. Например, 2a2b - одночлен стандартного вида, а одночлен 2a2b • (-3ab7) не является одночленом стандартного вида. 245 — ■ 2 4 3 V 7 1 f 2^ — ~ 3 1 7. 6 Этот одночлен можно привести к одночлену стандартного вида: 2a2b • (-3ab7) = 2 • (-3) • (а2а) • (bb7) = -6a3b8. Умножение одночленов Примеры. 1) -2x2y7 • 5x = -2 • 5 • (x2x) • y7 = -10x3y7; Л 1 * • 1 —С37П = J 6 p4) . (c^c3) • (jn^ni) = - — p7c^^nfi. 9 Возведение одночлена в степень Примеры. 1) (-2m3n4)3 = (-2)3 • (m3)3 • (n4)3 = -8m9ra12; 2) (-c5d8)6 = (-1)6 • (c5)6 • (d8)6 = c30d48. Многочлен Многочленом называют сумму одночленов. Многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных слагаемых, называют многочленом стандартного вида. Многочлен 3m2n - 5mn2 + 7m2n + mn2 не является многочленом стандартного вида, но его можно привести к стандартному виду: 3m2n - 5mn2 + 7m2n + mn2 = 10m2n - 4mn2. Сложение и вычитание многочленов Примеры. 1) (2x2 + 3x - 5) + (x2 - 3x) = 2x2 + 3x_ - 5 + + x£ - ^ = 3x2 -5; T) (3a2 - 5 + 2a) - (2a2 + 7 - 3a) = 3a2 - 5 + 2a - За^ - 7 + + 3a = a2 + 5a - 12. Умножение одночлена на многочлен Примеры. 1) 3a(a3 - 2a + 7) = 3a • a3 + 3a • (-2a) + 3a • 7 = = 3a4 - 6a2 + 21a; 2) -2xy(3x2 - 5xy + y2) = -2xy • 3x2 - 2xy • (- 5xy) - 2xy • y2 = = -6x3y + 10x2y2 - 2xy3. Умножение многочлена на многочлен (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by. 246 ____________________________ Сведения из курса алгебры 7 класса Примеры. 1) (Эх - 5)(x + 2) = 3x2 + 6x - 5x - 10 = 3x2 + x - 10; 2) (2a - b)(a2 - 3ab + b2) = 2a3 - 6a2b + 2ab2 - ba2 + 3ab2 - b3 = 2a3 - 7a2b + 5ab2 - b3. Формулы сокращенного умножения (a - b)(a + b) = a2 - b2, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2, (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3, (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3. Примеры. 1) (x - 5)(x + 5) = x2 - 52 = x2 - 25; 2) (2m + 3)2 = (2m)2 + 2 • 2m • 3 + 32 = 4m2 + 12m + 9; 3) (5x2 - 2xy)2 = (5x2)2 - 2 • 5x2 • 2xy + (2xy)2 = 25x4 - 20x3y + 4x2y2; 4) (a - 3)(a2 + 3a + 9) = (a - 3)(a2 + 3a + 32) = a3 - 33 = = a3 - 5) 27; -b + c2 \2 -62 1 Л — be2 + 2 \ b ■ c2 + (c2)2 у .2 -6 + c2 + {c2)2 = — b2 + c2. 8 Разложение многочленов на множители Вынесение общего множителя за скобки ab + ac = a(b + c). Примеры. 1) 12x2 + 15x = • 4x + 3x_ • 5 = 3x_ (4x + 5); 2) 25a3b - 20a2b2 = 5g2b • 5a - 5g2b • 4b = 5a2b(5a - 4b). Способ группировки ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b). Примеры. 1) ab - 5a + 2b - 10 = (ab - 5a) + (2b - 10) = a(b-_5) + 2(b-_5) = (b - 5)(a + 2); 2) a2b + c2 - abc - ac = (a2b - abc) + (c2 -ac) = ab(a - c) -c(a - c) = (a - c)(ab - c). Использование формул сокращенного умножения a2 - b2 = (a - b)(a + b), a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2), 2 2 + 2ab + b2 = (a + b)2, a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2). 2ab + b2 = (a - b)2, 247 Примеры. 1 ) X 2 - 49 = X2 - 72 = (x - 7)(x + 7); 2) m2 + 10m + 25 = m2 + 2 • m • 5 + 52 = (m + 5)2; 3) 4a2 - 12ab + 9b2 = (2a)2 - 2 • 2a • 3b + (3b)2 = (2a - 3b)2; 4) c3 - 64 = c3 - 43 = (c - 4)(c2 + c • 4 + 42) = = (c - 4)(c2 + 4c + 16); /1 n3 5) —X® + = 8 — x^ + = (1 л " 1 1 — X2 ч- у® — X2 _£х2 у®+(у®)2 v2 ) 2 = I +y^ ^^1 1 — X'* - —x2l/® + y® V ■ функция Если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, то такую зависимость называют функциональной зависимостью, или функцией. Переменную x в этом случае называют независимой переменной (или аргументом), а переменную у - зависимой переменной (или функцией от заданного аргумента). Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная (функция), образуют область значений функции. Линейной называют функцию, которую можно задать формулой вида у = kx + l, где x - независимая переменная, k и l -некоторые числа. Графиком любой линейной функции является прямая. Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую. Пример. Построим график функции у = -3x + 4. Составим таблицу для любых двух значений аргумента: x 0 3 У 4 -5 Отметим на координатной плоскости полученные точки и проведем через них прямую (рис. 20). 248 Сведения из курса алгебры 7 класса Рис. 20 П ример. Построим график функции у = —2. Любому значению x соответствует одно и то же значение у, равное числу -2. Графиком функции является прямая, состоящая из точек с координатами (x; -2), где x - любое число. Обозначим две любые такие точки, например (3; -2) и (-4; -2), и проведем через них прямую (рис. 21). 1 1 0 1 5 ■ X -2 у = - 2 Рис. 21 249 Пример. система уравнении с двумя Системы линейных уравнений с двумя переменными Если нужно наИти общее решение двух (или более) уравнении, то говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений. \2х у = Ъ, [X -Ъу = Ъ неизвестными x и у. Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значении переменных, при которых каждое уравнение обращается в верное числовое равенство. Пара чисел x = 2; у = -1 является решением данноИ выше системы, поскольку 2 • 2 + (-1) = 3 и 2 - 3 • (-1) = 5. Пара чисел x = 5; у = -7 не является решением системы. Для этих значении переменных первое уравнение обращается в верное равенство (2 • 5 + (-7) = 3), а второе - нет (5 - 3 • (-7) = 26 ^ 5). Решить систему уравнений - значит наИти все ее решения или доказать, что решениИ нет. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки Решить систему уравнении Зх -7у = 1, 4:Х -ь9у = 38. 1. Выражаем одну переменную через другую из какого-нибудь одного уравнения системы Зд: = 1 -н 7у, 3 2. В другое уравнение системы подставляем вместо этои пе-ременнои получившееся выражение 4.1 + 9у = 38 3 ^ 3. Решаем полученное уравнение с однои переменнои 4(1 + 7г/) + 3 ■ 91/ = 3 ■ 38, 4 + 281/ + 27у = 114, 55у = 110, у = 2 4. Находим соответствующее значение второи переменнои 1-ь7-2 3 ’ X = 5 5. Записываем ответ (5; 2) 250 Сведения из курса алгебры 7 класса Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения \1х-Ау = 2, 15л: + Зг/ = 19. Решить систему уравнений 1. Множим (если необходимо) обе части одного или обоих уравнений системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (7х - 4у = 2, |хЗ [бл: -ь Зг/ = 19; |х4 Г21л: - 12у = 6, [20Х + 12г/ = 76 2. Складываем почленно левые и правые части уравнений системы 41л: = 82 3. Решаем полученное уравнение с одной переменной X = 2 4. Подставляем найденное значение переменной в одно из уравнений системы (лучше исходной) и находим соответствующее значение второй переменной 7 • 2 - 4г/ = 2, -4у = -12, У = 3 5. Записываем ответ (2; 3) 251 УПРАЖНЕНИЯ НА ПОВТОРЕНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ 7 КЛАССА 1. Представьте в виде степени выражение: 1) а3 • a5; 3) (р3)7; 5) (t3)2 : t5; 2) X5 : X3; 4) (-а2)3; 6) (а7)3 • (а3)5. 2. Представьте в виде многочлена: 1) 4m2(m - 3); 2) -0,4аЬ(5а + 10аЬ); 3) 7а(а2 - 2а + 3); 4) (а + 5)(а - 7); 5) (3x - 1)(2x + 7); 6) (а - 1)(а2 - 2а - 1). 3. Упростите выражение: 1) (4x2 - 3x - 7) - (2x2 - 3x + 1); 2) 2x(3x - 7) - 3x(2x + 1); 3) (а - 2b)2 + (а + 2b)2; 4) (7x - 4m)(7x + 4m) - (7x - 4m)2; 5) (x - 1)(x2 + x + 1) + (x - 1)(x2 - 1); 6) (x + 2)(x2 - 2x + 4) - (x - 1)(x2 + 2). 4. Представьте многочлен в виде произведения: 2) 3m2 - 9m; 4) 4x2 - 25; 6) p2 - 10p + 25; 8) c3 + 27; 10) ax - ау + 2x - 2y. 1) 4а - 8; 3) 12а2Ь + 16аЬ3; 5) 9m4 - 36p8; 7) x4 + 8x2 + 16; 9) p6 - 1000; 5. Решите уравнение: 1) -4x = -16; 2) 2,5x = -20; 3) 2x + (x - 3) = 12; 4) (4x - 2) - (7x - 3) = 9; x + 1 X x-2 5) -------=--------; 3 2 6 6) 4(x - 1) + 3(x + 2) = 7(x + 3); 7) 2(x + 1) + 3(x - 3) = 5x - 7; 8) (2x + 1)(x - 1) - (x + 1)(2x - 1) = 24. Решите систему уравнений графически: \х + у = 5, 2) [2х + у = 0, IX - у = 3; |зу - X = 7. 1) 252 6 Упражнения на повторение курса алгебры 7 класса 7. Решите систему уравнений способом подстановки: 1) X + 2у - -5, 2) 4а: + Зг/ = 8, [За: - 2г/ = 9; [5а: - у = -9. 8. Решите систему уравнений способом сложения: 1) 3) 2х + у = Ъ, 2х - у = 3; 4:Х + 3у = 3, 5х - 6у = 7; 2) 4) За: + 2у = О, 5х + 2у = 4; 5х + 7у = -19, 2х -Зу = 4. 253 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Глава 1 7. 7) x - любое число; 8) m ^ 0. 11. 3) -1,92; 4) -41,2 13. 2) x = -3; 3) x = 1 и x = -7; 4) нет таких значений x 14. 2) у = -1; 3) у = -2 и у = 3; 4) нет таких значений у 15. 1) a ^ 1; a ^ -3,5; 2) t ^ 0; t ^ 7; 3) m ^ 5; m ^ -5; 4) x ^ 9 16. 1) p ^ 9; p ^ -2,5; 2) a ^ 0; a ^ 5; 3) c ^ 2; c ^ -2; 4) a ^ -1 18. 1) a ^ 2; a ^ 3; 2) x ^ 1; x ^ -1; 3) m ^ 0; m ^ 1; 4) k ^ 6 k ^ -2. 19. 1) x ^ -2; x ^ 4; 2) m ^ 4; m ^ -4; 3) x ^ 0; x ^ -1 4) a ^ 1; a ^ -5. 29. 108. 43. 1) -—; 2) -—; 3) m + 3; 4) —^ т 2п а - 2 5^^п, 6) т±п. 44. 4) 45. 3) 4) 4*=' + 4* + 4 ^ - — К у,^ _ т-п а х“ У“ *3-1 + XI/ + Z/3 6^^- 47- -10' 51- 1) Ь 2) 3^^. 52. 1) 2; 2) 3) 1 . 5 - аЬ + Ь^ 8(3/п + п) X 53. 1) График - прямая ^ = — с «выколотой» точкой (-6; -1); 6 2) график - прямая у = 2 - x с «выколотой» точкой (2; 0). X 54. 1) у =-с «выколотой» точкой (5; -1); 2) у = 3 + x 5 с «выколотой» точкой (-3; 0). 59. Указание. Рассмотрите сумму (о^ - й^) -ъ (ag - ftg) + ••• + (% “ ^). 73. 1^^; 2) -. 74. 1) ^^; 2^. 76. 1) 15; 2) 2015. т + 2 с а-1-3 т 77. 1) -2; 2) 198. 78. 3) х ^ ; 4^ ^ 79. 3)у+ ^ X + 5 4^ ^ . 80. 1) ^—; 2) р-q т-2 0-2 ; 3) а - Ь ' " У + 1 -^. 81. 1^ ^!—; п-3 3-0 2) 3) ^ ; 3) ^ 83. 86. 12 ч. 112. 1^; 2) ^^; X + у + Z аЪ X т-2’ ' q - А 4) 6^4 3аЬ-.-9а^. Ц3. ^ __2_, ^) t_^, 3) _2_ х(х - 2) аЪ аЬ а о(о - 3) 4) 254 + 2тп + Ат^ тп 115. 1) - 2q3 т + п ; 2) Ар р-2 ; 3) 1-о2’ ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 4^ 118. 1^-; 2) 2р-3 123. 1) 2х^ л: + 1 г; 2) " ; 3) !^; 4) т-Ъ 16 6/тг ' ' 2(а - 3) 124. a = 8. 125. Ука - (л: - у){х + yf (х - 2)2 (х + 2)2 зание. После упрощения получим а2 + 4. 127. График функции - прямая у = 4 с «выколотой» точкой (2; 4). 128. -8. Указание. После упрощения получим - 129. 5. Указание. После упрощения получим — 8 6а + 6 5 130. Нет. Указание. После упрощения получим 133. 1) 4; 2) 2; 3) 10; 4) 5. 136. 5. 153. 1) Ъх + у J_ 2х (т - 2){т - 3) 3(/п + 3) 2^^^£+8) 154. 1) 4a*i) . 2^^^|/лЗ) 157. 1^. х + 5 '(а-1)(а-4) ' у + Ъ ’2 х + у т - п 2)----^. 158. 1^; 2) X - у 2 т + п 159. 1) 0; 2) 9,6. 160. 1) ' X + а ' а 2) Ъ(с-у- 1) Зс -. 161. 0. 166. 4; 10. 177. 1) 3(а + Ь + 1) 4а& а ; 2) ^; 3) 4^^. 178. 1) ^; 2^. 179. 1) 2) 2а5 У 2а-3 1 ; 3) 7(г/-5х); о ; 3) ; 2-х у 4М-. 180. 1) 1; 2) -5. 181. 1) 0,1; 2) 5,032. 182^ ^^. 3 а - 5 184^ ~ ^. 185^^. 187. 1) -; 2) 0. 189. 30. 190. 1) 4; а - 6 Ъ-2 4 2^; 3) 4) х + 3 2а+ Ъ х + у 191. 1) 2; 2) “ ; 3) 2- 3-Ь Зх-у 192. 1) £±1; 2^±^1; 3) -3а - 5; 4) п-т 7х Зп-т 3 193. 1) ^^; 2) i^; 3) 7 - 2b; 4) ^. 196. 1) -2; 2^ ~ ^ Ът у + X 2 2(а + 3) 197. 1) 2; 2^^. 198. 1) 3; 2) 4. 199. 1) 2; 2) 2. 202. 1) ^ а + 2 1 + а 1 2х® + 2i/® 4а2 — 4&2 2) 4. 203. 1) —!—; 2) 2. 207. 3)----т^т^; 4) —----—. Ука- 2 - а х^у^ аЬ зание. Сначала раскрыть квадраты суммы и разности. 255 Л-ТП Y 208. 2) 209. 1) n“ ---2) 1; 3) p; 4) 3 - c; 5) 6^. л: +1 X - \ n 210. 1) ^^; 2) 1; 3) t; 4) -J—.; 5) i±^; 6^. 211. Ука x-l 2-m 2 m - 4: зание. Значение выражения равно 2. 212. 1. 213. 51. 214. 7. 215. 1) ———-—; 2^^^. 217. Указание. Значение 2л:(2л: + 1) 2 выражения равно (т +1)2 . 218. 1) 1 - X2 - х; 2) т° 7П® - /п + 1 219. 1) X2 + 2х + 1; 2) „2 10 3 ----. 227. 11. 241^. 242^. пЗ - п +1 15 15 243. 2. 244. 3. 245. 1) 2; 2) 3; 3) -5; 4) 9. 246. 1) 1; 2) -2; 3) 2; 4) -3. 247. Нет, корень первого уравнения 3, а второго - 0. 4 248. Нет, корень первого уравнения 4, а второго - 0. 249^ —. 2 ® 250^ —. 251. 1) -4; 2) уравнение не имеет решений. 252. 1) -4; 5 2) уравнение не имеет решений. 253. 1) -4; 2) уравнение не имеет решений. 254. 1) -1; 2) уравнение не имеет решений. 255. 1) a = 0; a = 4; 2) a = 1; a = 4. 256. a = 3; a = 1. 257^ ; 9,8. 258^ ~ ^. 276. 1) -; 2) --; 3) -1,5; 4) -11; X 2a+ b 3 4 5) 0,5; 6^^; 7) 1,4; 8) -—; 9^—; 10) 0,064; 11) 14; 12^^. 277. 1) --; 2^i; 3) 19; 4) -699; 5^?-; 6) -; 7) —; 125 ' 4 3 ^ 50 8 16 /7l2/l2a4 8) 2) 29 216 25x3/7162 a . 279. 1) an > 0; 2) an > 0; 3) an < 0. 281. 1) cx^p^ 282. 1) 3x2p-i; 2) 15mn~^c~^; 3) - b)~^; 4^ - y)-K 284. 3) 4) 285. 2) 7 - a xy 24 11 2 3r2 — 1 286. 1^; 2) 5—. 287^-. 288. „ . 290. 10 грн у Даши mn 49 49 x“ 14 грн у Маши. 294. Цифры 3 и 2; 5,11 долларов. 312. 1){4т ^)3 2) ^p-^f; 3^ 4) — /'З с^х~ . 313. 1) 625; 2) 10 256 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 3) 3; 4) 49. 314. 1) 16; 2) 315. 1^; 2) 3^; 4) 49; 5) 4 Зои о 6) 2. 316. 1) 4; 2^; 3^; 4) 36; 5^!-; 6Н^. 317. 1) ^Ь~^; ' ' ' 9 ' 7 100 25 2а5 2^ ^-iV. 318. 1) -^; 2) " 2ЬЗ 5^8 319. 1^ W*n-2; 2) Зс2‘ а 2п X' 6т 322. 1) 125; 2^; 3) ^. 323. 1) 49; 2) ^; 3) -^. 324. 1) 2 • 5"; У 2) X8; 3) Д-. 325. 1) —; 2) х8; 3) ^. 327. 6 грн, 8 грн. 4п 1)3 330. X = 3; у = 3. 354. 31%. 355^ ^ ^66 • Ю8 с или 1582 суток. 358. 1) -16; 2) -23; 3) -11; 4) -15. 359. 1) 18; 2) 13; 3) 12; 4) 10. 360. 1) 1; 2) 180. 361. а = -4, а = -1. 365. Да. 381^ ^ -—. 382^ ^ —. 383^ ^ ^ < 8. 384. 1) 4; 2) -3; 3; X X 3) -1; 4. 385. 1) 2; 2) -2; 2; 3) -1; 5. 389. Указание. 1) После упрощений получив ^ = —; 2) график - гипербо- X 0 ^ л^ ^ =---с «выколотой» точкой (3; -2). 392. —. 393. -1. X 81 397. -0,1. 398. 1) X - любое число; 2) m < 0; 3) a ф 0, a ф 1; a ф -1; 4) X ф 2; х ф 5. 399. 1) 1; 2) нет таких значений х; 3) -2; 4) 0 < X < 3 или х > 3. 404. 1) 1; 2) 0. 407. 2. 409^ ^ ^ ^. 413. 1) —^; 2^!—. 414. a = -3. 415. Ука X + у + Z Ь + 2 т - \ зание. Значение выражения равно -3. 416. 1) Ат-1 Ат +1 2^__^_4х^ 2) . 417. Указание. После упрощения вы- 2х -ь 1 ражения будем иметь 418. Указание. График (х - 2)2 функции - прямая у = X + 1 с «выколотой» точкой (1; 2). 419. 1) 1; 2; 2) 1; 2; 3; 6; 3) 1; 16. 425. Указание. Выра- 8 Зх — 2ц жение тождественно равно 1. 426. 1) 0; 2)----; 3) 2а 4^ ^jJ_; 5) 6(х + 1) ; 6) _ ' 6(2а-1) х2 + х + 1 ' (1-36)(а + 2) b = -5; 2) a = 3; b = -6. 430. 2sv 3 - 2x xy 429. 1) a = -24; 5xi^8 ; 8 ч. 436. 1) 257 E 2) - b^. 437^ ^ . 438. Указание. Значение вы- (ж - ау ражения равно 1. 439. Указание. Значение выражения равно а-Ь а + Ь 443. 1) 2) 444. 7 3-х' Ъ{Ъх + 2у) - 2а -15 445. Указание. После упрощения выражения полу- 2(^ + у) 446. 0. 447. Указание. а^+5а + 4 = чим -- х^ = а^+о + 4а + 4 = а(а + 1) + 4(а + 1) = (о + 1)(о + 4). 448. 1) а 2) —3^^; 4) p - 1. 450. 1) 2) —^. 451^!^. 771 + 3 а-Ъ {а + ЪУ а + 3 14 452. Указание. 1) После упрощений получим 3; 2) после 1 упрощений получим -1. 454. 5 или -5. 455. Х‘‘ 456. Указание. После упрощений получим х2 + 4. 457. Ука- зание. После упрощений получим 7?г + 5 458. Нет, так как после упрощений получив —. 461. 2. 462. 4) 0. 463. 18 км/ч. X 464. 1) -0,5; 2) -2,5. 465. 12 дней, 24 дня. 466. 1) Если a = 0, уравнение не имеет решений; если a ф 0, т^ ^ = —; 2) если 5 и “ J, “ “ ^ a = b, то уравнение не имеет решений; если a ф b, то х =----. 2 472. 1^ (-7)3; 2^ > (-5)-5; 3) (-IS)-^ > (-13)4; 4^ > 12Л 473. 1) -; 2) -0,16; 3) -10; 4) -99. 4 474. 1) аЗ - о + 1 ; 2) -1. 475. 1. 476. х = -3. 477. a8b8. 482. 30. а®(1 + а) 485. 1) х(х2 + 5х-1 + х-6); 2) х-1(х4 + 5х + х-4); 3) х-3(х6 + 5х3 + х-2). 490. 6,35 • 104 км2. 491. 1) 3,6 • 103 с; 2) 8,64 • 104 с; 3) 2,592 • 106 с; 4) 3,1536 • 107 с; 5) 3,15576 • 109 с. Указание. Учесть, что в любом веке 25 високосных лет и 75 - невисокосных. 495. 1) Нет; 2) да. 498. (2; 2) и (-2; -2). 499. (3; -3) и (-3; 3). 258 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Глава 2 510. 1^ ^ ^ < 9; 2^ ^ ^ < 4. 512. 1) 0; 3; 2) -2. 513. 1) 2; -2; 2) 0; 2. 514. 1) График - парабола у = х2 с «выколотой» точкой (-1; 1); 2) график - парабола у = х2 с «выколотыми» точками (-2; 4) и (2; 4). 515. 1) График - парабола у = х2 с «выколотой» точкой (0; 0); 2) график - парабола у = х2 с «выколотыми» точками (-1; 1) и (1; 1). 522. 2п - 3. 540. 1) Нет; 2) да; 3) нет. 541. 1) х > 0 2) х - любое число; 3) х > 0; 4) х < 0. 542. 1^ ^ > 0; 2) у > 0 3) у - любое число; 4) г/ < 0. 54з. 1) Корней нет; 2) 32; 3) 13 4) 4,5. 544. 1) 12; 2) уравнение не имеет решений; 3^^; 4) 1. 8 545. 1) a = 0; 2) a = -3; 3) a - любое число; 4^ ^ < а < 3 или a > 3. 546. 1) 5; -4; 2) 16; 3) 49. 547. 1) 11; -14; 2) 49. 548. -1. 549. 1) х = 3; у = 0; 2) х = -2; у = -1. 553. Нет. 571^; 0,(1); 0,11^; 0,01. 572. 0,02^; 0,22; 0,(2); -. 576. 6,25 см; 10 5 4 9— дм. 577. Указание. Пуст^ ^ = —, гд^^ - несокра-9 п п тимая дробь. Тогд^ = т^. 581. 1) Второй; 2) первый. 596. 1) 25; 2) -30; 3) 56; 4) 16,2; 5) 30; 6) 0. 597. 1) 49; 2) -84; 3) 44; 4) -2,1; 5) 40; 6) |i. 598. 1) 8; -4; 2) -1; -5; 3) 1; 65 4^ V?; —3 — -Jl; 5) 6) уравнение не имеет решений. 599. 1) 3; -5; 2) 7; -3; 3) -2; 4^ л/З; 2 - ^/3; 5^; \; 6) урав- 5 5 нение не имеет решений. 601. 1) 5; -5; 2^^—. 602. 1) 8; -8; 2 2 2^; --. 603. 1) ^/2; -^/2; 2) 2; -2; л/б; -Тб. 604. 1) Тб; -Тб; 3 3 2) 3; -3. 605. 1) b = 0; 2^ ^ 4; 3) Ь > 0. 606. 1) m > 0; 2) нет таких значений m; 3) т <, 0. 607^—^. 608. 1) 8; 2^—; 3^. 2х 5 5 612. 480 суток. 633. 1^—; 2) 1-; 3) 12; 4) 0,13. 634. 1^—; 32 3 45 2^-; 3) 35; 4) 0,07. 635. 1) 210; 2) 48; 3) 12,6; 4) 18; 5) 39; 6 259 6) 154. 636. 1) 160; 2) 75; 3) 10,8; 4) 12; 5) 34; 6) 126. 637. 1) 432; 2) 144; 3) 125; 4) 243. 638. 1) 1; 2) 216. 639. 1) 112; 2) 432. 640. 1) 0,6х; 2) -11y; 3) p; 4) 5х2; 5) 5а3; 6) -с®. 641. 1) 0,7p; 2) —т; 3) 7b4; 4) -0,1а7. 642. 1) -5mn6; 8 2)^т'^п^; 3) x3y4; 4^ 5) -2/nV“; 6) -x‘^z. 643. 1) 8аЬ4; 13 2) -^б4сб; 3^ ^1^; 4) 3b7. 644. 1) yfl -уГх -4^; 2) ^G£. 2 2 ^J-Зy 645. 1) x - y; 2) n - m; 3) x - 5; 4) 6 - a; 5) 5; 6) -2. 646. 1) m - 2; 2) -p - 4; 3) 1; 4) -3. 647. 1) 4; 2) 1; 3) 9 - 2^/21 4) 2 + ^/з. Указание. 7 + 4^/3 =4 + 4л/3 + 3 = (2 + Sf 648. 1) -8; 2^ ^-1. 656. 96 грн. 679. 1) тпл/ГЗ; 2) b^Ib 3) 4) ^^yfx. 680. 1^ Wll; 2) ^4c; 3^ ^^\/2; 4) Gm^yfm 681. 1^o2; 2) -л/5&6; 3^16; 4^^^. 682. 1)^Ъ^; 2) 3^1^; 4^ ^^. 683. 1) 47; 2^ 37л/б; 3) 36 -12^/6 684. 1^ ^ - л/З); 2) Tp(V7 + 2); 3) ^/7(^/3 + 1); 4) л/2(л/з - л/б) 5^ ^^^-^/Зm); 6) ^/5ж(^/jc - л/2). 685. 1) yfp(l + ^l2) 2^ -1); 3) ^/Зa(^/з + n/2o). 686. 1) ; 2^ y/x -6 Vo - 3v6 3^j^. 687. 1) 2^ 3^5^. 688. 1^ + 1); Va л/л: + 2yjy 2) 3) 8V|±M. 689. 1^-1); 2) 3^ ^ 690. 1) 2; 2) 330; 3) 8; 4) 14. 691. 1) 16; 2) 60; 30 3) 26; 4) 7. 692. 1,5. 693. 1) m - 1; 2^ ^~^; 3) ylb 4~y 4x + лУу' 695. —. 696. Указание. Воспользоваться тем, что квад-2 рат натурального числа не может заканчиваться цифрой 7. 708. 1^^^ ^^^^0,2jl- = 0,44—. 709. 1) -л/48 =-^/75; 3 2 V 8 V32 4 5 260 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 2^ > 0,2,1-. 710. 1) О < г/ < 2; 2) ^ г/ < 3. 711. 4. М 9 М 4 1 712. 1. 718. 244,85. Указание. Обозначить а = 3 ь = 1997 722. 1) Увеличится в 9 раз; уменьшится в 81 раз. 2000 2) Увеличится в 2 раза; уменьшится в 5 раз. 723. 1) Нет; 2) да; 3) нет. 724. (-2; 4), (3; 9). 729. 1) 100; 2) 1. 730. 1) 20; 2) 13,96. 731. 1) ж > 2; 2) х > 3; 3) х < -1, -1 < х < 0; 4) х = 0. 732. 1) Если a = 0, то х > 0; если a ^ 0, то х = 0; 2) если а < О, то уравнение не имеет решений; если a > 0, то х = -^; 3) есл^ а < О, то уравнение не имеет решений; если a > 0, т^ ^ +1; 4) если a = 0, то х - любое число; если a ^ 0, то х = 0. 736. 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) да. 739. Указание. 1) Найт^ - -. 744. 1) —; 2^7; 3) 3^/2; 4) 5. 746. 9 или 3 2 3 -9. 747. 1) m > 1; 2) m = 1; 3) m < 1. 754. 15 см ил^ 6— см. 3 755. 1) 600; 2) 0,09; 3) 360; 4) 648. 756. 1) ^^„6; 2) -7ху3; т 10 а** 3^ту; 4) ^. 757. 1) 0,4; 2) 0,3; 3) ^/5 - л/2; 4^ ^ - л/п. 758. 1^^; 2^ ^^. 762. 1) 2x^yj7x; 2^ ^^; 3) -5a¥yfb; х+2 р+3 6 4^ ^5^; 5^ ^^712]^; 6) ху4^. 764. 1) 24; 2) —. X 2 -; 2) у + 1. 767^ ^/2 + ^/3). 766. 1)--------j=---- 2 + л/2х + X ^^________________ 768. Указание. Обозначить >J7 + 2л/б - yjl - 2-JO - х и найти х2. 769. 1^3; 2) -1; 3) -^; 4) -J^^. 772. 1) Да, (1; 1) 2) да, (64; 8); 3) да, (0; 0); 4) нет. 773. 1) 3; ^/^4; 4; -Щ2 Т19Д; 2) 0,2; -; , -^; ^/ОД. 774. 1^ > 1; 2) 0 < х < 4 4 V11 3^ ^ < 16; 4^ ^ X < 10000; 5) х > 0; 6) таких значе- ний х нет. 261 Глава 3 789^. 790. -2. 791. a = 2; b = -6. 792. b = -4; c = 3. 9 793. 1) 0; -1; 2) 0; -24; 3) -1; 1; 4) 0. 794. 1) 0; 2; 2) 0; 24; 3) -1; 1; 4) 0. 795. 0; -4,5; 796. 0; -11. 797^^ ^ + 1 или 2 2 /2 /2 и^- + 1. 798^ и л/2 + 2 ил^ ^ и^ + 2. 799. 1) 0; 2 2 5; -5; 2) 2. 800. 1) 0; 3; -3; 2) 3. 806. 9. 816. 1) -1; 3; 2) 1; -2,5; 3) 5. 817. 1) 1; -5; 2) -1; 4,5; 3) 2; -0,4. 818. 1) 2; 6; 2) -1^-; 3) 2; 4; 4) 3; -8. 819. 1) -1; 2) 2; 2,6; 3) 4; 3; 3 4) 1; -6. 820. 1) 1; -0,6; 2) -1^. 821. 1) -1^-; 2) 1; -3,5. 3 3 822. 1) 1 + л/15; 2^ ^ + ^/5; 3^ 5^/^l; 4^ ___ 2 823. .^77; 2^ 273; 3^ 27Ш; 4) 824. 1) 4; 1; 2) 4; -4; 3) 1; 4) 2. 825. 1) 9; 3; 2) 3; -3; 3) 5; 4) 2. 826. 1) --; 2) -4; 4. 827. 1^^; 2) -6; 6. 829. (0; -15), (75; 0). 8 16 830. 1) -35; 2) 39. 833. 1) Да; 2) нет. 843. 1) < 0 х2 < 0; 2) х^ > 0, х2 < 0; 3) х^ > 0, х2 < 0; 4) х^ > 0, х2 > 0 844. 1) х^ > 0, х2 < 0; 2) х^ < 0, х2 < 0; 3) х^ > 0, х2 > 0 4) х^ > 0, х2 < 0. 845. х2 = -2,5; q = 8,75. 846. p = 4,5; х2 = -6 847. х^ = 5; х2 = -2; p = -3 или х^ = -5; х2 = 2; p = 3. 848. х1 = 5 х2 = -1; q = -5. 849. 1^-; 2) 12; 3) 22; 4) -7-; 5) 23 3 9 6) 28. 850. 1) -2,5; 2) -10; 3) 29; 4) -14,5; 5) 7,25; 6) 33 853. 1) 3х2 - 14х - 5 = 0; 2) 24х2 + 26х + 5 = 0; 3) х2 - 5 = 0 4) х2 - 4х + 1 = 0. 854. 1) 3х2 + 5х - 2 = 0; 2) 16х2 - 10х + 1 = 0 3) х2 - 7 = 0; 4) х2 - 6х + 2 = 0. 855. х2 - 7х + 1 = 0. 856. х2 + 8х + 8 = 0. 857. 80 кг; 120 кг. 858^(^. 861. На 12 лет. чх 862. 12 и 17. 863. 12 и 15. 864. 42 см. 865. 80 м. 866. 7 см и 10 см. 867. 30 см. 868. 48 см2. 869. 14 и 15. 870. 70x70 см. 871. 15 дм. 872. 19, 20, 21 или -13, -12, -11. 873. 18, 19, 20 или -18, -17, -16. 874. 5 и 7. 875. 16 км/ч и 12 км/ч. 876. 10 см и 12 см. 877. 1 см. 878. 1,5 м. 879. 10 участников. 262 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 880. 5. 881. 1,8 с; 1,2 с. Указание. Исходя из начальных условий, сначала найти v0. 882. 0,7 с. 883. 2,6 с; 3,4 с. 886. а = 0 или а = -2,25. 907. 1^ ^ л/ЗО; 2) ~35±^5л/17. 908. 1^ 2^/^9; 2) 909. 1^ ^ ^ ^ ^^(л: - 1 + 2л/3); 2 2) разложить на множители нельзя; 3) -2 X + ■ 3 +Тб5 X + 3-Тб5 4) разложить на множители нельзя. 910. 1) (ж + 2 - л/П)(х + 2 + ^/^l); 2) разложить на множи- 14 4 ж-4 2х-1 .. X-2 тели нельзя. 911. 1) ----; 2) ----; 3) -----; 4) д:-2 X X - 3 2х-1 5х-2 л:-1-1 л:-ь4 ас-ь 3 5^--------г; 6) -г—Г-. 912. 1)----------------; 2) --------; 3)--------; 4) х + 7 2(х + 1) Зас - 1 8 - 2а; ас Зсс + 2 4 913. 1) 1,93; 2М-. 914. 1) - 3 (л:-2)(ж + 4) а: - 5 3(сс - 3) 1 ; 2) ас -I- 2 ; 3) 1; 4^—2)(5 ас). 915. 1^!_; 2^!—. 918. 1) х(х + 1)(сс -ъ 2); 2(х + 3) 2) -2ас(ас + 3) х-5 ас - 2 ас — или х(ас-ъ 3)(1 - 2ас); 3) — ас^(ас - 1)(ас ч-5); 4 4^^^^^^ 2)(х - 6). 919. 1)^^^^)(х - 8); 2)^сс2(л: - 9)(ас - 3). 2 3 920. 1) График - прямая у = x + 2 с «выколотой» точкой (1; 3); 2) график - прямая у = x - 3 с «выколо- а;2 1 тыми» точками (0; -3) и (-1; -4). 921. 1) ---------; 2) —. Зас -1 4 922. 1^ ^—; 2) 27. 923. 1) -0,4a3x7; 2) 2тр^4^. 924. 1) 24; 2х -ь 1 2) 68; 3) 0,68; 4) 376. 929. 3 : 2. 938. 1) 9; -1; 2) 2; -9; 3) 5; -2; 4) -2^^ 939. 1) 4; -1; 2) 1^^; 3) 1; 3; 4) 2; -1^. О ^ л 940. 1) 0; 2; -2; 2) 0; 3) 0^; --; 4) 0; 2; -3. 941. 1) 0; 3; -3; 2 2 2) 0; 3) 0^; --; 4) 0; 3; -4. 942. 1) 4; -5; 2) 1; 4. 943. 1) 3; 4 4 263 X X -4; 2) 2; 6. 944. 1) 1; -1; 3; 2) -6; 3) -7; 4) уравнение не имеет решений. 945. 1) 1; 2) -3; 3) 7; 4) уравнение не имеет решений. 946. 1) -6; 3; 2) -2^-; 3) -3; 4) -2. 947. 1) -4; 3 3; 2) -2. 948. 1) -1; -5,5; 2) -7; 3) -9; 4) уравнение не имеет решений. 949. 1) 5; -3,6; 2) -1; 3) -15; 4) уравнение не имеет решений. 950. 1) -3; 4; 2) 15. 951. 1) 2; 3; -3; 2) -1^^. /ч 952. 1) 1; 2; -2; 2) -2^^. 953. 1) 1; -1; 2) -1; 2. 954. 1) 1; 2 -1; 2) 2; -3. 955. 1) 0; 1,5; 2) -2 ± л/35. 956^ ^. 957. 1) 1; 2 -1^/5^ ^5; 2) 1; ^ ~ ^. Указание. х3 + 2x2 - 2x - 1 = 2 = (х3 - 1) + (2х2 - 2х) = (х - 1)(х2 + х + 1) + 2х(х - 1) = = (х - 1)(х2 + х + 1 + 2х) = (х - 1)(х2 + 3х + 1). 958. 1) 1; ±л/з 2) -2; 1; 4. 959. 1) 9. Указание. у/х = t; 2) 0; -2; -1 ± л/7 3^ ^ ^/3; 4) 0; -1; 2; -3. 960. 1) 4; 2) 0; 2^ л/5; 3) -1 ± ^/6 4) 0; 1; -2; 3. 961. 3(jc + 7) X - = (ж + 7)(3ж - 2). 962. 12 967. 8 и 12. 968. 970. 12 км/ч; 16 км/ч. и 15. 963. 2. 964. 12 км/ч; 16 км/ч. 965. 2,5. 966. 4 и 6. —. 969. -. 10 6 971. 70 км/ч; 60 км/ч. 972. 45 км/ч. 973. 80 км/ч. 974. 60 км/ч. 975. 2 км/ч. 976. 14 км/ч. 977. 24 км/ч. 978. 2 км/ч. 979. 20 км/ч. 980. 50 м2, 40 м2. 981. 12 автомобилей. 982. 24 ч; 48 ч. 983. 36 ч; 45 ч. 984. 45 мин; 36 мин. 985. 30 дней; 42 дня. 986. 16 км или 20 км. Указание. Пусть х км/ч - начальная скорость, тогда 4х км - рассто- :ш _ 9 “ £. тт 10 4ж яние между деревнями. Имеем уравнение--------1------ X ж -1 987. 27 км/ч. 988. 3 л. Указание. Пусть в первый раз отлили х л спирта. Учитывая то, что окончательно воды в сосуде стало 4,5 л, имеем уравнение = 4,5. 6 990. 1^ ^^; 2) 2х + 2 991. 1) 16; 2^ ^±л/б. 995. Да. 264 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 996. 1) ±у(2; 2) 0; 997. 30 см. 998. 1) 0; -9; 2) 2; -2. 4 999. 1^-; 2) a > 0. 1003. 1) 1; -3; 2) 2; -1,5. 1004. 1) 1; 2; 4 2^ ^^^/^5; 3) 2^/2; -3^/2; 4) ^/3; -—. 1005. 1) 0; 1; 2) 0; 2. 3 1007. 1) х1 = 3; х2 = -2а для любого а; 2) если a = 0, то „ 0 1 2 уравнение не имеет решении; если а ф 0, то ж, = —; Хо = —. а а 1008. 1) 1; -6; 0; -5; 2) -1; 6; 0; 5^ ^ ^; 3) -3; 4^. 2 9 1011. Х1 = 2; Х2 = -4; q = -8. 1013. Х1 = 6; Х2 = 9; p = -15. 1014. 1,6. 1015. b = 15 или b = -15. 1016. 1^. 1017. 5х2 - 2 - 8х + 1 = 0. 1018. 6 см и 9 см. 1019. 9; 10; 11 или -11; -10; -9. 1020. 10; 11; 12; 13; 14 или -2; -1; 0; 1; 2. 1021. 24 см2. 1022. 16 команд. 1023. 0,216 м3 или 121 375 80 см. 1029. 1) 2^ 3) X + 2 х^ + 2х + 4 м3. 1024. 40 см; X - 3 4х + 1 г; 4) 1030. 1) —^; 2^ ^^; 3) х(х - 5); 4) х + 3 X + 1 X + 2,5 1 - Зх ^ 1031. p = 5; 2(х + 6) х2 = -2. 1033. 1) 4; -4; 2^; 3) 81. 1034. 1) (х + а)(х - 6а); 4 2) (х - 2Ь)(х + 5b). 1035. 3; х = 4. 1036. а = -2; -13. 1038. 1) -2; 2) 0^-; 3) 1; 4) 3; -3,5. 1040. (2; 0), (-2; 0). 3 1041. 1) -1; -1,5; 2) 0; 1—; 3) -5; 6; 4) уравнение не 3 имеет решениИ; 5) -4; 6) 1; -1. 1042. 1) -3; 2) 3; -3; 3) 0. /о л 7 1043. 1) 1; -1; 2) -1; 1; -3. 1044. (-2; -8)^; 3 . 1045. 1^-; Н 8 2) -1. Указание. 27х3 + 18х2 - 12х - 8 = (3х - 2)(3х + 2)2. 1046. 1) 1; 3; 2± \/3. Указание. (х - 2)2 = х2 - 4х + 4 и затем х2 - 4х = t; 2) -1; 4. Указание. х(х - 1)(х - 2)(х - 3) = = (х2 - 3х)(х2 - 3х + 2), замена: х2 - 3х = t; 3) 1; 2; -1; 4; 5±л/5 2 3 l±yfl3 , 10 ^^/ilЗ 4) ---; —-—; 5) -2; 3; ------; 6) 1; 10; -------. 265 1047. 1) 5; -3;^^^-; 2) -1^ ^^л/21. 1048. 12 км/ч. 4 1049. 10 ч. 1050. 16 км/ч. 1051. В 18 ч. 1052. 2 км/ч. 1053. 20 с; 16 с. 1054. Петр - 60 деталей; Степан - 40 деталей. 1055. 2 ч; 6 ч. 1056. 6 ч; 9 ч. 1057. 2 кг или 4 кг. 1058. 225 км. 1059. 40 деталей. Указание. Пусть x дета- „ ^ _ Г800 ^ лей - ежедневная норма. 1огда 5д: +- I X (JC + 5) = 830. Задачи повышенной сложности 1060. Указание. д2 + ^2 2аЪ а + Ъ а + Ъ > 0. 1061^ 1062. 1) 2^ii; 3) 4; 2 п - 2т 1065. Указание. После т + п 4^^; 5) 1 + 2p; 6) - ху а + Ъ упрощения получим (ж -ь yf' 16 1-а1б 1067. Возведем обе части ра- X у Z ^ XT х^ у^ венства------\--1— = 1 в квадрат. Имеем —- -I—- —- ч- + 2- т п р хур + xzn + yzm тпр 1068. Указание. Из условия следует, что а - Ъ = 1 тт ^ П Р ^ ^ 1. Из равенства 1----1— = 0 найдем, X у Z у2 ^2 чт^ ^ -I- yzm = 0. Следовательно, —^ ^ ^ + —х - ^. т^ р^ Ь - с; Ьс ; , с - а а-Ъ ^ о — с =----; ^ ^ ^ =---. Перемножить полученные равен- ас аЬ ства. 1069. 1) Если a = 2, уравнение не имеет решений; если a Ф 2, то x = 2; 2) если a = 1 или a = -1, то уравнение не имеет решений; если a ф 1 и a ф -1, то x = a; 3) если a = 2, то x - любое число; если a ф 2, то x = a + 2; 4) если a = 1, то x - любое число; если a = -1, то уравнение не имеет ре- шений; если a Ф 1 и a ф -1, то х = а -1 а + \ . 1070. 1) Если a ф 0, то x = a; 2) если b ф 0 и a = -b, то уравнение не имеет ре- шений; если b Ф 0 и a ф -b, то ж = а а + Ъ ; 3) если a ф 0, то 266 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ X 2а ; 4) если a = 0, то уравнение не имеет решений; если a ^ 0, то x = 6a. 1071. 1) От 2 до 3; 2) от -9 до -8; 3) от 7 до 8; 4) от 5 до 6. 1072. 1) Если a < -3, то уравнение не имеет решений; если а > - 3, то ^ ^ ^ + 3)^; 2) если a = 0, т^ ж > 0; если a ^ 0, то x = 1; 3) если a = -3, то х> - 2 если a < -3 или -3 < a < 3, то уравнение не имеет решений есл^ ^ > 3, то ж = а2 - 6а + 7. 1073. 1) -2; 2) 1. 1074. 1) ^/3 - 1; 2) 1; 3) -10. 1075. 1) 2; 2^ ^ Ws + л/б. 1076. 1) 1; 2) 8 -1, если х>\. 1077. ,3л:, если л: > 0, 1) X 2) у = ох, если X < 0; II - 2х, если х < 1. 1078. 1) ^/3 - ^/2; 2) 1 + ^/з - л/7; 3) ^ - 1; 4) (^ + + 1). 2 1079. Да. 1080. 1^^^; 2) ^^. 1081. 1) 2) 1. ху а X - у 1082. 1) -у[а, если 0 < а < 2; л/а, если а > 2; 2) -2, если х < 0; 2, есл^ > 0. 1084^. 1085. 6. 1086. 1) 19; 2) 80; 3) 343. ^ 1 1087. 1) -4; -3; 2) 19. 1088. 1) Если 0 = 1, то X = —; если 2 а Ф 1, то Xj = -—, Xg а -; 2) если а = -1, т^ ^ = -1; если а ^ -1, Xj = -1, Xg = 2а 1089. 1) -1; 2) 2; 3) уравнение не 1 + а имеет решений. 1090. Пуст^ ^ 4ас = 3, тогд^ + 4ас. Правая часть равенства - нечетное число, следовательно, Ь = 2k + 1, А е Z. Тогда получим 2(А^ + k - ас) = 1, что невозможно. 1091. -1. 1092. 1. 1093. 12. 1094. 1^ - 2 = 0; 2^ ^ ^ -ъ 179 = 0; 3^ ^ ^6х -ъ 1 = 0. 1095. Указа- ние. -0 = (&-ъс - а){Ь + с + а)(& - с + а)(Ь - с - а). 1096. Указание. |х.^ - Xg| = ^(Xj - Xg)^ = ^(х^ + - 4х.^Х2. Затем вос- 5 + 3\/5 пользоваться теоремой Виета. 1097. 1) 1; 2; -3; 2) 1; —=-----; 3) -1^ ^ \/3; 4^ ^ ^У^. Указание. - 2х^ - Зх^ - 4х - 1 = = (х^ - 2х® + х^) - (4х^ -ъ 4х -ъ 1) = (х^ - х)^ - (2х + 1)^. 1098. 1) Есл^ а = 1, то x - любое число; если а = -2, то урав- 267 Щ нение не имеет решений; есл^ 1 и а ^ -2, то х =---; а + 2 2) есл^ а = 1, то х = 4; есл^ ^ = 4, т^ х = 1; если а ^1и А:, т^ ^ =1, Xg = 4; 3) если а = 1 или а = 3, то уравнение не имеет решений; есл^ 1 ^ а 3, то х = а; 4) есл^ а = 1, т^ х = 4; есл^ а 5^ 1, т^ За, Xg = 4; 5) если а = О, то x - любое число, кроме - 7; есл^ ^ = -7, то уравнение не имеет решений; есл^ ^ О и а Ф -7, т^ ^ = а; 6) есл^ а = 1 или а = -1, т^ ^ = 0; 1 — а^ если а Ф 0^ ±1, т^ ^ = а, х^ ------. 1099. 6; -6; 10. ^ а 1100. 9; -9. Указание. х^-х^-ь 20х - 100 = х'* - (х - 10)^. 1101^ ^ 42^ ^ 39. 1102. 1) 2; 2) 1. 1103. 1) Если а = 1, т^ ^ = -1; есл^ ^ = -2, то ^ = —; если а ф О, а ф 1, а ф -2, то 3 , , , X, = а + 1 а -1 1 04 9 1 , , Хп = -1; 2) есл^ ^ = — ил^ ^ = —, то х = -1; если 9 7 9 а - -3, т^ ^ = —; если а = 1, т^ ^ = —; есл^ ^ -3, а Ф —; 8 8 4 аФ--^ф1, т^ = -1, Х2 = i^±l. 1104. 1) 0; 2) 2; -2; 4 8 Зл/^ /---- ±—-—. 1105. 1) 14. Указание. Пусть sx-5=t. Тогда 2) 4; -4. 1106. 1) 2) i±^; . 1107. Указание. Графиком уравнения являются -5-Vl^ 6 ^ ^ iirtQ 14К 04 2 10 14 1 две прямые ^ — и У = —. 1108. 1) 5; 0,6; 2) --; —; —; 3-; О А и XI о 3) 2^. У казание. ^ = f, тогда х^ + ^ = -2; 4) l±yjl; 2 X х^ X 2 ^ 4 х^ 4 казание.--------= t, тогда — -ь — = + —. 3 X х2 9 3 -3 ± л/15. У 1109. 85 кг. 1110. 7. 1111. 52 км/ч ил^ км/ч. 1112. 60 км/ч. Указание. Следует рассмотреть две возможности в зависимости от того, какого велосипедиста мотоциклист обогнал первым. 1113. 1,8 ч и 2,25 ч. 1114. 0,2 ч или 0,33 ч. 1115. Сергей - за 10 дней, Алексей - за 15 дней. 1116. 60 мин; 84 мин. 268 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Упражнения на повторение курса алгебры 7 класса 1. 1) a8; 2) x2; 3) p21; 4) a6; 5) t; 6) a36. 2. 1) 4m3 - 12m2; 2) -2a2b - 4a2b2; 3) 7a3 - 14a2 + 21a; 4) a2 - 2a - 35; 5) 6m2 + + 19x - 7; 6) a3 - 3a2 + b + 1. 3. 1) 2x2 - 8; 2) -17x; 3) 2a2 + 8b2; 4) 56xm - 32m2; 5) 2x3 - x2 - x; 6) x2 - 2x + 10. 4. 1) 4(a - 2); 2) 3m(m - 3); 3) 4ab(3a + 4b2); 4) (2x - 5)(2x + 5); 5) 9(m2 - 2p4)(m2 + 2p4); 6) (p - 5)2; 7) (x2 + 4)2; 8) (c + 3) x X (c2 - 3c + 9); 9) (p2 - 10)(p4 + 10p2 + 100); 10) (x - y)(a + 2). 5. 1) 4; 2) -8; 3) 5; 4^|; 5) 2; 6) 0; 7) любое число; 8) -12. 6. 1) (4; 1); 2) (-1; 2). 7. 1) (1; -3); 2) (-1; 4). 8. 1) (2; 1); 2) (2; -3); 3^ -|j; 4) (-1; -2). Ответы к заданиям «Домашняя самостоятельная работа» задания № работы^^^ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 В Б Г В А Б Б А В Г В А 2 Б Г А В Б А В Г В А Г В 3 А Г Б В Б А В Б В Г В Б 4 В Б Г А Б В Г Б А В В Г 5 Г Б Г Б А В Б А Б Г А Б 6 Б Г Б А В Г Б В Б А Б Б 269 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Арифметический квадратный корень 118 Биквадратное уравнение 207 Вершина параболы 112 Ветви гиперболы 89 - параболы 112 Взаимно сопряженные выражения 150 Внесение множителя под знак корня 148 Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена 200 Вынесение множителя из-под знака корня 147 Гипербола 89 Графический метод решения уравнений 91 Действительные числа 126 Дискриминант квадратного уравнения 177 - трехчлена 199 Дополнительный множитель 13 Допустимые значения переменных 6 Дробные рациональные выражения 5 --- уравнения 58, 206 Избавление от иррациональности в знаменателе дроби 150 Извлечение квадратного корня 119 Иррациональные числа 126 Квадратное уравнение 170 Квадратный корень 118 - трехчлен 198 Коэффициент квадратного уравнения 170 Корень квадратного трехчлена 198 Метод замены переменной 207, 208 - разложения многочлена на множители 207 Множество 124 Неполное квадратное уравнение 171 Обратная пропорциональность 87 Область определения (область допустимых значений) 6 Основное свойство дроби 12 Парабола 112 Подкоренное выражение 118 Подмножество 124 Подобные радикалы 149 Порядок числа 82 Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями 20 - возведения дроби в степень 40 - деления дробей 45 - сложения дробей с одинаковыми знаменателями 20 - умножения дробей 38 Приведение дробей к общему знаменателю 26 Приведенное квадратное уравнение 171 Пустое множество 124 Разложение квадратного трехчлена на множители 199 Рациональная дробь 6 Рациональное выражение 5 - уравнение 58 - число 124 Сокращение дроби 13, 149 Сопряженное выражение 150 Стандартный вид числа 81 Степень с целым показателем 70 Теорема Виета 184 -, обратная теореме Виета 186 - о корне из произведения 137 из дроби 138 ---- из квадрата 139 ----из степени 140 Условие равенства дроби нулю 6 Формула корней квадратного уравнения 177 Формулы Виета 185 Целое рациональное уравнение 58 270