l выполняется только для г<2. Значит, исходное неравенство имеет решение 2<2.
5. Дифференцируем первое равенство. Имеем у"=е^(у + у'). Полученное равенство не согласуется со вторым для любого х. Единственное решение: у = 0.
6. Используем известное свойство
>з^3°-3'’-3"=^7за^'’^"=зу^=1.
откуда 3®+ ЗЧ 3^> 3.
287
Вариант 2
1. а) Нули функции совпадают с нулями косинуса х = | + лА:, keZ,
Точки с такими абсциссами, что cosx = ±l, лежат на графике у = ±е^. Искомый график можно построить, используя графики у = е^у у--е^у y=cosx (рис. 188).
б) y' = €^{cosx-smx)y у'(0) = 1, tga =1, а =45°. Угол равен 45°.
в) Аналогично вар. 1 вычисляем интеграл:
I е ^cosx dx = e ^cosx +je ^sino: dx-e '^cosx + e ^sinx - J e ^cosx dx.
Откуда 2 J e ^созл: dx = e ^(cosx + sino:), J e ^cosx dx =
+ C.
I X • ^
Значит, S = J e "^^созх dx = ^ (cosx+sinj:) I _ I ^ 1) -1. Покажем,
4ToS>l. Действительно,
S = I(COS1+ Sinl) -1 = ^ sin (1+f) -1 > ^ sin(f) - i > ^ • 1,4■ 1,73- i > 1. Итак, S>1.
2. x = 3. Cm. решение вар. 1.
3. Доказательство аналогично вар. 1.
4. Решение аналогично вар. 1: 2 >2.
5. Решение: i/ = 0.
6. 3~°+ 3-^+3- ^ ^з~а g-ft g-c ^ 3^^-(а+Ь+с) ^ 3^^ ^ ^ 3"“+3'*’+3.
288
Тема 10
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Задание Логарифмирование и потенцирование
Вариант 1
1. log4^“ 21og4 4x'^= 21og4|x|-l- 81og4|A:| - 2 =-61og4|x| - 3. Тогда функцию можно записать: f{x) =-61og4|x| -3 (рис. 189).
2. -log2log2^fJ2 =-log2\og22* =-log2| = 2.
3. a\b^=7ab, значит, {а-ь b)^-2 ab = 7ab => (a+ b)^=9ab a+b = B^faby
следовательно, = 4ab. Поэтому Ig - 0,5 (Ig a + Ig 6) = Ig -/ab -
- ^\gab = \g^^ab-\g^fab = 0.
4. Заметим, что v3 + l = -pJ—, V6-2 = -jJ—, Поэтому
л/з-1 Ve + 2
log2( Vs - 1) + log2( Ve + 2) = log2 + log2 = 1 - log2( Vs + 1) + 1-
-\og2(4&-2)=2-k.
5. log4l8 = |(l + 21og2 3). Достаточно доказать, что log23 — иррациональное число. Докажем от противного. Предположим, что log23 = “ — рациональное число, — — несократимая дробь, m и /г —
т
взаимно простые числа. Тогда 2" = 3 <=^ 2"^= 3". Это равенство не может быть верно ни при каких /п и л е 7V, так как четное число не может быть равно нечетному. Значит, log23 — иррационально и log4l8 — иррационально.
Вариант 2
1. log6^-21og6&«;®=21og6k|-l-121og6|x|-2 = -101og6|x|-S (рис. 190).
2. -lglgi°Vi^0 = -lg(j^lgl0) = -lg^ = 2.
100
3. Доказательство аналогично вар. 1.
4. Значение выражения равно 2 -
5. logie36=^log2 6= ^(l+log2 3). Как уже доказали в вар. 1, log23 — иррациональное число. Значит, logi^SB — иррациональное число.
Задание 10.2, Переход К другому основанию
Вариант 1
1. 2-loga(a^- b^) + 21og^2(a-&)-log^-i(a + &) + 0,51og^(a^+6^) =
= 2-loga(a^- &^)+loga(a- b) + logo(a+ b)+logo(a^+ b^) =
= 2-logo(a^- 6^)+loga(a^- b^) +loga(a^+ b^) = 2-loga(a^- 6'*) +
+ loga(a^-6'*) = 2. Значит, logo у = 2. у от b не зависит.
2. а) Перейдем к основанию 2, и тогда исходное выражение равно
log2*
log2x
___^ ■. loif^ X +_______-______+_________
log2 3 2 log2 3 log2 5 logg 5 logg X _ log2 5 4-1 + log2 3 _ log2 15 + 1 _ ^
log| д:
log2 3 Iog2 5
log2 30
log2 30
log2l5 + l
6) Результат пункта (a) можно обобщить следующим образом:
logm ^ logn X + \og[ X logn л: + log^, x logf X, ..
logm X log„ X log/ X Smnl
Перейдем к основанию n, тогда
lo^ X ^ log^ X ^ log^ X
logn m logn i logn ^ ^ogft ^ ^ogn^ _ logn ^ + logn +1 _ logn ^ _ logn
log|x \og„mnl logn топ/ log„TOn/ log„TOn/
logn 'n logn ^
3. l„geI6=41og,2 = ^ = jj^. l„8„27 = 31og„3.gg.^.a.
Откуда log23=^^. Значит, искомый логарифм равен При
3 + а
ЭТОМ а^б“3, так как a = logi227>0.
4. Перейдем к десятичным логарифмам, тогда
Inff QO- lg80_l + lgS_l + 21g2_o 1 , 9__3^
^Og2Qbi) l + \g2 l + lg2 ^ l+lg2’ l + lg8 ^ l + lg8’
так как ig8>lg2, то i + jg'f ^ i + igg* значит, второе число больше.
5. Перейдем к основанию 5, тогда левая часть неравенства равна ^ + log54. Так как log54>log53, то ^ + logs4> j3^ + log53>2 .
В последнем неравенстве использовано свойство суммы положительных взаимно обратных чисел. Исходное неравенство неверно.
Вариант 2
1. Не зависит. См, вар. 1.
2. а) 1; б) см. вар. 1.
290
3. 1„8е1в.41ог.2.4М-гпЬ-а, l„g„27-gfl = ^
31og23
log23
\0g2i2
I- log23 ’
log23=-^, поэтому logi227=
12-3a
2a+4-a a+4
, при этом a^-4.
4. logi5l6=logi5(415) = logi54+l, Iog6o480=log6o(60-8) = log6o8 + l. Достаточно сравнить logi54 и logeoS- Рассмотрим
4 о о 31ogi52 21ogi52 + 41ogf 2-31ogi52
Iogi5 4-log6o8 = 21ogi52-j^2T^ =-------i;2^5 2-------=
_ Iogj52(41ogi5 2-1) _ Iogi52(logi5l6-1) l + 21og]g2 l + 21og|52
Так как logi52>0 и logi5l6>l, последнее выражение положительно, значит, logi5 4 > log ео8, откуда следует, HTologisGO > logeo480.
5. Нет, неверно. Действительно,
(log7 + (log67)-^ = ф +^ ® ^ ® 2 ’
так как сумма взаимно обратных положительных чисел не меньше 2.
Задание 10,3. Действия со степенями
Вариант 1
1, Нетрудно преобразовать исходное выражение
g21og65^ jQ-lg2 + l_glog9 36^^21og^V3_ glog6 25^_l0__glog3 6^ 2^0^2 3 _
10
\g2
= 25 + ^-6 + 3 = 27.
1 IgQ 1 igb j
2. Исходное выражение можно записать в виде 6^*®" ■ =(а • 6)^.
3. а) Покажем, что
g}ogbC^^\ogba = <=>log;,c-logba = logf,a-logi,c.
Тогда Значит, исходные выра-
жения равны, б) Обобщение следующее:
4. Исходное неравенство равносильно следующему: —■ < О <=»
logs”
«log5(log5д:)<0<=>I^ 1<д;<5_ Значит,д:бЛ7:х=2,д:=3, л:=4. [logjjoO,
5. а) Представим числа в виде
(2101)® и (3101)® ФФ 2®•^°^•101®®®•101^®^ и 3®•^®Ч01®°®•101^‘’^ следовательно, можно сравнить числа 23 101 loiioi JJ 32101 ^ 808101 и 9^°^
Ясно, что 808^”‘ > Значит, число 202®”® > 303®°®. б) Сделаем обобщение. Пусть число х = поп — трехзначное число: поп = 100тг+/г, у= (п+ 1)100 + (л+ 1), где 1<п<8. Тогда х^>у^. Действительно, jc^= (п • у^=((л +1) • 101)”^®^. Для срав-
291
\Л + 1
нения исходных чисел достаточно сравнить ^ = (л*101) и 2=(101-(л + 1))”. 2=101"-(л + 1)"» далее можно
сравнить и (/г + 1)”, /г-101 и J так как для 1<п<8
<3, то 101/г>^-^^ и, значит, л:^> у
Вариант 2
1. Выражение можно записать в виде
у log7 25^j^Q2Q-lg3_4 logie 49 ^ ^ 2 log^ '^=25+ ^ - 4 ’°®'* '^ + 3 ^ =
1 П ^
= 25 + ^-7 + 5 = 261
1 U о
2. {аЬ)~К
3. а) равны, см. вар. 1.
-V /—logft с /—logfc а
o)^]a =^с
4. X = 2, д: = 3, X = 4, л: = 5.
5. а) В вар. 1 доказано, что
202 _1_ 1
202®°Ь 202 >303303 ^ 202202 > зоззоз ф=>202^^ > зоз^^.
1 i
б) х' > г/^, где X и £/ см. в вар. 1.
Задание 10А, Производная логарифмической функции
{sinx-cosx>0,
1. Искомые точки можно определить из системы] cosx + sin;c
f cosx + sinx =0, О , . „
<^x = fn + nkfkeZ,
[sinx-cosx >0 ^
2. Область определения функции: i/e(0; 1). В области определения функция имеет производную, поэтому в промежутках убывания производная должна быть отрицательной.
g'iy)
= 1 + -
Г>0.
,-/iV ^la-yYj ^ 1-»"
Значит, функция не имеет промежутков убывания. 3. Область определения функции найдем из системы:
2"^-8г + 15>0, 2-1>0
г>5,
_г<3, 26(1; 3)U(5;+оо).
2>1
В точке 2=4 функция не определена, поэтому производной не существует.
4. Исходное неравенство равносильно 1-1-1пх<0, В точке х = 1 оно верно, левая и правая части равны нулю. Вычислим производную
292
(1-i-lnx)
. Производная имеет экстремум в точке
х = 1. Это точка максимума, и значение функции в этой точке равно нулю. Значит, в точках 0<я:<1 и х>1 значение функции меньше нуля. 1 - — - \пх <0. Значит, 1 - - < Inx, и неравенство верно при х > 0.
5. + ^ + Тогда
Х+1 JC+1 дг + 1
dx
f(x) = jf'{x)dx = j{x~l)dx + j^^~^-x+ln{x + l)-^C при х>-1.
Вариант 2
1. Искомые точки можно определить из системы
sinx +COSX >0,
' sinx +COSX >0,
f'(x) = "
cosx-smx
= 0
sinx -cosx =0
<=> X = ^ + 2nky ke Z.
sin x+ cosx
2. Нет промежутков возрастания.
3. Область определения: г> 6, поэтому h'(S) не суш,ествует.
4. Верно. В точкех = 1 функция 1пх-х + 1 принимает наибольшее значение, равное нулю. Это следует из равенства нулю производной (1пх- х-ь!)' = -- ! в точке х = 1.
5.
(х-1 + ir
х-1
, - = х -1-1-2-1-^-г = х-1-1-1-^^.
х-1 х-1 д:-1
/(х) = |/'(х)с?х = ^+х + 1п(х-1) + С при X >1.
Задание 10.5, Свойства логарифмических функций
Вариант 1
1. Область определения удовлетворяет системе sin7ix>l, fsinnx>l, fsin7ix = l,
0 0.
Поэтому
sin(p<0,
ф5£0, <=> л<ф<2я, значит, 2= созф + гзшф, я<ф<2л.
ф5*2я.
5. а) и= sinl + icosl = cos(|-l) + isin(^-l),
и = cosl- isinl = cos(- l) + isin(-l).
Аргументы чисел ц и i; равны сооответственно -|-1 и -1. Значит, искомый угол равен |.
б) cos(5я -10) + i sin(5я -10)+ cos(-10) + i sin(-10) = -cos 10 +
+ /sinl0+cosl0-isinl0 = 0,
b) Результаты n. (a) и (6) можно обобщить следующим образом. Пусть и= г(81пф + гсозф), у = г(соаф-1зшф). Тогда угол АОВ равен I и ц'®+ и^®= 0. Действительно,
ц=г(соз(|-ф)+1зт(|-ф)), и=г(соз(-ф)+гзш(-ф)). ^АОВ=|-ф+ф=|. ц10+у10„ ;-10(со8(5я-10ф)+1зт(5я-10ф) + соз(-10ф) + /зт(-10ф) = 0.
Вариант 2
1. а) Запишем число в тригонометрической форме:
-l-iV3 = 2(-i-i^) = 2(cos^+isin|!),
1 +1 = V2 ^ i) = л/2 (cos+ / sin|).
Тогда исходное выражение примет вид: 2’®®(cos^ + 2
______u_____О___.
I50(cos^ + isin^)‘“ 3_____________3
(V2)»»«^(cosS + isin 28®3(cosi9|7>! + ism №)
4 4 4 4
2-843
V2
cos 200n + i sin 200я
.-2;
•843
COS (496я +
Зл
■) + isin (49бп+■'/З -_L
V2 л/2
_0-843 1 .
/ ^ -l+i'
^-2-844(1 + ^^
6) 2 = ^ - i ^=cos |я+i sin |я. Искомая сумма равна сумме 12 членов
2 2 о о
геометрической прогрессии со знаменателем q= -z.
346
1+ г
j_^2 l-(cos^ +isin l-cos
2. 2=ctga-i=
l + г
cosa-isina_ cos (-a)+tsin (- a)
l + ^-^isinS
1-1 _o
3 iJi 2 2
2 ’ 2
= coseca (соз(27г-а)+гзш(2я-а)).
2nk , • 2tiA
3. a) 2 = I4=>2®=cos0 + isin0<=>2 = cos^ + isin-^, гдеАе^;подставляя целые значения k, находим пять различных корней;
■^ + isin^
D D
2i=cos0 + isin0 = l, Z2 = coS“ + isin^, 23 = cos^ + isin^,
5 -----5
24 = COS-|^ + isin^, 25 = C0S^ + isiny
6) Рис. 238.
в) 2i+ 22+ 23 + 24 + 25 = 1+COSy+COS-y +cos^+cos^+i(sin^+ sin-^ +
+ sin ^ + sin Щ - 1+cos^+cos^+cos^+cos^ = 1-2 cos ^ - 2 cos f = 0. 55 5555 5 5
Равенство нулю последней суммы доказано в вар. 1.
г) 2122+^223+2324+2425 + 25 2i= 0. Решение аналогично вар. 1.
4. Пусть 2 = cos(p+isin(p, тогда исходное выражение равно
(c08(p+isin(p-i)(-l+t) _ (co8(()+tsin 0 <=> (ре [0; |]U(|n; 2я].
5. а) ц= sin2+icos2=cos(|-2) + isin(|-2),
V = cos 2 - i sin 2 = cos(- 2) + г sin (- 2).
Так как аргументы чисел и и i; в тригонометрической форме равны сооответственно |-2 и -2, искомый угол равен |.
347
б) u^®=cos(5K-20) + isin(5K-20) + cos(-20)+Jsin(-20) = -cos20 +
+ i sin 20 + cos 20 - i sin 20=0. b) Cm. вар. 1.
Задание 12,5, Контрольное задание
Вариант 1
1. Пусть л: = U +/и, y = t + iZj и, и, t, zeR, Тогда исходную систему мож-
но записать в виде:
(1+/) (W + 1У) + (1 - О {t + iz) = 6, (3+г) (w + io) + (3 - О (f + iz) = S
u~v-^t + Z=6y
U + V + z-t=^0y
<
3u-v + 3t + z=8, 3v-\-u + 3z-t=0
U-V-\-t + Z=6j U-¥Z = S,
v+ i = -2, v + z=0
<=>
<=>
# = 0,5, у = -2,5, z= 2,5, u= 0,5,
Рис. 239
откуда x = 0,5-i2,5; г/=0,5 + #2,5.
2. Множество \ z-^^S + i\0j
^0<х<2 — часть решения.
-1<х<2
Итак, решение:
0<д:<2,
-2<д:<0
<^хе[-2; 2).
2. Исходное неравенство равносильно системе
i/2-3i/-10<(i/-8)2,« 1/2- 3i/-10>0
y^8,
и<2*,
13’
(1/-5)(1/ + 2)>0
(здесь использована область определения функции г= у°’^, т. е. у>0). !/£(-=; -2)U(5;f|].
3. Исходное неравенство равносильно системе
2^0,
z-l\*0,
4z-i*o
2>1, [2>1, {Z>1,
^^■2-l|
S2 <=> <=> 1 > ^ 1 + g > Ох.
Последнее неравенство не выполняется при любых Ох и д. Утверждение задачи неверно.
б) Да. Это следует из пункта (а). Так как5х>5з <=> 1 + д>Ох, то для любого g и Ох < 1+g верно Sx > S2.
413
в) Да. Для любых ai ид, связанных неравенством l + g>ai, Si>S»2.
г) Нет. Так как 0<д <1, то 1<д + 1<2. Значит, как следует из (а), для всех а>2 неравенство Si>S2 не выполняется.
\Ai
4. ^1^2 = ^,^2^3 = ^1^200860°=
= ^|, A„A„+i=cos60° i4„+iA„+2- Поэтому А„А„+1= Длина лома-
НОЙ
ь=^+Щ+^+
2 2^ 2^ 2 1_1
(рис. 292).
5. а„+1=^3 + а„, если существует предел А, то А = -у/з+А <=> A = Докажем, что предел существует. По-
<=>
А2
Рис. 292
3+ 3+ -^3+..> 3+3+ 3+..3+ ... > 3+ 3+..
следовательность возрастает, ал+1>ад.
Так как а„+1>а^, то a^^i>3+a„«=>
п раз
(п-1) раз
п раз
(л-1) раз
<=> 3+д/з+д/1+ У >3+д(з+д/3+"7. О ... <=^ 3+л/3> 3 <=> л/3>0.
-..-..у.-. V ■'
(л-1) раз (я-2) раз
01 = V3<3, пусть а„<3. Тогда 0^+1= ^3+о„<3. Значит, по методу
математической индукции о„<3. Последовательность (а„) ограничена, 0<а„<3, и монотонна, поэтому она имеет предел, который был уже вычислен.
Тема 16
ЭЛЕМЕНТЫ КОНЕЧНОЙ МАТЕМАТИКИ
Задание 16.1. Множества
Вариант 1
1. Обозначим Хф — число жителей, говорящих только на французском языке, Xf^ — число жителей, говорящих только на немецком, Хц — число жителей, говорящих только на итальянском, Хфн — число жителей, говорящих на французском и немецком языках, Хф^ — число жителей, говорящих на французском и
414
итальянском, — число жителей, говорящих на итальянском и немецком, Xфf^ц — число жителей, говорящих на французском, немецком и итальянском языках. По условию, Хф,щ=0Лх, х — число всех жителей. Для переменных х выполняются следующие условия
^ ^фи^ ^ фни~ ^ ^
^ф"^^фн^ 0,8jC,
Хи+Х^,,^Хпи-^Х
^фи
ин^
^фни'
0,6д:.
Сложим последние три уравнения, тогда
Хф~^ X X фff'\^ X фц~^ x^f^— 0,9jc,
Хф~^ Xff-i- Xц+^{Xфf^+ Хфц+ Хц^^ “13^*
Вычтем из второго уравнения первое, тогда Хф„+Хф^^+х^^^~0у9х. Значит, на двух языках говорят 90% жителей.
2. Из AczB и АаС следует, что Ас(БПС). Так как (БПС)сА, то А=БПС.
3. Например, С — множество целых чисел, Б — {0}, А — неотрицательные целые числа, X — неположительные целые числа.
4, Да. Можно использовать свойство дистрибутивности (распределительности) пересечения относительно объединения:
(АиБ)ПС=(АПС)и(БПС).
Тогда, чтобы выполнялось условие задачи, необходимо (АПС)и(БПС) = (АПС)иБ,
откуда имеем Б ПС = Б. Это возможно, еслиБсС. Значит, непустые множества А, Б, С существуют.
Пусть Б — вареные, К — красные, М — мертвые раки. Тогда условие (а) означает, что БП-йГсМ, условие (б) КГ\Мс.В. Например, это могут быть следующие множества (рис. 294). Из рисунка следует, что в этом случае В Г\ Met К у то есть из того, что рак вареный и мертвый, не следует, что он красный.
Рис. 294
415
Вариант 2
1. 35%. Решение аналогично вар. 1.
2. Верно. Из условий БсА и СсА следует, что (ВиС)сА. Из условия Ac.{B\JC) следует, что A = B[JC. Можно нарисовать диаграмму (рис. 295).
3. Из C^X=A\JB следует, что АсХ; из ВПХ = СиА следует, что ХсА; значит, А = X и нет различных непустых множеств, удовлетворяющих условию задачи.
4. Да. Например, Ас С. Тогда
(АиБ)ПС=(СПА)и(СПБ) = Аи(СПБ) = (БПС)иА.
5. Нет, не следует. Пусть В — вареные, М — мертвые, К — красные раки. Тогда условие (а) означает (BUX)cM (рис. 296а), условие (б) — (X иМ)с В (рис. 2966). Множества, удовлетворяющие и (а), и (б), могут быть такими, как на рис. 296в. ВПМсхХ, то есть не следует, что вареный или мертвый рак — красный.
В{}М<11
Рис. 295
Вариант 1
а) Так как 2011 = 200!-201,1991= 1^,991= ^,1011 = 1001 101, то
пЮО
-201
пЮО _ 2011
• L/1QQ —--------
1991 _ 200! 201>200!100 (2001Г 201.100.
"^9® 100! 1011 100I99I (100!)^200 100!-10м00! (ЮО!)** 200-101
= (^20о)^‘ |о2 ^ (^20о)^' Итак, первое число меньше, б) Обобщение: Ca^^+rCaVi<(^2*^)^-2. Исходное уравнение равносильно следующему уравнению
Г +
х\
х!_^ ll.JflSL <=> X(х-1) (х-2) ^ X(х-1) (дс-2) (х-З) _ 11 (х+1) х ^
3!(л-3)1 41(х-4)! 2!(л:-1)1 б 24 2
<=> 4х(х~1){х~-2) + х(х-1)(х-2){х-3)-^132{х-^1)х ^ <^х{Цх-1){х-2) + {х-1){х-2){х-3)-132{х + 1)) = 0^
<=> X (д:®-2д;2-133л: -130) = о <=> л: (д: +1) (д: +10) (X -13) = о.
Целое положительное решение х = 13.
3. - Для решения неравенства можно использовать тре-
угольник Паскаля (рис. 297). Решений всего 16.
416
X л
h-»
12 1 13 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 ....................... 45 10 1
1 11 ............................................... 11 1
1 12 ..................................................... 12 1
1 13 ................................................... 13 1
1 14 ......................................................... 14 1
1 15 ................................................................ 15 1
Рис. 297
4. Да, так как ^Щ = С2п — целое число и (2/г+ 1)1 = (2 л)!(2 л+ 1).
(п1)
5. Воспользуемся равенством = C^{J_l+ » которое нетрудно дока-
зать, а именно:
_ (w-l)! . _I
m-1 il-
(m-l)I
ml (m-l)
(m)U
l)I(m-/)! ll{m-l)lm l\{m-l)\m
= '^7--ilMrn-l+l)= ,,,=Cr.
В исходном равенстве используем доказанное C^+A+i = C*+A+C*;j^, тогда
+ci ,1+с^2+...+с*;1«
« с°+ci ,1+с^2+. ■ •+= ctil
Далее сделаем замену = тогда получим
Сп+С\+1+С1+2 + ■■■+C^ll-2= ^п+1-1 И Д-
Придем к равенству С® = С®. Значит, исходное равенство верно.
Вариант 2
1. (а) и (б); см. вар. 1.
2. Решение д: = 14.
3. 15 решений. Решение аналогично вар. 1.
4. Да, так как = ^2д-2 — целое число.
(п-1)!^
5. Задача сводится к вар. 1, так как C^+k+it (^h+i= ^n+i*
Задание 16.3. Комбинаторные задачи. Сочетания
Вариант 1
1. X и У могут выбрать 5 красных шаров одинаковым числом способов. Число способов выбора 10 и 11 синих шаров из 21 одинаково (если выбрали 10, то 11 осталось, и наооборот). А выбрать из 40 зеленых шаров 20 можно большим количеством способов, чем 16 из 40. Поэтому возможностей у X больше.
2. а) Число способов выбрать 2 девушек и 3 юношей — Cfo Ciq; число способов выбрать 1 девушку и 4 юношей — Cjo • число способов выбрать 5 юношей —Cfo* Значит, число способов выбрать не больше 2 девушек равно Cjo • Cfo + С/о * Ciq + Cfo • Cfo (способы выбора: 5 юношей, либо 1 девушка + 4 юноши, либо 2 девушки + 3 юноши).
б) То же число, что и в (а), так как число юношей и девушек одинаково и задача равносильна выбору не больше двух юношей.
418
3. Если выбирать из 35 человек делегацию по 5 учеников, то это можно сделать С35 способами. Чтобы найти искомое число, надо вычесть число одновременного вхождения Ольги, Саши и Жени.
А
Это Сз2- Последнее число вычислим так: предположим, что Саша, Женя, Ольга уже в составе делегации, тогда из 32 надо выбрать 2.
г л
Т. е. искомое число равно С35 - С32.
4. Каждый из параллелограммов можно определить двумя противоположными вершинами. На рис. 298 приведены два таких параллелограмма. Значит, надо вычислить пары противоположных вершин. Положение одной вершины может быть выбрано k • k способами. Тогда положение противоположной — (А-1)(/е-1) способами. Учитывая две противополож-
Рис. 298
ные вершины, две другие противоположные вершины параллело-грамма не нужно учитывать, поэтому имеем всего —^—— параллелограммов. Для ответа на вопрос надо решить неравенство ^-^^=^>100 <=>(/г-1) /г>20 о ft>6.
Вариант 2
1. Так как число способов выбора красных и зеленых у X и Y одинаково, а число способов выбора синих у У больше, всех способов у У больше.
2. (а) и (б): С^2 *+ CI2 • С}2 + ■ Cfa = С^2 + 12 Ci^2 + ббС^а.
3. CI4 +CI2. С34 — число способов выбора делегации без Гали, С32 — число способов выбора с Галей, Васей и Федей,
4. См. вар. 1. Откуда k = 2; 3; 4.
Задание 16.4. Бином Вариант 1
50
1. а) По формуле бинома (1-ь V2)®®= ^ C5"o(V2)", в разложении всего
51 член, если л =2т — четное число, точленразложения(л/2)^'”=2'" — рациональное число, всего таких членов 26 (л = 0; 1; ... 25). Значит, рациональных членов больше.
б) Общий вид члена разложения C5"o(V2)". С возрастанием л степень (Л)" возрастает, С50 имеет наибольшее значение в случаеС|о (25 =
419
и убывает с возрастанием модуля разности между 50 и л. Поэтому надо сравнить члены разложения С|о(л/2)^®, С5о(л/2)^®, C|o(V2)^^, ...
^50 * ^^0^^ = отношение для п>25 возрастает. Значит, C^q все
быстрее убывает, в то время, как (л/2) ” возрастает.
Теперь рассмотрим CgQ(^/2)'^: =
п+1
"50 ' ^ (50-/1)72’
C5o(V2)"